Brevet FR2957165A1 — publié le 20110909

-1- Domaine technique de l'invention La présente invention concerne un procédé déterministe de modélisation des poudres industrielles. Il s'agit notamment de modéliser quantitativement la distribution de tailles de grains ou la distribution cumulée de tailles de grains pour une poudre donnée ou le mélange de plusieurs poudres données, ainsi que toute évolution du système de poudres soumis à des conditions extérieures. État de la technique antérieure Tant du point de vue de la recherche fondamentale que de la recherche appliquée, toutes les formules utilisées pour modéliser les poudres industrielles reposent sur des approches empiriques ou phénomènologiques. Aucune relation n'a encore été établie, assortie d'aucune représentation, entre quelques entrées structurelles et les distributions de caractérisation largement utilisées dans l'industrie conduisant à une modélisation de facture déterministe. Les distributions de tailles de grains fréquemment utilisées dans l'industrie sont issues de lois statistiques, on peut citer la loi log-normal et la loi de Weibull à titre d'exemple. Les paramètres compris dans ces lois ne renvoient pas à une représentation structurelle des grains. Ainsi pour la distribution de tailles de grains inspirée de la loi de Weibull, on introduit un paramètre de forme dont le sens renvoie à l'allure de la distribution elle-même : selon la valeur de ce paramètre la taille des grains ou particules est plus ou moins uniforme. Il n'y a pas, dès lors, d'information claire entre les caractéristiques de la poudre en termes de grains et les propriétés recherchées par l'industriel s'agissant du matériau final ou de l'effet final. Or, l'expérience montre que ces propriétés (ou cet effet) sont fortement influencées par les caractéristiques des poudres en termes de grains dont par exemple la granulométrie. En ce qui concerne l'évolution de la densité d'une poudre compactée, l'équation très fréquemment utilisée est l'équation de Heckel (R-W. Heckel, Density-pressure relationships in powder compaction, Trans Metall. Soc. AIME., 221, 671-675 (1961a) ; An analysis of powder compaction phenomena Trans Metall. Soc. AIME., 221, 676-682 (1961b) et, par exemple, W. Xiong, X. Qin, L. Wang, Densification behavior of nanocrystalline Mg2Si compact, J. Mater. Sci. Technol., Vol 23 N°5, 2007). Cette équation relie le rapport du volume global des grains sur celui du volume total du système à la pression de compactage imposée suivant des paramètres empiriques. On utilise l'équation de Heckel notamment pour distinguer grossièrement les régimes de 2957165 -2- densification, notamment entre le régime de déformation plastique et celui de fracturation fragile. Il serait très utile à partir d'une approche théorique assortie d'une représentation strcuturelle des grains de pouvoir prévoir l'évolution de la densité notamment en cas de mélange de plusieurs types de poudres dont on connaîtrait individuellement les 5 caractéristiques et propriétés. Il y a d'importants travaux de recherche menés tant en physique fondamentale qu'en physique appliquée pour mieux comprendre les milieux granulaires et leurs propriétés. Il existe une approche assez intéressante, introduite il y a une vingtaine d'années consistant à regarder les milieux granulaires selon le prisme des lois de la 10 mécanique statistique. Cette approche est assez tentante car les grains évoquent les particules d'un système statistique tel que ceux de la mécanique statistique. Cette approche tend à introduire une entropie (S.F. Edwards, R.B.S. Oakeshott, Physica A 157, 1080 (1989) ; R.D. Cohen, Proc. R. Soc. Lond. A (1993) 440, 611-620). Néanmoins, les différentes configurations et les réarrangements possibles ne sont plus motivés par des 15 considérations thermiques, mais par des effets mécaniques liés par exemple à un compactage. Ceci pose le problème de la pertinence d'une telle approche et de l'équivalent de la température dans cette mécanique statistique des milieux granulaires (A. Barrat, J. Kurchan, V. Loreto, M. Sellitto, Edwards measures for powders and glasses, Phys Rev Lett, 2000 Dec 11, 85(24) 5034-7). Ces questions sont toujours en débat. Le 20 point de vue défendu conduisant à l'invention dont il est question est différent : le formalisme de la mécanique statistique est pertinent dans l'étude des milieux granulaires, non parce que ce type de système serait susceptible au cours de son évolution de parcourir approximativement toutes les configurations û ce dont il est sérieusement permis de douter û justifiant l'introduction d'une fonction entropie, mais parce que sa définition 25 elle-même relève d'un raisonnement de la mécanique statistique. La géométrie à laquelle obéit le système défini par un milieu granulaire est, selon cette invention, basée sur un raisonnement de la mécanique statistique. Ce raisonnement conduit à associer à tout milieu granulaire un volume élementaire représentatif caractérisé notamment par un rayon. Ce rayon est le paramètre intensif propre à un raisonnement de la mécanique 30 statistique et équivalent de la température en thermodynamique. Il y a un fort besoin pour une explication théorique de la définition des poudres industrielles conduisant à un procédé de modélisation de ces poudres selon une voie simple et déterministe de nature à optimiser les investissements industriels. 2957165 -3- Exposé de l'invention Il s'agit d'une solution technique au problème technique de la modélisation des poudres industrielles et de leurs propriétés selon un procédé déterministe depuis des entrées structurelles. Cette solution technique est basée sur une solution scientifique 5 partielle apportée au problème scientifique de la mise au point d'une géométrie vraie à toutes les échelles dans le cadre d'un travail personnel de description de la matière en général. La solution technique obéit aux deux caractéristiques de simplicité (notamment par la nature des entrées) et de déterminisme (notamment par la physique sous-jacente et 10 le rôle de l'entrée « 1 ») requises pour répondre aux besoins de toute exploitation industrielle fiable liée à la modélisation des poudres industrielles selon leurs usages. Le procédé consiste à déterminer un volume élementaire représentatif (noté VER) de toute poudre industrielle. On regarde la poudre, pour une poudre homogène donnée, comme étant l'imbrication d'un ensemble de VER identiques. Chaque VER est fait de 15 grains. À chaque grain on associe un volume. On considère une série de tailles de grain j de volume vj tel que vj=j(vo). On calcule ensuite la représentativité de chacune de ces tailles j pour la poudre en question. La théorie sous-jacente dit que la définition du VER suppose que le mélange de grains le composant soit parfait. Ceci conduit à la distribution en question car le critère de mélange parfait implique que s=kLnSZ soit maximum si SZ est 20 le nombre de répartitions équivalentes où k=1/C une constante homogène à une surface. On associe à chaque VER ainsi défini un rayon maximum, R., ou Rseä i1, lié au grain le plus grand appartenant à ce VER. sachant que N N 25 V=Enj.vjet N=Eni j j Ce VER est conçu de telle sorte qu'on ne puisse pas l'isoler : il y a toujours un mélange de VER pour chaque portion de poudres considérée et on ne mesure que des comportements moyens. On peut par exemple mesurer le volume moyen : n ùC vi E vie Rùn nJv. _ J = = E e Rm- j Le volume total de grains cumulé pour un rayon R donné inférieur à R. s'écrit : 1 1 N ùC.vmexiRùR )si N N.v..E sue max V(R) = E nj.vj = J=' Formule dans laquelle s. = vJ . Le calcul des tailles de grains définissant le VER vmax moyen se fait alors à travers le paramètre R ou, plus précisément, tout en calculant le volume cumulé V=V(R) où R varie de 0 à Rm. L'expression de vm., pour une représentation donnée selon une géométrie artificielle (reproductible par l'homme) fera ressortir une longueur caractéristique qu'on appellera 1 de sorte que chaque VER de toute poudre industrielle est au moins caractérisé par un rayon R. et une longueur caractéristique 1 (FIG.1). On peut admettre qu'à