Brevet FR2891383A1 — publié le 20070330

La présente invention concerne une méthode pour évaluer des écoulements de fluides au sein d'une formation hétérogène, représentée pas un maillage de type CPG, et traversée par une ou plusieurs discontinuités géométriques représentées par des maillages structurés, comprenant la génération d'un maillage hybride à partir du maillage de type CPG et des maillages structurés. La méthode s'applique particulièrement à la modélisation des déplacements de fluides tels que des hydrocarbures dans un gisement, ou réservoir souterrain, traversé 15 par un ou plusieurs puits, ou par des fractures ou failles. État de la technique Au cours de l'exploitation d'un gisement d'hydrocarbure, il est impératif de pouvoir simuler des profils de production de gaz ou de pétrole, afin de juger de sa rentabilité, de valider ou d'optimiser la position des puits assurant le fonctionnement de l'exploitation. Il s'agit aussi d'estimer les répercutions d'une modification technologique ou stratégique sur la production d'un gisement (choix des emplacements des nouveaux puits à forer, optimisation et choix lors de la complétion des puits, ...). Pour cela, des calculs de simulations d'écoulement sont effectués au sein du réservoir. Elles permettent de prédire, en fonction de la position des puits et de certaines caractéristiques pétrophysiques du milieu, comme la porosité ou la perméabilité, l'évolution au cours du temps des proportions d'eau, de gaz et de pétrole dans le réservoir. Tout d'abord, une meilleure compréhension de ces phénomènes physiques nécessite de simuler en 3D des écoulements polyphasiques dans des structures géologiques de plus en plus complexes au voisinage de plusieurs types de singularités telles que les stratifications, les failles et les puits complexes. A cet effet, il est primordial de fournir aux schémas numériques un domaine d'étude correctement discrétisé. La génération de maillage adapté devient alors un élément crucial pour les simulateurs de réservoir pétrolier car il permet de décrire la géométrie de la structure géologique étudiée au moyen d'une représentation en éléments discrets. Cette complexité doit être prise en compte par le maillage qui doit restituer aussi fidèlement que possible la géologie et toutes ses hétérogénéités. Par ailleurs, pour obtenir une simulation précise et réaliste, le maillage doit s'adapter aux directions radiales des écoulements au voisinage des puits, dans les zones de drainage. Enfin, la modélisation de maillage a connu de grands progrès ces dernières années dans d'autres disciplines telles que l'aéronautique, la combustion dans les moteurs ou encore la mécanique des structures. Cependant les techniques de maillage utilisées dans ces autres domaines ne sont pas transposables telles quelles dans le monde pétrolier, car les contraintes de métier ne sont pas les mêmes. Les schémas numériques sont du type différences finies, ce qui nécessite l'utilisation de maillage cartésien trop simple pour décrire la complexité des hétérogénéités du sous-sol, ou, pour la plupart, du type éléments finis, qui sont adaptés à résoudre des problèmes elliptiques ou paraboliques et non à la résolution des équations hyperboliques comme celles obtenues pour la saturation. Les méthodes de type différences finies et éléments finis ne sont donc pas adaptées à la simulation de réservoir, seules les méthodes de type volumes finis le sont. Cette dernière est la méthode la plus utilisée en modélisation et simulation de réservoir. Elle consiste à discrétiser le domaine d'étude en volumes de contrôle sur chacun desquels les fonctions inconnues sont approchées par des fonctions constantes. Dans le cas des volumes finis centrés sur les mailles, les volumes de contrôle correspondent aux mailles et les points de discrétisation sont les centres de ces mailles. L'avantage de cette méthode est que la définition des volumes de contrôle se généralise sans problèmes à tous types de maillages, qu'ils soient structurés, non structurés ou hybrides. Par ailleurs, la méthode des volumes finis reste proche de la physique du problème et respecte le principe de la conservation de la masse (les bilans de masses des différentes phases sont écrits sur chaque maille). De plus, elle est particulièrement bien adaptée à la résolution d'équations non linéaires de type hyperbolique. Elle est donc toute indiquée pour la résolution du système hyperbolique en saturation. C'est pourquoi, nous nous baserons pour la suite sur l'utilisation de méthodes de volumes finis centrées sur les mailles. En somme, le maillage permettant de réaliser des simulations réservoir doit être adapté : pour décrire la complexité de la géométrie de la structure géologique étudiée; aux directions radiales des écoulements au voisinage des puits, dans les zones de drainage; - aux simulations par des méthodes de types volume finis centrées sur les mailles. Les maillages proposés et utilisés jusqu'à nos jours dans le domaine pétrolier sont de trois types: entièrement structurés, totalement non structurés, ou hybride, 20 c'est à dire un mélange de ces deux types de maillage. 1. Les maillages structurés sont des maillages dont la topologie est fixe: chaque sommet interne est incident à un nombre fixé de mailles et chaque maille est délimitée par un nombre fixé de faces et d'arêtes. On peut citer par exemple les maillages cartésiens (figure 1), largement utilisés en simulation de réservoir, les maillages dit CPG, pour CornerPoint-Geometry , décrits par exemple dans le brevet FR 2 747 490 (US 5 844 564) du demandeur, et les maillages de type radial circulaire (figure 2), pelinettant de modéliser l'aire de drainage des puits. 2. Les maillages non structurés ont une topologie complètement arbitraire: un sommet du maillage peut appartenir à un nombre quelconque de mailles et chaque 30 maille peut posséder un nombre quelconque d'arêtes ou de faces. Les données topologiques doivent donc être stockées en peltitanence pour connaître explicitement les voisins de chaque noeud. Le coût mémoire impliqué par l'utilisation d'un maillage non structuré peut donc devenir rapidement très pénalisant. Cependant, ils permettent de décrire la géométrie autour des puits et de représenter les zones géologiques complexes. On peut citer par exemple les maillages du type PErpendicular Blssector (PEBI) ou Voronoï proposés dans: Z.E. Heinemann, G.F. Heinemann et B.M. Tranta, "Modelling heavily faulted reservoirs.", Proceedings of SPE Annual Technical Conferences, pages 9-19, New Orlean, Louisiana, september 1998, SPE. Les maillages structurés ont déjà montré leurs limites: leur caractère structuré facilite leur utilisation et leur exploitation mais ceci leur infère en même temps une rigidité ne permettant pas de représenter toutes les complexités géométriques de la géologie. Les maillages non structurés possèdent plus de souplesse et ont permis d'obtenir des résultats prometteurs mais ils sont encore 2,5D, c'est à dire que la 31eme dimension n'est obtenue que par projection verticale du résultat 2D, et leur manque de structure les rend plus difficiles à exploiter. 3. Pour allier les avantages des deux approches, structurée et déstructurée, tout en limitant leurs inconvénients, un autre type de maillage a été envisagé : le maillage hybride. Celui-ci est l'association de différents types de maillages et permet de profiter au maximum de leurs avantages, tout en essayant d'en limiter les inconvénients. Une méthode hybride de raffinement local a été proposée dans: O.A. Pedrosa et K. Aziz, "Use of hybrid grid in reservoir simulation.", Proceedings of SPE Middle East Oil Technical Conference, pages 99-112, Bahrain, March 1985. Cette méthode consiste à modéliser une géométrie d'écoulement radiale autour d'un puits dans un maillage de réservoir de type cartésien. La jonction entre les mailles du 30 réservoir et du puits est alors effectuée en utilisant des éléments de type hexaédrique. Cependant, la trajectoire verticale décrite par le centre du puits doit obligatoirement être située sur une ligne verticale de sommets du maillage cartésien réservoir. - Pour élargir le champ d'application de cette méthode, pour prendre en compte les puits verticaux, horizontaux et les failles dans un maillage de réservoir de type cartésien, une nouvelle méthode hybride de raffinement local a été proposée dans: S. Kocberber, "An automatic, unstructured control volume generation system for geologically complex reservoirs", Proceedings of the 14th SPE symposium on Reservoir Simulation, pages 241, 252, Dallas, juin1997. Cette méthode consiste à joindre le maillage de réservoir et le maillage de puits, ou les blocs de maillage réservoir aux bords des failles, par des éléments de type pyramidaux, prismatiques, hexaédriques ou tétraédriques. Cependant, l'utilisation de mailles pyramidales ou tétraédriques ne permet pas d'utiliser une méthode de type volumes finis centrés sur les mailles. - De plus, par les brevets FR 2 802 324 et FR 2 801 710 du demandeur, on connaît un autre type de modèle hybride permettant de prendre en compte, en 2D et 2,5D, la géométrie complexe des réservoirs ainsi que les directions radiales des écoulements aux abords des puits. Ce modèle hybride permet de simuler de façon très précise le caractère radial des écoulements aux abords des puits par une méthode de type volumes finis centrés sur les mailles. Il est structuré presque partout, ce qui facilite son utilisation. La complexité inhérente au manque de structure n'est introduite que là où c'est strictement nécessaire, c'est-à-dire dans les zones de transition qui sont de tailles réduites. Les calculs sont rapides et la prise en compte des directions d'écoulement au travers la géométrie des puits augmente leur précision. Si ce maillage hybride 2, 5D a permis de franchir un bon pas en avant en simulation de réservoir dans des géométries complexes, il n'en reste pas moins que cette solution ne permet pas d'obtenir une simulation tout à fait réaliste lorsque les phénomènes physiques modélisés sont réellement 3D. C'est le cas, par exemple, pour une simulation locale autours d'un puits. De plus, ces techniques de constructions de maillages hybrides nécessitent la création d'une cavité entre le maillage de réservoir et le maillage de puits. On connaît par S. Balaven-Clermidy dans "Génération de maillages hybrides pour la simulation des réservoirs pétroliers" (thèse, École des Mines de Paris, décembre 2001) différentes méthodes pour définir une cavité entre le maillage de puits et le maillage de réservoir: la cavité de taille minimale (par simple désactivation des mailles du maillage de réservoir chevauchant le maillage de puits), la cavité obtenue par dilatation et la cavité dite de Gabriel. Cependant aucune de ces méthodes n'est réellement satisfaisante: l'espace créé par la cavité ne permet pas au maillage de transition de conserver une taille de maille intermédiaire entre les mailles de puits et les mailles de réservoir. Enfin, par la demande de brevet EP 05.291.047.8 du demandeur, on connaît une autre méthode de type hybride permettant de prendre en compte, en 2D, 2,5D et 3D, la géométrie complexe des réservoirs ainsi que les directions radiales des écoulements aux abords des puits. Elle consiste à générer de manière entièrement automatique une cavité de taille minimale tout en permettant au maillage de transition de conserver une taille de maille intermédiaire entre la taille des mailles de puits et la taille des mailles de réservoir. Cette méthode permet également de construire un maillage de transition répondant aux contraintes du schéma numérique utilisé pour la simulation. Cette méthode propose des techniques d'optimisation, consistant à améliorer a posteriori le maillage hybride, pour définir un maillage de transition parfaitement admissible au sens du schéma numérique choisi. Cette approche hybride permet de relier un maillage de réservoir de type cartésien non uniforme à un maillage de puits de type radial circulaire. Cependant, la modélisation du réservoir par un maillage cartésien n'est pas suffisante pour prendre en compte toute sa complexité géologique. Il est donc nécessaire d'utiliser des maillages structurés de type Corner Point Geometry (CPG) pour les représenter. Dans le cas général, les maillages CPG possèdent des faces quadrilatérales dont les sommets sont ni cosphériques, ni coplanaires. Les arêtes de ces maillages sont même, la plupart du temps, non Delaunay admissibles, c'est-à-dire que les sphères diamétrales de certaines arêtes sont non vides. Or la méthode décrite ci-dessus ne peut pas gérer convenablement ce type de maillage. Les méthodes actuelles permettant de générer des maillages hybrides ne sont donc plus applicables dans le cas précis de maillage CPG. La méthode selon l'invention permet de construire de façon entièrement automatique des maillages de transition conformes lorsque le réservoir est décrit par un maillage de type CPG. La méthode selon l'invention La méthode selon l'invention concerne une méthode pour évaluer, en accord avec un schéma numérique défini, des écoulements de fluides dans un milieu hétérogène traversé par au moins une discontinuité géométrique, à partir d'un maillage hybride. La génération de ce maillage comporte la formation d'au moins un premier maillage structuré de type CPG pour mailler au moins une partie du milieu hétérogène, la formation d'au moins un second maillage structuré pour mailler au moins une partie de ladite discontinuité géométrique, lesdits maillages étant constitués de mailles définies par leurs sommets repérés par leur coordonnées dans un repère dit CPG . La méthode comporte les étapes suivantes: - on déforme au moins une partie dudit maillage de type CPG en un maillage cartésien non uniforme dont les sommets sont alors repérés par leur coordonnées dans un repère dit Cartésien ; - on définit, pour chaque maille déformée dudit maillage CPG, une fonction de déformation (D permettant de déterminer des coordonnées de sommets dans ledit repère CPG à partir des coordonnées de ces mêmes sommets dans ledit repère Cartésien ; - on déforme ledit second maillage en exprimant les coordonnées de ses sommets dans ledit repère Cartésien , à l'aide de ladite fonction de déformation (D; on génère dans ledit repère Cartésien un maillage hybride, en construisant 25 un maillage de transition conforme entre ledit maillage cartésien et ledit second maillage après déformation; - on déforme le dit maillage hybride en exprimant les coordonnées de ses sommets dans le repère CPG , à l'aide de ladite fonction de déformation (D; - on définit au moins un critère de qualité par rapport audit schéma numérique et à l'aide d'une normale n à une face F du maillage de transition, ladite normale étant définie à partir de ladite fonction de déformation (D; - on optimise ledit maillage hybride dans le repère CPG à partir dudit 5 critère de qualité. Selon l'invention, on peut exprimer les coordonnées des sommets dudit second maillage dans ledit repère Cartésien , en réalisant les étapes suivantes: - on recherche les coordonnées, dans le repère CPG , des sommets de la 10 maille ÎH dudit maillage de type CPG qui contient le sommet P; - on définit une fonction de déformation inverse (-1 qui définie lesdites coordonnées dans ledit repère Cartésien , à partir d'une technique itérative d'optimisation et de ladite fonction de déformation (D; - on applique cette fonction de déformation inverse (D-1 au point P. Dans ce cas, on peut utiliser une technique itérative d'optimisation de type Newton Raphson. Les mailles du maillage de type CPG ayant des faces non planes, il peut être avantageux de rechercher la maille H qui contient le point P en créant un maillage virtuel tétraédrique à partir dudit maillage de type CPG. Dans ce cas, la recherche de la maille H qui contient la point P peut comporter la recherche du tétraèdre virtuel contenant le point P, par une technique de type bucket sort par exemple. Selon l'invention, la partie du maillage de type CPG déformée peut correspondre à une zone restreinte entre le premier maillage et le second maillage, dans laquelle on construit le maillage de transition. Les coordonnées des sommets des mailles du maillage de type CPG dans le repère Cartésien peuvent être déterminées à partir de la distance moyenne entre deux sommets d'une maille dans le repère CPG . Selon l'invention la normale n à une face F dudit maillage de transition peut être définie de la façon suivante: n=o0(G) n où n est la noimale à la face F dans ledit repère Cartésien , G est le barycentre de F dans ce même repère et 1 est la fonction de déformation. Pour générer le maillage hybride, on peut tenir compte d'au moins une des contraintes suivantes: conformité, convexité, orthogonalité et autocentrage des mailles. Concernant l'optimisation du maillage hybride, elle peut être réalisé sous contrôle de critères de qualité au sens dudit schéma numérique, pour améliorer la régularité en forme dudit maillage hybride. Les contrôles de critères de qualité peuvent être définis de la façon suivante: - contrôle d'orthogonalité : une maille de transition est dite orthogonale si son orthogonalité est supérieure ou égale à un seuil fixé, l'orthogonalité étant définie à partir de la normale n à une face F du maillage de transition. - contrôle de planarité : une maille de transition est dite planaire si sa planarité est inférieure ou égale à un seuil fixé. - contrôle d'auto-centrage: une maille est dite auto-centrée si son site est à l'intérieur de celle-ci. Les faces du maillage de transition n'étant pas nécessairement planes, elles peuvent être rendues planes sous contrôle d'orthogonalité et de planarité, en déplaçant les sommets de ces faces par projection itérative des sommets des faces du maillage sur leur plan moyen. Enfin, selon l'invention, on peut déterminer les écoulements de fluide dans le milieu hétérogène à partir d'un simulateur d'écoulements et à l'aide de la normale n. Présentation succincte des figures - la figure 1 montre un maillage de réservoir de type CPG décrit dans le repère CPG . - la figure 2 montre le même maillage que la figure 1 décrit dans le repère Cartésien . Ce maillage est alors représenté par une grille cartésienne non uniforme. - la figure 3 illustre la déformation, par la fonction de déformation 0, d'un parallélépipède rectangle H (de sommets Pi) en un hexaèdre quelconque fi (de sommets P). la figure 4 illustre un maillage de puits dans le repère CPG . la figure 5 illustre le même maillage que la figure 4 décrit dans le repère Cartésien , en utilisant la fonction de déformation inverse (D-I. Description détaillée de la méthode La méthode selon l'invention permet de générer un maillage hybride 3D permettant la prise en compte de phénomènes physiques ayant lieu à proximité de discontinuités géométriques, comme des puits ou des fractures, lors des simulations de réservoir. Ce maillage est d'une part, adapté à la complexité de la géométrie de la structure géologique étudiée, et d'autre part, aux directions radiales des écoulements au voisinage des puits, dans les zones de drainage. Dans le domaine pétrolier, il est également nécessaire que ces maillages soient admissibles au sens des volumes finis. Pour respecter cette condition, le maillage doit posséder les propriétés suivantes: - La discrétisation des équations des écoulements est réalisée par des approximations à deux points. Ceci implique que par une même face, une maille ne peut pas avoir plus d'une maille voisine. Cette propriété est connue sous le nom de conformité. Pour exprimer le gradient de pression suivant la noitnale à une face, une approximation à deux points entre les deux mailles adjacentes est utilisée (schémas numériques où l'approximation des flux est à deux points). Cela suppose que pour chaque maille, un centre de maille (ou point de discrétisation) doit être défini. Dès lors, une telle approximation n'est acceptable que si la droite joignant les centres de deux mailles adjacentes est orthogonale à leur face commune. Cette propriété est appelée orthogonalité du maillage. De la propriété précédente, il découle immédiatement que les mailles sont convexes. Bien qu'en théorie les points de discrétisations puissent être situés à l'extérieur de leur maille, la résolution des différentes inconnues du problème d'écoulement impose de les conserver dans leur maille. On parle alors de maille auto-centrée et de la propriété d'auto-centrage du maillage. La méthode est présentée dans le cadre particulier du maillage d'un réservoir traversé par un puits. Ainsi, à partir d'un maillage de réservoir de type CPG, et de maillages de puits structurés bien connus des spécialistes, la méthode selon l'invention permet de générer un maillage hybride en trois dimensions admissible au sens des volumes finis. Les méthodes classiques pour construire un maillage hybride ne pouvant pas s'appliquer à un maillage de réservoir de type CPG, la première étape consiste à déformer localement le maillage de réservoir de type CPG en un maillage cartésien non uniforme. Ces défonnations locales de mailles correspondent au passage d'un repère dit CPG à un repère dit Cartésien : les sommets des mailles du maillage CPG de réservoir étant définies dans le repère CPG , et les sommets des mailles du maillage cartésien étant définies dans le repère Cartésien . L'idée est ensuite de quantifier cette déformation pour l'appliquer au maillage de puits. Les deux maillages ainsi déformés et décrits dans le repère Cartésien , il est alors possible d'appliquer toutes méthodes connues pour générer un maillage hybride. Enfin, la dernière étape consiste à déformer ce maillage hybride pour revenir au repère CPG . Après le report du maillage hybride dans le repère CPG , les cellules du diagramme de puissance obtenues possèdent généralement des faces courbes (non planaires). Une procédure d'optimisation peut donc être nécessaire pour rétablir au mieux la planarité des faces, tout en respectant les propriétés relatives aux volumes finis, et en particulier l'orthogonalité. Remarque: le tende Cartésien qualifiant le repère Cartésien fait référence au maillage cartésien non uniforme. Ainsi, le repère Cartésien est le repère dans lequel on exprime les coordonnées du maillage cartésien non uniforme. De même, le repère CPG est le repère dans lequel on exprime les coordonnées du maillage CPG. 1) Déformation quantifiée du maillage de réservoir de type CPG La première étape consiste à déformer le maillage de réservoir de type CPG en un maillage cartésien non uniforme et à quantifier cette déformation par une fonction 5 de déformation. Cette déformation peut être réalisée de façon globale comme décrit ultérieurement, mais il peut être avantageux de ne réaliser cette déformation que dans les zones de transition, c'est-à-dire dans des zones restreintes entre le maillage de réservoir et les maillages de puits. Cette étape correspond au passage d'une description du maillage CPG dans le repère CPG au repère Cartésien . Le maillage CPG étant cartésien non uniforme dans le repère Cartésien . Cette déformation, qui engendre donc la création d'un repère Cartésien , se fait en projetant la grille CPG du réservoir sur une grille cartésienne non uniforme. Chaque maille du nouveau maillage est alors définie par les longueurs moyennes des mailles CPG dans les trois directions X, Y et Z de l'espace: Soient NX, Ny et Nz le nombres de mailles du maillage CPG dans les trois directions de l'espace, et soient TabX(i), TabYO), TabZ(k), les coordonnées des sommets d'indice i, j et k, du maillage dans le repère Cartésien V j, k), 1 _ Soient TabX(1: Nx-+1), TabY(1: Ny±1) et TabZ(1: Nz+1) trois tableaux destinés à stocker les coordonnées des sommets de la grille cartésienne. Alors, les procédures suivantes permettent de les déterminer: 13 Procédure: ConstruireTabX() TabX(1) = 0; pour i = 1 à Nx faire TabX(i+1) = 0; pour j = 1 à Ny+1 faire pour k = 1 à NZ+1 faire soit A le sommet d'indice (i, j, k) ; soit B le sommet d'indice (i+1, j, k) TabX(i+1) = TabX(i+1) + ABII; fin pour fm pour TabX(i+1) = TabX(i+l) / ((Ny+l) x (NZ+ 1)) ; TabX(i+1) = TabX(i+l) + TabX(i) ; fin pour De façon équivalente dans la direction Y: Procédure: ConstruireTabY() TabY(1) = 0; pour j = 1 à Ny faire TabY(j+1) = 0; pour i = 1 à Nx+1 faire pour k = 1 à NZ+1 faire soit A le sommet d'indice (i, j, k) ; soit B le sommet d'indice (i, j+1, k) ; TabY0+1) = TabY(j+1) + IIAB I; fin pour fin pour TabY(j+1) = TabYO+1) / ((Nx+1) x (NZ+1)) ; 30 TabYO+1) = TabY(j+l) + TabYûj) ; fin pour Et enfin, de façon équivalente dans la direction Z: Procédure: ConstruireTabZ() TabZ(1) = 0; pour k = 1 à Nz faire TabZ(k+1) = 0; pour i =1 à Nx ±1 faire pour j = 1 à Ny+1 faire soit A le sommet d'indice (i, j, k) ; soit B le sommet d'indice (i, j, k+l) ; TabZ(k+1) = TabZ(k+1) + I AB) ; fm pour fin pour TabZ(k+1) = TabZ(k+1) / ((N, ±1) x (Ny+1)) ; TabZ(k+1) = TabZ(k+1) + TabZ(k) ; fin pour A titre d'illustration, la figure 1 montre un réservoir CPG décrit dans le repère CPG , et la figure 2 illustre le même réservoir décrit dans le repère Cartésien . Ce dernier maillage est alors représenté par une grille cartésienne non uniforme. Ce passage du repère CPG au repère Cartésien permet donc de déformer localement des mailles du maillage de réservoir CPG. Cette déformation peut être réalisée de façon globale, c'est-à-dire appliquée à l'ensemble des mailles du maillage de réservoir, ou réalisée de façon locale, c'està-dire appliquée à une partie seulement des mailles du maillage de réservoir. Il peut par exemple être avantageux de n'appliquer une déformation que dans la partie nécessaire à la construction du maillage de transition, c'est-à-dire dans des zones restreintes entre le maillage de réservoir et les maillages de puits. Après avoir déformé le maillage de type CPG en un maillage cartésien non uniforme en déplaçant les sommets des mailles, c'est-à-dire en passant du repère CPG au repère Cartésien , cette défolmation doit être quantifiée. En effet, le passage du maillage de puits du repère CPG au repère Cartésien ou bien encore, le passage du maillage de transition du repère Cartésien au repère CPG , est défini par la déformation induite par le passage de la grille CPG de réservoir dans le repère CPG à la grille cartésienne du réservoir dans le repère Cartésien . Cette défoiination est locale et est définie au niveau de chaque maille hexaédrique du réservoir. Pour ce faire, pour chaque (dans le cas d'une déformation