Μαθηματική ανάλυση

Η μαθηματική ανάλυση είναι ένα από τα βασικά πεδία των μαθηματικών, το οποίο ασχολείται με την έννοια της απόστασης. Θεμελιωτές της ήταν ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς και ο Ισαάκ Νεύτων, οι οποίοι την ανακάλυψαν ανεξάρτητα στα τέλη του 17ου αιώνα.Κλάδοι της μαθηματικής ανάλυσης είναι ο διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός (οι οποίοι συλλήβδην καλούνται και "απειροστικός λογισμός"), η τοπολογία, η συναρτησιακή ανάλυση, η θεωρία μέτρου. Πρόκειται επίσης για το κατεξοχήν εργαλείο της (μαθηματικής) φυσικής, η οποία, άλλωστε, αρχικά αποτελούσε τον μόνο λόγο ύπαρξής της, και αποτελεί ακόμη έναν από τους σημαντικότερους. Μέθοδοι της μαθηματικής ανάλυσης, κυρίως μέσα από την εφαρμοσμένη μηχανική, βρίσκουν επίσης μεγάλη εφαρμογή στην τεχνολογία. Σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης είναι οι πραγματικοί αριθμοί, η συνάρτηση, το όριο και η σύγκλιση, η διαφορισιμότητα ή παραγωγισιμότητα και η ολοκληρωσιμότητα, η μετρική κ.ά. Το κύριο αντικείμενο μελέτης της ανάλυσης είναι η μελέτη των συναρτήσεων. Οι βασικές έννοιες της ανάλυσης είναι το όριο,η παράγωγος και το ολοκλήρωμα. Η παράγωγος και το ολοκλήρωμα αποτελούν τiς δύο διαφορετικές όψεις του ίδιου νομίσματος. Η ολοκλήρωση και η παραγώγιση είναι μεταξύ τους αντίστροφες διαδικασίες.

 Η μαθηματική ανάλυση αναπτύχθηκε επίσημα τον 17ο αιώνα κατά την διάρκεια της Επιστημονικής Επανάστασης, αλλά πολλές απ΄ τις ιδέες της μπορούν να αναχθούν σε προηγούμενους μαθηματικούς. Νωρίτερα αποτελέσματα στην ανάλυση σιωπηρά παρουσιάστηκαν κατά τις πρώτες ημέρες των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. Για παράδειγμα ένα άπειρο γεωμετρικό άθροισμα είναι εμμέσως παράδοξο της διχοτόμησης του Ζήνωνα. Αργότερα, Έλληνες μαθηματικοί όπως ο Έυδοξος και ο Αρχιμήδης έκαναν να καταστεί πιο σαφής, αλλά ανεπίσημη, η χρήση των εννοιών των ορίων και της σύγκλισης, όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος της εξάντλησης για να υπολογίσουμε το εμβαδόν και τον όγκο των περιφερειών και των στερεών. Η ρητή χρήση των απειροστών εμφανίζεται στον Αρχιμήδη στην Mέθοδο των Μηχανικών Θεωρημάτων', ένα έργο που ανακαλύφθηκε τον 20ο αιώνα. Στην Ασία ο Κινέζος μαθηματικός Liu Hui χρησιμοποίησε την μέθοδο εξαντλήσεως τον 3ο αιώνα μ.Χ για να βρει το εμβαδόν του κύκλου. Ο Zu Chongzhi δημιούργησε μία μέθοδο που αργότερα θα ονομαστεί αρχή του Καβαλιέρι για να βρει τον όγκο μίας σφαίρας τον 5 ο αιώνα. Ο Ινδός μαθηματικός Bhāskara II έδωσε παραδείγματα παραγώγισης και χρησιμοποίησε ότι σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα του Rolle τον 12 ο αιώνα. Τον 14 ο αιώνα , ο Madhava of Sangamagrama ανέπτυξε άπειρες σειρές επεκτάσεων, όπως οι δυναμικές σειρές και οι σειρές Taylor συναρτήσεων όπως ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και τόξο εφαπτομένης. Παράλληλα με την ανάπτυξη της σειράς Taylor των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, εκτιμήθηκε επίσης το μέγεθος των συνθηκών σφάλματος που δημιουργούνται από την περικοπή αυτών των σειρών και δόθηκε μια ορθολογική προσέγγιση της άπειρης σειράς. Οι οπαδοί του στο σχολείο αστρονομίας και μαθηματικών Κεράλα επέκτειναν περαιτέρω τα έργα του, μέχρι τον 16ο αιώνα. Τα σύγχρονα θεμέλια της μαθηματικής ανάλυσης ιδρύθηκαν στην Ευρώπη του 17ου αιώνα. Ο Καρτέσιος και ο Φερμά ανέπτυξαν ανεξάρτητα την αναλυτική γεωμετρία, και μερικές δεκαετίες αργότερα ο Νεύτωνας και ο Λάιμπνιτς ανεξάρτητα ανέπτυξαν τον απειροστικό λογισμό, ο οποίος αναπτύχθηκε, με κίνητρο την εφαρμοσμένη εργασία που συνεχίστηκε μέχρι τον 18ο αιώνα, σε θέματα ανάλυσης, όπως ο λογισμός των μεταβολών, συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις, ανάλυση Φουριέ, και οι παραγωγικές συναρτήσεις. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, οι τεχνικές λογισμού εφαρμόστηκαν για την προσέγγιση διακριτών προβλημάτων και την συνέχιση τους. Τον 18ο αιώνα ο Όιλερ εισήγαγε την έννοια της Μαθηματικής Συνάρτησης. Η Πραγματική Ανάλυση άρχισε να αναδεικνύεται σαν ανεξάρτητος κλάδος, όταν ο Μπέρναρντ Μπολτσάνο εισήγαγε τον σύγχρονο ορισμό της συνέχειας το 1816, ωστόσο το έργο του Μπολτσάνο δεν διαδόθηκε ευρέως μέχρι τη δεκαετία του 1870. Το 1821, ο Κωσύ άρχισε να θέτει το λογισμό σε σταθερά λογικά θεμέλια με την απόρριψη της αρχής της γενικότητας της άλγεβρας, η οποία χρησιμοποιούνταν ευρέως σε προηγούμενα έργα, ιδιαίτερα από τον Όιλερ. Αντ΄ αυτού, ο Κωσύ διατύπωσε το λογισμό στα πλαίσια γεωμετρικών ιδεών και απειροστών. Έτσι, ο ορισμός του για την συνέχεια, απαιτούσε μια απειροστική μεταβολή στον x, ώστε να αντιστοιχεί με μια απειροστική μεταβολή στον y. Επίσης, εισήγαγε την έννοια των Ακολουθιών του Cauchy και ξεκίνησε την επίσημη θεωρία της Μιγαδικής Ανάλυσης. Ο Πουασόν, ο Λιουβίλ, ο Φουριέ και άλλοι μελέτησαν τις μερικές διαφορικές εξισώσεις και την Αρμονική Ανάλυση. Η συνεισφορά αυτών των μαθηματικών και άλλων, όπως του Βάιερστρας ,οδήγησε στην προσέγγιση του (ε,δ) ορισμού του ορίου ,ιδρύοντας με αυτό τον τρόπο τον σύγχρονο κλάδο της μαθηματικής ανάλυσης. Στα μέσα του 19ου αιώνα ο Riemann εισήγαγε τη θεωρία του για την ολοκλήρωση. Το τελευταίο τρίτο του αιώνα αναδείχθηκε η αριθμητική ανάλυση από τον Weierstrass, ο οποίος πίστευε ότι η γεωμετρική συλλογιστική ήταν εγγενώς παραπλανητική, και εισήγαγε τον "έψιλον-δέλτα" ορισμό του ορίου. Στη συνέχεια, οι μαθηματικοί άρχισαν να ανησυχούν ότι θα υποτεθεί η ύπαρξη ομοιογένειας των πραγματικών αριθμών χωρίς απόδειξη. Ο Dedekind κατασκεύασε τους πραγματικούς αριθμούς με τις Dedekind περικοπές, στις οποίες οι άρρητοι αριθμοί είναι τυπικά καθορισμένοι , οι οποίοι χρησιμεύουν για να γεμίσουν τα “ κενά” μεταξύ των ρητών αριθμών, δημιουργώντας έτσι ένα πλήρες σύνολο: το συνεχές των πραγματικών αριθμών, το οποίο είχε ήδη αναπτυχθεί από τον Simon Stevin υπό τις συνθήκες των δεκαδικών επεκτάσεων. Εκείνη την εποχή, οι προσπάθειες για να βελτιωθούν τα θεωρήματα του Ρίμαν για την ολοκλήρωση οδήγησε στη μελέτη του "μεγέθους" του συνόλου των ασυνεχειών των πραγματικών συναρτήσεων. Επίσης, "τέρατα" (πουθενά συνεχείς συναρτήσεις, συνεχείς αλλά πουθενά διαφορίσιμες συναρτήσεις, καμπύλες στον χώρο) άρχισαν να διερευνώνται. Στο πλαίσιο αυτό, ο Τζόρνταν ανέπτυξε τη θεωρία του μέτρου, ο Καντόρ ανέπτυξε ότι καλείται σήμερα αφηρημένη θεωρία συνόλων, και ο Baire απέδειξε το θεώρημα Baire. Στις αρχές του 20ου αιώνα,ο λογισμός επισημοποιήθηκε με τη χρήση μιας αξιωματικής θεωρίας συνόλων. Ο Lebesgue έλυσε το πρόβλημα του μέτρου, και ο Χίλμπερ εισήγαγε τους χώρους Hilbert για να λύσει ολοκληρωτικές εξισώσεις. Η ιδέα του μέτρου ενός διανυσματικού χώρου ήταν στον αέρα, και στη δεκαετία του 1920 ο Μπάναχ δημιούργησε την συναρτησιακή ανάλυση. Στα μαθηματικά, μετρικός χώρος είναι ένα σύνολο όπου η έννοια της απόστασης (αυτό που λέμε "μετρική") μεταξυ δύο στοιχείων αυτού του χώρου είναι καθορισμένη Τα πιο συχνά παραδείγματα μετρικών χώρων είναι η Πραγματική Ευθεία, το Μιγαδικό Επίπεδο, ο Ευκλείδειος Χώρος και οι Διανυσματικοί Χώροι. Υπάρχουν όμως και παραδείγματα χώρων χωρίς μετρικές κυρίως στα πεδία της Θεωρίας Μέτρου και της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Τυπικά ένας Μετρικός Χώρος ορίζεται ως το ζευγάρι ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} όπου M {\displaystyle M} είναι ένα σύνολο και d {\displaystyle d} μια μετρική πάνω στο M {\displaystyle M} . Μετρική λέγεται μια συνάρτηση : d : M × M → R {\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} } έτσι ώστε για κάποια x , y , z ∈ M {\displaystyle x,y,z\in M} ,ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0\,} αν και μόνο αν x = y {\displaystyle x=y\,} (ταυτοτική ιδιότητα) d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,} (συμμετρία) και, d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) {\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)} (τριγωνική ανισότητα) .Παίρνοντας την τρίτη ιδιότητα και θέτοντας z = x {\displaystyle z=x} , αποδεικνύεται ότι d ( x , y ) ≥ 0 {\displaystyle d(x,y)\geq 0} . Ακολουθία είναι μια λίστα στοιχείων με καθορισμένη σειρά.Η βασική διαφορά με τα σύνολα είναι ότι στην ακολουθία, η σειρά παίζει σημαντικό ρόλο και επίσης κάποιο ή κάποια στοιχεία μπορεί να εμφανίζονται περισσότερες από μια φορές σε πολλές θέσεις. Μια ακολουθία μπορεί να οριστεί και ως συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα μετρίσιμο και πλήρως διατεταγμένο σύνολο όπως οι φυσικοί αριθμοί. Μια από τις σημαντικότερες ιδιότητες των ακολουθιών είναι η σύγκλιση. Με απλά λόγια, μια ακολουθία συγκλίνει αν έχει όριο (στο άπειρο). Με βάση τη θεωρία, θα λέμε ότι μια ακολουθία έχει όριο το x αν το προσεγγίζει καθώς το n γίνεται πολύ μεγάλο (όπου το n καθορίζει την θέση κάθε στοιχείου). Δηλαδή όσο το n τείνει στο άπειρο, η απόσταση των τιμών τις ακολουθίας και του x τείνει στο 0. lim n → ∞ a n = x . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=x.} Η Πραγματική Ανάλυση (δηλαδή η μελέτη συναρτήσεων με πραγματικές μεταβλητές) είναι ο κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που ασχολείται με πραγματικούς αριθμούς και με συναρτήσεις πραγματικών μεταβλητών.Πιο συγκεκριμένα ασχολείται με τις αναλυτικές ιδιότητες πραγματικών συναρτήσεων και ακολουθιών καθώς και με σύγκλιση και όρια τους, τον Λογισμό πραγματικών αριθμών, τη συνέχεια και την κυρτότητα συναρτήσεων πραγματικών μεταβλητών. Ευρέως γνωστή και ως Θεωρία Συναρτήσεων Μιγαδικών Μεταβλητών, η Μιγαδική Ανάλυση είναι ο κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που εξετάζει συναρτήσεις μιγαδικών αριθμών. Έχει μεγάλη εφαρμογή σε πολλά πεδία των μαθηματικών όπως η Αλγεβρική Γεωμετρία, η Θεωρία Αριθμών, τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά καθώς επίσης και στη Φυσική στους τομείς της Υδροδυναμικής, της Θερμοδυναμικής, της Μηχανικής και της Κβαντομηχανικής. Συναρτησιακή Ανάλυση είναι ο τομέας των μαθηματικών, ο πυρήνας του οποίου είναι η μελέτη διανυσματικών χώρων εφοδιασμένων με μια σχετική δομή (όπως εσωτερικό γινόμενο, νόρμα κλπ) και των γραμμικών τελεστών που δρουν πάνω σε αυτούς του χώρους. Οι ιστορικές ρίζες της Συναρτησιακής Ανάλυσης προέρχονται από τη μελέτη χώρων συναρτήσεων και μετασχηματισμών όπως αυτός του Fourier. Αυτός ο τρόπος μελέτης έχει φανεί πολύ χρήσιμος στις διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις. Μια Διαφορική Εξίσωση είναι μια μαθηματική εξίσωση που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση (την οποία καλούμαστε να προσδιορίσουμε),διάφορες μεταβλητές που έχουν να κάνουν με τιμές της οπως επίσης και τις παραγώγους της σε διάφορες τάξεις. Οι Διαφορικές Εξισώσεις παίζουν σημαντικό ρόλο στη Μηχανική, στη Φυσική στη Βιολογία και σε άλλες επιστήμες. Οι Διαφορικές εξισώσεις εξελίσσονται σε πολλούς τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας, συγκεκριμένα όταν μια καθοριστική σχέση που περιέχει κάποιες συνεχώς μεταβαλλόμενες ποσότητες και τους ρυθμούς μεταβολής στον χώρο ή/και τον χρόνο, είναι γνωστή. Αυτό φαίνεται στην Κλασσική Μηχανική, όπου η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από την θέση και την ταχύτητα του ως χρονικές συναρτήσεις. Οι Νόμοι του Νεύτωνα επιτρέπουν (δοσμένης της θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης και των διαφόρων δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα) να εκφραστούν αυτές οι ποσότητες δυναμικά ως διαφορικές εξισώσεις για την άγνωστη θέση του σώματος συναρτήσει του χρόνου. Μέτρο σε ένα σύνολο, λέμε το συστηματικό τρόπο να εκχωρήσουμε έναν αριθμό σε κάθε κατάλληλο υποσύνολο αυτού του συνόλου, διαισθητικά ερμηνεύεται ως το μέγεθος του.Το Μέτρο δηλαδή είναι γενίκευση των εννοιών του μήκους, της επιφάνειας και του όγκου.Ένα πολύ σημαντικό παράδειγμα αποτελεί το Μέτρο Λεμπέγκ σε έναν Ευκλείδιο Χώρο που εισάγει το συμβατικό μήκος, επιφάνεια και όγκο της Ευκλείδιας Γεωμετρίας σε κατάλληλα αντικείμενα σε n {\displaystyle n} -διάστατους Ευκλειδίους Χώρους R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Για παράδειγμα, το Μέτρο Λεμπέγκ του διαστήματος [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} στους πραγματικούς είναι 1. Η Αριθμητική ανάλυση είναι η μελέτη των αλγορίθμων που χρησιμοποιούν αριθμητική προσέγγιση (σε αντίθεση με τους γενικούς συμβολικούς χειρισμούς) για τα προβλήματα της μαθηματικής ανάλυσης (όπως διακρίνονται από τα διακριτά μαθηματικά). Η σύγχρονη αριθμητική ανάλυση δεν επιδιώκει ακριβείς απαντήσεις, επειδή οι ακριβείς απαντήσεις είναι συχνά αδύνατο να επιτευχθούν στην πράξη. Αντ 'αυτού, ένα μεγάλο μέρος της αριθμητικής ανάλυσης ασχολείται με την απόκτηση προσεγγιστικών λύσεων με παράλληλη διατήρηση λογικών ορίων για σφάλματα. Η Αριθμητική ανάλυση βρίσκει φυσικά εφαρμογές σε όλους τους τομείς της μηχανικής και των φυσικών επιστημών, αλλά στον 21ο αιώνα, οι επιστήμες της ζωής και ακόμη και οι τέχνες έχουν υιοθετήσει στοιχεία των επιστημονικών υπολογισμών. Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις εμφανίζονται στην Ουράνια Μηχανική (πλανήτες, αστέρια και γαλαξίες). Η αριθμητική γραμμική άλγεβρα είναι σημαντική για την ανάλυση των δεδομένων στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις και αλυσίδες Μαρκόφ είναι απαραίτητες για την προσομοίωση ζωντανών κυττάρων για την ιατρική και τη βιολογία. «Γρίφοι Ανάλυσης».