Brevet FR3131030A1 — publié le 20230623

L’invention est un procédé (100) de résolution de contraintes géométriques d’une esquisse, dans lequel on met en œuvre les étapes suivantes : - des moyens d’interaction informatique affichent à un utilisateur une esquisse initiale respectant une ou des contraintes géométriques initiales ; - par l’intermédiaire des moyens d’interaction informatique, l’utilisateur fixe de nouvelles contraintes géométriques en modifiant au moins l’une des contraintes géométriques initiales ; - des moyens de calcul informatique déterminent, au moyen de transformations du groupe de Möbius, une esquisse transformée respectant les nouvelles contraintes géométriques ; - les moyens d’interaction informatique affichent à l'utilisateur l’esquisse transformée. Figure pour l’abrégé : figure 2 Procédé de résolution de contraintes géométriques d’une esquisse L’invention concerne la résolution de contraintes géométriques d’une esquisse. Un logiciel de conception assistée par ordinateur (CAO) permet à un utilisateur de créer et modifier un objet virtuel, lequel pourra ultérieurement faire l’objet d’une fabrication à partir des plans produits via le logiciel. Pour concevoir virtuellement l’objet, le logiciel donne la possibilité à l’utilisateur de créer des éléments géométriques (points, portions de droites, de cercles, de sphères, etc.), de les manipuler et de les associer les uns aux autres de manière à dessiner, sur un écran informatique, une esquisse filaire, en deux ou en trois dimensions. L’esquisse définit généralement les contours du futur objet, ses formes, ses dimensions. Ainsi, aux éléments géométriques de l’esquisse sont associés des paramètres propres à chaque élément, tels que des coordonnées, des valeurs de longueur, de rayon, ou de courbure. En outre, certains éléments géométriques sont définis uniquement grâce à d’autres éléments géométriques. Par exemple, un point peut être défini en ce qu’il est l’intersection de droites de l’esquisse. L’utilisateur peut également contraindre les éléments déjà créés les uns aux autres, créant de nouveaux paramètres contraignant la géométrie de l’esquisse. Il s’agit notamment de définir des valeurs de distance ou d’angles entre deux éléments, des paramètres de parallélisme, de passage d’un élément par un point particulier, etc. L’utilisateur attend du logiciel de CAO qu’il affiche une esquisse respectant les manipulations et contraintes qu’il commande. A cet égard, la brique du logiciel responsable de la détermination et de l’affichage d’une esquisse respectant l’ensemble des paramètres est généralement appelée « solveur de contraintes géométriques », (ou « GCS » pour « Geometric Constraint Solver » ou « System » dans la littérature anglaise) puisqu’elle doit fournir à tout moment une esquisse solutionnant un ensemble de contraintes géométriques fixées par l’utilisateur. Pour réaliser cette tâche, dans les années 90, les solveurs de contraintes géométriques utilisaient notamment des méthodes dites « paramétriques », dans le cadre desquelles les contraintes géométriques étaient considérées comme formant un arbre à plusieurs niveaux, chaque contrainte géométrique dépendant d’autres contraintes fixées en amont. Le solveur « résolvait » donc les contraintes au fur et à mesure de la création de l’esquisse de manière satisfaisante, mais toute modification d’un paramètre pouvait être délicate en fonction de l’ordre dans lequel l’esquisse avait été contrainte. Ainsi, si une modification de l’esquisse nécessitait la modification d’une contrainte fixée en amont, l’utilisateur devait de lui-même modifier, voire supprimer et reproduire, les éléments géométriques de l’esquisse produits après la création de cette contrainte. En d’autres termes, l’arbre de construction de la figure, c’est-à-dire son schéma de résolution, était à la charge de l’utilisateur, suivant un procédé constructif ordonné et chronologique. Des esquisses complexes étaient donc difficilement modifiables de manière satisfaisante. Dans les logiciels de l’état de la technique plus récents, l’ordre dans lequel l’esquisse a été produite et contrainte n’a plus d’impact. L’utilisateur peut choisir de figer au choix certains de ces paramètres, et de laisser d’autres de ces paramètres évoluer librement, indépendamment de la manière dont il a construit l’esquisse. Les valeurs figées forment alors des contraintes géométriques que l’esquisse doit respecter quelles que soient les modifications apportées aux paramètres libres. Ainsi, quand l’utilisateur modifie un élément libre de l’esquisse, par exemple quand il déplace un point ou un segment de l’esquisse, le rôle du logiciel est d’afficher en continu l’esquisse respectant non seulement cette nouvelle contrainte mais aussi toutes les contraintes géométriques fixées par ailleurs. Le logiciel doit donc, à chaque modification de l’esquisse, trouver une solution à un système de contraintes géométriques, quelles que soient la manière et l’ordre dans lequel elles ont été produites, pour afficher une esquisse respectant l’ensemble des contraintes définies par l’utilisateur. Pour résoudre ce type de problèmes géométriques, des méthodes sont connues par exemple du document « Handbook of geometric constraint systems principles », par Meera Sitharam, Audrey St John et Jessica Sidman. Le solveur agit généralement en produisant un graphe virtuel dans lequel les nœuds du graphe correspondent aux éléments géométriques de l’esquisse, les arêtes correspondant aux contraintes géométriques. Ce graphe est ensuite réduit, via des méthodes issues de la théorie des graphes, en un assemblage de composantes irréductibles. Ensuite, les composantes irréductibles sont généralement résolues par une méthode numérique, soit globale (algorithme de Buchberger par exemple), soit locale via l’estimation d’une solution par une descente de gradient, ou encore par d’autres méthodes connues. Cependant, ces méthodes numériques, de résolution des composantes irréductibles, peuvent être trop lentes à fournir une solution au problème des contraintes géométriques fixées par l’utilisateur. Ainsi, il arrive que ces méthodes ne permettent pas de garantir un temps de réponse convenable à l’utilisateur lorsqu’il réalise une modification sur son esquisse, de sorte que l’expérience de l’utilisateur est pénalisée : l’esquisse correcte ne s’affiche pas rapidement sur l’écran, voire aucune solution n’est trouvée et l’esquisse souhaitée ne peut s’afficher. On connait du document « La mécanique des Sphères de Lie : un futur pour la CAO ? » , par Christian Arber et Frédéric Jean, une méthode de résolution des composantes irréductibles alternative aux méthodes connues et fonctionnant différemment. Elle consiste à considérer chaque élément géométrique de l’esquisse comme une sphère de l’espace des sphères de Lie. Ce faisant, au lieu de considérer différemment un point, une ligne, un cercle, une sphère de l’esquisse, ou une portion de l’un de ces éléments, chacun de ces éléments géométriques est considéré comme un vecteur à quatre composantes (pour une esquisse en deux dimensions) ou à cinq composantes (pour une esquisse en trois dimensions) et ne diffèrent entre eux que par la valeur de ces composantes. Cet espace des sphères de Lie, encore appelé Espace des Sphères dans la littérature, est un espace vectoriel muni d’une forme quadratique qui permet de mesurer une quantité entre deux sphères. Toutes les contraintes usuelles peuvent se formuler en utilisant cette quantité ou des formules à partir de cette quantité. Le formalisme ainsi identique pour chaque élément d’une esquisse contribue à simplifier la résolution du système de contraintes géométriques. Cependant, un inconvénient de l’ensemble des méthodes connues pour résoudre ces systèmes de contraintes géométriques est l’impossibilité d’envoyer ou de faire passer des points de l’esquisse à l’infini lorsque l’utilisateur manipule l’esquisse. En effet, lorsque l’utilisateur modifie les paramètres d’éléments d’une esquisse, il arrive que la solution calculée par le solveur, pour résoudre une série de contraintes géométriques, consiste à transformer une valeur finie de l’un des éléments géométriques en une valeur infinie. C’est par exemple le cas lorsqu’un point est défini par l’intersection de deux droites, et que l’utilisateur rend ces droites parallèles, le point étant alors de fait envoyé à l’infini. Parfois, il s’agit en outre de retransformer ensuite cette valeur infinie en valeur finie en fonction des manipulations de l’utilisateur, la valeur étant alors passée par l’infini au cours d’une manipulation continue. C’est par exemple le cas si l’utilisateur rend à nouveau les droites, qui étaient devenues parallèles, sécantes. Ce type d’envoi ou de passage par l’infini peut également concerner le centre d’un cercle lorsque celui-ci est transformé en droite, c’est-à-dire lorsque sa courbure devient nulle ou son rayon infini. De même, si un arc de cercle est renversé, alors sa courbure change de signe en passant par la valeur zéro, et le centre du cercle passe par l’infini avant de revenir dans l’espace fini. Ces positions où un point passe par l’infini sont qualifiées de singulières à l’infini, et correspondent le plus souvent à une situation de division par zéro de l’algorithme. Pour l’ensemble de ces cas, et en particulier dans le cas d’une résolution de type continue (c’est-à-dire lors du glissement ou « drag » d’une géométrie d’une position à une autre, en traversant la singularité) l’esquisse se retrouve bloquée sur l’écran, soit lors de l’envoi des points à l’infini, soit lorsqu’il s’agit de les faire revenir, car le solveur ne trouve pas de solution au nouveau système d’équation à résoudre pour des points passant par l’infini. L’expérience utilisateur est donc pénalisée. L'invention a notamment pour but d’afficher à l’utilisateur une esquisse satisfaisant les contraintes géométriques fixées, en un temps de réponse acceptable, dans le cas où les manipulations de l’utilisateur conduisent des paramètres de l’esquisse à des valeurs au moins provisoirement infinies. A cet effet l’invention a pour objet un procédé de résolution de contraintes géométriques d’une esquisse, dans lequel on met en œuvre les étapes suivantes : - des moyens d’interaction informatique affichent à un utilisateur une esquisse initiale respectant une ou des contraintes géométriques initiales ; - par l’intermédiaire des moyens d’interaction informatique, l’utilisateur fixe de nouvelles contraintes géométriques en modifiant au moins l’une des contraintes géométriques initiales ; - des moyens de calcul informatique déterminent, au moyen de transformations du groupe de Möbius, une esquisse transformée respectant les nouvelles contraintes géométriques ; - les moyens d’interaction informatique affichent à l'utilisateur l’esquisse transformée. Ainsi, les transformations du groupe de Möbius sont en quelque sorte les inconnues à résoudre pour faire converger le système d’une position initiale vers une position résolue. Par « groupe de Möbius », on désigne le groupe « circulaire », « groupe conforme », ou encore « groupe de symétrie des transformations conformes de la sphère de Riemann ». Il est en outre isomorphe au groupe de Lorentz nommé SO (3,1) pour les transformations dans un plan, SO(4,1) dans un espace en trois dimensions, de sorte que les transformations du groupe de Möbius correspondent aussi aux transformations du groupe de Lorentz. Or, alors que les transformations de l’état de la technique sont formées de transformations simples, telle que les similitudes, éléments d’un sous-groupe du groupe de Möbius, le groupe de Möbius comprend d’autres transformations autorisant le passage de la ligne à l’arc de cercle et inversement, c’est-à-dire le traitement de points passant par l’infini. Ainsi, on recherche les transformations inconnues dans un groupe plus vaste, ce qui autorise des déplacements de l’infini, et donc le passage d’un point infini de l’esquisse en un point usuel, ou d’une courbure nulle de l’esquisse à une courbure non nulle. En d’autres termes, le solveur peut être amené à trouver une esquisse transformée respectant les nouvelles contraintes géométriques même si cela nécessite que certains éléments de l’esquisse soient envoyés à l’infini. L’esquisse transformée est affichée sans blocage. De même, de nouvelles manipulations de l’utilisateur peuvent ramener des points de l’infini vers des positions finies sans difficulté, de sorte qu’au cours de la transformation des éléments sont passés par l’infini sans susciter de blocage de l’esquisse sur l’écran. L’expérience utilisateur est donc améliorée. Avantageusement, pour déterminer l’esquisse transformée, les moyens de calcul informatique appliquent une transformation du groupe de Möbius à un élément géométrique initial de l’esquisse initiale de manière à le transformer en un élément géométrique transformé de l’esquisse transformée. Ainsi, à un élément géométrique donné est appliquée une transformation du groupe de Möbius appropriée afin que l’ensemble des éléments initiaux soient transformés en des éléments transformés qui satisfassent les nouvelles contraintes géométriques. De préférence, les moyens de calcul informatique transforment une valeur initiale, associée à l’élément géométrique initial, en une valeur transformée, associée à l’élément géométrique transformé, les valeurs initiale et transformée correspondant à l’une des situations suivantes : - la valeur initiale est une valeur finie, la valeur transformée est une valeur infinie ; - la valeur initiale est une valeur infinie, la valeur transformée est une valeur finie ; - la valeur initiale est une valeur non nulle et positive, la valeur transformée est une valeur nulle ou négative ; - la valeur initiale est une valeur nulle ou respectivement négative, la valeur transformée est une valeur non nulle ou respectivement nulle ou positive. Ainsi, les transformations du groupe de Möbius rendent possible de déterminer une esquisse transformée respectant les contraintes géométriques et dans laquelle un élément transformé prend une valeur qui aurait bloqué l’esquisse dans l’état de la technique, telle qu’une valeur infinie au lieu d’une valeur finie, une valeur négative de courbure au lieu d’une valeur positive de courbure, une valeur nulle au lieu d’une valeur non nulle. Avantageusement, les valeurs initiale et transformée sont des valeurs de rayon ou de courbure. Ainsi, il est désormais possible d’inverser un cercle ou un arc de cercle, de sorte que son rayon passe d’une valeur positive à une valeur négative, sa courbure change de signe en passant par zéro, et le centre du cercle ou de l’arc de cercle passe par l’infini au moment où l’élément a la forme d’une droite, durant son renversement. De préférence, pour déterminer l’esquisse transformée, on met en œuvre les étapes suivantes : - les moyens de calcul informatique déterminent, à partir du ou de chaque élément géométrique initial de l’esquisse initiale, une ou des sphères initiales respectives de l’espace des sphères de Lie permettant de représenter l’élément initial dans cet espace des sphères de Lie ; - les moyens de calcul informatique déterminent un système d’équations à résoudre, au moyen des nouvelles contraintes fixées, issues de formules basées sur la forme quadratique de l’espace des sphères de Lie et relatives à la ou à chacune des sphères initiales ; - les moyens de calcul informatique déterminent, pour la ou chaque sphère initiale, une ou des transformations respectives appropriées du groupe de Möbius permettant de transformer la sphère initiale en une sphère transformée de façon à ce que la ou l’ensemble des sphères transformées déterminées résolvent le système d’équations ; - les moyens de calcul informatique déterminent, à partir de la ou de chaque sphère transformée, le ou les éléments géométriques respectifs transformés, de l’esquisse transformée. L’utilisation des sphères de Lie est pertinente dans la mesure où l’on réussit à « compactifier » un espace affine infini en un espace sphérique, sans singularité de calcul à l’infini. Les transformations associées naturellement à cet espace sont celles du groupe de Möbius et sont résolues pour permettre de déplacer l’infini si nécessaire. L’utilisation de l’espace des sphères de Lie et de la géométrie Riemanienne, c’est-à-dire l’application des transformations du groupe de