Καρτεσιανό γινόμενο

Στα μαθηματικά, το Καρτεσιανό γινόμενο είναι μια μαθηματική πράξη, η οποία επιστρέφει ένα σύνολο (ή γινόμενο συνόλων ή απλά γινόμενο) από διάφορα σύνολα. Δηλαδή, για τα σύνολα A και B, το Καρτεσιανό γινόμενο A × B είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζεύγων (α,β) όπου α ∈ A και β ∈ B. Τα γινόμενα αυτά μπορούν να καθοριστούν, χρησιμοποιώντας σημειογραφία δημιουργίας συνόλων, π.χ.: A × B = { ( a , b ) | a ∈ A ∧ b ∈ B } {\displaystyle A\times B=\{(a,b)\ |\ a\in A\wedge b\in B\}} .Θα μπορούσε να δημιουργηθεί ένας πίνακας από τη λήψη του Καρτεσιανού γινομένου ενός συνόλου γραμμών και ενός συνόλου στηλών. Όταν ληφθεί το Καρτεσιανό γινόμενο γραμμές × στήλες, τα κελιά του παραχθέντος πίνακα θα περιέχουν διατεταγμένα ζεύγη της μορφής (αριθμός γραμμής, αριθμός στήλης). Γενικότερα, το Καρτεσιανό γινόμενο ν συνόλων, γνωστό και ως ν-οστό Καρτεσιανό γινόμενο, μπορεί να εκπροσωπείται από έναν πίνακα ν διαστάσεων, όπου κάθε στοιχείο του είναι μια ν-άδα. Ένα διατεταγμένο ζεύγος είναι μια 2-άδα ή απλά ένα ζεύγος. Το Καρτεσιανό γινόμενο ονομάστηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ, του οποίου η διατύπωση της αναλυτικής γεωμετρίας οδήγησε σε μια έννοια που γενικεύεται περαιτέρω με τον όρο άμεσο γινόμενο.

 Ένα ενδεικτικό παράδειγμα είναι η κανονική τράπουλα με τις 52 κάρτες. Τα τραπουλόχαρτα συμβολίζονται από ένα σύνολο 13-στοιχείων {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}, τα χρώματα των οποίων καθορίζονται από ένα σύνολο 4-στοιχείων {♠, ♥, ♦, ♣} . Το Καρτεσιανό γινόμενο των δύο αυτών συνόλων επιστρέφει ένα σύνολο 52-στοιχείων, το οποίο αποτελείται από 52 διατεταγμένα ζεύγη, που αντιστοιχούν σε όλα τα πιθανά 52 τραπουλόχαρτα. Σύμβολα × Χρώματα επιστρέφει ένα σύνολο της μορφής { (A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣) }. Χρώματα × Σύμβολα επιστρέφει ένα σύνολο της μορφής { (♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2) }. Και τα δύο σύνολα είναι διακριτά, αν και ασυνεχή. Το βασικό ιστορικό παράδειγμα αφορά το Καρτεσιανό επίπεδο στην αναλυτική γεωμετρία. Ο Ρενέ Ντεκάρτ, για να εκλάβει τα γεωμετρικά σχήματα με αριθμητικό τρόπο και να εξαγάγει αριθμητικά πληροφορίες από τις αριθμητικές αναπαραστάσεις των σχημάτων, απέδωσε σε κάθε σημείο του επιπέδου ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών, που το ονόμασε ως συντεταγμένες του σημείου. Συνήθως το πρώτο και το δεύτερο συστατικό ενός ζεύγους ονομάζεται x και y συντεταγμένη αντιστοίχως (βλ. την εικόνα δεξιά). Με το σύνολο όλων αυτών των ζευγαριών, δηλαδή το Καρτεσιανό γινόμενο ℝ×ℝ όπου ℝ το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αποδίδεται το σύνολο όλων των σημείων στο επίπεδο. Αν πολλαπλασιάζονται μαζί αρκετά σύνολα, π.χ. X1, X2, X3, …, τότε ορισμένοι συγγραφείς επιλέγουν να συντομεύσουν το Καρτεσιανό γινόμενο απλά ως ×Xi. Αν f είναι μια συνάρτηση από το A στο B και g είναι μια συνάρτηση από το X στο Y, τότε το Καρτεσιανό γινόμενο των δύο συναρτήσεων f × g είναι μια συνάρτηση από το A × X στο B × Y όπου: ( f × g ) ( a , b ) = ( f ( a ) , g ( b ) ) . {\displaystyle (f\times g)(a,b)=(f(a),g(b)).} Αυτό μπορεί να επεκταθεί και σε πλειάδες συναρτήσεων, ακόμα και άπειρες. Η μορφή αυτή είναι διαφορετική από το στάνταρ Καρτεσιανό γινόμενο, διότι εδώ οι συναρτήσεις θεωρούνται ως σύνολα. Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Direct product», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/d032730