Αριθμός του Πλάτωνος

Ο αριθμός του Πλάτωνος είναι ένας αριθμός που μνημονεύεται από τον Πλάτωνα στον διάλογό του Πολιτεία (8.546b). Η κατανόηση και η μετάφραση του σχετικού χωρίου είναι πολύ δύσκολη και δεν επιτρέπει μία αδιαμφισβήτητη ερμηνεία. Δεν υπάρχει πραγματική συναίνεση ούτε για τη σημασία, ούτε για την τιμή του αριθμού αυτού. Είναι γνωστός και ως «ο γεωμετρικός αριθμός». Η συχνότερα προτεινόμενη τιμή για τον αριθμό του Πλάτωνος είναι το 216, αλλά όχι σπάνια γίνεται λόγος και για τους αριθμούς 3600 ή 12.960.000. Ανάμεσα στους συγγραφείς που αναφέρουν απλώς ή συζητούν για τον αριθμό του Πλάτωνος συγκαταλέγονται και οι: Αριστοτέλης, Πρόκλος, Φιτσίνο, Καρντάνο, Τσέλερ, Σλάιερμάχερ, Πωλ Τανερύ και Φρήντριχ Χουλτς, με νέα ονόματα να προστίθενται συνεχώς. Στην Πολιτεία αναφέρεται παρακάτω στο κείμεινο (9.587b) και ένας άλλος αριθμός, γνωστός ως «ο αριθμός του Τυράννου».

 Μεγάλες συντακτικές και λεξιλογικές διαφορές παρατηρούνται εύκολα μεταξύ των πολλών μεταφράσεων του χωρίου αυτού της Πολιτείας. Μία κατά λέξη απόδοση στη νέα ελληνική είναι: «Τώρα, για κάθε θείο (και γι' αυτό περιοδικώς κινούμενο) δημιούργημα υπάρχει τέλειος αριθμός, ο οποίος περιλαμβάνει την περίοδό του, στα ανθρώπινα όμως δημιουργήματα, εκ των οποίων πρώτο είναι το ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και 4, οι πολλαπλασιασμοί των αριθμών 3 και 4 οδηγούν σε αριθμούς όμοιους και ανόμοιους, που αν συνεχιστούν μέχρι να προκύψουν 4 διαδοχικοί στερεοί αριθμοί, με τρείς αποστάσεις ανάμεσά τους, ώστε οι πρώτος και τελευταίος να είναι όμοιοι, ενώ οι ενδιάμεσοι ανόμοιοι με δύο παράγοντες ίσους και έναν άνισο, τότε οι αριθμοί αυτοί είναι ανάλογοι μεταξύ τους και ο λόγος τους είναι ρητός αριθμός. Αν τον επίτριτο πυθμένα όλων των ανωτέρω, τον συσχετίσουμε με τον αριθμό 5, θα προκύψουν δύο αρμονίες. Η μεν πρώτη αρμονία είναι ο τετράγωνος αριθμός 100, ενώ η δεύτερη έχει τη μία πλευρά ίση με την πλευρά του τετραγώνου και την άλλη της πλευρά ίση με το άθροισμα δύο αριθμών, εκ των οποίων ο ένας είναι το γινόμενο του εκατό με τον αριθμό που υπολείπεται του τετραγώνου της ρητής διαγωνίου τετραγώνου πλευράς πέντε κατά ένα και του τετραγώνου της αρρήτου διαγωνίου κατά δύο, ενώ ο άλλος προκύπτει ως γινόμενο του εκατό με τον κύβο του αριθμού τρία. Και οι δύο αυτοί αριθμοί μαζί αποτελούν τον γεωμετρικό αριθμό.» Ο «γεωμετρικός αριθμός» που αναφέρεται στο τέλος του χωρίου είναι ο αριθμός του Πλάτωνος. Οι εισαγωγικές λέξεις αναφέρουν έναν «τέλειο αριθμό», που θεωρείται αναφορά στο τέλειο έτος του Τίμαιου (39d). Οι λέξεις παρουσιάζονται όπως εκφέρονται από τις Μούσες και για αυτό το όλο χωρίο αποκαλείται κάποτε «ο λόγος των Μουσών» ή κάτι παρόμοιο. Πραγματικά, ο Μελάγχθων το συνέκρινε με την παροιμιώδη ασάφεια των Σιβυλλών. Ο Κικέρων το περιέγραψε ως «σκοτεινό», ενώ άλλοι σχολιαστές έχουν διακρίνει κάποιον παιγνιώδη τόνο σε αυτό. Κατά την εποχή αμέσως μετά από την εποχή του Πλάτωνα, η σημασία του χωρίου δεν φαίνεται να προκαλούσε προβληματισμούς, όπως υποδεικνύει το χαλαρό σχόλιο του Αριστοτέλη. Ωστόσο, 500 χρόνια αργότερα αποτελούσε ένα αίνιγμα για τους Νεοπλατωνικούς, οι οποίοι είχαν μία τάση προς τον μυστικισμό και έγραφαν συχνά για τον αριθμό αυτό, προτείνοντας γεωμετρικές και αριθμητικές ερμηνείες. Το αίνιγμα επανεμφανίσθηκε για λίγο στην Αναγέννηση και κατόπιν πάλι τον 19ο αιώνα, όταν οι κλασικοί φιλόλογοι αποκατέστησαν τα αρχικά πρότυπα αρχαία κείμενα. Ο Σλάιερμάχερ διέκοψε την έκδοσή του τού Πλάτωνος επί μία δεκαετία προσπαθώντας να βγάλει νόημα από την παράγραφο αυτή. Ο Βικτόρ Κουζέν προσέθεσε μία σημείωση ότι το χωρίο θα έπρεπε να παραληφθεί από τη γαλλική του μετάφραση των έργων του Πλάτωνος. Στις αρχές του 20ού αιώνα προτάθηκε ότι το θέμα είχε βαβυλωνιακή προέλευσηΟι περισσότεροι ερμηνευτές υποστηρίζουν ότι ο αριθμός του Πλάτωνος είναι ο 216, επειδή είναι ο κύβος του 6 και ταυτοχρόνως το άθροισμα των κύβων των αριθμών της πυθαγόρειας τριάδας (3, 4, 5): 33 + 43 + 53 = 63. Ωστόσο, η άποψη αυτή τείνει να αγνοεί το δεύτερο μέρος του χωρίου, όπου περιγράφονται κάποιοι άλλοι αριθμοί και οι σχέσεις τους. Οι γνώμες τείνουν να συγκλίνουν στο ότι οι τιμές τους είναι 480.000 και 270.000, αλλά δεν υπάρχει ομοφωνία για τις λεπτομέρειες. σημειώνεται ότι 64 = 1296 και 48 × 27 = 36 × 36 = 1296. Αντί του πολλαπλασιασμού, κάποιες ερμηνείες θεωρούν το άθροισμα αυτών των παραγόντων: 48 + 27 = 75. Κάποιες τιμές που έχουν προταθεί είναι και οι παρακάτω: 17,500 = 100 × 100 + 4800 + 2700, από τον Otto Weber (1862). 760,000 = 750,000 + 10,000 = 19 × 4 × 10000, με το 19 από το (4/3 + 5) × 3 8128 = 26 × (27 − 1), ένας τέλειος αριθμός, προτάθηκε από τον Καρντάνο. Είναι γνωστό ότι τέτοιοι αριθμοί μπορούν να αναλυθούν σε άθροισμα διαδοχικών περιττών κύβων, ώστε 8128 = 13 + 33 + 53 + … + 153. 1728 = 123 = 8 × 12 × 18, από τον Μ. Φιτσίνο (1496). 5040 = 144 × 35 = (3 + 4 + 5)2 × (23 + 33), από τον Jacob Friedrich Fries (1823). Donaldson J.: "On Plato's Number", Proceedings of the Philological Society, τόμος 1, τεύχ. 8, σσ. 81-90, 7 Απριλίου 1843 James Adam: The nuptial number of Plato: its solution and significance, C.J. Clay & Sons, Λονδίνο 1891. Laird, A.G.: Plato's Geometrical Number and the Comment of Proclus, The Collegiate Press, George Banta Publishing Company, Menasha, Wisconsin 1918 Diès A.: Le Nombre de Platon: Essai d'exégèse et d'Histoire, Παρίσι 1936 Allen M.: Nuptial Arithmetic: Marsilio Ficino's Commentary on the Fatal Number in Book VIII of Plato's Republic UCLA 1994 Dumbrill R.: Four Mathematical Texts from the Temple Library of Nippur: a source for Plato's number [1] 5040 (αριθμός) Ramanujan And The Cubic Equation 33 + 43 + 53 = 63