Brevet FR2735594A1 — publié le 19961220

La présente invention est relative à l'analyse du spectre de fréquence d'un signal par une méthode haute résolution plus précise que la transformée de Fourier lorsque l'on ne dispose que d'un nombre réduit d'échantillons du signal. Elle concerne plus particulièrement une méthode d'analyse du spectre de fréquence d'un signal, à modélisation autorégressive, connue sous le nom de méthode du maximum d'entropie de Burg qui a fait l'objet d'articles dont: [1] Burg J. P., "Maximum entropy spectral analysis," in Proc. 37th Annual Inter. Meeting Society of Exploration Geophysicists (Oklaoma City, OK), Oct 31, 1967, et qui peut être utilisée dans des domaines très divers et notamment en radar pour le filtrage Doppler et la détection de rupture, c'est à dire d'un événement ne suivant pas la modélisation. La méthode d'analyse à modélisation autorégressive consiste à modéliser un signal complexe x(t) représenté par une suite d'échantillons complexes {xn} au moyen d'une loi de prédiction permettant de déduire la valeur d'un échantillon xn à partir d'une combinaison linéaire des valeurs des n-p échantillons précédents de la suite. Elle revient à rechercher une relation de prédiction dans le sens direct, de la forme: p xn = ef,,pZap,k.X,,-k (1) k=l o p est l'ordre du modèle, c'est à dire le nombre d'échantillons précédents de la suite pris en compte dans la prédiction, {apk} une suite de p coefficients complexes définissant le modèle et gfnp une erreur de prédiction dans le sens directe, par le modèle d'ordre p, de l'échantillon xn qui doit être assimilable à un bruit blanc si le modèle est fidèle. La modélisation est dite autorégressive car, en l'absence de bruit et d'erreurs de mesure sur les échantillons, elle est d'autant plus fidèle que l'ordre p du modèle est élevé. En pratique les bruits et erreurs de mesure font diverger la modélisation de sorte que l'on cherche à limiter l'ordre p de modélisation à la valeur la plus faible pour laquelle l'erreur de modélisation est assimilable à un bruit blanc. La modélisation permet de connaître le spectre de fréquence d'un signal x(t) échantillonné régulièrement. En effet, on peut déduire de la relation (1), la relation: p Sf,n,p= lap,k.Xn-k (2) k=0 avec ap. o =1, qui devient par transformée de Fourier de ses deux membres: Efl,,p(f) = lap,k e- JX(f) (k=O avec: TF Sf pn(t) TF Efpn(f) x(t)- TF > X(f) On en déduit: 2 P 2 E15f = Ef X1=apk.e-j2&f |X(f)12 En supposant que le modèle est fiable, c'est-à-dire que 8fnp est un bruit blanc, on peut poser: |Ef 771 1(f)| = P1 f,f,p o Pfnp est la puissance de l'erreur de prédiction directe du modèle d'ordre p pour l'échantillon x. Il vient alors: IX(f)12 = p ZJap,k.ej2"k la suite des coefficients {apk} du modèle. Le modèle autorégressif défini par la suite des coefficients {apk} de la loi de prédiction dans le sens direct de l'échantillon xn en fonction des n-p échantillons précédents a également la propriété, qui sera utilisée dans la suite, de correspondre à une loi de prédiction dans le sens rétrograde de l'échantillon xn. en fonction des n-p échantillons suivants. Car on a également: p Xi-,p = b,n,p - apk Xn-p+k k=l o * désigne l'opérateur conjugué et,bnp une erreur de prédiction dans le sens rétrograde du modèle d'ordre p sur la valeur de l'échantillon xnp. Les méthodes d'analyse spectrale à modèle autorégressif pose le problème de la détermination de la suite des coefficients complexes {apk} définissant le modèle adopté. Une solution connue est la méthode des moindres carrés qui se base sur une minimisation de la somme des carrés des erreurs de prédiction dans le sens direct úf,n,p pour n variant de 0 à N-p+1, les échantillons xn étant supposés nuls en dehors de l'intervalle [1, N]. On a, d'après la relation (2): 2 p 2 YZkflR pl = X Zapk.xn-,k (3) nt n k=O Pour minimiser cette somme de carrés d'erreurs, il faut annuler ses dérivées par rapport à la suite {apk} des coefficients du modèle, ce qui se traduit par le système d'équations linéaires: p aapk Zxtik.x*-j_)= Vj E[1,...,p] k=O t é ou encore, puisque ap.o est égal à un par définition: %,xn,_-j =-% ap,k x.. nk _*-j Vj VE[I,...,p] n k=1 n En posant: ci= 7x,,.x*,_ (4) (5) Ap=[ap,=,..,app]T (6) T étant l'opérateur de transposition, et: co ci cp-1 CI Co ci cp-2 Qp-= cp_1 cp_2 co on peut réécrire le système d'équations sous une forme matricielle et aboutir à l'équation normale de Yule-Walker: çpAp = -Cp (7) d'o l'on tire la valeur du vecteur Ap des coefficients du modèle d'ordre p: A Ap = -f);1Cp P pP -1 étant l'opérateur d'inversion. On voit que la méthode des moindres carrés nécessite une estimation d'une matrice d'autocorrélation.Qp d'ordre p et son inversion ce qui représente un nombre élevé de calculs. Pour diminuer le nombre de calculs, Levinson a recherché une formule de récurrence sur l'ordre du modèle. Pour ce faire, il a eu recours à l'opérateur suivant: V() =J.V o J est la matrice unité antidiagonale. Avec cet opérateur, la matrice d'autocorrélation Qp d'ordre p peut être réécrite, en fonction de la matrice d'autocorrélation n., d'ordre p-1, de la manière suivante: P'p-1 C _ ç P I c J Cp-1 CO J o + est l'opérateur transconjugué. En notant A'm les m premiers coefficients P du modèle d'ordre p, on peut écrire: Ap = [AP-',a,] ce qui permet de mettre l'équation normale de Yule-Walker sous la forme: [p-1 cH jiLpjC C Co a 1-[ c On en tire une première équation matricielle: /p-1.AP- + app.C(-) =-Cp- que l'on transforme en: Apr-1 + -rla C l o-1 C(-) pP l+app.p- l ' p-l= -2pl-l Cp-1 En remarquant, d'après la relation (7) et la définition de l'opérateur (-) que: Ap- -n- JCP- et que: pI=- p-l' p-1 il vient: App-l = Ap_l + app. A(-) D'o une relation de récurrence sur les coefficients des modèles en fonction de leur ordre: apk = ap-l,k + ap,p ap-l,p-k qui permet de déterminer les coefficients d'un modèle d'ordre p à partir des coefficients du modèle d'ordre immédiatement inférieur p-1 à condition d'avoir déterminé au préalable le dernier coefficient app et, par conséquent d'utiliser une structure de calcul récursive sur l'ordre pour les calculs de tous les coefficients d'un modèle à l'exception du dernier. Malheureusement, la détermination du dernier coefficient app est délicate car elle met en oeuvre les équations restantes du système d'équations normales de Yule-Walker. La méthode d'analyse spectrale à modèle autorégressif de Burg reprend l'approche de Levinson pour la détermination des p-1 premiers coefficients d'un modèle de prédiction d'ordre p mais remplace la détermination du dernier coefficient ap.p par une estimation sous une contrainte de moindre carré utilisant la somme des énergies des erreurs de prédiction linéaire directe et rétrograde. Ces dernières sont données par: P | fnp = X* + %ap,k.xn-k k=l P úb,n,p = xn + > ap k.x"-p+ k k=l P ce qui, en tenant compte de la relation de récurrence de Levinson: apk = ap-l,k +p ap_ al,p-k o.p est une estimation du coefficient app appelée coefficient de réflexion, conduit aux relations de récurrence: Cf,n,p+l = f,n,p + Pp+1 úb,n- l,p n n=p+2,......,N (8) l'b,n,p+l = úb,n-l,p +,p+l'f,nP La moyenne de la somme des énergies d'erreur vaut: P+ 2 (f,P+ + Pb,p+l) 2(N- p+ i,,p+l + bnp+l] p 2'P 2(N - P+1) n= 2L'' Le coefficient!tp+ 1 qui minimise cette moyenne de somme d'énergies est tel que: 1 5 ú5P =0 ô/Up+l ce qui entraîne, en substituant dans la formule de Pp+, les expressions des erreurs de prédiction directe et rétrograde à l'ordre immédiatement inférieur p, la relation: N -2 3 6f',,,p' b,,-1,p / =+ (9) úf,,p + úb,_n-lp] n=p+2 Pour le calcul des termes d'erreurs de prédiction directe et rétrograde figurant au numérateur et dénominateur de la relation précédente (9) de définition d'un coefficient de réflexion, on met en application les relations (8) entre les erreurs de prédiction faisant intervenir une récurrence sur l'ordre du modèle initialisée à partir de l'échantillon de signal xn, cela au moyen d'une structure de calculateur en filtre en treillis. Cette structure en filtre en treillis impose pour éviter que les erreurs divergent avec une augmentation de l'ordre du modèle, que le filtre inverse soit stable, ce qui implique que le module du coefficient de réflexion soit inférieur à un. Le choix d'une structure de calculateur en treillis plutôt que d'une structure transverse présente le triple avantage d'une implémentation matérielle simplifiée et d'une meilleure robustesse vis-à-vis des bruits de troncature et des bruits de mesure. Une application importante, en radar, de l'analyse spectrale à modèle autorégressif par la méthode du maximum d'entropie de Burg est la discrimination de la signature spectrale du fouillis par rapport à celle des cibles. Cette application nécessite de pouvoir moyenner spatialement sur plusieurs cases de résolution distance et sur plusieurs azimuts car le fouillis se différencie des cibles par une corrélation spatio-doppler étendue. Un segment de données radar est défini comme un ensemble de récurrences cohérentes en Doppler provenant d'une même cellule de résolution du radar. Une corrélation spatiale des données implique l'utilisation de segments de données provenant de cellules de résolution adjacentes en distance et en azimut. La difficulté dans la combinaison de ces segments de données réside dans la discontinuité temporelle entre les différents segments. A cause de cette discontinuité, les échantillons ne peuvent pas être simplement recombinés pour donner une unique chaîne de données prise comme signal d'entrée pour l'algorithme de Burg. Pour résoudre ce problème, Haykin a proposé dans un article: [2] Haykin S., Currie B. W., Kesler S. B., "Maximum entropie spectral analysis of radar clutter", Proceeding of the IEEE, vol. 70, n 9, pp.953-962, Sept. 1982, une version multisegment de l'algorithme de Burg. Cela consiste à modifier l'algorithme de Burg pour définir autant de filtres en treillis que de segments et, à chaque étape un coefficient de réflexion commun calculé pour minimiser la somme des erreurs de chaque filtre. On effectue alors la procédure d'estimation du coefficient de réflexion sous une contrainte de moindre carré sur la moyenne des énergies des erreurs de prédiction sur l'ensemble des segments. Le coefficient de réflexion est ensuite réinjecté dans les différents filtres à structure en treillis. Supposons accessibles pour l'analyse I segments disjoints d'échantillons: I {X',} avec i=1....,l et N =Ni i=1 On définit I filtres treillis ayant des erreurs de prédiction linéaire directe et rétrograde: { f,i,n,p+l = ef,i,n,p + p+l-b,i,n-l,p l úb,i,n,p+1 = úb,i,n- l,p +,up+I1 6f,i,n,p avec n = p+2, p+3,..... Net i = 1, 2,..., l. La moyenne spatio-arithmétique de la somme des énergies d'erreur sur les I segments donne: " N' Pj',P1 -iFp+l2(N, 1) ú$,.p+l + 1binp+ 1l] =.2(N -1p -i) I -'=i=1 i-P- 'n=p+2- En substituant dans la formule précédente les expressions des erreurs de prédiction directe et rétrograde à l'ordre immédiatement inférieur p et en écrivant que la valeur recherchée du coefficient de réflexion 1,p+ annule l'expression: PIp+l =-0 /qI,p+l il vient: I Ni -2 Z cf,i,,, p'4,i,n-l,p i=ln=p+2 /'I,P+1 = ú + = bNi,i-l,p" i= In=p+ 2 Dans une analyse spectrale à modèle autorégressif par la méthode du maximum d'entropie de Burg, comme par la méthode des moindres carrés, le choix de l'ordre du modèle de prédiction est un problème crucial qui a des conséquences directes sur la résolution de l'analyse spectrale. Un ordre faible délivrera un spectre de fréquence lissé gommant des pics existants tandis qu'un ordre trop important induira des pics parasites dans le spectre de fréquence. De nombreux critères statistiques ont été proposés pour estimer l'ordre optimal auquel il est préférable de s'arrêter: - des critères basés sur l'énergie de l'erreur de prédiction (critères de Akaike, de Hannan, de Rissanen), - des critères basés sur la blancheur du résidu (test statistique de porte manteau, mesure de l'aplatissement du spectre), - des critères basés sur une optimisation d'un compromis entre un terme de biais et un terme de variance. Ces critères statistiques, parfois coûteux en calculs, sont limités aux cas o l'horizon d'analyse est important. En effet, ils présupposent une répartition normale des erreurs qui, lorsqu'elle n'est pas vérifiée, notamment en cas d'un horizon d'analyse court, rend inconsistante l'estimation sous- jacente de l'ordre du modèle autorégressif. Dans certaines applications, comme celles liées au radar, l'incertitude sur la détermination de l'ordre du modèle autorégressif peut être grande en raison d'un l'horizon d'observation qui est extrêmement court. Pour résoudre ce problème d'estimation de l'ordre du modèle de prédiction d'un processus d'analyse spectrale autorégressive, Kitagawa et Gersch ont proposé dans leurs articles: [3] Kitagawa G., Gersch W., "A smoothness prior Time-varying AR coefficient modeling of nonstationary covariance time series", IEEE Trans. AC-30, n 1, pp. 48-56, January 1985, [4] Kitagawa G., Gersch W., "A smoothness prior long AR model method for spectral estimation", IEEE Trans. AC-30, n 1, pp. 57-65, January 1985, une solution dans le cadre de la méthode des moindres carrés connue sous la dénomination de méthode des moindres carrés régularisés. Cette solution consiste à rajouter au critère des moindres carrés une fonction régularisante tendant à imposer une variation douce au spectre de puissance déduit des coefficients du modèle de prédiction afin de permettre d'atteindre l'ordre maximum du modèle sans laisser se développer les pics parasites dans le spectre de puissance. Au lieu de minimiser le critère simple des moindres carrés J(Ap) dont l'expression reprise de la relation (3) est: J(Ap) = |,apk.x,1k' avec Ap = [apl,.,ap,p] T n k=0 on minimise un critère: I(Ap) = J(Ap) + R(Ap) o R(Ap) est une fonction régularisante déduite de la fonction de transfert Hp(f) du filtre correspondant à la loi de prédiction d'un modèle d'ordre p: P Hp(f)= Z apkeJ2tf k=O au moyen de la relation suivante: _1/2 d Hp (f d R(Ap)= k.Rp,k avec Rp,k =- l/2 dk j.df k En se limitant aux deux premiers ordres il vient: R\(Ap)=,ofl/1/2 Hp(f)2.df +)l,12 df f ou encore: R(AP) =,o p a k + l21(2)2 kapk = O + 2l(2r)2k2 al.2 k=- ÀP p,k k=O k=l k=O La méthode des moindres carrés appliquée à ce critère l(Ap) donne les coefficients ap,k du modèle d'ordre p comme solution du système de p équations linéaires: d(A) dJ(A)=0dR(A) Vj e[1,...,p] dapj dap. dap. y qui peut se mettre sous la forme: aPkI/J "2.x,,J + 2(o +1.(2zff) j =)a VJ[,...,p] k=O) En notant D la matrice diagonale définie par: D= Diag [,o + 2l.(2 z)2.p]2]...,[20 + 21.(2 z)2} et en reprenant les notations vectorielles et matricielles des relations (4, 5 et 6) on peut réécrire le système d'équations donnant les coefficients du modèle de prédiction d'ordre p sous la forme matricielle apparentée à l'équation normale de Yule-Walker: (Op +DT. D)Ap =-Cp D'o: Ap = -(Op + DT.D) -.Cp On voit donc que la régularisation revient à ajouter aux des termes diagonaux de la matrice d'autocorrélation np d'ordre p mesurée, des termes de régularisation avant de l'inverser. Cet ajout permet de rendre cette matrice d'autocorrélation positive semi-définie pour lui conserver un caractère physique qu'elle peut avoir perdu en raison des erreurs de mesure. Pour optimiser les coefficients Xo et Il au sens du maximum de vraisemblance, on observe que le critère des moindres carrés régularisés aboutit à la maximisation du terme: exp{- P (J(Ap) + R(AP))} avec une loi a posteriori définie par la distribution conditionnelle des données f (x/lAp Pp) = kl ex p [J(Ap)] et une loi a priori f(A/2I0,x, Pp)= k2 exp{1 [R(Ap)]} Les lois étant gaussiennes, la vraisemblance de ces paramètres Io et À, est également gaussienne et est obtenue par intégration: V(Pp,20,21/x) f (xlApPp).f (ApI ,=, Pp) dp et la maximisation de Log[V(Pp,2o ,2/x)] donne les valeurs optimales des coefficients 0 et A,. Ces paramètres -o et I. sont choisis en fonction du type d'application pour un bruit de mesure donné mais sont peu sensibles à des erreurs d'un facteur 10. Par exemple, pour une application de détermination de spectre Doppler en technique radar, le paramètre X0 peut être pris de l'ordre de 1 et le paramètre., de l'ordre de 0,001. La méthode des moindres carrés régularisés développée par Kitagawa et Gersch permet de choisir un ordre de modèle de prédiction élevé sous une contrainte de douceur spectrale. Cependant, elle ne convient pas quand le nombre d'échantillons disponibles de signal est faible. Dans ce cas, la méthode du maximum d'entropie de Burg est préférable car elle est plus simple à implémenter (pas d'inversion de matrice mais uniquement des calculs linéaires) et plus robuste face aux bruits de calcul et aux erreurs de quantification et d'arrondis. Pour régulariser la méthode du maximum d'entropie de Burg, Silverstein et Pimbley ont proposé dans l'article: [5] Silverstein S. D., Pimbley J. M. 'The minimum free energy regularisation connection: Linear-MFE", Marpie Press, 23 ACSSC, pp.365-370, 1989 une approche par minimum d'énergie libre. On a vu précédemment que les coefficients apk d'un modèle de prédiction autorégressif d'ordre p et les coefficients ap1,k du modèle de prédiction autorégressif d'ordre immédiatement inférieur p-1 étaient liés par la condition de Levinson: apk = ap-l,k + ip.aplpk k e[1,,p- l] avec: app = plp et aj,0 = 1 VjE[1,...,p] Pour les fonctions de transfert HP(p) et Hp.,(f) des filtres prédictifs associés aux modèles: p j2-fp-1 jmf Hp(f)H = Zf apk.e-J2 f Hp _l(f)= 1 ap_lk.e-j2I9k k=O k=O cela conduit à une relation de récurrence de la forme: Hp(f) = Hp_l(f)+,up.e-j2,f.H;_l(f) L'idée est de modifier le critère minimisé par Burg qui est la moyenne des puissances d'erreur de prédiction directe et rétrograde: N 1+ Nf jjj2 ú j 2.(N- p),!+ + kb 2) par un terme correctif Lp /_ ISP (f)12] de sorte que l'on se retrouve avec un nouveau critère à minimiser de la forme: Ep=Up-aLp appelé énergie libre par référence avec un système physique pour lequel Up représenterait l'énergie, Lp l'entropie et a la température effective. Le choix du coefficient de réflexion tpi minimisant ce nouveau critère est tel l0 que l'on ait: dEP =dUP adLP= -a =0 ce qui conduit à la résolution u dpu troisième ce qui conduit à la résolution d'une équation à coefficients réels du troisième degré en yp de la forme: (1 - p) (yp.( G + ID 1) = -2ayp (10) avec: NGp =1 P 2lf,n,p- 1+ lúb,n-l,P-1] N Pi=p+1 2 N YPD "P= I I (11) On remarque que pour a égal zéro, on retrouve la solution classique de Burg. En effet, le polynôme a alors trois racines:+1, -1 et -IDpI/Gp de sorte que l'on a trois valeurs possibles pour le coefficient de réflexion pp D* D D __p+ p p ID lDP IDp| Gp Comme on souhaite que.pp soit strictement inférieur en norme à 1, seule la dernière valeur convient: D * DP p = Gp Dans le cas o a 0, on montre qu'il n'existe qu'une seule solution donnant un coefficient de réflexion dont le module soit strictement inférieur à 1. La régularisation de l'algorithme de Burg par l'approche du minimum d'énergie libre développée par Silverstein et Pimbley consiste donc à: calculer les termes Dp et Gp à partir de leurs définitions des relations (11), is établir l'équation du troisième degré en Ym de la relation (10), calculer les trois racines de cette équation, sélectionner celle YmO dont le module est strictement inférieur à un, calculer le coefficient de réflexion pp à partir de la relation: D* p Jup = YmOD IDp et calculer les coefficients apk du modèle par la relation de récurrence habituelle: apk = ap-lk +#p ap_l,p-k Par rapport à la méthode de Burg non régularisée, elle demande un surcroît de calcul consistant à la recherche des racines de l'équation du troisième degré en ym La présente invention a pour but une autre manière de régulariser la méthode de Burg qui soit moins contraignante du point de vue calcul. Car on n'a vu que, si ce n'était ce besoin de régularisation, la méthode de Burg avait, par rapport à la méthode des moindres carrés le triple avantage d'être implantable en temps réel, à un coût calculatoire faible, avec une structure en treillis, d'être généralisable au cas multisegment introduit par Haykin dans le cas du filtrage fréquentiel ou du lissage temporel de l'analyse spectrale et d'être robuste face au bruit de calcul, aux erreurs de quantification et d'arrondis. La présente invention a pour objet un premier procédé de détermination du spectre de fréquence d'un signal échantillonné {xn} consistant à évaluer les coefficients {apk} d'un modèle de prédiction d'ordre p qui correspondent à une loi de prédiction du nième échantillon Xn à partir des n-p échantillons précédents {X"_k}, k variant de 1 à p, de la forme: p Xn = sf,.,p - ap,k.Xn-k k=l o Sfnp est une erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle d'ordre p, de l'échantillon xn, et qui donnent une estimation de la puissance du spectre de fréquence du signal échantillonné sous la forme: IX(f)12 P 2 J apk.e -j2;Tf| k=O o ap.0 vaut 1 et o Pp est la puissance de l'erreur de prédiction directe du modèle d'ordre p pour l'échantillon xn, lorsque le modèle est fiable c'est à dire que la dite erreur est un bruit blanc, à partir d'une loi de récurrence sur I'ordre p du modèle de la forme: * apk = apI,k +p.aplI,p-k *désignant l'opérateur conjugué, avec: apo = 1 aplO =1 k E[1,...p-1] pp étant un coefficient de réflexion déterminé à partir des termes: N Dp N P e +lb,n-l,p-l +,n,p-l - r, = úf,,,,p--1+[úb,,,-1,p_-1] Gp N '=p+ o sjr, p. désigne l'erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle de prédiction d'ordre p - 1, sur l'échantillon xn et,br.lp-1 I'erreur de prédiction, dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre p - 1, sur l'échantillon x".p: p-1 X,-p =;b,_-l,p-1apl,k.x,-p+k k=l Ce procédé est remarquable en ce que le coefficient de réflexion ip est déterminé par une relation de la forme: D+ 2 [ o + 2,.(2).(k - p)]ap2k a 1 k * p-k aP k_=_ Gp+2 [2o + A.(2)2.(k.- p)2]. IapIlk k=O o Xo et X1 sont des coefficients réels positifs. L'invention a également pour objet un deuxième procédé de détermination du spectre de fréquence de la moyenne d'une famille de I signaux échantillonnés {x.}1 consistant à évaluer les coefficients {apk} d'un modèle de prédiction d'ordre p qui correspondent à une loi de prédiction du nième échantillon xi,.n à partir des n-p échantillons précédents {xn. k}, k variant de 1 à p, de la forme: P p. xi, = if,i,,p - Y ap,k.xi,,- k i e[1,...,I] k=l O Cfinp est une erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle d'ordre p, de l'échantillon xi,n du signal i et qui donnent une estimation de la moyenne des puissances des spectres de fréquence des signaux échantillonnés sous la forme: IX(f)12 - PiP Cap k.e-j2,f k=O o ap0 vaut 1 et o P.p est la moyenne des puissances des erreurs de prédiction directe du modèle d'ordre p pour les nièmes échantillons xn des I signaux lorsque le modèle est fiable c'est-à- dire que les dites erreurs sont des bruits blancs, à partir d'une loi de récurrence sur l'ordre p du modèle de la forme: apk = ap-l,k +/I,p.ap_ lp-k * désignant l'opérateur conjugué, avec: apo =1 ap-l,O=1 k e[1,...p - 1] éR p étant un coefficient de réflexion déterminé à partir des termes: DI inN 1 2 1 ip= (N- p)I i=,=+1 ) i=lln=p+l GIp (N_- p), + i=n= pL o 8fnp. désigne l'erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle de prédiction d'ordre p - 1, sur le nième échantillon du ième signal et 5bin- PIIP P-1 - GIP + 2 1 [0 + 21.(2z)2.(k - p)2]Iaplk12 k=0 o Xo et Au sont des coefficients réels positifs. L'invention a également pour objet un dispositif de mise en oeuvre du premier procédé précité. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention ressortiront de la description ci-après d'un mode de réalisation donné à titre d'exemple. Cette description sera faite en regard du dessin dans lequel: - une figure 1 représente un circuit de calcul par récurrence sur l'ordre p des coefficients {apO,...,app} du modèle de prédiction en fonction des différents coefficients de réflexion {,..,p} obtenus par la méthode de Burg; - une figure 2 représente un circuit de calcul par récurrence des différents coefficients de réflexion {zi,.... pp} à partir des différentes erreurs de prédiction directe et rétrograde selon une méthode de Burg régularisée par le procédé selon l'invention; et - des figures 3, 4 et 5 montrent les différents spectres de fréquence obtenus par la méthode de Burg respectivement non régularisée, régularisée par le procédé du minimum d'énergie libre et régularisée par le procédé selon l'invention, pour un signal complexe présentant deux raies de fréquence, dont on a tiré, au cours de dix tirages aléatoires, dix échantillons régulièrement répartis. Comme cela a été rappelé précédemment, l'analyse de spectre d'un signal échantillonné {xn} grâce à un modèle autorégressif par la méthode du maximum d'entropie de Burg consiste à déterminer les coefficients {ap.,.. .app} d'un modèle de prédiction d'ordre p qui correspond à une loi de prédiction du nième échantillon xn à partir des n-p échantillons précédents {X,.k}, k variant de 1 à p, de la forme: pu xn = fnp - 1 ap, k Xn_-k k=l o Ef,np est une erreur de prédiction dans le sens direct, par le modèle d'ordre p, de l'échantillon x., à partir d'une loi de récurrence sur l'ordre p du modèle de la forme: * apk = ap_],k +#p. ap_lpk (12) * désignant l'opérateur conjugué, avec: ap. = 1 apl.o = 1 p-lIO ktant un coefficient de rfexion dtermin p artir de la relation:1] PP étant un coefficient de réflexion déterminé à partir de la relation: D* U p = (13) Gp avec: Dp= N ef = úb,n_lp_l.úf,)7p_l( fnp-l 1 (14) |p = N_1 1 úf,,p-11 + úb,n-l,p-11] Gp=N- pln=p+l o,p. désignant l'erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle de prédiction d'ordre p - 1, sur l'échantillon x, et Eb,,,-,p-1 l'erreur de prédiction, dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre p- 1, sur l'échantillon xn.p p-i Xn-p = úb,n--1 p - t aplk.xn-p+k k=l Cette méthode de détermination du coefficient de réflexion.p revient à rechercher un maximum d'entropie, c'est-à-dire la minimisation du terme: = p+12+ Ep=Up-2(N-P) 1 úf ""P +j bnp (15) Elle a pour inconvénient d'avoir une fiabilité très sensible au choix de l'ordre p du modèle de prédiction, un ordre trop faible donnant une estimation du spectre de fréquence trop fruste ne reproduisant pas tous les pics existant tandis qu'un ordre trop élevé induit des pics parasites dans l'estimation du spectre de fréquence. On se propose, pour permettre d'atteindre un ordre maximum sans laisser se développer des pics parasites dans l'estimation du spectre, de rajouter au critère à minimiser la fonction de régularisation employée par Kitagawa etGersch dans le cadre de l'analyse spectrale par la méthode des moindres carrés. Le critère à minimiser devient: Ep= Up + E k'Rp,k k dans lequel: k 2 1/2 dkHp (f) RP,k -1/2 Zk [ dfk.f o Hp(f) est la fonction de transfert du filtre prédictif associé au modèle prédictif d'ordre p P Hp(f) ap,k.eJ2f (16) k=O Pour la suite, on se limite à une fonction régularisatrice d'ordre 1, c'est-à-dire que l'on adopte, comme critère à minimiser le terme: Ep = Up + oRpo + iRp,j La minimisation consiste à annuler le gradient de ce terme par rapport à gp 6úE V/p Ep =,p 0 (17) ce qui s'écrit encore: Vp Ep=V Up +oV pRpo+AV2p Rpl = (18) Pour expliciter cette relation, on calcule d'abord le terme VUp. D'après la relation (12) on a: IVppUp=2(-P Vpl -f, ll,pl + Vp1 _btp1 1() l:+ En tenant compte des relations de récurrence sur les erreurs de prédiction directe et rétrograde qui découlent de la relation de récurrence (12) sur les coefficients du modèle de prédiction: f,n,p = f,n,p-1 +/p b,n-l,p-1 úb,n,p = Eb,n,p-1 + /pSf,n,p-1 et en utilisant la définition de la dérivation complexe suivante: V pUp = ÈUP +j ÈP+ j ""' 5Re[up] c5Jm[ap] on montre que: VI v, S Jfl"pl = 2. 6bn-1,p-V fZ. { 2, V,P cbi,p = 2-=úf,,p-1.b,np On obtient alors: V. Up =,p. Gp+D* p avec: 2 N Dp =N E 1b,,-1,p-l-f,7,p-1 -PII=p+l Gp =- glf,ll, p-ll +I eb,ti- lp-l] N P n=p+l i+ On passe ensuite au calcul de Vup RpO. Par hypothèse, on a: Rp,o = 1/22HP(f)l df (19) de sorte que: Vup Rp,0 = 1/2 v1H(f)|2.df En raison de la relation de récurrence (12) sur les coefficients du modèle de prédiction et de leur relation de définition (16), il existe aussi une relation de récurrence entre les fonctions de transferts des filtres prédictifs correspondants en fonction de l'ordre. Cette relation est la suivante: Hp(f) = Hp_(f) +,up. e-Jj2P.H;p-l(f) (20) En tenant compte du fait que: IHp (f)2 = H: (f).H* f) on peut écrire: jHp(f)2 = [Hpl(f) + pe2. _l ()].[Hl () + p.eJ2fP.Hp_l(f)] [Hplf)+p.e'1PH H_*)p.i"f. plf ce qui peut se mettre sous la forme: |Hp(f)12=.1+ D f 1 + (APy + YP avec: Yp = ej2fp.H2_l(f) On en déduit que: Vp IHp(f)12 = 2.,up. Hp-l(f)12 + 2.ej2'nf.H2_ (f) En remarquant que: V H P(f)= 2.leJ2f.p_l(f) on obtient une première relation: VJ Hp(f)I = 2.,up,.H._,(f)| + V,, H(f).Hp-.(f) (21) Cette relation permet de remonter à l'expression du gradient de Rpo. En effet, on a par définition en raison de la relation (16): p-I Hpl(f) =, aplk.e- 2 k=O En tenant compte de la relation (19) de définition du gradient de Rpo, on obtient par intégration de la relation (21): 1/2 2cl-IP-1 h/2 -j2a(k+l-p)f.d V/apRp,o = 2./p.-1i/2IHpl (f)|.df + 2. E a p -1k.ap -,_1/2e k=01=0 Or: i/2 -j2(k+l-p)f.df = 5k+l-p (symbole de Kronecker) f_!1/2e et: I1/I2IH-( df = Rp_ o0 de sorte que l'on déduit de l'équation précédente la relation: p-i V/, Rp 0 = 2.p. Rplo + 2. ap-l,k. ap-l,p-k (22) k=l Le terme Rp.,0 peut être développé comme suit Rp-lo = |/2H 12(f.) df = -1/2 Hp_(f).Hp_, (f).df ou encore: p-1 p-I À rl-,/2 e-2k-l)f.d Rp_l,0 = E 1 ap-l,k.ap_l. J _/2df k=o01=0o Or: 1/2 'j2-k-I)f.df = 6kI (symbole de Kronecker) d'o:1/2 d'o: p-1 1 [2 Rp-,o 1= ap-,k| (23) k=O En utilisant cette dernière expression dans la relation (22) on obtient: p- 1 p-1 Vp Rpo = 2-p-. apl +2. 1 aplk.aplp-k (24) k=O k=l Pour continuer le développement de la relation (18), il reste à calculer le terme suivant: VupRpl= 1l/2 dp V(f)1 df (25) En raison de la relation de récurrence (20) sur la fonction de transfert du filtre prédictif associé au modèle: Hp( f) = Hp_l(f) + p. e-J2fP. H * (H f) que l'on peut noter: Hp(f)= Hp-_(f) + lp. Tp (f) avec: Tp(f) = e-J24fP. H l(f) (26) on peut écrire que: dH"p(f)2_ dHp(f) dHp(f)) df df df vaut également: dHp(f)2 = dH p_1(f) dTp(f) dHp_l (f)) * dTp(f)*) | df | df p df) df p df)H Cela s'écrit encore: IdHp(f) 2 dHp- If2(p12 T f)2+ 2p | H.(s)|2 |i l(f)j2 p 12 E +8,.(Mp(f))* +,,. Mp() df - df +dfiv ()+ipMf en posant: M()/ (d*. (f))dHp (f) (27) [,df.) df En passant au gradient, on obtient: IdHp(f)l dTp (f)2 = 2.,p drV +2.Mp(f) (28) Pdf df Pour évaluer Mp(f), on remarque que d'après les relations de définition (27) et (26) on a: M(f)-e}2'7' C dHp-l(f) 2 + j2;rfp dHp-l(f) Mp(f)= eJ2fp.(d't-(f)2+ j2;rp.e.. Hp_l(f) df J ''df Pour évaluer: dTp(f)2 df on remarque que: [dHd - (f)J(f) df) df car: p-1 aHp_(f)=e apjlk.e- j2P k=O de sorte que l'on peut écrire: dT, (f)2 (2 z)22 2 dHp_. (f) | df |=(27).p.IHp-i(f)J + d +zp(f)+Z*(f) avec: Zp (f) = - j2 p. H* (f).dHip-(f) df Pour calculer l'expression (25), il faut intégrer chacun des termes de la relation (28). Il vient pour le premier terme: +(2 Ir)2. p. elj2n(k+l-p)f,df f11/2Mp(f) = -(2r)E 2 k._ap-lpk'T-'l'-2 k=0 1=0 +2Z)2 *P-lE E I-ap-p-l -|l/2 - j24k+l-p)f df ( E l.Gapl,k.apll.-1/ 2 k=O 1=O ce qui est égal à: 1'2 2 P- J '12 Mp(f).df = (22r). (k - p)2 aplk.aplpk k=1 L'intégration de l'autre terme de la relation (28) donne: - 1/2 df.df = Rpl + (2)2.p2. Rp_,0 + 2Re -(2)2.p E E k.ap-lk.apl,1l6kI,] k=0 1=0 ce qui s'écrit encore: 2 0 11/2 1dTp (f)l2 -2 1/2J d (f.df = Rpi1 +(2;r)2.p2.Rp_1 O -2.(2;r)2. Z k.P.lap-lk2 On2de d ' s s é d a k=O On en déduit l'expression synthétique du gradient: p-1 Vuppl = 2,up [Rp-ll + (2)r)2.p2Rp-, -2.(2n)2 Pk |k 12 k=2 +2.(2 1)2.,(k p) ap-l,k ap-l,p-k k=l Il reste à exprimer les termes Rplo et Rp,,. On a vu, avec la relation (23) que: P-1 2 Rp-lo = ap-l,k| k=0 Pour le terme Rp.11 on repart de sa définition: 1l/2 IH-(f)2d Rp-1,1 = |-l/21 d df Il vient alors en explicitant Hp (f): z)2. P-IP, 1/2 ej2z(k-l)f.d Rp- 1 = (2r)2. k.l. ap-lk.ap*-l. 1/2e df k=01=0 ou encore: Rpl = (2)2. k2.aplk k=0 Le gradient de Rp, se met alors sous la forme: p-1 Rp=2.Y.[(2ff)2. p-iE (P)2.lap12+ 2.(2n)2. 1 (k -p)2.ap-lk.aplp-k k=0 k=l D'o l'expression finale du gradient d'énergie à minimiser en fonction des coefficients du modèle de prédiction d'ordre p-1 et du coefficient de réflexion d'ordre p: Vp Ep - p.Gp + D*p +O. [2. p. -1 ap_1,k2 +2. ap_1k. a p-k] k=o k=l + 2I.[2.p.((2if)2.Z(k -p) ap-lkJ +2.(2). (k -p)ap-lkap-lp-k En revenant à la relation (17) qui exprime que l'on cherche un coefficient de réflexion tp tel que: Vp Ep = 0 on en déduit une nouvelle expression du coefficient de réflexion de l'analyse spectrale de Burg régularisée: 2 N p-1E 22 Z. 6f,n,p-1'ebnlp_+ 2' 2N p++l k6 úf] n+__2[0 + 21.((2))2.(k p)aplk.ap-lp-k N 2 + 2]p [p-l + n-.(2 z)2.(kp)2 12 N-pk=p+l =1 (29) qui peut s'écrire également dans une écriture abrégée: P-1 Z)2 P)2] Dp+ 2 lfXo +,1.(2)2.(k- p)] ap-l,k.ap_,p-k Up = p-1 k= Gp + 2 Z [o0 +;l.(2r)2.(k -p)2].Iaplk12 k=0 avec les définitions des relations (14) précédentes: 2 N Dp - N E l b,ni-l,p-l. f,,sp-_l N-Pln=p+l |p =Nô- 1'p. l+f,tp- ll+ b,n-l,p-11] GpN r in=p+lt On remarque que la régularisation consiste à modifier la définition sous forme de fraction du coefficient de réflexion: D U p= _p de la méthode d'analyse spectrale de Burg en ajoutant au numérateur l'expression: p-1 2 2 2 [2O + l.(2)2 (k-)].apl,k.aplp-k k=1 et au dénominateur l'expression: p-1 2 2 [o + 2l.(2).(k - p)].iap1lk k=O Comme la version multisegment de la méthode de Burg ne revient qu'à remplacer les termes Dp et Gp de l'expression fractionnelle du coefficient de réflexion par des termes Dp et Gk p D* Dûip avec: 2 IN i, (N - p)I i=li,=p+b I N 2 I(N -p)I i=l+=p+l on en déduit que la même régularisation appliquée à la version multisegment de la méthode de Burg conduit à adopter un coefficient de réflexion de la forme: /,p 2[o + 2j.(2 f)2.(k- p)2.apl, kapl,pk Gp+ 2 E + 2 l.(2)2(k - p.Jap1lk2 k=O Il est possible de rendre la version multisegment de l'algorithme io de Burg dans le cas du filtrage, plus robuste vis-à-vis de la présence éventuelle d'une ou plusieurs cibles dans la fenêtre d'estimation. En effet, l'estimation du filtre autorégressif moyen donné par l'algorithme de Burg multisegment est "désensibilisée", si une cible de forte intensité ou plusieurs d'intensités moindres occupent un nombre relatif non négligeable de cellules de la fenêtre d'estimation. Le filtre moyen étant désadapté vis-à-vis de l'environnement de fouillis, la détection de la cible, en sortie de filtrage, est dégradée, voire absente. Pour pallier à cet inconvénient, il est possible de développer une technique de pondération statistique des données en provenance des cellules, en fonction d'une probabilité d'appartenance a posteriori de ces cellules à la population majoritaire, dont le modèle autorégressif moyen est déterminé par l'algorithme de Burg multisegment. Cette technique conduit à la modification suivante de l'expression du coefficient de réflexion multisegment régularisé: p-1 Z2 P)21 D +2 p + 2 o+21.(2.).(k] ap-lk ap-lp-k #'P I,p (30) 1p-1 7 2P21 G1,+ k2. [o0 + j.(2).(k].Iapk avec i=1 n=p+l |D^P =2E(22_ bin- 1,P-1 ef,n,p-1 i=l il=p+l G1,, = zK(_,p_). n=+ [ 1f,n.,p-Ii +Itb, i,.-,P-..-1I] i=l ii=p+l' Dans l'expression précédente, la pondération K(X2pl) s'exprime comme suit: () P(Hip-l I/Sj=1).. P(ss1) P(-z: ? - / Sj=I). P(s, = 1) + p( _/ S=0) P(s,=o.0) se étant égal à 1 si la cellule i de la fenêtre d'estimation contient uniquement du fouillis et à 0 si la cellule i de la fenêtre d'estimation contient une cible. De plus, on a quelque soit i: P(s, = 1)= p, et P(s, =0)= po avec (po + p.)= 1 p, étant la probalité a priori qu'une cellule de la fenêtre d'estimation ne contienne que du fouillis et p0 la probabilité a priori qu'une cellule de la fenêtre d'estimation contienne une cible. La variable Xp -1 dépend des variables de l'algorithme à l'ordre p-1, soit des données brutes si p=1, soit des erreurs de prédiction directe et rétrograde. Cette variable suit une loi de x2. L'expression du coefficient de réflexion multisegment pondéré statistiquement régularisé (30) est obtenu en minimisant l'énergie d'erreur régularisée suivante: E =U;'la+ zt*. R.k k ou: Usat = E(Pp l N 2 12 Pj P = E + if 6j a P+ -b,j,n,p] n=p+l et o, comme on l'a vu précédemment /2 dkHp(f)f R -=1/2 dfk.f la minimisation consistant à annuler le gradient de ce terme d'énergie d'erreur régularisée par rapport à Ilp. = 0,uIp optimal L'expression de Usta représente l'espérance statistique de la P puissance totale (et non plus moyenne) des erreurs de prédiction directe et rétrograde de la population majoritaire de la fenêtre d'estimation, conditionnellement à la connaissance a priori de la varieble p_ 1 = (Xp -l,p) à l'ordre p-i Usta = E(P /Xp Cette expression se développe en appliquant la formule des probabilités totales: E(P,/I;_,) =: P(C, I g_,)E(Pp / cng_,) i=l Ci = avi ecC= ICi={sk = ik}kn i avec Oik = {o0,1}} s,. = 1 si la cellule contient uniquement du fouillis Si.Àt = si la cellule contient une cible et du fouillis. On remarque que si,k correspond à la cellule k de la fenêtre d'estimation pour l'évènement Ci et l'on montre que l'on peut se ramener à l'expression suivante: j=l =,p- ) JP La relation de Bayes donne: P(sj = 1I; cellule d'appartenir à l'environnement fouillis. Pour ce faire, on prendra comme notation: Ci E C avec C= {Ci / Ci = {Si,k = Oi,k}k=lI avec oi,k = {O,1} Js.k = 1 si la cellule contient uniquement du fouillis s = 0 si la cellule contient une cible et du fouillis On peut remarquer que Card[C]=2I et que si,k correspond à la cellule k de la fenêtre d'estimation pour l'événement Ci. Pour la suite, on posera: X=Pp Pp étant la puissance totale d'erreur de prédiction directe et rétrograde pour les cellules de la population majoritaire dans la fenêtre d'estimation XpL= (Ipl'',pl) avec EI [), fîit",p-l + I6bin-lp-1 12 tl=P+l 2,p- n=p+l- "p-i PI,p-1 En appliquant la formule (32) à Pp sous la condition de connais- sance de X2 on obtient: 2] E ( P Iz2,-) = IP(C 12 /z)4E(Pp lC1ni,_1) (33) i=1 car P(x/z)= X [x c) /z - rP(xnc,z)- n] avec i=l o UC, = E p (xNc,)lz =p r n x N, / z = o En tenant compte du fait que: P(xNfc Iz) = P(ci /z).P(x/cinz). et en remplaçant X par Pp et Z par 4-1' on se ramène comme pour (32) à l'expression (33). Pour la suite du développement, on applique la formule de Bayes p(C, /Mp2= P-l Ii)PC p(Xp_l /C)p(C,) p(, 2 (. cI.( (Xp pl E p_(, j).,P(cj) j=l or Vj, P(Cj) =7 de sorte que S P(CilX2 l)= p(Z2_ Ci) 1 P(2pl Cj) j=! () Pour simplifier l'écriture dans la suite, on posera: e = z P(2p_, Icj) j=l On peut exprimer de façon synthétique E(Pp I Cjfl): I E(P]p l ck n _) = E(p I cp_)= Z cC,(j)-Pj. j=l avec ôC,(j)= lsisij =lavecCi ={Si,k}k=l,...,I i(j)=O sinon Soit en se ramenant à l'expression (33): = -..= a 5c, () upj,p Q j= I (34) =-I.y:EPpl Ci). úIci(j))] Pj P Q_ or 21 (2p____2' E(P(2p-,ci)-gci(j)= 2_, À =_ i=1 car p, 1= P(C,) e P(Ci)= -' or comme P(GUHIK) = P(GIK) + P(HI K)- P(GNl HIK) et ('I 21-I P CI ic/ j_ =Ocarflc1=o alors 21P(C, I. = ( {Uj[c2.&Ci (i)]4îp) soit (p_ /,C)o c(j)= 2-i pUrC,._ci(j)]pl or P U[C ac,(j)] = EP(Ci).aC, (j) =2-i.2I-= 2-1 car 2I P(Ci)= 2-I et 8CAC (j) = 2-1 Vj i=l ce qui permet d'écrire: =2 P(,pl 2/ [Ci.8Ci(j)]I) Dans la suite, on préférera écrire: 21 P) PU[CiC)]2 I (P(2p- 1 c I C Sc 1 (j)) 2 _ _ __ _ _ _ __ _ _ A partir de l'expression (34), on se ramène à la nouvelle expression: (P p-l Q uyI(U[ 8-ci (A]/,Z- lJiP](35) or PfU[Ci.c5C(_)]IZjlj= P(sj =,IX42 -1 4.)= _ (1= = 1 /1) On note ici, sj la cellule j de la fenêtre d'estimation. On a vu précédemment que: P(j_) P(2Xp_ / Cj). P(Cj) = 2 I.Q j=1 Il en découle une nouvelle écriture pour l'expression (35): À E(Pp /4-) = (J ="l/jp).P; p (36) j=l avec p(Z2p2 is _si- ").-pp) I.s = -). P(Sj = -) - (4 - si = =). (-) +P(-,/ s1 =O).P(s1 -) Par dérivation de (36) par rapport à plp, on trouve l'expression du coefficient de réflexion: ('-');P.,. =.:,p I'p(37) Up20 avecp 2O avec i N D' =2.K(z/p_ i) + úb,i,n-l,p-lg,n,p-1 GIp = K({ P-1) y finp-lj + bin- lp-1 1 nl=p+lL Dans l'expression précédente, K(Xpi2i) est donnée par: [1 = P _lo /Si e r)tP(si e1) :(-l) = 4_1:),:.+ _,X o 2 o P( /jpl/Si =1)- P(si = 1) + s(jp i /S = O). p(si = O) ?(sj = 1)= p, et P(s = O)= P sont les probabilités a priori telles que po + p, =1. Pour le cas p=O, on a: [P(X2 0 / si = 1) = (iop/si = 0).(DÀ(x2; p / si =) 1Px2, sj=O (jo j=o.z(X2 i=o avec Aj0 p/.): loi de répartition en amplitude )tjop/.): loi de répartition en phase Pour le cas (si =1) et (p=O), c'est-à-dire le cas du fouillis dans la cellule, par exemple du fouillis de chaffe on a une loi log-normale pour l'amplitude: Is,, /5=.) = Fv/ 2.,e22) Op Ip s 2= v12.(v, / 2) À Op avec v = N - 2: loi du Z2 ayant v degrés de liberté N log["l,il M]m r: fonction d'Euler r(z) = e-'.t-'.dt o (2m)! r(m +1 /2)= (2)!.\I pour m entier pour mp et ap définis par: I N F21 m= NI' Elog x,,li i=ln= t. log Ix,,,i -mp P I.(N -) 1'= l=1111" L. a) et une loi gaussienne en phase xiI 0 xv/2-I =sA( 2) 2.v/2.F(v/2) avec v=N-3: loi du X2 ayant v degrés de liberté 1-n l j)ll)2 N1.L arctan [ - M; n=2 r mod.;,r me et C,, étant définis par: I IN[- im(xni il m N,1 =1 -.*arctan n,in, 2.: cU-O (-arctan[']- I, _Re(xi.Xn _l,i) modr Pour le cas (si =) et (pÉO) c'est-à-dire le cas du fouillis dans la cellule, la pondération statistique des cellules est donnée par: i ip - 2v/2.r(vI'2) i(,p)l avec v = 2.(N - p): loi de- 2àvdegrésdeliberté N [lEfXi"lp +bin-lp- |12 N./-21' i =1 1 t=p+ gi,p- I( x/- - PI0= i Pio 1I PIPI = 1- pI PIp-2 Pour le cas (s =0) et (p=O) c'est-à-dire le cas d'une cible dans la cellule, on prend comme hypothèse que la puissance portée par chaque composante du signal suit une loi normale centrée, de variance ( puissance moyenne théorique réémise par la cible). La loi de répartition d'amplitude est alors: i/,0, ,o À,0,p / si== e 2 P(,o,p I Si = 2v/2.r(v /2) e 2 avec v = N:1 loi duX2 à v degrés de liberté N 2 zIxn,il -i,O,p CT: tandis que la loi de répartition en phase est gaussienne: 1 -- (lo a),'/2- 1 0( Si s = o)= 2v2 e2)V2 Xio, /s i =) 2v/2.r(v /2) ',0,o avec v = N - 3: loi du x2 à v degrés de liberté r2 arctanKXl7 //MD À 1| -Jm N 2. z-Re(x,, .i *-li) i2 X 4I-?25 o,= Z n=2 or(l mod.fr m, ordre p possèdent les caractéristiques de la cible qui n'a pas été filtrée. P("P-,_ / s, = O) peut alors se décomposer, comme pour le cas (p = 0), en deux lois: une loi de répartition en amplitude et une loi de répartition en phase: p(X2 /_,/s = o) = x, o) *(X._,.I S = 0) La loi de répartition en amplitude vaut: )= .e 2 Àxip- 1' 2v/2. rv', /2) (p-1)l avec v = 2.(N p):loi de v2 à v degrés de liberté z I|8f îniP_ 12 + k-b,i,n-lp-1 12 2 7=pl p- 1 =c2 La loi de répartition en phase est gaussienne et vaut: i e)V2 ( -, p/lsiO):22v/2.F (v/2) 2 avec v = 2.(N - p- 1)-2: loi du 2 à v degrés deliberté or2 V+ 2 [f ( + Éb, Z2 = p+2 Ip-, cI2 ef, et EbD étant définis par: 1 îIm(sjî,,p1. inRi p-)) Cf, = arctan, ' i -m; 2' ebf,i, ,,pl -fb,i,l-2,p-1 avec Met étant df + (in par: 2. N e f + b] et co,, étant défini par: D =:.N-1()f mod - mrod Jr avec ( L f,i,n,p-lf,i,n-l,p-1) =D arctan - m b ?P. - Ih (Pgb =l.arctan; (úbi,'n-lp-l leb,',n-2'p-l) 1 eb Lg - R - Rey 6b1i Ip-l* 8b,i,n-2,p-1) L'expression du coefficient de reflexion multisegment pondéré (37) est régularisable: 1o0 + kEp = UstIt +.lk Rpk (38) p k avec u;ta' =E(PpI-)-=: K( A-)ZPjp j=l N21 avec j,p = [|úfj,p| +Eb,jllpi] ni=p+lL :( -,) =( - / 5j = 1).= 1is_)+ (4- s j = 0). % = o) k 2 1/2 dHp(f) Rp'k = -'/2 df-k df Par dérivation de l'expression (38) par rapport à, up, on trouve le coefficient de reflexion multisegment pondéré statistiquement et régularisé: :Ep =0 ôÈuI,p 4P, p DIp+ 2. [2 O+2 1. (2)2.(kp)2].apl,k.aplp-k GI,p = o+ 1.(2 g) (k P)].laplk avec D =2.yK4. | DI P = 2=I 1 K) Eb,i,n-1,p-1 *efnp-l i=l ni=p+l GIp = K p-) f,i,,p-l2 + Ib,i,n-l,p-1] i=1 n=p+l Si l'on cherche à comparer ce procédé de régularisation de la méthode de Burg avec le procédé de régularisation de Kitagawa et Gersch o0 appliqué à la méthode des moindres carrés classique, on peut remarquer, en reprenant l'écriture de la relation (4): * Ck-1 = xn_-l. x_-k t que l'on a: p-1 P D = 2 X apll.apl,pk.ckl =0 k=l et: p-lp-1 Gp=21 Z ap I; -,ck- GP p =2 XX ap-ll.aplk.,k- l=0 k= 0 car À p-1 úCf,np-l = -ap-l,k.Xn-k k=O P-1 úbn-1,p-1 = X ap_,Ik.Xn-p+k k=O de sorte que le coefficient de réflexion de la méthode de Burg régularisée défini à la relation (29) peut aussi s'écrire: P-p p-1)2 p) ap-ll.ap-l,p-k.Ck-l + o[2 0+ 2,1.(2)2.(k p)2]. a E E.ap_],k.ap_],p_(kl+i i 2f)(-p / 'U 1=0 k=l k=1 p= p-1 p-I1p-1 Za..k a _ + q. apt)-p-lkI 1= 0 k=0 ou, en utilisant les symboles de Kronecker: 1 ap k.appk Ck- 1 + [20+)1.(2').(k p)2P)2.,k On reconnjaît p danleemsc91,e ems 'n arc 1 0/1- l=0k=l io,U= p-l p-1 2 2 z, ap,-,.;. (ca k-o + +,i.1.(2)2.(k 8-p)2],k) 1=0 k=0 Cela peut encore s'écrire: p-1 p Z Zap-1,1.ap-,,p-k.cki l=0k=l lp=p-l1p-1 * c /. ap-ll.apl,k.Ck-i i=0 k=0 avec: Ck_1 = Ck_ 1 si kÉl {Ck c,_j= Ck.1 +[o+.(2 )2.(kp)2] si k=l On reconnaît dans les termes c'k-I les termes d'une matrice implicite d'autocorrélation: - Ä,n +DT.D: o IP est la matrice usuelle d'autocorrélation des échantillons de signaux: np = {Ck-l}k1"1,p et D la matrice diagonale: D= Diagj[IO +.(2,r).p]2 J,[xo + 21.(2ff)2.(p- 1)2]2,..,[( +,.I(2lr)2]2}2 Cette matrice d'autocorrélation implicite correspond exactement à la matrice d'autocorrélation explicite de la méthode d'analyse spectrale à modèle prédictif autorégressif obtenue par les moindres carrés régularisés développés par Kitagawa et Gersch. Cela montre qu'avec le nouveau procédé de régularisation proposé de la méthode du maximum d'entropie de Burg, on obtient un lissage du spectre analogue à celui obtenu avec la méthode des moindres carrés régularisés de Kitagawa et Gersch tout en.conservant les atouts liés à la méthode du maximum d'entropie de Burg qui sont le fait d'avoir un coût calculatoire faible et d'être implantable en temps réel avec une structure en treillis, d'être généralisable au cas multisegment introduit par Haykin dans le cas du filtrage fréquentiel ou du lissage temporel de l'analyse spectrale et d'être robuste face au bruit de calcul, aux erreurs de quantification et d'arrondis. Face au procédé de régularisation de la méthode du maximum d'entropie de Burg par minimisation de l'énergie libre de Silverstein et Pimbley, on peut montrer que la régularisation obtenue avec le nouveau procédé de régularisation proposé est meilleure. En effet, le procédé de régularisation de la méthode du maximum d'entropie de Burg par minimisation de l'énergie libre ne fait intervenir que la puissance résiduelle des erreurs de prédiction et donc régularise la solution globalement en empêchant le dénominateur du coefficient de réflexion de s'annuler alors que le nouveau procédé de régularisation proposé contraint directement la platitude du spectre. Pour s'en convaincre, on se rappelle que la solution du minimum d'énergie libre qui consiste à rechercher la racine inférieure à un en module, de l'équation à coefficients réels du troisième degré en yp de la relation (10): (1- r)(y,. GP + IDI) = -2ayp Dp et Gp ayant leurs définitions habituelles des relations (10). Cette racine peut se mettre sous la forme: y7 = G- PI avec Pa E[O,+Co[ G=p + Oa ce qui donne un coefficient de réflexion de la forme: D* l 0p Gp+Pa Lorsque p est proche de l'ordre optimal ou est surestimé et que le modèle de prédiction devient fiable ou bruité, on a: NÀ _ _ _ _ _* _ >0 et: Nbn-1 i.tffl=P P->Popt - N E úb, nl,pl. +f,,p-11pI e2> et: 2.o Gp N-[f,,,,p-1 + eb,,-1.p-l> =p+ 1' pli=P+l P-->Popt o C02 est une variance de bruit blanc. Or, pour Pa = 0, c'est à dire sans régularisation, les bruits de calcul bc modifient le rapport de D' et Gp et donc le coefficient de réflexion gp,: 01 o(bc) lip (+bc) p P->PopI 02o(bc) et introduisent des pôles parasites dans la fonction de transfert Hp(z) du filtre prédictif associé. En revanche, dans le cas du minimum d'énergie libre (Pa 0), O2(bc) devient négligeable devant p. et ainsi le coefficient de réflexion pp se rapproche de zéro en s'affranchissant de la pollution introduite par le bruit de calcul. Ceci évite les problèmes de singularité qui induisent des pôles parasites dans la fonction de transfert Hp(z) du filtre prédictif associé (pics parasites dans le spectre). On peut alors remarquer qu'il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation à coefficients réels du troisième degré en yp: (-YP).(yP.GP+ IDP|)= -2ayp mais qu'il suffit de trouver un p, assez grand tel que: D* p P =Gp +,Pa soit proche de zéro lorsque p tend vers popt. La figure 1 illustre le schéma d'un circuit de calcul 1 des coefficients complexes {ap,0,...,app} d'un modèle de prédiction d'ordre p à partir des coefficients de réflexion {1...,.!p}, selon la méthode du maximum d'entropie de Burg régularisée ou non par le nouveau procédé proposé. Ce circuit de calcul met en oeuvre la relation (12) de récurrence sur l'ordre p du modèle: ap,k = ap-1l,k + #p.aplpk avec k e[l,...,p-1] (40) * désignant l'opérateur conjugué, avec: ak,o=1 Vk e[o,...,p] ap,p = /p La première ligne qui détermine tous les coefficients ako d'indice zéro de tous les modèles prédictifs d'ordre 0 à p ne contient aucun opérateur puisque tous ces coefficients ont une valeur unité. Les lignes suivantes qui déterminent les coefficients ap,k d'indice k variant de 1 à p-1 renferment une succession d'opérateurs conjugué (*), multiplieurs (x) et sommateurs (X) mettant en oeuvre la relation de récurrence (30). Par exemple, pour le terme a21 la relation de récurrence (40) donne la définition: a2,1 = al,1 + 2.al,1 de sorte qu'il est obtenu à l'aide d'un sommateur (Z) à deux entrées recevant sur une première entrée le terme a, 1 qui n'est autre que le coefficient de réflexion I1 et sur une deuxième entrée le terme a2.al, délivré par un multiplicateur (x) recevant d'une part le terme!2 et d'autre part le terme a1,1 conjugué ou g, conjugué délivré par l'intermédiaire d'un opérateur conjugué (*) intercalé entre l'entrée du terme!l, et l'entrée du multiplieur (x). Pour le terme a31 la relation de récurrence (29) donne la définition: a3, 1 = a2,1 +a3 a2,2 ce qui est réalisé au moyen d'un sommateur (Z), d'un multiplieur (x) et d'un opérateur conjugué (*) convenablement connectés. Il en est ainsi jusqu'au terme ap.p qui est pris égal au coefficient de réflexion lp. La figure 2 illustre le schéma d'un circuit de calcul d'un coefficient de réflexion jm, m variant de 1 à p, selon le nouveau procédé proposé de régularisation de la méthode du maximum d'entropie de Burg. On distingue en bas de la figure 2 un filtre en treillis 2 donnant les erreurs de prédiction directe et rétrograde Sfnm et Ebnm, m variant de 1 à p, en fonction de la valeur de l'échantillon de signal xn. Ce filtre en treillis 2 met en oeuvre les relations de récurrence sur l'ordre qui lient dans la méthode du maximum d'entropie de Burg les erreurs de prédiction directe et rétrograde d'un modèle d'ordre p aux erreurs de prédiction directe et rétrograde du modèle d'ordre immédiatement inférieur p-1 f,n,p = f,,n,p-1 + Up. 6b,n- l,p-I l b,n,p = b,nt-l,p-1 + Up.gf,n,p-1 avec: f fn,O = b,n,O =Xn Ce filtre en treillis 2 comporte une suite de p étages identiques définissant deux voies parallèles, I'une sur laquelle sont disponibles les erreurs de prédiction directe Efnm, m variant de 1 à-p, et l'autre sur laquelle sont disponibles les erreurs de prédictions rétrograde Ebn,-1,m, m variant de 1 à p. Chaque étage comporte sur la voie des erreurs de prédiction directe un sommateur (E) à deux entrées, sur la voie des erreurs de prédiction rétrograde une cellule à retard (Z-1) retardant la valeur de l'erreur d'un échantillon de signal, suivie d'un sommateur (E), et, entre ces deux voies, deux multiplieurs (x) effectuant les produits croisés, I'un de l'erreur de prédiction directe disponible en entrée de l'étage avec le conjugué du coefficient de réflexion p*m, m étant l'ordre de l'étage, pour l'appliquer au sommateur (Z) de la voie de l'erreur de prédiction rétrograde, I'autre de l'erreur de prédiction rétrograde disponible en sortie de la cellule à retard de l'étage avec le coefficient de réflexion Ilm, m étant l'ordre de l'étage, pour l'appliquer au sommateur (Z) de la voie de l'erreur de prédiction directe. En plus du filtre en treillis 2, on distingue des circuits 3 et 4 de calcul des termes D*m et Gm, m variant de 1 à p, du numérateur et du dénominateur de la fraction de définition du coefficient de réflexion Pmde la méthode du maximum d'entropie de Burg: 2 NÀ * = N-m 1 b,i-lm-l'Efn,m-1 n=m+l Gm =A-m [Ifin,m- 1 + úb,n-1,m -1] Gm 1= N -m =+ 1 Le circuit 3 de calcul du terme D*m comporte un sommateur 30 à N-m entrées connectées aux sorties des N-m derniers étages de deux registres à décalage à N étages 31 et 32 par l'intermédiaire de circuits multiplieurs (x) et d'opérateurs conjugué (*). Le registre à décalage 31 est relié aux entrées du sommateur 30 par des opérateurs conjugué (*) et des circuits multiplieurs (x). Il est connecté par son entrée série au filtre en treillis 2, à la sortie du m- lième étage, sur la voie de l'erreur de prédiction directe. Le registre à décalage 32 est relié aux entrées du sommateur 30 uniquement par les circuits multiplieurs (x) et est connecté par son entrée série au filtre en treillis 2, entre le circuit à retard (Z-1) et le sommateur (ú) du mième étage, sur la voie de l'erreur de prédiction rétrograde. Un circuit multiplieur (x) connecté en sortie du sommateur 30 permet d'appliquer une pondération en 2/(N-m) après la sommation pour obtenir le terme Dam. Le circuit 4 de calcul du terme Gmr comporte un sommateur 40 à 2(N-m) entrées connectées aux sorties des N-m derniers étages de deux registres à décalage à N étages 41 et 42 par l'intermédiaire de circuits individuels de calcul du carré constitués d'un circuit multiplieur (x) à deux entrées réunies avec un opérateur conjugué (*) intercalé dans l'une de ses entrées. L'un 41 des registres à décalage est connecté par son entrée série au filtre en treillis 2, à la sortie du m-1i ième étage, sur la voie de l'erreur de prédiction directe tandis que l'autre registre à décalage 42 est connecté par son entrée série au filtre en treillis 2, entre le circuit à retard (Z-1) et le sommateur (Z) du mième étage, sur la voie de l'erreur de prédiction rétrograde. Un circuit multiplieur (x) connecté en sortie du sommateur 40 permet d'appliquer une pondération en 1/(N-m) après la sommation pour obtenir le terme Gm. En plus des circuits de calcul 1, 2, 3 et 4 que l'on retrouve dans les dispositifs de mise en oeuvre en temps réel de l'analyse spectrale par la méthode du maximum d'entropie de Burg non régularisée, on trouve des circuits de calcul spécifiques 5, 6 et 7 permettant de mettre en oeuvre le nouveau procédé de régularisation proposé. Les circuits de calcul 5 permettent de calculer des paramètres intermédiaires 13m,1k tandis que les circuits de calcul 6 et 7 permettent de calculer les termes correctifs de régularisation à appliquer au numérateur et au dénominateur de la fraction de définition du coefficient de réflexion Pm. Les circuits de calcul 5 permettent de calculer les paramètres intermédiaires: P8m-l,k = 20 + 21(2')2.(m-k) avec k E[l,...,m-1] Ils sont constitués chacun d'un sommateur (ú) à deux entrées recevant directement sur une première entrée la constante X0 et sur une deuxième entrée la constante A1 par l'intermédiaire d'un multiplieur (x) effectuant le produit de la constante 31 par le coefficient (2n)2.(m-k)2. Le circuit de calcul 6 permet de calculer le terme correctif: m-] 2. ', Bni-l,k.anml,k.am-l,m-k k=l appliqué au numérateur du quotient définissant le coefficient de réflexion grm. Il consiste en un sommateur 60 à m-1 entrées, la kième entrée recevant le coefficient amlk par l'intermédiaire de deux multiplieurs (x) disposés à la suite, I'un effectuant un produit par le coefficient am 1, _-k, l'autre le produit par 13m-1 k. Un multiplieur (x) placé en sortie du sommateur 60 permet d'appliquer une pondération par 2 pour parvenir à l'expression complète du terme correctif du numérateur. Le circuit de calcul 7 permet de calculer le terme correctif: m-1 2. Z Pni1-,k. am-1,k] k=0 appliqué au dénominateur du quotient définissant le coefficient de réflexion Pm. Il consiste en un sommateur 70 à m-1 entrées, la kième entrée recevant le coefficient amlk par l'intermédiaire d'un circuit individuel de calcul du carré constitué d'un circuit multiplieur (x) à deux entrées réunies avec un opérateur conjugué (*) intercalé dans l'une de ses entrées. Un multiplieur (x) placé en sortie du sommateur 70 permet d'appliquer une pondération par 2 pour parvenir à l'expression complète du terme correctif du dénominateur. Les sorties des circuits de calcul 3 et 6 sur lesquelles sont disponibles le terme D*m du numérateur du quotient de définition du coefficient de réflexion pm dans la méthode du maximum d'entropie de Burg et le terme correctif de ce numérateur pour la régularisation sont connectées aux deux entrées d'un sommateur 8 équipé en sortie d'un circuit multiplieur (x) 9 opérant une multiplication par -1 pour tenir compte du signe moins figurant dans le quotient de définition du coefficient de réflexion. Les sorties des circuits de calcul 4 et 7 sur lesquelles sont disponibles le terme Gm du dénominateur du quotient de définition du coefficient de réflexion lam dans la méthode du maximum d'entropie de Burg et le terme correctif de ce dénominateur pour la régularisation sont connectées aux deux entrées d'un sommateur 10. Pour obtenir le coefficient de réflexion Prm, le terme régularisé du numérateur de son quotient de définition, disponible en sortie du circuit multiplieur 9, est divisé par le terme régularisé du dénominateur de son quotient de définition, disponible en sortie du sommateur 10, au moyen d'un circuit multiplieur 11 à deux entrées dont l'une est connectée directement à la sortie du circuit multiplieur 9 et dont l'autre est connectée à la sortie du * sommateur 10 par l'intermédiaire d'un circuit inverseur 12. Les figures 3, 4 et 5 montrent les différents spectres de fréquence obtenus par la méthode de Burg respectivement non régularisée, régularisée par le procédé du minimum d'énergie libre et régularisée par le nouveau procédé proposé, pour un signal complexe présentant deux raies de fréquence dont on a tiré, au cours de dix tirages bruités, dix échantillons régulièrement répartis. Sur la figure 3 qui représente les spectres obtenus pour les dix tirages bruités en mettant en oeuvre la méthode de Burg non régularisée jusqu'à l'ordre maximum possible de neuf (10-1), on constate que les différentes versions du spectre obtenues pour les différents tirages ne se recouvrent que pour les deux raies de fréquence existant effectivement et sont affectées de raies parasites de fortes amplitudes différentes selon les versions. Il en résulte un spectre moyen trop bruité pour être exploitable. Sur la figure 4 qui représente les spectres obtenus pour les dix tirages bruités en mettant en oeuvre la méthode de Burg jusqu'à l'ordre maximum possible de neuf, avec une régularisation par le procédé du minimum d'énergie libre prenant en compte un coefficient a égal à 1, on constate que les différentes versions du spectre obtenues pour les différents tirages recouvrent toujours pour les deux raies de fréquence existant effectivement et présentent des raies parasites d'amplitudes beaucoup moins fortes qui ont tendance à se superposer. Le spectre moyen résultant est devenu exploitable. Mais on constate que la régularisation a fait perdre pas mal d'amplitude aux deux raies de fréquence réellement existantes. Sur la figure 5 qui représente les spectres obtenus pour les dix tirages bruités en mettant en oeuvre la méthode de Burg jusqu'à l'ordre maximum possible de neuf, avec une régularisation selon le nouveau procédé proposé prenant en compte un coefficient X0 égal à 1 et un coefficient X, égal à 0,001, on constate que les différents spectres ne présentent plus que les deux raies existant effectivement avec des ondulations mineures. Par rapport aux spectres de la figure 4, on remarque que ce nouveau procédé de régularisation a provoqué une moindre atténuation des deux raies de fréquence existant effectivement et une meilleure atténuation des raies de fréquence parasites. Il est donc meilleur. REVENDICATIONS 1. Procédé de détermination du spectre de fréquence d'un signal échantillonné {xn} consistant à évaluer les coefficients {apk} d'un modèle de prédiction d'ordre p qui correspondent à une loi de prédiction du nième échantillon Xn à partir des n-p échantillons précédents {Xnk}, k variant de 1 à p, de la forme: p Xn = f,n,p - Z ap,k. xn-k k=l o fnp est une erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle d'ordre p, de l'échantillon xn, et qui donnent une estimation de la puissance du spectre de fréquence du signal échantillonné sous la forme: IX(f)12 = lapk.ej2df p, k=O o ap.0 vaut 1 et o Pp est la puissance de l'erreur de prédiction directe du modèle d'ordre p pour l'échantillon xn lorsque le modèle est fiable c'est à dire que la dite erreur est un bruit blanc, à partir d'une loi de récurrence sur l'ordre p du modèle de la forme: apk = ap-l,k + p. apl,p-k *désignant l'opérateur conjugué, avec: ap0 = 1 =1 2s ap_l,0 = 1 k e[1,...p-1] p étant un coefficient de réflexion déterminé à partir des termes: 2 N - 1 Efnp- DpN- Ptn=p+l NGp = -Z,p- | + ib,n-l,p-1] Gp N z.. =p+l- o,np désigne l'erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle de prédiction d'ordre p - 1, sur l'échantillon x. et úbn1,p-1 I'erreur de prédiction, dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre p - 1, sur l'échantillon xn p p-1 Xti-p = úb,n-l,p1 - Z apl,k.xn-p+k k=l ce procédé étant caractérisé en ce que le coefficient de réflexion j.p est déterminé par une relation de la forme: D* + 2 [0o + 21.(2f)2.(k- p)2], kapl I,p_-k Up = - kp-1 Z) 12 Ap= -. p_1, Gp+ 2 [Io + 2.(2n.(k p)2].ap- Ik k=O o k. et X, sont des coefficients réels positifs. 2. Procédé de détermination du spectre de fréquence de la moyenne d'une famille de I signaux échantillonnés {x.}, consistant à évaluer les coefficients {aPk} d'un modèle de prédiction d'ordre p qui correspondent à une loi de prédiction du nième échantillon x1,. à partir des n-p échantillons précédents {Xin-.k}, k variant de 1 à p, de la forme: p xi, = f,ip- ap,k Xi,-k i e[1,...,] k=l O,finp est une erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle d'ordre p, de l'échantillon xin du signal i et qui donnent une estimation de la moyenne des puissances des spectres de fréquence des signaux échantillonnés sous la forme: IX(f)L2 = I, 2 P 2 Japk.e-j2 'e k=O o apo0 vaut 1 et o P,p est la moyenne des puissances des erreurs de prédiction directe du modèle d'ordre p pour les nièmes échantillons xin des I signaux lorsque le modèle est fiable c'est-à- dire que les dites erreurs sont des bruits blancs, à partir d'une loi de récurrence sur l'ordre p du modèle de la forme: apk = ap-l,k + SI,pap-lpk * désignant l'opérateur conjugué, avec: ap,0 - l ap_l,O = 1 k E[1,...p1] 11,ép étant un coefficient de réflexion déterminé à partir des termes: 2 I N P Né-p). SEE Ib,i,,,-1,P-l'Sf,i,,,,p-1 DI'p (N- p).I i=1,1 1,=p+ N 2 GJpcf iiJPJ2,1 GI'p = (N. *p).I ni=ln=p+l- o E1np1 désigne l'erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle de prédiction d'ordre p - 1, sur le nième échantillon du ième signal et %bi.-1. l'erreur de prédiction, dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre p 1, sur le n-pième échantillon du ième signal: p-1 xi,i-p = úb,i,n-l,p- 1 ap-l k Xn-P+k k=l ce procédé étant caractérisé en ce que le coefficient de réflexion lp est déterminé par une relation de la forme: DIP+ 2 [2O + 21.(2)2.(k -)21.aplpk G +2 ',p2 + 20 +.(2Jr)2 (k- p) '-lap-lk k= o i0 et B. sont des coefficients réels positifs. 3. Procédé de détermination du spectre de fréquence de la moyenne d'une famille de I signaux échantillonnés {x4} consistant à évaluer les coefficients {apk} d'un modèle de prédiction d'ordre p qui correspondent à une loi de prédiction du nième échantillon xin à partir des n-p échantillons précédents {xifl-k}, k variant de 1 à p, de la forme: p xi, ) = -fiô sp - lapk.Xi,in-k e[1,.-.,i] k=l o -finp est une erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle d'ordre p, de l'échantillon xin du signal i et qui donnent une estimation de la moyenne des puissances des spectres de fréquence des signaux échantillonnés sous la forme: IX(f)12 P ip p lapk.e- [ k=O o ap0 vaut 1 et o PLp est la moyenne des puissances des erreurs de prédiction directe du modèle d'ordre p pour les nièmes échantillons xn des I signaux lorsque le modèle est fiable c'est-à-dire que les dites erreurs sont des bruits blancs, à partir d'une loi de récurrence sur l'ordre p du modèle de la forme: apk = ap-l,k + pI,p.aplp-k * désignant l'opérateur conjugué, avec: ap,O- ap_10 =1 k e[1,...p-1] caractérisé en ce que le coefficient de réflexion!,.p est défini par la relation: p+ 2.k[=;to/11.(2,)2.(k p)2 Djp + 2. ô [AO + A 1.(2n).(k -.] ap Ik.ap-l,p-k k=1 S,uip =- _ i Ip o[ + I +2, 1.(2ff) (kp].Iap-lk +k= avec tDI p=2. A.KÉt -l)E g, "7,A n,,à i=1 n=p+l = I K(x;p). N [kif,i,ln,pl2 + 12bji7_iP1|] i= 1 n=p+ 1[-b o la pondération K(2, p_1) s'exprime comme suit: p(X2_ '1 = 1).P(s = o1) K,_ Sj S= 1i P(s = 1)+ P(2 s = 0). P(si =0) si étant égal à 1 si la cellule i de la fenêtre d'estimation contient uniquement du fouillis et à 0 si la cellule i de la fenêtre d'estimation contient une cible, P(s, = 1) étant égal, quelque soit i, à la probabilité a priori pI qu'une cellule de la fenêtre d'estimation ne contienne que du fouillis, P(s, = 0) étant égal, quelque soit i, à la probalité a priori qu'une cellule de la fenêtre d'estimation contienne une cible, pl et p0 étant lié par la relation: Po +p =1 et la variable,2p valant: E[I 12 1 2] N 12!= p= 1] = PI,p-1 o Ef inp1 désignant l'erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle de prédiction d'ordre p - 1, sur le nième échantillon du ième signal, 5binq1 p-l l'erreur de prédiction, dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre p- 1, sur le n-pième échantillon du ième signal: p-1 xi,n-p = úb,i,n-l,p-1 - Z apl, k.X-p+k k=l et PIp.1 la moyenne des puissance des erreurs de prédiction du modèle d'ordre p-1. 4. Dispositif de détermination du spectre de fréquence d'un signal échantillonné {Xn} comportant: - des premiers moyens de calcul (1) évaluant les coefficients {ap,,...,app} d'un modèle de prédiction d'ordre p, qui correspondent à une loi de prédiction du nième échantillon xn à partir des n-p échantillons précédents {Xn.k}, k variant de 1 à p, de la forme: p xn = úfnp - "ap,k.Xn-k k=l o sf,n,p est une erreur de prédiction, dans le sens direct, par le modèle d'ordre p, de l'échantillon xn, et qui donnent une estimation de la puissance du spectre de fréquence du signal échantillonné sous la forme: Ix(f)12= Pp lapk.e-j2,if k=O o ap0o vaut 1 et o Pp est la puissance de l'erreur de prédiction directe du modèle d'ordre p pour l'échantillon xn lorsque le modèle est fiable c'est-à- dire que la dite erreur est un bruit blanc, à partir d'une loi de récurrence sur l'ordre p du modèle de la forme: apk = ap-l,k + lp.aplp-k *désignant l'opérateur conjugué, avec: apo = 1 ap_l,0 = 1 k E[I,...p- 1] Pp étant un coefficient de réflexion, - des deuxième moyens de calcul (2) ayant la forme d'un filtre en treillis déterminant les erreurs de prédiction directe 5fnm, m variant de 1 à p, et les erreurs de prédiction rétrograde sbnm, m variant de 1 à p, une erreur de prédiction rétrograde bn,.,m étant l'erreur de prédiction, dans le sens rétrograde, par le modèle d'ordre m sur l'échantillon xnm: m-l Xn-m = úb. n-],m- - am-l, k X-m+k k=l ladite détermination des erreurs de prédiction directe et rétrograde se faisant à partir des relations de récurrence sur l'ordre p du modèle: {Cf,n,n = 6fn,m- 1 + ap. Eb,n-. 1,m- 1 l b,'m = 6b,n-l,m-1 + j-p ef,n,m-1 avec: sf, n,O = sb,n,O = x) -des troisièmes moyens de calcul (3) déterminant des termes Dem, m variant de 1 à p, à partir de la relation sur les erreurs de prédiction directe et rétrograde: -2 N * N-Pn=Zm+'úbn-l,m-l' f,n,m-1 -des quatrièmes moyens de calcul (4) déterminant des termes Gm, m variant de 1 à p, à partir de la relation sur les erreurs de prédiction directe et rétrograde: Gm N! p [=,mmi + 1 _] caractérisé en ce qu'il comporte en outre: - des cinquièmes moyens de calcul (5) calculant des paramètres intermédiaires 13m_1k m variant de 1 à p et k variant de 1 à m-1, à partir de la relation de définition: /m-l,k = 0O + A2(2 r)2.(m- k)2 avec k e[1,...,m-1] % et XA étant des constantes réelles positives, - des sixièmes moyens de calcul (6) permettant de calculer un premier terme correctif de régularisation m-] 2. 2',m-l,kam-l,k.am-l,m-k k=l à appliquer à la valeur du terme D*m calculer par les troisièmes moyens de calcul (3), - des septièmes moyens de calcul (7) permettant de calculer un deuxième terme correctif de régularisation: m-l 2. E 8fm-l,k.lam-l, kl2 k=O à appliquer à la valeur du terme Gm calculé par les quatrièmes moyens de calcul (4), et -des huitièmes moyens de calcul (9, 10, 11, 12) permettant de calculer les coefficients de réflexion r.i à partir des signaux délivrés par les troisièmes, quatrièmes, sixièmes et septièmes moyens de calcul (3, 4, 6, 7) par mise en oeuvre de la relation: m-lr D" + 2 [20 +,21.(2'r)2(k- m).aml, m-k = k=1 Gm+ 2nio- O+ 21.(2 z)2.(k - m)2].1am-,kl2 k=O Lesdits coefficients de réflexion Pm étant utilisés par les premiers moyens de calcul(1) pour calculer les coefficients {ap,,...,app} du modèle de prédiction d'ordre p.