Ακολουθίες του Κωσύ

Στα μαθηματικά μια Ακολουθία του Κωσύ (γαλλικά: suite de Cauchy, [koʃi], αγγλικά: Cauchy sequence, /ˈkoʊʃi), που ονομάστηκε έτσι προς τιμή του γάλλου μαθηματικού Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι μια ακολουθία της οποίας τα στοιχεία έχουν όλο και μικρότερη απόσταση όσο η ακολουθία εξελίσσεται. Πιο συγκεκριμένα, δίνεται οποιαδήποτε μικρή θετική απόσταση, σχεδόν ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων της ακολουθίας είναι μικρότερη από την δεδομένη απόσταση ο ένας από τον άλλο. Η χρησιμότητα των ακολούθιων Κωσύ (που είναι γνωστές όλες αυτές οι ακολουθίες να συγκλίνουν σε ένα όριο) έγκειται στο γεγονός ότι σ' ένα πλήρη μετρικό χώρο το κριτήριο σύγκλισης εξαρτάται μόνο από τους όρους της ίδιας της ακολουθίας, αντίθετα με τον ορισμό της σύγκλισης που χρησιμοποιεί την οριακή τιμή, καθώς και τους όρους. Συχνά χρησιμοποιούνται σε αλγόριθμους, τόσο θεωρητικα και εφαρμοσμένα,όπου μια επαναληπτική διαδικασία μπορεί να σχετικά εύκολα να παράγει μια ακολουθία Κωσύ , που αποτελείται από τις επαναλήψεις, εκπληρώνοντας έτσι μια λογική κατάσταση, όπως τερματισμός. Οι παραπάνω έννοιες δεν είναι τόσο άγνωστες όσο φαίνονται αρχικά. Η συνήθης αποδοχή του γεγονότος ότι κάθε πραγματικός αριθμός x έχει μια δεκαδική επέκταση αποτελεί έμμεση παραδοχή ότι μια συγκεκριμένη ακολουθία Κωσύ ρητών αριθμών (οι όροι της οποίας είναι οι διαδοχικές αποκοπές δεκαδικής επέκτασης του x) έχει ένα πραγματικό όριο x.Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να είναι δύσκολο να περιγραφεί ο x ανεξάρτητα από το ότι μια τέτοια περιορισμένη διαδικασία περιλαμβάνει ρητούς αριθμούς. Γενικεύσεις των ακολουθιών Κωσύ σε πιο αφηρημένους ενιαίους χώρους υπάρχουν με τη μορφή των φίλτρων Κωσύ και δικτύων Κωσύ .

 Μία πραγματική ακολουθία ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} είναι Κωσύ αν και μόνο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει | x n − x m | < ε {\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<\varepsilon } . όπου οι κατακόρυφες ράβδοι υποδηλώνουν την απόλυτη τιμή. Με παρόμοιο τρόπο μπορεί κανείς να ορίσει ακολουθίες Κωσύ των ρητών ή μιγαδικών αριθμών. Ο Κωσύ διατύπωσε μια τέτοια κατάσταση απαιτώντας x m − x n {\displaystyle x_{m}-x_{n}} να είναι απειροελάχιστη για κάθε ζεύγος άπειρων m, n. Μία ακολουθία ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ορισμένη στον μετρικό χώρο (Μ, d) είναι ακολουθία Κωσύ ανν για κάθε ε > 0 υπάρχει φυσικός Ν τέτοιος ώστε για κάθε n, m > N ισχύει d ( x n , x m ) < ε {\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon } . Σε γενικές γραμμές, οι όροι της ακολουθίας έρχονται όλο και πιο κοντά μεταξύ τους με τρόπο που να δείχνει ότι η ακολουθία θα έπρεπε να έχει όριο στο Μ. Παρ 'όλα αυτά, το εν λόγω όριο δεν υπάρχει πάντα. Οι ακολουθίες Κωσύ δεν είναι αναγκαστικά συγκλίνουσες. Ένας μετρικός χώρος στον οποίο κάθε ακολουθία Κωσύ είναι και συγκλίνουσα ονομάζεται πλήρης. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι πλήρης σύμφωνα με το μετρικό που επάγεται από τη συνήθη απόλυτη τιμή, και μία από τις τυποποιημένες κατασκευές των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνει ακολουθίες Κωσύ ρητών αριθμών. Ένα μάλλον διαφορετικό τύπο παραδείγματος παρέχεται από ένα μετρικό χώρο ο οποίος έχει την διακριτή μετρική (όπου οποιαδήποτε δύο διακριτά σημεία βρίσκονται σε απόσταση 1 από το άλλο). Κάθε ακολουθία Κωσύ των στοιχείων του πρέπει να είναι σταθερή πέρα από κάποιο σταθερό σημείο, και συγκλίνει στον ενδεχόμενο επανάληπτικό όρο. Η ρητοί αριθμοί Q δεν είναι πλήρης (για τη συνήθη απόσταση): Υπάρχουν ακολουθίες ρητών που συγκλίνουν (in R) σε άρρητους αριθμούς. Αυτες είναι Κωσύ ακολουθίες που δεν έχουν κανένα όριο στο Q. Στην πραγματικότητα, εάν ένας πραγματικός αριθμός x είναι άρρητος, τότε η ακολουθία ( x n {\displaystyle x_{n}} ), της οποίας, ο νιοστός όρος είναι η περικοπή στις θέσεις n ψηφίων της δεκαδικής επέκτασης του x δίνει μια ακολουθία Κωσύ ρητών αριθμών με άρρητο όριο x. Οι άρρητοι αριθμοί σίγουρα υπάρχουν, για παράδειγμα: Η ακολουθία που ορίζεται από: x 0 = 1 , x n + 1 = x n + 2 x n 2 {\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {2}{x_{n}}}}{2}}} αποτελείται από ρητούς αριθμούς (1, 3/2, 17/12,...) η οποία προκύπτει από τον ορισμό. Ωστόσο, συγκλίνει στην άρρητη τετραγωνική ρίζα του δύο, (δείτε Βαβυλωνιακή μέθοδος υπολογισμού τετραγωνικής ρίζας). Η ακολουθία x n = F n / F n − 1 {\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}\,} των διαδοχικών αναλογιών αριθμοί Fibonacci οι οποίοι,αν δεν συγκλιίνει ή συγκλίνει σε ένα όριο ϕ {\displaystyle \phi } ικανοποιώντας ϕ 2 = ϕ + 1 {\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1} ,και κανένας ρητός αριθμός δεν έχει αυτή την ιδιότητα. Αν κάποιος θεωρεί ότι αυτό ως μια ακολουθία πραγματικών αριθμών, που ωστόσο, συγκλίνει προς τον πραγματικό αριθμό φ = ( 1 + 5 ) / 2 {\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2} , την Χρυσή Τομή, η οποία είναι παράλογη. Οι τιμές της εκθετικής, του ημιτόνου και του συνημιτόνου συναρτήσεις, exp(x), sin(x), cos(x), είναι γνωστές ως μη λογικές για κάθε λογική τιμή του x≠0, αλλά κάθε μία μπορεί να οριστεί ως το όριο μιας ορθολογικής ακολουθίας Κωσύ , χρησιμοποιώντας, για παράδειγμα, οι σειρές Μακλωρέν. Θεωρούμε την ακολουθία x n = F n + 1 / F n {\displaystyle x_{n}=F_{n+1}/F_{n}} στον, όπου F n , n = 1 , 2 , . . {\displaystyle F_{n},n=1,2,..} οι αριθμοί Φιμπονάτσι. Οι όροι της ακολουθίας x n {\displaystyle x_{n}} είναι ρητοί αριθμοί. Στον χώρο των πραγματικών αριθμών η ακολουθία αυτή συγκλίνει στη χρυσή τομή ϕ = ( 1 + 5 ) / 2 {\displaystyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2} . Στον χώρο των ρητών αριθμών η ακολουθία αυτή δε συγκλίνει, αφού το φ είναι άρρητος, είναι όμως Κωσύ. Το ανοικτό σύνολο X = ( 0 , 2 ) {\displaystyle X=(0,2)} του συνόλου των πραγματικών αριθμών με μία συνήθη απόσταση στο R δεν είναι πλήρης χώρος: υπάρχει μία ακολουθία x n = 1 / n {\displaystyle x_{n}=1/n} σε αυτό, η οποία είναι Κωσύ (για αυθαίρετα μικρή απόσταση δεσμευμένο d > 0 {\displaystyle d>0} όλοι οι όροι x n {\displaystyle x_{n}} of n > 1 / d {\displaystyle n>1/d} ταιριάζουν στο ( 0 , d ) {\displaystyle (0,d)} ανοικτό), ωστόσο δε συγκλίνουν στο X— 'όριο', του αριθμού 0, δεν ανήκει στον χώρο X. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία(με όριο s, λέμε) ότι είναι ακολουθία Κωσύ , αν , για κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό ε > 0, πέρα από κάποιο σταθερό σημείο,κάθε όρος της ακολουθίας βρίσκεται σε κοντινή απόσταση μεταξύ του ε/2 και του s, έτσι ώστε οποιοιδήποτε δύο όροι της ακολουθίας βρίσκονται σε κοντινή απόσταση ε μεταξύ τους. Κάθε Κωσύ ακολουθία πραγματικών(ή μιγαδικών) αριθμών είναι φραγμένη (από μερικούς N, όλοι οι όροι της ακολουθίας από τον N-οστό απέχουν απόσταση ίση με 1 ο ένας από τον άλλο,και αν το Mη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή των όρων συμπεριλαμβανομένου και του N-οστού, τότε κανένας όρος της ακολουθίας δεν έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τον M+1). Σε ένα μετρικό χώρο, μία Κωσύ ακολουθία η οποία συγκλίνει σε μία υπακολουθία με όριο s είναι η ίδια η συγκλίνουσα (με το ίδιο όριο), δεδομένου ότι κάθε πραγματικός αριθμός r > 0,πέρα κάποιο σταθερό σημείο στην αρχική ακολουθία, κάθε όρος της υπακολουθίας βρίσκεται σε κοντινή απόσταση r/2 από το s, και κάθε δύο όρων της αρχικής ακολουθίας βρίσκονται σε κοντινή απόσταση r/2 ο ένας από τον άλλο, έτσι κάθε όρος της αρχικής ακολουθίας βρίσκεται σε κοντινή απόσταση r από το s.Αυτές οι δύο τελευταίες ιδιότητες, μαζί με ένα λήμμα που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη του Θεωρήματος Μπολζάνο-Βάιερστρας, να δώσει μία τυπική απόδειξη της πληρότητας των πραγματικών αριθμών, στενά συνδεδεμένη τόσο με το θεώρημα Μπολζάνο-Βάιερστρας και το Θεώρημα Χάινε–Μπορέλ. Το εν λόγω λήμμα δηλώνει ότι κάθε φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει μία συγκλίνουσα υπακολουθία. Δεδομένου του γεγονότος αυτού, κάθε Κωσύ ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία, και ως εκ τούτου, είναι η ίδια η συγκλίνουσα. Θα πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι αυτή η απόδειξη της πληρότητας των πραγματικών αριθμών καθιστά εμμέσως απαραίτητη τη χρήση του αξιώματος του ελαχίστου άνω φράγματος. Η εναλλακτική προσέγγιση, που αναφέρθηκε παραπάνω, της κατασκευής δηλαδή των πραγματικών αριθμών ως την πληρότητα των ρητών αριθμών, καθιστά την πληρότητα των πραγματικών αριθμών ταυτολογία. Μία από τις τυποποιημένες απεικονίσεις έχουν το πλεονέκτημα ότι είναι σε θέση να εργαστούν με Κωσύ ακολουθίες και κάνοντας χρήση της πληρότητας η οποία παρέχεται από την εξέταση του αθροίσματος των άπειρων σειρών των πραγματικών αριθμών (ή, πιο γενικά στοιχεία όποιουδήποτε πλήρη νορμικού γραμμικού χώρου, η Χώρου Banach ). Τέτοιες σειρές ∑ n = 1 ∞ x n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}} θεωρούμε ότι συγκλίνουν αν και μόνον αν η συγκλίνει η ακολουθία του μερικού αθροίσματος ( s m ) {\displaystyle (s_{m})} , όπου s m = ∑ n = 1 m x n {\displaystyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}} . Είναι ένα θέμα ρουτίνας για να προσδιοριστεί αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι Κωσύ ή όχι,δεδομένου ότι για τους θετικούς ακέραιουςp > q s p − s q = ∑ n = q + 1 p x n . {\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.} Αν f : M → N {\displaystyle f\colon M\rightarrow N} είναι ομοιόμορφα συνεχής χάρτης μεταξύ των μετρικών χώρων M και N και η (xn) είναι μία ακολουθία Κωσύ στον M, τότε ( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} είναι μία ακολουθία Κωσύ στον N. Αν ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} και ( y n ) {\displaystyle (y_{n})} είναι δύο ακολουθίες Κωσύ στους πραγματικούς και στους μιγαδικούς αριθμούς, τότε το άθροισμα ( x n + y n ) {\displaystyle (x_{n}+y_{n})} και το γινόμενο ( x n y n ) {\displaystyle (x_{n}y_{n})} είναι επίσης Κωσύ ακολουθίες. Σε τοπολογικούς Διανυσματικούς Χώρους Υπάρχει επίσης μια έννοια της ακολουθίας Κωσύ για ένα τοπολογικό διανυσματικό χώρο X {\displaystyle X} : διαλέγωντας μια βάση B {\displaystyle B} για τον X {\displaystyle X} κοντά στο 0, τότε ( x k {\displaystyle x_{k}} ) είναι ακολουθία Κωσύ αν για κάθε V ∈ B {\displaystyle V\in B} υπάρχει N {\displaystyle N} τ.ω. οποτεδήποτε n , m > N , x n − x m {\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}} είναι στοιχείο του V. Σε τοπολογικές ομάδες Δεδομένου ότ ορισμιός για την Κωσύ ακολουθία, ενός τοπολογικου διανυσματικού χώρου, μόνο να υπάρχει μια συνεχής «αφαίρετική» λειτουργία, μπορεί κάλλιστα να φέρεται στο πλαίσιο μιας Δεδομένου ότι ο ορισμός τοπολογικού διανυσματικού χώρου ως προς μια Κωσύ ακολουθία απαιτεί μόνο να υπάρχει μια συνεχής λειτουργία «αφαίρεσης», μπορεί κάλλιστα να αναφέρεται στο πλαίσιο μιας τοπολογικής ομάδας: Μια ακολουθία ( x k {\displaystyle x_{k}} ) σε μια τοπολογική ομάδα G {\displaystyle G} είναι μια ακολουθία Κωσύ αν για κάθε ανοικτή περιοχή U {\displaystyle U} της ταυτοτικής στο G {\displaystyle G} υπάρχει κάποιος αριθμός N {\displaystyle N} τέτοιος ώστε κάθε φορά m , n > N {\displaystyle m,n>N} έπεται ότι x n x m − 1 ∈ U {\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U} . Όπως και στην κατασκευή της ολοκλήρωσης του μετρικού χώρου, μπορεί κανείς να καθορίσει περαιτέρω την δυαδική σχέση επί ακολουθιών Κωσύ σε G {\displaystyle G} αυτό ( x k ) {\displaystyle (x_{k})} και ( y k ) {\displaystyle (y_{k})} είναι ισοδύναμες αν για κάθε ανοιχτή περιοχή U {\displaystyle U} της ταυτότικής G {\displaystyle G} εκεί υπάρχει κάποιος αριθμός N {\displaystyle N} τέτοιος ώστε, όποτε m , n > N {\displaystyle m,n>N} προκύπτει ότι x n y m − 1 ∈ U {\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U} . Αυτή η σχέση είναι μια σχέση ισοδυναμίας: Είναι αντανακλαστικές δεδομένου ότι οι ακολουθίες είναι Κωσύ ακολουθίες. Είναι συμμετρικό από το οποίο y n x m − 1 = ( x m y n − 1 ) − 1 ∈ U − 1 {\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}} από τη συνέχεια του αντίστροφου είναι άλλη μία ανοιχτή περιοχή της ταυτότητικής G {\displaystyle G} . Είναι μεταβατικό αφού x n z l − 1 = x n y m − 1 y m z l − 1 ∈ U ′ U ″ {\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''} όπου U ′ {\displaystyle U'} και U ″ {\displaystyle U''} να είναι ανοικτές περιοχές της ταυτοτικής όπως U ′ U ″ ⊆ U {\displaystyle U'U''\subseteq U} ότι υπάρχουν τέτοια ζεύγη από τη συνέχεια της λειτουργίας της ομάδας. Σε ομάδες Υπάρχει επίσης μια έννοια της Κωσύ ακολουθίας σε μια ομάδα G {\displaystyle G} : Έστω H = ( H r ) {\displaystyle H=(H_{r})} είναι μια φθίνουσα ακολουθία κανονικών υποομάδων της G {\displaystyle G} με πεπερασμένο δείκτη. Στη συνέχεια, μια ακολουθία ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} στη G {\displaystyle G} λέγεται ότι είναι Κωσύ αν και μόνο αν για κάθε r {\displaystyle r} υπάρχει N {\displaystyle N} τέτοιο ώστε ∀ m , n > N , x n x m − 1 ∈ H r . {\displaystyle \forall m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.} Από τεχνική άποψη, αυτό είναι το ίδιο πράγμα με μια τοπολογική ομάδα Κωσύ ακολουθία για μια συγκεκριμένη επιλογή της τοπολογίας και στο G {\displaystyle G} εξής, δηλαδή για το οποίο H {\displaystyle H} είναι μια τοπική βάση. Υπάρχει επίσης μια έννοια Κωσύ αλληλουχίας σε μια ομάδα: Το σύνολο C {\displaystyle C} αυτών των ακολουθιών Κωσύ σχηματίζει μία ομάδα (για το προϊόν componentwise), και το σύνολο C 0 {\displaystyle C_{0}} των αλληλουχιών null (s.th. ∀ r , ∃ N , ∀ n > N , x n ∈ H r {\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}} ) είναι μια φυσιολογική υποομάδα C {\displaystyle C} . Η ομάδα που ονομάζεται C / C 0 {\displaystyle C/C_{0}} παράγοντας την ολοκλήρωση της G {\displaystyle G} σε σχέση με την H {\displaystyle H} . Κάποιος μπορεί στη συνέχεια δείχνουν ότι αυτή η ολοκλήρωση είναι ισόμορφο στο όριο αντίστροφο της ακολουθίας ( G / H r ) {\displaystyle (G/H_{r})} . Ένα παράδειγμα αυτής της κατασκευής, γνωστό στη θεωρία των αριθμών και αλγεβρική γεωμετρία είναι η κατασκευή της πι-αδικής ολοκλήρωσης των ακεραίων σε σχέση με ένα πρώτο p. Σε αυτή την περίπτωση, το G {\displaystyle G} είναι οι ακέραιοι υπό συνθήκη, και H r {\displaystyle H_{r}} είναι το πρόσθετο υποομάδα που αποτελείται από ακέραια πολλαπλάσια του pr. Εάν H {\displaystyle H} είναι ένα cofinal αλληλουχία (δηλαδή, οποιαδήποτε κανονική υποομάδα των πεπερασμένων δείκτη περιέχει μερικά H r {\displaystyle H_{r}} ), τότε αυτή η ολοκλήρωση είναι κανονική, με την έννοια ότι είναι ισόμορφη στο όριο αντίστροφο του ( G / H ) H {\displaystyle (G/H)_{H}} , όπου H {\displaystyle H} μεταβάλλεται πάνω από όλες τις κανονικές υποομάδες των πεπερασμένων δείκτη. Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλέπε κεφ. I.10 στο "Άλγεβρα" του Σερζ Λανγκ. Μία πραγματική ακολουθία ⟨ u n : n ∈ N ⟩ {\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle } έχει μία φυσική υπερπραγματική επέκταση, ορισμένη για υπερπραγματικες τιμές H του δείκτη n εκτός από τη συνήθη φυσική n. Η ακολουθία του Κωσύ αν και μόνον αν για κάθε άπειρη Η και K, τις τιμές και είναι απείρως κοντά, δηλαδή για κάθε άπειρο H and K, οι τιμές u H {\displaystyle u_{H}} και u K {\displaystyle u_{K}} είναι απείρως κοντά. s t ( u H − u K ) = 0 {\displaystyle \,\mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0} όπου "st" είναι η συνήθης μερική συνάρτηση. Σοφία Ζαφειρίδου (2012). Γενική Τοπολογία II (PDF). Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών. σελ. 18. Θέμης Μήτσης (2012). Σημειώσεις για τα Μαθήματα "Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ" (PDF). Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Ηρακλείου. σελ. 21. ↑ «εξελίσσεται».