Παραλληλόγραμμο

Στην γεωμετρία, το παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.Το σημείο τομής των διαγωνίων του λέγεται κέντρο του παραλληλογράμμου. Η απόσταση δύο απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου λέγεται ύψος του ενώ οι απέναντι πλευρές λέγονται βάσεις ως προς το ύψος αυτό (κάθε παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη). Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου είναι το ορθογώνιο, ο ρόμβος και το τετράγωνο.

 Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.:65:90:111,113 Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται.:91 Το κέντρο ενός παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας του.Οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών είναι παράλληλες.:99 Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών γωνιών είναι κάθετες.:99 Κριτήρια παραλληλογράμμου: Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις::66:92-93:113-115Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ανά δύο. Δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες. Οι απέναντι γωνίες είναι ίσες ανά δύο. Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Ισχύουν τα εξής κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων::100-101 Δύο παραλληλόγραμμα A B Γ Δ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } } και A ′ B ′ Γ ′ Δ ′ {\displaystyle \mathrm {A'B'\Gamma '\Delta '} } με A B = A ′ B ′ {\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A'B'} } , A Δ = A ′ Δ ′ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } =\mathrm {A'\Delta '} } και A ^ = A ^ ′ {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {A} }}'} είναι ίσα. Δύο παραλληλόγραμμα A B Γ Δ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } } και A ′ B ′ Γ ′ Δ ′ {\displaystyle \mathrm {A'B'\Gamma '\Delta '} } με A B = A ′ B ′ {\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A'B'} } , A Δ = A ′ Δ ′ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } =\mathrm {A'\Delta '} } και A Γ = A ′ Γ ′ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A'\Gamma '} } είναι ίσα. (Νόμος του παραλληλογράμμου) Σε κάθε παραλληλόγραμμο A B Γ Δ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } } το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων του, A B 2 + B Γ 2 + Γ Δ 2 + Δ A 2 = 2 ⋅ A Γ 2 + 2 ⋅ B Δ 2 {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {B\Gamma } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta A} ^{2}=2\cdot \mathrm {A\Gamma } ^{2}+2\cdot \mathrm {B\Delta } ^{2}} . Υπάρχουν αρκετοί τύποι για το εμβαδόν του παραλληλογράμμου: Το εμβαδόν ισούται με το γινόμενο της βάσης και του αντίστοιχου ύψους: E = ( βάση ) ⋅ ( ύψος ) . {\displaystyle \mathrm {E} =({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}}).} Από τον τύπο του Ήρωνα στο τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } , ισχύει ότι E = τ ⋅ ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − δ ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\delta )}}} , όπου τ = 1 2 ⋅ ( α + β + δ ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\delta )} και A B = α {\displaystyle \mathrm {AB} =\alpha } , B Γ = β {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } =\beta } και A Γ = δ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } =\delta } .Αν το σημείο A = ( 0 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {A} =(0,0)} , το B = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {B} =(x_{1},y_{1})} και το Γ = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle \mathrm {\Gamma } =(x_{2},y_{2})} , τότε E = | d e t [ x 1 y 1 x 2 y 2 ] | = | x 1 ⋅ y 2 − x 2 ⋅ y 1 | {\displaystyle \mathrm {E} =\left|\mathrm {det} {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{bmatrix}}\right|=\left|x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1}\right|} . Το θεώρημα Varignon λέει ότι τα μέσα M 1 , M 2 , M 3 , M 4 {\displaystyle \mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}} των πλευρών ενός τετραπλεύρου A B Γ Δ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } } , δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Varignon. Το θεώρημα Πάππου για το εμβαδόν είναι ένα θεώρημα που συσχετίζεται τα εμβαδά τριών παραλληλογράμμων στις πλευρές ενός τριγώνου. Σε αρκετές αποδείξεις θεωρημάτων βοηθάει η δημιουργία παραλληλογράμμων. Για παράδειγμα στην απόδειξη της ύπαρξης του βαρυκέντρου, στο θεώρημα van Schooten και στο θεώρημα Vecten. Τα παραλληλόγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες λέγεται ρόμβος. Αν έχει και τις γωνίες του ορθές και τις πλευρές του ίσες, τότε λέγεται τετράγωνο. Εφαρμογή για τα μήκη των πλευρών ενός παραλληλογράμμου Εφαρμογή με τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου Ν. Δεργιάδες (1979). «Συνθήκες για να είναι ένα κυρτό τετράπλευρο παραλληλόγραμμο». Ευκλείδης Β΄ (3): 108-110. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3939. Α. Δούναβης (1986). «Παραλληλόγραμμα». Ευκλείδης Β΄ (2): 95-99. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2995. Τ. Λαμπρόπουλος (1988). «Παραλληλόγραμμα». Ευκλείδης Β΄ (3): 24-28. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3214. Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T. (Μαρτίου 2023). «More characterisations of parallelograms». The Mathematical Gazette 107 (568): 76–83. doi:10.1017/mag.2023.10. Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T. (Μαρτίου 2023). «More characterisations of parallelograms». The Mathematical Gazette 107 (568): 76–83. doi:10.1017/mag.2023.10. Wang, David G. L. (Σεπτεμβρίου 2016). «Tilings of Parallelograms by Similar Isosceles Triangles». The Mathematical Intelligencer 38 (3): 24–29. doi:10.1007/s00283-016-9629-2. Daykin, D. E. (Ιανουαρίου 1965). «Rational Triangles and Parallelograms». Mathematics Magazine 38 (1): 46–47. doi:10.1080/0025570X.1965.11975584. Crain, Karleton W. (Απριλίου 1937). «Two Families of Parallelograms». National Mathematics Magazine 11 (7): 304. doi:10.2307/3028786. Mayor, F (Φεβρουαρίου 1941). «1499. Eighteen parallelograms». The Mathematical Gazette 25 (263): 46–47. doi:10.2307/3606482. < Ορθογώνιο Ρόμβος Τετράγωνο Τραπέζιο Παραλληλεπίπεδο