Κβαντική υπέρθεση

Η κβαντική υπέρθεση είναι ένα θεμελιώδες φαινόμενο της κβαντομηχανικής. Κατά την υπέρθεση, δύο κβαντικές καταστάσεις προστίθενται μεταξύ τους με τρόπο που τους επιτρέπει να συνυπάρχουν ταυτόχρονα. Με αυτό τον τρόπο, κάθε κβαντική κατάσταση μπορεί να περιγραφεί ως το άθροισμα πολλαπλών διακριτών βασικών καταστάσεων. Παραδείγματα υπέρθεσης μπορούν να αποτελούν οι ενεργειακές καταστάσεις ενός ηλεκτρονίου του ατόμου του υδρογόνου. Ένα ηλεκτρόνιο μπορεί να βρίσκεται στη θεμελιώδη ή στην διεγερμένη κατάσταση. Εκτός από αυτές τις δύο βασικές καταστάσεις, κάθε κανονικοποιημένος γραμμικός συνδυασμός της θεμελιώδους και διεγερμένης κατάστασης αποτελεί έγκυρη κβαντική κατάσταση. Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για κβαντική υπέρθεση των καταστάσεων. Οι κβαντικές καταστάσεις υπό υπέρθεση αποτελούν λύσεις της εξίσωσης Σρέντιγκερ. Καθώς η εξίσωση Σρέντιγκερ είναι μία γραμμική διαφορική εξίσωση, το άθροισμα πολλαπλών λύσεων της εξίσωσης αποτελεί επίσης λύση της εξίσωσης.

 Σύμφωνα με την κβαντική θεωρία, και ειδικότερα σύμφωνα με την άποψη του Σρέντιγκερ, κάθε κβαντικό σύστημα περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση η οποία είναι συνάρτηση της θέσης των σωματιδίων του συστήματος και του χρόνου. Το τετράγωνο αυτής της συνάρτησης εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το σύστημά στις συγκεκριμένες θέσεις τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Η εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης αυτής ως προς τον χρόνο (η οποία περιγράφεται από μια διαφορική εξίσωση, την εξίσωση Σρέντιγκερ) είναι ομαλή και συνεχής. Μια τέτοια εξέλιξη στα μαθηματικά λέγεται μοναδιστική και έχει πολλές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μια από τις σημαντικότερες ιδιότητες της εξίσωσης Σρέντιγκερ και της κυματοσυνάρτησης είναι ότι κάθε επαλληλία διαφορετικών συναρτήσεων που αποτελούν λύσεις της εξίσωσης Σρέντιγκερ για ένα συγκεκριμένο κβαντικό σύστημα, θα είναι επίσης λύση που θα παριστάνει την εξέλιξη του συστήματος. Με άλλα λόγια, ένα κβαντικό σύστημα που μπορεί να βρίσκεται δικριτά σε δύο διαφορετικές καταστάσεις, μπορεί να βρίσκεται και σε ένα γραμμικό συνδυασμό αυτών των καταστάσεων. Αυτή είναι η κβαντική υπέρθεση των καταστάσεων. Και μάλιστα, αν αρχικά το σύστημα αυτό βρίσκεται σε μια τέτοια υπέρθεση, ο μοναδιαίος τρόπος της εξέλιξής του υπαγορεύει ότι αν δεν μεσολαβήσει κάποια αλληλεπίδραση του συστήματος με το περιβάλλον, το σύστημα θα εξακολουθήσει να βρίσκεται σε αυτή την υπέρθεση, αιώνια. Ας εξετάσουμε ένα νοητό παράδειγμα που εμφανίζεται τα παραπάνω. Σύμφωνα με την κβαντική θεωρία, ένα παιγνιόχαρτο (~ τραπουλόχαρτο) που ισορροπεί στην κόψη του βρίσκεται σε μια υπέρθεση δύο καταστάσεων: Η μία κατάσταση είναι αυτή που εμφανίζει την εμπρόσθια όψη του (δηλ. τη φιγούρα) και Η έτερη κατάσταση είναι αυτή που εμφανίζει την οπίσθια όψη του.