Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία α 1 , α 2 , … {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots } , στην οποία για οποιοσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους της α ν {\displaystyle \alpha _{\nu }} , α ν + 1 {\displaystyle \alpha _{\nu +1}} ισχύει ότι α ν + 1 = α ν + ω {\displaystyle \alpha _{\nu +1}=\alpha _{\nu }+\omega } , για μία σταθερή ποσότητα ω {\displaystyle \omega } . Η ποσότητα ω {\displaystyle \omega } ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή ανεξάρτητος από το ν {\displaystyle \nu } , τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους ορισμούς: Γενικός τύπος: α ν = α 1 + ( ν − 1 ) ⋅ ω {\displaystyle \alpha _{\nu }=\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega } , όπου ορίζεται ο ν {\displaystyle \nu } -οστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς. Αναδρομικός τύπος: α ν + 1 = α ν + ω {\displaystyle \alpha _{\nu +1}=\alpha _{\nu }+\omega } για ν ≥ 1 {\displaystyle \nu \geq 1} , όπου ορίζεται ο ν {\displaystyle \nu } -οστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.Για παράδειγμα, για α 1 = 4 {\displaystyle \alpha _{1}=4} και ω = 5 {\displaystyle \omega =5} , οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι α 1 = 4 , α 2 = 9 , α 3 = 14 , α 4 = 19 , … {\displaystyle \alpha _{1}=4,\alpha _{2}=9,\alpha _{3}=14,\alpha _{4}=19,\ldots } και για α 1 = 3 {\displaystyle \alpha _{1}=3} και ω = − 7 {\displaystyle \omega =-7} α 1 = 3 , α 2 = − 4 , α 3 = − 11 , α 4 = − 18 , … {\displaystyle \alpha _{1}=3,\alpha _{2}=-4,\alpha _{3}=-11,\alpha _{4}=-18,\ldots } Η αριθμητική πρόοδος ικανοποιεί την γραμμική αναδρομική σχέση πρώτου βαθμού με σταθερούς συντελεστές και σταθερή οδηγό συνάρτηση.

 Αν ω = 1 {\displaystyle \omega =1} και α 1 = 1 {\displaystyle \alpha _{1}=1} τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών: α 1 = 1 , α 2 = 2 , α 3 = 3 , … {\displaystyle \alpha _{1}=1,\alpha _{2}=2,\alpha _{3}=3,\ldots } . Αν ω = 2 {\displaystyle \omega =2} και α 1 = 2 {\displaystyle \alpha _{1}=2} τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: α 1 = 2 , α 2 = 4 , α 3 = 6 , … {\displaystyle \alpha _{1}=2,\alpha _{2}=4,\alpha _{3}=6,\ldots } . Αντίστοιχα, για ω = − 2 {\displaystyle \omega =-2} και α 1 = − 2 {\displaystyle \alpha _{1}=-2} , είναι το σύνολο των αρνητικών άρτιων αριθμών: α 1 = − 2 , α 2 = − 4 , α 3 = − 6 , … {\displaystyle \alpha _{1}=-2,\alpha _{2}=-4,\alpha _{3}=-6,\ldots } . Αν ω = 2 {\displaystyle \omega =2} και α 1 = 1 {\displaystyle \alpha _{1}=1} τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών: α 1 = 1 , α 2 = 3 , α 3 = 5 , … {\displaystyle \alpha _{1}=1,\alpha _{2}=3,\alpha _{3}=5,\ldots } . Αντίστοιχα, για ω = − 2 {\displaystyle \omega =-2} και α 1 = − 1 {\displaystyle \alpha _{1}=-1} , είναι το σύνολο των αρνητικών περιττών αριθμών: α 1 = − 1 , α 2 = − 3 , α 3 = − 5 , … {\displaystyle \alpha _{1}=-1,\alpha _{2}=-3,\alpha _{3}=-5,\ldots } . Η αρμονική πρόοδος μπορεί να οριστεί ως κάθε ακολουθία αριθμών α 1 , α 2 , … , α ν , … {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{\nu },\ldots } με α ν ≠ 0 {\displaystyle \alpha _{\nu }\neq 0} ώστε η ακολουθία: 1 a 1 , 1 a 2 , … , 1 a ν {\displaystyle {\tfrac {1}{a_{1}}},{\tfrac {1}{a_{2}}},\ldots ,{\tfrac {1}{a_{\nu }}}} , αποτελεί μία αριθμητική πρόοδο. Αν ( α ν ) ν = 1 ∞ {\displaystyle (\alpha _{\nu })_{\nu =1}^{\infty }} είναι μία γεωμετρική πρόοδος με α ν > 0 {\displaystyle \alpha _{\nu }>0} και λόγο λ {\displaystyle \lambda } , τότε η ακολουθία β ν = log ⁡ α ν {\displaystyle \beta _{\nu }=\log \alpha _{\nu }} είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω = log ⁡ λ {\displaystyle \omega =\log \lambda } , καθώς β ν = log ⁡ α ν = log ⁡ ( α 1 λ ν − 1 ) = log ⁡ α 1 + ( ν − 1 ) ⋅ log ⁡ λ {\displaystyle \beta _{\nu }=\log \alpha _{\nu }=\log(\alpha _{1}\lambda ^{\nu -1})=\log \alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \log \lambda } . Ξεκινώντας από τον γενικό τύπο έχουμε ότι α ν + 1 = α 1 + ν ⋅ ω = ( α 1 + ( ν − 1 ) ⋅ ω ) + ω = α ν + ω {\displaystyle \alpha _{\nu +1}=\alpha _{1}+\nu \cdot \omega =(\alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega )+\omega =\alpha _{\nu }+\omega } , και επομένως οδηγούμαστε