Τριγωνικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, άνω τριγωνικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας U {\displaystyle U} διαστάσεων n × n {\displaystyle n\times n} όπου τα στοιχεία U i j = 0 {\displaystyle U_{ij}=0} για κάθε 1 ≤ j < i ≤ n {\displaystyle 1\leq j<i\leq n} . Για n = 2 , 3 , 4 {\displaystyle n=2,3,4} η γενική τους μορφή είναι: [ U 11 U 12 0 U 22 ] ⏟ 2 × 2 [ U 11 U 12 U 13 0 U 22 U 23 0 0 U 33 ] ⏟ 3 × 3 [ U 11 U 12 U 13 U 14 0 U 22 U 23 U 24 0 0 U 33 U 34 0 0 0 U 44 ] ⏟ 4 × 4 . {\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}\\0&U_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}&U_{13}\\0&U_{22}&U_{23}\\0&0&U_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}U_{11}&U_{12}&U_{13}&U_{14}\\0&U_{22}&U_{23}&U_{24}\\0&0&U_{33}&U_{34}\\0&0&0&U_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4}.} Αντίστοιχα, κάτω τριγωνικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας L {\displaystyle L} διαστάσεων n × n {\displaystyle n\times n} όπου τα στοιχεία L i j = 0 {\displaystyle L_{ij}=0} για κάθε 1 ≤ i < j ≤ n {\displaystyle 1\leq i<j\leq n} . Για n = 2 , 3 , 4 {\displaystyle n=2,3,4} η γενική τους μορφή είναι: [ L 11 0 L 21 L 22 ] ⏟ 2 × 2 [ L 11 0 0 L 21 L 22 0 L 31 L 32 L 33 ] ⏟ 3 × 3 [ L 11 0 0 0 L 21 L 22 0 0 L 31 L 32 L 33 0 L 41 L 42 L 43 L 44 ] ⏟ 4 × 4 . {\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}L_{11}&0\\L_{21}&L_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}L_{11}&0&0\\L_{21}&L_{22}&0\\L_{31}&L_{32}&L_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}L_{11}&0&0&0\\L_{21}&L_{22}&0&0\\L_{31}&L_{32}&L_{33}&0\\L_{41}&L_{42}&L_{43}&L_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4}.} Ένας πίνακας λέγεται τριγωνικός αν είναι άνω ή κάτω τριγωνικός.

 Οι παρακάτω πίνακες είναι άνω τριγωνικοί: A = [ 1 2 0 3 ] , B = [ 1 2 3 0 4 5 0 0 6 ] , C = [ 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 8 9 0 0 0 10 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&5&6&7\\0&0&8&9\\0&0&0&10\end{bmatrix}}.} Οι παρακάτω πίνακες είναι κάτω τριγωνικοί: A = [ 1 0 2 3 ] , B = [ 1 0 0 2 3 0 4 5 6 ] , C = [ 1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 6 0 7 8 9 10 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\2&3\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\2&3&0&0\\4&5&6&0\\7&8&9&10\end{bmatrix}}.} Κάθε διαγώνιος πίνακας είναι κάτω και άνω τριγωνικός. Επομένως, ο ταυτοτικός πίνακας και ο μηδενικός πίνακας είναι τριγωνικοί. A = [ 3 0 0 0 7 0 0 0 − 1 ] , I 2 = [ 1 0 0 1 ] , I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] , 0 3 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&7&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},\quad I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad 0_{3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.} Οι κορυφές ενός Κατευθυνόμενου άκυκλου γράφου μπορούν να μετατεθούν ώστε ο πίνακας γειτνίασης του γράφου είναι τριγωνικός. Οι τριγωνικοί πίνακες έχουν τις εξής ιδιότητες: Ο ανάστροφος πίνακας ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι άνω (κάτω) τριγωνικός. Το άθροισμα δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας. Το γινόμενο δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας. Ο αντίθετος ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι κάτω (άνω) τριγωνικός. Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα δίνεται από τον τύπο p L ( x ) = d e t ( x I − L ) = ( x − L 11 ) ⋅ … ⋅ ( x − L n n ) {\displaystyle p_{L}(x)=\mathrm {det} (xI-L)=(x-L_{11})\cdot \ldots \cdot (x-L_{nn})} . Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα L {\displaystyle L} είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του.Ένας συμμετρικός τριγωνικός πίνακας είναι διαγώνιος. Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορεί να γραφτεί με την μορφή L x = b {\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} } με αγνώστους x {\displaystyle \mathbf {x} } . Τότε μπορούμε να βρούμε την λύση του ξεκινώντας βρίσκοντας το x 1 {\displaystyle x_{1}} , μετά το x 2 {\displaystyle x_{2}} κ.ο.κ., χρησιμοποιώντας τους εξής τύπους: x 1 = b 1 L 11 {\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{L_{11}}}} , x 2 = 1 L 22 ⋅ ( b 2 − L 21 x 1 ) {\displaystyle x_{2}={\frac {1}{L_{22}}}\cdot \left(b_{2}-L_{21}x_{1}\right)} , ⋮ {\displaystyle \quad \vdots } x n = 1 L n n ⋅ ( b n − L n 1 x 1 − … − L n ( n − 1 ) x n − 1 ) {\displaystyle x_{n}={\frac {1}{L_{nn}}}\cdot \left(b_{n}-L_{n1}x_{1}-\ldots -L_{n(n-1)}x_{n-1}\right)} .Παρατηρήστε ότι στο i {\displaystyle i} -οστό βήμα βρίσκουμε την τιμή του x i {\displaystyle x_{i}} χρησιμοποιώντας τις τιμές των x 1 , … , x i − 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{i-1}} (που έχουμε υπολογίσει στα προηγούμενα βήματα). Ο αλγόριθμος αυτός χρειάζεται συνολικά O ( n 2 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})} πράξεις. Ένας άνω τριγωνικός πίνακας λέγεται αυστηρά άνω τριγωνικός, αν τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι μηδέν. Αντίστοιχα, για έναν αυστηρά κάτω τριγωνικό πίνακα. Αποσύνθεση LU