Εξίσωση ευθείας

Στα μαθηματικά, γραμμική εξίσωση (ή πρωτοβάθμια εξίσωση ή εξίσωση ευθείας) είναι μία αλγεβρική εξίσωση στην οποία κάθε όρος είναι είτε σταθερός ή γινόμενο σταθερού όρου επί μίας απλής μεταβλητής (μέχρι την πρώτη δύναμή της). Για μία μεταβλητή x {\displaystyle x} , η εξίσωση έχει την μορφή α x + β = 0 {\displaystyle \alpha x+\beta =0} ,όπου α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } είναι οι σταθεροί συντελεστές της εξίσωσης και α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} . Στην γενική μορφή με n {\displaystyle n} μεταβλητές x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} , η εξίσωση έχει τη μορφή α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n + β = 0 {\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}+\beta =0} ,όπου οι συντελεστές α 1 , α 2 , … , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}} δεν είναι όλοι μηδέν.

 Μία μορφή εξίσωσης ευθείας δύο μεταβλητών x και y είναι y = m x + b {\displaystyle y=mx+b\,} όπου m και b είναι σταθερές. Η προέλευση του ονόματος "γραμμική" προέρχεται από το γεγονός ότι το σύνολο των λύσεων μιας τέτοιας εξίσωσης σχηματίζει μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο. Στη συγκεκριμένη εξίσωση, ο συντελεστής m καθορίζει την κλίση ή κλίση της ευθείας αυτής, καθώς και ο σταθερό όρος "b" προσδιορίζει το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει τον άξονα y. Η γενική μορφή της εξίσωσης της ευθείας είναι α x + β y + γ = 0 {\displaystyle \alpha x+\beta y+\gamma =0} ,όπου α {\displaystyle \alpha } και β {\displaystyle \beta } δεν είναι συγχρόνως ίσα με το μηδέν. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης είναι μία ευθεία γραμμή, και κάθε ευθεία γραμμή του επιπέδου μπορεί να παρασταθεί από την παραπάνω εξίσωση της ευθείας. y − y 0 = m ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=m(x-x_{0})\,} όπου m είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας και (x0,y0) είναι ένα σημείο της. y − y 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})} όπου ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} and ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} είναι δύο σημεία της ευθείας με x 2 {\displaystyle x_{2}} ≠ x 1 {\displaystyle x_{1}} . Αυτή η μορφή είναι ισοδύναμη με την παραπάνω, καθώς ο συντελεστής διεύθυνσης m δίνεται από τη σχέση m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} r = m r cos ⁡ θ + b sin ⁡ θ {\displaystyle r={\frac {mr\cos \theta +b}{\sin \theta }}} όπου m είναι ο συντελεστής διεύθυνσης και b ο σταθερός όρος. Όταν θ = 0 τότε δεν ορίζεται η πολική μορφή της εξίσωσης τη ευθείας. Η εξίσωση μπορεί να πάρει τη μορφή: r sin ⁡ θ = m r cos ⁡ θ + b {\displaystyle r\sin \theta =mr\cos \theta +b\,} y = b {\displaystyle y=b\,} Αυτή η μορφή παράγεται από τη γενική μορφή της εξίσωσης της ευθείας όταν A = 0 και B = 1. Η γραφική της παράσταση είναι μια οριζόντια ευθεία (παράλληλη με τον άξονα x) που τέμνει το άξονα y στο b. x = a {\displaystyle x=a\,} Αυτή η μορφή παράγεται από τη γενική μορφή της εξίσωσης της ευθείας όταν A = 1 και B = 0. Η γραφική της παράσταση είναι μια κατακόρυφη ευθεία (παράλληλη με τον άξονα y) που τέμνει το άξονα x στο a. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας δεν ορίζεται. Διαδραστική εφαρμογή για την επίλυση της πρωτοβάθμιας εξίσωσης Διαδραστική εφαρμογή για την εξίσωση της ευθείας Διαδραστική εφαρμογή για την επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Γραμμή Δευτεροβάθμια εξίσωση Τριτοβάθμια εξίσωση Εξίσωση τέταρτου βαθμού