Μέτρο του Χάαρ

Στη μαθηματική ανάλυση, το μέτρο του Χάαρ εκχωρεί έναν "αναλλοίωτο όγκο" σε υποσύνολα τοπικά συμπαγών τοπολογικών ομάδων, συνεπώς ορίζοντας ένα ολοκλήρωμα για τις συναρτήσεις σε αυτές τις ομάδες. Αυτό το μέτρο εισήχθη από τον Άλφρεντ Χάαρ το 1933. Τα μέτρα του Χάαρ χρησιμοποιούνται σε πολλά μέρη της ανάλυσης, της θεωρίας αριθμών, της θεωρίας ομάδων, της θεωρίας εκπροσώπησης, της στατιστικής και της εργοδικής θεωρίας.

 Έστω (G,.) είναι μια τοπικά συμπαγής Χάουσντορφ τοπολογική ομάδα. Η σ-άλγεβρα που παράγεται από όλα τα ανοιχτά σύνολα G ονομάζεται άλγεβρα Μπορέλ. Ένα στοιχείο της άλγεβρας Μπορέλ ονομάζεται ένα σύνολο Μπορέλ. Αν g είναι ένα στοιχείο της G και S είναι ένα υποσύνολο της G, τότε ορίζουμε την αριστερή και δεξιά μεταφορά του S ως εξής: Αριστερή μεταφορά: g S = { g . s : s ∈ S } . {\displaystyle gS=\{g.s\,:\,s\in S\}.} Δεξιά μεταφορά: S g = { s . g : s ∈ S } . {\displaystyle Sg=\{s.g\,:\,s\in S\}.} Η αριστερή και η δεξιά μεταφορά απεικονίζουν σύνολα Μπορέλ σε σύνολα Μπορέλ. Ένα μέτρο μ για τα υποσύνολα Μπορέλ της G λέγεται αριστερό-μεταβατικά-αναλλοίωτο αν για όλα τα υποσύνολα Μπορέλ S της G και όλα τα g στην G έχει μ ( g S ) = μ ( S ) . {\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).\quad } Ένας παρόμοιος ορισμός γίνεται για την δεξιά μεταβατική αναλλοιωσιμότητα. Υπάρχει, έως μια θετική πολλαπλασιαστική σταθερά, ένα μοναδικό αριθμήσιμο προσθετικό, τετριμμένο μέτρο μ για τα υποσύνολα Μπορέλ της G ικανοποιώντας τις ακόλουθες ιδιότητες: Το μέτρο μ είναι αριστερό-μεταβατικά-αναλλοίωτο: μ(gE) = μ(E) για κάθε g στην G και σύνολο Μπορέλ E. Το μέτρο μ είναι πεπερασμένο σε κάθε συμπαγές σύνολο: μ(K) < ∞ για όλα τα συμπαγή K Το μέτρο μ είναι εξωτερικό κανονικό για τα σύνολα Μπορέλ E: μ ( E ) = inf { μ ( U ) : E ⊆ U , U α ν o ι χ τ o ´ } . {\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U\ \alpha \nu \mathrm {o} \iota \chi \tau {\acute {\mathrm {o} }}\}.} Το μέτρο μ είναι εσωτερικό κανονικό σε ανοιχτά σύνολα E: μ ( E ) = sup { μ ( K ) : K ⊆ E , K σ υ μ π α γ ε ´ ς } . {\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K\ \sigma \upsilon \mu \pi \alpha \gamma {\acute {\varepsilon }}\varsigma \}.} Μπορεί να αποδειχθεί ως συνέπεια των παραπάνω ιδιοτήτων ότι μ(U) > 0 για κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο U. Συγκεκριμένα, αν G είναι συμπαγής τότε μ(G) είναι πεπερασμένο και θετικό, έτσι μπορούμε μοναδικά να καθορίσουμε ένα αριστερό μέτρο του Χάαρ στην G προσθέτοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης μ(G) = 1. Μερικοί συγγραφείς ορίζουν ένα μέτρο του Χάαρ για τα σύνολα Baire παρά τα σύνολα Μπορέλ. Αυτό καθιστά τις συνθήκες κανονικότητας περιττές καθώς τα μέτρα Baire είναι αυτομάτως κανονικά. Ο Χάλμος μάλλον συγκεχυμένα χρησιμοποιεί τον όρο "σύνολο Μπορέλ" για τα στοιχεία του σ-δακτυλίου που παράγονται από συμπαγή σύνολα, και ορίζει το μέτρο του Χάαρ σε αυτά τα σύνολα. Το αριστερό μέτρο του Χάαρ ικανοποιεί την εσωτερική συνθήκη κανονικότητας για όλα τα σ-πεπερασμένα σύνολα Μπορέλ, αλλά δεν μπορεί να είναι εσωτερικό κανονικό για όλα τα σύνολα Μπορέλ. Για παράδειγμα, το γινόμενο του μοναδιαίου κύκλου (με τη συνηθισμένη τοπολογία του) και της πραγματικής ευθείας με τη διακριτή τοπολογία είναι μια τοπικά συμπαγής ομάδα με την τοπολογία γινόμενο και το μέτρο του Χάαρ σε αυτή την ομάδα δεν είναι εσωτερικό κανονικό για το κλειστό υποσύνολο {1} x [0,1]. (Συμπαγές υποσύνολα αυτού του κατακόρυφου τμήματος είναι πεπερασμένα σύνολα και τα σημεία έχουν μέτρο 0, έτσι ώστε το μέτρο του κάθε συμπαγές υποσυνόλου αυτού του κατακόρυφου τμήματος να είναι 0. Αλλά, χρησιμοποιώντας εξωτερική ικανότητα, μπορεί κανείς να δείξει ότι το τμήμα έχει άπειρο μέτρο.) Η ύπαρξη και μοναδικότητα (έως κλιμάκωση) από ένα αριστερό μέτρο Χάαρ αποδείχθηκε για πρώτη φορά στην πλήρη γενικότητα από τον André Weil. Η απόδειξη του Weil χρησιμοποίησε το αξίωμα της επιλογής και ο Henri Cartan επίπλωσε μια απόδειξη η οποία αποφεύγει τη χρήση του. Η απόδειξη του Cartan αποδεικνύει επίσης την ύπαρξη και τη μοναδικότητα ταυτόχρονα. Μια απλοποιημένη και πλήρη έκθεση του επιχειρήματος του Cartan δόθηκε από τον Alfsen το 1963. Η ειδική περίπτωση των αμετάβλητων μέτρων για δεύτερες μετρήσιμες τοπικά συμπαγείς ομάδες είχαν δειχθεί από τον Χάαρ το 1933. Η ακόλουθη μέθοδος κατασκευής του μέτρου του Χάαρ είναι περισσότερο ή λιγότερο η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε από τον Haar και τον Weil. Για οποιαδήποτε υποσύνολα T, U του G με U nonempty καθορίζεται [T:U] να είναι ο μικρότερος αριθμός των αριστερά μεταφράσεων του U που καλύπτουν το Τ (έτσι αυτό είναι ένας μη- αρνητικός ακέραιος ή άπειρο). Αυτό δεν είναι προσθετικό σε συμπαγή σύνολα Τ, αν και έχει την ιδιότητα ότι [S:U]+ [T:U] = [S∪T:U] για ξένα συμπαγή σύνολα S και Τ με την προϋπόθεση ότι U είναι μια αρκετά μικρή ανοιχτή γειτονιά της ταυτότητας (ανάλογα με την S και T). Η ιδέα του μέτρου του Χάαρ είναι να λάβει ένα είδος ορίου του [T:U] ώστε, καθώς το U μικραίνει, να γίνεται αθροιστικό σε όλα τα ζεύγη των ασύνδετων συμπαγών συνόλων, αν και πρέπει πρώτα να ομαλοποιηθεί έτσι ώστε το όριο να μην είναι άπειρο. Έτσι καθορίζεται ένα συμπαγές σύνολο Α με μη- κενό εσωτερικό (που υπάρχει όσο η ομάδα είναι τοπικά συμπαγής) και για ένα συμπαγές σύνολο Τ ορίζεται μ A ( T ) = lim U [ T : U ] [ A : U ] {\displaystyle \mu _{\mathrm {A} }(\mathrm {T} )=\lim _{U}{\tfrac {[\mathrm {T} :U]}{[\mathrm {A} :U]}}} όπου το όριο λαμβάνεται πάνω από ένα κατάλληλα κατευθυνόμενο σύνολο από ανοιχτές γειτονιές της ταυτότητας που τελικά περιέχεται σε κάθε δεδομένη γειτονιάˑ η ύπαρξη ενός κατευθυνόμενου συνόλου έτσι ώστε να υπάρχει το όριο εξής χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Tychonoff. Η συνάρτηση μA είναι πρόσθετη σε ξένα συμπαγή σύνολα του G, πράγμα που σημαίνει ότι πρόκειται για ένα ομαλό περιεχόμενο. Από ένα ομαλό περιεχόμενο μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα μέτρο εκτείνοντας πρώτα το μA να ανοίξει σύνολα από το εσωτερικό της κανονικότητας, στη συνέχεια, σε όλα τα σύνολα από την εξωτερική κανονικότητα, και στη συνέχεια περιορίζοντάς την στα σύνολα Borel. (Ακόμη και για τα ανοιχτά σύνολα Τ, το αντίστοιχο μέτρο μA(T) δεν χρειάζεται να δοθεί από τον οριακό τύπο sup παραπάνω. Το πρόβλημα είναι ότι η συνάρτηση που δίνεται από τον τύπο sup δεν είναι μετρήσιμα υποπρόσθετη εν γένει και, ειδικότερα, είναι άπειρη σε οποιοδήποτε σύνολο, χωρίς συμπαγή κλείσιμο, οπότε δεν είναι ένα εξωτερικό μέτρο.) Ο Cartan εισήγαγε έναν άλλο τρόπο κατασκευής του μέτρου του Χάαρ ως μέτρο ραδόνιο (μια θετική γραμμική συνάρτηση σε υποστηριζόμενες συμπαγώς συνεχείς συναρτήσεις), η οποία είναι παρόμοια με την παραπάνω κατασκευή εκτός του ότι τα A, S, T και U είναι θετικές συνεχείς συναρτήσεις της συμπαγής υποστήριξης και όχι υποσύνολα του G. Στην περίπτωση αυτή, ορίζουμε [T:U] να είναι το μεγαλύτερο κάτω πέρας (infimum) των αριθμών c1+...+cn τέτοια ώστε το T(g) να είναι μικρότερο από το γραμμικό συνδυασμό c1U(g1g)+...+cnU(gng) των αριστερών μεταφράσεων του U για κάποια g1,...,gn. Όπως και πριν, ορίζουμε μ A ( T ) = lim U [ T : U ] [ A : U ] {\displaystyle \mu _{\mathrm {A} }(\mathrm {T} )=\lim _{U}{\tfrac {[\mathrm {T} :U]}{[\mathrm {A} :U]}}} Το γεγονός ότι το όριο υπάρχει, χρειάζεται κάποια προσπάθεια για να αποδειχθεί, Ωστόσο το πλεονέκτημα για να γίνει αυτό είναι ότι η απόδειξη αποφεύγει τη χρήση του αξιώματος της επιλογής και δίνει επίσης τη μοναδικότητα του μέτρου του Χάαρ ως υποπροΪόν. Η συνάρτηση μA εκτείνεται σε μια θετική γραμμική συνάρτηση σε συμπαγή φορέα συνεχών συναρτήσεων και έτσι δίνει ένα μέτρο Χάαρ. (Σημειώστε ότι ακόμα κι αν το όριο είναι γραμμικό στο Τ, οι επιμέρους όροι [T:U] δεν είναι συνήθως γραμμικοί