Συμμετρία (γεωμετρία)

Ένα γεωμετρικό αντικείμενο έχει συμμετρία , αν υπάρχει ένας μετασχηματισμός (τεχνικά, μια ισομετρία ή συσχετισμένη απεικόνιση ) που αντιστοιχεί το σχήμα/αντικείμενο στον εαυτό του, δηλαδή, λέμε ότι το αντικείμενο μένει αναλλοίωτο κατά το μετασχηματισμό. Για παράδειγμα, ένας κύκλος που έχει περιστραφεί γύρω από το κέντρο του θα έχει το ίδιο σχήμα και μέγεθος με τον αρχικό κύκλο—όλα τα σημεία πριν και μετά το μετασχηματισμό θα είναι μη διακριτά. Ένας κύκλος είναι συμμετρικός κατά την περιστροφή ή περιστροφικά συμμετρικός. Αν η ισομετρία είναι η ανάκλαση ενός γεωμετρικού σχήματος, το σχήμα λέμε ότι έχει ανακλαστική συμμετρία ή γραμμική συμμετρία.Επιπλέον, είναι δυνατόν το σχήμα/αντικείμενο να έχει πάνω από μία γραμμές συμμετρίας .Οι τύποι των συμμετριών που είναι εφικτοί για ένα γεωμετρικό αντικείμενο εξαρτώνται από το σύνολο των γεωμετρικών μετασχηματισμών που είναι δυνατοί, και για το ποιές είναι οι ιδιότητες του αντικειμένου που θα πρέπει να παραμείνουν αμετάβλητες μετά από ένα μετασχηματισμό. Επειδή η σύνθεση δύο μετασχηματισμών είναι και αυτή ένας μετασχηματισμός και κάθε μετασχηματισμός έχει έναν αντίστροφο μετασχηματισμό που τον αναιρεί, το σύνολο των μετασχηματισμών υπό τις οποίες ένα αντικείμενο είναι συμμετρικό συνθέτουν μια μαθηματική ομάδα.

 Η πιο κοινή ομάδα μετασχηματισμών που εφαρμόζεται σε αντικείμενα ονομάζεται Ευκλείδεια ομάδα των "ισομετριών", οι οποίες διατηρώντας την απόσταση των μετασχηματισμών στο χώρο, συνήθως αναφέρονται ως δισδιάστατες ή τρισδιάστατες (δηλαδή, στην επίπεδη γεωμετρία ή στερεά γεωμετρία των Ευκλείδειων χώρων). Αυτές οι ισομετρίες αποτελούνται από ανακλάσεις, περιστροφές, μετασχηματισμούς και συνδυασμούς αυτών των βασικών λειτουργιών. Κατά έναν ισομετρικό μετασχηματισμό, ένα γεωμετρικό αντικείμενο είναι συμμετρικό αν, μετά το μετασχηματισμό, το αντικείμενο είναι μη διακριτό από το αντικείμενο πριν από τη μετατροπή. Ένα γεωμετρικό αντικείμενο είναι συνήθως συμμετρικό μόνο μέσα σε ένα υποσύνολο ή "υποομάδα" όλων των ισομετριών. Τα είδη των ισομετρικών υποομάδων περιγράφονται παρακάτω, ακολουθούμενα και από άλλα είδη ματασχηματισμένων ομάδων και από είδη αντικειμένων δεδομένου ότι είναι εφικτά στη γεωμετρία. Ο υπερβολικός χώρος έχει έναν άλλο μετασχηματισμό, που ονομάζεται ράβδωση ή παραβολικός μετασχηματισμός,παίρνοντας το όνομά του από το γεωλογικό όρο ράβδωση για παράλληλες αυλακώσεις, και είναι παρόμοια με μια Ευκλείδεια περιστροφή, εκτός από το κέντρο της περιστροφής το οποίο στο ιδανικό όριο τείνει στο άπειρο . Δύο παράγωγες ανακλάσεις της ράβδωσης δημιουργούν απείρως πολλά εικονικά αντίγραφα που ακολουθούν έναν ωροκύκλο. Ανακλαστική συμμετρία, κατοπτρική συμμετρία,συμμετρία ειδώλου, ή αμφίπλευρη συμμετρία είναι η συμμετρία που σχετίζεται με ανάκλαση.Όταν έχουμε μία διάσταση, υπάρχει ένα σημείο συμμετρίας για το οποίο η ανάκλαση είναι εφικτή. Σε δύο διαστάσεις, υπάρχει ένας άξονας συμμετρίας, και σε τρεις διαστάσεις υπάρχει επίπεδο συμμετρίας . Ένα αντικείμενο ή σχήμα το οποίο είναι μη διακριτό από την μετασχηματισμένη εικόνα ονομάζεται κατοπτρικά συμμετρικό (βλ. κατοπτρικό είδωλο). Ο άξονας συμμετρίας μιας εικόνας δυο διαστάσεων είναι μια γραμμή τέτοια ώστε αν κατασκευαστεί μία κάθετη, για οποιαδήποτε δύο σημεία τα οποία βρίσκονται πάνω στην κάθετη σε ίσες αποστάσεις από τον άξονα συμμετρίας του είναι ίδια. Ένας άλλος τρόπος για να το σκεφτεί κανείς είναι ότι αν η μορφή ήταν να διπλωθεί στη μέση κατά τον άξονα, τα δύο μισά θα ήταν ταυτόσημα: το ένα μισό είναι καθρέφτης του άλλου. Έτσι, ένα τετράγωνο έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας, επειδή υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί τρόποι για να διπλωθεί και όλα τα άκρα να ταιριάζουν. Ένας κύκλος έχει απείρως πολλούς άξονες συμμετρίας που διέρχονται από το κέντρο του, για τον ίδιο λόγο.Αν το γράμμα T ανακλάται κατά μήκος ενός κάθετου άξονα, εμφανίζεται το ίδιο. Αυτό μερικές φορές ονομάζεται κατακόρυφη συμμετρία. Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει καλύτερα μια ξεκάθαρη διατύπωση, π. χ., "το T έχει ένα κατακόρυφο άξονα συμμετρίας" ή "το T έχει αμφίπλευρη συμμετρία". Τα τρίγωνα με ανακλαστική συμμετρία είναι ισοσκελή, τα τετράπλευρα με την ίδια συμμετρία είναι οι χαρταετοί και τα ισοσκελή τραπέζια.Για κάθε γραμμή ή επίπεδο αντανάκλασης, η συμμετρική ομάδα είναι ισομορφική κατά Cs (βλέπε ομάδες σημείων στις τρεις διαστάσεις), ένας από τους τρεις τύπους της τάξης δυο (ενελίξεις), με αποτέλεσμα να είναι αλγεβρικά ισομορφική στο C2.Το θεμελιώδες πεδίο ορισμού είναι ένα ημιεπίπεδο ή ένας ημιχώρος . Η ανακλαστική συμμετρία μπορεί να γενικευτεί σε άλλες ισομετρίες του m-διάστατου χώρου που είναι ενελίξεις, όπως (x1, ..., xm) ↦ (−x1, ..., −xk, xk+1, ..., xm)σε ένα συγκεκριμένο σύστημα των Καρτεσιανών συντεταγμένων. Αυτό ανακλά το χώρο κατά μήκος ενός (m−k)-διάστατου αφφινικού υποχώρου. Αν k = m, τότε ένας τέτοιος μετασχηματισμός είναι γνωστός ως σημειακή ανάκλαση. Πάνω στο επίπεδο (m = 2) μία σημειακή ανάκλαση είναι το ίδιο με μία μισή περιστροφή (180°), δες παρακάτω. Αντιποδική συμμετρία είναι μία εναλλακτική ονομασία για μία σημειακή ανακλαστική συμμετρία δια μέσου της αρχής.Μία τέτοια "ανάκλαση" διατηρεί τον προσανατολισμό αν και μόνο εάν ο k είναι άρτιος αριθμός . Αυτό συνεπάγεται ότι για m = 3 (όπως επίσης και για κάθε περιττό m) μία σημειακή ανάκλαση αλλάζει τον προσανατολισμό του χώρου, όπως μία συμμετρία ειδώλου. Για το λόγο αυτό στη φυσική ο όρος P-συμμετρία χρησιμοποιείται και για σημειακή ανάκλαση αλλά και για κατοπτρική συμμετρία (P σημαίνει ισοτιμία από την αγγλική λέξη parity). Καθώς η ανάκλαση ενός σημείου στις τρεις διαστάσεις αλλάζει ένα αριστερόστροφο σύστημα συντεταγμένων σε δεξιόστροφο,η συμμετρία της ανάκλασης ενός σημείου λέγεται και αμφίπλευρη συμμετρία. Περιστροφική συμμετρία είναι η συμμετρία εν σχέση με ορισμένες ή όλες τις περιστροφές στον m-διάστατο Ευκλείδειο χώρο. Οι περιστροφές είναι άμεσες ισομετρίες, δηλαδή, ισομετρίες που διατηρούν τον προσανατολισμό. Ως εκ τούτου, μια συμμετρική ομάδα της περιστροφικής συμμετρίας είναι μια υποομάδα της ειδικής Ευκλείδειας ομάδας Ε+(m). Η συμμετρία σε σχέση με όλες τις περιστροφές γύρω από όλα τα σημεία υπονοεί μεταφορική συμμετρία εν σχέση με όλες τις μεταφορές (επειδή οι μεταφορές είναι συνθέσεις περιστροφών γύρω από διακριτά σημεία), και η συμμετρική ομάδα είναι όλο το σύνολο E+(m). Αυτό δεν ισχύει για τα αντικείμενα, διότι καθιστά το χώρο ομοιογενή, αλλά μπορεί να ισχύει για φυσικούς νόμους. Για συμμετρία ως προς τις περιστροφές γύρω από ένα σημείο μπορούμε να πάρουμε αυτό το σημείο ως σημείο αρχής. Αυτές οι περιστροφές αποτελούν την ειδική ορθογώνια ομάδα SO(m), η οποία μπορεί να αναπαρασταθεί από την ομάδα των m × m ορθογώνιων πινάκων με ορίζουσα 1. Για m = 3 έχουμε την περιστροφική ομάδα SO(3) (τρισδιάστατη περιστροφική ομάδα) .Σε μια άλλη έννοια της λέξης, η περιστροφική ομάδα του αντικειμένου είναι η συμμετρική ομάδα εντός του E+(m), η ομάδα των άκαμπτων κινήσεων με άλλα λόγια είναι η τομή της πλήρους συμμετρικής ομάδας και της ομάδας των άκαμπτων κινήσεων. Για χειρόμορφα αντικείμενα είναι το ίδιο με την πλήρη συμμετρική ομάδα. Οι νόμοι της φυσικής είναι SO(3)-αμετάβλητες, αν δεν προσδιορίζουν διαφορετικές κατευθύνσεις στο χώρο. Από το θεώρημα της Noether, η περιστροφική συμμετρία ενός φυσικού συστήματος είναι ισοδύναμη με την αρχή διατήρησης της στροφορμής . Βλέπε, επίσης, περιστροφική σταθερότητα. Η μεταφορική συμμετρία αφήνει ένα αντικείμενο αναλλοίωτο κατά την διακριτή ή συνεχή ομάδα μεταφορών T a ( p ) = p + a {\displaystyle \scriptstyle T_{a}(p)\;=\;p\,+\,a} . Η εικόνα στα δεξιά δείχνει τέσσερα ίσα τρίγωνα που δημιουργούνται από τις μεταφορές κατά μήκος του βέλους. Αν η γραμμή των τριγώνων επεκταθεί στο άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις, θα έχουν μία διακριτή μεταφορική συμμετρία: κάθε μεταφορά που αντιστοιχίζει ένα τρίγωνο σε ένα άλλο θα αφήσει όλη τη γραμμή αμετάβλητη. Σε 2D (δυο διαστάσεις), ολισθαίνουσα ανακλαστική συμμετρία (σε 3D ονομάζεται συμμετρικό επίπεδο ολίσθησης, και transflection σε γενικές γραμμές) σημαίνει ότι μια ανάκλαση σε γραμμή ή επίπεδο συνδιασμένη με μία μεταφορά κατά μήκος της γραμμής / του επιπέδου, καταλήγει στο ίδιο αντικείμενο. Η σύνθεση των δύο ολισθαινουσών ανακλάσεων έχει σαν αποτέλεσμα μια μεταφορική συμμετρία με διπλάσιο μεταφορικό διάνυσμα. Η συμμετρική ομάδα που περιλαμβάνει τις ολισθαίνουσες ανακλάσεις και τις σχετικές μεταφορές, είναι η διαζωματική ομάδα p11g και είναι ισομορφική στην άπειρη κυκλική ομάδα Z. Σε 3D, μία περιστροφική ανάκλαση ή μη κανονική περιστροφή είναι η περιστροφή γύρω από ένα άξονα σε συνδιασμό με ανάκλαση σε επίπεδο κάθετο στον άξονα αυτό. Οι συμμετρικές ομάδες οι οποίες έχουν σχέση με την περιστροφική ανάκλαση περιλαμβάνουν: αν η γωνία περιστροφής δεν έχει κανένα κοινό διαιρέτη με τις 360°, τότε η συμμετρική ομάδα δεν είναι διακριτή αν η περιστροφική ανάκλαση έχει περιστροφική γωνία αναδίπλωσης 2n (δηλαδή γωνία της τάξεως 180°/n), η συμμετρική ομάδα είναι S2n της τάξεως 2n (δεν πρέπει να συγχέεται με τις συμμετρικές ομάδες για τις οποίες χρησιμοποιήθηκε ο ίδιος συμβολισμός: η αφηρημένη ομάδα είναι C2n).Μία ειδική περίπτωση είναι όταν n = 1, μια αναστροφή,διότι δεν εξαρτάται από τον άξονα και το επίπεδο, εξαρτάται μόνο από το σημείο της αναστροφής. η ομάδα Cnh (δηλαδή γωνία τάξεως 360°/n); για περιττά n δημιουργείται από μία απλή συμμετρία, ενώ η αφηρημένη ομάδα που είναι C2n, για άρτια n δεν είναι μια βασική συμμετρία αλλά ένας συνδυασμός. Σε τρισδιάστατη γεωμετρία και πιο ψηλά, ένας κοχλιωτός άξονας (ή η περιστροφική μεταφορά) είναι ένας συνδυασμός από μια περιστροφή και μεταφορά κατά μήκος του άξονα περιστροφής του.Ελικοειδής συμμετρία είναι το είδος της συμμετρίας που συναντάται σε τέτοιου είδους αντικείμενα καθημερινής χρήσης, όπως τα ελατήρια, τα παιχνίδια κρυψίνοι, τα τρυπάνια και τα γεωτρύπανα. Η έννοια της ελικοειδούς συμμετρίας μπορεί να απεικονιστεί ως η ανίχνευση στον τρισδιάστατο χώρο που προκύπτει από την περιστροφή ενός αντικειμένου με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ενώ ταυτόχρονα μεταφέρεται σε σταθερή γραμμική ταχύτητα κατά μήκος του άξονα περιστροφής του. Σε οποιοδήποτε σημείο στο χρόνο, οι δύο αυτές κινήσεις συνδυάζονται για να δώσουν μία γωνία συσεπείρωσης που βοηθά να οριστούν οι ιδιότητες του εντοπισμένου έλικα. Όταν το ανιχνεύσιμο αντικείμενο περιστρέφεται γρήγορα και μεταφέρεται σιγά-σιγά, η γωνία συσπείρωσης θα βρίσκεστε κοντά σε 0°. Αντίθετα, αν η περιστροφή είναι αργή και η μεταφορά είναι ταχεία, η γωνία συσπείρωσης θα προσεγγίσει 90°. Τρεις κύριες κατηγορίες της ελικοειδούς συμμετρίας μπορούν να διακριθούν με βάση την αλληλεπίδραση της γωνίας συσπείρωσης και των μεταφορικών συμμετριών κατά μήκος του άξονα: Άπειρη ελικοειδής συμμετρία: Αν δεν υπάρχουν διακριτικά χαρακτηριστικά κατά μήκος ενός έλικα ή ενός ελικοειδούς αντικειμένου, το αντικείμενο θα έχει άπειρη συμμετρία όπως αυτή του κύκλου, αλλά με την πρόσθετη απαίτηση για μεταφορά κατά μήκος του επιμήκη άξονα του αντικειμένου για να επιστρέψει στην αρχική του εμφάνιση. Ένα ελικοειδές αντικείμενο είναι αυτό που έχει σε κάθε σημείο την κανονική γωνία συσπείρωσης της έλικας, αλλά που μπορεί επίσης να έχει μια διατομή από επ ' αόριστη υψηλή πολυπλοκότητα, μόνο με την προϋπόθεση ότι η ίδια ακριβώς διατομή υπάρχει (συνήθως μετά από μια περιστροφή) σε κάθε σημείο κατά το μήκος του αντικειμένου. Απλά παραδείγματα περιλαμβάνουν ομοιόμορφα ελικοειδή ελατήρια, τα παιχνίδια κρυψίνοι, τα τρυπάνια και τα γεωτρύπανα. Πιο συγκεκριμένα, αναφέρεται ότι ένα αντικείμενο έχει άπειρες ελικοειδείς συμμετρίες αν για κάθε μικρή περιστροφή του αντικειμένου γύρω από τον κεντρικό άξονα υπάρχει ένα σημείο πολύ κοντά(η μεταφορά της απόστασης) σε αυτό τον άξονα κατά την οποία το αντικείμενο θα εμφανιστεί ακριβώς όπως πριν. Είναι αυτή η άπειρη ελικοειδής συμμετρία που προκαλεί την περίεργη ψευδαίσθηση της κίνησης κατά μήκος του μήκους του κοχλία ή της μύτης από το τρυπάνι που περιστρέφεται. Παρέχει, επίσης, τη μηχανική χρήσιμη ικανότητα αυτών των συσκευών να μετακινεί τα υλικά μαζί με το μήκος τους, με την προϋπόθεση ότι βρίσκονται σε συνδυασμό με μια δύναμη όπως η βαρύτητα ή η τριβή που επιτρέπει τα υλικά να αντισταθούν στο απλά να περιστρέφονται μαζί με το τρυπάνι ή το γεωτρύπανο. n-πτυχή ελικοειδής συμμετρία: Αν η απαίτηση ότι κάθε διατομή του ελικοειδούς αντικειμένου πρέπει να είναι πανομοιότυπη είναι χαλαρή, γίνεται δυνατή η ύπαρξη επιπλέον μικρότερων ελικοειδών συμμετριών. Για παράδειγμα, η διατομή του ελικοειδούς αντικειμένου μπορεί να αλλάξει, αλλά εξακολουθεί να επαναλαμβάνεται σε τακτικά διαστήματα κατά μήκος του άξονα του ελικοειδούς αντικειμένου. Κατά συνέπεια, τα αντικείμενα αυτού του τύπου θα παρουσιάζουν μια συμμετρία μετά από μια περιστροφή από κάποια σταθερή γωνία θ και μεταφορά από κάποια σταθερή απόσταση, αλλά δεν θα είναι, γενικά αμετάβλητη για οποιαδήποτε γωνία περιστροφής. Αν η γωνία (περιστροφή) στην οποία η συμμετρία παρουσιάζεται διαιρείται ομοιόμορφα σε ένα πλήρη κύκλο (360°), το αποτέλεσμα είναι ελικοειδές ισοδύναμο με ένα κανονικό πολύγωνο. Αυτή η περίπτωση ονομάζεται n-πτυχές ελικοειδής συμμετρία, όπου n = 360°, για παράδειγμα, μια διπλή έλικα. Αυτή η έννοια μπορεί να γενικευτεί περαιτέρω για να περιλαμβάνει περιπτώσεις όπου m θ {\displaystyle \scriptstyle m\theta } είναι ένα πολλαπλάσιο των 360° – δηλαδή, ο κύκλος τελικά επαναλαμβάνεται, αλλά μόνο μετά από μια πλήρη περιστροφή του ελικοειδούς αντικειμένου. Μη επαναληπτική ελικοειδής συμμετρία: Αυτή είναι η περίπτωση κατά την οποία η γωνία περιστροφής θ που είναι απαραίτητη για να τηρεί τη συμμετρία είναι άρρητη. Η γωνία περιστροφής ποτέ δεν επαναλαμβάνεται ακριβώς ασχέτως πόσες φορές η έλικα περιστρέφεται. Τέτοιες συμμετρίες δημιουργούνται χρησιμοποιώντας μια μη-επαναλαμβανόμενη ομάδα σημείων σε δυο διαστάσεις. DNA, με περίπου 10.5ζεύγη βάσεων ανά στροφή, είναι ένα παράδειγμα αυτού του τύπου της μη