Ορθογώνιος πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία του οποίου οι γραμμές και οι στήλες είναι ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα (π.χ., ορθοκανονικά διανύσματα). Ισοδύναμα, ένας πίνακας Q είναι ορθογώνιος εάν ο ανάστροφος του ισούται με τον αντίστροφο του: Q T = Q − 1 , {\displaystyle Q^{\mathrm {T} }=Q^{-1},\,} το οποίο συνεπάγεται Q T Q = Q Q T = I , {\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=QQ^{\mathrm {T} }=I,\,} όπου I ο μοναδιαίος πίνακας (ή ταυτοτικός). Ένας ορθογώνιος πίνακας Q είναι αναγκαστικά αντιστρέψιμος (με αντίστροφο Q−1 = QT), ορθομοναδιαίος (Q−1 = Q*), και κανονικός (Q*Q = QQ*). Η ορίζουσα κάθε ορθογώνιου πίνακα είναι είτε +1 ή −1. Ως ένας γραμμικός μετασχηματισμός, ένας ορθογώνιος πίνακας διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων, συνεπώς δρα ως μια ισομετρία του Ευκλείδειου χώρου, όπως η περιστροφή ή η ανάκλαση. Με άλλα λόγια είναι ένας ορθομοναδιαίος μετασχηματισμός. Το σύνολο των n × n ορθογώνιων πινάκων σχηματίζει μία ομάδα O(n), γνωστή ως ορθογώνια ομάδα. Η υποομάδα SO(n) που αποτελείται από ορθογώνιους πίνακες με ορίζουσα +1 καλείται ειδική ορθογώνια ομάδα, και κάθε στοιχείο της είναι ένας ειδικός ορθογώνιος πίνακας. Ως γραμμικός μετασχηματισμός, κάθε ειδικός ορθογώνιος πίνακας δρα σαν μια περιστροφή.

 Ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ειδική κατηγορία ενός ορθομοναδιαίου πίνακα και έτσι είναι πάντα ένας κανονικός πίνακας. Παρόλο που μελετάμε μόνο πίνακες με πραγματικά στοιχεία, ο ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για πίνακες με στοιχεία από άλλα σώματα. Ωστόσο, οι ορθογώνιοι πίνακες προκύπτουν φυσικά από το εσωτερικό γινόμενο, και για τους πίνακες με μιγαδικούς αριθμούς οδηγούμαστε αντίθετα στην ορθομοναδιαία απαίτηση. Οι ορθογώνιοι πίνακες διατηρούν το εσωτερικό γινόμενο, οπότε, για τα διανύσματα u, v σε έναν n-διάστατο πραγματικό Ευκλείδειο χώρο ισχύει u ⋅ v = ( Q u ) ⋅ ( Q v ) {\displaystyle {\mathbf {u} }\cdot {\mathbf {v} }=\left(Q{\mathbf {u} }\right)\cdot \left(Q{\mathbf {v} }\right)\,} όπου Q είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Για να δούμε τη σχέση με το εσωτερικό γινόμενο, ας θεωρήσουμε το διάνυσμα v σε έναν n-διάστατο πραγματικό Ευκλείδειο χώρο. Σε σχέση με μία ορθοκανονική βάση, το τετράγωνο του μήκους του v είναι vTv. Εάν ένας γραμμικός μετασχηματισμός, σε μορφή πίνακα Qv, διατηρεί το μήκος του διαστήματος, τότε v T v = ( Q v ) T ( Q v ) = v T Q T Q v . {\displaystyle {\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }=(Q{\mathbf {v} })^{\mathrm {T} }(Q{\mathbf {v} })={\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }Q^{\mathrm {T} }Q{\mathbf {v} }.} Έτσι πεπερασμένης διάστασης γραμμικές ισομετρίες—περιστροφές, ανακλάσεις, και οι συνδυασμοί αυτών— παράγουν ορθογώνιους πίνακες. Το αντίστροφο είναι επίσης αληθές: ορθογώνιοι πίνακες συνεπάγονται ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Ωστόσο η γραμμική άλγεβρα περιλαμβάνει ορθογώνιους μετασχηματισμούς μεταξύ χώρων οι οποίοι μπορεί να μην είναι ούτε πεπερασμένης διάστασης ούτε της ίδιας διάστασης, αυτοί δεν έχουν ισοδύναμο ορθογώνιο πίνακα. Οι ορθογώνιοι πίνακες είναι σημαντικοί για αρκετούς λόγους, τόσο θεωρητικούς όσο και πρακτικούς. Οι n×n ορθογώνιοι πίνακες σχηματίζουν μία ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων, την ορθογώνια ομάδα που συμβολίζεται ως O(n), η οποία—μαζί με τις υποομάδες της— χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα ορθογώνιων πινάκων μικρής διάστασης και η πιθανή ερμηνεία τους. [ 1 0 0 1 ] ( τ α υ τ o τ ι κ o ς μ ϵ τ α σ χ η μ α τ ι σ μ o ς ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad (\tau \alpha \upsilon \tau {\mbox{o}}\tau \iota \kappa {\mbox{o}}\varsigma \ \mu \epsilon \tau \alpha \sigma \chi \eta \mu \alpha \tau \iota \sigma \mu {\mbox{o}}\varsigma )} Ένα παράδειγμα 2×2 πίνακα περιστροφής: R ( 16.26 ∘ ) = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] = [ 0.96 − 0.28 0.28 0.96 ] ( π ϵ ρ ι σ τ ρ o ϕ η κ α τ α 16.26 ∘ ) {\displaystyle R(16.26^{\circ })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.96&-0.28\\0.28&\;\;\,0.96\\\end{bmatrix}}\qquad (\pi \epsilon \rho \iota \sigma \tau \rho {\mbox{o}}\phi \eta \ \kappa \alpha \tau \alpha \ 16.26^{\circ })} [ 1 0 0 − 1 ] ( α ν α κ λ α σ η ω ς π ρ o ς τ o ν α ξ o ν α ⁡ x ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}\qquad (\alpha \nu \alpha \kappa \lambda \alpha \sigma \eta \ \omega \varsigma \ \pi \rho {\mbox{o}}\varsigma \ \tau {\mbox{o}}\nu \ \alpha \xi {\mbox{o}}\nu \alpha \ \operatorname {} x)} [ 0 − 0.80 − 0.60 0.80 − 0.36 0.48 0.60 0.48 − 0.64 ] ( σ τ ρ o ϕ o κ α τ o π τ ρ ι σ μ o ς : α ξ o ν α ς ( 0 , − 3 / 5 , 4 / 5 ) , γ ω ν ι α 90 ∘ ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-0.80&-0.60\\0.80&-0.36&\;\;\,0.48\\0.60&\;\;\,0.48&-0.64\end{bmatrix}}\qquad \left({\begin{aligned}&\sigma \tau \rho {\mbox{o}}\phi {\mbox{o}}\kappa \alpha \tau {\mbox{o}}\pi \tau \rho \iota \sigma \mu {\mbox{o}}\varsigma :\ \\&\alpha \xi {\mbox{o}}\nu \alpha \varsigma \ (0,-3/5,4/5),\gamma \omega \nu \iota \alpha \ 90^{\circ }\end{aligned}}\right)} [ 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ] ( π ι ν α κ α ς μ ϵ τ α θ ϵ σ η ς ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}\qquad (\pi \iota \nu \alpha \kappa \alpha \varsigma \ \mu \epsilon \tau \alpha \theta \epsilon \sigma \eta \varsigma \ )} Οι απλούστεροι ορθογώνιοι πίνακες είναι οι 1×1 πίνακες [1] και [−1] τους οποίους μπορούμε να ερμηνεύσουμε ως ταυτότητα και ανάκλαση της γραμμής των πραγματικών αριθμών από την αρχή της. Οι 2×2 πίνακες έχουν τη μορφή: [ p t q u ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}},} και επειδή ειναι ορθογώνιοι ικανοποιούν τις τρεις εξισώσεις 1 = p 2 + t 2 , 1 = q 2 + u 2 , 0 = p q + t u . {\displaystyle {\begin{aligned}1&=p^{2}+t^{2},\\1&=q^{2}+u^{2},\\0&=pq+tu.\end{aligned}}} Εξετάζοντας την πρώτη εξίσωση, χωρίς βλάβη της γενικότητας ας είναι p = cos θ, q = sin θ τότε είτε t = −q, u = p ή t = q, u = −p. Μπορούμε να ερμηνεύσουμε την πρώτη περίπτωση ως περιστροφή κατά γωνία θ (οπου θ = 0 είναι η ταυτότητα), και τη δεύτερη σαν μία ανάκλαση ως προς μία γραμμή με γωνία θ/2. [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] ( π ϵ ρ ι σ τ ρ o ϕ η ) [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ θ − cos ⁡ θ ] ( α ν α κ λ α σ η ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}(\pi \epsilon \rho \iota \sigma \tau \rho {\mbox{o}}\phi \eta \ )\qquad {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}(\alpha \nu \alpha \kappa \lambda \alpha \sigma \eta \ )} Στην ειδική περίπτωση που στον πίνακα ανάκλασης θέσουμε θ=90° έχουμε ανάκλαση κατα 45° της ευθείας y=x και ως εκ τούτου το x ανταλλάσεται με το y· έτσι προκύπτει ένας μεταθετικός πίνακας, με ενα 1 σε κάθε στήλη και γραμμή (και αλλού 0): [ 0 1 1 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}.} Η ταυτότητα είναι επίσης μεταθετικός πίνακας. Μία ανάκλαση ειναι ίση με τον αντιστοφό της, αυτό συνεπάγεται ότι ενας πίνακας ανάκλασης είναι συμμετρικός (ισούται με τον αναστροφό του) καθώς και ορθογώνιος. Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής είναι πίνακας περιστροφής, και το γινόμενο δύο πινάκων αναστροφής είναι πίνακας αναστροφής. Ασχέτως διάστασης, πάντα είναι δυνατό να κατατάξεις τους ορθογώνιους πίνακες ως καθαρώς περιστροφικούς ή όχι, αλλά για 3×3 πίνακες και μεγαλύτερους οι μη-περιστροφικοί πίνακες μπορεί να είναι πιο περίπλοκοι από τους πίνακες ανάκλασης. Για παράδειγμα, [ − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 ] κ α ι [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\kappa \alpha \iota {\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}} παριστάνουν μία αναστροφή ως προς την αρχή των αξόνων και ένα στροφοκατοπτρισμό γύρω από τον άξονα z. Επισης,οι περιστροφές γίνονται πιο περίπλοκες· δε μπορούν πλέον να χαρακτηριστούν πλήρως από μία γωνία, και μπορούν να επηρεάσουν περισσότερους από έναν επίπεδους υποχώρους. Ενώ είναι σύνηθες να περιγράφουμε ένα 3×3 πίνακα περιστροφής με βάση έναν άξονα και μία γωνία, η ύπαρξη του άξονα είναι μια τυχαία ιδιότητα αυτής της διάστασης και δεν ισχύει γενικά. Η πιο στοιχειώδης μετάθεση είναι η μεταφορά, προκύπτει από τον μοναδιαίο πίνακα με την ανταλλαγή δύο γραμμών. Καθε n×n μεταθετικός πίνακας μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ n − 1 μεταφορών. Μια ανάκλαση Χαουζχόλντερ κατασκευάζεται από ένα μη-μηδενικό διάνυσμα v ως Q = I − 2 v v T v T v . {\displaystyle Q=I-2{{\mathbf {v} }{\mathbf {v} }^{\mathrm {T} } \over {\mathbf {v} }^{\mathrm {T} }{\mathbf {v} }}.} Εδώ ο αριθμητής είναι ένας συμμετρικός πίνακας ενώ ο παρονομαστής είναι ένας αριθμός, η τιμή του v στο τετράγωνο. Αυτό είναι μια ανάκλαση στο κάθετο υπερεπίπεδο στο v (κάνοντας αρνητικό κάθε διάνυσμα παράλληλο στο v). Αν το v είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα, τότε Q = I − 2vvT. Μια ανάκλαση Χαουζχόλντερ χρησιμοποιείται συνήθως στον ταυτόχρονο μηδενισμό των στοιχείων στο κατώτερο μέρος μιας στήλης, Καθε ορθογώνιος πίνακας μεγέθους n×n μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ n τέτοιων ανακλάσεων. Μια περιστροφή Γκίβενς δρα σε ένα δισδιάστατο (επίπεδο) υποχώρο που παράγεται από δύο άξονες συντεταγμένων, περιστεφόμενο κατά επιλεγμένης γωνίας. Συνήθως χρησιμοποιείται για το μηδενισμό ενός υποδιαγώνιου στοιχείου. Κάθε πίνακας πειστροφής μεγέθους n×n μπορεί να κατασκευαστεί ως γινόμενο το πολύ n(n − 1)/2 τέτοιων περιστροφών. Στην περίπτωση των 3×3 πινάκων, τρεις τέτοιες περιστροφές επαρκούν· και με τον καθορισμό της ακολουθίας μπορούμε να περιγράψουμε συνεπώς όλους τους 3×3 πίνακες περιστροφής (αν και όχι μοναδικά) ως προς τις τρεις γωνίες που χρησιμοποιήθηκαν, συχνά γνωστές ως γωνίες Όιλερ. Μια περιστροφή Τζάκομπι έχει την ίδια μορφή με μια περιστροφή Γκίβενς, μόνο που χρησιμοποιείται για να μηδενιστουν και τα δύο μη-διαγώνια στοιχεία ενός 2×2 συμμετρικού υποπίνακα. Ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία είναι ορθογώνιος αν και μόνο αν οι στήλες του αποτελούν μία ορθοκανονική βάση του Ευκλείδειου χώρου Rn με το σύνηθες Ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο, το οποίο ισχύει αν και μόνο αν οι γραμμές του αποτελούν μία ορθοκανονική βάση στον Rn. Μπορεί να είναι δελεαστικό να υποθέσουμε ότι ένας πίνακας με ορθογώνιες (όχι ορθοκανονικές) στήλες θα ονομάζεται ορθογώνιος πίνακας, αλλά τέτοιοι πίνακες δεν έχουν κανένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον και καμία ειδική ονομασία· ικανοποιούν μόνο MTM = D, όπου D ένας διαγώνιος πίνακας. Η ορίζουσα οποιουδήποτε ορθογώνιου πίνακα είναι +1 ή −1. Αυτό προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες των οριζουσών, ως εξής: 1 = det ( I ) = det ( Q T Q ) = det ( Q T ) det ( Q ) = ( det ( Q ) ) 2 . {\displaystyle 1=\det(I)=\det(Q^{\mathrm {T} }Q)=\det(Q^{\mathrm {T} })\det(Q)=(\det(Q))^{2}\,\!.} Το αντίστροφο δεν ισχύει· το να είναι μία ορίζουσα ίση με +1 δεν αποτελεί εγγύηση ορθογωνιότητα, ακόμη και με ορθογώνιες στήλες, όπως φαίνεται από το ακόλουθο αντιπαράδειγμα. [ 2 0 0 1 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} Στους μεταθετικούς πίνακες η ορίζουσα αντιστοιχεί στο πρόσημο της μετάθεσης, που είναι +1 ή -1. Ισχυρότερο από τον κανόνα της ορίζουσας είναι το γεγονός ότι ένας ορθογώνιος πίνακας μπορεί να διαγωνιοποιείται πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς παρουσιάζοντας ένα πλήρες σύνολο ιδιοτιμών, οι οποίες πρέπει να έχουν (οι μιγαδικοί) απόλυτη τιμή 1. Ο αντίστροφος κάθε ορθογωνίου πίνακα είναι ορθογώνιος, όπως και το γινόμενο δύο ορθογώνιων πινάκων. Μάλιστα, το σύνολο όλων των n×n ορθογώνιων πινάκων ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες της ομάδας. Είναι μια συμπαγής ομάδα Lie διάστασης n(n − 1)/2, που ονομάζεται ορθογώνια ομάδα και συμβολίζεται με O(n). Οι ορθογώνιοι πίνακες των οποίων η ορίζουσα είναι +1 σχηματίζουν μία κατά τόξο συνεκτική κανονική υποομάδα του O(n) με δείκτη 2, την ειδική ορθογώνια ομάδα SO(n) των περιστροφών. Η ομάδα πηλίκο O(n)/SO(n) είναι ισόμορφη με την O(1), με την προβολή της να παίρνει τιμές [+1] ή [−1] ανάλογα με την ορίζουσα. Ορθογώνιοι πίνακες με ορίζουσα -1 δεν περιλαμβάνουν την ταυτότητα, και έτσι δεν σχηματίζουν υποομάδα, αλλά μόνο ένα σύμπλοκο· είναι επίσης (χωριστά) συνεκτικό. Έτσι, κάθε ορθογώνια ομάδα χωρίζεται σε δύο κομμάτια· και επειδή η προβολή διασπάται η O(n) είναι το ημιευθύ γινόμενο της SO(n) επί O(1). Σε πρακτικούς όρους, μια παρόμοια κατάσταση είναι ότι κάθε ορθογώνιος πίνακας μπορεί να παραχθεί παίρνοντας ένα πίνακα περιστροφής και, ενδεχομένως, κάνοντας αρνητική μία από τις στήλες του, όπως είδαμε με τους 2×2 πίνακες. Εάν n είναι περιττός, τότε το ημιευθύ γινόμενο είναι στην πραγματικότητα ένα ευθύ γινόμενο, και κάθε ορθογώνιος πίνακας μπορεί να παραχθεί παίρνοντας έναν ανάστροφο πίνακα και, ενδεχομένως, κάνοντας αρνητικές όλες τις στήλες του. Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα των οριζουσών ότι δηλαδή κάνοντας αρνητική μια στήλη κάνει αρνητική την ορίζουσα, και έτσι κάνοντας περιττό πλήθος στηλών (αλλά όχι άρτιο) αρνητικές κάνει την ορίζουσα αρνητική. Θεωρήστε τώρα (n+1)×(n+1) ορθογώνιους πίνακες με το κάτω δεξιά στοιχειο τους ίσο με 1. Το υπόλοιπο της τελευταιας στήλης (και τελευταίας γραμμής) πρέπει να έχει μηδενικά, και το γινόμενο δυο τέτοιων πινάκων έχει την ίδια μορφή. Το υπόλοιπο του πίνακα είναι ένας n×n ορθογώνιος πίνακας· έτσι η O(n) είναι υποομάδα της O(n + 1) (και ολων των μεγαλήτερων ομάδων). [ 0 O ( n ) ⋮ 0 0 ⋯ 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}&&&0\\&O(n)&&\vdots \\&&&0\\0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}} Αφού μια στοιχειώδης ανάκλαση υπό τη μορφή ενός πίνακα Χαουζχόλντερ μπορεί να μετατρέψει κάθε ορθογώνιο πίνακα σε αυτή την περιορισμένη μορφή, μια σειρά από τέτοιες ανακλάσεις μπορεί να φέρει οποιαδήποτε ορθογώνιο πίνακα στον ταυτοτικό· έτσι μια ορθογώνια ομάδα είναι ομάδα ανακλάσεων. Η τελευταία στήλη μπορεί να μετατραπεί σε οποιοδήποτε μοναδιαίο διάνυσμα, και κάθε επιλογή δίνει ένα διαφορετικό αντίγραφο της O(n) στη O(n+1)· με τον τρόπο αυτό η O(n+1) είναι μια δέσμη πάνω από την σφαίρα Sn με ίνα O(n). Παρομοίως, η SO(n) είναι μια υποομάδα της SO(n+1)· και κάθε ειδικός ορθογώνιος πίνακας μπορεί να παραχθεί από περιστροφές επιπέδου Γκίβενς χρησιμοποιώντας μία ανάλογη διαδικασία. Η δομή της δέσμης εξακολουθεί να υφίσταται: SO(n) ↪ SO(n+1) → Sn. Μία μόνο περιστροφή μπορεί να παράγει ένα μηδενικό στοιχείο στην πρώτη γραμμή της τελευταίας στήλης, και η σειρά των n−1 περιστροφών θα μηδενίσει όλα τα στοχεία εκτός από την τελευταία σειρά της τελευταίας στήλης του n×n πίνακα περιστροφής. Δεδομένου ότι τα επίπεδα είναι καθορισμένα , κάθε περιστροφή έχει μόνο ένα βαθμό ελευθερίας, τη γωνία της. Με επαγωγή, η SO(n) έχει επομένως ( n − 1 ) + ( n − 2 ) + ⋯ + 1 = n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle (n-1)+(n-2)+\cdots +1=n(n-1)/2} βαθμούς ελευθερίας, και τους ίδιους έχει η O(n). Οι μεταθετικοί πίνακες είναι ακόμα πιο απλοί· δεν σχηματίζουν μια ομάδα Lie, αλλά μόνο μια πεπερασμένη ομάδα με τάξη n!, τη συμμετρική ομάδα Sn. Με το ίδιο επιχείρημα, η Sn είναι μια υποομάδα της Sn+1. Οι άρτιες μεταθέσεις παράγουν την υποομάδα των μεταθετικών πινάκων με ορίζουσα +1 με τάξη n!/2, την εναλλασσόμενη ομάδα. Γενικότερα, η επίδραση οποιουδήποτε ορθογώνιου πίνακα διαχωρίζεται σε ανεξάρτητες δράσεις σε ορθογώνιους διδιάστατους υποχώρους. Δηλαδή, αν Q είναι ειδικός ορθογώνιος ότε μπορεί κανείς να βρει πάντα ένα ορθογώνιο πίνακα P, μια (περιστροφική) αλλαγή βάσης που φέρνει τον Q σε μπλοκ διαγώνια μορφή: P T Q P = [ R 1 ⋱ R k ] ( n α ρ τ ι o ς ) , P T Q P = [ R 1 ⋱ R k 1 ] ( n π ϵ ρ ι τ τ o ς ) . {\displaystyle P^{T}QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{bmatrix}}\ (n\ \alpha \rho \tau \iota {\mbox{o}}\varsigma \ ),\ P^{T}QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&&\\&\ddots &&\\&&R_{k}&\\&&&1\end{bmatrix}}\ (n\ \pi \epsilon \rho \iota \tau \tau {\mbox{o}}\varsigma \ ).} όπου οι πίνακες R1,...,Rk είναι 2×2 πίνακες περιστροφής, και με τα υπόλοιπα στοιχεία μηδέν. Κατ 'εξαίρεση ένα μπλοκ περιστροφής μπορεί να είναι διαγώνιο, ±I. Έτσι, κάνοντας μία στήλη αρνητική, εάν είναι αναγκαίο, και γνωρίζοντας ότι μία ανάκλαση διαγωνοποιέιται σε +1 και -1, κάθε πίνακας μπορεί να προσαχθεί στη μορφή P T Q P = [ R 1 ⋱ R k 0 0 ± 1 ⋱ ± 1 ] , {\displaystyle P^{T}QP={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},} Οι πίνακες R1,...,Rk δίνουν διατεταγμένα ζεύγη ιδιοτιμών που βρίσκονται επί του μοναδιαίου κύκλου στο μιγαδικό επίπεδο· έτσι αυτή η ανάλυση επιβεβαιώνει ότι όλες οι ιδιοτιμές έχουν απόλυτη τιμή 1. Εάν n είναι περιττός, υπάρχει τουλάχιστον μία πραγματική ιδιοτιμή, 1 ή -1· για μια 3×3 περιστροφή, το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στο +1 είναι ο άξονας περιστροφής. Ας υποθέσουμε ότι οι είσοδοι του 'Q είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις του t, και ότι για t = 0 δίνει Q = I. Παραγωγίζοντας την συνθήκη διαγωνιοποίησης Q T Q = I {\displaystyle Q^{\mathrm {T} }Q=I\,\!} παίρνουμε Q ˙ T Q + Q T Q ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm {T} }Q+Q^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}=0} Για t = 0 (Q = I), συνεπάγεται Q ˙ T = − Q ˙ . {\displaystyle {\dot {Q}}^{\mathrm {T} }=-{\dot {Q}}.} Στην ορολογία των Lie ομάδων, αυτό σημαίνει ότι η άλγεβρα Lie μιας ομάδας ορθογωνίων πινάκων (μητρώων) αποτελείται από αντισυμμετρικούς πίνακες. Πηγαίνοντας προς την αντίθετη κατεύθυνση, ο εκθετικός πίνακας κάθε αντισυμμετρικού πίνακα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας (στην πραγματικότητα, ειδικά ορθογώνιος). Για παράδειγμα, το τρισδιάστατο αντικείμενο της φυσικής που λέγεται γωνιακή ταχύτητα είναι μια διαφορική περιστροφή, έτσι ένα διάνυσμα στην άλγεβρα Lie s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} να εφάπτεται στο SO(3). Με δεδομένο ότι ω = (xθ,yθ,zθ), με v = (x,y,z) ένα μοναδιαίο διάνυσμα, η σωστή μορφή του αντισυμμετρικού πίνακα ω είναι Ω = [ 0 − z θ y θ z θ 0 − x θ − y θ x θ 0 ] . {\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}.} Η εκθετική μορφή αυτού είναι ο ορθογώνιος πίνακας για περιστροφή γύρω από τον άξονα v με γωνία θ· Θέτοντας c = cos θ/2, s = sin θ/2, exp ⁡ ( Ω ) = [ 1 − 2 s 2 + 2 x 2 s 2 2 x y s 2 − 2 z s c 2 x z s 2 + 2 y s c 2 x y s 2 + 2 z s c 1 − 2 s 2 + 2 y 2 s 2 2 y z s 2 − 2 x s c 2 x z s 2 − 2 y s c 2 y z s 2 + 2 x s c 1 − 2 s 2 + 2 z 2 s 2 ] . {\displaystyle \exp(\Omega )={\begin{bmatrix}1-2s^{2}+2x^{2}s^{2}&2xys^{2}-2zsc&2xzs^{2}+2ysc\\2xys^{2}+2zsc&1-2s^{2}+2y^{2}s^{2}&2yzs^{2}-2xsc\\2xzs^{2}-2ysc&2yzs^{2}+2xsc&1-2s^{2}+2z^{2}s^{2}\end{bmatrix}}.