Λαγκρανζιανή συνάρτηση

Στη Φυσική, η Λαγκράνζια ή Λαγκρανζιανή ενός μηχανικού συστήματος είναι μια βαθμωτή συνάρτηση της θέσης, ταχύτητας και του χρόνου η οποία ορίζεται ως η διαφορά της κινητικής πλην της δυναμικής ενέργειας του συστήματος, όταν αυτές είναι εκπεφρασμένες συναρτήσει των παραπάνω αναφερόμενων μεταβλητών. Οι εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος προκύπτουν από την αρχή του Χάμιλτον (η λεγόμενη αρχή της ελάχιστης δράσης), η οποία καταλήγει στις λεγόμενες εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ στις οποίες υπεισέρχεται η Λαγκρανζιανή. Η μηχανική η οποία στηρίζεται στην αρχή του Χάμιλτον ονομάζεται «αναλυτική μηχανική». Ο φορμαλισμός των Λαγκράνζ και Χάμιλτον θεωρείται γενικότερος από εκείνον του Νεύτωνα στην κλασική μηχανική, καθώς βασίζεται σε έννοιες όπως είναι οι συμμετρίες, οι γενικευμένες συντεταγμένες και, στην περίπτωση του φορμαλισμού του Χάμιλτον, τον χώρο των φάσεων. Ιδιαίτερα ο φορμαλισμός του Χάμιλτον χρησιμοποιήθηκε ως βάση οικοδόμησης της κβαντικής θεωρίας.

 Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η Λαγκρανζιανή (L) ενός μηχανικού συστήματος είναι συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων (p,q) των οποίων η χρονική εξέλιξη καθορίζει την τροχιά ενός σώματος που κινείται κάτω από την επίδραση δεδομένου δυναμικού. Αν Τ την κινητική ενέργεια και V το δυναμικό, τότε η Λαγκρανζιανή ενός συστήματος ισούται με: L = T − V {\displaystyle L=T-V\ \ \ } Για παράδειγμα, η Λαγκρανζιανή ενός μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή μάζας m και κυκλικής συχνότητας ω δίνεται από τη σχέση: L = 1 2 m x ˙ 2 − 1 2 m ω 2 x 2 , {\displaystyle L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\ ,} όπου x η μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας και ẋ η ταχύτητά του. Σύμφωνα με την αρχή ελάχιστης δράσης του Χάμιλτον, η τροχιά ενός κινητού Ν βαθμών ελευθερίας που περιγράφεται από μία Λαγκρανζιανή L=T-V καθορίζεται από την ελαχιστοποίηση της δράσης: S = ∫ t 1 t 2 L ( t , q i ( t ) , q ˙ i ( t ) ) d t {\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\left(t,q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t)\right)dt} Η μαθηματική απαίτηση ελαχιστοποίησης, σύμφωνα με τον λογισμό των μεταβολών, οδηγεί στις εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ: ∂ L ∂ q i = d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i ) {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)} { το d L d q ˙ i {\textstyle {dL \over d{\dot {q}}_{i}}} ονομάζεται γενικευμένη ορμή, ή συζυγής ορμή ή κανονική ορμή p i {\displaystyle p_{i}} }όπου ο δείκτης i (i=1,2,...N) αναφέρεται στην i-οστή συνιστώσα των γενικευμένων συντεταγμένων. Αν η Lagrangian δεν περιέχει συγκεκριμένη συντεταγμένη q i {\displaystyle q_{i}} τότε η συντεταγμένη ονομάζεται κυκλική και η ορμή p i {\displaystyle p_{i}} διατηρείται. Στην περίπτωση της μίας διάστασης, οι γενικευμένες συντεταγμένες ενός συστήματος είναι η θέση x κατά τον άξονα κίνησης και η ορμή p=mẋ. Στη περίπτωση αυτή ισχύει ότι: ∂ L ∂ x = − d V d x ∂ L ∂ x ˙ = m x ˙ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {dV}{dx}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}\end{aligned}}} Συνεπώς, η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ ανάγεται στην απλούστερη μορφή d d t ( m x ˙ ) = − d V d x {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})=-{\frac {dV}{dx}}} Όμως, από τον ορισμό της δυναμικής ενέργειας ισχύει F=-(dV/dx) όπου F η δύναμη που δέχεται το σώμα. Άρα λοιπόν, δεδομένου ότι η μάζα δεν μεταβάλλεται με το χρόνο, καταλήγουμε στη σχέση: m x ¨ = F {\displaystyle m{\ddot {x}}=F} που ταυτίζεται με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα. Παρόμοια επιχειρήματα ισχύουν και στην περίπτωση που η κίνηση γίνεται σε δύο ή τρεις διαστάσεις. Υπάρχει λοιπόν πλήρης αντιστοιχία μεταξύ της Λαγκρανζιανής και της Νευτώνειας μηχανικής. Κίνηση σε κεντρικό δυναμικό Θεωρούμε ένα σωματίδιο το οποίο κινείται σε κεντρικό δυναμικό. Σε κεντρικό δυναμικό η ενέργεια Ε και η στροφορμή M διατηρούνται. Η κίνηση γίνεται σε ένα επίπεδο. Επιλέγουμε το επίπεδο αυτό να είναι το x-y. Τότε L = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 ϕ ˙ 2 ) − U ( r ) , {\displaystyle L={1 \over 2}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2})-U(r),} E = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 ϕ ˙ 2 ) + U ( r ) = c t {\displaystyle E={1 \over 2}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2})+U(r)=ct} M = ϑ L ϑ ϕ ˙ = m r 2 ϕ ˙ = c t {\displaystyle M={\vartheta L \over \vartheta {\dot {\phi }}}=mr^{2}{\dot {\phi }}=ct} Δεύτερος νόμος του Kepler d A d t = 1 2 r ( r d ϕ ) d t = 1 2 r 2 ϕ ˙ = M 2 m = σ τ α θ {\displaystyle {dA \over dt}={{1 \over 2}r(rd\phi ) \over dt}={1 \over 2}r^{2}{\dot {\phi }}={M \over 2m}=\sigma \tau \alpha \theta } Η εξίσωση αυτή μας λέει ότι η επιφάνεια που σαρώνεται από το διάνυσμα θέσης του σωματίδιου στη μονάδα του χρόνου είναι σταθερή για όλα τα κεντρικά δυναμικά. Αυτή η διατύπωση αποτελεί τον 2ο νόμο του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών σε ελλειπτική τροχιά με τον Ηλιο στη μια από τις δύο εστίες της έλλειψης. Ο νόμος αυτός λέγεται και νόμος των εμβαδών. Αρχή του Χάμιλτον Λαγκρανζιανή μηχανική Χαμιλτονιανή μηχανική Ιωάννου Πέτρος, Αποστολάτος Θ., Θεωρητική Μηχανική, Πανεπιστήμιο Αθηνών 2007 (έκδοση Β') Κανάρης Χ. Τσίγκανος (2004). Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη.