Μιγαδικό επίπεδο

Στα Μαθηματικά, το μιγαδικό επίπεδο ή z-επίπεδο είναι μία γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών ,το οποίο θεσπίστηκε από το πραγματικό άξονα και το ορθογώνιο φανταστικό άξονα. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ένα τροποποιημένο καρτεσιανό επίπεδο, με το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού αναπαριστώντας με μια μετατόπιση κατά μήκος του άξονα χ, και το φανταστικό μέρος με μία μετατόπιση κατά μήκος του άξονα y.Η έννοια του μιγαδικού επιπέδου επιτρέπει μία γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών αριθμών. Επιπρόσθετα, αυτοί προσθέτονται σαν διανύσματα. Ο πολλαπλασιασμός των δύο μιγαδικών αριθμών μπορεί να εκφραστεί πιο εύκολα με πολικές συντεταγμένες —το μέγεθος ή μέτρο του γινομένου είναι ένα γινόμενο από δύο απόλυτες τιμές, ή συντελεστές , και η γωνία ή όρισμα του γινομένου είναι το άθροισμα των γωνιών ή ορίσματα. Συγκεκριμένα, ο πολλαπλασιασμός από ένα μιγαδικό αριθμό του μέτρου 1 δρα ως περιστροφή. Το μιγαδικό επίπεδο μερικές φορές λέγεται επίπεδο του Argand, επειδή αυτό χρησιμοποιείται σε διαγράμματα του Argand. Αυτά πήραν το όνομα από Jean-Robert Argand (1768–1822), αν και αυτά πρώτα περιγράφτηκαν από τον Δανό τοπογράφο και μαθηματικό Caspar Wessel (1745–1818). Τα διαγράμματα του Argand χρησιμοποιούνται συχνά για τον σχεδιασμό των θέσεων των πόλων και των μηδενικών μιας συνάρτησης στο μιγαδικό επίπεδο.

 Στην μιγαδική ανάλυση, οι μιγαδικοί αριθμοί συνήθως συμβολίζονται με το z, το οποίο χωρίζεται στο πραγματικό (x) και το φανταστικό (y) μέρος: z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} για παράδειγμα: z = 4 + 5i, όπου το x και το y είναι πραγματικοί αριθμοί, και το i είναι το φανταστικό μέρος. Με αυτόν τον συνήθη συμβολισμό ο μιγαδικός αριθμός z αντιστοιχεί στο σημείο (x, y) στο καρτεσιανό επίπεδο. Στο καρτεσιανό επίπεδο το σημείο (x, y) μπορεί επίσης να συμβολιστεί με πολικές συντεταγμένες ως εξής ( x , y ) = ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) {\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )} ( r , θ ) = ( x 2 + y 2 , arctan ⁡ y x ) . {\displaystyle (r,\theta )={\Biggl (}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\arctan {\frac {y}{x}}{\Biggr )}.} Στο καρτεσιανό επίπεδο μπορούμε να ισχυριστούμε ότι το τόξο εφαπτομένης παίρνει τιμές από -π/2 μέχρι π/2 (σε ακτίνια), και πρέπει να δοθεί προσοχή στον ορισμό της πραγματικής συνάρτησης του τόξου εφαπτομένης για τα σημεία (x, y) καθώς x ≤ 0. Στο μιγαδικό επίπεδο αυτές οι πολικές συντεταγμένες παίρνουν τη μορφή z = x + i y = | z | ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = | z | e i θ {\displaystyle z=x+iy=\left\vert z\right\vert (\cos \theta +i\sin \theta )=\left\vert z\right\vert e^{i\theta }} όπου | z | = x 2 + y 2 , {\displaystyle \left\vert z\right\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},} θ = arg ⁡ ( z ) = 1 i ln ⁡ z | z | = − i ln ⁡ z | z | . {\displaystyle \theta =\arg(z)={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{\left\vert z\right\vert }}=-i\ln {\frac {z}{\left\vert z\right\vert }}.