Ορθογώνιο τρίγωνο

Στην γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι το τρίγωνο του οποίου μία γωνία είναι ορθή. Οι πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται κάθετες πλευρές και η απέναντί της λέγεται υποτείνουσα του ορθογώνιου τριγώνου.

 Ξεκινάμε με κάποιες βασικές ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων: Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών, δηλαδή E = 1 2 ⋅ A B ⋅ A Γ . {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {A\Gamma } .} Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. Από αυτή την ιδιότητα προκύπτει ότι το μέσο της υποτείνουσας είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, που έχει ακίνα R = 1 2 B Γ {\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } } .Το ορθόκεντρο του τριγώνου ταυτίζεται με την κορυφή A {\displaystyle \mathrm {A} } . Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει ακτίνα ρ = α + β − γ 2 = β ⋅ γ α + β + γ {\displaystyle \rho ={\tfrac {\alpha +\beta -\gamma }{2}}={\tfrac {\beta \cdot \gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}} και έγκεντρο του τριγώνου έχει συντεταγμένες ( ρ , ρ ) {\displaystyle (\rho ,\rho )} στο ορθοκανονικό σύστημα με αρχή το A {\displaystyle \mathrm {A} } και άξονες παράλληλους στις πλευρές A B {\displaystyle \mathrm {AB} } και A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } . Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με ορθή την A {\displaystyle \mathrm {A} } και το ύψος A A ′ {\displaystyle \mathrm {AA'} } που αντιστοιχεί σε αυτή. Τότε, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις::192-197:69-71:109-113:363-369 A B 2 = A ′ B ⋅ B Γ {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {A'B} \cdot \mathrm {B\Gamma } } και A Γ 2 = A ′ Γ ⋅ B Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {A'\Gamma } \cdot \mathrm {B\Gamma } } . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον B ^ < 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}<90^{o}} και Γ ^ < 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}<90^{o}} . (Πυθαγόρειο Θεώρημα) B Γ 2 = A B 2 + A Γ 2 {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } ^{2}=\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}} (ή αντίστοιχα α 2 = β 2 + γ 2 {\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}} ). Ισχύει και το αντίστροφο. u a 2 = A A ′ 2 = B A ′ ⋅ Γ A ′ {\displaystyle u_{a}^{2}=\mathrm {AA'} ^{2}=\mathrm {BA'} \cdot \mathrm {\Gamma A'} } . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον B ^ < 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}<90^{o}} και Γ ^ < 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}<90^{o}} . A B ⋅ A Γ = A A ′ ⋅ B Γ {\displaystyle \mathrm {AB} \cdot \mathrm {A\Gamma } =\mathrm {AA'} \cdot \mathrm {B\Gamma } } . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον B ^ < 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}<90^{o}} και Γ ^ < 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}<90^{o}} . 1 A B 2 + 1 A Γ 2 = 1 A A ′ 2 {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {A} \mathrm {B} ^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {A} \Gamma ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {AA'} ^{2}}}} . Ισχύει και το αντίστροφο αν επιπλέον B ^ < 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}<90^{o}} και Γ ^ < 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}<90^{o}} . Ακολουθούν τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων::62-63 Κριτήριο πλευράς-πλευράς: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα. Κριτήριο πλευράς-προσκείμενης οξείας: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία πλευρά και την προσκείμενη οξεία γωνία ίσα τότε είναι ίσα. Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες: Η κάθετη πλευρά που αντιστοιχεί στην γωνία 60° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Το τρίγωνο A M B {\displaystyle \mathrm {AMB} } ειναι ισόπλευρο. Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα 1 {\displaystyle 1} , 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} και 2 {\displaystyle 2} . Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες: Οι προσκείμενες γωνίες είναι 45°. Η υποτείνουσα έχει μήκος x 2 {\displaystyle x{\sqrt {2}}} αν x {\displaystyle x} το μήκος των δύο κάθετων πλευρών. Το εμβαδόν του είναι 1 2 x 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}} . Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το A B Δ Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Delta \Gamma } } στο σχήμα). Το Τρίγωνο του Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Προκύπτει ότι τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα ως προς τα 1 {\displaystyle 1} , ϕ {\displaystyle {\sqrt {\phi }}} και ϕ {\displaystyle \phi } , όπου ϕ {\displaystyle \phi } είναι ο χρυσός λόγος. Το ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιείται στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας ϕ {\displaystyle \phi } . Πιο συγκεκριμένα, για την γωνία ϕ ∈ ( 0 , 90 o ) {\displaystyle \phi \in (0,90^{o})} , ισχύει ότι sin ⁡ ϕ = απέναντι κάθετη υποτείνουσα {\displaystyle \sin \phi ={\frac {\text{απέναντι κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}}} και cos ⁡ ϕ = προσκείμενη κάθετη υποτείνουσα {\displaystyle \cos \phi ={\frac {\text{προσκείμενη κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}}} . Η σπείρα του Θεόδορου είναι μία σπείρα που κατασκευάζεται από ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετη πλευρά μήκους 1 {\displaystyle 1} (και υποτείνουσας μήκους 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ). Το επόμενο τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου και άλλη κάθετη πλευρά μήκους 1 {\displaystyle 1} . Επομένως, έχει υποτεινουσα μήκους 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} . Στην γενική περίπτωση, το ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -οστό τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μία άλλη μήκους 1 {\displaystyle 1} . Επαγωγικά προκύπτει ότι το μήκος της υποτείνουσάς του είναι n 2 + 1 2 = n + 1 {\textstyle {\sqrt {{\sqrt {n}}^{2}+1^{2}}}={\sqrt {n+1}}} . Τα ορθογώνια τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πλακοστρώσεις του επιπέδου. Για παράδειγμα, η πλακόστρωση pinwheel δίνει έναν μη-περιοδικό τρόπο να πλακοστρωθεί το επίπεδο. Πυθαγόρειες τριάδες ονομάζονται οι τριάδες ακεραίων αριθμών ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} τέτοιες ώστε c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} . Διαδραστική εφαρμογή για την επίλυση ορθογωνίου τριγώνου Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Κηπουρός Χρήστος (1991). «Υπολογισμός στοιχείων ορθογωνίου τριγώνου». Ευκλείδης Β΄ (4): 21-24. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3421. Domenico, Angelo Di (Ιουλίου 2005). «89.41 The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means». The Mathematical Gazette 89 (515): 261–261. doi:10.1017/S0025557200177769. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-07_89_515/page/261. Brown, Peter G. (Μαρτίου 2011). «Rays in a right triangle». The Mathematical Gazette 95 (532): 126–127. doi:10.1017/S0025557200002552. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2011-03_95_532/page/126. Darvasi, Gyula (2003). «A Unique Property of Right-Angled Triangles». The Mathematical Gazette 87 (508): 51-59. https://www.jstor.org/stable/3620564. Hiroshi Okumura; Masayuki Watanabe (2006). «90.26 A Right Triangle Inscribed in a Similar Right Triangle». The Mathematical Gazette 90 (517): 138-141. https://www.jstor.org/stable/3621439. Tien, Li C. (Απριλίου 2009). «Right Triangle». The Mathematical Intelligencer 31 (2): 50–50. doi:10.1007/s00283-009-9045-y. Τρίγωνο Τριγωνομετρία Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Πυθαγόρεια τριάδα Ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο