Σύμβολο μετάθεσης

Στα μαθηματικά, το σύμβολο μετάθεσης (ή μετάταξης, επίσης γνωστό ως σύμβολο του Levi-Civita ή αντισυμμετρικό σύμβολο) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.

 Το σύμβολο μετάθεσης συναντάται κυρίως στις τρεις, στις τέσσερις και σε κάποιο βαθμό στις δύο διαστάσεις. Ωστόσο, ο ορισμός του συμβόλου μετάθεσης γενικεύεται για οποιαδήποτε διάσταση. Το διδιάστατο σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως: ε i j = { + 1 αν ( i , j ) = ( 1 , 2 ) − 1 αν ( i , j ) = ( 2 , 1 ) 0 αν i = j {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{αν }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{αν }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{αν }}i=j\end{cases}}} Οι τιμές μπορούν να διαταχθούν σε έναν 2 × 2 αντισυμμετρικό πίνακα: ( ε 11 ε 12 ε 21 ε 22 ) = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} Η χρήση του διδιάστατου συμβόλου είναι σχετικά ασυνήθιστη, παρόλα αυτά, σε ορισμένες εξεζητημένες περιοχές όπως η υπερσυμμετρία και στη θεωρία twistor εμφανίζεται στο πλαίσιο των 2-σπινόρων. Τα σύμβολα Levi-Civita χρησιμοποιούνται ευρύτερα στις τρεις ή περισσότερες διαστάσεις. Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο: ϵ i j k = { + 1 , α ν ( i , j , k ) = ( 1 , 2 , 3 ) , ( 3 , 1 , 2 ) η ´ ( 2 , 3 , 1 ) − 1 , α ν ( i , j , k ) = ( 1 , 3 , 2 ) , ( 2 , 1 , 3 ) η ´ ( 3 , 2 , 1 ) 0 , α ν i = j , i = k η ´ j = k {\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,2,3),(3,1,2)\ {\acute {\eta }}\ (2,3,1)\\-1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3)\ {\acute {\eta }}\ (3,2,1)\\0,&\ \alpha \nu \ i=j,\ i=k\ {\acute {\eta }}\ j=k\end{cases}}} Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης εijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση (ή μετάταξη) των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται. Η τιμή του συμβόλου μετάταξης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο: ϵ i j k = ( i − j ) ( j − k ) ( k − i ) 2 {\displaystyle \epsilon _{ijk}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}} Κατ' αναλογία με τους πίνακες δύο διαστάσεων, οι τιμές του τριδιάστατου συμβόλου Levi-Civita μπορούν να παρασταθούν σε μια διάταξη 3 × 3 × 3: όπου i είναι το βάθος (μπλε, i=1; κόκκινο, i=2; πράσινο, i=3), j η σειρά and k η στήλη. Μερικά παραδείγματα: ε 1 3 2 = − ε 1 2 3 = − 1 ε 3 1 2 = − ε 2 1 3 = − ( − ε 1 2 3 ) = 1 ε 2 3 1 = − ε 1 3 2 = − ( − ε 1 2 3 ) = 1 ε 2 3 2 = − ε 2 3 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}} Στις τέσσερις διαστάσεις, το σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως: ε i j k l = { + 1 αν ( i , j , k , l ) είναι άρτια μετάθεση των ( 1 , 2 , 3 , 4 ) − 1 αν ( i , j , k , l ) είναι περιττή μετάθεση των ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 0 διαφορετικά {\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{αν }}(i,j,k,l){\text{ είναι άρτια μετάθεση των }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{αν }}(i,j,k,l){\text{ είναι περιττή μετάθεση των }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{διαφορετικά}}\end{cases}}} Αυτές οι τιμές μπορούν να παρασταθούν σε μια 4 × 4 × 4 × 4 διάταξη, παρόλα αυτά στις 4 ή ανώτερες διαστάσεις, αυτό δύσκολα μπορεί να σχεδιαστεί. Μερικά παραδείγματα: ε 1 4 3 2 = − ε 1 2 3 4 = − 1 ε 2 1 3 4 = − ε 1 2 3 4 = − 1 ε 4 3 2 1 = − ε 1 3 2 4 = − ( − ε 1 2 3 4 ) = 1 ε 3 2 4 3 = − ε 3 2 4 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}} Το σύμβολο μετάθεσης Levi-Civita μπορεί να γενικευθεί στις n διαστάσεις: ε a 1 a 2 a 3 … a n = { + 1 αν ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) είναι άρτια μετάθεση των ( 1 , 2 , 3 , … , n ) − 1 αν ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) είναι περιττή μετάθεση των ( 1 , 2 , 3 , … , n ) 0 διαφορετικά {\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{αν }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ είναι άρτια μετάθεση των }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{αν }}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}){\text{ είναι περιττή μετάθεση των }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{διαφορετικά}}\end{cases}}} Έτσι, πρόκειται για το πρόσημο της μετάθεσης, στη περίπτωση της μετάθεσης και μηδέν σε κάθε άλλη περίπτωση. Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό του πολλαπλασιασμού ∏ για το συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών, μπορεί να διατυπωθεί μια πολύ σαφής έκφραση: ε a 1 a 2 a 3 … a n = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n sgn ⁡ ( a j − a i ) = sgn ⁡ ( a 2 − a 1 ) sgn ⁡ ( a 3 − a 1 ) … sgn ⁡ ( a n − a 1 ) sgn ⁡ ( a 3 − a 2 ) sgn ⁡ ( a 4 − a 2 ) … sgn ⁡ ( a n − a 2 ) … sgn ⁡ ( a n − a n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}} όπου το γινόμενο είναι συνολικά αντισυμμετρικό σε όλους τους δείκτες και το σύμβολο sgn υποδηλώνει τη συνάρτηση προσήμου, η οποία εξάγει το πρόσημο κάθε διαφοράς, απορρίπτοντας τις απόλυτες τιμές. Ο τύπος ισχύει για κάθε τιμή δείκτη και για κάθε n (όταν n = 0 ή 1, τότε πρόκειται για το "άδειο" γινόμενο (empty product). Ωστόσο, το να υπολογίσει κανείς αφελώς την παραπάνω έκφραση, απαιτείται χρονική πολυπλοκότητα τάξης O(n2), ενώ, χρησιμοποιώντας διακριτούς κύκλους μετάθεσης (disjoint cycles), απαιτείται ένα κόστος τάξης μόλις O(n log(n)). Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες: ϵ i j ϵ m n = δ i m δ j n − δ i n δ j m ϵ i j ϵ i n = δ j n ϵ i j ϵ i j = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{ij}\epsilon _{mn}&=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}\\\epsilon _{ij}\epsilon _{in}&=\delta _{jn}\\\epsilon _{ij}\epsilon _{ij}&=2\end{aligned}}} Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}), ϵ i j k ϵ m n k = δ i m δ j n − δ i n δ j m ϵ i m n ϵ j m n = 2 δ i j ϵ i j k ϵ i j k = 6 {\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{ijk}\epsilon _{mnk}&=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}\\\epsilon _{imn}\epsilon _{jmn}&=2\delta _{ij}\\\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}&=6\end{aligned}}} Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν. Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων Α=(a1,a2,a3) και Β=(b1,b2,b3) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής: A × B = | e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | {\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}} όπου (e1,e2,e3) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο: A × B = ϵ i j k e i a j b k {\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a_{j}b_{k}} Εν γένει, αν C=A×B (όπου C=(c1,c2,c3)) τότε: c i = ϵ i j k a j b k {\displaystyle c_{i}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}} Δέλτα του Κρόνεκερ Wolfram Mathworld. «Permutation Symbol».