Brevet FR2913786A1 — publié le 20080919

Procédé de dimensionnement d'une commande à câble, couplée à un organe générateur de vibrations La présente invention concerne de façon générale un procédé de modélisation des phénomènes vibratoires se propageant le long d'un câble, notamment un câble de commande, couplé à une machine ou à tout autre organe générateur de vibrations. L'invention proposée s'intéresse à la modélisation des systèmes non linéaires nécessitant la connaissance d'un niveau vibratoire. io Elle trouve une application particulière pour la modélisation vibratoire d'une commande manuelle à câble d'une boîte de vitesses de véhicule automobile. La commande qui est reliée au moteur thermique par la boîte de vitesses, subit les excitations générées par le moteur. Ces dernières engendrent des phénomènes vibratoires qui se propagent le long des câbles de commande, et 15 des phénomènes acoustiques se propagent dans l'habitacle de la voiture, phénomènes qui sont ressentis négativement par les passagers du véhicule. De manière générale, lorsqu'un système a une réponse linéaire, c'est-à-dire que la réponse est proportionnelle à l'excitation, calculer le régime périodique et stationnaire est une trivialité en utilisant la fonction de transfert du système. 20 Toutefois, lorsqu'un système comporte des non linéarités (impacts, caoutchoucs, jeux, frottements, etc...), déterminer le régime périodique et stationnaire n'est plus aussi évident et demande l'utilisation d'outils mathématiques plus performants. Un procédé de modélisation intitulé Alternating Time/Frequency method , ci-après désigné par l'acronyme AFT , a été proposé par Cameron et Griffin en 25 1989. Ce procédé est intégralement divulgué dans l'article T.M. Cameron, J.H. Griffin, An Alternating Frequency/Time Domain Method for Calculating the Steady-State Response of Nonlinear Dynamic Systems, Journal of Applied Mechanics, Vol. 56, p149-154, 1989. Ce procédé AFT permet, moyennant quelques modifications, de réaliser le calcul 30 voulu (cette méthode se base elle-même sur la méthode la balance harmonique, plus communément appelée Describing function method pour les automaticiens). Cependant, cette méthode n'a jamais été appliquée sur deux corps déformables et flexibles comme le câble et la gaine d'une commande à câbles. Dans la littérature scientifique, elle a été souvent utilisée sur des systèmes avec un ou deux degrés de liberté, et impactant sur des butées indéformables. L'invention propose un procédé permettant de déterminer le régime vibratoire périodique et stationnaire d'une commande à câble en prenant en compte de toutes les non linéarités de la commande. Ce calcul, qui est prédictif, permet de io dimensionner la commande pour atténuer, voire éliminer, ces effets indésirables. Le procédé selon l'invention intègre dans une méthode de modélisation dite de la balance harmonique , différentes manières de prise en compte des contacts et des frottements mis en jeu par le câble et la gaine dans leur environnement de travail. 15 Du point de vu purement mathématique, cela revient à intégrer dans une même méthode de modélisation, différentes méthodes de prise en compte de contraintes, méthodes qui seront décrites ci-après. Parmi ces différentes méthodes, on trouve une méthode dite de pénalité (ce qui revient à insérer un ressort entre les deux corps), une méthode dite de 20 Lagrangiens augmentés et une méthode dite de Lagrangiens dynamiques. Le procédé selon la présente invention, consiste à décomposer la solution exacte sur sa série de Fourier et de résoudre les équations du mouvement sur une troncature de cette série. Le procédé selon l'invention ne donne qu'une solution approchée de la réponse, 25 mais comme cela sera expliqué plus loin, cette solution approchée suffit amplement pour dimensionner la commande et ce, dans un temps relativement court par rapport à une méthode classique. A cet effet, la présente invention a pour objet un procédé de dimensionnement d'une commande à câble, couplée à un organe générateur de vibrations, 30 caractérisé en ce qu'il consiste : - à modéliser le comportement vibratoire de la commande, se comportant comme un système vibratoire, en utilisant une méthode dite de balance harmonique considérant le système dans le domaine fréquentiel ; - à intégrer dans la méthode de balance harmonique, les non linéarités du système dues aux contacts et frottements du câble, considérées dans le domaine temporel, cette intégration s'effectuant par le biais d'une méthode dite AFT, pour Alternating Frequency/Time Domain Method ; et - à partir de la solution de convergence de la méthode de balance harmonique, à optimiser le dimensionnement de la commande à câble pour limiter les vibrations io indésirables se propageant par ledit câble. L'avantage de cette solution par rapport aux solutions de l'état de l'art, est qu'elle offre de meilleures performances. En effet, dle permet d'estimer en quelques minutes le comportement vibratoire d'une commande à câble sur toute la plage de fonctionnement du moteur, alors qu'il faudrait plusieurs jours avec les méthodes 15 connues jusqu'à ce jour. Intégrée dans la phase de conception de la commande, elle permet, d'une part de prendre en compte les phénomènes vibro-acoustiques - ce qui n'est pas réalisé aujourd'hui -et d'autre part de le faire très rapidement. D'autres caractéristiques et avantages de la présente invention 20 apparaîtront à la lecture de la description détaillée ci-après, d'un exemple de mise en oeuvre non limitatif, faite en référence aux figures annexées dans lesquelles : - la figure 1 illustre une vue en perspective d'un ensemble comportant BV et sa commande reliée par câble ; - la figure 2 illustre une modélisation graphique mettant en évidence les 25 phénomènes vibratoires (frottements et contacts) mis en jeu dans cet ensemble ; - la figure 3 illustre un organigramme fonctionnel d'une méthode d'optimisation pour la résolution d'un système d'équations non linéaires, méthode exploitée par le procédé selon l'invention ; - la figure 4 illustre un organigramme fonctionnel d'une première méthode de pénalités pour traiter les non linéarités de contact et de frottement, méthode exploitée par le procédé selon l'invention ; et - la figure 5 illustre un organigramme fonctionnel d'une troisième méthode 5 de pénalités pour traiter les non linéarités de contact et de frottement, méthode exploitée par le procédé selon l'invention. La figure 1 illustre une liaison par câbles entre une boîte de vitesses 1, ici une boîte de vitesses manuelle à passage et sélection des vitesses par câbles, et un boîtier de commande 2 comportant de manière classique, un levier de vitesses 3 io dont une extrémité libre se termine par un pommeau de préhension 4. Le levier 3 est fixé au boîtier 2, à son autre extrémité, par une liaison pivot à rotule 5 et entraîne les câbles de passage 7 et de sélection 8. Le levier 3 est guidé par une grille de sélection 6 et le déplacement du levier 5 dans la grille 6 provoque le déplacement des câbles de passage 7 et de sélection 8. 15 Les deux câbles 7 et 8 coulissent respectivement à l'intérieur de leurs gaines 9 et 10 et se terminent respectivement à leurs deux extrémités par des moyens d'arrêt de câble connus en soi qui ne seront donc pas décrits. La boîte de vitesses 1 se situant dans le compartiment moteur et le boîtier de commande 2 se situant dans l'habitacle, il est nécessaire d'utiliser un moyen de 20 passage des câbles entre les deux au travers du tablier (partie de la carrosserie isolant l'habitacle du compartiment moteur) non représenté. On utilise pour cela un passe tablier 11. La boîte de vitesses 2 est fixée au moteur, non représenté, à l'intérieur du compartiment moteur. 