Λίμνες του Γουάντα

Στα μαθηματικά, οι λίμνες του Γουάντα (和田の湖, Wada no mizuumi) είναι τρία ξεχωριστά συνδεδεμένα ανοικτά σύνολα του επιπέδου ή του ανοικτού μοναδιαίου τετραγώνου με την αντιφατική ιδιότητα ότι όλα έχουν το ίδιο όριο. Με άλλα λόγια, για κάθε σημείο που επιλέγεται στο όριο μιας από τις λίμνες, τα όρια των άλλων δύο λιμνών περιέχουν επίσης αυτό το σημείο. Περισσότερα από δύο σύνολα με το ίδιο όριο θεωρείται ότι έχουν την ιδιότητα Γουάντα- παραδείγματα περιλαμβάνουν τις λεκάνες του Γουάντα στα δυναμικά συστήματα. Η ιδιότητα αυτή είναι σπάνια σε συστήματα του πραγματικού κόσμου. Οι λίμνες του Γουάντα εισήχθησαν από τον Κουνίζο Γιονιάμα (Kunizō Yoneyama, 1917, σελίδα 60), ο οποίος απέδωσε την ανακάλυψη στον Τακέο Γουάντα. Η κατασκευή του είναι παρόμοια με την κατασκευή του Μπράουερ (1910) για ένα αδιάσπαστο συνεχές, και στην πραγματικότητα είναι δυνατόν το κοινό όριο των τριών συνόλων να είναι ένα αδιάσπαστο συνεχές.

 Οι λίμνες του Γουάντα σχηματίζονται αρχίζοντας με ένα κλειστό μοναδιαίο τετράγωνο ξηράς και στη συνέχεια σκάβοντας 3 λίμνες σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: Την ημέρα n = 1, 2, 3,... επεκτείνουμε τη λίμνη n mod 3 (= 0, 1, 2) έτσι ώστε να είναι ανοικτή και συνδεδεμένη και να διέρχεται σε απόσταση 1/n από όλη την υπόλοιπη ξηρά. Αυτό θα πρέπει να γίνει με τέτοιο τρόπο ώστε η υπόλοιπη ξηρά να παραμένει ομοιομορφική με ένα κλειστό μοναδιαίο τετράγωνο.Μετά από άπειρο αριθμό ημερών, οι τρεις λίμνες εξακολουθούν να είναι ασύζευκτα συνδεδεμένα ανοικτά σύνολα και η εναπομένουσα ξηρά είναι το όριο καθεμιάς από τις 3 λίμνες. Παραδείγματος χάριν, οι πρώτες πέντε ημέρες θα μπορούσαν να είναι (βλ. εικόνα στα δεξιά): Σκάβουμε μια γαλάζια λίμνη πλάτους 1/3 που περνά μέσα σε √2/3 από όλη την ξηρά. Σκάβουμε μια κόκκινη λίμνη πλάτους 1/32 που περνά μέσα σε √2/32 από όλη την ξηρά. Σκάβουμε μια πράσινη λίμνη πλάτους 1/33 που περνά μέσα σε √2/33 από όλη την ξηρά. Επεκτείνουμε τη γαλάζια λίμνη με ένα κανάλι πλάτους 1/34 που διέρχεται σε απόσταση √2/34 από όλη την ξηρά. (Το μικρό κανάλι συνδέει τη λεπτή μπλε λίμνη με την παχιά λίμνη, κοντά στη μέση της εικόνας). Επεκτείνουμε την κόκκινη λίμνη με ένα κανάλι πλάτους 1/35 που διέρχεται σε απόσταση √2/35 από όλη την ξηρά. (Το μικροσκοπικό κανάλι συνδέει τη λεπτή κόκκινη λίμνη με την παχιά λίμνη, κοντά στην επάνω αριστερή πλευρά της εικόνας).Μια παραλλαγή αυτής της κατασκευής μπορεί να παράγει έναν μετρήσιμο άπειρο αριθμό συνδεδεμένων λιμνών με το ίδιο όριο: αντί να επεκτείνουμε τις λίμνες με τη σειρά 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., να τις επεκτείνουμε με τη σειρά 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... και ούτω καθεξής. Οι λεκάνες του Γουάντα είναι ορισμένες ειδικές λεκάνες έλξης που μελετώνται στα μαθηματικά των μη γραμμικών συστημάτων. Μια λεκάνη που έχει την ιδιότητα ότι κάθε γειτονιά κάθε σημείου στο όριο της λεκάνης αυτής τέμνει τουλάχιστον τρεις λεκάνες ονομάζεται λεκάνη Wada ή λέγεται ότι έχει την ιδιότητα του Γουάντα. Σε αντίθεση με τις λίμνες του Γουάντα, οι λεκάνες Γουάντα είναι συχνά ασύνδετες. Ένα παράδειγμα λεκανών του Γουάντα δίνεται από το φράκταλ του Νεύτωνα που περιγράφει τις λεκάνες έλξης της μεθόδου Νεύτωνα-Ράφσον για την εύρεση των ριζών ενός κυβικού πολυωνύμου με διακριτές ρίζες, όπως z3 − 1;. Δείτε την εικόνα. Στη θεωρία του χάους, οι λεκάνες του Γουάντα εμφανίζονται πολύ συχνά. Συνήθως, η ιδιότητα του Γουάντα μπορεί να παρατηρηθεί στη λεκάνη έλξης των διαλυτικών δυναμικών συστημάτων. Αλλά και οι λεκάνες εξόδου των χαμιλτονιανών συστημάτων μπορούν επίσης να παρουσιάσουν την ιδιότητα του Γουάντα. Στο πλαίσιο της χαοτικής διασποράς συστημάτων με πολλαπλές εξόδους, οι λεκάνες εξόδων εμφανίζουν την ιδιότητα Γουάντα. Ο M. A. F. Sanjuán κ.ά. έδειξε ότι στο σύστημα Χένον-Χέιλς οι λεκάνες εξόδου έχουν αυτή την ιδιότητα του Γουάντα. Breban, Romulus; Nusse, H E. (2005), «On the creation of Wada basins in interval maps through fixed point tangent bifurcation», Physica D 207 (1–2): 52–63, doi:10.1016/j.physd.2005.05.012, https://escholarship.org/uc/item/3j38277x Coudene, Yves (2006), «Pictures of hyperbolic dynamical systems», Notices of the American Mathematical Society 53 (1): 8–13, ISSN 0002-9920, https://www.ams.org/notices/200601/fea-coudene.pdf Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M. H. (2003), Counterexamples in analysis, Mineola, N.Y.: Dover Publications, ISBN 0-486-42875-3 example 10.13 Hocking, J. G.; Young, G. S. (1988), Topology, New York: Dover Publications, σελ. 144, ISBN 0-486-65676-4, https://archive.org/details/topology00hock_0/page/144 Kennedy, J; Yorke, J.A. (1991), «Basins of Wada», Physica D 51 (1–3): 213–225, doi:10.1016/0167-2789(91)90234-Z Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, J. A. (1999), «Complex topology in Chaotic scattering: A Laboratory Observation», Nature 399 (6734): 315, doi:10.1038/20573 Χαλί του Σιερπίνσκι Φτέρη του Μπάρνσλεϊ Νιφάδα του Κοχ Καμπύλη Χίλμπερτ Καμπύλη του δράκου Σπόγγος του ΜένγκερΣύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν