Κύβος (άλγεβρα)

Στα μαθηματικά κύβος ενός αριθμού π.χ. α {\displaystyle \alpha } , ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού αυτού, δηλαδή α × α × α {\displaystyle \alpha \times \alpha \times \alpha } . Η ονομασία "κύβος" ή "κύβος αριθμού" λήφθηκε από το γεγονός ότι η τρίτη δύναμη ενός αριθμού παριστά και τον όγκο του κύβου που έχει ακμή (πλευρά) τον αριθμό αυτό. Οι θετικοί κύβοι ή τέλειοι κύβοι μέχρι το 603 είναι (OEIS:A000578): Σε γεωμετρικούς όρους, ένας θετικός αριθμός m είναι τέλειος κύβος αν και μόνο αν είναι δυνατόν να διαταχθούν m κύβοι (ενν. στερεά) με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο κύβο. Για παράδειγμα 27 μικροί κύβοι μπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο (συγκεκριμένα με την μορφή ενός κύβου του Ρούμπικ), διότι 3 x 3 x 3 = 33 = 27. Η διαφορά κύβων ανάμεσα σε διαδοχικούς ακεραίους μπορεί να εκφραστεί ως: n3 − (n − 1)3 = 3(n − 1)n + 1.ή (n + 1)3 − n3 = 3(n + 1)n + 1.Δεν υπάρχει ελάχιστος τέλειος κύβος διότι ο αρνητικός ακέραιος υψωμένος στην τρίτη είναι αρνητικός. Για παράδειγμα, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

 Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ εννέα θετικών κύβων. Το άνω φράγμα των εννέα κύβων δεν μπορεί να ελαττωθεί διότι, παραδείγματος χάριν, το 23 δεν είναι δυνατό να γραφεί ως άθροισμα λιγότερων από εννέα κύβων: 23 = 23 + 23 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13. Η εξίσωση x3 + y3 = z3 δεν έχει λύσεις πέραν της τετριμένης (δηλ για xyz ≠ 0) στο σύνολο των ακεραίων. Για την ακρίβεια δεν έχει λύσεις στους ακεραίους Euler.Τα παραπάνω ισχύουν επίσης για την εξίσωση: x3 + y3 = 3z3. Το άθροισμα των πρώτων n κύβων είναι ο nστος τριγωνικός αριθμός στο τετράγωνο: 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = ( 1 + 2 + ⋯ + n ) 2 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 . {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.} Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων πέντε κύβων είναι το τετράγωνο του 5ου τριγωνικού αριθμό: 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 = 15 2 {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}\,} Παρόμοιο αποτέλεσμα δίδει και το άθροισμα των πρώτων y περιττών κύβων, 1 3 + 3 3 + ⋯ + ( 2 y − 1 ) 3 = ( x y ) 2 {\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}} όμως τα x και y πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης x 2 − 2 y 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1} . Παραδείγματα: Για y = 5 έχουμε: 1 3 + 3 3 + ⋯ + 9 3 = ( 7 ⋅ 5 ) 2 {\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}\,} και για 29, 1 3 + 3 3 + ⋯ + 57 3 = ( 41 ⋅ 29 ) 2 {\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}} Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός, εκτός από τον πρώτο, επίσης είναι άθροισμα των πρώτων 2(p−1)/2 περιττών κύβων: 28 = 2 2 ( 2 3 − 1 ) = 1 3 + 3 3 {\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}} Υπάρχουν παραδείγματα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο, το άθροισμα των οποίων είναι κύβος: 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 {\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}} 11 3 + 12 3 + 13 3 + 14 3 = 20 3 {\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}} 31 3 + 33 3 + 35 3 + 37 3 + 39 3 + 41 3 = 66 3 {\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}} Στην ακολουθία περιττών ακεραίων 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., το 1 είναι κύβος (1 = 13), το άθροισμα των επόμενων δύο αριθμών είναι ο επόμενος κύβος (3+5 = 23), το άθροισμα των επόμενων τριών είναι αμέσως επόμενος κύβος (7+9+11 = 33) και ούτω καθεξής. Κάθε θετικός ρητός αριθμός είναι άθροισμα τριών θετικών ρητών κύβων, ενώ υπάρχουν ρητοί που δεν είναι άθροισμα δύο ρητών κύβων. Η συνάρτηση f(x) = x3 είναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο ορισμού καθώς και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η πρώτη παράγωγός της είναι 3x2. Το άθροισμα δύο κύβων μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως x 3 + y 3 = ( x + y ) ⋅ ( x 2 − x y + y 2 ) {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)\cdot (x^{2}-xy+y^{2})} ,και η διαφορά τους ως x 3 − y 3 = ( x − y ) ⋅ ( x 2 + x y + y 2 ) {\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)\cdot (x^{2}+xy+y^{2})} . Πολλοί αρχαίοι πολιτισμοί ασχολήθηκαν με την εύρεση των κύβων μεγάλων αριθμών. Μαθηματικοί της αρχαίας Μεσοποταμίας είχαν πίνακες για των υπολογισμό κύβων και κυβικών ριζών ήδη από την Πρώτη Βαβυλωνιακή Δυναστεία (20ος - 16ος αιώνας π.Χ) ενώ ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος ασχολήθηκε με την επίλυση κυβικών εξισώσεων. Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς ανέπτυξε μέθοδο εύρεσης των κυβικών ριζών.Μέθοδοι επιλύσεως κυβικών εξισώσεων αναφέρονται στο έργο Τα Εννέα Κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης, ένα κινεζικό εγχειρίδιο μαθηματικών του 2ου αιώνα π.Χ., το οποίο σώζεται με τον σχολιασμό του Liu Hui από τον 3ο αιώνα μ.Χ. Ο Ινδός μαθηματικός Aryabhata έγραψε ερμηνεία των κύβων στο έργο του Aryabhatiya. Το 2010 ο Alberto Zanoni ανέπτυξε νέο ταχύτερο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του κύβου ενός μεγάλου ακεραίου σε καθορισμένο εύρος.new algorithm