Κατασκευάσιμος αριθμός

Στη γεωμετρία και την άλγεβρα, ένας πραγματικός αριθμός r {\displaystyle r} είναι κατασκευάσιμος αριθμός εάν και μόνον εάν, δεδομένου ενός ευθύγραμμου τμήματος μοναδιαίου μήκους, ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους | r | {\displaystyle |r|} μπορεί να κατασκευαστεί με πυξίδα και χάρακα σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Ισοδύναμα, ο r {\displaystyle r} είναι κατασκευάσιμος αν και μόνο αν υπάρχει έκφραση κλειστού τύπου για τον r {\displaystyle r} χρησιμοποιώντας μόνο ακέραιους αριθμούς και τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού, της διαίρεσης και της τετραγωνικής ρίζας. Ο γεωμετρικός ορισμός των κατασκευάσιμων αριθμών οδηγεί σε αντίστοιχο ορισμό των κατασκευάσιμων σημείων, τα οποία μπορούν και πάλι να περιγραφούν είτε γεωμετρικά είτε αλγεβρικά. Ένα σημείο είναι κατασκευάσιμο εάν μπορεί να παραχθεί ως ένα από τα σημεία κατασκευής μιας πυξίδας και ενός χάρακα (τελικό σημείο ενός ευθύγραμμου τμήματος ή σημείο τομής δύο ευθειών ή κύκλων), από ένα τμήμα δεδομένου μοναδιαίου μήκους. Εναλλακτικά και ισοδύναμα, θεωρώντας τα δύο άκρα του δεδομένου τμήματος ως τα σημεία (0, 0) και (1, 0) ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, ένα σημείο είναι κατασκευάσιμο εάν και μόνο εάν οι καρτεσιανές συντεταγμένες του είναι και οι δύο κατασκευάσιμοι αριθμοί . Οι κατασκευάσιμοι αριθμοί και σημεία έχουν επίσης ονομαστεί αριθμοί με χάρακα και πυξίδα και σημεία με χάρακα και πυξίδα, για να διακριθούν από τους αριθμούς και τα σημεία που μπορούν να κατασκευαστούν με άλλες διαδικασίες . Το σύνολο των κατασκευάσιμων αριθμών αποτελεί ένα πεδίο: εφαρμόζοντας μία από τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις στα μέλη αυτού του συνόλου, λαμβάνουμε έναν άλλο κατασκευάσιμο αριθμό. Το πεδίο αυτό αποτελεί επέκταση των λογικών αριθμών και περιέχεται με τη σειρά του στο πεδίο των αλγεβρικών αριθμών. Είναι το Ευκλείδειο κλείσιμο των ορθολογικών αριθμών, η μικρότερη επέκταση των ορθολογικών αριθμών που περιλαμβάνει τις τετραγωνικές ρίζες όλων των θετικών αριθμών της. Η απόδειξη της ισοδυναμίας μεταξύ αλγεβρικού και γεωμετρικού ορισμού των κατασκευάσιμων αριθμών είχε ως αποτέλεσμα να μετατραπούν γεωμετρικά ερωτήματα σχετικά με τις κατασκευές με πυξίδα και χάρακα σε αλγεβρικά, συμπεριλαμβανομένων πολλών διάσημων προβλημάτων από τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά. Η αλγεβρική διατύπωση αυτών των ερωτημάτων απέδειξε ότι οι λύσεις τους δεν είναι κατασκευάσιμες, ενώ η γεωμετρική διατύπωση των ίδιων προβλημάτων είχε αψηφήσει τις επιθέσεις αιώνων.

 Έστω O {\displaystyle O} και A {\displaystyle A} δύο διαφορετικά σημεία στο ευκλείδειο επίπεδο και ορίζουμε S {\displaystyle S} ως το σύνολο των σημείων που μπορούν να κατασκευαστούν με πυξίδα και χάρακα, ξεκινώντας από το O {\displaystyle O} και το A {\displaystyle A} . Τα σημεία του S {\displaystyle S} ονομάζονται τότε κατασκευάσιμα σημεία. Τα O {\displaystyle O} και A {\displaystyle A} είναι, εξ ορισμού, στοιχεία του S {\displaystyle S} . Για να περιγράψουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια τα άλλα στοιχεία του S {\displaystyle S} , δίνουμε τους ακόλουθους δύο ορισμούς: ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα βρίσκονται στο S {\displaystyle S} ονομάζεται κατασκευάσιμο τμήμα, και ένας κύκλος του οποίου το κέντρο βρίσκεται στο S {\displaystyle S} και ο οποίος διέρχεται από ένα σημείο του S {\displaystyle S} (ή του οποίου η ακτίνα είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαφορετικών σημείων του S {\displaystyle S} ) ονομάζεται κατασκευαστικός κύκλος.Τότε τα σημεία του S {\displaystyle S} , εκτός από τα O {\displaystyle O} και A {\displaystyle A} είναι: το σημείο τομής δύο μη παράλληλων κατασκευασμένων τμημάτων ή γραμμών που διέρχονται από κατασκευασμένα τμήματα, τα σηµεία τοµής ενός κατασκευασµένου κύκλου και ενός κατασκευασµένου τµήµατος, ή µιας ευθείας που διέρχεται από ένα κατασκευασµένο τµήµα, ή τα σημεία τομής δύο διαφορετικών κατασκευασμένων κύκλων.Παραδείγματος χάριν, το μέσο του κατασκευασμένου τμήματος O A {\displaystyle OA} είναι ένα κατασκευάσιμο σημείο. Μια κατασκευή για αυτό το σημείο είναι να κατασκευαστούν δύο κύκλοι με ακτίνα το O A {\displaystyle OA} και η ευθεία που διέρχεται από τα δύο σημεία τομής αυτών των δύο κύκλων. Το μέσο του τμήματος O A {\displaystyle OA} είναι τότε το σημείο όπου το τμήμα αυτό τέμνεται από την κατασκευασμένη ευθεία. Οι αρχικές πληροφορίες για τη γεωμετρική διατύπωση μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον ορισμό ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων στο οποίο το σημείο O {\displaystyle O} συνδέεται με την αρχή που έχει τις συντεταγμένες ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} και στο οποίο το σημείο A {\displaystyle A} συνδέεται με τις συντεταγμένες ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} . Τα σημεία του S {\displaystyle S} μπορούν τώρα να χρησιμοποιηθούν για τη σύνδεση γεωμετρίας και άλγεβρας με τον ορισμό ενός κατασκευάσιμου αριθμού ως συντεταγμένη ενός κατασκευάσιμου σημείου. Σύμφωνα με ισοδύναμους ορισμούς, ένας κατασκευάσιμος αριθμός είναι η συντεταγμένη x {\displaystyle x} ενός κατασκευάσιμου σημείου ( x , 0 ) {\displaystyle (x,0)} ή το μήκος ενός κατασκευάσιμου ευθύγραμμου τμήματος. Κατά μία έννοια αυτής της ισοδυναμίας, αν ένα κατασκευάσιμο σημείο έχει συντεταγμένες ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} , τότε το σημείο ( x , 0 ) {\displaystyle (x,0)} μπορεί να κατασκευαστεί ως η κάθετη προβολή του στον άξονα x {\displaystyle x} , και το τμήμα από την αρχή μέχρι το σημείο αυτό έχει μήκος x {\displaystyle x} . Αντίστροφα, αν x {\displaystyle x} είναι το μήκος ενός κατασκευάσιμου ευθύγραμμου τμήματος, η τομή του άξονα x {\displaystyle x} με έναν κύκλο με κέντρο το O {\displaystyle O} ακτίνας x {\displaystyle x} δίνει το σημείο ( x , 0 ) {\displaystyle (x,0)} . Από την ισοδυναμία αυτή προκύπτει ότι κάθε σημείο του οποίου οι καρτεσιανές συντεταγμένες είναι γεωμετρικά κατασκευάσιμοι αριθμοί είναι το ίδιο γεωμετρικά κατασκευάσιμο σημείο. Πράγματι, όταν x {\displaystyle x} και y {\displaystyle y} είναι γεωμετρικά κατασκευάσιμοι αριθμοί, το σημείο ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} μπορεί να κατασκευαστεί ως η τομή των ευθειών που διέρχονται από τις γραμμές ( x , 0 ) {\displaystyle (x,0)} και ( 0 , y ) {\displaystyle (0,y)} , κάθετες στους άξονες συντεταγμένων. Οι αλγεβρικά κατασκευάσιμοι πραγματικοί αριθμοί είναι το υποσύνολο των πραγματικών αριθμών που μπορούν να περιγραφούν με τύπους που συνδυάζουν ακέραιους αριθμούς χρησιμοποιώντας τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού, της πολλαπλασιαστικής αντιστροφής και της τετραγωνικής ρίζας θετικών αριθμών. Ακόμη πιο απλά, με κόστος την επιμήκυνση αυτών των τύπων, οι ακέραιοι αριθμοί σε αυτούς τους τύπους μπορούν να περιοριστούν στο 0 και στο 1. Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι κατασκευάσιμη, αφού μπορεί να περιγραφεί από τους τύπους 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} or 1 + 1 {\displaystyle {\sqrt {1+1}}} . Με παρόμοιο τρόπο, οι αλγεβρικά κατασκευάσιμοι μιγαδικοί αριθμοί είναι το υποσύνολο των μιγαδικών αριθμών που έχουν τύπους του ίδιου τύπου, χρησιμοποιώντας μια πιο γενική εκδοχή της τετραγωνικής ρίζας που δεν περιορίζεται σε θετικούς αριθμούς, αλλά μπορεί να λάβει αυθαίρετους μιγαδικούς αριθμούς ως όρισμα και παράγει την κύρια τετραγωνική ρίζα του επιχειρήματός της. Το ίδιο σύστημα μιγαδικών αριθμών μπορεί επίσης να οριστεί ως οι μιγαδικοί αριθμοί των οποίων το πραγματικό και το φανταστικό μέρος είναι και οι δύο κατασκευάσιμοι πραγματικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, ο μιγαδικός αριθμός i i έχει τύπους − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} ή 0 − 1 {\displaystyle {\sqrt {0-1}}} , και το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του είναι κατασκευάσιμοι αριθμοί 0 και 1 αντίστοιχα. Αυτοί οι δύο ορισμοί των κατασκευάσιμων μιγαδικών αριθμών είναι ισοδύναμοι . Κατά μία έννοια, αν q = x + i y {\displaystyle q=x+iy} είναι ένας μιγαδικός αριθμός του οποίου το πραγματικό μέρος x {\displaystyle x} και το φανταστικό μέρος y {\displaystyle y} είναι αμφότεροι κατασκευάσιμοι πραγματικοί αριθμοί, τότε αντικαθιστώντας τα x {\displaystyle x} και y {\displaystyle y} με τους τύπους τους στον μεγαλύτερο τύπο x + y − 1 {\displaystyle x+y{\sqrt {-1}}} , λαμβάνουμε έναν τύπο για τον q {\displaystyle q} ως μιγαδικό αριθμό. Με την άλλη έννοια, οποιοσδήποτε τύπος για έναν αλγεβρικά κατασκευάσιμο μιγαδικό αριθμό μπορεί να μετατραπεί σε τύπους για το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του, αναπτύσσοντας αναδρομικά κάθε πράξη του τύπου σε πράξεις πάνω στο πραγματικό και το φανταστικό μέρος των επιχειρημάτων του, χρησιμοποιώντας αναπτύγματα ( a + i b ) ± ( c + i d ) = ( a ± c ) + i ( b ± d ) {\displaystyle (a+ib)\pm (c+id)=(a\pm c)+i(b\pm d)} ( a + i b ) ( c + i d ) = ( a c − b d ) + i ( a d + b c ) {\displaystyle (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)} 1 a + i b = a a 2 + b 2 + i − b a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {1}{a+ib}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}} a + i b = ( a + r ) r s + i b r s {\displaystyle {\sqrt {a+ib}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+i{\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}} , όπου r = a 2 + b 2 {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{\!}}}} και s = ( a + r ) 2 + b 2 {\displaystyle s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}} . Τα αλγεβρικά κατασκευάσιμα σημεία μπορούν να οριστούν ως σημεία των οποίων οι δύο πραγματικές καρτεσιανές συντεταγμένες είναι και οι δύο αλγεβρικά κατασκευάσιμοι πραγματικοί αριθμοί. Μπορούν επίσης να οριστούν ως σημεία στο μιγαδικό επίπεδο που δίνονται από αλγεβρικά κατασκευάσιμους μιγαδικούς αριθμούς. Λόγω της ισοδυναμίας μεταξύ των δύο ορισμών των αλγεβρικά κατασκευάσιμων μιγαδικών αριθμών, οι δύο αυτοί ορισμοί των αλγεβρικά κατασκευάσιμων σημείων είναι επίσης ισοδύναμοι. Αν a {\displaystyle a} και b {\displaystyle b} είναι τα μη μηδενικά μήκη γεωμετρικά κατασκευασμένων