Νόμος των ημιτόνων

Στην γεωμετρία, ο νόμος των ημιτόνων, είναι μία σχέση που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο και η οποία συνδέει τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } , ισχύει ότι α sin ⁡ A = β sin ⁡ B = γ sin ⁡ Γ = 2 R {\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \Gamma }}=2R} ,όπου α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } είναι τα μήκη των πλευρών του, A {\displaystyle \mathrm {A} } , B {\displaystyle \mathrm {B} } , Γ {\displaystyle \Gamma } οι γωνίες του, και R {\displaystyle R} η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Δηλαδή σε ένα τυχόν τρίγωνο ο λόγος της πλευράς προς το ημίτονο της γωνίας που βλέπει προς την πλευρά είναι σταθερός και ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή με 2 R {\displaystyle 2R} .

 Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας ότι α sin ⁡ A = β sin ⁡ B = γ sin ⁡ Γ , {\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \Gamma }},} χρησιμοποιώντας διαφορετικές εκφράσεις για τα ύψη του A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Έστω A A ′ {\displaystyle \mathrm {AA'} } το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή A {\displaystyle \mathrm {A} } . Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο A A ′ B {\displaystyle \mathrm {AA'B} } , από τον ορισμό του ημιτόνου sin ⁡ B {\displaystyle \sin \mathrm {B} } , έχουμε ότι Αντίστοιχα, στο A A ′ Γ {\displaystyle \mathrm {AA'\Gamma } } , έχουμε ότι Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι γ sin ⁡ B = β sin ⁡ Γ ⇒ β sin ⁡ B = γ sin ⁡ Γ {\displaystyle \gamma \sin \mathrm {B} =\beta \sin \Gamma \Rightarrow {\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \Gamma }}} .Αντίστοιχα για το ύψος B B ′ {\displaystyle \mathrm {BB'} } , λαμβάνουμε ότι a sin ⁡ Γ = γ sin ⁡ A ⇒ α sin ⁡ A = γ sin ⁡ Γ {\displaystyle a\sin \Gamma =\gamma \sin \mathrm {A} \Rightarrow {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\gamma }{\sin \Gamma }}} ,και έτσι έπεται το ζητούμενο. Αρκεί να δείξουμε ότι α sin ⁡ A = 2 R {\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}=2R} . Θεωρούμε την κάθετη από το Γ {\displaystyle \Gamma } στην B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } και Δ {\displaystyle \Delta } το σημείο που τέμνεται με τον περιεγραμμένο κύκλο του A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Χρησιμοποιώντας την ισότητα των λόγων του νόμου των ημιτόνων (που αποδείξαμε παραπάνω) στο τρίγωνο A Δ B {\displaystyle \mathrm {A\Delta B} } , έχουμε ότι B Γ sin ⁡ ∠ B Δ Γ = B Δ sin ⁡ ∠ B Γ Δ {\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\sin \angle \mathrm {B\Delta \Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\sin \angle \mathrm {B\Gamma \Delta } }}} .Αφού η ∠ B Δ Γ {\displaystyle \angle \mathrm {B\Delta \Gamma } } βαίνει στο ίδιο τόξο με την ∠ B A Γ {\displaystyle \angle \mathrm {BA\Gamma } } έχουμε ότι ∠ B Δ Γ = ∠ B A Γ = A {\displaystyle \angle \mathrm {B\Delta \Gamma } =\angle \mathrm {BA\Gamma } =\mathrm {A} } . Επίσης αφού ∠ Δ Γ B = 90 o {\displaystyle \angle \mathrm {\Delta \Gamma B} =90^{o}} , ισχύει ότι B Δ = 2 R {\displaystyle \mathrm {B\Delta } =2R} . Συνεπώς, α sin ⁡ A = B Γ sin ⁡ ∠ B Δ Γ = B Δ sin ⁡ ∠ B Γ Δ = 2 R sin ⁡ 90 o = 2 R . {\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\sin \angle \mathrm {B\Delta \Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\sin \angle \mathrm {B\Gamma \Delta } }}={\frac {2R}{\sin 90^{o}}}=2R.} Cut the Knot: Νόμος ημιτόνων και συνημιτόνων Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων Θ. Ξένος (1988). «Αποδείξεις γεωμετρικών προτάσεων με τη βοήθεια των νόμων ημιτόνων και συνημιτόνων». Ευκλείδης Β΄ (3): 32-34. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3215. Viher, Radimir; Viher, Dragutin; Koncul, Helena (Μαρτίου 2021). «Applications of the sine and cosine rules for a quadrilateral». The Mathematical Gazette 105 (562): 70–77. doi:10.1017/mag.2021.9. Kershner, R. B. (Μαΐου 1971). «The Law of Sines and Law of Cosines for Polygons». Mathematics Magazine 44 (3): 150–153. doi:10.1080/0025570X.1971.11976127. Grinberg, Eric L.; Orhon, Mehmet (7 Φεβρουαρίου 2021). «Morley Trisectors and the Law of Sines with Reflections». The American Mathematical Monthly 128 (2): 163–167. doi:10.1080/00029890.2021.1845559. Mahoney, John F. (Φεβρουαρίου 2005). «Benjamin Banneker and the Law of Sines». The Mathematics Teacher 98 (6): 390–393. doi:10.5951/MT.98.6.0390. Mitchell, Douglas W. (Μαρτίου 2009). «93.10 A Heron-type area formula in terms of sines». The Mathematical Gazette 93 (526): 108–109. doi:10.1017/S002555720018430X. Νόμος των συνημιτόνων Νόμος των εφαπτομένων Τριγωνομετρία Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου