Δυναμικό δέλτα

Στην κβαντική μηχανική, το δυναμικό δέλτα αποτελεί ένα ακριβώς επιλύσιμο μονοδιάστατο πρόβλημα. Ανάλογα με το αν το δυναμικό επιλεγεί έτσι ώστε να είναι θετικό ή αρνητικό, το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί ως πρόβλημα φράγματος ή πηγαδιού δυναμικού αντίστοιχα.

 Στη γενικότερη περίπτωση, το δέλτα δυναμικό περιγράφεται από μία συνάρτηση της μορφής V ( x ) = λ δ ( x ) {\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x)\ \ \ } όπου λ μία σταθερά, δ(x) η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ και x ο άξονας κίνησης. Ανάλογα με το αν η σταθερά λ είναι θετική ή αρνητική, το δυναμικό περιγράφει φράγμα ή πηγάδι και αντιμετωπίζεται μαθηματικά με τον αντίστοιχο τρόπο. Η Χαμιλτονιανή ενός σωματιδίου που κινείται υπό την επίδραση ενός δυναμικού δέλτα, όπως αυτό δόθηκε παραπάνω, περιγράφεται, στην αναπαράσταση θέσεων, από τον τελεστή: H ^ = − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 + λ δ ( x ) {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+\lambda \delta (x)} όπου ħ η ανηγμένη σταθερά του Πλανκ και m η μάζα του σωματιδίου. Η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Σρέντιγκερ που ικανοποιεί η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου κάτω από την επίδραση ενός δυναμικού δέλτα, δεδομένης της παραπάνω Χαμιλτονιανής, έχει την εξής μορφή: ( − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 + λ δ ( x ) ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+\lambda \delta (x)\right)\psi (x)=E\psi (x)} όπου Ε η ενέργεια. Η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου που κινείται υπό τη επίδραση ενός δυναμικού δέλτα εξετάζεται σε δύο ξεχωριστές περιοχές: Περιοχή Ι: x<0 Περιοχή ΙΙ: x>0Ο λόγος που επιλέγονται οι δύο αυτές περιοχές είναι για την αποφυγή του απειρισμού που παρουσιάζει το δυναμικό δέλτα στο σημείο x=0. Και για στις δύο περιοχές η εξίσωση Σρέντιγκερ ανάγεται στην εξίσωση του ελεύθερου σωματίου, ήτοι οι κυματοσυναρτήσεις σε κάθε περιοχή δίνονται από τις σχέσεις: ψ I ( x ) = A 1 e i k x + A 2 e − i k x ψ II ( x ) = B 1 e i k x + B 2 e − i k x {\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{\textrm {I}}(x)=A_{1}e^{ikx}+A_{2}e^{-ikx}\\&\psi _{\textrm {II}}(x)=B_{1}e^{ikx}+B_{2}e^{-ikx}\end{aligned}}} όπου k2=2mE/ħ2 και A1,A2,B1,B2 τέσσερις (εν γένει) μιγαδικοί αριθμοί. Δύο βασικές σχέσεις μεταξύ των τεσσάρων αυτών σταθερών μπορούν να προσδιορισθούν απαιτώντας η κυματοσυνάρτηση να είναι συνεχής στο σημείο x=0, ήτοι ψI(0)=ψII(0). Μία δεύτερη συνθήκη που συνδέει τις τέσσερις σταθερές μεταξύ τους προκύπτει αν ολοκληρώσει κανείς τα δύο μέλη της εξίσωσης Σρέντιγκερ από -ε έως +ε, όπου ε ένας μικρός θετικός αριθμός, και τέλος πάρει το όριο ε→0. Οι παραπάνω δύο συνθήκες οδηγούν στο εξής σύστημα εξισώσεων: { A 1 + A 2 − B 1 − B 2 = 0 − A 1 + A 2 + B 1 − B 2 = 2 m λ i k ℏ 2 ( A 1 + A 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}A_{1}+A_{2}-B_{1}-B_{2}&=0\\-A_{1}+A_{2}+B_{1}-B_{2}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{1}+A_{2})\end{cases}}} Για να προσδιορισθούν και οι τέσσερις σταθερές, εν γένει χρειάζονται τέσσερις εξισώσεις. Συνεπώς υπολείπονται δύο ακόμη, οι οποίες όμως δεν μπορούν να προκύψουν από κάποια άλλη φυσική απαίτηση