Παράδοξα του Ζήνωνα

Τα Παράδοξα του Ζήνωνα είναι μια σειρά φιλοσοφικών προβλημάτων που η επινόησή τους αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Ζήνωνα τον Ελεάτη (περ. 490–430 π.Χ.). Υπάρχει διαφωνία στην εκτίμηση του τι πίστευε προσωπικά ο Ζήνωνας πως επισημαίνουν τα παράδοξά του, καθώς δεν καταγράφεται πουθενά να δίνει ο ίδιος λύσεις σε αυτά, ούτε να τα εισάγει σε κάποιο θεωρητικό πλαίσιο. Σύμφωνα με μια άποψη, τα φιλοσοφικά αυτά προβλήματα είχαν σκοπό την υποστήριξη της φιλοσοφικής θέσης του Παρμενίδη, δάσκαλου του Ζήνωνα, πως τα πάντα συμπίπτουν και η πραγματικότητα είναι αδιαίρετη, οι δε αισθήσεις μας παραπλανούν δίνοντας την ψευδαίσθηση της πολλαπλότητας. Η παραδοχή πως η πραγματικότητα μπορεί και διαιρείται σε όλο και πιο μικρά μέρη καταλήγει βάσει της λογικής στο να γίνονται αβάσταχτα στον νου τα παράδοξα καθώς αντιτίθενται άμεσα στην εμπειρία.

 Στον Ζήνωνα αποδίδονται 40 παράδοξοι λόγοι (συλλογισμοί). «Ο Αχιλλέας και η χελώνα», «η διχοτομία», «το στάδιο» και «το βέλος» είναι από τα πιο γνωστά. Η συλλογιστική που ακολουθεί ο Ζήνωνας είναι στο ιδεατό πεδίο της λογικής και όχι στο πεδίο της εμπειρίας και ο αναγνώστης καλείται να ακολουθήσει τον συλλογισμό της λογικής και στο τέλος να συγκρίνει το εξαγόμενο αποτέλεσμα με αυτό της εμπειρίας. Έχουμε δύο δρομείς, τον Αχιλλέα, που τρέχει γρήγορα, και τη χελώνα, που πάει πιο αργά από τον Αχιλλέα, οι οποίοι συμμετέχουν σε αγώνα δρόμου. Μιας και η χελώνα είναι πιο αργή της χαρίζεται ένα προβάδισμα από τον Αχιλλέα, το οποίο όμως φαίνεται να επιδρά καθοριστικά στο να νικά πάντα η χελώνα, όσο μικρό κι αν είναι το προβάδισμα και όσο μεγάλη και να είναι η απόσταση που θα διανύσουν στον αγώνα δρόμου. Για να προσπεράσει ο Αχιλλέας τη χελώνα πρέπει πρώτα να φτάσει στο σημείο από το οποίο η χελώνα ξεκίνησε. Όμως αυτό δεν πρόκειται να γίνει ποτέ όσο η χελώνα συνεχίζει να προχωρά, όσο αργή κι αν είναι. Ώσπου να καλύψει ο Αχιλλέας την απόσταση αυτή, η χελώνα θα έχει προχωρήσει λίγο πιο πέρα. Έτσι ο Αχιλλέας υποχρεούται να διανύσει κι άλλο διάστημα, ως τη νέα θέση της χελώνας. Ώσπου να διατρέξει το νέο αυτό διάστημα, η χελώνα θα έχει προχωρήσει κι άλλο, στον χρόνο που ο Αχιλλέας χρειάζεται για να φτάσει στο προηγούμενο σημείο. Το διάστημα που τους χωρίζει μπορεί να γίνεται ολοένα και πιο μικρό, όμως ποτέ ο γρήγορος Αχιλλέας δε μπορεί να φτάσει την αργή χελώνα, όσο ο χώρος μπορεί και διαιρείται σε όλο και πιο μικρά μέρη. Ένας δρομέας ξεκινά με σκοπό να φτάσει στο τέρμα του στίβου. Όμως για να φτάσει στο τέρμα θα πρέπει να τρέξει άπειρο αριθμό από διαδρομές που προστίθενται η μία στην άλλη. Καταρχάς πρέπει να φτάσει στο μέσο της διαδρομής ως το τέρμα. Στη συνέχεια πρέπει να φτάσει στο ενδιάμεσο σημείο μεταξύ του μέσου και του τέρματος, μετά στο μέσο του δεύτερου μέσου, κ.ο.κ. Όσο ο χώρος μπορεί και χωρίζεται (κάθε φορά στο μισό του μισού κλπ) σε όλο και πιο μικρά μέρη, οι διαδρομές όλο και προστίθενται και τελικά γίνονται άπειρες σε αριθμό. Όμως κανείς δε μπορεί να τρέξει άπειρο αριθμό διαδρομών. Ακόμα και αν η απόσταση από την αρχή ως το τέρμα είναι μόνο ένα μέτρο, ή ένα εκατοστό, ή ακόμα και μόνο ένα χιλιοστό του μέτρου, μια άπειρη σειρά διαδρομών δεν μπορεί να την εκτελέσει κανείς. Συνεπώς η κίνηση είναι αδύνατη. Τρεις κύβοι με ίδιο όγκο (ίδιες δηλαδή διαστάσεις), οι Α, Β, Γ, βρίσκονται στοιχισμένοι στην ίδια ευθεία, ο ένας πίσω από τον άλλο, και ακίνητοι. Οι πλευρές τους έχουν (και για τους τρεις) το ίδιο μήκος μ. Μετακινούμε τον μπροστινό κύβο Α προς τα αριστερά με σταθερή ταχύτητα, και ταυτόχρονα τον τελευταίο κύβο Γ προς τα δεξιά, με την ίδια (και σταθερή) ταχύτητα. Στον ίδιο χρόνο που ο Α έχει μετακινηθεί κατά μισή πλευρά (=μ/2) προς τα αριστερά ως προς τον ακίνητο Β, ο Γ έχει μετακινηθεί προς τα δεξιά κατά το ίδιο διάστημα (μισή πλευρά ή μ/2) ως προς τον ακίνητο Β. Στον ίδιο επίσης χρόνο ο Α έχει μετακινηθεί κατά μ (=μια πλευρά κύβου) ως προς τον Γ. Στον διπλάσιο χρόνο, ο Α και ο Γ έχουν ο καθένας μετακινηθεί κατά επίσης μ (=μια πλευρά κύβου) σε σχέση με τον Β. Συνεπώς «ο μισός χρόνος ισούται με τον διπλάσιό του».Το παράδοξο του σταδίου αποτελεί κριτική για την ιδέα της ταχύτητας που είχαν οι αρχαίοι Έλληνες, οι οποίοι την θεωρούσαν απόλυτη αξία που εξαρτάται από την ορμή της μετατόπισης. Στο παράδοξο του σταδίου έχουμε δύο δρομείς που τρέχουν σε αντίθετη κατεύθυνση και καθώς συναντώνται ο καθένας τους έχει την αίσθηση πως ο άλλος τρέχει πολύ γρήγορα, κάτι που δεν ισχύει για έναν τρίτο που παρατηρεί ακίνητος και εκτός του σταδίου τους δύο δρομείς. Η ταχύτητα γίνεται πλέον σχετικό μέγεθος, εξαρτώμενο από τον παρατηρητή και το πώς αυτός κινείται σε σχέση με το παρατηρούμενο. Σε αυτή τη σειρά των παραδόξων επιχειρείται η άρνηση της ποσότητας: Ξεκινώντας από έναν κόκκο σταριού προσθέτουμε άλλον έναν κι άλλον έναν κ.ο.κ. ώσπου τελικά να έχουμε έναν σωρό από σιτάρι. Στον σωρό όμως χάνεται η έννοια της ποσότητας, η ικανότητα δηλαδή να απαριθμούνται οι κόκκοι του σταριού. Στον παρεμφερή συλλογισμό της φαλάκρας, το ζητούμενο είναι ο αριθμός των τριχών που καθορίζουν αν ένα κεφάλι είναι φαλακρό ή όχι. Στον συλλογισμό του θορύβου, ένας κόκκος σιταριού που πέφτει στο έδαφος δεν κάνει θόρυβο, σε αντίθεση με ένα σακκί σιτάρι που χύνεται στη γη, και το ερώτημα είναι πώς μπορεί ένα σύνολο σιωπών (του κάθε κόκκου) να παράγει θόρυβο (του σακκιού). Η πολλαπλότητα είναι ανέφικτη· τα πάντα είναι Ένα: Αν υπήρχε πολλαπλότητα, τα πάντα θα διαχωρίζονταν από άλλα αντικείμενα που θα βρίσκονταν ανάμεσά τους. Εκεί γεννιέται το παράδοξο, καθώς από τη μία τα πράγματα είναι πεπερασμένα και αριθμούνται, αφού μπορούμε να μετρήσουμε μια συγκεκριμένη ποσότητα από αυτά, και από την άλλη, όταν πάντα υπάρχουν ενδιάμεσα αντικείμενα για οποιοδήποτε πράγμα, τα πράγματα απειρίζονται. Επειδή λοιπόν είναι αδύνατο να είναι ταυτόχρονα πεπερασμένη και άπειρη μια ποσότητα, τα πράγματα δεν είναι πολλαπλά αλλά συμπίπτουν και οι αισθήσεις μας απλώς μας εξαπατούν. Τα πάντα είναι Ένα και ο αληθινός κόσμος έχει τη μορφή του Σφαίρου του Παρμενίδη, που είναι τέλειος από κάθε άποψη και αδιαίρετος. Το παράδοξο του βέλους καταδεικνύει την κίνηση ως αδύνατη υπό την παραδοχή πως ο χρόνος αποτελείται από σημειακές στιγμές, την παραδοχή δηλαδή πως οι χρονικές στιγμές δεν έχουν εύρος. Έτσι, σε κάθε στιγμή στον χρόνο, ένα βέλος που εμείς βλέπουμε να κινείται, «καταλαμβάνει χώρο ίσο με τις διαστάσεις του». Όμως το βέλος, για να κινείται πραγματικά, απαιτεί χώρο μεγαλύτερο από τις διαστάσεις του κι αυτό δε μπορεί να συμβαίνει εντός μιας σημειακής χρονικής στιγμής, που δεν του το επιτρέπει. Στην ουσία δηλαδή, για να μπορεί το βέλος να κινηθεί, απαιτεί χρόνο πιο πολύ από μια στιγμή. Άρα κάθε στιγμή του χρόνου το βέλος βρίσκεται σε ηρεμία και όχι σε κίνηση. Επειδή λοιπόν οι χρονικές στιγμές είναι σημειακές (δεν έχουν διάρκεια), η κίνηση είναι αδύνατη. Ο Ζήνων, για να δείξει ότι σε περισσότερα λογικά άτοπα οδηγούσε η αντίθετη υπόθεση, ότι δηλαδή υπάρχουν πολλά και κινούμενα όντα, ανέπτυξε μια πρωτότυπη για την εποχή του συλλογιστική, επιχειρηματολογώντας για το αδύνατο της πολλαπλότητας και της κινητικότητας του όντος. Με αυτή τη συλλογιστική του ο Ζήνων διατύπωσε τα διαβόητα στην ιστορία της φιλοσοφίας και των μαθηματικών παράδοξά του, όπως ο ισχυρισμός ότι ο «Ωκύπους Αχιλλεύς (γρήγορος στα πόδια)» δεν μπορεί να φτάσει στο τρέξιμο τη χελώνα, γιατί, για να τη φτάσει, θα πρέπει η χελώνα να βρίσκεται πάντα μπροστά το, ή ότι το βέλος που έχει εκτοξευτεί, δεν κινείται, γιατί δεν μπορεί να βρίσκεται την ίδια στιγμή στο προηγούμενο και στο επόμενο σημείο του χώρου. Από την άποψη ότι ο Ζήνων ο Ελεάτης πρώτος στην ιστορία της Φιλοσοφίας ασχολήθηκε μεθοδικά με τα λογικά επακόλουθα όχι μόνο των δικών του υποθέσεων αλλά και των άλλων δίκαια μπορεί να θεωρηθεί, σύμφωνα με την αριστοτελική κρίση, «ευρετής διαλεκτικής». Η σημασία του για την εποχή του βρίσκεται στο ότι αυτός με τη συλλογιστική του έθεσε καίρια προβλήματα χώρου, χρόνου, κίνησης κλπ. και έτσι άνοιξε το δρόμο τόσο για τη φυσικομαθηματική θεμελίωση της κοσμολογίας των ατομικών φιλοσόφων, όσο και το γνωσιολογικό σκεπτικισμό και μηδενισμό των σοφιστών. Αργότερα ασχολήθηκαν με τη σκέψη του ο Πλάτων, ο Εύδοξος ο Αριστοτέλης, ο Ηρακλείδης κ.α. Μάλιστα οι δυο τελευταίοι από αυτούς, όπως παραδίδεται, είχαν συντάξει και ειδικές πραγματείες Πρός τά Ζήνωνος Από τα παράδοξα του Ζήνωνα (διατηρημένα στα Φυσικά του Αριστοτέλη και στη Θεωρία του Σιμπλικίου) είναι ουσιαστικά ισοδύναμα το ένα με το άλλο· από τα πιο γνωστά και διαδεδομένα όπως "Ο Αχιλλέας και η χελώνα", " η διαμάχη της διχοτόμησης" και αυτό που αναφέρει ένα βέλος στον αέρα, περιγράφονται με λεπτομέρειες παρακάτω.Τα επιχειρήματα του Ζήνωνα είναι τα πρώτα παραδείγματα της μεθόδου "απόδειξη με αντίφαση". Είναι επίσης η βάση των διαλεκτικών μεθόδων που χρησιμοποιούσε ο Σωκράτης. Κάποιοι μαθηματικοί, όπως ο Carl Boyer, επέμεναν ότι τα παράδοξα του Ζήνωνα είναι απλώς μαθηματικά προβλήματα τα οποία μπορούν να λυθούν με τον σύγχρονο λογισμό. Ωστόσο, κάποιοι φιλόσοφοι ισχυρίζονται ότι είναι παραλλαγές από διάφορα μεταφυσικά προβλήματα. Η προέλευση αυτών των παραδόξων δεν είναι ξεκάθαρη. Ο Διογένης αναφέρει ότι ο δάσκαλος του Ζηνωνα, ο Παρμενίδης, ήταν ο πρώτος που παρουσίασε τον Αχιλλέα και την χελώνα ενώ σε άλλο κεφάλαιο υποστηρίζει ότι ο Ζήνωνας είναι υπεύθυνος για την γέννηση αυτών των προβληματισμών. Υπάρχει διαφωνία και σε σχέση με αυτό που φαίνεται να πίστευε ο Ζήνωνας. Μια θέση είναι πως ο Ζήνων πίστευε ότι η κίνηση είναι μια ψευδαίσθηση. Πιστεύεται, σύμφωνα με τον Παρμενίδη, ότι ο Ζήνων πήρε την πρωτοβουλία να δημιουργήσει αυτά τα παράδοξα, διότι άλλοι φιλόσοφοι είχαν δημιουργήσει κάποια παράδοξα τα οποία ήταν εις βάρος του Παρμενίδη. Έτσι το δόγμα του Ζήνωνα ερμηνεύεται ότι αν υποθέσουμε ότι υπάρχει πλήθος είναι πιο παράλογο από το να υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας. Ο Πλάτωνας έκανε τον Σωκράτη να ισχυριστεί ότι ο Ζήνων και ο Παρμενίδης υποστήριζαν ακριβώς το ίδιο πράγμα. Στο παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας ο Αχιλλέας είναι σε αγώνα δρόμου με μια χελώνα. ο Αχιλλέας επιτρέπει στη χελώνα ένα προβάδισμα 100 μέτρων.Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι οι 2 δρομείς θα τρέχουν με σταθερή ταχύτητα (ο ένας αργά και ο άλλος γρήγορα) μετά από πεπερασμένο χρόνο ο Αχιλλέας θα έχει τρέξει 100 μετρά και θα έχει φτάσει το σημείο εκκίνησης της χελώνας.Κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου η χελώνα θα έχει διανύσει πολύ μικρότερη απόσταση (π.χ 10 μέτρα). Στη συνέχεια, θα πάρει τον Αχιλλέα λίγο περισσότερο χρόνο για να τρέξει την απόσταση, στον οποίο η χελώνα θα έχει προχωρήσει πιο μακριά και στη συνέχεια περισσότερο χρόνο ακόμα για να φτάσει αυτό το τρίτο σημείο, ενώ η χελώνα κινείται μπροστά. Έτσι, κάθε φορά που ο Αχιλλέας φτάνει κάπου η χελώνα έχει πάει ακόμα πιο μακριά. Ως εκ τούτου, επειδή υπάρχει ένας άπειρος αριθμός των σημείων που ο Αχιλλέας πρέπει να φθάσει και η χελώνα έχει ήδη πάει, δεν μπορεί ποτέ να ξεπεράσει τη χελώνα. Ας υποθέσουμε ότι ο Βασίλης θέλει να προλάβει ένα σταθμευμένο λεωφορείο. Προτού να μπορέσει να φτάσει εκεί, θα πρέπει να φτάσει στα μισά του δρόμου για εκεί. Προτού να μπορέσει να φτάσει στα μισά του δρόμου, θα πρέπει να φτάσει το ένα τέταρτο του δρόμου για εκεί. Πριν το ταξίδι στο ένα τέταρτο, θα πρέπει να ταξιδέψει το ένα όγδοο. Πριν από το ένα όγδοο, ένα δέκατο έκτο. Και ούτω καθεξής. H − B 8 − B 4 − − − B 2 − − − − − − − B {\displaystyle H-{\frac {B}{8}}-{\frac {B}{4}}---{\frac {B}{2}}-------B} Η ακολουθία που δημιουργείται μπορεί να παρουσιαστεί ως { ⋯ , 1 16 , 1 8 , 1 4 , 1 2 , 1 } {\displaystyle \left\{\cdots ,{\frac {1}{16}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},1\right\}} ¨ Η περιγραφή αυτή απαιτεί την ολοκλήρωση ενός άπειρου αριθμού καθηκόντων, την οποία ο Ζήνωνας καθιστά αδύνατη. Αυτή η ακολουθία παρουσιάζει επίσης ένα δεύτερο πρόβλημα, το ότι δεν περιέχει καμία πρώτη απόσταση για να τρέξει,για κάθε πιθανή (πεπερασμένη) πρώτη απόσταση που θα μπορούσε να χωριστεί στη μέση,και ως εκ τούτου δεν θα είναι η πρώτη τελικά.Με αυτόν τον τρόπο το ταξίδι δεν μπορεί καν να αρχίσει.Το παράδοξο συμπέρασμα τότε θα είναι ότι το ταξίδι σε οποιαδήποτε πεπερασμένη απόσταση δεν μπορεί να συμπληρωθεί ούτε να αρχίσει,και έτσι όλες οι κινήσεις πρέπει να είναι μια ψευδαίσθηση. Το επιχείρημα αυτό ονομάζεται η διχοτόμηση, διότι αφορά επανειλημμένα διάσπαση μιας απόστασης σε δύο μέρη.Περιέχει μερικά από τα ίδια στοιχεία όπως ο Αχιλλέας και η χελώνα αλλά με πιο εμφανής ολοκλήρωση της ακινησίας. Είναι επίσης γνωστό ως το παράδοξο ιππόδρομος. Κάποιοι, όπως ο Αριστοτέλης, θεώρησαν τη διχοτόμηση ως μια άλλη εκδοχή του Αχιλλέα και της χελώνας. Υπάρχουν δύο εκδοχές του παράδοξου της διχοτόμησης. Στην άλλη εκδοχή, πριν ο Βασίλης φθάσει το σταθμευμένο λεωφορείο, θα πρέπει να φθάσει το μισό της απόστασης. Πριν φτάσει το τελευταίο μισό, θα πρέπει να ολοκληρώσετε το επόμενο τέταρτο της απόστασης. Φτάνοντας στο επόμενο τέταρτο, θα πρέπει να καλύπτει τότε το επόμενο όγδοο της απόστασης, έπειτα το επόμενο δέκατο έκτο, και ούτω καθεξής. Υπάρχει λοιπόν ένας άπειρος αριθμός των βημάτων που πρέπει πρώτα να επιτευχθεί πριν προλάβει να φτάσει το λεωφορείο, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να καθοριστεί το μέγεθος του κάθε «τελευταίου» βήματος. Με τον τρόπο αυτό, το παράδοξο της διχοτόμησης είναι ανάλογο με εκείνο του Αχιλλέα και της χελώνας. Στο παράδοξο του βέλους, ο Ζήνων ισχυρίζεται ότι για να υπάρξει κίνηση, ένα αντικείμενο πρέπει να αλλάξει τη θέση που κατέχει. Δίνει ένα παράδειγμα ενός βέλους κατά την πτήση. Δηλώνει ότι σε κάθε μία χρονική στιγμή, το βέλος ούτε κινείται προς όπου είναι, ούτε όπου δεν είναι. Δεν μπορεί να κινηθεί προς όπου δεν είναι, γιατί δεν υπάρχει χρόνος που μεσολαβεί για να μετακινηθεί εκεί. Δεν μπορεί να κινηθεί προς όπου είναι, γιατί είναι ήδη εκεί. Με άλλα λόγια, σε κάθε χρονική στιγμή δεν υπάρχει καμία κίνηση. Αν όλα είναι ακίνητα σε κάθε στιγμή, και ο χρόνος αποτελείται εξ ολοκλήρου από στιγμές, τότε η κίνηση είναι αδύνατη. Ενώ τα δύο πρώτα παράδοξα χωρίζουν χώρο, αυτό το παράδοξο ξεκινά από τη διαίρεση του χρόνου-και όχι σε τμήματα, αλλά σε σημεία. Τρία άλλα παράδοξα, όπως αναφέρονται από τον Αριστοτέλη: Παράδοξο του Τόπου:«... Αν όλα όσα υπάρχουν έχουν μια θέση, η θέση επίσης θα έχει μια θέση, και ούτω καθεξής.» Παράδοξο του κόκκου του σιταριού:«... Δεν υπάρχει κανένα μέρος του σιταριού που δεν κάνει έναν ήχο: γιατί δεν υπάρχει κανένας λόγος για τον οποίο κάθε τέτοιο τμήμα δεν θα πρέπει σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα να αδυνατεί να μετακινήσει τον αέρα που ένα βατσέλι (μονάδα μέτρησης βάρους) κινεί στην πτώση. Στην πραγματικότητα, δεν αρκεί για να μετακινήσει ακόμη και μια τέτοια ποσότητα του αέρα που θα κινηθεί εάν αυτός ο κόκκος ήταν από μόνος του: για κανένα κόκκο δεν υπάρχει διαφορετικά από ότι ενδεχομένως...» Οι Κινούμενες Γραμμές:«Όσον αφορά τις δύο σειρές των φορέων, κάθε γραμμή που αποτελείται από ίσο αριθμό σωμάτων ίσου μεγέθους, περνώντας ο ένας τον άλλο σε ένα στίβο, καθώς προχωρούν με την ίδια ταχύτητα σε αντίθετες κατευθύνσεις, η μία γραμμή που καταλαμβάνει αρχικά το χώρο μεταξύ του στόχου και το μεσαίο σημείο της διαδρομής, και το άλλο ότι μεταξύ του μεσαίου σημείου και της έναρξης των υστέρων. Αυτό ... περιλαμβάνει το συμπέρασμα ότι η μισή δεδομένη χρονική στιγμή είναι ίση με το διπλάσιο αυτού του χρόνου.» Σύμφωνα με τον Σιμπλίκιο, ο Διογένης ο Κυνικός δεν είπε τίποτα όταν άκουσε τα επιχειρήματα του Ζήνωνα, αλλά σηκώθηκε και περπάτησε, προκειμένου να αποδείξει την ανακρίβεια των συμπερασμάτων του Ζήνωνα. Για να λύσουν οποιαδήποτε από τα παράδοξα, ωστόσο, κάποιος πρέπει να δείξει τι είναι λάθος με το επιχείρημα, όχι μόνο τα συμπεράσματα. Μέσα από την ιστορία, έχουν προταθεί διάφορες λύσεις. Μεταξύ των πιο πρόσφατα καταγεγραμμένων είναι εκείνες του Αριστοτέλη και του Αρχιμήδη. Ο Αριστοτέλης (384 π.Χ.-322 π.Χ.) παρατήρησε ότι όσο η απόσταση μειώνεται, ο χρόνος που απαιτείται για την κάλυψη των αποστάσεων μειώνεται επίσης, έτσι ώστε ο χρόνος που απαιτείται, επίσης, γίνεται όλο και πιο μικρός. Ο Αριστοτέλης, επίσης, διέκρινε "άπειρα πράγματα σε σχέση διαιρετότητας" (όπως μια μονάδα του χώρου που μπορεί διανοητικά να χωριστεί σε ολοένα και μικρότερες μονάδες, ενώ παραμένει χωρικά το ίδιο) από τα πράγματα (ή αποστάσεις) που είναι άπειρα σε έκταση ("σε σχέση με τα άκρα τους "). Πριν από το 212 π.Χ., ο Αρχιμήδης είχε αναπτύξει μια μέθοδο για τη δημιουργία μιας πεπερασμένης απάντησης για το άθροισμα των άπειρα πολλών όρων που παίρνουν σταδιακά μικρότερους (βλέπε: Γεωμετρική σειρά, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, Ο Τετραγωνισμός της παραβολής). Ο σύγχρονος λογισμός επιτυγχάνει το ίδιο αποτέλεσμα, με πιο αυστηρές μεθόδους (βλέπε: συγκλίνουσες σειρές, όπου οι δυνάμεις του 2 της <<1/x>>, ισοδυναμεί με το παράδοξο της διχοτόμησης, αναφέρεται ως συγκλίνουσες). Αυτές οι μέθοδοι επιτρέπουν την κατασκευή των λύσεων με βάση τις προϋποθέσεις που ορίζονται από τον Ζήνωνα, δηλαδή το χρονικό διάστημα που λαμβάνεται σε κάθε βήμα μειώνεται γεωμετρικά. Η ένσταση του Αριστοτέλη στο παράδοξο του βέλους ήταν ότι "ο χρόνος δεν αποτελείται από αδιαίρετα τμήματα σε σχέση με οποιοδήποτε άλλο μέγεθος που αποτελείται από αδιαίρετα". Ο (άγιος) Θωμάς ο Ακινάτης, σχολιάζοντας την ένσταση του Αριστοτέλη, έγραψε "Οι στιγμές δεν αποτελούν μέρος του χρόνου, για χρονικό διάστημα που δεν αποτελείται από στιγμές σε σχέση με ένα μέγεθος που αποτελείται από σημεία, όπως έχουμε ήδη αποδείξει. Ως εκ τούτου, δεν έπεται ότι ένα πράγμα δεν είναι σε κίνηση σε μια δεδομένη στιγμή, μόνο και μόνο επειδή δεν είναι σε κίνηση, σε κάθε στιγμή του εν λόγω χρόνου. Ο Bertrand Russell προσέφερε αυτό που είναι γνωστό ως το "at-at theory of motion". Συμφωνεί ότι δεν μπορεί να υπάρξει κίνηση "κατά τη διάρκεια" μιας χρονικής στιγμής, και υποστηρίζει ότι το μόνο που απαιτείται για την κίνηση είναι ότι το βέλος να είναι σε ένα σημείο σε ένα χρόνο, σε άλλο σημείο μια άλλη φορά, και σε κατάλληλα σημεία μεταξύ αυτών των δύο σημείων για αυτό το χρονικό διάστημα. Από αυτή την άποψη η κίνηση είναι μία συνάρτηση της θέση σε σχέση με το χρόνο. Ο Nick Huggett υποστηρίζει ότι ο Ζήνωνας θέτει το ερώτημα, όταν λέει ότι τα αντικείμενα που καταλαμβάνουν τον ίδιο χώρο, όπως κάνουν σε κατάσταση ηρεμίας θα πρέπει να είναι σε κατάσταση ηρεμίας. Ο Peter Lynds υποστήριξε ότι όλα τα παράδοξα της κίνησης του Ζήνωνα επιλύονται από το συμπέρασμα ότι οι στιγμές στο χρόνο και τα στιγμιαία μεγέθη δεν υπάρχουν φυσικά. Ο Lynds υποστηρίζει ότι ένα αντικείμενο σε σχετική κίνηση δεν μπορεί να έχει μια στιγμιαία ή συγκεκριμένη σχετική θέση (γιατί το αν το έκανε, δεν θα μπορούσε να είναι σε κίνηση), και έτσι δεν μπορεί να έχει την κίνησή του κλασματικά διαμελισμένη, όπως θεωρείται από τα παράδοξα. Μια άλλη προτεινόμενη λύση είναι να αμφισβητήσει μία από τις παραδοχές που χρησιμοποιούνται στα παράδοξα του Ζήνωνα (ιδιαίτερα τη διχοτόμηση), η οποία είναι ότι μεταξύ οποιωνδήποτε δύο διαφορετικών σημείων στο χώρο (ή ώρα), υπάρχει πάντα ένα άλλο σημείο. Χωρίς αυτή την υπόθεση υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός των αποστάσεων μεταξύ δύο σημείων, ως εκ τούτου, δεν υπάρχει άπειρη ακολουθία των κινήσεων, και το παράδοξο έχει επιλυθεί. Οι ιδέες, το μήκος Planck και ο χρόνος Planck στη σύγχρονη φυσική θέτουν ένα όριο στη μέτρηση του χρόνου και του χώρου, αν όχι τον ίδιο το χρόνο και το χώρο τους. Σύμφωνα με τον Hermann Weyl, η υπόθεση ότι ο χώρος αποτελείται από πεπερασμένες και διακριτές μονάδες υπόκειται σε περαιτέρω πρόβλημα, που δίνεται από το "επιχείρημα κεραμίδι" ή το "πρόβλημα συνάρτησης της απόστασης". Σύμφωνα με αυτό, το μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου σε διακριτό χώρο είναι πάντα ίσο με το μήκος της μιας από τις δύο πλευρές, σε αντίθεση με γεωμετρία. Ο Jean Paul Van Bendegem υποστήριξε ότι το επιχείρημα κεραμίδι μπορεί να επιλυθεί, και ότι η διακριτοποίηση μπορεί να απομακρύνει το παράδοξο. Ο Hans Reichenbach πρότεινε πως το παράδοξο μπορεί να προκύψει από τη θεώρηση του χώρου και του χρόνου ως ξεχωριστές οντότητες. Σε μια θεωρία όπως η γενική σχετικότητα, η οποία προϋποθέτει έναν ενιαίο χώρο-συνεχές χρονικό διάστημα, το παράδοξο μπορεί να μπλοκαριστεί. Άπειρες διαδικασίες παρέμειναν θεωρητικά προβληματικές στα μαθηματικά μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα. Η epsilon-delta έκδοση των Weierstrass και Cauchy, ανέπτυξε μια αυστηρή διατύπωση για τη σχέση της λογικής και του λογισμού. Τα έργα αυτά επίλυσαν άπειρες διαδικασίες που περιλαμβάνουν τα μαθηματικά. Ενώ τα μαθηματικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό, πού και πότε ο κινούμενος Αχιλλέας θα ξεπεράσει τη χελώνα στο παράδοξο του Ζήνωνα, φιλόσοφοι όπως οι Brown και Moorcroft υποστηρίζουν ότι τα μαθηματικά δεν αντιμετωπίζουν το κεντρικό σημείο στην επιχειρηματολογία του Ζήνωνα και ότι η επίλυση των μαθηματικών θεμάτων δεν λύνει το κάθε πρόβλημα που αναπτύσσουν τα παράδοξα. Τα επιχειρήματα του Ζήνωνα συχνά παρερμηνεύονται στη λαϊκή λογοτεχνία. Δηλαδή, ο Ζήνωνας συχνά λέγεται ότι έχει υποστηρίξει ότι το άθροισμα των άπειρων όρων πρέπει να είναι το ίδιο άπειρο, με αποτέλεσμα όχι μόνο ο χρόνος αλλά και η απόσταση που πρέπει να διανυθεί να γίνει άπειρη. Ωστόσο, καμία από τις αρχικές αρχαίες πηγές δεν περιλαμβάνει το άθροισμα της κάθε άπειρης σειράς του Ζήνωνα. Ο Σιμπλίκιος έχει καταγεγραμμένο τον Ζήνωνα να λέει ότι «είναι αδύνατο να διασχίσει έναν άπειρο αριθμό πραγμάτων σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα». Αυτό παρουσιάζει το πρόβλημα του Ζήνωνα όχι με την εύρεση του αθροίσματος, αλλά με την ολοκλήρωση μιας εργασίας με έναν άπειρο αριθμό βημάτων: πώς μπορεί κανείς ποτέ να πάει από το Α στο Β, αν ένας άπειρος αριθμός των (μη-στιγμιαία) γεγονότων μπορεί να προσδιορίσει ότι πρέπει να προηγούνται της άφιξης στο Β, και κανείς δεν μπορεί να φτάσει ακόμη και την αρχή ενός «τελευταίου γεγονοτος»; Σήμερα, εξακολουθεί να υπάρχει μια συζήτηση σχετικά με το ζήτημα του κατά πόσον έχουν ή δεν έχουν επιλυθεί τα παράδοξα του Ζήνωνα. Στην Ιστορία των Μαθηματικών, ο Burton γράφει «Παρά το γεγονός ότι το επιχείρημα του Ζήνωνα κατέρριψε τους συγχρόνους του, μια ικανοποιητική εξήγηση ενσωματώνει τη γνωστή πλέον ιδέα, την έννοια της "συγκλίνουσας άπειρης σειράς".» Ο Μπέρτραντ Ράσελ προσφέρει μια "λύση" για τα παράδοξα που βασίζονται στη σύγχρονη φυσική, αλλά ο Brown καταλήγει: «Λαμβάνοντας υπόψη το ιστορικό των "τελικών αποφάσεων", από τον Αριστοτέλη και μετά, είναι μάλλον παράτολμο να νομίζω ότι έχουμε φτάσει στο τέλος.» Ίσως τα επιχειρήματα του Ζήνωνα για την κίνηση, λόγω της απλότητας και της καθολικότητας τους, πάντα θα χρησιμεύουν ως ένα είδος «εικόνα Rorschach» πάνω στο οποίο οι άνθρωποι μπορούν να προβάλλουν τις πιο θεμελιώδη φαινομενολογικές ανησυχίες τους (αν έχουν). Το 1977, οι φυσικοί ECG Sudarshan και Β. Misra μελετώντας την κβαντική μηχανική ανακάλυψαν ότι η δυναμική εξέλιξη (κίνηση) στο κβαντικό σύστημα μπορεί να παρεμποδιστεί (ή ακόμα και να ανασταλεί) μέσω της παρατήρησης του συστήματος. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται συνήθως η "κβαντική Ζήνων αποτελέσματος", καθώς θυμίζει έντονα παράδοξο του βέλους του Ζήνωνα. Αυτό το αποτέλεσμα ήταν η πρώτη θεωρία το 1958. Στον τομέα του ελέγχου και του σχεδιασμού της χρονομέτρησης και των υβριδικών συστημάτων, η συμπεριφορά του συστήματος ονομάζεται Ζήνων αν περιλαμβάνει έναν άπειρο αριθμό διακριτών βημάτων σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Ορισμένες τυπικές τεχνικές επαλήθευσης αποκλείουν αυτές τις συμπεριφορές από την ανάλυση, εάν δεν είναι ισοδύναμα με μη Ζήνων συμπεριφορά. Στο σχεδιασμό των συστημάτων τέτοιες συμπεριφορές συχνά θα αποκλείονται από τα μοντέλα του συστήματος, δεδομένου ότι δεν μπορεί να υλοποιηθεί με ένα ψηφιακό ελεγκτή. Ένα απλό παράδειγμα ενός συστήματος που δείχνει Ζήνων συμπεριφορά είναι μια μπάλα που αναπηδά που πάει να σταματήσει. Η φυσική της μπάλας που αναπηδά, αγνοώντας άλλους παράγοντες εκτός από την ανάκαμψη, μπορεί να αναλυθεί μαθηματικά για να προβλέψει έναν άπειρο αριθμό αναπηδήσεων. Πλάτων, Κρατύλος (διάλογος), Παρμενίδης (διάλογος), Ιππίας ελάσσων.