Διχοτόμος γωνίας

Στην γεωμετρία, η διχοτόμος ευθεία ή απλά διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

 Θεώρημα: Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των εσωτερικών σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.:79-80:26Απόδειξη: Έστω O δ {\displaystyle \mathrm {O\delta } } η διχοτόμος της γωνίας x O y {\displaystyle \mathrm {xOy} } και Σ {\displaystyle \mathrm {\Sigma } } σημείο της O δ {\displaystyle \mathrm {O\delta } } . Φέρνουμε τις κάθετες Σ A {\displaystyle \mathrm {\Sigma A} } στην O x {\displaystyle \mathrm {Ox} } και Σ B {\displaystyle \mathrm {\Sigma B} } στην O y {\displaystyle \mathrm {Oy} } . Θέλουμε να δείξουμε ότι οι αποστάσεις Σ A {\displaystyle \mathrm {\Sigma A} } και Σ B {\displaystyle \mathrm {\Sigma B} } είναι ίσες. Τα τρίγωνα A Σ O {\displaystyle \mathrm {A\Sigma O} } και B Σ O {\displaystyle \mathrm {B\Sigma O} } είναι ίσα ως ορθογώνια με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσα. Συνεπώς Σ A = Σ B {\displaystyle \mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B} } . Αντίστροφα, έστω x O y {\displaystyle \mathrm {xOy} } η γωνία και Σ {\displaystyle \mathrm {\Sigma } } εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις O x {\displaystyle \mathrm {Ox} } και O y {\displaystyle \mathrm {Oy} } , δηλαδή Σ A = Σ B {\displaystyle \mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B} } . Τότε τα τρίγωνα A Σ O {\displaystyle \mathrm {A\Sigma O} } και B Σ O {\displaystyle \mathrm {B\Sigma O} } είναι ίσα ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και ίση κάθετη πλευρά. Συνεπώς, ∠ A O Σ = ∠ B O Σ {\displaystyle \angle \mathrm {AO\Sigma } =\angle \mathrm {BO\Sigma } } . ◻ {\displaystyle \square } Σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας ∠ B A Γ {\displaystyle \angle \mathrm {BA\Gamma } } είναι το ευθύγραμμο τμήμα A Δ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } που διχοτομεί την ∠ B A Γ {\displaystyle \angle \mathrm {BA\Gamma } } και Δ {\displaystyle \mathrm {\Delta } } είναι το σημείο της B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } . Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των κορυφών B {\displaystyle \mathrm {B} } και Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } . Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με δ A , δ B , δ Γ {\displaystyle \delta _{\rm {A}},\delta _{\rm {B}},\delta _{\rm {\Gamma }}} ή δ α , δ β , δ γ {\displaystyle \delta _{\alpha },\delta _{\beta },\delta _{\gamma }} αντίστοιχα. Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } η διχοτόμος A Δ {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,:95 B Δ Γ Δ = A B A Γ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.} Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.:80:35-36 Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις::39:125 δ A 2 = β γ ⋅ ( 1 − α 2 ( β + γ ) 2 ) {\displaystyle \delta _{\rm {A}}^{2}=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)} , δ B 2 = γ α ⋅ ( 1 − β 2 ( γ + α ) 2 ) {\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}^{2}=\gamma \alpha \cdot \left(1-{\frac {\beta ^{2}}{(\gamma +\alpha )^{2}}}\right)\quad } και δ Γ 2 = α β ⋅ ( 1 − γ 2 ( α + β ) 2 ) {\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}^{2}=\alpha \beta \cdot \left(1-{\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right)} .Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής::69 δ A = 2 β γ β + γ ⋅ cos ⁡ A 2 , {\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\frac {2\beta \gamma }{\beta +\gamma }}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}},} δ B = 2 γ α γ + α ⋅ cos ⁡ B 2 {\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}={\frac {2\gamma \alpha }{\gamma +\alpha }}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}\quad } και δ Γ = 2 α β α + β ⋅ cos ⁡ Γ 2 {\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {2\alpha \beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}} ,και επίσης δ A = α ⋅ sin ⁡ B ⋅ sin ⁡ Γ sin ⁡ A ⋅ cos ⁡ B − Γ 2 {\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \cos {\frac {\rm {B-\Gamma }}{2}}}}} , δ B = β ⋅ sin ⁡ Γ ⋅ sin ⁡ A sin ⁡ B ⋅ cos ⁡ Γ − A 2 {\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma -A}}{2}}}}\quad } και δ Γ = γ ⋅ sin ⁡ A ⋅ sin ⁡ B sin ⁡ Γ ⋅ cos ⁡ A − B 2 {\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \cos {\frac {\rm {A-B}}{2}}}}} . Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με A B > A Γ {\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } } ισχύει ότι δ Γ < δ B {\displaystyle \delta _{\rm {\Gamma }}<\delta _{\rm {B}}} , και αντίστροφα.:83 Ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το σχήμα στο πλάι δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχούν στην κορυφή A {\displaystyle \mathrm {A} } . Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με δ A ′ , δ B ′ , δ Γ ′ {\displaystyle \delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}',\delta _{\rm {\Gamma }}'} ή δ α ′ , δ β ′ , δ γ ′ {\displaystyle \delta _{\alpha }',\delta _{\beta }',\delta _{\gamma }'} αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος δ A ′ {\displaystyle \delta _{\rm {A}}'} είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο δ A {\displaystyle \delta _{\rm {A}}} . Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } η εξωτερική διχοτόμος A Δ ′ {\displaystyle \mathrm {A\Delta '} } ενός τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με A B < A Γ {\displaystyle \mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma } } ικανοποιεί:95-96 B Δ ′ Γ Δ ′ = A B A Γ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.} Σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } οι εξωτερικές διχοτόμοι δ A ′ , δ B ′ {\displaystyle \delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}'} και η εσωτερική διχοτόμος δ Γ {\displaystyle \delta _{\rm {\Gamma }}} διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου.:80-81 Ονομάζεται το παράκεντρο J Γ {\displaystyle \mathrm {J} _{\mathrm {\Gamma } }} του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα J B {\displaystyle {\rm {J_{B}}}} και J Γ {\displaystyle {\rm {J_{\Gamma }}}} . Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις::40:125-126 ( δ A ′ ) 2 = β γ ⋅ ( α 2 ( β − γ ) 2 − 1 ) {\displaystyle (\delta _{\rm {A}}')^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right)} , ( δ B ′ ) 2 = γ α ⋅ ( β 2 ( γ − α ) 2 − 1 ) {\displaystyle \quad (\delta _{\rm {B}}')^{2}=\gamma \alpha \cdot \left({\frac {\beta ^{2}}{(\gamma -\alpha )^{2}}}-1\right)\quad } και ( δ Γ ′ ) 2 = α β ⋅ ( γ 2 ( α − β ) 2 − 1 ) {\displaystyle (\delta _{\rm {\Gamma }}')^{2}=\alpha \beta \cdot \left({\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha -\beta )^{2}}}-1\right)} .Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:266-267:70 δ A ′ = 2 β γ | β − γ | ⋅ sin ⁡ A 2 {\displaystyle \delta _{\rm {A}}'={\frac {2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}}\cdot \sin {\frac {\rm {A}}{2}}} , δ B ′ = 2 γ α | γ − α | ⋅ sin ⁡ B 2 {\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {2\gamma \alpha }{|\gamma -\alpha |}}\cdot \sin {\frac {\rm {B}}{2}}\quad } και δ Γ ′ = 2 α β | α − β | ⋅ sin ⁡ Γ 2 {\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {2\alpha \beta }{|\alpha -\beta |}}\cdot \sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}} .και επίσης δ A ′ = α ⋅ sin ⁡ B ⋅ sin ⁡ Γ sin ⁡ A ⋅ sin ⁡ B − Γ 2 {\displaystyle \delta _{\rm {A}}'={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \sin {\frac {\rm {B-\Gamma }}{2}}}}} , δ B ′ = β ⋅ sin ⁡ Γ ⋅ sin ⁡ A sin ⁡ B ⋅ sin ⁡ Γ − A 2 {\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \sin {\frac {\rm {\Gamma -A}}{2}}}}\quad } και δ Γ ′ = γ ⋅ sin ⁡ A ⋅ sin ⁡ B sin ⁡ Γ ⋅ sin ⁡ A − B 2 {\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\frac {\rm {A-B}}{2}}}}} . Η διχοτόμος μίας γωνίας μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής: Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής O {\displaystyle \mathrm {O} } των δύο πλευρών της γωνίας. Θεωρούμε T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} και T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας. Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα T 1 {\displaystyle \mathrm {T} _{1}} και T 2 {\displaystyle \mathrm {T} _{2}} και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το O {\displaystyle \mathrm {O} } . Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος. Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , και A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad {\text{ και }}\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0.} Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις A 1 x + B 1 y + C 1 A 1 2 + B 1 2 = A 2 x + B 2 y + C 2 A 2 2 + B 2 2 , {\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}={\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}},} και A 1 x + B 1 y + C 1 A 1 2 + B 1 2 = − A 2 x + B 2 y + C 2 A 2 2 + B 2 2 . {\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}=-{\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}.} Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία. Ν. Μαρκάκης (1982). «Παραλληλία και καθετότητα στη διχοτόμο». Ευκλείδης Β΄ (3): 160-164. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3135. Constantia, Mary (1964). «Dr. Hopkins' proof of the angle bisector problem». The Mathematics Teacher 57 (8): 539-541. https://www.jstor.org/stable/27957138. Touval, Ayana (2011). «Teaching the Perpendicular Bisector: A Kinesthetic Approach». The Mathematics Teacher 105 (4): 269-273. doi:10.5951/mathteacher.105.4.0269. https://www.jstor.org/stable/10.5951/mathteacher.105.4.0269. Smith, T. Knape (Φεβρουαρίου 1969). «184. Angle bisector theorems». The Mathematical Gazette 53 (383): 58–59. doi:10.2307/3613462. Abu-Saymeh, Sadi; Al-Momani, Yaqeen; Hajja, Mowaffaq; Hayajneh, Mostafa (Νοεμβρίου 2021). «Long medians and long angle bisectors». The Mathematical Gazette 105 (564): 397–409. doi:10.1017/mag.2021.106. Mironescu, Petru; Panaitopol, Laurentiu (Ιανουαρίου 1994). «The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths». The American Mathematical Monthly 101 (1): 58–60. doi:10.1080/00029890.1994.11996906. Γωνία Τρίγωνο Θεώρημα διχοτόμου Έγκεντρο τριγώνου Διάμεσος (γεωμετρία) Ύψος τριγώνου