Αριθμοί του Πελ

Στα μαθηματικά, οι αριθμοί του Πελ είναι μια άπειρη ακολουθία ακεραίων αριθμών που είναι γνωστοί από την αρχαιότητα, οι παρονομαστές της πλησιέστερης ρητής προσέγγισης στην τετραγωνική ρίζα του 2. Αυτή η ακολουθία των προσεγγίσεων ξεκινάει 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, και 41/29, έτσι η ακολουθία των αριθμών του Πελ ξεκινάει με 1, 2, 5, 12, και 29. Οι αριθμητές της ίδιας ακολουθίας των προσεγγίσεων είναι το ήμισυ των companion αριθμών Πελ ή αριθμοί των Πελ-Λούκας. Αυτοί οι αριθμοί σχηματίζουν μια δεύτερη άπειρη ακολουθία που ξεκινά με 2, 6, 14, 34, και 82. Μαζί, οι αριθμοί του Πελ και οι companion αριθμοί Πελ μπορούν να υπολογιστούν με την βοήθεια μιας αναδρομικής σχέσης παρόμοιας με αυτής για τους αριθμούς Φιμπονάτσι, και ακόμη και οι δυο ακολουθίες αριθμών αυξάνονται εκθετικά, αναλογικά με τις δυνάμεις της ασημένιας αναλογίας 1 + √2. Καθώς χρησιμοποιούνται για την προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του δυο, οι αριθμοί του Πελ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθεί το τετράγωνο των τριγωνικών αριθμών, για να κατασκευαστούν οι προσεγγίσεις των ακεραίων στο σωστό ισοσκελές τρίγωνο, και για να λύσει συγκεκριμένα προβλήματα συνδυαστικής απαρίθμησης. Όπως και με την εξίσωση του Πελ, το όνομα των αριθμών του Πελ πηγάζει από την λανθασμένη απόδοση του Λέοναρντ Όιλερ της εξίσωσης και των αριθμών που προέρχονται απ αυτήν του Τζον Πελ. Οι αριθμοί Πελ-Λούκας έχουν επίσης ονομαστεί από τον Έντουαρντ Λούκας, που μελέτησε ακολουθίες που καθορίζονται από επαναλήψεις του τύπου αυτού. Οι αριθμοί Πελ και οι companion αριθμοι Πελ είναι ακολουθίες του Λούκας. Φαίνεται ότι οι αριθμοί του Πελ έχουν εφαρμογή στους οκταγωνικούς καθρέπτες Bagua οι οποίοι κατασκευάζονται σε μορφή οκταγώνου καθώς το οκτάγωνο κατά την κινέζικη φιλοσοφία αντιπροσωπεύει τη δημιουργία.

 Οι αριθμοί του Πελ ορίζονται από την αναδρομική σχέση P n = { 0 αν n = 0 ; 1 αν n = 1 ; 2 P n − 1 + P n − 2 διαφορετικά. {\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{αν }}n=0;\\1&{\mbox{αν }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{διαφορετικά.}}\end{cases}}} Με λόγια, η ακολουθία των αριθμών του Πελ ξεκινάει με 0 και 1, και μετά κάθε ένας αριθμός του Πελ είναι το άθροισμα του διπλάσιου προηγούμενου αριθμού Πελ και του αριθμού του Πελ πριν απ' αυτόν. Μερικοί απ τους πρώτους όρους της ακολουθίας είναι 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378... Οι αριθμοί του Πελ μπορούν επίσης να εκφραστούν με τον τύπο κλειστής μορφής P n = ( 1 + 2 ) n − ( 1 − 2 ) n 2 2 . {\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.} Για μεγάλες τιμές του n, ο ( 1 + 2 ) n {\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}} όρος κυριαρχεί αυτήν την έκφραση, έτσι οι αριθμοί του Πελ είναι περίπου ανάλογοι στις δυνάμεις της ασημένιας αναλογίας ( 1 + 2 ) {\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})} , ανάλογοι στον ρυθμό ανάπτυξης τον αριθμών Φιμπονάτσι σαν δυνάμεις της χρυσής αναλογίας. Ένας τρίτος ορισμός είναι δυνατός, από τον τύπο μήτρας ( P n + 1 P n P n P n − 1 ) = ( 2 1 1 0 ) n . {\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.