Brevet FR2948773A1 — publié le 20110204

PROCEDE POUR OPTIMISER LA POSITION DE CAPTEURS IDENTIQUES DANS UN RESEAU DE COMMUNICATION L'objet de la présente invention concerne notamment un procédé permettant de déterminer de manière optimale la position de capteurs dans un réseau comportant plusieurs capteurs utilisés pour la goniométrie. Le procédé concerne les réseaux homogènes composés de capteurs identiques où la réponse du réseau à une direction O dépend uniquement du vecteur d'onde k(0) et des positions pn des capteurs. L'invention trouve son application pour définir un système de goniométrie et d'un réseau de capteurs en particulier, à partir d'un cahier des charges de performances données. Elle concerne la définition de produits permettant de faire de la goniométrie dans les gammes Haute fréquence HF et très haute fréquence V/UHF ainsi que les produits IFF. Elle trouve son utilisation dans des systèmes de goniométrie radio-cellulaire où les réseaux sont souvent des patchs de taille non négligeable que l'on souhaite installer sur une plaque de dimension finie. De manière plus générale, le domaine concerné par la présente invention est celui du traitement d'antennes qui traite les signaux de plusieurs sources émettrices à 20 partir des observations provenant de plusieurs capteurs. Elle trouve aussi son application dans les procédés de localisation en imagerie médicale pour la localisation de tumeurs ou de foyers épileptiques, dans des applications de sondage pour la recherche pétrolière et minière dans le domaine de la sismique, dans la localisation de sources dans un contexte urbain ou 25 sous-marin. Un ensemble de capteurs est appelé réseau d'antennes 1 ou réseau de capteurs. Dans un contexte électromagnétique, les capteurs sont des antennes et les sources radioélectriques se propagent selon une polarisation. La figure 1 montre 30 un exemple de système 2 de traitement d'antennes où un réseau de capteurs Ci reçoit les signaux de plusieurs sources d'incidences Ei sources d'incidence Omp. Les techniques de traitement d'antennes exécuté par un processeur P ont pour objectif de séparer ou d'extraire des informations associées à chacune des sources Les techniques de traitement d'antennes exécuté par un processeur P ont pour objectif de séparer ou d'extraire des informations associées à chacune des sources en exploitant la diversité spatiale dépendante de la géométrie du réseau d'antennes et de l'incidence Omp des sources. Le domaine est plus particulièrement celui de la goniométrie qui consiste à estimer les directions Omp de chacune des sources. Les capteurs élémentaires du réseau reçoivent les sources avec une phase et une amplitude dépendantes en particulier des incidences des trajets et de la position des capteurs. D'après la figure 2, l'incidence d'un trajet est soit définie par des paramètres de direction Om= {0R, et/ou Am} soit par le vecteur d'onde k (Om)= [Um vm wm]T qui est de norme unité. Les angles 8m et Am sont respectivement l'azimut et l'élévation. Une technique de goniométrie a pour objectif d'estimer les composantes soit de Om, soit de k(Om). Une goniométrie est dite q-D lorsque le nombre de paramètres à estimer vaut q. Les autres paramètres sont soit connus a priori soit indéterminés. D'après la figure 1, le vecteur pn=[xn yn zn]T est le vecteur de position du n-ième capteur par rapport à un point d'origine O. Un réseau de N antennes est dit d-D, lorsque l'espace engendré par les vecteurs de position pn (1_n L'un des problèmes techniques à résoudre est celui de l'optimisation de la goniométrie d'un réseau d'antennes. Plus particulièrement, l'un des objectifs est de déterminer la position pn des N capteurs pour (1 Notons qu'un réseau est dit omnidirectionnel lorsque les performances mono-source du réseau sont indépendantes de la direction d'arrivée. La littérature concernant les calculs de performances théoriques est très abondante. Ces performances sont généralement des variances ou biais des paramètres à estimer tels que °m ou k (Om). Dans les articles de performances, à la connaissance du Demandeur, un seul ayant pour auteurs H. Gazzah et S. Marcos, intitulé � Cramer-Rao Bounds for Antenna Array Design � et publié au journal IEEE Trans. Signal Processing, 54(1):336-345, Jan. 2006., établit un lien entre la borne stochastique et les positions pä des N capteurs en situation mono-source pour une goniométrie 2-D avec un réseau 2-D. Les auteurs de cet article utilisent ce lien pour établir un critère analytique de directivité dépendant de l'angle formé par les deux branches d'un réseau deux dimensions en V, le réseau est composé de N=2M+1 capteurs composé de deux branches avec un réseau linéaire uniforme ayant le premier capteur en commun. Malgré les avantages qu'elle apporte, la technique développée par l'art antérieur présente notamment les inconvénients suivants : • d'avoir établi le lien analytique entre les performances et les positions des capteurs uniquement à partir de la borne stochastique en mono-source, • de ne pas avoir établi de critère reliant la résolution de deux sources et la géométrie des capteurs, • de traiter une seule famille de réseau 2-D très particulière qui sont les 20 réseaux en V composés de deux sous-réseaux linéaire uniformes respectant le critère de non-ambiguïté. Dans la suite de la description, la notation A avec un seul indice comme Am est utilisée pour désigner des angles, alors que la notation A avec deux indices comme Al2 est relative à une distance dans l'espace du vecteur d'onde ou encore la norme 25 de Ak qui est la différence entre les vecteurs d'onde de deux sources. L'objet de la présente invention concerne un procédé pour déterminer la position optimale de capteurs identiques de dimension d-D (1 Où xn(t) est le signal reçu sur le nième capteur, sm(t) est le signal de la m-ième source, n(t) est le bruit additif, O. est la direction d'arrivée de la source définie (figure 1) et â(Om) est le vecteur directeur observé. En présence d'erreur de 20 modèle le vecteur à(Om) s'écrit à(Om) = a(Om) +em (2) Où a(Om) est le vecteur directeur théorique tel que a(Om)Ha(Om) = N et em est l'erreur de modèle. Selon la figure 1 et sachant que les capteurs sont identiques (ou homogènes), la nième composante de a(0) s'écrit 2,r T 1 an (0) = exp j k (0) pn J (3) 10 x1(t) x(t) = M = a(Om) sm(t)+n(t) (1) m=1 Où pn =[xä yä zn]T est le vecteur de position, est la longueur d'onde et k (0) est le vecteur d'onde tel que {u=cos (0) cos (A) avec v=sin (6) cos (A) (4) w=sin (A) u v k(0)= w Où 0={B4O} dépend de l'azimut 0 et de l'élévation A. L'objectif de la goniométrie est d'estimer les paramètres 'Fm pouvant être égaux soit à la direction Om soit au vecteur d'onde k (0m) . Un algorithme de goniométrie donne les estimées lÎ'm des sources de direction 'Pm à partir d'un critère dépendant des paramètres q' = O ou k (0) . Les performances peuvent être données en terme • de précision avec • le biais E [gym ] û `Pm • la variance ou EQM qui s'écrit MS,vm=E[APmAWmT] avec O'Fm=4'mû`l`m • de résolution entre deux sources : Présence de deux estimés 4'1 et 412 non associées à un lobe secondaire du critère de goniométrie. La résolution sera définit en fonction de la distance Al2=IIk (02) ûk (O, )II entre 2 sources. • d'ambiguïté d'ordre M: Un réseau est ambiguë mathématiquement lorsqu'il existe au moins une incidence l'ambtg # `Pm dont le vecteur directeur a(lPambeg) appartient à l'espace engendré par les vecteurs directeurs a(LPm) pour 1 D'autre part, on sait que dans une famille de réseaux ayant des performances identiques en mono-source et bi-sources, tous les réseaux n'ont pas la même robustesse aux ambiguïtés. Il faudra alors classer les réseaux de cette famille suivant un critère d'ambiguïtés défini. En pratique et au regard des objectifs de la goniométrie, le seul paramètre qui 10 donne la direction d'une source n'est pas autre chose que le vecteur d'onde k (0) . Dans ces conditions le processus d'optimisation de réseaux sera basé sur les statistiques de bonne estimation de ce vecteur. Une hypothèse est de poser P=k (0) . Dans le cas d'un réseau d-D on s'intéressera uniquement aux composantes du vecteur d'onde se projetant dans l'espace engendré par les 15 positions des capteurs. En conséquence • Pour un réseau plan 2-D: L'ellipse d'incertitude sera caractérisée par son grand axe, petit axe et son angle d'orientation. • Pour un réseau linéaire 1-D : L'ellipse d'incertitude sera caractérisée uniquement par l'écart type et le biais de la précision d'estimation de la composante 20 du vecteur d'onde se projetant sur la ligne. • Pour un réseau linéaire 3-D : L'ellipse d'incertitude est dans le cas général un ellipsoïde qui contient 3 axes et deux angles. On peut aussi dans ce cas caractériser les performances pour les composantes du vecteur d'onde se projetant dans le plan le plus proche du réseau 3D. En effet comme le vecteur d'onde est 25 normé la 3-ième composante se déduit des autres. Outils de base permettant l'optimisation de réseau Outils d'omni-directionalité et de précision déduites des performances mono-source 30 La matrice de corrélation de 0`I'. = Ylm û `f`m a l'expression suivante en mono-source MS,~, ELMImAiPmT]=aH(`Pm) H(iPm)=2AHH(`Pm)À avec (5) Vii= 8a(lPm) Sa(LPm) ôPm(1)b'F (d) a(Ifni) a(q' )H n( m) IN a(`Pm)Ha(If.) Sachant que Wm est un vecteur de dimension d x1 . Les valeurs du coefficient a indiquées dans le tableau 1 suivant dépendent du type de performances considérées. Type de Performances Valeur du coefficient a Borne de Cramer Cas (Nr = E r l RAO Stochastique 1 + SS [l sm (tk )l2 J A partir de = 62 x(tk) pour1_k_K a avec r s r i K ss 2 Cas déterministe 1 1 K avec îs s =ù~lsm(tk)lz K k=1 a= K @ss 2 Performance de A temps d'intégration 1 MUSIC fini avec x (tk) pour 1 k K a= ( r K 6-2 En présence d'erreur a _ E r de modèle LemHem] N Tableau 1 : Tableau des paramètres à associer aux critères de précision mono-source sachant que E [n(t)n(t)H ] = 62IN Généralement en présence d'un paramètre multi-dimensionnel les performances sont données suivant un ellipsoïde d'incertitude qui dépend des 10 éléments propres de la matrice MS,1, a ce qui revient à décomposer la variable A'-F. en dvariables indépendantes min:� telles que : d 2 MS1, =1(u ~m h ~n(i)h n(;) i=l OU DYim(=) = h, (,, HA m avec (al, 2 ,� = E [(Ay,H�21 (6) (a,() z ) et hwn�) sont respectivement les valeurs propres et vecteurs propres Où de MS,, . Lorsque d=2 on obtient une ellipse ayant pour grand axe = max (61,m(ä) , pour petit axe 6 m~,o = max (o , ,ä) et une orientation par rapport à la première composante de 0`Y,n valant oo = angle (h,i, oä , [1 0]T) . Dans la suite du paragraphe le lien entre la matrice MS,I, (matrice dont les éléments propres déterminent l'ellipsoïde d'incertitude) et les positions pn des capteurs est établi afin d'obtenir une relation avec les paramètres de l'ellipse. Le lien est établi dans un premier temps pour `P,n =k (O,n) . La matrice H (k (O,n )) s'écrit H(k(e � =2N7271-2Dpp (7) 1 T 1 Dpp =ùEN (pn ûp)(pn ûp) avec p =ùEN pn N N Cette dernière expression montre que la matrice MSk(e) est indépendante de la valeur du vecteur d'onde k (O,n) en dépendant des statistiques d'ordre deux (Dpp ) des positions pn des capteurs. Un réseau est d-D lorsque le rang de la matrice Dpp vaut d. Sans rien changer à la généralité du problème, un réseau est dit une dimension ou 1-D lorsque yä= zä =0 et deux dimensions ou 2-D lorsque zä =0. Pour un réseau d-D, on ne s'intéressera qu'à la version projetée kd (O,n) du vecteur d'onde k (O,n) sur l'espace engendré par les positions des capteurs. Dans le tableau suivant, on résume quelques exemples pour les expressions des vecteurs d'onde kd (O,n) et des positions des capteurs pn Dimension du réseau kd (0) Pn Pd,n 1-D ou linéaire kl(0)=u pn = - P, n = xn avec u =cos ( 0) cos (A) xn- 0 0 2-D ou plan kz (0) = v (B) Pn = xn P2,n = xn avec v=sin [u] cos (0) yn yn _ 0 - 3-D k3(0)=k(0)= u Pn = - - P3,n = Pn avec w= sin (A) v xn w yn - - zn - Tableau 1 - Valeur de kd (Om) et pn pour 1 H (kd (Om )) = 2N\ / Dyn avec (9) N DI,,,= 1 (pdûp)avec p= 1 IPd,n N N la matrice de corrélation de l'expression (7) devient donc : a '2z`-( zD (10) MSkd(o.) 2N , vn) La décomposition en éléments propres de MSkd(e) dépend directement des éléments propres ((D1)2 et hi) de Dpn . Plus précisément on obtient MSkd(o,n) =1( ei-di )2 hlhjH avec 6d i = (11) Nb-Fie-H i Sachant que la décomposition en éléments propres de Dpp est la suivante d Dpp=1(Di)2h1h1H (12) i =1 Où (D.)2 et h sont respectivement les valeurs propres et les vecteurs propres de Dpp . L'objectif est de calculer les valeurs de ad,; et les h; qui définissent les axes des ellipses d'incertitude à partir des performances données dans le cahier des charges. 5 La description qui suit établit le lien entre 6d,; et les h; et les performances du cahier des charges. On dira que l'on est en présence d'un réseau omni-directionnel lorsque D1 = • • • = Dd =Do et donc que Dpp = (Do) 2 Id (13) Dans l'équation (15) la notion d'omnidirectionnalité est définie à partir des deux critères suivant sur la précision d'estimation du vecteur d'onde 10 • les composantes de l'erreur d'estimation du vecteur d'onde sont indépendantes. • les composantes de l'erreur d'estimation du vecteur d'onde ont la même variance. Il est possible de montrer que ce critère d'omni-directionnalité est équivalent à dire que la moyenne statistique de l'angle formé entre les vecteurs kd (0) et kd (0) est 15 indépendante du vecteur d'onde kd (0) . Plus précisément en notant k = kd (0) et k =kd (0), le critère C(k) suivant C(k) = E[d(k,)] avec IkHk 2 (14) d(k,k)=1-(kHk)lkHk) est indépendant de k = kd (0). Cela est équivalent à dire que les valeurs propres de MSkd(o) sont identiques et donc que D1 =...= Dd . Dans la suite du développement les éléments propres de MSkd(e) permettent de définir entièrement d les ellipses (ou ellipsoïdes) d'incertitudes qui définissent entièrement la directionalité d'un réseau de capteurs. Sachant que pour un réseau omnidirectionnel • UCA (Uniform Circular Array) de diamètre Dph où d=2 que Do = DPh /- • USA (Uniform Spherical Array) de diamètre Dph où d=3 que Do = DPh / 16 On en déduit que l'ouverture équivalente du réseau de dimension d, Dde où l'indice e est équivalent à UCA (ou USA) ), est l'ouverture physique Dph du réseau d-D uniforme omni-directionnel équivalent. En conséquence avec D o PP Dde =2(d+1)/2 D~ = 2(d+1)/2 /trace(DPP ) d2 (Dde) (15) Lorsqu'un réseau est omni-directionnel cela veut dire que chacune des 10 composantes du vecteur d'onde a la même variance d'estimation et que les estimés des différentes composantes sont indépendantes. En conséquence les performances d'un réseau omni-directionnel vérifient 2d+1 Id (16) (D 112(2-d) Nz d,e \ 2 / Cette dernière expression montre que l'erreur quadratique moyen ou EQM 6d de chacune des composantes du vecteur d'onde est inversement proportionnel à 15 l'ouverture équivalente Dde du réseau. En conséquence, pour transformer un réseau de capteurs de dimension d-D ayant chacun une position pd n avec une matrice de corrélation DPP en un réseau de capteurs de position pd n°mn` omnidirectionnel ayant une ouverture équivalente Dde fixant la précision, il suffit d'effectuer la transformation matricielle suivante omni = (D omni )1/2 D -1/2 _ Dd,e D -1/2 (pd,n _7) (17) pd,n PP PP pd.n 2(d+1)/2 PP 20 Toutefois suivant les requêtes du cahier des charges il n'est pas forcément souhaitable de concevoir des réseaux omni-directionnels. Ainsi il est possible d'optimiser un réseau ayant une directivité plus ou moins importante dans une direction O.. Le cahier des charges peut donner, par exemple, un écart type MSkd(o,)=(0d )2Id où 6d= Nia minimal et maximal de l'azimut pour une source dont l'élévation d'arrivée vaut à,. Pour cela il est nécessaire de revenir à la notion d'ellipse d'incertitude dans l'espace des angles d'arrivées O. qui dépend des éléments propres de la matrice MS0. : L'objectif est alors de calculer la matrice Dpp qui permet d'obtenir la matrice de performances MSom dans l'espace des angles d'arrivées. Sachant que les équations (12)(13) ont établi le lien entre les éléments propres de Dpp et ceux de la matrice MSkd(om) définissant l'ellipse d'incertitude dans l'espace du vecteur d'onde, il suffit d'établir la relation entre les élements propres de MSkd(e) et MSom pour obtenir le lien entre MS0 et Dpp . Plus particulièrement le procédé 10 définira des paramètres de directivité qui conditionneront les éléments propres des matrices MSkd(om) = aH (kd (8m et MSom = aH (8m )ù1 . La matrice H(Om) s'écrit de la manière suivante en fonction de la matrice H(kd (O.� qui est de rang plein H(0m)=Jd (Om)H H(kd (Om))Jd (0m) (18) Où Jd (Om) est le Jacobien. Afin que la matrice H(Om) soit de rang plein, le 15 nombre de paramètres angulaire de O. doit être inférieur ou égal à d, en conséquence • Cas des réseaux 3-D (d=3): O. ={9m,Om} • Cas des réseaux 2-D (d=2): O. ={9m,Am} • Cas des réseaux 1-D (d=1): O. = Omo,) = {9m) sachant que Om = ào 20 • Cas des réseaux 1-D (d=1): O. = 0m19 = {Om} sachant que O. = 90 Le cas d=1 est en réalité un cas dégénéré. Dans le tableau suivant, on résume les valeurs possibles du Jacobien en fonction de la dimension d du réseau Dimension du réseau Jd (Om) = Kd (Om) Ad 1-D ou e.lào ={Bm} K, =1 linéaire A, =cos(D0)sin(0 ) Oml90 ={Am} K,=1 A, =sin(Am)COS(00) 2-D ou plan K2 (0m) ù k2 0,n +ù,0 k2 (O '0) A2 (Om) = COS 2 (Ani) 0 0 Sin (Ain) 3-D K3(0 )=[k / 9m+ù,0 k / A 3 cos(Am) 0 2 Bm,Am+ 0 1 v 2 Tableau 2 - Valeur du Jacobien en fonction de la dimension du réseau La matrice MSo peut alors s'écrire MS_ avec / d V-1 1(o-d,i) 2 hi (Om )hi (Om )H hi (0m) = AddHHKd (Om )H hi _ Vu 0d,i û l~ A 8N~ (19) Dans le cas omni-directionnel où cr i = 6d pur 1 1. Dans ces conditions, les axes de l'ellipse d'incertitude dans l'espace des angles d'azimuth 0m et d'élévation Am, Om ={9m,Om} sont définis par les écarts types 6B =.IE[(9m -Bm)2] et o,, =.E[( respectivement des azimuts et des élévations. Le tableau suivant résume les différentes valeurs possibles de o-6, et (.-f,â, 5 pour un réseau omni-directionnel en fonction de la dimension du réseau Dimension du réseau 1-D ou On~~~,={B"} Pas défini 6e = 1cos) sin ( 9 m) o linéaire 1 ! 61 o- _ Pas défini 1sin (4m) cos (90 )l (72 (72 2-D ou plan 6B o- Cos(A) Tsin ~0 m )I 3-D oB 60 = 63 ICOS (Ani )I Tableau 3 - Précision en azimut et élévation d'un réseau omni-directionnel Dans le cas où les réseaux sont non omnidirectionnels, la directionalité sera définie 10 à partir des incidences O. où l'estimation de l'azimut et de l'élévation sont découplées. Ce découplage est vérifié lorsque 1 0 0 ou eo = pour 1 i d (21) Lorsque la condition de l'équation (23) est obtenue, alors hi (Om) = AdHKd (Om H hi MSe = 1(0-d,i)-2h i (Om )hi (Om )H avec 6 = Nia (22) t-1 d,i BN J lr \ i Dans le cas du réseau 2-D, la condition de l'équation (23) est vérifiée lorsque hi Kd (0m )H hi = ee = est orthogonal à 2+ ù , 0 ou k2( 0 m,) . En posant hi = k2 COm + -,0 et 2 , 2 ) h1 =k2(Om,O), pour Ont ={Om,Om} 6d,1 Icos ( Om ) MSoä ={Bä ,on } _ (6B)z eBeBH + (60)2 e4e4H avec {o-e _ (23) 6 ù I )I 6d 2 et pour Om ={Om +lr/2,Om} MSo/ 2 eBeBH +(o-,)2 eoeoH avec 6d 2 cos (Om )I (24) ad,l Tsin(Am)I D'après (25)(26) en fixant l'élévation à Am, on montre que l'écart type en azimut 6B 5 est bornée de la manière suivante 6Bm,a lequel la précision en azimut ut. est minimal. Il est à noter que le processus décrit ci-dessous comprend le cas des réseaux omni-directionnels avec (Yom. = o-0.. Dans le cas du réseau 3-D, la condition de l'équation (23) est vérifiée lorsque hi Ir est orthogonal à k 8m +ù,0 ou k 6m, Om +ù . En posant h, =k O +ù,0 2 , 2j h2 =k 0m,ù et h3 =k(Om,O), on obtient pour en, ={8m,Om} Etape (T-2D) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation Dpp des p2 n selon l'équation (11). Etape (T-2D) n° 2 : Calcul de a-d , = 6Bn,n Icos (Am )I et ad 2 = Q cos (Am )I en utilisant (27). Etape (T-2D) n°3 : Calcul des tailles de réseau Di selon l'équation (13) en effectuant Di =) 2 Etape (T-2D) n° 4 : Calcul de la matrice de corrélation Dppdirectif en utilisant (12) ( \H =(D1)2k2 °m+,O k2 Om+1,0 +(D2)2k2(0m,O)k2(Om,O)H 2 , 2 (26) (Les directions des Axes de l'ellipse d'incertitude sont données par le cahier des charges avec 0directif = 8m + 2 qui donne la direction dans laquel la précision en azimut est minimale) Etape (T-2D) n° 5 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant directif = (D directif )1/2 D -1/2 (2,n p2,n pp pp p ûp) (27) D direc pp m 2 (28) MS,ä,={aä,on,} = (6o, )2 e0eBH + (601)2 eoe,H avec Et pour O. ={6m+,r/2,A,n}, (29) 6 =-6d,3 9 I cos m )I 2 e e H ~6. 2 + e.eoH avec COS =\1(6dl)2sin(à.)2+(ad,2)2cos(Am)2 D'après Erreur ! Source du renvoi introuvable.0 en fixant l'élévation à Am, on peut montrer que l'écart type 66, vérifie 6dl cos (Om )I (30) 6d,3 cos (Am )I Lorsque o-d,1 6d,3. On remarque de plus que 601 =o-3,2 = ud 2 en A. = O. Un processus de transformation d'un réseau quelconque en un réseau directif peut alors être envisagé à partir de paramètres contenus dansun cahier des charges. Le cahier des charges peut donner les valeurs minimale et maximale o-0 , et 6e ax de la précision en azimut à l'élévation Am ainsi qu'une précision 6o en A. =O. Le cahier des charges donne l'azimut Bdirectif = Bm + 2 pour lequel la précision en azimut o- 0 est minimal. En conséquence les étapes de transformation d'un réseau initial de dimension 3-D composé de N capteurs de position p3 n en un réseau de directivité choisi sont alors les suivantes : Processus de transformation d'un réseau 3-D en un réseau de directif Etape (T-3D) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation Dpp des p3, selon l'équation (11). Etape (T-3D) n° 2 : Calcul de 6d 1 = 6g. cos (Om) et 6d 3 = 6Bma Icos (Om )I en 6d,1 cos(Am)I 60, ù 6d)2cos(Am)2+(ad,,)2Slri(àm)2 MS 6 +(D3)2k(o 0)k (0m,0)H (Les directions des Axes de l'ellipse d'incertitude sont données par le cahier des charges avec 0directif = 0,r, + 2 qui donne la direction dans laquel la précision en azimut est minimale) Etape (T-3D) n°6 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant directif = (D directif )1i2 D"2 ( ùF) (32) p3,n pp pp p3,n B k e m 2/\m 2i (31) Processus de transformation d'un réseau 1-D lorsque l'élévation est fixée Lorsque l'azimut est fixé à e0 , un cahier des charges donne la précision en élévation o . En conséquence les étapes de transformation d'un réseau initial de dimension 1-D composé de N capteurs de position p,n en un réseau de précision choisie sont alors les suivantes. Etape (T-1 D-9) n° 2 : Calcul de 6d, = 00 Icos (D0) sin (Bm )I en utilisant les données contenues dans le Tableau 3. Etape (T-1 D-9) n° 3 : Calcul des tailles de réseau D, selon l'équation (13) en effectuant D, =((,/a/8N)/ad,)2, Etape (T-1 D-9) n° 4 : Calcul de la matrice de corrélation DPPdirectif = DPPdirectif en utilisant (14) D directif = (D, )2 (33) pp Etape (T-1 D-9) n° 5 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant D directif PP (pl, ùp) (34) DPP directif _ pl,n Etape (T-1 D-0) n° 1 : Calcul de la matrice de corrélation DPP = DPP des pl ,n selon l'équation (11). Etape (T-1 D-0) n° 2 : Calcul de ad, = 6o Isin (Am) cos (00) en utilisant Tableau 3. Etape (T-1 D-0) n° 3: Calcul des tailles de réseau D, selon l'équation (13) en effectuant D, =((Va/8N)/ad,,)2 Etape (T-1 D-0) n° 4 : Calcul de la matrice de corrélation D direct f = D directif en pp PP utilisant (14) D directe PP = (Dl )2 (35) Processus de transformation d'un réseau 1-D lorsque l'azimut est fixé La figure 3 représente un schéma fonctionnel du procédé selon l'invention. Ainsi, la première étape consiste à réaliser le tirage au hasard d'un réseau dans une famille de réseau de capteurs, 10, ce qui conduit à disposer d'une matrice de corrélations des positions pn initiales des capteurs que l'on note pnini, puis l'étape suivante 11, consiste à effectuer une transformation linéaire du réseau initial en tenant compte des contraintes données dans le cahier des charges 12 (par exemple 6Bmin , o-t. ' Bdirectif = em +1t / 2 pour l'élévation Am) , ce qui génère une matrice composée des positions des capteurs p; k). Une étape suivante 13 peut consister à vérifier si d'autres critères imposés dans le fonctionnement du système, par exemple les critères d'encombrement et/ou de résolution sont vérifiés. Si ces critères ne sont pas vérifiés, 14, alors le procédé va procéder au tirage d'un autre réseau de la famille et va lui appliquer toutes les étapes du procédé. Si au contraire, les critères sont respectés, 15, alors le procédé va effectuer un calcul du niveau d'ambiguïté 16 et classer 17 les réseaux suivant, par exemple, le niveau d'ambiguïtés. Le procédé va exécuter des itérations 19, pour trouver le meilleur réseau des réseaux qui ont des caractéristiques identiques en terme de précision, résolution, etc .. en ayant des caractéristiques différentes en ambiguïté. Le tirage dépend de la famille de réseau. Par exemple si on prend les réseaux en V de la Etape (T-1 D-A) n° 5 : Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant directif _ pl,n 1 D directif vv (pl,n ûp) (36) Dp p figure 6 ou l'angle initial est fixé à 8, le réseau initial est composé de deux branches identiques dont la répartition des capteurs suit une loi normal). A ce niveau, le procédé a déterminé un ensemble des � nb � meilleurs réseaux appartenant à une famille de réseau. Les meilleurs réseaux sont les réseaux les moins ambiguës qui vérifient les performances du cahier des charges. La suite comprend l'intégration d'éventuelles contraintes supplémentaires pouvant être des critères d'encombrement, des critères de résolution, ou encore d'autres critères relatifs au réseau de capteurs. Le processus qui vient d'être décrit peut aussi être mis en oeuvre avec une contrainte d'encombrement maximal donné dans le cahier des charges. Outil de résolution Dans ce paragraphe un critère permettant de quantifier la capacité de résolution d'un réseau est construit. Ce critère est, par exemple, établi à partir des performances de résolution de l'algorithme connu MUSIC en présence de deux sources. En présence de M=2 sources, la méthode MUSIC appliquée aux observations de l'équation (3) a pour objectif de chercher les M=2 minima du critère J (0) tel que {Ô1 et/ou Ô2} = min J (0) avec J (0) = a(Om)H H 11ba(Om) (37) ° a(Om) a(Om) Où âb est le projecteur bruit de la matrice de covariance R, tel que R),, = 1 l x(tk)x(tk)H =12i K k=1 i=1 N ~b =eeH i=3 Où 2, > • • • > 2.N sont les valeurs propres tel que Âi est la valeur propre associé au 20 vecteur propre ei. On considère que deux sources sont résolues, par exemple, lorsque H (38) Jmoy ù xc moy > J12 + x612 = J(01)+ j(02) If12 û 2 (39) O +O moy 2 J =J 1 2 Où (Jmoy, °moy) représente la moyenne et l'écart type du critère de MUSIC sur l'incidence moyenne et (J12,o 2) représente la moyenne et l'écart type de J12 = (J (01) + J (02�/2 . On sait qu'en l'absence d'erreur de modèle pour K infini que J12 =0 et que Jmoy > J12. On définit la distance entre deux sources d'incidence 01 et 02 par Al2= (k12)H(k12) avec k12=k(O1)ûk(O2)=Al2k(l'orientation) (40) Où l'orientation est l'angle d'orientation entre les deux sources. Pour un réseau 2-D Worientation = {a, 0} où a est un angle d'orientation dans le plan azimutal et pour un réseau 3-D l'orientation = {a, fi} où fi est un angle d'orientation de type élévation dans la direction a. La limite de résolution Al2hm est la valeur minimale de Al2 dans la direction l'orientation pour laquelle la condition (30) est vérifiée. L'expression de la limite de résolution est la suivante r Al2lim = Où les valeurs de o-erreur résumé dans le tableau suivant dépendent du type de performances considérées. 24 où 2 _ 2 sachant que oy ] ù ( Jmoy ) [Jmoy = E Jmoy 7 12 =E[J12] (6moy )2 ù E [Jm 2 (6i2~ =E Jmoy2 1û(J12) Z-Inn (`d'orientation) 2 (41) \IN (P (II orientation )2 -1) x6erreur Type de Performances Valeur du coefficient a A temps d'intégration 2 1 -1 1 + 1 1 iz fini avec = Z Pi Pz + °erreur PiP2 K (1ù n22) Performance de x (tk) pour 1 k 5 K Pm : Rapport signal sur bruit de la m1ème source MUSIC n2 : Corrélation temporelle des sources En présence d'erreur °erreur - 2 E[emHe de modèle N Tableau 4 - Valeur du o- rreur du critère de résolution en fonction du type de performances Les paramètres Dpp (orientation) et p (l'orientation) sont liés de la manière 5 suivante aux statistiques d'ordre 2 et 4 de la répartition des capteurs Dpp (orientation) = 1 l dn (l`orientation )2 N 1N 2 N dn (If orientation )4 p (orientation) = ri= 2 (42) Dpp ('P orientation ) dn (Y) = kd (W )H (pd n ùP) Les positions dn (W) sont les positions des capteurs projetés sur un axe d'orientation kd (l'orientation) . L'expression (32) permet de • Définir une omnidirectionnalité en résolution pour un réseau d-D : Le coefficient p('llorientation) est indépendant de la direction W. Un réseau circulaire uniforme 2 10 est omni-directionnel en résolution avec p(l'orientation) =1.5. • Définir un critère de pouvoir de résolution où 1/(p(Worientation)2ù1) doit être proche de O. Dans la suite du paragraphe des critères plus précis sont établis sur l'omnidirectionalité en résolution et la capacité de résolution. Les expressions de 15 Dpp (l'orientation) et p (L'orientation) de l'expression (33) peuvent s'écrire : lT~ H Dpp (l'orientation) k d (T orientation) Dppkd (orientation ) H o2 P (orientation )2 = kd (orientation) Q ppkd (orientation ) Dpp orienta�)n ) z n ùP _)�2H Où Dpp est la matrice de covariance des positions définie par l'équation (11), O est le produit de Kronecker et k =k Ok. Plus précisément le coefficient p (l'orientation )2 est le rapport de forme quadratique suivant (44) Q _ (D -1/2 � D -1/2 )H Q (D -1/2 0 D -1/2 ) Q PP PP PP PP PP PP avec k d = DPP1/2k d (orientation ) D = D 1/2 (D v2 )H PP PP PP On peut alors définir des critères d'omnidirectionalité et de pouvoir de résolution à 5 partir des valeurs propres suivantes de la matrice Qpp de l'équation (35). dxd QPP = Qivi (vi )H (45) i=1 Où Qi sont les valeurs propres associées aux vecteurs propres vi . Le critère d'omnidirectionnalité en résolution est le suivant max p (111)2 max Qi = == (46) minp(IF)2 minQi En conséquence le réseau est omnidirectionnel lorsque Romni est minimal, c'est à dire que Ramni=1. Sachant qu'un réseau aura un fort pouvoir de résolution lorsque 10 P (orientation )2 -1 est grand, on définit alors le pouvoir de résolution par (43) N QPP = E (Pd,n ù N n=1 k �2Hn k 2 pp d P (orientation) �2Hk �2 d d Rom R=min power p(w)2= min lQi -11 (46') En conséquence les critères de résolution sont liés aux statistiques d'ordre 4 de la répartition des capteurs Qpp . Dans un processus d'optimisation de réseau, l'objectif sera de minimiser le critère Ramai et de maximiserRpower . Les calculs de ces deux critères à partir des positions pd ,, des capteurs d'un réseau sont résumés dans les étapes suivantes : Etape n°1 (Res) : A partir des positions des capteurs pdä calcul de Dpj, selon (11). Etape n°2 (Res) : A partir des pd n calcul de Qpp selon (34). Etape n°3 (Res) : A partir de DP1, et Qpp , calcul de Qpp selon (35). Etape n°4 (Res) : Décomposition en éléments propres de pp soit : dxdH Qpp ù ~i=1 Qivi (vi ) Etape n°5 (Res) : Calcul du critère d'omnidirectionalité en résolution Rond selon (37) à partir des Qi . Etape n°6 (Res) : Calcul du pouvoir de résolution Rpower selon (46') à partir des Qi . Processus de calcul de critères permettant d'optimiser le pouvoir de résolution ainsi que l'omni-directionalité en résolution Ambiguïté de réseau L'objectif est d'établir un contraste entre le niveau des lobes principaux et celui des lobes secondaires du critère MUSIC ou d'un autre critère équivalent. La goniométrie est ambiguë lorsque l'algorithme donne les incidences d'un des lobes secondaires à la place de l'un des lobes principaux. Les critères d'ambiguïtés se feront dans l'espace des composantes du vecteur d'onde. Ambiguïtés d'ordre 1 En présence d'une source d'incidence un réseau est mathématiquement ambigu à l'ordre 1 lorsqu'il existe une incidence O pour laquelle les vecteurs a(kd (el� et a(kd (0)) soient colinéaires. Dans ces conditions la projection du vecteur directeur a(0) sur le vecteur a(O1) est maximale Diaga (aa (kd (Oi )),kd (0)) =1= a�kd (0))H H (aÂ (kd (Oi )))aa (kd (0)) N où 1ûDiag2(a(k,),k2) est une distance entre les vecteurs a(k,) et a(k,)) où 1-1(A) est le projecteur sur l'espace engendré par les colonnes de A tel que (47) II(A)=A(AHA)'A' (48) et où aa (u,v) est le vecteur directeur pour la longueur d'onde 2 tel que avec ana (kd) = exp / j 2n kdTpd n (49) i Comme Diaga (A,kd (0)) est compris entre 0 et 1 et qu'il existe une ambiguïté mathématique lorsque Diaga (A,kd (0)) =1 (La distance entre a(kd (0)) et A est nulle), le critère de robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 noté 171(2) dépendant de la longueur d'onde 2 de la manière suivante : 17,(2)= ôni71(2,01) r7i(2,Ol)= min (1-Diaga(aa(kd(01)),kd)) kd kd1kd 1 Un réseau est mathématiquement ambigu à l'ordre P lorsque le vecteur directeur a(kd (0)) est engendré par une base de vecteurs directeurs a(kd (O,)) jusqu'à a(kd (Op�. En conséquence la projection suivante du vecteur directeur a(kd (0)) sur l'espace engendré par les vecteurs a(kd (OP )) pour 15 p ≤P (P vecteurs indicés p) est nulle : Diaga (Aa (~P ),ka (0)) =1= aa (kd (0))H n (Aa (cr'P ))a2 (kd (0)) N où le projecteur II(A) est défini par l'équation (48) et où Aa (4311 = [aa (kd (e1)) a2 (kd (OP ))] et cI:•P = {kd (e1) kd (OP )} (62) Comme Diag2 (A,kd (e)) est compris entre 0 et 1 et qu'il existe une ambiguïté 10 mathématique lorsque Diag2 (A,kd (0)) =1, on définit la robustesse aux ambiguïtés d'ordre P pour la longueur d'onde 2 , le paramètre ThP (À) suivant : i7P (2) _ mienl7p 2,OP 17P (a,,(DP) = mind(1_Diag2(A2(cI),kd)) kaHka lorsque r7P (2,,(DP) 1. C'est ainsi que la méthode classique ci-après est appliquée à la fréquence maximale. Cette méthode consiste à tirer aléatoirement P couples d'incidences (60) (61) (63) (64) oPk = {kd (O,k) kd (OPk )} pour ensuite calculer 17 (2)k =17p (, qPk) pour 1 1. Pour d=1 calcul de la position moyenne des deux capteurs Etape n°3 (DPH) : Si (pd,n-po )H (pd,n-po) D/2 pour (1 n N) alors DpD Etape n°4 (DPH) : Passage aux d-uplets suivants et retour à l'étape n°2 Processus de calcul d'une ouverture physique d'un réseau d-D • Distance minimal entre capteurs qui peut être du soit à l'encombrement du capteur élémentaire soit à un souhait de minimiser un inter-couplage. • Zone 1-d, 2-d ou 3-d dans laquelle les capteurs peuvent être installés. L'optimisation de réseau peut alors prendre en compte le critère de précision pour obtenir des réseaux ayant l'encombrement nécessaire. Le processus suivant permet de trouver les nb meilleurs réseaux d-D omnidirectionnel (ou directionnel) permettant de goniométrer P sources à partir ù d'un critère de précision (a0 . et o-e_ de la précision en azimut à l'élévation Am ainsi qu'une précision 6o en Am = 0. lorsque le réseau est 3D) ù d'une famille de réseau qui peut être aléatoire ou paramétrée Lorsque les réseaux sont aléatoires, on réalise une boucle sur les différentes réalisations aléatoires et lorsque le réseau est paramétré on boucle sur les paramètres du réseau (par exemple l'angle b pour le réseau en V figure 5. Ainsi Etape n°A.0 : Initialisation de l'ensemble `P = 0 , i=0 Boucle sur un ensemble de / vecteurs de paramètres d'une famille de réseaux Etape n°A.1 : Tirage d'un réseau i-ième initial d-D (pd n'°' pour (1 R. max alors retour à l'étape n°1 pour le tirage d'un autre réseau avec i=i+1. Etape n°A.6(Option) : Si Rpower ambig(k) (k) ambig(1) ambig(K)} _ ('Pd,n ) pour (1 _ Classement du réseau le plus robuste aux ambiguïtés d'ordre 1 au réseau le moins robuste. Etape n°A.10 : i=i+1 Si i Etape n° A.13: Classement des éléments de `Popt suivant le niveau des ambiguïtés d'ordre P tel qu'en final opt =1(n ambig(k) (k) ,~p(%fur ),Pd n(k)1 pour (1 k nb) avec rlP(') > ... > ~P(nb) } Classement du réseau le plus robuste aux ambiguïtés d'ordre P au réseau le moins robuste. Dans le cas des réseaux en V comprenant deux branches sur lesquelles sont répartis les capteurs, on peut réaliser un boucle sur l'angle 8 entre les deux branches du V. Pour les doubles cercles on peut boucler sur le rapport des rayons R1/R2 ainsi que l'écart angulaire al-a2. Pour les réseaux aléatoire il s'agit juste d'un ensemble de tirage aléatoire de réseaux. 34 25 En final des étapes d'optimisation on obtient les nb meilleurs réseaux vis-à-vis des ambiguïtés d'ordre P qui vérifient les performances 60et 6B et 60 max pour les réseaux 3D. Le procédé selon l'invention permet par rapport à l'art antérieur de résoudre les problèmes suivants : • la généralisation du calcul des performances en mono-source à une seule expression, • le calcul de performances mono-source pour des réseaux 2-D, 1-D et 3-D quelconques en fonction de la géométrie du réseau, • l'établissement d'un critère reliant la résolution de deux sources et la géométrie des capteurs, • l'établissement d'un critère de directivité pour des réseaux d-D quelconques, • l'optimisation de réseau de capteurs quelconques à nombre de capteurs fixés à partir d'un cahier des charges donnant la précision mono-source, la résolution sous les contraintes d'encombrement maximal, d'omnidirectionalité ou de zones dans lesquelles les antennes sont installables. REVENDICATIONS1 ù Procédé pour déterminer la position optimale de capteurs identiques de dimension d-D (1 2 )k2) et à H 20Dimension du réseau 6B 60 1-D ou Oi° ={Bm} aB cri Pas défini linéaire cos(Do)sin(Bm)I Om eo ={0m} Pas défini 60 = ' sin(A.)cos(00)) Calcul des tailles de réseau D1 en effectuant D1 =((i/a/8N)/ad1)2 Calcul de la matrice de corrélation D directif = (D1 )2 PP Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant D directif PP (p1,n ûP) DPP P1,n directif ù 5 û Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce que le réseau est un réseau linéaire de capteurs à une dimension, l'ellipse d'incertitude étant dans ce cas caractérisée par l'écart type et le biais de la précision d'estimation de la composante du vecteur d'onde se projetant sur une ligne et en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes, dans le cas où l'angle d'élévation est fixé Calcul de 6d 1 = a.e Icos (Do) sin (6m )I en utilisant les données du tableau Dimension du réseau 6B 60 1-D ou Om~oo ={B m} = Pas défini linéaire 6B cos(Do)sin(6m)I Om~eo ={' m} Pas défini 60 = 1 Tsin (Om) cos (0o ) Calcul des tailles de réseau D1 en effectuant D1 = ((,/a / 8N) / od,1) 2 15 Calcul de la matrice de corrélationD directif = (D1 )2 nn Calcul de la position des capteurs du réseau directif en effectuant directif _ pl,n D directif PP (p1,n ùP) Dnn 6 ù Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce qu'il comporte une étape au cours de laquelle, on détermine des critères d'omnidirectionnalité et de pouvoir de résolution à partir de la position pd,n des capteurs d'un réseau qu'il soit le réseau tiré initialement ou encore le réseau directif défini en tenant compte de la matrice de covariance Dpp des positions des capteurs et de / 02 _2H QPP ù Pd,n Pd,n P N n=1 \ \ / à partir de Qpp et de Dppdéterminer la valeur de Qln 1 o décomposer en éléments propres la matrice Qnn ce qui conduit à _ dxd Qnn = i=1 max Qi déterminer le critère d'omnidirectionalité en résolution Romni = min Qi déterminer le pouvoir de résolution Rpower = min Qi -1 comparer ces deux valeurs à des valeurs données dans le cahier des 15 charges et si les valeurs déterminées ne satisfont pas le critère du cahier des charges, choisir un nouveau réseau et réitérer les différentes étapes de calcul de position des capteurs et des critères d'omnidirectionalité et de pouvoir de résolution, pour des réseaux de dimension 1, 2 ou3.7 ù Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce qu'il comporte une étape au cours de laquelle on classe les réseaux en fonction d'un degré d'ambiguité en exécutant les étapes suivantes : Initialiser un ensemble W contenant des réseaux et leurs 5 caractéristiques, déterminer, pour un réseau, le critère 771amnjK de la robustesse aux ambiguïtés d'ordre 1 à partir de la connaissance de la fréquence fmax min (1ùDiag nax (aax (Od),Ak)) 4k 4kH4k ) ambig(K) ~` = (~~ ,Pd,n pour (1 _ 15 Classement du réseau le plus robuste aux ambiguïtés d'ordre 1 au réseau le moins robuste en exécutant les étapes suivantes Stockage des nb meilleurs réseaux vis à vis des ambiguïtés d'ordre 1 tel que c W ~(~ambig(k) (k) pour (1 k nb )l apr avec 'Foe = 1 ,Pd,n Réitérer lesdites étapes pour tous les réseaux i=1,....1 20 Calcul des ambiguïtés d'ordre P des réseaux de 'Font selon Le critère de robustesse aux ambiguïtés d'ordre P iP (2)k pour la longueur d'onde 2 vérifiantPr (l7P (2)k ...• _ ~7P(ab)} : 20