Brevet FR2407613A1 — publié le 19790525

La presente invention concerne le domaine du filtrage adaptatif et elle trouve une application particulièrement importante, bien que non exclusive, dans les systemes de transmission de données, notamment a grand debit. On sait que la transmission de données a grande vitesse se heurte à des difficultés dues en particulier au fait que les lignes de transmission, fréquemment constituees par des lignes du réseau téléphonique, présentent une fonction de transfert et exercent donc un filtrage sur les signaux. On a tenté de limiter l'incidence de la ligne en munissant le récepteur d'un dispositif dit "égaliseur", qui constitue un filtre aussi proche que possible du filtre inverse de la ligne. Pour arriver a ce résultat, il est indispensable que l'égaliseur soit du type adaptatif. Mais les filtres adaptatifs actuels presentent l'inconvénient d'une phase d'acquisition qui se révèle trop longue pour certaines applications. La nécessité d'employer un filtre adaptatif et les inconvénients que présentent les filtres actuels apparaîtront mieux si l'on considère, a titre d'exemple, le cas de la transmission de données a grande vitesse (par exemple 9600 bits par seconde) par l'intermédiaire d'une ligne téléphonique. On sait qu'on transmet en général les données successives ak, a intervalles de temps réguliers A, sous forme d'impul sions proportionnelles qu'on désigne par ak .d(t-kA) Dans cette formule a k est la donnée pouvant être quantifiée a un nombre discret de valeurs, ou non d est une impulsion fine. Dès qu'on recherche un débit de données élevé, la transmission s'effectue en modulant une onde haute porteuse en amplitude par le message de données. Comme on l'a vu plus haut, la ligne de transmission constitue un filtre et elle fait naître des interférences entre données ; de plus, sur une ligne téléphonique utilise en mode bidirectionnel simultané, il se produit des échos des données et leur niveau est souvent très largement supérieur a celui du signal. A l'entrée du récepteur, le signal reçu x(t) est échantillonné a intervalles de temps A. On obtient ainsi les échantillons successifs ..., x [k+N) #],..., x[k#],..., x [(k-N)#] (1) L'égalisation est effectuée en appliquant aux échantillons (1 > une transformation linéaire de la forme Yk = h-N.x [(k+N)]# + ... + ho.x [k#]+ ... + hN.x[(k-N)#] (2) Les coefficients h ,... h ,..., hN doivent évidemment -N o N avoir des valeurs qui dépendent des caractéristiques de la ligne:: Pour déterminer leurs valeurs optimales (telles que la valeur obtenue Yk soit aussi proche que possible du symbole émis ak), on procede a une série d'itérations, soit a partir de valeurs arbitraires des différents coefficients, soit a partir des valeurs obtenues au cours d'une égalisation antérieure. Lorsqu'on part d'une série de coefficients arbitraires, les valeurs sont avantageusement choisies en fonction des éléments connus. En regle générale, ce seront les coefficients centraux qui auront les valeurs les plus élevées. Si on connaissait exactement l'instant d'arrivée du signal correspondant a un symbole donné ak, il serait possible de partir de la suite de coefficients 0, O, O..., O, 1, O,..., O mais, dans la pratique, il existe une indétermination telle qu'il sera en général préférable de donner initialement la valeur o a tous les coefficients. L'adaptation s'effectuera en général suivant deux phases distinctes, en particulier lorsque l'on part de valeurs arbitraires des coefficients h. Dans une première étape, dite "phase d'acquisition", l'emet- teur envoie vers le récepteur une séquence connue et bien déterminée de symboles ak. On peut ainsi déterminer les erreurs successives (yk - ak). En employant un algorithme approprié, dont de nombreux exemples sont connus, on peut corriger simultanément tous les coefficients hk et les rapprocher de leur valeur optimale hx*. Au cours de la seconde phase, dite "phase d'apprenti-ssage permanent", on affine en permanence le calcul des coeffi cients h au cours de la transmission normale de messages, en k utilisant cette fois l'erreur constituée par la différence entre yk et la valeur estimée k des symboles émis ak. Mais la conver- gence n'est alors assurée que si la probabilité d'erreur (c'est -dire la probabilité que k differe de ak) est suffisamment faible, ce qui implique que la phase d'acquisition ait été suffisamment longue pour que les coefficients h. de l'égaliseur soient très proches de leur valeur optimale hi. Dans de nombreux cas, ce processus est satisfaisant. Mais1 pour certaines applications, il implique une durée de phase d'acquisition qui est trop longue. C'est le cas en particulier des installations de transmission qui utilisent des liaisons dites "multipoints", comportant un ordinateur et plusieurs terminaux, les émissions de l'ordinateur etant reçues simultanément par tous les terminaux alors que chaque terminal ne peut s'adresser qu'à l'ordinateur. L'égalisation des terminaux peut s'effectuer en permanence en utilisant les données fournies par l'ordinateur. Mais chaque fois qu'un message doit être transmis d'un terminal différent vers l'ordinateur, l'égaliseur associé à l'ordinateur doit être adapté, ce qui implique une phase d'acquisition. La durée d'une telle phase est, dans les systèmes actuels prévus pour un débit de 9600 bits par seconde, d'environ ioo millisecondes et correspond à 1000 bits environ. Cette durée dépasse largement celle des messages de procédure de commande de liaison reçus par l'ordinateur, qui comportent généralement moins de 100 bits. On voit que la nécessité d'une phase d'acquisition aussi longue fait disparaitre la majeure partie de l'intérêt qui s'attache à un débit élevé, du moins dans le cas des messages courts. Plusieurs approches ont été envisagées pour résoudre ce problème. Une première solution, dans un article de K.H. Mueller et autres, intitulé "Cyclic equalization: a new rapidly converging adaptive equalization", PFTJ, Volume 54, nO 2, pages 369-406, février 1975, consiste a emettre de façon cyclique une séquence de donnees en nombre égal à celui des coefficients de l'égaliseur. Entre autres inconvénients de cette méthode, on peut noter qu'elle n'est applicable que si le bruit est faible. Un autre inconvénient de cette approche est que, pour réaliser une égalisation rapide, elle exige une grande puissance de calcul. A la technique ci-dessus, que l'on peut qualifier de technique simple, peuvent etre opposées les techniques globales qui ont également été proposées. Ces solutions utilisent en géné- ral l'approche suivante : l'émetteur envoie une impulsion fine, qui est reçue sous forme d'un signal dont la forme caractérise la réponse impulsionnelle de la ligne. Les calculs de traitement impliquent une inversion de matrice, donc encore des moyens de calcul très importants. Une solution que l'on peut considérer comme intermédiaire entre les deux précédentes a été décrite par R.D. Gitlin dans un article intitulé "Self orthogonalyzing adaptive equalization algorithms" dans I.E.E.E. Communications, pages 666-672, juillet 1977. Le processus proposé consiste encore à envoyer, vers le récepteur, une séquence connue de données. Le récepteur comporte1 en plus de la voie munie de l'égaliseur,qui sera seule utilisée lors du fonctionnement normal, une voie parallèle munie d'un égali-seur supplémentaire, l'adaptation s'effectuant en deux étapes successives dont la première implique la détermination des coefficients de l'égaliseur supplémentaire. La complexité d'un tel système apparaît immédiatement. L t invention vise notamment à réduire de façon notable la durée de la phase d'acquisition des filtres numériques adaptatifs, en particulier dans le cas des filtres dont le nombre de coefficients doit être élevé pour réduire à une valeur acceptable l'erreur (yak ~ a ) L'invention utilise pour cela le fait que la k convergence de l'algorithme d'apprentissage est d'autant plus rapide que le nombre de coefficients est plus petit. Suivant un aspect de l'invention, celle-ci propose un procédé d'adaptation d'un filtre numérique adaptatif destiné à compenser la fonction de transfert d'une ligne de transmission et comportant un nombre M de coefficients adaptables, suivant lequel, pour augmenter la rapidité de convergence et réduire la durée de la phase d'acquisition, on adapte une fraction M' des M coefficients au cours d'une première phase, puis l'ensemble des M coefficients simultanément au cours d'une phase finale. Les deux phases interviendront généralement au cours de la réception d'une séquence test prédéterminée de données. Entre la première phase et la phase finale peuvent être prévues des phases intermédiaires pendant lesquelles s'effectue 1 'adap- tation d'un nombre de coefficients supérieur à celui de ceux modifiés au cours de la première