Ρίτσαρντ Σεν

Ο Ρίτσαρντ Μέλβιν Σέν (Richard Melvin Schoen, γεννήθηκε στις 23 Οκτωβρίου 1950) είναι Αμερικανός μαθηματικός, γνωστός για το έργο του στη διαφορική γεωμετρία και τη γεωμετρική ανάλυση. Είναι περισσότερο γνωστός για την επίλυση του προβλήματος Γιαμάμπε το 1984.

 Γεννήθηκε στη Σελίνα του Οχάιο και το 1968 αποφοίτησε από το Fort Recovery High School, ενώ έλαβε το πτυχίο του από το Πανεπιστήμιο του Ντέιτον στα μαθηματικά. Στη συνέχεια έλαβε το διδακτορικό του το 1977 από το Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ. Μετά από θέσεις καθηγητών στο Ινστιτούτο Courant, στο NYU, στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας, στο Μπέρκλεϊ, και στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας, στο Σαν Ντιέγκο, ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ από το 1987 έως το 2014, ως καθηγητής Bass των Ανθρωπιστικών Επιστημών και Επιστημών από το 1992. Σήμερα είναι διακεκριμένος καθηγητής και πρόεδρος Αριστείας στη Διδασκαλία στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας, στο Irvine. Ο Σεν τιμήθηκε με ερευνητική υποτροφία NSF το 1972 και με ερευνητική υποτροφία Sloan το 1979. Του απονεμήθηκε υποτροφία MacArthur το 1983. Προσκλήθηκε να μιλήσει στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών (ICM) τρεις φορές, δύο φορές ως ομιλητής ολομέλειας. Το 1983 ήταν προσκεκλημένος εισηγητής στο ICM στη Βαρσοβία, το 1986 ήταν ομιλητής ολομέλειας στο ICM στο Μπέρκλεϊ και το 2010 ήταν ομιλητής ολομέλειας στο ICM στο Χαϊντεραμπάντ. Για την εργασία του στο πρόβλημα Γιαμάμπε, ο Σεν τιμήθηκε με το βραβείο μνήμης Bôcher το 1989. Εξελέγη στην Αμερικανική Ακαδημία Τεχνών και Επιστημών το 1988 και στην Εθνική Ακαδημία Επιστημών το 1991, έγινε μέλος της Αμερικανικής Ένωσης για την Προώθηση της Επιστήμης το 1995 και του απονεμήθηκε υποτροφία Γκουγκενχάιμ το 1996. Το 2012 έγινε μέλος της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας. Του απονεμήθηκε το βραβείο του πρύτανη του Πανεπιστημίου του Στάνφορντ για τα επιτεύγματα ζωής στη διδασκαλία το 2014-15. Το 2015, εξελέγη αντιπρόεδρος της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας. Το 2015, το Πανεπιστήμιο του Γουόργουικ του απένειμε τον τίτλο του επίτιμου διδάκτορα της επιστήμης. Το 2017, του απονεμήθηκε το βραβείο Βολφ στα Μαθηματικά, το οποίο μοιράζεται με τον Τσαρλς Φέφερμαν. Την ίδια χρονιά, έλαβε το βραβείο Heinz Hopf, το μετάλλιο και το βραβείο Λομπατσέφσκι από το Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο του Καζάν και το βραβείο Rolf Schock. Είχε περισσότερους από 44 διδακτορικούς φοιτητές, μεταξύ των οποίων οι Ουμπέρ Μπρέι, Χοσέ Φ. Εσκομπάρ, Αϊλάνα Φρέιζερ, Τσικάκο Μέσε, Γουίλιαμ Μινικόζι και Αντρέ Νέβες. Ο Σεν μελέτησε τη χρήση αναλυτικών τεχνικών στην παγκόσμια διαφορική γεωμετρία, με αρκετές θεμελιώδεις συνεισφορές στη θεωρία κανονικότητας των ελάχιστων επιφανειών και των αρμονικών χαρτών. Το 1960, ο Χιντεχίκο Γιαμάμπε εισήγαγε το "συναρτησιακό Γιαμάμπε" σε μια σύμμορφη κατηγορία μετρικών του Ρίμαν και απέδειξε ότι ένα κρίσιμο σημείο θα έχει σταθερή κλιμακωτή καμπυλότητα[35]. Έκανε μερική πρόοδο στην απόδειξη ότι πρέπει να υπάρχουν κρίσιμα σημεία, πράγμα που ανέπτυξαν περαιτέρω οι Νιλ Τρούντινγκερ και Τιερί Ομπέν. Η εργασία του Ομπέν, ειδικότερα, διευθέτησε τις περιπτώσεις υψηλών διαστάσεων ή όταν υπάρχει ένα σημείο όπου ο τανυστής Βέιλ είναι μη μηδενικός. Το 1984, ο Σεν έλυσε τις περιπτώσεις που άφησε ανοιχτές η εργασία του Ομπέν, με αποφασιστικό σημείο την αναπροσαρμογή της μετρικής με τη συνάρτηση Γκριν του τελεστή Λαπλάς-Μπελτράμι. Αυτό κατέστησε δυνατή την εφαρμογή του θεωρήματος θετικής μάζας των Σεν και Γιάου στην προκύπτουσα μετρική, το οποίο έδωσε σημαντικές ασυμπτωτικές πληροφορίες για την αρχική μετρική. Οι εργασίες των Γιαμάμπε , Τράντινγκερ, Ομπέν και Σεν αποτελούν μαζί τη λύση του προβλήματος του Γιαμάμπε, το οποίο υποστηρίζει ότι υπάρχει μια μετρική σταθερής κλιμακωτής καμπυλότητας σε κάθε συμμορφούμενη τάξη. Το 1989, ο Σεν μπόρεσε επίσης να προσαρμόσει την ανάλυση της Κάρεν Ούλενμπεκ, που αναπτύχθηκε για άλλα προβλήματα της γεωμετρικής ανάλυσης, στο πλαίσιο της σταθερής κλιμακωτής καμπυλότητας. Η μοναδικότητα των κρίσιμων σημείων του συναρτησιακού Γιαμάμπε, και γενικότερα η συμπαγής μορφή του συνόλου όλων των κρίσιμων σημείων, είναι ένα λεπτό ζήτημα που μελετήθηκε για πρώτη φορά από τον Σεν το 1991. Πιο ολοκληρωμένα αποτελέσματα προέκυψαν στη συνέχεια από τους Σάιμον Μπρέντλ, Μάρκους Κούρι, Φερνάντο Κόντα Μάρκες και Σεν. Στη δεκαετία του 1980, ο Ρίτσαρντ Χάμιλτον εισήγαγε τη ροή Ρίτσι και απέδειξε μια σειρά αποτελεσμάτων σύγκλισης, ιδίως για δισδιάστατους και τρισδιάστατους χώρους. Αν και ο ίδιος και άλλοι βρήκαν επιμέρους αποτελέσματα σε υψηλές διαστάσεις, η πρόοδος παρεμποδίστηκε από τη δυσκολία κατανόησης του τανυστή καμπυλότητας Ρίμαν . Οι Σάιμον Μπρέντλ και Σεν κατάφεραν να αποδείξουν ότι η θετικότητα της "ισοτροπικής καμπυλότητας" των Μάριο Μίκαλλεφ και Τζον Μουρ διατηρείται από τη ροή Ρίτσι σε οποιαδήποτε διάσταση, γεγονός που αποδείχθηκε ανεξάρτητα από τον Χούι Νγκουιέν (Huy Nguyen). Οι Μπρέντλε και Σεν μπόρεσαν επίσης να συνδέσουν τη συνθήκη θετικότητάς τους με τη θετικότητα της τμηματικής καμπυλότητας και του τελεστή καμπυλότητας, γεγονός που τους επέτρεψε να αξιοποιήσουν τις πρόσφατες τότε αλγεβρικές ιδέες των Κρίστοφ Μπεμ και Μπούρχαρντ Βίλκινγκ, αποκτώντας έτσι ένα νέο θεώρημα σύγκλισης για τη ροή Ρίτσι. Μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος σύγκλισης τους έχει ως απλό επακόλουθο το θεώρημα της διαφοροποιήσιμης σφαίρας, το οποίο αποτελούσε μια γνωστή εικασία στη μελέτη της θετικής τμηματικής καμπυλότητας εδώ και πενήντα χρόνια. Schoen, R.; Simon, L.; Yau, S. T. (1975). «Curvature estimates for minimal hypersurfaces». Acta Mathematica 134 (3–4): 275–288. doi:10.1007/BF02392104. MR 0423263. Zbl 0323.53039. Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1976). «Harmonic maps and the topology of stable hypersurfaces and manifolds with non-negative Ricci curvature». Commentarii Mathematici Helvetici 51 (3): 333–341. doi:10.1007/BF02568161. MR 0438388. Zbl 0361.53040. Schoen, R.; Yau, Shing Tung (1979). «Existence of incompressible minimal surfaces and the topology of three-dimensional manifolds with nonnegative scalar curvature». Annals of Mathematics. Second Series 110 (1): 127–142. doi:10.2307/1971247. MR 0541332. Zbl 0431.53051. Schoen, R.; Yau, S. T. (1979). «On the structure of manifolds with positive scalar curvature». Manuscripta Mathematica 28 (1–3): 159–183. doi:10.1007/BF01647970. MR 0535700. Zbl 0423.53032. http://eudml.org/doc/154634. Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1979). «On the proof of the positive mass conjecture in general relativity». Communications in Mathematical Physics 65 (1): 45–76. doi:10.1007/BF01940959. Bibcode: 1979CMaPh..65...45S. MR 0526976. Zbl 0405.53045. https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-65/issue-1/On-the-proof-of-the-positive-mass-conjecture-in-general/cmp/1103904790.full. Fischer-Colbrie, Doris; Schoen, Richard (1980). «The structure of complete stable minimal surfaces in 3-manifolds of nonnegative scalar curvature». Communications on Pure and Applied Mathematics 33 (2): 199–211. doi:10.1002/cpa.3160330206. MR 0562550. Zbl 0439.53060. Schoen, Richard; Simon, Leon (1981). «Regularity of stable minimal hypersurfaces». Communications on Pure and Applied Mathematics 34 (6): 741–797. doi:10.1002/cpa.3160340603. MR 0634285. Zbl 0497.49034. Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1981). «Proof of the positive mass theorem. II». Communications in Mathematical Physics 79 (2): 231–260. doi:10.1007/BF01942062. Bibcode: 1981CMaPh..79..231S. MR 0612249. Zbl 0494.53028. https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-79/issue-2/Proof-of-the-positive-mass-theorem-II/cmp/1103908964.full. Schoen, Richard; Uhlenbeck, Karen (1982). «A regularity theory for harmonic maps». Journal of Differential Geometry 17 (2): 307–335. doi:10.4310/jdg/1214436923. MR 0664498. Zbl 0521.58021. Schoen, Richard (1983). «Estimates for stable minimal surfaces in three-dimensional manifolds». Seminar on minimal submanifolds. Annals of Mathematics Studies. 103. Princeton, NJ: Princeton University Press, σσ. 111–126. doi:10.1515/9781400881437-006. ISBN 0-691-08324-X. Zbl 0532.53042. Schoen, Richard; Uhlenbeck, Karen (1983). «Boundary regularity and the Dirichlet problem for harmonic maps». Journal of Differential Geometry 18 (2): 253–268. doi:10.4310/jdg/1214437663. MR 0710054. Zbl 0547.58020. Schoen, Richard (1984). «Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature». Journal of Differential Geometry 20 (2): 479–495. doi:10.4310/jdg/1214439291. MR 0788292. Zbl 0576.53028. Schoen, Richard M. (1984). «Analytic aspects of the harmonic map problem». Στο: Chern, S. S., επιμ. Mathematical Sciences Research Institute Publications. 2. Seminar held at the Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, CA, May 9, 1983. New York: Springer-Verlag, pp. 321–358. doi:10.1007/978-1-4612-1110-5_17. ISBN 0-387-96079-1. Schoen, R.; Yau, S.-T. (1988). «Conformally flat manifolds, Kleinian groups and scalar curvature». Inventiones Mathematicae 92 (1): 47–71. doi:10.1007/BF01393992. Bibcode: 1988InMat..92...47S. MR 0931204. Zbl 0658.53038. http://eudml.org/doc/143558. Schoen, Richard M. (1989). «Variational theory for the total scalar curvature functional for Riemannian metrics and related topics». Στο: Giaquinta, M., επιμ. Lecture Notes in Mathematics. 1365. Second C.I.M.E. Session held in Montecatini Terme, July 20–28, 1987. Berlin: Springer, pp. 120–154. doi:10.1007/BFb0089180. ISBN 3-540-50727-2. Schoen, Richard M. (1991). «On the number of constant scalar curvature metrics in a conformal class». Στο: Lawson, Blaine; Tenenblat, Keti, επιμ. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. 52. A symposium in honor of Manfredo do Carmo. Harlow: Longman Scientific and Technical, pp. 311–320. ISBN 0-582-05590-3. Gromov, Mikhail; Schoen, Richard (1992). «Harmonic maps into singular spaces and p-adic superrigidity for lattices in groups of rank one». Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques 76: 165–246. doi:10.1007/bf02699433. MR 1215595. Zbl 0896.58024. http://www.numdam.org/item/PMIHES_1992__76__165_0/. Korevaar, Nicholas J.; Schoen, Richard M. (1993). «Sobolev spaces and harmonic maps for metric space targets». Communications in Analysis and Geometry 1 (3–4): 561–659. doi:10.4310/CAG.1993.v1.n4.a4. MR 1266480. Zbl 0862.58004. Brendle, Simon; Schoen, Richard (2009). «Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms». Journal of the American Mathematical Society 22 (1): 287–307. doi:10.1090/s0894-0347-08-00613-9. Bibcode: 2009JAMS...22..287B. MR 2449060. Zbl 1251.53021. Βιβλία Yau, S.-T. Schoen, R. (1994). Lectures on differential geometry. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology. 1. Lecture notes prepared by Wei Yue Ding, Kung Ching Chang, Jia Qing Zhong and Yi Chao Xu. Translated from the Chinese by Ding and S. Y. Cheng. Preface translated from the Chinese by Kaising Tso. Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-012-8. MR 1333601. Zbl 0830.53001. Yau, S.-T. Schoen, R. (1997). Lectures on harmonic maps. Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology. 2. Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-002-0. MR 1474501. Zbl 0886.53004.