Υπεργεωμετρική κατανομή

Η υπεργεωμετρική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής που δίνει το πλήθος των επιτυχιών σε n {\displaystyle n} δείγματα (χωρίς επανάληψη) σε έναν πεπερασμένο πληθυσμό μεγέθους N {\displaystyle N} , εκ των οποίων τα K {\displaystyle K} είναι επιτυχίες. Η κατανομή γίνεται εύκολα κατανοητή με την περιγραφή της μέσω ενός μοντέλου με κάλπες. Θεωρούμε μια κάλπη με K {\displaystyle K} πράσινες μπάλες (επιτυχίες) και N − K {\displaystyle N-K} κόκκινες (αποτυχίες). Από την κάλπη παίρνουμε χωρίς επανατοποθέτηση n {\displaystyle n} μπάλες. Η υπεργεωμετρική κατανομή μας δίνει την πιθανότητα k {\displaystyle k} από αυτές να είναι πράσινες.

 Η πιθανότητα να υπάρχουν k ∈ { max ( 0 , n + K − N ) , … , min ( n , k ) } {\displaystyle k\in \{\max(0,n+K-N),\ldots ,\min(n,k)\}} επιτυχίες είναι: P ⁡ ( X = k ) = ( K k ) ⋅ ( N − K n − k ) ( N n ) , {\displaystyle \operatorname {P} (X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}\cdot {\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},} όπου ( x y ) {\displaystyle {\tbinom {x}{y}}} είναι ο διωνυμικός συντελεστής. Από την ταυτότητα Βαντερμόντε προκύπτει ότι ο παραπάνω ορισμός δίνει μία έγκυρη συνάρτηση πιθανότητας. Αν έχουμε N = 6 {\displaystyle N=6} μπάλες εκ των οποίων οι K = 2 {\displaystyle K=2} είναι πράσινες, τότε οι πιθανότητες να διαλέξουμε k = 0 , 1 , 2 {\displaystyle k=0,1,2} πράσινες σε δύο δείγματα δίνονται ως εξής: Για X ∼ H ( 22 , 11 , 3 ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {H}}(22,11,3)} έχουμε ότι P ⁡ ( X = 2 ) = ( 11 2 ) ⋅ ( 11 1 ) ( 22 2 ) = 11 84 . {\displaystyle \operatorname {P} (X=2)={\frac {{\binom {11}{2}}\cdot {\binom {11}{1}}}{\binom {22}{2}}}={\frac {11}{84}}.} Έστω X ∼ H ( N , K , n ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {H}}(N,K,n)} , τότε μπορούμε να γράψουμε X = ∑ i = 1 n X i {\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} , όπου X i {\displaystyle X_{i}} είναι η δείκτρια τυχαία μεταβλητή για το γεγονός E i = { {\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}=\{} Το i {\displaystyle i} -οστό δείγμα ήταν επιτυχία } {\displaystyle \}} .Αφού υπάρχουν K {\displaystyle K} επιτυχίες συνολικά, έχουμε ότι P ⁡ ( E i ) = K N . {\displaystyle \operatorname {P} ({\mathcal {E}}_{i})={\frac {K}{N}}.} Από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι E ⁡ [ X ] = E ⁡ [ ∑ i = 1 n X i ] = ∑ i = 1 n E ⁡ [ X i ] = n ⋅ K N . {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} [X_{i}]=n\cdot {\frac {K}{N}}.} Όπως και για την μέση τιμή, γράφουμε X = ∑ i = 1 n X i {\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} . Τότε από την ταυτότητα Bienaymé, έχουμε για την διακύμανση ότι Για την διακύμανση, από την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι Για την συνδιακύμανση, έχουμε ότι Cov ⁡ [ X i , X j ] = E ⁡ [ X i X j ] − E ⁡ [ X i ] ⋅ E ⁡ [ X j ] . {\displaystyle \operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]=\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]-\operatorname {E} [X_{i}]\cdot \operatorname {E} [X_{j}].} Για τον πρώτο όρο, έχουμε E ⁡ [ X i X j ] = E ⁡ [ X i | X j = 1 ] ⋅ P ⁡ ( X j = 1 ) = K − 1 N − 1 ⋅ k N . {\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}X_{j}]=\operatorname {E} [X_{i}|X_{j}=1]\cdot \operatorname {P} (X_{j}=1)={\frac {K-1}{N-1}}\cdot {\frac {k}{N}}.} Επομένως, Cov ⁡ [ X i , X j ] = K N ⋅ K N − K − 1 N − 1 ⋅ K N = K N ⋅ ( K N − K − 1 N − 1 ) = K ⋅ ( N − K ) N 2 ⋅ ( N − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]={\frac {K}{N}}\cdot {\frac {K}{N}}-{\frac {K-1}{N-1}}\cdot {\frac {K}{N}}={\frac {K}{N}}\cdot \left({\frac {K}{N}}-{\frac {K-1}{N-1}}\right)={\frac {K\cdot (N-K)}{N^{2}\cdot (N-1)}}.} Επιστρέφοντας στην (1), λαμβάνουμε ότι Var ⁡ [ X ] = n ⋅ K N ⋅ ( 1 − K N ) + n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ K ⋅ ( N − K ) N 2 ⋅ ( N − 1 ) = n ⋅ K N ⋅ N − K N ⋅ N − n N − 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} [X]&=n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot \left(1-{\frac {K}{N}}\right)+n\cdot (n-1)\cdot {\frac {K\cdot (N-K)}{N^{2}\cdot (N-1)}}\\&=n\cdot {\frac {K}{N}}\cdot {\frac {N-K}{N}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}.\end{aligned}}} Η επικρατούσα τιμή της κατανομής δίνεται από το ⌊ v ⌋ {\displaystyle \lfloor v\rfloor } ή ⌈ v ⌉ − 1 {\displaystyle \lceil v\rceil -1} , όπου v = ( n + 1 ) ⋅ ( K + 1 ) N + 2 . {\displaystyle v={\frac {(n+1)\cdot (K+1)}{N+2}}.} Ο λόγος είναι ότι P ⁡ ( X = k ) > P ⁡ ( X = k − 1 ) {\displaystyle \operatorname {P} (X=k)>\operatorname {P} (X=k-1)} αν και μόνο αν k < v {\displaystyle k<v} , καθώς P ⁡ ( X = k ) P ⁡ ( X = k − 1 ) > 1 ⇔ K ! k ! ( K − k ) ! ⋅ ( N − K ) ! ( N − k ) ! ( N − K − n + k ) ! K ! ( k − 1 ) ! ( K − k + 1 ) ! ⋅ ( N − K ) ! ( n − k + 1 ) ! ⋅ ( N − K − n + k − 1 ) ! > 1 ⇔ K − k + 1 k ⋅ n − k + 1 N − K − n + k > 1 ⇔ k < ( n + 1 ) ⋅ ( K + 1 ) N + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {P} (X=k)}{\operatorname {P} (X=k-1)}}>1&\Leftrightarrow {\frac {{\frac {K!}{k!(K-k)!}}\cdot {\frac {(N-K)!}{(N-k)!(N-K-n+k)!}}}{{\frac {K!}{(k-1)!(K-k+1)!}}\cdot {\frac {(N-K)!}{(n-k+1)!\cdot (N-K-n+k-1)!}}}}>1\\&\Leftrightarrow {\frac {K-k+1}{k}}\cdot {\frac {n-k+1}{N-K-n+k}}>1\\&\Leftrightarrow k<{\frac {(n+1)\cdot (K+1)}{N+2}}\end{aligned}}} Για X ∼ H ( N , K , n ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {H}}(N,K,n)} έχουμε ότι για p = K N {\displaystyle p={\frac {K}{N}}} και κάθε t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} , P ⁡ ( X ≥ ( p + t ) ⋅ n ) ≤ ( ( p p + t ) ⋅ ( 1 − p 1 − p − t ) 1 − p − t ) n ≤ e − 2 t 2 n . {\displaystyle \operatorname {P} \left(X\geq (p+t)\cdot n\right)\leq \left(\left({\frac {p}{p+t}}\right)\cdot \left({\frac {1-p}{1-p-t}}\right)^{1-p-t}\right)^{n}\leq e^{-2t^{2}n}.} Διωνυμική κατανομή Πολυωνυμική κατανομή Διωνυμικός συντελεστής