Brevet FR3013829A1 — publié le 20150529

DOMAINE GENERAL L'invention se rapporte au domaine des centrales inertielles de navigation, et des procédés d'alignement de porteurs comprenant de telles centrales. ETAT DE L'ART On connait de l'état de l'art de nombreuses solutions pour aligner un porteur comprenant une centrale inertielle. Pour réaliser un alignement, on part d'un a priori sur la trajectoire approximative suivie. Par exemple, la trajectoire suivie par un porteur à l'arrêt en un point connu de la surface de la Terre est un mouvement nul si on se place dans le référentiel géographique et un mouvement de rotation autour de l'axe des pôles si on se place dans un référentiel inertiel attaché au centre de ta Terre. Cette trajectoire n'est jamais exacte (une voiture subit les vibrations de son moteur, des mouvements verticaux lorsque des passagers entrent et sortent, etc.) mais toujours proche de la réalité. La solution classique d'alignement (utilisée également par la nouvelle méthode) consiste à considérer cette trajectoire a priori comme une mesure issue d'un capteur virtuel. Par exemple, pour un véhicule à l'arrêt muni d'une centrale inertielle, on considérera que l'on dispose d'un capteur de vitesse donnant toujours la réponse - zéro » si on s'est placé dans le repère géographique, et donnant la vitesse de la trajectoire a priori si on s'est placé dans un autre repère. On peut également considérer que l'on dispose d'un capteur de position donnant toujours la réponse « zéro » si on s'est placé dans le repère géographique, et donnant la position de la trajectoire a priori si on s'est placé dans un autre repère. On peut également utiliser les deux capteurs en même temps (puisqu'ils n'existent pas). On attribue à ce capteur virtuel un bruit de mesure qui correspond en réalité à notre propre incertitude sur la trajectoire. Par exemple, toujours dans le cas d'un porteur immobile, si on a choisi de s'aligner en utilisant une information de déplacement nul, un ajoutera un bruit dont l'écart-type est de quelques centimètres (l'appareil qui s'aligne peut en effet s'écarter de quelques centimètres de la trajectoire a priori, par exemple si on charge et décharge le coffre d'une voiture). C'est pour intégrer cette mesure (virtuelle) qu'intervient habituellement un filtre de type Kalman. La mise en oeuvre d'un tel filtre de Kalman comprend typiquement une étape de propagation et une étape de mise à jour répétées dans le temps : l'étape de propagation calcule un état estimé du porteur et une incertitude relative à cet état estimé ; l'étape de mise à jour permet d'intégrer l'information apriori sur la trajectoire. Cependant, ces étapes de propagation et de mise à jour font intervenir des équations non linéaires qui empêchent l'utilisation d'un filtre de Kalman classique. Pour contourner une telle limitation, il a été proposé de mettre en oeuvre un filtre de Kalman dit - étendu » (FKE), dans lequel les matrices utilisées dans les équations non-linéaires correspondant aux étapes de propagation et de mise à jour font l'objet d'une linéarisation, par un développement à l'ordre 1 en un point donné de l'espace vectoriel associé au vecteur d'état choisi. Il a notamment été proposé dans le document EP 1 862 764 un procédé d'alignement mettant en oeuvre des filtres de Kalrnan étendus, et reposant sur l'intégration d'une information de déplacement ou de vitesse faible. Au cours de ta mise en oeuvre de ce procédé, la trajectoire du porteur est calculée à partir de données inertielles et d'une estimation de son orientation, puis l'observation (virtuelle) d'une vitesse ou d'un déplacement nul (à un bruit près) est intégré au moyen d'un filtre de Kalman étendu. Or, un tel procédé d'alignement ne fonctionne que si le point en lequel le développement à l'ordre 1 réalisé pour linéariser les équations 30 du filtre de Kalman étendu est suffisamment précis ; l'erreur d'estimation induite par ce développement doit en effet être faible (quelques degrés au maximum). Si le point de linéarisation n'est pas suffisamment précis, les calculs réalisés par le filtre de Kalman étendu au cours des étapes de propagation et de mise à jour peuvent conduire à terme à des estimations faussées. Deux étapes préliminaires ont été proposées pour déterminer un point de linéarisation précis lors de la mise en oeuvre d'un filtre de Kalman étendu appliqué à l'alignement d'un porteur : une recherche de verticale, au cours de laquelle est estimée la verticale en considérant que l'accéléromètre observe la gravité (2 secondes environ), une recherche d'un cap grossier, au cours de laquelle est estimé te cap par une méthode autre que le filtrage de la trajectoire (1 minute environ). Ces étapes préliminaires sont non seulement longues et complexes 15 à exécuter, mais ne protègent pas ta centrale inertielle contre des divergences futures (l'estimation du filtre s'éloigne de l'état réel). PRESENTATION DE L'INVENTION L'invention vise donc à permettre l'alignement d'un porteur de 20 façon plus précise et plus rapide qu'avec les techniques de l'art antérieur citées. Il est proposé un procédé d'alignement d'un porteur mobile dans un repère inertiel et comprenant une centrale inertielle, la centrale inertielle comprenant une pluralité de capteurs inertiels et un filtre de 25 Kalman invariant, le procédé comprenant la répétition des étapes suivantes pour estimer un état du porteur représentatif de sa vitesse et de son orientation: Propagation déterminant un état estimé courant à partir d'un état estimé précédent et des mesures des capteurs inertiels, 30 Mise à jour de l'état estimé grâce à l'information a priori sur la trajectoire du porteur, Les capteurs inertiels (accéléromètre et gyroscope par exemple) mesurent une accélération et une vitesse angulaire, toutes deux exprimées dans te repère de la centrale. Ces données interviennent dans l'étape de propagation : l'état estimé courant (orientation, vitesse et éventuellement position) est alors obtenu en intégrant tes vitesses angulaires mesurées par les gyroscopes (mise à jour de l'orientation) et les accélérations mesurées par les accéléromètres (mise à jour de la vitesse). Ces accélérations sont tout d'abord projetées dans le repère de travail en utilisant l'orientation estimée, puis on leur retranche la gravité car l'accéléromètre n'est pas capable de différentier cette force d'une accélération. Si on souhaite estimer une position, on peut intégrer les vitesses obtenues, cette opération faisant aussi partie de la propagation. L'étape de mise à jour est l'intégration de l'information de vitesse ou de position donnée par le capteur virtuel. Cette information (issue de l'a priori sur la trajectoire) est appelée « information de vitesse nulle » ou « information de déplacement nul ». Cette étape met à jour l'ensemble des données (orientation/vitesse/position) à partir de l'information de vitesse ou de position. En effet, l'information de vitesse/déplacement nul(le) contient une information implicite sur l'orientation. Si l'on suppose dans un premier temps que l'orientation est bien estimée, l'accéléromètre mesure dans son référentiel une grandeur égale à la somme de l'accélération réelle et de la gravité. La centrale étant à l'arrêt, l'accélération réelle sera très faible et la mesure contiendra presque uniquement la gravité. Pendant l'étape de propagation, l'accélération mesurée est projetée dans te repère inertiel (ou le repère de travail) à l'aide de la matrice d'orientation estimée. La grandeur obtenue est la gravité, exprimée cette fois dans le repère inertiel (ou le repère de travail). On soustrait la gravité (connue) et on obtient une accélération très proche de zéro. Cette grandeur est intégrée au cours du temps et on obtient une vitesse elle aussi très faible. Si l'on suppose toutefois que l'orientation estimée est penchée de quelques degrés vers l'est par rapport à la réalité, lorsque les informations d'accélération sont projetées dans le repère inertiel en utilisant cette estimation fausse de l'orientation, le vecteur obtenu ne coïncide pas avec la gravité. Une fois soustraite la gravité (connue) on obtient un vecteur non nul, pointant vers l'ouest. Après intégration au cours du temps, on obtient donc une vitesse non nulle dirigée vers l'ouest. Une mauvaise orientation a donc une influence sur l'estimation de vitesse. Réciproquement, une vitesse non nulle au moment de la mise à jour s'interprète comme une erreur d'orientation. C'est ce que fait un filtre de Kalman (étendu, invariant ou autre). Ainsi, la mise à jour réclame seulement l'acquisition de l'information (virtuelle) « de vitesse nulle » ou de déplacement nul », mais pas de mesure de vitesse réelle ni d'orientation. Cette mesure (virtuelle) est suffisante pour retrouver L'orientation de la centrale. Selon un aspect du procédé proposé, pour permettre un traitement par un filtre de Kalman invariant, on met en oeuvre un mode simplifié dans lequel chaque vitesse intervenant dans les équations de mise à jour est exprimée dans un repère de travail translaté par rapport au repère inertiel et de même origine que celle du repère géographique, les biais des capteurs n'étant pas estimés lors d'étapes de propagation et de mise à jour. Avantageusement également, on met en oeuvre en parallèle un traitement dans lequel on estime des grandeurs supplémentaires influant 25 sur l'estimation de la façon suivante : - à chaque instant, la différentielle par rapport aux grandeurs supplémentaires de l'estimation fournie par le mode simplifié est calculée récursivement. - les grandeurs supplémentaires sont calculées par optimisation d'un 30 critère de qualité de l'estimation. Le calcul différentiel mis en oeuvre permet d'exprimer pour exprimer l'état estimé du porteur comme une fonction affine des grandeurs supplémentaires. Selon un autre aspect, il est également proposé une centrale 5 inertielle mobile dans un repère inertiel et comprenant : une pluralité de capteurs inertiels, - un filtre de Kalman invariant, ladite centrale comportant un calculateur embarqué mettant en oeuvre te procédé d'alignement proposé. 10 DESCRIPTION DES FIGURES D'autres caractéristiques, buts et avantages de l'invention ressortiront de la description qui suit, qui est purement illustrative et non 15 limitative, et qui doit être lue en regard des dessins annexés sur lesquels : - La figure 1 représente une centrale inertielle selon un mode de réalisation de l'invention. La figure 2 représente une centrale inertielle selon un mode de réalisation de l'invention. 20 Les figures 3A et 3B sont des schémas de principe d'un filtre de Kalman étendu et d'un filtre de Kalman invariant, respectivement. - La figure 4 représente les étapes d'un procédé d'alignement d'une centrale inertielle, selon un mode de réalisation de l'invention. - Les figures 5A et 5B sont des courbes d'alignement de cap obtenus 25 par mise en oeuvre de procédés selon des modes de réalisations de l'invention, et par mise en oeuvre d'un procédé connu. Les figures 6A et 6B sont des courbes comparatives d'erreur de cap obtenues par mise en oeuvre de procédés selon des modes de réalisations de l'invention et par mise en oeuvre d'un procédé 30 connu. La figure 7 illustre, à titre comparatif, le déroulement dans le temps d'une part une méthode mettant en oeuvre un mode d'alignement simplifié et un mode complet et d'autre part d'une méthode de type classique. Sur l'ensemble des figures, les éléments similaires portent des références identiques. DESCRIPTION DETAILLEE DE L'INVENTION En référence à la figure 1, un porteur P est mobile dans un référentiel inertiel prédéterminé défini par un repère inertiel Ri. Un exemple de repère inertiel est le repère centré sur le centre de la Terre, dont l'axe z pointe vers le pôle nord, dont l'axe x pointe vers l'intersection du méridien de Greenwich et de l'équateur au temps t=0 (le point ainsi défini va ensuite se déplacer dans notre repère à cause de la rotation de la Terre) et dont l'axe y pointe dans la direction du vecteur z A x). Le repère porteur Rp est fixe par rapport à la centrale. Par exemple, les axes utilisés le plus fréquemment sont dirrigés vers l'avant, la droite et le bas de la centrale. Son origine est un point fixe de la centrale. Le repère géographique Rg a pour origine la position de la centrale et est composé de trois axes dirigés vers le nord, l'ouest et le haut. Est également représenté un repère Rt dit « repère de travail », qui 25 est le repère en translation par rapport au repère inertiel Ri (c'est-à-dire que d'axes alignés avec les axes du repère inertiel Ri) dont l'origine C est celle du repère géographique Rg. En référence à la figure 2, le porteur P comprend une centrale inertielle IN. La centrale inertielle IN comprend une pluralité de capteurs inertiels CV, CO et un calculateur configuré pour mettre en oeuvre un filtre de Kalman invariant K. La centrale inertielle IN est supposée fixe par rapport au repère de 5 travail Rt. La pluralité de capteurs comprend au moins un capteur de vitesse CV (par exemple, un accéléromètre) et au moins un capteur d'orientation CO (par exemple, un gyroscope). Le filtre de Kalman invariant K est un estimateur récursif d'un état 10 du porteur, cet état étant représentatif de la vitesse de ce porteur et de son orientation. Le filtre de Kalman invariant K est plus particulièrement configuré pour déterminer un état estimé courant du porteur à partir d'un état estimé précédent du porteur au moyen d'équations de propagation 15 prédéfinies : on parle alors de propagation. Les équations de propagation sont prédéterminées à partir des mesures des capteurs inertiels. Le filtre de Kalman invariant K est également configuré pour mettre à jour l'état estimé courant au moyen d'équations de mise à jour 20 prédéfinies, dans laquelle intervient l'information a priori sur la trajectoire (par exemple l'information de vitesse faible). Le filtre de Kalman invariant K est en outre configuré pour que chaque vitesse intervenant dans l'équation de mise à jour soit exprimée dans le repère de travail. 25 La centrale IN peut par exemple construire son repère de travail aux moyens de récepteurs GNSS/GPS. L'étape qui va maintenant être décrite est répétée à partir du premier instant de la procédure d'alignement. La première estimation xo est quelconque. On suppose qu'une 30 estimation précédente de l'état x, notée 2t_l, a déjà été déterminée, ainsi qu'une matrice 13 représentant l'incertitude de l'estimation. En référence à la figure 2A, la détermination d'une estimation courante 2+ par un filtre de Kalman étendu connu dépend de l'estimation précédente 2 (moyennant une étape de propagation) et de mesures acquises au cours de l'itération courante (moyennant des étapes de linéarisation et de mise à jour) Le calcul de 2+ fait intervenir une matrice de gain L dépendant elle-même de la valeur de 2. L'introduction du repère de travail Rt et d'un modèle simplifié ignorant les biais de capteurs permet ici l'utilisation d'un filtre invariant. En référence à la figure 2B, un filtre de Kalman invariant calcule l'estimation courante 2+ de l'état de façon différente d'un filtre de Kalman étendu ordinaire, au moyen d'équations choisies de manière particulière (ces équations seront détaillées plus loin). L'état du porteur peut être représenté soit de façon classique par 15 une vitesse v et une orientation T (T est une matrice de rotation ou un quaternion), soit par une matrice de déplacement x de la forme : x- ( T 19 D'autres représentations sont bien entendu possibles. On notera ici que le nom de - matrice de déplacement » ne représente pas nécessairement un déplacement. Il vient de l'usage qui en 20 était fait quand elles ont été introduites pour des problèmes de robotique (elles contenaient alors une orientation et une position et représentaient bien un déplacement). On appelle i3 l'incertitude d'estimation de l'état x. Une propriété intéressante du filtre invariant K est que la matrice L intervenant dans 25 l'étape de mise à jour ne dépend pas de l'estimation précédente 2. Ainsi, on a construit un système simplifié permettant l'usage d'un filtre de Kalman invariant (et donc une convergence sans étapes de recherche de verticale et d'alignement grossier), ayant les caractéristiques suivantes : 1) On travaille dans un repère inhabituel. 2) 30 Les paramètres des capteurs inertiels (biais / dérives / facteurs d'échelle) sont ignorés. 3) La gravité est considérée comme dépendant seulement du temps et non de la position. 4) L'information a priori ne porte plus sur la vitesse ni le déplacement dans le référentiel choisi (le référentiel dit de travail), mais sur leur projection dans le référentiel du porteur. La méthode d'alignement fin classique ne passe pas par un modèle simplifié. Elle intègre directement l'ensemble des variables dans le modèle, ce qui ne permet pas l'usage d'un IEKF. L'étape de mise à jour d'un IEKF pour l'alignement s'écrit soit avec des matrices de déplacement, soit avec tes variables initiales v et T du 10 référentiel de travail (en les extrayant des matrices de déplacement) : - = MD) + MD» - = MD)? - K et sont des fonctions issues de la carte exponentielle définie plus bas, telles que exp(Ltx) = 15 (Ke(x) Kv(x)) où Lt est une matrice dépendant de P. 01x3 1 - P suit une équation dépendant seulement du temps. Celle-ci est obtenue en linéarisant les équations vérifiées par 8v = v -DT-lv et ST = 7-1 atour de 0 et /3 (la matrice identité de taille 3 x 3). 20 Dans un mode de mise en oeuvre, le calcul qui vient d'être décrit est itéré jusqu'à convergence (mode simplifié). En variante (mode complet), il est également possible d'estimer des grandeurs supplémentaires (biais, dérives, facteurs d'échelle, etc.) par le procédé décrit ci-dessous. 25 Une fois construit ce filtre réduit, on calcule depuis le premier instant de la procédure d'alignement la différentielle de la trajectoire estimée par rapport aux paramètres restants (biais / dérives / facteurs d'échelle), autour de la valeur nulle de ces paramètres. La trajectoire estimée s'exprime alors comme une fonction affine des paramètres. Un 30 critère quadratique de qualité de la trajectoire estimée (par exemple la somme des carrés des normes des vitesses estimées au cours du temps) est choisi. Ce critère est alors une fonction quadratique des paramètres (biais / dérives / facteurs d'échelle), que l'on optimise facilement pour obtenir leur valeur. Cette méthode permet de préserver les propriétés de 5 convergence du filtre construit pour le système simplifié même si on augmente le nombre de paramètres estimés. Cette optimisation peut être faite récursivement au cours du temps, une seule fois à la fin de l'alignement, ou encore à des instants quelconques au cours de l'alignement. Ce choix n'a aucune influence sur l'estimation. Dans tous les 10 cas, le filtrage du système simplifié et du système complet sont simultanés. Dans les méthodes employant un alignement grossier, celui-ci est également réalisé sur un système simplifié (différent de celui présenté ici) mais te découpage est temporel : 1 min d'alignement grossier puis un 15 alignement fin. Ici les deux modèles fonctionnent simultanément du début à la fin : à chaque instant le filtre simplifié donne son estimation, puis l'optimisation quadratique calcule l'état complet (sans filtrage de Kalman) comme une perturbation de l'état simplifié. Le calcul de la différentielle de la trajectoire est réalisable en un temps raisonnable 20 parce que la matrice P suit une équation dépendant seulement du temps (IEKF). Si le système simplifié était aligné par un IEKF, cette dernière étape d'estimation des paramètres ignorés dans un premier temps ne serait pas possible. 25 Procédé d'alignement de centrale inertielle Un procédé d'alignement de la centrale inertielle IN (et donc du porteur P) mettant en oeuvre le filtre de Kalman invariant K va maintenant être décrit en référence à la figure 3. Dans une étape de propagation PROP, le filtre de Kalman K 30 détermine un état estimé courant à partir d'un état estimé précédent, au moyen des mesures de ces capteurs inertiels CO, CV. Dans une étape d'acquisition ACQ, les estimations sont mises à jour grâce à l'information a priori concernant la trajectoire Dans une étape de changement de repère CHG, les vitesses mesurées par les capteurs CO, CV dans le repère porteur Rp sont transformées en des vitesses exprimées dans le repère de travail Rt défini plus haut comme le repère en translation par rapport au repère inertiel Ri, et de même origine que le repère géographique Rg. Dans une étape de mise à jour MAJ, le filtre de Kalman K met à jour l'état estimé du porteur au moyen de l'information a priori sur ta 10 trajectoire. Les étapes de propagation PROP, d'acquisition ACQU et de mise à jour MAJ sont répétées dans le temps. Le procédé d'alignement comporte donc plusieurs itérations successives, chaque nouvelle itération prenant en entrée l'état estimé mis 15 à jour obtenu au cours d'une itération précédente, et de nouvelles observations (acquises au cours de l'étape d'acquisition de cette nouvelle itération). Un produit programme d'ordinateur comprenant des instructions de code de programme pour l'exécution des étapes du procédé décrit, lorsque 20 ce programme est exécuté par un calculateur embarqué dans une centrale inertielle, peut par ailleurs être mis en oeuvre. Formalisation générale du problème d'alignement À titre préliminaire, les notations suivantes seront utilisées dans la 25 suite. T[ d i Matrice de passage du repère de mesure vers le repère inertiel vi Vitesse du porteur dans le repère inertiel xi Position du porteur dans le repère inertiel w Incréments de vitesse angulaire f Incréments de vitesse G Attraction terrestre subie par le porteur Bruit du gyroscope (- random walk » en anglais) Wf Différence entre l'incrément de vitesse mesuré et l'incrément de vitesse réel La formulation classique de l'alignement par observation de vitesse nulle dans un référentiel inertiel est la suivante. On suppose que la position du porteur est approximativement 5 connue. La conséquence de cette hypothèse, dont le procédé tire parti, est que la gravité locale est connue et ne sera plus qu'une fonction du temps. Les équations de mouvement s'écrivent : TLi T (() + ww) Iii= Tunii(f. + wf) + G Îi = Où A(.) désigne la matrice antisymétrique associée à un vecteur de 10 rotation, Une mesure virtuelle de vitesse (Wh est un bruit) est: h(T[1,vi)= vi+vvh 17 On introduira à intervalles réguliers l'information h (T , où Vi est la vitesse attendue du porteur P liée à la trajectoire a priori, par exemple à celle due à la rotation terrestre (il est simplement exprimé 15 dans le référentiel de travail l'observation de vitesse nulle faite habituellement dans le référentiel géographique). vi) + wh = Reformulation des équations de mouvement dans le repère de travail Dans cette partie sont détaillées les équations de propagation et de mises à jour mises en oeuvre dans un mode de réalisation de l'invention. Le repère de travail Rt (également référencé C dans la suite) est 5 comme défini précédemment en translation par rapport au repère inertiel Ri (c'est-à-dire que ses axes sont alignés avec les axes du repère inertiel Ri), et son origine C est celle du repère géographique g. On introduit les notations suivantes : T[c] inl Matrice de passage du repère de mesure vers le repère C xc = xi - C Position du porteur dans le repère C ve = ±e = vi - È. = vi - vi Vitesse du porteur dans le repère C a = C Accélération dans le référentiel inertiel de l'origine c du repère C 10 Les équations de mouvement du porteur P se réécrivent dans le repère de travail Rt comme suit : = Trn14(co + ww) vc = Trfl(f + wf) + G - a ic = La position xc du porteur n'ayant pas d'influence sur les autres paramètres, on peut donc la supprimer : T rni T [cil()) -1)c. = Trcif + G - a 15 L'information de vitesse nulle est également modifiée comme suit : h (T 12c ) = TT V = ± bruit L'état du porteur P estimé par le filtre de Kalman invariant K peut être représenté par une matrice de déplacement constituée à partir d'une matrice de passage du repère géographique vers le repère de travail, et de la vitesse du porteur mesurée exprimée dans le repère de travail, la matrice de déplacement étant construite comme suit : X = [-â 191 0 1 g = (0 G-a 0 Les équations se réécrivent alors plus simplement : 10 La fonction d'observation s'écrit elle aussi simplement : h = ;Cl ( ils) Une propriété de h appelée « équivariance gauche-droite », sur laquelle repose le filtrage invariant est la suivante. Soit e une matrice de R u 15 déplacement quelconque (c'est-à-dire de la forme 0 ii où R est une matrice 3 x 3 orthogonale et u un vecteur quelconque de R2 ). On a : h(x0)=(10)- 0-1x-1 ria = 0-1ex) On peut interpréter ce qui précède comme un changement de variable sur l'espace d'états (on remplace X- par XI> ) associé à un changement de 20 variable sur l'espace des observations. Le terme « invariant » vient du fait que le filtre est conçu pour être insensible à ce type de reparamétrage. Un observateur adapté à la dynamique qui précède est le suivant: 2 = + Bien entendu, en variante, l'état du porteur pourrait également 5 être représenté de façon classique, par exemple une matrice T et un vecteur v. Les mesures inertielles et les informations de gravité sont écrites dans des matrices de déplacement élémentaire : ( (O h 0 0) w = (A(ww) wf) 0 0 L'étape de mise à jour MAJ est typiquement de la forme suivante : I+ = KtUinf( où î est la matrice de déplacement estimée courant, K' une fonction de gain (également appelé gain), Y un vecteur représentant l'observation virtuelle de vitesse nulle, et 2+ est une matrice de déplacement estimée 5 résultant de la mise à jour. La fonction Kt correspond à la t-ième observation de vitesse nulle (et donc la t-ième itération du filtre de Kalman) et est de la forme Kt(u) = exp(ktu), où expQ désigne la fonction appelée carte exponentielle (« exponential map » en anglais) . Kt est une fonction mais 10 kt est une matrice, dite « matrice de gain » ou plus simplement « gain ». La méthode de calcul des gains est détaillée ci-dessous. Les matrices kt sont calculées en linéarisant l'équation vérifiée par la variable d'erreur = îx-1. Le calcul de l'équation vérifiée par yi est le suivant : Lors de l'étape de propagation, les équations d'évolution de x et 2 15 sont connues et on peut donc calculer l'équation d'évolution de ri : =dtfC) X-1 + X ( d X-1) = ( d 2) X-1 _ (--_d dt dt t' En introduisant les équations vérifiées par î et x on obtient : = 97/ -7/9 - T1W C'est la partie continue de l'évolution de la variable d'erreur. Lorsque l'estimation î est mise à jour, la variable d'erreur évolue de façon discontinue. L'évolution de ta variable d'erreur lors de la mise à jour de 20 l'estimation est particulièrement simple : = = KtUniCX-1 = Kt(h(XC-1, wh))XX-1 = Kt(h(n,wh)) La linéarisation de cette équation se fait de la façon suivante : La carte exponentielle prend en argument un vecteur de I186 et rend une matrice de déplacement. En particulier, l'image du vecteur nul est la matrice identité /4. 