Brevet FR2642198A1 — publié le 19900727

*.4 PROCEDE DE CALCUL ET D'EXPLOITATION DE L'IMAGE EN PROJECTION CONIQUE, PAR EXEMPLE AU SENS DES RAYONS X, D'UN OBJET TRIDIMENSIONNEL ECHANTILLONNE, et PROCEDE DE RECONSTRUCTION TRIDIMENSIONNELLE D'UN OBJET ETUDIE UTILISANT CE PROCEDE DE CALCUL La présente invention a pour objet un procédé de calcul et d'exploitation de l'image en projection conique, par exemple au sens des rayons X, d'un objet tridimensionnel (3D) échantillonné en éléments de volume, ainsi qu'un procédé de reconstruction tridimensionnelle d'un objet étudié utilisant ce procédé de calcul. L'invention trouve son utilisation plus particulièrement dans le domaine médical o les objets étudiés sont des corps de patients soumis à un examen radiologique. Dans ce but, elle concerne essentiellement la reconstruction tridimensionnelle. Cependant, elle serait également applicable à des procédés de reconstruction bidimensionnelle. De même elle est utilisable en visualisation d'un volume échantillonné. Le but de l'invention est de concourir à la production d'images représentatives d'objet 3D étudiés qui soient à la fois plus nettes et obtenues plus rapidement. On connaît les reconstructions à deux dimensions (2D) d'images de coupes d'objets après des acquisitions (1D) en tomodensitométrie radiologique effectuées dans la coupe à imager. Les différentes générations de tomodensitomètres ont conduit à l'utilisation, en une troisième génération, des tomodensitomètres à faisceau de rayons X en éventail (fan beam), dans lesquels une source de rayons X ponctuelle illumine en rayonnement X un détecteur dit multidétecteur, comportant une pluralité de cellules alignées dans le plan du faisceau en éventail. L'objet à étudier est interposé entre la source à rayons X et le multidétecteur. L'acquisition comporte une série d'illuminations. D'une illumination à une autre l'ensemble source à rayons X-multidétecteur est tourné autour du corps à étudier. Si on appelle s la coordonnée longitudinale d'une cellule du multidétecteur sur ce multidétecteur, et si on appelle e l'angle de repérage de l'ensemble source à rayons X - multidétecteur au moment de l'illumination, on obtient de cette manière une série de mesures d'absorption radiologique notée P(e,s). Si on appelle x et y les coordonnées d'un élément de volume de l'objet à étudier, dans la coupe concernée, et si on note f(x, y,) la fonction d'atténuation linéaire du rayonnement X qui passe à travers l'objet, on peut écrire: 1 P(e,s) = Ioexp- f(x,y)dt X Dans cette expression, X désigne le rayon X qui aboutit sur la cellule s alors que l'ensemble tube à rayons X-multidétecteur est dans l'orientation e. Io est l'intensité incidente. Cette formulation n'est valable que dans les cas o la source est monoénergétique; t est l'abscisse curviligne le long du rayon X. L'application des théories de RADON avait conduit à rechercher la transformée de FOURIER monodimensionnelle de P(e,s) notée e (u). En recherchant ensuite la transformée de FOURIER bidimensionnelle de f(x,y) notée (v,w), on pouvait être conduit à identifier Pe (u) et fv, w) évaluées sur la droite d'angle e. On en a déduit que par une transformée de FOURIER bidimensionnelle inverse de F(v,w) obtenue à partir de l'ensemble des Pe (u) (après changement de variables et interpolation), on pouvait calculer la distribution de f(x,y) dans la coupe étudiée- à partir des mesures P(e,s). En pratique, on évite les transformées de FOURIER qui conduisent à des calculs trop longs et on utilise une technique dite de filtrage suivie de rétroprojection. Le filtrage consiste à calculer le produit de convolution de la fonction P(e,s), représentative des mesures, par une fonction de filtre q(s). Ce produit est le suivant: 2 P(e,s)*q(s) = P(e,t).q (s-t) dt /-"0 Dans cette expression t est une variable muette d'intégration. Le choix du filtre, qui revient à résoudre des mêmes problèmes que ceux rencontrés lors des changements de variables et de l'interpolation envisagée précédemment, conditionne la qualité des images obtenues. Dans l'opération de rétroprojection on attribue la valeur convoluée à tous les éléments de volume (voxel) de la coupe de l'objet étudié se trouvant sur le trajet d'un rayon X (e,s) concerné. Pour en déduire l'image, on cumule pour chaque voxel les différentes valeurs convoluées attribuées. Jusqu'à présent l'acquisition drinformations et la reconstruction 3D des structures examinées est effectuée en déplaçant en translation l'ensemble source à rayons X - multidétecteur le long du corps à étudier et en acquérant ainsi une pluralité d'images de coupe 2D adjacentes dans ce corps. Cependant cette technique est complètement déconseillée en angiographie o, pour obtenir du contraste sur les vaisseaux sanguins, on injecte un produit de constraste. L'injection de ce 2 6 4 2 1 9 8 produit de contraste est traumatisante pour le patient surtout dans la mesure o elle est répétée trop souvent. Il est par exemple prohibé d'effectuer 256 injections de produit de contraste si on veut acquérir des images de 256 coupes adjacentes dans le corps. Outre cette prohibition dans les images d'angiographie, il faut reconnaître que la technique d'acquisition 2D et de reconstruction 2D correspondante est trop longue à mettre en oeuvre pour reconstruire les objets 3D. En effet, avec une résolution moyenne de 256 points par 256 points dans une image de coupe, la durée d'acquisition, avec un tomodensitomètre actuel, est de l'ordre de quatre secondes. Les acquisitions nécessaires à 256 coupes conduiraient alors à une durée d'examen proche de la demie heure. Cette durée est bien trop longue à supporter pour les patients et pour le système de santé en général (coût). En théorie il est possible de généraliser la méthode de RADON en procédant à des acquisitions 3D et en effectuant directement la reconstruction 3D des objets à étudier. Par reconstruction 3D on entend le calcul d'un volume numérique dans lequel des cellules mémoires, placées à des adresses représentatives des voxels du volume étudié, contiennent une information correspondant à la distribution du phénomène (radiologique) étudié dans l'objet. Cependant, la théorie de RADON conduit à acquérir des mesures correspondant à l'intégration des caractéristiques physiques à imager dans un ensemble de sous-espace, dits hyperplans, dont la dimension est d'une unité inférieure à la dimension de l'espace étudié et à reconstruire. Autrement dit, pour un espace étudié 3D il faut disposer de résultats de mesure intégrés sur des hyperplans 2D. Or l'acquisition radiologique avec détecteur ponctuel ne peut être qu'une intégration des caractéristiques sur une droite (1D): le rayon X. Dans la mesure o en pratique la trajectoire de la source ne respecte pas les conditions fixées par la théorie, il ne sera pas possible, à partir de la seule connaissance des projections suivant l'ensemble des droites (rayons X) ayant servi à l'acquisition, de calculer les projections selon tous les hyperplans nécessaires à la reconstruction. Autrement dit il manquera des points o10 dans l'espace de Radon des mesures. Celui-ci ne sera pas remplit d'une manière régulière. La conséquence en est l'apparition d'artefacts dans les reconstructions 3D résultantes. Aussi, si des multidétecteurs à deux dimensions sont actuellement envisageables (arrangement de photo-détecteurs au silicium, utilisation d'écran intensificateur d'images radiologiques) les reconstructions 3D par cette méthode sont encore à rangerau rang des souhaits devant l'imperfection des résultats auxquels elle conduit quand on ne peut pas lui fournir beaucoup de données, comme c'est le cas dans les applications vasculaires. Il a été envisagé une technique algébrique de reconstruction radicalement différente et basée sur les principes suivants. On connaît l'ensemble des mesures P(8,T,s) acquis avec un multidétecteur à deux dimensions, plan ou concave. On sait par ailleurs qu'il existe une fonction continue f(x,y,z) représentative du phénomène d'absorption radiologique qu'on cherche à représenter. On cherche par la reconstruction à connaître f. Dans la pratique compte tenu de ce que tous les calculs sont effectués par des traitements de type informatique, la connaissance de f à l'issue est une connaissance échantillonnée. La nouvelle approche a consisté à estimer f par une fonction discrète notée f fixée à priori. Par exemple f peut au départ consister en un volume numérique o tous les voxels sont fixes à un (ou à zéro). On projette ensuite cette fonction discrète sur le multidétecteur comme si le volume étudié correspondait exactement à cette fonction discrète. On obtient une estimation notée Pi(f). Ceci peut encore s'écrire 3 Pi(f) = Hif Dans ces expressions i concerne une cellule numéro i du multidétecteur et Hi représente la ligne i de la matrice H de projection qui correspond à la cellule i. La matrice de projection H est indépendante du corps étudié. Elle n'est dépendante que de la géométrie de projection. Elle en constitue la modélisation. On compare ensuite Pi(f) (estimé) à Pi(f) (mesuré). S'il n'y a pas identité, et au début bien entendu il n'y a pas identité, on corrige f. Pour corriger, on effectue un épandage (back projection) sur l'objet à reconstruire de la valeur de la différence entre les projections mesurées et les projections calculées. Ceci s'écrit 4 f k = f k-1 +>\k (Hi*Eik) /{Hi[2 ou Hi est l'opérateur adjoint de Hi* et ou Eik est la différence entre les projections mesurées et calculées à l'itération k-1. On réitère cet ensemble de projections jusqu'à ce que l'identité de Pi(f) et de Pi(f) soit suffisante. Cette technique a été décrite dans "IMAGES RECONSTRUCTION FROM PROJECTION" G. T. HERMAN ACADEMIC PRESS 1980. Par ailleurs, si la matrice H de projection est une matrice binaire, avec des 1 et des 0, les résultats sont mauvais. Ainsi une première solution a consisté à approcher P par l'intégrale curviligne de f, prise le long d'une droite D reliant la source S et le centre de chaque cellule sur le multidétecteur. Ceci revient cependant à considérer que chaque cellule est de taille infiniment petite puisque de cette façon on ne prend pas en compte la surface réelle de la cellule, ni le caractère conique de la projection sur cette cellule. Le calcul de cette intégrale curvilignepeut se mener de plusieurs manières. La plus simple consiste à approcher 1' intégrale curviligne par une somme pondérée des valeurs des voxels traversés par le rayon le rayon X. Ainsi, on pourra écrire Pi(f) = hij.fj Dans cette formule fj représente la fonction d'absorption dans chacun des voxels (les éléments de volume échantillonnés) traversés, et hij représente la -pondération affectée à la valeur fj=f(xj,yj,zj) pour ce voxel quand il est traversé par un rayon aboutissant sur la cellule i. Cette pondération peut-être approchée par la longueur de l'intersection entre le voxel traversé et le rayon X. Dans cette approximation, dite méthode des pixels carrés et décrite dans le premier document cité, les résultats fournis sont malheureusement d'une qualité insuffisante pour les applications envisagées. Un autre calcul de pondération a été imaginé: il est décrit dans "AN IMPROVED ALGORITHM FOR REPROJECTING RAYS THROUGH PIXEL IMAGES", par P. M. JOSEPH, IEEE - MI, VOLUME 1, N 3 PAGES 192-196. L'idée de base de cet autre calcul est d'approcher l'intégrale curviligne de f par une somme portant sur les valeurs interpolées de f prises aux intersections de la droite suivie par le rayon X et de droites. horizontales (ou verticales) passant par les centres des voxels visités ou frôlés par le rayon X, ce rayon aboutissant au centre de la cellule du multidétecteur. Les valeurs de f en ces points d'intersection sont estimées au moyen d'une interpolation linéaire entre deux échantillons les plus proches, dans la direction horizontale (ou dans la direction verticale), suivant la pente de la droite du rayon X. Une généralisation de la méthode des pieds carrés a été proposée par K. M. HANSON and G. W. WECKSUNG, "LOCAL BASIS - FUNCTIONS APPROACH TO COMPUTED TOMOGRAPHY", - APPLIED OPTICS, VOL 24 N 23, DECEMBRE 1985, PAGES 4028-4039. Dans cette généralisation on construit à partir des échantillons f(xj,yj,zj) une fonction continue f(x,y,z) et on calcule la projection de cette fonction continue sur la cellule i du multidétecteur. Dans cette généralisation la fonction f est définie comme une combinaison linéaire d'un ensemble de fonctions de base bj(x,y,z), et on peut écrire: st 6 f x f = S aj-bj (x,y,z) Dans cette formule aj représente en définitive la description de la fonction f recherchée, les bj(x,y,z) étant connus. On utilise généralement des fonctions de base qui sont locales, répétitives, et séparables. Elles sont locales signifie que le support de chaque fonction bj est petit comparé à celui de f. Elles sont répétitives signifie que chaque fonction bj se déduit par translation d'une unique fonction b(x,y,z). Cette déduction est de la forme 7 bj (x,y, z) = b (x-xj,y-yj,z-zj) Elles sont séparables signifie enfin qu'il existe trois fonctions bx(x), by(y), et bz(z) telles que: 8 b (x,y,z) bx (x). by (y).bz (z) On remarquera d'ailleurs que dans le cas o bx est égal à by et à bz et o ces fonctions sont égales à une fonction en créneau, on retrouve la méthode dite des pixels carrés. On peut dire que la généralisation procurée par la méthode des fonctions de base permet de retrouver les autres méthodes citées plus haut, mais en leur donnant un fondement mathématique plus explicite, ce qui permet de mieux comprendre les opérations effectuées. Dans la pratique, les résultats les meilleurs sont obtenus avec des fonctions de base qui sont des B-splines, des sinus cardinaux, des fonctions de Hamming, ou de préférence des gaussiennes. Avec de telles fonctions de base on obtient des résultats de meilleure qualité que ceux produits par la méthode de JOSEPH au prix naturellement d'un temps de calcul plus élevé. L'opération de projection de l'estimation f de f revient à calculer Pi (f) = aj fgi(x,y,z).bj (x,y,z) dx dy dz Dans cette expression gi désigne une fonction de pondération à valeur nulle (ou très faible) en dehors du secteur angulaire formé par la source s et la cellule i. Les fonctions gi sont représentatives du support conique d'illumination de la cellule i. On peut d'ailleurs écrire hij =jJ}gi (x,y,z).bj (x,y,z,) dx dy dz et le calcul de P se réduit alors au calcul de l'ensemble des hij. Chaque poids hij traduit la contribution de la fonction de base bj à la projection de l'objet sur la cellule i. Le but de l'invention est donc de permettre, à partir de la connaissance d'échantillons fj d'une fonction f de trois variables, le calcul numérique de la projection de f sur une cellule détectrice i, en assurant à la fois une bonne qualité du résultat obtenu, et des temps de calcul très réduits. Ces deux critères (qualité et rapidité) sont essentiels dans la reconstruction d'une fonction f(x,y,z) à partir d'un ensemble de projections coniques 2D au moyen de techniques algébriques de reconstruction. Alors que les méthodes de projection de l'état de la technique ne permettent pas d'assurer à la fois la qualité et la rapidité désirées, l'invention va le permettre. Dans ce but, l'invention a pour objet un procédé de calcul de l'image illuminée en projection conique, par exemple au sens des rayons X, d'un objet tridimensionnel échantillonné en éléments de volume, dans lequel on décompose l'objet tridimensionnel échantillonné sur un espace de fonctions de base gaussiennes, - on calcule, pour chaque élément d'image de l'image projetée, des contributions des fonctions de base correspondant aux éléments de volume se projetant sur l'élément d'image considéré, chaque contribution étant égale à l'intégrale du produit de la fonction de ll base relative à un élément de volume par une fonction représentative d'un support d'illumination de l'élément d'image considéré, caractérisé en ce que - on remplace les fonctions représentatives du support par des fonctions de pondération gaussiennes. L'invention a également pour objet un procédé de reconstruction tridimensionnelle d'un objet étudié, utilisant ce procédé de calcul de manière itérative pour, à partir d'une fonction discrète échantillonnée et à priori représentative de l'objet à reconstruire, retrouver itérativement la fonction f à reconstruire. Dans ce cas l'élément d'image s'identifie avec une cellule d'un multidétecteur 2D. L'invention sera mieux comprise à la lecture de la description qui suit et à l'examen des figures qui l'accompagnent. Celles-ci ne sont données qu'à titre indicatif et nullement limitatif de l'invention. Les figures montrent: - figure 1: la représentation schématique d'une source d'illumination X et d'un multidétecteur; - figure 2: un diagramme géométrique présentant différents repères utilisables pour exprimer les coordonnées des cellules détectrices et conduisant à des simplification de calcul; - figure 3: une représentation symbolique (pour simplifier à deux dimensions) d'une fonction de pondération (à trois dimensions) selon l'invention; - figure 4: des particularités géométriques relatives aux projections et justifiant des simplifications de calcul retenues. La figure 1 représente une source S de rayons X qui illumine un corps C de manière à ce que des cellules détectrices i d'un multidétecteur D mesurent 2 6 4 2 1 9 8 l'atténuation de cette illumination après passage dans le corps C. Dans l'explication qui suivra on supposera que le multidétecteur utilisé est un plan (comme est assimilable à un plan la surface extérieure d'un écran intensificateur de luminance radiologique). Cependant, on pourrait facilement extrapoler l'invention à l'utilisation d'un multidétecteur concave comme le serait un multidétecteur au silicium muni de cellules photodétectrices. Un tel multidétecteur concave est en tous points de sa surface perpendiculaire au rayonnement X conique qui l'illumine. La figure 2 montre trois repères orthonormés directs. Un premier repère orthonormé x,y,z est solidaire du corps C. Pour une position de l'ensemble source S-multidétecteur D il peut être aussi considéré comme solidaire de la source S. Le détecteur D supposé plan est caractérisé par un point central noté P qui est la projection orthogonale de la source S sur le plan de ce multidétecteur. Un repère x',y'z' attaché au détecteur D est alors caractérisé par le fait que z' est co-linéaire, et de même sens, que SP tandis que x'et y', pour simplifier orientés selon les bords orthogonaux du détecteur D, forment avec z' un repère orthonormé direct. La cellule i est supposée être un carré du plan du détecteur D. Elle est attachée à un repère orthonormé xi Yi zi direct tel que zi est colinéaire à SPi (Pi étant le centre de la cellule i). Les vecteurs orthonormés xi et yi sont orthogonaux à zi, le vecteur Xi étant contenu dans le plan du détecteur D. Le rayon SPi est perpendiculaire à un plan ni contenant le vecteur xi. Conformément à ce qui a été décrit précédemment, l'invention utilise le principe général de la décomposition de f en fonctions de base. On choisit des fonctions de base locales, séparables, répétitives et gaussiennes. On peut poser en conséquence que: il f(x,y,z) f (x,y,z) = aj bj (x,y,z) J avec bj(x,y,z) = bx (x-xj). by (y-yj).bz (z-zj) On fait ici l'hypothèse que les voxels échantillons sont répartis sur un maillage dont la résolution est la même dans les trois directions de l'espace. En notant 6x, 6y et 6z les pas d'échantillonnages suivant les trois axes x, y et z, on peut alors écrire 12 Sx = y = sz- On choisit alors des fonctions de base gaussiennes de forme générale 12 bis bx(u) = 6x.Gab(u). Dans cette expression Gab(u) désigne une gaussienne tronquée d'écart-type ab telle que: 13 Gab (u) = (1/V2uob)exp (-u2/2 ab2) si lui Rb Dans cette expression la valeur du rayon Rb de troncature de la gaussiènne tronquée, ainsi que l'écart type ab peuvent être choisis par l'utilisateur. On tronque les gausiennes par ce que sur un calculateur numérique il faut bien limiter les calculs. Mais cette troncature est sans effet notable sur la validité des calculs. De bons résultats pratiques ont été obtenus en prenant des gaussiennes dont la largeur à mi-hauteur est égale à Ex, soit des gaussiennes dont l'écart- type est donné par 14 ab = 6x / 2Ln (2V2) puisqu'il y a un rapport 2Ln(2V2) entre la largeur à mi-hauteur et l'écart type d'une gaussienne. Dans cette expression Ln représente le logarithme Népérien. De la même manière une valeur empirique satisfaisante pour le rayon Rb a été Rb = 36x/2. Le terme Ex, &y et Sz introduit est un terme de normalisation assurant que, dans le cas o f est une fonction constante (c'est-à-dire telle que f (x,y,z) = a), les coefficients aj sont constants et très peu différents de a. Cette normalisation permet éventuellement de simplifier le passage entre les échantillons fj et les coefficients aj des gaussiennes (en choisissant, de manière approchée aj = fj). Cependant cette normalisation n'est pas essentielle dans l'invention. D'une manière connue la fonction de pondération gi doit être non négative à l'intérieur du polyèdre de sommet S et de base la cellule i, et quasi nulle à l'extérieur de ce polyèdre. En outre, à l'intérieur du polyèdre le poids attribué à chacun des plans zi(plan orthogonaux à l'axe FPi) doit être le même puisque chacun de ces plans est coupé par le même nombre de rayons issus de la source. Cette contrainte se traduit par le fait que l'intégrale 'gi (xk,Yk,Zk) dxk dYk évaluées dans le repère xi,yi, zi attaché à la cellule i doit être indépendante de zk. Pour satisfaire à ces deux conditions, dans l'invention, on a retenu des fonctions de pondération gi particulières. Elles sont gaussiennes. De préférence elles sont mêmes gaussiennes tronquées. En fait dans chaque plan zi = constante ces fonctions sont des gaussiennes 2D. Mais dans l'espace 3D ce ne sont pas des fonctions gaussiennes. On peut dire néanmoins que leur formulation mathématique fait intervenir des fonctions gaussiennes. La figure 3 montre une représentation schématique de la restriction, au plan du détecteur D d'une de ces fonctions de pondération. Cette restriction est, à une très légère approximation près, une gaussienne 2D tronquée. Le centre de cette gaussienne est Pi, son écart-type est ag et son rayon de troncature est Rg. L'écart type ug et le rayon Rg peuvent être choisis par l'utilisateur. Plutôt que de se placer dans le plan du détecteur, il peut être plus commode, pour donner l'expression mathématique de gi, de se placer dans le repère de la cellule (Xi, yi, Zi)- Si on appelle O le cercle, dans le plan détecteur, de centre Pi et de rayon ag on peut admettre que la projection, selon une direction zi, de ce cercle sur le plan vi, attaché à la cellule i et défini précédemment, est une ellipse. Cette ellipse possède des axes orientés selon xi et Yi. En se souvenant que xi est commun au plan du détecteur D et au plan ri, et en mesurant que le rayon SPi fait avec le rayon SP un angle T(figure 2), on peut écrire: 16 agx = ag agy = ag Cos (r) On peut alors choisir pour gi une expression séparable de la forme suivante - 17 gi (xk,Yk,Zk) = Gagx(zk)(xk)-Gagy(zk)(yk) Dans cette expression Go(u) est une gaussienne 1D tronquée telle que 18 Gagx(zk)(Xk)=(l/d'27agx(zk)) exp(-xk2/2a2gx(zk)) silxklIRgx(zk) et telle que Gagx(zk)(Xk) = 0 si IXkl> Rgx(zk) On définit Gagy(zk) de la même façon. Dans ces expressions Rgx est le rayon de troncature sur l'axe xi (Rgy est de la même façon le rayon de troncature sur l'axe Yi). Les gaussiennes sont en fait paramétrées par Zk puisque les écarts-type dépendent bien entendu de l'altitude de la fonction de base ainsi pondérée par rapport à la source S, du fait du caractère conique de la projection. Pour cette raison les écarts-type agx(zk) et Ogy(Zk) sont définis par 19 Ugx(zk) = agx-Zk/SPi agy(zk) = agy-Yk/SPi On appellera SPi/zk rapport d'agrandissement de la projection sur le plan ri parallèlement à zi. On pourra écrire FMAG(zk) = SPi/Zk On pourra définir de même les rayons de troncature en fonction de FMAG de la manière suivante 21 Rgx(Zk) = Rg/FMAG(Zk) et Rgy(zk) = Rg cosr/FMAG(Zk) La fonction gi ainsi définie a les propriétés suivantes. La restriction de gi au plan ri est, par définition, une gaussienne 2D tronquée, d'écart-type agx suivant xi et d'écart type agy suivant Yi. Le support de gi est un cône de sommet S, d'axe SPi, et de base elliptique (dans le plan ri). La restriction de gi, au plan détecteur, n'est pas différente d'une gaussienne 2D tronquée, d'écart-type ag (suivant x' ou y'). Le support de cette restriction est peu différent du cercle de centre Pi et de rayon Rg. Le support de cette restriction de gi n'est pas un cercle parfait parce qu'en fait la source S n'est pas à l'infini. En effet si la source S était à l'infini, et si sa projection dans le plan ri était effectivement elliptique, saprojection dans le plan du détecteur serait rigoureusement un cercle. Comme la projection est conique, le cercle projeté est un peu déformé: l'erreur entraînée est du deuxième ordre. Elle peut être négligée. En outre, la fonction gi ainsi choisie satisfait à la contrainte selon laquelle 22 JJgi (xk,Yk,Zk) dxk-dYk est indépendante de zi. En effet cette somme double peut s'écrire: 23 JJGagx(zk)(Xk).G agy(yk)(Yk)dXkdYk 1 qui est une constante. L'égalité n'est pas exacte parce que au lieu d'être des gaussiennes pures les fonctions gaussiennes utilisées sont tronquées. Enfin, en pratique, on choisit, comme pour les fonctions de base, un écart type de la fonction de pondération tel que la largeur à mi-hauteur des gaussiennes soit égale à la largeur d'un voxel (dans le repère attaché et à l'endroit de la cellule détectrice). De même on choisit un rayon de troncature Rg qui soit égal à trois demies de cette largeur. En conclusion, on peut écrire que l'expression obtenue pour l'estimation de la projection Pi (f) est la suivante: 24 Pj(f)=6x6ysz E ai jGab(xi-xk)-Gab(Yj-Yk)-Gab(Zj-Zk).A. dxkdYkdzk o A = Gagx(zk)(xk).Gagy(zk)(yk) Dans l'expression précédente on va montrer qu'il est possible d'éliminer la variable zk. Ceci est possible au prix d'une approximation. On fait l'hypothèse, largement vérifiée dans les applications citées, que le côté $x' d'une cellule détectrice est très petit devant les distances SP ou SPi. Dans les conditions o est actuellement utilisée l'invention, on a par exemple $x' sensiblement égal à. 0.8 mm et SP sensiblement égal à 1200 mm. Dans cette hypothèse l'angle d'ouverture a du cône correspondant au support de gi est très petit. Les valeurs numériques que nous venons de donner conduisent à a 0.04 . on considère alors une fonction de base 3D bj et on regarde si son support possède une intersection vide avec le cône support de gi. Dans le cas ou cette intersection serait vide sa contribution à la projection Pi(f) serait nulle. Dans le cas contraire l'intersection est bornée par deux demi plans parallèles tels que Zi = Zj+ ou zj+ = zj + Rb Zi = Zj- ou zj- = zj - Rb Dans cette expression zj désigne la cote, dans le repère cellule (xi, Yi, et zi) du point Vj o est centrée la fonction de base bj. La figure 4 montre le domaine local de définition de la fonction bj limitéeautour du point Vj. Ce domaine est un cercle limité par le rayon Rb (Rb étant le rayon de troncature de la gaussienne définissant bj). La figure 4 illustre l'intégration proposé par la formule 11. Au fur et à mesure que les fonctions de base locales sont prises en considération, on évalue leur intersection avec une partie du support de la fonction de pondération de la cellule détectrice considérée. Cette partie du support est normalement un tronc de cône; elliptique, dont la plus grande base est fixée par l'altitude zj - Rb et dont la plus petite base est fixée par l'altitude zj + Rb. Dans l'invention, compte tenu d'une part que a est très petit, et que d'autre part Rb est également petit (par hypothèse des bases "locales"), on s'est rendu compte qu'on pouvait approcher, au voisinage de gj, le tronc de cône par un élément de cylindre d'axe SPi. En d'autres termes on considère que pour zk appartenant à un intervalle (zj, zj +) on pourra écrire 26 agx (Zk) z agx (Zj) soit agx (Zk) z ag/FMAG (zj) et agy (Zk) Z agy (Zj) soit agy (Zk) z ag Cos (T)/FMAG (zj) Dans cette expression k est attaché à la fonction de pondération alors que j est attaché à la fonction de base. La dernière expression présente l'intérêt que agy(Zk) est maintenant indépendant de zk puisque par approximation il n'est plus dépendant que de zj. Dans ces conditions le calcul de l'approximation P (f) de la formule 24 se simplifie et devient 27 Pi(f)=6x6ySz Z aj Gab(xj-xk).Gab(Yj-Yk).A.dXkdYk puisque les fonctions étant séparables, les intégrales sont séparables et que -f- 28 Gab (j-k) dzk 1 En séparant l'intégrale sur xk et celle sur Yk on peut écrire 29 Pi(f)Z6x6Y6zZai (xi-xk).Gagx(zk)(xk)dxk Gab(yj-Yk) -Gagy(zk)(Yk)dYk Or, pour une valeur de i donnée, chacune des deux intégrales de cette dernière expression peut s'interpréter comme un produit de convolution de deux 2642 1 98 gaussiennes centrées. Le produit de convolution de deux gaussiennes centrées est connu pour être une gaussienne également centrée, dont la variance est égale à la somme des deux variances des gaussiennes de départ. Ceci conduit alors à l'expression particulièrement simple, après calcul, Gab(xj-xk).Gagx(zk)(xk)dxk (1/V2rax) exp (-xj2/2ax2) et Gab(yj-yk) .Ggy(zk)(Yk)dyk (1/V27Tay) exp (-yj2/2ay2) soit pour Pi(f) Pi(f)ZSx6y6z E aj (1/2raxay) exp (-xj2/2ax2).exp (-yj2/2uy2) L'expression des variances Gx2 et ay2 est la suivante (somme des variances): 31 ax2 = ab2 + agx(Zj)2 ay2 = ab2 + agy(Zj)2 On remarque que ces relations ne sont toutefois que des approximations, dans la mesure o les fonctions utilisées sont en fait des gaussiennes tronquées. La dernière relation présente cependant l'intérêt très grand d'être dépouillée de tout calcul intégral. En conséquence, avec les approximations justifiées - jusqu'ici dans l'invention, on va pouvoir en un calcul très simple calculer la projection de la fonction échantillonnée. Il est possible dans ces expressions de remplacer agx et a gy par leurs valeurs en fonction de FMAG. Cette dernière expression s'écrit 32 Ox2 = ab2 +ag2 / FMAG (Zj)2 ay2 = ab2 +ag2COS2 (r) / FMAG(zj)2 Les valeurs xj et yj apparaissant dans l'équation 30 sont, pour chaque cellule i, des coordonnées des voxels relatives au repère cellule i. Il est plus avantageux, pour simplifier l'algorithme de projection f de n'utiliser que des coordonnées relatives au repère détecteur. Pour cela on peut introduire un deuxième repère orthonormé direct du plan détecteur, noté xi,yi' et zi'. Le premier vecteur de ce repère est le même que le premier vecteur du repère cellule i. Ceci est possible puisque le vecteur xi appartient également au plan détecteur comme indiqué précédemment. Le vecteur zi, est parallèle au vecteur z' du repère attaché au plan détecteur. Le vecteur Yi' se déduit de ces vecteurs xi et zi' comme étant le troisième vecteur d'un repère direct. On peut montrer que les vecteurs xi et Yi' se déduisent des vecteurs x' et y' par une rotation plane d'angle e (figure 2) o e est l'angle entre le vecteur y' et l'axe PPi.'- Toutefois, en pratique, pour des raisons liées à la structure de l'algorithme de projection décrit, on utilise non pas l'angle e mais une valeur approchée e'. 25. Cet angle e' est défini comme l'angle entre l'axe y' et l'axe PVjt, o Vjt est la projection de Vj sur le détecteur. Ce point apparaît sur la figure 2 ainsi que sur la figure 4. Cette approximation se justifie dans la mesure o Vjt ne sera pris en considération que lorsque sa projection approchera Pi, du fait du caractère local de la fonction de pondération. Il sera donc possible dans les.équations de prendre e8' pour e sans que cette approximation conduise à une trop grande erreur de reconstruction. 2642 198 Les valeurs xj et yj figurant dans l'équation 30 sont, dans le repère cellule i, l'abscisse et l'ordonnée du centre Vj de la fonction de la base bj. Exprimons les coordonnées xj et yj en fonction des coordonnées dans le repère plan (xi,yi,) du vecteur Pi Vj,. Les coordonnées de PiV'j sont notées (x'j,y'j). On peut remarquer que le vecteur Pi Vj, est égal à la projection, sur le plan du détecteur et suivant la direction SPi, du vecteur de coordonnées (xj,yj). On en déduit alors 33 x'j = xjFMAG(zj) y'j yjFMAG(zj) / cos (T) Et ceci conduit alors à la formule finale qui transforme l'équation: 34 Pi(f) z 6xSy6z Z aj FMAG(zj%2.exp -x'j2.exp yj2 27'r j axayCos(r) 2uxt2 2ay,2 en posant ax,2 = ab2.FMAG(zj)2 + ag2 et ay,2 = ab2.FMAG(zj)2 / cos (T) + ag2 L'avantage des exponentielle est qu'elles remplacent le calcul intégral par des fonctions qu'on peut calculer à l'avance et tabuler. Il en résulte un gain de temps. On peut résumer les résultats acquis en donnant une description générale de l'algorithme proposé pour le 264 219 calcul de la projection de f. On disposera normalement des échantillons fj pour tout j de la fonction f. On les projettera par l'intermédiaire de la matrice de projection et on obtiendra l'estimation de la projection Pi (f) pour toute valeur de i. C'est cette estimation que l'on comparera aux valeurs réellement mesurées pour en déduire par un épandage (back projection) des différences (ou des résidus), une nouvelle valeur d'échantillonnage de f de manière à réitérer le calcul en entier jusqu'à ce que petit à petit l'estimation soit la plus proche possible de la fonction recherchée. L'algorithme comporte donc les étapes suivantes: - on passe de la base des échantillons à la base des fonctions de base gaussiennes. Ceci revient à calculer, connaissant fj tous les coefficients aj. Au départ, compte tenu de ce que les fonctions de base bj sont à support borné, on pourra simplifier cette opération, en remarquant que les gaussiennes utilisées ont des largeurs à mi-hauteur de l'ordre de la taille des voxels en choisissant, en une première étape du procédé, ajo = fj0. Cette relation est approximative, mais elle est suffisante en pratique. - on initialise tous les Pi (f) à zéro, et - pour chaque valeur de j + on calcule les coordonnées, dans le repère détecteur, du point V'j, projection du centre Vj de la fonction de base sur le détecteur; + on en déduit e' = l'angle (y',PV'j); + on calcule, pour cette fonction de base située à une altitude zj, la fonction FMAG (zj); + on calcule également r qui est l'angle formé entre SP et SPi; + on calcule enfin ax' et ay'; + on calcule enfin ax' et ay'; + et,pour chacun des pixels (xi', yi') du plan détecteur qui appartient à la projection sur le détecteur du support de la fonction de base bj: = on calcule xj' et yj'; = on calcule hij, contribution de la fonction de base bj au pixel Xi, Yi'; = et on incrémente Pi (f) = Pi (f) + hij.fj. Bien entendu plutôt que de ne servir qu'à la reconstruction de la fonction f qu'on recherche, l'algorithme inventé peut permettre, connaissant une fonction f correctement échantillonnée d'en proposer des images en projection conique selon une direction principale SP à définir. L'avantage de l'invention est alors d'apporter une image sans artefact obtenue plus rapidement que dans l'état de la technique. Le fait de choisir une fonction de pondération gaussienne, dont l'écart type est (et ceci avec toutes simplifications présentées) encore fonction de l'altitude de la fonction de base conduit normalement à une pondération naturellement adaptée à la nature conique de l'illumination. De cette manière on diminue les artefacts et on accélère la reconstruction. L'invention concerne bien entendu toutes les exploitations faites des images ou reconstructions calculées. Ces exploitations comportent notamment la visualisation des structures reconstruites ou des images calculées. 2 642 1 9 8 REVENDICATIONS 1 - Procédé de reconstruction et d'exploitation de l'image, illuminée en projection conique, par exemple au sens des rayons X, d'un objet tridimensionnel échantillonné en éléments de volume, dans lequel - on décompose l'objet tridimensionnel échantillonné sur un espace de fonctions (bj) de base gaussiennes, - on calcule, pour chaque élément d'image de l'image projetée, des contributions (aj) des fonctions de base, correspondant aux éléments de volume se projetant sur l'élément d'image considéré, chaque contribution étant égale à l'intégrale du produit de la fonction de base relative à un élément de volume par une fonction (gi) représentative d'un support d'illumination de l'élément d'image considéré, - et on exploite l'image projetée, caractérisé en ce que - on remplace les fonctions représentatives du support par des fonctions de pondération gaussiennes. 2 - Procédé selon la revendication 1 caractérisé en ce que les fonctions de pondération gaussiennes ont des écarts type, dans des directions perpendiculaires à l'illumination, dont les valeurs sont fonction de la position de l'élément de volume sur un rayon d'illumination. 3. Procédé selon la revendication 2 caractérisé en ce que les valeurs des écarts type sont des fonctions linéaires de la position de l'élément de volume considéré. 4. Procédé selon la revendication 2 caractérisé en ce que les valeurs des écarts type sont prises localement constantes au voisinage de cet élément de volume considéré. - Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 4 caractérisé en ce que - on choisit des fonctions de pondération gaussiennes tronquées (Rg). 6 - Procédé selon la revendication 5 caractérisé en ce que - on choisit des fonctions de pondération gaussiennes tronquées dont le rayon de troncature (Rg) est sensiblement égal à trois demies de la dimension géométrique d'un échantillon dans le volume échantillonné. 7. Procédé selon l'une quelconques des revendications 1 à 6 dans lequel - on choisit des fonctions de base répétitives, séparables, et locales caractérisé en ce que - on calcule la contribution en calculant les exponentielles d'une fonction des coordonnées (Xj' yj')de la projection géométrique du centre (Vj) du support des fonctions de base. 8 - Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 7, caractérisé en ce que pour calculer la contribution des fonctions de base on applique la formule suivante: 34 Pi(f) 6xS6ySz Z aj FMAG(z ep -x'2.exp -y,2 27 3 axaycOs(T) 2ax'2 2ay,2 en posant 264 2 19 8 aX,2 _ b2.FMAG(Zj)2 + ag2 et oy,2 = ab2.FMAG(zj)2 / cos (r) + ag2 dans laquelle: -FMAG représente un coefficient d'agrandissement tenant compte par la coordonnée zj de la nature conique de la projection; -ab et Cg sont les écarts types des fonctions de base et de pondération respectivement; -Sx Sy et Sz sont les dimensions géométriques d'un échantillon; -et r mesure l'inclinaison de la projection sur un élément d'image considéré par rapport à la projection normale. 9 - Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 8 caractérisé en ce que - on choisit des fonctions de pondération gaussiennes dont la largeur à mi-hauteur est sensiblement égale à la dimension géométrique d'un échantillon dans le volume échantillonné. - Procédé de reconstruction tridimensionnelle d'un objet étudié dans lequel - on estime l'objet par une fonction échantillonnée - on projette la fonction échantillonnée estimée, - on compare les projections de la fonction échantillonnée estimée projetée à des mesures résultant d'une étude en projection de l'objet, - on en déduit une nouvelle estimation de l'objet, - et on réitère ces opérations jusqu'à ce que la comparaison soit satisfaisante, et dans lequel, pour projeter la fonction échantillonnée, on décompose l'objet tridimensionnel échantillonné sur un espace de fonctions de base gaussiennes, - on calcule pour chaque élément de l'image projetée de la fonction échantillonnée estimée, les contributions des fonctions de base correspondant aux éléments de volumes de l'objet se projetant sur l'élément d'image de projection considéré, chaque contribution étant égale à l'intégrale du produit de la fonction de base relative à un élément de volume par une fonction (gi) représentative du support d'illumination de l'élément d'image considéré, - et on exploite l'objet reconstruit, caractérisé en ce que, - on remplace les fonctions représentative du support de base par des fonctions de pondération gaussiennes.