Ινδικά μαθηματικά

Τα ινδικά μαθηματικά αναδύθηκαν στην ινδική ενδοχώρα από το 1200 π.Χ. μέχρι το τέλος του 18ου αιώνα. Στην κλασική περίοδο των ινδικών μαθηματικών (400 μ.Χ. έως το 1600 μ.Χ.), σημαντικές συνεισφορές έγιναν από μελετητές όπως οι Αριαμπάτα, Βραχμαγκούπτα, Μαχαβίρα (μαθηματικός) , Μπχασκάρα Β΄, Μαντχάβα της Σανγαμάγκραμα και Νιλακάνθα Σομαΐτζι. Το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται σήμερα για πρώτη φορά καταγράφηκε στα ινδικά μαθηματικά. Ινδοί μαθηματικοί έκαναν τις αρχικές συνεισφορές στη μελέτη της έννοιας του μηδέν ως αριθμό, των αρνητικών αριθμών, της αριθμητικής, και της άλγεβρας. Επιπρόσθετα η τριγωνομετρία προόδευσε στην Ινδία, και, ιδίως, οι σύγχρονοι ορισμοί του ημίτονου και συνημίτονου αναπτύχθηκαν εκεί. Αυτές οι μαθηματικές έννοιες διαβιβάστηκαν στη Μέση Ανατολή, την Κίνα, και την Ευρώπη και οδήγησαν σε περαιτέρω εξελίξεις που σχηματίζουν τώρα τα θεμέλια σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Αρχαίες και μεσαιωνικές Ινδικές μαθηματικές εργασίες, όλες γραμμένες στα σανσκριτικά, συνήθως αποτελούμενες από ένα τμήμα με σούτρες στο οποίο υπήρχε ένα σύνολο κανόνων ή προβλημάτων με μεγάλη οικονομία στους στίχους ώστε να διευκολυνθεί η αποστήθιση από έναν μαθητή. Αυτό ακολουθούνταν από ένα δεύτερο τμήμα αποτελούμενο από σχολιασμό σε πεζό λόγο (μερικές φορές πολλαπλοί σχολιασμοί από διαφορετικούς μελετητές) αυτό επεξηγούσε το πρόβλημα πιο λεπτομερειακά και παρείχε δικαιολόγηση για την λύση. Στο πεζό τμήμα, η μορφή (και παράλληλα η αποστήθισή του) δεν θεωρούνταν τόσο σημαντική όσο οι ιδέες που εμπλέκονταν . Όλες οι μαθηματικές εργασίες διαδίδονταν προφορικά μέχρι περίπου το 500 π.Χ. από τότε και στην συνέχεια, διαδίδονταν τόσο προφορικά όσο και σε μορφή χειρόγραφου. Το παλαιότερο εκτεταμένο μαθηματικό έγγραφο που παράχθηκε στην Ινδική ενδοχώρα είναι το, σε φλοιό από σημύδα χειρόγραφο Μπαχσάλι, το οποίο ανακαλύφθηκε το 1881 στο χωριό Μπαχσάλι κοντά στην Πεσαβάρ (σύγχρονο Πακιστάν) και πιθανολογείται ότι προέρχεται από τον 7o αιώνα μ.Χ..Μία μεταγενέστερη καμπή στα ινδικά μαθηματικά ήταν η δημιουργία των αναπτυγμάτων με σειρές για τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ημίτονο, συνημίτονο και τόξο εφαπτομένης) από μαθηματικούς της σχολής της Κεράλα τον 15ο αιώνα μ.Χ. Το αξιοσημείωτο επίτευγμα τους, δύο αιώνες πριν την εφεύρεση του λογισμού στην Ευρώπη, αποδείκνυε αυτό που τώρα θεωρείται ως το πρώτο παράδειγμα δυναμοσειρών (εκτός από γεωμετρικές σειρές). Παρ' όλα αυτά, δεν διατύπωσαν μια συστηματική θεωρία παραγώγισης και ολοκλήρωσης ούτε υπάρχει κάποια άμεση ένδειξη διάδοσης των αποτελεσμάτων τους εκτός της Κεράλα.

 Ανασκαφές στη Χαράππα, Μοχέντζο ντάρο και άλλες τοποθεσίες τoυ πολιτισμού της Κοιλάδας του Ινδού Ποταμού αποκάλυψαν ενδείξεις χρήσης των πρακτικών μαθηματικών. Οι κάτοικοι της ΚΙΠ κατασκεύασαν τούβλα, των οποίων οι διαστάσεις με αναλογίες 4:2:1, οι οποίες θεωρούνταν ευνοϊκές για την σταθερότητα της κατασκευής των τούβλων. Χρησιμοποίησαν ένα τυποποιημένο σύστημα βαρών βασισμένο στους λόγους 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, και 500, με την μονάδα βάρους να ισούται περίπου με 28 γραμμάρια (και περίπου ίσο με την Αγγλική ουγγιά ή την ελληνική ουγγιά). Παρήγαγαν μαζικά βάρη σε κανονικά γεωμετρικά σχήματα, τα οποία εμπεριείχαν εξάεδρα, βαρέλια, κώνους, και κυλίνδρους, και με αυτόν τον τρόπο επιδεικνύοντας γνώσεις βασικής γεωμετρίας. Οι κάτοικοι της κοιλάδας του Ινδού ποταμού επίσης προσπάθησαν να τυποποιήσουν τη μέτρηση του μήκους σε ένα υψηλό βαθμό ακρίβειας. Σχεδίασαν έναν χάρακα—τον Χάρακα του Μοχέντζο-ντάρο —του οποίου η μονάδα μήκους (περίπου 1,32 ίντσες ή 3,4 εκατοστά) διαχωριζόταν σε δέκα ίσα μέρη. Τούβλα κατασκευασμένα στο αρχαίο Μοχέντζο-ντάρο συχνά είχαν διαστάσεις, οι οποίες αποτελούσαν ακέραια πολλαπλάσια αυτής της μονάδας μήκους. Τα θρησκευτικά κείμενα της Βεδικής περιόδου παρείχαν στοιχεία για την χρήση μεγάλων αριθμών. Κατά την περίοδο του Yajurvedasaṃhitā (1200–900 π.Χ.), αριθμοί μεγάλοι όσο το 1012 εμπεριέχονταν σε κείμενα. Για παράδειγμα, το Μάντρα στο τέλος του annahoma ("τελετή αφαίρεσης τροφής") τελούμενη κατά την διάρκεια της ασβαμέντα επικαλείται δυνάμεις του δέκα από το εκατό εώς και το τρις-εκατομμύριο. Η λύση για μερικά κλάσματα ήταν γνωστή στους Rigvedic ανθρώπους ως κράτη της purush Sukta ( RV 10.90.4 ) Με τα τρία τέταρτα Puruṣa ανέβηκε : το ένα τέταρτο από αυτόν ήταν και πάλι εδώ. Η Satapatha Brahmana (-σαταπάθα μπραχμάνα-) ( προσεγγιστικά 7ος αιώνας π.Χ.) εμπεριέχει κανόνες για τελετουργικές γεωμετρικές κατασκευές που είναι παρόμοιες με τις Σούλμπα Σούτρας (Sulba Sutras). Οι Śulba Sūtras(-Σούλμπα Σούτρας-)( (κυριολεκτικά, "Αφορισμοί των συγχορδιών" στα Βεδικά Σανσκριτικά) (προσεγγιστικά 700–400 π.Χ.) απαριθμούν κανόνες για την κατασκευή των θυσιαστήριον βωμών πυράς. Τα περισσότερα μαθηματικά προβλήματα που εξετάζονται στις Śulba Sūtras πηγάζουν από "μία μοναδική ανάγκη," αυτήν της κατασκευής βωμών πυράς οι οποίοι έχουν διαφορετικά σχήματα αλλά καταλαμβάνουν την ίδια επιφάνεια. Οι βωμοί απαιτούνταν να κατασκευάζονται από πέντε επίπεδα από ψημένα τούβλα , με επιπλέον συνθήκη το ότι κάθε ένα από αυτούς θα αποτελείται από διακόσια τούβλα και το ότι δύο διπλανά επίπεδα δεν θα πρέπει να έχουν ομόλογες διατάξεις τούβλων. Σύμφωνα με το(Hayashi 2005, σελ. 363), οι Śulba Sūtras περιέχουν "την αρχική προφορική έκφραση του Πυθαγορείου θεωρήματος ,παρόλο που ήταν ήδη γνωστό στους παλιούς Βαβυλώνιους." The diagonal rope (Πρότυπο:IAST) of an oblong (rectangle) produces both which the flank (pārśvamāni) and the horizontal (Πρότυπο:IAST) <ropes> produce separately." Από την στιγμή που η πρόταση είναι μία sūtra, είναι αναγκαστικά συμπιεσμένη και ότι το σχοινί παράγει δεν επεξηγείται ,αλλά το γενικό πλαίσιο αφήνει ξεκάθαρα να εννοηθεί τις τετραγωνικές επιφάνειες που κατασκευάζονται από τα μήκη τους, και θα αυτό θα είχε επεξηγηθεί από τον δάσκαλο στον μαθητή.Περιέχουν λίστες από Πυθαγόρειες τριάδες, οι οποίες είναι συγκεκριμένες περιπτώσεις των Διοφαντικών εξισώσεων . Περιέχουν επιπλέον προτάσεις (οι οποίες εκ των υστέρων γνωρίζουμε να είναι προσεγγιστικές) για τον τετραγωνισμό του κύκλου και "κυκλοποιήση του τετραγώνου".Οι Baudhayana (μποτιαγιάνα) (προσεγγιστικά 8ος αιώνας π.Χ.) συνέθεσαν την Baudhayana Sulba Sutra, την γνωστή ως Sulba Sutra,η οποία περιέχει παραδείγματα από απλά Πυθαγόρειες τριάδες ,όπως: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), και (12, 35, 37), όπως επίσης και η πρόταση του Πυθαγόρειου θεωρήματος για τις πλευρές τετραγώνου : "Το σχοινί το οποίο είναι τεντομένο πάνω στης διαγώνιο ενός τετραγώνου παράγει μία περιοχή διπλάσια στο μέγεθος από το αρχικό τετράγωνο." Επιπλέον περιέχει την γενική πρόταση του Πυθαγορείου θεωρήματος (για τις πλευρές ενός ορθογωνίου): "Το σχοινί τεντομένο πάνω στο μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου δημιουργεί μία περιοχή την οποία σχηματίζουν μαζί οι κάθετες και οριζόντιες πλευρές." Baudhayana δίνει τον τύπο για την τετραγωνική ρίζα, 2 = 1 + 1 3 + 1 3 ⋅ 4 − 1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 ≈ 1.4142156 … {\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}\approx 1.4142156\ldots } Ο τύπος αυτός έχει ακρίβεια πέντε δεκαδικών στοιχείων,η πραγματική τιμή είναι 1.41421356... Αυτός ο τύπος είναι παρόμοιος σε δομή με τον τύπο που βρέθηκε σε Μεσοποτάμεια πινακίδα από την Παλαιά Βαβυλώνια περίοδο (1900–1600 π.Χ.): 2 = 1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 1.41421297. {\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297.} ο οποίος εκφράζει την √2 σε εξηνταδικό σύστημα,και ο οποίος έχει επίσης ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (μετά τη στρογγυλοποίηση ).Σύμφωνα με τον μαθηματικό S. G. Dani,η Βαβυλωνιακή πινακίδα (σε σφηνοειδή γραφή)Plimpton 322 γραμμένη προσεγγιστικά το 1850 π.Χ. "περιέχει δεκαπέντε Πυθαγόρειες τριάδες με σχετικά μεγάλες τιμές ,συμπεριλαμβανομένου του (13500, 12709, 18541) η οποία είναι μία αρχέτυπη τριάδα , υποδεικνύοντας ,συγκεκριμένα ,ότι υπήρχε n εξελιγμένη κατανόηση του θέματος" στην Μεσοποταμία το 1850 π.Χ.. "Αφού αυτές οι πινακίδες προηγούνται χρονικά της περιόδου κατά αρκετούς αιώνες,λαμβάνοντας υπόψη την παρόμοια εμφάνιση κάποιων από τις τριάδες , είναι λογικό να αναμένουμε παρόμοια κατανόηση να συμβαίνει και εκεί στην Ινδία." Ο Ντάνι συνεχίζει λέγοντας : "Δεδομένου ότι ο κύριος στόχος της Sulvasutras ήταν να περιγράψει τις κατασκευές βωμών και τις γεωμετρικές αρχές που εμπλέκονται σε αυτά , το θέμα του Πυθαγόρειου τρίκλινα, ακόμη και αν είχε πλήρως κατανοητή μπορεί να εξακολουθούν να μην έχουν εμφανίζονται στην Sulvasutras. Η εμφάνιση των τρίκλινων του Sulvasutras είναι συγκρίσιμα με τα μαθηματικά που μπορεί κανείς να συναντήσει σε ένα εισαγωγικό βιβλίο για την αρχιτεκτονική ή άλλη παρόμοια εφαρμοσμένη περιοχή , και δεν θα ανταποκρίνεται άμεσα στη γενική γνώση για το θέμα εκείνη τη στιγμή . Δεδομένου ότι, δυστυχώς , δεν έχουν βρεθεί άλλες σύγχρονες πηγές, δεν μπορεί ποτέ να είναι δυνατόν να επιλυθεί αυτό το ζήτημα με ικανοποιητικό τρόπο . " Τελικώς , τρεις Sulba Sutras έχουν συνταχθεί.Οι δύο που απομένουν, η Manava Sulba Sutra συνεταγμένη από την Manava (προσεγγιστικά 750–650 π.Χ.) και η Apastamba Sulba Sutra, συνεταγμένη από την Apastamba (προσεγγιστικά 600 π.Χ.), περιλαμβάνοντας αποτελέσματα παρόμοια με την Baudhayana Sulba Sutra. VyakaranaΈνα σημαντικό ορόσημο της Βεδικής περιόδου ήταν η εργασία της Σανσκριτικής γραμματικής (προσεγγιστικά 520–460 π.Χ.). Η γραμματική αυτή χρησιμοποίησε μια αρχική μορφή της λογικής Μπουλ, του μηδενικού τελεστή , και τις γραμματικές ελεύθερου πλαισίου , και εμπεριέχει έναν πρόδρομο της μορφής Μπάκους - Νάουρ (χρησιμοποιούμενη στην περιγραφή των προγραμματιστικών γλωσσών). Ανάμεσα στις δημοσιεύσεις των μελετητών της Βεδικής περιόδου , όπου συνείσφεραν στα μαθηματικά , ο πιο φημισμένος είναι ο Πίνγκαλα (piṅgalá) (fl. 300–200 BCE), ένας μουσικός θεωρητικός , ο οποίος έγραψε το Chhandas Shastra (chandaḥ-śāstra, also Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra),μια σανσκριτική πραγματεία στην προσωδία. Υπάρχουν στοιχειά , ότι στην δουλειά που έκανε στην απαρίθμηση των συνδυασμών των συλλαβών, ο Pingala στηρίχθηκε πάνω στο τρίγωνο του Pascal και στους Διωνιμικούς συντελεστές , παρ'ολ'αυτα δεν είχε γνώση στο του Διωνυμικού θεωρήματος.[35][36] Η δουλειά του Pingala's περιέχει επίσης την βασική ιδέα των αριθμών Fibonacci (που ονομάζονται maatraameru). Ωστόσο το Chandah sutra δεν επέζησε από μόνο του τελείως, σχολιασμός στον 10ου αιώνα από τον Halāyudha, ο οποίος αναφέρεται στο τρίγωνο του Pascal σαν Meru-prastāra (όπου σημαίνει «η σκάλα για το όρος meru»), έχει να πει : «Σχεδίασε ένα τετράγωνο. Ξεκινά από το μισό του τετραγώνου και σχεδίασε άλλα δυο τρίγωνα γύρω του, σε αυτά τα δυο σχεδίασε άλλα τρία και συνέχισε έτσι. Το μαρκάρισμα πρέπει να ξεκινήσει βάζοντας τον αριθμό 1 στο πρώτο τετράγωνο. Βάλε επίσης τον αριθμό 1 στα άλλα δυο τετράγωνα την δεύτερης σειράς. Στην τρίτη σειρά βάλε τον αριθμό 1 στα δυο τρίγωνα στο τέλος και στο μεσαίο, το άθροισμα των ψηφίων στα δυο τετράγωνα βρίσκονται από πάνω του. Στην τετάρτη σειρά βάλε τον αριθμό 1 στα δυο τετράγωνα στο τέλος. Στα μεσαία βάλε το άθροισμα των ψηφίων από τα τετράγωνα που βρίσκονται από πάνω του. Συνέχισε με αυτόν τον τρόπο. Σε αυτές τις σειρές , η δεύτερη δίνει τούς συνδυασμούς με μια συλλαβή , η τρίτη με δυο συλλαβές, ...»[35] Το άρθρο επίσης περιέχει αυτό που ο Πινγκαλα ονόμαζε την ταυτότητα της συνδυαστικής :[36] ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ⋯ + ( n n − 1 ) + ( n n ) = 2 n {\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}} KatyayanaΟ Katyayana (c. 3rd century BCE) είναι γνωστός ως ο τελευταίος μαθηματικός την βεδικής περιόδου. Έγραψε το Katyayana Sulba Sutra που περιέχει αρκετή γεωμετρία, περιλαμβάνοντας τη γενική διατύπωση του πυθαγόρειου θεωρήματος και τον υπολογισμό της ρίζας του 2 με πέντε δεκαδικά ψηφία. Παρόλο που ο Jainism σαν θρησκεία και φιλοσοφία προηγείται τον πιο διάσημο εκφραστής της, Mahavira (6th century BC) όπου ήταν σύγχρονος του Gautama Buddha περισσότερα κείμενα Jain με θέματα μαθηματικών γράφτηκαν μετά τον 6ο αιώνα π.Χ. Οι περισσότεροι Jain μαθηματικοί είναι σημαντικοί ιστορικά σαν τους ζωτικούς δεσμούς μεταξύ των μαθηματικών της Βεδικής περιόδου και της "Κλασσικής περιόδου ." Μια σημαντική ιστορική συμβολή έχουν θέση οι Jain μαθηματικοί στην απελευθέρωση των ινδικών μαθηματικών από την θρησκεία και τους τελετουργικούς περιορισμούς . Συγκεκριμένα οι γοητεία τους με την απαρίθμηση των πολύ μεγάλων αριθμών και άπειρα, τους οδήγησε να χωρίσουν τους αριθμούς σε τρεις κατηγορίες : αυτούς που μπορούμε να μετρήσουμε , αυτούς που δεν μπορούμε να μετρήσουμε και τους άπειρους. Δεν είναι ικανοποιημένοι με μια απλή έννοια του απείρου, αλλά όρισαν πέντε είδη απείρων αριθμών :τους άπειρους σε μια κατεύθυνση , τους άπειρους σε δύο κατευθύνσεις , τους άπειρους σε μια περιοχή, τους άπειρους παντού και τους άπειρους διαρκώς.Επιπλέον, οι Jain μαθηματικοί επινόησαν συμβολισμούς για απλές αρμοδιότητες (και εκθέτες) αριθμών όπως τα τετράγωνα, οι κύβοι, οι οποίοι τους επέτρεψαν να καθορίσουν απλές αλγεβρικές εξισώσεις (beejganita samikaran).Οι Jain μαθηματικοί ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τη γλώσσα shunya (κυριολεκτικά κενό στα Sanskrit) όταν αναφέρονταν στο μηδέν. Περισσότερο από μια χιλιετία μετά, η ονομασία τους έγινε στα Αγγλικά η λέξη "zero" μετά από ένα βασανιστικό ταξίδι των μεταφράσεων και μεταγραφές από την Ινδία προς την Ευρώπη. (Δες Μηδέν: Ετυμολογία.) Επιπλέον το Surya Prajnapti, σημαντική δουλειά των Jain στα μαθηματικά περιλαμβάνει το Vaishali Ganit (c. 3rd century BC); , το Sthananga Sutra (fl. 300 BC – 200 AD); το Anoyogdwar Sutra (fl. 200 BC – 100 AD); και το Satkhandagama (c. 2nd century AD). Στους σημαντικούς Jain μαθηματικούς περιλαμβάνονται ο Bhadrabahu (d. 298 BC), ο συγγραφέας των δύο αστρονομικών βιβλίων , ο Bhadrabahavi-Samhita και ο σχολιαστής στο Surya Prajinapti; Yativrisham Acharya (c. 176 BC), που έγραψε ένα μαθηματικό κείμενο που ονομάζεται Tiloyapannati; και Umasvati (c. 150 BC), ο οποίος έγινε πιο γνωστός για την επιρροή στα κείμενά του για την Jain φιλοσοφία και μεταφυσική, στην σύνδεση ένα μαθηματικό έργο που ονομάζεται Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya. Μαθηματικοί της αρχαιότητας και της πρόωρης μεσαιωνικής Ινδίας ήταν σχεδόν όλοι Sanskrit pandits (paṇḍita "γνωστικιστής άνθρωπος"),[37] ο οποίος έμαθε την Sanskrit γλώσσα και λογοτεχνία, και διέθετε «ένα κοινό απόθεμα των γνώσεων στη γραμματική (vyākaraṇa),εξήγηση (mīmāṃsā) και λογική (nyāya)."[37] Απομνημόνευση του "τι ακούστηκε" (śruti in Sanskrit) μέσω απαγγελίας έπαιξε σημαντικό ρόλο στη μετάδοση των ιερών κειμένων στην αρχαία Ινδία. Απομνημόνευση και απαγγελία χρησιμοποιούνταν επίσης για να μεταφέρουν τα φιλοσοφικά και λογοτεχνικά έργα , καθώς και πραγματείες για την τελετουργία και τη γραμματική. Οι σύγχρονοι μελετητές της αρχαίας Ινδίας έχουν σημειωθεί για τα "πραγματικά αξιοσημείωτα επιτεύγματα των ινδικών pandits που έχουν διατηρηθεί πάρα πολύ ογκώδη κείμενα από το στόμα σε στόμα για χιλιετίες.."[38] Prodigous ενέργεια που δαπανάται από την αρχαία ινδική κουλτούρα στην εξασφάλιση ότι τα κείμενα αυτά μεταδίδονται από γενιά σε γενιά με την υπέρμετρη πιστότητα.[39] Για παράδειγμα, η απομνημόνευση των ιερών Vedas περιλαμβάνει πάνω από έντεκα μορφές απαγγελία του ίδιου κειμένου. Τα κείμενα ήταν συνέχεια "απόδειξη-ανάγνωση" από τη σύγκριση των διαφόρων απάγγελων εκδόσεων .Στις μορφές απαγγελίας περιλαμβάνονται το jaṭā-pāṭha (literally "mesh recitation") στο οποίο κάθε δυο παρακείμενες λέξεις στο κείμενο για πρώτη φορά αναφέρεται στην αρχική τους σειρά, μετά επαναλαμβάνονται με την αντίθετη φορά και τελικά επαναλαμβάνονται ξανά με την κανονική φορά .[40] Έτσι, η απαγγελία προχώρησε όπως: word1word2, word2word1, word1word2; word2word3, word3word2, word2word3; ... Σε μια άλλη μορφή της απαγγελίας, dhvaja-pāṭha[40] (κυριολεκτικά "σημαία απαγγελία") μια σειρά από Ν λέξεις όπου απήγγειλε (και απομνημόνευση) ζευγαρώνοντας τα δύο πρώτα δύο και την τελευταία λέξη και, στη συνέχεια, προχωρεί ως: word1word2, wordN − 1wordN; word2word3, wordN − 3wordN − 2; ..; wordN − 1wordN, word1word2; Η πιο σύνθετη μορφή της απαγγελίας, ghana-pāṭha (literally "dense recitation"), σύμφωνα με (Filliozat 2004, p. 139), πήρε την μορφή: word1word2, word2word1, word1word2word3, word3word2word1, word1word2word3; word2word3, word3word2, word2word3word4, word4word3word2, word2word3word4;... Αυτοί οι μέθοδοι είναι αποτελεσματικοί ,μαρτυρείται από τη διατήρηση του αρχαιότερου ινδικού θρησκευτικού κειμένου, το Ṛgveda (ca. 1500 BCE),σαν μοναχικό κείμενο, χωρίς οποιαδήποτε παραλλαγή αναγνώσεις.[40] Παρόμοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνταν για την απομνημόνευση μαθηματικών κείμενων, των οποίων η μετάδοση παρέμεινε αποκλειστικά προφορική μέχρι το τέλος της Βεδικής περιόδου (ca. 500 BCE). Μαθηματική δραστηριότητα στην αρχαία Ινδία ξεκίνησε ως μέρος ενός «μεθοδολογικού προβληματισμού» για το ιερό Vedas, η οποία πήρε τη μορφή των έργων που ονομάζεται Vedāṇgas, ή, "Ancillaries of the Veda" (7th–4th century BCE).[41] Η ανάγκη για τη διατήρηση της υγιούς του ιερού κειμένου με τη χρήση της śikṣā (phonetics) και chhandas (metrics);να διατηρήσει το νόημά της με τη χρήση vyākaraṇa (grammar) και nirukta (etymology);και να εκτελέσει σωστά τις τελετουργίες στο σωστό χρόνο με τη χρήση της kalpa (ritual) και jyotiṣa(astrology), οδήγησαν στις έξι κλάδους της Vedāṇgas.[41] Μαθηματικά προέκυψε ως μέρος των τελευταίων δύο κλάδων, τελετουργικό και την αστρονομία (η οποία περιελάμβανε, επίσης, αστρολογία). Από τα Vedāṇgas αμέσως πριν από την χρήση της γραφής στην αρχαία Ινδία, που διαμορφώθηκαν την τελευταία του αποκλειστικά προφορικής λογοτεχνίας. Είχαν εκφράζεται σε εξαιρετικά συμπιεσμένη μορφή μνημονική, το sūtra (literally, "thread"): Οι γνώστες της σούτρα το γνωρίζουν ότι έχουν λίγα φωνήματα , να στερείται αμφισημίας , που περιέχουν την ουσία , που αντιμετωπίζει τα πάντα , όντας χωρίς παύση και αρεστός.[41]Ακραία συντομία επιτεύχθηκε μέσω πολλαπλών μέσων, η οποία περιλάμβανε τη χρήση αποσιωπητικά "η οποία περιλάμβανε τη χρήση αποσιωπητικά,"[41] χρησιμοποιώντας τεχνικές ονομασίες αντί περισσότερο περιγραφικά ονόματα, σύντομες λίστες μόνο που παραπέμπουν το πρώτο και τελευταίο εγγραφές, και χρησιμοποιώντας δείκτες και οι μεταβλητές.[41] Το sūtras δημιουργεί την εντύπωση ότι η επικοινωνία μέσω κειμένου ήταν "μόνο ένα μέρος του όλου διδασκαλίας. Το υπόλοιπο της εντολής πρέπει να έχουν μεταδοθεί από το λεγόμενο Guru-shishya paramparai, 'αδιάκοπη διαδοχή από το δάσκαλό (guru) για το μαθητή (śisya),' και δεν ήταν ανοιχτή για το ευρύ κοινό »και ίσως ακόμη κρυμμένο μυστικό.[42] Η συντομία επιτευχθεί μια sūtra καταδεικνύεται στο ακόλουθο παράδειγμα από το Baudhāyana Śulba Sūtra (700 BCE). Ο σχεδιασμός της εγχώριας βωμό φωτιά στο Śulba Sūtra Ο σχεδιασμός της εγχώριας βωμό φωτιά στην Βεδική περίοδο ήταν υποχρεωμένη από το τελετουργικό να έχει μια τετράγωνη βάση και αποτελείται από πέντε στρώματα των τούβλων με 21 τούβλα σε κάθε στρώμα. Μια μέθοδος για την κατασκευή του βωμού ήταν να διαιρέσει μια πλευρά του τετραγώνου σε τρία ίσα μέρη, χρησιμοποιώντας ένα καλώδιο ή σχοινί, στην επόμενη να διαιρέσει την εγκάρσια (ή κάθετη) πλευρά σε επτά ίσα μέρη, και με αυτόν τον τρόπο να υποδιαιρέσει την πλατεία σε 21 παράλληλα ορθογώνια. Τα τούβλα ακολούθως σχεδιαστεί ώστε να είναι το σχήμα του στοιχείου παραλληλόγραμμο και δημιουργήθηκε η στοιβάδα. Για να σχηματίσουν την επόμενη στρώση, ο ίδιος τύπος χρησιμοποιήθηκε, αλλά τα τούβλα διατεταγμένα εγκαρσίως.[43] Η διαδικασία ακολούθως επαναλήφθηκε τρεις ακόμη φορές (με εναλλασσόμενες κατευθύνσεις) προκειμένου να ολοκληρωθεί η κατασκευή. Στο Baudhāyana Śulba Sūtra,Αυτή η διαδικασία περιγράφεται στις ακόλουθες λέξεις: "II.64. Μετά τη διαίρεση του quadri - πλευρική σε επτά ,το ένα χωρίζει την εγκάρσια [ κορδόνι ] στα τρία. II.65. Σε άλλο ένα στρώμα τοποθετεί την [ τούβλα ] Βορρά- κατάδειξης."[43]Σύμφωνα με (Filliozat 2004, p. 144),ο αντιπρόσωπος του την κατασκευή του βωμού έχει μόνο μερικά εργαλεία και τα υλικά που έχει στη διάθεσή του: ένα καλώδιο(Sanskrit, rajju, f.), δύο μανταλάκια (Sanskrit, śanku, m.), και πηλό για να κάνει τα τούβλα (Sanskrit, iṣṭakā, f.). Συντομίας επιτυγχάνεται στο sūtra, με το να μην παραπέμπουν ρητά πια είναι το επίθετο "εγκάρσια" πληροί τις προϋποθέσεις; Ωστόσο, από τη θηλυκή μορφή του (Sanskrit) επίθετο που χρησιμοποιείται, είναι εύκολα συμπεραίνεται ότι πληρούν τις προϋποθέσεις "καλώδιο". Ομοίως, στη δεύτερη stanza, "τούβλα" δεν αναφέρονται ρητά, αλλά προκύπτει και πάλι από το θηλυκό πληθυντικό του «Βορρά-κατάδειξης." Τέλος, η πρώτη stanza, Ποτέ δεν λέει ρητά ότι το πρώτο στρώμα των τούβλων είναι προσανατολισμένες στην κατεύθυνση Ανατολής-Δύσης, αλλά και αυτό υπονοείται με τη ρητή αναφορά του «Βορρά-κατάδειξης" στη δεύτερη stanza;για, εάν ο προσανατολισμός προορίστηκε να είναι η ίδια στις δύο στρώσεις, Δεν θα πρέπει είτε να αναφέρεται καθόλου ή να αναφέρεται μόνο στο πρώτο stanza. Όλα αυτά τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε το officiant καθώς θυμάται τον τύπο από τη μνήμη του.[43] Με την αυξανόμενη πολυπλοκότητα των μαθηματικών και των άλλων θετικών επιστήμων, τόσο εγγράφως και υπολογισμού όφειλαν. Κατά συνέπεια, πολλές μαθηματικές εργασίες άρχισαν να γράφονται σε χειρόγραφα που είχαν τότε αντιγραφεί και εκ νέου αντιγραφεί από γενιά σε γενιά. "Η Ινδία σήμερα υπολογίζεται ότι έχει περίπου τριάντα εκατομμύρια χειρόγραφα , το μεγαλύτερο σώμα του χειρόγραφο υλικό ανάγνωσης οπουδήποτε στον κόσμο. Η εγγράμματη κουλτούρα της ινδικής επιστήμης χρονολογείται τουλάχιστον από τον πέμπτο αιώνα π.Χ. ... Όπως προκύπτει από τα στοιχεία της Μεσοποταμίας λογοτεχνία οιωνό και της αστρονομίας που τέθηκε Ινδία εκείνη την εποχή και ( ήταν) σίγουρα δεν ... σώζεται προφορικά . "[44]Η παλαιότερη μαθηματική πεζογραφία η οποία σχολιάστηκε ήταν για το έργο, Āryabhaṭīya (written 499 CE), ένα έργο σχετικά με την αστρονομία και τα μαθηματικά. Το μαθηματικό τμήμα της Āryabhaṭīya αποτελούνταν από 33 sūtras (σε μορφή στίχο) που αποτελούνται από μαθηματικές δηλώσεις ή κανόνες, αλλά χωρίς αποδείξεις.[45] Ωστόσο, σύμφωνα με την (Hayashi 2003, p. 123),"αυτό δεν σημαίνει κατ 'ανάγκη ότι οι συντάκτες τους δεν το αποδεικνύουν. Ήταν μάλλον θέμα στυλ της έκθεση. " Από τη στιγμή του Bhaskara I (600 CE onwards),πεζογραφία σχόλια άρχισαν όλο και περισσότερο να περιλαμβάνει ορισμένα παράγωγα(upapatti). Τα σχόλια του Bhaskara I στο Āryabhaṭīya, είχαν την ακόλουθη δομή::[45] Κανόνας ('sūtra') αντίθετα από Āryabhaṭa Σχόλια από Bhāskara I, που αποτελείται από: Διευκρίνηση του κανόνα (παράγωγα ήταν ακόμη σπάνια τότε, αλλά έγινε πιο κοινή αργότερα) Παράδειγμα (uddeśaka) συνήθως σε στίχο. Ρυθμίσεις (nyāsa/sthāpanā) των αριθμητικών δεδομένων. Δουλεύοντας (karana) του διαλύματος. Επαλήθευση (pratyayakaraṇa,κυριολεκτικά "για να καταδικαστική απόφαση") της απάντησης. Αυτά έγιναν σπάνια από τον 13ο αιώνα, παράγωγα ή αποδείξεις που ευνοείται από τότε.[45]Τυπικά, για κάθε μαθηματικό θέμα, οι μαθητές στην αρχαία Ινδία απομνημονεύουν πρώτα το sūtras, η οποία, όπως προαναφέρθηκε, ήταν "εσκεμμένα ανεπαρκείς» [44]στην αιτιολογική λεπτομέρειες (για να μεταφέρω περιεκτικά τα γυμνά-οστά μαθηματικών κανόνων). Οι μαθητές στη συνέχεια εργάστηκε με τα θέματα των σχολίων πεζογραφίας με το γράψιμο (και με βάση τα διαγράμματα) σχετικά με κιμωλία και τους μαυροπίνακες. Η τελευταία αυτή δραστηριότητα, μια βάση της μαθηματικής εργασίας, ήταν αργότερα άμεση μαθηματικός-αστρονόμος, Brahmagupta (fl. 7th century CE),να χαρακτηρίσει αστρονομικό υπολογισμούς ως «έργο σκόνη" (Sanskrit: dhulikarman).[46] Είναι γνωστό ότι καταγράφηκε το δεκαδικό σύστημα θέσης-αξίας που χρησιμοποιούνται σήμερα για πρώτη φορά στην Ινδία, στη συνέχεια διαβιβάστηκε προς τον ισλαμικό κόσμο, και τελικά στην Ευρώπη.[47] Η συριακή επίσκοπος Severus Sebokht έγραψε στα μέσα του 7ου αιώνα μ.Χ. για τα "εννέα σημεία" των Ινδιάνων για την έκφραση αριθμούς.[47] Ωστόσο, το πώς, πότε και πού εφευρέθηκε το πρώτο δεκαδικό σύστημα αξία τόπος δεν είναι τόσο σαφής.[48]Το πρώτα σωζόμενα σενάριο που χρησιμοποιείται στην Ινδία ήταν η Kharoṣṭhī γραφή που χρησιμοποιούνται για την καλλιέργεια Gandhara της βόρειο-δυτικά. Είναι πιστεύεται ότι είναι Αραμαϊκή προέλευση και ήταν σε χρήση από τον 4ο αιώνα π.Χ. έως τον 4ο αιώνα μ.Χ..Σχεδόν ταυτόχρονα, μια άλλη γραφή, η γραφή του Brāhmī , εμφανίστηκε σε ένα μεγάλο μέρος της υπο-ηπείρου, και θα γινόταν αργότερα το θεμέλιο της πολλά σενάρια της Νότιας Ασίας και Νοτιοανατολική Ασία. Και τα δύο σενάρια είχαν αριθμητικό σύμβολα και ο αριθμός των συστημάτων, τα οποία αρχικά δεν βασίζεται σε ένα σύστημα θέσης-αξίας.[49]ο πρώτο σωζόμενο αποδείξεις των δεκαδικών αριθμών αξίας χώρα στην Ινδία και η Νοτιοανατολική Ασία είναι από τα μέσα της πρώτης χιλιετίας CE.[50] Μία πλάκα χαλκού από Gujarat, Ινδία αναφέρει την ημερομηνία 595 CE, γραμμένο σε δεκαδική μορφή αξίας θέση, αν υπάρχει κάποια αμφιβολία ως προς τη γνησιότητα της πλάκας.[50] Δεκαδικοί αριθμοί εγγραφής τα έτη 683 CE έχουν επίσης βρεθεί σε επιγραφές πέτρα στην Ινδονησία και στην Καμπότζη, όπου ινδική πολιτιστική επιρροή ήταν σημαντική.[50]Υπάρχουν παλαιότερες γραπτές πηγές, αν και τα σωζόμενα χειρόγραφα αντίγραφα του έργου αυτών των κειμένων είναι από πολύ μεταγενέστερες ημερομηνίες.[51] Ίσως η πρώτη τέτοια πηγή είναι το έργο της βουδιστικής φιλόσοφος Vasumitra χρονολογείται πιθανότατα στον 1ο αιώνα μ.Χ..[51] Συζητώντας τα λάκκους καταμέτρηση των εμπόρων, Vasumitra παρατηρήσεις, «Όταν [η ίδια] πηλό καταμέτρηση-κομμάτι είναι στη θέση των μονάδων, που χαρακτηρίζεται ως μία, όταν εκατοντάδες, εκατό."[51] Παρά το γεγονός ότι αυτές οι αναφορές φαίνεται να υπονοεί ότι οι αναγνώστες του είχαν γνώση ενός δεκαδική αναπαράσταση τιμή τόπο, η "συντομίας υπαινιγμών τους και την ασάφεια των ημερομηνιών τους, ωστόσο, δεν αποδεικνύουν σταθερά τη χρονολογία της ανάπτυξης της ιδέας αυτής."[51]Ένα τρίτο δεκαδικό εκπροσώπηση εργαζόταν σε τεχνική σύνθεση στίχο, στη συνέχεια επισημαίνονται Bhuta-sankhya (κυριολεκτικά, "οι αριθμοί αντικείμενο") χρησιμοποιείται από τις αρχές του σανσκριτικά συντάκτες των τεχνικών βιβλίων.[52] Επειδή ήταν πολλή νωρίς, τα τεχνικά έργα που αποτελείται στο στίχο, αριθμοί συχνά εκπροσωπούνται από τα αντικείμενα στο φυσικό ή θρησκευτικό κόσμο ότι η αλληλογραφία τους, Αυτό επέτρεψε μια σχέση πολλά-προς-ένα αντιστοιχία για κάθε αριθμό και έκανε σύνθεση στίχο ευκολότερη.