Ακέραιος αριθμός

Ακέραιοι ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο: Z = { 0 , ± 1 , ± 2 , . . . } {\displaystyle \mathbb {Z} =\{0,\pm 1,\pm 2,...\}} Συμβολίζεται με το γράμμα Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει αριθμός.Το σύνολο Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ορίζεται επίσης ως εξής: Z = { x − y : x , y ∈ N } {\displaystyle \mathbb {Z} =\{x-y:x,y\in \mathbb {N} \}} Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (άλεφ-μηδέν).

 Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , έντονα τυπωμένο, όπως και όλα τα σημαντικά σύνολα των μαθηματικών. Συναντώνται όμως διαφοροποιήσεις ανάλογα με τη χρήση και τον συγγραφέα, προσθέτοντας στον συμβολισμό επιπλέον εκθέτες ή δείκτες. Συνήθως οι αρνητικοί ακέραιοι συμβολίζονται με Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} , οι μη αρνητικοί με Z ∗ {\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}} και οι θετικοί με Z + {\displaystyle \mathbb {Z^{+}} } . Ο δακτύλιος των ακεραίων μερικές φορές συμβολίζεται με το έντονο I {\displaystyle \mathbb {I} } , εκτός από το συνήθες Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς πρόσθεση και πολλαπλασιασμό και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση. Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδή απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί. Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο: . . . < − 2 < − 1 < 0 < 1 < 2 < . . . {\displaystyle ...<-2<-1<0<1<2<...} Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο. Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς. Θεωρούμε το σύνολο N × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας: ( a , b ) ∼ ( c , d ) ⇔ a + d = c + b . {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=c+b.} Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας N × N / ∼ {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \,/\!\sim } ορίζει τους ακέραιους αριθμούς Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} τη συμβολίζουμε με [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]} ή a − b {\displaystyle a-b} . Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... . Ένας ακέραιος αριθμός ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} είναι θετικός, όταν a > b {\displaystyle a>b} , αρνητικός όταν a < b {\displaystyle a<b} και 0 όταν a = b {\displaystyle a=b} . Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (n,0), (0,n) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς: [ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] = [ ( a + c , b + d ) ] . {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)].\,} [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( c , d ) ] = [ ( a c + b d , a d + b c ) ] . {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].\,} Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζεύγους: − [ ( a , b ) ] = [ ( b , a ) ] . {\displaystyle -[(a,b)]=[(b,a)].\,} Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση: [ ( a , b ) ] < [ ( c , d ) ] ⇔ a + d < b + c . {\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow a+d<b+c.\,} Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (άλεφ-μηδέν), όπως και το σύνολο των φυσικών. Αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης f : Z → N {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} } , συνάρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων: f ( x ) = { 2 | x | , x < 0 2 x + 1 , x ≥ 0. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}2|x|,&x<0\\2x+1,&x\geq 0.\end{cases}}} Σύνολο των φυσικών αριθμών N {\displaystyle \mathbb {N} } ρητών αριθμών Q {\displaystyle \mathbb {Q} } πραγματικών αριθμών R {\displaystyle \mathbb {R} } μιγαδικών αριθμών C {\displaystyle \mathbb {C} } .