Brevet FR2937160A1 — publié le 20100416

Le domaine de l'invention est celui des signaux à bande étroite, et plus précisément celui de la reconstruction de signaux à bande étroite ayant été irrégulièrement échantillonnés. L'invention trouve avantageusement application en spectrométrie par Transformée de Fourier statique utilisée notamment à des fins de télédétection, en particulier dans le domaine spatial. L'invention a toutefois vocation à s'appliquer plus largement à toute technique dans laquelle un échantillonnage irrégulier d'un signal à bande étroite est réalisée, par exemple dans le domaine des télécommunications, en particulier lorsqu'une 1 o démodulation du signal n'est pas envisageable. On rappelle qu'un signal est à bande étroite si son spectre est borné et qu'il est nul autour de la fréquence nulle. En d'autres termes, le spectre du signal est nul en dehors de deux plages de largeur Af centrées autour de +/-fo (avec fo non nulle), et on observe notamment que la largeur spectrale Af 15 est faible vis-à-vis de la fréquence centrale fo. Un exemple non limitatif d'application de l'invention est celui de l'interférométrie pour l'obtention d'un spectre dans l'infrarouge. Il s'agit par exemple de surveiller la pollution atmosphérique, notamment via l'obtention des profils de concentration pour l'ozone et le monoxyde de carbone. Deux 20 bandes spectrales sont alors particulièrement visées : la bande B1 = [1020cm-1, 1080cm-1] pour l'ozone et la bande B2 = [2132cm-', 2192cm-1] pour le monoxyde de carbone. En spectrométrie par Transformée de Fourier classique, le signal d'entrée (spectre) est un signal à bande limitée et le signal acquis par 25 l'instrument, appelé interférogramme (Transformée de Fourier du signal d'entrée), est échantillonné. La période d'échantillonnage (Te) est imposée par le théorème de Shannon et doit être inférieure à l'inverse du double de la fréquence maximale du signal d'entrée. L'échantillonnage est réalisé en déplaçant un miroir d'une distance égale à la période d'échantillonnage. Les 30 instants d'échantillonnage appelés Différences De Marche (DDM) sont ainsi: DDM(k) = DDM(0) + kTe, où k représente le nombre d'échantillons. En spectrométrie par Transformée de Fourier Statique, l'échantillonnage est réalisé en utilisant une multitude de miroirs en parallèle (appelée échelettes), chaque miroir étant à une position différente et l'écart entre deux miroirs adjacents étant égal à la période d'échantillonnage. Pour des signaux à bande limitée, ce type de spectromètre est impossible à mettre en oeuvre du fait du nombre trop important d'échantillons à acquérir et par conséquent du nombre d'échelettes à concevoir. Pour des signaux à bande étroite en revanche, le nombre d'échantillons à acquérir est considérablement réduit et on peut alors utiliser ce type de 1 o spectromètre. La nature bande étroite du signal permet effectivement de choisir un pas d'échantillonnage plus grand que celui imposé par le théorème de Shannon classique. Le théorème de Shannon généralisé applicable aux signaux à bande étroite impose une fréquence d'échantillonnage inférieure à la limite du théorème de Shannon classique. En effet, l'échantillonnage 15 produit une périodisation du spectre autour de la fréquence Fe, et on peut alors profiter des trous du spectre (car le signal est à bande étroite) pour replier le spectre dans les trous. Ceci conduit à un ensemble d'intervalles possibles pour la période d'échantillonnage. Dans le cas limite, la période d'échantillonnage peut quasiment atteindre l'inverse du double de la largeur 20 spectrale. L'inconvénient de la spectrométrie statique réside dans le fait que l'interférogramme mesuré est échantillonné irrégulièrement. En effet, par conception, les échelettes ne peuvent pas être disposées parfaitement à leur position nominale (du fait notamment des irrégularités de polissage), ce qui 25 conduit à un échantillonnage irrégulier. Dès lors, contrairement à la spectrométrie par Transformée de Fourier classique, il n'est pas possible de retrouver le signal d'entrée en appliquant une opération de transformée de Fourier inverse directement sur le signal mesuré (interférogramme). La spectrométrie par Transformée de Fourier 30 statique nécessite ainsi de savoir exploiter un interférogramme échantillonné irrégulièrement. On notera ici que ce type d'échantillonnage est également dénommé échantillonnage pseudo-régulier ou quasi-régulier dans la mesure où il s'agit d'un échantillonnage très faiblement irrégulier (l'irrégularité provient de l'erreur de réalisation des échelettes, soit de l'ordre de quelques microns), dont les instants d'échantillonnages sont connus et peuvent s'exprimer de la forme tn = nTe + cn, où Te représentant la période d'échantillonnage moyenne et en l'erreur d'échantillonnage. Le problème posé est ainsi celui de la reconstruction du spectre de ces interférogrammes irrégulièrement échantillonnés avec la meilleure précision 1 o possible. Diverses méthodes ont été proposées par la Demanderesse à cet effet. Selon une première méthode, on passe directement de l'interférogramme irrégulier au spectre à partir de la résolution d'une équation matricielle par la technique des moindres carrés. 15 Selon une seconde méthode, on rééchantillonne sur un pas régulier le signal mesuré de manière à reconstruire un échantillonnage régulier par interpolation. Cette technique de rééchantillonnage est notamment décrite dans la publication de Kohlenberg, A. "Exact Interpolation of Band-Limited Functions", Journal of Applied Physics, vol. 24, number 12, p.p. 1432-1436, 20 December 1953. On réalise ensuite la Transformée de Fourier inverse pour remonter au spectre. Cette seconde méthode est notamment discutée dans l'article "Progress report of a static Fourier transform spectrometer breadboard", in : Proceedings of the 5th International Conference on Space Optics (ICSO 25 2004), 30 March - 2 April 2004, Toulouse, France, de A. Rosak, et F. Tinto, 2004. Ces méthodes ne sont toutefois pas totalement satisfaisantes. En effet, si le signal mesuré est bruité (par exemple par un bruit blanc de type détection), le signal retrouvé peut être très différent du signal 30 d'entrée. Ces méthodes de reconstruction viennent effectivement amplifier le 4 bruit du signal mesuré, voire même tellement amplifier le bruit que le signal restitué se retrouve noyé dans le bruit. La Demanderesse a par ailleurs pu observer que pour avoir un écart le plus faible entre le signal d'entrée et le signal de sortie, il faut que le nombre d'échantillons soit le plus grand possible (c'est-à-dire une période d'échantillonnage la plus petite possible). Ainsi, pour tenter de minimiser l'amplification du bruit, on est conduit à réaliser un sur-échantillonnage. A titre d'exemple, si l'on souhaite limiter l'amplification de bruit à 25 %, la période d'échantillonnage doit être deux fois plus petite que celle imposée 1 o par le théorème de Shannon généralisé, ce qui conduit à doubler le nombre d'échantillons. Il existe donc un besoin pour une technique de reconstruction d'un signal à bande étroite échantillonné irrégulièrement qui permette de réduire l'amplification du bruit lors du rééchantillonnage du signal mesuré, et de 15 préférence d'une technique qui n'utilise qu'un nombre limité d'échantillons pour le rééchantillonnage. L'invention a pour objectif de répondre à ce besoin, et propose à cet effet, selon un premier aspect, un procédé de reconstruction d'un signal à bande étroite acquis par un instrument réalisant un échantillonnage irrégulier, 20 dans lequel on acquiert deux séries d'échantillons à la même période d'échantillonnage, les deux séries étant décalées l'une par rapport à l'autre de sorte que les erreurs d'échantillonnages sont identiques ou quasi identiques sur les deux séries. Certains aspects préférés, mais non limitatifs, de ce procédé sont les 25 suivants : - le décalage entre les séries est sensiblement égal à l'inverse du quart de la fréquence moyenne du signal à bande étroite ; - la période d'échantillonnage est inférieure ou égale à l'inverse de la largeur spectrale du signal à bande étroite ; - le procédé comprend en outre une étape de résolution d'une équation matricielle par la technique des moindres carrés pour passer directement des échantillons des deux séries au spectre du signal à bande étroite ; - le procédé comprend en outre une étape de détermination d'échantillons réguliers théoriques à partir des échantillons des deux séries ; - la période d'échantillonnage Te des échantillons réguliers théoriques est contrainte selon : k / (2*Fmin) Comme on l'a vu précédemment, les méthodes de l'art antérieur viennent fortement amplifier le bruit. Afin de limiter cette amplification, on peut acquérir plus de points. Par exemple l'acquisition de 1,5 fois plus de points (respectivement 2 fois plus) permet de limiter l'amplification du bruit à +40% (respectivement +25%). Le pas d'échantillonnage est dès lors 1.5 fois (respectivement deux fois) plus fin que celui imposé par le Théorème de Shannon généralisé. Soit globalement un pas d'échantillonnage de 55 �m (resp. 42 �m) et l'acquisition de 1500 points (resp. 2000 points), ce qui correspond globalement à un cube comportant 4040 échelettes (resp. 4545 échelettes). On constatera qu'outre un niveau de bruit non satisfaisant, ces méthodes nécessitent un nombre accru d'échantillons, et donc la fabrication d'un cube présentant un nombre accru d'échelettes. Les erreurs d'échantillonnages dues à la conception des échelettes sont définies selon le modèle suivant en considérant que les acquisitions sont réalisées à des Différences De Marche (DDM) telles que: DDM(k) = DDM(0) + kTe + a(k), où k représente le nombre d'échantillons, Te représente le pas d'échantillonnage et a représente l'irrégularité de l'échantillonnage. Dans le cadre de l'invention, on acquiert deux séries d'échantillons à la même période d'échantillonnage, les deux séries étant décalées l'une par rapport à l'autre de sorte que les erreurs d'échantillonnages sont identiques ou quasi-identiques sur les deux séries. Les deux séries sont ainsi réalisées respectivement à des différences de marche DDM1 et DDM2 telles que : DDM1(k) = DDM1(0) + kTe + a(k) ; et DDM2(k) = DDM2(0) + 13(k) + kTe + a(k) Les échantillons de chacune des séries sont ainsi décalés d'une distance d(k)=DDM2(k)-DDM1(k)= DDM2(0)-DDM1(0) + [3(k). De préférence, le système est conçu de telle manière que 13(k) = 0. Il est toutefois possible d'avoir un 13(k) non nul à condition qu'il soit connu et borné, ce qui autorise notamment une tolérance de +1- À132 autour de d(k)=À/4 comme cela sera présenté par la suite. Dans le cadre de l'invention, on entend donc par erreurs d'échantillonnages quasi-identiques sur les deux séries, des erreurs ne divergeant l'une de l'autre que d'une quantité connue et bornée. A chaque échantillon de la première série correspond donc un échantillon de la deuxième série décalé de la distance d. La figure 1 illustre l'échantillonnage irrégulier mis en oeuvre dans le cadre de l'invention à l'aide des deux séries d'échantillons décalées. On a vu précédemment que le théorème de Shannon généralisé impose l'acquisition de 1000 échantillons avec un pas d'échantillonnage de 80 �m. On peut donc acquérir un premier interférogramme avec un pas d'échantillonnage de 80 �m et 1000 points, et un deuxième interférogramme avec un pas d'échantillonnage de 80 �m et 1000 points et décalé par rapport au premier de la distance d. La Demanderesse a pu évaluer l'amplification du bruit pour le double échantillonnage décalé selon l'invention et comparer cette amplification à celle observé dans le cas où un seul interférogramme est acquis. L'algorithme de reconstruction est celui basé sur la méthode d'interpolation discuté précédemment permettant de passer de I'interférogramme irrégulier à I'interférogramme régulier à l'aide d'une matrice de passage que l'on inverse. On relèvera que cette matrice s'inverse bien si elle est bien conditionnée (elle est alors proche d'une matrice unitaire). Dans le cas contraire, l'inversion de la matrice amplifie le bruit et peut rendre I'interférogramme inexploitable. Pour caractériser l'amplification du bruit, une première méthode consiste à s'intéresser aux valeurs propres de la matrice et aux moments d'ordre 2. Une seconde méthode consiste à rajouter un bruit blanc radiométrique à l'interférogramme irrégulier et à calculer l'amplification du bruit en comparant la valeur du bruit dans l'interférogramme irrégulier et dans l'interférogramme régulier (reconstruit). La Demanderesse a pu constater que le bruit n'est quasiment pas amplifié dans le cadre de l'invention et cela quelque soit la période d'échantillonnage. 1 o La Demanderesse a par ailleurs pu constater que la valeur d du décalage entre les deux séries d'échantillons influence la performance de la reconstruction. Une distance de À/4 (où À=1/fo représente la longueur d'onde de la bande étroite ; 2381 nm dans le cas de la bande B1) apparaît ainsi comme l'optimum permettant de rendre l'amplification du bruit quasi-nulle. La 15 dégradation de la performance s'avère par ailleurs progressive de sorte que l'on peut admettre une tolérance sur la réalisation du décalage, et notamment une tolérance de l'ordre de +/- À132 autour de À/4 (soit une tolérance de +/- 300 nm dans le cas de la bande B1). De manière particulièrement avantageuse, l'invention rend possible 20 l'augmentation du pas d'échantillonnage au-delà du pas d'échantillonnage imposé par le théorème de Shannon généralisé (pas de 80 �m dans l'exemple considéré). Le dédoublage des points réalisé dans le cadre de l'invention du fait de l'acquisition de deux séries d'échantillons décalées permet effectivement de relâcher le pas d'échantillonnage d'un facteur deux. 25 Dans ce cas de figure, la condition sur le pas d'échantillonnage de chaque série est donc d'être plus petit que l'inverse de la largeur fréquentielle du signal d'entrée. On notera que le théorème de Shannon généralisé est toujours respecté, mais que l'information est répartie différemment. Dans le cadre de cette variante avantageuse, et reprenant toujours 3o l'exemple de la bande B1, on peut ainsi acquérir deux interférogrammes échantillonnés avec un pas de 160 �m et pour lesquels les échantillons sont tous décalés deux à deux d'une distance d, préférentiellement d'une distance d=À/4, chacune des séries comprenant 500 échantillons. La Demanderesse a pu constater que les résultats sont aussi bons que dans le cas où l'on échantillonne au pas de Shannon généralisé (80 �m dans l'exemple), avec ici l'avantage de réduire le nombre d'échantillons nécessaires dans chacune des séries. Selon une première mise en oeuvre de l'invention, les deux séries d'échantillons décalées sont acquises simultanément. On peut de la sorte acquérir 500 échantillons avec un pas de 160 �m (première série) et 500 1 o échantillons décalés de d vis-à-vis des échantillons de la première avec également un pas de 160 �m (deuxième série). 1000 échantillons sont au total nécessaires, ce qui correspond à un cube comportant 2424 échelettes (chaque échelette étant dédoublée pour l'acquisition de deux échantillons). Afin de réaliser une telle acquisition simultanée de deux séries 15 décalées, il est proposé de réaliser un traitement couche mince sur chaque échelette de l'interféromètre. Chaque échelette est ainsi divisée en deux zones et on dépose sur l'une au moins des zones une surépaisseur, par exemple par évaporation d'un matériau sous vide, de telle manière que la différence d'épaisseur entre les deux zones d'une même échelette crée le 20 décalage d. On notera que dans ce mode de réalisation, on observe un (3(k) non constant mais connu et borné. Selon une variante de réalisation, on introduit une légère inclinaison entre les deux miroirs, de manière à introduire le décalage d entre un bord de l'échelette et l'autre bord de l'échelette. Ce décalage est continu et suppose 25 l'acquisition de plus de deux échantillons pour ne pas perdre en contraste interférométrique. Selon une seconde mise en oeuvre de l'invention, les deux séries d'échantillons décalées sont acquises en succession. Pour ce faire, on acquiert la première série, puis on vient déplacer un élément mobile de 30 l'interféromètre de manière adaptée pour engendrer le décalage et on acquiert ensuite la deuxième série. Dans ce cas de figure, l'interféromètre dispose d'un élément mobile et peut être configuré pour autoriser l'acquisition de 500 échantillons, ce qui correspond à un cube comportant 2424 échelettes. Afin de créer le décalage entre les deux séries successivement acquises, il est proposé de déplacer un élément mobile de l'interféromètre. Selon une première variante, on fait varier faiblement la différence de marche sur l'un des deux bras de l'interféromètre de manière à engendrer le décalage d, par exemple en positionnant l'un des miroirs à échelettes de l'interféromètre sur un mécanisme piézo-électrique. 1 o Selon une seconde variante, on utilise un faible mouvement d'inclinaison (mouvement de tilt) ou un faible mouvement de translation d'une lame de verre (prismée dans le cas d'une translation), éventuellement déportée dans un bras de l'interféromètre pour engendrer le décalage. Cette lame de verre peut être la lame compensatrice de l'interféromètre. Ceci 15 permet d'obtenir un mouvement très pur mécaniquement, avec un dispositif de déplacement à base de piézo-électrique. On a reporté dans le tableau qui suit les différents exemples numériques dont il est fait état dans la présente description en liaison avec l'exemple d'un signal à bande étroite dans la bande B1. Echantillonnage Double échantillonnage selon l'invention simple selon l'art antérieur Pas Relâchement du pas d'échantillonnage d'échantillonnage selon Shannon généralisé Acquisition Déplacement simultanée d'un élément des deux mobile séries engendrant le décalage, entre l'acquisition des deux séries Niveau de +40% +25% 13 De plus, dans la mesure où l'on dispose de deux séries d'échantillons, la période d'échantillonnage de chaque série peut être rendue supérieure à la période d'échantillonnage imposée par le théorème de Shannon généralisée (la condition sur la période d'échantillonnage de chaque série étant d'être plus petite que l'inverse de la largeur fréquentielle du signal d'entrée). Ainsi, le double échantillonnage selon l'invention permet, notamment lorsque le décalage est pris sensiblement à l'optimum À/4, à la fois de ne pas amplifier le bruit lors du rééchantillonnage du signal mesuré, de rendre l'algorithme de reconstruction plus stable et de réduire le nombre d'échantillons nécessaires pour le rééchantillonnage. On précise ici qu'une fois les échantillons des deux séries acquis, on procède de manière similaire aux méthodes de reconstruction évoquées en introduction pour permettre de remonter au spectre du signal à bande étroite (passage direct des échantillons irréguliers au spectre par résolution d'une équation matricielle par la technique des moindres carrés ; rééchantillonnage sur un pas régulier de manière à reconstruire un échantillonnage régulier par interpolation puis Transformée de Fourier inverse pour remonter au spectre). Dans le cas du rééchantillonnage sur un pas régulier, la période d'échantillonnage des échantillons réguliers théoriques est alors contrainte selon : k / (2*Fmin) REVENDICATIONS1. Procédé de reconstruction d'un signal à bande étroite acquis par un instrument réalisant un échantillonnage irrégulier, dans lequel on acquiert deux séries d'échantillons à la même période d'échantillonnage, les deux séries étant décalées l'une par rapport à l'autre de sorte que les erreurs d'échantillonnages sont identiques ou quasi identiques sur les deux séries. 2. Procédé selon la revendication précédente, dans lequel le décalage entre les séries est sensiblement égal à l'inverse du quart de la fréquence moyenne du signal à bande étroite. 3. Procédé selon l'une des revendications 1 à 2, dans lequel la période d'échantillonnage est inférieure ou égale à l'inverse de la largeur spectrale du signal à bande étroite. 4. Procédé selon l'une des revendications 1 à 3, comprenant en outre une étape de résolution d'une équation matricielle par la technique des moindres carrés pour passer directement des échantillons des deux séries au spectre du signal à bande étroite. 5. Procédé selon l'une des revendications 1 à 3, comprenant en outre une étape de détermination d'échantillons réguliers théoriques à partir des échantillons des deux séries. 6. Procédé selon la revendication 5, dans lequel la période d'échantillonnage Te des échantillons réguliers théoriques est contrainte selon : k / (2*Fmin) 7. Procédé selon l'une des revendications 5 ou 6, comprenant en outre une opération de transformée de Fourier inverse pour reconstruire le signal à bande étroite à partir des échantillons réguliers théoriques. 8. Procédé selon l'une des revendications précédentes, dans lequel les deux séries d'échantillons sont acquises par un interféromètre. 9. Procédé selon la revendication précédente, dans lequel l'interféromètre est un interféromètre statique à échelettes. 10. Procédé selon la revendication 9 dans lequel le décalage entre les deux séries d'échantillons est réalisé temporellement, le procédé comprenant en succession les opérations d'acquisition de la première série, de déplacement d'un élément mobile de l'interféromètre de manière adaptée pour réaliser le décalage et d'acquisition de la deuxième série. 11. Procédé selon la revendication 9 dans lequel les deux séries d'échantillons sont acquises simultanément. 12. Instrument réalisant un échantillonnage irrégulier d'un signal à bande étroite caractérisé en ce qu'il comporte des moyens pour acquérir deux séries d'échantillons irréguliers du signal à la même période d'échantillonnage, les deux séries étant décalées l'une par rapport à l'autre de sorte que les erreurs d'échantillonnages sont identiques ou quasi- identiques sur les deux séries. 13. Instrument selon la revendication 12, dans lequel lesdits moyens comprennent un élément mobile apte à être déplacé pour engendrer ledit décalage entre deux séries d'échantillons acquises respectivement avant et après déplacement dudit élément. 5 14. Instrument selon la revendication 12 comprenant des miroirs à échelettes où chaque échelette est divisée en deux zones, et dans lequel lesdits moyens sont formés par une surépaisseur dans l'une des zones de chaque échelette. 15. Instrument selon la revendication 12 comprenant des miroirs à échelettes, dans lequel lesdits moyens sont formés par l'inclinaison de l'un des miroirs.