Brevet FR3047133A1 — publié le 20170728

- 1 - « Procédés de détermination de paramètres de filtres de Kalman, de paramètres de modèle ARMA et dispositifs associés » Domaine de l'invention La présente invention a pour objet un procédé de détermination en temps réel de paramètres de filtres de Kalman. La présente invention a également pour objet de proposer un nouveau procédé de détermination de paramètres d'un modèle ARMA. La présente invention a en outre pour objet de proposer une méthode de détection d'un séisme. La présente invention a également pour objet des dispositifs associés à la détermination en temps réel de paramètres de filtres de Kalman, à la détermination en temps réel de paramètres d'un modèle ARMA, à la détection d'un séisme. Art antérieur On connaît un procédé de détermination de filtre de Kalman adaptatif. Un 15 tel procédé est basé sur des méthodes bayésiennes. Ce procédé consiste à choisir en temps réel le filtre le mieux adapté en fonction de critères de coûts calculés parmi un ensemble de filtres de différents modèles. Un inconvénient de l'utilisation de méthodes bayésiennes dans la détermination de paramètres de filtres de Kalman adaptatif est qu'il faut 20 déterminer, a priori, cet ensemble de filtres pour des modèles difficiles à déterminer et qui approximent grossièrement la réalité. Un but de l'invention est de proposer un nouveau procédé de détermination de coefficients d'un filtre de Kalman adaptatif qui soit plus performant que celui qui vient d'être décrit. 25 On connaît un procédé de détermination de coefficients notés p, q, ai et bi d'une suite temporelle notée y par un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ai pour i e 111,pliet q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i E 111, 30 Le procédé selon l'art antérieur a pour but de déterminer les coefficients ai et bi de la série temporelley de sorte que cette série vérifie l'équation : p q Yk = Vk i=1 i=i Le procédé selon l'art antérieur comporte : - une détermination des paramètres p et q ; 3047133 - 2 - - une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et q : n>p+q ; - une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients rn, approchant le modèle autorégressif et moyenne- 5 mobile, - une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients fh approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés rn, - une détermination des coefficients ai de la partie autorégressive dudit 10 modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients en résolvant l'équation R. A = T où A = a:2 , I' =[(PYyYy((cl q + + P1))I [ai a cp P R =F (PYY(q) (pyy(lq + 11) (pyy(lq -11) --- (pyy(lq - p +11) (Pyy(q) - (Pyy(Icl- P + 21) autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation 2tbni = 21421. Un but de l'invention est de proposer un nouveau procédé de détermination de coefficients d'un modèle ARMA d'un processus et un 20 dispositif mettant en oeuvre ce procédé. Exposé de l'invention Selon un premier aspect de l'invention, on atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé, de détermination des paramètres H, (I) et G d'un filtre de Kalman adaptatif vérifiant les équations : Xk = (Pk- Xk-1 Tek Yk = Hk. Xk Vk 25 où ok est la matrice de transition à un instant k , Fk est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, Hk est la matrice d'observation à l'instant k et vk est un bruit blanc à l'instant k, ledit procédé comprenant : - une détermination des paramètres p , q , ai et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite (pyy(lq + p -11) (pyy(lq+ p - 21) --- (pyy(q) y(i) (Pyy(i) = Ry o.20,) et Ryy(k) = E [Y iYi+ki - une détermination de la partie moyenne-mobile dudit modèle 3047133 - 3 - temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ai pour i e 111,A, et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i E 111,0, - une détermination des paramètres H, (I) et G du filtre de Kalman 5 adaptatif par résolution de l'équation : Hk(I - Ok. Z-1)-1 liTT Z-1 = 2(b) 2(a) Selon un deuxième aspect de l'invention, il est proposé un dispositif comprenant : - une entrée pour recevoir une suite temporelle notée y, - une sortie générant des paramètres d'un filtre de Kalman adaptatif en 10 temps réel de la suite temporelle - un micro-processeur configuré pour mettre en oeuvre le procédé de détermination selon le premier aspect de l'invention. On entend par temps réel un algorithme capable de proposer une sortie en un temps inférieur à celui correspondant à une fréquence 15 d'échantillonnage générant la suite y en entrée. Selon un troisième aspect de l'invention, il est proposé un procédé de détermination des paramètres p, q, ai et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ai pour i E 111,p]], et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i E 111,cd. Selon l'invention, le procédé comprend : - une détermination des paramètres p et q, - une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètresp et q, i.e. : n> p + q, - une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients ri pour i E 111,n11 approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile. On appellera ci-après « procédé du type spécifié » un procédé répondant à cette définition. On atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé du type spécifié pour lequel, selon un quatrième aspect de l'invention, est mis en oeuvre : 3047133 -4- - une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients i(i,n) approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r(i,n), - une détermination des coefficients an dudit modèle autorégressif et 5 moyenne-mobile d'ordres p et q à partir des coefficients r(i,n) du modèle autorégressif long d'ordre n, - une détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation 21b1 = Zfal.21771, où Z(u) est la transformée en Z 10 de la suite u. La transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d'une variable complexe nommée z, telle que CO Z[s} = 1 S(7)Z-11 n=-co lorsque la série (E1;,=_rs(n)z-n), converge lorsque r tend vers l'infini. 15 Selon l'invention, la détermination des coefficients an résout de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées, avec m1 strictement supérieur à p : m1 > p, et/ou la détermination des coefficients bn résolvant de manière approchée m2 équations du système avec m2 strictement supérieur à q : m2 > q. 20 La détermination des paramètres p et q peut avantageusement être réalisée au moyen d'une méthode MINIC (pour l'anglais Minimum Information Criterion). Deux critères peuvent être mis en oeuvre par la méthode MINIC : 25 - le critère BIC (pour l'anglais « Bayesian Criterion Indice »), - le critère AIC (pour l'anglais « Akaike Information Criterion »). Avantageusement, n peut être déterminé dans l'intervalle [3(p+q),4(p+q)]. En combinaison ou alternativement, n peut être 30 déterminé en utilisant le critère d'Aikaike ou celui de Rissanen. La détermination du modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients r(i,n) peut avantageusement mettre en oeuvre : - des filtres en treillis ; 3047133 -5 - l'algorithme de Levinson ; - l'algorithme de Burg, qui garantit un filtre à réponse impulsionnelle infinie à minimum de phase ; - un algorithme des moindres carrés. 5 L'algorithme des moindres carrés peut être mis en oeuvre en utilisant la corrélation. Celle-ci minimise la puissance de l'erreur de prédiction linéaire. La méthode des corrélations est une méthode avec fenêtrage. Dans ce cas, on peut utiliser l'algorithme de Levinson-Durbin pour résoudre l'équation obtenue. 10 L'algorithme des moindres carrés peut être mis en oeuvre en utilisant la méthode des covariances. Celle-ci minimise la puissance de l'erreur de prédiction linéaire. La méthode des covariances est une méthode sans fenêtrage. On peut utiliser des méthodes en 0(p2) pour résoudre le système obtenu par cette méthode. On peut par exemple utiliser un algorithme 15 développé par Morf et Al pour résoudre le système obtenu. L'algorithme des moindres carrés peut être mis en oeuvre en utilisant la méthode des covariances modifiées. Celle-ci minimise la puissance de la demi-somme des erreurs de prédiction arrière et avant. On peut par exemple utiliser un algorithme développé par Marple pour résoudre le 20 système obtenu. Avantageusement, la détermination du modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficient r(i,n) est calculée à l'aide de l'algorithme de Levinson. Dans ce cas, les coefficients r(i,n) sont déterminés par la formule : 25 V (i,j) E [0; n- 1]X[1, il , r(i +1,j) = r(i,j)+ K1+1. r(i, i - j + 1) r(n, 0) = 1 Ryy(i+1)-Fri=1r(i,i).Ryy(i+1-j) 30 De préférence, les coefficients f(n,j) sont déterminés par : J-1 VjEN f(n,j) = vk +177(n, r(n, j - 1) et f(n, 0) = 1 Où y i E [0; n - 1]1(1+1= Ryy(0)-Fri=1r(0).Ryy(i) avec Vk E N Ryy(k) = E [Y iYi+k] i =1 3047133 -6 La détermination des coefficients an à partir des coefficients ri du modèle autorégressif long d'ordre n en résolvant de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées à p inconnues, où m1 est strictement 5 supérieur à p, c'est à dire m1 > p, peut mettre en oeuvre une pseudo inverse des moindres carrés. La pseudo inverse des moindres carrés d'une matrice A est le produit, d'une part de l'inverse du produit de la transposée de A par elle même et d'autre part, de la transposée de A : pseudo inverse(A) = (AT A)-1-AT 10 Lorsque la détermination des coefficients an résout de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées à p inconnues, où m1 est strictement supérieur à p, i.e. m1 > p, et qu'il est mis en oeuvre une pseudo inverse des moindres carrés, on peut avoir : A = (0T0)-1-0Tr a1 (pyy(q +1) 15 Ryy(i) avec A = c1.2 , = (PYY(c1+ 2) , où (pyy(i) = a2(,) ap (Pyy(q + Int) et .1) = (Pyy(q) (pyy(lq -11) --- (pyy(lq- p +11) (pyy (I q + 11) (PYY(C1) (pyy(lq - p + 21) (pyy(lq + - 11) (pyy(lq + - 21) (Pyy(q Int P) La détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile du 20 modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant le système 21b1= 2{a}.2{77}, où 2(u) est la transformée en Z de la suite u, peut résoudre de manière approchée m2 équation à m2 inconnues avec m2 > q. Lorsque c'est le cas, cette détermination peut mettre en oeuvre une pseudo inverse des moindres carrés, telle que définie ci-dessus. 25 Lorsque la détermination des coefficients bn résout de manière approchée m2 équations du systèmez{b} = 2fal.2tfl, où m2 est strictement supérieur à 3047133 - 7 - q , i.e. m2 > q, et qu'il est mis en oeuvre une pseudo inverse des moindres carrés, on peut avoir : B = [matt * mat]-1. mats. col Avec mat = [ 1 1 0 --- 0 1 0 0 0 et mati = -a1 1 0 -a1 mat(m2, 1) - - - -a1 1 mat(m2 + 1,1) -a1 1 min(i,p) Vi E [j + 2, m2 + 1]et j E [1, q] mat1(i, j) = - 1 ak matl(i - k, j)si i k k=1 5 et Vi E [1, m2] col(i) = -matl(i + 1,1) + 77 (n, i). Alternativement, on atteint au moins l'un des buts précités avec un procédé du type spécifié pour lequel, selon un cinquième aspect de l'invention, est mis en oeuvre : 10 - une identification des coefficients bn du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation. - une détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation 21b1= 15 2[0.2{77}, où 2(u) est la transformée en Z de la suite u. De préférence, l'identification des coefficients bn du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q utilisant des méthodes classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation peut mettre en oeuvre une estimation en temps réel de la fonction d'autocorrélation du signal qui 20 permet de produire un polynôme symétrique en z puis d'effectuer une factorisation spectrale ou déconvolution de ce polynôme pour déterminer la partie moyenne-mobile. La détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équation 21b1= 2{a}.2{0, où 2(u) est la 25 transformée en Z de la suite u, peut mettre en oeuvre une convolution numérique entre les deux séries de coefficients. 3047133 - 8 - Description des figures D'autres particularités et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description détaillée de mises en oeuvre et de modes de réalisation nullement limitatifs, au regard de la figure annexée sur 5 lesquelles : - la figure 1 est une vue schématique d'un procédé selon l'invention. Description de l'invention Ces modes de réalisation n'étant nullement limitatifs, on pourra notamment réaliser des variantes de l'invention ne comprenant qu'une 10 sélection de caractéristiques décrites par la suite, telles que décrites ou généralisées, isolées des autres caractéristiques décrites, si cette sélection de caractéristiques est suffisante pour conférer un avantage technique ou pour différencier l'invention par rapport à l'état de la technique. Il est maintenant décrit en référence à la figure 1 un mode de réalisation 15 d'un procédé P, dit direct, selon l'invention. L'entrée du procédé selon l'invention est une suite temporelle notée y. La sortie du procédé selon l'invention comprend les paramètres q5k, Hk, 1'k et d'un filtre de Kalman adaptatif. Ok est la matrice de transition à un instant k, 1'k est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, Hk est la matrice 20 d'observation à l'instant k et vk est un bruit blanc à l'instant k Le filtre de Kalman adaptatif vérifie donc les équations : Xk = Ok- Xk-1 + Tek Yk = Hk. Xk Vk Lors d'une étape illustrée par les blocs El, E2, E3, E4, E5 et E6, le procédé comprend une détermination des paramètres p, q,ai et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant la suite 25 temporelle notée y , où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ai pour i e 111,A, et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i E 111,0. Lors d'une étape illustrée par l'étape E7, le procédé comprend une détermination des paramètres H, (I) et G du filtre de Kalman adaptatif par 30 résolution de l'équation : H (I - z-1)-1 rT z-1 = (a) (b) 3047133 - 9 - La détermination des paramètres du filtre de Kalman suppose d'avoir modélisé la suite temporelle y par une équation différentielle. Il est maintenant décrit un premier mode de réalisation, aussi appelé 5 procédé direct, d'un procédé de détermination des paramètres p, q, ai et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ai pour i e 111,A, et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i E Ri, cd. 10 La suite vérifie l'équation v k + + Y 1 aiyk-i = Vk Ecii-ibiVk-i - y est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance cf, En notant 21.91 la transformée en Z d'une suite s, on peut associer le modèle ARMA à un filtre de réponse impulsionnelle infinie de fonction de transfert Z[b}/Zfal. 15 Selon une étape El, le procédé selon l'invention comprend une détermination des paramètres p et q. Selon une étape E2, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et q, i.e. : n> p + q. 20 Selon une étape E3, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients ri pour i E 111,n11 approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile. Le modèle autorégressif long d'ordre n peut être représenté par une fonction de transfert 1/2{r} avec Zfrl vérifiant l'équation 1/2{r} = Z{b}/Zfal. 25 Les coefficients r(i,n) sont déterminés par la formule : (0) E [0; n - 1]X[1, i] , r(i +1,j) = r(i,j)+ - j +1), r(n,0) = 1, Ryy(i+1)-Fri=1,-(0).Ryy(i+1-i) Où V i E [0; n - 1] Ki+1 = Ryy(0)+Ei=1r(0).Ryy(i) 30 avec Vk E N Ryy(k) = E [YiYi+k]- Selon une étape E4, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients r(i,n) approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r(i,n). Le modèle moyenne-mobile long d'ordre n 3047133 - 10 - peut être représenté par une fonction de transfert Zfil avec Zfil vérifiant l'équation Zfil = 1/2{7-}. Les coefficients r(i,n) sont déterminés par la formule : J-1 VjEN T(n,j) = vk f(n, r(n, j - 1) et f(n, 0) = 1. i=t Selon une étape E5, le procédé selon l'invention comprend une 5 détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne- mobile d'ordres p et q à partir des coefficients r(i,n) du modèle autorégressif long d'ordre n. Selon une étape E6, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile dudit modèle 10 autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant l'équationZtbl= 2{0.2{77}, où 2(u) est la transformée en Z de la suite u. La détermination des coefficients an, selon l'étape E5, résout de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées, avec m1 strictement supérieur à p : m1 > p, et la détermination des coefficients bn, selon l'étape 15 E6 résout de manière approchée m2 équations du système avec m2 strictement supérieur à q m2 > q. L'étape E5 comprend une sous étape de détermination d'un nombre En particulier, les coefficients de l'étape E5 sont déterminés par : A = (0T0)-1-01±, 20 avec A = a1 , = (pyy(q + 1) , où (p3,3,(0 Ryy(1) c1.2 ( + 2) ap (PYYci (Pyy(q Int) = 0.20,) (PYY(q) (pyy(lq - 11) - -- (pyy(lq - p + 11) et = (pyy(lq + 11) (PYY(q) - - - (pyy(lq - p + 21) (pyy(lq +7% - 1I) (pyy(10/ +.7721 - 21) (pyy(q +7ni - La matrice F étant de taille (m1,1) et la matrice (0T0)-10T étant de taille (p,m1), on vérifie bien que la matrice A est de taille (p,i). 25 En particulier, les coefficients de l'étape E6 sont déterminés par : B = [matt * mat]-1. mats. col 3047133 avec mat = [ -a1 1 1 0 0 1 0 0 . et mati = 1 1 0 0 c1- mat(m2,1) - - - -a1 1 mat(m2 + 1,1) -a1 1 min(i,p) Vi E [j + 2, m2 + 1]et j E [1, q] mat1(i, j) = - 1 ak matl(i - k, j)si i k k=1 et Vi E [1, m2] col(i) = -matl(i + 1,1) + (n, i) La matrice col étant de taille (m2, 1) et la matrice [mats * mat]-1. mats étant 5 de taille (q,m2), on vérifie bien que la matrice A est de taille (q, 1). Il est maintenant décrit un deuxième mode de réalisation, aussi appelé procédé dual, d'un procédé de détermination des paramètres p, chai et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une 10 suite temporelle notéey, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ai pour i E 111,M, et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i E Rte La suite vérifie l'équation y Ye k + + -1-1- avi, k-i = Vk Ei-ibiVk-i - y est un bruit blanc discret de moyenne nulle et de variance . 15 En notant 21.91 la transformée en Z d'une suite s, on peut associer le modèle ARMA à un filtre de réponse impulsionnelle infinie de fonction de transfert Z[b}/Zfal. Selon une étape E'1, le procédé selon l'invention comprend une détermination des paramètres p et q. 20 Selon une étape E'2, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un paramètre nplus grand que la somme des paramètres p et q , i.e. : n > p + q. Selon une étape E'3, le procédé selon l'invention comprend une détermination d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients ri 25 pour i E 111,n11 approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile. Le modèle autorégressif long d'ordre n peut être représenté par une fonction de transfert 1/2{r} avec Zfrl vérifiant l'équation 1/2{r} = Z{b}/Zfal. 3047133 - 12 - Les coefficients r(i,n) sont déterminés par la formule : v (0) E [0; n - 1]X[1, i] , r(i + 1, j) = r(i, j) + K1+1. r(i, i - j + 1), r(n, 0) = 1, Ryy(i+1)-Fri=1r(0).Ryy(i+1-j) 5 où v i E [0; n- 1]Ki+1= Ryy(0)+Ei=1r(0).Ryy(i) avec vk E N Ryy(k) = E [YiYi+k] - Selon une étape E'6, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients bn de la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en utilisant des méthodes 10 classiques de factorisation spectrale de la fonction d'autocorrélation. Selon une étape E5, le procédé selon l'invention comprend une détermination des coefficients an du modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q à partir des coefficients r(i,n) du modèle autorégressif long d'ordre n. 15 Le procédé dual comprend une détermination des coefficients de la partie moyenne-mobile en fonction de la fonction d'autocorrélation du signal puis une détermination des coefficients du modèle autorégressif en fonction de la partie moyenne-mobile déterminée précédemment. Les équations sont similaires à la méthode directe sauf que l'on remplace 20 le modèle autorégressif long par le modèle moyenne-mobile long et qu'on intervertit l'ordre de détermination autorégressif et moyenne-mobile. Dans l'exemple décrit, les coefficients sont p et q sont choisis respectivement strictement supérieurs à m1 et m2. 25 L'invention s'étend aux cas pour lesquels m1 = p et q > m2 ou m2 = q et m1> P. L'invention s'étend notamment aux cas pour lesquels m1 = m2 = m et m > p et m > q. 30 Il est maintenant explicité un exemple d'application de l'invention pour la détermination des paramètres /3 et co, respectivement appelés coefficient d'atténuation et pulsation fondamentale, du modèle oscillateur amorti. 3047133 - 13 - L'équation différentielle du deuxième ordre ou modèle oscillateur amorti qui régit le paramètre de grandeur physique x, lorsque x est la phase est la suivante : z(t) + 2/3z(t) + coïsx(t) = e(t) où 5 - e(t) est un bruit blanc dynamique de moyenne nulle et de variance 2 e - cooest la pulsation. - fl est le coefficient d'atténuation (dans le cas multicanal : il s'agit d'une matrice). 10 La pulsation fondamentale du système a pour expression : co = ,\/cocl, - /32. La suite temporelle notée y, où y est un vecteur formé par les estimée de et ï peut être approchée par un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre (2,2) de paramètres a1, a2, a3, a4. 15 Cette équation différentielle peut par ailleurs se mettre sous la forme d'un système d'état continu : 0 1 En notant les matrices : e -2.13 2 - 0 0 1 x et H = [1 1], A=2 X= B= - 0 0 -213 20 C- et on peut encore écrire sous forme matricielle : ,t = A.X+B.e Y = H.X +u 2 où u et un bruit blanc de mesure de moyenne nulle et de varianceoeu Ce système d'état continu se met sous la forme d'un système d'état 25 discret dont les équations sont données par les expressions ci-dessous : Xk -0.Xk_i+F.ek Yk -H.Xk+vk 3047133 - 14 - La matrice de transition (P et le vecteur de transition F de l'équation d'état du filtre de Kalman discret étant déterminés par : (Pi 493 F= et 1-ç1 92 94 2 w0 .93 où e-13 T w.cos(o).T)+ sin(o).T)] 5 0 0 (Pi - e-13 . [wc; . sin(o).T)] 92 e-13 T 93 . [sin( o.).T)] 0 e-f3. T - .[(1) COS(CO T) - 13. sin(co T)] 0 O) où T est la période d'échantillonnage. 10 On pourrait aisément établir un modèle de Kalman prenant en outre en compte, toutes dérivées d'ordre supérieur à au Doppler de la phase pour affiner le modèle. 2(a) 15 permet d'établir un lien entre les coefficients ARMA et le modèle de Kalman associé. On a : Comme il a été rappelé précédemment, le développement de l'équation : H (I - (P. z-1-)-1-rT z 1= (b) 1 = -TArcco s[ 2,\11c1 , 1 . /n(a2) T K1 = 1 - -b2 Ki* = b1 - [/12 -Ki - (P3 = (p2 K1 + (P4K2 On peut ainsi déterminer les paramètres de l'oscillateur amorti à partir des paramètres ARMA(2,2) déterminés et des paramètres du filtre de Kalman associé au modèle ARMA déterminé. 3047133 - 15 - Bien sûr, l'invention n'est pas limitée aux exemples qui viennent d'être décrits et de nombreux aménagements peuvent être apportés à ces exemples sans sortir du cadre de l'invention. De plus, les différentes caractéristiques, formes, variantes et modes de réalisation de l'invention 5 peuvent être associés les uns avec les autres selon diverses combinaisons dans la mesure où ils ne sont pas incompatibles ou exclusifs les uns des autres. 10 REVENDICATIONS1. Procédé de détermination des paramètres H, (I) et G d'un filtre de Kalman adaptatif vérifiant les équations : Xk = (Pk- Xk-1+ Tek Yk = Hk. Xk Vk où(pk est la matrice de transition à un instant k, 1'k est le vecteur dynamique de transition à l'instant k, Hk est la matrice d'observation à l'instant k et vk est un bruit blanc à l'instant k , ledit procédé comprenant : - une détermination (El, E2, E3, E4, E5, E6) des paramètres p, q,ai et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ai pour i E 111,p11 , et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i E [[1, q]], - une détermination (E7) des paramètres H, (I) et G du filtre de Kalman adaptatif par résolution de l'équation : Z(b) H (I - z-1-)-1- = 2(a). 2. Dispositif comprenant : - une entrée pour recevoir une suite temporelle notée y, - une sortie générant des paramètres d'un filtre de Kalman adaptatif en temps réel de la suite temporelle, - un micro-processeur configuré pour mettre en oeuvre le procédé de détermination selon la revendication 1. 3. Procédé de détermination des paramètres p, q, ai et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notéey, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ai pour i E 111,A, et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i E 111, cd, le procédé comprenant : - une détermination (El) des paramètres p et q, 3047133 -17- - une détermination (E2) d'un paramètre n plus grand que la somme des paramètres p et q, i.e. : n> p + q, - une détermination (E3) d'un modèle autorégressif long d'ordre n et de coefficients r(i,n) pour i E 111,n11 approchant le modèle 5 autorégressif et moyenne-mobile, - une détermination (E4) d'une modèle moyenne-mobile d'ordre n et de coefficients r(i,n) approchant le modèle autorégressif et moyenne-mobile à partir des coefficients déterminés r(i,n), - une détermination (E5) des coefficients an dudit modèle 10 autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q à partir des coefficients r(i,n) du modèle autorégressif long d'ordre n, - une détermination (E6) des coefficients brade la partie moyenne-mobile dudit modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordres p et q en résolvant le système 21b1 = 2{0.2{77} , où 2(u) est la 15 transformée en Z de la suite u, - la détermination (E5) des coefficients an résolvant de manière approchée m1 équations de Yules Walker modifiées, avec m1 strictement supérieur à p : m1 > p, et/ou la détermination des coefficients bnrésolvant de manière approchée m2 équations dudit 20 système avec m2 strictement supérieur à q : m2 > q. 4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que les coefficients r(i,n) sont déterminés par la formule : (0) E [0; n - 1]X[1, i] , r(i +1,j) = r(i, j) + - j + 1), 25 r(n, 0) = 1, Ryy(i+1)-Fri=1rum.Ryy(i+1-j) 5. Procédé selon la revendication 3 ou 4, caractérisé en ce que les 30 coefficients f(n,j) sont déterminés par : J-1 Vj E N f(n,j)= vk +1f(n, r(n, j - 1) et f(n,0) = 1. OÙ V i E [0; n - 1]Ki+1 = Ryy(0)-Fri=1rum.Ryy(i) avec Vk E N Ryy(k) = E [YiYi+k] - i=1 3047133 -18- 6. Procédé selon l'une quelconque des revendications 3 à 5, caractérisé en ce que les coefficients an du modèle autorégressif long d'ordre nsont déterminés par : A = 4)-1 (PT F , a1(pyy(q + 1) 5 avec A = ct.2 , r = YY + 2) , où F aP yy (q + Int) Ryy(i) (19 YY (i) = 0-2(v) et .1) = (Pyy(q) (pyy (la - 11) (pyy(lq - p + (pyy(lq - p + 2 1) (pyy ( I q + 11) (Pyy(c1) 49 y y (q + m1 - (pyy(lq +7n1- il) (pyy(lq +m1-21) avec Vk E N Ryy(k) = E [YiYi+k] - 7. Procédé selon l'une quelconque des revendications 3 à 6, caractérisé 10 en ce que les coefficients bp sont déterminés par : B = [matt * mat] 1 . matt. col b1 1 0 0 [ 0 avec B = b.2 mat = -a1 1 . I et bp mat(m2,1) -a1 1 1 0 0 -a1 1 0 mati = mat(m2 + 1,1) -a1 1 min(i,p) Vi E [i + 2, m2 + 1] et j E [1, q] j) = - ak mati(i - k, j)si i k k=1 et Vi E [1, m2] col(i) = + 1,1) + f(n, i). 15 8. Dispositif comprenant : - une entrée pour recevoir une suite temporelle notée y, - une sortie générant des paramètres d'un filtre Arma en temps réel de la suite temporelle, 3047133 -19- - un micro-processeur configuré pour mettre en oeuvre le procédé de détermination déterminer des paramètres p, q, ai et bi d'un modèle autorégressif et moyenne-mobile d'ordre p et q approchant une suite temporelle notée y, où p est l'ordre de la partie autorégressive de coefficients ai pour i E 111,p11 , et q est l'ordre de la partie moyenne-mobile de coefficients bi pour i E 111,0 selon l'une quelconque des revendications 3 à 7.