Συντελεστής συσχέτισης Σπίαρμαν

Στη στατιστική, ο συντελεστής συσχέτισης Σπίαρμαν (Spearman) που πήρε το όνομά του από τον Τσαρλς Σπίαρμαν και συχνά συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα ρ ή ως r s {\displaystyle r_{s}} , είναι ένα μη-παραμετρικό μέτρο της στατιστικής εξάρτησης μεταξύ δύο μεταβλητών. Αξιολογεί το πόσο καλά μπορεί να περιγραφεί η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών χρησιμοποιώντας μια μονότονη συνάρτηση. Εάν δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενες τιμές των δεδομένων, μια τέλεια συσχέτιση Σπίαρμαν κατά +1 ή -1 συμβαίνει όταν κάθε μία από τις μεταβλητές είναι μια τέλεια μονότονη συνάρτηση της άλλης. Ο συντελεστής Σπίαρμαν, όπως κάθε συντελεστής συσχέτισης, είναι κατάλληλος και για συνεχείς και για διακριτές μεταβλητές, συμπεριλαμβανομένων των τακτικών διακριτών μεταβλητών.

 Ο συντελεστής συσχέτισης Σπίαρμαν ορίζεται όπως ο συντελεστής συσχέτισης Πίαρσον μεταξύ των μεταβλητών κατάταξης.Οι n πρώτες βαθμολογίες X i , Y i {\displaystyle X_{i},Y_{i}} μετατρέπονται σε κατατάξεις x i , y i {\displaystyle x_{i},y_{i}} , και ο ρ υπολογίζεται από: ρ = ∑ i ( x i − x ¯ ) ( y i − y ¯ ) ∑ i ( x i − x ¯ ) 2 ∑ i ( y i − y ¯ ) 2 . {\displaystyle \rho ={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\sum _{i}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}.} Στις ίσες τιμές απονέμεται κατάταξη ίση με το μέσο όρο των θέσεών τους στην αύξουσα σειρά των τιμών. Στον πίνακα που ακολουθεί, παρατηρήστε πώς η κατάταξη των τιμών που είναι ίδιες, είναι ο μέσος όρος των τάξεων που θα είχαν διαφορετικά: Σε εφαρμογές που είναι γνωστό ότι είναι δεν υπάρχει ισοψηφία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια απλούστερη διαδικασία για τον υπολογισμό του ρ. Υπολογίζονται οι διαφορές d i = x i − y i {\displaystyle d_{i}=x_{i}-y_{i}} ανάμεσα στις τάξεις της κάθε παρατήρησης των δύο μεταβλητών, και ο ρ δίνεται από τον τύπο: ρ = 1 − 6 ∑ d i 2 n ( n 2 − 1 ) . {\displaystyle \rho =1-{\frac {6\sum d_{i}^{2}}{n(n^{2}-1)}}.} Υπάρχουν διάφορα άλλα αριθμητικά μέτρα που προσδιορίζουν την έκταση της στατιστικής εξάρτησης μεταξύ των ζευγαριών των παρατηρήσεων. Το πιο κοινό από αυτά είναι ο συντελεστής συσχέτισης προϊόν-στιγμή του Πίαρσον (Pearson product-moment). Ένα εναλλακτικό όνομα για τη συσχέτιση κατάταξης Σπίαρμαν είναι ο "βαθμός συσχέτισης". Σε αυτό, η «κατάταξη» μιας παρατήρησης αντικαθίσταται από το «βαθμό». Σε συνεχείς κατανομές, ο βαθμός μιας παρατήρησης είναι, κατά συνθήκη, πάντα το μισό λιγότερο από την κατάταξη, και ως εκ τούτου, σε αυτήν την περίπτωση, οι συσχετίσεις βαθμού και κατάταξης είναι οι ίδιες. Αν και ασυνήθιστο, ο όρος «βαθμός συσχέτισης» είναι ακόμα σε χρήση. Το πρόσημο της συσχέτισης Σπίαρμαν δείχνει την κατεύθυνση της σχέσης μεταξύ της Χ (ανεξάρτητη μεταβλητή) και της Υ (εξαρτημένη μεταβλητή). Εάν η Υ τείνει να αυξάνεται όταν η Χ αυξάνει, ο συντελεστής συσχέτισης Σπίαρμαν είναι θετικός. Εάν η Υ τείνει να μειώνεται όταν η Χ αυξάνει, ο συντελεστής συσχέτισης Σπίαρμαν είναι αρνητικός. Μια μηδενική συσχέτιση Spearman δείχνει ότι δεν υπάρχει τάση για την Υ είτε να αυξηθεί ή να μειωθεί, όταν η Χ αυξάνει. Η συσχέτιση Spearman αυξάνει σε μέγεθος, όταν η Χ και η Υ είναι πιο κοντά στο να είναι τέλειες μονότονες συναρτήσεις η μία της άλλης.. Όταν η Χ και η Υ έχουν απόλυτη μονοτονική σχέση, ο συντελεστής συσχέτισης Spearman γίνεται 1. Μια τέλεια μονότονα αυξανόμενη σχέση σημαίνει, για κάθε δύο ζεύγη τιμών δεδομένων Xi, Yi και Xj, Yj, ότι Xi − Xj και Yi − Yj έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο. Μια τέλεια μονότονη φθίνουσα σχέση σημαίνει ότι αυτές οι διαφορές έχουν πάντα αντίθετα πρόσημα. Ο συντελεστής συσχέτισης Spearman συχνά περιγράφεται ως "μη παραμετρικός." Αυτό μπορεί να έχει δύο έννοιες. Πρώτον, το γεγονός ότι μια τέλεια συσχέτιση Spearman προκύπτει όταν Χ και Υ σχετίζονται με οποιαδήποτε μονότονη συνάρτηση, που μπορεί να αντιπαραβληθεί με τη συσχέτιση Pearson, η οποία δίνει μόνο μια τέλεια τιμή όταν X και Υ σχετίζονται με μια γραμμική συνάρτηση. Η άλλη έννοια με την οποία ο συσχετισμός Spearman είναι μη παραμετρικός είναι ότι η ακριβής κατανομή της δειγματοληψίας του μπορεί να ληφθεί χωρίς να απαιτείται γνώση της κοινής κατανομής πιθανότητας της Χ και Υ. Σε αυτό το παράδειγμα, θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα στον παρακάτω πίνακα για τον υπολογισμό της συσχέτισης μεταξύ της νοημοσύνης (IQ) ενός ατόμου με τον αριθμό των ωρών που βλέπει τηλεόραση την εβδομάδα. Πρώτα, πρέπει να βρούμε την τιμή του όρου d i 2 {\displaystyle d_{i}^{2}} . Για να γίνει αυτό χρησιμοποιούμε τα ακόλουθα βήματα, που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Ταξινομούμε τα στοιχεία από την πρώτη στήλη ( X i {\displaystyle X_{i}} ). Δημιουργούμε μια νέα στήλη x i {\displaystyle x_{i}} και της δίνουμε τις τιμές 1,2,3,...n σύμφωνα με την κατάταξη. Στη συνέχεια, ταξινομούμε τα δεδομένα από τη δεύτερη στήλη ( Y i {\displaystyle Y_{i}} ). Δημιουργούμε μια τέταρτη στήλη y i {\displaystyle y_{i}} και ομοίως δίνουμε τις τιμές 1,2,3,...n. Δημιουργούμε μια πέμπτη στήλη d i {\displaystyle d_{i}} που δίνει τη διαφορά της κατάταξης μεταξύ των δύο τελευταίων στηλών ( x i {\displaystyle x_{i}} and y i {\displaystyle y_{i}} ). Δημιουργούμε μια τελευταία στήλη d i 2 {\displaystyle d_{i}^{2}} που δίνει την τιμή της στήλης d i {\displaystyle d_{i}} στο τετράγωνο.