Διακριτή ομοιόμορφη κατανομή

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η διακριτή ομοιόμορφη κατανομή U { a , b } {\displaystyle {\mathcal {U}}\{a,b\}} είναι μία διακριτή συνάρτηση κατανομής που περιγράφει το αποτέλεσμα της ομοιόμορφης δειγματοληψίας ενός τυχαίου αριθμού από το σύνολο { a , a + 1 , … , b } {\displaystyle \{a,a+1,\ldots ,b\}} .Για παράδειγμα, η ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού μοντελοποιείται ως U { 1 , 6 } {\displaystyle {\mathcal {U}}\{1,6\}} , δηλαδή κάθε ένα από αποτελέσματα { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}} έχουν ίση πιθανότητα ( 1 / 6 {\displaystyle 1/6} ) να βγουν. Αντίστοιχα, το στρίψιμο ενός νομίσματος μπορεί να μοντελοποιηθεί από την U { 0 , 1 } {\displaystyle {\mathcal {U}}\{0,1\}} και ο νικητήριος αριθμός του λαχνού.

 Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της X ∼ U { a , b } {\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}\{a,b\}} , δίνεται από την p X ( x ) = { 1 n αν a ≤ x ≤ b , 0 διαφορετικά . {\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{αν }}a\leq x\leq b,\\0&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}} Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι: E ⁡ [ X ] = ∑ x = a b 1 n ⋅ x = 1 n ⋅ ( b ⋅ ( b + 1 ) 2 − a ⋅ ( a − 1 ) 2 ) = 1 n ⋅ ( b 2 − a 2 + b + a 2 ) = 1 n ⋅ ( ( b − a ) ⋅ ( b + a + 1 ) 2 ) = 1 n ⋅ ( ( b − a + 1 ) ⋅ ( b + a ) 2 ) = ( b + a ) 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]=\sum _{x=a}^{b}{\frac {1}{n}}\cdot x&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {b\cdot (b+1)}{2}}-{\frac {a\cdot (a-1)}{2}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {b^{2}-a^{2}+b+a}{2}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {(b-a)\cdot (b+a+1)}{2}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {(b-a+1)\cdot (b+a)}{2}}\right)\\&={\frac {(b+a)}{2}},\end{aligned}}} χρησιμοποιώντας ότι ∑ i = 1 n i = 1 2 n ⋅ ( n + 1 ) {\textstyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {1}{2}}n\cdot (n+1)} . Για να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης, θα υπολογίσουμε την διακύμανση για την μεταβλητή Y = X − a + 1 {\displaystyle Y=X-a+1} και θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα, V ⁡ [ Y ] = V ⁡ [ X − a + 1 ] = V ⁡ [ X ] , {\displaystyle \operatorname {V} [Y]=\operatorname {V} [X-a+1]=\operatorname {V} [X],} και τον ορισμό V ⁡ [ Y ] = E ⁡ [ Y 2 ] − ( E ⁡ [ Y ] ) 2 . {\displaystyle \operatorname {V} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-(\operatorname {E} [Y])^{2}.} Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι: E ⁡ [ Y 2 ] = ∑ y = 1 n 1 n ⋅ y 2 = 1 n ⋅ 1 6 n ⋅ ( n + 1 ) ⋅ ( 2 n + 1 ) = 1 6 ( n + 1 ) ⋅ ( 2 n + 1 ) , {\displaystyle \operatorname {E} [Y^{2}]=\sum _{y=1}^{n}{\frac {1}{n}}\cdot y^{2}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{6}}n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)={\frac {1}{6}}(n+1)\cdot (2n+1),} χρησιμοποιώντας ότι ∑ i = 1 n i 2 = 1 6 n ⋅ ( n + 1 ) ⋅ ( 2 n + 1 ) {\textstyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {1}{6}}n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} . Επομένως, V ⁡ [ Y ] = 1 6 ( n + 1 ) ⋅ ( 2 n + 1 ) − 1 4 ( n + 1 ) 2 = n + 1 2 ⋅ n − 1 4 = n 2 − 1 12 . {\displaystyle \operatorname {V} [Y]={\frac {1}{6}}(n+1)\cdot (2n+1)-{\frac {1}{4}}(n+1)^{2}={\frac {n+1}{2}}\cdot {\frac {n-1}{4}}={\frac {n^{2}-1}{12}}.} Για t ≠ 1 {\displaystyle t\neq 1} , έχουμε ότι: E ⁡ [ t X ] = ∑ x = a b 1 n ⋅ t x = 1 n ⋅ t b − t a t − 1 , {\displaystyle \operatorname {E} [t^{X}]=\sum _{x=a}^{b}{\frac {1}{n}}\cdot t^{x}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {t^{b}-t^{a}}{t-1}},} χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου. Για t ≠ 0 {\displaystyle t\neq 0} , έχουμε ότι: E ⁡ [ e t x ] = ∑ x = a b 1 n ⋅ e t x = 1 n ⋅ e t b − e t a e t − 1 , {\displaystyle \operatorname {E} [e^{tx}]=\sum _{x=a}^{b}{\frac {1}{n}}\cdot e^{tx}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{e^{t}-1}},} χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου. Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι: E ⁡ [ − log 2 ⁡ X ] = ∑ x = a b − 1 n ⋅ log 2 ⁡ ( 1 n ) = − n ⋅ 1 n ⋅ log 2 ⁡ ( 1 n ) = log 2 ⁡ n . {\displaystyle \operatorname {E} [-\log _{2}X]=\sum _{x=a}^{b}-{\frac {1}{n}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{n}}\right)=-n\cdot {\frac {1}{n}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{n}}\right)=\log _{2}n.} Αυτή η κατανομή μεγιστοποιεί την εντροπία σε σχέση με όλες τις διακριτές κατανομές σε n {\displaystyle n} στοιχεία. Κατανομή Μπερνούλλι — Ειδική περίπτωση της διακριτής ομοιόμορφης κατανομής με δύο στοιχεία Ομοιόμορφη κατανομή (συνεχής) — Συνεχής εκδοχή της ομοιόμορφης κατανομής