Brevet FR2809893A1 — publié le 20011207

PROCEDE DE CONTRE-MESURE DANS UN COMPOSANT ELECTRONIQUE METTANT EN îUVRE UN ALGORITHME DE CRYPTOGRAPHIE A CLE PUBLIQUE SUR COURBE ELLIPTIQUE La présente invention concerne un nouveau procédé de contre-mesure dans un composant électronique mettant en oeuvre un algorithme de chiffrement à clé publique sur courbe elliptique. Dans le modèle classique de la cryptographie à clef secrète, deux personnes désirant communiquer par l'intermédiaire d'un canal non sécurisé doivent au préalable se mettre d'accord sur une clé secrète de chiffrement K. La fonction de chiffrement et la10 fonction de déchiffrement utilisent la même clef K. L'inconvénient du système de chiffrement à clé secrète est que ledit système requiert la communication préalable de la clé K entre les deux personnes par l'intermédiaire d'un canal sécurisé,15 avant qu'un quelconque message chiffré ne soit envoyé à travers le canal non sécurisé. Dans la pratique, il est généralement difficile de trouver un canal de communication parfaitement sécurisé, surtout si la distance séparant les deux personnes est importante.20 On entend par canal sécurisé un canal pour lequel il est impossible de connaître ou de modifier les informations qui transitent par ledit canal. Un tel canal sécurisé peut être réalisé par un câble reliant deux terminaux, possédés par les deux dites25 personnes. Le concept de cryptographie à clef publique fut inventé par Whitfield DIFFIE et Martin HELLMAN en 1976. La cryptographie à clef publique permet de résoudre le problème de la distribution des clefs à travers un canal non sécurisé. Le principe de la cryptographie à clef publique consiste à utiliser une paire de clefs, par exemple une clef publique de chiffrement et une clef privée de déchiffrement. Il 2 2809893 doit être calculatoirement infaisable de trouver la clef privée de déchiffrement à partir de la clef publique de chiffrement. Une personne A désirant communiquer une information à une personne B utilise5 la clef publique de chiffrement de la personne B. Seule la personne B possède la clef privée associée à sa clef publique. Seule la personne B est donc capable de déchiffrer le message qui lui est adressé. Un autre avantage de la cryptographie à clé publique sur la cryptographie à clé secrète est que la cryptographie à clef publique permet l'authentification d'un document ou d'une personne ou de la provenance d'un document grâce à l'utilisation de signatures numériques.15 La première réalisation de schéma de chiffrement à clef publique fut mise au point en 1977 par Rivest, Shamir et Adleman, qui ont inventé le système de chiffrement RSA. La sécurité de RSA repose sur la difficulté de factoriser un grand nombre qui est le20 produit de deux nombres premiers. Depuis, de nombreux systèmes de chiffrement à clef publique ont été proposés, dont la sécurité repose sur différents problèmes calculatoires: (cette liste n'est pas exhaustive).25 - Sac à dos de Merckle-Hellman: Ce système de chiffrement est basé sur la difficulté du problème de la somme de sous- ensembles. - McEliece: Ce système de chiffrement est basé sur la théorie des codes algébriques. Il est basé sur le problème du décodage de codes linéaires. - ElGamal: Ce système de chiffrement est basé sur la difficulté du logarithme discret dans un corps fini. - Courbes elliptiques: 3 2809893 Le système de chiffrement à courbe elliptique constitue une modification de systèmes cryptographiques existants pour les appliquer au domaine des courbes elliptiques. L'utilisation de courbes elliptiques dans des systèmes cryptographiques fut proposé indépendamment par Victor Miller et Neal Koblitz en 1985. Les applications réelles des courbes elliptiques ont été envisagées au début des années 1990. L'avantage de10 cryptosystèmes à base de courbe elliptique est qu'ils fournissent une sécurité équivalente aux autres cryptosystèmes mais avec des tailles de clef moindres. Ce gain en taille de clé implique une diminution des besoins en mémoire et une réduction15 des temps de calcul, ce qui rend l'utilisation des courbes elliptiques particulièrement adaptées pour des applications de type carte à puce. Une courbe elliptique sur un corps fini GF(q^n) (q étant un nombre premier et n un entier) est l'ensemble