Αριθμός

Ένας αριθμός είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που χρησιμοποιείται για υπολογισμό, κατάταξη στοιχείων και μέτρηση. Στα μαθηματικά, ο ορισμός του αριθμού έχει επεκταθεί με την πάροδο των χρόνων να περιλαμβάνει τέτοιους αριθμούς όπως το 0, αρνητικούς αριθμούς, ρητούς αριθμούς, άρρητους αριθμούς και μιγαδικούς αριθμούς. Οι μαθηματικές πράξεις είναι ορισμένες διαδικασίες, που λαμβάνουν έναν ή περισσότερους αριθμούς ως είσοδο και παράγουν έναν αριθμό ως έξοδο. Οι μονομελείς πράξεις λαμβάνουν έναν αριθμό εισόδου και παράγουν ένα μοναδικό αριθμό. Για παράδειγμα, η πράξη για την εύρεση διαδοχικών αριθμών, προσθέτει 1 σε ένα ακέραιο, και έτσι ο διάδοχος του 4 είναι 5. Οι δυαδικές πράξεις λαμβάνουν δύο αριθμούς εισόδου και παράγουν ένα μοναδικό αριθμό. Παραδείγματα δυαδικών πράξεων είναι η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη. Η μελέτη των αριθμητικών πράξεων λέγεται αριθμητική. Ένα σύμβολο που αντιπροσωπεύει έναν αριθμό ονομάζεται αριθμητικό. Εκτός από τη χρήση τους στον υπολογισμό και τη μέτρηση,οι αριθμοί χρησιμοποιούνται συχνά για ετικέτες (αριθμοί τηλεφώνου), για διάταξη (αύξοντες αριθμούς), και για τους κωδικούς (π.χ., τα ISBN) Γενικά, η λέξη αριθμός μπορεί να σημαίνει το αφηρημένο αντικείμενο, το σύμβολο ή τη λέξη αριθμό.

 Οι διαφορετικοί τύποι των αριθμών χρησιμοποιούνται σε πολλές περιπτώσεις. Οι αριθμοί μπορούν να ταξινομηθούν σε σύνολα, που ονομάζονται αριθμητικά συστήματα. Οι πιο γνωστοί αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί :1, 2, 3, και ούτω καθεξής. Παραδοσιακά, η ακολουθία των φυσικών αριθμών ξεκίνησε με 1 (το 0 δεν ήταν καν αριθμός για τους αρχαίους Έλληνες). Ωστόσο, τον 19ο αιώνα, που οι θεωρητικοί μαθηματικοί και άλλοι άρχισαν να συμπεριλαμβάνουν το 0 (κενό σύνολο, δηλαδή 0 στοιχεία, όπου το 0 είναι ο μικρότερος πληθικός αριθμός)στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Σήμερα, διαφορετικοί μαθηματικοί χρησιμοποιούν τον όρο για να περιγράψουν τα δύο σύνολα, συμπεριλαμβανομένου του 0 ή όχι. Το μαθηματικό σύμβολο για το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών είναι N, επίσης, γράφεται N {\displaystyle \mathbb {N} } , και μερικές φορές N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} ή N 1 {\displaystyle \mathbb {N} _{1}} όταν είναι απαραίτητο να δηλώνεται εάν το σύνολο έχει ως αρχή 0 ή 1 αντιστοίχως. Στο σύστημα αρίθμησης με βάση το 10, με σχεδόν καθολική χρήση σήμερα για τις μαθηματικές πράξεις, τα σύμβολα για τους φυσικούς αριθμούς γράφονται χρησιμοποιώντας δέκα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, και 9. Σε αυτό το σύστημα,το δεξιότερο ψηφίο ενός φυσικού αριθμού έχει τιμή θέσεως 1 και κάθε άλλο ψηφίο έχει αξία, δέκα φορές μεγαλύτερη από την αξία του ψηφίου στα δεξιά του. Στην θεωρία των συνόλων, η οποίο είναι σε θέση να ενεργεί ως αξιωματική θεμελίωση των σύγχρονων μαθηματικών,οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με τις κατηγορίες των ισοδύναμων συνόλων. Για παράδειγμα, ο αριθμός 3, μπορεί να παρασταθεί ως η τάξη όλων των συνόλων που έχουν ακριβώς τρία στοιχεία. Εναλλακτικά, στην αριθμητική Peano, ο αριθμός 3 εκπροσωπήθηκαν ως sss0, όπου s είναι η «διάδοχος» λειτουργίας (δηλαδή, 3 είναι ο τρίτος διάδοχος του 0). Πολλές διαφορετικές παραστάσεις είναι δυνατές. Το μόνο που χρειάζεται είναι να γραφεί ένα συγκεκριμένο σύμβολο ή πρότυπο συμβόλων τρεις φορές. Το αρνητικό από ένα θετικό ακέραιο ορίζεται ως ένας αριθμός που παράγει μηδέν όταν προστίθεται στο αντίστοιχο θετικό ακέραιο.Οι αρνητικοί αριθμοί συνήθως γράφονται με αρνητικό πρόσημο. Για παράδειγμα, το αρνητικό του 7 γράφεται -7, και 7 + (−7) = 0. Όταν το σύνολο των αρνητικών αριθμών συνδυάζεται με το σύνολο των φυσικών αριθμών (το οποίο περιλαμβάνει το 0), το αποτέλεσμα ορίζεται ως το σύνολο των ακεραίων, Ζ που επίσης γράφεται Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . Εδώ το γράμμα Ζ προέρχεται από τη γερμανική Zahl, που σημαίνει "αριθμός". Το σύνολο των ακεραίων σχηματίζει ένα δακτύλιο με πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Ένας ρητός αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμητή και ένα μη-μηδενικό φυσικό αριθμό παρονομαστή. Τα κλάσματα γράφονται ως δύο αριθμούς, τον αριθμητή και τον παρονομαστή, με μια διαχωριστική γραμμή μεταξύ τους. Στο κλάσμα γράφουμε m⁄n ή m n {\displaystyle m \over n\,} το m αντιπροσωπεύει τα ίσα μέρη,όπου τα n ίσα μέρη αυτού του μεγέθους αποτελούν m σύνολα. Δύο διαφορετικά κλάσματα μπορεί να αντιστοιχούν στον ίδιο ρητό αριθμό. Για παράδειγμα 1⁄2 και 2⁄4 είναι ίσα, δηλαδή: 1 2 = 2 4 . {\displaystyle {1 \over 2}={2 \over 4}.\,} Εάν η απόλυτη τιμή του m είναι μεγαλύτερη από το n τότε η απόλυτη τιμή του κλάσματος είναι μεγαλύτερη από 1. Το κλάσμα μπορεί να είναι μεγαλύτερο, μικρότερο, ή ίσο με 1 και μπορεί επίσης να είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν. Το σύνολο όλων των ρητών αριθμών περιλαμβάνει τους ακέραιους αριθμούς, δεδομένου ότι κάθε ακέραιος μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με παρονομαστή 1. Για παράδειγμα -7 μπορεί να γραφτεί −7⁄1. Το σύμβολο για τους ρητούς αριθμούς είναι Q (από τη λέξη Quotient, που σημαίνει πηλίκον), γράφεται επίσης Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν το σύνολο των μετρήσιμων αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι συνήθως γραμμένοι με δεκαδικά ψηφία, στα οποία τοποθετείται υποδιαστολή στα δεξιά του ψηφίου με την τιμή θέσεως 1. Κάθε ψηφίο στα δεξιά της υποδιαστολής έχει μια τιμή θέσεως που αποδίδει το ένα δέκατο της τιμής θέσεως του ψηφίου στα αριστερά του. Για παράδειγμα ο 123.456 {\displaystyle 123.456\,} αντιπροσωπεύει 1 εκατοντάδα, 2 δεκάδες, 3 μονάδες, 4 δέκατα,5 εκατοστά και 6 χιλιοστά. Στον προφορικό λόγο η υποδιαστολή προφέρεται "κόμμα" κ ο αριθμός ως εξής:" εκατόν είκοσι τρία κόμμα τετρακόσια πενήντα έξι". Στις ΗΠΑ και το Ηνωμένο Βασίλειο και μια σειρά από άλλες χώρες, η υποδιαστολή αντιπροσωπεύεται από μία τελεία ενώ στην ηπειρωτική Ευρώπη και ορισμένες άλλες χώρες, η υποδιαστολή αντιπροσωπεύεται από ένα κόμμα. Το μηδέν συχνά γράφεται ως 0,0, όταν θα πρέπει να αντιμετωπίζεται ως πραγματικός αριθμός και όχι ως ακέραιος. Στις ΗΠΑ και το Ηνωμένο Βασίλειο ένας αριθμός μεταξύ -1 και 1 γράφεται πάντα με 0 μπροστά για να τονιστεί το δεκαδικό. Οι αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί γράφονται με αρνητικό πρόσημο: − 123.456. {\displaystyle -123.456.\,} Κάθε ρητός αριθμός είναι επίσης ένας πραγματικό αριθμός.Ωστόσο,κάθε πραγματικός αριθμός δεν είναι ρητός. Εάν ένας πραγματικός αριθμός δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα δύο ακεραίων, ονομάζεται Άρρητος. Ένας δεκαδικός που μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα είτε τερματίζει είτε επαναλαμβάνεται συνεχώς, γιατί είναι η απάντηση σε ένα πρόβλημα διαίρεσης. Έτσι, ο πραγματικός αριθμός 0.5 μπορεί να γραφτεί ως 1⁄2 και ο πραγματικός αριθμός 0.333 … (που πάντα επαναλαμβάνεται το 3, ή διαφορετικά γράφεται 0.3) μπορεί να γραφεί ως 1⁄3. Από την άλλη πλευρά, ο πραγματικός αριθμός π , ο λόγος της περιφέρειας οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάμετρό του, είναι π = 3.14159265358979 … . {\displaystyle \pi =3.14159265358979\dots .\,} Δεδομένου ότι το δεκαδικό ούτε τερματίζει ούτε επαναλαμβάνεται, δεν μπορεί να γραφτεί ως ένα κλάσμα, και είναι ένα παράδειγμα ενός άρρητου αριθμού. Άλλοι άρρητοι αριθμοί είναι : 2 = 1.41421356237 … {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\dots \,} (η τετραγωνική ρίζα του 2, δηλαδή, ο θετικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι 2). Έτσι, 1,0 και 0,999 … είναι δύο διαφορετικά δεκαδικά ψηφία που αντιπροσωπεύουν το φυσικό αριθμό 1. Υπάρχουν απείρως πολλοί άλλοι τρόποι που αντιπροσωπεύουν τον αριθμό 1, όπως για παράδειγμα, 2⁄2, 3⁄3, 1,00, 1,000, και ούτω καθεξής. Κάθε πραγματικός αριθμός είναι είτε ρητός είτε άρρητος. Κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα σημείο στη γραμμή των αριθμών. Επίσης οι πραγματικοί αριθμοί έχουν μια σημαντική αλλά εξαιρετικά τεχνική ιδιότητα που ονομάζεται ελάχιστο άνω φράγμα. Το σύμβολο για τους πραγματικούς αριθμούς είναι R, γράφεται επίσης ως R {\displaystyle \mathbb {R} } . Όταν ένας πραγματικός αριθμός αντιπροσωπεύει μια μέτρηση, υπάρχει πάντα ένα περιθώριο σφάλματος. Αυτό είναι συχνά αντιμετωπίζεται με στρογγυλοποίηση ή περικόπτοντας ένα δεκαδικό, έτσι ώστε να απομακρύνονται τα ψηφία που δείχνουν μια μεγαλύτερη ακρίβεια από ό, τι η ίδια η μέτρηση. Τα υπόλοιπα ψηφία ονομάζονται σημαντικά ψηφία. Για παράδειγμα, οι μετρήσεις με ένα χάρακα σπάνια μπορούν να γίνουν χωρίς περιθώριο λάθους τουλάχιστον 0.001 μέτρα. Εάν οι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι 1.23 μ. και 4.56 μ., στη συνέχεια ο πολλαπλασιασμό τους , δίνει μια περιοχή για το ορθογώνιο των 5,6088 τετραγωνικών μέτρων. Δεδομένου ότι μόνο τα δύο πρώτα ψηφία μετά την υποδιαστολή είναι σημαντικά, ο αριθμός στρογγυλοποιείται στο 5,61. Στην άλγεβρα, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε πλήρως διατεταγμένο πεδίο είναι ισόμορφο με τους πραγματικούς αριθμούς. Παρόλο που οι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι, αποτελούν ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο. Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να επεκταθούν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Αυτό το σύνολο των αριθμών προέκυψε, ιστορικά, από την προσπάθεια να βρεθούν κλειστοί τύποι (φόρμουλες) για τις ρίζες των κυβικών και μεγαλύτερης δύναμης πολυώνυμων. Αυτό οδήγησε σε εκφράσεις που περιλαμβάνουν τις τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών αριθμών, και τελικά στον ορισμό ενός νέου αριθμού: της τετραγωνικής ρίζας του -1, που συμβολίζεται με i , ένα σύμβολο που δόθηκε από τον Leonhard Euler, και ονομάζεται φανταστική μονάδα. Οι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούνται από όλους τους αριθμούς της μορφής a + b i {\displaystyle \,a+bi} ή a + i b {\displaystyle \,a+ib} όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί. Στην έκφραση α + βi, ο πραγματικός αριθμός α ονομάζεται το πραγματικό μέρος και β καλείται το φανταστικό μέρος. Εάν το πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού είναι 0, τότε ο αριθμός καλείται φανταστικός αριθμός ή αναφέρεται ως καθαρά φανταστικός. Εάν το φανταστικό μέρος είναι 0, τότε ο αριθμός είναι ένας πραγματικός αριθμός.Έτσι, οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένα υποσύνολο των μιγαδικών αριθμών. Εάν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη ενός μιγαδικού αριθμού είναι και τα δύο ακέραιοι, τότε ο αριθμός ονομάζεται ακέραιος Gaussian. Το σύμβολο των μιγαδικών αριθμών είναι C ή C {\displaystyle \mathbb {C} } . Στην άλγεβρα, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι ένα παράδειγμα ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε πολυώνυμο με μιγαδικούς συντελεστές μπορεί να υπολογιστεί σε γραμμικούς παράγοντες. Όπως και το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το σύστημα των μιγαδικών αριθμών είναι ένα σώμα και είναι πλήρες, αλλά σε αντίθεση με τους πραγματικούς αριθμούς δεν διατάσσεται.Δηλαδή, δεν υπάρχει νόημα στο να πούμε ότι το i είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 1. Οι μιγαδικοί αριθμοί αντιστοιχούν σε σημεία στο μιγαδικό επίπεδο,που μερικές φορές ονομάζεται επίπεδο Argand. Κάθε ένα από τα αριθμητικά συστήματα που αναφέρονται παραπάνω είναι ένα κατάλληλο υποσύνολο του επόμενου αριθμητικού συστήματος. Συμβολικά, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} } . Προχωρώντας προς τα προβλήματα υπολογισμού,οι υπολογίσιμοι αριθμοί καθορίζονται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Οι υπολογίσιμοι αριθμοί , που είναι επίσης γνωστοί ως αναδρομικοί αριθμοί ή τα υπολογίσιμοι πραγματικοί, είναι οι πραγματικοί αριθμοί που μπορούν να υπολογιστούν, με οποιαδήποτε επιθυμητή ακρίβεια από ένα πεπερασμένο, περατούμενο αλγόριθμο. Ισοδύναμοι ορισμοί μπορούν να δοθούν χρησιμοποιώντας μ-αναδρομικές συναρτήσεις,μηχανές Turing ή λ-λογισμό για την επίσημη εκπροσώπηση των αλγορίθμων. Οι υπολογίσιμοι αριθμοί σχηματίζουν ένα κλειστό πραγματικό σώμα και μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη θέση των πραγματικών αριθμών για πολλούς, αλλά όχι για όλους, μαθηματικούς σκοπούς. Οι Αλγεβρικοί αριθμοί είναι εκείνοι που μπορούν να δοθούν ως το λύση σε μια πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές. Το συμπλήρωμα των αλγεβρικών αριθμών είναι οι υπερβατικοί αριθμοί. Οι υπερπραγματικοί αριθμοί (Αγγλικά: hyperreal numbers) χρησιμοποιούνται στη μη τυπική ανάλυση. Οι υπερπραγματικοί αριθμοί (συνήθως συμβολίζεται με *R),υποδηλώνουν ένα διατεταγμένο σώμα που είναι μια καλή επέκταση σώματος του διατεταγμένου σώματος των πραγματικών αριθμών R και ικανοποιεί την αρχή της μεταφοράς. Η αρχή αυτή επιτρέπει τις αληθινές πρώτης τάξης δηλώσεις για το R να ερμηνευθούν εκ νέου ως αληθινές πρώτης τάξης δηλώσεις στο *R. Οι εξωπραγματικοί αριθμοί(suprreal number) και οι σουρεαλιστικοί αριθμοί (surreal number) αποτελούν μια επέκταση των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη απείρως μικρών και μεγάλων αριθμών, που όμως συνεχίζουν να αποτελούν σώματα. Οι π-αδικοι αριθμοί μπορεί να έχουν απείρως μακριές επεκτάσεις στα αριστερά της υποδιαστολής, με τον ίδιο τρόπο που οι πραγματικοί αριθμοί μπορεί να έχουν απείρως μεγάλες επεκτάσεις προς τα δεξιά. Το αριθμητικό σύστημα που προκύπτει εξαρτάται από το τι βάση χρησιμοποιείται για τα ψηφία: οποιαδήποτε βάση είναι δυνατή, αλλά η βάση ενός πρώτου αριθμού παρέχει τις καλύτερες μαθηματικές ιδιότητες. Για την αντιμετώπιση των άπειρων συλλογών, οι φυσικοί αριθμοί έχουν γενικευτεί στους διατακτικούς αριθμούς και τους πληθικούς αριθμούς. Οι πρώτοι δίνουν την διάταξη της συλλογής, ενώ οι δεύτεροι δίνουν το μέγεθος της. Για το πεπερασμένο σύνολο, οι διατακτικοί και οι πληθικοί αριθμοί είναι ισοδύναμοι, αλλά διαφέρουν ως προς την περίπτωση του απείρου. Τα σύνολα αριθμών που δεν είναι υποσύνολα των μιγαδικών αριθμών μερικές φορές ονομάζεται υπερμιγαδικός. Αυτοί περιλαμβάνουν τις τετράδες Η, που εφευρέθηκε από τον Sir William Rowan Hamilton,στην οποία ο πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός και τα octonions στα οποία ο πολλαπλασιασμός δεν είναι προσεταιριστικός. Τα στοιχεία των πεδίων των συναρτήσεων, των μη μηδενικών χαρακτηριστικών,συμπεριφέρονται όπως οι αριθμοί και συχνά θεωρούνται ως αριθμοί από τους αριθμητικούς θεωρητικούς. Υπάρχουν επίσης και άλλα σύνολα αριθμών με εξειδικευμένες χρήσεις. Μερικά είναι υποσύνολα των μιγαδικών αριθμών. Για παράδειγμα, οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι οι ρίζες των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές. Οι μιγαδικοί αριθμοί που δεν είναι αλγεβρικοί ονομάζονται υπερβατικοί αριθμοί. Ζυγός (ή άρτιος)αριθμός είναι ένας ακέραιος που είναι "ομοιόμορφα διαιρετός» από το 2, δηλαδή, διαιρείται με το 2, χωρίς υπόλοιπο.Ένας μονός (ή περιττός) αριθμός είναι ένας ακέραιος που δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 2.(Ο παλιός όρος "διαιρείται" έχει αντικατασταθεί από τον όρο "διαιρετός".) Ένας τυπικός ορισμός ενός περιττού αριθμού είναι ότι είναι ένας ακέραιος της μορφής n = 2k + 1, όπου ο k είναι ακέραιος.Ένας ζυγός αριθμός έχει τη μορφή n = 2k όπου k είναι ένα ακέραιος. Ένας τέλειος αριθμός είναι ένας θετικός ακέραιος που είναι το άθροισμα των γνήσιων θετικών διαιρετών του -το άθροισμα των θετικών διαιρετών του μη συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του αριθμού. Αντίστοιχα, ένας τέλειος αριθμός είναι ένας αριθμός που είναι το μισό του αθροίσματος όλων των θετικών διαιρετών του ή σ(n) = 2n. Ο πρώτος τέλειος αριθμός είναι το 6, επειδή το 1, το 2, και το 3 είναι γνήσιοι θετικοί διαιρέτες του και 1 + 2 + 3 = 6. Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Οι επόμενοι τέλειοι αριθμοί είναι οι 496 και 8128.Αυτοί οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί ήταν οι μόνοι που ήταν γνωστοί στα πρώτα ελληνικά μαθηματικά. Ένας πολυγωνικός αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα κανονικό και ασυνεχές γεωμετρικό μοτίβο (π.χ. κουκκίδες). Εάν το μοτίβο είναι πολύτοπο , ο πολυγωνικός αριθμός χαρακτηρίζεται ως πολυτοπικός αριθμός, και μπορεί να είναι ένας πολυγωνικός ή πολυεδρικός αριθμός. Πολυτοπικοί αριθμοί για r = 2, 3, και 4 είναι: P2(n) = 1⁄2 n(n + 1) (τρίγωνος αριθμός) P3(n) = 1⁄6 n(n + 1)(n + 2) (τετράεδρος αριθμός) P4(n) = 1⁄24 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Οι αριθμοί θα πρέπει να διακρίνεται από τον όρο αριθμοί στη γλωσσολογία, δηλαδή τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για να αντιπροσωπεύσουν τους αριθμούς. Ο Boyer έδειξε ότι οι Αιγύπτιοι δημιούργησαν το πρώτο κρυπτογραφημένο σύστημα αρίθμησης. Οι Έλληνες ακολούθησαν με τη χαρτογράφηση των αριθμών τους στο Ιωνικό και Δωρικό αλφάβητο. Ο αριθμός πέντε μπορεί να αντιπροσωπεύεται τόσο από τον αριθμό "5", όσο και από το Ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης με "Ⅴ" και από κρυπτογραφημένα γράμματα.Μια σημαντική εξέλιξη στην ιστορία των αριθμών ήταν η ανάπτυξη ενός συστήματος θέσης, όπως η σύγχρονη δεκαδικοί, οι οποίοι μπορούν να αντιπροσωπεύσουν πολύ μεγάλους αριθμούς. Οι ρωμαϊκοί αριθμοί απαιτούν επιπλέον σύμβολα για μεγαλύτερους αριθμούς. Οστά και άλλα αντικείμενα έχουν ανακαλυφθεί με σημάδια κοπής πάνω σε αυτά και έτσι πολλοί πιστεύουν ότι είναι σημάδια καταμέτρησης ένα προς ένα (tally marks). Αυτά μπορεί να έχουν χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση του χρόνου ,όπως είναι οι αριθμοί των ημερών, των σεληνιακών κύκλων ή την διατήρηση αρχείων ποσοτήτων, όπως των ζώων. Ένα τέτοιο σύστημα καταμέτρησης δεν περιέχει την έννοια της τιμής θέσεως (όπως στα σύγχρονα δεκαδικά σύμβολα), η οποία περιορίζεται στην εκπροσώπηση των μεγάλων αριθμών. Παρ 'όλα θεωρείται η πρώτη κατηγορία του αφηρημένου συστήματος αρίθμησης. Το πρώτο γνωστό σύστημα με την έννοια της τιμής θέσεως ήταν το σύστημα μέτρησης της αρχαίας Μεσοποταμίας ( περίπου το 3400 π.Χ.) και το γνωστό σύστημα βάσης 10 από το 3100 π.Χ. στην Αίγυπτο. Η χρήση του 0 ως αριθμού θα πρέπει να διακρίνεται από τη χρήση του ως ένα αριθμητικό κράτησης θέσης στο σύστημα τιμής θέσεως. Σε πολλά αρχαία κείμενα χρησιμοποιείται το 0. Οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι το χρησιμοποιούσαν στα κείμενα τους. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τη λέξη nfr για να δηλώσουν το μηδενικό υπόλοιπο στις εγγραφές του συστήματος λογιστικής διπλής εγγραφής (double entry accounting). Στα ινδικά κείμενα χρησιμοποιείται η σανσκριτική λέξη shunye ή shunya να αναφερθούν στην έννοια του κενού. Στα μαθηματικά κείμενα αυτή η λέξη αναφέρεται συχνά στον αριθμό μηδέν.Τα αρχεία δείχνουν ότι οι Αρχαίοι Έλληνες δεν ήταν σίγουροι για την κατάσταση του 0 ως αριθμού: και αναρωτιόνταν "πώς μπορεί το «τίποτα » να είναι κάτι;" ,έτσι οδηγήθηκαν σε ενδιαφέρουσες φιλοσοφικές και, κατά τη Μεσαιωνική περίοδο, σε θρησκευτικές διαφωνίες σχετικά με τη φύση και την ύπαρξη του 0 και του κενού. Τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από την αβέβαιη ερμηνεία του 0. (Οι αρχαίοι Έλληνες, ακόμα και είχαν το ερώτημα κατά πόσον το 1 ήταν αριθμός.) Οι Ολμέκοι του νότιο-κεντρικού Μεξικού άρχισαν να χρησιμοποιούν ένα πραγματικό μηδέν (ένα ανάγλυφο κέλυφος) στο Νέο Κόσμο, ενδεχομένως, από τον 4ο αιώνα π.Χ., αλλά σίγουρα από το 40 π.Χ., το οποίο έγινε αναπόσπαστο μέρος των αριθμών των Μάγια και του ημερολογίου των Μάγιας. Η αριθμητική των Μάγιας χρησιμοποιούσε τη βάση 4 και 5 γραμμένη ως βάση 20. Ο Sanchez το 1961 ανέφερε μια βάση 4,ως "δακτυλικό" άβακα βάσης 5. Το 130 μ.Χ., ο Πτολεμαίος, επηρεασμένος από τον Ίππαρχο και τους Βαβυλώνιους, χρησιμοποιούσε ένα σύμβολο για το 0 (ένα μικρό κύκλο με μια γραμμή) εντός ενός εξηνταδικού συστήματος αρίθμησης, διαφορετικά χρησιμοποιούσε κατά αλφαβητική σειρά το Ελληνικό σύστημα αρίθμησης. Επειδή είχε χρησιμοποιηθεί μόνο του, όχι απλά ως ένα σύμβολο κράτησης θέσης, αυτό το ελληνιστικό μηδέν ήταν η πρώτη τεκμηριωμένη χρήση ενός πραγματικού μηδέν στον Παλαιό Κόσμο. Στα μεταγενέστερα βυζαντινά χειρόγραφα της Μαθηματικὴς Σύνταξις (Αλμαγέστη), το Ελληνιστικό μηδέν είχε μεταμορφωθεί στο ελληνικό γράμμα όμικρον (που αλλιώς σημαίνει 70). Ένα άλλο πραγματικό μηδέν χρησιμοποιήθηκε στους πίνακες μαζί με λατινικούς αριθμούς από το 525 (πρώτη γνωστή χρήση από τον Dionysius Exiguus),αλλά ως λέξη, μηδέν σήμαινε τίποτα, όχι ως σύμβολο. Όταν η διαίρεση έδινε 0 ως υπόλοιπο, γινόταν χρήση της λέξης nihil, που επίσης σημαίνει τίποτα. Αυτά τα μεσαιωνικά μηδενικά χρησιμοποιήθηκαν σε όλους τους μελλοντικούς μεσαιωνικούς υπολογισμούς (υπολογισμοί του Πάσχα). Μία μεμονωμένη χρήση της αρχής τους, Ν, χρησιμοποιήθηκε σε έναν πίνακα με λατινικούς αριθμούς από τον Bede ή έναν συνάδελφο του περίπου το 725, ήταν ένα σύμβολο πραγματικού μηδέν. Μια πρώτη τεκμηριωμένη χρήση του μηδενός από τον Brahmagupta (στο Brāhmasphuṭasiddhānta) χρονολογείται στο 628. Αντιμετώπιζε το 0 ως αριθμό και μελέτησε τις διαδικασίες που το περιείχαν, συμπεριλαμβανομένης της διαίρεσης. Εκείνη την εποχή (7ος αιώνας) η έννοια αυτή είχε φτάσει στην Καμπότζη ως "αριθμοί Χμερ" (Khmer numerals) και έγγραφα αποδεικνύουν ότι η ιδέα αυτή εξαπλώθηκε στην Κίνα και τον Ισλαμικό κόσμο. Η αφηρημένη έννοια των αρνητικών αριθμών αναγνωρίστηκε ήδη από το 100 π.Χ. - 50 π.Χ.. Τα εννέα κινεζικά άρθρα σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη (κινέζικα: Jiu-Zhang Suanshu) περιλαμβάνουν μεθόδους εύρεσης των περιεχών των ψηφίων. Κόκκινες ράβδοι χρησιμοποιούνταν για να υποδηλώσουν τους θετικούς συντελεστές,και μαύροι για τους αρνητικούς. Αυτή είναι η πρώτη γνωστή αναφορά στους αρνητικούς αριθμούς στην Ανατολή. Η πρώτη αναφορά σε δυτικό έργο ήταν τον 3ο αιώνα στην Ελλάδα. Ο Διόφαντος αναφέρθηκε στην εξίσωση 4x + 20 = 0 (η λύση είναι αρνητική) στην Αριθμητική, λέγοντας ότι η εξίσωση έδωσε ένα παράλογο αποτέλεσμα. Γύρω στο 600, οι αρνητικοί αριθμοί χρησιμοποιούνταν στην Ινδία προκειμένου να δηλώσουν τα χρέη. Η προηγούμενη αναφορά του Διόφαντου συζητήθηκε ρητά από τον Ινδό μαθηματικό Brahmagupta, στο Brāhmasphuṭasiddhānta 628, ο οποίος χρησιμοποίησε αρνητικούς αριθμούς για να αποδώσει το γενικό δευτεροβάθμιο τύπο που έχει εφαρμόγη μέχρι και σήμερα. Παρόλο που, τον 12ο αιώνα στην Ινδία, ο Bhaskara έδωσε αρνητικές ρίζες για δευτεροβάθμιες εξισώσεις, είπε ότι η αρνητική αξία " σε αυτή την περίπτωση δεν πρέπει να ληφθεί υπόψη, γιατί είναι ανεπαρκής ,οι άνθρωποι δεν εγκρίνουν τις αρνητικές ρίζες". Οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί, ως επί το πλείστον, αντιστάθηκαν στην ιδέα των αρνητικών αριθμών μέχρι τον 17ο αιώνα, αν και ο Fibonacci επέτρεψε τις αρνητικές λύσεις στα οικονομικά προβλήματα που θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως χρέη (chapter 13 of Liber Abaci, 1202) και αργότερα ως ζημίες (Flos). Την ίδια στιγμή, οι Κινέζοι υποδεικνύουν τους αρνητικούς αριθμούς σχεδιάζοντας μια διαγώνια γραμμή στο δεξιότερο μη αρνητικό ψηφίο από τον αντίστοιχο θετικό αριθμό. Η πρώτη χρήση των αρνητικών αριθμών σε ένα ευρωπαϊκό έργο ήταν από τον Chuquet κατά τη διάρκεια του 15ου αιώνα. Τους χρησιμοποιούσε ως εκθέτες, αλλά τους ανέφερε ως «παράλογους αριθμούς". Ακόμα πιο πρόσφατα, τον 18ο αιώνα, ήταν κοινή πρακτική να αγνοούνται τυχόν αρνητικά αποτελέσματα που επιστρέφονται από τις εξισώσεις με την την υπόθεση ότι δεν είχαν νόημα, όπως ακριβώς έκανε ο Ρενέ Ντεκάρτ με τις αρνητικές λύσεις σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Είναι πιθανό ότι η έννοια των κλασματικών αριθμών χρονολογείται από τους προϊστορικούς χρόνους. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τον αιγυπτιακό κλασματικό συμβολισμό για τους ρητούς αριθμούς σε μαθηματικά κείμενα , όπως ο Μαθηματικός Πάπυρος του Rhind και ο Πάπυρος του Kahun. Κλασικοί Έλληνες και Ινδοί μαθηματικοί έκαναν μελέτες για τη θεωρία των ρητών αριθμών, ως μέρος της γενικής μελέτης της θεωρίας αριθμών. Το πιο γνωστό από αυτά είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη, που χρονολογείται περίπου στο 300 π.Χ.. Από τα ινδικά κείμενα, το πιο σημαντικό είναι το Sthananga Sutra, το οποία καλύπτει επίσης τη θεωρία αριθμών ως μέρος μιας γενικής μελέτης των μαθηματικών. Η έννοια των δεκαδικών κλασμάτων συνδέεται στενά με το συμβολισμό της δεκαδικής αξίας θέσης. Οι δύο φαίνεται να έχουν αναπτυχθεί σε συνδυασμό. Για παράδειγμα, είναι σύνηθες για τις "Jain math sutras" να περιλαμβάνουν υπολογισμούς δεκαδικών κλασμάτων που προσεγγίζουν το π ή την τετραγωνική ρίζα του 2. Ομοίως, στα μαθηματικά κείμενα των Βαβυλωνίων γίνεται πάντα χρήση εξηνταδικών (βάση 60) κλασμάτων με μεγάλη συχνότητα. Η παλαιότερη γνωστή χρήση των άρρητων αριθμών ήταν στα ινδικά Sulba Sutras μεταξύ 800 και 500 π.Χ.. Οι πρώτες αποδείξεις ύπαρξης των άρρητων αριθμών συνήθως αποδίδονται στον Πυθαγόρα, πιο συγκεκριμένα στον Πυθαγόρειο Μεταπόντιο Ίππασο, ο οποίος συνέταξε (την πιο πιθανή γεωμετρικά) απόδειξη της αρρητότητας της τετραγωνικής ρίζας του 2. Η ιστορία λέει ότι ο Ίππασος ανακάλυψε τους άρρητους αριθμούς καθώς προσπαθούσε να εκφράσει την τετραγωνική ρίζα του 2 ως κλάσμα. Ωστόσο ο Πυθαγόρας πίστευε στην απολυτότητα των αριθμών, και δεν μπορούσε να δεχτεί την ύπαρξη των άρρητων αριθμών. Δεν μπορούσε να διαψεύσει την ύπαρξή τους μέσα από τη λογική, αλλά δεν μπορούσε και να δεχθεί την ύπαρξή τους, και έτσι καταδίκασε τον Ίππασο σε θάνατο με πνιγμό. Ο 16ος αιώνας έφερε την τελική ευρωπαϊκή αποδοχή των αρνητικών ακεραίων και των κλασματικών αριθμών. Μέχρι το 17ο αιώνα, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν δεκαδικά κλάσματα με σύγχρονους συμβολισμούς. Δεν ήταν, όμως, μέχρι τον 19ο αιώνα που οι μαθηματικοί χώρισαν τους άρρητους σε αλγεβρικούς και υπερβατικούς και για άλλη μια φορά ανέλαβαν την επιστημονική μελέτη των άρρητων αριθμών, που είχε παραμείνει σχεδόν σε αδράνεια από τον Ευκλείδη. Το 1872, η δημοσίευση των θεωριών του Καρλ Βάιερστρας (από τον μαθητή του Κόσσακ), Heine (Crelle, 74), Γκέοργκ Καντόρ (Annalen, 5), και Ρίχαρντ Ντέντεκιντ επανέφεραν τη μελέτη για τους άρρητους αριθμούς. Το 1869, ο Méray είχε το ίδιο σημείο εκκίνησης, με τον Heine, αλλά η θεωρία γενικά αναφέρεται στο έτος 1872. Η μέθοδος του Βάιερστρας ορίζεται εντελώς από τον Salvatore Pincherle (1880), και του Ντέντεκιντ έλαβε μεγαλύτερη αξία από το μετέπειτα έργο του συγγραφέα και εγκρίθηκε από τον Paul Tannery (1894). Οι Βάιερστρας, Cantor, και Heine βάσισαν τις θεωρίες τους πάνω στις άπειρες σειρές, ενώ ο Ντέντεκιντ βάσισε τη δική του στην ιδέα της τομής Ντέντεκιντ στο σύστημα των πραγματικών αριθμών, διαχωρίζοντας όλους τους ρητούς αριθμούς σε δύο ομάδες που έχουν ορισμένες χαρακτηριστικές ιδιότητες. Το θέμα μελετήθηκε περισσότερο και εμπλουτίστηκε στα χέρια των Βάιερστρας, Κρόνεκερ (Crelle, 101), και Méray. Τα συνεχή κλάσματα, που συνδέονται στενά με τους άρρητους αριθμούς (και λόγω του Πιέτρο Κατάλντι, 1613), συγκέντρωσαν την προσοχή στα χέρια του Λέοναρντ Όιλερ, και κατά την έναρξη του 19ου αιώνα ήρθαν στο προσκήνιο μέσα από τα γραπτά του Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ. Άλλες αξιόλογες συνεισφορές έχουν γίνει από τους Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), και Günther (1872). Ο Ramus (1855) ήταν ο πρώτος που συνέδεσε το θέμα με την ορίζουσα που είχε αποτέλεσμα, με τις μεταγενέστερες συνεισφορές των Heine, [[Άουγκουστ Φέρντιναντ Μέμπιους}Μέμπιους]], και Günther, στη θεωρία των συνεχών κλασμάτων. Ο Ντίριχλετ βοήθησε επίσης στη γενική θεωρία, αφού είχε πολλές συνεισφορές στις εφαρμογές του θέματος. Τα πρώτα αποτελέσματα που αφορούν τους υπερβατικούς αριθμούς ήταν η απόδειξη του Γιόχαν Χάινριχ Λάμπερτ 1761 ότι το π δεν μπορεί να είναι ρητός και, επίσης, ότι το en είναι άρρητος αν το n είναι ρητός (αλλά όχι για n = 0). ( Η σταθερά e για πρώτη φορά αναφέρεται το 1618 στο έργο του Τζον Νάπιερ για τους λογαρίθμους.) Ο Legendre επέκτεινε αυτό το στοιχείο για να αποδείξει ότι το π δεν είναι η τετραγωνική ρίζα ενός ρητού αριθμού. Η αναζήτηση για τις ρίζες των αλγεβρικών ομογενών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών (Quintic function) και των εξισώσεων μεγαλύτερου βαθμού ήταν μια σημαντική εξέλιξη, το θεώρημα Abel-Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) έδειξε ότι δεν μπορούσαν να επιλυθούν με ριζικά (τύποι που περιλαμβάνουν μόνο αριθμητικές πράξεις και ρίζες). Ως εκ τούτου, ήταν αναγκαίο να εξεταστεί το ευρύτερο σύνολο των αλγεβρικών αριθμών (όλες οι λύσεις των πολυωνυμικών εξισώσεων). Ο Γκαλουά (1832) συνέδεσε τις πολυωνυμικές εξισώσεις με τη θεωρία των ομάδων και οδηγήθηκε στη Θεωρία Γκαλουά. Η ύπαρξη των υπερβατικών αριθμών καθιερώθηκε για πρώτη φορά από τον Liouville (1844, 1851). Ο Hermite απέδειξε το 1873 ότι το e είναι υπερβατικός και ο Lindemann απέδειξε το 1882 ότι το π είναι υπερβατικός. Τέλος ο Cantor έδειξε ότι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών είναι μη αριθμήσιμο απειροσύνολο (Cantor's first uncountability proof) , αλλά το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών είναι αριθμήσιμο απειροσύνολο, έτσι υπάρχει ένας μη μετρήσιμος άπειρος αριθμός των υπερβατικών αριθμών. Η αρχαιότερη γνωστή αντίληψη του μαθηματικού απείρου εμφανίζεται στην Yajur Veda, μια αρχαία ινδική γραφή, η οποία αναφέρει, "Αν αφαιρέσετε ένα μέρος από το άπειρο ή προσθέσετε ένα μέρος στο άπειρο, ακόμα αυτό που μένει είναι το άπειρο.". Η απειρία ήταν ένα δημοφιλές θέμα για φιλοσοφική μελέτη μεταξύ των μαθηματικών του Τζαϊνισμού περ. το 400 π.Χ. Αυτοί διέκριναν πέντε είδη του απείρου : άπειρο σε μία και δύο κατευθύνσεις, άπειρο σε περιοχή, άπειρο παντού, και διαρκές άπειρο . Ο Αριστοτέλης όρισε την παραδοσιακή δυτική έννοια του μαθηματικού απείρου. Τη διέκρινε ανάμεσα στην πραγματική απειρία και τη δυναμική απειρία - τη γενική ομόφωνη παραδοχή ότι μόνο ο τελευταίος είχε πραγματική αξία. Στο Two New Sciences του Γαλιλαίου Γαλιλέι συζητήθηκε η ιδέα των μία προς μία αντιστοιχιών μεταξύ των άπειρων συνόλων. Αλλά το επόμενο μεγάλο βήμα στη θεωρία έγινε από τον Γκέοργκ Κάντορ. Το 1895 δημοσίευσε ένα βιβλίο για τη νέα θεωρία συνόλων του, εισάγοντας, μεταξύ άλλων, τους πληθικούς αριθμούς και τη διατύπωση της υπόθεσης της συνέχειας. Αυτό ήταν το πρώτο μαθηματικό μοντέλο που εκπροσώπησε την απειρία με αριθμούς και έδωσε κανόνες για τις πράξεις με αυτούς τους άπειρους αριθμούς. Στη δεκαετία του 1960, ο Abraham Robinson έδειξε πόσο οι απείρως μεγάλοι και οι απειροελάχιστοι αριθμοί μπορούν να καθορίζονται με αυστηρότητα και να χρησιμοποιηθούν για την ανάπτυξη του τομέα της μη τυπικής ανάλυσης. Το σύστημα των υπερπραγματικών αριθμών αντιπροσωπεύει μια αυστηρή μέθοδο επεξεργασίας των ιδεών σχετικά με τους άπειρους και απειροελάχιστους αριθμούς που χρησιμοποιούσαν μαθηματικοί, επιστήμονες και μηχανικοί από την εφεύρεση του απειροστικού λογισμού από τον Νεύτωνα και τον Λάιμπνιτς. Μια σύγχρονη γεωμετρική εκδοχή του απείρου δίνεται από την προβολική γεωμετρία, η οποία εισάγει «ιδανικά σημεία στο άπειρο», ένα για κάθε χωρική κατεύθυνση. Κάθε οικογένεια παράλληλων γραμμών σε μια δεδομένη κατεύθυνση είναι αξίωμα να συγκλίνει προς το αντίστοιχο ιδανικό σημείο. Αυτό είναι στενά συνδεδεμένο με την ιδέα των μηδενιζόμενων σημείων σε ένα σχέδιο προοπτικής. Η πρώτη φευγαλέα αναφορά σε τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών έγινε στο έργο του μαθηματικού και εφευρέτη Ήρωνα τον 1ο μ.Χ. αιώνα, όταν εξέτασε τον όγκο ενός ανέφικτου κόλουρου πυραμίδας. Αυτές έγιναν πιο σημαντικές, όταν τον 16ο αιώνα ανακαλύφθηκαν οι κλειστοί τύποι για τις ρίζες των πολυωνύμων τρίτου και τέταρτου βαθμού από Ιταλούς μαθηματικούς όπως ο Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια και ο Τζερόλαμο Καρντάνο. Σύντομα έγινε αντιληπτό ότι αυτοί οι τύποι, ακόμη και αν μόνο ένας αφορούσε πραγματικές λύσεις, μερικές φορές απαιτούσαν τη χρήση τετραγωνικών ριζών αρνητικών αριθμών. Αυτό ήταν διπλά ανησυχητικό, δεδομένου ότι δεν θεωρούσαν ακόμη ότι οι αρνητικοί αριθμοί βρίσκονται στο στέρεο έδαφος . Όταν ο Ρενέ Ντεκάρτ επινόησε τον όρο «φαντασιακό» για τις ποσότητες αυτές το 1637, τον θεωρούσε υποτιμητικό. (Βλέπε Φανταστικός αριθμός.) Μια άλλη πηγή σύγχυσης είναι ότι η εξίσωση ( − 1 ) 2 = − 1 − 1 = − 1 {\displaystyle \left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1} φαίνεται ασυνήθιστα ασυμβίβαστη με την αλγεβρική ταυτότητα a b = a b , {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},} η οποία ισχύει για θετικούς πραγματικούς αριθμούς a και b, και επίσης χρησιμοποιείται σε υπολογισμούς μιγαδικών αριθμών με ένα από τα a, b θετικό και το άλλο αρνητικό. Η λανθασμένη χρήση αυτής της ταυτότητας, καθώς και της σχετική ταυτότητα 1 a = 1 a {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}} στην περίπτωση που και οι δύο a και b είναι αρνητικοί ταλαιπώρησαν τον Όιλερ. Η δυσκολία αυτή τον οδήγησε τελικά στη σύμβαση να χρησιμοποιεί το ειδικό σύμβολο i στη θέση του − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} για να προφυλαχθεί από αυτό το λάθος. Ο 18ος αιώνας έδειξε το έργο των Αβραάμ ντε Μουάβρ και Λέοναρντ Όιλερ. Ο τύπος του Μουάβρ (1730) αναφέρει: ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta \,} και ο τύπος του Όιλερ για τη μιγαδική ανάλυση αναφέρει : cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = e i θ . {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.\,} Η ύπαρξη των μιγαδικών αριθμών δεν ήταν πλήρως αποδεκτή μέχρι που ο Caspar Wessel περιέγραψε τη γεωμετρική τους ερμηνεία το 1799. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους το αναβίωσε και το διέδωσε αρκετά χρόνια αργότερα, και ως εκ τούτου η θεωρία των μιγαδικών αριθμών έλαβε μια σημαντική επέκταση. Η ιδέα για τη γραφική παράσταση των μιγαδικών αριθμών είχε εμφανιστεί, όμως, ήδη από το 1685, στο De Algebra tractatus του John Wallis. Επίσης το 1799, ο Gauss έδωσε την πρώτη γενικά αποδεκτή απόδειξη του θεμελιώδους θεωρήματος της άλγεβρας, που δείχνει ότι κάθε πολυώνυμο στους μιγαδικούς αριθμούς έχει ένα πλήρες σύνολο λύσεων σε εκείνο το επίπεδο. Η γενική αποδοχή της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών οφείλεται στους άθλους των Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ και Νιλς Χένρικ Άμπελ και ιδιαίτερα στον τελευταίο, ο οποίος ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε με τόλμη μιγαδικούς αριθμούς με επιτυχία . Ο Gauss μελέτησε τους μιγαδικούς αριθμούς με τη μορφή α + βi, όπου α και β είναι ακέραιοι, ή ρητοί (και i είναι μία από τις δύο ρίζες του x2 + 1 = 0). Ο μαθητής του, Gotthold Eisenstein, μελέτησε τον τύπο a + bω, όπου ω είναι μία μιγαδική ρίζα της x3 − 1 = 0. Άλλες τέτοιες κλάσεις (που ονομάζονται κυκλοτομικά σώματα) των μιγαδικών αριθμών προκύπτουν από τις ρίζες της μονάδας xk − 1 = 0 για μεγάλες τιμές του k. Αυτή η γενίκευση οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στον Ernst Kummer, ο οποίος εφηύρε επίσης τους ιδανικούς αριθμούς, οι οποίοι εκφράστηκαν ως γεωμετρικές οντότητες από τον Felix Klein το 1893. Η γενική θεωρία των σωμάτων αναπτύχθηκε από τον Εβαρίστ Γκαλουά ο οποίος μελέτησε τα σώματα που δημιουργούνται από τις ρίζες κάθε πολυωνυμικής εξίσωσης F(x) = 0. Το 1850 ο Victor Alexandre Puiseux έκανε το βασικό βήμα για τη διάκριση μεταξύ των πόλων και των σημείων διακλαδώσεως, και εισήγαγε την έννοια των βασικών χαρακτηριστικών σημείων. Αυτό οδήγησε τελικά στην έννοια του εκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου. Οι πρώτοι αριθμοί έχουν μελετηθεί σε όλη την καταγεγραμμένη ιστορία. Ο Ευκλείδης αφιέρωσε ένα βιβλίο από τα Στοιχεία για τη θεωρία των πρώτων αριθμών. Σε αυτό απέδειξε την απειρία των πρώτων αριθμών και το Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής και παρουσίασε τον Αλγόριθμος του Ευκλείδη για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών. Το 240 π.Χ., ο Ερατοσθένης χρησιμοποίησε το Κόσκινο του Ερατοσθένη για να απομονώσει γρήγορα τους πρώτους αριθμούς. Αλλά η περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρίας των πρώτων αριθμών στην Ευρώπη χρονολογείται στην Αναγέννηση και στις μετέπειτα εποχές. Το 1796, ο Adrien-Marie Legendre υπέθεσε το Θεώρημα πρώτων αριθμών που περιγράφει την ασυμπτωτική κατανομή των πρώτων αριθμών. Άλλα αποτελέσματα σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών περιλαμβάνουν την απόδειξη του Euler ότι το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών αποκλίνει, και η Εικασία του Γκόλντμπαχ η οποία ισχυρίζεται ότι κάθε αρκετά μεγάλος άρτιος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο πρώτων. Μια άλλη εικασία σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών είναι η εικασία του Riemann, που διατυπώθηκε από τον Μπέρναρντ Ρίμαν το 1859. Το θεώρημα των πρώτων αριθμών τελικά αποδείχθηκε από τους Jacques Hadamard και Charles de la Vallée-Poussin το 1896. Οι εικασίες του Γκόλντμπαχ και του Riemann ακόμη και σήμερα δεν έχουν αποδειχθεί αλλά και δεν έχουν απορριφθεί. Ελληνικό σύστημα αρίθμησης Ρωμαϊκοί αριθμοί Φυσική σταθερά Φυσικός αριθμός Ακέραιος αριθμός Ρητοί και άρρητοι αριθμοί Αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί Πραγματικός αριθμός Φανταστικός αριθμός Μιγαδικός αριθμός Πληθικός αριθμός συνόλου π e (αριθμός του Όιλερ) Suppes, Patrick (1972). Axiomatic Set Theory. Courier Dover Publications. σελ. 1. ISBN 0-486-61630-4. Weisstein, Eric W., "Integer" από το MathWorld. «Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] The Zero Story: a question». Sunsite.utk.edu. 26 Απριλίου 1999. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 12 Ιανουαρίου 2012. Ανακτήθηκε στις 30 Ιανουαρίου 2012. «Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] The Zero Story: a question». Sunsite.utk.edu. 26 Απριλίου 1999. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 12 Ιανουαρίου 2012. Ανακτήθηκε στις 30 Ιανουαρίου 2012. Staszkow, Ronald· Bradshaw, Robert (2004). The Mathematical Palette (3η έκδοση). Brooks Cole. σελ. 41. ISBN 0-534-40365-4. Selin, Helaine, επιμ. (2000). Mathematics across cultures: the history of non-Western mathematics. Kluwer Academic Publishers. σελ. 451. ISBN 0-7923-6481-3. Bogomolny, A. «What's a number?». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. Ανακτήθηκε στις 11 Ιουλίου 2010. Nechaev, V.I. (2001), «Number», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Number Tallant, Jonathan. «Do Numbers Exist?». Numberphile. Brady Haran. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 8 Μαρτίου 2016. Ανακτήθηκε στις 3 Ιουνίου 2013. Important Concepts and Formulas – Numbers Αρχειοθετήθηκε 2013-06-09 στο Wayback Machine. Mesopotamian and Germanic numbers BBC Radio 4, In Our Time: Negative Numbers '4000 Years of Numbers' Αρχειοθετήθηκε 2009-10-01 στο Wayback Machine., lecture by Robin Wilson, 07/11/07, Gresham College (available for download as MP3 or MP4, and as a text file). [1] «What's the World's Favorite Number?». 22 Ιουνίου 2011. Ανακτήθηκε στις 17 Σεπτεμβρίου 2011. ; «Cuddling With 9, Smooching With 8, Winking At 7». 11 Αυγούστου 2011. Ανακτήθηκε στις 17 Σεπτεμβρίου 2011.