Εκκεντρότητα

Η εκκεντρότητα είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζει κάθε κωνική τομή και κατ' επέκταση, και την τροχιά ενός ουράνιου σώματος γύρω από ένα άλλο, καθώς όλες οι τροχιές σε πεδίο βαρύτητας είναι κωνικές τομές. Η εκκεντρότητα συμβολίζεται διεθνώς με το γράμμα e {\displaystyle e\,\!} και ορίζεται ο σταθερός λόγος των αποστάσεων ενός τυχόντος σημείου μιας κωνικής τομής από ένα σημείο (την εστία) και από μια ευθεία καλούμενη διευθετούσα. Ουσιαστικά είναι ένα μέτρο του πόσο η κωνική τομή «απέχει» από το να είναι τέλειος κύκλος. Ειδικότερα: Η εκκεντρότητα ενός κύκλου είναι μηδέν Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι μεγαλύτερη του μηδενός και μικρότερη του 1 Η εκκεντρότητα της παραβολής είναι ακριβώς 1 Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι μεγαλύτερη του 1 και πεπερασμένη Η εκκεντρότητα μιας ευθείας είναι 1 ή άπειρο, ανάλογα με τον ορισμό.Συνεπώς, αντίστροφα, εκ του μέτρου μιας εκκεντρότητας είναι δυνατή η αντίληψη του σχήματος της κωνικής τομής της παραγωγής της.

 Ο μαθηματικός τύπος που δίνει την εκκεντρότητα είναι: e = 1 − k b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-k{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\,\!} όπου a {\displaystyle a\,\!} είναι το μήκος του μεγάλου ημιάξονα της κωνικής τομής, b {\displaystyle b\,\!} το μήκος του μικρού ημιάξονα, και το k {\displaystyle k\,\!} είναι ίσο με +1 για την έλλειψη, 0 για την παραβολή και -1 για την υπερβολή. Λέγεται επίσης πρώτη εκκεντρότητα όταν χρειάζεται να διακριθεί από τη δεύτερη εκκεντρότητα e', που χρησιμοποιείται μερικές φορές για ευκολία στους υπολογισμούς. Η δεύτερη εκκεντρότητα είναι: e ′ = k a 2 b 2 − 1 {\displaystyle e'={\sqrt {k{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}\,\!} και σχετίζεται με την πρώτη εκκεντρότητα μέσω της εξίσωσης: 1 = ( 1 − e 2 ) ( 1 + e ′ 2 ) {\displaystyle 1=(1-e^{2})(1+e'^{2})\,\!} Σε μια έλλειψη, όπου το μήκος του μεγάλου ημιάξονα είναι a {\displaystyle a\,\!} και το μήκος του μικρού ημιάξονα b {\displaystyle b\,\!} η εκκεντρότητα, e {\displaystyle e\,\!} , είναι το ημίτονο της γωνιακής εκκεντρότητας, που δίνεται από τον τύπο: o ε = arccos ⁡ ( b a ) = 2 arctan ⁡ ( a − b a + b ) {\displaystyle o\!\varepsilon =\arccos \left({\frac {b}{a}}\right)=2\arctan \left({\sqrt {\frac {a-b}{a+b}}}\right)\,\!} e = sin ⁡ ( o ε ) = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e=\sin(o\!\varepsilon )={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\,\!} Η εκκεντρότητα είναι ο λόγος της απόστασης μεταξύ των εστιών ( F 1 {\displaystyle F_{1}\,\!} και F 2 {\displaystyle F_{2}\,\!} ) προς το μήκος του μεγάλου άξονα ( A B {\displaystyle AB\,\!} ): ( F 1 F 2 ¯ A B ¯ ) {\displaystyle {}_{\left({\frac {\overline {F_{1}F_{2}}}{\overline {AB}}}\right)}\,\!} . Παρόμοια, η δεύτερη εκκεντρότητα είναι η εφαπτομένη της γωνιακής εκκεντρότητας: e ′ = tan ⁡ ( o ε ) = a 2 b 2 − 1 {\displaystyle e'=\tan(o\!\varepsilon )={\sqrt {{\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1}}\,\!