Brevet FR2883980A1 — publié le 20061006

Cum [xi, (t),..., xig(t), xiq +1(t)*, ..., xi2q(t)*], PROCEDE ET DISPOSITIF DE GONIOMETRIE A HAUTE RESOLUTION A UN ORDRE PAIR ARBITRAIRE La présente invention concerne un procédé de goniométrie à haute résolution à un ordre pair arbitraire, c'est-à-dire exploitant exclusivement l'information contenue dans les statistiques d'ordre 2q des observations, où q est un entier tel que q 2, pour des réseaux à diversité d'espace, de diagramme et/ou de polarisation. L'invention trouve notamment son application dans tous les systèmes qui nécessitent un degré de résolution spatiale important (environnements à grand nombre d'émetteurs, réseau à faible nombre de capteurs, erreurs résiduelles de modèles (tarage, calibration..) importantes....). Au début des années 80, de nombreuses méthodes de goniométrie à l'ordre 2 dites à haute resolution (HR) [1] [14] ont été développées pour pallier les limitations des méthodes dites de superrésolution [2-3] vis-à-vis des sources faibles. Parmi ces méthodes à HR, les méthodes dites à sousespace telles que la méthode MUSIC (ou MUSIC-2) [14] sont les plus populaires. Ces méthodes à HR sont très performantes en contexte multisources dans la mesure où elles possèdent, en absence d'erreurs de modèle et pour un bruit de fond de cohérence spatiale connue, un pouvoir séparateur asymptotique illimité quel que soit le rapport signal sur bruit (Signal to Noise Ratio (SNR)) des sources. Toutefois, ces méthodes à HR souffrent de sérieux inconvénients. En effet, elles ne peuvent traiter qu'au plus, N 1 sources non cohérentes à partir d'un réseau à N antennes et sont faiblement robustes aussi bien aux erreurs de modèle [10] [15], inhérentes aux mises en oeuvre opérationnelles, qu'à la présence d'un bruit de fond de cohérence spatiale inconnue [12], typique de la gamme HF par exemple. En outre, leurs performances peuvent devenir très affectées lorsqu'il s'agit de séparer plusieurs sources faibles et angulairement proches à partir d'un nombre limité d'échantillons observés. A partir de la fin des années 80, principalement pour pallier les limitations précédentes, des méthodes de goniométrie à haute résolution à l'ordre 4 [13] ont été développées pour des sources non Gaussiennes, omniprésentes en radiocommunications, parmi lesquelles l'extension de la méthode MUSIC à l'ordre 4 [13], appelée MUSIC-4, est la plus populaire. En effet, les méthodes à l'ordre 4 sont asymptotiquement robustes à la présence d'un bruit Gaussien de cohérence spatiale inconnue [13]. En outre, en dépit de leur variance supérieure, elles génèrent une augmentation virtuelle de l'ouverture du réseau et du nombre d'antennes, introduisant le concept de réseau virtuel (RV) à l'ordre 4 [4] [6] et offrant une résolution accrûe et la possibilité de traiter un nombre de sources supérieur au nombre d'antennes. En particulier, à partir d'un réseau à N antennes, la méthode MUSIC-4 peut traiter jusqu'à N(N 1) + 1 sources lorsque les antennes sont identiques et jusqu'à (N+ 1)(N 1) sources pour des antennes différentes. L'invention concerne un procédé de goniométrie à haute résolution à un ordre pair arbitraire, 2q (q >= 2), pour un réseau comprenant N antennes à bande étroite recevant chacune la contribution de P sources caractérisé en ce que l'on exploite les propriétés algébriques d'une matrice de cumulants d'ordre 2q, C2q,x(1), dont les coefficients sont les cumulants circulaires d'ordre 2q, Cum[xil(t),..., xig(t), xiq+l(t)*, ..., xi2q(t)*], des observations reçues sur chaque antenne (pour des rangements de cumulants indexés par 1) afin de définir un sous-espace signal et un sous-espace bruit. Ce procédé présente notamment comme avantage d'augmenter virtuellement, par création d'antennes virtuelles, l'ouverture des réseaux d'antennes utilisés et donc d'augmenter la résolution, la capacité de traitement et la robustesse aux erreurs de modèles des techniques de goniométrie d'une manière croissante avec q. Pour des sources rectilignes, le procédé selon l'invention permet la création d'antennes et d'ouverture viruelles à partir de la matrice de tous les cumulants d'ordre 2q des observations, lequel permet le traitement d'un nombre de sources croissant avec q, à partir d'un réseau d'antennes donné. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront mieux à la lecture de la description d'un exemple de réalisation donnée à titre illustratif et nullement limitatif annexé des figures qui représentent: É La figure 1 la représentation d'un signal incident en trois dimensions, et É La figure 2 un réseau virtuel d'ordre 4 d'un réseau circulaire uniforme de 5 antennes avec l'ordre de multiplicité des antennes virtuelles. Avant de détailler les étapes mises en oeuvre par le procédé, on rappelle quelques données utiles à la compréhension de l'invention. On considère un réseau de N antennes à bande étroite (BE), supposées identiques dans un premier temps, et on note x(t) le vecteur des enveloppes complexes des signaux en sortie des antennes. Chaque antenne reçoit la contribution de P sources centrées, stationnaires, à BE, statistiquement indépendantes ou non, et d'un bruit de fond. On suppose que les P sources peuvent être regroupées en G ensembles, avec Pg sources dans l'ensemble g, tels qu'au sein d'un groupe, les sources sont supposées statistiquement dépendantes, alors que les sources appartenant à des ensembles différents sont supposées être statistiquement indépendantes. En particulier, G = P correspond au cas où les P sources sont statistiquement indépendantes alors que G = 1 correspond au cas où toutes les sources sont corrélées. Bien sûr, les paramètres Pg sont tels que: G P ' E Pg (1) g=1 Sous ces hypothèses, le vecteur observation peut s'écrire approximativement mi(t) a(0i, (pi) + v(t) = A m(t) + v(t) G Ag mg(t) + v(t) = xg(t) + v(t) (2) g=1 où v(t) est le vecteur bruit, supposé centré et Gaussien, m(t) est le vecteur dont les composantes mj(t) sont les enveloppes complexes des sources, 0i et (pi sont les angles d'azimut et d'élévation de la source i (Figure 1), A est la matrice (NxP) des vecteurs directeurs des sources a(01, (Pi) (1 i 5 P), laquelle contient en particulier toute l'information relative aux directions d'arrivée des sources, Ag est la sous-matrice (N x Pg) de A relative au gème groupe de sources, mg(t) est le sous-vecteur (Pg x I) de m(t) associé et xg(t) Ag mg(t). En particulier, en absence de couplage entre antennes, la composante n du vecteur a(01, (pi), notée an(01, (pi), peut s'écrire, dans le cas d'un réseau qui n'exploite que la diversité d'espace, de la façon suivante [5] 10 an(01, (Pi) = exp{j27t[xn cos(01) cos((p1) + y, sin(0i) cos((p1) + zn sin((p1) ] / .} (3) où X est la longueur d'onde et (xn, y,, zn) sont les coordonnées de l'antenne n. Le procédé selon l'invention repose notamment sur l'idée suivante: la méthode MUSIC-2q (q ? 1) mise en oeuvre selon l'invention exploite l'information contenue dans la matrice de cumulants d'ordre 2q (NgxNq), C2q,x, dont les coefficients sont les cumulants circulaires d'ordre 2q des observations, Cum[x1i (t),..., x;q(t), x,q+1(t)*, ..., X12q(t)*J (1 Ces coefficients peuvent être rangés dans la matrice C2q,x de différentes façons, laquelle détermine en particulier la résolution et la capacité de traitement de la méthode MUSIC-2q. De manière à paramétrer ces rangements, on introduit un entier arbitraire 1 tel que (0 G C2q,z(l) E C2q,xg(l + t12 v 8(q - 1) (5) g=1 où r12 est la puissance moyenne du bruit par antenne, V est la matrice (N x N) de cohérence spatiale du bruit telle que Tr[V] = N, Tr[.] signifie Trace, S(. ) est le symbole de Kronecker et la matrice (NgxN') C2q,xg(l) correspond à la matrice des cumulants circulaires d'ordre 2q du vecteur xg(t) pour le rangement indexé par 1, et s'écrit: C2q,zg(l) Ag 1 Ag* (q - C2q,mg(l) [ Ag 1 Ag* (q - n]Î (6) où C2q,mg(l) est la matrice (Pgg x Pgg) des cumulants circulaires d'ordre 2q de mg(t) pour le rangement indexé par 1, j' correspond à l'opération de transposition conjugaison, est le produit de Kronecker et Ag 1 est la matrice (1Vix Pgl) définie par Ag 1 0 Ag Ag Ag avec un nombre de produits de Kronecker égal à 1- 1. En particulier, pour q = 1 et 1= 1, la matrice (N x N) C2q,x(l) correspond à la matrice de covariance des observations (dans la mesure où les observations sont centrées) définie par G Rx C2,,(1) = E[x(t) x(t)t] Ag C2,mg(1) Agt + X12 V (7) g=1 Pour q = 2 et l = 1, la matrice (N2xN2) C2q,x(l) correspond à la matrice de quadricovariance classique des observations, définie par G Qx C4,x(1) E [ Ag Ag*] C4,mg(1) [ Ag Ag*]t (8) g=1 alors que pour q = 2 et l = 2, la matrice (N2xN2) C2q,x(1) correspond à une expression alternative de la matrice de quadricovariance des observations, définie par G E [ Ag Ag] C4,mg(2) [ Ag 0 Ag]t g=1 (9) Qx Estimation En pratique, les statistiques d'ordre 2q des observations, Cum[xi1(t),..., xig(t), xiq+1(t) *, ..., xi2q(t)*], sont inconnues a priori et doivent être estimées à partir de L 4 échantillons des observations, x(k) = x(kTe), 1 Pour des observations centrées et stationnaires, utilisant la propriété d'ergodicité, un estimateur empirique des cumulants Cum[xi1(t),. .., xig(t), xiq+1(t)*, É É É, xi2q(t)*], non biaisé asymptotiquement et consistant, peut être construit à partir de la formule bien connue de Leonov-Shiryaev [11], donnant l'expression d'un cumulant d'ordre n de x(t) en fonction de ses moments d'ordre p (1 L E[xit(t)Elxi2(t)E2... xip(t)EP](L) 1 xil(k)Elxi2(k)E2...xip(k)Ep (11) L k=1 Cependant, en radiocommunications, la plupart des sources ne sont pas stationnaires mais sont cyclostationnaires (modulations numériques). Pour des observations centrées cyclostationnaires, la matrice de statistiques définie par (5) devient dépendante du temps, notée C2q,x(l)(t), et le procédé selon l'invention peut aussi être mis en oeuvre en considérant que C2q,x(l) est, dans ce cas, la moyenne temporelle, , sur un intervalle d'horizon infini, de la matrice de statistiques instantanées, C2q,x(l)(t). Dans ces conditions, utilisant la propriété de cyclo-ergodicité, la matrice C2q,x(l) doit être estimée à partir des observations par un estimateur non empirique tel que celui présenté dans [7] pour q = 2. Cette extension s'applique également à des sources cyclostationnaires non centrées telles que des sources modulées avec certaines modulations de fréquences [9], pourvu qu'un estimateur non empirique de statistiques, tel que celui présenté dans [9] pour q = 1 et dans [8] pour q = 2, soit utilisé. Le procédé selon l'invention, ou méthode MUSIC-2q comporte différentes étapes et variantes de réalisation détaillés ci-après. Les propriétés de la matrice de covariance d'ordre 2q, C2q,x(l) sont d'abord analysées et l'algorithme MUSIC-2q pour le rangement indexé par 1 en est déduit. Hypothèses Pour développer l'algorithme MUSIC-2q pour le rangement indexé par 1, plusieurs hypothèses présentées ci-après doivent être faites: H1: Pg G H3: P(G, q) E Pgq En particulier, pour des sources statistiquement dépendantes (G = 1), les hypothèses H1 à H4 se réduisent à : H1' : P 1 a aussi le rang Pgq. Dans ces conditions, on déduit de H4 que pour q > 1, le rang, r2q, x(l), de la matrice C2q,x(l) est égal à P(G, q) et tel que r2q,x(l) L'algorithme MUSIC-2q Pour construire un algorithme de type MUSIC à partir de la matrice C2q,x(1), pour q > 1, on calcule d'abord la décomposition en éléments propres de celle-ci, donnée par C2q,x(l) = U2q, s(l) A2q,s(l) U2q,s(1)t + U2q,n(l) A2q,n(l) U2q,n(l)t (12) où A2q,s(l) est la matrice diagonale (P(G, q) x P(G, q)) des valeurs propres non nulles de C2q,x(l), U2q,s(l) est la matrice unitaire (Nq x P(G, q)) des vecteurs propres de C2q,x(l) associés aux P(G, q) valeurs propres non nulles de C2q,x(l), A2q,n(l) est la matrice diagonale ((1V5 P(G, q)) x (1Vq P(G, q))) des valeurs propres nulles de C2q,x(l) et U2q,n(l) est la matrice unitaire (1V'' x (1Vq P(G, q))) des vecteurs propres de C2q,x(l) associés aux (1Vq P(G, q)) valeurs propres nulles de C2q,x(l). Dans la mesure où C2q,x(l) est Hermitienne, toutes les colonnes de U2q,s(l) sont orthogonales à toutes les colonnes de U2q,n(l). En outre, dans la mesure où Span{U2q,s(l)} = Span{[ Al 1 0 A1* (q 0, AG 01 AG* (q -11]}, toutes les colonnes de toutes les matrices Ag I 0 Ag* lq -11, 1 g G, sont orthogonales à toutes les colonnes de U2q,n(l). Notons (eig, (pig) la direction d'arrivée de la source i du groupe g. Dans ces conditions, le vecteur a(eig, (pig) 1 a(eig, (pig)*0(q -11 apparaît comme la colonne [(1 Pgq)(i 1)/(1 Pg) + 1] de Ag 10 Ag* lq n. Dès lors, tous les vecteurs {a(Oig, (pig) 1 a(eig, (pig)* (q -14, 1 i Pg, 1 g G} sont orthogonaux aux colonnes de U2q,n(l) et sont les seules solutions de l'équation suivante: [a(e, (p) 1 ace, (p)* (q - fit U2q,n(4 U2q,n(1)t [a(e, 9p) 1 ace, (p)* (q - o] = o (13) laquelle correspond au coeur de l'algorithme MUSIC-2q pour le rangement indexé par 1. En pratique, la matrice U2q,s(l) doit être estimée à partir des observations et les directions d'arrivée des sources doivent être estimées en cherchant les minima du membre gauche de l'équation (13). Dans la mesure où, pour des réseaux à diversité d'espace, la norme du vecteur [a(O, 9) 1 a(e, (p) * lq Il] est indépendante de la direction d'arrivée, le premier membre de gauche de l'équation (13) peut être normalisé par le terme [a(6, (p) 1 a(9, (p)* (q - l)]t [a(0, 9) / a(6, (p)* (q -14] sans changer les résultats de l'algorithme. Les différentes étapes de l'algorithme MUSIC-2q pour le rangement indexé par 1 sont résumées ci-après: 1. Estimation, ê2q,x(l), de la matrice C2q, x(l) à partir de L vecteurs échantillons x(k), 1 k L, en utilisant un estimateur adéquat des cumulants circulaires d'ordre 2q des observations, 2. Décomposition en éléments propres de la matrice, ê2q,x(l) , et extraction d'une estimée, ê2q,n(l), de la matrice U2q,n(l). Cette étape peut nécessiter une estimation de rang dans le cas où le nombre de sources et/ou leur degré de dépendance statistique est inconnu a priori. 3. Calcul du pseudo-spectre estimé I'Music-2q(l)(e, (P) 4 [a(0, (0 1 a(0, Dans certains cas, le nombre de sources P est connu, tel que P Les étapes du procédé selon l'invention détaillées précédemment pour des sources non Gaussiennes quelconques et des réseaux à diversité d'espace, peuvent aussi être appliquées au cas de réseaux à diversité d'espace, de diagramme et/ou de polarisation ainsi qu'au cas où les sources possèdent une propriété de rectilinéarité connue a priori et exploitée dans l'algorithme. Réseaux à diversité d'espace, de diagramme et/ou de polarisation Dans le cas général d'un réseau comportant des antennes différentes, c'est-à- dire d'un réseau à diversité de diagramme et /ou de polarisation en plus ou à la place de la 2883980 11 diversité d'espace, le vecteur directeur de la source i dépend non seulement de la direction d'arrivée, (0i, (pi), de la source i mais aussi de sa polarisation, pi, où pi est un couple de paramètres correspondant aux angles de polarisation de la source i dans le plan d'onde. Dans ces conditions, le vecteur directeur de la source i, noté a(0i, (pi, pi), a une composante n donnée par [5] an(0i, (pi, pi) = fn(Oi, (pi, pi) exp{j2n[xn cos(0i) cos((pi) + yn sin(Oi) cos(9i) + zn sin((pi) ] (15) oùfn(0i, (pi, pi) est la réponse complexe de l'antenne n à un champ électrique provenant de la direction (01, (pi) et ayant l'état de polarisation pi. Sous ces hypothèses, l'algorithme MUSIC-2q décrit au paragraphe précédent s'applique de la même manière aux réseaux exploitant la diversité de diagramme et de polarisation, mais avec un pseudo-spectre estimé dépendant du paramètre polarisation p et donné par Pmusic-2q(O(O, 9,P) 0 (16) [ace, (P, p) 1 ace, (p, p)* (q - 1]t &2q,n(1) &2q, n(1)t [ace, (P, p) 1 ace, 9, p)* (q - n] [a(0, (p, p) 1 o ace, (p, p) * (q Olt [a(e, p, p) 1 ace, (P, p)* (q - 11] Dans le cas d'un réseau exploitant les diversités de diagramme et de polarisation, on effectue la normalisation du pseudo-spectre par le terme [a(0, (p, p) 1 a(0, cp, p) * (q n]t [a(0, (p, p) 1 -3 a(0, cp, p)* (q n] de manière à rendre le pseudo- spectre constant par rapport aux directions en absence de sources. Dès lors, sous l'hypothèse d'une maîtrise des réponses des antennes en direction et en polarisation (par exemple par calibration du réseau en direction et en polarisation), la recherche des minimas du pseudo-spectre, y2q-Music(i)(0, (p, p), demande un maillage non seulement de l'espace des directions (0, cp) mais aussi de l'espace des polarisations p, suivi d'une interpolation aux voisinages des minimas, ce qui représente un coût considérable. Une manière de s'affranchir du maillage de l'espace des polarisations est d'exploiter le fait qu'une onde de polarisation p peut se décomposer en la somme pondérée de deux ondes à polarisations, pl et p2, orthogonales. Dans ces conditions, le vecteur directeur a(0, cp, p) devient une combinaison linéaire des vecteurs directeurs a(0, (p, pi) et a(0, (p,p2) relatifs à ces deux polarisations telle que: a(0, v), p) = a l a(0, qP, p1) + a2 a(0, (P, p2) = Al2(0, cP) a(P) (17) où al et a2, tels que a12 + a22 = 1, sont les coefficients réels de la décomposition du champ incident en somme de deux champs polarisés orthogonalement, a(p) est le vecteur (2 x 1) de composantes al et a2 et A 12(O, cp) est la matrice (N x 2) définie par Al2(0, cp) 0 [ a(0, cP, Pl), a(0, (P, P2)] Utilisant le fait que (X Y) (Z W) = (X Z) (Y W), on déduit de (17) que 15 a(0, 9,p) 1 a(0, (P, P) * (q 0 = [A 12(0, 9) 1 A 12(0, (P)* (q 0] [a(P) l a(P)* (q = Al2,q, 1(0, (P) aq,l(P) (18) où Al2,q,1(0, cp) est la matrice (Nq x 2q) définie par Al2,q,1(0, (p) [Al2(0, cp) l Al2(0, cp) * (q -1)] et où aq,l(p) est le vecteur (2q x 1) défini par aq,l(p) 4 [a(p) 010 a(p)* (q -1)]. Dans ces conditions, le pseudo-spectre (16) prend la forme: Music-2q(l)(0, (P, P) 4 aq,1(P)t AI2,q,1(0, (P)t v2q,n(1) t/2q,n(l)tAI2,q,l(0, (P) aq, 1(P) aq,l(P)t Al2,q.i(0, (P)t Al2,q,1(0, (P) aq,l(P) et l'utilisation dans (19) du vecteur aq,1(p) qui minimise (19) aboutit à un pseudo- spectre ne dépendant plus que de la direction d'arrivée et donné par P2q- Music(l)(0, (P) _ Xmin{(Al2,q,1(0, (P)t Al2,q,1(0, 0 1 Al2,q,1(0, (P)t û2q,n(Z) Î12q,n(1)tAl2,q,1(0, (P)] (20) Oë %min[X] correspond à la valeur propre minimale de la matrice X. Les directions estimées des sources, (6i, cpi) (1 i P), correspondent aux mimima locaux de (20), lesquels sont à (19) 30 rechercher à partir d'une maîtrise des vecteurs directeurs a(0, 9, 190 et a(6, (p, P2) dans les deux polarisations pi et P2 (par calibration par exemple), d'un maillage de l'espace des directions d'arrivée suivi d'une interpolation autour des minimas. Une estimation, âq,l(pi), du vecteur aq,l(pi) associé à la source i est alors donnée par le vecteur propre de la matrice (Al2,q,1(ei, (Pi)t Al2,q, l(0i, (Pi))-1 Al2,q,1(Oi, Pi)t ê 2q,n(1) v2q,n(l)tAl2,q,l(éi, Vii) associé à la valeur propre minimale. En décomposant le vecteur âq,l(pi) en 2q-2 sous-vecteurs (4 x 1), âq,l,s(pi), 1 s q - 2, on obtient âq,l(Pi) = [aq,l,1(Pi)T, , âgl(q 2)(Pi)T]T Il est alors aisé de vérifier que le sous-vecteur aq,l,s(Pi) est une estimée du vecteur aq,l,s(pi), lequel est proportionnel à : - a(pi) 0 a(pi) si q -1= 0 (2la) - a(pi) a(pi)* si q 1= 1 (21b) - a(pi)* a(pi)* si q -1> 1 (21c) Dans ces conditions, en rangeant les composantes du vecteur âq,l,s(pi) dans une matrice (2 x 2) rq,i,s(Pi) telle que 1" q,l,s(Pi)[k,.1] = aq,l,s(pi)[2(k- 1) +j], où rq,1, s(pi)[k,j] et âq,i,s(Pi)[k] sont l'élément [k, j] et la composante k respectivement de la matrice rq,l,s(pi) et du vecteur âq,l,s(pi), la matrice rq,l,s(pi) devient, à un scalaire près, une estimée de la matrice rq,l,s(Pi) définie par - Fq,i,s(Pi) = a(pi) a(Pi) T si q -1= 0 (22a) Fq,l, s(Pi) = a(pi) a(gi)t si q - 1 = 1 (22b) rq,i,s(Pi) = a(pi)* a(gi)t si q 1 > 1 (22c) Il suffit alors de diagonaliser conjointement les matrices 4q,l,s(pi), 1 s q - 2, pour obtenir une estimée, â(pi), de a(pi), laquelle correspond au vecteur propre associé à la valeur propre maximale, où âq,l,s(Pi) est définie par Oq,l,É s(Pi) = rqÉ ,i,s(Pi) rq,i,s(Pi)t si q 1 = 0 - OqÉ ,l,s(Pi) = TqÉ ,l,s(Pi) Tq,l,s(Pi)t si q -1= 1 Aq,i,s(Pi) = rqÉ ,i,s(Pj)* rq,l,s(Pi)T si q -1> (23a) (23b) (23c) Cas des Sources rectilignes Pour des observations non circulaires à l'ordre 2q, on exploite la matrice (2g1Vq x 2gNq), C2q,xe, de cumulants d'ordre 2q du vecteur observation étendu (2N x 1) xe(t) 0 [x(t)T, x(t)t]T, dont les coefficients sont les cumulants circulaires d'ordre 2q du vecteur xe(t), Cum[xeil(t),..., xeig(t), xeiq+1(t)*, ..., xei2q(t)*] (1 S iJ 5 2N) (1 S J 2q). Ces cumulants d'ordre 2q peuvent être rangés de différentes façons, indexées par l'entier 1, dans la matrice C2q,xe, laquelle est notée, pour le rangement indexé par 1, C2q,xe(l)É Un famille particulière de sources non circulaires à l'ordre 2q correspond aux sources rectilignes, caractérisées par le fait que leur enveloppe complexe est réelle, ce qui est en particulier le cas pour des sources modulées en amplitude (AM, ASK) ou en phase à 2 états (BPSK). Pour P sources toutes rectilignes, sous les hypothèses énoncées précédemment, on déduit de (2) l'expression du vecteur Xe(t) donnée par P xe(t) E mi(t) ae(Oi, (pi, (Pi) + ve(t) 0 Ae m(t) + ve(t) i= G G Aeg mg(t) + ti'e(t) = xeg(t) + ve(t) (24) g=1 g=1 où ve(t) 0 [v(t) T, v(t) t]T, ae(Oi, (pi, (pi) 0 ['/ 41 a(Oi, (pi)T, eJi a(6i, (pi)t]T, 4)i est la phase du canal de propagation associé à la source i, Ae est la matrice (2NxP) des vecteurs ae(O, 'pi, (pi) (1 i S P), Aeg est la sous-matrice (2Nx Pg) de Ae relative au gème groupe de sources et xeg(t) = Aeg mg(t). Le modèle (24) est similaire au modèle (2), dans lequel les vecteurs directeurs étendus (2N x 1), ae(ei, (pi, (Pi), ont remplacé les vecteurs directeurs (N x 1), a(Ai, (pi). Dans ce contexte, sous les conditions Cl à C4 présentées ci-après: Cl: Pg G C3: P(G, q) 4 1 Pgq 2. Décomposition en éléments propres de la matrice, ê2q,xe(l), et extraction d'une estimée, ê2q,en(l), de la matrice U2q,en(l) des vecteurs propres de l'espace bruit de la matrice C2q,xe(l). Cette étape peut nécessiter une estimation de rang dans le cas où le nombre de sources et/ou leur degré de dépendance statistique est inconnu a priori. 3. Calcul du pseudo-spectre estimé Music-2q-rec(1)(0, 9, d)) 4 [ae(e, (P, (1).) 1 ae(0, (p, (1))* (q l)]t f2q,en(1) 2q,en(1)t [ae(e, (p, 4) 1 ae(B, (p, e (q-[ae(0, (p, 4) 10 ae(0, (P, e (q o]1 [ae(0, (P, (1))010 ae(8, (p, j)* (q ] (25) pour un maillage donné de l'espace des directions (0, c)) et de l'espace des phases 4) et 20 recherche des minima locaux (incluant une interpolation locale autour de chacun des minima locaux). Selon une variante de réalisation, une manière de s'affranchir du maillage de l'espace des phases, est d'exploiter le fait que le vecteur directeur étendu ae(O, cp, 4)) peut 25 s'écrire: ae(e, (p, 4)) = Ae(e, (p) [3(4)) (26) où 13(4) est le vecteur (2 x 1) défini par 13(4) [& , e-14]T et;4(0, cp) est la matrice (2Nx 2) 5 définie par Ae(e, cp) 4 Ta(6, (p) 0 \ 0 a(0, cp)*) (27) où 0 est le vecteur nul de dimension (N x 1). Utilisant le fait que (X Y) (Z W) = (X Z) (Y W), on déduit de (26) que: (le(e, 9,1)) 1 ae(e, 4))* (q l) [Ae(e, (p) 1 Ae(e, cp)* (q - '] [I3(e) 1 13(4))* (q -1)] = Ae,q,l(e, (o) 13q,1(4)) (28) où Âe q,i(0, cf) ) est la matrice (2gNq x 2q) définie par Àe,q,i(0, (p) 0 [Âe(0, (p) 1 Âe(0, (p)*0(q -Pl et où Rq,i(4)) est le vecteur (2g x 1) défini par (3q, 1(4)) A [[3(4) 1 [3(4))* (q -0]. Dans ces conditions, en utilisant le raisonnement du paragraphe précédent sur le réseaux à diversité de phase, le pseudo-spectre (25) prend la forme: PMusic-2q-rec(l)(0, (p) ?min[(Ae,q,l(e, 9)t Ae,q,l(e, (P)) -1 Ae,q, l(e, cp)t v2q,en(1) t2q,en(1)t Ae,q,l(e, (p)] (29) Les directions estimées des sources, (6i, (Pi) (1 i P), correspondent aux mimima locaux de (29), lesquels sont à rechercher à partir d'une maîtrise du vecteur directeur a(0, cp) et d'un maillage de l'espace des directions d'arrivée uniquement, suivi d'une interpolation autour des minimas. Une estimation, eiq,i(4)i), du vecteur [3q,1(4)i) associé à la source i est alors donnée pppar le vecteur propre de la matrice (Âe,q, l(éi, (pi) tÀe,q,l(ei, (Pi))-1 Ae,q,l(ei, cP1)t f j 2q,en(l) U2q,en(1)t Ae, q,l(ei, (Pi) associé à la valeur propre minimale. Une estimée, (4i), de I3(d)i) est alors obtenue par le procédé décrit à la fin du paragraphe V. A. L'algorithme MUSIC-2q-REC peut aussi être mis en oeuvre à partir de réseaux à diversité de polarisation à partir du seul maillage de l'espace des directions. IDENTIFIABILITE On peut montrer que le problème du traitement d'antennes à l'ordre 2q de P sources non gaussiennes et statistiquement indépendantes à partir d'un réseau à N antennes de coordonnées (xn, yn, zn) et de réponses fn(0, (p, p), 1 n N, est, pour le rangement indexé par 1, C2q,x(1), similaire à un problème de traitement d'antenne au second ordre pour lequel ces P sources statistiquement indépendantes incident, avec une puissance virtuelle c2q,m1 (1 i P), sur un réseau virtuel de Nq AV de coordonnées (xkl,k21.. kq, Ykl,1 zk1,1k2 kq) et de réponses fki,lk2 kq(0, (p, p), 1 N pour 1 j g, dont en général N q sont différents, définis respectivement par (xki, k 1 2.. kq, Yki'lk2.. kq, zki,1k2.. kq) _ 1 q 1 1 q 1 1 q -1 ( xkj xkl+u, E Yki Yki+u, zkj zkl+u) (30) j=1 u=1 j=1 u=1 j=1 u=1 X17 q-71 ffki,l k2.. kq(0, (p, P) = 1 1 11 4j(0, 9,P) fkl+u(0, (p, P)*(31) j=1 u=1 Ainsi le traitement d'antenne aux ordres supérieurs peut être utilisé pour remplacer des antennes et du hardware et pour diminuer ainsi le coût global du système. Pour illustrer ce concept, la figure 2 présente le réseau virtuel associé à un réseau circulaire uniforme de 5 antennes de rayon R = 0.8 X, conjointement avec l'ordre de multiplicité des antennes virtuelles (c'està-dire du nombre de capteurs virtuels correspondant à cette antenne) pour (q, 1) = (3, 2). Dans ce cas de figure N2q = 55. Exploitation de C2q,xe(l) et sources rectilignes La théorie des réseaux virtuels évoquée précédemment s'applique au problème du traitement d'antenne à l'ordre 2q des sources rectilignes exploitant l'information contenue dans la matrice, C2q,Xe(1), de tous les cumulants d'ordre 2q des observations pour le rangement indexé par 1 en remplaçant le réseau initial à N antennes par le réseau virtuel à 2N antennes associé aux observations étendues.. On note alors N2q,e le nombre d'AV différentes du réseau virtuel d'ordre 2q pour le rangement indexé par 1 associé au problème de traitement d'antenne de sources rectilignes exploitant tous les cumulants d'ordre 2q des observations. Performances de l'algorithme MUSIC-2q On déduit des résultats précédents que le nombre de sources non Gaussiennes et statistiquement indépendantes pouvant être traitées par l'algorithme MUSIC-2q pour le rangement indexé par l est Inf(N2q, Nq-1). Les tables 1 et 2 présentent une borne supérieure, Nm [2q,1], de N q, pour des réseaux respectivement à diversité de polarisation et à diversité d'espace, atteinte pour des réseaux n'ayant pas de symétrie particulière. Performances de l'algorithme MUSIC-2q-REC Un raisonnement similaire au précédent montre que le nombre de sources non Gaussiennes et statistiquement indépendantes pouvant être traitées par l'algorithme MUSIC-2q-REC pour le rangement indexé par l est Inf(N2q,ei 2g1Vq-1). m = 2q I N,,.[2q, I] 4 2 N(N + 1)/2 (q=2) N2 6 3 N!/[6(N 3)!]+ N(N 1)+N (q=3) 2 Ml[2(N 3)!]+2N(N 1)+N 4 N!/[24(N 4)!] +N!/[2(N 3)!] + 1. 5N(N 1)+ N 3 N!/[6(N 4)!]+ 1.5N!/(N 3)!+3N(N 1)+N (q = 4) 2 N!/[4(N 4)!]+ 2N!/(N 3)! +3.5N(N 1)+N Table 1 - Nn [2q, 1] en fonction de N pour plusieurs valeurs de q et 1 et pour des réseaux à diversité d'espace et de polarisation. 25 m = 2y 1 N,,ix[2q, 1] 4 2 N(N+ 1)12 (y 2) 1 N2 N+1 6 3 N!l[6(N 3)!] +N(N 1.)+N (q=3) 2 N!/[2(N 3)!] + N(N 1) + N 4 N!/[24(N 4)!] + N!/[2(N 3) !]+ 1.5N(N 1)+N 3 N!/[6(N 4)!] +N!l(N 3)! + 1.5N(N 1.) + N (y = 4) 2 N!/[4(N 4)!] + N!/(N 3)! + 2N(N 1) + 1 Table 2 - Nm [2q, 1] en fonction de N pour plusieurs valeurs de q et 1 et pour des réseaux à diversité d'espace. REFERENCES [1] G. BIENVENU, L. KOPP, "optimality of high resolution array processing using the 20 eigensystem approach", IEEE Trans. Acou. Speech and Sign. Proc., Vol 31, N 5, pp. 1235-1247, Oct 1983. [2] J.P. BURG, "The relationship between maximum entropy spectra and maximum likelihood spectra", Geophysics, Vol 37, N 2, pp. 375-376, April 1972. [3] J. CAPON, "High resolution frequency-wavenumber spectrum analysis", Proc. IEEE, 25 Vol 57, N 8, pp. 1408-1418, Feb. 1969. [4] P. CHEVALIER, A. FERREOL, "On the virtual array concept for the fourth-order direction finding problem", IEEE Trans. Signal Processing, Vol 47, N 9, pp. 2592-2595, Sept. 1999 [5] R.T. COMPTON, JR., "Adaptive Antennas - Concepts and Performance", Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 07632, 1988. 10 [6] M.C. DOGAN, J.M. MENDEL, "Applications of cumulants to array processing - Part I: Aperture extension and array calibration", IEEE Trans. Signal Processing, Vol 43, N 5, pp. 1200-1216, May 1995. [7] A. FERREOL, P. CHEVALIER, "On the behavior of current second and higher order blind source separation methods for cyclostationary sources", IEEE Trans. Signal Processing, Vol 48, N 6, pp. 1712-1725, June 2000. Errata Vol 50, N 4, p 990, April 2002. [8] A. FERREOL, P. CHEVALIER, L. ALBERA, "Higher order blind separation of non zero-mean cyclostationary sources", Proc. EUSIPCO 02, Toulouse, (France), pp. 103- 106, Sept. 2002. [9] A. FERREOL, P. CHEVALIER, L. ALBERA, "Second order blind separation of first and second order cyclostationary sources Application to AM, FSK, CPFSK and Deterministic sources", IEEE Trans. Signal Processing, Vol 52, N 4, pp. 845-861, April 2004. [10] B. FRIEDLANDER, "A sensitivity analysis of the MUSIC algorithm", IEEE Trans. Acou. Speech. and Signal Processing, Vol 38, N 10, pp. 1740- 1751, Oct. 1990. [11] P. Mc CULLAGH, "Tensor methods in Statistics", Chapman and Hall, Monographs on Statistics and applied Probability, 1987. [12] A. PAULRAJ, T. KAILATH, "Eigenstructure methods for direction of arrivai estimation in the presence of unknown noise field", IEEE Trans. Acou. Speech and Sign. Proc., Vol 34, N 1, pp. 13-20, Feb. 1986. [13] B. PORAT, B. FRIEDLANDER, "Direction finding algorithms based on higher order statistics", IEEE Trans. Signal Processing, Vol 39, N 9, pp. 2016-2024, Sept 1991. [14] R.O. SCHMIDT, "Multiple emitter location and signal parameter estimation", IEEE Trans. Ant. Prop., Vol 34, N 3, pp. 276-280, March 1986. [15] A.L. SWINDLEHURST, T. KAILATH, "A performance analysis of subspacedbased methods in the presence of model errors, Part I: The MUSIC algorithm", IEEE Trans. Signal Processing, Vol 40, N 3, pp. 1758-1773, July 1992. REVENDICATIONS 1 - Procédé de goniométrie à haute résolution à un ordre pair arbitraire, 2q (q >= 2), pour un réseau comprenant N antennes à bande étroite recevant chacune la contribution de P sources caractérisé en ce que l'on exploite les propriétés algébriques d'une matrice de cumulants d'ordre 2q, C2q x(1), dont les coefficients sont les cumulants circulaires d'ordre 2q, Cum[xil(t),..., xig(t), xiq+1(t)*, ..., xi2q(t) *:j, des observations reçues sur chaque antenne,pour des rangements de cumulants indexés par 1, afin de définir un sous-espace signal et un sous-espace bruit. 2 Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes: É estimer ê2q,x(1), la matrice de cumulant d'ordre 2q, C2q,x(1), à partir de L vecteurs échantillons x(k), 1 k S L, en utilisant un estimateur des cumulants circulaires d'ordre 2q des observations, É décomposer en éléments propres la matrice estimée e2q, x(1), et extraire une estimée, ÎI2q,n(l), de la matrice unitaire U2q,n(O des vecteurs propres de C2q,x(1), É calculer le pseudo-spectre estimé PMusic-2q(1)(8, (P) - race, P) 1 ace, (P)* (q - v2q,n(1) v2q.n(1)t [ace, (P) 1 O a(6, w)* (q - 1)1 [a(8, (v) 1 O a(0, (p)* (q 01t [a(0, (p) 1 O ace, (P)* (q 11) pour un maillage donné de l'espace des directions (0, cp). 3 Procédé selon la revendication 2 caractérisé en ce que pour un réseau à diversité de polarisation on calcule le pseudo-spectre estimé pour un maillage donnée de l'espace des directions (0, (p) et de l'espace des polarisations p et on recherche des minima locaux. 4 Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce que pour des réseaux à diversité de polarisation, il comporte au moins les étapes suivantes: É estimer è2q,x(l), la matrice de covariance C2q,x(l) à partir de L vecteurs échantillons x(k), 1 5 k É décomposer le vecteur &q,1(pi) en 24 2 sous-vecteurs (4 x 1) , ccq,l, s(pi), 1 S s 5 q 2, telle que 1%J(pi) = [aq,l,1(Pi)T, , q 1(q 2)(Pi)T] T et rangement des composantes de chaque vecteur ccq,l,s(pi) dans une matrice (2 x 2) rq,i,s(pi) telle que: rq,l,s(pi)[k,j] = aq,l, s(Pi)[2(k 1) +,], où Tq,i,s(pi)[k,J] et &q,l,s(pi)[k] sont l'élément [k, j] et la composante k respectivement de la matrice rq,l,s(pi) et du vecteur âq,l, s(Pi)É a(p) étant constitué des coefficients réels de la décomposition du champ incident en somme de deux champs polarisés orthogonalement. 2883980 23 É Diagonaliser de manière conjointe les matrices âq,l, s(pi), 1 1 6 Procédé selon la revendication 1 pour des sources rectilignes caractérisé en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes: É estimer é2q,xe(1), la matrice C2q,xe(l) de cumulants d'ordre 2q des observations étendues, xe(t) 4 [x(t)T, x(t)t]T, ou x(t) est le vecteur observation à partir de L vecteurs échantillons x(k), 1 k 5 L, en utilisant un estimateur des cumulants d'ordre 2q des observations, É décomposer en éléments propres la matrice, Cn'2q,xe(1), et extraire une estimée, ê 2q, en(l), de la matrice U2q,en(l) des vecteurs propres de l'espace bruit de la matrice C2q,xe(l), É calculer le pseudo-spectre estimé Music 2q-rec(1) (e, (1), (1)) 4 [ae(e, (p, $) 1 ae(e, (p, (1))* (q l)]t t2q,en(1) u2q,en(l)t [ae(e, (p, 4)) 1 ae(0, (p, (C(q ] [ae(e, (p, $) 1 Ox ae(e, cp, $)* (q t)]t [ae(e, (p, 4)) ' o ae(e, (p, $)* (q -n] pour un maillage donné de l'espace des directions (0, c)) et de l'espace des phases 4 et rechercher des minima locaux. 7 Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes: É estimer, è2q,xe(1), la matrice C2q,xe(l) de l'ensemble des cumulants d'ordre 2g des observations, à partir de L vecteurs échantillons x(k), 1 k L, en utilisant un estimateur adéquat des cumulants d'ordre 2q des observations, É décomposer en éléments propres de la matrice, 1 2q,xe(l), et extraire une estimée, el 2q,en(1), de la matrice U2q,en(l) des vecteurs propres de l'espace bruit de la matrice C2q,xe(l), É Calculer le pseudo-spectre estimé Music-2q-rec(1)(0, (p) Xmin[(2e,q,l(e, (P)t Ae,q,l(e, 0 1 Ae,q,l(e, 9)1- &2q, en(1) &2q,en(1)t Àe,q,l(e, (P)] où Ae,q,l(6, cf)) est la matrice (2gNq x 2q) définie par Ae,q,l(e, (p) [Ae(e, (P) OI O Ae(0, (p)* (q 0] où Àe(0, (p) est la matrice (2Nx 2) définie par Ae(O, (P) e- 'a(0, cf)) 0 0 a(0, (p)* où 0 est le vecteur nul de dimension (N x 1) et a(0, (p) le vecteur directeur associé à la direction (0, (p), pour un maillage donné de l'espace des directions d'arrivée. 8 Procédé selon l'une des revendications 2 à 6 caractérisé en ce que l'étape de décomposition comprend une étape d'estitnation de rang de la matrice &2q,en(1).