Brevet FR2694640A1 — publié le 19940211

PROCEDE DE MIGRATION DE POINTS DE TIR SISMIQUES AU MOYEN D'UNE EQUATION D'ONDE PARAXIALE A COEFFICIENTS OPTIMISES. La présente invention concerne un procédé de migration de points de tir sismiques en vue d'imager l'intérieur de la terre. On rappelle que la migration sismique consiste à créer une image de réflecteurs du sous-sol en fonction d'un modèle estimé de la distribution des vitesses dans le sous-sol. De façon connue en soi, la migration est réalisée au moyen d'une équation d'onde paraxiale, qui représente la technique la plus précise pour imager le sous-sol avec des modèles de vitesses compliqués. Toutefois, pour atteindre une grande précision, il faudrait pousser le calcul de l'équation paraxiale jusqu a un ordre élevé. Mais, le coût du calcul ainsi que le temps nécessaire pour l'exécuter seront d'autant plus élevés. La présente invention a pour objet d'optimiser les coefficients d'une équation paraxiale de manière à limiter l'erreur à une valeur raisonnable tout en réduisant le coût du calcul. Avant de présenter le procédé d'optimisation des coefficients selon l'invention, on fera un rappel du procédé classique d'approximation. Dans un repère d'axe horizontal x et d'axe vertical z, l'équation de propagation d'onde acoustique classique est de la forme dans laquelle p est le champ d'ondes et v est la vitesse de propagation qui est fonction de x et de z. Cette équation est dite "à deux sens" parce qu'elle fait intervenir l'onde incidente qui descend de la surface du sol vers le réflecteur et l'onde réfléchie qui remonte vers la surface du sol. Cette équation n'est pas utilisable en migration sismique du fait que tonde réfléchie montante peut interférer avec l'onde incidente descendante et produire ainsi des artéfacts dans les images migrées. C1 est pourquoi, on la remplace par une équation d'onde paraxiale "à un sens", qui ne concerne que l'onde se propageant vers le bas. Pour cela, on applique à l'équation (1) la transformation de Fourier, ce qui donne: # = #(kx + kz) (2) où w est la fréquence en radians et kx et k z sont les composantes du vecteur d'onde. De (2) on tire l'équation de dispersion La représentation graphique de kzv en fonction de w kxv est un cercle de rayon 1, comme représenté sur la w figure L ci-jointe. L'équation d'onde idéale "à un sens" pour les ondes descendantes est donnée par la racine négative de l'équation (3), soit : ou bien en posant Z = kz # et X = kx # # # Cette équation est représentée par le demi-cercle inférieur de la figure 2. Mais, comme on ne sait pas calculer la transformée de Fourier inverse de l'équation (5), on remplace celle-ci par une approximation polynomiale rationnelle de la forme r(X) = a0 + a1X + ... + aN-1XN-1 + aNXN (6) b0 + b1X + ... + bN-1xN+1 + XN où N est l'ordre de l'approximation. Les équations aux dérivées partielles résultant des approximations rationnelles de l'équation idéale à un sens sont appelées équations d'ondes paraxiales. Il va de soi que plus l'ordre de l'approximation rationnelle augmente, plus le coût et la durée du calcul augmentent. C'est pourquoi on se limite dans la pratique au maximum aux approximations d'ordres 2 et 4, données pàr les équations r45(X) = -4+3X2 (7) -4+X2 (X) = 16 - 20X + 5X 16 - 12X2 (8) que l'on appelle aussi approximations 450 et 650 pour la raison qui apparaîtra par la suite. Bien entendu, le coût du calcul de l'approximation de r65 est double de celui de r45. Les réponses de ces deux approximations, c'est-à-dire les réponses dans le plan x - z de l'équation différentielle partielle due à une impulsion dans le plan x,z en t=O, peuvent être calculées analytiquement. Ces réponses sont représentées sur les figures 3 et 4. Sur la figure 3, la réponse de l'approximation r45 d'ordre 2 susmentionnée a la forme d'une cardiolde 10 se trouvant dans la moitié inférieure du cercle 12 qui correspond à la réponse idéale. On note sur cette figure que l'approximation du demi-cercle par la cardioïde est bonne jusqu a environ un angle de 450. Sur la figure 4, la cardiolde 14 représente la réponse de l'approximation r65 d'ordre 4, et l'on voit qu'elle constitue une bonne approximation de la réponse idéale 12 jusqu'à un angle de 650, ce qui explique les annotations r45 (X) et r65 (X) utilisées ci-dessus. Toutefois, les approximations données par les équations (7) et (8) et illustrées par les figures 3 et 4 ne sont optimales que pour la direction kx = 0, c'est-àdire qu'elles ne représentent la meilleure approximation qui puisse être faite de l'équation idéale à un sens , que dans la direction k = O. La présente invention vise à minimiser l'erreur d'approximation sur toute l'étendue de l'intervalle - 1 La présente invention concerne un procédé de migration de points de tir en vue d'imager l'intérieur de la terre, étant donné un modèle de distribution des vitesses de propagation d'ondes sismiques dans le sous-sol, ledit procédé étant du type consistant - à émettre des ondes sismiques à partir d'une source déplacée sur la surface du sol - à enregistrer pour chacune des positions de la source les traces des ondes sismiques réfléchies, au moyen de récepteurs disposés en plusieurs emplacements de la surface du sol - à migrer les points de tir au moyen de l'équation de propagation d'onde paraxiale implémentée en utilisant une approximation polynomiale rationnelle de celle-ci, ledit procédé étant caractérisé en ce qu'il consiste - à optimiser les coefficients numériques de ladite approximation polynomiale rationnelle de manière que l'erreur radiale entre l'équation d'onde idéale et ladite approximation polynomiale rationnelle, soit minimale sur l'intervalle - 1 ( kZV z +1, ou sur le sous-intervalle w - w où kx est la composante du vecteur d'onde selon l'axe horizontal et w est la pulsation. L'intérêt de ce procédé est qu'il permet d'obtenir une qualité de migration comparable à celle de l'approximation 650 classique avec un coût de calcul comparable à celui de l'approximation de 450, c'est-à-dire environ un coût moitié. L'invention sera mieux comprise à la lecture de la description d'un mode de réalisation particulier, faite en regard des dessins annexés dans lesquels les figures 5 et 6 expliquent sur un exemple la manière d'évaluer l'erreur verticale conformément à la méthode connue, et l'erreur radiale selon l'enseignement de l'invention les figures 7 et 8 représentent les réponses d'impulsions respectivement,dans le cas de l'approximation optimisée radialement lorsque s = 1 et dans le cas de l'approximation optimisée radialement avec 0,96 la figure 9 représente les courbes de variations des erreurs dans le cas de cinq différentes réponses d'impulsion par rapport à la réponse d'impulsion idéale et les figures 10 à 12 montrent respectivement les données migrées pour l'approximation 450, pour l'approximation 650 et pour l'approximation rr96. Comme on l'a expliqué précédemment, les équations (7) et (8) sont les approximations classiques d'ordre 2 et 4 de l'équation d'onde idéale à un sens (4), et ces approximations ne sont optimales que pour x = 0. L'invention vise à minimiser les erreurs d'approximation par la méthode des moindres carrés dans l'intervalle rw On a déjà décrit dans la littérature scientifique une formulation du problème de l'optimisation, consistant à minimiser l'intégrale du carré de l'erreur verticale entre l'équation d'onde idéale à un sens et l'approximation rationnelle. Cette formulation a la forme Mais comme le montre l'exemple illustré par la figure 5, la solution est biaisée parce que ces erreurs deviennent trop importantes au voisinage de 1. On peut évidemment remédier à cet inconvénient en effectuant l'optimisation pour 1, ce qui évite de prendre en compte la zone où les erreurs sont importantes. Selon l'invention, on obtient une meilleure formulation en minimisant le carré de l'erreur radiale entre l'équation d'onde idéale et l'approximation rationnelle, soit la quantité La figure 6 montre bien que les erreurs sont moins importantes au voisinage de 1, que dans le cas de la figure 5. La minimisation des erreurs e v et e r requiert le calcul de leurs dérivées partielles par rapport aux coefficients a0, a1,...aN et b0, b1,... bN-1. Ce calcul génère un système de 2N + 1 équations non linéaires à 2N + 1 inconnues dont la résolution conduit à une série de valeurs pour les coefficients. L'approximation selon la minimisation de ev pour &alpha; = 1 donne : ## = -1,9428784 + 1,8055164X (11) -1,9575601 + X Une première approximation selon l'invention minimise er dans l'équation (9) pour &alpha; = 1. On trouve : r# = -2,299231 + 2,0487696X (12) -2,3052704 + X Une seconde approximation minimise er pour &alpha; = 0,96 et donne : r#96 = -2,4840536 + 2,1628548X (13) -2,4882867+X Les réponses d'impulsion correspondant à r r et rr96 sont illustrées par les figures 7 et 8. En comparant les figures 3 et 4 aux figures 7 et 8, on remarque que les réponses d'impulsions r r et rr96 correspondant à l'approximation du second ordre sont bien meilleures que l'approximation classique r45 selon l'équation (7) et qu'elles peuvent même rivaliser avec l'approximation r65 selon l'équation (8). En effet, on voit sur les figures 7 et 8 que le point où chacune desdites réponses se sépare de la réponse circulaire idéale se trouve à un angle beaucoup plus grand que pour l'approximation 450 de la figure 3. On obtient ainsi une qualité de migration comparable à celle de 650, avec un coût de migration 450, soit un coût d'environ moitié. Une meilleure