FR 2620233 A1 19890310 FR 8608165 A 19860603 La présente invention a trait aux détecteurs de vitesse angulaire vibratoires. La présente invention concerne plus particulièrement les détecteurs de vitesse angulaire vibratoires du type compre- nant un cylindre creux à paroi mince en un matériau élastique, libre à une extrémité et fixé nominalement à l'autre extré- mité. Le détecteur comprend en outre des organes d'attaque destinés à induire des vibrations à prédominance radiale dans la paroi du cylindre, de tels organes d'attaque comprenant O typiquement quatre transducteurs piezo-électriques ?ixés à la paroi du cylindre en des positions circonférentielles équidistantes et des positions axiales correspondantes. Nor- malement, une paire des transducteurs-diamétralement opposés constitue une paire d'attaque de transducteurs et l'autre paire diamétralement opposée de transducteurs est utilisée pour contrôler les vibrations produites par la paire d'atta- que et pour stabiliser ladite attaque. En fonctionnement, lorsque le cylindre tourne autour de son axe longitudinal, les vibrations à prédominance radiale de la paroi du cylindre O induisent des forces de Coriolis tangentielles qui décalent les noeuds des vibrations autour de la circonférence de la paroi du cylindre. Ce décalage est détecté par des organes sensibles qui, typiquement, comprennent quatre autres trans- ducteurs piézo-électriques montés en des positions circon- férentielles centrales équidistantes entre les quatre trans- ducteurs d'attaque, c'est-à-dire sur les positions des noeuds des vibrations produites par les transducteurs d'attaque lorsque le cylindre est au repos. Les organes sensibles pro- duisent alors un signal de sortie proportionnel à la vitesse O de rotation du détecteur. La présente invention vise donc un détecteur de vitesse angulaire vibratoire dans lequel les organes d'atta- que et les organes sensibles sont dans une position telle qu'ils rendent maximal le couplage entre les organes d'attaque et les organes sensibles avec les vibrations de la paroi du cylindre. Conformément à la présente invention, le détecteur Il 2620233 de vitesse angulaire vibratoire comprend un corps en un maté- riau élastique comportant une partie cylindrique creuse de section et d'épaisseur de paroi sensiblement uniformes le long de sa longueur, ainsi qu'une base qui supporte de façon pratiquement rigide une extrémité de ladite partie cylindri- que; et des organes d'attaque et des organes de détection pour l'induction de vibrations radiales dans ladite partie cylindrique et la détection de variations dans lesdites vibra- tions en réponse à la rotation du corps autour de l'axe de ladite partie cylindrique, ledit détecteur étant en outre caractérisé par le fait que les organes d'attaque et de détec- tion comprennent des transducteurs fixés à la paroi de la partie cylindrique en des positions adjacentes à la base, ces positions étant telles que l'intégrale f(exx +eg)dx telle qu'elle sera définie ci-après, présente une valeur négative de manière prédominante. Dans une forme préférée de réalisation de l'invention, les organes d'attaque et les organes de détection comprennent huit transducteurs piezo-électriques fixés à la partie cylin- drique en des positions circonférentielles équidistantes et en des positions axiales correspondantes, autour de la paroi de la partie cylindrique. Dans une telle forme de réalisation, chacun desdits transducteurs sous-tend de préférence un angle au centre sen- siblement égal à 45'. La base de la partie cylindrique présente de préfé- rence une surface de section qui n'est pas inférieure à celle de la partie cylindrique. D'autres caractéristiques et avantages de la présente invention ressortiront mieux de la description qui va suivre, donnée à titre d'exemple, en regard des dessins annexés sur lesquels: la figure 1 est une vue schématique en coupe du détecteur; la figure 2 représente un schéma synoptique du cir- cuit électrique associé au détecteur de la figure 1; la figure 3 représente une vue en plan schématique j 2620233 du détecteur, illustrant sa vibration en fonctionnement; la figure 4 représente un graphique illustrant la notation utilisée dans l'analyse du fonctionnement du détec- teur de la figure I; les figures 5, 6 et 7 représentent des graphiques illustrant les déplacements et la distribution des contrain- tes dans le détecteur de la figure I; et les figures 8 et 9 représentent des graphiques illus- trant les déplacements et la distribution des contraintes dans un détecteur sans immobilisation d'une extrémité. En se référant à la figure 1, le détecteur comprend un corps 1 en un matériau élastique, par exemple un métal tel que l'acier, comportant une partie cylindrique 3 à paroi mince de section et d'épaisseur de paroi uniformes le long de sa longueur, ainsi qu'une base 5 qui ferme et qui suppor- te rigidement une extrémité de la partie cylindrique 3. La partie de base 5 du corps 1 est boulonnée rigidement sur une plaque support 7. Le détecteur comprend en outre huit transducteurs O piezoélectriques 9 fixés sur la surface extérieure de la partie cylindrique 3 du corps 1 en des positions circonfé- rentielles équidistantes et des positions axiales correspon- dantes. En se référant à la figure 2, en fonctionnement, !5 le détecteur est excité de manière à vibrer par application de tensions d'une fréquence donnée sur une paire diamétra- lement opposée 9A de transducteurs 9 à partir d'un circuit d'attaque et d'une boucle à blocage de phase 11. La paire dia- métralement opposée 9B de transducteurs 9 à angle droit par rapport aux transducteurs 9A contrôle la vibration et fournit un signal d'entrée à la boucle 11 afin de stabiliser l'atta- que. La sortie du détecteur est dérivée par l'intermédiaire d'un circuit de détection 13 et d'un filtre 15 à partir d'une troisième paire diamétralement opposée 9C des transducteurs 9, le signal de sortie des transducteurs 9C étant également appliqué à la quatrième paire diamétralement opposée 9D des transducteurs 9 par l'intermédiaire d'un circuit d'amortis- sement 17. Comme illustré sur la figure 3, en fonctionnement, lorsque le détecteur est au repos, l'excitation dudit détec- teur produit des vibrations radiales, telles que représen- tées avec exagération sur la figure 3 par un trait discon- tinu 19, dont les noeuds coincident avec les positions des paires de transducteurs de sortie 9C et 9D. Lorsque le détec- teur tourne autour de l'axe de la partie cylindrique 3, les vibrations radiales sont soumises à des forces de Coriolis tangentielles. Il en résulte que les noeuds des vibrations se décalent autour de la circonférence du cylindre 3, produi- sant ainsi un signal de sortie sur la paire de transducteurs de sortie 9C et 9D, signal proportionnel à la vitesse de rotation du détecteur. La présente invention vise le choix des positions des transducteurs 9 ainsi que la forme de la partie de base du détecteur. Conformément à l'invention, les transducteurs sont en une position adjacente à la base 5, au lieu d'être dispo- sés à l'extrémité ouverte de la partie cylindrique 3 comme c'est le cas dans les détecteurs usuels de vitesse angulaire vibratoire, et la base 5 est destinée à fixer l'extrémité adjacente de la partie cylindrique 3 rigidement, plutôt qu'en montage flottant. La présente invention est basée sur une analyse des vibrations qui se développent dans la partie cylindrique 3 en fonctionnement, et qui sera maintenant décrite en réfé- rence à la figure 4 en utilisant la notation suivante: a est le rayon moyen de la partie cylindrique 3; hest l'épaisseur de paroi de la partie cylindrique 3; 1 est la longueur de la partie cylindrique 3; E est le module d'Young; Vest le rapport de Poisson; pest la densité du matériau de la partie cylindri- que; et f est la fréquence naturelle. La figure 4 représente un point P fixe à mi-surface S- du cylindre 3 en une position donnée par les coordonnées (x, 9). Les axes locaux en P sont donnés par Pxcyczó, avec Px parallèle à l'axe du cylindre Ox et Pz le long de l'axe c c normal extérieur en P. L'axe Pyc est orthogonal à Px czc et dans le sens longitudinal par rapport au cercle générateur au point P. Le déplacement de ce point dû à la déformation du cylindre est défini par le vecteur u = (u1,u2,u3), les composantes u. étant prises le long de la direction de l'axe Px cYcZcÀ QO Les équations présidant à la vibration libre du cylindre sont dérivées en résolvant l'équation de variation 6f (T - V)dt = 0 (1) Dans l'équation (1) T et V sont les énergies cinét- ques et de contrainte qui sont données par T = Pha f {u12 + u22 + u32} dxdog O0 et t 2 V = Eha 2 2I V 1_ 02) = { (Sl + S22)2 - 2 (1-o)(S11S22-4 12) 2(1-U2) + Eh{a (K1+K2)2 - 2(1-u)(K1K2 -T 2)} dxd@ (2) 24(1-u2) O o: S du. dx I du2 + u3 522 a c dx a S sont les contraintes directe et de cisaillement à mi-surface en P et du K1 = -3 dx2 K _ 1 d (1 du3 - u3) 2 a de a d ad d (du3 - u) a dx de 3) sont les courbes de surface et de torsion en P. Pour résoudre (1) en utilisant les équations (2), on suppose que les déplacements du cylindre peuvent être écrits sous la forme modale. u1 = "U1(x)cos n i sin wt u2= CU2(x) sin n O sinwut (3) u3 = 4U3(x) cos n 9 sin t o West la fréquence naturelle, n est le nombre de mode cir- conférentiel et U. (x) sont des fonctions qui décrivent la i manière dont les déplacements varient le long de la longueur du cylindre. En choisissant U3(x) tel que U3(1) = 1, la quan- tité q à interpréter est l'amplitude du déplacement radial à x =. Si les équations (2) et (3) sont substituées dans l'équation (1) et que l'on applique le calcul des variations, les équations différentielles pour Ui(x) et les conditions i limites relatives à la fixité du cylindre pour x = 0 sont déterminées. Les équations pour U. sont: I d2 U + d3 + n(1 +0 dU2 (1-U)n2U1 + a3 (1 -U)w2 UI+0 de d2 dt 2 E I - 0 I -U h 2 dU n2 h 2 { 1 + ___} - (n2 +_ (_)) U2 2 t a d42 12 a (1 +u) n dU + (2- ') n (h) 2 d2U{n+ n3 (h)2 3 2 d.12 a d2 12 a + Pa2 (1-u 2)W 2U2= 0 E n2 h d2U n4 h z (2-à)n h d2U 1-h)2n() 2d3 + (1 +))U (y t - - (..)Z z3 + _(h))%J3 12 a 6 a d. 2 12 a 12 a d + (n + (n) U2 + s aU- pa (1 - u 2) w2U3 0 (4) 12 a d E 1 a Pour un cylindre fixé rigidement à x = 0 et libre à x = ú, les solutions de l'équation (4) doivent satisfaire les conditions limites: U1 =0 U2 0 U - 0 U3 0 dU3 0 - = 0 à =0 et --d1 + (U3 + nU2) = 0 d'3 2 d% dU2u I1n dU dU d-U2 - nU1 ± 1 2n -3 + 2) =0 (5) 0 3 ddU d2__3 -) n(nU3 + U2) = 0 3U UU3 + dU d3U3 - (2) n ( dU + d = = d k3 d%----)= à =-t Si la flexibilité de la base est introduite pour permettre la liberté de rotation du cylindre, la condition dU3 = 0 est d% remplacée par d2 U + -3 = vn(nU3 U2) d2 2 La solutionàl'équation (4) est prise sous la forme Uj() = Aj exp (X) j 1,2,3 (6) o Aj et > sont des constantes inconnues. La substitution dans les équations différentielles (4) donne trois équations linéaires simultanées de la forme Lij (, u) Aj = 0, i = 1,2,3 (7) = 1 o les éléments de la matrice L sont des fonctions des pro- priétés matérielles P. E et Y et du paramètre non dimension- h nel (a) du cylindre. Le paramètre > suit à partir de l'équation (7) sur les racines d'un polynome réel de quatrième ordre en 2 correspondant à det (Lij) = 0 (B) Pour chaque terme XK (K = 1...B) déterminé à partir de l'équation (8), les rapports B1 = A1/A3 et B2 = A2/A3 sont trouvés par substitution dans l'équation (7). La solution de l'équation (6) pour chaque Xve est alors superposée pour donner: Uj (t) = SajK KK expe) j = 1,2,3 (9) K=1 o a j j = 1,2 ajk j 3 et C sont des constantes inconnues. k Les conditions de fixation aux extrémités du cylin- dre sont maintenant utilisées pour déterminer Ck. La substi- tution de l'équation (9) dans l'équation (5) donne un jeu de huit équations linéaires simultanées de la forme Pi; Cj = 0 i = 1....B (10) j=l des solutions non triviales pour C. ne sont possibles que si det (Pij) = 0 (11) La fréquence naturelle tu et les facteurs XK sont déterminés à partir de la solution simultanée des équations (B) et (11), ce qui ne peut être fait que numériquement. - Lorsqu'on a trouvée etc K, les rapports Ck/C8 sont calculés à partir de l'équation (10). La fonction U. peut alors être interprétée comme les formes de mode axial et elle peut être écrite sous la forme: U () = ab exp (Ak) j =1,2,3 (12) K=l ob cK/8 h = 1..... 7 A12 o bK = K Le paramètre est choisi pour donner U3 (-)= 1. Un programme d'ordinateur peut être écrit afin de résoudre les équations (8) et (11) et afin de déterminer les fonctions Uj() Afin de s'assurer de la capacité des transducteurs piézo-électriques d'attaquer le cylindre et de fonctionner comme capteurs,il est nécessaire de déterminer, en utilisant les équations (2) et (12) la contrainte directe Exx et ú@B en certains points de la surface extérieure du cylindre. Ces contraintes sont données par: Exx = Sli l K1 xx Il 2 I (13) ú&S = S22 2 2K et elles sont des fonctions de x et 2 sous la forme Exx = ixx cos n ( (1 4) Eeg = 9@ cos n a Les quantités Exx et e99 peuvent tre calculées dans un programme d'ordinateur. En utilisant l'analyse ci-dessus, pour un cylindre d'acier (E = 210 x 109 n/m2 et V = 0,3) ayant h = 0,5 mm, a = 6,25 mm et. = 12 mm, une extrémité étant rigidement fixée sur la base, on trouve que la fréquence naturelle f du mode n = 2 est de 22,8 kHz. Les déplacements du cylindre (formes de mode) et les distributions de contraintes directes le long de l'axe du cylindre sont tels que représenté sur les figures 5 et 6. La fonction de"dilatation"(Exx + Ag@), qui concerne le couplage piézo-électrique selon le mode vibration est telle que représentée sur la figure 7. Pour un cylindre similaire avec son extrémité côté base articulée par rapport à ladite base plutôt que rigidement fixée sur cette base, la fréquence naturelle de vibration est de 8 kHz et les déplacements et les distribu- tions de contraintes sont tels que représentés sur les figures 8 et 9. De ce qui précède, l'importance de la rigidité de la partie de base et son effet sur les caractéristiques vibratoires du cylindre sont clairement démontrées. Du fait que la partie cylindrique 3 doit être produite avec des caractéristiques dynamiques reproductibles, on peut voir que la base 5 doit être étudiée de telle façon que la rigi- dité de la base ne dépende pratiquement que des propriétés du matériau plutôt que de la forme exacte de la structure de support, c'est-à-dire que la base doit être suffisamment massive pour fixer l'extrémité adjacente de la partie cylin- drique de manière rigide, comme illustré sur la figure 1. A cet effet, la partie de base 5 ferme de préférence l'extré- mité de la partie cylindrique 3 et, par conséquent, elle présente une surface de section au moins aussi grande que celle de la partie cylindrique 3. En ce qui concerne les positions des transducteurs, les possibilités du détecteur peuvent être supposées comme suit: L'ensemble d'attaque formé par les transducteurs piézo-électriques 7 fixés à la surface de la partie cylin- drique 3 peut être pris en compte en considérant le travail effectué par un transducteur 9 dans l'excitation selon le mode n = 2. En utilisant les résultats donnés dans un livre intitulé "Design of Resonant Piezoelectric Transducers" par R. Holland et E.P. Eer Nisse publié par MIT Press, on peut montrer que la fonction de travail W associée à un transduc- teur 9 peut être écrite sous la forme W = ave rA(e xx + E..)dxdG = avef (Cxx + eg)dxf cos2 8dE (15) o V est la tension appliquée, e est le coefficient de cou- plage piézo-électrique, A est la surface du transducteur et (E X,óBB) représente les contraintes directes dans le transduc- teur. Pour interpréter l'équation (15), on supposera que le transducteur est mince et que les contraintes sont les mêmes que celles intervenant sur la surface du cylindre. En clair, le couplage selon le mode est déterminé par les valeurs des intégrales f (Exx + eB)dx et r cos 29dO et, pour un couplage maximum, ces valeurs doivent être aussi grandes que possible. Pour chaque transducteur 9, on a fcos 29d2, o a est l'angle au centre sous-tendu par le transducteur. Du fait que huit transducteurs 9 sont fixés autour de la cir- conférence de la partie cylindrique 3, a est limité à 121 Pour un couplage maximum, g doit être proche de 45'. Pour un angle aussi grand, les transducteurs 9 doivent être courbés, avec une courbure complémentaire de celle de la partie 3. On peut obtenir ce résultat, par exemple, en fixant tout d'abord un anneau polarisé radialement de matériau piézo- électrique sur la surface de la partie cylindrique 3, puis en formant les transducteurs 9 au moyen d'encoches équidis- tantes sur l'anneau selon des incréments de 45'. La longueur axiale d'un transducteur 9 et sa posi- tion sur la partie cylindrique 3 par rapport à la partie de base 5 pour un couplage maximal sont déterminées par la valeur de f ( xx + eBC)dx. La figure 7 représente la manière dont la fonction de.dilatation (e xx + CES) varie le long de la longueur du cylindre pour un cylindre d'acier ayant les dimensions a = 6,25 mm, h = 0,5 mm, 1 = 12 mm. Sa forme indique que le couplage peut être amené à une valeur optimale selon l'une des deux manières suivantes: 1 ) Si l'arête inférieure d'un transducteur 9 est alignée avec l'extrémité du cylindre 3, la figure 7 montre que sa longueur peut être augmentée jusqu'à une valeur qui amène son arête supérieure à un point X o E xx c09est égal à zéro. Dans ce cas, f(exx +4e)dx sera négatif. La vérifi- cation des termes Lxx et e5e pour cette région montre que la contrainte axiale est généralement plus grande que la contrainte circonférentielle et que le mode est excité en introduisant des contraintes de courbure "en balancier" le long de la longueur du cylindre; 2') Cas o l'arête supérieure du transducteur est alignée avec la partie supérieure du cylindre 3. Sa lon- gueur peut alors être augmentée jusqu'à son arête inférieure au point X. Dans cette situation, les contraintes circon- férentielles sont dominantes et le mode est excité en intro- duisant des contraintes de courbure circonférentielle qui tendent à distordre la section circulaire du cylindre. Le dernier cas ci-dessus (2') constitue bien entendu l'arrangement usuel connu. On peut voir que pour des transducteurs dont la lon- gueur atteint environ 3 mm, le mode est mieux excité en plaçant les transducteurs à la base du cylindre 3 adjacente à la partie de base 5. Le couplage selon le mode est alors environ 20 % supérieur par rapport à l'arrangement du cas 2') ci-dessus. Le fait de placer les transducteurs 9 de manière adjacente à la partie de base 5 présente l'avantage supplé- mentaire de ne pas nécessiter de conducteurs longs destinés à connecter les transducteurs au circuit associé. Il