Brevet FR2853427A1 — publié le 20041008

L'invention concerne notamment un procédé de séparation autodidacte (ou aveugle), n'exploitant aucune information a priori sur les sources ou sur le front d'onde, à l'ordre 4 et aux ordres supérieurs à 4, de P sources cyclostationnaires (déterministes ou stochastiques, analogiques ou numériques, à modulations linéaires ou non linéaires) et statistiquement indépendantes, à partir d'une réception à N capteurs (N#2). Elle s'applique par exemple dans le domaine des radiocommunications, des télécommunications spatiales ou de l'écoute passive de ces liaisons, dans des gammes allant par exemple de la VLF à la EHF). Elle trouve aussi son application dans des domaines tels que l'astronomie, le biomédical, le radar, le traitement de la parole, etc. La séparation autodidacte de sources et plus particulièrement l'Analyse en Composantes Indépendantes (ICA) suscitent actuellement beaucoup d'intérêt. Elles trouvent en effet leur place dans de nombreuses applications telles que les télécommunications, le traitement de la parole ou encore le domaine biomédical. Par exemple, en traitement d'antennes, si un certain nombre de sources émises sont réceptionnées sur un réseau de capteurs, et si pour chaque source l'étalement temporel des canaux associés aux différents capteurs est négligeable devant le temps symbole, alors un mélange instantané des sources émises est observé sur les dits capteurs. La séparation autodidacte de sources a notamment pour but de restituer les sources supposées statistiquement indépendantes et ce uniquement à partir des observations reçues par les capteurs. Selon l'application, il est possible de ne retrouver que le mélange instantané, c'est-à-dire les vecteurs directeurs des sources, ce qui est le cas par exemple de la goniométrie où le dit mélange porte à lui seul toute l'information nécessaire à la localisation angulaire des sources : on parle alors d'identification aveugle de mélange. Pour d'autres applications telles que la transmission, il est nécessaire de retrouver les sources émises : on emploie alors l'expression de séparation ou en encore d'extraction aveugle ou autodidacte de sources. Certaines techniques connues de l'art antérieur cherchent à décorréler (à l'ordre 2) les signaux, comme on peut l'observer en Analyse Factorielle avec l'Analyse en Composantes Principales (PCA). L'ICA, pour sa part, vise à réduire les dépendances statistiques des signaux également aux ordres supérieurs. De ce fait l'ICA permet d'identifier, de manière autodidacte, le mélange instantané et par la même occasion d'extraire les sources émises dont au plus une est supposée gaussienne. Ceci n'est actuellement possible qu'en respectant certaines hypothèses : le mélange bruité des sources doit être linéaire et par ailleurs surdéterminé (le nombre de sources P doit être inférieur ou égal au nombre de capteurs N). Si Comon introduit le premier le concept d'ICA et propose une solution, COM2 dans la référence [1] (les différentes références sont regroupées à la fin de la description), maximisant un contraste basé sur les cumulants d'ordre 4, Cardoso et Souloumiac [2], quant à eux, développent une approche matricielle, plus connue sous le nom de JADE, et donnent ainsi naissance à l'algorithme de diagonalisation conjointe. Quelques années plus tard, Hyvarinen et al. présentent la méthode FastICA, dans un premier temps pour des signaux réels [3], puis dans le cas complexe [4]. Cette dernière introduit un algorithme d'optimisation de contraste baptisé algorithme du point-fixe. De son côté, Comon propose une solution simple, COM1 [5], à l'optimisation du contraste présenté dans [6]. Bien que très performantes sous les hypothèses énoncées précédemment, ces méthodes peuvent être néanmoins très fortement perturbées par la présence de bruit inconnu, Gaussien ou non, corrélé spatialement et inhérent à certaines applications comme les radiocommunications HF. Par ailleurs, comme il a été dit plus haut, les méthodes précédentes ne sont conçues que pour traiter des mélanges surdéterminés de sources. Or dans la pratique, tel qu'en radiocommunications, la réception de plus de sources que de capteurs n'est pas rare, surtout si la largeur de bande de réception est importante. On est alors en présence de mélanges dit sous-déterminés (P > N). Plusieurs algorithmes ont d'ores et déjà été développés dans le but de traiter ce type de mélanges. Certains abordent le difficile problème de l'extraction des sources [7-8] alors que le mélange ne peut plus être inversé linéairement, tandis que d'autres traitent de l'identification de la matrice de mélange [7] [9-12]. Les méthodes proposées dans [9-11] exploitent uniquement les statistiques d'ordre 4 tandis que celle présentée dans [12] repose sur l'utilisation de la seconde fonction caractéristique des observations, autrement dit sur l'utilisation des cumulants non nuls de tout ordre. Quant à la méthode employée dans [7], elle repose sur la maximisation de probabilité conditionnelle, en l'occurrence celle des données conditionnellement à la matrice de mélange. Si ces méthodes sont performantes, elles souffrent d'inconvénients en contexte opérationnel. Ainsi la méthode [9] est difficile à mettre en #uvre et ne garantit pas l'identification des vecteurs directeurs de sources de même kurtosis. Les méthodes [10] et [11] ne permettent pas quant à elles d'identifier les vecteurs directeurs de sources circulaires. La méthode [10], baptisée S3C2, pour sa part confine l'utilisateur dans une configuration de 3 sources et 2 capteurs, interdisant tout autre scénario. La méthode [7] autorise l'identification de 4 signaux de parole avec seulement 2 capteurs, toutefois les échantillons observés doivent être temporellement indépendants et chaque source doit avoir une densité de probabilité éparse. Pour finir, la méthode [12] n'est applicable qu'au cas de sources réelles, ce qui est très restrictif notamment en communications numériques. En outre, l'algorithme dépend grandement du nombre de sources, et rien ne prouve aujourd'hui qu'une mauvaise estimation de ce paramètre ne dégrade pas les performances de la méthode. La présente invention offre une nouvelle approche reposant notamment sur l'exploitation de la totalité ou pratiquement de la totalité de l'information propre aux vecteurs directeurs ap des sources, contenue de manière redondante dans la matrice représentative des statistiques circulaires d'ordre m = 2q du vecteur des enveloppes complexes des signaux en sortie des capteurs. L'invention concerne un procédé d'identification aveugle de sources au sein d'un système comportant P sources et N capteurs. Il est caractérisé en ce qu'il comporte au moins une étape d'identification de la matrice des vecteurs directeurs des sources à partir de l'information propre aux vecteurs directeurs ap des sources contenue de manière redondante dans les statistiques circulaires d'ordre m=2q du vecteur des observations reçues par les N capteurs. Les statistiques circulaires d'ordre m = 2q s'expriment par exemple en fonction d'une matrice diagonale de rang plein des autocumulants des sources et d'une matrice représentant la juxtaposition des vecteurs directeurs des sources de la manière suivante : Cm,x = Aq Sm,s AqH (11) où Çm,s = diag([ C11:::'.'::i,s ,... , CP,P "p S ]) est la matrice diagonale de rang plein des autocumulants C::::"',:,s d'ordre m = 2q des sources, de taille (Px P), et où Aq = aie (q-1) 0 ctt* ... ap0 (q-l) O ap ], de taille (N a x P) et supposée de rang plein, représente la juxtaposition des P vecteurs colonnes [ ap0 (q-l) 0 ce ]. Utilisation du procédé à un réseau de communication et/ou pour de la goniométrie à partir des vecteurs directeurs identifiés. L'invention présente notamment les avantages suivants : # Elle permet l'identification autodidacte de mélanges instantanés aussi bien surdéterminés (le nombre de sources est inférieur ou égal au nombre de capteurs) que sous-déterminé (le nombre de sources est supérieur au nombre de capteurs) ainsi que l'extraction aveugle des sources dans le cas surdéterminé ; # A l'ordre m=2q, pair q#2, le procédé désigné BIOME (Blind Identification of Over and underdetermined MixturEs of sources) a la capacité de traiter jusqu'à P = N (q - 1) sources à partir d'un réseau à N capteurs différents , dès lors que les autocumulants d'ordre m des sources sont de même signe; # Une application du procédé BIOME à l'ordre 4, nommée ICAR (Independent Component Analysis using Redundancies in the quadricovariance), permet l'identification autodidacte de mélanges instantanés surdéterminés (P # N) de sources et l'extraction aveugle de celles-ci, d'une manière s'avérant robuste vis-à-vis de la présence d'un bruit Gaussien inconnu corrélé spatialement, dès lors que les sources ont des kurtosis (autocumulants normalisés d'ordre 4) de même signe ; # Une application du procédé BIOME à l'ordre 6, appelée BIRTH (Blind Identification of mixtures of sources using Redundancies in the daTa Hexacovariance matrix), permet l'identification autodidacte de mélanges instantanés aussi bien surdéterminés (P # N) que sous-déterminés (P > N) de sources, ainsi que l'extraction aveugle des sources dans le cas surdéterminé. Le procédé BIRTH a la capacité de traiter jusqu'à N2 sources à partir d'un réseau à N capteurs différents, dès lors que les autocumulants d'ordre 6 des sources sont de même signe. D'autres caractéristiques et avantages du procédé selon l'invention apparaîtront mieux à la lecture de la description qui suit d'un exemple de réalisation non limitatif annexé des figures qui représentent : # La figure 1 un schéma d'exemple de mise en #uvre du procédé à l'ordre m, # Les figures 2,3 et 4 des résultats de simulation de la mise en #uvre du procédé à l'ordre 4, # Les figures 5,6, 7 et 8 des résultats de simulation pour le procédé appliqué à l'ordre 6. Les exemples qui suivent sont donnés pour l'identification et/ou l'extraction de sources dans un réseau comportant une antenne réseau comprenant N capteurs. Cette antenne est supposée recevoir un mélange bruité de P sources par exemple à bande étroite (BE) et statistiquement indépendantes. Sous ces hypothèses, le vecteur x(t) des enveloppes complexes des signaux en sortie des capteurs s'écrit, à l'instant t # où v (t) le vecteur bruit, supposé centré, Gaussien et inconnu, # sp(t) et ap correspondent respectivement à l'enveloppe complexe, BE, cyclostationnaire et cycloergodique (avec un éventuel résidu de porteuse le cas échéant), et au vecteur directeur de la source p, # s (t) est le vecteur dont les composantes sont les signaux sp(t) et A est la matrice (N x P) dont les colonnes sont les vecteurs ap. Par ailleurs, le procédé énoncé de manière générale ci-après à l'ordre m = 2q (q# 2) utilise les hypothèses suivantes H1-4: Hl : A tout instant t, les sources à valeurs complexes sp(t) sont cyclostationnaires, cycloergodiques et mutuellement décorrélées à l'ordre m; H2 : A tout instant t, les composantes Vn(t) du bruit sont stationnaires, ergodiques, gaussiennes et circulaires; H3 : A tout instant t, s(t) et v (t) statistiquement indépendants ; H4 : les autocumulants d'ordre m des sources sont non nuls et de même signe. Avec les hypothèses précédentes, pour un ordre pair m = 2q donné, le problème de l'identification autodidacte de mélanges instantanés de sources consiste à trouver, à partir de l'exploitation de certaines statistiques d'ordre m des observations, la matrice A à une matrice triviale près (une matrice triviale est de la forme A # où A est une matrice diagonale inversible et II une matrice de permutation). La séparation (extraction) aveugle de sources, consiste notamment à déterminer le séparateur Linéaire et Invariant dans le Temps (LIT), W, de dimension (N x P), dont le vecteur de sortie, de dimension (P x 1), y(t) = WH x(t) (2) correspond, à une matrice triviale près, à la meilleure estimée, #(t), du vecteur s (t), le symbole H signifie transposé conjugué. Le séparateur W est défini à une matrice triviale près dans la mesure où ni la valeur des puissances de sortie, ni l'ordre dans lequel les sorties sont rangées ne changent la qualité de restitution des sources. Avant d'exposer les étapes du procédé selon l'invention, quelques rappels sur les statistiques des observations sont donnés. Statistiques des observations Le procédé selon l'invention utilise notamment les statistiques circulaires d'ordre pair, 2,4, 6,..., m des observations. Selon l'art antérieur décrit dans la référence [15], l'expression des cumulants d'ordre m en fonction des moments d'ordre inférieur à m peut être simplifiée. Soit Gd ' .; gX une quantité scalaire à valeur complexe dépendant des q indices inférieurs d,..., e et des q indices supérieurs f, g à valeur dans {1, 2, ..., 11. La quantité G{:,x vérifie alors les trois symétries suivantes : #toute permutation des indices inférieurs de Gfd'"sex entre eux ne modifie pas la valeur de G/' x : par exemple, pour q 2, Gé â = Gf'g d,e,x #toute permutation des indices supérieurs de G' :x entre eux ne modifie pas la valeur de Gd '.,;é : par exemple, pour q = 2, Gd X = Gf'g d,e,x #permuter tous les indices supérieurs avec tous les indices inférieurs de G/" fx a pour effet de conjuguer la valeur de G,: ;e,X : : Gd,. ,e = lGd,,..,e,x * . D'autre part, la notation suivante est adoptée : la quantité [r]G!' ,g Gj,.,k ... GIJ,. ,0 désigne la combinaison linéaire des r produits possibles et distincts (modulo les trois symétries décrites précédemment) de type dZlcx G('"'lx ### Gn, ,0 pondérés par la valeur 1. Chacun des r produits est construit à partir du produit Gf' 'g G'' 'k . G"' ' en utilisant et en combinant les deux règles de permutation suivantes : #un indice inférieur d'un des termes du produit Gfd[ jfx G/' ,' ,',kr ... G;:' ',;,,x permute avec un indice inférieur d'un autre terme du même produit Gf' 'g G' '...G,"' ;, pour donner un autre produit (distinct) : par exemple, pour [q\, q2) = (2, 2), Gf.x G/; donne comme autres produits distincts (modulo les trois symétries décrites précédemment) G!,g 7 G!,g '7. et G!,g 7' h,e,x (/. #un indice supérieur d'un des termes du produit G!..,g GJ, .,k Gn,.,o permute avec un indice supérieur d'un autre terme du même produit Gf' 'g G'' wk . Gn' ' pour donner un autre produit (distinct) : par exemple, pour (qi, q2) - (2, 2), Gâ é x G,',,;kx donne comme autres produits distincts (modulo les trois symétries décrites précédemment) afin d'obtenir la totalité des r produits possibles et distincts (modulo les trois symétries décrites précédemment). L'exemple suivant, où (qi, q2) = (2, 1) et r= 9, illustre cette notation : Statistiques d'ordre m Dans le cas de sources stationnaires ou cyclostationnaires potentiellement non centrées, les statistiques circulaires d'ordre m du vecteur x(t), donné par (1), s'écrivent T/2 où le symbole c = em (1/T) I CT/2 f[t)dt correspond à l'opération de moyennage temporel en temps continu de f(t) sur un horizon d'observation infini. (5) où q termes sont conjugués et q termes sont non conjugués. Les statistiques d'ordre m décrites par l'expression (5) sont dites circulaires car le cumulant Cum{xd(4, xe(t),..., x(t), xg(t)*, xh(t)*,..., xl(*} d'ordre m est calculé à partir d'autant de termes conjugués (xg(t)*, Xh(t)*, x,(t)*) que de termes non conjugués (xd(t), x(t), ..., x(t)). Les cumulants circulaires d'ordre m peuvent être exprimés en fonction de moments d'ordre inférieur à m de la manière donnée ci-après. Soient M .'I+l q+2' ... lrn (t) et Clq+l'lq+2'"'l t) les moments et l' 2,...lq' l' 2'''' q' cumulants circulaires d'ordre m associés au vecteur d'observation x(t), définis par : P,={,(1)U.,(1)U...U..,()} désigne la ({ 9 -ième partition, parmi G% possibles, de k sous-ensembles Sp =J4';V'"'\WV, ù 1 : r:# s:# ... ;,- pOSSl les, k)) sous-ensem g ,,...,,A k la+V*a+2'"'*m De manière pratique, deux grandes familles d'estimateurs peuvent être utilisées pour estimer les statistiques précédentes : dans le cas de sources stationnaires, on peut employer un estimateur empirique non biaisé et consistant pour des sources stationnaires, ergodiques, alors que dans le cas de sources cyclostationnaires potentiellement non centrées, il faut employer un estimateur dit exhaustif, non biaisé et consistant pour des sources cyclostationnaires, cycloergodiques, potentiellement non centrées. Cet estimateur exhaustif est par exemple déterminé selon une démarche décrite dans les références [13-14]. Agencement et stockage des statistiques d'ordre m Comme il est montré ci-dessus les statistiques Cd e f xg,h,...,k, pour d,e,..., f,x 1 # d, e, ..., f, g, h,..., k # N sont des fonctions à m = 2q entrées (m pair), il alors possible de les ranger dans une matrice (Nq x Nq) que l'on nommera Cm, x. De manière explicite, la quantité Cd,e,g,h,,f,x,kse trouve située à la i- ème ligne et à la j-ème colonne de la matrice C",X en posant i = 1V[...lVjN(d- 1)+e-1]+ ...]+k et j = 1V[ ... MN(g-1) + h-1]+ ...]+f. Agencement et statistiques d'ordre 4 Dans le cas de sources stationnaires centrées, les statistiques circulaires d'ordre 4 du vecteur x(t), donné par (1), s'écrivent C e,x = Cum{xa(t), xe(t), x.r(t)*, Xg(t)*} = Mf}x - Md.e.x MX ,g ~ [2] Mâ X MgX (4)' De manière pratique, ces statistiques peuvent être estimées en employant un estimateur empirique non biaisé et consistant pour des sources stationnaires, ergodiques, centrées. Dans le cas de sources cyclostationnaires potentiellement non centrées, les statistiques circulaires d'ordre 4 du vecteur x(t) à prendre en considération, s'écrivent De manière pratique, ces statistiques d'ordre 4 peuvent être estimées en employant l'estimateur dit exhaustif non biaisé et consistant pour des sources cyclostationnaires, cycloergodiques, potentiellement non centrées. Cet estimateur exhaustif est décrit dans [13-14]. Comme il est montré ci-dessus les statistiques Cd é , pour 1 Agencement et Statistiques d'ordre 6 Dans le cas de sources stationnaires centrées, les statistiques circulaires d'ordre 6 du vecteur x(t), donné par (1), s'écrivent (6) En pratique, ces statistiques peuvent être estimées en employant un estimateur empirique non biaisé et consistant pour des sources stationnaires, ergodiques, centrées. Dans le cas de sources cyclostationnaires centrées, les statistiques circulaires d'ordre 6 du vecteur x(t), donné par (1), s'écrivent De manière pratique, ces statistiques d'ordre 6 peuvent être estimées en employant un estimateur dit exhaustif non biaisé et consistant pour des sources centrées cyclostationnaires, cycloergodiques. Comme il est montré ci-dessus les statistiques Câïé f,X , pour 1 s d, e, f, g, h, k # N sont des fonctions à six entrées, il alors possible de les ranger dans une matrice (N 3 x N 3) que l'on nommera matrice d'hexacovariance Hx. Principe mis en #uvre dans le procédé selon l'invention Le procédé selon l'invention utilise notamment une propriété de multilinéarité des cumulants et la gaussianité du bruit qui se traduisent par l'expression matricielle suivante C,n,X = [A9li- 1) 0 A*] Cm,s [A0(q- 1) 0 A*IH (10) où Cm,x et Cm,s sont les matrices des statistiques d'ordre m, définies précédemment, de taille respective (N q x N q) et (P q x P q), et associées aux vecteurs x(t) et s(t)où A#(q - 1) correspond à une notation adoptée définie ainsi : la matrice B#k désigne la matrice B élevée à la puissance (au sens du produit de Kronecker) k, c'est-à-dire en effectuant le produit de Kronecker Pk = B0B0...B , en posant B = 1. /(fois Rappelons dès lors quelle est la définition du produit de Kronecker : soient A et B deux matrices de taille respective (LA x CA) et (LB x CB), le produit de kronecker D = A # B est une matrice de taille (LA La x CA CB) défmie par D = (Au B) 1 Sans sortir du cadre de l'invention d'autres écritures associées à d'autres rangements des cumulants peuvent être utilisées comme par exemple : où 1 est choisi arbitrairement entre 1 et q et où Cm,s, @. est la matrice des statistiques d'ordre m = 2q de s (t) à l'indice 1 choisi. Chaque écriture conditionne le nombre de sources potentiellement identifiables à partir d'un réseau donné. Dans la suite de la description, l'analyse est donnée en utilisant l'écriture de la relation (10). Dans la mesure où les sources sont indépendantes, la matrice des statistiques d'ordre m associée aux sources, Cm,s , est une matrice diagonale. Néanmoins, elle s'avère ne pas être de rang plein. Le procédé selon l'invention considère une matrice déterminée à partir d'une matrice diagonale de rang plein des autocumulants et de la matrice représentant la juxtaposition des P vecteurs colonnes relatifs aux vecteurs directeurs des sources : Cm,x Aq,;.,. AqH (11) où Sm,s = diag([ Ci:11: ; ,l,s ,..., Cp p',, îps ]) est la matrice diagonale de rang plein des autocumulants C:::':::,s d'ordre m = 2q des P sources, de taille (P x 9, et où Aq = [ ai (9-D 0 al* ... ap0(q-1) 0 c ], de taille (Nq x F' et supposée de rang plein, représente la juxtaposition des P vecteurs colonnes [ ap (q-1) (8) a; De plus, nous supposons que la matrice Aq-1 ~ [ ai( Le procédé selon l'invention permet avantageusement d'exploiter et d'extraire par exemple la totalité de l'information propre aux vecteurs directeurs ap des sources, contenue de manière redondante dans la matrice des statistiques circulaires d'ordre m = 2q du vecteur d'observations x(t), Cm,x et plus particulièrement dans la matrice Aq. Le procédé comporte par exemple les étapes décrites ci-après. L échantillons du vecteur x(t) sont supposés avoir été observés et la matrice Cm,x est supposée avoir été estimée à partir de ces échantillons. Etape 1 : décomposeren valeurs singulières la matrice Cm,x Calculer la racine carrée Cm,x1/2de Cm,x de rang plein, par exemple en décomposant en éléments propres la matrice hermitienne Cm,x = Es Ls EsH où Ls et Es sont respectivement la matrice diagonale des P plus grandes (en valeur absolue) valeurs propres réelles de Cm,x et la matrice des vecteurs propres orthonormés associés. Cette étape fait apparaître le lien existant entre Cm,x1/2 et Aq, : où V est une matrice unitaire, de taille (P x P), unique pour Ls et Es données, et où 1 L, 1 1/2, ",,S , n2 sont des racines carrées respectivement de 1 Ls) et 44. (1. désigne l'opérateur valeur absolue). Ls et Es sont par exemple respectivement la matrice diagonale des P plus grandes (en valeur absolue) valeurs propres réelles de Cm,x et la matrice des vecteurs propres orthonormés associés. Pour une matrice Aq de rang plein, il est possible de vérifier que l'hypothèse (H4) équivaut à supposer les éléments diagonaux de Ls non nuls et de même signe. Etape 2 Extraire de la matrice C;1 = [FiT, ..., rrrT]T les N blocs matriciels Fin : chaque bloc rn de taille (N (q - l x 9 est constitué des N (q - 1) lignes successives de Cm,x1/2 à compter de la N (q-i) (n-l)+l -ième. Etape 3 Construire les N(N-1) matrices ont,"2 définies, pour tous 1 En notant pour tout 1 Etape 4 Déterminer la matrice Vsol, solution au problème de diagonalisation conjointe des N(N-1) matrices #n1,n2 par exemple en utilisant une méthode de diagonalisation décrite dans la référence [2]. La matrice Cm,x l/2V; sol, où Vsoi - V T est une matrice unitaire diagonalisant conjointement les matrices #n1,n2 à une matrice T triviale unitaire près est une estimée de la matrice Aq à une matrice triviale près. Différentes méthodes connues de l'Homme du métier permettent d'extraire de Aq une estimée A de la matrice de mélange A. Etape 5 Etape SA Une manière de procéder consiste par exemple à moyenner les K = Nq - i) blocs (2)c)* de taille (N x P) (pour tout 1 ~ Etape 5B Une autre manière consiste par exemple, pour chacune des P colonnes bop de Aq [ a10 (q-J) ai ... ap0 (q-JI 0 ap ], # extraire les K = N(q-2) vecteurs bp(k) empilés les uns en dessous des autres tels que : bP = [ap0 c4m) 0 ap*] = [bP(1)T bp(2)T, ..., bp(K)TjT (14) puis #convertir les dits vecteurs colonne bp(k) = (A,P... Ajp) [ap ap,*] de taille (N2 x 1) en matrice Bp(k) = (ait'" 4p) [ctp0p ,H] (où 1 N) et # décomposer conjointement ces K = N(q-2) matrices en valeurs singulières (SVD) : le vecteur propre commun aux K matrices Bp(k) et associé à la plus forte (en module) valeur propre, est donc un vecteur colonne de la matrice A. A noter que la quantité (au... AJp) est dans le cas présent le produit de (q - 2) composantes de A. Cette étape de traitement sur les P colonnes bp de Aq, permet d'estimer, dans le désordre et à une phase près, les P vecteurs directeurs ap et donc, à une matrice triviale unitaire près, la matrice de mélange A. Etape 6 La matrice de mélange A représentative des vecteurs directeurs des sources contient à elle seule l'information nécessaire à la localisation angulaire des sources. Dans ce contexte, à partir de l'estimée des différentes colonnes de A, il est possible de mettre en #uvre une méthode arbitraire de goniométrie exploitant cette information. Une telle méthode est par exemple présentée dans le document [18]. Etape 7 Pour estimer le vecteur de sources s(t), en contexte surdéterminé (i. e. lorsque P # N), le procédé applique aux observations x(t) un filtre de type LIT utilisant explicitement l'estimée de la matrice de mélange A. On peut par exemple choisir le filtre FAS décrit dans la référence [17], optimal en présence de sources décorrélées. Le procédé comporte par exemple une étape 0, qui consiste à construire, à partir des différents vecteurs d'observations x(t), une estimée #m,x de la matrice de statistiques Cm,x des observations, selon la méthode donnée précédemment. Dans ce cas les étapes 1 à 6 du procédé sont mises en oeuvre sur l'estimée #m,x de la matrice. Critère de performance Selon une variante de réalisation, le procédé comporte une étape utilisant un nouveau critère de performances pour l'évaluation d'identification aveugle de mélange. Ce critère n'est pas global et permet d'évaluer la qualité d'identification de chaque vecteur directeur estimé : on peut alors comparer deux méthodes distinctes d'identification aveugle vis à vis de chaque vecteur directeur, et donc de chaque source. Ce critère est l'extension à l'identification aveugle de mélange du critère basé sur le SINR (rapport signal sur bruit) donné dans la référence [17] introduit pour l'extraction aveugle de sources. C'est un P-uplet décrit par D (A, A) = (al, aa, .....ap) (15) où ap - min [d(ap, c21)] (16) 1#t#P et où d(u,v) est la pseudodistance entre les vecteurs u et v, défmie par Notons que désigne le produit scalaire défini pour deux vecteurs de même dimension. Le procédé décrit pour l'ordre m = 2q s'applique notamment pour les statistiques à l'ordre 4 et les statistiques à l'ordre 6 par exemple selon les exemples donnés ci-après. Application de la méthode pour la séparation aveugle de sources à l'ordre 4 Une variante de réalisation du procédé dénommée ICAR (Independent Component Analysis using Redundancies in the quadricovariance) exploite les statistiques d'ordre m = 4 (q = 2), correspondant à la matrice de quadricovariance circulaire des observations Cm, x, notée Qx). Ce procédé permet l'identification aveugle du mélange instantané A ou l'extraction autodidacte des sources s(t) dans le cas où N # P, autrement dit uniquement lorsque le mélange est surdéterminé. Le modèle (1) est supposé vérifié ainsi que les hypothèses H1-4 à l'ordre 4. Le procédé dénommé ICAR exploite notamment l'expression (11) qui traduite pour des statistiques d'ordre 4 s'exprime : Qx = A2 ,C4.s A2H (18) où S4,S = diag([ C{,'11,s ,... , Ct,;s ]) est la matrice de rang plein des autocumulants CC:C,s d'ordre 4 des sources, de taille (P x P), et où A2 = [ ai ait ... ap 0 aft ], de taille (Nz x F) et supposée de rang plein, représente la juxtaposition des P vecteurs colonnes [ ap # ap* ]. De plus, en supposant que la matrice de mélange A, de taille (N x P), est également de rang plein. Le procédé effectue par exemple les étapes 0 à 5 décrites dans le cas de l'application à l'ordre m=2q, en utilisant les paramètres suivants : Cm,x = Qx et #m,s = #4,s Dans cet exemple de mise en oeuvre, le procédé peut aussi comprendre une étape 0 qui consiste à : à partir des différents vecteurs d'observations x(t), une estimée #x la matrice de quadricovariance Qx des observations. Les étapes 1 à 6 sont ensuite déroulées sur cette valeur estimée. Exemples de résultats obtenus en appliquant la méthode à l'ordre 4 Les figures 2,3 et 4 représentent dans un diagramme où l'abscisse correspond au nombre d'échantillons L et l'ordonnée aux performances, des résultats de simulation présentant les performances du procédé selon l'invention à l'ordre 4 présenté ci-dessus d'ICAR (en mettant en #uvre l'étape 5B), ICAR2 (en mettant en #uvre l'étape 5A) et des méthodes de séparation aveugle de sources (COM1, COM2, JADE, FastICA) connues de l'Homme du métier. Les conditions de simulation sont les suivantes : # P = 3 sources non filtrées, une BPSK et deux QPSK, sont supposées être réceptionnées sur un réseau circulaire de N = 5 capteurs tel que R/# = 0. 55 (avec R et # le rayon du réseau et la longueur d'onde) et tel que le rapport signal sur bruit, noté SNR, soit égal à 20 dB pour chaque source. # Le bruit est Gaussien et non corrélé spatialement. # Les trois sources sont en bande de base et leur temps symbole est choisi égal au temps d'échantillonnage. # Le critère employé pour apprécier au mieux les résultats d'extraction de la source p pour une méthode donnée est le rapport signal sur bruit plus brouilleur maximal associé à la source p, plus connu sous le dénominatif de SINRMp [17]. Il peut alors être comparé au SINRMp optimal calculé en utilisant non pas la matrice de mélange estimée mais au contraire la matrice de mélange exacte ainsi que les statistiques exactes des observations. C'est cette comparaison qui est présentée dans les figures 2-4. Plus particulièrement, la figure 2 représente les SINRM de la source 1 associés à ICAR, ICAR2 mais aussi aux méthodes de séparation aveugle de sources les plus performantes actuellement telles que JADE, COM1, COM2 et FastICA. La figure 3 représente le SINRM de la source 2 pour les mêmes méthodes (ICAR, ICAR2, JADE, COM1, COM2, FAST ICA)et la figure 4 ceux de la source 3. Sur chacune des trois figures, apparaît le fait que les deux méthodes ICAR et ICAR2 ont des performances très bonnes et légèrement meilleures que les autres méthodes JADE, COM1, COM2 et FastICA. Quant à l'algorithme FastICA, sa meilleure performance concerne la source 2 pour laquelle il converge complètement à partir de 550 échantillons. Quant à la différence de résultat entre ICAR et ICAR2 elle s'avère dans cette configuration être négligeable devant l'écart de performance entre les méthodes ICAR et les méthodes JADE, COM1, COM2 et FastICA, toutefois très bonnes. Application du procédé à l'ordre 6 Selon une autre variante de réalisation, le procédé utilise les statistiques à l'ordre 6. Cette variante dénommée BIRTH (Blind Identification of mixtures of sources using Redundancies in the data Hexacovariance matrix) permet à partir d'un réseau de N capteurs d'identifier les vecteurs directeurs d'au plus P = N2 sources (cas d'un réseau à capteurs différents). Elle permet également l'extraction d'au plus P = N sources dont les vecteurs directeurs sont explicitement identifiés. Le procédé BIRTH utilise certaines statistiques d'ordre 6, stockées dans la matrice d'hexacovariance C6,x désignée Hx . Ainsi, cette variante de mise en oeuvre exploite pleinement l'information propre au mélange instantané A des sources, contenue dans Hx, notamment grâce à une astucieuse écriture de Hx par rapport aux vecteurs directeurs