τμημάτων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στοιχειώδεις κατασκευές με πυξίδα και ευθεία για να λάβουμε κατασκευασμένα τμήματα μήκους a + b {\displaystyle a+b} , | a − b | {\displaystyle |a-b|} , a b {\displaystyle ab} και a / b {\displaystyle a/b} . Τα δύο τελευταία μπορούν να πραγματοποιηθούν χρησιμοποιώντας μια κατασκευή βασισμένη στο θεώρημα τομής. Μια ελαφρώς λιγότερο στοιχειώδης κατασκευή που χρησιμοποιεί αυτά τα εργαλεία βασίζεται στο θεώρημα του γεωμετρικού μέσου και θα κατασκευάσει ένα τμήμα μήκους a {\displaystyle {\sqrt {a}}} από ένα κατασκευασμένο τμήμα μήκους a {\displaystyle a} . Προκύπτει ότι οποιοσδήποτε αλγεβρικά κατασκευάσιμος αριθμός είναι γεωμετρικά κατασκευάσιμος, χρησιμοποιώντας αυτές τις τεχνικές για να μεταφράσουμε έναν τύπο για τον αριθμό σε μια κατασκευή για τον αριθμό. . Κατά την άλλη έννοια, ένα σύνολο γεωμετρικών αντικειμένων μπορεί να προσδιοριστεί με αλγεβρικά κατασκευάσιμους πραγματικούς αριθμούς: συντεταγμένες για σημεία, κλίση και y {\displaystyle y} -διακοπή για ευθείες γραμμές, κέντρο και ακτίνα για κύκλους. Είναι δυνατό (αλλά κουραστικό) να αναπτυχθούν τύποι ως προς αυτές τις τιμές, χρησιμοποιώντας μόνο αριθμητική και τετραγωνικές ρίζες, για κάθε πρόσθετο αντικείμενο που μπορεί να προστεθεί σε ένα μόνο βήμα κατασκευής με πυξίδα και ευθεία. Από αυτούς τους τύπους προκύπτει ότι κάθε γεωμετρικά κατασκευάσιμος αριθμός είναι αλγεβρικά κατασκευάσιμος. Ο ορισμός των αλγεβρικά κατασκευάσιμων αριθμών περιλαμβάνει το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο και το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο οποιουδήποτε από αυτούς τους αριθμούς, τις ίδιες πράξεις που ορίζουν ένα πεδίο στην αφηρημένη άλγεβρα. Έτσι, οι κατασκευάσιμοι αριθμοί (που ορίζονται με οποιονδήποτε από τους παραπάνω τρόπους) σχηματίζουν ένα πεδίο. Πιο συγκεκριμένα, οι κατασκευάσιμοι πραγματικοί αριθμοί σχηματίζουν ένα ευκλείδειο πεδίο, ένα διατεταγμένο πεδίο που περιέχει μια τετραγωνική ρίζα κάθε θετικού στοιχείου του. Η εξέταση των ιδιοτήτων αυτού του πεδίου και των υποπεδίων του οδηγεί σε αναγκαίες συνθήκες για να είναι ένας αριθμός κατασκευάσιμος, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δείξουν ότι συγκεκριμένοι αριθμοί που εμφανίζονται σε κλασικά γεωμετρικά προβλήματα κατασκευής δεν είναι κατασκευάσιμοι. Είναι βολικό να θεωρήσουμε, αντί για ολόκληρο το πεδίο των κατασκευάσιμων αριθμών, το υποπεδίο Q ( γ ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )} που παράγεται από οποιονδήποτε δεδομένο κατασκευάσιμο αριθμό γ {\displaystyle \gamma } και να χρησιμοποιήσουμε την αλγεβρική κατασκευή του γ {\displaystyle \gamma } για να αποσυνθέσουμε αυτό το πεδίο. Εάν ο γ {\displaystyle \gamma } είναι ένας κατασκευάσιμος πραγματικός αριθμός, τότε οι τιμές που εμφανίζονται σε έναν τύπο που τον κατασκευάζει μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παραχθεί μια πεπερασμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών α 1 , … , a n = γ {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,a_{n}=\gamma } έτσι ώστε, για κάθε i {\displaystyle i} , η Q ( α 1 , … , a i ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i})} είναι μια επέκταση της Q ( α 1 , … , a i − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i-1})} βαθμού 2. Χρησιμοποιώντας ελαφρώς διαφορετική ορολογία, ένας πραγματικός αριθμός είναι κατασκευάσιμος αν και μόνο αν βρίσκεται σε ένα πεδίο στην κορυφή ενός πεπερασμένου πύργου πραγματικών τετραγωνικών επεκτάσεων, ξεκινώντας από το ορθολογικό πεδίο Q {\displaystyle \mathbb {Q} } όπου γ {\displaystyle \gamma } είναι στο K n {\displaystyle K_{n}} και για όλα τα 0 < j ≤ n {\displaystyle 0<j\leq n} , [ K j : K j − 1 ] = 2 {\displaystyle [K_{j}:K_{j-1}]=2} . Από την αποσύνθεση αυτή προκύπτει ότι ο βαθμός επέκτασης πεδίου [ Q ( γ ) : Q ] {\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]} είναι 2 r {\displaystyle 2^{r}} , όπου r {\displaystyle r} μετρά το πλήθος των τετραγωνικών βημάτων της επέκτασης.Αντίστοιχα με την περίπτωση του πραγματικού αριθμού, ένας μιγαδικός αριθμός είναι κατασκευάσιμος αν και μόνο αν βρίσκεται σε ένα πεδίο στην κορυφή ενός πεπερασμένου πύργου μιγαδικών τετραγωνικών επεκτάσεων. Πιο συγκεκριμένα, γ {\displaystyle \gamma } είναι κατασκευάσιμος εάν και μόνο εάν υπάρχει ένας ιστός από πεδία. όπου γ {\displaystyle \gamma } είναι στο F n {\displaystyle F_{n}} , και για όλα τα 0 < j ≤ n {\displaystyle 0<j\leq n} , [ F j : F j − 1 ] = 2 {\displaystyle [F_{j}:F_{j-1}]=2} . Η διαφορά μεταξύ αυτού του χαρακτηρισμού και αυτού των πραγματικών κατασκευάσιμων αριθμών είναι μόνο ότι τα πεδία σε αυτόν τον πύργο δεν περιορίζονται στο να είναι πραγματικά. Συνεπώς, αν ένας μιγαδικός αριθμός γ {\displaystyle \gamma } είναι κατασκευάσιμος, τότε [ Q ( γ ) : Q ] {\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]} είναι δύναμη του δύο. Ωστόσο, αυτή η αναγκαία συνθήκη δεν είναι επαρκής: υπάρχουν επεκτάσεις πεδίου των οποίων ο βαθμός είναι δύναμη του δύο που δεν μπορούν να παραγοντοποιηθούν σε μια ακολουθία τετραγωνικών επεκτάσεων.Τα πεδία που μπορούν να παραχθούν με αυτόν τον τρόπο από πύργους τετραγωνικών επεκτάσεων του Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ονομάζονται επαναλαμβανόμενες τετραγωνικές επεκτάσεις του Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Τα πεδία των πραγματικών και μιγαδικών κατασκευάσιμων αριθμών είναι οι ενώσεις όλων των πραγματικών ή μιγαδικών επαναλαμβανόμενων τετραγωνικών επεκτάσεων του Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι τα συνημίτονα ή τα ημίτονα των γωνιών που είναι λογικά πολλαπλάσια του π {\displaystyle \pi } . Αυτοί οι αριθμοί είναι πάντα αλγεβρικοί, αλλά μπορεί να μην είναι κατασκευάσιμοι. Το συνημίτονο ή το ημίτονο της γωνίας 2 π / n {\displaystyle 2\pi /n} είναι κατασκευάσιμο μόνο για ορισμένους ειδικούς αριθμούς n {\displaystyle n} : Οι δυνάμεις του δύο Οι πρώτοι αριθμοί του Φερμά, πρώτοι αριθμοί που είναι το ένα συν μια δύναμη του δύο. Τα γινόμενα των δυνάμεων του δύο και των διαφορετικών πρώτων αριθμών Φερμά.Παραδείγματος χάριν, ο cos ⁡ ( π / 15 ) {\displaystyle \cos(\pi /15)} είναι κατασκευάσιμος επειδή το 15 είναι το γινόμενο δύο πρώτων αριθμών Φερμά, του 3 και του 5. Οι αρχαίοι Έλληνες πίστευαν ότι ορισμένα προβλήματα κατασκευής με χάρακα και πυξίδα που δεν μπορούσαν να λύσουν ήταν απλώς επίμονα, όχι άλυτα. Ωστόσο, η μη κατασκευασιμότητα ορισμένων αριθμών αποδεικνύει ότι οι κατασκευές αυτές είναι λογικά αδύνατο να επιτευχθούν (τα ίδια τα προβλήματα, ωστόσο, μπορούν να λυθούν με μεθόδους που υπερβαίνουν τους περιορισμούς μόνο με χάρακα και πυξίδα, και οι Έλληνες γνώριζαν πώς να τα λύνουν με αυτόν τον τρόπο. Η λύση του Αρχιμήδη στο πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας με τη χρήση της κατασκευής "Νεῦσις" είναι ένα παράδειγμα). Αναλυτικότερα, η αλγεβρική διατύπωση των κατασκευάσιμων αριθμών οδηγεί στην απόδειξη της αδυναμίας των ακόλουθων προβλημάτων κατασκευής: Διπλασιασμός του κύβου Το πρόβλημα του διπλασιασμού του μοναδιαίου τετραγώνου λύνεται με την κατασκευή ενός άλλου τετραγώνου στη διαγώνιο του πρώτου, με μήκος πλευράς 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} και εμβαδόν 2 {\displaystyle 2} . Αντίστοιχα, το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου απαιτεί την κατασκευή του μήκους 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} της πλευράς ενός κύβου όγκου 2 {\displaystyle 2} . Δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί, επειδή το ελάχιστο πολυώνυμο αυτού του μήκους, x 3 − 2 {\displaystyle x^{3}-2} , είναι βαθμού 3 στο Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Ως κυβικό πολυώνυμο του οποίου η μόνη πραγματική ρίζα είναι άρρητη, το πολυώνυμο αυτό πρέπει να είναι μη αναγώγιμο, διότι αν είχε μια τετραγωνική πραγματική ρίζα, η συζυγή τετραγωνική ρίζα θα παρείχε μια δεύτερη πραγματική ρίζα. Γωνιακή τριχοτόμηση Σε αυτό το πρόβλημα, από μια δεδομένη γωνία θ {\displaystyle \theta } , πρόκειται να κατασκευαστεί μια γωνία θ / 3 {\displaystyle \theta /3} . Αλγεβρικά, οι γωνίες μπορούν να αναπαρασταθούν από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις τους, όπως τα ημιτόνια ή τα συνημίτονά τους, οι οποίες δίνουν τις καρτεσιανές συντεταγμένες του τελικού σημείου ενός ευθύγραμμου τμήματος που σχηματίζει τη δεδομένη γωνία με το αρχικό τμήμα. Έτσι, μια γωνία θ {\displaystyle \theta } είναι κατασκευάσιμη όταν x = cos ⁡ θ {\displaystyle x=\cos \theta } είναι ένας κατασκευάσιμος αριθμός, και το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας μπορεί να διατυπωθεί ως ένα πρόβλημα κατασκευής του cos ⁡ ( 1 3 arccos ⁡ x ) {\displaystyle \cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)} . Για παράδειγμα, η γωνία θ = π / 3 = 60 ∘ {\displaystyle \theta =\pi /3=60^{\circ }} ενός ισόπλευρου τριγώνου μπορεί να κατασκευαστεί με πυξίδα και ευθεία, με x = cos ⁡ θ = 1 2 {\displaystyle x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}} . Ωστόσο, η τριχοτόμησή του θ / 3 = π / 9 = 20 ∘ {\displaystyle \theta /3=\pi /9=20^{\circ }} δεν μπορεί να κατασκευαστεί, επειδή το cos ⁡ π / 9 {\displaystyle \cos \pi /9} έχει ελάχιστο πολυώνυμο 8 x 3 − 6 x − 1 {\displaystyle 8x^{3}-6x-1} βαθμού 3 πάνω στο Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Επειδή αυτή η συγκεκριμένη περίπτωση του προβλήματος της τριχοτόμησης δεν μπορεί να επιλυθεί με πυξίδα και ευθεία, το γενικό πρόβλημα επίσης δεν μπορεί να επιλυθεί.Τετραγωνισμός του κύκλου Ένα τετράγωνο με εμβαδόν π {\displaystyle \pi } , το ίδιο εμβαδόν με έναν μοναδιαίο κύκλο, θα είχε μήκος πλευράς π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} , έναν υπερβατικό αριθμό. Επομένως, αυτό το τετράγωνο και το μήκος πλευράς του δεν είναι κατασκευάσιμα, επειδή δεν είναι αλγεβρικά πάνω στο Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .Κατασκευάσιμο πολύγωνο Αν ένα κανονικό n {\displaystyle n} -gon κατασκευαστεί με το κέντρο του στην αρχή, οι γωνίες μεταξύ των τμημάτων από το κέντρο σε διαδοχικές κορυφές είναι 2 π / n {\displaystyle 2\pi /n} . Το πολύγωνο μπορεί να κατασκευαστεί μόνο όταν το συνημίτονο αυτής της γωνίας είναι ένας τριγωνομετρικός αριθμός. Παραδείγματος χάριν, ένα 15-gon είναι κατασκευάσιμο, αλλά το κανονικό επτάγωνο δεν είναι κατασκευάσιμο, επειδή το 7 είναι πρώτος αριθμός αλλά όχι πρώτος αριθμός Φερμά. Για μια πιο άμεση απόδειξη της μη κατασκευασιμότητάς του, αναπαραστήστε τις κορυφές ενός κανονικού επταγώνου ως τις μιγαδικές ρίζες του πολυωνύμου x 7 − 1 {\displaystyle x^{7}-1} . Αφαιρώντας τον παράγοντα x − 1 {\displaystyle x-1} , διαιρώντας με το x 3 {\displaystyle x^{3}} και αντικαθιστώντας το y = x + 1 / x {\displaystyle y=x+1/x} προκύπτει το απλούστερο πολυώνυμο y 3 + y 2 − 2 y − 1 {\displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1} , ένα μη αναγώγιμο κυβικό με τρεις πραγματικές ρίζες, κάθε μία από τις οποίες είναι δύο φορές το πραγματικό μέρος μιας κορυφής μιγαδικού αριθμού. Οι ρίζες του δεν είναι κατασκευάσιμες, άρα και το επτάγωνο δεν είναι κατασκευάσιμο.Το πρόβλημα του Αλχαζέν Αν δίνονται δύο σημεία και ένας κυκλικός καθρέφτης, σε ποιο σημείο του κύκλου το ένα από τα συγκεκριμένα σημεία βλέπει το είδωλο του άλλου; Γεωμετρικά, οι ευθείες που ξεκινούν από κάθε δεδομένο σημείο και καταλήγουν στο σημείο της αντανάκλασης συναντούν τον κύκλο σε ίσες γωνίες και σε χορδές ίσου μήκους. Ωστόσο, είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε ένα σημείο ανάκλασης χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα. Ειδικότερα, για έναν μοναδιαίο κύκλο με τα δύο σημεία ( 1 6 , 1 6 ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})} και ( − 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})} στο εσωτερικό του, η λύση εμφανίζει συντεταγμένες που σχηματίζουν τις ρίζες ενός μη αναγώγιμου πολυωνύμου τετάρτου βαθμού x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x − 1 {\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1} . Αν και ο βαθμός του είναι δύναμη του δύο, το πεδίο διαίρεσης αυτού του πολυωνύμου έχει βαθμό διαιρετό με το τρία, οπότε δεν προέρχεται από μια επαναληπτική τετραγωνική επέκταση και το πρόβλημα του Αλχαζέν δεν έχει λύση με πυξίδα και χάρακα.. Η γέννηση της έννοιας των κατασκευάσιμων αριθμών είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την ιστορία των τριών κατασκευών που ήταν αδύνατες με τη χρήση πυξίδας και χάρακα: ο διπλασιασμός ενός κύβου, η τριχοτόμηση της γωνίας και ο τετραγωνισμός του κύκλου. Ο περιορισμός της χρήσης της πυξίδας και του χάρακα στις γεωμετρικές κατασκευές αποδίδεται συχνά στον Πλάτωνα λόγω ενός χωρίου στον Πλούταρχο. Σύμφωνα με τον Πλούταρχο, ο Πλάτων ανέθεσε τον διπλασιασμό του προβλήματος του κύβου (Δελιανός) στους Εύδοξο, Αρχύτα και Μέναχο, οι οποίοι έλυσαν το πρόβλημα χρησιμοποιώντας μηχανικά μέσα, κερδίζοντας έτσι μια επίπληξη από τον Πλάτωνα επειδή δεν έλυσαν το πρόβλημα χρησιμοποιώντας καθαρή γεωμετρία. Ωστόσο, η απόδοση αυτή αμφισβητείται, εν μέρει λόγω της υπάρξεως μιας άλλης εκδοχής της ιστορίας (που αποδίδεται στον Ερατοσθένη από τον Ευτόκιο του Ασκαλώνου), η οποία αναφέρει ότι οι τρεις τους βρήκαν λύσεις αλλά ήταν πολύ αφηρημένες για να έχουν πρακτική αξία. Ο Πρόκλος, παραθέτοντας τον Ευδήμο της Ρόδου, αποδίδει δύο κατασκευές με χάρακα και πυξίδα στον Οινοπίδη (περ. 450 π.Χ.), γεγονός που έχει οδηγήσει ορισμένους συγγραφείς να υποθέσουν ότι ο Οινοπίδης ήταν ο εμπνευστής του περιορισμού. Ο περιορισμός σε πυξίδα και χάρακα είναι ουσιώδης για την αδυναμία αντιμετώπισης των κλασικών κατασκευαστικών προβλημάτων. Η τριχοτόμηση μιας γωνίας, για παράδειγμα, μπορεί να επιτευχθεί με πολλούς τρόπους, πολλοί από τους οποίους ήταν γνωστοί στους αρχαίους Έλληνες. Χρησιμοποιήθηκαν η Τετραγωνίζουσα του Ιππία της Ήλιδας, οι κωνικές του Μενέχμου και η κατασκευή του σημαδεμένου χάρακα του Αρχιμήδη ("νεύσις"), καθώς και μια πιο σύγχρονη προσέγγιση με τη χρήση αναδίπλωσης χαρτιού. Αν και δεν είναι ένα από τα τρία κλασικά προβλήματα κατασκευής, το πρόβλημα της κατασκευής κανονικών πολυγώνων με τη χρήση χάρακα και πυξίδας αντιμετωπίζεται συχνά παράλληλα. Οι Έλληνες ήξεραν πώς να κατασκευάσουν n κανονικά n {\displaystyle n} -gons με n = 2 h {\displaystyle n=2^{h}} (για κάθε ακέραιο h ≥ 2 {\displaystyle h\geq 2} ), 3, 5, ή το γινόμενο δύο ή τριών από αυτούς τους αριθμούς, αλλά άλλα κανονικά n-gon τους διέφευγαν. Το 1796, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, δεκαοκτάχρονος τότε φοιτητής, ανακοίνωσε σε μια εφημερίδα ότι είχε κατασκευάσει ένα κανονικό 17-γωνο χρησιμοποιώντας ένα χάρακα και μια πυξίδα Η αντιμετώπιση του Γκάους ήταν αλγεβρική παρά γεωμετρική- στην πραγματικότητα, δεν κατασκεύασε το πολύγωνο, αλλά έδειξε ότι το συνημίτονο μιας κεντρικής γωνίας ήταν ένας κατασκευάσιμος αριθμός. Το επιχείρημα γενικεύτηκε στο βιβλίο του Disquisitiones Arithmeticae του 1801, δίνοντας την ικανή συνθήκη για την κατασκευή ενός κανονικού n-γωνο. Ο Γκάους υποστήριξε, χωρίς να αποδείξει, ότι η συνθήκη αυτή ήταν επίσης αναγκαία και αρκετοί συγγραφείς, ιδίως ο Φέλιξ Κλάιν , του απέδωσαν και αυτό το μέρος της απόδειξης . Το πρόβλημα του Αλχαζέν δεν είναι επίσης ένα από τα τρία κλασικά προβλήματα, αλλά παρόλο που πήρε το όνομά του από τον Ibn al-Haytham ("Αλχαζέν"), έναν μεσαιωνικό ισλαμιστή μαθηματικό, εμφανίζεται ήδη στο έργο του Πτολεμαίου του δεύτερου αιώνα για την οπτική . Ο Πιερ Γουάντσελ (1837) απέδειξε αλγεβρικά ότι τα προβλήματα του διπλασιασμού του κύβου και του τριγωνισμού της γωνίας είναι αδύνατο να λυθούν μόνο με την πυξίδα και τον χάρακα. Στο ίδιο άρθρο, έλυσε επίσης το πρόβλημα του προσδιορισμού των κανονικών πολυγώνων που μπορούν να κατασκευαστούν: ένα κανονικό πολύγωνο είναι κατασκευάσιμο εάν και μόνο εάν ο αριθμός των πλευρών του είναι το γινόμενο μιας δύναμης του δύο και οποιουδήποτε αριθμού διαφορετικών πρώτων αριθμών του Φερμά (δηλαδή οι ικανές συνθήκες που έδωσε ο Γκάους ισχύουν και για την κατασκευή ενός κανονικού πολυγώνου), Μια προσπάθεια απόδειξης της αδυναμίας τετραγωνισμού του κύκλου δόθηκε από τον Τζέιμς Γκρέγκορι στο Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Ο αληθινός τετραγωνισμός του κύκλου και της υπερβολής) το 1667. Αν και η απόδειξή του ήταν λανθασμένη, αυτή ήταν η πρώτη εργασία που προσπάθησε να λύσει το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τις αλγεβρικές ιδιότητες του π. Μόνο το 1882 ο Φερντινάντ φον Λίντεμαν απέδειξε αυστηρά την αδυναμία του, επεκτείνοντας το έργο του Σαρλ Ερμίτ και αποδεικνύοντας ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός . Μόνο με το έργο του Έλκιν (1965) κατέστη αδύνατο να λυθεί το πρόβλημα του Αλχαζέν με τη χρήση πυξίδας και χάρακα. Η μελέτη των κατασκευάσιμων αριθμών ως τέτοιων ξεκίνησε από τον Ρενέ Ντεκάρτ στο έργο του "Η γεωμετρία" (La Géométrie), ένα παράρτημα στο έργο του "Discours de la méthode" (Λόγος περί της Μεθόδου) που δημοσιεύθηκε το 1637. Σε αυτό, ο Ντεκάρτ συνδέει τους αριθμούς με τμήματα γεωμετρικών ευθειών προκειμένου να επιδείξει τη δύναμη της φιλοσοφικής του μεθόδου επιλύοντας ένα αρχαίο κατασκευαστικό πρόβλημα με χάρακα και πυξίδα που έθεσε ο Πάππος. Οικοδομήσιμο Σύμπαν