Brevet FR2948772A1 — publié le 20110204

PROCEDE POUR OPTIMISER LA STRUCTURE D'UN RESEAU DE CAPTEURS IDENTIQUES POUR LA GONIOMETRIE L'objet de la présente invention concerne notamment un procédé permettant de déterminer de manière optimale la position de capteurs dans un réseau comportant plusieurs capteurs utilisés pour la goniométrie. Le procédé concerne les réseaux homogènes composés de capteurs identiques où la réponse du réseau à une direction O dépend uniquement du vecteur d'onde k(e) et des positions pä des capteurs. L'invention trouve son application pour définir un système de goniométrie et d'un réseau de capteurs en particulier, à partir d'un cahier des charges de performances données. Elle concerne la définition de produits permettant de faire de la goniométrie dans les gammes Haute fréquence HF et très haute fréquence V/UHF ainsi que les produits IFF. Elle trouve son utilisation dans des systèmes de goniométrie radio-cellulaire où les réseaux sont souvent des patchs de taille non négligeable que l'on souhaite installer sur une plaque de dimension finie. De manière plus générale, le domaine concerné par la présente invention est celui du traitement d'antennes qui traite les signaux de plusieurs 20 sources émettrices à partir des observations provenant de plusieurs capteurs. Elle trouve aussi son application dans les procédés de localisation en imagerie médicale pour la localisation de tumeurs ou de foyers épileptiques, dans des applications de sondage pour la recherche pétrolière et minière dans le domaine de la sismique, dans la localisation de sources dans un contexte urbain ou 25 sous-marin. Un ensemble de capteurs est appelé réseau d'antennes 1 ou réseau de capteurs. Dans un contexte électromagnétique, les capteurs sont des antennes et les sources radioélectriques se propagent selon une polarisation. La figure 1 montre un exemple de système 2 de traitement d'antennes où un réseau de capteurs Ci 30 reçoit les signaux de plusieurs sources d'incidences Ei sources d'incidence 0,,,p. en exploitant la diversité spatiale dépendante de la géométrie du réseau d'antennes et de l'incidence Omp des sources. Le domaine est plus particulièrement celui de la goniométrie qui consiste à estimer les directions One de chacune des sources. Les capteurs élémentaires du réseau reçoivent les sources avec une phase et une amplitude dépendantes en particulier des incidences des trajets et de la position des capteurs. D'après la figure 2, l'incidence d'un trajet est soit définie par des paramètres de direction Om= {9m et/ou Am} soit par le vecteur d'onde k (Om)= [Um vm wm]T qui est de norme unité. Les angles 0m et Am sont respectivement l'azimut et l'élévation. Une technique de goniométrie a pour objectif d'estimer les composantes soit de 0m, soit de k(Om). Une goniométrie est dite q-D lorsque le nombre de paramètres à estimer vaut q. Les autres paramètres sont soit connus a priori soit indéterminés. D'après la figure 1, le vecteur pn=[Xn y, zn]T est le vecteur de position du n-ième capteur par rapport à un point d'origine O. Un réseau de N antennes est dit d-D, lorsque l'espace engendré par les vecteurs de position pn (1 La littérature concernant les calculs de performances théoriques est très abondante. Ces performances sont généralement des variances ou biais des paramètres à estimer tels que Om ou k (Om). Dans les articles de performances, à la connaissance du Demandeur, un seul ayant pour auteurs H. Gazzah et S. Marcos, intitulé � Cramer-Rao Bounds for Antenna Array Design � et publié au journal IEEE Trans. Signal Processing, 54(1):336-345, Jan. 2006, établit un lien entre la borne stochastique et les positions pä des N capteurs en situation mono-source pour une goniométrie 2-D avec un réseau 2-D. Les auteurs de cet article utilisent ce lien pour établir un critère analytique de directivité dépendant de l'angle formé par les deux branches d'un réseau deux dimensions en V, le réseau est composé de N=2M+1 capteurs composé de deux branches avec un réseau linéaire uniforme ayant le premier capteur en commun. Malgré les avantages qu'elle apporte, la technique développée par l'art 10 antérieur présente notamment les inconvénients suivants : • d'avoir établi le lien analytique entre les performances et les positions des capteurs uniquement à partir de la borne stochastique en mono-source, • de ne pas avoir établi de critère reliant la résolution de deux sources et la géométrie des capteurs, 15 • de traiter une seule famille de réseau 2-D très particulière qui sont les réseaux en V composés de deux sous-réseaux linéaire uniformes respectant le critère de non-ambiguïté. Dans la suite de la description, la notation A avec un seul indice comme A,,, est utilisée pour désigner des angles, alors que la notation A avec deux indices 20 comme Al2 est relative à une distance dans l'espace du vecteur d'onde ou encore la norme de Ak qui est la différence entre les vecteurs d'onde de deux sources. L'objet de l'invention concerne un procédé pour déterminer la position optimale de capteurs identiques de dimension d-D (1 1, pour d=1 calcul de la position moyenne des deux capteurs, Etape n°3 (DPH) : si (pd n -po )H (Pd,,,-Po) 5 D/2 pour (1 n S N) alors Dp,,=D Etape n°4 (DPH) : passage aux d-uplets suivants et retour à l'étape n°2 (DPH) 3 - transformation du réseau initial en un réseau d'ouverture physique Dph en effectuant : pd n = (Dph / Dph°) (Pd niai -po) pour (1 n N) d 4- Calculer les valeurs de D; à partir des valeurs propres de Dpp=E(D,.)2hihiH , à i=l partir des valeurs de D; déterminées, calculer les paramètres o-9.. et a-o_ en utilisant 6d., = 6B COS (Orn) et 6d,d = 60,m cos(Am où o-9.. et o-e sont les valeurs minimale et maximale de la précision en azimut à max l'élévation A. ainsi qu'une précision o en O,n = 0., 5 - tester si o B : /6B vérifie les critères donnés par le cahier des ax charges, si non, exécuter une boucle sur un ensemble de / vecteurs de paramètres d'une famille de réseaux, retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un autre réseau avec i=i+1. Le test de vérification des critères peut être le suivant : si o-9 / cr n'est max pas inférieur à la valeur donnée po, exécuter une boucle sur un ensemble de / vecteurs de paramètres d'une famille de réseaux, retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un autre réseau avec i=i+1. D'autres caractéristiques et avantages du dispositif selon l'invention apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit d'un exemple de réalisation donné à titre illustratif et nullement limitatif annexé des figures qui représentent : • La figure 1 représente un réseau de capteurs ainsi que les signaux émis par l'émetteur et se propageant vers un réseau de capteurs, • La figure 2, la représentation d'une incidence d'une source, • La figure 3, un exemple de schéma simplifié du fonctionnement du procédé selon l'invention, • La figure 4, un réseau circulaire uniforme à deux dimensions, • La figure 5, un exemple de réseau en cercles concentriques à deux dimensions • La figure 6, un exemple de réseau en V avec 2 branches identiques de capteurs paramétrés par l'angle 8 entre les 2 branches • La figure 7, la représentation d'une ouverture physique d'un réseau à deux dimensions. La description qui suit va être donnée dans le cadre de l'optimisation d'un réseau homogènes composés de N capteurs identiques en présence de plusieurs sources. Modélisation du signal et formulation du problème En présence de M sources, le signal en sortie du réseau de N capteurs s'écrit de la façon suivante : xN (t) Où xn(t) est le signal reçu sur le nième capteur, sm(t) est le signal de la m-ième source, n(t) est le bruit additif, Om est la direction d'arrivée de la source définie (figure 1) et â(Om) est le vecteur directeur observé. En présence d'erreur de modèle le vecteur â(Om) s'écrit â(Om) =a(Om)+em Où a(Om) est le vecteur directeur théorique tel que a(Om)Ha(Om) = N et em est x1 (t) x(t) = M =â(Om) sm(t)+n(t) m=1 l'erreur de modèle. Selon la figure 1 et sachant que les capteurs sont identiques (ou homogènes), la nième composante de a(0) s'écrit T an (0) = exp j 2ff ùk (0) pn Où pn = [xn yn zn ]T est le vecteur de position, 2 est la longueur d'onde et k (0) est le vecteur d'onde tel que u=cos(8)cos(A) avec v=sin ( 0) cos ( A) w=sin (A) - u v k(0)= w Où O = {8, Al dépend de l'azimut 0 et de l'élévation A. L'objectif de la goniométrie est d'estimer les paramètres 'Pm pouvant être égaux soit à la direction Om soit au vecteur d'onde k (Om) . Un algorithme de goniométrie donne les estimées m des sources de direction `Ym à partir d'un critère dépendant des paramètres 'I' = O ou k (0) . Les performances peuvent être données en terme • de précision avec • le biais E[t]û'F. • la variance ou EQM qui s'écrit MS1,, =E [O`I'mA'F T ] avec A P. = 4Î'm û `Pm • de résolution entre deux sources : Présence de deux estimés tÎ', et 42 non 15 associées à un lobe secondaire du critère de goniométrie. La résolution sera définit en fonction de la distance Al2= k (02) ûk (O, )I entre 2 sources. • d'ambiguïté d'ordre M: Un réseau est ambiguë mathématiquement lorsqu'il existe au moins une incidence 'Pambig # q'm dont le vecteur directeur a(`I'ambig ) appartient à l'espace engendré par les vecteurs directeurs a(LI'm) pour 1 Dans ces conditions le processus d'optimisation de réseaux sera basé sur les statistiques de bonne estimation de ce vecteur. Une hypothèse est de poser =k (0) . Dans le cas d'un réseau d-D on s'intéressera uniquement aux composantes du vecteur d'onde se projetant dans l'espace engendré par les positions des capteurs. En conséquence • Pour un réseau plan 2-D: L'ellipse d'incertitude sera caractérisée par son grand axe, petit axe et son angle d'orientation. • Pour un réseau linéaire 1-D : L'ellipse d'incertitude sera caractérisée uniquement par l'écart type et le biais de la précision d'estimation de la composante du vecteur d'onde se projetant sur la ligne. • Pour un réseau linéaire 3-D : L'ellipse d'incertitude est dans le cas général un ellipsoïde qui contient 3 axes et deux angles. On peut aussi dans ce cas caractériser les performances pour les composantes du vecteur d'onde se projetant dans le plan le plus proche du réseau 3D. En effet comme le vecteur d'onde est normé la 3-ième composante se déduit des autres. Outils de base permettant l'optimisation de réseau Outils d'omni-directionalité et de précision déduites des performances mono-source La matrice de corrélation de A'P,n = 5 mono-sourcea l'expression suivante en M S,1,. =E [ 0`I' m A mT I = aH (t@ H(WY,,,)=2AHII(',,,)A avec 8a(W,) Sa(`~,n) &`m(1) 81`m(d) a(W )a(W )H n(m) _IN a(Ifm)Ha(IPm) Sachant que `Pm est un vecteur de dimension dxl. Les valeurs du coefficient a indiquées dans le tableau suivant dépendent du type de performances considérées. Type de Performances Valeur du coefficient cc Borne de Cramer Cas 1 + "Nr \-' (t )I2 ] RAO Stochastique ss [Ism k A partir de a 2 x(tk) pour1kK E a = avec r = K / r ss s2 6 J Cas déterministe = 1 K m 2 = I s (tk ) E a avec ù K @ss S K k-1 z Performance de A temps d'intégration a= 1 MUSIC fini avec x (tk) pour 1 d'onde k (Om) sur l'espace engendré par les positions des capteurs. Dans le tableau suivant, on résume quelques exemples pour les expressions des vecteurs d'onde kd (Om) et des positions des capteurs pn Dimension du réseau kd (0) Pn Pd,n 1-D ou linéaire kl(0)=u pn = ùxn P1,n = xn avec u=cos(0)cos(A) 0 0 2-D ou plan k2 (0) =[u] v (8) p" = x" P2,n = xn ù avec v=sin cos (A) Yn Yn _ 0 3-D k3 (0) = k (0) = u Pn = - - P3,,, = pn avec w= sin (A) v xn w Yn ù ù zn _ Tableau 2 - Valeur de kd (Om) et pn pour 1 ( MSk(e)ù2N Dpp ) La décomposition en éléments propres de MSkd(em) dépend directement des éléments propres ((Di )2 et hi) de Dpp . Plus précisément on obtient d MSkd(em)=1 (od i )2 hihiH avec o-d i = a (11 i=l NIWIr 2) Sachant que la décomposition en éléments propres de Dpp est la suivante d Dpp =1 (Di )2 hihiH (12) i-~ Où (Di )2 et hi sont respectivement les valeurs propres et les vecteurs propres de 5 Dpp . L'objectif est de calculer les valeurs de ad,; et les h; qui définissent les axes des ellipses d'incertitude à partir des performances données dans le cahier des charges. La description qui suit établit le lien entre ad,; et les h; et les performances du cahier des charges. On dira que l'on est en présence d'un réseau omni-directionnel lorsque _ = Dd=Do et donc que Dpp=(Do)2Id (13) 10 Dans l'équation (13) la notion d'omnidirectionnalité est définie à partir des deux critères suivant sur la précision d'estimation du vecteur d'onde • les composantes de l'erreur d'estimation du vecteur d'onde sont indépendantes. • les composantes de l'erreur d'estimation du vecteur d'onde ont la même variance. 15 Il est possible de montrer que ce critère d'omni-directionnalité est équivalent à dire que la moyenne statistique de l'angle formé entre les vecteurs kd (0) et kd (0) est indépendante du vecteur d'onde kd (0) . Plus précisément en notant k = kd (0) et k =kd (0), le critère C(k) suivant (10) C(k)=E[d(k,k)]avec IkHkr d(k,k)=1-(k"k)(k"k) est indépendant de k = kd (0). Cela est équivalent à dire que les valeurs propres de MSkd(om) sont identiques et donc que D1 =...= Dd . Dans la suite du développement les éléments propres de MSkd(om) permettent de définir entièrement les ellipses (ou ellipsoïdes) d'incertitudes qui définissent entièrement la directionalité 5 d'un réseau de capteurs. Sachant que pour un réseau omnidirectionnel : • UCA (Uniform Circular Array) de diamètre Dph où d=2 que Do = Dph • USA (Uniform Spherical Array) de diamètre Dph où d=3 que Do = Dph / 16 On en déduit que l'ouverture équivalente du réseau de dimension d, Dd e où l'indice 10 e est équivalent à UCA (ou USA) ), est l'ouverture physique Dph du réseau d-D uniforme omni-directionnel équivalent. En conséquence (14) =2(d+1)/2 Do = 2(d+1)/2 trace(D ) PI) d (Dd,e )2 2d+1 Id avec Dpp° (15) Lorsqu'un réseau est omni-directionnel cela veut dire que chacune des composantes du vecteur d'onde a la même variance d'estimation et que les estimés des différentes composantes sont indépendantes. En conséquence les 15 performances d'un réseau omni-directionnel vérifient _ l2 1/ GC MSkd(o,n)-(6d/ Id OU 6d = (D (16) X2(2-d) N, d.e \ 2 i Cette dernière expression montre que l'erreur quadratique moyen ou EQM ad de chacune des composantes du vecteur d'onde est inversement proportionnel à l'ouverture équivalente Dd e du réseau. En conséquence, pour transformer un réseau de capteurs de dimension d-D ayant chacun une position pd n avec une 20 matrice de corrélation Dpp en un réseau de capteurs de position pd n°mm omnidirectionnel ayant une ouverture équivalente Dd e fixant la précision, il suffit d'effectuer la transformation matricielle suivante ni =(D omni)1/2 D = Dd,e D -1/2 ùp Pd om ,n PP PP Pd,n 2(d+1)/2 pl) (pd,n ) Toutefois suivant les requêtes du cahier des charges il n'est pas forcément souhaitable de concevoir des réseaux omni-directionnels. Ainsi il est possible d'optimiser un réseau ayant une directivité plus ou moins importante dans une direction Om . Le cahier des charges peut donner, par exemple, un écart type minimal et maximal de l'azimut pour une source dont l'élévation d'arrivée vaut Am. Pour cela il est nécessaire de revenir à la notion d'ellipse d'incertitude dans l'espace des angles d'arrivées Om qui dépend des éléments propres de la matrice MS0 : L'objectif est alors de calculer la matrice DPP qui permet d'obtenir la matrice de performances MSom dans l'espace des angles d'arrivées. Sachant que les équations (10)(11) ont établi le lien entre les éléments propres de DPP et ceux de la matrice MSkd(om) définissant l'ellipse d'incertitude dans l'espace du vecteur d'onde, il suffit d'établir la relation entre les élements propres de MSkd(em) et MSon pour obtenir le lien entre MSo et DPP . Plus particulièrement le procédé définira des paramètres de directivité qui conditionneront les éléments propres des matrices MSkd(oät) = aH(kd (Om ))-1 et MSom = aH (Om) 1. La matrice H (Om) s'écrit de la manière suivante en fonction de la matrice H (kd (Om)) qui est de rang plein H(Om)=Jd (Om)H H(kd (Om))Jd (Om) Où Jd (Om) est le Jacobien. Afin que la matrice H (0,j soit de rang plein, le nombre de paramètres angulaire de Om doit être inférieur ou égal à d, en conséquence • Cas des réseaux 3-D (d=3): Om ={0m,Am} (17) (18) • • Cas des réseaux 2-D (d=2): On, ={9m,Om} • Cas des réseaux 1-D (d=1): Om = 0,44 = {9m } sachant que Om = Do • Cas des réseaux 1-D (d=1): Om O mleo = {Om } sachant que 9m = Bo Le cas d=1 est en réalité un cas dégénéré. Dans le tableau suivant, on résume les 5 valeurs possibles du Jacobien en fonction de la dimension d du réseau Dimension du réseau Jd (Om) = Kd (e.) Ad 1-D ou Om~4~ _ {9m } K1 =1 Sin (9m ) linéaire Al = cos (A0) Om~Bp = {~m K1 =1 Al = sin (Am) cos(00) 2-D ou plan K2(On,)= k2 / ) 0 k2(9m,0) A2 (Om) 9m+ù,0 sin (On, ) 2 [cos (Ont ) 0 K3(Om)= k 9m+ù,0 k 0 ,A, + 2 / 2~ 3-D A cos (Ont ) 0 3 0 1 Tableau 3 - Valeur du Jacobien en fonction de la dimension du réseau La matrice MS,, peut alors s'écrire rn / d V-1 MS0,, = 1(6d,i) 2 hi (en, ) hi (0.. )H avec i=1 / hi (Om) AdHKd (Om )H hi (19) Dans le cas omni-directionnel où 6di = 6d pur 1 1. Dans ces conditions, les axes de l'ellipse d'incertitude dans l'espace des angles d'azimuth em et d'élévation Am, 0,n ={Om,Am} sont définis par les écarts types o = V E[(em -âm )2] et cr, = V EL(Am ûÔm )21 respectivement des azimuts et des élévations. Le tableau suivant résume les différentes valeurs possibles de o et 6° pour un réseau omni-directionnel en fonction de la dimension du réseau Dimension du réseau 6y o, 1-D ou O ~~ ={8 } _ 61 Pas défini linéaire 6a Icos(Do)sin(Om)l 0 û { n } Pas défini crI a° sin ( Om) cos (90 )I 2-D ou plan 6 = 0- 6 0- Icos (2 ~I sin (2 m)I m 3-D 3 _ ù 63 _ cos (0 )I m Tableau 4 - Précision en azimut et élévation d'un réseau omni-directionnel Dans le cas où les réseaux sont non omnidirectionnels, la directionalité sera définie à partir des incidences Om où l'estimation de l'azimut et de l'élévation sont découplées. Ce découplage est vérifié lorsque MS0 = (ad )2 Ad-2 avec 6d = 'NFX ~Dd.e ,/2(2-d) N7r (20) 1 0 0 ou e° = 1 pour l i d Kd (Om)x hi =e0 = (21) Lorsque la condition de l'équation (21) est obtenue, alors hi (0m) AdHKd (em )H h Nia Dans le cas du réseau 2-D, la condition de l'équation (21) est vérifiée lorsque hi est orthogonal à k2 Om +-,0 ou k2 (6m,O) . En posant h1 = k2 6m +-,0 et 2 / 2 / hl =k2(Om,O), pour O. ={Bm,Om} 6B = MSon ={em,4ä} = ((Fe )2 eeeeH + (o. )2 eoeoH avec 60 = et pour O. ={6m +7r12,Om} 16 / d 2 H\ ~(6d.i) hi (Om ) hi (en, avec \ i=1 / MS,. = 6d,1 cos (tm )I (22) (23) e,°+2,3. 2 eeeeH +(o )2 eoeoH avec (24) Tsin (Am ) D'après (23)(24) en fixant l'élévation à Am , on montre que l'écart type en azimut 6e est bornée de la manière suivante = 0-d,1 6 mm Icos (Om )I O e (25) position p2 n en un réseau de directivité choisie sont alors les suivantes. Les deux paramètres du cahier des charges du processus détaillé ci-dessous sont les valeurs minimale et maximale 6Bmin et o de la précision en azimut à l'élévation Am. Le cahier des charges donne l'azimut edirectif = em + 2 pour lequel la précision en 5 azimut o-en est minimal. Il est à noter que le processus décrit ci-dessous comprend le cas des réseaux omni-directionnels avec 68.,n = o x . Etape (T-2D) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation Dppt des p2 n selon l'équation (9). Etape (T-2D) n° 2 : Calcul de ad 1 = a, Icos (Am )I et ad 2 = O cos (Om )I en utilisant (25). Etape (T-2D) n°3 : Calcul des tailles de réseau Di selon l'équation (11) en effectuant Di =(('la/8N)/adi)2 Etape (T-2D) n° 4 : Calcul de la matrice de corrélation D1,Pdirectif en utilisant (12) (26) (Les directions des Axes de l'ellipse d'incertitude sont données par le cahier des charges avec 6directif = 9m + qui donne la direction dans laquel la précision en azimut est minimale) Etape (T-2D) n° 5 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant directif = D directif 1/2 D -1/2 (p2,n _p p2,n f PP f PP (27) . H / / +-,O k2m+-'O +(D2)2 e k2(em,O)k2(Om,O) 2 i 2 J D directif _ ( DI )2 k PP ù 2 H Dans le cas du réseau 3-D, la condition de l'équation (21) est vérifiée lorsque hi 7 est orthogonal à k Bm +ù,0 ou k 2. En posant h, =k Bm+-,0 m 2 2 i 7r h2 =k Bm,ù et h3 =k(Bm,O), on obtient pour 0m ={0m, 2,, MSo>={B,ä,d,,,~ _(6d )2eae0H+(c )2ededH avec Et pour Om ={Bm+.7r/2,Om} _i6d2)2COS(Onti)2+((7d,3)2S1I1(Ant)2 (28) )2 eaeaH +(c )2 eDeOH avec 6d,3 cos (A 1 )l (29) ° z =i6d1)2S1T1(Om)2+(Ud2)2coS(Om)2 D'après (28)(29) en fixant l'élévation à Om on peut montrer que l'écart type 6a vérifie 6d ,3 6 max IcoS (Ain )I Lorsque 6d, En conséquence les étapes de transformation d'un réseau initial de dimension 3-D composé de N capteurs de position p3,, en un réseau de directivité choisi sont alors les suivantes : o"B,n;n ICOS (Om )I o"Bmin 6a 5 66,, nax avec o-d l (30) Etape (T-3D) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation DpP des p3, selon l'équation (9). Etape (T-3D) n° 2 : Calcul de ud 1 = crû.. Icos (Am) et 6d 3 = crû Icos (Am) en utilisant (30). Etape (T-3D) n° 3 : Calcul de 6d 2 = o pour que la précision en élévation en Om = 0 soit 60 . Etape (T-3D) n°4: Calcul des tailles de réseau Di selon l'équation (11) en effectuant Di = ((,/(x/ 8N) / od,i) 2 Etape (T-3D) n° 5 : Calcul de la matrice de corrélation Dppdirectif en utilisant (12) 2 / 7C \ / \H 2 / / %~lH Dppdirectif =(D,) k 8m+-,0 k Bm+-,0 +(D2) k 6m,- k Bm,- 2 2 2, 2, + (D3)2k(0m 0)k(0m 0)H (31) . (Les directions des Axes de l'ellipse d'incertitude sont données par le cahier des charges avec Genre,. f =0 m + 2 qui donne la direction dans laquel la précision en azimut est minimale) Etape (T-3D) n°6 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant directif = (D directif 1/2 D -1/2 p3,n f pp f ) pp (P3,n (32) . Processus de transformation d'un réseau 3-D en un réseau de directif Dans le cas du réseau 1-D, on est dans un cas dégénéré car il faut fixer un des deux paramètres azimut ou élévation. Dans ce cas deux situations d'optimisation de réseau sont envisagées : • Cas où l'élévation est fixée à A0 • Cas où l'azimut est fixé à eo Lorsque l'élévation est fixée à Do, un cahier des charges donne la précision en azimut 6B. En conséquence les étapes de transformation d'un réseau initial de dimension 1-D composé de N capteurs de position p1 n en un réseau de précision choisie sont alors les suivantes : Processus de transformation d'un réseau 1-D lorsque l'élévation est fixée Lorsque l'azimut est fixé à 90, un cahier des charges donne la précision en élévation o . En conséquence les étapes de transformation d'un réseau initial de dimension 1-D composé de N capteurs de position p1 n en un réseau de précision choisie sont alors les suivantes : Etape (T-1 D-0) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation DpPt = DpPt des p1 n selon l'équation (9). Etape (T-1 D-0) n° 2 : Calcul de 6d 1 = o Icos (Do) sin (9,n )I en utilisant les données contenues dans le Tableau 4. Etape (T-1 D-0) n° 3 : Calcul des tailles de réseau D1 selon l'équation (11) en effectuant D1 = ((Ja/8N)/o-da ) 2 Etape (Tif n° 4 : Calcul de la matrice de corrélation D direct f = D directif en PY PP utilisant (12) D directif = (D1 )2 PP (33) . Etape (T-1 D-0) n° 5: Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant (34) . directif _ p1,n D directif PP (phn ûP~ DPP10 Processus de