Brevet FR2606872A1 — publié le 19880520

L'invention concerne un système de navigation mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence destiné à une intégration dans un système de navigation et tel que les paramètres d'une fonction quadratique représentant approximativement une fonction de vraisemblance logarithmique sont utilisés comme signaux d'entrée du circuit d'estimation. Dans un autre aspect, l'invention concerne un système de na- vigation mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence pour l'intégration à un système de navigation, et les paramètres d'une fonc- tion gaussienne représentant approximativement une fonction de vraisem- blance sont utilisés comme signaux d'entrée du circuit d'estimation. D'autres caractéristiques et avantages de l'invention ressor- tiront mieux de la description qui va suivre, faite en référence aux dessins annexés sur lesquels: la figure 1 est un schéma illustrant les principes mis en oeuvre pour la navigation suivant un profil de terrain, dans le cas d'un aéronef; la figure 2 est un schéma facilitant la compréhension de la terminologie utilisé dans le cas d'un lot de données de navigation sui- vant un contour de terrain; la figure 3 est un schéma représentant une fonction de vrai- semblance dans le cas d'un lot court, c'est-à-dire ne comprenant qu'un seul point; la figure 4 est un schéma représentant une fonction de vrai- semblance dans le cas d'un lot long, c'est-à-dire d'un lot de soixante et un points; la figure 5 est un graphique représentant une coupe d'une fonction calculée de vraisemblance dans le cas d'un lot d'échantillons; les figures 6A et 6B sont des graphiques représentant, dans le cas de lots long et court respectivement, la variation au cours du temps de l'écart-type d'une composante de l'erreur de position dans un système de navigation ayant des caractéristiques de repérage préalable de position de mauvaise qualité; les figures 7A et 7B sont des graphiques correspondant à ceux des figures 6A et 6B, mais dans le cas d'un système de navigation ayant une bonne qualité de repérage préalable de position; la figure 8 est un schéma représentant une fonction de vrai- semblance dans le cas d'un lot court; les figures 9A et 9B sont des schémas illustrant un procédé de détermination approximative d'une fonction de vraisemblance telle que représentée sur la figure 3 ou sur la figure 9, par une fonction de forme gaussienne; la figure 10 est un ordinogramme représentant la séquence d'étape exécutée par un appareil selon l'inven- tion; et les figures 11 et 12 sont des graphiques illustrant la mise en oeuvre de l'appareil selon l'invention. Dans la description, on considère l'application du théorème de Bayes à la navigation suivant le contour d'un terrain. D'abord, on étudie la relation entre le théorème de Bayes et le filtre de Kalman, en insistant en particulier sur le principe de la fonction de vraisemblance. La description concerne alors la question de savoir comment, lorsque l'information donnée par les observations est consti- tuée d'un lot de données de navigation suivant un contour de terrain, une approximation convenable de la fonction de vraisemblance peut être calculée à l'aide d'un relevé numé- rique. On note que, dans le cas de lots de longueur suf- fisante, la fonction de vraisemblance ainsi calculée a habituellement une forme approximativement gaussienne. Ceci permet une réalisation directe et élégante de la navigation suivant un contour de terrain, appelé "ProtoSPARTAN" qui peut être directement couplé à un filtre de Kalman afin qu'il soit intégré à un système de navigation. La description considère ensuite les avantages potentiels de l'utilisation des lots plus courts, donnant des points observés avec une plus grande fréquence et met- tant en valeur les problèmes posés. Deux approches sont examinées pour la résolution de ces problèmes du point de vue Bayesien. La première approche assure le traitement de mesure d'un altimètre radioélectrique individuellement à l'aide d'un filtre étendu de Kalman, dans l'hypothèse o le terrain au voisinage de l'aéronef peut être considéré appro- ximativement comme un plan géométrique. La seconde approche utilisée pour la réalisation de la navigation suivant un contour de terrain, appelé "SPARTAN" dans le présent mé- moire, met en oeuvre une technique d'approximation succes- 3 2606872 sive pour la détermination de la fonction de vraisemblance. Il est prouvé que, dans des circonstances favorables à la première approche, les deux techniques sont logiquement presque équivalentes, mais que la seconde approche a un fonctionnement efficace et fiable dans une plus large plage de conditions. 1. Introduction: le théorème de Bayes et le filtre de Kalman Le théorème de Bayes de la théorie de la probabi- lité a été proposé par le révérend Thomas Bayes dans un article publié après sa mort, en 1763. Etabli à propos d'événements discrets A et B, il indique que la relation suivante existe entre la probabilité conditionnelle de B après A et la probabilité conditionnelle de A après B: p(BIA) = P(AIB) p(B) (1.1) p(A) Le théorème de Bayes, défini en termes de densités de pro- babilité, devient: f(xly) = f(yx) f(x) (1.2) f(X) Dans un exemple concret, si le vecteur x représente la position d'un aéronef et le vecteur y représente le résultat d'un expérience statistique dont le résultat dépend de la position de l'aéronef, f(x) représente la fonction densité de probabilité pour la position de l'aéronef avant l'expérience et f(yilx) donne la fonction densité de probabi- lité pour le résultat expérimental y lorsque la position réelle de l'aéronef est x. La formule permet de déterminer f(xly) qui est la fonction densité de probabilité remise à jour pour x pourvu que l'expérience ait un résultat particu- lier y. Le quatrième terme de l'équation (1.2), c'est-à- dire f( 4 2606872 l'intégration étant réalisée pour toutes les positions possibles x. Il est préférable de considérer f(y) comme une constante de normalisation qui assure que l'intégrale de f(xly) est égale à l'unité, par rapport à x. Il faut noter que f(y) dépend du résultat expérimental y mais non de la position réelle de l'aéronef. Une autre manière d'exprimer l'équation (1.2) est la suivante: f(xly) = cyLy(x)f(x) (1.4) Dans cette équation, cy est une constante de normalisation alors que Ly(x) est appelé fonction de vraisemblance pour x crééepar observation y. Ly(x) est identique à la densité de probabilité conditionnelle f(y x) (mise à part une constante arbitraire éventuelle de changement d'échelle), et à l'ex- ception du fait qu'elle est considérée comme une fonction de x avec y comme paramètre plutôt que l'inverse. Un cas spécial important du théorème de Bayes est décrit par le théorème suivant: THEOREME 1 Si f(x) est une distribution gaussienne multidimen- sionnelle ayant une moyenne p0 et une matrice covariance P0, et si Ly(x) est de la forme: 1T Ly(x) = c(y) exp - 2(x- _y) JT x -) (1.5) dans laquelle la matrice Jy est définie et non négative, c'est-à-dire que la fonction de vraisemblance a une forme gaussienne multidimensonnelle avec une "moyenne" py et une matrice "information" Jy, la distribution remise à jour de x, f(xly) est une distribution gaussienne multidimension- nelle de matrice covariance: p+ (Po + Jy (1.6) 4J) (1.6) et de moyenne: P+ = P+(Jyjy + P0 P0) = g0 + P+Jy(Ey - P0) (1.7) =jy + P+ P0 (la0 - y) Ce théorème contient l'essentiel de la remise à jour d'une mesure par un filtre de Kalman. Il faut noter que ce théorème nécessite que la fonction de vraisemblance ait une forme gaussienne, c'est-à-dire que f(ylx) doit avoir une forme gaussienne, lorsqu'elle est considérée comme fonction de x. Pour cela, il n'est pas en fait nécessaire ou suffi- sant que f(y I x) ait une forme gaussienne lorsqu'elle est considérée comme fonction de y. Cependant, dans les explications portant sur le filtre de Kalman, il est courant que l'hypothèse la plus grande soit utilisée, selon laquelle f(ylx) est de la forme: i TR-1 f(ylx) -= k exp 1(y - Cx) R (y - Cx) (1.8) C étant une matrice constante de rang complet (la "matrice de mesure") et k étant une constante de normalisation, c'està-dire que y a une distribution gaussienne avec une moyenne Cx et une matrice covariance R. Si l'on considère f(ytx) comme étant une fonction de x, il est simple de mon- trer que l'équation (1.8) a une forme gaussienne avec T -1_ _ une matrice "information" C R 1C, et une "moyenne" C-y, C étant l'inverse généralisé de C. Dans la terminologie du théorème 1, on obtient: Ey T -1 Jy = R C (.9) L'utilisation de ces expressions dans l'équation (1.6) donne les équations classiques du filtre de Kalman: P+ = (P0-1 + C R C)- 0(.0 1+ =P+(CTR -l + P0-1 O) (1.10) =g0 + P+CTR1 (y - C40) D'un point de vue logique, les équations (1.7) sont plus fondamentales que les équations classiques (1.10), l'équa- tion (1.10) étant un cas particulier de l'équation (1.7) 6 2606872 pour les mesures pour lesquelles f(vlx) a la forme de l'équa- tion (1.8). Cependant, au point de vue algébrique, l'équa- tion (1.7) peut être considérée comme un cas particulier de l'équation (1. 10) comme on peut le noter en déterminant C comme étant la matrice identité I. 2. Application du théorème de Bayes à la navigation suivant un contour de terrain Ce chapitre montre comment le théorème de Bayes peut être appliqué à la navigation suivant un contour de terrain. Cette dernière expression est utilisée dans le présent mémoire dans son sens générique s'appliquant à toute technique de navigation assistée qui repose sur la comparaison des hauteurs détectées du terrain à des hauteurs conservées dans un relevé numérique. Cette expression "navi- gation suivant un contour de terrain" est ainsi destinée à recouvrir des réalisations particulières par exemple "TERCOM", "SITAN", "CAROTE", "SPARTAN", "TERPROM, etc. Il convient alors d'étudier les principes fondamen- taux de la navigation suivant un contour de terrain, appliquée à un aéronef, en référence à la figure 1. Trois types de données de mesure sont nécessaires. D'abord, la technique nécessite une séquence de mesures de la distance séparant l'aéronef du sol (c'est-à-dire la hauteur au- dessus du niveau du sol). Cette mesure est normalement obtenue par échantillonnage du signal de sortie d'un altimètre radioélectrique ou à laser, éventuellement avec un filtrage préalable supplémentaire quelconque; un intervalle d'échan- tillonnage -horizontal d'environ 100 mètres est courant en pratique, mais il n'est pas primordial. Ensuite, les données d'un capteur barométrique ou d'altitude de type barométrique et à inertie sont nécessaires pour la mesure d'un déplacement vertical éventuel de l'aéronef entre des mesures successives de la distance au-dessus du sol. Troisièmement, un type ou un autre de système de repérage préalable de position (par exemple un système à inertie ou un radar Doppler combiné à une référence de cap) est nécessaire pour la mesure des positions horizontales relatives des mesures de distance au sol. La caractéris- tique essentielle de la navigation suivant un contour de terrain est l'utilisation de ces données pour la recons- titution du profil du terrain au-dessous du trajet de l'aéronef. Un relevé numérique de la hauteur du terrain est alors étudié afin qu'un profil ajusté soit déterminé au voisinage de la position de l'aéronef telle qu'estimée précédemment; cette mesure peut alors être utilisée pour la remise à jour de la position estimée. Aucune raison ne s'oppose en principe à l'applica- tion directe du théorème de Bayes à ce problème. Si l'on utilise le théorème sous la forme de l'équation (1.4), on obtient: f(xtx) = CyLy(x) f(X) (2.1) Dans ce cas, cy est une constante de normalisation, f(x) est la fonction densité de probabilité de la position de l'aéronef avant la remise à jour des données de navigation suivant le contour de terrain, alors que f(xly) est la fonc- tion densité après prise en compte d'un jeu y de données de mesure de navigation suivant le contour du terrain, comme décrit précédemment. (Il est plus simple de considérer pour l'instant que x représente simplement la position de l'aéronef. Ultérieurement, il sera commode au contraire d'utiliser x comme représentant l'erreur de position estimée par le système de navigation avec repérage préalable de position, ou comme vecteur d'erreur du système de navigation ayant un plus grand nombre de dimensions). Le terme restant est la fonction de vraisemblance: Ly(x) = f(lx) (2.2) Pour sa détermination, il est nécessaire de répondre à la question suivante: quelle est la probabilité de l'obser- vation d'un jeu de données x de profil de terrain lorsque la position réelle de l'aéronef est x ? Cette probabilité (ou plus exactement cette densité de probabilité) doit être considérée comme une fonction de la position x de l'aéronef pour un lot déterminé de données de profil y. Le reste de ce chapitre concerne des exemples de calcul en pratique d'une approximation utile de la fonction de vraisemblance. Il existe un certain nombre d'approches différentes. Une première obtention porte sur la prise en compte explicite de l'altitude de l'aéronef pour le calcul de la fonction de vraisemblance ou sur son traitement comme un parametre constituant une nuisance. Une autre obtention porte sur le traitement des mesures de distance au sol individuellement ou par lots; le présent mémoire considère de façon générale la première approche, comme cas particulier de la seconde (c'est-à-dire des lots d'une seule mesure). Il est utile maintenant de considérer une termino- logie supplémentaire. Des lots de- mesures successives du terrain qui sont traités ensemble pour le calcul d'une fonction de vraisemblance sont appelés "sections". Les mesures individuelles de la distance au sol d'une section sont appelées points de section et la distance horizontale le long du trajet entre le premier et le dernier point dans une section est appelée longueur de section (voir figure 2). L'un des points de section est désigné comme étant le point de référence de section; la sélection exacte de ce 'point est formelle, mais il est avantageux de choisir à cet effet un point proche du milieu de la section. La question à laquelle doit répondre la fonction de vraisemblance peut maintenant être reformulée sous la forme suivante: quelle devrait être la probabilité (densité) pour les données observées y de section si la position réelle de l'aéronef au moment du point de référence de section avait été x ? Dans cette détermination, les sources suivantes d'erreur de mesure sont à considérer: (1) les erreurs sur la mesure de la distance au sol (erreurs de l'altimètre radioélectrique), (2) le décalage et la dérive de la mesure de l'al- titude de l'aéronef au-dessus du niveau de la mer (ou d'une autre référence), (3) la dérive de l'erreur de repérage horizontal 9 2606872 de position, donnant des erreurs pour la détermination de la position des autres points de section par rapport au points de référence de section. Il s'agit d'erreurs des capteurs. En outre, on doit considérer ce qui peut être déterminé comme une espèce d'erreur de calcul, c'est-à-dire les erreurs asso- ciées au relevé numérique de référence. Ces erreurs sont de trois types: (4) les erreurs sur les altitudes ponctuelles enregistrées dans le relevé numérique, (5) les erreurs résultant de l'interpolation dans le relevé numérique, (6) les erreurs dues à la couverture du sol. D'autres sources d'erreurs doivent être prises en considération lorsque les mesures du terrain doivent être prises depuis une altitude élevée et/ou avec un capteur de distance au sol à faisceau étroit. Cependant, on n'a pas l'intention de discuter en détail ces sources d'erreurs mais simplement d'indiquer comment des modèles de telles erreurs peuvent être traités dans le calcul de la fonction de vraisemblance. Ceci est indiqué dans deux exemples simples. Exemple 1 Dans cet exemple, on doit considérer des sections constituées d'un seul point de section (c'est-à-dire que les mesures de la distance au sol sont traitées indivi- duellement), et l'altitude de l'aéronef est traitée comme une inconnue explicite. Dans le cas d'une section à un seul point, les sources d'erreurs (2) et (3) ne concernent pas le calcul de la fonction de vraisemblance elle-même (bien qu'elles concernent la propagation de la position estimée de l'aéro- nef entre une section et la suivante). On suppose que les sources restantes d'erreurs peuvent être modélisées ensemble par un modèle gaussien simple sous la forme sui- vante. On représente la surface du terrain obtenue par interpolation dans le relevé numérique par la fonction _ _2606872. m(x, y). Lorsque la position réelle de l'aéronef au moment de la mesure de la distance au sol est (x, y, z), la distance mesurée au sol s diffère de sa valeur prédite (z - m(x, y)) en partie à cause des erreurs de l'altimètre radioélectrique (1) et en partie à cause des erreurs du relevé (4) (5) et (6). Le modèle à adopter dans cet exemple suppose que cette différence a une distribution gaussienne ayant une moyenne nulle et un écart-type a, et que les erreurs pour différentes mesures de la distance au sol sont indé- pendantes au point de vue statistique. Ce modèle conduit directement à l'équation sui- vante pour la fonction de vraisemblance: L (X) = 1 exp 1 {s - z + m(x, y)} 2 (2.3) y aV/-2 2a2 avec x = (x, y, z) et la mesure y est la mesure unique s de la distance au sol. La fonction de vraisemblance est ainsi une fonction de trois variables, et les surfaces de probabilité constante sont parallèles au terrain comme représenté sur la figure 3. Exemple 2 Dans cet exemple, on considère un lot ou une section de n points (n>1), et on traite l'altitude de l'aéronef comme un facteur de nuisance. Pour chaque point i de la section, i = 1,...n, on appelle ai l'altitude mesurée de l'aéronef, si la distance mesurée au i sol, et Axi, A yi les décalages latéraux (figure 2) du point de la section par rapport au point de référence de la section, tel que mesuré par le système de repérage horizontal de position. Dans cet exemple, la dérive de l'erreur de repérage horizontal de position dans une section est supposée négligeable si bien que les valeurs mesurées Lxi et Ayi peuvent être considérées comme exactes. De même, on suppose que la dérive de la mesure sur l'altitude de l'aéronef est négligeable pendant une section: on suppose simplement que ai donne une erreur de quantité inconnue c qui est cons- tante dans toute la section (erreur QNH). On suppose en outre que les erreurs de l'altimètre radioélectrique et du relevé numérique peuvent être modélisées comme indiqué dans l'exemple 1, c'est-à-dire qu'elles donnent ensemble une erreur gaussienne aléatoire ayant un écart-type o. On suppose que la position horizontale réelle de l'aéronef au point de référence de la section est (x, y), et la position réelle de l'aéronef au point i de la section et donc (x+Axi, y+AYi). Ceci donne un "profil de relevé" indiqué par la séquence des hauteurs ou altitudes: mi= m(x+Axi, y+ Ayi pour i = 1,...n (2.4) D'autre part, un "profil détecté" est donné par: ti = hi - si pour i = 1,...n (2.5) On considère d'abord les écarts: di = ti - mi pour i = 1,...n (2.6) i i i La description qui précède montre clairement que ces écarts peuvent être représentés sous la forme: d. = c + n. (2.7) 1 i c étant l'erreur QNH et ni étant des variables aléatoires indépendantes gaussiennes de valeur moyenne nulle et d'écart-type a', représentant le bruit du relevé et de l'al- timètre radioélectrique. On élimine la constante inconnue c par formation d'une première difference entre t'i et m': t'. =t -t. ti i+1 ti -m'. À(2.8) m = mi+1 - mi (2.8) En d'autres termes, au lieu de considérer les écarts entre les profils détecté et du relevé par rapport aux altitudes individuelles du terrain, on considère les écarts sur les variations d'altitudes du terrain le long du profil. On obtient, d'après l'équation (2.7): t'i - m' i d = dni+ -diMni+i (2.9) i i+1 i i.e. t' ni+1 -n. + m' i ni±n Ainsi, les variables t'. sont indépendantes de c, et leur distribution combinée de probabilité peut être facilement déterminée. Comme les variables t'i sont des com- binaisons linéaires de quantité gaissienne, ces variables t'i sont ellesm-mes gaussiennes, avec une moyenne: E(t') E(n) - E(ni) + E(m'i) = m'. (2. 