για την κυματοσυνάρτηση του συστήματος. Προς το παρόν, η συζήτηση πάνω στο δυναμικό δέλτα ήταν γενική, ήτοι ανεξάρτητη του προσήμου της σταθεράς λ. Οι επιπρόσθετες απαιτήσεις εμφανίζονται τη στιγμή που μελετά κανείς δύο ειδικότερα προβλήματα — το δέλτα-φράγμα και το δέλτα-πηγάδι. Ειδική περίπτωση του δέλτα δυναμικού αποτελεί το λεγόμενο δέλτα-φράγμα, το οποίο ορίζεται έτσι ώστε η σταθερά λ που εισήχθηκε αρχικά να είναι ένας θετικός αριθμός. Στη περίπτωση αυτή, το πρόβλημα ανάγεται σε ένα πρόβλημα φράγματος δυναμικού στο οποίο μελετάμε πώς η παρουσία ενός δυναμικού-φράγματος επηρεάζει μία προσπίπτουσα δέσμη σωματιδίων. Σύμφωνα με την κλασική μηχανική, αν η ενέργεια ενός σωματιδίου δεν υπερβαίνει την «οροφή» του φράγματος, τότε το σωματίδιο αυτό δεν θα διαπεράσει ποτέ το φράγμα και θα ανακλαστεί πλήρως (όπως μία μπάλα που πετιέται στον τοίχο αναπηδά πάντοτε προς τα πίσω, καθώς η βολή δεν προσδίδει αρκετή κινητική ενέργεια στη μπάλα ώστε να υπερνικήσει την συνεκτική δομή του τοίχου). Κβαντομηχανικά, όμως, υπάρχει μία πεπερασμένη πιθανότητα το σωματίδιο να διαπεράσει ένα φράγμα δυναμικού πεπερασμένου μεγέθους ακόμα και αν η ενέργειά του είναι σημαντικά μικρότερη από την οροφή του φράγματος. Στη περίπτωση του δέλτα-φράγματος, το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής: Δεδομένου ενός σωματιδίου καθορισμένης ενέργειας Ε που ρίπτεται προς την κατεύθυνση του φράγματος, ποια είναι η πιθανότητα το σωματίδιο να ανακλαστεί και ποια η πιθανότητα να διέλθει από το φράγμα; Το ερώτημα αυτό έχει και πρακτικό (πειραματικό) ενδιαφέρον, καθώς μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα στα οποία μία δέσμη μη-σχετικιστικών σωματιδίων (π.χ. ηλεκτρονίων) δεδομένης έντασης προσπίπτει σε ένα «εμπόδιο» το οποίο μοντελοποιείται μαθηματικά υπό τη μορφή ενός δυναμικού. Οι πιθανότητες ανάκλασης και διέλευσης του θεωρητικού προβλήματος αντιστοιχούν τότε σε ποσοστά ακτινοβολίας σε σχέση με την ένταση της προσπίπτουσας δέσμης τα οποία θα ανακλαστούν και θα διέλθουν από το εμπόδιο αντίστοιχα. Στην περίπτωση του δέλτα-φράγματος, η κυματοσυνάρτηση του προβλήματος περιγράφει ένα ελεύθερο σωμάτιο το οποίο προσπίπτει στο δέλτα-φράγμα από κάποια κατεύθυνση. Επειδή εν γένει το σωματίδιο αναμένεται να έχει πιθανότητα τόσο να ανακλαστεί όσο και να διαπεράσει το φράγμα, η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου στις δύο περιοχές Ι και ΙΙ όπως αυτές ορίσθηκαν προηγουμένως θα έχει τη μορφή: ψ I ( x ) = A 1 e i k x + A 2 e − i k x ψ II ( x ) = B 1 e i k x {\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{\textrm {I}}(x)=A_{1}e^{ikx}+A_{2}e^{-ikx}\\&\psi _{\textrm {II}}(x)=B_{1}e^{ikx}\end{aligned}}} Εν προκειμένω θεωρήθηκε ότι η δέσμη προσπίπτει στο δυναμικό από τα αριστερά. Συνεπώς, αφού εκθετικά της μορφής eikx περιγράφουν ελεύθερο σωμάτιο που κινείται προς τα δεξιά, στην περιοχή Ι οι όροι A1eikx και A2e-ikx αντιστοιχούν σε προσπίπτον και ανακλώμενο σωμάτιο αντίστοιχα, ενώ στην περιοχή ΙΙ ο όρος B1eikx αντιστοιχεί σε σωματίδιο που διαπέρασε το φράγμα και κινείται πλέον στην περιοχή x>0. Κάθε διαφορετική «ιστορία» για το σωματίδιο αντιστοιχεί σε μία κυματοσυνάρτηση, ενώ στη γενική περίπτωση το σωματίδιο θα βρίσκεται σε μία υπέρθεση όλων των δυνατών καταστάσεων. Αν ψin η κυματοσυνάρτηση του προσπίπτοντος (αγγλικά: incident) και ψr, ψt οι αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις του ανακλώμενου (αγγλικά: reflected) και διερχόμενου (αγγλικά: transmitted) σωματιδίου, τότε { ψ in ( x ) = A 1 e i k x ψ r ( x ) = A 2 e − i k x ψ t ( x ) = B 1 e i k x {\displaystyle {\begin{cases}\psi _{\textrm {in}}(x)=A_{1}e^{ikx}\\\psi _{\textrm {r}}(x)=A_{2}e^{-ikx}\\\psi _{\textrm {t}}(x)=B_{1}e^{ikx}\end{cases}}} Το σύστημα εξισώσεων που ικανοποιούν οι σταθερές A1,A2,B1 είναι: { A 1 + A 2 − B 1 = 0 − A 1 + A 2 + B 1 = 2 m λ i k ℏ 2 ( A 1 + A 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}A_{1}+A_{2}-B_{1}&=0\\-A_{1}+A_{2}+B_{1}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{1}+A_{2})\end{cases}}} Σε κάθε μία από τις κυματοσυναρτήσεις του προβλήματος αντιστοιχεί ένα ρεύμα πιθανότητας, j, το οποίο αναπαριστά (κατ' αναλογία με την ροή ρευστού στην Υδροδυναμική) την ροή της πυκνότητας πιθανότητας. Τα ρεύματα πιθανότητας κάθε κυματοσυνάρτησης δίνονται από τους τύπους: { j in = ℏ k m | A 1 | 2 j r = − ℏ k m | A 2 | 2 j t = ℏ k m | B 1 | 2 {\displaystyle {\begin{cases}j_{\textrm {in}}={\frac {\hbar k}{m}}|A_{1}|^{2}\\j_{\textrm {r}}=-{\frac {\hbar k}{m}}|A_{2}|^{2}\\j_{\textrm {t}}={\frac {\hbar k}{m}}|B_{1}|^{2}\end{cases}}} Οι συντελεστές ανάκλασης (R) και διέλευσης (Τ) ορίζονται με τον εξής τρόπο: R = | j r | | j in | , T = | j t | | j in | {\displaystyle {\begin{aligned}R={\frac {|j_{\textrm {r}}|}{|j_{\textrm {in}}|}},\ \ \ T={\frac {|j_{\textrm {t}}|}{|j_{\textrm {in}}|}}\end{aligned}}} Βάσει του ορισμού αυτού, των γνωστών εκφράσεων των ρευμάτων πιθανότητας και του συστήματος εξισώσεων που ικανοποιούν οι σταθερές A1,A2,B1 είναι δυνατόν να δειχθεί ότι: R = 1 1 + 2 ℏ 2 E m λ 2 T = 1 1 + m λ 2 2 ℏ 2 E {\displaystyle {\begin{aligned}R={\frac {1}{1+{\frac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}\\T={\frac {1}{1+{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\end{aligned}}} Στο διπλανό γράφημα φαίνεται πώς μεταβάλλονται οι δύο συντελεστές συναρτήσει της ενέργειας. Το άθροισμα των δύο είναι πάντοτε ίσο με μονάδα, όπως θα όφειλε (αφού το σωματίδιο είτε θα ανακλαστεί είτε θα διαπεράσει το φράγμα). Σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας, στο όριο ħ→0 τα κβαντικά αποτελέσματα οφείλουν να αναπαράγουν τα αντίστοιχα κλασικά. Πράγματι, για ħ→0 οι συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης ισούνται με 1 και 0 αντίστοιχα (το σωματίδιο δεν διαπερνά ποτέ το φράγμα). Το δέλτα-πηγάδι αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου λ<0, δηλαδή το δυναμικό δέλτα βρίσκεται κάτω από τον άξονα των x. Επειδή η ενέργεια ούτε κβαντομηχανικά δεν μπορεί ποτέ να είναι μεγαλύτερη από την μέγιστη τιμή της δυναμικής (αφού το άθροισμα δυναμικής και κινητικής ισούται πάντοτε με την ολική ενέργεια), η ενέργεια ενός σωματιδίου στην περίπτωση αυτή θα είναι αναγκαστικά αρνητική. Αρνητικές ενέργειες όμως αντιστοιχούν σε δέσμιες καταστάσεις. Σκοπός της μελέτης του προβλήματος του δέλτα-πηγαδιού είναι λοιπόν ο προσδιορισμός του ενεργειακού φάσματος της Χαμιλτονιανής. Όπως και στην περίπτωση του δέλτα-φράγματος, ο χώρος του προβλήματος διαιρείται σε δύο περιοχές (Ι και ΙΙ όπως αυτές ορίσθηκαν παραπάνω). Επειδή η ενέργεια είναι αρνητική, ισχύει ότι k 2 = 2 m E ℏ 2 = − 2 m | E | ℏ 2 = i 2 2 m | E | ℏ 2 {\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}=-{\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}=i^{2}{\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}} Η κυματοσυνάρτηση στις δύο περιοχές του προβλήματος έχει λοιπόν τη μορφή: ψ I ( x ) = A 1 e κ x ψ II ( x ) = B 2 e − κ x {\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{\textrm {I}}(x)=A_{1}e^{\kappa x}\\&\psi _{\textrm {II}}(x)=B_{2}e^{-\kappa x}\end{aligned}}} όπου κ2=2m|E|/ħ2 μία θετική σταθερά. Ο λόγος που επιζούν μόνο οι συγκεκριμένοι όροι σε κάθε περιοχή οφείλεται στο γεγονός ότι η κυματοσυνάρτηση στο ±∞ πρέπει να είναι πεπερασμένη (τετραγωνικά ολοκληρώσιμη), ήτοι ψI(-∞)=ψII(+∞)=0. Όμως, η απαίτηση συνέχειας στο σημείο x=0 μας εξασφαλίζει την ισότητα A1=B2. Επιπροσθέτως, η συνθήκη κανονικοποίησης της κυματοσυνάρτησης δίνει το εξής αποτέλεσμα: ∫ − ∞ + ∞ | ψ ( x ) | 2 d x = 1 ∫ − ∞ 0 | ψ I ( x ) | 2 d x + ∫ 0 + ∞ | ψ II ( x ) | 2 d x = 1 | A 1 | = | B 2 | = ± κ {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1\\&\int _{-\infty }^{0}|\psi _{\textrm {I}}(x)|^{2}dx+\int _{0}^{+\infty }|\psi _{\textrm {II}}(x)|^{2}dx=1\\&|A_{1}|=|B_{2}|=\pm {\sqrt {\kappa }}\end{aligned}}} Επιλέγοντας κατά σύμβαση το θετικό πρόσημο προκύπτει η πλήρης κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση του προβλήματος: ψ ( x ) = κ e − κ | x | {\displaystyle \psi (x)={\sqrt {\kappa }}\ e^{-\kappa |x|}} Η κυματοσυνάρτηση αυτή είναι συνεχής παντού, τετραγωνικά ολοκληρώσιμη και παρουσιάζει ένα σημείο ασυνέχειας της πρώτης παραγώγου στο σημείο x=0 (βλέπε σχήμα στα δεξιά). Το ενεργειακό φάσμα υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την εξίσωση Σρέντιγκερ του δέλτα-πηγαδιού από -ε έως +ε, όπου ε μικρή θετική σταθερά, και παίρνοντας τέλος το όριο ε→0. Το αποτέλεσμα είναι: κ = − m λ ℏ 2 {\displaystyle \kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}}} Όμως, κ 2 = 2 m | E | ℏ 2 = − 2 m E ℏ 2 {\displaystyle \kappa ^{2}={\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}} Άρα λοιπόν, E = − m λ 2 2 ℏ 2 {\displaystyle E=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}} Το φάσμα του δέλτα-πηγαδιού έχει λοιπόν μία μοναδική στάθμη. Στο όριο ħ→0 η παραπάνω εξίσωση δίνει Ε→-∞, δηλαδή κλασικά το σωματίδιο όταν συναντήσει ένα απείρως βαθύ πηγάδι δυναμικού που περιγράφεται από μία συνάρτηση δέλτα θα αρχίσει να πέφτει ταχύτατα προς τον «πάτο» του πηγαδιού, μικραίνοντας συνεχώς την δυναμική του ενέργεια και αυξάνοντας παράλληλα την κινητικού του ενέργεια. Ο λόγος που κβαντομηχανικά το σωματίδιο δεν πέφτει στον πάτο του πηγαδιού είναι άμεση συνέπεια της κυματικής φύσης της ύλης που αποτυπώνεται μαθηματικά μέσω της αρχής της απροσδιοριστίας. Το ελεύθερο σωμάτιο Το απειρόβαθο πηγάδι Το σωματίδιο σε δακτύλιο Το σκαλοπάτι δυναμικού Ο αρμονικός ταλαντωτής Το άτομο του υδρογόνου Τραχανάς, Στέφανος (2005). Κβαντομηχανική Ι. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. ISBN 978-960-524-206-0. Τραχανάς, Στέφανος (2009). Ακριβώς Επιλύσιμα Κβαντομηχανικά Δυναμικά. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. ISBN 978-960-524-290-9.