Brevet FR3016987A1 — publié le 20150731

ECHELLE DE MONTGOMERY DESEQUILIBREE L'invention concerne la protection d'un dispositif électronique mettant en oeuvre une échelle de Montgomery contre les attaques par canaux cachés. L'échelle de Montgomery est couramment utilisée en cryptographie. De nombreux algorithmes de chiffrement, de déchiffrement, d'authentification, de vérification d'authentification, de signature électronique ou encore de vérification de signature électronique, s'appuient sur l'échelle de Montgomery. Un algorithme cryptographique est un algorithme qui vise à protéger une information, en assurant par exemple sa confidentialité, son authenticité, ou son intégrité, grâce aux mathématiques. Un algorithme cryptographique s'appuie souvent sur une ou plusieurs clés, qui peuvent être notamment secrètes, privées, ou publiques. Certains algorithmes cryptographiques n'utilisent pas de clé, c'est le cas notamment de certaines fonctions de hachage (telles que les fonctions SHA-1, MD5, SHA-256, RIPEMD-160, etc.). Parmi les algorithmes cryptographiques on trouve notamment des algorithmes de chiffrement (qui permettent de rendre une information inintelligible) et des algorithmes de déchiffrement (qui permettent de récupérer l'information d'origine à partir d'une information chiffrée), des algorithmes de signature électronique, de vérification de signature, d'authentification, de vérification d'authentification, etc. Parmi les algorithmes cryptographiques s'appuyant sur des clés, certains sont dits symétriques (par exemple les algorithmes DES, 3DES, AES, RC4, HMAC, etc.). Certains algorithmes symétriques sont spécialisés (par exemple l'algorithme HMAC sert pour la signature/vérification de signature mais pas pour le chiffrement/déchiffrement). Les algorithmes symétriques tirent leur nom du fait qu'ils utilisent la même clé (on parle généralement de clé secrète) pour chiffrer et pour déchiffrer, ou encore pour signer et vérifier une signature, etc. Ainsi, les algorithmes cryptographiques symétriques imposent ils à deux parties les utilisant pour sécuriser leurs communications de partager des clés. D'autres algorithmes cryptographiques sont qualifiés d'asymétriques (par exemple les algorithmes DSA, RSA, les courbes elliptiques, etc.) car une clé différente est utilisée par les parties à une communication. Chaque partie dispose d'une clé privée et d'une clé publique associée. Par exemple une partie peut utiliser une de ses clés privées pour signer une information, et c'est une clé publique correspondante qui est utilisée par l'autre partie pour vérifier la signature, ou encore une partie peut utiliser une clé publique appartenant à une autre partie pour chiffrer une information, et l'autre partie peut alors utiliser sa clé privée correspondante pour déchiffrer l'information. Les algorithmes cryptographiques sont souvent décrits de façon très précise dans des spécifications accessibles à tous, la sécurité d'un algorithme cryptographique n'étant généralement pas liée au caractère secret ou non de son fonctionnement (les algorithmes qui ne sont présumés sûrs qu'en raison de leur caractère secret finissent souvent par être cassés par ingénierie inverse). Les spécifications permettent de déterminer ce qu'un algorithme doit produire en sortie lorsque l'on lui donne une certaine information en entrée. Ceci permet de s'assurer de l'interopérabilité de l'algorithme cryptographique, c'est-à-dire que des implémentations distinctes doivent pouvoir fonctionner entre elles. Par exemple, on peut légitimement s'attendre à ce qu'une information chiffrée par toute implémentation d'un algorithme de chiffrement puisse être déchiffrée par toute implémentation de l'algorithme de déchiffrement correspondant. Cependant, ceci ne signifie pas qu'il n'existe qu'une implémentation possible de chaque algorithme cryptographique. Au contraire, il existe des multitudes d'implémentations possibles pour chaque algorithme cryptographique, de même qu'il existe des multitudes de manières différentes d'effectuer un même calcul. Par exemple, pour calculer X2+2X+1, on peut notamment calculer X*X, puis 2*X, puis ajouter les deux termes puis ajouter 1, ou bien calculer X+1, multiplier le résultat par X, puis ajouter 1, ou encore calculer X+1 et élever le résultat au carré. On pourrait penser que la sécurité d'un algorithme cryptographique ne dépend que de sa définition mathématique (et des éventuelles clés qui sont utilisées, lorsque ces dernières sont secrètes ou privées), telle qu'elle ressort d'une spécification, et non de la façon exacte dont il calcule le résultat défini dans la spécification. En réalité, il n'en est rien, en général. Il s'avère que la sécurité d'une mise en oeuvre particulière d'un algorithme cryptographique ne dépend pas seulement de l'algorithme cryptographique lui-même, mais également de la façon dont il est implémenté, et d'autres facteurs tels que les caractéristiques du dispositif électronique chargé de l'exécuter. Il est notamment bien connu que lorsqu'un dispositif électronique non protégé exécute un logiciel mettant en oeuvre un algorithme cryptographique de manière « naïve » c'est-à-dire d'une manière qui se contente de produire le résultat numérique attendu selon la spécification (tel qu'un résultat de chiffrement) à partir d'une entrée donnée, il est généralement possible d'effectuer une écoute passive du dispositif électronique et d'obtenir des informations critiques sur le déroulement de l'algorithme cryptographique. On est alors en présence d'un canal caché (insoupçonné de l'utilisateur légitime du dispositif électronique) que l'attaquant parvient à espionner. L'écoute passive présente l'avantage d'être non invasive. Le dispositif électronique n'est pas endommagé, et son propriétaire ne se rend pas nécessairement compte qu'il a été attaqué. Ainsi, le dispositif a pu être subtilisé et rendu sans que son propriétaire ne le soupçonne, ou simplement utilisé en l'absence du propriétaire, voire espionné en présence du propriétaire, sans que ce dernier ne le remarque (par exemple par un module dissimulé entre le dispositif électronique et son alimentation électrique). Ainsi, le propriétaire d'un dispositif électronique dont une clé RSA privée à été extraite par un attaquant n'est pas amené à révoquer sa paire de clés RSA (il n'a aucune raison de penser qu'il a été attaqué). L'attaquant peut ensuite utiliser librement la clé RSA privée jusqu'à ce que le propriétaire finisse par se rendre compte que des opérations qu'il n'a pas effectuées (par exemple des transferts de fonds électroniques, ou des signatures électroniques de contrats), lui sont prétendument attribuées, ou qu'un tiers a manifestement eu accès à des informations confidentielles (par exemple un concurrent répondant à plusieurs reprises à de mêmes appels d'offres en étant de très peu le moins disant). Une écoute passive peut consister par exemple en une analyse du rayonnement électromagnétique émis par le dispositif lors de l'exécution du logiciel (par exemple dans le cadre d'une attaque de type TEMPEST, qui se concentre en général principalement sur la capture d'écrans cathodiques, mais peut être généralisée). En effet, le rayonnement électromagnétique d'un dispositif électronique, par exemple d'un processeur, peut constituer un canal caché qui dépend de ce que ce dispositif est en train d'effectuer, par exemple d'une instruction que le processeur est en train d'exécuter ou d'une donnée que le processeur est en train de manipuler. Il est également possible d'analyser d'autres informations, telles que la consommation électrique instantanée (autre canal caché) d'un dispositif électronique, et de distinguer ainsi les tâches accomplies en fonction de la consommation électrique qu'elles requièrent. On peut aussi mesurer les vibrations émises (certains composants sont susceptibles de vibrer, et ce d'une manière différente selon ce qu'ils font), ou encore les variations de température, etc. (qui constituent autant de canaux cachés potentiels). Une écoute passive peut également comprendre la mesure d'une durée 15 d'exécution de certaines opérations pour en tirer des conclusions lorsque ces opérations ne sont pas protégées contre les attaques dites « timing attacks ». Par exemple, une opération de vérification de mot de passe non protégée contre les « timing attacks » pourrait comparer les octets d'un mot de passe attendu avec un mot de passe soumis, octet par octet, et retourner une erreur 20 dès qu'un octet est différent. Un attaquant pourrait ainsi, selon le temps que met la fonction de vérification de mot de passe pour répondre que le mot de passe est erroné, déduire que les N premiers octets sont corrects, et refaire une tentative de présentation de mot de passe en ne modifiant que le N+1èMe octet, et ce jusqu'à ce que le temps de réponse ralentisse un peu, ce qui serait 25 le signe que le N+1ème octet est désormais correct, pour passer au N+2ème octet, et ainsi de suite jusqu'à obtention du mot de passe complet. Ainsi, pour retrouver un mot de passe de longueur K (en octets), et ce même si le mot de passe est robuste (pas d'attaques par dictionnaire possible), on passe d'une complexité moyenne de 1/2*(28)K à une complexité moyenne de K*27, ce qui est 30 beaucoup plus simple. Afin d'éviter les « timing attacks », il est possible de faire en sorte que toutes les opérations sensibles aient une durée d'exécution constante, ou encore que la durée, bien que variable, ne renseigne pas sur ce qui se déroule durant l'opération. Une écoute passive élémentaire peut consister simplement à identifier une caractéristique donnée en fonction d'une mesure donnée sur le dispositif électronique ciblé. C'est le cas par exemple des attaques dites SPA (pour Simple Power Analysis). Par exemple, lors d'une exponentiation modulaire effectuée dans une implémentation « naïve » de l'algorithme RSA, la consommation électrique est très différente lorsqu'un bit de l'exposant est égal à 1 (forte consommation) et lorsque ce bit est égal à 0 (consommation plus faible). En effet, dans les implémentations communes, un bit à 1 implique à la fois une opération d'élévation au carré et une opération de multiplication (dite « square and multiply », alors qu'un bit à 0 n'implique qu'une opération d'élévation au carré. On peut ainsi, en observant la trace de la consommation électrique lors de l'exponentiation modulaire, repérer les séries de 1 et de 0 de l'exposant, qui correspondent à des fluctuations de consommation électrique. Or l'exposant RSA, dans le cas où il s'agit d'un exposant privé, est une donnée extrêmement confidentielle constitutive de la clé privée RSA, qui en général n'est pas censée être connue de quiconque en dehors du dispositif électronique. Obtenir la clé privée de signature d'une personne permet ainsi de signer en son nom, obtenir sa clé privée de déchiffrement permet de déchiffrer ses messages. Cependant, ces écoutes (simples à mettre en oeuvre) ne sont pas toujours efficaces. On connaît des écoutes (attaques) plus élaborées, telles que les attaques dites DPA (pour Differential Power Analysis), dans lesquelles un attaquant exécute un algorithme cryptographique à de multiples reprises, et enregistre à chaque fois les traces produites (par exemple les traces de consommation de courant). Par la suite l'attaquant effectue des calculs statistiques sur la base des multiples enregistrements, et obtient des informations d'une façon plus fiable et plus difficile à empêcher. Afin de se prémunir contre ces attaques, il est possible de sécuriser le 30 dispositif électronique lui-même. Par exemple, on peut superposer un bruit sur l'alimentation électrique afin de rendre son exploitation plus difficile, lisser la consommation électrique (par exemple avec des condensateurs), limiter les émissions électromagnétiques par des blindages adéquats, etc. On peut aussi utiliser une horloge interne particulière, ayant pour caractéristique d'avoir une fréquence de fonctionnement variable de manière aléatoire, ce qui rend les mesures difficiles à exploiter (les opérations de l'algorithme cryptographique étant alors effectuées à une cadence qui ne cesse de varier, et qui est a priori inconnue de l'attaquant). Il existe également d'autres techniques, consistant par exemple à contrôler l'accès physique et/ou l'accès logique au dispositif électronique. Par exemple, les cartes à puces mettant en oeuvre des algorithmes cryptographiques à clé privée protègent généralement les opérations concernées par un code PIN. Ainsi, une personne qui volerait temporairement la carte à puce en espérant en extraire la clé privée puis rendre la carte à son propriétaire sans qu'il ne s'en rende compte, ne pourrait exécuter l'algorithme concerné sans présenter le bon code PIN (qu'un utilisateur averti apprend par coeur et ne communique à personne), et ne serait donc pas en mesure d'effectuer l'attaque. Ces techniques de contremesure sont utiles, mais généralement insuffisantes à elles seules, car elles ne protègent pas contre tous les scénarios d'attaques. Une autre méthode de protection consiste à utiliser un procédé de sécurisation de l'algorithme cryptographique, consistant à implémenter l'algorithme d'une manière telle que les fluctuations générées (électriques ou autres) dépendent le moins possible du procédé mis en oeuvre (et renseignent donc le moins possible sur le procédé). Par exemple, il est possible de modifier l'implémentation d'un algorithme RSA utilisant une clé privée de façon à ce qu'il effectue des opérations ayant la même signature (électrique, électromagnétique, etc.) lors d'un bit 1 ou lors d'un bit 0 dans l'exposant privé de la clé privée. Par exemple on peut effectuer un « square and multiply » quoi qu'il en soit, le résultat de l'opération de multiplication n'étant utilisé que dans le cas où le bit est à 1. Il faut évidemment être très vigilant, et s'arranger pour que l'implémentation soit aussi symétrique que possible. Par exemple s'il y a un test vérifiant que le résultat de la multiplication doit ou non être utilisé, il faut que ce test se comporte de la même manière quelle que soit son issue (ou d'une moins d'une manière aussi proche que possible), sinon une écoute passive pourrait cibler ce test afin de déterminer s'il s'agissait d'un bit à 0 ou d'un bit à 1. L'échelle de Montgomery (en anglais, « Montgomery ladder ») est dans ce contexte une technique particulièrement avantageuse. L'échelle de Montgomery s'applique aux exponentiations (par exemple exponentiation modulaire de l'algorithme RSA - notation multiplicative) et s'applique de la même façon aux multiplications scalaires (par exemple dans le cas des courbes elliptiques - notation additive). Un bref rappel du fonctionnement de l'échelle de Montgomery est donné 10 ci-après. Un des buts de l'échelle de Montgomery est de calculer Ak (respectivement k*A) en un temps constant et d'une manière aussi indépendante que possible des paramètres manipulés par l'échelle de Montgomery, A étant un élément d'un groupe abélien muni d'une loi qui est 15 notée multiplicativement (respectivement additivement). Notons ki le ième bit de k dans sa représentation binaire sur t bits (k = k, *2' ). Soit L = Lei * et Hi = + 1. On a : = = Li÷1+Hi+1+ki-1 = On en déduit : = {(2*Li+1 + Hi+i) si k. = 0 (Li+i + H J+1,2 * Hi+i) si ki =1 20 Et donc : (A ',AH' ((AL'+' )2, AL'+' * AH'+` ) si ki =0 (AL'+' *AH' (AH'"i )2) si ki =1 L'échelle de Montgomery s'appuie sur le fait que Lo=k. Elle accepte, en tant que paramètres d'entrée, A et k = Elle produit, en sortie, Ak (en notation multiplicative). Elle se déroule, selon une version élémentaire, de la façon suivante 25 (rédigée en pseudo code) : R1 Selon un aspect de l'invention, un procédé de sécurisation d'un dispositif électronique contre des attaques par canaux cachés lorsque le dispositif électronique met en oeuvre une échelle de Montgomery pour calculer l'élément A±A±...-LA où A apparaît k fois, A étant un élément d'un groupe abélien muni d'une loi -I-, et k un entier naturel, comprend une mise en oeuvre modifiée de l'échelle de Montgomery comprenant : /a/ une détermination, par un circuit de détermination du dispositif électronique, d'un premier entier naturel r1 ; /b/ un calcul, par un circuit de calcul du dispositif électronique, d'un premier paramètre R1=A-J-A±...1-A où A apparaît r1 fois ; /c/ une détermination, par un circuit de détermination du dispositif électronique, d'un deuxième entier naturel r2 ; /d/ un calcul, par un circuit de calcul du dispositif électronique, d'un deuxième paramètre R2=A-1-A1...-I-A où A apparaît r2 fois ; /e/ un calcul, par un circuit de calcul du dispositif électronique, d'un entier naturel k' à partir de l'entier naturel k, du premier entier naturel r1 et du deuxième entier naturel r2 ; /f/ une mise en oeuvre, par un circuit de calcul du dispositif électronique, de l'échelle de Montgomery modifiée en utilisant l'entier naturel k' à la place de l'entier naturel k, le premier paramètre R1=A-1-A-1-...1-A où A apparaît r1 fois à la place d'un paramètre R1=1 et le deuxième paramètre où A apparaît r2 fois à la place d'un paramètre R2=A. Ce procédé est avantageux en ce qu'il accroît la sécurité du dispositif électronique vis-à-vis d'attaques par canaux cachés tout en ne dégradant pas les performances (la rapidité de calcul du dispositif électronique) de manière aussi importante que des contremesures de l'état de l'art. Le procédé permet d'obtenir le même résultat que selon l'état de l'art (l'interopérabilité est ainsi assurée), mais calcule ce résultat différemment, de façon beaucoup plus sécurisée. Un autre aspect de l'invention concerne un dispositif électronique agencé pour se protéger contre des attaques par canaux cachés lorsqu'il met en 25 oeuvre une échelle de Montgomery pour calculer l'élément A1-A-1-...-LA où A apparaît k fois, A étant un élément d'un groupe abélien muni d'une loi et k un entier naturel. Le dispositif électronique comprend un circuit de détermination d'un premier entier naturel r1. 30 Le dispositif électronique comprend un circuit de calcul d'un premier paramètre R1=A-I-A-I-...1A où A apparaît r1 fois. Le dispositif électronique un circuit de détermination d'un deuxième entier naturel r2. Le dispositif électronique comprend un circuit de calcul d'un deuxième 5 paramètre R2=A1A1...-I-A où A apparaît r2 fois. Le dispositif électronique comprend un circuit de calcul d'un entier naturel k' à partir de l'entier naturel k, du premier entier naturel r1 et du deuxième entier naturel r2. Le dispositif électronique comprend un circuit de calcul de l'échelle de 10 Montgomery modifiée en utilisant l'entier naturel k' à la place de l'entier naturel k, le premier paramètre R1=A-I--A1...1A où A apparaît r1 fois à la place d'un paramètre R1=1 et le deuxième paramètre R2=A-1-A1...-I-A où A apparaît r2 fois à la place d'un paramètre R2=A. Ce dispositif électronique est avantageux en ce qu'il est plus sécurisé 15 que les dispositifs électroniques non protégés vis-à-vis d'attaques par canaux cachés tout en étant plus performant (plus rapide) que les dispositifs électroniques comportant des contremesures de l'état de l'art comparables en matière de sécurité. 20 Un aspect de l'invention concerne un programme d'ordinateur comprenant une série d'instructions qui, lorsqu'elles sont exécutées par un processeur, mettent en oeuvre le procédé selon l'un des aspects de l'invention. Un aspect de l'invention concerne un support de stockage non transitoire lisible par ordinateur stockant un programme d'ordinateur selon un aspect de 25 l'invention. D'autres aspects, buts et avantages de l'invention apparaîtront à la lecture de la description d'un de ses modes de réalisation. L'invention sera également mieux comprise à l'aide des dessins, sur 30 lesquels : la figure 1 illustre un procédé selon un aspect de l'invention ; la figure 2 illustre un dispositif électronique selon un aspect de l'invention ainsi qu'un équipement pour tenter de soumettre ce dispositif électronique à une attaque. La figure 1 illustre un procédé comprenant les étapes consécutives suivantes afin de calculer de façon sécurisée où A apparaît k fois, A étant un élément d'un groupe abélien muni d'une loi -i-, et k un entier naturel. Lors d'une étape DET_r2, un dispositif électronique génère aléatoirement un entier r2. Lors d'une étape DET_r1, le dispositif électronique calcule un entier r1=f1(r2,k). Lors d'une étape CALC_k% le dispositif électronique calcule un entier k'=f2(r2,k). Lors d'une étape CALC_R1, le dispositif électronique calcule R1=A±A±...-I-A où A apparaît r1 fois à l'aide d'une échelle de Montgomery. Lors d'une étape CALC_R2, le dispositif électronique calcule où A apparaît r2 fois à l'aide d'une échelle de Montgomery. Lors d'une étape M_ML, le dispositif électronique calcule où A apparaît k fois à l'aide d'une échelle de Montgomery, en partant des paramètres R1 et R2 (sans utiliser A directement), et en utilisant l'entier k'. La figure 2 montre une carte à puce SC (de l'anglais « smart card ») selon l'invention. Une carte à puce est un exemple possible de dispositif électronique pour lequel l'invention est particulièrement avantageuse, compte tenu de ses nombreuses applications dans le domaine de la cryptographie (cartes SIM authentifiant un utilisateur de téléphone portable vis-à-vis d'un opérateur, carte bancaire authentifiant le porteur lors d'une transaction financière, cartes de santé, etc.). La carte à puce SC comprend un 30 microcontrôleur MCONT équipé d'un processeur, et de mémoires RAM, ROM et EEPROM, les mémoires non volatiles (ROM et EEPROM) comprenant des programmes d'ordinateur aptes à faire fonctionner la carte à puce. La figure 2 montre également une fausse carte à puce FSC (« fake smart card » en anglais), qui n'est en fait qu'une connectique ayant la forme d'une 5 carte à puce et ayant des contacts électriques aux positions normalisées, ces contacts étant connectés aux contacts correspondants d'une véritable carte à puce SC selon une mise en oeuvre possible de l'invention via un équipement HODPA permettant une attaque de type HODPA si la carte à puce n'est pas convenablement protégée. L'équipement HODPA se branche ainsi en série 10 entre la véritable carte à puce SC prise pour cible par un attaquant, et une fausse carte FSC réalisant l'interface physique entre un terminal censé accueillir la véritable carte à puce SC et cette véritable carte à puce SC. Le but de la fausse carte à puce FSC est dans cet exemple de pouvoir espionner une consommation de courant de la carte à puce SC sans avoir à modifier le 15 terminal utilisant la carte (et en particulier le lecteur de carte à puce). Selon l'invention, la carte à puce SC est plus résistante aux attaques de ce type et il est très difficile pour l'équipement HODPA d'extraire les informations ciblées de la carte à puce SC. 20 Un premier mode de réalisation concerne un procédé de sécurisation d'un dispositif électronique SC (tel qu'une carte à puce) contre des attaques par canaux cachés. L'invention s'applique à tout autre dispositif portable, tel qu'un passeport électronique, un visa électronique, un permis de conduire électronique, une clé USB sécurisée, une carte secure MMC, un jeton sécurisé 25 (token), etc. L'invention peut également être mise en oeuvre dans un ordinateur personnel, un serveur, un accélérateur SSL, etc. La majorité des ordinateurs personnels est non sécurisée, en comparaison avec un dispositif sécurisé tel qu'une carte à puce. Ceci rend ces ordinateurs vulnérables à des attaques beaucoup plus simples à mettre en oeuvre que les attaques contre 30 lesquelles l'invention permet de se protéger, telles que des attaques purement logicielles. Ces attaques logicielles (par virus, chevaux de Troie, etc.) peuvent souvent être menées à bien à distance sans nécessiter aucun accès physique. Il pourrait semblait saugrenu de chercher à se protéger contre des attaques complexes et contraignantes de type écoutes passives alors qu'un attaquant situé sur un autre continent pourrait prendre le contrôle de l'ordinateur à distance et extraire des informations critiques de manière bien plus simple et bien moins dangereuse pour lui (pas d'intrusion, pas de vol de dispositif, etc.). Cependant certains ordinateurs personnels (par exemple dans des environnements militaires) sont fortement sécurisés contre les attaques purement logicielles, et dans ce contexte les protéger également contre des attaques par écoutes passives est avantageux. Plus précisément, le procédé de sécurisation protège le dispositif électronique lorsqu'il met en oeuvre une échelle de Montgomery pour calculer l'élément où A apparaît k fois, A étant un élément d'un groupe abélien muni d'une loi -I-, et k un entier naturel. Si la loi -I- est multiplicative (cas notamment de l'algorithme RSA), 15 l'élément A±A1...1A où A apparaît k fois peut se noter Ak, et si elle est additive (cas notamment des algorithmes ECC), il peut se noter k*A. Selon une mise en oeuvre possible, A représente une donnée en clair (par exemple une portion d'email, une portion de document, etc.) que l'on cherche à chiffrer. Cette donnée peut en réalité avoir subi un prétraitement qui 20 la rend non intelligible pour un être humain. Selon une mise en oeuvre possible, ce prétraitement comprend (ou consiste en) un encodage requis pour représenter les informations (par exemple la représentation binaire d'une photo, même non compressée, n'est pas immédiatement intelligible par un humain). Selon une mise en oeuvre possible, ce prétraitement comprend 25 l'application d'un schéma de remplissage PKCS#1 / OAEP. Selon une mise en oeuvre possible, ce prétraitement comprend un premier niveau de chiffrement (par exemple un chiffrement par clé de session symétrique avant chiffrement par clé publique). L'élément où A apparaît k fois représente alors l'information chiffrée correspondant à l'information en clair. Selon une mise en 30 oeuvre possible, le dispositif électronique applique des traitements ultérieurs sur l'élément où A apparaît k fois afin d'obtenir l'information chiffrée. Le procédé comprend une mise en oeuvre modifiée de l'échelle de Montgomery. Le procédé comprend notamment une détermination DET_r1, par un circuit de détermination du dispositif électronique SC, d'un premier entier naturel r1. Ce premier entier naturel peut être par exemple tiré aléatoirement (par un générateur de nombres pseudo aléatoires, le générateur pouvant être logiciel, matériel ou mixte). Les cartes à puces comprennent de manière usuelle un générateur de nombres pseudo aléatoires s'appuyant sur un composant matériel. Un tel composant matériel exploite par exemple une mesure de bruit dans le composant à l'aide d'un convertisseur analogique numérique. Selon une mise en oeuvre possible, r1 est choisi de façon à être non nul. Le procédé comprend un calcul CALC_R1, par un circuit de calcul du dispositif électronique SC, d'un premier paramètre R1=A-1-A-1-...-LA où A apparaît r1 fois. Par exemple, si la loi 1 est multiplicative (cas notamment de l'algorithme RSA), R1 =Ari , et si elle est additive (cas notamment des algorithmes ECC), R1=r1*A. Il est entendu, dans l'hypothèse où r1 serait nul, que R1=1 si la loi L est multiplicative et R1=0 si la loi L est additive. Le procédé comprend une détermination DET_r2, par un circuit de détermination du dispositif électronique SC, d'un deuxième entier naturel r2. Ce deuxième entier naturel peut être par exemple tiré aléatoirement (par un générateur de nombres pseudo aléatoires, le générateur pouvant être logiciel, matériel ou mixte). Le procédé comprend un calcul CALC_R2, par un circuit de calcul du dispositif électronique SC, d'un deuxième paramètre R2=A±A±...1A où A apparaît r2 fois. Par exemple, si la loi L est multiplicative (cas notamment de l'algorithme RSA), R2=Ar2, et si elle est additive (cas notamment des algorithmes ECC), R2=r2*A. Il est entendu, dans l'hypothèse où r2 serait nul, que R2=1 si la loi ± est multiplicative et R1=0 si la loi ± est additive. Dans le cas général, r1 et r2 peuvent être quelconques tant qu'ils sont non nuls et distincts. Mais dans certaines mises en oeuvre envisagées plus loin, on impose certaines conditions à r1 et/ou r2 (être impair, ne pas être un multiple de certaines valeurs, etc.). Les entiers r1 et r2 peuvent être par exemple des entiers de 32 bits. Le procédé comprend un calcul CALC_k', par un circuit de calcul du dispositif électronique SC, d'un entier naturel k' à partir de l'entier naturel k, du premier entier naturel r1 et du deuxième entier naturel r2. Cet entier naturel k' est un paramètre modifié de l'échelle de Montgomery. Par exemple, en notation multiplicative, k' désigne un exposant remplaçant l'exposant k fourni en entrée. Le procédé comprend enfin une mise en oeuvre M_ML (échelle de Montgomery modifiée), par un circuit de calcul du dispositif électronique SC, de l'échelle de Montgomery modifiée en utilisant l'entier naturel k' à la place de l'entier naturel k, le premier paramètre R1=A±A±...--LA où A apparaît r1 fois à la place d'un paramètre R1.1 et le deuxième paramètre R2=A-1-A±...-1-A où A apparaît r2 fois à la place d'un paramètre R2=A. Le procédé comprend donc en réalité la mise en oeuvre d'une échelle de Montgomery selon l'état de l'art, mais dans laquelle les paramètres d'entrée sont changés. Ainsi, au lieu de mettre en oeuvre les étapes suivantes (en pseudo code) : R1-A R2,A-LA for j=t-2 downto 0 do if (ki=0) then R2 Selon un deuxième mode de réalisation, dans un procédé de sécurisation selon le premier mode de réalisation, un circuit de calcul dispositif électronique mettant en oeuvre le calcul CALC_R1 du premier paramètre et un circuit de calcul dispositif électronique mettant en oeuvre le calcul CALC_R2 du deuxième paramètre mettent en oeuvre ces deux calculs avec une échelle de Montgomery. Les calculs de Ar' et N2 (en notation multiplicative, mais il en est de même pour r1*A et r2*A en notation additive et pour toute autre notation) peuvent ainsi être eux-mêmes protégés par une échelle de Montgomery. Selon une mise en oeuvre possible, il s'agit là d'une échelle de Montgomery de l'état de l'art. Mais selon une variante possible, l'échelle de Montgomery modifiée selon l'invention est utilisée de façon récursive. Par exemple, à chaque fois que Ak doit être calculé, le procédé détermine la longueur de r1 et r2 comme étant la longueur de k divisée par un entier déterminé (par exemple 8, 16, ou 32) et si la longueur de r1 (respectivement r2) s'avère inférieure à un seuil pour lequel le procédé ne présente plus d'intérêt (par exemple il semble inutile de descendre en dessous de 8 bits de longueur pour r1 ou r2), alors le procédé met en oeuvre une échelle de Montgomery conventionnelle. A titre d'illustration, pour un calcul avec k=4096 (Ak en notation multiplicative), le procédé génère (selon une mise en oeuvre possible) r1 et r2 de 512 bits, puis pour effectuer le calcul de Ar' (et de même pour N2), il génère par récursivité un Obis et un r2bis de 64 bits, puis pour calculer Arlbis (et de même pour Ar2bis) il génère des r1ter / r2ter de 8 bits, et l'on a ainsi une récursivité à trois niveaux. Selon un troisième mode de réalisation, un procédé de sécurisation selon le premier ou le deuxième mode de réalisation comprend un calcul, par le dispositif électronique SC, d'un terme correctif. En effet, dans certains cas, il arrive qu'il ne soit pas possible de déterminer un entier k' approprié, et plutôt que de recalculer un nouveau r1 et/ou un nouveau r2, il est possible de déterminer le k' le plus proche satisfaisant puis de calculer un terme correctif permettant de trouver le bon résultat. Le procédé comprend ainsi l'utilisation, par un circuit de correction du dispositif électronique SC, du terme correctif afin de corriger le résultat de la mise en oeuvre modifiée de l'échelle de Montgomery et d'obtenir ainsi la valeur de l'élément A±A±...±A où A apparaît k fois. Un quatrième mode de réalisation se rapporte à un dispositif électronique SC agencé pour se protéger contre des attaques par canaux cachés lorsqu'il met en oeuvre une échelle de Montgomery pour calculer l'élément A±A±...±A où A apparaît k fois, A étant un élément d'un groupe abélien muni d'une loi ±, et k un entier naturel. Ce dispositif électronique est agencé pour mettre en oeuvre un procédé selon l'un des premier au troisième modes de réalisation. Toute mise en oeuvre décrite en relation avec l'un quelconque des procédés selon l'invention se transpose au dispositif électronique correspondant, et réciproquement. Le dispositif électronique SC comprend un circuit de détermination MCONT d'un premier entier naturel ri. Le dispositif électronique SC comprend un circuit de calcul MCONT d'un 15 premier paramètre R1=A1A1...1A où A apparaît r1 fois. Le dispositif électronique SC comprend un circuit de détermination MCONT d'un deuxième entier naturel r2. Le dispositif électronique SC comprend un circuit de calcul MCONT d'un deuxième paramètre R2=A-I-A1...1A où A apparaît r2 fois. 20 Le dispositif électronique SC comprend un circuit de calcul MCONT d'un entier naturel k' à partir de l'entier naturel k, du premier entier naturel r1 et du deuxième entier naturel r2. Le dispositif électronique SC comprend un circuit de calcul MCONT de l'échelle de Montgomery modifiée en utilisant l'entier naturel k' à la place de 25 l'entier naturel k, le premier paramètre R1=A1A-1-...1A où A apparaît r1 fois à la place d'un paramètre R1=1 et le deuxième paramètre R2=A±A-1-...-I-A où A apparaît r2 fois à la place d'un paramètre R2=A. Les circuits de détermination et les circuits de calcul précités peuvent être distincts ou peuvent être intégrés au sein d'un même circuit MCONT tel 30 qu'un microcontrôleur. Chacun de ces circuits peut ainsi être constitué d'un microprocesseur (éventuellement commun à tous ces circuits) associé à une mémoire stockant un programme d'ordinateur adapté pour faire exécuter au microprocesseur les fonctions du circuit considéré. Alternativement, chacun de ces circuits peut être un circuit électronique dédié (FPGA, ASIC, PAL, etc.). Alternativement, certains circuits peuvent être des circuits électroniques dédiés et d'autres peuvent s'appuyer sur un microprocesseur mettant en oeuvre un programme d'ordinateur adapté. Toutes les combinaisons sont possibles. Selon un cinquième mode de réalisation, un circuit de calcul du premier paramètre et un circuit de calcul du deuxième paramètre (il peut s'agir de deux circuits distincts ou d'un seul et même circuit) d'un dispositif électronique SC selon le quatrième mode de réalisation sont agencés pour mettre en oeuvre ces deux calculs avec une échelle de Montgomery. Selon un sixième mode de réalisation, un dispositif électronique SC selon le quatrième ou le cinquième mode de réalisation comprend un circuit de calcul MCONT d'un terme correctif et un circuit de correction MCONT agencé pour utiliser le terme correctif afin de corriger le résultat du circuit de calcul de l'échelle de Montgomery modifiée et d'obtenir ainsi la valeur de l'élément où A apparaît k fois. Le circuit de calcul et le circuit de correction précités peuvent être distincts ou peuvent être intégrés au sein d'un même circuit MCONT tel qu'un microcontrôleur. Chacun de ces circuits peut ainsi être constitué d'un microprocesseur (éventuellement commun à ces circuits) associé à une 25 mémoire stockant un programme d'ordinateur adapté pour faire exécuter au microprocesseur les fonctions du circuit considéré. Alternativement, chacun de ces circuits peut être un circuit électronique dédié (FPGA, ASIC, PAL, etc.). Alternativement, certains circuits peuvent être des circuits électroniques dédiés et d'autres peuvent s'appuyer sur un microprocesseur mettant en oeuvre un 30 programme d'ordinateur adapté. Toutes les combinaisons sont possibles. Un septième mode de réalisation concerne un programme d'ordinateur comprenant une série d'instructions qui, lorsqu'elles sont exécutées par un processeur, mettent en oeuvre un procédé selon l'un des modes de réalisation de l'invention. Le programme d'ordinateur peut être écrit notamment en assembleur, en langage C, ou en tout autre langage approprié. Le programme d'ordinateur est selon une mise en oeuvre possible mis en oeuvre au niveau du système d'exploitation du dispositif électronique (par exemple d'une carte à puce), et il est écrit dans un langage de bas niveau tel que l'un des deux exemples précités (assembleur ou langage C), par opposition à un langage de plus haut niveau tel que javacard. Un huitième mode de réalisation concerne un support de stockage non transitoire lisible par ordinateur stockant un programme d'ordinateur selon l'un des modes de réalisation. Ce support de stockage peut être notamment une mémoire EEPROM, Flash, ROM ou RAM sauvegardée par batterie, voire une mémoire magnétique ou une mémoire optique. Ce support de stockage peut également consister en un dispositif (clé USB, carte mémoire telle que carte SD, microSD, etc.) comprenant une mémoire selon la phrase précédente. Un procédé possible, appliqué aux courbes elliptiques, comprend les étapes suivantes. Le procédé commence par générer aléatoirement l'entier r2. Le procédé calcule alors r1 de manière déterministe en fonction de r2 et de k à l'aide d'une fonction f1 (r1=f1(r2, k)). Le procédé calcule ensuite k'=f2(r2, k) de manière similaire mais avec une autre fonction f2. Le procédé effectue alors trois appels à une fonction mettant en oeuvre 30 l'échelle de Montgomery conventionnelle (notée ML), avec des paramètres appropriés : R1 = ML(rl, A, 2.A) (ce qui produit un résultat R1 égal à r1*A) R2 = ML(r2, A, 2.A) (ce qui produit un résultat R2 égal à r2*A) Résultat = ML(k', R1, R2) (ce qui produit un résultat R2 égal à k*A) Selon une variante possible, on choisit : k'.(k-211'.r1)/(r241) On a alors, en notation multiplicative : Ak=ML(k',Ar1,Ar2)*A(k-(2Anyr1) mod (r241) La partie A(k-(2Anl*r1) mod (r2-r1) représente le terme correctif. Aucun terme correctif n'est nécessaire si l'on s'arrange pour que la division effectuée pour le calcul de k' n'ait pas de reste, c'est-à-dire pour que k soit égal à k'*(r2-r1)+2n'*r1. Cette variante a un coût (durée d'exécution) proportionnel à la longueur de l'exposant k plus la longueur des exposants r1 et r2 (soit la longueur de k plus deux fois la longueur de r1 si r1 et r2 ont même longueur, par exemple 32 bits chacun). On parle d'exposants par abus de langage (il ne s'agit d'exposants qu'en notation multiplicative). Selon une variante dite modulaire, k'=(k-2fl'*r1)*(r241)-1 mod N, r1 et r2 étant choisis aléatoirement parmi les entiers impairs. Il n'y a alors pas besoin de terme correctif (on a directement Ak-ML(k',Arl,Ar2)). Pour une courbe elliptique, le nombre d'opérations requises est proportionnel à la taille de l'ordre de la courbe elliptique plus deux fois la longueur de l'exposant r1 (r1 et r2 ont la même longueur). Selon une variante arithmétique possible (qui est particulièrement efficace en raison de son nombre d'itérations réduit au minimum), le procédé fixe la valeur de r1 de façon à ce que r2-r1 divise k-2fl'*r1, pour supprimer le terme correctif. On peut résoudre ce problème en partant de Ari et Ar2+r1 (au lieu de Ari et Ar2), c'est-à-dire en changeant de notation, en utilisant r2+r1 au lieu de r2 pour le deuxième exposant. On cherche ainsi : k = (211' - krr1 + (r2 + r1)*k', qui se simplifie en : k = 21-e*r1 + r2*k' On cherche donc r1 tel que (k - 2n'*r1) mod r2 = 0. Avec n' entier positif et r2 aléatoire mais impair, on a r1 = (k*2-n' mod r2), et k' = (k - 2n'*r1)/r2 Dans cette hypothèse, aucun terme correctif n'est requis (on a directement Ak=ML(k',Arl,Ar2)), et les calculs sont plus courts, puisqu'il n'y a besoin que d'un nombre d'opérations proportionnel à la longueur de k plus la longueur de ri. Une variante arithmétique avec r2=1 ne protège pas bien contre les attaques car seule une petite partie de k est masquée. Une telle version n'est donc généralement pas recommandée. Une variante modulaire avec r1=1 et avec r2 aléatoire mais impair 15 consiste à prendre k'.(k-21*r2-1 mod N Pour une courbe elliptique, le nombre d'opérations requises est proportionnel à la taille de l'ordre de la courbe elliptique plus la longueur de l'exposant r2. 20 Une variante modulaire avec r2=1 évite une inversion modulaire. L'entier r1 est un nombre aléatoire impair. On définit k' = k - mod N Pour une courbe elliptique, le nombre d'opérations requises est proportionnel à la taille de l'ordre de la courbe elliptique plus la longueur de 25 l'exposant ri. Il n'existe pas de conditions particulières pour le cas du RSA, si ce n'est des conditions d'inversibilité modulo (p-1)(q-1). En revanche, pour le cas ECC (courbes elliptiques) il faut (le cas 30 échéant) faire attention à ne pas tomber sur le point à l'infini pendant les calculs. Quelques conditions permettent de s'assurer que ça ne sera pas le cas. Par exemple, pour la variante arithmétique avec r1 fixé (exposée ci-dessus), le procédé peut opérer de la façon suivante. On cherche ri, r2, k' et n' entiers positifs tels que (s1*k mod N) = 2n'*r1 + s2*r2*k, où s1 et s2 valent +1 ou -1. On a ainsi : k' = (s2*(s1*k mod N))*r2-1 mod 2r1'. Et : r1 = ((s1*k mod N) - s2*r2*k') / (2`1'). Les contraintes suivantes peuvent ainsi être définies : - Pour que r2-1 existe imposer à r2 d'être impair. - Pour que l'entropie de r2 soit constante forcer son poids fort à 1 (les poids fort à 0 sont susceptibles d'être visibles). - Pour ne pas donner d'information sur k, imposer à n' d'en être 10 indépendant. - Pour des raisons de performance imposer à n' d'être aussi petit que possible. - Pour éviter le point à l'infini imposer que Met r2 soient distincts et non nuls et que, pour tout i dans l'intervalle [0..n'] : 15 0 0 (2i*r1 + s2*r2*(k' mod 2') mod N) et 0 0 (21*r1 + s2*r2*((k' mod 2') + 1) mod N) Il est possible de choisir initialement s1 de la manière suivante. Si k est multiple 2x alors k' sera aussi multiple de 2x. 20 Pour éviter de tels k, dans un premier temps il est possible de choisir s1=2*(k mod 2) - 1. Le choix de la taille et de la valeur de r2 peut être opéré de la façon suivante. Dans le cas des courbes elliptiques, pour que le point à l'infini n'apparaisse pas pendant les calculs il suffit de considérer le dernier tour 25 seulement. On peut exiger 0 0 (2n'*r1 + s2*r2*(k' + 1) mod N). Ceci équivaut à dire que 0 0 (s1*k + s2*r2 mod N). Or ceci est toujours vrai si r2 # k et r2 N-k. Or r2 est impair et N est premier donc impair. Seul un parmi k et N-k est donc impair. Il suffit donc de 30 forcer un bit de r2 au complément du même bit de l'élément impair. On choisit par exemple 232 > r2 > 231 pour disposer d'un minimum de 29 bits d'entropie. Pour que r1 soit non nul il ne faut pas que r2 divise (s1*k mod N). Si 0=(s1*k mod N) mod r2 alors s1 = -s1. Pour que n' soit minimal tout en étant indépendant de k le procédé peut le choisir tel que: N > 2n'*r2 > N/2. Le procédé peut choisir s2 pour que r1 soit positif et d'une taille similaire à celle de r2: s2.(k-2n'*r2)/lk-2n'*r2i (c'est-à-dire que s2 est le signe de k-2n'*r2). Bien entendu, la présente invention ne se limite pas à la forme de réalisation décrite ci-avant à titre d'exemple ; elle s'étend à d'autres variantes. Ainsi, il a été décrit ci-avant un procédé pour sécuriser une étape de chiffrement RSA (ou ECC), mais il est possible de sécuriser de la même façon une étape de déchiffrement RSA (ou ECC), d'authentification RSA (ou ECC), de vérification d'authentification RSA (ou ECC), de signature RSA (ou ECC), 15 de vérification de signature RSA (ou ECC), et plus généralement une telle étape (chiffrement, déchiffrement, authentification, vérification d'authentification, signature, vérification de signature, échange de clés, etc.) mise en oeuvre par des algorithmes autres que RSA et ECC (par exemple Diffie-Hellman, etc.). 20 De plus, le procédé selon l'invention n'est pas exclusif de l'utilisation d'autres procédés. Par exemple il est possible de combiner le procédé selon l'invention avec d'autres contremesures. REVENDICATIONS1. Procédé de sécurisation d'un dispositif électronique (SC) contre des attaques par canaux cachés lorsque le dispositif électronique (SC) met en oeuvre une échelle de Montgomery pour calculer l'élément A±A1-...1A où A apparaît k fois, A étant un élément d'un groupe abélien muni d'une loi -I-, et k un entier naturel, le procédé comprenant une mise en oeuvre modifiée de l'échelle de Montgomery comprenant : /a/ une détermination (DET_r1), par un circuit de détermination du dispositif électronique (SC), d'un premier entier naturel r1 ; /b/ un calcul (CALC_R1), par un circuit de calcul du dispositif électronique (SC), d'un premier paramètre R1=A±A±...-I-A où A apparaît r1 fois ; /c/ une détermination (DET_r2), par un circuit de détermination du dispositif électronique (SC), d'un deuxième entier naturel r2 ; /d/ un calcul (CALC_R2), par un circuit de calcul du dispositif électronique (SC), d'un deuxième paramètre R2=A-I-A-1-...-LA où A apparaît r2 fois ; /e/ un calcul (CALC_k'), par un circuit de calcul du dispositif électronique (SC), d'un entier naturel k' à partir de l'entier naturel k, du premier entier naturel r1 et du deuxième entier naturel r2 ; /f/ une mise en oeuvre (M_ML), par un circuit de calcul du dispositif électronique (SC), de l'échelle de Montgomery, modifiée en utilisant l'entier naturel k' à la place de l'entier naturel k, le premier paramètre R1 où A apparaît r1 fois à la place d'un paramètre R1=1 et le deuxième paramètre R2=A1A1...-I-A où A apparaît r2 fois à la place d'un paramètre R2=A. 2. Procédé de sécurisation selon la revendication 1, un circuit de calcul du dispositif électronique mettant en oeuvre le calcul (CALC_R1) du premier paramètre et un circuit de calcul du dispositif électronique mettant en oeuvre le calcul (CALC_R2) du deuxième paramètre mettant en oeuvre ces deux calculs respectifs avec une échelle de Montgomery. 3. Procédé de sécurisation selon la revendication 1 ou 2, comprenant : /g/ un calcul, par le dispositif électronique (SC), d'un terme correctif ; /h/ l'utilisation, par un circuit de correction du dispositif électronique (SC), du terme correctif afin de corriger le résultat de la mise en oeuvre modifiée de l'échelle de Montgomery et d'obtenir ainsi la valeur de l'élément A±A-1-...-LA où A apparaît k fois. 4. Dispositif électronique (SC) agencé pour se protéger contre des 10 attaques par canaux cachés lorsqu'il met en oeuvre une échelle de Montgomery pour calculer l'élément où A apparaît k fois, A étant un élément d'un groupe abélien muni d'une loi 1, et k un entier naturel, le dispositif électronique (SC) comprenant : un circuit de détermination (MCONT) d'un premier entier naturel r1 ; 15 un circuit de calcul (MCONT) d'un premier paramètre R1=A-1-A-1-...-I-A où A apparaît r1 fois ; un circuit de détermination (MCONT) d'un deuxième entier naturel r2 ; un circuit de calcul (MCONT) d'un deuxième paramètre R2=A±A1...1A où A apparaît r2 fois ; 20 un circuit de calcul (MCONT) d'un entier naturel k' à partir de l'entier naturel k, du premier entier naturel r1 et du deuxième entier naturel r2 ; un circuit de calcul (MCONT) de l'échelle de Montgomery, modifiée en utilisant l'entier naturel k' à la place de l'entier naturel k, le premier paramètre R1=A-1-A±...±A où A apparaît r1 fois à la place d'un paramètre R1=1 et le 25 deuxième paramètre R2=A1A±...-LA où A apparaît r2 fois à la place d'un paramètre R2=A. 5. Dispositif électronique (SC) selon la revendication 4, un circuit de calcul du premier paramètre et un circuit de calcul du deuxième paramètre étant 30 agencés pour mettre respectivement en oeuvre ces deux calculs avec une échelle de Montgomery. 6. Dispositif électronique (SC) selon la revendication 4 ou 5, comprenant :un circuit de calcul (MCONT) d'un terme correctif ; un circuit de correction (MCONT) agencé pour utiliser le terme correctif afin de corriger le résultat du circuit de calcul de l'échelle de Montgomery modifiée et d'obtenir ainsi la valeur de l'élément où A apparaît k fois. 7. Programme d'ordinateur comprenant une série d'instructions qui, lorsqu'elles sont exécutées par un processeur, mettent en oeuvre le procédé selon l'une des revendications 1 à 3. 8. Support de stockage non transitoire lisible par ordinateur stockant un programme d'ordinateur selon la revendication 7.