Θεώρημα του Τσέβα

Στη γεωμετρία, το θεώρημα του Τσέβα (αναφέρεται συχνά ως θεώρημα του Ceva) δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για τρία ευθύγραμμα που ενώνουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τις απέναντι πλευρές τους, να συντρέχουν. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } τα ευθύγραμμα τμήματα A A ′ {\displaystyle {\rm {AA'}}} , B B ′ {\displaystyle {\rm {BB'}}} και Γ Γ ′ {\displaystyle \Gamma \Gamma '} (με A ′ , B ′ , Γ ′ {\displaystyle {\rm {A',B',\Gamma '}}} σημεία των πλευρών B Γ , A Γ , A B {\displaystyle {\rm {B\Gamma ,A\Gamma ,AB}}} αντίστοιχα) συντρέχουν ανν A ′ B A ′ Γ ⋅ B ′ Γ B ′ A ⋅ Γ ′ A Γ ′ B = 1. {\displaystyle {\rm {{\frac {A'B}{A'\Gamma }}\cdot {\frac {B'\Gamma }{B'A}}\cdot {\frac {\Gamma 'A}{\Gamma 'B}}=1.}}} Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Τζιοβάνι Τσέβα και είναι στενά συνδεδεμένο με το θεώρημα του Μενελάου.

 Έστω M A , M B , M Γ {\displaystyle \mathrm {M_{A}} ,\mathrm {M_{B}} ,\mathrm {M_{\Gamma }} } τα μέσω των πλευρών του τριγώνου, δηλαδή B M A = Γ M A {\displaystyle {\rm {BM_{A}=\Gamma M_{A}}}} , A M B = Γ M B {\displaystyle {\rm {AM_{B}=\Gamma M_{B}}}} και B M A = Γ M A {\displaystyle {\rm {BM_{A}=\Gamma M_{A}}}} . Τότε A M B Γ M B ⋅ Γ M A B M A ⋅ B M Γ A M Γ = 1. {\displaystyle {\rm {{\frac {AM_{B}}{\Gamma M_{B}}}\cdot {\frac {\Gamma M_{A}}{BM_{A}}}\cdot {\frac {BM_{\Gamma }}{AM_{\Gamma }}}=1.}}} Επομένως, οι τρεις διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο (το βαρύκεντρο). Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε για τις διχοτόμους A Δ A {\displaystyle {\rm {A\Delta _{A}}}} , B Δ B {\displaystyle {\rm {B\Delta _{B}}}} και Γ Δ Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}} ότι A B A Γ = B Δ A Γ Δ A , B A B Γ = A Δ B Γ Δ B {\displaystyle {\rm {{\frac {AB}{A\Gamma }}={\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}},\quad {\rm {{\frac {BA}{B\Gamma }}={\frac {A\Delta _{B}}{\Gamma \Delta _{B}}}\quad }}}}} και Γ A Γ B = A Δ Γ B Δ Γ . {\displaystyle \quad {\rm {{\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}={\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}.}}} Επομένως, έχουμε ότι B Δ A Γ Δ A ⋅ Γ Δ B A Δ B ⋅ A Δ Γ B Δ Γ = A B A Γ ⋅ B Γ B A ⋅ Γ A Γ B = 1 {\displaystyle {\rm {{\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}}\cdot {\frac {\Gamma \Delta _{B}}{A\Delta _{B}}}\cdot {\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}={\frac {AB}{A\Gamma }}\cdot {\frac {B\Gamma }{BA}}\cdot {\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}=1}}} ,και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα καταλήγουμε ότι οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδο σημείο (το έγκεντρο). Τα τρίγωνα A H B B {\displaystyle \mathrm {AH_{B}B} } και A H Γ Γ {\displaystyle \mathrm {AH_{\Gamma }\Gamma } } είναι όμοια καθώς έχουν μία ορθή και την A ^ {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}} ίση. Επομένως, A B A Γ = A H B A H Γ {\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {AH_{\Gamma }} }}} .Αντίστοιχα, B A B Γ = B H A B H Γ {\displaystyle {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}={\frac {\mathrm {BH_{A}} }{\mathrm {BH_{\Gamma }} }}\quad } και Γ B Γ A = Γ H B Γ H A {\displaystyle \quad {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}={\frac {\mathrm {\Gamma H_{B}} }{\mathrm {\Gamma H_{A}} }}} .Επομένως, A H B H B Γ ⋅ B H Γ H Γ A ⋅ Γ H A H A B = A Γ A B ⋅ B A B Γ ⋅ Γ B Γ A = 1 {\displaystyle {\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {H_{B}\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {BH_{\Gamma }} }{\mathrm {H_{\Gamma }A} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma H_{A}} }{\mathrm {H_{A}B} }}={\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}=1} ,και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν (στο σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο). Το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ύπαρξη του σημείου Nagel καθώς και την ύπαρξη του σημείου Gergonne. Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος του Τσέβα για τετράπλευρα, πολύγωνα καθώς και για περισσότερες διαστάσεις. Θεώρημα του Μενελάου Θεώρημα του Τσέβα: Αποδείξεις και εφαρμογές Θεώρημα του Τσέβα και εφαρμογές Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Τσέβα και σχέση με το θεώρημα Μενελάου Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα του Τσέβα Κοντογιάννης, Γιώργος (Απριλίου 2020). «Ισότητες και ανισότητες για το τρίγωνο Ceva». Ευκλείδης Β΄ (116): 69-70. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_116_EYKLEIDHS_2020.pdf. Srinivasan, A. K. (Φεβρουαρίου 1950). «2118. On Menelaus' Theorem, Ceva's Theorem and the harmonic property of a quadrilateral». The Mathematical Gazette 34 (307): 51–52. doi:10.2307/3610888. Dickinson, D. R. (Δεκεμβρίου 1964). «121. The Theorems of Ceva and Menelaus and the Principle of Duality». The Mathematical Gazette 48 (366): 427–429. doi:10.2307/3611708. Wernicke, Paul (Νοεμβρίου 1927). «The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension». The American Mathematical Monthly 34 (9): 468. doi:10.2307/2300222. Su, Stephen; Lee, Cheng Shyong (8 Αυγούστου 2018). «Simultaneous Generalizations of the Theorems of Menelaus, Ceva, Routh, and Klamkin/Liu». Mathematics Magazine 91 (4): 294–303. doi:10.1080/0025570X.2018.1495435. Hoehn, Larry (Ιουνίου 1989). «73.21 A simple generalisation of Ceva’s theorem». The Mathematical Gazette 73 (464): 126–127. doi:10.2307/3619672. Hoehn, Larry (Ιουλίου 2005). «89.49 A Ceva-type theorem for the cyclic quadrilateral». The Mathematical Gazette 89 (515): 282–283. doi:10.1017/S0025557200177848. Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (Νοεμβρίου 1996). «A new Ceva-type theorem». The Mathematical Gazette 80 (489): 492–500. doi:10.2307/3618512.