Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη (ή αλλιώς μεσοκάθετος) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.

 Θεώρημα: Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. Απόδειξη: Έστω A B {\displaystyle \mathrm {AB} } ένα ευθύγραμμο τμήμα και Σ {\displaystyle \Sigma } ένα σημείο της μεσοκάθετής του. Τα ορθογώνια τρίγωνα A M Σ {\displaystyle \mathrm {AM\Sigma } } και B M Σ {\displaystyle \mathrm {BM\Sigma } } είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς. Συνεπώς θα είναι A Σ = B Σ {\displaystyle \mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma } } . Αντίστροφα, έστω A B {\displaystyle \mathrm {AB} } το ευθύγραμμο τμήμα και Σ {\displaystyle \mathrm {\Sigma } } ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε A Σ = B Σ {\displaystyle \mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma } } . Αν M {\displaystyle \mathrm {M} } είναι το ίχνος του Σ {\displaystyle \mathrm {\Sigma } } στο A B {\displaystyle \mathrm {AB} } , τα τρίγωνα A M Σ {\displaystyle \mathrm {AM\Sigma } } και B M Σ {\displaystyle \mathrm {BM\Sigma } } είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και ίση υποτείνουσα. Τότε θα έχουμε A M = B M {\displaystyle \mathrm {AM} =\mathrm {BM} } , δηλαδή το M {\displaystyle \mathrm {M} } θα είναι το μέσο του A B {\displaystyle \mathrm {AB} } και η κάθετη Σ M {\displaystyle \mathrm {\Sigma M} } θα είναι η μεσοκάθετη. ◻ {\displaystyle \square } Έστω A {\displaystyle \mathrm {A} } και B {\displaystyle \mathrm {B} } δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο y − A y + B y 2 = − B x − A x B y − A y ⋅ ( x − A x + B x 2 ) {\displaystyle y-{\tfrac {\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}}{2}}=-{\tfrac {\mathrm {B} _{x}-\mathrm {A} _{x}}{\mathrm {B} _{y}-\mathrm {A} _{y}}}\cdot \left(x-{\tfrac {\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}}{2}}\right)} ,χρησιμοποιώντας ότι η ευθεία διέρχεται από το το μέσο ( A x + B x 2 , A y + B y 2 ) {\displaystyle \left({\tfrac {\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}}{2}},{\tfrac {\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}}{2}}\right)} του A B {\displaystyle \mathrm {AB} } και έχει κλίση m = B x − A x B y − A y , {\displaystyle m={\tfrac {\mathrm {B} _{x}-\mathrm {A} _{x}}{\mathrm {B} _{y}-\mathrm {A} _{y}}},} ως κάθετη στο A B {\displaystyle \mathrm {AB} } . Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα A {\displaystyle \mathrm {A} } και B {\displaystyle \mathrm {B} } και ακτίνα A B {\displaystyle \mathrm {AB} } . Βρίσκουμε τα σημεία τομής T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} και T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} των δύο κύκλων. Η ευθεία που ενώνει τα T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} και T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} είναι η μεσοκάθετος του A B {\displaystyle \mathrm {AB} } . Θεώρημα: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο. (Απόδειξη) Έστω O ′ {\displaystyle \mathrm {O'} } η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών A B {\displaystyle \mathrm {AB} } και B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι A O ′ = B O ′ {\displaystyle \mathrm {AO'} =\mathrm {BO'} } και B O ′ = Γ O ′ {\displaystyle \mathrm {BO'} =\mathrm {\Gamma O'} } .Άρα το O ′ {\displaystyle \mathrm {O'} } ισαπέχει και από το σημείο Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } . Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των A B {\displaystyle \mathrm {AB} } , B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } και A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } συντρέχουν στο O ′ {\displaystyle \mathrm {O'} } . ◻ {\displaystyle \square } Ισοσκελές τρίγωνο Διάμεσος (γεωμετρία) Περιγεγραμμένος κύκλος