Αφού βρήκαμε τα d i 2 {\displaystyle d_{i}^{2}} , μπορούμε να τα προσθέσουμε για να βρούμε ∑ d i 2 = 194 {\displaystyle \sum d_{i}^{2}=194} . Η τιμή του n είναι 10. Έτσι, οι τιμές αυτές μπορούν πλέον να αντικατασταθούν πίσω στην εξίσωση, ρ = 1 − 6 × 194 10 ( 10 2 − 1 ) {\displaystyle \rho =1-{\frac {6\times 194}{10(10^{2}-1)}}} η οποία αξιολογεί το ρ = −0.175757575... με μία αξία-ρ = 0.6864058 (χρησιμοποιώντας την κατανομή student). Αυτή η χαμηλή τιμή δείχνει ότι η συσχέτιση μεταξύ του δείκτη νοημοσύνης και των ωρών ενασχόλησης με την τηλεόραση είναι πολύ χαμηλή. Μία προσέγγιση για τον έλεγχο του αν η παρατηρούμενη τιμή του ρ είναι σημαντικά διαφορετική από το μηδέν (r πάντα θα διατηρεί ότι 1 ≥ r ≥ −1) είναι να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι θα είναι μεγαλύτερη ή ίση με την παρατηρηθείσα r, λαμβάνοντας υπόψη τη μηδενική υπόθεση, χρησιμοποιώντας μια αναδειγματοληψία. Μια άλλη προσέγγιση είναι παράλληλη με την χρήση του μετασχηματισμoού Fisher στην περίπτωση του συντελεστή συσχέτισης προϊόν-στιγμή του Πίαρσον. Δηλαδή, διαστήματα εμπιστοσύνης και έλεγχος υποθέσεων σχετικά με την τιμή ρ του πληθυσμού μπορούν να πραγματοποιηθούν με χρήση του μετασχηματισμού Φίσερ: F ( r ) = 1 2 ln ⁡ 1 + r 1 − r = arctanh ⁡ ( r ) . {\displaystyle F(r)={1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}=\operatorname {arctanh} (r).} Αν F(r) είναι ο μετασχηματισμός fisher του r, ο συντελεστής συσχέτισης Σπίαρμαν του δείγματος, και n είναι το μέγεθος του δείγματος, τότε: z = n − 3 1.06 F ( r ) {\displaystyle z={\sqrt {\frac {n-3}{1.06}}}F(r)} είναι ζ-σκορ για το r που ακολουθεί περίπου μια τυπική κανονική κατανομή κάτω από τη μηδενική υπόθεση της στατιστικής ανεξαρτησίας (ρ = 0). Επίσης μπορεί να εξεταστεί η t = r n − 2 1 − r 2 {\displaystyle t=r{\sqrt {\frac {n-2}{1-r^{2}}}}} που κατανέμεται περίπου όπως η κατανομή student με n − 2 βαθμούς ελευθερίας κάτω από τη μηδενική υπόθεση. (Αγγλικά) G.W. Corder, D.I. Foreman, "Nonparametric Statistics for Non-Statisticians: A Step-by-Step Approach", Wiley (2009) (Αγγλικά) C. Spearman, "The proof and measurement of association between two things" Amer. J. Psychol., 15 (1904) pp. 72–101 (Αγγλικά) M.G. Kendall, "Rank correlation methods", Griffin (1962) (Αγγλικά) M. Hollander, D.A. Wolfe, "Nonparametric statistical methods", Wiley (1973) (Αγγλικά) J. C. Caruso, N. Cliff, "Empirical Size, Coverage, and Power of Confidence Intervals for Spearman's Rho", Ed. and Psy. Meas., 57 (1997)