Αρνητική διωνυμική κατανομή

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η αρνητική διωνυμική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p {\displaystyle p} μέχρι να έχουμε r {\displaystyle r} επιτυχίες. Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} που εκφράζει τον αριθμό των αποτυχιών. Συνολικά επαναλαμβάνουμε το πείραμα r + k {\displaystyle r+k} φορές, από τις οποίες η τελευταία είναι επιτυχία. Η πιθανότητα έως ότου να έχουμε r ∈ N {\displaystyle r\in \mathbb {N} } επιτυχίες να έχουμε k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } αποτυχίες σε ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας p ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle p\in (0,1)} κάθε φορά είναι: P ⁡ ( X = k ) = ( r + k − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) k {\displaystyle \operatorname {P} (X=k)={\binom {r+k-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}} .

 Έστω X 1 , … , X k {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}} ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε X i + 1 {\displaystyle X_{i}+1} ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή G e o m ( p ) {\displaystyle {\mathsf {Geom}}(p)} . Τότε, αφού η γεωμετρική κατανομή μετράει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα πείραμα μέχρι μία επιτυχία, έχουμε ότι X 1 + … + X r ∼ N B ( r , p ) . {\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{r}\sim {\mathsf {NB}}(r,p).} Η μέση τιμή προκύπτει από τον ορισμό ως το άθροισμα r {\displaystyle r} τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή: E ⁡ [ X ] = E ⁡ [ ∑ i = 1 r X i ] = ∑ i = 1 r E ⁡ [ X i ] = r ⋅ ( 1 p − 1 ) = r ⋅ 1 − p p , {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{r}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{r}\operatorname {E} [X_{i}]=r\cdot \left({\frac {1}{p}}-1\right)=r\cdot {\frac {1-p}{p}},} χρησιμοποιώντας ότι E ⁡ [ X i + 1 ] = 1 p {\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}+1]={\frac {1}{p}}} . Αντίστοιχα, από τον ορισμό της διακύμανσης και αφού X 1 , … , X k {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}} είναι ανεξάρτητες, έχουμε ότι: V ⁡ [ X ] = V ⁡ [ ∑ i = 1 r X i ] = r ⋅ V ⁡ [ X 1 ] = r ⋅ 1 − p p 2 {\displaystyle \operatorname {V} [X]=\operatorname {V} \left[\sum _{i=1}^{r}X_{i}\right]=r\cdot \operatorname {V} [X_{1}]=r\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}} . Χρησιμοποιώντας ότι X = ∑ i = 1 r X i {\textstyle X=\sum _{i=1}^{r}X_{i}} , για X i + 1 {\displaystyle X_{i}+1} ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι: E ⁡ [ t X ] = E ⁡ [ t ∑ i = 1 n X i ] = ∏ i = 1 r E ⁡ [ t X i ] = ( p 1 − ( 1 − p ) e t ) r , {\displaystyle \operatorname {E} [t^{X}]=\operatorname {E} [t^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}]=\prod _{i=1}^{r}\operatorname {E} [t^{X_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},} αφού E ⁡ [ t X i − 1 ] = p e t 1 − ( 1 − p ) t {\displaystyle \operatorname {E} [t^{X_{i}-1}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)t}}} για | t | < 1 / p {\displaystyle |t|<1/p} από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής. Χρησιμοποιώντας ότι X = ∑ i = 1 r X i {\textstyle X=\sum _{i=1}^{r}X_{i}} , για X i + 1 {\displaystyle X_{i}+1} ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι: E ⁡ [ e t X ] = E ⁡ [ e ∑ i = 1 n X i ] = ∏ i = 1 r E ⁡ [ e t X i ] = ( p 1 − ( 1 − p ) e t ) r , {\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]=\operatorname {E} [e^{\sum _{i=1}^{n}X_{i}}]=\prod _{i=1}^{r}\operatorname {E} [e^{tX_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},} αφού E ⁡ [ e t ( X i − 1 ) ] = p e t 1 − ( 1 − p ) e t {\displaystyle \operatorname {E} [e^{t(X_{i}-1)}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}} για t < − log ⁡ p {\displaystyle t<-\log p} από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής. Γεωμετρική κατανομή Διωνυμική κατανομή