Ομάδα Κόξετερ

Σταμαθηματικά, μια ομάδα Κόξετερ,που πήρε το όνομά της από τον H. S. M. Coxeter, είναι μια [1]αφηρημένη ομάδα] που επιδέχεται μια τυπική περιγραφή, όσον αφορά τις ανακλάσεις (ή καλειδοσκοπικούς καθρέφτες). Πράγματι, οι πεπερασμένες Κόξετερ ομάδες είναι ακριβώς οι πεπερασμένες Ευκλείδιες ανακλαστικές ομάδες ένα παράδειγμα είναι οι συμμετρικές ομάδες ενός κανονικού πολύεδρου. Ωστόσο, δεν είναι όλες οι Κόξετερ ομάδες πεπερασμένες, και δεν μπορούν να περιγραφούν όλες με ευκλείδιες ανακλαστικές ομάδες και συμμετρικές ομάδες. Οι ομάδες Κόξετερ εισήχθησαν (Coxeter 1934) ως αφηρημένες ανακλαστικές ομάδες, και οι πεπερασμένες ταξινομήθηκαν το 1935 (Coxeter 1935). Οι ομάδες Κόξετερ βρίσκουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Παραδείγματα των πεπερασμένων Κόξετερ ομάδων αποτελούν οι ομάδες συμμετρίας των κανονικών πολυτόπων, και οι []ομάδες Weyl των απλών Lie αλγεβρών. Παραδείγματα Κόξετερ απειροομάδων αποτελούν οι τριγωνικές ομάδες που πληρώνουν κανονικά τo Ευκλείδιο επίπεδο και υπερβολικό επίπεδο, και οι Weyl ομάδες άπειρων διαστάσεων των Kac–Moody-αλγεβρών. Πρότυπες αναφορές περιλαμβάνουν (Humphreys 1992) και (Davis 2007).

 Τυπικά, μια ομάδα Coxeter μπορεί να οριστεί ως μια ομάδα με την παρουσίαση ⟨ r 1 , r 2 , … , r n ∣ ( r i r j ) m i j = 1 ⟩ {\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle } όπου m i i = 1 {\displaystyle m_{ii}=1} και m i j ≥ 2 {\displaystyle m_{ij}\geq 2} για i ≠ j {\displaystyle i\neq j} . Ο όρος m i j = ∞ {\displaystyle m_{ij}=\infty } σημαίνει ότι καμία σχέση δεν πρέπει να επιβληθεί με τον τύπο ( r i r j ) m {\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}} . Το ζεύγος (W,S) , όπου W είναι μια Κόξετερ ομάδα με γεννήτριες S={r1,...,rn} ονομάζεται Κόξετερ σύστημα. Σημειώστε ότι σε γενικές γραμμές το S δεν προσδιορίζεται μονοσήμαντα από το W. Για παράδειγμα, οι Κόξετερ ομάδες των τύπων B3 και Α1xΑ3 είναι ισομορφικές αλλά τα Κόξετερ συστήματα δεν είναι ισοδύναμα (δείτε παρακάτω για μια εξήγηση αυτής της σημειογραφίας). Ορισμένα συμπεράσματα μπορούν να εξαχθούν άμεσα από τον παραπάνω ορισμό. Η σχέση mi i = 1 σημαίνει ότι το (r - r ' )1 = (ri )2 = 1 για όλα τα i * οι γεννήτριες είναι involutions. Αν mi j = 2, τότε οι γεννήτριες r i και rj αντιμετατίθενται. Αυτό προκύπτει από την παρατήρηση ότιxx = yy = 1, μαζί με xyxy = 1 συνεπάγεται ότι xy = x(xyxy)y = (xx)yx(yy) = yx. Εναλλακτικά, δεδομένου ότι το τετράγωνο μιας γεννήτριας ισούται με την γεννήτρια συνεπάγεται ότι, r i = r i − 1 {\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}} , έτσι ( r i r j ) 2 = r i r j r i r j = r i r j r i − 1 r j − 1 {\displaystyle (r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}} , και, συνεπώς, αντιμετατίθενται.Προκειμένου να αποφευχθεί ο πλεονασμός μεταξύ τους σχέσεις, είναι απαραίτητο να υποθέσουμε ότι mi j = mj i. Αυτό προκύπτει από την παρατήρηση ότιyy = 1, μαζί με (xy)m = 1 συνεπάγεται ότι (yx)m = (yx)myy = y(x)my = yy = 1. Εναλλακτικά, ( x y ) k {\displaystyle (xy)^{k}} και ( y x ) k {\displaystyle (yx)^{k}} είναι συζευγμένα στοιχεία,καθώς y ( x y ) k y − 1 = ( y x ) k y y − 1 = ( y x ) k {\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}} . Ένας Κόξετερ πίνακας είναι ένας n×n, συμμετρικός πίνακας με mj στοιχεία. Πράγματι, κάθε συμμετρικός πίνακας με φυσικό ή άπειρο πλήθος στοιχείων όπου τα στοιχεία του στην κύρια διαγώνιο ισούνται με 1,έτσι ώστε όλα τα στοιχεία που δεν είναι στην διαγώνιο να είναι μεγαλύτερα του 1,χρησιμεύει για να οριστεί ένας Κόξετερ πίνακας. Ένας Κόξετερ πίνακας μπορεί εύκολα να κωδικοποιηθεί από ένα Coxeter διάγραμμα, σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες. Οι κορυφές του γραφήματος ονομάζονται από τους δείκτες των γεννητριών. Οι κορυφές i και j συνδέονται, αν και μόνο αν mi j ≥ 3. Μια ακμή σημειώνεται με την τιμή του mi j όποτε είναι 4 ή μεγαλύτερη.Ειδικότερα, δύο γεννήτριες αντιμετατίθενται,αν και μόνο αν δεν συνδέονται με μια ακμή.Επιπλέον, αν ένα Κόξετερ γράφημα έχει δύο ή περισσότερα συνδεδεμένα στοιχεία η συνδεδεμένη ομάδα είναι το άμεσο προϊόν των ομάδων που συνδέονται με τα μεμονωμένα στοιχεία. Έτσι, η ξένη ένωση των Κόξετερ γραφημάτων παράγει ένα εσωτερικό γινόμενο των ομάδων Κόξετερ. Ένας πίνακας Κόξετερ, Mi,j, σχετίζεται με έναν Schläfli πίνακα , C,i,j, αν τα στοιχεία τροποποιούνται, κατά το εσωτερικό γινόμενο των γεννητριών ανά δύο έτσι έχουμε έναν πίνακα Schläfli Ci,j=-2cos(π/Mi,j).Ένας Schläfli πίνακας είναι χρήσιμος επειδή οι ιδιοτιμές του προσδιορίζουν αν η ομάδα Κόξετερ είναι πεπερασμένου τύπου (όλα θετικά), ομοιότητας (όλα τα μη-αρνητική, τουλάχιστον ένα μηδέν), ή αόριστου τύπου (διαφορετικά). Οι ομάδες αόριστου τύπου μερικές φορές διακρίνεται περαιτέρω, π. χ. σε υπερβολικές και άλλες ομάδες Κόξετερ. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί μη ισοδύναμοι ορισμοί για υπερβολικές Κόξετερ ομάδες. Το γράφημα του οποίου οι κορυφές από το 1 έως το n τοποθετούνται στη σειρά με κάθε κορυφή να συνδέεται με μια μη επισημασμένη ακμή με τους άμεσους γείτονές της, συνεπάγεται την συμμετρική ομάδα Sn+1 * οι γεννήτορες αντιστοιχίζονται στην εναλλαγή (1 2), (2 3), ... (n n+1). Δύο μη διαδοχικών εναλλασσόμενων πράξεων που πάντα αντιμετατίθενται, ενώ η διαδοχή (k k+1) (k+1 k+2) δίνει το 3-κυκλό (k k+2 k+1). Φυσικά αυτό δείχνει μόνο ότι η Sn+1 είναι μια ομάδα πηλίκο των Κόξετερ ομάδων που περιγράφονται από το γράφημα, αλλά δεν είναι πάρα πολύ δύσκολο να ελέγξετε ότι η ισότητα ισχύει Οι Κόξετερ ομάδες είναι βαθιά συνδεδεμένες με Ομάδα. Με απλά λόγια, οι Κόξετερ ομάδες είναι αφηρημένες ομάδες (μέσω δοθείσας παράστασης), ενώ οι ανακλαστικές ομάδες είναι συγκεκριμένες ομάδες (που δίνονται ως υποομάδες γραμμικών ομάδων ή διάφορων γενικεύσεων). Οι Κόξετερ ομάδες που προέκυψαν από την μελέτη των ανακλαστικών ομάδων — είναι μια αφηρημένη έννοια: μια ανακλαστική ομάδα είναι μια υποομάδα της γραμμικής ομάδας που δημιουργείται από τις ανακλαστικές (τάξεως 2), ενώ μια ομάδα Κόξετερ είναι μια αφηρημένη ομάδα που δημιουργείται από στοιχεία που πολλαπλασιάζονται με τον εαυτό τους και δίνουν τον εαυτό τους(στοιχεία τάξης 2,διαχωρισμένα από ανακλάσεις), και των οποίων οι σχέσεις έχουν μια συγκεκριμένη μορφή ( ( r i r j ) k {\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}} , kπου αντιστοιχεί σε υπερεπίπεδα σε μια γωνία π / k {\displaystyle \pi /k} , με r i r j {\displaystyle r_{i}r_{j}} να είναι της τάξης k αφαιρώντας μια περιστροφή 2 π / k {\displaystyle 2\pi /k} ). Η αφηρημένη ομάδα των ανακλαστικών ομάδων είμαι μια Κόξετερ ομάδα,ενώ αντίστροφα μια ανακλαστική ομάδα μπορούμε να την δούμε σαν μια γραμμική αναπαράσταση μιας Κόξετερ ομάδας. Για πεπερασμένες ανακλαστικές ομάδες, αυτό παράγει μια ακριβή αντιστοιχία: κάθε πεπερασμένη ομάδα Κόξετερ αποτελεί μια πιστή αναπαράσταση μιας πεπερασμένης ανακλαστικής ομάδας κάποιου Ευκλείδειου χώρου. Για τις άπειρες κόξετερ ομάδες, ωστόσο, δεν είναι απαραίτητο ότι ισχύει το παραπάνω. Ιστορικά (Coxeter 1934) απεδείχθη ότι κάθε ανακλαστική ομάδα είναι μια ομάδα Κόξετερ (δηλαδή, οι σχέσεις είναι της μορφής r i 2 {\displaystyle r_{i}^{2}} ή της ( r i r j ) k {\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}} ), και μάλιστα αυτή η δημοσίευση εισήγαγε την έννοια της Κόξετερ ομάδας, ενώ (Coxeter 1935) απέδειξε ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα Κόξετερ έχει μια αναπαράσταση ως ανακλαστική ομάδα, και ταξινομούνται ως πεπερασμένες ομάδες Coxeter. Οι πεπερασμένες Κόξετρ ομάδες κατατάσσονται (Coxeter 1935), όσον αφορά τα Κόξετερ–διαγράμματα Dynkin, σε ανακλαστικές ομάδες πεπερασμένης διάστασης Ευκλείδιων χώρων. Οι πεπερασμένες Κόξετερ ομάδες αποτελούνται από τρεις μονοπαραμετρικές οικογένειες αύξουσας τάξης A n , B n , D n , {\displaystyle A_{n},B_{n},D_{n},} μια μονοπαραμετρική οικογένεια διάστασης 2, I 2 ( p ) , {\displaystyle I_{2}(p),} και έξι εξαιρετικές ομάδες: E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , H 3 , {\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},} και H 4 . {\displaystyle H_{4}.} Πολλές, αλλά όχι όλες οι ομάδες, είναι Weyl ομάδες, και κάθε ομάδα Weyl μπορεί να γίνει αντιληπτή ως μια ομάδα Κόξετερ. Οι Weyl ομάδες είναι οι οικογένειες A n , B n , {\displaystyle A_{n},B_{n},} και D n , {\displaystyle D_{n},} και οι εξαιρετικές E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , {\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},} και η I 2 ( 6 ) , {\displaystyle I_{2}(6),} συμβολίζεται στην σημειογραφία των ομάδων Weyl , ως G 2 . {\displaystyle G_{2}.} Οι μη-Weyl ομάδες είναι οι H 3 {\displaystyle H_{3}} και H 4 , {\displaystyle H_{4},} και η οικογένεια I 2 ( p ) {\displaystyle I_{2}(p)} , εκτός εάν αυτή συμπίπτει με μια από τις Weyl ομάδες (δηλαδή I 2 ( 3 ) ≅ A 2 , I 2 ( 4 ) ≅ B 2 , {\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},} και I 2 ( 6 ) ≅ G 2 {\displaystyle I_{2}(6)\cong G_{2}} ). Αυτό μπορεί να αποδειχθή από τη σύγκριση των περιορισμών (μη κατευθυνόμενο) των διαγραμμάτων Dynkin με τους περιορισμούς των Κόξετερ διαγραμμάτων των πεπερασμένων ομάδων: επισήμως, ένα διάγραμμα Dynkin μπορεί να επικρατήσει έναντι ενός Κόξετερ γραφήματος με παραμερισμό της κατεύθυνσης των ακμών, και αντικατάσταση κάθε διπλής ακμής με ακμή μήκους 4 και κάθε τριπλή μήκους 6. Επίσης, σημειώστε ότι κάθε πεπερασμένα παραγόμενη ομάδα Κόξετερ είναι μια ομάδα αυτομάτων. Τα διαγράμματα Dynkin έχουν το πρόσθετο περιορισμό ότι το μόνο μήκος που επιτρέπεται για μια ακμή είναι 2, 3, 4, και 6, η οποία παράγει τα παραπάνω. Γεωμετρικά, αυτό αντιστοιχεί στο θεώρημα περιορισμού της κρυσταλογραφίας, και το γεγονός ότι εξαιρούνται οι πολυτόποι δεν γεμίζουν το χώρο ή καλύπτουν το επίπεδο – για την H 3 , {\displaystyle H_{3},} το δωδεκάεδρο (διττά, εικοσάεδρο) δεν γεμίζει το χώρο, για την H 4 , {\displaystyle H_{4},} το 120-κελί (διττά, 600-κελί) δεν γεμίζει το χώρο, για την I 2 ( p ) {\displaystyle I_{2}(p)} μια σ-gon δεν γεμίζει το επίπεδο εκτός από p = 3 , 4 , {\displaystyle p=3,4,} ή 6 {\displaystyle 6} (στο τριγωνικές, τετραγωνικές, εξαγωνικές στρώσεις, αντίστοιχα). Να σημειωθεί ακόμα ότι τα (κατευθυνόμενα) διαγραμμάτα Dynkin Βn και Cn δημιουργούν την ίδια Weyl ομάδα (εξ ου και Κόξετερ ομάδα), επειδή διαφέρουν ως κατευθυνόμενα γραφήματα, αλλά συμφωνούν ως μη κατευθυνόμενα γραφήματα – η κατεύθυνση έχει σημασία για τα ριζικά συστήματα, αλλά όχι για τις ομάδες Weyl * αντίστοιχα στον υπερκύβο και στο υπεροκτάεδρο έχουν διαφορετικά κανονικά πολύτοπα αλλά έχουν την ίδια συμμετρία ομάδας. Μερικές ιδιότητες των πεπερασμένων ομάδων Κόξετερ δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Όλες οι συμμετρικές των κανονικών πολυτόπων είναι πεπερασμένες Κόξετερ ομάδες. Να σημειωθεί ότι τα δυικά πολύτοπα έχουν την ίδια συμμετρία ομάδας. Υπάρχουν τρεις σειρές κανονικών πολυτόπων σε όλες τις διαστάσεις. Η συμμετρική ομάδα ενός κανονικού n-απλού είναι η συμμετρική ομάδα Sn+1, επίσης γνωστή ως η ομάδα Κόξετερ τύπου An. Η συμμετρική ομάδα του n-κύβου και το διπλό του, του n-υπεροκτάεδρο,είναι η Βn, γνωστή και ως η υπεροεκταεδρική ομάδα. Τα εξαιρετικά πολύτοπα σε διαστάσεις 2,3 και τέσσερα αντιστοιχούν σε άλλες Κόξετερ ομάδες. Σε δύο διαστάσεις, οι δίεδρες ομάδες, οι οποίες είναι οι ομάδες συμμετρίας των κανονικών πολυγώνων, αποτελούν τη σειρά I2(σ). Σε τρεις διαστάσεις, η συμμετρική ομάδα του κανονικού δωδεκάεδρο και του διπλού, το κανονικού εικοσάεδρου, Χ3, είναι γνωστή ως η πλήρης εικοσαεδρική ομάδα. Στις τέσσερις διαστάσεις, υπάρχουν τρία ειδικά κανονικά πολύτοπα, των 24-κελιών, των 120-κελιών, και των 600-κελιών. Το πρώτο έχει συμμετρία ομάδας την F4, ενώ τα άλλα δύο είναι δυικά και η έχουν ως ομάδα συμμετρίας την H4. Οι Κόξετερ ομάδες τύπου Dn, E6, E7, E8 είναι οι συμμετρικές ομάδες ορισμένων ημικανονικών πολύτοπων. ΟΙ συναφείς Κόξετερ ομάδες σχηματίζουν μια δεύτερη σημαντική σειρά Κόξετερ ομάδων. Αυτά δεν είναι πεπερασμένο από μόνα τους, αλλά το καθένα περιέχει μια κανονική αβελιανή υποομάδα τέτοια ώστε η αντίστοιχη ομάδα πηλίκο να είναι πεπερασμένη. Σε κάθε περίπτωση, η ομάδα πηλίκο είναι η ίδια ομάδα Κόξετερ, και το Κόξετερ γράφημα προκύπτει από το Κόξετερ γράφημα της Κόξετερ ομάδας, προσθέτοντας άλλο ένα στην κορυφή και ένα ή δύο επιπλέον στα άκρα. Για παράδειγμα, για n ≥ 2, το γράφημα που αποτελείται από n+1 κορυφές σε ένα κύκλο σχηματίζεται από ένα An με αυτόν τον τρόπο, και η αντίστοιχη ομάδα Κόξετερ είναι συναφής με μια Weyl ομάδα Αn. Για n = 2, αυτό μπορεί να απεικονίζεται ως η συμμετρική ομάδα του προτύπου από γέμισμα του επιπέδου από ισόπλευρα τρίγωνα. Μια λίστα με τις συναφή Κόξετερ ομάδες είναι η εξής: Η ομάδα συμβόλων δείκτη είναι μικρότερη από τον αριθμό των κόμβων σε κάθε περίπτωση, δεδομένου ότι κάθε μία από αυτές τις ομάδες δημιουργήθηκε με την προσθήκη ενός κόμβου πεπερασμένης ομάδα είναι γράφημα. Υπάρχουν απείρως πολλες υπερβολικές Κόξετερ ομάδες που περιγράφουν ανακλαστικές ομάδες σε υπερβολικό χώρο, ιδίως οι υπερβολικές τριγωνικές ομάδες. Μια επιλογή από ανακλαστικούς γεννήτορες δημιουργεί μια συνάρτηση μήκος σε μια Κόξετερ ομάδα, δηλαδή τον ελάχιστο αριθμό χρήσεων από γεννήτριες που απαιτείται για να εκφράσω μια ομάδα στοιχείο, αυτό ακριβώς είναι το μήκος της μετρικής λέξης στο Cayley γράφημα. Μια έκφραση για το v χρησιμοποιώντας το l(v) των γεννητριών είναι μειωμένη λέξη. Για παράδειγμα, η μετάθεση (13) S3 έχει δύο μειωμένη λέξεις, (12)(23)(12) και (23)(12)(23). Η συνάρτηση v → ( − 1 ) l ( v ) {\displaystyle v\to (-1)^{l(v)}} ορίζει ένα χάρτη G → { ± 1 } , {\displaystyle G\to \{\pm 1\},} γενικεύοντας την απεικόνιση του προσήμου για τις συμμετρικές ομάδες. Χρησιμοποιώντας μειωμένη λέξη μπορεί κανείς να ορίσει τρεις μερικές διατάξεις στην ομάδα Coxeter, η (σωστή) αδύναμη διάταξη, την απόλυτη διάταξη και τη Bruhat διάταξη (το όνομά της από τον Φρανσουά Bruhat). Ένα στοιχείο v υπερβαίνει ένα στοιχείο u κατά τη Bruhat διάταξη, ώστε αν κάποια (ή αντίστοιχα, οποιαδήποτε) μειωμένη λέξη για το v περιέχει μειωμένη λέξη για το u ως δευτερεύουσα συμβολοσειρά, οπου κάποια γράμματα (σε οποιαδήποτε θέση) απορρίπτονται. Στην αδύναμη διάταξη, v ≥ u αν κάποια μειωμένη λέξη για το v περιέχει μειωμένη λέξη για το u ως ένα αρχικό τμήμα. Πράγματι, το μήκος λέξης διαβαθμισμένα μερικώς διατεταγμένα σύνολα με αυτό τον τρόπο. Τα διαγράμματα Hasse που αντιστοιχούν σε αυτές τις εντολές είναι αντικείμενα μελέτης και σχετίζονται με το Cayley γράφημα που καθορίζεται από τις γεννήτριες. Η απόλυτη τάξη ορίζεται κατ ' αναλογία προς την αδύναμη διάταξη, αλλά με το να παράγει το σύνολο/αλφάβητο που αποτελείται από όλα τα συζυγή των Κόξετερ γεννητριών. Για παράδειγμα, η μετάθεση (1 2 3) S3 έχει μόνο μία μειωμένη λέξη, (12)(23), έτσι ώστε να καλύπτει (12) και (23) στη Bruhat διάταξη, αλλά καλύπτει μόνο την (12) στην αδύναμη διάταξη. Εφόσον μια ομάδα Κόξετερ W παράγεται από πεπερασμένα πολλά στοιχεία τάξης 2, η αβελιονοποιημένη είναι μια στοιχειώδης αβελιανή 2-ομάδα, δηλαδή μια ισόμορφη με το ευθύ άθροισμα πολλών αντιγράφων από την κυκλική ομάδα Z2. Αυτό μπορεί να επαναληφθεί κατά τους όρους της πρώτης ομόλογης ομάδας του W. Ο Schur πολλαπλασιαστής M(W) (σε σχέση με τη δεύτερη ομολογία) υπολογίστηκε από τους (Ihara & Yokonuma 1965) για πεπερασμένες ανακλαστικές ομάδες και από τον (Yokonuma 1965) για συναφής ανακλαστικές ομάδες, με ένα πιο ενοποιημένο λογαριασμό που δίνεται από τον (Howlett 1988). Σε όλες τις περιπτώσεις, ο Schur πολλαπλασιαστής είναι, επίσης, μια στοιχειώδης αβελιανή 2-ομάδα. Για κάθε άπειρη οικογένεια {Wn} είναι πεπερασμένη ή συναφή Weyl ομάδα, η τάξη των M(W) σταθεροποιείται καθώς το n πηγαίνει στο άπειρο. Artin ομάδα Ομάδα "τρίγωνο" Στοιχείο Κόξετερ Κόξετερ αριθμός Σύνθετη ανακλαστική ομάδα Chevalley–Σέπαρντ–Τοντ θεώρημα Κόξετερ-διάγραμμα Dynkin Hecke άλγεβρα, μια κβαντική παραμόρφωση της ομάδας άλγεβρα Kazhdan–Lusztig πολυώνυμο Μεγαλύτερο στοιχείο Κόξετερ ομάδας Supersoluble ρύθμιση Coxeter, H. S. M. (1934), «Discrete groups generated by reflections», Ann. of Math. 35 (3): 588–621 Coxeter, H. S. M. (1935), «The complete enumeration of finite groups of the form r i 2 = ( r i r j ) k i j = 1 {\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1} », J. London Math. Soc., 1 10 (1): 21–25, doi:10.1112/jlms/s1-10.37.21 Davis, Michael W. (2007), The Geometry and Topology of Coxeter Groups, ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020, http://www.math.osu.edu/~mdavis/davisbook.pdf Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Finite Reflection Groups, Graduate texts in mathematics, 99, Springer, ISBN 978-0-387-96082-1, https://books.google.com/books?id=525Gh4uzjnIC Humphreys, James E. (1992), Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028, https://books.google.com/books?id=ODfjmOeNLMUC Kane, Richard (2001), Reflection Groups and Invariant Theory, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038, https://books.google.com/books?id=KmL1uuiMyFUC&pg=PP10 Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatorics of Coxeter Groups, Graduate Texts in Mathematics, 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001, https://books.google.com/books?id=1TBPz5sd8m0C Hiller, Howard (1982), Geometry of Coxeter groups, Research Notes in Mathematics, 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002, https://books.google.com/books?id=7jzvAAAAMAAJ Bourbaki, Nicolas (2002), Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4-6, Elements of Mathematics, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001, https://books.google.com/books?id=2CSYFcgAlRMC Howlett, Robert B. (1988), «On the Schur Multipliers of Coxeter Groups», J. London Math. Soc., 2 38 (2): 263–276, doi:10.1112/jlms/s2-38.2.263, Zbl 0627.20019 Vinberg, E. B. (1984), «Absence of crystallographic groups of reflections in Lobachevski spaces of large dimension», Trudy Moskov. Mat. Obshch. 47 Ihara, S., Yokonuma, Takeo (1965), "το δεύτερο συνομολογία ομάδων (Schur-πολλαπλασιαστές) των πεπερασμένων ομάδες προβληματισμού" (PDF), Δημ. Fac. Sci. Univ. Τόκιο, Αίρεση. 1 11: 155-171, Zbl 0136.28802 Yokonuma, Takeo (1965), "το δεύτερο συνομολογία ομάδων (Schur-πολλαπλασιαστές) με άπειρες διακριτές ομάδες προβληματισμού", Jour. Fac. Sci. Univ. Τόκιο, Αίρεση. 1 11: 173-186, Zbl 0136.28803 Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Coxeter group», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/c026980 Weisstein, Eric W., "Coxeter group" από το MathWorld. Jenn software for visualizing the Cayley graphs of finite Coxeter groups on up to four generators, http://www.jenn3d.org/index.html