Γεγονός (θεωρία πιθανοτήτων)

Στη Θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, ένα γεγονός (ή ενδεχόμενο), ονομάζεται ένα σύνολο απλών γεγονότων, δηλαδή ένα σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης.Τα γεγονότα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα. Το απλό γεγονός συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα ω {\displaystyle \omega } . Ένα γεγονός περιέχει ένα ή περισσότερα απλά γεγονότα. Ορίζουμε ότι ένα γεγονός πραγματοποιείται ή συμβαίνει, όταν το απλό γεγονός που προκύπτει από την εκτέλεση του πειράματος τύχης περιέχεται στο γεγονός αυτό. Βέβαιο γεγονός είναι εκείνο που συμβαίνει σε κάθε εκτέλεση του πειράματος τύχης, που γίνεται πάντα κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης, δηλαδή το σύνολο όλων των απλών γεγονότων του, ονομάζεται δειγματοχώρος ή δειγματικός χώρος του πειράματος και συμβολίζεται με Ω {\displaystyle \Omega \,} . Όταν το σύνολο είναι αριθμήσιμο τότε συμβολίζουμε τα στοιχεία του με ω i , i = 1 , 2 , . . . {\displaystyle \omega _{i},i=1,2,...} (που είναι και τα απλά γεγονότα του πειράματος), τότε: Ω = { ω 1 , ω 2 , . . . , ω n , . . . } {\displaystyle \Omega \,=\{\omega _{1},\,\omega _{2},\,...,\omega _{n},\,...\}} . Το Ω {\displaystyle \Omega \,} είναι το ίδιο ένα γεγονός, και μάλιστα βέβαιο. Ένα γεγονός A {\displaystyle \mathrm {A} \,} , του οποίου τα στοιχεία ανήκουν στον δειγματοχώρο Ω {\displaystyle \Omega \,} , λέμε ότι είναι υποσύνολο του Ω {\displaystyle \Omega \,} , και συμβολίζουμε με A ⊆ Ω {\displaystyle \mathrm {A} \,\subseteq \Omega \,} ή με A ⊂ Ω {\displaystyle \mathrm {A} \,\subset \Omega \,} αν γνωρίζουμε με σιγουριά ότι τα στοιχεία που περιλαμβάνει το A {\displaystyle \mathrm {A} \,} δεν είναι όλα τα στοιχεία του Ω {\displaystyle \Omega \,} . Ο ορισμός ενός γεγονότος είναι απλή υπόθεση, όταν το πλήθος των στοιχείων του δειγματοχώρου ( των αποτελεσμάτων του πειράματος τύχης δηλαδή) είναι πεπερασμένο. Αν είναι άπειρο ανακύπτουν πολλές δυσκολίες.

 Στο πείραμα της ρίψης ενός ζαριού, ο δειγματικός χώρος είναι το σύνολο των πιθανών ενδείξεων του ζαριού Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}} . Ένα γεγονός μπορεί να είναι αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι ζυγός, δηλαδή E = { 2 , 4 , 6 , } ⊆ Ω {\displaystyle {\mathcal {E}}=\{2,4,6,\}\subseteq \Omega } . Στο πείραμα όπου ρίχνουμε ένα ζάρι μέχρι το αποτέλεσμα να είναι 6 {\displaystyle 6} , ο δειγματικός χώρος του χρόνου μέχρι το επιτυχές αποτέλεσμα είναι Ω = { 1 , 2 , 3 , … } = N + {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,\ldots \}=\mathbb {N} _{+}} και ένα γεγονός είναι π.χ. αν το αποτέλεσμα ήρθε στις πρώτες πέντε ρίψεις E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle {\mathcal {E}}=\{1,2,3,4,5\}} . Στο πείραμα που ρίχνουμε δύο ζάρια, ο δειγματικός χώρος των αποτελεσμάτων είναι Ω = { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , … , ( 6 , 5 ) , ( 6 , 6 ) } {\displaystyle \Omega =\{(1,1),(1,2),\ldots ,(6,5),(6,6)\}} και το γεγονός το άθροισμα να είναι ίσο με 4 {\displaystyle 4} είναι E = { ( 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 1 ) } {\displaystyle {\mathcal {E}}=\{(1,3),(2,2),(3,1)\}} . Στο πείραμα όπου ρίχνουμε ένα βότσαλο σε μία πισίνα διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} , ο δειγματικός χωρος της θέσης του βότσαλου είναι Ω = [ 0 , n ] × [ 0 , m ] {\displaystyle \Omega =[0,n]\times [0,m]} . Το γεγονός το βότσαλο να έπεσε το δεξιό μέρος της πισίνας είναι E = [ n / 2 , n ] × [ 0 , m ] {\displaystyle {\mathcal {E}}=[n/2,n]\times [0,m]} . Ας πάρουμε μία τράπουλα με 52 τραπουλόχαρτα, χωρίς μπαλαντέρ. Αν τραβήξουμε ένα χαρτί, αυτό είναι ένα απλό γεγονός και ο δειγματοχώρος μας είναι τα 52 τραπουλόχαρτα. Ένα γεγονός είναι κάθε υποσύνολο του δειγματοχώρου συμπεριλαμβανομένων καθενός από τα απλά γεγονότα, του κενού συνόλου (που, δηλαδή, δεν περιλαμβάνει στοιχεία και έχει πιθανότητα ίση με το μηδέν) και των 52 χαρτιών μαζί, δηλαδή του ίδιου του δειγματοχώρου (αλλιώς, του βέβαιου γεγονότος). Γεγονός μπορεί να είναι:Να τύχει το φύλλο Άσσος Σπαθί.(1 φύλλο) Να τύχει φιγούρα (δηλαδή ή Ρήγας ή Βαλές ή Ντάμα).(12 φύλλα) Να τύχει ένα φύλλο Καρώ.(13 φύλλα) Να μην τύχει Άσσος οποιουδήποτε χρώματος.(48 φύλλα) Δύο γεγονότα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,} , που όταν συμβαίνει το A {\displaystyle \mathrm {A} \,} συμβαίνει πάντα το B {\displaystyle \mathrm {B} \,} και επίσης, όταν συμβαίνει το B {\displaystyle \mathrm {B} \,} συμβαίνει πάντα το A {\displaystyle \mathrm {A} \,} , λέγονται ίσα, και συμβολίζουμε με A = B {\displaystyle \mathrm {A} \,=\mathrm {B} \,} . Το γεγονός που συμβαίνει ακριβώς τότε, όταν δεν συμβαίνει το A {\displaystyle \mathrm {A} \,} , λέγεται συμπλήρωμα του A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και το συμβολίζουμε με A ′ {\displaystyle \mathrm {A} '\,} ή A ¯ {\displaystyle {\bar {\mathrm {A} \,}}} . Από τον ορισμό αυτόν προκύπτει ότι, αν το απλό ενδεχόμενο ω {\displaystyle \,\omega } ανήκει στο A {\displaystyle \mathrm {A} \,} , τότε δε θα ανήκει στο A ′ {\displaystyle \mathrm {A} '\,} και αντίστροφα, αν το ω {\displaystyle \,\omega } ανήκει στο A ′ {\displaystyle \mathrm {A} '\,} τότε δε θα ανήκει στο A {\displaystyle \mathrm {A} \,} . Αυτό σημαίνει ότι τα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και A ′ {\displaystyle \mathrm {A} '\,} , ως υποσύνολα του δειγματοχώρου Ω {\displaystyle \Omega \,} , είναι συμπληρωματικά σύνολα. Είναι φανερό ότι ( A ′ ) ′ = A {\displaystyle (\mathrm {A} ')'\,=\mathrm {A} \,} . Το γεγονός που συμβαίνει όταν συμβούν ταυτόχρονα τα γεγονότα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,} , λέγεται τομή των γεγονότων A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,} και συμβολίζεται A ∩ B {\displaystyle \mathrm {A} \cap \mathrm {B} } . Αν κάτι τέτοιο είναι αδύνατο να συμβεί, τότε λέμε ότι τα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,} είναι ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους και συμβολίζουμε με A ∩ B = ∅ {\displaystyle \mathrm {A} \cap \mathrm {B} =\varnothing } . Η πράξη της τομής γενικεύεται και για πεπερασμένου ή απείρου πλήθους γεγονότα. Έτσι, το γεγονός που συμβαίνει όταν συμβαίνουν ταυτόχρονα τα γεγονότα A 1 , A 2 , . . . A n {\displaystyle \mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\,...\mathrm {A} _{n}\,} είναι η τομή των n γεγονότων που συμβολίζεται A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n = ⋂ i = 1 n A i {\displaystyle \mathrm {A} _{1}\cap \mathrm {A} _{2}\cap ...\cap \mathrm {A} _{n}=\bigcap _{i=1}^{n}\mathrm {A} _{i}\,} . Το γεγονός που συμβαίνει, όταν συμβεί ένα τουλάχιστον από τα γεγονότα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,} , λέγεται ένωση των γεγονότων A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,} και συμβολίζεται με A ∪ B {\displaystyle \mathrm {A} \cup \mathrm {B} } . Η πράξη αυτή της ένωσης γενικεύεται και για πεπερασμένου πλήθους γεγονότα. Έτσι, το γεγονός που συμβαίνει όταν τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα A 1 , A 2 , . . . A n {\displaystyle \mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\,...\mathrm {A} _{n}\,} συμβαίνει, είναι η ένωση των n γεγονότων, που συμβολίζεται A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n = ⋃ i = 1 n A i {\displaystyle \mathrm {A} _{1}\cup \mathrm {A} _{2}\cup ...\cup \mathrm {A} _{n}=\bigcup _{i=1}^{n}\mathrm {A} _{i}\,} . Αν τα γεγονότα A 1 , A 2 , A 3 , . . . {\displaystyle \mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\,\mathrm {A} _{3},\,...} είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους ανά δύο και η ένωσή τους είναι όλος ο δειγματοχώρος, αν δηλαδή ισχύει A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ . . . = Ω {\displaystyle \mathrm {A} _{1}\cup \mathrm {A} _{2}\cup \mathrm {A} _{3}\cup ...=\Omega } , και A i ∩ A j = ∅ {\displaystyle \mathrm {A} _{i}\cap \mathrm {A} _{j}=\varnothing } για κάθε i ≠ j {\displaystyle i\neq j} , τότε λέμε ότι τα γεγονότα αυτά αποτελούν μία διαμέριση του δειγματοχώρου. Το γεγονός που συμβαίνει ακριβώς τότε όταν συμβεί το A {\displaystyle \mathrm {A} \,} αλλά δεν συμβεί το B {\displaystyle \mathrm {B} \,} , λέγεται διαφορά του γεγονότος B {\displaystyle \mathrm {B} \,} από το A {\displaystyle \mathrm {A} \,} , και συμβολίζουμε A − B {\displaystyle \mathrm {A} \,-\mathrm {B} \,} . Είναι εύκολο να δειχθεί ότι A − B = A B ′ {\displaystyle \mathrm {A} \,-\mathrm {B} \,=\mathrm {A} \,\mathrm {B} '\,} . Από την θεωρία συνόλων προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες: Η απόδειξη των ιδιοτήτων αυτών, σχεδόν είναι συνέπεια των ορισμών των πράξεων. Παρατίθεται η απόδειξη της τελευταίας. Έστω ω {\displaystyle \omega \,} ένα απλό ενδεχόμενο που ανήκει στο γεγονός ( ⋃ i A i ) ′ {\displaystyle (\bigcup _{i}\mathrm {A} _{i})'} . Από τον ορισμό του συμπληρωματικού, το ω {\displaystyle \omega \,} δεν ανήκει στην ένωση ⋃ i A i {\displaystyle \bigcup _{i}\mathrm {A} _{i}\,} και επομένως δεν ανήκει σε κανένα από τα A i {\displaystyle \mathrm {A} _{i}\,} , για όλα τα i {\displaystyle i\,} (διότι αν ανήκε σε κάποιο A i {\displaystyle \mathrm {A} _{i}\,} θα ανήκε και στην ένωση). Άρα το ω {\displaystyle \omega \,} ανήκει στο A i ′ {\displaystyle \mathrm {A} '_{i}\,} για όλα τα i {\displaystyle i\,} , πράγμα που σημαίνει ότι ανήκει στην τομή ⋂ i A i ′ {\displaystyle \bigcap _{i}\mathrm {A} '_{i}} . Επομένως, κάθε φορά που πραγματοποιείται το γεγονός ( ⋃ i A i ) ′ {\displaystyle (\bigcup _{i}\mathrm {A} _{i})'} πραγματοποιείται και το γεγονός ⋂ i A i ′ {\displaystyle \bigcap _{i}\mathrm {A} '_{i}} . Αντιστρέφοντας τη σειρά των συλλογισμών, διαπιστώνουμε ότι ισχύει και το αντίστροφο. Άρα, ισχύει: ( ⋃ i A i ) ′ = ⋂ i A i ′ {\displaystyle (\bigcup _{i}\mathrm {A} _{i})'=\bigcap _{i}\mathrm {A} '_{i}} . Πιθανότητα Δειγματοχώρος