Κουρτ Γκέντελ

Ο Κουρτ Γκέντελ (γερμ.: Kurt Friedrich Gödel, 28 Απριλίου 1906 – 14 Ιανουαρίου 1978) ήταν Αυστρο-Αμερικανός επιστήμονας της λογικής, μαθηματικός και φιλόσοφος, ένας από τους πιο σημαντικούς επιστήμονες της λογικής όλων των εποχών. Ο Γκέντελ είχε τεράστια επιρροή στην επιστημονική και φιλοσοφική σκέψη του 20ού αιώνα, σε μια εποχή που πολλοί, όπως ο Μπέρτραντ Ράσελ, ο Α. Ν. Γουάιτχεντ και ο Νταβίντ Χίλμπερτ, πρωτοπορούσαν στη χρήση της λογικής και της θεωρίας συνόλων για την κατανόηση των θεμελίων των μαθηματικών.Ο Γκέντελ είναι περισσότερο γνωστός για τα δύο του θεωρήματα μη-πληρότητας, δημοσιευμένα το 1931, όταν ήταν 25 ετών, έναν χρόνο μετά το τέλος του διδακτορικού του στο πανεπιστήμιο της Βιέννης. Το πιο διάσιμο θεώρημα μη-πληρότητας διατυπώνει ότι για κάθε αυτο-συνεπές αναδρομικό αξιωματικό σύστημα αρκετά ισχυρό ώστε να περιγράφει την αριθμητική των φυσικών αριθμών (αριθμητική Πεάνο), υπάρχουν αληθείς προτάσεις για τους φυσικούς που δεν μπορούν να αποδειχθούν από τα αξιώματα. Για να αποδείξει το θεώρημα αυτό, ο Γκέντελ ανέπτυξε μια τεχνική γνωστή ως γκεντελοποίηση, η οποία κωδικοποιεί τυπικές εκφράσεις ως φυσικούς αριθμούς. Έδειξε ακόμα ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να διαψευσθεί από τα δεκτά αξιώματα της θεωρίας συνόλων, αν τα αξιώματα αυτά είναι συνεπή. Έκανε σημαντικές συνεισφορές στην θεωρία αποδείξεων με το να ξεκαθαρίσει τις σχέσεις μεταξύ κλασικής λογικής, διαισθητικής λογικής και τροπικής λογικής.

 Ο Κουρτ Γκέντελ γεννήθηκε στις 28 Απριλίου του 1906 στο Μπρνο. Ήταν μέλος της —γερμανικής εθνότητας— οικογένειας του Ρούντολφ Γκέντελ, διευθυντή εργοστασίου υφασμάτων. Μητέρα του ήταν η Μαριάν Γκέντελ (γεν. Χάντσουχ). Κατά τη γέννησή του, η πόλη είχε μια ελαφρά πλειοψηφία Γερμανόφωνων, και αυτή ήταν και η γλώσσα των γονέων του. Οι πρόγονοι του Κουρτ Γκέντελ ήταν συχνά ενεργοί στην πολιτιστική ζωή του Μπρνο. Για παράδειγμα, ο παππούς του, Ιωσήφ Γκέντελ, ήταν διάσημος τραγουδιστής της εποχής και για κάποια χρόνια μέλος της "Brünner Männergesangverein".Ο Γκέντελ, αν και μιλούσε πολύ λίγα Τσέχικα, έγινε αυτόματα Τσεχοσλοβάκος πολίτης στην ηλικία των 12 ετών, όταν η Αυστροουγγρική αυτοκρατορία διασπάστηκε στο τέλος του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου. Αργότερα είπε στον βιογράφο του, Τζον Ντόσον, ότι ένιωθε σαν εξορισμένος Αυστριακός στην Τσεχοσλοβακία ("ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei") εκείνη την περίοδο. Επέλεξε να γίνει Αυστριακός πολίτης στην ηλικία των 23 ετών. Όταν η Ναζιστική Γερμανία προσάρτησε την Αυστρία, ο Γκέντελ αυτόματα έγινε Γερμανός πολίτης στην ηλικία των 32 ετών. Μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο, στην ηλικία των 42 ετών, έγινε Αμερικανός πολίτης. Στην οικογένειά του, ο νεαρός Κουρτ ήταν γνωστός ως ο Herr Warum ("Κύριος Γιατί") εξαιτίας της ακόρεστης περιέργειάς του. Σύμφωνα με τον αδελφό του Ρούντολφ, στην ηλικία των έξι ή επτά ετών ο Κουρτ υπέφερε από ρευματικό πυρετό. Επανήλθε τελείως, αλλά για το υπόλοιπο της ζωής του έμεινε πεπεισμένος ότι η καρδιά του είχε τραυματιστεί ανεπανόρθωτα. Ο Γκέντελ παρακολούθησε το Evangelische Volksschule, ένα Λουθηρανικό σχολείο στο Μπρνο, από το 1912 έως το 1916. Εγγράφηκε στο Deutsches Staats-Realgymnasium όπου φοίτησε από το 1916 έως το 1924 και αρίστευσε με τιμές σε όλα του τα μαθήματα και ιδιαίτερα στα μαθηματικά, τις γλώσσες και τη θρησκεία. Αν και ο Κουρτ είχε αρχικά αριστεύσει στις γλώσσες, αργότερα ανέπτυξε περισσότερο ενδιαφέρον για την ιστορία και τα μαθηματικά. Το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά αυξήθηκε όταν το 1920 ο μεγαλύτερος αδελφός του (γεννημένος το 1902) έφυγε για τη Βιέννη για να παρακολουθήσει την ιατρική σχολή του Πανεπιστημίου της Βιέννης (UV). Στην εφηβεία του ο Κουρτ μελέτησε τη στενογραφία Γκαμπελσμπέργκερ, το βιβλίο Θεωρία των χρωμάτων του Γκαίτε, κριτικές του Ισαάκ Νιούτον και τα έργα του Εμμάνουελ Καντ. Στην ηλικία των 18, ο Κουρτ συνάντησε τον αδελφό του Ρούντολφ στη Βιέννη και εγγράφηκε στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης. Μέχρι τότε, κατείχε ήδη μαθηματικά πανεπιστημιακού επιπέδου. Αν και αρχικά είχε πρόθεση να μελετήσει Θεωρητική Φυσική, ο Κουρτ παρακολούθησε επίσης μαθήματα μαθηματικών και φιλοσοφίας. Κατά την περίοδο αυτή, υιοθέτησε ιδέες μαθηματικού ρεαλισμού. Διάβασε τα Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft του Εμμάνουελ Καντ και συμμετείχε στον Κύκλο της Βιέννης με τον Μόριτζ Σλικ, τον Χανς Χαν και τον Ρούντολφ Κάρναπ. Έπειτα μελέτησε Θεωρία Αριθμών, αλλά κατά τη συμμετοχή σε ένα σεμινάριο του Μόριτζ Σλικ που μελετούσε το βιβλίο Εισαγωγή στη Μαθηματική Φιλοσοφία του Μπέρτραντ Ράσελ, του κίνησε το ενδιαφέρον η Μαθηματική Λογική. Η παρακολούθηση μιας διάλεξης του Νταβίντ Χίλμπερτ στη Μπολόνια περί της πληρότητας και συνέπειας των μαθηματικών συστημάτων πιθανώς να έθεσε την πορεία της μετέπειτα ζωής του Γκέντελ. Το 1928 ο Χίλμπερτ και ο Βίλχελμ Άκερμαν δημοσίευσαν το Grundzüge der theoretischen Logik (Αρχές της Μαθηματικής Λογικής), μια εισαγωγή στην Λογική πρώτου βαθμού, όπου τέθηκε το πρόβλημα της πληρότητας: Αρκούν τα αξιώματα ενός τυπικού συστήματος για να παραχθούν όλες οι προτάσεις που είναι αληθείς σε όλα τα μοντέλα του συστήματος; Αυτό ήταν το θέμα που επέλεξε ο Γκέντελ για το διδακτορικό του. Το 1929, σε ηλικία 23 ετών, ολοκλήρωση τη διδακτορική του διατριβή, υπό την εποπτεία του Χανς Χαν. Σ' αυτή ο Γκέντελ απέδειξε την πληρότητα του κατηγορηματικού λογισμού πρώτου βαθμού, αποτέλεσμα που έγινε γνωστό ως το Θεώρημα πληρότητας του Γκέντελ. Του απονεμήθηκε ο τίτλος του διδάκτορα το 1930. Η διδακτορική του διατριβή, σε συνδυασμό με κάποιες επιπλέον εργασίες, δημοσιεύθηκε από την Ακαδημία Επιστημών της Βιέννης. Το 1931 ο Γκέντελ δημοσίευσε τα διάσημά του θεωρήματα μη-πληρότητας στο "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" (Περί των Τυπικά Αναποφασιστέων Προτάσεων του ''Principia Mathematica'' και Σχετικών Συστημάτων). Στο άρθρο αυτό, απέδειξε για οποιοδήποτε υπολογίσιμο αξιωματικό σύστημα αρκετά ισχυρό για να περιγράψει την αριθμητική των φυσικών αριθμών (δηλαδή τα αξιώματα Πεάνο ή ZFC) ότι: Αν το σύστημα είναι συνεπές, δεν μπορεί να είναι και πλήρες. Αυτό είναι γενικότερα γνωστό ως το θεώρημα μη-πληρότητας. Η συνέπεια των αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα στο ίδιο το σύστημα.Τα θεωρήματα αυτά έφεραν τέλος σε μισό αιώνα προσπαθειών, ξεκινώντας από το έργο του Φρέγκε και με κορύφωση την Principia Mathematica και τη διατύπωση του Χίλμπερτ, για να βρεθεί ένα σύνολο αξιωμάτων, ικανό για όλα τα μαθηματικά. Τα θεωρήματα μη-πληρότητας συνεπάγονται ακόμα και ότι δεν είναι όλες οι μαθηματικές ερωτήσεις δυνατό να απαντηθούν. Εκ των υστέρων, η βασική ιδέα στο κέντρο του θεωρήματος μη-πληρότητας είναι σχετικά απλή. Ο Γκέντελ βασικά κατασκεύασε μια πρόταση η οποία ισχυρίζεται ότι αυτή η ίδια η πρόταση δεν αποδεικνύεται σε κάποιο δεδομένο τυπικό σύστημα. Αν ήταν δυνατό να αποδειχθεί, τότε η ίδια θα ήταν ψευδής, που έρχεται σε αντίθεση με το ότι στα συνεπή συστήματα οι αποδείξιμες προτάσεις είναι πάντα αληθείς. Έτσι, θα υπάρχει πάντα μια αληθής αλλά μη-αποδείξιμη πρόταση. Δηλαδή, για κάθε υπολογιστικά αριθμήσιμο σύνολο αξιωμάτων για την αριθμητική (σύνολο που μπορεί θεωρητικά να εκτυπωθεί από έναν ιδεατό υπολογιστή με άπειρους πόρους και χρόνο), υπάρχει μια πρόταση που ισχύει πάντα για την αριθμητική, αλλά που δεν αποδεικνύεται μέσα στο σύστημα. Για να το διατυπώσει με ακρίβεια, όμως, ο Γκέντελ έπρεπε να λύσει αρκετά τεχνικά ζητήματα, όπως η κωδικοποίηση προτάσεων, αποδείξεων και της ίδιας της έννοιας της αποδειξιμότητας, με φυσικούς αριθμούς. Το έκανε χρησιμοποιώντας μια διαδικασία που λέγεται Γκεντελοποίηση. Στο δισέλιδο άρθρο του "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül" (1932) ο Γκέντελ αναίρεσε την ιδιότητα πεπερασμένων τιμών της διαισθητικής λογικής. Στην απόδειξη χρησιμοποίησε έμμεσα αυτό που έγινε αργότερα γνωστό ως ενδιάμεση λογική Γκέντελ-Ντάμετ ή ασαφής λογική του Γκέντελ. Το 1933 ο Γκέντελ ταξίδεψε για πρώτη φορά στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου συνάντησε τον Άλμπερτ Αϊνστάιν, με τον οποίο έγινε καλός φίλος. Εκεί έδωσε μια διάλεξη στην ετήσια συνάντηση της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρίας. Κατά το έτος αυτό ο Γκέντελ ανέπτυξε, επίσης, τις ιδέες του περί υπολογισιμότητας και αναδρομικών συναρτήσεων σε βαθμό ώστε να δώσει μια διάλεξη για τις γενικές αναδρομικές συναρτήσεις και την έννοια της αλήθειας. Η εργασία αυτή αναπτύχθηκε στη θεωρία αριθμών, με χρήση της Γκεντελοποίησης. Το 1934 ο Γκέντελ έδωσε μια σειρά από διαλέξεις στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών στο Πρίνστον, με τίτλο On undecidable propositions of formal mathematical systems (Περί των αναποφασιστέων προτάσεων των τυπικών μαθηματικών συστημάτων). Ο Στέφεν Κλέινι, που είχε μόλις τελειώσει το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, κράτησε σημειώσεις από τις διαλέξεις αυτές, οι οποίες αργότερα δημοσιεύθηκαν. Ο Γκέντελ θα επισκεπτόταν ξανά το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών το φθινόπωρο του 1935. Το ταξίδι και η σκληρή δουλειά τον είχαν εξουθενώσει, και την επόμενη χρονιά χρειάστηκε να αναρρώσει από κατάθλιψη. Επέστρεψε στη διδασκαλία το 1937. Στην περίοδο αυτή εργάστηκε πάνω στην απόδειξη συνέπειας του αξιώματος επιλογής και της υπόθεσης του συνεχούς. Στη συνέχεια έδειξε ότι οι υποθέσεις αυτές δεν μπορούν να διαψευσθούν από το κοινό σύστημα αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων. Νυμφεύτηκε την Αντέλ Νιμπέρσκυ (γεν. Πόρκετ, 1899-1981), την οποία γνώριζε για πάνω από 10 χρόνια, στις 20 Σεπτεμβρίου του 1938. Η σχέση τους είχε βρει αντίθετους τους γονείς του, λόγω του ότι αυτή ήταν διαζευγμένη χορεύτρια, έξι χρόνια μεγαλύτερή του. Δεν απέκτησαν παιδιά. Στη συνέχεια έφυγε για μια ακόμα επίσκεψη στις Ηνωμένες Πολιτείες, περνώντας το φθινόπωρο του 1938 στο Πρίνστον και την άνοιξη του 1939 στο Πανεπιστήμιο της Νοτρ Νταμ. Ο Γκέντελ και η σύζυγός του Αντέλ πέρασαν το καλοκαίρι του 1942 στο Μπλου Χιλ, Μέιν, στο Blue Hill Inn στην κορυφή του κόλπου. Ο Γκέντελ έκανε διακοπές από το Πρίνστον. Παρ' όλα αυτά, το καλοκαίρι αυτό ήταν πολύ παραγωγικό. Χρησιμοποιώντας το Heft 15 (τόμος 15) του ακόμα αδημοσίευτου Arbeitshefte (σημειωματάρια) του Γκέντελ, ο Τζον Ντόσον εικάζει ότι ο Γκέντελ ανακάλυψε μια απόδειξη για την ανεξαρτησία του αξιώματος επιλογής από την πεπερασμένη θεωρία τύπων, μια ασθενή μορφή της θεωρίας συνόλων, όσο ήταν στο Μπλου Χιλ το 1942. Ο στενός φίλος του Γκέντελ, Χάο Ουάνγκ, υποστηρίζει την εικασία αυτή, σημειώνοντας ότι τα σημειωματάρια του Γκέντελ από το Μπλου Χιλ περιέχουν την πιο εκτεταμένη εξέταση του προβλήματος. Μετά το Anschluss το 1938, η Αυστρία έγινε μέρος της Ναζιστικής Γερμανίας. Η Γερμανία κατάργησε τον τίτλο του Privatdozent και ο Γκέντελ αναγκάστηκε να κάνει αίτηση για νέα θέση υπό το νέο καθεστώς. Οι προηγούμενες σχέσεις του με Εβραίους, μέλη του κύκλου της Βιέννης, και ειδικά με τον Χαν, ήταν εις βάρος του. Το Πανεπιστήμιο της Βιέννης απέρριψε την αίτησή του. Η ήδη δυσχερής κατάστασή του χειροτέρεψε όταν ο Γερμανικός στρατός τον βρήκε ικανό προς επιστράτευση. Ο Β΄ Παγκόσμιος Πόλεμος ξεκίνησε το Σεπτέμβριο του 1939. Πριν το τέλος του έτους ο Γκέντελ και η σύζυγός του άφησαν τη Βιέννη για το Πρίνστον. Για να αποφύγουν τη δυσκολία του να διασχίσουν τον Ατλαντικό, οι Γκέντελ πήραν τον Υπερσιβηρικό Σιδηρόδρομο μέχρι τον Ειρηνικό, απέπλευσαν από την Ιαπωνία φτάνοντας στο Σαν Φρανσίσκο στις 4 Μαρτίου του 1940, και στη συνέχεια διέσχισαν τις Ηνωμένες Πολιτείες με τραίνο μέχρι το Πρίνστον, όπου ο Γκέντελ θα αποδέχονταν μια θέση στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών. Ο Γκέντελ επέστρεψε στη μαθηματική του εργασία πολύ γρήγορα. Το 1940 δημοσίευσε την εργασία Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory (συνέπεια του αξιώματος επιλογής και της γενικευμένης υπόθεσης του συνεχούς με τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων) που έγινε κλασική για τα σύγχρονα μαθηματικά. Στην εργασία αυτή εισήγαγε το κατασκευάσιμο σύμπαν, ένα μοντέλο της θεωρίας συνόλων στο οποίο τα μόνα σύνολα που υπάρχουν είναι αυτά που μπορούν να κατασκευαστούν από απλούστερα σύνολα. Ο Γκέντελ έδειξε ότι τόσο το αξίωμα επιλογής όσο και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι αληθή στο κατασκευάσιμο σύμπαν και επομένως πρέπει να είναι συνεπή με τα αξιώματα Ζερμένο-Φράνκελ για τη θεωρία συνόλων. Ο Πωλ Κοέν αργότερα κατασκεύασε ένα μοντέλο της ZF-συνολοθεωρίας στο οποίο το αξίωμα επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι ψευδή, οι αποδείξεις αυτές μαζί σημαίνουν ότι το αξίωμα επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι ανεξάρτητα από τα αξιώματα ZF για τη θεωρία συνόλων. Το 1951 ο Γκέντελ απέδειξε την ύπαρξη παράδοξων λύσεων για τις εξισώσεις πεδίων του Άλμπερτ Αϊνστάιν στη Γενική σχετικότητα. Έδωσε αυτή την εκπόνηση στον Αϊνστάιν ως δώρο για τα εβδομηκοστά του γενέθλια. Αυτά τα «περιστρεφόμενα σύμπαντα» θα επέτρεπαν το ταξίδι στο χρόνο, και έκαναν τον Αϊνστάιν να έχει αμφιβολίες για τη θεωρία του. Οι λύσεις αυτές έγιναν γνωστές ως η μετρική Γκέντελ. Στα πολλά χρόνια που έμεινε στο Ινστιτούτο τα ενδιαφέροντα του Γκέντελ στράφηκαν στη Φιλοσοφία και τη Φυσική. Μελέτησε και θαύμαζε το έργο του Λάιμπνιτς, αλλά έφτασε να πιστεύει ότι μια εχθρική συνωμοσία κατόρθωσε να καταστείλει κάποια από τα έργα του Λάιμπνιτς. Σε μικρότερο βαθμό μελέτησε τον Καντ και τον Έντμουντ Χάσσερλ. Στην αρχή της δεκαετίας του 1970 ο Γκέντελ κυκλοφόρησε ανάμεσα σε φίλους του μια εκπόνηση της παραλλαγής του Λάιμπνιτς για την οντολογική απόδειξη του Άνσελμου του Καντερμπέρι για την ύπαρξη του Θεού. Αυτό είναι σήμερα γνωστό ως η οντολογική απόδειξη του Γκέντελ. Ο Γκέντελ έγινε μόνιμο μέλος του Ινστιτούτου Προχωρημένων Σπουδών το 1946. Τότε περίπου σταμάτησε να δημοσιεύει, αν και συνέχισε να εργάζεται. Έγινε ομότιμος καθηγητής στο Ινστιτούτο το 1953 και επίτιμος καθηγητής το 1976. Του απονεμήθηκε (μαζί με τον Τζούλιαν Σβίνγκερ) το πρώτο Βραβείο Άλμπερτ Αϊνστάιν το 1951 και επίσης το Εθνικό Μετάλλιο Επιστημών το 1974. Προς το τέλος της ζωής του ο Γκέντελ υπέφερε κατά περιόδους από ψυχικές διαταραχές και ασθένεια. Είχε έμμονους φόβους δηλητηρίασης και δεν έτρωγε παρά μόνο αφού η σύζυγός του Αντέλ δοκίμαζε το φαγητό του. Στο τέλος του 1977 η Αντέλ νοσηλεύθηκε σε νοσοκομείο για έξι μήνες και δεν μπορούσε να δοκιμάζει πλέον το φαγητό του Γκέντελ. Κατά την απουσία της αρνήθηκε να φάει και, τελικά, πέθανε από ασιτία. Ζύγιζε περίπου 30 κιλά όταν πέθανε. Το πιστοποιητικό θανάτου του ανέφερε ότι πέθανε από «υποσιτισμό και εξάντληση που προκλήθηκε από διαταραχή προσωπικότητας» στο Νοσοκομείο του Πρίνστον στις 14 Ιανουαρίου του 1978. Η Συντροφιά Κουρτ Γκέντελ, που ιδρύθηκε το 1987, ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του. Είναι μια διεθνής οργάνωση για την προώθηση της έρευνας στα πεδία της λογικής, της φιλοσοφίας και της ιστορίας των μαθηματικών. Ο Γκέντελ ήταν πεπεισμένος θεϊστής και ισόβια Χριστιανός. Απέρριπτε την έννοια ότι ο Θεός είναι απρόσωπος, όπως πίστευε ο Αϊνστάιν. Πίστευε ακράδαντα στην μετά θάνατον ζωή, λέγοντας: "Πιστεύω στην μετά θάνατον ζωή, ασχέτως θεολογίας. Αν ο κόσμος είναι λογικά κατασκευασμένος, θα πρέπει να υπάρχει ζωή μετά το θάνατο." Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν και ο Γκέντελ είχαν θρυλική φιλία και έκαναν μαζί περιπάτους από και προς το Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών. Η φύση των συνομιλιών τους αποτελούσε μυστήριο για τα άλλα μέλη του Ινστιτούτου. Ο οικονομολόγος Όσκαρ Μόργκενστερν εξιστορεί ότι προς το τέλος της ζωής του ο Αϊνστάιν εξομολογήθηκε ότι η ίδια του η δουλειά δεν ήταν πια πολύ σημαντική, ότι ερχόταν στο Ινστιτούτο απλά... για να έχει το προνόμιο να περπατάει μέχρι το σπίτι με τον Γκέντελ.Στις 5 Δεκεμβρίου του 1947 οι Αϊνστάιν και Μόργκενστερν συνόδευσαν τον Γκέντελ στις εξετάσεις του για την αμερικανική πολιτογράφηση, όπου παραστάθηκαν ως μάρτυρες. Ο Γκέντελ τούς είχε εξομολογηθεί ότι είχε ανακαλύψει μια ασυνέπεια στο Σύνταγμα των Ηνωμένων Πολιτειών, που θα μπορούσε να επιτρέψει οι Ηνωμένες Πολιτείες να γίνουν δικτατορία. Οι Αϊνστάιν και Μόργκενστερν ανησυχούσαν ότι η απρόβλεπτη συμπεριφορά του φίλου τους θα μπορούσε να θέσει σε κίνδυνο την πολιτογράφησή του. Ευτυχώς, δικαστής ήταν ο Φίλιπ Φόρμαν. Ο Φόρμαν γνώριζε τον Αϊνστάιν και ήταν αυτός που είχε επιβλέψει τον όρκο στην ορκωμοσία πολιτογράφησης του Αϊνστάιν. Όλα πήγαιναν καλά μέχρι που ο Φόρμαν έτυχε να ρωτήσει τον Γκέντελ αν θεωρούσε ότι μια δικτατορία, όπως το Ναζιστικό καθεστώς, θα μπορούσε να συμβεί στις Ηνωμένες Πολιτείες. Ο Γκέντελ τότε ξεκίνησε να εξηγεί την ανακάλυψή του στον Φόρμαν. Ο Φόρμαν κατάλαβε τι συνέβαινε, διέκοψε τον Γκέντελ και συνέχισε την ακροαματική διαδικασία με άλλες ερωτήσεις και ένα συμπέρασμα ρουτίνας. Στα Γερμανικά: 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme," Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98. 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69: 65–66.Στα Αγγλικά: 1940. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton University Press. 1947. "What is Cantor's continuum problem?" The American Mathematical Monthly 54: 515-25. Revised version in Paul Benacerraf and Hilary Putnam, eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge Univ. Press: 470-85.Σε Αγγλική μετάφραση: Kurt Godel, 1992. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. B. Meltzer, με εκτενή εισαγωγή από τον Richard Braithwaite. Επανεκτύπωση του Dover της έκδοσης Basic Books του 1962 . Kurt Godel, 2000. http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf Αρχειοθετήθηκε 2004-09-16 στο Wayback Machine. On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, tr. Martin Hirzel Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press. 1930. "The completeness of the axioms of the functional calculus of logic," 582-91. 1930. "Some metamathematical results on completeness and consistency," 595-96. Abstract to (1931). 1931. "On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems," 596-616. 1931a. "On completeness and consistency," 616-17. My philosophical viewpoint, c. 1960, unpublished. The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy, 1961, unpublished.Collected Works: Oxford University Press: New York. Editor-in-chief: Solomon Feferman. Volume I: Publications 1929-1936 ISBN 0-19-503964-5, Volume II: Publications 1938-1974 ISBN 0-19-503972-6, Volume III: Unpublished Essays and Lectures ISBN 0-19-507255-3, Volume IV: Correspondence, A-G ISBN 0-19-850073-4. Volume V: Correspondence, H-Z ISBN 0-19-850075-0 Dawson, John W., 1997. Logical dilemmas: The life and work of Kurt Gödel. Wellesley MA: A K Peters. 1911 Encyclopædia Britannica/Brünn. (2007, September 19). In Wikisource, The Free Library. Retrieved 10PM EST March 13, 2008, from http://en.wikisource.org/w/index.php?title=1911_Encyclop%C3%A6dia_Britannica/Br%C3%BCnn&oldid=447734 John L. Casti and Werner DePauli, 2000. Gödel: A Life of Logic, Basic Books (Perseus Books Group), Cambridge, MA. ISBN 0-7382-0518-4. John W. Dawson, Jr. Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Ltd., 1996. John W. Dawson, Jr, 1999. "Gödel and the Limits of Logic", Scientific American, vol. 280 num. 6, pp. 76–81 Torkel Franzén, 2005. Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse. Wellesley, MA: A K Peters. Rebecca Goldstein, 2005. Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel. W. W. Norton & Company, New York. ISBN 0-393-32760-4 pbk. Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Univ. Press. Jaakko Hintikka, 2000. On Gödel. Wadsworth. Douglas Hofstadter, 1980. Gödel, Escher, Bach. Vintage. Stephen Kleene, 1967. Mathematical Logic. Dover paperback reprint ca. 2001. J.R. Lucas, 1970. The Freedom of the Will. Clarendon Press, Oxford. Ernst Nagel and Newman, James R., 1958. Gödel's Proof. New York Univ. Press. Procházka, Jiří, 2006, 2006, 2008, 2008. Kurt Gödel: 1906–1978: Genealogie. ITEM, Brno. Volume I. Brno 2006, ISBN 80-902297-9-4. In Ger., Engl. Volume II. Brno 2006, ISBN 80-903476-0-6. In Germ., Engl. Volume III. Brno 2008, ISBN 80-903476-4-9. In Germ., Engl. Volume IV. Brno, Princeton 2008, ISBN 978-80-903476-5-6. In Germ., Engl. Ed Regis, 1987. Who Got Einstein's Office? Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Raymond Smullyan, 1992. Godel's Incompleteness Theorems. Oxford University Press. Hao Wang, 1987. Reflections on Kurt Gödel. MIT Press. Wang, Hao. 1996. A Logical Journey: From Godel to Philosophy. MIT Press. Yourgrau, Palle, 1999. Gödel Meets Einstein: Time Travel in the Gödel Universe. Chicago: Open Court. Yourgrau, Palle, 2004. A World Without Time: The Forgotten Legacy of Gödel and Einstein. Basic Books. Kennedy, Juliette. "Kurt Gödel." In Stanford Encyclopedia of Philosophy. Time Bandits - an article about the relationship between Gödel and Einstein by Jim Holt Gödels Theorem and Information - Authored by Gregory Chaitin "Gödel and the limits of logic" by John W Dawson Jr. (June 2006) Notices of the AMS, April 2006, Volume 53, Number 4 Kurt Gödel Centenary Issue Paul Davies and Freeman Dyson discuss Kurt Godel "Gödel and the Nature of Mathematical Truth" Edge: A Talk with Rebecca Goldstein on Kurt Gödel. Dangerous Knowledge Google Video of a BBC documentary featuring Kurt Gödel and other revolutionary mathematical thinkers. Gödel photo g. Σκόνη του Γκέντελ, μια ακριβής λύση στην εξίσωση πεδίου του Αϊνστάιν Βραβείο Γκέντελ Gödel (γλώσσα προγραμματισμού) Gödel, Escher, Bach Σφεντόνα του Γκέντελ