Εργοδικότητα

Στα μαθηματικά ο όρος εργοδικό χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα δυναμικό σύστημα το οποίο, σε γενικές γραμμές, έχει την ίδια συμπεριφορά με μέσο όρο τον χρόνο, καθώς και κατά μέσο όρο τον χώρο. Στη φυσική, ο όρος χρησιμοποιείται για να σημαίνει ότι το σύστημα πληροί την εργοδική υπόθεση της θερμοδυναμικής.

 Η λέξη εργοδικό προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις έργον και οδός, το έργο και η πορεία. Αυτό επιλέχθηκε από τον Λούντβιχ Μπόλτσμαν, ενώ εργαζόταν πάνω σε ένα πρόβλημα στην στατιστική μηχανική. Ας είναι ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\;\Sigma ,\;\mu \,)} ένας χώρος πιθανοτήτων, και έστω T : X → X {\displaystyle T:X\to X} ένας μετασχηματισμός που διατηρεί το μέτρο. Λέμε ότι ο Τ είναι εργοδικός σε σχέση με το μ {\displaystyle \mu } (ή, εναλλακτικά, ότι το μ {\displaystyle \mu } είναι εργοδικό σε σχέση με το Τ ' »), εάν ένα από τα ακόλουθα είναι αλήθεια: Για κάθε E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } με T − 1 ( E ) = E {\displaystyle T^{-1}(E)=E\,} είτε μ ( E ) = 0 {\displaystyle \mu (E)=0\,} ή μ ( E ) = 1 {\displaystyle \mu (E)=1\,} . Για κάθε E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } με μ ( T − 1 ( E ) △ E ) = 0 {\displaystyle \mu (T^{-1}(E)\bigtriangleup E)=0} , είτε μ ( E ) = 0 {\displaystyle \mu (E)=0\,} ή μ ( E ) = 1 {\displaystyle \mu (E)=1\,} (όπου △ {\displaystyle \bigtriangleup } δηλώνει την συμμετρική διαφορά). Για κάθε E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } με θετικό μέτρο έχουμε μ ( ∪ n = 1 ∞ T − n E ) = 1 {\displaystyle \mu (\cup _{n=1}^{\infty }T^{-n}E)=1} . Για κάθε δύο σύνολαΕκαιΗ θετικού μέτρου, υπάρχει μιαn> 0 τέτοιο ώστε μ ( T − n E ∩ H ) > 0 {\displaystyle \mu (T^{-n}E\cap H)>0} . Οι ορισμοί αυτοί έχουν φυσικά ανάλογα και στην περίπτωση των μετρήσιμων ροών και, γενικότερα, σε πράξεις ημιομάδων που αφήνουν αναλλοίωτο το μέτρο. Ας είναι {Tt} μια μετρήσιμη ροή στο (X, Σ, μ). Ένα στοιχείοΑτηςΣείναι αναλλοίωτο mod 0 υπό {Tt} αν μ ( T t ( A ) △ A ) = 0 {\displaystyle \mu (T^{t}(A)\bigtriangleup A)=0} για κάθε t ∈ R. Μετρήσιμα σύνολα αναλλοίωτα mod 0 υπό μια ροή ή μιας δράσης ημιομάδας σχηματίζουν αναλλοίωτη υποάλγεβρα της Σ, και το αντίστοιχο δυναμικό σύστημα που διατηρεί το μέτρο είναι εργοδικό αν η αναλλοίωτη υποάλγεβρα είναι η τετριμμένη σ-άλγεβρα που αποτελούνται από τα σύνολα με μέτρο 0 και τα συμπληρώματα αυτών στο Χ. Σε μια Μαρκοβιανή Αλυσίδα, η κατάσταση i {\displaystyle i} λέγεται ότι είναι εργοδική αν είναι απεριοδική και θετικά επαναλαμβανόμενη. Εάν όλες οι καταστάσεις σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδικές, τότε η αλυσίδα λέγεται ότι είναι εργοδική. Εννοιολογικά, εργοδικότητα ενός δυναμικού συστήματος είναι μια ορισμένη αμειωτική ιδιότητα, παρόμοια με τις έννοιες της αμείωτης εκπροσώπησης στην άλγεβρα και του πρώτου αριθμού στην αριθμητική. Ένας γενικός μετασχηματισμός διατήρησης μέτρου ή μια ροή σε ένα χώρο Lebesgue λαμβάνει μια κανονική αποσύνθεση και έτσι αναλύεται σε εργοδικές συνιστώσες, καθεμιά από τις οποίες είναι εργοδική. Εργοδική θεωρία Ανάμιξη (μαθηματικά) Walters, Peter (1982), An Introduction to Ergodic Theory, Springer, ISBN 0387951520 Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002), Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, ISBN 0521808413 «Outline of Ergodic Theory» Αρχειοθετήθηκε 2007-07-10 στο Wayback Machine., του Steven Arthur Kalikow