Αριθμητική Ολοκλήρωση

Στα μαθηματικά, η αριθμητική ολοκλήρωση (παραδοσιακά ονομάζεται επίσης αριθμητικός τετραγωνισμός) είναι ο κατά προσέγγιση υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Η αριθμητική ολοκλήρωση χρησιμοποιείται όταν μια ριζική συνάρτηση δεν μπορεί να εκφραστεί με στοιχειώδεις συναρτήσεις, η αριθμητική αποτίμηση της ριζικής συνάρτησης είναι πολύ περίπλοκη ή το ολοκλήρωμα είναι μόνο διακριτό, για παράδειγμα ως αποτέλεσμα μετρήσεων. Για το σκοπό αυτό, το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f {\displaystyle f} στο διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} αναπαρίσταται ως το άθροισμα της τιμής Q ( f ) {\displaystyle Q(f)} ενός τύπου προσέγγισης Q {\displaystyle Q} (που ονομάζεται επίσης τύπος τετραγωνισμού) και μιας τιμής σφάλματος E ( f ) {\displaystyle E(f)} : ∫ a b f ( x ) d x = Q ( f ) + E ( f ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=Q(f)+E(f)} .Η ιδέα του αριθμητικού υπολογισμού των ολοκληρωμάτων δανείζεται απευθείας από τον ορισμό του ολοκληρώματος Ρίμαν.

 Οι γραφικές μέθοδοι χρησιμοποιούν την απεικόνιση του ολοκληρώματος σχεδιάζεται σε ένα σύστημα συντεταγμένων με γραμμικούς άξονες και προσδιορίζεται η περιοχή μεταξύ του γραφήματος και της τετμήματος. Μια ιδιαίτερα απλή μέθοδος προϋποθέτει την απεικόνιση της γραφικής παράστασης σε γραφικό χαρτί και στη συνέχεια τον υπολογισμό του αριθμού των "τετραγωνικών κουτιών χιλιοστών" (επιφανειακών στοιχείων) που καταλαμβάνονται από την επιφάνεια S. Στην περίπτωση αυτή, τα στοιχεία της επιφάνειας από τα οποία διέρχεται η γραφική παράσταση υπολογίζονται μόνο κατά το ήμισυ. Η προσέγγιση προκύπτει τότε με τον αριθμό των τετραγωνικών χιλιοστών N {\displaystyle N} και τα μέρη κλίμακας Δ x {\displaystyle \Delta x} και Δ y {\displaystyle \Delta y} στο: ∫ a b f ( x ) d x ≈ N m m 2 ⋅ Δ x m m ⋅ Δ y m m {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx N\mathrm {mm} ^{2}\cdot {\tfrac {\Delta x}{\mathrm {mm} }}\cdot {\tfrac {\Delta y}{\mathrm {mm} }}} Μια άλλη γραφική μέθοδος είναι η μέτρηση της επιφάνειας με τη χρήση ενός πλανημέτρου. Ένας τύπος τετραγωνισμού αποτελείται γενικά από ένα σταθμισμένο άθροισμα τιμών συνάρτησης Q ( f ) = ( x o − x n ) ∑ i = 0 n w i f ( x i ) . {\displaystyle Q(f)=(x_{o}-x_{n})\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i}).} Οι θέσεις x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} ονομάζονται σημεία αναφοράς και οι αριθμοί w 0 , … , w n {\displaystyle w_{0},\ldots ,w_{n}} ονομάζονται βάρη. Τα βάρη εξαρτώνται από τις αποστάσεις μεταξύ ενός σημείου αναφοράς και γειτονικών σημείων αναφοράς. Υπάρχουν διαφορετικές προσεγγίσεις για την επιλογή των σημείων στήριξης και των βαρών έτσι ώστε το σφάλμα τετραγωνισμού E ( f ) {\displaystyle E(f)} να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο. Ένας τύπος τετραγωνισμού έχει βαθμό ακρίβειας (ή πιστότητας) n {\displaystyle n} αν ολοκληρώνει ακριβώς όλες τις πολυωνυμικές συναρτήσεις μέχρι το μέγιστο βαθμό n {\displaystyle n} και αν n {\displaystyle n} είναι ο μεγαλύτερος δυνατός φυσικός αριθμός που έχει αυτή την ιδιότητα.Όπως και το ολοκλήρωμα, οι τύποι τετραγωνισμού είναι γραμμικοί τελεστές. Μια σημαντική κατηγορία τετραγωνικών τύπων προκύπτει από την ιδέα της προσέγγισης της συνάρτησης f ( x ) {\displaystyle f(x)} με ένα πολυώνυμο παρεμβολής p n ( x ) {\displaystyle p_{n}(x)} βαθμού n n και στη συνέχεια της ολοκλήρωσης αυτού του πολυωνύμου. Τα βάρη λαμβάνονται στη συνέχεια ως τα ολοκληρώματα των πολυωνύμων Λαγκράνζ στα συγκεκριμένα σημεία στήριξης. Κατασκευαστικά, αυτοί οι τετραγωνικοί τύποι έχουν τουλάχιστον τον βαθμό ακρίβειας n {\displaystyle n} . Ο τετραγωνικός τύπος είναι επομένως ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b p n ( x ) d x = ( b − a ) ∑ i = 0 n w i f ( x i ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}p_{n}(x)\,dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i})} με τα βάρη w i = 1 b − a ∫ a b L i , n ( x ) d x {\displaystyle w_{i}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}L_{i,n}(x)\,dx} και τα πολυώνυμα Λαγκράνζ L i , n ( x ) = ( x − x 0 ) ⋯ ( x − x i − 1 ) ( x − x i + 1 ) ⋯ ( x − x n ) ( x i − x 0 ) ⋯ ( x i − x i − 1 ) ( x i − x i + 1 ) ⋯ ( x i − x n ) = ∏ j = 0 j ≠ i n x − x j x i − x j {\displaystyle L_{i,n}(x)={\frac {(x-x_{0})\dotsm (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})\dotsm (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\dotsm (x_{i}-x_{n})}}=\prod _{j=0 \atop j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}} Εάν τα όρια ολοκλήρωσης είναι σημεία στήριξης, μιλάμε για κλειστούς τύπους τετραγωνισμού, διαφορετικά για ανοικτούς τύπους. Εάν τα σημεία στήριξης επιλέγονται να είναι ισαπέχοντα, λαμβάνουμε μεταξύ άλλων τους τύπους Νεύτωνα-Κοτ. Ο κανόνας του τεντωμένου τραπεζοειδούς και ο κανόνας του Σίμπσον αποτελούν μέρος του κλειστού τύπου του Νεύτωνα-Κοτ, ενώ ο κανόνας του εφαπτόμενου τραπεζοειδούς αποτελεί μέρος του ανοιχτού τύπου. Οι τετραγωνικοί τύποι του Νεύτωνα-Κοτ για n {\displaystyle n} ζυγούς αριθμούς έχουν μάλιστα βαθμό ακρίβειας n + 1 {\displaystyle n+1} . Οι ανοιχτοί τετραγωνικοί τύποι περιλαμβάνουν επίσης τους τετραγωνικούς τύπους του Γκάους. Ονομάζουμε [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} το μικρότερο διάστημα που περιέχει τα σημεία αναφοράς x i {\displaystyle x_{i}} και το διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . Επιπλέον, f {\displaystyle f} ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} - φορές είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} . Ανάλογα με την ποιότητα παρεμβολής του πολυωνύμου παρεμβολής, υπάρχει ένα ξ ( x ) ∈ [ c , d ] {\displaystyle \xi (x)\in [c,d]} , έτσι ώστε : f ( x ) − p n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ( x ) ) ( n + 1 ) ! ∏ i = 0 n ( x − x i ) . {\displaystyle f(x)-p_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi (x))}{(n+1)!}}\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i}).} Με ολοκλήρωση προκύπτει ο τύπος σφάλματος για αριθμητικό τετραγωνισμό. E ( f ) = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b p n ( x ) d x = 1 ( n + 1 ) ! ∫ a b f ( n + 1 ) ( ξ ( x ) ) ∏ i = 0 n ( x − x i ) d x {\displaystyle E(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}p_{n}(x)\,dx={\frac {1}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}f^{(n+1)}(\xi (x))\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})\,dx} .Αν f ( n + 1 ) ( x ) = 0 {\displaystyle f^{(n+1)}(x)=0} για όλα τα x ∈ [ c , d ] {\displaystyle x\in [c,d]} , το σφάλμα τετραγωνισμού είναι 0. Επειδή αυτό ισχύει για όλα τα πολυώνυμα μέχρι βαθμού n {\displaystyle n} , ο βαθμός ακρίβειας αυτών των τύπων τετραγωνισμού είναι τουλάχιστον n {\displaystyle n} . Από αυτόν τον τύπο σφάλματος προκύπτει η εκτίμηση σφάλματος | E ( f ) | ≤ 1 ( n + 1 ) ! max c ≤ x ≤ d | f ( n + 1 ) ( x ) | ∫ a b | ∏ i = 0 n ( x − x i ) | d x {\displaystyle |E(f)|\leq {\frac {1}{(n+1)!}}\ \max _{c\leq x\leq d}{\left|f^{(n+1)}(x)\right|}\int _{a}^{b}\left|\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})\right|\,dx} .Εάν η συνάρτηση ∏ i = 0 n ( x − x i ) {\displaystyle \prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})} δεν αλλάζει πρόσημο στο διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , δηλαδή εάν κανένα κομβικό σημείο δεν βρίσκεται στο διάστημα ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , μπορούμε να εξάγουμε την ακόλουθη παράσταση για το υπόλοιπο μέλος χρησιμοποιώντας το θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού: E ( f ) = f ( n + 1 ) ( ζ ) ( n + 1 ) ! ∫ a b ∏ i = 0 n ( x − x i ) d x {\displaystyle E(f)={\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})\,dx} .με ένα ενδιάμεσο ζ ∈ [ c , d ] {\displaystyle \zeta \in [c,d]} . Παρόμοιοι τύποι για το σφάλμα τετραγωνισμού προκύπτουν επίσης για ειδικές κατανομές των σημείων πλέγματος στο διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , για παράδειγμα για τους τύπους Νεύτων - Κοτ ή τους τύπους τετραγωνισμού Γκάους. Εάν η συνάρτηση f {\displaystyle f} είναι μόνο συνεχής, οι παραπάνω ισχυρισμοί δεν ισχύουν και το σφάλμα μπορεί να είναι πολύ μεγάλο. Η προσπάθεια ελαχιστοποίησης της τάξης σφάλματος του τετραγωνικού τύπου οδηγεί στον τετραγωνισμό Γκάους. Χρησιμοποιούν τη θεωρία των ορθογώνιων πολυωνύμων για να αποκτήσουν τύπους που έχουν βαθμό ακρίβειας 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} , όπου n {\displaystyle n} είναι ο αριθμός των αξιολογήσεων της συνάρτησης που χρησιμοποιούνται. Για την ελαχιστοποίηση του αριθμού των αξιολογήσεων συναρτήσεων, επιτρέποντας παράλληλα τον έλεγχο του σφάλματος, χρησιμοποιείται συχνά η μέθοδος παρέκτασης Ρομπεργκ. Στην περίπτωση αυτή, οι τιμές του ολοκληρώματος προεκτείνονται από όλο και μικρότερες "ζώνες" σε ένα εύρος ζώνης που εξανεμίζεται. Για να επιτύχουμε καλύτερη προσέγγιση του ολοκληρώματος, διαιρούμε το διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} σε διάφορα υποδιαστήματα, τα οποία δεν είναι απαραίτητο να έχουν το ίδιο μήκος. Χρησιμοποιώντας έναν από τους παραπάνω τύπους τετραγωνισμού, υπολογίζουμε στη συνέχεια το προσεγγιστικό ολοκλήρωμα σε κάθε υποδιάστημα και αθροίζουμε τα αποτελέσματα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι προσαρμοστικοί τύποι, οι οποίοι υποδιαιρούν περαιτέρω ένα διάστημα εάν το εκτιμώμενο σφάλμα στο διάστημα αυτό είναι μεγαλύτερο από ένα δεδομένο όριο. Μια μέθοδος που δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει έναν τύπο προσέγγισης για τη συνάρτηση που πρόκειται να ολοκληρωθεί είναι η ολοκλήρωση Monte Carlo. Για να το θέσουμε γραφικά, το ολοκλήρωμα προσδιορίζεται με τη δημιουργία n {\displaystyle n} τυχαίων σημείων x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} ισοκατανεμημένων στο διάστημα ολοκλήρωσης [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} (οριζόντια). Στη συνέχεια προκύπτει μια προσέγγιση του ολοκληρώματος ως ο μέσος όρος των τιμών της συναρτήσεων αυτών των σημείων S n ( f ) = b − a n ∑ i = 1 n f ( x i ) . {\displaystyle S_{n}(f)={\frac {b-a}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}).} Το πλεονέκτημα είναι η σχετικά απλή εφαρμογή και η σχετικά εύκολη επέκταση σε πολλαπλά ολοκληρώματα. Στην περίπτωση αυτή, οι κλασικοί αλγόριθμοι ολοκλήρωσης επηρεάζονται έντονα από την ατυχία της διαστατικότητας και δεν είναι πλέον εφαρμόσιμοι σε προβλήματα υψηλών διαστάσεων. Ωστόσο, οι ολοκληρωτές υψηλών διαστάσεων είναι γενικά ιδιαίτερα εντοπισμένοι. Σε αυτές τις περιπτώσεις, οι μέθοδοι MCMC μπορούν να παράγουν δείγματα με κατανομή που επιτρέπει τον αποδοτικό υπολογισμό τέτοιων υψηλών διαστάσεων ολοκληρωμάτων. Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage, Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-519-42960-8 Helmut Braß: Quadraturverfahren , Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1977, ISBN 978-3525401422 H. Braß,K. Petras: Quadrature Theory (Mathematical Surveys and Monographs), Published by American Mathematical Society (2011), ISBN 9780821853610 Martin Hermann: Numerische Mathematik, Band 2: Analytische Probleme. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020. ISBN 978-3-11-065765-4.