Αντιμεταθετικός δακτύλιος

Στη θεωρία δακτυλίων (ένας από τους κλάδους της αφηρημένης άλγεβρας) ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος είναι ένας δακτύλιος για τον οποίο η λειτουργία του πολλαπλασιασμού είναι αντιμεταθετική. Η μελέτη του αντιμεταθετικού δακτυλίου ονομάζεται αντιμεταθετική άλγεβρα. Κάποια συγκεκριμένα είδη αντιμεταθετικών δακτυλίων δίνονται στην παρακάτω αλυσίδα υποσυνόλων: αντιμεταθετικός δακτύλιος ⊃ ακέραια περιοχή ⊃ ολοκληρωτικά κλειστή περιοχή ⊃ πεδίο ΜΚΔ ⊃ περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης ⊃ κύριο ιδεώδες ⊃ Ευκλείδεια περιοχή ⊃ σώμα ⊃ πεπερασμένα σώματα

 Ένας δακτύλιος είναι ένα σύνολο R εφοδιασμένο με δύο δυαδικές πράξεις, δηλαδή πράξεις που συνδυάζουν δύο οποιαδήποτε στοιχεία του δακτυλίου με ένα τρίτο. Ονομάζονται πρόσθεση και πολλαπλασιασμός και συνήθως συμβολίζονται με ''+'' και ''•''. π.χ. α+β και α•β. Για το σχηματισμό του δακτυλίου αυτές οι δύο πράξεις πρέπει να ικανοποιούν κάποιες από προϋποθέσεις: ο δακτύλιος πρέπει να είναι μία αβελιανή ομάδα με πράξη τη συνήθη πρόσθεση και ταυτόχρονα ένα μονοειδές με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Για τον πολλαπλασιασμό ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα δηλ. a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c). Τα ταυτοτητικά στοιχεία για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό συμβολίζονται με 0 και 1 αντίστοιχα. Αν ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικός, δηλαδή: a ⋅ b = b ⋅ a, τότε ο δακτύλιος R ονομάζεται αντιμεταθετικός. Για το υπόλοιπο του άρθρου θα θεωρούμε όλους τους δακτυλίους αντιμεταθετικούς, εκτός αν αναφέρεται ρητά κάτι διαφορετικό. Ένα σημαντικό παράδειγμα, και κατά μία έννοια κρίσιμο, είναι ο δακτύλιος των ακεραίων Ζ με τις δύο πράξεις: της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Εφόσον ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων είναι αντιμεταθετική πράξη, συνεπώς ο δακτύλιος των ακεραίων είναι αντιμεταθετικός. Συνήθως συμβολίζεται με Ζ ως συντομογραφία της Γερμανικής λέξης Zahlen (αριθμοί) Ένα σώμα είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος όταν όλα τα μη-μηδενικά στοιχεία του a είναι αντιστρέψιμα, δηλ. αν το στοιχείο a έχει έναν αντίστροφο b έτσι ώστε a ⋅ b = 1. Επομένως, εξ ορισμού κάθε πεδίο είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος. Οι ρητοί, οι πραγματικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί διαμορφώνουν πεδία. Ο δακτύλιος των 2x2 πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, εφόσον ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός όπως καταλαβαίνουμε από τα παρακάτω παραδείγματα: [ 1 1 0 1 ] ⋅ [ 1 1 1 0 ] = [ 2 1 1 0 ] [ 1 1 1 0 ] ⋅ [ 1 1 0 1 ] = [ 1 2 1 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}} Ωστόσο, οι διαγωνοποιήσιμοι πίνακες που μπορούν να διαγωνοποιηθούν με τον ίδιο μετασχηματισμό ομοιότητας αποτελούν ένα ανιμεταθετικό δακτύλιο. Ένα παράδειγμα είναι το σύνολο των πινάκων των διαιρούμενων διαφορών που συνδέονται με ένα σταθερό σύνολο κόμβων . Έστω R ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος, τότε το σύνολο των πολυωνύμων με μεταβλητής X του οποίου οι συντελεστές ανήκουν στο R αποτελούν τους πολυωνυμικούς δακτυλίους οι οποίοι συμβολίζονται με R[X]. Το ίδιο ισχύει για διάφορες μεταβλητές. Αν ο V είναι ένας τοπολογικός χώρος, για παράδειγμα ένα υποσύνολο του Rn ,πραγματικών - ή μιγαδικών- συνεχών συναρτήσεων του V αποτελούν έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο. Το ίδιο ισχύει για διαφορίσιμες ή ολόμορφες συναρτήσεις, όταν οι δύο αυτές έννοιες ορίζονται, όπως για τον V η μιγαδική πολλαπλότητα. Στα ακόλουθα, το R δηλώνει έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο. Σε αντίθεση με το σώμα, όπου κάθε μη μηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιμο, η θεωρία των δακτυλίων είναι πιο περίπλοκη. Υπάρχουν πολλές θεωρίες για την αντιμετώπιση αυτής της κατάστασης. Κατ 'αρχήν, ένα στοιχείο a του δακτυλίου R λέγεται μονάδα, αν έχει αντίστροφο. Ένας άλλο ιδιαίτερο στοιχείο είναι ο διαιρέτης του μηδενός, δηλαδή ένα μη μηδενικό στοιχείο α λέγεται διαιρέτης του μηδενός αν υπάρχει ένα άλλο μη-μηδενικό στοιχείο b του δακτυλίου τέτοιο ώστε ab = 0. Αν το R δεν έχει κανέναν διαιρέτη του μηδενός, ονομάζεται ακέραια περιοχή αφού μοιάζει με το σύνολο των ακεραίων με κάποιο τρόπο. Πολλές από τις παρακάτω έννοιες υπάρχουν επίσης όχι απαραίτητα για αντιμεταθετικούς δακτυλίους, αλλά οι ορισμοί και οι ιδιότητές τους είναι συνήθως πιο περίπλοκες. Για παράδειγμα, όλα τα ιδεώδη ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι αυτόματα διπλής όψης, γεγονός το οποίο απλοποιεί πολύ την κατάσταση. Κύρια άρθρα: Ιδεώδη και Παράγοντας δακτύλιος Η εσωτερική δομή ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου προσδιορίζεται λαμβάνοντας υπόψη τα ιδεώδη του, δηλαδή τα μη κενά υποσύνολα που είναι κλειστά ως προς τον πολλαπλασιασμό για κάθε στοιχείο του δακτυλίου και επιπλέον: για όλα τα r στο R, i και j στο Ι, τα ri και i + j είναι αναγκαστικά μέσα στο I. Για οποιοδήποτε υποσύνολο F = {FJ} j ∈ J του R (όπου J είναι κάποιο σύνολο δείκτης), το ιδεώδες που παράγεται από το F είναι το μικρότερο ιδεώδες που περιέχει το F. Ισοδύναμα, δίνεται από τον πεπερασμένο γραμμικό συνδυασμό ότι: r1f1 + r2f2 + ... + rnfn. Ένα ιδεώδες που παράγεται από ένα στοιχείο λέγεται κύριο ιδεώδες. Ένας δακτύλιος του οποίου τα ιδεώδη είναι κύρια ονομάζεται δακτύλιος κυρίων ιδεωδών, δύο σημαντικές περιπτώσεις είναι τα : Z και k[X], ο πολυωνυμικός δακτύλιος πάνω από το ένα σώμα k. Κάθε δακτύλιος R έχει δύο ιδεώδη, το μηδενικό ιδεώδες {0} και το R, δηλαδή ολόκληρο τον δακτύλιο. Ένα ιδεώδες λέγεται ελάχιστο,όταν είναι αυστηρά μικρότερο από όλο τον δακτύλιο. Ένα ιδεώδες που δεν περιέχεται αυστηρά σε οποιοδήποτε άλλο ιδεώδες ονομάζεται μέγιστο. Ένα ιδεώδες m είναι μέγιστο αν και μόνο αν το R / m να είναι ένα σώμα. Εκτός από τον μηδενικό δακτύλιο, οποιοσδήποτε δακτύλιος (με ταυτότητα) διαθέτει τουλάχιστον ένα μέγιστο ιδεώδες, αυτό προκύπτει από το λήμμα του Zorn. Ο ορισμός των ιδεωδών είναι τέτοιος που η "διαίρεση" -"έξαγωγή" τους, δίνει έναν άλλο δακτύλιο, ο παράγων δακτύλιος R / I: είναι το σύνολο των παραγόντων του Ι μαζί με τις λειτουργίες του. (a + I) + (b + I) = (a + b) + I και (a + I)(b + I) = ab + I. Για παράδειγμα, ο δακτύλιος Z/nZ (επίσης συμβολίζεται Zn), όπου n είναι ένας ακέραιος αριθμός, είναι ο δακτύλιος των ακεραίων modulo n. Είναι η βάση της modular αριθμητικής. Κύριο άρθρο: Εντοπισμός ενός δακτυλίου Ο εντοπισμός ενός δακτυλίου είναι ο αντίστοιχος παράγων δακτύλιος, εφόσον αν σε ένα παράγοντα δακτύλιο R / I ορισμένα στοιχεία (δηλαδή των στοιχείων του Ι) γίνουν μηδέν, ορισμένα στοιχεία έχουν αντίστροφο, δηλαδή τα αντίστροφα στοιχεία προστίθενται στον δακτύλιο. Συγκεκριμένα, αν S είναι ένα κλειστό πολλαπλασιαστικό υποσύνολο του R (δηλαδή όταν s, t ∈ S τότε είναι και st∈S ), τότε ο εντοπισμός του R σε S, ή ο δακτύλιος των κλάσεων με παρονομαστές στο S, που συνήθως συμβολίζεται με S-1R αποτελείται από σύμβολα: r s {\displaystyle {\frac {r}{s}}} με r ∈ R, s ∈ S υπόκεινται σε ορισμένους κανόνες που μιμούνται την διαγραφή που είναι γνωστή από ρητούς αριθμούς. Πράγματι, σε αυτή τη γλώσσα, το Q είναι ο εντοπισμός του Z για όλους τους μη μηδενικούς ακεραίους. Αυτή η δομή ισχύει για κάθε ακεραία περιοχή R του Z. Ο εντοπισμός (R \ {0})-1R ονομάζεται το πηλίκο τομέα του R. Αν S αποτελείται από τις δυνάμεις ενός σταθερού στοιχείου f, ο αντίστοιχος εντοπισμός γράφεται Rf. Ένας ιδιαίτερα σημαντικός τύπος ιδεωδών είναι το πρώτο ιδεώδες, το οποίο συχνά συμβολίζεται με p. Αυτή η ιδέα προέκυψε όταν οι ερευνητές της άλγεβρας (τον 19ο αιώνα) συνειδητοποίησε ότι, σε αντίθεση με το Z, σε πολλούς δακτυλίους δεν υπάρχει μοναδική ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. (Δακτύλιος ο οποίος έχει την ιδιότητα την μοναδικής ανάλυσης σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης.) Εξ ορισμού, ένα πρώτο ιδεώδες είναι είναι κύριο ιδεώδες όταν : αν το γινόμενο ab με οποίαδήποτε στοιχεία a και b του δακτυλίου ανήκει στο p, τότε τουλάχιστον ένα από τα δύο στοιχεία ανήκει επίσης στο p. (Το αντίθετο συμπέρασμα ισχύει για οποιοδήποτε ιδεώδες, εξ ορισμού). Αντίστοιχα, ο παράγων δακτύλιος R / p είναι ακεραία περιοχή. Ένας ακόμη τρόπος για να εκφράσουμε την ίδια περίπτωση, είναι να πούμε ότι το συμπλήρωμα R \ p είναι κλειστό ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού. Η τοπική προσαρμογή (R \ p)-1R είναι αρκετά σημαντιή για να έχει το δικό της συμβολισμό: Rp. Αυτός ο δακτύλιος έχει μόνο ένα μέγιστο ιδεώδες, το pRp. Τέτοιοι δακτύλιοι ονομάζονται τοπικοί. Από τα παραπάνω, κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι και πρώτο. Η απόδειξη ότι ένα ιδεώδες είναι πρώτο, ή ισοδύναμα ένας δακτύλιος έχει μη μηδενικούς διαιρέτες μπορεί να είναι πολύ δύσκολη. Τα πρώτα ιδεώδη είναι το βασικό βήμα για την γεωμετρική ερμηνεία των δακτυλίων, μέσω του φάσματος ενός δακτυλίου Spec R: αυτός είναι το σύνολο όλων των πρώτων ιδεωδών του R. Όπως σημειώνεται παραπάνω, υπάρχει ένα τουλάχιστον πρώτο ιδεώδες, επομένως το φάσμα είναι μη-κενό. Αν R είναι ένα σώμα, το μόνο πρώτο ιδεώδες είναι το μηδενικό ιδεώδες, επομένως το φάσμα είναι μόνο ένα σημείο. Το φάσμα του Z, ωστόσο, περιέχει ένα σημείο για το μηδενικό ιδεώδες, και ένα σημείο για κάθε πρώτο αριθμό p (ο οποίος παράγει το πρώτο ιδεώδες pZ). Το φάσμα είναι προικισμένο με μια τοπολογία που ονομάζεται τοπολογία Zariski , η οποία καθορίζεται από τα συγκεκριμένα υποσύνολα D(f) = {p ∈ Spec R, f ∉ p}, όπου f είναι οποιαδήποτε στοιχείο του δακτυλίου, ανοιχτό. Αυτή η τοπολογία τείνει να είναι διαφορετική από αυτές που συναντούμε στην ανάλυση ή στη διαφορική γεωμετρία, για παράδειγμα, γενικά, θα είναι σημεία που δεν είναι κλειστά. Το κλείσιμο του σημείου που αντιστοιχεί στο μηδέν ιδεώδες 0 ⊂ Z, για παράδειγμα, είναι όλο το φάσμα του Z. Η έννοια του φάσματος είναι η κοινή βάση της αντιμεταθετικής άλγεβρας και της αλγεβρικής γεωμετρίας. Η αλγεβρική γεωμετρία προήλθε από τον Spec R με μία δέσμη O {\displaystyle {\mathcal {O}}} (μια οντότητα που συλλέγει συναρτήσεις που ορίζονται τοπικά, δηλαδή σε διαφορετικά ανοιχτά υποσύνολα). Το δεδομένο από το χώρο και τη δέσμη αυτή ονομάζεται συσχετισμένο σύστημα. Αν δίνεται ένα συσχετισμένο σύστημα, ο υποκείμενος δακτύλιος R μπορεί να ανακτηθεί ως το ολικό τμήμα του O {\displaystyle {\mathcal {O}}} . Επιπλέον, η γνωστή ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ δακτυλίων και συσχετισμένων μετασχηματισμών είναι επίσης συμβατή με τον ομομορφισμό δακτυλίων: κάθε f : R → S δημιουργεί μια συνεχή απεικόνιση προς την αντίθετη κατεύθυνση Spec S → Spec R, q ↦ f-1(q), δηλαδή κάθε πρώτο ιδεώδες του S αντιστοιχίζεται στην απεικόνιση του στο f, το οποίο είναι ένα πρώτο ιδεώδες του R. Το φάσμα, επίσης, δημιουργεί την αίσθηση ότι ο εντοπισμός και ο παράγων δακτύλιος είναι συμπληρωματικά: η φυσική απεικόνιση R → R,f και R → R / fR αντιστοιχούν, μετά την παρέμβαση του φάσματος των δακτυλίων σε συνάρτηση με την τοπολογία Zariski, στις συμπληρωματικές ανοικτές και κλειστές εμβαθύνσεις αντίστοιχα. Συνολικά, η ισοδυναμία των δύο προαναφερόμενων κατηγοριών είναι πολύ πιθανόν να παρουσιάζει τις αλγεβρικές ιδιότητες των δακτυλίων σε ένα γεωμετρικό τρόπο. Τα συναφή συστήματα-.με τον ίδιο τρόπο όπως οι πολλαπλότητες δίνονται τοπικά από ανοικτά υποσύνολα του Rn –τοπικά μοντέλα για συστήματα, τα οποία αποτελούν το αντικείμενο μελέτης στην αλγεβρική γεωμετρία. Ως εκ τούτου, πολλές έννοιες που ισχύουν για τους δακτυλίους και τους ομομορφισμούς απορρέουν από τη γεωμετρική διαίσθηση.