Πλειάδα (μαθηματικά)

Πλειάδα ή ν-άδα (αγγλικά: n-tuple) στα μαθηματικά είναι μια πεπερασμένη διατεταγμένη λίστα (ή ακολουθία) ν {\displaystyle \nu } στοιχείων (elements), όπου ν {\displaystyle \nu } είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος. Συμβολίζεται με τα στοιχεία της να περικλείονται μέσα σε απλές παρενθέσεις « ( . . . ) {\displaystyle (...)} » ή γωνιακές παρενθέσεις « ⟨ . . . ⟩ {\displaystyle \langle ...\rangle } ». και να χωρίζονται με κόμμα «,». Για παράδειγμα μία ν {\displaystyle \nu } -πλειάδα, της οποίας τα στοιχεία είναι a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a ν {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{\nu }} , γράφεται πάντα με τη συγκεκριμένη σειρά. Υπάρχει μόνο μία 0-πλειάδα, που είναι η κενή πλειάδα και γράφεται ( ) {\displaystyle ()} . Τα στοιχεία της μπορεί να είναι οτιδήποτε, αριθμοί, σύμβολα, αντικείμενα (υλικά ή άυλα, υπαρκτά ή ανύπαρκτα), σκέψεις, κλπ, όπως σε ένα σύνολο. Διαφέρει από το σύνολο κυρίως στο ότι τα στοιχεία της έχουν συγκεκριμένη σειρά και δεν είναι άπειρα. Το διάνυσμα είναι μία πλειάδα. Η πλειάδα δεν είναι διάνυσμα γιατί μπορεί να μην ανήκει σε ένα διανυσματικό χώρο (δεν έχει τις πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού, κλπ). Μαθηματική εκφώνηση: Μία πλειάδα ν {\displaystyle \nu } στοιχείων εκφωνείται ν {\displaystyle \nu } άδα ή διατεταγμένη ν {\displaystyle \nu } άδα.

 Η πλειάδα ορίζεται χρησιμοποιώντας την έννοια της συνάρτησης που μας επιτρέπει να αντιστοιχίσουμε τα στοιχεία ενός συνόλου (πεδίο ορισμού) στα στοιχεία ενός άλλου συνόλου (πεδίο τιμών). Για να ορίσουμε την πλειάδα ( a 1 , a 2 , … , a ν ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{\nu })} , ν {\displaystyle \nu } στοιχείων, αρκεί να πάρουμε το σύνολο Y = { a 1 , a 2 , … , a ν } {\displaystyle Y=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{\nu }\}} των στοιχείων της (το οποίο επειδή είναι σύνολο δεν έχει διάταξη) και να ορίσουμε διάταξη. Θεωρούμε μία συνάρτηση F {\displaystyle F} , με πεδίο ορισμού το σύνολο X = { 1 , 2 , … , ν } {\displaystyle X=\{1,2,\dots ,\nu \}} , όπου τα στοιχεία του είναι ν {\displaystyle \nu } φυσικοί αριθμοί, οι οποίοι έχουν την ιδιότητα της διάταξης: 1 < 2 < . . . < ν {\displaystyle 1<2<...<\nu } . Σαν πεδίο τιμών της συνάρτησης λαμβάνουμε το σύνολο Y = { a 1 , a 2 , … , a ν } {\displaystyle Y=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{\nu }\}} των στοιχείων της πλειάδας που θέλουμε να ορίσουμε. Ορίζουμε την συνάρτηση F = { ( 1 , a 1 ) , ( 2 , a 2 ) , … , ( ν , a ν ) } {\displaystyle F=\{(1,a_{1}),(2,a_{2}),\ldots ,(\nu ,a_{\nu })\}} , η οποία μας επιτρέπει να δώσουμε ορισμένη διάταξη στα στοιχεία του συνόλου Y {\displaystyle Y} και να ορισθεί η πλειάδα ( a 1 , a 2 , … , a ν ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{\nu })} . Με λιγότερο αυστηρούς όρους μπορούμε να γράψουμε: ( a 1 , a 2 , . . . , a ν ) = ( F ( 1 ) , F ( 2 ) , . . . , F ( ν ) ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{\nu })=(F(1),F(2),...,F(\nu ))} , όπου X = { 1 , 2 , … , ν } {\displaystyle X=\{1,2,\dots ,\nu \}} , Y = { a 1 , a 2 , … , a ν } {\displaystyle Y=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{\nu }\}} και X → F Y {\displaystyle X{\stackrel {F}{\rightarrow }}Y} , όταν F = { ( 1 , a 1 ) , ( 2 , a 2 ) , … , ( ν , a ν ) } {\displaystyle F=\{(1,a_{1}),(2,a_{2}),\ldots ,(\nu ,a_{\nu })\}} . Μία από τίς ιδιότητες της πλειάδας που τη διαφοροποιεί από την έννοια του συνόλου είναι η «θέση» που έχουν τα στοιχεία της: ( a 1 , a 2 , . . . , a ν ) = {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{\nu })=} ( β 1 , β 2 , . . . , β ν ) {\displaystyle (\beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{\nu })} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } a 1 = β 1 , a 2 = β 2 {\displaystyle a_{1}=\beta _{1},\;a_{2}=\beta _{2}} , . . . , a ν = β ν {\displaystyle ,...,a_{\nu }=\beta _{\nu }} (όπου το σύμβολο ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } σημαίνει ικανή και αναγκαία συνθήκη)Η ισότητα ισχύει όταν τα στοιχεία που βρίσκονται στην αντίστοιχη «θέση» είναι ίσα, ενώ στα σύνολα δεν υπάρχει συγκεκριμένη «θέση» για τα στοιχεία τους. Για παράδειγμα οι πλειάδες 3 στοιχείων: ( 3 , 5 , 7 ) {\displaystyle (3,5,7)} , ( 5 , 3 , 7 ) {\displaystyle (5,3,7)} είναι άνισες (διαφορετικές), ενώ τα σύνολα { 3 , 5 , 7 } {\displaystyle \{3,5,7\}} , { 5 , 3 , 7 } {\displaystyle \{5,3,7\}} είναι ίσα ή, πιο συγκεκριμένα, είναι το ίδιο σύνολο γραμμένο με διαφορετικό τρόπο. Σε μια ν {\displaystyle \nu } πλειάδα ( a 1 , a 2 , … , a ν ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{\nu })} ενδέχεται να ισχύει για δύο στοιχεία της a μ = β λ {\displaystyle a_{\mu }=\beta _{\lambda }} , όπου 0 < μ < λ < ν {\displaystyle 0<\mu <\lambda <\nu } . Δηλαδή ένα ή περισσότερα στοιχεία της μπορούν να είναι τα ίδια, ενώ στα σύνολα αυτό δεν επιτρέπεται εξ ορισμού. Για παράδειγμα, ενώ η πλειάδα ( 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 7 ) {\displaystyle (3,3,5,5,5,7)} είναι σωστά γραμμένη, δεν ισχύει το ίδιο για το σύνολο { 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 7 } {\displaystyle \{3,3,5,5,5,7\}} , του οποίου η σωστή του γραφή είναι: { 3 , 5 , 7 } {\displaystyle \{3,5,7\}} . Σε μιά πλειάδα ο αριθμός των στοιχείων είναι πεπερασμένος, ενώ σε ένα σύνολο μπορεί να είναι άπειρος, όπως στο μη πεπερασμένο σύνολο των φυσικών αριθμών N > 0 = { 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\ldots \}} . Το καρτεσιανό γινόμενο ν {\displaystyle \nu } πεπερασμένων συνόλων, είναι ένα σύνολο που τα στοιχεία του είναι πλειάδες των ν {\displaystyle \nu } στοιχείων. Αν X 1 , X 2 , . . . , X ν {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{\nu }} , είναι πεπερασμένα σύνολα τότε το καρτεσιανό γινόμενό τους είναι: ∏ ι = 1 ν X ι = {\displaystyle {\textstyle \prod _{\iota =1}^{\nu }\displaystyle }X\iota =} X 1 × X 2 × ⋅ ⋅ ⋅ × X ν = {\displaystyle X_{1}\times X_{2}\times \cdot \cdot \cdot \times X_{\nu }=} { ( x 1 , x 2 , . . . , x ν ) : x 1 ∈ X 1 , x 2 ∈ X 2 , . . . , x ν ∈ X ν } {\displaystyle \{(x_{1},x_{2},...,x_{\nu }):x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2},...,x_{\nu }\in X_{\nu }\}} ,τα στοιχεία του οποίου είναι διατεταγμένες ν {\displaystyle \nu } άδες. Γιά παράδειγμα αν έχουμε τα σύνολα: X = { x 1 , x 2 } {\displaystyle X=\{x_{1},x_{2}\}} , Y = { y 1 , y 2 , y 3 } {\displaystyle Y=\{y_{1},y_{2},y_{3}\}} , τότε το καρτεσιανό γινόμενό τους είναι: X × Y = { ( x 1 , y 1 ) , {\displaystyle X\times Y=\{(x_{1},y_{1}),} ( x 1 , y 2 ) , ( x 1 , y 3 ) , {\displaystyle (x_{1},y_{2}),(x_{1},y_{3}),} ( x 2 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 2 , y 3 ) } {\displaystyle (x_{2},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{2},y_{3})\}} , σύνολο με 2 × 3 = 6 {\displaystyle 2\times 3=6} στοιχεία, τα οποία είναι διατεταγμένες 2 {\displaystyle 2} άδες, οι οποίες επειδή αποτελούνται από 2 στοιχεία, είναι ειδική περίπτωση πλειάδων και ονομάζονται διατεταγμένα ζεύγη. Στις γλώσσες προγραμματισμού, οι πλειάδες αποτελούν μία από τις βασικές δομές δεδομένων όπως οι συμβολοσειρές (strings), οι λίστες (lists) και τα λεξικά (dictionaries). Python - Οι πλειάδες παριστάνονται με παρενθέσεις, οι οποίες αν το επιτρέπουν τα συμφραζόμενα μπορούν να παραλειφθούν. Διαφέρουν από τις λίστες, οι οποίες παριστάνονται με τις τετραγωνισμένες αγκύλες « [ . . . ] {\displaystyle [...]} », στο ότι δεν μπορούν να τροποποιηθούν μετά την δημιουργία τους, όπως και οι συμβολοσειρές. Το αποτέλεσμα της πράξης της «πρόσθεσης», στις πλειάδες, όπως και στις λίστες, είναι συνένωση (concatenation), ακριβώς όπως στις συμβολοσειρές. Παράδειγμα: ( a 1 , a 2 , a 3 ) + ( β 1 , β 2 ) = ( a 1 , a 2 , a 3 , β 1 , β 2 ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})+(\beta _{1},\beta _{2})=(a_{1},a_{2},a_{3},\beta _{1},\beta _{2})} . Μαγκούτης, Κ., Νικολάου, Χ. 2015. Συμβολοσειρές, λίστες, πλειάδες, λεξικά Αρχειοθετήθηκε 2018-10-05 στο Wayback Machine.. [Κεφάλαιο 6]. Στο Μαγκούτης, Κ., Νικολάου, Χ. 2015. Εισαγωγή στον αντικειμενοστραφή προγραμματισμό με Python. Αθήνα:Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών Βιβλιοθηκών. κεφ 6. Αρχειοθετήθηκε 05/10/2018. Ανακτήθηκε 05/10/2018.