Κατανομή Ραντεμάχερ

Η κατανομή Ραντεμάχερ είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας 1 / 2 {\displaystyle 1/2} . Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} που παίρνει τιμές − 1 {\displaystyle -1} ή + 1 {\displaystyle +1} , δηλαδή X ∈ { − 1 , + 1 } {\displaystyle X\in \{-1,+1\}} . Για X = + 1 {\displaystyle X=+1} έχουμε επιτυχία και για X = − 1 {\displaystyle X=-1} αποτυχία. Λέμε ότι η X {\displaystyle X} ακολουθεί την κατανομή Rademacher αν: P ⁡ ( X = + 1 ) = 1 2 {\displaystyle \operatorname {P} (X=+1)={\frac {1}{2}}} και P ⁡ ( X = − 1 ) = 1 2 {\displaystyle \operatorname {P} (X=-1)={\frac {1}{2}}} .Αν η τυχαία μεταβλητή Y {\displaystyle Y} ακολουθεί την κατανομή Rademacher με παράμετρο p {\displaystyle p} , τότε η X = Y + 1 2 {\displaystyle X={\tfrac {Y+1}{2}}} ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι με παράμετρο p = 1 / 2 {\displaystyle p=1/2} .

 Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι E ⁡ [ X ] = 1 2 ⋅ ( + 1 ) + 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 0. {\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{2}}\cdot (+1)+{\frac {1}{2}}\cdot (-1)=0.} Χρησιμοποιώντας ότι X = 2 Y − 1 {\displaystyle X=2Y-1} για Y ∼ B e r ( 1 / 2 ) {\displaystyle Y\sim {\mathsf {Ber}}(1/2)} , έχουμε ότι V ⁡ [ X ] = V ⁡ [ 2 Y − 1 ] = 4 ⋅ 1 2 ⋅ 1 2 = 1. {\displaystyle \operatorname {V} [X]=\operatorname {V} [2Y-1]=4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=1.} Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως: γ 1 = E ⁡ [ ( X − E ⁡ [ X ] σ ) 3 ] . {\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right].} Επομένως από την λοξότητα για την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι E ⁡ [ ( X − E ⁡ [ X ] σ ) 3 ] = E ⁡ [ ( 2 ⋅ ( Y − E ⁡ [ Y ] ) 2 σ Y ) 3 ] = E ⁡ [ ( Y − E ⁡ [ Y ] σ Y ) 3 ] = 1 − 2 ⋅ 1 2 1 2 ⋅ 1 2 = 0. {\displaystyle \operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{3}\right]={\frac {1-2\cdot {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}}=0.} Αντίστοιχα με την λοξότητα, από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι: E ⁡ [ ( X − E ⁡ [ X ] σ ) 4 ] = E ⁡ [ ( 2 ⋅ ( Y − E ⁡ [ Y ] ) 2 ⋅ σ Y ) 4 ] = E ⁡ [ ( Y − E ⁡ [ Y ] σ Y ) 4 ] = 1 1 2 ⋅ 1 2 − 3 = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\cdot \sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma _{Y}}}\right)^{4}\right]={\frac {1}{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}-3=1.\end{aligned}}} Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι για κάθε μονό k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } : E ⁡ [ X k ] = 1 2 ⋅ ( − 1 ) k + 1 2 ⋅ ( + 1 ) k = 0. {\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=0.} Για κάθε ζυγό k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } έχουμε ότι: E ⁡ [ X k ] = 1 2 ⋅ ( − 1 ) k + 1 2 ⋅ ( + 1 ) k = 1. {\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=1.} Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι: E ⁡ [ − log 2 ⁡ X ] = − 1 2 ⋅ log 2 ⁡ ( 1 2 ) − 1 2 ⋅ log 2 ⁡ ( 1 2 ) = 1. {\displaystyle \operatorname {E} [-\log _{2}X]=-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \log _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1.} Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο: G X ( t ) = E ⁡ [ t X ] = 1 2 ⋅ t − 1 + 1 2 ⋅ t + 1 . {\displaystyle G_{X}(t)=\operatorname {E} [t^{X}]={\frac {1}{2}}\cdot t^{-1}+{\frac {1}{2}}\cdot t^{+1}.} Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο: E ⁡ [ e t X ] = 1 2 ⋅ e t + 1 2 ⋅ e − t = cosh ⁡ ( t ) . {\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]={\frac {1}{2}}\cdot e^{t}+{\frac {1}{2}}\cdot e^{-t}=\cosh(t).} Δείκτρια τυχαία μεταβλητή Διωνυμική κατανομή Κατανομή Μπερνούλλι