Ανισότητα Χέλντερ

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Χέλντερ (αναφέρεται και ως ανισότητα Hölder) είναι η ανισότητα, ∑ i = 1 n | a i b i | ≤ ( ∑ i = 1 n | a i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | b i | q ) 1 / q , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q},} που ισχύει για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} και b 1 , … , b n {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}} και για p , q > 1 {\displaystyle p,q>1} έτσι ώστε 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} . Η ανισότητα ισχύει και για οποιεσδήποτε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις f , g : [ a , b ] → R {\displaystyle f,g:[a,b]\to \mathbb {R} } , ∫ a b | f ( x ) g ( x ) | d x ≤ ( ∫ a b ( | f ( x ) | ) p d x ) 1 / p ⋅ ( ∫ a b ( | f ( x ) | ) q d x ) 1 / q . {\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)g(x)|\,dx\leq \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{p}\,dx\right)^{1/p}\cdot \left(\int _{a}^{b}(|f(x)|)^{q}\,dx\right)^{1/q}.} Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Όττο Χέλντερ για την εργασία του το 1889.

 Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα Γιανγκ. Η ανισότητα Γιανγκ δίνει ότι για κάθε πραγματικούς αριθμούς a , b {\displaystyle a,b} και p , q > 1 {\displaystyle p,q>1} με 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} , | a | p p + | b | q q ≥ | a | ⋅ | b | . {\displaystyle {\frac {|a|^{p}}{p}}+{\frac {|b|^{q}}{q}}\geq |a|\cdot |b|.} Για την ανισότητα Χέλντερ κάνουμε την παρατήρηση ότι είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε τους αριθμούς a i ′ = λ 1 a i {\displaystyle a_{i}'=\lambda _{1}a_{i}} και b i ′ = λ 2 b i {\displaystyle b_{i}'=\lambda _{2}b_{i}} για οποιεσδήποτε σταθερές λ 1 , λ 2 > 0 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}>0} , λαμβάνουμε μία ανισότητα ισοδύναμη με την αρχική ανισότητα, καθώς ( ∑ i = 1 n | a i ′ | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | b i ′ | q ) 1 / q = λ 1 λ 2 ⋅ ( ∑ i = 1 n | a i | p ) 1 / p ⋅ ( ∑ i = 1 n | b i | q ) 1 / q {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}\right)^{1/q}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}\right)^{1/q}\quad } και ∑ i = 1 n | a i ′ b i ′ | = λ 1 λ 2 ∑ i = 1 n | a i b i | {\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|=\lambda _{1}\lambda _{2}\sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|} .Επομένως διαλέγοντας λ 1 − 1 = ∑ i = 1 n | a i | p {\displaystyle \lambda _{1}^{-1}=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{p}} και λ 2 − 1 = ∑ i = 1 n | b i | q {\displaystyle \lambda _{2}^{-1}=\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{q}} , αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε a i ′ {\displaystyle a_{i}'} και b i ′ {\displaystyle b_{i}'} με ∑ i = 1 n | a i ′ | p = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}=1} και ∑ i = 1 n | b i ′ | q = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}=1} , ισχύει ότι ∑ i = 1 n | a i ′ b i ′ | ≤ 1. {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|\leq 1.} Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Γιανγκ, έχουμε ότι ∑ i = 1 n | a i ′ b i ′ | = ∑ i = 1 n | a i ′ | | b i ′ | ≤ ∑ i = 1 n ( | a i ′ | p p + | b i ′ | q q ) ≤ ∑ i = 1 n | a i ′ | p p + ∑ i = 1 n | b i ′ | q q = 1 p + 1 q = 1 , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}'b_{i}'|=\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'||b_{i}'|\leq \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {|b_{i}'|^{q}}{q}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}'|^{p}}{p}}+{\frac {\sum _{i=1}^{n}|b_{i}'|^{q}}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,} ολοκληρώνοντας την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ. Ανισότητα Γιανγκ για το Γινόμενο