Πιθανότητα

Πιθανότητα είναι το μέτρο προσδοκίας ότι ένα γεγονός (ή ενδεχόμενο) θα συμβεί. Η πιθανότητα είναι ποσοτικά προσδιορισμένη ως ένας πραγματικός αριθμος ανάμεσα στο 0 και το 1 (κλειστό διάστημα [0,1] ) (όπου το 0 υποδεικνύει το αδύνατο και το 1 το βέβαιο). Όσο μεγαλύτερη η πιθανότητα για ένα γεγονός, με τόσο μεγαλύτερη προσδοκία αναμένουμε ότι το γεγονός αυτό θα συμβεί. Ένα απλό παράδειγμα είναι η ρίψη ενός νομίσματος. Από την στιγμή που τα δύο αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά (ισοπίθανα), η πιθανότητα της 'κορώνας' είναι ίδια με την πιθανότητα των 'γραμμάτων', έτσι η πιθανότητα είναι 1/2 (ή 50%) είτε για 'κόρωνα' είτε για 'γράμματα'. Αυτές οι αντιλήψεις έχουνε δώσει μία αξιωματική μαθηματική επισημοποίηση στη θεωρία πιθανοτήτων (δες αξιώματα πιθανότητας), η οποία χρησιμοποιείται ευρέως σε ακαδημαϊκούς κλάδους όπως τα μαθηματικά, τη στατιστική, τα οικονομικά, τα τυχερά παιχνίδια, την επιστήμη (συγκεκριμένα στη φυσική), την τεχνητή νοημοσύνη, την επιστήμη των υπολογιστών και στη φιλοσοφία, για παράδειγμα, εξάγουμε συμπεράσματα για την αναμενόμενη συχνότητα των γεγονότων. Η θεωρία πιθανοτήτων χρησιμοποιείται επίσης για να περιγράψει την υποκειμενική μηχανική και τις ομαλότητες των πολύπλοκων συστημάτων.

 Η λέξη πιθανότητα προέρχεται < αρχαία ελληνική πιθανότης < από το θέμα -πιθ- του β΄αορ. του πείθω , στις λατινογενείς και γερμανογενείς γλώσσες (π.χ. ''probability'' στα αγγλικά) προέρχεται από την λατινική λέξη probalititas, η οποία μπορεί επίσης να σημαίνει «ακεραιότητα» ή «ευαλήθεια», από ένα ορισμό της εξουσίας ενός μάρτυρα σε μια δικαστική υπόθεση στην Ευρώπη, και συχνά συσχετίζεται με την 'ευγένεια' του μάρτυρα. Κατά μία έννοια, αυτό διαφέρει πολύ από την σύγχρονη έννοια της πιθανότητας, η οποία, σε αντίθεση, είναι ένα μέτρο βάρους εμπειρικών στοιχείων και έφτασε από τον επαγωγικό συλλογισμό και την στατιστική συμπερασματολογία . Όταν αντιμετωπίζουμε πειράματα που είναι τυχαία και σαφώς ορισμένα σε μια καθαρά θεωρητική βάση(όπως η ρίψη ενός νομίσματος), οι πιθανότητες μπορεί να περιγραφούν αριθμητικά από το στατιστικό αριθμό των αποτελεσμάτων που διαιρείται με το συνολικό αριθμό όλων των αποτελεσμάτων (η ρίψη ενός κέρματος δύο φορές θα δώσει το κορώνα-κορώνα με πιθανότητα 1/4, επειδή τα τέσσερα αποτελέσματα κορώνα-κορώνα, το κορώνα-γράμματα, γράμματα, το κορώνα και γράμματα γράμματα είναι εξίσου πιθανά να συμβούν). Όταν πρόκειται για πρακτική εφαρμογή, ωστόσο υπάρχουν δύο κύριες ανταγωνιστικές κατηγορίες των ερμηνειών πιθανότητα, οι οπαδοί των οποίων έχουν διαφορετικές απόψεις για τη θεμελιώδη φύση της πιθανότητας: Οι αντικειμενιστές ορίζουν αριθμούς για να περιγράψουν κάποιο στόχο ή τη φυσική κατάσταση των πραγμάτων. Η πιο δημοφιλής εκδοχή της αντικειμενικής πιθανότητας είναι η συχνότητα πιθανότητας, η οποία ισχυρίζεται ότι η πιθανότητα ενός τυχαίου γεγονότος υποδηλώνει την σχετική συχνότητα εμφάνισης του αποτελέσματος ενός πειράματος, όταν αυτό επαναλαμβάνεται. Αυτή η ερμηνεία θεωρεί πιθανότητα να είναι η σχετική συχνότητα στο σύνολο των αποτελεσμάτων. Μια τροποποίηση αυτού είναι η κλίση της πιθανότητας, η οποία ερμηνεύει την πιθανότητα ως η τάση κάποιου πειράματος για να δώσει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα, ακόμα και αν αυτό γίνεται μόνο μία φορά. Οι υποκειμενιστές ορίζουν αριθμούς ανά υποκειμενική πιθανότητα, δηλαδή, ως ένα βαθμό πεποίθησης. Ο βαθμός της πεποίθησης αυτής έχει ερμηνευθεί ως, "η τιμή στην οποία θα αγοράσουν ή να πουλήσουν ένα ποντάρισμα που πληρώνει 1 μονάδα της χρησιμότητας αν Ε, 0 αν δεν Ε". Η πιο δημοφιλής έκδοση της υποκειμενικής πιθανότητας είναι η Μπεϋζιανή πιθανότητα, η οποία περιλαμβάνει την άριστη γνώση , καθώς και πειραματικά δεδομένα για την παραγωγή των πιθανοτήτων. Η εξειδικευμένη γνώση αντιπροσωπεύεται από κάποια (υποκειμενική) διανομή των προτέρων πιθανότητα. Τα δεδομένα ενσωματώνονται σε μια συνάρτηση πιθανότητας. Το προϊόν της προηγούμενης και η πιθανότητα, κανονικά, οδηγεί στην κανονική κατανομή των πιθανότητων που ενσωματώνει όλα τα στοιχεία που είναι γνωστά μέχρι σήμερα. Ξεκινώντας από αυθαίρετες, υποκειμενικές πιθανότητες για μια ομάδα παραγόντων, μερικοί υποστηρικτές του Μπέυζ ισχυρίζονται ότι όλοι οι παράγοντες θα έχουν τελικά αρκετά παρόμοιες εκτιμήσεις των πιθανοτήτων, δεδομένου αρκετών στοιχείων (βλέπε τον κανόνα του Κρόμγουελ). Η θεωρία πιθανοτήτων εφαρμόζεται στην καθημερινή ζωή στην αξιολόγηση των κινδύνων και των συναλλαγών μας σε χρηματοπιστωτικές αγορές. Οι κυβερνήσεις εφαρμόζουν πιθανολογικές μεθόδους περιβαλλοντικής νομοθεσίας, όπου λέγονται μέθοδοι ανάλυσης. Ένα καλό παράδειγμα είναι το αποτέλεσμα της αντιληπτής πιθανότητας οποιονδήποτε εκτεταμένων συγκρούσεων στη Μέση Ανατολή για τις τιμές του πετρελαίου οι οποίες έχουν αλυσιδωτές επιδράσεις στην οικονομία, στο σύνολό της. Μια εκτίμηση από έναν έμπορο ότι ένας πόλεμος είναι πιο πιθανός η όχι, προκαλεί πιθανή αλλαγή τιμών ή προς τα κάτω, και προειδοποιεί άλλους εμπόρους της εν λόγω γνώμης. Κατά συνέπεια, οι πιθανότητες εκτιμούνται ούτε ανεξάρτητα ούτε κατ 'ανάγκη πολύ λογικά. Η θεωρία της συμπεριφοράς Οικονομικών εμφανίστηκε για να περιγράψει την επίδραση αυτής της ομαδικής σκέψης σχετικά με την τιμολόγηση, την πολιτική, και για την ειρήνη και τη σύγκρουση. Η ανακάλυψη των αυστηρών μεθόδων για την εκτίμηση και τη σύνδεση των αξιολογήσεων πιθανοτήτων, έχει αλλάξει την κοινωνία. Είναι σημαντικό για τους περισσότερους πολίτες να κατανοήσουν πώς γίνονται οι εκτιμήσεις πιθανότητας, και πως συμβάλλουν στη λήψη αποφάσεων. Μια άλλη σημαντική εφαρμογή της θεωρίας των πιθανοτήτων στην καθημερινή ζωή είναι η αξιοπιστία. Πολλά καταναλωτικά προϊόντα, όπως αυτοκίνητα και ηλεκτρονικά είδη ευρείας κατανάλωσης, χρησιμοποιούν τη θεωρία αξιοπιστίας στο σχεδιασμό τους για να μειωθεί η πιθανότητα αποτυχίας. Η πιθανότητα αποτυχίας μπορεί να επηρεάσει τις αποφάσεις ενός κατασκευαστή για την εγγύηση ενός προϊόντος. Το συνηθισμένο μοντέλο γλώσσας και άλλα στατιστικά γλωσσικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται στην επεξεργασία φυσικής γλώσσας είναι επίσης παραδείγματα εφαρμογής της θεωρίας πιθανοτήτων. Όπως άλλες θεωρίες, η θεωρία των πιθανοτήτων είναι μια αναπαράσταση των πιθανολογικών εννοιών από τυπικής απόψεως-η οποία είναι, από την άποψη ότι μπορεί να θεωρηθεί ξεχωριστά από το νόημά τους. Αυτές οι τυπικές έννοιες καθορίζονται από τους κανόνες των μαθηματικών και της λογικής, και τα τυχόν αποτελέσματα ερμηνεύονται ή μεταφράζονται πίσω στο κύριο πρόβλημα. Υπήρξαν τουλάχιστον δύο επιτυχείς προσπάθειες για την επισημοποίηση του ορισμού της πιθανότητας, η διατύπωση Κολμογκόροφ και η διατύπωση Κοξ. Στη διατύπωση Κολμογκόροφ (βλέπε χώρο πιθανότητας), τα σύνολα ερμηνεύονται ως γεγονότα και η ίδια η πιθανότητα ως μέτρο για την κατηγοριοοίηση των συνόλων . Στο θεώρημα Κοξ , η πιθανότητα θεωρείται ως πρωτόγονη (δηλαδή, δεν αναλύεται περαιτέρω ) και η έμφαση δίνεται στην κατασκευή από μια συνεπή ανάθεση τιμών πιθανοτήτων σε προτάσεις. Σε αμφότερες τις περιπτώσεις , οι νόμοι των πιθανοτήτων είναι ίδιοι, εκτός μερικών τεχνικών λεπτομερειών. Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι για την ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας , όπως η θεωρία Ντέμπστερ - Σάφερ (Dempster - Shafer) ή η θεωρία πιθανοτήτων, αλλά αυτές είναι ουσιαστικά διαφορετικές και δεν είναι συμβατές με τους νόμους των πιθανοτήτων, όπως συνήθως γίνονται κατανοητές. Η επιστημονική μελέτη της πιθανότητας είναι μια σύγχρονη εξέλιξη. Τα τυχερά παιχνίδια δείχνουν ότι υπήρξε ενδιαφέρον για την ποσοτικοποίηση των ιδεών της πιθανότητας για χιλιετίες, αλλά η ακριβής μαθηματική περιγραφή προέκυψε πολύ αργότερα. Υπάρχουν λόγοι βέβαια, για την αργή ανάπτυξη των μαθηματικών πιθανοτήτων. Ενώ τα τυχερά παιχνίδια έδωσαν το κίνητρο για τη μαθηματική μελέτη των πιθανοτήτων, θεμελιώδη ζητήματα εξακολουθούν να επισκιάζονται από τις δεισιδαιμονίες των παικτών. Πριν από τα μέσα του δέκατου έβδομου αιώνα, ο όρος« probability »(Λατινικά probabilis) στα αγγλικά, σήμαινε επικυρωμένος, και εφαρμόστηκε με αυτή την έννοια, μονοσήμαντα, στη γνώμη και στη δράση. Μια πιθανή ενέργεια ή γνώμη θα ήταν λογικοί άνθρωποι να αναλάβουν ή να κατέχουν, υπό τις περιστάσεις ». Ωστόσο, σε νομικά πλαίσια ειδικά, το« πιθανό »θα μπορούσε να ισχύει και για προτάσεις για τις οποίες υπάρχουν επαρκή στοιχεία. Τον δέκατο έκτο αιώνα ο πολυμαθής Τζιρόλαμο Καρντάνο απέδειξε την αποτελεσματικότητα του καθορισμού πιθανοτήτων ως ο λόγος των ευνοϊκών προς των δυσμενών αποτελεσμάτων (το οποίο σημαίνει ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος δίνεται από το λόγο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων προς το συνολικό αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων.). Εκτός από το βασικό έργο του Καρντάνο, το δόγμα των πιθανοτήτων χρονολογείται στην αλληλογραφία των Πιερ ντε Φερμά και Μπλεζ Πασκάλ (1654). Ο Κρίστιαν Χόυχενς (1657) έδωσε την αρχαιότερη γνωστή επιστημονική αντιμετώπιση του θέματος. Η Τέχνη του Εικάζειν του Γιακόμπ Μπερνούλι μετά θάνατον,1713) και το Δόγμα των Πιθανοτήτων του Αβραάμ ντε Μουάβρ (1718) αντιμετώπισαν το ζήτημα ως ένα τμήμα των μαθηματικών. Μπορεί κάποιος να δει την μελέτη του Ίαν Χάκινγκ ''Η Εμφάνιση των Πιθανοτήτων'' και του Τζέιμς Φράνκλιν ''Η Επιστήμη της Εικασίας'' για ιστορίες της πρώιμης ανάπτυξης της ίδιας της έννοιας της μαθηματικής πιθανότητας. Η θεωρία των σφαλμάτων μπορεί να αναχθεί στο σύγγραμμα ''Opera Miscellanea'' του Ρότζερ Κοτς (Roger Cotes, μετά θάνατον, 1722), αλλά ένα απομνημόνευμα που παρασκευάστηκε από τον Τόμας Σίμσον (Thomas Simpson) το 1755 (έντυπο 1756) εφάρμοσε για πρώτη φορά τη θεωρία στη συζήτηση των σφαλμάτων παρατήρησης. Η ανατύπωση (1757) αυτού του απομνημονεύματος καθορίζει τα αξιώμαυ θετικά και αρνητικά σφάλματα είναι εξίσου πιθανά, και ότι ορισμένα μεταβιβάσιμα όρια προσδιορίζουν το εύρος του συνόλου των σφαλμάτων. Ο Σίμσον εξετάζει επίσης τη συνεχή λάθη και περιγράφει μια καμπύλη πιθανοτήτων. Οι δύο πρώτοι νόμοι του λάθους που προτάθηκαν προέρχονται από τον Πιερ Σιμόν Λαπλάς. Ο πρώτος νόμος εκδόθηκε το 1774 και δήλωσε ότι η συχνότητα του λάθους θα μπορούσε να εκφραστεί ως μια εκθετική συνάρτηση του αριθμητικού μεγέθους του σφάλματος, αγνοώντας τα προγνωστικά.Ο δεύτερος νόμος του σφάλματος προτάθηκε το 1778 από τον Laplace και δήλωνε ότι η συχνότητα του σφάλματος είναι μια εκθετική συνάρτηση του τετραγώνου του λάθους.Ο δεύτερος νόμος του σφάλματος ονομάζεται κανονική κατανομή ή νόμος Gauss. "Είναι δύσκολο να αποδώσουμε ιστορικά το νόμο αυτόν στον Gauss, ο οποίος παρά τις γνωστή σε όλους πρόωρη ανάπτυξή του,κατά πάσα πιθανότητα δεν είχε κάνει αυτή την ανακάλυψη πριν από τα δύο του έτη." Ο Ντάνιελ Μπερνούλι κατά τον 18ο αιώνα εισήγαγε την αρχή του μέγιστου προϊόντος των πιθανοτήτων ενός συστήματος ταυτόχρονων σφαλμάτων. Ο Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ (1805) ανέπτυξε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και την εισήγαγε στο έργο του Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Νέες Μέθοδοι για τον Καθορισμό των Τροχιών των Κομητών). Αγνοώντας την συνεισφορά του Legendre, ένας Ιρλανδο-Αμερικάνος συγγραφέας, ο Ρόμπερτ Άντρειν, συντάκτης του "The Analyst" (1808), πρώτος εισήγαγε τον νόμο κατανομής σφαλμάτων, όπου h είναι μια σταθερά που εξαρτάται από την ακρίβεια της παρατήρησης και c ένας συντελεστής κλίμακας που διαβεβαιώνει ότι η περιοχή κάτω από τη γραμμή ισούται με 1. Έδωσε δύο αποδείξεις, από τις οποίες η δεύτερη είναι ουσιαστικά η ίδια με του Τζον Χέρσκελ (1850). Ο Γκάους έδωσε την πρώτη απόδειξη που φαίνεται ότι έγινε γνωστή στην Ευρώπη (η τρίτη μετά του Αντρέιν) το 1809. Περισσότερες αποδείξεις δόθηκαν από τον Λαπλάς (1810, 1812), από τον Γκάους (1823), από τον Τζέιμς Άιβορυ (1825, 1826), τον Χέιγκεν (1837), τον Φρέντριχ Μπέσελ (1838), τον Γ. Φ. Ντονκιν (1844,1856), και τον Μόργκαν Κρόφτον (1870). Άλλοι συνεισφέροντες ήταν ο Έλλις (1844), ο ντε Μόργκαν (1864), ο Γκλάισερ (1872) και ο Τζιοβάνι Τσιαπαρέλλι (1875). Η φόρμουλα του Πίτερ για το r , το πιθανό σφάλμα μιας απλής παρατήρησης είναι ευρέως γνωστά. Τον δέκατο ένατο αιώνα συγγραφείς της γενικής θεωρίας, συμπεριλαμβανομένων και των Πιερ Σιμόν Λαπλάς, Σιλβέστερ Λακρουά, Γιόζεφ Γιόχαν βον Λιτρόου (1833), Αδόλφος Κετελέ (1853), Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ (1860), Φρίντριχ Ρόμπερτ Χέλμερτ (1872), Ερμάν Λορέντ (1873), Λιάγκρ, Ντιντιόν και Καρλ Πίρσον. Ο Αύγουστος Ντε Μόργκαν και ο Τζορτζ Μπουλ βελτίωσαν την θεωρία. Ο Άντρει Μάρκοβ εισήγαγε την έννοια των Μαρκοβιανών Αλυσιδών (1906), που διαδραμάτισαν σπουδαίο ρόλο στην θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών και στης εφαρμογές της. Η μοντέρνα Θεωρία των Πιθανοτήτων, που βασίζεται στη θεωρία Μέτρου, αναπτύχθηκε από τον Άντρει Κολμογκόροφ (1931). Από τη γεωμετρική σκοπιά των πραγμάτων (δες Γεωμετρία των Ολοκληρωμάτων) οι συνεισφέροντες στο The Educational Times είχαν μεγάλη επιρροή. (Μίλλερ, Κρόφτον, ΜακΚολλ, Γόστενχολμ, Γουάτσον και Αρτέμας Μάρτιν). Περισσότερες πληροφορίες: Ιστορία της Στατιστικής. Κύριο άρθρο: Τυχαιότητα Σε ένα ντετερμινιστικό σύμπαν, βασισμένο στις Νευτώνειες ιδέες, δεν θα υπήρχε πιθανότητα αν όλες οι συνθήκες ήταν γνωστές (δαιμόνιο του Λαπλάς), (αλλά υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες υπερβαίνει την ικανότητα μας να τις μετρήσουμε, δηλαδή να τις γνωρίζουμε. Στην περίπτωση ενός τροχού της ρουλέτας, αν η δύναμη του χεριού και η περίοδος της δύναμης είναι γνωστά, τότε ο αριθμός στον οποίο η μπάλα θα σταματούσε θα ήταν βεβαιότητα (αν και, πρακτικά, αυτό θα ήταν αλήθεια αν η ρουλέτα δεν είχε ισοπεδωθεί ακριβώς- όπως αποκάλυψε το Νευτώνειο Καζίνο του Τόμας Α. Μπας). Φυσικά, αυτό προϋποθέτει γνώση της αδράνειας, της τριβής του τροχού, του βάρους, της ομαλότητας και της στρογγυλότητας της μπάλας, αλλαγές στην ταχύτητα του χεριού λόγο της περιστροφής κ.ο.κ.. Μια πιθανολογική περιγραφή μπορεί, παρ'όλα αυτά να φανεί πιο χρήσιμη από την Νευτώνεια μηχανική στην ανάλυση του προτύπου των αποτελεσμάτων από τις περιλαμβανόμενες περιστροφές του τροχού της ρουλέτας. Οι φυσικοί αντιμετωπίζουν το ίδιο πρόβλημα με την κινητική θεωρία των αερίων, όπου το σύστημα, παρόλο που είναι ντετερμινιστικό, είναι τόσο πολύπλοκο (με τον αριθμό των μορίων του μεγέθους μιας υπόθεσης Αβοκάντρο) που μόνο μια στατιστική περιγραφή των ιδιοτήτων τους είναι εφικτή. Η Θεωρία των Πιθανοτήτων χρησιμοποιείται για να περιγράψει κβαντικά φαινόμενα. Μια επαναστατική ανακάλυψη της φυσικής στις απαρχές του 20ού αιώνα ήταν ο τυχαίος χαρακτήρας όλων των φυσικών διαδικασιών που λαμβάνουν χώρα σε υποατομικές κλίμακες και διέπονται από τους νόμους της κβαντικής μηχανικής. Ο σκοπός της συνάρτησης κύματος εξελίσσεται νομοτελειακά αλλά σύμφωνα με την ερμηνεία της σχολής της Κοπεγχάγης, έχει να κάνει με πιθανότητες της παρατήρησης, ενώ το αποτέλεσμα εξηγείται από την "πτώση" μιας συνάρτησης κύματος όταν γίνεται μια παρατήρηση. Ωστόσο, η έλλειψη του ντετερμινισμού για χάρη της εργαλειοκρατίας δεν έρχεται σε συμφωνία με την καθολική αποδοχή. Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν, σε μία επιστολή προς τον Μαξ Μπορν επισήμανε: "Είμαι πεπεισμένος πως ο Θεός δεν παίζει ζάρια". Όπως ο Αϊνστάιν, έτσι και ο Έρβιν Σρέντιγκερ, που ανακάλυψε την συνάρτηση κύματος, πίστευε πως η κβαντική μηχανική είναι μια στατιστική προσέγγιση της υποκείμενης ντετερμινιστικής πραγματικότητας. Σε μοντέρνες ερμηνείες, η κβαντική ασυνέχεια λαμβάνεται ως υποκειμενικά πιθανολογική συμπεριφορά. Δείτε επίσης:Αξιώματα πιθανότητας Θεωρήστε ένα πείραμα που μπορεί να παράγει μια σειρά αποτελεσμάτων.Η συλλογή όλων των αποτελεσμάτων ονομάζεται δειγματικός χώρος του πειράματος.Η δύναμη του δειγματικού χώρου διαμορφώνεται λαμβάνοντας υπόψη όλες τις διαφορετικές συλλογές των πιθανών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα,η ρίψη ενός ζαριού μπορεί να παράγει έξι δυνατά αποτελέσματα. Μια συλλογή των πιθανών αποτελεσμάτων είναι να εμφανιστεί μονός αριθμός στο ζάρι.Έτσι, το υποσύνολο {1,3,5} είναι ένα στοιχείο της δύναμης του δειγματικού χώρου ρίψης ζαριού.Αυτές οι συλλογές ονομάζονται ενδεχόμενα.Σε αυτή την περίπτωση,το {1,3,5} είναι το ενδεχόμενο το ζάρι να πέσει σε κάποιο μονό αριθμό. Η πιθανότητα είναι ένας τρόπος να ορίσουμε μιας τιμή σε οποιοδήποτε ενδεχόμενο μπορεί να συμβεί,η οποία τιμή μπορεί να είναι μεταξύ του μηδέν και του ένα, με την προϋπόθεση ότι το ενδεχόμενο μπορεί να αποτελείται από όλα τα πιθανά αποτελέσματα (στο παράδειγμά μας, το γεγονός {1,2,3,4,5,6}) έχει την τιμή ένα.Απαραίτητο χαρακτηριστικό μιας πιθανότητας είναι ότι η ανάθεση των τιμών πρέπει να ικανοποιεί την απαίτηση ότι αν δει κανείς μια συλλογή από <<ξένα>> γεγονότα (γεγονότα που δεν έχουν κοινά αποτελέσματα, π.χ., τα ενδεχόμενα {1,6}, {3} και {2, 4} είναι <<ξένα>>),η πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα θα συμβεί δίνεται από το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των επιμέρους ενδεχομένων. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου A είναι γραμμένο ως P (A), P (A) ή Pr (A).Αυτός ο μαθηματικός ορισμός της πιθανότητας μπορεί να επεκταθεί σε άπειρους χώρους του δείγματος, ακόμη και σε μη μετρήσιμους δειγματικούς χώρους, χρησιμοποιώντας την έννοια της μέτρησης. Το αντίθετο ή συμπλήρωμα ενός ενδεχομένου A είναι το γεγονός [όχι A] (δηλαδή, η περίπτωση να μην συμβαίνει το Α) Η πιθανότητα αυτή δίνεται από την P (όχι A) = 1 - P (A).Για παράδειγμα η πιθανότητα να μην φέρουμε έξι ρίχνοντας ένα ζάρι με έξι μεριές είναι 1-(πιθανότητα να φέρουμε έξι)=1-1/6=5/6.Ερευνήστε τα ''Συμπληρωματικά γεγονότα'' για περισσότερες πληροφορίες. Εάν δύο γεγονότα A και B συμβαίνουν ταυτόχρονα σε ένα πείραμα, αυτό ονομάζεται τομή ή από κοινού πιθανότητα των Α και Β, που συμβολίζεται ως P(ΑUB).