Ακολουθία Γκουλντ

Η ακολουθία του Γκουλντ είναι μια ακέραια ακολουθία που πήρε το όνομά της από τον Χένρυ Γ. Γκουλντ και μετράει πόσοι περιττοί αριθμοί υπάρχουν σε κάθε σειρά του τριγώνου του Πασκάλ. Αποτελείται μόνο από δυνάμεις του δύο και αρχίζει ως εξής: 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, ... (ακολουθία A001316 στην OEIS).Παραδείγματος χάριν, ο έκτος αριθμός στην ακολουθία είναι 4, επειδή υπάρχουν τέσσερις περιττοί αριθμοί στην έκτη σειρά του τριγώνου του Πασκάλ (οι τέσσερις έντονοι αριθμοί στην ακολουθία 1, 5, 10, 10, 5, 1).

 Η nth τιμή στην ακολουθία (ξεκινώντας από n = 0) δίνει την υψηλότερη δύναμη του 2 που διαιρεί τον κεντρικό διωνυμικό συντελεστή ( 2 n n ) {\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}} , και δίνει τον αριθμητή του 2 n / n ! {\displaystyle 2^{n}/n!} (σε μορφή κλάσματος με τους χαμηλότερους συντελεστές). Τρίγωνο Σιερπίνσκι που παράγεται από τον Κανόνα 90, ή σημειώνοντας τις θέσεις των περιττών αριθμών στο τρίγωνο του Πασκάλ. Η ακολουθία του Γκουλντ μετράει τον αριθμό των ζωντανών κυττάρων σε κάθε σειρά αυτού του μοτίβου. Η ακολουθία του Γκουλντ δίνει επίσης τον αριθμό των ζωντανών κυττάρων στην nth γενιά του κυτταρικού αυτομάτου του Κανόνα 90 ξεκινώντας από ένα μόνο ζωντανό κύτταρο Έχει ένα χαρακτηριστικό αυξανόμενο πριονωτό σχήμα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναγνώριση φυσικών διεργασιών που συμπεριφέρονται παρόμοια με τον Κανόνα 90. Οι δυαδικοί λογάριθμοι (εκθέτες σε δυνάμεις του δύο) της ακολουθίας του Γκουλντ σχηματίζουν μια ακέραια ακολουθία, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ... (ακολουθία A000120 στην OEIS)στην οποία η nth τιμή δίνει τον αριθμό των μη μηδενικών bits στη δυαδική αναπαράσταση του αριθμού n, που μερικές φορές γράφεται σε μαθηματικό συμβολισμό ως # 1 ( n ) {\displaystyle \#_{1}(n)} . Ισοδύναμα, η nth τιμή στην ακολουθία του Γκουλντ έχει ως εξής 2 # 1 ( n ) . {\displaystyle 2^{\#_{1}(n)}.} Εάν πάρουμε την ακολουθία των εκθετών modulo δύο προκύπτει η ακολουθία Θουέ-Μορς.Τα επιμέρους αθροίσματα της ακολουθίας του Γκουλντ, 0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, ... (ακολουθία A006046 στην OEIS)μετρήστε όλους τους περιττούς αριθμούς στις πρώτες n σειρές του τριγώνου του Πασκάλ. Αυτοί οι αριθμοί αυξάνονται αναλογικά με n log 2 ⁡ 3 ≈ n 1.585 {\displaystyle n^{\log _{2}3}\approx n^{1.585}} , αλλά με μια σταθερά αναλογικότητας που ταλαντεύεται μεταξύ 0.812556... και 1, περιοδικά ως συνάρτηση του log n. Οι πρώτες 2i τιμές στην ακολουθία του Γκουλντ μπορούν να κατασκευαστούν με την αναδρομική κατασκευή των πρώτων 2i − 1 τιμών και στη συνέχεια με τη συνένωση των διπλών των πρώτων 2i − 1 τιμών. Παραδείγματος χάριν, η συνένωση των τεσσάρων πρώτων τιμών 1, 2, 2, 2, 4 με τα διπλά τους 2, 4, 4, 4, 8 παράγει τις οκτώ πρώτες τιμές. Λόγω αυτής της κατασκευής διπλασιασμού, η πρώτη εμφάνιση κάθε δύναμης του 2i σε αυτή την ακολουθία βρίσκεται στη θέση 2i − 1.Η ακολουθία του Γκουλντ, η ακολουθία των εκθετών της και η ακολουθία των Θουέ-Μορς είναι όλες αυτο-ομοειδείς: έχουν την ιδιότητα ότι η υποακολουθία των τιμών σε ζυγές θέσεις σε ολόκληρη την ακολουθία ισούται με την αρχική ακολουθία, μια ιδιότητα που μοιράζονται επίσης με ορισμένες άλλες ακολουθίες, όπως η διατομική ακολουθία του Στερν Στην ακολουθία του Γκουλντ, οι τιμές σε περιττές θέσεις είναι διπλάσιες των προκατόχων τους, ενώ στην ακολουθία των εκθετών, οι τιμές σε περιττές θέσεις είναι ένα συν τις προκατόχους τους. Η ακολουθία πήρε το όνομά της από τον Χένρυ Γ. Γκουλντ, ο άνθρωπος που τη διερεύνησε στις αρχές της δεκαετίας του 1960. Ωστόσο, το γεγονός ότι οι αριθμοί αυτοί είναι δυνάμεις του δύο, με τον εκθέτη του nth αριθμού να ισούται με τον αριθμό των μονάδων στη δυαδική αναπαράσταση του n, ήταν ήδη γνωστό στον J. W. L. Glaisher το 1899. Η απόδειξη ότι οι αριθμοί στην ακολουθία του Γκουλντ είναι δυνάμεις του δύο δόθηκε ως πρόβλημα στον Μαθηματικό Διαγωνισμό Γουίλιαμ Λόουελ Πούτναμ του 1956. Αναδρομή Σύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν