Ολοκλήρωμα Νταρμπού

Στα μαθηματικά, το ολοκλήρωμα Νταρμπού είναι ένας από τους υπάρχοντες ορισμούς του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης και πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Ζαν Γκαστόν Νταρμπού (Jean Gaston Darboux) ο οποίος και το ανακάλυψε. Το ολοκλήρωμα Νταρμπού είναι ισοδύναμο με το ολοκλήρωμα Ρίμαν. Αποδεικνύεται ότι μια συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη κατά Νταρμπού αν και μόνο αν είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν και οι τιμές των ολοκληρωμάτων, αν υπάρχουν είναι ίσες. Ωστόσο ο ορισμός του Νταρμπού θεωρείται πιο απλός από αυτόν του Ρίμαν.

 Αν έχουμε ένα κλειστό διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , τότε ονομάζουμε διαμέριση του [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} κάθε πεπερασμένο σύνολο: P = { a = x 0 , x 1 , … , x n = b } {\displaystyle P=\lbrace a=x_{0},\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{n}=b\rbrace } ,Τα άκρα a , b {\displaystyle a,b} του διαστήματος ανήκουν υποχρεωτικά στη διαμέριση και επομένως κάθε διαμέριση περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία. Επιπλέον, συνήθως υποθέτουμε ότι τα x 0 , x 1 , … , x n {\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}} είναι διατεταγμένα ως εξής x 0 < x 1 < … < x n {\displaystyle x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}} και για μια διαμέριση P θα γράφουμε: P = { a = x 0 < x 1 < … < x n = b } {\displaystyle P=\lbrace a=x_{0}\ <\ x_{1}\ <\ \ldots \ <\ x_{n}=b\rbrace } Με άλλα λόγια μια διαμέριση P = { a = x 0 < x 1 < … < x n = b } {\displaystyle P=\lbrace a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\rbrace } ενός διαστήματος [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , το χωρίζει σε n υποδιαστήματα: [ x k , x k + 1 ] , k = 0 , 1 , … n − 1 {\displaystyle [x_{k},\ x_{k+1}],\ k=0,1,\ldots n-1} που δεν έχουν όλα αναγκαστικά το ίδιο μήκος, δηλαδή τα σημεία x k {\displaystyle x_{k}} δεν απαιτούμε να ισαπέχουν. Ονομάζουμε πλάτος της διαμέρισης P τον αριθμό: ‖ P ‖ = m a x { x 1 − x 0 , … , x n − x n − 1 } {\displaystyle {\big \|}P{\big \|}=max\lbrace x_{1}-x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}-x_{n-1}\rbrace } ,δηλαδή το μεγαλύτερο από τα μήκη των υποδιαστημάτων. Αν έχουμε μια διαμέριση P = { a = x 0 < x 1 < … < x n = b } {\displaystyle P=\lbrace a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\rbrace } ενός διαστήματος [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , τότε ονομάζουμε μια άλλη διαμέριση Q εκλέπτυνση της P αν P ⊆ Q {\displaystyle P\subseteq Q} , δηλαδή αν η διαμέριση Q προκύπτει από την P με την προσθήκη (ίσως) μερικών σημείων. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι η Q είναι λεπτότερη από την P.Αν έχουμε δύο διαμερίσεις P 1 {\displaystyle P_{1}} και P 2 {\displaystyle P_{2}} ενός διαστήματος [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , τότε ονομάζουμε κοινή εκλέπτυνση των P 1 {\displaystyle P_{1}} και P 2 {\displaystyle P_{2}} κάθε άλλη διαμέριση P για την οποία ισχύει P 1 ⊆ P {\displaystyle P_{1}\subseteq P} και P 2 ⊆ P {\displaystyle P_{2}\subseteq P} . Δηλαδή κοινή εκλέπτυνση των P 1 {\displaystyle P_{1}} και P 2 {\displaystyle P_{2}} είναι μια διαμέριση λεπτότερη και από τις δύο. Είναι εύκολο να δούμε ότι η διαμέριση P = P 1 ∪ P 2 {\displaystyle P=P_{1}\cup P_{2}} είναι κοινή εκλέπτυνση των P 1 {\displaystyle P_{1}} και P 2 {\displaystyle P_{2}} και μάλιστα είναι η μικρότερη δυνατή. Θεωρούμε μια φραγμένη συνάρτηση f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } και μια διαμέριση P = { a = x 0 < x 1 < … < x n = b } {\displaystyle P=\lbrace a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\rbrace } του [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Η P διαμερίζει το [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} στα υποδιαστήματα:: [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , … , [ x k , x k + 1 ] , … [ x n − 1 , x n ] {\displaystyle [x_{0},\ x_{1}],[x_{1},\ x_{2}],\ \ldots ,\ [x_{k},\ x_{k+1}],\ \ldots \ [x_{n-1},\ x_{n}]} .Για κάθε ένα από τα υποδιαστήματα αυτά ορίζουμε τους αριθμούς: M k ( f , P ) = M k = s u p { f ( x ) | x k ≤ x ≤ x k + 1 } {\displaystyle M_{k}(f,\ P)=M_{k}=sup\lbrace f(x)|x_{k}\leq x\leq x_{k+1}\rbrace } και m k ( f , P ) = m k = i n f { f ( x ) | x k ≤ x ≤ x k + 1 } {\displaystyle m_{k}(f,\ P)=m_{k}=inf\lbrace f(x)|x_{k}\leq x\leq x_{k+1}\rbrace } Για κάθε διαμέριση P του [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ορίζουμε το άνω και το κάτω άθροισμα Νταρμπού ως εξής: U ( f , P ) = ∑ k = 0 n − 1 M k ( x k + 1 − x k ) {\displaystyle U(f,\ P)=\sum _{k=0}^{n-1}M_{k}(x_{k+1}-x_{k})} ,και L ( f , P ) = ∑ k = 0 n − 1 m k ( x k + 1 − x k ) {\displaystyle L(f,\ P)=\sum _{k=0}^{n-1}m_{k}(x_{k+1}-x_{k})} Για κάθε διαμέριση P ισχύει: L ( f , P ) ≤ U ( f , P ) {\displaystyle L(f,\ P)\leq U(f,\ P)} Ορίζουμε τώρα το άνω και το κάτω ολοκλήρωμα Νταρμπού ως εξής: ∫ a b ¯ f = s u p { U ( f , P ) | P {\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f=sup\lbrace U(f,\ P)|P} διαμέριση του [ a , b ] } {\displaystyle [a,\ b]\rbrace } ,και ∫ a b _ f = i n f { L ( f , P ) | P {\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f=inf\lbrace L(f,\ P)|P} διαμέριση του [ a , b ] } {\displaystyle [a,\ b]\rbrace } Η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη κατά Νταρμπού αν: ∫ a b ¯ f {\displaystyle {\overline {\int _{a}^{b}}}f} = ∫ a b _ f {\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f} Η κοινή τιμή του άνω και κάτω ολοκληρώματος Νταρμπού ονομάζεται ολοκλήρωμα της f και συμβολίζεται με: ∫ a b f {\displaystyle \int _{a}^{b}f} ή με ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} Ολοκλήρωμα Ρίμαν Ολοκλήρωμα Λεμπέγκ