Πληθικότητα

Στα Μαθηματικά ο πληθάριθμος ή πληθικός αριθμός ενός συνόλου είναι ένα μέτρο του «αριθμού των στοιχείων» του. Για ένα πεπερασμένο σύνολο, ο πληθάριθμος είναι ίσος με το πλήθος των στοιχείων του, επομένως είναι ένας φυσικός αριθμός. Για παράδειγμα, ο πληθάριθμος του συνόλου Α={2.92, 6.28, -1.35} είναι 3, ενώ το σύνολο Β={5, 10, 15, 20, 25} έχει πληθάριθμο 5. Για απειροσύνολα, ο πληθάριθμος ανήκει στην κλάση των πληθικών αριθμών (δεν υπάρχει το σύνολο των πληθικών αριθμών) και χρησιμεύει ώστε να συγκρίνουμε το «μέγεθος» διαφορετικών απειροσυνόλων. Για παράδειγμα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο από το σύνολο των φυσικών αριθμών, παρόλο που και τα δύο σύνολα είναι άπειρα. Ο πληθάριθμος του συνόλου Α συμβολίζεται με card(Α) (card από cardinality που στα Αγγλικά σημαίνει πληθάριθμος).

 Έστω δύο σύνολα Α, Β. Η σύγκριση δύο συνόλων μπορεί να αφορά απειροσύνολα, για αυτό το λόγο οι έννοιες της σύγκρισης ορίζονται εκ νέου. Τα Α, Β λέγονται ισοδύναμα ή ότι έχουν ίσους πληθάριθμους όταν υπάρχει συνάρτηση ένα προς ένα από το Α επί του Β. Τότε ισχύει cardA=cardΒ, ενώ η ισοδυναμία συμβολίζεται με Α~Β. Αν δύο σύνολα δεν είναι ισοδύναμα, αυτό συμβολίζεται με c a r d A ≤ c a r d B {\displaystyle cardA\leq cardB} . Τη διαδικασία αυτής της αντιστοίχισης χρησιμοποιούμε ουσιαστικά κάθε φορά που μετράμε τα στοιχεία ενός συνόλου, αφού σε κάθε στοιχείο αντιστοιχούμε έναν αριθμό τον οποίο λέμε ή έχουμε στο μυαλό μας. Αν τα δύο σύνολα δεν είναι ισοδύναμα, τότε το ένα θεωρητικά είναι ισοδύναμο με γνήσιο υποσύνολο του άλλου. Αν υπάρχει συνάρτηση ένα προς ένα από το Α στο Β, τότε αυτό συμβολίζεται με c a r d A ≤ c a r d B {\displaystyle cardA\leq cardB} . Αν επιπλέον ισχύει c a r d A ≠ c a r d B {\displaystyle cardA\neq cardB} , τότε αυτό συμβολίζεται με c a r d A < c a r d B {\displaystyle cardA<cardB} . Η διαφορά των δύο παραπάνω περιπτώσεων βρίσκεται στη φράση επί του Β. Αυτή η φράση δηλώνει ότι ισχύει και η αντίστροφη περίπτωση, δηλαδή ότι υπάρχει συνάρτηση ένα προς ένα από το Β επί του Α. Στη δεύτερη περίπτωση αυτό δεν ισχύει απαραίτητα. Για τη σύγκριση πληθάριθων ισχύουν όλες οι ιδιότητες της σύγκρισης. Ένα σύνολο Α λέγεται αριθμήσιμο όταν είναι πεπερασμένο ή ισοδύναμο του συνόλου των φυσικών αριθμών, δηλαδή όταν c a r d A ≤ c a r d N {\displaystyle cardA\leq card\mathbb {N} } . Τον πληθάριθμο του N {\displaystyle \mathbb {N} } τον συμβολίζουμε με το ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (προφέρεται "άλεφ μηδέν"). Οι αμέσως μεγαλύτεροι πληθάριθμοι συμβολίζονται ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} , ℵ 2 {\displaystyle \aleph _{2}} , κ.λ.π. Παρά τη διαισθησή μας, ο πληθάριθμος των αρτίων φυσικών, των περιττών φυσικών, των πρώτων αριθμών και των ρητών είναι επίσης ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , όχι όμως και των πραγματικών. Διαισθητικά ένα αριθμήσιμο σύνολο μπορούμε να το φαντασούμε ως ένα σύνολο στο οποίο αν αρχίσουμε να μετράμε τα στοιχεία του, κάποια στιγμή θα μετρήσουμε οποιοδήποτε στοιχείο του. Για κάθε άπειρο συνόλο Α αποδεικνύεται ή γίνεται δεκτό αξιωματικά ότι c a r d A ≥ c a r d N {\displaystyle cardA\geq card\mathbb {N} } . Υπεραριθμήσιμο σύνολο ονομάζεται το σύνολο το οποίο δεν είναι αριθμήσιμο. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει c a r d A > c a r d N {\displaystyle cardA>card\mathbb {N} } και το Α είναι αναγκαστικά άπειρο σύνολο. Το διάστημα [0,10) είναι υπεραριθμήσιμο, όπως και το σύνολο των πραγματικών αριθμών.