Αξίωμα του δυναμοσυνόλου

Στα μαθηματικά, το Αξίωμα του δυναμοσυνόλου είναι ένα από τα αξιώματα Ζερμέλο-Φρένκελ της αξιωματικής θεωρίας συνόλων. Στην τυπική γλώσσα των αξιωμάτων Ζερμέλο-Φράνκελ, το αξίωμα έχει ως εξής: ∀ x ∃ y ∀ z [ z ∈ y ⟺ ∀ w ( w ∈ z ⇒ w ∈ x ) ] {\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,[z\in y\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in x)]} όπου y είναι το σύνολο δυνάμεων του 'x, P ( x ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(x)} . Αυτό σημαίνει: Δεδομένου οποιουδήποτε συνόλου x, υπάρχει ένα σύνολο P ( x ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(x)} τέτοιο ώστε, δεδομένου οποιουδήποτε συνόλου z, αυτό το σύνολο z είναι μέλος του P ( x ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(x)} αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του z είναι επίσης στοιχείο του x. Πιο επιγραμματικά: για κάθε σύνολο x, υπάρχει ένα σύνολο P ( x ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(x)} που αποτελείται ακριβώς από τα υποσύνολα του x {\displaystyle x} . Να σημειωθεί ότι η σχέση υποσυνόλου ⊆ {\displaystyle \subseteq } δεν χρησιμοποιείται στον τυπικό ορισμό, καθώς το υποσύνολο δεν είναι μια πρωταρχική σχέση στην τυπική θεωρία συνόλων- αντίθετα, το υποσύνολο ορίζεται με όρους συμμετοχής στο σύνολο, ∈ {\displaystyle \in } . Σύμφωνα με το αξίωμα της επεκτασιμότητας, το σύνολο P ( x ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(x)} είναι μοναδικό. Το αξίωμα του συνόλου δύναμης εμφανίζεται στις περισσότερες αξιωματικοποιήσεις της θεωρίας συνόλων. Γενικά θεωρείται μη αμφισβητούμενο, αν και η εποικοδομητική θεωρία συνόλων προτιμά μια ασθενέστερη εκδοχή για να επιλύσει τις ανησυχίες σχετικά με την προβλεψιμότητα.

 Το Αξίωμα του δυναμοσυνόλου επιτρέπει έναν απλό ορισμό του καρτεσιανού γινομένου δύο συνόλων X {\displaystyle X} και Y {\displaystyle Y} : X × Y = { ( x , y ) : x ∈ X ∧ y ∈ Y } . {\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.} Ας σημειωθεί ότι x , y ∈ X ∪ Y {\displaystyle x,y\in X\cup Y} { x } , { x , y } ∈ P ( X ∪ Y ) {\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)} και, παραδείγματος χάριν, εξετάζοντας ένα μοντέλο που χρησιμοποιεί το Διατεταγμένο ζεύγος Kuratowski, ( x , y ) = { { x } , { x , y } } ∈ P ( P ( X ∪ Y ) ) {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))} και επομένως το καρτεσιανό γινόμενο είναι ένα σύνολο αφού X × Y ⊆ P ( P ( X ∪ Y ) ) . {\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).} Μπορεί κανείς να ορίσει το καρτεσιανό γινόμενο οποιασδήποτε πεπερασμένης συλλογής συνόλων αναδρομικά: X 1 × ⋯ × X n = ( X 1 × ⋯ × X n − 1 ) × X n . {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.} Ας σημειωθεί ότι η ύπαρξη του καρτεσιανού γινομένου μπορεί να αποδειχθεί χωρίς τη χρήση του αξιώματος του δυναμοσυνόλου, όπως στην περίπτωση της θεωρίας συνόλων Κρίπκε-Πλάτεκ.. Το Αξίωμα του δυναμοσυνόλου δεν καθορίζει ποια υποσύνολα ενός συνόλου υπάρχουν, παρά μόνο ότι υπάρχει ένα σύνολο που περιέχει όλα αυτά που υπάρχουν. Συγκεκριμένα, το δυναμικό σύνολο ενός άπειρου συνόλου θα περιέχει μόνο "κατασκευάσιμα σύνολα" αν το σύμπαν είναι το κατασκευάσιμο σύμπαν, αλλά σε άλλα μοντέλα της θεωρίας συνόλων ZF θα μπορούσε να περιέχει σύνολα που δεν είναι κατασκευάσιμα. Με την παρουσία του αξιώματος του απείρου, το αξίωμα του συνόλου των τμημάτων καθιστά δυνατή την απόδειξη της υπάρξεως αμέτρητων άπειρων συνόλων.Λόγω του θεωρήματος του Κάντορ, με την επανάληψη του συνόλου των τμημάτων σε άπειρα σύνολα, προκύπτει ένα όλο και πιο "μεγάλο" σύνολο - για το λόγο αυτό, το αξίωμα ενισχύει σημαντικά τη θεωρία. Ωστόσο, για θεωρητικούς λόγους, μπορεί να χρειαστεί ένα αδύναμο αξίωμα- για παράδειγμα, η θεωρία συνόλων Κρίπκε-Πλάτεκ, η οποία χαρακτηρίζει ορισμένες κατηγορίες συνόλων και διατακτικών, δεν περιλαμβάνει αυτό το αξίωμα. Από την άλλη πλευρά, μπορεί να είναι χρήσιμο να προστεθούν οι ακέραιοι ως πρωταρχικά στοιχεία (ur-στοιχεία). Για να πάρουμε ένα πολύ απλό παράδειγμα, η λογική δεύτερης τάξης, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια πολύ αδύναμη θεωρία συνόλων, δεν έχει ισοδύναμο του αξιώματος του συνόλου των μερών. Αλλά αν έχουμε τους ακέραιους (που δίνονται, για παράδειγμα, από το 0 και ένα σύμβολο για τον διάδοχο) στη γλώσσα, μπορούμε να αναπτύξουμε αριθμητική δεύτερης τάξης, και έτσι, με μερικά αξιώματα, μια επαρκή θεωρία για τη συνήθη πραγματική ανάλυση (έχουμε τους ακέραιους και σύνολα ακέραιων, αλλά όχι σύνολα συνόλων ακέραιων). Αποδείχθηκε ότι η θεωρία ZF χωρίς το αξίωμα του συνόλου των μερών μπορεί να ερμηνευτεί στη θεωρία Z χωρίς αυτό το αξίωμα. Στη θεωρία τύπων, τα υποσύνολα ενός συνόλου E είναι διαφορετικού, πιο σύνθετου τύπου από τα στοιχεία του E. Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ISBN 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. (ISBN 3-540-44085-2). Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. (ISBN 0-444-86839-9). Οικοδομήσιμο Σύμπαν