[52] Σύμφωνα με Plofker 2009, ο αριθμός 4, για παράδειγμα, θα μπορούσε να εκπροσωπείται από τη λέξη "Veda"δεδομένου ότι υπήρχαν τέσσερα από αυτά τα θρησκευτικά κείμενα), ο αριθμός 32 με τη λέξη «δόντια» (από ένα πλήρες σύνολο αποτελείται από 32), και τον αριθμό 1 από το "φεγγάρι" (δεδομένου ότι δεν υπάρχει μόνο ένα φεγγάρι).[52] Έτσι, Veda / δόντια / φεγγάρι θα αντιστοιχεί στο δεκαδικό αριθμητικό 1324, όπως η σύμβαση για τους αριθμούς ήταν να απαριθμήσει τα ψηφία τους από δεξιά προς τα αριστερά.[52] Η παλαιότερη αναφορά που απασχολούν τους αριθμούς αντικείμενο είναι μια ca. 269 ​​CE Sanskrit κείμενο,Yavanajātaka (κυριολεκτικά «Ελληνική Horoscopy") του Sphujidhvaja, η στιχουργία του προγενέστερου (περίπου 150 CE) Ινδικής προσαρμογής της πεζογραφίας στο χαμένο έργο της Ελληνιστικής αστρολογίας.[53]Η χρήση αυτή φαίνεται να κάνει την υπόθεση ότι από τη σήμανση μέσα του 3ου αιώνα, το δεκαδικό σύστημα αξιών μέρος ήταν γνωστό, τουλάχιστον στους αναγνώστες του αστρονομικά και αστρολογικά κείμενα στην Ινδία.[52]Έχει διατυπωθεί η υπόθεση ότι το ινδικό σύστημα δεκαδική τιμή τόπο βασίστηκε στα σύμβολα χρησιμοποιείται στις κινεζικές πίνακες καταμέτρηση ήδη από τα μέσα της πρώτης χιλιετίας π.Χ.. [54] Σύμφωνα με Plofker 2009, Αυτοί οι πίνακες μέτρησης, όπως οι ινδικές λάκκους καταμέτρηση;, ..., είχε μια δομή δεκαδική τιμή τόπο ... Ινδοί μπορεί κάλλιστα να έχουν μάθει από αυτά την δεκαδική τιμή τόπο "αριθμοί ράβδος» από την Κινέζους βουδιστές προσκυνητές ή άλλους ταξιδιώτες, ή μπορεί να έχουν αναπτύξει την έννοια ανεξάρτητα από τις προηγούμενες σύστημα μη-τόπος-η αξία τους, αποδεικτικά στοιχεία δεν επιβιώνει για να επιβεβαιώσει είτε συμπέρασμα."[54] Το παλαιότερο σωζόμενο χειρόγραφο μαθηματική στη Νότια Ασία είναι η Bakhshali χειρόγραφο, το φλοιό σημύδας χειρόγραφο γραμμένο σε "Buddhist hybrid Sanskrit"[12] στο Śāradāscript, το οποίο χρησιμοποιήθηκε στη βορειοδυτική περιοχή της την ινδική υποήπειρο μεταξύ του 8ου και του 12ου αιώνα CE.[55] Το χειρόγραφο ανακαλύφθηκε το 1881 από έναν αγρότη, ενώ το σκάψιμο σε ένα πέτρινο περίβλημα στο χωριό Bakhshali, κοντά στο Peshawar (στη συνέχεια, στη βρετανική Ινδία και τώρα στο Πακιστάν). Αγνώστου πατρότητας και σήμερα διατηρείται στη βιβλιοθήκη Bodleian στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, το χειρόγραφο έχει ποικιλοτρόπως ημερομηνία—ήδη από τα «πρώτους αιώνες της χριστιανικής εποχής" [56] και τόσο αργά όσο μεταξύ του 9ου και 12ου αιώνα μ.Χ...[57] Το 7ο αιώνα μ.Χ. θεωρείται πλέον μια εύλογη ημερομηνία,[58] έστω και με την πιθανότητα ότι το "χειρόγραφο σε μορφή σημερινή του αποτελεί ένα σχόλιο ή ένα αντίγραφο ενός πρόσθιου μαθηματικής εργασίας.""[59]Το επιζών χειρόγραφο έχει εβδομήντα φύλλα, μερικά από τα οποία βρίσκονται σε θραύσματα. Μαθηματικού περιεχομένου του αποτελείται από κανόνες και παραδείγματα, γραμμένο σε στίχους, μαζί με πεζογραφικά σχόλια, τα οποία περιλαμβάνουν λύσεις για τα παραδείγματα.[55] Τα θέματα που αντιμετωπίζονται περιλαμβάνουν αριθμητικό (κλάσματα, τετραγωνικές ρίζες, κέρδη και ζημίες, απλό ενδιαφέρον, therule των τριών, και κανονισμούς falsi) και της άλγεβρας (ταυτόχρονες γραμμικές εξισώσεις και δευτεροβάθμιων εξισώσεων), και την αριθμητική πρόοδοι.Επιπλέον, υπάρχει μια χούφτα των γεωμετρικών προβλημάτων (συμπεριλαμβανομένων των προβλημάτων σχετικά με τον όγκο των παράνομων στερεών). Το χειρόγραφο Bakhshali επίσης «χρησιμοποιεί ένα δεκαδικό σύστημα αξιών χώρα με μια τελεία για το μηδέν."[55] Πολλά από τα προβλήματά της είναι μια κατηγορία γνωστή ως «προβλήματα εξισορρόπησης», που οδηγούν σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένα παράδειγμα από Θραύσμα ΙΙΙ-5-3V είναι η ακόλουθη: "Ένας έμπορος έχει επτά άλογα asava, ένα δεύτερο έχει εννέα άλογα haya, και ένας τρίτος έχει δέκα καμήλες. Είναι εξίσου καλά μακριά στην αξία των ζώων τους, εάν καθένας δίνει δύο ζώα, ένα σε κάθε μία από τις άλλες. Βρείτε την τιμή του κάθε ζώο και η συνολική αξία των ζώων που κατέχονται από κάθε έμπορο. "[60] Ο σχολιασμός πεζογραφία συνοδεύει το παράδειγμα λύνει το πρόβλημα με τη μετατροπή του σε τρεις (κάτω προσδιορίζεται) εξισώσεις σε τέσσερις αγνώστους και με την παραδοχή ότι οι τιμές είναι όλοι ακέραιοι.[60] Αυτή η περίοδος είναι συχνά γνωστό ως η χρυσή εποχή των Ινδικών Μαθηματικών. Αυτή η περίοδος είδε μαθηματικούς, όπως Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I,Mahavira, Bhaskara II, Madhava of Sangamagrama and Nilakantha Somayaji δίνουν σε ευρύτερα και σαφέστερα σχήμα σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών. Η συνεισφορά τους θα εξαπλωθεί στην Ασία, τη Μέση Ανατολή, και τελικά στην Ευρώπη. Σε αντίθεση με τα μαθηματικά στην Βεδική περίοδο , τα έργα τους περιλαμβάνονται τόσο αστρονομικές και μαθηματικές εισφορές. Στην πραγματικότητα, τα μαθηματικά της περιόδου αυτής είχε συμπεριληφθεί στην «αστρικό επιστήμη» (jyotiḥśāstra) και αποτελείται από τρεις επιμέρους κλάδους: μαθηματικές επιστήμες (gaṇita ή tantra),ωροσκόπιο, αστρολογία (horā ή jātaka) και τη μαντεία (saṃhitā).[46] Αυτή η τριμερής διαίρεση παρατηρείται σε Varāhamihira'sΚατάρτιση του 6ου αιώνα—Pancasiddhantika[61](κυριολεκτικά panca, "πέντε" Siddhanta, "το συμπέρασμα της διαβούλευσης», με ημερομηνία 575 CE)—πέντε προηγούμενα έργα, Surya Siddhanta, Romaka Siddhanta, Paulisa Siddhanta,Vasishtha Siddhanta και Paitamaha Siddhanta, που ήταν προσαρμογές ακόμα παλαιότερα έργα της Μεσοποταμίας, ελληνική, αιγυπτιακή, ρωμαϊκά και ινδική αστρονομία. Όπως εξηγήθηκε προηγουμένως, τα βασικά κείμενα γράφτηκαν στα σανσκριτικά στίχο, και ακολούθησαν πεζογραφία σχόλια.[46] Surya SiddhantaΑν και την πατρότητά του είναι άγνωστη, η Surya Siddhanta (c. 400) περιέχει τις ρίζες της σύγχρονης τριγωνομετρίας.[citation needed] Λόγω του ότι περιέχει πολλές λέξεις ξένης προέλευσης, ορισμένοι συγγραφείς θεωρούν ότι γράφτηκε υπό την επήρεια της Μεσοποταμίας και την Ελλάδα.[62]Αυτό το αρχαίο κείμενο χρησιμοποιεί τα ακόλουθα ως τριγωνομετρικές συναρτήσεις για πρώτη φορά: Ημίτονο (Jya). Συνημίτονο(Kojya). Τόξο ημιτόνου (Otkram jya).Περιέχει, επίσης, τις πρώτες χρήσεις των: Εφαπτομένη. Συνεφαπτομένη.Αργότερα ινδικοί μαθηματικοί όπως ο Aryabhata έκαναν αναφορές σε αυτό το κείμενο, ενώ αργότερα αραβικές and λατινικές μεταφράσεις είχαν επιρροές στην Ευρώπη και στη μέση Ανατολή. Chhedi calendarΑυτό το ημερολόγιο του Chhedi (594) περιέχει μια πρώιμη χρήση του σύγχρονου θεσιακού Ινδο-Αραβικού συστήματος αρίθμησης που τώρα χρησιμοποιείται παγκοσμίως (βλέπε επίσης Χίντι και αραβικά αριθμητικά). Aryabhata IΟ Αριαμπάτα (476–550) έγραψε το Aryabhatiya. Περιέγραψε τις σημαντικές θεμελιώδεις αρχές των μαθηματικών το 332. Η πραγματεία που περιέχονται: Δευτεροβάθμια εξίσωση Τριγωνομετρία The value of π, ορθώς 4 δεκαδικά ψηφία.Ο Αραμπιάτα έγραψε επίσης το Arya Siddhanta, το οποίο σήμερα έχει χαθεί. Οι συνεισφορές του Αραμπιάτα περιέχουν: Τριγωνομετρία: (Βλέπε επίσης : Aryabhata's sine table) Εισήγαγε την τριγωνομετρική συνάρτηση. Όρισε το ημίτονο (jy]) ως τη σύγχρονη σχέση μεταξύ μισής γωνίας και μισή χορδή. Όρισε το συνημίτονο (kojya). Όρισε το versine ('[utkrama-jya). Όρισε the τόξο ημιτόνου (otkram jya). Έδωσε μεθόδους υπολογισμού κατά προσέγγιση αριθμητικές τιμές τους. Περιέχει τα πρώτα τραπέζια του ημιτόνου, συνημιτόνου και τιμές versine, σε 3.75° διαστήματα από 0° ως 90°, με 4 δεκαδικά ψηφία ακρίβειας. Περιέχει το τριγωνομετρικό τύπο sin(n + 1)x − sin nx = sin nx − sin(n − 1)x − (1/225)sin nx. Σφαιρικό τρίγωνο.Αριθμητική: Συνεχές κλάσμα.Άλγεβρα: Λύσεις ταυτόχρονης δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Πλήρεις λύσεις αριθμών γραμμικών εξισώσεων με μια μέθοδο ανάλογη με σημερινή. Γενική λύση του απροσδιόριστου γραμμική εξίσωση .μαθηματική Αστρονομία: Ακριβείς υπολογισμούς για τις αστρονομικές σταθερές, όπως: Έκλειψη Ηλίου. Σεληνιακή έκλειψη]. Τον τύπο για το άθροισμα των [[[Κύβος (άλγεβρα)|κύβων]], το οποίο ήταν ένα σημαντικό βήμα για την ανάπτυξη του ολοκληρωτικού λογισμού.Varahamihiraο Varahamihira (505–587) δημιούργησε το Pancha Siddhanta (Οι Πέντε Αστρονομική Κανόνες). Έκανε σημαντικές συνεισφορές στην τριγωνομετρία, συμπεριλαμβανομένων πίνακες ημίτονο και συνημιτόνου με 4 δεκαδικά ψηφία ακρίβειας και τους ακόλουθους τύπους σχετικά με τις συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου: sin 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1 {\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1} sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( π 2 − x ) {\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)} 1 − cos ⁡ ( 2 x ) 2 = sin 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)} Τον 7ο αιώνα, δύο ξεχωριστά πεδία,Η Αριθμητική (η οποία περιελάμβανε Μέτρηση) και η Άλγεβρα, άρχισαν να εμφανίζονται στα ινδικά μαθηματικά. Τα δύο πεδία αργότερα ονομάστηκαν pāṭī-gaṇita (κυριολεκτικά "μαθηματικά αλγορίθμων") και bīja-gaṇita (κυριολεκτικά "μαθηματικά των σπόρων", με σπόρους—όπως οι σπόροι των φυτών—εκπροσωπούν αγνώστους με τη δυνατότητα να δημιουργήσουν, σε αυτήν την περίπτωση, the solutions of equations). Η Βραχμαγκούπτα, στο αστρονομικό έργο του Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 αιών.), περιλάμβανε δύο κεφάλαια (12 και 18) αφιερωμένα σε αυτούς τους τομείς. Το κεφάλαιο 12,που περιέχει 66 σανσκριτικούς στίχους, χωρίστηκε σε δύο τμήματα: "βασικές λειτουργίες" (συμπεριλαμβανομένων κυβικών ριζών, κλάσματα, λόγους και αναλογίες, και αντιπραγματισμού) και "πρακτικά μαθηματικά" (περιλαμβανομένων του μείγματος, μαθηματική σειρά, τα στοιχεία αεροπλάνο, στοίβαξη τούβλα, πριόνισμα ξυλείας, και συσσωρεύονται των σιτηρών). Στην τελευταία ενότητα, δήλωσε το περίφημο θεώρημα του για τις διαγώνιες ενός κυκλικού τετραπλεύρου:Θεώρημα του Βραχμαγκούπτα: Εάν ένα κυκλικό τετράπλευρο έχει διαγωνίους που είναι κάθετες μεταξύ τους, τότε η κάθετη γραμμή που σύρεται από το σημείο τομής των διαγωνίων σε οποιαδήποτε πλευρά του τετραπλεύρου διχοτομεί πάντα την αντίθετη πλευρά. Το κεφάλαιο 12 περιλάμβανε επίσης έναν τύπο για την περιοχή ενός κυκλικού τετραπλεύρου (μια γενίκευση του τύπου του Ήρωνα), καθώς και μια πλήρη περιγραφή του ακέραιου τριγώνου (δηλαδή τρίγωνα με ορθολογικές πλευρές και ορθολογικές περιοχές). Τύπος του Βραχμαγκούπτα:Η περιοχή, A, ενός κυκλικού τετραπλεύρου με πλευρές μήκους a, b, c, d, αντίστοιχα, δίνεται από A = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,} όπου s, η ημιπερίμετρος, δίνεται από s = a + b + c + d 2 . {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.} Θεώρημα του Βραχμαγκούπτα για ορθολογικά τρίγωνα: Ένα τρίγωνο με ορθολογικές πλευρές a , b , c {\displaystyle a,b,c} και ορθολογική περιοχή είναι της μορφής: a = u 2 v + v , b = u 2 w + w , c = u 2 v + u 2 w − ( v + w ) {\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)} για ορισμένους ρητούς αριθμούς u , v , {\displaystyle u,v,} και w {\displaystyle w} .Το Κεφάλαιο 18 περιείχε 103 στίχους σανσκριτικά οι οποίοι ξεκίνησαν με τους κανόνες για τις αριθμητικές πράξεις που αφορούν το μηδέν και αρνητικούς αριθμούς και θεωρείται η πρώτη συστηματική θεραπεία του υποκειμένου. Οι κανόνες (που συμπεριλάμβαναν a + 0 = a {\displaystyle a+0=\ a} και a × 0 = 0 {\displaystyle a\times 0=0} ) ήταν όλοι σωστοί με μια εξαιρεση: 0 0 = 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}=0} . Αργότερα στο κεφάλαιο, έδωσε την πρώτη ρητή (αν και ακόμα δεν είναι εντελώς γενική) λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: a x 2 + b x = c {\displaystyle \ ax^{2}+bx=c} Αυτό είναι ισοδύναμο με: x = 4 a c + b 2 − b 2 a {\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}} Επίσης, στο κεφάλαιο 18,Ο Brahmagupta ήταν σε θέση να σημειώσει πρόοδο στην εξεύρεση (ολοκληρωτικών) λύσεων της εξίσωσης του Pell, x 2 − N y 2 = 1 , {\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,} όπου N {\displaystyle N} είναι ένας μη τετραγωνικός ακέραιος. Έκανε αυτό ανακαλύπτωντας την ακόλουθη ταυτότητα:Ταυτότητα του Brahmagupta: ( x 2 − N y 2 ) ( x ′ 2 − N y ′ 2 ) = ( x x ′ + N y y ′ ) 2 − N ( x y ′ + x ′ y ) 2 {\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}} η οποία ήταν μια γενίκευση της προγενέστερης ταυτότητας του Διοφάντου: Ο Brahmagupta χρησιμοποίησε την ταυτότητά του για να αποδείξει το ακόλουθο λήμμα:Λήμμα (Brahmagupta): Άν x = x 1 , y = y 1 {\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ } είναι λύση της x 2 − N y 2 = k 1 , {\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},} και, x = x 2 , y = y 2 {\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ } είναι λύση της x 2 − N y 2 = k 2 , {\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},} , then: x = x 1 x 2 + N y 1 y 2 , y = x 1 y 2 + x 2 y 1 {\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ } είναι λύση της x 2 − N y 2 = k 1 k 2 {\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}} Συνήθιζε τότε να χρησιμοποιεί αυτό το λήμμα τόσο για τη δημιουργία απείρως πολλών (ολοκληρωτικών) λύσεων της εξίσωσης Pell, δεδομένου μιας λύσης, όσο και για την διατύπωση του παρακάτω θεωρήματος: Θεώρημα (Brahmagupta): Αν η εξίσωση x 2 − N y 2 = k {\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k} έχει ακέραια λύση για κάποια k = ± 4 , ± 2 , − 1 {\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1} τότε η εξίσωση του Pell: x 2 − N y 2 = 1 {\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1} έχει επίσης μια ακέραια λύση.Ο Brahmagupta δεν απέδειξε όντως το θεώρημα, αλλά έδωσε παραδείγματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αυτή. Το πρώτο παράδειγμα που παρουσιάστηκε ήταν:Παράδειγμα (Brahmagupta): Βρείτε ακεραίους x , y {\displaystyle \ x,\ y\ } έτσι ώστεt: x 2 − 92 y 2 = 1 {\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1} Σε σχόλιό του, ο Brahmagupta πρόσθεσε, "ένας άνθρωπος που θα λύσει αυτό το πρόβλημα εντός ενός έτους είναι μαθηματικός." Η λύση που έδωσε ήταν: x = 1151 , y = 120 {\displaystyle \ x=1151,\ y=120} Bhaskara IΟ Bhaskara I (600–680) επέκτεινε την εργασία του Αραμπιάτα στα βιβλία του με τίτλους Mahabhaskariya, Aryabhatiya-bhashya και Laghu-bhaskariya. Παρήγαγε: Λύσεις αορίστων εξισώσεων. Μια ορθολογική προσέγγιση της συνάρτησης ημιτόνου. Ένας τύπος για τον υπολογισμό του ημιτόνου μιας οξείας γωνίας χωρίς τη χρήση ενός πίνακα, σωστή με δύο δεκαδικά ψηφία. ΒιρασέναΟ Βιρασένα (Virasena, 8ος αιώνας) ήταν ένας Jain μαθηματικός στην αυλή του Rashtrakut βασιλιά Amoghavarsha των Manyakheta, Karnataka. Έγραψε το Dhavala, ένα σχόλιο για Jain μαθηματικά, όπου: Ασχολείται με την έννοια της ardhaccheda, ο αριθμός των φορών που ένας αριθμός θα μπορούσε να μειωθεί κατά το ήμισυ;αποτελεσματικά λογαρίθμους με βάση 2, και απαριθμεί διάφορους κανόνες που αφορούν αυτή τη λειτουργία. Χρησιμοποιεί πρώτος λογαρίθμους με βάση το 3 (trakacheda) και το 4 (caturthacheda).Ο Virasena επίσης έδωσε: Η παραγωγή του όγκου του frustum από ένα είδος άπειρης διαδικασίας.Πιστεύεται ότι μεγάλο μέρος του μαθηματικού υλικού στο Dhavala μπορεί να αποδοθεί σε προηγούμενους συγγραφείς, ειδικότερα στους Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra και Bappadeva και η ημερομηνία που έγραψε μεταξύ 200 και 600 αιών.. MahaviraΟ Mahavira Acharya (800–870) από την Καρνάτακα, ο τελευταίος των αξιοσημείωτων Jain μαθηματικών, έζησε τον 9ο αιώνα και υποστηρίχθηκε από τον Amoghavarsha βασιλία των Rashtrakuta. Έγραψε ένα βιβλίο με τίτλο Ganit Saar Sangraha σχετικά με τα αριθμητικά μαθηματικά, αι επίσης έγραψε πραγματείες για ένα ευρύ φάσμα θεμάτων μαθηματικών. Αυτά περιλαμβάνουν τα μαθηματικά: Μηδέν Τετραγώνων] Κύβων Τετραγωνική ρίζα, κυβική ρίζα, και σειρών που εκτείνονται πέρα από αυτά Γεωμετρία αεροπλάνων Στερεομετρία Προβλήματα που σχετίζονται με τη χύτευση της Σκιάς Τύποι που προέρχονται για να υπολογιστούν περιοχές έλλειψης και τετραπλεύρου μέσα σε κύκλο.Ο Mahavira επίσης: υποστήριξε ότι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού δεν υπάρχει Έδωσε το άθροισμα μιας σειράς της οποίας οι όροι είναι τετράγωνα μιας αριθμητικής προόδου, και έδωσε εμπειρικούς κανόνες για την περιοχή και περίμετρο μιας έλλειψης. Έλυσε κυβικές εξισώσεις. Έλυσε τετραγωνικές εξισώσεις. Έλυσε μερικές εξισώσεις quintic και πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού. Έδωσε τις γενικές λύσεις για τις εξισώσεις υωηλότερου βαθμού: a x n = q {\displaystyle \ ax^{n}=q} a x n − 1 x − 1 = p {\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p} Έλυσε απροσδιόριστες δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Έλυσε απροσδιόριστες τριτοβάθμιες εξισώσεις. Έλυσε απροσδιόριστες εξισώσεις υψηλότερου βαθμού.ShridharaΟ Shridhara (870–930), ο οποίος έζησε στη Βεγγάλη, έγραψε τα βιβλία με τίτλο Nav Shatika, Tri Shatika και Pati Ganita. Έδωσε: Έναω καλό κανόνα για την εύρεση του όγκου μιας σφαίρας. Τον τύπο για τη λώση τετραγωνικών εξισώσεων.Το Pati Ganita είναι ένα έργο για την αριθμητική και τη μέτρηση. Ασχολείται με διάφορες πράξεις, συμπεριλαμβανομένου: Στοιχειώδεις λειτουργίες Εξαγωγή τετραγωνικών και κυβικών ριζών. Κλάσματα. Οκτώ κανόνες που δίνονται για πράξεις που αφορούν το μηδέν. Μεθόδους άθροισης διάφορων αριθμητικών και γεωμετρικών σειρών, οι οποίες επρόκειτο να γίνουν πρότυπες αναφορές σε μεταγενέστερα έργα.ManjulaΟι διαφορικές εξισώσεις του Aryabhata εκπονήθηκαν τον 10ο αιώνα από τον Manjula (επίσης Munjala), ο οποίος συνειδητοποίησε ότι η έκφραση sin ⁡ w ′ − sin ⁡ w {\displaystyle \ \sin w'-\sin w} θα μπορούσε να εκφραστεί περίπου ως ( w ′ − w ) cos ⁡ w {\displaystyle \ (w'-w)\cos w} Κατάλαβε την έννοια της διαφοροποίησης μετά την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων που προέκυψαν από την υποκατάσταση αυτής της έκφρασης σε διαφορική εξίσωση του Aryabhata. Aryabhata IIΟ Aryabhata II (920–1000) έγραψε ένα σχόλιο πάνω στο Shridhara, και ένα αστρονομικό σύγγραμμα Maha-Siddhanta. Το Maha-Siddhanta έχει 18 κεφάλαια, και συζητά: Αριθμητικά Μαθηματικά (Ank Ganit). Άλγεβρα. Λύσεις αορίστων εξισώσεων (kuttaka).ShripatiΟ Shripati Mishra (1019–1066) έγραψε τα βιβλία Siddhanta Shekhara, ένα σημαντικό έργο για την αστρονομία σε 19 κεφάλαια, και Ganit Tilaka, μια ατελής αριθμητική πραγματεία σε 125 στίχους βασισμένο σε ένα έργο του Shridhara. Εργάστηκε κυρίως σε: Μεταθέσεις και συνδυασμούς. Γενική λύση της ταυτόχρονης απροσδιόριστης γραμμικής εξίσωσης.Ήταν επίσης ο συγγραφέας του Dhikotidakarana, ένα έργο είκοσι στίχων για: Έκλειψη Ηλίου. Έκλειψη Σελήνης.Το Dhruvamanasa είναι ένα έργο 105 στίχων για: Υπολογισμό πλανητικού γεωγραφικού μήκους Έκλειψη. πλανητικής διαμετακόμισης.Nemichandra Siddhanta ChakravatiΟ Nemichandra Siddhanta Chakravati (1100) έγραψε μια μαθηματική πραγματεία με τίτλο Gome-mat Saar. Bhaskara IIΟ Bhāskara II (1114–1185) Ήταν ένας μαθηματικός, αστρονόμος ο οποίος έγραψε μια σειρά σημαντικών πραγματειών, όπως τα Siddhanta Shiromani, Lilavati, Bijaganita, Gola Addhaya, Griha Ganitam και Karan Kautoohal. Ένας αριθμός των εισφορών του αργότερα μεταδίδεται προς τη Μέση Ανατολή και την Ευρώπη. Οι συνεισφορές του περιλαμβάνουν: Αριθμητική: Υπολογισμοί ενδιαφέροντος Αριθμητικές και η γεωμετρικές πρόοδοι Επιπεδομετρία Στερεά γεωμετρία Η σκιά του Γνώμονα Λύσεις για συνδυασμούς Απέδειξε ότι η διαίρεση με το μηδέν είναι Άπειρο.Άλγεβρα: Η αναγνώριση ότι ένας θετικός αριθμός έχει δύο τετραγωνικές ρίζες. Νιοστή ρίζα. Πράξεις με τα προϊόντα των διαφόρων αγνώστων. Τις λύσεις για: Τετραγωνικές εξισώσεις. Κυβικές εξισώσεις. Εξισώσεις Quartic. Εξισώσεις με περισσότερες από μία άγνωστη. Εξισώσεις Quadratic με περισσότερες από μία άγνωστη. Η γενική μορφή της εξίσωσης Pell χρησιμοποιώντας τη μέθοδο chakravala method. Η γενική αόριστη τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο chakravala. Απροσδιόριστες κυβικές εξισώσεις. Απροσδιόριστες εξισώσεις quartic. Απροσδιόριστες εξισώσεις πολυωνύμων μεγαλύτερων βαθμών.Γεωμετρία: Έδωσε απόδειξη για το Πυθαγόρειο θεώρημα.Λογισμός: Σύλληψη του διαφορικού λογισμού. Ανακάλυψε την παράγωγο. Ανακάλυψε του διαφορικού συντελεστή. Ανέπτυξε τη διαφοροποίηση. Δήλωσε το θεώρημα του Rolle, μια ειδική περίπτωση του Θεωρήματος μέσης τιμής (ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα του λογισμού και της ανάλυσης). Βρήκε το διαφορικό της συνάρτησης ημιτόνου. Υπολόγισε το π, σωστό σε πέντε δεκαδικά ψηφία. Υπολόγισε το μήκος της περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο σε 9 δεκαδικά ψηφία.Τριγωνομετρία: Εξελίξεις της σφαιρικής τριγωνομετρίας Οι τριγωνομετρικοί τύποι: sin ⁡ ( a + b ) = sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) + sin ⁡ ( b ) cos ⁡ ( a ) {\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)} sin ⁡ ( a − b ) = sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) − sin ⁡ ( b ) cos ⁡ ( a ) {\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)} Η σχολή μαθηματικών και αστρονομίας της Κεράλα ιδρύθηκε από τον Madhava από τον Sangamagrama στην Κεράλα, Νότια Ινδία και συμπεριλάμβανε μεταξύ των μελών της: τον Parameshvara, τον Neelakanta Somayaji, τον Jyeshtadeva, τον Achyuta Pisharati, τον Melpathur Narayana Bhattathiri και τον Achyuta Panikkar. Άκμασε μεταξύ του 14ου και 16ου αιώνα και οι αρχικές ανακαλύψεις του σχολείου φαίνεται να έχουν τελειώσει με τον Narayana Bhattathiri (1559–1632). Στην προσπάθεια για την επίλυση αστρονομικών προβλημάτων, οι αστρονόμοι του σχολείου Kerala independently δημιούργησαν μια σειρά από σημαντικές έννοιες των μαθηματικών. Τα πιο σημαντικά αποτελέσματα όπως επέκταση σε σειρά για τριγωνομετρικές συναρτήσεις, δόθηκαν στη Σανσκριτική γλώσσα σε στίχο στο βιβλίο του Neelakanta με το όνομα Tantrasangraha και ένα σχόλιο για αυτό το έργο που ονομάζεται Tantrasangraha-vakhya αγνώστου πατρότητας. Τα θεωρήματα είχαν δηλωθεί χωρίς απόδειξη, αλλά οι αποδείξεις για τις σειρές ημίτονο, συνημίτονο , και αντίστροφη εφαπτομένη δόθηκαν έναν αιώνα αργότερα στο έργο Yuktibhāṣā (1500–1610), γραμμένο σε Malayalaμ, από τον Jyesthadeva, καθώς επίσης και στον σχολιασμό Tantrasangraha.Η ανακάλυψή τους από αυτές τις τρεις σημαντικές επεκτάσεις σειρών λογισμού—πολλούς αιώνες πριν ο λογισμός αναπτύχθηκε στην Ευρώπη από τον Ισαάκ Νεύτωνα και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς—ήταν κατόρθωμα. Ωστόσο, το σχολείο Kerala δεν εφηύρε τον λογισμό, διότι, ενώ ήταν σε θέση να αναπτύξουν Σειρά Τέιλορ επεκτάσεις για τις σημαντικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις, παραγώγους, όρο προς όρο Ολοκλήρωση, δοκιμές σύγκλισης, επαναληπτικές μεθόδους λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων, και η θεωρία ότι η περιοχή κάτω από την καμπύλη είναι ολοκλήρωμά της, δεν ανέπτυξαν ούτε θεωρία της παραγώγισης ούτε Ολοκλήρωση, ούτε για το Θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν από το σχολείο Κεράλα περιλαμβάνουν: Την (άπειρη) γεωμετρική σειρά: 1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1} Αυτός ο τύπος ήταν ήδη γνωστός, για παράδειγμα, στο έργο του άραβα μαθηματικού του 10ου αιώνα Alhazen (η λατινοποιημένη μορφή του ονόματος Ibn Al-Haytham (965–1039)). Μια ημι-αυστηρή απόδειξη (see "induction" remark below) of the result: 1 p + 2 p + ⋯ + n p ≈ n p + 1 p + 1 {\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}} for large n. Αυτό το αποτέλεσμα ήταν επίσης γνωστό στον Alhazen. Διαισθητική χρήση της μαθηματικής επαγωγής, ωστόσο, η επαγωγική υπόθεση δεν είχε διατυπωθεί σε αποδείξεις. Εφαρμογές των ιδεών του (που ήταν να γίνει) διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού να αποκτήσουν το θεώρημα του Taylor-Maclaurin άπειρων σειρών για sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} , cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} , και arctan ⁡ x {\displaystyle \arctan x} Το Tantrasangraha-vakhya δίνει τη σειρά στο στίχο, το οποίο όταν μεταφράζεται στη μαθηματική σημειογραφία, μπορεί να γραφτεί ως: r arctan ⁡ ( y x ) = 1 1 ⋅ r y x − 1 3 ⋅ r y 3 x 3 + 1 5 ⋅ r y 5 x 5 − ⋯ , where y / x ≤ 1. {\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.} sin ⁡ x = x − x x 2 ( 2 2 + 2 ) r 2 + x x 2 ( 2 2 + 2 ) r 2 ⋅ x 2 ( 4 2 + 4 ) r 2 − ⋯ {\displaystyle \sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots } r − cos ⁡ x = r x 2 ( 2 2 − 2 ) r 2 − r x 2 ( 2 2 − 2 ) r 2 x 2 ( 4 2 − 4 ) r 2 + ⋯ , {\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,} όπου, για r = 1, Η σειρά μειώνεται στην τυπική δύναμη σειράς για αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, για παράδειγμα: sin ⁡ x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots } και cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots } Χρήση της διόρθωσης (υπολογισμός μήκους) του τόξου ενός κύκλου για να δώσει μια απόδειξη αυτού του αποτελέσματος. (Η τελευταία μέθοδος του Leibniz, χρησιμοποιώντας τετραγωνισμό (δηλαδήυπολογισμός της περιοχής κάτω από το τόξο του κύκλου, δεν χρησιμοποιήθηκε.) Χρήση της σειράς επέκτασης του arctan ⁡ x {\displaystyle \arctan x} να αποκτήσει μια άπειρη έκφραση σειράς (αργότερα γνωστό ως σειρά Gregory) για π {\displaystyle \pi } : π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots } Μια ορθολογική προσέγγιση του σφάλματος για το πεπερασμένο σύνολο των σειρών που τους ενδιαφέρει. Για παράδειγμα, το σφάλμα, f i ( n + 1 ) {\displaystyle f_{i}(n+1)} , (για n περιττός, και i = 1, 2, 3) για τη σειρά: π 4 ≈ 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ + ( − 1 ) ( n − 1 ) / 2 1 n + ( − 1 ) ( n + 1 ) / 2 f i ( n + 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)} όπου f 1 ( n ) = 1 2 n , f 2 ( n ) = n / 2 n 2 + 1 , f 3 ( n ) = ( n / 2 ) 2 + 1 ( n 2 + 5 ) n / 2 . {\displaystyle f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.} Χειραγώγηση του όρους λάθος να αποκομίσουν μια πιο γρήγορη σειρά συγκλινουσών π {\displaystyle \pi } : π 4 = 3 4 + 1 3 3 − 3 − 1 5 3 − 5 + 1 7 3 − 7 − ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots } Χρησιμοποιώντας τη βελτιωμένη σειρά για να αντλήσει μια λογική έκφραση, 104348/33215 για π σωστό μέχρι εννιά δεκαδικά ψηφία, 'δηλαδή 3.141592653. Χρήση μιας διαισθητικής αντίληψης του ορίου για τον υπολογισμό αυτών των αποτελεσμάτων. Μια ημι-αυστηρή (βλέπε παρατήρηση σχετικά με τα όρια πάνω) μέθοδος διαφοροποίησης ορισμένων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ωστόσο, δεν διατυπώνουν την έννοια της συνάρτησης, ούτε έχουν γνώση της εκθετικής ή λογαριθμικής λειτουργίας.Οι εργασίες του σχολείου Κεράλα γράφτηκαν για πρώτη φορά για τον δυτικό κόσμο από τον Englishman C.M. Whish το 1835. Σύμφωνα με τον Whish, οι μαθηματικοί του Kerala "είχαν θέσει τα θεμέλια για ένα ολοκληρωμένο σύστημα ρευστοποίησης" και αυτά τα έργα αφθονούσαν "με συνεχείς αλλαγές μορφής και σειρών για να μην βρεθεί σε καμία εργασία των ξένων χωρών."