Brevet FR3030807A1 — publié le 20160624

Procédé non linéaire d'estimation d'un mélange de signaux La présente invention concerne un procédé d'estimation des signaux radioélectriques provenant de plusieurs sources, dont la représentation en temps/fréquence fait apparaître une proportion non nulle inconnue de composantes nulles, au moyen d'un réseau composé de P>2 antennes, lorsque les vecteurs directionnels U et V des sources émettant ces signaux sont connus ou estimés par ailleurs. Il est courant de devoir réaliser l'estimation de signaux radio électriques (débruitage) provenant de radars, de systèmes de communications, ou de signaux acoustiques (audio ou sonar), et reçus par un système d'écoute constitué d'un réseau d'antennes. Le signal reçu résulte d'un mélange temporel et spectral de 2 sources au plus, dont on suppose que les vecteurs directionnels sont connus, car estimés au préalable. Le critère classiquement utilisé est le maximum de vraisemblance (MV), conduisant à un traitement par filtrage linéaire spatial qui améliore le rapport signal à bruit par un facteur égal au nombre de capteurs dans le cas monosource. Dans les hypothèses où l'on se place (vecteurs directionnels connus), ce traitement conduit à une estimation linéaire non biaisée à variance minimale de signaux pour lesquels aucune connaissance a priori n'est disponible. D'autres méthodes dont la mise en oeuvre est plus compliquée, peuvent être utilisées, telles que le filtrage de Capon lorsque les vecteurs directionnels sont imparfaitement ou non connus ("Robust Adaptive Beamforming", eds P. Stoica and J. Li, Wiley, 2006). Aucune de ces méthodes n'exploite d'a priori sur le signal, et en particulier ne permet de délimiter correctement les supports temporel et/ou spectral du signal puisqu'un traitement linéaire (MV) ou pseudo linéaire (Capon) fournit toujours un signal en sortie même si en entrée la mesure n'est composée que de bruit. Le problème est d'accéder à la connaissance plus fine du signal. L'invention a pour but de proposer un procédé permettant de déterminer plus finement les composantes du signal. A cet effet, l'invention a pour objet un procédé comportant les étapes suivantes : a) Calculer les Transformées de Fourier Discrètes successives du signal reçu par les antennes et échantillonné pour obtenir une grille P-vectorielle temps-fréquence du signal ; chaque élément de la grille étant appelé case et contenant un vecteur complexe X formant une mesure ; b) Pour chaque case, calculer l'estimateur de l'espérance conditionnelle du signal, ou des signaux, à partir de la mesure X et d'une densité de probabilité a priori pour les signaux qui est un mélange de gaussiennes. Le procédé permet ainsi de répondre aux questions suivantes : pour chacun des signaux en présence (leur nombre étant supposé limité à 2 localement), quels sont les supports temporel et spectral du signal supposé décrit par des composantes obtenues au moyen d'une analyse temps/fréquence ? Et quelle est la valeur de chaque composante lorsqu'elle est non nulle ? La réponse à ces questions permet d'améliorer la connaissance du signal. Suivant des modes particuliers de réalisation, le procédé comporte une ou plusieurs des caractéristiques suivantes : - ledit procédé comporte une étape d'estimation des paramètres nécessaires pour établir l'espérance conditionnelle par la méthode des moments opérant sur les cases d'une fenêtre découpée dans la grille temps/fréquence ; - le calcul de l'estimateur de l'espérance conditionnelle est approximé par une Espérance Conditionnelle à 4 Filtres Linéaires obtenue par un traitement de décision à quatre hypothèses portant sur quatre formes hermitiennes de la mesure X, suivi d'un filtrage linéaire commandé par le résultat de la décision ; - le calcul de l'estimateur de l'Espérance Conditionnelle à 4 Filtres Linéaires est approximé par une Espérance Conditionnelle à Décisions Indépendantes obtenue par un traitement de décision à deux hypothèses portant sur U * X et V * X, suivi d'un filtrage linéaire commandé par le résultat de la décision ; - en fonction du résultat de la décision, le traitement de filtrage linéaire donnant l'estimateur de l'Espérance Conditionnelle à Décisions Indépendantes, est soit : - l'estimateur du maximum de vraisemblance bisources pour chaque source ; - l'estimateur du maximum de vraisemblance monosource pour la première source, 0 pour la seconde source ; - 0 pour la première source, l'estimateur du maximum de vraisemblance monosource pour la seconde source ; - 0 pour chaque source. - le calcul de l'estimateur de l'Espérance Conditionnelle à Décisions Indépendantes est approximé par un Maximum de Vraisemblance Seuillé obtenu par l'estimation du ou des signaux par la méthode du maximum de vraisemblance suivie de la comparaison de chaque estimation à un seuil ; - le seuil ou chaque seuil de décision est choisi pour respecter une probabilité dite de fausse alarme consistant à déclarer le signal non nul alors qu'il est nul ; - ledit procédé comporte : - Une première estimation des signaux réalisée par la méthode de l'Espérance Conditionnelle à Décisions Indépendantes ou du Maximum de Vraisemblance Seuillé, - Une estimation de paramètres réalisée à partir des composantes du signal obtenues l'étape précédente, - Une seconde estimation des signaux réalisée par la méthode de l'Espérance Conditionnelle ou par la méthode de l'Espérance Conditionnelle à 4 Filtres Linéaires, informées des valeurs des paramètres obtenues à l'étape précédente. L'invention sera mieux comprise à la lecture de la description qui va suivre, faite en se référant aux dessins annexés : - la figure 1 est une vue schématique illustrant des sources de signal et une installation d'estimation des signaux radioélectriques provenant de ces sources selon l'invention, donnée uniquement à titre indicatif et sans intention de représenter la réalité ; - la figure 2 est un organigramme d'un des procédés tel que mis en oeuvre dans l'invention dans le cas monosource; - la figure 3 est un organigramme d'un des procédés tel que mis en oeuvre dans l'invention dans le cas bisources. Le dispositif 8 d'estimation d'un mélange de signaux provenant de plusieurs sources 12 selon l'invention illustré à la figure 1 comprend un réseau antennaire composé d'une pluralité d'éléments antennaires 10 ou capteurs. Chaque élément antennaire est couplé à une voie de réception pour, notamment, numériser le signal analogique reçu par chaque capteur. L'invention est adaptée à la fois aux réseaux antennaires à monopolarisation et aux réseaux antennaires à bipolarisation. Le dispositif comporte en outre des modules de calcul. Dans différentes variantes de réalisation du dispositif d'estimation de signaux selon l'invention, les modules de calcul peuvent être agencés selon différentes architectures, en particulier chaque étape du procédé peut être implantée par un module distinct ou au contraire l'ensemble des étapes peut être regroupé au sein d'une unité de traitement de l'information unique 14. La ou les unités de calcul sont reliées aux capteurs par tout moyen adapté pour transmettre les signaux reçus. La ou les unités de calcul comportent des moyens de stockage de l'information, ainsi que des moyens de calcul permettant de mettre en oeuvre les algorithmes des figures 2 et 3, selon qu'on est dans le cas monosource ou bisources. Avantageusement, la réception est faite sur un réseau à diversité d'espace (réseau interférométrique) et la démodulation du signal permettant la « descente en bande de base » est effectuée par le même oscillateur local pour toutes les antennes afin d'assurer une cohérence. Le signal reçu est échantillonné en réel ou en complexe (double démodulation en quadrature ou tout autre procédé) sur chaque voie. Le signal reçu, filtré dans une bande de typiquement plusieurs centaines de MHz, est modélisé par : s 0(t)el2n1°' . Ce modèle ne fait pas d'hypothèse sur le type de modulation. Ce signal est échantillonné à une cadence Te telle que 1/Te >> 2 x bande du signal utile. On calcule les Transformés de Fourier Discrètes (TFD) pondérées et recouvrantes de ce signal sur NTFD points. La pondération a pour rôle de réduire les lobes secondaires. Comme cette pondération induit une variation de la contribution des données à la TFD (les données au centre du support temporel de la TFD se voyant attribuer un poids beaucoup plus important que les données sur les bords du support), qui peut aller jusqu'à une perte des signaux courts, on prend l'hypothèse d'un recouvrement des supports temporels. Les mesures recueillies sont donc les résultats des TFD. Elles constituent une grille temps-fréquence, dont les cases sont appelées cases temps-fréquence. Chaque case de la grille contient un vecteur complexe qui est le résultat des Transformées de Fourier Discrètes pour toutes les voies, pour un intervalle temporel et un intervalle fréquentiel donnés. Pour les fréquences des signaux et les distances qui interviennent ici, on considère que le front d'onde est plan. Donc les antennes reçoivent le signal avec une différence de phase fonction des deux angles entre le plan d'onde et le plan des antennes. Dans le cas monosource, les mesures recueillies sur le réseau complet s'écrivent donc comme : X' = snU + Wn - Xr, représente les mesures : Xn est un vecteur colonne complexe de dimension P, où P est le nombre de voies et n = 1,2, ... N est un double indice (I,c) parcourant l'espace des temps (indice de la transformée de Fourier) et des fréquences (numéro de canal pour une transformée de Fourier). Plus précisément, l'indice n parcourt les cases d'une fenêtre rectangulaire temporelle x fréquentielle de taille N. Les indices I et c correspondent aux numéros de ligne et de colonne des cases de la fenêtre. - s,, est un nombre complexe représentant le signal après TFD - Wn est le bruit thermique dans la case temps/fréquence d'indice n. 1fn est un vecteur colonne de dimension P. Tfn est gaussien sur ses composantes réelle et imaginaire, indépendant d'une case temps/fréquence à l'autre et indépendant d'une voie antennaire à l'autre. Autrement dit, Wn est blanc spatialement, fréquentiellement et temporellement. L'écart type du bruit compté sur chaque composante réelle ou imaginaire, au niveau d'une case temps/fréquence, est égal à a. Pour que l'hypothèse d'indépendance du bruit d'une case à l'autre soit vérifiée, on limite le recouvrement des TFD à 50%. Dans le cas d'un réseau interférométrique monopolarisation, U s'écrit sous la forme : r ui U = g P) où g est un scalaire complexe dépendant de la polarisation de l'onde incidente et de sa direction d'arrivée, et où les u sont des nombres complexes de module 1 représentant les déphasages géométriques associés à la direction de l'onde incidente. On peut choisir comme référence de phase une des antennes du récepteur. Dans le cas d'un réseau interférométrique bipolarisation, U s'écrit sous la forme : U = hH+ vV , où h et 2 sont des scalaires complexes tels que lh -F 2ly =1 qui expriment la polarisation de l'onde incidente, et où H (resp V) est la réponse du réseau à une onde polarisée horizontalement (resp verticalement). H et V ne dépendent que de la direction et de la fréquence de l'onde incidente. Dans tous les cas, U est de dimension P, où P est le nombre d'antennes utilisées. On peut considérer que U est normé, et que sn porte la puissance du signal et le gain moyen du réseau. U est conservé par la TFD qui est une transformation linéaire, et se retrouve sur le signal en sortie de TFD. Dans le cas général il peut y avoir un mélange de K signaux (K étant éventuellement supérieur à la résolution du réseau). Le signal s'écrit alors : =E (n)U k + W ; n=1 ,2 , . . .N k=1 Equation 1 Expression d'un mélange de signal L'hypothèse fondamentale est que lorsque l'ensemble des N cases temps/fréquence est restreint à une zone rectangulaire ou fenêtre d'indice j, la complexité de l'environnement est telle que dans une telle fenêtre, le mélange des signaux est limité à deux signaux. Alors le modèle devient : = s1 (n)U11 + s12 (n)U 2 + T Equation 2 Expression d'un mélange de signal dans une fenêtre Des fenêtres de taille prédéterminée sont définies pour couvrir la grille temps- fréquence. L'ensemble de ces fenêtres forme un découpage de la grille. La taille des fenêtres est choisie de sorte que au plus deux signaux issus de deux sources soient présents dans chaque fenêtre. Le vecteur U ou les vecteurs U et V désignant le ou les vecteurs directionnels unitaires formé par le signal incident ou les signaux incidents par rapport au réseau sont ensuite extraits (ou estimés), par tout moyen connu adapté. Une boucle est effectuée pour parcourir l'ensemble des fenêtres définissant le découpage de la grille. Pour chaque fenêtre, une étape d'estimation du (des) signal (signaux) est mise en oeuvre au moyen de l'espérance conditionnelle et des approximations que l'on peut y apporter pour le modèle spécifique des signaux. Le traitement final se décompose en : une étape non linéaire de décision de la situation en chaque case temps/fréquence : source 1 présente et source 2 présente, ou : source 1 présente et source 2 absente, ou : source 1 absente et source 2 présente, ou : source 1 absente et source 2 absente, puis une étape de filtrage linéaire spécifique à la situation. Le traitement obtenu est non biaisé, quasi optimal au sens de l'erreur quadratique moyenne, et délimite en temps/fréquence le support du signal à estimer. L'estimation du signal s'effectue sur une fenêtre où la situation est monosource ou bisources. En monosource, le signal vectoriel mesuré pour la case d'indice n est X,, = snU + Wn , n=1,2, ... Equation 3 Expression du signal mesuré (cas monosource) En bisources, on a: = snU + + , n=1,2, ... Equation 4 Expression du signal mesuré (cas bisources) Dans les écritures de l'Equation 3 et de l'Equation 4, U et V sont des vecteurs directionnels unitaires d'un réseau monopolarisation ou bipolarisation, sn et c,, sont des signaux complexes qu'il faut estimer ; W' est le bruit qui est blanc spatialement et en n, gaussien, centré et de covariance : E(WnW,1 = 20-2/p où ip est la matrice unité de CP (P étant le nombre de voies de réception). * désigne la transposée conjuguée. Dans la suite, on supposera que U ou V sont estimés par Ûet T2 par exemple à l'aide d'une méthode de type MUSIC, et que cette estimation ayant été faite sur un nombre de cases N >>1, on peut faire l'approximation U=Û, V=e . Pour tenir compte du fait que s,, (ou c,,) peut être nul pour certains n, sans connaître à l'avance la modulation du signal, on modélise sn (ou c,,) comme des échantillons indépendants en n d'une variable aléatoire dont la densité de probabilité est un mélange (q, 1-q, q On estime S au moyen de l'espérance conditionnelle en utilisant les modèles monosource et bisources (Equation 5, Equation 6 et Equation 5, Equation 7). L'Espérance Conditionnelle (EC) est l'estimateur i§ qui minimise l'écart quadratique moyen E( 12) s - . Il est de plus non biaisé, et donne une solution explicite pour . Il est construit de la façon suivante : Soit X la mesure ; sa densité de probabilité qui dépend du paramètre à estimer S est interprétée comme la densité de probabilité conditionnelle de X sachant S. On dispose donc de p(X I S) et de p(S) provenant de la connaissance a priori de S. est donnée par la formule explicite : = iSp(S 1 X)dS domS Equation 9 Estimation de S p(S I X), la densité de probabilité conditionnelle de S sachant X, est obtenue par la formule de Bayes. p(X 1 S).p(S) p(S I X) = p(X) Equation 10 Ecriture générale de la densité de probabilité conditionnelle de S sachant X Avec p(X)= f p(X I S).p(S)dS domS Equation 11 Ecriture générale de la densité de probabilité de X Dans le cas où X = MS+ V et p(S)est gaussienne, centrée de covariance C, on peut trouver analytiquement , ce qui n'est pas le cas en général. C'est une fonction linéaire de X. En effet (en dimension 2) : 1 X - MS 2 p(X I S)= exp 7r24o-4 20-2 p(S) = 1 exp(--S*C-S) det C r 2 1 X*MS S*M *X S*M*MS p(X I S)p(S)= exp g4 4cr4 detC 202 2cr2 2o-2 2(72 m*m Posons E- = + C-1 2o-2 En complétant le « carré » en S, on a: I 2 p(X I S)p(S)= K2 exp( (S 12 M*Xj E- 1 M j V2 + X11MX det C 2cs 2o- 2o-2 4cr4 ) où K2est une constante (=1/rt-44a4) en dimension 2. / est une matrice hermitienne définie positive. On en déduit : K rt-2 detE exp( 11X X*MY-M*X f p(X I S)p(S)dS = det C 20.2 40-4 domS Equation 12 Densité de probabilité des mesures en bisources S.p(X 1 S)p(S)dS 2 detE exp ( 1rt-2 =K f det C domS 42 X*MEMsX 4 20-2 M X 20-2 40- Equation 13 Densité de probabilité conditionnelle de S sachant X en bisources Les expressions complètes de l'Equation 12 serviront à trouver l'estimateur recherché pour notre problème. Dans le cas où S est un échantillon gaussien, les Equation 9, Equation 10, Equation 11, Equation 12, et Equation 13 donnent : = M X 20-2 Equation 14 Estimation de S en bisources (cas où S est gaussien) qu'on peut écrire aussi : = (2o-2Z-1)1M X = (M*M + 2o-2C-1) 1M X On en conclut que si 2c72C-1 « M* M , se réduit à l'estimateur du maximum de vraisemblance de S au moyen du modèle de l'Equation 5 sans connaissance a priori sur S: = (/1/1 *M)1 M *X .MV La condition 211-2C-1 « M*M en tant que matrices, s'exprime aussi par C >> 2172(M*M) qui signifie que l'a priori sur S qui est défini par C n'apporte pas d'information réelle sur S. L'estimée du signal dans le cas monosource est telle qu'indiquée ci-dessous. Dans le cas monodimensionnel pour S=s (monosource), on a M=U et donc M*M =1 ; La matrice C est réduite à la constante c; (( 2\ 1 1X-Us12 1 Isl 2 x0 p(X 1 S)p(S)= , e p ; p(s)= exp Dru' 20r2 Z.0 c 'I^ ) On en déduit E-1 = 1 + 1 ou 2, = 20.2C 20'2 c 2c72 + c 2 2cr2 + c 1 U*X p(X I S)p(S)= exp 20.2 + C 2c2c 1 = ' Dro-2 Il vient alors : doms f s.p(X I S).p(S) = exp K 2c72 c c 20.2+c 2 20.2 + 20.2(20.2 + c) U*X 20.2 + c lu Equation 15 Densité de probabilité conditionnelle de S sachant X en monosource doms f p(X I S)p(S) = K 20.2c C 2cr2 + c exp X 2 20.2 20.2(20.2 + c) 2 U* X Equation 16 Densité de probabilité des mesures en monosource On obtient l'espérance conditionnelle, dans le cas gaussien pour s, par le quotient de l'Equation 15 par l'Equation 16: = c u.x 20-2 +c Equation 17 Estimation de s en monosource (cas où s est gaussien) Si c» 20.2, ce qui exprime qu'on n'a pas d'information a priori sur s, :s*. se réduit à l'estimateur du maximum de vraisemblance : S-mv = U*X L'estimée du signal dans le cas bisources est telle qu'indiquée ci-dessous. L'estimateur de l'espérance conditionnelle est obtenu grâce à l'Equation 15 et à l'Equation 16 pour la densité mélange de S donnée par l'Equation 7. ( 1X112 Après simplification par le facteur commun K2rt-2 exp numérateur et au dénominateur, on obtient : v det ( 1 * * E * X ME M X ' M X det Ci exp 4u' ) 20.2 S = Equation 18 Espérance conditionnelle en bisources Avec E-ri = M*M + CT ou E = 2o-2(M*M + 20-2C71) 20.2 Posons ri = 20-2CT1(sans dimension), Q. = (M*M+20-2C.71) 1 = (M*M+Fj) =Ej / 202 On a: 262 dans tous les termes au det Eqj exp ME,M*Xj ( 1 * det 4c74 Eq, det Qi detF exp j=1 4 Eqj det Q. det F1 exp 13 (X*MQJM*X 2o-2 (X*MQJM*f 20-2 Equation 19 Espérance conditionnelle en bisources D'après l'Equation 8, M*M ( 1 U*V" = = 1 F2 = V*U 0 F3 = (0.2/0.2 0.2/0.2 F4 = 1 2 0 0 \ 70.2 /0.12 0.2 /r2 ) 0 0 70-2 a-2 a-2 / 0.2 0 0 \ 70-2 /1-2 0.2 /'.2 0 / ) Q-I 7 3 - Q-1 4 - 71+ 62/e2 V*U (1+ 0.2 VsU u*v 1+ 02 /0.2 U* V 1+0.2 r2 u*v 1+ 0.2 /0.22, U*V 1+0.2 /r2 Q2-1 = On en déduit : Q1 = , p- 0-2 /0-11(1+ 0-2 /0-22)- lu (1+ 02 / 0.2 2 V*U - utv 1+ 0.2 / 02 1 ) 1 2 Q2 = + 0.2 / 0.12 X1 + 0.2 /1.2)_ (1+0.2/r2 - U*V - v*u 1+ 0-2 / 0-12) 1 2 U*V 1 (1+62/62 2 Q3= - u*v 1+0.2 R-2) (1+ o-2 11-2)(1+ o-2 lo-22)-1U*V12 -V*U Q4= , 0-2 /1-2 Y Hu*v12 (1+0.2/2 - t./*V VU 1+ 0-2 /1-2 1 Equation 20 Matrices Qi L'expression de l'estimée du signal fait l'objet d'une approximation pour permettre son estimation comme indiqué ci-dessous dans le cas bisources. Les produits de déterminants dans l'Equation 19 sont respectivement égaux aux expressions suivantes dont on donne une approximation pour un bon rapport signal à bruit (1712 /172 » 1 et c2r / cr2 »1 ) et pour r o. det det = [(1 0.2 /0.)(1+ (72 / (722 ).....1u*v 2]-1 -1 4 / Cr 26 2 Cf / i 2 1-1U*V12) 64 /0'126; det Q2 det = [(1+ 0-2 /0.12 Xi + a2 1r2) 2]-'(74 1a2,1.2 (1.2 1(711+ 0.2 /(712y.(0.4/ °-2 /a2 1 detQ3 det1"3 = [(1+ a2 //-2)(1+ a-2 /cr22)-1U 2 ]-1 0.4 / c2 /a2 2 detQ4 detr4 = [(1+ cr2 / - U*V a-4 /r4 =1 Equation 21 Det Qi det n De même, on trouve pour Q. lorsque e --> 0 : QI est inchangé. - (.1 + .72 / .712 + a-2 / a-22 )-1U*v 2 1 V*LI 1 1 Q2 - Mi+ 0-2 /0-12) o` 0, o Q3 O 1/(1+ 0-2 cr22), Q4 0 0,, Equation 22 Forme simplifiée des matrices Qi On observe que les produits detQ1 det I-', ont une limite finie dans chacune des quatre situations, de même que les matrices Qj , ce qui est un comportement satisfaisant. On a ainsi obtenu une première expression de l'estimateur. En réalité seul un des termes dans l'Equation 19 est prépondérant pour chaque case, ce qui conduit à une première simplification. On en déduit le nouveau traitement d'estimation des . = Q joM* X où j 0 = Arg Max{ql detQI derI exp(X* MQ A/1* X I 20-2» i Ce que l'on simplifie en : = QioM*X où jo = Arg Max FI = Arg M ax{ln(q j detQ1 det ri )+ X*MQJM *X / 2o-2} Equation 23 Estimation du signal avec fonction de décision M*X est donné par : M*X = tU*X \V*X Les det Q det Fi sont donnés par l'Equation 21. Les Q. sont donnés par l'Equation 22, { q2 , j =1 Les q sont donnés par exemple par q1 = q(1 - q), j = 2,3, (1- q)2 , j = 4 Equation 24 Expression des paramètres qj s'il y a indépendance des 4 situations et équiprobabilité pour s # 0,c # 0. F(j) est donné par : 20 F(ji )= ln(qi det Q1 det Fi )+ X*MQ1M *X / 20-2 = ln(q2(1-1U*V 2)0.4 I 0.120.22) + X*MQ1M*X /2c2 F(j2)= ln(q2det Q2 det F2 )+ X*MQ2M *X / 20-2 = 14(1- q)cr2 /c712)+ X*UU* X I 20-2 F(j3)= ln(q3 det Q3 det F3 )± X*MQ3M*X 20-2 = 114(1- q)o-2/o-22)+ X*VV*X/2cr2 F(j4)= ln(q4 det Q4 det r4)+ X*MQ4M *X / 20-2 = ln((1- q)2) 15 Pour jo =1, on retrouve l'estimateur du maximum de vraisemblance. En effet dans ce cas (Cr2 / 0 = ---- 0 et QI = ) de sorte que ,§" = IM*X . On 0 (72/itf_2 2) constate que si U*V = 0, alors les estimations de s et de c sont complètement séparées, car alors, la relation = (M*MrM*X se simplifie et se découple en = U*X ,ê = V*X Pour jo = 2 ,.§'T = (U* X ,0) (filtrage par le vecteur directionnel de la source 1) Pour jo = 3 , = (0,T7* X)(filtrage par le vecteur directionnel de la source 2) Pour jo = 4 , = (0,0) Où le symbole T désigne la transposée. 10 On a ainsi « linéarisé » le traitement optimal, puisqu'on a obtenu quatre filtres linéaires, commandés par la décision sur le type de situation pour chaque case : les deux sources sont présentes / la source 1 est présente / la source 2 est présente / aucune des deux sources n'est présente. On appelle l'estimateur obtenu « Espérance Conditionnelle à 4 Filtres Linéaires ». 15 De cette façon, on a simplifié l'estimateur optimal, en le décomposant en deux étapes : - La détection de la situation - L'application d'un filtrage approprié à la situation Il est satisfaisant de constater que l'estimateur est indépendant de r, ce qui est le 20 comportement attendu puisque r n'est pas un paramètre physique, mais un artifice permettant de modéliser la situation « absence de signal » par une gaussienne très pincée. Cet estimateur nécessite le calcul de trois formes quadratiques et d'un test. Le point dur reste le calcul des paramètres inconnus a hi=1 4 15e , éfr (la puissance du bruit 25 2o2 estsupposée connue). Dans le cas particulier où les 2 sources sont indépendantes, et ont la même puissance et le même taux de présence, les paramètres peuvent être estimés en calculant les moments empiriques d'ordre 2 et 4. Si on appelle 20-'2 la valeur commune de la variance de la gaussienne 30 représentant chaque source, et q la probabilité commune aux 2 sources, tout se passe comme si on était dans une situation monosource, avec une source unique de variance 2o - = 2(72 et de probabilité de présence qm = 2q. '2 0-m et qm sont alors donnés par les équations suivantes : {-U 4 = 2qm ( 2 -Ulxn = 8qm 0-m +0.2 + qm )20-2 2 ( 2 0-m +0.2 + 8(1 qm )0-4 ) Dans le cas général (sources indépendantes), les paramètres du modèle sont au nombre de 4: a q2 0-12 0-22 .L'homme de l'art sait généraliser la méthode des moments ci-dessus aux ordres supérieurs pour obtenir les estimations de ces paramètres. Une variante du traitement d'estimation consiste à simplifier l'étape de décision décrit précédemment, comme suit : L'espérance conditionnelle considère les quatre situations possibles : s 0,c 0;s 0,c = 0;s = 0,c 0;s = 0,c = 0 Il faudrait normalement traiter un problème de décision à quatre hypothèses. Pour simplifier, on propose de tester s# 0 contre s= 0 indépendamment de c d'une part, et de tester c# 0 contre c= 0 indépendamment de s d'autre part. On effectue donc deux tests à deux hypothèses au lieu d'un test à quatre hypothèses. Ces tests seront effectués à partir des mesures prétraitées U*X, V*X TEST DE s 0 CONTRE s =0 U*X =s+U*V.c + u H1: ,s#0 V*X=V*U.s+c+v {U* X =U*V.c+u Ho: ,s# 0 V X=c+v Equation 25 Test d'hypothèse simplifié : les 2 hypothèses pour s où les (.) indiquent le produit scalaire x scalaire et où u=U*W,v=V*W : (u,v) est donc gaussien, centré et de covariance : E{(U*W\ 18 (W*U W*V)}. 2o-2 ( 1 U*T/ V*W y*U 1 et où c est un paramètre inconnu. C'est un problème invariant par le groupe des translations de vecteur (U*V 1)T et un problème à hypothèse linéaire (voir "Testing Statistical Hypothesis", 3rd edition, E.L. Lehmann, J.P. Romano, Springer, 2005). Il peut être traité en effectuant premièrement une projection sur l'orthogonal de (U*V 1)T pour éliminer c, puis en testant la présence de s par un test du chi2. La projection s'écrit : U*V u*x - (u*v)v*x = {(1- 2 )s (LT )v (H1) u - 14, (H0) Le test à effectuer porte donc sur la mesure u*x - (u*v)v*x12 : u*x - (u*v)v*x 2 > OU ou TEST DE c # 0 CONTRE c = 0 De la même manière pour c, on projette M*X sur l'orthogonal de (1 V*U)T afin d'éliminer les termes en s et on obtient la nouvelle mesure à considérer : - (v ,)TT*x + v*x =(1- U*V12 + v - (T/ (H'1 ) v - (v*Ou Vro On obtient le test suivant : (T/ U)U* X -V* X12 > ou Equation 27 Test d'hypothèse simplifié sur c que l'on peut écrire bsmv = 19 > ou seuil et ê mvl> seuil : SECDJ = (M M)1 M* X (étape 331) ',,v1> seuil et g'mvl seuil : sECDI = 0, êECDI = V* X (étape 333) êmvl seuil sECDJ = U* X (étape 361) REVENDICATIONS1.- Procédé d'estimation d'au plus deux signaux mélangés issus de sources distinctes, dont la représentation en temps/fréquence fait apparaître une proportion non nulle inconnue de composantes nulles, au moyen d'un réseau composé de P>2 antennes, lorsque les vecteurs directionnels U et V des sources émettant ces signaux sont connus ou estimés par ailleurs, comportant les étapes suivantes : a) Calculer les Transformées de Fourier Discrètes successives du signal reçu par les antennes et échantillonné pour obtenir une grille P-vectorielle temps- fréquence du signal ; chaque élément de la grille étant appelé case et contenant un vecteur complexe X formant une mesure ; b) Pour chaque case, calculer l'estimateur de l'espérance conditionnelle du signal, ou des signaux, à partir de la mesure X et d'une densité (p(s)) de probabilité a priori pour les signaux qui est un mélange de gaussiennes. 2.- Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'il comporte une étape d'estimation des paramètres (q1,0'12,0'22) nécessaires pour établir l'espérance conditionnelle par la méthode des moments opérant sur les cases d'une fenêtre découpée dans la grille temps/fréquence. 3- Procédé selon la revendication 1 ou 2, caractérisé en ce que le calcul de l'estimateur de l'espérance conditionnelle est approximé par une Espérance Conditionnelle à 4 Filtres Linéaires obtenue par un traitement de décision à quatre hypothèses portant sur quatre formes hermitiennes de la mesure X, suivi d'un filtrage linéaire commandé par le résultat de la décision. 4- Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que le calcul de l'estimateur de l'Espérance Conditionnelle à 4 Filtres Linéaires est approximé par une Espérance Conditionnelle à Décisions Indépendantes obtenue par un traitement de décision à deux hypothèses portant sur U * X et V * X , suivi d'un filtrage linéaire commandé par le résultat de la décision. 5- Procédé selon la revendication 4, caractérisé en ce que, en fonction du résultat de la décision, le traitement de filtrage linéaire donnant l'estimateur de l'Espérance Conditionnelle à Décisions Indépendantes, est soit :- l'estimateur du maximum de vraisemblance bi-sources pour chaque source ; - l'estimateur du maximum de vraisemblance monosource pour la première source, 0 pour la seconde source ; - 0 pour la première source, l'estimateur du maximum de vraisemblance monosource pour la seconde source ; - 0 pour chaque source. 6- Procédé selon la revendication 5, caractérisé en ce que le calcul de l'estimateur de l'Espérance Conditionnelle à Décisions Indépendantes est approximé par un Maximum de Vraisemblance Seuillé obtenu par l'estimation du ou des signaux par la méthode du maximum de vraisemblance suivie de la comparaison de chaque estimation à un seuil. 7- Procédé selon la revendication 4 ou 6, caractérisé en ce que le seuil ou chaque seuil de décision est choisi pour respecter une probabilité dite de fausse alarme consistant à déclarer le signal non nul alors qu'il est nul. 8- Procédé selon les revendications 4, 5 ou 6, prises en combinaison avec la revendication 1 ou 3, caractérisé en ce qu'il comporte : - Une première estimation des signaux réalisée par la méthode de l'Espérance Conditionnelle à Décisions Indépendantes ou du Maximum de Vraisemblance Seuillé, - Une estimation de paramètres (qi,o-12,(5-22) réalisée à partir des composantes du signal obtenues l'étape précédente, - Une seconde estimation des signaux réalisée par la méthode de l'Espérance Conditionnelle ou par la méthode de l'Espérance Conditionnelle à 4 Filtres Linéaires, informées des valeurs des paramètres (q1,0-12,cr) obtenues à l'étape précédente.