Μηδενικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο μηδενικός πίνακας είναι ο πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδέν 0. Ο πίνακας διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} συμβολίζεται ως 0 n , m {\displaystyle \mathbf {0} _{n,m}} και ( 0 n , m ) i j {\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}} , για κάθε 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} και 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m} . Ή διαγραμματικά, 0 n , m = [ 0 0 … 0 0 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 0 ] . {\displaystyle \mathbf {0} _{n,m}={\begin{bmatrix}0&0&\ldots &0\\0&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.} Όταν οι διαστάσεις του είναι ξεκάθαρες, συμβολίζεται απλά ως 0 {\displaystyle \mathbf {0} } .:6 Γενικότερα, σε έναν δακτύλιο το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης στον μηδενικό πίνακα.

 Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα μηδενικών πινάκων για διάφορες διαστάσεις: 0 2 , 2 = [ 0 0 0 0 ] ⏟ 2 × 2 0 3 , 3 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ⏟ 3 × 3 0 3 , 2 = [ 0 0 0 0 0 0 ] ⏟ 3 × 2 0 2 , 3 = [ 0 0 0 0 0 0 ] ⏟ 2 × 3 0 3 , 1 = [ 0 0 0 ] ⏟ 3 × 1 0 1 , 3 = [ 0 0 0 ] ⏟ 1 × 3 {\displaystyle \mathbf {0} _{2,2}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \mathbf {0} _{3,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \mathbf {0} _{3,2}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}} _{3\times 2}\qquad \mathbf {0} _{2,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}} _{2\times 3}\qquad \mathbf {0} _{3,1}=\underbrace {\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}} _{3\times 1}\qquad \mathbf {0} _{1,3}=\underbrace {\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}} _{1\times 3}\qquad } Ο μηδενικός πίνακας 0 n , m {\displaystyle \mathbf {0} _{n,m}} , Είναι το ουδέτερο στοιχείο των πινάκων με πράξη την πρόσθεση πινάκων διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} .:18 Δηλαδή, για κάθε πίνακα A {\displaystyle A} διαστάσεων n × m {\displaystyle n\times m} , ισχύει ότι A + 0 n , m = 0 n , m + A = A {\displaystyle A+\mathbf {0} _{n,m}=\mathbf {0} _{n,m}+A=A} .Είναι συμμετρικός, καθώς ( 0 n , m ) i j = ( 0 n , m ) j i = 0 {\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=(\mathbf {0} _{n,m})_{ji}=0} , για κάθε 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} και 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m} . Είναι αντισυμμετρικός, καθώς ( 0 n , m ) i j = − ( 0 n , m ) j i = 0 {\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=-(\mathbf {0} _{n,m})_{ji}=0} , για κάθε 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} και 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m} . Είναι διαγώνιος, καθώς ( 0 n , m ) i j = 0 {\displaystyle (\mathbf {0} _{n,m})_{ij}=0} (και) για κάθε i = j {\displaystyle i=j} .:365 Έχει ίχνος t r ( 0 n , m ) = 0 {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {0} _{n,m})=0} . Έχει ορίζουσα d e t ( 0 n , m ) = 0 {\displaystyle \mathrm {det} (\mathbf {0} _{n,m})=0} και έτσι είναι μη-αντιστρέψιμος πίνακας. Το μηδενικό διάνυσμα ( 0 , 0 , … , 0 ) ∈ R n {\displaystyle (0,0,\ldots ,0)\in R^{n}} σε έναν δακτύλιο R {\displaystyle R} (για παράδειγμα R = R {\displaystyle R=\mathbb {R} } ή R = C {\displaystyle R=\mathbb {C} } ) συμβολίζεται ως 0 {\displaystyle \mathbf {0} } και είναι μία ειδική περίπτωση του μηδενικού πίνακα. Συγκεκριμένα, για m = 1 {\displaystyle m=1} παίρνουμε το μηδενικό διάνυσμα στήλης 0 n , 1 = [ 0 0 ⋮ 0 ] , {\displaystyle \mathbf {0} _{n,1}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}},} και για n = 1 {\displaystyle n=1} το μηδενικό διάνυσμα γραμμής 0 1 , m = [ 0 0 … 0 ] . {\displaystyle \mathbf {0} _{1,m}={\begin{bmatrix}0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}