des points (x,y) avec x l'abscisse et y l'ordonnée appartenant à GF(q^n) ayant pour équation: y^2=x^3+ax+b si q est supérieur ou égal à 3 et y^2+x*y=x^3+a*x^2+b si q=2. Les deux classes de courbes elliptiques les plus utilisées en cryptographie sont les classes suivantes: 1) Courbes définies sur le corps fini GF(p) (ensemble des entiers modulo p, p étant un nombre premier) ayant pour équation: y^2=x^3+ax+b 2) Courbes elliptiques sur le corps fini GF(2^n) ayant pour équation y^2+xy=x^3+ax^2+b Pour chacune de ces deux classes de courbes, on définit une opération d'addition de points: étant 4 2809893 donné deux points P et Q, la somme R=P+Q est un point de la courbe, dont les coordonnées s'expriment à l'aide des coordonnées des points P et Q suivant des formules dont l'expression est donnée dans l'ouvrage5 " Elliptic Curve public key cryptosystem " par Alfred J. Menezes. Cette opération d'addition permet de définir une opération de multiplication scalaire: étant donné un point P appartenant à une courbe elliptique et un10 entier d, le résultat de la multiplication scalaire de P par un point d tel que Q=d.P=P+P+....+ P d fois. La sécurité des algorithmes de cryptographie sur courbes elliptiques est basée sur la difficulté du logarithme discret sur courbes elliptiques, ledit15 problème consistant à partir de deux points Q et P appartenant à une courbe elliptique E, de trouver, s'il existe, un entier x tel que Q=x. P Il existe de nombreux algorithmes cryptographiques basés sur le problème du logarithme discret. Ces algorithmes sont facilement transposables aux courbes elliptiques. Ainsi, il est possible de mettre en oeuvre des algorithmes assurant l'authentification, la confidentialité, le contrôle d'intégrité et l'échange de clé.25 Un point commun à la plupart des algorithmes cryptographiques basés sur les courbes elliptiques est qu'ils comprennent comme paramètre une courbe elliptique définie sur un corps fini et un point P appartenant à cette courbe elliptique. La clé privée30 est un entier d choisi aléatoirement. La clef publique est un point de la courbe Q tel que Q=d.P. Ces algorithmes cryptographiques font généralement intervenir une multiplication scalaire dans le calcul d'un point R=d.T o d est la clef secrète.35 Dans ce paragraphe, on décrit un algorithme de chiffrement à base de courbe elliptique. Ce schéma est analogue au schéma de chiffrement d'El Gamal. Un message m est chiffré de la manière suivante: 2809893 Le chiffreur choisit un entier k aléatoirement et calcule les points k. P=(xl,yl) et k.Q=(x2,y2) de la courbe, et l'entier c= x2 + m. Le chiffré de m est le triplet (xl,yl,c).5 Le déchiffreur qui possède d déchiffre m en calculant: (x'2,y'2)=d(xl,yl) et m=c-x'2 Pour réaliser les multiplications scalaires nécessaires dans les procédés de calcul décrits précédemment, plusieurs algorithmes existent: Algorithme " double and add "; Algorithme " addition-soustractio " Algorithme avec chaînes d'addition; Algorithme avec fenêtre; Algorithme avec représentation signée; Cette liste n'est pas exhaustive. L'algorithme le plus simple et le plus utilisé est l'algorithme " double and ad ". L'algorithm " double and add " prend en entrée un point P appartenant à une courbe elliptique donnée et un entier d. L'entier d est noté d=(d(t),d(t-1),.., d(0)), o (d(t), d(t-1),..,d(0)) est la représentation binaire de d, avec d(t) le bit de poids fort et d(0) le bit de poids faible. L'algorithme retourne en sortie le point Q=d.P.25 L'algorithme " double and add " a deux variantes, selon que l'on commence les calculs par les bits de poids fort ou de poids faible de d. La première variante comporte les 3 étapes suivantes: 1) Initialiser le point Q avec la valeur P 2) Pour i allant de t à 0 exécuter: 2a) Remplacer Q par 2Q 2b) Si d(i)=l remplacer Q par Q+P 3) Retourner Q. La seconde variante comporte les 3 étapes suivantes: 1) Initialiser le point Q avec le point à l'infini O et un accumulateur A avec la valeur P. 6 2809893 2) Pour i allant de 0 à t exécuter: 2a) Si d(i)=l remplacer Q par Q+A 2b) Remplacer A par 2A 3) Retourner Q. Il est apparu que l'implémentation sur carte à puce d'un algorithme de chiffrement à clé publique du type courbe elliptique était vulnérable à des attaques consistant en une analyse différentielle