Αξίωμα της ζεύξης

Στην αξιωματική θεωρία συνόλων και στους κλάδους της λογικής, των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών που τη χρησιμοποιούν, το αξίωμα της ζεύξης είναι ένα από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ. Εισήχθη από τον Ζερμέλο (1908) ως ειδική περίπτωση του αξιώματός του για τα στοιχειώδη σύνολα.

 Στην τυπική γλώσσα των αξιωμάτων Ζερμέλο-Φράνκελ, το αξίωμα έχει ως εξής: ∀ A ∀ B ∃ C ∀ D [ D ∈ C ⟺ ( D = A ∨ D = B ) ] {\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A\lor D=B)]} Εν συντομία: Για κάθε αντικείμενο A και κάθε αντικείμενο Β, υπάρχει ένα σύνολο C τέτοιο ώστε, για κάθε αντικείμενο D, το D είναι μέλος του C εάν και μόνο εάν το D είναι ίσο με το Α ή το D είναι ίσο με το Β. Ή με πιο απλά λόγια: Όταν υπάρχουν δύο αντικείμενα, υπάρχει ένα σύνολο του οποίου τα μέλη είναι ακριβώς τα δύο συγκεκριμένα αντικείμενα. Όπως αναφέρθηκε, αυτό που δηλώνει το αξίωμα είναι ότι, με δύο αντικείμενα A και B, μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο C του οποίου τα μέλη είναι ακριβώς τα Α και Β. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το αξίωμα της επεκτασιμότητας για να δείξουμε ότι αυτό το σύνολο C είναι μοναδικό. Ονομάζουμε το σύνολο C το ζεύγος των A και B, και το συμβολίζουμε {A',B}. Έτσι, η ουσία του αξιώματος είναι: Κάθε δύο αντικείμενα έχουν ένα ζεύγος.Το σύνολο {A',A} συντομογραφείται {A} και ονομάζεται singleton που περιέχει το A. Σημειώστε ότι ένα singleton είναι μια ειδική περίπτωση ενός ζεύγους. Η δυνατότητα κατασκευής ενός singleton είναι απαραίτητη, για παράδειγμα, για να δείξουμε τη μη ύπαρξη των άπειρα φθίνοντων αλυσίδων x = { x } {\displaystyle x=\{x\}} από το Αξίωμα της κανονικότητας. Το αξίωμα της ζεύξης επιτρέπει επίσης τον ορισμό διατεταγμένα ζεύγη. Για οποιαδήποτε αντικείμενα a {\displaystyle a} και b {\displaystyle b} , το διατεταγμένο ζεύγος ορίζεται από τα ακόλουθα: ( a , b ) = { { a } , { a , b } } . {\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,} Να σημειωθεί ότι ο ορισμός αυτός ικανοποιεί την προϋπόθεση ( a , b ) = ( c , d ) ⟺ a = c ∧ b = d . {\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.} Τα διατεταγμένα n-πλειάδες μπορούν να οριστούν αναδρομικά ως εξής: ( a 1 , … , a n ) = ( ( a 1 , … , a n − 1 ) , a n ) . {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).\!} Το αξίωμα της ζεύξης θεωρείται γενικά αδιαμφισβήτητο, και εμφανίζεται ή ένα ισοδύναμο σε σχεδόν κάθε αξιωματοποίηση της θεωρίας συνόλων. Παρ' όλα αυτά, στην τυπική διατύπωση της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ, το αξίωμα της σύζευξης προκύπτει από το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης που εφαρμόζεται σε κάθε δεδομένο σύνολο με δύο ή περισσότερα στοιχεία, και έτσι μερικές φορές παραλείπεται. Η ύπαρξη ενός τέτοιου συνόλου με δύο στοιχεία, όπως { {}, { { {} } }, μπορεί να συναχθεί είτε από το αξίωμα του κενού συνόλου και το αξίωμα του δυναμικού συνόλου είτε από το αξίωμα του απείρου.Ελλείψει κάποιων από τα ισχυρότερα αξιώματα της ZFC, το αξίωμα της αντιστοίχισης μπορεί ακόμα, χωρίς απώλειες, να εισαχθεί σε ασθενέστερες μορφές. Με την παρουσία τυπικών μορφών του αξιωματικού σχήματος του διαχωρισμού μπορούμε να αντικαταστήσουμε το αξίωμα της σύζευξης με την ασθενέστερη εκδοχή του: ∀ A ∀ B ∃ C ∀ D ( ( D = A ∨ D = B ) ⇒ D ∈ C ) {\displaystyle \forall A\forall B\exists C\forall D((D=A\lor D=B)\Rightarrow D\in C)} .Αυτό το ασθενές αξίωμα της σύζευξης υποδηλώνει ότι οποιαδήποτε αντικείμενα A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} είναι μέλη κάποιου συνόλου C {\displaystyle C} . Χρησιμοποιώντας το αξιωματικό σχήμα του διαχωρισμού μπορούμε να κατασκευάσουμε το σύνολο του οποίου τα μέλη είναι ακριβώς τα A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} . Ένα άλλο αξίωμα το οποίο συνεπάγεται το αξίωμα της ζευξης παρουσία του αξιώματος του κενού συνόλου είναι το αξίωμα της πρόσθεσης ∀ A ∀ B ∃ C ∀ D [ D ∈ C ⟺ ( D ∈ A ∨ D = B ) ] {\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D\in A\lor D=B)]} .Διαφέρει από το τυπικό με τη χρήση του D ∈ A {\displaystyle D\in A} αντί του D = A {\displaystyle D=A} . Χρησιμοποιώντας {} για το A και x για το B, παίρνουμε {x} για το C. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε {x} για το A και y για το B, παίρνοντας {x,y} για το C. Μπορούμε να συνεχίσουμε με αυτόν τον τρόπο για να δημιουργήσουμε οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο. Και αυτό θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή όλων των κληρονομικά πεπερασμένων συνόλων χωρίς να χρησιμοποιηθεί το αξίωμα της ένωσης. Μαζί με το αξίωμα του κενού συνόλου και το αξίωμα της ένωσης, το αξίωμα της ζευξης μπορεί να γενικευτεί στο ακόλουθο σχήμα: ∀ A 1 … ∀ A n ∃ C ∀ D [ D ∈ C ⟺ ( D = A 1 ∨ ⋯ ∨ D = A n ) ] {\displaystyle \forall A_{1}\,\ldots \,\forall A_{n}\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A_{1}\lor \cdots \lor D=A_{n})]} δηλαδή: Υπάρχει ένα σύνολο C του οποίου τα μέλη είναι ακριβώς τα A1 έως An.Αυτό το σύνολο C είναι και πάλι μοναδικό από το αξίωμα της επεκτασιμότητας και συμβολίζεται {A1,...,An}. Φυσικά, δεν μπορούμε να αναφερθούμε αυστηρά σε έναν πεπερασμένο αριθμό αντικειμένων χωρίς να έχουμε ήδη στα χέρια μας ένα (πεπερασμένο) σύνολο στο οποίο ανήκουν τα εν λόγω αντικείμενα. Έτσι, δεν πρόκειται για μια απλή δήλωση αλλά για ένα σχήμα, με μια ξεχωριστή δήλωση για κάθε φυσικό αριθμό n. Η περίπτωση n = 1 είναι το αξίωμα της αντιστοίχισης με A = A1 and B = A1. Η περίπτωση n = 2 είναι το αξίωμα της αντιστοίχισης με A = A1 and B = A2. Οι περιπτώσεις n > 2 μπορούν να αποδειχθούν χρησιμοποιώντας το αξίωμα της σύζευξης και το αξίωμα της ένωσης πολλαπλές φορές.Για παράδειγμα, για να αποδείξετε την περίπτωση n = 3, χρησιμοποιήστε το αξίωμα της ζεύξης τρεις φορές, για να παράγετε το ζεύγος {A1,A2}, το singleton {A3},και στη συνέχεια το ζεύγος {{A1,A2},{A3}}. Το αξίωμα της ένωσης παράγει τότε το επιθυμητό αποτέλεσμα, {A1,A2,A3}.Μπορούμε να επεκτείνουμε αυτό το σχήμα για να συμπεριλάβουμε το n=0 αν ερμηνεύσουμε αυτή την περίπτωση ως το αξίωμα του κενού συνόλου. Έτσι, μπορεί κανείς να το χρησιμοποιήσει ως αξιωματικό σχήμα στη θέση των αξιωμάτων του κενού συνόλου και της ζεύξης. Συνήθως, ωστόσο, χρησιμοποιεί κανείς τα αξιώματα του κενού συνόλου και της ζεύξης ξεχωριστά και στη συνέχεια το αποδεικνύει ως θεωρητικό σχήμα. Σημειώστε ότι η υιοθέτησή του ως αξιωματικό σχήμα δεν θα αντικαταστήσει το αξίωμα της ένωσης, το οποίο εξακολουθεί να χρειάζεται για άλλες καταστάσεις. Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ISBN 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. (ISBN 3-540-44085-2). Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. (ISBN 0-444-86839-9). Zermelo, Ernst (1908), «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I», Mathematische Annalen 65 (2): 261–281, doi:10.1007/bf01449999, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN235181684_0065&DMDID=DMDLOG_0018 . English translation: Heijenoort, Jean van (1967), «Investigations in the foundations of set theory», From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Source Books in the History of the Sciences, Harvard Univ. Press, σελ. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7 . Οικοδομήσιμο Σύμπαν