Brevet FR2383558A1 — publié le 19781006

La présente invention concerne, de manière générale, le filtrage numérique et a pour objet un filtre numérique récursif qui délivre, à partir des échantillons numérisés d'un signal d'entrée analogique, une suite de nombres représentant les valeurs numérises du signal analogique filtre'. Plus particulièrement, 11 invention concerne un filtre numérique récursif passe-bas, passe-haut ou de réjection dont les coefficients de la relation de récurrence sont des combinaisons en nombre réduit de différentes puissances de deux. Suivant une réalisation préférentielle, le filtre numérique récursif de la présente invention est du second ordre, de tpe de Butterworth. Une autre réalisation préférentielle a trait à un filtre numérique récursif à coefficients en puissance dc deux du premier ordre. D'autres réalisations de la présente invention peuvent permet tre d'effectuer la synthèse de filtres de types différents couple, par exemple, de type de Bessel, de Legendre ou de Tchebyscheff. Les filtres numériques récursifs à coefficients en puissance de deux de l'invention permettent des cadences de filtrage en ton. ps réel mille fois plus rapides que celles que lton obtient à l'aide d'un miniordinateur classique doté d'un module de caloul en virgule flottante cablé ou microprogrammé. Le temps nécessaire au filtres de l'invention, pour calculer un point filtré, est de l'ordre de quelques centaines de nanosecondes et permet un échantillonnage à cadence élevée du signal dialogique d1 entrée, ce qui minimise l'influence de repliement du spectre. Le faible temps de calcul autorise également la mise en série de plusieurs modules de filtres numériques de mSe nature ou de natures différentes permettant d'obtenir des fonctions de transfert d'allure plus générale. Les filtres de l'invention peuvent remplacer avantageusement les filtres analogiques lorsque les fréquences de coupure nécessaires sont très basses En effet, de par leurs performances, leur facilité de réalisation et leur prix de revient, ils devraient trouver un large eIamp d'application partout où les caractéristiques des filtres analogiques se révèlent insuffisantes, ce qui est le cas essentiellement du filtrage passe-bas avec fréquence de coupure très basse. Le filtrage passe-bas des signaux de mesure est analogicuement mal résolu dès que les fréquences de coupure sont inférieures à 1 Ho Les filtres analogiques disponibles, pour ces fréquences, manquent de stabilité et sont difficilement reproductibles pour la réponse en phase; de plus, leur coût de revient est élevé. Les filtres numériques sont, par contre, bien adaptés au filtrage des très basses fréquences: ils ne dérivent pas et, pour un algorithme de calcul donné, présentent une réponse en phase parfaitement définie. Un filtre numéri@ue peut folmtionner, soit en temps différé, soit en temps réel. Il est dit fonctionner en temps réel si le calcul d'un point filtre à un instant donné ne fait appel outà des échantillons du signal analogique d'entrée correspondant à des instants antérieurs ou égal à l'instant donné. Il faut, de plus, que le temps de calcul d'un point filtré soit inférieur à la période d'échantillonnage. L'intérêt du fonctionnement en temps réel se manifeste, par exemple, dans la réduction du volume des données à transmettre vers ltordinateur central de traitement des données, ou encore dans la possibilité d'inclure le système d'accuisition et de pré-traitement des donnes dans une boucle d'asservissement. Il est connu que, si lton désire échantillonner un signal à la fréquence d'échantillonnage feS il est nécessaire, pour éviter le phénomène de repliement de spectre, que le signal à échantilloner ne présente pas de composantes de fréquences supérieures à f/2, Il faut donc, avant d'échantillonner le signal et de le filtrer numériquement, procéder à un préfiltrage analogique éliminant les composantes du signal de fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage. Pour fixer les ides, prenons le cas d'un prefiltrage analogique passe-bas du second ordre avec une fréquence de coupure de 10 Hz et avec une pente de -40 dB/décade.Nous trouvons alors que, pour filtrer numériquement des composantes de fréquence du signal avec une précision donnée de 10-2, 10-3 ou 10 par exemple, nous devons conserver dans le préfiltrage analogique les fréquences inférieures à 100 Hz, 300 Ez ou 1000 Hz respectivement. Ceci nous impose des fréquences d'échantillonnage f e de 200 Hz, 600 Hz et 2000 Hz respectivement. L'article de E. Haziza et J. Appel intitulé "Filtrage en temps réel de mesures effectuées en souf@lerie" (+E ONERA, 3/7146 PY) nous enseigne dans quelle mesure un miniordinateur utilisé pour l'acquisition et le stockage des données de mesures est également eapa-le de filtrer numériquement en temps réel les signaux acquis. Le filtre programme est un filtre récursif passe-bas du deuxième ordre et la capacité de filtra e numérique en temps réel du mini- ordinateur est de 8 voies de mesures échantillonnées 200 fois par seconde. Il apparaît immédiatement que, lorsque la précision souhaitée est grande (10-4 par exemple) et que le nombre de voies à filtrer est important (de l'ordre de quelques dizaines) un tel miniordinateur dtacquisition et de stockage n'est plus en mesure d'effectuer le filtrage numérique en temps réel de façon classique. L'objet de la présente invention est de fournir un filtre numérique récursif dont le temps de calcul d'un point filtré soit considérablement abaissé par rapport à ceux de l'art antérieur. La réduction du temps de calcul de la relation de récurrence, et essentiellement du temps pris par les multiplications, est obtenue en remplaçant les coefficients de la relation de récurrence par une combinaison, réduite en nombre, de puissances de 2. Les multiplications par les coefficients de la relation de récurrence se réduisent alors à des multiplications par 2n et sont effectuées par décalage de bits. Ces multiplications sont effectuées, -soit par des multiplicateurs du type registre à décalage connectés à des registres de conscient contenant les puissances de deux nécessaires, soit, dans une réalisation préférentielle particulière, par câblage sur une ligne "omnibus" de transfert de données. Une réalisation préférentielle de la présente invention est un filtre numérique récursif passe-bas du second ordre, de type de Butterworth. Avant de décrire en détail cet appareil, nous allons établir la relation de récurrence et déterminer quelles sont les meilleures formes de type 2n å donner à ses coefficients. La fonction de transfert analogique d'un filtre passe-bas du second ordre s'écrit : 2 ]-1 s'écrit: 2 + 2 2 J -1 i + + p (i) 2 c o où # est le coefficient d'amortissement et #@ la fréquence angulaire de coupure analogique.Par transformation.conforme avec nu t la période d'échantillonnage et z = ePt, sur la fonction H(p), on obtient la fonction de transfert en z du filtre : En posant &alpha; = #c#t, les trois coefficients A, B1 et B2 sont définis par les équations suIvantes &alpha;2 A = 1 + 2#&alpha; + &alpha;2 2 (1 - &alpha;2) B1 = (4) 7 + 2 B 1 1 - 2#&alpha; + 2 = # # ### # De la relation (3), nous déduisons la relation de récurrence du filtre numérique yi = B1 yi-1 - B2 yi-2 + A (xi + 2 xi-1 + xi-2) (5) où les xi,xi-1, xi-2 sont les valeurs échantillonnées du signal analogique d'entrée respectivement aux instants illt, (i-1)#t, (i-2)#t et où les yi, yi-1, yi-2 sont respectivement les valeurs filtrées correspondantes. La fréquence angulaire de coupure analogique #c et la fréquence angulaire de coupure numérique #@' sont reliées par la relation Oc at Wici\ c#t = tg # (6) du fait de la transformation conforme (2). r Pour des fréquences de coupure numériques f'c = ## de l'ordre 1 de 1 Hz et des fréquences d'échantillonnage f@ = de l'ordre de ## 1000 Hz, la quantité est de l'ordre de 3 10-3 et la rela2 est de l'ordre de 3 10 @ et la relation (6) se simplifie pour donner ( #c#t # #### (6 Cette relation (6') exprime que, dans le domaine des fréquences étudiées, la fréquence de coupure du filtre numérique est double de la fréquence de coupure du filtre analogique correspondant et que la quantité &alpha;= #c#t est très faible devant l'unité.Ceci a pour conséquence que le coefficient A de la relation de récurrence (5) est de l'ordre de grandeur de &alpha;2 tandis que les coefficients B1 et et B2 soat respectivement proches de 2 et de 1 par défaut. Un calcul de la relation de récurrence par un miniordinateur pour des coefficients présentant ces ordrés de grandeurs est nécessairement long, de l'ordre de quelques centaines dc microsecondes, une opération élémentaire en virgule flottante demandant un laps de temps de l'ordre de 35 ps. Le principe sur lequel est basé l'invention est de réduire le temps de calcul de la relation de récurrence (5) et, essentiellement, le temps nécessaire aux multiplications, en posant arbitrairement le coefficient A égal à 2 avec n grand, et en déterminant les valeurs de B1 et de B2 à l'aide de conditions sur le gain du filtre et sur le coefficient d'amortissement #. La condition sur le gain du filtre à fréquence nulle est obtenue en faisant la somme des coefficients du mombre de droite de la relation de récurrence (5): 4 A + B1 ~ 32 = 1 (7) cette équation exprime que le @ain du filtre, pour une composante continue du signal, est égal à un. D'autre part, en résolvant le système des deux premières équations (4), le coefficient d'amortissement s'écrit Si l'on d@sire réaliser un filtre numérique passe-bas dont le coefficient d'am@rtissement soit tres voisin dc celui d'un filtre de Butterworth (# =1/#2), la condition sur le coefficient d'amortisscient s'écrit (2-B1)2 # 4 A B1 (9) Dans le domaine de fréquences étudiées, nous avens vu que 211 est de l'ordre de 105 et la résolution approchée du système d'équations (7) et (9) donne les valeurs des coefficients B1 et 32 de la relation de récurrence En reportant les équations (10) dals la relation (5), la formule de récurrence du filtre numérique récursif passe-bas du second ordre, du tre de Butterworth, de la présente invention s'écrit + Xi + 2 xi-1 + + Xi2 (11) avec le nombre entier n impair pour oue la puis ance n+3 soit égale- 2 tent un nombre entier. Un filtre numérique récursif est stable si tous les p8les de sa fonction de transfert H(z) sont 'd l'intérieur du cercle de raton unité. Les deux pôles de la fonction de transfert correspondant à la formule de récurrence (11) ont pour module la valeur et le filtre récursif réalisé à tartir de (11) est stable quelle que soit la valeur de n entier # 0. Par inversion des formules (4) et compte tenu des valeurs de A et de B, nous trouvons cue #c &alpha; @e La fréquence de coupure analogique fc = = correspon2# 2# dant au filtre récursif qui obéit à la relation de récurrence (11) est alors égale à La fréquence de coupure f dépend donc de la valeur du nombre entier c n choisi et varie en principe de manière discontinue. Cependant, f c est proportionnel à la fréquence d'échantillonnage f e et il est possible de modifier légèrement cette dernière de manière à ajuster -la frécuence de coupure à une v@leur désirée. Nous allons maintenant décrire en détail différentes réalisations préférentielles des filtres numériques récursifs à coefficients en puissance de deux de l'invention, en liaison avec les dessins annexés correspondants, dans lescuels - la Fig. 1 présente le principe du calcul d'un point filtre de l'invention pour n = 17 - la Fig. 2 montre un schéma de réalisation du filtre du second ordre passe-bas à coefficients en puissance de deux de l'invention ; - la Fig. 3 montre un schéma de réalisation câblé sur une ligne "omnibus" de transfert de données du filtre du second ordre passebas de l'invention pour n = 17 - la Fig. 4 présente la synthèse d'un filtre passe-haut l'aide d'un filtre passe-bas de Butterworth et d'un filtre de fonction de transfert p2/#c2 ;; - la Fig. 5 présente la réponse en amplitude du filtre passe-haut synthétisé en Fig. 4, lorsque les frécuences de coupure #1c et #2c sont légèrement différentes - la Fig. 6 présente la synthèse d'un filtre de réjection à l'aide d'un filtre passe-bas de Butterworth et d'un filtre de fonction de transfert 1 + - la Fig. 7 montre, en liaison avec la Fig. 2,des schémas de réalisation de filtres passe-haut et de rèje-tion à coefficients en puis@ances de deux de l'invention ; ; - les Figs. 8 et 9 présentent en liaison avec la Fig. 2, des schémas de réalisation d'un filtre à coefficients en puissance de deux, commutable sur trois positions passe-bas, passe-haut et de réjection - les Figs.10 et 11 présentent les courbes de réponse en amplitude et en phase du filtre passe-bas de type de Butterworth à coefficients en puissance de deux de l'invention pour n = 5, 11, 13, 15 et 17; et - les Figs. 12 et 13 montrent les courbes de réponse an amplitude des filtres passe-haut et de réjection de l'invention pour n = 13. La réalisation d'un filtre numérique récursif passe-bas du second ordre, de type de Butterworth à coefficients en puissance de deux de ltinvention,exploite la relation de récurrence (17), La Fig. 1 montre, sur un exemple correspondant à n = 17, le principe du calcul d'un point filtré.Les valeurs de Xig Xi 1 Xi yi-1 et yi-2 sont stockées dans 5 mémoires différentes et il s'agit de faire la somme de si (entrée du filtre) avec xi-1 décalé vers la gauche d11 bit avec Xi2 non décalé avec yi-1 décalé de 18 bit vers la gauche avec yi-1 décalé de 10 bits vers la gauche et changé de signe avec yi-2 décalé de 18 bits vers la gauche et changé de signe avec yi-2 décalé de 10 bits vers la gauche avec yi-2 décalé de 2 bits vers la gauche et changé de signe. La somme de ces 8 grandeurs est égale à la valeur de yi décalée de 17 bits vers la gauche. Cette valeur yi est la valeur du point filtré sortant du filtre. La Fig. 2 montre le schéma d'une des réalisations possibles de ce filtre numérique récursif passe-bas de l'invention. L'échantillon numérisé xi du signal d'entrée échantillonné à la fréquence 1 d'échantillonnage fe = entre par la ligne 10 et est stocké dans #t la mémoire Mi. Le contenu antérieur de la mémoire Mi est transféré par la ligne 1 1 à la mémoire Mi-1 et le contenu antérieur de la mémoire Mi-1 est transféré par la ligne 12 à la mémoire Mi-2' de telle sorte que, à l'instant i#t, les trois mémoires Mi Mi 1 et Mi-2 contiennent respectivement les échantillons numérisés xi, xi-1 et xi-2 du signal d'entrées L'échantillon xi est transmis par la ligne 13 de la mémoire M. à un additionneur #. L'échantillon xi-1 est transmis par la ligne 14 de la mémoire Mi-1 vers un multiplicateur 15 qui est lui-même connecté à un registre de coefficient 16 de valeur 2. Le multiplicateur 15 est relié à l'additionneur 8 par la ligne 17. L'échantillon xi-2 est transmis par la ligne 18 à l'additionneur . La sortie de l'additionneur # est reliée par la ligne 19 à un multiplicatsur 20 connecté à un registre de coefficient 21 de valeur 2-n.Le multiplicateur 20 est relié par la ligne 22, d'une part à la sortie du filtre et, d'autre part, à une mémoire Mi qui stocke la valeur yi de sortié du filtre. Les décalages du contenu de la mémoire Mi' vers une mémoire Mi-1' et du contenu de la mémoire Mi-1' vers la mémoire Mi-2' s'effectuent respectivement par les lignes 23 et 24. De la sorte, la pile des trois mémoires Mi, Mi 1 et contient, à l'instant i#t, l'ensemble des trois valeurs yi, yi-1 et La mémoire Mi-1' est reliée par les lignes 25 et 26 respectivement à deux multiplicateurs 27 et 28. Le multiplicateur 27 est connecté à un registre de coefficient 29 de valeur 2n+1 et est relié l'additionneur par la ligne 30.Le multiplicateur 28 est connecté à un registre de coefficient 31 de valeur et est relié à l'additionneur par la ligne 32. De façon analogue, la mémoire est reliée par les trois lignes 33, 34 et 35 respectivement à trois multiplicateurs 36, 37 et 38.Le multiplicateur 36 est connecte té à un registre de coefficient 39 de valeur (-2n) et est relié par la ligne 40 à l'additionneur CI Le multiplicateur 37 est connecté à un registre de coefficient 41 de valeur et est relié par la t ligne 42 à l'additionneur #. Le troisième multiplicateur 38 est con- necté à un'registre de coefficient 43 de valeur (-22) et est relié par la ligne 44 à l'additionneur Z. Le schéma de la Fig, 2 que nous venons de décrire met en oeuvre le calcul de la formule de récurrence (11) Les 7 multiplicateurs 15, 20, 27, 28, 36, 37 et 38, affecté chacun de son registre de coefficients, peuvent btre des registres à décalage convenablement câblés en tenant compte que, si l1on veut multisslier le contenu d'une mémoire par un coefficient négatif, il suffit de multiplier le cpmplément de cette mémoire par la valeur absolue du coefficient (par décalage} et d'ajouter t au résultat. Dans une autre réalisation préférentielle du même filtre, les multiplicateurs et leurs registres de coefficients associés sont remplacés par un câblage adéquat sur une ligne "omnibus" de transfert des données contenus dans les mémoires Mi, Mi-1, Mi', Mi-1' et Mi-2' vers l'additionneur . Cette dernière réalisation préférentielle élimine l'utilisation de multiplicateurs et diminue le temps de calcul du signal filtré. Cette réalisation, à l'aide d'une ligne "omnibus" de transfert 1, est décrite en Fig. 3 pourle cas particulier où n = 17. Les échantillons numérisés xi, xi-1 et xi-2 du signal d'entrée correspondant aux temps i#t, (i-1)#t et (i-2)#t sont stockés dans une pile de 3 registre 2, 3 et 4 de 16 bits chacun. Pour chaque période d'échantillonnage # bt, la pile des x se décale d'un cran, c'est à-dire que xi prend la place de xi-1, xi-1 celle de xi-2. Le registre 2 est relié à la ligne "omnibus" de transfert de données 1 par l'intermédiaire d'une ligne 13 qui connecte les 16 bits du registre 2 sans décalage sur la ligne "omnibus". La ligne 14 connecte sur la ligne "omnibus" 1 les 16 bits du registre 3 avec un décalage d'un bit vers la gauche et la ligne 18 connecte sur la ligne "omnibus" 1 les 16 bits du registre 4 sans décalage. Les valeurs 217yi, 217i-î' 217i-2 correspondant au valeurs filtrées yi, yi-1, yi-2 aux temps i#t, (i-1)#t et (i-2)#t respectivement sont stockées dans une pile de 3 registres 5, 6 et 7 de 32 bits chacun0 Comme pour la pile des registres 2, 3 et 4 contenant les échantillons numérisés du signal -d'entrée, la pile des registres 5, 6 et 7 se décale d'un cran à chaque période d'échantillonnage. La valeur de sortie du filtre yi est donnée par les bits de 17 à 31 du registre 5. Pour obtenir le passage de la valeur 2nyiJ à2n+1yi@1, la ligne 25 connecte sur la ligne "omnibus"1 les 32 bitsdu registre 6 avec un décalage d'un bit vers la gauche. Pour obtenir le passage n+3 de la valeur 2nyi-1 à la valeur 2 yi-1, ce qui revient à décaler 2 de 7 bits vers la droite le contenu du registre 6, la ligne 26 connecte sur la ligne "omnibus" les bits 7 à 31 du registre 6. De même, pour obtenir le passage de la valeur 2nyi@2 aux deux valeurs 2##### et 22yi-2, les lignes 34 et 35 connectent sur la ligne "ommibus" du registre 7 respectivement les bits 7 à 31 et 15 à 31/. La ligne 33 connecte sur la ligne "omnibus" 1 les 32 bits du registre 7 sans décalage.La -sortie de la ligne "omnibus" 1 est branchée sur l'entrée d'un addi- tionneur-soustracteur 8 doté d'un registre accumulateur à 32 bits. La sortie de l'additionneur-soustracteur 8 alimente la pile de registre à 32 bits 5, 6 et 7. Un séquenceur 9 permet de transformer successivement sur la ligne "omnibus" les différentes données contenues dans les registres et de piloter l'additionneur-soustracteur 8 en fonction du signe des coefficients0 il est également possible d'adjointre au module filtrant ainsi défini un convertisseur analogique-numérique 10 associé à un échantillonneur bloqueur et une horloge permettant de générer la fréquence d'échantillonage fe. La fréquence de coupure f c du filtre peut alors être ajustée à la valeur désirée en sélectionnant la valeur de la fréquence d'échantillonnage f e convenable comne l'indique la formule (13). L'intérêt du montage décrit en Fig. 3 vient du fait que les décalages des connexions des différents registres à la ligne "omnibus" de transfert 1 sont câbles une fois pour toutes et pue les multiplications qu'ils effectuent ne nécessitent aucun temps de calcul. Le temps de calcul d'un point filtré se réduit donc à celui de l'exécution de 7 additions. ous les éléments composant le montage de la Fig. 3 sont des éléments standards du commerce, fournis généralement par tranches de 4 bits. Du point de vue des performances, on trouve dans le commerce dans additionneurs-soustracteurs qui effectuent une opération en 40 nanosecondes.Le temps de calcul d'un point filtré, compte tenu des temps de transfert des données par la ligne "omnibus" de transfert, est alors de 1 ordre de 500 nanosecondes. Le prix de revient d'un tel module devrait être compétitif avec celui des filtres analogiques à fréquence de coupure basse appairés en phase que l'on trouve sur le marché. Nous avons jusqu'ici étudié difiérentes réalisations de filtre numérique récursif passe-bas, du second ordre,de type de Butterworth, à coefficients en puissance de deux de la présente invention. Nous allons maintenant montrer comment le principe de l'invention s1 applique à la détermination de filtres passe-haut et de réjection et les réalisations qui en découlent. Comme le montre la Fig. 4, il est possible de considérer qu'un filtre passe-haut de fonction de transfert H(p) résulte de la mise en série d'un filtre passe-bas de fonction de transfert H1 (p) ayant une fréquence angulaire de coupure 1c et d'un filtre de fonction @@ de transfert H2(p) = avec #2c = #1c. Si nous choisissons #22c comme filtre passe-bas, un filtre du type de Butterworth, à coef- ficient en puissance de deux de l'invention, la fonction de transfert en z, H1(z) est donnée par la formule (3) où A est égal à 2-n et avec B1 et B2 donnés par les formules (10). D'après la formule (13), la fréquence angulaire analogique #1c est approximativement égale à Par application d- la transformation conforme (2) sur la fonction H2(p), nous obtenons la fonction de transfert en z du filtre passe- aut A En imposant au coefficient d'être égal à 1, nous (#2o#t)2 introduisons une légère différence entre les deux fréquences angulaires de coupure #1c et #2c puisqu'alors D'après le tableau suivant n 7 9 11 13 15 17 ### #### 7 % 3 % 1,6 % 0,8 % 0,4 % 0,2 % zozo @m(dB) 1 0,5 0,25 0,12 0,06 0,03 nous pouvons constater que la différence relative entre les deux fréquences angulaires de coupure est faible dès que le nombre entier impair n est supérieur à 9.La Fig. 5 montre qualitativement que, lorsque * c est légèrement supérieur à #2c, le gain du filtre dans la bande passante est légèrement supérieur à zéro décibel. Calculons la valeur maximum de ce gain gm pour une fréquence analogique moitié de la fréquence d'échantillonnage, soit pour z= @j#= -1. La fonction de transfert H(z) pour cette valeur z = -1 est egale à 4(@ + B1 + B2) seit Les valeurs de gm en décibels sont données pour différentes valeurs de n dans le tableau ci-dessus et l'on constate que les gains sont très voisins de zéro décibel. Ceci justifie l'approximation proposée de poser le coefficient A(#2c#t)-2 égal à l'unité dans la fonction de transfert (76). La formule de récurrence du filtre passe-haut à coefficients en puissance de deux de l'invention s'écrit +2n (xi - 2xi-1 + xi-2) (19) Nous nous intéressons- maintenant à la synthèse d'un filtre de réjection d'après le principe de l'invention. Comme le montre la Fig. 6, il est possible de considérer qu'une filtre de réjection de fonction de transfert H(p) résulte de la