Brevet FR2291539A1 — publié le 19760611

La présente invention concerne les instruments du type "règle à calcul" mais permet en outre de trouver les racines des équations du troisième et deuxième degré. Les règles à calcul existantes permettent de resoudre plusieures opérations mathématiques, mais aucune d'elles ne permet de trouver les solutions approximatives des équations du troisième et deuxième degré. Le dispositif suivant l'invention permet de résoudre des équations du troisième et deuxième degré.Les solutions de ces équations (3e degré) sont souvent particulièrement longues et difficiles à trouver en pratique. Cette nouvelle règle permettra d'obtenir les solutions, rapidement, facilement et avec une présicion suffisante pour les ingénieurs et les techniciens. Le dispositif objet de l'invention comporte un plateau rectangulaire, opaque, de surface plane, sur lequel sont dessinés les graphes des équations hyperboliques de la forme + D/X. (D variant de ± Ix 10 â +20) dans un repère orthonormé d'axes OX et OY. Le plateau est muni de deux guides fixes sur ses côtes les plus longues, guides qui permettent le coulissage d'un cadre parallèlement à l'axe OY. Ce cadre supporte un curseur de matière transparente pouvant glisser sur lui et parallèlement à l'axe OX. Sur ce curseur transparent est gravé le graphe de la parabole Y = X2; En résumé, nous avons donc un plateau de base, un cadre et un curseur transparent pouvant glisser par rapport au plateau dans les deux directions perpendiculaires OX et OY. I1 suffit, pour qu'il soit complet, à adjoindre à ce dispositif un second curseur transparent sur lequel sera gravé une ligne droite de direction OY. Ce dernier surseur peut se déplacer par rapport au plateau dans les mêmes conditions que celui, porteur de la parabole; c'est-à-dire, suivant les deux directions perpendiculaires OX et OY. Si on a une équation du troisième degré de la forme générale + Ax3 + Box2 + Cx f D = 0, pour pouvoir employer la règle, on sera obligé de la diviser par Ax afin d'obtenir la forme suivante 2+3 +C+D + x x Ax Posons : + B/A = + b; i C/A = + c; + D/A = f d On aura : x # bx # c # d/x. L'équation du troisième degré est ainsi transformée en une parabole x # bx # c et une hyperbole # d/x.Pour ob- tenir la solution de cette équation transformée, il suffit de déplacer le 2 sommet de la parabole Y = x de la règle, sur l'axe OX d'une valeur de +b/2 (si le coefficient b est positif, le déplacement se fera à gauche de l'origine du système XOY.Si le coefficient b est négatif, le déplacement se fera à droite de l'origine du système XOY). Après ce premier déplacement horizontal, on déplace la parabole y = x verticalement vers le bas afin qu'elle coupe l'axe 0X avec ses deux branches, aux points (0;0) et (+ b;o). Le troisième déplacement de la parabole y = x sera également verticale pour la valeur du coefficient ± c.Si le coefficient c est négatif on déplace la parabole vers le bas, et Si la valeur du coefficient c est positif, vers le haut, dans une position telle qu'une branche de la parabole coupe l'axe 0Y au point - c; o. Ainsi on obtient la position définitive de la parabole. On estime les intersection de la parabole ainsi placée, avec l'hyperbole # d dont x signe est changé. Le curseur avec la ligne verticale permet de lire les projections des intersections de la parabole et de lthyperbole sur l'axe OX et ces projeetions sont des racines cherchées -de l'équation du troisième degré, considérée. Pour les équations du deuxième degré ou bicarrées (transformées en deuxième degré) on répète le même procédé, seulement on regardera les intersections de la parabole avec OX l'axe. Ces intersections seront les racines cherchées de 1'équation du deuxième degré considérée. Une difficulté d'utilisation de la règle réside dans le fait que les coefficients A, 3, C et le membre libre D d'une équation donnée, peuvent prendre des valeurs quelconques et en particulier des valeurs très grandes, ou, au contraire, très petites qui ne figurent pas sur la règle; pour ces cas particuliers, nous donnons ci-après une méthode génE- rale qui permet de surmonter facilement ce type de problème. Prenons une équation du troisième degré déjà transformée par la division par AX en une parabole et une hyperbole et supposons que les coefficients + b; + c et + d soient trop grands ( ou trop petits); il suffit alors de les diviser (ou les multiplier) par un nombre m convenablement choisi afin de ramener ces coefficients à des valeurs acceptables pour la règle. Prenons un exemple Soit une équation du troisième degré qui après division par AX donne x - bx - c + d/x. Supposons que les coefficients ± b; - c et - d soient trop grands. Nous les diviserons respectivement par m, m, m . Si au contraire ils sont trop petits, nous les multiplierons par m, m, m3 Ce qui donnera : x # b/mx # c/m2 # d/m3 . 1/x ou : x # bmx # cm # dm . 1 x m étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire, choisi uniquement en fonction de la grandeur de - b; - c; et - d, afin qu'il ramène ces coefficients à des valeurs acceptables pour la règle. De manière générale, l'utilisation de la règle exige que le coefficient A de terme en X2 soit toujours égal à 1; - c'est la raison de la division par Ax. Après avoir trouvé les racines de l'équation du troisième degré transformée par la multiplication ou la division de ses coefficients par 23 m, m , m3, il faut, afin d'obtenir les racines de l'équation de départ, diviser ou multiplier les valeurs lues sur la règle, par m. De la même manière pour une équation du deuxième degré (ou une équation bicarrée) transformée par la multiplication (ou la division) de 2 ses coefficients par m, m , il faut, afin d'obtenir les racines de l'équation de départ, diviser (ou multiplier) les valeurs lues sur la règle par m. Si une équation donnée du troisième degré (ou du deuxième degré) a l'un de ses coefficients (+ b; -c ou - d) nul, la règle générale de multiplication (ou division) des coefficients s'applique néanmoins mais il faut prendre garde dans ce cas d'affecter à chaque coefficient le multiplicateur (ou le diviseur) qui lui correspond, à savoir : 2 + 3 n3pour + m pour + b; m pour - c; et m3pour - d. Par exemple, si dans une équation du troisième degré donnée, le coefficient i b est nul, c'est le nombre m que sera éliminé pour la 2 3 multiplication(ou la division); seuls m et m3 serviront à ramener les coefficients - c et - d à des valeurs convenables.En revanche, c'est toujours par le nombre m qu'il faudra multiplier ou diviser les valeurs lues sur la règle pour obtenir les racines de l'équation de départ. Le dessin annexé illustre à titre d'exemple, un mode de réalisation du dispositif conforme à la présente invention. Tel qu'il est représenté, le dispositif comporte un plateau de base sur lequel sont dessinés les graphes des courbes hyperboliques 1, un cadre rectanulaire 2, un premier curseur transparent sur lequel est 2 gravé le graphe de la parabole y = x 3, et un deuxième curseur transpa- rent doté dtune ligne verticale 4. Ce nouvel instrument de travail obtiendrait les faveurs d'un très grand nombre et particulièrement de tous ceux qui de près ou de loin, utilisent des mathématiques et la physiique dans leur travail. D'ailleurs, les possibilités de ce nouvel instrument ne s'arrètent pas à la résolution des équations citées ci-dessus, mais-il permet, en effet, de résoudre une dizaine d'opération mathématiques. REVENDICATIONS 1. Instrument permettant la résolution des -équations du troisième et deuxième degré. Caractérisé par le fait qu'il comporte un plateau fixe sur lequel sont gravées les courbes hyperboliques dans système XOY. 2. Dispositif selon revendication 1. Caractérisé par le fait que sur le plateau glisse un cadre porteur de deux curseurs, superposés transparents en plexiglass. 3. Dispositif selon la revendication 2. Caractérisé par le fait que les deux curseurs sur lesquels sont gravées 2 la parabole y = x (sur l'un) et la ligne verticale (sur l'autre) se déplacent par rapport au plateau de base suivant les deux directions perpendiculaires, OX et OY du plan. 4. Dispositif selon la revendication 3. Caractérisé par le fait que les deux déplacements mentionnés ci-dessus 2 permettent de trouver les intersections de la parabole y = x et d'une hyperbole donnée, à savoir, les racines d'une équation du troisième degré. 5. Dispositif selon la revendication 4. Caractérisé par le fait que ces deux déplacement permettent de trouver les racines d'une équation du deuxième degré dans les intersections de 2 la parabole y = x avec l'axe OX.