Νηματική κατηγορία

Οι νηματικές κατηγορίες είναι αφηρημένες οντότητες στα μαθηματικά που χρησιμοποιούνται για να παρέχουν ένα γενικό πλαίσιο για τη θεωρία καθόδου. Αυτές τυποποιούν τις διάφορες καταστάσεις στη γεωμετρία και την άλγεβρα στις οποίες οι αντίστροφες εικόνες (ή pull-backs) των αντικειμένων, όπως οι διανυσματικές δέσμες μπορούν να οριστούν. Ως ένα παράδειγμα, για κάθε τοπολογικό χώρο υπάρχει η κατηγορία των διανυσματικών δεσμών στο χώρο, και για κάθε συνεχή απεικόνιση από ένα τοπολογικό χώρο Χ σε έναν άλλο τοπολογικό χώρο Υ συνδέεται με τη συνάρτηση pullback παίρνοντας δέσμες του Υ σε δέσμες του Χ. Οι νηματικές κατηγορίες τυποποιούν το σύστημα που αποτελείται από αυτές τις κατηγορίες και τους συναρτητές αντίστροφων εικόνων. Παρόμοιες διευθετήσεις εμφανίζονται σε διάφορες μορφές στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στην αλγεβρική γεωμετρία, η οποία είναι το πλαίσιο στο οποίο οι νηματικές κατηγορίες αρχικά εμφανίστηκαν. Τα νήματα διαδραματίζουν επίσης σημαντικό ρόλο στην κατηγοριακή θεωρία τύπου και στην θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών, ειδικά σε μοντέλα της θεωρίας εξαρτημένου τύπου. Οι νηματικές κατηγορίες εισήχθησαν από τον Αλεξάντερ Γρότντικ στο Grothendieck (1959), και αναπτύχθηκαν πιο αναλυτικά από τον ίδιο και τον Jean Giraud στην Grothendieck (1971) το 1960/61,Giraud (1964) and Giraud (1971)

 Υπάρχουν πολλά παραδείγματα στην τοπολογία και την γεωμετρία, όπου μερικοί τύποι αντικειμένων θεωρείται ότι υπάρχουν πάνω σε ή πάνω από ή πέρα από κάποιους υποκείμενους βασικούς χώρους. Τα κλασικά παραδείγματα περιλαμβάνουν διανυσματικές δέσμες, κύριες δέσμες και τροχαλίες πάνω στους τοπολογικούς χώρους. Ένα άλλο παράδειγμα δίνεται από τις "οικογένειες" των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων παραμετρικοποιημένες από μία άλλη πολλαπλότητα. Τυπικό σε αυτές τις καταστάσεις είναι ότι σε ένα κατάλληλο τύπο μιας απεικόνισης f: X → Y μεταξύ βασικών χώρων, υπάρχει μια αντίστοιχη αντίστροφη εικόνα (που ονομάζεται επίσης pull-back) πράξη f* παίρνοντας τα συγκεκριμένα αντικείμενα που είναι ορισμένα στο Υ στο ίδιο είδος αντικειμένων στο Χ. Αυτή είναι πράγματι η περίπτωση στα ανωτέρω παραδείγματα: για παράδειγμα, η αντίστροφη εικόνα μιας διανυσματικής δέσμης Ε στο Υ είναι μια διανυσματική δέσμη f*(E) sto X. Επιπλέον, είναι σύνηθες φαινόμενο τα θεωρούμενα "αντικείμενα σε ένα βασικό χώρο" σχηματίζουν μια κατηγορία, ή με άλλα λόγια έχουν απεικονίσεις (πολυμορφισμοί) μεταξύ τους. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η πράξη αντίστροφης εικόνας είναι συχνά συμβατή με τη σύνθεση αυτών των απεικονίσεων μεταξύ των αντικειμένων, ή σε πιο τεχνικούς όρους είναι ένας συναρτητής. Και πάλι, αυτή είναι η περίπτωση στα παραδείγματα που αναφέρονται παραπάνω. Ωστόσο, είναι συχνά η περίπτωση ότι εάν g: Y → Ζ είναι μια άλλη απεικόνιση, οι συναρτητές αντίστροφης εικόνας δεν είναι αυστηρά συμβατοί με σύνθεση απεικονίσεων: εάν το Ζ είναι ένα αντικείμενο πάνω από το Ζ (μια διανυσματική δέσμη, ας πούμε), μπορεί κάλλιστα να είναι ότι f ∗ ( g ∗ ( z ) ) ≠ ( g ∘ f ) ∗ ( z ) . {\displaystyle f^{*}(g^{*}(z))\neq (g\circ f)^{*}(z).} Αντιθέτως, οι αντίστροφες απεικονίσεις είναι μόνο φυσικά ισομορφικές. Αυτή η εισαγωγή κάποιας "χαλαρότητας" στο σύστημα των αντίστροφων εικόνων προκαλεί κάποια ευαίσθητα ζητήματα να εμφανίζονται, και αυτό είναι το πλαίσιο το οποίο μορφοποιούν οι νηματικές κατηγορίες. Η κύρια εφαρμογή των νηματικών κατηγοριών είναι στη θεωρία καθόδου,η οποία ασχολείται με μια τεράστια γενίκευση των τεχνικών "συγκόλησης" που χρησιμοποιούνται στην τοπολογία. Για να υποστηρίξει τη θεωρία καθόδου της επαρκούς γενικότητας ώστε να εφαρμόζεται σε μη τετριμμένες καταστάσεις στην αλγεβρική γεωμετρία, ο ορισμός των νηματικών κατηγοριών είναι αρκετά γενικός και αφηρημένος. Ωστόσο, η βασική διαίσθηση είναι αρκετά ξεκάθαρη όταν έχουμε κατά νου τα βασικά παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω. Υπάρχουν δύο ουσιαστικά ισοδύναμοι τεχνικoί ορισμoi των νηματικών κατηγοριών, όπου και οι δύο θα περιγραφούν παρακάτω. Όλες οι συζητήσεις σε αυτή την ενότητα αγνοούν τα σύνολο-θεωρητικά ζητήματα που σχετίζονται με τις "μεγάλες" κατηγορίες. Η συζήτηση μπορεί να γίνει εντελώς ακριβής, για παράδειγμα, περιορίζοντας την προσοχή στις μικρές κατηγορίες ή χρησιμοποιώντας σύμπαντα. Αν φ: F → E είναι ένας συναρτητής μεταξύ δύο κατηγοριών και S είναι ένα αντικείμενο του E, τότε η υποκατηγορία του F που αποτελείται από εκείνα τα αντικείμενα χ για τα οποία φ(x)=S και εκείνους τους μορφισμούς m που ικανοποιουν φ(m)=idS, καλείται η ίνα κατηγορία (ή ίνες) πάνω στο S, και συμβολίζεται FS. Οι μορφισμοί της FS ονομάζονται S-μορφισμοί, καθώς και για τα Χ, Υ αντικείμενα της FS, το σύνολο των S-μορφισμών συμβολίζεται με HomS(x,y). Η εικόνα του φ ενός αντικειμένου ή ενός μορφισμού στο F ονομάζεται προβολή του (μέσω της φ). Αν f είναι ενας μορφισμός του Ε, τότε αυτοι οι μορφισμοί του F που απεικονίζονται στο f ονομάζονται f-μορφισμοί, και το σύνολο των f-μορφισμών μεταξύ των αντικειμένων x και y στο F συμβολίζεται με Homf(x,y). Ένας συναρτητης φ: F → E ονομάζεται και E-κατηγορία, ή λέμε οτι μετατρέπει το F σε Ε-κατηγορία ή μια κατηγορία πάνω από το Ε. Ένας E-συναρτητής από μία E-κατηγορία φ: F → E σε μία Ε-κατηγορία ψ: G → E είναι ένας συναρτητής α: F → G έτσι ώστε ψ o α = φ.Οι E-κατηγορίες σχηματίζουν με φυσικό τρόπο μία 2-κατηγορία, με τους 1-μορφισμούς να είναι E-συναρτητές, και 2-μορφισμούς να είναι φυσικοί μετασχηματισμοί μεταξύ E-συναρτητών των οποίων τα συστατικά βρίσκονται σε κάποιο νήμα. Ένας μορφισμόςm: x → y στο F ονομάζεται E-καρτεσιανός (ή απλά καρτεσιανός), εφόσον πληροί την ακόλουθη προϋπόθεση: αν f: T → S είναι η προβολή του m, και αν n: z → y είναι ένας f-μορφισμός, τότε υπάρχει ακριβώς ένας T-μορφισμός a: z → x τέτοιος ώστε n = m o a.Ένας καρτεσιανός μορφισμός m: x → y ονομάζεται αντίστροφη εικόνα της προβολής της f = φ(m); το αντικείμενο x ονομάζεται αντίστροφη εικόνα του y από f. Οι καρτεσιανοί μορφισμοί μιας νηματικής κατηγορίας FS είναι ακριβώς οι ισομορφισμοί της FS. Μπορεί να υπάρχουν σε γενικές γραμμές περισσότεροι από ένα Καρτεσιανοί μορφισμοί που προβάλλουν σε ένα δοθέν μορφισμόf: T → S, ενδεχομένως έχοντας διαφορετικές πηγές, έτσι μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία αντίστροφες εικόνες ενός δοθέντος αντικειμένου y στην FS μέσω της f. Ωστόσο, είναι μια άμεση συνέπεια του ορισμού ότι δύο τέτοιες αντίστροφες εικόνες είναι ισόμορφες στην FT. Ένας E-συναρτητής μεταξύ δύο E-κατηγοριών ονομάζεται καρτεσιανός συναρτητής αν μεταφέρει καρτεσιανούς μορφισμούς σε καρτεσιανούς μορφισμούς. Καρτεσιανοί συναρτητές μεταξύ δύο E-κατηγοριών F,G σχηματίζουν μια κατηγορία CartE(F,G), με φυσικούς μετασχηματισμούς, ως μορφισμούς. Μια ειδική περίπτωση παρέχεται θεωρώντας το E ως E-κατηγορία μέσω του ταυτοτικού συναρτητή: τότε ένας καρτεσιανός συναρτητής από το Ε σε μία Ε-κατηγορία F ονομάζεται ένα καρτεσιανό τμήμα. Έτσι, ένα καρτεσιανό μέρος αποτελείται από μια επιλογή από ένα xS αντικείμενο στην xS για κάθε αντικείμενο S στην Ε, και για κάθε μορφισμό f: T → S η επιλογή μιας αντίστροφης εικόναςmf: xT → xS.Ένα καρτεσιανό τμήμα είναι επομένως ένα (αυστηρά) συμβατό σύστημα αντίστροφων εικόνων πάνω από τα αντικείμενα της Ε. Η κατηγορία των καρτεσιανών τμημάτων του F συμβολίζεται με L i m ⟵ ( F / E ) = C a r t E ( E , F ) . {\displaystyle {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)=\mathrm {Cart} _{E}(E,F).} Στη σημαντική περίπτωση όπου το Ε έχει ένα τερματικό στοιχείο e (επομένως, μεταξύ άλλων, όταν το Ε είναι ένας τόπος ή η κατηγορία E/S από βέλη με στόχο S στο Ε, τον συναρτητή ϵ : L i m ⟵ ( F / E ) → F e , s ↦ s ( e ) {\displaystyle \epsilon \colon {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)\to F_{e},\qquad s\mapsto s(e)} είναι εντελώς πιστές (Λήμμα 5.7 του Giraud (1964)) Ο τεχνικά πιο ευέλικτος και οικονομικός ορισμός των νηματικών κατηγοριών βασίζεται στην έννοια των καρτεσιανών μορφισμών. Είναι ισοδύναμο με τον ορισμό από την άποψη των διαχωρισμών,με τον τελευταίο ορισμό να είναι πραγματικότητα ο αρχικός που παρουσιάζεται στο Grothendieck (1959),ο ορισμός από την άποψη των καρτεσιανών μορφισμών εισήχθη στην Grothendieck (1974) το 1960-1961. Μια Ε κατηγορία φ: F → E είναι μια νηματική κατηγορία (ή μια νηματική E-κατηγορία, ή μια κατηγορία νηματική πάνω Ε) αν κάθε μορφισμός f του Ε του οποίου το συνόλο τιμών των οποίων είναι στην περιοχή της προβολής έχει τουλάχιστον μία αντίστροφη εικόνα, και επιπλέον η σύνθεση m o n οποιωνδήποτε δύο καρτεσιανού μορφισμών m, n του F είναι πάντα καρτεσιανό. Με άλλα λόγια, μια E-κατηγορία είναι μία νηματική κατηγορία, αν υπάρχει πάντα αντίστροφη εικόνα(για μορφισμούς οποίων τα πεδία τιμών βρίσκονται στην περιοχή της προβολής) και είναι μεταβατικές. Εάν η Ε έχει ένα τερματικό στοιχείο e και αν F είναι νηματική πάνω απο την E, τότε ο ε συναρτητής από τα καρτεσιανά τμήματα στο Fe που ορίζεται στο τέλος της προηγούμενης ενότητας είναι μια ισοδυναμία κατηγοριών και επιπλέον επιμορφισμός αντικειμένων. Αν F είναι μια νηματική E-κατηγορίας, είναι πάντα δυνατό, για κάθε μορφισμό f: T → S στο Ε και κάθε αντικείμενο y στο FS, για να επιλέξετε (χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής) ακριβώς μια αντίστροφη εικόνα m: x → y.Η κατηγορία των μορφισμών που επιλέχθηκαν έτσι ονομάζεται διάσπαση και οι επιλεγμένοι μορφισμοί ονομάζονται μορφισμοί μεταφορών (της διάσπασης). Μια νηματική κατηγορία μαζί με διάσπαση ονομάζεται διασπασμένη κατηγορία. Μια διάσπαση ονομάζεται κανονικοποιημένη αν οι μορφισμοί μεταφορών περιλαμβάνουν όλες τις ταυτότητες F,αυτό σημαίνει ότι οι αντίστροφες εικόνες των ταυτοτικών μορφισμών επιλέχθηκαν να είναι ταυτοτικοί μορφισμοί. Προφανώς, αν η διάσπαση υφίσταται, μπορεί να επιλεγεί να ομαλοποιηθεί, Θα θεωρούμε μόνο ομαλοποιημένες διασπάσεις παρακάτω. Η επιλογή μιας (κανονικοποιημένης) διάσπασης μιας νηματικής E-κατηγορία F καθορίζει, για κάθε μορφισμό f: T → S στο Ε, έναν συναρτητή f*: FS → FT: σε αντικείμενα f* είναι απλά η αντίστροφη εικόνα από την αντίστοιχη μεταφορά μορφισμού, και οι μορφισμοί αυτοί ορίζονται με φυσικό τρόπο από το να ορίζουν την καθολική ιδιότητα του καρτεσιανού μορφισμού. Η λειτουργία που συνδυάζεται με ένα αντικείμενο S του Ε η νηματική κατηγορία FS και σε ένα μορφισμό f τον αντίστροφο συναρτητή εικόνα f* είναι σχεδόν ανταλλοίωτο συναρτητή από το Ε στην κατηγορία των κατηγοριών. Ωστόσο, σε γενικές γραμμές αδυνατεί να μετατρέψει απολύτως τη σύνθεση των μορφισμών. Αντ 'αυτού, αν f: T → S καιg: U → T είναι μορφισμοί του Ε, τότε υπάρχει ισομορφισμός των συναρτητών c f , g : g ∗ f ∗ → ( f ∘ g ) ∗ . {\displaystyle c_{f,g}\colon \quad g^{*}f^{*}\to (f\circ g)^{*}.} Οι ισομορφισμοί πληρούν τις ακόλουθες δύο συμβατότητες: c f , i d T = c i d S , f = i d f ∗ {\displaystyle c_{f,\mathrm {id} _{T}}=c_{\mathrm {id} _{S},f}=\mathrm {id} _{f^{*}}} για τρεις συνεχόμενους μορφισμούς h , g , f : V → U → T → S {\displaystyle h,g,f\colon \quad V\to U\to T\to S} και το αντικείμενο x ∈ F S {\displaystyle x\in F_{S}} ισχύουν τα παρακάτω: c f , g ∘ h ⋅ c g , h ( f ∗ ( x ) ) = c f ∘ g , h ( x ) ⋅ h ∗ ( c f , g ( x ) ) . {\displaystyle c_{f,g\circ h}\cdot c_{g,h}(f^{*}(x))=c_{f\circ g,h}(x)\cdot h^{*}(c_{f,g}(x)).} Μπορεί να αποδειχθεί (βλ. Grothendieck (1971) ενότητα 8) ότι, αντιστρόφως, οποιαδήποτε συλλογή συναρτητών f*: FS → FT μαζί με ισομορφισμους cf,g που ικανοποιούν τις συμβατότητες ανωτέρω, ορίζει μια διασπασμένη κατηγορία. Αυτές οι συλλογές αντίστροφων συναρτητών εικόνας παρέχουν μια πιο διαισθητική άποψη για νηματικές κατηγορίες,kαι μάλιστα, ήταν από την άποψη αυτών των συμβατών αντίστροφων συναρτητών εικόνα νηματικών κατηγοριών που εισήχθησαν στην Grothendieck (1959). Η εργασία του Gray καθιστά τις πιο κάτω αναλογίες