Νοεροί υπολογισμοί

Οι νοεροί υπολογισμοί είναι μαθηματικές πράξεις που εκτελούνται μόνο με το νου χωρίς τη βοήθεια κανενός εργαλείου. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πολλές περιπτώσεις της καθημερινής ζωής αλλά και της επιστήμης και για έλεγχο των αποτελεσμάτων των υπολογιστών. Από το 2004 έχει καθιερωθεί ένα παγκόσμιο πρωτάθλημα νοερών υπολογισμών. Ο νικητής του πρόσφατου διαγωνισμού υπολόγισε νοερά ακριβώς την 13η ρίζα ενός 200-ψήφιου αριθμού σε χρόνο 1΄ και 28΄΄ . Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για εκτέλεση νοερών υπολογισμών, όπως φαίνεται στη παρατιθέμενη βιβλιογραφία. Στη παρούσα μελέτη παρουσιάζονται ορισμένες τεχνικές οι οποίες αναλύονται με πλήθος παραδειγμάτων ώστε να γίνονται κατανοητές από τον κάθε ενδιαφερόμενο. Με τη βοήθεια ορισμένων βασικών μαθηματικών ισοτήτων π.χ. των ταυτοτήτων ή κάποιων κατάλληλων μετασχηματισμών, μπορούμε γρήγορα και με ακρίβεια να εκτελούμε υπολογισμούς, οι οποίοι με τις γνωστές συμβατικές μεθόδους φαίνονται δύσκολο ή και αδύνατο να εκτελεστούν νοερά. Εν συνεχεία, χρησιμοποιώντας ορισμένους απομνημονευμένους αριθμούς-κλειδιά μετατρέπουμε κάθε αριθμό – οσοδήποτε μεγάλο – στην αντίστοιχη δεκαδική δύναμη του 10 κατά προσέγγιση, εργαζόμαστε με ευκολία μόνο στον εκθέτη του αριθμού και με τον τρόπο αυτό είμαστε σε θέση να εκτελούμε με σχετική ευκολία νοερούς υπολογισμούς με τεράστιους αριθμούς.

 Ταυτότητα (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 Εφόσον κάθε αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο άλλων αριθμών, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε την παραπάνω ταυτότητα και να υπολογίζουμε με ευκολία αριθμούς πολύ μεγαλύτερους του 10 υψωμένους στο τετράγωνο. Τετράγωνα των αριθμών 25, 62, 107, 315 Λύση: 252 = (20 + 5)2 = 202 + 2x20x5 + 52 = 400 + 200 + 25 = 625 622 = (60 + 2)2 = 602 + 2x2x60 + 22 = 3600 + 240 + 4 = 3844 1072 = (100 + 7)2 = 1002 + 2x100x7 + 72 = 10000 + 1400 + 49 = 11449 3152 = (300 + 15)2 = 3002 + 2x15x300 + 152 = 90000 + 9000 + 225 = 99225 9052 = (900 + 5)2 = 9002 +2x5x900 + 52 = 810000 + 9000 + 25 =819025 (Σημείωση: για 152 βλ. πίνακα 1). Τα τετράγωνα των αριθμών 11-19 παρατίθενται στον πίνακα 1. Συνιστάται η απομνημόνευσή τους, ειδάλλως αυτά μπορούν να υπολογιστούν γρήγορα με την ίδια διαδικασία σύμφωνα με τα παραπάνω. Πίνακας 1: Τετράγωνα των αριθμών 11-19. 112 = (10 + 1)2 = 121 122 = (10 + 2)2 = 144 132 = (10 + 3)2 = 169 142 = (10 + 4)2 = 196 152 = (10 + 5)2 = 225 162 = (10 + 6)2 = 256 172 = (10 + 7)2 = 289 182 = (10 + 8)2 = 324 192 = (10 + 9)2 = 361 Τετράγωνα των δεκαδικών αριθμών 12.5 και 100.7 Λύση: 12.52 = (12 + 0.5)2 = 122 + 2x0.5x12 + 0.52 = 144 + 12 + 0.25 = 156.25 100.72 = (100 + 0.7)2 = 1002 +2x0.7x100 + 0.72 = 10000 + 140 + 0.49 = 10140.49 Ταυτότητα (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2 Μπορούμε να γράψουμε έναν αριθμό σαν διαφορά δύο άλλων αριθμών, τα τετράγωνα των οποίων είναι γνωστά ή μπορούν εύκολα να υπολογιστούν. Τετράγωνα των 29, 78, 145 και 99.83 Λύση: 292 = (30 – 1)2 = 302 – 2x1x30 + 12 = 900 - 60 + 1 = 841 782 = (80 – 2)2 = 802 – 2x2x80 + 22 = 6400 – 320 + 4 = 6084 1452 = (150 – 5)2 = 1502 - 2x5x150 +52 = 22500 – 1500 + 25 = 21025 99.832 = (100 – 0. 17)2 = 1002 - 2x0.17x100 + 0.172 = 10000 – 34 + 0.0289 = 9966.0289 Ταυτότητα (α – β)(α + β) = α2 – β2 Με τη βοήθεια αυτής της ισότητας μπορούμε να εκτελέσουμε ταχύτατα πολλαπλασιασμό διάφορων αριθμών. Εκτέλεση πολλαπλασιασμών των 27x33, 34x46, 115x125 και 98.7x101.3 Λύση: 27x33 = (30 – 3)(30 + 3) = 302 – 32 = 900 – 9 = 891 34x46 = (40 – 6)(40 + 6) = 402 – 62 = 1600 – 36 = 1564 115x125 = (120 - 5)(120 + 5) = 1202 – 52 = 14400 – 25 = 14375 98.7x101.3 = (100 – 1.3)(100 + 1.3) = 1002 – 1.32 = 10000 – 1.69 = 9998.31 (Σημείωση: 1.32 ισούται με 132 διαιρούμενο δια 100, πίνακας 1). Ταυτότητα (α + β)(α + γ) = α2 + (β + γ)α + βγ Ζητούνται οι υπολογισμοί 13x14, 73x77, 907x908 και 100.7x100.8 Λύση: 13x14 = (12 + 1)(12 + 2) = 122 + (1 + 2)x12 + 1x2 = 144 + 36 + 2 = 182 73x77 = (70 + 3)(70 + 7) = 702 + (3+7)x70 + 3x7 = 4900 + 700 + 21 = 5621 907x908 = (900 + 7)(900 + 8) = 9002 + (7+8)x900 + 7x8 = 810000 + 1350 + 56 = 811406 100.7x100.8 = (100 + 0.7)(100 + 0.8) = 1002 + (0.7+0.8)x100 + 0.7x0.8 = 10000 + 150 + 0.56 = 10150.56 Πολλαπλασιάζοντας διπλανούς αριθμούς Εάν οι προς πολλαπλασιασμό αριθμοί είναι διπλανοί, μπορούμε να βρούμε το τετράγωνο του ενός αριθμού και να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κατάλληλα. Εστω οι πολλαπλασιασμοί 13x14 και 13x15 Λύση: 13x14 = 132 + 1x13 = 169 + 13 = 182 ή 13x14 = 142 – 1x14 = 196 – 14 = 182 13x15 = 132 + 2x13 = 169 + 26 = 195 ή 13x15 = 152 - 2x15 = 225 – 30 = 195 Πολλαπλασιάζοντας επί 10 ή 100 Πολλαπλασιάζοντας επί 10 ή 100 είναι πολύ εύκολο. Αρκεί να προσέξουμε εάν ένας τέτοιος κατάλληλος μετασχηματισμός - απλοποίηση μπορεί να εφαρμοστεί. Εστω οι πολλαπλασιασμοί 52x97, 11x5x8x2 και 30x25x8x4 Λύση: 52x97 = 52x(100 – 3) = 5200 – 156 = 5044 11x5x8x2 = 11x8x10 = 88x10 = 880 30x25x8x4 = 30x8x100 = 240x100 = 24000 Μια νέα προσεγγιστική μέθοδος παρουσιάζεται εδώ για νοερές πράξεις με μεγάλους έως τεράστιους αριθμούς π.χ. εύρεση εκθετικών, δυνάμεων, λογαρίθμων, ριζών και εκτέλεση πολλαπλασιασμών ή διαιρέσεων. Τα απαραίτητα βήματα της όλης διαδικασίας είναι: α. Γραφή του αριθμού σε επιστημονική σημειογραφία. β. Μετατροπή των συντελεστών σε δεκαδικές δυνάμεις του 10 με τη βοήθεια του πίνακα 2. γ. Εκτέλεση πράξεων στον εκθέτη. δ. Μετατροπή της επιστημονικής σημειογραφίας σε κανονικό αριθμό (εάν απαιτείται). Ο πίνακας 2 δίνει τις δεκαδικές δυνάμεις του 10 και τους αντίστοιχους αριθμούς. Με τη βοήθεια των αριθμών αυτών κάθε αριθμός - όσονδήποτε μεγάλος - μπορεί κατά προσσέγγιση να μετατραπεί σε δεκαδική δύναμη του 10 για εύκολες εκτελέσεις νοερών υπολογισμών. Οι παρατιθέμενοι αριθμοί του πίνακα 2 είναι αριθμοί – κλειδιά και πρέπει να απομνημονευτούν. Πίνακας 2. Δεκαδικές δυνάμεις του 10 με τους αντίστοιχους αριθμούς 100,1 = 1.258 100,2 = 1.584 100,3 = 1.995 100,4 = 2.511 100,5 = 3.162 100,6 = 3.981 100,7 = 5.011 100,8 = 6.309 100,9 = 7.943 Για παράδειγμα, η επιστημονική σημειογραφία του αριθμού 125812 είναι 1,25812x105. Μια καλή προσέγγιση του αριθμού αυτού είναι 1,258x105. Σύμφωνα με τον πίνακα 2, ο συντελεστής 1,258 αντιστοιχεί στη δεκαδική δύναμη 100.1. Επομένως ο δεδομένος αριθμός μπορεί κατά προσέγγιση να γραφτεί ως δεκαδική δύναμη: 100.1 x 105 = 105,1. (Σημείωση: Για ακριβέστερη προσέγγιση, ο πίνακας 2 μπορεί να επεκταθεί με περισσότερες ενδιάμεσες δεκαδικές δυνάμεις του 10 και τους αντίστοιχους αριθμούς π.χ. 10 0,15, 100.25, κ.ο.κ.). Υψώνοντας μεγάλους αριθμούς στη ν-στή δύναμη Ακολουθώντας τη παραπάνω διαδικασία μπορούμε απεριόριστα να υψώσουμε μεγάλους αριθμούς σε οποιαδήποτε δύναμη. 2η, 3η, 11η και 20η δύναμη του 6-ψήφιου αριθμού 630912 Λύση: 630912 = 6.30912x105 ≈ 6,309x105 = 100,8 x 105 = 105,8επομένως 6309122 = (105,8)2 = 1011,6 = 100,6x1011 = 3,981x10116309123 = (105,8)3 = 1017,4 = 100.4 x 1017 = 2,511x101763091211 = (105,8)11 = 1063,8 = 100,8 x1063 = 6,309x106363091220 = (105,8)20 = 10116 Νοερός υπολογισμός της 10ης δύναμης του 15-ψήφιου αριθμού 158412554712399 Λύση: 158412554712399 = 1.58412554712399x1014 ≈ 1,584x1014 = 100,2x1014 = 1014,2και 15841255471239910 = (1014,2)10 = 10142(Σημείωση: Οι αριθμοί 63091220 = 10116 και 15841255471239910 = 10142 είναι τόσο μεγάλοι που ξεπερνούν τα όρια λειτουργίας του υπολογιστή τσέπης. Οι γνωστοί υπολογιστές τσέπης αδυνατούν να εκτελέσουν πράξεις με αριθμούς > 10100. Στους νοερούς υπολογισμούς δεν υπάρχουν όρια). Εξαγωγή ριζών. Για εξαγωγή τετραγωνικών, κυβικών ή υψηλοτέρων ριζών οσωνδήποτε μεγάλων αριθμών ακολουθούμε παρόμοια διαδικασία με τη βοήθεια του πίνακα 2, όπως στη προηγούμενη παράγραφο. Τετραγωνική ρίζα του 12-ψήφιου αριθμού 398122558833 Λύση: 398122558833 ≈ 3,981x1011 = 100,6x1011 = 1011.6 και 3981225588331/2 = (1011,6)1/2 = 105,8 = 100,8x105 = 6,309x105 5η ρίζα του 21-ψήφιου αριθμού 316211250077446688222 Λύση: 316211250077446688222 ≈ 3,162x1020 = 100,5x1020 = 10 20.53162112500774466882221/5 = (1020,5)1/5 = 104,1 = 100.1x104 = 1,258x104Πολλαπλασιασμός - διαίρεση Μπορούμε να εκτελούμε νοερά πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης με μεγάλους αριθμούς σύμφωνα με τη προαναφερθείσα διαδικασία και τη βοήθεια του πίνακα 2. Πολλαπλασιασμός 1258 επί 7943 και διαίρεση 5011000 δια 1584 Λύση: 1584x7943 = 1,584x103x7.943x103 = 100,2x103x100,9x103 = 107,1 = 100.1x107 = 1,258x107και 5011000 / 1584 = 5,011x106 / 1,584x103 = 100,7x106 / 100,2x103 = 106,7 / 103,2 = 103,5 = 100,5x103 = 3,162x103Λογάριθμοι Ο δεκαδικός λογάριθμος κάθε αριθμού είναι ο εκθέτης της δύναμης του 10 του αντίστοιχου αριθμού π.χ. 100 = 102 => log100 = log 102 = 2 Λογάριθμοι των 794301100 και 45112233 Λύση: log794301100 ≈ log(7,943x108) = log(100,9x108) = log108,9 = 8,9 log45112233 ≈ log(4,511x107) ≈ log(100.65x107) = log 107,65 = 7,65 (Σημείωση: ο αριθμός 4.511 βρίσκεται περίπου στο μέσο μεταξύ 3.981 (=100.6) και 5.011 (=100.7), επομένως αντιστοιχεί κατά προσέγγιση σε 100.65, βλ. πίνακα 2). Konstantinos Dermentzis, Technological Education Institute (Τ.Ε.Ι.) of Kavala, Mental Calculations - Appications in Chemistry, www.teikav.edu.gr/gdp. Κωνσταντίνος Δερμεντζής, Νοεροί υπολογισμοί στη χημεία, www.teikav.edu.gr/gdp. R.W. Dorfler, Dead reckoning: Calculating without Instruments, Houston, Texas,Gulf Publishing Company, (1993). A. Benjamin, M. Shermer, Secrets of mental Math: The Mathemagicians Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks, Random House, Inc., New York, Crown Publishing Group, (2006). G.W. Kelly , Short-cut Mathematics, Dover Publications, (2003). S.B. Smith, The Great Mental Calculators, New York: Columbia University Press, (1983).