Γραμμική απεικόνιση

Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων V {\displaystyle V} και W {\displaystyle W} επί του σώματος F {\displaystyle F} είναι μία συνάρτηση T : V → W {\displaystyle T:V\to W} η οποία ικανοποιεί T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) {\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)} , για κάθε u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} , και T ( α u ) = α T ( u ) {\displaystyle T(\alpha u)=\alpha T(u)} , για κάθε u ∈ V {\displaystyle u\in V} και α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} .Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση T ( α u + β v ) = α T ( u ) + β T ( v ) {\displaystyle T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)} , για κάθε u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} και α , β ∈ F {\displaystyle \alpha ,\beta \in F} .Αν οι διανυσματικοί χώροι V {\displaystyle V} και W {\displaystyle W} ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.

 Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση T : U → W {\displaystyle T:U\to W} : T ( 0 U ) = 0 W {\displaystyle T(0_{U})=0_{W}} . Για οποιαδήποτε n {\displaystyle n} διανύσματα u 1 , u 2 , … , u n ∈ V {\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\in V} και σταθερές α 1 , α 2 , … , α n ∈ F {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F} , ισχύει ότι T ( α 1 u 1 + … + α n u n ) = α 1 T ( u 1 ) + … + α n T ( u n ) {\displaystyle T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{n}T(u_{n})} . Η συνάρτηση T ( u ) = c ⋅ u {\displaystyle T(u)=c\cdot u} για u ∈ F {\displaystyle u\in F} είναι γραμμική. Η μηδενική συνάρτηση T ( u ) = 0 W {\displaystyle T(u)=0_{W}} είναι γραμμική. Για κάθε πίνακα A ∈ R n × n {\displaystyle A\in R^{n\times n}} η συνάρτηση T ( u ) = A u {\displaystyle T(u)=Au} είναι γραμμική (για U = W = R n {\displaystyle U=W=\mathbb {R} ^{n}} ). Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση T ( f ) = ∫ a b f ( t ) d t {\displaystyle T(f)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt} είναι γραμμική. Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων C ( R ) {\displaystyle C(\mathbb {R} )} η συνάρτηση T ( f ) = d d t f ( t ) {\displaystyle T(f)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}f(t)} είναι γραμμική. Σε κάθε διανυσματικό χώρο U {\displaystyle U} πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα. Έστω b 1 , … , b n {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}} μία βάση του διανυσματικού χώρου U {\displaystyle U} . Τότε κάθε διάνυσμα u ∈ U {\displaystyle u\in U} μπορεί να γραφτεί ως u = u 1 b 1 + … + u n b n {\displaystyle u=u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n}} ,για κάποια b 1 , … , b n ∈ F {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in F} . Επομένως για έναν μετασχηματισμό T : U → W {\displaystyle T:U\to W} έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι T ( u ) = T ( u 1 b 1 + … + u n b n ) = u 1 T ( b 1 ) + … + u n T ( b n ) {\displaystyle T(u)=T(u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n})=u_{1}T(b_{1})+\ldots +u_{n}T(b_{n})} .Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων [ ↑ ↑ T ( b 1 ) ⋯ T ( b n ) ↓ ↓ ] ⋅ u . {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&&{\Big \uparrow }\\T(b_{1})&\cdots &T(b_{n})\\{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {u} .} Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα T ( b 1 ) , … , T ( b n ) ∈ W {\displaystyle T(b_{1}),\ldots ,T(b_{n})\in W} δεν εξαρτώνται από το u {\displaystyle u} , επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό T {\displaystyle T} . Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του U {\displaystyle U} . Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία θ {\displaystyle \theta } από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης { ( 1 0 ) , ( 0 1 ) } . {\displaystyle \left\lbrace {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\rbrace .} Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι T ( 0 ) ↦ ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) , T ( 1 ) ↦ ( − sin ⁡ θ , cos ⁡ θ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}T(0)&\mapsto (\cos \theta ,\sin \theta ),\\T(1)&\mapsto (-\sin \theta ,\cos \theta ).\\\end{aligned}}} Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από R ( θ ) = [ ↑ ↑ T ( e 1 ) T ( e 2 ) ↓ ↓ ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] . {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&{\Big \uparrow }\\T(e_{1})&T(e_{2})\\{\Big \downarrow }&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}