} Εδώ το |z| είναι η απόλυτη τιμή ή μέτρο του μιγαδικού αριθμού z, θ, το όρισμα του z, συνήθως βρίσκεται στο διάστημα 0 ≤ θ < 2π, και η τελευταία ισότητα (στο |z|eiθ) είναι από τον τύπο του Euler. Σημειώνεται ότι το όρισμα του z παίρνει πολλές τιμές, επειδή η μιγαδική εκθετική συνάρτηση είναι περιοδική, με περίοδο 2πi. Επομένως, αν θ είναι μια τιμή του arg(z), οι άλλες τιμές δίνονται από την σχέση arg(z) = θ + 2nπ, όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός ≠ 0. Ενώ σπάνια χρησιμοποιείται αναλυτικά, η γεωμετρική πλευρά των μιγαδικών βασίζεται στην δομή του Ευκλείδειου διανυσματικού χώρου διάστασης 2, όπου το εσωτερικό γινόμενο των μιγαδικών αριθμών w και z δίνεται από το ℜ ( w z ¯ ) {\displaystyle \Re (w{\overline {z}})} , και για έναν μιγαδικό αριθμό z η απόλυτη τιμή του |z| συμπίπτει με την Ευκλείδεια νόρμα, και με το όρισμα του arg(z) με την γωνία να πηγαίνει από το 1 στο z.Η θεωρία της ολοκλήρωσης σε κλειστή καμπύλη περιλαμβάνει ένα κύριο μέρος της μιγαδικής ανάλυσης. Σε αυτό το πλαίσιο η κατεύθυνση της περιήγησης σε κλειστή καμπύλη είναι σημαντική - αντιστρέφοντας την κατεύθυνση στην οποία η καμπύλη διασταυρώνεται πολλαπλασιάζεται η τιμή του ολοκληρώματος με -1. Κατά σύμβαση η θετική κατεύθυνση είναι αριστερόστροφα. Για παράδειγμα, ο μοναδιαίος κύκλος τέμνεται στην θετική κατεύθυνση καθώς αρχίζουμε στο σημείο z = 1, έπειτα πηγαίνει προς τα πάνω και αριστερά στο σημείο z = i, μετά κάτω και αριστερά στο -1, μετά κάτω και δεξιά στο -i, και τέλος πάνω και δεξιά στο z = 1, από όπου αρχίσαμε. Σχεδόν όλη η μιγαδική ανάλυση επικεντρώνεται σε μιγαδικές συναρτήσεις - δηλαδή, σε συναρτήσεις που αντιστοιχούν ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου σε κάποιο άλλο (πιθανόν κάποιο που συμπίπτει με αυτό, ή ακόμα και το ίδιο) υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου. Εδώ συνηθίζεται να αναφερόμαστε στο πεδίο ορισμού της f(z) που βρίσκεται στο z-επίπεδο, καθώς αναφερόμαστε στο πεδίο τιμών ή την εικόνα της f(z) ως σύνολο σημείων στο w-επίπεδο. Συμβολίζουμε z = x + i y ; f ( z ) = w = u + i v {\displaystyle z=x+iy;\qquad f(z)=w=u+iv} και συχνά λαμβάνουμε υπόψιν την συνάρτηση f ως μια απεικόνιση από το z-επίπεδο (με συντεταγμένες (x, y)) στο w-επίπεδο (με συντεταγμένες (u, v)). Μπορεί να είναι χρήσιμη η σκέψη του μιγαδικού επιπέδου ,όταν αυτό συμβαίνει στην επιφάνεια μιας σφαίρας. Δίνεται μια σφαίρα ακτίνας μονάδα ,τοποθετήστε το κέντρο της στην αρχή του μιγαδικού επιπέδου, προσανατολισμένο, έτσι ώστε ο ισημερινός στη σφαίρα συμπίπτει με τον μοναδιαίο κύκλο στο επίπεδο,και ο βόρειος πόλος είναι "πάνω" στο επίπεδο. Μπορούμε να establish ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των σημείων της επιφάνειας της σφαίρας μείον το βόρειο πόλο και τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου. Λαμβάνοντας υπόψη ένα σημείο στο επίπεδο, σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή που συνδέει αυτό με το βόρειο πόλο στη σφαίρα. Ώστε η γραμμή θα τέμνει την επιφάνεια της σφαίρας σε ακριβώς ένα άλλο σημείο.Το σημείο z = 0 θα προβάλλεται πάνω στο νότιο πόλο της σφαίρας. Καθώς το εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου βρίσκεται στο εσωτερικό της σφαίρας , that entire region (|z| < 1) θα πρέπει να απεικονίζεται πάνω στο νότιο ημισφαίριο. Ο μοναδιαίος κύκλος (|z| = 1) θα απεικονίζεται πάνω στο ισημερινό, και το εξωτερικό του μοναδιαίου κύκλου (|z| > 1) θα απεικονίζεται πάνω στο νότιο ημισφαίριο, μείον το νότιο πόλο. Σαφώς αυτή η διαδικασία είναι αναστρέψιμη –δεδομένου ότι κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας το οποίο δεν είναι ο βόρειος πόλος, μπορούμε να σχεδιάσουμε μία ευθεία γραμμή που συνδέει αυτό το σημείο στο βόρειο πόλο και τέμνει την επίπεδη επιφάνεια σε ακριβώς ένα σημείο. Στο πλαίσιο αυτής της στερεογραφικής προβολής το ίδιο βόρειο πόλο δεν συνδέεται με κανένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο. Έχουμε τελειοποιήσει την ένα-προς-ένα αντιστοιχία προσθέτοντας ένα ακόμη σημείο στο μιγαδικό επίπεδο – το λεγόμενο σημείο στο άπειρο— και identifying αυτό με το βόρειο πόλο της σφαίρας. Αυτός ο τοπολογικός χώρος, το μιγαδικό επίπεδο και το σημείο στο άπειρο, είναι γνωστό ως το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο. Μιλάμε για ένα απλό "σημείο στο άπειρο" όταν συζητάμε για μιγαδική ανάλυση. Υπάρχουν δύο σημεία στο άπειρο (θετικό,και αρνητικό) πάνω στην πραγματική ευθεία,αλλά υπάρχει μόνο ένα σημείο στο άπειρο (ο βόρειος πόλος) στο εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο.Φανταστείτε για μια στιγμή τι θα συμβεί με τις γραμμές του γεωγραφικού πλάτους και μήκους όταν αυτοί προβάλλονται από τη σφαίρα πάνω στην επίπεδη επιφάνεια. Οι γραμμές του πλάτους είναι όλες παράλληλες στον ισημερινό , έτσι αυτές θα γίνονται τέλειοι κύκλοι με κέντρο την αρχή z = 0. Και οι γραμμές του μήκους θα γίνονται ευθείες γραμμές που διέρχονται από την αρχή (και,επίσης, μέσω το "σημείο στο άπειρο", καθώς αυτές περνάνε και από το βόρειο και από το νότιο πόλο στη σφαίρα). Αυτή δεν είναι η μόνη πιθανή( only possible yet plausible ) στερεογραφική κατάσταση της προβολής μιας σφαίρας πάνω σε ένα επίπεδο που αποτελείται από δύο ή περισσότερες τιμές. Για παράδειγμα, ο βόρειος πόλος της σφαίρας ίσως να τοποθετείται στην κορυφή της αρχής z = −1 στο επίπεδο το οποίο είναι εφαπτομένη του κύκλου.The details don't really matter. Κάθε στρεογραφική προβολή μιας σφαίρας πάνω σε ένα επίπεδο θα σχηματίζει ένα "σημείο στο άπειρο", και αυτό θα απεικονίζει τις γραμμές του πλάτους και μήκους της σφαίρας πάνω σε κύκλους και ευθείες γραμμές, αντίστοιχα, στο επίπεδο. Όταν ασχολούμαστε με συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής είναι συχνά κατάλληλο να σκεφτούμε την διχοτόμηση στο μιγαδικό επίπεδο. Αυτή η ιδέα ανακύπτει φυσικά σε μερικά διαφορετικά παραδείγματα Πλειότιμες σχέσεις και σημεία διακλάδωσης Θεωρώ την απλή διπλότιμη σχέση w = f ( z ) = ± z = z 1 / 2 {\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}} Πριν μπορούμε να αντιμετωπίσουμε την σχέση αυτή σαν μονότιμη συνάρτηση, το πλήθος των αποτελεσματικών τιμών πρέπει να είναι κάπως περιορισμένο . όταν ασχοληθούμε με την τετραγωνική ρίζα των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών αυτό είναι εύκολα κατανοητό. Για παράδειγμα, μπορούμε απλά να ορίσουμε y = g ( x ) = x = x 1 / 2 {\displaystyle y=g(x)={\sqrt {x}}=x^{1/2}} να είναι ο μη αρνητικός πραγματικός αριθμός ψ όπως y 2 = x {\displaystyle y^{2}=x} . Αυτή η ιδέα δεν λειτουργεί τόσο καλά στο δυσδιάστατο μιγαδικό επίπεδο. Για να δούμε γιατί, ας σκεφτούμε τον τρόπο που η τιμή του f(z) διαφέρει όσο το σημείο z κινείται γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο. Μπορούμε να γράψουμε z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} και παίρνουμε w = z 1 / 2 = r e i θ / 2 {\displaystyle w=z^{1/2}={\sqrt {r}}e^{i\theta /2}} (0≤θ≤π) Αποδεικτικά, όσο το ζ κινείται προς όλες τις κατευθύνσεις γύρω από τον κύκλο, το w ιχνηλατεί μόνο στο ένα μισό του κύκλου. Έτσι, μια συνεχής κίνηση στο μιγαδικό επίπεδο μετασχηματίζει την θετική τετραγωνική ρίζα e 0 = 1 {\displaystyle e^{0}=1} σε αρνητική τετραγωνική ρίζα e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} Αυτό το πρόβλημα ανακύπτει επειδή το σημείο z=0 έχει απλά μια τετραγωνική ρίζα, όταν κάθε άλλος μιγαδικός αριθμός z≠0 έχει ακριβώς δυο τετραγωνικές ρίζες. Στην γραμμή των πραγματικών αριθμών μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα από την ανόρθωση του "εμποδίου" μόνο στο σημείο x=0. Ένα μεγαλύτερο επίπεδο χρειάζεται στο μιγαδικό επίπεδο, να αποτρέψει κάθε κλειστό περίγραμμα από ολοκληρωτικά συμπεριλαμβανομένου του σημείου διακλάδωσης z=0. Αυτό κοινά έγινε από την εισαγωγή της τομής διακλάδωσης σε αυτή την περίπτωση η "τομή" μπορεί να εκτείνεται από το σημείο z=0 κατά μήκος των θετικών πραγματικών αξόνων στο άπειρο, έτσι το όρισμα της μεταβλητής ζ στο τεμνόμενο επίπεδο είναι περιορισμένο στο εύρος 0≤arg(z)≤2π. Μπορούμε τώρα να δώσουμε μια ολοκληρωμένη περιγραφή του w = z 1 / 2 {\displaystyle w=z^{1/2}} . Για να το κάνουμε χρειαζόμαστε δυο αντίγραφα του ζ-επιπέδου σε κάθε ένα από αυτά διχοτομώ κατά μήκος του πραγματικού άξονα. Σε ένα αντίγραφο ορίζουμε την τετραγωνική ρίζα του 1 για να είναι e 0 = 1 {\displaystyle e^{0}=1} και στο άλλο ορίζουμε την τετραγωνική ρίζα του 1 να είναι e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} . Ορίζουμε αυτά τα δύο αντίγραφα αυτού του ολοκληρωτικού διαχωρισμού του επιπέδου στο χαρτί. Φτιάχνοντας ένα συνεχόμενο όρισμα βλέπουμε ότι η (τώρα μονότιμη) συνάρτηση w = z 1 / 2 {\displaystyle w=z^{1/2}} απεικονίζεται στο πρώτο φύλλο πιο πάνω από το μισό του w-επιπέδου, όπου 0≤arg(w)<π ενώ η απεικόνιση του δεύτερου φύλλου βρίσκεται πιο χαμηλά στο w-επίπεδο (όπου π≤arg(w)<2π).Η τομή διακλάδωσης στο παράδειγμα δεν βρίσκεται κατά μήκος του πραγματικού άξονα. Δεν είναι σε ευθεία γραμμή. Κάθε συνεχόμενη καμπύλη ενώνοντας την αρχή ζ=0 με το άπειρο μπορεί να δουλέψει. Σε μερικές περιπτώσεις η τομή διακλάδωσης δεν έχει να περάσει από το άπειρο. Για παράδειγμα θεωρώ τη σχέση w = g ( z ) = ( z 2 − 1 ) 1 / 2 {\displaystyle w=g(z)=(z^{2}-1)^{1/2}} Εδώ το πολυωνυμικό z 2 − 1 {\displaystyle z^{2}-1} εξαλείφεται όταν z=±1 έτσι g αποδεικτικά έχει δύο σημεία διακλάδωσης. Μπορεί να διχοτομήσει το επίπεδο κατά μήκος του πραγματικού άξονα από το -1 στο 1 και περιέχει μια σελίδα στην οποία g(z) είναι μονότιμη συνάρτηση. Εναλλακτικά, η τομή μπορεί να γίνει από το z=1 κατά μήκος του θετικού πραγματικού άξονα μέχρι το άπειρο, συνεχίζει πάνω στον αρνητικό πραγματικό άξονα στο άλλο σημείο διακλάδωσης το z=-1. Αυτή η κατάσταση είναι πιο εύκολα ορατή από την χρήση στερεογραφικής προβολής που περιγράφεται παραπάνω. Στη σφαίρα μια από αυτές τις τομές κατά μήκος του νότιου ημισφαιρίου, συνδέοντας το σημείο του ισημερινού (z=-1) με άλλο σημείο του ισημερινού (z=1) περνώντας μέσω του νότιου άκρου (αρχή, z=0). Η δεύτερη έκδοση από την τομή πηγαίνει κατά μήκος μέσω του βόρειου ημισφαιρίου και συνδέεται στα ίδια δυο σημεία από όπου περνάει μέσω του βόρειου άκρου (αυτό είναι το άπειρο). Περιορίζοντας το πεδίου ορισμού της μερόμορφης συνάρτησης Η μερόμορφη συνάρτηση είναι μια μιγαδική συνάρτηση όπου είναι ολόμορφη και άρα αναλυτική οπουδήποτε σε αυτό το πεδίο ορισμού εκτός από τις τελικές, ή αριθμήσιμα άπειρο, αριθμό των σημείων. Τα σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν μπορεί να προσδιοριστεί ονομάζονται τα άκρα της μερόμορφης συνάρτησης. Μερικές φορές όλα αυτά τα άκρα βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση μαθηματικοί μπορούν να πουν ότι η συνάρτηση είναι "ολόμορφη στο τεμνόμενο επίπεδο". Εδώ είναι ένα απλό παράδειγμα. Η συνάρτηση Γ, ορίζεται από τη σχέση Γ ( z ) = e − γ z ∏ n = 1 ∞ [ ( 1 + z n ) − 1 e z / n {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma }}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }[(1+{\frac {z}{n}})^{-1}e^{z/n}} όπου γ είναι η σταθερά του Euler-Moscheroni, και έχει απλά άκρα στα 0,-1,-2,-3,... Επειδή ακριβώς ένας παρονομαστής στο άπειρο γινόμενο εξαλείφεται όταν ζ είναι μηδέν, ή ένας αρνητικός ακέραιος. Μέχρι όλες οι άκρες να βρίσκονται στον αρνητικό πραγματικό άξονα, από z=0 στο άπειρο, αυτή η συνάρτηση μπορεί να περιγραφεί ως "ολόμορφη στο τεμνόμενο επίπεδο", η τομή επεκτείνεται κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα, από το 0 (μαζί με αυτό) στο άπειρο" Εναλλακτικά, Γ(z) μπορεί να περιγραφεί σαν " ολόμορφη στο τεμνόμενο επίπεδο με -π<arg(z)<π εκτός το σημείο z=0" Παρατηρώ ότι αυτή η τομή είναι ελαφρώς διαφορετική από το σημείο διακλάδωσης το οποίο συναντήσαμε, επειδή αυτό πραγματικά εξαιρεί τον αρνητικό πραγματικό άξονα από το τεμνόμενο επίπεδο. Το σημείο διακλάδωσης αριστερά του πραγματικού άξονα συνδέεται με το τεμνόμενο επίπεδο από την μια πλευρά (0≤θ), αλλά αποκόπτεται από το τεμνόμενο επίπεδο κατά μήκος της άλλης πλευράς (θ<2π). Φυσικά, δεν είναι πραγματικά απαραίτητο να αποκλείσουμε το ολόκληρο τμήμα της γραμμής από το z=0 στο άπειρο για να κατασκευαστεί ένα πεδίο ορισμού στο οποίο Γ(z) να είναι ολόμορφη. Αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι να τρυπήσουμε το επίπεδο σε αριθμήσιμο άπειρο ζεύγος σημείων {0,-1,-2,-3,...}. Αλλά ένα κλειστό ολοκλήρωμα σε κλειστή καμπύλη όπου δεν είναι απαραιτήτως μηδέν, από το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Από την διχοτόμηση του μιγαδικού επιπέδου εξασφαλίζουμε περιορισμένο πεδίο ορισμού- επίσης εξασφαλίζουμε ότι το ολοκλήρωμα σε κλειστή καμπύλη του Γ επί κάθε κλειστή καμπύλη τοποθετείτε στο τεμνόμενο επίπεδο είναι πανομοιότυπα ίσο με μηδέν. Προσδιορισμός περιοχών σύγκλισης Αρκετές μιγαδικές συναρτήσεις ορίζονται από τις σειρές ή από συνεχή κλάσματα. Μια θεμελιώδης θεωρία της ανάλυσης από αυτή την άπειρα μεγάλη έκφραση της ανάλυσης είναι αναγνωρίσιμο το μέρος του μιγαδικού επιπέδου στις οποίες συγκλίνει σε πεπερασμένη τιμή. Η τομή στο επίπεδο μπορεί να διευκολύνει αυτή την διαδικασία, όπως δείχνει το επόμενο παράδειγμα. Θωρώ την συνάρτηση που ορίζεται από την απειροσειρά f ( z ) = ∑ n = 1 ∞ ( z 2 + n ) − 2 {\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }(z^{2}+n)^{-2}} Από z 2 = ( − z ) 2 {\displaystyle z^{2}=(-z)^{2}} για κάθε μιγαδικό αριθμό z, είναι προφανές ότι το f(z) είναι άρτια συνάρτηση του z, έτσι η ανάλυση μπορεί να περιοριστεί στο μισό μιγαδικό επίπεδο. Και μέχρι οι σειρές να είναι απροσδιόριστες όταν z 2 + n = 0 ⇔ z = ± i √ n {\displaystyle z^{2}+n=0\Leftrightarrow z=\pm i\surd n} Βγάζει νόημα να διχοτομήσουμε το επίπεδο κατά μήκος ολόκληρου του φανταστικού άξονα και αποδεικνύουμε την σύγκλιση της σειράς όπου το πραγματικό μέρος του z δεν είναι μηδέν πριν την ανάληψη του πιο δύσκολου σημείου του παραδείγματος f(z) όταν το z είναι ένας απλός φανταστικός αριθμός.Σε αυτό το παράδειγμα η τομή είναι απλά εύκολη, επειδή τα σημεία στα οποία το άπειρο άθροισμα είναι απροσδιόριστο είναι απομονωμένα, και η τομή του επιπέδου μπορεί να αντικατασταθεί από μια κατάλληλη τρύπα του επιπέδου. Σε μερικά η τομή είναι απαραίτητη και όχι απλά κατάλληλη. Θεωρώ το άπειρο περιοδικό συνεχές κλάσμα f ( z ) = 1 + z 1 + z 1 + z 1 + z ⋯ {\displaystyle f(z)=1+{\frac {z}{1+{\tfrac {z}{1+{\tfrac {z}{1+z\cdots }}}}}}} Αυτό μπορεί να δείξει ότι f(z) συγκλίνει σε τελική τιμή αν και μόνον αν ο z δεν είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός όπως z<-1/4. Με άλλα λόγια, η συγκλίνουσα αρχή για αυτό το συνεχές κλάσμα είναι η τομή του επιπέδου, όπου η τομή εκτείνεται κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα, από -1/4 στο άπειρο. Έχουμε ήδη δει πως η σχέση w = f ( z ) = ± z = z 1 / 2 . {\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}.} μπορεί να μετατραπεί σε μονότιμη συνάρτηση χωρίζοντας το πεδίο ορισμού της f σε δύο ξεχωριστά φύλλα. Επίσης, είναι πιθανό να "κολλήσουν" ξανά αυτά τα δύο φύλλα για να σχηματιστεί μια επιφάνεια Riemann στην οποία η f(z) = z1/2 μπορεί να οριστεί ως ολόμορφη συνάρτηση της οποίας η εικόνα είναι ολόκληρο το w-επίπεδο (εκτός του σημείου w = 0). Τώρα θα δούμε πώς δουλεύει. Φανταστείτε δύο αντίγραφα του κομμένου μιγαδικού επιπέδου, τα κομμάτια επεκτείνονται στον θετικό πραγματικό άξονα από το σημείο z = 0 μέχρι το άπειρο. Στο ένα φύλλο ορίζεται 0 ≤ arg(z) <2π, έτσι ώστε 11/2 = e0 = 1, εξ ορισμού. Στο δεύτερο φύλλο ορίζεται 2π ≤ arg(z) < 4π, έτσι ώστε 11/2 = eiπ = -1, και πάλι εξ ορισμού. Τώρα αναποδογυρίζουμε το δεύτερο, έτσι τα σημεία του φανταστικού άξονα βρίσκονται στην αντίθετη κατεύθυνση από τον φανταστικό άξονα του πρώτου, με τους πραγματικούς άξονες να δείχνουν και οι δύο στην ίδια κατεύθυνση και "κολλάμε" τα δύο φύλλα (έτσι ώστε η άκρη του πρώτου φύλλου με ένδειξη "θ = 0" να ενώνεται με την άκρη με ένδειξη "θ < 4π" του δεύτερου φύλλου και η άκρη του δεύτερου φύλλου με ένδειξη "θ = 2π" να ενώνεται με την άκρη με ένδειξη "θ < 2π" του πρώτου φύλλου). Το αποτέλεσμα είναι το πεδίο ορισμού της επιφάνειας Riemann στο οποίο η f(z) = z1/2 είναι μονότιμη και ολόμορφη (εκτός από όταν z = 0).Για να καταλάβετε γιατί η f είναι μονότιμη σε αυτό το πεδίο ορισμού, φανταστείτε ένα κύκλωμα γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο, που αρχίζει από το z = 1 στο πρώτο φύλλο. Όταν 0 ≤ θ < 2π είμαστε ακόμα στο πρώτο φύλλο. Όταν θ = 2π έχουμε πάει στο δεύτερο φύλλο και πρέπει να κάνουμε ένα δεύτερο ολοκληρωμένο κύκλωμα γύρω από το branch σημείο z = 0 πριν επιστρέψουμε στο σημείο έναρξης όπου θ = 4π που ισοδυναμεί με το θ = 0, λόγω του τρόπου που κολλήσαμε τα δύο φύλλα. Δηλαδή, καθώς η μεταβλητή z κάνει δύο ολοκληρωμένες στροφές γύρω από το σημείο αυτό, η εικόνα του z στο w-επίπεδο αφήνει ως ίχνος μόνο έναν ολοκληρωμένο κύκλο. Η αυστηρή παραγώγιση δίνει f ( z ) = z 1 / 2 ⇒ f ′ ( z ) = 1 2 z − 1 / 2 {\displaystyle f(z)=z^{1/2}\Rightarrow f'(z)={\tfrac {1}{2}}z^{-1/2}} από το οποίο συμπεραίνουμε ότι η παράγωγος της f υπάρχει και είναι ορισμένη παντού στην επιφάνεια Riemann, εκτός από το z = 0 (δηλαδή η f είναι ολόμορφη εκτός από όταν z = 0). Πως μπορεί η επιφάνεια Riemann για την συνάρτηση w = g ( z ) = ( z 2 − 1 ) 1 / 2 , {\displaystyle w=g(z)=(z^{2}-1)^{1/2},} που μιλήσαμε πιο πάνω, να κατασκευαστεί; Άλλη μια φορά ξεκινάμε με δύο αντίγραφα του z-επιπέδου αλλά αυτή τη φορά το καθένα κόβεται κατά μήκος του πραγματικού ευθύγραμμου τμήματος που επεκτείνεται από το z = -1 στο z = 1 -αυτα είναι τα δύο σημεία διακλάδωσης της g(z). Αναποδογυρίζουμε το ένα, ώστε οι δύο φανταστικοί άξονες να βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις, και κολλάμε τις αντίστοιχες άκρες των δύο φύλλων. Μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι η g είναι μονότιμη συνάρτηση σε αυτή την επιφάνεια βάζοντας ένα κύκλωμα γύρω από τον κύκλο με μοναδιαία ακτίνα και κέντρο το z = 1. Αρχίζοντας από το z = 2 στο πρώτο φύλλο γυρνάμε για μισή διαδρομή γύρω από τον κύκλο πριν συναντήσουμε την τομή στο z = 0. Η τομή μας πηγαίνει στο δεύτερο φύλλο, έτσι ώστε όταν το z κάνει μια πλήρη περιστροφή γύρω από το σημείο διακλάδωσης z = 1, το w έχει κάνει μόνο την μισή περιστροφή, το σημείο του w έχει αντιστραφεί (αφού eiπ = -1), και το μονοπάτι μας έχει πάει στο σημείο z = 2 στο δεύτερο φύλλο της επιφάνειας. Συνεχίζοντας με άλλη μισή περιστροφή συναντάμε την άλλη πλευρά της τομής, όπου z = 0, και τελικά φτάνουμε στο σημείο έναρξης (z = 2 στο πρώτο φύλλο) αφού κάναμε δύο πλήρεις περιστροφές γύρω από το σημείο διακλάδωσης. Ο φυσικός τρόπος να βάλουμε ετικέτα στο θ = arg(z) σε αυτό το παράδειγμα είναι να ορίσουμε -π < θ ≤ π στο πρώτο φύλλο, με π < θ ≤ 3π στο δεύτερο. Οι φανταστικοί άξονες στα δύο φύλλα δείχνουν σε διαφορετικές κατευθύνσεις έτσι ώστε η αριστερόστροφη έννοια της θετικής περιστροφής να διατηρείται καθώς ένα κλειστό περίγραμμα κινείται από το ένα φύλλο στο άλλο (θυμόμαστε ότι το δεύτερο φύλλο είναι αναποδογυρισμένο). Φανταστείτε αυτή την επιφάνεια ενσωματωμένη σε τρισδιάστατο χώρο, με δύο φύλλα παράλληλα στο xy-επίπεδο. Τότε φαίνεται να υπάρχει μία κατακόρυφη τρύπα στην επιφάνεια όπου οι δύο τομές ενώνονται. Τι συμβαίνει αν η τομή είναι από το z = -1 κάτω στον πραγματικό άξονα μέχρι ένα σημείο στο άπειρο, και από το z = 1, πάνω στον πραγματικό άξονα μέχρι η τομή να συναντήσει τον εαυτό της; Και πάλι μπορεί να κατασκευαστεί μια επιφάνεια Riemann, αλλά αυτή την φορά η "τρύπα" είναι οριζόντια. Τοπολογικά μιλώντας, και οι δύο εκδοχές τις επιφάνειας Riemann είναι ισοδύναμες - είναι προσανατολίσιμες δισδιάστατες επιφάνειες γένους ένα. Στη θεωρία ελέγχου, η μια χρήση του μιγαδικού επιπέδου είναι γνωστή ως το s-επίπεδο''. Αυτό χρησιμοποιείται για να απεικονίσει τις ρίζες της εξίσωσης,που περιγράφουν την συμπεριφορά ενός συστήματος ( χαρακτηριστική εξίσωση) γραφικά. Η εξίσωση κανονικά εκφράζεται ως ένα πολυώνυμο μιας παραμέτρου 's' του μετασχηματισμού Laplace, εξ ου και το όνομα 's' επίπεδο.Τα σημεία στο s-επίπεδο παίρνει το τύπο s=σ+jω , όπου 'j' χρησιμοποιείται αντί για το συνηθισμένο'i αντιπροσωπεύοντας το φανταστικό στοιχείο. Μια άλλη σχετική χρήση του μιγαδικού επιπέδου είναι με το κριτήριο της σταθερότητας των Nyquist . Αυτό είναι μία γεωμετρική αρχή, το οποίο επιτρέπει τη σταθερότητα ενός συστήματος ανάδρασης κλειστού βρόχου ,που θα καθοριστεί από την επιθεώρηση Nyquist plot του ανοιχτού βρόχου μέτρου και απόκριση φάσης ως μία συνάρτηση συχνότητας (ή βρόχος συνάρτησης μεταφοράς) στο μιγαδικό επίπεδο. Το z-επίπεδο είναι μία έκδοση διακριτού χρόνου του s-επιπέδου όπου χρησιμοποιούνται z-μετασχηματισμοί αντί του μετασχηματισμού Laplace. Το προηγούμενο τμήμα του άρθρου ασχολείται με το μιγαδικό επίπεδο από τη άποψη της γεωμετρικής αναπαράστασης των μιγαδικών αριθμών. Αν και αυτή η χρήση του όρου "μιγαδικό επίπεδο" έχει μεγάλη και μαθηματικά πλούσια ιστορία, αυτό είναι με κάποιο τρόπο μαθηματική ιδέα όπου μπορεί να χαρακτηριστεί ως "μιγαδικό επίπεδο". Υπάρχουν το λιγότερο τρεις επιπλέον δυνατότητες: Δυσδιάστατος μιγαδικός διανυσματικός χώρος, ένα "μιγαδικό επίπεδο" με την έννοια ότι αυτό είναι ένας δυσδιάστατος διανυσματικός χώρος όπου οι συντεταγμένες είναι μιγαδικοί αριθμοί. Δείτε επίσης: Μιγαδικός αφφινικός χώρος §Δυσδιάστατος (1+1)-διάστατος Minkowski χώρος, γνωστός ως το διασπασμένο-μιγαδικό επίπεδο, είναι ένα "μιγαδικό επίπεδο" με την έννοια ότι οι αλγεβρικοί διασπασμένοι-μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να χωριστούν σε δυο πραγματικές συνιστώσες όπου είναι ευκολότερο να συσχετιστούν με το σημείο (χ,ψ) στο Καρτεσιανό επίπεδο. Το ζεύγος των διπλών αριθμών μπορεί επίσης να τοποθετηθεί σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα σημεία (χ,ψ) του Κρτεσιανού επιπέδου, και αντιπροσωπεύουν άλλο παράδειγμα του "μιγαδικού επιπέδου.