Χέρμαν Βάυλ

Ο Χέρμαν Κλάους Χούγκο Βάυλ, μέλος της Βασιλικής Εταιρείας (Hermann Klaus Hugo Weyl, 9 Νοεμβρίου 1885 – 8 Δεκεμβρίου 1955) ήταν Γερμανός μαθηματικός, θεωρητικός φυσικός και φιλόσοφος. Παρά το γεγονός ότι ένα μεγάλο μέρος της επαγγελματικής ζωής του, το πέρασε στη Ζυρίχη, στην Ελβετία και στη συνέχεια στο Πρίνστον, είναι συνδεδεμένος με το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν Παράδοσης των Μαθηματικών, εκπροσωπούμενος από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Χέρμαν Μινκόβσκι. Η έρευνά του έχει μεγάλη σημασία για τη Θεωρητική Φυσική καθώς και για καθαρά μαθηματικές επιστήμες συμπεριλαμβανομένης της Θεωρίας Αριθμών. Ήταν ένας από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του εικοστού αιώνα, και ένα σημαντικό μέλος του Ινστιτούτου για Προηγμένες Μελέτες κατά τα πρώτα του χρόνια.Ο Βάυλ δημοσίευσε τεχνικές και κάποιες γενικές έρευνες πάνω στον χώρο, τον χρόνο, την ύλη, τη φιλοσοφία, τη λογική, τη συμμετρία και την ιστορία των μαθηματικών. Ήταν ένας από τους πρώτους που συνέλαβε την ιδέα του συνδυασμού της γενικής σχετικότητας με τους νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού.Ενώ κανένας μαθηματικός της γενιάς του δε φιλοδοξούσε τον «οικουμενισμό» του Ανρί Πουανκαρέ ή του Χίλμπερτ, ο Βάυλ ήρθε πιο κοντά από οποιονδήποτε άλλον. Ο Μάικλ Φράνσις Ατίγια, συγκεκριμένα , σχολίασε ότι κάθε φορά που εξέταζε ένα μαθηματικό θέμα, διαπίστωνε ότι ο Βάυλ τον είχε προηγηθεί(The Mathematical Intelligencer (1984), vol.6 no.1).

 Ο Βάυλ γεννήθηκε στο Έλμσχορν (Elmshorn), μια μικρή πόλη κοντά στο Αμβούργο, στη Γερμανία, και παρακολούθησε το γυμνάσιο Christianeum στην Αλτόνα.Από το 1904 μέχρι το 1908 σπούδασε μαθηματικά και φυσική, στο Γκέτινγκεν και στο Μόναχο. Το διδακτορικό δίπλωμα τού απονεμήθηκε στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν , υπό την επίβλεψη του Ντάβιντ Χίλμπερτ τον οποίο θαύμαζε. Αφού δίδαξε για μερικά χρόνια, έφυγε από το Γκέτινγκεν και πήγε στη Ζυρίχη για να αναλάβει την προεδρία των μαθηματικών στο ETH της Ζυρίχης, όπου ήταν συνάδελφος του Άλμπερτ Αϊνστάιν, ο οποίος δούλευε πάνω στις λεπτομέρειες της θεωρίας της γενικής σχετικότητας. Ο Αϊνστάιν είχε μια διαρκή επιρροή στον Βάυλ, ο οποίος γοητεύτηκε από τη μαθηματική φυσική. Ο Βάυλ γνώρισε τον Έρβιν Σρέντιγκερ το 1921, όταν αυτός διορίστηκε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης. Έγιναν στενοί φίλοι με την πάροδο του χρόνου.Ο Βάυλ συνέπτυξε ερωτική σχέση με την Ανν-Μαρί ( Άννυ ) Σρέντιγκερ, καθώς η Άννυ τον βοηθούσε να μεγαλώσει μια κόρη,την οποία είχε με μια άλλη γυναίκα.Ο Βάυλ έφυγε από τη Ζυρίχη το 1930 για να διαδεχθεί τον Χίλμπερτ στο Γκέτινγκεν, εγκατέλειψε όμως τη θέση όταν οι Ναζί ανέλαβαν την εξουσία το 1933, κυρίως διότι η σύζυγός του ήταν εβραϊκής καταγωγής. Του είχε προσφερθεί μία από τις πρώτες θέσεις στο νέο Ινστιτούτο για Προηγμένες Μελέτες του Πρίνστον, στο Νιου Τζέρσεϊ, αλλά την απέριψε επειδή δεν επιθυμούσε να αφήσει την πατρίδα του. Δεδομένου ότι η πολιτική κατάσταση στη Γερμανία χειροτέρευε, άλλαξε γνώμη και δέχτηκε τη θέση όταν του προσφέρθηκε και πάλι. Παρέμεινε εκεί μέχρι τη συνταξιοδότησή του το 1951. Μαζί με τη σύζυγό του, πέρασε το χρόνο του μεταξύ Πρίνστον και Ζυρίχης και πέθανε στη Ζυρίχη το 1955. Για περισσότερες πληροφορίες δείτε: Νόμος του Βάυλ, Εικασία του Βάυλ, Ασυμπτωτική κατανομή των ιδιοτιμών.Το 1911 ο Βάυλ δημοσίευσε την Uber die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (Από την ασυμπτωτική κατανομή των ιδιοτιμών ), στην οποία απέδειξε ότι οι ιδιοτιμές του Λαπλάς στον συμπαγή τομέα κατανέμονται σύμφωνα με το λεγόμενο Νόμο του Βάυλ. Το 1912 πρότεινε μια νέα απόδειξη , με βάση τις αρχές της Μεταβολικής. Ο Βάυλ επέστρεψε σε αυτό το θέμα αρκετές φορές, σκεπτόμενος το σύστημα ελαστικότητας και διατύπωσε την εικασία του Βάυλ. Αυτές οι εργασίες δημιούργησαν ένα σημαντικό τομέα, την ασυμπτωτική κατανομή των ιδιοτιμών της Μοντέρνας Ανάλυσης. Για περισσότερες πληροφορίες δείτε: μετασχηματισμός του Βάυλ, τανυστής του Βάυλ.Το 1913, ο Βάυλ δημοσίευσε την Die Idee der Riemannschen Fläche (Η έννοια της επιφάνειας Riemann), η οποία έδωσε μια ενιαία αντιμετώπιση της επιφάνειας του Riemann. Σε αυτό ο Βάυλ αξιοποίησε την τοπολογία σημείου, προκειμένου να καταστεί η θεωρία επιφάνειας του Riemann αυστηρότερη, ένα μοντέλο που ακολουθήθηκε σε μεταγενέστερο έργο στην πολλαπλότητα. Απορρόφησε την πρόωρη εργασία του Λ. Ε. Τζ. Μπράουερ στην τοπολογία για τον σκοπό αυτό. Ο Βάυλ, ως σημαντική φυσιογνωμία στο σχολείο Γκέτινγκεν, γνώριζε άριστα το έργο του Αϊνστάιν από τις πρώτες ημέρες του. Παρακολούθησε την εξέλιξη της σχετικότητας της φυσικής στο έργο του Raum, Zeit, Materie (Χώρος, Χρόνος, Ύλη) από το 1918, φθάνοντας την τέταρτη έκδοση το 1922. Το 1918, εισήγαγε την έννοια της βαθμίδας, και έδωσε το πρώτο παράδειγμα αυτό που είναι τώρα γνωστό ως Θεωρία βαθμίδας. Η Θεωρία βαθμίδας του Βάυλ ήταν μια αποτυχημένη προσπάθεια να διαμορφώσει το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και το βαρυτικό πεδίο ως γεωμετρικών ιδιοτήτων του χωροχρόνου. Ο τανυστής του Βάυλ στη Γεωμετρία του Riemann είναι μείζονος σημασίας για την κατανόηση της φύσης της σύμμορφης γεωμετρίας. Το 1929, ο Βάυλ εισήγαγε την έννοια των "Τετράδων" στη γενική σχετικότητα.Η γενική προσέγγισή του στη φυσική βασίστηκε στη φαινομενολογική φιλοσοφία του Έντμουντ Χούσερλ, συγκεκριμένα στο έργο του Χούσερλ το 1913 Ideen zu einer reinen Phänomenologie und phänomenologischen Philosophie. Erstes Buch: Allgemeine Einführung in die reine Phänomenologie (Ιδέες μιας καθαρής Φαινομενολογίας και Φαινομενολογικής φιλοσοφίας. Πρώτο Βιβλίο: Γενική Εισαγωγή). Προφανώς αυτός ήταν ο τρόπος του Βείλ για να αντιμετωπίσει την αμφιλεγόμενη εξάρτηση του Αϊνστάιν για την φαινομενολογική φυσική του Ερνέστου Μαχ.Ο Χούσερλ είχε αντιδράσει έντονα στις κριτικές του Γκότλομπ Φρέγκε για την πρώτη του δουλεία στην φιλοσοφία της αριθμητικής και διερευνούσε τις έννοιες των μαθηματικών και άλλων δομών, τις οποίες ο Φρέγκε είχε διακρίνει από εμπειρικές αναφορές. Ως εκ τούτου υπάρχει σοβαρός λόγος να προβληθεί η θεωρία των βαθμίδων, όπως αναπτύχθηκε από τις ιδέες του Βάυλ δηλαδή ως ένας φορμαλισμός της φυσικής μέτρησης και όχι ως μια θεωρία οτιδήποτε φυσικού, π.χ. ως επιστημονικός φορμαλισμός. Από το 1923 έως το 1938, ο Βάυλ ανέπτυξε την θεωρία των συμπαγών ομάδων, από την άποψη της αναπαράστασης πινάκων. Στην περίπτωση των συμπαγών ομάδων Λι απέδειξε ένα θεμελιώδη τύπο χαρακτήρων. Τα αποτελέσματα αυτά είναι θεμελιώδη για την κατανόηση της δομής της συμμετρίας της κβαντομηχανικής, τα οποία έθεσε σε μία ομαδοποιμενη-θεωρητικη βάση. Αυτό περιελάμβανε διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς. Μαζί με την μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής, που σε μεγάλο βαθμό οφείλεται στον Τζον φον Νόιμαν, έκανε το θέμα γνωστό περίπου από το 1930. Οι μη-συμπαγείς ομάδες και οι εκπρόσωποί τους, ιδίως η ομάδα Χάιζενμπεργκ, είχαν επίσης εξορθολογιστεί σε εκείνο το συγκεκριμένο πλαίσιο, από το 1927 η κβάντωση Βάυλ, παραμένει η καλύτερη υφιστάμενη γέφυρα μεταξύ κλασικής και κβαντικής φυσικής μέχρι και σήμερα. Από αυτή τη περίοδο, και σίγουρα με μεγάλη συμβολή των εγχειριδίων του Βάυλ, οι ομάδες Λι και η άλγεβρα Λι έγιναν η επικρατούσα τάση για τα Καθαρά Μαθηματικά και για την Θεωρητική Φυσική. Το βιβλίο του Οι Κλασσικές Ομάδες, ένα εμπνευστικό αν και δύσκολα κατανοητό κείμενο, επανεξέτασε την θεωρία αναλλοίωτης βαθμίδας. Κάλυπτε τις συμμετρικές ομάδες, τις ομάδες γενικών γραμμικών, τις ορθογωνικές ομάδες, και συμπλεκτικές ομάδες, και τα αποτελέσματά πάνω στις σταθερές και στις αναπαραστάσεις. Για περισσότερες πληροφορίες δείτε: κριτήριο του Βάυλ.Ο Βάυλ έδειξε επίσης πως να χρησιμοποιηθούν τα εκθετικά αθροίσματα στην διοφαντική προσέγγιση, με το κριτήριο της ομοιόμορφης κατανομής ενότητα 1, το οποίο ήταν ένα θεμελιώδες βήμα στην αναλυτική θεωρία αριθμών. Το έργο αυτό εφαρμόστηκε στην ζήτα συνάρτηση του Riemann, καθώς και στην θεωρία πρόσθετων αριθμών και αναπτύχθηκε από πολλούς άλλους. Στο βιβλίο του Η Συνέχεια (The Continuum) ο Βάυλ ανέπτυξε την λογική της predicative analysis χρησιμοποιώντας τα κατώτερα επίπεδα της "διακλαδιζόμενης" θεωρίας των τύπων του Μπέρτραντ Ράσελ. Ήταν σε θέση να αναπτύξει το μεγαλύτερο μέρος του κλασικού λογισμού,χωρίς να χρησιμοποιήσει ούτε αξίωμα της επιλογής ούτε την εις άτοπον απαγωγή, και αποφεύγοντας την Θεωρία Συνόλων του Γκέοργκ Κάντορ. Ο Βάυλ εκείνη την περίοδο άσκησε έφεση κατά του ριζοσπαστικού κονστρουκτιβισμού,του γερμανικού ρομαντισμού, χαρακτηριζόμενος ως ιδεαλιστής κατά τον Γιόχαν Γκότλιμπ Φίχτε Λίγο μετά την δημοσίευση του βιβλίου του Η Συνέχεια ο Βάυλ στράφηκε όλοσχερώς στα φιλοσοφικά μαθηματικά και ιδιαίτερα στην εργασία του Λ. Ε. Τζ. Μπράουερ . Στο βιβλίο του Η Συνέχεια , τα οικοδομημένα σημεία υπήρχαν ως διακριτές οντότητες,όμως ο Βάυλ ήθελε η Συνέχεια να αποκτήσει διαφορετικό νόημα και να μην ήταν ένα σύνολο των σημείων . Έγραψε ένα αμφιλεγόμενο άρθρο διακηρύσσοντας για τον ίδιο και Λ. Ε. Τζ. Μπράουερ , " Είμαστε η επανάσταση." Το άρθρο αυτό είχε πολύ μεγαλύτερη επιρροή και από τα πρωτότυπα έργα του Μπράουερ . Ο George Pólya και ο Βάυλ, κατά τη διάρκεια ενός μαθηματικού συνεδρίου στη Ζυρίχη (9 Φεβρουαρίου 1918) , έβαλαν ένα στοίχημα σχετικά με τη μελλοντική κατεύθυνση των μαθηματικών. Ο Βάυλ προέβλεψε ότι τα επόμενα 20 χρόνια , οι μαθηματικοί θα είναι σε θέση να συνειδητοποιήσουν τη συνολική ασάφεια των εννοιών όπως πραγματικοί αριθμοί, Σύνολα, Αριθμήσιμα Σύνολα και περισσότερο, ότι το να αναρωτιέται κανείς αν είναι σωστό ή το λάθος το γεγονός ότι κάθε σύνολο πραγματικών αριθμών έχει μέγιστο ή ελάχιστο,θα ήταν το ίδιο άσκοπο με το να αναρωτηθεί κανείς για την αλήθεια των βασικών ισχυρισμών του Χέγκελ στην φιλοσοφία της φύσης. Οποιαδήποτε απάντηση σε τέτοια ερωτήματα θα ήταν ανεπαλήθευτη, άσχετη με την εμπειρία, και ως εκ τούτου παράλογη. Ωστόσο, μέσα σε λίγα χρόνια ο Βάυλ αποφάσισε ότι ο ιντουϊσιονισμός(διαισθητισμός) του Μπράουερ είχε θέσει πολύ μεγαλύτερους περιορισμούς σχετικά με τα μαθηματικά, όπως είχε ειπωθεί από κριτικές. Το άρθρο "Η Κρίση" ενόχλησε ιδιαίτερα τον φορμαλιστή δάσκαλο του Χίλμπερτ, αλλά αργότερα στη δεκαετία του 1920 ο Βάυλ εν μέρει συμφιλιώθηκε με τη θέση που είχε πάρει ο Χίλμπερτ. Λίγο μετά το 1928, ο Βάυλ αποφάσισε ότι ο μαθηματικός ιντουϊσιονισμός (διαισθητισμός) δεν ήταν συμβατός με τον ενθουσιασμό του για την φαινομενολογική φιλοσοφία του Χούσερλ, όπως είχε προφανώς νωρίτερα πιστέψει. Τις τελευταίες δεκαετίες της ζωής του, ο Βάυλ έδωσε έμφαση στα κατασκευαστικά μαθηματικά και έθεσε την γνώμη του σε μια θέση πιο κοντά, όχι μόνο στου Χίλμπερτ , αλλά και στου Ερνστ Κασίρερ. Ο Βάυλ αναφέρεται όμως σπάνια στον Κασίρερ, και έγραψε μόνο σύντομα άρθρα και αποσπάσματα βασιζόμενα σε αυτή τη θέση. Το 1949, ο Βάυλ ήταν πολύ απογοητευμένος με την τελική άξια του ιντουϊσιονισμού (διαισθητισμού), και έγραψε: "Τα μαθηματικά με τον Μπράουερ κερδίζουν την υψηλότερη διαισθητική σαφήνεια. Διαδέχεται στην ανάπτυξη τις απαρχές της ανάλυσης με φυσικό τρόπο ,όλη την ώρα διατηρώντας την επαφή με την διαίσθησή πολύ περισσότερο από ό,τι είχε γίνει στο παρελθόν. Δεν μπορεί κανείς να αρνηθεί, ωστόσο, ότι σε υψηλότερες και πιο γενικές θεωρίες το ανεφάρμοστο των απλών νόμων της κλασικής λογικής τελικά οδηγεί σε μια σχεδόν αφόρητη αμηχανία . Και οι μαθηματικοί παρατηρούν το μεγαλύτερο μέρος των οικοδομημάτων του που πιστεύεται ότι είναι κτισμένο από τσιμεντόλιθους να χάνεται μέσα στην ομίχλη μπροστά στα μάτια τους." Το σχόλιο του Βάυλ, αν και κατά το ήμισυ αστείο, συνοψίζει την προσωπικότητά του: Η δουλειά μου πάντα προσπαθούσε να ενώσει την αλήθεια με την ομορφιά, αλλά όταν έπρεπε να διαλέξω το ένα η το άλλο, εγώ συνήθως διάλεγα το όμορφο.