Ανισότητα Γένσεν

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γένσεν (αναφέρεται και ως ανισότητα Jensen) λέει ότι για κάθε κυρτή συνάρτηση f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } και πραγματικούς αριθμούς x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} , ισχύει ότι f ( x 1 + … + x n n ) ≤ f ( x 1 ) + … + f ( x n ) n . {\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+\ldots +f(x_{n})}{n}}.} Πιο γενικά, για κάθε λ 1 , … , λ n ≥ 0 {\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\geq 0} με λ 1 + … + λ n = 1 {\displaystyle \lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=1} , ισχύει ότι f ( λ 1 x 1 + … + λ n x n ) ≤ λ 1 f ( x 1 ) + … + λ n f ( x n ) . {\displaystyle f\left(\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}\right)\leq \lambda _{1}f(x_{1})+\ldots +\lambda _{n}f(x_{n}).} Για κοίλες συναρτήσεις, οι ανισότητες ισχύουν με την αντίθετη φορά.

 Μία συνάρτηση f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } είναι κυρτή αν για κάθε a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } και λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} , ισχύει ότι Αυτός ο ορισμός μας δίνει κατευθείαν την ανισότητα Γένσεν για n = 2 {\displaystyle n=2} , θέτοντας a = x 1 {\displaystyle a=x_{1}} και b = x 2 {\displaystyle b=x_{2}} . Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα για κάθε n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για n {\displaystyle n} και κάθε x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} και κάθε λ 1 ′ , … , λ n ′ ≥ 0 {\displaystyle \lambda _{1}',\ldots ,\lambda _{n}'\geq 0} με λ 1 ′ + … + λ n ′ = 1 {\displaystyle \lambda _{1}'+\ldots +\lambda _{n}'=1} , δηλαδή f ( λ 1 ′ x 1 + … + λ n ′ x n ) ≤ λ 1 ′ f ( x 1 ) + … + … λ n ′ f ( x n ) . {\displaystyle f\left(\lambda _{1}'x_{1}+\ldots +\lambda _{n}'x_{n}\right)\leq \lambda _{1}'f(x_{1})+\ldots +\ldots \lambda _{n}'f(x_{n}).} Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε x 1 , … , x n + 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n+1}} και λ 1 , … , λ n + 1 ≥ 0 {\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n+1}\geq 0} με λ 1 + … + λ n + 1 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n+1}=1} . Ξεκινάμε γράφοντας το αριστερό μέλος με την εξής ισοδύναμη μορφή, f ( λ 1 x 1 + … + λ n + 1 x n + 1 ) = f ( ( λ 1 + … + λ n ) ⋅ λ 1 x 1 + … + λ n x n λ 1 + … + λ n + λ n + 1 x n + 1 ) = f ( ( λ 1 + … + λ n ) ⋅ λ 1 x 1 + … + λ n x n λ 1 + … + λ n + ( 1 − ( λ 1 + … + λ n ) ) ⋅ x n + 1 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f\left(\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)&=f\left((\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n})\cdot {\frac {\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}+\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\\&=f\left((\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n})\cdot {\frac {\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}+(1-(\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}))\cdot x_{n+1}\right),\end{aligned}}} χρησιμοποιώντας ότι λ 1 + … + λ n + 1 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n+1}=1} . Από την (1) για λ = λ 1 + … + λ n {\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}} , a = λ 1 x 1 + … + λ n x n λ 1 + … + λ n {\displaystyle a={\tfrac {\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}} και b = x n + 1 {\displaystyle b=x_{n+1}} , έχουμε ότι f ( λ 1 x 1 + … + λ n + 1 x n + 1 ) ≤ ( λ 1 + … + λ n ) ⋅ f ( λ 1 x 1 + … + λ n x n λ 1 + … + λ n ) + λ n + 1 ⋅ f ( x n + 1 ) {\displaystyle f\left(\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\leq (\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n})\cdot f\left({\frac {\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}\right)+\lambda _{n+1}\cdot f(x_{n+1})} .Από την επαγωγική υπόθεση, για λ i ′ = λ i λ 1 + … + λ n {\displaystyle \lambda _{i}'={\tfrac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}} (καθώς λ 1 ′ + … + λ n ′ = 1 {\displaystyle \lambda _{1}'+\ldots +\lambda _{n}'=1} ) έχουμε ότι f ( λ 1 x 1 + … + λ n + 1 x n + 1 ) ≤ ( λ 1 + … + λ n ) ⋅ λ 1 f ( x 1 ) + … + λ n f ( x n ) λ 1 + … + λ n + λ n + 1 f ( x n + 1 ) = λ 1 f ( x 1 ) + … + λ n + 1 f ( x n + 1 ) {\displaystyle f\left(\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\leq (\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n})\cdot {\frac {\lambda _{1}f(x_{1})+\ldots +\lambda _{n}f(x_{n})}{\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}+\lambda _{n+1}f(x_{n+1})=\lambda _{1}f(x_{1})+\ldots +\lambda _{n+1}f(x_{n+1})} ,που ολοκληρώνει την απόδειξη για n + 1 {\displaystyle n+1} μεταβλητές. Η ανισότητα Γένσεν βρίσκει εφαρμογές σε διάφορους τομείς των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων: της θεωρίας πληροφορίας (π.χ. η ανισότητα Γκιμπς) της θεωρίας πολυπλοκότητας (π.χ. για την ανάλυση πιθανοτικών και προσεγγιστικών αλγορίθμων) της θεωρίας πιθανοτήτων (συνήθως με την μορφή f ( E ⁡ ( X ) ) ≤ E ⁡ ( f ( X ) ) {\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X))} για την αναμενόμενη τιμή E {\displaystyle \operatorname {E} } ) Η ανισότητα Γένσεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη αρκετών κλασσικών ανισοτήτων στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των εξής: της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου της ανισότητας Γιανγκ για το γινόμενο της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς της ανισότητας Νέσμπιττ Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Γιόχαν Γένσεν που την δημοσίευσε στην εργασία του το 1906. Η ανισότητα είχε δημοσιευτεί προγενέστερα το 1889 από τον Όττο Χέλντερ.