Brevet FR3001315A1 — publié le 20140725

PROCEDE DE CRYPTOGRAPHIE COMPRENANT UNE OPERATION DE MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE OU UNE EXPONENTIATION La présente invention concerne la mise en oeuvre de la cryptographie à courbes elliptiques dans un dispositif électronique, et plus particulièrement un procédé de calcul du résultat de la multiplication par un scalaire d'un point appartenant à une courbe elliptique. Divers procédés de cryptographie connus basés sur les courbes elliptiques reposent sur l'opération de multiplication scalaire, qui a pour expression mathématique : [k].P = P [+] P [+] [+] P (k fois), P étant un point choisi sur une courbe elliptique, k étant un nombre entier, et "[+]" étant l'opérateur d'addition appliqué à des points de la courbe elliptique. Le nombre k est par exemple une clé privée et le point résultat [k].P de cette opération, ou l'une des coordonnées affines du point résultat peut être utilisé comme clé publique. En effet, connaissant le résultat [k].P et les coordonnées du point P, il peut être extrêmement difficile de trouver la valeur du nombre k. Cette opération est utilisée par exemple lors d'un calcul de signature, ou pour générer une clé de cryptographie, ou encore pour chiffrer un message. Cette opération est mise en oeuvre par divers algorithmes de cryptographie basés sur les courbes elliptiques, tels que l'algorithme ECDSA ("Elliptic Curve Digital Signature Algorithm"), ECDH (Elliptic Curve DiffieHellman), ECIES (Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme), etc. Les opérations entre points d'une courbe elliptique se ramènent à des opérations sur les coordonnées de ces points dans des corps de Galois de la forme Fq, q étant soit un nombre premier p, soit une puissance de 2 (de la forme 2m). L'opération de multiplication scalaire est généralement décomposée en une série d'opérations d'addition et de doublement de points. Ainsi, il est connu d'exécuter un calcul de multiplication scalaire au moyen de l'algorithme "double & add" ("doubler et additionner") Al ou At figurant en Annexe I. L'algorithme Al est dit "de gauche à droite" car les premières étapes de la boucle de calcul commencent par traiter les bits de poids fort du nombre scalaire k, pour aller vers les bits de poids faible. L'algorithme At est dit "de droite à gauche" car les premières étapes de la boucle de calcul commencent par traiter les bits de poids faible du nombre scalaire, pour aller vers les bits de poids fort. Ces algorithmes comprennent pour chaque itération, c'est-à-dire chaque bit de l'exposant, une addition de deux points identiques R d'une courbe elliptique, et si le bit du scalaire traité par l'itération est égal à 1, une addition du point R avec un autre point P de la courbe elliptique. Il est généralement fait appel à des fonctions différentes pour exécuter chacune de ces opérations, l'addition de deux points identiques étant exécutée au moyen d'une fonction de doublement ou fonction "DOUBLE", tandis que l'addition de deux points différents est exécutée au moyen d'une fonction d'addition ou fonction "ADD". Cette distinction est due au fait qu'il est possible de calculer plus rapidement P [+] Q lorsque les points P et Q sont identiques que dans le cas contraire, au moyen de la fonction DOUBLE. Dans certains systèmes de coordonnées, l'addition de deux points identiques peut conduire à une division par zéro. Un autre mode de calcul est donc nécessaire. Dans un dispositif électronique de type carte à puce, le calcul cryptographique est généralement exécuté par un processeur spécifique, tel un coprocesseur arithmétique ou un crypto-processeur. Le calcul de "[k].P", et plus particulièrement l'exécution d'additions de points d'une courbe elliptique, occupe la majeure partie du temps de calcul du processeur relativement au temps total de génération d'une clé, de calcul d'une signature, de vérification de signature, ou d'une opération de chiffrement ou de déchiffrement. Le fait d'utiliser alternativement la fonction DOUBLE ou la fonction ADD en fonction du type de calcul à effectuer permet donc d'optimiser le temps de calcul global de chiffrement, de déchiffrement, de signature ou de vérification de signature. Toutefois, l'utilisation de deux fonctions différentes DOUBLE et ADD conduit à une fuite d'information détectable par analyse SPA ("Simple Power Analysis"), c'est-à-dire par analyse de la consommation électrique de la carte. La fonction DOUBLE ayant un temps d'exécution plus court que la fonction ADD, il est possible de différencier ces deux opérations en observant la courbe de consommation électrique du composant. On entend par "consommation électrique" toute grandeur physique observable trahissant le fonctionnement du composant électronique exécutant l'opération, notamment le courant électrique consommé ou le rayonnement électromagnétique du composant. Ainsi, sur une courbe de consommation électrique d'un composant exécutant l'algorithme Al, il est possible de distinguer le profil de consommation de la fonction DOUBLE et celui de la fonction ADD. Une opération DOUBLE suivie d'une opération ADD (étape 2.1 suivie d'une étape 2.2) révèle que le bit du nombre scalaire k est égal à 1 puisque le branchement conditionnel vers l'étape 2.2 nécessite que la condition ks=1 soit réalisée. Inversement, une opération DOUBLE suivie d'une autre opération DOUBLE (étape 2.1 suivie d'une autre étape 2.1) révèle que le bit ks du nombre scalaire est égal à O. Les bits du nombre scalaire k peuvent ainsi être découverts les uns après les autres par une simple observation de la courbe de consommation électrique. Pour pallier cet inconvénient, les étapes 2.1 et 2.2 des algorithmes Al et A1' pourraient si possible être effectuées au moyen de la fonction ADD uniquement, sans utiliser la fonction DOUBLE. Toutefois, une analyse plus fine de la consommation électrique permettrait de distinguer l'étape 2.1 de l'étape 2.2 car l'algorithme Al ou Al' n'est pas régulier. En effet, dans ce cas, le temps s'écoulant entre deux additions successives n'est pas le même lorsque les deux additions correspondent à l'exécution successive de deux étapes 2.1 (bit ks égal à 0) ou correspondent à l'exécution d'une étape 2.1 suivie d'une étape 2.2 (bit ks à 1). Un attaquant pourrait ainsi "zoomer" sur la partie de la courbe de consommation s'étendant entre les additions et observerait une dissymétrie temporelle révélatrice du branchement conditionnel et donc de la valeur du bit du nombre scalaire. L'algorithme A2 figurant en Annexe I, appelé "Montgomery Ladder", permet également de réaliser un calcul de multiplication scalaire. Cet algorithme consiste à chaque itération à effectuer deux additions, l'une appliquée à deux points différents, et l'autre appliquée à deux points identiques et pouvant donc être effectuée par une addition ou une opération de doublement. A chaque itération, l'un des deux registres Ro, R1 reçoit la somme du contenu des deux registres, et l'autre des deux registres le double du contenu de ce registre. Si le bit ks correspondant à l'itération en cours, du nombre scalaire k est à 0, le registre R1 reçoit le résultat de l'addition, et le contenu du registre Ro est doublé, et inversement si le bit ks est à 1. Cet algorithme présente l'avantage d'être parfaitement régulier en ce que chaque itération comporte systématiquement deux additions, ou une addition et une opération de doublement. Cet avantage est obtenu sans avoir à ajouter d'opération factice, donc sans avoir à augmenter le temps de calcul. Il est également possible de réduire le temps de calcul d'un produit par un nombre scalaire par une sélection appropriée d'une représentation de points d'une courbe elliptique. En effet, les opérations de doublement et d'addition en coordonnées affines comportent un calcul d'inversion qui nécessite un temps de calcul correspondant à celui de plusieurs dizaines de multiplications. Il est connu de supprimer ce calcul d'inversion en utilisant une représentation en coordonnées projectives, telles que les coordonnées projectives homogènes ou jacobiennes. La représentation en coordonnées projectives homogènes consiste à changer les coordonnées affines (x, y) en coordonnées de la forme (X/Z,Y/Z), Z étant différent de O. L'équation de la courbe elliptique de Weierstrass devient alors : Y2Z = X3 + aXZ2 + bZ3. La représentation en coordonnées projectives jacobiennes consiste à changer les coordonnées affines (x, y) en coordonnées de la forme (X/Z2,Y/Z3), Z étant différent de O. L'équation de la courbe elliptique de Weierstrass devient : Y2 = X3 + aXZ4 + bZ6. Il pourrait donc être souhaité de réduire davantage le temps de calcul d'un procédé d'exécution d'un calcul de multiplication scalaire appliqué à un point d'une courbe elliptique. Il pourrait être également souhaité de protéger un tel procédé contre les attaques à canal caché mentionnées précédemment, tout en évitant de pénaliser le temps de calcul. Des modes de réalisation concernent un procédé de traitement cryptographique de données, mis en oeuvre dans un dispositif électronique comprenant un processeur, le procédé comprenant des étapes de fourniture d'un point d'une courbe elliptique dans un corps de Galois, et d'un premier nombre entier, et de calcul d'une multiplication scalaire du point par le premier nombre, les coordonnées du point et le premier nombre ayant une taille supérieure à la taille de mots susceptibles d'être traités directement par le processeur. Selon un mode de réalisation, le calcul de multiplication scalaire du point par le premier nombre, comprend des étapes consistant à : mémoriser une série de points multiples résultant chacun du produit scalaire du point par 2 élevé à une puissance appartenant à une série de nombres entiers, initialiser un point résultant appartenant à la courbe elliptique, pour chaque bit non nul ou combinaison de bits non nulle, du premier nombre, effectuer un calcul d'addition entre le point résultant et l'un des points multiples mémorisés correspondant à un rang du bit non nul ou de la combinaison de bits non nulle, du premier nombre, et fournir en sortie du processeur le point résultant en tant que résultat du calcul de multiplication scalaire du point par le premier nombre. Selon un mode de réalisation, les bits du premier nombre sont pris en compte dans un ordre aléatoire ou pseudo-aléatoire lors du calcul du point résultant. Selon un mode de réalisation, le calcul de multiplication scalaire est effectué par itération, chaque itération comprenant le calcul d'une combinaison de plusieurs bits du premier nombre, et lorsque la combinaison est non nulle, un calcul d'addition entre le point résultant et le multiple scalaire mémorisé correspondant aux rangs des bits combinés du premier nombre. Selon un mode de réalisation, les calculs d'addition entre le point résultant et les multiples mémorisés sont effectués en coordonnées affines. Selon un mode de réalisation, les calculs d'addition entre le point résultant et les résultats mémorisés sont effectués en coordonnées 20 projectives. Selon un mode de réalisation, les multiples scalaires du point sont mémorisés en coordonnées affines, et les résultats obtenus étant transformés en coordonnées projectives par ajout aux coordonnées affines, d'une troisième coordonnée ayant une valeur fixée à un. 25 Selon un mode de réalisation, le premier nombre et les coordonnées du point sont codés en NAF, le procédé comprenant pour chaque bit égal à 1 ou combinaison de bits inférieure ou égale à -1, du premier nombre, un calcul d'addition entre le point résultant et l'opposé du multiple mémorisé correspondant au rang du bit égal à -1 ou de la combinaison de bits 30 inférieure ou égale à -1, du premier nombre. Selon un mode de réalisation, le procédé comprend une étage de génération d'une paire de clés privée et publique, comportant des étapes consistant à : choisir aléatoirement un second nombre en tant que clé privée, choisir en tant que point de base un point d'une courbe elliptique, les 35 multiples mémorisés ayant été calculés à partir du point de base, et calculer le point résultant de la multiplication scalaire du point de base par le second nombre en utilisant les points multiples mémorisés, le point résultant ou l'une de ses coordonnées, étant choisi en tant que clé publique correspondant à la clé privée. Selon un mode de réalisation, le procédé comprend une étage de signature d'un message, comportant des étapes consistant à : choisir aléatoirement un second nombre, choisir en tant que point de base un point d'une courbe elliptique, les multiples mémorisés ayant été calculés à partir du point de base, et calculer le point résultant, issu de la multiplication scalaire du point de base par le second nombre en utilisant les multiples mémorisés, appliquer une fonction de hachage au message à signer, et calculer la signature du message par les équations suivantes : x = i mod n y = k-1(H(m)+sx) mod n, dans lesquelles x et y représentent la signature du message m, i étant une coordonnée du point résultant, k étant le second nombre, H(m) la fonction de hachage appliquée au message m, s un nombre utilisé comme clé privée, et n étant le plus petit entier positif tel que le produit scalaire de n par le point de base est égal au point à l'infini de la courbe elliptique. Des modes de réalisation concernent également un dispositif électronique comprenant un processeur configuré pour mettre en oeuvre le procédé défini précédemment. Selon un mode de réalisation, le dispositif est portable et autonome, ou de type carte à puce. Des exemples de réalisation de l'invention et de mise en oeuvre du procédé de l'invention seront décrits dans ce qui suit, à titre non limitatif en relation avec l'unique figure jointe représentant schématiquement un dispositif électronique mettant en oeuvre un algorithme de multiplication scalaire selon un mode de réalisation. L'invention concerne un procédé de calcul cryptographique comportant des additions de points identiques ou différents, appartenant à une courbe elliptique dans un corps de Galois. Ce procédé est mis en oeuvre par un dispositif électronique configuré pour exécuter des calculs cryptographiques, incluant des multiplications scalaires d'un point par un nombre entier. Le procédé peut comprendre un calcul de multiplication scalaire utilisé par les algorithmes ECDSA, ECDH, ECIES, etc. Selon un mode de réalisation, ce procédé se base sur une dérivation de l'algorithme At, dans lequel les calculs de doublement sont effectués une seule fois, sachant que le point P n'est pas amené à être changé fréquemment. En effet, le point P faisant l'objet de tels calculs est dans certains cas fixé par exemple en tant que point de base faisant partie des paramètres dits de "domaine" d'un système cryptographique à courbe elliptique. Ces paramètres de domaine comprennent notamment les coefficients a et b d'une courbe elliptique dite de Weierstrass de la forme y2 = x3 + ax + b dans un corps Fp, p étant un nombre premier strictement supérieur à 3, avec 4a3 + 27b2 # 0, ou bien de la forme y2 + xy = x3 + axe + b dans un corps binaire Fr. Les calculs de doublement de points d'une courbe elliptique peuvent être effectués en utilisant une addition optimisée tenant compte de l'égalité des opérandes. L'algorithme A3 figurant en Annexe II est un exemple d'algorithme de multiplication scalaire, de droite à gauche, selon un mode de réalisation. L'algorithme A3 utilise une table ou un ensemble de v registres DP de la taille du point P (c'est-à-dire de la taille des coordonnées de ce point), v étant le nombre de bits du nombre scalaire k. Cet algorithme utilise un autre registre R également de la taille du point P. A noter que la taille du registre peut varier selon le système de coordonnées choisi. A l'étape 1 de cet algorithme, le registre R est initialisé à la valeur du point neutre "0" (tel que P [+] 0 = 0 [+] P = P) et le registre DP[0] reçoit la valeur du point P. L'étape 2 est un contrôle de boucle sur le nombre v de bits du nombre scalaire k. A l'étape 2.1 dans la boucle, la fonction de doublement est appelée pour charger dans le registre DP[i+1] la valeur du double du point contenu dans le registre DP[i]. L'étape 2.2 dans la boucle, est exécutée si le bit courant ki de rang i du nombre scalaire k est à 1. Si tel est le cas, la fonction d'addition est appelée pour incrémenter le contenu du registre R de la valeur contenue dans le registre DP[i]. A la suite de v itérations, le registre R contient le résultat [k].P de l'opération de multiplication scalaire du point P par le nombre entier k. Chaque registre DP[i] de l'ensemble de registres DP mémorise un multiple en 2i.P (pour chaque valeur de i comprise entre 0 et v-1) du point P. De cette manière, si un nouveau calcul de multiplication scalaire doit être effectué avec un nombre scalaire k' différent du nombre k, il n'est pas nécessaire de recalculer les multiples 2i.P du point P. Ainsi, l'algorithme A4 figurant en Annexe II permet d'obtenir le résultat [k].P de la multiplication du nombre scalaire k par le point P seulement en exécutant l'étape 2.2 à chaque itération. Dans une courbe elliptique de Weierstrass (sur un corps de Galois Fp), l'opposé d'un point P de coordonnées (x, y) et le point [-]P de coordonnées (x, -y). La somme de deux points P1(x1,y1) et P2(x2,y2), avec P2 # ±P1) est un point P3(x3,y3) tel que : x3 = m2-x1 -x2 y3 = m(x1 - x3) - yl, avec m = (y2 - y1)/(x2 - x1). (1) Le double d'un point P(x,y) avec y # 0 est un point P4(x4, y4) = [2].P tel que : x4 = m2-2x y4 = m(x - x4) - y, avec m = (3x2 + a)/2y. (2) Il peut être observé que le calcul du nombre m dans les opérations d'addition et de doublement requiert un calcul d'inversion. Un tel calcul d'inversion s'avère très complexe et coûteux en temps de calcul. Il est possible de supprimer le calcul d'inversion par une sélection appropriée d'une représentation des points d'une courbe elliptique. A cet effet, il est connu d'utiliser une représentation en coordonnées projectives, telle que la représentation en coordonnées projectives homogènes ou jacobiennes. La représentation en coordonnées projectives homogène consiste à remplacer les coordonnées affines (x, y) par les coordonnées (X/Z,Y/Z) Z étant différent de O. Inversement, il est possible de revenir en coordonnées affines d'un point en remplaçant les coordonnées projectives par les coordonnées (X=x.Z,Y=y.Z,Z), Z pouvant être choisi égal à 1 ou toute autre valeur non nulle du corps Fp. Le passage de coordonnées affines en coordonnées projectives peut être effectué simplement en choisissant Z égal à 1. La somme de deux points P1(X1,Y1,Z1) et P2(X2,Y2,Z2) en 30 coordonnées projectives homogènes, avec P2 # [±]P1, Z1 # 0 et Z2 # 0, est un point P3(X3,Y3,Z3) tel que : X3 = B.0 A = Y2.Z1 - Y1.Z2 Y3 = A.(B2.X1.Z2 - C) - B3.Y1 .Z2 B = X2.Z1 - X1.Z2 Z3 = B3.Z1.Z2 avec : C = A2.Z1. Z2 - B3-2. B2.X1. Z2 (3) Le doublement d'un point P(X,Y,Z) est un point P4(X4,Y4,Z4) tel que : X4 = B.E A = 3.X2 + a.Z2 Y4 = A.(D - E) - 2.C2 B = 2.Y.Z Z4 = B3 avec : C = B.Y D = 2.C.X E = A2- 2.D (4) Les opérations ci-dessus sont effectuées dans le corps de Galois Fp, modulo p. Il peut être observé que les équations ci-dessus ne comportent pas d'opérations d'inversion. Ainsi, une opération d'addition en coordonnées projectives homogènes requiert douze multiplications, deux élévations au carré et sept additions, ces opérations étant modulaires et portant exclusivement sur des grands nombres. L'opération de doublement en coordonnées projectives homogènes requiert sept multiplications, cinq élévations au carré et onze additions. Par ailleurs, si a est choisi égal à -3 (comme dans toutes les courbes du standard FIPS 186-3), le nombre A peut être factorisé dans la formule d'addition de la manière suivante : A = 3.(X1+Z12).(X1-Z12) (5) ce qui permet d'économiser deux élévations au carré de grands nombres entiers. Selon un mode de réalisation, les valeurs mémorisées dans les registres DP sont calculées et stockées en coordonnées affines et transformées en coordonnées projectives jacobiennes ou homogènes en choisissant Z égal à 1 lors de la multiplication scalaire. En effet, si les valeurs mémorisées dans les registres DP sont utilisées pour plusieurs calculs de produit par un nombre scalaire, un compromis acceptable peut consister à calculer ces valeurs par des calculs en coordonnées affines, plus coûteux en temps de calcul, ou par des calculs en coordonnées projectives suivis de conversions des points en coordonnées affines. Il en résulte que l'addition d'un point P1(X1,Y1,Z1) avec un multiple DP[i] de coordonnées (DX,DY,1), effectuée à l'étape 2.2 peut être simplifiée de la manière suivante : X3 = B.0 Y3 = A.(B2.X1 - C) - B3.Y1 Z3 = B3.Z1 A = DY.Z1 - Y1 B = DX.Z1 - X1 C = A2.Z1 - B3 - 2.B2.X1 avec : (6) Ce mode de réalisation permet donc d'obtenir une réduction de trois multiplications de grands nombres pour chaque addition de points effectuée à l'étape 2.2. Une telle addition de points où l'un des points est exprimé en coordonnées projectives, l'autre en coordonnées affines (ou projectives avec Z=1) et le résultat est obtenu en coordonnées projectives, est appelée addition "mixte". L'algorithme A5 présenté en Annexe II est dérivé de l'algorithme A4 en appliquant une fenêtre glissante de deux bits, c'est-à-dire en traitant deux bits du nombre scalaire k à chaque itération. Le nombre d'itérations à effectuer est donc divisé par deux, en utilisant un ensemble R de trois registres au lieu d'un seul registre. Par ailleurs, le nombre de registres de l'ensemble des registres DP est divisé par deux par comparaison avec l'algorithme A4, et chaque registre DP[i] reçoit le multiple [221.P. Chaque itération d'indice i comporte deux étapes 2.1 et 2.2. L'étape 2.1 consiste à calculer un nombre entier u en combinant deux bits consécutifs k2; et k2i+1 de rangs 2i et 2i+1 du nombre scalaire k. L'étape 2.2 qui est exécutée si le nombre u est non nul, consiste à ajouter au point dans le registre R[u] le point DP[i], soit [221.P. Lorsque toutes les itérations ont été effectuées, le résultat de la multiplication scalaire est obtenu par la combinaison des valeurs des registres R[1] [+] 2.R[2] [+] 3.R[3]. L'algorithme A6 présenté en Annexe II est une généralisation de l'algorithme A5 à une fenêtre glissante de m valeurs, c'est-à-dire en regroupant le traitement de m bits ki du nombre scalaire k à chaque itération. L'application d'une telle fenêtre glissante permet ainsi de diminuer le nombre d'itérations. Cependant cette diminution est réalisée au détriment du nombre d'opérations d'addition et de doublement effectuées à l'étape 3 qui augmente d'une manière exponentielle (en 2m). Il existe donc une valeur optimum de la taille de la fenêtre glissante, en fonction de la taille v du nombre scalaire. Il peut être observé que l'opération réalisée à l'étape 2.2 de l'algorithme A4, peut être effectuée dans n'importe quel ordre. Ainsi, le rang i du bit ki traité à chaque itération peut être choisi de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire, dès lors que chaque bit ki du nombre scalaire k est traité une et une seule fois. L'algorithme A4' présenté en Annexe II est dérivé de l'algorithme A4 en lui ajoutant une étape supplémentaire 2' d'application d'une permutation aléatoire 6 aux bits ki du nombre scalaire k. L'étape 2.2 est également modifiée pour utiliser le multiple DP[cy(i)] correspondant au bit 4) traité par l'itération courante. Un algorithme de permutation pseudo-aléatoire est décrit par exemple dans le document "A New DPA Countermeasure Based on Permutation Tables", Jean-Sébastien Coron, SCN 2008, p. 278-292. Les attaques SPA et DPA (Differential Power Analysis) peuvent ainsi être neutralisées sans avoir à ajouter d'opérations factices et donc sans pénaliser les performances de calcul. En effet, de telles attaques visent à déterminer à quelles itérations une opération d'addition est effectuée, et à en déduire la valeur du nombre scalaire k, sachant qu'une opération d'addition est effectuée pour chaque bit ki égal à 1 du nombre k. Si les bits ki sont traités dans un ordre aléatoire comme dans l'algorithme A4', une telle attaque permet simplement de déterminer le nombre de bits ki à 1, mais pas leurs rangs respectifs dans le nombre k. Dans les algorithmes A5 et A6, les groupes de bits du nombre scalaire k traités à chaque itération, peuvent être également traités dans un ordre quelconque, par exemple choisi aléatoirement. Il en résulte que les groupes de deux ou m bits du nombre k traités à chaque itération ne sont pas nécessairement consécutifs. Les groupes de bits ki traités à chaque itération des algorithmes A5 et A6 peuvent donc être choisis de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire, dès lors que tous les bits du nombre scalaire k sont pris en compte dans le calcul du produit scalaire. Ainsi, les algorithmes A5', A6' présentés en Annexe II sont dérivés des algorithmes A5 et A6 en leur ajoutant à chacun une étape supplémentaire 2' d'application d'une permutation aléatoire aux bits du nombre scalaire k. Les étapes 2.1 et 2.2 sont également modifiées pour tenir compte du rang de chacun des bits ki traités par l'itération courante dans le calcul du nombre u et lors de la lecture des registres DP. La figure 1 représente sous forme de schéma bloc un dispositif électronique DV1 configuré pour exécuter un calcul cryptographique incluant un ou plusieurs des algorithmes A3, A4, A4', A5, A5', A6, A6' appliqués à des nombres de grande taille. Le dispositif DV1 peut être un circuit intégré sur microplaquette de semi-conducteur agencé sur un support portatif comme une carte en matière plastique, l'ensemble formant une carte à puce. Le dispositif DV1 peut également être n'importe quel appareil équipé d'un processeur multi-tâche, tel qu'un téléphone mobile intelligent ("smartphone"), un lecteur multimédia, une tablette tactile, ou un ordinateur personnel. Le dispositif DV1 peut également être un composant d'un tel appareil, par exemple relié à un processeur principal de l'appareil. Le dispositif DV1 comprend un processeur PROC, un bloc de calcul AB1 configuré pour exécuter une addition de points P et Q appartenant à une courbe elliptique, un bloc de calcul DB1 configuré pour exécuter un doublement d'un point P appartenant à une courbe elliptique, une mémoire MEM et un circuit d'interface de communication IC. Le circuit d'interface IC peut être du type à contact ou sans contact, par exemple un circuit d'interface RF ou UHF fonctionnant par couplage inductif ou par couplage électrique. Les blocs de calcul AB1, DB1 peuvent comprendre chacun un coprocesseur équipé d'une unité centrale programmable, un coprocesseur entièrement hardware de type machine d'état. Les blocs de calculs AB1, DB1 peuvent simplement correspondre à une fonction appelée par un programme principal exécuté notamment par le processeur PROC. Les deux blocs de calcul AB1, DB1 peuvent également être intégrés dans un même composant (coprocesseur ou machine d'état). De façon en soi classique, une variable est dite "de grande taille" lorsque sa taille (en nombre de bits) est supérieure à celle des registres de calcul du processeur PROC. Ce dernier effectue lui-même, sans faire appel aux blocs de calcul AB1, DB1, des opérations de nombres de taille inférieure ou égale à celle de ses registres de calcul, et fait appel aux blocs de calcul AB1, DB1 pour effectuer des opérations d'addition et de doublement portant sur des points de courbe elliptique présentant des coordonnées de grande taille. Par exemple, si la taille des registres de calcul du processeur PROC est de 32 bits, une variable de grande taille est une variable de plus de 32 bits. En cryptographie basée sur les courbes elliptiques, les variables manipulées (coordonnées des points de courbes elliptiques, paramètres p module, b, n - nombre de points appartenant à la courbe elliptique, Gx, Gy - coordonnées du point de base G) peuvent atteindre plusieurs centaines de bits (typiquement 160, 192, 224, 256, 320, 384, 521 bits). La mémoire MEM est couplée au processeur PROC et permet au dispositif DV1 de mémoriser une clé secrète k. Le processeur PROC reçoit, par l'intermédiaire du circuit d'interface IC, un message m à chiffrer, à déchiffrer, ou à signer, ou bien une signature à vérifier, et renvoie un message chiffré ou déchiffré, ou une signature, du type Fk(m), Fk étant une fonction de cryptographie basée sur la clé k comprenant un calcul de multiplication scalaire exécuté au moyen de l'un des algorithmes présentés en Annexe II. Pendant le calcul de multiplication scalaire, le processeur PROC fait appel aux blocs de calcul AB1, DB1, en fournissant des points P, Q au bloc de calcul AB1 qui retourne la somme P [+] Q, et en fournissant un point P au bloc de calcul DB1 qui retourne le double [2].P. Une partie de la mémoire MEM peut également être utilisée comme mémoire tampon pour mémoriser le contenu des registres R et DP mentionnés dans les algorithmes présentés en Annexe II. Le dispositif DV1 peut également comprendre des blocs de calcul configurés pour exécuter une multiplication modulaire de nombres de grande taille et une élévation au carré modulaire d'un nombre de grande taille, ces blocs de calcul étant utilisés par les blocs de calcul AB1, DB1 pour mettre en oeuvre les équations (1) à (6). Les temps d'exécution par bit du nombre scalaire k et le nombre de registres de grande taille utilisés (c'est-à-dire de points à mémoriser) pour chacun des algorithmes précédemment présentés sont rassemblés dans le tableau 1 suivant : Tableau 1 Algorithme Temps d'exécution par bit du scalaire k en coordonnées projectives homogènes Temps d'exécution par bit du scalaire k en coordonnées projectives homogènes utilisant des additions mixtes Nombre de registres ADD ,z--.. 13,6.M ,z--.. 10,6.M DOUBLE ,z--.. 11.M ,z--.. 11.M Al ,z--.. 17,8.M ,z--.. 16,3.M 1 Al' ,z--.. 17,8.M 2 3 0 0 13 15 14 A2 ,z--.. 24,6.M ,z--.. 21,6.M 2 A3 ,z--.. 17,8.M v+1 A4 ,z--.. 6,8.M ,z--.. 5,3.M v+1 A5 ,z--.. (5,1 + 51,8/v).M ,z--.. (3,98 + 42,8/v).M v/2+3 A6 / m=3 ,z--.. (3,97 + 172/v).M ,z--.. (3,09 + 139/v).M v/3+7 A6 / m=4 ,z--.. (3,19 + 455/v).M ,z--.. (2,48 + 362/v).M v/4+15 A6 / m=8 ,z--.. (1,69 + 14000/v).M ,z--.. (1,32 + 10900/v)-M v/8+255 Dans le tableau 1, v représente le nombre de bits du nombre scalaire k, et M représente le temps de calcul d'une multiplication de nombres de grande taille, M variant également en fonction du nombre y. Les valeurs numériques relatives au temps d'exécution figurant dans le tableau 1 ont été 5 obtenues en considérant que le coût en temps de calcul d'une élévation au carré d'un grand nombre est égal à 0,8 fois celui d'une multiplication de grands nombres, et en négligeant le temps d'exécution des additions et soustractions de nombres de grande taille. Le tableau 1 mentionne également le temps d'exécution des opérations d'addition et de doublement 10 d'un point. Dans les algorithmes A5, A6, le terme additionnel figurant dans les colonnes relatives au temps d'exécution, représente le temps de calcul pris pour exécuter l'étape 3 rapporté au nombre de bits y. Le nombre d'opérations d'addition et de doublement effectuées à l'étape 3 augmente rapidement avec la valeur de m. 15 Il ressort du tableau 1 que les algorithmes A4 à A6 atteignent un temps de calcul par bit du nombre scalaire, sensiblement égal ou inférieur à la moitié du temps de calcul d'une addition de points d'une courbe elliptique. Selon un mode de réalisation, les algorithmes présentés en Annexe II sont adaptés pour traiter des nombres scalaires codés non pas en binaire 20 mais sous une autre forme, par exemple en codage NAF (Non-Adjacent Form). En codage NAF, chaque bit d'un nombre peut présenter trois états (1,0,1) et chaque bit différent de 0 du nombre est précédé et suivi d'un bit à 0, les premiers et derniers bits du nombre pouvant avoir n'importe quelle valeur. Il en résulte que le nombre moyen de bits à 0 d'un nombre (poids de 25 Hamming) passe de la moitié en binaire à un tiers en codage NAF, tandis que le nombre de bits d'un nombre en codage NAF est identique ou augmenté de 1 par rapport à celui de ce même nombre codé en binaire. Ainsi, les algorithmes A4", A5", A6", présentés en Annexe III sont des adaptations des algorithmes A4, A5, A6 à une représentation des nombres en codage NAF. En comparaison avec les algorithmes A4, A5, A6, les algorithmes A4", A5", A6" comprennent une étape supplémentaire 2.3 pour traiter le cas où le bit ki est égal à -1. Dans ce cas, le multiple DP[i] ou DP[u] est retranché du point R. De manière classique, l'opération de soustraction de points consiste en une addition, le second opérande étant changé de signe. Dans le groupe de points d'une courbe elliptique sur un corps de Galois de type Fp, p étant un nombre premier supérieur à 3, le changement de signe d'un point P(x,y) en coordonnées affines consiste à changer le signe de sa seconde coordonnée y. Dans le groupe de points d'une courbe elliptique sur un corps de Galois de type F2., le changement de signe d'un point P(x,y) en coordonnées affines consiste à remplacer la seconde coordonnée par la somme x+y des coordonnées du point. Bien entendu, les algorithmes A4', A5', A6' peuvent être adaptés d'une manière analogue pour traiter des nombres en codage NAF, pour contrer des attaques de type SPA et/ou DPA. Compte tenu du rapport moyen de bits différents de 0 égal à 1/3, dans un nombre en codage NAF, les temps d'exécution par bit du nombre scalaire k pour chacun des algorithmes A4", A5", A6" sont rassemblés dans le tableau 2 suivant : Tableau 2 Algorithme Temps d'exécution par bit du scalaire k en coordonnées projectives homogènes Temps d'exécution par bit du scalaire k en coordonnées projectives homogènes utilisant des additions mixtes A4" ,z--.. 4,53.M ,z--.. 3,53.M A5" ,z--.. 3,478 + 51,8/v).M ,z--.. (2,94 + 42,8/v).M A6" / m=3 ,z--.. 3,19 + 172/v).M ,z--.. (2,49 + 139/v).M A6" / m=4 ,z--.. (2,73 + 455/v).M ,z--.. (2,13 + 362/v).M A6" / m=8 ,z--.. (1,63 + 14000/v)-M ,z--.. (1,27 + 10900/v)-M Le nombre de registres de grande taille utilisés par les algorithmes A4", A5", A6" reste inchangé par rapport à ceux utilisés par les algorithmes A4, A5, A6. Les algorithmes présentés en Annexes II et III peuvent être mis en oeuvre dans un algorithme de signature numérique à clé publique de type ECDSA. L'algorithme ECDSA consiste à choisir une courbe elliptique E(a,b) sur un corps de Galois Fq, et un point de base G(Gx, Gy) de la courbe elliptique choisie E(a,b). Le nombre n est le plus petit entier positif tel que [n].G = 0 (point à l'infini). Il s'agit ensuite de générer une paire de clés publique et privée. La clé privée s peut être choisie aléatoirement entre 1 et n-1. La clé publique Q est choisie égale à [s].G. Le point G étant fixe, les doubles du point G peuvent être calculés une seule fois et mémorisés dans une table. La clé publique Q peut être obtenue par l'algorithme A3 ou par les autres algorithmes présentés dans les Annexes II et III, si la table DP contenant les multiples en 2' du point G a été remplie. Pour signer un message m, on choisit de manière aléatoire un nombre k entre 1 et n-1. On calcule les coordonnées du point P(i,j) = [k].G. Si x = i mod n est égal à 0, il est nécessaire de choisir un autre nombre k. On calcule ensuite le nombre y = k-1(H(m)+sx) mod n, où H(m) est le résultat d'une fonction de hachage telle que SHA-1, appliquée au message m. Si le nombre y obtenu est nul, il est nécessaire de recommencer le calcul en choisissant une autre valeur pour le nombre k. La signature est constituée par la paire (x, y). Pour vérifier la signature (x,y), il faut tout d'abord vérifier que le point Q constituant la clé publique est différent de 0, qu'il appartient à la courbe elliptique E(a,b), que [n].Q = 0 et que x et y sont bien compris entre 1 et n-1. Ensuite, il convient de calculer les coordonnées du point P(i,j) de la manière suivante : P(i,j) = [H(m).y-1 mod + [x.y-1 mod n].Q et vérifier que x = i mod n. Les multiples en 2' du point Q peuvent également être mémorisés dans une table si la paire de clés (s,Q) peut être utilisée plusieurs fois pour signer et vérifier la signature d'un message. Les algorithmes présentés en Annexes II et III peuvent également être mis en oeuvre dans l'algorithme de chiffrement/déchiffrement ECIES. Une paire de clés privée et publique (s, Q) peut être générée comme dans l'algorithme ECDSA. Pour chiffrer un message m, on choisit aléatoirement un nombre r entre 1 et n-1, et on calcule les points R = [r].G et P(x,y) = [r].Q, Q étant la clé publique du destinataire du message chiffré. La condition P # 0 doit être vérifiée. Ici encore, les multiples en 2' des points G et Q peuvent être calculés une fois pour toutes et mémorisés dans des tables. On utilise ensuite une fonction de dérivation de clé KDF pour générer des clés symétriques Ke, Km, telles que (Ke, Km) = KDF(x,S1), S1 étant une donnée partagée avec le destinataire du message chiffré. Le message m est ensuite chiffré par un algorithme de chiffrement symétrique E utilisant la clé Ke. On calcule ensuite une donnée d en appliquant une fonction de hachage à la clé Km et à une autre donnée S2 partagée avec le destinataire du message. Le résultat c du chiffrement du message est transmis au destinataire du message chiffré avec la donnée d et la clé publique R. Pour déchiffrer le message chiffré (c,d) le destinataire du message calcule le point P(x,y) = [s].R (=[r].Q). Le point P obtenu doit être différent de 0. On utilise ensuite la même fonction de dérivation de clé KDM et la donnée partagée S1, pour générer les clés symétriques Ke, Km. On calcule ensuite le nombre d en utilisant la même formule appliquée à la clé Km et à la donnée partagée S2. Si le nombre d obtenu est identique au nombre d reçu, le message peut être déchiffré en appliquant à la donnée chiffrée c reçue, la fonction de déchiffrement symétrique correspondant à la fonction de chiffrement utilisée, à l'aide de la clé Ke. Il apparaîtra clairement à l'homme de l'art que la présente invention est susceptible de diverses variantes de réalisation et diverses applications. En particulier, l'invention n'est pas limitée aux applications présentées, mais s'applique à toute autre application de cryptographie à courbe elliptique dans laquelle les doubles d'un point sont réutilisés plusieurs fois. L'invention n'est pas non plus limitée aux coordonnées projectives présentées, mais s'applique à n'importe quel autre type de coordonnées, l'adaptation des algorithmes présentés à ces autres types de coordonnées étant à la portée de l'homme du métier. L'invention n'est pas non plus limitée à la mémorisation de tous les multiples en 2' ou 2m.i du point P faisant l'objet d'une multiplication scalaire, jusqu'à v ou m , c'est-à-dire le plus petit entier supérieur à v/m. En effet, il peut être souhaité de limiter l'espace mémoire occupé par les registres DP. A cet effet, les multiples manquants peuvent être calculés lors du calcul itératif du résultat de la multiplication, seulement si nécessaire. Ainsi, dans les algorithmes A4, A4' et A4", seuls les multiples en 221 ou 22i+1 peuvent être mémorisés, les multiples manquants pouvant être calculés en fonction des besoins du calcul de multiplication scalaire, simplement en effectuant une opération de doublement pour multiplier le multiple DP[i] immédiatement inférieur par 2. Cette disposition peut être aisément extrapolée aux algorithmes A5 et A6 et leurs algorithmes dérivés. Il peut également être envisagé de ne mémoriser que les premiers multiples en 2' ou 2m' du point P, les autres multiples étant calculés à chaque itération comme dans l'algorithme A3.10 ANNEXE I (Faisant partie intégrante de la description) Algorithme Al - Multiplication par un scalaire "Double & Add", de gauche à droite" Entrée : un point P appartenant à la courbe elliptique E sur le corps de Galois Fq un scalaire k entier de y bits tel que k = (kv_1 kv_2.... ko)2 Requiert : un registre R de la taille du point P Sortie : P Étape 1 : R = 0 Étape 2 : pour s allant de v-1 à 0 faire : Étape 2.1 : R = [2].R (DOUBLE) Étape 2.2 : si ks = 1 alors R = R [+] P (ADD) Étape 3 : Retourner R Algorithme A1' - Multiplication par un scalaire "Double & Add", de 20 droite à gauche" Entrée : un point P appartenant à la courbe elliptique E sur le corps de Galois Fq un scalaire k entier de y bits tel que k = (kv_1 kv_2.... ko)2 25 Requiert : deux registres Ro, R1 de la taille du point P Sortie : 1-1(1.P Étape 1 : Ro = 0 ; R1 = P Étape 2 : pour s allant de 0 à v-1 faire : 30 Étape 2.1 : si ks = 1 alors Ro = Ro [+] R1 (ADD) Étape 2.2 : R1 = [2].R1 (DOUBLE) Étape 3 : Retourner Ro 35 "P[+]Q" représente l'addition de deux points P et Q d'une courbe elliptique "0" représente l'élément neutre du corps Fq (tel que PHO = 0[+]P = P) Algorithme A2 - "Montgomery Ladder" (de gauche à droite) Entrée : un point P appartenant à la courbe elliptique E sur le corps de Galois Fq un scalaire k entier de y bits tel que k = (kv_1 ko)2 Requiert : deux registres Ro, R1 de la taille du point P Sortie : Étape 1 : Ro = 0 ; Ri = P io Étape 2 : pour s allant de v-1 à 0 faire : Étape 2.1 : b = ks Étape 2.2 : Ri -b = R1-b H Rb (ADD) Étape 2.3 : Rb = [2] Rb (DOUBLE) Étape 3 : Retourner Ro ANNEXE Il (Faisant partie intégrante de la description) Algorithme A3 - Multiplication par un scalaire "Double & Add" Entrée : un point P appartenant à la courbe elliptique E sur le corps de Galois Fq un scalaire k entier de v bits tel que k = (kv_1 ko)2 Requiert : un registre R de la taille du point P Un ensemble de v+1 registres DP de la taille du point P Sortie : Étape 1 : R = 0 ; DP[0] = P Étape 2 : pour i allant de 0 à v-1 faire : Étape 2.1 : DP[i+1] = [2].DP[i] (DOUBLE) Étape 2.2 : si ki = 1 alors R = R [+] DP[i] (ADD) Étape 3 : Retourner R Algorithme A4 - Multiplication par un scalaire "Doubles Stored & Add Only" Entrée : un point P appartenant à la courbe elliptique E sur le corps de Galois Fq un scalaire k entier de v bits tel que k = (kv_1 ko)2 Requiert : un registre R de la taille du point P un ensemble de v registres DP de la taille du point P tels que DP[i]=[2'].P, avec 0 i 2) un ensemble de -y registres DP de la taille du point P tels que m DP[i]=12m 7.P, pour 0 i v-1) Étape 2.2 : Etape 3 : R[1] = si u 1 2m-1 alors R[u] = R[u] [+] DP[i] (ADD) j=1 bij.Ruj (ADD) Étape 4 : Retourner R[1] représente l'opérateur d'addition de points dans le groupe de points de la courbe elliptique, à coordonnées dans le corps Fq. Algorithme A4' - Multiplication Sécurisée par un scalaire "Doubles Stored & Add Only" Entrée : un point P appartenant à la courbe elliptique E sur le corps de Galois Fq un scalaire k entier de v bits tel que k = (kv_1 ko)2 Requiert : un registre R de la taille du point P un ensemble de v registres DP de la taille du point P tels que DP[i]=[2'].P, avec 0 i 2) un ensemble de -v registres DP de la taille du point P tels que m DP[i]=12m 7.P, avec 0 i v-1) Étape 2.2 : si u 1 alors R[u] = R[u] [+] DP[cy(i)] (ADD) 2m-1 Etape 3 : R[1] = E Hi-R[i] (ADD) - j=1 - Étape 4 : Retourner R[1] ANNEXE III (Faisant partie intégrante de la description) Algorithme A4" - Multiplication par un scalaire "Doubles Stored & Add Only" Entrée : un point P appartenant à la courbe elliptique E sur le corps de Galois Fq un scalaire k entier de v bits tel que k = (kv_1 kv_2.... ko)2, codé en NAF io Requiert : un registre R de la taille du point P un ensemble de v registres DP de la taille du point P tels que DP[I]=121. P, avec 0 i 2) un ensemble de -v registres DP de la taille du point P tels que m DP[i]=12m 7.P, avec 0 i v-1) Étape 2.2 : u = 12J alors R[u] = R[u] [+] DP[i] alors R[u] = R[u] [-] DP[i] (ADD) (ADD) Étape 2.3 : i=o ji.R[j] (ADD) Etape 3 : R[1] = si u 1 si u -1 2m-1 j=1 Étape 4 : Retourner R[1]20 REVENDICATIONS1. Procédé de traitement cryptographique de données, mis en oeuvre dans un dispositif électronique (DV1) comprenant un processeur (PROC), le procédé comprenant des étapes de fourniture d'un point d'une courbe elliptique dans un corps de Galois, et d'un premier nombre entier, et de calcul d'une multiplication scalaire du point par le premier nombre, les coordonnées du point et le premier nombre ayant une taille supérieure à la taille de mots susceptibles d'être traités directement par le processeur, caractérisé en ce que le calcul de multiplication scalaire du point par le premier nombre, comprend des étapes consistant à : mémoriser une série de points multiples résultant chacun du produit scalaire du point par 2 élevé à une puissance appartenant à une série de nombres entiers, initialiser un point résultant appartenant à la courbe elliptique, pour chaque bit non nul ou combinaison de bits non nulle, du premier nombre, effectuer un calcul d'addition entre le point résultant et l'un des points multiples mémorisés correspondant à un rang du bit non nul ou de la combinaison de bits non nulle, du premier nombre, et fournir en sortie du processeur le point résultant en tant que résultat du calcul de multiplication scalaire du point par le premier nombre. 2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel les bits du premier nombre sont pris en compte dans un ordre aléatoire ou pseudo-aléatoire lors du calcul du point résultant. 3. Procédé selon la revendication 1 ou 2, dans lequel le calcul de multiplication scalaire est effectué par itération, chaque itération comprenant le calcul d'une combinaison de plusieurs bits du premier nombre, et lorsque la combinaison est non nulle, un calcul d'addition entre le point résultant et le multiple scalaire mémorisé correspondant aux rangs des bits combinés du premier nombre. 4. Procédé selon l'une des revendications 1 à 3, dans lequel les calculs d'addition entre le point résultant et les multiples mémorisés sont effectués en coordonnées affines. 5. Procédé selon l'une des revendications 1 à 3, dans lequel les calculs d'addition entre le point résultant et les résultats mémorisés sont effectués en coordonnées projectives. 6. Procédé selon la revendication 5, dans lequel les multiples scalaires du point sont mémorisés en coordonnées affines, et les résultats obtenus étant transformés en coordonnées projectives par ajout aux coordonnées affines, d'une troisième coordonnée ayant une valeur fixée à un. 7. Procédé selon l'une des revendications 1 à 6, dans lequel le premier nombre et les coordonnées du point sont codés en NAF, le procédé comprenant pour chaque bit égal à -1 ou combinaison de bits inférieure ou égale à -1, du premier nombre, un calcul d'addition entre le point résultant et l'opposé du multiple mémorisé correspondant au rang du bit égal à -1 ou de la combinaison de bits inférieure ou égale à -1, du premier nombre. 8. Procédé selon l'une des revendications 1 à 7, comprenant une étage de génération d'une paire de clés privée et publique, comportant des étapes consistant à : choisir aléatoirement un second nombre en tant que clé privée, choisir en tant que point de base un point d'une courbe elliptique, les multiples mémorisés ayant été calculés à partir du point de base, et calculer le point résultant de la multiplication scalaire du point de base par le second nombre en utilisant les points multiples mémorisés, le point résultant ou l'une de ses coordonnées, étant choisi en tant que clé publique correspondant à la clé privée. 9. Procédé selon l'une des revendications 1 à 8, comprenant une étage de signature d'un message, comportant des étapes consistant à : choisir aléatoirement un second nombre,choisir en tant que point de base un point d'une courbe elliptique, les multiples mémorisés ayant été calculés à partir du point de base, et calculer le point résultant, issu de la multiplication scalaire du point de base par le second nombre en utilisant les multiples mémorisés, appliquer une fonction de hachage au message à signer, et calculer la signature du message par les équations suivantes : x = i mod n y = k-1(H(m)+sx) mod n, dans lesquelles x et y représentent la signature du message m, i étant une coordonnée du point résultant, k étant le second nombre, H(m) la fonction de hachage appliquée au message m, s un nombre utilisé comme clé privée, et n étant le plus petit entier positif tel que le produit scalaire de n par le point de base est égal au point à l'infini de la courbe elliptique. 10. Dispositif électronique (DV1) comprenant un processeur (PROC), configuré pour mettre en oeuvre le procédé selon l'une des revendications 1 à 9. 11. Dispositif selon la revendication 10, caractérisé en ce qu'il est 20 portable et autonome, ou de type carte à puce.