Brevet FR2748587A1 — publié le 19971114

La présente invention est relative aux méthodes d'analyse spectrale dite haute résolution utilisées pour rechercher le spectre de fréquence d'un signal temporel échantillonné ou les directions d'arrivée de plans d'onde sur un réseau de capteurs avec une résolution meilleure que celle d'une transformée de Fourrier. Dans la suite, on se limitera pour les explications à la recherche du spectre de fréquence d'un signal temporel échantillonné, mais il est bien évident que les procédés d'analyse spectrale haute résolution décrits peuvent être aussi appliqués à la recherche des directions d'arrivée de plans d'ondes sur un réseau de capteurs comme cela est bien connu dans la technique. II existe deux approches des méthodes d'analyse spectrale haute résolution : une approche par les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal et une approche par modélisation autorégressive, qui apportent des enseignements complémentaires. Les deux approches reposent toutes les deux sur l'hypothèse selon laquelle le signal temporel analysé est échantillonné à intervalle de temps constant et composé de L sinusoïdes complexes non corrélées, de valeurs moyennes nulles et d'un bruit blanc de moyenne nulle. Les échantillons ui d'un tel signal sont définis par une relation de la forme: où: i est l'indice de chaque échantillon. On suppose qu'il y a N échantillons et que l'indice i est un entier variant de 1 à N. . (il est l'amplitude complexe de la léme sinusoïde complexe ol est la fréquence angulaire de la léme sinusoïde complexe . vs est le iéme échantillon du bruit blanc. Le fait que les composantes sinusoïdales complexes du signal soient décorrélées signifie que l'on a E est l'espérance mathématique. * désigne l'opérateur complexe conjugué et Pl.la puissance moyenne de la léme composante sinusoïdale complexe. Le fait que le bruit soit blanc signifie que l'on a a2 est la variance du bruit. L'approche des méthodes d'analyse spectrale haute résolution selon les vecteurs propres et valeurs propres de la matrice de corrélation du signal repose sur la constatation que la matrice de corrélation Rm d'ordre m du signal définie et moyennée sur m échantillons successifs (m étant inférieur au nombre N d'échantillons disponibles) peut s'écrire sous la forme de la relation matricielle: Rm=SmDSm+ #|m (1) où: # + désigne l'opérateur complexe transconjugué # Sm est une matrice rectangulaire à m lignes et L colonnes, dite matrice signal, définie par t désignant l'opérateur transposé # D est une matrice diagonale définie par: D = diag(P1,P2,...,PL) # Im est la matrice identité de dimensions m par m. Comme la matrice de corrélation Rm est hermitienne et définie positive, elle a des valeurs propres réelles et positives et des vecteurs propres orthogonaux de même que la matrice SmDSm+. Soient #m1 # #m2...# #mm les valeurs propres de la matrice de corrélation Rm et vm1 # vm2...# vmm les valeurs propres de la matrice SmDSm+. On déduit de la relation (i) que: Comme la matrice signal 5m est composée de L vecteurs non nuls linéairement indépendants, les (m-L) plus petites valeurs propres de la matrice SmDSm+ sont nulles. II en résulte que les (m-L) plus petites.valeurs propres de la matrice de corrélation Rm sont égales a #2 : Soient qm1,qm2,...,qmm les vecteurs propres de la matrice de corrélation Rm associés aux valeurs propres Xm1 ,2 Xmm. Les (m-L) vecteurs propres associés aux (m-L) plus petites valeurs propres satisfont la relation: Rmqmi = #2qmi i = L + 1,...,m ce qui s'écrit encore: (Rm - #l)qmi = 0, i = L + 1,...,m ou encore, d'après la relation (1): S,smqm =0 Comme tous les éléments de la matrice signal Sm ainsi que ceux de la diagonale de la matrice D sont différents de zéro, cette dernière relation implique que l'on ait: Sm+qmi = 0, i = L + 1,...,m où plus explicitement en tenant compte de la relation (2): i = L + 1,...,m sml+qi = 0, # l = 1,2,...,L Ainsi, les composantes sinusoïdales complexes du signal analysé sont perpendiculaires aux vecteurs propres correspondant aux (m-L) plus petites valeurs propres de la matrice de corrélation du signal. Une propriété fondamentale des vecteurs propres de la matrice de corrélation est, comme on l'a vu précédemment, qu'ils sont orthogonaux les uns aux autres. Les vecteurs propres qm1,..,qml engendre donc un sous-espace orthogonal au sous-espace engendré par les vecteurs propres restants qmL+1,...,qmm. II résulte alors de la relation précédente que les vecteurs Smi (l 1. L'espace engendré par les vecteurs propres de cette matrice de corrélation Rm est formé de deux sous-espaces orthogonaux disjoints: un premier sous-espace appelé sous espace signal plus bruit engendré par les vecteurs propres associés aux L plus grandes valeurs propres de Rm et un deuxième sous-espace appelé sous-espace bruit engendré par les vecteurs propres associés aux (m-L) plus petites valeurs propres de Rm. 2. La connaissance des vecteurs propres de la matrice de corrélation Rm permet de déterminer les fréquences angulaires des sinusoïdes complexes composant le signal temporel analysé en recherchant les vecteurs des composantes sinusoïdales complexes orthogonaux au sous-espace bruit. Une conséquence immédiate de la deuxième remarque est que l'on peut exprimer le spectre de puissance du signal en fonction de la fréquence angulaire par l'inverse d'une combinaison des carrés des produits scalaires d'un vecteur de balayage en fréquence em(X) correspondant à une composante sinusoïdale de fréquence angulaire o variable: avec les vecteurs propres qmL+1, qmL+2,. .,qmm du sous-espace bruit: Spectre(w)= m 12 E k+ent(w)l k--L+1 En pratique, on ne dispose pas de la matrice de corrélation du signal mais d'une estimation Rm avec des vecteurs propres Xm1, xm2l...l Xmm que l'on peut ordonner par valeurs propres Xm'1, Xm'2 m'm de valeurs décroissantes. Des difficultés se présentent alors en raison du nombre fini d'échantillons disponibles pour le signal temporel à analyser qui fait que les éléments de la matrice de corrélation sont estimés d'autant plus grossièrement qu'ils correspondent à un délai donc à un écart entre les échantillons corrélés grand. Les relations d'orthogonalités ne sont plus réellement respectées et l'on est contraint de rechercher les vecteurs de composantes sinusoïdales complexes les plus proches de l'orthogonalité au sous-espace bruit. Cela conduit à des variantes dans l'expression du spectre de fréquence estimé du signal selon les divers types de méthodes haute résolution. Trois méthodes haute résolution s'inspirent directement de cette première approche par les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal: la méthode de la norme minimum, la méthode MUSIC et la méthode de la réponse sans distorsion à minimum de variance dite MVDR (Minimum Variance Distorsionless Response) ou encore méthode de Capon. La deuxième approche des méthodes d'analyse spectrale haute résolution par modélisation autorégressive repose sur le fait que les échantillons u1 d'un signal composé d'un nombre fini L de sinusoïdes complexes peuvent être modélisés au moyen d'une loi de prédiction permettant de déduire la valeur d'un échantillon un à partir d'une combinaison linéaire des n-m échantillons qui le précèdent ou des m échantillons qui le suivent. La modélisation autorégressive revient à rechercher: - soit une relation de prédiction dans le sens direct, de la forme: où m est l'ordre du modèle, c'est-à-dire le nombre d'échantillons précédents pris en compte dans la prédiction, {amk} une suite de m coefficients complexes définissant le modèle et ef f,i,m m une erreur de prédiction dans le sens direct, par le modèle d'ordre m, de l'échantillon u qui doit être assimilable à un bruit blanc si le modèle est fidèle, - soit une relation de prédiction dans le sens rétrograde, de la forme: où (bmk) est une suite de m coefficients complexes définissant le modèle et ebi-mm une erreur de prédiction dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre m, de l'échantillon uirn qui doit également être assimilable à un bruit blanc si le modèle est fidèle. On montre que les coefficients (bmk) de la loi de prédiction dans le sens rétrograde se déduisent des coefficients (a,k) de la loi de prédiction dans le sens direct par la relation: hk =ak* m m que la puissance du signal en fonction de la fréquence angulaire s'exprime par la relation: P Spectre( = 2 (3) 2 Zm an,e k=O avec am égal à 1 et P une puissance de bruit, et que le vecteur Arn des coefficients (a,k) de la loi de prédiction dans le sens direct: pour une erreur quadratique minimum s'exprime par l'équation normale de Yule-Walker: RmAm = -Cm (5) avec: Cm = [Cl,..,Cm]t polir 1 L'intérêt des coefficients {amk} de la loi de prédiction dans le sens directe également connus sous le nom de coefficients autorégressifs est que l'on connaît des méthodes récursives sur l'ordre du modèle permettant de les obtenir en temps réel au moyen d'une structure de filtre en treillis facile à mettre en oeuvre. Ici encore, on remarque que la connaissance d'un nombre limité d'échantillons du signal ne permet de faire qu'une estimation approchée de la matrice de corrélation du signal conduisant à une connaissance approximative des coefficients autorégressifs. Une méthode haute résolution s'inspire plus spécialement de cette deuxième approche par modélisation autorégressive: la méthode du maximum d'entropie. Pour des détails sur les différentes méthodes d'analyse spectrale haute résolution précitées, on peut se reporter aux articles: [1] SCHMIDT R.O., "Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation.", IEEE Trans. on AP, vol. 34, pp.276-280, 1986; [2] BIENVENU G., "Optimality of High Resolution Array Processing Using Eigensystem Approach." IEEE Trans. on ASSP, vol. 31, pp. 1235-1248, 1983, pour la méthode MUSlC [3] CAPON J., "High-Resolution Frequency-Wavenumber Spectrum Analysis." Proc. IEEE, vol. 57, pp. 1408-1418, 1969, pour la méthode MVDR, [4] BURG J.P., "Maximum Entropy Spectral Analysis.", Proc. 37th Meeting Soc. Exploration Geophysicists (Oklaoma City, OK), Oct 31, 1967, pour la méthode du maximum d'entropie, [5] KUMARESAN R., TUFTS D.W. "Estimating the Angles of Arrival of Multiple Plane Waves.", IEEE Trans. on AES, vol. 19, pp. 134-139, 1983, pour la méthode de la norme minimum. Pour comparer les performances de ces différentes méthodes haute résolution, il est intéressant d'expliciter les relations qui existent entre les pseudo-spectres obtenus grâce à elles et les vecteurs propres et valeurs propres de la matrice de corrélation du signal. En nommant Um la matrice formée des vecteurs propres de la matrice de corrélation estimée Rm du signal et en remarquant que l'on a: car: UmUm = UmUm on montre que les pseudo-spectres de fréquence obtenus par les différentes méthodes haute résolution citées plus haut sont de la forme générale: où m est une matrice dont la définition varie en fonction des méthodes. Pour la méthode MUSIC, le pseudo-spectre obtenu répond à la relation: S(m)MUSiCW= m 1 (6) E xmk+ern(û)) k=L+1 et la matrice #m vaut: Pour la méthode MVDR ou de Capon, le pseudo-spectre obtenu répond à la relation: m)CAPON(o) m 2 (7) z 1 xk+em(w(i) k=l ILni et la matrice #m vaut: i i i 'v1=diag11,,2 ,..., ni ni ni ni Pour la méthode du maximum d'entropie, le pseudo-spectre obtenu répond à la relation xmk.[1] étant la première composante du vecteur propre xmk, et la matrice # m vaut : #m = Rm-1Um+Zm1Zm1+UmRm-1 avec: Zn1 = [1,0,...,0]t Pour la méthode de la norme minimum, le pseudo-spectre obtenu répond à la relation: et la matrice m vaut: #m = #mUm+Zm1Zm1+Um#m La comparaison de ces différentes formulations des pseudospectres qui a était faite notamment par NICKEL U. dans son article: [6] NICKEL U., "Algebraic Formulation of Kumaresan-Tufts Superresolution Method Showing to ME and MUSIC Methods.", IEEE Proceedings, vol. 135, Pt. F, N 1, pp. 7-10, February 1988. conduit aux observations suivantes: Le pseudo-spectre obtenu avec la méthode MVDR à l'ordre m est la moyenne des speudo-spectres obtenus avec la méthode du maximum d'entropie sur les ordres 1 à m 1 1 1 = + S(m)CAPON (#) = S(m-1)CAPON (#) S(m)ME (#) MUSIC Le pseudo-spectre obtenu avec la méthode MUSIC à l'ordre m est la moyenne pondérée des pseudo-spectres obtenus avec la méthode de norme minimum sur les ordres 1 à m: i i 2 i S(m)MUSIC 8(rn-1)M(JSfC (w) I Wni,ni S( ni) MN (w) Le pseudo-spectre obtenu avec la méthode MUSIC tend vers le pseudo-spectre obtenu avec la méthode MVDR pour un rapport signal sur bruit infini car: Le pseudo-spectre obtenu avec la méthode de la norme minimum tend vers le pseudo-spectre obtenu avec la méthode du maximum d'entropie pour un rapport signal sur bruit infini pour la même raison que précédemment. Cela entraîne les effets suivants: Le pseudo-spectre obtenu avec la méthode MVDR présente des fluctuations moindres que celui obtenu avec la méthode du maximum d'entropie. Le pseudo-spectre obtenu avec la méthode MUSIC présente des fluctuations moindres que celui obtenu avec la méthode de la norme minimum. Le pseudo-spectre obtenu avec la méthode MUSIC a une meilleure résolution que celui obtenu avec la méthode MVDR. Le pseudo-spectre obtenu avec la méthode de la norme minimum a une meilleure résolution que celui obtenu avec la méthode du maximum d'entropie. Les méthodes d'analyse spectrale haute résolution posent des problèmes de mise en oeuvre de diverses sortes dont des problèmes de dimensionnement et des problèmes de rendement de calculs. En ce qui concerne le dimensionnement, il faut en effet, déterminer l'ordre m utilisé pour la matrice de corrélation et éventuellement la dimension L du sous-espace signal. Pour l'estimation de la dimension L du sous-espace signal il est habituel d'employer des critères statistiques qui ne sont pas valides dans le cas d'applications où l'on ne dispose que de peu d'échantillons de données car les erreurs ne sont alors plus normalement distribuées. Les méthodes d'analyse spectrale haute résolution nécessitant une estimation de la dimension L du sous-espace signal, comme les méthodes MUSIC et norme minimum, qui font intervenir dans la détermination de leurs pseudo-spectres une sommation de m-L à m, ne sont donc pas adaptées à un faible nombre d'échantillons de signal. Le choix de l'ordre m de la matrice de corrélation du signal ou, ce qui revient au même, de l'ordre m du modèle autorégressif, en fonction du nombre N d'échantillons de signal disponibles est délicat, dans la mesure où un ordre trop faible aboutit à un pseudo-spectre lissé gommant des pics existants et un ordre trop important à un pseudo-spectre encombré de pics parasites. Pour résoudre le problème de la détermination de l'ordre optimum de la matrice de corrélation, de nombreux critères statistiques ont été proposés. Ceux-ci ont l'inconvénient, comme précédemment, de ne pas convenir dans les cas où l'on ne dispose que d'un faible nombre d'échantillons de données. Dans le cas d'un faible nombre d'échantillons de données, il est habituel de recourir aux méthodes du maximum d'entropie et MDVD et de choisir l'ordre maximum possible tout en imposant au pseudo-spectre obtenu une condition de douceur spectrale afin d'éviter le développement de pics parasites. Une manière de régulariser la méthode du maximum d'entropie est décrite dans la demande de brevet français n 95 06983 déposée par la demanderesse le 13 juin 1995. La solution obtenue, qui est implémentable sur une structure de calcul en treillis, aboutit à une modification implicite de la matrice de corrélation du signal sur sa diagonale et peut par conséquent être étendue aux autres méthode d'analyse spectrale nécessitant l'extraction des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation. La matrice de corrélation implicite après régulation s'exprime en effet par: Rregz m +D+D m avec: où Yo et &gamma;1 sont des coefficients de régulation, le premier étant choisi proche de l'unité et l'autre proche de 10-3. Cependant, malgré le très bon résultat de la régularisation, il n'est pas facile de déduire les vecteurs et valeurs propres de la nouvelle matrice de corrélation régularisée implicite, des vecteurs et valeurs propres de l'ancienne matrice de corrélation estimée des données. En effet, la matrice de corrélation régularisée implicite peut s'écrire, d'après les deux relations précédentes: Rm = Rm +7/o1rn + Yl (2 )2 (im m avec: II vient alors: U+RregulUm = #m + &gamma;0|m + &gamma;1(2#)2U+#mUm m m m avec: et en tenant compte du fait que l'on a avec des vecteurs propres normalisés: U+Um = UmU+ = Im m m ce qui montre que la matrice de corrélation régularisée implicite ne peut pas être diagonalisée simplement. Pour la méthode MVDR qui permet d'obtenir des pseudo-spectres présentant moins de fluctuations qu'avec la méthode du maximum d'entropie, il est connu de la régulariser par diverses sortes de pondération des valeurs propres de la matrice de corrélation du signal. On a vu précédemment que le pseudo-spectre obtenu avec la méthode MVDR pouvait se mettre sous la forme: avec: V diag[pl ,p2,...,p,, ] les termes p valant: 1 Pi = m dans le cas général non pondéré. Une première façon de pondérer la méthode MVDR décrite dans l'article: [7] SILVERSTEIN S.D., "Linear Minimum Free Energy Estimation A Computationally Efficient Noise Suppression Spectral Estimation Algorithm.", IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 39, n 6, pp. 1348-1358, 1991, à partir de considération sur le minimum d'énergie libre, revient à donner aux termes pi les valeurs: étant la moyenne des valeurs propres de l'estimée de la matrice de corrélation du signal. Cela permet d'améliorer le conditionnement matriciel puisque le rapport des valeurs propres extrêmes est minimisé. Une deuxième façon de pondérer la méthode MVDR décrite dans l'article: [8] CHOl J., SONG L., KIM H.L., "On Estimating the direction of Arrival When the Number of Signal Sources is Unknown.", Signal Processing, vol. 34, n"2, pp. 193-205,1993, revient à donner aux termes pi les valeurs: Quand p tend vers l'infini, on obtient une solution équivalente à la troncature ce qui permet de séparer les sous-espaces signal et bruit en maximisant la plus petite distance entre les valeurs propres du sous-espace signal et celles du sous-espace bruit. Une troisième façon de régulariser la méthode MVDR décrite dans l'article: [9] CASPARY O., DALPONTE D., TOMCZAK M., BRIE D., "Analyse Spectrale Haute Résolution sans Estimation du Nombre de Composantes du Signal.", XVème colloque GRETSI, vol. 1, pp. 41-44, Juan-Les-Pins, Septembre 1995, revient à donner aux termes p les valeurs C'est un compromis entre les deux méthodes de pondération précédentes. En ce qui concerne le rendement des calculs, les différentes méthodes d'analyse spectrale mentionnées précédemment, à l'exception de la méthode du maximum d'entropie, nécessitent la détermination des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal estimée et préférablement régularisée pour s'abstenir du choix délicat de l'ordre optimum de la matrice. Selon la méthode classique, la détermination des valeurs propres de la matrice de corrélation du signal se fait à partir de la recherche des racines de l'équation caractéristique: et celle des vecteurs propres par résolution des systèmes matriciels d'équations: où les xi 1, au 2, î Sm m sont les racines de l'équation caractéristique classées par ordre décroissant de valeurs. Cette méthode classique est peu pratique car elle exige un nombre important de calculs dès que l'ordre de la matrice de corrélation du signal dépasse quelques unités. La présente invention a pour but d'augmenter la vitesse de calcul des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation d'un signal dans le cadre de méthode d'analyse spectrale haute résolution. Elle a également pour but de faciliter la détermination des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal régularisée par modification de ses termes diagonaux, par exemple en application du procédé de régularisation décrit dans la demande de brevet français précitée. Elle a pour objet un procédé d'analyse spectrale haute résolution mettant en oeuvre les valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal échantillonné dans lequel les valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal pour un ordre m donné sont obtenus à partir de l'ordre précédent m-l en mettant en oeuvre les étapes successives suivantes - détermination des paramètres autorégressifs {am-11, am 121..,am 1m-1} à l'ordre inférieur m-1 permettant de prédire la valeur d'un échantillon u du signal en fonction des valeurs des m-1 échantillons précédents: où gfim-1 est l'erreur de prédiction dans le sens direct, par le modèle d'ordre m-1, de l'échantillon uj, à partir d'une loi de récurrence sur l'ordre m de la forme: m-1 étant un coefficient de réflexion estimé sous une contrainte de moindre carré tendant à minimiser la somme des énergies des erreurs de prédiction sur les échantillons de signal, - détermination des inverses des valeurs propres {#m1, #m2,..., #mm}, ordonnés par valeurs croissantes, de la matrice de corrélation du signal d'ordre m à partir des inverses des valeurs propres m-11, #m-1,..., #m-1m-1}, ordonnés par valeurs croissantes, et des vecteurs propres associés {xm-11,xm-12,..,xm-1m-1} de la matrice de corrélation du signal d'ordre immédiatement inférieur m-l par la recherche des racines #mi du polynôme F(P) à variable n et de degré m le terme &alpha;m-1 étant défini par la loi de récurrence sur l'ordre m Am-1+ étant le transposé conjugué du vecteur Ami valant: et les termes #pp-1-j correspondant à l'inverse de la jéme valeur propre dans l'ordre décroissant de la matrice de corrélation du signal d'ordre p: -fixation à 1 des premières composantes des vecteurs propres xm1,Xm2, ,xmm} de la matrice de corrélation à l'ordre m et détermination de leurs autres composantes à partir des inverses des valeurs propres {m-11 #m-12, ,#m-1m-1} et des vecteurs propres {xm-11, Xm12, ,Xm-1m-1} de la matrice de corrélation du signal à l'ordre m-l et des valeurs propres {m1 nm2,..,nmm} de la matrice de corrélation du signal d'ordre m, par la mise en oeuvre de la relation matricielle: i,[m-i] ~~ rj,U,- .. i i Xi,[m-l] - 7/ni'' t 7/ni Um+iAml avec: i = et U, X1 et U1111 Xm- I ] et - normalisation des vecteurs propres obtenus à l'ordre m. Avantageusement, la matrice de corrélation du signal pour laquelle les valeurs et vecteurs propres sont déterminés est régularisée de manière implicite en adoptant un coefficient de réflexion régularisé de la forme Yo ety1 étant des coefficients de régularisation réels et positifs et les termes Dm et Gm définis par les relations: où N est le nombre d'éléments de la suite d'échantillons de signal disponibles, #f,n-1,m-1 l'erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle de prédiction d'ordre m-1, sur l'échantillon un-1 et Eb,n-l,m-l l'erreur de prédiction, dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre m-l sur l'échantillon un-1 compte tenu que l'on a: Avantageusement, la recherche des racines du polynôme Fm(n) de degré m donnant les inverses des valeurs propres de la matrice de corrélation du signal se fait par une méthode dichotomique, une racine étant recherchée dans chacun des intervalles bornés par les racines du polynôme Fm 1(n) de degré m-l déterminées à l'ordre précédent m-I. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention ressortiront de la description ci-après d'un mode de réalisation de l'invention donné à titre d'exemple. Cette description sera faite en regard du dessin dans lequel: - une figure 1 représente un schéma synoptique d'un calculateur mettant en oeuvre le procédé selon l'invention, - une figure 2 représente un schéma synoptique de circuits de calcul spécialisés dans la détermination des erreurs de prédictions directe et rétrograde et dans celle du coefficient de réflexion, utilisables dans le calculateur représenté dans la figure 1, et - une figure 3 représente un schéma synoptique d'un circuit de calcul spécialisé dans la détermination par récurrence sur l'ordre, des coefficients autorégressifs, utilisable dans le calculateur représenté dans la figure 1. Pour résumer, nous avons vu que les méthodes d'analyse spectrale haute résolution avaient les propriétés suivantes Toutes les méthodes d'analyse spectrale haute résolution déterminent des pseudo-spectres qui peuvent être exprimés en fonction des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal prise à un ordre m choisi strictement inférieur au nombre N d'échantillons successifs, disponibles du signal. Certaines méthodes d'analyse hau prédiction autorégressif. Pour éluder ce problème, il est connu d'employer des pondérations sur les valeurs propres de la matrice de corrélation du signal choisie à l'ordre maximum (N-l dans le cas où il y a peu d'échantillons de signal disponibles) ou d'effectuer un lissage du pseudospectre obtenu en opérant sur les coefficients autorégressifs (méthode du maximum d'entropie régularisée) mais le lissage pose des problèmes de complexité de calculs dans le cas des méthodes d'analyse spectrale ne mettant pas en oeuvre explicitement les coefficients autorégressifs. Certaines méthodes d'analyse spectrale haute résolution, comme les méthodes MUSIC et norme minimum, nécessitent, en plus de la détermination de l'ordre optimum de la matrice de corrélation du signal, la détermination de la dimension L du sous-espace signal et sont de ce fait inadaptées lorsqu'il n'y a qu'un faible nombre d'échantillons successifs du signal disponibles, ce qui est souvent le cas en radar où les salves d'impulsions n'ont qu'un faible nombre d'éléments, le plus souvent, huit ou seize. Certaines méthodes d'analyse spectrale haute résolution, comme la méthode MUSIC par rapport à la méthode MVDR et la méthode de la norme minimum par rapport à la méthode du maximum d'entropie, ont une résolution supérieure. D'autres méthodes d'analyse spectrale, comme la méthode MVDR par rapport à la méthode du maximum d'entropie et la méthode MUSIC par rapport à la méthode de la norme minimum présentent des pseudo-spectres ayant des fluctuations moindres. II résulte de toutes ces considérations, que dans le cas où l'on ne dispose que d'un faible nombre d'échantillons successifs du signal à analyser, la méthode d'analyse spectrale devant donner le meilleur résultat est la méthode MVDR. Mais cette méthode pose deux problèmes fondamentaux: la détermination aux moindre coût de calculs des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal et le choix de l'ordre m de la matrice de corrélation du signal utilisée, sachant qu'un tel choix peut être facilité par une technique de lissage, comme celle employée dans la méthode du maximum d'entropie régularisée décrite dans la demande de brevet français précitée, bien que cette technique de lissage pose des problèmes pour son extension à la méthode MVDR. On se propose donc de rechercher un procédé de détermination, à moindre coût de calculs, des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal, qui soit utilisable pour n'importe quelle méthode d'analyse spectrale haute résolution et qui, en outre permette une extension aisée de la technique de lissage connue pour la méthode du maximum d'entropie aux autres méthodes d'analyse spectrale haute résolution. Pour ce faire, on se base sur le fait que l'inversion d'une matrice inverse les valeurs propres sans modifier les vecteurs propres et sur les travaux de TRENCH W.F. qui ont mis en évidence une structure particulière d'une matrice de corrélation et pour lesquels ont peut se reporter à l'article: [10] TRENCH W.F., "Numerical Solution of the Eigenvalue Problem for Hermitian Toeplitz Matrices.", SIAM J. Matrix Anal. Appl., Vol. 10, n 2, pp. 135-146, April 1989. La matrice de corrélation Rm d'ordre m du signal est une matrice de Toeplitz. En effet: de sorte qu'un terme ai,j de cette matrice vérifie la relation de définition des matrices de Toeplitz: Q,j = a(i - j) En ce qui concerne l'inverse Rm-1 de cette matrice de corrélation, on peut l'écrire sous la forme: Pour identifier les éléments &alpha;m-1, Em-1, Hm-1 et # -1, il suffit d'écrire l'identité: R%!Rni = Im II vient : La combinaison des deux dernières équations du système précédent donne: de sorte que l'on obtient comme nouvelle expression de l'inverse Rm-1 de la matrice de corrélation: Comme la matrice de corrélation est hermitienne : R = ni m son inverse l'est également ce qui implique que: E 1 = Hm-1 II en découle alors que: La matrice de corrélation Rm est per-hermitienne, c'est-à-dire symétrique par rapport à l'antidiagonale, de sorte que son inverse Rm1 I'est également. en posant: (-) Vm =JmVm* Jm étant une matrice carrée de dimensions m définie par: on obtient: Trench utilise les décompositions de la matrice de corrélation inverse des relations (10) et (11) précédentes pour développer un algorithme permettant de calculer la matrice de corrélation inverse récursivement à l'intérieur de celle ci. On propose de reprendre la relation (10) démontrée par Trench et d'en identifier plus précisément chaque terme en la combinant avec la relation déjà utilisée: RnÇRm =I II vient : ce qui correspond au système d'équations: Les deux équations (14) et (15) permettent d'écrire: En utilisant l'équation normale de Yule-Walker (4) évoquée précédemment dans l'approche par modélisation autorégressive, il vient: Rm-1-1Cm-1 = -Am-1 où l'on rappelle que Am-1 est le vecteur des coefficients autorégressifs du modèle de prédiction d'ordre m-1 de sorte que la relation (11 ) devient: ou encore: En combinant les relations (13) et (17) on obtient: &alpha;m-1 est un terme réel car on a En reportant dans la relation (17) la valeur de am1 prise dans la relation (13), il vient : Em-1 = &alpha;m-lAm-l (19) En combinant la relation (12) qui n'a pas encore été exploitée avec cette relation (19). on obtient: ce qui conduit à nouveau à l'équation normale de Yule-Walker puisque le terme am.1 est différent de 0. Pour résumer, on a obtenu les deux résultats nouveaux: ce qui conduit aux nouvelles expressions de la matrice de corrélation inverse d'ordre m en fonction de la matrice de corrélation inverse d'ordre m1 tirées des relations (10) et (11 : La relation matricielle (20) peut également se mettre sous la forme: ou encore sous la forme: On voit que la matrice de corrélation inverse du signal d'ordre m peut être obtenue à partir de la matrice de corrélation inverse du signal d'ordre immédiatement inférieur m-1, des coefficients autorégressifs am11, am-12,...,am-1m-1} d'ordre m-l et du terme cm-1 qui peuvent aussi se calculer par une récurrence sur l'ordre. La méthode de calcul des coefficients autorégressifs par récurrence sur l'ordre est connue et déduite des algorithmes de Levinson et Burg établis par l'approche de modélisation autorégressive. Si l'on considère la relation de prédiction dans le sens direct: où m est l'ordre du modèle,{amk} la suite des m coefficients complexes autorégressifs définissant le modèle et #f,i,m une erreur de prédiction dans le sens direct, par le modèle d'ordre m, de l'échantillon ui, on peut exprimer les corrélations entre données du processus de la manière suivante: pour l # j # m Sachant que l'erreur Ef,i,m de prédiction dans le sens direct, par le modèle d'ordre m, de l'échantillon u doit être assimilable à un bruit blanc si le modèle est fidèle, c'est-à-dire que: on obtient m équations: pour l # j # m qui peuvent se mettre sous la forme matricielle: R m Arn = -Cm (23) où l'on reconnaît en Rm la matrice de corrélation du signal d'ordre m: en Arn le vecteur des coefficients autorégressifs d'ordre m et en Cm le vecteur: La relation (23) est connue sous le nom d'équation normale de Yule-Walker. Les coefficients autorégressifs {ami} permettent d'obtenir un spectre de la puissance du signal de la forme (relation (3)): F Spectre(a > ) = 2 ni 12 z%kieùc* k=O avec am égal à 1 et P une puissance de bruit. Ce pseudo-spectre déduit des coefficients autorégressifs est souvent appelé spectre à maximum d'entropie car Burg a montré que la modélisation autorégressive aboutissait à la série temporelle d'échantillons de signal la plus prédictible dont la fonction d'autocorrélation coïncide avec celle de l'ensemble des valeurs connues du signal, ce qui revient à extrapoler la fonction d'autocorrélation des données disponibles en maximisant l'entropie du processus. Les coefficients autorégressifs peuvent être obtenus à partir de l'équation normale de Yule-Walker par simple inversion matricielle, mais l'on n'est pas assuré du conditionnement de la matrice de corrélation du signal dont on ne dispose que d'une estimation. Pour tourner cette difficulté, Levinson a proposé un algorithme récursif sur l'ordre, en utilisant la caractéristique de Toeplitz de la matrice de corrélation du signal. Pour ce faire, Levinson a eu recours à l'opérateur suivant: = = JV* où J est la matrice unité antidiagonale. Avec cet opérateur, la matrice de corrélation Rm d'ordre m du signal peut être réécrite, en fonction de la matrice de corrélation Rm 1 d'ordre m-l du signal de la manière suivante: En reportant cette expression de la matrice de corrélation Rm d'ordre m du signal dans l'équation normale de Yule-Walker et en notant Amk le vecteur formé des k premiers coefficients autorégressifs du modèle de prédiction d'ordre m, on obtient l'équation matricielle: On tire du premier bloc d'équation la relation En remarquant que l'on a d'après l'équation normale de Yule-Walker et la définition de l'opérateur (-): qui est la forme vectorielle d'une équation connue sous le nom d'équation de Levinson et qui permet de déterminer les coefficients autorégressifs, à l'exception du dernier, par une récurrence sur l'ordre puisqu'elle correspond à la forme scalaire: pour 1 On tire du second bloc d'équations de la relation (24) une autre équation matricielle: qui, en tenant compte de la relation (25) devient: Ainsi, on peut obtenir tous les coefficients autorégressifs par une récurrence sur l'ordre. Cependant, cette façon ce procéder qui est celle de Levinson est handicapée par l'estimation du dernier coefficient autorégressif amm qui dépend de cm dont l'estimation peut présenter une grande variance dans le cas où l'on dispose de peu d'échantillons de données. Pour résoudre ce problème, Burg conserve l'équation de Levinson mais remplace le dernier coefficient autorégressif amm par un coefficient de réflexion pm calculé pour minimiser la puissance des erreurs de prédictions linéaires directe et rétrograde. Ces dernières sont définies par: pour m+li N étant le nombre d'échantillons successifs de signal disponibles, ce qui, en tenant compte de l'équation de Levinson pour lCk qui déterminent une structure de filtre en treillis pour l'estimation des erreurs de prédictions directe et rétrograde. On montre également, qu'il existe une troisième relation de récurrence entre les moyennes Pm et Pm 1 des puissances des erreurs des prédictions directe et rétrograde à l'ordre m et à l'ordre m-l de la forme: avec, à l'initialisation, pour l'ordre 0: Po = c0 puisque #f,i,0 et #b,i,0, prennent la valeur de l'échantillon ui. Pour obtenir la valeur du coefficient de réflexion pm, il suffit de remarquer que cette valeur annule le gradient de la puissance moyenne (Pm)moy des erreurs de prédictions directe et rétrograde: La valeur de m est celle qui minimise (Pm)moy, soit: # m(Pm)moy = 0 ce qui s'écrit en tenant compte des relations de récurrence (22): # m(Pm)moy =iUni = Gni +D;1 avec: d'où l'expression du coefficient de réflexion de Burg Dm* m = Gm II apparaît alors que le coefficient de réflexion de Burg est égal à l'opposée de la covariance entre l'erreur de prédiction directe et l'erreur de prédiction rétrograde. On peut montrer, en utilisant l'inégalité de Gauchy, que le coefficient de réflexion de Burg est de module strictement inférieur à un ce qui assure la convergence de l'algorithme de détermination des coefficients autorégressifs. On dispose donc, grâce à l'équation de Levinson, d'une méthode de détermination par récurrence sur l'ordre du modèle autorégressif ou ce qui revient au même, de l'ordre de la matrice de corrélation du signal, de tous les coefficients autorégressifs à l'exception du dernier qui peut être obtenu en tant que coefficient de réflexion à partir des erreurs des prédictions directes et rétrograde faite à l'ordre immédiatement inférieur. On va voir qu'il est également possible de déterminer le terme arn des relations (20) et (21) par une récurrence sur l'ordre de la matrice de corrélation. Pour ce faire. on remarque que l'on a la relation: En effet, on a vu d'après la relation (22) adaptée à l'ordre m que: a ni = c0 + Cm+Am ce qui s'écrit encore: En utilisant l'équation vectorielle de Levinson (20): il vient: Or, on a vu précédemment, relation (26), que: ce qui s'écrit encore: de sorte que l'on a: et que l'on peut donc écrire en tenant compte à nouveau de la relation (22): Comme l'on a vu que le dernier coefficient autorégressif amm correspondait au coefficient de réflexion de la méthode du maximum d'entropie de Burg, on a également: A l'initialisation, pour l'ordre 0, on a d'après la relation (22): -1 a0 = c0 (30) En se rappelant que la moyenne Pm des puissances des erreurs des prédictions directe et rétrograde répond à une relation de récurrence sur l'ordre de la même forme (relation (28)) et prend la même valeur à l'initialisation, on peut identifier l'inverse du terme arn avec cette moyenne des puissances des erreurs: 'a- ni ni Les nouvelles décompositions de la matrice de corrélation inverse proposées aux relations (20) et (21) permettent de retrouver le calcul des termes de cette matrice de corrélation inverse faite par Trench et l'algorithme de Levinson. En effet, la première relation permet d'écrire qu'un terme de la matrice de corrélation inverse du signal n'appartenant pas à la première colonne ou à la première ligne vaut: tandis que la deuxième relation permet d'écrire qu'un terme de la matrice de corrélation inverse du signal n'appartenant pas à la dernière colonne ou à la dernière ligne vaut: La combinaison des relations (31) et (32) donne: ou encore: qui est la formule préconisée par Trench pour construire la matrice de corrélation d'ordre m du signal. De la même façon, la décomposition de la matrice de corrélation inverse de la relation (21) permet de retrouver l'algorithme de Levinson en partant de l'équation normale de Yule-Walker. On peut en effet écrire: ce qui donne, en remplaçant le terme cem-1 par son expression de la relation (22) les deux relations: La deuxième relation donne une expression du dernier coefficient autorégressif arnm m équivalente à celle (26) donnée par Levinson. La première relation permet de parvenir à l'équation vectorielle de Levinson (relation (25)), en appliquant l'équation normale de Yule-Walker à son premier terme et en faisant apparaître le coefficient autorégréssif amm dans son deuxième terme par utilisation de sa valeur prise dans la deuxième relation, puisque l'on obtient alors Les nouvelles décompositions de la matrice de corrélation inverse proposées aux relations (20) et (21) permettent une détermination des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation qui est à la fois récursive sur l'ordre et fonction des coefficients autorégressifs. On rappelle ici qu'une matrice et son inverse ont les mêmes vecteurs propres et des valeurs propres inverses les unes des autres. Ainsi, les m vecteurs propres (xm1, xm2,...,xmm} de la matrice de corrélation Rm sont également ceux de la matrice de corrélation inverse Rm-1 et les m valeurs propres (#m1, #m2,...,#mm} de la matrice de corrélation Rm sont liée aux m valeurs propres {#m1, #m2,...,#mm} de la matrice de corrélation inverse Rm-1 par une relation du type: avec I En raison des propriétés des valeurs et vecteurs propres, on peut écrire, pour tout vecteur propre xm et valeur propre correspondante rl de la matrice de corrélation inverse Rm-1 d'ordre m la relation matricielle: ce qui devient, en reprenant la nouvelle décomposition de la matrice de corrélation inverse Rm-1 de la relation (20): la première composante du vecteur propre xm qui est réelle étant prise arbitrairement égale à 1 et ses m-l dernières composantes représentées par le vecteur Xm[m.li. On en tire les deux relations: En éliminant des deux relations précédentes Je terme > cm[m-l] il vient: Or, si l'on considère la diagonalisation de la matrice de corrélation inverse, on a : R-IU = U A m ni 1)1 ni avec la notation: En remarquant qu'avec des vecteurs propres normalisés, on a: Um+Um = Un1Un1 m on peut écrire: En utilisant ces relations dans la relation (35), il vient ce qui s'écrit encore: D'où, la relation: que l'on réécrit sous la forme: Cette relation (36) montre que les valeurs propres de la matrice de corrélation inverse sont les zéros d'une fonction définie par intervalles en fonction des coefficients autorégressifs ainsi que des valeurs propres et vecteurs propres normalisés tous définis à l'ordre précédent. les valeurs propres {#mi}sont les racines de la fonction F(n) telle que On remarque que la dérivée de cette fonction: est toujours positive puisque le terme am.1 est un entier positif représentant une moyenne de puissances d'erreurs. Si l'on applique le corollaire de Courant-Fisher, dont on peut trouver la description dans le livre: [11] WILKINSON J.H., "The Algebraic Eigenvalue Problem.", Clarendon Press - Oxford, 1965, on peut montrer l'entrelacement des valeurs propres des matrices de corrélation du signal pour les différents ordres et en déduire que les valeurs propres des matrices de corrélation inverse sont également entrelacées pour les différents ordres. Ainsi, les valeurs propres {loi} de la matrice de corrélation inverse d'ordre m, qui sont classées par valeurs croissantes à l'inverse des valeurs propres {#mi} de la matrice de corrélation en raison de leurs définitions,(relation(33)), sont entrelacées avec les valeurs propres {Tlm-1i} de sorte que l'on a: La borne inférieure de la plage de valeurs occupée par les valeurs propres qui sont des nombres réels et positifs puisque les matrices sont hermitiennes et définies positives, est 0. Pour borne supérieure, on adopte: ni R; ' = z A i=l On peut montrer que: Trnce(R ) ) = Trac + anl~l(38) (38) m m-l n7- m-l m-l II est alors possible de chercher les zéros de la fonction Fm(T) sur les intervalles bornés par les valeurs propres à l'ordre précédent et la trace de la matrice, sachant que sur chaque intervalle, la fonction Fm(T1) ne possède qu'un seul zéro. Cette recherche peut se faire par dichotomie en choisissant respectivement, pour borne inférieure Bjnfi et pour borne supérieure Bsupi du ième intervalle de recherche de la ième valeur propre #mi, la iéme et la (i1)ème valeurs propres de la matrice à l'ordre immédiatement inférieure m-1, avec 0 comme borne inférieure extrême Binfm et Trace comme borne supérieure extrême: Bi f = ti 1 > Bmf = O Bsup = im ll Bsup = Trace(Rm~l) + 6rm~lTm~lTm~l A l'initialisation d'une recherche de zéro par dichotomie de la ieme valeur propre mimi, l'intervalle de recherche est limité par les bornes inférieure et supérieure: bi(O) Bi et bs(O) Bi inf sup A chaque itération, on pose: bi(k) + bs(k) 2 et il y a deux cas possibles: si F bi(k) F(p) tsinon on pose bi(k + 1) = bi(k) et bs(k + 1) = p on pose bi(k + 1) = # et bs(k + I)=bs(k) La précision est donnée par: > /= RHI i i' - 7/(n) - Bp B(f opt 211+1 i'rec,i n étant le nombre d'itérations. II est possible de déduire le nombre d'itérations correspondant à une précision donnée en tenant compte du fait que: B' Tracc(R-')= m1 2 ni-i m1 k 2 sup ~ Bi racc(R;n1)= z 'ak Tk = k |ak qui k=o k=Oi=o II vient alors: En pratique, pour une précision raisonnable, le nombre d'itérations n est en moyenne égale à 10. On vient de voir comment obtenir de façon récursive les inverses des valeurs propres de la matrice de corrélation d'ordre n du signal. II s'agit alors de faire la même chose pour les vecteurs propres. Pour la détermination récursive des vecteurs propres, on utilise la deuxième relation des relations (34): en se rappelant qu'un vecteur propre xm de la matrice de corrélation inverse d'ordre m du signal qui est également un vecteur propre de la matrice de corrélation d'ordre m du signal est tel que: c'est-à-dire que le vecteur xm[m-1] est formé des m-l dernières composantes du vecteur xm dont la première composante a été fixée arbitrairement à 1. Cette deuxième relation prise pour chaque valeur propre nm devient: ou encore: Xl'[m- r = clivas ldiagW Ài 4;iii11 7'in | (39) avec, comme on l'a vu précédemment: Les inverses des valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice de corrélation d'ordre m du signal sont donc calculables récursivement sur l'ordre en fonction des coefficients autorégressifs à l'ordre inférieur. Outre la facilité de calcul, cette méthode récursive sur l'ordre de détermination des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal permet également une généralisation, à tous les types de méthodes d'analyse spectrale haute résolution, de la régularisation proposée pour la méthode du maximum d'entropie dans la demande de brevet français précitée. En effet, cette régularisation passe par une modification des coefficients auto régressifs qui peut être facilement prise en compte. On rappelle que la régularisation a pour but de lisser au mieux le pseudo-spectre obtenu, de manière à rendre moins critique le choix de l'ordre de la matrice de corrélation du signal et à permettre d'adopter l'ordre maximum possible, c'est-à-dire le nombre d'échantillons de signal disponibles moins un, en cas d'un faible nombre d'échantillons de signal disponibles et que la régularisation décrite dans la demande de brevet français précitée s'opère par l'intermédiaire des coefficients autorégressifs qui sont déterminés par une méthode récursive sur l'ordre de la manière suivante: A l'initialisation, pour l'ordre 0. on pose pour j=1,...,N Pour un ordre ultérieur m, les coefficients: sont connus et l'on calcule les termes: 70 et &gamma;1 étant des coefficients de régularisation réels positifs de l'ordre respectivement, de 1 et 10-3 # A la dernière étape, lorsque m est égal à N-l, on obtient les coefficients autorégressifs recherchés (aMk) et la moyenne des puissances d'erreurs PM. Le procédé récursif sur l'ordre, de détermination des inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal qui vient d'être décrit se met en oeuvre de la manière suivante: A l'initialisation, pour l'ordre 0, on pose pour i = 1,...,N comme pour le procédé de régularisation précédent, avec en plus: A chaque ordre ultérieur m, les termes sont connus et l'on calcule * le coefficient de réflexion ssm soit à partir de sa relation de définition classique de la méthode du maximum d'entropie: soit à partir de sa relation de définition de la méthode du maximum d'entropie régularisée selon l'enseignement de la demande de brevet français précitée: ou 70 ety1 sont des coefficients de régularisation réels positifs de l'ordre respectivement de 1 et I 10-3 * les coefficients autorégressifs à partir de la relation de Levinson: + les termes am-1 et P Pm par la relation * les valeurs propres {#mi}i=1,...m de la matrice de corrélation inverse du signal, par la recherche des m racines du polynôme F(rj): cette recherche de racines s'effectuant par une méthode dichotomique sur chaque intervalle défini par: B(f=7Y rln,~l et ni-i Bm =0 il-i i -1 et et et B1 = Trace(R-I sup ni-I sup m- I en tenant compte du fait que l'on a: Trace(Rml ) - Trace(Rml I ) + anl-T-1T 1 avec: 1 T -1- A 1~ pour arrêter la dichotomie à une précision donnée, * les vecteurs propres {xmi)i1,..,m de la matrice de corrélation du signal, en les affectant d'une première composante égale à 1 et en déterminant leurs autres composantes rn Xmi[m-1] à partir de la relation: et l'on normalise les vecteurs propres en leur appliquant la transformation Une fois parvenu à l'ordre voulu, on utilise les inverses des valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal pour obtenir un pseudo-spectre selon les relations (6, 7, 8 ou 9) rappelées précédemment pour les méthodes haute résolution MUSIC, MVDR, du maximum d'entropie ou de la norme minimum, régularisées ou non, selon le mode de détermination du coefficient de réflexion ItM. Dans le cas d'un faible nombre d'échantillons de signal disponibles où les seules méthodes utilisables sont les méthodes MVDR et du maximum d'entropie, c'est la méthode MVDR qui est préférée en raison des fluctuations moindres de son pseudo-spectre par rapport à celui de la méthode du maximum d'entropie, son pseudo-spectre s'obtenant par la relation: S(m)CAPON (a)) m k k+ 2 ni Cm|Xm em(e k=1 avec: La figure 1 montre le schéma synoptique d'un calculateur mettant en oeuvre ce procédé récursif sur l'ordre, de détermination des inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal par un traitement en plusieurs passes des échantillons du signal, chaque passe permettant d'accroître l'ordre d'une unité, cela, éventuellement, jusqu'à l'ordre maximum correspondant au nombre d'échantillons du signal moins un. Ce calculateur comporte une succession de circuits spécialisés de calcul en cascade 10, 20, 30 et 40. Le premier circuit de calcul spécialisé 10 reçoit en entrée les échantillons u du signal analysé et détermine les différentes erreurs de prédictions g directe et rétrograde commises sur chaque échantillon aux différents ordres. II procède par récurrence sur l'ordre en mettant en oeuvre le système de relations (27): qui suppose, pour la détermination des erreurs jusqu'à l'ordre m-2, la connaissance des coefficients de réflexion ILl, ,sim-2} calculés antérieurement à l'ordre m-1 en cours de détermination. Le deuxième circuit de calcul spécialisé 20 reçoit du premier circuit de calcul spécialisé 10 les différentes erreurs de prédiction directe et rétrograde jusqu'à l'ordre m-2, avec, dans le cas d'une régularisation, les coefficients autorégressifs Am-2 déterminés au même ordre m-2 et détermine le coefficient de réflexion pIm-1 à l'ordre suivant m-l, soit à partir de sa définition non régularisée des relations (41) et (42): soit à partir d'une définition régularisée (40): L'ensemble des coefficients de réflexion {It1,u2 m-1) calculés jusqu'à l'ordre m-1 sont ensuite appliqués au premier circuit de calcul spécialisé 10 pour lui permettre de déterminer les erreurs de prédiction directe et rétrograde à l'ordre m-l et au troisième circuit de calcul spécialisé 30. Le troisième circuit de calcul spécialisé 30 détermine les coefficients autorégressifs Am 1 à l'ordre m-l à partir de l'équation de Levinson (relation (25)): Les coefficients autorégressifs Am 1 à l'ordre m-1 issus de ce troisième circuit de calcul spécialisé 30 sont alors appliqués avec les inverses {#m-11,...,nm-1m-1} des valeurs propres et avec les vecteurs propres {xm-11,...,xm-1m-1} de la matrice de corrélation du signal déterminés pour l'ordre m-l au cours d'un cycle précédent de calculs, au quatrième circuit de calcul spécialisé 40. Le quatrième circuit de calcul spécialisé 40 détermine les inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal par récurrence sur l'ordre. II comporte un circuit 401 de mise à jour à l'ordre m-l du coefficient a, un circuit 402 de mise à jour de la trace de la matrice de corrélation du signal à l'ordre m, des circuits 410, 411, 412 de calcul des inverses des valeurs propres {#m1,...,#mm} à l'ordre m, des circuits 420, 421, 422 de calcul des vecteurs propres {xm1,...,xmm} à l'ordre m et des circuits 430, 431, 432 de normalisation des vecteurs propres. Le circuit 401 de mise à jour du coefficient o: met à jour le coefficient a à l'ordre m-l en utilisant la relation (29): avec (relation (30)): a0 CO Le circuit 402 de mise à jour de la trace de la matrice de corrélation du signal met à jour la trace de la matrice de corrélation du signal à l'ordre m en utilisant à partir de la relation (38): Trace(RJ) = Trace(Rm~l)+ CYm-lTm~lTZ-I (38) avec: 1 Trnî Les circuits de calcul 410, 411, 412 des inverses des valeurs propres à l'ordre m procèdent chacun au calcul d'un inverse de valeur propre en recherchant un zéro du polynôme Fm(n) déterminé à partir des jeux des inverses des valeurs propres {#m-11,...,#m-1m-1} et des vecteurs propres normalisés Um 1 de la matrice de corrélation du signal, du coefficient crm,l et du jeu Ami des coefficients autorégressifs à l'ordre précédent m-1, à partir de la relation (37): Cette recherche d'un zéro s'effectue par une méthode dichotomique, sur une plage de variation limitée au départ, à un intervalle borné par deux inverses de valeurs propres consécutifs à l'ordre m-1, la plus petite borne inférieure étant zéro et la plus grande borne supérieure étant la trace de la matrice de corrélation du signal à l'ordre m. Les circuits de calcul 420, 421, 422 des vecteurs propres {xm1,...,xm-1m-1} de la matrice de corrélation du signal sont disposés chacun à la suite d'un circuit de calcul d'un inverse de valeur propre 410, 411, 412 afin de déterminer le vecteur propre correspondant à l'inverse de valeur propre obtenu. Ils procèdent à partir de l'inverse de valeur propre obtenu à l'ordre m nmiX des jeux des inverses des valeurs propres {#m-11,...,#m-1m-1} et des vecteurs propres normalisés Um 1 de la matrice de corrélation du signal et du jeu Ami des coefficients autorégressifs à l'ordre précédent m-1, à partir de la relation (39): .1 ~~~~~~~~ U+A rn murnîda7'i, Qi = - zinZU"Z~;diagi r rn-i avec: Urni =XnliiX7}iî,...,XnniiSli1 Um~l =[Xnz Xm~la Xm-I] Les circuits 430, 431, 432 de normalisation des vecteurs propres qui sont placés chacun à la suite d'un circuit de calcul 420, 421, 422 de vecteur propre réalisent la transformation: La figure 2 illustre les schémas possibles pour les circuits spécialisés 10 et 20 de calcul des erreurs de prédiction et du coefficient de réflexion. Le circuit spécialisé 10 de calcul des erreurs de prédiction à une structure de filtre en treillis avec une suite d'étages identiques définissant deux voies parallèles, I'une sur laquelle sont disponibles les erreurs de prédiction directe ex f,i,m m avec un ordre croissant au fil des étages et l'autre sur laquelle sont disponibles les erreurs de prédiction rétrograde Eb.i,m avec un ordre également croissant au fil des étages. Chaque étage met en oeuvre les relations de récurrence sur l'ordre: avec: Ef,i,O = Eb,i,o = Ui II comporte pour ce faire, sur la voie des erreurs de prédiction directe un sommateur (E:) à deux entrées, sur la voie des erreurs de prédiction rétrograde une cellule à retard (Z-1) retardant la valeur de l'erreur d'un échantillon de signal, suivie d'un sommateur (z) à deux entrées, et entre ces deux voies, deux multiplieurs (x) effectuant les produits croisés, I'un de l'erreur de prédiction directe disponible en entrée de l'étage avec le conjugué du coefficient de réflexion * j étant l'ordre de l'étage, pour l'appliquer au sommateur () de la voie de l'erreur de prédiction rétrograde, l'autre de l'erreur de prédiction rétrograde disponible en sortie de la cellule à retard (Z-1) de l'étage avec le coefficient de réflexion ptj, j étant l'ordre de l'étage, pour l'appliquer au sommateur (E) de la voie de l'erreur de prédiction directe L'ensemble des échantillons de signaux ui sont appliquées à différentes reprises à l'entrée du filtre en treillis. A chaque nouvelle passe, un coefficient de réflexion d'un ordre supérieur est déterminé, ce qui permet de progresser de cellule en cellule jusqu'à l'ordre désiré. Le circuit spécialisé 20 de calcul du coefficient de réflexion CL a été, représenté pour le cas le plus simple où il n'est pas prévu de régularisation. II comporte essentiellement deux parties 21 et 22 pour le calcul des terme D* et G du numérateur et du dénominateur de la fraction de définition du coefficient de réflexion selon la méthode du maximum d'entropie de Burg: Pour l'ordre m-l que l'on considère pour être en accord avec la figure 1, la partie 21 de calcul du terme D m-1 comporte un sommateur 210 à N-m+1 entrées connectées aux N-m +1 derniers étages de deux registres à décalage à N étages 211 et 212 par l'intermédiaire de circuits multiplieurs (x) et d'opérateurs conjugué(*). Le registre à décalage 211 est relié aux entrées du sommateur 210 par des opérateurs conjugués (*) et des multiplieurs (x). II est connecté par son entrée série au filtre en treillis 10, à la sortie du m-2 éme étage sur la voie de l'erreur de prédiction directe. Le registre à décalage 212 est relié aux entrées du sommateur 210 uniquement par des circuits multiplieurs (x) et est connecté par son entrée série au filtre en treillis 10, entre le circuit à retard (Z,1) et le sommateur (z) du m-lème étage, sur la voie de l'erreur de prédiction rétrograde. Un circuit multiplieur (x) connecté en sortie du sommateur 210 permet d'appliquer une pondération en 2/(N- m+l) après la sommation pour obtenir le terme D*m 1. La partie 22 de calcul du terme Gm 1 comporte un sommateur 220 à 2(N-m+l) entrées connectées aux sorties des N-m+l derniers étages de deux registres à décalages à N étages 221 et 222 par l'intermédiaire de circuits individuels de calcul du carré constitués d'un circuit multiplieur (x) à deux entrées réunies avec un opérateur conjugué (*) intercalé dans l'une de ses entrées. L'un 221 des registres à décalage est connecté par son entrée série au filtre en treillis 10, à la sortie du m-2éme étage, sur la voie de l'erreur de prédiction directe, tandis que l'autre registre à décalage 222 est connecté par son entrée série au filtre en treillis 10, entre le circuit à retard (Z-1) et le sommateur (S) du m-léme étage, sur la voie de l'erreur de prédiction rétrograde. Un circuit multiplieur (x) connecté en sortie du sommateur 220 permet d'appliquer une pondération en 1/(N+m+1) après la sommation pour obtenir le terme Gm 1. En plus des parties 21 et 22 de calcul des termes D*m 1 et Gm.î, le circuit spécialisé 20 de calcul du coefficient de réflexion sI comporte: un circuit multiplieur 23 placé en sortie du sortie de la partie de calcul 21 du terme D*m.î et opérant une multiplication par -1 pour tenir compte du signe moins figurant dans le quotient de définition du coefficient de réflexion, un circuit inverseur 24 placé en sortie de la partie de calcul 22 du terme Gm 1 et un circuit multiplieur 25 à deux entrées connectées, l'une à la sortie du circuit multiplieur 23 et l'autre à la sortie du circuit inverseur 24. Entre le circuit spécialisé 10 de calcul des erreurs de prédiction et le circuit spécialisé 20 de calcul du coefficient de réflexion, il y a des moyens de commutation qui permettent de changer le branchement d'étage en étage sur le filtre en treillis de manière à suivre l'évolution de ordre de détermination des erreurs et du coefficient de réflexion au cours des itérations successives des échantillons du signal à l'entrée du filtre en treillis 10. La figure 3 illustre un schéma possible pour le circuit spécialisé 30 de calcul des coefficients autorégressifs Am.î à l'ordre m-l Celui-ci met en oeuvre la relation de récurrence classique sur l'ordre donnée par l'équation de Levinson: pour l La première ligne qui détermine tous les coefficients autorégressifs d'indice 0 des modèles prédictifs ne contient aucun opérateur puisque tous ces coefficients ont une valeur unité. Les lignes suivantes qui déterminent les autres coefficients autorégressifs renferment une succession d'opérateurs conjugué (*), de multiplieurs (x) et de sommateurs (z) mettant en oeuvre la relation de récurrence. Par exemple, pour le coefficient autorégressif a21, la relation de récurrence donne: de sorte qu'il est obtenu à l'aide d'un sommateur (S) à deux entrées recevant sur une première entrée le coefficient a11 qui n'est autre que le coefficient de réflexion Cil et sur la deuxième entrée le terme pL2.(a11)* délivré par un multiplieur (x) recevant d'une part le coefficient de réflexion pL2 et d'autre part le coefficient autorégressif conjugué (a11)* ou pL*1 délivré par l'intermédiaire d'un opérateur conjugué (*) intercalé entre l'entrée du coefficient de réflexion p1 et l'entrée du multiplieur (x). Pour le coefficient autorégressif a31 la relation de récurrence donne la définition: ce qui est réalisé au moyen d'un sommateur (S), d'un multiplieur (x) et d'un opérateur conjugué (*) convenablement connectés. II en est ainsi jusqu'au coefficient autorégressif am.îmî qui est pris égal au coefficient de réflexion Um-1. La relation de récurrence déduite de l'équation de Levinson donne au circuit spécialisé 30 de calcul des coefficients autorégressifs une architecture pyramidale qui peut être mise en oeuvre par une combinaison de calculateurs en parallèle permettant d'atteindre une très grande vitesse de calcul. On peut facilement vérifier que le nouveau procédé de détermination des inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal par récurrence sur l'ordre donne les mêmes résultats que le procédé classique. II suffit pour cela de se limiter aux deux premiers ordres. Pour l'ordre m = 1, on a: de plus, la matrice de corrélation du signal se réduisant à c0, la détermination classique de la valeur propre donne: tandis que l'initialisation du procédé récursif donne: Pour l'ordre m=2, le procédé classique donne pour le calcul des deux valeurs propres: et pour le calcul des deux vecteurs propres (R2 -2)x2 =0 soit: Le procédé récursif donne, par application de la formule (22): Comme: il vient: Les deux valeurs propres sont données par les zéros du polynôme (formule (35)): On retrouve bien: Les vecteurs propres se déduisent de la formule (37) qui, à l'ordre m =2 s'écrit: ce qui donne, en considérant que la première composante des vecteurs propres est égale à 1: Outre la rapidité de calcul et l'extension du procédé de régularisation de la demande de brevet français précitée aux différentes méthode d'analyse spectrales haute résolution, le procédé de détermination des inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal par récurrence sur l'ordre permet aussi l'extension des différentes méthodes d'analyse spectrales haute résolution au cas multisegment et à la multirésolution. Pour le cas multisegment qui a été traité dans le cadre de la méthode du maximum d'entropie par Haykin, on peut se référer à l'article: [12] tlAYKIN S., CURRIE B. W., KESLER S. B., "Maximum Entropie Spectral Analysis of Radar Clutter.", Proceeding of the IEEE, vol. 70, n" 9, pp. 953962, Sept. 1982. II se justifie par une application importante, en technique radar, de l'analyse spectrale haute résolution qui est la discrimination de la signature spectrale du fouillis par rapport à celle des cibles. Cette application nécessite de pouvoir moyenner spatialement sur plusieurs cases de résolution distance et sur plusieurs azimuts car le fouillis se différencie des cibles par une corrélation spatio-doppler étendue. Une analyse spectrale haute résolution peut être faite sur un ensemble de récurrences cohérentes en Doppler provenant d'une même cellule de résolution du radar que l'on défini comme un segment de données radar. Cependant, une corrélation spatiale des données implique l'utilisation de segments de données provenant de cellules de résolution adjacentes en distance et en azimut pour lesquels on aimerait ne faire qu'une analyse spectrale. La difficulté réside dans la discontinuité temporelle entre les différents segments qui fait que les échantillons ne peuvent pas être simplement recombinés pour donner une unique chaîne de données prise comme signal de départ d'une analyse spectrale haute résolution. Pour tenir compte de cette difficulté, Haykin a proposé, dans la méthode du maximum d'entropie, d'adopter un coefficient de réflexion commun, dit multisegment, pour les différents segments de données que l'on veut prendre en compte. Ce coefficient de réflexion multisegment, calculé pour minimiser la moyenne spatio-arithmétique de la somme des puissances d'erreurs de prédiction sur l'ensemble des segments considérés qui constituent une fenêtre d'analyse éventuellement glissante, a pour expression: J étant le nombre des segments de données pris en compte, Ef,j,i,m-l l'erreur de prédiction dans le sens direct d'ordre m - 1 sur le ième échantillon du jéme segment de données et #b,j,i-1,m-1 l'erreur de prédiction dans le sens rétrograde d'ordre m - 1 sur le (i - î)éme échantillon du jème segment de données. En utilisant ce coefficient de réflexion multisegment, dans le procédé de détermination des inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation par récurrence sur l'ordre qui vient d'être décrit, on opère comme si l'on avait une matrice de corrélation du signal moyenne pour l'ensemble des segments de données pris en compte. Bien plus, comme l'enseigne la demande de brevet français précitée, on peut utilise un coefficient de réflexion multisegment régularisé de la forme: ou encore un coefficient de réflexion multisegment, régularisé et pondéré statistiquement pour ne prendre en compte que la population majoritaire des segment, de la forme: et K(Xj,,12) une fonction de pondération qui dépend d'une loi statistique en x2 et qui pondère faiblement les segments de données correspondant à des cellules appartenant à la population statistique minoritaire risquant de contenir une cible et fortement les segments de données appartenant à la population statistique majoritaire ne risquant pas de contenir une cible. Pour davantage de détails à son sujet, on se reportera à la demande de brevet français précitée. L'analyse multirésolution consiste à réaliser une découpe fréquentielle du signal, de préférence adaptative sur la base d'un critère entropique, au moyen d'un banc de filtres à structure en treillis, à effectuer une analyse spectrale haute résolution en sortie de chaque filtre et à reconstituer le spectre haute résolution du signal complet à partir des analyses spectrales haute résolution effectuées en sortie de chaque filtre. On montre en effet, qu'une prédiction à un ordre donné m à partir d'une décomposition en sous-bandes de fréquence est meilleure que la prédiction au meme ordre m sans décomposition en sous-bandes car l'erreur de prédiction dans le cas d'une décomposition préalable en sous-bandes est plus blanche que l'erreur de prédiction au même ordre en l'absence d'une telle décomposition, cela malgré le fait que l'on dispose de moins d'échantillons pour effectuer les analyses spectrales en sorties du banc de filtres qu'en entrée. L'analyste spectrale en sous-bandes de fréquence dite multirésolution s'accommode parfaitement du procédé de détermination des inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal par récurrence sur l'ordre qui vient d'être décrit car ce dernier procédé est adapté à un faible nombre d'échantillons de signal disponibles. Avec le procédé de détermination des inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal par récurrence sur l'ordre qui vient d'être décrit, il est également possible d'introduire un facteur d'oubli qui se reporte dans les diverses expressions du coefficient de réflexion en modifiant les termes Gm, GJ m OU ou m et D DJ m ou DJ.m' de la manière suivante: avec I'indice I représentant une itération soit dans le temps correspondant à des analyses spectrales successives sur un même segment, c'est-à-dire, en technique radar dans une même fenêtre distance azimut, soit dans l'espace, correspondant, en technique radar, à une fenêtre distance azimut glissante en distance, et le facteur g un facteur d'oubli. On remarque que l'oubli est d'autant plus rapide que le facteur d'oubli g est proche de 0. Comme mentionné en préambule, le procédé de détermination des inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation d'un signal par récurrence sur l'ordre qui vient d'être décrit peut être utilisé indifféremment en analyse spectrale, les échantillons du signal provenant d'un échantillonnage dans le temps d'un même signal et la fréquence angulaire o ayant alors pour valeur: w=2$ f étant une variable fréquentielle, ou en traitement d'antenne, les échantillons de signal provenant à un même instant d'un réseau linéaire de capteurs et la fréquence angulaire o ayant alors pour valeur: d O > = 2 n=- cos( 8) X étant la longueur d'onde, d l'espacement entre capteurs et û l'angle d'incidence du plan d'onde parvenant sur le réseau linéaire de capteurs. En conclusion, le procédé de détermination des inverses des valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal par récurrence sur l'ordre qui vient d'être décrit a l'avantage d'être plus rapide que le procédé habituel car il fait appel aux coefficients autorégressifs qui s'obtiennent au moyen d'une structure de filtre en treillis permettant un calcul en temps réel. En outre, comme il permet d'accéder aux pseudo-spectres des différentes méthodes d'analyse spectrale haute résolution par leurs formulations en fonction des valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal, même si celles-ci ne mettent pas en oeuvre explicitement les coefficients autorégressifs, il a également I'avantage de permettre de généraliser le procédé de régulation de la méthode du maximum d'entropie décrit dans la demande de brevet français n"95 06983 aux divers méthodes d'analyse spectrale haute résolution dont la méthode de la réponse sans distorsion à minimum de variance MVDR qui est préférable à la méthode du maximum d'entropie dans le cas d'un faible nombre d'échantillons de signal en raison des moindres fluctuations de son pseudo-spectre. Ce procédé de régulation, qui est supérieur à beaucoup d'autres par le conditionnement matriciel et la séparation des sous-espaces signal et bruit qu'il permet d'obtenir, par l'assurance de positivité de la matrice implicite qu'il donne et par l'avantage des calculs en temps réels provenant de la structure de filtre en treillis utilisée pour sa mise en oeuvre, permet d'éluder le problème du choix de l'ordre optimum posé par toute méthode d'analyse spectrale haute résolution et facilite l'estimation de la dimension du sous-espace signal, lorsque cela s'avère nécessaire , comme avec les méthodes MUSIC et de la norme minimum dont on a vu que l'utilisation était réservée aux cas où l'on disposait d'un nombre important d'échantillons du signal REVENDICATIONS 1. Procédé d'analyse spectrale haute résolution mettant en oeuvre les valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal échantillonné caractérisé en ce que les valeurs et vecteurs propres de la matrice de corrélation du signal pour un ordre m donné sont obtenus à partir de l'ordre précédent m-l en mettant en oeuvre les étapes successives suivantes: - détermination des paramètres autorégressifs {am-11, am-12,..,am-1m-1} à l'ordre inférieur m-1 permettant de prédire la valeur d'un échantillon u1 du signal en fonction des valeurs des m-1 échantillons précédents: où efim-1 est l'erreur de prédiction dans le sens direct, par le modèle d'ordre m-1, de l'échantillon ui,, à partir d'une loi de récurrence sur l'ordre m de la forme: zm-1 étant un coefficient de réflexion estimé sous une contrainte de moindre carré tendant à minimiser la somme des énergies des erreurs de prédiction sur les échantillons de signal, - détermination des inverses des valeurs propres {m11 #m2,..., #mm}, ordonnés par valeurs croissantes, de la matrice de corrélation du signal d'ordre m à partir des inverses des valeurs propres {#m-11, nm-12. Tlm-î m.1}, ordonnés par valeurs croissantes, et des vecteurs propres associés {xm-1,xm-12,...,xm-1m-1} de la matrice de corrélation du signal d'ordre immédiatement inférieur m-1 par la recherche des racines nmi du polynôme F(n) à variable n et de degré m: le terme o:m-1 étant défini par la loi de récurrence sur l'ordre m: Am-1+ étant le transposé conjugué du vecteur Am-1 valant: et les termes #pp-1-j correspondant à l'inverse de la jéme valeur propre dans l'ordre décroissant de la matrice de corrélation du signal d'ordre p: -fixation à 1 des premières composantes des vecteurs propres {xm1,Xm2, ,xmm} de la matrice de corrélation à l'ordre m et détermination de leurs autres composantes à partir des inverses des valeurs propres {#m-11, #m-12, ,#m-1m-1} et des vecteurs propres {xm-11, xm12, ,xm.îmî} de la matrice de corrélation du signal à l'ordre m-l et des valeurs propres {#m1, #m2,..,#mm} de la matrice de corrélation du signal d'ordre m, par la mise en oeuvre de la relation matricielle: i,[m- I] 1 1diag ~~~~~~~~~ i + Xrn - iii ni- I I '' ni-i i ni-i ni-i 1ni- = 77ni 71iii-i 1 71ni avec: Xrn =[x';;i[rniil Urnî =[)CnIii,X?;iî...,Xrnrnjii]! Xnn = (L i,[n7-l]] et Um~ I [x",~ I7XnZ '' rn- I ] et - normalisation des vecteurs propres obtenus à l'ordre m par application de la transformation 2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que la recherche des racines du polynôme Fm(n) de degré m donnant les inverses des valeurs propres de la matrice de corrélation du signal d'ordre m se fait par dichotomie, une racine étant recherchée dans chacun des intervalles bornés par les racines {#m-11, #m-12,...,#m-1m-1} du polynôme Fm 1(T) de degré m-l déterminées à l'ordre précédent m-1, par la valeur 0 et par la trace de la matrice de corrélation inverse d'ordre m déterminée par la relation de récurrence sur l'ordre m: Trace(Rrn1) = Trace(RJ,) + ) + am- lTn- lTm- 1 (36) avec: T ni-i =[A1,1 3. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que le coefficient de réflexion pIm utilisé pour la détermination des coefficients autorégressifs {am1, am21...amm} et du terme am en fonction des erreurs de prédiction directes et rétrogrades est obtenu par une relation de la forme: où N est le nombre d'éléments de la suite d'échantillons de signal disponibles, #f,n-1,m-1 l'erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle de prédiction d'ordre m-1, sur l'échantillon un-1 et Eb,n-1,m-1 l'erreur de prédiction, dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre m-1 sur l'échantillon un 1 compte tenu que l'on a 4. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que le coefficient de réflexion pim utilisé pour la détermination des coefficients autorégressifs {am1, am2,...amm} et du terme am en fonction des erreurs de prédiction directes et rétrogrades est régularisé et obtenu par une relation de la forme: y0 ety1 étant des coefficients de régularisation réels et positifs et les termes Dm et Gm définis par les relations: où N est le nombre d'éléments de la suite d'échantillons de signal disponibles, Ef,n-1,m-1 l'erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle de prédiction d'ordre m-1, sur l'échantillon un-1 et #b,n-1,m-1 l'erreur de prédiction, dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre m-1 sur l'échantillon u1. compte tenu que l'on a: 5. Procédé selon la revendication 1, appliqué à une famille de J signaux corrélés mais non cohérents, caractérisé en ce que l'on détermine des coefficients autorégressifs (am1, am2w...,amm} et un terme am communs aux J signaux au moyen d'un coefficient de réflexion i,mdit multisegment, commun aux J signaux, obtenu à partir de la relation J étant le nombre de signaux pris en compte,#f,j,i,m-1 l'erreur de prédiction dans le sens direct d'ordre m - 1 sur le iéme échantillon du jéme signal et E b,j,i-1m-1 l'erreur de prédiction dans le sens rétrograde d'ordre m - 1 sur le (i - 1)ème échantillon du jéme signal. 6. Procédé selon la revendication 1, appliqué à une famille de J signaux corrélés mais non cohérents, caractérisé en ce que l'on détermine des coefficients autorégressifs {am1, am2l...,amm} et un terme am communs aux J signaux au moyen d'un coefficient de réflexion i,mdit multisegment, commun aux J signaux et régularisé, obtenu à partir de la relation: &gamma;0 ety1 étant des coefficients de régularisation réels et positifs et les termes DJ,m et Gj,m définis par les relations: J étant le nombre de signaux pris en compte, #f,j,i,m-1 l'erreur de prédiction dans le sens direct d'ordre m - 1 sur le ième échantillon du jéme signal et #b,j,i-1,m-1 l'erreur de prédiction dans le sens rétrograde d'ordre m - 1 sur le (i - 1 )ème échantillon du jéme signal. 7. Procédé selon la revendication 1, appliqué à une famille de J signaux radar Doppler, corrélés mais non cohérents dont seule une minorité correspond à une cible, caractérisé en ce que l'on détermine des coefficients autorégressifs {am1, am2,...,amm} et un terme am communs aux J signaux au moyen d'un coefficient de réflexion i,mdit multisegment, commun aux J signaux, régularisé et pondéré statistiquement pour ne prendre en compte que la population majoritaire des signaux ne correspondant pas à une cible, obtenu à partir de la relation: et K(Xj,rn.i2) une fonction de pondération qui dépend d'une loi statistique en x2 et qui pondère faiblement les signaux appartenant à la population statistique minoritaire risquant de correspondre à une cible et fortement les signaux appartenant à la population statistique majoritaire ne risquant pas de correspondre à une cible.