Υποσύνολο

Στα μαθηματικά, ένα σύνολο X {\displaystyle X} ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Y {\displaystyle Y} και συμβολίζουμε με X ⊆ Y {\displaystyle X\subseteq Y} , εάν κάθε στοιχείο του X {\displaystyle X} είναι και στοιχείο (ανήκει) του Y {\displaystyle Y} δηλαδή ισχύει: ∀ x . ( x ∈ X ⇒ x ∈ Y ) {\displaystyle \forall x.(x\in X\Rightarrow x\in Y)} Για παράδειγμα, το X = { 1 , 3 } {\displaystyle X=\{1,3\}} είναι υποσύνολο του Y = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle Y=\{1,2,3,4\}} . Το σύνολο Y {\displaystyle Y} λέγεται και υπερσύνολο του X {\displaystyle X} και συμβολίζεται ως Y ⊇ X {\displaystyle Y\supseteq X} . Ακόμα χρησιμοποιούμε την ορολογία: το σύνολο X {\displaystyle X} περιέχεται στο σύνολο Y {\displaystyle Y} ή ακόμα ότι το σύνολο Y {\displaystyle Y} είναι υπερσύνολο του συνόλου X {\displaystyle X} και γράφουμε X ⊆ Y {\displaystyle X\subseteq Y} . Μπορούμε να θεωρήσουμε το ⊆ {\displaystyle \subseteq } ως τη σχέση που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} για τα οποία ισχύει X ⊆ Y {\displaystyle X\subseteq Y} . Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Y {\displaystyle Y} είναι το δυναμοσύνολο P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)} .

 Παρακάτω δίνονται μερικά παραδείγματα υποσυνόλων: Το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων. { 1 , 3 } ⊆ { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}} . { 1 , 2 , 3 , 4 } ⊆ { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}} . Το σύνολο των περιττών αριθμών είναι υποσύνολο των ακεραίων αριθμών. Όλα τα δυνατά υποσύνολα του { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} είναι τα εξής: { } , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 1 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}} . Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή ∅ ⊆ X {\displaystyle \emptyset \subseteq X} για κάθε σύνολο X {\displaystyle X} . Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του, δηλαδή X ⊆ X {\displaystyle X\subseteq X} για κάθε σύνολο X {\displaystyle X} . Αν το σύνολο X {\displaystyle X} είναι υποσύνολο του Y {\displaystyle Y} και επίσης ισχύει ότι X ≠ Y {\displaystyle X\neq Y} , δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Y {\displaystyle Y} το οποίο να μην ανήκει στο X {\displaystyle X} , τότε λέμε ότι το σύνολο X {\displaystyle X} είναι γνήσιο υποσύνολο του Y {\displaystyle Y} και το συμβολίζουμε με X ⊂ Y {\displaystyle X\subset Y} ή με X ⊊ Y {\displaystyle X\subsetneq Y} . Αντίστοιχα, ορίζεται το γνήσιο υπερσύνολο Y ⊃ X {\displaystyle Y\supset X} ή X ⊋ Y {\displaystyle X\supsetneq Y} . { 1 , 3 } ⊂ { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}} . Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = { 0 , 1 , … , } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,\ldots ,\}} είναι γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων Z = { … , − 1 , 0 , 1 , … } {\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,1,\ldots \}} , δηλαδή N ⊂ Z {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} } . Το σύνολο τον ακεραίων είναι γνήσιο υποσύνολο αυτού των ρητών, δηλαδή Z ⊂ Q {\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} } . Το σύνολο των ρητών γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών, δηλαδή Q ⊂ R {\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} } . Σύνολο Δυναμοσύνολο