Σημείο Μισιουρέβιτς

Το σημείο Μισιουρέβιτς (επίσης γνωστό ως σημείο Μισιουρέβιτς-Τέρστον) πήρε το όνομά του από τον Πολωνό μαθηματικό Μίχαου Μισιουρέβιτς. Ένα τέτοιο σημείο υπολογίζεται για να αναδείξει την ομοιότητα ενός συνεχόμενου συνόλου Τζούλια με την ακμή του συνόλου Μάντελμπροτ για το ίδιο σημείο Μισιουρέβιτς σε γραφική αναπαράσταση. Σε μια δημοσίευση σχετικά με την ομοιότητα του συνόλου Μάντελμπροτ και του συνόλου Τζούλια, ο Ταν Λέι έδειξε ότι η απεικόνιση του συνόλου Μάντελμπροτ που βρίσκεται σε ένα σημείο Μισιουρέβιτς είναι, με ακρίβεια ενός συντελεστή μεγέθυνσης και μιας περιστροφής, μια παραμορφωμένη εικόνα του συνόλου Τζούλια στο ίδιο σημείο Μισιουρέβιτς.Τα σημεία Μισιουρέβιτς χρησιμοποιούνται επίσης για τη γραφική αναπαράσταση της αυτο-ομοιότητας του συνόλου Μάντελμπροτ, του συνόλου multibrot και των φράκταλ.

 Ο ακόλουθος ορισμός του σημείου Μισιουρέβιτς μπορεί να βρεθεί σε έργα αναφοράς:Η τιμή της παραμέτρου c 0 {\displaystyle c_{0}} είναι σημείο Μισιουρέβιτς ακριβώς όταν η προ-περιοδική τροχιά οδηγεί σε περιοδική τροχιά. Ο ορισμός αυτός βασίζεται στις ιδιότητες μιας αναδρομικής ακολουθίας, οι οποίες εξηγούνται παρακάτω. Για ένα μιγαδικό τετραγωνικό πολυώνυμο, υποθέστε μια αναδρομή στην παράσταση f c : C ¯ ↦ C ¯ , z ↦ z 2 + c {\displaystyle f_{c}\colon {\overline {\mathbb {C} }}\mapsto {\overline {\mathbb {C} }},\,z\mapsto z^{2}+c} δίνεται. Η αρχική τιμή z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} είναι μια σταθερή αρχική τιμή και η μιγαδική παράμετρος c c είναι μια ελεύθερα επιλέξιμη μεταβλητή. Με αυτές τις προδιαγραφές, η αναδρομική ακολουθία έχει την ακόλουθη μορφή: f c 0 ( 0 ) ↦ f c 1 ( 0 ) ↦ f c 2 ( 0 ) ↦ f c 3 ( 0 ) ↦ ⋯ ↦ f c n ( 0 ) {\displaystyle f_{c}^{0}(0)\mapsto f_{c}^{1}(0)\mapsto f_{c}^{2}(0)\mapsto f_{c}^{3}(0)\mapsto \cdots \mapsto f_{c}^{n}(0)} .Εδώ, f c 0 = z 0 {\displaystyle f_{c}^{0}=z_{0}} και f c n {\displaystyle f_{c}^{n}} υποδηλώνει τη διαδοχική εκτέλεση n φορές της f c {\displaystyle f_{c}} και δεν πρέπει να θεωρείται ως n-te δύναμη. Ας οριστεί η μιγαδική παράμετρος c {\displaystyle c} στην τιμή c 0 {\displaystyle c_{0}} για τον περαιτέρω υπολογισμό και για συντόμευση, όπου έχει νόημα, ας οριστεί f c l ( c 0 ) = α {\displaystyle f_{c}^{l}(c_{0})=\alpha } . Τότε η αναδρομική ακολουθία για την l {\displaystyle l} -th και p {\displaystyle p} -th διαδοχική εκτέλεση, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει σημείο Μισιουρέβιτς, έχει την αναπαράσταση: 0 ↦ c 0 ↦ f c ( c 0 ) ↦ ⋯ ↦ f c l ( c 0 ) = α ↦ f c ( f c l ( c 0 ) ) = f c ( α ) ↦ ⋯ ↦ f c p ( α ) = f c ( α ) ↦ ⋯ {\displaystyle 0\mapsto c_{0}\mapsto f_{c}(c_{0})\mapsto \cdots \mapsto f_{c}^{l}(c_{0})=\alpha \mapsto f_{c}(f_{c}^{l}(c_{0}))=f_{c}(\alpha )\mapsto \cdots \mapsto f_{c}^{p}(\alpha )=f_{c}(\alpha )\mapsto \cdots } .