μεταξύ αυτών των ιδεών και την έννοια της ινώδους απεικόνισης των χώρων. Οι ιδέες αυτές απλοποιούνται στην περίπτωση των ομάδων, όπως φαίνεται στο έγγραφο της Brown που αναφέρονται κατωτέρω, το οποίο λαμβάνει μια χρήσιμη οικογένεια από ακριβείς αλληλουχίες από μία ινώδη απεικόνιση των ομάδων. Μία (κανονικοποιημένη) διάσπαση, έτσι ώστε η σύνθεση των δύο μορφισμών μεταφορών είναι πάντα ένας μορφισμός μεταφοράς ονομάζεται 'διάσπαση, και μια νηματική κατηγορία με διάσπαση ονομάζεται διασπασμένη (νηματική) κατηγορία. Από την άποψη των συναρτητών αντίστροφης εικόνας η προυπόθεση του να είναι σχησμα σημαίνει ότι η σύνθεση του αντίστροφου συναρτητή εικόνας που αντιστοιχούν σε συναρμολογούμενους μορφισμούς f,g στο Ε ισούται με τον συναρτητή της αντίστροφης εικόνας που αντιστοιχεί στην f o g. Με άλλα λόγια, οι ισομορφισμοί συμβατότητας cf,g του προηγούμενου τμήματος είναι όλα ταυτότητες για μια κατηγορία διάσπασης. Έτσι χωρίζονται οι E-κατηγορίες που αντιστοιχούν ακριβώς στον πραγματικό συναρτητή από την Ε στην κατηγορία των κατηγοριών. Σε αντίθεση με τις διασπάσεις, δεν είναι όλες οι νηματικές κατηγορίες παραδέχονται φυλλίδια. Για παράδειγμα, δείτε παρακάτω below. Κάποιος μπορεί να αναστρέψει την κατεύθυνση των βελών στους ορισμούς παραπάνω για να καταλήξουμε σε αντίστοιχες έννοιες των συν-καρτεσιανών μορφισμών, συν-νηματικών κατηγοριών και διάσπαση συν-νηματικών κατηγοριών (ή συν-διαχωρισμός των κατηγοριών). Πιο συγκεκριμένα, εάν φ: F →E είναι ένα συναρτητής, τότε ο μορφισμός m: x → y στο F ονομάζεται συν-καρτεσιανός αν είναι καρτεσιανός για τον αντίθετο συναρτητή φop: Fop → Eop. Στη συνέχεια ο m καλείται επίσης μια άμεση εικόνα και ο y μια άμεση εικόνα του x για f = φ(m). Μια συν-νηματική E-κατηγορία είναι μια Ε-κατηγορία, τέτοια ώστε να υπάρχει άμεση εικόνα για κάθε μορφισμό στο Ε και ότι η σύνθεση των άμεσων εικόνων είναι μια άμεση εικόνα. Ένας συν-διασπαστής και συν-διασπαστής ορίζονται ομοίως, που αντιστοιχεί η σύνθεση άμεσων εικόνων είναι άμεση εικόνα. Οι νηματικές κατηγορίες πάνω από ένα σταθερό έντυπο Ε κατηγορίας 2-κατηγορία Fib(E), όπου η κατηγορία των μορφισμών μεταξύ δύο νηματικών κατηγοριών F και G ορίζεται να είναι η κατηγορία του Carte (F, G) του καρτεσιανού συναρτητή από το F στο G. Παρομοίως, οι κατηγορίες διάσπαση πάνω από το έντυπο Ε 2-κατηγορία Scin (E) (από το γαλλικό catégorie scindée), όπου η κατηγορία των μορφισμών μεταξύ δύο κατηγοριών διάσπαση F και G είναι η πλήρης υποκατηγορία ScinE (F, G) των E-συναρτητών από το F στο G που αποτελείται από αυτούς τους συναρτητές που μετατρέπουν κάθε μορφισμό μεταφοράς F σε μορφισμό μεταφοράς του Γ. Κάθε τέτοιος μορφισμός της διαίρεσης κατηγορίας E-είναι επίσης ένας μορφισμός της E-νηματικής κατηγορίας, δηλαδή, ScinE(F,G) ⊂ CartE(F,G). Υπάρχει ένας φυσικός επιλήσμων 2-συναρτητής i: Scin(E) → Fib(E) που ξεχνά απλά τη διάσπαση. Ενώ δεν είναι όλες νηματικές κατηγορίες παραδέχονται μια διάσπαση, κάθε νηματική κατηγορία στην πραγματικότητα ισοδυναμεί με μια κατηγορία διάσπασης. Πράγματι, υπάρχουν δύο κανονικοί τρόποι για να κατασκευάσει μια ισοδύναμη κατηγορία διάσπαση για μια δεδομένη νηματική κατηγορία F πάνω στο Ε. Πιο συγκεκριμένα, ο επιλήσμων 2-συναρτητής i: Scin(E) → Fib(Ε) αναγνωρίζει το δικαίωμα 2-συζυγής S και αριστερά 2-συζυγής L (Θεωρήματα 2.4.2 και 2.4.4 του Giraud 1971) και S (F) και L (F) είναι οι δύο συναφείς κατηγορίες διάσπασης. Η επέκταση των συναρτητών S (F) → F και F → L (F) είναι τόσο καρτεσιανή όσο και ισοδυναμία (ibid.). Ωστόσο, ενώ η σύνθεσή τους S (F) → L (F) είναι μια ισοδυναμία (των κατηγοριών, και μάλιστα από νηματικές κατηγορίες), δεν είναι σε γενικές γραμμές ένας μορφισμός των κατηγοριών διαίρεσης. Έτσι, οι δύο κατασκευές διαφέρουν σε γενικές γραμμές. Οι δύο προηγούμενες κατασκευές των κατηγοριών διάσπαση χρησιμοποιούνται νε ένα κρίσιμο τρόπο στην κατασκευή της στοίβας που συνδέεται σε μια νηματική κατηγορία (και ειδικότερα στοίβας συνδέεται σε μία προ-στοίβα). Κατηγορίες βελών: Για κάθε κατηγορία Ε η κατηγορία βελών A(E) στο Ε έχει ως στοιχεία τους μορφισμούς στο Ε, και ως μορφισμους τα αντιμεταθετικά τετράγωνα στο E (για την ακρίβεια,ένας μορφισμός από το(f: X → T) στο (g: Y → S) που αποτελείται από μορφισμούς (a: X → Y) και (b: T → S) τέτοιους ώστε bf = ga). Ο συναρτητής που στέλνει ένα βέλος στο στόχο του μετασχηματίζει το A(E) σε E-κατηγορία,για ένα αντικείμενο S του Ε το νήμα ES είναι η κατηγορία E/S των S-αντικειμένων στο E, π.χ βέλη στο Ε με στόχο το S .Οι καρτεσιανοί μορφισμοί στο A(E) είναι ακριβώς τα καρτεσιανά τετράγωνα στο Ε, και, συνεπώς το A(E) είναι νηματικο πάνω στο E ακριβώς όταν υπάρχουν νηματικά προϊόντα στο Ε. Δέσμες ινών: Νηματικά προϊόντα υπάρχουν στην κατηγορία Πάνω τοπολογικών χώρων και έτσι από το προηγούμενο παράδειγμα το A(Πάνω) είναι νηματικό στο Πάνω. Αν Νημ είναι η πλήρης υποκατηγορία της A(Πάνω)που αποτελείται από βέλη που είναι προβολές απεικονίσεων νηματικών δεσμών, τότε η FibS είναι η κατηγορία νηματικών δεσμών στο S και Νημ που ειναι νηματικές στο Πάνω. A choice of a cleavage amounts to a choice of ordinary inverse image (or pull-back) functors for fibre bundles. Διανυσματικές Δέσμες: Με ένα τρόπο παρόμοιο με τα προηγούμενα παραδείγματα οι προβολές (p: V → S) των πραγματικών (σύνθετων) διανυσματικών δεσμών στους βασικούς τους χώρους σχηματίζουν μια κατηγορία VectR (VectC) στο Πάνω (μορφισμοι διανυσματικών δεσμών. Τροχαλίες σε τοπολογικές χώρους: Ο συναρτητής αντίστροφης εικόνας μιας τροχαλίας κάνει τις κατηγορίες Sh(S) των τροχαλιών σε τοπολογικους χώρους S σε μία (διασπασμένη) νηματική κατηγορία Sh πέρα ​​από το Πάνω. Αυτή η νηματική κατηγορία μπορεί να περιγραφεί ως την πλήρη υπο-κατηγορία A(Πάνω) που αποτελείται από Etale χώρους τροχαλιών. Όπως με τις διανυσματικές δέσμες, οι τροχαλίες ομάδων και δακτυλίων αποτελούν επίσης νηματικές κατηγορίες του Πάνω. Τροχαλίες σε τόπους: Αν E είναι ένας τόπος και το S είναι ένα αντικείμενο του Ε, η κατηγορία ES των S-αντικειμένων είναι επίσης ένας τόπος,που ερμηνεύεται ως τη κατηγορία των τροχαλιών στο S. Αν f: T → S είναι ένας μορφισμός στο E, ο συναρτητής αντίστροφης εικόνας f* μπορεί να περιγραφεί ως εξής: για μια τροχαλία F στο ES και 'ενα αντικείμενο p: U → T στο έχει κανείς f*F(U) = HomT(U},f*F) equals HomS(f o p, F) = F(U). Αυτές οι αντίστροφες εικόνες κάνει τις ES κατηγορίες σε μια διασπασμένη νηματική κατηγορία στη Ε. Αυτό μπορεί να ισχύει ιδίως για το "μεγάλο" τόπο Πάνω των τοπολογικών χώρων. Quasi-coherent τροχαλίες: Quasi-coherent sheaves: Ημί-συνεκτική τροχαλίες σχηματίζουν μια νηματική κατηγορία πάνω από την κατηγορία των συστημάτων. Αυτό είναι ένα από τα κίνητρα παραδείγματα για τον ορισμό των νηματικών κατηγοριών. Νηματική κατηγορία μη διασπώμενη: Μία ομάδα G μπορεί να θεωρηθεί ως μια κατηγορία με ένα αντικείμενο και τα στοιχεία του G ως μορφισμοί, σύνθεση μορφισμών που δίνεται από το νόμο ομάδας. Μια ομάδα ομομορφισμού f: G → H μπορεί τότε να θεωρηθεί ως συναρτητής, η οποία καθιστά την G σε μία Η-κατηγορία. Μπορεί να ελεγχθεί ότι σε αυτό το πλαίσιο όλοι οι μορφισμοί στο G είναι καρτεσιανοί,ως εκ τούτου G είναι νηματική πάνω στην H ακριβώς όταν η f είναι επί. Μια διάσπαση σε αυτό το πλαίσιο είναι ένα (συνολοθεωρητικό) τμήμα της f που πηγαινοέρχεται αυστηρά με τη σύνθεση, ή με άλλα λόγια, ένα τμήμα της f η οποία είναι επίσης ομομορφισμός. Αλλά, όπως είναι γνωστό στην θεωρία ομάδων αυτό δεν είναι πάντα δυνατό (μπορεί κανείς να λάβει την προβολή σε μία μη-διασπώμενη επέκταση ομάδας). Συν-νηματική κατηγορία τροχαλιών: Ο συναρτητής άμεσης εικόνας των τροχαλιών καθιστά τις κατηγορίες των τροχαλιών σε τοπολογικούς χώρους σε μια συν-νηματική κατηγορία. Η μεταβατικότητα της άμεσης εικόνα δείχνει ότι αυτό είναι ακόμη φυσικά συν-διασπώμενη. Κατασκευή του Grothendieck Giraud, Jean (1964). «Méthode de la descente». Mémoires de la Société Mathématique de France 2: viii+150. Giraud, Jean (1971). Cohomologie non abélienne. Springer. ISBN 3-540-05307-7 Grothendieck, Alexander (1959). «Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats». Séminaire Bourbaki 5 (Exposé 190): viii+150. Gray, John W. (1966). «Fibred and cofibred categories». Proc. Conf. Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965). Springer Verlag, pp. 21–83. Brown, R., "Fibrations of groupoids", J. Algebra 15 (1970) 103-132. Grothendieck, Alexander (1971). «Catégories fibrées et descente». Revêtements étales et groupe fondamental. Springer Verlag, pp. 145–194. Jacobs, Bart (1999). Categorical Logic and Type Theory. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 141. North Holland, Elsevier. ISBN 0-444-50170-3. Angelo Vistoli, Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory, arXiv:math.AG/0412512. Fibred Categories à la Bénabou, Thomas Streicher An introduction to fibrations, topos theory, the effective topos and modest sets, Wesley Phoa