} Μια ευθεία ή ευθύγραμμο τμήμα μπορεί να θεωρηθεί ως έλλειψη με μικρό άξονα μηδενικού μήκους. Έτσι το b είναι μηδέν, κι αν αντικαταστήσουμε αυτή την τιμή στην εξίσωση της εκκεντρότητας, το αποτέλεσμα είναι 1. Αν ορίσουμε μια κωνική τομή ως τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Q γύρω από ένα σημείο P και τη διευθετούσα L, όπου P Q ¯ = e L Q ¯ {\displaystyle {\overline {PQ}}=e{\overline {LQ}}} με L Q ¯ {\displaystyle {\overline {LQ}}} την κάθετη απόσταση από τη διευθετούσα στο Q και e η εκκεντρότητα, τότε η τιμή e=∞ θα δώσει μια ευθεία. Για κάθε υπερβολή, ο τύπος που δίνει την εκκεντρότητα είναι: e = 1 + b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\,\!} με a {\displaystyle a\,\!} το μήκος του μεγάλου ημιάξονα και b {\displaystyle b\,\!} το μήκος του μικρού ημιάξονα. Η εκκεντρότητα μιας επιφάνειας είναι η εκκεντρότητα μιας ορισμένη τομής της. Για παράδειγμα, σε ένα τρισδιάστατο ελλειψοειδές η μεσημβρινή εκκεντρότητα είναι αυτή της έλλειψης που σχηματίζεται από μια τομή που περιέχει το μεγάλο και το μικρό άξονα (ένας από τους οποίους θα είναι ο πολικός άξονας) και η ισημερινή εκκεντρότητα είναι της έλλειψης που δημιουργείται από μια τομή που διέρχεται από το κέντρο, κάθετα στον πολικό άξονα. Σύμφωνα με τα αξιώματα της Αστροδυναμικής, κάθε τροχιά ενός σώματος γύρω από ένα άλλο σε πεδίο βαρυτικών δυνάμεων είναι κωνική τομή. Η εκκεντρότητα αυτής της κωνικής τομής, ή αλλιώς τροχιακή εκκεντρότητα ή εκκεντρότητα τροχιάς, είναι σημαντική παράμετρος που καθορίζει το σχήμα της, και εξαρτάται μεταξύ άλλων και από τα ενεργειακά χαρακτηριστικά της. Όπως και στον μαθηματικό ορισμό της, η εκκεντρότητα της τροχιάς ( e {\displaystyle e\,\!} ) παίρνει τις ακόλουθες τιμές για κυκλική τροχιά: e = 0 {\displaystyle e=0\,\!} για ελλειπτική τροχιά: 0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1\,\!} για παραβολική τροχιά: e = 1 {\displaystyle e=1\,\!} για υπερβολική τροχιά: e > 1 {\displaystyle e>1\,\!} Για τις ελλειπτικές τροχιές μπορεί εύκολα να αποδειχτεί ότι το sin−1 e {\displaystyle e} δίνει τη γωνία προβολής ενός τέλειου κύκλου σε έλλειψη εκκεντρότητας e {\displaystyle e} . Έτσι, για να πάρουμε μια ιδέα της εκκεντρότητας της τροχιάς π.χ. του Ερμή (με εκκεντρότητα 0.2056), υπολογίζουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο γωνία προβολής 11,86ο. Αν τώρα γείρουμε ένα κυκλικό αντικείμενο, ιδωμένο από πάνω, κατ' αυτή τη γωνία σε σχέση με το οριζόντιο, η φαινόμενη έλλειψη που θα αντικρίσουμε θα έχει την ίδια εκκεντρότητα με την τροχιά του πλανήτη. Η εκκεντρότητα μιας τροχιάς μπορεί να υπολογιστεί από τα διανύσματα της θέσης και της ταχύτητας ενός κινητού ως μέτρο του διανύσματος της εκκεντρότητας: e = | e | {\displaystyle e=\left|\mathbf {e} \right|} όπου e {\displaystyle \mathbf {e} \,\!} είναι το διάνυσμα της εκκεντρότητας. Για τις ελλειπτικές τροχιές μπορεί επίσης να υπολογιστεί από την απόσταση ανάμεσα στο περίκεντρο και το απόκεντρο: e = d a − d p d a + d p {\displaystyle e={{d_{a}-d_{p}} \over {d_{a}+d_{p}}}} = 1 − 2 ( d a / d p ) + 1 {\displaystyle =1-{\frac {2}{(d_{a}/d_{p})+1}}} όπου: d p {\displaystyle d_{p}\,\!} είναι η απόσταση στο περίκεντρο (πλησιέστερο σημείο της τροχιάς στο κέντρο), d a {\displaystyle d_{a}\,\!} είναι η απόσταση στο απόκεντρο (στο σημείο της τροχιάς που απέχει περισσότερο από το κέντρο). Η εκκεντρότητα της τροχιάς της Γης είναι σήμερα 0,0167. Με το πέρασμα των αιώνων, η εκκεντρότητα αυτή μεταβάλλεται από σχεδόν 0 σε περίπου 0,05, ως αποτέλεσμα της βαρυτικής αλληλεπίδρασης με τα άλλα σώματα του ηλιακού συστήματος. Ο πλανήτης Ερμής (με εκκεντρότητα 0,2056) είναι ο πλανήτης με την πιο έκκεντρη τροχιά στο ηλιακό μας σύστημα. Πριν τον επανακαθορισμό της έννοιας του πλανήτη από τη Διεθνή Αστρονομική Ένωση το 2006, ο πλανήτης νάνος Πλούτωνας κατείχε τον τίτλο, με εκκεντρότητα 0,248. Η τροχιά της Σελήνης επίσης χαρακτηρίζεται από μεγάλη εκκεντρότητα (0,0554) σε σχέση με τις τροχιές άλλων σωμάτων του ηλιακού συστήματος. Οι περισσότεροι αστεροειδείς έχουν εκκεντρότητες μεταξύ 0 και 0,35, με μέση τιμή 0,17. Οι μεγάλες αυτές τιμές οφείλονται στη βαρυτική επίδραση του Δία και σε παλαιότερες συγκρούσεις. Η εκκεντρότητα των κομητών είναι συνήθως κοντά στο 1. Οι περιοδικοί κομήτες έχουν τροχιές μεγάλης εκκεντρότητας, λίγο κάτω από 1. Η ελλειπτική τροχιά του Κομήτη του Χάλεϊ έχει εκκεντρότητα 0,967. Οι μη-περιοδικοί κομήτες, δηλαδή αυτοί που δεν επιστρέφουν στο ηλιακό μας σύστημα, ακολουθούν σχεδόν παραβολικές τροχιές κι έτσι η εκκεντρότητά τους πλησιάζει το 1. Παραδείγματα αποτελούν ο Κομήτης Χέιλ-Μποπ με 0.995086 και ο Κομήτης Μακνώτ με 1.000030. Ο κομήτης Χέιλ Μποπ έχει εκκεντρότητα μικρότερη του 1, δηλαδή η τροχιά του είναι ελλειπτική και τελικά θα επιστρέψει, όμως αυτό θα συμβεί το έτος 4.380. Η τροχιά του κομήτη Μακνώτ, από την άλλη, είναι υπερβολική κι έτσι ο κομήτης θα εγκαταλείψει το ηλιακό σύστημα για πάντα. Ο Τρίτωνας, ο μεγαλύτερος δορυφόρος του πλανήτη Ποσειδώνα, πιστεύεται ότι είναι το μοναδικό ουράνιο σώμα στο δικό μας ηλιακό σύστημα του οποίου η τροχιά είναι απόλυτα κυκλική με εκκεντρότητα μηδέν. Η εκκεντρότητα της τροχιάς των πλανητών και των νάνων πλανητών του ηλιακού μας συστήματος παρατίθεται στους παρακάτω πίνακες(*). Η διάρκεια των εποχών είναι ανάλογη με το εμβαδό που σαρώνει το διάνυσμα θέσης της Γης μεταξύ ισημεριών και ηλιοστασίων, κι έτσι όταν η εκκεντρότητα είναι μεγάλη οι εποχές που εμφανίζονται όταν ο πλανήτης είναι στο πιο απομακρυσμένο σημείο της τροχιάς του (αφήλιο) θα είναι μεγαλύτερες σε διάρκεια. Σήμερα, ο χειμώνας και το φθινόπωρο του βόρειου ημισφαιρίου εμφανίζονται στο περιήλιο, όταν η Γη κινείται με την μεγαλύτερη ταχύτητα πάνω στην τροχιά της. Ως αποτέλεσμα, οι δυο αυτές εποχές είναι λίγο συντομότερες από την άνοιξη και το καλοκαίρι, Το 2006, το καλοκαίρι ήταν 4,66 μέρες μεγαλύτερο από το χειμώνα και η άνοιξη 2,9 μέρες μεγαλύτερη σε διάρκεια από το φθινόπωρο. Η μετάπτωση των ισημεριών μεταβάλλει σιγά-σιγά το σημείο της τροχιάς όπου σημειώνονται τα ηλιοστάσια και οι ισημερίες. Μέσα στα επόμενα 10.000 χρόνια, οι χειμώνες του βόρειου ημισφαιρίου θα γίνουν προοδευτικά μεγαλύτεροι σε διάρκεια και τα καλοκαίρια μικρότερα. Η θερμοκρασία του πλανήτη όμως δεν θα ελαττωθεί λόγω αυτού του γεγονότος, καθώς η εκκεντρότητα της τροχιάς της Γης θα έχει πέσει τότε στη μισή τιμή από τη σημερινή, κάτι που σημαίνει μικρότερη μέση απόσταση από τον Ήλιο και μεγαλύτερες θερμοκρασίες λόγω μεγαλύτερης εισροής ηλιακής ενέργειας. Κατά την παρατήρηση και μέτρηση των στοιχείων των τροχιών των ουρανίων σωμάτων, όπως είναι η εκκεντρότητα, ή άλλων φυσικών παραμέτρων, απαραίτητα σημειώνεται η ημερομηνία παρατήρησης και η ώρα GMT εκ των αστρονομικών εφημερίδων. Για παράδειγμα η εκκεντρότητα του Άρη στις 16 Μαρτίου 1966 σε 0 ώρα εφημερίδων ήταν 0,093374.