Εξίσωση Ντιράκ

Η εξίσωση Ντιράκ, που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του θεωρητικού φυσικού Πολ Ντιράκ, είναι μία εξίσωση της σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής, η οποία περιγράφει σωματίδια με σπιν. Η πρώτη προσπάθεια για μία σχετικιστική εξίσωση στην κβαντική μηχανική κατέληξε στην εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον, μία γενίκευση της εξίσωσης Σρέντινγκερ. Το κίνητρο για τη δημιουργία της εξίσωσης Ντιράκ, ήταν να μπορέσει να αποφευχθεί η εμφάνιση αρνητικών ενεργειών μέσω της γραμμικοποίησης της εξίσωσης ως προς την παράγωγο του χρόνου, δηλαδή την ενέργεια. Η γραμμικοποίηση ως προς τον χρόνο επιτεύχθηκε, αλλά η ανάγκη ικανοποίησης της σχετικιστικής σχέσης για την ενέργεια E2=p2+m2 (c=1), επανεμφάνισε τις αρνητικές ενέργειες. Το κέρδος τελικά είναι ότι η νέα εξίσωση έχει λύσεις σε μορφή πινάκων, δηλαδή σε «πλουσιότερη» δομή και το σπιν προκύπτει αυθόρμητα μέσα από τις λύσεις της.

 Η γραμμικοποίηση της Κλάιν-Γκόρντον ως προς την χρονική παράγωγο, επιβάλει γραμμικοποίηση και στην κλίση (ανάδελτα), ώστε να είναι η εξίσωση σε συναλλοίωτη μορφή. Τελικά στην εξίσωση δόθηκε η γενική μορφή: i ∂ ψ ∂ t = ( − i α ⋅ ∇ + β m ) ψ {\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+\beta m\right)\psi } ή διαφορετικά: H ψ = ( α ⋅ P + β m ) ψ {\displaystyle H\psi =({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {P} +\beta m)\psi } η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί επί πλέον την σχετικιστική εξίσωση ενέργειας-ορμής (και εδώ είναι που εισέρχονται και πάλι οι αρνητικές ενέργειες): H 2 ψ = ( P 2 + m 2 ) ψ {\displaystyle H^{2}\psi =(\mathbf {P} ^{2}+m^{2})\psi } Οι σταθερές αi, i=1,2,3 και β, είναι αρχικά αυθαίρετες και καθορίζονται μετέπειτα από ιδιότητες που προκύπτουν από την εξίσωση για την ικανοποίηση της σχετικιστικής ενέργειας. Συγκεκριμένα ισχύει: H 2 ψ = ( α ⋅ P + β m ) 2 ψ = ( α i P i + β m ) ( α j P j + β m ) ψ = {\displaystyle H^{2}\psi =({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {P} +\beta m)^{2}\psi =(\alpha _{i}P_{i}+\beta m)(\alpha _{j}P_{j}+\beta m)\psi =} = ( α i 2 P i 2 + ( α i α j + α j α i ) P i P j + ( α i β + β α i ) P i m + β 2 m 2 ) ψ = {\displaystyle =(\alpha _{i}^{2}P_{i}^{2}+(\alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i})P_{i}P_{j}+(\alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i})P_{i}m+\beta ^{2}m^{2})\psi =} = ( P 2 + m 2 ) ψ {\displaystyle =(\mathbf {P} ^{2}+m^{2})\psi } Η τελευταία ισότητα φυσικά αποτελεί απαίτηση ώστε να δίνει η εξίσωσή μας, την σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής. Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν τα εξής: α i α j + α j α i = 0 ⇔ { α i , α j } = 0 , i ≠ j {\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0\Leftrightarrow \{\alpha _{i},\alpha _{j}\}=0\,\,,i\neq j} α i β + β α i = 0 ⇔ { α i , β } = 0 , i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle \alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0\Leftrightarrow \{\alpha _{i},\beta \}=0\,\,,i=1,2,3} α i 2 = 1 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=1} β 2 = 1 {\displaystyle \beta ^{2}=1} Συνεπώς προκύπτει ως συμπέρασμα από τις δύο πρώτες σχέσεις, ότι τα αi και β αντιμετατίθενται όλα μεταξύ τους και επομένως δεν είναι απλοί αριθμοί. Ιδιότητα μη μετάθεσης εμφανίζουν οι πίνακες και επομένως τα αi και ο β είναι πίνακες με τις παραπάνω ιδιότητες. Αποδεικνύεται ότι οι πίνακες αi και β, είναι ερμιτιανοί, άιχνοι (μηδενικό ίχνος πίνακα), έχουν άρτια διάσταση και ιδιοτιμές ±1 . Halzen, F., & Martin, A. D. (1984). Quarks and leptons: an introductory course in modern particle physics. New York: Wiley. Aitchison, I. J., & Hey, A. J. (2003). Gauge theories in particle physics (3rd ed.). New York: Taylor & Francis Group.