Brevet FR2881589A1 — publié le 20060804

Domaine de l'invention La présente invention concerne un procédé de reconstruction d'un signal analogique à détection non équidistante. Etat de la technique Dans la technique de l'information, on détecte les signaux analogiques en général à des instants de détection équidistants avec une fréquence de détection constante. Le théorème de détection égale-ment appelé première condition de Nyquist s'applique et garantit la transition sans perte (dans le sens de l'information) de signaux continus en valeur et dans le temps, en des signaux de valeur continue mais discrets dans le temps. Le théorème de détection dit que les signaux peu-vent être reconstruits exactement si les fréquences contenues dans le signal correspondent au maximum à la moitié de la fréquence de détection utilisée. Si cette condition de détection n'est pas respectée c'est-à- dire si le signal contient des composantes de fréquences supérieures à la moitié de la fréquence de détection, on aura des perturbations encore appelées défauts de chevauchement ou crénelage. Dans ces conditions, les composantes de fréquences élevées seront décalées vers les fréquences basses et détérioreront le signal reconstruit. Cela ne permettra plus une reconstruction exacte du signal transmis. Par exemple, dans les systèmes multiplexés notamment dans les systèmes à multiplexage dans le temps, c'est-à-dire dans les systèmes avec transmission ou réception alternée de deux ou de plu-sieurs signaux, on rencontre des signaux qui ne s'observent que de ma- nière limitée dans le temps et dans des fenêtres de temps à répétition périodique. Un seul de ces signaux est représenté à titre d'exemple à la figure 1. Ainsi, la figure 1 montre un diagramme schématique d'un signal analogique s(t) dans une plage de temps. Ce signal est observé sur le récepteur seulement dans les fenêtres de temps définies pour ce signal analogique s(t). Les fenêtres de temps définies pour ce signal analogique s(t) correspondent à la période d'observation TB. Dans tous les autres instants le signal analogique s(t) est indéfini et on peut supposer qu'il est nul. En particulier dans les systèmes de multiplexage, le signal analogique s(t) est fréquemment reconstruit par un filtrage par un filtre passe-bas. Du fait du multiplexage du signal analogique s(t), on a nécessairement le phénomène d'Aliasing, c'est-à-dire des perturbations dans la reconstruction du signal dans la mesure où le signal analogique s(t) contient des fréquences supérieures à la moitié de la fré- quence de détection. Pour reconstruire sans défaut le signal analogique s(t) selon la figure 1, il faut avoir plusieurs valeurs de détection dans un période d'observation TB ou une période de multiplexage TM. La réception de plusieurs valeurs de détection par période d'observation TB conduit à une détection non équidistante du signal analogique s(t). Selon la théorie, il est également connu qu'un signal à détection non équidistante peut être rétabli complètement en théorie en utilisant des fonctions de reconstruction spéciales, de façon que le signal soit rétabli comme dans le cas d'une détection respectant la condition de détection. La figure 2 montre un diagramme schématique d'une détection non équidistante du signal analogique. Dans la période d'observation TB selon cet exemple, on prend sept valeurs de détection Sm aux points de détection tAm. En dehors de la période d'observation TB on ne prend aucune valeur de détection Sm. Les fonctions de reconstruction spéciales utilisées pour la reconstruction sont développées de ma- nière infinie dans le temps et présentent en outre de façon générale des amplitudes très importantes. Ces amplitudes très importantes conduisent lors de la conversion pratique à la fois à des instabilités numériques et à une amplification plus que proportionnelle du bruit. Pour cette raison, il est pratiquement impossible d'appliquer des fonctions de reconstruction spéciales pour la reconstruction idéale du signal analo- gique s(t). Exposé et avantages de l'invention La présente invention a pour but de remédier à ces inconvénients et concerne à cet effet un procédé de reconstruction d'un signal analogique (s(t)) à détection non équidistante observé à des instants périodiques non répétés, seulement de manière limitée, comprenant les étapes suivantes: a) on fournit une matrice d'approximation (0) de dimensions MxN ayant un nombre fini M de points de détection (tAm) prédéfinis, et un nombre fini N de fonctions de reconstruction ((Mt)) prédéfinies pour chaque fois un point de détection (tAm) b) on fournit un jeu de fonction (Z) par la multiplication de la matrice d'approximation (0) avec un vecteur de pondération (â) à définir, c) on détecte de manière non équidistante le signal analogique (s(t)) aux points de détection (tAm) prédéfinis pour former un vecteur de détection (7), d) on applique le procédé des moindres carrés pour minimiser la déviation entre le jeu de fonction (Z) et le vecteur de détection (s) de façon à définir le vecteur de pondération (â) qui donne la déviation minimale, e) on substitue des instants de reconstruction (tRk) dans la matrice d'approximation (0) pour développer une matrice de reconstruction (â ), et f) on multiplie la matrice de reconstruction (â ) avec le vecteur de pondération (â) défini pour développer le vecteur de reconstruction (z) qui présente une valeur de reconstruction (Zk) à chaque instant de reconstruction (tRk) prédéfini. Vis-à-vis des solutions connues, le procédé de recons- traction selon l'invention a l'avantage de reconstruire de manière solide des signaux analogiques observables seulement à des instants répétés de manière périodique et le signal analogique peut avoir des fréquences supérieures à la demi-fréquence de détection. Un autre avantage du procédé de l'invention est d'être numériquement stable car il évite les amplitudes importantes qui peuvent se produire lorsqu'on utilise les fonctions de reconstruction connues. En outre, le procédé selon l'invention peut être converti par un traitement numérique du signal de sorte que le signal analogique transmis peut être traité en temps réel. De manière avantageuse du fait de la détection non équi- distante, le signal peut avoir des fréquences supérieures à la demi-fréquence de multiplexage. Le procédé selon l'invention est numérique-ment stable car les fonctions d'approximation peuvent être choisies de façon que les amplitudes engendrées ne dépassent pas certaines va-leurs limites. De plus, on peut choisir les fonctions d'approximation pour que celles-ci soient finies dans le temps et permettent le traitement du signal en temps réel. Le procédé selon l'invention est également applicable en temps réel parce que la matrice d'approximation et le jeu de fonction sont fournis avant même la détection non équidistante de sorte qu'après la détection lors de la mise en oeuvre du procédé de l'invention, il suffit d'effectuer des opérations d'addition, de soustraction et de multiplication avec des coefficients fixes pour reconstruire le signal. Un autre avantage du procédé de l'invention est de pou-voir choisir librement les fonctions suivantes ou les paramètres suivants selon les problèmes pratiques à résoudre: - Instants de détection pour le procédé des moindres carrés, - Instants de reconstruction pour le vecteur de reconstruction, - Points d'appui d'approximation pour la fonction d'approximation. Selon un développement préférentiel de l'invention, on effectue la détection non équidistante du signal analogique (s(t)) pour former le vecteur de détection (s) de façon que dans chaque période d'observation (TB) prévu pour le signal analogique (s(t)) on détecte au moins deux valeurs de détection (Sm). De manière avantageuse, ainsi la largeur de bande auto- risée du signal analogique à transmettre dans les systèmes de multiplexage n'est pas limitée à la demi-fréquence de multiplexage ou de détection. De façon avantageuse, on évite également le défaut de crénelage. Selon un autre développement préférentiel, pour chaque fonction d'approximation, on prévoit précisément un point d'appui d'approximation prédéfini. De manière avantageuse, les points d'appui d'approximation peuvent être choisis indépendamment des instants de détection. Cette indépendance est décisive pour la souplesse du procédé de l'invention. En outre, les points d'appui d'approximation respectifs peuvent être définis librement par le développeur selon le problème à résoudre ou le signal à recevoir. Selon un autre développement préférentiel, pour définir le vecteur de pondération par le procédé des moindres carrés on calcule un pseudoinverse de la matrice d'approximation et on multiplie le pseudo-inverse avec le vecteur de détection. De façon avantageuse, le procédé selon l'invention est in-sensible au bruit grâce à l'utilisation du procédé des moindres carrés. Selon un développement préférentiel, la fonction d'approximation et la fonction Splines B, une fonction hermitienne ou une fonction dérivée d'une fonction Si. Selon un autre développement préférentiel, on prévoit les points de reconstruction avec une période de reconstruction de façon que cette période de reconstruction soit inférieure à la période de multiplexage. De manière avantageuse, le vecteur de reconstruction présente ainsi des valeurs de reconstruction à des instants situés en dehors de la période d'observation. Selon un autre développement préférentiel, on choisit de manière équidistante les instants de détection dans un espace d'observation. On minimise ainsi de façon avantageuse les calculs à effectuer pour reconstruire le signal analogique. Dessins La présente invention sera décrite ci-après de manière plus détaillée à l'aide d'exemples de réalisation représentés dans les dessins annexés dans lesquels: - la figure 1 est un diagramme en fonction du temps d'un signal ana-logique observé seulement dans des durées périodiques répétées, limitées, - la figure 2 est un diagramme schématique d'une détection non équi- distante du signal analogique, - la figure 3 est un ordinogramme schématique d'un premier exemple de réalisation du procédé selon l'invention pour la reconstruction d'un signal à détection non équidistante, - la figure 4 est un schéma par blocs d'un second exemple de réalisa- tion du procédé selon l'invention pour la reconstruction d'un signal à détection non équidistante, - la figure 5 est un diagramme schématique de la détection non équidistante du signal analogique selon la présente invention, - la figure 6 est un diagramme schématique de la reconstruction d'un signal à détection non équidistante selon la figure 5. Description de modes de réalisation Dans les différentes figures, on utilisera les mêmes références pour désigner des éléments ou composants identiques ou de même fonction. La figure 3 montre schématiquement un ordinogramme d'un premier exemple de réalisation du procédé selon l'invention de reconstruction d'un signal à détection non équidistante. Le procédé de reconstruction selon l'invention du signal analogique s(t), à détection non équidistante se fait selon les étapes de procédé suivantes: 1 o Etape a: Fourniture d'une matrice d'approximation O de dimensions NxM ayant un nombre fini N de fonctions de reconstruction %(t), prédéfinies pour chaque point de détection tAm d'un nombre fini M de points de détection tAm, prédéfinis. Pour chaque fonction de recons- traction %(t), on prévoit de préférence précisément un point d'approximation tSn. De façon avantageuse, les points d'approximation tSn peuvent être choisis indépendamment des points de détection tAm. Cette indépendance participe de manière décisive à la souplesse du procédé de l'invention. De manière préférentielle, les points de détection tAm sont choisis équidistants dans un période d'observation TB. Une fonction de reconstruction %(t) se présente par exemple sous la forme d'une fonction B-Spline, de fonctions hermitiennes ou d'une fonction dérivée d'une fonction Si. Etape b: On fournit un jeu de fonction (Z) obtenu par la multiplication de matrice d'approximation O par un certain vecteur de pondération 7. Etape c: Détection non équidistante du signal analogique s(t) à des points de détection tAm prédéfinis pour obtenir un vecteur de détection 7. De préférence, la détection non équidistante du signal analogique s(t) est effectuée pour former le vecteur de détections de façon que dans chaque période d'observation TB prévue pour le signal analogique s(t), on détecte au moins deux valeurs de détection Sm dans une période d'ob- servation TB sélectionnée par le développeur en fonction du problème posé. Etape d: On effectue une approximation selon le procédé des moindres carrés pour minimiser la déviation entre le jeu de fonction Z et le vecteur de détections de façon à définir le vecteur de pondération â correspondant à une déviation minimale. De manière préférentielle, pour déterminer le vecteur de pondération â selon le procédé des moindres carrés, on calcule un pseudo-inverse P de la matrice d'approximation O et on multiplie le pseudo-inverse P avec le vecteur de détections. Etape e: On substitue des instants de reconstruction tRk prédéfinis dans la matrice d'approximation O pour former une matrice de reconstruction De manière préférentielle, on prévoit les points de reconstruction tRK avec une période de reconstruction TR de façon que la période de reconstruction TR soit inférieure à la période de multiplexage TM. Etape f: On multiplie la matrice de reconstruction â avec le vec-teur de pondération â déterminé pour obtenir le vecteur de reconstruction 7 qui présente une valeur de reconstruction Zk pour chaque instant de reconstruction tRk prédéfini. Le vecteur de reconstruction avec ses valeurs de reconstruction Zk aux instants de reconstruction tRk correspond au signal analogique s(t) reconstruit, détecté de façon non équidistante; le signal analogique s(t) peut avoir des fréquences qui dépassent la demi-fréquence de multiplexage (fM/2). La figure 4 montre un schéma par blocs d'un second exemple de réalisation du procédé de l'invention pour reconstruire un signal analogique s(t) à détection non équivalente. Dans le procédé selon l'invention, avant la détection du signal analogique s(t) dans le récepteur, on présente à la fois une matrice d'approximation O et un jeu de fonction Z pour la reconstruction du signal analogique s(t) transmis. On présente une matrice d'approximation O (voir l'équation (1)) de dimensions NxM. La matrice d'approximation O comporte un nombre fini N de fonctions de reconstruction %(t) prédéfinies pour chaque point de dé-tection tAm d'un nombre fini M de points de détection tAm prédéfinis (m E [1,...,M]). Le développeur respectif peut adapter à la fois les fonctions de reconstruction %(t) et les points de détection tAm au problème ou au signal reçu et à reconstruire. Le développeur peut également pré- définir pour chaque fonction de reconstruction (Mt), précisément un point d'approximation tSn en fonction du problème posé. La fonction de reconstruction %(t) peut être une Splines B, une fonction Hermitienne ou une fonction déduite d'une fonction Si. 01(tAl) 02(tAl) ... ON(tAl) 10 O [ 01(tAm) 02(tAm) ... ON(tAM)] En outre, on fournit un jeu de fonction Z (voir l'équation (3)) obtenu par la multiplication de la matrice d'approximation O avec un vecteur de pondération â prédéfini. Le vecteur de pondération â (voir l'équation (2)) présente pour chacun des grands N des fonctions de reconstruction (Mt), un paramètre de pondération an (n e [1, ..., N]). LaN N Lan É l,I 'n (t) (3) n=1 Dans le récepteur le signal analogique s(t) reçu est fourni à un dispositif de détection 1 qui détecte le signal analogique s(t) en des points de détection tAm, prédéfinis pour former un vecteur de détection s non équidistant. Le vecteur de détections (voir l'équation (4)) est appliqué à un dispositif de calcul 2 qui définit le vecteur de pondération â (voir l'équation (7)). (1) (2) Z = 2881589 s =1. 9 (4) LSM J Pour minimiser la déviation du jeu de fonction Z par rapport au vecteur de détection 7, on applique le procédé des moindres carrés. La déviation du jeu de fonction Z par rapport au vecteur de détection 7 est minimale si le carré d'erreur é É du vecteur d'erreur é est minimum (voir l'équation (5)). Le procédé des moindres carrés minimise le é É en fonction du vecteur de pondération â (voir équation (6)). e-T. e = (aT.OT - sT) (O. c7 - s) = min (6) a On résout l'équation des moindres carrés en ce que le vecteur d'erreur é est perpendiculaire à la matrice d'approximation O (voir équation (7)). 01.7 = OT.(O.â - s) = 0 01.0.7 =OT.s â = (0T.0)-1.0T. s; et P = (OT.0)1. OT (7) Le vecteur de pondération â se calcule sans équivoque à l'aide du pseudo-inverse P de la matrice d'approximation O. Pour la transformation selon l'équation (7) on se reportera à la littérature sui-vante [1] Haykin, Simon S., Adaptive Filter Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1986 (5) Io [2] Freeman, H., Discrete-Time Systems, John Wiley & Sons, New York, 1965. Le pseudo-inverse P dépend uniquement des fonctions de reconstruction %(t) et des points de détection tAm mais non des valeurs de détection Sm ou du vecteur de détection z et c'est pourquoi, il suffit de le déterminer une seule fois dans le développement du système. Le vecteur de pondération â défini est appliqué à un dis-positif de reconstruction 3 qui calcule un vecteur de reconstruction z à l'aide du vecteur de pondération â avec des valeurs de reconstruction Zk aux instants de reconstruction tRk prédéfinis. Tout d'abord on prédéfinit les instants de reconstruction tRk souhaités. Les instants de reconstruction tRk souhaités sont appliqués à la matrice d'approximation O pour obtenir la matrice de reconstruction à . La matrice de reconstruction à est multipliée avec le vecteur de pondération â défini pour for- mer le vecteur de reconstruction 7. Pour déterminer le vecteur de reconstruction z à partir du vecteur de détection 7, on utilise une simple multiplication matricielle avec une matrice fixe définie au cours du procédé de conception. Cette matrice se simplifie fortement grâce à l'utilisation de fonctions de reconstruction (Mt), symétriques à extension latérale fortement limitée. Les simplifications possibles dépendent du jeu de fonction Z choisi pour évaluer le signal analogique s(t) comme fonction du vecteur de pondération 7. La figure 5 montre un diagramme schématique de détec- tion non équidistante du signal analogique selon la présente invention. Le signal analogique s(t) est transmis par exemple par un canal à multiplexage dans le temps à un récepteur. Le récepteur n'observe le signal analogique s(t) que pendant la période d'observation TB qui est prévue pour le signal analogique s(t). En dehors de la période d'observation TB, le signal analogique s(t) ne peut être observé sur le récepteur. Aux points de détection tAm, prédéfinis, on détecte une valeur de détection Sm. Les valeurs de détection Sm aux points de détection tAm forment le vecteur de détections. La figure 6 montre un diagramme schématique de re- construction du signal à détection non équidistante de la figure 5. A partir du vecteur de détections selon la figure 5 et par le procédé selon l'invention correspondant aux figures 3 et 4, on génère le vecteur de reconstruction qui présente une valeur de reconstruction Zk à chaque instant de reconstruction tRk prédéfini. Pour cela, on prévoit les ins- tants de reconstruction tRk avec une période de reconstruction TR de façon que la période de reconstruction TR soit inférieure à la période de multiplexage TM. Avantageusement, le vecteur de reconstruction pré-sente des valeurs de reconstruction Zk aux instants de reconstruction tRk situés en dehors de la période d'observation TB. Bien que la présente invention soit décrite ci-dessus à l'aide d'exemples de réalisation préférentiels, elle n'est pas limitée à ceux-ci mais peut être modifiée de multiples manières. C'est ainsi qu'en particulier, le choix des fonctions d'approximation peut être fait par le développeur pour tenir compte du problème posé. De même dans la description donnée cidessus, en différents endroits, il est fait référence à un système multiplexé dans lequel on observe des signaux analogiques s(t) seulement à des instants limités à répétition périodique. Ces signaux analogiques existent toutefois également dans d'autres systèmes. De ce fait, les expressions taux ou fréquence de multiplexage et période de multiplexage sont synonymes de taux de répétition ou de période des fenêtres d'observation TB à répétition périodique. REVENDICATIONS 1 ) Procédé de reconstruction d'un signal analogique (s(t)) à détection non équidistante observé à des instants périodiques non répétés, seulement de manière limitée, comprenant les étapes suivantes: on fournit une matrice d'approximation (0) de dimensions MxN ayant un nombre fini M de points de détection (tAm) prédéfinis, et un nombre fini N de fonctions de reconstruction ((Mt)) prédéfinies pour chaque fois un point de détection (tAm) on fournit un jeu de fonction (Z) par la multiplication de la matrice d'approximation (0) avec un vecteur de pondération (â) à définir, on détecte de manière non équidistante le signal analogique (s(t) ) aux points de détection (tAm) prédéfinis pour former un vecteur de détection (7), on applique le procédé des moindres carrés pour minimiser la déviation entre le jeu de fonction (Z) et le vecteur de détection (s) de façon à définir le vecteur de pondération (â) qui donne la déviation minimale, on substitue des instants de reconstruction (tRk) dans la matrice d'approximation (0) pour développer une matrice de reconstruction (O), et on multiplie la matrice de reconstruction (â ) avec le vecteur de pondération (â) défini pour développer le vecteur de reconstruction (z) qui présente une valeur de reconstruction (zk) à chaque instant de reconstruction (tRk) prédéfini. 2 ) Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce qu' on effectue la détection non équidistante du signal analogique (s(t)) pour former le vecteur de détection (s) de façon que dans chaque période d'observation (TB) prévu pour le signal analogique (s(t)) on détecte au moins deux valeurs de détection (Sm). 3 ) Procédé selon la revendication 1, 35 caractérisé en ce que a) b) c) d) e) f) pour chaque fonction de reconstruction ((Mt)), on prévoit un point d'approximation (tS1) prédéfini. 4 ) Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que pour déterminer le vecteur de pondération (â) par le procédé des moindres carrés, on calcule un pseudo-inverse (P) pour la matrice d'approximation (0) et on multiplie le pseudo-inverse (P) calculé avec le vecteur de détection (7). 5 ) Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 ou 3, caractérisé en ce que la fonction de reconstruction ((Mt)) est une fonction B splines, une fonction hermitienne ou une fonction dérivée d'une fonction Si. 6 ) Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce qu' on prévoit les instants de reconstruction (tRk) avec une période de reconstruction (TR) de façon que la période de reconstruction (TR) soit infé- rieure à la période multiplex (TM). 7 ) Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce qu' on sélectionne des points de détection (tAm) dans une période d'obser-vation (TB).