Αξίωμα της επεκτασιμότητας

Στην αξιωματική θεωρία συνόλων και στους κλάδους της λογικής, των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών που τη χρησιμοποιούν, το αξίωμα επεκτασιμότητας ή αξίωμα επέκτασης είναι ένα από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ. Υποστηρίζει ότι σύνολα με τα ίδια στοιχεία ανήκουν στο ίδιο σύνολο.

 Στην τυπική γλώσσα των αξιωμάτων Ζερμέλο-Φράνκελ, το αξίωμα διατυπώνεται ως εξής: ∀ A ∀ B ( ∀ X ( X ∈ A ⟺ X ∈ B ) ⟹ A = B ) {\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\implies A=B)} ή με λέξεις: Δεδομένου ότι ένα σύνολο A και ένα σύνολο B, Δεν είναι απολύτως αναγκαίο το X να είναι ένα σύνολο από X, το X είναι μέλος του A αν και μόνο αν το X είναι μέλος του B, τότε το A είναι ίσο με το B. (Δεν είναι πραγματικά απαραίτητο το X εδώ να είναι ένα σύνολο - αλλά στο ZF, όλα τα στοιχεία είναι. Δείτε τα Ur-στοιχεία παρακάτω για τις περιπτώσεις όπου αυτός ο κανόνας δεν τηρείται.).Το αντίστροφο, ∀ A ∀ B ( A = B ⟹ ∀ X ( X ∈ A ⟺ X ∈ B ) ) , {\displaystyle \forall A\,\forall B\,(A=B\implies \forall X\,(X\in A\iff X\in B)),} αυτού του αξιώματος προκύπτει από την ιδιότητα αντικατάστασης της ισότητα. Για την κατανόηση αυτού του αξιώματος, σημειώστε ότι η πρόταση σε παρένθεση στην παραπάνω συμβολική δήλωση δηλώνει απλώς ότι τα Α και Β έχουν ακριβώς τα ίδια μέλη. Έτσι, αυτό που λέει στην πραγματικότητα το αξίωμα είναι ότι δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν ακριβώς τα ίδια μέλη. Η ουσία αυτού του αξιώματος έχει ως εξής: Ένα σύνολο καθορίζεται μόνο από τα μέλη του.Το αξίωμα της επεκτασιμότητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί με οποιαδήποτε δήλωση της μορφής ∃ A ∀ X ( X ∈ A ⟺ P ( X ) ) {\displaystyle \exists A\,\forall X\,(X\in A\iff P(X)\,)} , όπου P είναι οποιοδήποτε μοναδιαίο κατηγόρημα που δεν αναφέρει το A, για να ορίσουμε ένα μοναδικό σύνολο A A του οποίου τα μέλη είναι ακριβώς τα σύνολα που ικανοποιούν το κατηγόρημα P {\displaystyle P} . Μπορούμε στη συνέχεια να εισάγουμε ένα νέο σύμβολο για το A {\displaystyle A} . Έτσι λειτουργούν τελικά οι ορισμοί στα συνηθισμένα μαθηματικά όταν οι δηλώσεις τους ανάγονται σε καθαρά θεωρητικούς όρους συνόλων. Το αξίωμα της επεκτασιμότητας είναι γενικά αδιαμφισβήτητο στα μαθηματικά θεμέλια της θεωρίας συνόλων, και εμφανίζεται, ή ένα ισοδύναμο, σχεδόν σε όλες τις εναλλακτικές αξιωματικοποιήσεις της θεωρίας συνόλων. Ωστόσο, μπορεί να απαιτεί τροποποίηση για ορισμένους σκοπούς, όπως αναφέρεται παρακάτω. Το αξίωμα που δίνεται παραπάνω υποθέτει ότι η ισότητα είναι ένα πρωταρχικό σύμβολο στην κατηγορηματική λογική. Ορισμένες θεραπείες της αξιωματικής θεωρίας συνόλων προτιμούν να μην το αναφέρουν αυτό και να αντιμετωπίζουν την παραπάνω δήλωση όχι ως αξίωμα αλλά ως ορισμό της ισότητας . Τότε είναι απαραίτητο να συμπεριληφθούν τα συνήθη αξιώματα ισότητας της κατηγορηματικής λογικής ως αξιώματα για αυτό το ορισμένο σύμβολο. Τα περισσότερα από τα αξιώματα ισότητας προκύπτουν πάντα από τον ορισμό- το τελευταίο είναι η ιδιότητα της υποκατάστασης, ∀ A ∀ B ( ∀ X ( X ∈ A ⟺ X ∈ B ) ⟹ ∀ Y ( A ∈ Y ⟺ B ∈ Y ) ) , {\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\implies \forall Y\,(A\in Y\iff B\in Y)\,),} και αυτό το αξίωμα καλείται αξίωμα επεκτασιμότητας σε αυτό το πλαίσιο. Ένα ur-στοιχείο είναι ένα μέλος ενός συνόλου που δεν είναι το ίδιο σύνολο. Στα αξιώματα Ζερμέλο-Φράνκελ δεν υπάρχουν ur-στοιχεία, αλλά περιλαμβάνονται σε ορισμένες εναλλακτικές αξιωματικοποιήσεις της θεωρίας συνόλων. Τα ur-στοιχεία μπορούν να αντιμετωπιστούν ως διαφορετικός λογικός τύπος από τα σύνολα- στην περίπτωση αυτή, το B ∈ A {\displaystyle B\in A} δεν έχει νόημα αν το A {\displaystyle A} είναι ur-στοιχείο, οπότε το αξίωμα της επεκτασιμότητας ισχύει μόνο για τα σύνολα.Εναλλακτικά, στη μη τυποποιημένη λογική, μπορούμε να απαιτήσουμε ότι το B ∈ A {\displaystyle B\in A} είναι ψευδές κάθε φορά που το A {\displaystyle A} είναι ένα ur-στοιχείο. Στην περίπτωση αυτή, το συνηθισμένο αξίωμα της επεκτασιμότητας θα σήμαινε τότε ότι κάθε ur-στοιχείο είναι ίσο με το κενό σύνολο. Για να αποφύγουμε αυτή τη συνέπεια, μπορούμε να τροποποιήσουμε το αξίωμα επεκτασιμότητας ώστε να ισχύει μόνο για μη κενά σύνολα: ∀ A ∀ B ( ∃ X ( X ∈ A ) ⟹ [ ∀ Y ( Y ∈ A ⟺ Y ∈ B ) ⟹ A = B ] ) . {\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\exists X\,(X\in A)\implies [\forall Y\,(Y\in A\iff Y\in B)\implies A=B]\,).} Δηλαδή, : Δεδομένου ενός συνόλου A και ενός συνόλου B, αν το A είναι ένα μη κενό σύνολο (δηλαδή αν υπάρχει ένα μέλος X του A), τότε αν το A και το B έχουν ακριβώς τα ίδια μέλη, τότε είναι ίσα. Μια άλλη εναλλακτική λύση στη μη τυποποιημένη λογική είναι να ορίσουμε το ίδιο το A {\displaystyle A} ως το μοναδικό στοιχείο του A {\displaystyle A} όποτε το A {\displaystyle A} είναι ένα ur-στοιχείο. Ενώ αυτή η προσέγγιση διατηρεί το αξίωμα επεκτασιμότητας, το αξίωμα κανονικότητας θα πρέπει να προσαρμοστεί. Οικοδομήσιμο Σύμπαν