y a lieu de noter que la discussion ci-dessus s'applique aussi bien à la situation o les transducteurs induisent des vibrations et à la situation o les transducteurs agissent comme capteurs pour détecter des vibrations. L'analyse ci-dessus indique en outre que lorsqu'on applique une accélération linéaire le long d'un axe perpen- diculaire à l'axe de détection, on produit des déplacements de la forme générale: U1: Ux(x,t) cos 9 D5 U2 Uy(x,t) sin (16) 2 y (16) U3 = Uz(x,t) cos 2 Du fait de cette variation avec 9, ce mouvement est orthogonal par rapport à la vibration de détection princi- pale du cylindre 3. Les fonctions Ux, U et U dépendent y z de la forme détaillée de l'accélération, c'est-à-dire cons- tante ou harmonique. On peut conclure cependant à partir des équations 16 que ces déplacements ne forment que des termes d'erreur, c'est-à-dire produisent un signal de sortie 15. qui n'est pas distingable de celui formé par une vitesse de rotation si les deux conditions suivantes sont satis- faites: (a) l'accélération présente un contenu harmonique au voisinage immédiat de la fréquence de fonctionnement du cylindre (b) les transducteurs capteurs sont physiquement désalignés ou déséquilibrés électriquement. Une accélération constante n'engendrera par consé- quent pas d'erreurs de type "g" de la même façon que le dis- positif usuel de détection de vitesse angulaire de roue gyroscopique. REVENDICATIONS 1. Détecteur de vitesse angulaire vibratoire, du type comprenant: un corps (1) en un matériau élastique présentant une partie cylindrique creuse (3) de section et d'épaisseur de paroi sensiblement uniformes le long de sa longueur, une partie de base (5) supportant rigidement une extrémité de ladite partie cylindrique (3); et des organes d'attaque et des organes de détection (9) pour l'induction de vibrations radiales dans ladite partie cylindrique et la détection de variations desdites vibrations en réponse à la rotation du corps (1) le long de l'axe de ladite partie cylindrique (3), caractérisé par le fait que les organes d'attaque et les organes de détection (9) sont constitués par des transducteurs (9) fixés à la paroi de la partie cylindrique en des positions adjacentes à la partie de base (5), lesdites positions étant celles auxquelles l'intégrale (Cxx +E0)dx, dans laquelle cxx et E représentent la contrainte directe, présente de manière prédominante une valeur négative. 2. Détecteur selon la revendication I1, caractérisé par le fait que les organes d'attaque et les organes de détection sont constitués par huit transducteurs piézo-élec- triques (9) fixés à la partie cylindrique (3) en des posi- tions circonférentielles" équidistantes et des positions axiales correspondantes autour de la paroi de ladite partie cylindrique (3). 3. Détecteur selon la revendication 2, caractérisé par le fait que chacun des transducteurs (9) occupe une posi- tion occupant un cOté d'une ligne selon laquelle le terme xx + ea est égal à zéro. 4. Détecteur selon l'une des revendications 2 ou 3, caractérisé par le fait que chaque transducteur (9) occupe une position telle qu'une de ses arêtes est alignée avec l'extrémité de la partie cylindrique (3) supportée par la partie de base (5). 5. Détecteur selon l'une quelconque des revendica- tions 2 à 4, caractérisé par le fait que l'angle au centre À4i 2620233 sous-tendu par chaque tran.sducteur est sensiblement égal à 45'. 6. Détecteur selon l'une quelconque des revendica- tions 1 à 5, caractérisé par le fait que la partie de base (5) présente une surface de section qui n'est pas inférieure à celle de la partie cylindrique (3). 7. Détecteur selon la revendication 6, caractérisé par le fait que la portion de base (5) ferme l'extrémité de la partie cylindrique (3).