Δελτάεδρο

Το δελτάεδρο είναι ένα πολύεδρο οι έδρες του οποίου είναι όλες ισόπλευρα τρίγωνα. Η λέξη δελτάεδρο συνδυάζει το επίθεμα -έδρα με το πρόθεμα δέλτα-, καθώς το κεφαλαίο γράμμα δέλτα αναπαριστά ως σχήμα ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Υπάρχουν άπειρα δελτάεδρα, αλλά από αυτά μόνο οκτώ είναι κυρτά, αυτά που έχουν 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 και 20 πλευρές. Ο αριθμός των εδρών, των ακμών και των κορυφών παρατίθεται παρακάτω για κάθε ένα από τα οκτώ κυρτά δελτάεδρα.

 Υπάρχουν μόνον οκτώ αυστηρώς κυρτά δελτάεδρα: τα τρία είναι κανονικά πολύεδρα και τα άλλα πέντε είναι στερεά του Τζόνσον. Στο δελτάεδρο με 6 πλευρές, μερικές κορυφές έχουν 3 μοίρες και κάποιες 4 μοίρες. Στα δελτάεδρα με 10, 12, 14 και 16 πλευρές, μερικές κορυφές έχουν 4 μοίρες και κάποιες 5 μοίρες. Αυτά τα πέντε αντικανονικά δελτάεδρα ανήκουν στην κατηγορία των στερεών του Τζόνσον (κυρτά πολύεδρα με έδρες κανονικά πολύγωνα). Τα δελτάεδρα διατηρούν το σχήμα τους, ακόμη και όταν οι ακμές περιστρέφονται ελεύθερα γύρω από τις κορυφές τους, και έτσι οι γωνίες μεταξύ των ακμών τους είναι ρευστές. Δεν έχουν όμως όλα τα πολύεδρα αυτή την ιδιότητα, για παράδειγμα, αν χαλαρώσετε μερικές από τις γωνίες ενός κύβου, ο κύβος μπορεί να παραμορφωθεί σε ένα λανθάνον τετραγωνικό πρίσμα. Κυρτά δελτάεδρα με 18 πλευρές δεν υπάρχουν. Ωστόσο, το συμβεβλημένης ακμής εικοσάεδρο δίνει ένα παράδειγμα οκταδεκάεδρου το οποίο μπορεί είτε να κατασκευαστεί κυρτό με 18 αντικανονικές τριγωνικές πλευρές, είτε να κατασκευαστεί με ισόπλευρα τρίγωνα που περιλαμβάνουν δύο συνεπίπεδες ομάδες των τριών τριγώνων. Υπάρχουν άπειρες περιπτώσεις συνεπίπεδων τριγώνων που καθορίζουν τμήματα για τριγωνική ψηφοθέτηση επ' άπειρον. Οι συνεπίπεδες τριγωνικές έδρες μπορούν να συγχωνευθούν σε ρομβοειδείς, τραπεζοειδείς, εξαγωνικές, ή και άλλες έδρες ισόπλευρων πολυγώνων. Εάν το σύνολο των συνεπίπεδων τριγώνων θεωρηθεί ως ενιαία έδρα (που ονομάζεται triamond), μπορεί να προστεθεί και ένα μικρότερο σύνολο εδρών, πλευρών και κορυφών. Οι triamond έδρες που χρησιμοποιούνται πρέπει να είναι κυρτές και συμπεριλαμβάνουν: , , , , , , και , ... Μερικά μικρότερα παραδείγματα περιλαμβάνουν: Υπάρχει άπειρος αριθμός μη κυρτών μορφών. Μερικά παραδείγματα δελτάεδρων με τεμνόμενες έδρες: Μεγάλο εικοσάεδρο - ένα στερεό των Kepler-Poinsot, με 20 τεμνόμενα τρίγωναΆλλα μη κυρτά δελτάεδρα μπορούν να δημιουργηθούν με την προσθήκη ισοπλεύρων πυραμίδων στις έδρες όλων των 5 κανονικών πολυέδρων: Άλλες επαυξήσεις του τετραέδρου περιλαμβάνουν: Επίσης, με την προσθήκη ανεστραμμένων πυραμίδων στις έδρες: Freudenthal, H.; van der Waerden, B. L. (1947), «Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid")», Simon Stevin 25: 115–128 Cundy, H. Martyn (Δεκέμβριος 1952), Deltahedra, 36, Math. Gaz., σελ. 263-266, http://www.wpr3.co.uk/gazette/1950-59.html Cundy, H. Martyn; Rollett, A. (1989), Deltahedra: §3.11 – Mathematical Models (3η έκδοση), Stradbroke, England: Tarquin Pub., σελ. 142–144 Gardner, Martin (1992). «Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations». Scientific American Magazine (New York: W. H. Freeman): 40, 53 & 58-60. Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. σελίδες 35–36. ISBN 0-520-03056-7. Rausenberger, O. (1915), Konvexe pseudoreguläre Polyeder, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen, 46, Unterricht, σελ. 135-142 Trigg, Charles W. (Ιανουάριος 1978). «An Infinite Class of Deltahedra». Mathematics Magazine 51 (1): 55–57. http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X(197801)51%3A1%3C55%3AAICOD%3E2.0.CO%3B2-5. Weisstein, Eric W., "Deltahedron" από το MathWorld. The eight convex deltahedra