Αλγεβρική δομή

Στα μαθηματικά, μια αλγεβρική δομή αποτελείται από ένα μη κενό σύνολο Α (που ονομάζεται υποκείμενο σύνολο, σύνολο-φορέας ή πεδίο), μια συλλογή πράξεων επί του Α (συνήθως δυαδικές πράξεις όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός) και ένα πεπερασμένο σύνολο ταυτοτήτων, που ονομάζονται αξιώματα, τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν οι πράξεις αυτές. Μια αλγεβρική δομή μπορεί να βασίζεται σε άλλες αλγεβρικές δομές με πράξεις και αξιώματα που περιλαμβάνουν διάφορες δομές. Για παράδειγμα, ένας διανυσματικός χώρος περιλαμβάνει μια δεύτερη δομή που ονομάζεται πεδίο και μια πράξη που ονομάζεται κλιμακωτός πολλαπλασιασμός μεταξύ στοιχείων του πεδίου (που ονομάζονται κλιμάκια) και στοιχείων του διανυσματικού χώρου (που ονομάζονται διανύσματα).Αφηρημένη άλγεβρα είναι το όνομα που συνήθως δίνεται στη μελέτη των αλγεβρικών δομών. Η γενική θεωρία των αλγεβρικών δομών επισημοποιήθηκε στην Καθολική Άλγεβρα. Η θεωρία κατηγοριών είναι μια άλλη τυποποίηση που περιλαμβάνει επίσης άλλες μαθηματικές δομές και συναρτήσεις μεταξύ δομών του ίδιου τύπου (ομομορφισμοί). Στην καθολική άλγεβρα, μια αλγεβρική δομή ονομάζεται άλγεβρα - ο όρος αυτός μπορεί να είναι διφορούμενος, διότι, σε άλλα πλαίσια, μια άλγεβρα είναι μια αλγεβρική δομή που είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα πεδίο ή ένα Πρότυπο πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο. Η συλλογή όλων των δομών ενός συγκεκριμένου τύπου (ίδιες πράξεις και ίδιοι νόμοι) ονομάζεται ποικιλία στην καθολική άλγεβρα- ο όρος αυτός χρησιμοποιείται επίσης με εντελώς διαφορετική σημασία στην αλγεβρική γεωμετρία, ως συντομογραφία της αλγεβρικής ποικιλίας. Στη θεωρία κατηγοριών, η συλλογή όλων των δομών ενός συγκεκριμένου τύπου και οι ομομορφισμοί μεταξύ τους αποτελούν μια συγκεκριμένη κατηγορία.

 Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πρωτότυπα παραδείγματα πράξεων που συνδυάζουν δύο στοιχεία ενός συνόλου για να παράγουν ένα τρίτο στοιχείο του ίδιου συνόλου. Οι πράξεις αυτές υπακούουν σε διάφορους αλγεβρικούς νόμους. Για παράδειγμα, a + (b + c) = (a + b) + c και a(bc) = (ab)c έχουν Προσεταιριστική ιδιότητα, ενώ a + b = b + a και ab = ba έχουν Αντιμεταθετική ιδιότητα. Πολλά συστήματα που μελετούν οι μαθηματικοί έχουν πράξεις που υπακούουν σε μερικούς, αλλά όχι απαραίτητα σε όλους, τους νόμους της συνηθισμένης αριθμητικής. Για παράδειγμα, οι πιθανές κινήσεις ενός αντικειμένου στον τρισδιάστατο χώρο μπορούν να συνδυαστούν μετακινώντας πρώτα το αντικείμενο και στη συνέχεια μετακινώντας το για δεύτερη φορά από τη νέα του θέση. Τέτοιες κινήσεις, που τυπικά ονομάζονται άκαμπτες κινήσεις, υπακούουν στον νόμο του συσχετισμού, αλλά δεν ικανοποιούν τον αντιμεταθετικό νόμο. Τα σύνολα που περιέχουν μία ή περισσότερες πράξεις που υπακούουν σε συγκεκριμένους νόμους ονομάζονται αλγεβρικές δομές. Όταν ένα νέο πρόβλημα περιλαμβάνει τους ίδιους νόμους με μια τέτοια αλγεβρική δομή, όλα τα αποτελέσματα που έχουν αποδειχθεί χρησιμοποιώντας μόνο τους νόμους της δομής μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα στο νέο πρόβλημα. Γενικά, οι αλγεβρικές δομές μπορούν να περιλαμβάνουν μια αυθαίρετη συλλογή πράξεων, συμπεριλαμβανομένων πράξεων που συνδυάζουν περισσότερα από δύο στοιχεία (πράξεις υψηλότερης αρτιότητας) και πράξεων που λαμβάνουν μόνο ένα όρισμα (μοναδιαίες πράξεις) ή ακόμη και μηδενικά ορίσματα (μηδενικές πράξεις). Τα παραδείγματα που παρατίθενται παρακάτω δεν αποτελούν σε καμία περίπτωση εξαντλητικό κατάλογο, αλλά περιλαμβάνουν τις πιο συνηθισμένες δομές που διδάσκονται σε προπτυχιακά μαθήματα. Ένα αξίωμα μιας αλγεβρικής δομής έχει συχνά τη μορφή μιας ταυτότητας, δηλαδή μιας εξίσωσης, έτσι ώστε και οι δύο πλευρές του σημείου ισότητας να είναι εκφράσεις που περιλαμβάνουν πράξεις της αλγεβρικής δομής και μεταβλητές. Εάν οι μεταβλητές στην ταυτότητα αντικατασταθούν από αυθαίρετα στοιχεία της αλγεβρικής δομής, η ισότητα πρέπει να παραμείνει αληθής. Ακολουθούν μερικά συνηθισμένα παραδείγματα. Αντιμεταθετική ιδιότητα Μια πράξη ∗ {\displaystyle *} είναι αντιμεταθετική αν x ∗ y = y ∗ x {\displaystyle x*y=y*x} για κάθε x και y στην αλγεβρική δομή. Προσεταιριστική ιδιότηταΜια πράξη ∗ {\displaystyle *} είναι προσεταιριστική αν ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) {\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)} για κάθε x, y και z στην αλγεβρική δομή. Επιμεριστική ιδιότηταΜια πράξη ∗ {\displaystyle *} είναι αριστερά Επιμεριστική σε σχέση με μια άλλη πράξη + {\displaystyle +} αν x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)} για κάθε x, y και z στην αλγεβρική δομή (η δεύτερη πράξη συμβολίζεται εδώ ως + {\displaystyle +} , επειδή η δεύτερη πράξη είναι η πρόσθεση σε πολλά κοινά παραδείγματα). Επιμεριστική ιδιότηταΜια πράξη ∗ {\displaystyle *} είναι δεξιά Επιμεριστική σε σχέση με μια άλλη πράξη + {\displaystyle +} αν ( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)} για κάθε x, y και z στην αλγεβρική δομή. Επιμεριστική ιδιότηταΜια πράξη ∗ {\displaystyle *} είναι Επιμεριστική σε σχέση με μια άλλη πράξη + {\displaystyle +} αν είναι τόσο αριστερά Επιμεριστική όσο και δεξιά Επιμεριστική. Εάν η πράξη ∗ {\displaystyle *} είναι Επιμεριστική, η αριστερή και η δεξιά επιμεριστικότητα είναι ισοδύναμες με τη επιμεριστικότητα. Ορισμένα κοινά αξιώματα περιέχουν μια υπαρξιακή ρήτρα. Γενικά, μια τέτοια ρήτρα μπορεί να αποφευχθεί με την εισαγωγή άλλων πράξεων και την αντικατάσταση της υπαρξιακής ρήτρας με μια ταυτότητα που περιλαμβάνει τη νέα