Θεώρημα του Όιλερ (γεωμετρία)

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του Όιλερ ή σχέση Όιλερ (αναφέρεται και ως θεώρημα του Euler ή σχέση Euler) είναι ο τύπος για την απόσταση του περίκεντρου O {\displaystyle \mathrm {O} } από το έγκεντρο I {\displaystyle \mathrm {I} } σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } : O I 2 = R 2 − 2 R ρ {\displaystyle \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho } ,όπου R {\displaystyle R} η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και ρ {\displaystyle \rho } η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Επίσης, αν J A , J B , J Γ {\displaystyle \mathrm {J_{A}} ,\mathrm {J_{B}} ,\mathrm {J_{\Gamma }} } είναι τα κέντρα των παρεγγεγραμμένων κύκλων και ρ A , ρ B , ρ Γ {\displaystyle \rho _{\mathrm {A} },\rho _{\mathrm {B} },\rho _{\mathrm {\Gamma } }} οι ακτίνες τους, τότε O J A 2 = R 2 + 2 R ρ A , {\displaystyle \mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad } O J B 2 = R 2 + 2 R ρ B , {\displaystyle \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad } και O J Γ 2 = R 2 + 2 R ρ Γ . {\displaystyle \quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.} Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λέοναρντ Όιλερ που το δημοσίευσε το 1765. Το ίδιο αποτέλεσμα είχε δημοσιευθεί νωρίτερα από τον William Chapple το 1746.

 Θεωρούμε την τομή Δ {\displaystyle \mathrm {\Delta } } της προέκτασης της A I {\displaystyle \mathrm {AI} } με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και E {\displaystyle \mathrm {E} } το αντιδιαμετρικό σημείο του Δ {\displaystyle \mathrm {\Delta } } . Τώρα θα δείξουμε ότι I Δ = B Δ {\displaystyle \mathrm {I\Delta } =\mathrm {B\Delta } } . Η ∠ B I Δ = ∠ I A B + ∠ I B A = 1 2 ⋅ ( A ^ + B ^ ) {\displaystyle \angle \mathrm {BI\Delta } =\angle \mathrm {IAB} +\angle \mathrm {IBA} ={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }})} , ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο A I B {\displaystyle \mathrm {AIB} } . Επίσης, έχουμε ότι ∠ I B Δ = 1 2 ⋅ ( A ^ + B ^ ) {\displaystyle \angle \mathrm {IB\Delta } ={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }})} , καθώς ∠ I B Γ = 1 2 B ^ {\displaystyle \angle \mathrm {IB\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {B} }}} και ∠ Δ B Γ = ∠ Δ A Γ = 1 2 A ^ {\displaystyle \angle \mathrm {\Delta B\Gamma } =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }}} ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στα ίδια τόξα. Συνεπώς, το τρίγωνο B I Δ {\displaystyle \mathrm {BI\Delta } } είναι ισοσκελές και B Δ = I Δ {\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {I\Delta } } . Στην συνέχεια, τα ορθογώνια τρίγωνα A I I Γ {\displaystyle \mathrm {AI~I_{\Gamma }} } και B Δ E {\displaystyle \mathrm {B\Delta E} } είναι όμοια και επομένως I A I I Γ = Δ E B Δ {\displaystyle {\frac {\mathrm {IA} }{\mathrm {I~I_{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {\Delta E} }{\mathrm {B\Delta } }}} .Χρησιμοποιώντας ότι I I Γ = ρ {\displaystyle \mathrm {I~I_{\Gamma }} =\rho } , Δ E = 2 R {\displaystyle \mathrm {\Delta E} =2R} και B Δ = I Δ {\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {I\Delta } } λαμβάνουμε ότι I A ⋅ I Δ = B E ⋅ I I Γ = 2 R ⋅ ρ {\displaystyle \mathrm {IA} \cdot \mathrm {I\Delta } =\mathrm {BE} \cdot \mathrm {I~I_{\Gamma }} =2R\cdot \rho } .Τέλος από την δύναμη του A {\displaystyle \mathrm {A} } ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο, καταλήγουμε ότι R 2 − O I 2 = 2 R ρ ⇒ O I 2 = R 2 − 2 R ρ {\displaystyle R^{2}-\mathrm {OI} ^{2}=2R\rho \Rightarrow \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho } . Περίκεντρο τριγώνου Έγκεντρο τριγώνου Παράκεντρα τριγώνου