Πιερ ντε Φερμά

Ο Πιερ ντε Φερμά (γαλλ. Pierre de Fermat) (17 Αυγούστου 1601 - 12 Ιανουαρίου 1665) ήταν Γάλλος νομικός στο κοινοβούλιο της Τουλούζης και ερασιτέχνης μαθηματικός με μεγάλη συμβολή στην ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού. Ειδικότερα είναι γνωστός για την ανακάλυψη μιας πρωτότυπης μεθόδου υπολογισμού των ελάχιστων και μέγιστων σημείων σε καμπύλες γραμμές, η οποία είναι ανάλογη με τον τότε ακόμα άγνωστο διαφορικό λογισμό. Επίσης είναι γνωστός και για τις έρευνές του για στη θεωρία των αριθμών, την αναλυτική γεωμετρία, τη θεωρία πιθανοτήτων και την οπτική. Κυρίως όμως είναι γνωστός για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, το οποίο περιέγραψε σε μια μικρή σημείωση στο βιβλίο Αριθμητικά του Διόφαντου.

 Ο Φερμά γεννήθηκε στο Μπομόν-ντε-Λομάνι (Beaumont-de-Lomagne) της περιφέρειας Ταρν-ε-Γκαρόν του Νομού Μέσων Πυρηναίων (Midi-Pyrénées) στη νότια Γαλλία στις 17 Αυγούστου 1601 και ήταν βασκικής καταγωγής. Ο πατέρας του, Ντομινίκ Φερμά, ήταν ευκατάστατος έμπορος δερμάτων και κατείχε το αξίωμα "second consul" στο "παλαιό καθεστώς" (ancien regime) της Γαλλίας, κυβερνητική θέση ισοδύναμη με του σημερινού δημάρχου. Ο Ντομινίκ νυμφεύτηκε δύο φορές, αρχικά τη Φρανσουάζ Καζενέβ (Françoise Cazeneuve) και στη συνέχεια την Κλερ ντε Λον (Claire de Long). Δεν είναι εξακριβωμένο ποια από τις δύο ήταν η μητέρα του Πιέρ, φαίνεται όμως πιθανότερο να ήταν η Κλερ ντε Λον. Δεν είναι επίσης σαφής η χρονολογία γέννησής του, καθώς έχουν ανευρεθεί στα αρχεία της Μοντωμπάν και της γενέτειράς του δύο εγγραφές με το όνομα "Πιέρ Φερμά", η μία χρονολογούμενη το 1601 και η άλλη το 1607.Δεν είναι γνωστές πολλές λεπτομέρειες σχετικά με τα πρώτα στάδια της μόρφωσής του. Πιθανόν να έλαβε τη στοιχειώδη εκπαίδευση στο μοναστήρι των Φραγκισκανών "Grandsl ve" που βρισκόταν στην περιοχή της γενέτειράς του.Ολοκληρώνοντας τις βασικές σπουδές του γράφτηκε αρχικά στο Πανεπιστήμιο της Τουλούζης και στη συνέχεια στο Πανεπιστήμιο του Μπορντώ (περίπου το δεύτερο ήμισυ του 1620). Εκεί άρχισε το 1629 τις πρώτες του έρευνες επί των μαθηματικών, όταν έδωσε σε ένα μαθηματικό ένα αντίγραφο του Plane Loci του Απολλωνίου το οποίο είχε αποκαταστήσει. Την ίδια περίοδο, επίσης, συνέγραψε αρκετά κείμενα σχετικά με το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων, τα οποία έδωσε στον Ετιέν ντ' Εσπανιέ (Étienne d'Espagnet), λάτρη των μαθηματικών και γιο του προέδρου του Κοινοβουλίου του Μπορντώ που είχε τα ίδια ενδιαφέροντα με αυτόν και είχε δημιουργήσει ένα μικρό κύκλο με τους Φιλόν (Philon) και Πραντ (Prades), τους οποίους μνημονεύει ο Φερμά στην αλληλογραφία του.Από το Μπορντώ μετακόμισε στην Ορλεάνη για να σπουδάσει Νομικά στο πανεπιστήμιο της πόλης. Λαμβάνοντας το πτυχίο του αγόρασε τον τίτλο του συμβούλου (conseiller) στο Κοινοβούλιο της πόλης. Το 1631, έχοντας το επάγγελμα του δικηγόρου, το οποίο του εξασφάλιζε κοινωνική άνοδο αλλά και άνοιγε τους δρόμους της πολιτικής εξουσίας, και κυβερνητικό αξίωμα άλλαξε το όνομά του από Πιέρ Φερμά σε Πιέρ ντε Φερμά. Το ίδιο έτος νυμφεύτηκε στο Μπωμόν (Beaumont) την τέταρτη εξαδέλφη του Λουίζ ντε Λον (Louise de Long), με την οποία απέκτησαν πέντε παιδιά: τον Κλεμάν-Σαμυέλ (Clément-Samuel), τον Ζαν (Jean), την Κλερ (Claire), τη Λουίζ (Louise) και την Κατρίν (Catherine). Η οικογένεια Φερμά απολάμβανε μεγάλης εκτίμησης στην πόλη και, καθώς ο πεθερός του, ως ένας από τους παλαιότερους νομοθέτες ανήκε στην Αριστοκρατία, εντάχθηκε σε αυτήν και η οικογένεια Φερμά.Ο Φερμά χειριζόταν άψογα, εκτός από τα γαλλικά, τα λατινικά, τα Αρχαία ελληνικά, τα ισπανικά, τα ιταλικά και πιθανόν και τη βασκική διάλεκτο. Για το λόγο αυτό ήταν περιζήτητος για την απόδοση των κλασικών ελληνικών κειμένων. Παρά την ενασχόλησή του με τη μαθηματική επιστήμη, κράτησε για τον εαυτό του τον τίτλο του "ερασιτέχνη", ενώ παράλληλα κατάφερε να πετύχει την επιθυμητή αναγνώρισή του. Το γεγονός αυτό οδήγησε σε διαμάχες με συγχρόνους του μαθηματικούς, όπως ο Ρενέ Ντεκάρτ (Καρτέσιος), ενώ είχε αναπτύξει φιλία με τον Μπλεζ ΠασκάλΟ Φερμά απεβίωσε στις 12 Ιανουαρίου 1665 στην πόλη Καστρ (Castres). Η πρωτοπόρος εργασία του Φερμά στην Αναλυτική Γεωμετρία κυκλοφόρησε σε χειρόγραφη μορφή το 1636, πριν ο Ντεκάρτ κυκλοφορήσει την περίφημη Γεωμετρία (La Géométrie) του. Το χειρόγραφο εκδόθηκε μετά τον θάνατο του Φερμά, το 1679, σε συμπίλημα υπό τον τίτλο "Varia opera mathematica" (ποικίλα μαθηματικά έργα) υπό τον τίτλο Ad Locos Planos et Solidos Isagoge (Εισαγωγή στους επίπεδους και στερεούς (γεωμετρικούς) τόπους).Στο έργο του In Methodus ad disquirendam maximam et minima and in De tangentibus linearum curvarum ο Φερμά αναπτύσσει μια μέθοδο προσδιορισμού των ελαχίστων, μεγίστων και εφαπτομένων σε καμπύλες ποικίλων συναρτήσεων, ισοδύναμη με αυτή του διαφορικού λογισμού Με αυτές τις εργασίες ο Φερμά επινοεί μια τεχνική για τον εντοπισμό του κέντρου βάρους πολλών επίπεδων και στερεών σωμάτων και οδήγησε σε περισσότερες αναλύσεις επί των ολοκληρωμάτων. Σημαντική συμβολή είχε επίσης στον ολοκληρωτικό λογισμό, όπου με ευφυές τέχνασμα κατόρθωσε να επινοήσει τύπο υπολογισμού του ολοκληρώματος ανάγοντάς το σε άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου. Ο τύπος αυτός πιθανότατα χρησίμευσε τόσο στον Νεύτωνα όσο και στον Λάιμπνιτς οι οποίοι, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, παρουσίασαν το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού.Στη Θεωρία αριθμών ο Φερμά μελέτησε την ειδική περίπτωση της διοφαντικής εξίσωσης που αποκλήθηκε "εξίσωση του Πελ": x 2 − n y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1\,} τους τέλειους αριθμούς, τους "φίλιους" (amicable) αριθμούς και τους αριθμούς που θα γίνουν αργότερα γνωστοί ως "αριθμοί του Φερμά": F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1} όπου n είναι μη αρνητικός ακέραιος. Ο Φερμά ισχυρίστηκε ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι πρώτοι. Πράγματοι οι πέντε πρώτοι από αυτούς Fo=3, F1=5, F2=17, F3=257 και F4=65537 είναι πρώτοι αριθμοί. Όμως ο F5=4294967297, δεν είναι πρώτος αφού διαιρείται με το 641, όπως απέδειξε ο L. Euler το 1732.Για εκθέτες από n=5 μέχρι και n=32 έχει αποδειχθεί ότι προκύπτουν σύνθετοι αριθμοί. Για περισσότερες από 60 μεμονωμένες περιπτώσεις όπως για n=9448 έχει αποδειχθεί ότι προκύπτει σύνθετος αριθμός. Μέχρι σήμερα πάντως δεν έχει προσδιοριστεί άλλος πρώτος αριθμός αυτής της μορφής. Το πρόβλημα λοιπόν για το αν υπάρχει και άλλος πρώτος αριθμός αυτής της μορφής παραμένει ανοιχτό και απαιτεί κολοσσιαίους υπολογισμούς αφού οι αριθμοί αυτοί είναι τεράστιοι.Ενώ ερευνούσε τους τέλειους αριθμούς, επινόησε και το αντίστοιχο θεώρημα. Επινόησε επίσης μέθοδο παραγοντοποίησης (μέθοδος παραγοντοποίησης Φερμά) και την τεχνική της "κατάβασης εις άπειρο", μια ειδική περίπτωση της απαγωγής σε άτοπο, την οποία χρησιμοποίησε για να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα για n=4. Αν και ο ίδιος ισχυριζόταν ότι είχε αποδείξει όλα του τα θεωρήματα, ελάχιστες καταγραφές αυτών των αποδείξεων. Πολλοί μαθηματικοί, ανάμεσά τους και ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Carl Friedrich Gauss) αμφέβαλλαν για αρκετούς από τους ισχυρισμούς του, ειδικά αν λάμβανε κανείς υπόψη τόσο τη δυσκολία ορισμένων από τα προβλήματα που αντιμετώπισε όσο και τα περιορισμένα μαθηματικά "εργαλεία" που ήταν γνωστά στην εποχή του. Το περίφημο θεώρημά του ανακαλύφθηκε από τον γιο του στα περιθώρια μιας έκδοσης του Διόφαντου, με την παρατήρηση ότι το περιθώριο ήταν πολύ μικρό για να χωρέσει και την απόδειξή του. Το θεώρημα αποδείχθηκε μόλις το 1994, με μαθηματικές τεχνικές άγνωστες στον Φερμά. Μολονότι μελέτησε πολύ προσεκτικά και εμπνεύστηκε από την εργασία του Διόφαντου, ο Φερμά δημιούργησε τη δική του "σχολή" επί του θέματος. Ο Διόφαντος ήταν ικανοποιημένος αν έβρισκε μια μόνο λύση στις εξισώσεις του, ακόμη κι αν αυτή ήταν κλασματική (και άρα μη επιθυμητή). Ο Φερμά ενδιαφέρθηκε μόνο για τις ακέραιες λύσεις στις διοφαντικές εξισώσεις του και ερεύνησε όλες τις πιθανές γενικές λύσεις. Συχνά αποδείκνυε ότι ορισμένες εξισώσεις δεν είχαν λύση, κάτι που προκαλούσε σύγχυση στους συγχρόνους του. Μέσω της αλληλογραφίας του με τον Πασκάλ, έθεσαν, το 1664, τα βασικά θεμέλια της θεωρίας των πιθανοτήτων. Από αυτή τη σύντομη αλλά πολύ παραγωγική συνεργασία επί του προβλήματος των ακρότατων, θεωρούνται σήμερα συνδημιουργοί της θεωρίας των πιθανοτήτων. Στον Φερμά επίσης αποδίδεται και η πρώτος ακριβής υπολογισμός πιθανότητας: Ένας επαγγελματίας παίκτης τον ρώτησε γιατί αν στοιχημάτιζε πως σε τέσσερις ρίψεις ενός ζαριού θα ερχόταν μια φορά τουλάχιστον το 6 κέρδιζε σε βάθος χρόνου, ενώ αν στοιχημάτιζε ότι θα έρχονταν τουλάχιστον μια φορά "εξάρες" σε 24 ταυτόχρονες ρίψεις δύο ζαριών έχανε. Ο Φερμά απέδειξε ότι αυτός ήταν ο κανόνας βάσει των μαθηματικών. Μαζί με τον Ρενέ Ντεκάρτ ο Φερμά θεωρείται ένας από τους δύο κορυφαίους μαθηματικούς του πρώτου ημίσεος του 17ου αιώνα. Σύμφωνα με τον συγγραφέα Πίτερ Μπερνστάιν (Peter L. Bernstein) στο βιβλίο του Against the Gods (Ενάντια στους Θεούς) ο Φερμά ήταν μαθηματικός σπάνιας νοητικής δύναμης: Αναδείχτηκε σε θεμελιωτή της Αναλυτικής Γεωμετρίας, συνέβαλε στην αρχική διαμόρφωση του ολοκληρωτικού λογισμού έκανε έρευνες επί του "βάρους της Γης" και εργάστηκε επί της Οπτικής και της διάθλασης του φωτός. Στην εκτεταμένη αλληλογραφία του με τον Πασκάλ θέτουν από κοινού τη βάση της θεωρίας πιθανοτήτων. Όμως, το σημαντικότερο επίτευγμά του σημειώνεται στη θεωρία των αριθμών.