Θεώρημα του Οστρόβσκι

Στη θεωρία αριθμών, το θεώρημα του Οστρόβσκι, από τον Αλεξάντερ Οστρόβσκι (1916), δηλώνει ότι κάθε μη τετριμμένη απόλυτη τιμή στους λογικούς αριθμούς Q ισοδυναμεί είτε με τη συνήθη πραγματική απόλυτη τιμή είτε με μια p-adic απόλυτη τιμή.

 Υψώνοντας μια απόλυτη τιμή σε δύναμη μικρότερη του 1 οδηγεί πάντα σε μια άλλη απόλυτη τιμή. Δύο απόλυτες τιμές | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} και | ⋅ | ∗ {\displaystyle |\cdot |_{\ast }} σε ένα πεδίο K ορίζονται ότι είναι ισοδύναμες, εάν υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός c > 0 έτσι ώστε: | x | ∗ = | x | c για όλα τα x ∈ K . {\displaystyle |x|_{\ast }=|x|^{c}{\text{ για όλα τα }}x\in \mathbf {K} .} Η τετραγωνική απόλυτη τιμή σε οποιοδήποτε πεδίο K ορίζεται ως: | x | 0 := { 0 , εάν x = 0 , 1 , εάν x ≠ 0. {\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\text{εάν }}x=0,\\1,&{\text{εάν }}x\neq 0.\end{cases}}} Η πραγματική απόλυτη τιμή για τους ρητούς Q είναι η σταθερή απόλυτη τιμή για τους πραγματικούς, που ορίζεται ως: | x | ∞ := { x , εάν x ≥ 0 − x , εάν x < 0. {\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\text{εάν }}x\geq 0\\-x,&{\text{εάν }}x<0.\end{cases}}} Αυτό είναι μερικές φορές γραμμένο με έναν δείκτη 1 αντί για το άπειρο. Για έναν πρώτο αριθμό p , η p-αδική απόλυτη τιμή για το Q ορίζεται ως εξής: κάθε μη μηδενική λογική x , μπορεί να γραφτεί μοναδικά ως x = π ν α β {\displaystyle x=\pi ^{\nu }{\dfrac {\alpha }{\beta }}} , όπου α και β είναι ακέραιοι αριθμοί που δεν διαιρούνται από το π και το ν είναι ακέραιος αριθμός. έτσι ορίζουμε: | x | π := { 0 , εάν x = 0 , π − ν , εάν x ≠ 0. {\displaystyle |x|_{\pi }:={\begin{cases}0,&{\text{εάν }}x=0,\\\pi ^{-\nu },&{\text{εάν }}x\neq 0.\end{cases}}} Εξετάστε μια μη τετριμμένη απόλυτη αξία στους ρητούς ( Q , | ⋅ | ∗ ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,|\cdot |_{\ast })} . Θεωρούμε δύο περιπτώσεις, (α) ∃ n ∈ N , | n | ∗ > 1 {\displaystyle \exists {n\in \mathbf {N} },|n|_{\ast }>1} (β) ∀ n ∈ N , | n | ∗ ≤ 1 {\displaystyle \forall {n\in \mathbf {N} },|n|_{\ast }\leq 1} Αρκεί για εμάς να εξετάσουμε την αποτίμηση των ακέραιων αριθμών μεγαλύτερων από ένα. Γιατί αν βρούμε c στο R+ για τον οποίον | n | ∗ = | n | ∗ ∗ c {\displaystyle |n|_{\ast }=|n|_{\ast \ast }^{c}} για όλους τους φυσικούς μεγαλύτερους από ένα, τότε αυτή η σχέση είναι ασήμαντη για 0 και 1, και για θετικούς ρητούς | m n | ∗ = | m | ∗ | n | ∗ = | m | ∗ ∗ c | n | ∗ ∗ c = ( | m | ∗ ∗ | n | ∗ ∗ ) c = | m n | ∗ ∗ c , {\displaystyle \left|{\frac {m}{n}}\right|_{\ast }={\frac {|m|_{\ast }}{|n|_{\ast }}}={\frac {|m|_{\ast \ast }^{c}}{|n|_{\ast \ast }^{c}}}=\left({\frac {|m|_{\ast \ast }}{|n|_{\ast \ast }}}\right)^{c}=\left|{\frac {m}{n}}\right|_{\ast \ast }^{c},} Επίσης το ίδιο ισχύει για αρνητικούς ρητούς | − x | ∗ = | x | ∗ = | x | ∗ ∗ c = | − x | ∗ ∗ c . {\displaystyle |-x|_{\ast }=|x|_{\ast }=|x|_{\ast \ast }^{c}=|-x|_{\ast \ast }^{c}.} Εξετάστε τον ακόλουθο υπολογισμό. Έστω a, b και n φυσικοί αριθμοί με a, b > 1 . Εκφράζοντας bn σε βάση a αποδίδει b n = ∑ i < m c i a i , c i ∈ { 0 , 1 , … , a − 1 } , m ≤ n log ⁡ b log ⁡ a + 1. {\displaystyle b^{n}=\sum _{i<m}c_{i}a^{i},\qquad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,a-1\},\quad m\leq n{\frac {\log b}{\log a}}+1.} Στη συνέχεια βλέπουμε από τις ιδιότητες μιας απόλυτης αξίας ότι: | b | ∗ n = | b n | ∗ ≤ a m max { | a | ∗ m − 1 , 1 } ≤ a ( n log a ⁡ b + 1 ) max { | a | ∗ n log a ⁡ b , 1 } {\displaystyle {\begin{aligned}|b|_{\ast }^{n}&=|b^{n}|_{\ast }\\&\leq am\max \left\{|a|_{\ast }^{m-1},1\right\}\\&\leq a(n\log _{a}b+1)\max \left\{|a|_{\ast }^{n\log _{a}b},1\right\}\end{aligned}}} Επομένως, | b | ∗ ≤ ( a ( n log a ⁡ b + 1 ) ) 1 / n max { | a | ∗ log a ⁡ b , 1 } {\displaystyle |b|_{\ast }\leq \left(a(n\log _{a}b+1)\right)^{1/n}\max \left\{|a|_{\ast }^{\log _{a}b},1\right\}} Ωστόσο, έχουμε: ( a ( n log a ⁡ b + 1 ) ) 1 / n → 1 , as n → ∞ {\displaystyle (a(n\log _{a}b+1))^{1/n}\to 1,\quad {\text{as}}\quad n\to \infty } το οποίο υποδηλώνει: | b | ∗ ≤ max { | a | ∗ log a ⁡ b , 1 } . {\displaystyle |b|_{\ast }\leq \max \left\{|a|_{\ast }^{\log _{a}b},1\right\}.} Τώρα επιλέξτε 1 < b ∈ N έτσι ώστε |b|∗ > 1. Χρησιμοποιώντας αυτό στα παραπάνω εξασφαλίζει ότι υπάρχει |α|∗ > 1 ανεξάρτητα από την επιλογή του α (αλλιώς | a | ∗ log a ⁡ b ≤ 1 {\displaystyle |a|_{\ast }^{\log _{a}b}\leq 1} implying | b | ∗ ≤ 1 {\displaystyle |b|_{\ast }\leq 1} ). Έτσι για οποιαδήποτε επιλογή του a, b > 1 παραπάνω, παίρνουμε: | b | ∗ ≤ | a | ∗ log ⁡ b / log ⁡ a , {\displaystyle |b|_{\ast }\leq |a|_{\ast }^{\log b/\log a},} δηλαδή log ⁡ | b | ∗ log ⁡ b ≤ log ⁡ | a | ∗ log ⁡ a . {\displaystyle {\frac {\log |b|_{\ast }}{\log b}}\leq {\frac {\log |a|_{\ast }}{\log a}}.} Με συμμετρία, αυτή η ανισότητα είναι ισότητα. Δεδομένου ότι το a, b ήταν αυθαίρετο, υπάρχει η σταθερά λ ∈ R + {\displaystyle \lambda \in \mathbf {R} ^{+}} , για την οποία log ⁡ | n | ∗ = λ log ⁡ n {\displaystyle \log |n|_{\ast }=\lambda \log n} , δηλαδή | n | ∗ = n λ = | n | ∞ λ {\displaystyle |n|_{\ast }=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }} για όλα τους φυσικούς n > 1. Σύμφωνα με τις παραπάνω παρατηρήσεις, βλέπουμε εύκολα ότι για όλους τους ρητούς ισχύει | x | ∗ = | x | ∞ λ {\displaystyle |x|_{\ast }=|x|_{\infty }^{\lambda }} , αποδεικνύοντας έτσι την ισοδυναμία με την πραγματική απόλυτη τιμή. Δεδομένου ότι αυτή η εκτίμηση είναι μη τετριμμένη, πρέπει να υπάρχει ένας φυσικός αριθμός για τον οποίο |n|∗ < 1. Παραγοντοποιώντας αυτόν τον φυσικό, n = ∏ i < r p i e i {\displaystyle n=\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}} αποδίδει |p|∗ πρέπει να είναι μικρότερη από 1, για τουλάχιστον έναν από τους πρώτους αριθμούς p = pj . Υποστηρίζουμε ότι, στην πραγματικότητα, αυτό ισχύει μόνο για ένα. Υποθέστε ανά αντίθεση ότι p, q είναι ξεχωριστά αρχικά με απόλυτη τιμή μικρότερη από 1. Πρώτα, αφήνουμε το e ∈ N + {\displaystyle e\in \mathbf {N} ^{+}} έτσι ώστε να είναι | p | ∗ e , | q | ∗ e < 1 2 {\displaystyle |p|_{\ast }^{e},|q|_{\ast }^{e}<{\tfrac {1}{2}}} . Με τον ευκλείδειο αλγόριθμο, υπάρχουν m, n ∈ Z έτσι ώστε να έχουμε m p e + n q e = 1 {\displaystyle mp^{e}+nq^{e}=1} . Αυτό αποδίδει 1 = | 1 | ∗ ≤ | m | ∗ | p | ∗ e + | n | ∗ | q | ∗ e < | m | ∗ + | n | ∗ 2 ≤ 1 , {\displaystyle 1=|1|_{\ast }\leq |m|_{\ast }|p|_{\ast }^{e}+|n|_{\ast }|q|_{\ast }^{e}<{\frac {|m|_{\ast }+|n|_{\ast }}{2}}\leq 1,} μια αντίφαση. Πρέπει λοιπόν να έχουμε |pj|∗ = α < 1 για μερικά j , και |pi|∗ = 1 για i ≠ j . Έχοντας c = − log ⁡ α log ⁡ p , {\displaystyle c=-{\frac {\log \alpha }{\log p}},} βλέπουμε ότι για γενικούς θετικούς φυσικούς, υπάρχει | n | ∗ = | ∏ i < r p i e i | ∗ = ∏ i < r | p i | ∗ e i = | p j | ∗ e j = ( p − e j ) c = | n | p c . {\displaystyle |n|_{\ast }=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}\right|_{\ast }=\prod _{i<r}\left|p_{i}\right|_{\ast }^{e_{i}}=\left|p_{j}\right|_{\ast }^{e_{j}}=(p^{-e_{j}})^{c}=|n|_{p}^{c}.} Σύμφωνα με τις παραπάνω παρατηρήσεις βλέπουμε πως | x | ∗ = | x | p c {\displaystyle |x|_{\ast }=|x|_{p}^{c}} όλοι οι ρητοί, υποδηλώνοντας την απόλυτη τιμή του, είναι ισοδύναμοι με τον π- αδικό ρητό. ◼ {\displaystyle \blacksquare } Μπορούμε επίσης να δείξουμε ένα ισχυρότερο συμπέρασμα, δηλαδή το | ⋅ | ∗ : Q → R {\displaystyle |\cdot |_{\ast }:\mathbf {Q} \to \mathbf {R} } που είναι μια μη τετριμμένη απόλυτη τιμή αν και μόνο εάν και οι δύο | ⋅ | ∗ = | ⋅ | ∞ c {\displaystyle |\cdot |_{\ast }=|\cdot |_{\infty }^{c}} υπάρχουν για μερικά c ∈ ( 0 , 1 ] {\displaystyle c\in (0,1]} ή | ⋅ | ∗ = | ⋅ | p c {\displaystyle |\cdot |_{\ast }=|\cdot |_{p}^{c}} για μερικά c ∈ ( 0 , ∞ ) , p ∈ P {\displaystyle c\in (0,\infty ),p\in \mathbf {P} } . Ένα άλλο θεώρημα δηλώνει ότι κάθε πεδίο, πλήρης σε σχέση με μια απόλυτη αξία του Αρχιμήδη, είναι (αλγεβρικά και τοπολογικά) ισομορφικό είτε στους πραγματικούς αριθμούς είτε στους σύνθετους αριθμούς. Αυτό μερικές φορές αναφέρεται επίσης ως Θεώρημα Οστρόβσκι. Θεώρημα χάσματος Οστρόβσκι-Χάνταμαρντ Αριθμητικό σύστημα Οστρόβσκι Βραβείο Οστρόβσκι Κάσελς, Τζον Γουίλιαμ Σκοτ (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. 3. Τυπογραφείο Πανεπιστημίου του Κέιμπριτζ. ISBN 0-521-31525-5. Γιάνους, Γκέραλντ Τζ. (1996). Algebraic Number Fields (2nd έκδοση). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. Τζέικομπσον, Νέιθαν (1989). Basic algebra II (2nd έκδοση). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.