Brevet FR2914051A1 — publié le 20080926

PROCEDE ET DISPOSITIF POUR ACCROITRE LE GRADIENT DE TEMPERATURE DANS UN GENERATEUR THERMIQUE MAGNETOCALORIQUE Domaine technique : La présente invention concerne un procédé pour accroître le gradient de température dans un générateur thermique magnétocalorique comportant d'une part des éléments magnétocaloriques, agencés pour être soumis alternativement à une variation de champ magnétique entre une valeur de champ maximale et une valeur de champ minimale pour faire varier la température desdits éléments magnétocaloriques, et d'autre part des moyens pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques, ces moyens comportant au moins un circuit d'au moins un fluide caloporteur. La présente invention concerne un dispositif pour accroître le gradient de température dans un générateur thermique magnétocalorique comportant d'une part des éléments magnétocaloriques, agencés pour être soumis alternativement à une variation de champ magnétique entre une valeur de champ maximale et une valeur de champ minimale pour faire varier la température desdits éléments magnétocaloriques, et d'autre part des moyens pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments rnagnétocaloriques, ces moyens comportant au moins un circuit d'au moins un fluide caloporteur. Technique antérieure : Ces nouveaux générateurs thermiques qui utilisent l'effet magnétocalorique de certains matériaux offrent une alternative écologique très intéressante aux générateurs classiques voués à disparaître dans le contexte du développement durable et de la réduction de l'effet de serre. Pour que ces générateurs soient économiquement rentables et puissent offrir un bon rendement énergétique, il est théoriquement envisageable d'agir sur divers paramètres. L'un de ces paramètres est l'intensité du champ magnétique. En effet, l'augmentation du champ magnétique entraîne une augmentation de la capacité de réaction des éléments magnétocaloriques, ce qui a pour effet d'augmenter le rendement du générateur. Or, augmenter de façon conséquente la puissance des aimants pour accroître l'intensité du champ magnétique généré par ces aimants représente, de façon connue, un coût souvent exorbitant, qui n'est pas acceptable d'un point de vue économique. Un autre paramètre sur lequel on peut théoriquement agir est le gradient de température des éléments magnétocaloriques qui est faible puisqu'il n'est que de quelques degrés par Tesla et dépend de la nature des matériaux magnétocaloriques sélectionnés. En effet, augmenter le gradient de température à l'intérieur du générateur thermique magnétocalorique permet d'augmenter efficacement le rendement calorifique du système. D'un point de vue économique, une action sur ce deuxième paramètre apparaît plus attrayante étant donné que l'augmentation du gradient de température est nettement plus économique que l'augmentation du champ magnétique, ce qui la rend plus adaptée à une application industrielle élargie. Exposé de l'invention : La présente invention se propose d'améliorer le rendement énergétique d'un générateur thermique magnétocalorique tel que défini en préambule en augmentant son gradient de température, tout en respectant les contraintes économiques imposées et en réalisant un générateur efficace, simple à construire et à entretenir, bon marché à l'acquisition et à l'utilisation. Dans ce but, le procédé selon l'invention, tel que défini en préambule, est caractérisé en ce que l'on effectue au moins un préchauffage et/ou un pré-refroidissement des éléments magnétocaloriques avant et/ou pendant leur passage dans la zone de variation du champ magnétique avant d'atteindre la valeur de champ maximale ou minimale. Ce préchauffage et/ou ce pré-refroidissement, quel que soit le moyen utilisé, a pour effet d'anticiper respectivement la montée et la baisse de température des éléments magnétocaloriques lorsqu'ils sont soumis à une variation de champ magnétique, ce qui a pour conséquence une augmentation du gradient de température et par suite une amélioration du rendement du système. Selon un mode de mise en oeuvre avantageux, pour effectuer au moins un préchauffage et/ou un pré-refroidissement des éléments magnétocaloriques, l'on fait circuler ledit fluide caloporteur dans ledit circuit pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques à une vitesse différente de la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques dans la zone de variation dudit champ magnétique. Grâce à cette différence de vitesse, le fluide caloporteur a un temps d'avance par rapport au flux magnétique et a pour effet de préchauffer ou de pré refroidir, selon le circuit concerné, les éléments magnétocaloriques avant leur magnétisation ou leur démagnétisation, augmentant ainsi le gradient de température entre les températures d'entrée et de sortie desdits fluides. Selon un premier mode de mise en oeuvre avantageux du procédé, dans lequel on fait circuler un premier fluide caloporteur dans un premier circuit collecteur dit chaud et un deuxième fluide caloporteur dans un deuxième circuit collecteur dit froid , l'on peut faire circuler ledit premier fluide caloporteur dans le circuit chaud à une vitesse supérieure à la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques dans la zone de variation dudit champ magnétique. Selon un deuxième mode de mise en oeuvre avantageux du procédé, dans lequel on fait circuler un premier fluide caloporteur dans un premier circuit collecteur dit chaud et un deuxième fluide caloporteur dans un deuxième circuit collecteur dit froid , l'on peut faire circuler ledit deuxième fluide caloporteur dans le circuit froid à une vitesse supérieure à la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques dans la zone de variation dudit champ magnétique. L'on fait avantageusement varier la vitesse de circulation dudit premier fluide caloporteur dans ledit circuit chaud au moyen d'une pompe de circulation pilotée par un boîtier de commande et l'on fait avantageusement varier la vitesse de circulation dudit deuxième fluide caloporteur dans ledit circuit froid au moyen d'une pompe de circulation pilotée par un boîtier de commande. Enfin, l'on peut faire circuler ledit fluide caloporteur dans ledit circuit pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques à une vitesse différente de la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques dans la zone de variation dudit champ magnétique en modulant la vitesse de déplacement du champ magnétique. Dans ce but également, le dispositif selon l'invention, tel que défini en préambule, est caractérisé en ce qu'il comporte des moyens pour effectuer au moins un préchauffage et/ou un pré-refroidissement des éléments magnétocaloriques avant et/ou pendant leur passage dans la zone de variation dudit champ magnétique. Selon une première manière avantageuse de réaliser l'invention, le dispositif comprenant un premier circuit collecteur dit chaud dans lequel circule un premier fluide caloporteur et un deuxième circuit collecteur dit froid dans lequel circule un deuxième fluide caloporteur, comporte des moyens pour faire circuler ledit premier fluide caloporteur dans le circuit chaud à une vitesse supérieure à la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques dans la zone de variation dudit champ magnétique. Selon une deuxième manière avantageuse de réaliser l'invention, le dispositif comprenant un premier circuit collecteur dit chaud dans lequel circule un premier fluide caloporteur et un deuxième circuit collecteur dit froid dans lequel circule un deuxième fluide caloporteur, caractérisé en ce qu'il comporte des moyens pour faire circuler ledit deuxième fluide caloporteur dans le circuit froid à une vitesse supérieure à la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques dans la zone de variation dudit champ magnétique. Selon un mode de réalisation particulièrement avantageux, ledit circuit chaud comporte une pompe de circulation pilotée par un boîtier de commande et ledit circuit froid comporte une pompe de circulation pilotée par un boîtier de commande. Selon une autre forme de réalisation, ledit générateur thermique comporte un arbre rotatif portant des assemblages magnétiques et un actionneur agencé pour piloter la vitesse d'entraînement de cet arbre. Description sommaire des dessins : La présente invention et ses avantages apparaîtront mieux dans la description suivante d'un mode de réalisation donné à titre d'exemple non limitatif, en référence aux dessins annexés, dans lesquels : la figure 1 est une vue éclatée d'une forme de réalisation particulière d'un générateur thermique selon l'invention, la figure 2 est une vue en perspective d'un exemple de module thermique pouvant entrer dans la réalisation du générateur de la figure 1, la figure 3 est une vue en plan d'une forme de réalisation d'un support d'éléments magnétocaloriques pour le générateur thermique selon l'invention, la figure 4 est un graphique de température par rapport au temps du fluide caloporteur dans les circuits chaud et froid lorsque la vitesse du fluide est égal à la vitesse des aimants, selon l'état de la technique, et la figure 5 est un graphique similaire à la figure 4 lorsque la vitesse du fluide est supérieure à la vitesse des aimants, selon l'invention. Illustration de l'invention : Le procédé pour accroître le gradient de température dans un générateur thermique magnétocalorique selon l'invention peut par exemple, mais non exclusivement, s'appliquer dans un générateur thermique magnétocalorique tel que représenté par les figures 1 à 3. Cet exemple n'est pas limitatif et le procédé peut s'étendre à tout autre type de générateur magnétocalorique. Le générateur thermique magnétocalorique 1 représenté par les figures 1 à 3 comporte par exemple un ensemble de modules thermiques 10 empilés, raccordés par des disques répartiteurs 20 et obturés par des flasques de fermeture 30 montés de part et d'autre de l'empilement. Le nombre des modules thermiques 10 est variable et leur forme de réalisation peut être modifiée en fonction des performances recherchées. Chaque module thermique 10 est constitué de supports 40 portant un ensemble d'éléments magnétocaloriques 60, ces supports 40 étant empilés et agencés pour délimiter entre eux des canaux de circulation pour un ou plusieurs fluides caloporteurs correspondant à un ou plusieurs circuits collecteurs. On peut notamment varier la plage de température de fonctionnement des éléments magnétocaloriques 60 en fonction de la nature, notamment de la composition chimique de ces matériaux, ainsi que le débit et la vitesse de déplacement des fluides caloporteurs en fonction de la section des canaux dans lesquels circulent ces fluides etlou de leur pression. Le flasque de fermeture 30 représenté comporte par exemple deux orifices respectivement 31, 32, destinés à être raccordés respectivement à un circuit collecteur extérieur chaud 31a et à un circuit collecteur extérieur froid 32a (représentés schématiquement) qui véhiculent respectivement les calories et les frigories produites par le générateur 1. Ces circuits collecteurs 31a, 32a comprennent chacun des moyens pour faire circuler chaque fluide caloporteur dans le circuit correspondant pour collecter respectivement les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques 60. En l'occurrence ces moyens peuvent comporter une pompe de circulation, respectivement 31b et 32b ou tout autre élément équivalent. Ces moyens sont respectivement pilotés par des boîtiers de commande 31c et 32c agencés pour moduler la vitesse de circulation des fluides caloporteurs dans les deux circuits 31a et 32a en fonction de la demande de l'utilisateur. Cette demande peut être effectuée de façon programmée ou ponctuellement selon les besoins momentanés. Les disques répartiteurs 20 comportent des orifices 21 et des rainures de distribution 22 permettant de raccorder en série, en parallèle ou selon une combinaison série/parallèle, les circuits respectivement chaud et froid des différents modules thermiques 10 entre eux et avec les circuits collecteurs extérieurs 3la, 32a respectivement chaud et froid. Ces disques répartiteurs 20 peuvent être doublés et dédiés chacun à un des circuits collecteurs. Ils peuvent aussi être formés de disques simples à double face (non représentés) avec un agencement particulier d'orifices 21 et de rainures 22 de distribution pour réaliser une fonction similaire. Dans l'exemple représenté, le générateur thermique 1 comporte un arbre central 2 portant deux assemblages magnétiques 3 diamétralement opposés, et entraînés en rotation par un actionneur 2a, par exemple un moteur électrique. Dans l'exemple représenté, cet actionneur 2a est agencé pour entraîner les assemblages magnétiques 3 en rotation, mais le mouvement pourrait également être effectué en translation. En outre, bien qu'il soit préférentiellement continu, le déplacement peut également être discontinu, alternatif ou défini selon un programme complexe en fonction des besoins. Le nombre, la position et le type d'assemblages magnétiques 3 peuvent être déterminés en fonction de la construction des modules thermiques 10. Ces assemblages magnétiques 3 peuvent être formés d'aimants permanents, d'électroaimants, de supraconducteurs ou tout autre type d'aimant. Les aimants sont de préférence des aimants permanents en raison de leur dimensionnement, leur simplicité d'utilisation et leur coût. Ces aimants permanents peuvent être pleins, frittés, collés ou feuilletés, associés à un ou plusieurs matériaux magnétisables concentrant et dirigeant leurs lignes de champ magnétique. Les modules thermiques 10 peuvent être entourés d'une armature 6 réalisée de préférence en un matériau ferromagnétique ayant pour fonction principale de refermer le flux magnétique généré par les assemblages magnétiques 3. Les modules thermiques 10 peuvent être assemblés selon un montage serré par tout moyen connu, comme par exemple des tirants (non représentés) s'étendant entre les deux flasques de fermeture 30, ou des brides de serrage (non représentées) montées sur l'arbre 2 au moyen de paliers. Tout autre mode d'assemblage peut être envisagé, l'essentiel étant d'assurer un maintien mécanique des modules thermiques 10 entre eux ainsi que l'étanchéité des circuits collecteurs chaud et froid internes au générateur. Dans l'exemple illustré, le générateur thermique 1 présente une configuration circulaire, c'est-à-dire que les modules thermiques 10 sont annulaires et disposés autour d'un arbre 2 portant les assemblages magnétiques 3. Toutefois, l'invention s'étend également à un générateur thermique ayant une configuration rectiligne (non représentée) dans laquelle les modules thermiques sont disposés linéairement et les moyens magnétiques sont animés d'un mouvement de translation alternatif ou séquentiel. Dans l'exemple représenté, chaque support 40 comporte un ensemble d'éléments magnétocaloriques 60 portés par une pièce de support 70, la surface occupée par les éléments magnétocaloriques 60 étant majoritaire par rapport à celle de la pièce de support 70. Les éléments magnétocaloriques 60 sont en forme de secteur circulaire et par exemple réalisés en plaque de matériau magnétocalorique découpée, usinée ou moulée. Le choix des matériaux magnétocaloriques est fonction des puissances caloriques et frigorifiques recherchées et des plages de température de fonctionnement requises. Les supports 40 peuvent avoir diverses configurations. Sur la figure 3, le support 40 comporte plusieurs secteurs thermiques 53 distincts, identiques s'étendant sur environ 45 , chacun composé d'un même nombre d'éléments magnétocaloriques 60, cette configuration n'étant pas limitative. De même, ces éléments magnétocaloriques 60 en forme de secteurs circulaires peuvent avoir des formes géométriques quelconques et leur composition peut être variée notamment en fonction des plages de températures recherchée. Cet exemple n'est pas limitatif Le support 40 peut aussi être une pièce moulée dans une matière synthétique chargée avec des particules de matériau magnétocalorique. Selon la présente invention, l'on fait circuler ledit fluide caloporteur dans ledit circuit pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques 60 à une vitesse différente de la vitesse de variation de l'intensité dudit champ magnétique. Au moment de la pénétration d'un élément magnétocalorique 60 dans le champ magnétique sa température passe d'une valeur initiale Ti à une valeur finale Tf = Ti + AT. La valeur du gradient de température AT est constante pour une intensité du champ magnétique donnée et pour une composition déterminée du matériau magnétocalorique. Si la vitesse de circulation du fluide caloporteur et la vitesse de déplacement relatif du champ magnétique sont identiques, le gradient de température AT de tous les éléments magnétocaloriques 60 au cours de leur passage dans le champ magnétique sera le même pour l'ensemble de ces éléments et le fluide caloporteur atteindra un gradient de température de sortie ATs égal par exemple à 3,8 C, comme représenté à la figure 4. En revanche, si l'on effectue un préchauffage des éléments magnétocaloriques 60 avant ou au cours de leur passage dans le champ magnétique, etlou un pré refroidissement des éléments magnétocaloriques avant ou au cours de leur passage hors du champ magnétique, en faisant circuler le fluide caloporteur a une vitesse supérieure à la vitesse de déplacement relatif du champ magnétique, le gradient de température de tous les éléments magnétocaloriques 60 sera croissant pour l'ensemble de ces éléments, et le fluide caloporteur atteindra un gradient de température de sortie ATs+ supérieur au ATs précédent, par exemple égal par