évaluation des erreurs entre les réponses d'impulsion des approximations (7), (8), (11), (12), (13) et la réponse d'impulsion idéale ressort de l'examen de la figure 9. Sur cette figure, on a représenté cinq courbes correspondant au pourcentage d'erreur de chacune des approximations, par rapport à la réponse idéale, en fonction de l'angle. Ainsi, l'erreur de l'approximation 650 a été représenté par une courbe en trait plein A l'erreur de l'approximation 450 par une courbe en traits pointillés B, l'approximation donnée par rv par une courbe en traits tiretés C, l'approximation donnée par rr par une courbe en traits tiretés courts-pointillés D, et l'approximation rr96 par une courbe en traits tiretés longs-pointillés E. On a également représenté sur la figure 9 deux lignes horizontales qui figurent les erreurs de - 1 % et + 1 % et par deux lignes verticales les positions de 450 et 650. On peut noter que chacune des courbes C, D et E associées aux coefficients optimisés reste comprise entre les erreurs limites de + 1 % et cela bien au-delà de 450, et que pour les courbes à coefficients optimisés radialement D et E, ces limites restent valables bien audelà de 65 . De plus, pour l'approximation E à coefficients optimisés radialement ave z = 0,96, l'erreur reste comprise entre + 0,5% au delà de 650. On se reportera à présent aux figures 10 à 12 qui représentent les images migrées des données pour les approximations 450, 650 et rr96. Comme on le voit en comparant les migrations des données pour 450 et 650 (figures 10 et 11), il y a plusieurs régions (par exemple les zones de faille situées à la partie supérieure des figures) où une interférence destructrice efface des parties de l'image pour l'approximation 450, mais pas pour l'approximation 650. Cette interférence est due aux erreurs de phase d'une demi-longueur d'onde dans les ondes extrapolées se propageant à des angles supérieurs à 450. L'approximation 650 souffre moins de ces erreurs de phase puisque sa courbe d'erreur A reste inférieure à + 1% jusqu'à 650. En outre, les zones frontières sont mieux imagées par la migration 650 que par la migration 450 en raison de la meilleure définition des points de terminaison. Des remarques similaires peuvent être faites en comparant la migration 450 (figure 10) à la migration obtenue en utilisant l'approximation rr96 (figure 12). Ainsi, comme le montre cette dernière figure, l'approximation rr96 est bien meilleure que l'approximation 450, car les réflecteurs situés dans la zone supérieure sont tous visibles bien que leurs amplitudes ne soient pas aussi importantes que dans l'approximation 650. De plus, la faille qui commence entre 4 000 et 4 500m est mieux visible pour la migration rr96 que pour la migration 650. En conclusion, dans tous les cas, les approximations optimisées rivalisent avec les performances de l'approximation 650 et ont l'avantage supplémentaire que la durée de calcul nécessaire pour l'approximation rr96 est identique à celle de l'approximation 450, alors que la durée de calcul de l'approximation 650 est environ double de celle de l'approximation 450. Les implications des ces résultats sont extrêmement importantes pour le traitement pratique des données sismiques, puisque les temps de calcul nécessaires pour obtenir une migration paraxiale de haute qualité peuvent à présent être réduits de moitié. REVENDICATIONS 1. Procédé de migration de points de tir en vue d'imager l'intérieur de la terre, étant donné un modèle de distribution des vitesses de propagation d'ondes sismiques dans un sous-sol, ledit procédé étant du type consistant - à émettre des ondes sismiques à partir d'une source déplacée sur la surface du sol - à enregistrer pour chacune des positions de la source les traces des ondes sismiques réfléchies, au moyen de récepteurs disposés en plusieurs emplacements de la surface du sol - à migrer les points de tir au moyen de l'équation de propagation d'onde paraxiale implémentée en utilisant une approximation polynomiale rationnelle de celle-ci, ledit procédé étant caractérisé en ce qu'il consiste - à optimiser les coefficients numériques de ladite approximation polynomiale rationnelle de manière que l'erreur radiale entre l'équation d'onde idéale et ladite approximation polynomiale rationnelle, soit minimale sur l'intervalle - 1 kx# -&alpha; # où kx est la composante du vecteur d'onde selon l'axe horizontal et w est la pulsation. 2. Procédé de migration selon la revendication 1, caractérisé en ce qu il consiste à minimiser l'intégrale du carré de l'erreur radiale, soit le calcul de er effectué avec &alpha; = 1 donnant : r# = -2,299231 + 2,0487696X , -2,3052704 + X et le calcul effectué avec &alpha; = 0,96 donnant : r#96 = -2,4840536 + 2,1628548X -2,4882867 + X