Mandelbulb

Το φράκταλ Mandelbulb είναι ένα τρισδιάστατο φράκταλ. Κατασκευάστηκε το 2009 από τους Ντάνιελ Γουάιτ και Πολ Νάιλαντερ. Για να το πετύχουν αυτό, υπέβαλαν ένα συμβατικό σύνολο Μάντελμπροτ σε έναν γεωμετρικό μετασχηματισμό σφαιρικών συντεταγμένων .

 Ένα τρισδιάστατο σύνολο Μάντελμπροτ σε κανονική μορφή δεν υπάρχει με αυτόν τον τρόπο, επειδή δεν υπάρχει τρισδιάστατο ανάλογο του μιγαδικού επιπέδου (αλλά μόνο συστήματα αριθμών υψηλότερων διαστάσεων, όπως τα τετραδόνια (quaternions) ή οι διαστάσεις άλλων υπερσυμπλεγματικών αριθμών). Ο τύπος των Γουάιτ και Νάιλαντερ για την n-th δύναμη του διανύσματος v = ( x , y , z ) T {\displaystyle {\mathbf {v} }=(x,y,z)^{\mathsf {T}}} σε ένα καρτεσιανό σύστημα αναφορών ( R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ) είναι v n := r n ( sin ⁡ ( n θ ) cos ⁡ ( n ϕ ) sin ⁡ ( n θ ) sin ⁡ ( n ϕ ) cos ⁡ ( n θ ) ) {\displaystyle {\mathbf {v} }^{n}:=r^{n}{\begin{pmatrix}\sin(n\theta )\cos(n\phi )\\\sin(n\theta )\sin(n\phi )\\\cos(n\theta )\end{pmatrix}}} με τη χρήση r = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} , ϕ = arctan ⁡ ( y / x ) = arg ⁡ ( x + y i ) {\displaystyle \phi =\arctan(y/x)=\arg(x+y\mathrm {i} )} und θ = arctan ⁡ ( x 2 + y 2 / z ) = arccos ⁡ ( z / r ) {\displaystyle \theta =\arctan({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}/z)=\arccos(z/r)} . Το φράκταλ Mandelbulb ορίζεται τότε ως το σύνολο των τιμών c ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}} για το οποίο η τροχιά του ( 0 , 0 , 0 ) T {\displaystyle (0,0,0)^{\mathsf {T}}} είναι περιορισμένη υπό την επανάληψη v ↦ v n + c {\displaystyle {\mathbf {v} }\mapsto {\mathbf {v} }^{n}+{\mathbf {c} }} . Για n > 3 , το αποτέλεσμα είναι μια τρισδιάστατη δομή που μοιάζει με αχλάδι, με λεπτομέρεια επιφάνειας φράκταλ και έναν αριθμό "λοβών" που εξαρτάται από το n. Πολλές απεικονίσεις γραφικών παραστάσεων χρησιμοποιούν την τιμή 8 για το n. Οι εξισώσεις μπορούν να απλοποιηθούν σε ορθολογικά πολυώνυμα αν το n είναι περιττό. Για την περίπτωση n = 3, το γράφημα v ↦ v 3 {\displaystyle {\mathbf {v} }\mapsto {\mathbf {v} }^{3}} μπορεί να μετατραπεί στην ακόλουθη απλοποιημένη μορφή: ( x y z ) 3 = ( ( 3 z 2 − x 2 − y 2 ) x ( x 2 − 3 y 2 ) x 2 + y 2 ( 3 z 2 − x 2 − y 2 ) y ( 3 x 2 − y 2 ) x 2 + y 2 z ( z 2 − 3 x 2 − 3 y 2 ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})x(x^{2}-3y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}\\{\frac {(3z^{2}-x^{2}-y^{2})y(3x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}\\z(z^{2}-3x^{2}-3y^{2})\end{pmatrix}}} .Γενικότερα, αντίστοιχα φράκταλ (που εξαρτώνται όχι μόνο από το n αλλά και από τα p και q) μπορούν να υπολογιστούν για το σχήμα v n := r n ( sin ⁡ ( p θ ) cos ⁡ ( q ϕ ) sin ⁡ ( p θ ) sin ⁡ ( q ϕ ) cos ⁡ ( p θ ) ) {\displaystyle {\mathbf {v} }^{n}:=r^{n}{\begin{pmatrix}\sin(p\theta )\cos(q\phi )\\\sin(p\theta )\sin(q\phi )\\\cos(p\theta )\end{pmatrix}}} όπου τα p και q δεν χρειάζεται να είναι ίσα με n για να ισχύει η ‖ v n ‖ = ‖ v ‖ n {\displaystyle \Vert \mathbf {v} ^{n}\Vert =\Vert \mathbf {v} \Vert ^{n}} . Ακόμη πιο γενικά φράκταλ μπορούν να δημιουργηθούν με την επανάληψη v n := r n ( sin ⁡ ( f ( θ , ϕ ) ) cos ⁡ ( g ( θ , ϕ ) ) sin ⁡ ( f ( θ , ϕ ) ) sin ⁡ ( g ( θ , ϕ ) ) cos ⁡ ( f ( θ , ϕ ) ) ) {\displaystyle {\mathbf {v} }^{n}:=r^{n}{\begin{pmatrix}\sin(f(\theta ,\phi ))\cos(g(\theta ,\phi ))\\\sin(f(\theta ,\phi ))\sin(g(\theta ,\phi ))\\\cos(f(\theta ,\phi ))\end{pmatrix}}} μπορούν να βρεθούν. Με ορισμένους μετασχηματισμούς του φράκταλ Mandelbulb, μπορεί να μαντέψει κανείς μια ομοιότητα με το σύνολο Μάντελμπροτ. Αν κόψει κανείς το φράκταλ στη μέση στην περίπτωση n = 2 , αναγνωρίζει το κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ. Το σύνολο Julia στο σημείο μηδέν του συνόλου Μάντελμπροτ αντιστοιχεί σε μια ιδανική κυκλική επιφάνεια. Αντίστοιχα, το σύνολο Julia στο σημείο μηδέν του φράκταλ Mandelbulb είναι μια ιδανική σφαίρα. Επομένως, αυτά τα σύνολα Julia διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τον αριθμό των διαστάσεων. Στην ταινία κινουμένων σχεδίων Baymax του 2014, μια σκηνή λαμβάνει χώρα στο κέντρο μιας σκουληκότρυπας που μοιάζει με το στυλιζαρισμένο εσωτερικό ενός φράκταλ Mandelbulb Ένας εξωγήινος στην ταινία τρόμου επιστημονικής φαντασίας Extinction ως μέρος ενός φράκταλ Mandelbulb. Το πνευματικό βασίλειο του Κερτ στο διαδικτυακό κόμικ Unsounded απεικονίζεται ως ένα χρυσό Mandelbulb. Η παρακάτω Έκθεση παρουσιάζει διάφορες απόψεις και ειδικά χαρακτηριστικά του φράκταλ Mandelbulb. for the first use of the Mandelbulb formula on www.fractal.org website Jules Ruis Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, on Daniel White's website Several variants of the Mandelbulb, on Paul Nylander's website An opensource fractal renderer that can be used to create images of the Mandelbulb Formula for Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb by Jules Ruis Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb with examples of real 3D objects Video : View of the Mandelbulb Video : Exploring Mandelbulb. 3D Fractal Animation The discussion thread in Fractalforums.com that led to the Mandelbulb Video fly through of an animated Mandelbulb world Αυτοομοιότητα Σύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν