Brevet FR2780798A1 — publié le 20000107

La présente invention concerne une méthode pour déformer graduellement partiellement ou en totalité des réalisations ou représentations d'un milieu hétérogène tel qu'une zone souterraine, qui sont toutes la traduction d'un modèle stochastique de type gaussien ou apparenté c'est-à-dire incluant un modèle gaussien sous jacent. La méthode selon l'invention trouve des applications notamment dans la construction d'un modèle stochastique d'une formation souterraine, contraint par des données non linéaires. ART ANTERIEUR Des exemples d'utilisation de modèles gaussiens pour modéliser la structure du sous-sol sont décrits par: - Journel, A.G. and Huijbregts Ch.J.: "Mining Geostatistics", Academic Press, 1978; ou - Matheron, G. et ai: " Conditional Simulation of the Geometry of Fluvio- deltaic Reservoirs ", paper SPE 16753; SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Las Vegas, 1987. La contrainte des modèles stochastiques à un ensemble de données non linéaires peut être considérée comme un problème d'optimisation avec définition d'une fonction objectif mesurant l'accord entre des données mesurées dans le milieu à modéliser et des réponses correspondantes du modèle stochastique, et minimisation de cette fonction. Une bonne méthode de déformation se doit de respecter les trois caractéristiques suivantes: a) le modèle déformé doit être une réalisation du modèle stochastique; b) il doit produire une fonction objectif régulière pouvant être traitée par un algorithme d'optimisation efficace; et c) la déformation doit être telle que l'on puisse couvrir en entier l'espace des solutions. Parmi les méthodes de déformation connues, on peut citer la méthode selon laquelle on échange les valeurs en deux points d'une réalisation du modèle stochastique i.e. d'une réalisation ou représentation du milieu étudié traduisant le modèle. Cette méthode est utilisée dans la technique dite de , bien connue des spécialistes. Un exemple en est décrit par: - Deutch, C.: "Conditioning reservoir models to well test information", in Soares, A. (ed.), Geostatistics Troia'92, pp.505-518, Kluwer Academic Pub., 1993. Comme un échange arbitraire viole la continuité spatiale d'un modèle stochastique, il est nécessaire d'inclure un variogramme dans la fonction objectif, ce qui rend l'optimisation très fastidieuse. Une autre méthode connue est la méthode dite des points pilotes, qui est décrite par exemple par: - de Marsily, G. et al: - Interpretation of Interference Tests in a Well Field using Geostatistical Techniques to fit the Permeability Distribution in a Reservoir Model >, in Verly, G. et ai (ed.), Geostatistics for Natural Resources Charaterization, Part 2, 831-849, D. Reidel Pub. Co, 1984. Cette méthode consiste essentiellement à choisir un certain nombre de points d'une réalisation (représentation) initiale, à calculer les dérivées (les coefficients de sensibilité) de la fonction objectif par rapport aux valeurs en ces points, et ensuite à modifier les valeurs aux points pilotes pour tenir compte de ces coefficients de sensibilité. Une nouvelle réalisation est formée par la méthode connue dite de krigeage conditionnel. Il peut en résulter qu'une modification des valeurs aux points pilotes en utilisant les coefficients de sensibilité, conduise à une modification indue du variogramme même si le krigeage conditionnel est utilisé ensuite, en particulier quand le nombre de points pilotes devient important. DEFINITION DE L'INVENTION La méthode selon l'invention permet d'effectuer une déformation graduelle au moins partielle de réalisation (ou représentation) d'un modèle stochastique de type gaussien ou apparenté, d'un milieu hétérogène tel qu'une zone souterraine, contraint par un ensemble de paramètres relatifs à la structure du milieu. Elle est caractérisée en ce qu'elle comporte le tirage d'un nombre p au moins égal à deux, de réalisations indépendantes d'une partie au moins du modèle choisi du milieu, parmi toutes les réalisations possibles et une combinaison linéaire de ces p réalisations avec p coefficients tels que la somme de leurs carrés est égale à 1. Cette combinaison linéaire constitue une nouvelle réalisation du modèle stochastique et elle se déforme graduellement lorsque l'on modifie graduellement les p coefficients. *. L:a méthode peut comporter plus généralement plusieurs étapes itératives de déformation graduelle, avec combinaison à chaque étape d'une réalisation composite obtenue à l'étape précédente avec q nouvelles réalisations indépendantes tirées de l'ensemble des réalisations. La méthode permet la déformation graduelle d'un modèle représentatif du milieu tout en modifiant les paramètres statistiques relatifs à la structure du milieu. La méthode permet aussi d'effectuer des déformations graduelles individuelles de différentes parties du modèle tout en préservant la continuité entre ces parties (c'est-à-dire par exemple la reproduction d'un variogramme attaché à ce modèle). De préférence, les coefficients de la combinaison linéaire sont des fonctions trigonométriques. Comme modèle, on peut utiliser un modèle gaussien ou apparenté au type gaussien: modèle lognormal, gaussien tronqué, etc. Par rapport à l'art antérieur, la méthode selon l'invention est fondée sur une base théorique plus solide pour la déformation des modèles stochastiques. Elle donne aussi la possibilité de modifier les paramètres (souvent de valeurs incertaines a priori) de variogrammes en même temps que la déformation d'une réalisation d'un modèle stochastique. Enfin, grâce à la possibilité des déformations individuelles de différentes parties du modèle, la méthode selon l'invention donne une plus grande souplesse et une plus grande efficacité à l'opérateur pour l'ajustement du modèle stochastique à la réalité des terrains. En cela, la méthode selon l'invention permet de rapprocher l'ajustement des modèles stochastiques de I'ajustement des modèles déterministes par zonation traditionnellement employé par les ingénieurs de réservoir. Présentation des figures D'autres caractéristiques et avantages de la méthode selon l'invention, apparaîtront à la lecture de la description ci-après d'un exemple non limitatif de réalisation, en se référant aux dessins annexés o: - la Fig.1 montre un exemple de schéma d'optimisation itérative selon la méthode; - la Fig.2a représente un exemple de champ de perméabilité lognormal constituant un modèle de référence; - Fig.2b montre les courbes de pression et de sa dérivée logarithmique issues d'une simulation numérique d'un essai de puits dans le modèle de reference; - la Fig.3a montre un exemple de champ de perméabilité lognormal associé à une première réalisation du modèle; - la Fig.3b montre une comparaison entre les courbes de pression associées respectivement à la réalisation 1 et au modèle de référence; - la Fig.4a montre un exemple de champ de perméabilité lognormal associé à une deuxième réalisation du modèle; - la Fig.4b montre une comparaison entre les courbes de pression associées respectivement à la réalisation 2 et au modèle de référence; - les Fig.5a et 5b représentent respectivement les courbes de variation de la fonction objectif en fonction du paramètre p dans une échelle linéaire et dans une échelle logarithmique; - la Fig.6a montre un exemple de champ de perméabilité lognormal associé à une réalisation contrainte par application de la méthode de déformation; - la Fig.6b montre une comparaison entre les courbes de pression de la réalisation contrainte et du modèle de référence. DESCRIPTION DETAILLEE DE LA METHODE Généralités: La méthode selon l'invention permet de déformer graduellement un modèle stochastique tout en respectant ses caractéristiques statistiques. Cette méthode est opérationnelle dans un cadre gaussien. Combinée avec une méthode d'optimisation, cette méthode constitue un outil efficace pour calibrer une image du milieu à modéliser à des données non linéaires. Déformation graduelle aux paramètres statistiques fixés: On considère un ensemble de réalisations possibles R, d'un modèle stochastique du milieu à modéliser défini par un certain jeu de paramètres statistiques représentatifs (moyenne, variance, variogramme etc.). Ces différentes réalisations R, sont obtenues à partir d'un tirage au sort d'un germe aléatoire, deux valeurs successives de ce germe pouvant conduire à des réalisations très différentes l'une de l'autre. La déformation graduelle du modèle est obtenue selon la méthode par une série de combinaisons itératives des réalisations R, du modèle. Comme le montre la Fig.1, la combinaison de base consiste, à partir de deux réalisations R1, R2 obtenues par tirage, à former une réalisation Re, obéissant à la relation: R., =ai.RI +a,.R, (1) avec la condition: a,2+a 2= 1 (2) Cette réalisation combinée se déforme graduellement lorsque l'on modifie graduellement les coefficients a, et a,. A l'itération suivante, on tire une autre réalisation R3 et on la combine suivant la même règle avec la réalisation combinée précédente R, R, R,2 =.R, +(x.R; Les nouveaux coefficients de la combinaison respectant également la condition: ca + - I Si le tirage R, conduit à une réalisation combinée qui ne s'accorde pas suffisamment avec les mesures, on procède à un ou plusieurs tirages successifs jusqu'à l'obtention d'une réalisation satisfaisante. Le schéma de combinaison précédent peut être étendu facilement à un nombre quelconque de réalisations. A la première étape de combinaison, on tire p réalisations différentes et on réalise la combinaison suivant la relation: R= cai R, (3) avec la condition 12 i a(4). A chacune des étapes suivantes, on combine la réalisation combinée précédente et q autres réalisations obtenues par tirage et l'on procède à leur combinaison suivant la même règle. Suivant un mode avantageux de mise en oeuvre, on combine à chaque étape deux réalisations R1, R2 liées par la relation: R = R, cos(pl) + R, sin(pfr) (5) qui respecte la condition (2). La minimisation d'une fonction objectif permet de déterminer le coefficient p. Il s'agit d'un problème d'optimisation mono-paramètre. Dans le cas plus général d'utilisation de p+l réalisations, on a un problème d'optimisation des p paramètres p, (i= i..... et les coefficients iX (i = 0,1,2....p) s'écrivent 1' alx = fcos(pr) I.=11 I, oi = sin(pir) flcos(p, r) (i = I,p- 1) a, = sin(p,,ir) qui vérifient la condition (4). Déformation graduelle en modifiant les paramètres statistiques: Lorsque l'on ne dispose pas de valeurs précises des paramètres d'un modèle stochastique, ces paramètres doivent aussi être identifiés par l'inversion. La méthode selon l'invention permet une déformation graduelle d'une réalisation d'un modèle stochastique en modifiant les paramètres du variogramme. Pour se faire, nous écrivons une réalisation sous la forme suivante: R = L[Y] o Y est un bruit blanc (réalisation d'un champ gaussien sans corrélation) et L un opérateur déterminé par le variogramme et permettant de transformer Y en une réalisation R respectant ce variogramme. Les techniques à mettre en oeuvre ici, sont bien connue des spécialistes. Une parmi elles est décrite par: - Oliver, D.S.: "Moving Averages for Gaussian Simulation in two or three Dimensions", Math. Geology, Vol.27, No.8, 1995. Nous pouvons ainsi déformer Y de la même manière que précédemment tout en modifiant l'opérateur de variogramme L: R = L[Y] = L[Y, cos( p;) + Y, sin(pr)] o Yi et Y2sont deux bruits blancs indépendants l'un de l'autre. Déformation graduelle par parties: Afin d'améliorer l'efficacité du calage d'un modèle à des données non linéaires réparties dans le milieu à modéliser, on peut être amené à diviser le milieu en plusieurs parties et effectuer le calage partie par partie. La méthode selon l'invention permet d'effectuer des déformations graduelles individuelles de différentes parties du milieu à modéliser tout en préservant la continuité entre ces parties. Supposons que le milieu soit divisé en n parties auxquelles sont associées n bruits blancs Y,, Y2,..., Yn. On peut déformer individuellement ces bruits blancs par l'algorithme précédent, et puis les rendre corrélés par l'opérateur de corrélation L. y, Y, cos(pr) + Y, sin(plzr) R = L[Y] = L = Y cos(p27r) + Y, sin(p,ff) Y, cos(p,,r) + Y sin(p,,_r) o Y,' et Y," (pour i=1,2,...n) sont deux bruits blancs indépendants l'un de l'autre. Extension aux autres modèles: La méthode de déformation graduelle précédemment décrite peut être utilisée dans les cas de modèles transformés à partir d'un modèle gaussien tels que le modèle lognormal et le modèle gaussien tronqué. Exemple de validation: La méthode selon l'invention est illustrée ici par une étude synthétique de la contrainte d'un champ de perméabilité à des données de pression issues d'un essai de puits. Un champ de perméabilité synthétique (Fig.2a), construit selon un modèle stochastique lognormal, est utilisé comme modèle de référence. Un essai de puits numérique est effectué sur ce champ et il en résulte une courbe de pression et sa dérivée logarithmique comme montre la figure 2b. Il s'agit ici de construire une réalisation contrainte par cette courbe de pression autre que l'image de référence. Les Fig. 3a et 4a montrent deux réalisations indépendantes l'une de l'autre du même modèle. On peut constater que les courbes de pression des essais de puits sur ces deux réalisations sont très éloignées de celles du modèle de référence (Fig.3b et 4b). A partir de ces deux réalisations, on a construit une chaîne de réalisations suivant la règle donnée par la formule (4). Les Fig. 5a et 5b montrent la variation de la fonction objectif en fonction du paramètre p (qui varie entre -1 et 1). Les deux réalisations initiales correspondent respectivement à p = 0 et à p =0.5. On constate que la fonction objectif atteint sa valeur minimum pour p= -0.3 environ. En utilisant la méthode du gradient, il suffit de 3 à 4 itérations pour minimiser cette fonction. La Fig. 6 montre la réalisation correspondant à p - -0.275 obtenue par optimisation et l'on peut constater que le calage à l'essai de puits de cette réalisation est très satisfaisant. ll REVENDICATIONS 1) Méthode pour déformer graduellement une partie au moins de réalisations d'un modèle stochastique de type gaussien ou apparenté d'un milieu hétérogène tel qu'une zone souterraine, contraint par un ensemble de paramètres relatifs à la structure du milieu, caractérisée en ce qu'elle comporte le tirage d'un nombre p au moins égal à deux, de réalisations indépendantes (Ri) d'une partie au moins du modèle choisi du milieu, parmi toutes les réalisations possibles et au moins une étape de déformation graduelle du modèle en effectuant une combinaison linéaire des p réalisations initiales indépendantes, les coefficients (c(,) de cette combinaison étant tels que la somme de leurs carrés est égale à 1. 2) Méthode selon la revendication 1, caractérisée en ce qu'elle comporte plusieurs étapes itératives de déformation graduelle, avec combinaison à chaque étape d'une réalisation composite obtenue à l'étape précédente avec q nouvelles réalisations indépendantes tirées de l'ensemble des réalisations. 3) Méthode selon la revendication 1 ou 2, caractérisée en ce qu'elle comporte la déformation graduelle d'un modèle représentatif du milieu tout en modifiant les paramètres statistiques relatifs à la structure du milieu. 4) Méthode selon la revendication 1 ou 2, caractérisée en ce qu'elle comporte des déformations graduelles individuelles de différentes parties d'un modèle représentatif du milieu tout en préservant la continuité entre ces parties. ) Méthode selon l'une des revendications précédentes, caractérisée en ce que les coefficients (x) de la combinaison linéaire sont des fonctions trigonométriques. 6) Méthode selon l'une des revendications précédentes, caractérisée en ce que l'on utilise un modèle apparenté au type gaussien tel qu'un modèle lognormal ou gaussien tronqué.