Αρχή του Χάμιλτον

Η αρχή του Χάμιλτον (Hamilton) είναι μία αρχή της φυσικής βάσει της οποίας τα φυσικά συστήματα συμπεριφέρονται έτσι ώστε το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δράση να στασιμοποιείται. Αυτή είναι μία αρχή η οποία φαίνεται να έχει γενική ισχύ στη φυσική και εφαρμόζεται σε διάφορα φυσικά συστήματα. Αρχικά, όμως, η αρχή αυτή εφαρμόστηκε σε κλασικά μηχανικά συστήματα.

 Η δράση (S) ενός συστήματος το οποίο βρισκόταν αρχικά στην κατάσταση Α και περιήλθε στην κατάσταση Β, είναι ένα φυσικό μέγεθος το οποίο ορίζεται ως εξής: S ≡ ∫ A B L ( a i , a i ˙ , a i ¨ , . . . , t ) d t {\displaystyle S\equiv \int _{A}^{B}L\left(a_{i},{\dot {a_{i}}},{\ddot {a_{i}}},...,t\right)dt} , όπου L είναι η Λαγκρανζιανή συνάρτηση του συστήματος και αi μέγεθος που περιγράφει το σύστημα, ενώ ο δείκτης i δείχνει τον αριθμό της συνιστώσας του διανύσματος.Το μέγεθος της δράσης έχει γενικά μονάδες: (Ενέργεια)•(Χρόνος). Όπως εξηγήθηκε και προηγουμένως η αρχή του Hamilton λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μία ακολουθία καταστάσεων για ένα σύστημα τέτοια ώστε η δράση S να στασιμοποιείται. Η στασιμοποίηση έγκειται στην μεταβολή της δράσης κατά τάξη ε2 ή μεγαλύτερης (δηλαδή ε3, ε4 κ.λ.π., κάτι που μαθηματικά συμβολίζεται ως Ο[ε2]), όταν το μέγεθος a → {\displaystyle {\vec {a}}} αλλάζει κατά τάξη ε ως: a i ~ = a i + ϵ ⋅ n i {\displaystyle {\tilde {a_{i}}}=a_{i}+\epsilon \cdot n_{i}} Το ni είναι μία συνεχής συνάρτηση που δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το μέγεθος ai και το ε δείχνει το μέγεθος της μεταβολής αυτής (το πόσο μεγάλη είναι η μεταβολή) και για την οποία πρέπει να ισχύει n i ( A ) = n i ( B ) = 0 {\displaystyle n_{i}(A)=n_{i}(B)=0} , απαιτείται δηλαδή από το μέγεθος a i ~ {\displaystyle {\tilde {a_{i}}}} να έχει ακριβώς την ίδια τιμή με το a i {\displaystyle a_{i}} στις καταστάσεις Α και Β της αρχής και του τέλους αντιστοίχως. Η εφαρμογή της αρχής του Hamilton σε ένα κλασικό μηχανικό σύστημα, μας οδηγεί στις εξισώσεις Euler - Lagrange που είναι οι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση και είναι ισοδύναμες με τον 2ο νόμο του Newton. Η Λαγκρανζιανή σε αυτήν την περίπτωση είναι της μορφής: L = L ( q ( t ) , q ( t ) ˙ , t ) {\displaystyle L=L\left(q(t),{\dot {q(t)}},t\right)} , όπου τα q είναι οι θέσεις του συστήματος (βλ. το άρθρο Λαγκρανζιανή συνάρτηση για το λόγο για τον οποίο απορρίφθηκε η υπόθεση η Λαγκρανζιανή στην περίπτωσή μας να είναι συνάρτηση και ανωτέρων παραγώγων της θέσης) και η δράση είναι εξ ορισμού ίση με: S ( q ) = ∫ t A t B L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t {\displaystyle S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt} . Υποθέτουμε ότι η q(t) είναι η τροχιά αυτή που ελαχιστοποιεί την δράση και q ( t ) ~ = q ( t ) + ϵ ⋅ n ( t ) {\displaystyle {\tilde {q(t)}}=q(t)+\epsilon \cdot n(t)} μία παρέκκλιση αυτής της τροχιάς. Η μεταβολή στη δράση θα είναι: Δ S = S ( q ~ ) − S ( q ) = ∫ t A t B L ( q ~ ( t ) , q ~ ˙ ( t ) , t ) d t − ∫ t A t B L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) d t = ∫ t A t B ( L ( q ~ ( t ) , q ~ ˙ ( t ) , t ) − L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) ) d t {\displaystyle \Delta S=S\left({\tilde {q}}\right)-S(q)=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)dt-\int _{t_{A}}^{t_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt=\int _{t_{A}}^{t_{B}}\left(L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)-L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)\right)dt} .Το ανάπτυγμα της L ( q ~ ( t ) , q ~ ˙ ( t ) , t ) {\displaystyle L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)} κατά Taylor δίνει: L ( q ~ ( t ) , q ~ ˙ ( t ) , t ) = L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) + ϵ ( ∂ L ∂ q n + ∂ L ∂ q ˙ n ˙ ) + O [ ϵ 2 ] {\displaystyle L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)=L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q}}n+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {n}}\right)+O\left[\epsilon ^{2}\right]} Συνεπώς, έχουμε: Δ S = ϵ ∫ t A t B ( ∂ L ∂ q n + ∂ L ∂ q ˙ n ˙ ) d t + O [ ϵ 2 ] = ϵ ∫ t A t B ( ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ) n d t + O [ ϵ 2 ] {\displaystyle \Delta S=\epsilon \int _{t_{A}}^{t_{B}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}n+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {n}}\right)dt+O\left[\epsilon ^{2}\right]=\epsilon \int _{t_{A}}^{t_{B}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)ndt+O\left[\epsilon ^{2}\right]} Βάσει της αρχής του Hamilton πρέπει να μηδενιστεί ο όρος τάξης ε, δηλαδή πρέπει να ισχύει πάντοτε: ∫ t A t B ( ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ) n d t = 0 {\displaystyle \int _{t_{A}}^{t_{B}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)ndt=0} Και επειδή η n είναι μία τυχαία συνάρτηση, οδηγούμαστε στην εξίσωση: d d t ∂ L ∂ q ˙ − ∂ L ∂ q = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0} η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Euler - Lagrange. Λαγκρανζιανή συνάρτηση Λαγκρανζιανή μηχανική Χαμιλτονιανή μηχανική Ιωάννου Πέτρος, Αποστολάτος Θ., Θεωρητική Μηχανική, Πανεπιστήμιο Αθηνών 2007 (έκδοση Β')