Brevet FR2834098A1 — publié le 20030627

PROCEDE D'AIDE A LA PROPOSITION D'AMELIORATIONS D'AU MOINS UNE PARTIE DES PARAMETRES REGISSANT UN SYSTEME A PLUSIEURS PARAMETRES D'ENTRE La présente invention se rapporte à un procédé d'aide à la proposition d'améliorations d'au moins une partie des paramètres régissant un système à plusieurs paramètres d'entrée. Un exemple d'un tel système peut être un simulateur d'entraînement. Un tel système doit comporter une fonction d'aide pédagogique. Un aspect important de la pédagogie ainsi assurée est le débriefing , c'est-à-dire l'analyse des résultats d'un élève à l'issue d'une séance d'exercice sur simulateur d'entraînement. Le problème est d'exposer aux élèves finissant un exercice sur simulateur une analyse de leur performances en leur montrant leur points faibles (ce qui leur permettra de progresser) et points forts (ce qui est un stimulant psychologique). L'idée sous-jacente est d'optimiser le cursus de formation afin de réduire le coût de formation des élèves. Dans le cadre des applications précédemment mentionnées, on doit indiquer aux élèves leur points forts et points faibles à l'issue d'un exercice. Les indications fournies doivent leur permettre de progresser le plus efficacement possible. Le problème qui se pose est alors le suivant : comment intégrer l'expertise des instructeurs afin d'analyser un exercice et fournir ces informations aux élèves ? Un certain nombre de technologies du domaine de l'intelligence artificielle traitent de ce problème : - Les systèmes experts. Des systèmes experts sont développés pour résoudre ce type de problème. Le système expert compare la séquence d'actions effectuées par l'élève à ce qu'un expert aurait fait, et présente les erreurs à l'élève. Les systèmes experts sont basés sur une analyse séquentielle de l'exercice. Ceci n'est pas toujours souhaitable. La question de la détermination des règles du système expert pose problème. - La logique floue. - La logique floue a été appliquée à maintes reprises, notamment au Japon. L'obtention des règles floues est loin d'être aisée, et de nombreux problèmes existent. - Les arbres de décision. Les arbres de décision sont très utilisés, en classification notamment. Ils peuvent devenir très complexes et perdre toute lisibilité. Ils présentent donc les mêmes inconvénients que les réseaux de neurones. Dans les technologies existantes, l'expertise est souvent modélisée sous forme de règles. L'exercice est alors souvent vu comme une séquence d'actions à réaliser. Avec ces technologies, un aspect essentiel n'est pas pris en compte : l'aspect multicritère du problème. En effet, plusieurs critères de décision doivent être pris en compte pour fournir un débriefing aux élèves. La difficulté est que ces critères interagissent de manière complexe les uns avec les autres. Certains critères sont antagonistes, d'autres sont complémentaires. Les technologies existantes ne permettent pas de modéliser ces phénomènes. Les technologies existantes demandent en général de modéliser directement l'expertise concernant le débriefing à fournir aux élèves. Le procédé de l'invention consiste à déterminer un modèle qui contient les critères partiels d'évaluation d'un élève, et représente le degré de satisfaction, à agréger ces critères partiels de façon à pouvoir exprimer un degré de satisfaction global, à évaluer l'élève et à mettre en évidence les points faibles à améliorer par action sur au moins une partie des paramètres. La présente invention sera mieux comprise à la lecture de la description détaillée d'un mode de mise en oeuvre, pris à titre d'exemple non limitatif et illustré par le dessin annexé, sur lequel : - la figure 1 est un diagramme simplifié montrant la façon d'obtenir, selon l'invention, un indicateur global, - la figure 2 est un diagramme simplifié des scores obtenus par un élève, et - les figures 3 et 4 sont des diagrammes de critères relatifs à l'élève qualifié dans la figure 1, respectivement dans le cas d'un moniteur intolérant et d'un moniteur tolérant. La présente invention est décrite ci-dessous en référence à un élève qui suit des séances de perfectionnement sur un simulateur d'entraînement (simulateur de conduite automobile ou de pilotage d'avion,...), mais il est bien entendu que l'invention n'est pas limitée à cette seule application, et qu'elle peut être mise en oeuvre dans de nombreux autres domaines, non seulement des domaines pédagogiques, mais dans tous domaines dans lesquels un système est régi par plusieurs critères d'entrée qui déterminent un résultat, ce résultat pouvant être amélioré ou optimisé après analyse de sa notation, l'amélioration pouvant être plus ou moins importante selon que l'on agit sélectivement sur certains des paramètres (ou sur l'ensemble de ces paramètres), le choix des paramètres sur lesquels on peut agir étant dicté, entre autres, par l'efficacité sur le degré d'amélioration. Un exemple de tels domaines peut être un processus de fabrication de produits pour lesquels les acheteurs manifestent un degré de satisfaction que le fabricant cherche à améliorer sensiblement avec le minimum possible d'efforts. Dans le cas d'un système pédagogique, l'invention consiste à recueillir l'expertise nécessaire pour répondre au problème. Au lieu de modéliser directement le débriefing à fournir aux élèves, l'invention modélise les préférences que l'expert a sur les alternatives (les élèves). Ceci se fait au travers de la théorie de la décision multicritère. Il s'agit de modéliser la relation de préférence notée ! : que les experts (les instructeurs) peuvent avoir sur les alternatives. L'aspect multicritère provient du fait que les alternatives sont décrites par différents points de vue à prendre en compte. Plus précisément, l'invention propose d'utiliser la théorie de l'utilité multiattribut (RL. Keeney and H. Raiffa, Decision with Multiple Objectives , Wiley, New York, 1976). Il s'agit de modéliser la relation de préférence sur les résultats des élèves par une utilité globale (score global) : y U (x) U (y) A chaque alternative x, est donc associée une utilité globale U (x) qui traduit le degré de préférence que l'expert accorde à x. La seconde étape consiste à fournir à l'élève le débriefing. En analysant l'expression de la fonction coût global U, on en déduit ce qu'un élève x devrait faire pour progresser le plus mieux possible. Pour décrire la théorie de l'utilité multiattribut, supposons que l'on dispose de n points de vue Xl,..., Xn décrivant les différents aspects à prendre en compte pour évaluer un élève. La fonction d'utilité globale U est prise sous-la forme suivante : U (x) H- (),..., )) où H est la fonction d'agrégation et les un sont les fonctions d'utilité. Les n points de vue étant donnés dans des unités de mesure différentes, les fonctions d'utilité servent à passer à une échelle unique C de commensurabilité. Les fonctions d'utilité servent donc à pouvoir comparer des valeurs données suivant différents points de vue. L'échelle C est un intervalle de l'ensemble des réels (typiquement C= [0, 1]). Le nombre u, (xi) correspond au degré de satisfaction que l'expert accorde à l'alternative x concernant uniquement le point de vue X,. La fonction d'agrégation H agrège donc les degrés de satisfaction d'une alternative suivant les différents points de vue, et retourne le degré de satisfaction global. Le problème de l'agrégation multicritères consiste à synthétiser des informations traduisant des aspects ou points de vue différents et parfois conflictuels au sujet d'un ensemble d'objets. Il se pose de manière cruciale dans des systèmes industriels, notamment sous la forme de problèmes de décision multicritères. Il se caractérise alors par la construction d'une famille de n fonctions critères à valeur réelles (les fonctions d'utilité u,), permettant d'évaluer les performances (ou degrés de satisfaction) des différentes actions selon chacun des points de vue. Les performances d'une action suivant les différents critères sont alors agrégées via H. La description ci-dessus concerne le cas où tous les points de vue sont agrégés au même niveau. Néanmoins, lorsque le nombre de points de vue devient assez important, nous réalisons dans la pratique plusieurs niveaux d'agrégation en cascade. Pour déterminer entièrement le modèle, l'invention met en oeuvre les trois phases suivantes : Phase 1 : Hiérarchisation des critères. Il s'agit de la détermination des points de vue à prendre en compte et de leur hiérarchisation sous forme d'arbre. Les méthodologies permettant de faire ceci sont connues et sont basées sur l'utilisation de cartes cognitives (C. Eden, Cognitive mapping , Europ. J. of Operational Research, 36, pp. 1-13, 1988). Certains logiciels tel que COPE ont pour objectif d'aider le décideur à faire émerger les critères pertinents. Phase 2 : Formalisation des critères. Un certain nombre de logiciels permettent de déterminer les fonctions d'utilité u, (Expert Choice, Criterium Decision Plus, MACBETH poids). Phase 3 : Détermination de la fonction d'agrégation : de nombreux logiciels et techniques mettent en oeuvre la construction de la fonction d'agrégation H : Expert Choice, Criterium Decision Plus, MACBETH côtes, TOPSIS, DESCRIPTOR. Ces outils sont basés sur l'utilisation d'une somme pondérée. H s'écrit alors sous la forme H(u1,...,un)=&alpha;1u1+&alpha;2u2+...+&alpha;nun, où ap... an sont les poids de pondération. Même si ce type de modèle est tout à fait envisageable dans la pratique, il ne permet pas de modéliser les stratégies un peu fines de décision. Pour pallier cela, l'intégrale de Choquet (G. Choquet, Theory of capacities , Annales de l'institut Fourier, No 3, PP. 131-295, 1953) a été introduite comme fonction d'agrégation. Elle permet de modéliser l'importance des critères, l'interaction entre critères et les stratégies typiques de décision telles que le veto, la faveur, la tolérance et l'intolérance (M. Grabisch, The application of fuzzy integrais in multicriteria decision making , Europ. J. of Operationnai Research, No 89, PP. 445-456, 1996). Plusieurs méthodes permettent de déterminer les paramètres de l'intégrale de Choquet à partir de données d'apprentissage foumies par l'expert : on peut mentionner une méthode heuristique (M. Grabisch, A new algorithm for identifying fuzzy measures and its application to pattem recignition , dans lnt. Fuzzy Engeneering Symposium, PP 145-150, Yokohama, Japan, 1995), et une méthode linéaire (J. L. Marcha/, M. Roubens, Dependence between criteria and multple criteria decision aid , dans ; f1d/nt. Workshop on Preferences and Decisions, PP. 69-75, Trento,/fa/y, 1998). L'étape suivante est une étape importante de l'invention. La connaissance de U (x) ne suffit pas pour résoudre le problème de débriefing. On dispose d'une action x que l'on veut modifier. Le but est de la modifier (modifier la valeur des critères) de sorte que cela améliore le plus efficacement possible le score global de l'action. On cherche alors à maximiser le benefit to cost ratio (le rapport : bénéfice attendu des suggestions d'améliorations/coût des efforts à produire pour obtenir ces améliorations) : faire le plus petit effort possible qui améliore au mieux le score global. On cherche à déterminer les points faibles de l'élève. Ce qui intéresse in fine l'instructeur, c'est de fournir les points faibles à améliorer, c'est à dire les critères sur lesquels l'élève doit progresser en priorité pour s'améliorer le plus efficacement possible. Lorsqu'il y a plusieurs niveaux d'agrégation, il faut passer par les différents niveaux d'agrégation pour arriver aux critères. Il faut d'abord réaliser l'analyse niveau d'agrégation par niveau d'agrégation, puis combiner ces analyses partielles pour en déduire les points faibles à améliorer. On procède d'abord à la détermination des points faibles pour un seul niveau d'agrégation. La détermination des points faibles d'un élève est beaucoup plus complexe que de lister les critères sur lesquels l'élève a eu un mauvais score. En fait, elle dépend de la manière dont l'instructeur juge globalement les élèves. Pour s'en convaincre, donnons plusieurs exemples. Considérons tout d'abord l'exemple d'un instructeur qui est très intolérant dans le sens où il n'est satisfait que si l'élève a de bons scores suivant tous les critères. La fonction d'agrégation H correspondra alors au minimum : le score global est la plus petite note parmi tous les scores. Dans ce cas, il est clair que le seul critère sur lequel l'élève x a intérêt à s'améliorer est le critère pour lequel x a le plus petit score. Prenons maintenant un instructeur extrêmement tolérant dans le sens où il est satisfait dès que l'élève a réussi suivant un seul critère. La fonction d'agrégation H correspondra alors au maximum. Dans ce cas, l'élève x a intérêt à s'améliorer en priorité suivant le critère pour lequel x a le plus grand score. Comme dernier exemple de fonction d'agrégation, prenons le cas d'une somme pondérée. C'est une manière extrêmement répandue d'agréger plusieurs critères. Pour cette fonction d'agrégation, chaque critère est indépendant des autres, dans le sens où la contribution d'un critère au score global ne dépend pas des scores selon les autres critères. Il est clair que pour une somme pondérée, les élèves ont intérêt à travailler en priorité suivant le critère le plus important (c'est-à-dire ayant le plus grand poids dans la somme pondérée). Nous venons donc de voir que le critère sur lequel x doit concentrer ses efforts dépend de la fonction d'agrégation H en plus de x lui-même. Sur des exemples simples de fonctions d'agrégation, les conseils à donner à l'élève sont très simples à déterminer. Les exemples précédents correspondent à des attitudes typiques, extrêmes, de décision. Les stratégies de décision d'un décideur se situent entre ces attitudes extrêmes. On y trouve généralement à la fois de la tolérance et de l'intolérance. De plus, les critères n'ont pas tous la même importance. Dans ces conditions, il n'est pas simple du tout de fournir les points faibles à améliorer en priorité. Pour résoudre cette difficulté, le procédé de l'invention consiste à construire un indice (J) qui indique l'intérêt que l'élève x a de s'améliorer suivant une coalition A de critères. Cette notion d'intérêt doit traduire le fait que l'on désire une certaine efficacité dans les améliorations. Comme cela a été expliqué précédemment, l'indice (t} A dépend, en plus de l'élève x, de la fonction d'évaluation H. On note mA (H, x) l'intérêt de l'élève x à s'améliorer suivant la coalition A de critères, pour le système de notation H. Ainsi l'élève x a le plus intérêt à s'améliorer en priorité suivant tous les critères de la coalition A maximisant mA (H, x). On décrit ci-dessous plusieurs expressions de û)A (H, x) mettant en oeuvre notamment la notion d'effort à fournir pour réaliser une amélioration. Pour expliquer la détermination des points faibles pour plusieurs niveaux d'agrégation, considérons, dans un autre domaine, l'exemple simplifié de l'évaluation d'une voiture (voir figure 1) décomposée de la façon suivante : il y a dans un niveau N1 les critères de performance, de coût et de confort. Ces macro-critères incluent des critères partiels (dans un niveau N2), qui sont respectivement, pour la performance : la cylindrée et la puissance, pour le coût : le prix de la voiture et sa consommation et pour le confort : la couleur, l'esthétique de la carrosserie et la qualité de la suspension. Si l'on veut connaître l'intérêt à améliorer la voiture suivant les critères puissance, couleur et suspension, il faut combiner l'intérêt pour l'évaluation globale à améliorer les macro-critères performance et confort, l'intérêt pour le macro-critère performance à améliorer le critère puissance, et l'intérêt pour le macro-critère confort à améliorer les critères couleur et suspension. Plus précisément, il n'est intéressant d'améliorer la voiture à la fois suivant les critères puissance, couleur et suspension que si les trois intérêts mentionnés précédemment sont importants. Cela amène à définir l'intérêt à améliorer la voiture suivant les critères puissance, couleur et suspension comme le minimum entre les trois intérêts mentionnés précédemment. L'utilisation du minimum traduit bien le fait que l'on souhaite que les trois intérêts soient grands en même temps. Dit de manière plus