Λογαριθμική συνάρτηση

Λογαριθμική συνάρτηση καλείται οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής logαx, όπου α πραγματική σταθερά, α>0 και α≠1. Δηλαδή η τιμή εκθετικής συνάρτησης ισούται με το λογάριθμο που έχει σαν βάση τη σταθερά α και σαν λογαριθμιζόμενο μέρος x μία ανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα). Οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες λογαριθμικές συναρτήσεις είναι η λογαριθμική συνάρτηση με βάση το 2 (στους υπολογιστές), με βάση το 10 (συνήθως συμβολίζεται με logx), και με βάση το e (αριθμός Όιλερ ίσος περίπου με 2,718). Στην τελευταία περίπτωση συμβολίζεται με lnx και ονομάζεται φυσικός λογάριθμος ενώ αναφέρεται σπανιότερα ως νεπέριος λογάριθμος (παρόλο που ο Napier έζησε 100 χρόνια πριν τον Euler που ανακάλυψε το e).

 Με βάση τον ορισμό του λογαρίθμου πεδίο ορισμού είναι το ανοιχτό σύνολο από μηδέν στο συν άπειρο ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} , δηλαδή οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Η λογαριθμική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει (logαx)'=1/(lnα x), ενώ για τη νιοστή παράγωγο (logαx)ν=(-1)ν-1/(lnα xν). Ειδικότερα στην lnx ισχύει (lnx)'=1/x μία ιδιότητα πολύ σημαντική, γιατί η παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι μια αμιγώς ρητή συνάρτηση. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις μία για α>1 και μία για 0<α<1. Αν α>1:Οι λογαριθμικές συναρτήσεις με βάση α>1 είναι γνησίως αύξουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα>0 και 1/x>0, άρα (logαx)'>0. Αν 1>α>0:Οι λογαριθμικές συναρτήσεις με βάση 0<α<1 είναι γνησίως φθίνουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα<0 και 1/x>0, άρα (logαx)'<0. Αν α>1:Το όριο της λογαριθμικής στο συν άπειρο είναι συν άπειρο, ενώ το όριο της λογαριθμικής στο 0 είναι μείον άπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία x=0, δηλαδή ο άξονας y'y. Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Αν 0<α<1:Το όριο της λογαριθμικής στο συν άπειρο είναι πλην άπειρο, ενώ το όριο της λογαριθμικής στο 0 είναι συν άπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία x=0, δηλαδή ο άξονας y'y. Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Κάθε λογαριθμική συνάρτηση διέρχεται από το σημείο (1,0). Όλες οι λογαριθμικές συναρτήσεις έχουν ως μοναδική ρίζα το 1, δηλαδή ισχύει ότι logαx=0 <=> x=1. Αν α>1 τότε:Είναι (logαx)''=-1/(lnα x2)<0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι κοίλη, δηλαδή στρέφει τα κοίλα κάτω. Αν 1>α>0 τότε:Είναι (logαx)''=-1/(lnα x2)>0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή στρέφει τα κοίλα άνω. Σε κάθε περίπτωση δεν υπάρχουν σημεία καμπής. Η λογαριθμική συνάρτηση logαx είναι συμμετρική με την log1/αx ως προς τον άξονα x'x. Παρατηρείται ότι οι δύο βάσεις είναι αντίστροφες μεταξύ τους. Η ιδιότητα αυτή είναι ανάλογη με την αντίστοιχη ιδιότητα στην εκθετική συνάρτηση. Αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής εξ ορισμού είναι η εκθετική συνάρτηση. Η λογαριθμική συνάρτηση μπορεί να μετασχηματιστεί μέσω του φυσικού λογαρίθμου. Ισχύει ότι logαx=y <=> x=αy <=> x=ey⋅lnα <=> lnx=y⋅lnα <=> y= l n x l n α {\displaystyle {\frac {lnx}{ln\alpha }}} . Επομένως, αρκεί να μελετηθεί η συνάρτηση του φυσικού λογαρίθμου και μπορούν αναλόγως να επεκταθούν τα συμπεράσματα και σε άλλες λογαριθμικές συναρτήσεις. Η συγκεκριμένη ιδιότητα ισχύει αναλόγως και με άλλες βάσεις εκτός από το e, όπως το 10 και το 2. Έτσι, logαx= l o g x l o g α {\displaystyle {\frac {logx}{log\alpha }}} . Για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, x0, y ισχύει: ex>lnxΓια α>1: logαx>logαy <=> x>y logαx>0 <=> x>1 logαx<0 <=> x<1 logαx<=1/(lnα x0)x+(logαx0-1/lnα), το ίσον ισχύει μόνο για x=x0Για 0<α<1: logαx>logαy <=> x<y logαx>0 <=> x<1 logαx<0 <=> x>1 logαx>=1/(lnα x0)x+(logαx0-1/lnα), το ίσον ισχύει μόνο για x=x0 Για κάθε πραγματικό αριθμό κ, για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, y, και με α>0 και διάφορο του ενός, ισχύει: logαx=logαy <=> x=y logαx=0 <=> x=1 logαx=-log1/αx logαx+logαy=logα(xy) logαx-logαy=logα(x/y) logαxκ=κlogαx logα(αx)=x logαα=1 Η λογαριθμική συνάρτηση lnx έχει τη σημαντική ιδιότητα ότι (lnx)'=1/x. Έτσι, αποδεικνύεται ότι (logαx)'=(lnx/lnα)'=1/lnαx. Επίσης ισχύoυν οι εξή σχέσεις για τα ολοκληρώματα: ∫ l n x d x = x l n x − x + c {\displaystyle \int lnx\,dx=xlnx-x+c} ∫ l o g α x d x = x l o g α x + c {\displaystyle \int log_{\alpha }x\,dx=xlog_{\alpha }x+c} ∫ 1 x d x = l n x + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=lnx+c} ∫ 1 l n α x d x = l o g α x + c {\displaystyle \int {\frac {1}{ln\alpha x}}\,dx=log_{\alpha }x+c} εκθετική συνάρτηση λογαριθμικός κανόναςΤο άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287