Συζυγής ανάστροφος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, συζυγής ανάστροφος πίνακας (ή αλλιώς Ερμιτιανός συζυγής πίνακας) ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο ανάστροφος πίνακας του συζυγούς του. Πιο συγκεκριμένα, για τον πίνακα A {\displaystyle A} διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} , ο συζυγής ανάστροφος πίνακας A H {\displaystyle A^{H}} είναι ο πίνακας διαστάσεων m × n {\displaystyle m\times n} , ο οποίος ικανοποιεί ( A H ) i j = A ¯ j i {\displaystyle (A^{H})_{ij}={\overline {A}}_{ji}} ,για κάθε 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} και 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n} . Επομένως, A H = ( A ¯ ) T = [ A ¯ 11 A ¯ 12 … A ¯ 1 n A ¯ 21 A ¯ 22 … A ¯ 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A ¯ m 1 A ¯ m 2 … A ¯ m n ] . {\displaystyle A^{H}=({\overline {A}})^{T}={\begin{bmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\ldots &{\overline {A}}_{1n}\\{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\ldots &{\overline {A}}_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {A}}_{m1}&{\overline {A}}_{m2}&\ldots &{\overline {A}}_{mn}\end{bmatrix}}.} Για παράδειγμα, ο συζυγής του A = [ ( 3 + 2 i ) 5 ( 1 − 4 i ) ( 7 + 2 i ) ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&5\\(1-4i)&(7+2i)\end{bmatrix}}} είναι ο A H = [ ( 3 − 2 i ) ( 1 + 4 i ) 5 ( 7 − 2 i ) ] {\displaystyle A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(1+4i)\\5&(7-2i)\end{bmatrix}}} . Ο συζυγής ανάστροφος συμβολίζεται και ως A ∗ {\displaystyle A^{*}} και A † {\displaystyle A^{\dagger }} Η ονομασία Ερμιτιανός προέρχεται από τον Κάρολο Ερμίτ.

 Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής ανάστροφός τους: A = [ ( 3 + 2 i ) ( 7 − 3 i ) 5 i ( 9 − 2 i ) 10 ( 6 − 5 i ) ] A H = [ ( 3 − 2 i ) ( 9 + 2 i ) ( 7 + 3 i ) 10 − 5 i ( 6 + 5 i ) ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&(7-3i)&5i\\(9-2i)&10&(6-5i)\end{bmatrix}}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(9+2i)\\(7+3i)&10\\-5i&(6+5i)\end{bmatrix}}} B = [ ( − 5 + 2 i ) ( 3 − 4 i ) ( 4 − 8 i ) ( 5 + 3 i ) ( 1 + 3 i ) ( 7 − 2 i ) ] B H = [ ( − 5 − 2 i ) ( 4 + 8 i ) ( 1 − 3 i ) ( 3 + 4 i ) ( 5 − 3 i ) ( 7 + 2 i ) ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}(-5+2i)&(3-4i)\\(4-8i)&(5+3i)\\(1+3i)&(7-2i)\end{bmatrix}}\qquad B^{H}={\begin{bmatrix}(-5-2i)&(4+8i)&(1-3i)\\(3+4i)&(5-3i)&(7+2i)\end{bmatrix}}} C = [ ( − 5 + 7 i ) ( 8 + 2 i ) ( 1 − i ) ] C H = [ ( − 5 − 7 i ) ( 8 − 2 i ) ( 1 + i ) ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}(-5+7i)&(8+2i)&(1-i)\end{bmatrix}}\qquad C^{H}={\begin{bmatrix}(-5-7i)\\(8-2i)\\(1+i)\end{bmatrix}}} Για οποιονδήποτε πραγματικό πίνακα A {\displaystyle A} , A H = A T {\displaystyle A^{H}=A^{T}} . Για οποιονδήποτε φανταστικό πίνακα A {\displaystyle A} , A H = − A T {\displaystyle A^{H}=-A^{T}} . Για παράδειγμα, A = [ 3 i − 6 i 7 i 4 i ] A H = [ − 3 i − 7 i 6 i − 4 i ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}3i&-6i\\7i&4i\end{bmatrix}}\qquad A^{H}={\begin{bmatrix}-3i&-7i\\6i&-4i\end{bmatrix}}} Συνδυάζοντας τις ιδιότητες του ανάστροφου πίνακα και τις ιδιότητες του συζυγούς πίνακα, έχουμε τις εξής ιδιότητες: Ο συζυγής ανάστροφος του συζυγούς ανάστροφου είναι ο αρχικός πίνακας, ( A H ) H = A {\displaystyle (A^{H})^{H}=A} .:195 Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα A {\displaystyle A} με έναν μιγαδικό αριθμό c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } , ( c A ) H = c ¯ A H {\displaystyle (cA)^{H}={\overline {c}}A^{H}} .:195:3 Ο συζυγής ανάστροφος του άθροισμα δύο πινάκων A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} είναι το άθροισμα των συζυγών ανάστροφων, ( A + B ) H = A H + B H {\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}} .:195:11 Ο συζυγής ανάστροφος του γινομένου δύο πινάκων A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} είναι το γινόμενο των συζυγών ανάστροφων, ( A B ) H = B H A H {\displaystyle (AB)^{H}=B^{H}A^{H}} .:195:11:3 Το ίχνος του συζυγούς ανάστροφου ενός τετραγωνικού πίνακα είναι tr ⁡ ( A H ) = tr ⁡ ( A ) ¯ {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{H})={\overline {\operatorname {tr} (A)}}} . Ο συζυγής ανάστροφος του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγούς ανάστροφου, ( A − 1 ) H = ( A H ) − 1 {\displaystyle (A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}} . Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή det ⁡ ( A H ) = det ⁡ ( A ) ¯ {\displaystyle \operatorname {det} (A^{H})={\overline {\operatorname {det} (A)}}} . Εμιτιανός πίνακας Πίνακας ο οποίος ικανοποιεί A = A H {\displaystyle A=A^{H}} . Αντιερμιτιανός πίνακας Πίνακας ο οποίος ικανοποιεί A = − A H {\displaystyle A=-A^{H}} . Ανάστροφος πίνακας Συζυγής πίνακας