Τζον Γουάλις

Ο Τζον Γουάλις (/ˈwɒlɪs/; Λατινικά: Wallisius; 3 Δεκεμβρίου [O.S. 23 Νοεμβρίου] 1616 - 8 Νοεμβρίου [O.S. 28 Οκτωβρίου] 1703) ήταν Άγγλος κληρικός και μαθηματικός, στον οποίο αποδίδεται εν μέρει η ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού. Μεταξύ 1643 και 1689 ήταν επικεφαλής κρυπτογράφος του Κοινοβουλίου και αργότερα της Βασιλικής Αυλής. Του αποδίδεται η εισαγωγή του συμβόλου ∞ {\displaystyle \infty } για την αναπαράσταση της έννοιας του απείρου. Χρησιμοποίησε επίσης το 1/ ∞ {\displaystyle \infty } για ένα απειροστό. Ο Τζον Γουάλις ήταν σύγχρονος του Νεύτωνα και ένας από τους κορυφαίους διανοούμενους της πρώιμης μαθηματικής αναγέννησης.

 Ο Τζον Γουάλις γεννήθηκε στο Άσφορντ του Κεντ. Ήταν το τρίτο από τα πέντε παιδιά του ιερέα Τζον Γουάλις και της Τζοάνα Τσάπμαν. Αρχικά φοίτησε σε σχολείο στο Άσφορντ, αλλά μετακινήθηκε στο σχολείο του Τζέιμς Μόβατ στο Τέντερντεν το 1625 μετά από επιδημία λοιμού. Ο Γουάλις ήρθε για πρώτη φορά σε επαφή με τα μαθηματικά το 1631, στο σχολείο του Φέλστεντ (τότε γνωστό ως σχολείο του Μάρτιν Χόλμπιτς στο Φέλστεντ)- του άρεσαν τα μαθηματικά, αλλά οι σπουδές του ήταν ακανόνιστες, καθώς "τα μαθηματικά εκείνη την εποχή δεν θεωρούνταν ακαδημαϊκή μελέτη, αλλά μάλλον μηχανική μελέτη" (Scriba 1970). Στο σχολείο του Φέλστεντ, ο Γουάλις έμαθε να μιλάει και να γράφει λατινικά. Εκείνη την εποχή είχε επίσης μάθει γαλλικά, ελληνικά και εβραϊκά . Καθώς επρόκειτο να γίνει γιατρός, στάλθηκε στο Κολέγιο Emmanuel του Κέιμπριτζ το 1632. Ενώ βρισκόταν εκεί, έγραψε μια εργασία σχετικά με τη διδασκαλία της κυκλοφορίας του αίματος, η οποία λέγεται ότι ήταν η πρώτη φορά στην Ευρώπη που η θεωρία αυτή υπερασπίστηκε δημοσίως σε μια διαμάχη. Ωστόσο, τα ενδιαφέροντά του επικεντρώθηκαν στα μαθηματικά. Πήρε το πτυχίο του το 1637 και το μεταπτυχιακό του το 1640, πριν εισέλθει στην ιεροσύνη. Από το 1643 έως το 1649, ήταν γραφέας χωρίς δικαίωμα ψήφου στη Συνέλευση του Γουεστμίνστερ. Το 1644 εξελέγη μέλος του Queens' College του Κέιμπριτζ, από το οποίο αναγκάστηκε να παραιτηθεί μετά το γάμο του. Σε όλη αυτή την περίοδο ο Γουάλις ήταν κοντά στο κοινοβουλευτικό κόμμα, ίσως λόγω της επαφής του με τον Χόλμπιτς στο σχολείο Φέλστεντ. Τους παρείχε σημαντική πρακτική βοήθεια στην αποκρυπτογράφηση των βασιλικών αποστολών. Η ποιότητα της κρυπτογραφίας εκείνη την εποχή ήταν μικτή- παρά τις μεμονωμένες επιτυχίες μαθηματικών όπως ο Φρανσουά Βιέτ, οι αρχές που διέπουν τον σχεδιασμό και την ανάλυση των κρυπτογραφήσεων δεν ήταν επαρκώς κατανοητές. Οι περισσότερες κρυπτογραφήσεις ήταν ad hoc μέθοδοι που βασίζονταν σε έναν μυστικό αλγόριθμο, σε αντίθεση με τα συστήματα που βασίζονταν σε ένα μεταβλητό κλειδί. Ο Γουάλις συνειδητοποίησε ότι τα τελευταία ήταν πολύ πιο ασφαλή, αποκαλώντας τα μάλιστα "άθραυστα", αν και δεν ήταν αρκετά σίγουρος για τον ισχυρισμό αυτό ώστε να ενθαρρύνει την αποκάλυψη των κρυπτογραφικών αλγορίθμων. Ανησυχούσε επίσης για τη χρήση κρυπτογράφησης από ξένες δυνάμεις και αρνήθηκε, για παράδειγμα, το αίτημα του Γκότφριντ Λάιμπνιτς το 1697 να διδάξει κρυπτογραφία σε φοιτητές του Ανόβερου. Επιστρέφοντας στο Λονδίνο -είχε διοριστεί εφημέριος του Σαν Γαβριήλ Φέντσερτς το 1643- ο Γουάλις εντάχθηκε στην ομάδα επιστημόνων που αργότερα θα γινόταν η Βασιλική Εταιρεία. Ήταν επιτέλους σε θέση να επιδοθεί στα μαθηματικά του ενδιαφέροντα, κατακτώντας το Clavis Mathematicae του Γουίλιαμ Όουτρεντ μέσα σε λίγες εβδομάδες το 1647. Σύντομα άρχισε να γράφει τις δικές του πραγματείες, καλύπτοντας ένα ευρύ φάσμα θεμάτων, κάτι που συνέχισε να κάνει μέχρι το τέλος της ζωής του. Ο Γουάλις έγραψε την πρώτη μελέτη μαθηματικών εννοιών στην Αγγλία, στην οποία ασχολήθηκε με το ινδουιστικό-αραβικό σύστημα. Ο Γουάλις προσχώρησε στους μετριοπαθείς πρεσβυτεριανούς στην υπογραφή της διαμαρτυρίας κατά της εκτέλεσης του Καρόλου Α', γεγονός που του απέφερε τη διαρκή εχθρότητα των Ανεξάρτητων. Παρά την αντίθεσή τους, το 1649 διορίστηκε στην έδρα γεωμετρίας Σαβίλιαν στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, όπου έζησε μέχρι το θάνατό του στις 8 Νοεμβρίου [O.S. 28 Οκτωβρίου] 1703. Το 1650 ο Γουάλις χειροτονήθηκε κληρικός. Στη συνέχεια πέρασε δύο χρόνια με τον Σερ Ρίτσαρντ Ντάρλεϊ και τη Λαίδη Βιρ ως ιδιωτικός εφημέριος. Το 1661 ήταν ένας από τους δώδεκα εκπροσώπους των Πρεσβυτεριανών στη Διάσκεψη της Σαβοΐας. Εκτός από το μαθηματικό του έργο, έγραψε για τη θεολογία, τη λογική, την αγγλική γραμματική και τη φιλοσοφία και βοήθησε να επινοηθεί ένα σύστημα για τη διδασκαλία ενός κωφού αγοριού να μιλάει στο Λίτλκοτ Χάους. Ο Γουίλιαµ Χόλντερ προηγουµένως δίδαξε ένα κωφό αγόρι, τον Αλεξάντερ Πόφαµ, να µιλάει "καθαρά και ευδιάκριτα και µε καλό και ευγενικό τόνο" . Αργότερα ο Γουάλις πήρε τα εύσημα γι' αυτό, με αποτέλεσμα ο Χόλντερ να τον κατηγορήσει ότι "κλέβει τους γείτονές του και στολίζεται με τα λάφυρά τους". Η κοινοβουλευτική επίσκεψη στην Οξφόρδη που ξεκίνησε το 1647 απέλυσε πολλούς ανώτατους ακαδημαϊκούς, μεταξύ των οποίων (τον Νοέμβριο του 1648) [με ποιο χρονοδιάγραμμα;] τους καθηγητές γεωμετρίας και αστρονομίας του Σαβίλιαν. Το 1649 ο Γουάλις διορίστηκε Σαβιλιανός καθηγητής γεωμετρίας. Ο Γουάλις φαίνεται ότι επιλέχθηκε σε μεγάλο βαθμό για πολιτικούς λόγους (όπως ίσως είχε κάνει και ο βασιλόφρων προκάτοχός του Πίτερ Τέρνερ, ο οποίος, παρά τον διορισμό του σε δύο καθηγητικές θέσεις, δεν δημοσίευσε ποτέ κανένα μαθηματικό έργο)- ενώ ο Γουάλις ήταν ίσως ο κορυφαίος κρυπτογράφος της χώρας και μέλος μιας άτυπης ομάδας επιστημόνων που αργότερα θα γινόταν η Βασιλική Εταιρεία, δεν είχε ιδιαίτερη φήμη ως μαθηματικός. Παρ' όλα αυτά, ο διορισμός του Γουόλις αποδείχτηκε πλουσιοπάροχα δικαιολογημένος από το μετέπειτα έργο του κατά τη διάρκεια των 54 χρόνων του ως καθηγητής Σαβίλιαν. Στα έργα του, ο Γουάλις συνέβαλε στην ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού πριν από τον Νεύτωνα, βασιζόμενος στο έργο των Γιοχάνες Κέπλερ, Καβαλιέρε, Ρομπερβάλ και Τοριτσέλι. Το 1656, στο βιβλίο Arithmetica Infinitorum, στο οποίο δημοσίευσε έρευνες σχετικά με τις άπειρες σειρές, κατέληξε στο γινόμενο του Γουάλις, το οποίο επιτρέπει τον προσεγγιστικό υπολογισμό του κυκλικού αριθμού π {\displaystyle \pi } : π 2 = ∏ k = 1 ∞ ( 2 k ) 2 ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) = 2 2 1 ⋅ 3 ⋅ 4 2 3 ⋅ 5 ⋅ 6 2 5 ⋅ 7 ⋅ 8 2 7 ⋅ 9 ⋅ ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}}={\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\cdot {\frac {4^{2}}{3\cdot 5}}\cdot {\frac {6^{2}}{5\cdot 7}}\cdot {\frac {8^{2}}{7\cdot 9}}\cdot \;\cdots } Ο συγκεκριμένος τύπος προέκυψε από την ολοκλήρωση της συνάρτησης ( 1 − x 2 ) n {\displaystyle (1-x^{2})^{n}} για n=1/2 (άρα την άμεση ολοκλήρωση του εμβαδού του μοναδιαίου κύκλου), την οποία έλαβε με παρεμβολή (όρος που εισήγαγε ο ίδιος) του ολοκληρώματος για ολόκληρο το n. Το σύμβολο του απείρου ∞ {\displaystyle \infty } ως σύμβολο του απείρου οφείλεται επίσης στον Γουάλις. Το έργο Arithmetica Infinitorum άσκησε μεγάλη επιρροή στον Ισαάκ Νεύτωνα, ο οποίος μελέτησε το βιβλίο τον χειμώνα του 1664/65, και οδήγησε επίσης σε ανταλλαγή επιστολών με τον Φερμά, ο οποίος προκάλεσε τους Άγγλους μαθηματικούς με μαθηματικά προβλήματα μετά την εμφάνιση του βιβλίου. Στην άλγεβρα του, δεχόταν επίσης πολύπλοκες λύσεις εξισώσεων. Ήταν ένας από τους πρώτους Βρετανούς μαθηματικούς που χρησιμοποίησε τις μεθόδους αναλυτικής γεωμετρίας του Ντεκάρτ. Μεταξύ άλλων, τις εφάρμοσε στις κωνικές τομές. Στην Άλγεβρα του, το τελευταίο μεγάλο έργο του, πάνω στο οποίο εργάστηκε για πολλά χρόνια, υπάρχει επίσης μια ενότητα για τις άπειρες σειρές και περιέχει, ιδίως στην πρώτη έκδοση, τις πρώτες δημοσιεύσεις ορισμένων αποτελεσμάτων του Νεύτωνα στον τομέα αυτό. Ο Γουάλις φρόντισε να τεκμηριώσει την προτεραιότητα του Νεύτωνα σε αυτόν τον τομέα (ιδίως καθώς ο ίδιος ο Νεύτων δεν δημοσίευε τίποτα εκείνη την εποχή) και ενθάρρυνε και άλλους συναδέλφους του στη Βρετανία να το πράξουν. Στην άλγεβρα του, βασίστηκε ιδιαίτερα στο έργο Άγγλων μαθηματικών όπως οι Όθρεντ, Χάριοτ και Τζον Πελ. Προσπάθησε επίσης να δείξει ότι ο Ντεκάρτ είχε επηρεαστεί από τον Χάριοτ όσον αφορά την άλγεβρα. Ο Γουάλις έκανε επίσης τα πρώτα βήματα προς τη γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών αριθμών (αρχικά θετικοί και αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί στην αριθμογραμμή, στη συνέχεια υπολογισμοί με γεωμετρικά μέσα για να πλησιάσουμε περισσότερο σε μια γεωμετρική κατασκευή των μιγαδικών αριθμών). Έγραψε πραγματείες για τη θεωρία της μουσικής και ένα βιβλίο για τη φωνητική (De loquela, πρωτοεκδόθηκε το 1652), το οποίο πέρασε από πολλές εκδόσεις (6η έκδοση το 1765). Οι μελέτες του Γουάλις για τη φωνητική οδήγησαν επίσης σε μεθόδους διδασκαλίας κωφών παιδιών, και δίδαξε δύο κωφά παιδιά το 1661/62, κάτι που ανέφερε στη Βασιλική Εταιρεία. Σε αυτόν τον τομέα, υιοθέτησε επίσης τις θεωρίες του Γιόχαν Κόνραντ Άμμαν. Όσον αφορά τη θεωρία της κίνησης και της μηχανικής, το 1671 έγραψε ένα έργο με τίτλο Mechanica sive de motu tractatus geometricus, στο οποίο τόνισε, σε γαλιλαϊκή βάση, την αυστηρά γεωμετρική θεμελίωση του εν λόγω δόγματος. Ασχολήθηκε ειδικότερα με τα κέντρα βάρους και τους κραδασμούς και αποτέλεσε σημαντική πρόοδο στη μαθηματικοποίηση της μηχανικής τον 17ο αιώνα. Το βιβλίο αυτό άσκησε επίσης σημαντική επιρροή στον Ισαάκ Νεύτωνα, αν και αυτός προχώρησε πολύ περισσότερο με το έργο του Principia (1687). Ενδιαφέρθηκε επίσης για τη θεωρία της μουσικής και μετέφρασε ελληνικά κείμενα ελληνικά κείμενα του Κλαύδιου Πτολεμαίου, του Πορφύριου και του Βρυέννιου και συζητούσε για τη θεωρία της μουσικής με τον Τόμας Σάλμον, τον Ερρίκο Όλντενμπουργκ και άλλους. Treatise of Angular Sections, geschrieben um 1648, erschienen 1684 De sectionibus conicis 1655 Arithmetica Infinitorum, 1655 (auch in Opera mathematicorum, Band 2, 1656) Commercium epistolicum 1658 (Austausch mit Fermat über Zahlentheorie) Treatise of Algebra. Both historical and practical. London 1685. (Lateinische Version in Opera mathematica, Band 2) Scriba The Autobiography of John Wallis, Notes and Records of the Royal Society London Band 25, 1970, S. 17–46 (er schrieb seine Autobiographie 1697) Mechanica sive de motu tractatus geometricus, London 1669–1671 Institutio logicae 1687 De aestu maris hypothesis nova, 1668 (Gezeiten) Opera mathematica, 3 Bände, 1693–1699 (Nachdruck Olms 1972, hrsg. von Christoph J. Scriba), Bd. 1 (1695), Bd. 2 (1693), Bd. 3 (1699). Operum mathematicorum, in zwei Teilen, 1656, 1657 Philip Beeley, Christoph Scriba (Hrsg.): The correspondence of John Wallis. Oxford UP, 4 Bände, ab 2013