Ανισότητα Μινκόβσκι

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Μινκόβσκι (αναφέρεται και ως ανισότητα Minkowski) λέει ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a 1 , … , a n , b 1 , … , b n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n}} και p > 1 {\displaystyle p>1} , ισχύει ότι ( ∑ i = 1 n | a i + b i | p ) 1 / p ≤ ( ∑ i = 1 n | a i | p ) 1 / p + ( ∑ i = 1 n | b i | p ) 1 / p . {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}.} Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις f , g : [ a , b ] → R {\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} } ,:14 ( ∫ a b | f ( x ) + g ( x ) | p d x ) 1 / p ≤ ( ∫ a b | f ( x ) | p d x ) 1 / p + ( ∫ a b | g ( x ) | p d x ) 1 / p . {\displaystyle \left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p}.} Η ανισότητα χρησιμοποιείται στην απόδειξη ότι οι Lp-χώροι είναι νορμικοί διανυσματικοί χώροι, και συγκεκριμένα επιβεβαιώνει την τριγωνική ανισότητα.

 Θα κάνουμε χρήση της ανισότητας Χέλντερ, η οποία λέει ότι για κάθε x 1 , … , x n , y 1 , … y n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{n}} και p , q > 1 {\displaystyle p,q>1} με 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} , ισχύει ότι ∑ i = 1 n | x i y i | ≤ ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | y i | q ) 1 / q {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{1/q}} .Για την απόδειξη της ανισότητας Μινκόβσκι για p > 1 {\displaystyle p>1} , ξεκινάμε γράφοντας όπου χρησιμοποιήσαμε την τριγωνική ανισότητα | a i + b i | ≤ | a i | + | b i | {\displaystyle |a_{i}+b_{i}|\leq |a_{i}|+|b_{i}|} . Εφαρμόζοντας την ανισότητα Χέλντερ δύο φορές, μία για x i = | a i | {\displaystyle x_{i}=|a_{i}|} και y i = | a i + b i | {\displaystyle y_{i}=|a_{i}+b_{i}|} και μία για x i = | b i | {\displaystyle x_{i}=|b_{i}|} και y i = | a i + b i | {\displaystyle y_{i}=|a_{i}+b_{i}|} , λαμβάνουμε ∑ i = 1 n | a i | ⋅ | a i + b i | p − 1 + ∑ i = 1 n | b i | ⋅ | a i + b i | p − 1 ≤ ( ∑ i = 1 n | a i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | a i + b i | ( p − 1 ) q ) 1 / q + ( ∑ i = 1 n | b i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | a i + b i | ( p − 1 ) q ) 1 / q ≤ ( ∑ i = 1 n | a i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | a i + b i | p ) 1 / q + ( ∑ i = 1 n | b i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | a i + b i | p ) 1 / q , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}+\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|\cdot |a_{i}+b_{i}|^{p-1}&\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{(p-1)q}\right)^{1/q}\\&\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q},\end{aligned}}} όπου χρησιμοποιήσαμε ότι p = ( p − 1 ) q {\displaystyle p=(p-1)q} (που προκύπτει από την συνθήκη 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} ). Συνδυάζοντας με την (1) έχουμε ότι, ∑ i = 1 n | a i + b i | p ≤ ( ∑ i = 1 n | a i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | a i + b i | p ) 1 / q + ( ∑ i = 1 n | b i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | a i + b i | p ) 1 / q {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}} η οποία, διαιρώντας και τα δύο μέλη με ( ∑ i = 1 n | a i + b i | p ) 1 / q {\displaystyle \textstyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/q}} , είναι ισοδύναμη με ( ∑ i = 1 n | a i + b i | p ) 1 − 1 / q ≤ ( ∑ i = 1 n | a i | p ) 1 / p + ( ∑ i = 1 n | b i | p ) 1 / p . {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1-1/q}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}.} Τέλος, χρησιμοποιώντας ότι 1 − 1 q = 1 p {\displaystyle 1-{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{p}}} , λαμβάνουμε την ανισότητα Μινκόβσκι. Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Χέρμαν Μινκόβσκι, που δημοσίευσε την ανισότητα στο έργο του το 1910.:115 Ανισότητα Χέλντερ