Λέοπολντ Κρόνεκερ

Ο Λέοπολντ Κρόνεκερ (γερμανικά: Leopold Kronecker, 7 Δεκεμβρίου 1823 - 29 Δεκεμβρίου 1891) ήταν Γερμανός μαθηματικός που ασχολήθηκε με τη θεωρία των αριθμών, την άλγεβρα και τη λογική. Άσκησε κριτική στο έργο του Γκέοργκ Κάντορ για τη θεωρία συνόλων και αναφέρθηκε από τον Βέμπερ (1893) ως εξής: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" ("Ο Θεός δημιούργησε τους ακέραιους αριθμούς, όλα τα άλλα είναι έργο του ανθρώπου"). Ο Κρόνεκερ ήταν μαθητής και μακροχρόνιος φίλος του Ερνστ Κάμερ.

 Ο Λέοπολντ Κρόνεκερ γεννήθηκε στις 7 Δεκεμβρίου 1823 στο Λίγκνιτς της Πρωσίας (σήμερα Λέγκνιτσα της Πολωνίας), σε μια ευκατάστατη εβραϊκή οικογένεια. Οι γονείς του, Ίσιντορ και Γιοχάνα (το γένος Πράουσνιτσεπ), φρόντιζαν για την εκπαίδευση των παιδιών τους και τους έκαναν ιδιαίτερα μαθήματα στο σπίτι. Ο μικρότερος αδελφός του Λέοπολντ, ο Ούγκο Κρόνεκερ, ακολούθησε επίσης επιστημονική κατεύθυνση και αργότερα έγινε διάσημος φυσιολόγος. Ο Κρόνεκερ πήγε στο γυμνάσιο του Λίγκνιτς, όπου σπούδασε ένα ευρύ φάσμα μαθημάτων, συμπεριλαμβανομένων των θετικών επιστημών, της ιστορίας και της φιλοσοφίας, καθώς και γυμναστική και κολύμβηση. Στο γυμνάσιο, καθηγητής του ήταν ο Έρνστ Κούμερ, ο οποίος παρατήρησε και ενθάρρυνε το ενδιαφέρον του αγοριού για τα μαθηματικά . Το 1841, ο Κρόνεκερ φοίτησε στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, όπου το ενδιαφέρον του δεν επικεντρώθηκε αμέσως στα μαθηματικά, αλλά επεκτάθηκε σε διάφορους τομείς, συμπεριλαμβανομένης της αστρονομίας και της φιλοσοφίας. Πέρασε το καλοκαίρι του 1843 σπουδάζοντας αστρονομία στο Πανεπιστήμιο της Βόννης και το 1843-44 στο Πανεπιστήμιο του Μπρέσλαου, ακολουθώντας τα βήματα του πρώην καθηγητή του Κούμερ. Όταν επέστρεψε στο Βερολίνο, ο Κρόνεκερ σπούδασε μαθηματικά με τον Πέτερ Γκούσταβ Λεζέν Ντίριχλετ και το 1845 υπερασπίστηκε τη διατριβή του για την αλγεβρική θεωρία των αριθμών, η οποία γράφτηκε υπό την επίβλεψη του Ντίριχλετ. Μετά την αποφοίτησή του, ο Κρόνεκερ δεν ακολούθησε το ενδιαφέρον του για την έρευνα στο πλαίσιο μιας ακαδημαϊκής καριέρας. Επέστρεψε στη γενέτειρά του για να διαχειριστεί ένα μεγάλο αγρόκτημα του θείου της μητέρας του, πρώην τραπεζίτη. Το 1848 παντρεύτηκε την ξαδέλφη του, τη Φάνι Πράουσνιτσερ, με την οποία απέκτησε έξι παιδιά. Για αρκετά χρόνια, ο Κρόνεκερ επικεντρώθηκε στις επιχειρήσεις και, αν και συνέχισε να μελετά μαθηματικά ως χόμπι και αλληλογραφούσε με τον Κούμερ, δεν δημοσίευσε κανένα μαθηματικό αποτέλεσμα. Το 1853, έγραψε μια διατριβή για την αλγεβρική επιλυσιμότητα των εξισώσεων, η οποία επέκτεινε το έργο του Εβαρίστ Γκαλουά για τη θεωρία των εξισώσεων. Χάρη στις εμπορικές του δραστηριότητες, ο Κρόνεκερ ήταν οικονομικά ευκατάστατος και μπόρεσε να επιστρέψει στο Βερολίνο το 1855 για να συνεχίσει τις μαθηματικές του σπουδές ως ιδιώτης ερευνητής. Ο Ντίριχλετ, του οποίου η σύζυγος Ρεβέκκα καταγόταν από την πλούσια οικογένεια Μέντελσον, είχε συστήσει τον Κρόνεκερ στην ελίτ του Βερολίνου. Έγινε στενός φίλος του Καρλ Βάιερστρας, ο οποίος μόλις είχε εγγραφεί στο πανεπιστήμιο, και του πρώην καθηγητή του Κούμερ, ο οποίος μόλις είχε αναλάβει την έδρα μαθηματικών του Ντίριχλετ. Τα επόμενα χρόνια, ο Κρόνεκερ δημοσίευσε πολυάριθμα άρθρα που προέκυψαν από την ανεξάρτητη έρευνά του τα προηγούμενα χρόνια. Χάρη σε αυτές τις δημοσιεύσεις, εξελέγη μέλος της Ακαδημίας του Βερολίνου το 1861. Αν και δεν κατείχε επίσημη ακαδημαϊκή θέση, ως μέλος της Ακαδημίας ο Κρόνεκερ είχε το δικαίωμα να δίνει διαλέξεις στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, κάτι που αποφάσισε να πραγματοποιήσει από το 1862. Το 1866, όταν πέθανε ο Ρίμαν, προσφέρθηκε στον Κρόνεκερ η έδρα των μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν (την οποία κατείχαν προηγουμένως ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους και ο Ντίριχλετ), αλλά αρνήθηκε, προτιμώντας να διατηρήσει τη θέση του στην Ακαδημία. Μόλις το 1883, όταν ο Κούμερ συνταξιοδοτήθηκε από το πανεπιστήμιο, ο Κρόνεκερ κλήθηκε να τον διαδεχθεί και έγινε τακτικός καθηγητής. Ο Κρόνεκερ ήταν ο επιβλέπων της διατριβής του Κουρτ Χένσελ, του Άντολφ Κνέσερ, του Ματίας Λερτς και του Φραντς Μέρτενς, μεταξύ άλλων. Η φιλοσοφική του άποψη για τα μαθηματικά τον έφερε σε σύγκρουση με αρκετούς μαθηματικούς με την πάροδο του χρόνου, κυρίως επιβαρύνοντας τη σχέση του με τον Βάιερστρας, ο οποίος παραλίγο να αποφασίσει να εγκαταλείψει το πανεπιστήμιο το 1888. Ο Κρόνεκερ πέθανε στις 29 Δεκεμβρίου 1891 στο Βερολίνο, αρκετούς μήνες μετά το θάνατο της συζύγου του. Είναι θαμμένος στο νεκροταφείο Άλτερ Σεντ Ματθαίος Κίρχοφ στο Βερολίνο-Σόνεμπεργκ, κοντά στον Γκούσταβ Κίρχοφ. Ένα σημαντικό μέρος της έρευνας του Κρόνεκερ επικεντρώθηκε στη θεωρία αριθμών και την άλγεβρα. Σε μια εργασία του 1853 σχετικά με τη θεωρία εξισώσεων και τη θεωρία Γκαλουά, διατύπωσε το θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ, αν και δεν έδωσε οριστική απόδειξη (το θεώρημα αποδείχθηκε πλήρως πολύ αργότερα από τον Ντέιβιντ Χίλμπερτ). Εισήγαγε επίσης το θεώρημα δομής για πεπερασμένα παραγόμενες αβελιανές ομάδες. Ο Κρόνεκερ μελέτησε τις ελλειπτικές συναρτήσεις και υπέθεσε το "αγαπημένο όνειρο της νεολαίας" ("liebster Jugendtraum"), μια γενίκευση που παρουσιάστηκε αργότερα από τον Χίλμπερτ σε τροποποιημένη μορφή ως το δωδέκατο πρόβλημά του. Σε μια εργασία του 1850, με τίτλο "Περί της λύσης της γενικής εξίσωσης πέμπτου βαθμού", ο Κρόνεκερ έλυσε την εξίσωση της πεντάδας εφαρμόζοντας τη θεωρία των ομάδων (αν και η λύση του δεν ήταν σε όρους ριζών: αυτό είχε ήδη αποδειχθεί αδύνατο από το θεώρημα Άμπελ-Ρουφίνι). Στην αλγεβρική θεωρία των αριθμών, ο Κρόνεκερ εισήγαγε τη θεωρία των διαιρετών ως εναλλακτική λύση στη θεωρία των ιδανικών του Ντέντεκιντ, την οποία θεώρησε απαράδεκτη για φιλοσοφικούς λόγους. Αν και η γενική υιοθέτηση της προσέγγισης του Ντέντεκιντ οδήγησε στην αγνόηση της θεωρίας του Κρόνεκερ για μεγάλο χρονικό διάστημα, οι διαιρέτες του θεωρήθηκαν χρήσιμοι και αναβίωσαν από αρκετούς μαθηματικούς τον 20ό αιώνα. Ο Κρόνεκερ συνέβαλε επίσης στην έννοια της συνέχειας, ανακατασκευάζοντας τη μορφή των άρρητων αριθμών στους πραγματικούς αριθμούς. Στην ανάλυση, ο Kronecker απέρριψε τη διατύπωση του συναδέλφου του Καρλ Βάιερστρας για μια συνάρτηση που είναι συνεχής και πουθενά διαφορίσιμη. Προς τιμήν του Κρόνεκερ ονομάστηκαν επίσης ο οριακός τύπος Κρόνεκερ, η σύμπτωση Κρόνεκερ, το δέλτα Κρόνεκερ, το χτένι Κρόνεκερ, το σύμβολο Κρόνεκερ, το γινόμενο Κρόνεκερ, η μέθοδος Κρόνεκερ για την παραγοντοποίηση πολυωνύμων, η υποκατάσταση Κρόνεκερ, το θεώρημα Κρόνεκερ στη θεωρία αριθμών, το λήμμα Κρόνεκερ και οι αριθμοί Αϊζενστάιν-Κρόνεκερ. Ο φινιτισμός του Κρόνεκερ τον κατέστησε πρόδρομο του διαισθητισμού στα θεμέλια των μαθηματικών. Ο Κρόνεκερ εξελέγη μέλος πολλών ακαδημιών: Πρωσική Ακαδημία Επιστημών (1861) Γαλλική Ακαδημία Επιστημών (1868) Βασιλική Εταιρεία (1884).Ο αστεροειδής 25624 Kronecker πήρε το όνομά του. Men of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1986, ISBN 978-0-671-62818-5 Davis, Martin (2001), Engines of Logic Mathematicians and the Origin of the Computer, W. W. Norton & Company, ISBN 978-0-393-32229-3 Edwards, Harold (1987), «An Appreciation of Kronecker», Mathematical Intelligencer 9 (1): 28–35, doi:10.1007/BF03023570 Edwards, Harold (1989), «Kronecker's Views on the Foundations of Mathematics», στο: Rowe, D. E.; McCleary, J., επιμ., The History of Modern Mathematics, 1, Academic Press, σελ. 67–78, ISBN 978-0-12-599661-7, https://archive.org/details/historyofmodernm0000symp/page/67 Ewald, William B., επιμ.. (1996), «On the concept of number», From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2, Oxford University Press, σελ. 947–955, ISBN 978-0-19-850536-5 From Frege to Gödel A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press, 1977, ISBN 978-0-674-32449-7 Weber, H. (1893), «Leopold Kronecker», Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) 43: 1–25, doi:10.1007/BF01446613, ISSN 0025-5831, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN235181684_0043/PPN235181684_0043___LOG_0007.pdf