Brevet FR3129758A1 — publié le 20230602

L’invention concerne un procédé de traitement l’objet (X CAO ) de consigne d’une pièce réelle pour la faire correspondre à une image (I, X tomo ) mesurée sur la pièce, caractérisé en ce que le procédé comporte les étapes suivantes : calcul d’une matrice Laplacienne (L) des nœuds (N CAO ) du maillage (M CAO ) de l’objet (X CAO ), calcul des valeurs propres de la matrice (L) et d’une matrice (W) de vecteurs propres de la matrice (L), réduction de la matrice (W), appariement (E5) de M nœuds (N tomo , G) par proximité à M nœuds (N CAO , F), calcul (E6) de coordonnées (γ CAO ,γ tomo ) projetées des M nœuds sur la matrice réduite (V), calcul (E7) d’un champ (U) de déplacement de l’objet (X CAO ) vers l’image (X tomo ) à partir de la matrice (V) et des coordonnées (γ CAO , γ tomo ), déformation (E8) du maillage (M CAO ) à partir du champ (U) pour obtenir un maillage (Q CAO ) déformé. Figure pour l’abrégé : Figure 2 Procédé d e contrôle non destructif d’une pièce fabriquée par voie de fonderie L’invention concerne le contrôle non destructif d’une pièce, notamment d’une piècefabriquée par voie de fonderie. Une pièce fabriquée par voie de fonderie connaît pendant son processus de fabrication des fluctuations physiques impliquant des variations dans sa géométrie par rapport à une géométrie de référence. Des écarts importants peuvent entrainer la non acceptabilité de la pièce. Le procédé de contrôle non destructif de l’invention comprend, à partir par exemple d’une tomographie de la pièce, la détermination des modifications de sa géométrie. Le procédé de l’invention traite les images captées sur des pièces réelles, par tomographie ou par d’autres techniques de mesure, notamment pour des pièces de turbomachine, telles que par exemple des aubes de turbine haute pression ou autres. On cherche notamment à ce qu’une pièce réelle ayant été fabriquée soit la plus conforme possible à une conception assistée par ordinateur (indiquée ci-dessous par l’abréviation CAO) réalisée au préalable de la pièce et notamment à l’image de sa forme géométrique, ayant été prescrite et appelée ci-dessous image de consigne. Le problème lié à cette pièce est indiqué ci-dessous d’une manière non limitative pour des aubes de turbine haute pression et pour les images mesurées par tomographie. Les aubes de turbines hautes pressions sont placées juste après la chambre de combustion où elles subissent des pressions élevées, des chargements liés à la rotation haute vitesse et des températures au-dessus de la température de fusion du matériau. Pour supporter ces conditions un ensemble d’éléments sont mis en œuvre. L’un de ces éléments est la mise en place de cavités qui vont permettre la circulation d’air, extrait dans le compresseur du moteur, dans l’aube de turbine pour refroidir celle-ci. Un autre élément est l’optimisation de leurs résistances mécaniques ; pour cela elles sont fabriquées avec une seule orientation cristalline et avec un minimum d’anomalies métallurgiques et avec une géométrie complexe qui doit être préservée au plus proche de la pièce idéale, appelée modèle CAO (Conception Assistée par Ordinateur). Le procédé de fabrication induit naturellement des écarts géométriques de la pièce réelle fabriquée vis-à-vis de la pièce dessinée en bureau d’études. Ces variations peuvent survenir sous différentes formes (notamment : surépaisseurs locales ou sous-épaisseurs locales, état de surface, position des points et axe de perçage). Le nombre de variations possibles peut être très important. Aujourd’hui, pour capter ces écarts sur des circuits de plus en plus complexes, l’une des solutions est la tomographie qui permet de mesurer la pièce en 3 dimensions dans un tenseur dont la valeur des points dépend de la densité et du facteur d’absorption du matériau. Une fois que les images tomographiques de la pièce réelle ont été captées, il est aujourd’hui très compliqué d’estimer l’impact de ces variations sur le comportement réel de l’aube, c’est-à-dire recalculer les performances clefs de l’aube (contrainte mécanique, température locale, durée de vie…). Cela entraîne des critères d’acceptation drastique pour valider la qualité des aubes. Pour ce faire, l’idéal serait de déformer la CAO pour qu’elle ait la forme du réel. La difficulté est que la CAO est décrite par des fonctions mathématiques et que les paramètres explicites décrivant sa géométrie ne représentent pas l’exhaustivité des variations de fabrication de la pièce. De plus, ces paramètres sont totalement intriqués lors de la création de la CAO ; ainsi, parfois, la modification d’un paramètre annihile totalement la cohérence de la construction et donc la géométrie de la CAO. L’invention se place dans le contexte d’une étude sur l’impact des variations géométriques sur le calcul de durée de vie de composantes aéronautiques. Les variations géométriques observées sur des pièces ne sont pas toujours explicables avec des moyens simples et donc, difficile à réduire. Les moyens de mesures actuellement utilisés permettent d’obtenir des champs d’écarts par des distances de maillages surfaciques (machine à mesurer tridimensionnelle) ou de mesures de parois via des méthodes volumiques (tomographie). Les écarts dimensionnels induisent des modifications géométriques des pièces et peuvent modifier de façon significative la durée de vie de celles-ci. Des critères ont été établis et leur franchissement induit une étude par traitement en dérogation. Les méthodes actuelles ne permettent pas la paramétrisation de toutes les surfaces et donc, de prendre en compte finement les défauts géométriques. On cherche à obtenir une approche qui permettrait d’obtenir rapidement ces informations. Un objectif de l’invention est d’obtenir un procédé, un dispositif et un programme d’ordinateur, qui permettent de retraiter l’image de consigne pour la faire correspondre à une image mesurée de la pièce réelle, qui résolvent le problème indiqué ci-dessus et qui pallient les inconvénients mentionnés ci-dessus. A cet effet, un objet de l’invention est un procédé de traitement d’une image de consigne d’une pièce réelle pour la faire correspondre à une image, ayant été mesurée sur la pièce réelle, caractérisé en ce que le procédé comporte les étapes suivantes, mises en œuvre par au moins un calculateur: - obtention d’un premier maillage de premiers nœuds de la pièce dans l’image de consigne et d’un deuxième maillage de deuxièmes nœuds de la pièce dans l’image mesurée, - calcul d’une matrice d’adjacence des premiers nœuds du premier maillage de l’image de consigne et d’une matrice Laplacienne des premiers nœuds du premier maillage de l’image de consigne, associée à la matrice d’adjacence, - calcul des valeurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne et d’une matrice de vecteurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne, correspondant aux valeurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne, - réduction de la matrice de vecteurs propres de l’image de consigne, pour obtenir une matrice réduite des n vecteurs propres de l’image de consigne, qui correspondent aux n plus grandes valeurs propres de l’image de consigne, où n est un entier naturel positif déterminé et supérieur ou égal à 2, - appariement de M deuxièmes nœuds de l’image mesurée par proximité à respectivement M premiers nœuds de l’image de consigne, où M est un entier naturel positif déterminé et inférieur ou égal à n, - calcul de premières coordonnées projetées des M premiers nœuds de l’image de consigne sur les n vecteurs propres de la matrice réduite de l’image de consigne, - calcul de deuxièmes coordonnées projetées des M deuxièmes nœuds de l’image mesurée sur les n vecteurs propres de la matrice réduite de l’image de consigne, - calcul d’un champ de déplacement reconstitué de l’image de consigne vers l’image mesurée à partir de la matrice réduite de vecteurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne, à partir des premières coordonnées projetées de l’image de consigne et à partir des deuxièmes coordonnées projetées de l’image mesurée, - déformation du premier maillage de l’image de consigne à partir du champ de déplacement pour obtenir un troisième maillage déformé de troisièmes nœuds de la pièce dans l’image de consigne. Grâce à l'invention, on obtient des coordonnées réelles de la pièce réelle par le troisième maillage déformé de troisièmes nœuds de la pièce dans l’image de consigne. Grâce à l'invention, le troisième maillage déformé dans l’image de consigne contient alors les coordonnées des défauts ou écarts géométriques particuliers ou fluctuations géométriques de fabrication de la pièce réelle, qui ne sont pas forcément prédictibles. Le procédé de contrôle non destructif de l’invention comprend, à partir par exemple d’une tomographie de la pièce, la détermination des modifications de sa géométrie. L’invention prévoit ainsi de décomposer un maillage d’une pièce réelle dans une base de vecteurs propres, qui est une base de modes et qui est issue de la CAO. Cette base est une représentation modale de la structure de la pièce CAO. Les modes de structures vont caractériser la construction morphologique de la pièce. Ainsi, toute géométrie peut se décomposer en une combinaison linéaire de modes de structure. Deux pièces similaires comme une CAO et une pièce réelle, peuvent donc être représentées par les mêmes modes mais avec des coefficients (également appelés poids ou coefficients de projection dans la base des modes) différents. L’invention permet de caractériser la géométrie de la pièce par une approche modale. En considérant un maillage comme un graphe de nœuds connectés, il est possible de construire une décomposition de la structure en modes élémentaires. Les pièces modèle et réelle étant des objets très similaires, leurs signatures spectrales (dans l’espace modal de la structure) sont proches et peuvent être représentées dans une même base modale. La comparaison peut donc se faire sur les compositions de ces modes, sources de variations géométriques. En effet, dans l’état de la technique, habituellement c’est la variation de certains paramètres qui est directement mesurée sur la pièce réelle (par exemple l’épaisseur de paroi, la position d’un plan…), puis ces paramètres sont modifiés sur l’objet de référence (CAO). Au contraire, l’invention permet d’envisager des approches non-paramétriques beaucoup moins complexes à mettre en place. Grâce à l’invention, il est possible de trier les pièces selon leurs performances, comme par exemple leurs durées de vie. L’invention permet l’obtention de données d’entrées exploitables pour des calculs numériques (par exemple pour les bureaux d’études) à partir d’une pièce réelle issue de fabrication par fonderie et mesurée par exemple par tomographie. Une fois ces données acquises, il est plus simple de sanctionner la pièce pour les bureaux d’études. Cela est un gain de temps et de robustesse majeur ouvrant la voie à une sanction fonctionnelle sur l’ensemble des pièces produites. Le Laplacien réalisé sur le premier maillage issu de l’image de consigne permet de définir la base spectrale de référence (matrice réduite de vecteurs propres), puis les données issues de l’image mesurée sont regardées à travers cette base. Cela permet de décrire la pièce réelle dans un espace maitrisé et donc ensuite de recréer une image de consigne dont la déformation permet de représenter fidèlement la pièce réelle. Cela permet de prendre en compte le réel dans sa globalité et de représenter la pièce réelle avec la même construction que l’image de consigne. Suivant un mode de réalisation de l’invention, l’invention est caractérisée par l’étape de calcul de la matrice diagonale, dont les coefficients sont égaux à la somme des coefficients sur chaque colonne de la matrice d’adjacence, et de la matrice Laplacienne de l’image de consigne, égale à la matrice diagonale à laquelle est soustraite la matrice d’adjacence. Suivant un mode de réalisation de l’invention, le premier maillage est constitué de mailles sélectionnées, reliant entre eux par des arêtes les premiers nœuds proches les uns des autres dans l’image de consigne, i désigne le numéro de la ligne de la matrice d’adjacence et le numéro de chacun des premiers nœuds du premier maillage, j désigne le numéro de la colonne de la matrice d’adjacence et le numéro de chacun des premiers nœuds du premier maillage, chaque coefficient A ij de la matrice d’adjacence est égal à une fonction positive et non nulle, décroissante selon une distance calculée entre le premier nœud de numéro i et le premier nœud de numéro j, lorsqu’à la fois i est différent de j et le premier nœud de numéro j est relié par une des arêtes d’une des mailles sélectionnée au premier nœud de numéro i, et est égal à zéro sinon. Suivant un mode de réalisation de l’invention, les mailles sélectionnées sont des triangles sélectionnés et/ou rectangles sélectionnés et/ou carrés sélectionnés et/ou héxaèdres sélectionnés et/ou tétraèdres sélectionnés, dont les sommets sont formés par les premiers nœuds de la pièce dans l’image de consigne, chaque coefficient A ij de la matrice d’adjacence est égal à lorsqu’à la fois i est différent de j et le premier nœud de numéro j est relié par une des arêtes d’un des triangles sélectionnés au premier nœud de numéro i, et est égal à zéro sinon, où x i désigne les coordonnées du premier nœud de numéro i dans l’image de consigne et x j désigne les coordonnées du premier nœud de numéro j dans l’image de consigne, σ 0 est une valeur prédéterminée de distance. Suivant un mode de réalisation de l’invention, M = n. Suivant un mode de réalisation de l’invention, le calculateur calcule les deuxièmes coordonnées γ tomo projetées des M deuxièmes nœuds de l’image mesurée sur les n vecteurs propres de la matrice réduite de l’image de consigne, comme étant égales à où X désigne une matrice contenant les coordonnées des M deuxièmes nœuds du deuxième maillage de l’image mesurée, V[F] est la matrice réduite V des n vecteurs propres, ayant été restreinte aux M lignes correspondant aux numéros des M deuxièmes nœuds ayant été appariés aux M premiers nœuds, désigne la transposition de V[F], * désigne la multiplication matricielle. Suivant un mode de réalisation de l’invention, le calculateur calcule les deuxièmes coordonnées γ tomo projetées des M deuxièmes nœuds de l’image mesurée sur les n vecteurs propres de la matrice réduite de l’image de consigne, comme étant égales à la solution γ de où X désigne une matrice contenant les coordonnées des M deuxièmes nœuds du deuxième maillage de l’image mesurée, V[F] est la matrice réduite V des n vecteurs propres, ayant été restreinte aux M lignes correspondant aux numéros des M deuxièmes nœuds ayant été appariés aux M premiers nœuds, * désigne la multiplication matricielle. Suivant un mode de réalisation de l’invention, pour le calcul du champ de déplacement, le calculateur calcule : - des coordonnées réelles y des M deuxièmes nœuds de l’image mesurée selon l’équation - une erreur δ de reconstruction selon l’équation - des coordonnées réelles rectifiées des M deuxièmes nœuds de l’image mesurée selon l’équation - le champ de déplacement reconstitué de l’image de consigne vers l’image mesurée selon l’équation où X CAO est l’image de consigne, V est la matrice réduite des n vecteurs propres, γ tomo sont les premières coordonnées projetées des M deuxièmes nœuds de l’image mesurée sur les n vecteurs propres de la matrice réduite V de l’image de consigne, γ CAO sont les deuxièmes coordonnées projetées des M premiers nœuds de l’image de consigne sur les n vecteurs propres de la matrice réduite V de l’image de consigne. Suivant un mode de réalisation de l’invention, pour le calcul du champ de déplacement, le calculateur calcule le champ de déplacement reconstitué à partir de la matrice réduite de vecteurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne, à partir des premières coordonnées projetées de l’image de consigne et à partir d’un vecteur de différence, égal aux premières coordonnées projetées de l’image de consigne, auxquelles sont soustraites les deuxièmes coordonnées projetées de l’image mesurée. Suivant un mode de réalisation de l’invention, pour le calcul du champ de déplacement, le calculateur calcule le champ de déplacement reconstitué étant égal à la matrice réduite de vecteurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne, multipliée par le vecteur de différence, égal aux premières coordonnées projetées de l’image de consigne, auxquelles sont soustraites les deuxièmes coordonnées projetées de l’image mesurée. Suivant un mode de réalisation de l’invention, la déformation du premier maillage de l’image de consigne à partir du champ de déplacement est effectuée par le calculateur via une résolution par éléments finis prenant comme conditions aux limites le champ de déplacement pour obtenir le troisième maillage déformé des troisièmes nœuds de la pièce dans l’image de consigne. Suivant un mode de réalisation de l’invention, les premiers nœuds et les troisièmes nœuds sont situés à une surface de la pièce dans l’image de consigne, les deuxièmes nœuds sont situés à ladite surface de la pièce dans l’image mesurée, le procédé comportant une étape de calcul, via une résolution du type à éléments finis, d’un quatrième maillage déformé dans un volume de la pièce réelle dans l’image de consigne à partir du troisième maillage déformé de troisièmes nœuds de la pièce. Suivant un mode de réalisation de l’invention, le procédé comporte une étape préalable, dans laquelle l’image mesurée est captée par un dispositif de mesure. Un autre objet de l’invention est un procédé de contrôle non destructif d’une pièce réelle, fabriquée par voie de fonderie, comprenant un traitement d’une image de consigne de la pièce selon l’aspect précédent. Suivant un mode de réalisation de l’invention, dans le procédé de contrôle non destructif d’une pièce réelle, fabriquée par voie de fonderie, on acquiert par un dispositif de mesure l’image, ayant été mesurée sur la pièce réelle, puis on effectue le procédé de traitement de l’image de consigne de la pièce réelle, puis on détermine si la pièce réelle est en bon état ou en mauvais état à partir du troisième maillage déformé de troisièmes nœuds de la pièce dans l’image de consigne. Un autre objet de l’invention est un programme d’ordinateur, comportant des instructions de code pour la mise en œuvre du procédé de traitement d’image tel que décrit ci-dessus, lorsqu’il est exécuté sur au moins un calculateur. Un autre objet de l’invention est un dispositif de traitement d’une image de consigne d’une pièce réelle pour la faire correspondre à une image, ayant été mesurée sur la pièce réelle, caractérisé en ce que le dispositif comporte au moins un calculateur configuré pour mettre en œuvre les étapes suivantes: - obtention d’un premier maillage de premiers nœuds de la pièce dans l’image de consigne et d’un deuxième maillage de deuxièmes nœuds de la pièce dans l’image mesurée, - calcul d’une matrice d’adjacence des premiers nœuds du premier maillage de l’image de consigne et d’une matrice Laplacienne des premiers nœuds du premier maillage de l’image de consigne, qui correspond à la matrice d’adjacence, - calcul des valeurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne et d’une matrice de vecteurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne, correspondant aux valeurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne, - réduction de la matrice de vecteurs propres de l’image de consigne, pour obtenir une matrice réduite des n vecteurs propres de l’image de consigne, qui correspondent aux n plus grandes valeurs propres de l’image de consigne, où n est un entier naturel positif déterminé et supérieur ou égal à 2, - appariement de M deuxièmes nœuds de l’image mesurée par proximité à respectivement M premiers nœuds de l’image de consigne, où M est un entier naturel positif déterminé et inférieur ou égal à n, - calcul de premières coordonnées projetées des M premiers nœuds de l’image de consigne sur les n vecteurs propres de la matrice réduite de l’image de consigne, - calcul de deuxièmes coordonnées projetées des M deuxièmes nœuds de l’image mesurée sur les n vecteurs propres de la matrice réduite de l’image de consigne, - calcul d’un champ de déplacement reconstitué de l’image de consigne vers l’image mesurée à partir de la matrice réduite de vecteurs propres de la matrice Laplacienne de l’image de consigne, à partir des premières coordonnées projetées de l’image de consigne et à partir des deuxièmes coordonnées projetées de l’image mesurée, - déformation du premier maillage de l’image de consigne à partir du champ de déplacement pour obtenir un troisième maillage déformé de troisièmes nœuds de la pièce dans l’image de consigne. L’invention sera mieux comprise à la lecture de la description qui va suivre, donnée uniquement à titre d’exemple non limitatif en référence aux figures ci-dessous des dessins annexés. représente un synoptique modulaire d’un dispositif de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un organigramme d’un procédé de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un exemple d’image tomographique prise à l’aide du procédé, du dispositif de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un exemple de premier maillage d’une image de consigne de la pièce réelle, utilisée par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un exemple de deuxième maillage de l’image tomographique de la , réalisé par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un premier exemple de projections de modes du premier maillage, réalisé par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un deuxième exemple de projections de modes du premier maillage, réalisé par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un troisième exemple de projections de modes du premier maillage, réalisé par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un quatrième exemple de projections de modes du premier maillage, réalisé par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente le premier maillage de l’image de consigne, sur lequel les projections des images 6A à 6D ont été calculées. représente un exemple de sélection de premiers nœuds de l’image de consigne, réalisée par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un exemple de sélection de premiers nœuds de l’image de consigne, réalisée par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un exemple de sélection de deuxièmes nœuds de l’image mesurée, appariés aux nœuds sélectionnés de la , réalisée par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente une vue agrandie d’une partie de l’exemple de sélection de deuxièmes nœuds de l’image mesurée de la , réalisée par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un exemple de troisième maillage déformé, obtenu par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention à partir des images des figures 8A et 8B. représente l’exemple de troisième maillage déformé de la , montrant des premiers nœuds sélectionnés et déformés par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention à partir des images des figures 8A et 8B. représente une vue agrandie d’une partie du troisième maillage déformé de la , obtenu par le procédé, le dispositif et le programme de traitement d’image suivant un mode de réalisation de l’invention. représente un organigramme d’un procédé de contrôle non destructif de la pièce réelle suivant un mode de réalisation de l’invention. On décrit ci-dessous plus en détail en référence à la un dispositif 1 de traitement d’une image X CAO de consigne (ou objet X CAO de consigne) d’une pièce réelle P et en référence à la un procédé de traitement de l’image X CAO de consigne de la pièce réelle P, mis en œuvre à l’aide du dispositif 1 de traitement. L’image X CAO de consigne (ou objet X CAO de consigne) peut être bidimensionnelle ou tridimensionnelle. Le dispositif 1 de traitement de l’image X CAO de consigne d’une pièce réelle P, le procédé de traitement de l’objet X CAO de consigne de la pièce réelle P et le programme d’ordinateur de traitement de l’objet X CAO de consigne de la pièce réelle P peuvent être mis en œuvre par un ou plusieurs calculateurs 12 et/ou un ou plusieurs ordinateurs et/ou un ou plusieurs processeurs et/ou un ou plusieurs programmes d’ordinateur. Le dispositif 1 de traitement de l’image X CAO de consigne de la pièce réelle P peut faire partie d’un dispositif de contrôle non destructif de la pièce réelle P. Le procédé de traitement de l’image X CAO de consigne de la pièce réelle peut faire partie d’un procédé de contrôle non destructif de la pièce réelle P, qui sera décrit ci-dessous. Le programme d’ordinateur de traitement de l’image X CAO de consigne de la pièce réelle peut faire partie d’un programme d’ordinateur de contrôle non destructif de la pièce réelle P. La pièce réelle P peut être par exemple une aube de turbine haute pression d’une turbomachine aéronautique. Bien entendu, la pièce réelle P peut être toute autre pièce d’une turbomachine aéronautique, notamment d’autres aubes de la turbomachine, ou toute pièce réelle P dont on peut capter une image par un dispositif 11 de mesure, faisant partie du dispositif 1. Au cours d’une première étape E1, on introduit la pièce réelle P (par exemple la pièce réelle telle qu’elle a été fabriquée et issue d’une usine de production) dans le dispositif 11 de mesure. Le dispositif 11 de mesure capte au cours de l’étape E1 une (ou plusieurs) image I de la pièce réelle P, appelée ci-dessous image mesurée I. Le dispositif 11 de mesure peut être un dispositif d’imagerie tomographique ou tomographe, pouvant être par exemple à rayons X en transmission, et permet d’obtenir comme image mesurée I une (ou plusieurs) images X tomo de tomographie de la pièce réelle P. Le dispositif 11 de mesure peut comporter une cabine à rayons X dans laquelle la pièce relle P est introduite. Le dispositif d’imagerie tomographique peut faire l’acquisition d’un grand nombre de radiographies lors d’une rotation, la plupart du temps complète, de la pièce réelle P, dans le but de calculer l’image tridimensionnelle complète X tomo de la pièce réelle P. Le dispositif 11 de mesure peut également être une machine à mesurer en 3 dimensions. Un exemple de maillage issu d’un volume de tomographie X tomo est représenté à la , dans le cas d’une pièce réelle P formée par une éprouvette tubulaire fabriquée par voie de fonderie. Cette image I peut être par exemple enregistrée dans une mémoire 13 du calculateur 12 au cours de l’étape E1. Chaque image tomographique I peut être prise dans un ou plusieurs plans d’image traversant la pièce réelle P et distincts les uns des autres (parallèles entre eux ou non parallèles entre eux). L’acquisition d’une ou plusieurs images tomographiques X tomo permet d’obtenir une ou plusieurs images bidimensionnelles ou une ou plusieurs images tridimensionnelles. Chaque image bidimensionnelle est constituée de pixels dans un plan d’image traversant la pièce réelle P. Chaque image tridimensionnelle est constituée de voxels et peut être constituée de plusieurs images bidimensionnelles prises dans des plans d’image traversant la pièce réelle P, qui sont distincts et voisins les uns des autres (parallèles entre eux ou non parallèles entre eux). Au cours de la première étape E1, on obtient une image X CAO de consigne de la pièce réelle P par le calculateur 12 du dispositif 1, ainsi que représenté à titre d’exemple à la . Cette image X CAO de consigne est le plus souvent une image créée ou calculée au préalable dans un bureau d’études ou une image de référence, pour concevoir la pièce P, par exemple par CAO, avant sa fabrication et est une image idéale ou prescrite de la pièce réelle P, y compris de sa forme géométrique. L’image mesurée I ou X tomo n’est pas strictement identique à l’image X CAO de consigne, notamment à cause d’écarts de fabrication de la pièce réelle qui se répercutent sur l’image mesurée I ou X tomo , ainsi qu’indiqué ci-dessus. De plus, les pièces P peuvent être de géométrie de plus en plus complexe. Au cours de la deuxième étape E2 de préparation des données, on obtient par le calculateur 12 du dispositif 1 un premier maillage M CAO de premiers nœuds N CAO de la pièce P dans l’image X CAO consigne et un deuxième maillage M tomo de deuxièmes nœuds N tomo de la pièce P dans l’image mesurée I ou X tomo . Le premier maillage M CAO est calculé à partir de l’image X CAO consigne. Par exemple, le premier maillage M CAO peut être calculé à partir d’un fichier de conception de la pièce P, de l’image X CAO consigne et d’un logiciel de maillage. Le deuxième maillage M tomo peut être créé avec des méthodes de maillage de tomographie. Un maillage est une représentation bidimensionnelle ou tridimensionnelle de la pièce par l’intermédiaire d’éléments, représentant les mailles élémentaires du pavage et pouvant être des triangles ainsi qu’indiqué ci-dessous, ou autres. Les éléments sont constitués de nœuds représentant des points dans l’espace et d’arêtes qui relient entre eux certains des nœuds. Ainsi, un maillage est représenté par un ensemble de coordonnées de nœuds et d’un tableau d’association d’arêtes reliant certains des nœuds. On peut également percevoir un maillage comme un graphe, très similaire à un maillage. Un maillage peut être un échantillonnage de la pièce par les éléments ou mailles (représentant alors des petits volumes). Un graphe est un objet avec un niveau d’abstraction plus élevé car il s’agit simplement de nœuds et de liens entre eux. Les maillages utilisent des notions de qualité (précision de la solution) et de densité (raffinement local) qui ne sont pas utiles dans le cadre d’un graphe. Ci-dessous, ainsi que représenté à titre d’exemple à la , le premier maillage M CAO est constitué de mailles sélectionnées M k , reliant entre eux par des arêtes AR certains des premiers nœuds N CAO proches les uns des autres dans l’image X CAO de consigne, avec k étant un entier naturel allant de 1 à N, où N est le nombre de mailles sélectionnées M k du premier maillage M CAO et est supérieur ou égal à 2. Chaque premier nœud N CAO appartient à une des mailles M k ou à certaines des mailles M k , et pas à d’autres mailles M k . Les mailles M k sont formées des arêtes AR reliant entre eux des premiers nœuds N CAO les plus proches les uns des autres, ces arêtes AR formant un contour fermé, ainsi que représenté à titre d’exemple à la . Par exemple, chaque nœud N CAO déterminé est relié par des arêtes AR à d’autres nœuds N CAO voisins, qui sont situés jusqu’à un seuil de distance prescrit, positif et non nul, par rapport à ce nœud N CAO déterminé, chaque nœud N CAO étant tour à tour le nœud N CAO déterminé. Ces mailles M k , premiers nœuds N CAO et arêtes AR peuvent servir d’éléments dans une méthode de résolution par éléments finis, ainsi que cela sera décrit dans l’étape E8 et/ou E9 décrite ci-dessous. Le premier maillage M CAO peut être surfacique ou volumique. Une segmentation peut être utilisée pour obtenir le premier maillage M CAO . Ainsi que représenté à titre d’exemple à la , le deuxième maillage M tomo est constitué de mailles sélectionnées P k , reliant entre eux par des arêtes AR’ certains des deuxièmes nœuds N tomo proches les uns des autres dans l’image mesurée I ou X tomo , avec k étant un entier naturel allant de 1 à N’, où N’ est le nombre de mailles sélectionnées P k du deuxième maillage M tomo et est supérieur ou égal à 2. N’ peut être différent de N ou égal à N. Chaque deuxième nœud N tomo appartient à une des mailles P k ou à certaines des mailles P k , et pas à d’autres mailles P k . Les mailles P k sont formées des arêtes AR’ reliant entre eux deuxièmes nœuds N tomo les plus proches les uns des autres, ces arêtes AR’ formant un contour fermé, ainsi que représenté à titre d’exemple à la .Par exemple, chaque nœud N tomo déterminé est relié par des arêtes AR’ à d’autres nœuds N tomo voisins, qui sont situés jusqu’à un seuil de distance prescrit, positif et non nul, par rapport à ce nœud N tomo déterminé, chaque nœud N tomo étant tour à tour le nœud N tomo déterminé. Le deuxième maillage M tomo peut être surfacique ou volumique. Le calcul de la base statistique dans les étapes décrites ci-dessous se fera sur le premier maillage M CAO : le premier maillage M CAO étant maîtrisé et ayant des coordonnées connues par le calculateur ayant créé l’objet X CAO consigne et correspondant à la géométrie idéale, ce seront ces modes de référence qui seront utilisés par la suite. Au cours de la troisième étape E3, on calcule par le calculateur 12 une matrice A d’adjacence des premiers nœuds N CAO du premier maillage M CAO de l’objet X CAO de consigne et une matrice Laplacienne L des premiers nœuds N CAO du premier maillage M CAO de l’objet X CAO de consigne, associé à la matrice A d’adjacence. La matrice d’adjacence A traduit la connexité des nœuds N CAO entre eux sous une distance donnée. L’indice i désigne à la fois le numéro de la ligne de la matrice A d’adjacence et le numéro (ou indice) de chacun des premiers nœuds N CAO du premier maillage M CAO , tandis que l’indice j désigne à la fois le numéro de la colonne de la matrice A d’adjacence et le numéro d’un premier nœud N CAO . La matrice A d’adjacence est donc symétrique. Les coefficients de la matrice A d’adjacence à ses lignes i et à ses colonnes j sont désignés par A ij . Suivant un mode de réalisation de l’invention, la matrice d’adjacence A possède des coefficients A ij nuls sur sa diagonale (pour i=j). Pour le premier nœud de numéro i connecté par une arête AR d’une des mailles sélectionnées M k du premier maillage M CAO à un autre premier nœud de numéro j (donc pour i différent de j) et appartenant donc à la même maille M k que l’autre premier nœud de numéro j, les coefficients A ij sont une fonction décroissante de la distance calculée entre le premier nœud de numéro i et le premier nœud de numéro j. Lorsque le premier nœud de numéro i n’est pas connecté par aucune arête AR des mailles M k du premier maillage M CAO à un autre premier nœud de numéro j, le coefficient A ij de la matrice A d’adjacence est nul. Suivant un mode de réalisation de l’invention, au cours de la troisième étape E3, on calcule par le calculateur 12 la matrice diagonale D, dont les coefficients sont égaux à la somme des coefficients sur chaque colonne de la matrice A d’adjacence. Au cours de la troisième étape E3, on calcule par le calculateur 12 la matrice Laplacienne L de l’image X CAO de consigne, égale à la matrice diagonale D à laquelle est soustraite la matrice A d’adjacence, selon l’équation suivante : L = D – A Suivant un mode de réalisation de l’invention, les mailles M k et P k indiquées ci-dessus sont des triangles (triangles en deux dimensions ou tétraèdres en trois dimensions). Les sommets des triangles T k dans l’image X CAO de consigne sont formés par les premiers nœuds N CAO de la pièce. Ces triangles T k , premiers nœuds N CAO et arêtes AR peuvent servir d’éléments dans une méthode de résolution par éléments finis, ainsi que cela sera décrit dans l’étape E8 et/ou E9 décrite ci-dessous. Les triangles T k , premiers nœuds N CAO et arêtes AR peuvent être surfaciques ou volumiques. Chaque coefficient A ij de la matrice A d’adjacence est égal à lorsque les deux conditions suivantes sont remplies à la fois : première condition : i est différent de j, deuxième condition : le premier nœud de numéro j est relié par une des arêtes d’un des triangles sélectionnés T k au premier nœud de numéro i. x i désigne les coordonnées du premier nœud de numéro i dans l’objet X CAO de consigne et x j désigne les coordonnées du premier nœud de numéro j dans l’objet X CAO de consigne, σ 0 est une valeur prédéterminée de distance, qui dépend de la géométrie, désigne la distance entre le premier nœud de numéro i et le premier nœud de numéro j dans l’image X CAO de consigne. Lorsque première condition et/ou la deuxième condition n’est pas remplie, le coefficient A ij de la matrice A d’adjacence est nul. Dans ce mode de réalisation de l’invention, le premier maillage M CAO est donc composé d’éléments en forme de triangles avec le nombre de triangles T k du maillage M CAO . Un triangle d’indice est composé de 3 sommets sélectionnés parmi les premiers nœuds N CAO , où k1, k2 et k3 peuvent être des indices i et j des premiers nœuds N CAO . Soit S l’ensemble des permutations de sur l’ensemble des triangles sélectionnés : S correspond à l’ensemble des connexions par une arête d’un triangle entre un premier nœud N CAO et un autre premier nœud N CAO . On a donc : On calcule donc ensuite au cours de la troisième étape E3 la matrice diagonale D dont les coefficients D ii sur la diagonale sont égaux à : Les matrices et sont également appelées « matrice de degrés » et « matrice de connexité ». Bien entendu, dans d’autres modes de réalisation de l’invention, il n’est pas exclu d’utiliser des mailles M k et P k ayant d’autres formes. On pourrait ainsi également utiliser des rectangles ou carrés (faces d’éléments hexaédriques). Mais dans le cas de l’exemple traité il s’agit bien de triangles (2D) et tétraèdres (3D). Au cours de la quatrième étape E4, on calcule par le calculateur 12 des valeurs propres λ k de la matrice Laplacienne L du premier maillage M CAO de l’image X CAO de consigne et une matrice W (ou base) de vecteurs propres Φ k de la matrice Laplacienne L du premier maillage M CAO de l’image X CAO de consigne, correspondant à ces valeurs propres λ k . Par exemple, dans un premier mode de réalisation, les N valeurs propres λ 1 , …, λ N de la matrice Laplacienne L correspondant aux N vecteurs propres Φ 1 , …, Φ N sont calculées. Par construction de L, N désigne ici N CAO . Dans un deuxième mode de réalisation, moins de N (à savoir les n plus grandes) valeurs propres λ k de la matrice Laplacienne L, correspondant à moins de N (à savoir n) vecteurs propres Φ k sont calculées, étant donné la troncature de la matrice W de vecteurs propres, décrite ci-dessous. L’opérateur de la matrice Laplacienne permet de construire la base orthogonale W de vecteurs propres de cette approximation via une résolution du problème aux valeurs propres d’inconnues (λ k , Φ k ) : où * désigne la multiplication matricielle et . désigne la multiplication par un scalaire. On appelle alors les modes propres les vecteurs propres et les valeurs propres La matrice W de passage de l’espace réel vers l’espace des modes propres est construite par : dans le premier mode de réalisation, ou dans le deuxième mode de réalisation avec n Au cours de la quatrième étape E4, on tronque par le calculateur 12 la matrice W de vecteurs propres Φ k , pour obtenir une matrice réduite V (ou base réduite ou base spectrale ou base modale ou modes de référence ou base spectrale de référence) des n vecteurs propres Φ 1 , …, Φ n de l’image X CAO de consigne, qui correspondent aux n plus grandes valeurs propres λ 1 , …, λ n de l’image X CAO de consigne, où n est un entier naturel positif déterminé et supérieur ou égal à 2 et inférieur à N. Ainsi, dans le premier mode de réalisation ci-dessus de l’étape E4, on tronque la base par V ), où n correspond à l’indice du mode de troncature, c’est-à-dire du dernier mode sélectionné. Dans les deux modes de réalisation ci-dessus de l’étape E4, la troncature de la base W permet de filtrer la structure : on enlève les modes Φ k à faibles longueurs de variations (faibles valeurs propres λ k ), i.e. les composantes très locales du premier maillage M CAO . Les figures 6A à 6D montrent en niveaux de gris les valeurs numériques des projections de différents modes Φ k sur le premier maillage M CAO , en indiquant l’indice k du mode : plus l’indice k du mode Φ k augmente, plus sa portée (valeur propre λ k ) diminue. La montre le premier maillage M CAO de l’image X CAO de consigne, sur lequel les modes Φ k de ces figures 6A à 6D ont été calculés. Les bas modes Φ k vont contenir les informations structurantes de l’information et les modes Φ k les plus élevés vont contenir les détails. La troncature permet de ne garder que les informations globales portant un intérêt mécanique. Les fluctuations locales apportées par la tomographie n’auront pas d’intérêt pour le calcul. L’étape E4 est donc une opération de filtrage par troncature de la base W afin de capter l’essentiel des informations structurelles d’intérêt. Les modes gardés (λ k , Φ k ), c’est-à-dire la matrice réduite V pour k allant de 1 à n, porteront les déformations et défauts géométriques pertinents observés sur les pièces réelles P, issues du processus de fabrication (par exemple du procédé de fonderie) et sont des modes de référence. Cette troncature peut se calculer par différentes approches. Une première approche décrite ci-dessus est le filtrage suivant la longueur caractéristique (valeur propre λ k ) des modes Φ k . Une autre approche pourrait être le calcul de l’erreur de reconstruction par projection du premier maillage M CAO sur les modes Φ k et de calculer n modes (λ k , Φ k ) pour k allant de 1 à n, jusqu’à ce que l’erreur de reconstruction devienne inférieure à un seuil prescrit d’erreur. La troncature peut être effectuée en utilisant par exemple la distance euclidienne moyenne ou la distance de Hausdorff. Au cours de la cinquième étape E5, on apparie par le calculateur 12 un sous-ensemble G de M deuxièmes nœuds N tomo de l’image mesurée X tomo par proximité à respectivement un sous-ensemble F de M premiers nœuds N CAO de l’image X CAO de consigne. Le sous-ensemble F est ainsi une sélection de M premiers nœuds N CAO de l’image X CAO de consigne parmi tous les premiers nœuds N CAO . Le sous-ensemble G est ainsi une sélection de M deuxièmes nœuds N tomo de l’image mesurée I ou X tomo parmi tous les deuxièmes nœuds N tomo du deuxième maillage M tomo . Le nombre M est un entier naturel positif déterminé et inférieur ou égal au nombre n de vecteurs propres Φ 1 , …, Φ n de la base réduite V de l’image X CAO de consigne. Cet appariement établit une correspondance entre le premier maillage M CAO de l’image X CAO de consigne et le deuxième maillage M tomo de l’image mesurée I ou X tomo . Les sous-ensembles F et G et le nombre M peuvent être déterminés comme étant certains des nœuds N tomo du maillage N tomo de l’image mesurée I ou X tomo , dont on connaît la position et la distance par rapport à certains des nœuds N CAO du maillage M CAO de l’image X CAO de consigne. Cette sélection des sous-ensembles F et G peut être faite d’une manière empirique. Cette sélection des sous-ensembles F et G peut être faite par un algorithme de sélection de points d’interpolation, dont différents algorithmes classiques existent parmi les méthodes de réduction de modèle. Une sélection de points d’interpolation pour la déformation peut être réalisée pour calculer les variations géométriques issues du procédé de fonderie de la pièce. Par exemple, une méthode d’interpolation empirique discrète (Discrete Empirical Interpolation Method en anglais ou DEIM en abréviation) peut être utilisée. Il s’agit d’une version discrète d’un algorithme de détermination de points dits empiriques, qui maximise la projection d’une fonction dans une base formées par points déjà calculés via une méthode glouton. On peut citer comme exemple de méthode DEIM la méthode de meilleurs points d’interpolation (Best Points Interpolation Method en anglais ou BPIM en abréviation) basée sur le calcul de la meilleure projection par minimisation au sens des moindres carrés, selon la publication [N’Guyen, 2008] Nguyen, N. C. et Peraire, J. (2008). « An efficient reduced-order modeling approach for non-linear parametrized partial differential equations”. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 76(1):27–55. On peut citer comme exemple de méthode DEIM la méthode d’estimation de point manquant (Missing Point Estimation en anglais) ou encore la technique de Gauss Newton avec tenseur approximé (en anglais Gauss Newton with Approximated Tensor) issue d’une projection de Petrov-Galerkin. Cet algorithme permet de trouver les listes F et G de nœuds. La taille M de ces listes F et G peut être égale au nombre n de modes Φ k de la base réduite V, qui ont été sélectionnés par la troncature de l’étape E4. La taille M de ces listes F et G pourrait être également inférieure au nombre n de modes, ayant été sélectionnés par la troncature. D’autres méthodes d’appariement peuvent également être utilisés comme la vraisemblance modale entre les deux graphes en calculant une base structurante sur chacun des maillages et en associant les nœuds qui maximisent chacun des modes sur chacun des maillages. Les figures 7 et 8A montrent un exemple de sélection du sous-ensemble F des M premiers nœuds N CAO de l’objet X CAO de consigne parmi tous les premiers nœuds N CAO sur le maillage M CAO , ainsi que par des rectangles les deuxièmes nœuds N tomo correspondants du sous-ensemble G. Les figures 8B et 8C montrent par des rectangles un exemple de sélection du sous-ensemble G des M deuxièmes nœuds N tomo de l’image mesurée I ou X tomo parmi tous les deuxièmes nœuds N tomo sur le maillage M tomo . La montre que certains deuxièmes nœuds N tomo du sous-ensemble G peuvent coïncider avec certains premiers nœuds N CAO du sous-ensemble F et que d’autres deuxièmes nœuds N tomo du sous-ensemble G peuvent coïncider avec certains autres premiers nœuds N CAO du sous-ensemble F. En cas de problèmes d’appariement, une correction peut être apportée, par le calculateur 12 via un recalage du maillage M tomo de l’image mesurée I ou X tomo de la pièce réelle P sur le maillage M CAO de l’image X CAO de consigne. Les étapes E6, E7 et E8 décrites ci-dessous permettent de transformer le maillage M CAO de l’objet X CAO de consigne pour comprendre dans cette transformation les déformations non rigides induites par le maillage M tomo de l’image mesurée I ou X tomo de la pièce réelle P. La base tronquée V, également appelée base réduite V, étant calculée, il est maintenant possible d’y projeter le maillage M tomo de l’image mesurée I ou X tomo de la pièce réelle P. Les nouvelles coordonnées γ tomo de projection de la pièce réelle P dans cette base V porteront alors les variations des modes de référence de la CAO et donc, les variations géométriques issues du procédé de fabrication de la pièce réelle P. Ainsi, l’invention prend en entrée les deux maillages M CAO et M tomo , puis permet d’obtenir la base V des modes géométriques de référence du maillage M CAO (les vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n )), ainsi que les coordonnées γ CAO et γ tomo des deux maillages M CAO et M tomo dans cette base V de l’objet X CAO de consigne. Ensuite, on obtient la géométrie de la pièce réelle P décrite avec des nœuds indexés de manière équivalente (sous-ensemble F et G de nœuds appariés) entre les deux maillages M CAO et M tomo . Une fois les paires de nœuds trouvées, on peut appliquer le champ U de déplacement et résoudre le problème par éléments finis. Cela permet de recalculer de manière très facile des problématiques dont la mise en données a été réalisée. Les variations géométriques sont calculées dans un premier temps dans la base spectrale via une projection d’un sous-ensemble G du deuxième maillage M tomo de la pièce réelle P dans l’image mesurée I ou X CAO . Au cours de la sixième étape E6, on calcule par le calculateur 12 des premières coordonnées γ CAO projetées des M premiers nœuds N CAO (du sous-ensemble F) de l’objet X CAO de consigne sur les n vecteurs propres Φ 1 , …, Φ n de la matrice réduite V de l’objet X CAO de consigne. Au cours de la sixième étape E6, on calcule par le calculateur 12 des deuxièmes coordonnées γ tomo projetées des M deuxièmes nœuds N tomo (du sous-ensemble G) de l’image mesurée I ou X tomo sur les n vecteurs propres Φ 1 , …, Φ n de la matrice réduite V de l’objet X CAO de consigne. Ainsi, les coordonnées γ tomo du deuxième maillage M tomo projeté dans la base V réduite V de l’image X CAO de consigne sont calculées pour la restriction des nœuds N tomo identifiés par l’appariement des sous-ensembles F et G. La matrice réduite V peut donc être restreinte aux M lignes correspondant aux M indices des M premiers nœuds N CAO du sous-ensemble F. On peut noter la sous-matrice extraite V[F] comme étant la matrice réduite V de vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ), ayant été restreinte aux M lignes correspondant aux numéros des M deuxièmes nœuds N tomo du sous-ensemble G, qui ont été appariés aux M premiers nœuds N CAO du sous-ensemble F. Soit X la matrice contenant les coordonnées du sous-ensemble G des M deuxièmes nœuds N tomo du deuxième maillage M tomo de l’image mesurée I ou X tomo . La projection γ tomo des M deuxièmes nœuds N tomo du sous-ensemble G du deuxième maillage M tomo de l’image mesurée I ou X tomo dans la base réduite V de l’image X CAO de consigne est la solution γ = γ tomo du problème d’optimisation : qui admet comme solution : où désigne la transposition de V[F]. Ainsi, suivant un mode de réalisation, au cours de la sixième étape E6, le calculateur 12 calcule les deuxièmes coordonnées γ tomo projetées des M deuxièmes nœuds N tomo de l’image mesurée X tomo sur les n vecteurs propres Φ 1 , …, Φ n de la matrice réduite V de l’image X CAO de consigne, comme étant égales à Suivant un autre mode de réalisation, au cours de la sixième étape E6, le calculateur 12 calcule les deuxièmes coordonnées γ tomo projetées des M deuxièmes nœuds N tomo de l’image mesurée X tomo sur les n vecteurs propres Φ 1 , …, Φ n de la matrice réduite V de l’image X CAO de consigne, comme étant égales à la solution γ = γ tomo de Au cours de la septième étape E7, on calcule par le calculateur 12 un champ U de déplacement reconstitué de l’image X CAO de consigne vers l’image mesurée X tomo à partir de la matrice réduite V des n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice Laplacienne L de l’image X CAO de consigne, à partir des premières coordonnées γ CAO projetées de l’image X CAO de consigne et à partir des deuxièmes coordonnées γ tomo projetées de l’image mesurée X tomo . Les variations géométriques spectrales U sont ainsi recalculées dans l’espace réel par l’utilisation de la matrice V de passage pour déterminer le déplacement à appliquer pour déformer le maillage de référence M CAO . Plusieurs manières d’effectuer ce calcul lors de l’étape E7 sont décrites ci-dessous. Suivant une première manière, lors de l’étape E7, le calculateur 12 calcule : des coordonnées réelles y des M deuxièmes nœuds N tomo du sous-ensemble G de l’image mesurée I ou X tomo selon l’équation Un biais δ de transformation (appelé ci-dessous erreur δ de reconstruction) peut être calculé par différence entre la reconstruction de la CAO et les coordonnées du maillage de référence M CAO . Il suffit de calculer les coordonnées réduites , de calculer à partir des coordonnées réduites les coordonnées reconstruites dans l’espace réel, puis de retrancher les coordonnées initiales du maillage M CAO . Ainsi, suivant la première manière, le calculateur 12 calcule l’erreur δ de reconstruction selon l’équation Les coordonnées de la CAO déformée peuvent prendre en compte cette erreur δ de reconstruction, propre à la troncature effectuée et la sélection des M deuxièmes nœuds N tomo du sous-ensemble G. Les coordonnées rectifiées dans l’espace réel deviennent égales aux coordonnées y auxquelles est soustraite erreur δ de reconstruction. Ainsi suivant la première manière, le calculateur 12 calcule : - des coordonnées réelles rectifiées des M deuxièmes nœuds N tomo du sous-ensemble G de l’image mesurée I ou X tomo selon l’équation - le champ U de déplacement reconstitué du maillage M CAO de l’image X CAO de consigne vers l’image mesurée I ou X tomo selon l’équation Cette première manière de calculer le champ U aboutit donc au fait que le Suivant une deuxième manière, lors de l’étape E7, le calculateur 12 calcule le champ U de déplacement reconstitué à partir de la matrice réduite V des n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice Laplacienne L du maillage M CAO de l’image X CAO de consigne, à partir des premières coordonnées γ CAO projetées de l’image X CAO de consigne et à partir d’un vecteur de différence, égal aux premières coordonnées γ CAO projetées de l’image X CAO de consigne, auxquelles sont soustraites les deuxièmes coordonnées γ tomo projetées de l’image mesurée I ou X tomo . Suivant une troisième manière, lors de l’étape E7, le calculateur 12 calcule le champ U de déplacement reconstitué comme égal à la matrice réduite V des n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice Laplacienne L de l’image X CAO de consigne, multipliée par le vecteur de différence, égal aux premières coordonnées γ CAO projetées de l’image X CAO de consigne, auxquelles sont soustraites les deuxièmes coordonnées γ tomo projetées de l’image mesurée I ou X tomo selon l’équation : Au cours de la huitième étape E8, on déforme par le calculateur 12 le premier maillage M CAO de l’image X CAO de consigne à partir du champ U de déplacement pour obtenir un troisième maillage Q déformé de troisièmes nœuds Q CAO de la pièce dans l’image X CAO de consigne. Cette étape E8 peut être effectuée par une résolution à éléments finis à partir du champ U de déplacement ayant été calculé lors de l’étape E7. Dans ce cas, ce champ U de déplacement ayant été calculé lors de l’étape E7 pour le sous-ensemble F des M premiers nœuds N CAO de l’image X CAO de consigne sert de conditions aux limites pour la déformation globale de l’ensemble des premiers nœuds N CAO du premier maillage M CAO , ce qui permet de calculer le troisième maillage Q déformé de troisièmes nœuds Q CAO de la pièce dans l’image X CAO de consigne. Le calculateur 12 peut comprendre un solveur numérique (effectuant une résolution par éléments finis) pour déformer le maillage de référence M CAO et obtenir le troisième maillage Q déformé de troisièmes nœuds Q CAO de la pièce dans l’image X CAO de consigne. Ainsi, le troisième maillage Q déformé se rapproche du maillage M tomo de la pièce réelle P et prend en compte les écarts de géométrie de l’image mesurée I ou X tomo par rapport à l’image X CAO de consigne. La fabrication de la pièce P, par exemple par voie de fonderie, induit en ensemble de fluctuations physiques des pièces P traduites par des variations géométriques par rapport à la géométrie de référence de l’image X CAO . Ces écarts entraînent des analyses en bureau d’étude pour valider l’acceptabilité d’une pièce. La méthodologie présentée ici permet de prendre en compte les modifications de géométrie observée sur la géométrie réelle de l’image mesurée I ou X tomo . Elle se base sur la numérisation de pièces réelles, pouvant être faite par tomographie, et sur la déformation du maillage de référence M CAO pour capter les modifications de la géométrie. Le troisième maillage Q déformé de troisièmes nœuds Q CAO de la pièce dans l’image X CAO de consigne donne la transformation permettant de passer de troisième maillage Q déformé de troisièmes nœuds Q CAO de la pièce dans l’image X CAO de consigne à l’image mesurée I ou X tomo de la pièce réelle P. Les figures 9A, 9B et 9C montrent un exemple de troisième maillage Q de troisièmes nœuds Q CAO de la pièce dans l’image X CAO de consigne, obtenu à partir de l’objet X CAO de consigne de la et de l’image mesurée I ou X tomo des figures 8B et 8C. Les figures 9B et 9C montrent par des rectangles le sous-ensemble F des M premiers nœuds N CAO de l’objet X CAO de consigne, qui ont été déformés par la huitième étape E8, qui sont appelés F’ et qui sont donc des troisièmes nœuds Q CAO . Suivant un mode de réalisation, les premiers nœuds N CAO et les troisièmes nœuds Q CAO sont situés à une surface de la pièce P dans l’image X CAO de consigne, et les deuxièmes nœuds N tomo sont situés à ladite surface de la pièce P dans l’image mesurée I ou X tomo . Suivant un mode de réalisation, au cours de l’étape E9, on calcule par le calculateur 12, via une résolution du type à éléments finis, un quatrième maillage déformé R de quatrièmes nœuds R CAO cette fois-ci volumique de l’objet X CAO de consigne à partir du troisième maillage Q déformé de troisièmes nœuds Q CAO situés à la surface de la pièce P dans l’image X CAO de consigne. Cette résolution du type à éléments finis prend comme conditions aux limites le troisième maillage Q déformé de troisièmes nœuds Q CAO situés à la surface de la pièce P dans l’image X CAO de consigne. La résolution du calcul par éléments finis fournit une déformation Q ou R du maillage CAO vers le maillage M tomo de l’image mesurée I ou X tomo , permettant de capter les variations géométriques les plus importantes. On peut ainsi calculer le quatrième maillage déformé R sur plusieurs couches de nœuds dans le volume de la pièce réelle P dans l’image X CAO de consigne, par exemple au moins deux ou trois couches de nœuds. Le calculateur 12 peut comprendre un solveur numérique (effectuant une résolution par éléments finis) pour calculer le quatrième maillage déformé R dans l’image X CAO de consigne. Ce quatrième maillage R correspond au maillage volumique de l’image X CAO de consigne dont on a extrait la surface qui correspond au premier maillage M CAO . Suivant un mode de réalisation, on applique le champ de déplacement sur une sélection de points du maillage CAO réalisée par un algorithme de sélection mentionné ci-dessus. La résolution du problème de déplacement est effectuée par éléments finis et permet de déformer le maillage CAO. Pour corriger d’éventuels problème de recalage de la pièce réelle sur la CAO, des composantes de corps rigides peuvent être ajoutées au champ U de déplacement. Des méthodes de déplacement rigides telles que le recalage inertiel ou l’extraction d’une matrice de rototranslation par itération (algorithme du plus proche point itératif ou Iterative Closest Point en anglais ou ICP en abréviation) peuvent être utilisées dans ce cadre. Un autre objet de l’invention est un procédé de contrôle non destructif de la pièce réelle P, ayant été fabriquée par voie de fonderie. Par exemple, ce procédé de contrôle non destructif comporte la première étape E1 décrite ci-dessus, dans laquelle on acquiert par le dispositif 11 de mesure l’image I, X tomo , ayant été mesurée sur la pièce réelle P. L’étape E1 est suivie des étapes E2 à E8 ou E9 décrites ci-dessus du procédé de traitement de l’image X CAO de consigne de la pièce réelle P, en référence à la figure 9. L’étape E8 ou E9 est suivie d’une étape E10, dans on détermine à partir du troisième maillage Q déformé de troisièmes nœuds Q CAO de la pièce dans l’image X CAO de consigne, obtenu par l’étape E8, et/ou à partir du quatrième maillage déformé R dans le volume de la pièce réelle P dans l’image X CAO de consigne, obtenu par l’étape E9, si la pièce réelle P est en bon état ou en mauvais état. L'étape E10 est une étape de sanction ou de validation, permettant d’examiner le troisième maillage Q et/ou le quatrième maillage déformé R, afin soit de sanctionner la pièce réelle P comme étant non valide car ayant trop de défauts, soit de valider la pièce réelle P comme étant valide car n’ayant pas trop de défauts. Ce procédé de contrôle non destructif peut être utilisé dans une chaîne de simulation industrielle et permet une sanction de la dérogation sur l’acceptabilité de la pièce réelle P. Le procédé de contrôle non destructif se distingue de la préparation des données (installation de la pièce P dans le tomographe puis numérisation, reconstruction et segmentation de la pièce lors des étapes E1 et E2) et se distingue de la partie utilisation industrielle (étape E10 d’aide à la sanction de dérogation sur l’acceptabilité de la pièce) par les étapes E3 à E8 et/ou E9 décrites ci-dessus. L’invention permet une approche non-paramétrique pour identifier les variations morphologiques et pouvoir de façon plus rapide, voire automatique, traiter des dérogations. Cette méthode permet non seulement d’accéder à une sanction rapide, mais également de prendre en compte l’ensemble des pièces acceptées afin de toujours améliorer la base de données. L’application continue de cette méthode permet de la renforcer par convergence statistique (robustesse et stabilité du calcul des modes). Enfin, la force de cette méthode est qu’elle se transpose à tout type de pièces et de type de traitement basée sur la décomposition sous réserve d’en obtenir au moins un maillage surfacique. Les modes locaux à faible portée sont filtrés par la troncature de la base des modes, ce qui se traduit par une réduction de la dimensionnalité de l’objet. Cette approche permet de fournir les coefficients des variations géométriques observés sur un grand nombre de pièces. Les coefficients peuvent ensuite être associés aux dérogations afin de construire une base de données sur laquelle une statistique de dérogation pourrait être développée. L’utilisation de méthodes statistiques pour la classification est adaptée au processus de dérogation par nature. Le maillage déformé Q et/ou R peut être utilisé directement dans une chaîne de simulation industrielle, puisque la mise en données (application des conditions aux limites, entités de calculs etc.) est conservée. On peut alors obtenir des résultats correspondant à la géométrie de la pièce réelle P. Les différentes grandeurs calculées ci-dessus, notamment les maillages, les matrices, les vecteurs propres, les valeurs propres et les coordonnées, ainsi que V, F, G, U, Q, R peuvent être stockées dans une mémoire 13 ou une base 13 de données du dispositif 1 et/ou être affichées sur un écran 14 du dispositif 1 et/ou envoyées à une sortie physique 15 vers l’extérieur (par exemple un port de communication vers l’extérieur). Bien entendu, les modes de réalisation, caractéristiques, possibilités et exemples décrits ci-dessus peuvent être combinés l’un avec l’autre ou être sélectionnés indépendamment l’un de l’autre. Procédé de traitement d’une image (X CAO ) de consigne d’une pièce réelle (P) pour la faire correspondre à une image (I, X tomo ), ayant été mesurée (E1) sur la pièce réelle, caractérisé en ce que le procédé comporte les étapes suivantes, mises en œuvre par au moins un calculateur (12): - obtention (E2) d’un premier maillage (M CAO ) de premiers nœuds (N CAO ) de la pièce dans l’image (X CAO ) de consigne et d’un deuxième maillage (M tomo ) de deuxièmes nœuds (N tomo ) de la pièce dans l’image mesurée (X tomo ), - calcul (E3) d’une matrice (A) d’adjacence des premiers nœuds (N CAO ) du premier maillage (M CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne et d’une matrice Laplacienne (L) des premiers nœuds (N CAO ) du premier maillage (M CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne, associée à la matrice (A) d’adjacence, - calcul (E4) des valeurs propres (λ 1 , …, λ N ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne et d’une matrice (W) de vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ N ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne, correspondant aux valeurs propres (λ 1 , …, λ N ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne, - réduction (E4) de la matrice (W) de vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ N ) de l’image (X CAO ) de consigne, pour obtenir une matrice réduite (V) des n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de l’image (X CAO ) de consigne, qui correspondent aux n plus grandes valeurs propres (λ 1 , …, λ n ) de l’image (X CAO ) de consigne, où n est un entier naturel positif déterminé et supérieur ou égal à 2, - appariement (E5) de M deuxièmes nœuds (N tomo , G) de l’image mesurée (X tomo ) par proximité à respectivement M premiers nœuds (N CAO , F) de l’image (X CAO ) de consigne, où M est un entier naturel positif déterminé et inférieur ou égal à n, - calcul (E6) de premières coordonnées (γ CAO ) projetées des M premiers nœuds (N CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne sur les n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice réduite (V) de l’image (X CAO ) de consigne, - calcul (E6) de deuxièmes coordonnées (γ tomo ) projetées des M deuxièmes nœuds (N tomo , F) de l’image mesurée (X tomo ) sur les n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice réduite (V) de l’image (X CAO ) de consigne, - calcul (E7) d’un champ (U) de déplacement reconstitué de l’image (X CAO ) de consigne vers l’image mesurée (X tomo ) à partir de la matrice réduite (V) de vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne, à partir des premières coordonnées (γ CAO ) projetées de l’image (X CAO ) de consigne et à partir des deuxièmes coordonnées (γ tomo ) projetées de l’image mesurée (X tomo ), - déformation (E8) du premier maillage (M CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne à partir du champ (U) de déplacement pour obtenir un troisième maillage (Q) déformé de troisièmes nœuds (Q CAO ) de la pièce dans l’image (X CAO ) de consigne. Procédé suivant la revendication 1, caractérisé par l’étape de calcul (E3) de la matrice diagonale (D), dont les coefficients sont égaux à la somme des coefficients sur chaque colonne de la matrice (A) d’adjacence, et de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne, égale à la matrice diagonale (D) à laquelle est soustraite la matrice (A) d’adjacence. Procédé suivant l’une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le premier maillage (M CAO ) est constitué de mailles sélectionnées (M k ), reliant entre eux par des arêtes (AR) les premiers nœuds (N CAO ) proches les uns des autres dans l’image (X CAO ) de consigne, i désigne le numéro de la ligne de la matrice (A) d’adjacence et le numéro de chacun des premiers nœuds (N CAO ) du premier maillage (M CAO ), j désigne le numéro de la colonne de la matrice (A) d’adjacence et le numéro de chacun des premiers nœuds (N CAO ) du premier maillage (M CAO ), chaque coefficient A ij de la matrice (A) d’adjacence est égal à une fonction positive et non nulle, décroissante selon une distance calculée entre le premier nœud de numéro i et le premier nœud de numéro j, lorsqu’à la fois i est différent de j et le premier nœud de numéro j est relié par une des arêtes d’une des mailles sélectionnée (M k ) au premier nœud de numéro i, et est égal à zéro sinon. Procédé suivant la revendication 3, caractérisé en ce que les mailles sélectionnées (M k ) sont des triangles sélectionnés (T k ) et/ou rectangles sélectionnés et/ou carrés sélectionnés et/ou héxaèdres sélectionnés et/ou tétraèdres sélectionnés, dont les sommets sont formés par les premiers nœuds (N CAO ) de la pièce dans l’image (X CAO ) de consigne, chaque coefficient A ij de la matrice (A) d’adjacence est égal à lorsqu’à la fois i est différent de j et le premier nœud de numéro j est relié par une des arêtes d’un des triangles sélectionnés (T k ) au premier nœud de numéro i, et est égal à zéro sinon, où x i désigne les coordonnées du premier nœud de numéro i dans l’image (X CAO ) de consigne et x j désigne les coordonnées du premier nœud de numéro j dans l’image (X CAO ) de consigne, σ 0 est une valeur prédéterminée de distance. Procédé suivant l’une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que M = n. Procédé suivant l’une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le calculateur (12) calcule (E6) les deuxièmes coordonnées γ tomo projetées des M deuxièmes nœuds (N tomo ) de l’image mesurée (X tomo ) sur les n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice réduite (V) de l’image (X CAO ) de consigne, comme étant égales à où X désigne une matrice contenant les coordonnées des M deuxièmes nœuds (N tomo ) du deuxième maillage (M tomo ) de l’image mesurée (X tomo ), V[F] est la matrice réduite V des n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ), ayant été restreinte aux M lignes (F) correspondant aux numéros des M deuxièmes nœuds (N tomo , F) ayant été appariés aux M premiers nœuds (N CAO ), désigne la transposition de V[F], * désigne la multiplication matricielle. Procédé suivant l’une quelconque des revendications 1 à 5, caractérisé en ce que le calculateur (12) calcule (E6) les deuxièmes coordonnées γ tomo projetées des M deuxièmes nœuds (N tomo ) de l’image mesurée (X tomo ) sur les n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice réduite (V) de l’image (X CAO ) de consigne, comme étant égales à la solution γ de où X désigne une matrice contenant les coordonnées des M deuxièmes nœuds (N tomo ) du deuxième maillage (M tomo ) de l’image mesurée (X tomo ), V[F] est la matrice réduite V des n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ), ayant été restreinte aux M lignes (F) correspondant aux numéros des M deuxièmes nœuds (N tomo , F) ayant été appariés aux M premiers nœuds (N CAO ), * désigne la multiplication matricielle. Procédé suivant l’une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que pour le calcul (E7) du champ (U) de déplacement, le calculateur (12) calcule : - des coordonnées réelles y des M deuxièmes nœuds (N tomo , F) de l’image mesurée (X tomo ) selon l’équation - une erreur δ de reconstruction selon l’équation - des coordonnées réelles rectifiées des M deuxièmes nœuds (N tomo , F) de l’image mesurée (X tomo ) selon l’équation - le champ (U) de déplacement reconstitué de l’image (X CAO ) de consigne vers l’image mesurée (X tomo ) selon l’équation où X CAO est l’image de consigne, V est la matrice réduite des n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ), γ tomo sont les premières coordonnées projetées des M deuxièmes nœuds (N tomo , F) de l’image mesurée (X tomo ) sur les n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice réduite V de l’image (X CAO ) de consigne, γ CAO sont les deuxièmes coordonnées projetées des M premiers nœuds (N CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne sur les n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice réduite V de l’image (X CAO ) de consigne. Procédé suivant l’une quelconque des revendications 1 à 7, caractérisé par le fait que pour le calcul (E7) du champ (U) de déplacement, le calculateur (12) calcule le champ (U) de déplacement reconstitué à partir de la matrice réduite (V) de vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne, à partir des premières coordonnées (γ CAO ) projetées de l’image (X CAO ) de consigne et à partir d’un vecteur de différence, égal aux premières coordonnées (γ CAO ) projetées de l’image (X CAO ) de consigne, auxquelles sont soustraites les deuxièmes coordonnées (γ tomo ) projetées de l’image mesurée (X tomo ). Procédé suivant la revendication 9, caractérisé par le fait que pour le calcul (E7) du champ (U) de déplacement, le calculateur (12) calcule le champ (U) de déplacement reconstitué étant égal à la matrice réduite (V) de vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne, multipliée par le vecteur de différence, égal aux premières coordonnées (γ CAO ) projetées de l’image (X CAO ) de consigne, auxquelles sont soustraites les deuxièmes coordonnées (γ tomo ) projetées de l’image mesurée (X tomo ). Procédé suivant l’une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que la déformation (E8) du premier maillage (M CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne à partir du champ (U) de déplacement est effectuée par le calculateur (12) par une résolution à éléments finis prenant comme conditions aux limites le champ (U) de déplacement pour obtenir le troisième maillage (Q CAO ) déformé des troisièmes nœuds (Q CAO ) de la pièce dans l’image (X CAO ) de consigne. Procédé suivant l’une quelconque des revendications précédentes, caractérisé par le fait que les premiers nœuds (N CAO ) et les troisièmes nœuds (Q CAO ) sont situés à une surface de la pièce dans l’image (X CAO ) de consigne, les deuxièmes nœuds (N tomo ) sont situés à ladite surface de la pièce dans l’image mesurée (X tomo ), le procédé comportant une étape (E9) de calcul, via une résolution du type à éléments finis, d’un quatrième maillage déformé (R ) dans un volume de la pièce réelle dans l’image (X CAO ) de consigne à partir du troisième maillage (Q) déformé de troisièmes nœuds (Q CAO ) de la pièce. Procédé suivant l’une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu’il comporte une étape préalable (E1), dans laquelle l’image mesurée (I, X tomo ) est captée par un dispositif (11) de mesure. Procédé de contrôle non destructif d’une pièce réelle (P), fabriquée par voie de fonderie, comprenant un traitement d’une image de consigne de la pièce (P) selon l'une quelconque des revendications précédentes. Procédé de contrôle non destructif d’une pièce réelle (P), fabriquée par voie de fonderie selon la revendication 14, dans lequel on acquiert par un dispositif (11) de mesure l’image (I, X tomo ), ayant été mesurée (E1) sur la pièce réelle (P), puis on effectue le traitement de l’image (X CAO ) de consigne de la pièce réelle (P), puis on détermine si la pièce réelle (P) est en bon état ou en mauvais état à partir du troisième maillage (Q) déformé de troisièmes nœuds (Q CAO ) de la pièce dans l’image (X CAO ) de consigne. Programme d’ordinateur, comportant des instructions de code pour la mise en œuvre du procédé de traitement d’image suivant l’une quelconque des revendications 1 à 12, lorsqu’il est exécuté sur au moins un calculateur (12). Dispositif de traitement d’une image (X CAO ) de consigne d’une pièce réelle pour la faire correspondre à une image (I, X tomo ), ayant été mesurée (E1) sur la pièce réelle, caractérisé en ce que le dispositif comporte au moins un calculateur (12) configuré pour mettre en œuvre les étapes suivantes: - obtention (E2) d’un premier maillage (M CAO ) de premiers nœuds (N CAO ) de la pièce dans l’image (X CAO ) de consigne et d’un deuxième maillage (M tomo ) de deuxièmes nœuds (N tomo ) de la pièce dans l’image mesurée (X tomo ), - calcul (E3) d’une matrice (A) d’adjacence des premiers nœuds (N CAO ) du premier maillage (M CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne et d’une matrice Laplacienne (L) des premiers nœuds (N CAO ) du premier maillage (M CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne, qui correspond à la matrice (A) d’adjacence, - calcul (E4) des valeurs propres (λ 1 , …, λ N ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne et d’une matrice (W) de vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ N ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne, correspondant aux valeurs propres (λ 1 , …, λ N ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne, - réduction (E4) de la matrice (W) de vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ N ) de l’image (X CAO ) de consigne, pour obtenir une matrice réduite (V) des n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de l’image (X CAO ) de consigne, qui correspondent aux n plus grandes valeurs propres (λ 1 , …, λ n ) de l’image (X CAO ) de consigne, où n est un entier naturel positif déterminé et supérieur ou égal à 2, - appariement (E5) de M deuxièmes nœuds (N tomo , G) de l’image mesurée (X tomo ) par proximité à respectivement M premiers nœuds (N CAO , F) de l’image (X CAO ) de consigne, où M est un entier naturel positif déterminé et inférieur ou égal à n, - calcul (E6) de premières coordonnées (γ CAO ) projetées des M premiers nœuds (N CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne sur les n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice réduite (V) de l’image (X CAO ) de consigne, - calcul (E6) de deuxièmes coordonnées (γ tomo ) projetées des M deuxièmes nœuds (N tomo , F) de l’image mesurée (X tomo ) sur les n vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice réduite (V) de l’image (X CAO ) de consigne, - calcul (E7) d’un champ (U) de déplacement reconstitué de l’image (X CAO ) de consigne vers l’image mesurée (X tomo ) à partir de la matrice réduite (V) de vecteurs propres (Φ 1 , …, Φ n ) de la matrice Laplacienne (L) de l’image (X CAO ) de consigne, à partir des premières coordonnées (γ CAO ) projetées de l’image (X CAO ) de consigne et à partir des deuxièmes coordonnées (γ tomo ) projetées de l’image mesurée (X tomo ), - déformation (E8) du premier maillage (M CAO ) de l’image (X CAO ) de consigne à partir du champ (U) de déplacement pour obtenir un troisième maillage (Q CAO ) déformé de troisièmes nœuds (Q CAO ) de la pièce dans l’image (X CAO ) de consigne.