exemple à 5,3 C, comme représenté à la figure 5. En effet, si la température initiale Ti d'un élément magnétocalorique 60 qui pénètre dans le champ magnétique était par exemple de 20 C et si le AT avait une valeur constante de 1 C, la valeur finale Tf de cet élément magnétocalorique 60 serait de 21 C. Dans les générateurs thermiques de ce type connus, les éléments magnétocaloriques 60 suivants auraient tous la même température initiale Ti de 20 C à leur entrée dans le champ magnétique et la même température finale de 21 C à leur sortie de ce champ. Dans le générateur thermique de l'invention, même si la température initiale Ti du premier élément magnétocalorique qui pénètre dans le champ magnétique était de 20 C et si sa température finale était de 21 C, la température initiale du deuxième élément magnétocalorique, qui a subi un préchauffage, serait supérieure à Ti. Si le préchauffage s'effectuait par exemple au moyen du circuit chaud, cette température initiale pourrait être égale à la température finale Tf du premier élément magnétocalorique, soit 21 C. Avec trois éléments successifs, la température finale du troisième élément magnétocalorique pourrait être voisine de 23 C, de sorte que le gradient de température AT serait dans ce cas de 3 C et non de 1 C comme dans les générateurs connus. On peut appliquer ce phénomène au cycle de refroidissement en utilisant le circuit froid pour pré- refroidir les éléments magnétocaloriques 60. Bien entendu, le préchauffage et le pré-refroidissement des éléments magnétocaloriques 60 pourraient être effectués par tout autre moyen que l'utilisation des fluides caloporteurs des circuits chaud et froid. Des générateurs de rayonnement infrarouge ou des moyens équivalents d'un point de vue fonctionnel pourraient être utilisés. De même, la variation de champ magnétique peut être obtenue par un champ magnétique présent ou absent selon la position des aimants par rapport aux éléments magnétocaloriques 60 comme dans l'exemple représenté, ou par un champ magnétique modulé par tout moyen connu entre une valeur de champ maximale et une valeur de champ minimale, les aimants pouvant être fixes ou mobiles. Dans l'exemple représenté, le contrôle de la vitesse de déplacement du champ magnétique s'effectue au moyen de l'actionneur 2a et le contrôle de la vitesse de circulation des fluides caloporteurs des circuits respectivement chaud 31a et froid 32a s'effectue au moyen des pompes de circulation, respectivement 31b et 32b, pilotées par les boîtiers de commande 31c et 32c éventuellement programmables ou commandés par des capteurs. Tout autre mode de réalisation est possible. La présente invention n'est pas limitée à l'exemple de réalisation décrit mais s'étend à toute modification et variante évidentes pour un homme du métier tout en restant dans l'étendue de la protection définie dans les revendications annexées. Revendications 1. Procédé pour accroître le gradient de température dans un générateur thermique magnétocalorique (1) comportant d'une part des éléments magnétocaloriques (60), agencés pour être soumis alternativement à une variation de champ magnétique entre une valeur de champ maximale et une valeur de champ minimale pour faire varier la température desdits éléments magnétocaloriques (60), et d'autre part des moyens pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques, ces moyens comportant au moins un circuit (3la, 32a) d'au moins un fluide caloporteur, caractérisé en ce que l'on effectue au moins un préchauffage et/ou un pré-refroidissement des éléments magnétocaloriques (60) avant et/ou pendant leur passage dans la zone de variation dudit champ magnétique avant d'atteindre la valeur de champ maximale et/ou minimale. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que pour effectuer au moins un préchauffage et/ou un pré-refroidissement des éléments magnétocaloriques (60), l'on fait circuler ledit fluide caloporteur dans ledit circuit pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques (60) à une vitesse différente de la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques (60) dans la zone de variation dudit champ magnétique. 3. Procédé selon la revendication 2, dans lequel on fait circuler un premier fluide caloporteur dans un premier circuit collecteur dit chaud et un deuxième fluide caloporteur dans un deuxième circuit collecteur dit froid , caractérisé en ce que l'on fait circuler ledit premier fluide caloporteur dans le circuit chaud à une vitesse supérieure à la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques (60) dans la zone de variation dudit champ magnétique. 13 4. Procédé selon la revendication 2, dans lequel on fait circuler un premier fluide caloporteur dans un premier circuit collecteur dit chaud et un deuxième fluide caloporteur dans un deuxième circuit collecteur dit froid , caractérisé en ce que l'on fait circuler ledit deuxième fluide caloporteur dans le circuit froid à une vitesse supérieure à la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques (60) dans la zone de variation dudit champ magnétique. 5. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que l'on fait varier la vitesse de circulation dudit premier fluide caloporteur dans ledit circuit chaud au moyen d'une pompe de circulation (3 lb) pilotée par un boîtier de commande (31c). 6. Procédé selon la revendication 4, caractérisé en ce que l'on fait varier la vitesse de circulation dudit deuxième fluide caloporteur dans ledit circuit froid au moyen d'une pompe de circulation (32b) pilotée par un boîtier de commande (32c). 7. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que l'on fait circuler ledit fluide caloporteur dans ledit circuit pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques (60) à une vitesse différente de la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques (60) dans la zone de variation dudit champ magnétique, en modulant la vitesse de déplacement dudit champ magnétique. 8. Dispositif pour accroître le gradient de température dans un générateur thermique magnétocalorique (1) comportant d'une part des éléments magnétocaloriques (60), agencés pour être soumis alternativement à une variation de champ magnétique entre une valeur de champ maximale et une valeur de champ minimale pour faire varier la température desdits éléments magnétocaloriques (60), et d'autre part des moyens pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques (60), ces moyens comportant au moins un circuit(3la, 31b) d'au moins un fluide caloporteur, caractérisé en ce qu'il comporte des moyens pour effectuer au moins un préchauffage et/ou un pré-refroidissement des éléments magnétocaloriques (60) avant et/ou pendant leur passage dans la zone de variation dudit champ magnétique avant d'atteindre la valeur de champ maximale ou minimale. 9. Dispositif selon la revendication 8, caractérisé en ce que pour effectuer au moins un préchauffage et/ou un pré-refroidissement des éléments magnétocaloriques (60), il comporte des moyens pour faire circuler ledit fluide caloporteur dans ledit circuit pour collecter les calories et/ou les frigories émises par lesdits éléments magnétocaloriques (60) à une vitesse différente de la vitesse de passage desdits éléments magnétocaloriques (60) dans ;la zone de variation dudit champ magnétique. 10. Dispositif selon la revendication 9, comprenant un premier circuit collecteur dit chaud dans lequel circule un premier fluide caloporteur et un deuxième circuit collecteur dit froid dans lequel circule un deuxième fluide caloporteur, caractérisé en ce qu'il comporte des moyens pour faire circuler ledit premier fluide caloporteur dans le circuit chaud à une vitesse supérieure à la vitesse passage desdits éléments magnétocaloriques (60) dans la zone de variation dudit champ magnétique. 11. Dispositif selon la revendication 9, comprenant un premier circuit collecteur dit chaud dans lequel circule un premier fluide caloporteur et un deuxième circuit collecteur dit froid dans lequel circule un deuxième fluide caloporteur, caractérisé en ce qu'il comporte des moyens pour faire circuler ledit deuxième fluide caloporteur dans le circuit froid à une vitesse supérieure à la vitesse passage desdits éléments magnétocaloriques (60) dans la zone de variation dudit champ magnétique. 12. Dispositif selon la revendication 10, caractérisé en ce que ledit circuit chaud comporte une pompe de circulation (311) pilotée par un boîtier de commande (31c). 13. Dispositif selon la revendication 11, caractérisé en ce que ledit circuit froid comporte une pompe de circulation (32b) pilotée par un boîtier de commande (32c). 14. Dispositif selon la revendication 8, caractérisé en ce que ledit générateur thermique (1) comporte un arbre rotatif (2) portant des assemblages magnétiques (3) et un actionneur (2a) agencé pour piloter la vitesse d'entraînement de cet arbre (2).