Χαλί του Σιερπίνσκι

Το χαλί του Σιερπίνσκι είναι ένα επίπεδο φράκταλ που περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Βάτσλαβ Σιερπίνσκι το 1916. Το χαλί είναι μια γενίκευση του συνόλου Κάντορ σε δύο διαστάσεις- η άλλη είναι η σκόνη Κάντορ. Η τεχνική της υποδιαίρεσης ενός σχήματος σε μικρότερα αντίγραφα του εαυτού του, της αφαίρεσης ενός ή περισσότερων αντιγράφων και της αναδρομικής συνέχισης μπορεί να επεκταθεί και σε άλλα σχήματα. Για παράδειγμα, η υποδιαίρεση ενός ισόπλευρου τριγώνου σε τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα, η αφαίρεση του μεσαίου τριγώνου και η αναδρομή οδηγεί στο τρίγωνο Σιερπίνσκι. Στις τρεις διαστάσεις, μια παρόμοια κατασκευή που βασίζεται σε κύβους είναι γνωστή ως Σπόγγος του Μένγκερ.

 Η κατασκευή του χαλιού Σιερπίνσκι ξεκινά με ένα τετράγωνο. Το τετράγωνο κόβεται σε 9 συγγραμμικά υποτετράγωνα σε ένα πλέγμα 3 επί 3 και το κεντρικό υποτετράγωνο αφαιρείται. Η ίδια διαδικασία εφαρμόζεται στη συνέχεια αναδρομικά στα υπόλοιπα 8 υποτετράγωνα, μέχρι το τέλος. Μπορεί να πραγματοποιηθεί ως το σύνολο των σημείων του μοναδιαίου τετραγώνου, των οποίων οι συντεταγμένες γραμμένες στη βάση τρία δεν έχουν και τα δύο ένα ψηφίο "1" στην ίδια θέση, χρησιμοποιώντας την απεικόνιση των απειροστικών αριθμών 0.1111 ⋯ = 0.2 {\displaystyle 0.1111\dots =0.2} .. Η διαδικασία της αναδρομικής αφαίρεσης τετραγώνων είναι ένα παράδειγμα κανόνα πεπερασμένης υποδιαίρεσης. Το εμβαδόν του χαλιού είναι μηδέν (στο τυπικό μέτρο Λέμπεργκ). Απόδειξη: Συμβολίζουμε ως ai το εμβαδόν της επανάληψης i. Τότε ai + 1 = 8/9ai. Άρα ai = (8/9)i το οποίο τείνει στο 0 καθώς το i πηγαίνει στο άπειρο.Το εσωτερικό του χαλιού είναι άδειο. Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα σημείο P στο εσωτερικό του χαλιού. Τότε υπάρχει ένα τετράγωνο με κέντρο το P το οποίο περιέχεται εξ ολοκλήρου στο χαλί. Αυτό το τετράγωνο περιέχει ένα μικρότερο τετράγωνο του οποίου οι συντεταγμένες είναι πολλαπλάσια του 1/3k για κάποιο k. Αλλά, αν αυτό το τετράγωνο δεν έχει αφαιρεθεί προηγουμένως, πρέπει να έχει τρυπήσει στην επανάληψη k + 1, οπότε δεν μπορεί να περιέχεται στο χαλί - μια αντίφαση.Η διάσταση Χάουσντορφ του χαλιού είναι log ⁡ 8 log ⁡ 3 ≈ 1.8928 {\displaystyle {\frac {\log 8}{\log 3}}\approx 1.8928} .Ο Σερπιένσκι απέδειξε ότι το χαλί του είναι μια καθολική επίπεδη καμπύλη Δηλαδή: το χαλί του Σερπιένσκι είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του επιπέδου με διάσταση κάλυψης Λεμπέσκ 1, και κάθε υποσύνολο του επιπέδου με αυτές τις ιδιότητες είναι ομοιομορφικό με κάποιο υποσύνολο του χαλιού του Σερπιένσκι. Αυτή η "καθολικότητα" του χαλιού Σιερπίνσκι δεν είναι μια πραγματική καθολική ιδιότητα με την έννοια της θεωρίας κατηγοριών: δεν χαρακτηρίζει μοναδικά αυτόν τον χώρο μέχρι τον ομοιομορφισμό. Για παράδειγμα, η διαζευκτική ένωση ενός χαλιού Σιερπίνσκι και ενός κύκλου είναι επίσης μια καθολική επίπεδη καμπύλη. Ωστόσο, το 1958 ο Γκόρντον Γουάιμπερν χαρακτήρισε μοναδικά το χαλί Σιερπίνσκι ως εξής: κάθε καμπύλη που είναι τοπικά συνδεδεμένη και δεν έχει "τοπικά σημεία αποκοπής" είναι ομοιομορφική με το χαλί Σιερπίνσκι. Εδώ ένα τοπικό σημείο αποκοπής είναι ένα σημείο p για το οποίο κάποια συνδεδεμένη γειτονιά U του p έχει την ιδιότητα ότι το U − {p} δεν είναι συνδεδεμένο. Επομένως, ένα οποιοδήποτε σημείο του κύκλου είναι για παράδειγμα ένα τοπικό σημείο κοπής. Στην ίδια εργασία ο Γουάιμπερν έδωσε έναν άλλο χαρακτηρισμό του χαλιού Σιερπίνσκι. Θυμηθείτε ότι ένα συνεχές είναι ένας μη κενός συνδεδεμένος συμπαγής μετρικός χώρος. Ας υποθέσουμε ότι το X είναι ένα συνεχές ενσωματωμένο στο επίπεδο. Ας υποθέσουμε ότι το συμπλήρωμά του στο επίπεδο έχει μετρήσιμα πολλές συνδεδεμένες συνιστώσες C1, C2, C3, ... και ας υποθέσουμε: η διάμετρος του Ci μηδενίζεται καθώς i → ∞; Το όριο του Ci και το όριο του Cj είναι ασύνδετα αν i ≠ j; το όριο του Ci είναι μια απλή κλειστή καμπύλη για κάθε i; η ένωση των ορίων των συνόλων Ci είναι πυκνή στο X.Τότε η X είναι ομοιομορφική με το χαλί Σιεπίνσκι. Το θέμα της κίνησης Μπράουν στο χαλί Σιερπίνσκι προσέλκυσε το ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια. Οι Μάρτιν Μπάρλοου και Ρίτσαρντ Μπας έδειξαν ότι ένας τυχαίος περίπατος στο χαλί Σιερπίνσκι διαχέεται με βραδύτερο ρυθμό από ό,τι ένας απεριόριστος τυχαίος περίπατος στο επίπεδο. Ο τελευταίος φτάνει σε μια μέση απόσταση ανάλογη του √n μετά από n βήματα, αλλά ο τυχαίος περίπατος στο διακριτό χαλί Σιερπίνσκι φτάνει μόνο σε μια μέση απόσταση ανάλογη του β√n για κάποιο β > 2. Έδειξαν επίσης ότι αυτός ο τυχαίος περίπατος ικανοποιεί ισχυρότερες ανισότητες μεγάλης απόκλισης (τις λεγόμενες "υπο-Γκαουσιανές ανισότητες") και ότι ικανοποιεί την ελλειπτική ανισότητα Χάρνακ χωρίς να ικανοποιεί την παραβολική. Η ύπαρξη ενός τέτοιου παραδείγματος ήταν ένα ανοιχτό πρόβλημα για πολλά χρόνια. Μια παραλλαγή του χαλιού Σιερπίνσκι, που ονομάζεται κόσκινο Γουάλις, ξεκινά με τον ίδιο τρόπο, υποδιαιρώντας το μοναδιαίο τετράγωνο σε εννέα μικρότερα τετράγωνα και αφαιρώντας το μεσαίο από αυτά. Στο επόμενο επίπεδο υποδιαίρεσης, υποδιαιρεί κάθε ένα από τα τετράγωνα σε 25 μικρότερα τετράγωνα και αφαιρεί το μεσαίο, και συνεχίζει στο i-οστό βήμα υποδιαιρώντας κάθε τετράγωνο σε (2i + 1)2 (τα περιττά τετράγωνα) μικρότερα τετράγωνα και αφαιρώντας το μεσαίο. Με το γινόμενο Wallis, το εμβαδόν του συνόλου που προκύπτει είναι π/4, σε αντίθεση με το τυπικό χαλί του Σιερπίνσκι που έχει μηδενικό οριακό εμβαδόν. Αν και το κόσκινο Wallis έχει θετικό μέτρο Λεμπέσκ, κανένα υποσύνολο που είναι καρτεσιανό γινόμενο δύο συνόλων πραγματικών αριθμών δεν έχει αυτή την ιδιότητα, οπότε το μέτρο Τζόρνταν είναι μηδέν. Οι μορφοκλασματικές κεραίες για κινητά τηλέφωνα και Wi-Fi κατασκευάστηκαν με τη μορφή μερικών επαναλήψεων του χαλιού Σιερπίνσκι. Λόγω της αυτο-ομοιότητάς τους και της αναλλοίωτης κλίμακας, μπορούν εύκολα να φιλοξενήσουν πολλαπλές συχνότητες. Είναι επίσης εύκολες στην κατασκευή και μικρότερες από τις συμβατικές κεραίες παρόμοιας απόδοσης, με αποτέλεσμα να είναι βέλτιστες για κινητά τηλέφωνα τσέπης. Κυματοδηγός Σύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν