Ανισότητα Νέσμπιττ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Νέσμπιττ (αναφέρεται και ως ανισότητα Nesbitt) αφορά οποιουσδήποτε τρεις θετικούς πραγματικούς αριθμούς a , b , c {\displaystyle a,b,c} και λέει ότι a b + c + b a + c + c a + b ≥ 3 2 . {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.} Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν a = b = c {\displaystyle a=b=c} .

 Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή για τους πολλούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να αποδειχθεί. Θεωρούμε x = b + c {\displaystyle x=b+c} , y = a + c {\displaystyle y=a+c} και z = a + b {\displaystyle z=a+b} . Τότε, έχουμε ότι a = 1 2 ⋅ ( y + z − x ) {\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}\cdot (y+z-x)} , b = 1 2 ⋅ ( x + z − y ) {\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+z-y)} , και c = 1 2 ⋅ ( x + y − z ) {\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+y-z)} .Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής: 1 2 ⋅ ( y + z − x x + x + z − y y + x + y − z z ) ≥ 3 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {y+z-x}{x}}+{\frac {x+z-y}{y}}+{\frac {x+y-z}{z}}\right)\geq {\frac {3}{2}}.} Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα y x + z x − 1 + x y + z y − 1 + x z + y z − 1 ≥ 3 , {\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {z}{x}}-1+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}-1+{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{z}}-1\geq 3,} η οποία είναι ισοδύναμη με την y x + x y + z y + y z + z x + x z ≥ 6. {\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6.} Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για 6 {\displaystyle 6} όρους, y x + x y + z y + y z + z x + x z ≥ 6 ⋅ y x ⋅ x y ⋅ z y ⋅ y z ⋅ z x ⋅ x z 6 = 6 {\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {y}{x}}\cdot {\frac {x}{y}}\cdot {\frac {z}{y}}\cdot {\frac {y}{z}}\cdot {\frac {z}{x}}\cdot {\frac {x}{z}}}}=6} .Επίσης, προκύπτει και την σχετικά πιο απλή ειδική περίπτωση της ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για 2 {\displaystyle 2} όρους u + 1 u ≥ 2 ⇔ u 2 − 2 u + 1 ≥ 0 ⇔ ( u − 1 ) 2 ≥ 0 , {\displaystyle u+{\frac {1}{u}}\geq 2\Leftrightarrow u^{2}-2u+1\geq 0\Leftrightarrow (u-1)^{2}\geq 0,} για οποιοδήποτε u > 0 {\displaystyle u>0} .Και από τις δύο αυτές ανισότητες λαμβάνουμε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν x = y = z {\displaystyle x=y=z} , που είναι ισοδύναμο με a = b = c {\displaystyle a=b=c} . Έστω S = a + b + c {\displaystyle S=a+b+c} το άθροισμα των τριών αριθμών. Τότε η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως a S − a + b S − b + c S − c ≥ 3 2 . {\displaystyle {\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq {\frac {3}{2}}.} Θεωρούμε την συνάρτηση f : ( 0 , S ) → R {\displaystyle f:(0,S)\to \mathbb {R} } , f ( x ) = x S − x . {\displaystyle f(x)={\frac {x}{S-x}}.} Η f {\displaystyle f} είναι κυρτή στο διάστημα ( 0 , S ) {\displaystyle (0,S)} καθώς f ′ ( x ) = S ( S − x ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {S}{(S-x)^{2}}}\quad } και f ″ ( x ) = 2 S ( S − x ) 3 ≥ 0 {\displaystyle \quad f''(x)={\frac {2S}{(S-x)^{3}}}\geq 0} για κάθε x ∈ ( 0 , S ) {\displaystyle x\in (0,S)} .Επομένως, εφαρμόζοντας την ανισότητα Γένσεν για την f {\displaystyle f} και τους a , b , c {\displaystyle a,b,c} f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≥ 3 ⋅ f ( a + b + c 3 ) , {\displaystyle f(a)+f(b)+f(c)\geq 3\cdot f\left({\frac {a+b+c}{3}}\right),} η οποία είναι ισοδύναμη με a S − a + b S − b + c S − c ≥ 3 ⋅ S / 3 S − S / 3 = 3 2 . {\displaystyle {\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq 3\cdot {\frac {S/3}{S-S/3}}={\frac {3}{2}}.} Από την ανισότητα Γένσεν, προκύπτει η ισότητα αν και μόνο αν a = b = c {\displaystyle a=b=c} . Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής μορφή της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς, ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ) ⋅ ( y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 ) ≥ ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) 2 {\displaystyle \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)\cdot \left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right)\geq \left(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right)^{2}} Επιστρέφοντας στην ανισότητα Νέσμπιττ, προσθέτουμε 3 {\displaystyle 3} και στα δύο μέλη της ανισότητας, λαμβάνοντας την ισοδύναμη a + b + c b + c + b + a + c a + c + c + a + b a + b ≥ 9 2 . {\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {b+a+c}{a+c}}+{\frac {c+a+b}{a+b}}\geq {\frac {9}{2}}.} Παραγοντοποιώντας το αριστερό μέλος, λαμβάνουμε ( a + b + c ) ⋅ ( 1 b + c + 1 a + c + 1 a + b ) ≥ 9 2 , {\displaystyle \left(a+b+c\right)\cdot \left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{a+b}}\right)\geq {\frac {9}{2}},} που είναι επίσης ισοδύναμη με Θέτοντας x 1 = a + b {\displaystyle x_{1}={\sqrt {a+b}}} , x 2 = b + c {\displaystyle x_{2}={\sqrt {b+c}}} , x 3 = a + c {\displaystyle x_{3}={\sqrt {a+c}}} και y 1 = 1 / b + c {\displaystyle y_{1}=1/{\sqrt {b+c}}} , x 2 = 1 / a + b {\displaystyle x_{2}=1/{\sqrt {a+b}}} , x 3 = 1 / a + c {\displaystyle x_{3}=1/{\sqrt {a+c}}} στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, αποδεικνύουμε αυτή την ανισότητα. ( ( a + b ) 2 + ( b + c ) 2 + ( a + c ) 2 ) ⋅ ( ( 1 a + b ) 2 + ( 1 b + c ) 2 + ( 1 a + c ) 2 ) ≥ ( 1 + 1 + 1 ) 2 = 9. {\displaystyle \left(\left({\sqrt {a+b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b+c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {a+c}}\right)^{2}\right)\cdot \left(\left({\frac {1}{\sqrt {a+b}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {b+c}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {a+c}}}\right)^{2}\right)\geq \left(1+1+1\right)^{2}=9.} Στην προηγούμενη απόδειξη μπορούμε να αποδείξουμε την (1) χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου για τους αριθμούς x = a + b {\displaystyle x=a+b} , y = b + c {\displaystyle y=b+c} και z = c + a {\displaystyle z=c+a} . Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) 3 ≥ 3 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a . {\displaystyle {\frac {(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}}}.} Αναδιατάσσοντας τους όρους, καθώς είναι θετικοί, λαμβάνουμε ( ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) ) ⋅ ( 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a ) ≥ 9 , {\displaystyle \left((a+b)+(b+c)+(c+a)\right)\cdot \left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}\right)\geq 9,} η οποία είναι ισοδύναμη της ανισότητας Νέσμπιττ. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, αφού η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς τα a , b , c {\displaystyle a,b,c} μπορούμε να θεωρήσουμε ότι a ≥ b ≥ c {\displaystyle a\geq b\geq c} , και επομένως έχουμε ότι a + b ≥ a + c ≥ b + c {\displaystyle a+b\geq a+c\geq b+c} και ότι 1 b + c ≥ 1 a + c ≥ 1 a + b . {\displaystyle {\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}.} Επομένως από την ανισότητα της αναδιάταξης έχουμε ότι a b + c + b a + c + c a + b ≥ b b + c + c a + c + a a + b , {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {b}{b+c}}+{\frac {c}{a+c}}+{\frac {a}{a+b}},} και a b + c + b a + c + c a + b ≥ c b + c + a a + c + b a + b . {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {c}{b+c}}+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {b}{a+b}}.} Αθροίζοντας της δύο ανισότητες, λαμβάνουμε 2 ⋅ ( a b + c + b a + c + c a + b ) ≥ b + c b + c + a + c a + c + a + b a + b = 3. {\displaystyle 2\cdot \left({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\right)\geq {\frac {b+c}{b+c}}+{\frac {a+c}{a+c}}+{\frac {a+b}{a+b}}=3.} Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ανισότητα Νέσμπιττ. Η ανισότητα αυτή πήρε το όνομα της από τον Μ. Α. Νέσμπιττ που τη δημοσίευσε ως πρόβλημα στο περιοδικό Educational Times το 1902.Η ανισότητα Νέσμπιττ είναι μία ειδική περίπτωση της ανισότητας Σαπίρο, η οποία μελετάει κάτω φράγματα για το εξής κυκλικό άθροισμα n {\displaystyle n} αριθμών x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + … + x n x 1 + x 2 . {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+\ldots +{\frac {x_{n}}{x_{1}+x_{2}}}.}