Συνάρτηση του Βολτέρρα

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση του Βολτέρρα, η οποία πήρε το όνομά της από τον Βίτο Βολτέρρα, είναι μια πραγματική συνάρτηση V που ορίζεται στο R {\displaystyle \mathbb {R} } με τον ακόλουθο περίεργο συνδυασμό ιδιοτήτων: Η V είναι διαφορίσιμη παντού , η παράγωγος V' είναι παντού περιορισμένη, η παράγωγος δεν είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.

 Η συνάρτηση ορίζεται από το Σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ, το οποίο θα σημειωθεί εδώ ως S, και "αντίγραφα" της συνάρτησης f {\displaystyle f} που ορίζεται από τη σχέση f ( x ) = x 2 s i n ( 1 x ) {\displaystyle f(x)=x^{2}sin\left({\frac {1}{x}}\right)} για x {\displaystyle x} ≠ 0 και f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} , με στόχο την κατασκευή μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής σε ένα σύνολο μη μηδενικών μέτρο. Μια τέτοια παράγωγος δεν μπορεί να είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.Το σύνολο S είναι ένα κλειστό τμήμα του [0,1], με μη μηδενικό μέτρο, κενό εσωτερικό και χωρίς απομονωμένα σημεία. Το συμπλήρωμά του στο [0,1] είναι μια μετρήσιμη ένωση ανοικτών διαστημάτων. Η συνάρτηση Βολτέρρα ορίζεται ως εξής. Είναι μηδέν στο S. Σε κάθε ανοικτό διάστημα ] a , b [ {\displaystyle ]a,b[} του συμπληρωματικού του S, είναι ίση με μια διαφορίσιμη συνάρτηση, με συνεχή παράγωγο, που επεκτείνεται στο a και στο b σε μια συνεχή και διαφορίσιμη συνάρτηση, με f ( a ) = f ( b ) = f ′ ( a ) = f ′ ( b ) = 0 {\displaystyle f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0} , αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε η παράγωγος να είναι ασυνεχής στο a και στο b. Για να το κάνουμε αυτό, προσαρμόζουμε στο διάστημα ] a , b [ {\displaystyle ]a,b[} την παρακάτω κατασκευή, που πραγματοποιήθηκε, για να απλοποιήσουμε τους συμβολισμούς, για την περίπτωση του διαστήματος ]0,1[ : Έστω f ( x ) = x 2 sin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)} για x ∈ ] 0 , c ] {\displaystyle x\in ]0,c]} , με c ένα πραγματικό στοιχείο του ] 0 , 1 2 ] {\displaystyle ]0,{\frac {1}{2}}]} και τέτοιο ώστε f ′ ( c ) = 0 {\displaystyle f'(c)=0} . Έστω f ( x ) = f ( c ) {\displaystyle f(x)=f(c)} πάνω στο [ c , 1 2 ] {\displaystyle [c,{\frac {1}{2}}]} . Έστω f ( x ) = f ( 1 − x ) {\displaystyle f(x)=f(1-x)} στο [ 1 2 , 1 ] {\displaystyle [{\frac {1}{2}},1]} * Αφού ολοκληρώσουμε μια ανάλογη κατασκευή σε κάθε διάστημα του συμπληρώματος του S, λαμβάνουμε μια συνάρτηση V παραγωγίσιμη σε οποιοδήποτε σημείο του [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , και της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής στο S και συνεχής στο συμπλήρωμά του . Πράγματι, η παραπάνω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με μηδενική παράγωγο. Αλλά για μη μηδενικό x, έχουμε f ′ ( x ) = 2 x sin ⁡ ( 1 / x ) − cos ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)} , το οποίο σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του μηδενός, υπάρχουν σημεία όπου η f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} παίρνει τις τιμές 1 και -1. Έτσι, υπάρχουν σημεία όπου το V ′ ( x ) {\displaystyle V'(x)} παίρνει τις τιμές 1 και -1 σε κάθε γειτονιά κάθε ορίου των διαστημάτων που αφαιρούνται κατά την κατασκευή του συνόλου S του Σμιθ, Βόλτερρα και Κάντορ. Έτσι, σε οποιοδήποτε σημείο του S, το V είναι παραγωγίσιμο, με μηδενική παράγωγο, αλλά το V ′ ( x ) {\displaystyle V'(x)} εκεί είναι ασυνεχές. Ωστόσο, η V ′ {\displaystyle V'} είναι συνεχής σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, οπότε το σύνολο των σημείων ασυνέχειας της V ′ {\displaystyle V'} είναι ακριβώς ίσο με το S. Δεδομένου ότι το σύνολο S έχει αυστηρά θετικό μέτρο Λεμπεσγκ, αυτό σημαίνει ότι το V ′ {\displaystyle V'} είναι ασυνεχές σε ένα σύνολο μη μηδενικού μέτρου, και επομένως δεν είναι ολοκληρώσιμο κατά Ρίμαν. · . Σημειώστε ότι αν είχαμε πραγματοποιήσει την ίδια κατασκευή στο σύνολο Cantor C, θα είχαμε λάβει μια συνάρτηση με παρόμοιες ιδιότητες, αλλά η παράγωγος θα ήταν ασυνεχής στο C, το οποίο έχει μέτρο μηδέν, και η συνάρτηση που θα λαμβάναμε θα είχε τότε μια ολοκληρώσιμη παράγωγο Ρίμαν. [https://web.archive.org/web/20201123131325/http://www.macalester.edu/~bressoud/talks/AlleghenyCollege/Wrestling.pdf Αρχειοθετήθηκε 2020-11-23 στο Wayback Machine. Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function], talk by David Marius Bressoud Volterra's example of a derivative that is not integrable (PPT), talk by David Marius Bressoud Βίτο Βολτέρρα Σύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν