Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ

Ο Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ (Joseph-Louis Lagrange ή Giuseppe Lodovico Lagrangia, 25 Ιανουαρίου 1736 – 10 Απριλίου 1813) ήταν Ιταλός μαθηματικός, φυσικός και αστρονόμος, που έζησε το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του στην Πρωσία και τη Γαλλία. Έκανε πολύ σημαντικές μελέτες συνεισφέροντας σε όλα τα πεδία της μαθηματικής ανάλυσης, στη θεωρία αριθμών, αλλά και στην κλασσική μηχανική και ουράνια μηχανική. Το 1766, κατόπιν υποδείξεως του Όιλερ και του ντ' Αλαμπέρ, διαδέχτηκε τον πρώτο στη θέση του διευθυντή Μαθηματικών στην Πρωσική Ακαδημία Επιστημών, στο Βερολίνο, θέση όπου παρέμεινε για είκοσι χρόνια, παράγοντας μεγάλο έργο και κερδίζοντας πολλά βραβεία. Η πραγματεία του Λαγκράνζ στην αναλυτική μηχανική (Traité de Μécanique Αnalytique), που γράφτηκε στο Βερολίνο και εκδόθηκε το 1788, ήταν η πιο συστηματική μελέτη της κλασσικής μηχανικής από την εποχή του Νεύτωνα και αποτέλεσε τη βάση της μετέπειτα εξέλιξης της μαθηματικής φυσικής στον δέκατο ένατο αιώνα. Οι γονείς του Λαγκράνζ ήταν Ιταλοί, αν και ο προ-παππούς του, από το γενεαλογικό δένδρο του πατέρα του, ήταν Γάλλος. Το 1787, στην ηλικία των 51, μετακόμισε από το Βερολίνο στη Γαλλία και έγινε μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας. Παρέμεινε στη Γαλλία μέχρι το τέλος της ζωής του. Επομένως, ο Λαγκράνζ εναλλακτικά θεωρείται Γάλλος και Ιταλός επιστήμονας. Ο Λαγκράνζ επέζησε της Γαλλικής Επανάστασης και έγινε ο πρώτος καθηγητής της ανάλυσης στην École polytechnique μετά το άνοιγμά της το 1794. Ο Λαγκράνζ διορίστηκε γερουσιαστής το 1799, και ο Ναπολέων του έδωσε τον τίτλο της Λεγεώνα της Τιμής το 1803 και τον έκανε Κόμη της αυτοκρατορίας το 1808.Είναι θαμμένος στο Πάνθεον και το όνομά του εμφανίζεται ανάμεσα στα 72 ονόματα που είναι χαραγμένα στον Πύργο του Άιφελ.

 Ο Λαγκράνζ ήταν ένας από τους δημιουργούς του λογισμού των μεταβολών, αφού δημιούργησε την εξίσωση για τα ακρότατα των συναρτήσεων. Αυτός επίσης επέκτεινε τη μέθοδο λαμβάνοντας υπόψη τους πιθανούς περιορισμούς, καταλήγοντας έτσι στη μέθοδο πολλαπλασιαστών Λαγκράνζ. Ο Λαγκράνζ επινόησε τη μέθοδο της επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, γνωστή ως μεταβολή των παραμέτρων, εφάρμοσε τον διαφορικό λογισμό και τη Θεωρία πιθανοτήτων και έκανε αξιόλογη δουλειά στη λύση των εξισώσεων. Απέδειξε ότι κάθε φυσικός αριθμός είναι ένα άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων. Στην διατριβή του Θεωρία των Αναλυτικών Λειτουργιών βρίσκονται μερικά από τα θεμέλια της θεωρίας των ομάδων προετοιμάζοντας το έδαφος για τον Γκαλουά. Στον λογισμό ο Λαγκράνζ ανέπτυξε μια καινούρια προσέγγιση στην παρεμβολή και στις σειρές Taylor. Μελέτησε το πρόβλημα των τριών σωμάτων για τη γη, τον ήλιο και τη σελήνη (1764) και την κίνηση των δορυφόρων του Δία (1766) και το 1722 βρήκε τις λύσεις σε αυτή την ειδική περίπτωση του προβλήματος που βρίσκεται σε αυτά που είναι γνωστά ως σημεία Λαγκράνζ. Αλλά πάνω από όλα εντυπωσίασε στην μηχανική, έχοντας μεταμορφώσει τη Νευτώνεια μηχανική σε έναν τομέα ανάλυσης, την Λαγκρανζιανή μηχανική όπως λέγεται τώρα, και παρουσίασε τις επονομαζόμενες Αρχές της Μηχανικής ως απλά αποτελέσματα του λογισμού των μεταβολών. Ο Λαγκράνζ ήταν γαλλικής και ιταλικής καταγωγής (ο προπάππος του, από το γενεαλογικό δένδρο του πατέρα του, ήταν Γάλλος αξιωματικός του στρατού ο οποίος στη συνέχεια μετακόμισε στο Τορίνο) με το όνομα Giuseppe Lodovico Lagrangia.Ο πατέρας του, ο οποίος ήταν υπεύθυνος του Στρατού του Βασιλείου της Σαρδηνίας, ήταν ευκατάστατος και είχε καλή κοινωνική θέση, αλλά πριν ο γιος του μεγαλώσει είχε χάσει το μεγαλύτερο μέρος της περιουσίας του σε κερδοσκοπίες, και ο μικρός Λαγκράνζ έπρεπε να βασιστεί στις δικές του ικανότητες για την δική του κοινωνική θέση. Ανατράφηκε ως Ρωμαιοκαθολικός, όμως αργότερα, έγινε αγνωστικιστής. Σπούδασε στο κολέγιο του Τορίνο, αλλά μόλις στα δεκαεπτά του έδειξε κάποια προτίμηση για τα μαθηματικά - πρώτη φορά το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά κέντρισε μία δημοσίευση από τον Έντμουντ Χάλλεϋ την οποία βρήκε τυχαία. Μόνος και αβοήθητος ο ίδιος απορροφήθηκε σε μαθηματικές μελέτες. Στο τέλος ενός αδιάκοπου γεμάτου μόχθου έτους ήταν ήδη καταξιωμένος μαθηματικός, και έγινε λέκτορας στη Σχολή Πυροβολικού. Λογισμός μεταβολών Ο Λαγκράνζ είναι ένας από τους ιδρυτές του λογισμού των μεταβολών. Ξεκινώντας το 1754, εργάστηκε για το πρόβλημα της ισοχρόνιας καμπύλης, ανακαλύπτοντας μια μέθοδο για τη μεγιστοποίηση και την ελαχιστοποίηση συναρτήσεων με έναν τρόπο παρόμοιο με την εύρεση ακρότατων συναρτήσεων. Ο Λαγκράνζ έγραψε πολλές επιστολές προς τον Λέοναρντ Όιλερ μεταξύ 1754 και 1756 στις οποίες περιγράφει τα αποτελέσματα του. Περιέγραψε τον «δ-αλγόριθμο», που οδηγεί στις εξισώσεις Όιλερ - Λαγκράνζ του Λογισμού Μεταβολών και απλουστεύει σημαντικά την προηγούμενη ανάλυση του Όιλερ. Ο Λαγκράνζ επίσης εφάρμοσε τις ιδέες του για τα προβλήματα της κλασικής μηχανικής, γενικεύοντας τα αποτελέσματα των Όιλερ και Μωπερτουί (Maupertuis). Ο Όιλερ ήταν πολύ εντυπωσιασμένος με τα αποτελέσματα του Λαγκράνζ. Είχε ειπωθεί ότι "με χαρακτηριστική ευγένεια του παρακράτησε ένα έγγραφο που είχε ήδη γράψει, το οποίο κάλυπτε ορισμένα από τα ίδια πεδία, σε περίπτωση που ο νεαρός Ιταλός είχε χρόνο για να ολοκληρώσει το έργο του, και να διεκδικήσουν την αδιαφιλονίκητη εφεύρεση του νέου λογισμού". Ωστόσο, αυτή η ιπποτική άποψη έχει αμφισβητηθεί. Ο Λαγκράνζ δημοσίευσε τη μέθοδό του σε δύο απομνημονεύματα του στο Turin Society το 1762 και 1773. Miscellanea Taurinensia Το 1758, με τη βοήθεια των μαθητών του, ο Λαγκράνζ δημιούργησε μια ομάδα, η οποία στη συνέχεια έγινε γνωστή ως Ακαδημία Επιστημών του Τορίνο, και τα περισσότερα από τα πρώτα γραπτά του μπορούν να βρεθούν στους πέντε τόμους των πράξεών της, γνωστοί ως "Miscellanea Taurinensia". Πολλές από αυτές είναι περίτεχνα έγγραφα. Ο πρώτος τόμος περιέχει ένα έγγραφο σχετικά με τη θεωρία της διάδοσης του ήχου. Σε αυτό δείχνει ένα λάθος που γίνεται από τον Νεύτωνα, χρησιμοποιεί τη γενική διαφορική εξίσωση της κίνησης, και την ενσωματώνει στην κίνηση σε ευθεία γραμμή. Αυτό το τεύχος περιλαμβάνει επίσης την πλήρη λύση του προβλήματος μιας σειρά εγκάρσιων παλμών. Σε αυτό το έγγραφο επισημαίνει την έλλειψη γενικότητας των λύσεων που δόθηκαν προηγουμένως από τους Μπρουκ Τέιλορ, Ντ'Αλαμπέρ και Όιλερ και καταλήγει στο συμπέρασμα ότι η μορφή της καμπύλης σε οποιοδήποτε χρόνο t {\displaystyle t} δίνεται από την εξίσωση y = a sin ⁡ ( m x ) sin ⁡ ( n t ) {\displaystyle y=a\sin(mx)\sin(nt)\,} . Το άρθρο τελειώνει με μια αριστοτεχνική συζήτηση σχετικά με ήχους ένωσης,την ηχώ και τους παλμούς. Άλλα άρθρα σε αυτόν τον τόμο είναι σχετικά με τις αναδρομικές ακολουθίες, τις πιθανότητες, και του λογισμού των μεταβολών. Ο δεύτερος τόμος περιέχει μία μεγάλη σειρά σημειώσεων, που ενσωματώνει τα αποτελέσματα των διαφόρων εγγράφων στον πρώτο τόμο σχετικά με τη θεωρία και την σημειογραφία του λογισμού των μεταβολών. Και επεξηγεί τη χρήση του από το πόρισμα της αρχής της ελάχιστης δράσης, καθώς και από διάφορες λύσεις των προβλημάτων στη δυναμική. Ο τρίτος τόμος περιλαμβάνει τη λύση πολλών δυναμικών προβλημάτων μέσω του λογισμού των μεταβολών, κάποια έγγραφα σχετικά με τον ολοκληρωτικό λογισμό, μια λύση του προβλήματος του Φερμά που αναφέρεται παρακάτω: Δίνεται ένας ακέραιος n {\displaystyle n} που δεν είναι τέλειο τετράγωνο, να βρείτε έναν αριθμό x {\displaystyle x} , έτσι ώστε x 2 ⋅ n + 1 {\displaystyle x^{2}\cdot n+1} να είναι ένα τέλειο τετράγωνο, και τις γενικές διαφορικές εξισώσεις της κίνησης για τρία σώματα που κινούνται με βάση την αμοιβαία έλξη τους. Το επόμενο έργο που παρήγαγε ήταν το 1764 σχετικά με την ταλάντευση της Σελήνης και μια εξήγηση ως προς το γιατί η ίδια πλευρά ήταν πάντα στραμμένη προς τη Γη, ένα πρόβλημα που ο ίδιος αντιμετώπισε κάνοντας χρήση του εικονικού έργου. Η λύση του είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα, καθώς περιέχουν μέρος της ιδέας των γενικευμένων εξισώσεων της κίνησης, εξισώσεις που ο ίδιος επίσημα αποδεικνύει για πρώτη φορά το 1780. Ήδη το 1756 ο Όιλερ, με την υποστήριξη του Μωπερτουί, έκανε μια προσπάθεια να φέρει τον Λαγκράνζ στην Ακαδημία του Βερολίνου. Αργότερα, ο Ντ'Αλαμπέρ μεσολάβησε στον Φρειδερίκο της Πρωσίας για τον Λαγκράνζ και ο Φρειδερίκος έγραψε στον Λαγκράνζ ζητώντας του να φύγει από το Τορίνο για μια πολύ πιο προνομιακή θέση στο Βερολίνο. Ο Λαγκράνζ απέρριψε και τις δύο προσφορές, λέγοντας το 1765: Μου φαίνεται ότι το Βερολίνο δεν θα ήταν καθόλου κατάλληλο για μένα, καθώς ο Όιλερ βρίσκεται εκεί. Το 1766 ο Όιλερ έφυγε από το Βερολίνο για την Αγία Πετρούπολη, και τότε ο Φρειδερίκος έγραψε στον Λαγκράνζ εκφράζοντας την άποψη ότι "ο σπουδαιότερος βασιλιάς στην Ευρώπη" είναι αυτός που έχει "τον μεγαλύτερο μαθηματικό στην Ευρώπη" κάτοικο της αυλής του. Ο Λαγκράνζ τελικά πείσθηκε και πέρασε τα επόμενα είκοσι χρόνια στην Πρωσία, όπου παρήγαγε όχι μόνο την μεγαλύτερη σειρά των εγγράφων του, που δημοσιεύθηκε στο Βερολίνο και στο Τορίνο, αλλά και το μεγαλειώδες έργο του, την Αναλυτική Μηχανική. Η διαμονή του στο Βερολίνο ξεκίνησε με ένα ατυχές συμβάν. Βρίσκοντας τους περισσότερους από τους συναδέλφους του παντρεμένους, και αφού βεβαιώθηκε από τις συζύγους τους ότι ήταν ο μόνος τρόπος για να είναι κάποιος ευτυχισμένος, παντρεύτηκε. Η σύζυγός του όμως σύντομα πέθανε, έτσι ο γάμος του δεν είχε τα αναμενόμενα αποτελέσματα. Ο Λαγκράνζ ήταν ένας από τους αγαπημένους του βασιλιά, ο οποίος συνήθιζε συχνά να τον συμβουλεύεται για την εξασφάλιση μίας τέλειας κανονικής ζωής. Η διδασκαλία μεταφέρθηκε σπίτι του, και έκτοτε ο Λαγκράνζ μελέτησε το μυαλό και το σώμα του σαν να ήταν μηχανήματα, και μετά από πειράματα βρήκε το ακριβές μέγεθος της εργασίας που ήταν σε θέση να πραγματοποιήσει χωρίς να καταρρεύσει. Κάθε βράδυ προγραμμάτιζε για τον εαυτό του μια συγκεκριμένη εργασία για την επόμενη ημέρα, επίσης για την ολοκλήρωση σε κάθε τμήμα του θέματος που έγραφε έκανε μια σύντομη ανάλυση για να δουν ποια σημεία στις υποδείξεις του ή το υπό συζήτηση θέμα μπορούσαν να βελτιωθούν. Πάντα σκεφτόταν το θέμα των εγγράφων του, πριν αρχίσει να τα συντάσσει, και συνήθως έγραφε κατευθείαν χωρίς διαγραφή ή διόρθωση. Το 1786, ο Φρειδερίκος πέθανε και ο Λαγκράνζ, ο οποίος είχε βρει το κλίμα του Βερολίνου επίμοχθο, αποδέχθηκε ευχαρίστως την προσφορά του Λουδοβίκου ΙΣΤ΄ για να μετακομίσει στο Παρίσι. Έλαβε παρόμοιες προσκλήσεις από την Ισπανία και τη Νάπολη. Στη Γαλλία έγινε δεκτός με κάθε σημάδι διάκρισης, ειδικά διαμερίσματα στο Λούβρο ήταν προετοιμασμένα για την υποδοχή του, και έγινε μέλος της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών, η οποία αργότερα έγινε μέλος του Εθνικού Ινστιτούτου. Στην αρχή της διαμονής του στο Παρίσι υπέφερε από μελαγχολία, και ακόμη και το τυπωμένο αντίγραφο από το "Μηχανικός", για το οποίο είχε εργαστεί ένα τέταρτο του αιώνα, ήταν για περισσότερο από δύο χρόνια πάνω στο γραφείο του χωρίς να έχει ανοιχτεί. Η περιέργεια για τα αποτελέσματα της Γαλλικής Επανάστασης τον αφύπνισαν για πρώτη φορά από τον λήθαργό του, μια περιέργεια που σύντομα μετατράπηκε σε συναγερμό, καθώς η επανάσταση αναπτυσσόταν. Ήταν περίπου την ίδια χρονική περίοδο, το 1792, όπου η ασύδοτη θλίψη της ζωής του και η δειλία του μετατράπηκαν σε συμπόνια για μια νεαρή κοπέλα που επέμενε να τον παντρευτεί, και αποδείχθηκε μια αφοσιωμένη σύζυγος, στην οποία έγινε θερμά συνδέθηκε. Παρά το γεγονός ότι το διάταγμα του Οκτώβρη του 1793 που πρόσταζε όλους τους ξένους να εγκαταλείψουν τη Γαλλία είχε σαν εξαίρεση το όνομα του, ο ίδιος ετοιμαζόταν να διαφύγει, όταν του προσφέρθηκε η προεδρία της Επιτροπής για τη Μεταρρύθμιση των μονάδων Μέτρου και Βάρους. Η επιλογή των μονάδων που τελικά επελέγησαν οφείλονταν σε μεγάλο βαθμό σ'αυτόν, και κυρίως λόγω της επιρροής του η δεκαδική υποδιαίρεση έγινε δεκτή από την επιτροπή το 1799. Το 1795, ο Λαγκράνζ ήταν ένα από τα ιδρυτικά μέλη του «Bureau des Longitudes». Αν και ο Λαγκράνζ είχε αποφασίσει να φύγει από τη Γαλλία ενώ υπήρχε ακόμα χρόνος, δεν τέθηκε ποτέ σε κανένα κίνδυνο, και οι διάφορες επαναστατικές κυβερνήσεις (και σε μεταγενέστερο χρόνο, ο Ναπολέων) φρόντισαν να του απονεμηθούν τιμές και διακρίσεις. Μια εντυπωσιακή μαρτυρία για τον σεβασμό με τον οποίο κρατήθηκε, παρουσιάστηκε το 1796, όταν ο Γάλλος επίτροπος στην Ιταλία, διατάχθηκε να παραστεί στον πατέρα του Λαγκράνζ, και να υποβάλλει τα συγχαρητήρια της Δημοκρατίας σχετικά με τα επιτεύγματα του γιου του, ο οποίος "είχε τιμήσει όλη την ανθρωπότητα με την ευφυΐα του, και ο οποίος ήταν η ξεχωριστή δόξα του Πιεμόντε που είχε δημιουργηθεί". Μπορεί να προστεθεί ότι ο Ναπολέων, όταν πήρε εξουσία, θερμά ενθάρρυνε επιστημονικές μελέτες στη Γαλλία, και ήταν ένας φιλελεύθερος ευεργέτης τους. Διορίστηκε γερουσιαστής το 1799, ήταν ο πρώτος υπογράφων της Senatus-consulte η οποία το 1802 προσαρτήθηκε στο Πιεμόντε, την πατρίδα του, τη Γαλλία λόγω του ότι απέκτησε τη γαλλική υπηκοότητα. École Normale Το 1795,ο Λαγκράνζ διορίστηκε θέσμιος μαθηματικός στην École Normale, στην οποίο ήταν μέλος τεσσάρων μηνών. Οι διαλέξεις του εκεί ήταν αρκετά στοιχειώδεις και δεν περιείχαν κανένα στοιχείο ιδιαίτερης σημασίας, αλλά δημοσιεύτηκε διότι οι καθηγητές έπρεπε να «αναλάβουν την υποχρέωση προς τους εκπροσώπους του λαού και σε κάθε άλλη περίπτωση ούτε να διαβάσουν ούτε να επαναλάβουν από τη μνήμη», και οι συζητήσεις που όρισε να ληφθούν προβλέπονταν με στενογραφία, ώστε να μπορέσουν οι βουλευτές να δούνε πώς οι καθηγητές απαλλάσσονταν. École Polytechnique Ο Λαγκράνζ διορίστηκε καθηγητής στην École Polytechnique το 1794,και οι διαλέξεις του όπως περιγράφονται από τους μαθηματικούς που είχαν την τύχη να τον παρακολουθήσουν, ήταν τέλειες τόσο σε μορφή όσο και σε ύλη. Αρχίζοντας με τα απλούστατα στοιχεία, οδήγησε τους ακροατές του, σε ένα σχεδόν άγνωστο για τον εαυτό τους, ότι οι ίδιοι ήταν η επέκταση των ορίων του θέματος: πάνω απ'όλα εντυπωσίασε τους μαθητές του με το πλεονέκτημα ότι πάντα με γενικές μεθόδους εκφράζεται μια συμμετρική μορφή. Από την άλλη πλευρά, ο Φουριέ, ο οποίος παρακολούθησε τις διαλέξεις του το 1795, έγραψε: Η φωνή του είναι πολύ αδύναμη, τουλάχιστον με την έννοια ότι δεν θα γίνει έντονη; έχει μια πολύ έντονη ιταλική προφορά και προφέρει το s σαν z ... Οι φοιτητές, από τους οποίους η πλειοψηφία δεν είναι σε θέση αναγνωρίσουν την αξία του, δεν τον κάνουν να νιώσει ευπρόσδεκτος, αλλά οι καθηγητές βελτιώνουν αυτό. Επόμενα Χρόνια Το 1810, ο Λαγκράνζ ξεκίνησε μια ριζική αναθεώρηση στην Αναλυτική Μηχανική, αλλά ήταν σε θέση να ολοκληρώσει μόνο περίπου τα δύο τρίτα από αυτήν πριν από το θάνατό του στο Παρίσι το 1813. Κηδεύτηκε την ίδια χρονιά στο Πάνθεον στο Παρίσι. Η γαλλική επιγραφή στον τάφο του,γράφει: JOSEPH LOUIS LAGRANGE. Γερουσιαστής. Κόμης της Αυτοκρατορίας. Ανώτερος Ταξιάρχης της Λεγεώνας της Τιμής. Μεγαλόσταυρος του Αυτοκρατορικού Τάγματος της Reunion. Μέλος του Ινστιτούτου και του Προεδρείου του Longitude. Γεννήθηκε στο Τορίνο στις 25 Ιανουαρίου του 1736. Πέθανε στο Παρίσι στις 10 Απριλίου 1813. Ο Λαγκράνζ ήταν εξαιρετικά ενεργός επιστημονικά κατά τη διάρκεια των είκοσι χρόνων που πέρασε στο Βερολίνο. Όχι μόνο δημιούργησε την εξαιρετική Μηχανική Αναλυτική, αλλά βοήθησε περίπου σε εκατό με διακόσια έγγραφα στην Ακαδημία του Τορίνο, την Ακαδημία του Βερολίνου και την Γαλλική Ακαδημία. Μερικά από αυτά είναι πραγματικές διατριβές, και όλα χωρίς αμφιβολία είναι υψηλού επιπέδου. Αν εξαιρέσουμε ένα μικρό χρονικό διάστημα, όταν ήταν άρρωστος, παρήγαγε κατά μέσο όρο περίπου μια εργασία ανά ένα μήνα. Από αυτά τα ακόλουθα είναι τα πιο σημαντικά. Πρώτον, τη συμβολή του στον τέταρτο και στον πέμπτο τόμο, 1766-1773, του Miscellanea Taurinensia, εκ των οποίων το σημαντικότερο ήταν το 1771, όπου πραγματεύεται το πώς ένα πλήθος των αστρονομικών παρατηρήσεων πρέπει να συνδυαστούν ώστε να δώσουν το πιο πιθανό αποτέλεσμα. Και αργότερα, οι συνεισφορές του στους δύο πρώτους τόμους, 1784-1785, από τις ενέργειες του στην Ακαδημία του Τορίνου, στην πρώτη εκ των οποίων συνέβαλε ένα έγγραφο σχετικά με την πίεση που ασκείται από ρευστά σε κίνηση, και το δεύτερο ένα άρθρο σχετικά με την ολοκλήρωση των άπειρων σειρών και το είδος των προβλημάτων για τις οποίες είναι κατάλληλη. Τα περισσότερα από τα έγγραφα που στάλθηκαν στο Παρίσι ήταν σχετικά με αστρονομικά θέματα, και μεταξύ αυτών θα έπρεπε κανείς να κάνει ιδιαίτερη αναφορά στο έγγραφο για το σύστημα του Δία το 1766, το δοκίμιό του σχετικά με το πρόβλημα των τριών σωμάτων το 1772, το έργο του σχετικά με την κοσμική εξίσωση της Σελήνης στο 1773, καθώς και την πραγματεία του για διαταραχές κομήτη το 1778. Αυτά ήταν όλα γραμμένα σε θέματα που πρότεινε η Ακαδημία της Γαλλίας, και σε κάθε περίπτωση το βραβείο απονεμήθηκε σε αυτόν. Μεταξύ 1772 και 1788,ο Λαγκράνζ διατύπωσε εκ νέου την Κλασική/Νευτώνεια μηχανική για την απλοποίηση τύπων και εύκολους υπολογισμούς. Αυτή η θεωρία καλείται Λαγκρανζιανή μηχανική. Ο μεγαλύτερος αριθμός των εγγράφων του κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου συνέβαλε στην Πρωσική Ακαδημία Επιστημών. Αρκετά από αυτά πραγματεύονται θέματα της άλγεβρας. Η συζήτηση του για τις αναπαραστάσεις των ακεραίων από τετραγωνικές μορφές (1769) και από γενικότερες αλγεβρικές μορφές (1770). Η προκήρυξη του για τη θεωρία της αποβολής, 1770. Το θεώρημα Λαγκράνζ δηλαδή ότι μία υποομάδα H {\displaystyle H} μιας ομάδας G {\displaystyle G} πρέπει να διαιρεί τη ομάδα G {\displaystyle G} . Τα έγγραφα του το 1770 και το 1771 σχετικά με τη γενική διαδικασία για την επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης οποιοδήποτε βαθμού μέσω των διαλυτικά Λαγκράνζ. Αυτή η μέθοδος αποτυγχάνει να δώσει ένα γενικό τύπο για τις λύσεις της εξίσωσης του βαθμού πέντε και υψηλότερα, επειδή η βοηθητική εξίσωση που εμπλέκεται έχει υψηλότερο βαθμό από ό,τι η αρχική. Η σημασία αυτής της μεθόδου είναι ότι εμφανίζει τις ήδη γνωστές φόρμουλες για την επίλυση των εξισώσεων του δευτέρου, τρίτου και τετάρτου βαθμού ως αποτέλεσμα μιας ενιαίας αρχής, και ήταν θεμελιώδης στη Θεωρία Γκαλουά. Η ολοκληρωμένη λύση της διωνυμικής εξίσωσης (δηλαδή μίας εξίσωσης της μορφής a x n + b = 0 {\displaystyle ax^{n}+b=0} ) οποιουδήποτε βαθμού, περιέχεται σε αυτά τα έγγραφα. Το 1773 ο Λαγκράνζ θεώρησε την συναρτησιακή ορίζουσα τρίτης τάξης, μια ειδική περίπτωση αυτής του Τζακόμπι. Απέδειξε επίσης τον τύπο για τον όγκο ενός τετραέδρου με μία από τις κορυφές του στην αρχή των αξόνων, ως το ένα έκτο της απόλυτης τιμής της ορίζουσας σχηματίζεται από τις συντεταγμένες των τριών άλλων κορυφών. Αρκετές από τις πρώτες εργασίες του επίσης είχαν να αντιμετωπίσουν αρκετές ερωτήσεις από την θεωρία αριθμών. Μεταξύ των 1766-1769 έγινε ο πρώτος Ευρωπαίος που απέδειξε ότι η εξίσωση του Πελλ x 2 − n y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1} έχει μια μη-τετριμμένη λύση στους ακεραίους, για κάθε μη-τετραγωνικό φυσικό αριθμό n {\displaystyle n} .Το 1770 απέδειξε το θεώρημα, που είχε διατυπώσει ο Bachet χωρίς αιτιολόγηση, ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι το άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων.Το 1771 απέδειξε θεώρημα του Ουίλσον ότι το n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} είναι πρώτος αν και μόνο αν ( n − 1 ) ! + 1 {\displaystyle (n-1)!+1} είναι πολλαπλάσιο του n {\displaystyle n} .Τα έγγραφα του από το 1773, 1775 και 1777 έδωσαν την γραμμή πλεύσης πολλών αποτελεσμάτων που διατυπώθηκαν από τον Φερμά, που στο παρελθόν δεν είχαν αποδειχθεί.Στο έργο του Recherches d'arithmεtique το 1775 ανέπτυξε μια γενική θεωρία των δυαδικών τετραγωνικών μορφών για να χειριστεί το γενικό πρόβλημα της όταν ένας ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή a x 2 + b y 2 + c x y {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy} .Έκανε συνεισφορές στην θεωρία των συνεχών κλασμάτων. Δημοσίευσε πολλά άρθρα σε διάφορα σημεία της αναλυτικής γεωμετρίας. Σε δύο από αυτά, γραμμένα μάλλον αργότερα, το 1792 και το 1793, που ανήγαγε τις εξισώσεις των quadrics (ή conicoids) στην κανονική τους μορφή. Κατά τη διάρκεια των ετών 1772-1785, συνέβαλε μια μακρά σειρά από έγγραφα τα οποία δημιούργησαν την επιστήμη των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Ένα μεγάλο μέρος αυτών των αποτελεσμάτων συλλέχθηκαν στη δεύτερη έκδοση του ολοκληρωτικού λογισμού Όιλερ, η οποία δημοσιεύθηκε το 1794. Τέλος, δημοσίευσε πολλά έγγραφα σχετικά με προβλήματα της αστρονομίας. Από αυτά τα πιο σημαντικά είναι τα εξής: Προσπάθησε να λύσει το γενικό πρόβλημα των τριών σωμάτων, με την επακόλουθη ανακάλυψη των δύο σταθερών προτύπου λύσεων, συγγραμμικών και ισοπλευρικών, το 1772. Οι εν λόγω λύσεις παρατηρήθηκε ότι εξηγούν αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως Σημείο Λαγκράνζ. Η προσέλκυση ελλειψοειδών, 1773, που είναι βασισμένο στην εργασία του Maclaurin. Η κοσμική εξίσωση του φεγγαριού, 1773, επίσης αξιοσημείωτο για την πρώτη εισαγωγή της ιδέας του δυναμικού. Το δυναμικό ενός σώματος σε οποιοδήποτε σημείο είναι το άθροισμα της μάζας του κάθε στοιχείου του σώματος, όταν διαιρείται με την απόστασή του από το σημείο. Ο Λαγκράνζ έδειξε ότι αν το δυναμικό ενός σώματος σε ένα εξωτερικό του σημείο ήταν γνωστό, τότε η έλξη προς οποιαδήποτε κατεύθυνση θα μπορούσε να βρεθεί αυτόματα. Η θεωρία του δυναμικού διαμορφώθηκε σε ένα έγγραφο που στάλθηκε στο Βερολίνο το 1777. Η κίνηση των κόμβων της τροχιάς του πλανήτη, 1774. Η σταθερότητα των πλανητικών τροχιών, 1776 Δύο έγγραφα στα οποία η μέθοδος προσδιορισμού της τροχιάς του κομήτη από τρεις παρατηρήσεις είναι πλήρως καταρτισμένα, 1778 και 1783: αυτό δεν έχει αποδειχθεί πράγματι πρακτικά εφικτό, αλλά το σύστημα του υπολογισμού των διαταραχών με τη βοήθεια των {μηχανικών αριθμητικών τετραγωνισμού αποτέλεσε τη βάση για τις περισσότερες μεταγενέστερες έρευνες σχετικά με το θέμα. Μεταξύ των 1781-1784 προσδιόρισε τα κοσμικά και τις περιοδικές μεταβολές των στοιχείων των πλανητών. Τα ανώτατα όρια που έθεσε για αυτά, συμφωνούν πολύ με εκείνα που έλαβε αργότερα ο Λεβεριέ. Ο Λαγκράνζ προσχώρησε στο βαθμό που η γνώση του επέτρεπε από τις μάζες των πλανητών. Τρία έγγραφα σχετικά με τη μέθοδο της παρεμβολής το 1783, 1792 και 1793, το τμήμα των πεπερασμένων διαφορών που ασχολούνται με αυτήν τώρα βρίσκεται στην ίδια φάση με εκείνη στην οποία ο Λαγκράνζ την άφησε. Πέρα και πάνω από αυτά τα διάφορα έγγραφα συνέθεσε τη διατριβή του, στην Μηχανική Ανάλυση. Σε αυτό που ορίζει ο νόμος του εικονικού έργου, καθώς και από τη θεμελιώδη αρχή, με τη βοήθεια του λογισμού των μεταβολών, συνάγει το σύνολο της μηχανικής τόσο των στερεών αλλά και των υγρών. Ο σκοπός του βιβλίου είναι να δείξει ότι το θέμα περιλαμβάνεται έμμεσα σε μια ενιαία αρχή, και να δώσει γενικό τύπο από το οποίο κάποιο συγκεκριμένο αποτέλεσμα μπορεί να επιτευχθεί. Η μέθοδος των γενικευμένων συντεταγμένων, με την οποία απέκτησε αυτό το αποτέλεσμα είναι ίσως το πιο λαμπρό αποτέλεσμα της ανάλυσής του. Αντί να ακολουθήσει την κίνηση του κάθε επιμέρους τμήματος ενός συστήματος υλικού, όπως ο Ντ'Αλαμπέρ και ο Όιλερ είχαν κάνει, έδειξε ότι, εάν προσδιοριστεί η διαμόρφωσή του από έναν επαρκή αριθμό μεταβλητών των οποίων ο αριθμός είναι ο ίδιος με εκείνων των βαθμών ελευθερίας που διακατέχεται από το σύστημα, τότε η κινητική και δυναμική ενέργεια του συστήματος μπορεί να εκφραστεί από τον όρο αυτών των μεταβλητών, και οι διαφορικές εξισώσεις της κίνησης προκύπτουν από απλή διαφοροποίηση. Για παράδειγμα, η δυναμική ενός άκαμπτου συστήματος που αντικαθιστά την εξέταση του συγκεκριμένου προβλήματος από τη γενική εξίσωση, η οποία είναι γραμμένη σε μορφή d d t ∂ T ∂ θ ˙ − ∂ T ∂ θ + ∂ V ∂ θ = 0 , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}+{\frac {\partial V}{\partial \theta }}=0,} όπου το T {\displaystyle T} παριστά την κινητική ενέργεια και το V {\displaystyle V} αντιπροσωπεύει την δυναμική ενέργεια του συστήματος. Στη συνέχεια παρουσίασε αυτό που γνωρίζουμε σήμερα ως η μέθοδος πολλαπλασιαστών Λαγκράνζ - αν και δεν είναι η πρώτη φορά που η μέθοδος αυτή δημοσιεύθηκε - ως ένα μέσο για την επίλυση αυτής της εξίσωσης. Μεταξύ άλλων ελάσσονος σημασίας θεωρήματα {δεδομένου ότι μπορούν να αναφέρουν την άποψη ότι η κινητική ενέργεια που μεταδίδεται από τα δεδομένα ερεθίσματα σε ένα σύστημα υλικού σύμφωνα με δεδομένους περιορισμούς είναι το ανώτατο όριο, και η αρχή της ελάχιστης δράσης. Όλη η ανάλυση είναι τόσο καλαίσθητη που ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον είπε ότι το έργο θα μπορούσε να περιγραφεί μόνο ως επιστημονικό ποίημα. Ο Λαγκράνζ παρατήρησε ότι η μηχανική ήταν πραγματικά ένας κλάδος των καθαρών μαθηματικών συσχετιζόμενος με την γεωμετρία των τεσσάρων διαστάσεων, δηλαδή, το χρόνο και τις τρεις συντεταγμένες του σημείου στο χώρο, και λέγεται ότι ο ίδιος υπερηφανευόταν ότι από την αρχή μέχρι το τέλος των εργασιών δεν υπήρχε ούτε ένα διάγραμμα. Στην αρχή δεν υπήρχε τυπογράφος που θα μπορούσε να δημοσιεύσει το βιβλίο, αλλά ο Λεζάντρ έπεισε μια επιχείρηση στο Παρίσι για να το αναλάβει, και έτσι εκδόθηκε υπό την εποπτεία του το 1788. Οι διαλέξεις του Λαγκράνζ για το διαφορικό λογισμό στην Ecole Polytechnique αποτελούν τη βάση της πραγματείας της αναλυτικής θεωρίας των συναρτήσεων, η οποία δημοσιεύθηκε το 1797. Αυτό το έργο είναι η επέκταση της ιδέας που περιέχεται σε ένα έγγραφο που είχε αποστείλει στο Βερολίνο το 1772, και ο σκοπός του ήταν να αντικαταστήσει στον διαφορικό λογισμό μία ομάδα θεωρημάτων που βασίζονταν στην ανάπτυξη των αλγεβρικών συναρτήσεων, με βάση ιδίως την αρχή της γενικότητας της άλγεβρας. Μια παρόμοια μέθοδος που είχε χρησιμοποιηθεί στο παρελθόν από τον John Landen στην εργαία Residual Analysis (Ανάλυση υπολοίπων), που δημοσιεύθηκε στο Λονδίνο το 1758. Ο Λαγκράνζ πίστευε ότι θα μπορούμε να ξεπεράσει αυτά τα προβλήματα, που συνδέονται με τη χρήση απείρων μεγάλων και απείρων μικρών ποσοτήτων, για τις οποίες προέκυψαν πολλές φιλοσοφικές αντιρρήσεις στη πραγματείες διαφορικού λογισμού. Το βιβλίο χωρίζεται σε τρία μέρη: από αυτά, το πρώτο αναφέρεται στην γενική θεωρία των συναρτήσεων, και δίνει μια αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος του Τέιλορ, η ισχύς της οποίας είναι, να τεθεί το ερώτημα, το δεύτερο ασχολείται με εφαρμογές στην γεωμετρία, και το τρίτο με εφαρμογές στη μηχανική. Μια άλλη πραγματεία στις ίδιες γραμμές ήταν τα Μαθήματα για τον λογισμό των συναρτήσεων, που εκδόθηκε το 1804, και με δεύτερη έκδοση το 1806. Σε αυτό το βιβλίο ο Λαγκράνζ διατύπωσε τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Λαγκράνζ, στο πλαίσιο των προβλημάτων του λογισμού των μεταβολών με περιορισμούς. Αυτά τα έργα αφιερωμένα στον διαφορικό λογισμό και τον λογισμό των μεταβολών μπορεί να θεωρηθεί ως το σημείο εκκίνησης για τις έρευνες των Κωσύ, Γιακόμπι, και Βάιερστρας. Σε μεταγενέστερη περίοδο ο Λαγκράνζ επανήλθε στη χρήση των απειροελάχιστων ποσοτήτων (αντί να εισάγει το διαφορικό λογισμό στη μελέτη των αλγεβρικών φορμών), και στον πρόλογο στη δεύτερη έκδοση του βιβλίου Μηχανική Αναλυτική, η οποία εκδόθηκε το 1811, ο ίδιος δικαιολογεί την απασχόληση των απειροελάχιστων ποσοτήτων, και καταλήγει λέγοντας ότι: Όταν έχουμε κατανοήσει το πνεύμα της απειροελάχιστης μεθόδου, και έχουμε επαληθεύσει την ακρίβεια των αποτελεσμάτων της, είτε από τη γεωμετρική μέθοδο της {πρωταρχικής και των τελικών δεικτών, ή με την αναλυτική μέθοδο που προέρχονται από συναρτήσεις, που μπορεί να χρησιμοποιήσουμε απείρως μικρές ποσότητες σαν ένα σίγουρο και πολύτιμο μέσο συντόμευσης και απλούστευσης των αποδείξεων μας. Το έργο του Résolution des équations numériques (Ανάλυση αριθμητικών εξισώσεων), που δημοσιεύθηκε το 1798, ήταν επίσης ο καρπός από τις διαλέξεις