Συζυγής πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο συζυγής πίνακας ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο πίνακας που αποτελείται από τους συζυγείς μιγαδικούς των στοιχείων του. Πιο συγκεκριμένα, για έναν μιγαδικό πίνακα A {\displaystyle A} διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} , ο συζυγής του είναι ο πίνακας A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} με ( A ¯ ) i j = A i j ¯ {\displaystyle ({\overline {A}})_{ij}={\overline {A_{ij}}}} για κάθε 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} και 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m} . Δηλαδή, A ¯ = [ A 11 ¯ A 12 ¯ … A 1 m ¯ A 21 ¯ A 22 ¯ … A 2 m ¯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 ¯ A n 2 ¯ … A n m ¯ ] {\displaystyle {\overline {A}}={\begin{bmatrix}{\overline {A_{11}}}&{\overline {A_{12}}}&\ldots &{\overline {A_{1m}}}\\{\overline {A_{21}}}&{\overline {A_{22}}}&\ldots &{\overline {A_{2m}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {A_{n1}}}&{\overline {A_{n2}}}&\ldots &{\overline {A_{nm}}}\end{bmatrix}}} Για παράδειγμα, ο συζυγής του A = [ ( 3 + 2 i ) 5 ( 1 − 4 i ) ( 7 + 2 i ) ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&5\\(1-4i)&(7+2i)\end{bmatrix}}} είναι ο A ¯ = [ ( 3 − 2 i ) 5 ( 1 + 4 i ) ( 7 − 2 i ) ] {\displaystyle {\overline {A}}={\begin{bmatrix}(3-2i)&5\\(1+4i)&(7-2i)\end{bmatrix}}} .

 Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής τους: A = [ ( 3 + 2 i ) ( 7 − 3 i ) 5 i ( 9 − 2 i ) 10 ( 6 − 5 i ) ] A ¯ = [ ( 3 − 2 i ) ( 7 + 3 i ) − 5 i ( 9 + 2 i ) 10 ( 6 + 5 i ) ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}(3+2i)&(7-3i)&5i\\(9-2i)&10&(6-5i)\end{bmatrix}}\qquad {\overline {A}}={\begin{bmatrix}(3-2i)&(7+3i)&-5i\\(9+2i)&10&(6+5i)\end{bmatrix}}} B = [ ( − 5 + 2 i ) ( 3 − 4 i ) ( 4 − 8 i ) ( 5 + 3 i ) ( 1 + 3 i ) ( 7 − 2 i ) ] B ¯ = [ ( − 5 − 2 i ) ( 3 + 4 i ) ( 4 + 8 i ) ( 5 − 3 i ) ( 1 − 3 i ) ( 7 + 2 i ) ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}(-5+2i)&(3-4i)\\(4-8i)&(5+3i)\\(1+3i)&(7-2i)\end{bmatrix}}\qquad {\overline {B}}={\begin{bmatrix}(-5-2i)&(3+4i)\\(4+8i)&(5-3i)\\(1-3i)&(7+2i)\end{bmatrix}}} C = [ ( − 5 + 7 i ) ( 8 + 2 i ) ( 1 − i ) ] C ¯ = [ ( − 5 − 7 i ) ( 8 − 2 i ) ( 1 + i ) ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}(-5+7i)&(8+2i)&(1-i)\end{bmatrix}}\qquad {\overline {C}}={\begin{bmatrix}(-5-7i)&(8-2i)&(1+i)\end{bmatrix}}} Ο συζυγής πίνακας ενός πραγματικού πίνακα A {\displaystyle A} είναι ο ίδιος ο πίνακας A {\displaystyle A} , δηλαδή A ¯ = A {\displaystyle {\overline {A}}=A} .:191 Για παράδειγμα, για τον μηδενικό πίνακα 0 n × m {\displaystyle \mathbf {0} _{n\times m}} και τον ταυτοτικό πίνακα I {\displaystyle I} , ισχύει 0 n × m ¯ = 0 n × m {\displaystyle {\overline {\mathbf {0} _{n\times m}}}=\mathbf {0} _{n\times m}} και I ¯ = I {\displaystyle {\overline {I}}=I} . Ο συζυγής πίνακας ενός φανταστικού πίνακα A {\displaystyle A} είναι ο αντίθετός του − A {\displaystyle -A} , δηλαδή A ¯ = − A {\displaystyle {\overline {A}}=-A} .:191 Για παράδειγμα, A = [ 3 i − 6 i 7 i 4 i ] A ¯ = [ − 3 i 6 i − 7 i − 4 i ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}3i&-6i\\7i&4i\end{bmatrix}}\qquad {\overline {A}}={\begin{bmatrix}-3i&6i\\-7i&-4i\end{bmatrix}}} Ο συζυγής πίνακας του αθροίσματος δύο πινάκων A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} είναι το άθροισμα των συζυγών, A + B ¯ = A ¯ + B ¯ {\displaystyle {\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}} . Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα A {\displaystyle A} με έναν μιγαδικό αριθμό c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } , c A ¯ = c ¯ A ¯ {\displaystyle {\overline {cA}}={\overline {c}}{\overline {A}}} . Ο συζυγής πίνακας του γινομένου δύο πινάκων A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} είναι το γινόμενο των συζυγών, A B ¯ = A ¯ B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {A}}{\overline {B}}} . Ο συζυγής πίνακας του συζυγούς πίνακα είναι ο αρχικός πίνακας, A ¯ ¯ = A {\displaystyle {\overline {\overline {A}}}=A} . Ο συζυγής πίνακας του αναστρόφου είναι ο ανάστροφος του συζυγή, A T ¯ = ( A ¯ ) T {\displaystyle {\overline {A^{T}}}=({\overline {A}})^{T}} . Το ίχνος του συζυγή ενός πίνακα είναι tr ⁡ ( A ¯ ) = tr ⁡ ( A ) ¯ {\displaystyle \operatorname {tr} ({\overline {A}})={\overline {\operatorname {tr} (A)}}} . Ο συζυγής του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγή, A − 1 ¯ = ( A ¯ ) − 1 {\displaystyle {\overline {A^{-1}}}=({\overline {A}})^{-1}} . Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή det ⁡ ( A ¯ ) = det ⁡ ( A ) ¯ {\displaystyle \operatorname {det} ({\overline {A}})={\overline {\operatorname {det} (A)}}} .:57 Συζυγής μιγαδικός αριθμός Συζυγής ανάστροφος πίνακας