Τζον Μίλνορ

Ο Τζον Γουίλαρντ Μίλνορ (αγγλικά:John Willard Milnor, γεννήθηκε στις 20 Φεβρουαρίου 1931) είναι Αμερικανός μαθηματικός, γνωστός για το έργο του στη διαφορική τοπολογία, την Κ-αλγεβρική θεωρία και τα χαμηλής διάστασης ολομορφικά δυναμικά συστήματα. Ο Μίλνορ είναι διακεκριμένος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Stony Brook και ένας από τους πέντε μαθηματικούς που έχουν κερδίσει το Μετάλλιο Φιλντς, το Βραβείο Βόλφ και το Βραβείο Άμπελ (οι άλλοι είναι οι Σερ, Τόμσον, Ντελίνιε και Μαργκούλις).

 Ο Μίλνορ γεννήθηκε στις 20 Φεβρουαρίου 1931 στο Όραντζ του Νιου Τζέρσεϊ.. Ο πατέρας του λεγόταν Τζέι Γουίλαρντ Μίλνορ και η μητέρα του Έμιλι Κοξ Μίλνορ. Ως προπτυχιακός φοιτητής στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον ανακηρύχθηκε υπότροφος του Putnam το 1949 και το 1950 και απέδειξε το θεώρημα Φάρι-Μίλνορ όταν ήταν μόλις 19 ετών. Ο Μίλνορ αποφοίτησε με πτυχίο στα μαθηματικά το 1951 μετά την ολοκλήρωση μιας τελικής διατριβής, με τίτλο "Link groups", υπό την επίβλεψη του Ρόμπερτ Χ. Φοξ. Παρέμεινε στο Πρίνστον για να συνεχίσει μεταπτυχιακές σπουδές και έλαβε το διδακτορικό του στα μαθηματικά το 1954 μετά την ολοκλήρωση μιας διδακτορικής διατριβής, με τίτλο "Isotopy of links", επίσης υπό την επίβλεψη του Φοξ. Η διατριβή του αφορούσε τις ομάδες συνδέσμων (μια γενίκευση της κλασικής ομάδας κόμβων) και τη σχετική δομή των συνδέσμων τους, ταξινομώντας τους συνδέσμους Brunnian μέχρι την ισο-ομοτοπία συνδέσμων και εισήγαγε νέες αναλλοίωτες αυτής, που ονομάστηκαν αναλλοίωτες Μίλνορ. Μετά την ολοκλήρωση του διδακτορικού του, συνέχισε να εργάζεται στο Πρίνστον. Από το 1970 έως το 1990 ήταν καθηγητής στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών. Μετά το 1962 ήταν συντάκτης των Annals of Mathematics για πολλά χρόνια. Έγραψε μια σειρά βιβλίων τα οποία είναι διάσημα για τη σαφήνεια και την παρουσίασή τους και αποτελούν έμπνευση για την έρευνα πολλών μαθηματικών στους τομείς τους ακόμη και μετά από πολλές δεκαετίες από την έκδοσή τους. Διετέλεσε Αντιπρόεδρος της AMS την περίοδο 1976-77. Μαθητές του υπήρξαν οι Ταντατόσι Ακίμπα, Τζον Φόλκμαν, Τζον Μάδερ, Λοράν Κ. Σίμπενμαν, Μάικλ Σπίβακ και Τζόναθαν Σόντοου. Η σύζυγός του, η Ντούσα ΜακΝτάφ, είναι καθηγήτρια μαθηματικών στο Κολλέγιο Μπάρναρντ και είναι γνωστή για το έργο της στη συμπλεκτική τοπολογία. Ένα από τα πιο γνωστά έργα του Μίλνορ είναι η απόδειξή του το 1956 για την ύπαρξη 7-διάστατων σφαιρών με μη τυπική διαφορική δομή, η οποία σηματοδότησε την έναρξη ενός νέου πεδίου - της διαφορικής τοπολογίας. Επινόησε τον όρο "εξωτική σφαίρα", ο οποίος αναφέρεται σε οποιαδήποτε n-σφαίρα με μη τυπική διαφορική δομή. Οι Κερβέρ και Μίλνορ ξεκίνησαν τη συστηματική μελέτη των εξωτικών σφαιρών, δείχνοντας συγκεκριμένα ότι η σφαίρα 7 έχει 15 διαφορετικές διαφοροποιήσιμες δομές (28 αν λάβουμε υπόψη τον προσανατολισμό). Ο Έγκμπερτ Μπρίσκορν βρήκε απλές αλγεβρικές εξισώσεις για 28 σύνθετες υπερεπιφάνειες στον σύνθετο 5-χώρο, έτσι ώστε η τομή τους με μια μικρή 9-διάστατη σφαίρα γύρω από ένα μοναδικό σημείο να είναι διαφορικότερη από αυτές τις εξωτικές σφαίρες. Στη συνέχεια, ο Μίλνορ ασχολήθηκε με την τοπολογία των απομονωμένων μοναδικών σημείων σύνθετων υπερεπιφανειών γενικά, αναπτύσσοντας τη θεωρία της ίνας Μίλνορ, της οποίας η ίνα έχει τον ομοτοπικό τύπο μιας δέσμης μ σφαιρών, όπου το μ είναι γνωστό ως αριθμός Μίλνορ. Το βιβλίο του Μίλνορ το 1968 σχετικά με τη θεωρία του, Singular Points of Complex Hypersurfaces, ενέπνευσε την ανάπτυξη ενός τεράστιου και πλούσιου ερευνητικού πεδίου που συνεχίζει να ωριμάζει μέχρι σήμερα.. Το 1961, ο Μίλνορ αντέκρουσε την Hauptvermutung παρουσιάζοντας δύο απλοϊκά συμπλέγματα που είναι ομοιομορφικά αλλά συνδυαστικά διαφορετικά, χρησιμοποιώντας την έννοια της στρέψης Reidemeister. Αυτό οδήγησε σε ένα κύμα εξελίξεων στην τοπολογία από τον Μίλνορ και πολλούς άλλους μαθηματικούς που άλλαξαν για πάντα την αντίληψη του πεδίου. Το 1984 ο Μίλνορ εισήγαγε έναν ορισμό του ελκυστή , ο οποίος γενικεύει τους τυπικούς ελκυστές, περιλαμβάνει τους λεγόμενους ασταθείς ελκυστές και είναι πλέον γνωστοί ως ελκυστές Μίλνορ. Το σημερινό ενδιαφέρον του Μίλνορ είναι η δυναμική, ιδίως η ολομορφική δυναμική. Το έργο του στη δυναμική συνοψίζεται από τον Πίτερ Μακιένκο στην ανασκόπηση του βιβλίου Topological Methods in Modern Mathematics. Άλλες σημαντικές συνεισφορές περιλαμβάνουν τις μικροδέσμες, οι οποίες επηρέασαν τη χρήση των αλγεβρών Hopf, τη θεωρία των τετραγωνικών μορφών και τη συναφή περιοχή των συμμετρικών διγραμμικών μορφών, την ανώτερη αλγεβρική Κ-θεωρία, τη θεωρία παιγνίων και τις τρισδιάστατες ομάδες Lie. Ο Μίλνορ εξελέγη μέλος της Αμερικανικής Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών το 1961. Το 1962, ο Μίλνορ τιμήθηκε με το μετάλλιο Φιλντς για το έργο του στη διαφορική τοπολογία. Εξελέγη μέλος της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών των ΗΠΑ το 1963 και της Αμερικανικής Φιλοσοφικής Εταιρείας το 1965. Στη συνέχεια κέρδισε το Εθνικό Μετάλλιο της Επιστήμης (1967), το Βραβείο Lester R. Ford το 1970 και ξανά το 1984, το Βραβείο Leroy P. Steele για "σημαντική συνεισφορά στην έρευνα" (1982), το Βραβείο Βολφ στα Μαθηματικά (1989), το Βραβείο Leroy P. Steele για μαθηματική έκθεση (2004) και το Βραβείο Leroy P. Steele για τα επιτεύγματα του (2011). Το 1991, πραγματοποιήθηκε συμπόσιο στο Πανεπιστήμιο Stony Brook για τον εορτασμό των 60ων γενεθλίων του. Ο Μίλνορ τιμήθηκε με το Βραβείο Άμπελ το 2011, για τις "πρωτοποριακές ανακαλύψεις του στην τοπολογία, τη γεωμετρία και την άλγεβρα" . Αντιδρώντας στη βράβευση, ο Μίλνορ δήλωσε στο New Scientist: "Είναι ωραίο συναίσθημα", προσθέτοντας ότι "πάντα σε εκπλήσσει ένα τηλεφώνημα στις 6 το πρωί". Το 2013, έγινε μέλος της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, για "συνεισφορές στη διαφορική τοπολογία, τη γεωμετρική τοπολογία, την αλγεβρική τοπολογία, την άλγεβρα και τα δυναμικά συστήματα". Το 2020 του απονεμήθηκε το Χρυσό Μετάλλιο Λομονόσοφ της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών. Milnor, John W. (1963). Morse theory. Annals of Mathematics Studies, No. 51. Notes by M. Spivak and R. Wells. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9. —— (1965). Lectures on the h-cobordism theorem. Notes by L. Siebenmann and J. Sondow. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-07996-X. OCLC 58324. —— (1968). Singular points of complex hypersurfaces. Annals of Mathematics Studies, No. 61. Princeton, NJ: Princeton University Press; Tokyo: University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08065-8. —— (1971). Introduction to algebraic K-theory. Annals of Mathematics Studies, No. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08101-4. Husemoller, Dale· Milnor, John W. (1973). Symmetric bilinear forms. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-06009-5. Milnor, John W. (1974). Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton, NJ: Princeton University Press; Tokyo: University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0. Milnor, John W. (1997) [1965]. Topology from the differentiable viewpoint. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-04833-9. —— (1999). Dynamics in one complex variable. Wiesbaden, Germany: Vieweg. ISBN 3-528-13130-6. 2nd edn. 2000. Milnor, John W. (1956). «On manifolds homeomorphic to the 7-sphere». Annals of Mathematics (Princeton University Press) 64 (2): 399–405. doi:10.2307/1969983. https://semanticscholar.org/paper/621f403ad244bca225bdf367215119202175e3d7. (1959). «Sommes de variétés différentiables et structures différentiables des sphères». Bulletin de la Société Mathématique de France (Société Mathématique de France) 87: 439–444. doi:10.24033/bsmf.1538. (1959b). «Differentiable structures on spheres». American Journal of Mathematics (Johns Hopkins University Press) 81 (4): 962–972. doi:10.2307/2372998. (1961). «Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct». Annals of Mathematics (Princeton University Press) 74 (2): 575–590. doi:10.2307/1970299. (1984). «On the concept of attractor». Communications in Mathematical Physics (Springer Press) 99 (2): 177–195. doi:10.1007/BF01212280. Bibcode: 1985CMaPh..99..177M. Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1963). «Groups of homotopy spheres: I». Annals of Mathematics (Princeton University Press) 77 (3): 504–537. doi:10.2307/1970128. http://www.uni-math.gwdg.de/schick/publ/Groups%20of%20homotopy%20spheres%20I.pdf. Milnor, John W. (2011). «Differential topology forty-six years later». Notices of the American Mathematical Society 58 (6): 804–809. https://www.ams.org/notices/201106/rtx110600804p.pdf. Home page at SUNYSB Photo Exotic spheres home page The Abel Prize 2011 – video Raussen, Martin; Skau, Christian (March 2012). «Interview with John Milnor». Notices of the American Mathematical Society 59 (3): 400–408. doi:10.1090/noti803. https://www.ams.org/notices/201203/rtx120300400p.pdf. «Seminar Videos, IMS Video Collection». Institute for Mathematical Sciences, Stony Brook University. (40 links from 1965 to May 2021, with 9 videos from Milnor's seminars)