Ανισότητα Γιανγκ για το γινόμενο

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Γιανγκ (αναφέρεται και ως ανισότητα Young) λέει ότι για οποιουσδήποτε δύο μη-αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς a , b {\displaystyle a,b} και κάθε p , q > 1 {\displaystyle p,q>1} τέτοιους ώστε 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} , ισχύει ότι a p p + b q q ≥ a b . {\displaystyle {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\geq ab.} Αυτή η μορφή είναι χρήσιμη για την απόδειξη της ανισότητας Χέλντερ. Στην εργασία του Γιανγκ το 1912, εμφανίστηκε με την μορφή a p + 1 + p b 1 + 1 / p ≥ ( p + 1 ) a b , {\displaystyle a^{p+1}+pb^{1+1/p}\geq (p+1)ab,} για οποιοδήποτε p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} , ως γενίκευση της κλασσικής ανισότητας a 2 + b 2 ≥ 2 a b , {\displaystyle a^{2}+b^{2}\geq 2ab,} την οποία λαμβάνουμε για p = 1 {\displaystyle p=1} .

 Αφού η λογαριθμική συνάρτηση ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} είναι κυρτή για x > 0 {\displaystyle x>0} , για x 1 = a p {\displaystyle x_{1}=a^{p}} , x 2 = b q {\displaystyle x_{2}=b^{q}} και t = 1 p {\displaystyle t={\tfrac {1}{p}}} , έχουμε από την ανισότητα Γένσεν ότι ln ⁡ ( t ⋅ x 1 + ( 1 − t ) ⋅ x 2 ) ≥ t ⋅ ln ⁡ ( x 1 ) + ( 1 − t ) ⋅ ln ⁡ ( x 2 ) , {\displaystyle \ln \left(t\cdot x_{1}+(1-t)\cdot x_{2}\right)\geq t\cdot \ln(x_{1})+(1-t)\cdot \ln(x_{2}),} ή ισοδύναμα, καθώς 1 q = 1 − 1 p {\displaystyle {\tfrac {1}{q}}=1-{\tfrac {1}{p}}} ln ⁡ ( a p p + b q q ) ≥ 1 p ⋅ ln ⁡ ( a p ) + 1 q ⋅ ln ⁡ ( b q ) = ln ⁡ ( a ) + ln ⁡ ( b ) = ln ⁡ ( a b ) . {\displaystyle \ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\cdot \ln(a^{p})+{\frac {1}{q}}\cdot \ln(b^{q})=\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab).} Καθώς η ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} είναι γνησίως αύξουσα έχουμε ότι a p p + b q q ≥ a b . {\displaystyle {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\geq ab.} Έστω ότι p , q {\displaystyle p,q} ρητοί τότε για κάποιος θετικούς ακεραίους m 1 , m 2 , n 1 , n 2 {\displaystyle m_{1},m_{2},n_{1},n_{2}} έχουμε ότι p = m 1 n 1 {\displaystyle p={\tfrac {m_{1}}{n_{1}}}} και q = m 2 n 2 {\displaystyle q={\tfrac {m_{2}}{n_{2}}}} . Τότε, a p p + b q q = n 1 m 2 a p + n 2 m 1 b q m 1 m 2 = n 1 m 2 a p + n 2 m 1 b q n 1 m 2 + n 2 m 1 , {\displaystyle {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}={\frac {n_{1}m_{2}a^{p}+n_{2}m_{1}b^{q}}{m_{1}m_{2}}}={\frac {n_{1}m_{2}a^{p}+n_{2}m_{1}b^{q}}{n_{1}m_{2}+n_{2}m_{1}}},} καθώς 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} . Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για συνολικά n 1 m 2 + n 2 m 1 = m 1 m 2 {\displaystyle n_{1}m_{2}+n_{2}m_{1}=m_{1}m_{2}} πραγματικούς αριθμούς: n 1 m 2 {\displaystyle n_{1}m_{2}} αριθμούς a p {\displaystyle a^{p}} και n 2 m 1 {\displaystyle n_{2}m_{1}} αριθμούς b q {\displaystyle b^{q}} : n 1 m 2 a p + n 2 m 1 b q n 1 m 2 + n 2 m 1 ≥ ( ( a p ) n 1 m 2 ( b q ) n 2 m 1 ) 1 / ( m 1 m 2 ) = ( a p ) n 1 m 1 ( b q ) n 2 m 2 = a b . {\displaystyle {\frac {n_{1}m_{2}a^{p}+n_{2}m_{1}b^{q}}{n_{1}m_{2}+n_{2}m_{1}}}\geq \left((a^{p})^{n_{1}m_{2}}(b^{q})^{n_{2}m_{1}}\right)^{1/(m_{1}m_{2})}=(a^{p})^{\tfrac {n_{1}}{m_{1}}}(b^{q})^{\tfrac {n_{2}}{m_{2}}}=ab.} Συνδυάζοντας τα παραπάνω δύο βήματα, λαμβάνουμε την ανισότητα Γιανγκ. Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής επέκταση της ανισότητας Μπερνούλλι: Για κάθε πραγματικό αριθμό x ≥ − 1 {\displaystyle x\geq -1} και r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} , ισχύει ότι ( 1 + x ) r ≥ 1 + r x . {\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx.} Για να αποδείξουμε την ανισότητα Γιανγκ, θεωρούμε x = a p b q − 1 ≥ − 1 {\displaystyle x={\frac {a^{p}}{b^{q}}}-1\geq -1} και r = p > 1 {\displaystyle r=p>1} , επομένως ( 1 + a p b q − 1 p ) p ≥ 1 + p ⋅ a p b q − 1 p = a p b q . {\displaystyle \left(1+{\frac {{\frac {a^{p}}{b^{q}}}-1}{p}}\right)^{p}\geq 1+p\cdot {\frac {{\frac {a^{p}}{b^{q}}}-1}{p}}={\frac {a^{p}}{b^{q}}}.} Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι 1 + a p b q − 1 p ≥ a b q / p . {\displaystyle 1+{\frac {{\frac {a^{p}}{b^{q}}}-1}{p}}\geq {\frac {a}{b^{q/p}}}.} και αναπτύσσοντας και τα δύο μέλη a p p + ( 1 − 1 p ) ⋅ b q q ≥ a b q ( 1 − / p ) . {\displaystyle {\frac {a^{p}}{p}}+\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\cdot {\frac {b^{q}}{q}}\geq ab^{q(1-/p)}.} Χρησιμοποιώντας ότι 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} , λαμβάνουμε την ανισότητα Γιανγκ. Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής ανισότητα για ολοκληρώματα: Για οποιοδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f:[0,\infty )\to [0,\infty )} και οποιαδήποτε a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} έχουμε ότι Έστω ότι f ( x ) = x p − 1 {\displaystyle f(x)=x^{p-1}} (που είναι γνησίως αύξουσα για p > 1 {\displaystyle p>1} ). Τότε, f − 1 ( x ) = x 1 / ( p − 1 ) {\displaystyle f^{-1}(x)=x^{1/(p-1)}} και επειδή 1 p − 1 = 1 1 1 − 1 q − 1 = q − 1 , {\displaystyle {\frac {1}{p-1}}={\frac {1}{{\frac {1}{1-{\frac {1}{q}}}}-1}}=q-1,} έχουμε ότι f − 1 ( x ) = x q − 1 {\displaystyle f^{-1}(x)=x^{q-1}} . Επομένως, ∫ 0 a x p − 1 d x + ∫ 0 b f − 1 ( x ) d x = x p p | 0 a + x q q | 0 b = a p p + b q q . {\displaystyle \int _{0}^{a}x^{p-1}\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx=\left.{\frac {x^{p}}{p}}\right|_{0}^{a}+\left.{\frac {x^{q}}{q}}\right|_{0}^{b}={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.} Από την (1), λαμβάνουμε ότι την ανισότητα Γιανγκ. Για οποιοδήποτε συνεχή γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ {\displaystyle f:[0,\infty )\to [0,\infty } και οποιαδήποτε a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} έχουμε ότι ∫ 0 a f ( x ) d x + ∫ 0 b f − 1 ( x ) d x ≥ a b . {\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx\geq ab.} Η ανισότητα Χέλντερ δίνει ότι για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} , b 1 , … , b n {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}} και p , q > 1 {\displaystyle p,q>1} τέτοιος ώστε 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} , ισχύει ότι ∑ i = 1 n | a i b i | ≤ ( ∑ i = 1 n | a i | 1 / p ) p ( ∑ i = 1 n | b i | 1 / q ) q . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}b_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{1/p}\right)^{p}\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{1/q}\right)^{q}.} Ανισότητα Χέλντερ