πράξη. Πιο συγκεκριμένα, θεωρήστε ένα αξίωμα της μορφής "για κάθε X , υπάρχει ένα y τέτοιο ώστε f ( X , y ) = g ( X , y ) {\displaystyle f(X,y)=g(X,y)} ", όπου X είναι ένα k-σύνολο μεταβλητών. Η επιλογή μιας συγκεκριμένης τιμής του y για κάθε τιμή του X ορίζει μια συνάρτηση φ : X ↦ y , {\displaystyle \varphi :X\mapsto y,} η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια πράξη αρτιότητας k, και το αξίωμα γίνεται η ταυτότητα f ( X , φ ( X ) ) = g ( X , φ ( X ) ) . {\displaystyle f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).} Η εισαγωγή μιας τέτοιας βοηθητικής πράξης περιπλέκει ελαφρώς τη δήλωση ενός αξιώματος, αλλά έχει ορισμένα πλεονεκτήματα. Δεδομένης μιας συγκεκριμένης αλγεβρικής δομής, η απόδειξη ότι ένα υπαρξιακό αξίωμα ικανοποιείται συνήθως αποτελείται από τον ορισμό της βοηθητικής λειτουργίας, που συμπληρώνεται από άμεση επαλήθευση. Επιπλέον, κατά τον υπολογισμό σε μια αλγεβρική δομή, οι βοηθητικές πράξεις χρησιμοποιούνται συνήθως ρητά. Για παράδειγμα, στην περίπτωση των αριθμών, η προσθετική αντιστροφή παρέχεται από τη μοναδιαία πράξη μείον x ↦ − x . {\displaystyle x\mapsto -x.} Επιπλέον, στην καθολική άλγεβρα, μια ποικιλία είναι μια κλάση αλγεβρικών δομών που μοιράζονται τις ίδιες πράξεις και αξιώματα, υπό την προϋπόθεση ότι όλα τα αξιώματα είναι ταυτότητες. Τα παραπάνω δείχνουν ότι τα υπαρξιακά αξιώματα της παραπάνω μορφής γίνονται δεκτά στον ορισμό μιας ποικιλίας. Ακολουθούν μερικά από τα πιο συνηθισμένα υπαρξιακά αξιώματα. Ουδέτερο στοιχείο Μια δυαδική πράξη ∗ {\displaystyle *} έχει στοιχείο ταυτότητας αν υπάρχει ένα στοιχείο e τέτοιο ώστε x ∗ e = x και e ∗ x = x {\displaystyle x*e=x\quad {\text{και}}\quad e*x=x} για όλα τα x στη δομή. Εδώ, η βοηθητική πράξη είναι η πράξη μηδενικής αρτιότητας που έχει ως αποτέλεσμα e. Αντίστροφο στοιχείοΔεδομένης μιας δυαδικής πράξης ∗ {\displaystyle *} που έχει στοιχείο ταυτότητας e, ένα στοιχείο x είναι αντιστρέψιμο αν έχει αντίστροφο στοιχείο, δηλαδή αν υπάρχει ένα στοιχείο inv ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {inv} (x)} τέτοιο ώστε inv ⁡ ( x ) ∗ x = e και x ∗ inv ⁡ ( x ) = e . {\displaystyle \operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{και}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.} Για παράδειγμα, μια ομάδα είναι μια αλγεβρική δομή με δυαδική πράξη που είναι επιμεριστική, έχει στοιχείο ταυτότητας και όλα τα στοιχεία της είναι αντιστρέψιμα. Τα αξιώματα μιας αλγεβρικής δομής μπορεί να είναι οποιοσδήποτε τύπος πρώτης τάξης, δηλαδή ένας τύπος που περιλαμβάνει λογικούς συνδέσμους (όπως "και", "ή" και "όχι") και λογικούς ποσοδείκτες ( ∀ , ∃ {\displaystyle \forall ,\exists } ) που ισχύουν για τα στοιχεία (όχι για τα υποσύνολα) της δομής. Ένα τέτοιο τυπικό αξίωμα είναι η αντιστροφή σε πεδία. Αυτό το αξίωμα δεν μπορεί να αναχθεί σε αξιώματα προηγούμενων τύπων. (προκύπτει ότι τα πεδία δεν αποτελούν ποικιλία με την έννοια της καθολικής άλγεβρας). Μπορεί να διατυπωθεί: "Κάθε μη μηδενικό στοιχείο ενός πεδίου είναι αντιστρέψιμο"- ή, ισοδύναμα: η δομή έχει μια μοναδιαία πράξη invτέτοια ώστε ∀ x , x = 0 or x ⋅ inv ⁡ ( x ) = 1. {\displaystyle \forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.} Η πράξη inv μπορεί να θεωρηθεί είτε ως μια μερική πράξη που δεν ορίζεται για x = 0; είτε ως μια συνηθισμένη συνάρτηση της οποίας η τιμή στο 0 είναι αυθαίρετη και δεν πρέπει να χρησιμοποιείται. Απλές δομές: χωρίς δυαδικές πράξεις: Σύνολο: μια εκφυλισμένη αλγεβρική δομή S χωρίς πράξεις.Δομές που μοιάζουν με ομάδες: μία δυαδικές πράξεις. Η δυαδική πράξη μπορεί να δηλωθεί με οποιοδήποτε σύμβολο ή χωρίς σύμβολο (παράθεση), όπως γίνεται για τον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό πραγματικών αριθμών. Ομάδα: ένα μονοειδές με μια μοναδιαία πράξη (αντίστροφη), που δημιουργεί αντίστροφα στοιχεία. Αβελιανή ομάδα: ομάδα της οποίας η δυαδική πράξη είναι αντιμεταθετική.Δομές που μοιάζουν με δακτυλίους ή δακτυλοειδή: δύο δυαδικές πράξεις, που συχνά ονομάζονται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός, με τον πολλαπλασιασμό να διανέμεται πάνω στην πρόσθεση. Δακτύλιος: ένα ημίρρευμα του οποίου το προσθετικό μονοειδές είναι μια αβελιανή ομάδα. Δακτύλιος διαίρεσης: ένας μη τετριμμένος δακτύλιος στον οποίο ορίζεται η διαίρεση με μη μηδενικά στοιχεία. Δακτύλιος αντιμεταθετικός: δακτύλιος στον οποίο η πράξη του πολλαπλασιασμού είναι αντιμεταθετική. Πεδίο: ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος διαίρεσης (δηλαδή ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος που περιέχει ένα πολλαπλασιαστικό αντίστροφο για κάθε μη μηδενικό στοιχείο).Δομές πλέγματος: δύο ή περισσότερες δυαδικές πράξεις, συμπεριλαμβανομένων των πράξεων που ονομάζονται meet και join, οι οποίες συνδέονται με το νόμο της απορρόφησης. Ολοκληρωμένο πλέγμα: ένα πλέγμα στο οποίο υπάρχουν αυθαίρετες συναντήσεις και ενώσεις. Πλέγμα (διατεταγμένο σύνολο): ένα πλέγμα με το μεγαλύτερο και το μικρότερο στοιχείο. Διανεμητικό πλέγμα: ένα πλέγμα στο οποίο κάθε ένα από τα meet και join διανέμεται πάνω στο άλλο. Ένα σύνολο δυνάμεων υπό ένωση και τομή σχηματίζει ένα διανεμητικό πλέγμα. Άλγεβρα Μπουλ: ένα συμπληρωμένο διανεμητικό πλέγμα. Οποιοδήποτε από αυτά τα δύο στοιχεία μπορεί να οριστεί ως συνάρτηση του άλλου και της συμπλήρωσης. Πρότυπο (άλγεβρα): μια αβελιανή ομάδα M και ένας δακτύλιος R που ενεργούν ως τελεστές στην M. Τα μέλη της R καλούνται μερικές φορές κλιμάκια, και η δυαδική πράξη του πολλαπλασιασμού κλιμακίων είναι μια συνάρτηση R × M → M', η οποία ικανοποιεί διάφορα αξιώματα. Μετρώντας τις πράξεις δακτυλίου, τα συστήματα αυτά έχουν τουλάχιστον τρεις πράξεις. Διανυσματικός χώρος: μια ενότητα όπου ο δακτύλιος R είναι ένας δακτύλιος διαίρεσης ή ένα πεδίο. Άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο: μια ενότητα επί σώματος, η οποία περιλαμβάνει επίσης μια πράξη πολλαπλασιασμού συμβατή με τη δομή της ενότητας. Αυτό περιλαμβάνει διανεμητικότητα σε σχέση με την πρόσθεση και γραμμικότητα σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό. Χώρος εσωτερικού γινομένου: ένας F διανυσματικός χώρος V με ορισμένη διγραμμική μορφή V × V → F. Οι αλγεβρικές δομές μπορούν επίσης να συνυπάρχουν με πρόσθετες δομές μη αλγεβρικής φύσης, όπως η μερική τάξη ή μια τοπολογία. Η προστιθέμενη δομή πρέπει να είναι συμβατή, υπό κάποια έννοια, με την αλγεβρική δομή. Τοπολογική ομάδα: ομάδα με τοπολογία συμβατή με τη λειτουργία της ομάδας. Ομάδα Lie: μια τοπολογική ομάδα με συμβατή δομή ομαλής πολλαπλότητας. Ταξινομημένες ομάδες, ταξινομημένοι δακτύλιοι και ταξινομημένα πεδία: κάθε είδος δομής με συμβατή μερική τάξη. Αρχιμήδεια ομάδα: μια γραμμικά διατεταγμένη ομάδα για την οποία ισχύει η ιδιότητα του Αρχιμήδη. Τοπολογικός διανυσματικός χώρος: ένας διανυσματικός χώρος του οποίου το M έχει συμβατή τοπολογία. Κανονικοποιημένος διανυσματικός χώρος: ένας διανυσματικός χώρος με συμβατή νόρμα. Εάν ένας τέτοιος χώρος είναι πλήρης (ως μετρικός χώρος) τότε ονομάζεται χώρος Μπάναχ. Χώρος Χίλμπερτ: ένας χώρος εσωτερικού γινομένου πάνω στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς του οποίου το εσωτερικό γινόμενο δίνει μια δομή χώρου Μπάναχ. Άλγεβρα τελεστών κορυφής Άλγεβρα φον Νόιμαν: μια *-άλγεβρα τελεστών σε ένα χώρο Χίλμπερτ εξοπλισμένο με την ασθενή τοπολογία τελεστών. Οι αλγεβρικές δομές ορίζονται από διαφορετικές διαμορφώσεις αξιωμάτων. Η καθολική άλγεβρα μελετά αυτά τα αντικείμενα αφηρημένα. Υπάρχει μια σημαντική διχοτόμηση μεταξύ δομών που αξιωματοποιούνται εξ ολοκλήρου με ταυτότητες και δομών που δεν αξιωματοποιούνται. Αν όλα τα αξιώματα που ορίζουν μια κλάση αλγεβρών είναι ταυτότητες, η κλάση αυτή είναι μια ποικιλία (δεν πρέπει να συγχέεται με τις αλγεβρικές ποικιλίες της αλγεβρικής γεωμετρίας).Οι ταυτότητες είναι εξισώσεις που διατυπώνονται χρησιμοποιώντας μόνο τις πράξεις που επιτρέπει η δομή και μεταβλητές που είναι σιωπηρά ποσοτικοποιημένες με καθολικό τρόπο στο οικείο σύμπαν. Οι ταυτότητες δεν περιέχουν συνδέσμους, υπαρξιακά ποσοτικοποιημένες μεταβλητές ή σχέσεις οποιουδήποτε είδους εκτός από τις επιτρεπόμενες πράξεις. Η μελέτη των ποικιλιών αποτελεί σημαντικό μέρος της καθολικής άλγεβρας. Μια αλγεβρική δομή σε μια ποικιλία μπορεί να νοηθεί ως το πηλίκο της άλγεβρας των όρων (που ονομάζεται επίσης "απολύτως ελεύθερη άλγεβρα") διαιρεμένο με τις σχέσεις ισοδυναμίας που δημιουργούνται από ένα σύνολο ταυτοτήτων. Έτσι, μια συλλογή συναρτήσεων με δεδομένες υπογραφές δημιουργεί μια ελεύθερη άλγεβρα, την άλγεβρα των όρων T. Δεδομένου ενός συνόλου ισοδυναμικών ταυτοτήτων (τα αξιώματα), θεωρήστε το συμμετρικό και μεταβατικό τους κλείσιμο E. Το πηλίκο της άλγεβρας T/E είναι τότε η αλγεβρική δομή ή ποικιλία. Έτσι, για παράδειγμα, οι ομάδες έχουν μια υπογραφή που περιέχει δύο τελεστές: τον τελεστή πολλαπλασιασμού m, που παίρνει δύο ορίσματα, και τον αντίστροφο τελεστή i, που παίρνει ένα όρισμα, και το στοιχείο ταυτότητας e, μια σταθερά, που μπορεί να θεωρηθεί ως τελεστής που παίρνει μηδέν ορίσματα. Δεδομένου ενός (μετρήσιμου) συνόλου μεταβλητών x, y, z κ.λπ., η άλγεβρα όρων είναι η συλλογή όλων των πιθανών όρων που περιλαμβάνουν τους m, i, e και τις μεταβλητές- έτσι, για παράδειγμα, m(i(x), m(x, m(y,e))) θα ήταν ένα στοιχείο της άλγεβρας όρων. Ένα από τα αξιώματα που ορίζουν μια ομάδα είναι η ταυτότητα m(x, i(x)) = e- ένα άλλο είναι m(x,e) = x. Τα αξιώματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως δέντρα. Αυτές οι εξισώσεις επάγουν κλάσεις ισοδυναμίας στην ελεύθερη άλγεβρα- η πηλίκο άλγεβρα έχει τότε την αλγεβρική δομή μιας ομάδας Ορισμένες δομές δεν σχηματίζουν ποικιλίες, διότι είτε: Είναι απαραίτητο ότι 0 ≠ 1, με το 0 να είναι το προσθετικό στοιχείο ταυτότητας και το 1 να είναι ένα πολλαπλασιαστικό στοιχείο ταυτότητας, αλλά αυτό είναι μια μη ταυτότητα, Οι δομές όπως τα πεδία έχουν κάποια αξιώματα που ισχύουν μόνο για μη μηδενικά μέλη του S. Για να είναι μια αλγεβρική δομή ποικιλία, οι πράξεις της πρέπει να ορίζονται για όλα τα μέλη του S- δεν μπορούν να υπάρχουν μερικές πράξεις.Οι δομές των οποίων τα αξιώματα περιλαμβάνουν αναπόφευκτα μη ταυτότητες είναι από τις πιο σημαντικές στα μαθηματικά, π.χ. τα πεδία και οι δακτύλιοι διαίρεσης. Οι δομές με μη ταυτότητες παρουσιάζουν προκλήσεις ποικιλίες που δεν έχουν. Για παράδειγμα, το άμεσο γινόμενο δύο πεδίων δεν είναι πεδίο, επειδή ( 1 , 0 ) ⋅ ( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)} , αλλά τα πεδία δεν έχουν μηδενικούς διαιρέτες. Η θεωρία κατηγοριών είναι ένα άλλο εργαλείο για τη μελέτη αλγεβρικών δομών (βλέπε, για παράδειγμα, Μακ Λέιν 1998). Μια κατηγορία είναι μια συλλογή αντικειμένων με σχετικούς μορφισμούς. Κάθε αλγεβρική δομή έχει τη δική της έννοια του ομομορφισμού, δηλαδή κάθε συνάρτηση συμβατή με την πράξη ή τις πράξεις που ορίζουν τη δομή. Έτσι, κάθε αλγεβρική δομή δημιουργεί μια κατηγορία. Για παράδειγμα, η κατηγορία των ομάδων έχει ως αντικείμενα όλες τις ομάδες και ως μορφισμούς όλους τους ομομορφισμούς των ομάδων. Αυτή η συγκεκριμένη κατηγορία μπορεί να θεωρηθεί ως μια κατηγορία συνόλων στην οποία έχει προστεθεί μια κατηγοριοθεωρητική δομή. Ομοίως, η κατηγορία των τοπολογικών ομάδων (της οποίας οι μορφισμοί είναι οι ομομορφισμοί συνεχών ομάδων) είναι μια κατηγορία τοπολογικών χώρων με μια πρόσθετη δομή. Ένας τελεστής λήθης μεταξύ κατηγοριών αλγεβρικών δομών "ξεχνά" μέρος μιας δομής. Υπάρχουν αρκετές έννοιες στη θεωρία κατηγοριών που προσπαθούν να συλλάβουν τον αλγεβρικό χαρακτήρα ενός πλαισίου, παραδείγματος χάριν αλγεβρική κατηγορία ουσιαστικά αλγεβρική κατηγορία παρουσιαστική κατηγορία τοπικά παρουσιάσιμη κατηγορία Μοναδιακοί τελεστές και κατηγορίες καθολική ιδιότητα. Σε μια μικρή κατάχρηση του συμβολισμού, η λέξη "δομή" μπορεί επίσης να αναφέρεται μόνο στις πράξεις πάνω σε μια δομή, αντί για το ίδιο το υποκείμενο σύνολο. Για παράδειγμα, η πρόταση "Ορίσαμε μια δομή δακτυλίου στο σύνολο A {\displaystyle A} σημαίνει ότι έχουμε ορίσει πράξεις δακτυλίου στο σύνολο A {\displaystyle A} . Για ένα άλλο παράδειγμα, η ομάδα ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύνολο Z {\displaystyle \mathbb {Z} } που είναι εξοπλισμένο με μια αλγεβρική δομή, δηλαδή την πράξη + {\displaystyle +} . Β. Γιαννακόπουλος; Ν. Ζανής (1979). «Για την Β'Τάξη: Αλγεβρικές δομές». Ευκλείδης Β΄ (3): 108-110. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3940. Μ. Γεωργάκης; Ν. Μαντζαβίνος (1981). «Συμβολική αριθμητική και νεώτερη άλγεβρα». Ευκλείδης Β΄ (4): 207-211. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3299. Γ. Στρατής (1985). «Αλγεβρικές δομές». Ευκλείδης Β΄ (2): 105-110. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2984. Ν. Μυλογιαννάκης; Α. Πασχαλάκης; Α. Παπαδεράκης; Κ. Πατήρη (1988). «Αλγεβρικές δομές». Ευκλείδης Β΄ (3): 51-55. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3218. Lefebvre, P. (1969). «Mathematical Structures and the role of algebra in School Mathematics». The Mathematics Teacher 62 (8): 673-678. https://www.jstor.org/stable/27958260. Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (2nd έκδοση), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2 Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Applied Algebra and Functional Analysis, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67598-5 Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P. (1981), A Course in Universal Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-90578-3, http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html Θεωρία κατηγοριών Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2 Taylor, Paul (1999), Practical foundations of mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-63107-5 Ελληνική βιβλιογραφία Γεωργιακάκης, Π.· Γεωργιακάκης, Μ. Άλγεβρα 5: Δομές, θεωρία, ασκήσεις. Αθήνα: Κύκλος & Αρκαδι. Πνευματικός, Νικόλαος Σ. Μαθήματα αλγεβρικών δομών. Αθήνα. Πνευματικός, Νικόλαος Σ. Στοιχεία αλγεβρικών δομών. Αθήνα.