10) i i+1 i et des covarianzes: E (t' i m'i)(t'j - m'j) = E(ni+ nj+1) E(ni+nj)-- E(ninj+1) + E(ninj) - 2a2 pour i = j = a2 pour Vi-j! = 1 (2.11> 0 ailleurs En conséquence, la fonction densité de probabilité pour le vecteur t' = t'1,...t' n1) est donnée par la formule f(t') = b exp((t-m,) Tz -1(t'-m')) (2.12) dans laquelle n' = (m',l'...m'n 1) et Z est la matrice cova- riance donnée par l'équation (2.11), c'est-à-dire: 2 - 1 -1 2 -1 -1 2 -1 a= 02 (2.13) -1 2 -1 -1 2 -1 -1 2 L'éqaation (2.12) donne la probabilité de l'obser- vation du profil détecté t' lorsque la position réelle de l'aéronef au point de référence de section est (x,y). La fonction de vraisemblance peut être obtenue directement par considération de celle-ci comme étant une fonction de 13 2606872 (x, y). Il est aussi possible à ce stade d'appliquer (ou de supprimer) un facteur constant d'échelle puisque l'effet est annulé de toute manière par la constante de normalisa- tion c dans l'équation (1.4). Ainsi, on obtient: L (x, y) = exp - (t' m')TZ-(t - m') (2.14) 2- Dans de nombreux cas, il est plus simple de considérer le logarithme népérien de la vraisemblance ou vraisemblance logarithmique, c'est-à-dire: LogL = (' -)T-(, m') (2.15) La fonction de vraisemblance calculée de cette manière est ainsi fonction de deux variables seulement. Ce procédé du second exemple peut être facilement modifié afin qu'il tienne compte de la dérive du canal ver- tical de navigation, et on a constaté qu'il était avantageux dans certaines applications. Le procédé peut aussi être étendu de manière qu'il permette le traitement de la dérive d'un canal horizontal (c'est-à- dire les erreurs de vitesse). 3. Réalisation pratique ("Proto-SPARTAN") Le problème principal d'une navigation suivant un contour de terrain est l'estimation des erreurs da système de navigation avec repérage horizontal de position de l'aéronef (ou d'un autre véhicule) par mise en oeuvre des données de terrain provenant d'une section de navigation suivant un contour de terrain pour 1 ou plusieurs points. Le chapitre précédent a considéré l'application du théorème de Bayes suivant l'équation (1.4) directement à ce problème, une fois déterminée une approximation convenable de la fonction'de vraisemblance. Une réalisation peut prendre l'erreur de position comme inconnue et tra- vailler avec un arrangement bidimensionnel donnant les pro- babilités (ou plus exactement les densités de probabilité) en fonction des erreurs possibles de position. Pour chaque point, l'arrangement est remis à jour avec l'équation (1.4) alors que, entre les points, l'arrangement est remis à jour en fonction d'un modèle de la propagation des erreurs dans le système de repérage horizontal de position. En pratique, ce système "Bayesien idéal de naviga- tion suivant un contour de terrain" présente un certain nombre d'inconvénients, mais il est utile de l'avoir en tête comme pierre de touche pour la détermination des techniques utilisées en pratique. L'inconvénient principal dans le cas idéal de la navigation suivant le contour du terrain estl'importance du calcul nécessaire, à la fois pour la "remise à jour des mesures" après un relevé et pour la "remise à jour du temps" entre les points. Ceci est particulièrement vrai lorsque la propagation des erreurs du système de repérage horizontal de position est décrite par une équation différentielle d'ordre élevé, comme cela est possible dans le cas d'un système de navigation par inertie. Dans ce cas, il n'est pas suffisant que l'arrangement de probabilité s'étende dans les deux dimensions de l'erreur de position: il faut qu'il s'étende sur les n dimensions du vecteur d'état du système, impliquant ainsi une augmentation formidable de la taille de l'arrangement. Un inconvénient secondaire qui est manifestement surmontable, est que le "signal de sortie" du système "idéal" est un arrangement de probabilité qui risque d'être trop compliqué comme signal d'entrée dans d'autres systèmes nécessitant des données de navigation. Ces autres systèmes demandent des signaux d'entrée en général avec un format "moyenne et écart-type". La technique maintenant classique d'exécution des remises à jour dans le temps et des remises à jour des mesures de l'estimation d'un état d'un système est évidem- ment le filtrage de Kalman qui peut être géré par le calcul et qui donne des réponses sous la forme voulue. Cependant, comme indiqué dans le chapitre 1, le filtre de Kalman suppose que la fonction de vraisemblance créée par chaque mesure a une forme gaussienne. Est-il alors possible d'utiliser le filtrage de Kalman pour la remise 2u606872 à jour de la navigation suivant le contour du terrain ? Heureusement, l'expérience indique que, lorsque la fonction de vraisemblance est calculée suivant les directives données dans le chapitre 2, dans le cas de sections ayant plus de 3 km environ, la fonction de vrai- semblance a une forme grossièrement gaussienne de manière reproductible. Ceci est représenté sur la figure 4 qui représente la fonction de vraisemblance dans le cas d'une section de soixante et un points, sur une longueur d'environ 6 km, la fonction étant calculée d'une manière analogue à celle qui est donnée dans l'exemple 2 du chapitre 2. (Il existe de toute manière des raison théoriques de supposer que. la fonction de vraisemblance est approxi- mativement gaussienne au voisinage de son maximum, pourvu que les processus d'erreur sous-jacents soient approxima- tivement gaussiens et que la surface du terrain soit raisonnablement continue). Cette observation est la base de la mise en oeuvre de la navigation suivant le contour du terrain, appelée dans le présent mémoire "ProtoSPARTAN", à partir de laquelle s'est développée la technique "SPARTAN". En résumé, la procédure de chaque point "Proto-SPARTAN" est la suivante. D'abord, une grille de valeurs de vraisemblance est calculée, les dimensions de la grille étant déterminées par l'incertitude sur la position antérieure. Une fonction de forme gaussienne est alors ajustéeàla vraisemblance de la grille, et elle est soumise à deux vérifications: (a)la valeur de crête de la fonction ajustée est vérifiée de manière qu'elle corresponde à un accord réel des profils pour les sources d'erreurs supposées, et (b) les différences entre les vraisemblances de la grille et la fonction gaussienne ajustée sont évaluées afin que la bonne qualité de l'ajustement soit vérifiée. Lorsque l'une ou l'autre de ces vérification ne convient pas, le point est rejeté; dans le cas contraire, les paramètres nécessaires de la fonction gaussienne (>y et Jy de l'équation (1.5)) sont extraits et transmis par le filtre de Kalman. La figure 5 16 2606872 représente une coupe de la fonction calculée de vraisem- blance pour une section échantillon et la fonction gaus- sienne la représentant approximativement. Dans la réalisation, la technique "Proto-SPARTAN" diffère légèrement des indications précédentes en ce qu'elle agit essentiellement sous forme de la fonction de vraisemblance logarithmique - le logarithme népérien de la fonction de vraisemblance - et opère par ajustement d'une fonction quadratique aux vraisemblances logarithmiques calculées. Cependant, l'ajustement est réalisé de manière qu'il existe un bon accord entre les fonctions correspon- dantes de vraisemblance si bien que la procédure équivaut logiquement à celle. qui est décrite dans le paragraphe précédent. Dans la technique "SPARTAN" introduite ulé- rieurement, la fonction de vraisemblance logarithmique a aussi un rôle important. 4. Avantages potentiels des courtes sections La technique "Proto-SPARTAN" donne des remises à jour de position qui reposent sur des données du terrain recueillies sur une période courte mais non négligeable, par exemple de 30 à 60 secondes. En conséquence, la valeur estimée de l'erreur de position donnée par un point repose sur une moyenne pondérée de l'erreur ae position pendant cette période, la pondération dépendant du terrain recouvert par la section. En pratique, le point est considéré comme une estimation de l'erreur de position à un moment unique, à peu près au milieu de la section (au point de référence de la section). Cette hypothèse a été confirmée de façon très étroite par comparaison de la position réelle (point photographique) au point de référence de la section et de la position selon la technique "Proto-SPARTAN". D'après les analyses des essais en vol, il apparaît que la technique "Proto-SPARTAN" peut donner de manière reproductible de bons points de relevé. Cependant, bien que chaque point de relevé puisse ainsi être considéré comme relatif à la position de l'aéronef au milieu de la section, le point ne devient pas disponible en réalité avant la fin de la section, augmenté d'un retard supplémentaire nécessaire au calcul. Il existe ainsi un retard total d'au moins secondes entre l'arrivée d'un point de relevé et le moment qu'il concerne. Il est assez simple de réaler le filtre de Kalman afin que ce retard soit pris en considé- ration, mais le retard peut néanmoins être un facteur limitatif important des caractéristiques de navigation en temps réel du système. La situation est représentée sur la figure 6A. Elle représente l'écart-type d'une composante d'erreur de position porté en fonction du temps, dans le cas d'un système idéalisé simple de navigation. La figure représente l'état de régime permanent lorsque le système est remis à jour toutes les minutes par un relevé de navigation suivant le contour du terrain pour lequel la composante correspon- dante d'erreur de position est égale à 50 m (1 sigma). T1 désigne le point de référence de section. Si le point de relevé était disponible au point de référence de section qu'il concerne, l'erreur de position suivrait le trait interrompu et présenterait ainsi une variation en dents de scie entre des écarts-types de 45 m et 103 m. En fait, cependant, le point n'est pas disponible avant le temps T2 au plus tôt si bien que la propagation de l'erreur réelle est indiquée en trait plein, avec une variation en dents de scie comprise entre des écarts-types de 69 m et 145 m. Manifestement, l'effet de dents de scie est moins prononcé lorsque le système de repérage horizontal de position est meilleur; le système représenté sur la figure 6A a des caractéristiques de repérage de position horizontale d'environ 10 km/h. La figure 7A représente les résultats correspondants dans le cas d'un système ayant des caractéristiques d'environ 1 km/h, et cette comparaison suggère que la technique "Proto-SPARTAN" donnerait tout à fait satisfaction dans un aéronef piloté de combat dans lequel un bon système de navigation par inertie est habi- tuellement obligatoire dans tous les cas. Cependant, dans de nombreuses applications, il est souhaitable d'écono- miser beaucoup sur les instruments de repérage horizontal de position, et d'utiliser un relevé fixe de navigation suivant le contour du terrain pour la conservation de bonnes performances pendant la navigation. Dans ces applica- tions, une grande fluctuation en dents de scie entre les points de relevé peut limiter beaucoup les économies qui peuvent être réalisées, compte tenu des critères fixés à la mission. La solution évidente est l'utilisation de sections plus courtes. On suppose par exemple que l'on divise chaque section de 60 secondes en 10 sections de 6 secondes. Lorsque l'information -sur le terrain est uniformément répartie au cours du temps, chacune des nouvelles sections contient un dixième de l'information du relevé d'origine, si bien qu'on peut prévoir que la variance des nouveaux points de relevé est égale à dix fois celle des anciens points, et donne un écart-type de 50 x /T: = 158 m. Si l'on porte alors la propagation d'erreur de position du même système de repérage horizontal de position que sur la figure 6A mais avec des sections de 6 secondes, on obtient le graphique de la figure 6B. L'erreur de position a alors une fluctuation en dents de scie comprise entre un écart-type de 65 m et un écart-type de 70 m, constituant un perfectionnement important pour le système. La figure 7B représente le résultat correspondant dans le cas du système de repérage horizontal de position de qualité supérieure. On note que, dans ce cas, l'amélio- ration des performances n'est que marginale. 5. Problèmes posés par les sections courtes Le chapitre précédent suggère qu'il est souhaitable d'utiliser des sections aussi courtes que possible. Cepen- dant, ceci n'est vrai que lorsqu'il est possible de traiter l'information dans une section courte d'une manière aussi efficace que cela est possible pour une section longue. En particulier, on a supposé que l'erreur sur les points de relevé varierait approximativement comme l'inverse de la racine carrée de la longueur de la section, les autres paramètres étant égaux, et il convient alors d'étudier plus précisément sur quoi repose cette hypothèse. Comme indiqué précédemment dans le chapitre 2, on va cesser de considérer la fonction de vraisemblance comme une fonction de l'erreur de position dans le système de repérage horizontal de position de l'aéronef. Ce changement de variable signifie que l'on peut considérer les fonctions de vraisemblance ainsi créées par des sections successives comme concernant pratiquement la même quantité inconnue. - En conséquence, d'après la définition de la fonc- tion de vraisemblance, on note que la fonction de vraisem- blance créée en coopération par un groupe de mesures indépendantes au point de vue statistique est égale au produit de fonction de vraisemblance créée par les mesures individuelles; ceci est dû au fait que la fonction commune densité de probabilité est égale au produit des fonctions densité marginales. En conséquence, lorsqu'une séquence de courtes sections est consolidée afin qu'elle forme une longue section unique, la fonction de vraisemblance ainsi créée par cette section de grande longueur est à peu près égale au produit des fonctions de vraisemblance créées par les courtes sections. (Ceci n'est qu'approximatif étant donné les faibles dépendances statistiques entre les sections courtes et étant donné que l'erreur de position varie légèrement d'une courte section à la suivante). En particulier, lorsque les n sections courtes donnent des fonctions de vraisemblance de forme gaussienne: 1T Li(x) = exp - (xi - i) Ji (xi - i) (5 1) i 2 -i i i -L i pour i = 1,...n correspondant à l'équation (1.5), la section longue conso- lidée donne une fonction de vraisemblance de forme analogue: Tj L(x) = exp - x - P) J (x _) (5.2) avec n J ú EJi (5.3) i=1 Dans le cas particulier ou tous les facteurs Ji sont égaux, on obtient: J = nJi (5.4) * En d'autres termes, la dispersion de la fonction de vraisem- blance (donnée par l'inverse de la matrice "information" J et correspondant ainsi à la variance) est inversement proportionnelle à la longueur de la section. Comme indiqué précédemment au chapitre 3, la fonc- tion de vraisemblance créée par des sections suffisamment longues a une forme approximativement gaussienne. Malheu- reusement, ceci ne s'applique pas aux courtes sections comme l'indiquent les figures 3 et 8. Cependant, le fait que la fonction de vraisemblance de la longue section est à peu prés égale au produit des fonctions de vraisem- blance des courtes sections reste vraie et, lorsque les données des courtes sections sont traitées suivant le procédé Bayesien idéal considéré au début du chapitre 3, aucun problème ne se pose et les avantages potentiels des courtes sections indiqués dans le chapitre 4 peuvent être obtenus. Cependant, comme l'a indiqué la suite du chapitre 3, cette réalisation Bayesienne idéale n'est pas utilisable en pratique, et on est obligé à la place de considérer des réalisations reposant par exemple sur le filtre de Kalman. L'utilisation du filtre de Kalman nécessite que la fonction de vraisemblance soit représentée approximativement par une fonction de forme gaussienne. C'est cette approxima- tion qui pose les problèmes suivants: (a) comment cela doit-il être réalisé? et (b) la propriété exprimée par l'équation (5.3) est-elle conservée ?, ou la détérioration de la précision efficace sur les points de relevé est-elle plus rapide lorsque la longueur des sections est plus courte ? Les avantages potentiels des courtes sections ne sont pas totalement obtenus dans ce dernier cas. Cependant, une fonction de vraisemblance telle que représentée sur les figures 3 et 8peut-elle être représentée approximativement d'une manière satisfaisante par une fonction de forme gaussienne ? Un premier procédé est représenté sur la figure 9A. Lorsqu'on sait déjà que l'aéronef se trouve dans une petite région telle que R, la fonction de vraisemblance est alors presque gaussienne souvent dans cette petite région et peut être représentée approximativement par une telle fonction comme représenté sur la figure 9B. Ce phénomène est essentiel pour la réalisation d'une navigation suivant le contour du terrain, par exemple du type "SITAN" et "TERPROM", bien que ces techniques soient exprimées habituellement par une linéari- sation du terrain (c'est-à-dire par représentation approxi- mative du terrain de la région R par un plan géométrique), plut6t que par représentation approximative de la fonction de vraisemblance par une fonction gaussienne, mais les figures indiquent qu'il s'agit en fait de la même chose. Cette approche, pour être valable, nécessite une estimation initiale précise de la position de l'aéronef, et ceci est habituellement établie avec un relevé du contour du terrain obtenu avec de longues sections. En outre, un problème peut se poser lorsqu'il existe des erreurs locales du relevé numérique, cette possibilité étant en fait très vraisemblable en pratique. L'erreur sur le relevé local donne une approximation erronée sur le plan géométrique et conduit donc à une correction erronée de l'estimation sur la position. Cette estimation résultante erronée sur la position indique que, pour l'échantillon suivant de l'altimètre radioélectrique, l'approximation relative au plan repose sur la partie fausse du relevé numérique et (même si le relevé peut alors être précis) elle peut provoquer une correction erronée supplémentaire de position, et ainsi de suite. Evidemment, on doit prévoir une telle détérioration des caractéristiques de navigation en présence d'erreurs locales du relevé, mais on doit au moins essayer de rendre temporaire l'impact de ces er- reurs, sans qu'elles provoquent un effet de domino. 22 -2606872 Les techniques de ce type comportent en général des mesures supplémentaires destinées à rendre moins contraignante l'hypothèse selon laquelle le- terrain est approximativement linéaire dans la zone d'incertitude sur la position. Il s'agit d'une étape importante car alors que la théorie sur laquelle repose le filtrage étendu de Kalman justifie l'utilisation des techniques de Kalman pour le traitement de système non linéaire dans les cas o les équations du système peuvent êre représentées approxima- tivement par des équations linéaires dans une région d'incertitude entourant une trajectoire nominale dans l'espace des états, on considère maintenant l'application de la technique à des cas dans lesquels le système n'est manifestement pas linéaire dans la région d'incertitude. Le procédé adopté en général est de permettre la non linéarité du terrain par supposition d'un bruit de mesure plus important. Comme Hostetler et Beckmann l'indique dans l'article paru aux pages 1263 à 1270, the Proceedings of the IEEE National Aerospace and Electronics Conference, 1978, un paramètre de non linéarité est calculé et décrit la précision avec laquelle le terrain placé sous le système peut être représenté approximativement par linéarisation stochastique dans le filtre de Kalman. Cette erreur d'ap- proximation est traitée comme une incertitude supplémentaire sur la mesure pendant le calcul de la matrice gain de Kalman, si bien que les gains sont modulés lorsque l'ap- proximation linéaire est mauvaise. Une description supplé- mentaire de cette approche figure dans l'article de Andreas, Hostetler et Beckmann, pages 1023 à 1030, the Proceedings of the IEEE National Aerospace and Electronics Conference 1979. Il est évident, en termes qualitatifs, que cette approche est convenable en ce qu'elle provoque la réduction de la pondération des remises à jour par le filtre de Kalman dans le cas o le terrain n'est pas rectiligne. En outre, cette caractéristique peut être justifiée théo- riquement et la littérature indique qu'elle donne de bons résultats en pratique. Cependant, le principe de cette approche est d'ignorer une partie de l'information dispo- nible. Le relevé numérique enregistre en détail les défauts de linéarité du terrain. La technique concernée ne prend pas en considération ces détails et prétend tel quel que le relevé représente uun élément de terrain localement plan, mais qu'il existe une source supplémentaire de bruit ("bruit de linéarisation") qui donne les écarts entre la hauteur observée du terrain et ce plan géométrique. Il faut noter qu'il n'existe pas d'éléments analogues à ce bruit de linéarisation dans les procédés mettant en oeuvre de longues sections, par exemple décrits dans le paragraphe 3, car les données du relevé numérique sont utilisées directement en détail. En conséquence, l'uti- lisation des sections courtes constitue un coût qui doit être compensé par les avantages promis dans le chapitre 4. 6. Redistribution des vraisemblances logarithmiques On suppose qu'un certain nombre de mesures statis- tiques indépendantes est réalisé sur une quantité parti- culière invariable inconnue. L'expression "mesure statis- tique" désigne simplement les observations de données dont la distribution de probabilité dépend de la quantité inconnue considérée. Ensuite, il existe un certain nombre de manières différentes permettant l'utilisation du théorème de Bayes pour la remise à jour des connaissances relatives à la quantité inconnue. On peut dériver une fonction de vraisemblance à partir de chaque observation séparément et appliquer de manière répétée le théorème de Bayes. Dans une variante, on peut regrouper toutes les observations, tirer une seule fonction de vraisemblance globalement, et appliquer alors le théorème de Bayes. On peut aussi grouper les observations en sous-lots de dimension intermédiaire, et obtenir une fonction de vraisemblance pour chaque sous- lot. Quelle que soit la manière utilisée, le résultat final est manifestement le même. Ceci est dû au fait que, dans tous les cas, le produit des fonctions de vrai- semblance est le même, ou, de manière équivalente, la somme des fonctions de vraisemblance logarithmique utilisées est toujours la même. On peut préciser cette approche. On suppose, pen- dant l'application du théorème de Bayes à ce problème, qu'il est commode de représenter approximativement les fonctions individuelles de vraisemblance par le calcul. Ceci n'intro- duit pas de différence sur le résultat final pourvu que la somme des logarithmes de la fonction d'approximation soit égale à la somme des fonctions originales de vraisem- blance logarithmique. En d'autres termes, en ce qui con- cerne le résultat final, il est légitime de redistribuer par le calcul les vraisemblances logarithmiques (de manière additive) entre. un.sous- lot de mesures et un autre sous-lot, pourvu que la somme globale soit conservée. Cette possibilité est fondamentale pour la réalisa- tion de la navigation suivant le contour du terrain d'après la technique "SPARTAN". Dans ce cas, l'inconnue considérée est l'erreur de position dans un système de navigation et les sous-lots de mesures sont les sections courtes. Comme dans la technique "Proto-SPARTAN", la technique "SPARTAN" réalise l'ajustement d'une fonction quadratique aux fonc- tions de vraisemblance logarithmique obtenues à partir des données des sections. La nouvelle caractéristique est le fait que la fonction résiduelle, la différence entre les vraisemblances logarithmiques calculées et la valeur quadratique ajustée, n'est plus rejetée mais est encore redistribuée afin qu'elle soit considérée avec les données de la section suivante; cette fonction résiduelle, qui peut être appelée couramment "fonction de stock" peut être considérée comme représentant l'information qui a été tirée des données du terrain mais qui n'a pas encore été transmise dans le filtre de Kalman. Le fait que les fonctions de vraisemblance créées par de longues sections soient de forme gaussienne d'une manière générale avec une bonne approximation suggère que cette fonction rési- duelle n'augmente pas d'une manière inacceptable et ins- table lors du traitement de nombreux croissants de courtes 2606872v sections, et la pratique confirme cette caractéristique. 7. La technique "SPARTAN" La technique "SPARTAN" met en oeuvre les caracté- ristiques indiquées dans le chapitre précédent et donne une solution radicalement différente aux problèmes posés par les courtes sections. Cependant, une restriction indiquée dans l'exposé du chapitre 6 est cependant que l'erreur de position est traitée comme une inconnue non variable. Heureusement, cette approche peut être généra- lisée par transformation de la fonction résiduelle ou de stock afin que les caractéristiques dynamiques des erreurs du système de navigation soient prises en considé- ration. La procédure résultante met en oeuvre une itération comprenant les étapes suivantes, indiquées sur la figure 10. 1. Une fonction de deux variables (représentant les composantes horizontales de l'erreur de position obtenues par le système de repérage horizontal de position), appelée fonction de stock, est initialisée à une valeur identiquement égale à zéro. 2. Lorsque les données d'une section deviennent disponibles, le système calcule la fonction de vraisemblance logarithmique correspondant à ces données, dans une zone de recherche déterminée par l'incertitude actuelle de position estimée par le filtre de Kalman. 3. La fonction de vraisemblance logarithmique est ajoutée à la fonction de stock. 4. Le système ajuste alors une surface quadratique à la somme de la fonction de stock et de la fonction de vraisemblance logarithmique. 5. Les paramètres convenables de la fonction quadratique sont extraits et utilisés pour une remise à jour des mesures dans le filre de Kalman. 6. La fonction quadratique est soustraite de la somme de la fonction de stock et de la vraisemblance logarithmique, le reste devenant une nouvelle fonction de stock. 7. La nouvelle fonction de stock est conservée jusqu' à ce que les nouvelles données de section deviennent disponibles mais, entre-temps, elle est transformée afin qu'elle tienne compte de la variation au cours du temps des erreurs du système de navigation. Les paramètres déterminant cette "remise -à jour dans le temps" de la fonction de stock sont déterminés par le sous-programme du logiciel de remise à jour de temps du filtre de Kalman, qui assure aussi un traitement à ce moment. 8. La procédure continue ensuite à partir de l'étape 2, et cette boucle est répétée indéfiniment. Les pas 5 et 6 ne sont exécutés que lorsque la surface quadratique déterminée au pas 4 précédent est convexe, c'est-à-dire en forme de dôme. Lorsque cela n'est pas le cas, aucune mesure n'est transmise au filtre de Kalman et la procédure continue à partir du pas 7. L'approximation quadratique du pas 4 est réalisée par adaptation, en fonction de l'incertitude sur la position au moment considéré. Il s'agit d'un avantage énorme pendant la saisie initiale à partir d'une incertitude élevée sur la position, comme l'indique schématiquement la figure 11. Comme indiqué précédemment, la fonction de vraisem- blance logarithmique créée par une courte section se caractérise par de nombreux pics locaux. Lorsque l'incerti- tude sur la position est élevée, le système ajuste une approximation quadratique large qui a par exemple une forme bombée très large. En ce qui concerne le filtre de Kalman, ceci fait apparaître un point de relevé très conservatif, servant au mieux à l'élimination de quelques zones dans lesquelles la vraisemblance logarithmique est toujours faible, mais sans essai, à ce moment, d'arbi- trage entre les pics multiples. Cependant, la structure fine de la fonction de vraisemblance logarithmique de la première section (sec- tion 1) est préservée dans la fonction de stock et est reconsidérée avec la fonction de vraisemblance logarithmique tirée de la section 2. Le pic de la fonction de vraisem- blance logarithmique de la section 1 correspondant à la position réelle de l'aéronef est normalement accentuée par un pic dans la fonction de vraisemblance logarithmique de la section 2 alors que les autres pics sont renforcés ou annulés de façon aléatoire. Ce renforcement, combiné à l'incertitude légèrement réduite sur la position, obtenu avec le filtre de Kalman et suivant le point précédent de relevé, donne une approximation quadratique sous' forme d'un dôme légèrement plus étroit, c'est-à-dire que le second point est légèrement plus sûr, lorsqu'il provient du filtre de Kalman. La structure fine des fonctions logarithmiques de vraisemblance combinées est encore conservée dans la fonction de stock, et le pic local correspondant à la position réelle de l'aéronef a encore tendance à être renforcé par un pic analogue de la fonction de vraisem- blance logarithmique de la section 3. Lors de la répétition de ce processus, le système peut provoquer rapidement la convergence sur la position réelle de la zone d'incertitude sur la position. Ceci se produit dès que les données relatives au dessin qui sont saisies sont suffisantes. Lorsque le système s'est stabilisé, avec une incer- titude sur la position correspondant de façon reproductible à quelques dizaines de mètres, on constate que les fonctions de vraisemblance logarithmique sont habituellement presque quadratiques dans la zone d'incertitude sur la position comme l'indique la figure 12. Dans ce cas, les fonctions résiduelles transmises par la fonction de stock sont presque nulles. Dans ces circonstances, le fonctionnement suivant la technique "SPARTAN" équivaut étroitement à celui d'autres réalisations telles que la technique "SITAN". En présence d'une erreur localisée du relevé, le système peut être conduit vers une reconnaissance erronée. Cependant, la position réelle de l'aéronef réap- paraît sous forme d'un pic décentré dans la fonction de vraisemblance logarithmique et ce pic est renforcé, par l'intermédiaire de la fonction de stock, d'une section à la su{vante. Il est donc très probable que le système re- prenne automatiquemant une navigation précise. (Un réseau de sécurité relatif aux procédures de détection et de récupération à la suite des défaillances des algorithmes est aussi utilisé, mais est rarement activé; ces procédures nécessitent un temps bien plus important que celui de la récupération automatique, dans un cas normal). Bien que ce chapitre décrive la procédure "SPARTAN" sous forme d'approximations quadratiques répétées de la fonction de vraisemblance logarithmique, il faut noter que la technique peut aussi être réalisée en principe à l'aide d'approximations gaassiennes de la fonction de vraisemblance, avec remplacement de la multiplication par l'addition, de la division par la soustraction et de l'unité par zéro. Il faut noter qu'un appareil selon l'invention, mis à part les capteurs qui peuvent être de toute forme commode connue, comporte un ordinateur commandé par un logiciel convenable. REVENDICATIONS 1. Système de navigation mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence pour l'intégration de la navigation, caractérisé en ce que les paramètres d'une fonction quadratique représentant approximativement une fonction de vraisemblance logarithmique sont utilisés comme signaux d'entrée du circuit d'estimation. 2. Système de navigation mettant en oeuvre un circuit d'estimation par récurrence pour l'intégration de la navigation, caractérisé en ce que les paramètres d'une fonction gaussienne représentant approximativement une fonction de vraisemblance sont utilisés comme signaux d'entrée du circuit d'estimation. 3. Système selon l'une des revendications 1 et 2, caractérisé en ce que le circuit d'estimation comporte un filtre de Kalman.