Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών

Στην γραμμική άλγεβρα, ο χώρος στηλών (ή στηλοχώρος) ενός πίνακα Α είναι ο χώρος που παράγεται από τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων στηλών του πίνακα. Ο χώρος στηλών ενός πίνακα είναι η εικόνα της αντίστοιχης γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον πίνακα Α. Ας θεωρήσουμε το σώμα F {\displaystyle \mathbb {F} } και τον πίνακα A ∈ M m , n ( F ) {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{m,n}(\mathbb {F} )} m γραμμών και n στηλών, με στοιχεία από το σώμα F {\displaystyle \mathbb {F} } . Ο χώρος στηλών του A {\displaystyle A} είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του διανυσματικού χώρου F m {\displaystyle \mathbb {F} ^{m}} . Η διάσταση του χώρου στηλών ονομάζεται βαθμός (ή τάξη) του πίνακα και είναι μικρότερος ή ίσος από min(m, n). Ο χώρος γραμμών (ή γραμμοχώρος) του πίνακα ορίζεται παρόμοια. Ο χώρος γραμμών και ο χώρος στηλών ενός πίνακα A συμβολίζονται ως rowsp ( A ) {\displaystyle {\textrm {rowsp}}(A)} και colsp ( A ) {\displaystyle {\textrm {colsp}}(A)} ή ως C(AT) και C(A) αντίστοιχα. Στην ειδική περίπτωση όπου οι συντελεστές του πίνακα είναι πραγματικοί αριθμοί τότε ο χώρος γραμμών και ο χώρος στηλών του πίνακα είναι γραμμικοί υπόχωροι των R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} και R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} αντίστοιχα. Στη συνέχεια του άρθρου, θεωρούμε πίνακες με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς (εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά).

 Έστω ότι ο A είναι ένας πίνακας με m γραμμές και n στήλες. Τότε rank(A) = dim(rowsp(A)) = dim(colsp(A)), rank(A) = πλήθος οδηγών μιας οποιασδήποτε κλιμακωτής μορφής του A, rank(A) = το μεγαλύτερο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του A.Αν κάποιος θεωρήσει τον πίνακα ως ένα γραμμικό μετασχηματισμό από το R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} προς το R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} , τότε ο χώρος στηλών του πίνακα ισούται με την εικόνα (image) αυτού του γραμμικού μετασχηματισμού. Ο χώρος στηλών ενός πίνακα A είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των στηλών του A . Εάν A = [ v 1 , v 2 , … v n ] {\displaystyle A=[\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots \mathbf {v} _{n}]} , τότε colsp ( A ) = span { v 1 , v 2 , … v n } {\displaystyle {\textrm {colsp}}(A)={\textrm {span}}\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots \mathbf {v} _{n}\}} . Όπως αναφέρθηκε στην αρχή του άρθρου, η έννοια του χώρου γραμμών μπορεί να γενικευθεί σε πίνακες με συντελεστές από το σώμα των μιγαδικών αριθμών C {\displaystyle \mathbb {C} } ,ή από οποιοδήποτε άλλο σώμα. Διαισθητικά, δεδομένου ενός πίνακα A, η δράση του πίνακα A σε ένα διάνυσμα x (δηλαδή η πράξη A ⋅ x {\displaystyle A\cdot \mathbf {x} } ) θα επιστρέψει έναν γραμμικό συνδυασμό των στηλών του A σταθμισμένου με τις συντεταγμένες του x ως συντελεστές. Ένας άλλος τρόπος για να το δούμε αυτό είναι ότι η διαδικασία αυτή (1) θα προβάλει πρώτα το x στο χώρο γραμμών του A, (2) θα πραγματοποιήσει έναν αναστρέψιμο μετασχηματισμό και (3) θα τοποθετήσει το διάνυσμα που προκύπτει (y) στο χώρο στηλών του A. Επομένως, το αποτέλεσμα y = Ax πρέπει να βρίσκεται στο χώρο στηλών του A. Δίνεται ένας πίνακας A: A = [ 2 4 1 3 2 − 1 − 2 1 0 5 1 6 2 2 2 3 6 2 5 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}} .