Πολύεδρο

Στην γεωμετρία, ένα πολύεδρο (πληθυντικός πολύεδρα) είναι ένα στερεό σε τρεις διαστάσεις με επίπεδες επιφάνειες και ορθές έδρες. Ένα πολύεδρο είναι ένα τρισδιάστατο παράδειγμα του γενικότερου πολύτοπου σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.

 Ο ορισμός ενός πολυέδρου ως στερεό που περικλείεται από επίπεδες επιφάνειες και ορθές έδρες δεν είναι πολύ ακριβής και, για έναν σύχρονο μαθηματικό, καθόλου ικανοποιητικός, για παράδειγμα είναι δύσκολο να συμβιβαστεί με το αστρόμορφο πολύεδρο. Ο Grünbaum (1994, p. 43) παρατήρησε, "Η Original Sin στη θεωρία των πολυέδρων ξεκινάει από τον Ευκλείδη, και μέσω των Kepler, Poinsot, Cauchy και πολλών άλλων ... [εν λόγω] σε κάθε φάση ... οι συγγραφείς απέτυχαν να ορίσουν τι είναι τα 'πολύεδρα' ...." Πολύ ορισμοί των "πολυέδρων" έχουν δοθεί μέσα σε συγκεκριμένα πλαίσια, με κάποιους πιο αυστηρούς από άλλους. Για παράδειγμα ορισμοί που βασίζονται στην ιδέα μιας οριακής επιφάνειας παρά μιας στερεάς είναι συνηθισμένοι. Παρόλα αυτά αυτοί οι ορισμοί δεν είναι πάντα συμβιβάσιμοι με άλλα μαθηματικά συμφραζόμενα. Μία σύγχρονη προσέγγιση μεταχειρίζεται ένα γεωμετρικό πολύεδρο ως την πραγματοποίηση κάποιων αφηρημένων πολυέδρων. Οποιοδήποτε τέτοιο πολύεδρο μπορεί να κατασκευαστεί από διαφορετικά είδη στοιχείων ή οντοτήτων, το καθένα από τα οποία σχετίζεται με διαφορετικό αριθμό διαστάσεων. 3 διαστάσεις: Το σώμα οριοθετείται από τις επιφάνειες, και είναι συνήθως ο όγκος που περικλείεται από αυτές. 2 διαστάσεις: Η έδρα είναι ένα πολύγωνο που οριοθετείται από ένα κύκλωμα ακμών, συμπεριλαμβάνοντας συνήθως την επίπεδη (πλάκα) περιοχή μέσα στο όριο. Αυτές οι πολυγωνικές έδρες μαζί συνθέτουν πολυεδρική επιφάνει. 1 διάσταση: Μία ακμή ενώνει μία κορυφή με την άλλη και μία έδρα με την άλλη, και είναι συνήθως ένα ευθύγραμμο τμήμα. Οι ακμές μαζί συνθέτουν τον πολυεδρικό σκελετό. 0 διαστάσεις: Η κορυφή (πληθυντικός κορυφές) είναι ένα γωνιακό σημείο. −1 διάσταση: Το μηδενικό πολύτοπο είναι ένα είδος μαθηματικής συνθήκης που απαιτείται από το αφηρημένο σύνολο με βάση τους ορισμούς, και μπορεί να παρασταθεί γεωμετρικά ως το κενό σύνολο των σημείων. Από μία επαγωγικής διάστασης προσέγγιση, το όριο ενός σημείου είναι το κένο σύνολο και έχει μία διάσταση μικρότερη από ένα σημείο, που οδηγεί σε μία διάσταση −1.Γενικότερα στα Μαθηματικά και σε άλλες Επιστήμες, ο όρος "πολύεδρο" χρησιμοποιείται για να αναφερθεί σε μία ποικιλία σχετικών κατασκευών, κάποιων γεωμετρικών και άλλων καθαρά αλγεβρικών ή αφηρημένων. Ένα καθοριστικό χαρακτηριστικό σχεδόν όλων των ειδών των πολυέδρων είναι ότι μόλις δύο έδρες ενώνονται κατά μήκος οποιασδήποτε κοινής ακμής. Αυτό εξασφαλίζει ότι η πολυεδρική επιφάνεια είναι συνεχώς συνδεδεμένη και δεν τελειώνει απότομα ή δεν διασπάται σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Οι ακμές έχουν δύο σημαντικά χαρακτηριστικά (εκτός εάν το πολύεδρο είναι πολύπλοκο: Μία ακμή ενώνει μόνο δύο κορυφές. Μία ακμή ενώνει μόνο δύο έδρες.Αυτά τα δύο χαρακτηριστικά είναι διπλά στο καθένα. Η χαρακτηριστική Όιλερ χ σχετίζει τον αριθμό των κορυφών V, των ακμών E, και των εδρών F ενός πολυέδρου: χ = V − E + F . {\displaystyle \chi =V-E+F.\ } Για ένα κυρτό πολύεδρο ή γενικότερα για οποιοδήποτε απλώς συνεκτικό πολύεδρο του οποίου οι έδρες είναι επίσης απλώς συνεκτικές και του οποίου το όριο είναι μία πολλαπλότητα, χ = 2. Για περαιτέρω λεπτομέρειες, δείτε το Proofs and Refutations του Ίμρε Λάκατος. Μερικά πολύεδρα, όπως όλα τα κυρτά πολύεδρα, έχουν δύο διακεκριμένες πλευρές στην επιφάνειά τους, για παράδειγμα η μία πλευρά κατά συνέπεια μπορεί να βαφτεί μαύρη και η άλλη άσπρη. Λέμε ότι το σχήμα είναι προσανατολίσιμο. Άλλα για κάποια πολύεδρα αυτό δεν είναι δυνατόν, και τον σχήμα ορίζεται ως μη-προσανατολίσιμο. Όλα τα πολύεδρα με μονό αριθμό χαρακτηριστικής Όιλερ είναι μη-προσανατολίσιμα. Ένα δοσμένο σχήμα με ζυγό χ < 2 μπορεί ή δεν μπορεί να είναι προσανατολίσιμο. Για κάθε κορυφή μπορεί κανείς να ορίσει ένα σχήμα κορυφής, το οποίο περιγράφει την τοπική δομή του σχήματος γύρω από την κορυφή. Αν το σχήμα της κορυφής είναι ένα κανονικό πολύγωνο, τότε η κορυφή η ίδια ορίζεται ως κανονική. Για κάθε πολύεδρο υπάρχει ένα δυϊκό πολύεδρο το οποίο έχει: έδρες στη θέση των κορυφών του πρωτότυπου και αντίστροφα, των ίδιο αριθμό ακμών την ίδια χαρακτηριστική Όιλερ και ικανότητα προσανατολισμούΗ δυϊκότητα ενός κυρτού πολυέδρου μπορεί να ληφθεί με τη μέθοδο της πολικής αντιστροφής. Στοιχειώδης υπολογισμός Οποιοδήποτε κανονικό πολύεδρο μπορεί να διαιρεθεί σε ισότιμες πυραμίδες, με την κάθε πυραμίδα να έχει μία έδρα του πολυέδρου ως βάση της και το κέντρο του πολυέδρου ως κορυφής της. Το ύψος της πυραμίδας ισούται με την εσωτερική ακτίνα του πολυέδρου. Εάν η περιοχή της έδρας είναι A {\displaystyle A} και η εσωτερική ακτίνα είναι r {\displaystyle r} τότε ο όγκος της πυραμίδας είναι το ένα-τρίτο της βάσης επί το ύψος, or A r / 3 {\displaystyle Ar/3} . Για ένα κανονικό πολύεδρο με n {\displaystyle n} έδρες, ο όγκος του είναι τότε simply volume = n A r / 3 {\displaystyle {\text{volume}}=nAr/3} .Για παράδειγμα, ένας κύβος με ακμές μήκους L {\displaystyle L} έχει έξι έδρες, και κάθε έδρα είναι ένα τετράγωνο με εμβαδόν A = L 2 {\displaystyle A=L^{2}} . Η εσωτερική ακτίνα από το κέντρο της έδρας έως το κέντρο του κύβου είναι r = L / 2 {\displaystyle r=L/2} . Τότε ο όγκος δίνεται από volume = 6 ⋅ L 2 ⋅ L 2 3 = L 3 , {\displaystyle {\text{volume}}={\frac {6\cdot L^{2}\cdot {\frac {L}{2}}}{3}}=L^{3},} ο συνήθης τύπος για τον όγκο ενός κύβου. Ανώτερος υπολογισμός Ο όγκος οποιουδήποτε προσανατολίσιμου πολυέδρου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα απόκλισης. Εξετάζουνε το διανυσματικό πεδίο F → ( x → ) = 1 3 x → = ( x 1 3 , x 2 3 , x 3 3 ) {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {x}})={\frac {1}{3}}{\vec {x}}=({\frac {x_{1}}{3}},{\frac {x_{2}}{3}},{\frac {x_{3}}{3}})} , του οποίου η απόκλιση είναι πάντα 1. Από το θεώρημα απόκλισης συνεπάγεται ότι ο όγκος ισούται με το ολοκλήρωμα της επιφάνειας της F ( x ) {\displaystyle F(x)} : volume ( Ω ) = ∫ Ω ∇ ⋅ F → d Ω = ∮ S F → ⋅ n ^ d S . {\displaystyle {\text{volume}}(\Omega )=\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {F}}d\Omega =\oint _{S}{\vec {F}}\cdot {\hat {n}}dS.} Όταν Ω είναι η περιοχή που περικλείεται από ένα πολύεδρο, δεδομένου ότι οι έδρες του πολυέδρου είναι επίπεδες και ότι έχουν κατά τμήματα σταθερά κάθετα διανύσματα, ο τύπος γίνεται volume = 1 3 ∑ face i x → i ⋅ n ^ i A i {\displaystyle {\text{volume}}={\frac {1}{3}}\sum _{{\text{face }}i}{\vec {x}}_{i}\cdot {\hat {n}}_{i}A_{i}} όπου για την i έδρα, x → i {\displaystyle {\vec {x}}_{i}} είναι το βαρύκεντρο της έδρας, n ^ i {\displaystyle {\hat {n}}_{i}} είναι το κάθετο διάνυσμά της, και A i {\displaystyle A_{i}} είναι το εμβαδόν της.Δεδομένου ότι μπορεί να είναι δύσκολο να απαριθμηθούν οι έδρες, ο υπολογισμός του όγκου μπορεί να είναι πρόκληση, και ως εκ τούτου υπάρχουν εξειδικευμένοι αλγόριθμοι για τον προσδιορισμό του όγκου (πολλοί από αυτούς γενικεύονται και σε κυρτά πολύγωνα σε υψηλότερες διαστάσεις). Τα πολύεδρα συνήθως ονομάζονται με βάση τον αριθμό των εδρών. Το σύστημα της ονομασίας βασίζεται στα Αρχαία Ελληνικά, για παράδειγμα τετράεδρο (4), πεντάεδρο (5), εξάεδρο (6), επτάεδρο (7), τριακοντάεδρο (30), και ούτω καθεξής. Μερικές φορές τροποποιούνται με βάση την περιγραφή των ειδών των εδρών που έχουν, για παράδειγμα το Ρομβικό δωδεκάεδρο εναντίον του Πενταγωνικού δωδεκαέδρου. Μερικά πολύεδρα απέκτησαν κοινά ονόματα, για παράδειγμα το κανονικό εξάεδρο είναι ευρέως γνωστό ως κύβος. Άλλα έχουν πάρει το όνομά τους από αυτούς που τα ανακάλυψαν, όπως το τέρας του Miller ή το πολύεδρο του Szilassi. Άλλα κοινά ονόματα δείχνουν ότι κάποια πράξη έχει εκτελεστεί σε ένα απλούστερο πολύεδρο, για παράδειγμα ο κόλουρος κύβος μοιάζει με κύβο του οποίου οι γωνίες έχουν κοπεί, και έχει 14 έδρες (άρα είναι επίσης παράδειγμα δεκατεσσεράεδρων). Στην γεωμετρία, ένα πολύεδρο είναι παραδοσιακά ένα τρισδιάστατο σχήμα που αποτελείται από ένα πεπερασμένο αριθμό πολυγωνικών εδρών οι οποίες είναι τμήματα των επιπέδων; οι έδρες χωρίζονται σε ζεύγη κατά μήκος των ακμών που είναι ευθείες γραμμές, και οι ακμές τέμνονται σε σημεία που λέγονται κορυφές. Κύβοι, πρίσματα και πυραμίδες είναι παραδείγματα πολυέδρων. Το πολύεδρο περιβάλλει ένα φραγμένο όγκο σε τρισδιάστατο χώρο; μερικές φορές αυτός ο εσωτερικός όγκος θεωρείται ότι είναι μέρος του πολυέδρου, μερικές φορές μόνο η επιφάνεια θεωρείται, και περιστασιακά μόνο ο σκελετός των ακμών. Ένα πολύεδρο λέγεται κυρτό εάν η επιφάνειά του (η οποία περιλαμβάνει έδρες, ακμές και κορυφές) δεν τέμνει τον εαυτό της και αν το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει οποιαδήποτε δύο σημεία του πολυέδρου περιέχεται στο εσωτερικό ή στην επιφάνεια. Πολλά από τα πιο μελετημένα πολύεδρα είναι ιδιαίτερα συμμετρικά. Φυσικά είναι εύκολο να παραμορφωθούν τέτοια πολύεδρα έτσι ώστε να μην είναι πλέον συμμετρικά. Αλλά όπου δίνεται ένα πολυεδρικό όνομα, όπως εικοσιδωδεκάεδρο, η πιο συμμετρική γεωμετρία είναι σχεδόν πάντα σιωπηρή, εκτός εάν διατυπωθεί διαφορετικά. Μερικά από τα πιο κοινά ονόματα ειδικότερα χρησιμοποιούνται συχνά με τη λέξη "κανονικό" μπροστά ή την αφήνουν να εννοηθεί επειδή για το καθένα υπάρχουν διαφορετικοί τύποι που έχουν ελάχιστα κοινά εκτός από τον ίδιο αριθμό των εδρών. Αυτά είναι η τριγωνική πυραμίδα ή τετράεδρο, κύβος ή εξάεδρο, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο: Τα πολύεδρα των υψηλότερων συμμετριών έχουν όλα κάποιου είδους στοιχείο (έδρες, ακμές ή/και κορυφές), μέσα σε μία ενιαία συμμετρική τροχιά. Υπάρχουν διάφορες κατηγορίες των εν λόγω πολυέδρων: Ισογώνιο ή Vertex-transitive εάν όλες οι κορυφές είναι ίδιες, με την έννοια ότι για οποιεσδήποτε 2 κορυφές υπάρχει μία συμμετρία του πολυέδρου η οποία απεικονίζει την πρώτη ισομετρικά στη δεύτερη. Ισότοξο ή Edge-transitive εάν όλες οι ακμές είναι ίδιες, με την έννοια ότι για οποιεσδήποτε 2 ακμές υπάρχει μία συμμετρία του πολυέδρου η οποία απεικονίζει την πρώτη ισομετρικά στην δεύτερη. Ισοεδρικό ή Face-transitive εάν όλες οι έδρες είναι ίδιες, με την έννοια ότι για οποιεσδήποτε 2 έδρες υπάρχει μία συμμετρία του πολυέδρου η οποία απεικονίζει την πρώτη ισομετρικά στη δεύτερη. Κανονικό εάν είναι vertex-transitive, edge-transitive και face-transitive (από το οποίο συνεπάγεται ότι κάθε έδρα είναι το ίδιο κανονικό πολύγωνο, και ότι κάθε κορυφή είναι κανονική). Ψευδοκανονικό εάν είναι vertex-transitive και edge-transitive (και έχει ως εκ τούτου κανονικές έδρες) αλλά όχι face-transitive. Ένα ημικανονικό δυϊκό είναι face-transitive και edge-transitive (και ως εκ τούτου κάθε κορυφή είναι κανονική) αλλά όχι vertex-transitive. Ημικανονικό εάν είναι vertex-transitive αλλά όχι edge-transitive, και η κάθε έδρα είναι ένα κανονικό πολύγωνο. (Αυτός είναι ένας από τους πολλούς ορισμούς του όρου, ανάλογα με τον συγγραφέα. Κάποιοι ορισμοί συμπίπτουν με την ψευδοκανονική τάξη). Ένα Ημικανονικό δυϊκό είναι face-transitive αλλά όχι vertex-transitive, και η κάθε κορυφή είναι κανονική. Ομοιόμορφο εάν είναι vertex-transitive και η κάθε έδρα είναι κανονικό πολύγωνο, δηλαδή είναι κανονικό, ψευδοκανονικό ή ημικανονικό. Ένα ομοιόμορφο δυϊκό είναι face-transitive και έχει κανονικές κορυφές, αλλά δεν είναι απαραίτητα vertex-transitive). Ευγενές εάν είναι face-transitive και vertex-transitive (αλλά όχι απαραίτητα edge-transitive). Τα κανονικά πολύεδρα είναι επίσης ευγενή, και είναι τα μοναδικά ευγενή ομοιόμορφα πολύεδρα.Ένα πολύεδρο μπορεί να ανήκει στην ίδια συνολική ομάδα συμμετριών ως αυτό με την υψηλότερη συμμετρία, αλλά θα έχει αρκετές ομάδες στοιχείων (για παράδειγμα οι έδρες) σε διαφορετικές τροχιές συμμετρίας. Τα Ομοιόμορφα πολύεδρα είναι vertex-transitive και η κάθε έδρα τους είναι κανονικό πολύγωνο. Μπορεί να είναι κανονικά, ψευδοκανονικά ή ημικανονικά, μπορεί επίσης να είναι κυρτά ή αστεροειδή. Τα δυϊκά των ομοιόμορφων είναι face-transitive και το κάθε σχήμα κορυφής είναι ένα κανονικό πολύγωνο. Η μεταβατικότητα των εδρών ενός πολυέδρου αντιστοιχεί στην μεταβατικότητα των κορυφών του δυϊκού και αντίστροφα, και η μεταβατικότητα των ακμών ενός πολυέδρου αντιστοιχεί στην μεταβατικότητα των ακμών του δυϊκού. Το δυϊκό ενός κανονικού πολυέδρου είναι επίσης κανονικό. Το δυϊκό ενός μη κανονικού ομοιόμορφου πολυέδρου (που ονομάζεται Καταλανικό στερεό εάν είναι κυρτό) έχει μη κανονικές έδρες. Κάθε ομοιόμορφο πολύεδρο μοιράζεται την ίδια συμμετρία με το δυϊκό του, με τις συμμετρίες των εδρών και των κορυφών απλά να ανταλλάσσονται. Εξαιτίας αυτού ορισμένες αρχές θεωρούν τα δυϊκά επίσης ομοιόμορφα. Αλλά αυτή η ιδέα δεν είναι ευρέως διαδεδομένη: ένα πολύεδρο και τα συμμετρικά του δεν είναι το ίδιο πράγμα. Τα ομοιόμορφα πολύεδρα και τα δυϊκά τους παραδοσιακά κατατάσσονται ανάλογα με το βαθμό της συμμετρίας τους, και με βάση το αν είναι κυρτά ή όχι. Ένα ευγενές πολύεδρο είναι ταυτόχρονα ισοεδρικό (equal-faced) και ισογώνιο (equal-cornered). Πέρα από τα κανονικά πολύεδρα, υπάρχουν πολλά άλλα παραδείγματα. Το δυϊκό ενός ευγενούς πολυέδρου είναι επίσης ευγενές. Οι πολυεδρικές ομάδες συμμετρίας (χρησιμοποιώντας σημειογραφία Schoenflies) είναι όλες σημειακές ομάδες και περιλαμβάνουν: T - ασύμμετρη τετραεδρική συμμετρία; η ομάδα περιστροφών για ένα κανονικό τετράεδρο; είναι 12. Td - πλήρη τετραεδρική συμμετρία; η ομάδα συμμετριών για ένα κανονικό τετράεδρο; είναι 24. Th - συμμετρία πολυέδρου πυριτίου; είναι 24. Η συμμετρία ενός πολυέδρου πυριτίου. O - στροβιλική οκταεδρική συμμετρία;η ομάδα περιστροφών του κύβου και του οκταέδρου; είναι 24. Oh - πλήρη οκταεδρική συμμετρία; η ομάδα συμμετριών του κύβου και του οκταέδρου; είναι 48. I - στροβιλική εικοσαεδρική συμμετρία; η ομάδα περιστροφών του εικοσαέδρου και του δωδεκαέδρου; είναι 60. Ih - πλήρη εικοσαεδρική συμμετρία; η ομάδα συμμετριών του εικοσαέδρου και του δωδεκαέδρου; είναι 120. Cnv - n-φορές πυραμιδικής συμμετρίας Dnh - n-φορές πρισματικής συμμετρίας Dnv - n-φορές αντιπρισματικής συμμετρίας.Αυτά με στροβιλική συμμετρία δεν έχουν ανακλαστική συμμετρία και ως εκ τούτου έχουν δύο αντιμεταθετικές μορφές που είναι αντανακλάσεις της καθεμιάς. Τα κολοβά Αρχιμήδεια πολύεδρα έχουν αυτή την ιδιότητα. Ίσες κανονικές έδρες Μερικές οικογένειες πολυέδρων, όπου η κάθε έδρα είναι το ίδιο είδος πολυγώνου: Δελτάεδρα έχουν ισόπλευρα τρίγωνα για έδρες. Όσον αφορά τα πολύεδρα των οποίων οι έδρες είναι όλες τετράγωνα: εάν δεν επιτρέπονται ομοεπίπεδες επιφάνειες, ακόμα και αν έχουν διαχωριστεί, υπάρχει μόνο ο κύβος. Διαφορετικά υπάρχει το αποτέλεσμα της επικόλλησης των έξι κύβων στην πλευρά του ενός, και τα επτά του ίδιου μεγέθους; έχει τριάντα τετράγωνες έδρες (μετρώντας και τις διαχωρισμένες πλευρές του ίδιου σχήματος ξεχωριστά). Αυτή μπορεί να επεκταθεί σε μία, δύο, ή τρεις κατευθύνσεις: μπορούμε να θεωρήσουμε την αυθαίρετη ένωση πολλών αντίγραφων αυτών των δομών, που λαμβάνονται με μεταφράσεις των (εκφραζόμενων σε κυβικά μεγέθη) (2,0,0), (0,2,0), και/ή (0,0,2), και ως εκ τούτου κάθε γειτονικό ζεύγος έχει ένα κοινό κύβο. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι οποιοδήποτε συνδεδεμένο σύνολο κύβων με θέσεις (a,b,c), με ακέραιους a,b,c από τους οποίους το πολύ ένας είναι ζυγός. Δεν υπάρχει κάποιο ειδικό όνομα για τα πολύεδρα των οποίων οι έδρες είναι όλες ίσα πεντάγωνα ή πεντάγραμμα. Υπάρχουν άπειρα από αυτά, αλλά μόνο ένα κυρτό: το δωδεκάεδρο. Τα υπόλοιπα συναρμολογούνται από (επικολλημένους) συνδυασμούς των κανονικών πολυέδρων όπως περιγράφηκαν παραπάνω: το δωδεκάεδρο, τα μικρά αστερόμορφα δωδεκάεδρα, τα μεγάλα αστερόμορφα δωδεκάεδρα και το μεγάλο εικοσάεδρο.Δεν υπάρχει πολύεδρο του οποίου οι έδρες να είναι όλες ίδιες και να είναι κανονικά πολύγωνα με έξι ή περισσότερες πλευρές γιατί η κορυφή των τριών κανονικών εξαγώνων ορίζει ένα επίπεδο. (Βλέπε άπειρο ασύμμετρο πολύεδρο για εξαιρέσεις με αντικριστά σχήματα κορυφών.) Δελτάεδρα Ένα δελτάεδρο είναι ένα πολύεδρο του οποίου οι έδρες είναι όλες ισόπλευρα τρίγωνα. Υπάρχουν άπειρα τέτοια δελτάεδρα, αλλά μόνο οκτώ από αυτά είναι αυστηρώς κυρτά: 3 κανονικά κυρτά πολύεδρα (3 από τα Πλατωνικά στερεά) Τετράεδρο Οκτάεδρο Εικοσάεδρο 5 ανομοιόμορφα κυρτά πολύεδρα (5 από τα στερεά του Τζόνσον) Τριγωνική διπυραμίδα Πενταγωνική διπυραμίδα Κολοβό δισφηνοειδές Τρις επαυξημένο τριγωνικό πρίσμα Γυροσκοπική επιμήκης τετραγωνική διπυραμίδα. Στερεά του Τζόνσον Ο Νόρμαν Τζόνσον αναζήτησε ποια κυρτά μη ομοιόμορφα πολύεδρα είχαν κανονικές έδρες. Το 1966, δημοσίευεσε μία λίστα από 92 τέτοια στερεά, τους έδωσε ονόματα και αριθμούς, και εικάστηκε ότι δεν υπήρχαν άλλα. Ο Victor Zalgaller απέδειξε το 1969 ότι η λίστα αυτών των στερεών του Τζόνσον ήταν ολοκληρωμένη. Πυραμίδες Οι πυραμίδες περιλαμβάνουν μερικά από τα πιο σεβαστά και διάσημα πολύεδρα. Αστερισμοί και facetting Οι αστερισμοί ενός πολυέδρου είναι η διαδικασία της επέκτασης των εδρών (εντός των σχημάτων) έτσι ώστε να ενωθούν για να σχηματίσουν ένα νέο πολύεδρο. Είναι η ακρίβεια της αμοιβαιότητας της διαδικασίας του facetting η οποία είναι η διαδικασία της αφαίρεσης κομματιών του πολυέδρου χωρίς να δημιουργηθούν νέες κορυφές. Ζωνόεδρα Ένα ζωνόεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο που η κάθε έδρα του είναι ένα πολύγωνο με συμμετρική αναστροφή ή, ισοδύναμα, συμμετρία με περιστροφές κάτω των 180°. Σπειροειδή πολύεδρα Ένα σπειροειδές πολύεδρο είναι ένα πολύεδρο με χαρακτηριστική Euler 0 ή λιγότερο, που ισοδυναμεί με Genus 1 ή περισσότερο, αντιπροσωπεύοντας μία επιφάνεια σπείρας που έχει μία ή περισσότερες οπές στη μέση. Πολυεδρικές ενώσεις Οι πολυεδρικές ενώσεις σχηματίζονται από τις ενώσεις 2 ή περισσοτέρων πολυέδρων. Αυτές οι ενώσεις often συχνά μοιράζονται τις ίδιες κορυφές όπως άλλα πολύεδρα και συχνά σχηματίζονται με αστερισμό. Μερικές καταγράφονται στην λίστα πολυεδρικών μοντέλων του Wenninger. Ορθογώνιο πολύεδρο Ένα ορθογώνιο πολύεδρο είναι ένα σύνολο από έδρες που ενώνονται σε ορθές γωνίες, και το σύνολο των οποίων οι ακμές είναι παράλληλες προς τους άξονες ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Εκτός από ένα ορθογώνιο κουτί, τα ορθογώνια πολύεδρα είναι μη-κυρτά. Είναι τα τρισδιάστατα αναλογικά των δισδιάστατων ορθογώνιων πολυγώνων, γνωστών επίσης ως ευθύγραμμα πολύγωνα. Τα ορθογώνια πολύεδρα χρησιμοποιούνται στην υπολογιστική γεωμετρία, όπου η περιορισμένη δομή τους τούς επέτρεψε να προοδεύσουν σε άλυτα προβλήματα αυθαίρετα πολύεδρα, για παράδειγμα, να ξεδιπλώσουν την επιφάνεια ενός πολυέδρου σε ένα πολυγωνικό δίκτυο. Η ονομασία 'πολύεδρο' δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί για μία ποικιλία αντικειμένων με παρόμοιες δομικές ιδιότητες με τα παραδοσιακά πολύεδρα. Μία κλασική πολυεδρική επιφάνεια περιλαμβάνει πεπερασμένες, οριοθετούμενες περιφέρειες επιπέδου, ενωμένες σε ζευγάρια κατά μήκος των ακμώ. Εάν μία τέτοια επιφάνεια εκτείνεται επ'αόριστον ονομάζεται απειρόεδρο. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν: Πλακόστρωση ή ψηφιδοποίηση του σχήματος. Δομές σαν σφουγγάρι που ονομάζονται απειρολοξά πολύεδραΔείτε επίσης: Apeirogon - Άπειρο κανονικό πολύγωνο: {∞} Το σύνθετο πολύεδρο είναι ένα το οποίο είναι κατασκευασμένο σε πολύπλοκο τρισδιάστατο Hilbert. Ο χώρος αυτός έχει έξι διαστάσεις: τρεις πραγματικές που αντιστοιχούν στον συνήθη χώρο, με την κάθε μία να συνοδεύεται από μία φανταστική διάσταση. Βλέπε για παράδειγμα Coxeter (1974). Ορισμένοι από τους τομείς της μελέτης επιτρέπουν τα πολύεδρα να έχουν καμπυλωτές επιφάνειες και ακμές. Σφαιρικά πολύεδρα Η επιφάνεια της σφαίρας μπορεί να χωριστεί με ευθύγραμμα τμήματα σε οριοθετούμενες περιοχές, για να σχηματίσει ένα σφαιρικό πολύεδρο. Μεγάλο μέρος της θεωρίας των συμμετρικών πολυέδρων προέρχεται πιο βολικά με αυτό τον τρόπο. Τα σφαιρικά πολύεδρα έχουν μία μακρά και αξιοσέβαστη ιστορία: Τα πρώτα γνωστά τεχνητά πολύεδρα ήταν σφαιρικά πολύεδρα σκαλισμένα σε πέτρα. Ο Poinsot χρησιμοποίησε σφαιρικά πολύεδρα για να ανακαλύψει τα τέσσερα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα. Ο Coxeter τα χρησιμοποίησε για να τα απαριθμήσει όλα τα ομοιόμορφα πολύεδρα.Μερικά πολύεδρα, όπως μονόεδρα και δίεδρα, υπάρχουν μόνο ως σφαιρικά πολύεδρα και δεν έχουν καθόλου αναλογικές επίπεδες έδρες. Κυρτά πολύεδρα πλήρωσης χώρου Δύο σημαντικοί τύποι είναι: Φυσαλίδες σε αφρούς και αφροί, όπως Weaire-Phelan bubbles. Τα έντυπα πλήρωσης χώρου χρησιμοποιούνται στην Αρχιτεκτονική. Βλέπε για παράδειγμα Pearce (1978). Πιο πρόσφατα τα μαθηματικά ορίσανε ένα πολύεδρο ως ένα σύνολο σε πραγματικό αφινικό (ή Ευκλείδιο) χώρο οσονδήποτε n διαστάσεων που να έχει επίπεδες επιφάνειες. Μπορεί εναλλακτικά να ορίζεται ως η ένωση ενός πεπερασμένου αριθμού κυρτών πολυέδρων, όπου ένα κυρτό πολύεδρο είναι οποιοδήποτε σύνολο το οποίο είναι η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού ημι-χώρων. Μπορεί να είναι φραγμένο ή άπειρο. Με αυτή την έννοια, ένα πολύτοπο είναι ένα φραγμένο πολύεδρο. Αναλυτικότερα, ένα τέτοιο κυρτό πολύεδρο εκφράζεται ως το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος γραμμικών ανισοτήτων. Ο καθορισμός του πολυέδρου με αυτό τον τρόπο παρέχει μία γεωμετρική προοπτική των προβλημάτων στον Γραμμικό προγραμματισμό. Πολλές μορφές παραδοσιακών πολυέδρων είναι γενικά πολύεδρα. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν: Ένα τεταρτημόριο του επιπέδου. Για παράδειγμα, η περιοχή του καρτεσιανού επιπέδου που αποτελείται από όλα τα σημεία πάνω από τον οριζόντιο άξονα και στα δεξιά του κατακόρυφου άξονα: { ( x, y ) : x ≥ 0, y ≥ 0 }. Οι πλευρές του είναι οι δύο θετικοί άξονες. Ένα όγδοο του κύκλου σε τρισδιάστατο Ευκλείδιο χώρο, { ( x, y, z ) : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 }. Ένα πρίσμα άπειρου βαθμού. Για παράδειγμα ένα διπλά άπειρο τετραγωνικό πρίσμα σε τρισδιάστατο χώρο, που αποτελείται από ένα τετράγωνο στο xy-επίπεδο κατά μήκος του z-άξονα: { ( x, y, z ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 }. Το κάθε κελί σε μία Voronoi ψηφιδοποίηση είναι ένα κυρτό πολύεδρο. Στην Voronoi ψηφιδοποίηση ενός συνόλου S, το κελί A αντιστοιχεί σε ένα σημείο c∈S το οποίο οριοθετείται (ως εκ τούτου είναι ένα παραδοσιακό πολύεδρο) όταν c βρίσκεται στο εσωτερικό του κυρτού περιβλήματος του S, αλλιώς (όταν c βρίσκεται στο όριο του κυρτού περιβλήματος του S) το A είναι άπειρο. Δεν είναι απαραίτητο να συμπληρωθεί η έδρα ενός σχήματος πριν πούμε ότι είναι πολύεδρο. Για παράδειγμα ο Leonardo da Vinci επινόησε μοντέλα πλαισίων των κανονικών στερεών, τα οποία ζωγράφισε για το βιβλίο του Pacioli Divina Proportione. Στην σύχγρονη εποχή, ο Branko Grünbaum (1994) έκανε μία ειδική μελέτη αυτής της τάξης των πολυέδρων στην οποία αναπτύχθηκε μία πρώιμη ιδέα των αφηρημένων πολυέδρων. Όρισε μία έδρα ως ένα κυκλικά διατεταγμένο σύνολο κορυφών και επέτρεψε οι έδρες να είναι λοξές όπως και επίπεδες. Διάφορα μαθηματικά καταστευάσματα έχουν βρεθεί να έχουν ιδιότητες οι οποίες παρουσιάζονται επίσης στα παραδοσιακά πολύεδρα. Ένα τοπολογικό πολύτοπο είναι ένας τοπολογικός χώρος που παρατίθεται μαζί με ένα ειδικό διαμερισμό σχημάτων που είναι τοπολογικά ισοδύναμα με κυρτά πολύτοπα και που είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους με ένα κανονικό τρόπο. Ένα τέτοιο σχήμα λέγεται απλό αν κάθε περιφέρειά του είναι simplex, δηλαδή σε έναν n-διάστατο χώρο κάθε περιοχή έχει n+1 κορυφές. Η δυϊκότητα ενός απλού πολύτοπου λέγεται απλή. Ομοίως, μία ευρέως μελετημένη τάξη πολύτοπων (πολύεδρα) είναι αυτή των κυβικών πολυέδρων, όταν το βασικό δομικό στοιχείο είναι ένας n-διάστατος κύβος. Ένα αφηρημένο πολύεδρο είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο (poset) στοιχείων των οποίων η μερική διάταξη υπακούει σε ορισμένους κανόνες. Οι θεωρίες διαφέρουν στις λεπτομέρειες, αλλά ουσιαστικά τα στοιχεία του συνόλου αντιστοιχούν στο σώμα, τις έδρες, τις ακμές και τις γωνίες του πολυέδρου. Το κενό σύνολο αντιστοιχεί στο μηδενικό πολύτοπο, ή nullitope, το οποίο έχει διαστατικότητα −1. Αυτά τα poset ανήκουν στην ευρύτερη οικογένεια των αφηρημένων πολυτόπων σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. Κάθε πολύεδρο δημιουργεί μια γραφική παράσταση, ή σκελετό, με τις αντίστοιχες κορυφές και ακμές. Έτσι η ορολογία γραφημάτων και οι ιδιότητες μπορεί να εφαρμοστεί στα πολύεδρα. Για παράδειγμα: Λόγω του θεωρήματος Steinitz τα κυρτά πολύεδρα είναι ένα προς ένα σε αντιστοιχία με τα 3-connected επίπεδα γραφήματα. Το τετράεδρο δημιουργεί ένα πλήρες γράφημα (K4). Είναι το μοναδικό πολύεδρο που το κάνει αυτό. Το οκτάεδρο δημιουργεί ένα ισχυρό κανονικό γράφημα, γιατί γειτονικές κορυφές έχουν πάντα δύο κοινούς γείτονες, και μη-γειτονικές κορυφές έχουν τέσσερις. Τα Αρχιμήδεια στερεά δημιουργούν ένα κανονικό γράφημα: 7 από τα Αρχιμήδεια στερεά είναι βαθμού 3, βαθμού 4 από 4, και τα υπόλοιπα 2 είναι ασύμμετρα ζεύγη βαθμού 5. Πέτρες σκαλισμένες σε σχήματα οι οποίες δείχνουν τις συμμετρίες των διαφόρων πολυέδρων έχουν βρεθεί στη Σκωτία και μπορεί να είναι μέχρι και 4,000 ετών. Αυτές οι πέτρες δείχνουν όχι μόνο τη μορφή των διαφόρων συμμετρικών πολυέδρων, αλλά και τις σχέσεις δυϊκότητας μεταξύ ορισμένων από αυτών(δηλαδή, ότι τα κέντρα των εδρών του κύβου δίνουν τις κορυφές ενός οκταέδρου, και ούτω καθεξής). Παραδείγματα τέτοιων λίθων βρίσκονται σε επίδειξη στην αίθουσα John Evans του Ασμόλειου μουσείου στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Είναι αδύνατο να γνωρίζουμε γιατί φτιάχτηκαν αυτά τα αντικείμενα, ή πως ο γλύπτης κέρδισε την έμπνευση για αυτούς. Άλλα πολύεδρα έχουν φυσικά αφήσει το στίγμα τους στην Αρχιτεκτονική—κύβοι και ορθογώνια παραλληλεπίπεδα είναι προφανή παραδείγματα, με τις πρώτες πυραμίδες τεσσάρων-όψεων της αρχαίας Αιγύπτου επίσης να χρονολογούνται από τη Λίθινη Εποχή. Οι Ετρούσκοι προηγήθηκαν των Ελλήνων στην ευαισθητοποίηση τους για μερικά τουλάχιστον από τα κανονικά πολύεδρα, όπως αποδεικνύεται από την ανακάλυψη κοντά στην Πάντοβα (στη Βόρεια Ιταλία) στα τέλη του 19ου αιώνα ενός δωδεκαέδρου από στεατίτη, η οποία χρονολογείται πάνω από 2,500 χρόνια (Lindemann, 1987). Οι κρύσταλλοι Pyritohedric βρίσκονται στη Βόρεια Ιταλία . Οι αρχαιότερες γνωστές γραπτές εγγραφές αυτών των σχημάτων προέρχονται από τους κλασικούς Έλληνες συγγραφείς, που επίσης έδωσαν την πρώτη γραπτή μαθηματική περιγραφή τους. Οι Αρχαίοι Έλληνες ενδιαφέρονταν κυρίως για τα κυρτά κανονικά πολύεδρα, που έγιναν γνωστά ως Πλατωνικά Στερεά. Ο Πυθαγόρας γνώριζε τουλάχιστον τρία από αυτά, και ο Θεαίτητος (γύρω στο 417 B. C.) μπορούσε να περιγράψει και τα πέντε. Τελικά, ο Ευκλείδης περιέγραψε την κατασκευή τους με τα Στοιχεία του. Αργότερα, ο Αρχιμήδης επέκτεινε τη μελέτη του στα κυρτά ανομοιόμορφα πολύεδρα τα οποία τώρα φέρουν το όνομά του. Το αυθεντικό του έργο έχει χαθεί και τα στερεά του έχουν έρθει σε εμάς μέσω του Πάππου. Μέχρι το 236 AD, στην Κίνα ο Liu Hui είχε περιγράψει την ανατομή του κύβου σε χαρακτηριστικό τετράεδρο (orthoscheme) και σε σχετικά στερεά, χρησιμοποιώντας σύνολα αυτών των στερεών ως βάση για τον υπολογισμό των όγκων της γης που θα μετακινόντουσαν κατά τη διάρκεια μηχανικών ανασκαφών. Μετά το τέλος της Κλασικής Εποχής, οι μελετητές του Ισλαμικού πολιτισμού συνέχισαν να λαμβάνουν την Ελληνική γνώση forward (Βλέπε Mathematics in medieval Islam). Ένας μελετητής του 9ου αιώνα, ο Thabit ibn Qurra έδωσε φόρμουλες για τον υπολογισμό του όγκου των πολυέδρων όπως οι κόλουρες πυραμίδες. Μετά τον 10ο αιώνα ο Abu'l Wafa περιέγραψε τα κυρτά κανονικά και τα ψευδοκανονικά σφαιρικά πολύεδρα. Όπως και με άλλους τομείς της Ελληνικής σκέψης οι οποίοι διατηρήθηκαν και ενισχύθηκαν από τους Ισλαμικούς μελετητές, το ενδιαφέρον της Δύσης για τα πολύεδρα αναβίωσε κατά τη διάρκεια της Ιταλικής Αναγέννησης. Καλλιτέχνες κατασκεύασαν σκελετικά πολύεδρα, που τους απεικόνιζαν στη ζωή ως μέρος των ερευνών τους με προοπτική. Πολλά εμφανίζονταν σε πάνελ μαρκετερί της περιόδου. Η Piero della Francesca έδωσε την πρώτη γραπτή περιγραφή των άμεσων γεωμετρικών κατασκευών πολυέδρων τέτοιας προοπτικής. Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι (Leonardo da Vinci) έκανε σκελετικά μοντέλα αρκετών πολυέδρων και ζωγράφισε τις απεικονίσεις τους σε ένα βιβλίο του Pacioli. Ένας πίνακας από έναν ανώνυμο καλλιτέχνη του Pacioli δείχνει ένα ποτήρι rhombicuboctahedron μισό-γεμάτο με νερό. Καθώς η Αναγέννηση εξαπλωνόταν πέρα από την Ιταλία, αργότερα οι καλλιτέχνες όπως ο Wenzel Jamnitzer, Dürer και άλλοι επίσης απεικόνισαν πολύεδρα διαφόρων ειδών, πολλά από τα οποία ήταν καινοτόμα, στην εφευρετική χαλκογραφία. Για περίπου 2.000 χρόνια, η έννοια του πολυέδρου ως στερεό κυρτό είχε παραμείνει όπως είχε αναπτυχθεί από τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηματικούς. Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης σχήματα αστέρων ανακαλύφθηκαν. Μία Τάρσια μαρμάρινη πλάκα στο δάπεδο της Βασιλικής του Αγίου Μάρκου, στη Βενετία, απεικονίζει ένα αστεροειδές δωδεκάεδρο. Καλλιτέχνες όπως ο Wenzel Jamnitzer ευχαριστιόντουσαν απεικονίζοντας καινοτόμες αστεροειδές μορφές αυξανόμενης πολυπλοκότητας. Ο Γιοχάνες Κέπλερ (Johannes Kepler) συνειδητοποίησε ότι τα αστεροειδή πολύγωνα, συνήθως πενταγράμματα, μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία αστεροειδών πολυέδρων. Κάποια από αυτά τα αστεροειδή πολύεδρα μπορεί να ανακαλύφθηκαν πριν την εποχή του Κέπλερ, αλλά ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε ότι θα μπορούσαν να θεωρηθούν "κανονικά" εάν αφαιρεθεί ο περιορισμός ότι τα κανονικά πολύτοπα είναι κυρτά. Αργότερα, ο Louis Poinsot συνειδητοποίησε ότι τα αστεροειδή σχήματα κορυφών (κύκλοι γύρω από κάθε γωνία) μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν, και ανακάλυψε τα εναπομείναντα δύο κανονικά αστεροειδή πολύεδρα. Ο Cauchy απέδειξε ότι η λίστα του Poinsot είναι ολοκληρωμένη, και ο Cayley τους έδωσε τα αποδεκτά Αγγλικά ονόματά τους: (του Kepler) το μικρό αστρόμορφο δωδεκάεδρο και το μεγάλο αστρόμορφο δωδεκάεδρο, και (του Poinsot) το μεγάλο εικοσάεδρο και το μεγάλο δωδεκάεδρο. Συνολικά ονομάζονται τα Kepler-Poinsot πολύεδρα. Τα Kepler-Poinsot πολύεδρα μπορούν να κατασκευαστούν από τα Πλατωνικά στερεά με μία διαδικασία που λέγεται αστερισμός. Οι περισσότεροι αστερισμοί δεν είναι κανονικοί. Στη μελέτη των αστερισμών των Πλατωνικών στερεών δόθηκε μεγάλη ώθηση από τον H. S. M. Coxeter και άλλους το 1938, με το πλέον διάσημο βιβλίο Τα 59 εικοσάεδρα. Αυτή η μελέτη πρόσφατα εκδόθηκε ξανά (Coxeter, 1999). Η αμοιβαία διαδικασία του αστερισμού λέγεται facetting (or faceting). Κάθε αστερισμός ενός πολύτοπου είναι δυϊκός, ή αμοιβαίος, σε κάποιο facetting του δυϊκού πολύτοπου. Τα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα μπορούν επίσης να αποκτηθούν με facetting στα Πλατωνικά στερεά. Ο Bridge 1974 έκανε μία λίστα με τα πιο απλά facettings του δωδεκαέδρου, και την αντάλλαξε για να ανακαλύψει τον αστερισμό του εικοσαέδρου που έλειπε από τα διάσημα "59". Περισσότερα έχουν ανακαλυφθεί από τότε, και η ιστορία δεν έχει ακόμα τελειώσει. Για τα φυσικά γεγονότα των κανονικών πολυέδρων, δες Κανονικό πολύεδρο: Κανονικά πολύεδρα στη φύση. Μη-κανονικά πολύεδρα εμφανίζονται στη φύση ως κρύσταλλοι. Coxeter, H.S.M.; Regular complex Polytopes, CUP (1974). Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43–70. Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf Αρχειοθετήθηκε 2016-08-03 στο Wayback Machine.) Pearce, P.; Structure in nature is a strategy for design, MIT (1978) Αντιπρίσμα Στερεό του Αρχιμήδη Μαουρίτς Κορνέλις Έσερ Πλατωνικό στερεό Πρίσμα Ημικανονικό πολύεδρο Polyhedra Pages uniform solution for uniform polyhedra by Dr. Zvi Har'El Symmetry, Crystals and Polyhedra Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons Αρχειοθετήθηκε 2011-09-26 στο Wayback Machine. The Uniform Polyhedra Virtual Reality Polyhedra - The Encyclopedia of Polyhedra Polyhedra and Pyramids Interactive 3D polyhedra in Java Electronic Geometry Models - Contains a peer reviewed selection of polyhedra with unusual properties. Origami Polyhedra - Models made with Modular Origami Polyhedra Collection - Various virtual and physical polyhedra models. Polyhedra plaited with paper strips - Polyhedra models constructed without use of glue. Rotatable polyhedron models (uses Javascript) Rotatable self-intersecting polyhedra (uses Java) Polyhedron Models - Virtual polyhedra Java Applets for Visualizing Polyhedra - Systematically explicit formulae given! A Plethora of Polyhedra – An interactive and free collection of polyhedra in Java. Features includes nets, planar sections, duals, truncations and stellations of more than 300 polyhedra. Stella: Polyhedron Navigator - Software for exploring polyhedra and printing nets for their physical construction. Includes uniform polyhedra, stellations, compounds, Johnson solids, etc. World of Polyhedra - Comprehensive polyhedra in Flash applet, showing vertices and edges (but not shaded faces) Hyperspace Star Polytope Slicer - Explorer java applet, includes a variety of 3d viewer options. HEDRON - Polyhedron modelling software Uniform Polyhedra Java Applets with sources openSCAD - Free cross-platform software for programmers. Polyhedra are just one of the things you can model. The openSCAD User Manual is also available. OpenVolumeMesh - An open source cross-platform C++ library for handling polyhedral meshes. Developed by the Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University. Polyhedronisme Αρχειοθετήθηκε 2012-04-25 στο Wayback Machine. - Web based tool for generating polyhedra models using Conway Polyhedron Notation. Models can be exported as 2D PNG images, or as 3D OBJ or VRML2 files. The 3D files can be opened in many CAD softwares, or uploaded for 3D printing at services such as Shapeways. Making Polyhedra Paper Models of Polyhedra Free nets of polyhedra Paper Models of Uniform (and other) Polyhedra Kits and instructions for making models of polyhedra out of bamboo Polyhedra software, die-cast models, & posters Simple instructions for building over 30 paper polyhedra Kits to print out, cut, and fold into various polyhedra PictureSpice - A site that lets you make polyhedra with your own uploaded pictures. Lattice Polyhedra