Νιοστή ρίζα

Στα μαθηματικά η ν {\displaystyle \nu } -οστή ρίζα ενός πραγματικού αριθμού α {\displaystyle \alpha } , όταν το ν {\displaystyle \nu } είναι φυσικός αριθμός > 1 {\displaystyle >1} , είναι ο πραγματικός αριθμός β {\displaystyle \beta } , αν β ν = α {\displaystyle \beta ^{\nu }=\alpha } . Η ν {\displaystyle \nu } -οστή ρίζα του αριθμού α {\displaystyle \alpha } συμβολίζεται με α ν {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}} , το σύμβολο {\displaystyle {\sqrt {\;\;\;\;}}} λέγεται ριζικό, το ν {\displaystyle \nu } δείκτης του ριζικού, ο αριθμός α {\displaystyle \alpha } υπόρριζο και γράφεται α ν = β {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}=\beta } εάν β ν = α {\displaystyle \beta ^{\nu }=\alpha } . Αν ο δείκτης ν {\displaystyle \nu } είναι άρτιος, ή ρίζα λέγεται άρτια ή άρτιας τάξεως και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται περιττή ή περιττής τάξεως. Ένας πραγματικός αριθμός έχει 0, 1 ή 2 ν {\displaystyle \nu } -οστές ρίζες, το οποίο εξαρτάται από το ν {\displaystyle \nu } και το πρόσημο του α {\displaystyle \alpha } .Όταν ν = 2 {\displaystyle \nu =2} , η ν {\displaystyle \nu } -οστή ρίζα του α {\displaystyle \alpha } συμβολίζεται α {\displaystyle {\sqrt {\alpha }}} και διαβάζεται τετραγωνική ή δευτέρα ρίζα του α {\displaystyle \alpha } . Όταν ν = 3 {\displaystyle \nu =3} συμβολίζεται α 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\alpha }}} και διαβάζεται κυβική ή τρίτη ρίζα του α {\displaystyle \alpha } . Όταν ν = 4 , 5 , 6 , . . . {\displaystyle \nu =4,5,6,...} συμβολίζεται α 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{\alpha }}} , α 5 {\displaystyle {\sqrt[{5}]{\alpha }}} , α 6 {\displaystyle {\sqrt[{6}]{\alpha }}} , . . . {\displaystyle ...} και διαβάζεται τέταρτη, πέμπτη, έκτη, ... ρίζα του α {\displaystyle \alpha } .

 Σε μία ν {\displaystyle \nu } -οστή ρίζα που γράφεται α ν {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}} έχουμε: Τον πραγματικό αριθμό α {\displaystyle \alpha } πού λέγεται υπόρριζο (radicand).Το σύμβολο {\displaystyle {\sqrt {\;\;\;\;}}} , που λέγεται ριζικό (radical sign) και η οριζόντια γραμμή του πρέπει να καλύπτει πλήρως το υπόρριζο. Παράδειγμα: α γ ≠ α γ = γ α {\displaystyle {\sqrt {\alpha \gamma }}\neq {\sqrt {\alpha }}\gamma =\gamma {\sqrt {\alpha }}} Τον φυσικό αριθμό ν {\displaystyle \nu } , που λέγεται δείκτης του ριζικού ή βαθμός της ρίζας (degree). Αν ο δείκτης ν {\displaystyle \nu } είναι άρτιος, ή ρίζα λέγεται άρτια ή άρτιας τάξεως και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται περιττή ή περιττής τάξεως. Αν ν = 2 {\displaystyle \nu =2} συμβολίζεται α {\displaystyle {\sqrt {\alpha }}} και διαβάζεται τετραγωνική ή δευτέρα ρίζα του α {\displaystyle \alpha } (square root). Συνηθίζεται να μην γράφεται ο δείκτης 2 του ριζικού (δηλ. 2 {\displaystyle {\sqrt[{2}]{\;}}} ). Αν ν = 3 {\displaystyle \nu =3} συμβολίζεται α 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\alpha }}} και διαβάζεται κυβική ή τρίτη ρίζα του α {\displaystyle \alpha } (cube root). Δύο ρίζες λέγονται ισοδύναμες ή ισοβάθμιοι, όταν οι δείκτες του ριζικού τους ή αλλιώς οι βαθμοί τους είναι ίσοι. Για παράδειγμα οι ρίζες α ν , β μ , γ ρ {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }},\;{\sqrt[{\mu }]{\beta }},\;{\sqrt[{\rho }]{\gamma }}} λέγονται ισοδύναμες όταν ν = μ = ρ {\displaystyle \nu =\mu =\rho } . Συντελεστής μιάς ρίζας είναι οι παράγοντες που βρίσκονται εκτός του ριζικού. Παράδειγμα: στην ισότητα α β γ = β γ α {\displaystyle {\sqrt {\alpha }}\beta \gamma =\beta \gamma {\sqrt {\alpha }}} , το β γ {\displaystyle \beta \gamma } , είναι ο συντελεστής της ρίζας. Όμοιες λέγονται δύο ρίζες που έχουν τον ίδιο δείκτη (ή βαθμό) και το ίδιο υπόρριζο. Λόγω του ότι ο ορισμός της ν {\displaystyle \nu } -οστής ρίζας βασίζεται στην εξίσωση β ν = α {\displaystyle \beta ^{\nu }=\alpha } , οι ιδιότητες των ριζών απορρέουν από τις ιδιότητες των δυνάμεων. Πάντα ισχύει α ν = β ⟺ β ν = α {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}=\beta \Longleftrightarrow \beta ^{\nu }=\alpha } , λόγο τού ορισμού της ν {\displaystyle \nu } -οστής ρίζας. ( α ν ) ν = α {\displaystyle ({\sqrt[{\nu }]{\alpha }})^{\nu }=\alpha } , διότι ισχύει α ν = β ⟺ β ν = α {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}=\beta \Longleftrightarrow \beta ^{\nu }=\alpha } , τότε ( α ν ) ν = β ν = α {\displaystyle ({\sqrt[{\nu }]{\alpha }})^{\nu }=\beta ^{\nu }=\alpha } 0 ν = 0 {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{0}}=0} , διότι 0 ν = 0 {\displaystyle 0^{\nu }=0} για κάθε φυσικό αριθμό ν {\displaystyle \nu } . a μ ν = a μ ⋅ ρ ν ⋅ ρ {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{a^{\mu }}}={\sqrt[{\nu \cdot \rho }]{a^{\mu \cdot \rho }}}} , αν α {\displaystyle \alpha } πραγματικός και θετικός αριθμός (δηλ. α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } και α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} ) και οι ν , μ , ρ {\displaystyle \nu ,\mu ,\rho } φυσικοί αριθμοί (δηλ. ν , μ , ρ ∈ Z {\displaystyle \nu ,\mu ,\rho \in \mathbb {Z} } ). Οι εφαρμογές της ιδιότητας αυτής είναι οι εξής:Απλοποίηση ριζών, παραδείγματα: α 3 6 = α 3 2 ⋅ 3 = α {\displaystyle {\sqrt[{6}]{\alpha ^{3}}}={\sqrt[{2\cdot 3}]{\alpha ^{3}}}={\sqrt[{}]{\alpha }}} και α 6 ⋅ β 2 ⋅ λ 6 = {\displaystyle {\sqrt[{6}]{\alpha ^{6}\cdot \beta ^{2\cdot \lambda }}}=} α 2 ⋅ 3 ⋅ β 2 ⋅ λ 2 ⋅ 3 = {\displaystyle {\sqrt[{2\cdot 3}]{\alpha ^{2\cdot 3}\cdot \beta ^{2\cdot \lambda }}}=} ( α 3 ⋅ β λ ) 2 2 ⋅ 3 = {\displaystyle {\sqrt[{2\cdot 3}]{(\alpha ^{3}\cdot \beta ^{\lambda })^{2}}}=} α 3 ⋅ β λ 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\alpha ^{3}\cdot \beta ^{\lambda }}}} Μετατροπή ριζών σε ισοδύναμους (ισόβαθμους), απαραίτητο όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ τους. Παράδειγμα: η ρίζα 3ου βαθμού a 2 3 = a 2 ⋅ 2 3 ⋅ 2 = a 4 6 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{2}}}={\sqrt[{3\cdot 2}]{a^{2\cdot 2}}}={\sqrt[{6}]{a^{4}}}} μετατρέπεται σε 6ου βαθμού. α ⋅ β ⋅ γ ν = α ν ⋅ β ν ⋅ γ ν {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma }}={\sqrt[{\nu }]{\alpha }}\cdot {\sqrt[{\nu }]{\beta }}\cdot {\sqrt[{\nu }]{\gamma }}} ή αλλιώς α ν ⋅ β ν ⋅ γ ν = α ⋅ β ⋅ γ ν {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}\cdot {\sqrt[{\nu }]{\beta }}\cdot {\sqrt[{\nu }]{\gamma }}={\sqrt[{\nu }]{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma }}} . Σε τέτοιες πράξεις χρειάζεται οι ρίζες να μετατρέπονται σε ισόβαθμους ή και να απλοποιούνται οπότε χρησιμοποιούμε την ιδιότητα a μ ν = a μ ⋅ ρ ν ⋅ ρ {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{a^{\mu }}}={\sqrt[{\nu \cdot \rho }]{a^{\mu \cdot \rho }}}} . α ν β ν = α β ν {\displaystyle {\frac {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}{\sqrt[{\nu }]{\beta }}}={\sqrt[{\nu }]{\frac {\alpha }{\beta }}}} μοιάζει και χρησιμοποιείται όπως η α ν ⋅ β ν ⋅ γ ν = α ⋅ β ⋅ γ ν {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}\cdot {\sqrt[{\nu }]{\beta }}\cdot {\sqrt[{\nu }]{\gamma }}={\sqrt[{\nu }]{\alpha \cdot \beta \cdot \gamma }}} . ( α μ ) ν = α ν μ {\displaystyle ({\sqrt[{\mu }]{\alpha }})^{\nu }={\sqrt[{\mu }]{\alpha ^{\nu }}}} , δεν ισχύει πάντα (ή ισότητα δεν είναι πάντα πλήρης) όταν α > 0 {\displaystyle \alpha >0} και μ {\displaystyle \mu } και ν {\displaystyle \nu } άρτιοι. Παράδειγμα: δεν ισχύει πάντα η ισότητα ( 4 ) 2 = 4 2 {\displaystyle ({\sqrt {4}})^{2}={\sqrt {4^{2}}}} , διότι αν πάρουμε το πρώτο μέλος της έχουμε: ( 4 ) 2 = ( ± 2 ) 2 = 4 {\displaystyle ({\sqrt {4}})^{2}=(\pm 2)^{2}=4} , ενώ από το δεύτερο έχουμε: 4 2 = 16 = ± 4 {\displaystyle {\sqrt {4^{2}}}={\sqrt {16}}=\pm 4} . Σε αυτή την περίπτωση λαμβάνουμε υπόψη μόνο τη θετική ρίζα. a μ ν = a ν ⋅ μ {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\sqrt[{\mu }]{a}}}={\sqrt[{\nu \cdot \mu }]{a}}} α μ ν = α μ ν {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha ^{\mu }}}=\alpha ^{\tfrac {\mu }{\nu }}} Έχουμε 2 ρίζες Εάν ν {\displaystyle \nu } άρτιος και α > 0 {\displaystyle \alpha >0} , τότε α ν = ± β {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}=\pm \beta } , δηλαδή έχει δύο ρίζες τον πραγματικό αριθμό β {\displaystyle \beta } και τον αντίθετό του − β {\displaystyle -\beta } επειδή β ν = α {\displaystyle \beta ^{\nu }=\alpha } και ( − β ) ν = α {\displaystyle (-\beta )^{\nu }=\alpha } . Γιαυτό το λόγο, η ισότητα ( α μ ) ν = α ν μ {\displaystyle ({\sqrt[{\mu }]{\alpha }})^{\nu }={\sqrt[{\mu }]{\alpha ^{\nu }}}} , δεν είναι πάντα πλήρης. Παράδειγμα: η 16 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{16}}} έχει ρίζες τον αριθμό 2 {\displaystyle 2} και τον αντίθετό του − 2 {\displaystyle -2} , διότι 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 {\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16} και ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 2 ) ⋅ ( − 2 ) = 16 {\displaystyle (-2)^{4}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16} Σε πρακτικές εφαρμογές δεν έχουν έννοια και οι δύο ρίζες, οπότε λαμβάνουμε υπόψη μας μία από τις δύο. Συνήθως την θετική που ονομάζεται κύρια ν {\displaystyle \nu } -οστή ρίζα (principal root). Έχουμε 0 ρίζες Εάν ν {\displaystyle \nu } άρτιος και α < 0 {\displaystyle \alpha <0} , τότε η α ν {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}} δεν έχει ρίζα (δεν έχει έννοια), διότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός β {\displaystyle \beta } , τέτοιος ώστε β ν {\displaystyle \beta ^{\nu }} να έχει αποτέλεσμα το α < 0 {\displaystyle \alpha <0} . Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα 2 4 = 16 > 0 {\displaystyle 2^{4}=16>0} και ( − 2 ) 4 = 16 > 0 {\displaystyle (-2)^{4}=16>0} , σε καμιά περίπτωση δεν έχουμε αποτέλεσμα − 16 {\displaystyle -16} , ώστε η − 16 4 {\displaystyle {\sqrt[{4}]{-16}}} να έχει ρίζα. Η ρίζα αυτή δεν έχει έννοια στο σύνολο τον πραγματικών αριθμών και γιαυτό λέγεται φανταστική παράσταση και αντιμετωπίζεται με την χρήση των φανταστικών αριθμών. Είναι σημαντικό όταν χρησιμοποιούμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών να εξασφαλίζεται το θετικό υπόρριζο. Έχουμε 1 ρίζα Κάθε πραγματικός αριθμός έχει μόνο μία ρίζα περιττής τάξης. Συγκεκριμένα: Εάν ν {\displaystyle \nu } περιττός και α > 0 {\displaystyle \alpha >0} , τότε η α ν {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}} έχει ρίζα ένα πραγματικό αριθμό. Παράδειγμα: η 8 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}} έχει ρίζα τον αριθμό 2 {\displaystyle 2} διότι 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8} . Εάν ν {\displaystyle \nu } περιττός και α < 0 {\displaystyle \alpha <0} , τότε η α ν {\displaystyle {\sqrt[{\nu }]{\alpha }}} έχει ρίζα ένα πραγματικό αριθμό. Παράδειγμα: η − 8 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}} έχει ρίζα τον αριθμό − 2 {\displaystyle -2} διότι − 2 3 = − 2 ⋅ − 2 ⋅ − 2 = − 8 {\displaystyle -2^{3}=-2\cdot -2\cdot -2=-8} . Ρίζα (μαθηματικά) Τετραγωνική ρίζα του 2 Τετραγωνική ρίζα του 5 «Για την Α' Τάξη Άλγεβρα: Ρίζες». Ευκλείδης Β΄ (3): 109-112. 1978. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3928. Κ. Μακρής (1979). «Για την Α' Τάξη Άλγεβρα: Ρίζες». Ευκλείδης Β΄ (4): 158-159. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4126. Β. Ράλλης (1981). «Για την Α' Τάξη Άλγεβρα: Ρίζες πραγματικών αριθμών». Ευκλείδης Β΄ (4): 143-149. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3121. Θ. Μαμούρης (1986). «Δυνάμεις και ρίζες στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών». Ευκλείδης Β΄ (3): 129-133. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3172. Γ. Σπηλιώτης (1986). «Ρίζες πραγματικών αριθμών». Ευκλείδης Β΄ (4): 214-220. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3358. Ωρολογά, Μαρία (Αυγούστου 2012). «Ρίζες πραγματικών αριθμών και η εξίσωση xν=α». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (12): 1. http://ekthetis.gr/Ekthetis012.pdf. Laufer, Henry (Μαΐου 1963). «Finding the N th Root of a Number by Iteration». Mathematics Magazine 36 (3): 157–162. doi:10.1080/0025570X.1963.11975421. Kennedy, Robert E.; Busby, Robert W. (Μαΐου 1976). «n th Root Groups». Mathematics Magazine 49 (3): 140–141. doi:10.1080/0025570X.1976.11976563. Bergen, Jeffrey (Ιουνίου 2017). «Is This the Easiest Proof That n th Roots are Always Integers or Irrational?». Mathematics Magazine 90 (3): 225–225. doi:10.4169/math.mag.90.3.225. Emch, Arnold (Ιανουαρίου 1901). «Two Hydraulic Methods to Extract the n th Root of any Number». The American Mathematical Monthly 8 (1): 10–12. doi:10.1080/00029890.1901.12000520. Shapiro, David (1959). «How I came across the extraction of "Nth" roots». The Mathematics Teacher 52 (3): 180-183. https://www.jstor.org/stable/27955870. Τόγκας Πέτρος Γ. (Αθήνα 1959). «Άλγεβρα και Συμπλήρωμα άλγεβρας», έκδοση 26η, τόμος Α'.