Μετασχηματισμός Clarke

Στην ηλεκτρική μηχανική, ο μετασχηματισμός άλφα-βήτα ( α − β {\displaystyle \alpha -\beta } ) (γνωστός επίσης και ως μετασχηματισμός Clarke) είναι ένα μαθηματικός μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται για να απλοποιηθεί η ανάλυση των τριφασικών κυκλώματων. Εννοιολογικά είναι παρόμοιος με τον μετασχηματισμό dq0. Μια πολύ χρήσιμη εφαρμογή του μετασχηματισμού α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } είναι η δημιουργία του σήματος αναφοράς, που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της διαμόρφωσης των διανυσμάτων χώρου (space vector modulation control) των τριφασικών inverter.

 O μετασχηματισμός α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } που εφαρμόζεται σε τριφασικά ρεύματα, όπως χρησιμοποιήθηκε από την Edith Clarke, είναι: i α β γ ( t ) = T i a b c ( t ) = 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 1 2 1 2 1 2 ] [ i a ( t ) i b ( t ) i c ( t ) ] {\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}} όπου i a b c ( t ) {\displaystyle i_{abc}(t)} είναι μία γενική ακολουθία τριφασικών ρευμάτων και i α β γ ( t ) {\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)} είναι η αντίστοιχη ακολουθία ρευμάτων, που προκύπτει από το μετασχηματισμό T {\displaystyle T} . Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι: i a b c ( t ) = T − 1 i α β γ ( t ) = [ 1 0 1 − 1 2 3 2 1 − 1 2 − 3 2 1 ] [ i α ( t ) i β ( t ) i γ ( t ) ] . {\displaystyle i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.} Ο παραπάνω μετασχηματισμός του Clarke διατηρεί τα πλάτη των ηλεκτρικών μεταβλητών πάνω στις οποίες εφαρμόζεται. Πράγματι, θεωρήστε τη συμμετρική τριφασική, ακολουθία ρευμάτων: i a ( t ) = 2 I cos ⁡ θ ( t ) , i b ( t ) = 2 I cos ⁡ ( θ ( t ) − 2 3 π ) , i c ( t ) = 2 I cos ⁡ ( θ ( t ) + 2 3 π ) , {\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}} πού I {\displaystyle I} είναι η Ενεργός τιμή (RMS) των i a ( t ) {\displaystyle i_{a}(t)} , i b ( t ) {\displaystyle i_{b}(t)} , i c ( t ) {\displaystyle i_{c}(t)} και θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)} είναι μία γενική χρονικά μεταβαλλόμενη γωνία, που μπορεί επίσης να τεθεί και σαν ω t {\displaystyle \omega t} , χωρίς απώλεια της γενικότητας. Στη συνέχεια, με την εφαρμογή του T {\displaystyle T} στην ακολουθία ρευμάτων, προκύπτει: i α = 2 I cos ⁡ θ ( t ) , i β = 2 I sin ⁡ θ ( t ) , i γ = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0,\end{aligned}}} όπου η τελευταία εξίσωση ισχύει εφ' όσον θεωρούμε ισοσταθμισμένα ρεύματα. Όπως φαίνεται από τις παραπάνω σχέσεις, τα πλάτη των ρευμάτων στο σύστημα αναφοράς α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } είναι τα ίδια, όπως και στο φυσικό σύστημα αναφοράς. Η πραγματική και η άεργος ισχύς που υπολογίζονται στο πεδίο του Clarke με τον παραπάνω μετασχηματισμό, δεν είναι τα ίδιες με αυτές που υπολογίζονται στο φυσικό σύστημα αναφοράς. Αυτό συμβαίνει επειδή ο T {\displaystyle T} δεν είναι μοναδιαίος. Προκειμένου να διατηρηθεί η πραγματική και άεργος ισχύς πρέπει αντ' αυτού, να χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός: i α β γ ( t ) = T i a b c ( t ) = 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 1 2 1 2 1 2 ] [ i a ( t ) i b ( t ) i c ( t ) ] , {\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},} Σε αυτή την περίπτωση τα πλάτη των μετασχηματισμένων ρευμάτων δεν είναι τα ίδια με εκείνα του φυσικού συστήματος αναφοράς, δηλ.: i α = 3 I cos ⁡ θ ( t ) , i β = 3 I sin ⁡ θ ( t ) , i γ = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}i_{\alpha }=&{\sqrt {3}}I\cos \theta (t),\\i_{\beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta (t),\\i_{\gamma }=&0.\end{aligned}}} Τελικά, ο αντίστροφος μετασχηματισμός σε αυτή την περίπτωση είναι i a b c ( t ) = 2 3 [ 1 0 1 2 − 1 2 3 2 1 2 − 1 2 − 3 2 1 2 ] [ i α ( t ) i β ( t ) i γ ( t ) ] . {\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.} Δεδομένου ότι σε ένα ισορροπημένο σύστημα i a ( t ) + i b ( t ) + i c ( t ) = 0 {\displaystyle i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)=0} και έτσι i γ ( t ) = 0 {\displaystyle i_{\gamma }(t)=0} , μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τον απλοποιημένο μετασχηματισμό: i α β ( t ) = 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ i a ( t ) i b ( t ) i c ( t ) ] {\displaystyle i_{\alpha \beta }(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}} ο οποίος είναι απλά ο αρχικός μετασχηματισμός του Clarke, μετά την αφαίρεση της 3ης εξίσωσης. Στην περίπτωση του απλοποιημένου μετασχηματισμού ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι: i a b c ( t ) = 3 2 [ 2 3 0 − 1 3 3 3 − 1 3 − 3 3 ] [ i α ( t ) i β ( t ) ] . {\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}.} Ο μετασχηματισμός α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } μπορεί να θεωρηθεί σαν η προβολή των τριφασικών ποσοτήτων (τάσεων ή ρευμάτων) σε δύο στατικούς άξονες, τον άξονα- α {\displaystyle \alpha } και τον άξονα- β {\displaystyle \beta } . d q 0 {\displaystyle dq0} Ο μετασχηματισμός d q 0 {\displaystyle dq0} είναι εννοιολογικά παρόμοιος με το μετασχηματισό α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } . Ενώ ο μετασχηματισμός d q 0 {\displaystyle dq0} είναι η προβολή των φασικών ποσότητων επάνω σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς δύο-αξόνων, ο μετασχηματισμός α β γ {\displaystyle \alpha \beta \gamma } μπορεί να θεωρηθεί ως η προβολή των φασικών ποσοτήτων σε ένα στατικό σύστημα αναφοράς δύο αξόνων. Symmetrical components Y-Δ transform Field-oriented control