Μεταμαθηματικά

Τα μεταμαθηματικά είναι η μελέτη των ίδιων των μαθηματικών με τη χρήση μαθηματικών μεθόδων. Η μελέτη αυτή παράγει μεταθεωρίες, οι οποίες είναι μαθηματικές θεωρίες για άλλες μαθηματικές θεωρίες. Η έμφαση στα μεταμαθηματικά (και ίσως η δημιουργία του ίδιου του όρου) οφείλεται στην προσπάθεια του Ντέιβιντ Χίλμπερτ να εξασφαλίσει τα θεμέλια των μαθηματικών στις αρχές του 20ού αιώνα. Τα μεταμαθηματικά παρέχουν "μια αυστηρή μαθηματική τεχνική για τη μελέτη μιας μεγάλης ποικιλίας προβλημάτων θεμελίωσης των μαθηματικών και της λογικής" (Kleene 1952, σ. 59). Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των μεταμαθηματικών είναι η έμφαση που δίνει στη διάκριση μεταξύ συλλογισμού εντός ενός συστήματος και συλλογισμού εκτός ενός συστήματος. Μια άτυπη απεικόνιση αυτής της διάκρισης είναι να ταξινομηθεί η πρόταση "2+2=4" ως ανήκουσα στα μαθηματικά, ενώ η πρόταση "'2+2=4' είναι έγκυρη" ταξινομείται ως ανήκουσα στα μεταμαθηματικά.

 Τα μεταμαθηματικά μεταθεωρήματα που αφορούν τα ίδια τα μαθηματικά διαφοροποιήθηκαν αρχικά από τα συνηθισμένα μαθηματικά θεωρήματα τον 19ο αιώνα για να επικεντρωθούν σε αυτό που τότε ονομάστηκε κρίση των θεμελίων των μαθηματικών. Το παράδοξο του Ρίτσαρντ (Richard 1905) σχετικά με ορισμένους "ορισμούς" των πραγματικών αριθμών στην αγγλική γλώσσα είναι ένα παράδειγμα του είδους των αντιφάσεων που μπορούν εύκολα να προκύψουν αν δεν γίνει διάκριση μεταξύ μαθηματικών και μεταμαθηματικών. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί και για το διάσημο παράδοξο του Ράσελ (το σύνολο όλων των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους περιέχει τον εαυτό τους;). Τα μεταμαθηματικά ήταν στενά συνδεδεμένα με τη μαθηματική λογική, οπότε οι πρώιμες ιστορίες των δύο πεδίων, στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ού αιώνα, συμπίπτουν σε μεγάλο βαθμό. Πιο πρόσφατα, η μαθηματική λογική έχει συχνά συμπεριλάβει τη μελέτη νέων καθαρών μαθηματικών, όπως η θεωρία συνόλων, η θεωρία κατηγοριών, η θεωρία αναδρομής και η θεωρία καθαρών πρότυπων, οι οποίες δεν σχετίζονται άμεσα με τα μεταμαθηματικά.Η σοβαρή μεταμαθηματική σκέψη ξεκίνησε με το έργο του Γκότλομπ Φρέγκε, ιδίως με την Begriffsschrift του, που δημοσιεύτηκε το 1879. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τακτικά τον όρο "μεταμαθηματικά" (βλ. Πρόγραμμα του Χίλμπερτ), στις αρχές του 20ού αιώνα. Γι' αυτόν, ο όρος σχετιζόταν με τη σύγχρονη θεωρία αποδείξεων, στην οποία χρησιμοποιούνται πεπερασμένες μέθοδοι για τη μελέτη διαφόρων αξιωματικοποιημένων μαθηματικών θεωρημάτων (Kleene 1952, σ. 55). Άλλες εξέχουσες προσωπικότητες στον τομέα αυτό είναι οι Μπερτράν Ράσελ, Θόραλφ Σκόλεμ, Εμίλ Ποστ, Αλόνζο Τσερτς, Άλαν Τούρινγκ, Στίβεν Κλέιν, Γουίλαρντ Κουίν, Πολ Μπενάκεραφ, Χίλαρι Πούτναμ, Γκρέγκορι Τσέιτιν, Άλφρεντ Τάρσκι και Κουρτ Γκέντελ. Σήμερα, η μεταλογική και τα μεταμαθηματικά επικαλύπτονται σε μεγάλο βαθμό, και τα δύο έχουν σε μεγάλο βαθμό υποκατασταθεί από τη μαθηματική λογική στα πανεπιστήμια. Η ανακάλυψη της υπερβολικής γεωμετρίας είχε σημαντικές φιλοσοφικές συνέπειες για τα μεταμαθηματικά. Πριν από την ανακάλυψή της, υπήρχε μόνο μία γεωμετρία και ένα μαθηματικό σύστημα- η ιδέα ότι θα μπορούσε να υπάρξει άλλη γεωμετρία θεωρούνταν απίθανη. Όταν ο Γκάους ανακάλυψε την υπερβολική γεωμετρία, λέγεται ότι δεν δημοσίευσε τίποτα γι' αυτήν από φόβο για την "αναταραχή των Βοιωτών", η οποία θα κατέστρεφε την ιδιότητά του ως princeps mathematicorum (στα λατινικά, "ο πρίγκιπας των μαθηματικών") . Η "αναταραχή των Βοιωτών" έλαβε χώρα και έδωσε ώθηση στα μεταμαθηματικά και σε μεγάλες βελτιώσεις στη μαθηματική αυστηρότητα, την αναλυτική φιλοσοφία και τη λογική. Η Begriffsschrift (γερμανικά για "έννοια-σχέδιο") είναι ένα βιβλίο λογικής του Γκότλομπ Φρέγκε, που δημοσιεύτηκε το 1879, και το τυπικό σύστημα που περιγράφεται σε αυτό. Η Begriffsschrift μεταφράζεται συνήθως ως "εννοιολογική γραφή" ή "εννοιολογική σημειογραφία"- ο πλήρης τίτλος του βιβλίου την προσδιορίζει ως "μια γλώσσα τύπων, με πρότυπο εκείνη της αριθμητικής, της καθαρής σκέψης". Το κίνητρο του Φρέγκε για την ανάπτυξη της τυπικής του προσέγγισης στη λογική μοιάζει με εκείνο του Λάιμπνιτς για τον αναλογικό λογισμό του (αν και, στον πρόλογό του, ο Φρέγκε αρνείται σαφώς ότι έχει επιτύχει αυτόν τον στόχο, καθώς επίσης ότι ο κύριος στόχος του θα ήταν να κατασκευάσει μια ιδανική γλώσσα όπως αυτή του Λάιμπνιτς, κάτι που ο Φρέγκε δηλώνει ότι είναι ένα μάλλον δύσκολο και ιδεαλιστικό έργο, αλλά όχι αδύνατο). Στη συνέχεια, ο Φρέγκε χρησιμοποίησε τον λογικό του λογισμό στην έρευνά του για τα θεμέλια των μαθηματικών κατά το επόμενο τέταρτο του αιώνα. Οι Αρχές των Μαθηματικών (Principia Mathematica), ή "PM", όπως συχνά συντομογραφούνται, ήταν μια προσπάθεια να περιγραφεί ένα σύνολο αξιωμάτων και κανόνων συμπερασμού στη συμβολική λογική από τα οποία θα μπορούσαν κατ' αρχήν να αποδειχθούν όλες οι μαθηματικές αλήθειες. Ως εκ τούτου, το φιλόδοξο αυτό εγχείρημα έχει μεγάλη σημασία για την ιστορία των μαθηματικών και της φιλοσοφίας , καθώς αποτελεί ένα από τα κύρια προϊόντα της πεποίθησης ότι ένα τέτοιο εγχείρημα είναι εφικτό. Ωστόσο, το 1931, το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ απέδειξε οριστικά ότι η ΜΡ, και μάλιστα οποιαδήποτε άλλη προσπάθεια, δεν θα μπορούσε ποτέ να επιτύχει αυτόν τον στόχο- δηλαδή, για οποιοδήποτε σύνολο αξιωμάτων και κανόνων συμπερασμού που προτείνονται για την ενθυλάκωση των μαθηματικών, θα υπήρχαν στην