de consommation de courant permettant de retrouver la10 clé privée de déchiffrement. Ces attaques sont appelées attaques DPA, acronyme pour Differential Power Analysis. Le principe de ces attaques DPA repose sur le fait que la consommation de courant du microprocesseur exécutant des instructions varie15 selon la donnée manipulée. En particulier, lorsqu'une instruction manipule une donnée dont un bit particulier est constant, la valeur des autres bits pouvant varier, l'analyse de la consommation de courant liée à l'instruction20 montre que la consommation moyenne de l'instruction n'est pas la même suivant que le bit particulier prend la valeur 0 ou 1. L'attaque de type DPA permet donc d'obtenir des informations supplémentaires sur les données intermédiaires manipulées par le25 microprocesseur de la carte lors de l'exécution d'un algorithme cryptographique. Ces informations supplémentaires peuvent dans certain cas permettre de révéler les paramètres privés de l'algorithme de déchiffrement, rendant le système cryptographique non30 sûr. Dans la suite de ce document on décrit un procédé d'attaque DPA sur un algorithme de type courbe elliptique réalisant une opération du type multiplication scalaire d'un point P par un entier d,35 l'entier d étant la clé secrète. Cette attaque permet de révéler directement la clé secrète d. Elle compromet donc gravement la sécurité de 7 2809893 l'implémentation de courbes elliptiques sur une carte à puce. La première étape de l'attaque est l'enregistrement de la consommation de courant correspondant à l'exécution de la première variante de l'algorithme " double and add " décrit précédemment pour N points distincts P(1),.., P(N). Dans un algorithme à base de courbes elliptiques, le microprocesseur de la carte à puce va effectuer N10 multiplications scalaires d.P(1),..,d.P(N). Pour la clarté de la description de l'attaque, on commence par décrire une méthode permettant d'obtenir la valeur du bit d(t-1) de la clé secrète d, o (d(t),d(t-1),.., d(0)) est la représentation binaire de d, avec d(t) le bit de poids fort et d(0) le bit de poids faible. On donne ensuite la description d'un algorithme qui permet de retrouver la valeur de d. On groupe les points P(1) à P(N) suivant la valeur du dernier bit de l'abscisse de 4.P, o P désigne un des points P(1) à P(N). Le premier groupe est constitué des points P tels que le dernier bit de l'abscisse de 4.P est égal à 1. Le second groupe est constitué des points P tels que le dernier bit de l'abscisse de 4.P est égal à 0. On calcule la moyenne25 des consommations de courant correspondant à chacun des deux groupes, et on calcule la courbe de différence entre ces deux moyennes. Si le bit d(t-1) de d est égal à 0, alors l'algorithme de multiplication scalaire précédemment décrit calcule et met en mémoire la valeur de 4.P. Cela signifie que lors de l'exécution de l'algorithme dans une carte à puce, le microprocesseur de la carte va effectivement calculer 4.P. Dans ce cas, dans le premier groupe de message le dernier bit de la donnée35 manipulée par le microprocesseur est toujours à 1, et dans le deuxième groupe de message le dernier bit de la donnée manipulée est toujours à 0. La moyenne des consommations de courant correspondant à chaque 8 2809893 groupe est donc différente. Il apparaît donc dans la courbe de différence entre les 2 moyennes un pic de différentiel de consommation de courant. Si au contraire le bit d(t-1) de d est égal à 1, l'algorithme d'exponentiation décrit précédemment ne calcule pas le point 4.P. Lors de l'exécution de l'algorithme par la carte à puce, le microprocesseur ne manipule donc jamais la donnée 4.P. Il n'apparaît donc pas de pic de différentiel de consommation.10 Cette méthode permet donc de déterminer la valeur du bit d(t-1) de d. L'algorithme décrit dans le paragraphe suivant est une généralisation de l'algorithme précédant. Il permet de déterminer la valeur de la clé secrète d:15 On définit l'entrée par N points notés P(1) à P(N) correspondant à N calculs réalisés par la carte à puce et la sortie par un entier h. Ledit algorithme s'effectue de la manière suivante en trois étapes. 