des sources, et ce au moyen de la propriété de multilinéarité des cumulants : Hx = AJ S6,s H (20) où S6,s = diag([ C;;;,5 ,..., Cp p p S ]) est la matrice de rang plein des autocumulants Cp p,p s d'ordre 6 des sources, de taille (P x F?, et où A3 = [ ai ,#2# ai ,* ... ap , 2 ap,* ], de taille (N3 x P) et supposée de rang plein, représente la juxtaposition des P vecteurs colonnes [ap# 2 # ap,* ] = [ap 0 ap 0 ap* ]. De plus, nous supposons que la matrice A2 [ on ai* ... ap # aP* ], de taille (N2 x P), est également de rang plein. Le procédé à l'ordre 6 comporte les étapes 1 à 6 et l'étape 0 décrites ci-dessus en utilisant les paramètres suivants : Cm,x = Hx et m=3. Simulations Les figures 5,6, 7 et 8 représentent dans un diagramme où l'abscisse correspond au nombre d'échantillons L et l'ordonnée aux performances, le bon fonctionnement du procédé selon l'invention à l'ordre 6. Les conditions d'obtention des courbes sont les suivantes : # supposons que P = 3 sources statistiquement indépendantes, plus particulièrement deux QPSK et une BPSK toutes trois non filtrées, sont reçues sur un réseau linéaire de N = 2 capteurs tel que R / # = 0.55 (avec R et # étant respectivement le rayon du réseau et la longueur d'onde). # Les trois sources, supposées synchronisées, ont même rapport signal sur bruit, noté SNR et égal à 20 dB pour chaque source avec pour temps symbole quatre fois le temps d'échantillonnage. # La BPSK est choisie en bande de base, alors que les deux QPSK ont des porteuses respectivement égales à la moitié et au tiers de la fréquence d'échantillonnage. # La matrice de mélange A est choisie de manière à ce que les vecteurs colonnes de la matrice A3 soient linéairement indépendants. Le bruit est quant à lui Gaussien et non corrélé spatialement. # Le mélange instantané de sources bruitées est considéré comme un mélange surdéterminé car le nombre de sources est supérieur au nombre de capteurs. Les algorithmes JADE, COM1, COM2, S3C2 connus de l'Homme du métier et le procédé selon l'invention à l'ordre 6 sont mis en oeuvre afin d'identifier de manière autodidacte le mélange surdéterminé A. # Le critère de performances ap, défini par l'équation (18), est calculé sur 200 réalisations et ce pour chaque source p (1 # p # 3) : il va ainsi permettre la comparaison des cinq méthodes. Sous les hypothèses précédentes, la figure 5 montre les variations de la quantité [alpha]3 à la sortie des algorithmes JADE, COM1, COM2, S3C2 et le procédé selon l'invention BIRTH en fonction du nombre d'échantillons. Le procédé selon l'invention permet d'identifier le vecteur directeur en question contrairement aux méthodes de l'art antérieur. La figure 6 montre, dans le même contexte, les variations du triplet D(A, ) = (al, aa, ars), associé au procédé selon l'invention à l'ordre 6, en fonction du nombre d'échantillons. Les trois coefficients ap décroissent rapidement vers zéro à mesure que le nombre d'échantillons augmente. La figure 7 présente les variations de la quantité [alpha]3 à la sortie des méthodes selon l'art antérieur JADE, COM1, COM2, S3C2 et le procédé selon l'invention en fonction, cette fois, du rapport signal sur bruit (SNR) de la source 3. La méthode BIRTH, parvient parfaitement à identifier le vecteur directeur de la source 3 même pour une faible valeur de SNR. Finalement, supposons que les P = 3 sources précédentes soient reçues sur un réseau circulaire de N= 3 capteurs tel que R/# = 0.55. La figure 8 montre alors les variations de la quantité [alpha]3 à la sortie des algorithmes JADE, COM 1, COM2 et BIRTH en fonction du nombre d'échantillons : l'algorithme BIRTH fonctionne également en contexte surdéterminé, c'est-à-dire lorsque le nombre de sources est inférieur au nombre de capteurs, et bien que des cumulants d'ordre 6 des observations doivent être estimés, la vitesse de convergence de BIRTH est du même ordre de grandeur que celle des méthodes citées plus haut. Bibliographie : # [1] P. COMON, "Independent Component Analysis, a new concept?" Signal Processing, Elsevier, vol. 36, no. 3, pp. 287-314, April 1994. # [2] J. -F. CARDOSO and A. SOULOUMIAC, "Blind beamforming for non- gaussian signais," IEE Proceedings-F, vol. 140, no. 6, pp. 362-370, December 1993. # [3] H. HYVARINEN and E. OJA, "A fast fixed-point algorithm for independent component analysis," Neural Computation, vol. 9, no. 7, pp. 1483-1492, 1997. # [4] E. BINGHAM and H. 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CARDOSO, "Super-symetric décomposition of the fourth-order cumulant tensor. Blind identification of more sources than sensors," in ICASSP 91, Toronto, Canada, May 1991, pp. 3109-3112. # [10] P. COMON, "Blind channel identification and extraction of more sources than sensors," in SPIE Conference, San Diego, US, July 19-24 1998, pp. 2-13. # [11] L. DeLATHAUWER, P. COMON, and B. DeMOOR, "Ica algorithms for 3 sources and 2 sensors," in Sixth Sig. Proc. Workshop on Higher Order Statistics, Caesarea, Israel, June 14-16 1999, pp. 116-117. # [12] A. TALEB, "An algorithm for the blind identification of N independent signal with 2 sensors," in ISSPA 01, sixteenth symposium on signal processing and its applications, Kuala-Lumpur, Malaysia, August 13-16 2001. # [13] A. FERREOL, P. CHEVALIER, and L. ALBERA, demande de brevet intitulé "Procédé de traitement d'antennes sur des signaux cyclostationnaires potentiellement non centrés," au nom de THALES, sous le no. d'enregistrement national 02 05575, déposé le 3 mai 2002. # [14] A. FERREOL, P. CHEVALIER, and L. ALBERA, "Higher order blind separation of non zero-mean cyclostationary sources, " in EUSIPCO 02, XI European Signal Processing Conference, Toulouse, France, September 3- 6 2002, pp. 103-106. # [15] L. ALBERA and P. COMON, "Asymptotic performance of contrast- based blind source separation algorithms, " in SAM 02, Second IEEE Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop, Rosslyn, US, August 4-6 2002. # [16] S. M. SPOONER and W. A. GARDNER, "The cumulant theory of cyclostationary time-series, Part. II : Developmentand applications," IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 42, no. 12, pp. 3409-3429, December 1994. # [17] P. CHEVALIER, "Optimal separation of independent narrow-band sources : Concept and Performances" Signal Processing, Elsevier, vol. 73, pp. 27-47 # [18] P. CHEVALIER, G. BENOIT, A. FERREOL, "DF after Blind Identification of the source steering vectors : the Blind-Maxcor and Blind-MUSIC methods", Proc. EUSIPCO, Triestre (Italy), pp 2097-2100, Sept. 1996. REVENDICATIONS 1 - Procédé d'identification aveugle de sources au sein d'un système comportant P sources et N capteurs caractérisé en ce qu'il comporte au moins une étape d'identification de la matrice des vecteurs directeurs des sources à partir de l'information propre aux vecteurs directeurs ap des sources contenue de manière redondante dans les statistiques circulaires d'ordre m=2q du vecteur des observations reçues par les N capteurs. 2 - Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce que les statistiques circulaires d'ordre m = 2q s'expriment en fonction d'une matrice diagonale de rang plein des autocumulants des sources et d'une matrice représentant la juxtaposition des vecteurs directeurs des sources de la manière suivante : où Sm,s = diag([ C;,',' ;;,5 ,..., CP'p ..p ]) est la matrice diagonale de rang plein des autocumulants Cp,p, ,p,sp,p, ,pd'ordre m = 2q des sources, de taille (P x P), et où Aq = [ a10 (q-l) 0 ai* ... ap 9-l 0 a/5 ], de taille (NI 9 x et supposée de rang plein, représente la juxtaposition des P vecteurs colonnes [ ap#(q-1) # ap* ]. 3 - Procédé selon l'une des revendications 1 et 2 caractérisé en ce qu'il comporte au moins les étapes suivantes : 0 : construire, à partir des différents vecteurs d'observations x(t), une estimée #m,xde la matrice de statistiques Cm,x des observations, 1 :décomposer en valeurs singulières la matrice #m,x, en déduire une estimée P du nombre de sources P et une racine carrée #m,x1/2 de #m,x, par exemple en prenant #m,x1/2 = IL. 1 1/2 où 1. désigne l'opérateur valeur absolue, où Ls et Es sont respectivement la matrice diagonale des P plus grandes (en valeur absolue) valeurs propres réelles de #m,x et la matrice des vecteurs propres orthonormés associés ; 2 : extraire de la matrice C#x = [riT, ..., rrrT]T les N blocs matriciels rn : chaque bloc rn de taille (N (q - 1) x P) est constitué des N q - 1) lignes successives de x à compter de la N(q-1) (n-l)+l 1 -ième ; 3 : construire les N(N-1) matrices E>nl,n2 définies, pour tous 1 ~ n2 - r i r n2 ; 4 : déterminer la matrice Vsol, solution au problème de diagonalisation conjointe des N(N-1) matrices #n1,n2; 5 : pour chacune des P colonnes bp de #q, extraire les K N(q-2) vecteurs bp(k) empilés les uns en dessous des autres dans le vecteur bp [bp(l)T, bp(2)T, ..., bp(K)T]T; 6 : convertir les dits vecteurs colonne bp(k) de taille (N2 x 1) en matrice Bp(k) de taille (N x N) ; 7: Décomposer conjointement en valeurs singulières ou diagonaliser conjointement les K N(q-2) matrices Bp(k) en et retenir comme estimée d'un des vecteurs colonnes de A, le vecteur propre commun auxK matrices Bp(k) associé à la plus forte (en module) valeur propre ; 8 : répéter les étapes 5 à 7 pour chacune des P colonnes de #q afin d'estimer, dans le désordre et à une phase près, les P vecteurs directeurs ap et donc, à une matrice triviale unitaire près, la matrice de mélange A.. 4 - Procédé selon l'une des revendications 1 à 3 caractérisé en ce que le nombre de capteurs N est supérieur ou égal au nombre de sources P et en ce qu'il comporte une étape d'extraction des sources consistant à appliquer aux observations x(t) un filtre construit à l'aide de l'estimée de A . 5 - Procédé selon l'une des revendications 2 à 4 caractérisé en ce que Cm,x est égale à la matrice de quadricovariance Qx et en ce que m = 4. 6 - Procédé selon l'une des revendications 2 à 4 caractérisé en ce que Cm,x est égale à la matrice d'hexacovariance Hx et en ce que m = 6. 7 - Procédé selon l'une des revendications 1 à 6 caractérisé en ce qu'il comporte une étape d'évaluation de la qualité de l'identification du vecteur directeur associé en utilisant un critère tel que D(A, Â) = (al, az, ..... , ap) où et où d(u,v) est la pseudo-distance entre les vecteurs u et v, tel que : 8 - Utilisation du procédé selon l'une des revendications 1 à 7 à un réseau de communication. 9 - Utilisation du procédé selon l'une des revendications 1 à 7 pour de la goniométrie à partir des vecteurs directeurs identifiés.