Περιγεγραμμένος κύκλος

Στην γεωμετρία, ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } και Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } . Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το περίκεντρο και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.

 Θεώρημα: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. (Απόδειξη) Έστω O ′ {\displaystyle \mathrm {O'} } η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών A B {\displaystyle \mathrm {AB} } και B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ότι ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι A O ′ = B O ′ {\displaystyle \mathrm {AO'} =\mathrm {BO'} } και B O ′ = Γ O ′ {\displaystyle \mathrm {BO'} =\mathrm {\Gamma O'} } .Άρα το O ′ {\displaystyle \mathrm {O'} } ισαπέχει και από το σημείο Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } . Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των A B {\displaystyle \mathrm {AB} } , B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } και A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } συντρέχουν στο O ′ {\displaystyle \mathrm {O'} } . Αφού το O ′ {\displaystyle \mathrm {O'} } ισαπέχει από τις κορυφές του τριγώνου, ο κύκλος ( O , O A ) {\displaystyle (\mathrm {O} ,\mathrm {OA} )} διέρχεται από ολες τις κορυφές. ◻ {\displaystyle \square } (Νόμος των ημιτόνων) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } και ακτίνα R {\displaystyle R} περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι α sin ⁡ A = β sin ⁡ B = γ sin ⁡ Γ = 2 R . {\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \mathrm {\Gamma } }}=2R.} Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν E = 1 2 β γ sin ⁡ A {\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}\beta \gamma \sin \mathrm {A} } , έχουμε ότι R = α β γ 4 E {\displaystyle R={\frac {\alpha \beta \gamma }{4\mathrm {E} }}} , και από τον τύπο του Ήρωνα R = α β γ 4 τ ⋅ ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) {\displaystyle R={\frac {\alpha \beta \gamma }{4{\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}}} . όπου τ = 1 2 ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )} η ημιπερίμετρος του τριγώνου.Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από α 2 ( β 2 + γ 2 − α 2 ) : β 2 ( γ 2 + α 2 − β 2 ) : γ 2 ( α 2 + β 2 − γ 2 ) . {\displaystyle \alpha ^{2}\left(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}\right):\;\beta ^{2}\left(\gamma ^{2}+\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right):\;\gamma ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right).} Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από cos ⁡ A : cos ⁡ B : cos ⁡ Γ {\displaystyle \cos {\rm {A}}:\;\cos {\rm {B}}:\;\cos {\rm {\Gamma }}} .Αν R {\displaystyle R} η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και ρ {\displaystyle \rho } η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε ρ ⋅ R = α β γ 2 ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle \rho \cdot R={\frac {\alpha \beta \gamma }{2\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}}} . Αν B Γ > A Γ > A B {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } >\mathrm {A\Gamma } >\mathrm {AB} } , τότε O M A < O M B < O M Γ {\displaystyle \mathrm {OM_{A}} <\mathrm {OM_{B}} <\mathrm {OM_{\Gamma }} } .:74-75 Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, τότε το περίκεντρο είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου.:86 Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, τότε το περίκεντρο είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου.:86 Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, τότε το περίκεντρο είναι το μέσο της υποτείνουσας.:86 (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο G {\displaystyle \mathrm {G} } , το ορθόκεντρο H {\displaystyle \mathrm {H} } και το περίκεντρο O {\displaystyle \mathrm {O} } είναι συγγραμμικά και H G = 2 ⋅ G O {\displaystyle \mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO} } . (Θεώρημα του Όιλερ) Αν ( I , ρ ) {\displaystyle (\mathrm {I} ,\rho )} είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και ( I A , ρ A ) , ( I B , ρ B ) , ( I Γ , ρ Γ ) {\displaystyle (\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} }),(\mathrm {I_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} }),(\mathrm {I_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })} οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε O I 2 = R 2 − 2 R ρ , {\displaystyle \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho ,\quad } O I A 2 = R 2 + 2 R ρ A , {\displaystyle \mathrm {OI_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad } O I B 2 = R 2 + 2 R ρ B , {\displaystyle \mathrm {OI_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad } και O I Γ 2 = R 2 + 2 R ρ Γ . {\displaystyle \quad \mathrm {OI_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.} Αν H {\displaystyle \mathrm {H} } το ορθόκεντρο και O {\displaystyle \mathrm {O} } το περίκεντρο, τότε O H 2 = 9 R 2 − ( α 2 + β 2 + γ 2 ) {\displaystyle \mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})} .(Θεώρημα Καρνό) Αν ρ {\displaystyle \rho } η ακτίνα του εγεγγραμμένου και R {\displaystyle R} η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και O M A {\displaystyle \mathrm {OM_{\mathrm {A} }} } , O M B {\displaystyle \mathrm {OM_{\mathrm {B} }} } και O M Γ {\displaystyle \mathrm {OM_{\mathrm {\Gamma } }} } οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε O M A + O M B + O M Γ = R + ρ {\displaystyle \mathrm {OM_{A}} +\mathrm {OM_{B}} +\mathrm {OM_{\Gamma }} =R+\rho } .(Θεώρημα Νάγκελ) Αν A H A , B H B , Γ H Γ {\displaystyle \mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} } είναι τα ύψη του τριγώνου και O {\displaystyle \mathrm {O} } το περίκεντρο, τότε H A H B ⊥ O Γ , {\displaystyle \mathrm {H_{A}H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma } ,\quad } H B H Γ ⊥ O A , {\displaystyle \mathrm {H_{B}H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} ,\quad } και H Γ H A ⊥ O B {\displaystyle \quad \mathrm {H_{\Gamma }H_{A}} \perp \mathrm {OB} } .Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.:77:270 Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.:76 (Ευθεία Σίμσον) Για οποιοδήποτε σημείο P {\displaystyle \mathrm {P} } του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του P A , P B , P Γ {\displaystyle \mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }} } στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.:272-273 Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα: Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα A {\displaystyle \mathrm {A} } , B {\displaystyle \mathrm {B} } και Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } και ακτίνα το μέγιστο από τα A B {\displaystyle \mathrm {AB} } και A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } . Βρίσκουμε τα σημεία τομής T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} και T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} των κύκλων με κέντρο το A {\displaystyle \mathrm {A} } και το B {\displaystyle \mathrm {B} } . Βρίσκουμε τα σημεία τομής T 3 {\displaystyle \mathrm {T} _{3}} και T 4 {\displaystyle \mathrm {T} _{4}} των κύκλων με κέντρο το A {\displaystyle \mathrm {A} } και το Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } . Χαράζουμε την ευθεία που ενώνει τα T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} και T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} , και τα T 3 {\displaystyle \mathrm {T} _{3}} και T 4 {\displaystyle \mathrm {T} _{4}} . Το σημείο τομής αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο. Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος Βαρύκεντρο τριγώνου Ορθόκεντρο τριγώνου Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου