Μέθοδος δεύτερης ροπής

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η μέθοδος της δεύτερης ροπής αναφέρεται σε τεχνική απόδειξης ότι μία τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} είναι μη-μηδενική με θετική πιθανότητα, δηλαδή Pr ( X ≠ 0 ) > 0 {\displaystyle \Pr(X\neq 0)>0} , με την χρήση της ροπής δεύτερης τάξης, δηλαδή την E ⁡ ( X 2 ) {\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})} ή διακύμανση Var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} . Συνήθως αναφέρεται στην χρήση της εξής ανισότητας για κάθε ακέραια τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} με E ⁡ ( X ) ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {E} (X)\neq 0} , Pr ( X = 0 ) ≤ Var ⁡ ( X ) ( E ⁡ ( X ) ) 2 . {\displaystyle \Pr(X=0)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{(\operatorname {E} (X))^{2}}}.} Για μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} , εμφανίζεται και με την μορφή Pr ( X > 0 ) ≥ ( E ⁡ ( X ) ) 2 E ⁡ ( X 2 ) . {\displaystyle \Pr(X>0)\geq {\frac {(\operatorname {E} (X))^{2}}{\operatorname {E} (X^{2})}}.}

 Για την τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} με διακύμανση Var ⁡ ( X ) < ∞ {\displaystyle \operatorname {Var} (X)<\infty } , η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει για a = E ⁡ ( X ) {\displaystyle a=\operatorname {E} (X)} Pr ( | X − E ⁡ ( X ) | ≥ E ⁡ ( X ) ) ≤ Var ⁡ ( X ) ( E ⁡ ( X ) ) 2 . {\displaystyle \Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq \operatorname {E} (X))\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{(\operatorname {E} (X))^{2}}}.} Όταν X = 0 {\displaystyle X=0} έπεται ότι | X − E ⁡ ( X ) | ≥ E ⁡ ( X ) {\displaystyle |X-\operatorname {E} (X)|\geq \operatorname {E} (X)} . Συνεπώς, Pr ( X = 0 ) ≤ Pr ( | X − E ⁡ ( X ) | ≥ E ⁡ ( X ) ) ≤ Var ⁡ ( X ) ( E ⁡ ( X ) ) 2 . {\displaystyle \Pr(X=0)\leq \Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq \operatorname {E} (X))\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{(\operatorname {E} (X))^{2}}}.} Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για δύο τυχαίες μεταβλητές A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} , ισχύει ότι ( E ⁡ ( A B ) ) 2 ≤ E ⁡ ( A 2 ) E ⁡ ( B 2 ) . {\displaystyle (\operatorname {E} (AB))^{2}\leq \operatorname {E} (A^{2})\operatorname {E} (B^{2}).} Για την ζητούμενη ανισότητα, θεωρούμε την δείκτρια τυχαία μεταβλητή Z = 1 X > 0 {\displaystyle Z=\mathbf {1} _{X>0}} , για την οποία ισχύει ότι E ⁡ ( Z ) = Pr ( X > 0 ) {\displaystyle \operatorname {E} (Z)=\Pr(X>0)} και Z 2 = Z {\displaystyle Z^{2}=Z} από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών. Επίσης, ισχύει ότι Z ⋅ X = X {\displaystyle Z\cdot X=X} ,καθώς η X {\displaystyle X} είναι μη-αρνητική και αν X = 0 {\displaystyle X=0} τότε και Z = 0 {\displaystyle Z=0} (άρα 0 = Z X = X {\displaystyle 0=ZX=X} ), ενώ διαφορετικά Z = 1 {\displaystyle Z=1} (άρα Z X = X {\displaystyle ZX=X} ). Συνεπώς χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, ( E ⁡ ( X ) ) 2 = ( E ⁡ ( Z X ) ) 2 ≤ E ⁡ ( Z 2 ) ⋅ E ⁡ ( X 2 ) = E ⁡ ( Z ) ⋅ E ⁡ ( X 2 ) = Pr ( X > 0 ) ⋅ E ⁡ ( X 2 ) . {\displaystyle (\operatorname {E} (X))^{2}=(\operatorname {E} (ZX))^{2}\leq \operatorname {E} (Z^{2})\cdot \operatorname {E} (X^{2})=\operatorname {E} (Z)\cdot \operatorname {E} (X^{2})=\Pr(X>0)\cdot \operatorname {E} (X^{2}).} Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη της ανισότητας, προκύπτει το ζητούμενο Pr ( X > 0 ) ≥ ( E ⁡ ( X ) ) 2 E ⁡ ( X 2 ) . {\displaystyle \Pr(X>0)\geq {\frac {(\operatorname {E} (X))^{2}}{\operatorname {E} (X^{2})}}.}