Brevet FR3131424A1 — publié le 20230630

L’invention concerne un dispositif qui s’inscrit dans la lignée des outils didactiques comme celui d’Ernst Tillich (1806) : il comprend des barres de longueurs distinctes juxtaposant en ligne de manière solidaire autant d’unités de base que le nombre représenté. Pour décourager les stratégies de comptage 1 à 1, une seule face représente les unités de base par une graduation et/ou d’autres marques alignées. Dans un dispositif conforme à la présente invention l’enfant est conduit à réserver cette face à la vérification de la quantité : Les barres ont des bases qui sont des figures de 4 côtés répondant aux spécifications suivantes : un côté droit de α cm ; deux côtés droits adjacents à celui-ci à angle droit et d’une longueur de 0,5 α cm ; un demi-cercle dont les extrémités sont adjacentes aux deux côtés longs de 0,5 α cm. Figure à publier avec l’abrégé : figure 1B. Planches de dessin Initiation aux relations entre quantités discrètes au moyen d’une représentation des nombre par des barres dont une face est arrondie pour réserver le comptage 1 à 1 à la seule vérification. L’invention concerne un dispositif qui s’inscrit dans la lignée des outils didactiques comme celui d’Ernst Tillich (1806) représentant chaque quantité d’emblée comme un tout pour initier les enfants aux nombres comme relations entre quantités : Il comprend des barres de longueurs distinctes dont l’unité de base est la barre la plus courte. Les barres juxtaposent en ligne autant d’unités de base que le nombre représenté. Chaque barre est d’emblée constituée de N unités. Les unités de base de chaque barre sont solidaires entre elles. Pour décourager les stratégies de comptage 1 à 1 et encourager les stratégies de composition et décomposition des nombres, une seule face comporte une représentation des unités de base par une graduation et/ou d’autres marques organisées en ligne. La présente invention comporte un procédé original et inédit qui force l’enfant à réserver cette face à la vérification de la quantité : la face opposée à cette dernière est arrondie de telle manière que lorsque les barres sont posées sur une surface plate la face arrondie ne puisse pas se retrouver posée contre la surface plate et faire apparaître la face graduée à une vue zénithale ; l’élève est ainsi obligé de retourner la réglette sans la lâcher pour accéder à la face graduée. Dans un dispositif conforme à la présente invention, les barres ont des bases qui sont des figures de 4 côtés répondant aux spécifications suivantes : un côté droit de α cm ; deux côtés droits adjacents à celui-ci à angle droit et d’une longueur de 0,5 α cm ; un demi-cercle dont les extrémités sont adjacentes aux deux côtés longs de 0,5 α cm. A titre d’exemple la valeur d’α peut être de 1 centimètre ou d’1 pouce anglais. Dans un dispositif conforme à la présente invention, les barres peuvent être ou non colorées et comporter ou non des représentations des quantités sur la face arrondie (par exemple des représentations organisées cette fois-ci de manière non-linéaires, nommées « constellations de points », « collections témoins organisées » ou « nombres figuraux »). Avec son Rechenkasten (1806) Ernst Tillich a le premier utilisé des barres (de section carrée longues de 1 à 10 pouces et sans marques de séparation entre les unités de base) pour représenter des quantités discrètes (nombres entiers de 1 à 10 et leurs composés) et permettre aux élèves de faire l’expérience des relations entre ces quantités. Pour ce faire les élèves pouvaient s’appuyer sur le rangement des barres par ordre de longueur ainsi que sur les rapports de longueur entre les barres (avec le cube d’un pouce comme unité de base) : à côté d’une barre de 8 pouces les élèves pouvaient disposer quatre barres de deux pouces ou deux barres de quatre pouces ou huit barres d’un pouce, etc. Précisons d’abord quelques-unes des caractéristiques de ce Rechenkasten : Le Rechenkasten de Tillich représente chaque quantité d’emblée comme un tout, une nouvelle unité, afin de mettre en valeur les relations entre les quantités. Il diffère en cela non seulement des cailloux, bâtonnets et autres collections d’objets déplaçables à compter un par un, mais aussi d’autres matériels composés d’unités à assembler bout à bout comme les boules des bouliers, les cubes de Friedrich Fröbel et même les Unifix de Charles Tacey. Cet outil, par l’absence de marque des unités de bases (ni rainures ni alternance de couleurs) s’appuie uniquement sur des rapports de longueur pour mettre en relation les quantités et non pas sur le comptage un à un. Cet outil d’enseignement représente les rapports entre quantités uniquement par des rapports de longueur (aucun code de couleur ne permet d’identifier les quantités ou de regrouper les barres par « famille » pour mettre en valeur par exemple les doubles ou les facteurs) Cet outil représente chaque quantité par l’alignement d’unités en s’appuyant sur l’analogie de la longueur. Il permet facilement d’enseigner que chaque quantité s’obtient en ajoutant 1 à la quantité qui la précède dans la suite des nombres. Et il permet à l’élève de valider lui-même l’anticipation de son action sur les quantités. Le choix de représenter par des barres chaque quantité d’emblée comme un tout a été fait par de nombreux didacticiens à la suite de Tillich tels Fritz Adam, Franz Posner et Adam Langer, Wilhelm Müller, Wander, Mina Audemars et Louise Lafendel, John Kneeshaw, Maria Montessori, George Cuisenaire, Ian MacFarlane Smith, Algernon Frederick Seton Pollock, Gerald Alexander Clegg, María Antonia Canals, Catherine Stern, Paulette Calcia, Artur Kern, Rémi Brissiaud. Comme le dit Maria Montessori en parlant de ses propres « barres de longueur » : « L’avantage de ce matériel réside dans le fait qu’il représente ensemble les unités qui composent chacun des nombres que ces barres permettent d’appréhender, bien qu’elles soient distinctes et dénombrables. […] En effet, beaucoup de petits comptent en récitant de mémoire la comptine des nombres ; mais ils restent perplexes face aux quantités correspondant à ces nombres. » (Maria Montessori, Le manuel pratique de la méthode Montessori , traduction Charlotte Poussin, Paris : Desclée de Brouwer, 2016 [édition originale 1939].) Mais l’absence de marque des unités de base dans le dispositif de Tillich et dans celui de certains de ses successeurs dont George Cuisenaire pose un problème : il rend plus difficile l’accès aux quantités discrètes, comme l’a remarqué Rémi Brissiaud ( Comment les enfants apprennent à calculer , Retz, 1989). Ainsi : Il peut être difficile pour un élève (spécialement avant six ans) de comprendre qu’une barre comptant 1 unité de base et une barre comptant 3 unités de base soient chacune représentées par une seule barre indivise. Il voit seulement 1 barre courte et 1 barre longue donc 2 barres mais pas 4 unités de base, ce qui l’empêche d’accéder aux quantités discrètes représentées. Il peut être difficile pour un élève (spécialement avant six ans) de s’appuyer sur la comparaison d’une barre avec une ses décompositions. Par exemple si 1 barre de 4 unités indivises est juxtaposée à 2 barres de 2 unités indivises, l’élève pourra facilement constater l’égale longueur mais pas forcément concevoir clairement que la première barre compte elle-même 2 fois 2 unités. Ce sera peut-être pour lui une simple convention à apprendre plus que le fruit d’une expérience. Sans accès clair à la quantité discrète, l’élève court le risque de numéroter chaque barre par ordre croissant de longueur et d’apprendre par cœur les relations entre mots-nombres et/ou entre numéro d’ordre des barres dans leur boîte. Certains didacticiens ont cependant adopté un code de couleur pour identifier les quantités représentées par les barres indivises. Mais ces couleurs ne peuvent en elles-mêmes permettre aux plus jeunes ou aux plus fragiles des élèves d’accéder aux quantités discrètes. Ces élèves pourraient se contenter d’ânonner : « 1 rouge vaut 2 vertes » ou « la 6 (sixième) vaut deux 3 (troisième) ». Pour orienter les élèves vers la mise en relation des quantités, le Belge George Cuisenaire et le Britannique Ian MacFarlane Smith ont pourtant mis en valeur les doubles en attribuant une teinte commune aux nombres apparentés ; les Britanniques Seton Pollock et Gerald Alexander Clegg et l'Espagnole María Antonia Canals ont regroupé les quantités par couleur selon leurs relations factorielles (par exemple tous les multiples de 2 contiennent une même teinte). Certes représenter les relations entre les quantités par des couleurs présente l’avantage de mettre en avant ces relations et d’aider à leur mémorisation, surtout pour les premiers niveaux de scolarité mais cette aide peut s’avérer contre-productive : si elle ne sert qu’à illustrer la leçon du maître et que le code couleur est simplement appris par cœur par les élèves, sans découvrir soi-même les relations entre quantités représentées par les barres ; si la simple « lecture » du code couleur par l’élève se substitue à la mise en relation des quantités. si le code de couleurs associe indument dans l’esprit de l’enfant une propriété mathématique à une couleur. Pour permettre plus facilement aux élèves d’accéder aux quantités discrètes, les premiers successeurs de Tillich ont tous marqué les unités qui composent les barres, soit en découpant ou dessinant des rainures entre les unités de base (comme Mina Audemars et Louise Lafendel), soit (comme Wander ou Montessori) en alternant les couleurs entre les unités de base. Mais ce faisant ils ont suscité un autre problème : le marquage des unités de base rend difficile l’accès au nombre comme relation entre des quantités. En effet : Avec les barres graduées 1 à 10 unités sont représentées alignées alors qu’un élève ne peut pas saisir immédiatement plus de 3 éléments ( subitizing ) et qu’avec des éléments alignés l’élève ne peut pas s’appuyer sur une configuration spatiale facilitant la décomposition en plus petits nombres. L’élève est donc conduit à compter 1 par 1. En marquant les unités de base sur chaque barre on court le risque que l’élève compte un à un sans pouvoir prendre appui sur cette quantité dénombrée pour la mettre en relation avec d’autres quantités. Prenons l’exemple de l’opération 5+2 avec l’aide de deux barres données à l’élève : soit il surcompte (il récite la comptine numérique « cinq, six, sept » en allant deux numéros plus loin que « cinq », tout en pointant sur les barres une unité à chaque mot prononcé, ce qui ne garantit pas qu’il ait eu conscience d’avoir ajouté deux à cinq) ; soit même il recompte à partir de 1 (incapable de prendre en compte 5 comme une quantité, il résout 5+2 par le recomptage des cinq unités de la première réglette et le surcomptage des 2 unités de la dernière barre). Pour résoudre le problème de l’accès aux quantités discrètes plusieurs outils d’enseignement ont cherché à réserver le comptage pour la validation . La présente invention améliore ces procédés. Sur le modèle des perles colorées de Maria Montessori, l’Allemande Käthe Brieger (devenue Catherine Stern et naturalisée Etats-Unienne) inventa des blocs colorés et gradués à peu près à la même époque que les réglettes Cuisenaire. L’utilisation simultanée de ces deux procédés permettait peut-être mieux de réserver le comptage 1 à 1 à la représentation des quantités discrètes et à la vérification de ces quantités sans qu’il soit toujours nécessaire pour la mise en relation des quantités qui pouvait s’appuyer sur le code de couleurs et les rapports de longueurs. Plus tard la Française Paulette Calcia inventa des barres qui n’étaient graduées que sur deux faces (les autres étant vierge ou chiffrée). Ce matériel permettait ainsi en pratique (sinon dans l’intention de son autrice) de visualiser successivement plusieurs représentations du nombre. Avantages apportés Pour améliorer le procédé de Paulette Calcia, un dispositif conforme à la présente invention comporte des graduations (et/ou d’autres marques alignées représentant les unités de base) sur une seule des faces selon un procédé original et inédit qui force l’enfant à réserver la face graduée à la seule vérification des quantités discrètes : la face opposée à la face graduée est arrondie de telle manière que lorsque les barres sont posées sur une table cette face arrondie ne puisse pas se retrouver posée contre la table et faire apparaître la face graduée à une vue zénithale ; l’élève est ainsi obligé de retourner la réglette sans la lâcher pour accéder à la face graduée. Les et illustrent à titre d’exemple une réalisation possible de l’invention concernant la face plate réservée à la vérification, graduée et pointée pour représenter les quantités discrètes de manière linéaire. Les et illustrent à titre d’exemple une réalisation possible de l’invention avec les faces arrondies comportant des représentations des quantités discrètes organisées de manière non-linéaire par des « nombres figuraux » qui s’appuient sur les repère 5 et 10. L’organisation des points permet de représenter que chaque nombre est formé à partir du précédent auquel on ajoute une unité. Elle permet aussi de retrouver plus facilement des configurations de nombres inférieurs dans celles des nombres supérieurs et ainsi de faciliter la décomposition des nombres. Dispositif didactique, représentant les nombres par des barres de longueurs distinctes, caractérisé en ce que les barres sont construites selon les spécifications suivantes : (1) les bases comportent un côté droit long de α cm ; deux côtés droits adjacents à celui-ci à angle droit et d’une longueur de 0,5 α cm ; un demi-cercle dont les extrémités sont adjacentes aux deux côtés longs de 0,5 α cm. (2) la face plate qui est opposée à la face arrondie est la seule face à comporter une représentation des unités de base par une graduation et/ou d’autres marques organisées en ligne.