Θεωρία ελαστικότητας

Η θεωρία ελαστικότητας είναι κλάδος της μηχανικής και των μαθηματικών που αφορά στη μοντελοποίηση της συμπεριφοράς στερεού σώματος, υπό την επίδραση εξωτερικών δράσεων (δυνάμεων και ροπών, μετατοπίσεων, θερμοκρασιακών διαφορών) όταν αυτό θεωρηθεί ως συνεχές, ομογενές, ισότροπο και ελαστικό. Πιο συγκεκριμένα, η θεωρία ελαστικότητας είναι κλάδος της μηχανικής παραμορφωσίμων σωμάτων, η οποία με τη σειρά της κλάδος της Μηχανικής του συνεχούς μέσου. Η Μηχανική του συνεχούς μέσου άλλωστε περιλαμβάνει τη Μηχανική παραμορφωσίμων σωμάτων και τη Μηχανική των ρευστών. Στη γενική περίπτωση ένα στερεό σώμα μπορεί υπό την επίδραση δυνάμεων ή άλλων δράσεων να επιταχύνεται και/ή να παραμορφώνεται. Ωστόσο, αν το μοντέλο που επιλέξουμε είναι γραμμικό τότε τα δύο μπορούν να εξεταστούν ανεξάρτητα. Άρα λοιπόν στη Θεωρία ελαστικότητας σπάνια εξετάζουμε μη-γραμμικά μοντέλα. Επίσης σπάνια εξετάζουμε μοντέλα που περιλαμβάνουν δυναμική συμπεριφορά (επιταχύνσεις). Με άλλα λόγια μια εισαγωγή στη θεωρία ελαστικότητας καταρχήν εξετάζει τις παραμορφώσεις γραμμικού ελαστικού σώματος υπό την επίδραση δυνάμεων και ροπών και εξωτερικά επιβαλλόμενων μετατοπίσεων. Η Μηχανική παραμορφώσιμων σωμάτων έχει λοιπόν αρκετούς άλλους κλάδους όπως την Αντοχή των υλικών, τη Θεωρία πεπερασμένων στοιχείων, τη μοντελοποίηση δυναμικών αποκρίσεων, τη μοντελοποίηση παραμορφώσεων υπό την επίδραση θερμικής διαστολής/συστολής, τη θεωρία γραμμικών τέλεια πλαστικών σωμάτων και άλλους.

 Οι εξισώσεις των τάσεων προκύπτουν απ'το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα που είναι σε μορφή τανυστή: σ i j , j + F i = ρ ∂ t t u i {\displaystyle \ \sigma _{ij,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}} Για μηδενικές επιταχύνσεις έχουμε: ∂ σ x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z + F x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0} ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z + F y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0} ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z ∂ z + F z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0} Πρόκειται για 3 γραμμικά ανεξάρτητες εξισώσεις με 6 αγνώστους. Η παραπάνω μορφή προκύπτει για ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Οι εξισώσεις των τροπών, δηλαδή των ανηγμένων παραμορφώσεων, προκύπτουν με χρήση διαφορικής ανάλυσης για τον στοιχειώδη κύβο όταν αυτός παραμορφωθεί. Αφορούν δηλαδή απλά τη γεωμετρία του παραμορφωμένου κύβου όταν αυτός θεωρηθεί πολύ μικρός. Ανηγμένη παραμόρφωση στη μία διάσταση σημαίνει παραμόρφωση διά το αρχικό μήκος (αδιάστατο δηλαδή μέγεθος). Στις τρεις διαστάσεις τις ονομάζουμε τροπές και γενικά λαμβάνουν πιο πολύπλοκη έκφραση: ϵ x = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}} γ x y = ∂ u x ∂ y + ∂ u y ∂ x {\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}} ϵ y = ∂ u y ∂ y {\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}} γ y z = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y {\displaystyle \gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}} ϵ z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}} γ z x = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z {\displaystyle \gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}} Οι οποίες είναι 6 εξισώσεις με 9 αγνώστους. Σε μορφή τανυστή μπορούν να γραφούν: ε i j = 1 2 ( u j , i + u i , j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})} Οι 6 εξισώσεις των τροπών δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Απαλείφοντας τις μετατοπίσεις u x {\displaystyle u_{x}\,} , u y {\displaystyle u_{y}\,} , u z {\displaystyle u_{z}\,} προκύπτουν οι 6 εξισώσεις συμβιβαστότητας: ∂ 2 ϵ x ∂ y 2 + ∂ 2 ϵ y ∂ x 2 = ∂ 2 γ x y ∂ x ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\gamma _{xy}}{\partial x\partial y}}} ∂ 2 ϵ y ∂ z 2 + ∂ 2 ϵ z ∂ y 2 = ∂ 2 γ y z ∂ y ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\gamma _{yz}}{\partial y\partial z}}} ∂ 2 ϵ z ∂ x 2 + ∂ 2 ϵ x ∂ z 2 = ∂ 2 γ z x ∂ x ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\gamma _{zx}}{\partial x\partial z}}} 2 ∂ 2 ϵ x ∂ y ∂ z = ∂ ∂ x ( − ∂ γ y z ∂ x + ∂ γ x z ∂ y + ∂ γ x y ∂ z ) {\displaystyle 2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}(-{\frac {\partial \gamma _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \gamma _{xz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \gamma _{xy}}{\partial z}})} 2 ∂ 2 ϵ y ∂ x ∂ z = ∂ ∂ y ( − ∂ γ x z ∂ y + ∂ γ x y ∂ z + ∂ γ y z ∂ x ) {\displaystyle 2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x\partial z}}={\frac {\partial }{\partial y}}(-{\frac {\partial \gamma _{xz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \gamma _{xy}}{\partial z}}+{\frac {\partial \gamma _{yz}}{\partial x}})} 2 ∂ 2 ϵ z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ z ( − ∂ γ x y ∂ z + ∂ γ y z ∂ x + ∂ γ x z ∂ y ) {\displaystyle 2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}(-{\frac {\partial \gamma _{xy}}{\partial z}}+{\frac {\partial \gamma _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \gamma _{xz}}{\partial y}})} Όταν ικανοποιούνται οι συνθήκες συμβιβαστότητας των παραμορφώσεων εξασφαλίζεται η ύπαρξη μονοσήμαντου και συνεχούς πεδίου τιμών για την ανηγμένη παραμόρφωση. Για τον προσδιορισμό των έξι τάσεων διαθέτουμε τρεις διαφορικές εξισώσεις. Άρα το πρόβλημα είναι τρεις φορές αόριστο. Για τον προσδιορισμό των έξι ανηγμένων παραμορφώσεων και των τριών μετατοπίσεων διαθέτουμε έξι διαφορικές εξισώσεις. Πάλι μας λείπουν τρεις σχέσεις. Συνολικά δεκαπέντε άγνωστοι και εννέα εξισώσεις. Η αοριστία μπορεί να αρθεί αν εισάγουμε τις λεγόμενες καταστατικές εξισώσεις για το υλικό. Στην περίπτωση γραμμικά ελαστικού, ομογενούς και ισότροπου υλικού ο νόμος του Hook στις τρεις διαστάσεις γράφεται: ϵ x = 1 E [ σ x − ν ( σ y + σ z ) ] + α Δ T {\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]+\alpha \Delta T} ϵ y = 1 E [ σ y − ν ( σ x + σ z ) ] + α Δ T {\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})]+\alpha \Delta T} ϵ z = 1 E [ σ z − ν ( σ x + σ y ) ] + α Δ T {\displaystyle \epsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]+\alpha \Delta T} γ x y = 1 G τ x y {\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {1}{G}}\tau _{xy}} γ x z = 1 G τ x z {\displaystyle \gamma _{xz}={\frac {1}{G}}\tau _{xz}} γ y z = 1 G τ y z {\displaystyle \gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}} σ {\displaystyle \sigma \,} είναι η ορθή τάση, τ {\displaystyle \tau \,} είναι η διατμητική τάση, F {\displaystyle F\,} είναι οι δυνάμεις σώματος, ϵ {\displaystyle \epsilon \,} είναι η ορθή ανηγμένη παραμόρφωση (τροπή), γ {\displaystyle \gamma \,} είναι η διατμητική ανηγμένη παραμόρφωση (τροπή), E {\displaystyle \ E} είναι το μέτρο ελαστικότητας του Young για το υλικό, G {\displaystyle \ G} είναι το μέτρο διάτμησης του υλικού, ν {\displaystyle \ \nu } είναι ο λόγος του Poisson του υλικού, που ισούται με τον αρνητικό λόγο της εγκάρσιας τροπής προς την αξονική τροπή, α {\displaystyle \ \alpha } είναι ο συντελεστής θερμικής διαστολής του υλικού και Δ T {\displaystyle \ \Delta T} είναι η θερμοκρασιακή μεταβολή. Η μορφή που παίρνει το μοντέλο ώστε να είναι επιλύσιμο με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων αλλάζει (μετασχηματίζεται) σε σχέση με το αρχικό μοντέλο. Πολλές αριθμητικές μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν και η επιλογή μπορεί να εξαρτάται απ'τις συνοριακές συνθήκες, τη γεωμετρία του συγκεκριμένου προβλήματος που εξετάζεται, απ'το αν υπάρχει ήδη διαθέσιμος κώδικας και από άλλους τεχνικούς παράγοντες. Ακριβής επίλυση είναι δυνατή μόνο σε πολύ συγκεκριμένες περιπτώσεις προβλημάτων, κατά κανόνα με μείωση των διαστάσεων σε μία, και συγκεκριμένες συνοριακές συνθήκες. Ιστορικά η ακριβής επίλυση προηγήθηκε και αποτελεί τον κλάδο της αντοχής των υλικών. Αντοχή των υλικών Τεχνική μηχανική W.A. Nash: Theory and Problems of Strength of Materials, 1977 Γ.Ι. Τσαμασφύρος: Μηχανική Παραμορφωσίμων Σωμάτων Ι, 1991