Αξίωμα της Οικοδομησιμότητας

Το αξίωμα κατασκευασιμότητας είναι μια δήλωση στη θεωρία συνόλων που χρονολογείται από τον Κουρτ Γκέντελ και αποτελεί μια πιθανή επέκταση της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ ZFC. Ισχυρίζεται ότι όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα ( υπό μια έννοια που μπορεί να δοθεί) και συνήθως συντομεύεται από την εξίσωση V = L {\displaystyle V=L} . Ο ισχυρισμός αυτός δεν μπορεί να συναχθεί από την ZFC, αλλά μπορεί να αποδειχθεί ότι η πρόσθετη υπόθεση της αλήθειας του δεν μπορεί να οδηγήσει σε αντιφάσεις που δεν θα μπορούσαν να δημιουργηθούν μόνο από την ZFC. Σε ένα σύμπαν συνόλων που ικανοποιεί τη ZF και το αξίωμα της κατασκευασιμότητας, το αξίωμα της επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς ισχύουν αυτόματα, όπως μπόρεσε να δείξει ο Γκέντελ. Η βασική ιδέα πίσω από το αξίωμα κατασκευασιμότητας είναι να κάνουμε το σύμπαν του συνόλου όσο το δυνατόν μικρότερο. Για να επιτευχθεί αυτό, οι διαδικασίες κατασκευής περιγράφονται με όρους που είναι γνωστοί ως θεμελιώδεις πράξεις, και η τελική απαίτηση είναι ότι όλα τα σύνολα μπορούν ήδη να κατασκευαστούν με αυτόν τον τρόπο.

 Για να είναι ευκολότερη η διατύπωση των παρακάτω εξηγήσεων, επεκτείνουμε πρώτα ορισμούς και γραφές που είναι γνωστές για τις συναρτήσεις σε οποιαδήποτε κλάση x {\displaystyle x} : D ( x ) {\displaystyle D(x)} είναι η κλάση όλων των y {\displaystyle y} για τις οποίες υπάρχει ένα y {\displaystyle y} με z {\displaystyle z} με ( y , z ) ∈ x {\displaystyle (y,z)\in x} , και ονομάζεται πεδίο ορισμού του x {\displaystyle x} . W ( x ) {\displaystyle W(x)} είναι η κλάση όλων των z {\displaystyle z} για τις οποίες υπάρχει ένα y {\displaystyle y} με ( y , z ) ∈ x {\displaystyle (y,z)\in x} , και ονομάζεται Πεδίο εικόνας (μαθηματικών) του x {\displaystyle x} .Αν x {\displaystyle x} είναι μια συνάρτηση, έχουμε τους συνήθεις όρους ορισμού και εύρους τιμών για τις συναρτήσεις. Για μια κλάση x {\displaystyle x} , ας οριστεί περαιτέρω x ( y ) = z {\displaystyle x(y)=z} αν το ζεύγος ( y , z ) {\displaystyle (y,z)} βρίσκεται στο x {\displaystyle x} και δεν υπάρχουν περαιτέρω ζεύγη ( y , w ) ∈ x {\displaystyle (y,w)\in x} με z ≠ w {\displaystyle z\not =w} .Διαφορετικά, έστω ότι το x ( y ) {\displaystyle x(y)} ορίζεται ως ένα κενό σύνολο ∅ {\displaystyle \emptyset } . Αν x {\displaystyle x} είναι μια συνάρτηση, τότε x ( y ) {\displaystyle x(y)} είναι ως συνήθως η τιμή της συνάρτησης στη θέση y {\displaystyle y} αν y {\displaystyle y} είναι από το πεδίο ορισμού D ( x ) {\displaystyle D(x)} , και ίση με ∅ {\displaystyle \emptyset } αν y ∉ D ( x ) {\displaystyle y\notin D(x)} . Αλλά ο παραπάνω ορισμός είναι πολύ πιο γενικός, ισχύει για οποιαδήποτε κλάση x {\displaystyle x} . Ορίζονται οκτώ πράξεις F 1 , … , F 8 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1},\dotsc ,{\mathcal {F}}_{8}} οι οποίες δημιουργούν ένα τρίτο F i ( a , b ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}(a,b)} από δύο σύνολα a {\displaystyle a} και b {\displaystyle b} . F 1 ( a , b ) = { a , b } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}(a,b)=\{a,b\}} , το οποίο είναι το σύνολο ζευγών με στοιχεία a {\displaystyle a} και b {\displaystyle b} . F 2 ( a , b ) = a ∩ ∈ {\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}(a,b)=a\cap {\in }} . Εδώ ∈ {\displaystyle \in } συμβολίζει τη σχέση των στοιχείων. Έτσι το αποτέλεσμα αποτελείται από όλα τα ζεύγη ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} στο a {\displaystyle a} με x ∈ y {\displaystyle x\in y} , ανεξάρτητα από το b {\displaystyle b} . F 3 ( a , b ) = a ∖ b {\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}(a,b)=a\setminus b} , το σύνολο διαφορών. F 4 ( a , b ) = a | b {\displaystyle {\mathcal {F}}_{4}(a,b)=a|_{b}} , το οποίο είναι το σύνολο όλων των ζευγών ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} του a {\displaystyle a} με x ∈ b {\displaystyle x\in b} . Συγκεκριμένα, αν a {\displaystyle a} είναι μια συνάρτηση, αυτό είναι ο περιορισμός της συνάρτησης αυτής στο σύνολο b {\displaystyle b} . F 5 ( a , b ) = a ∩ D ( b ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{5}(a,b)=a\cap D(b)} . Όπου D ( b ) {\displaystyle D(b)} είναι το πεδίο ορισμού του b {\displaystyle b} . F 6 ( a , b ) = a ∩ b − 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{6}(a,b)=a\cap b^{-1}} . Όπου b − 1 {\displaystyle b^{-1}} είναι το σύνολο όλων των ζευγών ( y , x ) {\displaystyle (y,x)} για τα οποία το ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} βρίσκεται στο b {\displaystyle b} . F 7 ( a , b ) = a ∩ c n v 2 ( b ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{7}(a,b)=a\cap {\rm {cnv}}_{2}(b)} . Όπου c n v 2 ( b ) {\displaystyle {\rm {cnv}}_{2}(b)} είναι το σύνολο όλων των Πλειάδων ( z , x , y ) {\displaystyle (z,x,y)} για τις οποίες ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} βρίσκεται στο b {\displaystyle b} . F 8 ( a , b ) = a ∩ c n v 3 ( b ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{8}(a,b)=a\cap {\rm {cnv}}_{3}(b)} . Όπου c n v 3 ( b ) {\displaystyle {\rm {cnv}}_{3}(b)} είναι το σύνολο όλων των Πλειάδων ( x , z , y ) {\displaystyle (x,z,y)} για τις οποίες ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} βρίσκεται στο b {\displaystyle b} . Στο επόμενο βήμα, οι οκτώ θεμελιώδεις πράξεις συνδυάζονται σε μια ενιαία συνάρτηση O n {\displaystyle On} , την κλάση όλων των τακτικών αριθμών, που ορίζεται στο F {\displaystyle F} . Η ιδέα είναι να θεωρήσουμε την έκφραση F i ( a , b ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}(a,b)} ως συνάρτηση του ( a , b , i ) {\displaystyle (a,b,i)} , όπου το i {\displaystyle i} διατρέχει τους αριθμούς από το 1 έως το 8, και να την κατασκευάσουμε μέσω ενός ισομορφισμού O n × O n × { 0 , … , 8 } → O n {\displaystyle On\times On\times \{0,\dotsc ,8\}\rightarrow On} ως συνάρτηση του O n {\displaystyle On} . Στην κλάση O n × O n × { 0 , … , 8 } {\displaystyle On\times On\times \{0,\dotsc ,8\}} δηλώνουμε την ακόλουθη σειρά: ( α , β , m ) < ( γ , δ , n ) :⇔ {\displaystyle (\alpha ,\beta ,m)<(\gamma ,\delta ,n):\Leftrightarrow } . ( max { α , β } < max { γ , δ } ) {\displaystyle \max\{\alpha ,\beta \}<\max\{\gamma ,\delta \})} ) ή ( max { α , β } = max { γ , δ } ) {\displaystyle \max\{\alpha ,\beta \}=\max\{\gamma ,\delta \})} και α < γ {\displaystyle \alpha <\gamma } ) ή ( max { α , β } = max { γ , δ } ) {\displaystyle \max\{\alpha ,\beta \}=\max\{\gamma ,\delta \})} και α = γ {\displaystyle \alpha =\gamma } και β < δ {\displaystyle \beta <\delta } ) ή ( α = γ {\displaystyle \alpha =\gamma } und β = δ {\displaystyle \beta =\delta } και m < n {\displaystyle m<n} ). Μπορεί κανείς να δείξει ότι αυτό ορίζει μια καλή τάξη με βάση το O n × O n × { 0 , … , 8 } {\displaystyle On\times On\times \{0,\dotsc ,8\}} ορίζεται. Επομένως, υπάρχει ακριβώς ένας ισομορφισμός τάξης J : O n × O n × { 0 , … , 8 } → O n {\displaystyle J\colon On\times On\times \{0,\dotsc ,8\}\rightarrow On} . Επιπλέον, έστω K j ( x ) {\displaystyle K_{j}(x)} το j {\displaystyle j} -te συστατικό του J − 1 ( x ) {\displaystyle J^{-1}(x)} αν x {\displaystyle x} είναι ένας τακτικός αριθμός, και το κενό σύνολο αλλιώς. Έτσι ορίζονται οι συναρτήσεις K 1 , K 2 {\displaystyle K_{1},K_{2}} και K 3 {\displaystyle K_{3}} . Εδώ η K 3 {\displaystyle K_{3}} έχει τιμές στο { 0 , … , 8 } {\displaystyle \{0,\dotsc ,8\}} - σημειώστε ότι ∅ = 0 {\displaystyle \emptyset =0} . Ορίζουμε τώρα μια συνάρτηση G {\displaystyle G} για όλα τα σύνολα x {\displaystyle x} ως εξής: G ( x ) = { W ( x ) , falls K 3 ( D ( x ) ) = 0 F i ( x ( K 1 ( D ( x ) ) ) , x ( K 2 ( D ( x ) ) ) ) , falls K 3 ( D ( x ) ) = i > 0 {\displaystyle G(x)={\begin{cases}W(x),&{\mbox{falls }}K_{3}(D(x))=0\\{\mathcal {F}}_{i}(x(K_{1}(D(x))),x(K_{2}(D(x)))),&{\mbox{falls }}K_{3}(D(x))=i>0\end{cases}}} Τέλος, η συνάρτηση κατασκευής F {\displaystyle F} μπορεί να οριστεί από το G {\displaystyle G} με τη βοήθεια της διαπεραστικής επαγωγής: F {\displaystyle F} είναι η συνάρτηση που ορίζεται στο O n {\displaystyle On} με F ( α ) = G ( F | α ) {\displaystyle F(\alpha )\,=\,G(F|_{\alpha })} για όλους τους διατακτικούς αριθμούς α ∈ O n {\displaystyle \alpha \in On} .Ένα σύνολο x {\displaystyle x} ονομάζεται τώρα κατασκευάσιμο αν υπάρχει ένας τακτικός αριθμός α {\displaystyle \alpha } με x = F ( α ) {\displaystyle x=F(\alpha )} . Τα πρώτα παραδείγματα κατασκευάσιμων συνόλων είναι τα F ( 0 ) = 0 = ∅ {\displaystyle F(0)=0=\emptyset } , F ( 1 ) = 1 = { 0 } {\displaystyle F(1)=1=\{0\}} , F ( 2 ) = 0 {\displaystyle F(2)=0} , F ( 3 ) = 0 {\displaystyle F(3)=0} , F ( 4 ) = 0 {\displaystyle F(4)=0} , F ( 5 ) = 0 {\displaystyle F(5)=0} , F ( 6 ) = 0 {\displaystyle F(6)=0} , F ( 7 ) = 0 {\displaystyle F(7)=0} , F ( 8 ) = 0 {\displaystyle F(8)=0} , F ( 9 ) = 2 = { 0 , 1 } , … {\displaystyle F(9)=2=\{0,1\},\dotsc } Συνήθως το V {\displaystyle V} χρησιμοποιείται για να δηλώσει το σύμπαν των συνόλων, δηλαδή την κλάση όλων των συνόλων, ή εν συντομία V = { x ; x = x } {\displaystyle V=\{x;\,x=x\}} . Με τον όρο L {\displaystyle L} συμβολίζεται η κλάση όλων των κατασκευάσιμων συνόλων και ισχύει L ⊆ V {\displaystyle L\subseteq V} . Κατασκευάζοντας τα στοιχεία του L {\displaystyle L} με τη βοήθεια των διατακτικών αριθμών μπορεί κανείς να ορίσει μια ιεραρχία στο L {\displaystyle L} με απλό τρόπο, την κατασκευάσιμη ιεραρχία των κλάσεων α < β ⟹ L α ⊆ L β {\displaystyle \alpha <\beta \implies L_{\alpha }\subseteq L_{\beta }} και L = ⋃ α ∈ O r d L α {\displaystyle L=\bigcup _{\alpha \in Ord}L_{\alpha }} . Το ερώτημα που τίθεται εδώ, αν κάθε σύνολο είναι κατασκευάσιμο, δηλαδή αν ισχύει το λεγόμενο αξίωμα κατασκευασιμότητας V = L {\displaystyle V=L} , αποδεικνύεται ότι δεν μπορεί να απαντηθεί. Αν αντικαταστήσει κανείς όλους τους ποσοδείκτες ∀ x {\displaystyle \forall x} bzw. ∃ x {\displaystyle \exists x} , στα αξιώματα ZF, τα οποία μπορούν να διαβαστούν ως ∀ x ∈ V {\displaystyle \forall x\in V} bzw. ∃ x ∈ V {\displaystyle \exists x\in V} , λόγω των περιορισμένων ποσοδεικτών ∀ x ∈ L {\displaystyle \forall x\in L} bzw. ∃ x ∈ L {\displaystyle \exists x\in L} , μπορεί να αποδειχθεί ότι ακόμη και τότε, περιορισμένα στην L {\displaystyle L} , ισχύουν όλα τα αξιώματα ZF. Με αυτή την έννοια το L {\displaystyle L} είναι ένα μοντέλο για τη ZF. Εδώ πρέπει να γίνει πολύ προσεκτική διάκριση μεταξύ ZF και του μοντέλου L {\displaystyle L} για την ZF, που κατασκευάστηκε με τη βοήθεια της ZF. Στο μοντέλο L {\displaystyle L} όλα τα σύνολα είναι κατασκευάσιμα, δηλαδή εδώ ισχύει το αξίωμα κατασκευασιμότητας V = L {\displaystyle V=L} . Επομένως, η ύπαρξη μη κατασκευάσιμων συνόλων δεν μπορεί να συναχθεί με βάση την ZF, διότι το ίδιο συμπέρασμα θα έπρεπε να ισχύει και στο μοντέλο L {\displaystyle L} . Ειδικότερα, η υπόθεση V = L {\displaystyle V=L} ως πρόσθετο αξίωμα στο ZF δεν είναι αντιφατική με την προϋπόθεση ότι η ZF είναι απαλλαγμένη από αντιφάσεις- μιλάμε για σχετική συνέπεια. Μέσω της θεωρίας μοντέλων, μπορεί επίσης να δείξει κανείς ότι το V = L {\displaystyle V=L} δεν μπορεί να προκύψει από την ZF, ή ακόμη και από Z F C + G C H {\displaystyle ZFC+GCH} . Από το αξίωμα κατασκευασιμότητας V = L {\displaystyle V=L} , είναι δυνατόν να συναχθούν ορισμένοι άλλοι ισχυρισμοί που δεν είναι δυνατόν να αποδειχθούν μόνο με την ZF, και οι οποίοι είναι επίσης σχετικά συνεπείς. Για κάθε κατασκευάσιμο σύνολο x ∈ L {\displaystyle x\in L} υπάρχει ένας τακτικός αριθμός α {\displaystyle \alpha } με x = F ( α ) {\displaystyle x=F(\alpha )} - έστω O d ( x ) {\displaystyle {\rm {Od}}(x)} ο μικρότερος τακτικός αριθμός α {\displaystyle \alpha } με x = F ( α ) {\displaystyle x=F(\alpha )} . Έστω < A := { ( x , y ) ; x , y ∈ L , y ∈ x , ∀ z ∈ x : O d ( y ) ≤ O d ( z ) } {\displaystyle A:=\{(x,y);x,y\in L,y\in x,\forall z\in x:{\rm {Od}}(y)\leq \mathrm {Od} (z)\}} . Τότε μπορεί κανείς να δείξει ότι η A {\displaystyle A} είναι μια συνάρτηση με A ( x ) ∈ x {\displaystyle A(x)\in x} για όλα τα μη κενά x ∈ L {\displaystyle x\in L} . Έτσι, υπό την πρόσθετη προϋπόθεση του αξιώματος της κατασκευασιμότητας, το αξίωμα της επιλογής ισχύει στην ZF- επιπλέον, υπάρχει ακόμη και μια καθολική συνάρτηση επιλογής, δηλαδή η παραπάνω A {\displaystyle A} . Γράφει κανείς εν συντομία V = L → A C {\displaystyle V=L\rightarrow AC} . Το αξίωμα επιλογής AC αποδεικνύεται έτσι σχετικά συνεπές. Σε ένα σύμπαν συνόλων με αξίωμα κατασκευασιμότητας, το αξίωμα της επιλογής είναι περιττό, διότι μπορεί να προκύψει. Ο Γκέντελ έδειξε επίσης ότι στο L {\displaystyle L} η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς (GCH) ισχύει. Έτσι στην ZF, η GCH μπορεί να συναχθεί από το αξίωμα κατασκευασιμότητας, εν συντομία V = L → G C H {\displaystyle V=L\rightarrow GCH} . Είναι εύλογο ότι για να ισχύει η υπόθεση της γενικευμένης συνέχειας, θα πρέπει να έχουμε όσο το δυνατόν λιγότερα σύνολα στο σύμπαν των συνόλων, αφού δεν θα πρέπει να υπάρχουν άλλες δυνάμεις μεταξύ της δύναμη ενός άπειρου συνόλου και της δύναμης του συνόλου. Αυτό ήταν το αρχικό κίνητρο του Γκέντελ για τη διερεύνηση της κατασκευασιμότητας. Η υπόθεση Σούσλιν (Suslin) είναι ψευδής στο L {\displaystyle L} , όπως απέδειξε ο Ρόναλντ Τζένσεν το 1968. Kurt Gödel: The Consistency of the Axiom of Choice and of the generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory (= Annals of Mathematics Studies. Bd. 3). Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 1940. Ronald Jensen: Souslin’s hypothesis is incompatible with V = L. In: Notices of the American Mathematical Society. Bd. 15, 1968, ISSN 0002-9920, S. 935. Gaisi Takeuti, Wilson M. Zaring: Introduction to Axiomatic Set Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 1, ZDB-ID 2156806-6). Springer, New York NY u. a. 1971. Οικοδομήσιμο Σύμπαν