\ Ως συνήθως στην άλγεβρα, μια συνάρτηση f μεταξύ δύο αντικειμένων που ικανοποιεί τις δομές των αντικειμένων ονομάζεται ομομορφισμός. Στην περίπτωση των δακτυλίων, ομομορφισμός δακτυλίων είναι μια απεικόνιση από το f : R → S τέτοια ώστε: f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b) και f(1) = 1. Αυτές οι προϋποθέσεις εξασφαλίζουν ότι f(0) = 0, αλλά με την προϋπόθεση ότι η ιδιότητα του πολλαπλασιαστική ταυτότητα του στοιχείου 1 θα διατηρείται, αν οι άλλες δύο ιδιότητες της f δεν ικανοποιούνται. Σε τέτοια περίπτωση η S ονομάζεται επίσης R- άλγεβρα, με τον πολλαπλασιασμό ενός στοιχείου s του συνόλου S με ένα στοιχείο του R δημιουργόντας την σχέση: r · s := f(r) · s. Ο πυρήνας και η εικόνα του f ορίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: ker (f) = {r ∈ R, f(r) = 0} και im (f) = f(R) = {f(r), r ∈ R}. Ο πυρήνας είναι ένα ιδεώδες του R και η εικόνα του, ένας υποδακτύλιος. Η εξωτερική δομή του αντιμεταθετικού δακτυλίου καθορίζεται από την γραμμική άλγεβρα που σχετίζεται με τους δακτυλίους, δηλαδή ερευνώντας τη θεωρία των ενοτήτων, η οποία είναι παρόμοια με αυτή των διανυσματικών χώρων, εκτός από το ότι η βάση δεν είναι απαραίτητα ένα σώμα, αλλά μπορεί να είναι οποιοσδήποτε δακτύλιος του R. Η θεωρία των R-modules είναι σημαντικότερης δυσκολίας από την γραμμική άλγεβρα των διανυσματικών χώρων.Η θεωρία της R-modules είναι σημαντικά πιο δύσκολη από την γραμμική άλγεβρα των διανυσματικών χώρων. Η θεωρία αυτή έχει να αντιμετωπίσει δυσκολίες όπως modules που δεν έχουν βάσεις, που ο βαθμός ελευθερίας ενός module (δηλαδή η αναλογική της διάσταση διανυσματικών χώρων) μπορεί να μην είναι καλά καθορισμένες και οι υποενότητες των πεπερασμένα παραγόμενων ενοτήτων δεν χρειάζεται να είναι πεπερασμένα παραγόμενες (εκτός αν R είναι Noetherian, βλ. παρακάτω). Τα ιδεώδη μέσα σε έναν δακτύλιο R μπορούν να χαρακτηριστούν ως R-modules, τα οποία είναι δευτερεύοντα υποσύνολα του R. Από τη μία πλευρά, μια καλή προσέγγιση των R-modules, απαιτεί αρκετές πληροφορίες σχετικά με R. Αντιστρόφως, ωστόσο, πολλές τεχνικές στην αντιμεταθετική άλγεβρα που μελετούν τηδομή του R, εξετάζοντας τα ιδεώδη της, προσωρούν μελετώντας τα modules σε γενικές γραμμές. Ένας δακτύλιος ονομάζεται Noetherian (προς τιμήν της Emmy Noether, ο οποία ανέπτυξε αυτή την ιδέα) αν κάθε αύξουσα αλυσίδα ιδεωδών. 0 ⊆ I0 ⊆ I1 ... ⊆ In ⊆ In + 1 ⊆ ... σταθεροποιείται, δηλ. γίνεται σταθερή πέρα από κάποιο δείκτη n. Αντίστοιχα, κάθε ιδανικό που παράγεται από πολλά πεπερασμένα στοιχεία, ή ισοδύναμα, υποενότητες των πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων, είναι πεπερασμένα παραγόμενο . Ένας δακτύλιος που ονομάζεται Artinian (μετά την Emil Artin), αν κάθε φθίνουσα αλυσίδα ιδεωδών R ⊇ I0 ⊇ I1 ... ⊇ In ⊇ In + 1 ⊇ ... τελικά σταθεροποιείται. Παρά το γεγονός ότι οι δύο προϋποθέσεις εμφανίζονται συμμετρικές, οι δακτύλιοι Noetherian είναι πολύ πιο γενικοί από τους δακτυλίους Artinian. Για παράδειγμα, Z είναι δακτύλιος Noetherian, καθώς κάθε ιδεώδες μπορεί να δημιουργηθεί από ένα στοιχείο, αλλά δεν είναι Artinian, όπως δείχνει η αλυσίδα Z ⊋ 2Z ⊋ 4Z ⊋ 8Z ⊋ ... Στην πραγματικότητα, από το θεώρημα Hopkins–Levitzki , κάθε δακτύλιος Artinian είναι και Noetherian. Το να είναι ένας δακτύλιος Noetherian, είναι μια εξαιρετικά σημαντική πεπερασμένη κατάσταση και η κατάσταση αυτή διατηρείται κάτω από πολλές διαδικασίες που συμβαίνουν συχνά στη γεωμετρία. Για παράδειγμα, αν R είναι δακτύλιος Noetherian, τότε είναι: το πολυώνυμο του δακτυλίου R[X1, X2, ..., Xn]R[X1, X2, ..., Xn]R[X1, X2, ..., Xn] (από τη βάση του θεωρήματος Χίλμπερτ);οποιαδήποτε τοπική προσαρμογή του S-1R;κάθε παράγων δακτύλιος R / I. Η διάσταση Krull (ή απλά διάσταση) dim R ενός δακτυλίου R, είναι μια έννοια που μετράει το "μέγεθος" του δακτυλίου, πολύ χονδρικά από την καταμέτρηση των ανεξάρτητων στοιχείων στον δακτύλιο R. Συγκεκριμένα, ορίζεται ως το supremum των μηκών n των αλυσίδων των πρώτων ιδεωδών p 0 ⊊ p 1 ⊊ … ⊊ p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}} . Για παράδειγμα, ένα σώμα έχει μηδενική διάσταση,όταν το μοναδικό πρώτο ιδεώδες του είναι το μηδενικό ιδεώδες. Είναι επίσης γνωστό ότι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος είναι δακτύλιος Artinian αν και μόνο αν είναι δακτύλιος Noetherian και μηδενικής διάστασης (δηλαδή, όλα τα πρώτα ιδεώδη είναι και μέγιστα). Οι ακέραιοι είναι μονοδιάστατοι: κάθε αλυσίδα του πρώτου ιδεώδους είναι της μορφής 0 = p 0 ⊊ p Z = p 1 {\displaystyle 0={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq p\mathbb {Z} ={\mathfrak {p}}_{1}} , όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός από τότε κάθε ιδεώδες στο Z είναι κύριο. Η διάσταση συμπεριφέρεται καλά, αν οι δακτύλιοι είναι Noetherian: το αναμενόμενο για την ισότητα dim R[X] = dim R + 1 κατέχει σε αυτή την περίπτωση (σε γενικές γραμμές, το ένα έχει μόνο dim R + 1 ≤ dim R[X] ≤ 2 · dim R + 1). Επιπλέον, δεδομένου ότι η διάσταση εξαρτάται μόνο από τη μοναδική μέγιστη αλυσίδα, η διάσταση του R είναι το supremum όλων των διαστάσεων της τοπικοποίησης Rp, όπου p είναι ένα τυχαίο πρώτο ιδεώδες. Διαισθητικά, η διάσταση του R είναι μια τοπική ιδιότητα του φάσματος του R. Ως εκ τούτου, η διάσταση συχνά ορίζεται μόνο για τους τοπικούς δακτυλίους, επίσης, για το γενικό δακτύλιο Noetherian μπορεί να εξακολουθεί να είναι άπειρη, παρά το γεγονός ότι οι τοπικοί προσδιορισμοί είναι πεπερασμένης διάστασης. Καθορίζοντας την διάσταση, ας πούμε, k[X1, X2, ..., Xn] / (f1, f2, ..., fm), όπου k είναι ένα σώμα και η fi είναι πολυώνυμα με n μεταβλητές, γενικά δεν είναι εύκολο. Για R δακτυλίους Noetherian, η διάσταση του R / I είναι, από το θεώρημα κυρίων ιδεωδών του Κραλ, τουλάχιστον dim R − n, αν I παράγεται από n στοιχεία. Αν η διάσταση μειώνεται όσο το δυνατόν περισσότερο, δηλ. dim R / I = dim R − n, το R / I ονομάζεται πλήρης τομή. Ένας τοπικός δακτύλιος R, δηλαδή δακτύλιος που έχει μοναδικό μέγιστο ιδεώδες m, λέγεται κανονικός, αν η (Κραλ) διάσταση του R ισούται με την διάσταση (ως ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το σώμα R / m) του συνεφαπτόμενου χώρο m / m2. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να κατασκευαστούν νέοι δακτύλιοι από άλλους δακτυλίους. Ο στόχος αυτών των κατασκευών είναι συχνά για τη βελτίωση κάποιων ιδιοτήτων των δακτυλίων ωστέ να γίνονται πιο εύκολα κατανοητοί. Για παράδειγμα, μία ακεραία περιοχή που είναι κλειστό σύνολο στο σώμα κλασμάτων, ονομάζεται κανονική. Αυτή είναι μία επιθυμητή ιδιότητα, για παράδειγμα, οποιοσδήποτε μονοδιάστατος δακτύλιος είναι απαραίτητα κανονικός. Ο χαρακτηρισμός του δακτυλίου ως κανονικου ονομάζεται κανονικοποίηση. Ολοκλήρωση Έστω I ένα ιδεώδες ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R, οι δυνάμεις του I διαμορφώνουν έναν τοπολογικό χώρο του 0,ο οποίος επιτρέπει στο R να θεωρηθεί τοπολογικός δακτύλιος. Αυτή η τοπολογία ονομάζεται I-adic τοπολογία. Ο R μπορεί να ολοκληρωθεί σε σχέση με αυτή την τοπολογία. Επισήμως, η ολοκλήρωση της I-adic τοπολογία είναι το αντίστροφο όριο του δακτυλίου R/In.Για παράδειγμα, αν ο k ένα σώμα, k[X], η τυπική σειρά των δυνάμεων μίας μεταβλητής του k είναι η I-adic ολοκλήρωση του k[X] , όπου I είναι το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το Χ. Αναλόγως, ο δακτύλιος p-adic των ακεραίων είναι η I-adic ολοκλήρωση του Z , όπου I είναι το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το p. Οποιοσδήποτε δακτύλιος που είναι ισόμορφος με την δική του ολοκλήρωση, ονομάζεται ολοκληρωτικός. Από το θεώρημα του Wedderburn, κάθε πεπερασμένος δακτύλιο διαίρεσης είναι αντιμεταθετικός, και συνεπώς ένα πεπερασμένο σώμα. Μία άλλη προϋπόθεση για την εξασφάλιση της αντιμεταθετικότητας του δακτυλίου , σύμφωνα με τον Jacobson, είναι η παρακάτω: για κάθε στοιχείο r του R υπάρχει ένας ακέραιος n>1 τέτοιος ώστε rn = r.[1]. Αν για κάθε r ισχύει r2 = r , ο δακτύλιος ονομάζεται δακτύλιος Boolean. Υπάρχουν κι άλλες προϋποθέσεις για την εξασφάλιση της αντιμεταθετικότητας των δακτυλίων που είναι επίσης γνωστές. Jacobson 1945 Jump up^ Pinter-Lucke 2007 Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7 Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2 Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1 Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1 With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics 150, Berlin, New York: Springer-Verlag,ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 Jacobson, Nathan (1945), «Structure theory of algebraic algebras of bounded degree», Annals of Mathematics 46 (4): 695–707, doi:10.2307/1969205, ISSN 0003-486X Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised ed.Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised έκδοση), University of Chicago Press Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 Nagata, Masayoshi (1975), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, σελ. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0 Pinter-Lucke, James (2007), «Commutativity conditions for rings: 1950–2005», Expositiones Mathematicae 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001, ISSN 0723-0869 Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958–60), Commutative Algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc. (Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)