Σύμφωνα πάλι με την κβαντική θεωρία, όταν το τραπουλόχαρτο οριζοντιωθεί, ο μοναδιστικός τρόπος εξέλιξης της κυματοσυνάρτησης θεωρεί ότι θα καταπέσει και με τις δύο όψεις συγχρόνως αφού η υπέρθεση πρέπει να διατηρείται. Η παρατήρηση όμως του τραπουλόχαρτου από έναν παρατηρητή "πυροδοτεί" μια απότομη μεταβολή στην κυματοσυνάρτηση και αυτή "καταρρέει" σε μια εκ των δύο καταστάσεων που την αποτελούν. Ο παρατηρητής βλέπει λοιπόν μια εκ των δύο κλασικών καταστάσεων (η εμπρόσθια εικόνα στην άνω όψη ή η οπίσθια εικόνα στην κάτω όψη) και στην συνέχεια η κλασική αυτή κατάσταση επιζεί. Υποτίθεται ότι η φύση κατά τελείως τυχαίο τρόπο αποφάσισε σε ποια εκ των δύο κλασικών καταστάσεων θα καταρρεύσει. Οι πιθανότητες για αυτό καθορίζονται από τους συντελεστές των δύο καταστάσεων όταν αυτές σχηματίζουν την υπέρθεση. Αν και η μέθοδος αυτή είναι συμβατή με το κβαντικό φορμαλιστικό πλαίσιο, εν τούτοις παραμένει μυστηριώδης ο χρόνος και ο τρόπος που συμβαίνει η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης. Στα μέσα της δεκαετίας του 1950, ένας σπουδαστής στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον, o Χιου Έβερετ, αποφάσισε να ασχοληθεί με το θέμα της κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης στη διδακτορική του διατριβή. Ο Έβερετ προώθησε την ιδέα της κβαντικής θεωρίας στα άκρα, θέτοντας την εξής ερώτηση: Τι θα συνέβαινε αν η χρονική εξέλιξη ολόκληρου του σύμπαντος ήταν πάντα μοναδιστική; Αν τελικά η κβαντική θεωρία είναι σωστή και για το σύμπαν θα πρέπει αυτό να περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση (όσο περίπλοκη κι αν είναι αυτή).Στο σενάριο του Έβερετ αυτή η κυματοσυνάρτηση θα εξελίσσεται κατά αιτιοκρατικό τρόπο, αφού δεν υπάρχει παρατηρητής εκτός του σύμπαντος, ώστε να την παρατηρεί και επομένως να την διαταράξει, οπότε έτσι δεν υπάρχει δυνατότητα για να καταρρεύσει. Στη θεώρηση του Έβερετ το κβαντικό τραπουλόχαρτο θα βρίσκεται και με τις δύο όψεις του συγχρόνως. Επιπλέον, ένας παρατηρητής που το παρατηρηρεί εισάγει μια υπέρθεση δύο διανοητικών καταστάσεων, όπου κάθε μια αντιστοιχεί και σε ένα από τα δύο πιθανά αποτελέσματα της, την διαφορετική εικόνα που αντιλαμβάνεται. Αν είχατε στοιχηματίσει χρήματα ότι θα έλθει η όψη της εμπρόσθιας/οπίσθιας εικόνας, θα καταλήγατε, προσωπικά, σε μια υπέρθεση της ευτυχίας/δυστυχίας. Οι παρατηρητές σε ένα τέτοιο παράδοξο, πλην όμως, ντετερμινιστικό σύμπαν, κάθε φορά που θα εκτελούσαν μια παρατήρηση θα εισέρχονταν σε ένα από τα πιθανά σενάρια αφού και οι ίδιοι θα ήταν μέρος του μεγάλου συστήματος, αλλά και τα υπόλοιπα θα εξακολουθούσαν να εξελίσσονται. Η θεώρηση αυτή του Έβερετ έμεινε γνωστή ως "Ερμηνεία πολλαπλών συμπάντων" της κβαντικής θεωρίας, ή μάλλον των "πολλών συνειδήσεων", καθόσον καθεμία από τις υπερτιθέμενες διανοητικές καταστάσεις αντιλαμβάνεται το δικό της σύμπαν. Η θεώρηση αυτή δεν χρειάζεται πλέον το αξίωμα της κατάρρευσης, αλλά το αντίτιμο που πληρώνει είναι η "πολλαπλότητα των συμπάντων" εφόσον όλες οι παράλληλες αντιλήψεις του σύμπαντος είναι όλες, εξίσου, πραγματικές. Η εργασία του Έβερετ είχε αφήσει δυο μεγάλα αναπάντητα ερωτηματικά: Πρώτα απ' όλα, αν ο κόσμος περιέχει πραγματικά τέτοιες μκροϋπερθέσεις, γιατί δεν τις αντιλαμβανόμαστε; Ποιος φυσικός μηχανισμός επιλέγει τις κλασικές καταστάσεις (η φιγούρα πάνω ή κάτω στην περίπτωσή μας) ως ειδικές για να προτιμηθούν; Η απάντηση στο πρώτο ερώτημα δόθηκε στα 1970 από τον Ντίτερ Ζεχ του Πανεπιστημίου της Χαϊδελβέργης, ο οποίος έδειξε ότι η ίδια η εξίσωση Σρέντιγκερ επιβάλλει κάποιο τύπο "λογοκρισίας". Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό ως αποσυμφωνία ή καταστροφή της υπέρθεσης. Η καταστροφή της υπέρθεσης μελετήθηκε διεξοδικά από τους Βόιτσεχ Ζούρεκ, Ζεχ και άλλους στις επόμενες δεκαετίες. Αυτοί πρότειναν ότι οι σύμφωνες κβαντικές υπερθέσεις διαρκούν μόνο όσο παραμένουν "μυστικές" και απομονωμένες από το υπόλοιπο του σύμαντος. Το κβαντικό τραπουλόχαρτο του παραδείγματός μας επικοινωνεί με τα μόρια του αέρα, με φωτόνια κλπ, τα οποία εξερευνούν με ποια όψη έχει πέσει, καταστρέφοντας έτσι την υπέρθεση και κάνοντάς την αδύνατη να παρατηρηθεί. Ο ευκολότερος τρόπος να καταλάβουμε την καταστροφή της υπέρθεσης μαθηματικά είναι να κάνουμε χρήση μιας γενίκευσης της κυματοσυνάρτησης που καλείται "μήτρα πυκνότητας πιθανοτήτων" (density matrix). Για κάθε κυματοσυνάρτηση υπάρχει μια αντίστοιχη τέτοια μήτρα, καθώς και μια αντίστοιχη εξίσωση Σρέντιγκερ για τις μήτρες αυτές. Για παράδειγμα, η μήτρα πυκνότητας για το κβαντικό τραπουλόχαρτο που περιπίπτει σε υπέρθεση, έτσι: Οι αριθμοί a και b είναι οι πιθανότητες να βρούμε το τραπουλόχαρτο με τη φιγούρα προς τα επάνω ή προς τα κάτω αντίστοιχα, και στην περίπτωσή μας θα ισούνται και τα δύο με 1/2. Πράγματι μία μήτρα πυκνότητας με τη μορφή αυτή, θα παριστάνει τη γνωστή κλασική κατάσταση όπου το τραπουλόχαρτο δείχνει είτε την όψη της φιγούρας είτε την αντίθετη όψη, αλλά δεν γνωρίζουμε ποια. Τα μη διαγώνια στοιχεία της μήτρας, τα στοιχεία c παριστάνουν τις διαφορές μεταξύ της κβαντικής αβεβαιότητας των υπερθέσεων και της κλασικής αβεβαιότητας που προέρχεται απλώς από άγνοια. Ένα αξιοσημείωτο επίτευγμα της θεωρίας καταστροφής της υπέρθεσης είναι ότι εξηγεί τον τρόπο που η αλληλεπίδραση ενός αντικειμένου με το περιβάλλον του μεταβάλλει τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα σε 0, αντικαθιστώντας έτσι την κβαντική υπέρθεση με απλή κλασική άγνοια. Η καταστροφή της κβαντικής υπέρθεσης μας εξηγεί γιατί δεν παρατηρούνται συνήθως κβαντικές υπερθέσεις στον μακρόκοσμο. Δεν είναι ότι η κβαντική θεωρία σταματά να ισχύει από κάποιο "μαγικό" μέγεθος και πάνω, αλλά ότι είναι εξαιρετικά δύσκολο να απομονώσουμε ένα μακροσκοπικό σύστημα από το περιβάλλον του ώστε να εμποδίσουμε την καταστροφή της υπέρθεσης. Αντίθετα τα μικροσκοπικά αντικείμενα απομονώνονται ευκολότερα και διατηρούν περισσότερο την κβαντική τους συμπεριφορά. Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα σχετικά με τον φυσικό μηχανισμό που επιλέγει τις κλασικές καταστάσεις ως ειδικές για να προτιμηθούν έχει ως εξής: Από μαθηματική σκοπιά, οι κβαντικές καταστάσεις όπως "φιγούρα στην επάνω όψη + φιγούρα στην κάτω όψη" (ας την αποκαλέσουμε "κατάσταση Α") είτε η "φιγούρα στην επάνω όψη - φιγούρα στην κάτω όψη" (ας την αποκαλέσουμε "κατάσταση Β") είναι εξίσου ισχυρές κλασικές καταστάσεις όπως οι "φιγούρα στην επάνω όψη" , "φιγούρα στην κάτω όψη". Έτσι λοιπόν όπως ακριβώς το τραπουλόχαρτό που έπεσε στην κατάσταση "Α", και η κυματοσυνάρτησή του κατέρρευσε στην κατάσταση "φιγούρα στην επάνω όψη" ή "φιγούρα στην κάτω όψη", έτσι θα μπορούσε και ένα τραπουλόχαρτο που βρίσκεται αρχικά στην κατάσταση: "φιγούρα στην επάνω όψη" - η οποία ισούται με (Α + Β)/2 - να καταρρεύσει στην "Α" ή στην "Β" κατάσταση. Γιατί όμως δεν παρατηρούμε ποτέ κάτι τέτοιο; Η καταστροφή της υπέρθεσης απαντά και στην ερώτηση αυτή. Οι υπολογισμοί έδειξαν ότι οι κλασικές καταστάσεις θα μπορούσαν να ορισθούν και να προσδιορισθούν ως εκείνες οι καταστάσεις που είναι ανθεκτικότερες στην καταστροφή της υπέρθεσης. Αλλιώς, η καταστροφή της υπέρθεσης κάνει κάτι παραπάνω από το να μετατρέπει σε 0 τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα πυκνότητας πιθανότητας. Αν λοιπόν οι καταστάσεις "Α" και "Β" του τραπουλόχαρτου επιλέγονταν ως θεμελιώδεις βασικές καταστάσεις ο πίνακας πυκνότητας για το πεσμένο τραπουλόχαρτο θα ήταν διαγώνιος, αφού το τραπουλόχαρτο θα ήταν σίγουρα στην κατάσταση "άλφα". Όμως η καταστροφή της υπέρθεσης θα άλλαζε σχεδόν στιγμιαία την κατάσταση αυτή. Οπότε αν μπορούσαμε να μετρήσουμε αν το τραπουλόχαρτο ήταν στην κατάσταση Α ή Β, θα προέκυπτε ένα τυχαίο αποτέλεσμα. Αντίθετα αν βάζαμε το χαρτί στην κατάσταση "φιγούρα προς τα επάνω" θα παρέμενε σε αυτή χωρίς να υφίσταται καταστροφή υπέρθεσης. Η καταστροφή της υπέρθεσης αποτελεί λοιπόν αυτό που ο Ζούρεκ ονόμασε "κόσκινο προγνωσιμότητας" (Identifiability sieve), επιλέγει δηλαδή εκείνες τις καταστάσεις που εμφανίζουν κάποια σταθερότητα και η χρήση των οποίων δίνει στη φυσική κάποια προγνωστική δύναμη. Κβαντική μηχανική Κυματοσυνάρτηση