Άπειρο

Το άπειρο (σύμβολο: ∞ {\displaystyle \infty } ) είναι αφηρημένη έννοια που περιγράφει κάτι χωρίς κανένα όριο και έχει σημασία σε μια σειρά από επιστήμες, κυρίως τα μαθηματικά και τη φυσική. Η λέξη άπειρο προέρχεται από το στερητικό πρόθεμα "α-" και τη λέξη "πέρας" που σημαίνει τέλος. Αναφέρεται σε διαφορετικές έννοιες (που συνήθως συνδέονται με την έννοια του "χωρίς τέλος") που προκύπτουν στη φιλοσοφία, τα μαθηματικά και τη θεολογία. Στα μαθηματικά, το "άπειρο" χρησιμοποιείται συνήθως σε περιπτώσεις όπου αντιμετωπίζεται σαν να ήταν αριθμός (δηλαδή για τη σειρά ή το μέγεθος κάποιου πράγματος, π.χ. "άπειρος αριθμός στοιχείων") αλλά είναι διαφορετικό είδος αριθμού από τους πραγματικούς αριθμούς. Το άπειρο βρίσκεται στα όρια, στους αριθμούς άλεφ, στις τάξεις της θεωρίας συνόλων, στα Ντέντεκιντ-άπειρα σύνολα, στο παράδοξο του Ράσελ, στη μη καθιερωμένη αριθμητική, στους υπερπραγματικούς αριθμούς, στην προβολική γεωμετρία, στο εκτεταμένο σύστημα πραγματικών αριθμών και στο απόλυτο άπειρο του Κάντορ. Ο Γκέοργκ Κάντορ επισημοποίησε πολλές ιδέες που σχετίζονται με το άπειρο και τις άπειρες σειρές κατά τα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ού αιώνα. Στη θεωρία που ανέπτυξε, υπάρχουν άπειρες σειρές διαφόρων μεγεθών (πληθικότητα). Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο, ενώ το άπειρο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο.

 Οι αρχαίοι πολιτισμοί είχαν διάφορες ιδέες για τη φύση του απείρου. Οι αρχαίοι Ινδοί και οι αρχαίοι Έλληνες δεν ορίζουν το άπειρο με ακριβή φορμαλισμό όπως και οι σύγχρονοι μαθηματικοί, και αντ' αυτού προσεγγίζουν το άπειρο ως φιλοσοφική έννοια. Στο Έπος του Γκιλγκαμές ο ήρωας Γκιλγκαμές, αναρρώνοντας από την προοπτική του δικού του θανάτου, αφού είδε το θάνατο του φίλου του Ενκίντου, αποφασίζει ως απάντηση να αναζητήσει την αιώνια ζωή. Το έπος βασίζεται στη ζωή ενός κυβερνήτη που κυβερνούσε μεταξύ 2.800 και 2.500 π.Χ Στην Αιγυπτιακή μυθολογία ο Χε ήταν η θεοποίηση της έννοιας του απείρου ή της αιωνιότητας στην Ογδοάδα, και το όνομά του σημαίνει "αιωνιότητα". Το θηλυκό αντίστοιχό του είναι γνωστό ως Χεκέτ, που είναι ο θηλυκός τύπος του ονόματός του. Η πρώτη καταγεγραμμένη ιδέα του απείρου προέρχεται από τον Αναξίμανδρο, προσωκρατικό Έλληνα φιλόσοφο που έζησε στη Μίλητο. Χρησιμοποίησε τη λέξη άπειρον που σημαίνει άπειρο ή απεριόριστο. Ωστόσο, ο πρώτος απολογισμός του απείρου στα μαθηματικά προέρχεται από τον Ζήνωνα τον Ελεάτη (490 π.Χ. - 425 π.Χ.), ο οποίος ήταν ένας από τους αρχαίους Έλληνες προσωκρατικούς φιλοσόφους στην Κάτω Ιταλία και μέλος της Ελεατικής Σχολής, που ίδρυσε ο Παρμενίδης. Ο Αριστοτέλης τον αποκαλούσε εφευρέτη της διαλεκτικής μεθόδου. Ο Ζήνων ο Ελεάτης είναι γνωστός για τα τέσσερα παράδοξά του, τα οποία ο Μπέρτραντ Ράσελ περιέγραψε ως ασύγκριτα διακριτικά και βαθιά. Σύμφωνα με την παραδοσιακή άποψη του Αριστοτέλη, οι Έλληνες της Ελληνιστικής Εποχής γενικά προτιμούν να διακρίνουν το δυναμικό άπειρο από το πραγματικό άπειρο. Για παράδειγμα, αντί να λένε ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών, ο Ευκλείδης προτιμά αντ' αυτού να λέει ότι υπάρχουν περισσότεροι πρώτοι αριθμοί από αυτούς που περιέχονται σε κάθε δεδομένη συλλογή πρώτων αριθμών. Ωστόσο, οι πρόσφατες ερμηνείες του αναγνώσματος Παλίμψηστο του Αρχιμήδη υπαινίσσονται ότι ο Αρχιμήδης είχε τουλάχιστον μια διαίσθηση για τη πραγματική ποσότητα του απείρου. Το ινδικό μαθηματικό κείμενο Σουρύα Πρατζνάτι (Surya Prajnapti, 3ος-4ος αιώνας π.Χ.) κατατάσσει όλους τους αριθμούς σε τρεις ομάδες: αριθμήσιμα, αναρίθμητα, και άπειρα σύνολα. Κάθε ένα από αυτά χωρίστηκε σε τρεις τάξεις: Αριθμήσιμα: χαμηλότερη, ενδιάμεση, και υψηλότερη Αναρίθμητα: σχεδόν αναρίθμητα, πραγματικά αναρίθμητα, και αναρίθμητα αναρίθμητα Άπειρα: σχεδόν άπειρα, πραγματικά άπειρα, απείρως άπειραΣε αυτό το έργο, διακρίνονται δύο βασικοί τύποι άπειρων αριθμών. Και στους δύο λόγους, φυσικό και οντολογικό, έγινε διάκριση μεταξύ asaṃkhyāta ("αμέτρητων, αναρίθμητων") και ananta ("ατελείωτων, απεριόριστων"), μεταξύ αυστηρά οριοθετημένων και χαλαρά οριοθετημένων απείρων. Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί άρχισαν να χρησιμοποιούν άπειρους αριθμούς με συστηματικό τρόπο κατά τον 17ο αιώνα. Ο Τζον Ουάλις (John Wallis) χρησιμοποίησε για πρώτη φορά τον συμβολισμό ∞ {\displaystyle \infty } για μια τέτοια σειρά, ώστε να αξιοποιηθεί αυτό στους υπολογισμούς διαιρώντας την περιοχή σε απειροελάχιστες λωρίδες πλάτους της τάξης του 1 ∞ {\displaystyle {\frac {1}{\infty }}} . Ο Όιλερ χρησιμοποίησε τον συμβολισμό i {\displaystyle i} για έναν άπειρο αριθμό, και το αξιοποίησε εφαρμόζοντας τον τύπο του διωνύμου για τη i {\displaystyle i} δύναμη, και άπειρα προϊόντα από i {\displaystyle i} παράγοντες. Το σύμβολο του απείρου ∞ {\displaystyle \infty } (μερικές φορές ονομάζεται lemniscate) είναι μαθηματικό σύμβολο που αντιπροσωπεύει την έννοια του απείρου. Εισήχθη το 1655 από τον Τζον Ουάλις, και, από την εισαγωγή του, έχει επίσης χρησιμοποιηθεί έξω από τα μαθηματικά στο σύγχρονο μυστικισμό και στον λογοτεχνικό συμβολισμό. Ο Γκότφριντ Λάιμπνιτς, ένας από τους δημιουργούς του απειροστικού λογισμού μαζί με τον Ισαάκ Νεύτωνα, είχε ευρεία συνεισφορά στην κατανόηση του απείρου και τη χρήση του στα μαθηματικά. Σύμφωνα με τον Λάιμπνιτς, το άπειρο και οι άπειρες ποσότητες ήταν ιδανικές οντότητες και όχι της ίδιας φύσης με σημαντικές ποσότητες, έχοντας τις ίδιες ιδιότητες, σύμφωνα με τον νόμο της συνέχειας. Στην πραγματική ανάλυση, το σύμβολο ∞ {\displaystyle \infty } , που ονομάζεται άπειρο, χρησιμοποιείται για να δηλώσει κάτι χωρίς κανένα όριο. x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } σημαίνει ότι το x μεγαλώνει χωρίς όριο και x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } σημαίνει ότι η τιμή του x μειώνεται χωρίς όριο. Αν f(t) ≥ 0 για κάθε t, τότε · ∫ a b f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{a}^{b}\,f(t)\ dt\ =\infty } σημαίνει ότι το f(t) δεν βάζει όρια σε ένα πεδίο που υπόκειται σε όρια από το a ως το b. · ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =\infty } σημαίνει ότι το