Ταυτότητα Bienaymé

Στην θεωρία πιθανοτήτων η ταυτότητα Bienaymé αναφέρεται στην μαθηματική ταυτότητα για τη διακύμανση του αθροίσματος n {\displaystyle n} τυχαίων μεταβλητών Var ⁡ ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n Var ⁡ ( X i ) + ∑ i ≠ j Cov ⁡ ( X i , X j ) , {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}),} όπου Cov ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)} είναι η συνδιακύμανση των X {\displaystyle X} και Y {\displaystyle Y} . Όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, τότε η ταυτότητα απλοποιείται ως εξής Var ⁡ ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n Var ⁡ ( X i ) . {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).}

 Για n = 2 {\displaystyle n=2} , η ταυτότητα έχει τη μορφή Var ⁡ ( X 1 + X 2 ) = Var ⁡ ( X 1 ) + Var ⁡ ( X 2 ) + 2 Cov ⁡ ( X 1 , X 2 ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{1}+X_{2})=\operatorname {Var} (X_{1})+\operatorname {Var} (X_{2})+2\operatorname {Cov} (X_{1},X_{2}).} Για n = 3 {\displaystyle n=3} , η ταυτότητα έχει τη μορφή Var ⁡ ( X 1 + X 2 + X 3 ) = Var ⁡ ( X 1 ) + Var ⁡ ( X 2 ) + Var ⁡ ( X 3 ) + 2 Cov ⁡ ( X 1 , X 2 ) + 2 Cov ⁡ ( X 1 , X 3 ) + 2 Cov ⁡ ( X 2 , X 3 ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{1}+X_{2}+X_{3})=\operatorname {Var} (X_{1})+\operatorname {Var} (X_{2})+\operatorname {Var} (X_{3})+2\operatorname {Cov} (X_{1},X_{2})+2\operatorname {Cov} (X_{1},X_{3})+2\operatorname {Cov} (X_{2},X_{3}).} Από τον ορισμό της διακύμανσης Var ⁡ ( X ) = E ⁡ ( X 2 ) − ( E ⁡ ( X ) ) 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}} προκύπτει ότι Var ⁡ ( ∑ i = 1 n X i ) = E ⁡ ( ( ∑ i = 1 n X i ) 2 ) − ( E ⁡ ( ∑ i = 1 n X i ) ) 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\operatorname {E} \left(\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}\right)-\left(\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\right)^{2}.} Αναπτύσσοντας τα τετράγωνα χρησιμοποιώντας τον τύπο ( z 1 + … + z n ) 2 = ( z 1 2 + … + z n 2 ) + ( z 1 z 2 + z 1 z 3 + … + z n − 1 z n ) {\displaystyle (z_{1}+\ldots +z_{n})^{2}=(z_{1}^{2}+\ldots +z_{n}^{2})+(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+\ldots +z_{n-1}z_{n})} , έχουμε ότι Var ⁡ ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n E ⁡ ( X i 2 ) + ∑ i ≠ j E ⁡ ( X i X j ) − ∑ i = 1 n ( E ⁡ ( X i ) ) 2 − ∑ i ≠ j E ⁡ ( X i ) E ⁡ ( X j ) = ∑ i = 1 n ( E ⁡ ( X i 2 ) − ( E ⁡ ( X i ) ) 2 ) + ∑ i ≠ j ( E ⁡ ( X i X j ) − ∑ i ≠ j E ⁡ ( X i ) E ⁡ ( X j ) ) = ∑ i = 1 n Var ⁡ ( X i ) + ∑ i ≠ j Cov ⁡ ( X i , X j ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}^{2})+\sum _{i\neq j}\operatorname {E} (X_{i}X_{j})-\sum _{i=1}^{n}(\operatorname {E} (X_{i}))^{2}-\sum _{i\neq j}\operatorname {E} (X_{i})\operatorname {E} (X_{j})\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\operatorname {E} (X_{i}^{2})-(\operatorname {E} (X_{i}))^{2}\right)+\sum _{i\neq j}\left(\operatorname {E} (X_{i}X_{j})-\sum _{i\neq j}\operatorname {E} (X_{i})\operatorname {E} (X_{j})\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i})+\sum _{i\neq j}\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j}).\end{aligned}}} Όταν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες τότε Cov ⁡ ( X i , X j ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=0} για i ≠ j {\displaystyle i\neq j} και επομένως ο τύπος απλοποιείται ως εξής: Var ⁡ ( ∑ i = 1 n X i ) = ∑ i = 1 n Var ⁡ ( X i ) . {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).} Διακύμανση Ανισότητα Τσεμπισιόφ Συνδιακύμανση