Αριθμητική

Η αριθμητική (από την ελληνική λέξη αριθμός) είναι ο παλαιότερος και πλέον στοιχειώδης κλάδος των μαθηματικών, χρησιμοποιείται σχεδόν από όλους, από απλές καθημερινές δραστηριότητες μέτρησης ως προχωρημένους επιστημονικούς ή οικονομικούς υπολογισμούς. Στη συνήθη της χρήση, η λέξη αναφέρεται σε ένα κλάδο του προκατόχου των σύγχρονων μαθηματικών, που καταγράφει βασικές ιδιότητες ορισμένων πράξεων μεταξύ αριθμών. Η λέξη αριθμητική χρησιμοποιείται σπάνια πια, ενώ τη θέση της την πήρε η λέξη μαθηματικά. Μία απάντηση που δίνουν είναι ότι η αριθμητική ασχολείται με την εκμάθηση αριθμών και των πράξεών τους, ενώ τα μαθηματικά ασχολούνται και με τη γεωμετρία. Στη συνέχεια στον κλάδο προστέθηκε και η Άλγεβρα, η οποία στις πράξεις της εκτός από αριθμούς χρησιμοποιεί και γράμματα, σε αντίθεση με την Αριθμητική που χρησιμοποιεί μόνο αριθμούς. Επίσης αναπτύχθηκε και ο κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης μέσα από την άλγεβρα και την αριθμητική. Οι όροι Αριθμητική και Ανώτερη αριθμητική χρησιμοποιήθηκαν μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα ως συνώνυμα για την θεωρία αριθμών και μερικές φορές ακόμα χρησιμοποιείται για να αναφερθεί σε ένα ευρύτερο τμήμα της θεωρίας αριθμών.

 Η προϊστορία της αριθμητικής περιορίζεται σε έναν μικρό αριθμό αντικειμένων που μπορεί να υποδεικνύουν την αντίληψη της πρόσθεσης και αφαίρεσης, το πιο γνωστό είναι το κόκκαλο του Ισάνγκο από την κεντρική Αφρική, που χρονολογείται μεταξύ 20.000 και 18.000 π.Χ., αν και η ερμηνεία του αμφισβητείται. Τις πρώτες γραπτές μαρτυρίες δείχνουν οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι οι οποίοι χρησιμοποιούσαν όλες τις στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις, ήδη από το 2000 π.Χ.. Αυτά τα αντικείμενα δεν αποκάλυπταν πάντοτε την ειδική διαδικασία που χρησιμοποιείται για την επίλυση των προβλημάτων, αλλά τα χαρακτηριστικά του συγκεκριμένου συστήματος αρίθμησης επηρεάζουν έντονα την πολυπλοκότητα των μεθόδων. Το ιερογλυφικό σύστημα για τους αιγυπτιακούς αριθμούς, όπως και το μεταγενέστερο ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης, καταγόταν από τα ψηλά σήματα που χρησιμοποιούνταν για τη μέτρηση. Και στις δύο περιπτώσεις, αυτή η καταγωγή οδήγησε σε αξίες που χρησιμοποιούσαν ως βάση δεκαδικό, αλλά δεν περιελάμβανε τη σημειογραφία της θέσης. Πολύπλοκοι υπολογισμοί με λατινικούς αριθμούς απαιτούσαν την συνδρομή ενός πίνακα καταμέτρησης ή τη ρωμαϊκή άβακα για να ληφθούν τα αποτελέσματα. Αρχαία συστήματα αριθμών που περιλαμβάναναν σημειογραφία της θέσης δεν ήταν δεκαδικά, συμπεριλαμβανομένου του εξηκονταδικού (με βάση το 60) συστήματος για τους βαβυλωνιακούς αριθμούς και το εικοσαδικό σύστημα (με βάση το 20) που όριζε τους αριθμούς των Μάγια. Λόγω αυτής της έννοιας θέσεως-αξίας, η ικανότητα να επαναχρησιμοποιήσουν τα ίδια ψηφία για διαφορετικές τιμές συνέβαλε σε απλούστερες και πιο αποτελεσματικές μεθόδους υπολογισμού. Η συνεχής ιστορική εξέλιξη της σύγχρονης αριθμητικής ξεκινά με τον ελληνιστικό πολιτισμό της αρχαίας Ελλάδας, παρά το γεγονός ότι προήλθε πολύ αργότερα από τα παραδείγματα της Βαβυλώνας και της Αιγύπτου. Πριν από τα έργα του Ευκλείδη γύρω στο 300 π.Χ., οι ελληνικές σπουδές επικαλύπτονται στα μαθηματικά με φιλοσοφικές και μυστικιστικές πεποιθήσεις. Για παράδειγμα, ο Νικόμαχος συνόψισε την άποψη της προηγούμενης πυθαγόρειας προσέγγισης σε αριθμούς, και τις σχέσεις που είχαν μεταξύ τους, στην εισαγωγή του για την αριθμητική. Το ελληνικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη, τον Διόφαντο και άλλους σε ένα θεσιακό σύστημα (Σημειογραφία της θέσης), όχι πολύ διαφορετικό στη λογική του από το σύγχρονο. Επειδή οι αρχαίοι Έλληνες δεν είχαν σύμβολο για το μηδέν (μέχρι την Ελληνιστική περίοδο), χρησιμοποίησαν τρία διαφορετικά σύνολα συμβόλων. Ένα σύνολο για τη θέση της μονάδας, ένα για τη θέση της δεκάδας, καθώς και ένα για την εκατοντάδα. Στη συνέχεια, για τη θέση της χιλιάδας επαναχρησιμοποιούσαν τα σύμβολα για τη θέση της μονάδας, και ούτω καθεξής. Ο αλγόριθμος για την πρόσθεση που αξιοποιούσαν ήταν ίδιος με τον δικό μας ενώ ο αλγόριθμος πολλαπλασιασμού ήταν ελαφρώς διαφορετικός. Ο μακρύς αλγόριθμός τους για τη διαίρεση ήταν ίδιος, και ο αλγόριθμος υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας, που κάποτε διδάσκονταν στο σχολείο, ήταν γνωστός στον Αρχιμήδη, ο οποίος μπορεί να τον είχε εφεύρει. Εκείνος προτίμησε τη μέθοδο του Ήρωνα με τις διαδοχικές προσεγγίσεις, διότι, από τη στιγμή που θα υπολογιζόταν, ένα ψηφίο δεν θα άλλαζε, και οι τετραγωνικές ρίζες των τέλειων τετραγώνων, όπως του 7.485.696, τερματίζει αμέσως στο 2.736. Για τους αριθμούς με κλασματικό μέρος, όπως του 546.934, χρησιμοποιούσαν αρνητικές δυνάμεις του 60 αντί των αρνητικών δυνάμεων του 10 για το κλασματικό μέρος 0,934. Οι αρχαίοι Κινέζοι χρησιμοποίησαν ένα παρόμοιο θεσιακό σύστημα . Επειδή τους έλειπε επίσης ένα σύμβολο για το μηδέν, είχαν ένα σύνολο συμβόλων για την θέση της μονάδας, και ένα δεύτερο σύνολο για την θέση της δεκάδας. Για τη θέση της εκατοντάδας επαναχρησιμοποιούσαν τα σύμβολα για τη θέση της μονάδας, και ούτω καθεξής. Τα σύμβολά τους βασίστηκαν στις αρχαίες ράβδους καταμέτρησης. Είναι ένα πολύπλοκο ζήτημα το να εξακριβωθεί πότε ακριβώς οι Κινέζοι άρχισαν να υπολογίζουν με παράσταση θέσεως, αλλά ήταν σίγουρα πριν από το 400 π.Χ. Ο Επίσκοπος της Συρίας Σεβήρος Σεμπόχτ (650 μ.Χ.), «Οι Ινδοί είχαν μια μέθοδο υπολογισμού, ότι καμία λέξη δεν μπορεί να επαινεθεί αρκετά από το ορθολογικό τους σύστημα (των μαθηματικών), ή της μεθόδου υπολογισμού τους. Το σύστημα χρησιμοποιούσε εννέα σύμβολα». Ο Λεονάρντο της Πίζας (Fibonacci) το 1200 μ.Χ. έγραψε το Liber Abaci «Η μέθοδος των Ινδών (Modus Indoram) ξεπερνά κάθε γνωστή μέθοδο υπολογισμού. Είναι μια θαυμάσια μέθοδος. Κάνουν τους υπολογισμούς τους χρησιμοποιώντας εννέα αριθμούς και το σύμβολο μηδέν». Η σταδιακή ανάπτυξη των ινδικών-αραβικών αριθμών επινοήθηκε ανεξάρτητα από την έννοια τόπος-αξία και Σημειογραφία της θέσης, κάτι το οποίο συνδύαζε τις απλούστερες μεθόδους για υπολογισμούς με μια δεκαδική βάση και τη χρήση ενός ψηφίου που αντιπροσώπευε το 0. Αυτό επέτρεψε στο σύστημα να εκπροσωπεί τόσο μεγάλους και μικρούς ακέραιους αριθμούς. Η προσέγγιση αυτή αντικατέστησε τελικά όλα τα άλλα συστήματα. Στις αρχές του 6ου αιώνα μ.Χ., ο Ινδός μαθηματικός Αριαμπάτα ενσωμάτωσε μια υπάρχουσα έκδοση αυτού του συστήματος στο έργο του, και πειραματίστηκε με διαφορετικά σύμβολα. Τον 7ο αιώνα, ο Βραχμαγκούπτα καθιέρωσε την χρήση του 0 ως ξεχωριστό αριθμό και προσδιόρισε τα αποτελέσματα για τον πολλαπλασιασμό, τη διαίρεση, την πρόσθεση και την αφαίρεση του μηδέν, και για όλους τους άλλους αριθμούς, εκτός από το αποτέλεσμα της διαίρεσης με το 0. Ο σύγχρονος του, Σύρος επίσκοπος Σεβήρος Σεμπόχτ περιέγραψε την αριστεία του συστήματος αυτού ως «... πολύτιμες μεθόδους υπολογισμού που ξεπερνούν την περιγραφή». Οι Άραβες έμαθαν επίσης τη νέα αυτή μέθοδο και την ονόμασαν hesab. Αν και ο Codex Vigilanus περιέγραψε σε μια πρώιμη μορφή τους αραβικούς αριθμούς (παραλείποντας το 0) το 976 μ.Χ., Ο Φιμπονάτσι (Λεονάρντο της Πίζας) ήταν ο κύριος υπεύθυνος για τη διάδοση της χρήσεώς τους σε όλη την Ευρώπη μετά τη δημοσίευση του βιβλίου του Liber abaci μέσα στο 1202. Θεώρησε τη σημασία αυτής της «νέας» εκπροσώπησης των αριθμών, η οποία είχε οριστεί ως «Μέθοδος των Ινδών» (λατινικά Modus Indorum), τόσο θεμελιώδη, ώστε όλες οι σχετικές μαθηματικές βάσεις, συμπεριλαμβανομένων των αποτελεσμάτων του Πυθαγόρα και των αλγόριθμων περιγραφής των μεθόδων για την εκτέλεση πραγματικών υπολογισμών, ήταν «σχεδόν ένα λάθος» σε σύγκριση. Κατά τον Μεσαίωνα η αριθμητική ήταν μια από τις επτά «ελευθέριες τέχνες» που διδάσκονταν στα πανεπιστήμια. Η άνθηση της άλγεβρας στον μεσαιωνικό ισλαμικό κόσμο και στην Ευρώπη της Αναγέννησης ήταν μια συνέπεια του τεράστιου βαθμού απλοποιήσεως των υπολογισμών μέσω του δεκαδικού συμβολισμού. Υπάρχουν διάφοροι τύποι εργαλείων που βοηθούν στους αριθμητικούς υπολογισμούς.Τα Παραδείγματα περιλαμβάνουν κανόνες διαφάνειας (για τον πολλαπλασιασμό,την διαίρεση, και την τριγωνομετρία) και νομογραφήματα εκτός από την ηλεκτρική αριθμομηχανή. Ακέραιοι: Αποτελούν το άθροισμα ακέραιων μονάδων Κλασματικοί: Αποτελούνται από τμήματα ακέραιων μονάδων Μικτοί: Αποτελούνται και από ακέραιους και από κλασματικούς αριθμούς Δεκαδικοί: Αποτελούνται από έναν ακέραιο μέρος(Ακέραιο αριθμό) και ένα δεκαδικό μέρος(τα ψηφία πίσω απο την υποδιαστολή " , " είναι το δεκαδικό μέρος)Επίσης έχουμε τους Περιττούς αριθμούς δηλ. τους μονούς 1, 3, 5, 7,… και τους Άρτιους δηλ. τους ζυγούς 2, 4, 6, 8,… Η Πρόσθεση με σύμβολο το «+».