25 Le boîtier 2 est fixé par sa base 12, dans cet exemple, sur le plancher de l'habitacle, non représenté. Sur la figure 2, on a illustré schématiquement le boîtier 2 et les câbles 7 et 8 en symbolisant les différents contacts et frottements 13 des câbles dans leurs gaines. Suite à une excitation ou force extérieur Fex, générée par le moteur thermique non 30 représenté (et qui se situerait à droite sur la figure), les vibrations 14 se propagent au boîtier 2 via les gaines 9 et 10, ce qui se traduit par des remontées acoustiques dans l'habitacle : ce phénomène acoustique est ressenti comme des grésillements forts désagréables pour les passagers du véhicule. Ces grésillements ont une fréquence audible comprise entre 1000 et 4000 Hz et qui est excitée par l'harmonique 2 du régime moteur qui apparaît en dessous de 5 200 Hz. On décrit maintenant en détail, la méthode d'estimation des phénomènes non linéaires utilisée par le procédé selon l'invention pour modéliser le système vibratoire constitué essentiellement des câbles et de leurs gaines. La méthode utilisée par le procédé selon l'invention est la méthode dite de io balance harmonique : Cette méthode a d'abord été utilisée dans l'électronique sous le nom de Describing Function Method ou Harmonic Balance Method [12,13]. Elle présente l'avantage de fournir une approximation analytique de la solution d'un problème non linéaire [11], alors que la solution analytique exacte n'existe pas. Les ls mécaniciens l'ont ensuite reprise pour l'appliquer à leurs problèmes. Dans ce cas elle permet d'obtenir la réponse périodique plus rapidement qu'une intégration temporelle classique. Cette méthode est développée ci-après, appliquée à un système mécanique définit numériquement selon la méthode des éléments finis qui est basé sur un 20 maillage précis du système ; un maillage étant constitué d'un nombre déterminés de noeuds constituant autant de point caractéristique du système. Soit le système matriciel suivant provenant de la formulation dite faible (i.e. formulation intégrale provenant du principe des travaux virtuels), en opposition à une formulation forte, d'une analyse par éléments finis définit par l'équation de 25 mouvement suivante : MU+CU+KU+FNL=F (1) Où M est la matrice de masse du système ; C la matrice d'amortissement ; K la matrice de raideur ; Fext est le vecteur des forces extérieures ; FNL représente les forces non linéaires ; et Ü, v etU correspondent respectivement à l'accélération, la vitesse et le déplacement à chaque noeud du maillage. Le membre de gauche de l'équation (1) comporte les termes linéaires de la modélisation par éléments finis Mê +Cë + KU et l'effort non linéaire FNL . Cette distinction est nécessaire car les termes linéaires et non linéaires ne sont pas traités de la même façon. La méthode de la balance harmonique repose sur l'hypothèse physique suivante : à une excitation périodique, tout système va répondre de manière périodique (mais pas forcément de la même période). Dans ce cas de réponse périodique, il est possible de remplacer la solution par un développement en série de Fourier. k=+.. k=+.. U(t) = kUk cos(kcwt)+ kUk sin(kcwt) (2) k=0 k =1 15 où C et S désignent les coefficients de Fourier se rapportant respectivement aux termes en Cosinus et aux termes en Sinus. L'accélération et la vitesse nécessaires dans (1) s'obtiennent en dérivant la série de Fourier par rapport au temps. 20 L'approximation de la balance harmonique consiste à ne conserver que les premiers harmoniques dans le développement de Fourier. Cette approximation suppose que l'essentiel de la dynamique du système est régi par ces premières harmoniques. Dans la suite on travaillera donc avec un nombre déterminé et limité de Nh harmoniques. / \ / \ k=Nh k=Ny, \ / U(t) ("approché (t) = L Ukc cos(kcwt) + EU: sin( kcwt) (3) k=0 k=1 2515 Remarque : Si on travaillait avec un système purement linéaire il ne faudrait retenir que le premier harmonique. En effet, pour une excitation à une pulsation ? , la réponse a la même pulsation. Ce sont les efforts non linéaires FNL qui introduisent des couplages entre les différents coefficients de la série de 5 Fourier. En remplaçant la solution approchée Uapproché(t) dans l'équation du mouvement (1) on obtient l'expression suivante : RN, (t) = [(Kùcw2M)Uk +(kcwC)Uk ]cos(kcwt)+ [(Kùcw2M)Uk ù(kwC)Uk ]sin( kcwt) k =O k=1 + FNL (t, U , U) ù F t (t) (4) où RN, désigne le résidu dû à la troncature à Nh termes de la série de Fourier. 10 Sous cette forme cette expression est inexploitable, mais en remarquant que la base des cosinus et sinus utilisée pour la décomposition de Fourier est une base orthormée de l'espace des fonctions continues, on peut projeter le résidu RNh sur chacune des composantes. En posant le vecteur multi-harmonique ê : U- [U 0 Nh T Ul T Ul T ... UC T UNhT J L'équation du mouvement (1) devient, après projection de RNh (t) sur la base AU + FNL = Fext (5) orthonormé : où A= 8 K 0 0 0 0 A, 0 0 0 0 . 0 0 0 0 Ah,Nh I ù (kw)2M + K kwC - ùkwC ù(kw)2M + K Ah,k pourk =1...Nh avec Ah,k qui définit la matrice de raideur dynamique associée à la kième harmonique. On dira de l'équation (1) qu'elle travaille dans le domaine temporel et que l'équation (5) travaille dans le domaine fréquentiel. En effet, cette dernière ne comprend que les coefficients de Fourier des différents degrés de liberté du système considéré. Résoudre ce système d'équations revient à équilibrer terme à terme les coefficients de Fourier de la solution approchée, d'où l'appellation io balance harmonique . Résolution d'un système d'équations non linéaires : La prochaine étape consiste à résoudre le système matriciel (5). La présence de 15 non linéarités donne lieu à un système d'équations non linéaires qui demande une résolution particulière et différente d'un système linéaire. Mathématiquement, le problème revient à chercher les racines d'un système d'équations. Ce qui revient à chercher ê tel que 20 f(U)=AO+FNLù = 0 (6) Ce problème est un cas particulier d'un problème mathématique plus vaste : l'optimisation de fonctions objectives. Très peu de systèmes d'équations non linéaires peuvent être résolus analytiquement. Il faut donc obligatoirement recourir à des méthodes numériques itératives. Le livre de Fletcher [14] trie et explique les nuances entre elles. On ne détaillera pas une méthode en particulier, mais afin de comprendre la suite il est nécessaire d'en avoir une vue globale. De nombreuses méthodes d'optimisation locale dérivent de la méthode de Newton : à partir d'un point initial sur la surface définie par les équations, on se io déplace de manière logique vers un minimum local de la fonction. Pour donner un exemple, on suit la pente de la fonction, comme un skieur qui descend la piste vers le télésiège. Tout comme le skieur qui descend les pistes en ligne droite ou avec des virages, les algorithmes d'optimisation ont les mêmes possibilités. Les algorithmes Hybrid et Levenberg-Marquardt semblent être les plus robustes et 15 les plus utilisés. La figure 3 illustre un organigramme fonctionnel d'une telle méthode d'optimisation mis en oeuvre par le procédé selon l'invention. Il faut remarquer qu'à chaque fois qu'il faut calculer f (Uti+l) , Uti+ est connu (on en donne la valeur par le pas de descente). Donc, pour évaluer complètement la 20 fonction f de l'équation (6) à chaque itération, il manque une expression des forces non linéaires FNL (Uti+1) dans le domaine fréquentiel. Détermination des coefficients de Fourier des efforts non linéaires 25 La détermination des coefficients de Fourier des forces non linéaires est une tâche qui peut s'avérer difficile. Or, Il est possible de déterminer directement les coefficients de Fourier des efforts non linéaires. Ces coefficients dépendent évidemment de êti+l car ils sont non linéaires. Toutefois, le travail analytique que demande cette technique est insurmontable et ne peut s'utiliser que pour des 30 systèmes avec quelques degrés de liberté et un nombre d'harmoniquesNhtrès i0 faible (en général Les non linéarités de contact et frottement Ces non linéarités ont été largement étudiées dans la littérature, autant d'un point 20 de vue expérimentale que d'un point de vue théorique. La prise en compte de ces phénomènes s'effectue classiquement en imposant des contraintes sur l'équation du mouvement [1], [2] à travers les conditions de Kuhn-Tucker. Or mathématiquement, un système non linéaire soumis à des contraintes peut être résolu de différentes façons. Fletcher [14] expose ces techniques qui peuvent être 25 des méthodes de pénalité, de Lagrangiens augmentés, de multiplicateurs de Lagrange, de pénalité exacte, etc... Seront exposées ici celles qui sont les plus couramment utilisées en mécanique dans le domaine temporel. Toutefois, les multiplicateurs de Lagrange seront écartés car ne peuvent pas s'intégrer dans l'application décrite couverte par le 30 procédé selon l'invention. Méthode de pénalité La manière la plus directe et la plus simple pour traiter un contact dans le domaine temporel est donc d'utiliser une première méthode dite de pénalité. L'équivalent physique de la méthode de pénalité consiste à rajouter un ressort entre les deux corps qui rentrent en contact. Si ce ressort est beaucoup plus raide que le reste du système alors il empêchera, à une tolérance près, l'interpénétration des deux corps. Pour gérer la non linéarité de frottement, quelques adaptations sont nécessaires. io La figure 4 illustre un organigramme fonctionnel de cette première méthode de pour traiter les non linéarités de contact et de frottement et qui explique l'évaluation de f (êti+l) . Cet organigramme fonctionnel s'intégrera dans l'organigramme fonctionnel de la figure 3 au niveau du bloc intitulé Evaluation de 15 Soit êA les degrés de libertés reliés au déplacement du corps A et CIB ceux du corps B. On définit aussi : - les déplacements normaux ê A,N ê B,N et tangentiels ê A,T ê B,T des corps A et B ; - les efforts non linéaires du corps A sur le corps B :FNL (de même, FNL, FNL) ; 20 - un coefficient de pénalité dans la direction normale EN ; - un coefficient de pénalité dans la direction tangentielle ET ; - un coefficient de frottement t ; et - le nombre de points nit utilisé dans les transformées de Fourier. Le traitement de l'effort de contact est immédiat ici. Comme toute méthode de 25 pénalité si EN tend vers l'infini alors il est évident que le déplacement relatif normal entre les deux corps A et B au pas de temps tm d'itération i+1 de la boucle d'optimisation, S N(t,n ), tend vers 0. Dans le cas contraire on autorise une interpénétration des noeuds des deux corps, qui reste toutefois négligeable si EN est grand devant les autres raideurs du système. 11 Le traitement de l'effort de frottement tangentiel n'est pas aussi immédiat. La difficulté provient du fait que l'effort de frottement à l'instant tmdépend de l'effort de frottement à l'étape précédente. Ici on fait donc l'hypothèse d'un état bloqué des deux corps et on calcule l'effort qui en résulte. Si l'effort respecte la condition de Coulomb, les deux corps collent et l'effort réel est celui calculé, sinon les deux corps glissent l'un par rapport à l'autre et il faut corriger l'effort tangentiel test calculé précédemment. Cette approche est très répandue dans les codes de calcul avec des matériaux plastiques, viscoélastique ou élasto-plastique et se trouve dans la littérature sous le nom de return mapping scheme . Simo et Hughes développent ces méthodes dans leur livre [3]. L'avantage de cette méthode est qu'elle est très facile à implémenter et permet toujours de trouver une solution à condition que les coefficients de pénalité soient bien calibrés pour le système. Toutefois pour avoir une solution numérique exacte il faudrait que les coefficients de pénalité tendent vers l'infini, ce qui pose des is problèmes de conditionnement numérique. La méthode des Lagrangiens augmentés Introduite par Hestenes [15] et Powell [16], cette deuxième méthode combine les 20 avantages des méthodes de pénalité et des multiplicateurs de Lagrange. Elle permet de converger vers la solution exacte du problème (comme les multiplicateurs de Lagrange) et ne rajoute pas d'inconnues supplémentaires (comme dans une méthode de pénalité, et contrairement aux multiplicateurs de Lagrange). 25 De plus, les coefficients de pénalité peuvent être choisis plus faibles donc on évite les problèmes de conditionnement numérique qui peuvent apparaître avec une méthode de pénalité pure. Cette deuxième méthode dite de Lagrangiens augmentés, possède deux variantes qui sont bien expliquées dans l'article de Simo et Laursen [1]. 30 L'expression des efforts non linéaires est la même que dans la première méthode dite de pénalité, sauf qu'elle est mise à jour soit entre chaque itération de l'optimisation, soit entre chaque appel à l'optimisation. Cette deuxième méthode est la plus robuste et revient à effectuer plusieurs fois de suite la première méthode dite de pénalité. La DLFT : Dynamic Lagrangian Frequency Time Method Développée par S. Nacivet [4] dans le cadre d'une étude sur les aubes d'un turboréacteur, cette troisième méthode permet de prendre en compte exactement les contraintes de contact et de frottement sans faire plusieurs optimisations lo comme dans le cas de la deuxième méthode dite des Lagrangiens Augmentés. Elle a de bonnes propriétés de convergence et permet de ne pas introduire de ressort supplémentaire comme dans le cas de la première méthode dite de pénalité. L'implémentation de cette troisième méthode se déroule de la même façon que 1s dans la première méthode dite de pénalité sauf que les efforts non linéaires ne s'expriment pas de la même façon. En effet, cette fois ils vont prendre en compte l'équation du mouvement des deux corps à travers le terme FNL (t,n) . C'est en cela que réside la subtilité de la troisième méthode. Lorsque l'algorithme aura convergé les forces de contact calculées vérifieront exactement l'équation da 20 mouvement, alors que dans la méthode de pénalité elles vérifient approximativement les conditions de contact. Cette troisième méthode est illustrée par l'organigramme fonctionnel de la figure 5. Toutes les étapes de calcul qui viennent d'être décrites, ait été déterminées 25 séparément et décrites pour être appliquées à la même problématique de la commande de vitesses manuelle. L'originalité du procédé selon l'invention est qu'il permet de combiner une méthode de balance harmonique, dans le domaine fréquentiel, avec des méthodes utilisées pour gérer le contact dans le domaine temporel. 30 Pour cela, le procédé selon l'invention se base avantageusement sur la méthode l'AFT [6] combinée par les méthodes décrites ci-dessus. En pratique, les méthodes ne convergent pas toutes aussi facilement selon les problèmes. Trouver une solution exacte est toujours plus coûteuse en temps de calcul qu'une solution approchée. On pourrait donc avantageusement gérer le contact par un mélange des méthodes de pénalité et de DLFT. Soit a e [0,1] tel que : F = a Fpénalité + 1- FNL dlft NL NL Ainsi lorsque la convergence se fait difficilement avec la méthode de pénalité, une modification progressive de a peut permettre de basculer sur la DLFT. Et vice-versa. Où a désigne un poids (pondération) qui détermine la participation respective de la méthode de pénalité et de la DLFT dans la méthode finale : Si alpha = 0 alors on a la méthode DLFT, si alpha =1 on a une méthode de pénalité. 15 En conclusion, le procédé selon l'invention assure une meilleure robustesse et rapidité de convergence de la modélisation du comportement vibratoire d'une commande à câble. 20 L'invention n'est pas limitée à la modélisation décrite ci-dessus dans le cadre du procédé selon l'invention, mais reste applicable à d'autre techniques de modélisation telles que les techniques d'intégration temporelle appliquée sur le système entier ou sur des systèmes réduits moyennant l'aide d'une condensation modale par exemple, méthodes qui sont largement répandues. Dans ce cas, la 25 gestion du contact du procédé selon l'invention reste applicable et rentre dans la cadre de la présente invention. 