Βαρύκεντρο τριγώνου

Στην γεωμετρία, το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) ενός τριγώνου είναι το σημείο του τριγώνου όπου διέρχονται οι τρεις διάμεσοί του. Πιο συγκεκριμένα:Σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } , οι τρεις διάμεσοι A M A , B M B , Γ M Γ {\displaystyle {\rm {AM_{A},BM_{B},\Gamma M_{\Gamma }}}} διέρχονται από το ίδιο σημείο G {\displaystyle \mathrm {G} } . Επιπλέον ισχύει ότι A G = 2 3 A M A {\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM_{A}\quad }}} , B G = 2 3 B M B {\displaystyle {\rm {BG={\tfrac {2}{3}}BM_{B}\quad }}} και Γ G = 2 3 Γ M Γ {\displaystyle \quad {\rm {\Gamma G={\tfrac {2}{3}}\Gamma M_{\Gamma }}}} .

 Έστω B M β {\displaystyle \mathrm {BM} _{\beta }} και Γ M γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma M} _{\gamma }} οι διάμεσοι του τριγώνου και G ′ {\displaystyle \mathrm {G} '} το σημείο της τομής τους. Επίσης, θεωρούμε το σημείο A ′ {\displaystyle \mathrm {A} '} το συμμετρικό του A {\displaystyle \mathrm {A} } ως προς το G ′ {\displaystyle \mathrm {G} '} , και M ′ {\displaystyle \mathrm {M'} } το σημείο τομής του B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } με το A ′ G ′ {\displaystyle \mathrm {A'G'} } . Τα ευθύγραμμα τμήματα M B G ′ {\displaystyle {\rm {M_{B}G'}}} και B A ′ {\displaystyle {\rm {BA'}}} χωρίζουν τo A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} και G ′ A ′ {\displaystyle {\rm {G'A'}}} σε ίσα μέρη. Από το θεώρημα τομής του Θαλή, προκύπτει ότι M Γ G ′ / / B A ′ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }G'//BA'}}} ,και αντίστοιχα για τα ευθύγραμμα τμήματα M Γ G ′ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }G'}}} και Γ A ′ {\displaystyle {\rm {\Gamma A'}}} M B G ′ / / Γ A ′ {\displaystyle {\rm {M_{B}G'//\Gamma A'}}} .Επομένως, το τετράπλευρο B A ′ Γ G ′ {\displaystyle {\rm {BA'\Gamma G'}}} έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα M ′ {\displaystyle {\rm {M'}}} είναι το μέσο του B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} και άρα A M ′ {\displaystyle {\rm {AM'}}} η διάμεσος της κορυφής A {\displaystyle {\rm {A}}} . Επίσης, M ′ {\displaystyle {\rm {M'}}} το μέσο του G ′ A ′ {\displaystyle {\rm {G'A'}}} και άρα A G = 2 3 A M ′ {\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM'}}} . ◻ {\displaystyle \square } Θεωρούμε ένα σημείο αναφοράς O {\displaystyle {\rm {O}}} και το σημείο O G → = 1 3 ⋅ ( O A → + O B → + O Γ → ) . {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OG} }}={\tfrac {1}{3}}\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }}).} Θα δείξουμε ότι η προέκταση της A G {\displaystyle \mathrm {AG} } κατά 3 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}} είναι διάμεσος. O A → + 3 2 A G → = O A → + 1 2 ⋅ ( O A → + O B → + O Γ → ) − 3 2 O A → = 1 2 ( O B → + O Γ → ) , {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {AG} }}={\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }})-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }}),} που είναι το μέσο του B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } . ◻ {\displaystyle \square } Από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα προκύπτει ότι οι τρεις διάμεσοι A M A {\displaystyle {\rm {AM_{A}}}} , B M B {\displaystyle {\rm {BM_{B}}}} και Γ M Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}} συντρέχουν, καθώς B M A Γ M A ⋅ Γ M B A M B ⋅ A M Γ B M Γ = 1 2 α 1 2 α ⋅ 1 2 β 1 2 β ⋅ 1 2 γ 1 2 γ = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 {\displaystyle {\rm {{\frac {BM_{A}}{\Gamma M_{A}}}\cdot {\frac {\Gamma M_{B}}{AM_{B}}}\cdot {\frac {AM_{\Gamma }}{BM_{\Gamma }}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}\alpha }{{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\cdot {\frac {{\tfrac {1}{2}}\beta }{{\tfrac {1}{2}}\beta }}\cdot {\frac {{\tfrac {1}{2}}\gamma }{{\tfrac {1}{2}}\gamma }}=1\cdot 1\cdot 1=1}}} . Κάποιες από τις κυριότερες ιδιότητες του βαρύκεντρου είναι οι εξής: Το βαρύκεντρο χωρίζει τις διαμέσους σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο 2 : 1 {\displaystyle 2:1} , δηλαδή A G = 2 ⋅ G M A {\displaystyle {\rm {AG=2\cdot GM_{A}}}} . Οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου δίνονται από τον μέσο όρο των συντεταγμένων των τριών κορυφών του τριγώνου: ( G x , G y ) = ( 1 3 ⋅ ( A x + B x + Γ x ) , 1 3 ⋅ ( A y + B y + Γ y ) ) . {\displaystyle (G_{x},G_{y})=\left({\tfrac {1}{3}}\cdot (\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}+\mathrm {\Gamma } _{x}),{\tfrac {1}{3}}\cdot (\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}+\mathrm {\Gamma } _{y})\right).} (Θεώρημα Πάππου) Έστω ϵ {\displaystyle \epsilon } μία ευθεία στο επίπεδο που δεν έχει κοινά σημεία με το A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Τότε η απόσταση του βαρύκεντρου από την ϵ {\displaystyle \epsilon } είναι ο αριθμητικός μέσος των αποστάσεων των τριών κορυφών από την ϵ {\displaystyle \epsilon } . (Ευθεία του Όιλερ) Έστω O {\displaystyle \mathrm {O} } το περίκεντρο, H {\displaystyle \mathrm {H} } το ορθόκεντρο του τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Τότε τα G , H , O {\displaystyle \mathrm {G} ,\mathrm {H} ,\mathrm {O} } είναι συνευθειακά και H G = 2 ⋅ O G {\displaystyle \mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {OG} } . (Σχέση του Λάιμπνιτς) Έστω M {\displaystyle \mathrm {M} } ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε, M A 2 + M B 2 + M Γ 2 = 3 ⋅ M G 2 + 1 3 ⋅ ( α 2 + β 2 + γ 2 ) . {\displaystyle \mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}).} Το συμπληρωματικό τρίγωνο M A M B M Γ {\displaystyle {\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}} έχει τις ίδιες διαμέσους και το ίδιο βαρύκεντρο με το τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Διάμεσος (γεωμετρία) Ορθόκεντρο τριγώνου Περίκεντρο τριγώνου Έγκεντρο τριγώνου