Τελευταίο θεώρημα του Φερμά

Στη θεωρία αριθμών, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (ορισμένες φορές ονομάζεται Υπόθεση του Φερμά, κυρίως σε παλαιότερα κείμενα) διατυπώνεται ως εξής: τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί a, b, και c δεν δύνανται να ικανοποιήσουν την εξίσωση an + bn = cn για κάθε ακέραιο αριθμό n μεγαλύτερο από το δύο. Επομένως, χωρίς τη χρήση μαθηματικών συμβόλων μπορεί να εκφραστεί: Είναι αδύνατον να χωρίσεις οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης σε δύο ίδιες δυνάμεις». Το θεώρημα διατυπώθηκε πρώτη φορά το 1637 από τον Φερμά, με τη μορφή χειρόγραφης σημείωσης σε ένα βιβλίο (συγκεκριμένα στα Αριθμητικά του Διόφαντου), όπου ο ίδιος ισχυρίστηκε ότι έχει την απόδειξη του θεωρήματος αλλά είναι τόσο μεγάλη που δεν χωρούσε στη σημείωση. Καμία επιτυχής απόδειξη δεν δημοσιεύθηκε μέχρι το 1995, παρά τις προσπάθειες των αμέτρητων μαθηματικών κατά τα 358 χρόνια που μεσολάβησαν. Το άλυτο αυτό πρόβλημα συνδέεται άμεσα με την πρόοδο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών το 19ο αιώνα. Είναι ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών και πριν την απόδειξη του 1995 από τους μαθηματικούς Άντριου Γουάιλς και Ρίτσαρντ Τέιλορ βρισκόταν στο Βιβλίο Γκίνες ως το "πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα".

 Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά (γνωστό με τον τίτλο αυτό ιστορικά, αν και τεχνικά επρόκειτο για μια εικασία ή για αναπόδεικτες εικασίες, μέχρι να αποδειχθεί το 1995) αποτελούσε ένα άλυτο αίνιγμα στα μαθηματικά για πάνω από τρεις αιώνες. Το θεώρημα έχει μια ιδιαίτερα απλή και κατανοητή διατύπωση για οποιονδήποτε γνωρίζει στοιχειώδεις ορισμούς μαθηματικων γυμνασίου. Ο Φερμά διατείνονταν ότι το πρόβλημα είχε αποδειχθεί από τον ίδιο στα περιθώρια κάποιων σημειώσεών του περιληπτικά λόγω έλλειψης χώρου κοντά στο 1637. Η αξία του μέχρι τότε ανοιχτού προβλήματος(εικασία) έγινε αντιληπτή 30 χρόνια μετά το θάνατό του ανθρώπου που το είχε διατυπώσει επισήμως. Πιθανότατα να μην είχε καταφέρει να ολοκληρώσει την απόδειξη καθώς υπήρχαν και άλλες δηλώσεις του για δικές του αποδείξεις σε μεγάλα προβλήματα της εποχής όπως η έυρεση κλειστου τύπου για την παραγωγή πρώτων αριθμών. Ο τύπος αυτός όπως φαίνεται κατέρρε για ν>5. Ο ζήλος του όμως αυτός είναι και ο ίδιος που ο δικηγόρος Φερμάτ άφησε ένα τόσο σημαντικό έργο στα μαθηματικά.. Η αξίωση αυτή έγινε τελικά ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα των μαθηματικών. Οι προσπάθειες που έγιναν για να αποδειχθεί κατά τη διάρκεια του χρόνου που ακολούθησε, μέχρι τη δημοσίευση της επιτυχημένης απόδειξης, προκάλεσε ουσιαστική ανάπτυξη στην θεωρία αριθμών και με την πάροδο του χρόνου το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά αποκτήσει θρυλική εξέχουσα θέση ως ένα από τα πιο δημοφιλή άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά. Βασίζεται στο γνωστό τύπο του ("Πυθαγόρειου Θεωρήματος") για την υποτείνουσα και τις δύο άλλες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που ανακαλύφθηκε από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα : a2 + b2 = c2 Σύμφωνα με τα δεδομένα αυτά, η εξίσωση έχει ένα άπειρο πλήθος ακεραίων λύσεων, που αντιστοιχούν στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Ο Φερμά ισχυρίστηκε ότι είχε μια απόδειξη ότι αυτό το θεώρημα δεν έχει λύσεις κάποιον φυσικό αριθμό (ή «ακέραιο») για κάθε ακέραιο εκθέτη μεγαλύτερο από το 2. Με άλλα λόγια αν η εξίσωση a2 + b2 = c2 έχει άπειρο πλήθος λύσεων, οι παρόμοιες εξισώσεις a3 + b3 = c3 a4 + b4 = c4 an + bn = cnγια οποιονδήποτε άλλο εκθέτη n μεγαλύτερο του 2 δεν έχει λύσεις. Ο Φερμά δεν άφησε καμία απόδειξη της εικασίας του για όλα τα n>2, εκτός από την ειδική περίπτωση για n=4. Χρησιμοποιώντας πιο επίσημη μαθηματική σημειογραφία, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Αν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε η εξίσωση x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} , όπου x, y, και z θετικοί ακέραιοιδεν έχει λύση.Επειδή το συγκεκριμένο πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολα κατανοητό από τον καθένα (ως προς τη διατύπωσή του), έχουν δημιουργηθεί κατά καιρούς οι περισσότερες λανθασμένες αποδείξεις από οποιοδήποτε άλλο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών. Όλα τα θεωρήματα που είχαν προταθεί από τον Φερμά αποδείχτηκαν, είτε με δικές του αποδείξεις, είτε με αποδείξεις άλλων μαθηματικών, στους επόμενους δύο αιώνες που ακολούθησαν τις προτάσεις. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά δεν ήταν το τελευταίο που διατύπωσε, αλλά το τελευταίο που αποδείχτηκε. Υπάρχουν πολλές εξισώσεις που έχουν μορφή παρόμοια με αυτή του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ένα παράδειγμα είναι το εξής: Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι αριθμοί x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , και z {\displaystyle z} , τέτοιοι ώστε x n + y n = z m {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{m}} , όπου n {\displaystyle n} και m {\displaystyle m} πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί. Με την ειδική περίπτωση n = 4 αποδεδειγμένη, το πρόβλημα ήταν να αποδειχθεί το θεώρημα για εκθέτες n, οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί (ο περιορισμός αυτός θεωρείται τετριμμένος για να αποδεχθεί αφού: αν n δεν είναι πρώτος αριθμός τότε θα ήταν δυνατό να γραφεί με τη μορφή n = PQ, όπου P είναι ένας πρώτος αριθμός, και στη συνέχεια ισχύει an = aP.Q = (aQ)P για καθέναν από τους a,b και c και μια ισοδύναμη λύση, θα μπορούσε να υπάρχει για μία μικρότερη πρώτη δύναμη. Κατά τη διάρκεια των δύο επόμενων αιώνων (1637-1839), η εικασία έχει αποδειχθεί μόνο για τους πρώτους 3, 5, και 7, αν και η Σοφί Ζερμαίν καινοτόμησε και κατόρθωσε να προσεγγίσει μια απόδειξη που θα αφορούσε μια ολόκληρη κατηγορία των πρώτων αριθμών. Στα μέσα του 19ου αιώνα, ο Ερνστ Κούμερ επέκτεινε την απόδειξη της Ζερμαίν και, επίσης, απέδειξε το θεώρημα για όλες κανονικούς πρώτους αριθμούς, αφήνοντας τους ακανόνιστους να αναλυθούν μεμονωμένα. Με βάση τις εργασίες του Κούμερ και τη χρήση εξελιγμένων μελετών με τη βοήθεια υπολογιστών, άλλοι μαθηματικοί ήταν σε θέση να επεκτείνουν την απόδειξη για να καλύψουν όλους τους πρώτους εκθέτες μέχρι τέσσερα εκατομμύρια, αλλά μια απόδειξη για όλους τους εκθέτες ήταν απρόσιτη εκείνη την περίοδο για τη μαθηματική κοινότητα (πράγμα που σημαίνει ότι οι μαθηματικοί γενικά θεωρούν μια απόδειξη μπορεί να είναι είτε αδύνατη, ή στην καλύτερη περίπτωση εξαιρετικά δύσκολη, ή δεν είναι εφικτή με τις σημερινές γνώσεις). Η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά στο σύνολό της, για όλα τα n, τελικά επιτεύχθηκε, μετά από 358 χρόνια, από τον Άντριου Γουάιλς, το 1995, ένα επίτευγμα για το οποίο τιμήθηκε και έλαβε πολλά βραβεία. Η λύση ήρθε με έμμεσο τρόπο, από έναν εντελώς διαφορετικό τομέα των μαθηματικών. Περίπου το 1955 οι Ιάπωνες μαθηματικοί Γκόρο Σιμούρα και Γιουτάκα Τανιγιάμα διατύπωσαν την εικασία ύπαρξης σχέσης μεταξύ των ελλειπτικών καμπυλών και των modular forms, δύο εντελώς διαφορετικών περιοχών των μαθηματικών. Η αξίωση αυτή που έμεινε γνωστή ως Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουάιλς εικασία, και τελικά ως θεώρημα των modular forms, το οποίο εντάσσεται στον τομέα της μιγαδικής ανάλυσης, θεωρούνταν ανεξάρτητη, χωρίς προφανή σύνδεση με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Είχε ευρέως θεωρηθεί ως σπουδαίο μαθηματικό πρόβλημα, αλλά ήταν (όπως και εξίσωση του Φερμά) εντελώς απρόσιτο στην απόδειξη του. Το 1984, ο Ζέραντ Φρέι παρατήρησε μια προφανή σχέση μεταξύ του θεωρήματος των modular forms και του Τελευταίου θεώρηματος του Φερμά. Αυτή η πιθανή σχέση επιβεβαιώθηκε δύο χρόνια αργότερα από τον Κεν Ρίμπετ. Ο Άγγλος μαθηματικός Άντριου Γουάιλς, ο οποίος είχε γοητευθεί από τα 10 του χρόνια με το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, αποφάσισε ακούγοντας αυτό, να προσπαθήσει και να αποδείξει το θεώρημα των modular forms, πιστεύοντας ότι επρόκειτο για έναν τρόπο ώστε να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Το 1993, μετά από έξι χρόνια, όπου εργάζεται κρυφά πάνω στο πρόβλημα, ο Γουάιλς κατόρθωσε να αποδείξει αρκετά για το θεώρημα των modular forms ώστε να φθάσει στη λύση του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Η απόδειξη του Γουάιλς ήταν τεράστια σε μέγεθος και σε πεδίο εφαρμογής. Ένα ελάττωμα ανακαλύφθηκε σε ένα τμήμα του αρχικού εγγράφου του κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης από ομότιμους και απαιτείται ένα επιπλέον έτος και η συνεργασία του με έναν παλαιότερο φοιτητή, τον Ρίτσαρντ Τέιλορ για την διόρθωσή του. Ως αποτέλεσμα η τελική απόδειξη το 1995 συνοδεύτηκε από ένα δεύτερο, μικρότερο έγγραφο για την επίλυση του προβλήματος αυτού. Το επίτευγμα του Γουάιλς είχε αναφερθεί ευρέως στον Τύπο, και διαδόθηκε σε βιβλία και τηλεοπτικά προγράμματα. Τα υπόλοιπα μέρη του θεωρήματος των modular forms στη συνέχεια αποδείχθηκαν από άλλους μαθηματικούς, με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, μεταξύ 1996 και 2001. Πυθαγόρειες τριάδες Μια Πυθαγόρεια τριάδα, το όνομά της οποίας προέρχεται από τον αρχαίο Έλληνα Πυθαγόρα, είναι ένα σύνολο τριών ακεραίων (a, b, c) που ικανοποιούν την εξίσωση του Φερμά στην ειδική περίπτωση (n = 2). a 2 + b 2 = c 2 . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\ } Παραδείγματα πυθαγόρειων τριάδων είναι (3, 4, 5) και (5, 12, 13). Υπάρχουν άπειρα παραδείγματα τέτοιων τριάδων και οι μέθοδοι παραγωγής τέτοιων τριάδων μελετήθηκαν από πολλούς πολιτισμούς ξεκινώντας από τους Βαβυλώνιους και αργότερα από Έλληνες, Γιαπωνέζους και Ινδούς μαθηματικούς. Το διαχρονικό ενδιαφέρον για τις πυθαγόρειες τριάδες συνδέεται στενά με το Πυθαγόρειο θεώρημα, στην παραγωγική μορφή τους, αφού αναφέρεται ότι ένα τρίγωνο με πλευρές a, b, και c έχει μία ορθή γωνία μεταξύ των a και b πλευρών όταν οι αριθμοί προέρχονται από πυθαγόρειες τριάδες. Τα ορθογώνια τρίγωνα εμφανίζουν πολλές πρακτικές εφαρμογές όπως στην τοπογραφία, στην ξυλουργία, στην τοιχοποιία και στις κατασκευές. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι μια επέκταση αυτού του προβλήματος σε υψηλότερες δυνάμεις, δηλώνοντας ότι δεν υπάρχει λύση όταν ο εκθέτης 2 αντικαθίσταται από οποιοδήποτε μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό. Διοφαντικές εξισώσεις Η εξίσωση του Φερμά, xn + yn = zn με θετικές ακέραιες λύσεις είναι ένα παράδειγμα διοφαντικής εξίσωσης, η οποία χαρακτηρίστηκε με αυτή την ονομασία τον 3ο αιώνα από τον Αλεξανδρινό μαθηματικό Διόφαντο, ο οποίος τις μελέτησε και κατόρθωσε να αναπτύξει την μέθοδο εύρεσης λύσεων για κάποια είδη αυτών των εξισώσεων. Ένα τυπικό διοφαντικό πρόβλημα είναι να βρεθούν δύο ακέραιοι αριθμοί x και y έτσι ώστε το άθροισμά τους, και το άθροισμα των τετραγώνων τους, να ισούνται με δύο δοθέντες αριθμούς A και B, αντίστοιχα: A = x + y {\displaystyle A=x+y\ } B = x 2 + y 2 . {\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.\ } Σημαντικό έργο του Διόφαντου είναι το Αριθμητικά, εκ του οποίου μόνο ένα μέρος έχει επιβιώσει. Ο Φερμά εμπνεύστηκε την εικασία του τελευταίου θεωρήματός του διαβάζοντας μια νέα έκδοση του Αριθμητικά, η οποία μεταφράστηκε στα λατινικά και δημοσιεύτηκε το 1621 από τον Κλαούντ Μπακέτ.Οι Διοφαντικές εξισώσεις μελετούνται εδώ και χιλιάδες χρόνια. Για παράδειγμα, οι λύσεις για την τετραγωνική διοφαντική εξίσωση x2 + y2 = z2 δόθηκε από τις Πυθαγόρειες τριάδες, στην πραγματικότητα λύθηκε από τους Βαβυλώνιους περίπου το 1800 π.Χ. Λύσεις για τις γραμμικές Διοφαντικές εξισώσεις όπως η 26x + 65y = 13, μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη (5ος αιώνας π.Χ.). Πολλές διοφαντικές εξισώσεις έχουν παρόμοια μορφή με αυτήν των εξισώσεων του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά από την άποψη της Άλγεβρας, υπό την έννοια ότι δεν έχουν αντίστοιχους όρους με την ανάμειξη δύο γραμμάτων, χωρίς να μοιράζονται τις συγκεκριμένες ιδιότητες. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι x, y, και z τέτοιοι ώστε xn + yn = zm όπου n και m φυσικοί αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους. Το Πρόβλημα II.8 του Αριθμητικά, θέτει το ερώτημα για τον τρόπο με τον οποίο το τετράγωνο ενός δοσμένου αριθμού μπορεί να διαιρεθεί σε δύο άλλα τετράγωνα, με άλλα λόγια για έναν ρητό αριθμό k, βρείτε τους ρητούς αριθμούς u και v ώστε k2 = u2 + v2. Ο Διόφαντος απέδειξε ότι η παραπάνω εξίσωση λύνεται όταν ο k = 4 (η λύση είναι u = 16/5 και v = 12/5).Γύρω στο 1637, ο Φερμά έγραψε το τελευταίο του θεώρημα ως σημείωση στο "Αριθμητικά" δίπλα στο πρόβλημα του αθροίσματος των τετραγώνων του Διόφαντου.Δεν είναι γνωστό εάν ο Φερμά είχε βρει πραγματικά μια έγκυρη απόδειξη. Έχει επιβιώσει μόνο η απόδειξη του για την περίπτωση n = 4. Ο Φερμά θέτει τις υποθέσεις των περιπτώσεων n = 4 και n = 3 ως προκλήσεις για τους μαθηματικούς ανταποκριτές του όπως ο Μαρίν Μερσέν, ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Τζον Γουάλις. Ωστόσο, τα τελευταία τριάντα χρόνια της ζωής του, ο Φερμά δεν έγραψε ξανά για την "πραγματικά θαυμάσια" απόδειξή του στην γενική της περίπτωση. Μετά το θάνατο του Φερμά, ο γιος του Κλεμάντ-Σάμουελ Φερμά παρήγαγε μια νέα έκδοση του βιβλίου, το 1670, επαυξημένη με τα σχόλια του πατέρα του. Η σημείωση στο περιθώριο έγινε γνωστή ως τελευταίο θεώρημα του Φερμά αφού πρόκειται για το θεώρημα του Φερμά που αποδείχθηκε τελευταίο. Μόνο μία μαθηματική απόδειξη από τον Φερμά έχει διασωθεί, σχετικη με το δύσκολο αυτό πρόβλημα: ότι η περιοχή ενός ορθογωνίου τριγώνου με ακέραιες πλευρές δεν μπορεί ποτέ να ισούται με τετράγωνο ακεραίου. Η απόδειξη του είναι ισοδύναμη με την απόδειξη ότι η εξίσωση x 4 − y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}-y^{4}=z^{2}} δεν έχει μη τετριμένες λύσεις στους ακέραιους αριθμούς. Η απόδειξή του χρησιμοποιεί την τεχνική της άπειρης καθόδου. Με τη σειρά του, αυτό αποδεικνύει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για την περίπτωση n=4, δεδομένου ότι η εξίσωση a4 + b4 = c4 μπορεί να γραφτεί ως c4 − b4 = (a2)2. Εναλλακτικές αποδείξεις της υπόθεσης n = 4 αναπτύχθηκαν αργότερα από τους Frénicle de Bessy (1676), Λέοναρντ Όιλερ (1738), Κάσλερ (1802) Πήτερ Μπάρλοου (1811), Αντριάν Μαρί Λαζάντρ (1830) Schopis (1825), Τερκέμ (1846) Τζόζεφ Λουί Φρανσουά Μπερτράντ (1851) Βίκτορ Λεμπέσγκ (1853, 1859, 1862), Θεοφίλ Πεπίν (1883), Tafelmacher (1893), Ντέιβιντ Χίλμπερτ (1897), Μπέντζ (1901), Gambioli (1901), Λεοπόλδ Κρόνεκερ (1901), Μπάνγκ (1905), Σόμμερ (1907), Μποτάρρι (1908),Κάρελ Ρίκλικ (1910), Νατζορν (1912), Ρόμπερτ Κάρμιχαλ (1913), Χάνκονκ (1931), και Βράνκο (1966).Για την απόδειξη της γενικής περίπτωσης, αρκεί να εξεταστούν οι υποπεριπτώσεις n = 4 και n περιττός πρώτος. Αυτό συμβαίνει γιατί αν ο n διαιρείται από τον e, τότε n = ed για κάποιο d και η εξίσωση an + bn = cnείναι ισοδύναμη με την εξίσωση (ad)e + (bd)e = (cd)e.Από εδώ φαίνεται ότι αν η εξίσωση δεν έχει λύση για κάποιο διαιρέτη e του n, τότε δεν έχει λύση ούτε για το n: μια λύση (a, b, c) για εκθέτη n δίνει την λύση (ad, bd, cd) για εκθέτη e. Για n > 2, το n διαιρείται από το 4, το οποίο αποδείχθηκε από τον Φερμά, ή από κάποιον περιττό πρώτο αριθμό, στο οποίο επικεντρώθηκε η μελέτη των μεταγενέστερων μαθηματικών. Σοφί Ζερμαίν Στις αρχές του 19ου αιώνα, η Σοφί Ζερμαίν ανέπτυξε διάφορες νέες προσεγγίσεις για να αποδείξει το "Τελευταίο θεώρημα του Φερμά" για όλους εκθέτες. Πρώτα, όρισε ένα σύνολο βοηθητικών πρώτων θ τους οποίους κατασκεύασε από τον πρώτο εκθέτη p από την εξίσωση θ = 2hp+1, όπου h είναι οποιοσδήποτε ακέραιος που δεν διαιρείται με το τρία. Έδειξε ότι, αν ένας μη ακέραιος p υψωθεί στην p-οστή δύναμη προκύπτει υπόλοιπο θ, τότε το θ πρέπει να διαιρεί το γινόμενο xyz. Στόχος της ήταν να χρησιμοποιήσει τη μαθηματική επαγωγή για να αποδείξει ότι, για κάθε δεδομένο p, απείρως πολλοί βοηθητικοί πρώτοι θ ικανοποιούν την κατάσταση της μη συνέχειας και διαιρούν το γινόμενο xyz, δεδομένου ότι το γινόμενο xyz μπορεί να έχει το πολύ ένα πεπερασμένο αριθμό πρώτων παραγόντων, μια τέτοια απόδειξη θα μπορούσε να είχε καθιερώσει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Αν και ανέπτυξε πολλές τεχνικές για τον καθορισμό της κατάστασης της μη συνέχειας, δεν πέτυχε τον στρατηγικό στόχο της. Εργάστηκε επίσης ώστε να καθιερωθούν χαμηλότερα όρια για το μέγεθος των λύσεων της εξίσωσης του Φερμά για έναν δεδομένο εκθέτη p, μια τροποποιημένη έκδοση του οποίου δόθηκε στη δημοσιότητα από την Αντριάν Μαρί Λεζάντρ. Ως πόρισμα αυτής της τελευταίας εργασίας, απέδειξε το θεώρημα της Σοφί Ζερμαίν, η οποία επιβεβαίωσε την πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά (δηλαδή, στην περίπτωση κατά την οποία το p δεν διαιρεί το xyz) για κάθε περιττό πρώτο εκθέτη λιγότερο από 100. Η Ζερμαίν προσπάθησε ανεπιτυχώς να αποδείξει την πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά για όλους τους εκθέτες, ειδικά για n = 2p το οποίο αποδείχθηκε από τον Γκάι Τερζανιάν το 1977. Το 1985, ο Λεονάρντ Άντμαν, ο Ρότζερ Χεθ-Μράουν και ο Έτιεν Φουβριέ απέδειξαν ότι η πρώτη περίπτωση του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά ισχύει για απείρως πολλούς περιττούς πρώτους p. Ο Ερνστ Κούμμερ και η θεωρία των ιδανικών Το 1847, ο Γκάμπριελ Λαμέ παρουσίασε μια απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά βασισμένη στους παράγοντες της εξίσωσης xp + yp = zp οι οποίοι ανήκουν στους μιγαδικούς αριθμούς, και συγκεκριμένα το κυκλοτομικό πεδίο με βάση τις ρίζες του αριθμού 1. Ωστόσο, η απόδειξή του απέτυχε, επειδή θεώρησε εσφαλμένα ότι τέτοιοι πολύπλοκοι αριθμοί μπορούν να συνυπολογιστούν μοναδικά, παρόμοια με ακέραιους αριθμούς. Το κενό αυτό επισημάνθηκε αμέσως από τον Ζοζέφ Λουιβίλ, ο οποίος διάβάσε αργότερα μια εργασία που έδειχνε αυτή την αποτυχία της μοναδικής παραγοντοποίησης, που γράφτηκε από τον Ερνστ Κούμμερ. Ο Κούμμερ όρισε στο δικό του έργο το κατά πόσον το κυκλοτομικό πεδίο θα μπορούσε να γενικευθεί συμπεριλαμβάνοντας νέους πρώτους αριθμούς, έτσι ώστε η μοναδική παραγοντοποίησης αποκαταστάθηκε. Πέτυχε στο έργο αυτό από την ανάπτυξη των ιδανικών αριθμών. Χρησιμοποιώντας τη γενική προσέγγιση που περιγράφεται από τον Λαμέ, ο Κούμμερ απέδειξε και τις δύο υποθέσεις του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά για όλους τους κανονικούς πρώτους αριθμούς. Ωστόσο, δεν μπορούσε να αποδείξει το θεώρημα για τους μη κανονικούς πρώτους αριθμούς που συμβαίνουν περίπου στο 39% τη φορά, οι μόνοι μη κανονικοί κάτω από 100 είναι 37, 59 και 67. Εικασία του Μόρντελ Στη δεκαετία του 1920, ο Λουί Μόρντελ θέτει μια εικασία που συνεπάγεται ότι η εξίσωση του Φερμά έχει το πολύ έναν πεπερασμένο αριθμό μη τετριμμένων πρώτων ακέραιων λύσεων, αν ο εκθέτης n είναι μεγαλύτερο από δύο. Αυτή η υπόθεση αποδείχθηκε το 1983 από τον Ζερ Φόλτινγκ, και σήμερα είναι γνωστή ως θεώρημα Faltings. Υπολογιστικές μελέτες Στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, οι υπολογιστικές μέθοδοι που είχαν χρησιμοποιήθηκαν για την επέκταση της προσέγγισης του Κούμμερ για τους μη κανονικούς πρώτους αριθμούς. Το 1954, ο Χάρι Βανντιβερ χρησιμοποίησε ένα SWAC υπολογιστή για να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για όλους τους πρώτους μέχρι τον 2521. Μέχρι το 1978 , ο Samuel Wagstaff το είχε επεκτείνει σε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από το 125.000. Μέχρι το 1993, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά είχε αποδειχθεί για όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι από τέσσερα εκατομμύρια Ωστόσο, παρά τις προσπάθειες αυτές και τα αποτελέσματά τους, δεν υπήρχε απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά . Οι αποδείξεις των μεμονωμένων εκθετών από τη φύση τους δεν θα μπορούσε να ισχύει γενικά ακόμα και αν όλοι οι εκθέτες είχαν ελεγχθεί μέχρι και σε ένα εξαιρετικά μεγάλο αριθμό Χ, μπορεί να υπάρχει ένας εκθέτης μεγαλύτερος του X, για τον οποίο ο ισχυρισμός να μην ισχύει (Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο κάποιες προηγούμενες εικασίες δεν είχαν γίνει αποδεκτές και συνεπώς δεν θα μπορούσε να αναιρεθεί για αυτή την εικασία) Η στρατηγική που τελικά οδήγησε σε μια επιτυχή απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά προέκυψε από την "εκπληκτική" εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Γουέιλ, που προτάθηκε περίπου το 1955, και πολλοί μαθηματικοί πίστευαν ότι ήταν σχεδόν αδύνατο να αποδειχθεί, και η οποία συνδέθηκε στη δεκαετία του 1980 από τον Ζέραρντ Φρέι και τον Κεν Ρίμπετ με την εξίσωση του Φερμά. Με την μερική εκπλήρωση απόδειξη αυτής της εικασίας το 1995, ο Άντριου Γουάιλς τελικά κατόρθωσε να αποδείξει το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ανοίγοντας το δρόμο για μια πλήρη απόδειξη από τους άλλους για αυτό που είναι σήμερα το θεώρημα των modular forms. Η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ Περίπου το 1955, οι Ιάπωνες μαθηματικοί Γκόρο Σιμούρα και Γουτάκα Τανιγιάμα παρατήρησαν μια πιθανή σύνδεση μεταξύ δύο φαινομενικά εντελώς ξεχωριστών, υποκατηγοριών των μαθηματικών, της ελλειπτικής καμπύλης και της μιγαδικής μορφής . Το αποτέλεσμα ήταν η δημιουργία του θεωρήματος modular forms (παλαιότερα ήταν γνωστό ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα) το θεώρημα αυτό διατυπώνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη σχετίζεται με τα modular forms, που σημαίνει ότι μπορεί να συνδέεται με μια μοναδική μιγαδική μορφή. Αρχικά είχε απορριφθεί ως απίθανο ή πολύ υποθετικό, και είχε επανεξεταστεί όταν ο μαθηματικός André Weil βρήκε αποδεικτικά στοιχεία που το υποστηρίζουν, αλλά όχι την απόδειξη, με αποτέλεσμα η "εκπληκτική" εικασία έγινε κυρίως γνωστή ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ. Και έγινε ένα μέρος του προγράμματος Λάνγκλαντ, το οποίο είναι μια λίστα με σημαντικές εικασίες που χρειάζονται απόδειξη ή διάψευση . Ακόμα και μετά την απόκτηση σοβαρή προσοχή, η εικασία θεωρήθηκε από τους σύγχρονους μαθηματικούς ως εξαιρετικά δύσκολο ή ίσως αδύνατο να αποδειχτεί.Για παράδειγμα, Γουάιλς «ex -επόπτη Τζον Χ. Κόατσε δηλώνει ότι φαινόταν «πραγματικά αδύνατο να αποδειχθεί», και ο Κεν Ρίμπετ θεωρούσε τον εαυτό του «ένα από τα άτομα της τεράστιας πλειοψηφίας των ανθρώπων που πίστευαν ότι ήταν εντελώς απρόσιτα ", προσθέτοντας ότι ο Άντριου Γουάιλς ήταν ίσως ένας από τους λίγους ανθρώπους στη γη που είχαν το θράσος να ονειρεύονται ότι μπορεί πραγματικά να αποδειχθεί." Η καμπύλη του Φρέι/Θεώρημα Ρίμπετ Το 1984, ο Γκέρχαρντ Φρέι παρατήρησε μια σύνδεση μεταξύ της εξίσωσης Φερμά και του θεωρήματος της αντιστοίχισης των ρητών ελλειπτικών καμπυλών σε modular forms, το οποίο τότε ήταν γνωστό ως εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ. Το επιχείρημά του ήταν ότι αν α) n ≥ 5 β) an + bn = cn γ) οι a, b, c είναι μη μηδενικοί ακέραιοι, σχετικά πρώτοι μεταξύ τους δ) ο b είναι ζυγός και ο a = 3 (mod 4)τότε η ρητή ελλειπτική καμπύλη (καμπύλη Φρέι) y2 = x (x − an)(x + bn)έχει πολύ ασυνήθιστες ιδιότητες οι οποίες καθιστούν απίθανη την αντιστοίχησή της σε modular form. Καθώς οι 4 συνθήκες ορίζουν μια μη-τετριμμένη στοιχειώδη λύση της εξίσωσης του Φερμά για n ≥ 5, ο Φρέι παρατήρησε ότι η απόδειξη της εικασίας των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ μπορεί να έχει ως άμεσο αποτέλεσμα την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Οι περιπτώσεις για n = 3, 4 είχαν ήδη αποδειχθεί από τον Όυλερ και τον Φερμά. Ακολουθώντας αυτή τη στρατηγική, μια απόδειξη για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά απαιτούσε δύο βήματα. Πρώτον, να αποδειχθεί η παραπάνω υποψία του Φρέι για την συγκεκριμένη κατηγορία ελλειπτικών καμπυλών. Δεύτερον, να αποδειχθεί η εικασία των Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ, αν όχι για όλες τις ελλιπτικές καμπύλες, τουλάχιστον για την οικογένεια των ημισταθών καμπυλών στην οποία ανήκουν οι καμπύλες Φρέι. Ο Φρέι δεν κατόρθωσε να διατυπώσει μια αυστηρή απόδειξη, το κομμάτι που έλειπε εντοπίσθηκε από τον Ζαν Πιέρ Σερ για να αποδειχθεί τελικά το 1986 από τον Κεν Ρίμπετ. Απέμενε λοιπόν η απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ, την οποία οι μαθηματικοί της εποχής θεωρούσαν απρόσιτη. Το θεώρημα του Ρίμπετ- αποδείχθηκε το 1986- έδειξε ότι αν μια λύση από την εξίσωση του Φερμά υπάρχει, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία μιας ρητής ελλειπτικής καμπύλης που δεν έχει modular form Το θεώρημα των modular forms σύμφωνα με το οποίο όλες τις ρητές ελλειπτικές καμπύλες, ή τουλάχιστον ένα υποσύνολο αυτών που περιέχει τις καμπύλες Φρέι, έχουν modular form. Η αντίφαση σημαίνει ότι δεν μπορούν να υπάρχουν λύσεις για την εξίσωση του Φερμά, αποδεικνύοντας έτσι το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Γενική απόδειξη του Γουάιλς Η απόδειξη του Ρίμπετ έψιλον εικασία το 1986 πραγματοποίησε τον πρώτο από τους δύο στόχους που προτείνει ο Φρέι. Κατόπιν της επιτυχίας του Ρίμπετ, ο Άντριου Γουάιλς, ένας Άγγλος μαθηματικός που είχε γοητευτεί από την παιδική ηλικία με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, και με προγενέστερη μελέτη στο χώρο των ελλειπτικών εξισώσεων, αποφάσισε να δεσμευτεί με την επίτευξη του δεύτερου στόχου: να αποδειχθεί μια ειδική περίπτωσή της, το θεώρημα των modular forms (τότε γνωστή ως η εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα) για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες.Ο Γουάιλς εργάστηκε σε αυτό το έργο για έξι χρόνια με σχεδόν απόλυτη μυστικότητα, κάλυπτε μέχρι και τις προσπάθειές του με την εμφάνιση προηγούμενων εργασιών σε μικρά τμήματα ως ξεχωριστές εργασίες και εμπιστευτικά μόνο στη σύζυγό του. Αρχική του μελέτη πρότεινε μια απόδειξη με επαγωγή, και βασίστηκε στην αρχική εργασία του και την πρώτη σημαντική ανακάλυψη σχετικά με τη θεωρία του Γκαλουά πριν από τη προσπάθεια να επεκτείνει την Οριζόντια θεωρία του Ιγασάγα για την επαγωγή το 1990-1991, όταν φάνηκε ότι δεν υπήρχε επαρκής υπάρχουσα προσέγγιση στο πρόβλημα. Ωστόσο, το καλοκαίρι του 1991, η θεωρία του Ιγασάνα, επίσης, φάνηκε να μην επαρκεί για την επίλυση των κεντρικών ζητημάτων του προβλήματος. Κατόπιν, πλησίασε τους συναδέλφους του για να αναζητήσει τυχόν υποδείξεις από έρευνα αιχμής και τις νέες τεχνικές, και ανακάλυψε το σύστημα του Όιλερ που πρόσφατα είχε αναπτύχθηκε από τον Βίκτορ Καλιβάγκην και τον Ματίας Φλατς, η οποία φαινόταν ιδανική για το επαγωγικό μέρος της απόδειξης του. Ο Γουάιλς μελέτησε και επέκτεινε αυτή την προσέγγιση, στην οποία και εργάστηκε. Δεδομένου ότι το έργο του στηρίχθηκε στη συγκεκριμένη μέθοδο προσέγγισης σε μεγάλο βαθμό, αλλά οι προσεγγίσεις ήταν καινούργιες για τον Γουάιλς, ο ίδιος τον Ιανουάριο του 1993 ζήτησε από τον συνάδελφό του στο Πρίνστον Νικ Κατζ να ελέγξει τον συλλογισμό του για λάθη. Το συμπέρασμά τους την εποχή εκείνη ήταν ότι οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται από τον Γουάιλς φάνηκε να λειτουργούν σωστά.Μέχρι τα μέσα του Μάη του 1993 ο Γουάιλς αισθάνθηκε έτοιμος να πει στη γυναίκα του ότι νόμιζε πως είχε την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, και τον Ιούνιο ένιωθε αρκετά σίγουρος για να παρουσιάσει τα αποτελέσματά του σε τρεις διαλέξεις που πραγματοποιήθηκαν στις 21 - 23 Ιουν. 1993 στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών Ισαάκ Νεύτων. Συγκεκριμένα, ο Γουάιλς παρουσίασε την απόδειξη της εικασίας Τανιγιάμα-Σιμούρα για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες, καθώς και την απόδειξη της έψιλον εικασίας του Ρίμπετ, αυτό συνεπαγόταν την απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Ωστόσο, κατέστη σαφές κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης ότι ένα κρίσιμο σημείο στην απόδειξη ήταν εσφαλμένο. Περιείχε ένα λάθος σε ένα όριο της τάξης του συγκεκριμένου. Το σφάλμα απασχόλησε πολλούς μαθηματικούς και τη διαιτησία των χειρόγραφων ανέλαβε μια ομάδα μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένου του Κατζ (στο ρόλο του ως κριτής), ο οποίος ειδοποίησε τον Γουάιλς στις 23 Αυγούστου 1993. Η πλήρης Τανιγιάμα-Σιμούρα-Βέιλ εικασία τελικά αποδεικνύεται από τους Ντάιαμοντ (1996), Κόνραντ & Ντάιαμοντ & Τέιλορ (1999), και Μπρουέλ & Κόνραντ & Ντάιμοντ & Τέιλορ (2001), οι οποίοι με βάση τις εργασίες του Γουάιλς, διαχώρισαν σταδιακά και επεκτάθηκαν στις υπόλοιπες περιπτώσεις μέχρι να αποδειχθεί πλήρως. Η πλήρως αποδεδειγμένη εικασία έγινε γνωστή ως θεώρημα των modular forms. Πολλά άλλα θεωρήματα στη θεωρία αριθμών, που είναι παρόμοια με το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, προκύπτουν επίσης με την ίδια λογική, χρησιμοποιώντας το θεώρημα των modular forms. Για παράδειγμα, κανένας κύβος δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο διαφορετικών n-οστών δυνάμεων, όπου n ≥ 3. (Η περίπτωση n = 3 ήταν ήδη γνωστή από τον Όιλερ) Όλες οι λύσεις της Διοφαντικής εξίσωσης a n / m + b n / m = c n / m {\displaystyle a^{n/m}+b^{n/m}=c^{n/m}} με n=1 που υπολογίστηκαν από τον Λένστρα το 1992. Στην περίπτωση κατά την οποία το mth οι ρίζες πρέπει να είναι πραγματικές και θετικές και όλες δίνονται από a = r s m {\displaystyle a=rs^{m}} b = r t m {\displaystyle b=rt^{m}} c = r ( s + t ) m {\displaystyle c=r(s+t)^{m}} για θετικούς ακέραιους r, s, t με s και t πρώτους μεταξύ τους. Το 2004 για n>2, οι Μπένετ, Γλάς Σζεκέλυ απέδειξαν ότι αν ο ΜΚΔ(n,m)=1 τότε υπάρχουν ακέραιες λύσεις αν και μόνο αν το 6 διαιρεί m, και a 1 / m {\displaystyle a^{1/m}} , b 1 / m , {\displaystyle b^{1/m},} και c 1 / m {\displaystyle c^{1/m}} είναι διαφορετικής 6ης πολυπλοκότητας ρίζες για τον ίδιο πραγματικό αριθμό. n = –1 Όλοι οι συντελεστές τις εξίσωσης a − 1 + b − 1 = c − 1 {\displaystyle a^{-1}+b^{-1}=c^{-1}} μπορούν να δοθούν με τις μορφές : a = m n + m 2 , {\displaystyle a=mn+m^{2},} b = m n + n 2 , {\displaystyle b=mn+n^{2},} c = m n {\displaystyle c=mn} για θετικούς, πρώτους μεταξύ τους, ακεραίους m, n. n = –2 Στην περίπτωση n = –2 αντιστοιχεί σε μια απειρία λύσεων, και αυτή έχει μια γεωμετρική ερμηνεία όσον αφορά το ορθογώνιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές και ακέραιο το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα Το σύνολο των λύσεων μπορεί να δοθεί από τις εξισώσεις a = ( v 2 − u 2 ) ( v 2 + u 2 ) , {\displaystyle a=(v^{2}-u^{2})(v^{2}+u^{2}),\,} b = 2 u v ( v 2 + u 2 ) , {\displaystyle b=2uv(v^{2}+u^{2}),\,} d = 2 u v ( v 2 − u 2 ) , {\displaystyle d=2uv(v^{2}-u^{2}),\,} για ξένους ακέραιους u, v με v > u. Η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι οι a και b είναι οι ακέραιες κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και d είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Με τα δεδομένα αυτά η υποτείνουσα είναι ο ακέραιος c = ( v 2 + u 2 ) 2 , {\displaystyle c=(v^{2}+u^{2})^{2},\,} και η (a,b,c) είναι μία Πυθαγόρεια τριάδα. Ακέραιος n < –2 Δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις για την εξίσωση a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} για ακέραιους n < –2. Αν υπήρχαν, τότε η εξίσωση θα μπορούσε να πολλαπλασιαστεί με τους a | n | b | n | c | n | {\displaystyle a^{|n|}b^{|n|}c^{|n|}} και τροποποιείται σε ( b c ) | n | + ( a c ) | n | = ( a b ) | n | {\displaystyle (bc)^{|n|}+(ac)^{|n|}=(ab)^{|n|}} , το οποίο είναι αδύνατο σύμφωνα με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Οι μαθηματικές τεχνικές που χρησιμοποιούσε ο Φερμά για τη "θαυμάσια" απόδειξη είναι άγνωστες. Μόνο μία λεπτομερής απόδειξη του Φερμά έχει διασωθεί, από την παράπανω απόδειξη ότι δεν υπάρχουν τρεις πρώτοι μεταξύ τους ακέραιοι (x, y, z) που να ικανοποιούν την εξίσωση x4 − y4 = z2. Η απόδειξη Τέιλορ και Γουάιλς στηρίζεται σε μαθηματικές τεχνικές που αναπτύχθηκαν τον 20ο αιώνα, που θα ήταν άγνωστες για τους μαθηματικούς που είχαν εργαστεί πάνω στο τελευταίο θεώρημα του Φερμά, ακόμη και έναν αιώνα νωρίτερα. Η υποτιθέμενη «θαυμάσια απόδειξη του "Φερμά", θα έπρεπε να είναι στοιχειώδης, λόγω της μαθηματικής γνώσης της εποχής, και έτσι δεν θα μπορούσε να ήταν η ίδια με την απόδειξη του Γουάιλς. Οι περισσότεροι μαθηματικοί και ιστορικοί αμφιβάλλουν ότι Φερμά είχε μια έγκυρη απόδειξη του θεωρήματος του για όλους τους εκθέτες n. Το 1816 και ξανά το 1850, η Γαλλική Ακαδημία των Επιστημών αθλοθέτησε ένα βραβείο για μια γενική απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Το 1857, η Ακαδημία έδωσε 3000 φράγκα και ένα χρυσό μετάλλιο στον Κούμμερ για την έρευνά του σχετικά με τους ιδανικούς αριθμούς, παρόλο που ο ίδιος δεν είχε υποβάλει δήλωση για το βραβείο. Άλλο βραβείο αθλοθετήθηκε από την Ακαδημία των Βρυξελλών το 1883..Το 1908, ο Γερμανός βιομήχανος και ερασιτέχνης μαθηματικός Paul Wolfskehl κληροδότησε 100.000 μάρκα στην Ακαδημία Επιστημών της Γκότιγκεν για να αθλοθετηθεί βραβείο για μια πλήρη απόδειξη του Τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Στις 27 Ιουνίου 1908 η Ακαδημία δημοσίευσε εννέα κανόνες για την απονομή του βραβείου. Μεταξύ άλλων, οι κανόνες αυτοί απαιτούσαν η απόδειξη να δημοσιευθεί σε επιστημονικό περιοδικό, το βραβείο να μη χορηγηθεί πριν περάσουν δύο έτη από τη δημοσίευση, και να μη δοθεί μετά την 13 Σεπτεμβρίου 2007, περίπου έναν αιώνα μετά ο αγώνας ξεκίνησε. Ο Wiles εισέπραξε τα χρήματα του βραβείου, που ανέρχονταν τότε σε 50.000 δολάρια περίπου, στις 27 Ιουνίου 1997.Πριν από την απόδειξη του Γουάιλς, χιλιάδες λανθασμένες αποδείξεις υποβλήθηκαν στην επιτροπή Wolfskehl, που γεμίζουν κάπου 3 μέτρα χαρτί αλληλογραφίας. Κατά το πρώτο έτος (1907-1908) υποβλήθηκαν 621 απόπειρες απόδειξης , αν και από τη δεκαετία του 1970, ο ρυθμός υποβολής είχε μειωθεί σε περίπου 3-4 προσπάθειες απόδειξης ανά μήνα. Σύμφωνα με τον F. Schlichting, μέλος της κριτικής επιτροπής του βραβείου Βόλφσκελ, οι περισσότερες από τις αποδείξεις βασίζονταν σε στοιχειώδεις μεθόδους που διδάσκονται στα σχολεία, και συχνά υποβάλλονταν από "ανθρώπους με τεχνική εκπαίδευση, αλλά αποτυχημένη καριέρα". Το άθροισμα 3.98712 + 4.36512 ισούται με 4.472,000000007057617187512 έχοντας απόκλιση μόλις 0,000000002 τοις εκατό από την ακέραια τιμή του 4.47212. Ωστόσο ο έλεγχος της τιμής σε αριθμομηχανές χειρός οι οποίες συνήθως διαθέτουν χώρο για έως 10 μόνο χαρακτήρες στην οθόνη τους, επιστρέφει 4.472,0000 ως αποτέλεσμα, δίνοντας την εσφαλμένη εντύπωση πως ισχύει η εξίσωση 3.98712 + 436512 = 4.47212 παρότι έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν λύσεις για εκθέτες μεγαλύτερους του 2 σύμφωνα με το θεώρημα του Φερμά. Η εξίσωση αυτή προέκυψε από την τηλεοπτική σειρά κινουμένων σχεδίων Οι Σίμσονς όπου εμφανίζεται σε μαυροπίνακα έχοντας γραφεί από τον χαρακτήρα του Χόμερ. Το επεισόδιο της τηλεοπτικής σειράς Star Trek: The Next Generation, με τον τίτλο "Το βασιλικό", αναφέρεται στο θεώρημα στην πρώτη σκηνή. "Η απόδειξη" -Nova (PBS) ντοκιμαντέρ σχετικά με την απόδειξη του Άντριου Γουάιλς για το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά. Στις 17 Αυγ 2011, ένα Google doodle είχε εμφανιστεί στην αρχική σελίδα του Google, που δείχνει ένα πίνακα με το θεώρημα αυτό. Όταν αιωρούνταν πάνω, εμφανίζει το κείμενο "Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, την οποία αυτό το doodle είναι πολύ μικρό για να περιέχει". Αυτό είναι μια αναφορά στο σημείωμα του Φερμά στο περιθώριο της Αριθμητικής. Έτσι εορτάστηκε η 410η επέτειος γέννησης του Φερμά, διαδικτυακά. Στο βιβλίο Το κορίτσι που έπαιζε με τη φωτιά, ο κύριος χαρακτήρας η Λίσμπεθ Σάλαντερ παθαίνει εμμονή με το θεώρημα στα αρχικά κεφάλαια του βιβλίου. Συνεχίζοντας την προσπάθειά της να καταλήξει σε μια απόδειξη λειτουργεί ως υποπλοκή σε όλη την ιστορία, και χρησιμοποιείται ως ένας τρόπος για να αποδείξει την εξαιρετική ευφυΐα της. Στο τέλος εμφανίζεται με μια απόδειξη (η πραγματική απόδειξη δεν εμφανίζεται στο βιβλίο). Ωστόσο πυροβολείται στο κεφάλι. και η απόδειξη χάνεται. Εικασία του Γκόλντμπαχ Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά στο Wolfram Mathworld Christopher , David A. (2011). «On the equation xn + yn = zn» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 23 Ιανουαρίου 2013. Ανακτήθηκε στις 14 Απριλίου 2012. Wiles (1995). «Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 4 Μαρτίου 2016. Ανακτήθηκε στις 9 Φεβρουαρίου 2013. Scientific article by Andrew Wiles Daney, Charles (2003). «The Mathematics of Fermat's Last Theorem». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Αυγούστου 2004. Ανακτήθηκε στις 5 Αυγούστου 2004. The bluffer's guide to Fermat's Last Theorem Αρχειοθετήθηκε 2009-11-21 στο Wayback Machine. Elkies, Noam D. «Tables of Fermat "near-misses" — approximate solutions of xn + yn = zn». Freeman, Larry (2005). «Fermat's Last Theorem Blog». Blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Fermat to Wiles. Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Fermat's last theorem», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/f110070 Ribet, Ken (1995). «Galois representations and modular forms» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 16 Σεπτεμβρίου 2009. Ανακτήθηκε στις 31 Μαΐου 2013. Discusses various material which is related to the proof of Fermat's Last Theorem: elliptic curves, modular forms, Galois representations and their deformations, Frey's construction, and the conjectures of Serre and of Taniyama–Shimura. Shay, David (2003). «Fermat's Last Theorem». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Φεβρουαρίου 2012. Ανακτήθηκε στις 5 Αυγούστου 2004. The story, the history and the mystery. Weisstein, Eric W., "Fermat's Last Theorem" από το MathWorld. O'Connor JJ, Robertson EF (1996). «Fermat's last theorem». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 16 Ιανουαρίου 2013. Ανακτήθηκε στις 5 Αυγούστου 2004. «The Proof». The title of one edition of the PBS television series NOVA, discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem. «Documentary Movie on Fermat's Last Theorem (1996)». Simon Singh and John Lynch's film tells the story of Andrew Wiles. Beal Fermat and Pythagora's Triplets Aczel, Amir, Πώς ο A. Wiles έλυσε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά Singh, Simon, Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά Aczel, Amir (30 Σεπτεμβρίου 1996). Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem. Four Walls Eight Windows. ISBN 978-1-56858-077-7. Dickson L. E. (1919). History of the Theory of Numbers. Volume II. Diophantine Analysis. New York: Chelsea Publishing. σελίδες 545–550, 615–621, 688–691, 731–776. Edwards, H. M. (1997). Fermat's Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 50. New York: Springer-Verlag. Friberg, Joran (2007). Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-270-452-8. Kleiner I (2000). «From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem». Elem. Math. 55: 19–37. doi:10.1007/PL00000079. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2012-02-19. https://web.archive.org/web/20120219145734/http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf. Ανακτήθηκε στις 2013-05-31. Mordell L. J. (1921). Three Lectures on Fermat's Last Theorem. Cambridge: Cambridge University Press. Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Introduction to Modern Number Theory (Encyclopedia of Mathematical Sciences. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3. Ribenboim P. (2000). Fermat's Last Theorem for Amateurs. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98508-4. Singh S. (Οκτώβριος 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Stark H. (1978). An Introduction to Number Theory. MIT Press. ISBN 0-262-69060-8. Bell, Eric T. (6 Αυγούστου 1998) [1961]. The Last Problem. New York: The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-451-8. Benson, Donald C. (5 Απριλίου 2001). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8. Brudner, Harvey J. (1994). Fermat and the Missing Numbers. WLC, Inc. ISBN 978-0-9644785-0-3. Edwards, H. M. (Μάρτιος 1996) [1977]. Fermat's Last Theorem. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90230-2. Faltings G. (July 1995). «The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles» (PDF). Notices of the AMS 42 (7): 743–746. ISSN 0002-9920. http://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf. Mozzochi, Charles (7 Δεκεμβρίου 2000). The Fermat Diary. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2670-6. Ribenboim P. (1979). 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-90432-0. van der Poorten, Alf (6 Μαρτίου 1996). Notes on Fermat's Last Theorem. WileyBlackwell. ISBN 978-0-471-06261-5. Saikia, Manjil P (July 2011). «A Study of Kummer's Proof of Fermat's Last Theorem for Regular Primes» (PDF). IISER Mohali Report. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2013-08-29. https://web.archive.org/web/20130829014946/http://www.thequantizedquark.com/papers/kummerFLT.pdf. Ανακτήθηκε στις 2013-05-31. Άγγελος Μαντζαφλάρης (2006), Το τελευταίο Θεώρημα του Fermat. Η μερική απόδειξη του Kummer, ΕΚΠΑ