Ευκλείδειο διάνυσμα

Ευκλείδειο διάνυσμα ή απλά διάνυσμα ή άνυσμα καλείται γενικά το προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα επί του οποίου παριστάνονται τόσο στα μαθηματικά όσο και στις Φυσικές επιστήμες ιδίως στη Μηχανική διάφορα μεγέθη (δύναμης, ταχύτητας, ροπής κλπ) περιέχοντας συνάμα και τις έννοιες της διεύθυνσης και της φοράς. Υπάρχουν ορισμένα μεγέθη όπως η μάζα, η θερμοκρασία και η απόσταση τα οποία προσδιορίζονται μόνο με το μέτρο τους, (στη φυσική χρειάζεται και η κατάλληλη μονάδα μέτρησης). Τα μεγέθη αυτά ονομάζονται μονόμετρα ή βαθμωτά. Υπάρχουν όμως και μεγέθη όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η ορμή, η μετατόπιση κ.α. τα οποία για να προσδιοριστούν επακριβώς δεν είναι αρκετό να γνωρίζουμε μόνο το μέτρο τους (και τη μονάδα μέτρησης). Αυτά τα μεγέθη για να τα προσδιορίσουμε χρειάζεται να ξέρουμε επιπλέον και τη διεύθυνσή τους στο χώρο και τη φορά τους. Τέτοια μεγέθη ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη ή και, απλώς, διανύσματα.

 Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από την στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. Από την αρχαιότητα ήταν γνωστός με διάφορες μορφές ο κανόνας του παραλληλογράμμου στους Έλληνες επιστήμονες, σύμφωνα με τον οποίο το μέτρο και κατεύθυνση δύο δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα εκφράζονται με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν. Η αποδοχή και η συστηματική χρήση των αρνητικών αριθμών στα μαθηματικά και η μελέτη μεγεθών όπως η ταχύτητα, η δύναμη και η ορμή που χαρακτηρίζονται τόσο από το μέτρο τους όσο και από την κατεύθυνσή τους στο χώρο έφεραν στο προσκήνιο την έννοια του προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος και της προσανατολισμένης κίνησης, ιδέες που συναντώνται το 17o αιώνα στα έργα των Ισαάκ Νεύτων (Νιούτον) και G. W. Leibniz (Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς). Η ανάπτυξη ενός συστηματικού λογισμού με προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα άρχισε για να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία στους αρνητικούς αριθμούς αλλά και για να βρεθεί ένας τρόπος αναλυτικής έκφρασης του μήκους και της διεύθυνσης των ευθυγράμμων τμημάτων. Σημαντικό είναι το έργο των Κάσπαρ Βέσελ (C. Wessel) και Ζαν Ρομπέρ Αργκάν (R. Argand) στον ορισμό των πράξεων με τυχαία τμήματα του επιπέδου. Στις εργασίες τους υπάρχουν οι βασικές ιδέες του σημερινού Διανυσματικού Λογισμού. Η ουσιαστική ανάπτυξη όμως του πεδίου αυτού ξεκινά αργότερα με τη γενίκευση των πιο πάνω ιδεών στο τρισδιάστατο χώρο και με τη θεμελίωση μιας γενικής μαθηματικής θεωρίας με τα έργα των Ουίλιαμ Χάμιλτον (W. Hamilton) και Χέρμαν Γκράσσμαν (H. Grassmann). Κατά το 19ο αιώνα η ανάπτυξη του Διανυσματικού Λογισμού επηρεάστηκε από τη φυσική. Το 1880 οι φυσικοί Γιοσάια Ουίλαρντ Γκιμπς (J. W. Gibbs) και Όλιβερ Χέβισαϊντ (O. Heaviside) δημιούργησαν τη σύγχρονη θεωρία του διανυσματικού λογισμού. Τέλος το 1888 ο Τζουζέπε Πεάνο (G. Peano) θεμελίωσε αξιωματικά την έννοια του διανυσματικού χώρου. Σύστημα αναφοράς Σύστημα συντεταγμένων Στη γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα δηλ, ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα, με το πρώτο άκρο να ονομάζεται αρχή του διανύσματος ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο πέρας του διανύσματος. Ένα διάνυσμα με αρχή το Α και πέρας το Β συμβολίζεται με A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} και παριστάνεται με ένα βέλος που ξεκινά από το Α και καταλήγει στο Β. Εναλλακτικά για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούνται και έντονα κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου (για παράδειγμα A {\displaystyle A\ } ) ή μικρά γράμματα επιγραμμισμένα με βέλος (για παράδειγμα a → {\displaystyle {\vec {a}}} ). Μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} ονομάζεται η απόσταση μεταξύ των άκρων του Α και Β, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Συμβολίζεται με | A B → | {\displaystyle \ |{\overrightarrow {AB}}|\ } . Αν το διάνυσμα A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} έχει μέτρο 1 τότε ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα. Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος ονομάζεται η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα, για παράδειγμα φορέας του διανύσματος A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} είναι η ευθεία ΑΒ. Αν δύο μη μηδενικά διανύσματα A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} και E Z → {\displaystyle {\overrightarrow {EZ}}} έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά και λέμε ότι σε αυτή την περίπτωση έχουν ίδια διεύθυνση. Τα συγγραμμικά διανύσματα διακρίνονται σε ομόρροπα και αντίρροπα. Τα μη μηδενικά διανύσματα A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} και E Z → {\displaystyle {\overrightarrow {EZ}}} είναι: Ομόρροπα, όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία που ενώνει τις αρχές τους ή έχουν τον ίδιο φορέα και η μία από τις ημιευθείες OΒ και ΕΖ περιέχει την άλλη. Τα συγγραμμικά και ομόρροπα διανύσματα λέμε ότι έχουν ίδια κατεύθυνση (γράφουμε A B → ↑↑ E Z → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\uparrow \uparrow {\overrightarrow {EZ}}} ).Αντίρροπα, όταν δεν είναι ομόρροπα. Τα συγγραμμικά και αντίρροπα διανύσματα λέμε ότι έχουν αντίθετη κατεύθυνση (γράφουμε A B → ↑↓ E Z → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\uparrow \downarrow {\overrightarrow {EZ}}} ). Μηδενικό διάνυσμα είναι το διάνυσμα στο οποίο η αρχή και το πέρας συμπίπτουν και συμβολίζεται με 0 → {\displaystyle {\overrightarrow {0}}} . Για παράδειγμα το διάνυσμα A A → {\displaystyle {\overrightarrow {AA}}} είναι ένα μηδενικό διάνυσμα. Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος θεωρούμε ότι είναι οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή του. Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται ίσα όταν έχουν ίδια κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε A B → = E Z → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EZ}}} ). Δύο μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται αντίθετα όταν έχουν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα μέτρα (γράφουμε A B → = − E Z → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=-{\overrightarrow {EZ}}} ή E Z → = − A B → {\displaystyle {\overrightarrow {EZ}}=-{\overrightarrow {AB}}} ). Έστω δύο διανύσματα α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} και β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} και ζητούμε το άθροισμα α → + β → {\displaystyle {\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }}} . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα O A → = α → {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}={\vec {\alpha }}} και A B → = β → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {A} \mathrm {B} }}={\vec {\beta }}} . Το διάνυσμα O B → {\displaystyle {\overrightarrow {OB}}} λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των δύο διανυσμάτων. Το άθροισμα των διανυσμάτων αποδεικνύεται ότι είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί και με το λεγόμενο κανόνα του παραλληλογράμμου. Γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ονομάζουμε τη κυρτή γωνία που αυτά σχηματίζουν αν τα πάρουμε με κοινή αρχή και είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου κοινής αρχής. Έστω κ ένας πραγματικός αριθμός με κ ≠ {\displaystyle \neq } 0 και α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε γινόμενο του κ με το α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} ένα νέο διάνυσμα το οποίο είναι ομόρροπο του α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} αν κ>0 και αντίρροπο του α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} αν κ<0 και επίσης έχει μέτρο | κ | ⋅ | α → | {\displaystyle |{\kappa }|\cdot |{\vec {\alpha }}|} . Αν κ=0 ή α → = 0 → {\displaystyle {\vec {\alpha }}={\vec {0}}} τότε ορίζουμε ως κ α → {\displaystyle {\kappa }{\vec {\alpha }}} το μηδενικό διάνυσμα. Ως συνέπεια του ορισμού ισχύει: κ α → = 0 → ⇔ κ = 0 η ´ α → = 0 → {\displaystyle {\kappa }{\vec {\alpha }}={\vec {0}}\Leftrightarrow {\kappa }=0\ {\acute {\eta }}\ {\vec {\alpha }}={\vec {0}}} . Σημαντικό είναι επίσης το εξής θεώρημα, σύμφωνα με το οποίο αν α → , β → {\displaystyle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}} είναι δύο διανύσματα με β → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {\beta }}\neq {\vec {0}}} , τότε α → ∥ β → ⇔ α → = κ β → , κ ∈ R {\displaystyle {\vec {\alpha }}\parallel {\vec {\beta }}\Leftrightarrow {\vec {\alpha }}={\kappa }{\vec {\beta }},{\kappa }\in \mathbb {R} } Για κάθε διάνυσμα α → , β → {\displaystyle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}} και για κάθε λ , μ ∈ R {\displaystyle {\lambda },{\mu }\in \mathbb {R} } αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι εξής ιδιότητες: λ ( α → + β → ) = λ α → + λ β → {\displaystyle {\lambda }({\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }})={\lambda }{\vec {\alpha }}+{\lambda }{\vec {\beta }}} ( λ + μ ) α → = λ α → + μ α → {\displaystyle ({\lambda }+{\mu }){\vec {\alpha }}={\lambda }{\vec {\alpha }}+{\mu }{\vec {\alpha }}} λ ( μ α → ) = ( λ μ ) α → {\displaystyle {\lambda }({\mu }{\vec {\alpha }})=({\lambda }{\mu }){\vec {\alpha }}} Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} και β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} συμβολίζεται με α → ⋅ β → {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}} και ορίζεται ως α → ⋅ β → = ‖ α → ‖ ‖ β → ‖ cos ⁡ θ {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=\left\|{\vec {\alpha }}\right\|\left\|{\vec {\beta }}\right\|\cos \theta } όπου με ‖ α → ‖ {\displaystyle \left\|{\vec {\alpha }}\right\|} και ‖ β → ‖ {\displaystyle \left\|{\vec {\beta }}\right\|} συμβολίζουμε τα μέτρα των διανυσμάτων α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} και β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} αντίστοιχα, cos θ (ελλ. συν θ ), και θ τη γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στα δύο διανύσματα. Είναι φανερό πως το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων θα είναι πάντα ένας αριθμός και όχι ένα νέο διάνυσμα όπως στην πρόσθεση και την αφαίρεση διανυσμάτων. Όταν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους, το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με το 0, ενώ όταν είναι παράλληλα (ή αντιπαράλληλα) το εσωτερικό γινόμενο ισούται με το θετικό (ή αρνητικό αντίστοιχα) γινόμενο των μέτρων τους. Αυτό είναι φανερό γιατί c o s 90 o = 0 {\displaystyle cos90^{o}=0} και c o s 0 o = 1 {\displaystyle cos0^{o}=1} ή c o s 180 o = − 1 {\displaystyle cos180^{o}=-1} . Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται επίσης και ως το άθροισμα των γινομένων των επιμέρους συνιστωσών των διανυσμάτων. Συγκεκριμένα, αν τα διάνυσματα α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} και β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} είναι n διαστάσεων γράφονται αναλυτικά, α → = α 1 e ^ 1 + α 2 e ^ 2 + . . . + α n e ^ n {\displaystyle {\vec {\alpha }}=\alpha _{1}{\hat {e}}_{1}+\alpha _{2}{\hat {e}}_{2}+...+\alpha _{n}{\hat {e}}_{n}} και β → = β 1 e ^ 1 + β 2 e ^ 2 + . . . + β n e ^ n {\displaystyle {\vec {\beta }}=\beta _{1}{\hat {e}}_{1}+\beta _{2}{\hat {e}}_{2}+...+\beta _{n}{\hat {e}}_{n}} με e ^ 1 , e ^ 2 . . . e ^ n {\displaystyle {\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2}...{\hat {e}}_{n}} να είναι τα μοναδιαία διανύσματα βάσης ενός διανυσματικού χώρου n διαστάσεων, τότε το εσωτερικό γινόμενο γράφεται ως: α → ⋅ β → = α 1 ⋅ β 1 + α 2 ⋅ β 2 + . . . + α n ⋅ β n {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=\alpha _{1}\cdot \beta _{1}+\alpha _{2}\cdot \beta _{2}+...+\alpha _{n}\cdot \beta _{n}} Το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται εκτεταμένα στις εξισώσεις της φυσικής, όπως και όλος ο διανυσματικός λογισμός άλλωστε. Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ουσιαστικά μια καινούρια πράξη μεταξύ διανυσμάτων. Διαφέρει από το εσωτερικό γινόμενο όσον αφορά τα αποτελέσματα των πράξεων. Στο μεν εσωτερικό γινόμενο λαμβάνουμε ένα βαθμωτό μέγεθος ως αποτέλεσμα, ενώ στο εξωτερικό παίρνουμε ένα διάνυσμα. Το εξωτερικό γινόμενο δεν γενικεύεται για n διαστάσεις, έχει νόημα μόνο σε τρισδιάστατους χώρους. Αν α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} και β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} είναι τα δύο διανύσματα, το εξωτερικό γινόμενο συμβολίζεται ως α → × β → {\displaystyle {\vec {\alpha }}\times {\vec {\beta }}} και ορίζεται ως α → × β → = ‖ α → ‖ ‖ β → ‖ sin ⁡ ( θ ) n ^ {\displaystyle {\vec {\alpha }}\times {\vec {\beta }}=\left\|{\vec {\alpha }}\right\|\left\|{\vec {\beta }}\right\|\sin(\theta ){\hat {n}}} ‖ α → ‖ {\displaystyle \left\|{\vec {\alpha }}\right\|} και ‖ β → ‖ {\displaystyle \left\|{\vec {\beta }}\right\|} είναι τα μέτρα των διανυσμάτων α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} και β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} , sin θ το ημιτονο αυτών των διανυσμάτων, θ {\displaystyle \theta } είναι η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων, και n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} και β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} . Γραφικά, το εξωτερικό γινόμενο αναπαρίσταται από το σχήμα, όπου φαίνεται ότι b → × a → = − a → × b → {\displaystyle {\vec {b}}\times {\vec {a}}=-{\vec {a}}\times {\vec {b}}} , δηλαδή στην πράξη του εξωτερικού γινομένου δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Τα φυσικά μεγέθη (διανύσματα) που παράγουν το νέο διάνυσμα γράφονται με συγκεκριμένη σειρά και η κατεύθυνση του εξωτερικού γινομένου προκύπτει με τον κανόνα του δεξιού χεριού . Για παράλληλα ή αντιπαράλληλα διανύσματα το εξωτερικό γινόμενο δίνει το μηδενικό διάνυσμα, εφόσον s i n 0 o = 0 {\displaystyle sin0^{o}=0} και s i n 180 o = 0 {\displaystyle sin180^{o}=0} . Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α → = α 1 e ^ 1 + α 2 e ^ 2 + α 3 e ^ 3 {\displaystyle {\vec {\alpha }}=\alpha _{1}{\hat {e}}_{1}+\alpha _{2}{\hat {e}}_{2}+\alpha _{3}{\hat {e}}_{3}} και β → = β 1 e ^ 1 + β 2 e ^ 2 + β 3 e ^ 3 {\displaystyle {\vec {\beta }}=\beta _{1}{\hat {e}}_{1}+\beta _{2}{\hat {e}}_{2}+\beta _{3}{\hat {e}}_{3}} μπορεί ακόμη να εκφραστεί με την μορφή ορίζουσας: | e ^ 1 e ^ 2 e ^ 3 α 1 α 2 α 3 β 1 β 2 β 3 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{vmatrix}}} . Έστω τρία διανύσματα A → {\displaystyle {\vec {A}}} , B → {\displaystyle {\vec {B}}} και C → {\displaystyle {\vec {C}}} . Για τα τα τρία αυτά διανύσματα ισχύουν τα ακόλουθα: ( A → ⋅ B → ) C → ≠ A → ( B → ⋅ C → ) {\displaystyle ({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}\neq {\vec {A}}({\vec {B}}\cdot {\vec {C}})} εν γένει. Το A → ⋅ ( B → × C → ) = B → ⋅ ( C → × A → ) = C → ⋅ ( A → × B → ) {\displaystyle {\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})={\vec {B}}\cdot ({\vec {C}}\times {\vec {A}})={\vec {C}}\cdot ({\vec {A}}\times {\vec {B}})} ονομάζεται τριπλό βαθμωτό ή μικτό γινόμενο και υπολογίζεται από την ορίζουσα A → ⋅ ( B → × C → ) = | A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3 | {\displaystyle {\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})={\begin{vmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}\\B_{1}&B_{2}&B_{3}\\C_{1}&C_{2}&C_{3}\end{vmatrix}}} . Το γινόμενο αυτό εκφράζει τον όγκο του παραλληλεπιπέδου με πλευρές τα διανύσματα A → {\displaystyle {\vec {A}}} , B → {\displaystyle {\vec {B}}} και C → {\displaystyle {\vec {C}}} ή το αρνητικό τους στην περίπτωση όπου τα τρία αυτά διανύσματα δεν σχηματίζουν ένα δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων. Το γινόμενο A → × ( B → × C → ) {\displaystyle {\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})} ονομάζεται τριπλό εξωτερικό γινόμενο. Μέτρο (διανύσματος) είναι ένας αριθμός που χαρακτηρίζει ένα διάνυσμα ή ένα βαθμωτό μέγεθος, χωρίς όμως να πρόκειται πάντα για την ίδια μονάδα μέτρου, π.χ. Newton για τη δύναμη, Joule για την ενέργεια. Στην περίπτωση του διανύσματος δεν πρόκειται για τον μοναδικό αριθμό που το χαρακτηρίζει, καθώς υπάρχουν επίσης η διεύθυνση και η φορά (που μαζί αυτά τα δύο ονομάζονται κατεύθυνση) που χαρακτηρίζουν ένα διάνυσμα. Στην περίπτωση του βαθμωτού μεγέθους, όμως, είναι ο μοναδικός αριθμός που το χαρακτηρίζει. Το μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} συμβολίζεται με ∣ A B → ∣ {\displaystyle \mid {\overrightarrow {AB}}\mid } και ισούται με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συνιστωσών του. Πιο συγκεκριμένα, αν A B → = α 1 e ^ 1 + α 2 e ^ 2 + . . . + α n e ^ n {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\alpha _{1}{\hat {e}}_{1}+\alpha _{2}{\hat {e}}_{2}+...+\alpha _{n}{\hat {e}}_{n}} όπου α 1 , α 2 , . . . , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\,} οι συνιστώσες του διανύσματος και e ^ 1 , e ^ 2 , . . . , e ^ n {\displaystyle {\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},...,{\hat {e}}_{n}} τα μοναδιαία διανύσματα της βάσης, τότε το μέτρο του διανύσματος θα ισούται με ∣ A B → ∣= α 1 2 + α 2 2 + . . . + α n 2 {\displaystyle \mid {\overrightarrow {AB}}\mid ={\sqrt {\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+...+\alpha _{n}^{2}}}\,} Τα παραπάνω είναι γενικά, και ισχύουν για n {\displaystyle n\,} διαστάσεις. Για παράδειγμα, αν b → = 2 i ^ − 5 j ^ + 3 k ^ {\displaystyle {\vec {b}}=2{\hat {i}}-5{\hat {j}}+3{\hat {k}}} είναι ένα τυχαίο διάνυσμα στις συνηθισμένες τρεις διαστάσεις, τότε το μέτρο του θα ισούται σύμφωνα με τα παραπάνω με ∣ b → ∣= 2 2 + ( − 5 ) 2 + 3 2 = 38 {\displaystyle \mid {\vec {b}}\mid ={\sqrt {2^{2}+(-5)^{2}+3^{2}}}={\sqrt {38}}}