Διαγώνιος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, διαγώνιος πίνακας είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε n × n {\displaystyle n\times n} πίνακας D {\displaystyle D} , ο οποίος ικανοποιεί D i j = 0 {\displaystyle D_{ij}=0} για κάθε i ≠ j {\displaystyle i\neq j} και 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} . Για n = 2 , 3 , 4 {\displaystyle n=2,3,4} , κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων n × n {\displaystyle n\times n} έχει αντίστοιχα την μορφή: [ d 1 0 0 d 2 ] ⏟ 2 × 2 [ d 1 0 0 0 d 2 0 0 0 d 3 ] ⏟ 3 × 3 [ d 1 0 0 0 0 d 2 0 0 0 0 d 3 0 0 0 0 d 4 ] ⏟ 4 × 4 {\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0\\0&d_{2}&0\\0&0&d_{3}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&0\\0&d_{2}&0&0\\0&0&d_{3}&0\\0&0&0&d_{4}\end{bmatrix}} _{4\times 4}} για κάποια στοιχεία d 1 , d 2 , d 3 , d 4 {\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}} . Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία d 1 , d 2 , … , d n {\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n}} στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής: diag ⁡ ( d 1 , d 2 , … , d n ) = [ d 1 0 … 0 0 d 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … d n ] . {\displaystyle \operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})={\begin{bmatrix}d_{1}&0&\ldots &0\\0&d_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &d_{n}\end{bmatrix}}.}

 Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις n × n {\displaystyle n\times n} για n = 2 , 3 , 4 {\displaystyle n=2,3,4} αντίστοιχα: [ 5 0 0 2 ] [ 7 0 0 0 − 3 0 0 0 2.2 ] [ 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 8.3 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&0\\0&2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}7&0&0\\0&-3&0\\0&0&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}21&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-8.3&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}} Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας 0 n , n = diag ⁡ ( 0 , … , 0 ) {\displaystyle \mathbf {0} _{n,n}=\operatorname {diag} (0,\ldots ,0)} είναι διαγώνιος. Ο μοναδιαίος πίνακας I n = diag ⁡ ( 1 , … , 1 ) {\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,\ldots ,1)} είναι διαγώνιος. Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων A = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle A=\operatorname {diag} (a_{1},\ldots ,a_{n})} και B = diag ⁡ ( b 1 , … , b n ) {\displaystyle B=\operatorname {diag} (b_{1},\ldots ,b_{n})} είναι διαγώνιος και ίσoς με A + B = diag ⁡ ( a 1 + b 1 , … , a n + b n ) {\displaystyle A+B=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})} .Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων A = diag ⁡ ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle A=\operatorname {diag} (a_{1},\ldots ,a_{n})} και B = diag ⁡ ( b 1 , … , b n ) {\displaystyle B=\operatorname {diag} (b_{1},\ldots ,b_{n})} είναι διαγώνιος και ίσος με A B = diag ⁡ ( a 1 ⋅ b 1 , … , a n ⋅ b n ) {\displaystyle AB=\operatorname {diag} (a_{1}\cdot b_{1},\ldots ,a_{n}\cdot b_{n})} . Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } A m = diag ⁡ ( a 1 m , … , a n m ) {\displaystyle A^{m}=\operatorname {diag} (a_{1}^{m},\ldots ,a_{n}^{m})} .Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα D = diag ⁡ ( d 1 , … , d n ) {\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})} με ένα στοιχείο c {\displaystyle c} είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με c D = diag ⁡ ( c ⋅ d 1 , … , c ⋅ d n ) {\displaystyle cD=\operatorname {diag} (c\cdot d_{1},\ldots ,c\cdot d_{n})} .Το ίχνος ενός διαγωνίου πίνακα D = diag ⁡ ( d 1 , … , d n ) {\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})} είναι το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή tr ⁡ ( D ) = d 1 + d 2 + … + d n {\displaystyle \operatorname {tr} (D)=d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{n}} .Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα D = diag ⁡ ( d 1 , … , d n ) {\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})} είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή:49 det ⁡ ( D ) = d 1 ⋅ d 2 ⋅ … ⋅ d n {\displaystyle \operatorname {det} (D)=d_{1}\cdot d_{2}\cdot \ldots \cdot d_{n}} . Από αυτό προκύπτει ότι ένας διαγώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι διάφορα του μηδέν.Αν D = diag ⁡ ( d 1 , … , d n ) {\displaystyle D=\operatorname {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})} με d 1 ≠ 0 , … , d n ≠ 0 {\displaystyle d_{1}\neq 0,\ldots ,d_{n}\neq 0} , τότε:39 D − 1 = diag ⁡ ( d 1 − 1 , … , d n − 1 ) {\displaystyle D^{-1}=\operatorname {diag} (d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}^{-1})} , που επιβεβαιώνεται από την ιδιότητα του γινομένου, καθώς D − 1 D = D D − 1 = diag ⁡ ( d 1 d 1 − 1 , … , d n d n − 1 ) = diag ⁡ ( 1 , … , 1 ) = I {\displaystyle D^{-1}D=DD^{-1}=\operatorname {diag} (d_{1}d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}d_{n}^{-1})=\operatorname {diag} (1,\ldots ,1)=I} .