Σφαίρα του Ρίμαν

Στα μαθηματικά, η σφαίρα του Riemann, η οποία πήρε το όνομά της από τον μαθηματικό του 19ου αιώνα Bernhard Riemann, είναι ένα μοντέλο του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή του μιγαδικού επιπέδου συμπληρωμένου με ένα σημείο στο άπειρο. Αυτό το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο απεικονίζει τους επεκτεταμένους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι οι μιγαδικοί αριθμοί μαζί με την τιμή "∞" για το άπειρο. Με το μοντέλο του Riemann, το σημείο "∞" είναι κοντά στους πολύ μεγάλους αριθμούς, όπως το σημείο "0" είναι κοντά στους πολύ μικρούς αριθμούς. Οι επεκτεταμένοι μιγαδικοί αριθμοί είναι χρήσιμοι στη μιγαδική ανάλυση, διότι επιτρέπουν σε ορισμένες περιπτώσεις τη διαίρεση με το μηδέν, έτσι ώστε να γίνονται δεκτές ως αληθείς εκφράσεις όπως 1/0 = ∞. Για παράδειγμα, κάθε ρητή συνάρτηση του μιγαδικού επιπέδου μπορεί να επεκταθεί σε μία συνεχή συνάρτηση της σφαίρας του Riemann, με τους πόλους της λογικής συνάρτησης να εντοπίζονται στο άπειρο. Γενικά, κάθε μερομορφική συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως μία συνεχής συνάρτηση της οποίας το σύνολο τιμών είναι η σφαίρα του Riemann. Στη γεωμετρία, η σφαίρα του Riemann είναι το πρωτότυπο παράδειγμα μιας επιφάνειας Riemann και είναι το απλούστερο παράδειγμα μιγαδικής πολλαπλότητας. Στην προβολική γεωμετρία, η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως η μιγαδική προβολική ευθεία P1(C), ο προβολικός χώρος όλων των μιγαδικών ευθειών στο C2. Όπως με κάθε συμπαγής επιφάνεια Riemann, η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως μία προβολική αλγεβρική καμπύλη, καθιστώντας την ως ένα θεμελιώδες παράδειγμα της αλγεβρικής γεωμετρίας. Επίσης, είναι χρήσιμη και σε άλλους κλάδους που βασίζονται στην ανάλυση και την γεωμετρία, όπως η κβαντική μηχανικη και άλλοι κλάδοι της φυσικής.

 Οι επεκτεταμένοι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούνται από τους μιγαδικούς αριθμούς C συμπληρωμένοι με το άπειρο ∞. Το σύνολο των επεκτεταμένων μιγαδικών αριθμών μπορεί να γραφεί ως C ∪ {∞} και συνήθως συμβολίζεται προσθέτοντας κάποια διακριτικά στο γράμμα C, όπως C ^ , C ¯ , or C ∞ . {\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }},\quad {\overline {\mathbf {C} }},\quad {\text{or}}\quad \mathbf {C} _{\infty }.} Γεωμετρικά, το σύνολο των επεκτεταμένων μιγαδικών αριθμών αναφέρεται στην επιφάνεια Riemann (ή στο επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο). Η πρόσθεση των μιγαδικών αριθμών μπορεί να επεκταθεί ορίζοντας, για z ∈ C, z + ∞ = ∞ {\displaystyle z+\infty =\infty } για κάθε μιγαδικό αριθμό z και ο πολλαπλασιασμός μπορεί να ορισθεί ως z ⋅ ∞ = ∞ {\displaystyle z\cdot \infty =\infty } για όλους τους μη-μηδενικούς αριθμούς z, με ∞ ⋅ ∞ = ∞. Να σημειώσουμε ότι οι πράξεις ∞ + ∞, ∞ – ∞ και 0 ⋅ ∞ δεν έχουν ορισθεί. Σε αντίθεση με τους μιγαδικούς αριθμούς, οι επεκτεταμένοι μιγαδικοί αριθμοί δεν αποτελούν σώμα, καθώς για το ∞ δεν υπάρχει αντίστροφος. Παρ' όλα αυτά, είναι σύνηθες να ορίζεται η διαίρεση στο C ∪ {∞} ως z / 0 = ∞ and z / ∞ = 0 {\displaystyle z/0=\infty \quad {\text{and}}\quad z/\infty =0} για όλους τους μη-μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς z, με ∞/0 = ∞ και 0/∞ = 0. Τα πηλίκα 0/0 και ∞/∞ δεν έχουν ορισθεί. Κάθε ρητή μιγαδική συνάρτηση f(z) = g(z)/h(z) (με άλλα λόγια, f(z) είναι ο λόγος των πολυωνυμικών συναρτήσεων g(z) και h(z) του z με μιγαδικούς συντελεστές, τέτοιοι ώστε οι g(z) και h(z) να μην έχουν κοινό παράγοντα) μπορεί να επεκταθεί σε μια συνεχή συνάρτηση στη σφαίρα του Riemann. Ειδικά, αν z 0 {\displaystyle z_{0}} είναι ένας μιγαδικός αριθμός, τέτοιος ώστε ο παρονομαστής h ( z 0 ) {\displaystyle h(z_{0})} να είναι μηδέν, αλλά ο αριθμητής g ( z 0 ) {\displaystyle g(z_{0})} να μην είναι μηδέν, τότε το f ( z 0 ) {\displaystyle f(z_{0})} μπορεί να οριστεί ως ∞. Επιπλέον, το f(∞) μπορεί να οριστεί ως το όριο της f(z) όταν z → ∞, το οποίο μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο. Το σύνολο των μιγαδικών ρητών συναρτήσεων που δεν είναι παντού μηδέν — των οποίων το μαθηματικό σύμβολο είναι C(z) — σχηματίζουν όλες τις πιθανές ολόμορφες συναρτήσεις από τη σφαίρα του Riemann στην ίδια την σφαίρα Riemann, όταν θεωρείται ως επιφάνεια Riemann, εκτός από τη σταθερή συνάρτηση που παίρνει παντού την τιμή ∞. Οι συναρτήσεις του C(z) αποτελούν ένα αλγεβρικό πεδίο, γνωστό ως το πεδίο των μιγαδικών ρητών συναρτήσεων της σφαίρας. Για παράδειγμα, δίνεται η συνάρτηση f ( z ) = 6 z 2 + 1 2 z 2 − 50 {\displaystyle f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}} μπορούμε να ορίσουμε f(5) = ∞, αφού ο παρονομαστής είναι μηδέν στο z = 5 και f(∞) = 3 αφού f(z) → 3 , καθώς z → ∞. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους ορισμούς, η f γίνεται μια συνεχής συνάρτηση από τη σφαίρα του Riemann στην ίδια τη σφαίρα Riemann. Ως μια μονοδιάστατη μιγαδική πολλαπλότητα, η σφαίρα του Riemann μπορεί να περιγραφεί με δύο χάρτες, με πεδίο το μιγαδικό επίπεδο αριθμών C. Ας είναι το z ένας μιγαδικός αριθμός σε ένα αντίγραφο του C, και το ξ να είναι ένας μιγαδικός αριθμός σε ένα άλλο αντίγραφο του C. Ταυτίζουμε κάθε μη μηδενικό μιγαδικό αριθμό z από το πρώτο C με μη μηδενικό μιγαδικό αριθμό 1/ξ από το δεύτερο C. Τότε, ο χάρτης f ( z ) = 1 z {\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}\qquad } ονομάζεται χάρτης μετάβασης μεταξύ των δύο αντιγράφων του C — οι λεγόμενοι χάρτες — που τα κρατά ενωμένα μαζί. Δεδομένου ότι οι χάρτες μετάβασης είναι ολόμορφοι, ορίζουν μια μιγαδική πολλαπλότητα, που ονομάζεται η σφαίρα του Riemann . Ως μιγαδική πολλαπλότητα με μιγαδική διάσταση 1 (δηλαδή, 2 πραγματικές διαστάσεις), που επίσης, ονομάζεται επιφάνεια Riemann . Διαισθητικά, οι χάρτες μετάβασης δείχνουν πώς ενώνονται δύο επίπεδα για να σχηματίσουν τη σφαίρα του Riemann. Τα επίπεδα ενώνονται με ένα "μέσα-έξω" τρόπο, έτσι ώστε να επικαλύπτονται σχεδόν παντού, με κάθε επίπεδο, να συμβάλλει μόνο ένα σημείο (σημείο προέλευσης) που λείπει από το άλλο επίπεδο. Με άλλα λόγια, (σχεδόν) κάθε σημείο της σφαίρας του Riemann έχει και ζ τιμή και ξ τιμή, και οι δύο τιμές έχουν σχέση ζ = 1/ξ. Το σημείο όπου ξ = 0 πρεπει να έχει ζ-τιμή "1/0", με αυτή την έννοια, η προέλευση του ξ-διαγράμματος παίζει το ρόλο του "∞" στο ζ-διάγραμμα. Αντίστοιχα, η προέλευση του ζ-διαγράμματος παίζει το ρόλο του ∞ στο ξ-διάγραμμα. Τοπολογικά, ο χώρος που προκύπτει είναι η συμπαγοποίηση ενός σημείου από ένα επίπεδο στη σφαίρα. Ωστόσο, η σφαίρα του Riemann δεν είναι απλώς μια τοπολογική σφαίρα. Είναι μια σφαίρα με μία καλά καθορισμένη μιγαδική δομή, έτσι ώστε γύρω από κάθε σημείο της σφαίρας υπάρχει μια γειτονιά που μπορεί να ταυτίζεται με το C. Από την άλλη πλευρά, το θεώρημα ομογενοποίησης, ένα κεντρικό αποτέλεσμα στην ταξινόμηση των επιφανειών Riemann, αναφέρει ότι οι μόνες απλά συνδεδεμένες μονοδιάστατες μιγαδικές πολλαπλότητες είναι το μιγαδικό επίπεδο, το υπερβολικό επίπεδο και η σφαίρα του Riemann. Από αυτά, η σφαίρα του Riemann είναι η μόνη που είναι μια κλειστή επιφάνεια (μια συμπαγής επιφάνεια χωρίς όρια). Ως εκ τούτου, η δισδιάστατη σφαίρα εισάγει μία μοναδική μιγαδική δομή που την μετατρέπει σε μια μονοδιάστατη μιγαδική πολλαπλότητα. Η σφαίρα του Riemann μπορεί επίσης να οριστεί ως μιγαδική προβολική γραμμή. Αυτή είναι το υποσύνολο του C2 που αποτελείται από όλα τα ζεύγη (α, β) των μιγαδικών αριθμών, όχι και οι δύο μηδέν, με βάση την σχέση ισοδυναμίας ( α , β ) = ( λ α , λ β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )=(\lambda \alpha ,\lambda \beta )} για όλους τους μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς λ. Το μιγαδικό επίπεδο C, με συντεταγμένη ζ, μπορεί να αντιστοιχιστεί στη μιγαδική προβολική γραμμή με ( α , β ) = ( ζ , 1 ) . {\displaystyle (\alpha ,\beta )=(\zeta ,1).} Ένα αντίγραφο του C με συντεταγμένη ξ μπορεί να αντιστοιχιστεί με ( α , β ) = ( 1 , ξ ) . {\displaystyle (\alpha ,\beta )=(1,\xi ).} Αυτοί οι δύο μιγαδικοί χάρτες καλύπτουν την προβολική γραμμή. Για μη μηδενικά ξ και ζ οι παρακάτω ισότητες ( 1 , ξ ) = ( 1 / ξ , 1 ) = ( ζ , 1 ) = ( 1 , 1 / ζ ) {\displaystyle (1,\xi )=(1/\xi ,1)=(\zeta ,1)=(1,1/\zeta )} αποδεικνύουν ότι οι μεταβατικοί χάρτες είναι ζ = 1/ξ και ξ = 1/ζ, όπως και παραπάνω. Αυτή η συμπεριφορά της σφαίρας του Riemann την συνδέει πιο εύκολα με την προβολική γεωμετρία. Για παράδειγμα, κάθε γραμμή (ή ομαλή κωνική γραμμή) στο μιγαδικό προβολικό επίπεδο είναι αμφιολόμορφη στη μιγαδική προβολική γραμμή. Είναι επίσης κατάλληλη για τη μελέτη των αυτομορφισμών της σφαίρας, αργότερα σε αυτό το άρθρο. Η σφαίρα του Riemann μπορεί να απεικονιστεί ως μία μοναδιαία σφαίρα x2 + y2 + z2 = 1 στον τρισδιάστατο χώρο των πραγματικών αριθμών R3. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε την στερεογραφική προβολή από την μοναδιαία σφαίρα μείον το σημείο (0, 0, 1) πάνω στο επίπεδο z = 0, το οποίο και ταυτίζουμε με το μιγαδικό επίπεδο με ζ = x + iy. Στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (x, y, z) και στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων στη σφαίρα ( με φ συμβολίζεται το ζενίθ και με θ το αζιμούθιο), η προβολή είναι ζ = x + i y 1 − z = cot ⁡ ( 1 2 ϕ ) e i θ . {\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}=\cot({\tfrac {1}{2}}\phi )\;e^{i\theta }.} Ομοίως, η στερεογραφική προβολή από το (0, 0, −1) πάνω στο επίπεδο z = 0, ταυτίζεται με ένα άλλο αντίγραφο του μιγαδικού επιπέδου με ξ = x − iy, το οποίο γράφεται ξ = x − i y 1 + z = tan ⁡ ( 1 2 ϕ ) e − i θ . {\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}=\tan({\tfrac {1}{2}}\phi )\;e^{-i\theta }.} Προκειμένου να καλύψουμε την μοναδιαία σφαίρα, χρειαζόμαστε δύο στερεογραφικές προβολές: η πρώτη θα καλύψει όλη την σφαίρα εκτός από το σημείο (0, 0, 1) και η δεύτερη εκτός από το σημείο (0, 0, −1). Ως εκ τούτου, απαιτούνται δύο μιγαδικά επίπεδα, ένα για κάθε προβολή, τα οποία μπορούμε να τα φανταστούμε κολλημένα το ένα με το άλλο στο z = 0. Είναι απαραίτητος ένας αντίστροφος προσανατολισμός, προκειμένου να διατηρηθεί ο σταθερός προσανατολισμός στη σφαίρα και σε συγκεκριμένη μιγαδική σύζευξη, έχοντας ως αποτέλεσμα οι χάρτες μετάβασης να γίνουν ολομορφικοί. Οι χάρτες μετάβασης μεταξύ των συντεταγμένων ζ και ξ λαμβάνονται συνθέτοντας την μία προβολή με αντιστροφή της άλλης. Οι οποίες, όπως περιγράφεται παραπάνω, καταλήγουν να είναι ζ = 1/ξ και ξ = 1/ζ. Έτσι, η μοναδιαία σφαίρα είναι ένας διαμορφισμός στη σφαίρα του Riemann. Υπό αυτόν τον διαμορφισμό, ο μοναδιαίος κύκλος στο χάρτη-ζ, ο μοναδιαίος κύκλος στο χάρτη-ξ και ο ισημερινός της μοναδιαίας σφαίρας ταυτίζονται. Ο μοναδιαίος δίσκος | ζ | < 1 ταυτίζεται με το νότιο ημισφαίριο z < 0, ενώ ο μοναδιαίος δίσκος | ξ | < 1 ταυτίζεται με το βόρειο ημισφαίριο z > 0. Μία επιφάνεια Riemann δεν είναι εφοδιασμένη με κάποιο συγκεκριμένο μετρικό χώρο. Η σύμμορφη δομή της επιφάνειας Riemann προσδιορίζει μία κλάση μετρικών χώρων: όλους εκείνους που δίνεται η δευτερεύουσα σύμμορφη δομή. Συγκεκριμένα, η μιγαδική δομή της επιφάνειας Riemann προσδιορίζει με μοναδικό τρόπο έναν μετρικό χώρο έως μία σύμμορφη ισορροπία. (Δύο μετρικοί χώροι θεωρούνται σύμμορφα ισοδύναμοι εάν διαφέρουν ως προς τον πολλαπλασιασμό με μία θετικά ομαλή συνάρτηση.) Αντιστρόφως, κάθε μετρικός χώρος πάνω σε μία προσανατολισμένη επιφάνεια προσδιορίζει με μοναδικό τρόπο μία μιγαδική επιφάνεια, η οποία εξαρτάται από τον μετρικό χώρο, μόνο μέχρι τη σύμμορφη ισορροπία. Οι μιγαδικές δομές σε μία προσανατολισμένη επιφάνεια είναι επομένως σε μία προς μία αντιστοιχία με τις σύμμορφες κλάσεις του μετρικού χώρου σε αυτήν την επιφάνεια. Σε μία δεδομένη σύμμορφη κλάση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σύμμορφη συμμετρία για να βρούμε έναν αντιπροσωπευτικό μετρικό χώρο με τις κατάλληλες ιδιότητες. Συγκεκριμένα, πάντα υπάρχει ένας πλήρης μετρικός χώρος με σταθερή καμπυλότητα στην δεδομένη σύμμορφη κλάση. Στην περίπτωση της επιφάνειας Riemann, το θεώρημα Gauss-Bonnet συνεπάγεται πως ένας σταθερής καμπυλότητας μετρικός χώρος πρέπει να έχει θετική καμπυλότητα K. Κατά συνέπεια, ο μετρικός χώρος πρέπει να είναι ισομετρικός με μία σφαίρα ακτίνας 1 / K {\displaystyle 1/{\sqrt {K}}} στον R3 μέσω στερεογραφικής προβολής. Στο χάρτη-ζ στη σφαίρα του Riemann, ο μετρικός χώρος με K = 1 δίνεται από την σχέση d s 2 = ( 2 1 + | ζ | 2 ) 2 | d ζ | 2 = 4 ( 1 + ζ ζ ¯ ) 2 d ζ d ζ ¯ . {\displaystyle ds^{2}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\bar {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\bar {\zeta }}.} Με πραγματικές συντεταγμένες ζ = u + iv, η σχέση γίνεται d s 2 = 4 ( 1 + u 2 + v 2 ) 2 ( d u 2 + d v 2 ) . {\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).} Μέχρι έναν σταθερό παράγοντα, αυτό ο μετρικός χώρος συμφωνεί με τον πρότυπο μετρικό χώρο των Fubini-Study στον μιγαδικό προβολικό χώρο ( του οποίου η σφαίρα του Riemann είναι ένα παράδειγμα). Μέχρι την κλιμάκωση, αυτός είναι ο μόνος μετρικός χώρος στη σφαίρα του οποίου οι ομάδες σταθερού προσανατολισμού είναι τρισδιάστατες (και καμία δεν είναι μεγαλύτερων διαστάσεων), αυτή η ομάδα ονομάζεται SO(3). Κατά αυτή την έννοια, αυτός είναι ο πλέον συμμετρικός μετρικός χώρος στη σφαίρα. (Η ομάδα όλων των ισομετριών, που είναι γνωστή ως Ο(3), είναι επίσης τριών διαστάσεων, αλλά σε αντίθεση με τον SO(3) δεν είναι ένας συνδεδεμένος χώρος). Αντιστρόφως, έστω ότι S δηλώνει την σφαίρα (συνοπτικά ως ομαλή ή τοπολογική πολλαπλότητα). Με το θεώρημα ομογενοποίησης υπάρχει μία μοναδική μιγαδική δομή πάνω στην S, μέχρι τη σύμμορφη ισορροπία. Κατά συνέπεια, κάθε μετρικός χώρος πάνω στην S είναι σύμμορφα ισοδύναμος με τον κυκλικό μετρικό χώρο. Όλοι αυτοί οι μετρικοί χώροι ορίζουν την ίδια σύμμορφη γεωμετρία. Επομένως, ο κυκλικός μετρικός χώρος δεν είναι εγγενείς με την σφαίρα του Riemann, καθώς η καμπυλότητα δεν είναι αμετάβλητη στην σύμμορφη γεωμετρία. Η σφαίρα του Riemann είναι μόνο μία σύμμορφη πολλαπλότητα και όχι μία πολλαπλότητα Riemann. Ωστόσο, εάν είναι απαραίτητο να εργαστούμε με την γεωμετρία του Riemann πάνω στην σφαίρα του Riemann, ο κυκλικός μετρικός χώρος είναι η κύρια επιλογή (με οποιαδήποτε σταθερή ακτίνα, αν και ακτίνα = 1 είναι η απλούστερη και η πιο συνηθισμένη επιλογή). Αυτό συμβαίνει διότι μόνο ο κυκλικός μετρικός χώρος στη σφαίρα του Riemann έχει ισομετρικές ομάδες που είναι τριών διαστάσεων. (Δηλαδή, η ομάδα που είναι γνωστή ως SO(3), μία συνεχής κατά Lie ομάδα, η οποία τοπολογικά είναι ένας τρισδιάστατος προβολικός χώρος P3.) Η μελέτη του κάθε μαθηματικού αντικειμένου υποστηρίζεται από την κατανόηση των αυτομορφισμών της ομάδας που ανήκει, δηλαδή τους χάρτες από το αντικείμενο στον εαυτό του, που διατηρούν την απαραίτητη δομή του αντικειμένου. Στην περίπτωση της σφαίρας του Riemann, ένας αυτομορφισμός είναι ένας αντιστρέψιμος αμφιολόμορφος χάρτης από τη σφαίρα του Riemann στον εαυτό της. Αποδεικνύεται ότι, οι μοναδικοί τέτοιοι χάρτες είναι οι μετασχηματισμοί Möbius. Αυτές είναι συναρτήσεις της μορφής f ( ζ ) = a ζ + b c ζ + d , {\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},} όπου a, b, c, και d είναι μιγαδικοί αριθμοί, όπου a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq {}0} . Παραδείγματα μετασχηματισμών Möbius περιλαμβάνουν διαστολές, περιστροφές, μεταφράσεις και μιγαδικές αναστροφές. Στην πραγματικότητα, κάθε μετασχηματισμός Möbius μπορεί να γραφτεί ως μια σύνθεση αυτών. Οι μετασχηματισμοί Möbius μπορούν να θεωρηθούν ως μετασχηματισμοί στη μιγαδική προβολική γραμμή. Σε προβολικές συντεταγμένες, ο μετασχηματισμός f' μπορεί να γραφτεί f ( α , β ) = ( a α + b β , c α + d β ) = ( α β ) ( a c b d ) . {\displaystyle f(\alpha ,\beta )=(a\alpha +b\beta ,c\alpha +d\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}.} Έτσι, οι μετασχηματισμοί Möbius μπορούν να περιγραφούν ως 2 × 2 μιγαδικοί πίνακες με μη μηδενική ορίζουσα. Δύο πίνακες αποδίδουν τον ίδιο μετασχηματισμό Möbius, αν και μόνο αν διαφέρουν από ένα μη μηδενικό συντελεστή. Έτσι, οι μετασχηματισμοί Möbius αντιστοιχούν ακριβώς στους προβολικούς γραμμικούς μετασχηματισμούς PGL(2, C). Αν κάποιος εφοδιάσει τη σφαιρα του Riemann με τη Fubini–Study μετρική, τότε δεν είναι όλοι οι μετασχηματισμοί Möbius ισομετρίες. Για παράδειγμα, οι διαστολές και μεταφράσεις δεν είναι. Οι ισομετρίες σχηματίζουν κατάλληλη υποομάδα PGL(2, C), που την ονομάζουμε PSU(2). Η υποομάδα αυτή είναι ισομορφική προς την περιστροφική ομάδα SO(3), η οποία είναι η ομάδα συμμετριών της μοναδιαίας σφαίρας R3 (η οποία, όταν περιορίζεται στη σφαίρα, καταλήγει στις ισομετρίες της σφαίρας). Στην μιγαδική ανάλυση, μία μερόμορφη συνάρτηση στο μιγαδικό επίπεδο (ή σε οποιαδήποτε επιφάνεια Riemann) είναι μια αναλογία f/g δύο ολόμορφων συναρτήσεων f και g. Ως χάρτης των μιγαδικών αριθμών, είναι απροσδιόριστο, που η g είναι μηδέν. Ωστόσο, δημιουργεί έναν ολόμορφο χάρτη (f, g) στη μιγαδική προβολική γραμμή που είναι καλά ορισμένος ακόμη και εκεί όπου g = 0. Αυτή η κατασκευή είναι χρήσιμη στη μελέτη των ολόμορφων και μερόμορφων συναρτήσεων. Για παράδειγμα, σε μια συμπαγή επιφάνεια Riemann δεν υπάρχουν μη-σταθεροί ολόμορφοι χάρτες των μιγαδικών αριθμών, αλλά οι ολόμορφοι χάρτες για τη μιγαδική προβολική γραμμή είναι άφθονοι. Η σφαίρα του Riemann έχει πολλές εφαρμογές στη φυσική. Στην κβαντική μηχανική, τα σημεία στην προβολική μιγαδική γραμμή είναι οι φυσικές τιμές των καταστάσεων πόλωσης των φωτονίων, οι καταστάσεις σπιν υποατομικών σωματιδιακών μαζών με σπιν 1/2 και γενικά υποατομικών σωματιδίων δύο καταστάσεων (βλέπε κβαντικό bit ή Qubit). Η σφαίρα του Riemann έχει προταθεί ως ένα σχετικιστικό μοντέλο της ουράνιας σφαίρας. Στη θεωρία χορδών τα κοσμικά σεντόνια των χορδών είναι επιφάνειες Riemann και η σφαίρα του Riemann είναι η απλούστερη επιφάνεια Riemann που παίζει ένα σημαντικό ρόλο. Είναι επίσης σημαντική στη θεωρία συστροφής.