Τοπολογική Ομάδα

Στα μαθηματικά, μια Τοπολογική Ομάδα είναι μια ομάδα που έχει μια τοπολογία "συμβατή" με τη δομή της ομάδας. Η τοπολογική δομή καθιστά δυνατή, για παράδειγμα, την εξέταση ορίων σε αυτή την ομάδα και τη συζήτηση για συνεχείς ομομορφισμούς.

 Μια ομάδα G {\displaystyle G} λέγεται τοπολογική ομάδα αν έχει τοπολογία τέτοια ώστε : Η συσχέτιση των ομάδων G × G → G {\displaystyle G\times G\to G} είναι συνεχής. Σε αυτή την περίπτωση, η G × G {\displaystyle G\times G} έχει την τοπολογία προϊόντος. Η αντίστροφη αντιστοιχία G → G {\displaystyle G\to G} είναι συνεχής. Οι πραγματικοί αριθμοί R \mathbb {R} με πρόσθεση και συνηθισμένη τοπολογία σχηματίζουν μια τοπολογική ομάδα. Γενικότερα, ο n {\displaystyle n} -διάστατος ευκλείδειος χώρος R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} με διανυσματική πρόσθεση και συνήθη τοπολογία σχηματίζει μια τοπολογική ομάδα. Ομοίως, κάθε χώρος Μπάναχ και χώρος Χίλμπερτ αποτελεί τοπολογική ομάδα ως προς την πρόσθεση. Τα παραπάνω παραδείγματα είναι όλα αβελιανά. Ένα σημαντικό παράδειγμα μη-αβελιανής τοπολογικής ομάδας είναι η ομάδα GL ⁡ ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )} όλων των n × n {\displaystyle n\times n} - αντιστρέψιμων πραγματικών πινάκων. Η τοπολογία προκύπτει θεωρώντας την ομάδα αυτή ως υποσύνολο του ευκλείδειου διανυσματικού χώρου R n 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}} . R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} είναι, όπως και η GL ⁡ ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )} , μια ομάδα Lie, δηλαδή μια τοπολογική ομάδα της οποίας η τοπολογική δομή είναι αυτή μιας ποικιλίας.Ένα παράδειγμα τοπολογικής ομάδας που δεν είναι ομάδα Lie είναι η προσθετική ομάδα των ορθολογικών αριθμών Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (πρόκειται για ένα μετρήσιμο σύνολο που δεν έχει διακριτή τοπολογία). Ένα παράδειγμα μη αβελιανής ομάδας είναι η υποομάδα της ομάδας περιστροφής του R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , η οποία παράγεται από δύο περιστροφές ανορθολογικών πολλαπλάσιων του π \pi (του κυκλικού αριθμού Pi) γύρω από διαφορετικούς άξονες. Σε οποιαδήποτε μοναδιαία άλγεβρα Μπάναχ, το σύνολο των στοιχείων που είναι αντιστρέψιμα με πολλαπλασιασμό σχηματίζει μια τοπολογική ομάδα. Η αλγεβρική δομή και η τοπολογική δομή για μια τοπολογική ομάδα G {\displaystyle G} είναι στενά συνδεδεμένες. Παραδείγµατος χάριν, σε οποιαδήποτε τοπολογική οµάδα, η συνδεδεµένη συνιστώσα του ουδέτερου στοιχείου είναι µια κλειστή κανονική υποοµάδα της G {\displaystyle G} .Εάν a {\displaystyle a} είναι στοιχείο μιας τοπολογικής ομάδας G {\displaystyle G} , τότε ο αριστερός πολλαπλασιασμός και ο δεξιός πολλαπλασιασμός με a {\displaystyle a} είναι ομοιομορφισμοί από την G {\displaystyle G} στην G {\displaystyle G} , όπως και η αντίστροφη εικόνα.Κάθε τοπολογική ομάδα μπορεί να θεωρηθεί ως ομοιόμορφος χώρος. Οι δύο στοιχειώδεις ομοιόμορφες δομές που προκύπτουν από τη δομή της ομάδας είναι η αριστερή ομοιόμορφη δομή και η δεξιά ομοιόμορφη δομή. Η αριστερή ομοιόμορφη δομή καθιστά τον πολλαπλασιασμό με το αριστερό ομοιόμορφα συνεχή, η δεξιά ομοιόμορφη δομή καθιστά τον πολλαπλασιασμό με το δεξί ομοιόμορφα συνεχή. Για μη αβελιανές ομάδες, αυτές οι δύο ομοιόμορφες δομές είναι γενικά διαφορετικές. Οι ομοιόμορφες δομές χρησιμοποιούνται για τον ορισμό εννοιών όπως η πληρότητα, η ομοιόμορφη συνέχεια και η ομοιόμορφη σύγκλιση. Όπως κάθε τοπολογία που παράγεται από έναν ομοιόμορφο χώρο, η τοπολογία μιας τοπολογικής ομάδας είναι απολύτως κανονική. Ειδικότερα, μια τοπολογική ομάδα που ικανοποιεί την T 0 {\displaystyle T_{0}} (δηλαδή είναι ένας χώρος Κολμογκόροφ) είναι ακόμη και ένας χώρος Χάουσντορφ. Η πιο φυσική έννοια του ομομορφισμού μεταξύ των τοπολογικών ομάδων είναι αυτή του συνεχούς ομομορφισμού ομάδων. Οι τοπολογικές ομάδες, μαζί με τους ομομορφισμούς συνεχών ομάδων, σχηματίζουν μια κατηγορία. Κάθε υποομάδα μιας τοπολογικής ομάδας είναι με τη σειρά της μια τοπολογική ομάδα με την τοπολογία του μερικού χώρου. Για μια υποομάδα H {\displaystyle H} της G {\displaystyle G} , η αριστερή και η δεξιά δευτερεύουσα κλάση G / H {\displaystyle G/H} σχηματίζουν έναν τοπολογικό χώρο με την τοπολογία του πηλίκου. Αν η H {\displaystyle H} είναι κανονικός διαιρέτης της G {\displaystyle G} , τότε η G / H {\displaystyle G/H} γίνεται τοπολογική ομάδα. Σημειώστε, ωστόσο, ότι αν η H {\displaystyle H} δεν είναι κλειστή στην τοπολογία της G {\displaystyle G} , η προκύπτουσα τοπολογία στην G / H {\displaystyle G/H} δεν είναι Hausdorffian. Είναι επομένως φυσικό, αν περιοριστούμε στην κατηγορία των Hausdorff-ικών τοπολογικών ομάδων, να μελετάμε μόνο κλειστούς κανονικούς διαιρέτες. Αν η H {\displaystyle H} είναι υποομάδα της G {\displaystyle G} , τότε η κλειστή περιβάλλουσα της H H είναι με τη σειρά της υποομάδα. Ομοίως, το κλείσιμο ενός κανονικού διαιρέτη είναι και πάλι κανονικό. Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. 2 Bände. Teubner, Leipzig 1957–1958. Guido Mislin (Hrsg.): The Hilton symposium 1993. Topics in Topology and Group Theory (= CRM Proceedings & Lecture Notes. Bd. 6). American Mathematical Society, Providence RI 1994, ISBN 0-8218-0273-9. Terence Tao: Hilbert's fifth problem and related topics (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 153). American Mathematical Society, Providence RI 2014, ISBN 978-1-4704-1564-8 online.