του στην Ecole Polytechnique. Εκεί δίνει τη μέθοδο της προσέγγισης στις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης με τη συνέχεια των κλασμάτων, και φέρνοντας στο προσκήνιο πολλά άλλα θεωρήματα. Σε μια σημείωση στο τέλος δείχνει πως το μικρό θεώρημα του Φερμά ότι a p − 1 − 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}-1\equiv 0{\pmod {p}}} ,όπου p {\displaystyle p} είναι ένας πρώτος αριθμός και a {\displaystyle a} είναι σχετικά πρώτος με το p {\displaystyle p} , μπορεί να εφαρμοστεί για να δώσει την πλήρη αλγεβρική λύση οποιασδήποτε διωνυμικής εξίσωσης. Επίσης εδώ εξηγεί πώς η εξίσωση των οποίων οι ρίζες είναι τα τετράγωνα των διαφορών των ριζών της αρχικής εξίσωσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν έτσι ώστε να δώσουν σημαντικές πληροφορίες ως προς τη θέση και τη φύση αυτών των ριζών. Η θεωρία των πλανητικών κινήσεων είχαν αποτελέσει το αντικείμενο του σε μερικά από τα πιο αξιόλογα έγγραφα του Λαγκράνζ στο Βερολίνο. Το 1806 το θέμα συζητήθηκε ξανά από τον Πουασσόν, ο οποίος, σε ένα έγγραφο που διαβάστηκε στην Γαλλική Ακαδημία, έδειξε ότι οι τύποι Λαγκράνζ οδήγησαν σε ορισμένα όρια για τη σταθερότητα των τροχιών. Ο Λαγκράνζ, ο οποίος ήταν παρών, ξεκινάει να σκέφτεται ολόκληρο το θέμα εκ νέου, και με έγγραφο που κοινοποιήθηκε στην ακαδημία το 1808 εξήγησε πώς, από τη διακύμανση των αυθαιρέτων σταθερών, θα μπορούσαν να προσδιοριστούν οι περιοδικές και κοσμικές ανισότητες οποιουδήποτε συστήματος αλληλεπιδρώντων φορέων. Ο Όιλερ πρότεινε τον Λαγκράνζ ως μέλος στην Ακαδημία του Βερολίνου και εξελέγη στις 2 Σεπτεμβρίου του 1756. Είχε εκλεγεί Μέλος της Βασιλικής Εταιρείας του Εδιμβούργου το 1790, Μέλος της Βασιλικής Εταιρείας και εξωτερικό μέλος της Βασιλικής Ακαδημίας Επιστημών της Σουηδίας το 1806. Το 1808, ο Ναπολέων ονόμασε τον Λαγκράνζ Μέγα Αξιωματικό της Λεγεώνας της Τιμής και Κόμη της αυτοκρατορίας. Του απονεμήθηκε το Grand Croix of the Ordre Imperial de la Reunion το 1813, μια εβδομάδα πριν το θάνατό του στο Παρίσι. Στον Λαγκράνζ απονεμήθηκε το 1764 το βραβείο της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών για τα απομνημονεύματά του για την libration of the Moon. Το 1766 η Ακαδημία τον πρότεινε για το πρόβλημα της κίνησης των δορυφόρων του Δία, και το βραβείο απονεμήθηκε και πάλι στον Λαγκράνζ. Επίσης, μοιράστηκε ή κέρδισε τα βραβεία των 1772, 1774 και 1778. Ο Λαγκράνζ ήταν ένας από τους 72 εξέχοντες Γάλλους επιστήμονες οι οποίοι τιμήθηκαν με πλάκες στο πρώτο στάδιο του Πύργου του Άιφελ, όταν άνοιξε για πρώτη φορά. Η οδός Λαγκράνζ στην 5η περιφέρεια του Παρισιού φέρει το όνομά του. Στο Τορίνο, ο δρόμος όπου ακόμα βρίσκεται το σπίτι της γέννησής του, φέρει το όνομά του Λαγκράνζ. Ο σεληνιακός κρατήρας Λαγκράνζ φέρει το όνομά του. Ήταν μέσου ύψους και με κάποια περιττά κιλά, με μάτια χρώματος απαλού μπλε και μια άχρωμη χροιά. Ήταν νευρικός και δειλός, απεχθανόταν τις διαμάχες, και, για να το αποφύγει, πρόθυμα επέτρεπε σε άλλους να καυχιούνται για ό,τι είχε κάνει ο ίδιος.Λόγω ενδελεχούς προετοιμασίας, ήταν συνήθως σε θέση να γράψει τις σημειώσεις του πλήρεις χωρίς ούτε μια μουντζούρα ή χωρίς καμία διόρθωση. Λαγκρανζιανή μηχανική Θεώρημα του Λαγκράνζ Πολλαπλασιαστής Λαγκράνζ Ταυτότητα Λαγκράνζ Εργασίες του Λαγκράνζ (στα Γαλλικά), του Joseph Alfred Serret (1867), ψηφιοποίηση από το Göttinger Digitalisierungszentrum (Το έργο Μηχανική Αναλυτική βρίσκεται στους τόμους 11 και 12) Lagrange, Joseph Louis de: The Encyclopedia of Astrobiology, Astronomy and Space Flight The Founders of Classical Mechanics: Joseph Louis Lagrange The Lagrange Points Derivation of Lagrange's result (not Lagrange's method) Lagrange's works (in French) Oeuvres de Lagrange, edited by Joseph Alfred Serret, Paris 1867, digitized by Göttinger Digitalisierungszentrum (Mécanique analytique is in volumes 11 and 12.) Joseph Louis de Lagrange – Œuvres complètes Gallica-Math Inventaire chronologique de l'œuvre de Lagrange Persee