Νόμος του παραλληλογράμμου

Στην γεωμετρία, ο νόμος του παραλληλογράμμου ή ταυτότητα παραλληλογράμμου δηλώνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των τεσσάρων πλευρών ενός παραλληλογράμμου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο διαγωνίων του. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα παραλληλόγραμμο A B Γ Δ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}} ισχύει ότι A B 2 + B Γ 2 + Γ Δ 2 + Δ A 2 = A Γ 2 + B Δ 2 {\displaystyle {\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}}}} .Από τις ιδιότητες του παραλληλόγραμμου, ισχύει ότι οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, δηλαδή A B = Γ Δ {\displaystyle {\rm {AB=\Gamma \Delta }}} και B Γ = Δ A {\displaystyle {\rm {B\Gamma =\Delta A}}} , επομένως η σχέση είναι ισοδύναμη με 2 ⋅ ( A B 2 + B Γ 2 ) = A Γ 2 + B Δ 2 {\displaystyle {\rm {2\cdot (AB^{2}+B\Gamma ^{2})=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}}}} .Στην ειδική περίπτωση που το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο, οι δύο διαγώνιοι του είναι ίσες A Γ = B Δ {\displaystyle {\rm {A\Gamma =B\Delta }}} , επομένως 2 ⋅ A B 2 + 2 ⋅ B Γ 2 = 2 ⋅ A Γ 2 {\displaystyle {\rm {2\cdot AB^{2}+2\cdot B\Gamma ^{2}=2\cdot A\Gamma ^{2}}}} ,και η σχέση είναι ισοδύναμη με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Σε ένα γενικό τετράπλευρο όπου οι απέναντι πλευρές δεν είναι απαραίτητα ίσες, ισχύει ότι A B 2 + B Γ 2 + Γ Δ 2 + Δ A 2 = A Γ 2 + B Δ 2 + 4 ⋅ M 1 M 2 2 {\displaystyle {\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}+4\cdot M_{1}M_{2}^{2}}}} ,όπου M 1 , M 2 {\displaystyle {\rm {M_{1},M_{2}}}} τα μέσα των διαγωνίων A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} και B Δ {\displaystyle {\rm {B\Delta }}} αντίστοιχα. Σε ένα παραλληλόγραμμο, M 1 M 2 = 0 {\displaystyle {\rm {M_{1}M_{2}=0}}} και συνεπώς λαμβάνουμε τον νόμο του παραλληλογράμμου.

 Σε έναν χώρο με νόρμα ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} , ο νόμος του παραλληλογράμμου είναι η εξής σχέση: 2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 = ‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 {\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}} .Σε έναν χώρο εσωτερικού γινομένου, η νόρμα προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο: ‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ . {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,} Ως συνέπεια αυτού του ορισμού, σε έναν χώρο εσωτερικού γινομένου ο νόμος παραλληλογράμμου είναι μια αλγεβρική ταυτότητα, εύκολα αποδεικνυόμενη χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου: ‖ x + y ‖ 2 = ⟨ x + y , x + y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ , {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,} ‖ x − y ‖ 2 = ⟨ x − y , x − y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ − ⟨ x , y ⟩ − ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ . {\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,} Προσθέτοντας αυτές τις δύο εκφράσεις: ‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 = 2 ⟨ x , x ⟩ + 2 ⟨ y , y ⟩ = 2 ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ y ‖ 2 , {\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},\,} όπως απαιτείται. Εάν το x είναι κάθετο του y, τότε ⟨ x , y ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0} και η παραπάνω εξίσωση για τη νόρμα ενός αθροίσματος γίνεται: ‖ x + y ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ + ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , x ⟩ + ⟨ y , y ⟩ = ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 , {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},} το οποίο είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα. Οι περισσότεροι πραγματικοί και μιγαδικοί διανυσματικοί χώροι με νόρμα δεν έχουν εσωτερικά γινόμενα, αλλά όλοι οι διανυσματικοί χώροι με νόρμα έχουν νόρμες (εξ'ορισμού). Για παράδειγμα, μία νόρμα που χρησιμοποιείται συνήθως είναι η p-νόρμα: ‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p , {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},} όπου x i {\displaystyle x_{i}} είναι οι συνιστώσες του διανύσματος x {\displaystyle x} . Δεδoμένης μίας νόρμας, μπορεί κανείς να υπολογίσει και τα δύο μέλη της ταυτότητας του παραλληλογράμμου. Ένα αξιοσημείωτο γεγονός είναι ότι εάν τα δύο μέλη είναι ίσα, τότε η νόρμα μπορεί να προκύψει κατά το συνήθη τρόπο από κάποιο εσωτερικό γινόμενο. Ειδικότερα, την p-νόρμα ο νόμος του παραλληλογράμμου ισχύει αν και μόνο αν p = 2 {\displaystyle p=2} , η λεγόμενη Ευκλείδεια νόρμα ή ℓ 2 {\displaystyle \ell _{2}} νόρμα.Για κάθε νόρμα που ικανοποιεί τον νόμο του παραλληλογράμμου (η οποία κατ'ανάγκη είναι μία νόρμα εσωτερικού γινομένου), το εσωτερικό γινόμενο το οποίο δημιουργεί τη νόρμα είναι μοναδικό, ως συνέπεια της ταυτότητας πόλωσης. Στη περίπτωση των πραγματικών, η ταυτότητα πόλωσης δίνεται από τον τύπο: ⟨ x , y ⟩ = ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 4 , {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},\,} ή, ισοδύναμα, από:: ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 2 {\displaystyle {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2}} ή ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 2 . {\displaystyle {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.} Στην περίπτωση των μιγαδικών δίνεται από τον τύπο: ⟨ x , y ⟩ = ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 4 + i ‖ i x − y ‖ 2 − ‖ i x + y ‖ 2 4 . {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.} Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας την p-νόρμα με p = 2 {\displaystyle p=2} και πραγματικά διανύσματα x , y {\displaystyle x,\ y\,} , ο υπολογισμός του εσωτερικού γινομένου ως γίνεται ως εξής: ⟨ x , y ⟩ = ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 4 = 1 4 [ ∑ | x i + y i | 2 − ∑ | x i − y i | 2 ] = 1 4 [ 4 ∑ x i y i ] = ( x ⋅ y ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}\\&={\frac {1}{4}}\left[\sum |x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum |x_{i}-y_{i}|^{2}\right]\\&={\frac {1}{4}}\left[4\sum x_{i}y_{i}\right]\\&=(x\cdot y),\end{aligned}}} το οποίο είναι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων. Έστω ένα γενικό τετράπλευρο A B Γ Δ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}} με M 1 {\displaystyle {\rm {M_{1}}}} και M 2 {\displaystyle {\rm {M_{2}}}} τα μέσα των A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} και B Δ {\displaystyle {\rm {B\Delta }}} . Θα αποδείξουμε ότι A B 2 + B Γ 2 + Γ Δ 2 + Δ A 2 = A Γ 2 + B Δ 2 + 4 ⋅ M 1 M 2 2 {\displaystyle {\rm {AB^{2}+B\Gamma ^{2}+\Gamma \Delta ^{2}+\Delta A^{2}=A\Gamma ^{2}+B\Delta ^{2}+4\cdot M_{1}M_{2}^{2}}}} .Από το άθροισμα διανυσμάτων έχουμε ότι: A B → = A M 2 → − M 1 M 2 → + M 1 B → = 1 2 A Γ → − M 1 M 2 → − 1 2 B Δ → {\displaystyle {\rm {{\vec {AB}}={\vec {AM_{2}}}-{\vec {M_{1}M_{2}}}+{\vec {M_{1}B}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}-{\vec {M_{1}M_{2}}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {B\Delta }}}}} ,και αντίστοιχα B Γ → = 1 2 B Δ + M 1 M 2 → + 1 2 A Γ → {\displaystyle {\rm {{\vec {B\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}B\Delta +{\vec {M_{1}M_{2}}}+{\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}}}} , Γ Δ → = 1 2 B Δ + M 1 M 2 → − 1 2 A Γ → {\displaystyle {\rm {{\vec {\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{2}}B\Delta +{\vec {M_{1}M_{2}}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}}}} , και Δ A → = − 1 2 B Δ + M 1 M 2 → − 1 2 A Γ → {\displaystyle {\rm {{\vec {\Delta A}}=-{\tfrac {1}{2}}B\Delta +{\vec {M_{1}M_{2}}}-{\tfrac {1}{2}}{\vec {A\Gamma }}}}} .Από αυτές τις σχέσεις προκύπτει ότι A B 2 = A B → ⋅ A B → = 1 4 A Γ 2 + M 1 M 2 2 + 1 4 B Δ 2 − M 1 M 2 ⋅ A Γ + M 1 M 2 ⋅ B Δ − 1 2 A Γ ⋅ B Δ {\displaystyle {\rm {AB^{2}={\vec {AB}}\cdot {\vec {AB}}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{M_{1}M_{2}}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}-M_{1}M_{2}\cdot A\Gamma +M_{1}M_{2}\cdot B\Delta -{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}} ,και αντίστοιχα B Γ 2 = B Γ → ⋅ B Γ → = 1 4 A Γ 2 + M 1 M 2 2 + 1 4 B Δ 2 + M 1 M 2 ⋅ A Γ + M 1 M 2 ⋅ B Δ + 1 2 A Γ ⋅ B Δ {\displaystyle {\rm {B\Gamma ^{2}={\vec {B\Gamma }}\cdot {\vec {B\Gamma }}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{M_{1}M_{2}}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}+M_{1}M_{2}\cdot A\Gamma +M_{1}M_{2}\cdot B\Delta +{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}} , Γ Δ 2 = Γ Δ → ⋅ Γ Δ → = 1 4 A Γ 2 + M 1 M 2 2 + 1 4 B Δ 2 + M 1 M 2 ⋅ A Γ − M 1 M 2 ⋅ B Δ − 1 2 A Γ ⋅ B Δ {\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta ^{2}={\vec {\Gamma \Delta }}\cdot {\vec {\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{M_{1}M_{2}}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}+M_{1}M_{2}\cdot A\Gamma -M_{1}M_{2}\cdot B\Delta -{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}} , Δ A 2 = Δ A → ⋅ Δ A → = 1 4 A Γ 2 + M 1 M 2 2 + 1 4 B Δ 2 − M 1 M 2 ⋅ A Γ 2 − M 1 M 2 ⋅ B Δ + 1 2 A Γ ⋅ B Δ {\displaystyle {\rm {\Delta A^{2}={\vec {\Delta A}}\cdot {\vec {\Delta A}}={\tfrac {1}{4}}A\Gamma ^{2}+{M_{1}M_{2}}^{2}+{\tfrac {1}{4}}B\Delta ^{2}-M_{1}M_{2}\cdot A\Gamma ^{2}-M_{1}M_{2}\cdot B\Delta +{\tfrac {1}{2}}A\Gamma \cdot B\Delta }}} .Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση. Διαδραστική απόδειξη του νόμου του παραλληλογράμμουThe Parallelogram Law Proven Simply στη UNLV Kappa Sigma The Parallelogram Law: A Proof Without Words Proof of Parallelogram Law στη Planet Math Κώστας Κούδας (Δεκεμβρίου 2021). «Αξιωματική θεμελίωση του κανόνα του παραλληλογράμμου». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (24): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis024.pdf. Knuth, D. E.; Buchman, E. O.; Dotson, W. G. (Φεβρουαρίου 1966). «5264». The American Mathematical Monthly 73 (2): 211. doi:10.2307/2313581. Unthank, H. W (Φεβρουαρίου 1941). «1498. The Parallelogram Law for Vectors». The Mathematical Gazette 25 (263): 44–46. doi:10.2307/3606481. Amir-Moez, Ali R.; Hamilton, J. D. (Μαρτίου 1976). «A Generalized Parallelogram Law». Mathematics Magazine 49 (2): 88–89. doi:10.1080/0025570X.1976.11976548. Nash, Alan (Ιανουαρίου 2003). «A Generalized Parallelogram Law». The American Mathematical Monthly 110 (1): 52–57. doi:10.1080/00029890.2003.11919938. Bynum, W. L.; Drew, J. H. (Νοεμβρίου 1972). «A Weak Parallelogram Law for l p». The American Mathematical Monthly 79 (9): 1012–1015. doi:10.1080/00029890.1972.11993173. Παραλληλόγραμμο Τετράπλευρο Ταυτότητα Πόλωσης