Μορφοκλασματική συμπίεση

Η μορφοκλασματική συμπίεση είναι μία μέθοδος συμπίεσης με απώλειες για ψηφιακές εικόνες, βασισμένη στα φράκταλ. Η μέθοδος είναι καταλληλότερη για υφές και φυσικές εικόνες, βασιζόμενη στο γεγονός ότι τα μέρη μιας εικόνας συχνά μοιάζουν με άλλα μέρη της ίδιας εικόνας. Οι μορφοκλασματικοί αλγόριθμοι μετατρέπουν αυτά τα μέρη σε μαθηματικά δεδομένα που ονομάζονται "κώδικες φράκταλ" και χρησιμοποιούνται για την αναδημιουργία της κωδικοποιημένης εικόνας.

 Κύριο άρθρο Επαναλαμβανόμενα συστήματα συναρτήσεων Η αναπαράσταση της κλασματικής εικόνας μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά ως ένα σύστημα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων (IFS). Ξεκινάμε με την αναπαράσταση μιας δυαδικής εικόνας, όπου η εικόνα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα υποσύνολο του R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} . Ένα IFS είναι ένα σύνολο από απεικονίσεις συστολής ƒ1,...,ƒN, f i : R 2 → R 2 . {\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.} Σύμφωνα με αυτές τις συναρτησιακές απεικονίσεις, το IFS περιγράφει ένα δισδιάστατο σύνολο S ως το σταθερό σημείο του τελεστή Χάτσινσον H ( A ) = ⋃ i = 1 N f i ( A ) , A ⊂ R 2 . {\displaystyle H(A)=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(A),\quad A\subset \mathbb {R} ^{2}.} Με άλλα λόγια, ο H είναι ένας τελεστής που συνδέει σύνολα με σύνολα, και το S είναι το μόνο σύνολο που ικανοποιεί το H(S) = S. Η ιδέα είναι να κατασκευαστεί το IFS με τέτοιο τρόπο ώστε αυτό το σύνολο S να είναι η δυαδική εικόνα εισόδου. Το σύνολο S μπορεί να ανακτηθεί από το IFS με επανάληψη σταθερού σημείου: για οποιοδήποτε αρχικό συμπαγές μη κενό σύνολο A0, η επανάληψη Ak+1 = H(Ak) συγκλίνει στο S. Το σύνολο S είναι αυτοομοειδές επειδή το H(S) = S συνεπάγεται ότι το S είναι ένωση απεικονισμένων αντιγράφων του εαυτού του: S = f 1 ( S ) ∪ f 2 ( S ) ∪ ⋯ ∪ f N ( S ) {\displaystyle S=f_{1}(S)\cup f_{2}(S)\cup \cdots \cup f_{N}(S)} Βλέπουμε λοιπόν ότι το IFS είναι μια μορφοκλασματική αναπαράσταση του S. Η αναπαράσταση IFS μπορεί να επεκταθεί σε μια εικόνα σε κλίμακα του γκρι θεωρώντας το γράφημα της εικόνας ως υποσύνολο του R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . Για μια εικόνα κλίμακας του γκρι u(x,y), θεωρήστε το σύνολο S = {(x,y,u(x,y))}. Τότε, παρόμοια με τη δυαδική περίπτωση, το S περιγράφεται από ένα IFS χρησιμοποιώντας ένα σύνολο απεικονίσεων συστολής ƒ1,...,ƒN, but in R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , f i : R 3 → R 3 . {\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.} Ένα δύσκολο πρόβλημα της τρέχουσας έρευνας στην αναπαράσταση των μορφοκλασματικών εικόνων είναι πώς να επιλέξουμε το ƒ1,...,ƒNέτσι ώστε το σταθερό σημείο του να προσεγγίζει την εικόνα εισόδου και πώς να το κάνουμε αυτό αποτελεσματικά. Μια απλή προσέγγιση για την επίτευξη αυτού του στόχου είναι το ακόλουθο σύστημα κατανεμημένων επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων (PIFS): Διαίρεση του πεδίου εικόνας σε μπλοκ περιοχής Ri of size s×s. Για κάθε Ri, αναζητήστε στην εικόνα ένα μπλοκ Di μεγέθους 2s×2s παρόμοιο με το Ri. Επιλέγουμε τις συναρτήσεις απεικόνισης έτσι ώστε H(Di) = Ri για κάθε i.Στο δεύτερο βήμα, είναι σημαντικό να βρεθεί ένα παρόμοιο μπλοκ ώστε το IFS να αναπαριστά με ακρίβεια την εικόνα εισόδου, οπότε πρέπει να ληφθεί υπόψιν ένας επαρκής αριθμός υποψήφιων μπλοκ για Di. Αφετέρου, μια εκτεταμένη αναζήτηση που λαμβάνει υπόψιν πολλά μπλοκ είναι υπολογιστικά δαπανηρή. Αυτή η δυσχέρεια στην αναζήτηση παρόμοιων μπλοκ εξηγεί γιατί η φράκταλ κωδικοποίηση PIFS είναι πολύ πιο αργή από ό,τι, για παράδειγμα, η αναπαράσταση εικόνας με βάση το DCT και το wavelet. Ο αρχικός τετραγωνικός διαμερισμός και ο αλγόριθμος ωμής αναζήτησης που παρουσίασε ο Τζακίν παρέχει ένα σημείο εκκίνησης για περαιτέρω έρευνα και επεκτάσεις προς πολλές πιθανές κατευθύνσεις -- διαφορετικούς τρόπους διαμερισμού της εικόνας σε μπλοκ εύρους διαφόρων μεγεθών και σχημάτων, γρήγορες τεχνικές για την ταχεία εύρεση ενός αρκετά κοντινού ταιριαστού μπλοκ πεδίου για κάθε μπλοκ πεδίου αντί της ωμής αναζήτησης, όπως οι αλγόριθμοι γρήγορης εκτίμησης κίνησης, διαφορετικούς τρόπους κωδικοποίησης της αντιστοίχισης από το μπλοκ πεδίου στο μπλοκ πεδίου, κ.λπ.Άλλοι ερευνητές προσπαθούν να βρουν αλγορίθμους για την αυτόματη κωδικοποίηση μιας αυθαίρετης εικόνας ως RIFS (επαναλαμβανόμενα συστήματα συναρτήσεων) ή ως συνολικό IFS, αντί για PIFS, και αλγορίθμους για συμπίεση βίντεο με φράκταλ, συμπεριλαμβανομένων της αντιστάθμισης κίνησης και των τρισδιάστατων επαναλαμβανόμενων συστημάτων συναρτήσεων. Η συμπίεση μορφοκλασματικών εικόνων παρουσιάζει πολλές ομοιότητες με τη συμπίεση εικόνων διανυσματικής κβάντισης. Με την μορφοκλασματική συμπίεση, η κωδικοποίηση είναι εξαιρετικά δαπανηρή από υπολογιστική άποψη λόγω της αναζητήσεως που χρησιμοποιείται για την εύρεση των αυτοομοιώσεων. Η αποκωδικοποίηση, ωστόσο, είναι αρκετά γρήγορη. Ενώ αυτή η ασυμμετρία την καθιστά μέχρι στιγμής μη πρακτική για εφαρμογές πραγματικού χρόνου, όταν το βίντεο αρχειοθετείται για διανομή από αποθήκευση σε δίσκο ή λήψη αρχείων η φράκταλ συμπίεση γίνεται πιο ανταγωνιστική. Σε συνήθεις αναλογίες συμπίεσης, μέχρι περίπου 50:1, η συμπίεση φράκταλ παρέχει παρόμοια αποτελέσματα με αλγορίθμους που βασίζονται σε DCT, όπως το JPEG. Σε υψηλές αναλογίες συμπίεσης η συμπίεση φράκταλ μπορεί να προσφέρει ανώτερη ποιότητα. Για δορυφορικές εικόνες, έχουν επιτευχθεί αναλογίες πάνω από 170:1 με αποδεκτά αποτελέσματα. Λόγοι συμπίεσης βίντεο με φράκταλ από 25:1-244:1 έχουν επιτευχθεί σε λογικούς χρόνους συμπίεσης (2,4 έως 66 δευτερόλεπτα/καρέ). Η αποδοτικότητα της συμπίεσης αυξάνεται με την υψηλότερη πολυπλοκότητα της εικόνας και το βάθος χρώματος, σε σύγκριση με τις απλές εικόνες κλίμακας του γκρίζου. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα της μορφοκλασματικής συμπίεσης είναι ότι οι εικόνες γίνονται ανεξάρτητες από την ανάλυση μετά τη μετατροπή τους σε κώδικα φράκταλ. Αυτό συμβαίνει διότι τα συστήματα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων στο συμπιεσμένο αρχείο κλιμακώνονται απεριόριστα. Αυτή η ιδιότητα της απεριόριστης κλιμάκωσης ενός φράκταλ είναι γνωστή ως " μορφοκλασματική κλιμάκωση ". Η ανεξαρτησία ανάλυσης μιας εικόνας κωδικοποιημένης με φράκταλ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αύξηση της ανάλυσης προβολής μιας εικόνας. Η διαδικασία αυτή είναι επίσης γνωστή ως " μορφοκλασματική παρεμβολή ". Στην παρεμβολή φράκταλ, μια εικόνα κωδικοποιείται σε κώδικες φράκταλ μέσω μορφοκλασματικής συμπίεσης και στη συνέχεια αποσυμπιέζεται σε υψηλότερη ανάλυση. Το αποτέλεσμα είναι μια εικόνα με αναβαθμισμένη δειγματοληψία στην οποία έχουν χρησιμοποιηθεί επαναλαμβανόμενα συστήματα συναρτήσεων ως παρεμβολέας. Η φράκταλ παρεμβολή διατηρεί πολύ καλά τη γεωμετρική λεπτομέρεια σε σύγκριση με τις παραδοσιακές μεθόδους παρεμβολής, όπως η διγραμμική παρεμβολή και η δικυβική παρεμβολή. Ωστόσο, δεδομένου ότι η παρεμβολή δεν μπορεί να αντιστρέψει την εντροπία του Σάνον, καταλήγει να οξύνει την εικόνα προσθέτοντας τυχαία αντί για ουσιαστική λεπτομέρεια. Δεν μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να μεγεθύνει μια εικόνα ενός πλήθους όπου το πρόσωπο κάθε ατόμου είναι ένα ή δύο εικονοστοιχεία και να ελπίζει ότι θα τα αναγνωρίσει. Ο Μάικλ Μπάρνσλεϊ ηγήθηκε της ανάπτυξης της μορφοκλασματικής συμπίεσης το 1987, και του απονεμήθηκαν διπλώματα ευρεσιτεχνίας για την τεχνολογία αυτή .Ο πιο γνωστός πρακτικός αλγόριθμος μορφοκλασματικής συμπίεσης εφευρέθηκε από τον Μπάρνσλεϊ και τον Άλαν Σλόαν. Ο μεταπτυχιακός φοιτητής του Μπάρνσλεϊ, Αρνό Ζακίν, υλοποίησε τον πρώτο αυτόματο αλγόριθμο σε λογισμικό το 1992 Όλες οι μέθοδοι βασίζονται στον μετασχηματισμό φράκταλ με χρήση επαναληπτικών συστημάτων συναρτήσεων. Ο Μάικλ Μπάρνσλεϊ και ο Άλαν Σλόαν δημιούργησαν το 1987 την Iterated Systems Inc. στην οποία χορηγήθηκαν πάνω από 20 επιπλέον διπλώματα ευρεσιτεχνίας που σχετίζονται με τη μορφοκλασματική συμπίεση. Μια σημαντική ανακάλυψη για την Iterated Systems Inc. ήταν η αυτόματη διαδικασία μετασχηματισμού φράκταλ, η οποία εξάλειψε την ανάγκη ανθρώπινης παρέμβασης κατά τη συμπίεση, όπως συνέβαινε κατά τους πρώτους πειραματισμούς με την τεχνολογία συμπίεσης φράκταλ. Το 1992, η Iterated Systems Inc. έλαβε κυβερνητική επιδότηση ύψους 2,1 εκατομμυρίων δολαρίων ΗΠΑ για την ανάπτυξη ενός πρωτότυπου τσιπ αποθήκευσης και αποσυμπίεσης ψηφιακών εικόνων με χρήση της τεχνολογίας συμπίεσης εικόνων με μετασχηματισμό φράκταλ. Η συμπίεση των μορφοκλασματικών εικόνων χρησιμοποιήθηκε σε διάφορες εμπορικές εφαρμογές: το λογισμικό onOne, που αναπτύχθηκε με άδεια χρήσης από την Iterated Systems Inc., το Genuine Fractals 5, το οποίο είναι ένα πρόσθετο του Photoshop που μπορεί να αποθηκεύει αρχεία σε συμπιεσμένη μορφή FIF (Fractal Image Format). Μέχρι σήμερα η πιο επιτυχημένη χρήση της συμπίεσης εικόνων φράκταλ είναι από τη Microsoft στην εγκυκλοπαίδεια πολυμέσων της Ενκάρτα, επίσης με άδεια χρήσης. Η Iterated Systems