technique, le minimum correspond à une généralisation de l'opérateur binaire logique ET. Notons aussi qu'il est possible de normaliser ces trois intérêts (avant l'application du minimum) pour tenir compte du fait qu'ils se basent sur différents opérateurs d'agrégation. Cet exemple illustre la façon dont on détermine de manière générale les intérêts sur plusieurs niveaux d'agrégation à partir des intérêts calculés sur un seul niveau d'agrégation. Pour résoudre le problème posé, l'invention propose de construire un indice qui indique l'intérêt qu'une alternative a de s'améliorer suivant la coalition (ensemble de critères pris simultanément) A de critères. Cette notion d'intérêt doit traduire le fait que l'on désire une certaine efficacité dans les accroissements. Ces indications dépendent en plus de l'individu x, de la fonction d'évaluation H. On note #A(H,x) l'intérêt que l'action x a de s'améliorer suivant la coalition A de critères, pour le système de notation H. On considère un ensemble de n critères. Les scores de l'action x suivant les n attributs seront notés XI"" Les degrés de satisfaction partiels suivant les n critères sont notés ut,.... un. On a j=uj (xi). Pour une coalition A de critères, on note UA l'ensemble des scores de x obtenus sur les critères de la coalition A, et on note UN-A l'ensemble des scores de x obtenus sur les critères autres que ceux de la coalition A. L'intérêt à s'améliorer cA (H, x) se concentre sur l'influence de la fonction d'agrégation H. Ceci est cohérent avec une approche multiniveau dans laquelle l'influence de chaque niveau d'agrégation est étudié séparément. A un certain niveau, on s'intéresse à l'influence d'une amélioration des macrocritères agrégés à ce niveau, sur le degré de satisfaction issu de l'agrégation de ce niveau. On ne se préoccupe pas ici des fonctions d'utilité sur les notes XI' On va d'abord examiner, pour simplifier les explications, la façon d'obtenir l'expression de l'indicateurm A sans effort. La notion d'intérêt à s'améliorer doit traduire le fait que l'on désire une certaine efficacité dans les accroissements que l'alternative pourra effectuer. Cela demande de tenir compte de l'effort que l'alternative devra fournir pour réaliser une certaine amélioration. La construction d'un indicateur c) A n'est pas aisée. L'approche qui vient à l'esprit est de construire intuitivement une expression de zu On peut alors vérifier que cette expression produit un bon type de comportement sur un certain nombre d'exemples de fonctions d'agrégation. Mais alors, si l'on veut utiliser mA sur d'autres exemples de fonctions d'agrégation, comment peut-on être sûr que l'on aura aussi un bon comportement ? C'est pour répondre à cette question que, selon l'invention, l'indicateur mA a été construit mathématiquement. L'idée est alors de déterminer l'expression de mA CH, x) pour une fonction d'agrégation Hquelconque en se basant sur certaines propriétés ne faisant intervenir que quelques familles très spécifiques de fonction d'agrégation. Plus précisément, l'invention part d'une approche dite axiomatique, c'est-à-dire consistant à caractériser O) A (H, x) par une série de propriétés qu'un décideur attribuerait naturellement à l'intérêt à s'améliorer suivant la coalition A de critères. Une approche de ce type est très utilisée en théorie de la décision, car elle permet au décideur de comprendre les propriétés caractérisant la notion que l'on veut définir, sans passer par l'expression mathématique de cette notion. On va décrire maintenant les propriétés naturelles que (J) A doit satisfaire. Parmi l'ensemble des attitudes de décision pouvant se présenter, certaines sont assez extrêmes. C'est ce que l'on appelle les stratégies typiques de décision. Comme exemple de stratégies typiques, on a les phénomènes de tolérance, d'intolérance, et de dictateur. La plupart des attitudes de décision se trouvent parmi les stratégies typiques typiques et se construisent à partir de ces stratégies typiques. Plus précisément, puisque l'on travaille sur les échelles numériques, les attitudes de décision H s'écrivent sous la forme de combinaisons linéaires de stratégies typiques H,. Il s'agit en fait de combinaisons convexes dans le sens où chaque attitude typique correspond à un certain pourcentage de la stratégie globale de prise de décision. Pour chaque attitude typique, on peut définir un intérêt à s'améliorer. On s'attend alors à ce que l'intérêt à s'améliorer suivant les critères de la coalition A pour H soit aussi une combinaison linéaire (avec les mêmes poids) des intérêts à s'améliorer suivant les critères de la coalition A pour les H,. Autrement dit, l'indicateur doit satisfaire à la propriété de linéarité (L) suivante : p - Si H s'écrit sous la forme H = La, H,'alors 1=1 p (H, x) =o (H,, x). . =1 La manière dont H est déterminé en pratique est toujours approximative. Ainsi, plusieurs fonctions H peuvent transcrire la même expertise. Ces fonctions sont proches les unes des autres. Il convient dès lors de s'assurer que l'intérêt à s'améliorer suivant les critères de la coalition A donne approximativement le même résultat pour toutes ces fonctions d'agrégation. L'indicateur û) A (H) (x) doit satisfaire la propriété de continuité (C) par rapport à H : - (C) : Si Hl et H2 sont deux fonctions d'agrégation fournissant approximativement les mêmes valeurs, alors : O) A (Hl, x) est proche de L'indicateur n'accorde pas une importance particulière à un critère par rapport à un autre critère. Il doit analyser H sans favoriser a priori un critère. On doit donc avoir anonymat entre les critères. L'indicateur doit donc satisfaire la propriété de symétrie (S) suivante : - (S) : Si l'on permute l'ordre des critères dans A, H et x de la même manière, alors : #A(H,x) ne doit pas changer. Considérons le cas d'une fonction H (x) ne dépendant pas des valeurs de x suivant une coalition A de critères. Alors comme l'amélioration d'une alternative x suivant les critères A n'amène aucune amélioration suivant le score global, il est complètement inutile de s'améliorer suivant cette coalition de critères. Ainsi l'intérêt #A(H,x) doit être nul (propriété IN d'intérêt nul) : -(IN) : Si la fonction H (x) ne dépend pas des valeurs de x suivant la coalition A de critères, alors : coA (H, x) =0. Considérons le cas d'une fonction H ne dépendant pas d'un critère i. Dans ce cas, le gain sur le score global que l'on peut produire en s'améliorant suivant la coalition A de critères est le même que celui en s'améliorant en plus suivant le critère i. Comme, dans dans le cas présent, on se place sous l'hypothèse que cela ne coûte pas plus d'effort de travailler en plus suivant le critère i, alors il est naturel que O) A. {,, (H, x) = (f, jc). La propriété de récursivité (R) est alors : - (R) : Soit A une coalition de critères et i un critère n'appartenant pas à A. Si la fonction H (x) ne dépend pas de xi, alors : #A#{t}(H,x)=#A(H,x). Intéressons-nous à une famille de fonctions d'évaluation qui sont très intuitives. Considérons le cas où le décideur est parfaitement satisfait si les scores d'une action se situent entre deux seuils multidimensionnels donnés &alpha; et ss, et trouve l'action inacceptable dans le cas contraire. Cette famille est donc composée de toutes les évaluations I&alpha;,ss indexées par&alpha;,ss # [0,1]n, avec L'optimisation de la fonction 1 correspond à un problème de satisfaction de contraintes dans lequel on a une contrainte dure (ur E : [aj, pjl) par critère. Définissons aussi, pour/L, e [o, l], ta quantité J (x) de la manière suivante Soit A une coalition de critères et x tel que uj # [&alpha;j,ss,] pour tout j en dehors de la coalition A. Alors, le score global I&alpha;,ss(x) se décompose suivant chaque critère de A de la manière suivante : Ia. (x)I= (x). IEA Chaque Jap (x) ne dépend que de ui. Dans cette décomposition, on a indépendance entre les différentes variables. Compte tenu de cela, il est naturel que l'intérêt (Ia, ss, x) se décompose suivant les intérêts #@(J&alpha;11,ss1,x) pour tous les critères i dans la coalition A. L'indicateur doit donc satisfaire à la propriété de décomposition (D) suivante : - (D) : Soit x tel que uj # [&alpha;j,ssj] pour tout j en dehors de la coalition A. Alors : est une agrégation des pour tous les critères i dans la coalition A. La manière dont l'agrégation des intérêts est faite, n'est pas spécifiées dans la propriété de décomposition. Pour le score global il est intéressant d'améliorer le score x, et de le passer à yi si u, [Â,/L+] et v, E [A, A+] ( étant le degré de satisfaction de y,). Pour différentes valeurs de A, une alternative x a toujours la même chance d'effectuer une amélioration qui sera bénéfique, puisque la probabilité ne dépend que de la taille il de l'intervalle [#,#+#]. Ainsi, puisque nous supposons ici que cela ne demande pas d'effort de s'améliorer, #@(J#1,#+#,x) ne doit pas dépendre de A. L'indicateur doit donc satisfaire la propriété d'invariance (1) suivante : - (1) : Pour tout A", t7 tels que A, Â +, l, + > ,, alors (-) (-, X)- Cette propriété traduit le fait qu'une alternative, lorsqu'elle s'améliore, a la même probabilité a priori d'atteindre n'importe quelle alternative mieux classée. On va exposer maintenant comment exprimer #A. On a exposé ci-dessus quelques propriétés qu'il serait naturel que (H, x) ait. Il en découle le résultat R1 suivant : -Résultat R1 : Soit #A un indicateur satisfaisant les propriétés (L), (C), (S), (IN), (R), (D) et (I). Alors #A(H,x)###(H,x), avec : satisfait aussi les propriétés (L), (C), (S), (IN), (R) et (1). Donnons une interprétation de l'expression de ##. Le terme H ((1-#)uA+#,uN-A)-H(u) correspond au gain obtenu sur le score global lorsque l'alternative passe des scores UA suivant la coalition A à (1-#) UA +T. Le point (1-'r) UA +T se situe sur la diagonale entre UA et l'alternative qui est parfaitement satisfaisante partout (score 1 sur tous les critères). Ainsi, A est la valeur moyenne sur la diagonale des gains obtenus sur le score global. Réaliser la valeur moyenne sur la diagonale signifie que l'on souhaite que l'élève s'améliore de manière uniforme suivant tous les critères de la coalition A. Nous allons voir que ro ; correspond au cas où l'agrégateur dans la propriété (D) est fixé à la fonction minimum : -DECOMPOSITION* (D*) : Soit x tel que U, E ,/ ? J pour tout j en dehors de la coalition A. Alors O) A (I., O) (x) est le minimum des (, -) ir, X) pour tous les critères i dans la coalition A. ## est caractérisé de la manière suivante : -Résultat R2 : Un indicateur #A A satisfait les propriétés (L), (C), (S), (IN), (R), (D*) et (1) si et seulement si (H, x) = (H, x). L'indicateur ## est donc le plus grand parmi tous les indicateurs admissibles (c'est-à-dire qu'il satisfait les propriétés (L), (C), (S), (IN), (R), (D) et (1)). Il a été montré que tous les indicateurs admissibles sont égaux lorsque A est un singleton. Alors, d'après le résultat R1 donné plus haut, l'indicateur ## a donc la propriété de favoriser les coalitions de plus d'un élément. C'est cet indicateur qui caractérise l'invention. Dans l'exposé ci-dessus, nous avons obtenu une expression de l'intérêt (0 A lorsque la notion d'effort à produire pour s'améliorer n'existe pas. Or, il est clair que cela coûte quelque chose de s'améliorer. Il faut en tenir compte afin que l'estimation de l'effort co A soit réaliste. Pour exprimer l'indicateur #A avec effort, on note EA((1-#)xA+#,x) l'effort à fournir pour passer de XA à (1-T) XA +T suivant la coalition A, les scores suivant les autres critères restant à XN-A. La généralisation de co ; au cas où l'effort doit être pris en compte devient : La fonction d'effort peut alors être modélisée de manière similaire à la fonction d'agrégation H, c'est à dire en s'appuyant sur la phase 3 de la théorie de l'utilité multiattribut décrite plus haut. Néanmoins lorsque cet effort n'est pas facilement modélisable, l'invention préconise le choix suivant pour la fonction d'effort : EA ( (l-ï) M +T, u) =T (l-u,). ) S Une fois que les indicateurs O) A sont calculés pour toute coalition A de critères, l'instructeur en déduit imédiatement les points faibles de l'élève. Les points faibles à améliorer en priorité sont les critères de la coalition A qui maximise (0 A'Pour montrer ceci de manière pratique, nous allons, dans un souci de clarté, ne nous intéresser qu'aux coalitions A qui correspondent à des singletons. Si A = {i} est une coalition composée d'un seul critère (le critère i en l'occurrence), on note (Or l'intérêt à s'améliorer suivant le critère i seulement. La détermination du critère i sur lequel il est plus efficace en moyenne de s'améliorer correspond à l'indice i maximisant #@. Pour montrer la mise en application de l'indicateur #@, considérons le cas d'un élève évalué au travers de quatre critères. Intéressons nous à l'élève défini par les scores x1 à x4 (voir figure 2) : Les indications données par #@(H,. x) sur quelques exemples de fonctions d'agrégation typiques : Lorsque la fonction d'agrégation H est le minimum (décideur intolérant), on obtient (voir figure 3) : ce ;, 03 et 004 nulles, tandis que Ma est maximale. Ce résultat est parfaitement logique, puisque le score global de x ne pourra croître que si le score selon le plus mauvais critère de x (dans le cas présent, il s'agit du second critère) augmente. Il est complètement inutile de travailler suivant les autres critères. Lorsque la fonction d'agrégation H est le maximum (décideur tolérant), on obtient (voir figure 4) : ma > ml > 0) 4 > (û2. Il est clair qu'avec cette fonction d'agrégation, l'action a intérêt à s'améliorer en priorité suivant le critère 3 (c'est-à-dire sur son meilleur critère). Contrairement à la fonction d'agrégation "minimum", il y a quand même un intérêt à s'améliorer suivant les autres critères. La somme pondérée S À est très souvent utilisée comme moyen d'agrégation. Elle s'écrit sous la forme S À (x) = À, x1 + 2X2 + 3X3 + 4X4. Pour cette fonction d'agrégation, chaque critère est indépendant des autres dans le sens où la contribution d'un critère au score global ne dépend pas des scores des autres critères. En prenant comme expression de l'effort celle exposée ci-dessus (indicateur L'indicateur m fournit donc les résultats attendus sur ces fonctions d'agrégation classiques. REVENDICATIONS 1. Procédé d'aide à la proposition d'améliorations d'au moins une partie des paramètres régissant un système à plusieurs paramètres d'entrée et produisant un résultat, caractérisé en ce qu'il consiste à calculer un modèle qui contient les critères partiels d'évaluation d'un résultat, et représente le degré de satisfaction en hiérarchisant les critères sous forme d'arbre, en calculant une fonction d'utilité (Uj) et en calculant une fonction d'agrégation (H) pour agréger ces critères partiels de façon à pouvoir exprimer un degré de satisfaction global, à évaluer le résultat et à mettre en évidence les points faibles à améliorer par action sur au moins une partie des paramètres. 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que le système est un simulateur d'entraînement et que le résultat est un cursus de formation que le procédé doit optimiser. 3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que pour mettre en évidence les point faibles à améliorer, on utilise un indicateur (cl,) dépendant des agrégations et du score de l'élève et indiquant l'intérêt à améliorer le résultat selon une coalition (A) de critères. 4. Procédé selon l'une des revendications 1 à 3, caractérisé en ce que les agrégations se font sur plusieurs niveaux (N1, N2). 5. Procédé selon l'une des revendications 2 à 4, caractérisé en ce que les points faibles à travailler correspondent à la coalition (A) qui maximise l'indicateur (cl,). 6. Procédé selon l'une des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'indicateur est un indicateur global qui est obtenu à partir des minima d'indicateurs partiels calculés à différents niveaux d'agrégation (N1, N2). 7. Procédé selon l'une des revendications 3 à 6, caractérisé en ce que l'indicateur doit satisfaire toutes les propriétés suivantes : linéarité (L), continuité (C), symétrie (S), intérêt nul (IN), récursivité (R), décomposition (D), invariance (1). 8. Procédé selon la revendication 37 caractérisé en ce que l'indicateur préféré () est le seul satisfaisant en plus à la propriété Décomposition* (D*).