στο Τ.) Ο Von Neumann έδωσε μια μέθοδο κατασκευής του μέτρου του Χάαρ χρησιμοποιώντας μέσες τιμές των συναρτήσεων, αν και λειτουργεί μόνο για συμπαγής ομάδες. Η ιδέα είναι ότι δίνοντας μια συνάρτηση f σε μια συμπαγή ομάδα, μπορεί κανείς να βρει ένα κυρτό συνδυασμό Σaif(gig) (όπου Σai=1) της αριστερής μετάφρασης που διαφέρει από μια συνεχή συνάρτηση από το πολύ κάποιο μικρό αριθμό ε. Τότε ένας δείχνει ότι όσο το ε τείνει στο μηδέν, οι τιμές αυτών των σταθερών συναρτήσεων τείνουν σε ένα όριο, το οποίο ονομάζεται μέση τιμή (ή ολοκλήρωμα) της συνάρτησης f. Για τις ομάδες που είναι τοπικά συμπαγής, αλλά όχι συμπαγής η κατασκευή αυτή δε δίνει μέτρο Χάαρ όσο η μέση τιμή των συμπαγώς υποστηριζόμενων συναρτήσεων είναι μηδέν. Ωστόσο, κάτι σαν αυτό λειτουργεί για σχεδόν περιοδικές συναρτήσεις στην ομάδα που έχουν μια μέση τιμή, αν και αυτό δεν δίνεται με σεβασμό στο μέτρο του Χάαρ. Σε μια ομάδα Lie n- διαστάσεων, το μέτρο του Χάαρ μπορεί να κατασκευαστεί εύκολα ως το μέτρο που προκαλείται από μια αριστερή- αμετάβλητης n-μορφή. Αυτό ήταν γνωστό πριν από το θεώρημα του Χάαρ. Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα μοναδικό (πάνω στον πολλαπλασιασμό από μια θετική σταθερά) δεξιό-μετάφραση-αναλλοίωτο μέτρο του Borel ν {\displaystyle \nu } που πληροί τις παραπάνω προϋποθέσεις κανονικότητας και να είναι πεπερασμένο σε συμπαγή σύνολα, αλλά δεν χρειάζεται να συμπίπτει με το αριστερό-μετάφρασης -αναλλοίωτο μέτρο μ {\displaystyle \mu } . Τα αριστερά και δεξιά μέτρα Χάαρ είναι τα ίδια μόνο για τις λεγόμενες unimodular ομάδες (βλέπε παρακάτω). Είναι αρκετά απλό, όμως, να βρούμε μια σχέση μεταξύ της μ {\displaystyle \mu } και ν {\displaystyle \nu } . Πράγματι, για ένα σύνολο Borel S, ας συμβολίζουμε με S − 1 {\displaystyle S^{-1}} το σύνολο των αντίστροφων των στοιχείων του S. Αν ορίσουμε μ − 1 ( S ) = μ ( S − 1 ) {\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})} τότε αυτό είναι ένα δεξί μέτρο Χάαρ. Για να δείξουμε δεξί αναλλοίωτο, εφαρμόζουμε τον ορισμό: μ − 1 ( S g ) = μ ( ( S g ) − 1 ) = μ ( g − 1 S − 1 ) = μ ( S − 1 ) = μ − 1 ( S ) {\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S)} Επειδή το δεξί μέτρο είναι μοναδικό, έπεται ότι μ-1 είναι ένα πολλαπλάσιο του ν και οπότε μ ( S − 1 ) = k ν ( S ) {\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)} για όλα τα Borel σύνολα S, όπου k είναι κάποια θετική σταθερά. Η αριστερή μετάφραση ενός δεξιού μέτρου Χάαρ είναι ένα δεξί μέτρο Χάαρ. Πιο συγκεκριμένα, αν ν είναι ένα δεξί μέτρο Χάαρ, τότε S ↦ ν ( g − 1 S ) {\displaystyle S\mapsto \nu (g^{-1}S)} είναι