Αναζήτηση μεγάλων πρώτων αριθμών

Η αναζήτηση μεγάλων πρώτων αριθμών ασχολείται με την εύρεση ολοένα και μεγαλύτερων αριθμών οι οποίοι διαθέτουν τις ιδιότητες των πρώτων αριθμών, δεν διαιρούνται δηλαδή με κανέναν άλλο αριθμό ως διαιρέτη τους παρά μόνο τον εαυτό τους και το 1. Παρότι έχει αποδειχθεί μαθηματικά ήδη κατά την αρχαιότητα από τον Ευκλείδη πως οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, η αναζήτηση ολοένα και μεγαλύτερων πρώτων αριθμών είναι διαχρονική, και εξακολουθούν να υπάρχουν πολλοί ερευνητές οι οποίοι συνεχίζουν να αναζητούν όλο και μεγαλύτερους πρώτους αριθμούς. Ειδικά με την συστηματική χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών από τα μέσα του 20ού αιώνα και έπειτα, ο ρυθμός και συχνότητα εύρεσης έχει αυξηθεί κατά πολύ σε σχέση με πριν. Οι περισσότεροι από τους μεγάλους πρώτους αριθμούς είναι πρώτοι αριθμοί Μερσέν της μορφής 2ν-1 (όπου και ο ν είναι πρώτος). Παρότι από την θεωρητική μαθηματική άποψη η εύρεση ολοένα και μεγαλύτερων αριθμών δεν έχει κάποια ιδιαίτερη σημασία, εκτός από την ανθρώπινη περιέργεια η αναζήτηση είναι χρήσιμη στην επιστήμη υπολογιστών ως προς την βελτιστοποίηση αλγορίθμων και ως προς την δοκιμή των δυνατοτήτων επεξεργαστικής δύναμης, ενώ χρησιμεύουν και για την εύρεση νέων τέλειων αριθμών βάσει του τύπου 2k-1(2k-1).

 Ήδη από τον 3ο αιώνα π.Χ. υπήρχε η μέθοδος του κόσκινου του Ερατοσθένη για την εύρεση μικρών πρώτων αριθμών, ενώ ο Ευκλείδης δημιούργησε το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής σύμφωνα με το οποίο ο κάθε αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο 2 πρώτων αριθμών εάν δεν είναι πρώτος ο ίδιος. Η σύγχρονη μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εύρεση μεγάλων πρώτων αριθμών είναι συνήθως ο γρήγορος μετασχηματισμός Φουριέ με υλοποίηση της εξέτασης πρώτου αριθμού Λούκας-Λέιμερ για πρώτους αριθμούς Μερσέν. Το 1997 ιδρύθηκε το εγχείρημα Μεγάλη διαδικτυακή αναζήτηση πρώτων αριθμών Μερσέν (Great Internet Mersenne Prime Search, GIMPS) το οποίο χρησιμοποιεί την κατανεμημένη υπολογιστική ισχύ χιλιάδων υπολογιστών παγκοσμίως οι οποίοι ανήκουν σε άτομα που συμμετέχουν εθελοντικά στο εγχείρημα και εγκαθιστούν την εφαρμογή στον υπολογιστή τους. Έως το 2018 μέσω του εγχειρήματος είχαν ανακαλυφθεί οι 16 μεγαλύτεροι πρώτοι αριθμοί Μερσέν. Ως επιβράβευση ο οργανισμός που διαχειρίζεται το εγχείρημα προσφέρει το ποσό των 3.000 δολαρίων ΗΠΑ στο άτομο του οποίου ο υπολογιστής θα βρει κάποιον νέο πρώτο αριθμό Μερσέν.Ο οργανισμός Electronic Frontier Foundation για την προάσπιση των διαδικτυακών ελευθεριών, προσφέρει επίσης βραβείο για την εύρεση μεγάλων πρώτων αριθμών με το ποσό των 150.000 δολαρίων εφόσον βρεθεί κάποιος ο οποίος αποτελείται από 100 εκατομμύρια ψηφία. Επιπλέον προσφέρει 250.000 δολάρια εάν βρεθεί πρώτος αριθμός αποτελούμενος από ένα δισεκατομμύριο ψηφία. Έως τον Δεκέμβριο του 2021 ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός ήταν ο 282.589.933 − 1, αριθμός που διαθέτει συνολικά 24.862.048 ψηφία. Ανακαλύφθηκε τον Δεκέμβριο του 2018 από το GIMPS. Η ιστορική εξέλιξη των μεγαλύτερων γνωστών πρώτων αριθμών είναι όπως παρακάτω. Όπου Mn= 2n − 1 ο αριθμός είναι πρώτος αριθμός Μερσέν. Σχετικά με τους αρχικούς γνωστούς μεγάλους πρώτους αριθμούς παρατίθενται μόνο όσοι έχουν αναφερθεί σε γραπτά, ανεξάρτητα από τις μεθόδους του Ευκλείδη (Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής) και του Ερατοσθένη (Κόσκινο του Ερατοσθένη). Από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο: Κατάλογος των μεγαλύτερων γνωστών πρώτων αριθμών - primes.utm.edu Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) - mersenne.org