Σφαιρικός μηνίσκος

Στη σφαιρική γεωμετρία, ο σφαιρικός μηνίσκος είναι μια περιοχή πάνω σε σφαίρα που οριοθετείται από δύο ημι-μέγιστους κύκλους, οι οποίοι τέμνονται σε δύο αντίποδα σημεία, και είναι παράδειγμα διγώνου, {2}θ, με διεδρική γωνία θ. Ετυμολογικά, η λέξη «μηνίσκος» είναι αρχαία ελληνική (Μήνη = Σελήνη και μηνίσκος = ημισέληνος).

 Οι μέγιστοι κύκλοι είναι οι μεγαλύτεροι δυνατοί κύκλοι (περιφέρειες) μιας σφαίρας· κάθε ένας από αυτούς διαιρεί την επιφάνεια της σφαίρας σε δύο ίσα μέρη. Δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνονται πάντα σε δύο πολικά αντίθετα σημεία (αντίποδα σημεία). Κοινά παραδείγματα μεγίστων κύκλων σε μια σφαίρα είναι οι γραμμές του γεωγραφικού μήκους (μεσημβρινοί) της γης, που συναντόνται στον βόρειο και τον νότιο πόλο της. Ο σφαιρικός μηνίσκος έχει δύο επίπεδα συμμετρίας: Μπορεί να διχοτομηθεί σε δύο μηνίσκους στο ήμισυ της γωνίας του. Μπορεί να διχοτομηθεί από μια ισημερινή διχοτόμο σε δύο ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα. Το εμβαδόν επιφανείας του σφαιρικού μηνίσκου είναι 2θ R2, όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας και θ είναι η διεδρική γωνία σε ακτίνια μεταξύ των δύο μισών μέγιστων κύκλων. Όταν η γωνία αυτή είναι ίση με 2π ακτίνια (360°) —δηλαδή, όταν ο δεύτερος μισός μέγιστος κύκλος έχει μετακινηθεί κατά έναν πλήρη κύκλο, και ο μηνίσκος ανάμεσα καλύπτει όλη τη σφαίρα ως σφαιρικό μονόγωνο— τότε ο τύπος για το εμβαδόν του σφαιρικού μηνίσκου δίνει το εμβαδόν επιφανείας της σφαίρας, 4πR2. Μια σφαιρική σφήνα είναι ο όγκος του χώρου που οριοθετείται από δύο επίπεδα που διέρχονται από το κέντρο μιας σφαίρας και της επιφανείας της. Το εμφανώς φωτισμένο τμήμα της Σελήνης, όπως είναι ορατή από τη Γη, είναι ένας σφαιρικός μηνίσκος. Ο πρώτος από τους δύο τεμνόμενους μέγιστους κύκλους είναι ο απολήκτης μεταξύ του φωτεινού και του σκοτεινού μισού της Σελήνης (η ζώνη του λυκόφωτος). Ο δεύτερος μέγιστος κύκλος είναι ο επίγειος απολήκτης που χωρίζει το μισό που είναι ορατό από τη Γη από το αθέατο μισό της. Ο σφαιρικός μηνίσκος είναι το φωτισμένο σχήμα ημισελήνου όπως φαίνεται από τη Γη. Το οσόεδρο είναι μια ψηφιδοθέτηση μηνίσκων πάνω σε σφαίρα. Το κανονικό n-γωνικό οσόεδρο, {2,n}, αποτελείται από n μηνίσκους π/n ακτινίων. Το n-οσόεδρο έχει διεδρική συμμετρία Dnh, [n,2], (*22n) τάξης 4n. Ο κάθε μηνίσκος έχει μοναδική κυκλική συμμετρία C2v, [2], (*22) τάξης 4. Το κάθε οσόεδρο μπορεί να διχοτομηθεί από μια ισημερινή διχοτόμο σε δύο ίσα σφαιρικά τρίγωνα. Οι μηνίσκοι μπορούν επίσης να οριστούν και σε υψηλών διαστάσεων σφαίρες. Μια 3-σφαίρα στις τέσσερις διαστάσεις είναι μια γενικευμένη σφαίρα. Μπορεί να περιλαμβάνει μηνίσκους κανονικών διγώνων ως {2}θ,π, όπου οι θ και π είναι δύο διεδρικές γωνίες. Για παράδειγμα, ένα κανονικό οσότοπο {2,p,q} έχει έδρες δίγωνα, {2}2π/p,2π/q, όπου το σχήμα κορυφής του είναι ένα σφαιρικό Πλατωνικό στερεό, {p,q}. Η κάθε κορυφή του {p,q} ορίζει μια ακμή στο οσότοπο και τα παρακείμενα ζευγη των ακμών αυτών ορίζουν έδρες μηνίσκους. Πιο συγκεκριμένα, το κανονικό οσότοπο {2,4,3}, έχει 2 κορυφές, 8 ακμές τόξα 180° σε έναν κύβο, {4,3}, ως σχήμα κορυφής μεταξύ των δύο κορυφών, 12 έδρες μηνίσκους, {2}π/4,π/3, ανάμεσα στα ζεύγη των γειτονικών ακμών, και 6 κελλιά οσοεδρικά, {2,p}π/3. Beyer, W. H. (1987). Raton, Boca, επιμ. CRC Standard Mathematical Tables (28η έκδοση). FL: CRC Press. σελ. 130. Harris, J. W.· Stocker, H. (1998). «Spherical Wedge (§4.8.6)». Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag. σελ. 108. Gellert, W.; Gottwald, S.; Hellwich, M.; Kästner, H.; Künstner, H., επιμ. (1989). VNR Concise Encyclopedia of Mathematics (2η έκδοση). New York: Van Nostrand Reinhold. σελ. 262.