mise en série d'un filtre passe-bas de fonction de transfert H1 (p) présentant une fréquence angulaire de coupure #10 et d'un filtre de fonction de transfert i2(p) = 1 + 2 avec #2c = #1c. Si nous choisissons, comme filtre passe-bas, un filtre du type de Butterworth, à coefficients en puisance de deux de 11 invention, H1 (z) est donné par la formule (14) et Q1c par la formule (15). Par application de la transformation conforme (2) sur la fonc- tion H2(p), la fonction de transfèrt z du filtre de réjection stécrit : 1 ( 2ct) z-I 4e0 + 1-2 2 H(z) = A i + 12 1+ -2 (20) 0 2C sst) + 1 - B1 z fil2 z Nous imposons la condition qui, au premier ordre en &alpha;, est le même que la condition que l'on avait imposée pour le filtre passe-haut. La discussion et la validité de cette approximation sont exactement les mânes que dans le cas du filtre passe-haut. Sous la condition (21), la fonction de transfert en z (20) du filtre de réjection devient La relation de récurrence du filtre de réjection à coefficients en puissance de deux de l'invention est la suivante + n xi - (2n+1 ~ 22) xi-1 + 2n xi-2 (23) Les formules de récurrence (11), (19) et (23) ont été établies pour des filtres numériques récursifs du second ordre, à coefficients en puissance de deux, respectivement passe-bas, passe-aut et de réjection. Ces formules de récurrence sont très similaires et ne diffèrent que par les valeurs des coefficients de xiS xi-1 et xi-2. Il est possible de les regrouper en une seule relation de n : f n+3 2 récurrence : G1 2 22+3)yii - (n - 2 + Yi 2 2 Yj + (a + b 2 ) xi + (2a + b xi-1 + (a+b 2@) xi-2 (24) avec, pour un filtre passe-bas, a = 1, b = 0, c = 0, pour un filtre passe-haut, a = O, b = 1, c = O et, pour un filtre de réjection, a = O, b = 1, c = 1. Le gain gO à fréquence nulle est alors donné par gO = a + bc (25) et le gain gm à fréquence moitié de la fréquence d'échantillonnage est égal à La formule (24) qui regroupe les 3 formules de récurrence (11), (19) et (23) peut être paramétrisée de différentes manières.Nous donnerons un exemple de paramétrisation aui généralise les formules de récurrence (11), (19) et (23) pour des gains différents de un : où k est un nombre entier et avec, pour un filtre passe-bas, d - 1, e = 0, pour un filtre passe-haut, d t -1, e = O et, pour un filtre de réjection, d = -1, e = 1. Le gain go à fréquence nulle est alors égal go = 2k-n [ 2n-1 (1 + d) + e (25') et vaut 2k pour un filtre passe-bas et 2k pour un filtre de réjection.Le gain gm à fréquence moitié de la fréquence d'échantillon- nage est donné par et vaut approximativement, dès que n est assez grand (n # 11), 2k-n pour des filtres passe-haut et de réjection. Une telle paramétri- sation de la formule (24') permet de retrouver la formule de récurrence (11) pour d = 1, e = 0, k = 0, la formule de récurrence (19) pour d = -1, e = 0, k = n et la formule de récurrence (23) pour d = -1, e = 1, k = n.Une choix différent pour les valeurs de k perret e définir ces filtres ayant des gains différents de unO Une réalisation d'un filtre passe-raut obéissant à la formule de récurrence (19) ou d'un filtre de réjection obéissant à la formule (23) est facilement obtenue à partir des réalisations du filtre passe-bas de la formule (11) en modifiant de manière adéquate la partie du montage qui relie les mémoires des xi, xi-1, xi-2 à l'additionneur. z additi onneur.Si nous prenons la realisation du filtre passe-bas décrite en Fig. 2, nous obtenons des réalisations équivalentes pour des filtres passe-haut ou de réjection en remplaçant respectivement le bloc 1 du montage de la Fig. 2 par les blocs 1' ou 1" de la Fig. 7. Les blocs 1' et 1" de la Fig. 7 diffèrent de la manière suivante du bloc 1 de la Fig. 2 : un multiplicateur 131 associé à un registre de coefficient 132 contenant la valeur 2n est intercalé sur la ligne 13. Un multiplicateur 181 associé a un registre de coefficient 182 contenant la valeur 2n est intercalé sur la ligne 18. La ligne 14 conduit à un multiplicateur 151 qui est relié à l'additionneur t par la ligne 171. Ce multiplicateur 151 est connecté à un registre de coefficient 161 qui contient la valeur (-2n+1). Enfin, dans le bloc 1" correspondant au montage du filtre de réjection, la ligne 14 est, de plus, connectée par la ligne 142 à un multiplicateur 152. Le multiplicateur 152 est relié à l'additionneur # par la ligne 172 et est connecté à un registre de coefficient 162 qui contient la valeur 22. Une réalisation commune aux trois filtres passe-bas, passe-haut et de réjection et qui exploite la relation de récurrence génèrali sée 24, peut également être obtenue. La Fig. 8 montre le bloc 1"' qui doit remplacer le bloc 1 dans la Fig. 2 pour obtenir un filtre comcrutabae sur les 3 positions passe-bas, passe-haut et de réjection. Un sélecteur de fonction S comprend trois registres de coefficients de contenus respectifs a, b et c pouvant prendre les trois couples de valeurs (100),(010) et (011). Ce sélecteur de fonction S reçoit les lignes 13, 14 et 18 venant respectivement des mémoires Mi, Mi 1 et Mi 2. Les 7 lignes 133, 134, 17, 171, 172, 183 et 184 sont connectées à l'additionneur de la Fig. 2. Le bloc 1"' est équivalent au bloc 1 pour le couple de valeur (100) du sélecteur de fonction S; pour le couple de valeurs (010), il est équivalent au bloc 1' de la Fig. 7 et, pour le couple (011), au bloc 1,1 de la Rig. 7. Nous avons décrit comment, à partir de la réalisation prafé- rentielle de la Fig. 2 du filtre passe-bas de l'invention, nous pouvions réaliser un filtre passe-haut, un filtre de réjection et un filtre commutable sur les trois fonctions passe-bas, passe-haut et de réjection. Nous pouvons appliquer les mêles méthodes de modification sur la réalisation préférentielle de la Fig. 3 du filtre passe-bas câblé sur une ligne "omnibus" de transfert de données. Nous ne décrivons pas ces nouvelles modifications que tout homme de l'art peut effectuer au su de ce qui vient d'8tre décrit précédemment. Une réalisation commune aux trois filtres passe-bas, passe-haut et de réjection, et qui exploite la relation de récurrence généralisée (24i)-peut être obtenue avec un sélecteur de fonctions S comprenant deux registres de coefficients de contenus respectifs d et e. Les coefficients det e peuvent prendre les trois couples de valeurs (1,0), (-1,0) et (-1,1). La Fig. 9 montre le bloc 1IV qui doit remplacer le bloc 1 de la Fig. 2 pour réaliser un tel filtre commutable sur les trois positions passe-bas, passe-haut et de réjection.Le bloc 1iV de la Fig. 9 diffère de la manière suivante du bloc 1 de la Fig. 2 : un multiplicateur 131 associé à un registre de coefficient 132 contenant la valeur 2k est intercalé sur la ligne 13. Un multiplicateur 181 associé à un registre de coefficient 182 contenant la valeur 2k est intercalé sur la ligne 18. La ligne 14 aboutit au sélecteur de fonctions S qui contient deux multiplicateurs 200 et 201 associés à deux registres de coefficients 202 et 203, contenant respectivement les valeurs d et e. Le -ifiti- plicateur 200 connecte, par la ligne 141, la ligne 14 au multiplicateur 151.Le multiplicateur 151 est associé au registre de coefficient 761 contenant la valeur 2k+1 et est connecté à l'additionneur # par la ligne 171. Le multiplicateur 201 connecte, par la ligne 142, la ligne 14 au multiplicateur 152. Le multiplicateur 152 est associé au registre de coefficient 162 contenant la valeur 2 +2 et est connecté à l'additionneur t par la ligne 172. La valeur du nombre entier a est sélectionnée en fonction du gain -désiré, les gains ne pouvant prendre que des valeurs discrètes définies par les puissances de deux. La sélection du nombre k peut également être faite par le sélecteur de fonction S. Pour obtenir des gains égaux à l'unité, le sélecteur de fonction S doit sélectionner la valeur k = 0 quand le couple de coefficients (d,e) prend la valeur (1, o), et doit sélectionner la valeur k = n quand le couple de coefficients (d,e) prend les valeurs (-1,0) et (-1,1). Le fait que la valeur de k dci- ve être sélectionnée en liaison avec la valeur du couple de coefficients (d,e) par le sélecteur de fonction S 8te la possibilité de transposer la méthode de transformation où le bloc 1 de la Fig. 9 remplace le bloc 1 de la Fig. 2 à un schéma ciblé du genre de celui de la Fig. 3. Les Figs. 10 et Il montrent-les courbes de réponse en amplitude et en phase du filtre numérique récursif passe-bas,du deuxième ordre, de type de Butterworth, à coefficients en puissances de deux de l'invention pour différentes valeurs du nombre entier impair n. On peut remarquer que, à l'exception des courbes obtenues pour n = 5, l'allure des courbes correspondant à n = 11, 13, 15 et 17 est tout à fait identique à celles de filtres de Butterworth classiques. Le défaut constaté pour n = 5 vient du fait que, pour n trop petit, la condition &alpha;= #c#t Cependant, le cas n=5 ntest pas pratiquement intéressant puisque l'intérêt du filtre passe-basde l'invention réside essentiellement dans sa basse fréquence de coupure. Nous donnons dans le tableau ci-après la Valeur du coefficient d'amortissement a et de la fré quence de coupure numérique f c du filtre passe-bas de l'invention pour les valeiirs n = 11. 13. 15. 17 et 19. fc' en Hz n # fc'/fe peur fe = 103 Hz 11 0,696 7,13 10-3 7,13 13 0,701 3,63 10-3 3,63 15 0,704 1,77 10-3 1,77 17 0,706 0,88 10-3 0,88 19 0,7065 0,44 10-3 0,44 On peut remarquer que le coefficient d'amortissement # calculé par la formule exacte (8) est très voisin de la valeur théorique 1/#2= 0,7071 d'un filtre de Butterworth. La dernière colonne du tableau ci-dessus indique la valeur de la fréquence de coupure numérique fc' pour une fréquence d'échantillonnage de 1000 Hz.On remarque que fc' diminue à peu près de moitié quand n passe à n+2. Ceci est dû au fait que,le coefficient A est proche de quand n est grand. Les Figs. 12 et 13 montrent respectivement les courbes de réponse en amplitude des filtres nummériques passe-haut et de réjection de l'invention pour n = 13. Les principes et les méthodes de réalisation qui viennent être décrits ne sont pas seulement applicables à la synthèse de filtres numériques récursifs passe-bas du second ordre de type de Butterworth et à l'extension à des filtres passe-haut et de réjection. il est possible d'appliquer les principes et les méthodes de réalis--tion de l'invention à la synthèse de filtres de caractéristiques différentes, de Bessel ou de Legendre, par exemple. A titre exemple, nous décrivons maintenant comment effectuer la synthèse de filtres d'ordre quelconque à partir de la fonction de transfert en p d'un filtre passe-bas du premier ordre. Cet exemple conduit à des réalisations particulièrement simples. La fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre s'écrit H(p) = @ (27) et, par aplication de la transformation eonforme (2), la fonction en Z est égale à @ -1 H(z) = A 1 + Z @ (28) 1 - B1 z-1 &alpha; avec A= et B1 = 1 - 2A.Pour &alpha; = #c#t petit, on pose A=2-n &alpha;+1 avec n grand et la relation de récurrence s'écrit : 2n yi = (2n - 2) yi-1 + xi + xi-1 (29) La fréquence angulaire de coupure est donnée par f #c = ## # # # 2-n fe (30) Le filtre passe-bas, du premier ordre, à coefficient en puissance de deux ainsi construit est particulièrement simple puisqu'il ne nécessite que 3 additions en plus des décalages effectuant les multiplications et que l'on peut réaliser par cablage.La mise en série de deux modules du premier ordre donne un filtre du second ordre dont le coefficient d'amortissement # est égal à l'unité. Du point de vue de la vitesse de calcul, le filtre résultant de la mise en série de deux modules du premier ordre est un peu plus rapide que le filtre du second ordre de Butterworth décrit tout au long de l'invention, puisqutil ne nécessite que 6 additions au lieu de 7. A partir du filtre passe-bas du premier ordre ohéissant à la relation de récurrence (29), on construit, comme dans le cas décrit d'un filtre du second ordre, un filtre passe-haut dont la formule de récurrence s'écrit : 2nyi = (2n-2) yi-1 + 2nxi-2n xi-1 (31) La méthode de synthèse des filtres numériques récursifs à coefficients en puissance de deux de l'invention est donc très générale. Dans une réalisation préférentielle, on peut modifier, en temps réel, les caractéristiques du filtre utilisé. On peut augnenter la fréquence de coupure d'un filtre passe-bas pendant une transition brusque du signal à filtrer, puis le ramener à une valeur plus faible lorsque le signal est de nouveau stabilisé. Ce mode d'exploitation est particulièrement intéressant lorsque l'on désire opérer un filtrage sur une voie de mesure commutée. Suivant les besoins, on peut inclure un convertisseur analogi- que-numérique au module de filtrage numérique de l'invention, cotte on peut le voir dans la réalisation préférentielle de la Fig. 3. Une sortie analogique peut également être prévue pour permettre l'observation du signal filtré sur un oscilloscope. Dans le cas de filtrage passe-bas, on peut adapter la cadencs- de sortie des informations filtrées à la bande passante du signal utile, ce qui peut conduire -à une réduction importante du nombre de données à transmettre. C'est pourquoi le champ de la présente invention ne doit pas être restreint aux réalisations préférentielles décrites, mais ne peut être limité que par les revendications données en appendice. -REVENDICATIONS 1 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combi- naison réduite de puissances de deux, comprenant deux groupes d'au plus trois mémoires, le premier groupe de mémoires Mi, M. et Mi 2 et le deuxième groupe-de mémoires Mi', M' 1 et Mi-2' mémorisant respectivement les échantillons numérisés du signal d'entrée et du signal filtré du dernier instant de numérisation et au plus des deux instants de numérisation précédents consécutifs, comprenant de plus trois organes de multiplication et un moyen de sommation, les sorties du premier et du deuxième groupes de mémoires étant reliées respectivement, par le premier et le deuxième organes de multiplication, aux entrées du moyen de sommation, la sortie du moyen de sommation étant reliée par le troisième organe de multiplication à la sortie du filtre et l'entrée de la mémoire Mi' étant connectée, soit à la sortie du filtre, soit à la sortie du moyen -de sommation, caractérisé en ce que le premier organe de multiplication comprènd au plus deux moyens de multiplication mi connectés à la mémoire Mi, au plus trois moyens de multiplication mi 1 connectés à la mémoire Mi 1' au plus deux moyens de multiplication mi-2 2 connectés à la mémoire Mi 2' en ce que le deuxième organe de multiplication comprend deux moyens de multiplication m' i-l connectés en parallèle à la mémoire M' 1 et trois moyens de multiplication m'i 2 connectés en parallèle à la mémoire M' 2 lesdits moyens de multiplication étant respectivement associés à des registres de coefficients contenant chacun une seule puissance de deux particulière fixée une fois pour toutes et caractérisé de plus en ce que le troisième organe de multiplication comprend un moyen de multiplication associé à un registre de coefficients contenant la valeur 2-n où n est un nombre entier assez grand devant l'unité 2 - Un filtre numérique récursif, à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme à la revendication I, caractérisé en ce que, l'entrée de la mémoire M'i étant connectée à la sortie du filtre, les registres de coefficients associés aux deux moyens de multiplication m' i-1 et aux trois moyens de multiplication mi-2' contiennentrespectivement 2n+1, -2### n+3 -2n, 22 et-22 , et caractérisé de plus en ce que les moyens de multiplication mi, mi 1 et mi-2 2 sont chacun au nombre de un et en ce que les registres de coefficients associés contiennent respectivement les valeurs 20, 21 et 20, ledit nombre n étant un entier impair. 3 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme à la revendication 1 caractérisé en ce que, l'entrée de la mémoire M' étant connectée à la sortie du filtre, les registres de coefficients associés aux deux moyens de multiplication m' 1 et aux trois moyens de multiplication mi-2' contienentrespectivement 2n+1, -2###, -2n, 2n+3/2 et -22, et caractérisé de plus en ce que les moyens de multiplication mi, mi-1 et mi-2 sont chacun au nombre de un et en ce que les registres de coefficients associés contiennent respec tivement les valeurs 2n, et 2n+1 et 2n, ledit nombre n étant un entier impair. 4 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme à la revendication 1, caractérisé en ce que, l'entrée de la mémoire M'i étant connectée à la sortie du filtre, les registres de coefficients associés aux deux moyens de multiplication mi-1' et aux trois moyens de multi plication mi-2' contiennent respectivement 2n+1, -2n+3/2, -2n, 2n+3/2 et -22 et caractérisé de plus en ce que les moyens de multiplica tion mi et mi 2 sont chacun au nombre de un, les registres de coefficients associés contenant la même valeur 2n et en ce que les moyens de multiplication mi 1 sont au nombre de deux et montés en parallèle, leurs registres de ooefficients associés contenant respectivement -2n+1 et 22, ledit nombre n étant un entier impair. 5 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme à la revendication 1, caractérisé en ce que, l'entrée de la mémoire M'i étant connectée à la sortie dudit moyen de sommation, les registres de coefficients associés aux deux moyens de multiplication m' 1 et aux trois moyens de multiplication m' i-2 contienent respectivement 21, 1-2 3-n/2 , -20, 23-n/2 et -22-n et caractérisé de plus en ce que les moyens de multiplication mi, mi 1 et mi-2 sont chacun au nombre de un et en ce que les registres de coefficients associés contiennent respectivement les valeurs 20, 21 et 20, ledit nombre n entier assez grand devant l'unité étant un nombre impair. 6 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme à la revendication 1, caractérisé en ce que, l'entrée de la mémoire M'i étant connectée à la sortie dudit moyen de sommation, les registres de coefficients associés aux deux moyens de multiplication m' i-1 et aux trois moyens de multiplication mi-2' contiennent respectivement 21, -23-n/2, -20, 23-n/2 et -22-n, et caractérisé de plus en ce que les moyens de multiplication mi, mi 1 et mi 2 sont chacun au nombre de un et en ce que les registres de coefficients associés contiennent respectivement les valeurs 2n, -2n+1 et 2n, ledit nombre n entier assez grand devant l'unité étant un nombre impair. 7 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme à la revendication 1, caractérisé en ce que, l'entrée de la mémoire M'i étant connectée à la sortie dudit moyen de sommation, les registres de coefficients associés aux deux moyens de multiplication m' i-1 et aux trois moyens de multiplication mi-2' contiennent respectivement 21, -23-n/2 , -20, 23-n/2 et -22-n , caractérisé de plus en ce que les moyens de multiplication mi et mi-2 @ sont chacun au nombre de un, les registres de coefficients associés contenant la méme valeur 2n et en ce que les moyens de multiplication mi-1 sont au nombre de deux et montés en parallèle, leurs registres de coefficients @@@@@@@@ @@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@ @@@ @@@@@@@ -2n+1 et 22, ledit associés contenant respectivement les valeurs -2 nombre n entier assez grand devant l'unité étant un nombre impair. 8 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme aux revendications 2 à 7, caractérisé en ce que le premier organe de multiplication comprend de plus un sélecteur de fonctions à trois positions sélectionnant des fonctions passe-bas, passe-haut et de réjection du filtre, en ce que le sélecteur placé sur la position passe-bas sélectionne un moyen de 'multiplication mi associé à un registre de coefficient contenant la valeur 20, un moyen de multiplication mi 1 associé à un registre de coefficient contenant la valeur 2 et un moyen de multiplication mi-2 associé à un registre de coefficient contenant la valeur 20, en ce que le sélecteur placé sur la position passe-haut sélectionne un moyen de multiplication mi as n socié à un registre de coefficient contenant la valeur 2 , un moyen de multiplication mi 1 associé à un registre de coefficient contenant la valeur -2n+1, et un moyen de multiplication mi-2 associé à un registre de coefficient contenant la valeur 2 , et en ce que le sélecteur placé sur la position de réjection sélectionne un moyen de multiplication mi associé à un registre de coeffi n cient contenant la valeur 2 , deux moyens de multiplication mi montés en parallèle et associés à leurs registres de coefficients contenant respectivement les valeurs -2n+1 et 22, et un moyen de multiplication mi-2 associé à un registre de coefficient contenant la valeur 2n. 9 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme aux revendications 2 à 7, caractérisé en ce que le premier organe de multiplication comprend de plus un sélecteur de fonctions à trois positions sélectionnant des fonctions passe-bas, passe-haut et de réjection du filtre ainsi qu'un sélecteur de gain du filtre pour chacune de ces fonctions, ce gain étant déterminé par la sélection d'un nombre entier k, caractérisé de plus en ce que les moyens de.multiplications m. et mi 2 sont chacun au nombre de un, les registres de coefficients associés contenant la même valeur 2k et en ce que les moyens de multiplication mi 1 sont au nombre de deux et montés en parallèle, les registres de coefficients étant associés eux-memes au sélecteur de fonction pour prendre respectivement, sur les positions passe-bas, passe-haut et de réjection, les couples de valeurs 2k+1,0 ; -2k+1, 0; -2k+1, 2k-n+2. 10 - Un-filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme à la revendication 9, caractérisé en ce que ledit nombre entier k prend les deux valeurs déterminées zéro et n. 11 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme à la revendication 1, caractarisé en ce que les mémoires Mi 2 et M'i 2 sont éliminées du montage ainsi que les moyens de multiplication mi-2 et mi-2' qui y sont connectés, en ce que les moyens de multiplications m. et m. 1 sont chacun au nombre de un, les registres de @ @@@ coefficients associés contenant la méme valeur 20 ou les valeurs ou -2n, et en ce que les registres de coefficients associés aux deux moyens de multiplication m' i-l contiennent respectivement les valeurs choisies parmi le couple 2n et -2 ou le couple 20 et -21-n suivant que l'entrée de la mémoire M'. est connectée à l & sortie du filtre ou à la sortie du moyen de sommation. 12 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme aux revendications 1 à Il, caractérisé en ce que lesdits moyens de multiplication associés respectivement à des registres de coefficients contenant chacun une puissance de deux particulière, sont des registres à décalage convenablement culés aux sorties des mémoires pour tenir compte du signe des coefficients si la puissance de deux est différente de 20 et de simples lignes de connexion si la puissance de deux est 20. 13 - Un filtre numérique récursif à coefficients en combinaison réduite de puissances de deux, conforme aux revendications 1 à 8 et 11, caractérisé en ce que lesdits moyens de multiplication associés respectivement à des registres de coefficients contenant chacun une puissance de deux particulière, consistent en des câblages des sorties des mémoires sur une ligne commune "omnibus" de transfert de données entrant dans ledit moyen de sommation, les cabrages étant réalisés avec des décalages de bits correspondant aux puissances de deux particulières contenues dans les registres de coefficients et le moyen de sommation étant piloté par un séquenceur qui tient compte du signe des coefficients.