πεδίο υπό τον έλεγχο f(t) είναι άπειρο. · ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,f(t)\ dt\ =a} σημαίνει ότι το συνολικό πεδίο υπό τον έλεγχο f(t) υπόκειται σε όρια, και ισούται με a. Το άπειρο χρησιμοποιείται επίσης για να περιγράψει άπειρες σειρές: · ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = a {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=a} σημαίνει ότι το σύνολο των άπειρων σειρών συγκλίνει σε κάποια πραγματική τιμή a {\displaystyle a} . · ∑ i = 0 ∞ f ( i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\,f(i)=\infty } σημαίνει ότι το σύνολο των απείρων σειρών αποκλίνει υπό την έννοια ότι τα επί μέρους σύνολα μεγαλώνουν χωρίς όριο. Το άπειρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για να προσδιορίσει ένα όριο αλλά και ως μια τιμή στο εκτεταμένο σύστημα πραγματικών αριθμών. Τα σημεία + ∞ {\displaystyle +\infty } και − ∞ {\displaystyle -\infty } μπορούν να προστεθούν στον τοπολογικό χώρο των πραγματικών αριθμών, προξενώντας την ένταξη των πραγματικών αριθμών σε συμπαγή χώρο δύο σημείων. Προσθέτοντας τις αλγεβρικές ιδιότητες σε αυτό μας δίνει τους εκτεταμένους πραγματικούς αριθμούς. Εμείς μπορούμε επίσης να θεωρήσουμε + ∞ {\displaystyle +\infty } και − ∞ {\displaystyle -\infty } ως ίδια, ωθώντας στην ένταξη των πραγματικών αριθμών σε συμπαγή χώρο ενός σημείου, η οποία είναι η πραγματική προβολική γραμμή. Η προβολική γεωμετρία επίσης αναφέρεται σε μία γραμμή στο άπειρο στο επίπεδο, ένα επίπεδο στο άπειρο στον τρισδιάστατο χώρο, και ούτω καθεξής σε μεγαλύτερες διαστάσεις. Στη μιγαδική ανάλυση το σύμβολο ∞ {\displaystyle \infty } , που ονομάζεται <<άπειρο>>, δηλώνει ένα ανυπόγραφο άπειρο όριο. x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } σημαίνει ότι το μέγεθος | x | {\displaystyle |x|} του x μεγαλώνει πέρα από κάθε τιμή που έχει ανατεθεί. Ένα σημείο ∞ {\displaystyle \infty } μπορεί να προστεθεί στο πολυσύνθετο επίπεδο ως ένας τοπολογικός χώρος παρέχοντας την ένταξη σε συμπαγή χώρο ενός σημείου του πολυσύνθετου επιπέδου. Όταν αυτό συμβεί, ο χώρος που προκύπτει είναι μία μονοδιάστατη πολυσύνθετη πολλαπλή, ή επιφάνεια Riemann, που αποκαλείται το εκτεταμένο πολυσύνθετο επίπεδο ή η σφαίρα του Riemann. Αριθμητικές πράξεις παρόμοιες με εκείνες που δόθηκαν παραπάνω για τους εκτεταμένους πραγματικούς αριθμούς μπορούν επίσης να οριστούν αν και δεν υπάρχει καμία αισθητή διαφορά στα σύμβολα (επομένως μία εξαίρεση είναι ότι το άπειρο δεν μπορεί να προστεθεί αυτό καθαυτό). Από τη μία πλευρά, αυτό το είδος του άπειρου δίνει τη δυνατότητα της διαίρεσης από το μηδέν, δηλαδή z / 0 = ∞ {\displaystyle z/0=\infty } για οποιονδήποτε μη μηδενικό σύνθετο αριθμό z. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο είναι συχνά χρήσιμο να εκλαμβάνουμε τις μεταμορφωσιγενείς συναρτήσεις σαν χάρτες μέσα στη σφαίρα του Riemann ορίζοντας την τιμή του ∞ {\displaystyle \infty } στους πόλους. Ο τομέας μιας σύνθετης συνάρτησης της τιμής ίσως επεκταθεί για να συμπεριλάβει το σημείο του απείρου καθώς επίσης. Ένα εξέχον παράδειγμα τέτοιων συναρτήσεων είναι η ομάδα μετασχηματισμών Mobius. Οι αρχικές διατυπώσεις του απειροελάχιστου λογισμού του Ισαάκ Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς χρησιμοποίησαν απειροελάχιστες ποσότητες. Στον εικοστό αιώνα, φάνηκε ότι η θεώρηση αυτή θα μπορούσε να μπει σε μία ενδελεχή βάση, μέσω διαφόρων λογικών συστημάτων, συμπεριλαμβανομένης της ομαλής απειροελάχιστης ανάλυσης και της μη-συμβατικής ανάλυσης. Στην τελευταία από τις δύο αναλύσεις τα απειροστά είναι αντιστρέψιμα και τα αντίστροφα τους είναι οι άπειροι αριθμοί. Υπό αυτήν την έννοια τα άπειρα είναι μέρος ενός υπερρεαλιστικού πεδίου. Δεν υπάρχει ισοδυναμία μεταξύ τους όπως και με τους διαπεπερασμένους αριθμούς του Καντόρ. Για παράδειγμα, αν το Η είναι άπειρος αριθμός, τότε H + H = 2H and H + 1 είναι ξεχωριστοί άπειροι αριθμοί. Αυτή η προσέγγιση στο μη συμβατικό λογισμό έχει πλήρως αναπτυχθεί από τον Κάισλερ. Μία άλλη μορφή του απείρου είναι το άπειρο πλήθος πληθαρίθμων και τακτικών αριθμών της θεωρίας των συνόλων. Ο Κάντορ ανέπτυξε ένα σύστημα διαπεπερασμένων αριθμών, στο οποίο ο πρώτος διαπεπερασμένος πληθάριθμος είναι ο aleph-null (ℵ0),ο πληθάριθμος του συνόλου των φυσικών αριθμών. Αυτή η μοντέρνα μαθηματική επινόηση του ποσοτικού απείρου αναπτύχθηκε στα τέλη του 19ου αιώνα από τους Κάντορ, Φρέγκε, Ντέντεκιντ και άλλους, χρησιμοποιώντας την ιδέα της συλλογής ή των συνόλων. Η προσέγγιση του Ντέντεκιντ κατά κύριο λόγο ενστερνιζόταν την άποψη της μιας προς μια αντιστοιχίας ως γνώμονα για τη σύγκριση του μεγέθους των συνόλων και την απόρριψη της άποψης του Γαλιλαίου (η οποία προήλθε από τον Ευκλείδη) ότι το σύνολο δεν μπορεί να έχει το ίδιο μέγεθος με το τμήμα. Ένα μη πεπερασμένο σύνολο μπορεί απλά να οριστεί ως ένα σύνολο το οποίο έχει το ίδιο μέγεθος με τουλάχιστον ένα από τα δικά του κύρια μέρη. Αυτή η αντίληψη του απείρου ονομάζεται το άπειρο του Dedekind. Το διάγραμμα φέρει ένα παράδειγμα: θεωρώντας τις ευθείες ως άπειρα σύνολα σημείων, το αριστερό μισό της χαμηλότερης μπλε ευθείας μπορεί να χαρτογραφηθεί κατά κάποιο τρόπο (πράσινες αντιστοιχίες) σε μία υψηλότερη μπλε ευθεία, και αντιστρόφως σε ολόκληρη τη χαμηλότερη μπλε ευθεία (κόκκινες αντιστοιχίες). Επομένως ολόκληρη η χαμηλότερη μπλε ευθεία και το αριστερό της μισό έχουν τον ίδιο πληθάριθμο, π.χ. μέγεθος. Ο Κάντορ όρισε 2 ειδών άπειρους αριθμούς, τους διατακτικούς και τους πληθικούς. Οι διατακτικοί αριθμοί μπορούν να ταυτοποιηθούν με τα ταξινομημένα σύνολα, ή η μέτρηση μπορεί να συνεχιστεί έως ενός οποιουδήποτε σημείου, συμπεριλαμβανομένων και των σημείων αφότου ένας άπειρος αριθμός έχει ήδη προσμετρηθεί. Η γενίκευση των πεπερασμένων και των απείρων ακολουθιών των διατακτικών αριθμών οι οποίοι αποτελούν αντίστοιχα των θετικών αριθμών, οδηγεί στη συστοίχιση με τους πληθικούς. Οι διατακτικοί αριθμοί καθορίζουν το μέγεθος των συνόλων, δηλαδή πόσα μέλη τα σύνολα μπορούν να περιέχουν, και μπορούν να κανονικοποιηθούν επιλέγοντας τον πρώτο διατακτικό αριθμό ορισμένου μεγέθους ώστε να αντιπροσωπεύει τον αντίστοιχο πληθικό αριθμό αυτού του μεγέθους. Η μικρότερη διατακτική απειρότητα είναι αυτή των θετικών αριθμών, και του όποιοδηποτε συνόλου του οποίου η πληθικότητα των ακεραίων είναι μετρικά άπειρη. Εάν ένα σύνολο είναι πολύ μεγάλο έτσι ώστε να αντιστοιχηθεί με τους θετικούς αριθμούς, ονομάζεται μη μετρήσιμο. Οι χώροι απείρων διαστάσεων χρησιμοποιούνται ευρέως στην γεωμετρία και την τοπολογία, ιδιαίτερα ως ταξινομημένοι χώροι, και καλούνται ως χώροι Άιλενμπεργκ-Μακλέιν. Συνήθη παραδείγματα είναι ο σύνθετος προβολικός χώρος απείρων διαστάσεων Κ(Ζ,2) και ο πραγματικός προβολικός χώρος απείρων διαστάσεων Κ(Ζ/2Ζ, 1) Η δομή ενός αντικειμένου φράκταλ επαναλαμβάνεται στις δικές του μεγεθύνσεις. Τα μορφοπλάσματα μπορούν να μεγεθυνθούν επ' αόριστον χωρίς να χάσουν τη δομή τους η να γίνουν «ομαλής ροής». Αυτά έχουν ασύλληπτου μεγέθους περιμέτρους-κάποια με άπειρα και άλλα με πεπερασμένα επιφανειακά πεδία. Μία τέτοιου είδους μορφοπλασματική καμπύλη με μια άπειρη περίμετρο και πεπερασμένο επιφανειακό πεδίο είναι η καμπύλη εξαπλής συμμετρίας του Koch (Koch snowflake). Ο Λέοπολντ Κρόνεκερ ήταν δύσπιστος με την έννοια του απείρου και για το πώς οι συνάδελφοι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν αυτήν την έννοια περί το 1870-1880. Αυτός ο σκεπτικισμός αναπτύχθηκε στη φιλοσοφία των μαθηματικών και ονομάστηκε «φινιτισμός», μια ακραία μορφή της φιλοσοφικής και μαθηματικής σχολής του κονστρουκτιβισμού και του ενορατισμού. Στη φυσική, οι προσεγγίσεις των πραγματικών αριθμών χρησιμοποιούνται για συνεχείς μετρήσεις και οι φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για διακριτές μετρήσεις (π.χ. καταμέτρηση). Ως εκ τούτου, θεωρείται από τους φυσικούς πως μια μη μετρήσιμη ποσότητα θα μπορούσε να έχει άπειρη αξία, για παράδειγμα παίρνοντας μια άπειρη αξία σε ένα εκτεταμένο σύστημα των πραγματικών αριθμών, ή απαιτώντας την καταμέτρηση ενός άπειρου αριθμού γεγονότων. Για παράδειγμα, θεωρείται αδύνατο για οποιοδήποτε τύπο σώματος να έχει άπειρη μάζα ή άπειρη ενέργεια. Έννοιες για άπειρα πράγματα, όπως ένα άπειρο επίπεδο κύμα υπάρχουν, αλλά δεν υπάρχουν πειραματικά μέσα για τη δημιουργία τους. Η πρακτική της άρνησης άπειρων τιμών για μετρήσιμα μεγέθη δεν προέρχεται από μια εκ των προτέρων άποψη ή από ιδεολογικά κίνητρα, αλλά περισσότερο από μεθοδολογικά και ρεαλιστικά κίνητρα. Μια από τις ανάγκες της κάθε φυσικής και επιστημονικής θεωρίας είναι να δώσει χρησιμοποιήσιμους τύπους που αντιστοιχούν τουλάχιστον κατά προσέγγιση στην πραγματικότητα. Για παράδειγμα, αν οποιοδήποτε αντικείμενο της άπειρης βαρυτικής μάζας υπήρχε, οποιαδήποτε χρήση του τύπου για τον υπολογισμό της βαρυτικής δύναμης θα οδηγήσει σε ένα άπειρο αποτέλεσμα, το οποίο θα είναι χωρίς όφελος, δεδομένου ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα το ίδιο, ανεξάρτητα από τη θέση και τη μάζα του άλλου αντικειμένου. Ο τύπος δε θα ήταν χρήσιμος ούτε να υπολογίσει τη δύναμη μεταξύ δύο αντικειμένων πεπερασμένης μάζας, ούτε να υπολογίσει τις κινήσεις τους. Αν ένα αντικείμενο άπειρης μάζας υπήρχε, οποιοδήποτε αντικείμενο πεπερασμένης