Νόμος των εφαπτομένων

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο νόμος των εφαπτομένων σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } είναι η σχέση α − β α + β = tan ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) tan ⁡ ( 1 2 ( A + B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}} ,όπου α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } οι πλευρές απέναντι από τις κορυφές A {\displaystyle \mathrm {A} } και B {\displaystyle \mathrm {B} } .

 Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι α sin ⁡ A = β sin ⁡ B = d , {\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}=d,} όπου d {\displaystyle d} η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι και Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τους τριγωνομετρικούς τύπους για το άθροισμα και την διαφορά δύο ημιτόνων και Για να αποδείξουμε τον νόμο των εφαπτομένων ξεκινάμε από το αριστερό μέλος και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις (1) και (2), α − β α + β = d sin ⁡ A − d sin ⁡ B d sin ⁡ A + d sin ⁡ B = sin ⁡ A − sin ⁡ B sin ⁡ A + sin ⁡ B . {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {d\sin \mathrm {A} -d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {A} +d\sin \mathrm {B} }}={\frac {\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }}.} Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (3) και (4), έχουμε ότι α − β α + β = 2 sin ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A − B ) ) ⋅ cos ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A + B ) ) 2 sin ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A + B ) ) ⋅ cos ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A − B ) ) = sin ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A − B ) ) / cos ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A − B ) ) sin ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A + B ) ) / cos ⁡ ( 1 2 ⋅ ( A + B ) ) = tan ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) tan ⁡ ( 1 2 ( A + B ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}&={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)/\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}\\&={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}\end{aligned}}} ,που ολοκληρώνει την απόδειξη. Οι τύποι Mollweide είναι οι εξής α − β γ ⋅ cos ⁡ Γ 2 = sin ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)} ,και α + β γ ⋅ sin ⁡ Γ 2 = cos ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)} .Διαιρώντας και τους δύο τύπους κατά μέλη, έχουμε ότι α − β α + β ⋅ cot ⁡ Γ 2 = tan ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cot {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)} .Αφού A , B , Γ {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } } είναι γωνίες τριγώνου έχουμε ότι Γ = π − ( A + B ) {\displaystyle \mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )} . Χρησιμοποιώντας ότι tan ⁡ ϕ = tan ⁡ ( π − ϕ ) {\displaystyle \tan \phi =\tan(\pi -\phi )} , λαμβάνουμε ότι α − β α + β = tan ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) tan ⁡ ( 1 2 ( A + B ) ) {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}} . Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu Νόμος των ημιτόνων Νόμος των συνημιτόνων