Ακολουθία

Στα μαθηματικά, μια ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα αντικειμένων. Μια ακολουθία έχει όρους και το πλήθος των όρων της (που ενδέχεται να είναι και άπειρο) ονομάζεται μήκος της ακολουθίας. Σε αντίθεση με τα σύνολα σε μια ακολουθία έχει σημασία η διάταξη των αντικειμένων της (πρώτος όρος, δεύτερος, τρίτος και ούτω καθ' εξής). Επιπλέον δεν υπάρχει περιορισμός όσον αφορά το πόσες φορές μπορεί να εμφανίζεται ένα αντικείμενο μιας ακολουθίας (σε αντίθεση και πάλι με τα σύνολα όπου ένα αντικείμενο μπορεί να εμφανίζεται το πολύ μια φορά). Οι ακολουθίες διακρίνονται ως προς το πλήθος των όρων τους, στις άπειρες ακολουθίες και στις πεπερασμένες. Σχεδόν αποκλειστικά, στην μαθηματική ανάλυση ενδιαφέρον έχουν οι πρώτες.

 Ονομάζουμε ακολουθία ή πιο συγκεκριμένα άπειρη ακολουθία οποιαδήποτε συνάρτηση α από το σύνολο των φυσικών N {\displaystyle \mathbb {N} } σε ένα σύνολο Α, δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής::50 a : N → A {\displaystyle a:\mathbb {N} \rightarrow A} Συνηθίζεται να συμβολίζουμε την τιμή μιας ακολουθίας, για κάθε στοιχείο k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } ως a k {\displaystyle a_{k}} , αντί του a ( k ) {\displaystyle a(k)} , όπως συνηθίζεται γενικά για τις συναρτήσεις. Αν το σύνολο A {\displaystyle A} είναι ίσο με το σύνολο των πραγματικών αριθμών τότε η ακολουθία ονομάζεται πραγματική ακολουθία. Ονομάζουμε πεπερασμένη ακολουθία ή λίστα n {\displaystyle n} στοιχείων οποιαδήποτε συνάρτηση a {\displaystyle a} από το σύνολο { 1 , 2 , ⋯ , n } {\displaystyle \lbrace 1,2,\cdots ,n\rbrace } σε ένα σύνολο A {\displaystyle A} , δηλαδή κάθε συνάρτηση της μορφής: a : { 1 , 2 , ⋯ , n } → A {\displaystyle a:\lbrace 1,2,\cdots ,n\rbrace \rightarrow A} .Όλες οι ακολουθίες ως συναρτήσεις είναι σύνολα διατεταγμένων ζευγών. Παρόλα αυτά μια πεπερασμένη ακολουθία μπορούμε να την αντιμετωπίζουμε ως διατεταγμένη n-άδα για ευκολία και επομένως μπορούμε να τη συμβολίσουμε με ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})} . Παρόμοια, για μια άπειρη ακολουθία μπορούμε να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό ( a 1 , a 2 , … ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )} όπου a 1 {\displaystyle a_{1}} είναι ο πρώτος όρος της, a 2 {\displaystyle a_{2}} ο δεύτερος κοκ. Επίσης μια άπειρη ακολουθία συμβολίζεται και ως ( a n ) n ∈ N {\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} , ή για συντομία ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} . Θεωρούμε την ακολουθία: a n = 1 n {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}} με όρους: a 1 = 1 , … , a 10 = 1 10 , … , a 100 = 1 100 , … , a 1000 = 1 1000 , … {\displaystyle a_{1}=1,\ldots ,a_{10}={\frac {1}{10}},\ldots ,a_{100}={\frac {1}{100}},\ldots ,a_{1000}={\frac {1}{1000}},\ldots } Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς ο δείκτης της n {\displaystyle n} αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι για καμιά τιμή του n {\displaystyle n} δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι η ακολουθία μας δεν μπορεί να ξεπεράσει το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει όριο τον αριθμό 0. Ένας άτυπος ορισμός του ορίου ακολουθίας είναι ο εξής: μια ακολουθία λέμε ότι έχει όριο ή ότι συγκλίνει σε ένα αριθμό ℓ {\displaystyle \ell } , όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα. Ο αυστηρός ορισμός της σύγκλισης μιας ακολουθίας ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} σε έναν πραγματικό αριθμό ℓ {\displaystyle \ell } είναι ο εξής: λέμε ότι ο αριθμός ℓ {\displaystyle \ell } είναι όριο της ακολουθίας ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} αν για κάθε ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός n 0 {\displaystyle n_{0}} τέτοιος, ώστε για κάθε n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} να ισχύει: | a n − ℓ | < ε {\displaystyle |a_{n}-\ell |<\varepsilon } .Σημειώνουμε ότι στον παραπάνω ορισμό, ο αριθμός n 0 {\displaystyle n_{0}} εξαρτάται από την επιλογή του ε {\displaystyle \varepsilon } . Για το όριο χρησιμοποιούμε τον παρακάτω συμβολισμό: lim n → ∞ a n = ℓ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\ell } , ή lim n a n = ℓ {\displaystyle \lim _{n}a_{n}=\ell } για συντομία.Στην περίπτωση που δεν υπάρχει αριθμός ℓ {\displaystyle \ell } που να ικανοποιεί τον παραπάνω ορισμό, λέγεται ότι η ακολουθία αποκλίνει. Όταν συγκλίνει στο ℓ = 0 {\displaystyle \ell =0} , λέγεται μηδενική ακολουθία.:29:369-370Μια ιδιαίτερη περίπτωση αποκλίνουσας ακολουθίας είναι αυτή που συγκλίνει στο + ∞ {\displaystyle +\infty } (αντίστοιχα στο − ∞ {\displaystyle -\infty } ). Μια ακολουθία ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} συγκλίνει στο + ∞ {\displaystyle +\infty } όταν για κάθε M > 0 {\displaystyle M>0} (οσοδήποτε μεγάλο) υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός n 0 {\displaystyle n_{0}} τέτοιος, ώστε για κάθε n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} να ισχύει: a n ≥ M . {\displaystyle a_{n}\geq M.} Αντιστοίχως, μια ακολουθία ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} συγκλίνει στο − ∞ {\displaystyle -\infty } όταν για κάθε M < 0 {\displaystyle M<0} (οσοδήποτε μικρό) υπάρχει (τουλάχιστον ένας) φυσικός αριθμός n 0 {\displaystyle n_{0}} τέτοιος, ώστε για κάθε n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} να ισχύει: a n ≤ M . {\displaystyle a_{n}\leq M.} :100-102Φυσικά είναι δυνατόν μια ακολουθία να μην συγκλίνει ούτε σε πραγματικό αριθμό ούτε στο + ∞ {\displaystyle +\infty } (μια τέτοια ακολουθία είναι π.χ. η a n = ( − 1 ) n {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}} ). Αν όμως μια ακολουθία έχει όριο είτε πραγματικό αριθμό είτε άπειρο, τότε αποδεικνύεται ότι αυτό είναι μοναδικό. Μία ακολουθία ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} είναι::10-13:361-362 Άνω φραγμένη, αν υπάρχει M ∈ R {\displaystyle M\in \mathbb {R} } ώστε a n ≤ M {\displaystyle a_{n}\leq M} για κάθε n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Κάτω φραγμένη, αν υπάρχει M ∈ R {\displaystyle M\in \mathbb {R} } ώστε a n ≥ M {\displaystyle a_{n}\geq M} για κάθε n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Φραγμένη, αν υπάρχει M ∈ R {\displaystyle M\in \mathbb {R} } ώστε | a n | ≤ M {\displaystyle |a_{n}|\leq M} για κάθε n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , δηλαδή αν είναι άνω και κάτω φραγμένη. Μία ακολουθία ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} είναι::75:13-15:357-358 Αύξουσα, αν a n + 1 ≥ a n {\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}} για κάθε n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Γνησίως αύξουσα, αν a n + 1 > a n {\displaystyle a_{n+1}>a_{n}} για κάθε n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Φθίνουσα, αν a n + 1 ≤ a n {\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}} για κάθε n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Γνησίως φθίνουσα, αν a n + 1 < a n {\displaystyle a_{n+1}<a_{n}} για κάθε n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Μονότονη, αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Γνησίως μονότονη, αν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Σταθερή, αν a n + 1 = a n {\displaystyle a_{n+1}=a_{n}} για κάθε n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . Αν a n {\displaystyle a_{n}} είναι μια ακολουθία και k 1 < k 2 < . . . < k n < . . . {\displaystyle k_{1}<k_{2}<...<k_{n}<...} είναι φυσικοί αριθμοί, τότε η ακολουθία ( a k n ) {\displaystyle (a_{k_{n}})} , δηλαδή η a k 1 , a k 2 , a k 3 , … {\displaystyle a_{k_{1}},a_{k_{2}},a_{k_{3}},\ldots } καλείται υπακολουθία της ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} .:52 Μια υπακολουθία μιας ακολουθίας αποτελεί κι αυτή ακολουθία. Επιπλέον, οι δείκτες των όρων μιας υπακολουθίας αποτελούν μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Αν a k n {\displaystyle a_{k_{n}}} είναι υπακολουθία μιας συγκλίνουσας ακολουθίας a n {\displaystyle a_{n}} , τότε συγκλίνει κι αυτή στο ίδιο όριο, στο οποίο συγκλίνει η a n {\displaystyle a_{n}} .:85 Α. Τόγκας, Σημειώσεις στις ακολουθίες για το μάθημα απειροστικός Λογισμός Ι. Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών. Α. Γιαννόπουλος, Σημειώσεις Απειροστικού Λογισμού, Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ. Ακολουθίες, Σημειώσεις για το μάθημα Απειροστικός Λογισμός Ι, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Σημειώσεις στις ακολουθίες, ΕΑΠ, θεματική ενότητα ΠΛΗ12. Σημειώσεις στις Ακολουθίες, MathStudies Blog. Δ. Ζέρβας; Ν. Ζανής (1981). «Η "ακολουθία" στη ζωή και στα μαθηματικά». Ευκλείδης Β΄ (3): 126-130. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3124. Χ. Γκουβιέρος (1982). «Πρόοδοι». Ευκλείδης Β΄ (4): 224-227. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3314. Σ. Μπάρτζης (1983). «Αριθμητικές και Γεωμετρικές Πρόοδοι». Ευκλείδης Β΄ (4): 221-224. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3153. Θ. Μακαρές (1984). «Ακολουθίες». Ευκλείδης Β΄ (4): 55-62. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2975. Γ. Μαμωνάς (1987). «Ακολουθίες...». Ευκλείδης Β΄ (3): 171-175. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3207. Μαυρουδής Νίκος (1990). «Ακολουθίες που ορίζονται επαγωγικά (με αναδρομικό τύπο)». Ευκλείδης Β΄ (2): 45-48. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3057. Βισκαδουράκης Βασίλειος (1993). «Αναφορά στις Προόδους». Ευκλείδης Β΄ (2): 24-29. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3584. Σειρά - Το άθροισμα των όρων μίας ακολουθίας Αριθμητική πρόοδος - Η ακολουθία με a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ ω {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot \omega } Γεωμετρική πρόοδος - Η ακολουθία με a n = a 1 ⋅ λ n − 1 {\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot \lambda ^{n-1}} Αρμονική πρόοδος - Η ακολουθία με a n = 1 1 a 1 + ( n − 1 ) ⋅ ω {\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{{\tfrac {1}{a_{1}}}+(n-1)\cdot \omega }}}