Πυθαγόρεια τριάδα

Μια πυθαγόρεια τριάδα αποτελείται από τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς α, β, και γ, τέτοιοι ώστε να ισχύει η σχέση α2 + β2 = γ2, ευρέως γνωστή ως πυθαγόρειο θεώρημα. Μια τέτοια τριάδα συνήθως γράφεται (α, β, γ), και ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν οι αριθμοί (3, 4, 5) εφόσον ισχύει 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} . Εάν (α, β, γ) είναι πυθαγόρεια τριάδα, τότε ομοίως θα είναι και η (κα, κβ, κγ) για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο κ. Μια πρωτογενής πυθαγόρεια τριάδα είναι αυτή για την οποία οι α,β,γ είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των α,β,γ είναι 1).

 Οι πυθαγόρειες τριάδες είναι άπειρες και δίνονται από τον τύπο:Αν k , m {\displaystyle k,m} είναι τυχαίοι ακέραιοι τότε ισχύει: ( k 2 − m 2 ) 2 + ( 2 k m ) 2 = ( k 2 + m 2 ) 2 {\displaystyle (k^{2}-m^{2})^{2}+(2km)^{2}=(k^{2}+m^{2})^{2}} Άρα: x = ( k 2 − m 2 ) , y = ( 2 k m ) , z = ( k 2 + m 2 ) {\displaystyle x=(k^{2}-m^{2}),y=(2km),z=(k^{2}+m^{2})} ώστε x 2 + y 2 = z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}} Μάρκας, Στράτος (Αύγουστος 2010). «Πυθαγόρειες τριάδες ακεραίων». Εκθέτης: Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (6): 1-3. http://ekthetis.gr/Ekthetis006.pdf. Τσιαλιακός, Λευτέρης (Ιανουαρίου 2021). «Πυθαγόρειες τριάδες στο χώρο». Ευκλείδης Β΄ (119): 54-55. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_119_EYKLEIDHS_2021.pdf. Ellis, L. E. (Οκτωβρίου 1975). «59.11. More properties of Pythagorean triplets». The Mathematical Gazette 59 (409): 186–189. doi:10.2307/3617705. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1975-10_59_409/page/186. Hancock, S. F. (Οκτωβρίου 1970). «Pythagorean Triples». The Mathematical Gazette 54 (389): 289–289. doi:10.1017/S0025557200196330. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1970-10_54_389/page/289. Jackson, Margaret (Ιουνίου 1987). «71.15 Complex numbers and Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 71 (456): 127–127. doi:10.2307/3616500. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1987-06_71_456/page/127. Dye, R. H.; Nickalls, R. W. D. (Ιουλίου 1998). «82.9 A new algorithm for generating Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 82 (493): 86–91. doi:10.2307/3620161. Evans, Chris (Οκτωβρίου 1991). «75.23 Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 75 (473): 317–317. doi:10.2307/3619493. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1991-10_75_473/page/317. Mills, J. T. S. (Νοεμβρίου 1996). «80.39 Another family tree of Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 80 (489): 545–548. doi:10.2307/3618521. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1996-11_80_489/page/545. Vella, Alfred (Μαρτίου 2003). «87.04 When is n a member of a Pythagorean triple?». The Mathematical Gazette 87 (508): 102–105. doi:10.1017/S0025557200172183. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-03_87_508/page/102. Pla, Juan (2008). «92.60 Linear recurrences which produce Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 92 (525): 482-485. https://www.jstor.org/stable/27821835. Shah Ali, Hassan A. (Ιουλίου 2001). «85.26 Another method for Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 85 (503): 273–273. doi:10.2307/3622016. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2001-07_85_503/page/273. Mitchell, Douglas W. (Ιουλίου 2001). «85.27 An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples». The Mathematical Gazette 85 (503): 273–275. doi:10.2307/3622017. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2001-07_85_503/page/273. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά