Ισόπλευρο τρίγωνο

Στη γεωμετρία, ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ένα ισόπλευρο τρίγωνο εκτός από όλες τις πλευρές του, έχει και όλες τις γωνίες του ίσες, με μέτρο 60° η καθεμιά. Αποτελεί ένα από τα κανονικά πολύγωνα και για αυτό αναφέρεται και ως κανονικό τρίγωνο.

 Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους με μέτρο 60°. Το έγκεντρο, το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο ταυτίζονται.:83 Η ευθεία του Euler είναι ένα σημείο.:83 Έστω α {\displaystyle \alpha } το μήκος της πλευράς του ισόπλευρου: Το ύψος του έχει μήκος: u = α ⋅ 3 2 {\displaystyle u={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{2}}} .Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με: R = 2 3 ⋅ u = α ⋅ 3 3 {\displaystyle R={\frac {2}{3}}\cdot u={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{3}}} .Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με: ρ = 1 3 ⋅ u = α ⋅ 3 6 {\displaystyle \rho ={\frac {1}{3}}\cdot u={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{6}}} .Οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων είναι ίσες με: ρ A = ρ B = ρ Γ = α ⋅ 3 2 {\displaystyle \rho _{\mathrm {A} }=\rho _{\mathrm {B} }=\rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{2}}} . Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου δίνεται από τον τύπο: E = a 2 ⋅ 3 4 {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {a^{2}\cdot {\sqrt {3}}}{4}}} . Χαράζουμε μία ευθεία ϵ {\displaystyle \epsilon } στο επίπεδο. Διαγράφουμε έναν κύκλο C 1 {\displaystyle C_{1}} με κέντρο πάνω στην ευθεία. Έστω T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} ένα από τα δύο σημεία τομής του C 1 {\displaystyle C_{1}} και της ϵ {\displaystyle \epsilon } . Διαγράφουμε έναν δεύτερο κύκλο C 2 {\displaystyle C_{2}} με την ίδια ακτίνα και κέντρο το T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} . Έστω T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} και T 3 {\displaystyle \mathrm {T} _{3}} τα σημεία τομής αυτών των κύκλων. Το τρίγωνο T 1 T 2 T 3 {\displaystyle \mathrm {T_{1}T_{2}T_{3}} } είναι ισόπλευρο. Το θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ δηλώνει ότι σε κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } τα σημεία τομής των τριχοτόμων των γωνιών του τριγώνου δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Το θεώρημα van Schooten λέει ότι για οποιοδήποτε σημείο P {\displaystyle \mathrm {P} } του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } , ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις άλλες δύο. Το θεώρημα Βιβιάνι λέει ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και για P {\displaystyle \mathrm {P} } ένα τυχόν εσωτερικό του σημείο, ισχύει ότι d 1 + d 2 + d 3 = u {\displaystyle d_{1}+d_{2}+d_{3}=u} ,όπου d 1 , d 2 , d 3 {\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3}} οι αποστάσεις του P {\displaystyle \mathrm {P} } από τις πλευρές του τριγώνου και u {\displaystyle u} το ύψος του τριγώνου. Το θεώρημα Ναπολέοντα δηλώνει ότι σε κάθε τρίγωνο τα κέντρα των (εξωτερικών ή εσωτερικών) ισοπλεύρων τριγώνων στις πλευρές του τριγώνου δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Για μία δοσμένη περίμετρο, το τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδό είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Αυτό είναι μία μορφή της ισοπεριμετρικής ανισότητας. Υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνα. Δύο αξιοσημείωτα δίνονται στο πλαϊνό σχήμα. Το ισόπλευρο σε γωνία 15 o {\displaystyle 15^{o}} είναι αυτό που μεγιστοποιεί το εμβαδόν του τριγώνου για δοσμένο τετράγωνο. Ένα πρόβλημα που έχει μελετηθεί στη βιβλιογραφία είναι η εύρεση του μικρότερου ισόπλευρου τριγώνου που να χωράει έναν δοσμένο αριθμό από μοναδιαίους κύκλους. Τα ισόπλευρα τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο. Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες: Η κάθετη πλευρά που αντιστοιχεί στην γωνία 60° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Το τρίγωνο A M B {\displaystyle \mathrm {AMB} } είναι ισόπλευρο. Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα 1 {\displaystyle 1} , 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} και 2 {\displaystyle 2} . Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε έξι ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε έδρα στο κανονικό τετράεδρο είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ισοσκελές τρίγωνο Κανονικό πολύγωνο