Θεώρημα Στιούαρτ

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Στιούαρτ ή σχέση Στιούαρτ (αναφέρεται και ως θεώρημα Stewart ή σχέση Stewart) είναι μία σχέση για το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος από την μία κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά. Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και ένα σημείο Δ {\displaystyle \mathrm {\Delta } } της B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } . Τότε, A B 2 ⋅ Γ Δ + A Γ 2 ⋅ B Δ = B Γ ⋅ ( A Δ 2 + Γ Δ ⋅ B Δ ) {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } =\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } )} .Το θεώρημα Στιούαρτ είναι μία γενίκευση του πρώτου θεωρήματος διαμέσων και επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους των υψών, των διαμέσων και των διχοτόμων ενός τριγώνου. Η γενικευμένη σχέση Στιούαρτ δίνει ότι για κάθε σημείο Δ {\displaystyle \mathrm {\Delta } } της ευθείας B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } (όχι μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα), ισχύει ότι A B 2 ⋅ Δ Γ ¯ + A Δ 2 ⋅ Γ B ¯ + A Γ 2 ⋅ B Δ ¯ + Δ Γ ¯ ⋅ Γ B ¯ ⋅ B Δ ¯ = 0 {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}+\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}+{\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}=0} .Το θεώρημα ονομάζεται έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μάθιου Στιούαρτ που δημοσίευσε τη σχέση το 1746.

 Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο A Δ Γ {\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } } , έχουμε ότι A Γ 2 = A Δ 2 + Δ Γ 2 − 2 ⋅ A Δ ⋅ Δ Γ ⋅ cos ⁡ ϕ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi } .Αντίστοιχα, στο τρίγωνο A B Δ {\displaystyle \mathrm {AB\Delta } } , έχουμε ότι A B 2 = A Δ 2 + Δ B 2 + 2 ⋅ A Δ ⋅ Δ B ⋅ cos ⁡ ϕ . {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {A\Delta ^{2}} +\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi .} Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι A B 2 ⋅ Γ Δ + A Γ 2 ⋅ B Δ = ( A Δ 2 + Δ B 2 + 2 ⋅ A Δ ⋅ Δ B ⋅ cos ⁡ ϕ ) ⋅ Γ Δ + ( A Δ 2 + Δ Γ 2 − 2 ⋅ A Δ ⋅ Δ Γ ⋅ cos ⁡ ϕ ) ⋅ B Δ = A Δ 2 ⋅ ( Γ Δ + B Δ ) + Γ Δ ⋅ B Δ ⋅ ( Γ Δ + B Δ ) = B Γ ⋅ ( A Δ 2 + Γ Δ ⋅ B Δ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } &=\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \\&\qquad +\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {B\Delta } \\&=\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )\\&=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } ),\end{aligned}}} ολοκληρώνοντας την απόδειξη. ◻ {\displaystyle \square } Για τον υπολογισμό του μήκους της διαμέσου, έχουμε ότι Δ {\displaystyle \mathrm {\Delta } } είναι το μέσο της διαμέσουm δηλαδή B Δ = Γ Δ = B Γ 2 {\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}} . Επομένως, η σχέση Στιούαρτ δίνει ότι A B 2 ⋅ B Γ 2 + A Γ 2 ⋅ B Γ 2 = B Γ ⋅ ( A Δ 2 + B Γ 2 4 ) . {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}).} Απλοποιώντας, λαμβάνουμε ότι A B 2 2 + A Γ 2 2 = A Δ 2 + B Γ 2 4 , {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}+{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}},} και τελικώς ότι A Δ = B Γ 2 4 − A B 2 2 − A Γ 2 2 {\displaystyle \mathrm {A\Delta } ={\sqrt {{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}-{\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}-{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}}}} . Για τον υπολογισμό του μήκους της εσωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι B Δ = α γ β + γ {\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}} και Γ Δ = α β β + γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}} από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την σχέση Sterwart, λαμβάνουμε ότι γ 2 ⋅ α β β + γ + β 2 ⋅ α γ β + γ = α ⋅ ( A Δ 2 + α 2 β γ ( β + γ ) 2 ) {\displaystyle \gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}+\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}=\alpha \cdot \left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)} .Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι δ A 2 = A Δ 2 = β γ ⋅ ( 1 − α 2 ( β + γ ) 2 ) . {\displaystyle \delta _{A}^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right).} Για τον υπολογισμό του μήκους της εξωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι B Δ = α γ β − γ {\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}} και Γ Δ = α β β − γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}} από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την γενικευμένη σχέση Sterwart, λαμβάνουμε ότι γ 2 ⋅ α β β − γ − A Δ 2 ⋅ α + β 2 ⋅ α γ β + γ + α ⋅ α 2 β γ ( β + γ ) 2 = 0 {\displaystyle \gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}-\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot \alpha +\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}+\alpha \cdot {\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}=0} .Αναδιατάσσοντας και απλοπλοιώντας, λαμβάνουμε ότι ( δ A ′ ) 2 = A Δ 2 = β γ ⋅ ( α 2 ( β − γ ) 2 − 1 ) . {\displaystyle (\delta _{A}')^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right).} Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος και αναδρομές στην ιστορία του θεωρήματος και των παραλλαγών του. Θεώρημα Στιούαρτ Διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα και εφαρμογές. Απόδειξη με διανύσματα Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα Στιούαρτ Φραγκουλόπουλος Γ.; Αντωνίου Δ. (1991). «Η "επέκταση" των Μετρικών Σχέσεων». Ευκλείδης Β΄ (2): 26-29. Brown, Peter G. (Μαρτίου 2011). «Rays in a right triangle». The Mathematical Gazette 95 (532): 126–127. doi:10.1017/S0025557200002552. Morris, Richard (1928). «Stewart's theorem with applications». The Mathematics Teacher 21 (8): 465-478. https://www.jstor.org/stable/27951072. Πρώτο θεώρημα διαμέσων Νόμος των συνημιτόνων