E (μαθηματική σταθερά)

Ο αριθμός e είναι σημαντική μαθηματική σταθερά, η οποία αποτελεί τη βάση του φυσικού λογαρίθμου. Είναι περίπου ίση με 2,71828, και είναι το όριο της ακολουθίας (1 + 1/n)n όσο το n πλησιάζει το άπειρο, μια έκφραση που προκύπτει από την μελέτη των σύνθετων τόκων. Μπορεί επίσης να υπολογιστεί ως το άθροισμα της άπειρης σειράς. e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋯ {\displaystyle e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots } Η σταθερά μπορεί να οριστεί με πολλούς τρόπους. Για παράδειγμα, ο e μπορεί να οριστεί ως ο μοναδικός θετικός αριθμός a, τέτοιος ώστε το γράφημα της συνάρτησης y = ax έχει κλίση ίση με 1 όταν x = 0. Η συνάρτηση f(x) = ex ονομάζεται εκθετική και η αντίστροφή της είναι ο φυσικός λογάριθμος ή λογάριθμος με βάση το e. Ο φυσικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού k μπορεί επίσης να οριστεί άμεσα ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη y = 1/x μεταξύ x = 1 και x = k, όπου , το e είναι ο αριθμός του οποίου ο φυσικός λογάριθμος είναι 1. Υπάρχουν όμως περισσότεροι εναλλακτικοί χαρακτηρισμοί. Αποκαλούμενος μερικές φορές ως αριθμός Όιλερ από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ, ο e δεν πρέπει να συγχέεται με την γ, τη σταθερά Όιλερ–Μασκερόνι που μερικές φορές αναφέρεται απλά σταθερά Όιλερ. Ο αριθμός e είναι επίσης γνωστός ως σταθερά του Νέιπιερ, αλλά η επιλογή του Όιλερ του συμβόλου e λέγεται ότι έχει διατηρηθεί προς τιμήν του. Ο e ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Γιακόμπ Μπερνούλι όταν μελετούσε σύνθετους τόκους. Ο αριθμός e είναι εξέχουσας σημασίας στα μαθηματικά, μαζί με το 0, το 1, το π και το i. Και οι πέντε από αυτούς τους αριθμούς παίζουν σημαντικό και επαναλαμβανόμενο ρόλο στα μαθηματικά και είναι οι πέντε σταθερές που εμφανίζονται σε μία διατύπωση της ταυτότητας του Όιλερ. Όπως και η σταθερά π, το e είναι άρρητος, δηλ. δεν είναι λόγος ακεραίων, και είναι υπερβατικό, δηλ. δεν είναι ρίζα κανενός μη-μηδενικού πολυώνυμου με ρητούς συντελεστές. Η αριθμητική αξία του e μέχρι τα 50 δεκαδικά ψηφία είναι 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995... (ακολουθία A001113 στο OEIS).

 Οι πρώτες αναφορές στη σταθερά e δημοσιεύθηκαν το 1618 στον πίνακα του προσαρτήματος ενός έργο για λογαρίθμους από τον Τζον Νάπιερ (John Napier). Ωστόσο αυτό δεν περιλαμβάνει την ίδια τη σταθερά, αλλά απλούστερα μια λίστα από λογαρίθμους που υπολογίζονται από τη σταθερά. Υποστηρίζεται ότι ο πίνακας γράφτηκε από τον William Oughtred. Η ανακάλυψη της ίδιας της σταθεράς πιστώνεται στον Γιακόμπ Μπερνούλι (Jacob Bernoulli) ο οποίος προσπάθησε να βρει την τιμή του από την ακόλουθη έκφραση (που είναι στην πραγματικότητα το e): Η πρώτη γνωστή χρήση της σταθεράς, που αντιστοιχεί στο γράμμα b, ήταν σε αντιστοιχία από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (Gottfried Wilhelm Leibniz) στον Κρίστιαν Χόυχενς (Christiaan Huygens) το 1690 και το 1691. Ο Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler) εισήγαγε το γράμμα e ως στη βάση για φυσικούς λογαρίθμους, γράφοντάς το σε επιστολή του στον Κρίστιαν Γκόλντμπαχ (Christian Goldbach) στις 25 Νοεμβρίου του 1731. Ο Όιλερ ξεκίνησε να χρησιμοποιεί το γράμμα e ως σταθερά το 1727 ή το 1728, σε ένα αδημοσίευτο έγγραφο σχετικά με τις εκρηκτικές δυνάμεις σε κανόνια, και η πρώτη εμφάνιση του e σε μια δημοσίευση ήταν του Όιλερ, με τίτλο Μηχανική (1736, πρωτότυπος τίτλος: Mechanica). Ενώ στα επόμενα χρόνια κάποιοι ερευνητές χρησιμοποίησαν το γράμμα c, το e ήταν το πιο γνωστό και τελικά έγινε το πρότυπο. Ο Γιακόμπ Μπερνούλι ανακάλυψε αυτή τη σταθερά μελετώντας μια ερώτηση σχετικά με τους τόκους ανατοκισμού: Ένας λογαριασμός ξεκινά με $ 1.00 και πληρώνει 100 τοις εκατό τόκο ανά έτος. Εάν ο τόκος πιστώνεται μια φορά η αξία του λογαριασμού στο τέλος του έτους θα είναι $ 2,00. Τι συμβαίνει αν ο τόκος υπολογιστεί και πιστωθεί πιο συχνά κατά τη διάρκεια του έτους; Αν ο τόκος πιστωθεί δύο φορές το έτος, το επιτόκιο για κάθε 6 μήνες θα είναι 50%, οπότε στο τέλος του πρώτου εξαμήνου θα ισχύει: (1+ 50%) = 1 + 0,5 = 1,5$ και τελικά στο τέλος του δευτέρου εξαμήνου προκύπτει: (1,5 + 50%) = 1,50 + 0,75 = 2,25 $ στο τέλος του έτους. Υπολογίζοντας τις τριμηνιαίες αποδόσεις είναι $ 1,00 × 1.254 = 2,4414 δολάρια ... και υπολογίζοντας του κάθε μήνα τις αποδόσεις είναι $ 1,00 × (1 + 1/12) 12 = 2,613035 δολάρια ... Αν υπάρχουν n ίσα διαστήματα, ο τόκος για κάθε διάστημα θα είναι 100% / n και η αξία το τέλος του έτους θα είναι 1,00 € × (1 + 1 / n)^n. Ο Μπερνούλι παρατήρησε ότι αυτή η αλληλουχία πλησιάζει το όριο (τη δύναμη του ενδιαφέροντος) με μεγαλύτερα n και, ως εκ τούτου, τα μικρότερα διαστήματα σύνθεσης. Υπολογίζοντας την εβδομάδα (n = 52) αποδίδει 2,692597 δολάρια ..., ενώ υπολογίζοντας ημερησίως (n = 365) αποδίδει 2,714567 δολάρια ..., μόλις δύο λεπτά περισσότερο. Το όριο καθώς το n μεγαλώνει είναι ο αριθμός που έγινε γνωστός ως e! Με συνεχή σύνθεση, η αξία του λογαριασμού θα φτάσει τα $ 2.7182818 .... Γενικότερα, ένας λογαριασμός που ξεκινάει από $ 1 και προσφέρει ετήσιο επιτόκιο R, μετά από t έτη, θα αποδίδει eRt δολάρια με συνεχείς υπολογισμούς. (Εδώ το R είναι ένα κλάσμα, έτσι για το επιτόκιο 5%, R = 5/100 =0,05) Ο ίδιος ο αριθμός e έχει επίσης εφαρμογές στη θεωρία των πιθανοτήτων όπου προκύπτει, κατά τρόπο που δεν σχετίζεται προφανώς με εκθετική αύξηση. Ας υποθέσουμε ότι ένας παίκτης παίζει έναν κουλοχέρη που πληρώνει με πιθανότητα ένα στο n και παίζει n φορές. Στη συνέχεια, για μεγάλο n (όπως ένα εκατομμύριο), η πιθανότητα ότι ο παίκτης θα χάσει κάθε στοίχημα είναι (περίπου) 1 / e. Για n = 20 είναι ήδη περίπου 1/2.79. Αυτό είναι ένα παράδειγμα της διαδικασίας των δοκιμών Μπερνούλι. Κάθε φορά που ο παίκτης παίζει με τον κουλοχέρη, υπάρχει μία στο ένα εκατομμύριο πιθανότητες να κερδίσει. Παίζοντας ένα εκατομμύριο φορές διαμορφώνεται από τη διωνυμική κατανομή, η οποία είναι στενά συνδεδεμένη με το διωνυμικό θεώρημα. Η πιθανότητα της νίκης k φορές μετά από ένα εκατομμύριο προσπάθειες είναι : ( 10 6 k ) ( 10 − 6 ) k ( 1 − 10 − 6 ) 10 6 − k . {\displaystyle {\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}(1-10^{-6})^{10^{6}-k}.} Ειδικότερα, η πιθανότητα νίκης μηδέν φορές (k = 0) είναι ( 1 − 1 10 6 ) 10 6 . {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}}.} Αυτό είναι πολύ κοντά στο ακόλουθο όριο για το 1/e: 1 e = lim n → ∞ ( 1 − 1 n ) n . {\displaystyle {\frac {1}{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} Άλλη μια εφαρμογή του e , επίσης ανακαλύφθηκε εν μέρει από τον Μπερνούλι μαζί με τον Πιερ Ραϊμόν ντε Μονμόρ (Pierre Raymond de Montmort) που είναι στο πρόβλημα της αναδιάταξης, γνωστό σαν το πρόβλημα "έλεγχος καπέλου". Αυτό είναι το εξής: ν επισκέπτες είναι προσκεκλημένοι σε ένα πάρτι, στην πόρτα κάθε επισκέπτης ελέγχει το καπέλο του με τον μπάτλερ που τους τα τοποθετεί στη συνέχεια σε ν κουτιά, το καθένα από αυτά έχει πάνω το όνομα του κάθε επισκέπτη. Όμως ο μπάτλερ δεν γνωρίζει τα ονόματα των φιλοξενούμενων ,έτσι βάζει τα καπέλα στα κουτιά με τυχαίο τρόπο. Το πρόβλημα του ντε Μονμόρ είναι να βρει την πιθανότητα, ώστε κανένα από τα καπέλα να τοποθετηθεί στο σωστό κουτί. Η απάντηση είναι: p n = 1 − 1 1 ! + 1 2 ! − 1 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n n ! = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k ! . {\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.} Ο αριθμός e συμβαίνει να συνδέεται φυσικά με πολλά προβλήματα που εμπεριέχουν ασύμπτωτες . Ένα διακεκριμένο πρόβλημα είναι η φόρμουλα Stirling για τις ασύμπτωτες της παραγοντικής συνάρτησης στην οποία και οι δυο αριθμοί e και π εισέρχονται : n ! ∼ 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.} Μια ιδιαίτερη συνέπεια αυτού είναι : . e = lim n → ∞ n n ! n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.} (Κανονική κατανομή ) Η πιο απλή περίπτωση μιας κανονικής κατανομής είναι η τυπική κανονική κατανομή , που περιγράφεται από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας η οποία είναι : ϕ ( x ) = 1 2 π e − 1 2 x 2 . {\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2}}x^{2}}.} Ο παράγοντας σε αυτή την έκφραση διασφαλίζει πως η συνολική περιοχή κάτω από την καμπύλη ϕ(x) είναι ένα. Ο εκθέτης 1/2 διασφαλίζει ότι η κατανομή έχει διαφορά μονάδων (και για αυτό το λόγο επίσης και η τυπική απόκλιση ). Η συνάρτηση είναι συμμετρική γύρω από το x=0, όπου επιτυγχάνει τη μέγιστη τιμή της : και έχει σημεία καμπής στο +1 και -1. Το βασικό κίνητρο για την εισαγωγή του αριθμού e, στον λογισμό , είναι για να εκτελεί διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεις με εκθετικές και λογαριθμικές λειτουργίες. Μια γενική εκθετική συνάρτηση y = aχ έχει την παράγωγο που φαίνεται στο παρακάτω όριο : d d x a x = lim h → 0 a x + h − a x h = lim h → 0 a x a h − a x h = a x ( lim h → 0 a h − 1 h ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).} Το όριο στα δεξιά είναι ανεξάρτητο από την μεταβλητή χ .Εξαρτάται μόνο από την βάση α. Όταν η βάση είναι ε, το όριο είναι ίσο με 1, και έτσι το e είναι συμβολικά ορίζεται από την εξίσωση: d d x e x = e x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.} Ως εκ τούτου, η εκθετική συνάρτηση με βάση e είναι ιδιαίτερα κατάλληλη για τον λογισμού. Επιλέγοντας ε, σε αντίθεση με κάποιο άλλο αριθμό, διότι η βάση της εκθετικής συνάρτησης κάνει υπολογισμούς που αφορούν την παράγωγο πολύ πιο άπλα. Ένα άλλο κίνητρο έρχεται από την εξέταση της βάσης λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψιν τον ορισμό της παραγώγου του Loga x είναι το όριο: d d x log a ⁡ x = lim h → 0 log a ⁡ ( x + h ) − log a ⁡ ( x ) h = 1 x ( lim u → 0 1 u log a ⁡ ( 1 + u ) ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}x=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}={\frac {1}{x}}\left(\lim _{u\to 0}{\frac {1}{u}}\log _{a}(1+u)\right),} όπου η αντικατάσταση u = h/x έγινε στο τελευταίο βήμα .Το τελευταίο όριο που εμφανίζονται σε αυτό τον υπολογισμό είναι και πάλι ένα απροσδιόριστο όριο που εξαρτάται μόνο από τη βάση α , και αν αυτή η βάση είναι ε, τότε το όριο είναι ίσο με 1. Έτσι συμβολικά : d d x log e ⁡ x = 1 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.} Ο λογάριθμος σε αυτή την ειδική βάση ονομάζεται ο φυσικός λογάριθμος και αναπαρίσταται ως ln ;συμπεριφέρεται καλά κάτω από τη διαφοροποίηση, δεδομένου ότι δεν υπάρχει απροσδιόριστο όριο να φέρει σε πέρας τους υπολογισμούς. Υπάρχουν λοιπόν δύο τρόποι με τους οποίους μπορούμε να επιλέξουμε έναν ειδικό αριθμό α = e. Ένας τρόπος είναι να ορίσετε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης aχ σε aχ .Ο άλλος τρόπος είναι να θέσουμε την παράγωγο της βάσης του λογαρίθμου σε 1/χ και να λύσουμε προς a .Σε κάθε περίπτωση φτάνει κανείς σε μια βολική επιλογή της βάσης. Στην πραγματικότητα, αυτές οι δύο λύσεις για το Α είναι στην πραγματικότητα το ίδιο, ο αριθμός e. Άλλοι χαρακτηρισμοί του e που είναι επίσης πιθανοί: ένας είναι το όριο μιας ακολουθίας, άλλος είναι το άθροισμα άπειρης σειράς και μερικοί ακόμα βασίζονται στον ολοκληρωτικό λογισμό. Μέχρι στιγμής, οι ακόλουθες δύο (ισοδύναμες) ιδιότητες έχουν εισαχθεί: 1. Ο αριθμός e είναι ο μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε: d d t e t = e t . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}.} 2. Ο αριθμός e είναι ο μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε: d d t log e ⁡ t = 1 t . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}.} Οι ακόλουθοι τρεις χαρακτηρισμοί μπορούν να αποδειχθούν ισοδύναμα: 3. Ο αριθμός e είναι το όριο e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} Ομοίως : e = lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x {\displaystyle e=\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}} 4. Ο αριθμός e είναι το άθροισμα της άπειρης σειράς e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots } όπου n! είναι το παραγοντικό του n. 5. Ο αριθμός e είναι ο μοναδικός θετικός πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε ∫ 1 e 1 t d t = 1. {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.} Ιδιότητες Λογισμός Όπως και στο κίνητρο, η εκθετική συνάρτηση ex είναι σημαντική εν μέρει επειδή είναι η μοναδική με μη τετριμμένη συνάρτηση (μέχρι τον πολλαπλασιασμό με μια σταθερά) η οποία είναι δική του παράγωγος d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}} και ως εκ τούτου η δική του αντιπαράγωγος, καθώς και: ∫ e x d x = e x + C . {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.} Συναρτήσεις σαν Εκθετικές Βλέπε επίσης: πρόβλημα του Στάινερ Το μέγιστο συνολικό όριο για τη συνάρτηση f ( x ) = x x {\displaystyle f(x)={\sqrt[{x}]{x}}} εμφανίζεται στο x = e. Ομοίως, το x= 1 / e είναι εκεί όπου το ολικό ελάχιστο λαμβάνει χώρα για τη συνάρτηση f ( x ) = x x n {\displaystyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}} ορίζεται για τη θετική x. Γενικότερα x = e−1/n είναι αυτό που το ολικό ελάχιστο λαμβάνει χώρα για τη συνάρτηση x x x ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} για κάθε n> 0. Η άπειρη σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν e−e ≤ x ≤ e1/e (ή περίπου μεταξύ 0.0660 και 1.4447), σύμφωνα με το θεώρημα του Λέοναρντ Όιλερ. Ο πραγματικός αριθμός e είναι άρρητος. Ο Όιλερ απέδειξε αυτό, δείχνοντας ότι η απλή συνέχιση της επέκτασης του κλάσματος είναι άπειρη. Επιπλέον, από το θεώρημα Λίντεμαν-Βάιερστρας, το e είναι υπερβατικό, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι μια λύση μιας οποιασδήποτε πολυωνυμικής μη σταθερής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ότι είναι υπερβατικός χωρίς να έχει κατασκευαστεί ειδικά για το σκοπό αυτό (σε σύγκριση με τον αριθμό Λιουβίλ). Η απόδειξη δόθηκε από τον Τσαρλς Χέρμιτ το 1873. Εικάζεται ότι το e είναι κανονικός αριθμός, γεγονός που σημαίνει ότι όταν το e εκφράζεται σε οποιαδήποτε βάση τα πιθανά ψηφία στην εν λόγω βάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένα (εμφανίζονται ισοπίθανα σε οποιαδήποτε δεδομένη ακολουθία πεπερασμένου μήκους). Η εκθετική συνάρτηση ex μπορεί να γραφεί ως μια σειρά Τέιλορ e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} Επειδή αυτή η σειρά κρατά πολλές σημαντικές ιδιότητες για την ex ακόμη και όταν το x είναι σύνθετο, συνήθως χρησιμοποιείται για την επέκταση του ορισμού του ex με μιγαδικούς αριθμούς. Αυτό, με τη σειρά Τέιλορ για τα sin και cos x, επιτρέπει σε κάποιον να τα αντλήσει από τον τύπο του Όιλερ: e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!} η οποία ισχύει για όλα τα x. Η ειδική περίπτωση x = π είναι η ταυτότητα του Όιλερ: e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,\!} από την οποία προκύπτει ότι, στο κύριο κλάδο του λογαρίθμου, ln ⁡ ( − 1 ) = i π . {\displaystyle \ln(-1)=i\pi .\,\!} Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τους νόμους για την ύψωση σε δύναμη, ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( e i x ) n = e i n x = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) , {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),} ο οποίος είναι ο τύπος του ντε Μουάβρ. Η έκφραση cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \cos x+i\sin x\,} αναφέρεται μερικές φορές στο cis(x). Η γενική συνάρτηση y ( x ) = C e x {\displaystyle y(x)=Ce^{x}\,} είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης y ′ = y . {\displaystyle y'=y.\,} Κύριο άρθρο (Λίστα από παραστάσεις) Ο αριθμός e μπορεί να παρασταθεί ως πραγματικός αριθμός με διάφορους τρόπους: ως άπειρη σειρά, ως ένα άπειρο προϊόν, ως ένα συνεχές κλάσμα, ή ένα όριο μιας ακολουθίας. Η επικεφαλής μεταξύ αυτών των αναπαραστάσεων, κυρίως σε εισαγωγικά μαθήματα λογισμού είναι το όριο lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},} που δόθηκε παραπάνω, καθώς επίσης και η σειρά e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} δίνεται από την αξιολόγηση της παραπάνω σειράς από το ex στο x = 1. Λιγότερο γνωστό είναι το συνεχιζόμενο κλάσμα (ακολουθία A003417 στην OEIS). e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , . . . , 2 n , 1 , 1 , . . . ] = [ 1 ; 0 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , . . . , 2 n , 1 , 1 , . . . ] , {\displaystyle e=[2;1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,\mathbf {6} ,1,1,...,\mathbf {2n} ,1,1,...]=[1;\mathbf {0} ,1,1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,...,\mathbf {2n} ,1,1,...],} το οποίο αναγραμμένο μοιάζει με e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + ⋱ = 1 + 1 0 + 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + ⋱ . {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {1}{\mathbf {0} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}.} Αυτό το συνεχές κλάσμα για το e συγκλίνει τρεις φορές πιο γρήγορα από το: e = [ 1 ; 0.5 , 12 , 5 , 28 , 9 , 44 , 13 , … , 4 ( 4 n − 1 ) , ( 4 n + 1 ) , … ] , {\displaystyle e=[1;0.5,12,5,28,9,44,13,\ldots ,4(4n-1),(4n+1),\ldots ],} το οποίο αναγραμμένο μοιάζει με e = 1 + 2 1 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 18 + 1 22 + 1 26 + ⋱ . {\displaystyle e=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{22+{\cfrac {1}{26+\ddots \,}}}}}}}}}}}}}}.} Πολλές άλλες σειρές, η ακολουθία, το συνεχές κλάσμα, και οι άπειρες παραστάσεις των προϊόντων του e έχουν αναπτυχθεί. Εκτός από τις ακριβείς αναλυτικές εκφράσεις για το ε, υπάρχουν στοχαστικές τεχνικές για την εκτίμηση του ε. Μία τέτοια προσέγγιση ξεκινά με μια άπειρη ακολουθία ανεξαρτήτων τυχαίων μεταβλητών X1, X2..., προέρχονται από την ομοιόμορφη κατανομή στο [0,1]. Ας είναι V ο ελάχιστος αριθμός n, τέτοιος ώστε το άθροισμα των πρώτων δειγμάτων ν να υπερβαίνει το 1: Στη συνέχεια, η αναμενόμενη τιμή του V είναι e : Ε(ν)=ε Το πλήθος των γνωστών ψηφίων του e έχει βελτιωθεί δραματικά κατά την διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών. Αυτό οφείλεται τόσο στην αυξημένη απόδοση των υπολογιστών όσο και στις αλγοριθμικές βελτιώσεις.