Γραφική παράσταση συνάρτησης

Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε το σύνολο των σημείων Μ(x,f(x)) για κάθε x ∈ A {\displaystyle x\in A} , όπου Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών το πεδίο ορισμού της f.Αν για ένα σημείο M(x,y) ισχύει y=f(x), ανήκει στη γραφική παράσταση της f. Η εξίσωση y=f(x) λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.

 Η γραφική παράσταση αποδίδει οπτικά μια συνάρτηση δίνοντας άμεσα τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε. Μπορούμε να βρούμε ποια τιμή της συνάρτησης αντιστοιχεί σε μια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, έστω την χ=α. Σχεδιάζουμε, νοητά ή όχι, την ευθεία χ=α, για να βρούμε το σημείο τομής της με τη γραφική παράσταση. Έπειτα, σχεδιάσουμε την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το σημείο τομής μέχρι τον άξονα ψ'ψ, όπου εκτιμούμε την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι άξονες είναι κατάλληλα βαθμονομημένοι. Με περισσότερη εξοικείωση η γραφική παράσταση μπορεί να μας πληροφορήσει και για τη γενικότερη συμπεριφορά της συνάρτησης, ώστε να μπορούμε να την κατανοήσουμε και να προβλέψουμε τη συμπεριφορά της διαισθητικά (με μαθηματική σκέψη). Αυτή η ικανότητα είναι εξαιρετικά χρήσιμη, ειδικά εάν ο τύπος της συνάρτησης είναι πολύπλοκος ή χρειάζεται αρκετές πράξεις για υπολογισμό. Συνήθως τα σημεία της συνάρτησης είναι άπειρα, ώστε να είναι αδύνατος ο υπολογισμός όλων των σημείων και η απόδοσή τους γραφικά. Έτσι, για την κατασκευή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης χρειάζεται πρώτα η μελέτη της συνάρτησης, ώστε να κατασκευαστεί ένας πίνακας μεταβολών της συνάρτησης. Ύστερα με κατάλληλη επιλογή μερικών σημείων και ακολουθώντας τις οδηγίες από τον πίνακα μεταβολών μπορεί να κατασκευαστεί μια ικανοποιητική γραφική παράσταση. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι γραφικά η ορθή προβολή της γραφικής παράστασης της στον άξονα χ'χ. Τα διαστήματα συμβολίζονται με ευθύγραμμα τμήματα, ενώ οι μεμονωμένες τιμές με σημεία. Αν η συνάρτηση ή τμήμα της είναι συνεχής, τότε η γραφική παράσταση σε όλο το πεδίο ορισμού της ή το τμήμα είναι συνεχής γραμμή, δηλαδή μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς το μολύβι να αφήσει το χαρτί. Όπου είναι παραγωγίσιμη, η γραφική παράσταση είναι καμπύλη ή ευθεία, δηλαδή μια ομαλή γραμμή χωρίς γωνίες. Όπου η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, η γραφική παράσταση ανεβαίνει και όπου είναι γνησίως φθίνουσα κατεβαίνει. Όπου είναι σταθερή, η γραφική παράσταση είναι ευθεία οριζόντια γραμμή. Σε όρους περιγραφής κορυφογραμμής, όπου η συνάρτηση εμφανίζει μέγιστο, η γραφική παράσταση εμφανίζει κορυφή, ενώ όπου υπάρχει ελάχιστο στη γραφική παράσταση εμφανίζεται κοιλάδα. Όσον αφορά τις ασύμπτωτες, στη γραφική παράσταση εμφανίζονται ως ευθείες τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τις πλησιάζει συνεχώς χωρίς να τις τέμνει. Μερικές φορές στη γραφική παράσταση εμφανίζεται λανθασμένα να ταυτίζεται από κάποιο σημείο και έπειτα με την ασύμπτωτη. Ασύμπτωτες μπορεί να είναι όχι μόνο ευθείες αλλά και καμπύλες, αν συνήθως δε χρησιμοποιούνται. Το σύνολο τιμών συνάρτησης εμφανίζεται γραφικά ως την ορθή προβολή της γραφικής παράστασης στον άξονα ψ'ψ, όπως και το πεδίο ορισμού. Οι γνωστές τιμές σημειώνονται με κουκίδες. Κατά την τελική κατασκευή, δηλαδή τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης φροντίζουμε η καμπύλη να διέρχεται από αυτά τα σημεία. Συνήθως τα γνωστά σημεία είναι τα μέγιστα, τα ελάχιστα, τα σημεία καμπής, οι ρίζες, το σημείο τομής με τον άξονα ψ'ψ. Αν η συνάρτηση είναι κυρτή, τότε η γραφική παράσταση είναι τέτοια, ώστε η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο να μην είναι πάνω από οποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης. Αντίστροφα, αν η συνάρτηση είναι κοίλη, τότε η γραφική παράσταση είναι τέτοια, ώστε η εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο να μην είναι κάτω από οποιοδήποτε σημείο της συνάρτησης. Εμπειρικά μια κυρτή συνάρτηση μοιάζει με ποτήρι που κρατάει νερό, ενώ η κοίλη με αναποδογυρισμένο ποτήρι που δεν κρατάει νερό. Όλες οι παραπάνω πληροφορίες συγκεντρώνονται σε έναν πίνακα, ο οποίος ονομάζεται πίνακας μεταβολών της συνάρτησης. Αν μια συνάρτηση είναι συμμετρική, τότε μπορεί να κατασκευαστεί μόνο ένα μέρος της συνάρτησης και το υπόλοιπο προκύπτει με κατάλληλη επανάληψη του προηγούμενου μέρους. Στις περιοδικές συναρτήσεις επαναλαμβάνεται η γραφική παράσταση της περιόδου. Στις άρτιες ο άξονας ψ'ψ είναι άξονας συμμετρίας, ενώ στις περιττές σημείο συμμετρίας είναι η αρχή των αξόνων. Δεν υπάρχουν συναρτήσεις με άξονα συμμετρίας τον άξονα χ'χ γιατί τότε θα παραβιαζόταν ο ορισμός της συνάρτησης, εκτός από τις συναρτήσεις με μοναδική τιμή το 0. Οι συμμετρίες που αναφέρονται είναι ενδεικτικές, υπάρχει περίπτωση μια συνάρτηση να είναι συμμετρική ως προς την ευθεία χ=α και όχι τον άξονα ψ'ψ (την ευθεία χ=0). Η ακριβής κατασκευή μιας γραφικής παράστασης είναι αδύνατη, τουλάχιστον σύμφωνα με τη θεωρία σφαλμάτων. Αυτό συμβαίνει γιατί δεν υπάρχουν τέλεια όργανα, τέλειοι χειρισμοί τους, ή ακόμη η γραφική παράσταση μπορεί να είναι μια καμπύλη γραμμή άπειρου μήκους. Συνήθως απεικονίζεται μόνο το μέρος της γραφικής παράστασης που μας ενδιαφέρει. Η γραμμή που θα χρησιμοποιήσουμε θα έχει αναγκαστικά κάποιο πάχος. Επιπλέον, στους υπολογισμούς υπάρχει πάντα κάποιο σφάλμα. Είναι λοιπόν χρήσιμο το πάχος της γραμμής που θα χρησιμοποιήσουμε να είναι τόσο όσο και το σφάλμα, ώστε να αποδοθεί μία σαφής εικόνα για τις μετρήσεις και τους υπολογισμούς. Επιπλέον, στα σημεία που υπολογίστηκαν ή μετρήθηκαν εκτός από κουκκίδα σημειώνονται και με σταυρό, όπου τα μήκη των δύο πλευρών του είναι ανάλογα του σφάλματος στον κάθε άξονα. Αρκετές φορές τυχαίνει η ακρίβεια προσδιορισμού της ανεξάρτητης μεταβλητής να είναι διαφορετική από την ακρίβεια της εξαρτημένης. Άλλο χαρακτηριστικό των γραφικών παραστάσεων είναι η μετατόπιση των αξόνων ή διαφορετική βαθμονόμησή τους ανάλογα με τις ανάγκες μας. Αυτή η μετατόπιση επιτρέπει να απεικονιστεί μόνο το τμήμα της συνάρτησης που μας ενδιαφέρει στην ανάλογη κλίμακα. Αυτό όμως, έχει σαν αποτέλεσμα το σύστημα συντεταγμένων να μην είναι πλέον ορθοκανονικό, ίσως ούτε καν ορθογώνιο, αφού οι δύο αρχές των αξόνων μπορεί να μην ταυτίζονται, ή να μην εμφανίζονται στην απεικόνιση.