Αντισυμμετρικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, αντισυμμετρικός πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας A {\displaystyle A} που είναι ίσος με τον αντίθετο του ανάστροφού του − A T {\displaystyle -A^{T}} , A = − A T {\displaystyle A=-A^{T}} . Δηλαδή, ένας πίνακας διαστάσεων n × n {\displaystyle n\times n} είναι αντισυμμετρικός αν και μόνο αν A i j = − A j i {\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}} για κάθε 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} . Λόγω αυτής της συνθήκης τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας του πίνακα είναι όλα μηδέν. Η γενική μορφή ενός αντισυμμετρικού πίνακα διαστάσεων n × n {\displaystyle n\times n} για n = 2 , 3 , 4 {\displaystyle n=2,3,4} , είναι: [ 0 A 12 − A 12 0 ] ⏟ 2 × 2 [ 0 A 12 A 13 − A 12 0 A 23 − A 13 − A 23 0 ] ⏟ 3 × 3 [ 0 A 12 A 13 A 14 − A 12 0 A 23 A 24 − A 13 − A 23 0 A 34 − A 14 − A 24 − A 34 0 ] ⏟ 4 × 4 , {\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}0&\color {red}{A_{12}}\\\color {red}{-A_{12}}&0\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}0&\color {red}{A_{12}}&\color {blue}{A_{13}}\\\color {red}{-A_{12}}&0&\color {green}{A_{23}}\\\color {blue}{-A_{13}}&\color {green}{-A_{23}}&0\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}0&\color {red}{A_{12}}&\color {blue}{A_{13}}&\color {orange}{A_{14}}\\\color {red}{-A_{12}}&0&\color {green}{A_{23}}&\color {purple}{A_{24}}\\\color {blue}{-A_{13}}&\color {green}{-A_{23}}&0&\color {magenta}{A_{34}}\\\color {orange}{-A_{14}}&\color {purple}{-A_{24}}&\color {magenta}{-A_{34}}&0\end{bmatrix}} _{4\times 4},} όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να είναι αντίθετα μεταξύ τους σε έναν αντισυμμετρικό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο, εξού και το όνομα αντισυμμετρικός πίνακας.

 Παρακάτω δίνονται μερικοί συγκεκριμένοι αντισυμμετρικοί πίνακες [ 0 7 − 7 0 ] [ 0 4.8 − 6 − 4.8 0 − 3.4 6 3.4 0 ] [ 0 2.1 0 4.7 − 2.1 0 − 0.7 2.2 0 0.7 0 3.5 − 4.7 − 2.2 − 3.5 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\color {red}{7}\\\color {red}{-7}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&\color {red}{4.8}&\color {blue}{-6}\\\color {red}{-4.8}&0&\color {green}{-3.4}\\\color {blue}{6}&\color {green}{3.4}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&\color {red}{2.1}&\color {blue}{0}&\color {orange}{4.7}\\\color {red}{-2.1}&0&\color {green}{-0.7}&\color {purple}{2.2}\\\color {blue}{0}&\color {green}{0.7}&0&\color {magenta}{3.5}\\\color {orange}{-4.7}&\color {purple}{-2.2}&\color {magenta}{-3.5}&0\end{bmatrix}}.} Ο μηδενικός πίνακας 0 n × n {\displaystyle \mathbf {0} _{n\times n}} είναι αντισυμμετρικός, καθώς − 0 n × n T = 0 n × n {\displaystyle -\mathbf {0} _{n\times n}^{T}=\mathbf {0} _{n\times n}} . Εξ'ορισμού, ο ανάστροφος πίνακας A T {\displaystyle A^{T}} ενός αντισυμμετρικού πίνακα A {\displaystyle A} είναι αντισυμμετρικός, καθώς είναι ίσος με τον − A {\displaystyle -A} . Το άθροισμα δύο αντισυμμετρικών πινάκων A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} είναι αντισυμμετρικός πίνακας, καθώς ( A + B ) T = A T + B T = ( − A ) + ( − B ) = − ( A + B ) {\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}=(-A)+(-B)=-(A+B)} . Το βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός αντισυμμετρικού πίνακα A {\displaystyle A} και ενός στοιχείου c {\displaystyle c} είναι αντισυμμετρικός πίνακας, καθώς ( c A ) T = c A T = c ( − A ) = − c A {\displaystyle (cA)^{T}=cA^{T}=c(-A)=-cA} . Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου ενός αντισυμμετρικού πίνακα είναι 0 {\displaystyle 0} , καθώς A i i = − A i i ⇒ A i i = 0 {\displaystyle A_{ii}=-A_{ii}\Rightarrow A_{ii}=0} για κάθε 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} . Συνεπώς, το ίχνος του A {\displaystyle A} είναι tr ⁡ ( A ) = ∑ i = 1 n A i i = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\textstyle \sum _{i=1}^{n}A_{ii}=0} . Η ορίζουσα ενός αντισυμμετρικού πίνακα A {\displaystyle A} με διαστάσεις n × n {\displaystyle n\times n} με n {\displaystyle n} μονό αριθμό, είναι det ⁡ ( A ) = 0 {\displaystyle \operatorname {det} (A)=0} .:57 Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας είναι μη-αντιστρέψιμος πίνακας. Για κάθε πίνακα A {\displaystyle A} , ο πίνακας A − A T {\displaystyle A-A^{T}} είναι αντισυμμετρικός, καθώς ( A − A T ) T = A T − ( A T ) T = A T − A = − ( A − A T ) {\displaystyle (A-A^{T})^{T}=A^{T}-(A^{T})^{T}=A^{T}-A=-(A-A^{T})} .:197:195 Προκύπτει ότι κάθε πίνακας A {\displaystyle A} μπορεί να γραφτεί ως A = B + C {\displaystyle A=B+C} για συμμετρικό πίνακα B = 1 2 ⋅ ( A + A T ) {\displaystyle B={\tfrac {1}{2}}\cdot (A+A^{T})} και αντισυμμετρικό πίνακα C = 1 2 ⋅ ( A − A T ) {\displaystyle C={\tfrac {1}{2}}\cdot (A-A^{T})} .:196 Για κάθε διάνυσμα x ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}} και για αντισυμμετρικό πίνακα A {\displaystyle A} διαστάσεων n × n {\displaystyle n\times n} , η τετραγωνική μορφή x T A x = 0 {\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} =0} .:210 Συμμετρικός πίνακας Αυτοπροσαρτηµένος πίνακας