Βραχμαγκούπτα

Ο Βραχμαγκούπτα (σανσκριτική: ब्रह्मगुप्त, ινδική προφορά , 598 – 670) ήταν Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος ο οποίος έγραψε δύο σημαντικά έργα των Μαθηματικών και της Αστρονομίας. Το πρώτο ήταν η Βραχμασφουτασιντάντα (Brāhmasphuṭasiddhānta, εκτεταμένη μελέτη του Βράχμα) μια θεωρητική μελέτη του 628 η οποία περιέχει τους πρώτους κανόνες για υπολογισμούς με το μηδέν, ενώ ο Αραμπιάτα μερικές δεκαετίες νωρίτερα επίσης στην Ινδία είχε περιγράψει την έννοια του μηδέν. Το δεύτερο κείμενο του είναι η Καντακαντιάκα (Khaṇḍakhādyaka) το 665, ένα πιο πρακτικό κείμενο σχετικά με μαθηματικούς υπολογισμούς. Θεωρείται πως ο Βραχμαγκούπτα καταγόταν από το Μπινμάλ της επαρχίας Ρατζαστάν στην Ινδία. Ο Βραχμαγκούπτα ήταν ο πρώτος που διατύπωσε σαφείς κανόνες για υπολογισμούς με χρήση του μηδενός. Τα κείμενα του ήταν γραμμένα σε ελλειπτικό στίχο, όπως ήταν και η καθιερωμένη συνήθεια στα Ινδικά μαθηματικά, με συνέπεια να αναδύεται και μια ποιητική χροιά κατά την ανάγνωσή τους. Καθώς δεν έχουν διατυπωθεί μαθηματικές αποδείξεις για τα ευρήματα του, δεν είναι γνωστό πως ο Βραχμαγκούπτα έφτασε σε αυτά. Πιθανολογείται ότι γράφτηκε σε στίχο για ευκολότερη απομνημόνευση και ότι ίσως ο Βραχμαγκούπτα έδινε τις αποδείξεις στους μαθητές του, αν και είναι εξίσου πιθανό να γινόταν αποδεκτό κάποιο θεώρημα και τύπος, μετά την επαλήθευσή τους από πλήθος παραδειγμάτων.

 Στους στίχους 7 και 8 του κεφαλαίου 24/ΣʹΔʹ της Βραχμασφουτασιντάντα, αναφέρεται πως ο Βραχμαγκούπτα σύνθεσε το κείμενο αυτό στην ηλικία των τριάντα ετών στην πόλη Σάκα κατά το ινδικό έτος 550 (628 μ.Χ.) κατά τη βασιλεία του Βιαγραμούκα, και από εκεί εξάγεται ως έτος γέννησης του το 598.Οι σχολιαστές του έργου του τον αναφέρουν ως τον μεγάλο σοφό του Μπινμάλ, μια πόλη στην πολιτεία του Ρατζαστάν της βορειοδυτικής Ινδίας. Κατά τους αρχαίους χρόνους το Μπινμάλ ήταν η έδρα των Γκουρτζάρ, ο πατέρας του ανήκε στους Τζισνουγκούπτα, και έζησε την περισσότερη ζωή του στο Μπινμάλ κατά τη βασιλεία του Βιαγραμούκα. Ως συνέπεια, ο Βραχμαγκούπτα συχνά αναφέρεται ως ο Μπιλαμαλατσάρια, δηλαδή ο δάσκαλος από το Μπινμάλ (Μπιλάλα κατά τους αρχαίους χρόνους). Ήταν ο επικεφαλής του αστεροσκοπείου στην Ουτζαΐν, και κατά τη θητεία του αυτή έγραψε τις δύο πραγματείες του, τη Βραχμασφουτασιντάντα και την Καντακαντιάκα, που καλύπτουν και οι δύο μαθηματικά και αστρονομία. Η Βραχμασφουτασιντάντα είναι το πιο διάσημο έργο του και επηρέασε σημαντικά τους άραβες αστρονόμους και μαθηματικούς. Ο Ιρανός λόγιος αλ-Μπιρούνι έγραψε το 1050 στο βιβλίο του Ταρίκ αλ-Χιντ, πως ο χαλίφης των Αββασιδών της Βαγδάτης ο αλ-Μα'μούν, παρέλαβε ένα βιβλίο που του αποστάλθηκε από την πρεσβεία των Αββασιδών στην Ινδία, και είχε μεταφραστεί στα Αραβικά ως η μαθηματική πραγματεία του Σιντχίντ. Είναι γενικά αποδεκτό πως το Σιντχίντ δεν είναι παρά το βιβλίο Βραχμασφουτασιντάντα του Βραχμαγκούπτα.Ο Βραχμαγκούπτα είχε ασκήσει έντονη κριτική ενάντια στα έργα των άλλων αστρονόμων, και στη Βραχμασφουτασιντάντα είναι φανερό πως υπάρχει ένα σχίσμα ανάμεσα στους Ινδούς μαθηματικούς. Η διαμάχη εστιάζονταν κυρίως στη σχέση με την εφαρμοσμένη πλευρά των μαθηματικών και τη χρήση τους στον πραγματικό κόσμο, παρά στη θεωρητική ορθότητά τους. Στην περίπτωση του Βραχμαγκούπτα, οι διαφωνίες ξεκινούσαν κυρίως από την επιλογή των εκάστοτε αστρονομικών παραμέτρων και θεωριών. Η κριτική απέναντι στις άλλες θεωρίες εμφανίζεται στα δέκα πρώτα κεφάλαια για την αστρονομία, με το εντέκατο κεφάλαιο να είναι αποκλειστικά αφιερωμένο στην κριτική, με τα κεφάλαια 12 και 18 να μη περιέχουν καθόλου κριτική. Χαρακτηριστικά άσκησε δριμεία κριτική στις απόψεις του προγενέστερού του Ινδού μαθηματικού και αστρονόμου Αριαμπάτα, ότι η Γη είναι μια περιστρεφόμενη σφαίρα, απόψεις που διαδίδονταν ευρέως από έναν σύγχρονό του αστρονόμο, τον Μπασκάρα Αʹ, αν και δεν είναι γνωστό κατά πόσο γνώριζε το έργο αυτού. Ο Βραχμαγκούπτα έδωσε τη λύση της γενικής γραμμικής εξίσωσης στο κεφάλαιο 18 της Βραχμασφουτασιντάντα, Η διαφορά μεταξύ των ρούπα, όταν αντιστραφούν και διαιρεθούν με τη διαφορά των αγνώστων, είναι ο άγνωστος της εξίσωσης. Τα ρούπα [τα οποία αφαιρούνται] από το τετράγωνο και τον άγνωστο πρέπει να αφαιρεθούν. το οποίο είναι η λύση για την εξίσωση β χ + γ = δ χ + ϵ {\displaystyle \beta \,\!\chi \,\!+\gamma \,\!=\delta \,\!\chi \,\!+\epsilon \,\!} το οποίο εκφράζεται και ως χ = ϵ − γ β − δ {\displaystyle \chi \,\!={\tfrac {\epsilon \,\!-\gamma \,\!}{\beta \,\!-\delta \,\!}}} , όπου τα ρούπα αναφέρονται στις σταθερές γ και ε και οι άγνωστοι στο β και δ. Έδωσε επίσης δύο ισοδύναμες λύσεις στην παρακάτω εξίσωση δευτέρου βαθμού 18.44. Αφαίρεσε τον μεσαίο [αριθμό] από την τετραγωνική ρίζα των ρούπα πολλαπλασιασμένης τέσσερις φορές το τετράγωνο και αυξημένης με το τετράγωνο του μέσου [αριθμού]. Διαίρεσε το υπόλοιπο με δύο φορές το τετράγωνο. [Το αποτέλεσμα είναι ο] μεσαίος [αριθμός]. 18.45. Όποια και να είναι η τετραγωνική ρίζα των ρούπα πολλαπλασιασμένης με το τετράγωνο [και] αυξημένης με το τετράγωνο του μισού του αγνώστου, αφαίρεσε το με το μισό του αγνώστου [και] διαίρεσε [το υπόλοιπο] με το τετράγωνο του. [Το αποτέλεσμα είναι] ο άγνωστος. οι οποίες είναι, αντίστοιχα, λύσεις για την εξίσωση α χ 2 + β χ = γ {\displaystyle \alpha \,\!\chi \,\!^{2}+\beta \,\!\chi \,\!=\gamma \,\!} ισοδύναμης με το, χ = 4 α γ + β 2 − β 2 α {\displaystyle \chi \,\!={\frac {{\sqrt {4\alpha \,\!\gamma \,\!+\beta \,\!^{2}}}-\beta \,\!}{2\alpha \,\!}}} και χ = α γ + β 2 4 − β 2 α . {\displaystyle \chi \,\!={\frac {{\sqrt {\alpha \,\!\gamma \,\!+{\tfrac {\beta \,\!^{2}}{4}}}}-{\tfrac {\beta \,\!}{2}}}{\alpha \,\!}}.} Συνέχισε με την επίλυση ταυτόχρονων απροσδιόριστων εξισώσεων δηλώνοντας πως η επιθυμητή μεταβλητή πρέπει να απομονωθεί πρώτα, και κατόπιν η εξίσωση να διαιρεθεί με τον επιθυμητό συντελεστή της μεταβλητής. Συγκεκριμένα, πρότεινε να χρησιμοποιείται η μέθοδος της 'πολτοποίησης' για τη λύση εξισώσεων με πολλαπλούς αγνώστους. 18.51. Αφαίρεσε τα χρώματα τα οποία είναι διαφορετικά από το πρώτο χρώμα. [Το υπόλοιπο] διαιρεμένο με το πρώτο [συντελεστή του χρώματος] είναι η μέτρηση του πρώτου. [Συνθήκες] δύο επί δύο εμφανίζονται [όταν μειωθεί] με παρόμοιους διαιρέτες, [και συνεχίζει να] επαναλαμβάνεται. Αν υπάρχουν πολλά [χρώματα], ο πολτοποιητής [πρέπει να χρησιμοποιηθεί]. Όπως και η άλγεβρα του Διόφαντου της Αλεξάνδρειας, η άλγεβρα του Βραχμαγκούπτα ήταν συγκοπτόμενη. Η πράξη της πρόσθεσης συμβολιζόταν με την τοποθέτηση των αριθμών δίπλα δίπλα, η αφαίρεση με την τοποθέτηση μια τελείας πάνω από τον αφαιρετέο, και η διαίρεση με το να τοποθετείται ο διαιρέτης κάτω από τον διαιρετέο, παρόμοια με τη σημερινή μαθηματική σημειολογία αλλά χωρίς την παύλα της διαίρεσης. Ο πολλαπλασιασμός, οι ρίζες, και οι άγνωστες ποσότητες αναπαριστούνταν με συντομογραφίες των αντίστοιχων όρων. Η έκταση της Ελληνικής επιρροής στη μαθηματική συγκοπή, αν υπάρχει, δεν είναι γνωστή και είναι πιθανό πως και η Ελληνική και η Ινδική μέθοδος της συγκοπής προέρχεται από μια κοινή Βαβυλωνιακή πηγή. Οι τέσσερις στοιχειώδεις πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση) ήταν γνωστές σε πολλούς πολιτισμούς προγενέστερους του Βραχμαγκούπτα. Το σημερινό αριθμητικό σύστημα είναι βασισμένο στο Ινδοαραβικό και εμφανίστηκε πρώτα στη Βραχμασφουτασιντάντα. Ο Βραχμαγκούπτα περιγράφει τον πολλαπλασιασμό ως: Ο πολλαπλασιαστέος επαναλαμβάνεται σαν ένα λουρί για τα ζώα, τόσο συχνά όσο υπάρχουν ακέραιες μονάδες στον πολλαπλασιαστή, και πολλαπλασιάζεται επανελλημένως με αυτούς, και τα γινόμενα προστίθενται. Είναι πολλαπλασιασμός. Ή ο πολλαπλασιαστέος επαναλαμβάνεται τόσες φορές, όσες υπάρχουν συστατικά μέρη στον πολλαπλασιαστή. Η Ινδική αριθμητική ήταν γνωστή στη Μεσαιωνική Ευρώπη ως Μόντους Ίντοραμ(Modus Indoram), που στα Λατινικά σημαίνει μέθοδος των Ινδών. Στη Βραχμασφουτασιντάντα, ο Πολλαπλασιασμός ονομάστηκε Γκομουτρίκα(Gomutrika). Στην αρχή του κεφαλαίου δώδεκα της Βραχμασφουτασιντάντα, με τον τίτλο Υπολογισμοί, ο Βραχμαγκούπτα περιγράφει τις πράξεις των κλασμάτων. Ο αναγνώστης θεωρείται πως πρέπει να γνωρίζει τις βασικές αριθμητικές πράξεις μέχρι του σημείου του υπολογισμού των τετραγωνικών ριζών, αν και ο Βραχμαγκούπτα εξηγεί πως μπορεί να βρεθεί ο κύβος και η κυβική ρίζα ενός ακέραιου, και αργότερα περιγράφει τους κανόνες που διέπουν τον υπολογισμό των δυνάμεων του 2 και των τετραγωνικών ριζών. Ακολουθεί με το να παραθέτει τους κανόνες για υπολογισμούς με τέσσερις συνδιασμούς κλασμάτων, του α γ + β γ {\displaystyle {\tfrac {\alpha \,\!}{\gamma \,\!}}+{\tfrac {\beta \,\!}{\gamma \,\!}}} , και α γ ⋅ β δ {\displaystyle {\tfrac {\alpha \,\!}{\gamma \,\!}}\cdot {\tfrac {\beta \,\!}{\delta \,\!}}} , α 1 + β δ {\displaystyle {\tfrac {\alpha \,\!}{1}}+{\tfrac {\beta \,\!}{\delta \,\!}}} , και α γ + β δ ⋅ α γ = α ( δ + β ) γ δ {\displaystyle {\tfrac {\alpha \,\!}{\gamma \,\!}}+{\tfrac {\beta \,\!}{\delta \,\!}}\cdot {\tfrac {\alpha \,\!}{\gamma \,\!}}={\tfrac {\alpha \,\!(\delta \,\!+\beta \,\!)}{\gamma \,\!\delta \,\!}}} , και του α γ − β δ ⋅ α γ = α ( δ − β ) γ δ {\displaystyle {\tfrac {\alpha \,\!}{\gamma \,\!}}-{\tfrac {\beta \,\!}{\delta \,\!}}\cdot {\tfrac {\alpha \,\!}{\gamma \,\!}}={\tfrac {\alpha \,\!(\delta \,\!-\beta \,\!)}{\gamma \,\!\delta \,\!}}} . Προόδοι Ο Βραχμαγκούπτα συνεχίζει με το να δίνει το σύνολο των τετραγώνων και των κύβων των πρώτων ν ακεραίων. 12.20. Το σύνολο των τετραγώνων είναι το [σύνολο] πολλαπλασιασμένο με δύο [φορές] τον αριθμό των βημάτων αυξημένου με ένα [και] διαιρεμένου με τρία. Το σύνολο των κύβων είναι το τετράγωνο αυτού [του συνόλου]. Σωροί αυτών των ίδιων σφαιρών [μπορούν επίσης να υπολογιστούν]. Εδώ ο Βραχμαγκούπτα βρήκε το αποτέλεσμα σε σχέση με το σύνολο των πρώτων ν ακεραίων, αντί σε σχέση με το ν όπως στη σύγχρονη πρακτική.Ορίζει το σύνολο των τετραγώνων των πρώτων ν φυσικών αριθμών ως ν(ν+1)(2ν+1)/6, και το σύνολο των κύβων των πρώτων ν φυσικών αριθμών ως (ν(ν+1)/2)². Μηδέν Η Βραχμασφουτασιντάντα του Βραχμαγκούπτα είναι το πρώτο βιβλίο το οποίο αναφέρεται στο μηδέν ως κανονικό αριθμό -με εξαίρεση τις αναφορές του Αριαμπάτα-, αντί για ένα σύμβολο ως αναπαράσταση ενός άλλου αριθμού όπως κάναν οι Βαβυλώνιοι, ή ως σύμβολο για την έλλειψη μιας ποσότητας όπως έκανε ο Κλαύδιος Πτολεμαίος και οι Ρωμαίοι, και ανεξάρτητα οι Ολμέκοι στην Προκολομβιανή Αμερική, οπότε ο Βραχμαγκούπτα θεωρείται ως ο πρώτος που μορφοποίησε πλήρως την έννοια του μηδενός. Καθόρισε κανόνες για τη χρήση του μηδέν με αρνητικούς και θετικούς αριθμούς. Το μηδέν συν ένα θετικό αριθμό, είναι ο θετικός αριθμός, και το μηδέν συν ένας αρνητικός αριθμός, είναι ένας αρνητικός αριθμός. Στο κεφάλαιο 18 του βιβλίου, περιγράφει τις πράξεις πάνω στους αρνητικούς αριθμούς, περιγράφωντας πρώτα την πρόσθεση και αφαίρεση τους, 18.30. [Το σύνολο] δύο θετικών [αριθμών] είναι θετικός, των δύο αρνητικών αρνητικός, ενός θετικού και αρνητικού η διαφορά τους, αν είναι ίσοι τότε είναι μηδέν. Το σύνολο ενός αρνητικού και του μηδέν είναι αρνητικός, θετικού και μηδενός θετικός, των δύο μηδενικών μηδέν. [...] 18.32. Ένας αρνητικός πλην το μηδέν είναι αρνητικός, ένας θετικός [πλην το μηδέν] θετικός, μηδέν πλην μηδέν είναι μηδέν. Όταν ένας θετικός αφαιρείτε από έναν αρνητικό ή ένας αρνητικός από ένα θετικό, τότε προστίθεται. Συνεχίζει με τον πολλαπλασιασμό, 18.33. Το γινόμενο ενός αρνητικού και ενός θετικού είναι αρνητικός, δύο αρνητικών θετικός, και των θετικών θετικός, το γινόμενο του μηδέν και ενός αρνητικού, του μηδέν και ενός θετικού, ή δύο μηδενικών είναι μηδέν. Αλλά η περιγραφή που δίνει στη διαίρεση με το μηδέν, διαφέρει από τη σύγχρονη έννοια, 18.34. Ένας θετικός διαιρεμένος με ένα θετικό ή με ένα αρνητικό είναι θετικός, το μηδέν διαιρεμένο με το μηδέν είναι μηδέν, ένας θετικός διαιρεμένος με ένα αρνητικό είναι αρνητικός, ένας αρνητικός διαιρεμένος με ένα θετικό είναι [επίσης] αρνητικός. 18.35. Ένας αρνητικός ή ένας θετικός διαιρεμένος με το μηδέν έχει [το μηδέν] σαν τον διαιρέτη του, ή το μηδέν διαιρεμένο με ένα αρνητικό ή ένα θετικό [έχει τον αρνητικό ή τον θετικό ως τον διαιρέτη του]. Το τετράγωνο ενός αρνητικού ή ενός θετικού είναι θετικός, [το τετράγωνο] του μηδενός είναι μηδέν. Αυτό του οποίου [το τετράγωνο] είναι το τετράγωνο είναι η τετραγωνική ρίζα [του]. Εδώ ο Βραχμαγκούπτα λέει πως 0 0 = 0 {\displaystyle {\tfrac {0}{0}}=0} , και όσο για την περίπτωση α 0 {\displaystyle {\tfrac {\alpha \,\!}{0}}} όπου α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \,\!\neq 0} δεν έδωσε εξηγήσεις. Οι κανόνες που παραθέτει για την αριθμητική των αρνητικών αριθμών και το μηδέν, είναι αρκετά κοντά στις σύγχρονες έννοιες, εκτός από τη διαίρεση με το μηδέν όπου στα σύγχρονα μαθηματικά δεν ορίζεται. Πυθαγόρειες τριάδες Στο κεφάλαιο δώδεκα του βιβλίου του, ο Βραχμαγκούπτα δίνει ένα τρόπο για την παραγωγή Πυθαγόρειων τριάδων: 12.39. Το ύψος ενός βουνού πολλαπλασιασμένο με τον πολλαπλασιαστή είναι η απόσταση στη πόλη, δεν διαγράφεται. Όταν διαιρείται με τον πολλαπλασιαστή αυξημένου κατά δύο τότε είναι το άλμα του ενός που κάνει το ίδιο ταξίδι. Ή, με άλλα λόγια, αν δ = μχ/(χ + 2), τότε ο ταξιδιώτης που κάνει ένα "άλμα" κάθετα προς τα πάνω σε μια απόσταση δ, από ένα βουνό ύψους μ, και κατόπιν ταξιδεύει σε μια ευθεία γραμμή προς την πόλη σε μια οριζόντια απόσταση μ * χ από τη βάση του βουνού, τότε ταξιδεύει την ίδια απόσταση όπως κάποιος που κατεβαίνει κάθετα από το βουνό και κατόπιν ταξιδεύει πάνω στον οριζόντιο άξονα προς στην πόλη. Διατυπωμένο γεωμετρικά, λέει πως εάν ένα τρίγωνο με οξεία γωνία έχει μια βάση μήκους α = μ * χ, και το ύψος του έχει μήκος β = μ + δ, τότε το μήκος, γ, της υποτείνουσας του δίνεται από το γ = μ (1+χ) – δ. Και πράγματα, η στοιχειώδης αλγεβραϊκή επεξεργασία δείχνει πως α2 + β2 = γ2 όπου η τιμή του δ είναι γνωστή, οπότε και καταλήγουμε στο Πυθαγόρειο θεώρημα, την πιο διάσημη διατύπωση των Πυθαγόρειων τριάδων. Επίσης, εάν τα μ και χ είναι ρητοί αριθμοί, αυτό σημαίνει πως το ίδιο είναι και οι δ, α, β and γ. Μια Πυθαγόρεια τριάδα επομένως μπορεί να βρεθεί από το α, β και πολλαπλασιάζοντας τον κάθε αριθμό με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών του. Η εξίσωση του Πελ(Pell) Ο Βραχμαγκούπτα συνέχισε δίνοντας μια αναδρομική συνάρτηση για την παραγωγή λύσεων ορισμένων περιπτώσεων των Διοφαντικών εξισώσεων δευτέρου βαθμού όπως N χ 2 + 1 = ψ 2 {\displaystyle \mathrm {N} \,\!\chi \,\!^{2}+1=\psi \,\!^{2}} με τη χρήση του Ευκλείδιου αλγόριθμου. Ο αλγόριθμος του ήταν γνωστός ως ο 'πολτοποιητής' καθώς σπάει τους αριθμούς σε μικρότερα κομμάτια. Η φύση των τετραγώνων:18.64. [Σημείωσε την] δύο φορές την τετραγωνική ρίζα ενός τετραγώνου με ένα πολλαπλασιαστή και αυξημένης ή μειωμένης με ένα αυθαίρετο [αριθμό]. Το γινόμενο του πρώτου [ζεύγους], πολλαπλασιασμένου με τον πολλαπλασιαστέο, με το γινόμενο του τελευταίου [ζεύγους], είναι το τελευταίο που υπολογίζεται.18.65. Το σύνολο των γινομένων της αστραπής είναι το πρώτο. Το προσθετέο είναι ίσο με το γινόμενο των προσθετέων. Οι δύο τετραγωνικές ρίζες, διαιρεμένες με τον προσθετέο ή τον αφαιρετέο, είναι τα προσθετέα ρούπα'. Το κλειδί για τη λύση του ήταν η ταυτότητα, ( χ 1 2 − N ψ 1 2 ) ( χ 2 2 − N ψ 2 2 ) = ( χ 1 χ 2 + N ψ 1 ψ 2 ) 2 − N ( χ 1 ψ 2 + χ 2 ψ 1 ) 2 {\displaystyle (\chi \,\!_{1}^{2}-N\psi \,\!_{1}^{2})(\chi \,\!_{2}^{2}-N\psi \,\!_{2}^{2})=(\chi \,\!_{1}\chi \,\!_{2}+N\psi \,\!_{1}\psi \,\!_{2})^{2}-N(\chi \,\!_{1}\psi \,\!_{2}+\chi \,\!_{2}\psi \,\!_{1})^{2}} το οποίο είναι μια γενίκευση της ταυτότητας που ανακαλύφθηκε από τον Διόφαντο, ( χ 1 2 − ψ 1 2 ) ( χ 2 2 − ψ 2 2 ) = ( χ 1 χ 2 + ψ 1 ψ 2 ) 2 − ( χ 1 ψ 2 + χ 2 ψ 1 ) 2 . {\displaystyle (\chi \,\!_{1}^{2}-\psi \,\!_{1}^{2})(\chi \,\!_{2}^{2}-\psi \,\!_{2}^{2})=(\chi \,\!_{1}\chi \,\!_{2}+\psi \,\!_{1}\psi \,\!_{2})^{2}-(\chi \,\!_{1}\psi \,\!_{2}+\chi \,\!_{2}\psi \,\!_{1})^{2}.} Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του καθώς και το γεγονός ότι τα ( χ 1 , {\displaystyle (\chi \,\!_{1},} ψ 1 ) {\displaystyle \psi \,\!_{1})} και ( χ 2 , {\displaystyle (\chi \,\!_{2},} ψ 2 ) {\displaystyle \psi \,\!_{2})} είναι λύσεις στις εξισώσεις χ 2 − N ψ 2 = κ 1 {\displaystyle \chi \,\!^{2}-N\psi \,\!^{2}=\kappa \,\!_{1}} and χ 2 − N ψ 2 = κ 2 {\displaystyle \chi \,\!^{2}-N\psi \,\!^{2}=\kappa \,\!_{2}} , αντίστοιχα, τότε ( χ 1 χ 2 + N ψ 1 ψ 2 , {\displaystyle (\chi \,\!_{1}\chi \,\!_{2}+N\psi \,\!_{1}\psi \,\!_{2},} χ 1 ψ 2 + χ 2 ψ 1 ) {\displaystyle \chi \,\!_{1}\psi \,\!_{2}+\chi \,\!_{2}\psi \,\!_{1})} είναι μια λύση στο χ 2 − N ψ 2 = κ 1 κ 2 {\displaystyle \chi \,\!^{2}-N\psi \,\!^{2}=\kappa \,\!_{1}\kappa \,\!_{2}} , μπόρεσε και βρήκε ολοκληρωμένες λύσεις στην εξίσωση το Πελ μέσα από μια σειρά εξισώσεων της μορφής χ 2 − N ψ 2 = κ i {\displaystyle \chi \,\!^{2}-N\psi \,\!^{2}=\kappa \,\!_{i}} . Δυστυχώς, ο Βραχμαγκούπτα δεν μπόρεσε να εφαρμόσει τη λύση αυτή ενιαία για όλες τις πιθανές τιμές του N, αλλά μπόρεσε μόνο να δείξει πως αν το χ 2 − N ψ 2 = κ {\displaystyle \chi \,\!^{2}-N\psi \,\!^{2}=\kappa \,\!} έχει μια ακέραια λύση για το k = ±1, ±2, ή ±4, τότε το χ 2 − N ψ 2 = 1 {\displaystyle \chi \,\!^{2}-N\psi \,\!^{2}=1} έχει μια λύση. Η λύση της γενικής εξίσωσης του Πελ λύθηκε κατόπιν από τον Μπασκάρα Β το 1150. Ο Βραχμαγκούπτα αφιέρωσε ένα σημαντικό μέρος της δουλειάς του στη γεωμετρία. Ο τύπος του Βραχμαγκούπτα Το πιο διάσημο αποτέλεσμα του Βραχμαγκούπτα στη γεωμετρία είναι ο τύπος του για τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα. Δοσμένων των μηκών των πλευρών οποιουδήποτε εγγεγραμμένου τετράπλευρου, ο Βραχμαγκούπτα έδωσε μια γενική και μια ακριβής εξίσωση για το εμβαδό του σχήματος, 12.21. Το κατά προσέγγιση εμβαδόν είναι το γινόμενο των μισών του αθροίσματος των πλευρών και των απέναντι πλευρών σε ένα τρίγωνο και σε ένα τετράπλευρο. Το ακριβές [εμβαδό] είναι η τετραγωνική ρίζα από το γινόμενο, του μισού του αθροίσματος των πλευρών μειωμένο με την [κάθε] πλευρά του τετράπλευρου. Έτσι δοσμένων των μηκών p, q, r και s ενός εγγεγραμμένου τετράπλευρου, το κατά προσέγγιση εμβαδόν είναι ( p + r 2 ) ( q + s 2 ) {\displaystyle ({\tfrac {p+r}{2}})({\tfrac {q+s}{2}})} , ενώ αν t = p + q + r + s 2 {\displaystyle t={\tfrac {p+q+r+s}{2}}} , το ακριβές εμβαδό είναι ( t − p ) ( t − q ) ( t − r ) ( t − s ) . {\displaystyle {\sqrt {(t-p)(t-q)(t-r)(t-s)}}.} Αν και ο Βραχμαγκούπτα δεν αναφέρει ρητά πως αυτά τα τετράπλευρα είναι εγγεγραμμένα, είναι εμφανές από τους κανόνες που χρησιμοποιεί πως πρόκειται για τέτοια. Ο τύπος του Ήρωνα, είναι μια ειδική περίπτωση αυτού του τύπου και μπορεί να εξαχθεί κάνοντας μια από τις πλευρές ίση με μηδέν (δηλαδή να έχουμε τρίγωνο). Τρίγωνα Ένα από τα θεωρήματα του Βραχμαγκούπτα δίνει τα μήκη των δύο τμημάτων της βάσης ενός τριγώνου όταν αυτή χωρίζεται από το ύψος του: 12.22. Η βάση μειώνεται και αυξάνεται με τη διαφορά των τετραγώνων των πλευρών διαιρεμένων με τη βάση. Όταν διαιρείται με το δύο τότε είναι τα πραγματικά τμήματα. Το κάθετο [ύψος] είναι η τετραγωνική ρίζα από το τετράγωνο μιας πλευράς μειωμένης από το τετράγωνο του τμήματος της. Επομένως τα μήκη των δύο τμημάτων είναι 1 2 ( b ± c 2 − a 2 b ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(b\pm {\frac {c^{2}-a^{2}}{b}})} . Επιπλέον παραθέτει ένα θεώρημα για τρίγωνα του Ήρωνα, τρίγωνα δηλαδή στα οποία όλες οι πλευρές και το εμβαδό είναι ρητοί αριθμοί. α = 1 2 ( u 2 v + v ) , β = 1 2 ( u 2 w + w ) , γ = 1 2 ( u 2 v − v + u 2 w − w ) {\displaystyle \alpha \,\!={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}+v\right),\ \ \beta \,\!={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{w}}+w\right),\ \ \gamma \,\!={\frac {1}{2}}\left({\frac {u^{2}}{v}}-v+{\frac {u^{2}}{w}}-w\right)} για ρητούς αριθμούς u, v, και w. Το θεώρημα του Βραχμαγκούπτα Ο Βραχμαγκούπτα συνεχίζει, 12.23. Η τετραγωνική ρίζα του συνόλου των δύο γινομένων των πλευρών και αντίθετων πλευρών ενός άνισου τετράπλευρου είναι η διαγώνιος. Το τετράγωνο της διαγώνιου μειώνεται με το τετράγωνο του μισού του συνόλου της βάσης και της κορυφής, η τετραγωνική ρίζα είναι τα κάθετα [ύψη]. Έτσι, σε ένα "μη ίσο" κυκλικό πολύεδρο -το οποίο είναι ισοσκελές τραπεζοειδές-, το μήκος της κάθε διαγωνίου είναι p r + q s {\displaystyle {\sqrt {pr+qs}}} . Συνεχίζει με εξισώσεις για τα μήκη και εμβαδά των γεωμετρικών σχημάτων, όπως την περιφέρεια και μήκος ενός ισοσκελές τραπεζοειδούς και ενός σκαληνού τετράπλευρου, και τα μήκη των διαγωνίων σε ένα κυκλικό τετράπλευρο, 12.30-31. Απεικονίζοντας δύο τρίγωνα μέσα σε ένα [κυκλικό τετράπλευρο] με άνισες πλευρές, οι δύο διαγώνιου είναι οι δύο βάσεις. Τα δύο τμήματα τους είναι ξεχωριστά το άνω και κάτω τμήμα [που σχηματίζονται] στην τομή των διαγωνίων. Τα δύο [κάτω τμήματα] των δύο διαγωνίων είναι δύο πλευρές σε ένα τρίγωνο, η βάση [του τετράπλευρου είναι η βάση του τριγώνου]. Ο κάθετος του είναι το χαμηλότερο κομμάτι της [κεντρικής] καθέτου, το άνω τμήμα της [κεντρικής] καθέτου είναι το μισό του συνόλου των [πλευρών των] καθέτων μειωμένων κατά το χαμηλότερο [μέρος της κεντρικής καθέτου]. Αριθμός π Στον στίχο 40, δίνει την εκτίμηση του αριθμού π, 12.40. Η διάμετρος και το τετράγωνο της ακτίνας πολλαπλασιάζονται [και τα δύο] με το τρία είναι [αντίστοιχα] η πρακτική περιφέρεια και το εμβαδό [ενός κύκλου]. Οι ακριβείς [τιμές] είναι οι τετραγωνικές ρίζες των τετραγώνων αυτών των δύο πολλαπλασιαζόμενων με δέκα. Έτσι ο Βραχμαγκούπτα χρησιμοποιεί το 3 ως μια 'πρακτική' τιμή για το π, και 10 {\displaystyle {\sqrt {10}}} (3.16...) ως μια 'ακριβής' τιμή του π. Μετρήσεις και κατασκευές Σε μερικούς από τους στίχους πριν τον 40, ο Βραχμαγκούπτα περιγράφει κατασκευές διάφορων σχημάτων με ποικίλες πλευρές. Ουσιαστικα επεξεργάστηκε τα τρίγωνα με οξείες γωνίες για να παράγει ισοσκελή τρίγωνα, σκαληνά τρίγωνα, ορθογώνια, ισοσκελή τραπεζοειδή, ισοσκελή τραπεζοειδή με τρείς ίσες πλευρές, και ένα σκαληνό κυκλικό τραπεζοειδές. Μετά την εκτίμηση της τιμής του π, ασχολήθηκε με τη γεωμετρία των πλάνων και στερεών, όπως με την εύρεση της χωρητικότητας και του εμβαδού επιφανείας (ή τα κενά μέρη που εξάγωνται από τα στερεά). Βρήκε τη χωρητικότητα των ορθογώνιων πρισμάτων, πυραμίδων, και τον κόλουρο κώνο μια τετράγωνης πυραμίδας. Επιπλέον βρήκε το μέσο βάθος μιας σειράς από χάσματα. Για τη χωρητικότητα του κόλουρου κώνου της πυραμίδας, δίνει την 'πραγματική' τιμή ως το βάθος επί το τετράγωνο των μέσων τιμών των κορυφών της άνω και κάτω επιφάνειας, και την 'επιφανεική' το βάθος επί τη μέση τιμή τους. Πίνακας ημιτόνων Στο κεφάλαιο 2 της Βραχμασφουτασιντάντα, με τον τίτλο Πλανητικά Πραγματικά Γεωγραφικά Μήκη, ο Βραγμαγκούπτα παρουσιάζει ένα πίνακα ημιτόνων: 2.2-5. Τα ημίτονα: Πρόγονοι, δίδυμοι, Μεγάλη Άρκτος, οι Βέδες, οι θεοί, φωτιές, έξι, γεύσεις, ζάρια, οι θεοί, η σελήνη, πέντε, ο ουρανός, η σελήνη, η σελήνη, βέλη, ήλιοι [...] Εδώ ο Βραχμαγκούπτα χρησιμοποιεί ονόματα αντικειμένων τα οποία αντιπροσωπεύουν τα ψηφία των οποίων η αριθμητική τιμή εξαρτάται από τη θέση τους μέσα στο νούμερο, όπως ήταν κοινό να χρησιμοποιούνται ονομασίες αντικειμένων στις Σανσκριτικές πραγματείες. Οι Πρόγονοι αντιπροσοπεύουν το 14 σύμφωνα με την Ινδική κοσμολογία, οι δίδυμοι το 2, η Μεγάλη Άρκτος το 7 ως τα 7 αστέρια του αντίστοιχου αστερισμού, οι Βέδες το 4 για το σύνολο των Βεδών, τα ζάρια το 6 ως το σύνολο των πλευρών ενός ζαριού, και η αρίθμηση των υπόλοιπων αντικειμένων ακολουθεί παρόμοια λογική. Η παραπάνω παράθεση μεταφράζεται σε ένα κατάλογο ημιτόνων, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, and 3270, με την ακτίνα να είναι 3270. Παρεμβολική εξίσωση Το 665 ο Βραχμαγκούπτα εφήυρε και χρησιμοποίησε μια ειδική περίπτωση της παρεμβολικής εξίσωσης Νιούτον-Στίρλινγκ(Newton–Stirling) δευτέρου βαθμού, ώστε να παρεμβολίσει νέες τιμές στην ημιτονική μεταβολή από άλλες τιμές που είχαν ήδη πινακοποιηθεί. Η εξίσωση δίνει μια εκτίμηση για την τιμή της μεταβολής f {\displaystyle f} με παράμετρο την τιμή a + xh (όπου h > 0 και −1 ≤ x ≤ 1) όταν η τιμή είναι ήδη γνωστή για a − h, a και a + h. Η εξίσωση για την εκτίμηση είναι: f ( a + x h ) ≈ f ( a ) + x ( Δ f ( a ) + Δ f ( a − h ) 2 ) + x 2 Δ 2 f ( a − h ) 2 ! . {\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x\left({\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}\right)+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}}.} όπου Δ είναι η πρώτης τάξης μεταβολή της διαφοράς, π.χ. Δ f ( a ) = d e f f ( a + h ) − f ( a ) . {\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).} Οι Άραβες γνώρισαν την Ινδική αστρονομία μέσω της Βραχμασφουτασιντάντα. Ο διάσημος χαλίφης των Αββασίδων Αλ-Μανσούρ(712–775) ίδρυσε τη Βαγδάτη στις όχθες του Τίγρη, και την έκανε ένα κέντρο μάθησης. Το 770 ο χαλίφης κάλεσε ένα λόγιο του Ουτζαΐν, ο οποίος χρησιμοποίησε το βιβλίο του Βραχμαπούτρα για την εξήγηση του Ινδικού συστήματος της αριθμητικής αστρονομίας, και κατόπιν οι Άραβες μετέφρασαν και υιοθέτησαν τις γνώσεις αυτές. Στο κεφάλαιο 7 του βιβλίου του Βραχμαπούτρα, με τον τίτλο Σεληνικό Ήμισυ, απορρίπτεται η ιδέα πως η Σελήνη είναι μακρύτερα από τη Γη απ'ότι ο Ήλιος, μια ιδέα η οποία διατηρούνταν στα γραπτά της εποχής, και δίνει την εξήγηση πως η Σελήνη φωτίζεται από τον Ήλιο. 7.1. Αν το φεγγάρι ήταν πάνω από τον ήλιο, πως θα ήταν δυνατός ο υπολογισμός της αυξομείωσης να υπολογιστεί βάσει του υπολογισμού [του γεωγραφικού μήκους] της Σελήνης; Το πλησιέστερο ήμισυ της [θα ήταν] πάντα φωτεινό 7.2. Με τον ίδιο τρόπο όπου το ορατό μισό που φωτίζεται από τον ήλιο είναι φωτεινό, και αυτό που δε φωτίζεται σκοτεινό, έτσι και [η φωτεινότητα] του φεγγαριού [αν είναι] κάτω από τον ήλιο 7.3. Η φωτεινότητα αυξάνεται στην κατεύθυνση του ήλιου. Στο τέλος ενός φωτεινού δεκαπενθήμερου, το εγγύς μισό είναι φωτεινό και το απομακρυσμένο μισό σκοτεινό. Επομένως, η ανύψωση των άκρων της ημισελήνου [μπορεί να γίνει μέσω] των υπολογισμών Εξηγεί πως μια και η Σελήνη είναι πλησιέστερη στη Γη παρότι ο Ήλιος, το ποσοστό του φωτισμένου μέρους της εξαρτάται από τις αντίστοιχες θέσεις του Ήλιου και της Σελήνης, και πως μπορεί να υπολογιστεί από το μέγεθος της γεωμετρικής γωνίας μεταξύ των δύο σωμάτων.Μερικές από τις σημαντικές συνεισφορές του Βραχμαπούτρα στην αστρονομία είναι: μέθοδοι για τον υπολογισμό της μεταβαλλόμενης θέσης των ουράνιων σωμάτων, η ανατολή και η δύση τους, αστρικές σύνοδοι, και ο υπολογισμός των ηλιακών και σεληνιακών εκλείψεωνΟ Βραχμαγκούπτα άσκησε κριτική στις παραδοσιακές Ινδικές αντιλήψεις πως η Γη ήταν επίπεδο ή κούφια, και υποστήριζε πως η Γη είναι σφαιρική. (Αγγλικά) Plofker, Kim (2007). «Mathematics in India». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9. (Αγγλικά) Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. (Αγγλικά) Cooke, Roger (1997). The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3. (Αγγλικά) Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8. (Αγγλικά) Stillwell, John (2004). Mathematics and its History (Second Edition έκδοση). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1. Brahmagupta's Brahma-sphuta-siddhanta κείμενο στα Αγγλικά, Ινδικά και Σανσκριτικά Αριαμπάτα Βαραχαμιχίρα Ινδικά μαθηματικά