Οι ιδιότητες αυτής της ακολουθίας μπορούν να συνοψιστούν ως εξής: Μια προ-περιοδική τροχιά δημιουργείται μέχρι το l {\displaystyle l} -th μέλος της ακολουθίας. Η προπεριοδική τροχιά έχει την εξής αναπαράσταση { 0 , c 0 , f c ( c 0 ) , ⋯ , f c l ( c 0 ) } {\displaystyle \{0,c_{0},f_{c}(c_{0}),\cdots ,f_{c}^{l}(c_{0})\}} και ισχύει l ≥ 1 {\displaystyle l\geq 1} , αφού c 0 {\displaystyle c_{0}} πρέπει να είναι μέρος της προπεριοδικής τροχιάς. Από το p {\displaystyle p} -th επακόλουθο προκύπτει μια κυκλική τροχιά γ = { f c p ( α ) , ⋯ , f c 2 p − 1 ( α ) } {\displaystyle \gamma =\{f_{c}^{p}(\alpha ),\cdots ,f_{c}^{2p-1}(\alpha )\}} και επομένως πρέπει να είναι p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} . Με επαγωγή μπορεί να αποδειχθεί ότι f c k ⋅ p ( α ) = f c p ( α ) {\displaystyle f_{c}^{k\cdot p}(\alpha )=f_{c}^{p}(\alpha )} ισχύει για κάθε k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } . Για την αρχική τιμή c = i {\displaystyle c=i} τα αποτελέσματα για f i : z ↦ z 2 + i {\displaystyle f_{i}\colon \ z\mapsto z^{2}+i\ } , με z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} η αναδρομική ακολουθία: 0 ↦ i ↦ i − 1 ↦ − i ↦ i − 1 ↦ … ↦ i − 1 ↦ − i ↦ i − 1 ↦ … {\displaystyle 0\ \mapsto \ i\ \mapsto \ i-1\ \mapsto -i\ \mapsto \ i-1\ \mapsto \ldots \mapsto \ i-1\ \mapsto -i\ \mapsto \ i-1\ \mapsto \ldots } .Η προπεριοδική τροχιά είναι { 0 , i } {\displaystyle \{0,i\}} και οδηγεί σε μια περιοδική τροχιά γ = { i − 1 , − i } {\displaystyle \gamma =\{i-1,-i\}} . Κατά συνέπεια, το i {\displaystyle i} είναι ένα σημείο Μισιουρέβιτς.Με αρχική τιμή c = − 1 2 {\displaystyle c=-{\tfrac {1}{2}}} για f − 1 / 2 : z ↦ z 2 − 1 2 {\displaystyle f_{-1/2}\colon \ z\mapsto z^{2}-{\tfrac {1}{2}}} με z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} η αναδρομική ακολουθία: 0 ↦ − 1 2 ↦ − 1 4 ↦ − 7 16 ↦ − 79 256 ↦ … {\displaystyle 0\ \mapsto -{\tfrac {1}{2}}\ \mapsto -{\tfrac {1}{4}}\ \mapsto -{\tfrac {7}{16}}\ \mapsto -{\tfrac {79}{256}}\ \mapsto \ldots } . c = − 1 2 {\displaystyle c=-{\tfrac {1}{2}}} δεν είναι σημείο Μισιουρέβιτς, διότι δεν υπάρχει ούτε προ-περιοδική τροχιά και ούτε περιοδική τροχιά. Dierk Schleicher: On Fibers and Local Connectivity of Mandelbrot and Multibrot Sets, in: M.Lapidus, M. van Frankenhuysen (eds): Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 72, Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία (2004), 477–507, 1999, pdf Αυτοομοιότητα Σύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Τζούλια Οικοδομήσιμο Σύμπαν