Στίβεν Σμέιλ

Ο Στίβεν Σμέιλ (Stephen Smale, γεννήθηκε στις 15 Ιουλίου 1930) είναι Αμερικανός μαθηματικός, γνωστός για την έρευνά του στην τοπολογία, τα δυναμικά συστήματα και τα οικονομικά μαθηματικά. Του τιμήθηκε με το μετάλλιο Φιλντς το 1966 και πέρασε περισσότερες από τρεις δεκαετίες στη μαθηματική σχολή του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας στο Μπέρκλεϊ (1960-1961 και 1964-1995), όπου σήμερα είναι ομότιμος καθηγητής, με ερευνητικά ενδιαφέροντα στους αλγορίθμους, την αριθμητική ανάλυση και τη σφαιρική ανάλυση.

 Ο Σμέιλ γεννήθηκε στο Φλιντ του Μίσιγκαν και εισήχθη στο Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν το 1948. Στην αρχή ήταν καλός μαθητής, καθώς είχε πάρει άριστα σε μια σειρά μαθημάτων μαθηματικών που δίδασκε ο Μπομπ Θραλ. Ωστόσο, το δεύτερο και το τρίτο έτος σημαδεύτηκαν από κακούς βαθμούς, κυρίως B, C και ακόμη και ένα F στην πυρηνική φυσική. Ωστόσο, με λίγη τύχη, ο Σμέιλ έγινε δεκτός ως μεταπτυχιακός φοιτητής στο τμήμα μαθηματικών του Πανεπιστημίου του Μίσιγκαν. Για άλλη μια φορά, ο Σμέιλ έπαιρνε κακή βαθμολογία με μέσο όρο το Γ ως μεταπτυχιακός φοιτητής. Όταν ο πρόεδρος του τμήματος, Hildebrandt, απείλησε τον Σμέιλ με αποβολή, αποφάσισε να πάρει τις σπουδές του στα σοβαρά. Ο Σμέιλ πήρε τελικά το διδακτορικό του το 1957, υπό τη διεύθυνση του Ραούλ Μποτ, και ξεκίνησε την καριέρα του ως καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο. Στις αρχές της καριέρας του, ο Σμέιλ ενεπλάκη σε μια αντιπαράθεση σχετικά με τα σχόλια που έκανε για τις εργασιακές του συνήθειες κατά την απόδειξη της εικασίας Πουανκαρέ σε υψηλή διάσταση. Ισχυρίστηκε ότι η καλύτερη δουλειά του είχε γίνει "στις παραλίες του Ρίο". Στο παρελθόν έχει δραστηριοποιηθεί πολιτικά σε διάφορα κινήματα, όπως το κίνημα για την ελευθερία του λόγου. Το 1966, αφού ταξίδεψε στη Μόσχα με υποτροφία του NSF για να παραλάβει το μετάλλιο Φιλντς, παραχώρησε εκεί συνέντευξη Τύπου για να καταγγείλει την αμερικανική θέση στο Βιετνάμ, τη σοβιετική επέμβαση στην Ουγγαρία και τη σοβιετική κακομεταχείριση των διανοουμένων. Μετά την επιστροφή του στις ΗΠΑ, δεν μπόρεσε να ανανεώσει την υποτροφία του. Κάποια στιγμή κλήθηκε από την Επιτροπή Αντιαμερικανικών Δραστηριοτήτων της Βουλής των Αντιπροσώπων. Το 1960 ο Σμέιλ έλαβε υποτροφία Σλόαν και διορίστηκε στη Μαθηματική Σχολή του Μπέρκλεϊ, ενώ τον επόμενο χρόνο έγινε καθηγητής στο Κολούμπια. Το 1964 επέστρεψε στο Μπέρκλεϊ, όπου πέρασε το μεγαλύτερο μέρος της καριέρας του. Έγινε ομότιμος καθηγητής στο Μπέρκλεϊ το 1995 και ανέλαβε καθηγητής στο Δημοτικό Πανεπιστήμιο του Χονγκ Κονγκ. Έχει επίσης συγκεντρώσει με την πάροδο των ετών μία από τις καλύτερες ιδιωτικές συλλογές ορυκτών που υπάρχουν. Πολλά από τα ορυκτά δείγματα του Σμέιλ υπάρχουν στο βιβλίο The Smale Collection: Beauty in Natural Crystals (Η συλλογή Σμέιλ: Η ομορφιά των φυσικών κρυστάλλων). Από το 2003 έως το 2012, ο Σμέιλ ήταν καθηγητής στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Τογιότα στο Σικάγο.Από την 1η Αυγούστου 2009, έγινε διακεκριμένος καθηγητής στο Δημοτικό Πανεπιστήμιο του Χονγκ Κονγκ. Το 1988, ο Σμέιλ έλαβε το βραβείο Chauvenetαπό το MAA. Το 2007, ο Σμέιλ τιμήθηκε με το Βραβείο Βόλφ στα Μαθηματικά. Ο Σμέιλ απέδειξε ότι η προσανατολισμένη ομάδα διαφορμορφισμού της δισδιάστατης σφαίρας έχει τον ίδιο τύπο ομοτοπίας με την ειδική ορθογώνια ομάδα των πινάκων 3 × 3. Το θεώρημα του Σμέιλ έχει αναπαραχθεί και επεκταθεί μερικές φορές, κυρίως σε υψηλότερες διαστάσεις υπό τη μορφή της εικασίας του Σμέιλ, καθώς και σε άλλους τοπολογικούς τύπους . Σε ένα άλλο από τα παλαιότερα έργα του, μελέτησε τις βυθίσεις της δισδιάστατης σφαίρας στον ευκλείδειο χώρο. Συνδέοντας τη θεωρία των βυθίσεων με την αλγεβρική τοπολογία των πολλαπλοτήτων Stiefel, μπόρεσε να αποσαφηνίσει πλήρως πότε δύο βυθίσεις μπορούν να παραμορφωθούν η μία στην άλλη μέσω μιας οικογένειας βυθίσεων. Από τα αποτελέσματά του προκύπτει άμεσα ότι η τυπική βύθιση της σφαίρας στον τρισδιάστατο χώρο μπορεί να παραμορφωθεί (με βυθίσεις) στην άρνησή της, η οποία είναι πλέον γνωστή ως εμβύθιση της σφαίρας. Επίσης, επέκτεινε τα αποτελέσματά του σε σφαίρες υψηλότερων διαστάσεων, και ο διδακτορικός του φοιτητής Μόρις Χιρς επέκτεινε την εργασία του σε βυθίσεις γενικών λείων πολλαπλών. Μαζί με το έργο του Τζον Νας για τις ισομετρικές εμβυθίσεις, η θεωρία των Hirsch-Smale για τις εμβυθίσεις είχε μεγάλη επίδραση στο πρώιμο έργο του Μιχαήλ Γκρόμοφ για την ανάπτυξη της h-αρχής, το οποίο αφαίρεσε και εφάρμοσε τις ιδέες τους σε άλλα πλαίσια εκτός από τις εμβυθίσεις . Στη μελέτη των δυναμικών συστημάτων, ο Σμέιλ εισήγαγε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως σύστημα Μορς-Σμέιλ.Για αυτά τα δυναμικά συστήματα, ο Σμέιλ κατάφερε να αποδείξει ανισότητες Μορς που συνδέουν τη συνομολογία του υποκείμενου χώρου με τις διαστάσεις των (μη) σταθερών πολλαπλών. Μέρος της σημασίας αυτών των αποτελεσμάτων προέρχεται από το θεώρημα του Σμέιλ που ισχυρίζεται ότι η ροή κλίσης οποιασδήποτε συνάρτησης Μορς μπορεί να προσεγγιστεί αυθαίρετα καλά από ένα σύστημα Μορς-Σμέιλ χωρίς κλειστές τροχιές. Χρησιμοποιώντας αυτά τα εργαλεία, ο Σμέιλ μπόρεσε να κατασκευάσει αυτο-δείκτες συναρτήσεων Μορς, όπου η τιμή της συνάρτησης ισούται με τον δείκτη Μορς σε κάθε κρίσιμο σημείο. Χρησιμοποιώντας αυτές τις συναρτήσεις Μορς με αυτο-δείκτες ως βασικό εργαλείο, ο Σμέιλ έλυσε τη γενικευμένη εικασία Πουανκαρέ σε κάθε διάσταση μεγαλύτερη από τέσσερις. Βασιζόμενος σε αυτές τις εργασίες, καθιέρωσε επίσης το πιο ισχυρό θεώρημα h-κομπορδισμού το επόμενο έτος, μαζί με την πλήρη ταξινόμηση του συνεκτικού χώρου ομαλών πενταδιάστατων πολλαπλών. Ο Σμέιλ εντόπισε επίσης το πέταλο Σμέιλ, εμπνέοντας πολλές μεταγενέστερες έρευνες. Περιέγραψε επίσης ένα ερευνητικό πρόγραμμα που διεξήχθη από πολλούς άλλους. Ο Σμέιλ είναι επίσης γνωστός για την εισαγωγή της θεωρίας Μορς στα μαθηματικά οικονομικά, καθώς και για τις πρόσφατες εξερευνήσεις διαφόρων θεωριών υπολογισμού. Το 1998 συνέταξε έναν κατάλογο με 18 προβλήματα στα μαθηματικά που πρέπει να επιλυθούν τον 21ο αιώνα, γνωστά ως προβλήματα του Σμέιλ. Ο κατάλογος αυτός συντάχθηκε στο πνεύμα του διάσημου καταλόγου προβλημάτων του Χίλμπερτ που συντάχθηκε το 1900. Στην πραγματικότητα, ο κατάλογος του Σμέιλ περιέχει μερικά από τα αρχικά προβλήματα του Χίλμπερτ, συμπεριλαμβανομένης της υπόθεσης Ρίμαν και του δεύτερου μισού του δέκατου έκτου προβλήματος του Χίλμπερτ, τα οποία είναι ακόμη άλυτα. Άλλα διάσημα προβλήματα στον κατάλογό του περιλαμβάνουν την εικασία Πουανκαρέ (σήμερα είναι θεώρημα, που αποδείχθηκε από τον Γκριγκόρι Πέρελμαν), το πρόβλημα P = NP και τις εξισώσεις Ναβιέρ-Στόκες, τα οποία έχουν χαρακτηριστεί ως Προβλήματα Βραβείου Χιλιετίας από το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay. Smale, Stephen (1959a). «A classification of immersions of the two-sphere». Transactions of the American Mathematical Society 90 (2): 281–290. MR 0104227. Zbl 0089.18102. Smale, Stephen (1959b). «The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces». Annals of Mathematics. Second Series 69 (2): 327–344. doi:10.2307/1970186. Zbl 0089.18201. Smale, Stephen (1959c). «Diffeomorphisms of the 2-sphere». Proceedings of the American Mathematical Society 10 (4): 621–626. doi:10.1090/S0002-9939-1959-0112149-8. Zbl 0118.39103. Smale, Stephen (1960). «Morse inequalities for a dynamical system». Bulletin of the American Mathematical Society 66 (1): 43–49. doi:10.1090/S0002-9904-1960-10386-2. Zbl 0100.29701. Smale, Stephen (1961a). «On gradient dynamical systems». Annals of Mathematics. Second Series 74 (1): 199–206. doi:10.2307/1970311. Zbl 0136.43702. Smale, Stephen (1961b). «Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four». Annals of Mathematics. Second Series 74 (2): 391–406. doi:10.2307/1970239. Zbl 0099.39202. Smale, S. (1962a). «On the structure of manifolds». American Journal of Mathematics 84 (3): 387–399. doi:10.2307/2372978. Zbl 0109.41103. Smale, Stephen (1962b). «On the structure of 5-manifolds». Annals of Mathematics. Second Series 75 (1): 38–46. doi:10.2307/1970417. MR 0141133. Zbl 0101.16103. Smale, S. (1965). «An infinite dimensional version of Sard's theorem». Amer. J. Math. 87 (4): 861–866. doi:10.2307/2373250. https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1965-10_87_4/page/861. «Differentiable dynamical systems». Bulletin of the American Mathematical Society 73 (6): 747–817. 1967. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11798-1. Blum, Lenore; Shub, Mike; Smale, Steve (1989). «On a theory of computation and complexity over the real numbers: NP-completeness, recursive functions and universal machines». Bull. Amer. Math. Soc.. New Series 21 (1): 1–46. doi:10.1090/S0273-0979-1989-15750-9. «Complexity of Bézout's Theorem I: Geometric Aspects». Journal of the American Mathematical Society (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society) 6 (2): 459–501. 1993. doi:10.2307/2152805. Smale, Steve (1998). «Mathematical problems for the next century». The Mathematical Intelligencer 20 (2): 7–15. doi:10.1007/BF03025291. Zbl 0947.01011. Smale, Steve (2000). «Mathematical problems for the next century». Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 271–294. ISBN 0-8218-2070-2. Cucker, Felipe; Smale, Steve (2002). «On the mathematical foundations of learning». Bull. Amer. Math. Soc.. New Series 39 (1): 1–49. doi:10.1090/S0273-0979-01-00923-5. Cucker, Felipe; Smale, Steve (2007). «Emergent behavior in flocks». IEEE Trans. Autom. Control 52 (5): 852–862. doi:10.1109/TAC.2007.895842. * Smale, Steve (1980). The mathematics of time: essays on dynamical systems, economic processes, and related topics. New York-Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-8101-3. ISBN 0-387-90519-7. MR 0607330. Zbl 0451.58001. «The collected papers of Stephen Smale». The collected papers of Stephen Smale. In three volumes. Singapore: Singapore University Press. 2000. doi:10.1142/4424. ISBN 981-02-4307-3. Zbl 0995.01005. Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Stephen Smale στο Wikimedia Commons