επίσης δεξί αμετάβλητο. Έτσι, από τη μοναδικότητα του μέτρου Χάαρ, υπάρχει μια συνάρτηση Δ από την ομάδα των θετικών πραγματικών, που ονομάζεται αρθρωτό (modulus) Χάαρ, αρθρωτή συνάρτηση ή αρθρωτός χαρακτήρας, τέτοια ώστε για κάθε Borel σύνολο S ν ( g − 1 S ) = Δ ( g ) ν ( S ) {\displaystyle \nu (g^{-1}S)=\Delta (g)\nu (S)} Αφού το δεξί μέτρο Χάαρ είναι καλά καθορισμένο σε ένα θετικό συντελεστή κλίμακας, αυτή η εξίσωση δείχνει ότι η αρθρωτή συνάρτηση είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του δεξιού μέτρου Χάαρ στην παραπάνω εξίσωση. Η αρθρωτή συνάρτηση είναι μια συνεχής ομάδα ομομορφισμού στην πολλαπλασιαστική ομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών. Μια ομάδα καλείται unimodular αν η αρθρωτή συνάρτηση είναι πανομοιότυπη 1, ή, ισοδύναμα, εάν το μέτρο Χάαρ είναι τόσο αριστερό και δεξί αμετάβλητο. Παραδείγματα unimodular ομάδων είναι οι αβελιανές ομάδες, οι συμπαγείς ομάδες, οι διακριτές ομάδες (π.χ., πεπερασμένων ομάδων), semisimple Lie ομάδων και συνδέδεμένες nilpotent ομάδες Lie. Ένα παράδειγμα μιας μη-unimodular ομάδας είναι η ομάδα των μετασχηματισμών affine. { x ↦ a x + b : a ∈ ℜ ∖ { 0 } , b ∈ ℜ } = { [ a b 0 1 ] } {\displaystyle {\{{x\mapsto {ax+b}:a\in \Re \backslash \{0\},b\in \Re }\}}=\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}\}} στην πραγματική ευθεία. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι μια επιλύσιμη ομάδα Lie δεν χρειάζεται να είναι unimodular. Σε αυτή την ομάδα, ένα αριστερό μέτρο Χάαρ δίνεται από το dadb/a2, και ένα δεξί μέτρο Χάαρ από το dadb/|a|. Αν η τοπικά συμπαγής ομάδα G δρα μεταβατικά σε ένα χώρο G/H, μπορεί κανείς να ρωτήσει αν αυτός ο χώρος έχει ένα αναλλοίωτο μέτρο, ή ακόμη γενικότερα ένα σχετικά αναλλοίωτο μέτρο με την ιδιότητα ότι μ(gE) = χ(g)μ(E) για κάποιο χαρακτήρα χ της G. Μια αναγκαία και ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ενός τέτοιου μέτρου είναι ότι χ=Δ/δ στο H, όπου Δ και δ είναι οι μετροσυναρτήσεις των G και H. Ειδικότερα ένα αναλλοίωτο μέτρο στο Q υπάρχει αν και μόνο αν η μετροσυνάρτηση της G που περιορίζεται στο H είναι η μετροσυνάρτηση του H. Παράδειγμα. Αν G είναι η ομάδα SL2(R) και H η υποομάδα άνω τριγωνικών πινάκων, τότε η μετροσυνάρτηση της H είναι μη τετριμμένη αλλά η μετροσυνάρτηση της G είναι τετριμμένη. Το πηλίκο αυτών δεν μπορεί να επεκταθεί σε οποιονδήποτε χαρακτήρα της της G, έτσι ο χώρος πηλίκο G/H (ο οποίος μπορεί να θεωρηθεί ως μονοδιάστατος πραγματικός προβολικός χώρος) δεν έχει ακόμη και ένα σχετικά αναλλοίωτο μέτρο. Χρησιμοποιώντας τη γενική θεωρία της ολοκλήρωσης κατά Lebesgue, κάποιος μπορεί τότε να ορίσει ένα ολοκλήρωμα για όλες τις Μπορέλ μετρήσιμες συναρτήσεις f στη G. Αυτό το ολοκλήρωμα ονομάζεται το ολοκλήρωμα του Χάαρ. Αν μ είναι ένα αριστερό μέτρο του Χάαρ, τότε ∫ G f ( s x ) d μ ( x ) = ∫ G f ( x ) d μ ( x ) {\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)} για κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση f. Αυτό είναι άμεσο για δείκτριες συναρτήσεις, που είναι ουσιαστικά ο ορισμός της αριστερής αμεταβλητότητας. Ένα μέτρο Haar στην τοπολογική ομάδα (R, +), η οποία λαμβάνει την τιμή 1 στο διάστημα [0,1] είναι ίσο με τον περιορισμό του μέτρου Lebesgue στα υποσύνολα Borel του R. Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε (Rn, +). Αν G είναι η ομάδα των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών με τον πολλαπλασιασμό ως πράξη, τότε ένα μέτρο Haar μ δίνεται από μ ( S ) = ∫ S 1 | t | d t {\displaystyle \mu (S)=\int \limits _{S}{\frac {1}{|t|}}dt} για κάθε υποσύνολο Borel S των μη μηδενικών πραγματικών. Για παράδειγμα, αν ληφθεί S {\displaystyle S} να είναι ένα διάστημα μεταξύ δύο σημείων a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , τότε βρίσκουμε μ ( S ) = log ⁡ ( b / a ) {\displaystyle \mu (S)=\log(b/a)} . Τώρα αφήνουμε την πολλαπλασιαστική πράξη ομάδας σε αυτό το διάστημα από τον πολλαπλασιασμό όλων των στοιχείων του από έναν αριθμό g {\displaystyle g} , με αποτέλεσμα το g S {\displaystyle gS} να είναι το διάστημα με τα όρια g ⋅ a {\displaystyle g\cdot {a}} , g ⋅ b {\displaystyle g\cdot {b}} . Μετρώντας αυτό το νέο διάστημα, βρίσκουμε μ ( g S ) = log ⁡ ( ( g ⋅ b ) / ( g ⋅ a ) ) = log ⁡ ( b / a ) = μ ( S ) {\displaystyle \mu (gS)=\log((g\cdot {b})/(g\cdot {a}))=\log(b/a)=\mu (S)} Αν η ομάδα G αναπαρίσταται ως ένα ανοικτό submanifold του Rn , τότε ένα αριστερό μέτρο Χάαρ στο G δίνεται από dnx/J(x), όπου J(x) είναι Ιακωβιανός του αριστερού πολλαπλασιασμό με το x. Το δεξί μέτρο Χάαρ δίνεται με τον ίδιο τρόπο, με εξαίρεση ότι J(x) το Ιακωβιανό του δεξιού πολλαπλασιασμού με x. Ως ειδική περίπτωση της προηγούμενης κατασκευής, για G = GL(n,R), κάθε αριστερό μέτρο Χάαρ είναι μια δεξί μέτρο Χάαρ και ένα τέτοιο μέτρο μ δίνεται από μ ( S ) = ∫ S 1 | det ( X ) | n d X {\displaystyle \mu (S)=\int \limits _{S}{\frac {1}{|\det(X)|^{n}}}dX} όπου το dΧ συμβολίζει το μέτρο Lebesgue στο R n 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}} , το σύνολο όλων των n × n {\displaystyle n\times {n}} πινάκων. Αυτό προκύπτει από την αλλαγή του τύπου των μεταβλητών. Σε κάθε ομάδα Lie διάστασης d ένα αριστερό μέτρο Χάαρ μπορεί να συνδεθεί με οποιοδήποτε μη μηδενικό αριστερό αμετάβλητο d-μορφής ω, ως μέτρο Lebesgue |ω|, και ομοίως για τα δεξιά μέτρα Χάαρ. Αυτό σημαίνει επίσης ότι η αρθρωτή συνάρτηση μπορεί να υπολογιστεί, καθώς η απόλυτη τιμή της ορίζουσας της πράξης adjoint. Για να ορίσετε ένα μέτρο Χάαρ μ στον μοναδιαίο κύκλο Τ, εξετάζετε την συνάρτηση f από [0,2π] του Τ που ορίζεται από f(t) = (cos(t),sin(t)). Στη συνέχεια, το μ μπορεί να οριστεί από μ ( S ) = 1 2 π m ( f − 1 ( S ) ) {\displaystyle \mu (S)={\frac {1}{2\pi }}m(f^{-1}(S))} όπου m είναι το μέτρο Lebesgue. Ο συντελεστής (2π)−1 επιλέγεται έτσι ώστε μ(T) = 1. Αν G είναι η ομάδα των μη-μηδενική quaternions, τότε το G μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ανοικτό υποσύνολο του R4. Ένα μέτρο Χάαρ μ δίνεται από μ ( S ) = ∫ S 1 ( x 2 + y 2 + z 2 + w 2 ) 2 d x d y d z d w {\displaystyle \mu (S)=\int \limits _{S}{\frac {1}{(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2}}}dxdydzdw} όπου dx, dy, dz, dw υποδηλώνουν το μέτρο Lebesgue στον R4 και S είναι ένα Borel υποσύνολο του G. Αν G είναι η προσθετική ομάδα των p-adic αριθμών για ένα πρώτο p, τότε ένα μέτρο Χάαρ δίνεται αφήνοντας το a+pnO να έχει μέτρο p−n, όπου Ο είναι ο δακτύλιος των p-adic ακεραίων. Στο ίδιο τεύχος της Επετηρίδας των Μαθηματικών και αμέσως μετά την εφημερίδα του Χάαρ, το θεώρημα Χάαρ χρησιμοποιήθηκε για να λύσει το πέμπτο πρόβλημα του Χίλμπερτ για τις συμπαγείς ομάδες από τον Τζον φον Νόιμαν.Εκτός αν η G είναι μία διακριτή ομάδα, είναι αδύνατο να οριστεί ένα αριθμήσιμο προσθετικό αριστερό-αναλλοίωτο κανονικό μέτρο για όλα τα υποσύνολα της G, λαμβάνοντας το αξίωμα της επιλογής, σύμφωνα με τη θεωρία των μη μετρήσιμων συνόλων. Τα μέτρα Χάαρ χρησιμοποιούνται στην αρμονική ανάλυση σχετικά με τοπικά συμπαγείς ομάδες, ιδιαίτερα στην θεωρία της δυικότητας του Ποντριάγκιν. Για να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός μέτρου Χάαρ σε μία τοπικά συμπαγή ομάδα G αρκεί να δείξουμε ένα αριστερό-αναλλοίωτο μέτρο του Radon στην G. Στη μαθηματική στατιστική, τα μέτρα Χάαρ χρησιμοποιούνται για πρότερα μέτρα, τα οποία είναι πρότερες πιθανότητες για συμπαγείς ομάδες μετασχηματισμών. Αυτά τα πρότερα μέτρα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή αποδεκτών διαδικασιών, με προσφυγή στον χαρακτηρισμό των αποδεκτών διαδικασιών ως Μπεϋζιανές διαδικασίες (ή όρια Μπεϋζιανών διαδικασιών) από τον Wald. Για παράδειγμα, ένα δεξί μέτρο Χάαρ για μια οικογένεια κατανομών με μια παράμετρο θέσης ως αποτέλεσμα του εκτιμητή Pitman, ο οποίος είναι ο καλύτερος ισαλλοίωτος. Όταν το αριστερό και το δεξί μέτρο του Χάαρ διαφέρουν, το δεξί μέτρο συνήθως προτιμάται ως μια πρότερη κατανομή. Για την ομάδα των συσχετισμένων μετασχηματισμών στον παραμετρικό χώρο της κανονικής κατανομής, το δεξί μέτρο του Χάαρ είναι το Jeffreys κατανομή μέτρο. Δυστυχώς, ακόμη και τα δεξιά μέτρα του Χάαρ μερικές φορές οδηγούν σε άχρηστες κατανομές, οι οποίες δεν μπορεί να προτείνονται για πρακτική χρήση, όπως και άλλες μέθοδοι κατασκευής πρότερων μέτρων που αποφεύγονται υποκειμενικές πληροφορίες.Μια άλλη χρήση του μέτρου Χάαρ στην στατιστική είναι στην υπό συνθήκη συμπερασματολογία, στην οποία η δειγματοληπτική κατανομή ενός στατιστικού στοιχείου προσαρμόζεται σε ένα άλλο στατιστικό στοιχείο των δεδομένων. Στην αναλλοίωτη-θεωρητική υπό συνθήκη συμπερασματολογία η δειγματοληπτική κατανομή προσαρμόζεται σε μια σταθερά της ομάδας μετασχηματισμών (ως προς την οποία το μέτρο του Χάαρ ορίζεται). Το αποτέλεσμα της κατάστασης μερικές φορές εξαρτάται από την σειρά με την οποία χρησιμοποιούνται οι σταθερές και από την επιλογή μιας μέγιστης σταθεράς, έτσι ώστε από μόνη της μια στατιστική αρχή αμεταβλητότητας αποτυγχάνει να επιλέξει οποιοδήποτε μοναδικό καλύτερο υπό συνθήκη στατιστικό στοιχείο (άν υπάρχει κάποιο); τουλάχιστον άλλη μια αρχή χρειάζεται. Για τις μη συμπαγείς ομάδες, στατιστικολόγοι έχουν επεκτείνει τα αποτελέσματα του μέτρου Χάαρ χρησιμοποιώντας δεκτικές ομάδες. Το 1936 ο Weil απέδειξε ένα αντίστροφο (του είδους) του θεωρήματος του Χάαρ, δείχνοντας ότι αν μια ομάδα έχει ένα δεξί αμετάβλητο μέτρο για το οποίο μπορεί κανείς να ορίσει ένα προϊόν συνέλιξη, τότε μπορεί κανείς να καθορίσει μια τοπολογία σε μια ομάδα, και το ολοκλήρωμα της ομάδας είναι τοπικά συμπαγής και το δεδομένο μέτρο είναι ουσιαστικά το ίδιο με το μέτρο του Χάαρ σε αυτό το ολοκλήρωμα. Δυικότητα του Ποντριάγκιν Lynn Loomis, Μια εισαγωγή στην Αφηρημένη Αρμονική Ανάλυση, D. van Nostrand and Co., 1953. Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963), Αφηρημένη αρμονική ανάλυση. Τόμος I: Δομή τοπολογικών ομάδων. Θεωρία ολοκλήρωσης, αναπαραστάσεις ομάδας., Οι Βασικές διδασκαλίες των μαθηματικών Επιστημών, 115, Βερολίνο-Γκέτινγκεν-Χαϊδελβέργη: Springer-Verlag Nachbin, Leopoldo (1965), Το ολοκλήρωμα του Χάαρ, Πρίνστον, Νιου Τζέρσεϊ: D. Van Nostrand Αντρέ Βέιλ, Βασική Θεωρία Αριθμών, Ακαδημαικός Τύπος, 1971. Η ύπαρξη και η μοναδικότητα του ολοκληρώματος Χάαρ σε μία τοπικά συμπαγή τοπολογική ομάδα - από τον K. Pedersen Σχετικά με την Ύπαρξη και τη Μοναδικότητα Αναλλοίωτων Μέτρων για Τοπικά Συμπαγείς Ομάδες - από τον Simon Rubinstein-Salzedo