25 On peut donc faire correspondre aux variables d'erreur des vecteurs de IR6 x et x+ (r) = exp(x), n+ = exp(x+)), écrire l'équation vérifiée par x et x+ et la linéariser autour de 0. L'équation obtenue fait intervenir les matrices de gains kt : = ad9tX + CiliVe;) x+=x-Lt(Hx+w) Avec d9t = 03 ( 03 03\ , 03 étant la matrice 3 x 3 ne contenant que des zéros, et H = 03 Cette équation est linéaire et on peut calculer simultanément la covariance Pt de x et les gains kt permettant de minimiser P grâce à l'équation de Riccati : Pt = adytPt + Pt ad; t + Q St = HPOT + R Lt = Pttir St-1 Pt+t = (16 - LtH)Ptt Où Q est la matrice de covariance du bruit ("1411(;) et R la matrice de covariance du bruit w. Les matrices Kt sont alors calculées en appliquant la théorie de Kalman à l'équation d'erreur linéarisée (dans le même esprit que pour le filtre de Kalman étendu). Résultats comparatifs d'alignement Sont comparés dans ce qui suit des résultats obtenus avec le procédé d'alignement qui vient d'être décrit (à base d'un filtre de Kalman invariant) et des résultats obtenus avec un procédé d'alignement connu (à base d'un filtre de Kalman étendu classique et mis en oeuvre dans une centrale classique). Les variables traitées par tes filtres de Kalman sont l'orientation (attitude) du porteur et sa vitesse. La position du porteur est considérée connue à une centaine de mètres près. Les capteurs utilisés sont supposés sans biais, et les observations utilisées sont des vitesses nulles. La verticale du porteur est connue à 30 degrés près, et son cap totalement inconnu. Les figures 4A et 4B comparent chacune les vitesses de convergence respective des deux procédés d'alignement, et présente des estimations de cap fournies par les deux procédés. Dans l'exemple illustré sur la figure 4A, l'intégration de l'information de vitesse nulle est faite toutes les 3,84 secondes. On observe qu'au bout de 200 secondes, le procédé d'alignement selon l'invention (courbe bleue) fournit une estimation de cap très proche de sa valeur réelle, alors que l'estimation de cap fournie par la centrale Sigma 30N continue d'osciller. Dans la situation étudiée, les gains utilisés dans l'étape de mise à jour peuvent être calculés à l'avance si l'on connaît la latitude. Le filtre est alors très peu coûteux en temps de calcul et on peut envisager d'intégrer l'information de vitesse nulle à 100Hz, comme illustré sur la figure 4B. La figure suivante présente les conséquences de ce choix dans les la même situation que précédemment. La convergence est ici bien plus rapide avec le procédé proposé qu'avec le procédé de l'art antérieur mis en oeuvre par la centrale Sigma 30N. Les figures 5A et 5B étudient l'influence de l'estimation a priori du 25 cap réalisée par, respectivement, le procédé selon l'invention et le procédé de l'art antérieur. La séquence d'incréments fournis par la centrale a été découpée en intervalles de 240 secondes. Sur chacun d'entre eux, une estimation de cap est tirée aléatoirement sur selon une loi uniforme. Ce cap est fourni à 30 l'algorithme, qui fonctionne ensuite normalement. On observe sur la figure 5A que l'erreur de cap devient très rapidement proche de zéro quelle que soit l'initialisation lors de la mise en oeuvre du procédé selon l'invention. Ce comportement est radicalement différent de ce qu'on observe (sur la figure 5B) avec un filtre de Kalman étendu. Mode complet mis en oeuvre en parallèle au mode simplifié Le mode simplifié qui vient d'être décrit est avantageusement est avantageusement complété par un mode complet qui est mis en oeuvre en parallèle au mode simplifié. C'est ce qu'illustre la figure 7, sur laquelle sont représentées le 10 déroulement dans le temps d'une part une méthode mettant en oeuvre un mode d'alignement simplifié et un mode complet et d'autre part d'une méthode de type classique Ce mode complet permet un alignement par optimisation quadratique. 15 Il permet d'estimer des grandeurs supplémentaires influant sur l'estimation de la façon suivante : - à chaque instant, la différentielle par rapport aux grandeurs supplémentaires de l'estimation fournie par le mode simplifié est calculée récursivement. 20 - les grandeurs supplémentaires sont calculées par optimisation d'un critère de qualité de l'estimation. Le calcul des grandeurs supplémentaires par optimisation d'un critère de qualité peut être mis en oeuvre à la fin dudit procédé d'alignement. Il peut également être mis en oeuvre de façon permanente 25 ou encore de façon simplifié, à tout instant du procédé d'alignement. Le calcul différentiel mis en oeuvre permet d'exprimer pour exprimer l'état estimé du porteur comme une fonction affine des grandeurs supplémentaires. Par comparaison, la méthode classique met en oeuvre 30 successivement : - Un traitement de recherche de verticale ; Une évaluation approximative de l'état du système (alignement grossier) ; Un alignement du système complet en intégrant des observations virtuelles de déplacement et/ou vitesse nulle par filtrage de Kalman étendu). Dans le cas proposé, un exemple de mise en oeuvre d'un mode complet par optimisation quadratique est le suivant : Si tes mesures des capteurs inertiels subissent une perturbation déterministe liée à des grandeurs supplémentaires (biais, dérives, facteurs 10 d'échelle, etc.), représentées par un vecteur /3, qui doivent être évaluées au cours de l'alignement, celles-ci ne sont pas intégrées au filtre de Kalman comme dans les méthodes classiques. La procédure suivante est utilisée : Pour toute valeur donnée de fi' on peut corriger les mesures 15 inertielles (soustraire les biais-dérives donnés par béta, diviser par le facteur d'échelle, etc.) puis appliquer le mode simplifié aux mesures corrigées. L'estimation obtenue est une fonction (3) des grandeurs supplémentaires. Cette grandeur n'est pas calculée car on ne connaît pas f3 20 On choisit une valeur de référence igo de la grandeur 13, seule l'estimation .-i'(flo) sera réellement calculée. On choisit une initialisation quelconque îco des grandeurs intervenant dans te mode simplifié. On choisit une fonction de vraisemblance s'appliquant à une 25 estimation de trajectoire : f (5i0(6),21([0, , 5it(M) Les étapes suivantes sont répétées au cours du temps : - Étape de propagation (PROP) Les mesures inertielles sont utilisées pour calculer l'étape de propagation de 5Zt(f30) par le modèle simplifié, ainsi que la matrice Pt. 30 L'équation vérifiée par 2t((3) est linéarisée autour de po pour faire évoluer récursivement l'application affine Axt : p 5"ct((3), qui est le développement au premier ordre de 2t((3) autour de Po. Axt est par exemple représenté par une matrice. - Étape de mise à jour (MAJ) : L'information a priori sur la trajectoire est utilisée pour mettre à jour 5'4(00) par la méthode décrite dans le modèle simplifié. L'équation de mise à jour de 2t(f3) est la même que celle de 2t(f30) (c'est une spécificité du filtre de Kalman invariant), elle est utilisée pour mettre à jour son développement au premier ordre Axt. - Étape de perturbation (PERT) : Cette étape peut être appliquée une seule fois à la fin de l'alignement, à différents instants au cours de l'alignement ou à chaque pas de temps. Une estimation fi de )6 est obtenue par optimisation : = argminfi f(5-(0(13),Mf3),...,"i'te). Une estimation raffinée x de l'état x est alors donnée par îct = Axte ou une autre fonction de fi, équivalente à Axt au premier ordre. La fonction f peut être quadratique. Il n'est alors pas nécessaire de stocker toutes les valeurs de 2t(fio) ni de Axe. La fonction f peut faire intervenir des grandeurs supplémentaires calculées récursivement au cours du temps. La fonction f peut par exemple être définie par : ah ah f (4C6'), £1e, £te) =1[5ite]T st-1 axe(R0)[x~ t(61)] a2t(ig0) axe(R0) i=0 Où st est donnée par le mode simplifié et le symbole T désigne la transposition matricielle. Le calcul de fi peut se faire une seule fois à la fin de l'alignement, à différents instants au cours de l'alignement ou en permanence au cours de l'alignement. Une méthode d'optimisation récursive peut être employée pour calculer . L'estimation peut éventuellement être utilisée comme nouvelle valeur de référence pour la suite de l'alignement en posant /30 = L'estimation raffinée -±-t(/3) peut éventuellement être utilisée comme dernière estimation dans le modèle simplifié pour la suite de l'alignement en posant 2t(,6) = It(fi) Un exemple de mise en oeuvre du procédé est décrit ci-dessous : (igi) = est un vecteur de taille 6 x 1 contenant les dérives des p2 trois gyroscopes (,31) et les biais des trois accéléromètres (f32). Les variables du mode simplifié sont l'orientation et la vitesse. Elles t . peuvent être écrites dans une matrice de déplacement Xt = (R vt) 0 1 On choisit fi° = 0 comme valeur de référence des biais et dérives. Les mesures des capteurs inertiels sont donc utilisés sans modification dans le mode simplifié. Si on tient compte des biais et dérives notés par l'estimation me) (fi t(,6) 13 t(n) dont seule une approximation au premier ordre 0 1 autour d'une valeur de référence ,610 sera calculée, suit l'équation de propagation suivante : d dt j'aie) = frt. (i - fi') + g. 'MM Et l'équation de mise à jour suivante : ît(M± = exp(-Ltet(Mît où exp() est la carte exponentielle prenant en argument un vecteur de taille 6 x 1 et rendant une matrice de déplacement. est la matrice de déplacement élémentaire suivante : (A(:1) 12) La matrice de gain Lt est donnée par le mode simplifié. Une façon simple d'écrire l'estimation au premier ordre de ît(p) est : itC6)=f(t(0)+Ît(0)D(ZA où D() est l'application linéaire prenant en argument un vecteur x = (x2) 5 de taille 6 x 1 et rendant la matrice de déplacement élémentaire 0 1) de taille 4 x 4. La matrice Zt est de taille 6 x 6 et vérifie l'équation de propagation suivante : d dt Zt adiZt - 16 Et l'équation de mise à jour suivante : Zt = 16 - Ade-iDexp(-LiV(ît))4(0 fit)zt Où la matrice Lt est donnée par le mode simplifié, la matrice de 10 déplacement j'ci' est donnée par te mode simplifié, la matrice de rotation k-t' est donnée par le mode simplifié, la matrice ad; = (Z)ftt)) A(Ocot)) est connue sous te nom de « représentation adjointe de l'algèbre de Lie se(3) (a)t et ft sont les mesures des capteurs inertiels), la matrice Ad +-I = est connue sous le nom de 2t 0 j 15 « représentation adjointe du groupe de Lie SE(3) », la fonction V prend en argument une matrice de déplacement de taille 4 x 4 (ici ta matrice (1Ztt 1)) et rend le vecteur de taille 3 x 1 situé en haut à droite (ici 0 M. La fonction Dexp est la dérivée de la carte exponentielle au sens suivant : exp( + = [14 + D(Dexp()u)]exp(0 20 Où et u sont des vecteurs de taille 3, u est de norme très inférieure à 1, 14 est la matrice identité de taille 4 et Dexp(0 est une matrice de taille 6 x 6. La fonction de vraisemblance choisie est définie par la formule suivante : 2 f (o(e), :±-t(M) = Elle se réécrit : f 0C(3), ,t(161)) - ii-eDt(o) - [A(fit(0)Tvt(0)),/3]zt3II2 i=o Il n'est donc pas nécessaire de stocker des informations sur toute la trajectoire, il suffit d'écrire f (() = + S2 et d'entretenir tes matrices Si et S2 en développant l'expression de f. L'algorithme complet (mode simplifié et mode complet) est donc le suivant : La valeur de référence des biais et dérives est /30 = 0. L'estimation initiale î0(0) et la matrice de covariance P (représentant l'incertitude) sont initialisées d'une façon quelconque pouvant dépendre de la situation. La matrice Zt représentant le développement au premier ordre de ît(f3) est initialisée à Z0= - 0 6x6. Les matrices Si et S2 sont initialisées à Si = 06x6 et S2 = 06x1. Puis les étapes suivantes sont itérées pendant toute la durée de l'alignement : - Étape de propagation (PROP) : Propagation de l'incertitude : Pt = adgtPt + Pt ad7g.t + Q Propagation de l'estimation : d diÎt(0) = t(0)-i + t. Ît(eo) Propagation du développement au premier ordre : ah [Î't(flAt la2tC60) d t Zt = adiZ t - Étape de mise à jour (MAJ) aux temps tt : Mise à jour de l'incertitude : St = HPttlIT + R kt = POT St-1 Pt+t = (16 - ktH)Ptt Mise à jour de l'estimation : Xi(0) = exp(kte'(0))ji(0) Mise à jour du développement au premier ordre : Zt = 16 - Ade-iDexp(-LtV(X t))Lt(0 tit)Zt Sl = Sl + (fit(0)T t(0)) 131z t) (fier' Vt(0)) 131z t) S2 = S2 + ([A (fit(0)7.1,t(0)) 131zt)Rc et(0) - Étape de perturbation (PERT) : Estimation des biais et dérives : R est la solution su système linéaire Sir3 = S2. Estimation raffinée des grandeurs du mode simplifié : Xt = îctexp(Zt(3 20 25 REVENDICATIONS1. Procédé d'alignement d'un porteur (P) mobile dans un repère inertiel (Ri) et comprenant une centrale inertielle (IN), la centrale inertielle comprenant une pluralité de capteurs inertiels (RV, RO) et un filtre de Kalman invariant, le procédé comprenant la répétition des étapes suivantes pour estimer un état du porteur (P) représentatif de sa vitesse et de son orientation: Propagation (PROP) déterminant un état estimé courant à partir d'un état estimé précédent et des mesures des capteurs inertiels, Mise à jour (MAJ) de l'état estimé grâce à l'information a priori sur la trajectoire du porteur (P), le procédé étant caractérisé en ce que, pour permettre un traitement par un filtre de Kalman invariant, on met en oeuvre un mode simplifié dans lequel chaque vitesse intervenant dans les équations de mise à jour est exprimée dans un repère de travail (Rt) translaté par rapport au repère inertiel (Ri) et de même origine que celle du repère géographique (Rg), les biais des capteurs n'étant pas estimés lors d'étapes de propagation et de mise à jour. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que dans le mode simplifié, chaque position intervenant dans les équations de mise à jour est exprimée dans un repère de travail (Rt) translaté par rapport au repère inertiel (Ri). 3. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'on met également en oeuvre en parallèle un traitement dans lequel on estime des grandeurs supplémentaires influant sur l'estimation de la façon suivante :- à chaque instant, la différentielle par rapport aux grandeurs supplémentaires de l'estimation fournie par le mode simplifié est calculée récursivement. - les grandeurs supplémentaires sont calculées par optimisation d'un 5 critère de qualité de l'estimation. 4. Procédé selon la revendication 3, selon lequel le calcul des grandeurs supplémentaires par optimisation d'un critère de qualité est mis en oeuvre à la fin dudit procédé d'alignement. 10 5. Procédé selon la revendication 3, selon lequel te calcul des grandeurs supplémentaires par optimisation d'un critère de qualité est mis en oeuvre en permanence ou à un ou plusieurs instants du procédé d'alignement. 15 6. Procédé d'alignement selon l'une des revendications précédentes, dans lequel une série de gains est calculée avant la mise en oeuvre de façon répétée des étapes de propagation et de mise à jour (MAJ) mode simplifié, chaque gain intervenant dans une itération de l'étape de mise à jour. 20 7. Centrale inertielle (IN) mobile dans un repère inertiel (Ri) et comprenant : - une pluralité de capteurs (CV, CO) inertiels, - un filtre de Kalman invariant, un calculateur embarqué de ladite centrale mettant en oeuvre la 25 répétition des étapes suivantes pour estimer un état du porteur (P) représentatif de sa vitesse et de son orientation: - Propagation (PROP) déterminant un état estimé courant à partir d'un état estimé précédent et des mesures des capteurs inertiels, - Mise à jour (MAJ) de l'état estimé grâce à l'information a priori sur 30 la trajectoire du porteur (P),caractérisé en ce que, pour permettre un traitement par un filtre de Kalman invariant, le calculateur est configuré pour mettre en oeuvre un procédé d'alignement selon l'une des revendications 1 à 6. 8. Produit programme d'ordinateur caractérisé en ce qu'il comprend des instructions de code de programme pour l'exécution des étapes du procédé selon l'une des revendications 1 à 6, lorsque ce programme est exécuté par un calculateur embarqué dans une centrale inertielle, peut par ailleurs être mis en oeuvre.10