Κριτήριο παρεμβολής

Στην μαθηματική ανάλυση το κριτήριο παρεμβολής είναι ένα πολύ σημαντικό θεώρημα όταν επιθυμούμε να επιβεβαιώσουμε το όριο μιας συνάρτησης. Η χρήση του κριτηρίου βασίζεται στη σύγκριση της συνάρτησης μας με δύο άλλες συναρτήσεις των οποίων τα όρια είναι ίσα και επιπλέον είναι γνωστά ή μπορούν εύκολα να υπολογιστούν. Χρησιμοποιήθηκε πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη και τον Εύδοξο στην προσπάθειά τους να υπολογίσουν την τιμή του π και διατυπώθηκε σε σύγχρονους όρους από τον Γκάους. Το κριτήριο λέει ότι όταν δύο συναρτήσεις έχουν το ίδιο όριο και μια τρίτη συνάρτηση παίρνει τιμές μεταξύ των τιμών των δύο αυτών συναρτήσεων τότε το όριο της υπάρχει και είναι ίσο με το όριο των δύο άλλων.

 Η αυστηρή διατύπωση του κριτηρίου είναι η εξής: Έστω g , f , h : A → R {\displaystyle g,f,h:A\rightarrow \mathbb {R} } τρεις πραγματικές συναρτήσεις και x 0 {\displaystyle x_{0}} ένα σημείο συσσώρευσης του Α. Αν ισχύει: g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)} για κάθε x ∈ A {\displaystyle x\in A} και: lim x → x 0 g ( x ) = L = lim x → x 0 h ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=L=\lim _{x\to x_{0}}h(x)} τότε το όριο της συνάρτησης f {\displaystyle f} στο x 0 {\displaystyle x_{0}} υπάρχει και ισχύει: lim x → x 0 f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L} Η απόδειξη χρησιμοποιεί τον ε-δ ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x 0 {\displaystyle x_{0}} . Ξεκινούμε με ένα τυχαίο ε >0 και ζητούμε ένα δ(ε) > 0 τέτοιο ώστε να ικανοποιείται ο ορισμός του ορίου συνάρτησης. Έστω ε > 0. Αφού ισχύει lim x → x 0 g ( x ) = L = lim x → x 0 h ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=L=\lim _{x\to x_{0}}h(x)} έχουμε ότι: υπάρχει δ1 > 0 τέτοιο ώστε: αν x ∈ A {\displaystyle x\in A} και 0 < | x − x 0 | < δ 1 {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{1}} τότε | g ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |g(x)-L|<\epsilon } υπάρχει δ2 > 0 τέτοιο ώστε: αν x ∈ A {\displaystyle x\in A} και 0 < | x − x 0 | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{2}} τότε | h ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |h(x)-L|<\epsilon } Ορίζουμε δ = m i n { δ 1 , δ 2 } > 0 {\displaystyle \delta =min\lbrace \delta _{1},\delta _{2}\rbrace >0} . Τότε αν 0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta } έχουμε: 0 < | x − x 0 | < δ ≤ δ 1 {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta \leq \delta _{1}} και άρα | g ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |g(x)-L|<\epsilon } 0 < | x − x 0 | < δ ≤ δ 2 {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta \leq \delta _{2}} και άρα | h ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |h(x)-L|<\epsilon } Επομένως έχουμε: | g ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |g(x)-L|<\epsilon } και άρα L − ϵ < g ( x ) {\displaystyle L-\epsilon <g(x)} | h ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |h(x)-L|<\epsilon } και άρα h ( x ) < L + ϵ {\displaystyle h(x)<L+\epsilon } και αφού g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)} για κάθε x ∈ A {\displaystyle x\in A} ισχύει ότι: L − ϵ < g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) < L + ϵ {\displaystyle L-\epsilon <g(x)\leq f(x)\leq h(x)<L+\epsilon } Από την πιο πάνω παίρνουμε την: L − ϵ < f ( x ) < L + ϵ {\displaystyle L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon } και τελικα | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε ε > 0 επομένως από τον ορισμό του ορίου συνάρτησης: lim x → x 0 f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L} Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και όταν οι ανισότητες είναι γνήσιες (με την προϋπόθεση να υπάρχει το όριο της f(x) ) δηλαδή και όταν: g ( x ) < f ( x ) < h ( x ) {\displaystyle g(x)<f(x)<h(x)} για κάθε x ∈ A {\displaystyle x\in A} Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και όταν η ανισότητα: g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)} ισχυει μόνο για μια περιοχή του x 0 {\displaystyle x_{0}} . Δεν χρειάζεται δηλαδή να ισχύει για κάθε x στο πεδίο ορισμού αλλά απλώς να ισχύει σε ένα διάστημα ( x 0 {\displaystyle x_{0}} - δ, x 0 {\displaystyle x_{0}} + δ).