Brevet FR2627877A1 — publié le 19890901

La presente invention concerne une nouvelle technique de calcul de solutions d'équations différentielles et aux dérivées partielles. Par suite, les résultats numériques des calculs ainsi que les programmes de calcul qui sont basés sur cette nouvelle technique font l'objet de-la présente invention. La technique de résolution des équations différentielles ou aux dérivées partielles, par la méthode dite des transformations intégrales, est déjà largement utilisée. Cette technique consiste à transformer l'équation à résoudre en une équation image, cette dernière étant alors une équation algébrique lorsque la transformation intégrale opère sur toutes les variables de la fonction F(xî,x2,...,xn) à déterminer dans l'équation donnée. La transformée de F est calculée à partir de l'équation image et l'on obtient alors explicitement F par inversion de la transformation intégrale. Les transformations intégrales utilisées jusqu'à présent sont formées par des intégrales calculées dans des domaines finis, les limites étant bien déterminées, ou infinis. La présente invention concerne l'utilisation d'un nouveau type de transformation intégrale et par suite les résultats qui découlent de son utilisation, ainsi que les calculs numériques et les programmes permettant -explicitement des calculs numériques. Ce nouveau type de transformation intégrale consiste à utiliser un domaine d'intégration non déterminé, les bornes d'intégration dépendant donc des variables elles-mêmes figurant dans la fonction à calculer. Pour une fonction F(x) d'une seule variable, cette nouvelle transformation intégrale est définie par: T [ F(x)J= f(p,x) = J"X K(p,u)F(u) du où K(p,x) est le noyau de la transformation intoegrale. Ce noyau peut avoir des expressions explicites très variées et il sera plus précisément déterminé, en général, en fonction de l'équation à résoudre. L'originalité de cette transformation vient en effet du choix des bornes d'intégration et d'une propriété essentielle qui en découle pour la résolution des équations différentielles. A titre d'exemple, on. résoud l'équation différentielle à coefficient non constant suivante: A(x) dF(x)/dx + a F(x) = B(x). Le noyau K(p,x) de la transformation intégrale est calculé de façon à obtenir une -transformée de la dérivée dF(x)/dx, sous forme de la transformée de F(x) multipliée par le paramètre p, à une constante près. On obtient alors: K(p,u) = exp [ -p î.dv/A(v) ] . Soit f(p,x) la transformée de la fonction F(x) par la transformation intégrale de noyau K(p,u). L'équation image obtenue par cette transformation intégrale T est K(p,x)F(x) - F(o) + pf(p,x) + a f(p,x) = b(p,x) avec b(p,x) = T [ B(x)#; f(p,x)=T [ F(x) ] ; F(O)=F(x=O). D'où l'image f(p,x): f(p,x) = [ b(p,x)+F(0)-K(p,x)F(x) ] I [ p+a ] Le dénominateur (p+a) de cette dernière expression s'annule lorsque le paramètre arbitraire p est tel que : p= -a.Par suite, le numérateur de l'expression précédente doit s'annuler pour p=-a afin que l'image f(p,x) ne devienne pas infinie. On a donc : b(-a,x) + F(0) - K(-a,x)F(x) = 0 . On obtient donc F(x) = [ b(-a,x) + F(0) ] I K(-a,x) x Explicitement, on a: K F(x) est bien la solution de l'équation %ifférentielle correspondant à la condition initiale F(O). On remarque que cette technique de résolution ne fait pas intervenir de formule d'inversion de la transformation intégrale T. C'est la particularité essentielle de cette nouvelle méthode de résolution alors que toutes les transformations intégrales classiques nécessitent l'inversion de la transformation. Par suite, cette technique peut être généralisée à des transformations intégrales de noyau quelconque, éventuellement non inversibles, et dont on n a pas à déterminer la transformation inverse. Pour la résolution d'équations différentielles d'ordre supérieur à un, on obtient une équation image qui fait intervenir à la fois l'expression de F(x) et de ses dérivées successives. Par exemple, pour une équation du deuxième ordre, où figure la dérivée d2F A titre d'exemple, on résoud l'équation suivante à coefficients constants: d2F(x)/dx2 -a2 F(x) = B(x). Pour une transformation T, ayant pour noyau K(p,u)=exp(-.pu) l'équation image est alors f(p,x)=[b(p,x)+pF(0)-pe-PxF(x)+F'(O)-e-PxF'(x)]/[P-a] avec f(p,x)= T [ F(x) ] ;b(p, x)=T [ B(x)3; F'(x)=dF(x)/dx;F'(0)= [ dF(x)/dx ] x=0;F(0)=F(x=0). Le dénominateur de l'expression s'annule pour p=a et p=-a, d'où les deux relations: b(a,x)+aF(O)-ae-aXF(x)+F F'(x) = 0 b(-a,x)-aF(O)+aeaXF(x)+F '(O)-eaXF ' (x) =O Ces deux dernières expressions permettent d'obtenir explicitement F(x) et dF(x)/dx, en fonction des autres données qui sont les conditions initiales F'(0) et F(0), par une résolution algébrique classique. Cette méthode de résolution se généralise aisément aux systèmes d'équations différentielles comportant n fonctions inconnues Fi(x),i=1,2,...,n. Si chaque équation est d'ordre m,l'application d'une transformation intégrale T permet d'obtenir (n.m) équations où figurent explicitement les n fonctions Fi(x) et leurs dérivées d'ordre 1 à (m-l) ainsi que les conditions initiales Fi(0) et les dérivées d'ordre 1 à (m-l) pour x=0. La résolution d'un tel système d'équations algébriques est classique et s'effectue à l'aide du calcul matriciel. Par suite, tout calcul de ce type utilisant le système d'équations algébriques obtenu par l'ùtilisation de la nouvelle transformation fait l'objet du présent brevet. De même tout programme informatique, quel que soit le langage utilisé, fait également l'objet de la présente invention,lorsque le système d'équations à résoudre découle directement de l'utilisation de la transformation intégrale définie dans le présent brevet. La transformation intégrale T à une variable peut évidemment se généraliser à n variables, l'intégration s'effectuant dans des domaines indéterminés pour chacune des variables. Le noyau utilisé est alors un noyau à n variables. On peut également combiner cette nouvelle transformation intégrale T, par rapport à une variable, avec une autre transformation intégrale clasique ou non, par rapport à une autre variable. A titre d'exemple,pour une fonction de deux variables F(x# orx définit la transformation intégrale combinée suivante: T [ F(x,t)#= f(q,p,x,t) f0 e-PtK(q,u)F(u,t) du dt Pratiquement, on effectue d'abord une transformation par rapport à une variable puis ensuite on effectue une deuxième transformation. Ici, la première transformation, par rapport à la variable t, est une transformation de Laplace. La deuxième transformation est une nouvelle transformation, par rapport à la variable x. Pour un système de n équations aux dérivées partielles comportant n fonctions inconnues, F#(x,t),i=l,2,...,n, une première transformation classique permet d'obtenir n équations différentielles. Si ces n équations sont chacune d'ordre m, l'utilisation de la nouvelle transformation conduira à (n.m) équations algébriques. La résolution de ces équations, quel que soit la méthode employée, constitue une revendication du brevet. Tout programme informatique visant à ce même but fait également partie de l'invention. REVENDICATIONS 1. Technique de calcul utilisant une nouvelle transformation intégrale qui permet d'obtenir des solutions d'équations différentielles ou d'équations aux dérivées partielles, ces solutions ne pouvant pas être calculées par une autre méthode. 2. Résultats de calculs obtenus par la méthode indiquée dans la revendication 1 et calculs numériques découlant des solutions analytiques obtenues. 3. Programmes de calculs, quel que soit le langage informatique, permettant le calcul numérique de résultats obtenus selon la revendication 1. 4. Tous travaux de calculs utilisant la nouvelle transformation intégrale selon la revendication 1.