Αριθμητικό ψηφίο

Ένα αριθμητικό ψηφίο (ή απλώς ψηφίο) είναι ένα μεμονωμένο σύμβολο που χρησιμοποιείται μόνο του (όπως το "1") ή σε συνδυασμούς (όπως το "15"), για να αναπαραστήσει αριθμούς σε ένα θεσιακό σύστημα. Το όνομα "ψηφίο" προέρχεται από το γεγονός ότι τα δέκα ψηφία (στα λατινικά digiti που σημαίνει δάχτυλα) των χεριών αντιστοιχούν στα δέκα σύμβολα του αριθμητικού συστήματος που χρησιμοποιούμε, δηλαδή του δεκαδικού (στα λατινικά decem που σημαίνει δέκα) συστήματος. Για ένα δεδομένο σύστημα αρίθμησης με ακέραια βάση, ο αριθμός των διαφορετικών ψηφίων που απαιτούνται δίνεται από την απόλυτη τιμή της βάσης. Για παράδειγμα, το δεκαδικό σύστημα (βάση 10) απαιτεί δέκα ψηφία (0 έως 9), ενώ το δυαδικό σύστημα (βάση 2) απαιτεί δύο ψηφία (0 και 1).

 Σε ένα βασικό σύστημα αρίθμησης, ένας αριθμός είναι μια ακολουθία ψηφίων, η οποία μπορεί να έχει αυθαίρετο μήκος. Κάθε θέση στην ακολουθία έχει μια τάξη μεγέθους και κάθε ψηφίο έχει μια τιμή. Η τιμή του αριθμού υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας κάθε ψηφίο της ακολουθίας με την τάξη μεγέθους του και αθροίζοντας τα αποτελέσματα. Κάθε ψηφίο σε ένα αριθμητικό σύστημα αντιπροσωπεύει έναν ακέραιο. Για παράδειγμα, στο δεκαδικό σύστημα το ψηφίο "1" αντιπροσωπεύει τον αριθμό ένα και στο δεκαεξαδικό σύστημα το γράμμα "Α" αντιπροσωπεύει τον αριθμό δέκα. Ένα θεσιακό σύστημα έχει ένα μοναδικό ψηφίο για κάθε ακέραιο από το μηδέν μέχρι την βάση του συστήματος αρίθμησης. Έτσι, στο θεσιακό δεκαδικό σύστημα, οι αριθμοί 0 έως 9 μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους αριθμούς "0" έως "9" στη θέση των "μονάδων". Ο αριθμός 12 μπορεί να εκφραστεί με τον αριθμό "2" στη θέση των μονάδων και με τον αριθμό "1" στη θέση των "δεκάδων", ενώ ο αριθμός 312 μπορεί να εκφραστεί με τρεις αριθμούς: το "3" στη θέση των "εκατοντάδων", το "1" στη θέση των "δεκάδων" και το "2" στη θέση των "μονάδων". Το δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιεί ένα δεκαδικό διαχωριστικό, συνήθως μια τελεία στα αγγλικά ή ένα κόμμα σε άλλες ευρωπαϊκές γλώσσες, για να δηλώσει τις "μονάδες", που έχουν θέση αξίας ένα. Κάθε διαδοχική θέση στα αριστερά των μονάδων έχει μια τάξη μεγέθους ίση με την θέση αξίας του προηγούμενου ψηφίου επί τη βάση. Παρομοίως, κάθε διαδοχική θέση στα δεξιά του διαχωριστικού έχει μια τάξη μεγέθους ίση με την θέση αξίας του προηγούμενου ψηφίου διαιρεμένη με τη βάση. Για παράδειγμα, στον αριθμό 10.34 (γραμμένο στη βάση 10): Το 0 βρίσκεται αμέσως στα αριστερά του διαχωριστικού, άρα βρίσκεται στη θέση των μονάδων και ονομάζεται ψηφίο των μονάδων. Το 1 βρίσκεται στα αριστερά της θέσης των μονάδων, άρα βρίσκεται στη θέση των δεκάδων και ονομάζεται ψηφίο των δεκάδων. Το 3 βρίσκεται στα δεξιά της θέσης των μονάδων, άρα βρίσκεται στη θέση των δεκάτων και ονομάζεται ψηφίο των δεκάτων. Το 4 βρίσκεται στα δεξιά της θέσης των μονάδων, άρα βρίσκεται στη θέση των εκατοστών και ονομάζεται ψηφίο των εκατοστών.Συνεπώς, ο αριθμός 10.34 περιγράφεται από: 1 δεκάδα, 0 μονάδες, 3 δέκατα και 4 εκατοστά. Το μηδέν, που δεν συνεισφέρει καμία τιμή στον αριθμό, δείχνει ότι το 1 βρίσκεται στη θέση των δεκάδων και όχι στη θέση των μονάδων. Η τάξη μεγέθους οποιουδήποτε δεδομένου ψηφίου σε έναν αριθμό μπορεί να βρεθεί με έναν απλό υπολογισμό, ο οποίος από μόνος του είναι συμπλήρωμα της λογικής πίσω από τα αριθμητικά συστήματα. Ο υπολογισμός περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό του δεδομένου ψηφίου με τη βάση και την ύψωσή του στην δύναμη n − 1, όπου το n αντιπροσωπεύει τη θέση του ψηφίου από το διαχωριστικό. Η τιμή του n είναι θετική, αλλά αυτό συμβαίνει μόνο εάν το ψηφίο βρίσκεται στα αριστερά του διαχωριστικού. Και προς τα δεξιά, το ψηφίο πολλαπλασιάζεται με τη βάση και υψώνεται στην δύναμη −n . Για παράδειγμα, στον αριθμό 10.34 (γραμμένο στη βάση 10): Το 1 βρίσκεται δύο θέσεις αριστερά του διαχωριστικού, οπότε με βάση τον υπολογισμό, η τιμή του είναι: n − 1 = 2 − 1 = 1 {\displaystyle n-1=2-1=1} 1 × 10 1 = 10 {\displaystyle 1\times 10^{1}=10} Το 4 βρίσκεται δύο θέσεις δεξιά του διαχωριστικού, οπότε με βάση τον υπολογισμό, η τιμή του είναι: n = − 2 {\displaystyle n=-2} 4 × 10 − 2 = 4 100 {\displaystyle 4\times 10^{-2}={\frac {4}{100}}} Το πρώτο επίσημο γραπτό θεσιακό σύστημα θεωρείται το ινδο-αραβικό σύστημα αρίθμησης. Το σύστημα αυτό καθιερώθηκε τον 7ο αιώνα στην Ινδία, αλλά δεν ήταν ακόμη στη σύγχρονη μορφή του επειδή η χρήση του ψηφίου μηδέν δεν είχε γίνει ακόμη ευρέως αποδεκτή. Αντί για μηδέν, μερικές φορές τα ψηφία σημειώνονταν με τελείες για να υποδείξουν τη σημασία τους ή χρησιμοποιόταν το κενό ως σύμβολο κράτησης θέσης. Η πρώτη ευρέως αναγνωρισμένη χρήση του μηδέν ήταν το 876 μ.Χ. Οι αρχικοί αριθμοί ήταν πολύ παρόμοιοι με τους σύγχρονους, ακόμη και μέχρι τους γλυφούς που χρησιμοποιούνταν για την αναπαράσταση των ψηφίων.Μέχρι τον 13ο αιώνα, οι δυτικοί αραβικοί αριθμοί είχαν γίνει αποδεκτοί στην Ευρώπη (ο Φιμπονάτσι τους χρησιμοποίησε στο βιβλίο του Liber Abaci) και άρχισαν να μπαίνουν σε κοινή χρήση τον 15ο αιώνα. Μέχρι το τέλος του 20ου αιώνα σχεδόν όλοι οι υπολογισμοί στον κόσμο γίνονταν με αραβικούς αριθμούς, οι οποίοι είχαν αντικαταστήσει τα εγγενή συστήματα αρίθμησης στους περισσότερους πολιτισμούς. Η ακριβής ηλικία των αριθμών των Μάγια δεν είναι σαφής, αλλά πιθανόν είναι παλαιότερη από το ινδο-αραβικό σύστημα. Το σύστημα ήταν εικοσαδικό (βάση 20), άρα είχε είκοσι ψηφία. Οι Μάγια χρησιμοποιούσαν ένα σύμβολο κελύφους για να αντιπροσωπεύσουν το μηδέν. Οι αριθμοί γράφονταν κάθετα, με τις μονάδες να βρίσκονταν στο κάτω μέρος. Οι Μάγια δεν είχαν το σύγχρονο δεκαδικό διαχωριστικό, οπότε το σύστημά τους δεν μπορούσε να αναπαραστήσει κλάσματα. Το ταϊλανδικό σύστημα αρίθμησης είναι πανομοιότυπο με το ινδο-αραβικό σύστημα αρίθμησης, εκτός από τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση ψηφίων. Η χρήση αυτών των ψηφίων είναι λιγότερο συνηθισμένη στην Ταϊλάνδη απ' ότι ήταν κάποτε, αλλά εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται μαζί με τους αραβικούς αριθμούς. Οι Κινέζοι και Ιάπωνες μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μικρές ράβδους από μπαμπού για να περιγράψουν ένα δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, ικανό να αντιπροσωπεύει όχι μόνο το μηδέν αλλά και αρνητικούς αριθμούς. Οι ράβδοι αυτοί προϋπήρχαν του ινδουο-αραβικού συστήματος αρίθμησης. Το δυαδικό (βάση 2), το οκταδικό (βάση 8), και το δεκαεξαδικό (βάση 16) σύστημα, που χρησιμοποιούνται ευρέως στην επιστήμη των υπολογιστών, όλα ακολουθούν τις συμβάσεις του ινδουο-αραβικού συστήματος αρίθμησης. Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιεί μόνο τα ψηφία "0" και "1", ενώ το οκταδικό σύστημα χρησιμοποιεί τα ψηφία από "0" έως "7". Το δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιεί όλα τα ψηφία από το δεκαδικό σύστημα, συν τα γράμματα "A" έως "F", τα οποία αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς 10 έως 15 αντίστοιχα. Στο δυαδικό σύστημα, ο όρος "δυαδικό ψηφίο" ή "μπιτ" χρησιμοποιείται τυπικά ως εναλλακτικός όρος για τη λέξη "ψηφίο". Παρόμοιοι όροι υπάρχουν και για άλλα συστήματα αρίθμησης, όπως το "τριτ" για το τριαδικό σύστημα και το "ντιτ" για το δεκαδικό σύστημα, αν και χρησιμοποιούνται λιγότερο συχνά. Μερικές φορές χρησιμοποιούνται το τριαδικό και το ισορροπημένο τριαδικό σύστημα. Και τα δύο είναι στη βάση 3.Το ισορροπημένο τριαδικό σύστημα είναι ασυνήθιστο, καθώς έχει τις τιμές 1, 0 και –1. Το σύστημα αυτό όμως αποδεικνύεται ότι έχει ορισμένες χρήσιμες ιδιότητες και έχει χρησιμοποιηθεί σε πειράματα ρωσικών υπολογιστών. Παρά τον ουσιαστικό ρόλο των ψηφίων στην περιγραφή των αριθμών, είναι σχετικά ασήμαντοι για τα σύγχρονα μαθηματικά. Ωστόσο, υπάρχουν μερικές σημαντικές μαθηματικές έννοιες που χρησιμοποιούν την αναπαράσταση ενός αριθμού ως μια ακολουθία ψηφίων. Η ψηφιακή ρίζα είναι ένας μονοψήφιος αριθμός που προκύπτει αθροίζοντας τα ψηφία ενός δεδομένου αριθμού, στη συνέχεια αθροίζοντας τα ψηφία του αποτελέσματος και ούτω καθεξής μέχρι να καταλήξουμε σε έναν μονοψήφιο αριθμό. Οι παλινδρομικοί αριθμοί είναι αριθμοί οι οποίοι διαβάζονται το ίδιο είτε ευθέως (αριστερά προς τα δεξιά) είτε αντιστρόφως. Ένας αριθμός Lychrel είναι ένας θετικός ακέραιος, ο οποίος δεν δίνει ποτέ παλινδρομικό αριθμό όταν προστεθεί σε αυτόν ο αντίστροφός του. Το ερώτημα σχετικά με το αν υπάρχουν αριθμοί Lychrel στη βάση 10 είναι ένα ανοιχτό πρόβλημα στα ψυχαγωγικά μαθηματικά. Ο μικρότερος αριθμός Lychrel είναι το 196. Τα βοηθήματα μέτρησης, ειδικά η χρήση μελών του σώματος (π.χ. τα δάχτυλα), χρησιμοποιούνταν σίγουρα στην προϊστορική εποχή όπως και σήμερα. Υπάρχουν όμως πολλές παραλλαγές. Εκτός από το μέτρημα των δέκα δακτύλων, ορισμένοι πολιτισμοί έχουν μετρήσει και τις φάλαγγες (οριζόντιες αρθρώσεις) αλλά και τα πόδια τους. Η φυλή Oksapmin της Νέας Γουινέας χρησιμοποιεί ένα σύστημα 27 θέσεων στο πάνω μέρος του σώματος για να αναπαραστήσει τους αριθμούς.Για να διατηρηθούν οι αριθμητικές πληροφορίες, σημεία καταμέτρησης σκαλισμένα σε ξύλα, κόκκαλα και πέτρες είχαν χρησιμοποιηθεί από την προϊστορική εποχή. Οι πολιτισμοί της λίθινης εποχής, συμπεριλαμβανομένων και των αρχαίων ιθαγενών αμερικανικών ομάδων, χρησιμοποιούσαν σημεία καταμέτρησης για τυχερά παιχνίδια, προσωπικές υπηρεσίες και εμπορικά αγαθά. Η μέθοδος διατήρησης των αριθμητικών πληροφοριών σε πηλό εφευρέθηκε από τους Σουμέριους μεταξύ του 8000 και του 3500 π.Χ. Αυτό γινόταν με μικρές πήλινες μάρκες διαφόρων σχημάτων που έμοιαζαν σαν χάντρες κολλημένες σε ένα κορδόνι. Κατά την έναρξη του 3500 π.Χ., οι πήλινες μάρκες αντικαταστάθηκαν σταδιακά από αριθμητικά σύμβολα που αποτυπώνονταν με μια στρογγυλή γραφίδα σε διαφορετικές γωνίες, πάνω σε πήλινες πλάκες (στην αρχή ήταν δοχεία για μάρκες) που στη συνέχεια ψήνονταν. Περίπου το 3100 π.Χ., οι γραπτοί αριθμοί διαχωρίστηκαν από τα πράγματα που μετρούνταν και έγιναν αφηρημένοι αριθμοί. Μεταξύ του 2700 και του 2000 π.Χ., στο Σουμέρ, η στρογγυλή γραφίδα αντικαταστάθηκε σταδιακά με μια γραφίδα από καλάμι που χρησιμοποιήθηκε για την δημιουργία σφηνοειδών πινακιδών σε πηλό. Αυτά τα συστήματα συνέκλιναν σταδιακά σε ένα κοινό εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης. Αυτό ήταν ένα σύστημα που αποτελούταν μόνο από δύο ενδείξεις, την κατακόρυφη γραμμή και το chevron, μια γραμμή που μπορούσε να αντιπροσωπεύει κλάσματα. Αυτό το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης αναπτύχθηκε πλήρως στις αρχές της περιόδου της Παλαιάς Βαβυλωνίας (περίπου το 1950 π.Χ.) και έγινε πρότυπο στη Βαβυλωνία.Οι εξηνταδικοί αριθμοί ήταν ένα μικτό σύστημα που διατηρούσε την βάση 10 και την βάση 6 σε μια ακολουθία κάθετων σφηνών και σιριτιών. Μέχρι το 1950 π.Χ., αυτό ήταν ένα θεσιακό σύστημα αρίθμησης. Οι εξηνταδικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται ευρέως στο εμπόριο, αλλά χρησιμοποιούνταν επίσης σε αστρονομικούς και σε άλλους υπολογισμούς. Αυτό το σύστημα εξήχθη από τη Βαβυλωνία και χρησιμοποιήθηκε σε όλη τη Μεσοποταμία, και από κάθε μεσογειακό έθνος που χρησιμοποιούσε τυπικές βαβυλωνιακές μονάδες μέτρησης, συμπεριλαμβανομένων και των Ελλήνων, των Ρωμαίων και των Αιγυπτίων. Αυτό το σύστημα αρίθμησης εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στις σύγχρονες κοινωνίες για τη μέτρηση του χρόνου (λεπτά ανά ώρα) και των γωνιών (μοίρες). Στην Κίνα, οι στρατοί και οι προμήθειες μετριούνταν χρησιμοποιώντας αριθμητική υπολοίπων σε πρώτους αριθμούς. Μοναδικοί αριθμοί των στρατευμάτων και μετρήσεις του ρυζιού εμφανίζονταν ως μοναδικοί συνδυασμοί αυτών των καταμετρήσεων. Μια μεγάλη ευκολία της αριθμητικής υπολοίπων είναι ότι είναι εύκολο να πολλαπλασιαστεί, κάτι το οποίο την καθιστά ιδιαίτερα χρήσιμη στις διατάξεις των στοιχείων. Οι συμβατικοί αριθμοί, από την άλλη πλευρά, είναι αρκετά δύσκολο να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Στη σύγχρονη εποχή, η αριθμητική υπολοίπων χρησιμοποιείται μερικές φορές και στην ψηφιακή επεξεργασία σημάτων.Το αρχαιότερο ελληνικό σύστημα ήταν το αττικό σύστημα αρίθμησης, όμως τον 4ο αιώνα π.Χ. άρχισε να χρησιμοποιείται ένα τετραψήφιο αλφαβητικό σύστημα (βλ. ελληνικό σύστημα αρίθμησης). Οι Εβραίοι άρχισαν να χρησιμοποιούν ένα παρόμοιο σύστημα (εβραϊκό σύστημα αρίθμησης), με τα παλαιότερα γνωστά παραδείγματα να είναι νομίσματα από το 100 π.Χ.Η Ρωμαϊκή αυτοκρατορία χρησιμοποιούσε σύμβολα γραμμένα σε κεριά, πάπυρους και πέτρες και ακολουθούσε κατά προσέγγιση την ελληνική συνήθεια να αποδίδονταν γράμματα σε διάφορους αριθμούς. Το σύστημα των ρωμαϊκών αριθμών παρέμεινε σε κοινή χρήση στην Ευρώπη έως τον 16ο αιώνα, όπου ανακαλύφθηκε το θεσιακό σύστημα αρίθμησης.Οι Μάγια της Κεντρικής Αμερικής χρησιμοποιούσαν ένα μικτό σύστημα με τις βάσεις 18 και 20, που πιθανώς κληρονόμησαν από τους Ολμέκους, συμπεριλαμβανομένων και προηγμένων χαρακτηριστικών όπως το θεσιακό σύστημα και το μηδέν. Χρησιμοποιούσαν αυτό το σύστημα για να κάνουν προηγμένους αστρονομικούς υπολογισμούς, όπως για παράδειγμα τη διάρκεια του ηλιακού έτους και την τροχιά της Αφροδίτης.Η Αυτοκρατορία των Ίνκας διέθετε μια μεγάλη οικονομία εντολών, χρησιμοποιώντας σύμβολα φτιαγμένα από κόμπους χρωματιστών ινών. Αυτά τα σύμβολα καταστάλθηκαν από τους Ισπανούς κονκισταδόρες (κατακτητές) τον 16ο αιώνα και δεν έχουν επιβιώσει, αν και απλές συσκευές αυτών των συμβόλων εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται στην περιοχή των Άνδεων. Ορισμένες αρχές πιστεύουν ότι το θεσιακό σύστημα αρίθμησης ξεκίνησε με την ευρεία χρήση των κινέζικων αριθμών. Τα αρχαιότερα θεσιακά συστήματα φαίνεται να εμφανίστηκαν στην Κίνα γύρω στο 400 μ.Χ. Το μηδέν χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά στην Ινδία τον 7ο αιώνα μ.Χ. από τον Βραχμαγκούπτα.Το σύγχρονο αραβικό σύστημα αρίθμησης αναπτύχθηκε από Ινδούς μαθηματικούς και μεταδόθηκε στους μουσουλμάνους μαθηματικούς, μαζί και με αστρονομικούς πίνακες που έφερε στη Βαγδάτη ένας Ινδός πρεσβευτής γύρω στο 773 μ.Χ.Από την ινδική υποήπειρο, το ακμάζον εμπόριο μεταξύ των ισλαμικών σουλτάνων και της Αφρικής μετέφερε την ιδέα στο Κάιρο. Οι Άραβες μαθηματικοί επέκτειναν το σύστημα, ώστε να συμπεριλαμβάνει δεκαδικά κλάσματα και ο Μοχάμεντ ιμπν Μουσά αλ-Χουαρίζμι έγραψε ένα σημαντικό έργο σχετικά με αυτό τον 9ο αιώνα. Οι σύγχρονοι αραβικοί αριθμοί εισήχθησαν στην Ευρώπη με τη μετάφραση αυτού του έργου τον 12ο αιώνα στην Ισπανία και του βιβλίου Liber Abaci του Λεονάρντο της Πίζας το 1201 μ.Χ. Στην Ευρώπη, το πλήρες ινδικό σύστημα αρίθμησης με το μηδέν προήλθε από τους Άραβες τον 12ο αιώνα.Το δυαδικό σύστημα (βάση 2) διαδόθηκε τον 17ο αιώνα από τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς. Ο Λάιμπνιτς είχε αναπτύξει την ιδέα νωρίς στην καριέρα του και την είχε ξαναεπισκεφτεί όταν εξέτασε ένα αντίγραφο του βιβλίου Ι Τσινγκ από την Κίνα. Οι δυαδικοί αριθμοί ήρθαν σε κοινή χρήση τον 20ο αιώνα λόγω των εφαρμογών των υπολογιστών. Δεκαεξαδικό σύστημα Δυαδικό ψηφίο (μπιτ), qubit Τριαδικό ψηφίο (τριτ), qutrit Δεκαδικό ψηφίο (ντιτ) Δεκαεξαδικό ψηφίο (nibble) Άβακας Αραβικοί αριθμοί Αρμενικοί αριθμοί Βαβυλωνιακοί αριθμοί Βεγγαλο-Ασσαμικοί αριθμοί Γεωργιανοί αριθμοί Ελληνικοί αριθμοί Αριθμοί Γκουρμούχι Αριθμοί Χμερ Ρωμαϊκοί αριθμοί