Ωστόσο, τα αποτελέσματα του Whish είχαν σχεδόν εντελώς παραμεληθεί, μέχρι πάνω από ένα αιώνα αργότερα, όταν οι ανακαλύψεις του σχολείου Κεράλα ερευνήθηκαν και πάλι από τον C. Rajagopal και τους συνεργάτες του. Η εργασία τους περιλαμβάνει σχόλια σχετικά με τις αποδείξεις της σειράς τόξου ημιτόνου στα Yuktibhāṣā δίδεται σε δύο έγγραφα, ένα σχόλιο για την απόδειξη του Yuktibhāṣā' της σειράς ημιτόνου και συνημιτόνου και δύο έγγραφα που παρέχουν τους στίχους σανσκριτικά της Tantrasangrahavakhya για τη σειρά για τοξεφ, το ημίτονο, και συνημίτονο ( με την αγγλική μετάφραση και σχόλια).Οι μαθηματικοί Κεράλα περιλαμβαναν Narayana Pandit]] (1340–1400), ο οποίος συνέθεσε τα δύο έργα, μια αριθμητική πραγματεία, Ganita Kaumudi, και μια αλγεβρική πραγματεία, Bijganita Vatamsa. Ο Narayana επίσης πιστεύεται ότι είναι ο συγγραφέας ενός περίτεχνου σχολιασμό του Lilavati του Bhaskara II, με τίτλο Karmapradipika (ή Karma-Paddhati). Ο Madhava of Sangamagrama (1340–1425) ήταν ο ιδρυτής της Κεράλα Σχολής. Αν και είναι πιθανό ότι έγραψε το Karana Paddhati ένα έργο που γράφτηκε κάποτε μεταξύ 1375 και 1475, γνωρίζουμε πραγματικά το έργο του προέρχεται από έργα μεταγενέστερων λογίων. Ο Παραμεσβάρα (1370–1460) Έγραψε σχόλια για τα έργα του Μπασκάρα Α΄, Αραμπιάτα και Μπασκάρα Β΄ Το Lilavati Bhasya, σχολιασμός του Lilavati του Bhaskara II, περιέχει μία από τις σημαντικές ανακαλύψεις του: μια έκδοση για το θεώρημα μέσης τιμής. Ο Νιλακάντα Σομαγιάγι (1444–1544) συνέθεσε το Tantra Samgraha (που «γέννησε» ένα μεταγενέστερο ανώνυμο σχόλιο Tantrasangraha-vyakhya και περαιτέρω σχολιασμό από το όνομα Yuktidipaika, γραμμένο το 1501). Αναφέρθηκε και επέκτεινε τις εισφορές του Madhava. Ο Citrabhanu (1530) ήταν ένας μαθηματικός του 16ου αιώνα από την Κεράλα ο οποίος έδωσε ακέραιες λύσεις έως 21 τύπους των συστημάτων των δύο ταυτόχρονη αλγεβρικές εξισώσεις με δύο αγνώστους. Αυτοί οι τύποι είναι όλα τα πιθανά ζεύγη των εξισώσεων από τις ακόλουθες επτά μορφές: x + y = a , x − y = b , x y = c , x 2 + y 2 = d , x 2 − y 2 = e , x 3 + y 3 = f , x 3 − y 3 = g {\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}} Για κάθε περίπτωση, ο Citrabhanu έδωσε μια εξήγηση και αιτιολόγηση της διακυβέρνησής του, καθώς και ένα παράδειγμα. Μερικές από τις εξηγήσεις του είναι αλγεβρικές, ενώ άλλες είναι γεωμετρικές. Ο Jyesthadeva (1500–1575) ήταν ένα άλλο μέλος της σχολής Kerala. Βασικό έργο του ήταν το Yukti-bhāṣā (γραμμένο στα Malayalam, μια περιφερειακή γλώσσα της Kerala). Ο Jyesthadeva παρουσίασε αποδείξεις από πολλά μαθηματικά θεωρήματα και άπειρες σειρές που νωρίτερα ανακαλύφθηκε από τον Madhava και άλλους μαθηματικούς της σχολής Kerala. Έχει ειπωθεί ότι οι ινδικές συνεισφορές στα μαθηματικά δεν έχουν λάβει τη δέουσα αναγνώριση στη σύγχρονη ιστορία και ότι πολλές ανακαλύψεις και εφευρέσεις από τους Ινδούς μαθηματικούς αποδίδεται σήμερα σε πολιτισμικά Δυτικούς ομολόγους τους, ως αποτέλεσμα της ευρωκεντρισμού. Σύμφωνα με την υιοθέτηση από τον GG Ιωσήφ των "Εθνομαθηματικών":[Το έργο τους] υιοθετεί ορισμένες από τις αιτίες που διατυπώθηκαν σχετικά με την κλασσική Ευρωκεντρική τροχιά. Η συνειδητοποίηση [των Ινδικών και Αράβικων μαθηματικών] είναι πολύ πιθανό να μετριάζεται με απαξιωτικές απορρίψεις της σημασίας τους σε σχέση με τα Ελληνικά μαθηματικά. Οι συνεισφορές από άλλους πολιτισμούς - κυρίως την Κίνα και την Ινδία, γίνονται αντιληπτές είτε ως δανεικές από ελληνικές πηγές ή έχει να κάνει μόνο με μικρές εισφορές για την ενσωμάτωση της ανάπτυξης των μαθηματικών. Ένα άνοιγμα στα πιο πρόσφατα ευρήματα της έρευνας, ειδικά στην περίπτωση των Ινδικών και των Κινέζικων μαθηματικών, δυστυχώς λείπει "Ο ιστορικός των μαθηματικών, Florian Cajori, πρότεινε ότι ο ίδιος και οι άλλοι υποψιάζονται ότι ο Διόφαντος πήρε την πρώτη γεύση αλγεβρικής γνώσης από την Ινδία». [84] Ωστόσο, ο ίδιος έγραψε ότι «είναι βέβαιο ότι τμήματα των ινδουιστών μαθηματικών είναι ελληνικής καταγωγής»Πιο πρόσφατα, όπως συζητήθηκε στην παραπάνω ενότητα, η άπειρη σειρά του λογισμού για τριγωνομετρικές λειτουργίες (ανακαλύφθηκε από τον Gregory, ο Taylor και Maclaurin στα τέλη του 17ου αιώνα) έχουν περιγραφεί (με αποδείξεις) στην Ινδία, από μαθηματικούς του σχολείου της Κεράλα, αξιοσημείωτα περίπου δύο αιώνες νωρίτερα. Μερικοί μελετητές έχουν προτείνει πρόσφατα ότι η γνώση των αποτελεσμάτων αυτών θα μπορούσε να έχει διαβιβαστεί στην Ευρώπη μέσω της εμπορικής οδού από την Κεράλα από τους εμπόρους και τους Ιησουίτες ιεραποστόλους . Η Κεράλα ήταν σε συνεχή επαφή με την Κίνα και την Αραβία, και, από το 1500, με την Ευρώπη. Η ύπαρξη των διόδων επικοινωνίας και ένα κατάλληλο χρονολόγιο κάνει σίγουρα μια τέτοια μετάδοση εφικτή. Ωστόσο, δεν υπάρχει καμία άμεση απόδειξη, μέσω των σχετικών χειρογράφων, ότι η διαβίβαση αυτή όντως πραγματοποιήθηκε. Σύμφωνα με τον David Bressoud, «δεν υπάρχει καμία απόδειξη ότι το ινδικό έργο των σειρών ήταν γνωστό πέρα από την Ινδία, ή ακόμη και εκτός της Κεράλα, μέχρι τον δέκατο ένατο αιώνα. »Και οι δύο, Άραβες και Ινδοί μελετητές, έκαναν ανακαλύψεις πριν από το 17ο αιώνα, που θεωρούνται πλέον μέρος του λογισμού. Ωστόσο, δεν ήταν στην ίδια θέση, όπως ήταν ο Νεύτωνας και ο Leibniz, για να «συνδυάσουν πολλές διαφορετικές ιδέες στο πλαίσιο των δύο κεντρικών θεμάτων της παραγώγου και του ολοκληρώματος, που δείχνουν τη σύνδεση μεταξύ των δύο, και να μετατρέψουν τον λογισμό στο μεγάλο εργαλείο για την επίλυση των προβλημάτων που έχουμε σήμερα ». Η πνευματική σταδιοδρομία τόσο του Νεύτωνα όσο και του Leibniz είναι καλά τεκμηριωμένες και δεν υπάρχει καμία ένδειξη ότι το έργο τους δεν είναι δικό τους? Ωστόσο, δεν είναι γνωστό με βεβαιότητα αν οι άμεσοι προκάτοχοί του Νεύτωνα και του Leibniz, "συμπεριλαμβανομένων, ιδίως, του Fermat και του Roberval, έμαθαν μερικές από τις ιδέες των ισλαμικών και των ινδικών μαθηματικών μέσω πηγών που δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε ακόμη και τώρα.» Αυτό είναι ένας ενεργός τομέας της τρέχουσας έρευνας, κυρίως στις χειρόγραφες συλλογές της Ισπανίας και του Μαγκρέμπ, έρευνα που τώρα ακολουθείται, μεταξύ άλλων θέσεων, από το Centre National de Recherche Scientifique στο Παρίσι. Shulba Sutras Κεράλα: σχολείο της αστρονομίας και των μαθηματικών Surya Siddhanta Βραχμαγκούπτα χειρόγραφο Μπακχσάλι Ινδοί μαθηματικοί Επιστήμες και τεχνολογία στην Ινδία Ινδική λογική Ινδική αστρονομία Ιστορία των μαθηματικών Λίστα των αριθμών σε ινδουιστική γραφή Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 1: The Translation: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya, Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 172 pages, ISBN 3-7643-7291-5 . Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 2: The Supplements: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya, Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 pages, ISBN 3-7643-7292-3 . Neugebauer, Otto; Pingree (eds.), David (1970), The Pañcasiddhāntikā of Varāhamihira, New edition with translation and commentary, (2 Vols.), Copenhagen . Pingree, David (ed) (1978), The Yavanajātaka of Sphujidhvaja, edited, translated and commented by D. Pingree, Cambridge, MA: Harvard Oriental Series 48 (2 vols.) . Sarma, K. V. (ed) (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Sūryadeva Yajvan, critically edited with Introduction and Appendices, New Delhi: Indian National Science Academy . Sen, S. N.; Bag (eds.), A. K. (1983), The Śulbasūtras of Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana and Mānava, with Text, English Translation and Commentary, New Delhi: Indian National Science Academy . Shukla, K. S. (ed) (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Bhāskara I and Someśvara, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, New Delhi: Indian National Science Academy . Shukla, K. S. (ed) (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, in collaboration with K.V. Sarma, New Delhi: Indian National Science Academy . Bourbaki, Nicolas (1998), Elements of the History of Mathematics, Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag, 301 pages, ISBN 3-540-64767-8, http://www.amazon.com/Elements-History-Mathematics-Nicolas-Bourbaki/dp/3540647678/ . Boyer, C. B.; Merzback (fwd. by Isaac Asimov), U. C. (1991), History of Mathematics, New York: John Wiley and Sons, 736 pages, ISBN 0-471-54397-7, https://archive.org/details/historyofmathema00boye . Bressoud, David (2002), «Was Calculus Invented in India?», The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.) 33 (1): 2–13, doi:10.2307/1558972 . Bronkhorst, Johannes (2001), «Panini and Euclid: Reflections on Indian Geometry», Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 29 (1–2): 43–80, doi:10.1023/A:1017506118885 . Burnett, Charles (2006), «The Semantics of Indian Numerals in Arabic, Greek and Latin», Journal of Indian Philosophy, (Springer-Netherlands) 34 (1–2): 15–30, doi:10.1007/s10781-005-8153-z . Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An Introduction, The McGraw-Hill Companies, Inc., σελ. 193–220 . Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics: A Brief Course, New York: Wiley-Interscience, 632 pages, ISBN 0-471-44459-6 . Dani, S. G. (25 July 2003), «Pythogorean Triples in the Sulvasutras», Current Science 85 (2): 219–224, http://www.ias.ac.in/currsci/jul252003/219.pdf, ανακτήθηκε στις 2014-06-08 . Datta, Bibhutibhusan (Dec 1931), «Early Literary Evidence of the Use of the Zero in India», The American Mathematical Monthly 38 (10): 566–572, doi:10.2307/2301384 . Datta, Bibhutibhusan; Singh, Avadesh Narayan (1962), History of Hindu Mathematics : A source book, Bombay: Asia Publishing House . De Young, Gregg (1995), «Euclidean Geometry in the Mathematical Tradition of Islamic India», Historia Mathematica 22 (2): 138–153, doi:10.1006/hmat.1995.1014 . Encyclopaedia Britannica (Kim Plofker) (2007), «mathematics, South Asian», Encyclopædia Britannica Online: 1–12, http://www.britannica.com/eb/article-9389286, ανακτήθηκε στις 18 May 2007 . Filliozat, Pierre-Sylvain (2004), «Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature», στο: Chemla, Karine; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen και άλλοι, επιμ., History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science), Dordrecht: Springer Netherlands, 254 pages, pp. 137–157, σελ. 360–375, ISBN 978-1-4020-2320-0, http://www.springerlink.com/content/x0000788497q4858/ . Fowler, David (1996), «Binomial Coefficient Function», The American Mathematical Monthly 103 (1): 1–17, doi:10.2307/2975209 . Hayashi, Takao (1995), The Bakhshali Manuscript, An ancient Indian mathematical treatise, Groningen: Egbert Forsten, 596 pages, ISBN 90-6980-087-X . Hayashi, Takao (1997), «Aryabhata's Rule and Table of Sine-Differences», Historia Mathematica 24 (4): 396–406, doi:10.1006/hmat.1997.2160 . Hayashi, Takao (2003), «Indian Mathematics», στο: Grattan-Guinness, Ivor, επιμ., Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, pp. 118–130, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, ISBN 0-8018-7396-7 . Hayashi, Takao (2005), «Indian Mathematics», στο: Flood, Gavin, επιμ., The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, pp. 360–375, σελ. 360–375, ISBN 978-1-4051-3251-0 . Henderson, David W. (2000), «Square roots in the Sulba Sutras», στο: Gorini, Catherine A., επιμ., Geometry at Work: Papers in Applied Geometry, 53, pp. 39–45, Washington DC: Mathematical Association of America Notes, 236 pages, σελ. 39–45, ISBN 0-88385-164-4, http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html . Ifrah, Georges (2000), A Universal History of Numbers: From Prehistory to Computers, New York: Wiley, 658 pages, ISBN 0-471-39340-1, http://www.amazon.com/Universal-History-Numbers-Prehistory-Invention/dp/0471393401/ . Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, 416 pages, ISBN 0-691-00659-8, https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose . Katz, Victor J. (1995), «Ideas of Calculus in Islam and India», Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.) 68 (3): 163–174, http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28199506%2968%3A3%3C163%3AIOCIIA%3E2.0.CO%3B2-2 . Katz, Victor J., επιμ.. (2007), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages, pp 385–514, ISBN 0-691-11485-4 . Keller, Agathe (2005), «Making diagrams speak, in Bhāskara I's commentary on the Aryabhaṭīya», Historia Mathematica 32 (3): 275–302, doi:10.1016/j.hm.2004.09.001 . Kichenassamy, Satynad (2006), «Baudhāyana's rule for the quadrature of the circle», Historia Mathematica 33 (2): 149–183, doi:10.1016/j.hm.2005.05.001 . Pingree, David (1971), «On the Greek Origin of the Indian Planetary Model Employing a Double Epicycle», Journal of Historical Astronomy 2 (1): 80–85 . Pingree, David (1973), «The Mesopotamian Origin of Early Indian Mathematical Astronomy», Journal of Historical Astronomy 4 (1): 1–12 . Pingree, David; Staal, Frits (1988), «Reviewed Work(s): The Fidelity of Oral Tradition and the Origins of Science by Frits Staal», Journal of the American Oriental Society 108 (4): 637–638, doi:10.2307/603154 . Pingree, David (1992), «Hellenophilia versus the History of Science», Isis 83 (4): 554–563, doi:10.1086/356288 Pingree, David (2003), «The logic of non-Western science: mathematical discoveries in medieval India», Daedalus 132 (4): 45–54, doi:10.1162/001152603771338779, http://www.questia.com/googleScholar.qst?docId=5007155010 . Plofker, Kim (1996), «An Example of the Secant Method of Iterative Approximation in a Fifteenth-Century Sanskrit Text», Historia Mathematica 23 (3): 246–256, doi:10.1006/hmat.1996.0026 . Plofker, Kim (2001), «The "Error" in the Indian "Taylor Series Approximation" to the Sine», Historia Mathematica 28 (4): 283–295, doi:10.1006/hmat.2001.2331 . Plofker, K. (2007), «Mathematics of India», στο: Katz, Victor J., επιμ., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages, pp 385–514, σελ. 385–514, ISBN 0-691-11485-4 . Plofker, Kim (2009), Mathematics in India: 500 BCE–1800 CE, Princeton, NJ: Princeton University Press. Pp. 384., ISBN 0-691-12067-6 . Price, John F. (2000), «Applied geometry of the Sulba Sutras», στο: Gorini, Catherine A., επιμ., Geometry at Work: Papers in Applied Geometry, 53, pp. 46–58, Washington DC: Mathematical Association of America Notes, 236 pages, σελ. 46–58, ISBN 0-88385-164-4, http://www.ithaca.edu/osman/crs/sp07/265/cal/lec/week11/SulbaSutras.pdf, ανακτήθηκε στις 2014-06-08 . Roy, Ranjan (1990), «Discovery of the Series Formula for π {\displaystyle \pi } by Leibniz, Gregory, and Nilakantha», Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.) 63 (5): 291–306, http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28199012%2963%3A5%3C291%3ATDOTSF%3E2.0.CO%3B2-C . Singh, A. N. (1936), «On the Use of Series in Hindu Mathematics», Osiris 1 (1): 606–628, doi:10.1086/368443 Staal, Frits (1986), The Fidelity of Oral Tradition and the Origins of Science, Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie von Wetenschappen, Afd. Letterkunde, NS 49, 8. Amsterdam: North Holland Publishing Company, 40 pages . Staal, Frits (1995), «The Sanskrit of science», Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 23 (1): 73–127, doi:10.1007/BF01062067 . Staal, Frits (1999), «Greek and Vedic Geometry», Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105–127, doi:10.1023/A:1004364417713 . Staal, Frits (2001), «Squares and oblongs in the Veda», Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 29 (1–2): 256–272, doi:10.1023/A:1017527129520 . Staal, Frits (2006), «Artificial Languages Across Sciences and Civilisations», Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 34 (1): 89–141, doi:10.1007/s10781-005-8189-0 . Stillwell, John (2004), Berlin and New York: Mathematics and its History (2 έκδοση), Springer, 568 pages, ISBN 0-387-95336-1, http://www.amazon.com/Mathematics-its-History-John-Stillwell/dp/0387953361/ . Thibaut, George (1984, orig. 1875), Mathematics in the Making in Ancient India: reprints of 'On the Sulvasutras' and 'Baudhyayana Sulva-sutra', Calcutta and Delhi: K. P. Bagchi and Company (orig. Journal of Asiatic Society of Bengal), 133 pages . van der Waerden, B. L. (1983), Geometry and Algebra in Ancient Civilisations, Berlin and New York: Springer, 223 pages, ISBN 0-387-12159-5 van der Waerden, B. L. (1988), «On the Romaka-Siddhānta», Archive for History of Exact Sciences 38 (1): 1–11, doi:10.1007/BF00329976 van der Waerden, B. L. (1988), «Reconstruction of a Greek table of chords», Archive for History of Exact Sciences 38 (1): 23–38, doi:10.1007/BF00329978 Van Nooten, B. (1993), «Binary numbers in Indian antiquity», Journal of Indian Philosophy, (Springer Netherlands) 21 (1): 31–50, doi:10.1007/BF01092744 Whish, Charles (1835), «On the Hindú Quadrature of the Circle, and the infinite Series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four S'ástras, the Tantra Sangraham, Yucti Bháshá, Carana Padhati, and Sadratnamála», Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland 3 (3): 509–523, doi:10.1017/S0950473700001221 Yano, Michio (2006), «Oral and Written Transmission of the Exact Sciences in Sanskrit», Journal of Indian Philosophy (Springer Netherlands) 34 (1–2): 143–160, doi:10.1007/s10781-005-8175-6 Vedic Maths Science and Mathematics in India An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2000. 'Index of Ancient Indian mathematics' Αρχειοθετήθηκε 2019-10-22 στο Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2004. Indian Mathematics: Redressing the balance, Student Projects in the History of Mathematics. Ian Pearce. MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2002. Online course material for InSIGHT, a workshop on traditional Indian sciences for school children conducted by the Computer Science department of Anna University, Chennai, India.