Τύποι Mollweide

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, οι τύποι Mollweide σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με πλευρές α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } και κορυφές A , B , Γ {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } } , είναι οι εξής σχέσεις α + β γ ⋅ sin ⁡ Γ 2 = cos ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A − B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)} ,και α − β γ ⋅ cos ⁡ Γ 2 = sin ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A − B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)} .Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον μαθηματικό Karl Mollweide.

 Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι α sin ⁡ A = β sin ⁡ B = γ sin ⁡ Γ = d , {\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \mathrm {\Gamma } }}=d,} όπου d {\displaystyle d} η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και Ακόμα, θα χρησιμοποιήσουμε ότι Απόδειξη 1ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (1) έχουμε ότι α + β γ ⋅ sin ⁡ Γ 2 = d sin ⁡ A + d sin ⁡ B d sin ⁡ Γ ⋅ sin ⁡ Γ 2 = sin ⁡ A + sin ⁡ B sin ⁡ Γ ⋅ sin ⁡ Γ 2 {\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {d\sin \mathrm {A} +d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}} .Έπειτα η (3) και η (4) δίνουν ότι α + β γ ⋅ sin ⁡ Γ 2 = 2 sin ⁡ ( 1 2 ( A + B ) ) cos ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) 2 sin ⁡ Γ 2 cos ⁡ Γ 2 ⋅ sin ⁡ Γ 2 = sin ⁡ ( 1 2 ( A + B ) ) cos ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) cos ⁡ Γ 2 {\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{2\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}\cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}} .Αφού οι A , B , Γ {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } } είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι Γ = π − ( A + B ) {\displaystyle \mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )} . Χρησιμοποιώντας ότι cos ⁡ ( π 2 − ϕ ) = sin ⁡ ϕ {\displaystyle \cos({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )=\sin \phi } , καταλήγουμε ότι α + β γ ⋅ sin ⁡ Γ 2 = sin ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)} .Απόδειξη 2ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (1) έχουμε ότι α − β γ ⋅ cos ⁡ Γ 2 = d sin ⁡ A − d sin ⁡ B d sin ⁡ Γ ⋅ cos ⁡ Γ 2 = sin ⁡ A − sin ⁡ B sin ⁡ Γ ⋅ cos ⁡ Γ 2 {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {d\sin \mathrm {A} -d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}} .Έπειτα η (2) και η (4) δίνουν ότι α − β γ ⋅ cos ⁡ Γ 2 = 2 sin ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) cos ⁡ ( 1 2 ( A + B ) ) 2 sin ⁡ Γ 2 cos ⁡ Γ 2 ⋅ cos ⁡ Γ 2 = sin ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) cos ⁡ ( 1 2 ( A + B ) ) sin ⁡ Γ 2 {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{2\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}\cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}} .Αφού οι A , B , Γ {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } } είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι Γ = π − ( A + B ) {\displaystyle \mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )} . Χρησιμοποιώντας ότι sin ⁡ ( π 2 − ϕ ) = cos ⁡ ϕ {\displaystyle \sin({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )=\cos \phi } , καταλήγουμε ότι α − β γ ⋅ cos ⁡ Γ 2 = cos ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)} . Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu. Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε τον νόμο των εφαπτομένων α − β α + β = tan ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) tan ⁡ ( 1 2 ( A + B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}} .