FR 2516273 A1 19830513 FR 8218681 A 19821108 La présente invention concerne un procédé de con- ception d'un dispositif de commande de palier magnétique utilisable pour un palier magnétique du type à commande à cinq degrés de liberté, qu'on peut employer pour une pompe turbo-moléculaire, une broche de machineoutil, ou un maté- riel analogue La conception de ce dispositif fait interve- nir les opérations suivantes: on établit une équation fon- damentale (équation d'état) concernant l'objet cormmandé, sur la base d'une structure générale du palier, et on l'analyse à la manière d'un problème de régulateur optimal, corme l'enseigne la théorie moderne des asservissements, de façon à minimiser l'énergie d'entrée qui est nécessaire à la com- mande du dispositif commandé. La figure 1 est une représentation montrant une structure générale d'un palier magnétique du type à commande à cinq degrés de liberté Sur la figure 1, la référence 1 dé- signe un capteur de position axiale destiné à détecter la po- sition d'un corps tournant, dans la direction de l'axe, la référence 3 désigne un repère correspondant au capteur de po- sition axiale 1, monté sur le corps tournant 2, la référence 4 désigne un moteur destiné à faire tourner le corps tournant 2, la référence 5 désigne un disque d'armature monté sur le corps tournant 2, la référence 6 désigne un électro-aimant de direction axiale destiné à exercer sur le disque d'armature 5 une force de commande dans la direction axiale, les référen- ces 7 et 8 désignent des paliers magnétiques de direction ra- diale et les références 9 et 10 désignent des capteurs de po- sition de direction radialeo La figure 2 représente un mode de réalisation du système de commande pour le palier magnétique du type à com- mande à cinq degrés de liberté conçu de la manière représen- tée sur la figure 1 o La configuration du système de commande est décrite dans le brevet FR 2 149 644 Ce système comporte une boucle de réaction et le mouvement de translation paral- lèlement à l'axe de rotation du corps tournant est séparé du mouvement de rotation par rapport au centre de masse du corps tournant Sur le dessin, la référence 11 désigne un addition- neur relatif à une paire de capteurs de position de direction 16273 radiale X et XI ou X et XI et la référence 12 désigne un additionneur destiné à effectuer l'opératio:e d'addition des signaux de sortie des additionneurs il Le sigral de sortie de l'additionneur 12 est représentatif du mouvement de trans- lation dans la direction de l'axe X et il est appliqué à un circuit de compensation d'avance de phase 13 Le signal de sortie du circuit de compensation d'avance de phase 13 est appliqué à des additionneurs 14 et 19 dont les signaux de sortie commandent un amplificateur de puissance 29 oui atta- que des bobines d'électro-aimant f 1 A, A 2 et Al, D'une manière similaire, un dispositif de commande destiné à res- treindre le mouvement de translation dans la direction Y comprend des additionneurs 20 et 21, un circuit de compensa- tion d'avance de phase 22, des additionneurs 23 et 28 et l'amplificateur de puissance 29 qui commande la puissance appliquée aux bobines d'électroaimant B 1, B'1 B et B' 1 ' 2 2 On obtient une composante de signal du mouvement autour du centre de masse du corps tournant en addition- nant au moyen d'un additionneur 16 le signal de sortie d'un inverseur 15 et le signal de sortie de l'additionneur 11 re- latif aux capteurs de direction radiale X 2 et X;' Le signal de sortie de l'additionneur 16 est appliqué à un circuit de compensation d'avance de phase à large bande, 17, dont la sortie attaque la bobine d'électroaimant A, ou A', tandis que la bobine d'électro-aimant A 2 ou A est attaquée par le signal de sortie d'un inverseur 180 Le dispositif de comman- de considéré ci-dessus restreint le mouvement de rotation autour de l'axe ( 3 Y passant par le centre de masse du corps tournant D'une manière similaire, la commande du mouvement autour de l'axe X est accomplie par le dispositif de comman- de comprenant l'additionneur 20, un inverseur 24, un circuit de compensation d'avance de phase à large bande, 26, un in- verseur 27 et l'amplificateur de puissance 29 La bobine d'électro-aimant B ou Bl est attaquée par le signal de sor- tie de l'amplificateur de puissance 29 et la bobine d'élec- tro-aimant B 2 ou B 2 est attaquée par le signal de sortie de l'inverseur 27, de façon à procurer la commande désirée. Pour accomplir la commande de restriction du mou- vement selon l'axe Z, c'est-à-dire la direction axiale du corps tournant, on applique les signaux des capteurs de po- sition de direction axiale Z 1 et Z 2 à un additionneur 30, et un circuit de compensation d'avance de phase 31 produit le signal de commande qui correspond au signal qui lui est appliqué On attaque une bobine d'électro-aimant G 2 en com- mandant l'amplificateur de puissance 29 ' conformément au signal de commande mentionné ci-dessus, et on applique le signal de sortie du circuit de compensation d'avance de pha- se 31 à l'inverseur 32 On commande l'amplificateur de puis- sance 29 ' par le signal de sortie de l'inverseur 32 pour at- taquer la bobine d'électro-aimant O 1 On peut ainsi réaliser la commande qui restreint le mouvement dans la direction de l'axe Z. La figure 3 montre la signification des symboles X 1, x 4, O A 1, AI qui sont utilisés dans l'explication du schéma synoptique du dispositif de commande qui est re- présenté sur la figure 2 Sur la figure 3, la référence 33 désigne un corps tournant, les références J? 1, P 2 désignent des paliers magnétiques de direction radiale et la référence P 3 désigne un palier magnétique de direction axiale Les références A 1, Al désignent des positions de montage de bo- bines d'électro-aimant de direction verticale, pour le pa- lier magnétique de direction radiale, et les références 1 et B' désignent des positions de montage de bobines d'élec- tro-aimant de direction horizontale pour le palier magnéti- que de direction radiale Les références C 1 et C 2 désignent des positions de montage de bobines d'électro-aimant pour le palier magnétique de direction axiale PJ 3 Sur la figure 3, les directions des flèches indiquent la direction de la force électromagnétique X 1 et X 1 forment une paire de dé- tecteurs de position qui sont des éléments de structure du palier Pl et qui sont placés dans la direction verticale. Y 1 et YI forment une paire de détecteurs de position qui sont placés en direction horizontale De façon similaire, X 2, XI et Y 2, Y 2 sont des paires de détecteurs de position qui font partie de la structure du palier P 2 et Z 1, Z 2 for- ment une paire de détecteurs de position qui font partie de la structure du palier P 3 e Avec la configuration du dispositif de commande qui est représentée sur la figure 2, il est possible de com- mander trois mouvements de translation, en plus des mouve- ments autour de l'axe de rotation du corps tournant et de deux mouvements de rotation autour du centre de masse Ce- pendant, lorsque des mouvements de précession et de nutation se produisent dans le corps tournant, à cause d'un effet gyroscopique, cette configuration n'est pas capable de mat- triser effectivement ces mouvements La raison en est la suivante Lorsque par exemple un mouvement de rotation au- tour de l'axe X se produit à cause de l'effet gyroscopique pendant la rotation à vitesse élevée du corps tournant 33, ce dernier commence à tourner autour de l'axe Y Cependant, dans le système de commande représenté sur la figure 2, au- cune commande n'est exercée dans le but de supprimer cet ef- fet. L'invention a pour but de réaliser un système de commande qui soit capable de supprimer rapidement la préces- sion et la nutation dues à l'effet gyroscopique Le système de commande de l'invention correspond au résultat obtenu par l'application du problème du régulateur optimal, tel que l'enseigne la théorie moderne des asservissements On par- vient à une conclusion remarquable en tenant compte dans l'analyse de la structure interne de l'objet commandé. L'invention sera mieux comprise à la lecture de la description qui va suivre d'un mode de réalisation et en se référant aux dessins annexés sur lesquels: La figure 1, déjà décrite, montre une structure courante de palier magnétique pour une commande à cinq de- grés de liberté, La figure 2, déjà décrite, est un schéma montrant la structure du circuit du système de commande, La figure 3, déjà décrite, est une représentation montrant la position de montage de bobines d'électro-aimant ou de capteurs de position, La figure 4 est un schéma montrant le circuit de réaction optimal de l'invention, La figure 5 montre un système de coordonnées qui est utilisé dans l'analyse, La figure 6 montre le régulateur optimal d'un sys- tème à un degré de liberté, la figure 7 est un schéma d'un circuit montrant une structure interne d'mun objet à corman- der, la figure 8 est un schéma montrant un exemple de con- figuration de circuit conforme à l'invention, et La figure 9 est un graphique montrant la forme de la réponse. On voit sur la figure 4 un schéma synoptique du système de commande de l'invention qui permet d'atténuer la précession et la nutation On trouvera ci-après la descrip- tion du processus conduisant au schéma synoptique représenté sur la figure 4. Sur la figure 5, le corps tournant 34 est un corps rigide à symétrie axiale qui est symétrique par rapport au centre de masse G, et le corps 34 tourne autour de l'axe de rotation avec une vitesse angulaire constantewz, sous l'ef- fet d'un moteur Le système de coordonnées O-XYZ est déter- miné de façon que la position du centre de masse G du corps tournant 34, lorsqu'il est équilibré, soit prise comme ori- gine, et de façon que l'axe de rotation coincide avec l'axe Z Si on représente par Fk (k= 1,, 10) la force d'attrac- tion d'un électro-aimant, on peut écrire de la façon suivan- te l'équation du mouvement du corps tournant 34, en négli- geant les termes d'ordre élevé, à partir de O 2 x et 2 y: m'G=F 1-F 3 +F 5-F 7 ( 1) m'G=F 2-F 4 +F 6-F 8 ( 2) mfi G=F 9-Fo 10 ( 3) Ir Gy-Iaez Ex=î(F 1-F 3-F 5-F 7) ( 4) Ir Sx+Iawz Ày: (-F 2 +F 4 +F 6-F 8)( 5) Avec: m: masse du corps tournant Ia: moment d'inertie autour de l'axe de rotation Ir: moment d'inertie autour du diamètre passant par le centre de masse. (x G, y G, z G (ex, e La force d'attraction ): coordonnées du centre de masse du corps tournant : distance entre le centre de masse et le point d'application de la force électromagnétique, y): valeur du déplacement angulaire autour des axes X et Y du corps tournant, F de l'télectroaimant s'exprime sous la forme suivante: F = Ki /d (K> 0,,e>l, > 1) ( 6) dans laquelle: d = espace entre l'électro-aimant et le corps tournant i = courant d'excitation de l'électro-aimant. En développant l'équation précédente au voisinage de la condition d'équilibre, on obtient l'équation suivante F = F + Ki 4 iKd 4 d ( 7) avec, F= Ki P /d' Ki =P Ki P li/d Kd = d 6 KP/2 + 1 H Ai: valcur de la variation infinitésimale de i A d: valeur de la variation infinitésimale de d Si l'équation ( 7) est applicable à n'importe quel électro-aimant et si on représente par ik (k=l, 2, 10) les valeurs de variation du courant d'excitation de chaque électro-aimant, on peut écrire les équations ( 1) à ( 5) sous la forme: X = Ax + Bu ( 8) avec, X = XTXT x TlT x X EXG, XGlT X@= lyg gx' G xlT XY: lYG' YGlT " u = Ei-i 3, i 5-i 7, i 2 i 4 i 6-i 8 lT AP O O - P A = O Ag O Ap= O O 04 Kd/m U O A P 0 J 0 1 O O 1 14 K_/Iro O wu Ia/ir| 0 o O 1 % O -wz Ia/r 4 Kdg rO J Foi/m KU/Iro o a I B O i/m OO-i O a a o O l O o o o_,_ _ _ I o 00 O Oi O Ki/m t Q 0 0 0 0 Eiú,W 1 O Ki/Mi On va maintenant considérer le problème consistant à trouver la variable d'entrée u(t) qui minimise la forme quadratique suivante d'une fonction d'estimation, lorsque l'objet à commanderest dans un état initial quelconque X(O) Jc = 4 (XT QX + T Ru)dt ( 9) avec: Q: matrice non négative R: matrice positive Si on considère la symétrie du système, il est rai sonnable de sélectionner la forme suivante: Q = diag (qd q V q q W, qe, q W, qd q V) R diag (r, r, r, r) ( 10) d v a, w r O q, q,q q,r > Si on récrit la variable d'entrée de la façon sui- vante: u (il-i 3) +(i 5 i 7)(il i 3) (i 5 i 7)_ (i 2 4) (i 6-i 8)(i 2-i 4) +(i 6-i 8)lT( 11) et si on récrit également les équations ( 8) et ( 9), on peut décomposer finalement le problème du régulateur optimal du système décrit par l'équation ( 8) en deux problèmes de régula- teur optimal d'un système à un degré de liberté et en un pro- blème de régulateur optimal d'un système à deux degrés de li- berté. Dans ce cas, si on choisit correctement Ap, bp, up, Qp et r par rapport à la direction de l'axe du corps tournant, on peut déduire aisément que ces problèmes se ramènent au problème du régulateur optimal d'un système à un degré de li- berté. Lorsque l'objet à commander est décrit par l'équa- tion suivante: Xp = Ap Xp + bpup ( 12) Ad = _ le problème du régulateur optimal d'un système à un degré de liberté est équivalent à trouver le up qui minimise la fonction d'estimation suivante: no T r 2 Jp= jo(X p Qp Xp + up) dt ( 13) dans laquelle, lorsque Xp = Xs, up = i 1 i 3 + i 5 i 7, lorsque Xp=Xy, up=i 2-i 4 +i 6-i 8 bp=lO,Ki/m T, Qp=diag(qd,qv), lorsque 4 Kd/m=Da, Ki/m=/3, 2 qd/r=rd, 2 qv/r=rv, la valeur d'entrée up qui minimise la valeur de Jp est don- l O née par l'équation suivante: Up lP 12 ' P 22 lX P 12: (Cî+ o(t 132 d) /,3, P 22 = 2 P 12 +v ( 14) Le régulateur optimal du système à un degré de li berté aura donc la configuration représentée sur la figure 6. Sur cette figure, la référence 35 désigne un objet à comman- der et la référence 36-désigne un compensateur par réaction. Dans ce système à régulateur optimal, la réaction pour le déplacement et la vitesse est appliquée à l'objet 35 qui a un p 8 le instable S = + J Il en résulte que le système prend un état stable ayant une caractéristique d' atténuation ap- propriée On peut régler la valeur de l'atténuation par le choix de la matrice de pondération. D'autre part, lorsque l'objet à commander est dé- crit par la relation: À 25 %: A=xe + Bu, ( 15) le problème du régulateur optimal à deux degrés de liberté est équivalent au problème consistant à trouver le terme U O qui minimise la fonction d'évaluation suivante: J = Dû (' e + X î +r 2 uueu)dt ( 16) JQ:f'7 (x(%x 9 + r T ( 16) avec, u: i 1 i 3 i 5 + i 7, -i 2 + i 4 + i 6i 8 lT 0 l Kit/Ir O O T BO:0 O O Kig/Ir J QG = diag(q 9,'qw qq' qw) Le problème du régulateur optimal d'un s,-stm-e à deux degrés de liberté est lié à un effet gyroscopique qui se produit dans le corps tournant On va maintenant décrire en détail la configuration du régulateur optimal. Pour obtenir une solution commune, on utilise les quantités de référence suivantes to Ir/4 Kda 2 Qo "" a/ p i o 4 Kdd/Ki = 4 ai/P l O et les variables sans ii-ensions: t (:t/te), Oz(Ox/o), y O Yr/8 OU u Ou/A). Lorsque les caractéristiques dynamiques de l'objet à commander sont décrites par la relation xo:Ao xa ±Bd uo * Xe= Ao ze + Bd'U a on détermine la grandeur d'entrée de commande U O (T) en mini- misant la fonction d'évaluation suivante: J* (x 3 Qt Xa+d 4 oue)dt avec: Z =C Y 1 O YT Ue =CU#1,Ud 2 JT 2 1 O O 1 O O k O 000 1 0 -k 1 O, l O-kl o J i' k t to Ia/Ir Qo = diag(q,q,q,cq) q a to O q,, q-= q Re= dia g(> 2 r/2, i=r/2) Du fait que io 2 r/2 > 0, la relation suivante est établie sans restreindre la généralité R diag ( 1, 1) Lorsqu'on considère la solution positive correspon- dant à une valeur constante pour l'équation suivante: PAL + P-PB ER 8 P 4 + Q = la grandeur d'entrée optimale pour minimiser Je s'exprime de la façon suivante: Par conséquent, pour des systèmes en boucle fermée, ceci s'écrit sous la forme: Xe =(As-Bg RIK Bo P)x - En général, bien qu'on trouve la solution de l'équa- tion ( 22) par calcul numérique, la solution résultante n'est pas très utile pour trouver la signification physique Dans cette analyse, on trouve la solution en tenant compte de la structure interne du système et on obtient alors une solution excellente Si on exprime l'équation ( 21) en utilisant chaque composante de la matrice, on obtient: , _ _ ' _ _ _ O D -k O M -0 =-F 120 -h Iz dy -3 Oz -Pu OX ' Oz +k I, -d P O x -4 O a -= 1-4 O Y -P a 4 t Cependant, du fait que P est une matrice symétrique, chaque composante de P est représentée uniquement parles éléments triargun essupàIeuxs Les équations ( 23) et ( 24) font apparaître un système ayant une liaison symétrique inversée dans lequel des sous- systèmes ayant chacun la méme fonction de transfert 1/( 52-1) sont liés par l'intermédiaire d'élémentsde transfert ayant des signes mutuellement opposés Pour l'aspect consis- tant à minimiser l'énergie d'entrée nécessaire pour la com- mande, en fonction de la structure interne d'un tel objet à commander, le mécanisme de compensation par réaction d'état optimal a également une structure similaire: 1 1 P = P 14, PZ 2 = F 44 s, F 33 = P 14} P 24 = O En reportant l'équation ( 25) dans l'équation ( 20) et en la résolvant, on peut obtenir P 12, P 22 et P 14 ' Si on exprime ces solutions par P 12 *, P 22 * et P 14 * p 12 correspond aux racines de l'équation suivante: 2 Pit 3 +(k 24 "-4)1:i 22-2 (oq)Plss X f=fl et doit satisfaire la relation suivante: O Il en résulte que le régulateur optimal a la struc- ture qui est représentée sur la figure 4 Du fait de l'inter- action entre les mouvements de 8 y et et, à cause de l'effet gyroscopique, il est nécessaire d'utiliser une réaction par liaison symétrique inverse, c'est-à-dire P 14 * O et -P 14 *U ' pour réaliser le mécanisme de compensation par réaction d'état optimal, 38. La réaction par liaison symétrique inverse a la fonction suivante: lorsque le corps tournant tourne à vites- se relativement élevée, si on n'exécute aucune opération de commande, l'axe de rotation accomplit un mouvement combiné de précession et de nutation On diminue la nutation en établis- sant un amortissement relativement faible Dans le mécanisme de compensation par réaction d'état optimal 38, la partie cor- respondant à P 22 *S produit le mouvement d'amortissement La précession est un mouvement de rotation par rapport à l'axe Z, dans lequel l'angle entre l'axe de rotation et l'axe Z demeure constant Si l'axe de rotation est incliné dans une certaine direction par une perturbation, la direction de l'in- clinaison de l'axe de rotation tourne dans une direction pré- déterminée au cours du temps De ce fait, pour atténuer la la précession, on peut efficacement appliquer au corps en rotation un couple par rapport à l'axe X (axe Y) conformé- ment à la valeur de gy ( 9) afin de perturber la rotation de l'axe de rotation Dans le mécanisme de compensation par réaction d'état optimal, 38, on réalise ceci par la réaction de liaison symétrique inverse, c'està-dire par les parties correspondant à P*e et -P * 2 14 ex et 144 y O la figure 8 montre un mode de réalisation plus con- cret du circuit, et sur cette figure les références 39 et 45 désignent des compensateurs à action proportionnelle-dérivée qui correspondent au compensateur par réaction 36 La réfé- rence 40 désigne un compensateur à action proportionnelle- dérivée qui correspond à P 12 * + 222 *S du mécanisme de compen- sation par réaction optimale 38 La référence 41 désigne un compensateur à action proportionnelle qui correspond P 14 * du mécanisme de compensation par réaction optimal 38, et la ré- férence 42 désigne un inverseur. Comme décrit ci-dessus et conformément à l'inven- tion, il est possible d'atténuer rapidement la précession ou la nutation résultant de l'effet gyroscopique la figure 9 montre un exemple de résultat d'une simulation numérique. Sur cette figure, la référence 46 désigne le signal de répon- se dans le système qui ne comporte pas le mécanisme de com- pensation et la référence 47 désigne le signal de réponse dans le système qui comporte ce mécanisme Il est évident que la précession et la nutation produites par l'effet gyros- copique sont atténuées rapidement par l'utilisation du méca- nisme à réaction 38, correspondant à une condition optimale. En outre, conformément au procédé de conception de l'inven- tion, lorsque les paramètres d'un objet à commander ont di- verses valeurs, on détermine les paramètres du mécanisme de compensation en effectuant le calcul conformément à la procé- dure de calcul établie, ce qui permet de concevoir rapidement le dispositif de commande O Il va de soi que de nombreuses modifications peu- vent être apportées au dispositif décrit et représenté, sans sortir du cadre de l'invention O REV Ei LTDICATION Dispositif à palier magnétique du type à commande à cinq degrés de liberté, qui comporte au moins un palier magnétique de direction axiale et au moins deux paliers ma- gnétiques de direction radiale, caractérisé en ce qu'il comporte un dispositif de commande conçu par l'utilisation d'un régulateur optimal pour trois sous-systèmes qui sont mutuellement indépendants, pour un mouvement de translation par rapport au centre de masse d'un corps tournant, et d'un autre régulateur optimal pour un sous-système concernant un mouvement de rotation avec deux degrés de liberté autour du centre de masse, avec interaction mutuelle.