Υπεροκτάεδρο

Στη γεωμετρία, το υπεροκτάεδρο ή πολύτοπο-διασταύρωσης ή ορθόπλεξη (Αγγλικά: hyperoctahedron, cocube, cross-polytope, ή orthoplex,) είναι ένα κανονικό κυρτό πολύτοπο που υπάρχει σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. Οι κορυφές σε ένα υπεροκτάεδρο είναι όλες οι παραλλαγές (±1, 0, 0, ..., 0). Το υπεροκτάεδρο είναι το κυρτό περίβλημα των κορυφών του. Οι έδρες του υπεροκταέδρου είναι πλέγματα της προηγούμενης διάστασης, ενώ το σχήμα των κορυφών του είναι ένα άλλο υπεροκτάεδρο επίσης από την προηγούμενη διάσταση. Το ν διαστάσεων υπεροκτάεδρο μπορεί επίσης να οριστεί ως μία κλειστή μονάδα ("unit ball"), ή στα όριά του (σύμφωνα με ορισμένους συγγραφείς), με την ℓ1-νόρμα στο Rn: { x ∈ R n : ‖ x ‖ 1 ≤ 1 } . {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.} Σε 1 διάσταση το υπεροκτάεδρο είναι απλά ένα ευθύγραμμο τμήμα [−1, +1], σε 2 διαστάσεις είναι ένα τετράγωνο (ή διαμάντι στην ξενόγλωσση βιβλιογραφία) με κορυφές {(±1, 0), (0, ±1)}. Σε 3 διαστάσεις είναι ένα οκτάεδρο (ένα από τα πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα που είναι γνωστά ως πλατωνικά στερεά). Σε υψηλότερες διαστάσεις τα υπεροκτάεδρα είναι γενικεύσεις των προηγουμένων διαστάσεων. Το υπεροκτάεδρο είναι το διπλό πολύτοπο του υπερκύβου. Ο μονοδιάστατος σκελετός ενός ν διαστάσεων υπεροκταέδρου είναι ένα γράφημα Turán: T(2ν,ν).

 Το υπεροκτάεδρο 4-διαστάσεων είναι επίσης γνωστό με το όνομα δεκαεξάχωρο (αγγλικά: hexadecachoron ή 16-cell). Είναι ένα από τα έξι κυρτά κανονικά πολύτοπα 4-διαστάσεων. Τα πολύχωρα αυτά περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Ελβετό μαθηματικό Ludwig Schläfli στα μέσα του 19ου αιώνα. Η οικογένεια υπεροκταέδρων είναι μία από τις τρεις οικογένειες κανονικών πολυτόπων, οι οποίες φέρουν Coxeter ως βν, οι άλλες δύο είναι η οικογένεια υπερκύβων, ως γν, και τα πλέγματα, ως αν. Μία τέταρτη οικογένεια, είναι οι άπειρες ψηφιδοθετήσεις των υπερκύβων (hypercubic honeycomb), που χαρακτηρίζονται ως δν. Τα ν διαστάσεων υπεροκτάεδρα έχουν 2ν κορυφές, και 2ν έδρες (ν−1 διαστάσεων τμήματα) οι οποίες είναι όλες ν−1 πλέγματα. Τα σχήματα κορυφών είναι όλα ν−1 υπεροκτάεδρα. Το σύμβολο Schläfli του υπεροκταέδρου είναι {3,3,…,3,4}. Η δίεδρη γωνία των n διαστάσεων υπεροκταέδρων είναι: arccos ⁡ ( 2 − n n ) {\displaystyle \arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)} .Ο αριθμός των συνιστωσών k-διαστάσεων (κορυφές, ακμές, επιφάνειες, ..., έδρες) σε n διαστάσεων υπεροκτάεδρα δίνεται (με βάση τον διωνυμικό συντελεστή) από την: 2 k + 1 ( n k + 1 ) {\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}} Ο όγκος των υπεροκταέδρων n-διαστάσεων είναι: 2 n n ! . {\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.} Υπάρχουν πολλές πιθανές ορθογραφικές προβολές που μπορεί να δείξουν τα υπεροκτάεδρα σε γραφικά 2-διαστάσεων. Οι προβολές του Πέτρι πολυγώνου χαρτογραφούν τα σημεία σε ένα κανονικό 2ν-γώνιο ή κατώτερης τάξης κανονικά πολύγωνα. Μια δεύτερη προβολή παίρνει το 2(ν-1)-γώνιο Πέτρι πολύγωνο της κάτω διάστασης, δείχνοντάς το ως μια διπυραμίδα, που προβάλεται κάτω από τον άξονα, με 2 κορυφές της να αντιστοιχίζονται στο κέντρο. Όλες οι κορυφές ενός ευθυγραμμισμένου άξονα υπεροκταέδρου είναι σε ίση απόσταση με την κάθε άλλη κορυφή σε απόσταση Manhattan (L1 νόρμα). Ο Kusner στις Εικασίες του δηλώνει ότι αυτό το σύνολο των 2d σημείων είναι το μεγαλύτερο δυνατό ισαπέχον σύνολο για την απόσταση αυτή. Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3η έκδοση). Νέα Υόρκη: Dover Publications. σελίδες 121–122. ISBN 0-486-61480-8. σελ. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5). Weisstein, Eric W., "Cross polytope" από το MathWorld. Olshevsky, George, Glossary for Hyperspace: Cross polytope.