Möbius à des sphères, permet donc de résoudre des problèmes de géométries contraintes dans un temps raisonnable pour l’utilisateur et au moyen de solution dont les points passent si nécessaire à l’infini. Avantageusement, pour déterminer la ou les transformations appropriées du groupe de Möbius à appliquer à la ou aux sphères initiales, les moyens de calcul informatique réalisent une descente de gradient pour une fonction minimisant un écart quadratique entre une valeur des nouvelles contraintes fixées, dépendant de transformations de Möbius courantes appliquées aux géométries, et une valeur désirée. Ainsi, la recherche de ces transformations revient à calculer une descente de gradient sur une variété différentielle produit, groupe de Lie, munie d’une métrique produit posée par le système des repères choisis pour chaque sphère. L’invention a également pour objet un procédé de conception assistée par ordinateur d'un objet, dans lequel on met en œuvre les étapes suivantes : - on produit une esquisse, affichée par des moyens d’interaction informatique, via la mise en œuvre des étapes du procédé décrit précédemment ; - on transforme l'esquisse en objet virtuel en associant à l’esquisse, par l'intermédiaire d’un procédé constructif et des moyens d'interaction informatique, des surfaces, des volumes et des paramètres physiques, tels qu’un matériau, une texture ou une masse. Ainsi, l’esquisse permet de construire des surfaces et volumes de base par différents procédés génératifs (extrusion, révolution, tuyau, …) qui combinés entre eux par des opérations topologiques, permet de générer des pièces et objets que l’on pourra assembler, usiner, etc. Étant donné que la modification d’une esquisse est facilitée par le procédé de résolution de l’invention, en particulier lorsque des points de cette esquisse passent par l’infini, on peut concevoir un objet virtuel plus facilement et rapidement, sans que l’esquisse ne soit bloquée sur l’écran ou ne rende impossible une modification. La conception d’un objet est donc facilitée. L’invention a également pour objet un procédé de fabrication assistée par ordinateur d’un objet, dans lequel on met en œuvre les étapes suivantes : - on conçoit un objet virtuel au moyen du procédé décrit précédemment ; - on fabrique un objet correspondant à l’objet réel. Ainsi, l’objet est fabriqué d’autant plus aisément qu’il a été conçu facilement au moyen du procédé de conception de l’invention. L’invention a également pour objet un procédé de paramétrage de contraintes géométriques par interaction gestuelle, dans lequel on met en œuvre les étapes suivantes : - des moyens d’interaction informatique affichent à un utilisateur une esquisse initiale comprenant au moins un élément géométrique initial auquel est associée au moins une valeur initiale finie ; - par l’intermédiaire des moyens d’interaction informatiques, l'utilisateur réalise un mouvement virtuel de sorte qu’un point virtuel parcoure une distance d pendant une durée t ; - si la distance d est supérieure à un seuil prédéterminé et si la durée t est inférieure à un seuil prédéterminé, alors des moyens de calcul informatiques transforment la valeur initiale finie en une valeur transformée infinie ; - les moyens de calcul informatique déterminent, au moyen de transformations du groupe de Möbius, une esquisse transformée comprenant un élément transformé, issu de l’élément initial, auquel est associée la valeur transformée infinie ; - les moyens d’interaction informatique affichent à l'utilisateur l’esquisse transformée. Ainsi, un utilisateur peut envoyer volontairement des points à l’infini par le biais d’un mouvement de « drag » rapide matérialisé par la distance d et la durée t. Le traitement de ces points à l’infini est rendu possible par les transformations de Möbius appliquées à l’esquisse initiale. De préférence, l’élément initial et l’élément transformé correspondent à l’une des situations suivantes : - l’élément initial est un point, l’élément transformé correspond au point envoyé à une distance infinie ; - l’élément initial est un cercle ou un arc de cercle