Inc. παρείχε έναν κωδικοποιητή λογισμικού shareware (Fractal Imager), έναν αυτόνομο αποκωδικοποιητή, έναν αποκωδικοποιητή plug-in του Netscape και ένα πακέτο ανάπτυξης για χρήση με Windows. Καθώς οι μέθοδοι συμπίεσης εικόνας που βασίζονται στα κυματίδια βελτιώθηκαν και αδειοδοτήθηκαν ευκολότερα από τους προμηθευτές εμπορικού λογισμικού, η υιοθέτηση του Fractal Image Format δεν κατάφερε να εξελιχθεί. Η αναδιανομή του " αποσυμπιεστή DLL" που παρέχεται από το πρόγραμμα ColorBox III SDK διέπονταν από περιοριστικά καθεστώτα αδειοδότησης ανά δίσκο ή ανά έτος για τους προμηθευτές ιδιόκτητου λογισμικού και από ένα διακριτικό καθεστώς που συνεπαγόταν την προώθηση των προϊόντων της Iterated Systems για ορισμένες κατηγορίες άλλων χρηστών[. Κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1990, η Iterated Systems Inc. και οι συνεργάτες της δαπάνησαν σημαντικούς πόρους για να φέρουν τη μορφοκλασματική συμπίεση στο βίντεο. Παρόλο που τα αποτελέσματα της συμπίεσης ήταν πολλά υποσχόμενα, το υλικό των υπολογιστών εκείνης της εποχής δεν διέθετε την επεξεργαστική ισχύ για να είναι πρακτική η συμπίεση βίντεο με φράκταλ πέρα από λίγες επιλεγμένες χρήσεις. Για τη συμπίεση ενός μόνο λεπτού βίντεο απαιτούνταν έως και 15 ώρες. Το ClearVideo - επίσης γνωστό ως RealVideo ("φράκταλ") - και το SoftVideo ήταν πρώιμα προϊόντα συμπίεσης βίντεο με φράκταλ. Το ClearFusion ήταν το ελεύθερα διανεμόμενο πρόσθετο βίντεο ροής της Iterated για προγράμματα περιήγησης στο διαδίκτυο. Το 1994 το SoftVideo παραχωρήθηκε στην Spectrum Holobyte για χρήση στα παιχνίδια CD-ROM της, συμπεριλαμβανομένων των (Σταρ Τρεκ: Η Επόμενη Γενιά) Star Trek: The Next Generation A Final Unity.. Το 1996, η Iterated Systems Inc. ανακοίνωσε μια σύμπραξη με την Mitsubishi Corporation για την προώθηση της ClearVideo στους Ιάπωνες πελάτες της. Το αρχικό πρόγραμμα οδήγησης αποκωδικοποιητή ClearVideo 1.2 εξακολουθεί να υποστηρίζεται από τη Microsoft στο Windows Media Player αν και ο κωδικοποιητής δεν υποστηρίζεται πλέον. Δύο εταιρείες, η Total Multimedia Inc. και η Dimension, ισχυρίζονται ότι κατέχουν ή έχουν την αποκλειστική άδεια χρήσης της τεχνολογίας βίντεο της Iterated, αλλά καμία από τις δύο δεν έχει ακόμη κυκλοφορήσει ένα λειτουργικό προϊόν. Η τεχνολογική βάση φαίνεται να είναι οι αμερικανικές πατέντες 8639053 και 8351509 της Dimension, οι οποίες έχουν αναλυθεί σημαντικά. Συνοπτικά, πρόκειται για ένα απλό σύστημα αντιγραφής μπλοκ με τετράδεντρα, το οποίο δεν έχει ούτε την αποδοτικότητα εύρους ζώνης ούτε την ποιότητα PSNR των παραδοσιακών κωδικοποιητών που βασίζονται στην DCT. Τον Ιανουάριο του 2016, η TMMI ανακοίνωσε ότι εγκαταλείπει εντελώς την τεχνολογία που βασίζεται στο φράκταλ. Ερευνητικές εργασίες μεταξύ 1997 και 2007 συζήτησαν πιθανές λύσεις για τη βελτίωση των αλγορίθμων και του υλικού κωδικοποίησης φράκταλ Χαλί του Σιερπίνσκι Φτέρη του Μπάρνσλεϊ Νιφάδα του Κοχ Καμπύλη Χίλμπερτ Καμπύλη του δράκου Σπόγγος του ΜένγκερΣύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν