FR 2642978 A1 19900817 FR 8902257 A 19890216 La présente invention concerne un procédé de fabrication de ballons et les ballons obtenus par sa mise en oeuvre, lesdits ballons étant du type obtenu par assemblage, par couture, collage ou autre moyen approprié, d'une pluralité de pièces ou éléments plans, polygonaux, en matériau flexible et souple, qui forment une superficie fermée polyèdrique, laquelle est soumise à une pression interne qui la déforme, formant une figure qui devra posséder un centre de symétrie, c'est à dire une symé- trie sphérique ou à tendance sphérique. Il est évident que si l'on souhaite obtenir un résultat à symétrie cen- trale, le corps des faces planes,soumises à la pression, doivent égale- ment l'avoir, ainsi la déformation sera la même dans toutes les direc- tions. Ce corps plan, figure idéale qui constitue en réalité le motif du fond de l'analyse de n'importe quel dessin de ballon, doit être pour le moins une figure polyèdrique dotée d'une symétrie centrale. Dans tous les modèles de ballons du type cité, qui sont actuellement commercialisés, on fait toujours référence à un polyèdre régulier ou semi-régulier (archimédian) lequel est soumis à des opérations de décom- position, de manipulation et de déformation. Les polyèdres les plus utilisés sont l'isocaèdre régulier et le dodécaè- dre régulierqui s'obtiennent à partir de manipulations de tronquage comme l'icosaèdre tronqué et le rhombicosidodécaèdre,respectivement, tous avec des faces polygonales régulières de divers types et qui possèdent une sphère circonscrite. A partir de polyèdres semi-réguliers, on peut obtenir des polyèdres dont les faces sont des polygones réguliers mais de deux (ou plus) types différents de telle manière que de chaque sommet partent toujours des polygones de différentes classes mais disposés de la même manière, c'est à dire qu'il n'existe qu'un seul type de sommet. L'objet de cette invention est la fabrication de ballons réalisés à partir d'un polyèdre de caractéristiques nouvelles, irrégulier, non archimédian, ayant la particularité de posséder une symétrie centrale, obtenu au moyen d'une manipulation originale d'un polyèdre régulier. Les ballons matérialisés par l'assemblage de fragments plans en matériau flexible se qualifient, en ce qui concerne leur fabrication, par les aspects suivants: a) leur approximation,en tant que polyèdre, à la forme sphérique: -2- étant donné que chacune des pièces doit subir des traitements de coupe, de peinture en une ou plusieurs couches, d'assemblage avec des éléments adjacents, etc, la souplesse naturelle du matériau se voit diminuée et pour cela il est important que, soumis à la pression de gonflage, la déformation que demande chacune des faces du polyèdre devienne aussi réduite que possible, afin de garantir la tolérance du matériau déjà traité avant cette opération. Une haute approximation à la forme spérique suppose: - la garantie que la matière première du ballon soit apte à se déformer autant que nécessaire, - que, en outre, il se déformera sans faire apparaître de tensions exces- sivement hautes, ce qui est une garantie de longévité du ballon; b) la longueur totale des arêtes: dans le processus de fabrication, le coût résultant de l'assemblage des faces du polyèdre est un poste onéreux et en conséquence on doit l'optimiser. Le coût unitaire du ballon dépend en partie de ce paramètre. Cependant, il se trouve que pour des raisons purement géomètriques faciles à comprendre, la meilleure approximation de la forme sphérique exige un accroissement du nombre de faces du poly- èdre ce qui a pour effet d'augmenter aussi la longueur des arêtes. La finalité de la présente invention consistera à obtenir un ballon le plus sphérique possible avec un minimum de longueur d'arête, en référence audit paramètre des ballons traditionnels. Pour une meilleure compréhension des caractéristiques du procédé et de ses conditions particulières de mise en oeuvre, on s'appuiera surla description qui suit et sur les dessins annexés qui vont être référencés au fur et à mesure de la description. La figure I nous montre en perspective le polyèdre de départ, confor- me au procédé, dans ce cas un dodécaèdre à faces pentagonales avec ses sommets compris dans sa sphère circonscrite. La figure 2 illustre en perspective la première phase du procédé qui consiste à adosser à chacune des faces du dodécaèdre cité, un tronc de pyramide pentagonal régulier, dont la grande base sera la propre face du dodécaèdre, et la petite base ses cinq sommets appartenant à la sphère circonscrite du dodécaèdre régulier de départ. Une fois l'opération terminée, comme le montre la figure 3, on peut observer que le nouveau polyèdre possède deux types de faces: - des pentagones réguliers qui proviennent des bases supérieures des pyramides adossées, -3- - des trapèzes isocèles qui proviennent des faces latérales des troncs de pyramide adossés, dont la base possède une dimension égale à celle du dodécaèdre de départ et dont le petit côté coincide avec celui de la face pentagonale. Le nouveau polyèdre obtenu à la suite de ces transformations, représenté à la figure 3, n'a pas été créé avec une valeur précise de ses côtés, si ce n'est qu'avec une réduction (nouveaux sommets sur la sphère circons- crite du dodécaèdre). Il existe une infinité de solutions (toutes topologiquement identiques) autant qu'il y aura de types de troncs de pyramide adossés au dodécaèdre dans les conditions stipulées. Ledit polyèdre se caractérise pour avoir 12 faces en forme de pentagone régulier, 60 faces en forme de trapèze isocèle et 80 sommets de deux types: - 20 o concourrent 6 trapèzes - 60 o concourrent 2 trapèzes et I pentagone pour un total de 150 arêtes de 3 longueurs différentes. Dans le cas o l'angle dièdre extérieur, formé par les faces trapé- zoidales qui aboutissent aux arêtes du dodécaèdre, est égal à 180 o, on obtient un polyèdre,comme représenté à la figure 4,qui possède les caractéristiques suivantes: - 12 faces en forme de pentagone régulier faces en forme d'hexagone régulier - 80 sommets de deux types.: 20 ou concourrent 3 hexagones o concourrent 2 hexagones et 1 pentagone arêtes de deux longueurs différentes qui, sans aucune transformation ultérieure, possède directement les caractéristiques de périmètre et de développement superficiel de chacune des pièces formant un ballon, ainsi que leur distribution relative dans l'espace, tout au long de la superficie externe dudit ballon. Si l'angle dièdre extérieur, formé par les faces trapézoidales du polyèdre de la figure 3, est inférieur à 180 , ce qui donne lieu à un polyèdre concave, chaque paire de faces du trapèze, adjacentes et oppo- sées, se transformera en un rectangle et deux triangles, non coplanaires, et ultérieurement les triangles produiront, avec le rectangle, une figure hexagonale plane après qu'ils aient subi une rotation dans l'espace. La figure 5, montre ladite première opération de transformation et -4- la figure 6 représente le polyèdre générateur obtenu qui possède 12 faces en forme de pentagone régulier, 30 faces en forme de rectangle et faces en forme de triangle isocèle. Avec plus de détails, la figure 7 fait apparaître, comme initiale- ment, deux triangles isocèles (côtés b et m) plus un rectangle (côtés a et m) déterminant un hexagone non plan. Sur celui-ci, les sommets 3 et 6 sont situés à l'extérieur du plan du rectangle (1245). Si l'on fait tourner le triangle (234), le long de l'axe 24 (côté m), jusqu'à ce que le sommet 3 occupe la position 3g, et en faisant de même avec le triangle (156), autour de l'axe 15, jusqu'à ce que le sommet 6 occupe la situation 6g, 3g et 6g appartenant au plan (1245), on obtien- dra un hexagone plan irrégulier, qui, juxtaposé aux pentagones réguliers, déterminera la forme et les dimensions des pièces planes que l'on devra couper pour que,de leur assemblage,résulte un ballon. La pièce hexagonale irrégulière (123g456g) est déterminée sans ambiguité par les paramètres a, b et m, qui satisfont aux relations sui- vantes (figure 8): a = R Cos (6 + b) V (10 - 2 7f-) /2 b = 2R Since/2 m = V-3 R SincX tg e = (3 + V) /4 o - a et b sont les longueurs des côtés - m est la distance de la diagonale passant entre les deux sommets du segment de longueur a -0 rales des trapèzes des troncs de pyramide, au centre de la sphère cir- conscrite du dodécaèdre de départ, dans ce cas: 0 et ladite pièce hexagonale a été représentée à la figure 9. On est ainsi arrivé à des relations algébriques simplifiées à partir d'une série de dimensions déterminées de polyèdres (fig. 3 et 6) dans lesquelles: - la dimension a: correspond à la petite base du trapèze ou au côté du rectangle - la dimension b: correspond au côté isocèle du trapèze - la dimension c: correspond à la grande base du trapèze - la dimension m: correspond à la hauteur du rectangle - les développements des types de faces et leurs dimensions principales -5- toutes en fonction de deux paramètres: - la courbure des faces de l'hexagone pour laquelle on fait appel à l'angle C de la figure 8 - le rayon R de la sphère circonscrite (fig.8) qui peut avoir diverses valeurs dans la pratique et avec l'utilisation de coordonnées sphériques. Un cas particulier intéressant, compris dans la gamme des valeurs oc citées, se présente pour " = 20,10345 o les côtés a et b sont égaux et les hexagones non plans. Il est évident que seules quelques valeurs des dimensions citées, dans les intervalles possibles de l'angle ", seront intéressantes pour réaliser l'application du procédé à la fabrication du ballon. La figure 10 montre une des 12 faces,en forme de pentagone régulier, déterminée pour la cotation paramètrique de leur côté a. Dans le cas o l'angle dièdre extérieur, des faces trapézoidales qui concourrent aux arêtes du dodécaèdre de départselon la figure 3, est supérieur à 180 , on obtient un polyèdre convexe, comme le montre a figure 11, résultant initialement de deux trapèzes isocèles, compo- santes d'un hexagone non plan (côtés a,b et la diagonale c). Les sommets (1236) étant dans un plan différent du plan (4536), déterminant un poly- èdre tel que celui dessiné à la figure 12. Si, le long de l'axe 36, on fait tourner les deux trapèzes d'une valeur d/2 - 90, d étant la valeur de l'angle dièdre formé par les plans (1236) et (4356), comme le montre la figure 13, l'ensemble des sommets lg, 2g, 3, 4g, 5g, 6, appartenant au même plan (plan bisecteur du dièdre d), donnera un hexagone plan qui est représenté à la figure 14 et déter- miné par sa cotation paramètrique et pour la valeur desdits paramètres obéissant aux relations suivantes: a = R cos (6 +) V (10 - 2V75) / 2 b = 2 R sin "/2 c = R ff ( régulier, déterminées par la cotation paramètrique de leur côté a. La figure 16, correspond à un développement de l'ensemble du poly- èdre générateur représenté à la figure 4. -6- Dans le cas du polyèdre de la figure 4, la pièce hexagonale obtenue est déterminée par les expressions des polyèdres transformés qui ont été cités (fig. 9 ou 14) indifferemment, l'angle X adoptant, dans ce cas, la valeur 2 arctg [(3-V5)/4]. La figure 17 représente une forme alternative de la pièce hexagonale, en général irréguliere par déplacement des sommets 1,2,3,4,5 et 6 de l'hexagone non plan qui donne les deux faces trapézoidales adjacentes d'un polyèdre, selon la figure 3, jusqu'aux sommets A,B,C,D,E et F (situés sur la sphère circonscrite). Ledit déplacement est réalisé selon des trajectoires planes et dans des plans qui passent par le centre CE de ladite sphère et par le point O (centre de symétrie de l'hexagone plan désiré). La droite CEO passe par le centre de 36, arête du dodécaèdre de départ, et 0 appartient à la sphère circonscrite. Etant donné que les sommets 1 à 6 appartiennent à deux faces trapézoi- dales du polyèdre selon selon la figure 3, indépendamment du fait qu'il soit ou non convexe, il est possible de connaître les angles: 1 CE 4 = 2 CE 5 =3CE 6 CE étant le centre de la sphère circonscrite. Une fois connus les angles correspondants, il est possible de connaître la valeur des arcs AOD, BOE et COF et enfin les valeurs a, b et c de la pièce hexagonale qui est représentée c6tée à la figure 18. Les figures 19 et 20, montrent deux perspectives de deux possibili- tés de ballons obtenus par la mise en oeuvre du procédé, permettant d'apprécier la distribution dans l'espace des pièces pentagonales régu- lières au nombre de 12 hexagones, en général non réguliers, au nombre de 30 qui le composent dans tous les cas. Enfin, la figure 21, montre la méthode utilisée pour modifier le polyèdre obtenu de telle manière que l'on puisse aboutir à un nouveau poly- èdre, isomère à l'initial, sur lequel on a appliqué les propriétés mètri- ques et topologiques. Sur cette figure, on observe que si on coupe un quelconque des polyèdres à faces planes, par un plan perpendiculaire à une droite qui relie les centres de deux pentagones opposés et qui passe par le centre dudit polyèdre, on obtient un décagone régulier, cette section peut en consé- quence le faire coincider avec lui même, au moyen d'une rotation (des deux hémisphères égaux) qui soit multiple de 36 . -7- 2642978 -7- Les rotations paires multiples de 36 ,vont reproduire le polyèdre initial, pendant que les rotations multiples impaires de 36 vont donner lieu à un nouveau polyèdre, comme on peut le voir sur les figures 22 et 23 qui montrent ledit polyèdre selon deux vues différentes en perspective, qui permettent d'apprécier une distribution distincte relative des pentago- nes et hexagones en relation avec le polyèdre de la figure 4. En outre, les 30 figures hexagonales obtenues seront dans ce cas de deux types, comme le montrent les figures 24 et 25, les premiers égaux aux initiaux et les deuxièmes (fig.25) avec une distribution distincte des côtés. Dans le but de valoriser les propriétés du ballon obtenu par rapport aux autres fabrications connues, on a procédé à une comparaison avec trois polyèdres archimédians dont les indices de sphéricité sont les plus élevés connus, comme par exemple: - l'icosaèdre tronqué (fig.26) - le rhomdicosidodécaèdre (fig.27) - le dodécaèdre émoussé (fig.28). Comme polyèdrede comparaison,parmi ceux obtenus par le procédé, on uti- lisera celui représenté à la figure 4, comme représentant le volume fermé, dépendant de l'angle dièdre formé par les faces trapézoidales qui concour- rent à l'arête du dodécaèdre de départ, minimal, relativement, pour la raison que ledit polyèdre suppose entrer dans la gamme de ceux pouvant être obtenus par ce procédé, le cas le plus défavorable, de manière à pouvoir justifier qu'il présente des avantages quantifiables par rapport aux archimédians de comparaison. On utilisera la terminologie suivante pour interpréter les graphiques que nous allons analyser P1: icosaèdre tronqué P2: dodécaèdre émoussé P3: polyèdre selon le procédé (fig.4) P4: rhombicosidodécaèdre L: longueur totale de la couture S: superficie totale du polyèdre V: volume total du polyèdre R: rayon de la sphère circonscrite. Sur le graphique de la figure 29, on peut apprécier que la représenta- tion des nombres caractéristiques des polyèdres présente un maximum en P3, qui donne lieu à une approximation en surface,à la sphère, supérieure à celle des autres. Par rapport à PI, qui possède la valeur la plus bas- se, le gain de P3 est de 1,415 % tandis que celui des deux autres poly- -8-- èdres est de 0,593 %. En référence au graphique de la figure 30, on observe que dans ce cas, les polyèdres P2, P3 et P4 répondent de manière pratiquement iden- tique à l'approximation en volume, de manière que de ce point de vue on peut reconnaître que n'importe lequel d'entre-eux possède le même inté- rêt, en tout cas supérieur à celui du polyèdre Pi. De l'ensemble des graphiques analyses, il se dégage que le polyèdre P3 est celui qui, globalement, s'ajuste de manière convenable à la sphère, ce qui représente une valeur maximale relative en superficie, tandis que se partage la situation maximale en volume avec les deux autres. Dans le troisième graphique comparatif (Fig.31), apparait la valeur de l'indice de longueur (relative au rayon) de l'assemblage des pièces dans chacun des polyèdres étudiés. Le polyèdre qui minimise la longueur est celui de plus mauvaise appro- ximation à la sphère: Pl. De ceux qui dépassent telle approximation, celui qui obtient une augmentation incomparable de surface et de volume auxdépens d'un accroissement minimum de la longueur d'assemblage, est le polyèdre P3, obtenu selon le procédé préconisé. Même si l'on a conclu à la supériorité du polyèdre P3, nous allons main- tenant démontrer que l'accroissement de longueur est très inférieure dans le polyèdre P3 par rapport à P2 et P4. Pour obtenir une étude plus compléte, on introduira un critère combiné, en faisant appel à la représentation cartésienne de chaque polyèdre sur la base de deux paires de paramètres caractéristiques. La première paire à analyser (fig.32), fixe en abscisses le paramètre L/R (qualité d'exécution) et en ordonnées S/R2 (qualité d'approximation). Le polyèdre d'approximation la plus basse fixé, tous les autres seront potentiellement innovateurs par optimisation du quotient: F&(S/R2) S,L =(L/R) dont l'interprétation physique sera la pente de la droite qui relie le polyèdre de pire approximation à ceux qui l'améliorent. Mis en évidence par la figure 32, il est prouvé que la relation des paramètres qui lient le gain de surface à celui de la longueur est quasi huit fois meilleur dans le polyèdre P3 que dans celui placé immédiate- ment après. Enfin la figure 33 présente un graphique o l'on représente en abscisses L/R et en ordonnées V/R3, selon le quotient: -9- K (V/R3) V,L A(L/R) De nouveau, maximiser les pentes supposera gagner en sphéricité avec un maximum d'incrément de longueur. Comme pour le cas antérieur, l'observation de la figure permet de garan- tir que le polyèdre P3 rende maximum le paramètre KVL. Au vu de ces résultats, le polyèdre, selon le procédé objet de l'inven- tion, satisfait aux preuves objectives de qualité de manière supérieure aux similaires connus et présente un minimum de volume relatif. Bien entendu, l'invention n'est pas limitée aux modes de réalisation décrits et représentés pour lesquels on pourra prévoir d'autres variantes sans pour cela sortir du cadre de l'invention, en particulier l'angle 0 pourra adopter une valeur comprise avantageusement entre 16 et 23 . De même, dans le cadre des figures 17 et 18, la pièce hexagonale obtenue est déterminée par les paramètres: cI = RX dl = RF tgó= V- ('5/3T) cos (o+ 9) sin e o"' tg e = (3+45)/4 = (1+,f)/2 cl = diagonale de pas 3 qui relie les sommets de l'hexagone o concour- rent les côtés de même longueur dl = diagonale de pas 3 qui relie les sommets o concourrent les côtés de longueurs différentes = angle donné par la relation: 2 arctg a/m = angle qui enveloppe l'arête du dodécaèdre au centre de la sphère circonscrite = angle qui enveloppe le segment de liaison de deux sommets non en correspondance des petites bases des trapèzes adjacents au centre de la sphère circonscrite - REVENDICATIONS 1 Procédé de fabrication de ballons obtenus par assemblage, par cou- ture, collage ou autre technique appropriée, d'une pluralité de pièces ou éléments plans, polygonaux, en matériau flexible et souple, qui for- ment une surface fermée polyèdrique qui, soumise à une pression interne, se déforme donnant lieu à une figure qui possède une forme sphérique ou à tendance sphérique, caractérisé en ce que, pour obtenir les caracté- ristiques de périmètre et de développement superficiel de chacune des pièces constitutives de ladite surface fermée et leur distribution rela- tive tout au long de celle-ci, on exécute les opérations suivantes: a) on configure un polyèdre réalisé de manière préférentielle à partir d'un dodécaèdre régulier, à faces polygonales, sur lequel on adosse, sur chacune de ses faces, un tronc de pyramide pentagonal régulier dont la grande base n'est autre que la propre face du dodécaèdre et la petite base possède ses cinq sommets sur la sphère circonscrite du dodécaèdre régulier de départ, et dont l'angle ", qui est formé par deux droites reliant chaque extrémité des arêtes des faces latérales des troncs de pyramide au centre de la sphère circonscrite du dodécaèdre de départ, adopte une valeur qui se trouve comprise avantageusement entre 16 et 23'; b) on soumet les faces trapézoidales adjacentes et opposées des troncs de pyramide cités, qui concourrent aux arêtes du dodécaèdre et qui for- meront des dièdres concaves ou convexes en fonction des caractéristiques des troncs de pyramide adoptés, à des opérations de réduction, de dépla- cement ou de projection dans l'espace, donnant des pièces hexagonales planes, en général irrégulières, qui, relièes aux pentagones réguliers, forment la base supérieure des troncs de pyramide, donnant lieu à une surface fermée susceptible de donner, par gonflage, un ballon. 2- Procédé, selon la revendication 1, caractérisé en ce que, lorsque l'angle dièdre extérieur, formé par les faces trapézoidales opposées qui concourrent aux arêtes du dodécaèdre, est inférieur à 180 , ce qui donne un polyèdre concave, chaque paire de faces trapézoidales, adjacentes et opposées, se transforme en un rectangle et deux triangles non coplanai- res, réunissant les sommets directement opposés, correspondant aux deux côtés qui forment la petite base desdites faces trapézoidales, on obtient ainsi un polyèdre qui possède les caractéristiques suivantes: - 12 faces en forme de polygone régulier -11- - 30 faces en-forme de rectangle faces en forme de triangle isocèle - 80 sommets de deux types: o concourrent les trois triangles 5. 60 o concourrent deux triangles, deux rectangles et un pentagone - 180 arêtes de trois longueurs différentes. 3- Procédé, selon la revendication 1, caractérisé en ce que, lorsque l'angle du dièdre extérieur, formé par les faces trapézoidales qui con- courrent aux arêtes du dodécaèdre, est égal à 180 , on obtient un polyèdre qui possède les caractéristiques suivantes: - 12 faces en forme de polygone régulier - 30 faces en forme d'hexagone non régulier - 80 sommets de deux types: o concourrent les trois hexagones -. 60 o concourrent deux hexagones et un pentagone - 120 arêtes de deux longueurs différentes; lequel, sans aucune autre transformation, permet d'obtenir directement les caractéristiques de périmètre et de développement superficiel de chacune des pièces qui forment le ballon ainsi que leur distribution relative dans l'espace tout au long de la superficie externe dudit bal- lon. 4- Procédé, selon la revendication 1, caractérisé en ce que, lorsque l'angle du dièdre extérieur, formé par les faces trapézoidales qui con- courrent aux arêtes du dodécaèdre, est supérieur à 180 , ce qui donne un polyèdre convexe, celui-ci présente les caractéristiques suivantes: - 12 faces en forme de pentagone régulier - 60 faces en forme de trapèze isocèle - 80 sommets de deux types: o concourrent 6 trapèzes 30. 60 o concourrent deux trapèzes et un pentagone - 150 arêtes de trois longueurs différentes. - Procédé, selon la revendication 2, caractérisé en ce que le polyèdre obtenu, subit postérieurement une transformation convertissant chaque ensemble de faces rectangulaires avec des triangles adjacents, solidaires des côtés opposés, en un hexagone plan, par rotation desdits triangles autour de leur côté de liaison au rectangle correspondant, jusqu'à ce qu'ils soient coplanaires avec ledit rectangle, lesdits hexa- gones plans proportionnant les pièces destinées à donner la géométrie au ballon, les autres faces, en forme de pentagone régulier,restant du -12côté correspondant à la petite base des faces latérales trapèzoidales des troncs de pyramide. 6- Procédé, selon la revendication 4, caractérisé en ce que chaque paire de faces trapèzoidales concourrant à une arête du dodécaèdre de départ, se transforme en un hexagone plan, par rotationdesdeux trapèzes dans les sens opposés, autour de ladite arête commune, jusqu'à ce qu'ils soient coplanaires, lesdits hexagones plans proportionnant les pièces destinées à donner la géométrie au ballon, les autres faces, en forme de pentagones réguliers, restant du côté correspondant de la petite base des faces latérales trapèzoidales des troncs de pyramide. 7- Procédé, selon la revendication 1, caractérisé en ce que, concer- nant l'angle driède formé par les faces trapèzoidales qui concourrent aux arêtes du dodécaèdre de départ, la transformation,de chacune desdites faces trapèzoidales adjacentes et opposées,en un hexagone, est réalisée par le déplacement des sommets desdites faces trapèzoidales, situés sur la surface circonscrite du dodécaèdre initial, jusqu'aux nouveaux som- mets coplanaires, selon des trajectoires établies le long de plans qui passent par le centre de la sphère circonscrite du dodécaèdre et par le centre de symétrie de l'hexagone plan résultant, situé à l'intersection de ladite sphère avec une droite qui relie le centre de la sphère avec le point médian de l'arête du dodécaèdre o concourrent les faces tra- pèzoidales correspondantes, maintenant l'hexagone résultant sur le plan tangent à la sphère circonscrite et son centre de symétrie au point de tangence. 8- Procédé, selon l'une quelconque des revendications 3,5,6 et 7, caractérisé en ce que l'on obtient un polyèdre différent de celui obtenu, * par la découpe de celui-ci par un plan qui passe par le centre du poly- èdre d'origine, perpendiculairement à la droite qui relie les centres de deux pentagones opposés, suivi d'un retournement qui sera multiple impair de 36 , ledits polyèdres étant isomères par rapport à celui d'ori- gine. 9- Ballon obtenu par la mise en oeuvre du procédé,selon la revendi- cation 8, caractérisé en ce que le polyèdre modifié dont les faces défi- nissent directement les pièces qui formeront le ballon, possède le même nombre de faces, d'arêtes et de sommets que celui d'origine c'est à dire 42, 120 et 80 respectivement avec aussi 12 faces en forme de pentagone régulier et 30 en forme d'hexagone, modifiant leur distribution en rela- tion avec les pentagones tout au long de la surface fermée, avec l'exis- -13- tence de pentagones de deux types: - 20 hexagones identiques à ceux d'origine - 10 hexagones avec une distribution différente des côtés. - Ballon obtenu par la mise en oeuvre du procédé, selon la reven- dication 5, caractérisé en ce que les pièces hexagonales planes qui le forment, sont déterminées par les paramètres a,b et m qui obéissent aux relations suivantes: a = R Cos (8 +e - C est l'angle reliant les deux extrémités des arêtes des faces laté- rales des trapèzes des troncs de pyramide, au centre de la sphère cir- conscrite du dodécaèdre de départ, dans ce cas: 0 et les hexagones ne sont pas plans. 12 Ballon obtenu par la mise en oeuvre du procédé selon la revendi- cation 4, caractérisé en ce que la pièce hexagonale est.déterminée par les paramètres a,b et c qui obéissent aux relations suivantes: a = R cos ( + ") V (10 - 2V-5) I 2 b = 2 R sin "/2 c = R +3 (V5 - l) /3 tg S = (3 + r5)/4 avec a et b: longueur des côtés et c: diagonale entre deux sommets o concourrent les côtés de longueur b, ci est l'angle reliant les deux extrémités des arêtes des faces laté- rales des trapèzes des troncs de pyramide, au centre de la sphère cir- conscrite du dodécaèdre de départ, dans ce cas: 2 arctg [(3-V-)/4] 13- Ballon obtenu par la mise en oeuvre du procédé selon la revendi- cation 3, caractérisé en ce que la pièce hexagonale obtenue est déter- minée par les expressions des revendications 8 et 9, indifféremment, la valeur O étant dans ce cas: 2 arctg [(3- /4)] -14- 14- Ballon obtenu par la mise en oeuvre du procédé selon la revendi- cation 7, caractérisé en ce que la pièce hexagonale obtenue est déter- minée -par les paramètres: cl = RX dl = R tg( = ((57/3T) cos ("+G) sin "- o tg e = (3+F5)/4 J= (1+15)/2 cl = diagonale de pas 3 qui relie les sommets de l'hexagone o concour- rent les côtés de même longueur dl = diagonale de pas 3 qui relie les sommets o concourrent les côtés de longueurs différentes = angle donné par la relation: 2 arctg a/m X = angle qui enveloppe l'arête du dodécaèdre au centre de la sphère circonscrite = angle qui enveloppe le segment de liaison de deux sommets non en correspondance des petites bases des trapèzes adjacents au centre de la sphère circonscrite