FR 2720439 A1 19951201 FR 9406246 A 19940524 La présente invention concerne une méthode d'analyse de signaux, notamment vibratoires, crées par la rotation d'un outil de forage. Dans la technique de forage, qu'il soit à destination d'exploitation pétrolière ou autres destination, on utilise un outil de forage vissé sur des tubes dont l'ensemble est couramment appelé garniture de forage. La garniture de forage est le lien mécanique entre le 1 0 fond du trou foré et la surface du sol. L'appareil de forage est l'installation de surface qui notamment entraîne en rotation l'outil de forage, assemble et supporte le poids de la garniture de forage, injecte un fluide dans la garniture de forage. Dans une variante, l'outil peut être entraîné en rotation par un moteur de fond assemblé dans la garniture de forage. Pour que l'outil puisse détruire la roche, il faut appliquer une force de compression sur 1 5 l'outil, force appelée poids sur l'outil ou "weight on bit (WOB)". Pour cela, des masses- tiges ou "drill collar" sont assemblées au-dessus de l'outil. Des tiges de forage complètent la garniture de forage. Le foreur qui conduit l'appareil de forage a la connaissance de quelques paramètres qui conditionnent l'action de l'outil de forage: le poids suspendu au crochet de forage, la vitesse de rotation et le couple appliqués par la table de rotation, le débit et la pression du fluide injecté. Ces paramètres, mesurés en surface, sont utilisés pour conduire le forage sans connaître les réelles conditions de travail de l'outil au fond du puits. Il a été développé des appareils de fond pour effectuer des enregistrements et transmissions de mesures fournies par des capteurs de fond. Ces appareils couramment 2 5 appelés MWD (Mesurement While Drilling) sont principalement destinés à trnsmettre vers la surface du sol la position géographique de l'outil de forage. Mais ils peuvent également comporter des capteurs d'effort qui mesurent les contraintes dans les masses-tiges situées au-dessus de l'outil. Egalement, le document EP-A-0558379 décrit un système de mesures placé dans la 3 0 garniture de forage, proche de l'outil, le système étant relié à la surface par au moins un conducteur électrique. 2 2720439 On connaît ainsi des moyens qui peuvent permettre l'acquisition de données relatives au comportement dynamique de la garniture de forage au cours de l'opération de forage. Mais pour conduire de façon optimisée la foration, il ne suffit pas de disposer des signaux représentatifs des comportements de l'outil de forage, mais d'interpréter ces signaux pour connaître le processus de la foration. En effet, les signaux de vibrations créées par l'outil de forage sont des signaux complexes qui peuvent fournir une bonne représentation du déroulement de l'opération de foration, opération qui n'est pas linéaire mais qui est une succession de phases et de comportements différents. Un premier problème auquel on se heurte lorsque l'on est en présence de tels signaux, est la détection d'un comportement parmi les autres. Une fois ces comportements détectés, il sera alors envisageable de caractériser chaque comportement. Puis, la caractérisation une fois effectuée pourra permettre de reconnaître et de prédire des comportements donnés, d'effectuer des traitements ou des transmissions des coefficients 1 5 caractéristiques seulement. Dans certains cas de signaux, on pourra se contenter de segmenter celuici en segments d'une durée déterminée a priori, puis caractériser chaque segment selon la méthode selon l'invention. Une fois caractérisé, on pourra effectuer des analyses, des traitements ou des transmissions sur les coefficients de caractérisation. De plus, les moyens utilisés peuvent permettre de reconstruire le signal d'origine à partir des coefficients de caractérisation. L'optimisation peut consister à interpréter les régimes vibratoires de la garniture de forage, en particulier au niveau des masses-tiges, pour détecter certains dysfonctionnements de l'outil de forage. Certains dysfonctionnements sont bien connus, comme le "stick-slip" o la rotation de l'outil est très irrégulière jusqu'au calage de l'outil, le "bit bouncing" o l'outil décolle du front de taille, le "whirling" o l'outil est animé d'un mouvement de précession désordonné. L'analyse des vibrations dues à la réaction de l'outil sur la roche peut aussi permettre la détection des changements de nature de roches, peut être nmme d'identifier la nature propre d'une roche, l'usure des taillants de l'outil ou le "bourrage" de 3 0 l'outil (mauvais nettoyage des taillants). Pour cela il faut une méthode d'analyse des signaux représentatifs des régimes vibratoires qui sont crées par le fonctionnement de l'outil. 3 2720439 Une des méthodes employées repose sur l'utilisation de la transformation de Fourier. Le signal est décomposé en une somme infinie de sinusoïdes. Mais quand il s'agit d'étudier des phénomènes non stationnaires, comme le sont les comportement de l'outil en forage, la transformation de Fourier est insuffisante. En effet, il apparait que c'est dans les parties non stationnaires du signal que se trouve l'information la plus pertinente. La présente invention décrit une méthode pour analyser et traiter des signaux de forage. Par signaux de forage il faut comprendre des signaux fournis par des capteurs placés dans la garniture de forage. Préférentiellement, ces capteurs seront placés proche de l'outil de forage pour éviter au mieux l'amortissement et le bruit. Mais dans certains cas il sera 1 0 possible que certains capteurs soient placés proche de la surface du sol, ce qui facilite les transmissions des signaux. Le traitement des signaux selon la présente invention comporte l'étape de découper le signal en segments