Οι γραμμές του πίνακα θα είναι r 1 = [ 2 4 1 3 2 ] T {\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}^{T}} , r 2 = [ − 1 − 2 1 0 5 ] T {\displaystyle \mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}^{T}} , r 3 = [ 1 6 2 2 2 ] T {\displaystyle \mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}^{T}} , r 4 = [ 3 6 2 5 1 ] T {\displaystyle \mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}^{T}} . Κατά συνέπεια, ο χώρος γραμμών του A είναι ο υπόχωρος του R 5 {\displaystyle \mathbb {R} ^{5}} που παράγεται από τα διανύσματα { r1, r2, r3, r4 } . Δεδομένου ότι αυτά τα τέσσερα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, ο χώρος γραμμών του πίνακα είναι 4-διαστάσεων. Επιπλέον, σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να δείξουμε ότι τα { r1, r2, r3, r4 } είναι όλα ορθογώνια στο διάνυσμα n = [ 6 , − 1 , 4 , − 4 , 0 ] T {\displaystyle \mathbf {n} ={\begin{bmatrix}6,-1,4,-4,0\end{bmatrix}}^{T}} , οπότε ο χώρος γραμμών αποτελείται από όλα τα διανύσματα σε R 5 {\displaystyle \mathbb {R} ^{5}} που είναι ορθογώνια στο n. Σε αυτή την παράγραφο δίνεται ο αναλυτικός ορισμός του χώρου στηλών. Θεωρούμε ένα σώμα αριθμών F {\displaystyle \mathbb {F} } και τον πίνακα A ∈ M m , n ( F ) {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{m,n}(\mathbb {F} )} με m γραμμές και n στήλες. Θεωρούμε επίσης τα διανύσματα στηλών του πίνακα τα οποία συμβολίζουμε με v1, v2, ..., vn . Ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων είναι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής: c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n , {\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},} όπου c1, c2, ..., cn είναι αυθαίρετοι αριθμοί του F {\displaystyle \mathbb {F} } . Το σύνολο όλων των πιθανών γραμμικών συνδυασμών των στηλών v1, ..., vn ονομάζεται χώρος στηλών του A . Δηλαδή, ο χώρος στηλών του A είναι ίσος με colsp ( A ) = s p a n { v 1 , v 2 , … , v n } {\displaystyle {\textrm {colsp}}(A)=span\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}\}} . Οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα A μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο του A με ένα διάνυσμα στήλης: A [ c 1 ⋮ c n ] = [ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ⋯ a m n ] [ c 1 ⋮ c n ] = [ v 1 … v n ] ⋅ [ c 1 ⋮ c n ] = c 1 v 1 + ⋯ + c n v n {\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\dots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}} Επομένως, ο χώρος στηλών του A αποτελείται από όλα τα πιθανά γινόμενα A ⋅ x {\displaystyle A\cdot \mathbf {x} } , για οποιοδήποτε x ∈ F n {\displaystyle x\in \mathbb {F} ^{n}} . Επομένως, αυτός ο χώρος είναι ταυτόσημος με την εικόνα της αντίστοιχης γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον πίνακα A ( f : F n → F m : f ( x ) = A ⋅ x {\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\rightarrow \mathbb {F} ^{m}:f(\mathbf {x} )=A\cdot \mathbf {x} } ). Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε τον πίνακα A = [ 1 0 0 1 2 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}} , τότε τα διανύσματα στήλης είναι v1 = [1, 0, 2]T και v2 = [0, 1, 0]T. Ένας γραμμικός συνδυασμός των v 1 και v 2 είναι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφήςΤο σύνολο όλων αυτών των διανυσμάτων (δηλαδή των γραμμικών συνδυασμών των στηλών) είναι ο χώρος στηλών του A . Σε αυτήν την περίπτωση, ο χώρος στηλών είναι ακριβώς το σύνολο των διανυσμάτων (x, y, z) ∈ R3 τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση z = 2x (χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες, αυτό το σύνολο είναι ένα επίπεδο που περνά από την αρχή των αξόνων). Οι στήλες του A παράγουν το χώρο στηλών, αλλά ενδέχεται να μην αποτελούν βάση αυτού του χώρου εάν δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Για να βρούμε τη βάση του χώρου στηλών μπορούμε να κάνουμε γραμμοπράξεις ακολουθώντας την μέθοδο απαλοιφής του Gauss στις στήλες του πίνακα. Μπορούμε δηλαδή να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο απαλοιφής στον ανάστροφο πίνακα A T {\displaystyle A^{T}} (και αυτό γιατί η συνήθης μεθοδολογία απαλοιφής κάνει γραμμοπράξεις στις γραμμές του πίνακα). Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τον πίνακα A = [ 1 3 1 4 2 7 3 9 1 5 3 1 1 2 0 8 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.} Για να βρούμε τη βάση του χώρου στηλών αυτού του πίνακα εφαρμόζουμε τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss στον ανάστροφο πίνακα (δηλαδή βρίσκουμε τη βάση του χώρου γραμμών του ανάστροφου πίνακα): A T = [ 1 2 1 1 3 7 5 2 1 3 3 0 4 9 1 8 ] . {\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}1&2&1&1\\3&7&5&2\\1&3&3&0\\4&9&1&8\end{bmatrix}}.} Με τις συνήθεις γραμμοπράξεις θα έχουμε: [ 1 2 1 1 3 7 5 2 1 3 3 0 4 9 1 8 ] ∼ [ 1 2 1 1 0 1 2 − 1 0 1 2 − 1 0 1 − 3 4 ] ∼ [ 1 2 1 1 0 1 2 − 1 0 0 0 0 0 0 − 5 5 ] ∼ [ 1 2 1 1 0 1 2 − 1 0 0 1 − 1 0 0 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&1&1\\3&7&5&2\\1&3&3&0\\4&9&1&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1&1\\0&1&2&-1\\0&1&2&-1\\0&1&-3&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1&1\\0&1&2&-1\\0&0&0&0\\0&0&-5&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1&1\\0&1&2&-1\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.} Όπως φαίνεται από τις γραμμοπράξεις, η πρώτη, η δεύτερη και η τέταρτη στήλη του αρχικού πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες, ενώ η τρίτη στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των δύο πρώτων (συγκεκριμένα, v3 = −2v1 + v2). Επομένως, η πρώτη, η δεύτερη και η τέταρτη στήλη του αρχικού πίνακα αποτελούν τη βάση για τον χώρο στηλών: [ 1 2 1 1 ] , [ 3 7 5 2 ] , [ 4 9 1 8 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.} Εννοείται ότι βάση για το χώρο στηλών αποτελούν και οι στήλες που προέκυψαν στην κλιμακωτή μορφή του πίνακα μετά την διαδικασία απαλοιφής: [ 1 2 1 1 ] , [ 0 1 2 − 1 ] , [ 0 0 1 − 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\-1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}0\\0\\1\\-1\end{bmatrix}}.} Σε πρακτικές εφαρμογές (π.χ., για μεγάλους πίνακες), χρησιμοποιείται συνήθως η ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές (singular value decomposition). Η διάσταση του χώρου στηλών ονομάζεται βαθμός (ή τάξη) του πίνακα. Ο βαθμός του πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό οδηγών στοιχείων σε μια οποιαδήποτε κλιμακωτή μορφή του πίνακα (δηλαδή μετά την εφαρμογή της μεθόδου απαλοιφής). Ο βαθμός είναι επίσης ίσος με το μέγιστο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του πίνακα. Στο παραπάνω παράδειγμα ο βαθμός του πίνακα είναι 3. Επειδή ο χώρος στηλών είναι ουσιαστικά η εικόνα του αντίστοιχου γραμμικού μετασχηματισμού, ο βαθμός του πίνακα είναι ίσος και με τη διάσταση της εικόνας του γραμμικού μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, ο μετασχηματισμός f : R 4 → R 4 : f ( x ) = A ⋅ x {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}:f(\mathbf {x} )=A\cdot \mathbf {x} } που αντιστοιχεί στον πίνακα του παραπάνω παραδείγματος απεικονίζει όλα τα διανύσματα του R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} σε κάποιο τρισδιάστατο υπόχωρο. Η διάσταση του μηδενοχώρου ενός πίνακα A {\displaystyle A} είναι ίση με τον αριθμό των στηλών της κλιμακωτής μορφής του πίνακα που δεν έχουν οδηγά στοιχεία. Η διάσταση του μηδενοχώρου ενός πίνακα με τον βαθμό του πίνακα συνδέονται μέσω της παρακάτω σχέσης: rank ⁡ ( A ) + dim ( N ( A ) ) = n {\displaystyle \operatorname {rank} (A)+{\textrm {dim}}\left({\mathcal {N}}(A)\right)=n\,} όπου n {\displaystyle n} είναι το πλήθος στηλών του πίνακα. Ο αριστερός μηδενοχώρος του A είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων x του R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} για τα οποία ισχύει xTA = 0T. Η σχέση αυτή μπορεί να γραφεί εναλλακτικά (παίρνοντας τα ανάστροφα διανύσματα) ως A T ⋅ x = 0 . {\displaystyle A^{T}\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0} .} Οπότε, ο χώρος αυτός είναι ουσιαστικά ο μηδενοχώρος του ανάστροφου πίνακα A T {\displaystyle A^{T}} . Το γινόμενο του πίνακα AT και του διανύσματος x μπορεί επομένως να γραφεί ως A T ⋅ x = [ v 1 v 2 … v n ] T ⋅ x = [ v 1 T v 2 T ⋮ v n T ] ⋅ x = [ v 1 T ⋅ x v 2 T ⋅ x ⋮ v n T ⋅ x ] , {\displaystyle A^{\mathsf {T}}\cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\dots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}^{T}\cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}^{T}\\\mathbf {v} _{2}^{T}\\\vdots \\\mathbf {v} _{n}^{T}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}^{T}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}^{T}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}^{T}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},} όπου v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}} είναι τα διανύσματα στηλών του A {\displaystyle A} . Οπότε η σχέση ATx = 0 ισχύει αν και μόνο αν το x είναι ορθογώνιο (κάθετο) σε καθένα από τα διανύσματα στηλών του A. Επομένως, ο αριστερός μηδενοχώρος (ο μηδενοχώρος του AT ) είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του χώρου στηλών του A: N ( A ) = ( colsp ( A ) ) ⊥ {\displaystyle {\mathcal {N}}(A)=\left({\textrm {colsp}}(A)\right)^{\perp }} Σε έναν πίνακα A, ο χώρος στηλών, ο χώρος γραμμών, ο μηδενοχώρος και ο αριστερός μηδενοχώρος μερικές φορές αναφέρονται ως οι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι. Σε αυτή την παράγραφο δίνεται ο αναλυτικός ορισμός του χώρου γραμμών. Θεωρούμε ένα σώμα αριθμών F {\displaystyle \mathbb {F} } και τον πίνακα A ∈ M m , n ( F ) {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{m,n}(\mathbb {F} )} με m γραμμές και n στήλες. Θεωρούμε επίσης τα διανύσματα γραμμών του πίνακα τα οποία συμβολίζουμε με r1, r2, ..., rm . Ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων είναι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής c 1 r 1 + c 2 r 2 + ⋯ + c m r m , {\displaystyle c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},} όπου c1, c2, ..., cm είναι αριθμοί του F {\displaystyle \mathbb {F} } . Το σύνολο όλων των πιθανών γραμμικών συνδυασμών των διανυσμάτων r1, ..., rm ονομάζεται χώρος γραμμών του A. Δηλαδή, ο χώρος γραμμών του A είναι ίσος με rowsp ( A ) = span { r 1 , r 2 , … , r m } {\displaystyle {\textrm {rowsp}}(A)={\textrm {span}}\{\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{m}\}} . Για παράδειγμα, εάν A = [ 1 0 2 0 1 0 ] , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},} τότε τα διανύσματα των γραμμών του πίνακα είναι r 1 = [ 1 , 0 , 2 ] T {\displaystyle \mathbf {r} _{1}=[1,0,2]^{T}} και r 1 = [ 0 , 1 , 0 ] T {\displaystyle \mathbf {r} _{1}=[0,1,0]^{T}} . Ένας γραμμικός συνδυασμός των r1 και r2 είναι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής c 1 [ 1 0 2 ] + c 2 [ 0 1 0 ] = [ c 1 c 2 2 c 1 ] . {\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}.} Το σύνολο όλων αυτών των διανυσμάτων είναι ο χώρος γραμμών του A . Σε αυτή την περίπτωση, το διάστημα γραμμών είναι ακριβώς το σύνολο των διανυσμάτων ( x , y , z ) ∈ R 3 {\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}} τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση z = 2x (χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες, αυτό το σύνολο είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων). Ο χώρος στηλών του A είναι ίσος με το χώρο γραμμών του AT. Ο χώρος γραμμών παράγεται από τις γραμμές του πίνακα. Όμως, αυτές οι γραμμές δεν είναι κατ' ανάγκην γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, οπότε γενικά δεν αποτελούν αναγκαστικά βάση του χώρου. Για να βρούμε μια βάση του χώρου γραμμών αρκεί να εφαρμόσουμε γραμμοπράξεις στον πίνακα A σύμφωνα με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τον πίνακα A = [ 1 3 2 2 7 4 1 5 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.} Οι γραμμές αυτού του πίνακα παράγουν τον χώρο γραμμών, αλλά, επειδή (όπως φαίνεται παρακάτω) δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, δεν αποτελούν βάση του χώρου γραμμών. Για να βρούμε μια βάση του χώρου γραμμών εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο απαλοιφής του Gauss έτσι ώστε να βρούμε μια κλιμακωτή μορφή του πίνακα. Οι γραμμοπράξεις που πρέπει να γίνουν σημειώνονται παρακάτω: [ 1 3 2 2 7 4 1 5 2 ] → r 2 − 2 r 1 → r 2 [ 1 3 2 0 1 0 1 5 2 ] → r 3 − r 1 → r 3 [ 1 3 2 0 1 0 0 2 0 ] → r 3 − 2 r 2 → r 3 [ 1 3 2 0 1 0 0 0 0 ] → r 1 − 3 r 2 → r 1 [ 1 0 2 0 1 0 0 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} Όπως φαίνεται οι δύο πρώτες γραμμές (οι μη μηδενικές μετά τη διαδικασία απαλοιφής) του πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Οπότε μια βάση του χώρου γραμμών είναι το σύνολο { [1, 3, 2], [2, 7, 4] }. Μια άλλη βάση του χώρου γραμμών είναι το σύνολο { [1, 0, 2], [0, 1, 0] } (δηλαδή οι μη μηδενικές γραμμές της κλιμακωτής μορφής). Η διάσταση του χώρου γραμμών ονομάζεται βαθμός (ή τάξη) του πίνακα. Ο βαθμός του πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό οδηγών στοιχείων σε μια οποιαδήποτε κλιμακωτή μορφή του πίνακα (δηλαδή μετά την εφαρμογή της μεθόδου απαλοιφής). Ο βαθμός είναι επίσης ίσος με το μέγιστο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών του πίνακα. Στο παραπάνω παράδειγμα ο βαθμός του πίνακα είναι 2. Ο βαθμός του πίνακα είναι επίσης ίσος και με τη διάσταση του χώρου στηλών. Η διάσταση του μηδενοχώρου του πίνακα συνδέεται με το βαθμό του πίνακα μέσω της σχέσης: rank ⁡ ( A ) + dim ( N ( A ) ) = n . {\displaystyle \operatorname {rank} (A)+{\textrm {dim}}\left({\mathcal {N}}(A)\right)=n.\,} όπου n {\displaystyle n} είναι το πλήθος στηλών του πίνακα.. Ο μηδενοχώρος του πίνακα A είναι το σύνολο των διανυσμάτων x για τα οποία ισχύει η σχέση A ⋅ x = 0 {\displaystyle A\cdot \mathbf {x} =0} . Αν γράψουμε τον πίνακα χρησιμοποιώντας τις γραμμές του r1, ..., rm, θα έχουμε: A {\displaystyle A} A ⋅ x = [ r 1 r 2 ⋮ r m ] ⋅ x = [ r 1 ⋅ x r 2 ⋅ x ⋮ r m ⋅ x ] , {\displaystyle A\cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\\\mathbf {r} _{2}\\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},} Οπότε, η σχέση A ⋅ x = 0 {\displaystyle A\cdot \mathbf {x} =0} ισχύει αν και μόνο αν το διάνυσμα x είναι κάθετο σε κάθε ένα από τα διανύσματα γραμμές του πίνακα A. Επομένως, ο μηδενοχώρος του πίνακα A είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του χώρου γραμμών. Για παράδειγμα, αν ο χώρος γραμμών είναι ένα επίπεδο που περνάει από την αρχή των αξόνων στις 3 διαστάσεις (θεωρώ δηλαδή έναν πίνακα 3 επί 3), τότε ο μηδενοχώρος του πίνακα θα είναι μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο αυτό (που επίσης θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Ο χώρος στηλών, ο χώρος γραμμών, ο μηδενοχώρος και ο αριστερός μηδενοχώρος μερικές φορές αναφέρονται ως οι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι του πίνακα Α. Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th έκδοση), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (June 6, 2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics (1st έκδοση), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8 Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd έκδοση), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th έκδοση), Pearson Prentice Hall Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd έκδοση), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th έκδοση), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8 Weisstein, Eric W., "Row Space" από το MathWorld. Weisstein, Eric W., "Column Space" από το MathWorld. Gilbert Strang, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces Αρχειοθετήθηκε 2010-04-19 στο Wayback Machine. at Google Video, from MIT OpenCourseWare Khan Academy video tutorial Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT Row Space and Column Space Χώρος Γραμμών - Χώρος Στηλών και Μηδενοχώρος: video μαθήματα στο youtube. Διανυσματικοί Χώροι Αρχειοθετήθηκε 2021-10-04 στο Wayback Machine.. Σημειώσεις (Χαραλάμπους και Φωτιάδης)