15 Bibliographie : [1] J.C. Simo and T.A. Laursen, An Augmented Lagrangian Treatment of Contact 5 Problems Involving Friction, Computers and Structures Vol. 42, No. 1, p97-116, 1992 [2] J.C. Simo and T.A. Laursen, A Continuum-Based Finite Element Formulation for the Implicit Solution of Multibody, Large Deformation Frictional Contact 10 Problems, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 36, p3451-3485, 1993 [3] J.C. Simo and T.J.R. Hughes, Computational Inelasticity, Springer-Verlag, 1998 [4] S. Nacivet, C. Pierre, F. Thouverez, L. Jezequel, A Dynamic Lagrangian Frequency-Time Method for the Vibration of Dry Friction Damped Systems, Journal of Sound and Vibration, Vol. 265, p201-219, 2003 20 [5] A.A. Ferri, E.H. Dowell, Frequency Domain Solutions to Multi-Degree of Freedom, Dry Friction Damped Systems, Journal of Sound and Vibration, Vol. 124 (2), p207-224, 1988 [6] T.M. Cameron, J.H. Griffin, An Alternating Frequency/Time Domain Method for 25 Calculating the Steady-State Response of Nonlinear Dynamic Systems, Journal of Applied Mechanics, Vol. 56, p149-154, 1989 [7] S.L. Lau, W.S. Zhang, Nonlinear Vibrations of Piecewise Linear Systems by Incremental Harmonic Balance Method, Journal of Applied Mechanics, Vol. 59, 30 p153-160, 1992 15 20 [8] J.H. Wang, W.K. Chen, Investigation of the Vibration of a Blade With Friction Damper by HBM, Transactions of the ASME, Vol. 115, p294-299, April 1993 [9] G. Von Groll, D.J. Ewins, The Harmonic Balance Method with Arclength 5 Continuation in Rotor/Stator Contact Problems, Journal of Sound and Vibration, Vol. 241 (2), p223-233, 2001 [10] Y.K. Cheung, S.H. Chen, S.L. Lau, Application of the Incremental Harmonic Balance Method to Cubic Nonlinearity Systems, Journal of Sound and Vibration, 10 Vol. 140 (2), p273-286, 1990 [11] R.E. Mickens, Comments on the Method of Harmonic Balance, Journal of Sound and Vibration, Vol. 94 (3), p456-460, 1984 15 [12] J.C. West, Analytical Techniques for Nonlinear Control Systems, London : English University Press, 1960 [13] D.D. Siljak, Nonlinear Systems : The Parameter Analysis and Design. New York : John Wiley and Sons, 1969 [14] R. Fletcher, Practical Methods of Optimization, Second Edition, John Wiley and Sons, 1987 [15] M.R. Hestenes, Multiplier and Gradient Methods, J. Optimiz. Theory Applic. 4, 25 303-320, 1969 [16] M.J.D. Powell, A Method for Nonlinear Constraints in Minimization Problems, Optimization (Edited by R. Fletcher). Academic Press, New York, 1969 30 REVENDICATIONS 1. Procédé de dimensionnement d'une commande à câble, couplée à un organe 5 générateur de vibrations, caractérisé en ce qu'il consiste : - à modéliser le comportement vibratoire de la commande, se comportant comme un système vibratoire, en utilisant une méthode dite de balance harmonique considérant le système dans le domaine fréquentiel ; - à intégrer dans la méthode de balance harmonique, les non linéarités du lo système dues aux contacts et frottements du câble, considérées dans le domaine temporel, cette intégration s'effectuant par le biais d'une méthode dite AFT, pour Alternating Frequency/Time Domain Method ; et - à partir de la solution de convergence de la méthode de balance harmonique, à optimiser le dimensionnement de la commande à câble pour limiter les vibrations 1s indésirables se propageant par ledit câble. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce qu'il consiste, à développer la méthode de balance harmonique appliquée à un système mécanique décrit selon la méthode des éléments finis, à partir du système matriciel exprimé par 20 l'équation suivante dite également équation de mouvement : MU + CU + KU +FNL = F (1) où M est la matrice de masse du système ; C la matrice d'amortissement ; K la matrice de raideur ; 25 Fext est le vecteur des forces extérieures ; FNL représente les forces non linéaires ; et Ü, v etU correspondent respectivement à l'accélération, la vitesse et le déplacement à chaque noeud du maillage ; le membre de gauche de l'équation (1) comportant les termes linéaires de la modélisation par éléments finis 30 MU +CU + KU et l'effort non linéaire FNL . 20 3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce qu'il consiste, en partant de l'hypothèse qu'à une excitation périodique tout système va répondre de manière périodique, à transformer la solution de l'équation de mouvement (1) sous la forme d'un développement en série de Fourier s'exprimant par : k=+.. k=+.. U(t) = k U k cos(kcwt) + k U k sin( kcwt) (2) k=0 k =l où C et S désignent les coefficients de Fourier se rapportant respectivement aux termes en Cosinus et aux termes en Sinus et à ne conserver que les premiers termes de la série correspondant à un nombre 10 déterminé et limité d'harmoniques Nh représentatives de la dynamique du système pour obtenir une solution approchée Uapproché(t) du système, ce qui revient à résoudre l'équation de mouvement (1) sur une troncature de cette série, solution approchée qui s'exprime par l'équation suivante : k=Nh k =Ni, U(t) L'approché (t) = E U k cos(kcwt) + E U k sin( kcwt) (3) k=0 k=1 15 4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce qu'il consiste à remplacer la solution approchée Uapproché(t) dans l'équation de mouvement (1) pour obtenir l'expression suivante, représentative du résidu des harmoniques considérées RNh (t) : RN, (t) = L [(K ùco 2M)Uk + (kwC)Uk ]cos(kcwt) + L [(K ùco 2M )Uk ù (kcwC)Uk sin( kcwt) k=0 k=1 +FNL(t,U,U)ùFext(t) (4) et à projeter le résidu RNh(t) sur chacune des composantes du vecteur multiharmonique ê défini dans la base des cosinus et sinus qui est une baseorthonormée dans l'espace des fonctions continues, le vecteur ê s'exprimant par : U = LUD T Ul T Ul T ... UNh T UNhT J pour obtenir, après projection, une nouvelle équation de mouvement (1) s'exprimant par le système matriciel suivant : AU+FNL =Fext où A s'exprime par la matrice suivante : K 0 0 0 0 Ahl 0 0 A= 0 0 0 0 0 0 Ah, Nh [ù (kw)2M + K kwC ù kwC ù (kw)2M + K où Ah k définit la matrice de raideur dynamique associée à la kième harmonique. 5. Procédé selon la revendication 4, caractérisé en ce qu'il utilise pour résoudre le 1s système matriciel (5), une méthode d'optimisation locale de type numérique itérative dérivée de la méthode de Newton. avec Ah,k = (5) pourk =1...Nh 6. Procédé selon la revendication 5, caractérisé en ce que la méthode d'optimisation utilisée est une méthode choisie parmi les méthodes dites Hybrid et Levenberg-Maquardt. 7. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que pour évaluer les non linéarités dues aux contacts et aux frottements, il consiste : - à transposer la solution du système êti+ l , obtenu par la méthode de balance harmonique, dans le domaine temporel pour traiter les non linéarités, puis io - à transposer l'évaluation des non linéarités du domaine temporel dans le domaine fréquentiel f (Uti+l) , la transposition d'un domaine à l'autre s'effectuant par le biais de la méthode AFT. 8. Procédé selon la revendication 7, caractérisé en ce la transposition d'un 15 domaine à l'autre utilise la transformée de Fourier rapide directe (FFT) dans le sens fréquentiel/temporel et inverse (FFT') dans le sens temporel/fréquentiel. 9. Procédé selon les revendications précédentes, caractérisé en ce qu'il consiste à déterminer les coefficients de Fourier des forces non linéaire FNL (Uti+l) en 20 utilisant une méthode choisie parmi une méthode dite de pénalité, une méthode dite des Lagrangiens augmentés et une méthode dite DLFT pour Dynamic Lagrangian Frequency Time Method. 10. Application du procédé selon l'une quelconque des revendications 25 précédentes, au dimensionnement d'une commande manuelle à câble de boîte de vitesses de véhicule automobile, couplée au moteur du véhicule. 30