homogènes. Par segment homogène, il faut comprendre une séquence d'une durée déterminée i 5 ayant des caractéristiques communes ou représentatives d'un même événement ou comportement. Dans une autre étape, on caractérise des segments homogènes, par le calcul de coefficients liés au segment de signal et on sélectionne les coefficients représentatifs de l'information contenue dans ledit segment. On pourra transporter ces coefficients représentatifs entre la zone d'acquisition et de caractérisation du signal et une zone d'analyse du signal, cette dernière zone étant éloignée de la première. On pourra classifier et identifier le comportement représenté par le signal en analysant les caractéristiques du signal segmenté en comparant avec une base de données ou selon des critères de classification déterminés en fonction des conditions. Ainsi, la présente invention concerne une méthode d'analyse des conditions de forage et/ou du comportement d'un élément d'une garniture de forage comportant un outil de forage entraîné en rotation. la méthode comporte les étapes suivantes: - acquisition d'un signal par au moins un capteur placé dans ladite garniture de forage, 4 2720439 - on opère des moyens de calcul qui effectuent: un découpage du signal en segments de durée déterminée, la détermination des coefficients d'ondelette desdits segments par application d'une ondelette TempsFréquence sur au moins deux segments consécutifs, le regroupement des segments pour former au moins un segment homogène par l'utilisation d'un algorithme dit de "merging", - on opère des moyens de détermination d'au moins une grandeur associée à chaque segment homogène représentatif de conditions de forage et/ou du comportement d'un élément d'une garniture de forage. L'ondelette Temps-Fréquence peut être une ondelette de Malvar. L'algorithme de "merging" peut minimiser l'entropie des coefficients d'ondelette desdits segments. Deux segments consécutifs peuvent être regroupés lorsque l'entropie du regroupement des deux segments est inférieure à la somme des entropies de chacun des segments. i 5 Lesdits segments homogènes peuvent être décomposés en ondelettes Temps- Echelle par des moyens de calcul fournissant des coefficients d'ondelette de chaque segment homogène. L'ondelette Temps-Echelle appliquée peut être une ondelette de Morlet, orthogonale, biorthogonale, ou dyadique. On peut sélectionner des coefficients caractéristiques de chaque segment Les coefficients caractéristiques peuvent être les maxima locaux desdits coefficients d'ondelette. Les coefficients caractéristiques peuvent être les coefficients les plus énergétiques de chaque segment On peut effectuer une étape de quantification des coefficients à transmettre. On peut reconstruire au moins partiellement le signal d'origine à partir desdits coefficients. On peut effectuer une transmission des coefficients caractéristiques sélectionnés par des moyens de transmission appropriés. Les moyens d'acquisition, de calculs et de transmission peuvent être situés dans un même voisinage et la transmission peut avoir lieu entre lesdits moyens et la surface du sol. s 2720439 L'invention concerne également un système d'analyse des conditions de forage et/ou du comportement d'un éléments d'une garniture de forage comportant un outil de forage entraîné en rotation. Le système comporte: - des moyens d'acquisition d'un signal comportant au moins un capteur placé dans ladite garniture de forage, - des moyens de calcul qui effectuent un découpage du signal en segments dc durée déterminée, la détermination des coefficients caractéristiques d'ondelette desdits segments par application d'une ondelette Temps-Fréquence sur au moins deux segments consécutifs, le regroupement des segments pour former au moins un segment homogène par 1 0 l'utilisation d'un algorithme dit de "merging", des moyens de détermination d'au moins une grandeur associée à chaque segment homogène représentatif de conditions de forage et/ou du comportement d'un élément d'une garniture de forage. Dans le système, les moyens d'acquisition, de calculs, de détermination peuvent i 5 être dans le même voisinage, et le système peut comporter des moyens de codage et de transmission vers la surface du sol des coefficients caractéristiques desdits segments. La présente invention repose sur l'application à un signal de forage de la transformation en ondelettes connue sous le nom "ondelettes de Morlet" et de la 2 0 Transformation en Cosinus Locale ou "ondelettes de Malvar". On pourra consulter les ouvrages cités dans l'annexe jointe à la description o la théorie des ondelettes utilisée dans la présente invention est décrite: L'invention sera mieux comprise et ses avantages apparaitront clairement à la lecture de la description des exemples, nullement limitatifs, illustrés par les figures annexées dans lesquelles: - les figures 1A et lB montrent des moyens d'acquisition d'un signal de forage, - la figure 2 montre un exemple d'un signal de forage, - les figures 3A et 3B montrent la segmentation du signal de forage et la 3 0 matérialisation des coefficients caractéristiques de chaque segment, - la figure 4 montre une partie du signal reconstruit. 6 2720439 La figure lA montre de moyens d'acquisition et de transmission de signaux de forage. Ce moyen est décrit dans le document EP-0558379. La référence 2 désigne l'outil de forage descendu à l'aide de la garniture dans le puits 1. Des masses-tiges 3 conventionnelles sont vissées au dessus de l'outil. Le premier moyen de mesure est constitué par un raccord 4, généralement placé au-dessus de l'outil 2 o les mesures à proximité de l'outil sont plus intéressantes, notamment pour suivre la dynamique de l'outil. On pourra cependant, le placer au sein ou au sommet des masses- tiges, ou même au niveau des tiges de forage. La garniture de forage est complétée par des tiges conventionnelles 7 jusqu'au 1 0 raccord de suspension et de connexion 8. Au dessus de ce raccord, l'allongement du train de tiges se poursuit en ajoutant des tiges câblées 9. Les tiges câblées 9 ne seront pas décrites dans ce document, car elles sont connues de l'art antérieur, notamment par les brevets FR-2530876, US-4806115 ou la demande FR-2656747. 1 5 Un deuxième moyen de mesure placé dans un raccord 10 est vissé sous la tige d'entraînement 11 ou "kelly". Les ajouts de tiges câblées se faisant alors sous ce raccord 10. Au-dessus de la tige d'entraînement 10 se trouve un raccord électrique tournant 12, lequel est électriquement connecté à l'installation de surface 13 par un câble 14. Dans le cas o l'appareil de forage est équipé d'une tête d'injection motorisée, communément dénommée "power swivel", il n'y a pas de tige d'entraînement et le raccord de mesure 10 est vissé directement sous le raccord tournant 12, lequel se situe sous la tête d'injection motorisée. Le raccord de mesure 4 comporte un connecteur mâle 6, dont les contacts sont reliés aux capteurs de mesure et à l'électronique associée incluse dans le raccord 4. Un câble 5, équivalent à un câble de diagraphie différée, comporte à sont extrémité inférieure un connecteur femelle 15 adapté à coopérer avec le connecteur 6. L'autre extrémité supérieure du câble 5 est suspendue sur le raccord 8. Le raccord 8 est adapté à suspendre la longueur de câble 5 et à relier électriquement le ou les conducteurs du câble 5 avec la ou les liaisons électriques de la tige câblée immédiatement supérieure. La liaison électrique fournie 3 0 par les tiges câblées est référencée 16. Cette liaison électrique transite en 17 dans le deuxième raccord de mesure 10. Lorsque l'on utilise une tige d'entraînement 11, celle-ci est également câblées en comportant deux câbles électriques 18 et 19. L'un, 18, relie le deuxième raccord 10 aux 7 2720439 contacts tournant du raccord tournant 12, l'autre, 19, relie la ligne 17 à d'autres contacts tournant du raccord 12. Le raccord électrique tournant 12 peut comporter 12 pistes. Il est conçu pour respecter les normes d'antidéflagrance exigées dans l'environnement d'un plancher de forage. Le câble de surface 14 peut comporter au moins six conducteurs. Le raccord 4 est en général relié par un mono conducteur jusqu'à l'installation de surface 13. Les mesures et l'alimentation en énergie électrique transitent par la même ligne. Le moyen de mesure du raccord 4 comporte de préférence des capteurs pour 1 0 mesurer, seul ou en combinaison: - le poids sur l'outil, - le couple réactif à l'outil de forage, - les moments fléchissants suivant deux plans orthogonaux, - les accélérations suivant trois axes orthogonaux dont l'un est confondu avec l'axe 1 5 longitudinal de la garniture de forage, - les température et pression à l'intérieur et à l'extérieur de la garniture, l'accélération en rotation, - les composantes du champ magnétique. Les trois premières mesures peuvent être obtenues par des jauges de contraintes collées sur un cylindre d'épreuve. Elles sont protégées de la pression par un carter approprié. La conception et le montage de ce carter sont adaptés à éviter les erreurs de mesure dues aux rendements. Les accélérations sont mesurées par deux accéléromètres par axe afin de contrôler les erreurs induites par la dynamique de la rotation. Le dernier jeu de mesure est obtenu par des capteurs spécifiques montés dans une partie séparée du raccord. Le deuxième moyen de mesure du raccord de mesure 10 comporte de préférence, seul ou en combinaison, des capteurs de mesure de: 8 2720439 - tension, - torsion, - accélération axiale, - pression interne ou pression de refoulement aux pompes, - accélération en rotation. La conception de ce raccord de surface 10 n'est pas fondamentalement différente de celle du premier raccord, si ce n'est l'obligation de laisser libre un passage de boue disposé sensiblement coaxial à l'espace intérieur de la garniture pour permettre, si nécessaire, le transfert d'un outil à l'intérieur de la garniture. 1 0 Dans une variante du système d'acquisition, une haute fréquence de transmission des mesures est obtenue par des liaisons électriques constituées par le câible 5, la ligne 16 et 17, et le câble de surface 14. Certains capteurs de fond qui ne nécessitent pas d'échantillonnage haute fréquence, pourront transmettre leurs mesures par d'autres voies, par exemple onde de pression ou onde électromagnétique. 1 5 Le raccord 4 peut comporter l'électronique nécessaire pour compacter l'information fournie par au moins un signal de forage. Les coefficients caractéristiques de segments de signal peuvent être alors transmis soit par le conducteur électrique du dispositif de la figure 1, soit par onde de pression ou onde électromagnétique ou par tout autre moyen de transmission adaptés. Egalement le raccord 4 peut comporter les moyens électroniques de segmentation automatique en segments homogènes, et des moyens de sélection des segments caractéristiques d'un comportement du forage déterminé, comportement qui sera porté à la connaissance de l'opérateur après transmission à la surface des coefficients caractéristiques. La figure lB montre une installation de forage conventionnelle dans laquelle on a 2 5 incorporé aux masses-tiges un raccord de mesure 4 qui enregistre au moins un signal de forage, une installation électronique 20 comportant les moyens de compaction du signal une installation 21 de codage et de transmission à la surface des coefficients caractéristiques du signal. La transmission peut être par ondes de pression dans la colonne de fluide à l'intérieur de la garniture de forage. Un capteur de pression 22 placé sur la conduite d'injection 23 de surface transmet les ondes de pression à une installation de traitement de surface qui: 9 2720439 décode les ondes de pression pour obtenir les coefficients caractéristiques. L'installation de surface peut identifier le comportement en fonction d'une base de données ou des consignes particulières, ou reconstruire le signal pour donner par exemple des mesures analogiques i l'opérateur. La figure 2 montre un exemple de signal de forage en fonction du temps t. La figure 3A montre la segmentation du signal obtenue par une méthode préférentielle selon l'invention. 1i0 Le segment 30 homogène sur lequel on a appliqué les ondelettes, fournit sur la figure 3B la représentation 31 de lignes verticales qui matérialisent les coefficients caract&éristiques des segments homogènes. La figure 4 illustre la reconstruction du segment 30 à partir de certains coefficients matérialisés par les lignes 31. ANNEXE La présente invention repose sur l'application à un signal de forage d'une transformation en ondelettes temps-échelle et d'une transformation en ondelettes temps- fréquence. Les ouvrages suivants fournissent un complément d'informations et de plus amples développements à propos des concepts manipulés: 2 5 (1) R Coifman, V. Wickerhauser, "Entropy-based Algorithms for Best Basis Selection", IEEE Transactions on Information Theory. Vol. 38, N 2, March 1992. (2) M. Holschneider, R. Kronland-Martinet, J. Morlet, Ph. Tchamitchian, "A Real Time Algorithm for signal Analysis with the Help of Wavelet Transform", in Wavelets, Tmune-Frequency Methods and Phase Space, J.M. Combes, A. Grossmann and Ph. Tchamitchian, eds. Berlin: Springer, lTPI 1989 pp. 286-297. (3) H. Malvar, "Lapped Transforms for Efficient Transform/Subband Coding". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 38:969-978, 1990. (4) J. Morlet, A. Grossmann, "Reading and Understanding Continuous Wavelet Transform". (5) K. R. Rao, P. Yip, "Discrete Cosinus Transform", Academic Press, New York, 1990. L'utilisation des techniques d'ondelettes peut être vu comme une alternative par rapport aux méthodes basées sur la transformation de Fourier. Ces dernières montrent en effet leurs limites quand il s'agit d'étudier des phénomènes non stationnaires (début ou fin d'évènements, ruptures, modulations...). La transformation de Fourier présente la particularité de délocaliser l'information le long de la variable temporelle, ce qui peut se révéler très pénalisant dans l'étude d'un signal non stationnaire. Car c'est principalement dans les parties non stationnaires que se trouve l'information pertinente. Ces parties sont en général limitées dans le temps, mais possèdent un large spectre fréquentiel. Tout l'apport des ondelettes sera donc de permettre une étude plus localisée du signal tant en variable 1 5 temporelle qu'en variable de Fourier. Une transformation en ondelettes consiste en la décomposition d'un signal sur des fonctions qui vibrent comme des sinusoïdes sur une certaine plage de temps et qui s'amortissent très fortement en dehors. Une telle analyse se construit à partir d'une fonction (x) appelée ondelette mère ou ondelette analysante, vérifiant la définition suivante: Définition 1: Une fonction y à valeur dans R ou dans C est une ondelette si elle est à support compact (ou à décroissance rapide à l'infini) et si elle vérifie la condition essentielle suivante: Il'' V(x)dx = O (1) Dans le calcul de la transformée, il n'y a pas de multiplication par des sinus ou des cosinus (comme dans les méthodes dérivées de la transformation de Fourier). A partir de l'ondelette mère, on génère par translations et par dilatations une famille d'ondelettes ab(=x)=a-l/2 /t (-) a>0,- Ces ondelettes sont les éléments de base qui serviront à la construction de l'analyse. Le paramètre a donne la largeur moyenne de l'ondelette et le paramètre b sa position. Les coefficients d'ondelette d'une fonction f(x) de la variable réelle x, ou d'un signal s(t) (t étant 3 5 une variable temporelle) sont les produits scalaires définis par la formule: 1i 1i 2720439 Wf (ab) = 0,- e Une transformation en ondelette consiste donc en un filtrage de f par des filtres passe- 1 0 bande de réponse impulsionnelle va. Soit Ki, = | P( > do. Dans le cas o K K-l joue le rôle de coefficient normalisateur. L'analyse en ondelettes fournit donc un outil pour mesurer les fluctuations locales d'une fonction f, autour d'un point b, à une échelle a en même temps qu'une méthode de reconstruction à partir de ces coefficients de fluctuation. La transformée en ondelettes, par sa définition même, est plus une représentation temps-échelle que temps-fréquence. Cependant, puisqu'elle est identifiable à un filtrage passe-bande, la transformée en ondelettes peut généralement admettre une interpr6tation temps-fréquence en considérant que la variation du paramètre d'échelle a permet d'explorer l'axe des fréquences. C'est en particulier le cas pour des ondelettes "raisonnablement" localisées en fréquence autour d'une valeur vo. Il existe alors la possibilité d'une interprétation temps-fréquence, moyennant l'identification formelle v = vo0a. 0.1 Utilisation La formule de la version continue de la transformation en ondelettes donnée par l'équation (2) ne peut être utilisée directement pour réaliser une implémentation. En général l'analyse d'un signal se fait sur un nombre d'échelles qui varie entre 8 et 12 octaves. Le 3 5 procédé nécessite donc l'utilisation d'un algorithme rapide pour réduire la complexit6 des opérations et rendre les calculs envisageables. De tels algorithmes sont réalisés à partir de versions discrètes de la transformée en ondelettes. Mais, il existe différentes manières d'envisager cette discrétisation qui dépendent essentiellement de la façon dont sont traitées les variables temporelle et d'échelle. "L'algorithme à trous" décrit dans ce document utilise par exemple la version discrète: m S(n,m) = &ao 2 Z s(k5)g(ao-m(k - n)8) (4) k 8 étant l'inverse de la fréquence d'échantillonnage du signal. Cet algorithme, en réduisant la 1 0 complexité des convolutions (mesurée par la taille du filtre par lequel on convolue) à l'aide de factorisation, permet l'utilisation efficace de la discrétisation (4). En étudiant la structure de pavage du plan associée à la transformée en ondelettes, on s'aperçoit que cette dernière est d'autant plus serrée en temps que le point d'évaluation est à 1 5 plus haute fréquence, l'utilisation d'une grille non uniforme: ( (t,a) = (ntoa", a:); to > O, ao > O;n,m e Z} permet de définir la transformée en ondelettes discrète par: Dx [n,m] = a/2 Jf f(s) y (a s - n 8 t)ds; n,m e Z Le choix ao = 2 correspond à une décomposition en échelle dyadiques (une série de 2 0 coefficient par octave). En résumé, l'analyse d'un signal se fera selon le schéma suivant: acquisition du signal de forage; - application de l'algorithme de décomposition, - fixer le pourcentage des coefficients les plus forts à prendre en compte lors de la reconstruction; - retrouver le signal original avec la formule de transformation inverse à partir des coefficients sélectionnés. 0.2 L'algorithme à trous Voici une brève présentation d'un des algorithmes implémentant une transformation en continue. Cet algorithme appelé algorithme à trous repose sur le principe suivant: dans le 3 5 calcul des coefficients, on remplace l'ondelette analysante g par une autre ondelette, construite à partir de la précédente par interpolation (grâce à un filtrage) entre des points 1 3 2720439 constituant l'échantillonnage initial de g. Cette méthode ne peut être réalisée en pratique que grâce à une simplification des produits de convolution à calculer. Soient D et I les opérateurs de dilatation et d'inversion. La transformation en ondelettes d'un signal s par rapport à une ondelette g(t), peut s'écrire sous la forme du produit de convolution suivant: Sa = S(.,a) = Kgas avec ga = DaIg (5) Considérons l'opérateur d'échantillonnage P, qui à une suite s(t) t e R associe la 1 O suite s(n) n e Z. A partir de l'équation (5), on peut alors écrire: Sa = Kgas avec cette fois ga = PDaI g (6) Les itérations du calcul font que l'on doit disposer d'un échantillonnage de la dilatée de l'ondelette de départ. Pour réduire la complexité des convolutions avec les ondelettes 1 5 dilatées on les factorise en convolutions avec des filtres plus petits. Cette opération est réalisée de la manière suivante: - Construction d'un opérateur O tel que On Pg=P(D2)ng, n e N. (7) mite fonction sue suite Prendre O = D2 donc (D2g)(n) = 0 pour tout n impair. Il sera plutôt appliqué une procédure d'interpolation (pour plus de détails se reporter ià la bibliographie), avec l'opérateur O = D2 + TD2KF, donnant des valeurs non systéma- tiquement nulles aux positions impaires. 3 0 - Simplification des convolutions La convolution par (On.g) est factorisée en convolutions plus simples Kon = t"KR.KF,....KF. avec a = 21/2 et 3 5 gn = (t -ID2)ng Fi+l = (a -ID2)Fi A partir du résultat précédant, le calcul de la transformée sur N octaves se fait alors selon le schéma suivant: Sa=l = Kgs (octave O) F =1+T(a'-D2)F XI= aKJs g, = a-D2g S= = K, XI (octave 1) F2 = a'D2F1 X2 = aKFXI 1 0 g, = a-'D2g, S.=22= K2 X2 (octave 2) 1 5 FN = a-'D2FNI, XN = aKFNXN-, gN= a'D2gN-1 Sa=2" = Ki, XN (octave N) La transformée sur plusieurs voix Dans ce cas, une restriction de S(b, a) à un ensemble de valeurs discrètes du parambre d'échelle a sera considérée. Une telle restriction S(b,ai) est appelée une voix. Deux voix consécutives forment un rapport constant ai / ai+l. La situation la plus répandue étant celle o aj = ao2ij/nV = 2no+k/nv, le nombre entier nv définissant le nombre de voix par octave, j le numéro de la voix dans l'analyse, no le numéro de l'octave et k le numéro de la voix dans l'octave. Il s'agit donc des valeurs intermédiaires prises pour passer de a = 2J à a = 2J+1. Une division en 12 voix par octave semble être satisfaisante pour approcher la continuité sur l'axe des échelles (par analogie avec les distributions tempérées). 3 0 Puisque l'on veut considérer nv voix dans chaque octave, l'imrnplémentation se fait en superposant nv versions de l'algorithme correspondant à nv ondelettes différentes (des versions dilatées de rondelette de départ). En effet, les rapports entre les ai étant constants, le rapport entre la kième voix de l'octave Oi et la kieme voix de l'octave Oj sera le même que celui entre nième voix de l'octave Oi et la nième voix de l'octave Oj. On calculera donc 3 5 r'ondelette pour les nv premières dilatations (correspondant donc aux nv voix de l'octave 0), et on appliquera alors le schéma précédent avec à chaque fois une ondelette de départ, gv, différente définie par: 1 5 2720439 _-2 g(t) = t E [Maxi,,Mini] Soit [Inf -Wave, Sup-Wave] l'échantillonnage de base de l'ondelette, c'est-à-dire l'intervalle sur lequel varie t quand on calcul g(t). Alors les intervalles d'échantillonnage [Maxiv,Miniv] pour les versions dilatées seront calculées de la manière suivante: a. Calcul de Maxiv: 2 v-1/nv x Inf -Wave b. Calcul de Miniv: 2 v-1/nv x Inf -Wave c. Définition des points de calcul de l'ondelette: Soit fe la fréquence d'échantillonnage du signal à analyser, posons Freq = fe/2 (c'est la 1 0 fréquence maximale analysée). Alors l'ondelette sera calculée aux points t =jaa/fe avec a = 2v- 1/nv, j étant un point de l'intervalle d'échantillonnage (c'est-à-dire que j varie de Mini à Maxi), et 8 = 2coJFreq. En effectuant une transformation en ondelettes, on passe d'un signal unidimensionnel 1 5 s(t) à un signal bidimensionnel S(n,m). C'est-à- dire une suite de signaux unidimentionnels (une suite de coefficients pour chaque valeur du paramètre de dilatation). La lecture de ces signaux peut se révéler très difficile si on ne dispose pas d'un mode de représentation approprié. Dans le but de faciliter l'interprétation des résultats obtenus, les coefficients ne seront pas directement utilisés en tant que tels. On choisira, par exemple, de les considérer comme les pixels d'une image indexées par les paramètres n (paramètre temporel) et m (paramètre d'échelle). Les petites échelles, représentant les hautes fréquences, se trouvent en haut de l'image et les grandes échelles, pour les fréquences plus basses, sont en bas de l'image ('article [4] apporte plus de précisions quant à l'interprétation de ces images). Le passage d'un coefficient de la transformée à un niveau de gris se fait en projetant l'intervalle (Coeff_Min, Coeff_Max] dans [0,255]. L'introduction d'un coefficient de saturation est parfois nécessaire pour pouvoir exploiter parfaitement les images obtenues. Cette image possède donc autant de colonnes qu'il y a de points dans le signal de départ, ce qui facilite d'autant l'interprétation. En effet, il suffit de juxtaposer l'image et le signal pour se faire une idée des comportements en jeux. Pour chaque signal, on obtient donc une image représentant les analyses aux différentes échelles. L'interprétation est beaucoup plus simple puisque l'on dispose de toute l'information directement sur l'image. De plus, cette image permet de se faire une première 1 6 2720439 idée du signal que l'on doit traiter et de donner une première appréciation quant à sa caractérisation. 1 Ondelettes temps-fréquence L'analyse temps-échelle (encore appelée algorithme multirésolution) repose sur l'utilisation d'une gamme étendue d'échelles pour analyser le signal. Et, bien qu'elle soit interprétable d'un point de vue fréquentiel, elle n'offre pas une très grande précision dans ce domaine. Pour palier cet inconvénient, nous présentons une seconde méthode d'analyse conduisant directement à un algorithme de segmentation et reposant sur l'utilisation d'ondelettes temps-fréquence appelées ondelettes de Malvar. L'analyse par les ondelettes de Malvar s'inscrit dans le cadre général de la transformée de Fourier à fenêtre. Les ondelettes de Malvar permettent de réaliser une analyse fréquentielle locale du signal, tout en minimisant les artefacts qui accompagnent généralement de tels algorithmes. 1.1 Description de l'algorithme Cette méthode prend appuie sur la transformée en cosinus locale d'un signal ou "ondelettes de Malvar". Elle permet de disposer d'une représentation spectrale inversible, autorisant une reconstruction parfaite, ainsi qu'un outil de compression de données très efficace. Soit R = U ij une partition de la droite réelle. j e Z Avec Ij = [ajaj+l [ un intervalle de longueur supérieure ou égale à ú (e > 0 fixé). Soit bj la fenêtre suivante: (3 (ô=9i) te[a, -r,a, +r a r) I t E [a, + r,a,+l -4 bj=3 5) t E [a,+ - raj+, + O t E]- oo,a, - r] u [a,,, + r,+oa[ 1 7 2720439 /r /r if avec 5(t) = sin ([ - (1 + sin( - t)] et r 4 2 E La famille de fonctions suivante: Ml= bj(t) -cos(- (k + -)(t - aQ)) 717Aj VA 2 avec j E Z, k EN est alors une base orthonormale de L2(R). Cela signifie que tout signal S(t) e L2(R) peut s'écrire: S(t)= cki tl(t) avec c = (S(t),.tt(t)) (8) et IS(t)A2 = 2 J;z &&N 1 5 Cette décomposition offre une représentation spectrale complète et non redontante. La suite des coefficients c*= (S(t),'P(t)) pour keN, étant le spectre local dc S sur l'intervalle Ij. Il est possible de calculer plusieurs transformées locales en même temps, en divisant les intervalles par deux récursivement. Les fonctions de bases pour chaque intervalle sont la somme directe des bases des deux sous-intervalles. Le produit de convolution (8) peut êtrc calculé en utilisant une transformée en cosinus rapide. Ce calcul est précédé d'une étape appelée "repliement" (ou "folding"). Soient sin(Ir(1 +sin( It))) si -1 4 2 f(t)= 0 si t 1 et (f(t ai) si a -r aj+l 1 8 2720439 L'opérateur suivant: UJS(t) = 2 fj(t)S(t) + Fj(2aj - t)S(2aj - t) si aj t est appelé opérateur de folding. Appliquer cet opérateur à un signal S(t) revient à lui associer un ensemble de signaux Sj(t) eL2(Ij), j EZ tel que: 1 0 UjS(t) si t E [aj, aj + r] Sj(t) = S(t) si t E [aj + r, aj+l - r] Uj+IS(t) si t E [aj+l - r, aj+l] Posons 0*(t) v= -cos(- I (k + 2) (t- aj))lj(t) (o lj(t) est l'indicatrice de l'intervalle k TVAr Vil 2 1 5 Ij), les {0}k EN, appelés ondelettes de Malvar, étant une base orthonormale de L2(Ij) alors: Sj(t)= ci0 (t) Les coefficients c, = (Sj(t),0 (t)) forment donc un spectre local sur Ij. De plus, ce spectre local sur Ij peut être représenté dans la base des {VI (t)}kEN, on a l'égalité suivante: ci = (Sj(t),0j(t)) = (S(t) (t)) Donc, appliquer la transformée en cosinus aux Sj(t) revient à calculer tous les produits de convolution avec les fonctions 'IF. L'opération de repliement permet de prendre en compte les bords en évitant les biais 3 0 des recouvrements dans le calcul de la transformée, ou l'apparition dans l'analyse de discontinuités qui ne seraient pas imputable au signal mais aux cassures brutales imposées par des fenêtres insuffisament douces. De manière réciproque, on peut définir l'opération de "dépliement" (ou unfolding) qui entre en jeu lors de la reconstruction. Soit S(t) un signal donné, on commence par réaliser un "repliement" aux bords (on obtient ainsi SO(t). Puis de façon récursive au centre du signal obtenu (on replie en quelque sorte le signal sur lui-même). A chaque niveau, on associe donc à S(t) un ensemble de fonctions {S, (t)}sachant que: {S(t)} E L2 (il) donne au niveau suivant S2i'(t)E L2 t.l z 2 {;tl S'(et)E L2(1l2;) et S2j 2 '+ (t), L (1 étant le niveau dans la décomposition). 1 0 Il est alors possible de calculer la transformée (par l'algorithme classique DC- -IV) pour chaque S ce qui donne les spectres locaux d ' correspondants. Un résultat important est le suivant: IS12= 2 IS - sl2 def SIl2; Isjf = pll 2 k Ce qui signifie qu'il y a conservation de l'énergie. 1.2 La segmentation adaptive L'algorithme de Malvar n'effectue pas une segmentation, il décompose le signal sur une fenêtre de taille donnée. Il peut être intéressant d'adapter la fenêtre aux caractéristiques locales du signal (fenêtres larges pour les zones stationnaires, et courtes pour les transitions) en utilisant un algorithme de croissance des fenêtres par regroupement. Cette modification s'effectue en agissant sur les valeurs (aj) qui servent à définir les segments Ij. La modification élémentaire consiste à réunir deux intervalles [aj-l,aj] et [aj,aj+l] en supprimant le point aj, les autres restant inchangés. L'utilisation de cette procédure de regroupement (ou "merging") nécessite 3 0 l'introduction d'un critère de décision permettant de chiffrer le coût de l'opération et donc l'intérêt de la réaliser. Soit (xk} une suite de 12 on appelle entropie spectrale de {xk:} 3 5 H(x) =- g loglx-= r (x) loglr 2720439 avec A(x) =-efrlogkfr Alors exp(H(x)) = 14 exp ((X) est la dimension théorique de la suite {Xk}. L'entropie permet de mesurer le nombre de termes significatifs dans la décomposition. Cette valeur constitue un critère intéressant pour évaluer le coût d'un regroupement Bien évidement, ceci n'exclut pas l'utilisation d'autres critères pouvant conduire aux mêmes résultats. L'algorithme de segmentation utilise une procédure de "recherche de la meilleure base" parmi une famille de bases orthonormées de L2(R). Ces bases sont obtenues à partir d'une segmentation arbitraire de l'axe temporel en intervalles dyadiques. Ces intervalles sont constuits dans une dynamique "fine to coarse". On part d'une base arbitraire (associée à une 1 5 segmentation du signal) comprenant 21 segments.On calcule le spectre local dans chaque intervalle. La dynamique consiste à supprimer certains points utilisés dans la segmentation et à remplacer deux intervalles dyadiques contigus Il et I2 par l'intervalle dyadique I = Il uI2. Et on poursuit récursivement l'opération. Par exemple, supposons que la segmentation la plus fine (arbitraire) de l'intervalle I soit l' = [a',a]u...ual'_l,a,']. On calculera donc le spectre local sur les intervalles I=- [aj,a,.,]. Et on fera de même avec/- = u,=1[a1_,,a1+,] jusqu'à 10=I. Une fois cette opération effectuée, l'algorithme de recherche de la meilleure base peut être appliqué. $ Recherche du spectre local adapté par minimisation de l'entropie On dispose: d'une partition temporelle sur plusieurs niveaux m = 0,1,...,.maxl et [0,2N] = U Ij' Osj d'un spectre local pour chaque intervalle I au niveau 1: ci = c:0 k cj = cM _. 2 1 21 i 2720439 La procédure récursive de division des intervalles en deux implique que JI =2 x I Le spectre local adapté est obtenu par l'algorithme de minimisation de l'entropie présenté ci- dessous: initialiser avec le spectre local au niveau le plus bas (maxl): a, = c1(Rq:m = 0 = 1 = maxl) -calculer a, comme suit: a' = c, si H(c") pour m = 1,.-.,maxl. I 5 La division de l'intervalle temporel correspondant à ce spectre adapté est appelée: partition temporelle adaptée. 1.3 Utilisation Selon l'invention, le signal S(t) est un "signal de forage", échantillonné sur un intervalle de temps [0,Tj]. D'après les résultats précédents, nous savons que chaque Sj(t) e L2 (Ij) peut être décomposé sur une base orthonormale d'ondes élémentaires: 2 5 Sj(t)= 'ci0j(t) osk S(t) S(t) DCT-IV DI- SN- (t) Cctr-V)c_1. "r-tv > SN-I(t) 22 2720439 Chaque coefficient ci donne l'amplitude de l'onde élémentaire qui lui est associée. À7 Ir 1 Cette onde étant de période: Tk = avec oc: - (k + -), sa fréquence est donc: k+1 Fk = tk = 2 La fréquence d'échantillonnage étant, on a 0 théoriquement contenir la même fréquence maximale. * Dans un segment donné, on étudie alors de manière plus précise le spectre des fréquences. On détermine d'abord l'index de la composante spectrale la plus importante: Cko-= m 1 5 La fréquence Fko associée à ko est appelée fréquence fondamentale. Ayant déterminé cette valeur, on supprime (en les mettant à zéro) tous les coefficients se trouvant dans son voisinage fréquentiel (i.e. tous les ck tels que I ko - k I réitère l'opération. La recherche des fréquences fondamentales associée à un intervalle donné se déroule donc de la manière suivante: 1. Rechercher dans la suite {ck la valeur ki à l'aide de la relation (9) 2. Poser ck = 0 si 1 ki - k I 2 5 3. Retourner en (1) tant qu'il y a des coefficients non nuls ou tant que l'on a pas épuisé x% des coefficients les plus forts (Dans le deuxième cas, on élimine ainsi les "pica" les plus bas). Il faut noter que les coefficients ck tels que I k - ki I associé à une fréquence fondamentale Fkj. 23 2720439 Mi fi = M E, k=k +v k=k +v i i avecE= i C2 etM= M kc2 k=k.-v k=k -v i i Pour chaque intervalle, on peut donc avoir une liste { # i, Ei pour les fréquences les plus énergétiques. Cette donnée entre alors dans la caractérisation des intervalles. 1.4 Résumé 1 0 1.4.1 analyse du signal La méthode de segmentation peut donc comprendre les étapes suivantes: Définir la taille minimale d'un intervalle dans la décomposition ou le nombre maximum de niveaux (maxl) (Sachant que 1ol = 2N-max/). - Prétraitement du signal à chaque niveau (1 = 0,...,.maxl) S(t) PODMs:(I),...,S; (t)} par l'opérateur de "folding". - Calculer le spectre local à chaque niveau: {S (),...,S.(t)} - c(),..-c2 (t)} en utilisant la DCT-IV. - Selection du spectre local adapté par minimisation de l'entropie, et "calcul" de la partition temporelle adaptée correspondante. - Réalisation d'une partition définitive en comparant les intervalles de la partition temporelle adaptée sur les critères suivants: - la fréquence fondamentale (et les fréquences principales), - les centres de masse (ou centres de fréquence), - les dimensions théoriques des segments, - autocorrélation, covariance... Un comportement donné peut être caractérisé par des valeurs particulières pour ces différents paramtres. On peut ainsi connaître de manière précise un segment quelconque. Ce procédé permet donc la segmentation du signal en partie les plus homogènes possibles, chaque segment pouvant être associé à un vecteur de paramètres facilement manipulable. 1.4.2 Synthèse La segmentation peut être suivie des étapes: - Reconstruire le signal prétraité à partir de la partition temporelle adaptée en utilisant la DCT-IV. - Reconstruire le signal original à l'aide de l'opérateur "unfolding". 1.4.3 Compression La reconstruction du signal peut se faire, par exemple, à partir de 5% des coefficients 1 5 les plus énergétiques de chaque intervalle de la partition temporelle adaptée (voir la méthode de recherche des fréquences fondamentales pour la sélection des fréquences les plus énergétiques). oe DC-I/V ai t SO(t) a' DCr-Iv S (t))óo)S(t) a,' DCT-lV SN l(t) 2720439 REVENDICATIONS 1) Méthode d'analyse des conditions de forage et/ou du comportement d'un élément d'une garniture de forage comportant un outil de forage entraîné en rotation, caractérisée en ce qu'elle comporte les étapes suivantes: acquisition d'un signal par au moins un capteur placé dans ladite garniture de forage, - on opère des moyens de calcul qui effectuent: un découpage du signal en segments de durée déterminée, la détermination des coefficients d'ondelette desdits segments par application d'une ondelette Temps-Fréquence sur au moins deux segments consécutifs, le regroupement des segments pour former au moins un segment homogène par l'utilisation d'un algorithme dit de "merging", i 5 - on opère des moyens de détermination d'au moins une grandeur associée i chaque segment homogène représentatif de conditions de forage et/ou du comportement d'un élément d'une garniture de forage. 2) Méthode selon la revendication 1, caractérisée en ce que ladite ondelette Temps- 2 0 Fréquence est une ondelette de Malvar. 3) Méthode selon l'une des revendications 1 ou 2, caractérisée en ce que ledit algorithme de "merging" minimise l'entropie des coefficients d'ondelette desdits segments. 2 5 4) Méthode selon la revendication 3, caractérisée en ce que deux segments consécutifs sont regroupés lorsque l'entropie du regroupement des deux segments est inférieure à la somme des entropies de chacun des segments. ) Méthode selon l'une des revendications 1 à 4, caractérisée en ce que lesdits 3 0 segments homogènes sont décomposés en ondelettes Temps-Echelle par des moyens de calcul fournissant des coefficients d'ondelette de chaque segment homogène. 26 2720439 6) Méthode selon la revendication 5, caractérisée en ce que ladite ondelette Temps- Echelle appliquée est une ondelette de Morlet, orthogonale, biorthogonale, ou dyadique. 7) Méthode selon l'une des revendications 1 à 6, caractérisée en ce que l'on sélectionne des coefficients caractéristiques de chaque segment. 8) Méthode selon la revendication 7, caractérisée en ce que lesdits coefficients caractéristiques sont les maxima locaux desdits coefficients d'ondelette. 1 0 9) Méthode selon la revendication 7, caractérisée en ce que lesdits coefficients caractéristiques sont les coefficients les plus énergétiques de chaque segment. ) Méthode selon l'une des revendications 1 à 9, caractérisée en ce que l'on effectue une étape de quantification des coefficients à transmettre. 11) Méthode selon l'une des revendications 1 à 10, caractérisée en ce que l'on reconstruit au moins partiellement le signal d'origine à partir desdits coefficients. 12) Méthode selon la revendication 7, caractérisée en ce qu'on effectue une transmission des coefficients caractéristiques sélectionnés par des moyens de transmission appropriés. 13) Méthode selon la revendication 12, caractérisée en ce que les moyens d'acquisition, de calculs et de transmission sont situés dans un même voisinage et en ce que 2 5 la transmission a lieu entre lesdits moyens et la surface du sol. 14) Système d'analyse des conditions de forage et/ou du comportement d'un éléments d'une garniture de forage comportant un outil de forage entraîné en rotation, caractérisé en ce qu'il comporte: - des moyens d'acquisition d'un signal comportant au moins un capteur placé dans ladite garniture de forage, 27 2720439 - des moyens de calcul qui effectuent un découpage du signal en segments de durée déterminée, la détermination des coefficients caractéristiques d'ondelette desdits segments par application d'une ondelette TempsFréquence sur au moins deux segments consécutifs, le regroupement des segments pour former au moins un segment homogène par l'utilisation d'un algorithme dit de "merging", - des moyens de détermination d'au moins une grandeur associée à chaque segment homogène représentatif de conditions de forage et/ou du comportement d'un élément d'une garniture de forage. 15) Système selon la revendication 14, caractérisé en ce que lesdits moyens d'acquisition, de calculs, de détermination sont dans le même voisinage, et en ce que ledit système comporte des moyens de codage et de transmission vers la surface du sol des coefficients caractéristiques desdits segments.