πραγματικότητα μαθηματικές αλήθειες που δεν θα μπορούσαν να συναχθούν από αυτά τα αξιώματα και τους κανόνες. Μια από τις κύριες πηγές έμπνευσης και παρακίνησης για το MP ήταν το προηγούμενο έργο του Γκότλομπ Φρέγκε στη λογική, το οποίο ο Ράσελ ανακάλυψε ότι επέτρεπε την κατασκευή παράδοξων συνόλων. Το MP προσπάθησε να αποφύγει αυτό το πρόβλημα αποκλείοντας την απεριόριστη δημιουργία αυθαίρετων συνόλων. Για να γίνει αυτό, η έννοια του γενικού συνόλου αντικαταστάθηκε από την έννοια της ιεραρχίας συνόλων διαφορετικών "τύπων", σύμφωνα με την οποία ένα σύνολο ορισμένου τύπου μπορεί να περιέχει μόνο σύνολα αυστηρά κατώτερων τύπων. Ωστόσο, τα σύγχρονα μαθηματικά αποφεύγουν παράδοξα όπως αυτό του Ράσελ με λιγότερο περίπλοκα μέσα, όπως το σύστημα Ζερμέλο-Φράνκελ της θεωρίας συνόλων. Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ είναι δύο θεωρήματα της μαθηματικής λογικής που καθορίζουν τα εγγενή όρια όλων των αξιωματικών συστημάτων, εκτός από τα πιο τετριμμένα, ικανά για αριθμητική. Τα θεωρήματα αυτά, που αποδείχθηκαν από τον Κουρτ Γκέντελ το 1931, είναι σημαντικά τόσο για τη μαθηματική λογική όσο και για τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Και τα δύο αποτελέσματα ερμηνεύονται ευρέως, αλλά όχι καθολικά, ότι δείχνουν ότι το πρόγραμμα του Χίλμπερτ να βρει ένα πλήρες και συνεπές σύνολο αξιωμάτων για όλα τα μαθηματικά είναι αδύνατο, δίνοντας έτσι μια αρνητική απάντηση στο δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ. Το πρώτο θεώρημα της μη πληρότητας δηλώνει ότι κανένα συνεκτικό σύστημα αξιωμάτων του οποίου τα θεωρήματα μπορούν να απαριθμηθούν με μια "αποτελεσματική διαδικασία" (για παράδειγμα, ένα πρόγραμμα υπολογιστή, αλλά θα μπορούσε να είναι οποιοδήποτε είδος αλγορίθμου) δεν είναι ικανό να αποδείξει όλες τις αλήθειες σχετικά με τις σχέσεις των φυσικών αριθμών (αριθμητική). Για οποιοδήποτε τέτοιο σύστημα, θα υπάρχουν πάντα δηλώσεις για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αληθείς, αλλά δεν μπορούν να αποδειχθούν στο πλαίσιο του συστήματος. Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας, μια επέκταση του πρώτου, δείχνει ότι ένα τέτοιο σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει τη συνέπειά του. Το σχήμα Τ ή σχήμα αλήθειας (που δεν πρέπει να συγχέεται με τη "Σύμβαση Τ") χρησιμοποιείται για να δώσει έναν επαγωγικό ορισμό της αλήθειας που βρίσκεται στο επίκεντρο κάθε υλοποίησης της σημασιολογικής θεωρίας της αλήθειας του Άλφρεντ Τάρσκι. Ορισμένοι συγγραφείς το αποκαλούν "σχήμα ισοδυναμίας", ένα συνώνυμο που εισήγαγε ο Μάικλ Ντάμετ. Το σχήμα Τ εκφράζεται συχνά σε φυσική γλώσσα, αλλά μπορεί να τυποποιηθεί σε πολυεπίπεδη ταξινομημένη προτασιακή λογική ή σε διατεταγμένη λογική- μια τέτοια τυποποίηση ονομάζεται θεωρία Τ. Οι Τ-θεωρίες αποτελούν τη βάση πολλών θεμελιωδών εργασιών στη φιλοσοφική λογική, όπου εφαρμόζονται σε αρκετές σημαντικές αντιπαραθέσεις στην αναλυτική φιλοσοφία. Εκφρασμένη σε ημι-φυσική γλώσσα (όπου "S" είναι το όνομα της πρότασης που συντομογραφείται σε S): "S" είναι αληθής αν και μόνο αν S Παράδειγμα: "το χιόνι είναι λευκό" είναι αληθές αν και μόνο αν το χιόνι είναι λευκό. Το πρόβλημα Entscheidungs (γερμανικά: "πρόβλημα απόφασης") είναι μια πρόκληση που έθεσε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ το 1928. Το πρόβλημα Entscheidungs απαιτεί έναν αλγόριθμο που δέχεται ως είσοδο μια δήλωση της λογικής πρώτης τάξης (ενδεχομένως με πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων πέρα από τα συνήθη αξιώματα της λογικής πρώτης τάξης) και απαντά "Ναι" ή "Όχι" ανάλογα με το αν η δήλωση είναι καθολικά έγκυρη, δηλαδή έγκυρη σε οποιαδήποτε δομή που ικανοποιεί τα αξιώματα. Βάσει του θεωρήματος πληρότητας της λογικής πρώτης τάξης, μια δήλωση είναι καθολικά έγκυρη εάν και μόνο εάν μπορεί να συναχθεί από τα αξιώματα, οπότε το Entscheidungsproblem μπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι ζητά έναν αλγόριθμο που να αποφασίζει εάν μια δεδομένη δήλωση μπορεί να αποδειχθεί από τα αξιώματα χρησιμοποιώντας τους κανόνες της λογικής. Το 1936, ο Αλόνζο Τσερτς και ο Άλαν Τιούρινγκ δημοσίευσαν ανεξάρτητες εργασίες που έδειχναν ότι μια γενική λύση στο Entscheidungsproblem είναι αδύνατη, υποθέτοντας ότι ο διαισθητικός συμβολισμός του "αποτελεσματικά υπολογίσιμου" αποτυπώνεται από συναρτήσεις υπολογίσιμες από μια μηχανή Τιούρινγκ (ή ισοδύναμα, από εκείνες που μπορούν να εκφραστούν στον λογισμό λάμδα). Αυτή η υπόθεση είναι πλέον γνωστή ως η θέση Τσερτς-Τιούρινγκ. W. J. Blok and Don Pigozzi, "Alfred Tarski's Work on General Metamathematics", The Journal of Symbolic Logic, v. 53, No. 1 (Mar., 1988), pp. 36–50. I. J. Good. "A Note on Richard's Paradox". Mind, New Series, Vol. 75, No. 299 (Jul., 1966), p. 431. JStor Douglas Hofstadter, 1980. Gödel, Escher, Bach. Vintage Books. Aimed at laypeople. Stephen Cole Kleene, 1952. Introduction to Metamathematics. North Holland. Aimed at mathematicians. Jules Richard, Les Principes des Mathématiques et le Problème des Ensembles, Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées (1905); translated in Heijenoort J. van (ed.), Source Book in Mathematical Logic 1879-1931 (Cambridge, Massachusetts, 1964). Alfred North Whitehead, and Bertrand Russell. Principia Mathematica, 3 vols, Cambridge University Press, 1910, 1912, and 1913. Second edition, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Abridged as Principia Mathematica to *56, Cambridge University Press, 1962.