phase. Au cours de celle-ci, on adaptera en général les coefficients centraux, dont la valeur est prépon dérante. Au cours de la première phase, le pas d'itération qui sera adopté sera en général nettement supérieur à celui qui est utilisé au cours de la phase ou des phases suivantes. Une variante du procédé ci-dessus consiste à, au cours de la première phase, adapter également les M - M' coefficients, en utilisant l'erreur déterminée sur l'ensemble des coefficients, tandis que l'adaptation de la fraction M' est effectuée à partir de l'erreur déterminée en utilisant uniquement les M' coefficients. L'invention sera mieux comprise a la lecture de la description qui suit de modes particuliers de réalisation, donnés à titre d'exemples non limitatifs. La description se réfère aux dessins qui l'accompagnent, dans lesquels - la figure 1 est un schéma de principe d'une installation de transmission de données sur ligne téléphonique - la figure 2 montre la constitution de principe d'un filtre égaliseur adaptatif a 2 N+1 coefficients et du démodulateur associé - la figure 3 est un schéma de principe d'un filtre egaliseur conforme a un mode de réalisation de l'invention ; - la figure 4 est un schéma de principe montrant les circuits d'adaptation de l'un des coefficients d'un filtre adaptateur travaillant sur des symboles réels pour un algorithme d'adaptation particulier. L'installation de transmission de données représentée schématiquement en figure 1 peut être regardée comme comprenant une source 10 de données successives..., ak,..., un modulateur 11 qui reçoit la porteuse, de la forme cos (2svct-ó), et la ligne de transmission 12 qu'on supposera être une paire teléphonique. A cette ligne est appliquée la porteuse modulée par les données ak Le signal émis-pourra alors être représenté par : D(t) = k ak - d(t-kE) cos (2sMct-ó) (3) A la sortie de la ligne est place un récepteur 13 qui restitue des'valeurs estimées âk des- données ak. Comme on l'a vu plus haut, dans la plupart des cas, la ligne 12 présente une fonction de transfert qui provoque des intesr- férences entre symboles successifs. Pour compenser ces interférences, le récepteur 13 est muni d'un filtre égaliseur adaptatif dont la constitution de principe peut être celle montrée en figure 2, la partie en trait plein correspondant aux organes prévus en cas de modulation d'une porteuse unique. Le récepteur comprend successivement un demodulateur proprement dit 14, un filtre passe-bas 15, un échantillonneur 16 à intervalles de temps A, le filtre égaliseur 17 et un détecteur à seuils de décision 18. On retrouve des éléments correspondants dans le cas de transmission sur deux porteuses en quadrature, comme indiqué schématiquement en tirets pour la partie située en amont du filtre égaliseur 17. Sur la figure 3, le filtre fonctionne en bande de base, mais on pourrait aussi bien effectuer le filtrage en bande passante, c'est-à-dire avant demodulation. On voit que, lorsque le filtre 17 comporte 2 N+1 coefficients de valeurs respectives h-N,..., h0,.. I hnî son signal de sortie yk correspondant ê l'émission de la donnee a k a la valeur donnée par la formule (2 > ci-dessus. L'ajustage des coefficients h s'effectue de façon itérative au cours d'une phase d'acquisition pendant laquelle on module la porteuse par une séquence connue de données ak. Dans les dispositifs suivant l'art antérieur, l'ensemble des coefficients étaient simultanément adaptés en utilisant un algorithme unique, en général fonction linéaire de l'erreur évaluée Yk - ak Au contraire, suivant l'invention, la phase d'acquisition est scindée en plusieurs phases successives. Au cours de la première phase, seuls quelques coefficients sont adaptés ou, du moins, les coefficients ne sont pas tous adaptés en utilisant le même algorithme ou la même erreur évaluée. Divers exemples de réalisation seront maintenant décrits. On utilisera dans chaque cas les notations suivantes. désigneront respectivement le vecteur des 2 i+t coefficients centraux et le vecteur des 2 i+1 valeurs encadrant la valeur xk correspondant au symbole a k = = h i x k+i x = hO xk 14) hi xk-i Pour un filtre adaptatif a M coefficients, 2 i+l sera au maximum égal a M. Si initialement on adapte par exemple les trois coefficients centraux, le vecteur H des coefficients correspondant sera #1 h-1 H = h0 (5) h A titre indicatif, on peut mentionner qu'on a obtenu une durée d'acquisition inferieure à 50 ms pour une ligne télephonique M 102 à 9600 bits/séconde. Exemple 1 Un premier processus, qui peut être mis en oeuvre en utilisant le filtre montré en figure 4 (où, pour simplifier, on a supposé que le nombre de coefficients est 2 N+1 - 7, alors qu'en général ce nombre est de plusieurs dizaines) , comporte une phase d'acquisition scindée en trois étapes. Au cours de la première étape, on adapte uniquement les trois coefficients centraux h11 h0 et hi, à partir d'une valeur initiale qui sera par exemple égale a 0, suivant l'algorithme Dans cette formule sont les valeurs de E apres et avant la kème itéra- tion (correspondant à la transmission de la valeur connue ak) ; p1 est un pas d'itération déterminé est la valeur fournie par le circuit sommateur. Au cours des seconde et troisième phases, on procède respectivement a l'adaptation de cinq coefficients et de la totalité des sept coefficients avec des pas d'itération qui sont respectivement p2 et p3, étant inférieur à p qui est lui-même inférieur a . Sur la figure 4, on voit que 2 N lignes à retard sont disposées en cascade en aval de I'échantillonneur 16. Ces lignes 20 permettent de disposer simultanément 2 N+1 échantillons représentatifs de 2 N+1 données successives. Au cours de la premiere étape, un dispositif de commande 21 des coefficients hk appliquera les valeurs successives hk-1, hk0 et hk à des multiplicateurs 22 qui reçoivent également les échantillons xk+1, Xk et xk-1. Les sorties des trois multiplicateurs 22 sont additionnées dans un sommateur 23 qui fournit yk (formule 3 ci-dessus). L'erreur e k = a k - yk est formée dans un additionneur 24 qui reçoit, d'une part, les valeurs successives a k de la séquence test, conservée dans une mémoire non représentée, d'autre part, sur l'entrée inverseuse, les valeurs successives de Le dispositif de commande 21 peut former les valeurs successives des divers coefficients hk à l'aide de circuits similaires à celui qui est montré en figure 5 et correspond au cas d'un filtre travaillant sur des variables reelles. Sur la figure 5, les organes déjà illustrés en figure 4 sont indiqués en trait fin pour plus de clarté. Les symboles portés sur les diverses lignes sont valables quel que soit le nombre de coefficients. On voit que l'erreur e k formée dans 24 est multipliée par le pas d'itération p, gardé en mémoire, dans un multiplicateur 25. Le produit p . e k est multiplié par xk-i dans un multiplicateur 26. Le terme correcteur ainsi obtenu est introduit dans un additionneur 27 qui reçoit également la valeur antérieure de h. d'une ligne 28 donnant un retard A, placée sur la sortie de l'additionneur 27.La sortie de la ligne à retard 28 constitue la sortie du dispositif de commande des coefficients de l'égaliseur en ce qui concerne le coefficient hi Au cours de la seconde étape, amorcée au bout d'un laps de temps prédéterminé a partir du début de la phase d'acquisition, le dispositif de commande 21 fait intervenir, non plus l'erreur e k fournie par l'additionneur 24, mais l'erreur fournie par un additionneur 24a associé à un sommateur 23a qui reçoit, d'une part, la sortie du sommateur 23, d'autre part, la sortie de deux multiplicateurs 22a encadrant les multiplicateurs 22. En même temps, le dispositif 21 substitue, au pas d'itération , un autre pas inférieur a , ce qui se traduit évidemment par une convergence moins rapide mais plus fine. Au cours des itérations de la seconde étape, l'adaptation du vecteur des cinq coefficients centraux du filtre s'effectuera suivant l'algorithme devant être remplacé par si X est réel) Enfin, au cours de la troisième étape, mettant en oeuvre le sommateur 23b et l'additionneur 24b, on aurait un algorithme similaire a (7) et faisant cette fois intervenir un pas d'itération 3 p .De façon plus générale, quel que soit le nombre d'étapes successives, on aurait, pour les vecteurs donnés par les formules (4) ci-dessus, l'algorithme Exemple 2 Alors que, dans l'Exemple 1, on utilise une seule erreur à chaque itération, erreur qui est utilisée pour ajuster uniquement les coefficients centraux, on peut, comme dans l'exemple qui va maintenant être décrit, effectuer simultanément un ajustage des coefficients centraux en utilisant un algorithme qui fait intervenir une première erreur, et un préajustage des coefficients latéraux en utilisant un algorithme qui peut être le même, mais fait intervenir une seconde erreur. Si on designe par 2 L+1 le nombre des coefficients de l'égaliseur, on utilisera les notations suivantes Au cours de la premiere étape de la phase d'acquisition, on effectuera simultanément l'ajustage des coefficients centraux, au nombre de trois par exemple, suivant l'algorithme qui devient l'algorithme (6) en cas de valeurs reelles, et l'ajus- tage des coefficients lateraux, c'est-a-dire des coefficients restants, suivant l'algorithme : On voit qu'il est necessaire de calculer deux sorties, ce qui est sans inconvénient, puisqu'on n'est pas en periode de transmission, mais en période d'acquisition avec simple application d'une séquence test, donc sans nécessité de décision. On voit qu'on réalise non seulement une convergence rapide des coefficients centraux dont l'effet est prépondérant, mais aussi un debut d'adaptation des autres coefficients. Les coefficients et N,-1 peuvent être égaux ou differents. Toutefois, le second sera en général inférieur au premier, la valeur du pas d'incrementation devant diminuer lorsque le nombre de coefficients à traiter augmente. Au cours de la seconde étape de la phase d'acquisition, on adaptera par exemple les cinq coefficients centraux et les algorithmes utilisés deviendront pour lesquels on prendra p 2 p et L,-2 > il faut remarquer au passage que cette approche implique un volume de calcul identique à celui de la méthode classique du gradient. Des algorithmes autres que ceux donnés ci-dessus pourraient évidemment être adoptés, faisant par exemple intervenir uniquement le signe de l'erreur ou une erreur différente dans les algorithmes (10) a (13). Exemple 3 Au cours de la premiere étape, on peut utiliser l'algorithme (6) pour ajuster les trois coefficients centraux, puist avec les coefficients hO, h et h ainsi modifiés, effectuer un preajustage de l'ensemble des coefficients suivant l'algorithme et revenir ensuite au réglage des trois premiers coefficients et ainsi de suite. Au cours des itdrations de la seconde phase, on réglera d'abord les cinq coefficients centraux en utilisant l'algorithme (6), puis les autres a l'aide de l'algorithme t14). On pourra ainsi progresser jusqu'au réglage de l'en- semble des coefficients au cours de la dernière étape. Exemple 4 Au cours de la première étape, on peut ajuster les trois coefficients centraux en utilisant de nouveau l'algorithme (10) et, en même temps, au lieu d'ajuster l'ensemble des coefficients restants, en-adapter une fraction seulement. Si, par exemple, on veut ajuster seulement les deux coefficients adjacents h 2 et h2, 2 l'erreur utilisée sera ak - Yk . Cette fraction sera avantageu- sement constituez par les coefficients latéraux les plus proches des trois coefficients centraux, les coefficients de bord n'étant pas modifiés. On progressera de la même façon vers les-bords. On peut passer des valeurs a k aux valeurs estimées k avant la fin de la phase d'acquisition. -Quel que soit le mode de réalisation adopté, on peut réduire de façon sensible le nombre d'itérations nécessaire pour ramener la probabilité d'erreur a une valeur proche de celle donnée par l'égaliseur optimal. A titre d'exemple, en cas de transmission de données a 9600 bits par seconde sur une ligne téléphonique, avec emploi d'un égaliseur a 15 coefficients, on a constaté qu'il est possible de réduire la phase d'acquisition de 240 itérations environ (soit a peu près 100 millisecondes) a 140 itêrations (soit environ 5-8 millisecondes) en commençant l'adaptation sur trois coefficients, conformément a l'exemple 1. On peut réduire encore davantage le nombre d'itérations en utilisant les processus définis dans les exemples 2 a 4. Par ailleurs, on voit que le volume de calcul n'est pas accru et que le dispositif est simple à réaliser. En particulier, on peut constituer le dispositif de commande des coefficients par un système cablé ou un microprocesseur de type commercial type UNTEL" ou "MOTOROLA". L'invention est évidemment susceptible de nombreuses applications et de nombreux modes de réalisation autres que ceux qui ont été envisages ci-dessus et il doit être entendu que la portée du présent brevet s'étend a toute variante restant dans le cadre des équivalences : par exemple, elle est applicable pour constituer un dispositif annuleur d'échos à adaptation rapide. REVENDICATIONS l - Procédé d'adaptation d'un filtre numérique adaptatif destiné à compenser la fonction de transfert