Σπείρα του Ούλαμ

Η σπείρα του Ούλαμ (αγγλικά: Ulam spiral) ή σπείρα πρώτων αριθμών αποτελεί γραφική αναπαράσταση ομάδων πρώτων αριθμών, η οποία αναπτύχθηκε από τον Πολωνό μαθηματικό Στάνισλαβ Ούλαμ το 1963. Κατασκευάζεται με τη διευθέτηση των θετικών ακεραίων αριθμών εντός μιας τετράγωνου σχήματος σπείρας και σημειώνοντας με ειδική σήμανση ή χρωματισμό τους πρώτους αριθμούς εντός της. Ένα από τα χαρακτηριστικά της σπείρας, είναι η θεσιακή κατανομή των πρώτων αριθμών ως προς τις διαγώνιες, οριζόντιες και κάθετες γραμμές που σχηματίζουν. Η εμφάνιση τέτοιων γραμμών δεν είναι κάτι αναπάντεχο, καθώς οι γραμμές πρώτων στην σπείρα αντιστοιχούν σε πολυώνυμα δευτεροβάθμιων εξισώσεων, και ορισμένα από αυτά τα πολυώνυμα όπως ο τύπος x2 − x + 41 του Λέοναρντ Όιλερ για την παραγωγή πρώτων αριθμών, παράγουν πρώτους με μεγάλη συχνότητα εμφάνισης στην σπείρα.Ωστόσο η σπείρα σχετίζεται και με άλλα σημαντικά ανεπίλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών όπως τα προβλήματα του Λαντάου. Συγκεκριμένα, καμία δευτεροβάθμια εξίσωση δεν έχει αποδειχτεί πως μπορεί να παράγει πρώτους αριθμούς επ' άπειρον, και πολύ περισσότερο το να έχει ασυμπτωτική συχνότητα πρώτων αριθμών ώστε να σχηματίζει ομαδοποιήσεις σε γραμμές.

 Ο Στάνισλαβ Ούλαμ ανακάλυψε τη σπείρα το 1963 καθώς παρακολουθούσε μια -κατά τα λεγόμενα του- πολύ βαρετή παρουσίαση σε επιστημονικό συνέδριο και για να περάσει η ώρα έκανε διάφορα σχέδια, μουτζούρες και υπολογισμούς στο σημειωματάριο του. Οι πρώτοι υπολογισμοί του με το χέρι σε ότι αφορούσε την ιδέα της σπείρας, αφορούσαν μονάχα μερικές εκατοντάδες σημεία επί της σπείρας. Λίγο αργότερα, αποφάσισε να δοκιμάσει περαιτέρω την ιδέα αυτή μαζί με συνεργάτες του, και χρησιμοποίησαν τον ηλεκτρονικό υπολογιστή MANIAC II στο παρατηρητήριο του Λος Άλαμος στο Νέο Μεξικό των ΗΠΑ, ώστε οι υπολογισμοί να επεκταθούν σε 100.000 σημεία. Κατόπιν υπολογίστηκε η πυκνότητα των πρώτων αριθμών για αριθμούς έως το 10.000.000 μαζί με τις πλούσιες σε πρώτους αριθμούς γραμμές και τις όχι και τόσο πλούσιες. Παρήχθησαν απεικονίσεις της σπείρας έως τα 65.000 σημεία και κατόπιν φωτογραφήθηκαν. Οι απεικονίσεις αυτές χρησιμοποιήθηκαν κατόπιν για την εικονογράφηση του άρθρου στο επιστημονικό περιοδικό Scientific American σχετικά με την ιδέα της σπείρας, και από εκεί η κατασκευή αυτή απέκτησε ευρύτερη δημοσιότητα το 1964. Το άρθρο του Scientific American έκανε σύντομη αναφορά και στον Λώρενς Μονρώ Κλάουμπερ, ο οποίος το 1932, 30 έτη πριν την εφεύρεση του Ούλαμ, είχε συντάξει ένα παρόμοιο σχεδιάγραμμα το οποίο είχε τριγωνικό σχήμα και περιείχε συγκεντρώσεις πρώτων αριθμών και ο Κλάουντερ είχε επίσης σχολιάσει τον συσχετισμό των γραμμών με τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις παραγωγής πρώτων αριθμών. Ο ίδιος περιέγραψε την κατασκευή του λέγοντας πως οι ακέραιοι τοποθετούνται σε τριγωνικό σχήμα με το 1 να βρίσκεται στην κορυφή του τριγώνου, στην αμέσως παρακάτω γραμμή οι αριθμοί 2 έως 4, στην τρίτη γραμμή οι αριθμοί 5 έως 9, και παρομοίως στις υπόλοιπες γραμμές. Όταν σημειωθούν οι πρώτοι αριθμοί, προκύπτουν συγκεντρώσεις των αριθμών αυτών σε ορισμένες κάθετες και οριζόντιες γραμμές, παρόμοιες με τις εξισώσεις παραγωγής πρώτων αριθμών του Όιλερ.Πέρα από τους Κλάουμπερ και Ούλαμ, ο συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας Άρθουρ Κλαρκ στο διήγημα του με τίτλο Η πόλη και τα άστρα (1956), είχε περιγράψει το φαινόμενο της συγκέντρωσης πρώτων αριθμών και τα πιθανά σχέδια και επαναλήψεις που μπορεί να προκύψουν, χωρίς ωστόσο να προχωρήσει παραπέρα με κάποια υλοποίηση. Η αριθμητική σπείρα κατασκευάζεται ξεκινώντας με με την αναγραφή του αριθμού εκκίνησης στο κέντρο και κατόπιν προχωρώντας στην αναγραφή των υπολοίπων αριθμών σε κυκλική κατεύθυνση προς τα δεξιά: Η τελική μορφή της σπείρας προκύπτει με την σημείωση των αριθμών οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί (οι μη πρώτοι ή σύνθετοι αριθμοί αποκρύπτονται ή χρωματίζονται διαφορετικά): Οι γραμμές που προκύπτουν στην κατανομή των πρώτων αριθμών υποδηλώνουν υψηλή πυκνότητα πρώτων αριθμών. Συνήθως η σπείρα σχηματίζεται ξεκινώντας με τον αριθμό 1 στο κέντρο, ωστόσο μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε αριθμός ως σημείο εκκίνησης. Η τιμή του 41, δίνει ένα ιδιαίτερο αποτέλεσμα με διαγώνια γραμμή, κάτι που διαφαίνεται και στην σπείρα 31x31 (από το 41 στο κέντρο, έως τον αριθμό 1001 στην κάτω δεξιά γωνία) που σχηματίζεται όπως παρακάτω (οι πράσινοι αριθμοί διαθέτουν 3 διαιρέτες ενώ οι κόκκινοι μεγάλο αριθμό διαιρετών): η ίδια συμπεριφορά συνεχίζει και σε μεγαλύτερες διαστάσεις (100x100, έως το 10240) με πολύ μικρά διαλείμματα: Οι διαγώνιες, οριζόντιες, και κάθετες γραμμές της σπείρας αντιστοιχούν στα πολυώνυμα της μορφής: f ( ν ) = 4 ν 2 + β ν + γ {\displaystyle f(\nu )=4\nu ^{2}+\beta \nu +\gamma } όπου το β και το γ είναι σταθερές ακεραίων. Όταν το β είναι άρτιος, οι γραμμές είναι διαγώνιες, και είτε όλοι οι αριθμοί είναι περιττοί, είτε όλοι είναι άρτιοι, ανάλογα με την τιμή του γ. Έτσι δεν αποτελεί έκπληξη το ότι όλοι οι πρώτοι αριθμοί εκτός από το 2 βρίσκονται σε διαγώνιες γραμμές στην σπείρα του Ούλαμ. Η κατανόηση του γιατί κάποιες διαγώνιες γραμμές έχουν μεγαλύτερη συγκέντρωση πρώτων αριθμών σε σχέση με άλλες, εξαρτάται από την κατανόηση της συμπεριφοράς των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παραγωγής πρώτων αριθμών. Οι Άγγλοι μαθηματικοί Γκόντφρεϊ Χάρολντ Χάρντι και Τζον Έντενσορ Λίτλγουντ σημείωσαν σε μελέτη που σύνταξαν το 1923 σχετικά με την εικασία του Γκόλντμπαχ, μια σειρά από δικές τους μαθηματικές σημειώσεις με τη μορφή εικασίας οι οποίες εάν αληθεύουν είναι δυνατό να εξηγήσουν τις ιδιότητες της σπείρας του Ούλαμ. Η θεωρία που ανέπτυξαν ονομάζεται εικασία F, και αποτελεί ειδική περίπτωση της εικασίας Μπέιτμαν-Χορν καθώς προτείνει την χρήση ενός ασυμπτωτικού μαθηματικού τύπου για τους πρώτους αριθμούς με την μορφή αχ2 + βχ + γ. Οι ακτίνες που προέρχονται από την κεντρική περιοχή της σπείρας σχηματίζουν γωνίες 45° με τις οριζόντιες και κάθετες γραμμές να αντιστοιχούν στους πρώτους αριθμούς της μορφής 4χ2 + βχ + γ και το β να είναι άρτιος. Οι οριζόντιες και κάθετες γραμμές αντιστοιχούν σε αριθμούς της ίδιας μορφής με το β να είναι περιττός. Η εικασία F παρέχει έναν τύπο ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της πυκνότητας των πρώτων αριθμών στις γραμμές αυτές, και αφήνει να εννοηθεί πως υπάρχει σημαντική διαφοροποίηση μεταξύ των πυκνοτήτων διαφορετικών γραμμών, και συγκεκριμένα πως η πυκνότητα εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την διακρίνουσα του πολυώνυμου β2 − 16γ. Στα πολυώνυμα της μορφής αχ2 + βχ + γ το α, β, και γ είναι ακέραιοι και το α είναι θετικός. Εάν οι συντελεστές περιέχουν έναν κοινό παράγοντα μεγαλύτερο από 1 ή εάν η διακρίνουσα Δ = β2 − 4αγ αποτελεί τέλειο τετράγωνο, το πολυώνυμο παραγοντοποιεί και παράγει σύνθετους αριθμούς καθώς το χ παίρνει τις τιμές 0, 1, 2, ... (εκτός για τις μια ή δύο τιμές του χ όπου ένας από τους παράγοντες ισούται με 1). Επιπλέον, εάν τα α + β και το γ είναι άρτια, το πολυώνυμο παράγει μονάχα άρτιες τιμές, και είναι επομένως σύνθετο εκτός πιθανώς για την τιμή 2. Οι Χάρντυ και Λίτλγουντ πρότειναν πως εκτός από αυτές τις περιπτώσεις, το αχ2 + βχ + γ μπορεί να παράγει πρώτους αριθμούς επ' άπειρον με το χ να παίρνει τις τιμές 0, 1, 2 κτλ. Η δήλωση αυτή βασίζεται στην παλαιότερη εικασία του Μπουνυακόφσκυ και παραμένει ανοικτή. Επιπλέον, οι Χάρντυ και Λίτλγουντ πρότειναν πως ο αριθμός P(ν) των πρώτων αριθμών της μορφής αχ2 + βχ + γ και μικρότερο από το ν: P ( ν ) ∼ A 1 a ν log ⁡ ν {\displaystyle P(\nu )\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {\nu }}{\log \nu }}} όπου το A εξαρτάται από τα α, β και γ, αλλά όχι από το ν. Σύμφωνα με το θεώρημα πρώτων αριθμών, στον τύπο αυτό όταν το A ισούται με 1 τότε επιστρέφει τον ασύμπτωτο αριθμό πρώτων αριθμών μικρότερων από ν ο οποίος αναμένεται σε μια τυχαία ομάδα αριθμών η οποία έχει την ίδια πυκνότητα με την ομάδα αριθμών της μορφής αχ2 + βχ + γ. Καθώς όμως το A μπορεί να έχει τιμή μεγαλύτερη ή μικρότερη από το 1, μερικά πολυώνυμα, σύμφωνα με την εικασία, θα είναι εξαιρετικά πλούσια ως προς την ύπαρξη πρώτων αριθμών, ενώ άλλα εξαιρετικά φτωχά. Ένα πολυώνυμο με ασυνήθιστα μεγάλη συγκέντρωση πρώτων αριθμών είναι το 4χ2 − 2χ + 41 το οποίο οπτικά αποτυπώνεται σε γραμμή στην σπείρα Ούλαμ. Η τιμή του A για το συγκεκριμένο πολυώνυμο αντιστοιχεί σε 6,6, κάτι που σημαίνει πως οι αριθμοί που παράγει είναι σχεδόν 7 φορές πιθανότερο να αποτελούν πρώτους αριθμούς παρά σύνθετους σύμφωνα με την εικασία. Το πολυώνυμο αυτό σχετίζεται με το αντίστοιχο του Όιλερ το οποίο ήταν χ2 − χ + 41 αντικαθιστώντας το χ με 2χ, ή εναλλακτικά διαθέτοντας μόνο άρτιους αριθμούς για το χ. Ο πρωτότυπος υπολογισμός όπως ορίστηκε από τους Χάρντυ και Λίτλγουντ για την σταθερά Α είναι: A = ε ∏ p ( p p − 1 ) ∏ ϖ ( 1 − 1 ϖ − 1 ( Δ ϖ ) ) . {\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl (}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1-{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}.} ο παραπάνω υπολογισμός απλοποιείται ως: A = ∏ p 1 − ω ( p ) p 1 − 1 p {\displaystyle A=\prod \limits _{p}{\frac {1-{\frac {\omega (p)}{p}}}{1-{\frac {1}{p}}}}~} , όπου το p {\displaystyle p} διατρέχει όλους τους πρώτους αριθμούς, και το ω ( p ) {\displaystyle \omega (p)} — είναι το σύνολο των μηδενικών της δευτεροβάθμιας εξίσωσης μόντουλο p. Απλοποιείται περαιτέρω ως ∏ p p − ω ( p ) p − 1 {\displaystyle \prod \limits _{p}{\frac {p-\omega (p)}{p-1}}~} . Το σύμβολο ( Δ ϖ ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)} αντιστοιχεί στο σύμβολο Λεζάντρ. Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με A ≈ 11,3, ανακαλύφθηκε από τους Jacobson και Williams το 2003. Αρχίζοντας με την τριγωνική παραλλαγή του Λώρενς Μονρώ Κλάουμπερ από το 1932, η μελέτη του περιγράφει τον σχηματισμό τριγώνου όπου η κάθε γραμμή ν περιέχει τους αριθμούς (ν − 1)2 + 1 μέσω n2. Όπως και στην σπείρα του Ούλαμ παράγονται πρώτοι αριθμοί που βρίσκονται σε ευθείες γραμμές. Οι κάθετες γραμμές αντιστοιχούν στην μορφή k2 − k + M. Μια άλλη παραλλαγή, κυκλική, είναι αυτή που προτάθηκε από τον Σακς το 1994. Στην σπείρα του Σακς, οι μη αρνητικοί αριθμοί τοποθετούνται επί της σπείρας του Αρχιμήδη αντί για την τετράγωνη σπείρα του Ούλαμ, και η απόσταση τους είναι τέτοια ώστε ένα τέλειο τετράγωνο εμφανίζεται σε κάθε κύκλο επανάληψης (στην Ούλαμ εμφανίζονται 2 ανά κύκλο επανάληψης). Το πολυώνυμο x2 − x + 41 εμφανίζεται ως μια καμπύλη όπου το χ παίρνει τις τιμές 0, 1, 2, κτλ. Η καμπύλη αυτή προσεγγίζει ασυμπτωτικά μια οριζόντια γραμμή στο αριστερό μισό της σπείρας. Prime Spirals - Numberphile, Youtube / University of Nottingham 41 and more Ulam's Spiral - Numberphile, Youtube / University of Nottingham Ulam spiral generator, lab.ejci.net