Θεώρημα του Θαλή

Στη γεωμετρία, το θεώρημα του Θαλή δηλώνει ότι αν τα A {\displaystyle \mathrm {A} } , B {\displaystyle \mathrm {B} } και Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } είναι διακριτά σημεία ενός κύκλου όπου η ευθεία A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } είναι διάμετρος, τότε η γωνία ∠ A B Γ {\displaystyle \angle \mathrm {AB\Gamma } } είναι ορθή γωνία. Το θεώρημα του Θαλή είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος της εγγεγραμμένης γωνίας και αναφέρεται και αποδεικνύεται ως μέρος της 31ης πρότασης στο τρίτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη. Γενικά αποδίδεται στον Θαλή, αλλά μερικές φορές αποδίδεται στον Πυθαγόρα.

 Τα τρίγωνα A O B {\displaystyle \mathrm {AOB} } και Γ O B {\displaystyle \mathrm {\Gamma OB} } είναι ισοσκελή, καθώς O A = O B {\displaystyle \mathrm {OA} =\mathrm {OB} } και O Γ = O B {\displaystyle \mathrm {O\Gamma } =\mathrm {OB} } ως ακτίνες του ίδιου κύκλου. Επομένως, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες: ∠ B A O = ∠ O B A {\displaystyle \angle \mathrm {BAO} =\angle \mathrm {OBA} } και ∠ B Γ O = ∠ Γ B O {\displaystyle \angle \mathrm {B\Gamma O} =\angle \mathrm {\Gamma BO} } .Επομένως, B ^ = ∠ A B Γ = ∠ B A Γ + ∠ B Γ A = A ^ + Γ ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}=\angle \mathrm {AB\Gamma } =\angle \mathrm {BA\Gamma } +\angle \mathrm {B\Gamma A} ={\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {\Gamma } }}} .Στο τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } έχουμε ότι το άθροισμα των γωνιών είναι 180 o {\displaystyle 180^{o}} άρα A ^ + B ^ + Γ ^ = 180 o ⇒ 2 ⋅ B ^ = 180 o ⇒ B ^ = 90 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }}+{\hat {\mathrm {\Gamma } }}=180^{o}\Rightarrow 2\cdot {\hat {\mathrm {B} }}=180^{o}\Rightarrow {\hat {\mathrm {B} }}=90^{o}} . Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή αν η γωνία ∠ A B Γ {\displaystyle \angle \mathrm {AB\Gamma } } είναι ορθή, τότε υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τα τρία σημεία και έχει διάμετρο την A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } . (Απόδειξη) Έστω M {\displaystyle \mathrm {M} } το μέσο της A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } . Θα αποδείξουμε ότι A M = B M = Γ M {\displaystyle \mathrm {AM} =\mathrm {BM} =\mathrm {\Gamma M} } και επομένως ο κύκλος με κέντρο M {\displaystyle \mathrm {M} } και ακτίνα A M {\displaystyle \mathrm {AM} } διέρχεται από τα σημεία A {\displaystyle \mathrm {A} } , B {\displaystyle \mathrm {B} } και Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } . Έστω M Δ {\displaystyle \mathrm {M\Delta } } η κάθετη στην A B {\displaystyle \mathrm {AB} } και M E {\displaystyle \mathrm {ME} } η κάθετη στην B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } . Άρα το B E M Δ {\displaystyle \mathrm {BEM\Delta } } είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και επομένως B Δ = M E {\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {ME} } και B E = M Δ {\displaystyle \mathrm {BE} =\mathrm {M\Delta } } . Επίσης, ∠ Δ M A = Γ ^ {\displaystyle \angle \mathrm {\Delta MA} ={\hat {\mathrm {\Gamma } }}} ως συμπληρωματικές γωνίες στην A ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}} στα τρίγωνα Δ M A {\displaystyle \mathrm {\Delta MA} } και A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Ακόμα ∠ E M Γ = A ^ {\displaystyle \angle \mathrm {EM\Gamma } ={\hat {\mathrm {A} }}} ως συμπληρωματικές γωνίες στην Γ ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {\Gamma } }}} στα τρίγωνα E M Γ {\displaystyle \mathrm {EM\Gamma } } και A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Επομένως, τα τρίγωνα A Δ M {\displaystyle \mathrm {A\Delta M} } και M E Γ {\displaystyle \mathrm {ME\Gamma } } είναι ίσα αφού έχουν μία πλευρά και τις δύο προκείμενες γωνίες ίσες. Επομένως, A Δ = M E = B Δ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } =\mathrm {ME} =\mathrm {B\Delta } } , άρα η M Δ {\displaystyle \mathrm {M\Delta } } είναι ύψος και διάμεσος στο M A B {\displaystyle \mathrm {MAB} } , άρα το M A B {\displaystyle \mathrm {MAB} } είναι και ισοσκελές με M A = M B {\displaystyle \mathrm {MA} =\mathrm {MB} } . Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. ◻ {\displaystyle \square } Δεν έχει διασωθεί τίποτα από τη γραφή του Θαλή. Το έργο που έγινε στην αρχαία Ελλάδα είχε την τάση να αποδίδεται σε ανθρώπους της σοφίας χωρίς σεβασμό σε όλα τα άτομα που συμμετείχαν σε συγκεκριμένες πνευματικές κατασκευές- αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τον Πυθαγόρα. Η απόδοση τείνει να γίνεται σε μεταγενέστερο χρόνο. Αναφορά στον Θαλή έγινε από τον Πρόκλο και από τον Διογένη Λαέρτιο, ο οποίος τεκμηριώνει τη δήλωση του Παμφίλα ότι ο Θαλής "ήταν ο πρώτος που έγραψε σε κύκλο ένα ορθογώνιο τρίγωνο". Οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί το γνώριζαν αυτό για ειδικές περιπτώσεις πριν το αποδείξει ο Θαλής. Πιστεύεται ότι ο Θαλής έμαθε ότι η γωνία που εγγράφεται σε ημικύκλιο είναι ορθή γωνία κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του στη Βαβυλώνα. Το θεώρημα πήρε το όνομά του από τον Θαλή, επειδή οι αρχαίες πηγές αναφέρουν ότι ήταν ο πρώτος που απέδειξε το θεώρημα, χρησιμοποιώντας τα δικά του αποτελέσματα ότι οι βασικές γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες και ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με μια ευθεία γωνία (180°). Στο Παράδεισο του Δάντη (τραγούδι 13, γραμμές 101-102) αναφέρεται το θεώρημα του Θαλή κατά τη διάρκεια μιας ομιλίας. Ορθογώνιο τρίγωνο Περιγεγραμμένος κύκλος Weisstein, Eric W., "Thales' Theorem" από το MathWorld. Schreiber, Michael, "Thales' Theorem" από το The Wolfram Demonstrations Project. Munching on Inscribed Angles. Thales' theorem explained (με διαδραστική κίνηση). Agricola, Ilka· Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. σελ. 50. ISBN 0-8218-4347-8.