Μη πεπερασμένο σύνολο

Μη πεπερασμένο σύνολο ή απειροσύνολο ονομάζουμε κάθε σύνολο, το οποίο δεν ανήκει στα πεπερασμένα σύνολα. Δεν έχει δοθεί μέχρι σήμερα σαφέστερος σύντομος ορισμός, διότι υπάρχει αδυναμία στο να καλυφθεί το αυταπόδεικτο σύνολο που αποτελείται από όλους τους φυσικούς αριθμούς (βλ. ιδιότητες παρακάτω).

 Τα μη πεπερασμένα σύνολα μπορεί να είναι αριθμήσιμα ή μη. Ενδεικτικά παραδείγματα είναι: Το σύνολο όλων των ακεραίων αριθμών είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο, K = { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {K} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}} . Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών είναι ένα μη αριθμήσιμο σύνολο, R {\displaystyle \mathbb {R} } . Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών (η ύπαρξη του οποίου είναι αυταπόδεικτη από το αξίωμα του απείρου) είναι απειροσύνολο. Είναι το μόνο σύνολο που απαιτείται άμεσα από τα αξιώματα να είναι μη πεπερασμένο. Η ύπαρξη όλων των άλλων απειροσυνόλων μπορεί να αποδειχθεί με τη Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων αρκεί να δειχθεί ότι προκύπτει από την ύπαρξη των φυσικών αριθμών. Ένα σύνολο είναι μη πεπερασμένο αν και μόνο αν για κάθε φυσικό αριθμό, το σύνολο έχει ένα υποσύνολο του οποίου ο πληθάριθμος είναι αυτός ο φυσικός αριθμός. Εάν ισχύει το αξίωμα της επιλογής, τότε το σύνολο είναι μη πεπερασμένο, αν και μόνο αν περιλαμβάνει αριθμήσιμο μη πεπερασμένο υποσύνολο. Εάν ένα σύνολο συνόλων είναι μη πεπερασμένο ή περιέχει ένα μη πεπερασμένο στοιχείο, τότε είναι μη πεπερασμένο και το σύνολο της κάθε ένωσής του. Το δυναμοσύνολο ενός μη πεπερασμένου συνόλου είναι επίσης μη πεπερασμένο. Κάθε υπερσύνολο από ένα μη πεπερασμένο σύνολο είναι επίσης μη πεπερασμένο. Εάν ένα μη πεπερασμένο σύνολο χωρίζεται σε πολλά πεπερασμένα υποσύνολα, τότε τουλάχιστον ένα από αυτά πρέπει να είναι μη πεπερασμένο. Κάθε σύνολο που μπορεί να χαρτογραφηθεί επάνω σε ένα μη πεπερασμένο σύνολο είναι επίσης μη πεπερασμένο. Το καρτεσιανό γινόμενο ενός μη πεπερασμένου συνόλου και ενός μη κενού συνόλου είναι μη πεπερασμένο. Το καρτεσιανό γινόμενο ενός απείρου αριθμού συνόλων που το καθένα περιέχει τουλάχιστον δύο στοιχεία είναι άδειο, εκτός αν ισχύει το αξίωμα της επιλογής, οπότε είναι μη πεπερασμένο. Εάν ένα μη πεπερασμένο σύνολο είναι ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο, τότε θα πρέπει να έχει ένα μη κενό υποσύνολο το οποίο δεν έχει κάποιο μεγαλύτερο στοιχείο. Στην Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων, ένα σύνολο είναι μη πεπερασμένο αν και μόνο αν το δυναμοσύνολο του κάθε δυναμοσυνόλου του είναι ένα Ντέντεκιντ-απειροσύνολο, που έχει ένα γνήσιο υποσύνολο ισάριθμου μεγέθους του ιδίου. Αν το αξίωμα της επιλογής είναι επίσης αληθές, τα απειροσύνολα είναι επακριβώς τα Ντέντεκιντ-απειροσύνολα. Εάν ένα μη πεπερασμένο σύνολο είναι ένα καλώς διατεταγμένο σύνολο, τότε έχει και πολλά καλώς διατεταγμένα που δεν είναι ισομορφικά. Μια γνωστή εμφάνιση ρητών μη πεπερασμένων συνόλων είναι στο τελευταίο βιβλίο του Γαλιλαίου, το Διάλογοι για δύο νέες επιστήμες, το οποίο έγραψε ενώ ήταν σε κατ' οίκον περιορισμό από την Ιερά Εξέταση.Ο Γαλιλαίος υποστήριξε ότι το σύνολο των τετραγώνων S = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , … } {\displaystyle \mathbb {S} =\{1,4,9,16,25,\ldots \}} είναι ίδιους μεγέθους με το N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,5,\ldots \}} επειδή υπάρχει μια ένα-προς-ένα αντιστοιχία: 1 ↔ 1 , 2 ↔ 4 , 3 ↔ 9 , 4 ↔ 16 , 5 ↔ 25 , … {\displaystyle 1\leftrightarrow 1,2\leftrightarrow 4,3\leftrightarrow 9,4\leftrightarrow 16,5\leftrightarrow 25,\ldots } Και όμως, όπως γράφει, το S {\displaystyle \mathbb {S} } είναι ένα γνήσιο υποσύνολο του N {\displaystyle \mathbb {N} } και το S {\displaystyle \mathbb {S} } είναι όλο και πιο αραιό καθώς οι αριθμοί μεγαλώνουν. Άπειρο Αριθμός Άλεφ Ντέντεκιντ-απειροσύνολο Weisstein, Eric W., "Infinite Set" από το MathWorld.