Αξίωμα του απείρου

Στην αξιωματική θεωρία συνόλων και στους κλάδους των μαθηματικών και της φιλοσοφίας που τη χρησιμοποιούν, το αξίωμα του απείρου είναι ένα από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φρένκελ. Καθορίζει την ύπαρξη τουλάχιστον ενός άπειρου συνόλου, δηλαδή ενός συνόλου που περιέχει τους φυσικούς ακέραιους αριθμούς. Δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά από τον Έρνστ Ζερμέλο ως μέρος της θεωρίας συνόλων του το 1908.

 Στην τυπική γλώσσα των αξιωμάτων Ζερμέλο-Φράνκελ, το αξίωμα έχει ως εξής: ∃ I ( ∅ ∈ I ∧ ∀ x ∈ I ( ( x ∪ { x } ) ∈ I ) ) . {\displaystyle \exists \mathbf {I} \,(\emptyset \in \mathbf {I} \,\land \,\forall x\in \mathbf {I} \,(\,(x\cup \{x\})\in \mathbf {I} )).} Με άλλα λόγια, υπάρχει ένα σύνολο I (το σύνολο που υποτίθεται ότι είναι άπειρο), ώστε το κενό σύνολο να βρίσκεται στο I και κάθε φορά που ένα οποιοδήποτε x είναι μέλος του I, το σύνολο που σχηματίζεται από την ένωση του x με το μοναδικό {x} είναι επίσης μέλος του I. Ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται μερικές φορές επαγωγικό σύνολο. Αυτό το αξίωμα σχετίζεται στενά με την κατασκευή των φυσικών αριθμών στη θεωρία συνόλων, στην οποία ο διάδοχος του x ορίζεται ως x ∪ {x}. Αν το x είναι ένα σύνολο, τότε προκύπτει από τα άλλα αξιώματα της θεωρίας συνόλων ότι αυτός ο διάδοχος είναι επίσης ένα μοναδικά ορισμένο σύνολο. Οι διάδοχοι χρησιμοποιούνται για τον ορισμό της συνήθους συνθετικής κωδικοποίησης των φυσικών αριθμών. Σε αυτή την κωδικοποίηση, το μηδέν είναι το κενό σύνολο: 0 = {}.Ο αριθμός 1 είναι ο διάδοχος του 0: 1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.Παρομοίως, το 2 είναι ο διάδοχος του 1: 2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, {{}} },και ούτω καθεξής: 3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} }; 4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.Συνέπεια αυτού του ορισμού είναι ότι κάθε φυσικός αριθμός είναι ίσος με το σύνολο όλων των προηγούμενων φυσικών αριθμών. Το πλήθος των στοιχείων κάθε συνόλου, στο ανώτερο επίπεδο, είναι το ίδιο με τον φυσικό αριθμό που αναπαριστά, και το βάθος φωλιασμού του πιο βαθιά φωλιασμένου κενού συνόλου {}, συμπεριλαμβανομένης της φωλιασμού του στο σύνολο που αναπαριστά τον αριθμό του οποίου αποτελεί μέρος, είναι επίσης ίσο με τον φυσικό αριθμό που αναπαριστά το σύνολο. Αυτή η κατασκευή σχηματίζει τους φυσικούς αριθμούς. Ωστόσο, τα άλλα αξιώματα δεν επαρκούν για να αποδείξουν την ύπαρξη του συνόλου όλων των φυσικών αριθμών, N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} . Για το λόγο αυτό η ύπαρξή του θεωρείται αξίωμα - το αξίωμα του απείρου. Αυτό το αξίωμα δηλώνει ότι υπάρχει ένα σύνολο Ι που περιέχει το 0 και είναι κλειστό με την πράξη της διαδοχής, δηλαδή για κάθε στοιχείο στο I, ο διάδοχος αυτού του στοιχείου είναι επίσης στο I. Έτσι, η ουσία του αξιώματος είναι: Υπάρχει ένα σύνολο, I', που περιλαμβάνει όλους τους φυσικούς αριθμούς.Το αξίωμα του απείρου είναι επίσης ένα από τα αξιώματα των φον Νόιμαν-Μπερνέι-Γκέντελ. Το άπειρο σύνολο I είναι ένα υπερσύνολο των φυσικών αριθμών. Για να αποδειχθεί ότι οι ίδιοι οι φυσικοί αριθμοί συγκροτούν ένα σύνολο, μπορεί να εφαρμοστεί το αξιωματικό σχήμα προδιαγραφής για την αφαίρεση ανεπιθύμητων στοιχείων, αφήνοντας το σύνολο N όλων των φυσικών αριθμών. Αυτό το σύνολο είναι μοναδικό από το αξίωμα της επεκτασιμότητας.Για να εξάγουμε τους φυσικούς αριθμούς, χρειαζόμαστε έναν ορισμό για το ποια σύνολα είναι φυσικοί αριθμοί. Οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να οριστούν με τρόπο που δεν προϋποθέτει κανένα αξίωμα εκτός από το αξίωμα της επεκτασιμότητας και το αξίωμα της επαγωγής - ένας φυσικός αριθμός είναι είτε μηδέν είτε διάδοχος και κάθε στοιχείο του είναι είτε μηδέν είτε διάδοχος ενός άλλου στοιχείου του. Σε τυπική γλώσσα, ο ορισμός ορίζει τα εξής: ∀ n ( n ∈ N ⟺ ( [ n = ∅ ∨ ∃ k ( n = k ∪ { k } ) ] ∧ ∀ m ∈ n [ m = ∅ ∨ ∃ k ∈ n ( m = k ∪ { k } ) ] ) ) . {\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).} Ή, ακόμα πιο επίσημα : ∀ n ( n ∈ N ⟺ ( [ ∀ k ( ¬ k ∈ n ) ∨ ∃ k ∀ j ( j ∈ n ⟺ ( j ∈ k ∨ j = k ) ) ] ∧ {\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land } ∀ m ( m ∈ n ⇒ [ ∀ k ( ¬ k ∈ m ) ∨ ∃ k ( k ∈ n ∧ ∀ j ( j ∈ m ⟺ ( j ∈ k ∨ j = k ) ) ) ] ) ) ) . {\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).} Μια εναλλακτική μέθοδος είναι η ακόλουθη. Έστω Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)} ο τύπος που λέει ότι "το x είναι επαγωγικό"- δηλαδή Φ ( x ) = ( ∅ ∈ x ∧ ∀ y ( y ∈ x → ( y ∪ { y } ∈ x ) ) ) {\displaystyle \Phi (x)=(\emptyset \in x\wedge \forall y(y\in x\to (y\cup \{y\}\in x)))} . Άτυπα, θα πάρουμε την τομή όλων των επαγωγικών συνόλων. Ειδικότερα, θέλουμε να αποδείξουμε την ύπαρξη ενός μοναδικού συνόλου W {\displaystyle W} τέτοιο ώστε ∀ x ( x ∈ W ↔ ∀ I ( Φ ( I ) → x ∈ I ) ) . {\displaystyle \forall x(x\in W\leftrightarrow \forall I(\Phi (I)\to x\in I)).} (*)Για την ύπαρξη, χρησιμοποιούμε το αξίωμα του απείρου σε συνδυασμό με το σχήμα προσδιορισμού αξιωμάτων. Έστω I {\displaystyle I} ένα επαγωγικό σύνολο εγγυημένο από το Αξίωμα του Απειροστού. Τότε χρησιμοποιούμε το αξιωματικό σχήμα της εξειδίκευσης για να ορίσουμε το σύνολό μας W = { x ∈ I : ∀ J ( Φ ( J ) → x ∈ J ) } {\displaystyle W=\{x\in I:\forall J(\Phi (J)\to x\in J)\}} - δηλαδή το W {\displaystyle W} είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του I {\displaystyle I} , τα οποία τυχαίνει επίσης να είναι στοιχεία κάθε άλλου επαγωγικού συνόλου. Αυτό ικανοποιεί σαφώς την υπόθεση του (*), αφού αν x ∈ W {\displaystyle x\in W} , τότε το x {\displaystyle x} είναι σε κάθε επαγωγικό σύνολο, και αν το x {\displaystyle x} είναι σε κάθε επαγωγικό σύνολο, είναι ειδικότερα στο I {\displaystyle I} , άρα πρέπει να είναι και στο W {\displaystyle W} . Για τη μοναδικότητα, σημειώνουμε πρώτα ότι κάθε σύνολο που ικανοποιεί το (*) είναι το ίδιο επαγωγικό, αφού το 0 βρίσκεται σε όλα τα επαγωγικά σύνολα, και αν ένα στοιχείο x {\displaystyle x} βρίσκεται σε όλα τα επαγωγικά σύνολα, τότε σύμφωνα με την επαγωγική ιδιότητα το ίδιο ισχύει και για τον διάδοχό του. Έτσι, αν υπήρχε ένα άλλο σύνολο W ′ {\displaystyle W'} που να ικανοποιεί την (*) θα είχαμε ότι W ′ ⊆ W {\displaystyle W'\subseteq W} αφού το W {\displaystyle W} είναι επαγωγικό, και W ⊆ W ′ {\displaystyle W\subseteq W'} αφού το W ′ {\displaystyle W'} είναι επαγωγικό. Συνεπώς, W = W ′ {\displaystyle W=W'} . Έστω ω {\displaystyle \omega } που συμβολίζει αυτό το μοναδικό στοιχείο. Αυτός ο ορισμός είναι κατάλληλος επειδή η Αρχή της επαγωγής προκύπτει αμέσως: Αν I ⊆ ω {\displaystyle I\subseteq \omega } είναι επαγωγική, τότε επίσης ω ⊆ I {\displaystyle \omega \subseteq I} , οπότε I = ω {\displaystyle I=\omega } . Και οι δύο αυτές μέθοδοι παράγουν συστήματα που ικανοποιούν τα αξιώματα της αριθμητικής δεύτερης τάξης, δεδομένου ότι το αξίωμα του συνόλου δυνάμεων μας επιτρέπει να ποσοτικοποιούμε πάνω στο σύνολο δυνάμεων του ω {\displaystyle \omega } , όπως στη λογική δεύτερης τάξης. Έτσι και οι δύο προσδιορίζουν πλήρως ισομορφικά συστήματα, και εφόσον είναι ισομορφικά υπό τον χάρτη ταυτότητας, πρέπει στην πραγματικότητα να είναι ίσα. Μερικά παλαιά κείμενα χρησιμοποιούν μια προφανώς ασθενέστερη εκδοχή του αξιώματος του απείρου, δηλαδή ∃ x ( ∃ y ( y ∈ x ) ∧ ∀ y ( y ∈ x → ∃ z ( z ∈ x ∧ y ⊊ z ) ) ) . {\displaystyle \exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subsetneq z)))\,.} Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα στοιχείο στο x και ότι για κάθε στοιχείο y στο x, υπάρχει ένα άλλο στοιχείο στο x που είναι αυστηρό υπερσύνολο του y. Επομένως, αυτό σημαίνει ότι το x είναι ένα άπειρο σύνολο χωρίς να λέει τίποτα περισσότερο για τη δομή του. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας τα άλλα αξιώματα της ZF, μπορούμε να δείξουμε ότι αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη του ω. Πρώτον, αν πάρουμε το σύνολο δύναμης οποιουδήποτε άπειρου συνόλου x, τότε αυτό το σύνολο δύναμης θα περιέχει στοιχεία που είναι υποσύνολα του x οποιασδήποτε πεπερασμένης πληθικότητας (μεταξύ άλλων υποσυνόλων του x). Η απόδειξη της υπάρξεως αυτών των πεπερασμένων υποσυνόλων μπορεί να απαιτήσει είτε το αξίωμα του διαχωρισμού είτε τα αξιώματα του ταιριάσματος και της ένωσης. Κατόπιν μπορούμε να εφαρμόσουμε το αξίωμα της αντικατάστασης για να αντικαταστήσουμε κάθε στοιχείο αυτού του συνόλου δυνάμεων του x με τον αρχικό τακτικό αριθμό της ίδιας καρδαιότητας (ή μηδέν, αν δεν υπάρχει τέτοιος τακτικός αριθμός). Το αποτέλεσµα θα είναι ένα άπειρο σύνολο ταξινοµικών αριθµών. Μπορούμε στη συνέχεια να εφαρμόσουμε το αξίωμα της ένωσης σε αυτό το σύνολο για να λάβουμε έναν τακτικό αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο με ω. Το αξίωμα του απείρου δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα της ZFC, αν αυτά είναι συνεπή. (Για να γίνει κατανοητό το γιατί, ας σημειωθεί ότι ⊢ {\displaystyle \vdash } - Άπειρο) και ας χρησιμοποιηθεί το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ (Gödel)). Η άρνηση του αξιώματος του απείρου δεν μπορεί να προκύψει από τα υπόλοιπα αξιώματα της ZFC, αν αυτά είναι συνεπή. (Αυτό ισοδυναμεί με το να ειπωθεί ότι η ZFC είναι συνεπής, αν τα άλλα αξιώματα είναι συνεπή). Με τη χρήση του σύμπαντος φον Νόιμαν, μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα μοντέλο του ZFC - Infinity + (¬Infinity). Πρόκειται για το V ω {\displaystyle V_{\omega }\!} , την κλάση των κληρονομικά πεπερασμένων συνόλων, με την κληρονομημένη σχέση συμμετοχής. Ας σημειωθεί ότι αν το αξίωμα του κενού συνόλου δεν ληφθεί ως μέρος αυτού του συστήματος (αφού μπορεί να προκύψει από το ZF + Άπειρο), τότε το κενό πεδίο ικανοποιεί επίσης το ZFC - Άπειρο + ¬Άπειρο, καθώς όλα τα αξιώματά του είναι καθολικά ποσοτικοποιημένα, και επομένως ικανοποιούνται τετριμμένα αν δεν υπάρχει κανένα σύνολο. Η πληθικότητα του συνόλου των φυσικών αριθμών, αλεφ μηδέν ( ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ),έχει πολλές από τις ιδιότητες ενός μεγάλου πληθικού. Έτσι, το αξίωμα του απείρου θεωρείται μερικές φορές ως το πρώτο μεγάλο πληθικό αξίωμα, και αντίστροφα τα μεγάλα πληθικά αξιώματα ονομάζονται μερικές φορές ισχυρότερα αξιώματα του απείρου. Paul Halmos (1960) Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. (ISBN 0-387-90092-6). Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. (ISBN 3-540-44085-2). Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. (ISBN 0-444-86839-9). Hrbacek, Karel· Jech, Thomas (1999). Introduction to Set Theory (3 έκδοση). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7915-0. Οικοδομήσιμο Σύμπαν