Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης

Στα μαθηματικά, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των εισόδων που γίνονται δεκτοί από αυτή τη συνάρτηση. Μερικές φορές συμβολίζεται με dom ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {dom} (f)} ή dom ⁡ f {\displaystyle \operatorname {dom} f} ή A f {\displaystyle A_{f}} , όπου f είναι η συνάρτηση. Με απλά λόγια, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης μπορεί γενικά να θεωρηθεί ως το "τι μπορεί να είναι το x".Πιο συγκεκριμένα, αν δίνεται μια συνάρτηση f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , το πεδίο ορισμού της f είναι το X. Στη σύγχρονη μαθηματική γλώσσα, το πεδίο ορισμού είναι ένα μέρος του ορισμού μιας συνάρτησης παρά μια ιδιότητά της. Στην ειδική περίπτωση που το X και το Y είναι υποσύνολα του R {\displaystyle \mathbb {R} } , η συνάρτηση f μπορεί να γραφτεί στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Στην περίπτωση αυτή, το πεδίο ορισμού ορίζεται στον άξονα x της γραφικής παράστασης. Για μια συνάρτηση f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , το σύνολο Y ονομάζεται πεδίο τιμών και το σύνολο στο οποίο ορίζονται οι τιμές του Y από τη συνάρτηση f (που είναι ένα υποσύνολο του Y ) ονομάζεται σύνολο τιμών. Οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να περιοριστεί σε ένα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Ο περιορισμός της συνάρτησης f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} στο A {\displaystyle A} , όπου A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} , γράφεται ως f | A : A → Y {\displaystyle \left.f\right|_{A}\colon A\to Y} .

 Εάν μια πραγματική συνάρτηση f δίνεται από έναν τύπο, μπορεί να μην ορίζεται για ορισμένες τιμές της μεταβλητής x. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση αυτή ονομάζεται μερική. Η συνάρτηση f {\displaystyle f} που ορίζεται από τον τύπο f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} δεν έχει τιμή για x=0. Επομένως, το πεδίο ορισμού της f {\displaystyle f} είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από το 0, το οποίο συμβολίζεται με R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} ή { x ∈ R : x ≠ 0 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\neq 0\}} . Η συνάρτηση f {\displaystyle f} που ορίζεται από τον τύπο f ( x ) = { 1 / x x ≠ 0 0 x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}} έχει ως πεδίο ορισμού όλο το σύνολο R {\displaystyle \mathbb {R} } των πραγματικών αριθμών. Η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών, που συμβολίζεται με R ≥ 0 {\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}} , δηλαδή το διάστημα [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} , ή { x ∈ R : x ≥ 0 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}} . Η συνάρτηση της εφαπτομένης, που συμβολίζεται με tan {\displaystyle \tan } , έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που δεν είναι της μορφής π 2 + k π {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi } για κάποιο ακέραιο k {\displaystyle k} , το οποίο μπορεί να γραφτεί ως R ∖ { π 2 + k π : k ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi :k\in \mathbb {Z} \}} . Ο όρος πεδίο ορισμού χρησιμοποιείται επίσης συνήθως με διαφορετική έννοια στη μαθηματική ανάλυση: το πεδίο ορισμού είναι ένα μη κενό, απλά συνεκτικό και ανοικτό σύνολο σε έναν τοπολογικό χώρο. Μερικές φορές ένα τέτοιο πεδίο ορισμού χρησιμοποιείται ως το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αν και οι συναρτήσεις μπορούν να οριστούν και σε πιο γενικά σύνολα. Οι δύο έννοιες μερικές φορές συγχέονται όπως, για παράδειγμα, στη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων: στην περίπτωση αυτή, το πεδίο ορισμού είναι ένα ανοιχτό, απλά συνεκτικό υποσύνολο του R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} όπου τίθεται ένα πρόβλημα, καθιστώντας το σημαντικό τόσο στην ανάλυση τύπων όσο και στην αναζήτηση άγνωστων συναρτήσεων. Ένα προς ένα Επί Ένα προς ένα και επί Αφελής συνολοθεωρία Φορέας (μαθηματικά) Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348. Eccles, Peter J. (11 Δεκεμβρίου 1997). An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets and Functions (στα Αγγλικά). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59718-0. Mac Lane, Saunders (25 Σεπτεμβρίου 1998). Categories for the Working Mathematician (στα Αγγλικά). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98403-2. Scott, Dana S.· Jech, Thomas J. (31 Δεκεμβρίου 1971). Axiomatic Set Theory, Part 1 (στα Αγγλικά). American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0245-8. Sharma, A. K. (2010). Introduction To Set Theory (στα Αγγλικά). Discovery Publishing House. ISBN 978-81-7141-877-0. Stewart, Ian· Tall, David (1977). The Foundations of Mathematics (στα Αγγλικά). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853165-4. http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547/2732/Mathimatika_Teuxos-B_G-Lykeiou-ThSp_html-apli/