Brevet FR2721688A1 — publié le 19951229

I La présente invention concerne un procédé de réalisation du profil des éléments réflecteurs d'un luminaire apte à éclairer une surface cible avec un profil d'éclairement déterminé quasiment quelconque. La présente invention concerne également les réflecteurs réalisés suivant un tel procédé. On connaît différents type de réflecteurs pour luminaires dont les profils sont tels qu'ils permettent d'obtenir, sur une surface cible, à partir de sources de lumière cylindriques ou de sources de lumière planes concentrées, un profil d'éclairement, ou carte d'éclairement, que l'on souhaiterait globalement constant mais qui, pour de multiples raisons n'atteint que très rarement une uniformité d'éclairement voisine de 80%. Ces luminaires présentent de notables inconvénients. D'une part ils ne sont pas en mesure d'éclairer la surface cible avec une carte d'éclairement quelconque souhaitée, et d'autre part, l'éclairement peu uniforme qu'ils fournissent n'est obtenu que sur une surface relativement réduite. La présente invention a pour but de proposer des moyens permettant de réaliser un luminaire qui, à partir d'une source de lumière étendue, fournisse sur une surface cible éloignée une carte d'éclairement de profil quasiment quelconque et notamment un éclairement constant, et ce sans augmentation notable de l'encombrement. La présente invention a ainsi pour objet un procédé de réalisation du profil des éléments réflecteurs d'un luminaire constitué d'une source de lumière plane symétrique par rapport à un plan, d'au moins deux éléments réflecteurs cylindriques, chaque point du profil étant défini par la longueur (r) du segment représentant la distance de l'extrémité de la section droite de ladite source de lumière, située du côté dudit élément réflecteur, audit point, et par l'angle () formé par la verticale avec ledit segment, les rayons lumineux issus de la source de lumière formant, en sortie du luminaire, des angles respectifs (8) avec le susdit plan, caractérisé en ce qu'il comporte les étapes consistant: - à définir la position d'une extrémité du profil de chaque élément réflecteur, à partir d'une part d'une distance (ro) souhaitée séparant ladite extrémité de l'extrémité de la section droite de ladite source de lumière située du côté dudit élément réflecteur et, d'autre part, d'un angle sous lequel on souhaite voir la largeur (s) de ladite source de lumière à partir de l'extrémité dudit profil, - à définir une fonction d'éclairement E(O) correspondant à une carte d'éclairement souhaitée, liée à une fonction de luminance L(O) par la formule: E(8)=L(0).cos2 8=k[(s.cos 8+pr.sin(-O)-pro.sin(0o-O)]cos20 si ladite extrémité du profil de l'élément réflecteur est l'extrémité aval de celui-ci, et une fonction d'éclairement: E(8)=L(O).cos2 E=k[(s.cos E-pr. sin(%-0)+pro.sin(0o-O)]cos2O si ladite extrémité est l'extrémité amont dudit profil, o k = L(O)/s - à déterminer, à partir de ladite extrémité, les coordonnées de chacun des points dudit profil de chaque élément réflecteur satisfaisant à l'équation différentielle: da/de = sin a.cos a [d log p(0)/de]-sin2, o la fonction p(O) est égale à pr.sin(%-0) et la valeur de l'angle a est égale à ( Dans un mode de mise en oeuvre de l'invention ladite source de lumière plane est constituée d'une image virtuelle obtenue à partir d'une source de lumière cylindrique de section circulaire et d'un réflecteur primaire en forme de développante de cercle. La présente invention a également pour objet un luminaire constitué d'une source de lumière plane, symétrique par rapport à un plan, et d'au moins deux éléments réflecteurs cylindriques, chaque point du profil d'un élément réflecteur étant défini par la longueur (r) du segment représentant la distance de l'extrémité de la section droite de ladite source de lumière, située du côté dudit élément réflecteur, audit point, et par l'angle (%) formé par la verticale avec ledit segment, dans lequel les rayons lumineux issus de la source de lumière plane forment, en sortie du luminaire, des angles respectifs ( à (%-8)/r. La présente invention permet ainsi de maltriser l'éclairement fourni à une surface cible. Un tel éclairement pourra être ou non symétrique par rapport au plan de symétrie de la source de lumière, les profils des éléments réflecteurs d'un même luminaire pouvant dans ce but avoir des formes différentes. La présente invention est particulièrement intéressante dans le cas o la surface cible doit être éclairée de façon uniforme par plusieurs luminaires adjacents dont les éclairements extrêmes doivent se chevaucher avec une bonne tolérance autorisant un positionnement facile des luminaires. La présente invention fait appel à des sources de lumière planes. Cependant, dans la pratique l'on rencontre la plupart du temps des sources de lumière en forme de cylindres de révolution telles que, par exemple, celles constituées par les tubes fluorescents. La présente invention permet d'utiliser de telles sources avec le luminaire suivant l'invention puisque l'on sait que toute source convexe peut être remplacée, du point de vue de l'optique, par une source équivalente plane lorsqu'on la couple avec un réflecteur spéculaire en forme de développante de cercle. Dans un tel mode de mise en oeuvre, la présente invention permet d'éloigner la source de lumière cylindrique de la surface interne du réflecteur spéculaire, tout en préservant la carte d'éclairement souhaitée, en introduisant dans la fonction d'éclairement E(O) une fonction de correction d'éclairement Fc(8). On peut ainsi préserver le réflecteur de la chaleur dégagée par la source de lumière. On décrira ci-après, à titre d'exemple non limitatif, une forme d'exécution de la présente invention, en référence au dessin annexé sur lequel: La figure 1 est une vue schématique représentant un luminaire du type de celui suivant l'invention, éclairant une surface cible. La figure 2 est un graphique représentant le profil d'éclairement, ou carte d'éclairement, délivré en une section droite d'un luminaire suivant l'invention. La figure 3 est une vue en section droite, à plus grande échelle, d'un luminaire suivant l'invention. La figure 4 est une vue en section droite, à plus grande échelle, d'un mode de mise en oeuvre de l'invention. La figure 5a est une vue en section droite, à plus grande échelle, d'une variante du mode de mise en oeuvre de l'invention représenté sur la figure 4. La figure 5b est un graphique représentant la carte d'éclairement délivrée par une section droite d'un luminaire suivant l'invention. La figure 6 est une vue en section droite à plus grande échelle représentant une variante de mise en oeuvre du dispositif suivant l'invention. La figure 7 est un schéma représentant une carte d'éclairement produite par un luminaire suivant l'invention. La figure 8 est une vue à plus grande échelle d'une section droite d'un luminaire suivant l'invention apte à reproduire la carte d'éclairement représentée sur la figure 7. La figure 9 est une vue en section droite, à plus grande échelle, d'un mode de mise en oeuvre de l'invention. On a représenté sur les figures 1 à 3 un luminaire 1 constitué d'une source lumineuse plane 3 et de deux éléments réflecteurs cylindriques 5 et 5' dont les sections droites, ou profils, sont symétriques par rapport au plan de symétrie (P) de la source 3. Ce luminaire 1 est destiné à éclairer une surface cible 7, disposée à une distance h de la source lumineuse 3, cette distance étant considérée comme élevée par rapport à la largeur s de la source 3, c'est à dire qu'elle est de l'ordre d'au moins dix fois celle-ci. Le luminaire 1 est destiné à éclairer la surface cible 7 avec une carte d'éclairement représentée sur la figure 2. Cette carte d'éclairement, qui représente la valeur de l'éclairement délivrée à la surface cible 7 suivant sa dimension transversale, est constituée d'un palier central 9 encadré de deux branches latérales inclinées vers l'extérieur llg et 11d. Cette carte d'éclairement montre que la surface cible 7 devra être éclairée de façon uniforme entre les points C' et C et qu'en-deçà et au- delà de ceux-ci l'éclairement diminuera progressivement pour devenir nul aux points extrêmes M' et M. Bien que l'on n'ait reproduit sur le schéma de la figure 2 qu'une seule section droite du luminaire 1 et de la surface cible 7, celles-ci seraient identiques en tout autre section droite. Comme représenté sur la figure 2 les branches 11g et lld permettent d'associer facilement deux luminaires voisins, de façon à produire un éclairement global égal à la somme de l'éclairement fourni par chacun des luminaires, qui est constant sur la surface cible 7. Bien entendu les éléments réflecteurs conformes au procédé et au dispositif suivant l'invention permettent de réaliser un luminaire apte à reproduire, entre les points C et C', toute autre carte d'éclairement. Une première étape du procédé suivant l'invention consiste à déterminer les coordonnées d'un bord extrême Ro de chacun des éléments réflecteurs 5 et 5' et dans le cas présent on choisira le bord aval. Dans la pratique, la position de celui-ci dépendra essentiellement de deux paramètres, à savoir l'angle y sous lequel, du point Ro, on souhaite voir la largeur s de la source lumineuse 3, et la distance ro séparant le point Ro de l'extrémité O de la source lumineuse 3 la plus proche de l'élément de réflecteur considéré. Préférentiellement l'angle y sera supérieur aux angles 0c et Oc' sous lesquels on voit, du centre du luminaire 1, les points extrêmes C et C' de la surface cible 7 entre lesquels on souhaite contrôler la carte d'éclairement. La demanderesse a établi que l'angle *o formé par la verticale avec la droite joignant le point 0 au point Ro était défini par la formule: Jo =180 - Arc sin (cos y l-[ro sin y/s]2)-(ro/s)sin2y Suivant l'invention, une fois que l'extrémité aval Ro du profil de la section droite de l'élément réflecteur 5 est déterminée, on assure la construction point par point en remontant vers l'amont dudit profil à savoir en décrivant la courbe Roz. Cette construction est réalisée en introduisant, pour chaque point R, la caractéristique de la carte d'éclairement souhaitée, selon une équation définie ci-après. Dans le cas particulier de l'exemple choisi sur les figures 1 à 3, l'éclairement reçu par la surface cible 7 est constant pour chacun de ses points compris entre C et C'. Chacun de ces points peut être défini par les rayons issus du centre du luminaire et aboutissant en ce point et formant avec la verticale un angle 0. La carte d'éclairement de la surface cible 7 est ainsi définie entre des angles extrêmes Oc' et Oc correspondant aux points extrêmes C' et C de la surface cible 7. La luminance L(o) fournie à un point de la surface cible 7 correspondant à un angle E donné est égale à la luminance incidente L(E)i provenant des rayons directement issus de la source lumineuse 3 sans subir de réflexion sur l'élément réflecteur 5, additionnée de la luminance réfléchie L(O)r provenant des rayons transmis après réflexion (L(= L(0)i + L(0)r) - Sur la figure 3 cette luminance L(0) est proportionnelle à la somme de la distance e=DE=s.cos8 et de la distance e'=FG=r.sin(%-0)- ro.sin(%o-0), si bien que la luminance en un point donné de la surface cible d'angle 0 est: L(E)=k(e+e')= k[s cos 8 + p.r sin (4-O)-prO.sin( réflexion de la surface du luminaire, liée à la nature de celui- ci et à son état de surface. La constante k peut être exprimée comme étant égale à la luminance L(o) fournie par des rayons parallèles au plan de symétrie P du luminaire 1 pour lesquels 0=0. Dès lors: k = L(O)/s Quant à l'éclairement E(O)recu en un point de la cible compris entre les points extrêmes C et C' et formant un angle O avec le plan de symétrie P du luminaire il est égal à: E(O)= L(8).cos20 Dans le cas d'un profil d'éclairement uniforme et pour une source éloignée, ainsi que mentionné précédemment, l'éclairement E(e) devient: E(0)=L(E).cos20= cste soit L(O)=cste/cos2 0=L(0)/s.(s cos 0+ pr.sin(O-0)-pro(sin *o0) En prenant p(0)=pr.sin(4-0) et % =2a + 0 On est amené à l'équation différentielle suivante: da/de = sin a. cos a [d log p(O)/dE]-sin2 a Une telle équation différentielle du premier ordre peut être résolue en précisant une condition aux limites suivant laquelle un rayon provenant de l'extrémité O de la source lumineuse 3 la plus proche de l'élément réflecteur 5, se réfléchit en Ro suivant une verticale, si bien, qu'en ce point e = o. Des moyens de calcul appropriés permettent ainsi de calculer chacun des points successifs de l'élément de réflecteur 5 et donc de tracer, de préférence par des moyens automatisés, le profil Roz de celui-ci. Bien évidemment l'élément de réflecteur ' sera construit par symétrie. Comme mentionné précédemment, la présente invention permet d'obtenir des cartes d'éclairement d'allure quasiment quelconque. On peut ainsi par exemple concevoir un luminaire dont le profil des éléments réflecteurs soit tel que l'éclairement appliqué à une surface cible soit en chaque point proportionnel à la tangente de l'angle 8 formé par ce point avec le centre du luminaire. Dans une telle configuration la carte d'éclairement est définie par l'équation: E(O)= E(O).(1 + tg 0) valable entre deux points extrêmes C et C'. On a respectivement représenté sur les figures 7 et 8 une telle carte d'éclairement et la section droite de chacun des éléments réflecteurs 5 et 5'. II Dans la majorité des applications susceptibles de mettre en oeuvre l'invention, les sources de lumière ne sont pas des sources planes mais des sources en forme de cylindre de révolution, telles que les tubes fluorescents et autres. On sait qu'optiquement on peut constituer l'équivalent d'une source plane à partir d'une telle source de lumière cylindrique en dotant celle-ci d'un réflecteur cylindrique dont le profil de la base est en forme de développante de cercle. On a ainsi représenté sur la figure 4 la section droite d'un luminaire, mis en oeuvre suivant l'invention, et qui est constitué d'éléments cylindriques. Ce luminaire se compose d'une source de lumière, constituée d'un tube luminescent cylindrique 4, d'un réflecteur 17, dit réflecteur primaire, dont la section droite est en forme de développante de cercle, et de deux éléments réflecteurs 5,5', qui sont symétriques par rapport au plan de symétrie P de la source de lumière 4. Le réflecteur primaire 17 donne de la source de lumière cylindrique 4 une image rectangulaire de largeur 00', qui joue le rôle de source de lumière virtuelle par rapport aux éléments réflecteurs 5, 5'. Dès lors la construction des éléments réflecteurs 5, 5' s'effectue comme exposé précédemment. Un inconvénient de ce type de luminaire est que le réflecteur primaire 17, en forme de développante de cercle, augmente de façon notable la hauteur du luminaire. Un moyen permettant de réduire cet encombrement consiste à tronquer la base du réflecteur primaire 17, comme représenté sur la figure a, ce qui permet de déplacer vers l'amont (c'est-à-dire vers le haut sur le dessin) les extrémités aval Ro des éléments réflecteurs 5, 5'. Les essais effectués par la demanderesse ont établi que les meilleurs résultats étaient obtenus lorsque l'on effectuait une troncature de chacun des éléments de la développante de cercle avec une droite formant, avec la perpendiculaire xx' au plan de symétrie P du luminaire, un angle 3 de l'ordre de 20 . Le point d'intersection de cette droite avec le profil en développante de cercle du réflecteur primaire 17 donne une extrémité O de la source lumineuse virtuelle. A partir de ce point O on procédera ainsi qu'indiqué précédemment pour déterminer l'extrémité aval Ro du profil de l'élément réflecteur 5. On sait, par ailleurs, que si les tubes fluorescents ne produisent pas, la plupart du temps, de grandes quantités de chaleur, il est cependant parfois nécessaire de les éloigner des réflecteurs, afin d'éviter leur détérioration sous l'effet de la chaleur. Lorsque l'on effectue un tel déplacement l'image 3' de la source de lumière 4, jouant le rôle de source de lumière virtuelle par rapport aux éléments réflecteurs 5,5', n'est plus alors rigoureusement isotrope, si bien que la carte d'éclairement résultante distribuée sur la surface cible 7 se trouve de ce fait modifiée. On a ainsi représenté sur la figure 6 une telle variante de mise en oeuvre de l'invention dans laquelle la surface externe d'un tube fluorescent 4 est éloignée d'une distance d du fond du réflecteur primaire 17. On a représenté en traits pointillés sur la figure 5b la carte d'éclairement fournie par un tel luminaire sur une surface cible éloignée 7. On constate qu'au lieu d'obtenir le profil souhaité c'est à dire un profil d'éclairement comportant un palier central constitué d'une droite CC', on obtient une courbe à concavité dirigée vers le haut CDC'. La présente invention permet d'intervenir sur la forme des éléments de réflecteur 5 et 5' pour apporter un correctif ramenant la carte d'éclairement au segment de droite souhaité. Pour ce faire on introduit une nouvelle fonction, dite fonction de correction Fc(O), représentant, pour chacun des angles 0, un facteur correctif à apporter à la fonction d'éclairement L(0). En chacun des points la fonction de correction Fc(O) est égale au rapport de la luminance que l'on souhaite obtenir sur la luminance obtenue (que l'on souhaite corriger) Fc(O)=HK/IK. On obtient ainsi une nouvelle fonction L' () à partir de laquelle on établit, comme précédemment, une équation différentielle du type de l'équation précédente qui définit le profil de chacun des éléments de réflecteur 5, 5'. Une telle variante de l'invention pourrait bien entendu être mise en oeuvre avec des cartes d'éclairement autres que linéaires. On peut également combiner entre eux différents modes de mise en oeuvre de l'invention, afin de constituer notamment un luminaire apte, à partir d'une source lumineuse cylindrique non en contact avec un réflecteur primaire tronqué, fournir sur une surface cible éloignée de la dite source, une carte d'éclairement de profil quasiment quelconque. Bien que dans les exemples précédemment décrits on ait réalisé le profil de la section droite d'un élément réflecteur en commençant par déterminer son extrémité aval Ro, on pourrait également bien entendu procéder de façon inverse. On a ainsi représenté sur la figure 9 un luminaire constitué d'une source lumineuse 3' et de deux éléments réflecteurs 5 et 5' dont les extrémités amont Ro des profils sont déterminées comme précédemment par les valeurs ro de la distance de Ro à l'extrémité 0 de la section droite de la source de lumière 3', et par l'angle y sous lequel on voit, de l'extrémité Ro, la section droite s de la source de lumière 3. Dans ce mode de mise en oeuvre l'éclairement de la surface cible est alors: E(0)=L(0).cos2 0=k[s.cos 0-pr.sin (%-0)+pro.sin (+O -0)] REVENDICATIONS 1. - Procédé de réalisation du profil des éléments réflecteurs d'un luminaire constitué d'une source de lumière plane (3,3') symétrique par rapport à un plan (P), d'au moins deux éléments réflecteurs cylindriques (5,5') chaque point (R) dudit profil étant défini par la longueur (r) du segment (RO) représentant la distance de l'extrémité (0) de la section droite de ladite source de lumière (3,3'), située du côté dudit élément réflecteur (5,5'), audit point (R), et par l'angle (O) formé par la verticale avec ledit segment (RO), les rayons lumineux issus de la source de lumière (3,3') formant, en sortie du luminaire, des angles respectifs (0) avec ledit plan (P), caractérisé en ce qu'il comporte les étapes consistant: - à définir la position d'une extrémité (Ro) du profil de chaque élément réflecteur (5,5'), à partir, d'une part, d'une distance (rO) souhaitée séparant ladite extrémité (RO) de l'extrémité (0) de la section droite de ladite source de lumière (3,3') située du côté dudit élément réflecteur (5,5') et, d'autre part, d'un angle (y) sous lequel on souhaite voir la largeur (s) de ladite source de lumière (3,3') à partir de l'extrémité (Ro) dudit profil, - à définir une fonction d'éclairement E(0) correspondant à une carte d'éclairement souhaitée, liée à une fonction de luminance L(O) par la formule: E(O)=L(O).cos2 O=k[(s.cos O+pr.sin(O-0)- pro sin(o0-O)]cos20 si ladite extrémité (Ro) du profil de l'élément réflecteur (5,5') est l'extrémité aval de celui-ci, et une fonction d'éclairement: E(e)=L(0).cos2 G=k[(s.cos 0-pr.sin(*-E)+pro. sin(0o-O)]cos2e s. ladite extrémieé Roé est l'extrémité amont dudit profil, o k = L(O)/s - à déterminer, à partir de ladite extrémité (Ro), les coordonnées de chacun des points (R) dudit profil de chaque élément réflecteur (5,5') satisfaisant à l'équation io différentielle: dct/dO = sin act.cos a [d log p(8)/dO]- sin2a, o la fonction p(O) est égale à pr.sin(-O) et la valeur de l'angle a est égale à (O-0)/r. 2. Procédé suivant la revendication 1 caractérisé en ce que ladite source de lumière plane (3,3') est constituée d'une image virtuelle obtenue à partir d'une source de lumière cylindrique (4) de section circulaire et d'un réflecteur primaire (17) en forme de développante de cercle. 3. Procédé suivant la revendication 2 caractérisé en ce qu'on éloigne la surface externe de ladite source de lumière cylindrique (4) de la surface interne du reflecteur primaire (17) et, après avoir déterminé la fonction d'éclairement (E(e)) fournie par le luminaire, on définit une fonction de correction d'éclairement, (Fc(O)) avec laquelle on modifie la fonction d'éclairement (E(O)). 4. Procédé suivant la revendication 2 caractérisé en ce qu'on réalise une troncature du réflecteur primaire (17) d'un angle (f) dont la valeur est d'environ 30 . 5. Procédé suivant l'une des revendications précédentes caractérisé en ce qu'on donne à l'angle (y) sous lequel on souhaite voir la largeur (s) de la source de lumière (3,3') à partir de l'extrémité (Ro) du profil d'un élément réflecteur (5,5'), une valeur supérieure à celle de l'angle (Oc, ec') sous lequel on voit, du centre du luminaire, chacun des points extrêmes (C,C') de la surface cible (7). 6.- Luminaire constitué d'une source de lumière plane (3,3'), symétrique par rapport à un plan (P), et d'au moins deux éléments réflecteurs cylindriques (5,5'), chaque point (R) du profil d'un élément réflecteur (5,5') étant défini par la longueur (r) du segment (RO) représentant la distance de l'extrémité (0) de la section droite de ladite source de lumière (3,3'), située du côté dudit élément réflecteur (5,5'), audit point (R) et par l'angle (%) formé par la verticale avec ledit segment (RO), dans lequel les rayons lumineux issus de la source de lumière plane (3,3') forment, en sortie du luminaire, des angles respectifs (e) avec ledit plan (P), caractérisé en ce qu'une extrémité (Ro) dudit profil dudit élément réflecteur (5,5') est positionnée à une distance (ro) souhaitée de la susdite extrémité (0) de la section droite de ladite source de lumière (3,3') de façon telle que, de cette extrémité (Ro), on voie la largeur (s) de ladite source de lumière (5,5') sous un angle souhaité (y), les coordonnées de chacun des points (R) du profil de chacun des éléments réflecteurs (5,5') sont définies à partir d'une fonction d'éclairement donnée E(e), déterminée par une carte d'éclairement souhaitée, liée à une fonction luminance L(e) par la relation: E(E)=L(O).cos2 e=k[(s.ccs e+pr.sin(%-0)- prO sin(o0-0)]cos2o si ladite extrémité du profil de l'élément réflecteur est l'extrémité aval de celui-ci, et une fonction d'éclairement: E(O)=L().cos2 e=k[(s.cos 0-pr.sin(O-e)+pro.sin(o0- 8)]cos2e si ladite extrémité est l'extrémité amont dudit profil, o k = L(O)/s et satisfaisant à l'équation différentielle: dc/dO = sin a.cos a [d log p(e)/dO]-sin2a, o la fonction p(8) est égale à pr.sin(%-0) et la valeur de l'angle a est égale à (%-8)/r. 7.Luminaire suivant la revendication 6 caractérisé en ce qu'il comporte un réflecteur primaire (17), en forme de développante de cercle, donnant, à partir d'une source de lumière cylindrique de section circulaire (4), une image virtuelle plane (3'), jouant le rôle de source de lumière plane pour le luminaire. 8. Luminaire suivant la revendication 7 caractérisé en ce que la surface externe de la source de lumière cylindrique (4) est éloignée de la surface interne du réflecteur primaire (17) d'une distance donnée (d), et la fonction d'éclairement E(6) définissant la carte d'éclairement du luminaire est modifiée par une fonction de correction d'éclairement Fc(e). 9. Luminaire suivant la revendication 7 caractérisé en ce que le réflecteur primaire (17) est tronqué suivant un angle (0) voisin de 30 . 10. Luminaire suivant l'une des revendications 6 à 9 caractérisé en ce que l'angle y) sous lequel on souhaite voir la largeur (s) de la source de lumière (3,3') à partir de l'extrémité (Ro) du profil d'un élément réflecteur (5,5') a une valeur supérieure à celle de l'angle (0c, Oc') sous lequel on voit, du centre du luminaire, chacun des points extrêmes (C,C') de la surface cible (7). 11. Luminaire suivant l'une quelconque des revendications 6 à 10 caractérisé en ce que les éléments réflecteurs (5,5') sont symétriques par rapport audit plan (P).