μάζας θα έπρεπε να προσελκύεται με άπειρη δύναμη (και ως εκ τούτου, επιτάχυνση) από το αντικείμενο άπειρης μάζας, το οποίο δεν είναι αυτό που μπορούμε να παρατηρήσουμε στην πραγματικότητα. Μερικές φορές άπειρα αποτελέσματα μιας φυσικής ποσότητας μπορεί να σημαίνουν ότι η θεωρία που χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί το αποτέλεσμα μπορεί να πλησιάζει στο σημείο όπου αποτυγχάνει. Αυτό μπορεί να βοηθήσει για να δείξει τα όρια μιας θεωρίας. Αυτή η άποψη δεν σημαίνει ότι το άπειρο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη φυσική. Για λόγους ευκολίας, οι υπολογισμοί, οι εξισώσεις, οι θεωρίες και προσεγγίσεις χρησιμοποιούν συχνά άπειρη σειρά, απεριόριστες λειτουργίες, κ.λπ., και μπορεί να περιλαμβάνουν άπειρες ποσότητες. Οι φυσικοί όμως απαιτούν το τελικό αποτέλεσμα να έχει σωματικά νόημα. Στην κβαντική θεωρία πεδίου οι απειρότητες προκύπτουν οι οποίες πρέπει να ερμηνεύονται κατά τέτοιο τρόπο που να οδηγούν σε ένα φυσικά ουσιαστικό αποτέλεσμα, μια διαδικασία που ονομάζεται επανακανονικοποίηση. Ωστόσο, υπάρχουν κάποιες θεωρητικές περιπτώσεις όπου το τελικό αποτέλεσμα είναι άπειρο. Ένα παράδειγμα είναι η μοναδικότητα στην περιγραφή των μαύρων τρυπών. Ορισμένες λύσεις των εξισώσεων της γενικής θεωρίας της σχετικότητας επιτρέπουν πεπερασμένες μάζες διανομών μηδενικού μεγέθους, και ως εκ τούτου άπειρη πυκνότητα. Αυτό είναι ένα παράδειγμα του τι λέγεται μαθηματική μοναδικότητα, ή ένα σημείο όπου μια φυσική θεωρία καταρρέει. Αυτό δεν σημαίνει αναγκαστικά ότι υφίστανται σωματικά οι απειρότητες; αυτό μπορεί να σημαίνει απλά ότι η θεωρία είναι ανίκανη να περιγράψει σωστά την κατάσταση. Δύο άλλα παραδείγματα συμβαίνουν σε αντίστροφα τετράγωνα που αναγκάζουν τους νόμους της βαρύτητας να θέσουν σε ισχύ την εξίσωση ισχύος της νευτώνειας βαρύτητας και το νόμο της ηλεκτροστατικής του Coulomb. Στο r = 0 οι εξισώσεις αυτές εκτιμούνται σε απειρότητες. Η πρώτη δημοσιευμένη πρόταση ότι το σύμπαν είναι άπειρο ήρθε από τον Thomas Digges το 1576. Οκτώ χρόνια αργότερα, το 1584, ο Ιταλός φιλόσοφος και αστρονόμος Τζιορντάνο Μπρούνο πρότεινε ένα απέραντο σύμπαν On the Infinite Universe and Worlds: «υπάρχουν αμέτρητοι ήλιοι; Αμέτρητες γαίες περιστρέφονται γύρω από αυτούς τους ήλιους κατά τρόπο παρόμοιο με τον τρόπο που οι επτά πλανήτες περιστρέφονται γύρω από τον ήλιο μας. Τα ζωντανά όντα κατοικούν αυτούς τους κόσμους". Κοσμολόγοι εδώ και καιρό προσπάθησαν να ανακαλύψουν αν υπάρχει άπειρο στο φυσικό μας σύμπαν: Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός των αστεριών εκεί; Έχει το σύμπαν άπειρο όγκο; Μήπως το διαστημικό "πάει για πάντα"; Αυτό είναι ανοικτό ερώτημα της κοσμολογίας. Σημειώστε ότι το ζήτημα της ύπαρξης άπειρου έχει διαχωριστεί από το ζήτημα της ύπαρξης συνόρων. Η δισδιάστατη επιφάνεια της Γης, για παράδειγμα, είναι πεπερασμένη, αλλά δεν έχει καμία άκρη. Με το να κινείται σε ευθεία γραμμή, το ένα θα επιστρέψει τελικά στο ακριβές σημείο από το οποίο ξεκίνησε. Το σύμπαν, τουλάχιστον κατ 'αρχήν, θα μπορούσε να έχει μια παρόμοια τοπολογία. Αν ναι, θα μπορούσε κανείς να επιστρέψει τελικά στην αφετηρία ενός ατόμου μετά από ταξίδι σε μια ευθεία γραμμή μέσα στο σύμπαν για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα. Εάν, από την άλλη πλευρά, το σύμπαν δεν ήταν κυρτό σαν μια σφαίρα, αλλά είχε μια επίπεδη τοπολογία, θα μπορούσε να είναι τόσο απεριόριστο όσο και άπειρο. Η καμπυλότητα του σύμπαντος μπορεί να μετρηθεί μέσω πολυπολικών στιγμών στο φάσμα της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου. Μέχρι σήμερα, η ανάλυση των προτύπων ακτινοβολίας που καταγράφονται από το WMAP διαστημόπλοιο υπαινίσσεται ότι το σύμπαν έχει μια επίπεδη τοπολογία. Αυτό θα ήταν σύμφωνο με ένα άπειρο φυσικό σύμπαν. Ωστόσο, το σύμπαν θα μπορούσε επίσης να είναι πεπερασμένο, έστω και αν η καμπυλότητα του είναι επίπεδη. Ένας εύκολος τρόπος για να κατανοήσουμε αυτό είναι να εξεταστούν παραδείγματα δύο-διαστάσεων, όπως τα βίντεο παιχνίδια, όπου τα στοιχεία που αφήνουν μία άκρη της οθόνης επανεμφανίζονται από την άλλη. Η τοπολογία αυτών των παιχνιδιών είναι δακτυλιοειδής και η γεωμετρία είναι επίπεδη. Πολλές πιθανώς οριοθετούνται, επίσης υπάρχουν επίπεδες δυνατότητες για τρισδιάστατο χώρο. Η έννοια του απείρου επεκτείνεται επίσης και στην υπόθεση για το πολυσύμπαν, η οποία, όταν εξηγήθηκε από τους αστροφυσικούς, όπως ο Μίτσιο Κάκου, προϋπέθετε ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός και η ποικιλία των συμπάντων. Στη λογική ένα ατέρμον επιχείρημα είναι "ένα ευδιάκριτο φιλοσοφικό είδος του επιχειρήματος που δείχνει ότι η διατριβή είναι ελαττωματική, διότι δημιουργεί μια άπειρη σειρά, όταν είτε (έντυπο Α) δεν υπάρχει τέτοια σειρά ή (έντυπο Β) όταν υπάρχει, η διατριβή δεν θα είχε τον ρόλο (π.χ., ?. από αιτιολόγηση) που υποτίθεται ότι παίζουν " Το πρότυπο κινητής υποδιαστολής IEEE (IEEE 754) καθορίζει τις θετικές και τις αρνητικές τιμές του απείρου ( ± ∞ {\displaystyle \infty } ). Αυτές ορίζονται ως αποτέλεσμα της αριθμητικής υπερχείλισης, της διαίρεσης με το μηδέν, και άλλων εξαιρετικών λειτουργιών. Μερικές γλώσσες προγραμματισμού, όπως η Java και η J, επιτρέπουν στον προγραμματιστή ρητή πρόσβαση στις θετικές και αρνητικές τιμές του απείρου ως σταθερές της γλώσσας. Αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως το μεγαλύτερο και το ελάχιστο στοιχείο, καθώς ορίζονται (αντίστοιχα) ως η μεγαλύτερη ή η μικρότερη από όλες τις άλλες τιμές. Αυτές είναι χρήσιμες σαν αξίες φρουρού σε αλγόριθμους που αφορούν τη διαλογή, την αναζήτηση, ή τη χρήση των παραθύρων για την ταυτόχρονη εμφάνιση περισσότερων από ένα στοιχείο σε μια οθόνη. Σε γλώσσες που δεν έχουν μεγαλύτερο και ελάχιστο στοιχείο, αλλά επιτρέπουν την υπερφόρτωση των σχεσιακών τελεστών, είναι δυνατό για έναν προγραμματιστή να δημιουργήσει ο ίδιος τα μεγαλύτερα και ελάχιστα στοιχεία. Σε γλώσσες που δεν παρέχουν σαφή πρόσβαση σε τέτοιες τιμές από την αρχική κατάσταση του προγράμματος, αλλά δέχονται την εφαρμογή του τύπου δεδομένων κινητής υποδιαστολής, οι τιμές του απείρου μπορεί να εξακολουθούν να είναι προσβάσιμες και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως αποτέλεσμα ορισμένων εργασιών. Η προοπτική ως έργο τέχνης χρησιμοποιεί την έννοια των φανταστικών σημείων φυγής, ή των σημείων στο άπειρο, που βρίσκονται σε άπειρη απόσταση από τον παρατηρητή. Αυτό επιτρέπει στους καλλιτέχνες να δημιουργήσουν έργα που καθιστούν ρεαλιστικό τον χώρο, τις αποστάσεις, και τις μορφές. Ο καλλιτέχνης Μαουρίτς Κορνέλις Έσερ είναι ιδιαίτερα γνωστός για την πρόσληψη της έννοιας του απείρου στο έργο του με αυτόν ή με άλλους τρόπους. Ο γνωστικός επιστήμονας Τζωρτζ Λάκοφ θεωρεί την έννοια του απείρου στα μαθηματικά και τις επιστήμες αλληγορία. Η προοπτική αυτή βασίζεται στην αλληγορία του απείρου (BMI), που ορίζεται ως η συνεχώς αυξανόμενη ακολουθία <1,2,3, ...>. Το σύμβολο ∞ {\displaystyle \infty } χρησιμοποιείται συχνά ρομαντικά και αντιπροσωπεύει την αιώνια αγάπη. Διάφοροι τύποι κοσμήματος διαμορφώνονται σε σχήμα άπειρο για το σκοπό αυτό. Gemignani, Michael C. (1990), Elementary Topology (2nd έκδοση), Dover, ISBN 0-486-66522-4 Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals (2nd έκδοση), http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Maddox, Randall B. (2002), Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics, Academic Press, ISBN 0-12-464976-9 Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate έκδοση), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7, https://archive.org/details/calculuswithanal00swok Taylor, Angus E. (1955), Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company David Foster Wallace (2004). Everything and More: A Compact History of Infinity. Norton, W. W. & Company, Inc. ISBN 0-393-32629-2. A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets Αρχειοθετήθηκε 2010-02-27 στο Wayback Machine., by Peter Suber. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. The stand-alone appendix to Infinite Reflections, below. A concise introduction to Cantor's mathematics of infinite sets. Infinite Reflections Αρχειοθετήθηκε 2009-11-05 στο Wayback Machine., by Peter Suber. How Cantor's mathematics of the infinite solves a handful of ancient philosophical problems of the infinite. From the St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1–59. Grime, James. «Infinity is bigger than you think». Numberphile. Brady Haran. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Οκτωβρίου 2017. Ανακτήθηκε στις 20 Μαΐου 2015. Infinity, Principia Cybernetica Hotel Infinity John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' Αρχειοθετήθηκε 2006-09-16 στο Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics archive. John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Αρχειοθετήθηκε 2008-12-20 στο Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics archive. Ian Pearce (2002). 'Jainism', MacTutor History of Mathematics archive. Source page on medieval and modern writing on Infinity The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity Dictionary of the Infinite (compilation of articles about infinity in physics, mathematics, and philosophy)