Θεώρημα διχοτόμου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } η διχοτόμος A Δ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών. Δηλαδή, B Δ Γ Δ = A B A Γ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.} Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμου (ή θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) λέει ότι η εξωτερική διχοτόμος A Δ ′ {\displaystyle \mathrm {A\Delta '} } ενός τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με A B < A Γ {\displaystyle \mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma } } ικανοποιεί B Δ ′ Γ Δ ′ = A B A Γ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.}

 Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή B {\displaystyle \mathrm {B} } στην A Δ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } , που τέμνει την προέκταση της A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } στο σημείο E {\displaystyle \mathrm {E} } . Από την παραλληλία, προκύπτει ότι ∠ B E A = ∠ Δ A Γ {\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma } } (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και ∠ A B E = ∠ B A Δ {\displaystyle \angle \mathrm {ABE} =\angle \mathrm {BA\Delta } } (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως, ∠ B E A = ∠ A B E = 1 2 A ^ , {\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {ABE} ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},} και άρα το τρίγωνο A B E {\displaystyle \mathrm {ABE} } είναι ισοσκελές με A E = A B {\displaystyle \mathrm {AE} =\mathrm {AB} } . Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες A Δ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } και B E {\displaystyle \mathrm {BE} } , έχουμε ότι: B Δ Γ Δ = A E A Γ ⇒ B Δ Γ Δ = A B A Γ {\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}} . θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής δύο τύπους για το εμβαδόν τριγώνου: E = 1 2 ⋅ ( βάση ) ⋅ ( ύψος ) = 1 2 ⋅ ( πρώτη πλευρά ) ⋅ ( δεύτερη πλευρά ) ⋅ sin ⁡ ( μεταξύ τους γωνία ) . {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{πρώτη πλευρά }})\cdot ({\text{δεύτερη πλευρά}})\cdot \sin({\text{μεταξύ τους γωνία}}).} Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα A Δ B {\displaystyle \mathrm {A\Delta B} } και A Δ Γ {\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } } έχουν κοινό ύψος το A H {\displaystyle \mathrm {AH} } . Επομένως τα εμβαδά τους δίνονται από ( A Δ B ) = A Δ ⋅ A B ⋅ sin ⁡ A ^ 2 = 1 2 ⋅ B Δ ⋅ A H , {\displaystyle (\mathrm {A\Delta B} )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {AB} \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {AH} ,} και ( A Δ Γ ) = A Δ ⋅ A Γ ⋅ sin ⁡ A ^ 2 = 1 2 ⋅ Γ Δ ⋅ A H . {\displaystyle (\mathrm {A\Delta \Gamma } )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {A\Gamma } \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AH} .} Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση: A B A Γ = B Δ Γ Δ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}.} Έστω A Δ A {\displaystyle \mathrm {A\Delta _{A}} } , B Δ B {\displaystyle \mathrm {B\Delta _{B}} } και Γ Δ Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta _{\Gamma }} } οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου. Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς B Δ A Γ Δ A ⋅ Γ Δ B A Δ B ⋅ A Δ Γ B Δ Γ = A B A Γ ⋅ B Γ A B ⋅ A Γ B Γ = 1. {\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta _{A}} }{\mathrm {\Gamma \Delta _{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma \Delta _{B}} }{\mathrm {A\Delta _{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Delta _{\Gamma }} }{\mathrm {B\Delta _{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {B\Gamma } }}=1.} Το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι διχοτόμοι λέγεται το έγκεντρο του τριγώνου. Έστω α = B Γ {\displaystyle \alpha =\mathrm {B\Gamma } } , β = B Γ {\displaystyle \beta =\mathrm {B\Gamma } } και γ = A B {\displaystyle \gamma =\mathrm {AB} } , τότε B Δ = α γ β + γ {\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}} και Γ Δ = α β β + γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\frac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}} . Έστω A → , B → , Γ → {\displaystyle {\vec {\mathrm {A} }},{\vec {\mathrm {B} }},{\vec {\Gamma }}} τα διανύσματα των τριών κορθφών των τριγώνων. Τότε, από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των B Δ A {\displaystyle \mathrm {B\Delta _{A}} } και Γ Δ A {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta _{A}} } , το σημείο Δ A {\displaystyle \Delta _{A}} της διχοτόμου δίνεται από Δ A → = α β + γ ⋅ ( B → + Γ → ) {\displaystyle {\vec {\mathrm {\Delta _{A}} }}={\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)} .Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου A Δ A {\displaystyle \mathrm {A\Delta _{A}} } δίνεται από t ⋅ A → + ( 1 − t ) ⋅ α β + γ ⋅ ( B → + Γ → ) {\displaystyle t\cdot {\vec {\mathrm {A} }}+(1-t)\cdot {\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)} ,για t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} . Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους. Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις ταυτόχρονα είναι το I → = 1 α + β + γ ⋅ ( α ⋅ A → + β ⋅ B → + γ ⋅ Γ → ) {\displaystyle {\vec {\mathrm {I} }}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\mathrm {A} }}+\beta \cdot {\vec {\mathrm {B} }}+\gamma \cdot {\vec {\mathrm {\Gamma } }}\right)} .Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου. Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των σημείων P {\displaystyle \mathrm {P} } των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία A {\displaystyle \mathrm {A} } και B {\displaystyle \mathrm {B} } , έχουν σταθερό λόγο k {\displaystyle k} . Δηλαδή, k = P A P B . {\displaystyle k={\frac {\mathrm {PA} }{\mathrm {PB} }}.} Ο γεωμετρικός τόπος αυτών των σημείων είναι ο Απολλώνιος κύκλος. Η απόδειξη είναι η ίδια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιώντας το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω: Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή B {\displaystyle \mathrm {B} } στην A Δ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } , που τέμνει την προέκταση της A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } στο σημείο E {\displaystyle \mathrm {E} } . Από την παραλληλία, προκύπτει ότι ∠ B E A = ∠ Δ A Γ {\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma } } (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και ∠ A B E = ∠ B A Δ {\displaystyle \angle \mathrm {ABE} =\angle \mathrm {BA\Delta } } (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως, ∠ B E A = ∠ A B E = 1 2 A ^ , {\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {ABE} ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},} και άρα το τρίγωνο A B E {\displaystyle \mathrm {ABE} } είναι ισοσκελές με A E = A B {\displaystyle \mathrm {AE} =\mathrm {AB} } . Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες A Δ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } και B E {\displaystyle \mathrm {BE} } , έχουμε ότι: B Δ Γ Δ = A E A Γ ⇒ B Δ Γ Δ = A B A Γ {\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}} . Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου και χρησιμοποιώντας ότι γ = B Δ ′ − Γ Δ ′ {\displaystyle \gamma =\mathrm {B\Delta '} -\mathrm {\Gamma \Delta '} } , προκύπτει ότι B Δ ′ = α γ β − γ {\displaystyle \mathrm {B\Delta '} ={\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}} και Γ Δ ′ = α β β − γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta '} ={\frac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}} . Διχοτόμος γωνίας Έγκεντρο τριγώνου Απολλώνιος κύκλος