Μετασχηματισμός Λαπλάς

Στα μαθηματικά, ο μετασχηματισμός Λαπλάς χρησιμοποιεί ευρέως τον ολοκληρωτικό μετασχηματισμό. Αναπαρίσταται ως L { f ( t ) } {\displaystyle \displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}} , είναι μια γραμμική απεικόνιση μιας συνάρτησης f(t) με πραγματικό πεδίο ορισμού t (t ≥ 0) που τη μετατρέπει σε μια συνάρτηση F(s) με όρισμα ένα μιγαδικό αριθμό s. Αυτός ο μετασχηματισμός είναι ουσιαστικά αμφιμονοσήμαντος (bijection) για την πλειονότητα των πρακτικών εφαρμογών. Τα αντίστοιχα ζευγάρια των f(t) και F(s) δίνονται σε πίνακες. Ο μετασχηματισμός Λαπλάς έχει την χρήσιμη ιδιότητα, ότι πολλές σχέσεις και λειτουργίες των συναρτήσεων f(t) αντιστοιχούν σε πολύ πιο απλές πάνω στις εικόνες F(s). Ο μετασχηματισμός Λαπλάς έχει σημαντικές εφαρμογές σε πολλές επιστήμες. Το όνομα δόθηκε από τον Πιέρ Σιμόν Λαπλάς ο οποίος εισήγαγε τον μετασχηματισμό δουλεύοντας πάνω στην θεωρία πιθανοτήτων. Ο μετασχηματισμός Λαπλάς σχετίζεται με το μετασχηματισμό Φουριέ, αλλά ενώ ο μετασχηματισμός Φουριέ αναλύει μια συνάρτηση ή ένα σήμα στο φάσμα συχνοτήτων, ο μετασχηματισμός Laplace αναλύει μια συνάρτηση στις ροπές της (moments). Όπως ο μετασχηματισμός Φουριέ, ο μετασχηματισμός Λαπλάς χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση διαφορικών και ολοκληρωτικών εξισώσεων. Στην φυσική και στην μηχανική, χρησιμοποιήθηκε για την ανάλυση σε γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα όπως τα ηλεκτρικά κυκλώματα, στους αρμονικούς ταλαντωτές, στις οπτικές συσκευές και στα μηχανικά συστήματα. Σε αυτή την ανάλυση, ο μετασχηματισμός Λαπλάς συχνά ερμηνεύεται ως ένας μετασχηματισμός από το πεδίο του χρόνου, όπου οι είσοδοι και οι έξοδοι είναι συναρτήσεις στο χρόνο, στο πεδίο της συχνότητας όπου οι ίδιες είσοδοι και έξοδοι είναι συναρτήσεις της μιγαδικής γωνιακής συχνότητας, σε ακτίνια ανά μονάδα χρόνου (rad/sec). Δίνοντας μια απλή μαθηματική ή συναρτησιακή περιγραφή μιας εισόδου ή μιας εξόδου ενός συστήματος, ο μετασχηματισμός Λαπλάς παρέχει μια εναλλακτική λειτουργική περιγραφή που συχνά απλοποιεί την διαδικασία της ανάλυσης της συμπεριφοράς του συστήματος, ή την σύνθεσης ενός νέου συστήματος βασιζόμενη σε ένα σύνολο προδιαγραφών.

 Ιστορία Ο μετασχηματισμός Λαπλάς πήρε το όνομα από τον μαθηματικό και αστρονόμο Πιέρ Σιμόν Λαπλάς (Pierre-Simon Laplace), ο οποίος χρησιμοποίησε τον μετασχηματισμό πάνω στην δουλειά του στη θεωρία πιθανοτήτων. Από το 1744, ο Λέοναρντ Όιλερ (Leonahard Euler), ερεύνησε ολοκληρώματα της μορφής z = ∫ X ( x ) e a x d x and z = ∫ X ( x ) x A d x {\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ and }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx} Ως λύσεις των διαφορικών εξισώσεων, αλλά δεν επιδίωξε να συνεχίσει το θέμα περαιτέρω. Ο Τζοσεφ Λουίς Λαγκράνς (Joseph Louis Lagrange) ήταν ένας θαυμαστής του Όιλερ και στη δουλειά του πάνω στη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, ερεύνησε εκφράσεις της μορφής ∫ X ( x ) e − a x a x d x , {\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,} Όπου πολλοί μοντέρνοι ιστορικοί την ερμήνευσαν μέσα στη μοντέρνα θεωρία του μετασχηματισμού Λαπλάς.Αυτοί οι τύποι ολοκληρωμάτων φαίνεται αρχικά να είχαν προσελκύσει την προσοχή του Λαπλάς το 1782 όπου είχε ακολουθήσει το πνεύμα του Euler χρησιμοποιώντας τα ολοκληρώματα από μόνα τους ως λύσεις των εξισώσεων. Ωστόσο, το 1785, ο Λαπλάς έκανε το μεγάλο βήμα όταν, αντί να κοιτάει για μια λύση στη μορφή ενός ολοκληρώματος άρχισε να ισχυρίζεται τους μετασχηματισμούς με μια έννοια που μετά έγινε γνωστός. Χρησιμοποίησε ένα ολοκλήρωμα της μορφής : ∫ x s ϕ ( x ) d x , {\displaystyle \int x^{s}\phi (x)\,dx,} συγγενής με τον μετασχηματισμό Μελίν (Mellin transform), για να μετασχηματίσει μια ολόκληρη διαφορική εξίσωση, ώστε να κοιτάξει για λύσεις της εξίσωσης μετασχηματισμού. Μετά πήγε να ενεργοποιήσει το μετασχηματισμό Λαπλάς με τον ίδιο τρόπο και άρχισε να αντλεί κάποιες ιδιότητες του, αρχίζοντας να εκτιμά την δυνητική ισχύ. Ο Λαπλάς επίσης αναγνώρισε ότι μέθοδος του Ζοζέφ Φουριέ (Joseph Fourier) της σειράς Φουριέ για την λύση εξισώσεων διάχυσης μπορούσε μόνο να βρει την περιοχή του χώρου εφόσον οι λύσεις ήταν περιοδικές. Το 1809 ο Λαπλάς παρουσίασε τον μετασχηματισμό για να βρίσκει λύσεις όπου είναι διάχυτες μη ορισμένες στον χώρο. Ο μετασχηματισμός λαπλάς μιας συνάρτησης f(t)), ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς t ≥ 0, είναι η συνάρτηση F(s), η οποία ορίζεται ως : F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d ( f ) . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,d(f).} Η παράμετρος s είναι μιγαδικός αριθμός : s = σ + i ω , {\displaystyle s=\sigma +i\omega ,\,} Με πραγματικούς αριθμούς σ και ω.