Ισοσκελές τρίγωνο

Στην γεωμετρία, ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο του οποίου δύο πλευρές (και γωνίες) είναι ίσες μεταξύ τους. Για παράδειγμα, στο σχήμα το τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } έχει A B = A Γ {\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } } και επομένως είναι ισοσκελές. Χαρακτηριστική ιδιότητα των ισοσκελών τριγώνων είναι ότι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της κορυφής A {\displaystyle \mathrm {A} } ταυτίζονται. Ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου είναι το ισόπλευρο τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές (και γωνίες ίσες).

 Στα ισοσκελή τρίγωνα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες.Απόδειξη ( ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } ): Θεωρούμε το ισοσκελές τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } , όπου A B = A Γ {\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } } . Φέρνουμε τη διχοτόμο A Δ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } . Τα τρίγωνα A B Δ {\displaystyle \mathrm {AB\Delta } } και A Γ Δ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma \Delta } } είναι τότε ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, επομένως θα είναι B ^ = Γ ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}} (ισότητα γωνιών). Απόδειξη ( ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } ): Θεωρούμε το τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με B ^ = Γ ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}} . Φέρνουμε το ύψος A H {\displaystyle \mathrm {AH} } του τριγώνου από την κορυφή A {\displaystyle \mathrm {A} } . Τα τρίγωνα A H B {\displaystyle \mathrm {AHB} } και A H Γ {\displaystyle \mathrm {AH\Gamma } } έχουν δύο γωνίες ίσες και μία αντίστοιχη πλευρά ίση. Επομένως, από το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας έχουμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Συνεπώς, A B = A Γ {\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } } . Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με A B = A Γ {\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } } η διάμεσος μ α {\displaystyle \mu _{\alpha }} , η διχοτόμος δ α {\displaystyle \delta _{\alpha }} , το ύψος του u α {\displaystyle u_{\alpha }} και η ευθεία του Όιλερ του τριγώνου ταυτίζονται.Απόδειξη: Το ισοσκελές τρίγωνο έχει 2 πλευρές ίσες. Φέρνοντας τη διάμεσο του προς τη βάση του παρατηρούμε ότι δημιουργούνται 2 τρίγωνα που έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες, επομένως και τα τρίγωνα είναι ίσα. Οι δύο γωνίες που δημιουργούνται από τη διάμεσο και τη βάση είναι ίσες και παραπληρωματικές, άρα είναι ορθές, δηλαδή η διάμεσος είναι και ύψος. Επίσης λόγω της ισότητας των τριγώνων οι δύο γωνίες που έχει σχηματίσει η διάμεσος στην κορυφή του τριγώνου είναι ίσες, άρα η διάμεσος είναι και διχοτόμος της γωνίας που βαίνει στη βάση. Επειδή τώρα σε μία πλευρά τριγώνου αντιστοιχεί μοναδική διάμεσος, μοναδικό ύψος και στη γωνία που βαίνει σε μια πλευρά τριγώνου αντιστοιχεί μοναδική διχοτόμος, η παραπάνω απόδειξη αρκεί για να πούμε ότι η διχοτόμος της γωνίας με κορυφή την κορυφή ισοσκελούς τριγώνου είναι και το ύψος και η διάμεσος προς τη βάση του καθώς και για το ότι το ύψος προς τη βάση ισοσκελούς τριγώνου διχοτομεί την γωνία της κορυφής και είναι διάμεσος προς τη βάση. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η ευθεία Όιλερ εκτός του περίκεντρου, ορθόκεντρου και βαρυκέντρου περιλαμβάνει και το έγκεντρο του τριγώνου.Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν η διχοτόμος της A {\displaystyle \mathrm {A} } είναι και ύψος.Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν η διχοτόμος της A {\displaystyle \mathrm {A} } είναι και διάμεσος.Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν η διάμεσος που αντιστοιχεί στην κορυφή A {\displaystyle \mathrm {A} } είναι και ύψος.Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο ύψη είναι ίσα.(Θεώρημα Steiner–Lehmus) Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διχοτόμοι είναι ίσες. Το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή A {\displaystyle \mathrm {A} } δίνεται από u α = β 2 − ( α 2 ) 2 {\displaystyle u_{\alpha }={\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}} . Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από E = α 2 ⋅ u α = α 2 ⋅ β 2 − ( α 2 ) 2 {\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {\alpha }{2}}\cdot u_{\alpha }={\tfrac {\alpha }{2}}\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}} και E = 1 2 ⋅ α 2 ⋅ sin ⁡ ϕ {\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha ^{2}\cdot \sin \phi } , όπου ϕ {\displaystyle \phi } η γωνία προσκείμενη στη βάση α {\displaystyle \alpha } .Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου δίνεται από R = β 2 2 β 2 − ( α 2 ) 2 {\displaystyle R={\frac {\beta ^{2}}{2{\sqrt {\beta ^{2}-\left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)^{2}}}}}} . Η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου με μία πλευρά πάνω στην βάση του τριγώνου είναι S = α ⋅ u α α + u α {\displaystyle S={\frac {\alpha \cdot u_{\alpha }}{\alpha +u_{\alpha }}}} . Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες: Οι προσκείμενες γωνίες είναι 45°. Η υποτείνουσα έχει μήκος x 2 {\displaystyle x{\sqrt {2}}} αν x {\displaystyle x} το μήκος των δύο κάθετων πλευρών. Το εμβαδόν του είναι 1 2 x 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}} . Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το A B Δ Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Delta \Gamma } } στο σχήμα). Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες: Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Όλες οι γωνίες είναι 60 o {\displaystyle 60^{o}} μοίρες. Το εμβαδόν του τριγώνου είναι x 3 4 {\displaystyle {\tfrac {x{\sqrt {3}}}{4}}} , όπου x {\displaystyle x} το μήκος των πλευρών. To ισοσκελές τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με γωνίες A ^ = 120 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}=120^{o}} και B ^ = Γ ^ = 30 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=30^{o}} έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες αρκετές από τις οποίες προκύπτουν από το γεγονός ότι μπορεί να χωριστεί σε τρία τρίγωνα εκ των οποίων το ένα είναι ισόπλευρο και τα άλλα δύο είναι ισοσκελή και όμοια με το αρχικό. Το ισοσκελές τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με γωνίες A ^ = 20 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}=20^{o}} και B ^ = Γ ^ = 80 o {\displaystyle {\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}=80^{o}} έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μία από αυτές είναι η ιδιότητα ότι υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα με πλευρά ίση με την βάση του. H Roza Leiki ισοσκελή τρίγωνα στα οποία ισχύουν γενικεύσεις των ιδιοτήτων αυτών των τριγώνων. Το χρυσό τρίγωνο είναι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές ϕ , ϕ 2 {\displaystyle \phi ,\phi ^{2}} και ϕ 2 {\displaystyle \phi ^{2}} , όπου ϕ {\displaystyle \phi } η χρυσή τομή. Το τρίγωνο αυτό είναι το ένα δέκατο ενός δεκαγώνου. Έχει διάφορες ιδιότητες, όπως το ότι μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. Οι μετρικές σχέσεις μίας χορδής A B {\displaystyle \mathrm {AB} } (για παράδειγμα η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου) προκύπτουν θεωρώντας το ισοσκελές τρίγωνο O A B {\displaystyle \mathrm {OAB} } , όπου O A = O B {\displaystyle \mathrm {OA} =\mathrm {OB} } ως ακτίνες του κύκλου. Ένα οξυγώνιο τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } μπορεί να χωριστεί σε τρία ισοσκελή τρίγωνα, χρησιμοποιώντας το κέντρο O {\displaystyle \mathrm {O} } του περιγεγραμμένου του κύκλου. Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες και διχοτομούνται, επομένως δημιουργούν τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, τα A B O , B Γ O , Γ Δ O {\displaystyle \mathrm {ABO} ,\mathrm {B\Gamma O} ,\mathrm {\Gamma \Delta O} } και Δ A O {\displaystyle \mathrm {\Delta AO} } . Αντίστοιχα, σε έναν ρόμβο κάθε μία από τις διαγώνιους του τον χωρίζουν σε δύο ισοσκελή τρίγωνα. Ορισμένα ισοσκελή τρίγωνα χρησιμοποιούνται για να πλακοστρώσουν το επίπεδο, όπως η πλακόστρωση tetrakis που χρησιμοποιεί ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ή η πλακόστρωση triakis που χρησιμοποιεί τα ισοσκελή τρίγωνα με γωνίες 30-30-120. Οι σημαίες κάποιων χωρών, καθώς και τα σήματα διαφόρων εταιρειών και οργανισμών έχουν ισοσκελή τρίγωνα για αισθητικούς λόγους. Στην αρχιτεκτονική και την μηχανική το ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιείται σε αρκετές κατασκευές. Για παράδειγμα, το σχήμα των στεγών, στις διατάξεις των δοκών στις γέφυρες και σε τμήματα εκκλησιών. Ισόπλευρο τρίγωνο Ισοσκελές τραπέζιο