Τύπος του Ήρωνα

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } και γ {\displaystyle \gamma } έχει εμβαδό E = τ ( τ − α ) ( τ − β ) ( τ − γ ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {\tau \left(\tau -\alpha \right)\left(\tau -\beta \right)\left(\tau -\gamma \right)}}} ,όπου τ {\displaystyle \tau } είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή: τ = α + β + γ 2 {\displaystyle \tau ={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}} .Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής: E = 1 4 ( α + β + γ ) ( α + β − γ ) ( β + γ − α ) ( γ + α − β ) . {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha +\beta -\gamma )(\beta +\gamma -\alpha )(\gamma +\alpha -\beta )}}.} Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον Ήρων. Ο τύπος του Ήρωνα γενικεύεται για όλα τα πολύγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο.

 Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής: Έστω ένα τρίγωνο με πλευρές α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } και A {\displaystyle \mathrm {A} } , B {\displaystyle \mathrm {B} } , Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } οι απέναντί τους γωνίες. Εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων για την γωνία Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } έχουμε ότι: cos ⁡ Γ = α 2 + β 2 − γ 2 2 α β {\displaystyle \cos \mathrm {\Gamma } ={\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha \beta }}} .Από την σχέση του ημιτόνου και του συνημιτόνου έχουμε ότι: sin ⁡ Γ = 1 − cos 2 ⁡ Γ = 4 α 2 β 2 − ( α 2 + β 2 − γ 2 ) 2 2 α β {\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } ={\sqrt {1-\cos ^{2}\mathrm {\Gamma } }}={\frac {\sqrt {4\alpha ^{2}\beta ^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})^{2}}}{2\alpha \beta }}} .Χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων x 2 − y 2 = ( x − y ) ⋅ ( x + y ) {\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y)} έχουμε ότι: sin ⁡ Γ = 1 2 α β ( 2 α β − ( α 2 + β 2 − γ 2 ) ) ⋅ ( 2 α β + ( α 2 + β 2 − γ 2 ) ) . {\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } ={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(2\alpha \beta -(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}))\cdot (2\alpha \beta +(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}))}}.} Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}} , προκύπτει ότι: sin ⁡ Γ = 1 2 α β ( γ 2 − ( α − β ) 2 ) ⋅ ( ( α + β ) 2 − γ 2 ) ) . {\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } ={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(\gamma ^{2}-(\alpha -\beta )^{2})\cdot ((\alpha +\beta )^{2}-\gamma ^{2}))}}.} Χρησιμοποιώντας πάλι την διαφορά τετραγώνων έχουμε ότι sin ⁡ Γ = 1 2 α β ( γ − α + β ) ⋅ ( γ + α − β ) ⋅ ( α + β − γ ) ⋅ ( α + β + γ ) = 2 α β ⋅ ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) ⋅ τ . {\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } ={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(\gamma -\alpha +\beta )\cdot (\gamma +\alpha -\beta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma )\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}}={\frac {2}{\alpha \beta }}\cdot {\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot \tau }}.} Το ύψος u A {\displaystyle u_{\rm {A}}} του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά α {\displaystyle \alpha } έχει μήκος u A = β ⋅ sin ⁡ Γ , {\displaystyle u_{\rm {A}}=\beta \cdot \sin \mathrm {\Gamma } ,} και έτσι έχουμε ότι E = 1 2 ( β α ´ σ η ) ( υ ´ ψ o ς ) = 1 2 ⋅ α ⋅ u A = 1 2 ⋅ α β ⋅ u A = ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) ⋅ τ {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}({\beta {\acute {\alpha }}\sigma \eta })({{\acute {\upsilon }}\psi \mathrm {o} \varsigma })={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot u_{\rm {A}}={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \beta \cdot u_{\rm {A}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot \tau }}} ,που ολοκληρώνει την απόδειξη. Ο τύπος Βραχμαγκούπτα γενικεύει αυτόν τον τύπο για τον εμβαδόν οποιουδήποτε εγγράψιμου τετρατπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, για ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } και ημιπερίμετρο τ {\displaystyle \tau } , το εμβαδόν του είναι ίσο με E = ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) ⋅ ( τ − δ ) . {\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}.} Ο τύπος Bretschneider δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο σχήμα με πλευρές α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } και γωνίες A , B , Γ , Δ {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } ,\mathrm {\Delta } } ως E = ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) ⋅ ( τ − δ ) − 1 2 α β γ δ ⋅ ( 1 + cos ⁡ ( A + Γ ) ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-{\frac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot (1+\cos(\mathrm {A} +\mathrm {\Gamma } ))}}} . Τρίγωνο του Ήρωνα Τύπος Βραχμαγκούπτα Τύπος Bretschneider Αποδείξεις για τον τύπο του Ήρωνα Παπαδάτος Ιωάννης (1976). «Ο τύπος του Ήρωνα είναι του Αρχιμήδη». Ευκλείδης Β΄ (5): 5-6. Ν. Κισκύρας (1980). «Αριθμητικές Τετράδες του Ήρωνα - Ηρώνεια Τρίγωνα». Ευκλείδης Β΄ (3): 8-9. Bényi, Árpád (Ιουλίου 2003). «87.47 A Heron-type formula for the triangle». The Mathematical Gazette 87 (509): 324–326. doi:10.1017/S0025557200172882. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2003-07_87_509/page/324. Lowry, H. V. (Οκτωβρίου 1964). «116. Heron's formula». The Mathematical Gazette 48 (365): 312–313. doi:10.2307/3613028. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1964-10_48_365/page/312. Lord, Nick (2013). «97.29 A family of Heron-type formulae for the triangle». The Mathematical Gazette 97 (539): 294-297. https://www.jstor.org/stable/24496814. Nelsen, Roger B. (Σεπτεμβρίου 2001). «Heron's Formula via Proofs without Words». The College Mathematics Journal 32 (4): 290. doi:10.2307/2687566. https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2001-09_32_4/page/290. Josefsson, Martin (2016). 100.31 Heron-like formulas for quadrilaterals. 100, σελ. 505-508. https://www.jstor.org/stable/44161660. Stroethoff, Karel (Ιουλίου 1999). «83.37 Heron’s formula via complex numbers». The Mathematical Gazette 83 (497): 292–293. doi:10.2307/3619066. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1999-07_83_497/page/292.