transformation d'un réseau 1-D lorsque l'azimut est fixé La figure 3 représente un schéma fonctionnel du procédé selon l'invention. Ainsi, la première étape consiste à réaliser le tirage au hasard d'un réseau dans une famille de réseau de capteurs, 10, ce qui conduit à disposer d'une matrice de corrélations des positions pn initiales des capteurs que l'on note pnini, puis l'étape suivante 11, consiste à effectuer une transformation linéaire du réseau initial en tenant compte des contraintes données dans le cahier des charges 12 (par exemple une ouverture physique maximale) , ce qui génère une matrice composée des positions des capteurs p; k). Une étape suivante 13 peut consister à vérifier si d'autres critères imposés dans le fonctionnement du système, par exemple les critères d'encombrement et/ou de résolution et/ou de précision (par exemple un rapport d'omnidirectionnalitéo9 /a0 inférieur à une valeur po ou encore un o-6,_ borné par une valeur maximal donnée dans le cahier des charges) sont vérifiés. Si ces critères ne sont pas vérifiés, 14, alors le procédé va procéder au tirage d'un autre réseau de la famille et va lui appliquer toutes les étapes du procédé. Si au Etape (T-1 D-A) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation DPP = DPP des p, n selon l'équation (9). Etape (T-1 D-A) n° 2 : Calcul de 6d 1 = 63,Isin (Am) cos (Oo )l en utilisant Tableau 4. Etape (T-1 D-A) n° 3 : Calcul des tailles de réseau D, selon l'équation (11) en effectuant DI =((Va/8N)/od,i)2 Etape (T-1 D-A) n° 4 : Calcul de la matrice de corrélation D directif = D directif en PP PP utilisant (12) D directif = (Dl )2 PP (35) . Etape (T-1 D-A) n° 5 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant pl,d D directif PP (p1,n p) DPP (36) . contraire, les critères sont respectés, 15, alors le procédé va effectuer un calcul du niveau d'ambiguïté 16 et classer 17 les réseaux suivant, par exemple, le niveau d'ambiguïtés. Le procédé va exécuter des itérations 19, pour trouver le meilleur réseau des réseaux qui ont des caractéristiques identiques en terme de précision, résolution, etc .. en ayant des caractéristiques différentes en ambiguïté. Le tirage dépend de la famille de réseau. Par exemple si on prend les réseaux en V de la figure 6 ou l'angle initial est fixé à b, le réseau initial est composé de deux branches identiques dont la répartition des capteurs suit une loi normal). A ce niveau, le procédé a déterminé un ensemble des � nb � meilleurs réseaux appartenant à une famille de réseau. Les meilleurs réseaux sont les réseaux les moins ambiguës qui vérifient les performances du cahier des charges. La suite comprend l'intégration d'éventuelles contraintes supplémentaires pouvant être des critères d'encombrement, des critères de résolution, ou encore d'autres critères relatifs au réseau de capteurs. Le processus qui vient d'être décrit peut aussi être mis en oeuvre avec une contrainte d'encombrement maximal donné dans le cahier des charges. Outil de résolution Dans ce paragraphe un critère permettant de quantifier la capacité de résolution d'un réseau est construit. Ce critère est, par exemple, établi à partir des performances de résolution de l'algorithme connu MUSIC en présence de deux sources. En présence de M=2 sources, la méthode MUSIC appliquée aux observations de l'équation (1) a pour objectif de chercher les M=2 minima du critère J(0) tel que a(O )H IIba(Om ) {Ô1 et/ou Ô2} = min J(0) avec J (0) = m H (37) ° a(Om) a(Om ) Où ÎIb est le projecteur bruit de la matrice de covariance R tel que 1 K H N Rxx = x (tk) X (tk) _ k=1 i=1 N "b =EeieH H (38) i=3 Où 2, > > 2N sont les valeurs propres tel que 2i est la valeur propre associé au vecteur propre ei. On considère que deux sources sont résolues, par exemple, lorsque Jmoy ù x6moy > J12 + x612 J(O,)+J(02) (Omoy)2=E[Jmoy21ù(J,noy)2 (12)2 =E Jmoy2l ù(J12) Où (Jmor, 6moy) représente la moyenne et l'écart type du critère de MUSIC sur l'incidence moyenne et (J12, 612) représente la moyenne et l'écart type de J12 = (J (01)+ J (02))/2 . On sait qu'en l'absence d'erreur de modèle pour K infini que J12 =0 et que Jmoy > J12. On définit la distance entre deux sources d'incidence 01 et 02 par Al2 = j(k12 )H (k12) avec k12 = k (01) ù k (02) = Al2k (l'orientation) (40) Où l'orientation est l'angle d'orientation entre les deux sources. Pour un réseau 2-D l'orientation ={a,0} où a est un angle d'orientation dans le plan azimutal et pour un réseau 3-D Worientation = {a,f} où f est un angle d'orientation de type élévation dans la direction a. La limite de résolution O12lim est la valeur minimale de Al2 dans la direction l'orientation pour laquelle la condition (39) est vérifiée. L'expression de la limite de résolution est la suivante A lim v 12 ù D pp (tPorientation ) 2 Où les valeurs de erreur résumé dans le tableau suivant dépendent du type de performances considérées. sachant que 2 2 =J/0,+02\ moy 2 (39) X0-erreur \IN (P (orientation )2 -1) (41) Type de Performances Valeur du coefficient a Performance de A temps d'intégration 2 1 1r1 1\ r1z MUSIC fini avec + x (tk) pour 1 k S K 6erreur = - -+ i 'V AP2 K (1ù r12 2~ Li pl 2 pm : Rapport signal sur bruit de la m'' source rie : Corrélation temporelle des sources En présence d'erreur 2 E[emHem] de modèle 0-erreur = N Tableau 5 - Valeur du o-errenr du critère de résolution en fonction du type de performances Les paramètres Dpp (l'orientation et p ('I'orientation) sont liés de la manière suivante 5 aux statistiques d'ordre 2 et 4 de la répartition des capteurs l 1 N l2 Dpp (orientation) ùId n (orientation )2 n= D,,i, (Y orienta dn (P) = kd (qi)H (pd n ùP) Les positions dn (`P) sont les positions des capteurs projetés sur un axe d'orientation kd (l'orientation) . L'expression (41) permet de • Définir une omnidirectionnalité en résolution pour un réseau d-D : Le coefficient p(`Porientation) est indépendant de la direction '15. Un réseau circulaire uniforme lz 10 est omni-directionnel en résolution avec p(`l'orientation =1.5 . 2 • Définir un critère de pouvoir de résolution où 1/ p(Y' orientation) -1 doit être proche de 0. Dans la suite du paragraphe des critères plus précis sont établis sur l'omnidirectionalité en résolution et la capacité de résolution. Les expressions de 15 Dpp (orientation) et p (il'orientation) de l'expression (42) peuvent s'écrire : ll 1 N dn (orientation )4 )2 (42) r (l'orientation H r Dpp `orientation) =k ) Dppkd (l'orientation ) �2H r �2 r 2 _ kd l'orientation) `t ppkd \orientation ) p (orientation) 2 pp ( orientation ) 1 N _ �2 _ 2H Qpp = N I(Pd,n ùP) (Pd,n ùP) Où Dpp est la matrice de covariance des positions définie par l'équation (9), O est le produit de Kronecker et k�2 =kOk. Plus précisément le coefficient p('l'orientation )2 est le rapport de forme quadratique suivant power 25 Q =(D -1/2 �D -1/2)H Q ( D -1/2 �D -v2) j PP l PP PP 1 PP PP PP avec kd = D 1/2 pp kd (l'orientation ) D = D 1/2 (D 1/2 )H PP PP PP On peut alors définir des critères d'omnidirectionalité et de pouvoir de résolution à partir des valeurs propres suivantes de la matrice Qpp de l'équation (44). dxd Qpp = Qivi (vi)H Où Qi sont les valeurs propres associées aux vecteurs propres vi . Le critère d'omnidirectionnalité en résolution est le suivant maxp('Y)2 maxQi Romni = min p (qi)2 min Qi y En conséquence le réseau est omnidirectionnel lorsque Romni est minimal, c'est à dire que Romni=l. Sachant qu'un réseau aura un fort pouvoir de résolution lorsque f r. k 2 _ d pp d p (If orientation) k �2H1 �2 d d (43) (44) (45) (46) P (If orientation )2 -1 est grand, on définit alors le pouvoir de résolution par R=min =minlQiû1I (46') En conséquence les critères de résolution sont liés aux statistiques d'ordre 4 de la répartition des capteurs Qpp . Dans un processus d'optimisation de réseau, l'objectif sera de minimiser le critère Romni et de maximiserRpawer . Les calculs de ces deux critères à partir des positions pd n des capteurs d'un réseau sont résumés dans les étapes suivantes : Etape n°1 (Res) : A partir des positions des capteurs pd n calcul de DPP selon (9). Etape n°2 (Res) : A partir des pd n calcul de QPP selon (43). Etape n°3 (Res) : A partir de DPP et QPP, calcul de QPP selon (44). Etape n°4 (Res) : Décomposition en éléments propres de QPP soit : dxd H QPP ùli=1 QiVi(Vi) Etape n°5 (Res) : Calcul du critère d'omnidirectionalité en résolution Romani selon (46) à partir des Qi . Etape n°6 (Res) : Calcul du pouvoir de résolution RPower selon (46') à partir des Qi . Processus de calcul de critères permettant d'optimiser le pouvoir de résolution ainsi que l'omni-directionalité en résolution Ambiguïté de réseau L'objectif est d'établir un contraste entre le niveau des lobes principaux et celui des lobes secondaires du critère MUSIC ou d'un autre critère équivalent. La goniométrie est ambiguë lorsque l'algorithme donne les incidences d'un des lobes secondaires à la place de l'un des lobes principaux. Les critères d'ambiguïtés se feront dans l'espace des composantes du vecteur d'onde. Ambiguïtés d'ordre 1 En présence d'une source d'incidence Ol , un réseau est mathématiquement ambigu à l'ordre 1 lorsqu'il existe une incidence O pour laquelle les vecteurs a(kd (el)) et a(kd (0)) soient colinéaires. Dans ces conditions la projection du vecteur directeur a(0) sur le vecteur a(O1) est maximale Diaga (aa (kd (Oi �,kd (0)) =1= aa (kd (0))H II (aa (kd (Oi)))aa (kd (0)) N où 1ûDiag2 (a(k1),k2) est une distance entre les vecteurs a(ki) et a(k2)) où II(A) est le projecteur sur l'espace engendré par les colonnes de A tel que (47) 11(A)=A(AHA) IAH (48) et où a2 (u,v) est le vecteur directeur pour la longueur d'onde 2 tel que ai, (kd ) avec ana (ka) = exp J 2_ kdT pd.n (49) i aN2(kd) Comme Diag2 (A,kd (0)) est compris entre 0 et 1 et qu'il existe une ambiguïté mathématique lorsque Diag2 (A,kd (0)) =1 (La distance entre a(kd (0)) et A est nulle), le critère de robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 noté r7i(2) dépendant de 5 la longueur d'onde 2 de la manière suivante : 771(2)= ôn171(2,01) 17i(2,01)= min (1-DiagÀ(aÀ(kd(O1)),kd)) kdHkdd Où nb est le nombre de réalisations permettant d'établir la fonction de répartition de . La robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 171(2) pour la longueur d'onde 2 doit alors vérifier Pr(771(2)k Ok=kdùkd(01) Où Od = [0 • • • 0IT . Sachant que kd (O1)H kd (01) 1 et que kdHkd 1 , on en déduit que OkHAk 2 (55) Ou bien AkHAk la distance au carré entre kd et kd (01) est bornée par 2) (56) En conséquence on obtient 171(2) en effectuant 11(x,)= min (1ùDiag2(aa(Od),Ok)) 4k 4k H 4k 1 Un réseau est mathématiquement ambigu à l'ordre P lorsque le vecteur directeur a(kd (0)) est engendré par une base de vecteurs directeurs a(kd (01)) jusqu'à a(kd (op�. En conséquence la projection suivante du vecteur directeur a(kd (0)) sur l'espace engendré par les vecteurs a(kd (OP )) pour 1 p P (P vecteurs indicés p) est nulle : DiagÂ, (AÀ(op),kd (0))=1=au(kd (0))H II(A2(de))a,,(kd (0)) N où le projecteur II (A) est défini par l'équation (48) et où A2 (OP) = [aa (kd (O1)) a2 (kd (OP ))] et cP = {kd (O1) kd (OP )} (62) Comme Diag2 (A,kd (0)) est compris entre 0 et 1 et qu'il existe une ambiguïté mathématique lorsque Diag2 (A,kd (o)) =1, on définit la robustesse aux 10 ambiguïtés d'ordre P pour la longueur d'onde 2, le paramètre iP (2) suivant : (2)=euh, (2,0P) (2,e)= min (1_DiagÂ(A2(),kd)) (63) kd kdHkd 1. C'est ainsi que la méthode classique ci-après est appliquée à 15 la fréquence maximale. Cette méthode consiste à tirer aléatoirement P couples d'incidences ek = I kd kd (O1k) kd (OPk )} pour ensuite calculer ~IP (2)k =(2,ek) pour 1 Conclusion Dans le processus d'optimisation de réseau, on estimera les critères d'ambiguïté i7 (2) pour chaque réseau où les positions des capteurs sont paramétrés par pn. Lorsque P=1 on dispose d'un seul critère (60) qui permet d'obtenir la robustesse aux ambiguïtés r7iam"`b dans une gamme de fréquence de fréquence maximale f,,a,t et indépendamment de la direction des sources. Optimisation de réseau Le (ou les) processus d'optimisation sont initialisés par des familles de réseaux dont on fait varier les paramètres. Ces réseaux peuvent être • Des réseaux aléatoires d-D (linéaire, plan ou 3-D dans l'espace). La répartition 15 des capteurs suit une loi qui peut être gaussienne, uniforme ou etc.. • Des réseaux 2-D composé de deux sous réseaux 1-D ayant un écart d'orientation de 8. Il s'agit en particulier des réseaux en V figure 5. Ces réseaux ne sont pas tous omnidirectionnels. Le caractère plus ou moins omni-directionnel dépend de la position relative des deux branches linéaires du V ainsi que de l'angle 20 8 entre les branches. • Des réseaux 2-D composé de plusieurs cercles concentriques figure 4. Les paramètres sont par exemple les rayons, le nombre de capteurs et l'orientation de chaque cercle. Ces réseaux ont la caractéristique d'être omni-directionnels en précision. Dans cette famille de réseaux on a les réseaux circulaires uniformes 25 figure 3. • Les réseaux linéaires 1-d peuvent être ù Des ULA où les capteurs sont équi-espacés (p, = d (nû1) ) ù Homothétiques avec pi, = d x pn-1 où p est le rapport homothétique ù Aléatoire Un cahier des charges peut aussi donner des contraintes d'encombrement comme : l'ouverture physique Dph : Diamètre du plus petit cercle (réseau 2-D voir ou plus petite sphère (réseau 3-D) qui englobe tous les capteurs du réseau. Pour un réseau 1-D il s'agit de la distance entre les deux capteurs les plus éloignés. Nous donnons ci-dessous le processus permettant de calculer l'ouverture physique d'un réseau d-D sachant que l'on peut définir un cercle à partir de 3 points et qu'une sphère se construit avec 4 points. Etape n°1 (DPH) : Initialisation : Dph =0 Pour tous les d-uplets pd n. où (1 d +1) sachant que (1 ni N) Etape n°2 (DPH) : Calcul de ù La distance D entre les deux capteurs lorsque d=1 ù Du diamètre D du cercle passant par les trois capteurs lorsque d=2 ù Du diamètre D de la sphère passant par les 4 capteurs lorsque d=2 Etape n°3 (DPH) : Calcul du centre po du cercle ou de la sphère lorsque d>1. Pour d=1 calcul de la position moyenne des deux capteurs Etape n°3 (DPH) : Si (pd,n-po )H (pd,n-po) D/2 pour (1 n N) alors Dph=D Etape n°4 (DPH) : Passage aux d-uplets suivants et retour à l'étape n°2 Processus de calcul d'une ouverture physique d'un réseau d-D • Distance minimal entre capteurs qui peut être du soit à l'encombrement du capteur élémentaire soit à un souhait de minimiser un inter-couplage. • Zone 1-d, 2-d ou 3-d dans laquelle les capteurs peuvent être installés. Dans l'exemple de réalisation donné ci-après l'optimisation de réseau prend en compte le critère d'encombrement pour obtenir des réseaux ayant les performances optimales pour l'encombrement donné. Le processus suivant permet de trouver les nb meilleurs réseaux d-D omnidirectionnel (ou directionnel) permettant de goniométrer P sources à partir ù d'une ouverture physique Dph. ù d'un rapport d'omnidirectionalité maximale po=o-o.. /6e,_ ù d'une famille de réseau qui peut être aléatoire ou paramétrée Ainsi les étapes résumées mises en oeuvre par le procédé selon l'invention sont les suivantes : Etape n°B.0 : Initialisation de l'ensemble LP = 0 , i=0 Boucle sur un ensemble de / vecteurs de paramètres d'une famille de réseaux Etape n°B.1 : Tirage d'un réseau i-ième initial d-D (pd '°' pour (1 1. Pour d=1 calcul de la position moyenne des deux capteurs Etape n°3 (DPH) : Si (pd,n-po) (pd,n-po) D/2 pour (1 n N) alors Dph=D Etape n°4 (DPH) : Passage aux d-uplets suivants et retour à l'étape n°2 Etape n°B.3 : Transformation du réseau initial en un réseau d'ouverture physique Dph en effectuant : pd,n = (Dph / Dphe) (pd,n'n' -po) pour (1 n N) Etape n°B.4 : d Calculer les valeurs de D; à partir de la valeur de Dpp=E(Di)2h1h,H (12) connue, i=l à partir des valeurs de D; déterminées, calculer les paramètres ci et o selon mm max les équations (25) ou (30) en Am suivant la dimension du réseau, Etape n°B.5(Option) : Si cre.. /6B~ Romnimax alors retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un 5 autre réseau avec i=i+1. Etape n°B.9(Option) : Si Rpowe,>Rpowerm alors retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un autre réseau avec 7=7+1. Etape n°B.10(Option) : Si o-B > o- ° alors retour à l'étape n°1 pour le tirage a d'un autre réseau avec i=i+1. 10 Etape n°B.11 : Calcul du critère 17lambig de la robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 de l'équation (59) à partir de la connaissance de fi.. Etape n°B.12 : Stockage du réseau w _ {w (, mbig pd n pour (15 n N))} Etape n° B.13 : Classement des éléments de W suivant le niveau des ambiguïtés d'ordre 1 tel qu'au final 15 `Y ={(q1ambig(k),pd,n(k) pour (1 k K ) avec 77 1 1am big(1)> > 771ambig(K) Classement du réseau le plus robuste aux ambiguïtés d'ordre 1 au réseau le moins robuste. Etape n°B.14 : 7=i+1 Si kl alors retour à l'étape n°1. Etape n°B.15 : Stockage des nb meilleurs réseaux vis à vis des ambiguïtés d'ordre 20 1 tel que Wopr c `P avec onr = {(X71ambig(k) ,Pd,n(k) 1 1 pour (1 k nb )l Etape n°B.15 : Calcul des ambiguïtés d'ordre P des réseaux de `Foe selon (66) pour obtenir `Fo _ {(i 1ambig(k) ii (C / fmax)(k) ,Pd,n(k)) pour (1 k nb)} . Etape n° B.17: Classement des éléments de W0 suivant le niveau des ambiguïtés d'ordre P tel qu'en final 25 111 oP~ =1(771 ambig (k ) (k) (Cem ),Pd n(k) pour (1 k nb) avec 77P(1) ? ... > 17P(nb) } Classement du réseau le plus robuste aux ambiguïtés d'ordre P au réseau le moins robuste. Le procédé selon l'invention permet par rapport à l'art antérieur de résoudre les problèmes suivants : • la généralisation du calcul des performances en mono-source à une seule expression, • le calcul de performances mono-source pour des réseaux 2-D, 1-D et 3-D quelconques en fonction de la géométrie du réseau, • l'établissement d'un critère reliant la résolution de deux sources et la géométrie des capteurs, • l'établissement d'un critère de directivité pour des réseaux d-D quelconques, • l'optimisation de réseau de capteurs quelconques à nombre de capteurs fixés à partir d'un cahier des charges donnant la précision mono-source, la résolution sous les contraintes d'encombrement maximal, d'omnidirectionalité ou de zones dans lesquelles les antennes sont installables.15 REVENDICATIONS1 û Procédé pour déterminer la position optimale de capteurs identiques de dimension d-D (1 2 - déterminer l'ouverture physique du réseau sélectionné en exécutant les étapes suivantes : Etape n°1 (DPH) : initialisation d'une valeur pour l'ouverture physique: Dph =0 pour tous les d-uplets Pd n, où (1 i d +1) sachant que (1 ni N) Etape n°2 (DPH) : calcul de : ù la distance D entre les deux capteurs lorsque d=1 ù du diamètre D du cercle passant par les trois capteurs lorsque d=2 ù du diamètre D de la sphère passant par les 4 capteurs lorsque d=2 Etape n°3 (DPH) : calcul du centre po du cercle ou de la sphère lorsque d>1, pour d=1 calcul de la position moyenne des deux capteurs, Etape n°3 (DPH) : si (pd,n-po )H (Pd,n-po) D/2 pour (1 n N) alors Dp,,=D Etape n°4 (DPH) : passage aux d-uplets suivants et retour à l'étape n°2 (DPH) 3 - transformation du réseau initial en un réseau d'ouverture physique Dph en effectuant : pd n = (Dph / Dph°)(pd n' -Po) pour (1 n N) 4- Calculer les valeurs de D; à partir des valeurs propres de d Dpp=E(D. )2 hlh. , à partir des valeurs de D; déterminées, calculer les paramètres =1 atm et hem en utilisant ad 1 = 6e Icos (Am )I et 6d d = 6e,m Icos(Am I) ou crû_ et 6e_ sont les valeurs minimale et maximale de la précision en azimut àl'élévation A. ainsi qu'une précision 6o en Om = 0., - tester si c /o vérifie les criteres donnés par le cahier des o.m charges, si non, exécuter une boucle sur un ensemble de I vecteurs de paramètres d'une famille de réseaux, retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un autre réseau avec 5 1=1+1. 2 û Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce que l'on vérifie si o e.. /cr est inférieur à une valeur donnée po et s'il n'est pas inférieur à ladite valeur, exécuter une boucle sur un ensemble de I vecteurs de paramètres d'une 10 famille de réseaux, retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un autre réseau avec i=i+1. 3 û Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce qu'il comporte une étape au cours de laquelle, on détermine des critères d'omnidirectionnalité et de pouvoir de résolution à partir de la position pd,n des capteurs d'un réseau qu'il soit le réseau tiré 15 initialement ou encore le réseau directif défini en tenant compte de la matrice de covariance DPP des positions des capteurs et de N pp --1 Pd,. N n=1\ à partir de Qpp et de DPP déterminer la valeur de Qpp décomposer en éléments propres la matrice ce qui conduit à _ dxd r( Qpp = Qivi `v i=1 max Qi déterminer le critère d'omnidirectionalité en résolution Romni = min Qi déterminer le pouvoir de résolution Rpo1Wer = minJQi ûll comparer ces deux valeurs à des valeurs données dans le cahier des charges et si les valeurs déterminées ne satisfont pas le critère du cahier des charges, choisir un 25 nouveau réseau et réitérer les différentes étapes de calcul de position des capteurs et des critères d'omnidirectionalité et de pouvoir de résolution, pour des réseaux de dimension 1, 2 ou 3. 20 )H4 ù Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce qu'il comporte une étape au cours de laquelle on classe les réseaux en fonction d'un degré d'ambiguité en exécutant les étapes suivantes : Initialiser un ensemble W contenant des réseaux et leurs caractéristiques, déterminer, pour un réseau, le critère 17lambig de la robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 à partir de la connaissance de la fréquence fmax c 77, 2_ù = min (1ùDiag ax (a"max (Od),Ak)) f 4k f nax Où 2max=c//max sachant que f fmax avec Ok correspondant à une distance Diaga, (aa. (kd (Ol)),kd) = Diag2 (a2 (Od ),Ok) Ok =kd ùkd (Ol) Où Od = [0 • • • 0]T . Sachant que kd (01)H kd (el) 1 et que kdHkd > 17,'g') Classement du réseau le plus robuste aux ambiguïtés d'ordre 1 au réseau le moins robuste en exécutant les étapes suivantes Stockage des nb meilleurs réseaux vis à vis des ambiguïtés d'ordre 1 tel que Ilf c `F avec 111 _ {(yy~~ ambig(k) (k)) pour (1 k nb)} opt opt /1 pd,n Réitérer lesdites étapes pour tous les réseaux i=1,....1 Calcul des ambiguïtés d'ordre P des réseaux de IPoP, selon Le critère de robustesse aux ambiguïtés d'ordre P r/P (2)k pour la longueur d'onde 2 vérifiant Pr(11p(2)k _ . • • > (nb) } Classement du réseau le plus robuste aux ambiguïtés d'ordre P au réseau le moins robuste. 5 û Procédé selon l'une des revendications 1 à 4 caractérisé en ce que le réseau de 10 capteurs est un réseau en forme de V dont les capteurs sont disposés sur deux branches faisant entre elles un angle S. 6 û Procédé selon l'une des revendications 1 à 4 caractérisé en ce que le réseau de capteurs est un réseau dont les capteurs sont répartis sur un double cercle. 7 û Procédé selon l'une des revendications 1 à 4 caractérisé en ce que le réseau initial est un réseau de capteur d-D dont la répartition des capteurs suit une loi gaussienne. 20 8 û Procédé selon l'une des revendications 1 à 4 caractérisé en ce que le réseau initial est un réseau de capteur d-D dont la répartition des capteurs suit une loi uniforme. 9 û Utilisation du procédé selon l'une des revendications 1 à 8 pour des réseaux et 25 des capteurs fonctionnant dans la bande UHF ou VHF. 15