Ημίτονο

Το ημίτονο είναι ένας σημαντικός τριγωνομετρικός αριθμός, συμβολίζεται με ημθ ή διεθνώς με sinθ. Υπάρχουν τρεις ορισμοί που αποδίδουν το ημίτονο, όπου ο ένας είναι γενίκευση του άλλου. Με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ημίτονο ενός εκ των οξειών γωνιών ορίζεται ως το πηλίκο της απέναντι κάθετης πλευράς δια την υποτείνουσα. Το ημίτονο, όπως έχει οριστεί εδώ, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του ενός. Η απέναντι πλευρά είναι πάντα μικρότερη της υποτείνουσας, άρα το κλάσμα πάντα μικρότερο του ενός. Το όνομα της συνάρτησης οφείλεται στο ημίτονο σε ένα πολύ σημαντικό ορθογώνιο τρίγωνο, το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 90, 60 και 30 μοιρών στις γωνίες. Το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 1/2, δηλαδή η απέναντι πλευρά είναι το μισό του τόνου, όπου με τον όρο τόνος εννοείται το μήκος της υποτείνουσας.Με βάση τον τριγωνομετρικό κύκλο: sinθ=y, όπου y η τεταγμένη του σημείου τομής της πλευράς της γωνίας θ και του τριγωνομετρικού κύκλουΩς ανάπτυγμα σειράς Taylor: sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + … {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots } Η συνάρτηση ημίτονο όπως ορίστηκε παραπάνω αναφέρεται στο κυκλικό ημίτονο. Το υπερβολικό ημίτονο είναι άλλη συνάρτηση. Το ημίτονο είναι μία μορφή της αρμονικής συνάρτησης. Ως συνάρτηση το ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο Τ=2π και περιττή.

 Συνήθως χρησιμοποιούμε το δεύτερο ορισμό με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η συνάρτηση ημίτονο είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x = sin ⁡ ( x + π 2 ) {\displaystyle (\sin x)'=\cos x=\sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)} , ενώ για τη νιοστή παράγωγο ( sin ⁡ x ) ( ν ) = sin ⁡ ( x − ν π 2 ) {\displaystyle (\sin x)^{(\nu )}=\sin \left(x-{\frac {\nu \pi }{2}}\right)} . Σε διάστημα μιας περιόδου (χρησιμοποιείται το τμήμα [0,2π) ως αντιπροσωπευτικό): Στο [0,π/2] είναι γνησίως άυξουσα. Στο [π/2,3π/2] είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ στο [3π/2,2π] είναι γνησίως αύξουσα. Η συνάρτηση ημίτονο δεν έχει ασύμπτωτες. Στο διάστημα μιας περιόδου εμφανίζει ένα ελάχιστο, στο 3π/2 το –-1, και ένα μέγιστο, στο π/2 το 1. Το σύνολο τιμών της ημιτονοειδούς συνάρτησης είναι το [-1,1]. Αυτό συνήθως συμβολίζεται από τους μαθηματικούς με | s i n x | ≤ 1 {\displaystyle |sinx|\leq 1} , αν και αυτός ο τύπος εκφράζει τη συνάρτηση χωρίς να προσδιορίζει ακριβώς το σύνολο τιμών. Η συνάρτηση ημίτονο έχει άπειρες ρίζες της μορφής κπ, όπου κ ακέραιος αριθμός. Η συνάρτηση ημίτονο είναι κοίλη στο [0,π] και κυρτή στο [π,2π]. Παρουσιάζει σημείο καμπής στα 0, π, 2π. Η συνάρτηση ημίτονο είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Όμως, όπως αρμονική συνάρτηση έχει άπειρους κατακόρυφους άξονες συμμετρίας και σημεία συμμετρίας, τις ρίζες τις. υπερβολικό ημίτονο τόξο ημιτόνου (η αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου) συνημίτονο Η συνάρτηση ημίτονο μπορεί να μετασχηματιστεί με βάση τον εψιλοτικό μετασχηματισμό, δηλαδή τη μιγαδική σχέση sin ⁡ x = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} . Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, x0, y ισχύει: διάταξη ορισμάτων-συνάρτησης | η μ x | ≤ 1 {\displaystyle |\eta \mu x|\leq 1} με το ίσον να ισχύει αν υπάρχει ακέραιος κ τέτοιος, ώστε x = κ π + π 2 {\displaystyle x=\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}}} αν υπάρχει κ ακέραιος τέτοιος, ώστε x , y ∈ [ 2 κ π + π 2 , 2 κ π + 3 π 2 ] {\displaystyle x,y\in \left[2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {3\pi }{2}}\right]} , τότε x > y ⇔ η μ x < η μ y {\displaystyle x>y\Leftrightarrow \eta \mu x<\eta \mu y} αν υπάρχει κ ακέραιος τέτοιος, ώστε x , y ∈ [ 2 κ π − π 2 , 2 κ π + π 2 ] {\displaystyle x,y\in \left[2\kappa \pi -{\frac {\pi }{2}},2\kappa \pi +{\frac {\pi }{2}}\right]} , τότε x > y ⇔ η μ x > η μ y {\displaystyle x>y\Leftrightarrow \eta \mu x>\eta \mu y} Ανισοτική σχέση με συνημίτονο Σίγουρα υπάρχει ακέραιος αριθμός κ τέτοιος, ώστε να ισχύει ένα μόνο από τα τρία: x ∈ ( 2 κ π + π 4 , 2 κ π + 5 π 4 ) {\displaystyle x\in \left(2\kappa \pi +{\frac {\pi }{4}},2\kappa \pi +{\frac {5\pi }{4}}\right)} , οπότεημx<συνx x ∈ ( 2 κ π − 3 π 4 , 2 κ π + π 4 ) {\displaystyle x\in \left(2\kappa \pi -{\frac {3\pi }{4}},2\kappa \pi +{\frac {\pi }{4}}\right)} , οπότεημx>συνx x = κ π + π 4 {\displaystyle x=\kappa \pi +{\frac {\pi }{4}}} , οπότεημx=συνx Βασική σχέση ημιτόνου ταυτοτικής | η μ x | ≤ x {\displaystyle |\eta \mu x|\leq x} με το ίσον να ισχύει αν x=0 Για κάθε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει: η μ x = η μ y ⇔ x = y + 2 κ π , η ´ x = π − y + 2 κ π {\displaystyle \eta \mu x=\eta \mu y\Leftrightarrow x=y+2\kappa \pi ,{\acute {\eta }}x=\pi -y+2\kappa \pi } , όπου κ ακέραιος αριθμός η μ x = η μ ( π − x ) {\displaystyle \eta \mu x=\eta \mu (\pi -x)} η μ ( − x ) = − η μ x {\displaystyle \eta \mu (-x)=-\eta \mu x} η μ ( x + y ) = η μ x σ υ y + η μ y σ υ x {\displaystyle \eta \mu (x+y)=\eta \mu x\sigma \upsilon y+\eta \mu y\sigma \upsilon x} sin ⁡ ( arcsin ⁡ x ) = x {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x} arc sin(sinx)=x+2κπ, όπου κ ακέραιος ημ2x+συν2x=1 (βασική τριγωνομετρική ταυτότητα) Η συνάρτηση ημίτονο είναι αρμονική συνάρτηση και έχει τη σημαντική ιδιότητα να είναι παράγωγος και ένα αόριστο ολοκλήρωμα αρμονικής συνάρτησης, όπως η συνάρτηση συνημίτονο και η εκθετική. Ισχύει ότι (ημx)'=συνx. Επίσης ισχύoυν οι εξής σχέσεις για τα ολοκληρώματα: ∫ η μ x d x = − σ υ ν x + c {\displaystyle \int \eta \mu x\,dx=-\sigma \upsilon \nu x+c} ∫ σ υ ν x d x = η μ x + c {\displaystyle \int \sigma \upsilon \nu x\,dx=\eta \mu x+c} Συνημίτονο Το λήμμα βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 εκδόσεις ΟΕΔΒ 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287