Συνέχεια συνάρτησης

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται συνεχής όταν μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της προκαλεί μικρή μόνο μεταβολή στην τιμή της. Για τις συναρτήσεις που ορίζονται στους πραγματικούς αριθμούς η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα (και όχι σε μία ένωση διαστημάτων) μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να χρειαστεί να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.

 Αν f : A → R {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} } είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } και το x 0 {\displaystyle x_{0}} ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο x 0 {\displaystyle x_{0}} αν ∀ ϵ > 0 ∃ δ ( x 0 , ϵ ) > 0 ∀ x ∈ A ( | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ϵ ) {\displaystyle \forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (x_{0},\epsilon )>0}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)} Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Η συνάρτηση ονομάζεται συνεχής στο A {\displaystyle A} αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του A {\displaystyle A} , δηλαδή αν ∀ x 0 ∈ A ∀ ϵ > 0 ∃ δ ( x 0 , ϵ ) > 0 ∀ x ∈ A ( | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ϵ ) {\displaystyle \forall _{x_{0}\in A}\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (x_{0},\epsilon )>0}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)} Σε αντιδιαστολή με την ομοιόμορφη συνέχεια, η συνέχεια αυτού του είδους λέγεται σημειακή συνέχεια. Ένας ορισμός που χρησιμοποιεί την έννοια του ορίου στις πραγματικές συναρτήσεις λέει ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x 0 {\displaystyle x_{0}} του πεδίου ορισμού της αν το όριο της συνάρτησης στο σημείο αυτό συμπίπτει με την τιμή της, δηλαδή αν: lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})} Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός γιατί το όριο lim x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)} έχει έννοια μόνο όταν το x 0 {\displaystyle x_{0}} είναι σημείο συσσώρευσης της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μία συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το x 0 {\displaystyle x_{0}} δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότε είναι μεμονωμένο σημείο και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό). Μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x 0 {\displaystyle x_{0}} του πεδίου ορισμού της Α αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} στο Α, με: lim n → ∞ x n = x 0 , {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=x_{0},} ισχύει: lim n → ∞ f ( x n ) = f ( x 0 ) {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x_{0})} Με άλλα λόγια μία πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής κατά Χάινε αν διατηρεί τα όρια, δηλαδή αν το όριο των εικόνων ισούται με την εικόνα του ορίου. Μια συνάρτηση f ορισμένη στο X που λαμβάνει τιμές στο Y, όπου X και Y είναι τοπολογικοί χώροι, είναι συνεχής στο x όπου x ∈ X {\displaystyle x\in X} αν για κάθε γειτονιά V της f(x), υπάρχει μια γειτονιά U του x τέτοια ώστε f ( U ) ⊆ V {\displaystyle f(U)\subseteq V} . Με πιο απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρή κι αν γίνεται η V μπορούμε πάντα να βρούμε μια U του x που να απεικονίζεται στην V. Λέμε ότι η f είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε x ∈ X {\displaystyle x\in X} . Μία συνάρτηση f {\displaystyle \textstyle f} ονομάζεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ a , b ] {\displaystyle \;\textstyle [a,b]} , υποσύνολο του πεδίου ορισμού της , αν είναι συνεχής σε κάθε x 0 ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{0}\in (a,b)} και lim x → a + f ( x ) = f ( a ) , lim x → b − f ( x ) = f ( b ) {\displaystyle \;\lim _{x\to a^{+}}f(x)=f(a)\;,\;\lim _{x\to b^{-}}f(x)=f(b)} Αν μια συνάρτηση f {\displaystyle \textstyle f} είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ a , b ] {\displaystyle \;\textstyle [a,b]} και ισχύει ότι f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0} , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( a , b ) {\displaystyle \;\xi \in (a,b)} τέτοιο ώστε f ( ξ ) = 0 {\displaystyle \textstyle f(\xi )=0} . Γραφικά, το θεώρημα Bolzano, σημαίνει ότι, αν η f {\displaystyle \textstyle f} είναι συνεχής στο [ a , b ] {\displaystyle \;\textstyle [a,b]} και f ( a ) , f ( b ) {\displaystyle \textstyle f(a)\;,f(b)} ετερόσημοι, τότε η γραφική παράσταση της f {\displaystyle \;f\;} τέμνει τον άξονα x ′ x {\displaystyle \textstyle x'x} σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των a , b {\displaystyle \textstyle a,b} . Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, το ξ {\displaystyle \xi } δεν είναι αναγκαστικά μοναδικό. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία τιμές για τις οποίες είναι f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Εδώ είναι f ( ξ ) = f ( ξ 1 ) = f ( ξ 2 ) = 0 {\displaystyle f(\xi )=f(\xi _{1})=f(\xi _{2})=0} Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει, δηλαδή : Αν υπάρχει ξ ∈ ( a , b ) {\displaystyle \;\xi \in (a,b)} τέτοιο ώστε f ( ξ ) = 0 {\displaystyle f(\xi )=0} , τότε ούτε η f {\displaystyle f} είναι υποχρεωτικά συνεχής στο [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , ούτε οι f ( a ) , f ( b ) {\displaystyle \textstyle f(a)\;,f(b)} είναι οπωσδήποτε ετερόσημοι. Αν f {\displaystyle \;\textstyle f\;} συνάρτηση συνεχής στο [ a , b ] {\displaystyle \;\textstyle [a,b]} με f : [ a , b ] → [ a , b ] {\displaystyle \;\textstyle f:[a,b]\rightarrow [a,b]} , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \;\;\textstyle \xi \in [a,b]} , τέτοιο ώστε f ( ξ ) = ξ {\displaystyle \;\textstyle f(\xi )=\xi } . Το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής βασίζεται στην αρχή της πληρότητας και διατυπώνεται ως εξής: Αν μια συνάρτηση f {\displaystyle \textstyle f} είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ a , b ] {\displaystyle \;\textstyle [a,b]} με f ( a ) ≠ f ( b ) {\displaystyle f(a)\neq f(b)} , τότε για οποιοδήποτε ρ {\displaystyle \textstyle \rho } μεταξύ των f ( a ) , f ( b ) {\displaystyle \textstyle f(a),f(b)} υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( a , b ) {\displaystyle \;\xi \in (a,b)} τέτοιο ώστε f ( ξ ) = ρ {\displaystyle \textstyle f(\xi )=\rho } . Το αντίστροφο και αυτού του θεωρήματος δεν ισχύει. Ακόμη, από το παραπάνω θεώρημα, δεν προκύπτει ότι οι τιμές της συνάρτησης f {\displaystyle f} ανήκουν υποχρεωτικά στο [ f ( a ) , f ( b ) ] {\displaystyle \textstyle [f(a),f(b)]} ,γιατί όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, υπάρχουν τιμές του x ∈ [ a , b ] {\displaystyle \;\;\textstyle x\in [a,b]} , τέτοιες ώστε f ( x ) = μ {\displaystyle f(x)=\mu } , αν και το μ {\displaystyle \mu } δεν είναι μεταξύ των f ( a ) , f ( b ) {\displaystyle \textstyle f(a),f(b)} . Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής διατυπώνεται ως εξής: Αν μία συνάρτηση f {\displaystyle f} είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , τότε υπάρχουν x 1 , x 2 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]} τέτοια ώστε f ( x 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x 2 ) , ∀ x ∈ [ a , b ] {\displaystyle f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2}),\forall x\in [a,b]} Δηλαδή , οι τιμές f ( x 1 ) = m {\displaystyle f(x_{1})=m} και f ( x 2 ) = M {\displaystyle f(x_{2})=M} είναι αντιστοίχως, η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f {\displaystyle f} στο [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Το πιο πάνω δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα. Για παράδειγμα η συνάρτηση f : ( 0 , 1 ) → R {\displaystyle f:(0,1)\rightarrow \mathbb {R} } με τύπο f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} είναι συνεχής στο (0, 1) αλλά δεν έχει μέγιστο. Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι πιο ισχυρή από αυτή της (σημειακής) συνέχειας. Επιπλέον, ενώ η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι τοπική έννοια, δηλαδή αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας αναφέρεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της. Λέμε ότι μια συνάρτηση f : A → R {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} } είναι ομοιόμορφα συνεχής αν ∀ ϵ > 0 ∃ δ ( ϵ ) > 0 ∀ x 0 ∈ A ∀ x ∈ A ( | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ϵ ) {\displaystyle \forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (\epsilon )>0}\forall _{x_{0}\in A}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)} Η θεμελιώδης διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή έγκειται στο ότι η ακτίνα δ δεν εξαρτάται από το κέντρο x0 κάθε φορά, παρά μόνο από την ακτίνα ε.