Brevet FR2714195A1 — publié le 19950623

La présente invention concerne un procédé de détermination de l'orientation d'objets tridimensionnels. Elle s'applique aux domaines o le problème de la détermination de l'orientation d'objets à trois dimensions est particulièrement important lorsqu'il s'agit de les recaler relativement à un modèle, en vue soit de les comparer soit de les saisir. C'est le cas notamment, de la saisie de pièces industrielles, de l'identification d'objets dans une scène, de la reconnaissance en médical de molécules ou de l'évolution de données anatomiques par scanner ou IRM au cours du temps. A la résolution de ce problème deux catégories de solutions sont généralement mises en oeuvre. Une première catégorie consiste à rendre minimale et de manière itérative une fonction de comparaison prédéfinie. Une seconde catégorie part de l'hypothèse qu'un certain nombre d'appariements de zones carac- téristiques entre l'objet le modèle sont déjà réalisés. Parmi les nombreuses variantes de solutions appartenant à ces deux catégories, il faut citer la thèse de I. Block intitulée "Reconnaissance de formes tridimensionnelles - Applications aux molécules chimiques" Télécom. Paris 90 E018, déc. 90 qui définit une fonction de distance à rendre minimale entre les faces, arêtes et sommets d'un polyèdre en réalisant une projection d'un modèle sur l'autre, le modèle à recaler étant préalablement orienté de façon grossière. Une autre solution est basée sur la représentation E.G.I (abréviation du vocable anglo- saxon "extended gaussian image") ou complexe E.G.I de l'objet. Celle-ci est décrite dans l'article de S.B. Kang, Katsuski Ikeuchi ayant pour titre "Recognition of 3D objects using the Extended Gaussian Image" publiée dans Proc. of Int. Joint Conf. on Artificial Intelligence 595- 600, 1981, ou encore dans l'article de Katsuski Ikeuchi ayant pour titre "Determining 3D Object Pose Using the complex Extended Gaussian Image" de Computer Vision and Pattern Recognition, 1991. Cette représentation, complète pour des objets convexes, permet de définir des contraintes simplificatrices pour la recherche de l'orientation. Parmi les variantes de solutions de la deuxième catégorie, I'article M.W. Alker, L. Shao and R.A. Volz ayant pour titre "Estimating 3D Location Parameters Using Dual Number Quaternions" CVGIP: Image Understanding Vol. 54 n 3 PP. 358-367, Nov. 91 et l'article de O.D. Faugeras and M. Hebert ayant pour titre "A 3D recognition and Positioning algorithm using geometrical matching between Primitive Surfaces" Proc. 8th Int. Joint Conf. on Artificial Intelligence, pp. 996-1002, August 83 utilisent l'expression de la rotation sous forme d'un quaternion ce qui permet de calculer la rotation en minimisant une fonction de coût assez simple. D'autres auteurs comme R.M. Haralick and H. Joo dans leur article "2D-3D Pose Estimation" 9th Int. Conf. on PAMI, Italy, Rome, pp. 385-391, 1988 ou S. Uliman and R. Basri dans leur article "Recognition by linear Combination of Models" IEEE Trans. on PAMI, vol. 13, n 10, pp. 992-1006, oct., utilisent la projection du modèle dans plusieurs images, des appariements 2D-3D permettent d'estimer la position de l'objet. Il n'existe en fait que très peu de méthodes de recalage direct, sans appariements ni minimisation de fonction. Z. Pingo, D. Cyganski and J.A. Orr dans leur article "Determination of 3D Objects Orientation form projections" paru dans Patter Recognition Letters 3, pp. 351-356, sept. 85 et Chong-Huah Lo, Hon-Son Don dans leur article "3D moment forms: their construction and application to object identification and positioning" paru dans IEEE-PAMI, vol. 2, n 2, march 1980 utilisent les moments 3D, extension des moments 2D connus de l'article M.K. Hu "Visual Pattern Recognition by moment invariants" IEEE Transactions on Information Theory, Vol. IT-8, pp. 179-187, Feb. 1962, définis dans l'article de Firooz, A. Sadjadi, Ernest L. Hall intitulé "Three- dimensional moment invariants" IEEE-PAMI, vol. 2, n 2, march 1980. La méthode parue dans l'article de Z. Pinjo, D. Cyganski and J.A. Orr "Détermination of 3D Objects orientation from projections" Pattern Recognition Letters 3, pp. 351-356, Sept. 85 détermine à l'aide d'équations linéaires reliant ces moments pour deux orientations la rotation relative aux deux positions et celle proposée par Chong-Huah Lo, Hon-Son Don dans l'article précédemment cité permettent d'obtenir les deux axes principaux de l'objet. La solution proposée par K.D. Toennies, J.K. Vodupa, G.T. Herman, I.L. Wormon III and S.R. Buchman dans leur article "Registration of 3D objects and surfaces" IEEE Computers Graphics and Applications, Vol. 10, n 3, pp. 52-62, May 90 permet le calcul de la rotation en prenant comme base de l'objet les vecteurs propres de la matrice de covariance des points de l'objet centré sur son centre de gravité. Cependant aucun des procédés précités ne permet d'obtenir direc- tement et sans calculs excessifs l'orientation d'un objet par rapport à une position de référence. Le but de l'invention est de pallier l'inconvénient précité. A cet effet l'invention a pour objet, un procédé de détermination de l'orientation d'objets tridimensionnels caractérisé en ce qu'il consiste à décrire les coordonnées surfaciques de l'objet dans un espace à trois dimensions par une fonction xi(0, q) représentant dans chacune des directions (p et 0 la distance entre l'origine et le point le plus éloigné de l'objet dans cette direction, à décomposer sous la forme de coefficients cm, la fonction yi(0, (p) dans la base des harmoniques sphériques et à normaliser en rotation les coefficients Cm,e de la décomposition pour obtenir une position de référence de l'objet assurant l'unicité des coefficients cme. L'invention a pour principal avantage de pouvoir s'appliquer à la détermination de l'orientation d'objets quelconques, polyédriques ou non. Elle a aussi pour avantage de ne nécessiter aucun appariement entre modèles et par conséquent d'offrir un procédé de recalage extrêmement rapide par rapport aux procédés connus. Les temps de calcul sont extrême- ment courts, allant sur une machine SUN jusqu'à 1 seconde dans le cas d'un échantillonnage de la surface d'objet fait avec un pas de 5 degrés en e et (p. L'invention sera mieux comprise et d'autres caractéristiques apparaî- tront à l'aide de la description qui suit en référence aux figures annexées qui représentent: - La figure 1 un organigramme pour illustrer les différentes étapes du procédé selon l'invention. - La figure 2 un système d'axe orthonormés à trois dimensions utilisé pour le repérage en coordonnées polaires d'objets. - Les figures 3A et 3B, un objet réel (figure 3B) suivi de sa représentation vectorielle (figure 3A) selon l'invention. - La figure 4 une illustration d'un recalage d'objets. Selon l'organigramme de la figure 1, I'étape 1 du procédé consiste à acquérir une description dans l'espace à trois dimensions de la forme de l'objet, par reconstruction tomographique à partir de plusieurs vues prove- nant d'un capteur passif, caméra par exemple, ou à l'aide de capteurs actifs donnant une information de profondeur comme cela existe dans les installa- tions radar, laser ou faisant usage d'ultrasons. Pour effectuer cette reconstruction, les points de l'objet sont repérés dans un système de coordonnées rectangulaires (o, x, y, z) tel que celui représente à la figure 2. Dans ce système chaque point M de coordonnées x, y, z est défini en coordonnées polaires par les relations x = r sin 0 cos (1) y = r sin 0 sin 4 (2) z = r cos 0 (3) o r désigne la distance du point M à l'origine o, 0 I'angle oz, Om et 4 l'angle formé par l'axe ox avec la direction projetée oM sur le plan o, x, y. avecr>o, o qui représente la distance par rapport à l'origine o du point le plus éloigné de l'objet dans chaque direction (0, 4). Cette représentation est obtenue par échantillonnage régulier des angles O et 4 par pas distants d'un nombre déterminé de degrés. Ce processus permet comme le montre les figure 3A et 3B d'obtenir une surface extérieure englobante de l'objet suffisante pour déterminer son orientation. L'étape 3 suivante consiste à effectuer une décomposition de l'objet sur une base orthonormée formée des vecteurs propres communs aux opé- rateurs carré du moment cinétique L2 et projection du moment cinétique L sur l'axe z. Ces opérateurs dont une description peut notamment être trou- vée dans les tomes 1 et 2 des livres de mécanique quantique de Messieurs Claude Cohen-Tanoudji, Bernard Dia et Franck Laloï publiées par l'édition Herman sont définis en coordonnées sphériques par la relation L2 = lb"-,2 1 (4)2 tge iosin26. qui désigne l'opérateur "carré du moment cinétique" et la relation Lz (5) I c4> qui définit l'opérateur "moment cinétique" autour de l'axe z. L2 et Lz sont des opérateurs hermitiens qui commutent. Les vecteurs propres orthonormés associés à ces opérateurs sont encore appelés "Harmoniques sphériques": yem). t est défini dans le corps des entiers naturels pour f = O, 1, 2... xc et m est défini dans le corps des entiers relatifs pour m = - f,..., e -1, f. Ces vecteurs sont calculés de manière récursive à l'aide d'équations de la forme Y(m(O, 4) = Z(m(O) (iim Zrm étant un réel tel que Ze+,m() /(2f + 1)(2f +3) x z+m+ m + l'.- m + 1) cos - r(f m)e-M(6 cos zfm(O) - (2 +1)(2P -1) Ze-lm(e) (6) La décomposition d'une forme représentée par un vecteur IW > dans la base o10 {Yfm >} est obtenue en réalisant le produit scalaire du vecteur V > avec les vecteurs de la base soit: ce= (Yrm lW) = J2od4 fo sinOdOyrm(,4O)(0,4) (7) o Y.m est le nombre conjugué de Y(m La reconstruction de la forme y à partir des coefficients cm s'obtient par la relation: I> = Cc0 Yîm> (8) (,m L'opérateur de rotation se met sous une forme très simple dans cette base En désignant par Lx, Ly les opérateurs moment cinétique autour des axes ox et oy, l'opérateur de rotation R d'angle ax autour d'un axe [ux, uyuz]T qui transforme tout vecteur 1[ > en un vecteur IW'> par la relation lv'> = RyI,) tel que V(x,y,z), il'(x',y',z')= Il(xy,z) s'écrit en effet: R = e -i(X(uxLx + UyLY + uzLz) (9) En posant: L+ = Lx + iLy (10) L_ = Lx - iLy (11) ux + iUy u + -U y (12) ux -iUy u_= - (13) Et en utilisant la formule connue du développement de Taylor l'expression de l'opérateur de rotation R dans la base {|Yen)} devient R ym) = e-ic(uL + u+L_ + uzLz) Y(m) : Ym) - ic(uL+ + u+L_ + uz. Lz)Yem) (2 - (u-L+ + u+L_ + uzLz) Ym) 2! (14) avec L2,yrm) = (f + 1) Yrm Lz Ym= m YMm) L+ Yfm) = ((F +1)- m(m + 1) Yrm+i) L_ ym= ( f+ 1) - m(m - 1) Y(,m-1) Ce qui précède montre que RJY(m) est formée d'une combinaison linéaire des harmoniques sphériques {Y-) Ye-e+1) ye) L'espace des vecteurs y(O4,) est par suite décomposable en une somme directe de sous- espaces sO, Sl,2... etc orthogonaux globalement invariants par rotation. Dans ces sous-espaces, { Yoo} est une base de co { Y1-1u, Y1O), Y11)} est une base de s1 {1 Y2-2>, Y2-,) Y20> Y21,> Y22i} est une base de E2 etc... Du fait que si un vecteur appartient au sous espace Fg, son image par rotation appartient aussi à st, I'opérateur de rotation peut aussi être mis sous la forme d'un produit matriciel transformant les coefficients cme en coefficients _me tel que: Dans le mode de réalisation de l'invention qui est décrit ci-après la rotation est exprimée en utilisant les angles d'Euler. Elle consiste, à décom- poser la rotation du repère (x,y,z) en 3 rotations élémentaires, une première rotation d'un angle (a dans le plan (xoy) autour de l'axe z, qui amène y dans une direction u, suivie d'une rotation 3 autour de u, qui amène z en Z, et enfin une rotation de y autour de Z. Celle-ci s'exprime par la relation R(cx,, y) = e-iYLz. ei-3Lu eiLz (16) Si l'objet décrit par IF subit une telle rotation, ces composantes cem deviennent: cm,-D' (cc, c, c_ -, nDm&,'P')c2 (17) n avec Dm(ct, y) = e-ian.dnm(3). e iym (18) et :[ t + 2en)(- n!g+m)'- m!12t.o o s(2t+_m_2t)(] e m(P) t(- 1)t [( -+ n)!(t - - n))!(t + m)!] (2+nm2t)( / 2). sin(2t+m-n)(p / 2)(19) En utilisant les propriétés de symétries: dem(() = d -n(n) > dem(3) réel dnm(3) = d- mn() d/-m(f3) = dem(p) = (_1)m-n. dc = (- mn(13) Pour e = 1 et P = 2 les matrices de(3) correspondantes s'écrivent: (1+cos3) sin, 3 (1-cos3) 2 2 2 d1(f3)- sinf- sin13 (20) dlnm() =cos (20) nm 2 cs3 2 (1-cosf3) -sin3 (1+cos3) 2 2 2 dn2m (f3)= ( 2))i-asnl (42Q in 1-0p (1+cO)sin ( 2 +)(2 nDc3i os (1 -)(2cos + 1) (-c)sinp ---ésin2 J -4-sincos3 -ssin13cosi Jsin2 (21) 4 V2 2- 2224 (1-cos)in (1-c s) -2c1+osl3+1)ri (1 co)sin ( co P)(2cos -1) sinc1p cs)(2cosp-1) (1 +coS)sin13 2 2 i2 2 2 _ 2 33 2 1 _3snpcos_. 6+ cSil23 (1 -csin 13 sirl3cs-csos) - (ico)____ 2 22)2214 2 sn3 2 2 2 4 22 L'étape 4 du procédé consiste à effectuer une normalisation en rota- tion des coefficients cm pour déterminer l'orientation de l'objet, en considé- rant différemment les objets qui ne présentent pas de symétrie par rapport à l'origine, de ceux qui au contraire en présentent. Pour les objets ne présentant pas de symétrie par rapport à l'origine l'information de rotation est entièrement contenue dans le sous-espace F=1. La rotation R(:,g,y) de l'objet suivant les angles c, 13 et y définie par la rela- 10 tion (16) fournit des coefficients cm uniques et indépendants de l'orientation de l'objet. Ceux-ci sont définis conformément à la relation (17) en considé- rant séparément les rotations ca, 3 et y. Dans la rotation d'angle cc autour de l'axe z, les coefficients cm deviennent pour e=1 et -1 par des nombres réels. Dans la rotation de l'angle 13 autour de u les coefficients c"m(c) sont transformés en coefficients crn(c,3) tels que: cI(a, ô) (1- COS D c- + sinl3 cO (:) +(1+ cos 3) c1(c() (25) 2),/2 2 cO(o,3,)S= sinc11() + cos +cs(cO)- si c s(n) (26) C1(:,) 1 +C) S 13(x) 11)- Co (1X) + (1- cc1() (27) 2 j 1 2 -c1i(c- En considérant que pour un objet réel: cm = (-1)mC'm (28) et que pour x = co, cl1(Cxo) est réel et est égal à - c1(oxo), les relations pré- cédentes se simplifient et deviennent cl1(cxo,) cosf3C11(ao) + sinc(ao) (29) c1(oX0,3) = - v'sinp3c1(Cxo) + cos 3c1 (ao0) (30) En choisissant f3 =1o tel que c1(aoo, 3o) = 0, la relation (29) devient: cosoc1(a0o) + c1(CO) = o 0 est alors défini par: tan130 =- _ c1(00) Co (cOO) soit 3o = arctan(- 1,/2c() +(\) (31) Le choix pour 10 est déterminé en remarquant que pour l'une et l'autre des deux solutions, c (cxo,3o) change de signe. P8o peut alors être choisi pour faire en sorte que par exemple c (Coo,3o) soit positif. Après avoir effectué les rotations o0, 30o les coefficients cm(a0o,3o0) sont tels que: c1(xo0,o) =0 C11(ao,3o) = O c60(c0,f30) > 0 (32) Dans la rotation y autour de l'axe z, et étant donné les contraintes imposées par la relation (32) sur cm(cxo,p3o), une rotation de y des coeffi- cients cm(cxo,03o), (équivalente à une rotation ax sur cm), n'a pas d'influence dans le sous-espace [=1. Dans le sous-espace f=2, les coefficients cT(o,13) deviennent par la rotation y, des coefficients cm(cL,f3,y) tels que: Cl (a", y) e-2i-éC c(a"E = 2 c1(a,3,y) = e2'tc12(cd3) Cl2 (aE, e)= & cl (a,)(33) c2-2( 1 3,y) = e2i c22 (c, 33) Ces relations permettent de définir un angle y = 7y0 tel que, par con- s vention, c2-1(c,13,y) soit réel et positif et tel que: yo = phase(c21(ca,3)) (34) Les angles ao, P3o et 7yo satisfont les contraintes définies par la relation (32) et la contrainte pour c2-1(co, 0o,7yo) d'être réel et positif. Il n'est alors plus possible de trouver trois angles ca, 13 et y différents de caO, 1o et 7yo respectivement satisfaisant également ces conditions. Les coefficients c(oco,13o,yo) sont indépendants de la rotation de départ, ils sont normalisés et forment les composantes de l'objet de départ dans une posi- tion de référence. Par la rotation Rref =R(ao,o30,yo) I'objet s'oriente dans cette position de référence. Cette solution ne nécessite que la détermination desc5m pourl Pour généraliser la normalisation aux objets symétriques, il faut en- visager d'utiliser l'information de rotation implicitement contenue dans le sous-espace (=2. En réalisant des rotations successives a, f3 et y respecti- vement autour des axes z, u et Z, les coefficients cmr sont amenés dans une position unique indépendante de l'orientation de départ. Cette position est définie de la façon suivante: Du fait de la relation (28), le comportement des coefficients cm n'est envisagé que pour m Dans les rotations d'angle ca et f3 il est recherché dans un premier temps à satisfaire la relation c = OE et 3 =o, c2-1(co,13o)=0. La rotation d'angle 03o doit simultanément annuler la partie imaginaire et la partie réelle de c21(ao,13o). De par les relations (21) et (28) et en posant: c (cz) = ao c21(a) = - a1 + jb1 c2-2(c) = a2 - jb2, une rotation,, transforme les coefficients c'm(c) en coefficients cm(a,p) tels que: cO(,") = sin2 pa2 +6sin cos1pa1 + cos2 -)aO c21(c,3) = -a2 a Jsin(2,3) - a1 cos(2p) + j(b1 cos3 p - b2 sin) (35) c-2(a,): - 2(1+cos2a)+a1sinBcos,- -sinpcosPa0 - j(b1sin, p+b2cosp) 2 2 2 Pour annuler à la fois la partie réelle et la partie imaginaire de C2 1(c,3) pour 3 = 30, il faut, en posant A= - ao que 2 22 Asin(2,30)- a1 cos(2ó)= O et b1 cosp0 -b2sino0 = O soit encore que: tan(2c0) = al ce qui implique A 2tan-0 a1 (36) 1-tan2 Po A tan(10)= b (37) b2 En remplaçant (37) dans (36), et en supposant que a2- 2aO)ó0o et (b2-bf): 0, il vient: al(b2- bf)- blb2 a2- ao = 0 (38) Pour qu'un angle o0 annule simultanément les parties réelle et ima- ginaire de c21(c,p), il faut selon (37) que g0 =arctan b1= -arctan) 2b2) 2 Ar L'angle az = cz0 est déterminé en fonction des équations (37) et (38). En posant: a= wo c21() =(-W1 + jp)(c + jsin) -2 les coefficients cmdeviennent par ci., cm(ct) tels que: c;1(cL) =(-wl + jpl)(cosca + j sinca) c2-2(cz) = (w2 - jp2)(cos(2cL) + jsin(2c)) d'o a0 =w0 a1 = w1 cosc + Pl sinc: b1 = Pl cosa - w1 sina a2 = w2 cos(2OE) + P2 sin(2cL) b2 = P2 cos(2cL) - w2 sin(2co) Dans ces conditions, en définissant: 3(a) = a,(b2 b1) - b1b2 a2 - i ao) il suffit de prendre pour cOE, un angle satisfaisant 3(a) = O. Une mé- thode de recherche de zéros telle que la méthode de Newton, par exemple, permet de trouver rapidement par 4 à 5 itérations, une valeur précise de aco annulant 3. Ensuite, par une rotation d'angle y = yo le coefficient c2-2(c(o,Jo,yo) est imposé à une valeur réelle (phase nulle) et positive avec c-(co,Jo, yo) = 0O quel que soit yo. yO est alors déterminé tel que: yo= -phase(-2(c.o, 0)) De la sorte, en réalisant une rotation d'angles (cco,Jo,yo) les coeffi- cients c2 (Cto,Jo,yo) vont respecter dans l'espace e = 2 les relations: c;1(cO3 o,yo) = o et c22(Ocio,3,yo) réel et positif (39) Les rotations d'angles (cLo,3o, o) des coefficients cT amène les cf.(o"o, Iyo,) dans une position telle qu'ils respectent les conditions (38) précédentes. Cependant ces conditions ne suffisent pas pour les rendre uniques. Il existe en effet plusieurs positions particulières satisfaisantes et il suffit de n'en trouver assurément qu'une parmi elles. Pour cela, il faut rechercher quelles sont les rotations résiduelles possibles. Afin d'alléger les calculs, on désigne par bm les coefficients de décomposition de l'objet ayant subi la rotation R(cao, 3o, y o) tels que bm = cm(ao,0Y0,yo) Il est impossible d'effectuer une première rotation c: O des bm en respectant b-2 = c22(a0, 30,y0) réel. Par contre, il n'en n'est pas de même pour ó, car dans ce cas les coefficients b2m deviennent bm(p) tels que en posant: b = xo (b = o) b2-2 = X2 les coefficients bm(p3) deviennent 2 2 b21(ó)= x23 1 -) -2 bo1() { CO2 p12 x )sin(213) (40) b2()=2 (1 + cos2) + 6 sin2. x0 2 4 Toutes les valeurs de 13 tel que sin(213) = O satisfont les contraintes (38), soit pour O 252 2 2 2 b22(1=)x 2 ' 2 X On peut dans un premier temps, faire un choix entre la première et la deuxième solution en prenant par convention le cas donnant la plus petite 2 4t valeur de b(3). Ensuite, afin de echoisir entre 0 et i ou entre - et 3-,r on par exemple, que la phase de b44(3) soit comprise entre 0 et t permet de déterminer sans ambiguité un angle f3 = 131 unique. 14 2714195 Si l'objet n'est pas symétrique par rapport à l'origine alors il est éga- lement possible d'orienter ce dernier choix en contrôlant le signe b (3). En effet, celui-ci change de signe lorsque J3 passe de O à 7r ou de - à 3--. 2 2 Si l'on effectue ensuite une rotation y, les coefficients bm(131) devien- nent des coefficients bm(p31,y) tels que: pour t = 1: bO (Pl, -) =bO(Jl b-1(01,y) =b0(P,) b11(31,Y) = b11(1) ei pour ( = 2: bO(j3, y) = b2 (J1) b2-1(31,Y) = 0 b2-2(J1, Y) = b22(1). ei2'! = k2. ei2y pour P = 4: b43(1, y) = b43(J1).ei3Y b44(1,y) = b44(1) ei47 Pour Y =0, -, r ou 3 0 ( 2 2 établies sont maintenues. Afin de garantir une solution unique, y = -1 est pris tel que: b2-2(1,y1) réel et positif (41) En effet, si b22(g) réel et positif, y1 = O ou 7r sinon y1 = 2 ou 3 2. 2 2 2 Le choix entre O et 7z ou et 3 - provoque un changement de signe de la 2 2 phase C43(131,y1) et de la phase de C-1(13,y1). Selon la nature de l'objet, symétrique ou non par rapport à l'origine, on pourra imposer l'une ou l'autre des conditions définies par la relation (40). ;2714195 Par deux rotations successives, R(co,3o,yo) et R(0,31,y1) les coefficients bm(pl1,y1) sont tels qu'ils respectent les conditions résumées ci- dessous b-1(01,Y1) = O b2-2(31, y1) réel, positif et minimum 2 (42) 0 1,Y1) > (42) 0o Cette seconde solution ne nécessite que la détermination des com- posantes cm pour 1 Par le biais du procédé de normalisation précédemment décrit, le recalage en rotation d'un objet par rapport à un autre peut être facilement calculé par rapport à leur position de référence. Comme le montre la figure 4 qui illustre le cas d'un recalage de missiles, le recalage R12 d'un objet occu- pant une position 2 par rapport à un objet occupant une position 1 est obte- nu par le produit R12 = Rn1 lRref2 dans lequel Rrefl et Rref2 désignent respectivement les rotations amenant les objets de leur position 1 et 2 dans leur position de référence. Par suite, si l'on considère que la position de référence est celle qui est occupée par un modèle, le même processus permet d'obtenir facilement l'orientation d'un objet quelconque par rapport à ce modèle. ANNEXES Annexe 1: Calcul des harmoniques sphériques. Les harmoniques sphériques peuvent être calculées à l'aide des équations récurrentes. Yem(O,4) = Z(m(O)eimq O Zîm(O) est réel (2 f + 1) (2 e +3) (cm)(e+l)-(-m) -z-m(e) Zé'+im() = +(e( 1m)(- m) co(1) -) -(2) + 12- 1).m Zee(O) = d(sinO)e avec df (- 2f ( 1)4 Ze- m(o) = (-1)mZcm(o) Ils ont les propriétés ci-dessous: S1: [Yrm(e,4)] =(- 1)myrm(e,4) S2' Yfm(V- 0, z +4)= (-1) Yïm(O,4) Annexe 2: Résultats concernant les cm Pi: (Ce) = (Yfml! = (( Yfm)I I* - ((_)myr mIJ\ car Y' *= et (Yrm)* =(-1)mYem :(-1)mCm P2' 17 2714195 (ce)[J n d Oh sinOdJ'(O4,)Y;(O,4o] _- I, d+'|: sinOdO,(O, 4')yem(o,4) = f:7 d4f'f O sinedOP(O,-4))Ycm(O, -4') =.dû' fo 0 sinûdû'P(o,-. e( = f7 d4) 0 sinOdOIP(O, -4))Y;m(, 4) Si l'objet a un plan de symétries, alors il existe une position pour laquelle P(0,-4)= I(0,o,), alors dans cette position cm = (C). P3: Si deux objets ont une symétrie miroir, alors '"(0,-4)= (,). D'o en utilisant l'expression de (cm) dérivée de la démonstration P2, nous avons (cm)' = (cm) P4: Si l'objet est symétrique par rapport à l'origine, alors: (7- e+,)= (e, 4,) et sachant que: Yfrm(7 -0, 71 + 4) = (-1) Ym(O, 4) Nous déduisons, À. . = o dJo sin edeYrm(e,)(e,) + O _dSfosin edeYm(e,)t')(e, $) =, fod4fosin deYrm(e,4)dY(o, d) + f_ d(4' +i)f0sin(it -.')d( e e)Y;m( - e', + ó).(,,- e', + 4') =fO'+ 2d(ó'f0sin(0-'d(7 7C0C I o -'=-7r et 0'=7r-0 = fodC foisinedeY;m(8, sinOde(-1)-Ytm(e,) p(8, )] =0 si ' est impair Annexe 3: Rotation d'angles 3 = 0c, - et 3 dans 1 = 4 pour 2 2 b4-4(3) On a: b44(J])= dCn,_4(03).b4 n=-4 On pose: bo a b4 = ao b4- 1 = _ a1 +jb1 b42 = a2 - jb2 b4=- a3 +jb3 b4-4 = a4 - jb4 i 23.4 b4 =a+jb1 b a2+jb2 b=a3jb3 b4=a4+jb4 On relève ci-dessous les 9 valeurs de dn4_4(3)(-4 2 2 d4 4(2) = {0.0625,-0.177,0.331,-0.468,0.523,-0.468,0.331,-0.177,0.06251} dn_4(3 2) = {0. 0625,0.177,0.331,0.468,0.523,0.468,0.331,0.177,0.0625} soit 19 2714195 d_-4( 2) = {ko, k1, k2, k3, k4k3, k2, k1, ko} dCn-4(3.2) = {ko -k1, k2, k3, k4, - k3, k2, -k1, ko} d'o b4-4(0) = a4 - jb4 b44(n) =a4+ jb4 La phase de b4-4(p) change de signe entre D = O et 3 = w. b-4 2) =2(k4. a4 + k2. a2) + ko. a + 2j(k3. b3 + k1. b1) b4 4(32)= 2(k4. a4 +k2. a2) +ko.a0 - 2j(k3.b3 +kl.b1) La phase de b4-4(,) change également de signe entre 3 = - et B=23. 2714195 REVENDICATIONS 1. Procédé de détermination de l'orientation d'objets tridimension- nels caractérisé en ce qu'il consiste à décrire (1) les coordonnées surfaci- ques de l'objet dans un espace à trois dimensions par une fonction V(O,(p) représentant dans chacune des directions vi et 0 la distance entre l'origine et le point le plus éloigné de l'objet dans cette direction, à décomposer (2, 3) sous la forme de coefficients cmc la fonction V(,(p) dans la base des harmoniques sphériques et à normaliser (4) en rotation les coefficients cme de la décomposition pour obtenir une position de référence de l'objet assurant l'unicité des coefficients cmr,. 2. Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce que la position de référence de l'objet est déterminée par rotations d'angles d'Euler dans un trièdre de référence (o, x, y, 9). 3. Procédé selon la revendication 2 caractérisé en ce qu'il consiste à calculer pour les objets ne présentant pas de symétrie par rapport à l'origine du trièdre de référence les coefficients cme de la décomposition et à normaliser ces coefficients dans le sous-espace (=1 des harmoniques sphériques pour obtenir une position de référence de l'objet définie par les angles d'Euler cZO,10 telle que les coefficients cl1(:o,po) = c11(ao,oo) = 0 et que le coefficient c1 ((co, 3o) soit réel et positif et par l'angle d'Euler yo = - phase(c22(o-o, 1o)). 4. Procédé selon la revendication 2 caractérisé en ce qu'il consiste à calculer pour les objets présentant une symétrie par rapport à l'origine du trièdre de référence les coefficients cm, de la décomposition et à normaliser ces coefficients dans le sous-espace /=2 des harmoniques sphériques pour obtenir une position de référence de l'objet définie par les angles d'Euler telle que le coefficient c2-2(oE0,ó0,,0) soit réel et positif et que le coefficient c2-1(O0,f0,y0) soit nul quelque soit yo0. 5. Procédé selon la revendication 4 caractérisé en ce qu'il consiste à normaliser les coefficients cmr en faisant suivre R(co,3o,0yo) d'une rotation R(0,131,y1) de sorte que les coefficients obtenus br(o1,y1) soient tels que b2-1(1,y1)=0 et b22(p31,/1) soit réel, positif et minimum et tels que 21 2714195 O O et O ou O