muni d’une courbure non nulle et positive, l’élément transformé correspond à l’arc de cercle muni d’une courbure nulle ou négative. L’invention a également pour objet un programme d'ordinateur comprenant des instructions qui, lorsque le programme est exécuté par un ordinateur, conduisent celui-ci à mettre en œuvre l’un ou l’autre des procédés décrits précédemment. L’invention a également pour objet un support de données lisibles par ordinateur, sur lequel est enregistré le programme d'ordinateur précédent. Enfin, l’invention a également pour objet un dispositif de traitement de données comprenant des moyens de mise en œuvre de l’un ou l’autre des procédés décrits précédemment. Brève description des figures L'invention sera mieux comprise à la lecture de la description qui va suivre donnée uniquement à titre d'exemple et faite en se référant aux dessins annexés dans lesquels : la est un schéma d’un système selon l’invention ; la est un logigramme d’un procédé selon un premier mode de mise en œuvre de l’invention ; la est un logigramme d’un procédé selon un deuxième mode de mise en œuvre de l’invention ; la est une vue d’une première esquisse filaire initiale ; la est une vue d’une esquisse transformée issue de l’esquisse initiale de la ; la est une vue d’une autre esquisse transformée issue de l’esquisse initiale de la ; la est une vue d’une deuxième esquisse filaire initiale ; la est une vue d’une esquisse transformée issue de l’esquisse initiale de la . Procédé (100) de résolution de contraintes géométriques d’une esquisse, caractérisé en ce qu’on met en œuvre les étapes suivantes : - des moyens d’interaction informatique (4) affichent à un utilisateur (6) une esquisse initiale (11, 41) respectant une ou des contraintes géométriques initiales ; - par l’intermédiaire des moyens d’interaction informatique (4), l’utilisateur (6) fixe de nouvelles contraintes géométriques en modifiant au moins l’une des contraintes géométriques initiales ; - des moyens de calcul informatique (5) déterminent, au moyen de transformations du groupe de Möbius, une esquisse transformée (21, 31, 42) respectant les nouvelles contraintes géométriques ; - les moyens d’interaction informatique (4) affichent à l'utilisateur (6) l’esquisse transformée. Procédé (100) selon la revendication précédente, dans lequel, pour déterminer l’esquisse transformée (21, 31, 42), les moyens de calcul informatique (5) appliquent une transformation du groupe de Möbius à un élément géométrique initial (12, 13, P) de l’esquisse initiale (11) de manière à le transformer en un élément géométrique transformé de l’esquisse transformée. Procédé (100) selon la revendication précédente, dans lequel les moyens de calcul informatique (5) transforment une valeur initiale, associée à l’élément géométrique initial (12, 13, P), en une valeur transformée, associée à l’élément géométrique transformé, les valeurs initiale et transformée correspondant à l’une des situations suivantes : - la valeur initiale est une valeur finie, la valeur transformée est une valeur infinie ; - la valeur initiale est une valeur infinie, la valeur transformée est une valeur finie ; - la valeur initiale est une valeur non nulle et positive, la valeur transformée est une valeur nulle ou négative ; - la valeur initiale est une valeur nulle ou respectivement négative, la valeur transformée est une valeur non nulle ou respectivement nulle ou positive. Procédé (100) selon la revendication précédente, dans lesquels les valeurs initiale et transformée sont des valeurs de rayon ou de courbure. Procédé (100) selon l’une quelconque des revendications 2 à 4, dans lequel, pour déterminer l’esquisse transformée (21, 31, 42), on met en œuvre les étapes suivantes : - les moyens de calcul informatique (5) déterminent (20), à partir du ou de chaque élément géométrique initial de l’esquisse initiale (11, 41), une ou des sphères initiales respectives de l’espace des sphères de Lie permettant de représenter l’élément initial dans cet espace des sphères de Lie ; - les moyens de calcul informatique (5) déterminent (30) un système d’équations à résoudre, au moyen des nouvelles contraintes fixées, issues de formules basées sur la forme quadratique de l’espace des sphères de Lie et relatives à la ou à chacune des sphères initiales ; - les moyens de calcul informatique (5) déterminent (50, 60, 70), pour la ou chaque sphère initiale, une ou des transformations respectives appropriées du groupe de Möbius permettant de transformer la sphère initiale en une sphère transformée de façon à ce que la ou l’ensemble des sphères transformées déterminées résolvent le système d’équations ; - les moyens de calcul informatique (5) déterminent, à partir de la ou de chaque sphère transformée, le ou les éléments géométriques respectifs transformés, de l’esquisse transformée. Procédé (100) selon la revendication précédente, dans lequel, pour déterminer la ou les transformations appropriées du groupe de Möbius à appliquer à la ou aux sphères initiales, les moyens de calcul informatique (5) réalisent une descente de gradient (60) pour une fonction minimisant un écart quadratique entre une valeur des nouvelles contraintes fixées, dépendant de transformations de Möbius courantes appliquées aux géométries, et une valeur désirée. Procédé de conception assistée par ordinateur d'un objet, caractérisé en ce qu’on met en œuvre les étapes suivantes : - on produit une esquisse, affichée par des moyens d’interaction informatique, via la mise en œuvre des étapes du procédé (100) selon l’une quelconque des revendications précédentes ; - on transforme l'esquisse en objet virtuel en associant à l’esquisse, par l'intermédiaire d’un procédé constructif et des moyens d'interaction informatique (4), des surfaces, des volumes et des paramètres physiques, tels qu’un matériau, une texture ou une masse. Procédé de fabrication assistée par ordinateur d’un objet, dans lequel on met en œuvre les étapes suivantes : - on conçoit un objet virtuel au moyen du procédé de la revendication précédente ; - on fabrique un objet correspondant à l’objet réel. Procédé (200) de paramétrage de contraintes géométriques par interaction gestuelle, caractérisé en ce qu’on met en œuvre les étapes suivantes : - des moyens d’interaction informatique (4) affichent (80) à un utilisateur (6) une esquisse initiale comprenant au moins un élément géométrique initial auquel est associée au moins une valeur initiale finie ; - par l’intermédiaire des moyens d’interaction informatique (4), l'utilisateur (6) réalise (90) un mouvement virtuel de sorte qu’un point virtuel parcoure une distance d pendant une durée t ; - si la distance d est supérieure à un seuil prédéterminé et si la durée t est inférieure à un seuil prédéterminé, alors des moyens de calcul informatique (5) transforment la valeur initiale finie en une valeur transformée infinie ; - les moyens de calcul informatique (5) déterminent (110), au moyen de transformations du groupe de Möbius, une esquisse transformée comprenant un élément transformé, issu de l’élément initial, auquel est associée la valeur transformée infinie ; - les moyens d’interaction informatique (4) affichent à l'utilisateur (6) l’esquisse transformée. Procédé (200) selon la revendication précédente, dans lequel l’élément initial et l’élément transformé correspondent à l’une des situations suivantes : - l’élément initial est un point, l’élément transformé correspond au point envoyé à une distance infinie ; - l’élément initial est un arc de cercle muni d’une courbure non nulle et positive, l’élément transformé correspond à l’arc de cercle muni d’une courbure nulle ou négative. Programme d'ordinateur (3) caractérisé en ce qu’il comprend des instructions qui, lorsque le programme est exécuté par un ordinateur (1), conduisent celui-ci à mettre en œuvre le procédé (100, 200) selon l’une quelconque des revendications précédentes. Support (2) de données lisibles par ordinateur, sur lequel est enregistré le programme d'ordinateur (3) selon la revendication précédente. Dispositif de traitement de données (1, 5) caractérisé en ce qu’il comprend des moyens de mise en œuvre du procédé selon l’une quelconque des revendications 1 à 10.