Διάμεσος (γεωμετρία)

Στη γεωμετρία, η διάμεσος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Συνήθως οι διάμεσοι συμβολίζονται ως μ A , μ B , μ Γ {\displaystyle \mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}} ή μ α , μ β , μ γ {\displaystyle \mu _{\alpha },\mu _{\beta },\mu _{\gamma }} αντίστοιχα. Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος είναι και διχοτόμος και ύψος μίας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες.

 Θεώρημα::142-143 Σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } , οι τρεις διάμεσοι A M A , B M B , Γ M Γ {\displaystyle \mathrm {AM_{A}} ,\mathrm {BM_{B}} ,\mathrm {\Gamma M_{\Gamma }} } διέρχονται από το ίδιο σημείο G {\displaystyle \mathrm {G} } , το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) του τριγώνου. Επιπλέον ισχύει ότι A G = 2 3 μ A {\displaystyle \mathrm {AG} ={\tfrac {2}{3}}\mu _{\rm {A}}} . (Απόδειξη 1η) Έστω B M B {\displaystyle {\rm {BM_{B}}}} και Γ M Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}} οι διάμεσοι του τριγώνου και G ′ {\displaystyle {\rm {G'}}} το σημείο της τομής τους. Επίσης, θεωρούμε το σημείο A ′ {\displaystyle {\rm {A'}}} το συμμετρικό του A {\displaystyle {\rm {A}}} ως προς το G ′ {\displaystyle {\rm {G'}}} , και M ′ {\displaystyle {\rm {M'}}} το σημείο τομής του B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} με το A ′ G ′ {\displaystyle {\rm {A'G'}}} . Τα ευθύγραμμα τμήματα M B G ′ {\displaystyle {\rm {{M_{B}G}'}}} και B A ′ {\displaystyle {\rm {BA'}}} χωρίζουν τo A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} και G ′ A ′ {\displaystyle {\rm {G'A'}}} σε ίσα μέρη. Από το θεώρημα τομής του Θαλή, προκύπτει ότι M Γ G ′ / / B A ′ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }G'//BA'}}} ,και αντίστοιχα για τα ευθύγραμμα τμήματα M Γ G ′ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }G'}}} και Γ A ′ {\displaystyle {\rm {\Gamma A'}}} M B G ′ / / Γ A ′ . {\displaystyle {\rm {M_{B}G'//\Gamma A'.}}} Επομένως, το τετράπλευρο B A ′ Γ G ′ {\displaystyle {\rm {BA'\Gamma G'}}} έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα M ′ {\displaystyle {\rm {M'}}} είναι το μέσο του B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} και άρα A M ′ {\displaystyle {\rm {AM'}}} η διάμεσος της κορυφής A {\displaystyle {\rm {A}}} . Επίσης, M ′ {\displaystyle {\rm {M'}}} το μέσο του G ′ A ′ {\displaystyle {\rm {G'A'}}} και άρα A G = 2 3 A M ′ {\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM'}}} . ◻ {\displaystyle \square } (Απόδειξη 2η) Θεωρούμε ένα σημείο αναφοράς O {\displaystyle {\rm {O}}} και το σημείο O G → = 1 3 ⋅ ( O A → + O B → + O Γ → ) . {\displaystyle {\overrightarrow {\rm {OG}}}={\tfrac {1}{3}}\cdot ({\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}}).} Θα δείξουμε ότι η προέκταση της A G {\displaystyle {\rm {AG}}} κατά 3 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}} είναι διάμεσος. O A → + 3 2 A G → = O A → + 1 2 ⋅ ( O A → + O B → + O Γ → ) − 3 2 O A → = 1 2 ( O B → + O Γ → ) , {\displaystyle {\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\rm {AG}}}={\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}})-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {\rm {OA}}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}}),} που είναι το μέσο του B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} . ◻ {\displaystyle \square } Θεώρημα::372 Σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} με διάμεσο την A M {\displaystyle {\rm {AM}}} , ισχύει ότι A B 2 + A Γ 2 = 2 ⋅ A M 2 + 1 2 B Γ 2 {\displaystyle {\rm {AB^{2}+A\Gamma ^{2}=2\cdot AM^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}} .(Απόδειξη) Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο A M B {\displaystyle {\rm {AMB}}} έχουμε ότι Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο A M Γ {\displaystyle {\rm {AM\Gamma }}} έχουμε ότι A Γ 2 = A M 2 + M Γ 2 − 2 ⋅ A M ⋅ M Γ ⋅ cos ⁡ ( 180 o − ϕ ) {\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+M\Gamma ^{2}-2\cdot AM\cdot M\Gamma }}\cdot \cos(180^{o}-\phi )} καθώς M B = M Γ {\displaystyle {\rm {MB=M\Gamma }}} , αφού M {\displaystyle {\rm {M}}} το μέσο του B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} . Προσθέτοντας τις εξισώσεις (1) και (2), λαμβάνουμε ότι A B 2 + A Γ 2 = 2 ⋅ A M 2 + 2 M B 2 . {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+2\mathrm {MB} ^{2}.} Χρησιμοποιώντας ότι M B = M Γ = 1 2 B Γ {\displaystyle {\rm {MB=M\Gamma ={\tfrac {1}{2}}B\Gamma }}} λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση. ◻ {\displaystyle \square } Πόρισμα: Το μήκος της διαμέσου μ a {\displaystyle \mu _{a}} δίνεται από τον τύπο μ A = 1 2 2 β 2 + 2 γ 2 − α 2 {\displaystyle \mu _{\rm {A}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}} ,και αντίστοιχα μ B = 1 2 2 α 2 + 2 γ 2 − β 2 {\displaystyle \mu _{\rm {B}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}} και μ Γ = 1 2 2 α 2 + 2 β 2 − γ 2 {\displaystyle \mu _{\rm {\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}} . Θεώρημα::41:373:122 Σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} με A Γ > A B {\displaystyle {\rm {A\Gamma >AB}}} , διάμεσο την A M {\displaystyle {\rm {AM}}} και ύψος A H {\displaystyle {\rm {AH}}} , ισχύει ότι A Γ 2 − A B 2 = 2 ⋅ B Γ ⋅ M H {\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=2\cdot B\Gamma \cdot MH}}} .(Απόδειξη) Αντίστοιχα με την απόδειξη του 1ου θεωρήματος των διαμέσων, έχουμε ότι A B 2 = A M 2 + M B 2 − 2 ⋅ A M ⋅ M B ⋅ cos ⁡ ϕ {\displaystyle {\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi }}} ,και A Γ 2 = A M 2 + M B 2 + 2 ⋅ A M ⋅ M B ⋅ cos ⁡ ϕ {\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi }}} .Παίρνοντας την διαφορά για των δύο παραπάνω σχέσεων, έχουμε ότι A Γ 2 − A B 2 = 4 ⋅ A M ⋅ M B ⋅ cos ⁡ ϕ = 2 ⋅ B Γ ⋅ M H {\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=4\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi =2\cdot B\Gamma \cdot MH}}} ,ολοκληρώνοντας την απόδειξη. ◻ {\displaystyle \square } Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα με ίσο εμβαδόν. Για τις διαμέσους μ A , μ B , μ Γ {\displaystyle \mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}} ενός τριγώνου, ισχύουν οι εξής τριγωνομετρικές σχέσεις μ α 2 = α 2 ⋅ 2 sin 2 ⁡ B + 2 sin 2 ⁡ Γ − sin 2 ⁡ A 4 ⋅ sin 2 ⁡ A {\displaystyle \mu _{\alpha }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {B}}+2\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}-\sin ^{2}{\rm {A}}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}} , μ β 2 = α 2 ⋅ 2 sin 2 ⁡ Γ + 2 sin 2 ⁡ A − sin 2 ⁡ B 4 ⋅ sin 2 ⁡ A {\displaystyle \quad \mu _{\beta }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}+2\sin ^{2}{\rm {A}}-\sin ^{2}{\rm {B}}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}} και μ γ 2 = α 2 ⋅ 2 sin 2 ⁡ A + 2 sin 2 ⁡ B − sin 2 ⁡ Γ 4 ⋅ sin 2 ⁡ A {\displaystyle \quad \mu _{\gamma }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {A}}+2\sin ^{2}{\rm {B}}-\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}} .Σε κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } ,:42 μ A 2 + μ B 2 + μ Γ 2 = 3 4 ( α 2 + β 2 + γ 2 ) {\displaystyle \mu _{\rm {A}}^{2}+\mu _{\rm {B}}^{2}+\mu _{\rm {\Gamma }}^{2}={\tfrac {3}{4}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})} , και μ A 4 + μ B 4 + μ Γ 4 = 9 16 ⋅ ( α 4 + β 4 + γ 4 ) {\displaystyle \mu _{\rm {A}}^{4}+\mu _{\rm {B}}^{4}+\mu _{\rm {\Gamma }}^{4}={\tfrac {9}{16}}\cdot (\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4})} . Σε κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } , 3 4 ⋅ ( α + β + γ ) < μ A + μ B + μ Γ < 3 2 ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )<\mu _{\rm {A}}+\mu _{\rm {B}}+\mu _{\rm {\Gamma }}<{\tfrac {3}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )} .Αν A B > A Γ > B Γ {\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } >\mathrm {B\Gamma } } , τότε μ Γ < μ B < μ A {\displaystyle \mu _{\rm {\Gamma }}<\mu _{\rm {B}}<\mu _{\rm {A}}} .Αν A B > A Γ {\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } } , τότε A B − A Γ 2 < μ A < A B + A Γ 2 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {A\Gamma } }{2}}<\mu _{\rm {A}}<{\tfrac {\mathrm {AB} +\mathrm {A\Gamma } }{2}}} .Αν A ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}} οξεία γωνία, τότε A M > B Γ 2 {\displaystyle \mathrm {AM} >{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}} . Η διάμεσος κατασκευάζεται με τον ίδιο τρόπου που βρίσκουμε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή κατασκευάζοντας την μεσοκάθετο): Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα B {\displaystyle \mathrm {B} } και Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } και ακτίνα B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } . Βρίσκουμε τα σημεία τομής T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} και T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} των δύο κύκλων. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα T 1 T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}\mathrm {T} _{2}} . Βρίσκουμε το σημείο τομής M {\displaystyle \mathrm {M} } του T 1 T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}\mathrm {T} _{2}} με το B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } . Ενώνουμε τα σημεία A {\displaystyle \mathrm {A} } και M {\displaystyle \mathrm {M} } Νόμος των συνημιτόνων Θεώρημα Στιούαρτ Διχοτόμος γωνίας Ύψος Διάμεσοι και Διχοτόμοι ενός Τριγώνου Διάμεσοι Area of Median Triangle Διάμεσοι ενός Τριγώνου Με διαδραστικό animation Κατασκευάζοντας τη διάμεσο ενός τριγώνου με διαβήτη και κανόνα Weisstein, Eric W., "Διάμεσος τριγώνου" από το MathWorld.