1) Exécuter h=l; 2) Pour i allant de t-1 à 1, exécuter: 2)1) Classer les points P(1) à P(N) suivant la valeur du dernier bit de l'abscisse de (4*h) .P; 2)2) Calculer la moyenne de consommation de courant pour chacun des deux groupes; 2)3) Calculer la différence entre les 2 moyennes; 2)4) Si la différence fait apparaître un pic de différentiel de consommation, faire h=h*2; sinon faire h=h*2+1; 3) Retourner h. L'algorithme précédent fournit un entier h tel que d=2*h ou d=2*h+l. Pour obtenir la valeur de d, il suffit ensuite de tester les deux hypothèses35 possibles. L'attaque de type DPA décrite permet donc de retrouver la clé privée d. Une attaque équivalente s'applique à la seconde variante de l'algorithme de multiplication scalaire 9 2809893 de type " double and add ", et plus généralement à tous les algorithmes de multiplication scalaire sur courbe elliptique. Le procédé de l'invention consiste en l'élaboration d'une nouvelle contre-mesure permettant de se prémunir contre l'attaque DPA précédemment décrite. Ce procédé consiste à " masquer " la clé secrète d par laquelle on veut multiplier un point P de la courbe elliptique par une valeur aléatoire r de même longueur. Ledit procédé de contre-mesure de la présente invention dans un composant électronique mettant en oeuvre un algorithme de cryptographie à clé publique15 basé sur l'utilisation des courbes elliptiques consistant à calculer, à partir de la clé privée d et du nombre de points n de ladite courbe elliptique, un nouvel entier de déchiffrement d' tel que le déchiffrement d'un message quelconque, au moyen d'un20 algorithme de déchiffrement, avec d' permet d'obtenir le même résultat qu'avec d, en réalisant l'opération Q=d.P, P étant un point de la courbe sur lequel est appliqué l'algorithme de multiplication scalaire, est caractérisé en ce qu'il comprend les étapes25 suivantes: 1) Tirage d'une valeur aléatoire r de même taille que d; 2) Calcul de l'entier d' tel que: d'=d+r; 3) Opération de multiplication scalaire dont le résultat est le point Q' de la courbe tel que: Q'=d'.P; 4) Opération de multiplication scalaire dont le résultat est le point S de la courbe tel que: S=r.P; ) Calcul du point Q de la courbe tel que: Q=Q'- S. L'avantage de ce procédé par rapport aux trois contre-mesures du brevet français 99.03920 est qu'il permet de prévoir une contre-mesure à la fois différente et mieux adaptée à certains types de 2809893 courbes elliptiques. Plus précisément, lorsque l'algorithme de multiplication scalaire s'effectue selon ladite deuxième variante de l'algorithme " double and add ", l'opération de doublement du point P est commune au calcul des points Q' = d'.P et S = r.P. Le sur-coût en temps de calcul de cette contre-mesure est donc réduit aux opérations d'addition effectuées lors du calcul du point S = r.P. Ceci présente un avantage incontestable lorsque10 l'on utilise des courbes elliptiques pour lesquelles le doublement d'un point est une opération aussi coûteuse en temps de calcul que l'addition de deux points. Le présent procédé se différencie par rapport aux contre-mesures du brevet français 99.03920 en ce que l'aléa r est un entier qui masque ledit entier de déchiffrement d et non un point aléatoire de la courbe qui masque le point P, et en ce que le calcul du résultat Q comporte une étape de calcul du point20 S=r.P, ce qui n'est pas nécessaire dans ledit brevet français 99.03920 lorsque l'aléa r est un multiple du nombre n de points de la courbe. Le procédé de contre-mesure de l'invention comprend trois variantes. La première variante consiste en ce qu'un compteur est incrémenté à chaque nouvelle exécution de l'algorithme de déchiffrement. Lors de la première exécution de l'algorithme de déchiffrement, l'algorithme est exécuté suivant le procédé en cinq30 étapes décrit précédemment. Tant que le compteur n'a pas atteint la valeur limite T, les étapes 1 et 4 du procédé décrit précédemment ne sont pas exécutées, le point S gardant la valeur prise lors de l'exécution précédente. Lorsque le compteur atteint la valeur35 limite T, l'algorithme de déchiffrement s'effectue suivant le procédé décrit précédemment en cinq étapes, et le compteur est remis à zéro. Dans la pratique, on peut prendre T=16. Il 2809893 La deuxième variante consiste en ce que la carte possède initialement en mémoire un point de la courbe elliptique tel que S=r.P. Les étapes 1 et 4 de l'algorithme de déchiffrement précédent sont5 remplacées par les étapes 1' et 4' suivantes: 1') Remplacer r par 2.r: 4') Remplacer S par 2.S. La troisième variante consiste en une modification de la deuxième variante caractérisée en ce qu'un compteur est incrémenté à chaque nouvelle exécution de l'algorithme de déchiffrement. Lors de la première exécution de l'algorithme de déchiffrement, l'algorithme est exécuté suivant le procédé en cinq étapes de la deuxième variante décrit15 précédemment. Tant que le compteur n'a pas atteint une valeur limite T, les étapes 1' et 4' du procédé décrit précédemment ne sont pas exécutées, le point S gardant la valeur prise lors de l'exécution précédente. Lorsque le compteur atteint une valeur20 limite T, l'algorithme de déchiffrement s'effectue suivant le procédé précédemment décrit en cinq étapes, et le compteur est remis à zéro. Dans la pratique, on peut prendre T=16. L'application de ce procédé de contre-mesure permet de protéger tout l'algorithme cryptographique basé sur les courbes elliptiques contre l'attaque DPA précédemment décrite. La présente contre-mesure complète les trois contre-mesures présentées par le brevet français 99.03920 et peut être combinée avec30 l'une quelconque de ces trois contre-mesures pour en former une nouvelle. Elle s'applique à tout composant électronique, du type puce électronique pour carte à puce par exemple. REVENDICATIONS 1- Procédé de contre-mesure dans un composant électronique mettant en oeuvre un algorithme de cryptographie à clé publique basé sur l'utilisation des courbes elliptiques consistant à calculer, à partir de la clé privée d et du nombre de points n de ladite courbe elliptique, un nouvel entier de déchiffrement d'10 tel que le déchiffrement d'un message quelconque, au moyen d'un algorithme de déchiffrement, avec d' permet d'obtenir le même résultat qu'avec d, en réalisant l'opération Q=d.P, P étant un point de la courbe sur lequel est appliqué l'algorithme de multiplication15 scalaire, procédé caractérisé en ce qu'il comprend les étapes suivantes: 1) Tirage d'une valeur aléatoire r de même taille que d; 2) Calcul de l'entier d' tel que: d'=d+r; 3) Opération de multiplication scalaire dont le résultat est le point Q' de la courbe tel que: Q'=d'.P; 4) Opération de multiplication scalaire dont le résultat est le point S de la courbe tel que: S=r.P; 5) Calcul du point Q de la courbe tel que: Q=Q'S. 2- Procédé de contre-mesure selon la revendication 1 caractérisé en ce qu'un nouvel entier de déchiffrement d' est calculé à chaque nouvelle exécution de30 l'algorithme de déchiffrement. 3- Procédé de contre-mesure selon la revendication 1 caractérisé en ce qu'un compteur est incrémenté à chaque nouvelle exécution de l'algorithme de déchiffrement jusqu'à une valeur entière T.35 4- Procédé de contremesure selon la revendication 3 caractérisé en ce qu'une fois la valeur T atteinte, un nouvel entier de déchiffrement d' est calculé selon le procédé de la revendication 1, le compteur étant remis à zéro et le point S=r.P étant stocké en mémoire. - Procédé de contre-mesure selon la revendication 3 ou la revendication 4 caractérisé en ce que la valeur T est égale à seize. 6- Procédé de contremesure selon la revendication 1 caractérisé en ce que la courbe elliptique possède en mémoire un point S, tel que S=r.P, les étapes 1 et 410 étant alors remplacées par les étapes 1' et 4': 1') Remplacer r par 2. r: 4') Remplacer S par 2.S. 7- Procédé de contre-mesure selon la revendication 6 caractérisé en ce qu'un nouvel entier de déchiffrement d' est calculé à chaque nouvelle exécution de l'algorithme de déchiffrement. 8- Procédé de contre-mesure selon la revendication 6 caractérisé en ce qu'un compteur est incrémenté à chaque nouvelle exécution de l'algorithme de20 déchiffrement jusqu'à une valeur T. 9- Procédé de contre-mesure selon la revendication 8 caractérisé en ce qu'une fois la valeur T atteinte, un nouvel entier de déchiffrement d' est calculé selon le procédé de la revendication 6, et le compteur est remis25 à zéro. - Procédé de contre-mesure selon la revendication 8 ou la revendication 9 caractérisé en ce que la valeur T est égale à seize. 11- Composant électronique mettant en oeuvre le procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 10.