Κύκλος του Φορντ

Στα μαθηματικά, ο κύκλος του Φορντ είναι ένας κύκλος που βρίσκεται στο ευκλείδειο επίπεδο, σε μια οικογένεια κύκλων που όλοι εφάπτονται στον άξονα x {\displaystyle x} σε ορθολογικά σημεία. Για κάθε λογικό αριθμό p / q {\displaystyle p/q} , εκφρασμένο με τους μικρότερους όρους, υπάρχει ένας κύκλος του Φορντ του οποίου το κέντρο βρίσκεται στο σημείο ( p / q , 1 / ( 2 q 2 ) ) {\displaystyle (p/q,1/(2q^{2}))} και του οποίου η ακτίνα είναι 1 / ( 2 q 2 ) {\displaystyle 1/(2q^{2})} . Είναι εφαπτόμενο στον άξονα x {\displaystyle x} στο χαμηλότερο σημείο του, ( p / q , 0 ) {\displaystyle (p/q,0)} . Οι δύο κύκλοι του Φορντ για τους ορθολογικούς αριθμούς p / q {\displaystyle p/q} και r / s {\displaystyle r/s} (και οι δύο στο χαμηλότερο σημείο) είναι εφαπτόμενοι κύκλοι όταν | p s − q r | = 1 {\displaystyle |ps-qr|=1} και αλλιώς οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ασύνδετοι.

 Οι κύκλοι του Φορντ είναι μια ειδική περίπτωση των αμοιβαία εφαπτόμενων κύκλων- η γραμμή βάσης μπορεί να θεωρηθεί ως ένας κύκλος με άπειρη ακτίνα. Τα συστήματα των αμοιβαία εφαπτόμενων κύκλων μελετήθηκαν από τον Απολλώνιο από την Πέργη, από τον οποίο πήρε το όνομά του το πρόβλημα του Απολλώνιου και το Απολλώνιο έμβυσμα. τον 17ο αιώνα ο Ρενέ Ντεκάρτ ανακάλυψε το θεώρημα του Ντεκάρτ, μια σχέση μεταξύ των αντίστροφων των ακτίνων των αμοιβαία εφαπτόμενων κύκλων. Οι κύκλοι του Φορντ εμφανίζονται επίσης στα Sangaku (γεωμετρικοί γρίφοι) των ιαπωνικών μαθηματικών. Ένα τυπικό πρόβλημα, το οποίο παρουσιάζεται σε μια πινακίδα του 1824 στο νομό Γκούνμα, καλύπτει τη σχέση τριών κύκλων που εφάπτονται με κοινή εφαπτομένη. Δεδομένου του μεγέθους των δύο εξωτερικών μεγάλων κύκλων, ποιο είναι το μέγεθος του μικρού κύκλου μεταξύ τους; Η απάντηση είναι αντίστοιχη με έναν κύκλο του Φορντ: 1 r middle = 1 r left + 1 r right . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{middle}}}}}={\frac {1}{\sqrt {r_{\text{left}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {r_{\text{right}}}}}.} Οι κύκλοι του Φορντ πήραν το όνομά τους από τον Αμερικανό μαθηματικό Λέστερ Ρ. Φορντ, ο οποίος έγραψε γι' αυτό το ζήτημα το 1938. Ο κύκλος του Φορντ που σχετίζεται με το κλάσμα p / q {\displaystyle p/q} συμβολίζεται με C [ p / q ] {\displaystyle C[p/q]} ή C [ p , q ] . {\displaystyle C[p,q].} Υπάρχει ένας κύκλος του Φορντ που σχετίζεται με κάθε ρητό αριθμό. Επιπλέον, η ευθεία y = 1 {\displaystyle y=1} λογίζεται ως κύκλος του Φορντ - μπορεί να θεωρηθεί ως ο κύκλος του Φορντ που σχετίζεται με το άπειρο, που είναι η περίπτωση p = 1 , q = 0. {\displaystyle p=1,q=0.} Δύο διαφορετικοί κύκλοι του Φορντ είναι είτε ασύνδετοι είτε εφαπτόμενοι μεταξύ τους. Κανένα εσωτερικό δύο κύκλων του Φορντ δεν τέμνεται, παρόλο που υπάρχει ένας κύκλος του Φορντ εφαπτόμενος στον άξονα x σε κάθε σημείο του με ορθολογικές συντεταγμένες. Εάν p / q {\displaystyle p/q} είναι μεταξύ 0 και 1, οι κύκλοι του Φορντ που εφάπτονται στο C [ p / q ] {\displaystyle C[p/q]} μπορούν να περιγραφούν ποικιλοτρόπως ως εξής οι κύκλοι C [ r / s ] {\displaystyle C[r/s]} όταν | p s − q r | = 1 , {\displaystyle |ps-qr|=1,} οι κύκλοι που σχετίζονται με τα κλάσματα r / s {\displaystyle r/s} που βρίσκονται δίπλα στο p / q {\displaystyle p/q} σε κάποια ακολουθία Φάρεϊ, ή οι κύκλοι C [ r / s ] {\displaystyle C[r/s]} όπου r / s {\displaystyle r/s} είναι ο επόμενος μεγαλύτερος ή ο επόμενος μικρότερος πρόγονος του p / q {\displaystyle p/q} στο δέντρο Stern-Brocotή όπου p / q {\displaystyle p/q} είναι ο επόμενος μεγαλύτερος ή ο επόμενος μικρότερος πρόγονος του r / s {\displaystyle r/s} .Αν C [ p / q ] {\displaystyle C[p/q]} και C [ r / s ] {\displaystyle C[r/s]} είναι δύο εφαπτόμενοι κύκλοι του Φορντ, τότε ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία ( p / q , 0 ) {\displaystyle (p/q,0)} και ( r / s , 0 ) {\displaystyle (r/s,0)} (οι x-συντεταγμένες των κέντρων των κύκλων του Φορντ) και που είναι κάθετος στον άξονα x {\displaystyle x} (του οποίου το κέντρο βρίσκεται στον άξονα x) διέρχεται επίσης από το σημείο όπου οι δύο κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους. Τα κέντρα των κύκλων του Φορντ αποτελούν ένα διακριτό (και συνεπώς μετρήσιμο) υποσύνολο του επιπέδου, του οποίου το κλείσιμο είναι ο πραγματικός άξονας - ένα μη μετρήσιμο σύνολο. Οι κύκλοι του Φορντ μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως καμπύλες στο μιγαδικό επίπεδο. Η σπονδυλωτή ομάδα μετασχηματισμών του μιγαδικού επιπέδου απεικονίζει τους κύκλους του Φορντ σε άλλους κύκλους του Φορντ. Οι κύκλοι του Φορντ είναι ένα υποσύνολο των κύκλων του Απολλώνιου gasket που δημιουργούνται από τις γραμμές y = 0 {\displaystyle y=0} and y = 1 {\displaystyle y=1} και τον κύκλο C [ 0 / 1 ] . {\displaystyle C[0/1].} Ερμηνεύοντας το άνω μισό του μιγαδικού επιπέδου ως μοντέλο του υπερβολικού επιπέδου (το μοντέλο του ημιεπιπέδου του Πουανκαρέ), οι κύκλοι του Φορντ μπορούν να ερμηνευθούν ως ορόκυκλοι. Στην υπερβολική γεωμετρία δύο ορόκυκλοι είναι σύμφωνοι. Όταν αυτοί οι οριζόντιοι κύκλοι περιγράφονται από απιρόγωνα, πλακώνουν το υπερβολικό επίπεδο με ένα απιρόγειο πλακίδιο τάξης 3. Υπάρχει σύνδεση μεταξύ του εμβαδού των κύκλων του Φορν, της συνάρτησης του Όιλερ φ , {\displaystyle \varphi ,} της συνάρτησης ζ του Ρίμαν ζ , {\displaystyle \zeta ,} και της σταθεράς ζ του Απερί ζ ( 3 ) . {\displaystyle \zeta (3).} Καθώς δεν τέμνονται δύο κύκλοι του Φορν, προκύπτει αμέσως ότι το συνολικό εμβαδόν των κύκλων του Φορντ { C [ p , q ] : 0 < p q ≤ 1 } {\displaystyle \left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1\right\}} είναι μικρότερη από 1. Στην πραγματικότητα, το συνολικό εμβαδόν αυτών των κύκλων του Φορντ δίνεται από ένα συγκλίνον άθροισμα, το οποίο μπορεί να εκτιμηθεί. Από τον ορισμό, το εμβαδόν είναι A = ∑ q ≥ 1 ∑ ( p , q ) = 1 1 ≤ p < q π ( 1 2 q 2 ) 2 . {\displaystyle A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}.} Απλοποιώντας την εξίσωση αυτή προκύπτει A = π 4 ∑ q ≥ 1 1 q 4 ∑ ( p , q ) = 1 1 ≤ p < q 1 = π 4 ∑ q ≥ 1 φ ( q ) q 4 = π 4 ζ ( 3 ) ζ ( 4 ) , {\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},} όπου η τελευταία ισότητα αντικατοπτρίζει τη γεννήτρια συνάρτηση Ντίριχλετ για τη συνάρτηση του Όιλερ φ ( q ) . {\displaystyle \varphi (q).} Δεδομένου ότι ζ ( 4 ) = π 4 / 90 , {\displaystyle \zeta (4)=\pi ^{4}/90,} αυτό τελικά γίνεται A = 45 2 ζ ( 3 ) π 3 ≈ 0.872284041. {\displaystyle A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.} Σημειώστε ότι βάσει σύμβασης, οι προηγούμενοι υπολογισμοί απέκλεισαν τον κύκλο ακτίνας 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} που αντιστοιχεί στο κλάσμα 0 1 {\displaystyle {\frac {0}{1}}} . Περιλαμβάνει τον πλήρη κύκλο για το 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}} , το μισό του οποίου βρίσκεται εκτός του μοναδιαίου διαστήματος, επομένως το άθροισμα εξακολουθεί να είναι το κλάσμα του μοναδιαίου τετραγώνου που καλύπτεται από κύκλους του Φορντ. Η έννοια των κύκλων του Φορντ μπορεί να γενικευτεί από τους ρητούς αριθμούς στους ρητούς του Γκάους, δημιουργώντας τις σφαίρες του Φορντ. Σε αυτή την κατασκευή, οι μιγαδικοί αριθμοί ενσωματώνονται ως επίπεδο σε έναν τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, και για κάθε σημείο του γκαουσιανού ορθολογισμού σε αυτό το επίπεδο κατασκευάζεται μια σφαίρα που εφάπτεται στο επίπεδο στο σημείο αυτό. Για ένα γκαουσιανό ορθολογικό σημείο που αναπαρίσταται σε χαμηλότερους όρους ως p / q p/q, η διάμετρος αυτής της σφαίρας θα πρέπει να είναι 1 / 2 q q ¯ {\displaystyle 1/2q{\bar {q}}} όπου q ¯ {\displaystyle {\bar {q}}} αντιπροσωπεύει το μιγαδικό συζυγές του q {\displaystyle q} . Οι σφαίρες που προκύπτουν εφάπτονται για ζεύγη των ρητών του Γκάους P / Q {\displaystyle P/Q} και p / q {\displaystyle p/q} με | P q − p Q | = 1 {\displaystyle |Pq-pQ|=1} , και διαφορετικά δεν τέμνονται μεταξύ τους. Απολλώνιο πρόβλημα Σύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν