Παραγοντικό

Στα μαθηματικά τo παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ν {\displaystyle \nu } συμβολίζεται με ν ! {\displaystyle \nu !} , διαβάζεται νι παραγοντικό, και είναι το γινόμενο όλων των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων με ν {\displaystyle \nu } : ν ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ ν {\displaystyle \nu !=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot \nu } .Για παράδειγμα, 2 ! = 1 ⋅ 2 = 2 {\displaystyle 2!=1\cdot 2=2} , 3 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 {\displaystyle 3!=1\cdot 2\cdot 3=6} , 4 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 {\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24} , 5 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 {\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120} , 8 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 = 40.320 {\displaystyle 8!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8=40.320} .Το παραγοντικό ενός αριθμού ν {\displaystyle \nu } ισούται με το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων των ν {\displaystyle \nu } στοιχείων ενός συνόλου, δηλαδή το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να βάλουμε σε μια σειρά τα ν {\displaystyle \nu } στοιχεία ενός συνόλου. Για παράδειγμα, για το σύνολο Σ = { α , β , γ } {\displaystyle \Sigma =\{\alpha ,\beta ,\gamma \}} , υπάρχουν συνολικά 3 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6 {\displaystyle 3!=1\cdot 2\cdot 3=6} δυνατές μεταθέσεις, οι οποίες είναι οι εξής: α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } , α γ β {\displaystyle \alpha \gamma \beta } , β α γ {\displaystyle \beta \alpha \gamma } , β γ α {\displaystyle \beta \gamma \alpha } , γ α β {\displaystyle \gamma \alpha \beta } , γ β α {\displaystyle \gamma \beta \alpha } .

 Το ν ! {\displaystyle \nu !} ορίζεται αναδρομικά ως εξής για τον φυσικό αριθμό ν {\displaystyle \nu } : ν ! = { 1 για ν = 0 , ν ⋅ ( ν − 1 ) ! για ν ≥ 1 , {\displaystyle \nu !={\begin{cases}1&{\text{για }}\nu =0,\\\nu \cdot (\nu -1)!&{\text{για }}\nu \geq 1,\end{cases}}} ή μη-αναδρομικά, κάνοντας χρήση του συμβόλου ∏ {\displaystyle \prod } για τον πολλαπλασιασμό, ως εξής: ν ! = { 1 για ν = 0 , ∏ i = 1 ν i για ν ≥ 1. {\displaystyle \nu !={\begin{cases}1&{\text{για }}\nu =0,\\\prod _{i=1}^{\nu }i&{\text{για }}\nu \geq 1.\end{cases}}} Παρατηρήστε ότι και στους δύο παραπάνω ορισμούς η σύμβαση είναι ότι 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} . Αυτό βοηθάει σε διάφορους ορισμούς που προκύπτουν από αυτόν του παραγοντικού, όπως είναι οι διωνυμικοί συντελεστές ( ν κ ) {\displaystyle {\tbinom {\nu }{\kappa }}} , οι οποίοι για 0 ≤ κ ≤ ν {\displaystyle 0\leq \kappa \leq \nu } δίνονται από τον τύπο ( ν κ ) = ν ! ( ν − κ ) ! κ ! . {\displaystyle {\binom {\nu }{\kappa }}={\frac {\nu !}{(\nu -\kappa )!\kappa !}}.} Ο ορισμός του 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} , επιτρέπει στον ορισμό να δουλεύει για κ = 0 {\displaystyle \kappa =0} , καθώς και για ν = κ {\displaystyle \nu =\kappa } χωρίς αλλαγές. Όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, το πλήθος των δυνατών μεταθέσεων ενός συνόλου με ν {\displaystyle \nu } στοιχεία είναι ν ! {\displaystyle \nu !} . Αυτό προκύπτει επαγωγικά. Για ν = 1 {\displaystyle \nu =1} , υπάρχει μία δυνατή μετάθεση για αυτό το στοιχείο. Για ν ≥ 2 {\displaystyle \nu \geq 2} , υπάρχουν ν {\displaystyle \nu } τρόποι να διαλέξουμε το πρώτο στοιχείο της μετάθεσης (διαλέγοντας οποιοδήποτε από τα ν {\displaystyle \nu } στοιχεία) και έπειτα υπάρχουν ν − 1 {\displaystyle \nu -1} στοιχεία για τις υπόλοιπες θέσεις. Από την επαγωγική υπόθεση υπάρχουν ( ν − 1 ) ! {\displaystyle (\nu -1)!} τρόποι να διατάξουμε αυτά τα στοιχεία και επομένως συνολικά ν ⋅ ( ν − 1 ) ! = ν ! {\displaystyle \nu \cdot (\nu -1)!=\nu !} τρόποι να διατάξουμε τα ν {\displaystyle \nu } στοιχεία. Σε αρκετές εφαρμογές είναι πιο βολικό να δουλεύουμε με προσεγγίσεις του ν ! {\displaystyle \nu !} , αντί με τον κλειστό τύπο. Ο τύπος του Στίρλινγκ δίνει ότι ν ! ∼ 2 π ⋅ ν ν + 1 / 2 ⋅ e − ν , {\displaystyle \nu !\sim {\sqrt {2\pi }}\cdot \nu ^{\nu +1/2}\cdot e^{-\nu },} ή ισοδύναμα lim ν → ∞ ν ! 2 π ⋅ ν ν + 1 / 2 ⋅ e − ν = 1. {\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }{\frac {\nu !}{{\sqrt {2\pi }}\cdot \nu ^{\nu +1/2}\cdot e^{-\nu }}}=1.} Σε κάποιες εφαρμογές (ειδικά στον χώρο της θεωρητικής πληροφορικής), τα παρακάτω φράγματα δίνουν αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσματα: ( ν e ) ν ≤ ν ! ≤ e ⋅ ν ⋅ ( ν e ) ν . {\displaystyle \left({\frac {\nu }{e}}\right)^{\nu }\leq \nu !\leq e\cdot {\sqrt {\nu }}\cdot \left({\frac {\nu }{e}}\right)^{\nu }.} Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε το πλήθος των δυνατών κυκλικών μεταθέσεων. Για παράδειγμα, μπορεί να θέλουμε να τοποθετήσουμε ν = 4 {\displaystyle \nu =4} άτομα σε ένα κυκλικό τραπέζι με ν {\displaystyle \nu } θέσεις, τότε υπάρχουν οι εξής 6 {\displaystyle 6} δυνατές μεταθέσεις. Παρατηρήστε ότι οι διατάξεις α β γ δ {\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta } , δ α β γ {\displaystyle \delta \alpha \beta \gamma } , γ δ α β {\displaystyle \gamma \delta \alpha \beta } και β γ δ α {\displaystyle \beta \gamma \delta \alpha } είναι ισοδύναμες. Στην γενική περίπτωση κάθε διάταξη είναι ισοδύναμη με τις ν {\displaystyle \nu } κυκλικές διατάξεις της. Επομένως, από τις ν ! {\displaystyle \nu !} δυνατές μεταθέσεις, ακριβώς οι ν ! / ν = ( ν − 1 ) ! {\displaystyle \nu !/\nu =(\nu -1)!} αντιστοιχούν σε διαφορετικές μεταθέσεις σε έναν κύκλο. e {\displaystyle e} Το παραγοντικό εμφανίζεται και στον εξής ορισμό της μαθηματικής σταθεράς e, e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + … = ∑ i = 0 ∞ 1 i ! . {\displaystyle e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}.} Η συνάρτηση του ημιτόνου μπορεί να οριστεί ως εξής: sin ⁡ ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − … = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i ( 2 i + 1 ) ! ⋅ x 2 i + 1 . {\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}\cdot x^{2i+1}.} Επίσης, η συνάρτηση του συνημιτόνου μπορεί να οριστεί ως εξής: cos ⁡ ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + … = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i ( 2 i ) ! ⋅ x 2 i . {\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}\cdot x^{2i}.} Η σειρά Τέιλορ μίας πραγματικής συνάρτησης f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } στο σημείο a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } είναι η δυναμοσειρά f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ⋅ ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ⋅ ( x − a ) 2 + … = ∑ i = 0 ∞ f ( i ) ( a ) i ! ⋅ ( x − a ) i . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}\cdot (x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}\cdot (x-a)^{2}+\ldots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}\cdot (x-a)^{i}.} Παρακάτω δίνονται οι δύο κλασσικές υλοποιήσεις για τον υπολογισμό του παραγοντικού: η αναδρομική και η γραμμική υλοποίηση. Σε γλώσσες προγραμματισμού με ακεραίους πεπερασμένου μεγέθους ο παρακάτω κώδικας θα οδηγήσει σε υπερχείλιση όταν το ν {\displaystyle \nu } είναι μεγάλο. Και οι δύο αλγόριθμοι χρησιμοποιούν ν − 1 {\displaystyle \nu -1} πολλαπλασιασμούς. Το αντιπαραγοντικό ενός φυσικού αριθμού ν {\displaystyle \nu } συμβολίζεται με ! ν {\displaystyle !\nu } , διαβάζεται νι αντιπαραγοντικό, και είναι το πηλίκο όλων των θετικών ακέραιων μικρότερων ή ίσων με ν {\displaystyle \nu } , δηλαδή ! ν = 1 ν ! = 1 ν ⋅ ! ( ν − 1 ) = 1 ν ⋅ 1 ν − 1 ⋅ … ⋅ 1 2 ⋅ 1 1 , {\displaystyle !\nu ={\frac {1}{\nu !}}={\frac {1}{\nu }}\cdot !(\nu -1)={\frac {1}{\nu }}\cdot {\frac {1}{\nu -1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1}},} και συμβατικά ! 0 = 1 {\displaystyle !0=1} . Το αντιπαραγοντικό ! ν {\displaystyle !\nu } μας δίνει η πιθανότητα εντοπισμού μίας συγκεκριμένης μετάθεσης από το σύνολο των ν ! {\displaystyle \nu !} μεταθέσεων. Για παράδειγμα, το σύνολο 2 ! = 2 {\displaystyle 2!=2} , μας δίνει τις μεταθέσεις: 1 , 2 {\displaystyle 1,2} και 2 , 1 {\displaystyle 2,1} . Η πιθανότητα εύρεσης της επιθυμητής μετάθεσης ( 1 , 2 {\displaystyle 1,2} ή 2 , 1 {\displaystyle 2,1} ), δίνεται από το αντιπαραγοντικό του 2 {\displaystyle 2} δηλαδή ! 2 = 1 / 2 ! = 1 / 2 = 0.5 {\displaystyle !2=1/2!=1/2=0.5} , συνεπώς 50 % {\displaystyle 50\%} . Ομοίως, για το 3 ! = 6 {\displaystyle 3!=6} , το αντιπαραγοντικό του ! 3 {\displaystyle !3} είναι ίσο με 1 / 3 ! = 1 / 6 {\displaystyle 1/3!=1/6} , δηλαδή περίπου 16 , 6 % {\displaystyle 16,6\%} . Συνάρτηση γάμμα (Αγγλικά) Weisstein, Eric W., «Factorial», από MathWorld. Ανακτήθηκε 2020-07-22.