Αξίωμα του κενού συνόλου

Στην αξιωματική θεωρία συνόλων, το αξίωμα του κενού συνόλου είναι μια πρόταση που ισχυρίζεται την ύπαρξη ενός συνόλου χωρίς στοιχεία. Αποτελεί αξίωμα της θεωρίας συνόλων Κρίπκε-Πλάτεκ και της παραλλαγής της γενικής θεωρίας συνόλων που ο Μπέργκες (2005) αποκαλεί "ST", και μια αποδεδειγμένη αλήθεια στη θεωρία συνόλων Ζερμέλο και στη θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ, με ή χωρίς το αξίωμα της επιλογής.

 Στην τυπική γλώσσα των αξιωμάτων Ζερμέλο-Φράνκελ, το αξίωμα έχει ως εξής: ∃ x ∀ y ¬ ( y ∈ x ) {\displaystyle \exists x\,\forall y\,\lnot (y\in x)} με άλλα λόγια : Υπάρχει ένα σύνολο τέτοιο ώστε κανένα στοιχείο να μην είναι μέλος του. Η θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ είναι μια επέκταση της θεωρίας συνόλων του Ζερμέλο του 1907, βασισμένη στα αξιώματα και τις προτάσεις του Φράνκελ του 1921. Ο Φράνκελ συμπλήρωσε το αξίωμα αντικατάστασης και υποστήριξε κανονικά σύνολα χωρίς κυκλικές αλυσίδες στοιχείων και μια καθαρή θεωρία συνόλων της οποίας τα αντικείμενα είναι μόνο σύνολα. Το 1930, ο Ζερμέλο ολοκλήρωσε το σύστημα αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράενκελ, το οποίο ο ίδιος ονόμασε σύστημα ZF: πήρε το αξίωμα αντικατάστασης του Φράενκελ και πρόσθεσε το αξίωμα θεμελίωσης για να αποκλείσει τις αλυσίδες κυκλικών στοιχείων, όπως ζήτησε ο Φράενκελ. Το αρχικό σύστημα ZF είναι λεκτικό και περιλαμβάνει επίσης πρωτογενή στοιχεία που δεν είναι σύνολα. Τα μεταγενέστερα τυποποιημένα συστήματα ZF γενικά απαλλάσσονται από τέτοια πρωτογενή στοιχεία και έτσι εφαρμόζουν πλήρως τις ιδέες του Φράνκελ. Η πρώτη ακριβής τυποποίηση της κατηγορηματικής λογικής της καθαρής θεωρίας συνόλων ZF δημιουργήθηκε από τον Θόραλφ Σκόλεμ το 1929 ( χωρίς ακόμα αξίωμα θεμελίωσης). Αυτή η παράδοση καθιερώθηκε σε τέτοιο βαθμό ώστε σήμερα η συντομογραφία ZF σημαίνει καθαρή θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράενκελ (Zermelo-Fraenkel pure set theory). Ωστόσο, η εκδοχή που είναι πιο κοντά στο αρχικό σύστημα ZF, με στοιχεία U, χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα και αναφέρεται ως ZFU για να διακρίνεται με σαφήνεια. Με βάση το αξίωμα της επεκτασιμότητας μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχει μόνο ένα κενό σύνολο. Εφόσον είναι μοναδικό, μπορούμε να του δώσουμε ένα όνομα. Ονομάζεται κενό σύνολο (συμβολίζεται με { } ή ∅). Το αξίωμα, διατυπωμένο σε φυσική γλώσσα, έχει ουσιαστικά ως εξής: Υπάρχει ένα κενό σύνολο.Αυτή η διατύπωση είναι ένα θεώρημα και θεωρείται αληθινή σε όλες τις εκδοχές της θεωρίας συνόλων. Η μόνη διαμάχη αφορά τον τρόπο με τον οποίο θα αιτιολογηθεί: μετατρέποντάς το σε αξίωμα- αντλώντας το από ένα αξίωμα της ύπαρξης συνόλων (ή της λογικής) και το αξίωμα του διαχωρισμού- αντλώντας το από το αξίωμα του απείρου- ή με κάποια άλλη μέθοδο.Σε ορισμένες διατυπώσεις της ZF, το αξίωμα του κενού συνόλου επαναλαμβάνεται στην πραγματικότητα στο αξίωμα του απείρου. Ωστόσο, υπάρχουν και άλλες διατυπώσεις αυτού του αξιώματος που δεν προϋποθέτουν την ύπαρξη κενού συνόλου. Τα αξιώματα της ZF μπορούν επίσης να γραφούν χρησιμοποιώντας ένα σταθερό σύμβολο που αναπαριστά το κενό σύνολο- το αξίωμα του απείρου χρησιμοποιεί τότε αυτό το σύμβολο χωρίς να απαιτεί να είναι κενό, ενώ το αξίωμα του κενού συνόλου χρειάζεται για να ισχυριστεί ότι είναι πράγματι κενό. Επιπροσθέτως, μερικές φορές εξετάζουμε θεωρίες συνόλων στις οποίες δεν υπάρχουν άπειρα σύνολα, και το αξίωμα του κενού συνόλου μπορεί να εξακολουθεί να είναι απαραίτητο. Ωστόσο, οποιοδήποτε αξίωμα στη θεωρία συνόλων ή στη λογική που συνεπάγεται την ύπαρξη οποιουδήποτε συνόλου θα συνεπάγεται την ύπαρξη του κενού συνόλου, αν το σχήμα αξιωμάτων διαχωρισμού είναι διαθέσιμο. Αυτό ισχύει, διότι το κενό σύνολο είναι ένα υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου που αποτελείται από τα στοιχεία που ικανοποιούν έναν αντιφατικό τύπο.Σε πολλές διατυπώσεις της κατηγορηματικής λογικής πρώτης τάξης, η ύπαρξη τουλάχιστον ενός αντικειμένου είναι πάντα δεδομένη. Αν η αξιωματοποίηση της θεωρίας συνόλων διατυπώνεται σε ένα τέτοιο λογικό σύστημα με αξιωματικό σχήμα το αξιωματικό σχήμα διαχωρισμού ως αξίωμα, και αν η θεωρία δεν κάνει διάκριση μεταξύ συνόλων και άλλων ειδών αντικειμένων (κάτι που ισχύει για τις θεωρίες ZF, KP και παρόμοιες θεωρίες), τότε η ύπαρξη του κενού συνόλου είναι θεώρημα. Αν ο διαχωρισμός δεν έχει διατυπωθεί ως αξιωματικό σχήμα, αλλά προκύπτει ως θεωρηματικό σχήμα από το σχήμα αντικατάστασης (όπως συμβαίνει μερικές φορές), η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη και εξαρτάται από την ακριβή διατύπωση του σχήματος αντικατάστασης. Η διατύπωση που χρησιμοποιείται στο αξιωματικό σχήμα του άρθρου αντικατάστασης επιτρέπει την κατασκευή της εικόνας F[a] μόνο όταν το a περιέχεται στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης της κλάσης F η εξαγωγή του διαχωρισμού απαιτεί τότε το αξίωμα του κενού συνόλου. Από την άλλη πλευρά, ο περιορισμός της ολότητας της F συχνά αφαιρείται από το σχήμα αντικατάστασης, οπότε συνεπάγεται το σχήμα διαχωρισμού χωρίς να χρησιμοποιείται το αξίωμα του κενού συνόλου (ή οποιοδήποτε άλλο αξίωμα για το θέμα αυτό). Burgess, John, 2005. Fixing Frege. Princeton Univ. Press. Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ISBN 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. (ISBN 3-540-44085-2). Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. (ISBN 0-444-86839-9). Οικοδομήσιμο Σύμπαν