επαναληπτικής ελικοειδούς συμμετρίας. Σε 4D, μια διπλή περιστροφική συμμετρία μπορεί να παραχθεί ως σύνθετο από δύο ορθογώνιες περιστροφές. Είναι παρόμοιο με τον 3D κοχλιωτό άξονα, που είναι το σύνθετο της περιστροφής και μιας ορθογώνιας μεταφοράς. Ένας ευρύτερος ορισμός της γεωμετρικής συμμετρίας επιτρέπει λειτουργίες από μια μεγαλύτερη ομάδα από την Ευκλείδεια ομάδα ισομετριών. Παραδείγματα μεγαλύτερων γεωμετρικών συμμετρικών ομάδων είναι: Η ομάδα των μετασχηματισμοί ομοιότητας; δηλαδή, αφινικοί μετασχηματισμοί που αντιπροσωπεύονται από έναν πίνακα Α που είναι ένα βαθμωτό μέγεθος επί έναν ορθογώνιο πίνακα. Έτσι προστίθεται η ομοιοθεσία, η αυτο-ομοιότητα θεωρείται συμμετρία. Η ομάδα των αφινικών μετασχηματισμών που αντιπροσωπεύεται από έναν πίνακα A με ορίζουσα 1 ή -1, δηλαδή, τους μετασχηματισμούς που διατηρούν το χώρο.Αυτό προσθέτει, π. χ., πλάγια αντανακλαστική συμμετρία. Η ομάδα όλων των επί αφινικών μετασχηματισμών. Η ομάδα των μετασχηματισμών Möbius που διατηρούν μη αρμονικούς λόγους. Αυτό προσθέτει, π. χ., αντίστροφες αντανακλάσεις όπως αντανάκλαση κύκλου στο επίπεδο.Στο πρόγραμμα Felix Klein's Erlangen, κάθε δυνατή ομάδα συμμετριών ορίζει μια γεωμετρία, στην οποία αντικείμενα που σχετίζονται με ένα μέλος της συμμετρικής ομάδας θεωρείται ισοδύναμη. Για παράδειγμα, η Ευκλείδεια ομάδα καθορίζει την Ευκλείδεια γεωμετρία, ενώ η ομάδα των μετασχηματισμών Möbius ορίζει την προβολική γεωμετρία. Κλιμακωτή συμμετρία σημαίνει ότι εάν ένα αντικείμενο επεκταθεί ή μειωθεί σε μέγεθος, το νέο αντικείμενο έχει τις ίδιες ιδιότητες με το πρωτότυπο. Αυτό δεν ισχύει για τα περισσότερα φυσικά συστήματα, όπως μαρτυρά η διαφορά στη μορφή των ποδιών ενός ελέφαντα και ενός ποντικού (η λεγόμενη αλλομετρική κλιμάκωση). Ομοίως, αν ένα μαλακό κερί ήταν διευρυμένο με το μέγεθος ενός ψηλού δέντρου, θα κατέρρεε αμέσως κάτω από το βάρος του. Μια πιο λεπτή μορφή της κλιμακωτής συμμετρίας αποδεικνύεται από μορφοκλάσματα (ή αλλιώς μορφοκλαστικά σύνολα). Όπως σχεδιάστηκε από τον Benoît Mandelbrot, μορφοκλάσματα είναι μια μαθηματική έννοια στην οποία η δομή μιας σύνθετης μορφής μοιάζει όμοια σε οποιοδήποτε βαθμό μεγέθυνσης, καθώς παρατηρείται στο σύνολο Mandelbrot. Μια ακτή είναι ένα παράδειγμα ενός αυτοφυούς μορφοκλάσματος, δεδομένου ότι διατηρεί όμοια-εμφανιζόμενη πολυπλοκότητα σε κάθε επίπεδο από την οπτική γωνία ενός δορυφόρου σε μικροσκοπική εξέταση του πώς το νερό απορροφάται ενάντια μεμονωμένων κόκκων άμμου. Η διακλάδωση των δέντρων, το οποίο δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά να χρησιμοποιούν μικρά κλαδιά για στήριγμα για πλήρη δέντρα σε διοράματα, είναι ένα άλλο παράδειγμα. Επειδή τα μορφοκλάσματα μπορούν να δημιουργήσουν την εμφάνιση των μοτίβων στη φύση, έχουν μια ομορφιά και οικειότητα που δεν βλέπουμε συνήθως με μαθηματικά δημιουργημένες συναρτήσεις. Τα μορφοκλάσματα έχουν επίσης βρει μια θέση στα κινηματογραφικά εφέ που εφέ μέσω του υπολογιστή, όπου η ικανότητά τους να δημιουργούν σύνθετες καμπύλες με φράκταλ συμμετρίες δίνει αποτέλεσμα σε πιο ρεαλιστικούς εικονικούς κόσμους. Με κάθε γεωμετρία, ο Felix Klein σχέτισε μια υποκείμενη ομάδα συμμετριών. Η ιεραρχία των γεωμετριών αναπαρίσταται έτσι μαθηματικά ως μια ιεραρχία αυτών των ομάδων, και η ιεραρχία των αναλλοίωτων τους. Για παράδειγμα, τα μήκη, οι γωνίες και οι περιοχές που τηρούνται σε σχέση με την ομάδα του Ευκλείδη από συμμετρίες, ενώ μόνο η περιστατική δομή και μη αρμονική αναλογία διατηρούνται κάτω από τους πιο γενικούς προβολικούς μετασχηματισμούς. Η έννοια της παραλληλίας, η οποία τηρείται στηναφινική γεωμετρία, δεν έχει νόημα στην προβολική γεωμετρία. Στη συνέχεια, αφαιρώντας τις υποκείμενες ομάδες συμμετριών από τις γεωμετρίες, οι σχέσεις μεταξύ τους μπορεί να αποκατασταθεί σε επίπεδο ομάδας. Δεδομένου ότι η ομάδα της αφινικής γεωμετρίας είναι μιαυποομάδα της ομάδας της προβολικής γεωμετρίας, κάθε αμετάβλητη έννοια στην προβολική γεωμετρία είναι είναι εκ των προτέρων βαρυσήμαντη στην αφινική γεωμετρία: αλλά όχι το αντίστροφο. Αν προσθέσετε απαιτούμενες συμμετρίες, έχετε μια πιο ισχυρή θεωρία, αλλά λιγότερες έννοιες και θεωρήματα (τα οποία θα είναι βαθύτερα και πιο γενικά). Ο William Thurston εισήγαγε μια παρόμοια εκδοχή των συμμετριών στη γεωμετρία. Η γεωμετρία μοντέλων είναι μιααπλά συνδεδεμένη ομαλή πολλαπλότητα X μαζί με μια μεταβατική δράση μιας ομάδας Lie G στο Χ με συμπαγή σταθεροποιητές. Η ομάδα Lie μπορεί να θεωρηθεί ως η ομάδα των συμμετριών της γεωμετρίας. Η γεωμετρία των μοντέλων ονομάζεται μέγιστη αν G είναι μέγιστη μεταξύ των ομάδων που ενεργούν ομαλά και μεταβατικά στο Χ με συμπαγείς σταθεροποιητές, δηλαδή αν είναι η μέγιστη ομάδα των συμμετριών. Μερικές φορές ο όρος αυτός περιλαμβάνεται στον ορισμό της γεωμετρίας των μοντέλων. Μια γεωμετρική δομή σε μια πολλαπλότητα Μ είναι ένα; διαφορομορφισμός από Μ έως Χ/Γ για κάποιο γεωμετρικό μοντέλο X, όπου Γ είναι μία διακριτή υποομάδα της G η οποία δρα ελεύθερα στο X. Αν μια δεδομένη πολλαπλότητα επιτρέπει μια γεωμετρική δομή, στη συνέχεια επιτρέπει εκείνη του οποίου το μοντέλο είναι μέγιστο. Ένα3-διαστάσεων μοντέλο γεωμετρίας Χ είναι σχετικό με την εικασία geometrization αν είναι μέγιστη και αν υπάρχει τουλάχιστον μια συμπαγής πολυπλοκότητα με μια γεωμετρική δομή σύμφωνα με το πρότυπο X. Ο Thurston ταξινόμησε τις 8 γεωμετρίες μοντέλων πληρόντας τους όρους αυτούς: που απαριθμούνται παρακάτω και οι οποίες μερικές φορές ονομάζονται γεωμετρίες Thurston. (Υπάρχουν επίσης αμέτρητα πολλές γεωμετρίες μοντέλων χωρίς συμπαγή πηλίκα). Calotta: Ο Κόσμος της Συμμετρίας Ολλανδικά: Συμμετρία Γύρω από ένα Σημείο στο επίπεδο