στον αναδρομικό. Για να αποδείξουμε τον γενικό τύπο από τον αναδρομικό, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για όλους τους φυσικούς αριθμούς ν {\displaystyle \nu } .:424Βασική Περίπτωση: Για ν = 1 {\displaystyle \nu =1} , έχουμε ότι α 1 + ( ν − 1 ) ⋅ ω = α 1 + ( 1 − 1 ) ⋅ ω = α 1 {\displaystyle \alpha _{1}+(\nu -1)\cdot \omega =\alpha _{1}+(1-1)\cdot \omega =\alpha _{1}} . Επαγωγική Περίπτωση: Αν ισχύει για ν = κ {\displaystyle \nu =\kappa } , δηλαδή α κ = α 1 + ( κ − 1 ) ⋅ ω {\displaystyle \alpha _{\kappa }=\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega } , θα δείξουμε ότι ισχύει και για ν = κ + 1 {\displaystyle \nu =\kappa +1} . Από τον αναδρομικό τύπο, α κ + 1 = α κ + ω = α 1 + ( κ − 1 ) ⋅ ω + ω = α 1 + κ ⋅ ω . {\displaystyle \alpha _{\kappa +1}=\alpha _{\kappa }+\omega =\alpha _{1}+(\kappa -1)\cdot \omega +\omega =\alpha _{1}+\kappa \cdot \omega .} Επομένως ισχύει και για ν = κ + 1 {\displaystyle \nu =\kappa +1} και έτσι για όλους τους φυσικούς αριθμούς ν {\displaystyle \nu } . Καθώς ω = α ν + 1 − α ν {\displaystyle \omega =\alpha _{\nu +1}-\alpha _{\nu }} , προκύπτει άμεσα ότι: Αν ω > 0 {\displaystyle \omega >0} , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα. Αν ω < 0 {\displaystyle \omega <0} , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα. Αν ω = 0 {\displaystyle \omega =0} , η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή. Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικά σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με ω {\displaystyle \omega } . Το άθροισμα των ν {\displaystyle \nu } πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου α ν {\displaystyle \alpha _{\nu }} (με πρώτο όρο τον α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} ) ισούται με:127:87:425 Σ ν := ∑ κ = 1 ν α κ = ν ( α 1 + α ν ) 2 = α 1 ⋅ ν + ω ⋅ ν ⋅ ( ν − 1 ) 2 . {\displaystyle \Sigma _{\nu }:=\sum _{\kappa =1}^{\nu }\alpha _{\kappa }={\frac {\nu (\alpha _{1}+\alpha _{\nu })}{2}}=\alpha _{1}\cdot \nu +\omega \cdot {\frac {\nu \cdot (\nu -1)}{2}}.} Σύμφωνα με κάποιες πηγές, ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 {\displaystyle 1+2+3+\ldots +99+100} και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος. Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών α {\displaystyle \alpha } και γ {\displaystyle \gamma } είναι ο β {\displaystyle \beta } , αν και μόνο αν οι όροι α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.:126:88 Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της ακολουθίας Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων. Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή Θ ( n ) {\displaystyle \Theta (n)} πράξεις. Διαδραστικές εφαρμογές στις αριθμητικές προόδους Αριθμητική πρόοδος: Θεωρία και προβλήματα Τ. Πατρώνης (1981). «Αριθμητικές-Γεωμετρικές Πρόοδοι, η ανάπτυξη των Μαγικών Νούφαρων και μια παράξενη μάρκα σοκολάτας». Ευκλείδης Β΄ (3): 126-130. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3119. Hadley, John; Singmaster, David (Μαρτίου 1992). «Problems to sharpen the young». The Mathematical Gazette 76 (475): 102–126. doi:10.2307/3620384. Stern, Martin D. (Ιουνίου 1990). «74.23 A mediaeval derivation of the sum of an arithmetic progression». The Mathematical Gazette 74 (468): 157–159. doi:10.2307/3619368. Apostol, Tom M. (Μαρτίου 2003). «87.02 Sums of consecutive positive integers». The Mathematical Gazette 87 (508): 98–101. doi:10.1017/S002555720017216X. Mullin, A. A. (Δεκεμβρίου 1972). «Problems on the Density of Arithmetic Sequences». The American Mathematical Monthly 79 (10): 1118–1119. doi:10.1080/00029890.1972.11993199. Simons, Stuart (Μαρτίου 2008). «92.08 Summing digits of an arithmetic sequence». The Mathematical Gazette 92 (523): 83–86. doi:10.1017/S0025557200182609. Koshy, Thomas (Ιουλίου 2002). «Summing integer cubes using Thébault’s array of arithmetic sequences». The Mathematical Gazette 86 (506): 271–272. doi:10.2307/3621856. Bush, Laurens Earle (Αυγούστου 1930). «On the Expression of an Integer as the Sum of an Arithmetic Series». The American Mathematical Monthly 37 (7): 353–357. doi:10.1080/00029890.1930.11987091. Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος Γεωμετρική πρόοδος Αρμονική πρόοδος