} Πολλές ταυτότητες μπορούν να εξαχθούν ή να αποδειχθούν από αυτούς τους ορισμούς. Για παράδειγμα μια ταυτότητα ανάλογη της ταυτότητας Κασίνι για τους αριθμούς του Φιμπονάτσι, P n + 1 P n − 1 − P n 2 = ( − 1 ) n , {\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},} είναι μια άμεση συνέπεια του τύπου του πίνακα (διαπιστώθηκε από την εξέταση των παραγόντων που επηρεάζουν τις μήτρες στην αριστερή και στη δεξιά πλευρά της τύπου της μήτρας). Οι αριθμοί του Πελ προκύπτουν ιστορικά και κυρίως στην ρητή προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 Αν δυο μεγάλοι ακέραιοι x και y σχηματίζουν μια λύση της εξίσωσης του Πελ x 2 − 2 y 2 = ± 1 , {\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,} τότε η αναλογία τους x y {\displaystyle {\tfrac {x}{y}}} παρέχει μια στενή προσέγγιση της 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} . Η ακολουθία προσεγγίσεων αυτού του τύπου είναι 1 , 3 2 , 7 5 , 17 12 , 41 29 , 99 70 , … {\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots } όπου ο παρονομαστής από κάθε κλάσμα είναι ένας αριθμός του Πελ και ο αριθμητής είναι το άθροισμα ενός αριθμού του Πελ και του προηγούμενου του στην ακολουθία. Έτσι, οι λύσεις έχουν τη μορφή P n − 1 + P n P n {\displaystyle {\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}} . Η προσέγγιση 2 ≈ 577 408 {\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}} αυτού του τύπου ήταν γνωστή στους Ινδούς μαθηματικούς από τον τρίτο ή τέταρτο αιώνα π.Χ. Οι Έλληνες μαθηματικοί του πέμπτου αιώνα π.Χ. ήξεραν επίσης γι' αυτήν την ακολουθία των προσεγγίσεων: Ο Πλάτωνας αναφέρεται στους αριθμητές ως τις ρητές διαμέτρους. Τον 2ο αιώνα μ.Χ. ο Θέων της Σμύρνης χρησιμοποίησε τον όρο αριθμοί πλευράς και διαμέτρου για να περιγράψει τους παρονομαστές και τους αριθμητές αυτής της ακολουθίας.Οι προσεγγίσεις αυτές θα μπορούσαν να προέρχονται από το συνεχές κλάσμα εάν είχαν επεκταθεί κατά 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} : 2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋱ . {\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots \,}}}}}}}}}}.} Περικόπτοντας αυτή την επέκταση σε οποιονδήποτε αριθμό των όρων παράγει έναν από τους αριθμούς του Πελ βασισμένοι στις προσεγγίσεις των αριθμών αυτών. Για παράδειγμα,: 577 408 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 . {\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.} Όπως ο Knuth (1994) περιγράφει, το γεγονός ότι οι αριθμοί του Πελ με προσέγγιση 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} τους επιτρέπει να χρησιμοποιούν για ακριβής ρητές προσεγγίσεις σε ένα κανονικό οκτάγωνο με κορυφή τις συντεταγμένες ( ± P i , ± P i + 1 ) {\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i+1})} και ( ± P i + 1 , ± P i ) {\displaystyle (\pm P_{i+1},\pm P_{i})} .Όλες οι κορυφές είναι εξίσου μακριά από την αρχή και αποτελούν σχεδόν ομοιόμορφες γωνίες γύρω από την αρχή. Εναλλακτικά, τα σημεία ( ± ( P i + P i − 1 ) , 0 ) {\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)} , ( 0 , ± ( P i + P i − 1 ) ) {\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))} και ( ± P i , ± P i ) {\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})} αποτελούν κατά προσέγγιση οκτάγωνα όπου οι κορυφές έχουν σχεδόν ίση απόσταση από την αρχή και τις γωνίες να είναι με ενιαία μορφή. Ένας Πελ Πρώτος Αριθμός είναι ένας αριθμός Πελ που είναι πρώτος αριθμός. Οι πρώτοι Πελ αριθμοί είναι :2, 5, 29, 5741, ... (ακολουθία A086383 στην OEIS). Όπως και με τους αριθμούς Fibonacci, ένας αριθμός Πελ P n {\displaystyle P_{n}} δεν μπορεί παρά να είναι πρώτος αν n το ίδιο είναι πρώτο. Οι αριθμοί Pell που είναι τετράγωνα, κύβοι, ή οποιαδήποτε ανώτερη δύναμη του ακεραίου είναι 0, 1, and 169 = 132. Αν και οι αριθμοί Φιμπονάτσι ορίζονται από μια πολύ παρόμοια αναδρομική σχέση με αυτήν των αριθμών Πελ, ο Cohn γράφει ότι ένα ανάλογο αποτέλεσμα για τους αριθμούς Φιμπονάτσι φαίνεται πολύ πιο δύσκολο να αποδειχθεί. (Ωστόσο, αυτό αποδείχθηκε το 2006 από Bugeaud.) Ωστόσο, παρά το γεγονός ότι έχουμε τόσο λίγα τετράγωνα ή άλλες δυνάμεις,oi αριθμοί Πελ έχουν μια στενή σχέση με τους τετραγωνικούς τριγωνικούς αριθμούς. Συγκεκριμένα, οι αριθμοί αυτοί προκύπτουν από την ακόλουθη ταυτότητα των Πελ αριθμών.: ( ( P k − 1 + P k ) ⋅ P k ) 2 = ( P k − 1 + P k ) 2 ⋅ ( ( P k − 1 + P k ) 2 − ( − 1 ) k ) 2 . {\displaystyle {\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.} Η αριστερή πλευρά της ταυτότητας αυτής περιγράφει έναν τετραγωνικό αριθμό, ενώ η δεξιά πλευρά περιγράφει έναν τριγωνικό αριθμό, ώστε το αποτέλεσμα να είναι ένας τετράγωνικος τριγωνικός αριθμός. Οι Santana και Diaz-Barrero (2006) αποδεικνύουν μια άλλη ταυτότητα που αφορούν τους αριθμούς Πελ σε τετράγωνα και δείχνει ότι το άθροισμα των αριθμών Πελ μέχρι P 4 n + 1 {\displaystyle P_{4n+1}} είναι πάντα ένα τετράγωνο: ∑ i = 0 4 n + 1 P i = ( ∑ r = 0 n 2 r ( 2 n + 1 2 r ) ) 2 = ( P 2 n + P 2 n + 1 ) 2 . {\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.} Για παράδειγμα, το άθροισμα των αριθμών Pell μέχρι P 5 {\displaystyle P_{5}} , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 {\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49} , είναι το τετράγωνο από P 2 + P 3 = 2 + 5 = 7 {\displaystyle P_{2}+P_{3}=2+5=7} . Οι αριθμοί P 2 n + P 2 n + 1 {\displaystyle P_{2n}+P_{2n+1}} σχηματίζουν τις τετραγωνικές ρίζες των εν λόγω ποσών, 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, ... (ακολουθία A002315 στην OEIS), είναι γνωστοί ως οι Newman-Shanks-Williams (NSW) αριθμοί. Εάν ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει ακέραιες τιμές στα μήκη των πλευρών a, b, c (ικανοποιούν κατ 'ανάγκη το Πυθαγόρειο Θεώρημα a2+b2=c2), τότε οι (a,b,c) είναι γνωστό ως οι Πυθαγόρειες Τριάδες. Όπως ο Martin (1875) περιγράφει, οι αριθμοί Πελ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να σχηματίσουν Πυθαγόρειες τριάδες στις οποίες οι πλευρές a και b είναι μία μονάδα χώρια, που αντιστοιχεί προς τα δεξιά τρίγωνα που είναι σχεδόν ισοσκελές. Κάθε τέτοια τριάδα έχει τη μορφή ( 2 P n P n + 1 , P n + 1 2 − P n 2 , P n + 1 2 + P n 2 = P 2 n + 1 ) . {\displaystyle (2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).} Η ακολουθία των Πυθαγόρειων Τριάδων σχηματίζονται με τον τρόπο αυτό και είναι (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), .... Οι συντροφικοί αριθμοί Πελ ή αριθμοί Πελ-Λούκας ορίζονται από την αναδρομική σχέση Q n = { 2 αν n = 0 ; 2 αν n = 1 ; 2 Q n − 1 + Q n − 2 διαφορετικά. {\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{αν }}n=0;\\2&{\mbox{αν }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{διαφορετικά.}}\end{cases}}} Με λίγα λόγια: οι δύο πρώτοι αριθμοί στην ακολουθία είναι αμφότεροι 2, και κάθε διαδοχικός αριθμός σχηματίζεται με προσθήκη δύο φορές το προηγούμενο Πελ-Λούκας αριθμό στον Πελ-Λούκας αριθμό πριν από αυτό, ή ισοδύναμα, προσθέτοντας τον επόμενο αριθμό Πελ στο προηγούμενο Πελ αριθμό: έτσι, το 82 είναι ο σύντροφος στο 29, και 82 = 2 * 34 + 14 = 70 + 12. Οι πρώτοι όροι της ακολουθίας είναι (ακολουθία A002203 στην OEIS): 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478... Οι σύντροφοι αριθμοί Πελ μπορούν να εκφραστούν από το κλειστό τύπο: Q n = ( 1 + 2 ) n + ( 1 − 2 ) n . {\displaystyle Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.} Οι αριθμοί αυτοί είναι όλοι ακόμα. Κάθε τέτοιος αριθμός είναι δύο φορές ο αριθμητής σε μία από τις προσεγγίσεις για την ρητή 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} που συζητήθηκε παραπάνω. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις πρώτες αρμοδιότητες της ασημί αναλογίας δ = δ S = 1 + 2 {\displaystyle \delta =\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}} και του συζυγή του δ ¯ = 1 − 2 {\displaystyle {\bar {\delta }}=1-{\sqrt {2}}} . Οι συντελεστές είναι οι Μισοί σύντροφοι αριθμοί Πελ H n {\displaystyle H_{n}} και οι αριθμοί Πελ P n {\displaystyle P_{n}} που είναι οι (μη αρνητικοί) λύσεις των H 2 − 2 P 2 = ± 1 {\displaystyle H^{2}-2P^{2}=\pm 1} . Ένας τετραγωνικός τρίγωνος αριθμός είναι ένας αριθμός N = t ( t + 1 ) 2 = s 2 {\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}} ο οποίος είναι και ο t {\displaystyle t\,} th τριγωνικός αριθμός και ο s {\displaystyle s\,} th τετραγωνικός αριθμός. Μια κοντινή ισοσκελή Πυθαγόρεια τριάδα είναι μία ακέραια λύση a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} όπου a + 1 = b {\displaystyle a+1=b} . Ο επόμενος πίνακας δείχνει ότι ο διαχωρισμός του περιττού αριθμού H n {\displaystyle H_{n}} σχεδόν σε ίσα μισά δίνει ένα τετράγωνο τριγωνικό αριθμό όταν το n είναι άρτιος και κοντά σε ισοσκελές Πυθαγόρεια Τριάδα όταν ο n είναι περιττός. Όλες οι λύσεις προκύπτουν με τον τρόπο αυτό. Οι μισοί σύντροφοι αριθμοί Πελ H n {\displaystyle H_{n}} και οι αριθμοί Πελ P n {\displaystyle P_{n}} μπορούν να προκύψουν σε μια σειρά από εύκολους ισοδύναμους τρόπους: Η αύξηση των δυνάμεων: ( 1 + 2 ) n = H n + P n 2 {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}} ( 1 − 2 ) n = H n − P n 2 . {\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}}.} Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι υπάρχουν κλειστοί τύποι: H n = ( 1 + 2 ) n + ( 1 − 2 ) n 2 . {\displaystyle H_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.} και P n 2 = ( 1 + 2 ) n − ( 1 − 2 ) n 2 . {\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2}}.} Ζεύγη Επανάληψης: H n = { 1 if n = 0 ; H n − 1 + 2 P n − 1 otherwise. {\displaystyle H_{n}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} P n = { 0 if n = 0 ; H n − 1 + P n − 1 otherwise. {\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} και πίνακες διατύπωσης ( H n P n ) = ( 1 2 1 1 ) ( H n − 1 P n − 1 ) = ( 1 2 1 1 ) n ( 1 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.} έτσι ( H n 2 P n P n H n ) = ( 1 2 1 1 ) n . {\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{n}.} Η διαφορά μεταξύ H n {\displaystyle H_{n}\,} και P n 2 {\displaystyle P_{n}{\sqrt {2}}} είναι ( 1 − 2 ) n ≈ ( − 0.41421 ) n {\displaystyle (1-{\sqrt {2}})^{n}\approx (-0.41421)^{n}} η οποία πηγαίνει γρήγορα στο μηδέν. Έτσι, ( 1 + 2 ) n = H n + P n 2 {\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt {2}}} είναι πολύ κοντά 2 H n {\displaystyle 2H_{n}\,} . Απ' αυτήν την τελευταία παρατήρηση προκύπτει ότι οι αναλογίες ακεραίων H n P n {\displaystyle {\frac {H_{n}}{P_{n}}}} προσεγγίζουν ραγδαία το 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}\,} καθώς οι H n H n − 1 {\displaystyle {\frac {H_{n}}{H_{n-1}}}\,} and P n P n − 1 {\displaystyle {\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}\,} προσεγγίζουν ραγδαία το 1 + 2 {\displaystyle 1+{\sqrt {2}}\,} . Δεδομένου ότι η 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} είναι άρρητος, δεν μπορούμε να έχουμε H P = 2 {\displaystyle {\frac {H}{P}}=2\,} δηλαδή H 2 P 2 = 2 P 2 P 2 {\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}\,} . Το καλύτερο που μπορούμε να επιτύχουμε είναι είτε H 2 P 2 = 2 P 2 − 1 P 2 {\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\,} ή H 2 P 2 = 2 P 2 + 1 P 2 {\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}} . Οι (μη αρνητικές) λύσεις της H 2 − 2 P 2 = 1 {\displaystyle H^{2}-2P^{2}=1\,} είναι ακριβώς τα ζεύγη H n , P n with n {\displaystyle H_{n},P_{n}{\mbox{ with}}n\,} άρτιος και οι λύσεις της H 2 − 2 P 2 = − 1 {\displaystyle H^{2}-2P^{2}=-1\,} είναι ακριβώς τα ζεύγη H n , P n with n {\displaystyle H_{n},P_{n}{\mbox{ with }}n\,} περιττό. Για να δείτε αυτό, σημειώστε πρώτα ότι H n + 1 2 − 2 P n + 1 2 = ( H n + 2 P n ) 2 − 2 ( H n + P n ) 2 = − ( H n 2 − 2 P n 2 ) {\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=(H_{n}+2P_{n})^{2}-2(H_{n}+P_{n})^{2}=-(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2})\,} έτσι ώστε αυτές οι διαφορές, ξεκινώντας με την H 0 2 − 2 P 0 2 = 1 {\displaystyle H_{0}^{2}-2P_{0}^{2}=1\,} είναι εναλλάξ 1 and − 1 {\displaystyle 1{\mbox{ and }}-1\,} . Στη συνέχεια, σημειώστε ότι κάθε θετική λύση έρχεται με αυτό τον τρόπο από μια λύση με μικρότερους ακεραίους από ( 2 P − H ) 2 − 2 ( H − P ) 2 = − ( H 2 − 2 P 2 ) {\displaystyle (2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-(H^{2}-2P^{2})\,} . Η μικρότερη λύση έχει επίσης θετικούς ακεραίους, με εξαίρεση μία H = P = 1 {\displaystyle H=P=1\,} η οποία προέρχεται από H 0 = 1 and P 0 = 0 {\displaystyle H_{0}=1{\mbox{ and }}P_{0}=0\,} . Η απαιτούμενη εξίσωση t ( t + 1 ) 2 = s 2 {\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,} είναι ισοδύναμο με 4 t 2 + 4 t + 1 = 8 s 2 + 1 {\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1\,} η οποία γίνεται H 2 = 2 P 2 + 1 {\displaystyle H^{2}=2P^{2}+1} με τις υποκαταστάσεις H = 2 t + 1 and P = 2 s {\displaystyle H=2t+1{\mbox{ and }}P=2s} . Εξ ου και η νιοστή λύση είναι t n = H 2 n − 1 2 {\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}} και s n = P 2 n 2 . {\displaystyle s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}.} Παρατηρήστε ότι t {\displaystyle t} και t + 1 {\displaystyle t+1} είναι πρώτα μεταξύ τους, έτσι ώστε t ( t + 1 ) 2 = s 2 {\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}\,} συμβαίνει ακριβώς όταν είναι γειτονικά ακέραιοι, ένα τετράγωνο H 2 {\displaystyle H^{2}} και η άλλη δύο φορές το τετράγωνο 2 P 2 {\displaystyle 2P^{2}} . Επειδή γνωρίζουμε όλες τις λύσεις αυτής της εξίσωσης, έχουμε επίσης t n = { 2 P n 2 if n is even ; H n 2 if n is odd. {\displaystyle t_{n}={\begin{cases}2P_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}};\\H_{n}^{2}&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd.}}\end{cases}}} και s n = H n P n {\displaystyle s_{n}=H_{n}P_{n}\,} Αυτή η εναλλακτική έκφραση φαίνεται στον επόμενο πίνακα. Η ισότητα c 2 = a 2 + ( a + 1 ) 2 = 2 a 2 + 2 a + 1 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+(a+1)^{2}=2a^{2}+2a+1} συμβαίνει ακριβώς όταν 2 c 2 = 4 a 2 + 4 a + 2 {\displaystyle 2c^{2}=4a^{2}+4a+2} η οποία γίνεται 2 P 2 = H 2 + 1 {\displaystyle 2P^{2}=H^{2}+1} με τις υποκαταστάσεις H = 2 a + 1 and P = c {\displaystyle H=2a+1{\mbox{ and }}P=c} . Εξ ου και η νιοστή λύση είναι a n = H 2 n + 1 − 1 2 {\displaystyle a_{n}={\frac {H_{2n+1}-1}{2}}} and c n = P 2 n + 1 . {\displaystyle c_{n}={P_{2n+1}}.\,} Ο παραπάνω πίνακας δείχνει ότι, σε μια τάξη ή την άλλη, a n and b n = a n + 1 {\displaystyle a_{n}{\mbox{ and }}b_{n}=a_{n}+1} είναι H n H n + 1 and 2 P n P n + 1 {\displaystyle H_{n}H_{n+1}{\mbox{ and }}2P_{n}P_{n+1}} καθώς c n = H n + 1 P n + P n + 1 H n . {\displaystyle c_{n}=H_{n+1}P_{n}+P_{n+1}H_{n}.}