Ημιομάδα

Στα μαθημάτικά , μια ημιομάδα είναι μια αλγεβρική δομή που αποτελείται απο ενα σύνολο εφοδιασμένο με μία διμελή πράξη που επιπλέον είναι προσεταιριστική. Μία ημίομάδα πέραν απο τη συνήθη δόμη της μπορεί να εξοπλιστεί με πληθώρα ιδιοτήτων όπως αυτή της διάταξης (διατεταγμένη ημιομάδα), του ουδέτερου στοιχείου (μονοειδές) , του αντίστροφου στοιχείου , του μηδενικού στοιχείου κ.α. Ο κλάδος των ημιομάδων αποτελεί ενα σχετικά σύγχρονο επιστημονικο κλάδο καθώς άρχισε να μελετάται στις αρχές του 20ου αιώνα. Γύρω στο 1950 εφαρμόστηκε στην επιστήμη υπολογιστων μιας και υπάρχει άμεση σύνδεση μεταξύ πεπερασμένων ημιομάδων και πεπερασμενων αυτομάτων μέσω συντακτικού μονοειδούς. Παράλληλα βρίσκει εφαρμογή σε διάφορους τομείς των εφαρμοσμένων μαθηματικών όπως στις αλυσίδες Μάρκοφ (θεωρία πιθανοτήτων) ,σε γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα , επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων κ.α.

 Ένα σύνολο S με μια διμελής πράξη • : S × S → S {\displaystyle :S\times S\rightarrow S} η οποία ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Δηλαδή για καθε a , b , c ∈ S {\displaystyle a,b,c\in S} , ισχύει ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) {\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)} . Πολλές φορές χάριν συντομίας συμβολίζουμε a ⋅ b = a b {\displaystyle a\cdot b=ab} Με άλλα λόγια μία ημιομάδα ειναι ενα ομαδοειδές με την προσεταιριστική ιδιότητα. Το σύνολο των ακεραίων Z με την πράξη του πολλαπλασιασμού αποτελεί μία ημιομάδα. Καθώς και κάποια υποσύνολα(υποημιομάδες) του :Oι θετικοί ακέραιοι {1,2,3,....} .Μαλιστα αν ειναι φραγμένο To σύνολο nZ δηλαδή τα πολλαπλάσια ενός φυσικού n. To σύνολο των σύνθετων αριθμών.* To σύνολο { p n {\displaystyle p^{n}} : i≥n} με p οποιονδήποτε πρώτο και n μη μηδενικό ακέραιο.Το σύνολο των n x n {\displaystyle nxn} τετραγωνικών πινάκων M n ( R ) {\displaystyle M_{n}(R)} πανω απο ένα δακτύλιο R {\displaystyle R} με πράξη των πολλαπλασιασμό πινάκων είναι ημιομάδα και σε αντίθεση με τα παραπάνω παραδείγματα δεν είναι μεταθετική. Κάθε Ομάδα ειναι ημιομάδα , αφού έχει τις απαραίτητες ιδιότητες και επιπλέον αυτή του αντιστρόφου και του μοναδιαίου. Ανάλογα ενα μονοειδές αποτελει ημιομάδα με μοναδιαίο στοιχείο. Κάθε δακτύλιος αγνοώντας την πράξη της πρόσθεσης αποτελεί ημίομαδα και μάλιστα ημιομάδα με ουδέτερο στοιχείο . Το σύνολο των πεπερασμένων συμβολοσειρών πάνω απο μία αλφάβητο Σ με πράξη την συνένωση/παράθεση των συμβολοσειρών. Αυτή η ημιομάδα καλείται επίσης ελεύθερη ημιομάδα πάνω απο το Σ και μαζί με την κενή συμβολοσειρά κατασκευάζεται ενα ελεύθερο μονοειδές πανω απο το Σ. Όπως δηλώθηκε και στην αρχή μια ημιομάδα μπορεί να εξοπλιστεί με πολλές ιδιότητες ώστε να πλησιάζει τη δομή μιας ομάδας. Παράλληλα ορίζονται πολλα από τα χαρακτηριστικά υποσύνολα διαφόρων αλγεβρικών δομών. Ουδέτερο και απορροφητικό στοιχείο μιας ημιομαδας Σε μία ημιομάδα S {\displaystyle S} καλουμε αριστερό ουδέτερο/ταυτοτικό στοιχείο (συχνά συμβολίζεται και με 1 S {\displaystyle 1_{S}} ) ένα στοιχείο e ∈ S {\displaystyle e\in S} τετοιο ωστε για κάθε a ∈ S {\displaystyle a\in S} εχω e {\displaystyle e} • a = a {\displaystyle a=a} . Αντιστοίχως ορίζεται και το δεξί . Όταν ενα στοιχείο ειναι ταυτόχρονα και αριστερό και δεξί ταυτοτικό το λεμε απλώς ταυτοτικό. Μια τέτοια ημιομάδα με ταυτοτικο καλείται μονοειδές. Κάθε ημιομάδα μπορει να εμβυθιστεί σε ένα μονοείδες , συνάπτοντας της ένα στοιχείο e ∉ S {\displaystyle e\notin S} τετοιο ώστε e {\displaystyle e} • a = a {\displaystyle a=a} • e = a {\displaystyle e=a} για καθε a ∈ S {\displaystyle a\in S} . Οπότε και παίρνω S 1 = S ∪ e {\displaystyle S^{1}=S\cup {e}} ενα μονοειδές. Αριστερό απορροφητικό ή μηδενικό στοιχείο στοιχείο μιας ημιομάδας S {\displaystyle S} (συχνά συμβολίζεται και με 0 S {\displaystyle 0_{S}} καλείτε ενα στοιχείο z ∈ S {\displaystyle z\in S} τέτοιο ώστε z {\displaystyle z} • a = z {\displaystyle a=z} για καθε a ∈ S {\displaystyle a\in S} . 'Αντίστοιχα ορίζεται και το δεξί. Όταν ένα στοιχείο ειναι ταυτόχρονα και αριστερό και δεξί μηδενικό το λέμε απλώς μηδενικό στοιχείο . Μια ημίομάδα με μηδενικό στοιχείο καλείτε μηδενική ημιομάδα (zero-semigroup). Κάθε ημιομάδα μπορει να εμβυθιστεί σε μία μηδενική , συνάπτοντας της ένα μηδενικό στοιχείο ανάλογα με παραπάνω , όποτε παίρνω S 0 = S ∪ z {\displaystyle S^{0}=S\cup {z}} . Υποημιομάδες και Ιδεώδη Η πράξη μίας ημιομάδας επάγει πράξη και στα υποσύνολα αυτής της μορφής A , B ⊂ S {\displaystyle A,B\subset S} τέτοια ώστε A {\displaystyle A} · B = {\displaystyle B=} { a {\displaystyle a} • b : a , b ∈ S {\displaystyle b:a,b\in S} } το οποιο ειναι συνολο (οχι απαραίτητα υποσύνολο της S) . Μεσω αυτης της πραξης οριζώ ως : Υποημιομάδα ενα υποσύνολο B ⊂ S {\displaystyle B\subset S} τέτοιο ωστε B B ⊂ B {\displaystyle BB\subset B} Αριστερο ιδεώδες ενα υποσύνολο I ⊂ S {\displaystyle I\subset S} τέτοιο ώστε S I ⊂ I {\displaystyle SI\subset I} (ανάλογα ορίζεται δεξί) Ιδεώδες ενα αριστερο και δεξι ιδεώδες δηλαδη S I S ⊂ S {\displaystyle SIS\subset S} Η τομή οποιονδήποτε υποημιομάδων μίας ημιομάδας S {\displaystyle S} είναι πάλι ημιομάδα . Συνεπώς σχηματίζουν έναν πλήρη σύνδεσμο. Ανάλογα με τις ομάδες, ορίζεται το κέντρο μιας ημιομάδας ως την υποημιομάδα της οποίας τα στοιχεία μετατίθενται με όλη την ημιομάδα. Αξίζει να σημειωθεί οτι υπάρχουν διάφορα είδη ιδεωδών όπως κύρια, ελάχιστα, μέγιστα. Κανονικές ημιομάδες Μια ημιομάδα καλείτε κανονική' (regular) αν για κάθε a ∈ S {\displaystyle a\in S} υπάρχει x ∈ S {\displaystyle x\in S} τέτοιο ώστε a x a = a {\displaystyle axa=a} . Αυτή αυτή η ιδιότητα των κανονικών ημιομάδων δίνει σε κάθε στοιχείο έναν ψευδοαντίστροφο , χαρακτηριστικό χρήσιμο δεδομένου οτι μια ημιομάδα δεν έχει απαραίτητα αντιστροφο στοιχείο. Διατεταγμένες ημιομάδες Καλούμε διατεταγμένη ημιομάδα μια ημιομάδα μαζί με μία μερική διάταξη ≤ που είναι συμβατή με την πράξη της ημιομάδας, δηλαδή x {\displaystyle x} ≤ y {\displaystyle y} και την συμβολίζουμε ως ( S {\displaystyle S} ,•,≤). Ενα παράδειγμα διατεταγμένης ημιομάδας ειναι η ημιομάδα των ακεραίων Z {\displaystyle Z} με την πράξη της πρόσθεσης και με διαταξή την φυσιολογική ≤ Ομομορφισμοί και Ισοτιμίες Ένας ομομορφισμός ημιομάδων είναι ενας ομομορφισμός ο οποίος διατηρεί τη δομή της ημιομάδος. Εστω S , T {\displaystyle S,T} ημιομάδες με πράξεις •,° αντιστοιχα δηλαδή ( S {\displaystyle S} ,•) και ( T , ∗ {\displaystyle T,\ast } ) . Η συνάρτηση f : S ↦ T {\displaystyle f:S\mapsto T} η οποία διατηρεί τη δομή της ημιομάδας και επιπλέον f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) {\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\ast f(b)} . Ένα παράδειγμα ομομορφισμού ημιομάδων είναι η εμβύθιση μιας S {\displaystyle S} στην S 1 {\displaystyle S^{1}} ή S 0 {\displaystyle S^{0}} όπως ορίσαμε παραπάνω. Δύο ημιομάδες καλούνται ισόμορφες αν υπάρχει ομομορφισμός ημιομάδων και επιπλέον είναι μονομορφισμός και επι. Μία ισοτιμία ημιομάδων ~ καλείται μια σχέση ισοδυναμίας η οποία είναι συμβατή με τη πράξη της ημιομάδας. Δηλαδή για ~ ⊂ {\displaystyle \subset } S x S αν x ∼ y {\displaystyle x\sim y} και u ∼ v {\displaystyle u\sim v} συνεπάγεται οτι x ⋅ u ∼ y ⋅ v {\displaystyle x\cdot u\sim y\cdot v} για κάθε x , y , v , u ∈ S {\displaystyle x,y,v,u\in S} . Με αυτό τον τρόπο μπορώ να ορίσω αντιστοίχως κλάση ισοδυναμίας ενός στοιχείου της ημιομάδος [ a ] ∼ = { x ∈ S | x ∼ a } {\displaystyle [a]_{\sim }=\{x\in S\vert \;x\sim a\}} και για συντομία γράφω [ a ] {\displaystyle [a]} .H πράξη της ημιομάδας επάγει διμελή πράξη κλάσεων ∘ {\displaystyle \circ } τέτοια ώστε [ a ] ∘ [ b ] = [ a b ] {\displaystyle [a]\circ [b]=[ab]} . Το σύνολο όλων των κλάσεων ισοτιμίας ∼ {\displaystyle \sim } σχηματίζει μια ημιομάδα με πράξη ∘ {\displaystyle \circ } και καλείται ημιομάδα πηλίκο S / ∼ {\displaystyle S/\sim } . Η απεικόνιση ενός στοιχείου x {\displaystyle x} της ημιομάδας στην κλάση [ x ] {\displaystyle [x]} ειναι ομομορφισμός ημιομάδων ονομάζεται κανονικός επιμορφισμός. Αν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο 1 S {\displaystyle 1_{S}} αυτο θα μεταφέρεται ως ουδέτερο και στην ημιομάδα πηλίκο [ 1 ] {\displaystyle [1]} δηλαδή αν η S {\displaystyle S} μονοειδές και η , S / ∼ {\displaystyle S/\sim } μονοειδές. Petrich, Mario (1973), Introduction to Semigroups, Charles E. Merrill, ISBN 0-675-09062-8, Zbl 0321.20037 . Kehayopoulou, Niovi (1980), On regular partially ordered semigroups Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, ISBN 0-19-851194-9, Zbl 0835.20077 . Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1961), The Algebraic Theory of Semigroups, 1, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0271-7, Zbl 0111.03403, https://books.google.com/books?id=4vXG2rjCUmUC .