Συναρτήσεις δαπέδου και οροφής

Στα μαθηματικά και την επιστήμη υπολογιστών, η συνάρτηση δαπέδου είναι μια συνάρτηση που λαμβάνει ως είσοδο έναν πραγματικό αριθμό x και δίνει ως έξοδο τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που είναι μικρότερος ή ίσος του x, και συμβολίζεται με ⌊x⌋ ή floor(x). Ομοίως, η συνάρτηση οροφής απεικονίζει το x στον μικρότερο ακέραιο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος του x, και συμβολίζεται με ⌈x⌉ ή ceil(x).Για παράδειγμα, ⌊2.4⌋ = 2, ⌊−2.4⌋ = −3, ⌈2.4⌉ = 3 και ⌈−2.4⌉ = −2. Η συνάρτηση δαπέδου ονομάζεται επίσης και ακέραιο μέρος του x, το οποίο συχνά συμβολίζεται με [x]. Ωστόσο, ο όρος ακέραιο μέρος διαφέρει από τη συνάρτηση δαπέδου για αρνητικούς αριθμούς.

 Το ακέραιο μέρος ενός αριθμού ορίστηκε για πρώτη φορά το 1798 από τον Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ στην απόδειξη ενός τύπου του. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους εισήγαγε τη σημειογραφία [x] στην τρίτη απόδειξη της τετραγωνικής αμοιβαιότητας (1808). Αυτό παρέμεινε έτσι, έως ότου ο Kenneth E. Iverson εισήγαγε, στο βιβλίο του A Programming Language το 1962, τα ονόματα "δάπεδο" και "οροφή" και τις αντίστοιχες σημειογραφίες ⌊x⌋ και ⌈x⌉. Και οι δύο σημειογραφίες χρησιμοποιούνται τώρα στα μαθηματικά, αν και εμείς θα χρησιμοποιήσουμε τη σημειογραφία του Iverson. Σε ορισμένες πηγές, οι διπλές αγκύλες ⟦x⟧ χρησιμοποιούνται για τη συνάρτηση δαπέδου και οι αντίστροφες αγκύλες ⟧x⟦ ή ]x[ για τη συνάρτηση οροφής.Το κλασματικό μέρος ενός πραγματικού αριθμού x, που συμβολίζεται με {x}, ορίζεται από τον τύπο {x} = x − ⌊x⌋για κάθε x και ισχύει ότι: 0 ≤ {x} < 1. Έστω πραγματικοί αριθμοί x και y και ακέραιοι m και n στο σύνολο Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . Τότε, οι συναρτήσεις δαπέδου και οροφής μπορούν να οριστούν από τις εξισώσεις: ⌊ x ⌋ = max { m ∈ Z ∣ m ≤ x } , {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},} ⌈ x ⌉ = min { n ∈ Z ∣ n ≥ x } . {\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.} Εφόσον υπάρχει ακριβώς ένας ακέραιος σε ένα διάστημα μήκους ένα, για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x, υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι m και n που ικανοποιούν την εξίσωση x − 1 < m ≤ x ≤ n < x + 1 , {\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1,} όπου ⌊ x ⌋ = m {\displaystyle \lfloor x\rfloor =m} και ⌈ x ⌉ = n {\displaystyle \lceil x\rceil =n} . Αυτοί οι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απλοποίηση παραστάσεων που αφορούν τις συναρτήσεις δαπέδου και οροφής. ⌊ x ⌋ = m αν και μόνο αν m ≤ x < m + 1 , ⌈ x ⌉ = n αν και μόνο αν n − 1 < x ≤ n , ⌊ x ⌋ = m αν και μόνο αν x − 1 < m ≤ x , ⌈ x ⌉ = n αν και μόνο αν x ≤ n < x + 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{αν και μόνο αν}}&m&\leq x<m+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{αν και μόνο αν}}&n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =m&\;\;{\mbox{αν και μόνο αν}}&x-1&<m\leq x,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{αν και μόνο αν}}&x&\leq n<x+1.\end{aligned}}} Αυτοί οι τύποι δείχνουν πώς η πρόσθεση ενός ακέραιου αριθμού n στις συναρτήσεις τις επηρεάζει: ⌊ x + n ⌋ = ⌊ x ⌋ + n , ⌈ x + n ⌉ = ⌈ x ⌉ + n , { x + n } = { x } . {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}} Οι παραπάνω σχέσεις δεν ισχύουν εάν ο n δεν είναι ακέραιος. Ωστόσο, για κάθε x και y ισχύουν οι ακόλουθες ανισώσεις: ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ ≤ ⌊ x + y ⌋ ≤ ⌊ x ⌋ + ⌊ y ⌋ + 1 , ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ − 1 ≤ ⌈ x + y ⌉ ≤ ⌈ x ⌉ + ⌈ y ⌉ . {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}} Και οι δύο συναρτήσεις δαπέδου και οροφής είναι αύξουσες: x 1 ≤ x 2 ⇒ ⌊ x 1 ⌋ ≤ ⌊ x 2 ⌋ , x 1 ≤ x 2 ⇒ ⌈ x 1 ⌉ ≤ ⌈ x 2 ⌉ . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}} Είναι προφανές από τους ορισμούς ότι ⌊ x ⌋ ≤ ⌈ x ⌉ , {\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,} με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν το x είναι ακέραιος, δηλαδή: ⌈ x ⌉ − ⌊ x ⌋ = { 0 αν x ∈ Z 1 αν x ∉ Z {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{αν }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{αν }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}} Για την ακρίβεια, για τους ακέραιους αριθμούς n, ισχύει η παρακάτω σχέση: ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n . {\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.} Με την αλλαγή του προσήμου, αλλάζουν και οι συναρτήσεις δαπέδου και οροφής: ⌊ x ⌋ + ⌈ − x ⌉ = 0 − ⌊ x ⌋ = ⌈ − x ⌉ − ⌈ x ⌉ = ⌊ − x ⌋ {\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}} και: ⌊ x ⌋ + ⌊ − x ⌋ = { 0 αν x ∈ Z − 1 αν x ∉ Z , {\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{αν }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{αν }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}} ⌈ x ⌉ + ⌈ − x ⌉ = { 0 αν x ∈ Z 1 αν x ∉ Z . {\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{αν }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{αν }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}} Με την αλλαγή του προσήμου, αλλάζει και το κλασματικό μέρος: { x } + { − x } = { 0 αν x ∈ Z 1 αν x ∉ Z . {\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{αν }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{αν }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}} Οι συναρτήσεις δαπέδου, οροφής και κλασματικού μέρους είναι ταυτοτικές: ⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ , ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ , { { x } } = { x } . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}} Αν m και n είναι ακέραιοι, με n ≠ 0, τότε: 0 ≤ { m n } ≤ 1 − 1 | n | . {\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.} Αν το n είναι θετικός ακέραιος, τότε: ⌊ x + m n ⌋ = ⌊ ⌊ x ⌋ + m n ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,} ⌈ x + m n ⌉ = ⌈ ⌈ x ⌉ + m n ⌉ . {\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .} Αν το m είναι θετικός ακέραιος, τότε: n = ⌈ n m ⌉ + ⌈ n − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ n − m + 1 m ⌉ , {\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,} n = ⌊ n m ⌋ + ⌊ n + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ n + m − 1 m ⌋ . {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .} Π.χ. για m = 2, έχουμε: n = ⌊ n 2 ⌋ + ⌈ n 2 ⌉ . {\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .} Γενικότερα, για θετικό ακέραιο m: ⌈ m x ⌉ = ⌈ x ⌉ + ⌈ x − 1 m ⌉ + ⋯ + ⌈ x − m − 1 m ⌉ , {\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,} ⌊ m x ⌋ = ⌊ x ⌋ + ⌊ x + 1 m ⌋ + ⋯ + ⌊ x + m − 1 m ⌋ . {\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .} Οι παρακάτω σχέσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μετατροπή των συναρτήσεων δαπέδου σε συναρτήσεις οροφής και το αντίστροφο (m θετικός αριθμός): ⌈ n m ⌉ = ⌊ n + m − 1 m ⌋ = ⌊ n − 1 m ⌋ + 1 , {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,} ⌊ n m ⌋ = ⌈ n − m + 1 m ⌉ = ⌈ n + 1 m ⌉ − 1 , {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,} Για όλους τους θετικούς ακέραιους m και n, ισχύει ο ακόλουθος τύπος: ∑ k = 1 n − 1 ⌊ k m n ⌋ = ( m − 1 ) ( n − 1 ) + gcd ( m , n ) − 1 2 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},} ο οποίος, για θετικούς και σχετικά πρώτους αριθμούς m και n, μειώνεται στον τύπο ∑ k = 1 n − 1 ⌊ k m n ⌋ = 1 2 ( m − 1 ) ( n − 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1)} και ομοίως για τις συναρτήσεις οροφής και κλασματικού μέρους (για θετικούς και σχετικά πρώτους αριθμούς m και n): ∑ k = 1 n − 1 ⌈ k m n ⌉ = 1 2 ( m + 1 ) ( n − 1 ) , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\frac {1}{2}}(m+1)(n-1),} ∑ k = 1 n − 1 { k m n } = 1 2 ( n − 1 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\frac {1}{2}}(n-1).} Δεδομένου ότι η δεξιά πλευρά της γενικής περίπτωσης είναι συμμετρική ως προς τα m και n, αυτό σημαίνει ότι: ⌊ m n ⌋ + ⌊ 2 m n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m n ⌋ = ⌊ n m ⌋ + ⌊ 2 n m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n m ⌋ . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .} Γενικότερα, εάν τα m και n είναι θετικά, τότε: ⌊ x n ⌋ + ⌊ m + x n ⌋ + ⌊ 2 m + x n ⌋ + ⋯ + ⌊ ( n − 1 ) m + x n ⌋ = ⌊ x m ⌋ + ⌊ n + x m ⌋ + ⌊ 2 n + x m ⌋ + ⋯ + ⌊ ( m − 1 ) n + x m ⌋ . {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}} Αυτό μερικές φορές ονομάζεται νόμος της αμοιβαιότητας. Για θετικό ακέραιο n και πραγματικούς αριθμούς m και x, ισχύει ότι: ⌊ ⌊ x / m ⌋ n ⌋ = ⌊ x m n ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor } ⌈ ⌈ x / m ⌉ n ⌉ = ⌈ x m n ⌉ . {\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .} Από τις συναρτήσεις που έχουμε αναφέρει μέχρι τώρα καμία δεν είναι συνεχής, αλλά όλες έχουν κλάδους: οι συναρτήσεις ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } , ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } , και { x } {\displaystyle \{x\}} έχουν ασυνέχεια στους ακέραιους αριθμούς. Η συνάρτηση ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } είναι άνω ημισυνεχής, ενώ οι συναρτήσεις ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } και { x } {\displaystyle \{x\}} είναι κάτω ημισυνεχείς. Δεδομένου ότι καμία από τις συναρτήσεις δεν είναι συνεχής, καμία από αυτές δεν μπορεί να γραφτεί ως δυναμοσειρά. Επίσης, αφού οι συναρτήσεις δαπέδου και οροφής δεν είναι περιοδικές, δεν έχουν ομοιόμορφα συγκλίνουσες επεκτάσεις της σειράς Φουριέ. Η συνάρτηση κλασματικού μέρους έχει επέκταση σειράς Φουριέ: { x } = 1 2 − 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k , {\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}},} όπου x δεν είναι ακέραιος αριθμός. Σε σημεία ασυνέχειας, μια σειρά Φουριέ συγκλίνει σε μια τιμή που είναι ο μέσος όρος των ορίων της αριστερά και δεξιά, σε αντίθεση με τις συναρτήσεις δαπέδου, οροφής και κλασματικού μέρους: για y σταθερό και x πολλαπλάσιο του y, η σειρά Φουριέ που δίνεται συγκλίνει στο y/2, αντί στο x mod y = 0. Σε συνεχείς σημεία, η σειρά συγκλίνει στην πραγματική τιμή. Χρησιμοποιώντας τον τύπο floor(x) = x − {x}, παίρνουμε: ⌊ x ⌋ = x − 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k , {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}},} όπου x δεν είναι ακέραιος αριθμός. Για έναν ακέραιο x και έναν θετικό ακέραιο y, η συνάρτηση modulo, που συμβολίζεται με x mod y, δίνει την τιμή του υπολοίπου όταν το x διαιρείται με το y. Αυτός ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί και σε πραγματικούς αριθμούς x και y, όπου y ≠ 0, με τον τύπο: x mod y = x − y ⌊ x y ⌋ . {\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .} Στη συνέχεια, από τον ορισμό της συνάρτησης δαπέδου, προκύπτει ότι αυτός ο ορισμός ικανοποιεί πολλές ιδιότητες. Συγκεκριμένα, ο αριθμός x mod y είναι πάντα μεταξύ του 0 και του y, δηλαδή: Αν το y είναι θετικό, τότε: 0 ≤ x mod y < y {\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y} και αν το y είναι αρνητικό, τότε: 0 ≥ x mod y > y . {\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.} Η τρίτη απόδειξη της τετραγωνικής αμοιβαιότητας του Γκάους, όπως τροποποιήθηκε από τον Αϊζενστάιν, έχει δύο βασικά βήματα.Έστω p και q διακριτοί θετικοί περιττοί πρώτοι αριθμοί, και έστω m = p − 1 2 , {\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},} n = q − 1 2 . {\displaystyle n={\frac {q-1}{2}}.} Πρώτον, το λήμμα του Γκάους χρησιμοποιείται για να δείξει ότι τα σύμβολα Λεζάντρ δίνονται από τον τύπο ( q p ) = ( − 1 ) ⌊ q p ⌋ + ⌊ 2 q p ⌋ + ⋯ + ⌊ m q p ⌋ {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }} και ( p q ) = ( − 1 ) ⌊ p q ⌋ + ⌊ 2 p q ⌋ + ⋯ + ⌊ n p q ⌋ . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.} Το δεύτερο βήμα είναι να χρησιμοποιήσουμε μια γεωμετρική σειρά για να δείξουμε ότι: ⌊ q p ⌋ + ⌊ 2 q p ⌋ + ⋯ + ⌊ m q p ⌋ + ⌊ p q ⌋ + ⌊ 2 p q ⌋ + ⋯ + ⌊ n p q ⌋ = m n . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.} Ο συνδυασμός αυτών των τύπων δίνει την τετραγωνική αμοιβαιότητα στη μορφή: ( p q ) ( q p ) = ( − 1 ) m n = ( − 1 ) p − 1 2 q − 1 2 . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.} Ο αριθμός των ψηφίων στη βάση b ενός θετικού ακέραιου αριθμού k είναι: ⌊ log b ⁡ k ⌋ + 1 = ⌈ log b ⁡ ( k + 1 ) ⌉ . {\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .} Ο αριθμός των πιθανών συμβολοσειρών αυθαίρετου μήκους που δεν χρησιμοποιούν κανένα χαρακτήρα δύο φορές, δίνεται από τον τύπο ( n ) 0 + ⋯ + ( n ) n = ⌊ e n ! ⌋ , {\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor ,} όπου: n > 0 είναι ο αριθμός των γραμμάτων στο αλφάβητο (π.χ. 26 στα Αγγλικά), ( n ) k = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) {\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)} είναι ο αριθμός των συμβολοσειρών μήκους k που δεν χρησιμοποιούν κανένα χαρακτήρα δύο φορές, n! είναι το παραγοντικό του n, και e = 2,718… είναι ο αριθμός του ΌιλερΓια n = 26, ο αριθμός των πιθανών συμβολοσειρών είναι 1096259850353149530222034277. Έστω n θετικός ακέραιος αριθμός και p θετικός πρώτος αριθμός. Ο εκθέτης της υψηλότερης δύναμης του p που διαιρεί το n! δίνεται από έναν τύπο του Λεζάντρ: ⌊ n p ⌋ + ⌊ n p 2 ⌋ + ⌊ n p 3 ⌋ + ⋯ = n − ∑ k a k p − 1 , {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}},} όπου n = ∑ k a k p k {\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}} είναι ο τρόπος γραφής του n στη βάση p. Αυτό είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα, αφού οι συναρτήσεις δαπέδου είναι μηδέν όταν pk > n. Υπάρχουν τύποι για τη σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι γ = 0,5772156649 ... που περιέχουν τις συναρτήσεις δαπέδου και οροφής, π.χ.: γ = ∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x , {\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,} γ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n ( ⌈ n k ⌉ − n k ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)} και γ = ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ⌊ log 2 ⁡ k ⌋ k = 1 2 − 1 3 + 2 ( 1 4 − 1 5 + 1 6 − 1 7 ) + 3 ( 1 8 − ⋯ − 1 15 ) + ⋯ {\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots } Η συνάρτηση κλασματικού μέρους εμφανίζεται επίσης σε παραστάσεις με ολοκληρώματα στη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν. Είναι εύκολο να αποδειχθεί (χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες) ότι αν φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} είναι μια συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο κλειστό διάστημα [α, b], τότε: ∑ a < n ≤ b φ ( n ) = ∫ a b φ ( x ) d x + ∫ a b ( { x } − 1 2 ) φ ′ ( x ) d x + ( { a } − 1 2 ) φ ( a ) − ( { b } − 1 2 ) φ ( b ) . {\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).} Αν θέσουμε φ ( n ) = n − s {\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}} για το πραγματικό μέρος του s που είναι μεγαλύτερο από 1 και αν τα α και b είναι ακέραιοι, τότε, όσο το b πλησιάζει το άπειρο, έχουμε ότι: ζ ( s ) = s ∫ 1 ∞ 1 2 − { x } x s + 1 d x + 1 s − 1 + 1 2 . {\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.} Αυτός ο τύπος ισχύει για όλα τα s με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από −1, (εκτός από την τιμή s = 1) και σε συνδυασμό με την επέκταση της σειράς Φουριέ για την συνάρτηση {x} μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επέκταση της συνάρτησης ζήτα σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο.Για s = σ + it, στην κρίσιμη γραμμή 0 < σ < 1, έχουμε ότι: ζ ( s ) = s ∫ − ∞ ∞ e − σ ω ( ⌊ e ω ⌋ − e ω ) e − i t ω d ω . {\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .} Το 1947, ο βαν ντερ Πολ χρησιμοποίησε αυτή την αναπαράσταση για να κατασκευάσει έναν αναλογικό υπολογιστή που θα βρίσκει τις ρίζες της συνάρτησης ζήτα. Η συνάρτηση δαπέδου εμφανίζεται σε διάφορους τύπους για πρώτους αριθμούς. Για παράδειγμα, αφού ο αριθμός ⌊ n m ⌋ − ⌊ n − 1 m ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor } είναι ίσος με 1 όταν το m διαιρεί το n, και ίσος με 0 διαφορετικά, προκύπτει ότι ένας θετικός ακέραιος n είναι πρώτος αν και μόνο αν: ∑ m = 1 ∞ ( ⌊ n m ⌋ − ⌊ n − 1 m ⌋ ) = 2. {\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.} Υπάρχουν επίσης και τύποι για την εύρεση των πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα, έστω pn ο n-οστός πρώτος αριθμός και για κάθε ακέραιο r > 1, ορίζουμε τον πραγματικό αριθμό α ως το άθροισμα: α = ∑ m = 1 ∞ p m r − m 2 . {\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.} Τότε: p n = ⌊ r n 2 α ⌋ − r 2 n − 1 ⌊ r ( n − 1 ) 2 α ⌋ . {\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .} Έστω π(x) ο αριθμός των πρώτων που είναι μικρότεροι ή ίσοι του x. Μπορούμε να συμπεράνουμε, από το θεώρημα Wilson, ότι: π ( n ) = ∑ j = 2 n ⌊ ( j − 1 ) ! + 1 j − ⌊ ( j − 1 ) ! j ⌋ ⌋ . {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .} Επίσης, αν n ≥ 2, τότε: π ( n ) = ∑ j = 2 n ⌊ 1 ∑ k = 2 j ⌊ ⌊ j k ⌋ k j ⌋ ⌋ . {\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .} Ο Ραμανούτζαν υπέβαλε αυτά τα προβλήματα στην Εφημερίδα της Ινδικής Μαθηματικής Εταιρείας.Αν το n είναι θετικός ακέραιος αριθμός, να αποδείξετε ότι: ⌊ n 3 ⌋ + ⌊ n + 2 6 ⌋ + ⌊ n + 4 6 ⌋ = ⌊ n 2 ⌋ + ⌊ n + 3 6 ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,} ⌊ 1 2 + n + 1 2 ⌋ = ⌊ 1 2 + n + 1 4 ⌋ , {\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,} ⌊ n + n + 1 ⌋ = ⌊ 4 n + 2 ⌋ . {\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .} Έχουν αποδειχθεί ορισμένες γενικεύσεις από τις παραπάνω ταυτότητες. Η μελέτη του προβλήματος του Waring οδήγησε σε ένα άλυτο πρόβλημα: Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι k ≥ 6, τέτοιοι ώστε: 3 k − 2 k ⌊ ( 3 2 ) k ⌋ > 2 k − ⌊ ( 3 2 ) k ⌋ − 2 {\displaystyle 3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2} ?Ο Κουρτ Μάλερ απέδειξε ότι μπορεί να υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός τέτοιων k. Όμως, καμιά τιμή του k δεν έχει βρεθεί ακόμη. Πολλές γλώσσες προγραμματισμού (συμπεριλαμβανομένου τις C, C++, C#, Java, PHP, R, και Python) παρέχουν τυπικές συναρτήσεις δαπέδου και οροφής, που συνήθως ονομάζονται floor και ceil, ή λιγότερο συχνά ceiling Η γλώσσα APL χρησιμοποιεί ⌊x για τη συνάρτηση δαπέδου. Η γλώσσα προγραμματισμού J, μια συνέχεια της APL που έχει σχεδιαστεί για να χρησιμοποιεί τυπικά σύμβολα πληκτρολογίου, χρησιμοποιεί <. για τη συνάρτηση δαπέδου και >. για τη συνάρτηση οροφής. Η ALGOL χρησιμοποιεί entier για τη συνάρτηση δαπέδου. Στο Microsoft Excel, η συνάρτηση δαπέδου υλοποιείται ως INT. Η μορφή αρχείου OpenDocument, όπου χρησιμοποιείται από το OpenOffice.org, το Libreoffice και άλλα, χρησιμοποιεί επίσης INT για τη συνάρτηση δαπέδου. Παρένθεση (μαθηματικά) Συνάρτηση ακέραιου μέρους J.W.S. Cassels (1957), An introduction to Diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45, Cambridge University Press Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-94777-9, https://books.google.com/books?id=8KZ4RQufxhYC Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5 Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5, https://archive.org/details/introductiontoth00hard Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. (ISBN 0-89871-420-6)ISBN 0-89871-420-6, p. 25 ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43. Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66957-4 Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers, Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6 Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5 Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86 Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (2nd έκδοση), Oxford: Oxford U. P., ISBN 0-19-853369-1 Štefan Porubský, "Συναρτήσεις στρογγυλοποίησης ακέραιων αριθμών", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, ανακτήθηκε 24 Οκτωβρίου 2008 Weisstein, Eric W., "Συνάρτηση δαπέδου" από το MathWorld. Weisstein, Eric W., "Συνάρτηση οροφής" από το MathWorld.