Ανάστροφος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο ανάστροφος πίνακας A T {\displaystyle A^{T}} ενός πίνακα A {\displaystyle A} δίνεται από την αντανάκλαση των στοιχείων ως προς την κύρια διαγώνιο του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν n × m {\displaystyle n\times m} πίνακα A {\displaystyle A} ο ανάστροφός του είναι ο m × n {\displaystyle m\times n} πίνακας A T {\displaystyle A^{T}} , με ( A T ) i j = A j i {\displaystyle (A^{T})_{ij}=A_{ji}} για κάθε 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} και 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m} .Για παράδειγμα, για τον πίνακα A = [ 1 2 3 4 5 6 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}} με διαστάσεις 3 × 2 {\displaystyle 3\times 2} ο ανάστροφός του είναι ο A T = [ 1 3 5 2 4 6 ] {\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}} με διαστάσεις 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} . Στην γενική περίπτωση: A = [ A 11 A 12 … A 1 m A 21 A 22 … A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 … A n m ] ⏟ n × m A T = [ A 11 A 21 … A n 1 A 12 A 22 … A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 m A 2 m … A n m ] ⏟ m × n . {\displaystyle A=\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\ldots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\ldots &A_{nm}\end{bmatrix}} _{n\times m}\qquad \qquad A^{T}=\underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\ldots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\ldots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1m}&A_{2m}&\ldots &A_{nm}\end{bmatrix}} _{m\times n}.}

 Παρακάτω δίνονται κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα πινάκων, μαζί με τον ανάστροφό τους: A = [ 1 2 3 4 ] A T = [ 1 3 2 4 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}\qquad A^{T}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}} B = [ 1 2 ] B T = [ 1 2 ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\qquad B^{T}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}} C = [ 1 2 3 4 5 6 ] C T = [ 1 4 2 5 3 6 ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\qquad C^{T}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}} D = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] D T = [ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 ] {\displaystyle D={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}\qquad D^{T}={\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}}} Ο ανάστροφος του n × 1 {\displaystyle n\times 1} διανύσματος στήλης v {\displaystyle v} είναι το 1 × n {\displaystyle 1\times n} διάνυσμα γραμμής: v = [ v 1 v 2 ⋮ v n ] {\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\qquad } και v T = [ v 1 v 2 … v n ] {\displaystyle \qquad \mathbf {v} ^{T}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\ldots &v_{n}\end{bmatrix}}} .Η αναστροφή του πίνακα γειτνίασης ενός κατευθυνόμενου γράφου αντιστοιχεί στον πίνακα γειτνίασης του γράφου με ακμές που έχουν αντίθετη φορά. Ο ανάστροφος του ανάστροφου μας δίνει τον αρχικό πίνακα, ( A T ) T = A {\displaystyle (A^{T})^{T}=A} .:190 Η αναστροφή ενός πίνακα A ↦ A T {\displaystyle A\mapsto A^{T}} είναι γραμμικός μετασχηματισμός στον χώρο των πινάκων με ίδιες διστάσεις. Δηλαδή για κάθε πίνακες A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} και κάθε στοιχείο c {\displaystyle c} , ισχύει ότι ( c A ) T = c A T {\displaystyle (cA)^{T}=cA^{T}} και ( A + B ) T = A T + B T {\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}} .:36:190:25 Για το γινόμενο δύο πινάκων A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} , ισχύει ότι ( A B ) T = B T A T {\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}} .:36:190:25 Για έναν αντιστρέψιμο πίνακα A {\displaystyle A} , ισχύει ότι ο ανάστροφός του είναι αντιστρέψιμος και ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}} .:46:25 Για έναν τετραγωνικό πίνακα A {\displaystyle A} , το ίχνος tr ⁡ ( A T ) = tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{T})=\operatorname {tr} (A)} . Για την ορίζουσα του αναστρέψιμου πίνακα, det ⁡ ( A T ) = det ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {det} (A^{T})=\operatorname {det} (A)} .:52:25 Συμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας A {\displaystyle A} με A T = A {\displaystyle A^{T}=A} . Αντισυμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας A {\displaystyle A} με A T = − A {\displaystyle A^{T}=-A} . Ορθογώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας A {\displaystyle A} με A T A = A A T {\displaystyle A^{T}A=AA^{T}} .