Χρωματισμός γραφήματος

Αν G είναι ένα γράφημα και C ένα σύνολο χρωμάτων, λέμε ότι η απεικόνιση f : V ( G ) → C {\displaystyle f:V(G)\rightarrow C} είναι χρωματισμός του G όταν ∀ ( u , v ) ∈ V ( G ) , f ( u ) ≠ f ( v ) {\displaystyle \forall (u,v)\in V(G),\ f(u)\not =f(v)} δηλαδή όταν αντιστοιχεί χρώματα στους κόμβους του G έτσι ώστε κάθε δύο συνδεμένοι κόμβοι να έχουν διαφορετικό χρώμα. Αν το C έχει n διακεκριμένα στοιχεία και ο χρωματισμός f είναι επί, τότε ονομάζεται n-χρωματισμός. Κάθε χρωματισμός διαμερίζει το V(G) σε κλάσεις κόμβων οι οποίοι έχουν κοινό χρώμα. Οι κλάσεις αυτές ονομάζονται χρωματικές κλάσεις.

 Για δοσμένο γράφημα G και δοσμένα χρώματα C δεν υπάρχει πάντα απεικόνιση f που να είναι χρωματισμός του G. Συγκεκριμένα η ύπαρξη χρωματισμού εξαρτάται από τον πληθάριθμο του C. Αν για παράδειγμα έχουμε το γράφημα G του σχήματος 1, όπου έχουμε V(G) = {u,v} και E(G)={(u,v)}, και έχουμε μόνον ένα διαθέσιμο χρώμα, C = {μαύρο}, τότε δεν μπορούμε να χρωματίσουμε τους δύο κόμβους διαφορετικά, παρά χρειαζόμαστε τουλάχιστον ένα ακόμη χρώμα. Ο ελάχιστος πληθάριθμος του C, n, για τον οποίο υπάρχει n-χρωματισμός του G ονομάζεται χρωματικός αριθμός του G και συμβολίζεται με Χ(G). Μερικές από τις ιδιότητες που ικανοποιεί ο χρωματικός αριθμός είναι οι παρακάτω: 1. Αν p είναι στο πλήθος οι κόμβοι του G τότε X ( G ) ≤ p {\displaystyle X(G)\leq p} , αφού για ένα γράφημα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πολύ τόσα διαφορετικά χρώματα, όσοι είναι και οι κόμβοι του. Η ισότητα ισχύει όταν το γράφημα είναι πλήρες, όπου κάθε κόμβος χρειάζεται το δικό του χρώμα, καθώς συνδέεται με κάθε άλλον. 2. Αν K p {\displaystyle K_{p}} είναι το πλήρες γράφημα p κόμβων και x είναι ένας δεσμός του, τότε X ( K p − x ) = p − 1 {\displaystyle X(K_{p}-x)=p-1} . 3. Αν K m , n {\displaystyle K_{m,n}} είναι ένα οποιοδήποτε διγράφημα, τότε X ( K m , n ) = 2 {\displaystyle X(K_{m,n})=2} . 4. Για τους άρτιους κύκλους είναι X ( C 2 m ) {\displaystyle X(C_{2m})} , αφού εναλλάξ μπορούμε να αλλάζουμε χρώμα από κόμβο σε κόμβο, ενώ για τους περιττούς κύκλους ισχύει ανάλογα X ( C 2 m + 1 ) = 3 {\displaystyle X(C_{2m+1})=3} . 5. Αν Τ είναι ένα δέντρο, τότε X ( T ) = 2 {\displaystyle X(T)=2} . 6. Εύκολα φαίνεται ότι X ( G ) = 1 ⇔ E ( G ) = ∅ {\displaystyle X(G)=1\Leftrightarrow E(G)=\emptyset } , ότι αρκεί δηλαδή ένα χρώμα για να χρωματίσουμε ένα γράφημα μόνον όταν αυτό είναι πλήρως ασυνδετικό. 7. Θεώρημα του Κένιχ: Ένα γράφημα έχει έναν 2-χρωματισμό αν και μόνον αν δεν περιέχει περιττούς κύκλους X ( G ) = 2 ⇔ ∀ m ( C 2 m + 1 ⊈ G ) {\displaystyle X(G)=2\Leftrightarrow \forall m(C_{2m+1}\not \subseteq G)} 8. Αν Δ(G) είναι ο μεγαλύτερος βαθμός που αντιστοιχεί σε κάποιον από τους κόμβους του G, δηλαδή Δ ( G ) = max u i ∈ V ( G ) δ ( u i ) {\displaystyle \Delta (G)=\max _{u_{i}\in V(G)}\delta (u_{i})} τότε ισχύει η εξής ανισότητα: X ( G ) ≤ 1 + Δ ( G ) {\displaystyle X(G)\leq 1+\Delta (G)} 9. Θεώρημα των πέντε χρωμάτων (Heawood, 1890): Αν G είναι επίπεδο γράφημα, τότε αρκούν το πολύ πέντε χρώματα για να χρωματιστεί, δηλαδή X ( G ) ≤ 5 {\displaystyle X(G)\leq 5} . Απόδειξη: Ας πούμε ότι το G έχει p στο πλήθος κόμβους. Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της (ισχυρής) μαθηματικής επαγωγής. Αν p ≤ 5 {\displaystyle p\leq 5} , τότε το θεώρημα ισχύει με βάση την ιδιότητα 1. Υποθέτουμε λοιπόν ότι το θεώρημα ισχύει για p κόμβους. Αν το G έχει p+1 κόμβους, με p ≥ 5 {\displaystyle p\geq 5} , αποδεικνύεται ότι θα περιέχει έναν οπωσδήποτε κόμβο v με βαθμό δ ( v ) ≤ 5 {\displaystyle \delta (v)\leq 5} . Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε επίσης X ( G − v ) ≤ 5 {\displaystyle X(G-v)\leq 5} , μια και το γράφημα G - v έχει p κόμβους. Έστω τώρα ότι οι πέντε κόμβοι που συνδέονται με τον v θα χρωματιστούν με τα χρώματα a, b, c, d, e, μέσω χρωματισμού f. Αν κάποια από τα χρώματα αυτά συμπίπτουν ή αν ο βαθμός του v είναι μικρότερος από 5, τότε το θεώρημα ισχύει. Αν αντίθετα τα χρώματα είναι διακεκριμένα και δ(v) = 5, τότε έχουμε την περίπτωση του σχήματος 2. Αρκεί να δείξουμε ότι ο v μπορεί να χρωματιστεί με κάποιο από τα a, b, c, d, e. Θεωρούμε το υπογράφημα G a , c ⊂ G − v {\displaystyle G_{a,c}\subset G-v} , που ορίζεται ως εξής: G a , c = { u ∈ V ( G − v ) : f ( u ) = a η ˙ f ( u ) = c } {\displaystyle G_{a,c}=\{u\in V(G-v):f(u)=a\ {\dot {\eta }}\ f(u)=c\}} που αποτελείται δηλαδή από τους κόμβους που έχουν χρώμα a ή b. Αν οι v 1 {\displaystyle v_{1}} , v 3 {\displaystyle v_{3}} ανήκουν σε διαφορετικούς παράγοντες του G a , b {\displaystyle G_{a,b}} , τότε αλλάζουμε τα χρώματα στον παράγοντα του v 1 {\displaystyle v_{1}} και θέτουμε f(v) = a, χρωματίζουμε δηλαδή τον v με a. (Θα μπορούσαμε αντί για αυτό να αλλάξουμε χρώματα στον παράγοντα που βρίσκεται ο v 3 {\displaystyle v_{3}} και να χρωματίζαμε τον v με b.) Αν οι v 1 {\displaystyle v_{1}} , v 3 {\displaystyle v_{3}} ανήκουν στον ίδιο παράγοντα, τότε θα υπάρχει ένα μονοπάτι στο G a , b {\displaystyle G_{a,b}} από τον έναν στον άλλο, δηλαδή ένα μονοπάτι στο G που είναι χρωματισμένο μόνο με a και c και που δεν περιέχει τις v 2 {\displaystyle v_{2}} , v 4 {\displaystyle v_{4}} , v 5 {\displaystyle v_{5}} . Ο κύκλος που σχηματίζει το μονοπάτι v 1 ⋯ v 3 {\displaystyle v_{1}\cdots v3} με το μονοπάτι v 3 ⋯ v 1 {\displaystyle v_{3}\cdots v_{1}} , θα περικυκλώνει είτε τoν κόμβο v 2 {\displaystyle v_{2}} είτε τους κόμβους v 4 {\displaystyle v_{4}} , v 5 {\displaystyle v_{5}} , μια και το G είναι επίπεδο γράφημα. Όπως και να έχει, οι v 2 {\displaystyle v_{2}} , v 4 {\displaystyle v_{4}} θα ανήκουν σε διαφορετικούς παράγοντες του υπογραφήματος G b , d {\displaystyle G_{b,d}} (ορίζεται όπως το G a , b {\displaystyle G_{a,b}} ), οπότε, όμοια με προηγούμενα, αλλάζοντας τα χρώματα είτε στον παράγοντα του v 2 {\displaystyle v_{2}} είτε στου v 4 {\displaystyle v_{4}} χρωματίζουμε ανάλογα τον v με b ή d. Αποδείξαμε δηλαδή σε κάθε περίπτωση, ότι το θεώρημα ισχύει και για p + 1 κόμβους και η επαγωγή ολοκληρώθηκε. 10. Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων (Appel & Haken, 1976): Αν G είναι επίπεδο γράφημα τότε αρκούν το πολύ τέσσερα χρώματα για να χρωματιστεί, δηλαδή X ( G ) ≤ 4 {\displaystyle X(G)\leq 4} . Οι αλγόριθμοι χρωματισμού αποσκοπούν στο να προσδιορίσουν το χρωματικό αριθμό ενός δοσμένου γραφήματος. Οι επόμενοι δύο αλγόριθμοι βασίζονται στην τεχνική branch & bound, σε απαρίθμηση δηλαδή περιπτώσεων υπό περιορισμούς. Καλούμε ανεξάρτητο σύνολο κόμβων ενός γραφήματος G κάθε υποσύνολο του V(G) που έχει πλήρως ασυνδετικό φέρον γράφημα (spanning graph). Κάθε τέτοιο σύνολο εκπροσωπεί και μία χρωματική κλάση. Αν U 1 , … , U r {\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{r}} είναι ανεξάρτητα σύνολα κόμβων τέτοια ώστε ∀ i ≠ i ′ ( U i ⊈ U i ′ ) {\displaystyle \forall i\not =i'(U_{i}\not \subseteq U_{i'})} , και υπάρχει ελάχιστος s το πολύ ίσος με τον r, για τον οποίο ⋃ j = 1 r U i j = V ( G ) {\displaystyle \bigcup _{j=1}^{r}U_{i_{j}}=V(G)} , τότε X(G) = s. Συγκεκριμένα, ο αλγόριθμος εκτελείται σε δύο φάσεις: Εύρεση όλων των ανεξάρτητων συνόλων κόμβων που πληρούν τα παραπάνω. Εύρεση του μικρότερου μήκους ένωσης που αποδίδει το V(G). Ο αλγόριθμος συνίσταται στα εξής βήματα: Διατάσουμε τους κόμβους του γραφήματος σε φθίνουσα σειρά βαθμών, x 1 , … , x q {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{q}} . Θέτουμε f ( x 1 ) = 1 {\displaystyle f(x_{1})=1} Ελέγχουμε τον x m {\displaystyle x_{m}} , όταν ήδη έχουν δοθεί κ χρώματα. Αν δεν συνδέεται άμεσα με ήδη ελεγγμένους κόμβους και x n {\displaystyle x_{n}} , με n < m, είναι ο αρχύτερος από αυτούς, τότε θέτουμε f ( x m ) = f ( x n ) {\displaystyle f(x_{m})=f(x_{n})} . Αλλιώς θέτουμε f ( x m ) = κ + 1 {\displaystyle f(x_{m})=\kappa +1} . Θεωρία γραφημάτων