} Η αριθμητική ανάλυση εκμεταλλεύεται πολλές από τις ιδιότητες των ορθογώνιων πινάκων για την (αριθμητική) γραμμική άλγεβρα, και προκύπτουν φυσικά. Για παράδειγμα, είναι συχνά επιθυμητό να υπολογίσει μια ορθοκανονική βάση για ένα χώρο, ή μια ορθογώνια αλλαγή βάσης. Αμφότερα λαμβάνουν τη μορφή ορθογώνιου πίνακα. Έχουν χαρακτηριστικό πολυώνυμο ίσο με ± 1 και όλες οι ιδιοτιμές τους είναι τάξης 1, κάτι που βοηθά την αριθμητική σταθερότητα. Μία συνέπεια είναι ότι ο αριθμός κατάστασης είναι 1 (η οποία είναι το ελάχιστο), έτσι ώστε τα σφάλματα δεν αυξάνονται όταν πολλαπλασιάζονται με ένα ορθογώνιο πίνακα. Πολλοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούν ορθογώνιους πίνακες, όπως αντανακλάσεις Householder και περιστροφές Givens για το λόγο αυτό. Είναι επίσης χρήσιμο το γεγονός ότι, όχι μόνο είναι ένας ορθογώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αλλά παίρνουμε εύκολα τον αντίστροφό του με ανταλλαγή δεικτών. Οι μεταθέσεις είναι ουσιαστικής σημασίας για την επιτυχία πολλών αλγορίθμων, συμπεριλαμβανομένης της απαλοιφής Gauss με μερική οδήγηση (όπου οι μεταθέσεις κάνουν την οδήγηση). Ωστόσο, σπάνια εμφανίζονται ρητά ως πίνακες. Η ειδική μορφή τους επιτρέπει την αποτελεσματικότερη παρουσίαση, όπως μια λίστα από n δείκτες. Ομοίως, οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούν Household και Givens πίνακες συνήθως χρησιμοποιούν εξειδικευμένες μεθόδους πολλαπλασιασμού και της αποθήκευσης. Για παράδειγμα, μια περιστροφή Givens επηρεάζει μόνο δύο σειρές από έναν πίνακα που πολλαπλασιάζει, αλλάζοντας έναν πλήρη πολλαπλασιασμό τάξης n3 σε μια πολύ πιο αποτελεσματική n τάξη. Όταν χρήσεις αυτών των αντανακλάσεων και των περιστροφών εισάγουν μηδενικά σε ένα πίνακα, ο χώρος που περισσεύει είναι αρκετός για να αποθηκευτούν επαρκή στοιχεία για την αναπαραγωγή του μετασχηματισμού, και να το πράξουν ισχυρά. (Σύμφωνα με τον Stewart (1976), δεν αποθηκεύουμε μια γωνία περιστροφής, η οποία είναι ταυτόχρονα ακριβή και έχει κακή συμπεριφορά.) Ένας σημαντικός αριθμός αποσυνθέσεων πινάκων (Golub & Van Loan 1996) αφορούν ορθογώνιοι πίνακες, συμπεριλαμβανομένων ιδίως: QR αποσύνθεση: M = QR, Q ορθογώνια, R άνω τριγωνικός. Singular αποσύνθεσης αξίας: 'M = UΣVT, U και V ορθογώνια, Σ μη αρνητική διαγώνιο. Eigendecomposition ενός συμμετρικού μήτρας(αποσύνθεση σύμφωνα με φασματικό θεώρημα): S = QΛQT, S συμμετρική, Q ορθογώνια, Λ διαγώνια. Polar αποσύνθεση: M = QS, Q ορθογώνια, S συμμετρική μη αρνητική οριστική. Σκεφτείτε ένα υπερορισμένο σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπως μπορεί να συμβεί με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις ενός φυσικού φαινομένου για να αντισταθμίσει πειραματικά σφάλματα. Έστω Ax = b, όπου A είναι m×n, m > n. Μια QR αποσύνθεση μειώνει τον A στον άνω τριγωνικό R. Για παράδειγμα, εάν το A είναι 5×3 τότε το R έχει την μορφή R = [ ⋆ ⋆ ⋆ 0 ⋆ ⋆ 0 0 ⋆ 0 0 0 0 0 0 ] . {\displaystyle R={\begin{bmatrix}\star &\star &\star \\0&\star &\star \\0&0&\star \\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.} Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων έγκειται στην εύρεση του x που ελαχιστοποιεί το ‖Ax − b‖, η οποία ισοδυναμεί με το προβάλλον διάνυσμα b του υποχώρου που επεκτείνεται από τις στήλες του A. Υποθέτοντας ότι οι στήλες του A (και ως εκ τούτου και του R) είναι ανεξάρτητες, η λύση βρίσκεται από την σχέση ATAx = ATb. Τώρα ο ATA είναι τετραγωνικός (n×n), και αντιστρέψιμος, και επίσης ίσος με RTR. Αλλά οι κατώτερες σειρές των μηδενικών R είναι περιττές στο γινόμενο, το οποίο ήδη είναι σε παρογοντοποιημένη κάτω τριγωνική ή άνω τριγωνική μορφή, όπως στην απαλοιφή Gauss (αποσύνθεση Cholesky). Εδώ η ορθογωνιότητα είναι σημαντική όχι μόνο για να μειωθεί η ATA = (RTQT)QR στην RTR, αλλά επίσης, για την λύση χωρίς μεγάλα αριθμητικά προβλήματα. Στην περίπτωση ενός γραμμικού συστήματος το οποίο υποτιμάται, ή αλλιώς ένας μη αντιστρέψιμου πίνακα, η ιδιάζουσα αποσύνθεση (SVD) είναι εξίσου χρήσιμη. Με τον Α στη μορφή UΣVT , μια ικανοποιητική λύση χρησιμοποιεί την ψευδοαντιστροφή Moore-Penrose, VΣ+UT, όπου Σ+ απλώς αντικαθιστά κάθε μη μηδενική διαγώνια καταχώρηση με το αντίστοιχό της. Έστω x η είσοδος για VΣ+UTb. Η περίπτωση ενός τετραγωνικού αντιστρέψιμου πίνακα έχει επίσης ενδιαφέρον. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι το Α είναι ένας 3×3 πίνακας περιστροφής ο οποίος έχει υπολογισθεί ως η σύνθεση των πολυάριθμων περιστροφών. Το σημείο περιστροφής δεν ταιριάζει με τη μαθηματική ιδέα των πραγματικών αριθμών, έτσι ώστε ο Α έχει χάσει σταδιακά την πραγματική ορθογωνιότητα του. Μια Gram-Schmidt διαδικασία θα μπορούσε να ορθογωνιοποιήσει τις στήλες, αλλά δεν είναι η πλέον αξιόπιστη, ούτε η πιο αποτελεσματική, ούτε η πιο αμετάβλητη μέθοδος. Η πολική αποσύνθεση παραγοντοποιεί έναν πίνακα σε ένα ζεύγος πινάκων, ο ένας εκ των οποίων είναι ο μοναδικός πιο κοντινός ορθογώνιος πίνακας στο δοσμένο πίνακα, ή ένας από τους πιο κοντινούς, αν ο δοσμένος πίνακας είναι ο χαρακτηριστικός πίνακας. (Παραπλήσια μπορεί να μετρηθεί με οποιαδήποτε νόρμα πίνακα αμετάβλητη σε μία ορθογώνια αλλαγή βάσης, όπως είναι η φασματική νόρμα ή η νόρμα Frobenius.) Για έναν σχεδόν ορθογώνιο πίνακα, η ταχεία σύγκλιση στον ορθογώνιο παράγοντα μπορεί να επιτευχθεί με μια προσεγγιστική "μέθοδο του Νεύτωνα" , χάρη στον Higham (1986),(1990), επαναλαμβάνοντας κατά μέσο όρο τον πίνακα με την αντίστροφη μεταφορά του. Ο Dubrulle (1994) έχει δημοσιεύσει μια ταχεία μέθοδο με ένα βολικό τεστ σύγκλισης. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα μη ορθογώνιο πίνακα για τον οποίο ο απλός αλγόριθμος μέσου όρου διαρκεί επτά βήματα [ 3 1 7 5 ] → [ 1.8125 0.0625 3.4375 2.6875 ] → ⋯ → [ 0.8 − 0.6 0.6 0.8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.8125&0.0625\\3.4375&2.6875\end{bmatrix}}\rightarrow \cdots \rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}} και του οποίου η επιτάχυνση γίνεται σε δύο στάδια (με γ = 0.353553, 0.565685). [ 3 1 7 5 ] → [ 1.41421 − 1.06066 1.06066 1.41421 ] → [ 0.8 − 0.6 0.6 0.8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1.41421&-1.06066\\1.06066&1.41421\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.8&-0.6\\0.6&0.8\end{bmatrix}}} Η Gram-Schmidt δίνει μια κατώτερη λύση, που φαίνεται από μια Frobenius απόσταση 8,28659 αντί του ελάχιστου 8,12404. [ 3 1 7 5 ] → [ 0.393919 − 0.919145 0.919145 0.393919 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\7&5\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}0.393919&-0.919145\\0.919145&0.393919\end{bmatrix}}} Ορισμένες αριθμητικές εφαρμογές, όπως μέθοδοι Monte Carlo και η εξερεύνηση των μεγάλων διαστάσεων χώρων δεδομένων, απαιτείται η παραγωγή ομοιόμορφα κατανεμημένων τυχαίων ορθογώνιων πινάκων. Στο πλαίσιο αυτό, "ομοιόμορφη" ορίζεται από την άποψη του μέτρου Haar, το οποίο ουσιαστικά προϋποθέτει ότι η διανομή δεν αλλάζει αν πολλαπλασιάζεται με οποιοδήποτε τυχαία επιλεγμένο ορθογώνιο πίνακα. Ορθογωνιοποιήση πινάκων με ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες εισόδους δεν οδηγεί σε ομοιόμορφα κατανεμημένος ορθογώνιους πίνακες [παραπομπή που απαιτείται] , αλλά ταιριάζει η αποσύνθεση QR των ανεξάρτητων κανονικά κατανεμημένων τυχαίων εισόδων, εφ 'όσον ο διαγώνιος πίνακας R περιέχει μόνο θετικές τιμές. Ο Stewart (1980) αντικατέστησε αυτή τη μέθοδο με μια πιο αποτελεσματική ιδέα των Diaconis & Shahshahani (1987) αργότερα γενικευμένη ως «αλγόριθμος υποομάδα» (στην οποία μορφή λειτουργεί εξίσου καλά για τις μεταθέσεις και περιστροφές). Για να δημιουργηθεί ένας (n + 1)×(n + 1) ορθογώνιος πίνακας, παίρνουμε έναν n×n πίνακα και ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο μοναδιαίο διάνυσμα διάστασης n + 1. Κατασκευάζουμε μια αντανάκλαση Householder από το διάνυσμα και την εφαρμόζουμε στη συνέχεια στο μικρότερο πίνακα (ενσωματωμένα σε μεγαλύτερο μέγεθος με μία μονάδα (1) στη γωνία κάτω δεξιά). Το πρόβλημα της εύρεσης του κοντινότερου ορθογώνιου πίνακα Q σε δοσμένο πίνακα M σχετίζεται με το πρόβλημα του Ορθογώνιου Προκρούστη. Υπάρχουν αρκετοί διαφορετικοί τρόποι για να πάρουμε τη μοναδική λύση, η απλούστερη από τις οποίες παίρνει την ιδιάζουσα αποσύνθεση της M και αντικαθιστώντας τις ιδιάζουσες τιμές με μονάδες. Μία άλλη μέθοδος εκφράζει την R ρητά, αλλά απαιτεί τη χρήση της τετραγωνικής ρίζας πίνακα: Q = M ( M T M ) − 1 2 {\displaystyle Q=M(M^{\mathrm {T} }M)^{-{\frac {1}{2}}}} Αυτό μπορεί να συνδυαστεί με την Βαβυλωνιακή μέθοδο για την εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός πίνακα για να δώσει μια επαναληπτική σχέση που συγκλίνει σε έναν ορθογώνιο πίνακα τετραγωνικά: Q n + 1 = 2 M ( Q n − 1 M + M T Q n ) − 1 {\displaystyle Q_{n+1}=2M(Q_{n}^{-1}M+M^{\mathrm {T} }Q_{n})^{-1}} όπου Q 0 = M {\displaystyle Q_{0}=M} . Αυτές οι επαναλήψεις είναι σταθερές εφόσον ο αριθμός κατάσταση του M είναι μικρότερος του 3. Ένα λεπτό τεχνικό πρόβλημα επηρεάζει ορισμένες χρήσεις των ορθογώνιων πινάκων. Δεν είναι μόνο τα στοιχεία ομάδας με χαρακτηριστική 1 και -1 που δεν είναι συνδεδεμένα το ένα με το άλλο, ακόμη και το στοιχείο με χαρακτηριστική +1 , SO(n), που δεν είναι απλά συνδεδεμένο (με εξαίρεση για το SO(1), η οποία είναι τετριμμένη). Έτσι, μερικές φορές είναι βολικό, ή ακόμα και απαραίτητο, να εργαστεί κανείς με μια επικαλυπτόμενη ομάδα για το SO(n), την ομάδα spin, Spin(n). Ομοίως, ο O(n) έχει επικαλυπτόμενες ομάδες, τις pin ομάδες, Pin(n). Για n > 2, η Spin(n) είναι απλά συνδεδεμένη και, συνεπώς, η γενική ομάδα που επικαλύπτει για SO(n). Μέχρι στιγμής, το πιο διάσημο παράδειγμα μιας spin ομάδας είναι Spin(3), η οποία δεν είναι τίποτα άλλο παρά η SU(2), ή η ομάδα των quaternions μονάδας. Το Pin και ομάδες Spin βρίσκονται μέσα στην άλγεβρα Clifford , που οι ίδιες μπορούν να κατασκευαστούν από ορθογώνιους πίνακες. Αν Q δεν είναι ένας τετραγωνικός πίνακας, τότε οι σχέσεις QTQ = I και QQT = I δεν είναι ισοδύναμες. Η σχέση QTQ = I λέει ότι οι στήλες του Q είναι ορθοκανονικές. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο αν το Q είναι ένας m×n πίνακας με n ≤ m. Ομοίως, η σχέση QQT = I λέει ότι οι γραμμές του Q είναι ορθοκανονικές, η οποία απαιτεί n ≥ m. Δεν υπάρχει τυπική ορολογία για αυτούς τους πίνακες. Μερικές φορές ονομάζεται ΄΄ορθοκανονικοί πίνακες΄΄ και ενίοτε «ορθογώνιοι πίνακες", και μερικές φορές απλά "πίνακες με ορθοκανονικές σειρές ή στήλες". Diaconis, Persi; Shahshahani, Mehrdad (1987), «The subgroup algorithm for generating uniform random variables», Prob. In Eng. And Info. Sci. 1: 15–32, doi:10.1017/S0269964800000255, ISSN 0269-9648 Dubrulle, Augustin A. (1999), «An Optimum Iteration for the Matrix Polar Decomposition», Elect. Trans. Num. Anal. 8: 21–25, http://etna.mcs.kent.edu/ Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3/e έκδοση), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 Higham, Nicholas (1986), «Computing the Polar Decomposition—with Applications», SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 7 (4): 1160–1174, doi:10.1137/0907079, ISSN 0196-5204, http://locus.siam.org/SISC/volume-07/art_0907079.html, ανακτήθηκε στις 2013-06-06 Higham, Nicholas; Schreiber, Robert (July 1990), «Fast polar decomposition of an arbitrary matrix», SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing 11 (4): 648–655, doi:10.1137/0911038, ISSN 0196-5204, http://locus.siam.org/SISC/volume-11/art_0911038.html, ανακτήθηκε στις 2013-06-06 [1] Stewart, G. W. (1976), «The Economical Storage of Plane Rotations», Numerische Mathematik 25 (2): 137–138, doi:10.1007/BF01462266, ISSN 0029-599X Stewart, G. W. (1980), «The Efficient Generation of Random Orthogonal Matrices with an Application to Condition Estimators», SIAM J. Numer. Anal. 17 (3): 403–409, doi:10.1137/0717034, ISSN 0036-1429 Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Orthogonal matrix», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/o070320 Tutorial and Interactive Program on Orthogonal Matrix