Πολυώνυμο Μπέρνσταϊν

Στο τομέα της αριθμητικής ανάλυσης των μαθηματικών, ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν (Bernstein polynomial), που παίρνει το όνομά του από τον ρωσοεβραίο μαθηματικό Σεργκέι Νατάνοβιτς Μπέρνσταϊν (ή Μπέρνστεϊν) είναι ένα πολυώνυμο, το οποίο αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των πολυωνύμων βάσεων Μπέρνσταϊν. Η βασική μέθοδος εκτίμησης των πολυωνύμων μορφής Μπέρνσταϊν είναι ο αλγόριθμος του ντε Καστελζώ. Τα πολυώνυμα Μπέρνσταϊν χρησιμοποιήθηκαν αρχικά σε μία κατασκευαστική απόδειξη για το θεώρημα Στόουν–Βάιερστρας (Stone-Weierstrass Theorem). Με την ανάπτυξη του τομέα των γραφικών υπολογιστών (computer graphics) και του υπολογιστικά βοηθούμενου σχεδιασμού (computer-aided design), τα πολυώνυμα Μπέρνσταιν, περιορισμένα στο διάστημα x ∈ [0, 1], αποτέλεσαν τη βάση στο σχηματισμό των καμπυλών Μπεζιέ (Bézier Curves).

 Η n + 1 βάση πολυωνύμων Μπέρνσταϊν βαθμού n ορίζεται ως b ν , n ( x ) = ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν , ν = 0 , … , n . {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n.} όπου ( n ν ) {\displaystyle {n \choose \nu }} είναι διωνυμικός συντελεστής. Τα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταϊν βαθμού n σχηματίζουν μία βάση του διανυσματικού χώρου Πn των πολυωνύμων βαθμού n. Ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών πολυωνύμων Μπέρνσταϊν B ( x ) = ∑ ν = 0 n β ν b ν , n ( x ) {\displaystyle B(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)} καλείται πολυώνυμο Μπέρνσταϊν ή πολυώνυμο μορφής Μπέρνσταϊν βαθμού n. Οι συντελεστές β ν {\displaystyle \beta _{\nu }} ονομάζονται συντελεστές Μπέρνσταϊν ή συντελεστές Μπεζιέ . Με έναν άλλο συμβολισμό έχουμε:Ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν P ( x ) {\displaystyle P(x)} βαθμού n δίνεται από τον τύπο: P ( x ) = ∑ k = 0 n c k B k n ( x ) {\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{n}{c_{k}B_{k}^{n}(x)}} Όπου τα B k n ( ⋅ ) {\displaystyle B_{k}^{n}(\cdot )} είναι στοιχεία της βάσης των πολυωνύμων Μπέρνσταϊν, που ορίζονται από: B i n ( x ) = ( n i ) x i ( 1 − x ) n − i {\displaystyle B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}} αν x ∈ [ 0 , 1 ] ; {\displaystyle x\in [0,1];} ή γενικότερα: B i n ( x ) = ( n i ) ( b − x ) n − i ( x − a ) i ( b − a ) n {\displaystyle B_{i}^{n}(x)={n \choose i}{(b-x)^{n-i}(x-a)^{i} \over (b-a)^{n}}} αν x ∈ [ a , b ] ; {\displaystyle x\in [a,b];} (εδώ ( n i ) {\displaystyle {n \choose i}} είναι ο διωνυμικός συντελεστής. Τα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταϊν έχουν τις εξής ιδιότητες: b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} , αν ν < 0 {\displaystyle \nu <0} ή ν > n {\displaystyle \nu >n} . b ν , n ( 0 ) = δ ν , 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}} και b ν , n ( 1 ) = δ ν , n {\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}} όπου δ {\displaystyle \delta } είναι το δέλτα του Κρόνεκερ της αντίστοιχης συνάρτησης. b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} έχει ρίζα πολλαπλότητας ν {\displaystyle \nu } στο σημείο x = 0 {\displaystyle x=0} (προσοχή: αν ν = 0 {\displaystyle \nu =0} , δεν υπάρχει ρίζα στο 0). b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} έχει ρίζα πολλαπλότητας ( n − ν ) {\displaystyle \left(n-\nu \right)} στο σημείο x = 1 {\displaystyle x=1} (προσοχή: αν ν = n {\displaystyle \nu =n} , δεν υπάρχει ρίζα στο 1). b ν , n ( x ) ≥ 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0} για x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,\ 1]} . b ν , n ( 1 − x ) = b n − ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x)} . Συμμετρία ως προς τα x {\displaystyle x} και 1 − x {\displaystyle 1-x} .Η παράγωγος μπορεί να γραφεί ως συνδυασμός δύο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού: b ν , n ′ ( x ) = n ( b ν − 1 , n − 1 ( x ) − b ν , n − 1 ( x ) ) . {\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).} Το ολοκλήρωμα είναι σταθερό για συγκεκριμένο n {\displaystyle n} ∫ 0 1 b ν , n ( x ) d x = 1 n + 1 ∀ ν = 0 , 1 … n {\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\forall \nu =0,1\dots n} Αν n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} , τότε b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} έχει μοναδικό τοπικό μέγιστο στο διάστημα [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,\ 1]} στο x = ν n {\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}} . Το μέγιστο αυτό έχει τιμή: ν ν n − n ( n − ν ) n − ν ( n ν ) . {\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.} Η βάση πολυωνύμων Μπέρνσταϊν βαθμού n {\displaystyle n} σχηματίζουν μία κατάτμηση της μονάδας: ∑ ν = 0 n b ν , n ( x ) = ∑ ν = 0 n ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν = ( x + ( 1 − x ) ) n = 1. {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.} Παίρνοντας την πρώτη παράγωγο της ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} όπου y = 1 − x {\displaystyle y=1-x} , μπορεί να δειχθεί ότι: ∑ ν = 0 n ν b ν , n ( x ) = n x {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx} Η δεύτερη παράγωγος της ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} όπου y = 1 − x {\displaystyle y=1-x} μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι: ∑ ν = 1 n ν ( ν − 1 ) b ν , n ( x ) = n ( n − 1 ) x 2 {\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}} Ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν μπορεί να γραφεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων μεγαλύτερου βαθμού: b ν , n − 1 ( x ) = n − ν n b ν , n ( x ) + ν + 1 n b ν + 1 , n ( x ) . {\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).} Τα πρώτα λίγα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταϊν είναι: b 0 , 0 ( x ) = 1 , b 0 , 1 ( x ) = 1 − x , b 1 , 1 ( x ) = x b 0 , 2 ( x ) = ( 1 − x ) 2 , b 1 , 2 ( x ) = 2 x ( 1 − x ) , b 2 , 2 ( x ) = x 2 b 0 , 3 ( x ) = ( 1 − x ) 3 , b 1 , 3 ( x ) = 3 x ( 1 − x ) 2 , b 2 , 3 ( x ) = 3 x 2 ( 1 − x ) , b 3 , 3 ( x ) = x 3 b 0 , 4 ( x ) = ( 1 − x ) 4 , b 1 , 4 ( x ) = 4 x ( 1 − x ) 3 , b 2 , 4 ( x ) = 6 x 2 ( 1 − x ) 2 , b 3 , 4 ( x ) = 4 x 3 ( 1 − x ) , b 4 , 4 ( x ) = x 4 {\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\\b_{0,4}(x)&=(1-x)^{4},&b_{1,4}(x)&=4x(1-x)^{3},&b_{2,4}(x)&=6x^{2}(1-x)^{2},&b_{3,4}(x)&=4x^{3}(1-x),&b_{4,4}(x)&=x^{4}\end{aligned}}} Στην περίπτωση ενός πολυωνύμου βαθμού 2 {\displaystyle 2} η βάση στο διάστημα [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} συνίσταται από: B 0 2 ( x ) = ( 2 0 ) x 0 ( 1 − x ) 2 − 0 = ( 1 − x ) 2 {\displaystyle B_{0}^{2}(x)={2 \choose 0}x^{0}(1-x)^{2-0}=(1-x)^{2}} B 1 2 ( x ) = ( 2 1 ) x 1 ( 1 − x ) 2 − 1 = 2 x ( 1 − x ) {\displaystyle B_{1}^{2}(x)={2 \choose 1}x^{1}(1-x)^{2-1}=2x(1-x)} B 2 2 ( x ) = ( 2 2 ) x 2 ( 1 − x ) 2 − 2 = x 2 {\displaystyle B_{2}^{2}(x)={2 \choose 2}x^{2}(1-x)^{2-2}=x^{2}} Ένα πολυώνυμο που εκφράζεται με αυτή τη βάση θα πρέπει να ακολουθεί τη μορφή: P ( x ) = c 0 B 0 2 ( x ) + c 1 B 1 2 ( x ) + c 2 B 2 2 ( x ) {\displaystyle P(x)=c_{0}B_{0}^{2}(x)+c_{1}B_{1}^{2}(x)+c_{2}B_{2}^{2}(x)} Καμπύλη Μπεζιέ Καμπύλη B-Spline Πολυωνυμική Παρεμβολή Πολυώνυμο Νιούτον Πολυώνυμο Λαγκράνζ Weisstein, Eric W., "Bernstein Polynomial" από το MathWorld. Korovkin, P.P. (2001), «Bernstein polynomials», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=B/b015730 H. Caglar and A.N. Akansu, "A Generalized Parametric PR-QMF Design Technique Based on Bernstein Polynomial Approximation," IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 41, no. 7, pp. 2314–2321, July 1993. Πρότυπο:Planetmath From Bézier to Bernstein BERNSTEIN POLYNOMIALS by Kenneth I. Joy