Η έννοια του ολοκληρώματος εξαρτάται από τον τύπο της συνάρτησης που μας ενδιαφέρει. Μια απαραίτητη συνθήκη για την ύπαρξη του ολοκληρώματος είναι ότι η ƒ πρέπει να είναι τοπικά ολοκληρώσιμη στο διάστημα [0,∞). Για τοπικές ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που αποσυντίθενται στο άπειρο ή είναι εκθετικής μορφής, το ολοκλήρωμα μπορεί να κατανοηθεί ως ένα (σωστό) Λεμπέγκ ολοκλήρωμα (Lebesgue integral). Ωστόσο για πολλές εφαρμογές είναι απαραίτητο να το θεωρήσουμε ως ένα υπό συνθήκη συγκλίνων γενικευμένο ολοκλήρωμα στο ∞. Ακόμα γενικότερα, το ολοκλήρωμα μπορεί να γίνει κατανοητό με μια αδύναμη αίσθηση, και αυτό εξετάζεται παρακάτω. Αρχικά μπορούμε να ορίσουμε τον μετασχηματισμό Λαπλάς ενός πεπερασμένου μετρητή Μπόρελ (Borel measure) μ από το ολοκλήρωμα Λεμπεσκουέ (Lebesgue integral). ( L μ ) ( s ) = ∫ [ 0 , ∞ ) e − s t d μ ( t ) . {\displaystyle ({\mathcal {L}}\mu )(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}d\mu (t).} Μια σημαντική ειδική περίπτωση είναι όπου μ είναι ένα μέτρο πιθανότητας ή, ακόμα πιο συγκεκριμένα, η συνάρτηση δέλτα (dirac). Στον συναρτησιακό λογισμό, ο μετασχηματισμός Λαπλάς ενός μετρητή (ή μιας μέτρησης) είναι συχνά αντιμέτωπη μέσω της μέτρησης που προήλθε από την συνάρτηση κατανομής (distribution function) ƒ. Σε αυτή την περίπτωση για να αποφύγουμε την πιθανότητα σύγχυσης, συχνά γράφουμε : ( L f ) ( s ) = ∫ 0 − ∞ e − s t f ( t ) d t {\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt} Όπου το κατώτατο όριο στο 0− στην ουσία δείχνει : lim ε ↓ 0 + ∫ − ε ∞ . {\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.} Το όριο δίνει έμφαση στο ότι κάθε σημείο μάζας τοποθετημένο στο 0 είναι εξολοκλήρου καλυπτόμενο από τον μετασχηματισμό Λαπλάς. Αν και με το ολοκλήρωμα Λεμπεσκουέ (Lebesgue interval), δεν είναι απαραίτητο να πάρουμε αυτό το όριο, εμφανίζει πιο φυσική σύνδεση με τον μετασχηματισμό Λαπλάς-Στίλτζες (Laplace–Stieltjes transform). Στην καθαρή (θεωρητική) και στην εφαρμοσμένη πιθανότητα, ο μετασχηματισμός Λαπλάς ορίζεται από τον μέσο όρο της προσδοκώμενης μεταβλητής. Εάν X είναι μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ƒ τότε ο μετασχηματισμός Λαπλάς της ƒ δίνεται από την προσδοκία ( L f ) ( s ) = E [ e − s X ] . {\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(s)=E\left[e^{-sX}\right].\,} Από κατάχρηση της γλώσσας, αυτός ο ορισμός αναφέρεται ως ο μετασχηματισμός Λαπλάς της τυχαίας μεταβλητής X του εαυτού της. Αντικαθιστώντας το s από το −t παίρνουμε την στιγμιαία συνάρτηση παραγωγής της X (moment generating function of X). Ο μετασχηματισμός Λαπλάς έχει εφαρμογές σε όλη την θεωρία πιθανοτήτων, συμπεριλαμβανόμενης και πέρασμα της πρώτης φοράς της στοχαστικής διαδικασίας όπως οι αλυσίδες Μαρκόφ, και θεωρία ανανέωσης. Όταν κάποιος αναφέρει Μετασχηματισμό λαπλάς, τότε εννοείται ο μονομερής ή ο μονόπλευρος μετασχηματισμός. Ο μετασχηματισμός Λαπλάς μπορεί εναλλακτικά να οριστεί ως διμερής μετασχηματισμός λαπλάς ή δίπλευρος μετασχηματισμός Λαπλάς επεκτείνοντας τα όρια της ολοκλήρωσης σε όλο τον πραγματικό άξονα. Με αυτόν τον τρόπο ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Λαπλάς γίνεται ειδική περίπτωση του δίπλευρου μετασχηματισμού όπου ο ορισμός της συνάρτησης που μετασχηματίζεται πολλαπλασιάζεται με την βηματική συνάρτηση. Ο δίπλευρος μετασχηματισμός λαπλάς ορίζεται ως : F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.} Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Λαπλάς δίνεται από το παρακάτω μιγαδικό ολοκλήρωμα, το οποίο είναι γνωστό με διάφορα ονόματα (το ολοκλήρωμα Bromwich, το ολοκλήρωμα Fourier-Mellin): f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ γ − i T γ + i T e s t F ( s ) d s , {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,} όπου γ {\displaystyle \gamma } είναι ένας πραγματικός αριθμός έτσι ώστε η διαδρομή του περιγράμματος του ολοκληρώματος να είναι η περιοχή σύγκλισης του F(s). Εάν η f είναι μια τοπικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση, τότε ο μετασχηματισμός F(s) της f συγκλίνει υπό τον όρο, ότι το όριο lim R → ∞ ∫ 0 R f ( t ) e − t s d t {\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-ts}\,dt} υπάρχει (όπως ένα κανονικό Lebesgue ολοκλήρωμα). Ο μετασχηματισμός Λαπλάς είναι συνήθως κατανοητός ως υπό συνθήκη συγκλίνων, εννοώντας ότι συγκλίνει στην αρχή αντί στο τέλος. Το σύνολο των τιμών της F(s) που συγκλίνουν απόλυτα είναι είτε της μορφής Re{s} > a είτε Re{s} ≥ a, όπου a είναι μία επεκταμένη πραγματική σταθερά, −∞ ≤ a ≤ ∞. (Αυτό προκύπτει από τον κυρίαρχο θεώρημα σύγκλισης.) Η σταθερά a είναι γνωστή ως τετμημένη της απόλυτης σύγκλισης, και εξαρτάται από την αυξανόμενη συμπεριφορά της ƒ(t). Αναλογικά, ο δίπλευρος μετασχηματισμός συγκλίνει απόλυτα σε μια περιοχή a < Re{s} < b, και πιθανώς συμπεριλαμβάνει τις γραμμές Re{s} = a or Re{s} = b. Το υποσύνολο των τιμών του s, για το οποίο ο Λαπλάς μετασχηματισμός συγκλίνει απόλυτα, καλείται περιοχή της απόλυτης σύγκλισης ή πεδίο απόλυτης σύγκλισης. Στην περίπτωση του δίπλευρου μετασχηματισμού πολλές φορές αναφέρεται και ως λωρίδα της απόλυτης σύγκλισης. Ο μετασχηματισμός Λαπλάς είναι αναλυτικός στην περιοχή της απόλυτης σύγκλισης. Ομοίως, το σύνολο των τιμών για το οποίο το F(s) (υπό συνθήκες ή απόλυτα) συγκλίνει είναι γνωστό ως περιοχή σύγκλισης υπό συνθήκες ή απλά περιοχή σύγκλισης (region of convergence ROC). Εάν ο μετασχηματισμός Λαπλάς συγκλίνει όχι απόλυτα στο s = s0, τότε αυτόματα συγκλίνει για όλα τα s για τα οποία Re{s} > Re{s0}. Ως εκ τούτου η περιοχή σύγκλισης είναι ένα ημισχέδιο (ημιπλάνο) της μορφής Re{s} > a, και πιθανώς συμπεριλαμβάνει μερικά σημεία της οριακής γραμμής Re{s} = a. Στην περιοχή σύγκλισης Re{s} > Re{s0}, ο μετασχηματισμός Λαπλάς της ƒ μπορεί να εκφραστεί από ολοκληρώσεις ανά τμήματα όπως το ολοκλήρωμα F ( s ) = ( s − s 0 ) ∫ 0 ∞ e − ( s − s 0 ) t β ( t ) d t , β ( u ) = ∫ 0 u e − s 0 t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.} Στην περιοχή σύγκλισης της F(s) μπορεί να εκφραστεί αποτελεσματικά ως η απόλυτη σύγκλιση του μετασχηματισμού λαπλάς κάποιων άλλων συναρτήσεων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι αναλυτική. Μια ποικιλία θεωρημάτων, στη μορφή των Paley–Wiener θεωρημάτων, υπάρχουν όσον αφορά στη σχέση μεταξύ των ιδιοτήτων της αποσύνθεσης των ƒ και τις ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace στην περιοχή της σύγκλισης. Στις εφαρμογές της μηχανικής, μία συνάρτηση σε ένα γραμμικώς χρονικά αμετάβλητο σύστημα (LTI) είναι σταθερή εάν για κάθε πεπερασμένη είσοδο παράγει μία πεπερασμένη έξοδο. Αυτή είναι η ισοδύναμη της απόλυτης σύγκλισης του μετασχηματισμού Λαπλάς της συνάρτησης κρουστικής απόκρισης στην περιοχή Re{s} ≥ 0. Ως αποτέλεσμα, τα LTI συστήματα είναι σταθερά όταν οι πόλοι του μετασχηματισμού λαπλάς της συνάρτησης της κρουστικής απόκρισης έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Ο μετασχηματισμός Λαπλάς έχει έναν αριθμό από ιδιότητες που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση στα γραμμικά δυναμικά συστήματα. Τα πιο σημαντικά πλεονεκτήματα είναι ότι η παραγώγιση και η ολοκλήρωση γίνεται πολλαπλασιασμός και διαίρεση με το s (ομοίως στους λογαρίθμους αλλάζει τον πολλαπλασιασμό των αριθμών σε άθροισμα των λογαρίθμων τους). Εξαιτίας αυτής της ιδιότητας, η μεταβλητή λαπλάς s είναι γνωστή και ως μεταβλητή χειρισμού (operator variable) στο πεδίο L: είτε διαφορικός χειριστής (derivative operator) ή (για s−11) ολοκληρωτικός χειριστής (integration operator). Ο μετασχηματισμός μετατρέπει την διαφορική εξίσωση και την ολοκληρωτική εξίσωση σε πολυωνυμική εξίσωση, οι οποίες είναι πολύ πιο εύκολο να λυθούν. Εφόσον λυθούν, εφαρμόζεται ο αντίστροφος μετασχηματισμός ώστε να πάρουμε την συνάρτηση στο πεδίο του χρόνου. Θεωρώντας τις συναρτήσεις f(t) και g(t), και αντίστοιχα τους μετασχηματισμούς Λαπλάς αυτών F(s) και G(s): f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}} g ( t ) = L − 1 { G ( s ) } {\displaystyle g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}} στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι ιδιότητες του μονόπλευρου μετασχηματισμού Λαπλάς: Θεώρημα αρχικής τιμής: f ( 0 + ) = lim s → ∞ s F ( s ) . {\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.} Θεώρημα τελικής τιμής: f ( ∞ ) = lim s → 0 s F ( s ) {\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}} , εάν όλοι οι πόλοι της s F ( s ) {\displaystyle sF(s)} βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο Το θεώρημα τελικής τιμής είναι πολύ χρήσιμο γιατί μας δίνει την μακροπρόθεσμη συμπεριφορά χωρίς να εφαρμόσουμε την μέθοδο των μερικών κλασμάτων ή άλλη δύσκολη άλγεβρα. Εάν ο πόλος μιας συνάρτησης βρίσκεται στο δεξιό ημιεπίπεδο (δηλαδή, e t {\displaystyle e^{t}} ή sin ⁡ ( t ) {\displaystyle \sin(t)} ) η συμπεριφορά του συστήματος είναι απροσδιόριστη. Είναι συχνά βολικό να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα παραγώγισης του μετασχηματισμού Λαπλάς για να βρούμε τον μετασχηματισμό της παράγωγου της. Αυτό μπορεί να προέλθει από τη βασική έκφραση του μετασχηματισμού λαπλάς όπως φαίνεται: L { f ( t ) } = ∫ 0 − ∞ e − s t f ( t ) d t = [ f ( t ) e − s t − s ] 0 − ∞ − ∫ 0 − ∞ e − s t − s f ′ ( t ) d t (by parts) = [ − f ( 0 ) − s ] + 1 s L { f ′ ( t ) } , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[8pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[8pt]&=\left[-{\frac {f(0)}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}} όπου L { f ′ ( t ) } = s ⋅ L { f ( t ) } − f ( 0 ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\}=s\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-f(0),} Και στην περίπτωση του δίπλευρου μετασχηματισμού, L { f ′ ( t ) } = s ∫ − ∞ ∞ e − s t f ( t ) d t = s ⋅ L { f ( t ) } . {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{f'(t)}\right\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.} Το γενικό συμπέρασμα είναι, L { f ( n ) ( t ) } = s n ⋅ L { f ( t ) } − s n − 1 f ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0),} όπου fn είναι η n-στη παράγωγος της f, μπορεί να καθιερωθεί με ένα επαγωγικό όρισμα. Έστω L { f ( t ) } = F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)} τότε (δες τον πίνακα παραπάνω) L { f ( t ) t } = ∫ s ∞ F ( p ) d p , {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp,} ή ∫ 0 ∞ f ( t ) t e − s t d t = ∫ s ∞ F ( p ) d p . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.} Θέτοντας s → 0 {\displaystyle s\to 0} παίρνουμε την ταυτότητα ∫ 0 ∞ f ( t ) t d t = ∫ 0 ∞ F ( p ) d p . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp.} Για παράδειγμα, ∫ 0 ∞ cos ⁡ a t − cos ⁡ b t t d t = ∫ 0 ∞ ( p p 2 + a 2 − p p 2 + b 2 ) d p = 1 2 ln ⁡ p 2 + a 2 p 2 + b 2 | 0 ∞ = ln ⁡ b − ln ⁡ a . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos at-\cos bt}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp={\frac {1}{2}}\left.\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right|_{0}^{\infty }=\ln b-\ln a.} Ένα άλλο παράδειγμα είναι το ολοκλήρωμα Ντίριχλετ ( Dirichlet integral). Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός Λαπλάς-Στάιλτζες (Laplace-Stieltjes) από μια συνάρτηση g : R → R ορίζεται από το ολοκλήρωμα Λεμπεσκουέ-Στάιλτζες (Lebesgue-Stieltjes) { L ∗ g } ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s t d g ( t ) . {\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}dg(t).} Η συνάρτηση g υποτίθεται ότι είναι από περιορισμένη μεταβολή (μεταβολή). Αν η g είναι το ολοκλήρωμα της ƒ: g ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt} τότε ο μετασχηματισμός Λαπλας-Στάιλτζες της g και ο μετασχηματισμός Laplace της ƒ συμπίπτουν. Σε γενικές γραμμές, ο μετασχηματισμός Λαπλας-Στάιλτζες, είναι ο μετασχηματισμός Λαπλάς του μέτρου Στάιλτζες που συνδέεται με τη g. Έτσι, στην πράξη, η μόνη διάκριση μεταξύ των δύο μετασχηματισμών είναι ότι ο μετασχηματισμός Λαπλάς θεωρείται ότι λειτουργεί ως συνάρτηση πυκνότητας του μέτρου, ενώ ο μετασχηματισμός Λαπλάς-Στάιλτζες θεωρηθεί ότι λειτουργεί ως αθροιστική συνάρτηση. Ο συνεχής μετασχηματισμός Φουριέ είναι ισοδύναμος με τον δίπλευρο μετασχηματισμό Λαπλάς με φανταστικά ορίσματα s = iω or s = 2πfi : f ^ ( ω ) = F { f ( t ) } = L { f ( t ) } | s = i ω = F ( s ) | s = i ω = ∫ − ∞ ∞ e − ı ω t f ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}\\[1em]&={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[1em]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.\\\end{aligned}}} Αυτή η έκφραση δεν λαμβάνει υπόψη τον παράγοντα 1 / 2 π {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}} , ο οποίος συχνά συμπεριλαμβάνεται στους ορισμούς του μετασχηματισμού Φουριέ. Αυτή η σχέση μεταξύ του Λαπλάς και Φουριέ μετασχηματισμών συχνά χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του φάσματος συχνοτήτων ενός σήματος ή δυναμικού συστήματος. Η παραπάνω σχέση ισχύει όπως αναφέρεται αν και μόνο αν η περιοχή σύγκλισης (ROC) της F (s) περιέχει το φανταστικό άξονα, σ = 0. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(t) = cos(ω0t) έχει μετασχηματισμό Λαπλάς F(s) = s/(s2 + ω02) των οποίων η ROC είναι Re(s) > 0. Όπως το s = iω αποτελεί πόλο F(s), αντικαθιστώντας s = iω in F(s) στο F(s) δεν δίνει το μετασχηματισμό Fourier της 'f(t)u(t), η οποία είναι ανάλογη με την συνάρτηση Ντιράκ δ(ω-ω0). Ωστόσο η σχέση αυτής της μορφής lim σ → 0 + F ( σ + i ω ) = f ^ ( ω ) {\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )} κατέχει πολύ ασθενέστερες συνθήκες. Για παράδειγμα, αυτό ισχύει και για το παραπάνω παράδειγμα με την προϋπόθεση ότι το όριο είναι αντιληπτό ως αδύναμο όριο του μέτρου (δες ασαφή τοπολογία (vague topology)) Γενικές συνθήκες σχετίζουν το όριο του μετασχηματισμού λαπλάς μιας συνάρτησης με το σύνορο μετασχηματισμού φουριέ όπως φαίνεται και από την μορφή των Πάλει-Γουίνερ θεωρημάτων (Paley-Wiener theorems). Ο μετασχηματισμός Μέλιν και ο αντίστροφος του σχετίζονται με τον δίπλευρο μετασχηματισμό Λαπλάς με μία απλή αλλαγή των μεταβλητών. Εάν στον μετασχηματισμό Mellin G ( s ) = M { g ( θ ) } = ∫ 0 ∞ θ s g ( θ ) d θ θ {\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta ){\frac {d\theta }{\theta }}} Θέσουμε θ = e-t θα πάρουμε τον μετασχηματισμό Λαπλάς Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Ζ είναι απλά ο μετασχηματισμός Λαπλάς ενός ιδεατού δειγματοληπτικού σήματος με την αντικατάσταση z = d e f e s T {\displaystyle z\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{sT}\ } όπου T = 1 / f s {\displaystyle T=1/f_{s}\ } είναι η περίοδος δειγματοληψίας (μονάδα σε δευτερόλεπτα) και η συχνότητα δειγματοληψίας f s {\displaystyle f_{s}\ } (σε (Herz ή δείγματα ανά δευτερόλεπτο).Έστω Δ T ( t ) = d e f ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)} Είναι τα δείγματα από μια συνάρτηση κρουστικό τρένο (impulse train) ή αλλιώς συνάρτηση Ντιράκ Κομπ ([Dirac comb) και x q ( t ) = d e f x ( t ) Δ T ( t ) = x ( t ) ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) = ∑ n = 0 ∞ x ( n T ) δ ( t − n T ) = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] δ ( t − n T ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}} Είναι η συνεχής αναπαράσταση στο χρόνο x ( t ) {\displaystyle x(t)\ } x [ n ] = d e f x ( n T ) {\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)\ } είναι τα διακριτά δείγματα της x ( t ) {\displaystyle x(t)\ } . Ο μετασχηματισμός Λαπλάς μιας διακριτής συνάρτησης x q ( t ) {\displaystyle x_{q}(t)\ } είναι X q ( s ) = ∫ 0 − ∞ x q ( t ) e − s t d t = ∫ 0 − ∞ ∑ n = 0 ∞ x [ n ] δ ( t − n T ) e − s t d t = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] ∫ 0 − ∞ δ ( t − n T ) e − s t d t = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] e − n s T . {\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}.\end{aligned}}} Αυτός είναι ο ακριβής ορισμός του μονόπλευρου μετασχηματισμού Ζ της διακριτής x [ n ] {\displaystyle x[n]\ } X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}} Με αντικατάσταση z ← e s T {\displaystyle z\leftarrow e^{sT}\ } . Συγκρίνοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις βρίσκουμε την σχέση μεταξύ μονόπλευρου μετασχηματισμού Ζ και Μετασχηματισμού Λαπλάς ενός δειγματοληπτικού σήματος: X q ( s ) = X ( z ) | z = e s T . {\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.} Η ομοιότητα του μετασχηματισμού Ζ και του Λαπλάς επεκτείνεται πάνω στη θεωρία του λογισμού χρονικής κλίμακας (time scale calculus) Η μορφή ολοκληρώματος στον μετασχηματισμό Μπόρελ είναι F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( z ) e − s z d z {\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz} Είναι η ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού Λαπλάς όπου ƒ μια ολόκληρη συνάρτηση εκθετικού τύπου, εννοώντας ότι | f ( z ) | ≤ A e B | z | {\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}} Για κάποιες σταθερές A και B. Ο γενικευμένος μετασχηματισμός Μπόρελ επιτρέπει μία διαφορετική συνάρτηση βαρύτητας να χρησιμοποιηθεί, αντί της εκθετικής συνάρτησης, για να μετασχηματίζει συναρτήσεις μη εκθετικού τύπου. Το θεώρημα Νάσμπιν (Nachbin's theorem) δίνει τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τον μετασχηματισμό ώστε να οριστεί καλά. Εφόσον ο συνηθισμένος μετασχηματισμός Λαπλάς μπορεί να γραφτεί ως μία ειδική περίπτωση του δίπλευρου μετασχηματισμού και εφόσον ο δίπλευρος μετασχηματισμός μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο μονόπλευρων μετασχηματισμών, η θεωρία των Λαπλάς-, Φουριέ-, Μελίν-, και Z-μετασχηματισμών είναι στη βάση της το ίδιο. Ωστόσο διαφορετικές οπτικές γωνίες και διαφορετικά χαρακτηριστικά προβλήματα σχετίζονται για τους τέσσερις σημαντικούς ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τον μετασχηματισμό Λαπλάς για πολύ συνηθισμένες συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Για ορισμούς και εξηγήσεις, δες τα επεξηγητικά σχόλια στο τέλος του πίνακα. Επειδή ο μετασχηματισμός λαπλάς έχει είναι μία γραμμική διαδικασία: Ο μετασχηματισμός Λαπλάς ενός αθροίσματος είναι το άθροισμα των όρων ξεχωριστά. . L { f ( t ) + g ( t ) } = L { f ( t ) } + L { g ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}} Ο μετασχηματισμός Λαπλάς μιας συνάρτησης πολλαπλασιασμένη με ένα σταθερό όρο είναι ο μετασχηματισμός Λαπλάς της συνάρτησης επί το όρο αυτόν.. L { a f ( t ) } = a L { f ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}} Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Λαπλάς παίρνει σαν είσοδο μία συνάρτηση όπου το πεδίο του χρόνου είναι μη αρνητικό, και αυτό διότι όλες οι συναρτήσεις στο πεδίο του χρόνου είναι πολλαπλάσιες της βηματικής συνάρτησης, u(t). Οι είσοδοι του πίνακα που εμπλέκουν μία χρονική καθυστέρηση τ πρέπει να είναι αιτιακές. (δηλαδή τ > 0). Ένα αιτιατό σύστημα είναι ένα σύστημα όπου η κρουστική απόκριση h(t) είναι μηδέν για κάθε t εκ των προτέρων t = 0. Γενικά η περιοχή σύγκλισης για τα αιτιατά συστήματα δεν είναι ίδια για τα μη αιτιατά συστήματα. Ο μετασχηματισμός λαπλάς συχνά χρησιμοποιείται στην ανάλυση κυκλωμάτων, και απλές μετατροπές στο πεδίο- s των κυκλωματικών στοιχείων μπορούν να επιτευχθούν με ευκολία. Τα κυκλωματικά στοιχεία μετατρέπονται σε σύνθετες αντιστάσεις παρόμοιες με τις διανυσματικές αντιστάσεις. Σημειώστε ότι ο αντιστάτης είναι ακριβώς ίδιος και στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο s. Οι πηγές τοποθετούνται σε περίπτωση που υπάρχουν αρχικές συνθήκες στα κυκλωματικά στοιχεία. Για παράδειγμα εάν ένας πυκνωτής έχει μία αρχική τάση ή ένα πηνίο έχει ένα αρχικό ρεύμα, οι πηγές εισέρχονται στο πεδίο του s δίνοντας τις τιμές αυτές. Οι ισοδυναμίες για το ρεύμα και την τάση παίρνονται από τους απλούς μετασχηματισμούς του παραπάνω πίνακα. Ο μετασχηματισμός Λαπλάς χρησιμοποιείται συχνά στη μηχανική και στη φυσική. Η έξοδος ενός γραμμικά χρονικά αμετάβλητου συστήματος (χρονικά αμετάβλητο σύστημα) μπορεί να υπολογισθεί από την συνέλιξη της μοναδιαίας βηματικής απόκρισης με το σήμα εισόδου. Παρουσιάζοντας τον υπολογισμό στο χώρο του λαπλάς η συνέλιξη μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό. Με αυτό τον τρόπο είναι εύκολη η λύση του γιατί είναι σε αλγεβρικά μορφή. Για περισσότερες πληροφορίες δείτε την θεωρία ελέγχου. Ο μετασχηματισμός Λαπλάς επίσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση διαφορικής εξίσωσης και χρησιμοποιείται πολύ στην ηλεκτρική μηχανική. Ο μετασχηματισμός Λαπλάς μετατρέπει μια γραμμική διαφορική εξίσωση σε μια αλγεβρική εξίσωση, η οποία στη συνέχεια μπορεί να λυθεί από τους βασικούς κανόνες της άλγεβρας. Η αρχική διαφορική εξίσωση μπορεί να λυθεί έπειτα από τον αντίστροφο μετασχηματισμό λαπλάς. Ο Άγγλος ηλεκτρολόγος μηχανικός Όλιβερ Χέβισαιντ (Oliver Heaviside) πρώτος πρότεινε ένα παρόμοιο θέμα, χωρίς να χρησιμοποιεί τον μετασχηματισμό Λαπλάς. Έτσι ο λειτουργικός λογισμός (operational calculus) ονομάστηκε ως λογισμός Χέβισαιντ. Στην πυρηνική φυσική οι παρακάτω θεμελιώδεις σχέση αντιπροσωπεύει την ραδιενεργή αποσύνθεση (radioactive decay): ο αριθμός των ραδιενεργών ατόμων Ν είναι ένα δείγμα ενός ραδιενεργού ισοτόπου που αποσυντίθεται με ρυθμό ανάλογο του Ν. Αυτό μας οδηγεί στην πρώτης τάξης γραμμική διαφορική εξίσωση. d N d t = − λ N {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N} Όπου λ είναι η σταθερά αποσύνθεσης (decay constant). Ο μετασχηματισμός Λαπλάς, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την λύση αυτής της εξίσωσης. Ανακατανέμοντας την εξίσωση στη μία πλευρά έχουμε d N d t + λ N = 0. {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}+\lambda N=0.} Στην συνέχεια παίρνουμε τον μετασχηματισμό Λαπλάς και των δύο μερών της εξίσωσης: ( s N ~ ( s ) − N o ) + λ N ~ ( s ) = 0 {\displaystyle \left(s{\tilde {N}}(s)-N_{o}\right)+\lambda {\tilde {N}}(s)\ =\ 0} όπου N ~ ( s ) = L { N ( t ) } {\displaystyle {\tilde {N}}(s)={\mathcal {L}}\{N(t)\}} και N o = N ( 0 ) . {\displaystyle N_{o}\ =\ N(0).} Λύνοντας βρίσκουμε N ~ ( s ) = N o s + λ . {\displaystyle {\tilde {N}}(s)={N_{o} \over s+\lambda }.} Τελικά, παίρνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό λαπλάς βρίσκοντας την γενική λύση N ( t ) = L − 1 { N ~ ( s ) } = L − 1 { N o s + λ } = N o e − λ t , {\displaystyle {\begin{aligned}N(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{{\tilde {N}}(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {N_{o}}{s+\lambda }}\right\}\\&=\ N_{o}e^{-\lambda t},\end{aligned}}} Η οποία πράγματι είναι σύμφωνη με την ραδιενεργή αποσύνθεση. Στην θεωρία των ηλεκτρικών κυκλωμάτων το ρεύμα που διαρέει ένα πυκνωτή είναι ανάλογο με την χωρητικότητα και τον ρυθμό αλλαγής του ηλεκτρικού φορτίου. Συμβολικά αυτό εκφράζεται από την εξίσωση i = C d v d t {\displaystyle i=C{dv \over dt}} Όπου C είναι η χωρητικότητα (σε Φαράντ) του πυκνωτή, i = i(t) είναι το ηλεκτρικό ρεύμα (σε αμπέρ) ως συνάρτηση του χρόνου, και v = v(t) είναι η ηλεκτρική τάση (σε βολτ) στα άκρα του πυκνωτή, επίσης συνάρτηση του χρόνου. Παίρνοντας τον μετασχηματισμό Λαπλάς της παραπάνω εξίσωσης έχουμε I ( s ) = C ( s V ( s ) − V o ) {\displaystyle I(s)=C\left(sV(s)-V_{o}\right)} όπου I ( s ) = L { i ( t ) } , {\displaystyle I(s)={\mathcal {L}}\{i(t)\},\,} V ( s ) = L { v ( t ) } , {\displaystyle V(s)={\mathcal {L}}\{v(t)\},\,} kai V o = v ( t ) | t = 0 . {\displaystyle V_{o}\ =\ v(t)|_{t=0}.\,} Λύνοντας ως προς V(s) έχουμε V ( s ) = I ( s ) s C + V o s . {\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{o} \over s}.} Ο ορισμός της μιγαδικής αντίστασης Ζ (σε Ωμ) είναι ο ρυθμός της μιγαδικής τάσης διαιρεμένη με το μιγαδικό ρεύμα Ι, καθώς η αρχική κατάσταση Vo είναι μηδέν : Z ( s ) = V ( s ) I ( s ) | V o = 0 . {\displaystyle Z(s)={V(s) \over I(s)}{\bigg |}_{V_{o}=0}.} Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της προηγούμενης εξίσωσης προκύπτει Z ( s ) = 1 s C , {\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},} η οποία είναι η σωστή έκφραση της μιγαδικής αντίστασης του πυκνωτή. Θεωρώντας ένα γραμμικό αμετάβλητο σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H ( s ) = 1 ( s + α ) ( s + β ) . {\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.} Η κρουστική απόκριση είναι απλά ο αντίστροφος μετασχηματισμός Λαπλάς της συνάρτησης μεταφοράς h ( t ) = L − 1 { H ( s ) } . {\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.} Για να υπολογίσουμε το παραπάνω αντίστροφο μετασχηματισμό, ξεκινάμε με το να σπάσουμε την H(s) χρησιμοποιώντας την μέθοδο μερικών κλασμάτων 1 ( s + α ) ( s + β ) = P s + α + R s + β . {\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.} Η άγνωστη σταθερά P και R είναι τα μηδενικά (residues) τοποθετημένα στους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς Κάθε μηδενικό αντιπροσωπεύει την σχετική συμβολή της μοναδικότητας στο συνολικό σχήμα της συνάρτησης μεταφοράς. Από το θεώρημα αρχικής τιμής (residue theorem), ο αντίστροφος μετασχηματισμός Λαπλάς εξαρτάται μόνο από τους πόλους και τα αντίστοιχα μηδενικά τους.Για να βρούμε το μηδενικό P πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές με την εξίσωση s + α για να πάρουμε 1 s + β = P + R ( s + α ) s + β . {\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.} Τότε θέτοντας s = −α, η συμβολή του R εξαφανίζεται και γίνεται P = 1 s + β | s = − α = 1 β − α . {\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.} Ομοίως το μηδενικό R βρίσκεται από R = 1 s + α | s = − β = 1 α − β . {\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.} Σημειώνουμε ότι R = − 1 β − α = − P {\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P} Έτσι η αντικατάσταση των P και R στην H(s) μας δίνει H ( s ) = ( 1 β − α ) ⋅ ( 1 s + α − 1 s + β ) . {\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).} Τελικά χρησιμοποιώντας την γραμμική ιδιότητα και τον γνωστό μετασχηματισμό της εκθετικής συνάρτησης (δες γραμμή #3 στον πίνακα μετασχηματισμού Λαπλάς)), παίρνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό της H(s): h ( t ) = L − 1 { H ( s ) } = 1 β − α ( e − α t − e − β t ) , {\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),} Ο οποίος είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος. Παρόμοιο αποτέλεσμα μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της συνέλιξης σε ένα σύστημα φίλτρων με συναρτήσεις μεταφοράς 1/(s+a) και 1/(s+b). Ο αντίστροφος μετασχηματισμός της H ( s ) = 1 ( s + a ) ( s + b ) = 1 s + a ⋅ 1 s + b {\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+a)(s+b)}}={\frac {1}{s+a}}\cdot {\frac {1}{s+b}}} είναι L − 1 { 1 s + a } ∗ L − 1 { 1 s + b } = e − a t ∗ e − b t = ∫ 0 t e − a x e − b ( t − x ) d x = e − a t − e − b t b − a . {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{{\frac {1}{s+a}}\}\,*\,{\mathcal {L}}^{-1}\{{\frac {1}{s+b}}\}=e^{-at}\,*\,e^{-bt}=\int _{0}^{t}e^{-ax}e^{-b(t-x)}\,dx={\frac {e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}}.} Ξεκινώντας με τον μετασχηματισμό Λαπλάς της X ( s ) = s + β ( s + α ) 2 + ω 2 , {\displaystyle X(s)={\frac {s+\beta }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}},} Βρίσκουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό από την πρώτη προσθέτοντας και αφαιρώντας την ίδια μεταβλητή α στον αριθμητή : X ( s ) = s + α ( s + α ) 2 + ω 2 + β − α ( s + α ) 2 + ω 2 . {\displaystyle X(s)={\frac {s+\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\beta -\alpha }{(s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}.} Από την ιδιότητα ολίσθησης φάσης έχουμε, x ( t ) = e − α t L − 1 { s s 2 + ω 2 + β − α s 2 + ω 2 } = e − α t L − 1 { s s 2 + ω 2 + ( β − α ω ) ( ω s 2 + ω 2 ) } = e − α t [ L − 1 { s s 2 + ω 2 } + ( β − α ω ) L − 1 { ω s 2 + ω 2 } ] . {\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=e^{-\alpha t}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{s \over s^{2}+\omega ^{2}}+{\beta -\alpha \over s^{2}+\omega ^{2}}\right\}\\[8pt]&=e^{-\alpha t}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{s \over s^{2}+\omega ^{2}}+\left({\beta -\alpha \over \omega }\right)\left({\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}\right)\right\}\\[8pt]&=e^{-\alpha t}\left[{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{s \over s^{2}+\omega ^{2}}\right\}+\left({\beta -\alpha \over \omega }\right){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}\right\}\right].