Γεωμετρική θεωρία ομάδων

Η Γεωμετρική θεωρία ομάδων είναι περιοχή των μαθηματικών αφιερωμένη στη μελέτη των πεπερασμένα παραγομένων ομάδων μέσω διερεύνησης των συνδέσεων μεταξύ αλγεβρικών ιδιοτήτων των ομάδων αυτών και τοπολογικών και γεωμετρικών ιδιοτήτων των χώρων στις οποίες δρουν οι ομάδες αυτές (δηλαδή όταν οι εν λόγω ομάδες αναγνωρίζονται ως γεωμετρικές συμμετρίες ή συνεχείς μεταμορφώσεις κάποιων χώρων). Μια άλλη σημαντική ιδέα στη γεωμετρική θεωρία ομάδων είναι να εξετάσει πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες αναγνωρίζοντας τες ως γεωμετρικά αντικείμενα. Αυτό γίνεται συνήθως με τη μελέτη των γραφημάτων Cayley των ομάδων, η οποία, εκτός από το γράφημα δομή, είναι προικισμένη με την δομή του μετρικού χώρου, δόθηκε από το λεγόμενο word μετρική. Η γεωμετρική θεωρία ομάδων ως ξεχωριστή περιοχή είναι σχετικά νέα, και έγινε αναγνωρίσιμος κλάδος των μαθηματικών στα τέλη του 1980 και αρχές της δεκαετίας του 1990. Η γεωμετρική θεωρία ομάδων αλληλεπιδρά στενά με χαμηλή διαστάσεων τοπολογία, υπερβολική γεωμετρία, αλγεβρική τοπολογία, υπολογιστική θεωρία ομάδων και διαφορική γεωμετρία. Υπάρχουν, επίσης, σημαντικές συνδέσεις με την θεωρία πολυπλοκότητας, την μαθηματική λογική, την μελέτη των Ομάδων Lie και τις διακριτές υποομάδες αυτών, τα δυναμικά συστήματα, τη θεωρία πιθανοτήτων, τη Κ-θεωρία, και άλλες περιοχές των μαθηματικών. Στην εισαγωγή του βιβλίου του, Θέματα Γεωμετρικής Θεωρίας Ομάδων, ο Pierre de la Harpe έγραψε: «Μία από τις προσωπικές μου πεποιθήσεις είναι ότι γοητεία με συμμετρίες και οι ομάδες είναι ένας τρόπος αντιμετώπισης των απογοητεύσεων των περιορισμών της ζωής: θα θέλαμε να αναγνωρίσουμε συμμετρίες που μας επιτρέπουν να αναγνωρίσουμε περισσότερα από αυτά που μπορούμε να δούμε. με αυτή την έννοια η μελέτη της θεωρίας της γεωμετρικής ομάδας είναι ένα μέρος του πολιτισμού, και μου θυμίζει πολλά πράγματα που Georges de Rham εφάρμοσε σε πολλές περιπτώσεις, όπως η διδασκαλία των μαθηματικών, να εκθέσει Στεφάν Μαλαρμέ (Stéphane Mallarmé), ή χαιρετισμό μια φίλο." (σελίδα 3 ).

 Η γεωμετρική θεωρία ομάδων αυξήθηκε από τη συνδυαστική θεωρία ομάδων που, σε μεγάλο βαθμό, μελέτησε τις ιδιότητες των διακριτών ομάδων μέσω της ανάλυσης ομαδικών παρουσιάσεών, που περιγράφουν ομάδες πηλίκα των ελεύθερων ομάδων * αυτό το πεδίο ήταν το πρώτη που συστηματικά μελετήθηκε από τον Walther von Dyck, μαθητής του Φέλιξ Κλάιν (Felix Klein), στις αρχές της δεκαετίας του 1880, ενώ σε μια πρώιμη μορφή βρισκόταν το 1856 ο Icosian Λογισμός του Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον (William Rowan Hamilton), πού σπούδασε την εικοσάεδρη συμμετρία ομάδας μέσω του γραφήματος άκρης ( edge graph ) του δωδεκάεδρου. Επί του παρόντος, η συνδυαστική θεωρία ομάδων, σαν μια περιοχή που σε μεγάλο βαθμό έχει ενταχθεί από την γεωμετρική θεωρία ομάδων. Επιπλέον, ο όρος "γεωμετρική θεωρία ομάδων" παρουσιάζεται συχνά να περιλαμβάνει τη μελέτη διακριτών ομάδων με τη χρήση πιθανοτήτων, το μέτρο της θεωρίας, τις αριθμητικές, αναλυτικές και άλλες προσεγγίσεις που βρίσκονται έξω από το παραδοσιακό οπλοστάσιο της συνδυαστικής θεωρίας ομάδων. Στο πρώτο μισό του 20ου αιώνα, το πρωτοποριακό έργο των Dehn, Nielsen, Reidemeister και Schreier, Whitehead, van Kampen, μεταξύ άλλων, εισήγαγε κάποιες τοπολογικές και γεωμετρικές ιδέες στη μελέτη διακριτών ομάδων. Άλλοι πρόδρομοι της γεωμετρικής θεωρίας ομάδων περιλαμβάνουν την μικρή ακύρωσης θεωρία και τη Θεωρια Μπάσο–Serre. Η μικρό ακύρωση θεωρίας είχε εισαχθεί από τον Μάρτιν Grindlinger στη δεκαετία του 1960 και αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Ρότζερ Λίντον και Πολ Schupp. Μελετά τα van Kampen διαγράμματα, που αντιστοιχούν σε παρουσιάσεις πεπερασμένων ομάδων, μέσω της συνδυαστικής καμπυλότητας συνθηκών και αναγγέλλει αλγεβρικές και αλγοριθμικές ιδιότητες των ομάδων που προέρχονται από αυτή την ανάλυση. Η Μπάσο–Serre θεωρία, που θεσπίστηκε το 1977 στο βιβλίο του Serre, παρουσιάζει διαρθρωτικές αλγεβρικές πληροφορίες για τις ομάδες, μελετώντας ομάδες δράσεων simplicial trees. Εξωτερική πρόδρομοι της γεωμετρικής θεωρίας ομάδων προαναγγέλλουν τη μελέτη των πλεγμάτων στα Lie Groups ( Ομαδες Ψεμα ), ειδικά το θεωρημα του Mostow για την ακαμψια ( Mostow rigidity theorem ), η μελέτη των ομάδων του Kleinian ( Kleinian groups ), και την πρόοδο που έχει επιτευχθεί στη Τοπολογία χαμηλών διαστάσεων και στην υπερβολική γεωμετρία στη δεκαετία του 1970 και στις αρχές της δεκαετίας του 1980, με ώθηση, κυρίως, από το προγραμμα του Thrurston ( Thurston Geometrization program ). Η εμφάνιση της γεωμετρικής θεωρίας ομάδων, ως μια διακριτή περιοχή των μαθηματικών συνηθως εντοπίζονται στα τέλη της δεκαετίας του 1980 και στις αρχές της δεκαετίας του 1990. Ήταν ωθούμενη το 1987 από τη μονογραφία του Gromov "Υπερβολικές ομάδες" , που εισήγαγε την έννοια της υπερβολικής ομάδας (επίσης είναι γνωστή ως λέξη-υπερβολική ή Gromov-υπερβολική ή αρνητικά κυρτή ομάδα), η οποία συλλαμβάνει την ιδέα μιας πεπερασμένης παραγόμενης ομάδας έχοντας σε μεγάλη κλίμακα αρνητική καμπυλότητα, και από την μεταγενέστερη μονογραφία "Ασυμπτωτική Μεταβλητές με Άπειρες Ομάδες", που περιγράφεται το πρόγραμμα του Gromov για την κατανόηση διακριτών ομάδων μέχρι την σχεδόν-ισομετρία. Το έργο του Gromov είχε μια μετασχηματιστική επίδραση στην μελέτη διακριτών ομάδων και η φράση "γεωμετρική θεωρία ομάδων" άρχισε να εμφανίζεται αμέσως μετά. (βλ., π. χ.) Αξιοσημείωτα θέματα και εξελίξεις στη γεωμετρική θεωρία ομάδων στη δεκαετία του 1990 και του 2000 περιλαμβάνουν : Το πρόγραμμα του Gromov για τη μελέτη των σχεδόν-ισομετρικών(quasi-isometric) ιδιοτήτων των ομάδων. Ένα ιδιαίτερα ισχυρό και ευρύ θέμα στην περιοχή του προγράμματος του Gromov είναι ταξινόμηση των πεπερασμένα παραγόμενων ομάδων σύμφωνα με μεγάλης κλίμακας γεωμετρία. Επισήμως, αυτό σημαίνει την ταξινόμηση των πεπερασμένα παραγόμενων ομάδων με την λέξη μέτρηση μέχρι σχεδόν-ισομετρία. Αυτό το πρόγραμμα περιλαμβάνει:Η μελέτη των ιδιοτήτων που είναι αναλλοίωτη κάτω από την σχεδόν-ισομετρία. Παραδείγματα τέτοιων ιδιοτήτων των πεπερασμένων παραγόμενων ομάδων περιλαμβάνουν: το ποσοστό αύξησης μια πεπερασμένης παραγόμενης ομάδας, την isoperimetric λειτουργία ή Dehn λειτουργία των πεπερασμενων παρουσιαζόμενων ομάδων, τον αριθμό των άκρων της ομάδας * hyperbolicity της ομάδας *, ο ομοιομορφισμένος τύπος του ορίου Gromov της υπερβολικής ομάδας , τους ασυμπτωτικούς κώνους των πεπερασμένα παραγόμενων ομάδων (βλέπε π.χ. , τη διαθεσιμότητα μιας πεπερασμένης παραγόμενης ομάδας όντας σχεδόν αβελιανή (είναι σαν να έχουμε μια αβελιανή υποομάδα πεπερασμένου δείκτη), σχεδόν μηδέν, σχεδόν ελεύθερη, πεπερασμένα παρουσιάσιμενη με επιλύσιμο Λέξη Πρόβλημα, και άλλα. Θεωρήματα τα οποία χρησιμοποιούν σχεδόν-ισομετρικές μεταβλητές ώστε να αποδειχθούν αλγεβρικά αποτελέσματα για τις ομάδες, για παράδειγμα: το ανάπτυγμα του πολυωνυμικού θεωρήματος του Gromov, το θεώρημα για την στασιμότητα των άκρων,το θεώρημα του Mostow για την ακαμψία ( Mostow rigidity theorem ). Το θεώρημα της σχεδόν-ισομετρικής ακαμψίας, στην οποία κατατάσσονται αλγεβρικά όλες οι ομάδες που είναι σχεδόν-ισομετρικές σε κάποια συγκεκριμένη ομάδα ή σε κάποιο μετρικό χώρο. Αυτή την κατεύθυνση ξεκίνησε από το έργο του Schwartz στην σχεδόν ισομετρική ακαμψία των πλεγμάτων τάξης ένα και απο το έργο των Farb και Μόσερ στην σχεδόν-ισομετρική ακαμψία των ομάδων Baumslag-Solitar.Η θεωρία της λέξης-υπερβολικός και οι σχετικά υπερβολικές ομάδες. Μια ιδιαίτερα σημαντική εξέλιξη εδώ είναι το έργο της Sela το 1990 με αποτέλεσμα τη λύση του προβλήματος ισομορφισμού για τη λέξη-υπερβολικές ομάδες. Η έννοια των σχετικά υπερβολικών ομάδων εισήχθη αρχικά από Gromov το 1987 και τελειοποιήθηκε από Farb και Bowditch, στη δεκαετία του 1990. Η μελέτη των σχετικά υπερβολικων ομάδων κέρδισε την προεξοχή στη δεκαετία του 2000. Αλληλεπιδράσεις με μαθηματική λογική και τη μελέτη της θεωρίας πρώτης τάξης των ελεύθερων ομάδων. Ιδιαίτερα σημαντική πρόοδος σημειώθηκε στις περίφημες εικασίες Tarski, λόγω της εργασίας του Sela, καθώς και των Kharlampovich και Myasnikov. Η μελέτη των οριακών ομάδων κέρδισε την προεξοχή στην εισαγωγή της γλώσσας και στο μηχανισμό της μη αντιμεταθετικής αλγεβρικής γεωμετρίας. Αλληλεπιδράσεις με την επιστήμη των υπολογιστών, θεωρία της πολυπλοκότητας και θεωρία των τυπικών γλωσσών. Το θέμα αυτό αποδεικνύεται και από την ανάπτυξη της θεωρίας των αυτόματων ομάδων, μια έννοια που επιβάλλει ορισμένους γεωμετρικούς και γλωσσικούς θεωρητικούς όρους για τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού των πεπερασμένων παραγόμενων ομάδων. Η μελέτη των ισοπεριμετρικών ανισοτήτων, οι συναρτήσεις Dehn και οι γενικεύσεις τους για πεπερασμένες παρουσιαζόμενες ομάδες. Αυτό περιλαμβάνει, μεταξύ άλλων, το έργο του Birget, Ol'shanskii, Rips και Sapir που ουσιαστικά χαρακτηρίζουν τις συναρτήσεις Dehn των πεπερασμένων παρουσιαζόμενων ομάδων, καθώς και τα αποτελέσματα που παρέχουν σαφές κατασκευές των ομάδων με κλασματικές λειτουργίες Dehn. Ανάπτυξη της θεωρίας της JSJ-αποσυνθέσεις για πεπερασμένες παραγόμενες και πεπερασμένες παρουσιαζόμενες ομάδες. Συνδέσεις με γεωμετρική ανάλυση, η μελέτη των C* - άλγεβρας που σχετίζονται με διακριτές ομάδες και της θεωρίας της ελεύθερης πιθανότητας. Αυτό το θέμα παρουσιάζεται, ιδίως, από τη σημαντική πρόοδο όσον αφορά την εικασία Novikov και την εικασία Baum-Connes και την ανάπτυξη και τη μελέτη των σχετικών ομαδικών-θεωρητικών εννοιών όπως τοπολογικές επιδεκτηκότητες, ασυμπτωτική διάσταση, ομοιόμορφη ενσωμάτωση σε χώρους Hilbert, ταχεία αποσύνθεση, και ούτω καθεξής (βλέπε, για παράδειγμα, ). Αλληλεπιδράσεις με τη θεωρία της σχεδόν σύμμορφης ανάλυσης σε μετρικούς χώρους, ιδιαίτερα σε σχέση με τις εικασίες του Cannon's για το χαρακτηρισμό των υπερβολικών ομάδων με το όριο του Gromov για ομοιόμορφες 2-σφαίρες. Πεπερασμένοι κανόνες υποδιαίρεσης, επίσης, σε σχέση με τις εικασίες του Cannon. Αλληλεπιδράσεις με τις τοπολογικές δυναμικές στα πλαίσια της μελέτης δράσεις διακριτών ομάδων σε διάφορους συμπαγείς χώρους και συμπαγείς ομάδες, ιδιαίτερα τη σύγκλιση των μεθόδων της ομάδας Ανάπτυξη της θεωρίας των δράσεων της ομάδας για R {\displaystyle \mathbb {R} } -δέντρα (κυρίως ο μηχανισμός του Rips), και τις εφαρμογές της. Η μελέτη των δράσεων της ομάδας για CAT (0) χώρων και CAT (0) κυβικών συμπλεγμάτων, καθώς υποκινούνται από ιδέες της γεωμετρίας του Αλεξάντροφ. Αλληλεπιδράσεις με χαμηλών διαστάσεων τοπολογία και υπερβολική γεωμετρία, ιδιαίτερα η μελέτη των 3-πολλαπλών ομάδων (βλέπε, π.χ.., ), χαρτογραφημένες τάξεις ομάδων των επιφανειών, των πεπλεγμένων ομάδων και ομάδων Kleinian. Εισαγωγή πιθανολογικών μεθόδων για τη μελέτη αλγεβρικών ιδιοτήτων των "τυχαία" θεωρητικών αντικειμένων (ομάδες, στοιχεία της ομάδας, υποομάδες, κλπ). Μια ιδιαίτερα σημαντική εξέλιξη εδώ είναι το έργο του Gromov που χρησιμοποιούνται πιθανολογικές μεθόδους για να αποδείξει , η ύπαρξη μιας πεπερασμένης παραγώμενης ομάδας που δεν είναι ομοιόμορφα ενσωματομένες σε ένα χώρο Hilbert. Άλλες αξιοσημείωτες εξελίξεις περιλαμβάνουν την εισαγωγή και τη μελέτη της έννοιας της γενικής περίπτωση πολυπλοκότητας για την ομάδα της θεωρίας και άλλων μαθηματικών αλγορίθμων και τα αποτελέσματα των αλγεβρικών ακαμψιών για τις γενόσημες ομάδες. Η μελέτη των αυτόματων ομάδων και των Μονόδρομων επαναληπτικων ομάδων ως αυτόμορφες ομάδες των άπειρα ριζικών δέντρων. Ειδικότερα, οι ομάδες του Grigorchuk της ενδιάμεσης ανάπτυξης και τις γενικεύσεις τους, φαίνονται σε αυτό το πλαίσιο. Η μελέτη των μέτρικων - θεωρητικών ιδιοτήτων των δράσεων της ομάδας στους μετρικούς χωρούς, ιδιαίτερα η εισαγωγή και η ανάπτυξη των εννοιών του μέτρου ισοδυναμίας και της τροχιάς ισοδυναμίας, καθώς και των μετρικών και θεωτηρικών γενικεύσεων της ακαμψίας του Mostow. Η μελέτη των ενιαίων αναπαραστάσεων των διακριτών ομάδων και της περιουσίας Kazhdan (T) Η μελέτη της Out (Fn) ( οι εξωτερικές αυτόμορφες ομάδες των ελεύθερων ομάδων τάξης n) και των επιμέρους αυτομορφισμών των ελεύθερων ομάδων. Η εισαγωγή και η μελέτη του εξωτερικου διαστήματος των Culler-Vogtmann και της θεωρίας των γραμμων του τρένου για ελεύθερες αυτόμορφες ομάδες έπαιξε ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο εδώ. Ανάπτυξη της θεωρίας Bass-Serre, ιδιαίτερα ποικίλα αποτελέσματα προσβασιμότητα και η θεωρία των δεντροπλεγμάτων. Οι γενικεύσεις της θεωρίας των Bass-Serre, όπως η θεωρία των συμπλόκων των ομάδων. Η μελέτη των τυχαίων διαδρομών σε ομάδες και η σχετική θεωρία του ορίου, ιδιαίτερα την έννοια του ορίου του Poisson (βλ. Π.χ., ). Η μελέτη της επιδεκτηκότητας και των ομάδων των οποίων η κατάσταση της επιδεκτηκότητας είναι ακόμα άγνωστη. Αλληλεπιδράσεις με την θεωρία των πεπερασμένων ομάδων , ιδίως η πρόοδος στη μελέτη της ανάπτυξης υποομάδων. Η μελετη υποομάδων και πλεγμάτων σε γραμμική ομάδες, όπως η S L ( n , R ) {\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )} , καθώς και των άλλων ομάδων Ψεμα, μέσω γεωμετρικών μεθόδων (π.χ. κτίρια), αλγεβρο-γεωμετρικά εργαλεία (π.χ. αλγεβρικές ομάδες και ποικιλίες εκπροσώπηση), αναλυτικές μέθοδοι (π.χ. ενιαίες παραστάσεις για χώρους Hilbert) και αριθμητικές μέθοδοι. Μαθηματικά εργαλεία για την μελέτη των ομάδων, χρησιμοποιώντας αλγεβρικές και τοπογραφικών μεθόδων, ιδίως αυτών που αφορούν την αλληλεπίδραση με αλγεβρική τοπολογία και τη χρήση των ιδεών της Θεωρίας Μορς ή στο συνδυαστικό πλαίσιο μεγάλης ή τραχιας κλιμακας (βλέπε π.χ. ) homological και cohomological μεθόδους. Η πρόοδος στα θεματα της παραδοσιακής συνδυαστικής θεωρίας ομάδων, όπως το πρόβλημα Burnside,. Η μελέτη των ομάδων Coxeter και των ομάδων Artin, και ούτω καθεξής (οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για να μελετήσουν τα ζητήματα αυτά σήμερα είναι συχνά γεωμετρικοί και τοπολογικοί). Τα ακόλουθα παραδείγματα σύχνα μελετούνται στην Γεωμετρική Θεωρία Ομάδων : Υπαγόμενες Ομάδες Τα πηλίκα των ελεύθερων ομάδων για γεννήτριες Οι άπειρα κυκλικές ομάδες Ζ Ελεύθερες ομάδες Ελεύθερη παραγωγή ομάδων Εξωτερική ομάδα αυτομορφισμού Out(Fn) (via outer space) Υπερβολικές ομάδες Χαρτογράφηση κατηγοριών ομάδας (Αυτομορφισμός των επιφανειών ) Συμμετρικές ομάδες Πλεκόμενες ομάδες Ομάδες του Coxeter Γενικές Ομάδες Artin F Ομάδες Thompson Ομάδες CAT(0) Αριθμητικές ομάδες Αυτόματες ομάδες Fuchsian Ομάδες (Μια διακριτή ομάδα ολοκληρωτικών μετασχηματισμών) ,Ομαδες Kleinian και άλλες ομάδες που ενεργούν ασυνεχώς σε συμμετρικούς χώρους , ιδίως πλέγματα σε ομάδες-ψέμα . Ομάδες συμμετρικών επιπέδων Ομάδες Baumslag-Solitar Θεμελιώδεις ομάδες των γραφημάτων των ομάδων Ομάδες του Grigorchuk Το πινγκ-πονγκ λήμμα, είναι ένας χρήσιμος τρόπος για να εκθέσουν την ομάδα ως ένα δωρεάν προϊόν. Υπαγόμενες Ομάδες Ο μετασχηματισμός του Nielsen Ο μετασχηματισμός του Tietze Τα κείμενα αυτά καλύπτουν τη γεωμετρική θεωρία ομάδων και που σχετίζονται με θέματα : B. H. Μάτ Τζόουνς. Μαθήματα σχετικά με τη γεωμετρική θεωρία ομάδων. MSJ Απομνημονεύματα, 16. Μαθηματικής εταιρείας της Ιαπωνίας, το Τόκιο, το 2006. ISBN 4-931469-35-3 M. R. Bridson και Α. Haefliger, Μετρικοί χώροι με μη-θετική καμπυλότητα. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Θεμελιώδεις Αρχές των Μαθηματικών Επιστημών], vol. 319. Springer-Verlag, Βερολίνο, 1999. ISBN 3-540-64324-9 Michel Coornaert, Tomas Delzant και Αθανάσιος Παπαδόπουλος, "Géométrie et théorie des groupes : les groupes hyperboliques de Gromov", Lecture Notes in Mathematics, vol. 1441, Springer-Verlag, Berlin, 1990, x+165 pp. Ο Κ. 92f:57003, ISBN 3-540-52977-2 Michel Coornaert και Αθανάσιος Παπαδόπουλος, Συμβολική δυναμική και υπερβολικές ομάδες. Σημειώσεις στα Μαθηματικά. 1539. Springer-Verlag, Berlin, 1993, viii+138 pp. ISBN 3-540-56499-3 P. de la Harpe, Θέματα στη γεωμετρική θεωρία ομάδων. Σικάγο. Διαλέξεις στα Μαθηματικά. University of Chicago Press, Σικάγο, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6 Δ. Β. Α. Epstein, J. W. Cannon, Δ. Χολτ, S. Levy, M. Paterson, W. Thurston. Επεξεργασία κειμένου σε ομάδες. Jones και Bartlett Publishers, Boston, MA, 1992. ISBN 0-86720-244-0 Μ. Gromov, Υπερβολική Ομάδες, "Δοκίμια στην Ομάδα Θεωρία" (G. M. Γκέρστεν, ed.), MSRI Εκδ. 8, 1987, σελ. 75-263. ISBN 0-387-96618-8 Μ. Gromov, Ασυμπτωτική μεταβλητές με άπειρες ομάδες, σε "Γεωμετρική Θεωρία ομάδων", Vol. 2 (Sussex, 1991), το Λονδίνο Μαθηματική εταιρεία Διάλεξη Σημείωση Σειρά, 182, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, pp. 1-295 Μ. Kapovich, Υπερβολικές πολλαπλότητες και διακριτές ομάδες. Πρόοδος στα Μαθηματικά, 183. Birkhäuser Βοστώνη, Inc., Βοστώνη, MA, 2001 R. Λύντον και Π. Schupp, Συνδυαστική Θεωρία ομάδων, Springer-Verlag, Berlin, 1977. Ανατυπωθεί τα "Κλασικά μαθηματικά" της σειράς, 2000. ISBN 3-540-41158-5 A. Yu. Ol'shanskii, Γεωμετρία που καθορίζει τις σχέσεις σε ομάδες. Μετάφραση από το 1989 ρωσικό πρωτότυπο από Yu. Α. Bakhturin. Μαθηματικά και τις Εφαρμογές της (Σοβιετικής Σειρά), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Ντόρντρεχτ, 1991 J. Roe, Διαλέξεις σε τραχύ γεωμετρία. Διάλεξη Στο Πανεπιστήμιο Της Σειράς, 31. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-3332-4 Jon McCammond's Geometric Group Theory Page What is Geometric Group Theory? By Daniel Wise Open Problems in combinatorial and geometric group theory Geometric group theory Theme on arxiv.org