FR 2683000 A1 19930430 FR 9113531 A 19911023 -1 - Machine volumétrique à mouvement planétaire et géométrie hvpertrochoidale. L'invention concerne une machine volumétrique comprenant un capsulisme cylindrique constitué essentiellement d'un piston cylindrique (organe mâle), d'une capsule cylindrique qui l'entoure (organe femelle) et d'un arbre coudé dont les axes sont parallèles à ceux des cylindres définissant la forme du piston et de la capsule, en liaison rotonde avec ce piston et cette capsule. Dans ces machines, le cylindre définissant la forme du piston présente un ordre de symétrie par rapport à son axe égal à si, celui de la capsule un ordre de symétrie égal à sc; sp et s C sont choisis de telle sorte que ces valeurs diffèrent d'une unité En outre, la géométrie du piston et de la capsule sont choisies pour qu'il y ait contact direct entre ces éléments. On connaît de nombreuses machines volumétriques à mouvement planétaire conformes à cette description On peut citer15 essentiellement les machines qui sont décrites dans l'article PROJEKTIEREN DER ZYKLOIDENVERZAHNUNGEN HYDRAULISCHER VERDRAENGERMASHINEN paru dans MECHANISM AND MACHINE THEORY VOL 25 Na 6 1990. On observera que, dans ces machines à mouvement planétaire, pour imposer une valeur de s différente de l'unité, l'axe du cylindre définissant la forme extérieure du piston doit être confondu avec l'axe de sa liaison rotonde avec l'arbre coudé, l'axe de ce cylindre étant parallèle à l'autre axe de l'arbre coudé De même, pour imposer une valeur de s C différente de l'unité, l'axe du cylindre définissant la forme intérieure de la capsule doit être confondu avec l'axe de sa liaison rotonde avec l'arbre coudé, l'axe de ce cylindre étant parallèle à l'autre axe de l'arbre coudé Lorsque s. est égal à un, l'axe du cylindre définissant la forme extérieure du piston peut être choisi arbitrairement, à condition d'être parallèle à l'un des axes de l'arbre coudé Lorsque sc est égal à un, l'axe du cylindre définissant la forme intérieure de la capsule peut être choisi arbitrairement, à condition d'être parallèle à l'un des axes de l'arbre coudé Lorsque sp et sc sont tous les deux différents de l'unité, chaque axe des cylindres définissant la forme du piston et de la capsule est parallèle à l'axe de l'arbre coudé avec lequel il -2- n'est pas en liaison rotoïde. Les machines volumétriques à mouvement planétaire qui sont décrites dans l'article cité ci-dessus se distinguent des machines conformes à l'invention par la géométrie de la capsule et celle du piston En effet dans ces machines connues, soit le piston, soit la capsule a une directrice qui est une hypotrochoide ou une épitrochoide raccourcies, ou une courbe uniformément distante d'une hypotrochoïde ou d'une épitrochoïde non allongées (c'est-à-dire ordinaires ou raccourcies) Toutes ces courbes n'ont qu'un ou deux paramètres de10 forme qui ne peuvent être choisis qu'entre des limites rapprochées Elles ne permettent pas de satisfaire à toutes les contraintes technologiques, comme on le souhaite dans les machines modernes. Par opposition, les machines objet de l'invention ont une géométrie beaucoup plus riche en paramètres de forme et dans certains cas présentent des avantages technologiques qui en facilitent la réalisation Conformément à l'invention, l'un des organes mâle ou femelle a une directrice Dl qui s'identifie à une courbe uniformément distante d'une hypertrochoide fermée, ne présentant ni20 point double ni point de rebroussement, en excluant les hypertrochoides dégénérées en hypotrocholdes, épitrocholdes ou péritrochoides Il est clair que tout en restant dans le cadre de l'invention, la directrice D 1 peut également être à distance nulle d'une telle hypertrochoïde et par conséquent s'y identifier La25 définition des hypertrocholdes est précisée dans le brevet FR 7336639. L'autre organe des machines objet de l'invention a une directrice D 2 qui est l'enveloppe de Dl dans un mouvement planétaire relatif défini par deux cercles C 1 et C 2 de centres et de rayons respectifs ( 1, Rl) et ( 02, R 2), ces cercles R 1 et R 2 étant respectivement solidaires des directrices Di et D 2 et roulant l'un sur l'autre sans glissement par contact intérieur, 10102 I précisant l'entraxe de l'arbre coudé. Les machines conformes à l'invention peuvent être groupées en quatre familles selon la nature de l'organe dont la forme est définie par Di et selon les valeurs comparatives des rayons R 1 et R 2 Il y a 37 lieu de distinguer: -3- Les machines pour lesquelles Di est la directrice du piston et D 2 est la directrice de la capsule, celle-ci s'identifiant à l'enveloppe extérieure de Di dans le mouvement planétaire de Di relativement à D 2 pour lequel Ri= s PE et R 2 =sc E=(sl,+)E avec 5 E = 10102 I (famille I). Les machines pour lesquelles D 1 est la directrice du piston et D 2 est la directrice de la capsule, celle-ci s'identifiant à l'enveloppe extérieure de Dl dans le mouvement planétaire de Dl relativement à D 2 pour lequel R,= sp E et R 2 =sc E=(sp-l)E avec10 E = 101021 et sp>l (famille Il). Les machines pour lesquelles Di est la directrice de la capsule et D 2 est la directrice du piston, celle-ci s'identifiant à l'enveloppe intérieure de Di dans le mouvement planétaire de Di relativement à D 2 pour lequel R 2 = s E et Rl=s O E=(s,-l)E avec E = 11 2 | et sp>l15 (famille III). Les machines pour lesquelles Dl est la directrice de la capsule et D 2 est la directrice du piston, celle-ci s'identifiant à l'enveloppe intérieure de Di dans le mouvement planétaire de Di relativement à D 2 pour lequel R 2 =sp E et R, =sc E=(sp+ 1)E avec E = 10102 I20 (famille IV). Il est clair que d'autres machines conformes à l'invention peuvent être dérivées des machines appartenant à l'une des quatre familles précédentes En effet, on peut utiliser une directrice D 2 dont une partie au moins s'identifie à l'enveloppe de Di dans son mouvement25 relatif à D 2 et dont une partie au moins est extérieure à cette enveloppe dans le cas des familles I ou II et est intérieure à cette enveloppe dans le cas des familles III ou IV, les différentes parties se raccordant pour définir une courbe fermée. Connaissant l'équation paramétrique de la directrice D 1, qui s'écrit Z 1 (K) dans le plan complexe O 1 XY, (K représentant le paramètre cinématique), on peut obtenir assez facilement,dans le plan complexe 02 XY, l'équation Z 2 des enveloppes de Di dans le mouvement relatif de Dl par rapport à D 2 défini par R 1 et R 2, au moyen des deux relations suivantes, oỷ représente l'angle de rotation de Dl par35 rapport à l'arbre coudé et o Z 3 est le nombre complexe conjugué de 36 la dérivée de Z 1 par rapport àic: -4- Re {Zl Z 3 R 1 Z 3 expi ( y)} = ( 1) Z 2 (R 2 R 1) expi { y Rl/R 2} + Z 1 expi {y(l-R 1/R 2)} ( 2) L'expression ( 1) fournit une relation entre y et K qui, introduite dans l'expression ( 2), permet la définition de Z 2 en fonction d'un seul paramètre cinématique y ou x On observera qui si théoriquement, on a intérêt à rechercher l'ensemble {K*} correspondant à une position particulière y* de D 1, il est numériquement beaucoup plus facile de trouver l'ensemble des10 positions de Dl définies par {y**} pour lesquelles le contact s'établit en un point particulier de Dl défini par K** On remarquera également que Z 2 correspond aux enveloppes intérieure et extérieure, qu'il convient de séparer ces deux enveloppes et d'utiliser l'une d'elles selon la famille de machines que l'on veut15 réaliser Cette séparation peut par exemple se fonder sur la comparaison des rayons de courbure aux points de contact de Dl et D 2. Le mouvement planétaire de Di relativement à D 2 peut être réalisé dans les machines objet de l'invention de trois manières20 différentes: On peut immobiliser l'arbre coudé et rendre mobiles le piston et la capsule. On peut aussi immobiliser le piston et rendre mobiles l'arbre et la capsule. On peut enfin, et c'est en principe la réalisation la plus simple, immobiliser la capsule et rendre mobiles l'arbre et le piston. Quels que soient les mouvements absolus retenus par les machines objet de l'invention, le mouvement planétaire absolu peut être réalisé par un engrenage intérieur à axes parallèles, dont les roues El et E 2 sont respectivement solidaires des piston et capsule et dont les rayons primitifs sont respectivement égaux à R 1 et R 2. Si la géométrie des surfaces du piston et de la capsule qui sont en 33 contact permet une conduite suffisante et si le fluide véhiculé dans -5la machine est suffisamment lubrifiant, l'engrenage peut être supprimé, le mouvement planétaire relatif étant directement imposé par le contact piston-capsule Il en résulte dans ce cas une grande simplicité de réalisation. 5 Quelle que soit l'organisation mécanique des machines objet de l'invention, ces machines transforment de l'énergie fluide en énergie mécanique ou réciproquement L'énergie fluide est introduite et extraite de la machine par un ensemble de clapets, de lumières et/ou de soupapes disposés dans la capsule et/ou le piston, selon10 les techniques classiques utilisées dans les machines volumétriques connues et directement applicables par l'homme de l'art Ces dispositifs de distribution du fluide peuvent éventuellement être réglables pour autoriser une variation du remplissage Qu'elle soit réglable ou non, la distribution du fluide peut être adaptée à la15 nature de celui-ci (fluide incompressible ou compressible) et au sens de transformation de l'énergie (machine génératrice d'énergie fluide: compresseur ou pompe et machine génératrice d'énergie mécanique: moteur). Un groupe de machines particulièrement intéressant appartenant à la -O famille I est celui dont la directrice Dl répond à l'équation suivante dans le plan complexe Zl = {(l+S)/2} E expi{K 1 ( 1/S)-KJ + RM expi{i( 1 I/S)} + {( 1-S)/2} E expi{K(l/S)+K} ( 3) dans laquelle Z 1 désigne l'affixe du point générateur de la directrice Dl, chaque point étant précisé par une valeur particulière du paramètre cinématique K dont le domaine de variation est compris entre O et 2 Sxpour parcourir une seule fois la courbe, S est un nombre entier qui désigne l'ordre de symétrie de Dl par rapport à l'origine du plan complexe et est choisi arbitrairement, expi représente la fonction exponentielle imaginaire, E et Rm sont deux longueurs choisies librement à condition que la courbe 33 correspondante ne présente ni point double, ni point de -6- rebroussement, ce qui limite indirectement la valeur du rapport E/Rm. Les figures 1 à 4 représentent schématiquement une machine conforme à l'invention Les figures 5 à 8 représentent schématiquement une autre machine conforme à l'invention Ces représentations sont le résultat d'une simulation numérique sur ordinateur Les figures 9 et représentent un compresseur dont l'organisation mécanique correspond aux schémas présentés aux figures 1 à 4. Les figures 1 et 2 montrent, pour deux positions particulières du piston, une coupe, perpendiculaire aux axes, d'une machine de la famille I caractérisée par sp= 2, sc= 3, E= 10 mm, R 1 = 20 mm, R 2 = 30 mm et dont la directrice D 1 est conforme à l'équation ( 3) avec S=sp et Rm= 45 mm On distingue, sur ces deux figures, la capsule ( 10) de directrice D 2 qui entoure le piston ( 11) de directrice D 1 On15 aperçoit nettement sur la figure 1, trois points de contact U 1,U 2,U 3 entre D 1 et D 2 La figure 3 représente la directrice D 1 ( 12), la figure 4 montre plusieurs positions de D 1 par rapport à la capsule, celle-ci n'étant pas figurée par souci de clarté. L'étude de cette machine donne les résultats suivants: Z 3 = -i{{( 1/S)-1} {( 1 +S)/2} E expi{-K( 1/S)+K} +{( 1/S)} Rm expi{- +{(l/S)} SE Rm sin{K+E}. SE 2 sin{ 2 K+x} SE 2 sin{ 2 K+ 7 t} Par conséquent,la relation ( 1) est bien vérifiée simultanément avec la relation ( 4). L'expression générale de la relation ( 2) donne l'expression de Z 2 qui s'écrit ici compte tenu de ( 4) et de ce que R 2 = (sp+l)E = (S+ 1)E: Z 2 = E expi{-y(S/S+l)} +{( 1 +S)/2} E expi{K( 1/S)-K+y-y(S/S+ 1)} +Rm expi{K( 1/S)+y-y(S/S+l)} +{( 1-S)/2} E expi{K( 1/S)+K+y-y(S/S+l)} En posant, pour simplifier l'écriture, A={( 1 +S)/2} E, il vient: Z 2 ={A expi(-K)+Rm-A expi(+K)} {expi{K(l/S)+y-y(S/S+l)}} ou encore, compte tenu de ( 4) Z 2 ={A expi(-K)+Rm-A expi(+K)} {expi{(l/S+ 1)( 21 + 1)3}} Le terme {A expi(-K) + Rm A expi(+K)}de cette expression représente un segment de droite dirigé selon l'axe des ordonnées, _ 5 passant par le point d'abscisse Rm et d'ordonnée O Sa longueur est égale à 4 A, c'est-à-dire à ( 1 +S)2 E. Le produit {A expi(-K)+Rm-A expi(+K)} {expi{( 1/S+ 1)( 21 + 1)a}} représente le même segment de droite tourné de {-( 1/S+ 1)( 21 + 1)x} avec 1 = 0,1,S= 2, c'est-à-dire de 60 degrés, 180 degrés et 300 degrés. Du résultat précédent,obtenu lorsque la relation ( 1) est satisfaite 33 par les valeurs de K et y compatibles avec la relation ( 4),il -8- résulte que D 2 comporte trois segments de droite de longueur égale à ( 1 +S)2 E disposés à 2 x/(S+ 1) l'un par rapport à l'autre. Le raccordement de ces trois segments de droite est obtenu pour d'autres relations entre K et y satisfaisant la relation ( 1) Il y 5 correspond trois arcs à courbure variable. Lorsque la relation ( 4) est vérifiée, il existe, pour toutes les positions angulaires du piston définies par y, trois points de contact avec la directrice définis par les trois valeurs correspondantes de 1 et donc deic.10 Une valeur de K et une valeur de y vérifiant l'une des déterminations de la relation ( 4) définissent un point de contact situé sur l'un des trois segments de droite de D 2 et, pour une valeur particulière de y, à chaque détermination de la relation ( 4), correspond un segment de droite de D 2 Il en résulte que d'une part15 la directrice de la capsule doit s'identifier à ces trois segments de droite et peut, en dehors de ces segments, s'écarter de la directrice D 2 à condition d'être extérieure à celle-ci Dans ce cas, les contacts de la directrice de la capsule avec la directrice Dl du piston s'effectuent toujours en trois points et le mouvement planétaire relatif piston-capsule peut être réalisé directement par ces contacts, sans que l'on ait besoin de recourir à un engrenage matérialisant les roues E 1 et E 2 Il en résulte une grande facilité de fabrication, puisque le nombre d'organes constitutifs de la machine est réduit au strict minimum et que l'usinage de la capsule est extrêmement simple, puisque réduit à celui de trois plans On observera que dans cette machine, il existe en permanence trois chambres de travail dans lesquelles le fluide peut être introduit et hors desquelles il peut s'échapper. Les figures 5 à 8 ont respectivement la même signification que celle des figures 1 à 4 {capsule ( 20), piston ( 21) et directrice D 1 ( 22) du piston ( 21)}, mais pour une machine de la famille II avec s,= 3, sc= 2 E= 10 mm, R 1 = 30 mm, R 2 = 20 mm et une directrice D 1 du piston définie par l'équation. 34 Z 1 = 15 expi(-2-K/3) + 120 expi(+K/3) 5 expi( 4 K/3) _ 9 _ La directrice D 2 de la capsule correspondante a une symétrie d'ordre 2 La résolution de la relation ( 1) pour toutes les positions relatives piston-capsule montre que l'on a en permanence trois contacts entre Dl et son enveloppe extérieure D 2 Ceci conduit à l'existence de trois chambres de travail pour le fluide. En se référant aux figures 3 et 4 d'une part, 7 et 8 d'autre part, on peut encore observer les résultats suivants: La figure 4 représente le mouvement planétaire d'une courbe D 1 d'ordre de symétrie égal à 2, représentée à la figure 3 Le10 mouvement planétaire est caractérisé par le roulement d'une circonférence C 1 de rayon égal à 2 E (à laquelle est associée la directrice D 1) sur une circonférence fixe C 2 de rayon égal à 3 E Sur la figure 4, on peut observer les enveloppes extérieure et intérieure solidaires de cette circonférence fixe C 2 Ces enveloppes o_ cnt toutes les deux un ordre de symétrie égal à 3. Si on matérialise Dl et son enveloppe extérieure D 2, avec R 1 = 2 E et R 2 = 3 E, D 1 est le piston D 2 est la capsule :C sp= 2 sc= 3, R 1 est bien égal à s E et R 2 à s CE=(sp+l)E. La machine correspondante appartient à la famille I. Si on matérialise Dl et son enveloppe intérieure D 2, avec R 1 = 2 E et R 2 = 3 E, Dl est la capsule _s D 2 est le piston s C= 2 sp= 3, R 2 est bien égal à s E et R 1 à s CE=(sp-l)E. La machine correspondante appartient à la famille III. La figure 8 représente le mouvement planétaire d'une courbe D d'ordre de symétrie égal à 3, représentée à la figure 7 Le mouvement planétaire est caractérisé par le roulement d'une circonférence C 1 de rayon égal à 3 E (à laquelle est associée la directrice D 1) sur une circonférence fixe C 2 de rayon égal à 2 E Sur la figure 8, on peut distinguer les enveloppes extérieure et 3-i intérieure solidaires de cette circonférence fixe C 2 Ces enveloppes -10- ont toutes les deux un ordre de symétrie égal à 2. Si on matérialise D 1 et son enveloppe extérieure D 2, avec R 1 = 3 E et R 2 = 2 E, D 1 est le piston 5 D 2 est la capsule sp= 3 sc= 2, R 1 est bien égal à sp E et R 2 à sc E=(sp-1)E. La machine correspondante appartient à la famille II. Si on matérialise D 1 et son enveloppe intérieure D 2, avec R 1 = 3 E et R 2 = 2 E,10 D 1 est la capsule D 2 est le piston s C= 3 sp= 2, R 2 est bien égal à sp E et R 1 à sc E=(sp+l)E. La machine correspondante appartient à la famille IV. Les figures 9 et 10 présentent une coupe transversale et une coupe axiale respectivement, dans un compresseur o le fluide comprimé est suffisamment lubrifiant pour permettre au couple piston-capsule de réaliser directement le mouvement planétaire. Dans ces coupes, on distingue le piston ( 11) d'ordre de symétrie Sp = 2 et sa directrice ( 12), la capsule ( 10) et sa directriceO 20 d'ordre de symétrie s C = 3 constituée de trois segments de droite ( 13,14 et 15) ainsi que de trois arcs ( 16,17 et 18) extérieurs à l'enveloppe du piston entre les points A 13 B 13, A 14 B 14 et A 15 B 15. L'arbre coudé ( 30) est en liaison rotonde avec la capsule ( 10) par l'intermédiaire des roulements ( 31 et 32) et est en liaison rotonde25 avec le piston ( 11) par l'intermédiaire des roulements ( 33 et 34). Cet arbre coudé est entraîné par la poulie ( 35) calée sur lui Le fluide est admis dans le compresseur par les clapets ( 41,42,43) localisés dans le flasque arrière ( 101) de la capsule ( 10) et s'en échappe par les clapets ( 51,52,53) localisés dans la partie tubulaire ( 100) de la capsule ( 10) Des obturateurs commandés tels que ( 61), localisés dans le flasque avant ( 102) de la capsule ( 10) permettent le maintien à la pression d'admission d'une, de deux ou de trois chambres de travail du compresseur On peut ainsi assurer la régulation du débit en trois échelons et faire fonctionner lef O compresseur à débit nul sans cesser de l'entraîner, en évitant ainsi -11- de recourir à un embrayage interposé entre l'arbre coudé et la poulie. Dans la présente description, les formes revendiquées pour le piston et la capsule ainsi que le caractère planétaire du mouvement sont à v comprendre comme des caractéristiques nominales des machines 6 conformes à l'invention. -12- REVENDICATIONS R E V E N D I C A T I O N S 1 Machine volumétrique comprenant un capsulisme cylindrique, constitué essentiellement d'un piston cylindrique (organe mâle) présentant par rapport à son axe un ordre de symétrie entier Sp, d'une capsule cylindrique qui l'entoure (organe femelle) présentant 5 par rapport à son axe un ordre de symétrie entier s C et d'un arbre coudé dont les axes sont parallèles à ceux des cylindres définissant la forme du piston et de la capsule, cet arbre étant en liaison rotonde avec le piston et la capsule, les ordres de symétrie sp et s C différant d'une unité et les géométries des piston et capsule étant définies pour que ces organes soient en contact direct, CARACTERISEE EN CE QUE l'un des organes mâle ou femelle a une directrice D 1 qui s'identifie à une courbe uniformément distante (la distance uniforme étant éventuellement nulle) d'une hypertrochoïde fermée, en excluant les hypertrochoides dégénérées en15 hypotrocholdes, péritrochoides et épitrocholdes ou en courbes uniformément distantes de ces hypotrochoides, péritrocholdes et épitrochoides, cette hypertrocholde ne présentant ni point double, ni point de rebroussement, l'autre organe ayant une directrice D 2 qui est l'enveloppe de D 1 dans un mouvement planétaire relatif20 défini par deux cercles C 1 et C 2, de centres et de rayons respectifs (O 1,R 1) et ( 02,R 2), respectivement solidaires des directrices D 1 et D 2 et roulant l'un sur l'autre sans glissement par contact intérieur, 101021 précisant l'entraxe de l'arbre coudé. 2 Machine volumétrique conforme à la revendication 1, CARACTERISEE EN CE QUE D 1 ( 12) est la directrice du piston ( 11), D 2 est la directrice de la capsule ( 10) qui s'identifie à l'enveloppe extérieure de D 1 dans le mouvement planétaire de D 1 relativement à D 2, défini par R 1 = Sp E et R 2 = SC E = (Sp+l) E avec E = 101021 3 Machine volumétrique conforme à la revendication 1, CARACTERISEE EN CE QUE D 1 ( 22) est la directrice du piston ( 21), D 2 est la -13- directrice de la capsule ( 20) qui s'identifie à l'enveloppe extérieure de Di dans le mouvement planétaire de Di relativement à D 2, défini par R 1 = Sp E et R 2 = SC E = (Sp-1) E avec E = o 101021 et Sp > 1 54 Machine volumétrique conforme à la revendication 1, CARACTERISEE ENCE QUE D 1 est la directrice de la capsule, D 2 est la directrice du piston qui s'identifie à l'enveloppe intérieure de D 1 dans le mouvement planétaire de Di relativement à D 2, défini par R 2 = Sp E et R 1 = Sc E = (Sp+l) E avec E = 10102 I 5 Machine volumétrique conforme à la revendication 1, CARACTERISEE EN CE QUE le mouvement planétaire est défini par R 2 = Sp E et R 1 = Sc E = (Sp-1) E avec E = 101021 et Sp > 1 6 Machine volumétrique conforme à la revendication 2 ou 3, CARACTERISEE EN CE QUE une partie au moins de la directrice D 2 est extérieure à l'enveloppe extérieure de Di dans son mouvement planétaire relativement à D 2 et une autre partie de la directrice D 2 au moins s'identifie à une partie de cette enveloppe, les différentes parties se raccordant pour définir une courbe fermée. 7 Machine volumétrique conforme à la revendication 4 ou 5, 0 O CARACTERISEE EN CE QUE une partie au moins de la directrice D 2 est intérieure à l'enveloppe intérieure de D 1 dans son mouvement relativement à D 2 et une autre partie de la directrice D 2 au moins s'identifie à une partie de cette enveloppe, les parties se raccordant pour définir une courbe fermée. 8 Machine volumétrique conforme à la revendication 2, CARACTERISEE EN CE QUE l'hypertrochoïde répond, dans le plan complexe à l'équation: Z 1 = {( 1 +S)/2} E expi {K( 1/S)-K} + Rm expi {K( 1/S)} + {( 1-S)/2} E expi {K( 1/S)+K}, -14- dans laquelle, Z 1 désigne l'affixe du point générateur de la directrice D 1, chaque point étant précisé par une valeur particulière du paramètre cinématique c dont le domaine de variation est compris entre O et 2 Sz, pour parcourir une seule fois la courbe, S est un nombre entier qui désigne l'ordre de symétrie de la courbe par rapport à l'origine du plan complexe et est choisi arbitrairement, expi représente la fonction exponentielle imaginaire, E et Rm sont deux longueurs choisies librement à condition que la courbe correspondante ne représente ni point double ni point de rebroussement, ce qui limite indirectement la valeur du 11 rapport E/Rm.