Παλλόμενοι μεταβλητοί αστέρες

Παλλόμενοι μεταβλητοί αστέρες (pulsating variable stars) ονομάζονται οι αστέρες εκείνοι, που χαρακτηρίζονται από περιοδικές διακυμάνσεις στη φωτεινότητά τους λόγω περιοδικών μεταβολών των διαστάσεων, της θερμοκρασίας ή κάποιας άλλης ιδιότητας του αστέρα που οφείλεται σε εσωτερικές του διαδικασίες. Οι μεταβλητοί αυτοί αστέρες ξεχωρίζουν από άλλες κατηγορίες αστέρων που παρουσιάζουν μεταβολές στη φωτεινότητά τους οι οποίες ή δεν είναι περιοδικές ή οφείλονται σε εξωτερικούς παράγοντες, όπως είναι οι υπερκαινοφανείς αστέρες, οι κατακλυσμικοί μεταβλητοί αστέρες, οι εκλειπτικοί διπλοί αστέρες κ.ά..

 Το 1595 ένας ιερέας και ερασιτέχνης αστρονόμος, ο David Fabricius, παρατηρώντας το άστρο ο Ceti (όμικρον Κήτους) για ένα χρονικό διάστημα αρκετών μηνών διαπίστωσε ότι η λαμπρότητα του άστρου εξασθενούσε μέχρι που εξαφανίστηκε τελείως και έμεινε αόρατο για αρκετούς μήνες μέχρι να ξαναεμφανιστεί και να επανέλθει στην αρχική του λαμπρότητα. Το άστρο το ονόμασε Mira για να τονίσει αυτό το θαυμαστό φαινόμενο και ήταν ο πρώτος παλλόμενος μεταβλητός αστέρας που ανακαλύφθηκε. Το 1784 ο Τζων Γκούντρικ του York ανακάλυψε έναν άλλο μεταβλητό αστέρα, τον δ Cephei, με σημαντικά μικρότερη περίοδο μεταβολής της λαμπρότητάς του, 5 μέρες 8 ώρες και 48 λεπτά. Αυτού του τύπου τους παλλόμενους αστέρες τους ονομάζουμε κλασσικούς Κηφείδες (classical Cepheids). Από τότε έχουν ανακαλυφθεί χιλιάδες παλλόμενοι μεταβλητοί αστέρες. Οι μεταβλητοί αστέρες διακρίνονται σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους. Αυτού του τύπου οι αστέρες πρωτοπαρατηρήθηκαν το 1784, αλλά τους δόθηκε ιδιαίτερο βάρος μετά την παρατήρηση της Χενριέτα Λίβιτ (Henrietta Swan Leavitt) ότι υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στη λαμπρότητά τους και την περίοδό τους. Συγκεκριμένα παρατήρησε ότι όσο πιο λαμπροί ήταν οι αστέρες τόσο μεγαλύτερη ήταν η περίοδός τους. Στο αποτέλεσμα αυτό έφθασε από την παρατήρηση άστρων αυτού του τύπου που βρίσκονταν στο Μικρό Νέφος του Μαγγελάνου. Αυτό σήμαινε ότι επειδή οι αστέρες βρίσκονταν χονδρικά στην ίδια απόσταση, η σχέση που συνέδεε τα φαινόμενα μεγέθη τους θα έπρεπε να συνδέει και τα απόλυτα μεγέθη και άρα η σχέση λαμπρότητας-περιόδου ήταν στην πραγματικότητα σχέση απόλυτης λαμπρότητας-περιόδου. Με άλλα λόγια αν μπορούσαμε να μετρήσουμε την περίοδο ενός τέτοιου άστρου θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε το απόλυτο μέγεθος και μετρώντας το φαινόμενο μέγεθος θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε την απόστασή του. Όλα αυτά με την προϋπόθεση ότι θα μπορούσε να μετρηθεί με ανεξάρτητη μέθοδο η απόσταση ενός κλασικού Κηφείδη για να μπορέσουμε να βαθμονομήσουμε τη σχέση λαμπρότητας-περιόδου. Τελικά η σχέση που προέκυψε είναι log ⁡ ⟨ L ⟩ L ⨀ = 1.15 log ⁡ Π d + 2.47 {\displaystyle \log {\frac {\left\langle L\right\rangle }{L_{\bigodot }}}\,=1.15\log \Pi ^{d}\,+2.47} ή M = − 2.80 log ⁡ Π d − 1.43 {\displaystyle M=-2.80\log \Pi ^{d}\,-1.43\,} όπου ⟨ L ⟩ {\displaystyle \left\langle L\right\rangle \,} είναι η μέση λαμπρότητα του αστέρα, M {\displaystyle M\,} είναι το μέσο απόλυτο μέγεθος στο ορατό και Π d {\displaystyle \Pi ^{d}\,} η περίοδος της ανάπαλσης σε μέρες. Με τις παραπάνω σχέσεις και τη σχέση M − m = 5 − 5 log ⁡ r {\displaystyle M-m=5-5\log r\,} μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση του αστέρα σε parsec. Τα παραπάνω αποτελέσματα μας έδωσαν τη δυνατότητα να μετράμε μεγάλες αποστάσεις γιατί οι αστέρες αυτού του τύπου είναι ιδιαίτερα λαμπροί και μπορούν να παρατηρηθούν σε μεγάλες αποστάσεις. Ποια είναι όμως γενικά τα φυσικά χαρακτηριστικά των κλασικών Κηφείδων; Οι κλασικοί Κηφείδες ή Κηφείδες πληθυσμού Ι είναι μεταβλητοί αστέρες με περιόδους από 1 ως 50 ημέρες που εκτελούν ακτινική ταλάντωση. Η μεταβολή του φαινόμενου μεγέθους τους κυμαίνεται από 0,1 ως 2 μεγέθη. Είναι αστέρες με μάζες M ≥ 5 M ⨀ {\displaystyle M\geq 5M_{\bigodot }\,} , με μεγάλη λαμπρότητα και φασματικό τύπο που κυμαίνεται από F στο μέγιστο μέχρι G και K στο ελάχιστο. Η μεταβολή της λαμπρότητάς τους οφείλεται κυρίως στη μεταβολή της επιφανειακής τους θερμοκρασίας, που έχει πλάτος της τάξης των 1000-1500 Κ. Γιατί όμως πάλλονται αυτοί οι αστέρες; Από το πλήθος των παλλόμενων αστέρων που υπολογίζουμε ότι υπάρχουν σε σχέση με το πλήθος των αστέρων του Γαλαξία φαίνεται ότι το φαινόμενο της ανάπαλσης είναι μεταβατικό φαινόμενο. Η θέση που καταλαμβάνουν οι κλασικοί Κηφείδες στο διάγραμμα H-R είναι έξω από την κύρια ακολουθία σε μια περιοχή που λέγεται ζώνη αστάθειας. Υπάρχουν διάφορες περιοχές αστάθειας από τις οποίες περνάνε οι αστέρες διάφορων μαζών κατά τη διάρκεια της εξέλιξής τους. Καθώς εξελίσσεται ένας αστέρας φεύγει από την κύρια ακολουθία. Στην τροχιά που ακολουθεί στο διάγραμμα H-R μπορεί να συναντήσει κάποια περιοχή αστάθειας. Μπαίνοντας στην περιοχή αστάθειας ο αστέρας αρχίζει να ταλαντώνεται και η ταλάντωση τροφοδοτείται μέχρι ο αστέρας να βγει από την περιοχή της αστάθειας. Οι κλασσικοί Κηφείδες όπως είπαμε παραπάνω παρατηρούνται στη ζώνη αστάθειας. Η ζώνη αστάθειας είναι μια περιοχή μικρού σχετικά πλάτους που είναι σχεδόν παράλληλη με τον άξονα της λαμπρότητας, δηλαδή κατά μήκος της ζώνης αστάθειας η θερμοκρασία των αστέρων είναι σχεδόν σταθερή, ενώ η λαμπρότητα αυξάνεται. Γνωρίζουμε ότι όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα ενός άστρου, τόσο μεγαλύτερη είναι και η λαμπρότητά του όταν περνάει από τη ζώνη αστάθειας και επειδή τα άστρα φεύγουν από την κύρια ακολουθία ακολουθώντας σχεδόν οριζόντιες τροχιές μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η σχέση μάζας-λαμπρότητας που υπάρχει στην κύρια ακολουθία παραμένει. Τα παραπάνω μπορούμε να τα συνοψίσουμε χονδρικά στις παρακάτω σχέσεις L ∗ ∝ M 4 , L ∗ = 4 π R ∗ 2 σ T e f f 4 , T e f f ≃ σ τ θ . {\displaystyle L_{*}\propto M^{4}\,,\quad L_{*}=4\pi R_{*}^{2}\sigma T_{eff}^{4}\,,\quad T_{eff}\simeq \sigma \tau \theta .\,} Από τις σχέσεις αυτές μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η μέση πυκνότητα ενός άστρου σε σχέση με τη λαμπρότητά του είναι ρ ¯ ∗ ∝ M ∗ R ∗ 3 ∝ L ∗ − 5 / 4 {\displaystyle {\bar {\rho }}_{*}\propto {\frac {M_{*}}{R_{*}^{3}}}\propto L_{*}^{-5/4}\,} Ταυτόχρονα η μέση πυκνότητα συνδέεται με την περίοδο της ταλάντωσης μέσω της σχέσης Π ρ ¯ = σ τ a θ . {\displaystyle \Pi {\sqrt {\bar {\rho }}}=\sigma \tau a\theta .\,} Έτσι από τις δύο τελευταίες σχέσεις φαίνεται ότι υπάρχει σχέση που συνδέει την περίοδο με τη λαμπρότητα ενός παλλόμενου αστέρα που διέρχεται από τη ζώνη αστάθειας, η οποία είναι της μορφής log ⁡ L ∝ 8 5 log ⁡ Π {\displaystyle \log L\,\propto {\frac {8}{5}}\log \Pi \,} που είναι η ίδια με τη σχέση για τους κλασσικούς Κηφείδες. Υπάρχουν ακόμα δύο τύποι Κηφείδων, οι Κηφείδες πληθυσμού ΙΙ (ή αστέρες τύπου W Virginis) και οι νάνοι Κηφείδες (ή αστέρες τύπου δ Scuti). Είναι όπως είπαμε αστέρες πληθυσμού ΙΙ που βρίσκονται στη ζώνη αστάθειας. Εκτελούν ακτινικές ταλαντώσεις με περιόδους από 2 ως 45 ημέρες. Η διακύμανση στην λαμπρότητά τους είναι της ίδιας τάξης με αυτή των κλασσικών Κηφείδων και γενικά οι καμπύλες φωτός τους μοιάζουν με αυτές των κλασικών Κηφείδων. Η διαφορά τους είναι ότι οι W Virginis είναι από εξελικτική άποψη μεγαλύτερης ηλικίας αστέρες που έχουν φύγει από το οριζόντιο κομμάτι της εξελικτικής τους διαδρομής. Έτσι ενώ έχουν την ίδια λαμπρότητα με τους κλασικούς Κηφείδες, έχουν μικρότερη μάζα και άρα μικρότερη πυκνότητα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα για την ίδια περίοδο ανάπαλσης οι W Virginis να είναι τέσσερις φορές λιγότερο λαμπροί. Αυτή τους η ομοιότητα είχε μπερδέψει αρχικά τους αστρονόμους, με αποτέλεσμα να υπολογίζονται λάθος οι αποστάσεις των γαλαξιών. Η διόρθωση του λάθους είχε ως αποτέλεσμα την αναθεώρηση αυτών των αποστάσεων κατά ένα παράγοντα της τάξης του 2 (οι αποστάσεις διπλασιάστηκαν περίπου). Είναι αστέρες μικρής μάζας, που βρίσκονται χαμηλά στη ζώνη αστάθειας των Κηφείδων και κοντά στην κύρια ακολουθία. Είναι φασματικού τύπου από A0 μέχρι F5 και εκτελούν ακτινικές και μη ακτινικές ταλαντώσεις με περιόδους που κυμαίνονται από 0,5 ως 3 ώρες. Οι αστέρες τύπου RR Lyrae είναι άλλος ένας σημαντικός τύπος παλλόμενων αστέρων. Είναι άστρα πληθυσμού ΙΙ με μικρή μάζα και εκτελούν ακτινικές ταλαντώσεις με περίοδο από 1,5 ως 24 ώρες. Βρίσκονται και αυτά στην περιοχή της ζώνης αστάθειας των Κηφείδων και συγκεκριμένα βρίσκονται λίγο πάνω από την περιοχή των δ Scuti και κάτω από την περιοχή των δ Cepheids καταλαμβάνοντας μια οριζόντια περιοχή σχεδόν σταθερής λαμπρότητας. Έχουν φασματικό τύπο από A ως F με απόλυτο μέγεθος περίπου +0.8 και το πλάτος της διακύμανσης τους είναι από 0.2 ως 2 μεγέθη. Έχει παρατηρηθεί κάποια από αυτά να ταλαντώνονται με 2 συχνότητες, την θεμελιώδη και την πρώτη αρμονική, με λόγο περιόδων P 1 / P 2 ≈ 0.745 {\displaystyle P_{1}/P_{2}\approx 0.745\,} . Τα άστρα αυτά παρατηρούνται στα σφαιρωτά σμήνη και βοήθησαν στον προσδιορισμό των αποστάσεων τους, λόγω της ιδιότητας που έχουν να έχουν σχεδόν σταθερή μέση λαμπρότητα. Γνωρίζοντας λοιπόν το φαινόμενο μέγεθος ενός άστρου RR Lyrae από τη σχέση M − m = 5 − 5 log ⁡ r {\displaystyle M-m=5-5\log r\,} μπορούμε να υπολογίσουμε την απόστασή του και άρα την απόσταση του σφαιρωτού σμήνους. Χαμηλά στη ζώνη αστάθειας και κάτω από την κύρια ακολουθία στην περιοχή των λευκών νάνων βρίσκονται οι μεταβλητοί αστέρες τύπου ZZ Ceti. Αυτοί οι αστέρες είναι λευκοί νάνοι που εκτελούν μη ακτινικές ταλαντώσεις με πολύ μικρές περιόδους, από 100 ως 1000 δευτερόλεπτα και μεταβολές στην λαμπρότητα από 0,001 μέχρι 0,2 μεγέθη στο ορατό. Αυτοί οι αστέρες αποτελούν τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα μη ακτινικά παλλόμενων αστέρων. Τα άστρα που έχουμε αναφέρει μέχρι τώρα βρίσκονται πάνω στη ζώνη αστάθειας και οι μηχανισμοί που ενεργοποιούν τις ταλαντώσεις τους σχετίζονται. Υπάρχουν όμως και παλλόμενοι μεταβλητοί αστέρες που βρίσκονται εκτός της ζώνης αστάθειας και παρακάτω θα αναφέρουμε τους βασικότερους. Οι αστέρες του τύπου β Cephei είναι μια ενδιαφέρουσα κατηγορία τέτοιων αστέρων. Χαρακτηριστικό άστρο αυτής της κατηγόριας είναι το β Canis Majoris. Τα άστρα αυτά είναι φασματικού τύπου Ο ή B και βρίσκονται σε μια λεπτή ζώνη στο πάνω άκρο της κύριας ακολουθίας στην περιοχή των άστρων με μάζες 10 − 20 M ⨀ {\displaystyle 10\,-\,20M_{\bigodot }\,} . Εκτελούν ακτινικές και μη ακτινικές ταλαντώσεις με περίοδο από 3 ως 7 ώρες και πλάτος από 0.01 ως 0.3 μεγέθη στο ορατό. Ο ακριβής μηχανισμός που οδηγεί τις ταλαντώσεις αυτών των αστέρων δεν είναι γνωστός. Οι αστέρες τύπου Mira είναι και γνωστοί ως μακροπερίοδοι μεταβλητοί. Είναι ερυθροί γίγαντες που εκτελούν ακτινικές ταλαντώσεις με περιόδους από 80 ως 1000 μέρες και διακύμανση της λαμπρότητας από 2.5 ως 11 μεγέθη. Έχουν φασματικούς τύπους M, C και S και είναι άστρα με μάζα μερικών ηλιακών μαζών. Συνήθως οι αστέρες πληθυσμού Ι έχουν περιόδους μεγαλύτερες των 200 ημερών, ενώ οι αστέρες πληθυσμού ΙΙ έχουν περιόδους μικρότερες των 200 ημερών. Τα άστρα αυτά μπορούμε να θεωρήσουμε ότι έχουν έναν σχεδόν συμπαγή πυρήνα και ένα τεράστιο εξωτερικό κέλυφος που κάνει την ταλάντωση. Η τόσο μεγάλη τους περίοδος οφείλεται στην πολύ μικρότερή τους μέση πυκνότητα, αφού είναι ουσιαστικά άστρα τα οποία έχουν αυξήσει μέχρι και 100 φορές την ακτίνα τους. Μερικές φορές παρατηρούνται ενδείξεις μη κανονικότητας στην μεταβολή της λαμπρότητάς τους και υπάρχουν μοντέλα που προτείνουν την ύπαρξη ντετερμινιστικού χάους. Οι αστέρες τύπου RV Tauri είναι η τελευταία βασική κατηγορία παλλόμενων μεταβλητών αστέρων. Είναι παλλόμενοι Γίγαντες φασματικού τύπου από G ως K με σχετικά μεγάλη λαμπρότητα. Είναι κυρίως άστρα πληθυσμού ΙΙ. Εκτελούν ακτινικές ταλαντώσεις και έχουν χαρακτηριστική διακύμανση λαμπρότητας. Οι περίοδοί τους κυμαίνονται από 30 ως 150 ημέρες και η μεταβολή της λαμπρότητάς τους φτάνει μέχρι και τα 3 με 4 μεγέθη. Η θέση τους στο διάγραμμα H-R είναι κάπου ανάμεσα στους Κηφείδες και τους αστέρες τύπου Mira. Κάποιοι πιστεύουν ότι αυτού του τύπου τα άστρα είναι η μικρής μάζας συνιστώσα των άστρων τύπου Mira στο μεταβατικό στάδιο από τον κλάδο των γιγάντων στους λευκούς νάνους. Όπως αναφέραμε και παραπάνω, καθώς εξελίσσεται ένας αστέρας φεύγει από την κύρια ακολουθία. Στην τροχιά που ακολουθεί στο διάγραμμα H-R μπορεί να συναντήσει κάποια περιοχή αστάθειας. Μπαίνοντας στην περιοχή αστάθειας ο αστέρας αρχίζει να ταλαντώνεται και η ταλάντωση τροφοδοτείται μέχρι ο αστέρας να βγει από την περιοχή της αστάθειας. Αυτό που προκαλεί την μεταβλητότητα στον αστέρα είναι η ταλάντωση. Για την μελέτη των ταλαντώσεων των αστέρων θα πρέπει να μελετήσουμε διαταραχές γύρω από την ισορροπία. Θα θεωρήσουμε δηλαδή διαταραχές των μεγεθών που περιγράφουν την κατάσταση του άστρου και θα προσπαθήσουμε να μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά των διαταραχών. Μπορούμε να βγάλουμε κάποια ποιοτικά συμπεράσματα για τις αστρικές ταλαντώσεις από μια ποιοτική ανάλυση των μέσων τιμών των μεγεθών που περιγράφουν την δομή ενός άστρου χωρίς να χρειαστεί να μελετήσουμε με αυστηρότητα τις διαταραχές από την ισορροπία ενός αστρικού μοντέλου. Θεωρούμε λοιπόν ότι το άστρο μας χαρακτηρίζεται από τα μεγέθη M = {\displaystyle M=\,} ολική μάζα του άστρου R = {\displaystyle R=\,} ακτίνα του άστρου ρ ¯ = 3 4 π M R 3 = {\displaystyle {\bar {\rho }}={\frac {3}{4\pi }}{\frac {M}{R^{3}}}=\,} μέση πυκνότητα του άστρου P ¯ = {\displaystyle {\bar {P}}=\,} μέση πίεση στο εσωτερικό του άστρου γ ¯ a d = Γ = ρ ¯ P ¯ ∂ P ¯ ∂ ρ ¯ = {\displaystyle {\bar {\gamma }}_{ad}=\Gamma ={\frac {\bar {\rho }}{\bar {P}}}{\frac {\partial {\bar {P}}}{\partial {\bar {\rho }}}}=\,} μέσος αδιαβατικός εκθέτης Έτσι στο εσωτερικό του άστρου στην κατάσταση ισορροπίας έχουμε δύο δυνάμεις που αλληλοεξουδετερώνονται. Οι δυνάμεις αυτές είναι η μέση άνωση και το μέσο βάρος που είναι F ¯ α ν ω σ η = P ¯ R {\displaystyle {\bar {F}}_{\alpha \nu \omega \sigma \eta }={\frac {\bar {P}}{R}}} F ¯ β α ρ o ς = G M ρ ¯ R 2 = 4 3 G π ρ ¯ 2 R {\displaystyle {\bar {F}}_{\beta \alpha \rho o\varsigma }={\frac {GM{\bar {\rho }}}{R^{2}}}={\frac {4}{3}}G\pi {\bar {\rho }}^{2}R\,} Αν τώρα θεωρήσουμε μια ακτινική διαταραχή στην οποία η επιφάνεια του άστρου από την ακτίνα R έχει πάει στην ακτίνα R+δR τότε θα έχουμε διαταραχή στην μέση πυκνότητα και στην μέση πίεση που θα είναι ρ ¯ + δ ρ ¯ = ρ ¯ − 3 3 4 π M R 4 δ R = ρ ¯ − 3 ρ ¯ R δ R {\displaystyle {\bar {\rho }}+\delta {\bar {\rho }}={\bar {\rho }}-3{\frac {3}{4\pi }}{\frac {M}{R^{4}}}\delta R={\bar {\rho }}-3{\frac {\bar {\rho }}{R}}\delta R\,} P ¯ + δ P ¯ = P ¯ + P ¯ ρ ¯ Γ δ ρ ¯ = P ¯ − 3 Γ P ¯ R δ R {\displaystyle {\bar {P}}+\delta {\bar {P}}={\bar {P}}+{\frac {\bar {P}}{\bar {\rho }}}\Gamma \delta {\bar {\rho }}={\bar {P}}-3{\frac {\Gamma {\bar {P}}}{R}}\delta R\,} Έτσι η αντίστοιχη αλλαγή στις δυνάμεις θα είναι δ F ¯ α ν ω σ η = δ P ¯ R − P ¯ R 2 δ R = − ( 3 Γ + 1 ) F ¯ α ν ω σ η ( δ R R ) {\displaystyle \delta {\bar {F}}_{\alpha \nu \omega \sigma \eta }={\frac {\delta {\bar {P}}}{R}}-{\frac {\bar {P}}{R^{2}}}\delta R=-(3\Gamma +1){\bar {F}}_{\alpha \nu \omega \sigma \eta }\left({\frac {\delta R}{R}}\right)\,} δ F ¯ β α ρ o ς = 4 3 G π ρ ¯ 2 ( − 5 δ R ) = − 5 F ¯ β α ρ o ς ( δ R R ) {\displaystyle \delta {\bar {F}}_{\beta \alpha \rho o\varsigma }={\frac {4}{3}}G\pi {\bar {\rho }}^{2}(-5\delta R)=-5{\bar {F}}_{\beta \alpha \rho o\varsigma }\left({\frac {\delta R}{R}}\right)\,} Η δύναμη επαναφοράς της διαταραχής με βάση τα παραπάνω είναι F = δ F ¯ β α ρ o ς − δ F ¯ α ν ω σ η = − 5 F ¯ β α ρ o ς ( δ R R ) + ( 3 Γ + 1 ) F ¯ α ν ω σ η ( δ R R ) {\displaystyle F=\delta {\bar {F}}_{\beta \alpha \rho o\varsigma }-\delta {\bar {F}}_{\alpha \nu \omega \sigma \eta }=-5{\bar {F}}_{\beta \alpha \rho o\varsigma }\left({\frac {\delta R}{R}}\right)+(3\Gamma +1){\bar {F}}_{\alpha \nu \omega \sigma \eta }\left({\frac {\delta R}{R}}\right)\,} και έχει ως αποτέλεσμα την δημιουργία επιτάχυνσης που θα είναι F = − ρ ¯ δ R ¨ {\displaystyle F=-{\bar {\rho }}\delta {\ddot {R}}\,} . Από τη σχέση αυτή και αν πάρουμε υπόψη μας ότι F ¯ β α ρ o ς = F ¯ α ν ω σ η {\displaystyle {\bar {F}}_{\beta \alpha \rho o\varsigma }={\bar {F}}_{\alpha \nu \omega \sigma \eta }\,} έχουμε τελικά την σχέση δ R ¨ = − 3 ( Γ − 4 3 ) ( 4 3 π G ρ ¯ ) δ R {\displaystyle \delta {\ddot {R}}=-3\left(\Gamma -{\frac {4}{3}}\right)\,\left({\frac {4}{3}}\pi G{\bar {\rho }}\right)\delta R} Η σχέση αυτή ορίζει την συχνότητα του βασικού κανονικού τρόπου ταλάντωσης του άστρου ω 2 = 4 π G ( Γ − 4 3 ) ρ ¯ {\displaystyle \omega ^{2}=4\pi G\left(\Gamma -{\frac {4}{3}}\right){\bar {\rho }}\,} Η σχέση για την συχνότητα των ακτινικών ταλαντώσεων στην οποία καταλήξαμε βλέπουμε ότι έχει κάποια ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά. Βλέπουμε λοιπόν ότι μας δίνει μια σχέση περιόδου-πυκνότητας της μορφής Π ρ ¯ = σ τ a θ . {\displaystyle \Pi {\sqrt {\bar {\rho }}}=\sigma \tau a\theta .\,} (πράγμα το οποίο χρησιμοποιήσαμε για να βγάλουμε την σχέση περιόδου-λαμπρότητας των Κηφείδων) και επιπλέον μας δίνει μια συγκεκριμένης μορφής εξάρτηση της συχνότητας από τον μέσο αδιαβατικό εκθέτη. Βλέπουμε λοιπόν ότι όσο ο μέσος αδιαβατικός εκθέτης είναι μεγαλύτερος από 4 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\,} τότε το άστρο είναι δυναμικά ευσταθές και οι διαταραχές οδηγούν σε αρμονικές ταλαντώσεις ενώ αν ο μέσος αδιαβατικός εκθέτης γίνει μικρότερος από 4 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\,} τότε το άστρο είναι δυναμικά ασταθές σε διαταραχές με αποτέλεσμα οι διαταραχές να αυξάνουν εκθετικά. Αν ο μέσος αδιαβατικός εκθέτης είναι 4 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\,} τότε το άστρο βρίσκεται σε αδιάφορη ισορροπία. Αυτά τα δύο βασικά χαρακτηριστικά που παρήγαγε αυτό το ποιοτικό μοντέλο παραμένουν και στις πιο αυστηρές αναλύσεις των ακτινικών ταλαντώσεων. Caroll, BW, Ostlie, DA, Modern Astrophysics, Addison-Wesley 1996. Kippenhahn, R. Weigert, A., Stellar Structure and Evolution, Springer-Verlag 1991. https://www.webcitation.org/query?id=1256570723233883&url=www.geocities.com/vagelford/greek/greek_physics/Variable_stars_Radial_pulsation.pdf [1]