Πολυωνυμική κατανομή

Στην θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, η πολυωνυμική κατανομή είναι η γενίκευση της διωνυμικής κατανομής, όπου υπάρχουν n {\displaystyle n} επαναλήψεις ενός πειράματος με k {\displaystyle k} πιθανά αποτελέσματα. Πιο συγκεκριμένα, δίνει την πιθανότητα για κάθε δυνατό πλήθος αποτελεσμάτων ( x 1 , … , x k ) ∈ N n {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {N} ^{n}} .

 Η πολυωνυμική κατανομή εξετάζει τη συνδυαστική πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα μια σειρά από k ενδεχόμενα Ε1, Ε2, …, Εk, σε n επαναλήψεις μιας τυχαίας διαδικασίας, το καθένα εκ των οποίων έχει τη δική του πιθανότητα p1, p2, …, pk να πραγματοποιηθεί σε μία εκτέλεση της διαδικασίας. Συμβολίζουμε με x1, x2, …, xk, τον ακριβή αριθμό των φορών που ζητάμε να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο. Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: ∑ i = 1 k p i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1} και ∑ i = 1 k x i = n {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}=n} Η πιθανότητα να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο όσες φορές ακριβώς ορίσαμε, δίνεται από τον τύπο: P ⁡ ( X 1 = x 1 , … , X n = x n ) = n ! x 1 ! x 2 ! … x k ! ⋅ p 1 x 1 p 2 x 2 … p k x k {\displaystyle \operatorname {P} (X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})={\frac {n!}{x_{1}!x_{2}!\dots x_{k}!}}\cdot p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}\dots p_{k}^{x_{k}}} . Έστω ότι έχουμε ένα δοχείο με n = 22 {\displaystyle n=22} μπάλες, 9 {\displaystyle 9} κόκκινες, 7 {\displaystyle 7} μαύρες και 6 {\displaystyle 6} μπλε. Τότε αν διαλέξουμε k = 3 {\displaystyle k=3} μπάλες (με αντικατάσταση), τότε η κατανομή είναι πολυωνυμική με παραμέτρους ( p 1 , p 2 , p 3 ) = ( 9 22 , 7 22 , 6 22 ) {\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3})=\left({\frac {9}{22}},{\frac {7}{22}},{\frac {6}{22}}\right)} ,και λαμβάνουμε τις εξής πιθανότητες για τα ενδεχόμενα: Η πολυωνυμική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μοντελοποιήσει τα εξής: Οι ταξιδιωτικοί προορισμοί των n {\displaystyle n} κατοίκων της χώρας μας στο εσωτερικό με την κατηγοριοποίησή τους στους εξής k {\displaystyle k} προορισμούς: Κυκλάδες, Σποράδες, Δωδεκάνησα, Επτάνησα, Ζαγοροχώρια, Ορεινή Ναυπακτία, Πήλιο, Αράχωβα και Καλάβρυτα.Η εξέταση ανάπτυξης του κλάδου επιχειρήσεων ανάλογα με την γεωγραφική περιοχή και την μορφολογία του εδάφους, που μπορεί να είναι καλλιέργεια εσπεριδοειδών ή οσπρίων, δημιουργία φάρμας, εξόρυξη μετάλλων. Η περιθωριακή κατανομή του X i {\displaystyle X_{i}} είναι διωνυμική με παραμέτρους n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } και p i ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p_{i}\in [0,1]} . Επομένως, η μέση τιμή του X i {\displaystyle X_{i}} , δίνεται από τον τύπο E ⁡ [ X i ] = n ⋅ p i {\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}]=n\cdot p_{i}} . Αντίστοιχα, η διακύμανση του X i {\displaystyle X_{i}} δίνεται από τον τύπο V ⁡ [ X i ] = n ⋅ p i ⋅ ( 1 − p i ) {\displaystyle \operatorname {V} [X_{i}]=n\cdot p_{i}\cdot (1-p_{i})} . Από τον ορισμό της συνδιακύμανσης για X i {\displaystyle X_{i}} και X j {\displaystyle X_{j}} με i ≠ j {\displaystyle i\neq j} , έχουμε ότι Cov ⁡ ( X i , X j ) = E ⁡ [ X i X j ] − E ⁡ [ X i ] ⋅ E ⁡ [ X j ] . {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]-\operatorname {E} [X_{i}]\cdot \operatorname {E} [X_{j}].} Από τον νόμο της ολικής πιθανότητας, και αφού η τυχαία μεταβλητή Y = ( X i ∣ X j = k ) {\displaystyle Y=(X_{i}\mid X_{j}=k)} είναι B i n ( n − k , p i / ( 1 − p j ) ) {\displaystyle {\mathsf {Bin}}(n-k,p_{i}/(1-p_{j}))} , έχουμε ότι E ⁡ [ X i X j ] = ∑ k = 0 n E ⁡ [ X i ∣ X j = k ] ⋅ P ⁡ ( X j = k ) = ∑ k = 0 n ( n − k ) ⋅ p i 1 − p j ⋅ k ⋅ ( n k ) p j k ⋅ ( 1 − p j ) n − k = ∑ k = 0 n ( n − k ) ⋅ p i 1 − p j ⋅ k ⋅ ( n k ) p j k ⋅ ( 1 − p j ) n − k = n ⋅ p i 1 − p j ⋅ ∑ k = 0 n ( n k ) p j k ⋅ ( 1 − p j ) n − k − p i 1 − p j ⋅ ∑ k = 0 n ( n k ) p j k ⋅ ( 1 − p j ) n − k ⋅ k = n ⋅ p i 1 − p j ⋅ ∑ k = 0 n P ⁡ ( X j = k ) ⋅ k − p i ⋅ ∑ k = 0 n P ⁡ ( X j = k ) ⋅ k 2 = n ⋅ p i 1 − p j ⋅ ( n ⋅ p j + n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ p j 2 + n ⋅ p j ) = n 2 ⋅ p i ⋅ p j − n ⋅ p i ⋅ p j . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]&=\sum _{k=0}^{n}\operatorname {E} [X_{i}\mid X_{j}=k]\cdot \operatorname {P} (X_{j}=k)\\&=\sum _{k=0}^{n}(n-k)\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot k\cdot {\binom {n}{k}}p_{j}^{k}\cdot (1-p_{j})^{n-k}\\&=\sum _{k=0}^{n}(n-k)\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot k\cdot {\binom {n}{k}}p_{j}^{k}\cdot (1-p_{j})^{n-k}\\&=n\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{j}^{k}\cdot (1-p_{j})^{n-k}-{\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{j}^{k}\cdot (1-p_{j})^{n-k}\cdot k\\&=n\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}\operatorname {P} (X_{j}=k)\cdot k-p_{i}\cdot \sum _{k=0}^{n}\operatorname {P} (X_{j}=k)\cdot k^{2}\\&=n\cdot {\frac {p_{i}}{1-p_{j}}}\cdot \left(n\cdot p_{j}+n\cdot (n-1)\cdot p_{j}^{2}+n\cdot p_{j}\right)\\&=n^{2}\cdot p_{i}\cdot p_{j}-n\cdot p_{i}\cdot p_{j}.\end{aligned}}} Επομένως, Cov ⁡ ( X i , X j ) = n 2 ⋅ p i ⋅ p j − n ⋅ p i ⋅ p j − n 2 ⋅ p i ⋅ p j = − n ⋅ p i ⋅ p j . {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=n^{2}\cdot p_{i}\cdot p_{j}-n\cdot p_{i}\cdot p_{j}-n^{2}\cdot p_{i}\cdot p_{j}=-n\cdot p_{i}\cdot p_{j}.} Διωνυμική κατανομή Υπεργεωμετρική κατανομή