chaque grain on associe une pression de type Laplace correspondant à la déformation de l'interface solide de ce grain. Si ce grain est caractérisé par un rayon de courbure alors cette pression a pour expression type : Pi _ùa r~ On peut donc également écrire V(R) sous la forme suivante : N mue( a )• i Formule dans laquelle P est une pression supérieure à Pmax (R N ùC.vm.x(1 ù 1 )•s) p.N.Vmax .E sie R Rn. j=1 N ùc.vne~cc-- ).s; E e j=1 Dans le cas de mélanges de poudres, il en résulte la définition d'un nouveau VER moyen propre au mélange et différent des VER moyens de chaque poudre qui le composent. Ce VER moyen associé au mélange est, par conséquent, également au moins caractérisé par un rayon maximum et une longueur caractéristique 1 (FIG.2). Le volume cumulé pour le mélange de plusieurs types de poudre s'écrit : Nk ùC.vmext 1 I ).s; Esi.e R Rma. Formule dans laquelle : N est le nombre de grains ; vmax est le volume du plus grand grain selon la représentation artificielle ; nRk est le nombre de types de grain ; Nk est le nombre de tailles de grain de type k ; M(R) = p.V(R) _ R Rmax nRk Nk nRk V(R) = (E ni.v;) = N.vmax (Nk N ) k ) k=1 ùCmaxR R )•s; e ma~ V max vi volume des grains j défini selon la représentation artificielle ; - C est une constante. On a ramené une poudre ou le mélange de poudres au comportement moyen d'un VER. À partir de la courbe V(R), il est possible de déduire les rayons des grains appartenant au VER moyen (on choisit un espacement régulier sur l'axe représentant le volume cumulé et on identifie pour chaque volume le rayon correspondant afin de calculer sa représentativité selon la relation évidente : ù _ .dF(R) où F(R) est la fraction V(R)/Vg , on obtient ainsi dR dR N v; une série de rayons {r;} dont le nombre dépend de la précision souhaitée û on peut choisir, afin de simplifier tout en préservant le déterminisme, vfconstante (noté vrcte et valant ) et avoir ainsi n,=constante tout en conservant pour les propriétés physiques un rayon r; pour chaque grain assigné au réseau). On peut ainsi reproduire selon un réseau 2957165 -6- artificiel à trois dimensions le système équivalent à la poudre ou au mélange de poudres en mélangeant aléatoirement les grains appartenant au VER dont on connaît le rayon par la courbe V(R) (FIG.3). Le réseau doit être constitué de grains représentés par des volumes individuels, de 5 tailles variables issues de la série de rayons définissant le VER moyen. Ces volumes sont interconnectés selon un lien abstrait ou virtuel. La rencontre de plusieurs liens constitue un noeud. Chaque noeud, qui n'appartient pas à un bord, relie six grains entre eux (FIG.4 et FIG.5). Pour une reproduction complète du système, il faudrait tenir compte de la porosité en convertissant des grains en pores. Mais pour la détermination du rayon 10 maximum cette étape n'est pas nécessaire car la conversion se ferait aléatoirement donc sans impact sur le chemin nécessaire en qualité pour aller d'une extrémité à l'autre quand le système est fermé sur toutes les faces sauf deux opposées. Afin de déterminer le rayon maximum correspondant au système reproduit par le réseau, quel que soit le VER moyen considéré, il faut partir d'un rayon donné puis à partir 15 d'une face progresser vers la face opposée sachant qu'on ne peut atteindre un grain que s'il a un rayon supérieur à celui du rayon donné. Il existe un rayon majorant tel qu'en observant cette règle, on accède effectivement à la face opposée (usuellement appelé seuil de percolation en référence à la théorie du même nom). Ce rayon maximum est propre au système de poudres considéré. 20 On peut, en appliquant cette règle, déterminer les paramètres nécessaires à la modélisation d'un mélange de poudres à partir de la donnée des paramètres nécessaires à la modélisation des poudres composant le mélange. On considère le mélange de n poudres, caractérisées par (Ri, Ni, l;), pondérées par %; pour i allant de 1 à n. On cherche les paramètres pour modéliser ce mélange 25 notamment les paramètres Rim ou Rmaxm et lm. On procède selon la règle et l'algorithme suivants (FIG.6) : on considère que les rayons sont identiques sauf pour le premier (R;m R;) ; on considère que chaque volume cumulé des tailles de grain lié à un type de grain dans la série {vj}m du mélange a la même valeur que le volume cumulé des tailles de grain lié au type de grain dans sa série individuelle {vil pondéré par %; (Vim=%i.Vi); 2957165 -7- on considère que la somme des tailles de grain dans le mélange a la même valeur que le cumul des sommes des tailles de grain de chaque poudre n constituant le mélange (E Nkn, = E %k.Nk) ; k k on se donne Rim, on en déduit 1 à partir des 2.i équations, on calcule V(R) 5 pour R allant de 0 à Rim, on en déduit les {rj}m qu'on mélange aléatoirement pour constituer le réseau {r;O}m, on calcule à partir de ce réseau Rlm et on reprend la procédure jusqu'à ce que la différence entre Rlm donné et Rim calculé soit aussi petite qu'on le désire. Le réseau déterminé par la courbe V(R) (ou évidemment M(R)), permet de 10 calculer le rayon maximum du VER représentant la poudre issue d'une poudre simple (un seul type de grains) ou d'un mélange de plusieurs poudres simples, mais également de modéliser de manière déterminisme tout processus physique imposé à cette poudre comme son compactage. Au préalable, il faut que le système défini par le réseau vérifie la porosité du système de poudre initiale. Pour cela, on convertit autant de grains en pore 15 que nécessaires sachant le rapport du volume moyen des grains sur celui des pores suivant np ng cb = les relations suivantes : (D _ ta, np +ng ' nP = 1û (D , nto p + ng . La conversion abaisse la connectivité du réseau. Pour organiser la résolution, on dispose de conditions extérieures imposées au système (les conditions aux limites), d'un réseau qu'on peut suivre grain par grain en écrivant les lois physiques appropriées vérifiées par 20 chaque grain et les lois de conservation en chaque noeud et éventuellement de lois macroscopiques (FIG.7). Le procédé a été implémenté dans un logiciel permettant de modéliser toute poudre industrielle et de prévoir ainsi les conséquences d'un mélange sur les propriétés, notamment mécaniques, de la poudre résultante. 25 Brève présentation des dessins Les dessins annexés illustrent l'invention. La figure 1 représente schématiquement le système {Ili} pour un type de grain simple caractérisé par R1 et 11 (la géométrie euclidienne est ici un tube de section circulaire comme pour tous les autres dessins concernés). 2957165 -8- La figure 2 représente schématiquement le système {vj} dans le cas d'une poudre complexe issue du mélange de plusieurs poudres (la géométrie euclidienne est ici un tube de section circulaire). La figure 3 représente l'algorithme de constitution de ce réseau selon V(R) 4 {r} 4 {ri}. 5 La figure 4 représente schématiquement le réseau en 2D. On aperçoit les grains (1), les noeuds (2), des espaces apparemment vides (3) pour la lecture du dessin mais qui en réalité ne le sont pas et enfin un exemple de numérotation des noeuds. Il est à noter que pour des raisons pratiques tous les grains ont sur le dessin le même rayon, mais ce n'est pas le cas du réseau réel : il y a autant de rayons différents assignés que de tailles de 10 grains considérées. La figure 5 représente schématiquement le réseau vu en 3D. La figure 6 représente la manière de déduire les paramètres d'un mélange de poudres des paramètres de chacune des poudres considérées individuellement dans le cas d'un mélange de deux poudres simples. 15 La figure 7 représente l'algorithme général de résolution de la modélisation d'un système de poudres soumis à des conditions extérieures (le rapport du volume moyen des grains sur celui des pores est noté a). Exposé détaillé d'un mode de réalisation de l'invention On expose de manière détaillée la forme de réalisation comprenant la modélisation 20 séparée de deux poudres caractérisées chacune par un seul type de grain, puis, mélangée selon une pondération donnée en vue d'un compactage. On choisit pour cet exposé détaillé de considérer des grains représentés par des tubes de section circulaire (volume cylindrique plein). Par ailleurs, la définition du réseau se fera à partir de rayon de fréquence de taille de grain déduite de V(R) telle que vi sera artificiellement pris égal à 25 une constante quelle que soit la valeur de j. Pour chaque poudre i considérée séparément, on a la relation suivante où V(R) est le volume cumulé pour le rayon R donné : II ùC.vn- ~ i 1 )s N.v S •e R R; II ni J j=1 2 V, (R) = E ni.vi = , J avec vII ='n.R; .l; rn.~ ùC.v~ (R R ).s e J=t On peut déduire de cette courbe la granulométrie de chaque poudre notamment en 30 calculant la représentativité de chaque taille de grain. 2957165 -9- Si désormais on mélange les deux poudres selon une pondération donnée, qu'on note %poudre2 et %poudre2, on aura l'expression suivante pour la fonction V(R), notée V'(R), propre au mélange : C.v~(RRi, i R sj.e si.e ' 5 V' (R) = '4 1 1 + Nz. '1 1 1 avec v, _ n.R; .1 RR) S l=1 J=1 Pour déterminer RI', rayon seuil du nouveau système constitué par le mélange, on rapproche les définitions individuelles des poudres à leur définition en tant que mélange en respectant la pondération donnée. Il s'agit notamment de déterminer, sachant la pondération, RI, R2, 11 et 12, la valeur de RI', R2,1, N z (proportion dans la série de taille total 10 de grain des tailles relevant de R2'). On pose : on se donne RI'; on pose R2'=R2 , VI =V2, V2 =V2 et N, + NZ = % äafe1.N1 + %poudre2•N2 ; N.R21 %poudre2.N2.12 + %poujrel (R,1- Rz )z on en déduit: 1= (%pondrel.N1 + %poudre2.N2 15 on peut alors calculer V' (R); on en déduit les {ri}' du réseau selon autant de liens {rd' que la taille de celui-ci le permet ; on calcule, grâce au réseau, le RI' et ainsi de suite jusqu'à ce que la différence entre la donnée et le calcul de RI' soit aussi petite qu'on le désire. 20 Si maintenant on dispose d'une poudre en ignorant ses constituants et qu'on sache mesurer V(R), on peut retrouver la courbe expérimentale avec l'expression analytique en cherchant à identifier les bons paramètres (ce qui dans le cas de deux constituants est assez facile car on sait notamment que RI' correspond au rayon seuil qu'on peut lire sur le graphe et l' a un impact important sur la pente de la courbe). 25 Quand on dispose de la courbe V(R) du système que l'on va soumettre à un processus de compactage, on peut définir de manière univoque le réseau associé. Après avoir déterminé {ri} et assigné les {ni}, il faut procéder à la conversion d'un certain r 2957165 -10- nombre de grains en pore. Il faut convertir un nombre de grains en pore selon la valeur np _ 1 nom' où (D est la porosité et a le rapport du volume moyen des grains sur celui 1 a.«) + des pores. A partir de là, on dispose d'un réseau où les grains sont interconnectés entre eux selon des noeuds et qui vérifie la porosité initiale. En connaissant les conditions 5 extérieures et en appliquant les lois physiques, en l'occurrence celles liées à la mécanique du solide, à chaque grain tout en écrivant les lois de conservation en chaque noeud, on peut suivre l'évolution temporelle du processus de compactage puisque tout est connu. 2957165 -11- Applications industrielles de l'invention Le procédé selon l'invention est particulièrement destiné à la modélisation des poudres industrielles. Il est ainsi possible à partir de la relation définissant V(R) d'étudier la granulométrie d'une poudre, de caractériser la dispersion de la taille des grains, de 5 définir ainsi des critères, notamment via la valeur du paramètre 1, pour indiquer la plus ou moins grande uniformité de la taille des grains. Il est également possible de modéliser le mélange de poudres : pour un mélange donné dont on ignore les caractéristiques on peut mesurer la courbe V(R) ou M(R) qui sera ensuite reproduite via le procédé et ainsi le mélange sera caractérisé en termes de composition et de dispersion. Il est aussi possible 10 connaissant les propriétés de plusieurs poudres individuellement de prévoir les propriétés d'un hypothétique mélange en utilisant le procédé. Le procédé selon l'invention est destiné à suivre l'évolution physique d'une poudre ou d'un mélange de poudres auquel on impose des conditions extérieures, notamment une pression lors d'un compactage. Le procédé selon l'invention est particulièrement approprié à la modélisation des poudres 15 pharmaceutiques en vue de la fabrication des cachets, à la modélisation des poudres métallurgiques en vue de la fabrication des pièces frittées, à celle des poudres entrant dans la composition des matériaux composites, à la mise au point du modèle géologique dans l'industrie pétrolière amont, mais également, selon une liste non exhaustive, à la modélisation en vue de la fabrication, du transport ou du stockage des poudres de 20 l'industrie agroalimentaire, chimique, cosmétique etc. REVENDICATIONS1) Procédé de modélisation déterministe des poudres industrielles à partir d'une composition initiale et en vue d'optimiser les investissements industriels caractérisé en ce 5 qu'il comprend les étapes suivantes : (a) ù identification de la composition en termes de types de grain liés à la poudre étudiée, ou au mélange de poudres étudié, ainsi que la représentativité (pourcentage de présence) de ces types de grain pour la poudre étudiée à partir de l'analyse (recoupement avec des poudres connues) et/ou de mesures effectuées sur la poudre étudiée (tailles de 10 grain) ; (b) ù calcul de la courbe de volume cumulé, V(R), à partir d'une expression analytique comportant la composition de l'étape (a) ainsi qu'une longueur caractéristique 1 dont la valeur peut être corrélée aux valeurs de la composition propre à la poudre étudiée, au besoin la courbe analytique pouvant être comparée à une courbe 15 expérimentale mesurée sur la poudre étudiée ou le mélange de poudres, l'expression analytique étant : Nk ùC.Vmax(I 1 R Rmex ).s, llg E s~.e k V(R) = N.Vmax.E (Nk. i=Nk C Vm (1 1 ).s ) k=1 R R m. formule dans laquelle : N est le nombre de grains ; 20 vmax est le volume du plus grand grain selon la représentation structurelle (tubes cylindriques pleins), son expression selon la représentation structurelle introduit la longueur caractéristique 1(vm = n.rma2.1) ; nRk est le nombre de types de grain ; Nk est le nombre de tailles de grain de type k ; 2 V i r~ 25 - si_ = 2 ; vmax rmax vi volume des grains j défini selon la représentation structurelle (pour des tubes cylindriques pleins : vi = n.rr2.1) ; C est une constante. Ee j=1 w 2957165 - 13 - (c) û définition d'un réseau numérique (« grain network model ») constitué de tubes cylindriques pleins interconnectés figurant les grains dont la longueur est précisément la longueur caractéristique 1, dont les rayons sont déduits de la courbe analytique V(R) et enfin dont la connectivité est définie par la suppression aléatoire de tubes pleins (grains) afin que le réseau vérifie la porosité de la poudre étudiée ou du mélange de poudres tout en conservant la même distribution en qualité sachant le rapport du volume moyen des grains sur celui des pores ; (d) û calcul par ordinateur de l'évolution du système constitué par le réseau représentatif de la poudre étudiée ou du mélange de poudres quand on soumet le système à des conditions extérieures (conditions aux limites) et selon les lois physiques appropiées appliquées à l'échelle des grains et dans le cadre éventuel de tout formalisme macroscopique approprié susceptible de décrire l'évolution recherchée comme celle correspondant à un compactage, la simulation permettant alors de déterminer la valeur des paramètres associés à la modélisation de l'évolution recherchée (ex : compactage) et les propriétés de la poudre étudiée après l'évolution recherchée ; 2) procédé selon la revendication 1) caractérisé en ce que les noeuds du réseau sont virtuels et ne contribuent pas au volume des grains, chaque noeud ayant au plus six plus proches voisins ; 3) Programme d'ordinateur comprenant des instructions de code de programme pour l'éxécution des étapes du procédé selon les revendications 1) à 2) lorsque ledit programme est exécuté sur un ordinateur. 25