FR 2661506 A1 19911031 FR 8305357 A 19830331 BAS/DUP PROCEDE ET DISPOSITIF A LARGE BANDE POUR LA MESURE DE LA FREQUENCE D'UN SIGNAL, NOTAMMENT POUR LA MESURE DES FREQUENCES RESPECTIVES DE SIGNAUX SIMULTANES La présente invention concerne un procédé et un dispositif à large bande pour la mesure de la fréquence d'un signal et notamment pour la mesure des fréquences respectives de signaux simultanés. Il existe plusieurs types de dispositifs de mesure de la fré- quence d'un signal, parmi lesquels on peut distinguer: les dispositifs comportant un discriminateur de fréquence alimenté par le signal lui-même et par le même signal retardé. Un tel dispositif est décrit par exemple dans l'article de N E. GODDARD "Instantaneous Frequency Measuring receivers", paru dans IEEE Trans 1972, MTT-20, pages 292-293. Les dispositifs de ce type ne peuvent être utilisés pour la mesure des fréquences respectives de signaux élémentaires simul- tanés. les dispositifs effectuant le comptage du nombre de périodes du signal par unité de temps. Les dispositifs de ce type présentent l'inconvénient précédent de ne pouvoir être utilisés dans le cas de signaux simultanés de fréquences différentes et, pour des raisons technologiques, dans le cas d'un signal de fréquence très élevée; les dispositifs à ligne dispersive dans lesquels le temps de propagation dépendant de la fréquence du signal, la fréquence de celui-ci peut être obtenue à partir du temps de parcours entrée- sortie de la ligne Un dispositif de ce type permet la mesure des fréquences respectives de signaux simultanés mais présente une bande étroite de fréquence de fonctionnement. La présente invention permet de remédier aux inconvénients ci-dessus et a pour objets un procédé et un dispositif de mesure de la fréquence d'un signal permettant de mesurer les fréquences respec- tives de signaux simultanés, notamment en haute fréquence. Les procédé et dispositif de mesure selon l'invention exploitent les propriétés de phase relative de deux signaux de même fréquence se propageant dans des sens opposés dans un même moyen de transmission. Selon l'invention, on injecte dans des moyens de transmission le signal dont on veut déterminer la fréquence f de sorte qu'il donne naissance à deux signaux se propageant dans des sens opposés à partir de deux points initiaux respectivement Il s'y développe un régime d'onde stationnaire dont l'enveloppe présente des variations périodiques en fonction de la distance à un point de référence On détecte cette enveloppe et on en mesure la fréquence, dite spatiale puisque son inverse ou période spatiale à une dimension homogène à une distance La fréquence f du signal injecté est, on peut le montrer, proportionnelle à la fréquence spatiale Fs. Selon l'invention, le procédé de mesure de la fréquence d'un signal est caractérisé en ce qu'il comprend successivement les étapes suivantes: injection du signal, dit incident, à l'entrée de moyens de transmission de façon à ce que, dans les moyens de transmission, il donne naissance à un premier et un deuxième signal, dits signaux d'entrée, dont la fréquence est identique et égale à celle du signal incident et qui se propagent dans des sens opposés à partir de deux points initiaux respectivement; génération de l'enveloppe de l'onde résultante qui existe dans les moyens de transmission, l'enveloppe présentant, en fonction de la distance à un point de référence des moyens des transmissions pour lequel les trajets électriques parcourus par lesdits signaux d'entrée à partir du point initial respectif de propagation sont égaux, des variations périodiques, de fréquence dit spatiale; mesure de la fréquence spatiale de l'enveloppe de l'onde résultante; et calcul de la fréquence du signal incident en multipliant ladite fréquence spatiale de l'enveloppe par le coefficient c/2 dans lequel c est la vitesse de propagation des ondes sur les moyens de transmis- sion. D'autres avantages et caractéristiques de la présente invention apparaîtront à la lecture de la description détaillée faite ci-après avec référence aux figures ci-annexées qui représentent: Fig 1, le schéma synoptique du dispositif selon l'invention; Fig 2, un mode de réalisation d'un premier sous-ensemble du dispositif de la figure 1; Fig 3, une variante de réalisation du premier sous-ensemble du dispositif selon l'invention; Fig 4, une autre variante de réalisation de la partie du dispositif selon l'invention représentée par la figure 2; et Fig 5, un exemple de réalisation d'un deuxième sous- ensemble du dispositif de la figure 1. Dans les modes de réalisation représentés par les figures 1 à 4, la référence 2 désigne des moyens de transmission alimentés par un signal, dit incident, de fréquence f inconnue Ce signal incident donne naissance à deux signaux de même fréquence f se propageant, dans les moyens de transmission 2, dans des sens opposés depuis des points A et B respectivement, également appelés points initiaux de propagation. Les moyens de génération de ces deux signaux, appelés dans la suite signaux d'entrée, à partir du signal incident n'ont pas été représentés. Les moyens de transmission 2 peuvent être des lignes de transmission (telles que représentées dans les figures 2, 3, 4 par exemple) ou des circuits (non représentés) dans lesquels le trajet électrique suivi par le signal est plus court que la longueur d'onde correspondant à la fréquence f du signal incident. La figure 1 représente le schéma synoptique du dispositif selon l'invention: le signal résultant existant dans les moyens de transmission 2 est appliqué à l'entrée d'un circuit 3 qui en détermine l'enveloppe. Cette enveloppe présente des variations périodiques de période, dite spatiale, Ts en fonction de la distance S de chaque point des moyens de transmission 2 à un point de référence Mo. Un circuit 4 détermine la f réquence spatiale Fs = I/T de l'enveloppe générée par le circuit 3 et un circuit 5 calcule à partir de ladite fréquence spatiale Fs, la fréquence f du signal incident en utilisant la formule ( 1): f = c Fs/2, c étant la vitesse de propagation des ondes sur les moyens de transmission. Le f onctionnement du dispositif selon l'invention représenté par la figure 1 est décrit ci-après en se référant aux figures 1 et 2. Un premier mode de réalisation des moyens de transmission 2 et du circuit 3 de détermination de l'enveloppe est représenté par la figure 2. Les moyens de transmission 2 se composent par exemple d'une simple ligne de transmission 200 aux deux extrémités A et B de laquelle, comme mentionné ci-dessus, les deux signaux d'entrée de même fréquence f sont respectivement appliqués. La présente simultanée des deux signaux sur une même ligne crée un régime d'onde stationnaire. La présente invention étant basée, ainsi qu'on l'a déjà mention- né, sur l'utilisation des propriétés de phase relative de deux signaux de même fréquence se propageant dans des sens opposés dans des moyens de transmission, la suite du traitement porte sur l'onde stationnaire résultante Selon un mode de réalisation non limitatif, l'onde stationnaire générée est prélevée par échantillonnage par l'intermédiaire de N moyens de couplage 201, 202,,20 N On suppose que les couplages sont faibles, afin de ne pas perturber le régime stationnaire. Le circuit 3 déterminant l'enveloppe de l'onde stationnaire peut être constitué de façon non limitative par N détecteurs 301, 302,,30 N correspondant respectivement aux moyens de couplage 201, 202,, 20 N et délivrant chacun un échantillon de l'enveloppe de l'onde stationnaire Le nombre et l'emplacement des moyens de couplage 201, 202,,20 N sont déterminés par l'homme de l'art, en utilisant le théorème de Shannon, de façon à reconstituer en sortie des détecteurs 301, 302,,30 N, dans la bande de fréquence de fonctionnement, l'enveloppe de l'onde stationnaire en fonction de la distance S au point de référence Mo. Les échantillons détectés délivrés par les N détecteurs 301, 302,,30 N sont appliqués à l'entrée d'un dispositif de conversion espace-temps 31 délivrant sur sa sortie 311 un signal périodique Sp qui représente les variations échantillonnées de la tension de sortie des N détecteurs, c'est-à-dire les variations, en fonction du temps, de l'enveloppe de l'onde stationnaire créée dans les moyens de trans- mission 2 Les détecteurs sont de préférence des détecteurs quadra- tiques Le dispositif de conversion peut être, selon un exemple non limitatif non représenté, un commutateur à N entrées recevant respectivement les signaux de sortie des détecteurs 301, 302,,30 N et les commutant l'un après l'autre sur la sortie 311 à un rythme déterminé commandé par un signal impulsionnel extérieur de fré- quence f e. La sortie 311 du dispositif de conversion espace-temps 31 est appliquée à l'entrée du circuit 4 qui détermine la fréquence spatiale Fs de l'enveloppe échantillonnée Ce circuit 4 peut comprendre par exemple un analyseur de Fourier Le circuit 5 calcule ensuite la fréquence f = c Fs/2 du signal incident et des signaux d'entrée, c étant la vitesse de la lumière. Soit Mo un point de référence des moyens de transmission 2 pour lequel les trajets électriques parcourus par les deux signaux d'entrée (même fréquence, déphasage éventuel i) sont égaux. Les déphasages subis par chacun des deux signaux d'entrée entre les points initiaux respectifs de propagation A, B et le point de référence Mo de la ligne de transmission sont égaux et par consé- quent leur déphasage relatif au point de référence Mo est le même que leur déphasage relatif éventuel Q à l'entrée A, B de la ligne de transmission 200. En chaque point de la ligne de transmission situé à une distance S du point de référence Mo la tension résultante e(s) s'ex- prime par la relation ( 2): e(s) = Ecos W c) cost ( 2) ou E est une tension fonction de l'amplitude des signaux injectés à chaque extrémité de la ligne; est la différence de phase des deux signaux d'entrée de la ligne de transmission; et G-) = 2 1 r f est la pulsation correspondant à la fréquence inconnue f des signaux d'entrée. il a été supposé que les moyens de couplage 201, 202,,20 N sont conçus de façon à ne pas perturber l'onde stationnaire créée. La tension E (s) détectée le long de la ligne par des détecteurs quadratiques est proportionnelle à E 2 Il + cos (ô 2 J O c I 7 La tension obtenue après filtrage en sortie du convertisseur espace-temps 31 est alors proportionnelle à E 2 lI + cos ( 21 r F t)7 pour une valeur convenable de l'origine des temps, F étant la fréquence de l'onde résultante en sortie du convertisseur espace- temps 31. On peut montrer que la fréquence résultante F est liée à la fréquence spatiale Fs par la relation ( 3): F=f f s F ( 3) dans laquelle: fe est la fréquence d'échantillonnage de l'enveloppe par le dispositif de conversion espace-temps 31 (fréquence du signal impul- sionnel actionnant le commutateur selon l'exemple de réalisation mentionné ci-dessus); et t S est l'intervalle entre les moyens de couplage 201, 202,,20 N. Le circuit 4 détermine la fréquence F, par analyse de Fourier par exemple, du signal de sortie Sp et calcule la fréquence spatiale Fs de l'enveloppe par la formule ( 3) ci-dessus Le circuit 5 calcule, à partir de la fréquence spatiale Fs fournie par le circuit 4, la fréquence f du signal incident en utilisant la formule ( 1) mentionnée plus haut, à savoir f = c: Fs/2. Si le signal incident est un signal complexe, c'est-à-dire composé d'une pluralité de signaux élémentaires de fréquences différentes, on peut montrer que l'enveloppe de l'onde stationnaire est porteuse des informations propres à chaque fréquence: la tension détectée le long de la ligne de transmission 200 est la i somme des tensions que l'on obiendrait pour chaque signal élemen- taire séparément, appliqué sur l'entrée A et avec un éventuel déphasage N sur l'entrée B, le déphasage étant le même pour tous les signaux élémentaires. Le circuit 4 permet, dans le cas d'un signal complexe, d'isoler chaque fréquence F correspondant à chaque signal élémentaire et de calculer chaque fréquence spatiale Fs correspondante. Selon un autre mode de réalisation non représenté, le deuxième point initial de propagation B peut être court-circuité de façon que le deuxième signal d'entrée soit le premier signal d'entrée se propageant en sens inverse, après réflexion au niveau du court- circuit. La figure 3 représente un autre mode de réalisation des moyens de transmission 2 qui, associés au circuit 3 de la figure 2 sont utilisables dans le dispositif selon l'invention illustré par la figure 1: Les moyens de transmission 2 peuvent également comprendre deux lignes de transmission 210 et 220 parallèles fermées à une extrémité sur leur impédance caractéristique Z 1 et Z 2 respecti- vement, leur autre extrémité étant disposée en vis-à-vis avec l'extrémité de l'autre ligne fermée sur l'impédance caractéristique. Les deux signaux d'entrée sont appliqués à l'extrémité ouverte A,B des première et deuxièmes lignes de transmission 210, 220 respectivement. Chaque moyen de couplage 201, 202,,20 N peut comprendre un premier et un deuxième coupleurs prélevant une partie du signal transmis par les première et deuxième lignes 210 et 220 respec- tivement et un circuit effectuant la sommation des signaux pré- levés De façon plus simple chaque m 9 yen de couplage 201, 202,, N peut être couplé à la fois aux première et deuxième lignes de transmission Il y a donc sommation des signaux prélevés sur chaque ligne aux deux points M 1, M'1;; ou MN, M'N situés en vis-à-vis. Dans une telle structure les lignes 210 et 220 travaillent en régime progressif Ce mode de réalisation permet d'amplifier, si besoin est, les signaux le long des lignes alors que dans le mode de réalisation de la figure 2, l'amplification ne peut se faire qu'aux entrées A et B de la ligne 200. La figure 4 représente un autre mode de réalisation des circuits 2 et 3 de la figure 1. Les moyens de transmission 2 comprennent une ligne de transmission 230 à constantes réparties du type coaxial par exemple, aux deux extrémités A, B de laquelle les deux signaux d'entrée sont respectivement appliqués et dont les inductances linéiques sont désignées par L Les moyens de couplage prélevant l'onde station- naire sont constitués par des transistors représenté sur la figure 4 par leurs schémas équivalents 201, 202,,20 N La capacité parasite d'entrée des transistors intervient dans le calcul de l'impédance linéique de la ligne et la capacité d'entrée de chaque transistor de couplage est représentée par une seule capacité désignée par C. Les détecteurs 301, 302,,30 N du sous-ensemble 3 sont cons- titués chacun par la mise en parallèle d'une diode de redressement D et d'une capacité C' Un convertisseur espace/temps 31 complète par exemple, comme dans la figure 2, le sous-ensemble 3, qui délivre en sortie 311 un signal Sp représentant l'enveloppe de l'onde stationnaire. La figure 5 représente un mode de réalisation détaillé du circuit de mesure 4 lorsqu'on effectue un traitement parallèle Dans ce cas le dispositif de conversion espace-temps 31 (Figs 2 et 4) n'est pas nécessaire Les échantillons fournis par les détecteurs 301, 302,,30 N des moyens 3 de détermination d'enveloppe sont appli- qués par l'intermédiaire de résistances de pondération 411,, 41 N; 421,, 42 N;; 4 M 1,, 4 MN aux entrées positive ou négative de M circuits additionneurs 41,,4 M de façon que la sortie 401,,40 M de chacun des M circuits additionneurs 41,,4 M corresponde à un point de la transformée de Fourier discrète de l'enveloppe Un ensemble 40 de circuits logiques permet de déterminer la voie de niveau maximum parmi les voies 401,,40 M et d'en déduire la fréquence spatiale Fs correspondante Cette fréquence spatiale Fs est codée et utilisée par le circuit 15 pour calculer la fréquence f = c Fs/2 du signal incident. On a ainsi décrit un dispositif permettant de calculer, sur une large bande de fréquences, la fréquence d'un signal ainsi que les fréquences respectives de signaux simultanés, notamment à fréquen- ce élevée. REVENDICATIONS l procédé de mesure de la fréquence d'un signal, caractérisé en ce qu'il comprend successivement: une première étape d'injection du signal, dit incident, de fréquence inconnue à l'entrée de moyens de transmission de façon à ce que, dans lesdits moyens de transmission, il donne naissance à un premier et un deuxième signal, dits signaux d'entrée, dont la fré- quence est identique et égale à celle du signal incident et qui se propagent dans des sens opposés à partir de deux points initiaux respectivement; une deuxième étape de génération de l'enveloppe de l'onde résultante qui existe dans les moyens de transmission l'enveloppe présentant, en fonction de la distance à un point de référence des moyens des transmissions pour lequel les trajets électriques par- courus par lesdits signaux d'entrée à partir du point initial respectif de propagation sont égaux, des variations périodiques de fréquence dite spatiale (Fs); une troisième étape de mesure de la fréquence spatiale Fs de l'enveloppe de l'onde résultante; et une quatrième étape de calcul de la fréquence du signal incident en multipliant ladite fréquence spatiale de l'enveloppe par le coefficient c/2 dans lequel c est la vitesse de propagation des ondes sur les moyens de transmission. 2 Procédé de mesure de fréquence selon la revendication 1, caractérisé en ce que la deuxième étape comprend un échantil- lonnage de l'onde résultante prélevée en une pluralité de N points sur les moyens de transmission et une détection de chaque échantil- lon prélevé. 3 Procédé de mesure de fréquence selon la revendication 2, caractérisé en ce que la détection est suivie d'une conversion espace-temps permettant de générer une courbe échantillonnée qui représente les variations en fonction du temps de l'enveloppe de l'onde résultante. 4 Procédé de mesure de fréquence selon la revendication 3, caractérisé en ce que la troisième étape comprend la détermination de la fréquence F de la courbe échantillonnée qui correspond au signal incident de fréquence f et le calcul de la fréquence spatiale de l'enveloppe correspondante. Procédé de mesure de fréquence selon la revendication 4, caractérisé en ce que la fréquence F de la courbe échantillonnée est déterminée par une analyse de Fourier. 6 Procédé de mesure de fréquence selon la revendication 2, caractérisé en ce que la troisième étape comprend le calcul de la transformée de Fourier discrète et la détermination de la fréquence spatiale Fs correspondant au niveau maximum de ladite transformée de Fourier. 7 Procédé de mesure de fréquence selon l'une quelconque des revendications 2 à 6, caractérisé en ce que, les moyens de trans- mission comportant deux circuits de transmission à l'entrée desquels les deux signaux d'entrée sont respectivement appliqués et dans lesquels lesdits signaux d'entrée se propagent dans des sens respec- tifs opposés, la détection est effectuée sur la pluralité d'échantillons correspondant à la somme de deux échantillons élémentaires pré- levés respectivement sur l'un et l'autre des circuits de transmission en des points situés en vis-à-vis l'un de l'autre. 8 Procédé de mesure de fréquence selon l'une quelconque des revendications 2 à 7, caractérisé en ce que la détection est quadratique. 9 Dispositif de mesure de la fréquence d'un signal, caractérisé en ce qu'il comprend: des moyens de transmission ( 2) à l'entrée desquels est injecté le signal, dit incident, de fréquence (f) inconnue et qui comprennent des moyens générant un premier et un deuxième signal, dits signaux d'entrée, de même fréquence (f) que le signal incident et se propageant, dans lesdits moyens de transmission, dans des sens opposés depuis un premier et un deuxième point (A, B) respec- tivement, dits points initiaux de propagation; des moyens de génération ( 3) de l'enveloppe de l'onde résultante qui existe dans les moyens de transmission, l'enveloppe présentant, en fonction de la distance à un point de référence (Mo) des moyens des transmission pour lequel les trajets électriques par- courus par lesdits signaux d'entrée à partir du point initial respectif de propagation sont égaux, des variations périodiques, de fréquence dite spatiale (Fs); des moyens ( 4) de mesure de la fréquence spatiale (Fs) de l'enveloppe de l'onde résultante; et des moyens ( 5) de calcul de la fréquence (f) du signal incident égale au produit de la fréquence spatiale (Fs) de l'enveloppe par le coefficient c/2 dans lequel c est la vitesse de propagation des ondes sur les moyens de transmission ( 2). 10 Dispositif de mesure de fréquence selon la revendication 9, caractérisé en ce que les moyens de transmission ( 2) sont constitués par une ligne de transmission ( 200, 230) aux première et deuxième extrémités de laquelle les premier et deuxième signaux d'entrée sont respectivement appliqués, lesdites première et deuxième extrémités constituant les premier et deuxième points initiaux de propagation des signaux d'entrée. 11 Dispositif de mesure de fréquence selon la revendication 9, caractérisé en ce que les moyens de transmission ( 2) sont constitués par une première et une deuxième ligne de transmission ( 210, 220) parallèles, chargées en leur première extrémité par leur impédance caractéristique respective (Z 1, Z 2) et alimentées en leur deuxième extrémité, constituant respectivement les premier et deuxième points (A, B) initiaux de propagation, par les premier et deuxième signaux d'entrée respectivement, la première extrémité d'une ligne de transmission ( 210, 220) étant disposée vis-à-vis de la deuxième extrémité de l'autre ligne ( 220, 210) afin que lesdits signaux d'entrée se propagent dans dès sens opposés. 12 Dispositif de mesure selon l'une quelconque des revendi- cations 9 et 10, caractérisé en ce que le deuxième point initial de propagation (B) est court-circuité de façon à ce que le deuxième signal d'entrée soit le premier signal d'entrée se propageant en sens inverse. 13 Dispositif de mesure selon l'une quelconque des revendi- cations 9 à 12, caractérisé en ce que une pluralité de N échantillons de l'onde résultante existant dans les moyens de transmission ( 2) ayant été respectivement prélevés par une pluralité de N moyens de couplage ( 201, 202,,20 N), les moyens ( 3) de génération de l'enve- loppe de l'onde résultante comprennent une pluralité de N moyens de détection ( 301, 302,,30 N) alimentés respectivement par un échan- tillon prélevé par les moyens de couplage ( 201, 302,,20 N). 14 Dispositif de mesure de fréquence selon les revendications Il et 13, caractérisé en ce que la pluralité de N moyens de couplages ( 201, 202,,20 N) prélèvent chacun un premier échantillon du premier signal d'entrée sur la première ligne de transmission ( 210) et un deuxième échantillon du deuxième signal d'entrée sur la deuxième ligne de transmission ( 220) et font chacun la somme des premier et deuxième échantillons prélevés, les points de prélè- vement des premier et deuxième échantillons étant disposés en vis- à-vis l'un de l'autre pour chaque moyen de couplage ( 201, 202, N). Dispositif de mesure de fréquence selon la revendication 13 ou 14, caractérisé en ce que les moyens ( 3) de génération de l'enveloppe de l'onde résultante comprennent en outre des moyens de conversion espacetemps ( 31) qui, à partir de la pluralité de N échantillons détectés génèrent une courbe échantillonnée (Sp) repré- sentant les variations en fonction du temps de l'enveloppe de l'onde résultante. 16 Dispositif de mesure selon la revendication 15, caractérisé en ce que les moyens de conversion espace-temps ( 31) comportent un commutateur à N entrées alimentées respectivement par les N échantillons détectés qui sont successivement commutés vers la sortie du commutateur au rythme donné par la fréquence (fe) d'un signal impulsionnel extérieur de commande. 17 Dispositif de mesure de fréquence selon la revendication 16, caractérisé en ce que les moyens ( 4) de mesure de la fréquence spatiale (Fs) de l'enveloppe de l'onde résultante comprennent un circuit de mesure de la fréquence (F) de la courbe échantillonnée (Sp) générée par les moyens de conversion espace-temps ( 31) et un circuit de calcul de la fréquence spatiale (Fs) telle que Fs =F/ (Fe t s), As étant l'intervalle séparant les moyens de couplage ( 201, 202,, N) entre eux. 18 Dispositif de mesure de fréquence selon la revendication 17, caractérisé en ce que le circuit de mesure de la fréquence (F) de la courbe échantillonnée (Sq) est un circuit analyseur de Fourier. 19 Dispositif de mesure de fréquence selon la revendication 13, caractérisé en ce que les moyens ( 4) de mesure de la fréquence spatiale (Fs) de l'enveloppe de l'onde résultante comprennent un circuit de calcul de la transformée de Fourier discrète, alimenté en parallèle par les N échantillons détectés, délivrés par les moyens ( 3) de génération d'enveloppe, et un circuit ( 40) qui détermine la fréquence spatiale (Fs) de l'enveloppe de l'onde résultante corres- pondant au niveau le plus élevé de la transformée de Fourier discrète. Dispositif de mesure de fréquence selon la revendication 19, caractérisé en ce que le circuit de calcul de la transformée de Fourier discrète comprend une pluralité de M circuits additionneurs ( 41,,4 M) dont les entrées positive et négative respectives sont alimentées par une somme des N échantillons détectés, délivrés par les moyens ( 3) de génération d'enveloppe et pondérés chacun par une résistance de pondération ( 411,, 41 N;; 4 M 1,,4 MN) et dont les sorties respectives ( 401,,40 M) alimentent le circuit ( 40) de détermination de la fréquence spatiale (Fs) de l'enveloppe. 21 Dispositif de mesure de fréquence selon l'une quelconque des revendications 13 à 20, caractérisé en ce que les moyens de détection ( 301, 302,, 30 N) sont des détecteurs quadratiques.