d'une voie de transmission, comportant un nombre M de coefficients, caractérisé en ce que, pour augmenter la rapidité de convergence et réduire la durée d'une phase d'acqulsition au cours de laquelle on transmet sur la ligne une séquence test, on décompose l'adaptation en étapes successives, chacune associée à une partie composée de M' coefficients du filtre, et en ce que, au cours de chaque étape, on réalise l'adaptation des M' coefficients à partir de l'erreur déterminée en utilisant uniquement ces M' coefficients en faisant crotte la partie du filtre composée de M' coefficients d'une étape à la suivante jusqu'à atteindre M' = M au cours de la dernière étape. 2 - Procédé suivant la revendication l, caractérisé en ce que, au cours d'au moins une étape associée à un nombre de coefficients M' inférieur à M, on adapte également au moins une fraction des M-M' coefficients restants, à partir de l'erreur déterminée en utilisant l'ensemble des M' coefficients et de la fraction considérée au-dessus des M-M' coefficients restants. 3 - Procédé suivant la revendication l ou 2 d'adaptation d'un filtre numérique adaptatif réel ou complexe appartenant au récepteur d'un système de transmission de données par modulatIon d'amplitude d'au moins une porteuse, caractérisé en ce qu'on effectue au moins la partie initiale de l'adaptation pendant la réception d'une séquence test prédéterminée de données, en utilisant un algorithme faisant intervenir les valeurs de sortie du filtre et les valeurs enregistrées d'une séquence test transmise au cours de la phase d'acquisition. 4 - Procédé suivant la revendication l, 2 ou 3, caractérisé en ce que la fraction M' est constituée par les coefficients centraux. S - Procédé suivant l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que les pas d'itération adoptés au cours des étapes successives décroissent d'une étape à la suivante, au fur et à mesure qu'on augmente M'. 6 - Filtre numérique adaptatif réel ou complexe destiné à compenser la fonction de transfert d'une voie de transmission, comportant un nombre M de coefficients adaptables, caractérisé en ce qu'il comporte des moyens qui au cours d'une première étape de la phase d'acquisition associée a une fraction M' des M coeffi cientsforment le signal de sortie du filtre restreint à ladite fraction M' des M coefficients et commandent l'adaptation de ces H' coefficients à partir de l'erreur associée audit signal, puis, au cours d'étapes ultérieures successives, répètent le même processus pour des valeurs croissantes de M', et enfin, au cours d'une dernière étape au bout d'un intervalle de temps déterminé mettent en oeuvre des circuits pour former le signal de sortie en utilisant l'ensemble des M coefficients et provoquent l'adaptation de l'ensemble des M coefficients. 7 - Filtre suivant la revendication 6, caractérisé en ce qu'il comporte des moyens qui, au cours de la première étape de la phase d'acquisition, associée à la fraction 1.' des M coefficients, permettent d'adapter une fraction (pouvant être égale à un) des M-F}' coefficients restants, à partir de l'erreur déterminée en utilisant l'ensemble des M' coefficients et de la dite fraction des WI-M' autres coefficients, et qui opèrent de même au cours des étapes ultérieures. 8 - Filtre suivant la revendication 6 ou 7, caractérisé en ce que lesdits moyens sont prévus pour effectuer l'adaptation, au cours de chaque étape, suivant un algorithme qui est une fonction de la différence entre la donnée transmise (ou la donnee restituée) et le signal de sortie du filtre, éventuellement restreint à une fraction H' de ses M coefficients réel ou complexe 9 - Filtre/sulvanc la revendication 8, caractérisé en ce que, au cours de chacune des étapes associées à une fraction M' des coefficients, les moyens effectuent l'adaptation des Jl' coefficients suivant l'un ou l'autre des algorithmes formules dans lesquelles sont les valeurs, après et avant la kième itération; correspondant à la transmission de la donnée ak, du vecteur constitué par les coefficients de la fraction M' à laquelle est associée l'étape ; M' y est un pas d'itération déterminé; ski est le signal de sortie du filtre restreint à ladite fraction M' ; est la valeur à la k me itération du vecteur des échantillons présents dans le filtre restreint à ladite fraction M ; ak est la donnée restituée par un système de décision placé en aval d'un filtre adaptatif.