Οι αριθμοί που προστίθενται λέγονται προσθεταίοι και το αποτέλεσμα της πράξης λέγεται άθροισμα. Η απλούστερη μορφή της πρόσθεσης είναι όταν συνδυάζει δύο μόνο προσθετέους.Μπορούν όμως να προστεθούν και απείρως πολλοί αριθμοί σε μια άπειρη σειρά.Η συνεχής προσθήκη του αριθμού 1 χρησιμοποιείται για την καταμέτρηση.Στην πρόσθεση ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, κατά την οποία οι αριθμοί μπορούν να αλλάξουν σειρά χωρίς να επηρεαστεί το αποτέλεσμα.Ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση είναι ο αριθμός 0. Προσθέτοντας κάποιους αριθμούς με το 0, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.Επίσης αντίθετος κάποιου αριθμού, είναι ο αρνητικός του. Η πρόσθεση αυτών των δύο, δίνει αποτέλεσμα 0.Η Αφαίρεση με σύμβολο το «–».Η αφαίρεση βρίσκει τη διαφορά δύο αριθμών. Οι ο πρώτος αριθμός λέγεται μειωτέος, ο δεύτερος αφαιρετέος και το αποτέλεσμα της πράξης λέγεται διαφορά.Αν ο μειωτέος είναι μεγαλύτερος από τον αφαιρετέο, η διαφορά είναι θετική.Αν ο μειωτέος είναι μικρότερος από τον αφαιρετέο, η διαφορά είναι αρνητική.Αν είναι ίσα, η διαφορά είναι μηδέν.Στην αφαίρεση δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότηταΟ Πολλαπλασιασμός με σύμβολο το «×».Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται λέγονται παράγοντες και το αποτέλεσμα της πράξης λέγεται γινόμενο.Σον Πολλαπλασιασμό ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, κατά την οποία οι αριθμοί μπορούν να αλλάξουν σειρά χωρίς να επηρεαστεί το αποτέλεσμα.Ουδέτερο στοιχείο στον Πολλαπλασιασμό είναι ο αριθμός 1. Προσθέτοντας κάποιους αριθμούς με το 1, δεν αλλάζει το αποτέλεσμα.Η Διαίρεση με σύμβολο το «:».Οι ο πρώτος αριθμός(Δ: ...=....) λέγεται διαιρετέος, ο δεύτερος διαιρέτης(... : δ =....) και το αποτέλεσμα της πράξης(Δ:δ=π) λέγεται πηλίκο.Η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του Πολλαπλασιασμού.Η διαίρεση λέγεται τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι 0 και ατελής όταν το υπόλοιπο είναι διάφορο του 0. Δεκαδικός αριθμός είναι ο αριθμός που προκύπτει από μια ατελή διαίρεση. Η διαίρεση μπορεί να γραφεί και με την μορφή εξίσωσης: Δ=δ*π+υ όπου Δ:διαιρετέος ,δ:διαιρέτης,π:πηλίκο,υ:υπόλοιπο Μια σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων λέγεται Αριθμητική παράσταση και το αποτέλεσμα αυτών των πράξεων λέγεται τιμή της Αριθμητικής παράστασης. Προτεραιότητα των πράξεων στις αριθμητικές παραστάσεις: οι πράξεις γίνονται από τα αριστερά προς τα δεξιά με μια ορισμένη σειρά: πρώτα οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις έπειτα οι προσθέσεις και οι αφαιρέσειςΑν όμως υπάρχουν παρενθέσεις, κάνουμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την ίδια σειρά. Μηδέν με πρόσημο