Ηλεκτροδυναμική

Η ηλεκτροδυναμική είναι ένας κλάδος της θεωρητικής φυσικής που μελετά τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων και ρευμάτων με εφαρμογή των επεκταμένων τύπων κλασικής μηχανικής του Νεύτωνα. Η θεωρία παρέχει μια εξαιρετική περιγραφή των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων που παρατηρούνται εφόσον οι σχετικές κλίμακες μήκους και οι εντάσεις πεδίων είναι αρκετά μεγάλες ώστε οι επιδράσεις της κβαντικής μηχανικής να είναι αμελητέες. Για μικρές αποστάσεις και χαμηλές εντάσεις πεδίου, οι αλληλεπιδράσεις περιγράφονται καλύτερα από την κβαντική ηλεκτροδυναμική. Οι θεμελιώδεις φυσικές πτυχές της κλασικής ηλεκτροδυναμικής παρουσιάζονται σε πολλά κείμενα, όπως των: Φάινμαν, Ρόμπερτ Λέιτον και Μάθιου Σαντς, Ντέιβιντ Γκρίφιθς, Πανόφσκι και Φίλιπς, και Τζον Ντέιβιντ Τζάκσον.

 Τα φυσικά φαινόμενα που περιγράφονται στον ηλεκτρομαγνητισμό έχουν μελετηθεί ως ξεχωριστά πεδία από την αρχαιότητα. Για παράδειγμα, υπήρξαν πολλές εξελίξεις στον τομέα της οπτικής αιώνες πριν φανεί ότι το φως είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Ωστόσο, η θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού, όπως είναι σήμερα κατανοητή, αναπτύχθηκε από τα πειράματα του Μάικλ Φαραντέι που προτείνουν ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και από το έργο του Τζέιμς Κλερκ Μάξγουελ που χρησιμοποίησε διαφορικές εξισώσεις για να το περιγράψει στην Μια Πραγματεία για τον Ηλεκτρισμό και τον Μαγνητισμό (1873). Για μια λεπτομερή ιστορική αφήγηση, δείτε τα: Βόλφγκανγκ Πάουλι, Ε. Τ. Γουίτακερ, A.Pais, και Μπρους Χαντ. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ασκεί δύναμη Λόρεντζ σε φορτισμένα σωματίδια: F = q E + q v × B {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} } όπου οι έντονα τονισμένοι παράμετροι είναι διανύσματα: F είναι η δύναμη που δέχεται ένα σωματίδιο με φορτίο q, E είναι το ηλεκτρικό πεδίο, v είναι η ταχύτητα του σωματιδίου, B είναι το μαγνητικό πεδίο. Η εξίσωση δείχνει ότι η δύναμη Λόρεντζ είναι το άθροισμα δύο διανυσμάτων. Το ένα είναι το διανυσματικό γινόμενο της ταχύτητας με το μαγνητικό πεδίο, που σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού θα είναι διάνυσμα κάθετο προς τα δύο άλλα. Το άλλο βρίσκεται στην ίδια κατεύθυνση με το ηλεκτρικό πεδίο. Επομένως, ελλείψει μαγνητικού πεδίου, η δύναμη είναι προς την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου, και το μέγεθος της δύναμης εξαρτάται από την τιμή του φορτίου και την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Ελλείψει ηλεκτρικού πεδίου, η δύναμη είναι κάθετη στην ταχύτητα του σωματιδίου και την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Αν υπάρχουν εξίσου ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία, τότε η δύναμη Λόρεντζ είναι το άθροισμα των δύο διανυσμάτων. Αν και η εξίσωση φαίνεται να υποδηλώνει ότι τα Ηλεκτρικά και τα Μαγνητικά πεδία είναι ανεξάρτητα, η εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί με όρους four-current (αντί για φορτίο) και έναν απλό τανυστή που αντιπροσωπεύει το συνδυασμένο Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ( F μ ν {\displaystyle F^{\mu \nu }} ) Το ηλεκτρικό πεδίο Ε ορίζεται έτσι ώστε για σταθερό φορτίο: F = q 0 E {\displaystyle \mathbf {F} =q_{0}\mathbf {E} } όπου το q0 είναι το φορτίο ελέγχου. Το μέγεθος του φορτίου δεν έχει σημασία, αρκεί να είναι αρκετά μικρό ώστε να μην επηρεάζει το ηλεκτρικό πεδίο με την παρουσία του. Από τον ορισμό φαίνεται ότι η μονάδα του E είναι N/C (newtons ανά coulomb) και ισούται με V/m (βολτ ανά μέτρο). Στην ηλεκτροστατική, όπου τα φορτία δεν κινούνται, γύρω από μια κατανομή σημειακών φορτίων, οι δυνάμεις που προσδιορίζονται από το νόμο του Κουλόμπ αθροίζονται. Το αποτέλεσμα κατόπιν διαίρεσης με το q0 είναι: E ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 n q i ( r − r i ) | r − r i | 3 {\displaystyle \mathbf {E(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|^{3}}}} όπου n είναι ο αριθμός των φορτίων, qi είναι το μέγεθος του φορτίου που αναλογεί στο i φορτίο, ri είναι η θέση του φορτίου i, r είναι η θέση όπου προσδιορίζεται το ηλεκτρικό πεδίο, και ε0 είναι η ηλεκτρική σταθερά. Εάν το πεδίο πράγματι παράγεται από μια συνεχή κατανομή των φορτίων, το άθροισμα ολοκληρώνεται: E ( r ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( r ′ ) ( r − r ′ ) | r − r ′ | 3 d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {E(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} } όπου ρ ( r ′ ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r'} )} είναι η πυκνότητα φορτίου και r − r ′ {\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r'} } είναι το διάνυσμα που κατευθύνεται από το στοιχείο όγκου d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} } προς το σημείο χώρου όπου προσδιορίζεται το E. Και οι δύο παραπάνω εξισώσεις είναι κουραστικές, ειδικά αν ζητείται ο προσδιορισμός του Ε ως συνάρτηση της θέσης. Η βαθμωτή συνάρτηση του ηλεκτρικού δυναμικού μπορεί να βοηθήσει. Το ηλεκτρικό δυναμικό, που ονομάζεται επίσης τάση (με μονάδα μέτρησης το βολτ), προσδιορίζεται από το γραμμικό ολοκλήρωμα φ ( r ) = − ∫ C E ⋅ d l {\displaystyle \varphi \mathbf {(r)} =-\int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} } όπου φ(r) είναι το ηλεκτρικό δυναμικό, και C είναι το μονοπάτι του ολοκληρώματος. Δυστυχώς, αυτός ο ορισμός έχει περιορισμούς. Από τις εξισώσεις του Μάξγουελ, είναι σαφές ότι ∇ × E δεν είναι πάντα μηδενικό, και ως εκ τούτου το βαθμωτό δυναμικό δεν επαρκεί για να προσδιοριστεί το ηλεκτρικό πεδίο με ακρίβεια. Συνεπώς, απαιτείται η προσθήκη συντελεστή διόρθωσης, που συνήθως γίνεται με με αφαίρεση του παράγωγου χρόνου του διανύσματος δυναμικού Α όπως περιγράφεται παρακάτω. Όποτε τα φορτία είναι ημιστατικά, ωστόσο, οι προϋποθέσεις θα πληρούνται. Από τον ορισμό του φορτίου, φαίνεται πως το ηλεκτρικό δυναμικό ενός σημειακού φορτίου ως συνάρτηση της θέσης είναι: φ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∑ i = 1 n q i | r − r i | {\displaystyle \varphi \mathbf {(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|}}} όπου q είναι το σημειακό φορτίο, r είναι η θέση στην οποία προσδιορίζεται το δυναμικό, και ri είναι η θέση έκαστου σημειακού φορτίου. Το δυναμικό για συνεχή κατανομή των φορτίων είναι: φ ( r ) = 1 4 π ε 0 ∫ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \varphi \mathbf {(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,\mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} } πού ρ ( r ′ ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r'} )} είναι η πυκνότητα φορτίου, και r − r ′ {\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r'} } είναι η απόσταση από το στοιχείο όγκου d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} } σε σημείο του χώρου όπου προσδιορίζεται το φ . Το βαθμωτό φ θα προστίθεται σε άλλα δυναμικά ως μονόμετρο, οπότε διευκολύνεται η επίλυση σύνθετων προβλημάτων με ανάλυσησε απλά μέρη και προσθήκη των δυναμικών τους. Εξετάζοντας τον ορισμό του φ, διαπιστώνεται ότι το ηλεκτρικό πεδίο είναι μόνο η αρνητική κλίση ( ο φορέας ανάδελτα ) του δυναμικού. Ή: E ( r ) = − ∇ φ ( r ) . {\displaystyle \mathbf {E(r)} =-\nabla \varphi \mathbf {(r)} .} Από τον τύπο φαίνεται ότι το E εκφράζεται σε V/m (βολτ ανά μέτρο). Ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο διαδίδεται από την πηγή προέλευσης με τη μορφή κυμάτων που κινούνται στο κενό με την ταχύτητα του φωτός και υπάρχουν σε ένα ευρύ φάσμα μηκών κύματος. Παραδείγματα δυναμικών πεδίων της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας (κατά σειρά αυξανόμενης συχνότητας) είναι: τα ραδιοκύματα, τα μικροκύματα, το φως (το υπέρυθρο, το ορατό φως και το υπεριώδες), ακτίνες-χ και ακτίνες γάμμα. Στον τομέα της σωματιδιακής φυσικής η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποτελεί την εκδήλωση της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης μεταξύ φορτισμένων σωματιδίων. Μολονότι η εξίσωση Κουλόμπ είναι απλή και εύχρηστη, δεν είναι απόλυτα ακριβής στο πλαίσιο του κλασικού ηλεκτρομαγνητισμού. Προκύπτουν προβλήματα επειδή οι μεταβολές στις κατανομές φορτίων απαιτούν ένα μη-μηδενικό χρονικό διάστημα για να γίνουν αισθητές αλλού (όπως απαιτείται από την ειδική θεωρία της σχετικότητας). Για τα πεδία γενικής κατανομής φορτίων, τα υστερημένα δυναμικά υπολογίζονται και διαφοροποιούνται σύμφωνα με τις εξισώσεις Τζεφιμένκο. Τα υστερημένα δυναμικά προσδιορίζονται, επίσης, για σημειακά φορτία με τις εξισώσεις Λιεναρντκαι οι εξισώσεις Liénard–Wiechert . Το βαθμωτό δυναμικό ισούται με: φ = 1 4 π ε 0 q | r − r q ( t r e t ) | − v q ( t r e t ) c ⋅ ( r − r q ( t r e t ) ) {\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{ret})\right|-{\frac {\mathbf {v} _{q}(t_{ret})}{c}}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{ret}))}}} όπου q είναι το σημειακό φορτίο και r είναι η θέση του. rq και vq είναι η θέση και η ταχύτητα του φορτίου, αντίστοιχα, ως συνάρτηση του χρόνου υστέρησης. Το διανυσματικό δυναμικό ισούται με: A = μ 0 4 π q v q ( t r e t ) | r − r q ( t r e t ) | − v q ( t r e t ) c ⋅ ( r − r q ( t r e t ) ) . {\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {q\mathbf {v} _{q}(t_{ret})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{ret})\right|-{\frac {\mathbf {v} _{q}(t_{ret})}{c}}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{ret}))}}.} Με κατάλληλο μετασχηματισμό προκύπτουν οι πλήρεις εξισώσεις πεδίου για κινούμενο σημειακό σωματίδιο.