globale) maille du maillage CPG, on définit une fonction de déformation O. Cette fonction permet de passer d'un repère à un autre, c'est-à-dire de déterminer les coordonnées des sommets dans le repère CPG à partir des coordonnées de ces mêmes sommets dans le repère Cartésien . Comme l'illustre la figure 3, cette fonction de déformation transforme un parallélépipède rectangle H (de sommets Pi) en un hexaèdre quelconque fi (de sommets P). Pour guider le choix sur la construction d'une telle fonction, on introduit la propriété de l'identité des sommets qui dit quel'image d'un sommet de H est un sommet de H Soit H un parallélépipède rectangle de longueurs a, b, c (figure 3) et défini par les huit sommets P1 A p, suivants: a b c\ 2 2 2, (ab c\ 2 2 2, c \ / a b c\ (ab +,+b_c P4 = 2 2 2' 2, 2 2 c P7_ +a,+b,+c (ab b c \ P$_ 2 2 2 2, 2+2+2, Ps = ab2' 2' a _b Alors, une solution possible au problème de quantification de la déformation consiste à définir la fonction de déformation cl) suivante: s s (D(P)=(D(x, y, z)=E Nr (x, y, z) Pi" =E Ni (x, y, z) r=i où x, y et z varient dans les intervalles --a a ' r b b 2 2 L 2 2 cc 22 et Ni sont huit et fonctions telles que: N,(P)=Nr(x,y,z)= 01 si P=Pi si P=Pj avec j i Plus en détails, les fonctions Ni (1 Elle est utilisée directement pour transporter les sommets du maillage de transition du repère Cartésien au repère CPG , et indirectement pour transporter les sommets du maillage de puits du repère CPG au repère Cartésien . Remarque: la fonction peut également s'écrire sous la forme (01,02,03) avec: s (I) (x, y, z)=l Ni (x, y, z)'x; i=l s (x, y, z)=l N; (x, y, z) '1'r,_l s (1) 3 (x, y, z)=l Ni (x, y, z ..' i=l ce qui peut être très utile pour exprimer son Jacobien: ao, ao, ao, ax ay az a02 a02 a 2 ax ay az 00 3 a^:I) 3 50 ax ay az, JÇ,,=D _ A partir de la fonction de défoimation (D, pour transporter un point P du maillage du puits ou du maillage de transition d'un repère A à un repère B, on réalise les étapes suivantes: É on recherche la maille H du réservoir dans le repère A qui contient le point 5 P; É on définit une fonction de déformation rP (0 ou 0-I) qui transforme tout point de la maille H du repère A à la maille correspondante dans le repère B; É on applique cette fonction de déformation au point P. Les étapes principales de cette méthode sont donc des étapes de localisation (pour trouver la maille du réservoir contenant un point donné), et des opérations de défolmation (pour passer d'un repère à l'autre). Cependant, les mailles CPG du réservoir ayant des faces non planaires, trouver la maille hexaédrique H contenant le point P peut être très difficile à réaliser, en particulier pour les points qui sont situés à proximité d'une face. Une solution à ce problème consiste alors à créer un maillage virtuel tétraédrique du réservoir puis à trouver le tétraèdre virtuel qui contient le point P. Création d'un maillage virtuel tétraédrique du réservoir Le principe consiste à diviser chaque maille hexaédrique du réservoir en six tétraèdres de telle sorte que le maillage global soit conforme. Cette décomposition est indépendante, unique et permet de créer "au vol" le maillage virtuel tétraédrique de chaque maille. 5, 6, 7, 8) les huit sommets d'un hexaèdre, alors par convention, Soit (1, 2, 3, 4, on le divise en six types de tétraèdres suivant le schéma suivant: tétraèdre [1] : (1) (2) (6) (7) tétraèdre [2] : (1) (6) (5) (7) tétraèdre [3J: (1) (5) (8) (7) tétraèdre [4J: (1) (3) (2) (7) tétraèdre [5J: (1) (4) (3) (7) tétraèdre [6J: (1) (8) (4) (7) A chaque tétraèdre K, on associe, en plus des indices de ses quatre sommets, un type (un entier compris entre 1 et 6) ainsi que les indices de la maille hexaédrique qui le contient. Ces deux informations supplémentaires peunettent alors de "calculer au vol" les quatre voisins de K. Par exemple, si K est le tétraèdre [1] de la maille (i) (1) (k), alors ses quatre voisins sont: voisin [1] : tétraèdre [3] de la maille (i+1) 0) (k) voisin [2] : tétraèdre [2] de la maille (i) 0) (k) voisin [3] : tétraèdre [4] de la maille (i) (j) (k) voisin [4] : tétraèdre [5] de la maille (i) (j-1) (k) Recherche du tétraèdre virtuel contenant le point P Soit P un point donné contenu dans le réservoir (par exemple un sommet du maillage de puits), alors la recherche du tétraèdre virtuel contenant le point P se fait 10 comme suit: É trouver le sommet Q du réservoir le plus proche du point P en utilisant une technique de type "bucket sort" par exemple; É créer le maillage virtuel tétraédrique d'une des mailles du réservoir, notée H, ayant Q comme sommet; É à partir d'un tétraèdre virtuel Ko, Ko c H, parcourir le maillage virtuel tétraédrique du réservoir en utilisant un critère de visibilité (une face f est visible du point P si la puissance de P par rapport à l'hyperplan support de f est positif), jusqu'à aboutir au tétraèdre K contenant le point P. Deux tétraèdres consécutifs dans le parcours ont en commun une face dont l'hyperplan support sépare le premier tétraèdre du point P. Dans ce cas, le parcours n'est pas unique, il n'est pas bien défini et peut être cyclique sans jamais atteindre le tétraèdre contenant le point P. Pour éviter cette situation, on peut considérer d'une manière "aléatoire" l'une des faces du tétraèdre courant, dont l'hyperplan support sépare le tétraèdre du point P, si un choix est possible. Comme il existe toujours un tel parcours, l'algorithme converge. La déformation du maillage CPG en un maillage cartésien uniforme, quantifiée par la fonction 0, est ensuite appliquée au maillage de puits. 2) Déformation du maillage de puits par application de la fonction de défoimation inverse 0-1 On déforme ensuite le maillage de puits, en exprimant les coordonnées de ses sommets dans le repère Cartésien , à l'aide de ladite fonction de déformation O. La construction du maillage de puits dans le repère Cartésien comporte, pour 10 chaque sommet P, les étapes suivantes: - on recherche les coordonnées, dans le repère CPG , des sommets de la maille H du maillage de type CPG qui contient le sommet P; - on définit la fonction de défoilnation inverse 0-1, qui définie les coordonnées dans le repère Cartésien . - on applique cette fonction de déformation inverse 0-1 au point P. La fonction de déformation inverse 0-1 ne pouvant pas être décrite de manière analytique, on se ramène à un problème de minimisation que l'on résout par une approximation au sens des moindres carrés. Soit P(.z, , z) un point inclus dans un hexaèdre quelconque H Le problème à résoudre consiste à définir le point P(x, y, z) inclus dans le parallélépipède rectangle H tel que: 1 (P) = P (0 étant la fonction de déformation définie précédemment) Pour cela, on peut minimiser la norme de: d (P)=d (x, y, z)= ce qui revient à annuler le gradient de d: ao, (P) ao (P) ao, (P) T ax ay az a02 (P) aCD 2 (P) a02 (P) ax ay az ao 3 (P) ao 3 (P) ao 3 (P) ax ay az, où JÇa est le Jacobien de O. Pour annuler le gradient de d et donc résoudre ce problème de minimisation, nous proposons d'utiliser un algorithme itératif de type Newton-Raphson qui consiste à suivre la pente et la courbure de la fonction d pour descendre vers son minimum: Procédure: Newton-Raphson() soit Po un point du repère Cartésien situé à l'intérieur de la maille H; soit e la précision désirée; soit P=P0 (V2d(P)) ÉVd(P) ; Od (P)=J; (P) É (O(P) -1$ tant que >e faire PPo Po=P; P=Po (v2d(P))' .Vd(P) ; fin tant que retourner P; où \72d est le Hessien de d: ra2d(P) a2d(P) a2d(P) a2x axay axaz a2d(P) a2d(P) a2d(P) ayax a2y ayaz a2d(P) a2d(P) a2d(P) azax azay a2z, A la convergence de l'algorithme, le point P obtenu est le point qui minimise la norme de d. Il est donc choisi comme étant l'image de P à travers la fonction 0-I. A titre d'illustration, la figure 4 présente le maillage du puits dans le repère CPG et la figure 5 présente le même maillage obtenu dans le repère Cartésien , en utilisant la fonction de déformation inverse-1. La section du puits est circulaire dans le repère CPG et elliptique dans le repère Cartésien . Hd (P)=V2d(P)= Remarque: Dans cet exemple, l'algorithme de Newton-Raphson converge au bout de trois ou quatre itérations en prenant Po au milieu de la maille H. 3) Construction d'un maillage hybride dans le repère Cartésien Les deux maillages ainsi déformés et décrits dans le repère Cartésien , il alors possible d'appliquer toutes méthodes connues pour générer un maillage hybride dans ce repère Cartésien . On peut de façon avantageuse utiliser la méthode décrite dans la demande de brevet EP 05 291 047 8. Cette méthode permet de générer un maillage hybride en combinant des maillages structurés et des maillages non structurés. Le maillage hybride est réalisé en associant un premier maillage structuré pour mailler le réservoir à des deuxièmes maillages structurés pour mailler des zones autour des puits ou des failles. Selon cette méthode, on génère dans un premier temps de manière entièrement automatique, une cavité de taille minimale permettant aux mailles du maillage de transition d'avoir une taille intermédiaire entre la taille des mailles du premier maillage et la taille des mailles des deuxièmes maillages. Puis, on construit un maillage de transition répondant aux contraintes du schéma numérique utilisé pour la simulation des écoulements de fluide au sein du réservoir. Enfin, on améliore la qualité du maillage de transition en l'optimisant sous contrôles de qualité au sens du schéma numérique, dans le but de définir un maillage de transition parfaitement admissible au sens du schéma numérique choisi. 4) Déformation du maillage hybride par application de la fonction de déformation 1 L'étape suivante consiste à déformer le maillage hybride du repère Cartésien 25 pour revenir au repère CPG , en appliquant les étapes suivantes pour chaque sommet P: É rechercher la maille H du réservoir (dans le repère Cartésien ) qui contient le point P; 2891383 22 É définir la fonction de déformation (D qui transforme tout point de la maille H du repère Cartésien à la maille correspondante dans le repère CPG ; É appliquer cette fonction de déformation (D au point P. La fonction de déformation 0D utilisée est la même que celle déterminée en chaque maille à l'étape 2. 5) Optimisation du maillage hybride Optimiser un maillage au regard d'un certain critère est une opération fréquemment pratiquée avec différents objectifs. Les applications d'une telle optimisation de maillage sont en effet nombreuses. En particulier, l'optimisation en tant que telle est intéressante car la qualité (la convergence des schémas, la précision des résultats) des solutions numériques associées aux n uds d'un maillage dépend, à l'évidence, de la qualité de celui-ci. A ce titre, la méthode selon l'invention comprend, en fin de processus de génération de maillage hybride, une étape d'optimisation qui consiste à améliorer la qualité du maillage. De par sa construction, le maillage de transition généré possède quelques particularités. En premier lieu, dans le repère Cartésien , le maillage possède des propriétés que l'on a imposées (en appliquant une méthode telle que celle décrite dans la demande de brevet EP 05 291 047 8) à savoir: la conformité, l'orthogonalité duale et l'auto-centrage. De plus, les mailles du maillage de transition, qui sont des cellules d'un diagramme de puissance, sont par définition convexes. Le maillage est donc admissible au sens des volumes finis. Dans le repère CPG , le maillage de transition a subi une déformation locale imposée par la fonction (D; il ne possède donc plus la propriété d'orthogonalité duale telle que définie dans le repère Cartésien . Cette transformation locale peut aussi être vue comme un changement de métrique. La métrique M en un point P s'exprime alors: M(P)= (od (P)) od (P) oû est la fonction de déformation définie précédemment. En considérant cette nouvelle métrique dans le repère CPG , la normale n à une face F du maillage de transition est alors définie par: n=0el)(G) n où n est la normale à la face F dans le repère Cartésien , G est le barycentre de F 5 dans ce même repère et 1 est la fonction de déformation. Elle transfonne G en G, le barycentre de F dans le repère CPG . La nolmale à une face est utilisée pour le calcul des flux par une méthode des volumes finis, ainsi que pour définir un critère d'orthogonalité. Ainsi, les algorithmes d'optimisation, décrits par exemple dans la demande de brevet EP 05 291 047 8, qui consistent à supprimer et/ou à dilater les petites arêtes du maillages de transition sous contrôle d'admissibilité au sens des volumes finis sont directement applicables ici, de même que l'algorithme de fusion des sommets proches et l'algorithme de bougé des sites vers le centre de masse des cellules correspondantes. La seule différence se situe au niveau de la définition du contrôle d'orthogonalité qui, comme pour celle du critère d'orthogonalité, nécessite d'utiliser la nouvelle expression de la normale définie dans le repère CPG . Cela demande par conséquent de gérer en permanence les coordonnées des sommets du maillage de transition dans le repère Cartésien et dans le repère CPG . Aussi, lorsqu'un sommet est supprimé ou modifié dans le repère CPG , il doit être supprimé ou modifié dans le repère Cartésien . Les différents critères de qualité présentés dans la demande de brevet EP 05 291 047 8 sont pour la plupart directement réutilisables ici. En particulier, les critères de qualité en forme QF et de planarité Qp sont les mêmes que dans le cas cartésien. Ces critères de qualité sont adapté pour mesurer la qualité de cellules (ou mailles) polyédriques. Ils sont définis de la façon suivante: critère de qualité en forme QF La première mesure de qualité QF d'une maille V est donnée par: QF(V)=11 in - l \ i=l,n r où n est le nombre d'arête, 11 est la longueur de la ième arête de la maille et h est la longueur de référence associée à V. Cette longueur h est égale à la longueur moyenne des arêtes de contrainte associées à V. Ces arêtes de contraintes sont les arêtes des quadrilatères de contrainte partagés par V. Cette qualité mesure parfaitement la forme ou l'aspect de l'élément en fonction des tailles de références du réservoir et du puits. On notera que sa valeur peut varier de 0, la maille dégénérée ayant une arête nulle, à 1, la maille polyédrique régulière. critère de planarité Qp Ce critère spécifique à la 3D est utilisé pour mesurer la planarité des faces du maillage de transition. Soit F la face définie par les sommets {Al...Ans} et soit G le barycentre de cette face. Si on décompose F en ns triangles Ti = (G,A1, Al+1)1=ins, la mesure de sa planarité Qp (en degrés) est donnée par: Q(F) = maX i=l.. nsar cosl n.nT * 180, où n est la normale à la face et nT. est la noiiiiale au triangle Ti. On notera que Qp varie de 0 pour une face parfaitement plane à 90 pour une face dégénérée. La planarité Qp d'une maille du maillage de transition V est alors définie par la planarité maximale de ses faces, elle s'exprime par: QP(V) =111âX.QP(V) FEV - un critère d'orthogonalité Qo Ce critère permet de mesurer l'orthogonalité du maillage de transition en calculant l'angle (en degrés) défini entre le segment qui relie les sites de deux mailles voisines et le plan délimité par leur face commune. Ce critère d'orthogonalité Qo doit être redéfini: il doit en effet tenir compte de la nouvelle expression de la normale telle que définie précédemment. Plus en détails, si F est une face polygonale à ns côtés, la mesure de son orthogonalité Qo est donnée par: PQ nF PQ Qo (F)=aresin où P et Q sont les sites des deux mailles situées de part et d'autre de F et nF est la normale à la face F dans le repère CPG : nF =Vço(G) nF avec fi, la normale à la face F dans le repère Cartésien , G le barycentre de F dans ce même repère et rP la fonction de transport qui transforme G en G, le barycentre de F dans le repère CPG . L'orthogonalité Qo d'une maille du maillage de transition V est alors définie par l'orthogonalité minimale de ses faces, elle s'exprime par: Qo (v) =111ll1 Qo (F) FeY Problèmes de planarité des faces De par sa construction, le maillage de transition généré possède une seconde particularité : la déformation imposée par la fonction (D étant locale, les faces du maillage de transition ne sont plus nécessairement planes. Un algorithme de correction peut donc être mis en place pour rétablir cette planarité. Les maillages de transitions générés dans un repère Cartésien possèdent généralement des faces qui sont courbes (i.e. non planaires). Celles-ci peuvent avoir deux origines: É des problèmes de conformité dus à la présence de quadrilatères non cocycliques sur la frontière des puits déviés (dans le repère Cartésien ), É l'utilisation d'une fonction d'interpolation trilinéaire qui est locale et différente pour chaque sommet du maillage de transition. Or, ceci peut impliquer des instabilités dans les calculs numériques et par 25 conséquent être néfaste à la simulation numérique des écoulements. 2891383 26 Pour résoudre ce problème, l'invention propose de déplacer les sommets des faces du maillage de transition pour les rendre planaires. Le maillage de transition final sera alors admissible au sens des volumes finis. On peut par exemple utiliser un algorithme de bougé itératif qui consiste à projeter les sommets des faces du maillage de transition sur leur plan moyen. Chaque sommet étant associé à plusieurs faces, il est projeté pas à pas sur chacune de ces faces en favorisant la face qui a la plus mauvaise planarité. L'amélioration de la planarité d'une face pouvant entraîner une dégradation de la planarité et de l'orthogonalité des autres faces, un contrôle d'orthogonalité et de planarité est utilisé pour valider chaque déplacement. Soit np le nombre de sommets du maillage de transition et soit n le nombre d'itérations souhaité, alors l'algorithme mis en place est le suivant: Procédure: rendrePlanaire() pour i = 1 à n faire pour j = 1 à np faire soit P le jenie sommet du maillage de transition; déterminer Fk (1 Sk _ QP(Fk) k=1 si toutes les faces appartenant à la boule du sommet P sont orthogonales et planaires en remplaçant P par P* faire remplacer P par P; fin si fin pour fin pour TabP(k)=P n; nf Qp (Fk) x TabP(k) calculer P*= k ' Plus précisément, pour chaque sommet P du maillage de transition, on recherche l'ensemble des faces qui appartiennent à la boule de ce sommet. P est alors projeté sur chacune de ces faces en donnant plus d'importance aux faces qui ont une mauvaise planarité (on utilise Qp(Fk) pour réaliser cela). Si la planarité et l'orthogonalité de ces faces est meilleure après modification, on remplace P par P*. On réitère alors l'opération aux sommets suivants. Le maillage hybride ainsi généré peut être directement utilisé dans un simulateur d'écoulements. Ainsi, la méthode selon l'invention permet de simuler des profils de production de gaz ou de pétrole, afin de juger de la rentabilité d'un gisement, de valider ou d'optimiser la position des puits assurant le fonctionnement de l'exploitation. La méthode permet ainsi d'estimer les répercutions d'une modification technologique ou stratégique sur la production d'un gisement (choix des emplacements des nouveaux puits à forer, optimisation et choix lors de la complétion des puits, ...). La méthode comporte la génération d'un maillage hybride en trois dimensions à partir de maillages de type CPG et de maillages structurés tels que des maillages radiaux, de façon a représenter finement la structure et le comportement d'un milieu hétérogène traversé par au moins une discontinuité géométrique. Ce maillage hybride permet la prise en compte de phénomènes physiques ayant lieu à proximité de discontinuités géométriques, comme des puits ou des fractures, lors des simulations de réservoir qui permettent de caractériser les écoulements de fluides. Ce maillage est d'une part, adapté à la complexité de la géométrie de la structure géologique étudiée, et d'autre part, aux directions radiales des écoulements au voisinage des puits, dans les zones de drainage. Enfin le maillage hybride généré selon l'invention est admissibles au sens des volumes finis: il possède les propriétés de conformité, d'orthogonalité, de convexité et d'auto-centrage. Selon la méthode, le maillage hybride ainsi généré est utilisé dans un simulateur d'écoulements, pour modéliser les déplacements de fluides dans le milieu, en redéfinissant la notion de normalité entre les faces des mailles du maillage. Cette notion est également utilisée pour définir un critère d'orthogonalité nécessaire à l'optimisation. La méthode pour générer le maillage hybride a été utilisée dans le cadre de l'évaluation d'un gisement pétrolier. Il est cependant évident qu'une telle technique de construction de maillage hybride peut être utilisée dans tous domaines techniques nécessitant l'utilisation de maillages de types différents (industrie automobile, aéronautique,...). REVENDICATIONS 1) Méthode pour évaluer, en accord avec un schéma numérique défini, des écoulements de fluides dans un milieu hétérogène traversé par au moins une discontinuité géométrique, à partir d'un maillage hybride dont la génération comporte la formation d'au moins un premier maillage structuré de type CPG pour mailler au moins une partie du milieu hétérogène, la folination d'au moins un second maillage structuré pour mailler au moins une partie de ladite discontinuité géométrique, lesdits maillages étant constitués de mailles définies par leurs sommets repérés par leur coordonnées dans un repère dit CPG , la méthode étant caractérisée en ce qu'elle comporte les étapes suivantes: - on déforme au moins une partie dudit maillage de type CPG en un maillage cartésien non uniforme dont les sommets sont alors repérés par leur coordonnées dans un repère dit Cartésien ; - on définit, pour chaque maille déformée dudit maillage CPG, une fonction de déformation (D permettant de déterminer des coordonnées de sommets dans ledit repère CPG à partir des coordonnées de ces mêmes sommets dans ledit repère Cartésien ; - on déforme ledit second maillage en exprimant les coordonnées de ses sommets dans ledit repère Cartésien , à l'aide de ladite fonction de déformation (D; - on génère dans ledit repère Cartésien un maillage hybride, en construisant un maillage de transition conforme entre ledit maillage cartésien et ledit second maillage après déformation; on déforme le dit maillage hybride en exprimant les coordonnées de ses 25 sommets dans le repère CPG , à l'aide de ladite fonction de déformation (D; - on définit au moins un critère de qualité par rapport audit schéma numérique et à l'aide d'une normale n à une face F du maillage de transition, ladite normale étant définie à partir de ladite fonction de déformation (D; - on optimise ledit maillage hybride dans le repère CPG à partir dudit critère de qualité. 2891383 30 2) Méthode selon la revendication 1, dans laquelle on exprime les coordonnées des sommets dudit second maillage dans ledit repère Cartésien , en réalisant les étapes suivantes: - on recherche les coordonnées, dans le repère CPG , des sommets de la 5 maille Hdudit maillage de type CPG qui contient le sommet P; - on définit une fonction de déformation inverse 0-1 qui définie lesdites coordonnées dans ledit repère Cartésien , à partir d'une technique itérative d'optimisation et de ladite fonction de déformation; - on applique cette fonction de déformation inverse 0-1 au point P. 3) Méthode selon la revendication 2, dans laquelle ladite technique itérative d'optimisation est de type Newton Raphson. 4) Méthode selon l'une des revendications 2 et 3, dans laquelle la recherche de la maille H qui contient le point P comporte la création d'un maillage virtuel tétraédrique à partir dudit maillage de type CPG. 5) Méthode selon la revendication 4, dans laquelle la recherche de la maille fi qui contient la point P comporte la recherche du tétraèdre virtuel contenant le point P. 6) Méthode selon la revendication 5, dans laquelle la recherche du tétraèdre virtuel contenant le point P comporte l'utilisation d'une technique de type bucket 20 sort . 7) Méthode selon l'une des revendications précédentes, dans laquelle ladite partie dudit maillage de type CPG déformée correspond à une zone restreinte entre ledit premier maillage et ledit second maillage, dans laquelle on construit ledit maillage de transition. 8) Méthode selon l'une des revendications précédentes, dans laquelle les coordonnées des sommets des mailles du maillage de type CPG dans ledit repère Cartésien sont déterminées à partir de la distance moyenne entre deux sommets d'une maille dans le repère CPG . 9) Méthode selon l'une des revendications précédentes, dans laquelle on génère ledit maillage hybride en tenant compte d'au moins une des contraintes suivantes: conformité, convexité, orthogonalité et autocentrage des mailles. 10) Méthode selon l'une des revendications précédentes, dans laquelle la 5 normale n à une face F dudit maillage de transition est définie de la façon suivante: n=0O(G) É n oû n est la normale à la face F dans ledit repère Cartésien , G est le barycentre de F dans ce même repère et Ï est la fonction de déformation. 11) Méthode selon l'une des revendications précédentes, caractérisée en ce que l'optimisation dudit maillage hybride est réalisé sous contrôle de critères de qualité au sens dudit schéma numérique, pour améliorer la régularité en forme dudit maillage hybride. 12) Méthode selon la revendication 11, caractérisée en ce que les contrôles de critères de qualité sont définis de la façon suivante: contrôle d'orthogonalité : une maille de transition est dite orthogonale si son orthogonalité est supérieure ou égale à un seuil fixé, l'orthogonalité étant définie à partir de la normale n à une face F du maillage de transition. - contrôle de planarité : une maille de transition est dite planaire si sa planarité est inférieure ou égale à un seuil fixé. - contrôle d'auto-centrage: une maille est dite auto-centrée si son site est à l'intérieur de celle-ci. 13) Méthode selon l'une des revendications précédentes, dans laquelle les faces des mailles des maillages de transition sont rendues planes sous contrôle d'orthogonalité et de planarité, en déplaçant les sommets de ces faces par projection itérative des sommets des faces du maillage sur leur plan moyen. 14) Méthode selon l'une des revendications précédentes, dans laquelle on déteilnine les écoulements de fluide dans ledit milieu à partir d'un simulateur d'écoulements et à l'aide de ladite normale n.