Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ

Ο βαρώνος Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ (γαλλικά: Augustin Louis Cauchy, 21 Αυγούστου 1789 – 23 Μαΐου 1857) ήταν Γάλλος μαθηματικός από τους πρωτοπόρους της ανάλυσης. Ξεκίνησε να διατυπώνει και να αποδεικνύει τα θεωρήματα του απειροστικού λογισμού με αυστηρό τρόπο, απορρίπτοντας κάθε ευρετική αρχή της γενικότητας της άλγεβρας που χρησιμοποιήθηκε από παλιότερους συγγραφείς. Όρισε τη συνέχεια με απειροστικούς όρους, έδωσε αρκετά σημαντικά θεωρήματα στη μιγαδική ανάλυση και ξεκίνησε τη μελέτη των αντιμεταθετικών ομάδων στην αφηρημένη άλγεβρα. Ο Κωσύ, όντας βαθυστόχαστος μαθηματικός, επηρέαζε σημαντικά τους σύγχρονους μαθηματικούς, αλλά και τους μεταγενέστερους. Τα έγγραφά του καλύπτουν ολόκληρο το φάσμα των μαθηματικών και της μαθηματικής φυσικής. «Από όλους τους μαθηματικούς, ο Κωσύ είναι αυτός του οποίου το όνομα συναντάται στις περισσότερες έννοιες και θεωρήματα (στην ελαστικότητα μόνο υπάρχουν δεκαέξι έννοιες και θεωρήματα που φέρουν το όνομα του Κωσύ).» Έγραψε περίπου οκτακόσια ερευνητικά άρθρα και πέντε ολοκληρωμένα εγχειρίδια. Ήταν ευσεβής Καθολικός, βασιλόφρονας του Οίκου των Βουρβόνων και στενός συνεργάτης των Ιησουιτών.

 Ο Κωσύ ήταν ο γιος του Λουί Φρανσίς Κωσύ (1760-1848) και της Μαρί-Μαντλέν Ντεζέστρ. Ο Κωσύ είχε δυο αδελφούς, τον Αλεξάντρ-Λωράν Κωσύ (1792-1857), ο οποίος έγινε πρόεδρος μιας μεραρχίας του εφετείου το 1847 και δικαστής στο Αναιρετικό Δικαστήριο το 1849, και τον Εζέν-Φρανσουά Κωσύ (1802-1877), ο οποίος ήταν δημοσιολόγος και έγραψε επίσης αρκετά μαθηματικά έργα. Ο Κωσύ νυμφεύτηκε την Αλουάζ ντε Μπυρ το 1818. Ήταν κοντινή συγγενής του εκδότη που δημοσίευσε τα περισσότερα έργα του Κωσύ. Απέκτησαν δυο κόρες, τη Μαρί-Φρανσουάζ-Αλισιά (1819) και τη Μαρί-Ματίλντ (1823). Ο πατέρας του Κωσύ ήταν ανώτερος αξιωματικός στην παριζιάνικη Αστυνομία της Νέας Κυβέρνησης. Έχασε τη θέση του εξαιτίας της Γαλλικής Επανάστασης (14 Ιουλίου, 1789) που ξέσπασε ένα μήνα πριν γεννηθεί ο Ωγκυστέν-Λουί. Η οικογένεια Κωσύ επέζησε από την επανάσταση και την Κυριαρχία του Τρόμου (1794) που ακολούθησε δραπετεύοντας στο Arcueil, όπου ο Κωσύ έλαβε την πρώτη του εκπαίδευση από τον πατέρα του. Μετά την εκτέλεση του Ροβεσπιέρο (1794) ήταν ασφαλές για την οικογένεια να γυρίσει στο Παρίσι. Εκεί ο Λουί-Φρανσίς Κωσύ βρήκε νέα εργασία γραφείου και γρήγορα ανέβηκε στην ιεραρχία. Όταν ανέβηκε στην εξουσία ο Ναπολέων Βοναπάρτης (1799), ο Λουί-Φρανσίς Κωσύ κατείχε υψηλή θέση και έγινε ο Γενικός Γραμματέας της Συγκλήτου, δουλεύοντας ακριβώς κάτω από τον Λαπλάς (ο οποίος ήταν ιδιαίτερα γνωστός για το έργο του στη μαθηματική φυσική). Ο διάσημος μαθηματικός Λαγκράνζ ήταν επίσης γνωστός στην οικογένεια Κωσύ. Με συμβουλή του Λαγκράνζ, ο Ωγκυστέν-Λουί γράφτηκε το φθινόπωρο του 1802 στο Κεντρικό Σχολείο, το καλύτερο γυμνάσιο του Παρισιού εκείνης της εποχής. Το μεγαλύτερο μέρος των μαθημάτων περιλάμβανε κλασσικές γλώσσες. Ο νέος και φιλόδοξος Κωσύ, όντας λαμπρός μαθητής, κέρδισε πολλά βραβεία στα Λατινικά και στην Ανθρωπολογία. Παρά αυτές τις επιτυχίες, ο Ωγκυστέν-Λουί επέλεξε την καριέρα στη μηχανική και προετοιμάστηκε για τις εισαγωγικές εξετάσεις στην Πολυτεχνική Σχολή. Το 1805 έδωσε εξετάσεις, ήρθε δεύτερος μεταξύ των 293 υποψηφίων και εισήχθη στην Πολυτεχνική Σχολή. Ένας από τους στόχους της σχολής ήταν να παρέχει στους μελλοντικούς πολιτικούς και στρατιωτικούς μηχανικούς υψηλή επιστημονική και μαθηματική εκπαίδευση. Η σχολή λειτουργούσε βάσει στρατιωτικής πειθαρχίας, κάτι το οποίο προκάλεσε δυσκολίες στον νεαρό και θρήσκο Κωσύ μέχρι τελικά να προσαρμοστεί. Παρ’ όλα αυτά, τελείωσε την Πολυτεχνική Σχολή το 1807, στην ηλικία των 18 ετών, και πήγε στη Σχολή των Γεφυρών και των Δρόμων. Αποφοίτησε ως πολιτικός μηχανικός με τις μεγαλύτερες τιμές. Αφού τελείωσε τη σχολή το 1810, ο Κωσύ δέχτηκε να δουλέψει ως βοηθός μηχανικός στο Χερβούργο, όπου ο Ναπολέων σκόπευε να κατασκευάσει μια ναυτική βάση. Ο Ωγκυστέν-Λουί έμεινε εκεί για τρία χρόνια, και παρόλο που είχε μια αρκετά απαιτητική διευθυντική θέση, βρήκε χρόνο για να ετοιμάσει τρία μαθηματικά χειρόγραφα, τα οποία και υπέβαλλε στην Ανώτερη Τάξη του Γαλλικού Ινστιτούτου. Τα δύο από τα χειρόγραφα του Κωσύ (πάνω στα πολύεδρα) έγιναν δεκτά, ενώ το τρίτο (πάνω στις διευθύνσεις των κωνικών τομών) απορρίφθηκε. Τον Σεπτέμβριο του 1812, σε ηλικία 23 ετών, αφού αρρώστησε από την υπερκόπωση, ο Κωσύ επέστρεψε στο Παρίσι. Άλλος ένας λόγος της επιστροφής του στην πρωτεύουσα ήταν ότι άρχισε να χάνει το ενδιαφέρον του για τη μηχανική, και άρχισε να ελκύεται όλο και περισσότερο από την αφηρημένη ομορφιά των μαθηματικών. Ακόμη, στο Παρίσι θα είχε περισσότερες ευκαιρίες για να βρει μια μαθηματική θέση. Αν και επίσημα κράτησε τη θέση του μηχανικού, συνέχισε να πληρώνεται από το Υπουργείο Εσωτερικών και όχι από το Υπουργείο Ναυτιλίας. Τα επόμενα τρία χρόνια ο Ωγκυστέν-Λουί ήταν σε αναρρωτική χωρίς αποδοχές άδεια, και ξόδεψε τον χρόνο του αρκετά καρποφόρα δουλεύοντας πάνω στα μαθηματικά (στις συμμετρικές συναρτήσεις, στις συμμετρικές ομάδες και στις αλγεβρικές εξισώσεις ανώτατων τάξεων). Προσπάθησε να εισαχθεί στην Ανώτερη Τάξη του Γαλλικού Ινστιτούτου αλλά απέτυχε τρεις φορές μεταξύ του 1813 και του 1815. Το 1815 ο Ναπολέων ηττήθηκε στο Βατερλό και ο βασιλιάς Λουδοβίκος ΙΗ΄, που μόλις είχε ανέβει στην εξουσία, ανέλαβε να επαναφέρει την κατάσταση. Η Ακαδημία Επιστημών αποκαταστάθηκε τον Μάρτιο του 1816, ο Λαζάρ Καρνό και ο Γκασπάρ Μονζ διώχτηκαν από την Ακαδημία λόγω πολιτικών συμφερόντων και ο βασιλιάς διόρισε τον Κωσύ για να αναλάβει τη θέση ενός από τους δυο. Οι αντιδράσεις των ομότιμων του Κωσύ ήταν έντονες. Θεώρησαν προσβολή την αποδοχή του Κωσύ να γίνει μέλος την Ακαδημίας και από τότε ο Κωσύ απέκτησε πολλούς εχθρούς στους επιστημονικούς κύκλους. Το Νοέμβριο του 1815, ο Λουί Πουανσό, ο οποίος ήταν αναπληρωτής καθηγητής στην Πολυτεχνική Σχολή, ζήτησε να απαλλαχτεί από τα διδακτικά του καθήκοντα για λόγους υγείας. Ο Κωσύ ήταν ήδη τότε ανερχόμενο μαθηματικό αστέρι και του άξιζε σίγουρα μια θέση καθηγητή. Μια από τις μεγάλες του επιτυχίες εκείνην την εποχή ήταν η απόδειξη του θεωρήματος των πολυγωνικών αριθμών του Φερμά. Ωστόσο, το γεγονός ότι ο Κωσύ ήταν πιστός στους Βουρβόνους, συντέλεσε αναμφίβολα στο να διαδεχθεί τον Πουανσό. Τελικά, παραιτήθηκε από τη θέση του μηχανικού και υπέγραψε συμβόλαιο ενός έτους για να διδάξει μαθηματικά στους δευτεροετής φοιτητές της Πολυτεχνικής Σχολής. Το 1816, αυτή η ολιγαρχική και μη θρησκόληπτη σχολή αναδιοργανώθηκε, και αρκετοί φιλελεύθεροι καθηγητές απολύθηκαν. Ο αντιδραστικός Κωσύ προάχθηκε σε καθηγητή. Όταν ο Κωσύ ήταν 28 ετών, έμενε ακόμα με τους γονείς του. Ο πατέρας του πίστευε ότι ήταν η ώρα για να παντρευτεί και του βρήκε μια ιδανική νύφη, την Αλουάζ ντε Μπυρ, πέντε χρόνια νεότερή του. Η οικογένεια ντε Μπυρ ήταν τυπογράφοι και βιβλιοπώληδες, και δημοσίευσαν τα περισσότερα από τα έργα του Κωσύ. Η Αλουάζ και ο Ωγκυστέν παντρεύτηκαν στις 4 Απριλίου του 1818, με καθολική τελετή στην εκκλησία Saint-Sulpice. Το 1819 γεννήθηκε η πρώτη κόρη του ζευγαριού, Μαρί-Φρανσουάζ-Αλισιά, και το 1823 η δεύτερη, Μαρί-Ματίλντ. Ο Κωσύ είχε δυο αδερφούς, τον Αλεξάντρ-Λωράν Κωσύ, ο οποίος έγινε πρόεδρος μιας μεραρχίας του εφετείου το 1847 και δικαστής στο Αναιρετικό Δικαστήριο το 1849, και τον Εζέν-Φρανσουά Κωσύ, ο οποίος ήταν δημοσιολόγος και έγραψε επίσης αρκετά μαθηματικά έργα. Το συντηρητικό πολιτικό κλίμα που επικράτησε μέχρι το 1830 βοήθησε πολύ τον Κωσύ. Το 1824 ο Λουδοβίκος ο ΙΗ΄ πέθανε και τον διαδέχτηκε ο ακόμα πιο αντιδραστικός αδελφός του, Κάρολος Ι’. Κατά τη διάρκεια των χρόνων αυτών, ο Κωσύ ήταν ιδιαίτερα παραγωγικός και δημοσίευε τις μαθηματικές διατριβές του τη μια πίσω από την άλλη. Ακόμη, τον ζητούσαν ταυτόχρονα το Κολλέγιο της Γαλλίας και το Τμήμα Επιστημών του Πανεπιστημίου. Τον Ιούλιο του 1830 η Γαλλία υπέστη ακόμα μια επανάσταση. Ο Κάρολος Ι’ έφυγε από τη χώρα και τον διαδέχθηκε ο βασιλιάς Λουδοβίκος-Φίλιππος του Οίκου της Ορλεάνης. Ταραχές από όχλους, στις οποίες μάλιστα ένστολοι φοιτητές της Πολυτεχνικής Σχολής έπαιξαν μεγάλο ρόλο, συνήθως ξεσπούσαν κοντά στο σπίτι του Κωσύ στο Παρίσι. Εκείνα τα γεγονότα αποτέλεσαν σημείο στροφής στη ζωή του Κωσύ και μια διακοπή στη μαθηματική του παραγωγικότητα. Ο Κωσύ, κλονισμένος από την πτώση της κυβέρνησης, και υποκινούμενος από ένα αίσθημα μίσους προς τους φιλελεύθερους που ανέβηκαν στην εξουσία, έφυγε από το Παρίσι αφήνοντας πίσω την οικογένειά του. Έμεινε για λίγο καιρό στο Φράιμπουργκ της Ελβετίας, όπου έπρεπε να αποφασίσει αν θα έπαιρνε όρκο πίστης στο νέο καθεστώς. Αρνήθηκε να το κάνει και κατά συνέπεια έχασε όλες τις θέσεις του στο Παρίσι, εκτός από αυτή της Ακαδημίας, για την οποία δεν χρειαζόταν κάποιος όρκος. Το 1831 ο Κωσύ πήγε στο Τουρίνο της Ιταλίας, και αφού πέρασε λίγο καιρό εκεί, δέχτηκε μια προσφορά από τον Βασιλιά της Σαρδηνίας (ο οποίος κυβερνούσε το Τορίνο και τη γύρω περιοχή του Πιεμόντε) για μια έδρα στον τομέα της θεωρητικής φυσικής που δημιουργήθηκε ειδικά για αυτόν. Δίδαξε στο Τουρίνο από το 1832 μέχρι και το 1833. Το 1831 εκλέχτηκε ως ξένος μέλος της Σουηδικής Βασιλικής Ακαδημίας των Επιστημών. Τον Αύγουστο του 1833 ο Κωσύ άφησε το Τορίνο για να πάει στην Πράγα για να διδάξει τον δεκατριάχρονο Δούκα του Μπορντό, Ερρίκο Ε΄ (1820-1883), που ήταν εξόριστος εστεμμένος πρίγκιπας και εγγονός του Καρόλου Ι΄. Ως καθηγητής στην Πολυτεχνική Σχολή, ο Κωσύ ήταν εμφανώς κακός λέκτορας, από την άποψη ότι μόνοι λίγοι από του καλύτερους μαθητές του μπορούσαν να κατανοήσουν τη διδασκαλία του, και ότι γέμιζε το πρόγραμμά του με πάρα πολύ υλικό. Ο νεαρός Δούκας δεν είχε ταλέντο ούτε στα μαθηματικά, ούτε στις επιστήμες, έτσι το ζευγάρι μαθητή και δασκάλου δεν ήταν καθόλου ταιριαστό. Παρόλο που ο Κωσύ πήρε την αποστολή του πολύ σοβαρά, την έκανε με μεγάλη αδεξιότητα και με εκπληκτική έλλειψη κυριαρχίας πάνω στον Δούκα. Ως πολιτικός μηχανικός, ο Κωσύ ανέλαβε για σύντομο χρονικό διάστημα την επιδιόρθωση των υπονόμων του Παρισιού και έκανε το λάθος να το πει στον μαθητή του. Με μεγάλη χαιρεκακία, ο νεαρός Δούκας έλεγε συνεχώς ότι ο κύριος Κωσύ άρχισε την καριέρα του στους υπονόμους του Παρισιού. Ο ρόλος του ως δάσκαλος κράτησε μέχρι τον Σεπτέμβριο του 1838, όταν ο Δούκας έγινε 18 ετών. Στη χρονική περίοδο αυτών των πέντε χρόνων, ο Κωσύ δεν ασχολήθηκε καθόλου με την έρευνα, ενώ το Δούκας απέκτησε μια ισόβια αντιπάθεια προς τα μαθηματικά. Το μόνο καλό που βγήκε αυτό ήταν η προαγωγή του Κωσύ σε Βαρώνο, έναν τίτλο τον οποίον ο Κωσύ θεωρούσε αρκετά πολύτιμο. Το 1834 η γυναίκα του και οι κόρες του μετακόμισαν στην Πράγα και ο Κωσύ επιτέλους ξανάσμιξε με την οικογένειά του, μετά από τέσσερα χρόνια εξορίας. Στα τέλη του 1838 ο Κωσύ επέστρεψε στο Παρίσι και στη παλιά του θέση στην Ακαδημία Επιστημών. Δεν μπορούσε όμως να ανακτήσει τις θέσεις του ως καθηγητής επειδή ακόμα αρνιόταν να πάρει τον όρκο πίστης. Όμως, ήθελε απεγνωσμένα μια επίσημη θέση στις επιστήμες του Παρισιού. Τον Αύγουστο του 1839 υπήρξε κενή θέση στο Γραφείο Προσδιορισμού Γεωγραφικών Μηκών. Το Γραφείο αυτό είχε κάποιες ομοιότητες με την Ακαδημία. Για παράδειγμα, είχε το δικαίωμα να εκλέγει τα μέλη του. Ακόμη, υπήρχε η εντύπωση ότι τα μέλη του Γραφείου μπορούσαν να «ξεχάσουν» τον όρκο πίστης, αν και επίσημα, σε αντίθεση με τους Ακαδημαϊκούς, υποχρεούνταν να τον πάρουν. Το Γραφείο Προσδιορισμού Γεωγραφικών Μηκών ήταν ένας οργανισμός που ιδρύθηκε το 1795 για να λύσει το πρόβλημα του προσδιορισμού της θέσης στη θάλασσα – κυρίως του γεωγραφικού μήκους, αφού το γεωγραφικό πλάτος μπορούσε να προσδιοριστεί εύκολα από τη θέση του ήλιου. Επειδή υπήρχε η εντύπωση ότι η θέση στη θάλασσα μπορούσε να προσδιοριστεί καλύτερα από αστρονομικές παρατηρήσεις, το Γραφείο αναπτύχθηκε σε έναν οργανισμό που έμοιαζε με την ακαδημία των αστρονομικών επιστημών. Τον Νοέμβριο του 1839 ο Κωσύ εκλέχτηκε από το Γραφείο, αλλά αμέσως ανακάλυψε ότι δεν μπορούσε να ξεφορτωθεί τόσο εύκολα τον όρκο. Χωρίς τον όρκο αυτόν, ο βασιλιάς αρνιόταν να εγκρίνει την εκλογή. Για τέσσερα χρόνια ο Κωσύ ήταν στην παράλογη κατάσταση μεταξύ εκλεγμένου αλλά όχι εγκεκριμένου. Έτσι, δεν ήταν επίσημο μέλος του Γραφείου, δε λάμβανε πληρωμή, δεν μπορούσε να συμμετάσχει σε συναντήσεις, και δεν μπορούσε να υποβάλλει εργασίες. Ακόμα ο Κωσύ αρνιόταν να πάρει τον οποιοδήποτε όρκο. Ωστόσο, αισθανόταν αρκετά πιστός στη δουλειά του ώστε να απευθύνει την έρευνά του στην ουράνια μηχανική. Το 1840 παρουσίασε πολλές εργασίες πάνω σε αυτό το θέμα στην Ακαδημία. Επίσης, περιέγραψε την αναπαράσταση αριθμών σε μορφή προσημασμένου ψηφίου, μια καινοτομία που παρουσιάστηκε στην Αγγλία το 1727 από τον Τζον Κόλσον. Η περίεργη αυτή συμμετοχή του στο Γραφείο διήρκησε μέχρι τα τέλη του 1843, όταν ο Κωσύ αντικαταστήθηκε τελικά από τον Πουανσό. Όλον τον 19ο αιώνα το εκπαιδευτικό σύστημα της Γαλλίας πάλευε με το διαχωρισμό της Εκκλησίας και του Κράτους. Η Καθολική Εκκλησία που αγωνιζόταν για ελεύθερη παιδεία, βρήκε στον Κωσύ έναν αφοσιωμένο και εξέχοντα σύμμαχο. Ο Κωσύ δάνεισε το κύρος και τις γνώσεις του στην Εκκλησιαστική Σχολή, μια σχολή στο Παρίσι την οποία διοικούσαν Ιησουίτες, για την εκπαίδευση καθηγητών για τα κολέγιά της. Ακόμη, πήρε μέρος στην ίδρυση του Καθολικού Ινστιτούτου. Ο σκοπός του ινστιτούτου αυτού ήταν να αντιμετωπίσει τις επιδράσεις που είχε η έλλειψη Καθολικού πανεπιστημίου στη Γαλλία. Όμως, αυτές οι δραστηριότητες δεν έκαναν τον Κωσύ διάσημο μεταξύ των συναδέλφων του, οι οποίοι υποστήριζαν τα ιδεώδη του Διαφωτισμού της Γαλλικής Επανάστασης. Όταν άνοιξε μια θέση μαθηματικού στο Κολέγιο της Γαλλίας το 1843, ο Κωσύ έκανε αίτηση για να την πάρει αλλά πήρε μόνο 3 από τις 45 ψήφους. Η χρονιά 1848 ήταν η χρονιά της επανάστασης σε ολόκληρη της Ευρώπη. Επαναστάσεις ξέσπασαν σε πολλές χώρες, ξεκινώντας από τη Γαλλία. Ο βασιλιάς Λουδοβίκος Φίλιππος, φοβούμενος μην έχει την ίδια τύχη με τον Λουδοβίκο ΙΗ΄, έφυγε στην Αγγλία. Ο όρκος πίστης καταργήθηκε, και ο δρόμος για μια ακαδημαϊκή καριέρα ήταν πια ανοιχτός για τον Κωσύ. Στη 1 Μαρτίου του 1849, αποκαταστάθηκε στη Σχολή Επιστημών ως καθηγητής της μαθηματικής αστρονομίας. Μετά από πολιτικές ταραχές που κράτησαν όλο το 1848, η Γαλλία αποφάσισε να γίνει δημοκρατική, κάτω από τον Πρόεδρο Λουδοβίκο Ναπολέοντα Βοναπάρτη, ανιψιό του Ναπολέοντα Βοναπάρτη, και γιο του αδερφού του Ναπολέων, ο οποίος ήταν ο πρώτος βασιλιάς της Ολλανδίας. Σύντομα (αρχές του 1852) ο Πρόεδρος έγινε Αυτοκράτορας της Γαλλίας και πήρε το όνομα Ναπολέων Γ’. Όπως ήταν αναμενόμενο, οι γραφειοκρατικοί κύκλοι είχαν την ιδέα ότι θα ήταν χρήσιμο να πάρουν όρκο πίστης όλοι οι κρατικοί λειτουργοί, συμπεριλαμβανομένων και καθηγητών πανεπιστημίων. Αυτή τη φορά η ιστορία δεν επαναλήφθηκε, καθώς αυτή τη φορά ένας υπουργός κατάφερε να πείσει τον Αυτοκράτορα να απαλλάξει τον Κωσύ από τον όρκο. Ο Κωσύ παρέμεινε ως καθηγητής στο Πανεπιστήμιο μέχρι το θάνατό του, στην ηλικία των 67 χρονών. Έλαβε τις τελευταίες προσευχές και πέθανε στις 23 Μαΐου του 1857, στις 4 π.μ. Το όνομά του είναι χαραγμένο στα 72 ονόματα του Πύργου του Άιφελ. Η ευφυΐα του Κωσύ φαίνεται από την απλή λύση που έδωσε στο Απολλώνιο πρόβλημα – κατασκευή κύκλου που εφάπτεται σε τρεις δοσμένους κύκλους – την οποία ανακάλυψε το 1805, από τη γενίκευση που έδωσε για τον τύπο του Όιλερ πάνω στα πολύεδρα το 1811, και από άλλα πολλά «κομψά» προβλήματα. Τα πιο σημαντικά είναι τα απομνημονεύματά του πάνω στη διάδοση των κυμάτων, χάρη στα οποία κέρδισε το Grand Prix της Γαλλικής Ακαδημίας των Επιστημών το 1816. Τα έγγραφα του Κωσύ κάλυπταν πολλά θέματα, όπως τη θεωρία σειρών, όπου ανέπτυξε την έννοια του ορίου ακολουθίας και ανακάλυψε πολλούς από τους βασικούς τύπους των q-σειρών, τη θεωρία αριθμών και μιγαδικών ποσοτήτων (ήταν ο πρώτος που όρισε τους μιγαδικούς αριθμούς ως ζευγάρια πραγματικών αριθμών), τη θεωρία ομάδων, τη θεωρία συναρτήσεων, διαφορικών εξισώσεων και οριζουσών. Στη θεωρία του φωτός δούλευε πάνω στη θεωρία κυμάτων του Φρενέλ και στη διασπορά και στην πόλωση του φωτός. Επίσης, συνέβαλε σημαντικά στην έρευνα της μηχανικής αντικαθιστώντας την έννοια της συνέχειας στις γεωμετρικές μετατοπίσεις με την αρχή της συνέχειας της ύλης. Έγγραψε για την ισορροπία ράβδων και ελαστικών μεμβρανών και για τα κύματα πάνω σε ελαστικά μέσα. Εισήγαγε έναν 3 x 3 συμμετρικό πίνακα αριθμών, που είναι γνωστό ως τανυστής τάσης του Κωσύ. Στην ελαστικότητα όρισε τη θεωρία της τάσης, και τα αποτελέσματά του είναι τόσο σημαντικά όσο και αυτά του Συμεών Πουασόν. Άλλες σημαντικές συνεισφορές του στην επιστήμη περιλαμβάνουν και το ότι ήταν ο πρώτος που κατάφερε να αποδείξει το θεώρημα του Φερμά για τους πολυγωνικούς αριθμούς. Ο Κωσύ είναι περισσότερο γνωστός για την ανάπτυξη της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων. Το πρώτο θεμελιώδες θεώρημα που αποδείχτηκε από τον Κωσύ, γνωστό και ως Ολοκληρωτικό Θεώρημα του Κωσύ, ήταν το παρακάτω: ∮ C f ( z ) d z = 0 , {\displaystyle \oint _{C}f(z)dz=0,} Όπου f(z) είναι μιγαδική συνάρτηση ολόμορφη στη μη-τεμνόμενη κλειστή καμπύλη C πάνω στο μιγαδικό επίπεδο. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετριέται κατά μήκος της καμπύλης C. Η πρώτη δουλειά πάνω στο θεώρημα αυτό μπορεί να βρεθεί σε ένα έγγραφο που παρουσίασε ο 24χρονος Κωσύ στη Ακαδημία Επιστημών (όταν ακόμα ονομαζόταν «Ανώτερη Τάξη του Ινστιτούτου) στις 11 Αυγούστου του 1814. Το θεώρημα έφτασε στην τελική του μορφή το 1825, και πολλοί το θεώρησαν ως τη μεγαλύτερη συνεισφορά του Κωσή στα μαθηματικά. Το 1826 ο Κωσύ έδωσε επίσημο ορισμό για το υπόλοιπο μιας συνάρτησης. Η έννοια αυτή αφορά συναρτήσεις που έχουν πόλους – μεμονωμένες ανωμαλίες, όπως για παράδειγμα σημεία όπου η συνάρτηση πηγαίνει στο θετικό ή στο αρνητικό άπειρο. Αν η μιγαδική συνάρτηση f(z) μπορεί να επεκταθεί σε περιοχή της ανωμαλίας a ως εξής f ( z ) = ϕ ( z ) + B 1 z − a + B 2 ( z − a ) 2 + ⋯ + B n ( z − a ) n , B i , z , a ∈ C , {\displaystyle f(z)=\phi (z)+{\frac {B_{1}}{z-a}}+{\frac {B_{2}}{(z-a)^{2}}}+\cdots +{\frac {B_{n}}{(z-a)^{n}}},\quad B_{i},z,a\in \mathbb {C} ,} όπου η φ(z) είναι αναλυτική (δηλαδή συμπεριφέρεται καλά χωρίς ανωμαλίες), τότε η f λέγεται ότι έχει πόλο τάξης n στο σημείο a. Προφανώς το υπόλοιπο στην περίπτωση του απλού πόλου ισούται με, R e s z = a f ( z ) = lim z → a ( z − a ) f ( z ) , {\displaystyle {\underset {z=a}{\mathrm {Res} }}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z),} Όπου αντικαθίσταται το B1 με το σύγχρονο συμβολισμό του υπολοίπου. Το 1831, ενώ ήταν στο Τουρίνο, ο Κωσύ υπέβαλε δυο έγγραφε στη Ακαδημία Επιστημών του Τουρίνο. Στην πρώτη παρουσίασε τον τύπο γνωστό και ως Ολοκληρωτικό Τύπο του Κωσύ, f ( a ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − a d z , {\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz,} όπου η f(z) είναι αναλυτική πάνω στην καμπύλη C και ο μιγαδικός αριθμός a βρίσκεται στο εσωτερικό της καμπύλης C. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετριέται με την αντίθετη φορά του ρολογιού. Προφανώς, το ολοκλήρωμα ένα απλό πόλο στο z = a. Στη δεύτερη εργασία του παρουσίασε το Θεώρημα Ολοκληρωτικών Υπολοίπων 1 2 π i ∮ C f ( z ) d z = ∑ k = 1 n R e s z = a k f ( z ) , {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=a_{k}}{\mathrm {Res} }}f(z),} όπου το σύνολο αφορά όλους τους n πόλους της f(z) που βρίσκονται πάνω και στο εσωτερικό της καμπύλης C. Αυτά τα αποτελέσματα του Κωσύ ακόμα αποτελούν τον πυρήνα της θεωρίας των μιγαδικών συναρτήσεων όπως διδάσκεται μέχρι και σήμερα στους φυσικούς και στους ηλεκτρολόγους μηχανικούς. Για αρκετό καιρό, οι σύγχρονοι του Κωσύ αγνοούσαν τη θεωρία του πιστεύοντας ότι είναι αρκετά πολύπλοκη. Μόνο μετά το 1840 η θεωρία του αυτή άρχισε να έχει ανταπόκριση. Ο Πιερ-Αλφόνσο Λοράντ ήταν ο πρώτος μαθηματικός, πέρα από τον Κωσύ, που έκανε και αυτός μια ουσιάδωση συνεισφορά στον τομέα των μαθηματικών (οι Σειρές Λοράντ δημοσιεύτηκαν το 1843). Πέρα από το έργο του στις μιγαδικές συναρτήσεις, ο Κωσύ ήταν ο πρώτος που τόνισε τη σημαντικότητα της αυστηρότητας στην ανάλυση. Το βιβλίο του Cours d'Analyse έκανε τέτοια επίδραση που η Judith Grabiner έγραψε ότι ο Κωσή ήταν «ο άνδρας που έμαθε αυστηρή ανάλυση σε ολόκληρη την Ευρώπη». Το βιβλίο αυτό συχνά αναφέρεται ως το πρώτο μέρος όπου οι ανισότητες και επιχειρήματα της μορφής δ − ϵ {\displaystyle \delta -\epsilon } άρχισαν να εισάγονται στο λογισμό. Ο Κωσύ εκμεταλλεύτηκε τα απειροελάχιστα και έγραψε στην εισαγωγή του ότι ήταν «…αδύνατος ο διαμερισμός κάνοντας τις βασικές ιδιότητες των απείρως μικρών ποσοτήτων γνωστές…». Ο Barany (2011) ισχυρίστηκε ότι η Σχολή ζήτησε μόνο μια περίληψη των απειροστικών μεθόδων παρά την καλύτερη κρίση του Κωσύ. Ο Gilain (1989) υποστήριξε ότι τα απειροστικά κεφάλαια του βιβλίου ήταν μια αργοπορημένη εισαγωγή. Οι Laugwitz (1989) και Benis-Sinaceur (1973) υποστήριξαν ότι ο Κωσύ δεν ήταν υποχρεωμένος να διδάξει απειροστικά, τονίζοντας το ότι συνέχισε να τα χρησιμοποιεί στη δουλειά του μέχρι τα τέλη του 1853.Ο Κωσύ έδωσε έναν σαφή ορισμό για τα απειροστικά χρησιμοποιώντας ακολουθίες που τείνουν στο μηδέν. Ειδικότερα, μια τέτοια μηδενική ακολουθία «γίνεται» απειροστικό σύμφωνα με την ορολογία του Κωσύ και του Λαζάρ Καρνό. Πολλές πηγές διαφωνούν με το ότι ο Κωσύ όρισε την έννοια του απειροστικού με όρια. Κάποιοι υποστήριξαν ότι ο ισχυρισμός αυτός είναι ασαφής, και ότι στην ουσία ήταν απλώς ένα παιχνίδι λέξεων με τον όρο «όριο». Ομοίως, κάποιες πηγές ισχυρίστηκαν ότι ο Κωσύ περίμενε τις αυστηρές μεθόδους του Καρλ Βάιερστρας, και επισήμαναν εσωτερικές αντιφάσεις στη δουλειά του Κωσύ μετά τον Βάιερστρας σε σχέση με το εγχειρίδιο του Κωσύ που δημοσιεύτηκε το 1853 πάνω στο θεώρημα των αθροισμάτων.Ο Barany πρόσφατα υποστήριξε ότι ο Κωσή είχε παρόμοια κινητική αντίληψη για τα όρια με τον Νεύτωνα. Ασχέτως το πώς εκλάμβανε ο Κωσύ την αυστηρότητα της χρήσης απειροστικών μεθόδων, αυτές οι μέθοδοι συνέχισαν να εφαρμόζονται πολύ μετά το Cours d'Analyse, τόσο από τον Κωσύ όσο και από άλλους μαθηματικούς και αποδειχθούν και από σύγχρονες τεχνικές. Ήταν ο πρώτος που απέδειξε αυστηρά το θεώρημα του Τέιλορ, χρησιμοποιώντας τον γνωστό του τύπο για το υπόλοιπο. Έγραψε ένα εγχειρίδιο για τους μαθητές του στην Πολυτεχνική Σχολή στο οποίο παρουσίασε τα βασικά θεωρήματα της μαθηματικής ανάλυσης με τον πιο αυστηρό τρόπο. Στο βιβλίο αυτό έδωσε την ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη του ορίου στη μορφή που διδάσκεται ακόμα και σήμερα. Επίσης, το γνωστό κριτήριο του Κωσύ για την απόλυτη σύγκλιση πηγάζει από το βιβλίο Κριτήριο Συμπύκνωσης του Κωσύ. Το 1829, σε ένα άλλο εγχειρίδιό του, όρισε για πρώτη φορά τη μιγαδική συνάρτηση με μιγαδική μεταβλητή. Παρ’ όλα αυτά, ο Κωσή χρησιμοποιούσε συχνά στις έρευνές του το ένστικτό του παρά αυστηρές μεθόδους. Έτσι, σε ένα από τα θεωρήματά του ο Άμπελ κατάφερε να δώσει αντιπαράδειγμα. Αργότερα, διορθώθηκε από την εισαγωγή της έννοιας της ομοιόμορφης συνέχειας. Σε μια εργασία που δημοσίευσε το 1855, δυο χρόνια πριν το θάνατό του, ο Κωσύ έκανε λόγο για κάποια θεωρήματα, ένα από τα όποια είναι παρόμοιο με το «Επιχείρημα της Αρχής» που συναντάτε σε πολλά σύγχρονα εγχειρίδια της μιγαδικής ανάλυσης. Στα εγχειρίδια της μοντέρνας θεωρίας ελέγχου, το Επιχείρημα της Αρχής του Κωσύ χρησιμοποιείται συχνά για να παράγει το Κριτήριο Σταθερότητας του Nyquist, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει τη σταθερότητα του ενισχυτή αρνητικής ανάδρασης και της αρνητικής ανάδρασης των συστημάτων ελέγχου. Επομένως, το έργο του Κωσύ είχε μεγάλη επίδραση τόσο στα καθαρά μαθηματικά, όσο και στην πρακτική μηχανική. Ο Κωσύ ήταν πολύ παραγωγικός, και έρχεται δεύτερος όσον αφορά στον όγκο εργασιών, αμέσως μετά τον Λέοναρντ Όιλερ. Χρειάστηκε σχεδόν ένας ολόκληρος αιώνας για να συλλεχθούν όλα τα γραπτά του σε 27 μεγάλους τόμους: Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy publiées sous la direction scientifique de l'Académie des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique (27 volumes) (Paris : Gauthier-Villars et fils, 1882–1974)Οι μεγαλύτερες συνεισφορές του στη μαθηματική επιστήμη περιλαμβάνονται στις αυστηρές μεθόδους που παρουσίασε και ενσωματώνονται κυρίως στις τρεις μεγάλες του διατριβές: Cours d'analyse de l'École royale polytechnique (1821) Le Calcul infinitésimal (1823) Leçons sur les applications de calcul infinitésimal; La géométrie (1826–1828)Άλλες του δουλειές περιλαμβάνουν: Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 1) Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 2) Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 3) Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 4) (Paris: Bachelier, 1840–1847) Analyse algèbrique (Imprimerie Royale, 1821) Nouveaux exercices de mathématiques (Paris : Gauthier-Villars, 1895) Courses of mechanics (for the École Polytechnique) Higher algebra (for the Faculté des Sciences) Mathematical physics (for the Collège de France). Mémoire sur l'emploi des equations symboliques dans le calcul infinitésimal et dans le calcul aux différences finis CR Ac ad. Sci. Paris, t. XVII, 449-458 (1843) credited as originating the operational calculus. Ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ μεγάλωσε σε ένα σπιτικό ενός ένθερμου βασιλόφρονα. Αυτό έκανε τον πατέρα του να φύγει στο Arcueil κατά τη διάρκεια της Γαλλικής Επανάστασης. Προφανώς και η ζωή τους εκεί ήταν δύσκολη. Ο πατέρας του Ωγκυστέν-Λουί, Louis François, είπε ότι ζούσε με ρύζι, ψωμί και παξιμάδια εκείνη την περίοδο. Μια παράγραφος ενός γράμματος που έστειλε ο Louis François στη μητέρα του στο Ρουέν έλεγε: Ποτέ δεν είχαμε πάνω από 250 γραμμάρια ψωμί – και μερικές φορές ούτε και αυτό. Το τρώγαμε μαζί με μερικά σκληρά παξιμάδια και λίγο από το ρύζι που φυλούσαμε. Παρ'όλα αυτά, τα πηγαίνουμε αρκετά καλά, το οποίο είναι σημαντικό αφού δείχνει ότι ο άνθρωπος μπορεί να ζήσει με τα λίγα. Πρέπει να σου πω ότι για το χυλό των παιδιών μου έχω ακόμα λίγο αλεύρι, φτιαγμένο από το σιτάρι που καλλιέργησα στη δική μου γη. Είχα τρία πανέρια, και έχω και μερικά κιλά άμυλο πατάτας. Είναι άσπρο σαν το χιόνι και πολύ καλό, ειδικά για τα μικρά παιδιά. Το καλλιέργησα και αυτό στη γη μου. Εν πάση περιπτώσει, ο Κωσή κληρονόμησε από τον πατέρα του αυτήν την ένθερμη βασιλοφροσύνη και γι’ αυτό αρνήθηκε να πάρει τον οποιοδήποτε όρκο προς την κυβέρνηση μετά την πτώση του Καρόλου Ι’. Ήταν το ίδιο ένθερμος Καθολικός και μέλος της Αδελφότητας του Saint Vincent de Paul. Επίσης, είχε διασυνδέσεις στην Αδελφότητα του Ιησού και του υπερασπιζόταν στην Ακαδημία όταν ήταν πολιτικά ασύνετο να το κάνει. Ο ζήλος του για την πίστη τον οδήγησε στο να φροντίσει τον Κάρολο Χερμίτ τις μέρες της αρρώστιας του και να οδηγήσει τον Χερμίτ να γίνει πιστός Καθολικός. Ακόμα ενέπνευσε τον Κωσύ να προσευχηθεί για λογαριασμό των Ιρλανδών κατά την περίοδο της Μεγάλου Λιμού. Η βασιλοφροσύνη του και ο θρησκευτικός του ζήλος τον έκαναν αμφισβητήσιμο, κάτι το οποίο δημιούργησε δυσκολίες με τους συναδέλφους του. Ένιωθε να τον κακομεταχειρίζονται για τις πεποιθήσεις του, αλλά οι αντίπαλοί του ένιωθαν ότι επίτηδες προκαλούσε τους ανθρώπους κάνοντας επιπλήξεις πάνω σε θρησκευτικά θέματα ή με το να υπερασπίζεται του Ιησουίτες μετά την καταπίεση που υπέστησαν. Ο Νιλς Χένρικ Άμπελ τον έλεγε «φανατικό Καθολικό» και πρόσθεσε ότι ήταν «τρελός και δεν μπορούσε να γίνει τίποτα για αυτό», αλλά την ίδια στιγμή τον επαινούσε ως μαθηματικό. Οι απόψεις του Κωσύ δεν συμβάδιζαν με αυτές των υπόλοιπων μαθηματικών, και όταν ο Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja πήρε έδρα μαθηματικού πριν από αυτόν, αυτός και πολλοί άλλοι ένιωθαν ότι οι απόψεις του αυτές ήταν η αιτία. Όταν ο Libri κατηγορήθηκε ότι έκλεβε βιβλία αντικαταστήθηκε από τον Ιωσήφ Λουβίλ, κάτι που δημιούργησε ένα χάσμα μεταξύ αυτού και του Κωσύ. Ακόμα μια διαμάχη υπήρχε με τον Jean Marie Constant Duhamel σχετικά με τις ανελαστικές δονήσεις. Αργότερα, αποδείχτηκε από τον Ζαν Βικτόρ Πονσελέ ότι ο Κωσύ έκανε λάθος πάνω στο θέμα αυτό.