Το ερώτημα για τα τελικά θεμέλια και το τελικό νόημα των μαθηματικών παραμένει ανοιχτό; δεν ξέρουμε προς ποια κατεύθυνση θα βρει την τελική του λύση ούτε καν αν μπορεί να αναμένεται μια τελική αντικειμενική απάντηση. Το "Mathematizing" μπορεί κάλλιστα να είναι μια δημιουργική δραστηριότητα του ανθρώπου, όπως η γλώσσα ή η μουσική, πρωτογενούς πρωτοτυπίας, του οποίου οι ιστορικές αποφάσεις αψηφούν πλήρως τον αντικειμενικό εξορθολογισμό. —Gesammelte AbhandlungenΤα προβλήματα των μαθηματικών δεν είναι προβλήματα στο κενό ...Ο φαύλος κύκλος του ορισμού του Impredicative, ο οποίος έχει διεισδύσει στην ανάλυση μέσω του ομιχλώδη χαρακτήρα των συνήθων ομάδων και των εννοιών της συνάρτησης, δεν είναι μικρής σημασίας, η μορφή σφάλματος αποφεύγεται εύκολα στην ανάλυση.Σε αυτές τις ημέρες ο άγγελος της τοπολογίας και ο διάβολος της αφηρημένης άλγεβρας μάχονται για την ψυχή του κάθε μαθηματικού τομέα.Weyl (1939b, p.500) Διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς Η δυαδικότητα Σούρ-Βάυλ Άλγεβρα Βάυλ Η βάση των πινάκων γάμμα κατά Βάυλ Θάλαμος Βάυλ Χαρακτηριστικός τύπος Βάυλ Κριτήριο του Βάυλ Καμπυλότητα Βάυλ: βλ. τανυστής Βάυλ Υποθετική κυρτότητα Βάυλ Τύπος διάστασης κατά Βάυλ, μια ειδίκευση στον χαρακτηριστικό τύπο Εξίσωση Βάυλ, μια σχετικιστική κυματική εξίσωση Βαρύτητα Βάυλ Ομάδα Βάυλ Μετρητής Βάυλ Ανισότητα Βάυλ Ολοκλήρωμα Βάυλ Νόμος Βάυλ Λήμμα του Βάυλ για την υποελλειπτικότητα Λήμμα του Βάυλ σχετικά με την «πολύ αδύναμη» μορφή της εξίσωσης Λαπλάς Ενότητα Βάυλ Συμβολισμός Βάυλ Τάξη Βάυλ (Μορφοποίηση Βάυλ) Παράδοξο Βάυλ, καταλληλότερο απο το παράδοξο Grelling-Nelson Αξίωμα Βάυλ Κβάντωση Βάυλ Βαθμωτός Βάυλ Σπίνορας Βάυλ Άθροισμα Βάυλ, ένας τύπος εκθετικού αθροίσματος Συμμετρία Βάυλ: βλ. Μετασχηματισμός Βάυλ Τανυστής Βέιλ Θεώρημα Βάυλ Θεώρημα Βάυλ στην πλήρη αναγωγιμότητα Επιχείρημα tile του Βάυλ Μορφοποίηση Βάυλ Ενιαίο τέχνασμα Βάυλ Διάνυσμα Βάυλ μιας συμπαγούς ομάδας Lie Θεώρημα Πίτερ-Βάυλ Θεώρημα Βάυλ-Schaiten Μετασχηματισμός Βάυλ 1911. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte, Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 110–117 (1911). 1913. Idee der Riemannflāche, 2d 1955. The Concept of a Riemann Surface. Addison–Wesley. 1918. Das Kontinuum, trans. 1987 The Continuum : A Critical Examination of the Foundation of Analysis. ISBN 0-486-67982-9 1918. Raum, Zeit, Materie. 5 edns. to 1922 ed. with notes by Jūrgen Ehlers, 1980. trans. 4th edn. Henry Brose, 1922 Space Time Matter, Methuen, rept. 1952 Dover. ISBN 0-486-60267-2. 1923. Mathematische Analyse des Raumproblems. 1924. Was ist Materie? 1925. (publ. 1988 ed. K. Chandrasekharan) Riemann's Geometrische Idee. 1927. Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, 2d edn. 1949. Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton 0689702078. With new introduction by Frank Wilczek, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14120-6. 1928. Gruppentheorie und Quantenmechanik. transl. by H. P. Robertson, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, 1931, rept. 1950 Dover. ISBN 0-486-60269-9 1929. "Elektron und Gravitation I", Zeitschrift Physik, 56, pp 330–352. – introduction of the vierbein into GR 1933. The Open World Yale, rept. 1989 Oxbow Press ISBN 0-918024-70-6 1934. Mind and Nature U. of Pennsylvania Press. 1934. "On generalized Riemann matrices," Ann. Math. 35: 400–415. 1935. Elementary Theory of Invariants. 1935. The structure and representation of continuous groups: Lectures at Princeton university during 1933–34. Weyl, Hermann (1939), The Classical Groups. Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, http://books.google.com/books?isbn=0691057567 Weyl, Hermann (1939b), «Invariants», Duke Mathematical Journal 5 (3): 489–502, doi:10.1215/S0012-7094-39-00540-5, ISSN 0012-7094, http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077491405 1940. Algebraic Theory of Numbers rept. 1998 Princeton U. Press. ISBN 0-691-05917-9 1952. Symmetry. Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3 1968. in K. Chandrasekharan ed, Gesammelte Abhandlungen. Vol IV. Springer. ed. K. Chandrasekharan,Hermann Weyl, 1885–1985, Centenary lectures delivered by C. N. Yang, R. Penrose, A. Borel, at the ETH Zürich Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo – 1986, published for the Eidgenössische Technische Hochschule, Zürich. Deppert, Wolfgang et al., eds., Exact Sciences and their Philosophical Foundations. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel 1985, Bern; New York; Paris: Peter Lang 1988, Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870-1940. Princeton Uni. Press. Erhard Scholz; Robert Coleman; Herbert Korte; Hubert Goenner; Skuli Sigurdsson; Norbert Straumann eds. Hermann Weyl's Raum – Zeit – Materie and a General Introduction to his Scientific Work (Oberwolfach Seminars) (ISBN 3-7643-6476-9) Springer-Verlag New York, New York, N.Y. Thomas Hawkins, Emergence of the Theory of Lie Groups, New York: Springer, 2000. Kilmister, C. W. (October 1980), «Zeno, Aristotle, Weyl and Shuard: two-and-a-half millennia of worries over number», The Mathematical Gazette (The Mathematical Gazette, Vol. 64, No. 429) 64 (429): 149–158, doi:10.2307/3615116 Για το στοίχημα Weyl–Pólya bet, a copy of the original letter together with some background can be found in: doi:10.1007/BF01110732 Βιογραφία στην Εθνική Ακαδημία Επιστημών Bell, John L.: Ο Weyl επί της διαισθήσεως και του συνεχούς Feferman, Solomon: «Significance of Hermann Weyl's das Kontinuum» Straub, William O.: Ιστότοπος για τον Hermann Weyl Έργα του/της Hermann Weyl στο Project Gutenberg