Παρούσα αξία

Στην οικονομική επιστήμη, η παρούσα αξία, γνωστή επίσης ως παρούσα προεξοφλημένη αξία, είναι η αξία μιας αναμενόμενης ταμειακής εισροής κατά την ημερομηνία της αποτίμησης. Η παρούσα αξία είναι πάντα μικρότερη ή ίση με την μελλοντική αξία του ποσού λόγω της μεταβολής του χρήματος κατά τη διάρκεια του χρόνου, δηλαδή την χρονική αξία του χρήματος, κάτι που δεν ισχύει κατά τη διάρκεια αρνητικών επιτοκίων, όπου η παρούσα αξία είναι μεγαλύτερη από τη μελλοντική αξία.Ο υπολογισμός της παρούσας αξίας, καθώς και της μελλοντικής αξίας, χρησιμοποιείται στην αποτίμηση της προσόδου, των δανείων, των υποθηκών, των χρεολυτικών κεφαλαίων, των ομολόγων κ.ά. Με τον υπολογισμό αυτόν, γίνεται σύγκριση μεταξύ ταμειακών ροών που δεν προέκυψαν την ίδια στιγμή. Όπως και στην άλγεβρα, όπου συγκρίνουμε και προσθέτουμε ή αφαιρούμε παρόμοιες μεταβλητές, μπορούμε να συγκρίνουμε και να υπολογίσουμε μόνο αξίες που προέκυψαν την ίδια στιγμή. Για να αποφασίσουμε σε ποιο έργο να επενδύσουμε, συγκρίνουμε τις αντίστοιχες παρούσες αξίες των αναμενόμενων ταμειακών εισροών χρησιμοποιώντας ένα προεξοφλητικό επιτόκιο ή ένα συντελεστή απόδοσης. Το έργο με την υψηλότερη παρούσα αξία σήμερα αποτελεί την πιο συμφέρουσα επιλογή.

 Ο πιο συνηθισμένος τρόπος υπολογισμού της παρούσας αξίας γίνεται με ανατοκισμό. Ο τύπος είναι: P V = C ( 1 + i ) n {\displaystyle PV={\frac {C}{(1+i)^{n}}}\,} Όπου C {\displaystyle C} η μελλοντική ταμειακή ροή, n {\displaystyle n} η διάρκεια ανατοκισμού, και i {\displaystyle i} το επιτόκιο ανατοκισμού ή προεξόφλησης. Το επιτόκιο δίνεται ως ποσοστό, αλλά σε αυτόν τον τύπο χρησιμοποιείται ο αντίστοιχος δεκαδικός αριθμός. Ο τύπος v n = ( 1 + i ) − n {\displaystyle v^{n}=(1+i)^{-n}} είναι ο συντελεστής παρούσας αξίας ή προεξόφλησης.Η παρούσα αξία μπορεί, επίσης, να βρεθεί από τον τύπο μελλοντικής αξίας F V = P V ( 1 + i ) n . {\displaystyle FV=PV(1+i)^{n}.} Για παράδειγμα, αν το ετήσιο επιτόκιο είναι 10 % (ή 0,10), η παρούσα αξία ενός ποσού 1.000 € που θα εισπραχθεί μετά από 5 χρόνια είναι: P V = 1.000 ( 1 + 0.10 ) 5 = 620 , 92 {\displaystyle PV={\frac {1.000}{(1+0.10)^{5}}}=620,92\,} Δηλαδή, για ένα πραγματικό ετήσιο επιτόκιο 10 %, 620,92 € σήμερα ισοδυναμούν με 1.000 € σε 5 χρόνια. Οι ταμειακές ροές προκύπτουν από την είσπραξη ή καταβολή ενός χρηματικού ποσού στο τέλος μιας περιόδου. Συνήθως, οι εισροές έχουν θετικό πρόσημο (το σύνολο των μετρητών αυξήθηκε) και οι εκροές έχουν αρνητικό (το σύνολο των μετρητών μειώθηκε). Οι ταμειακές ροές μιας περιόδου αντιπροσωπεύουν την καθαρή μεταβολή των μετρητών της ίδιας περιόδου. Για να υπολογίσουμε την καθαρή παρούσα αξία N P V {\displaystyle NPV} μιας σειράς ταμειακών ροών, βρίσκουμε την παρούσα αξία των ταμειακών ροών και τις προσθέτουμε.Για παράδειγμα, αν μια σειρά ταμειακών ροών αποτελείται από +100 € στο τέλος της 1ης περιόδου, -50 € στο τέλος της 2ης περιόδου και +35 € στο τέλος της 3ης περιόδου και το επιτόκιο ανά περίοδο ανατοκισμού είναι 5 % (0,05), τότε η παρούσα αξία αυτών των τριών ταμειακών ροών είναι: P V 1 = 100 ( 1 , 05 ) 1 = 95 , 24 {\displaystyle PV_{1}={\frac {100}{(1,05)^{1}}}=95,24\,} P V 2 = − 50 ( 1 , 05 ) 2 = − 45 , 35 {\displaystyle PV_{2}={\frac {-50}{(1,05)^{2}}}=-45,35\,} P V 3 = 35 ( 1 , 05 ) 3 = 30 , 23 {\displaystyle PV_{3}={\frac {35}{(1,05)^{3}}}=30,23\,} αντίστοιχαΆρα η καθαρή παρούσα αξία είναι: N P V = P V 1 + P V 2 + P V 3 = 100 ( 1 , 05 ) 1 + − 50 ( 1 , 05 ) 2 + 35 ( 1 , 05 ) 3 = 95 , 24 − 45 , 35 + 30 , 23 = 80 , 12 {\displaystyle NPV=PV_{1}+PV_{2}+PV_{3}={\frac {100}{(1,05)^{1}}}+{\frac {-50}{(1,05)^{2}}}+{\frac {35}{(1,05)^{3}}}=95,24-45,35+30,23=80,12} Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι: Οι περίοδοι μπορεί να μην είναι διαδοχικές. Σε αυτήν την περίπτωση, οι εκθέτες θα αντιστοιχούν στον κατάλληλο αριθμό περιόδων.Τα επιτόκια ανά περίοδο ανατοκισμού μπορεί να μην συμπίπτουν. Η προεξόφληση της ταμειακής ροής γίνεται χρησιμοποιώντας το επιτόκιο της συγκεκριμένης περιόδου: αν το επιτόκιο είναι διαφορετικό, γίνεται προεξόφληση του ποσού μέχρι την περίοδο όπου παρατηρείται η αλλαγή χρησιμοποιώντας το δεύτερο επιτόκιο και ξαναγίνεται προεξόφληση αυτού του ποσού μέχρι σήμερα εφαρμόζοντας το πρώτο επιτόκιο. Για παράδειγμα, αν η ταμειακή ροή για την 1η περίοδο είναι +100 € (με επιτόκιο 5 %) και για τη 2η περίοδο είναι +200 € (με επιτόκιο 10 %), τότε η καθαρή παρούσα αξία είναι: N P V = 100 ( 1 , 05 ) 1 + 200 ( 1 , 10 ) 1 ( 1 , 05 ) 1 = 95 , 24 + 173 , 16 = 268 , 40 {\displaystyle NPV={\frac {100}{(1,05)^{1}}}+{\frac {200}{(1,10)^{1}(1,05)^{1}}}=95,24+173,16=268,40} Το επιτόκιο πρέπει να συμπίπτει με την περίοδο ανατοκισμού. Εάν όχι, πρέπει να τροποποιηθεί είτε το επιτόκιο είτε η περίοδος. Για παράδειγμα, αν δίνεται το πραγματικό ετήσιο επιτόκιο i {\displaystyle i} , αλλά ο ταμειακές ροές είναι τριμηνιαίες, πρέπει να υπολογιστεί το τριμηνιαίο επιτόκιο, δηλαδή i 4 {\displaystyle {\frac {i}{4}}} . Χρονική αξία του χρήματος Luca Balma, Davide Pedron, Mathematica finanziaria, 2006.