Ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος δίνει ένα κάτω φράγμα στην ένωση γεγονότων. Πιο συγκεκριμένα, για οποιαδήποτε n {\displaystyle n} γεγονότα A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}} με Pr ( A 1 ∪ … ∪ A n ) > 0 {\displaystyle \Pr(A_{1}\cup \ldots \cup A_{n})>0} , ισχύει ότι Pr ( ⋃ i = 1 n A i ) ≥ ( ∑ i = 1 n Pr ( A i ) ) 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n Pr ( A i ∩ A j ) . {\displaystyle \Pr \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}\Pr(A_{i})\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\Pr(A_{i}\cap A_{j})}}.} Στην εργασία των Τσουνγκ και Έρντος η ανισότητα εμφανίζεται με την ισοδύναμη μορφή, 2 ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n Pr ( A i ∩ A j ) ≥ ( Pr ( ⋃ i = 1 n A i ) ) − 1 ⋅ ( ∑ i = 1 n Pr ( A i ) ) 2 − ∑ i = 1 n Pr ( A i ) . {\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\Pr(A_{i}\cap A_{j})\geq \left(\Pr \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\right)^{-1}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\Pr(A_{i})\right)^{2}-\sum _{i=1}^{n}\Pr(A_{i}).}

 Η απόδειξη στηρίζεται στην εξής ανισότητα της μεθόδου της δεύτερης ροπής, όπου για κάθε μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} , Pr ( X > 0 ) ≥ ( E ⁡ ( X ) ) 2 E ⁡ ( X 2 ) . {\displaystyle \Pr(X>0)\geq {\frac {(\operatorname {E} (X))^{2}}{\operatorname {E} (X^{2})}}.} Θα χρησιμοποιήσουμε τις δείκτριες τυχαίες μεταβλητές 1 A i {\displaystyle \mathbf {1} _{A_{i}}} για τα γεγονότα A i {\displaystyle A_{i}} . Από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών έχουμε ότι ∑ i = 1 n Pr ( A i ) = ∑ i = 1 n E ⁡ ( 1 A i ) = E ⁡ ( ∑ i = 1 n 1 A i ) , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\Pr(A_{i})=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A_{i}})=\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{A_{i}}\right),} και 2 ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n Pr ( A i ∩ A j ) = 2 ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n E ⁡ ( 1 A i 1 A j ) = E ⁡ ( 2 ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n 1 A i 1 A j ) . {\displaystyle 2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\Pr(A_{i}\cap A_{j})=2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A_{i}}\mathbf {1} _{A_{j}})=\operatorname {E} \left(2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\mathbf {1} _{A_{i}}\mathbf {1} _{A_{j}}\right).} Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις έχουμε ότι, Επίσης, η πιθανότητα να γίνει οποιοδήποτε από τα n {\displaystyle n} γεγονότα A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}} είναι ισοδύναμη με την πιθανότητα το άθροισμα των δεικτών να είναι μεγαλύτερο του μηδενός. Επομένως, Επομένως συνδυάζοντας τις (1) και (2) η αρχική ανισότητα γράφεται ως εξής Pr ( ∑ i = 1 n 1 A i > 0 ) ⋅ E ⁡ ( ( ∑ i = 1 n 1 A i ) 2 ) ≥ ( E ⁡ ( ∑ i = 1 n 1 A i ) ) 2 {\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{A_{i}}>0\right)\cdot \operatorname {E} \left(\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{A_{i}}\right)^{2}\right)\geq \left(\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{A_{i}}\right)\right)^{2}} Θέτοντας X = ∑ i = 1 n 1 A i {\displaystyle \textstyle X=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{A_{i}}} , η ανισότητα παίρνει την μορφή Pr ( X > 0 ) ⋅ E ⁡ ( X 2 ) ≥ ( E ⁡ ( X ) ) 2 , {\displaystyle \Pr \left(X>0\right)\cdot \operatorname {E} (X^{2})\geq (\operatorname {E} (X))^{2},} η οποία προκύπτει από αναδιάταξη της ανισότητα της μεθόδου της δεύτερης ροπής. Ανισότητα Μπουλ Ανισότητες Μπονφερρόνι