Θεώρημα μέσης τιμής

Στα Μαθηματικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ. στο εξής) γεωμετρικά διατυπώνεται ως εξής: δοσμένης μιας επίπεδης καμπύλης και δυο σημείων της, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της καμπύλης να είναι παράλληλη προς την τέμνουσα που ορίζουν τα παραπάνω σημεία. Το Θ.Μ.Τ στη σύγχρονη μορφή διατυπώθηκε από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Είναι ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα του διαφορικού λογισμού, καθώς και ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στη μαθηματική ανάλυση αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα. Το Θ.Μ.Τ είναι επακόλουθο του θεωρήματος του Μισέλ Ρολ.

 Έστω μια συνάρτηση f {\displaystyle f} συνεχής στο διάστημα [ α , β ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} και παραγωγίσιμη στο ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} . Υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ∈ ( α , β ) {\displaystyle x_{0}\in (\alpha ,\beta )} τέτοιο ώστε: f ′ ( x 0 ) = f ( β ) − f ( α ) β − α {\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}} .Αυτή η σχέση είναι γνωστή κι ως μορφή Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ και δηλώνει ότι για κάθε ευθεία από δύο σημεία γραφικής παράστασης σε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση υπάρχει εφαπτομένη στην καμπύλη της συνάρτησης που να της είναι παράλληλη. Η ποσότητα λ = f ( β ) − f ( α ) β − α {\displaystyle \lambda ={\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}} παριστά την κλίση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία A ( α , f ( α ) ) {\displaystyle A(\alpha ,f(\alpha ))} και B ( β , f ( β ) ) {\displaystyle B(\beta ,f(\beta ))} . Το Θ.Μ.Τ. είναι μια γενίκευση του θεωρήματος Ρολ, η οποία υποθέτει f ( α ) = f ( β ) {\displaystyle f(\alpha )=f(\beta )} , έτσι ώστε το δεξί μέλος της παραπάνω σχέσης να είναι μηδέν. Σημείωση : Το θεώρημα όπως αναφέρεται, δεν αληθεύει, αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση παίρνει μιγαδικές τιμές. Για παράδειγμα, αν ορίσουμε την f ( x ) = e i x {\displaystyle f(x)=e^{ix}} τότε : f ( 2 π ) − f ( 0 ) 2 π − 0 = 0 {\displaystyle {\frac {f(2\pi )-f(0)}{2\pi -0}}=0} ενώ f ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x)\neq 0} . Ορίζουμε την συνάρτηση g ( x ) = f ( x ) − f ( β ) − f ( α ) β − α ⋅ ( x − α ) {\displaystyle g(x)=f(x)-{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}\cdot (x-\alpha )} . Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με πρώτη παράγωγο ίση με g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − f ( β ) − f ( α ) β − α {\displaystyle g'(x)=f'(x)-{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}} και επιπλέον g ( α ) = g ( β ) {\displaystyle g(\alpha )=g(\beta )} οπότε πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Ρολ συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ∈ ( α , β ) {\displaystyle x_{0}\in (\alpha ,\beta )} ώστε g ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle g'(x_{0})=0} από όπου παίρνουμε f ′ ( x 0 ) − f ( β ) − f ( α ) β − α = 0 ⇒ f ′ ( x 0 ) = f ( β ) − f ( α ) β − α {\displaystyle f'(x_{0})-{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}=0\Rightarrow f'(x_{0})={\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}} . Το Θ.Μ.Τ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη πολλών ανισοτήτων όπως για παράδειγμα της e x ≥ x + 1 {\displaystyle e^{x}\geq x+1} η οποία για x=0 γίνεται ισότητα ενώ για x>0 η συνάρτηση f ( t ) = e t {\displaystyle f(t)=e^{t}} ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο διάστημα [ 0 , x ] {\displaystyle [0,x]} με πρώτη παράγωγο f ′ ( t ) = e t ≥ e 0 = 1 {\displaystyle f'(t)=e^{t}\geq e^{0}=1} ∀ {\displaystyle \forall } t ∈ [ 0 , x ] {\displaystyle t\in [0,x]} άρα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ θα υπάρχει ξ ∈ [ 0 , x ] {\displaystyle \xi \in [0,x]} ώστε f ′ ( ξ ) = f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = e x − 1 x ≥ 1 ⇒ e x ≥ x + 1 {\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}={\frac {e^{x}-1}{x}}\geq 1\Rightarrow e^{x}\geq x+1} ομοίως για την περίπτωση όπου x<0 . Ας θεωρήσουμε μια συνεχή συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ {\displaystyle \Delta } . Εάν f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} σε κάθε εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ {\displaystyle \Delta } , τότε η f {\displaystyle f} είναι σταθερή συνάρτηση στο Δ {\displaystyle \Delta } . Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε x 1 , x 2 ∈ Δ {\displaystyle x_{1},x_{2}\in \Delta } ισχύει f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} . Πράγματι ● Αν x 1 = x 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}} , τότε προφανώς f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} . ● Αν x 1 {\displaystyle x_{1}} < x 2 {\displaystyle x_{2}} τότε στο διάστημα [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle [x_{1},x_{2}]} η f {\displaystyle f} ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ ∈ ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \xi \in (x_{1},x_{2})} τέτοιο, ώστε f ′ ( ξ ) = f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 2 − x 1 {\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}} , (1) Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ {\displaystyle \Delta } , ισχύει f ′ ( ξ ) = 0 {\displaystyle f'(\xi )=0} , οπότε, λόγω της (1), είναι f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} . Αν x 2 {\displaystyle x_{2}} < x 1 {\displaystyle x_{1}} τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} . Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} . Με την χρήση του ΘΜΤ θα αποδείξουμε ότι ( η μ x ) 2 + ( σ υ ν x ) 2 = 1 {\displaystyle (\eta \mu x)^{2}+(\sigma \upsilon \nu x)^{2}=1} . Ορίζουμε την συνάρτηση f ( x ) = ( η μ x ) 2 + ( σ υ ν x ) 2 {\displaystyle f(x)=(\eta \mu x)^{2}+(\sigma \upsilon \nu x)^{2}} η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f ′ ( x ) = 2 ⋅ ( η μ x ) ⋅ ( σ υ ν x ) − 2 ( σ υ ν x ) ⋅ ( η μ x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=2\cdot (\eta \mu x)\cdot (\sigma \upsilon \nu x)-2(\sigma \upsilon \nu x)\cdot (\eta \mu x)=0} άρα η f {\displaystyle f} είναι σταθερή. Δηλαδή f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} για κάθε x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . Η τιμή της σταθερά βρίκεται θέτοντας x=0 οπότε c = f ( 0 ) = 1 {\displaystyle c=f(0)=1} δηλαδή f ( x ) = 1 ⇒ ( η μ x ) 2 + ( σ υ ν x ) 2 = 1 {\displaystyle f(x)=1\Rightarrow (\eta \mu x)^{2}+(\sigma \upsilon \nu x)^{2}=1} για κάθε x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . Το Θεώρημα μέσης τιμής του Κωσύ, γνωστό και ως επεκτεταμένο θεώρημα μέσης αποτελεί μια γενίκευση του Θ.Μ.Τ και αναφέρει το εξής: Εάν οι συναρτήσεις f {\displaystyle f} και g {\displaystyle g} είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα [ α , β ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} και παραγωγίσιμες στο ανοικτό διάστημα ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} , τότε υπάρχει κάποιo c ∈ ( α , β ) {\displaystyle c\in (\alpha ,\beta )} , τέτοιο ώστε f ′ ( c ) g ′ ( c ) = f ( β ) − f ( α ) g ( β ) − g ( α ) ⋅ {\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{g(\beta )-g(\alpha )}}\cdot } εφόσον βέβαια ισχύουνε οι περιορισμοί g ( α ) ≠ g ( β ) {\displaystyle g(\alpha )\neq g(\beta )} και g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} . Η απόδειξη του θεωρήματος μέσης τιμής του Κωσύ βασίζεται στην ίδια ιδέα με την απόδειξη του θεωρήματος μέσης τιμής. Ας υποθέσουμε ότι η g ( a ) ≠ g ( b ) {\displaystyle g(a)\neq g(b)} . Ορίζουμε h ( x ) = f ( x ) − r g ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)} , όπου το r {\displaystyle r} καθορίζεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε h ( a ) = h ( b ) {\displaystyle h(a)=h(b)} , δηλαδή h ( a ) = h ( b ) ⟺ f ( a ) − r g ( a ) = f ( b ) − r g ( b ) ⟺ r ( g ( b ) − g ( a ) ) = f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle h(a)=h(b)\Longleftrightarrow f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\Longleftrightarrow r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } . ⟺ r = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) {\displaystyle \Longleftrightarrow r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}} ● Δεδομένου ότι f {\displaystyle f} και g {\displaystyle g} είναι συνεχείς στο [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} και παραγωγίσιμες στο ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , το ίδιο ισχύει και για την h. Συνολικά, η h πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος του Ρολ κατά συνέπεια, υπάρχει κάποια c στο ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} τέτοιο ώστε h ′ ( c ) = 0 {\displaystyle h'(c)=0} . Από την ισότητα h ( x ) = f ( x ) − r g ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)} προκύπτει ότι h ′ ( c ) = 0 ⟺ f ′ ( c ) − r g ′ ( c ) = 0 ⟺ f ′ ( c ) = r g ′ ( c ) ⟺ f ′ ( c ) g ′ ( c ) = r ⟺ f ′ ( c ) g ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) . {\displaystyle h'(c)=0\Longleftrightarrow f'(c)-r\,g'(c)=0\Longleftrightarrow \,f'(c)=\,r\,g'(c)\Longleftrightarrow {\frac {f'(c)}{g'(c)}}=r\Longleftrightarrow {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.} ● Αντιθέτως, αν g ( a ) = g ( b ) {\displaystyle g(a)=g(b)} εφαρμοσθεί το θεώρημα Ρολ στην g {\displaystyle g} , τότε προκύπτει ότι υπάρχει c {\displaystyle c} στο διάστημα ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} για το οποίο ισχύει g ( c ) = 0 {\displaystyle g(c)=0} . Για αυτή την επιλογή του c {\displaystyle c} το θεώρημα μέσης τιμής του Cauchy (προφανώς) ισχύει. Αν η συνάρτηση f {\displaystyle f} : [ α , β ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} → R {\displaystyle \mathbb {R} } είναι συνεχής και διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (a, b), τότε ∃ x 0 ∈ ( α , β ) {\displaystyle \exists \ x_{0}\in (\alpha ,\beta )} ώστε ∫ α β f ( t ) φ ( t ) d t = f ( x 0 ) ⋅ ∫ α β φ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(t)\varphi (t)\,dt=f(x_{0})\cdot \int _{\alpha }^{\beta }\varphi (t)\,dt.} Ειδικότερα, αν φ ( t ) = 1 {\displaystyle \varphi (t)=1} για όλα τα t {\displaystyle t} στο [ α , β ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} , τότε υπάρχει x 0 {\displaystyle x_{0}} στο ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} τέτοιo ώστε : ∫ α β f ( t ) d t = f ( x 0 ) ( β − α ) {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(t)\,dt=\ f(x_{0})(\beta -\alpha )} . (2) ● Η σχεσή αυτή συναντάται κυρίως με την μορφή 1 β − α ∫ α β f ( t ) d t = f ( x 0 ) . {\displaystyle {\frac {1}{\beta -\alpha }}\int _{\alpha }^{\beta }f(t)\,dt=\ f(x_{0}).} ● Ο αριθμός ∫ α β f ( t ) d t β − α {\displaystyle {\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(t)dt}{\beta -\alpha }}} ονομάζεται μέση τιμή της συνάρτησης f {\displaystyle f} στο [ α , β ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} και συμβολίζεται ως f ¯ {\displaystyle {\bar {f}}} . Σχόλιο : Γεωμετρικά, η μέση τιμή f ¯ {\displaystyle {\bar {f}}} μιας μη αρνητικής συνάρτησης f {\displaystyle f} στο διάστημα [ α , β ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} παριστάνει το ύψος του ορθογωνίου που έχει βάση το [ α , β ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} και εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα xʹx και τις ευθείες x = α {\displaystyle x=\alpha } και x = β {\displaystyle x=\beta } Απόδειξη Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι f ( t ) ≥ 0 {\displaystyle f(t)\geq 0} . Επειδή η f {\displaystyle f} είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα το θεώρημα μεγίστης ελαχίστης τιμής μας εξασφαλίζει την ύπαρξη m {\displaystyle m} και M {\displaystyle M} ώστε m ≤ f ( t ) ≤ M {\displaystyle m\leq f(t)\leq M} . οπότε m ⋅ I = ∫ α β m ⋅ φ ( t ) d t ≤ ∫ α β f ( t ) ⋅ φ ( t ) d t ≤ ∫ α β M ⋅ φ ( t ) d t = M ⋅ I {\displaystyle m\cdot I=\int _{\alpha }^{\beta }m\cdot \varphi (t)\,dt\leq \int _{\alpha }^{\beta }f(t)\cdot \varphi (t)\,dt\leq \int _{\alpha }^{\beta }M\cdot \varphi (t)\,dt=M\cdot I} (3) όπου I := ∫ a b φ ( t ) d t {\displaystyle I:=\int _{a}^{b}\varphi (t)\,dt} . Οπότε αν I = 0 {\displaystyle I=0} , η ισότητα (2) είναι αληθής αλλιώς τη σχέση (3) την διαιρούμε με Ι και προκύπτει ότι m ≤ ∫ α β f ( t ) ⋅ φ ( t ) d t I ≤ M {\displaystyle m\leq {\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(t)\cdot \varphi (t)\,dt}{I}}\leq M} ώστε πάλι με τη χρήση του θεώρηματος μεγίστης ελαχίστης τιμής προκύπτει ότι ∃ x 0 ∈ ( α , β ) {\displaystyle \exists \ x_{0}\in (\alpha ,\beta )} με f ( x 0 ) = ∫ α β f ( t ) ⋅ φ ( t ) d t I {\displaystyle f(x_{0})={\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(t)\cdot \varphi (t)\,dt}{I}}} Υπάρχει ένα ελαφρώς διαφορετικό θεώρημα που ονομάζεται δεύτερο θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα. Μια πιο διαδεδομένη μορφή του θεωρήματος είναι η παρακάτω: Έστω G : [ a , b ] {\displaystyle G:[a,b]} → R {\displaystyle \mathbb {R} } είναι μια θετική, φθίνουσα συνάρτηση και ϕ : [ a , b ] {\displaystyle \phi :[a,b]} → R {\displaystyle \mathbb {R} } είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση, τότε υπάρχει ένας αριθμός x {\displaystyle x} στο ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} τέτοιος ώστε ∫ a b G ( t ) φ ( t ) d t = G ( a + 0 ) ∫ a x φ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a+0)\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.} Το G ( a + 0 ) {\displaystyle G(a+0)} αναπαριστά το lim a + G {\displaystyle {{\underset {a_{+}}{\lim }}G}} η ύπαρξη των οποίων απορρέει από τις συνθήκες. Είναι απαραίτητο το διάστημα ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} να περιέχει το b {\displaystyle b} . Μία παραλλαγή στην οποία δεν απαιτείται ο συγκεκριμένος περιορισμός είναι η εξής: Έστω G : [ a , b ] {\displaystyle G:[a,b]} → R {\displaystyle \mathbb {R} } είναι μονότονη (όχι απαραίτητα φθίνουσα και θετική) συνάρτηση και ϕ : [ a , b ] {\displaystyle \phi :[a,b]} → R {\displaystyle \mathbb {R} } είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση, τότε υπάρχει ένας αριθμός x {\displaystyle x} στο ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} τέτοιος ώστε ∫ a b G ( t ) φ ( t ) d t = G ( a + 0 ) ∫ a x φ ( t ) d t + G ( b − 0 ) ∫ x b φ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a+0)\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b-0)\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.} Αυτή η παραλλαγή αποδείχθηκε από τον Hiroshi Okamura το 1947. Θεωρούμε τρεις συναρτήσεις f , g {\displaystyle f,g} και h {\displaystyle h} οι οποίες ειναι παραγγωγίσιμες στο διάστημα ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} και συνεχείς στο [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Ορίζουμε την συνάρτηση D ( x ) = | f ( x ) g ( x ) h ( x ) f ( a ) g ( a ) h ( a ) f ( b ) g ( b ) h ( b ) | {\displaystyle D(x)=\left|{\begin{array}{ccc}f(x)\ g(x)\ h(x)\\f(a)\ g(a)\ h(a)\\f(b)\ g(b)\ h(b)\\\end{array}}\right|} τότε υπάρχει c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} ώστε D ′ ( c ) = 0 {\displaystyle D'(c)=0} όπου D ( x ) = | f ′ ( x ) g ′ ( x ) h ′ ( x ) f ( a ) g ( a ) h ( a ) f ( b ) g ( b ) h ( b ) | {\displaystyle D(x)=\left|{\begin{array}{lll}f'(x)\ g'(x)\ h'(x)\\f(a)\;g(a)\;h(a)\\f(b)\ g(b)\ h(b)\\\end{array}}\right|} Η απόδειξη προκύπτει με την χρήση του θεωρήματος Ρολ αρκεί να παρατηρήσουμε ότι D ( a ) = D ( b ) = 0 {\displaystyle D(a)=D(b)=0} καθώς σε κάθε περίπτωση η ορίζουσα έχει δυο γραμμές ίσες. Παρατήρηση : Αν θέσουμε h ( x ) = 1 {\displaystyle h(x)=1} προκύπτει το ΘΜΤ με την μορφή Cauchy ενώ αν θέσουμε επιπλέον και g ( x ) = x {\displaystyle g(x)=x} προκύπτει η μορφή Lagrange. Έστω X {\displaystyle X} και Y {\displaystyle Y} είναι μη-αρνητικές τυχαίες μεταβλητές τέτοιες ώστε E [ X ] {\displaystyle E[X]} < E [ Y ] {\displaystyle E[Y]} ≤ ∞ {\displaystyle \leq \infty } και X ≤ s t Y {\displaystyle X\leq _{st}Y} (δηλαδή η Χ είναι μικρότερη από τη Υ με τη συνηθισμένη στοχαστική σειρά). Τότε υπάρχει μια συνεχής μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή Z {\displaystyle Z} με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Z ( x ) = P ( Y ≥ x ) − P ( X ≥ x ) E [ Y ] − E [ X ] , x ≥ 0 {\displaystyle f_{Z}(x)={\frac {P(Y\geq x)-P(X\geq x)}{E[Y]-E[X]}},\qquad x\geq 0} .Έστω g μια μετρήσιμη και παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε E [ g ( X ) ] , E [ g ( Y ) ] ≤ ∞ {\displaystyle E[g(X)],E[g(Y)]\leq \infty } , με πρώτη παράγωγο μετρήσιμη και Riemann ολοκληρώσιμη στο διάστημα [ x , y ] {\displaystyle [x,y]} για y ≥ x ≥ 0 {\displaystyle y\geq x\geq 0} . Τότε η ποσότητα E [ g ′ ( Z ) ] {\displaystyle E[g'(Z)]} είναι πεπερασμένη και ισχύει E [ g ( Y ) ] − E [ g ( X ) ] = E [ g ′ ( Z ) ] [ E ( Y ) − E ( X ) ] {\displaystyle {\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)]} Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω το Θ.Μ.Τ δεν ισχύει στην περίπτωση συνάρτησης με μιγαδικές τιμές. Ισχύει όμως η εξής πρόταση : Έστω f : Ω {\displaystyle \Omega } → C {\displaystyle \mathbb {C} } μια ολόμορφη συνάρτηση στο ανοικτό και κυρτό σύνολο Ω, και έστω L η ευθεία που διέρχεται απο δυο διακεκριμένα σημεία a και b του Ω {\displaystyle \Omega } . Τότε υπάρχουνε σημεία u, v στην ευθεία ώστε ℜ ( f ′ ( u ) ) = R e ( f ( b ) − f ( a ) b − a ) {\displaystyle \Re (f'(u))=\mathrm {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)} , ℑ ( f ′ ( v ) ) = I m ( f ( b ) − f ( a ) b − a ) {\displaystyle \Im (f'(v))=\mathrm {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)} ,όπου ℜ {\displaystyle \Re } είναι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης και ℑ {\displaystyle \Im } το φανταστικό της μέρος. Θεώρημα Ρολ Μαθηματική Ανάλυση Ολοκλήρωμα Μιχάλης Παπαδημητράκης. «Σημειώσεις Απειροστικού Λογισμού» (PDF). σελ. 195. Ανακτήθηκε στις 15 Οκτωβρίου 2023. Ντουγιας, Σωτήρης Κ. Απειροστικός Λογισμός Ι. Leader Books. σελ. 331. ISBN 9607901444. Spivak, Michael. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. ISBN 978-960-524-302-9. Επεξηγηματικό βίντεο για το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο YouTube Γιαννακόπουλος, Σπύρος (Ιανουαρίου 2021). «Αξιοσημείωτα υπαρξιακά θεωρήματα Θεωρήματα: Bolzano - Rolle - Μέσης τιμής». Ευκλείδης Β΄ (119): 46-53. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_119_EYKLEIDHS_2021.pdf.