\end{aligned}}} Τελικά χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό για το ημίτονο και το συνημίτονο θα έχουμε x ( t ) = e − α t [ cos ⁡ ( ω t ) u ( t ) + ( β − α ω ) sin ⁡ ( ω t ) u ( t ) ] . {\displaystyle x(t)=e^{-\alpha t}\left[\cos {(\omega t)}u(t)+\left({\frac {\beta -\alpha }{\omega }}\right)\sin {(\omega t)}u(t)\right].} x ( t ) = e − α t [ cos ⁡ ( ω t ) + ( β − α ω ) sin ⁡ ( ω t ) ] u ( t ) . {\displaystyle x(t)=e^{-\alpha t}\left[\cos {(\omega t)}+\left({\frac {\beta -\alpha }{\omega }}\right)\sin {(\omega t)}\right]u(t).} Ξεκινώντας από τον μετασχηματισμό Λαπλάς X ( s ) = s sin ⁡ ϕ + ω cos ⁡ ϕ s 2 + ω 2 {\displaystyle X(s)={\frac {s\sin \phi +\omega \cos \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}} Βρίσκουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό πρώτα αναλύοντας το κλάσμα σε δύο κλάσματα με τον ίδιο παρανομαστή : X ( s ) = s sin ⁡ ϕ s 2 + ω 2 + ω cos ⁡ ϕ s 2 + ω 2 = ( sin ⁡ ϕ ) ( s s 2 + ω 2 ) + ( cos ⁡ ϕ ) ( ω s 2 + ω 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=(\sin \phi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+(\cos \phi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}} Τώρα είμαστε ικανοί να πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό των αντίστοιχων όρων : x ( t ) = ( sin ⁡ ϕ ) L − 1 { s s 2 + ω 2 } + ( cos ⁡ ϕ ) L − 1 { ω s 2 + ω 2 } = ( sin ⁡ ϕ ) ( cos ⁡ ω t ) + ( sin ⁡ ω t ) ( cos ⁡ ϕ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=(\sin \phi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+(\cos \phi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=(\sin \phi )(\cos \omega t)+(\sin \omega t)(\cos \phi ).\end{aligned}}} Αυτό είναι ένα άθροισμα ημιτόνων των ορισμάτων : x ( t ) = sin ⁡ ( ω t + ϕ ) . {\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\phi ).} Με απλή λογική προκύπτει το παρακάτω L − 1 { s cos ⁡ ϕ − ω sin ⁡ ϕ s 2 + ω 2 } = cos ⁡ ( ω t + ϕ ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \phi -\omega \sin \phi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\phi )}.\ } Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 3764365498 . Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd έκδοση), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0071160434 . Davies, Brian (2002), Integral transforms and their applications (Third έκδοση), New York: Springer, ISBN 0-387-95314-0 . Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403 . Korn, G.A.; Korn, T.M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd έκδοση), McGraw-Hill Companies, ISBN 0-0703-5370-0 . Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 0-8493-2876-4 . Schwartz, Laurent (1952), «Transformation de Laplace des distributions», Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] 1952: 196–206, MR 0052555 . Siebert, William McC. (1986), Circuits, Signals, and Systems, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 0-262-19229-2 . Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923 . Widder, David Vernon (1945), «What is the Laplace transform?», The American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 52, No. 8) 52 (8): 419–425, doi:10.2307/2305640, MR 0013447, ISSN 0002-9890 . Deakin, M. A. B. (1981), «The development of the Laplace transform», Archive for the History of the Exact Sciences 25 (4): 343–390, doi:10.1007/BF01395660 Deakin, M. A. B. (1982), «The development of the Laplace transform», Archive for the History of the Exact Sciences 26: 351–381 Euler, L. (1744), «De constructione aequationum», Opera omnia, 1st series 22: 150–161 . Euler, L. (1753), «Methodus aequationes differentiales», Opera omnia, 1st series 22: 181–213 . Euler, L. (1769), «Institutiones calculi integralis, Volume 2», Opera omnia, 1st series 12 , Chapters 3–5. Grattan-Guinness, I (1997), «Laplace's integral solutions to partial differential equations», στο: Gillispie, C. C., επιμ., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-01185-0 . Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, σελ. 171–234 . Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations. Weisstein, Eric W., "Laplace Transform" από το MathWorld. Laplace Transform Module by John H. Mathews Good explanations of the initial and final value theorems Αρχειοθετήθηκε 2009-01-08 στο Wayback Machine. Laplace Transforms at MathPages Laplace and Heaviside at Interactive maths. Laplace Transform Table and Examples at Vibrationdata. Examples Αρχειοθετήθηκε 2009-01-22 στο Wayback Machine. of solving boundary value problems (PDEs) with Laplace Transforms Computational Knowledge Engine allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.