Γραμμική άλγεβρα

Η γραμμική άλγεβρα είναι τομέας των μαθηματικών και της άλγεβρας ο οποίος ασχολείται με τη μελέτη διανυσμάτων, διανυσματικών χώρων, γραμμικών απεικονίσεων και συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Η αναλυτική γεωμετρία αποτελεί έκφρασή της και η ίδια αποτελεί κεντρικό συνδετικό ιστό των σύγχρονων μαθηματικών, ιδιαιτέρως μέσω της αφηρημένης έννοιας του διανυσματικού χώρου η οποία μπορεί να μοντελοποιήσει πολλά διαφορετικά προβλήματα που συναντώνται στην πράξη. Συνηθισμένη πρακτική είναι η προσέγγιση μη γραμμικών φαινομένων με γραμμικά μοντέλα (γραμμικοποίηση), προκειμένου να μπορούν να εφαρμοστούν οι μεθοδολογίες της γραμμικής άλγεβρας. Η εν λόγω «γραμμικότητα» αφορά το γεγονός ότι οι μεθοδολογίες αυτές εφαρμόζονται σε σύνολα συναρτήσεων οι οποίες στον τύπο τους περιέχουν μόνο πολυώνυμα πρώτου ή μηδενικού βαθμού και περιγράφουν σχέσεις μεταξύ ν-διάστατων διανυσμάτων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται και γραμμικές επειδή, στην αναλυτική γεωμετρία, απεικονίζονται οπτικά με ευθείες γραμμές.

 Το κεντρικό υπόδειγμα στο οποίο στηρίχθηκε η γραμμική άλγεβρα είναι το γεωμετρικό ευκλείδειο επίπεδο. Η εισαγωγή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και η ακόλουθη ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας, η οποία ένωσε την άλγεβρα με την ευκλείδεια γεωμετρία, έδωσε το έναυσμα για τη μελέτη των διανυσμάτων. Χάρη στο καρτεσιανό σύστημα τα τελευταία, από γεωμετρικά ευθύγραμμα τμήματα με μήκος και κατεύθυνση, άρχισαν να εκφράζονται ως ισοδύναμες ακολουθίες πραγματικών αριθμών: ένα οποιοδήποτε διατεταγμένο ζεύγος αριθμών εξέφραζε πλέον κάποιο διάνυσμα σε ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων, εκτεινόμενο από την αρχή των αξόνων του συστήματος ως το σημείο που περιγραφόταν από το εν λόγω ζεύγος, ενώ μία οποιοδήποτε διατεταγμένη τριάδα αριθμών ισοδυναμούσε με ένα διάνυσμα σε κάποιο τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων. Η φυσική σύντομα απαίτησε την επέκταση αυτών των ιδεών σε περισσότερες διαστάσεις, με αποτέλεσμα ως τον δέκατο ένατο αιώνα να γίνει στα μαθηματικά κοινός τόπος η μη διαισθητική αναφορά σε «χώρους» (αφηρημένες επεκτάσεις του καρτεσιανού επιπέδου και του τρισδιάστατου χώρου) πολλαπλών διαστάσεων, όπου κάποιες έννοιες όπως το εσωτερικό γινόμενο φαίνονταν δυσνόητες και χωρίς γεωμετρική αναλογία, καθώς οι άνθρωποι δεν μπορούσαν να τις οπτικοποιήσουν στη δεσμευμένη από τις τρεις διαστάσεις σκέψη τους, αλλά ορίζονταν και συμπεριφέρονταν εντελώς ανάλογα. c Πλέον κάθε διατεταγμένη ν-άδα αριθμών αντικατόπτριζε ένα ν-διάστατο διάνυσμα κάποιου αφηρημένου, ν-διάστατου χώρου. Το γεγονός αυτό είχε σημαντικές συνέπειες: πέρα από τα γεωμετρικά διανύσματα οτιδήποτε μπορούσε να αναπαρασταθεί ως διατεταγμένη ν-άδα αριθμών μπορούσε να αντιστοιχιστεί σε κάποιον νοητό αλγεβρικό χώρο (π.χ. οι πραγματικοί συντελεστές ενός πολυωνύμου). Περί τα μέσα του δεκάτου ενάτου αιώνα εμφανίστηκαν οι πίνακες ως ένα νέο, ισχυρό εργαλείο στα μαθηματικά. Ένας πίνακας δεν είναι παρά μία συλλογή διανυσμάτων με αυτοτελή όμως δομή. Μία ξεχωριστή άλγεβρα πινάκων άρχισε γρήγορα να αναπτύσσεται με αφετηρία την εργασία του Άρθουρ Κέυλυ το 1857. Όμως στις αρχές του εικοστού αιώνα είναι που η γραμμική άλγεβρα, θεμελιωμένη πλέον σε πορίσματα της αφηρημένης άλγεβρας και τις πρακτικές ανάγκες της νέας σχετικιστικής φυσικής, άρχισε να οριστικοποιείται και να λαμβάνει την τελική της μορφή και τη θέση της στον κόσμο των μαθηματικών. Πλέον ορισμένες ημιδιαισθητικές έννοιες γεωμετρικής καταγωγής, όπως η διάσταση, μπορούσαν να τυποποιηθούν με αυστηρή μη γεωμετρική ορολογία. Ένα σύνολο παρόμοιων μαθηματικών οντοτήτων στο οποίο ορίζονται μεταξύ των στοιχείων του οι πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, με πραγματικό ή μιγαδικό αριθμό, και αποτελεί σώμα με αυτές τις πράξεις ονομάζεται διανυσματικός χώρος. Παραδείγματα διανυσματικών χώρων είναι το σύνολο των πραγματικών διανυσμάτων ν συνιστωσών, το σύνολο των πολυωνύμων βαθμού ν, το σύνολο των μιγαδικών πινάκων μ x ν, το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων από το R στο R κλπ. Φερ' ειπείν, η πράξη της πρόσθεσης ορίζεται σε όλα τα προηγούμενα σύνολα (πρόσθεση διανυσμάτων, πινάκων, πολυωνύμων, συναρτήσεων) και έχει παρόμοιες ιδιότητες. Διανυσματικός υπόχωρος ενός διανυσματικού χώρου V ονομάζεται ένα υποσύνολο του V που περιέχει το μηδενικό στοιχείο της πρόσθεσης του V και είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό, δηλαδή το αποτέλεσμα της εκτέλεσης αυτών των πράξεων σε οποιοδήποτε στοιχείο του υποχώρου είναι επίσης στοιχείο του ίδιου υποχώρου. Παραδείγματα διανυσματικών υποχώρων του γεωμετρικού επιπέδου R2 (δηλαδή του συνόλου των πραγματικών διανυσμάτων δύο συνιστωσών) είναι το σύνολο που περιέχει μόνο το σημείο (0,0), όλος ο χώρος R2 και κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Δεδομένου ενός διανυσματικού χώρου V και ενός υποσυνόλου του Κ, το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών μεταξύ στοιχείων του Κ (<Κ>) αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο του V και ονομάζεται γραμμική θήκη ή γραμμικό περίβλημα του K. Αν ταυτίζεται με το V λέμε ότι το Κ παράγει τον χώρο V ή ότι αποτελεί σύνολο γεννητόρων του V. Αν επιπλέον το Κ έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων λέμε ότι ο V παράγεται πεπερασμένα. Φερ' ειπείν το σύνολο των πολυωνύμων όλων των βαθμών είναι διανυσματικός χώρος αλλά δεν παράγεται πεπερασμένα, αφού σύνολο γεννητόρων του είναι το απειροσύνολο {1,χ,χ2,χ3...}. Αν τα στοιχεία του συνόλου Κ είναι γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους (δηλαδή κανένα δεν παράγεται από γραμμικό συνδυασμό των υπολοίπων) και το Κ παράγει τον διανυσματικό χώρο V, τότε λέμε ότι το Κ αποτελεί βάση του V. Βάση δηλαδή είναι ένα ελάχιστο σύνολο γεννητόρων ενός χώρου V, τέτοιο ώστε όλα τα στοιχεία του V να μπορούν να παραχθούν από γραμμικούς συνδυασμούς στοιχείων της βάσης αλλά ένα στοιχείο της βάσης να μην μπορεί να παραχθεί από γραμμικούς συνδυασμούς των υπολοίπων. Τα στοιχεία μίας βάσης συχνά είναι ανά δύο ορθογώνια μεταξύ τους, δηλαδή εκφρασμένα ως διανύσματα έχουν εσωτερικό γινόμενο ίσο με μηδέν (αυτό σημαίνει ότι το μέτρο της προβολής του καθενός σε κάθε άλλο είναι μηδενικό), ενώ συνήθως φροντίζουμε να έχουν μέτρο ίσο με τη μονάδα (μοναδιαία διανύσματα). Θα πρέπει να είναι εμφανές ότι η έκφραση ενός διανύσματος συναρτήσει των διανυσμάτων βάσης ενός κατάλληλου διανυσματικού χώρου (τα οποία είναι ορθογώνια, δηλαδή ανεξάρτητα, μεταξύ τους), αποτελεί κατ' ουσίαν μία ανάλυση του διανύσματος σε ένα ισοδύναμο άθροισμα ανεξάρτητων όρων (συνιστώσες). Οι βαθμωτοί συντελεστές των όρων αυτών (συνήθως πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί) αποτελούν τις συντεταγμένες του διανύσματος στον εν λόγω διανυσματικό χώρο. Οι συντεταγμένες δεν είναι τίποτα άλλο παρά μία διατεταγμένη ν-άδα αριθμών η οποία προσδιορίζει μοναδικά το διάνυσμα σε έναν διανυσματικό χώρο και για μία συγκεκριμένη επιλογή βάσης. Η ανάλυση ενός διανύσματος στις συνιστώσες του μπορεί να γίνει πολύ απλά, υπολογίζοντας το εσωτερικό γινόμενό του με κάθε διάνυσμα βάσης ξεχωριστά (το εσωτερικό γινόμενο σε αυτήν την περίπτωση εκφράζει το μέτρο της προβολής ενός διανύσματος σε κάποιο άλλο). Το πλήθος των στοιχείων μίας βάσης ενός διανυσματικού χώρου V ονομάζεται διάσταση του V (dimV) και αποδεικνύεται ότι όλες οι διαφορετικές βάσεις ενός διανυσματικού χώρου έχουν την ίδια διάσταση. Επίσης αν dimV=ν, αποδεικνύεται ότι οποιαδήποτε ν-άδα γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων του V είναι βάση του, καθώς και ότι οποιαδήποτε ν-άδα αποτελεί σύνολο γεννητόρων του V είναι και βάση του V. Εύκολα αποδεικνύεται ακόμα ότι αν Α είναι υπόχωρος ενός διανυσματικού χώρου V τότε dimA<=dimV· με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν Α=V. Γραμμικές απεικονίσεις ή γραμμικοί μετασχηματισμοί ονομάζονται συναρτήσεις από έναν διανυσματικό χώρο σε έναν άλλον, τέτοιες ώστε να διατηρούν αναλλοίωτη τη δομή του. Συγκεκριμένα, η απεικόνιση f:V->W λέγεται γραμμική όταν ισχύει f(λ1χ1+λ2χ2)=λ1f(χ1)+λ2f(x2).Παράδειγμα αποτελεί η f που απεικονίζει το μηδενικό στοιχείο του V στο μηδενικό στοιχείο του W και μία βάση του V σε ένα σύνολο γεννητόρων του W. Αν επιπλέον η f είναι 1-1 (ένας προς ένα) και επί λέμε ότι αποτελεί ισομορφισμό και ότι οι δύο διανυσματικοί χώροι V και W είναι ισόμορφοι (η σχέση ισομορφισμού είναι σχέση ισοδυναμίας και διαμερίζει την κλάση των διανυσματικών χώρων σε κλάσεις ισοδυναμίας). Αποδεικνύεται ότι αν δύο διανυσματικοί χώροι είναι ισόμορφοι έχουν ίδια δομή όσον αφορά τις ιδιότητές τους, αν ένα υποσύνολο Κ του V είναι βάση του τότε το f(K) είναι βάση του W και αντίστροφα και ότι οι ισόμορφοι ΔΧ έχουν ίδια διάσταση (π.χ. το σύνολο των πραγματικών δισδιάστατων διανυσμάτων και το σύνολο των πραγματικών διωνύμων είναι ισόμορφα). Επίσης όλοι οι διανυσματικοί χώροι διάστασης ν είναι ισόμορφοι με τον καρτεσιανό χώρο Rν (το σύνολο δηλαδή των ν-διάστατων διανυσμάτων). Πυρήνας μίας γραμμικής απεικόνισης f από τον V στον W (Ker(f)) ονομάζεται το υποσύνολο του V που περιέχει όλα τα στοιχεία του V που απεικονίζονται μέσω της f στο μηδενικό στοιχείο του W. Αν η f είναι 1-1 ο πυρήνας της περιέχει μόνο το μηδενικό στοιχείο του V. Εικόνα της f (Im(f)) ονομάζεται το υποσύνολο του W που περιέχει όλα τα στοιχεία του στα οποία απεικονίζονται στοιχεία του V. Αν η f είναι επί τότε Im(f)=W. Επίσης ισχύει dimV=dim(Ker(f))+dim(Im(f))και ότι το σύνολο L(V,W) όλων των γραμμικών απεικονίσεων από τον V στον W είναι διανυσματικός χώρος. Οι γραμμικές απεικονίσεις κατέχουν κεντρική θέση σε πεδία της επιστήμης όπου παίζει θεμελιώδη ρόλο η δεικτοδότηση σημείων στον τρισδιάστατο χώρο (π.χ. γραφικά υπολογιστή, ρομποτική κλπ). Χάρη σε προϋπολογισμένες γραμμικές απεικονίσεις είναι δυνατή η συνεπής και αυτοματοποιημένη αντιστοίχηση αυτών των σημείων σε νέες συντεταγμένες μέσω κάποιου μετασχηματισμού ο οποίος μπορεί να εκφράζει, για παράδειγμα, τη μετακίνηση των σημείων αυτών στον χώρο, την περιστροφή τους ως προς κάποιον άξονα κλπ. Η άλγεβρα των πραγματικών αριθμών, των μιγαδικών αριθμών και των πολυωνύμων παρουσιάζει ποικίλες ομοιότητες όσον αφορά τα σύνολα στα οποία ορίζεται η καθεμία, τις επιτρεπτές πράξεις σε αυτά και τις ιδιότητές τους. Η άλγεβρα των πινάκων όμως έχει τόσο ομοιότητες όσο και σημαντικές διαφορές. Στην άλγεβρα πινάκων θεωρούμε τα στοιχεία του συνόλου στο οποίο ορίζεται, του συνόλου όλων των πινάκων επί του R {\displaystyle \mathbb {R} } ή του C {\displaystyle \mathbb {C} } , άτμητα και αυτοτελή· με τη δική τους δομή και χωρίς να ανάγονται στα αριθμητικά στοιχεία που τους αποτελούν (ένα παράδειγμα ολιστικής σκέψης στα μαθηματικά). Με τον ίδιο τρόπο θεωρούμε π.χ. και τα πολυώνυμα άτμητα και αυτοτελή, με τη δική τους εσωτερική λογική και όχι απλές συνενώσεις πραγματικών αριθμών και μεταβλητών. Επίσης η αφαίρεση, η πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι παρόμοιοι σε όλες τις προαναφερθείσες άλγεβρες (αφού ορίζονται επί διανυσματικών χώρων). Έτσι π.χ. ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος v με έναν πραγματικό αριθμό λ αλλάζει μόνο το μήκος του v· η κατεύθυνσή του μένει αμετάβλητη αν λ > 0 και αντιστρέφεται αν λ < 0. Η βασική διαφορά των πινάκων εντοπίζεται στον πολλαπλασιασμό μεταξύ τους: δεν είναι αντιμεταθετικός, δεν ορίζεται πάντα (πρέπει ο δεύτερος πίνακας να έχει τόσες γραμμές όσες στήλες έχει ο πρώτος) και μπορεί, φερ' ειπείν, να ισχύει Α*Χ=0 με Α≠0 και Χ≠0. Αυτή η απομάκρυνση του πολλαπλασιασμού πινάκων από τις νομοτέλειες του πολλαπλασιασμού σε άλλους διανυσματικούς χώρους οφείλεται στο ότι η πράξη αυτή εκφράζει κατά κάποιον τρόπο τη σύνθεση συναρτήσεων και όχι τον συνήθη πολλαπλασιασμό μεταξύ στοιχείων ενός διανυσματικού χώρου· η σύνθεση συναρτήσεων επίσης δεν είναι αντιμεταθετική και δεν ορίζεται πάντα. Από τις μοναδικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού πινάκων προκύπτει και η εξαιρετική σημασία που έχουν οι τετραγωνικοί πίνακες ν x ν σε σχέση με τους άλλους πίνακες. Μόνο τετραγωνικοί πίνακες μπορούν να: είναι συμμετρικοί (A=AT, ο πίνακας Α ισούται με τον ανάστροφό του) είναι διαγώνιοι, τριγωνικοί είναι αντιστρέψιμοι (A*A-1=I, ο πίνακας Α επί τον αντίστροφό του ισούται με τον ταυτοτικό πίνακα) είναι αντιμεταθέσιμοι (A*B=B*A) έχουν ορίζουσαΟ λόγος που ο πολλαπλασιασμός πινάκων μοιάζει με σύνθεση συναρτήσεων είναι ότι ο εξ αριστερών πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος v (έστω v-διάστατου) με έναν πίνακα Α (έστω v x w), ο οποίος είναι εφικτός από τη στιγμή που ένα διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως πίνακας μίας στήλης ή μίας γραμμής, ισοδυναμεί με απεικόνιση του v στον διανυσματικό υπόχωρο με βάση τα διανύσματα που αντιστοιχούν στις γραμμές (ή στήλες, σε περίπτωση πολλαπλασιασμού Α*v) του Α· με άλλα λόγια ο πίνακας Α μοιάζει με συνάρτηση που μετασχηματίζει διανύσματα απεικονίζοντάς τα από έναν ΔΧ σε έναν άλλον. Το v είναι η είσοδος της συνάρτησης και το γινόμενο v*A η έξοδος. Έτσι για κάθε γραμμική απεικόνιση μπορεί να οριστεί ένας πίνακας που την περιγράφει, dimV γραμμών και dimW στηλών (ή ανάποδα, σε περίπτωση πολλαπλασιασμού Α*v), ο οποίος υπολογίζεται με τη βοήθεια μίας βάσης του V και μίας βάσης του W και διαφέρει για διαφορετική επιλογή βάσεων. Ο πίνακας του αθροίσματος δύο γραμμικών απεικονίσεων είναι το άθροισμα των αντίστοιχων πινάκων, ενώ ο πίνακας της σύνθεσης δύο γραμμικών απεικονίσεων είναι το γινόμενο των αντίστοιχων πινάκων. Μία γραμμική απεικόνιση f είναι ισομορφισμός αν και μόνο αν ο πίνακάς της είναι αντιστρέψιμος. Ο πίνακας της ταυτοτικής απεικόνισης f: V->V, όπου όμως χρησιμοποιείται διαφορετική βάση στο πεδίο ορισμού (Β1) και διαφορετική στο πεδίο τιμών (Β2), ονομάζεται πίνακας αλλαγής βάσης και είναι αντιστρέψιμος ως πίνακας ισομορφισμού. Κατά τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν πίνακα κατά κάποιον τρόπο το διάνυσμα αναλύεται στις συνιστώσες του, καθεμία από αυτές τροποποιείται ξεχωριστά και στη συνέχεια οι τροποποιημένες συνιστώσες προστίθενται διανυσματικά δίνοντας ως αποτέλεσμα το τελικό γινόμενο. Αν Α είναι ο πίνακας μίας απεικόνισης f: V->V (όχι της ταυτοτικής), όπου χρησιμοποιείται κοινή βάση στο πεδίο ορισμού και στο πεδίο τιμών (Β1), και Γ ο πίνακας της f ως προς τη βάση Β2, τότε ισχύει Γ=(P-1)*A*P, όπου P ο πίνακας αλλαγής βάσης από τη Β1 στη Β2. Δύο πίνακες που εκφράζουν την ίδια απεικόνιση f: V-> W αλλά με διαφορετική επιλογή βάσεων ονομάζονται ισοδύναμοι. Δύο πίνακες είναι ισοδύναμοι αν και μόνο αν έχουν την ίδια τάξη, όπου τάξη ενός πίνακα Α (rk(A)) ονομάζεται το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών του ή στηλών του (λαμβάνεται η μικρότερη από τις δύο ποσότητες). Όμοιοι ονομάζονται δύο πίνακες που εκφράζουν την ίδια απεικόνιση f: V-> V αλλά με διαφορετική επιλογή βάσεων (και ο κάθε πίνακας έχει ίδια βάση στο πεδίο ορισμού και στο πεδίο τιμών). Τέλος, ένας τετραγωνικός πίνακας ν x ν είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν έχει τάξη ν, δηλαδή αν όλες οι γραμμές του ή οι στήλες του είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Όπως προαναφέρθηκε, αυτό διαισθητικά σημαίνει ότι η συνάρτηση / απεικόνιση / μετασχηματισμός που ορίζεται από τον πίνακα είναι ένα προς ένα και επί (ισομορφισμός). Είναι φανερό ότι η έννοια του αντιστρόφου πίνακα εμφυτεύει στην άλγεβρα πινάκων την έννοια της αντίστροφης συνάρτησης. Εξαιτίας του τρόπου με τον οποίον ορίζεται ο πολλαπλασιασμός πινάκων οι πίνακες μπορούν επίσης να αξιοποιηθούν και για την εύκολη επίλυση γραμμικών συστημάτων, αρκεί οι συντελεστές των εξισώσεων αυτών να θεωρηθούν διατεταγμένα στοιχεία ενός πίνακα Α. Έτσι το σύστημα μπορεί να εκφραστεί με συμβολισμό πινάκων ως Α*x=b, όπου x το ζητούμενο διάνυσμα (συνιστώσες του οποίου είναι οι τιμές των αγνώστων που ικανοποιούν τις εξισώσεις του συστήματος) και b το διάνυσμα των σταθερών όρων (συνιστώσες του οποίου είναι οι σταθεροί όροι κάθε εξίσωσης του συστήματος). Παράδειγμα γραμμικού συστήματος εξισώσεων είναι το παρακάτω: 3 x + 2 y − z = 1 2 x − 2 y + 4 z = − 2 − x + 1 2 y − z = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}} Η αναπαράσταση του συστήματος αυτού με συμβολισμό πινάκων είναι η εξής: [ 3 2 − 1 2 − 2 4 − 1 1 / 2 − 1 ] ∗ [ x y z ] = [ 1 − 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2&-1\\2&-2&4\\-1&1/2&-1\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-2\\0\end{bmatrix}}} Ο πολλαπλασιασμός του πίνακα με το διάνυσμα αποτελεί απεικόνιση του διανύσματος σε έναν νέο χώρο με διανύσματα βάσης τις γραμμές του πίνακα. Στο εν λόγω παράδειγμα, λόγω του τρόπου που ορίζονται ο πολλαπλασιασμός πινάκων και το εσωτερικό γινόμενο, η τιμή 1 αποτελεί το μέτρο της προβολής του διανύσματος [ x y z ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}} στο διάνυσμα [ 3 2 − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2&-1\end{bmatrix}}} , η τιμή -2 αποτελεί το μέτρο της προβολής του διανύσματος [ x y z ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}} στο διάνυσμα [ 2 − 2 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-2&4\end{bmatrix}}} και η τιμή 0 αποτελεί το μέτρο της προβολής του διανύσματος [ x y z ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}} στο διάνυσμα [ − 1 1 / 2 − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&1/2&-1\end{bmatrix}}} . Ο πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα επομένως μπορεί να ερμηνευτεί ως αλλαγή συστήματος συντεταγμένων, ενώ σε περίπτωση που ο πίνακας δεν είναι τετραγωνικός μιλάμε για προβολή σε έναν ΔΧ μικρότερης διάστασης. Η μέθοδος της απαλοιφής Γκάους για την αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων, μέσω αναπαράστασης με πίνακα, αποτελεί εκλέπτυνση και συστηματικοποίηση της παραδοσιακής μεθόδου απαλοιφής συντελεστών για την επίλυση συστημάτων. Ισοδυναμεί μαζί της σε αποτελεσματικότητα, όμως η απαλοιφή Γκάους και οι γραμμοπράξεις στις οποίες βασίζεται μας παρέχουν ένα πολύ ισχυρό εργαλείο περιγραφής πιο προχωρημένων αλγεβρικών δομών και φαινομένων. Επιπλέον η μεθοδολογία αυτή μπορεί να εφαρμοστεί και σε πολλά ακόμα προβλήματα· παράδειγμα αποτελεί ο υπολογισμός μίας βάσης ενός διανυσματικού υποχώρου Α κάποιου διανυσματικού χώρου V, όταν μας δίνεται ένα σύνολο γεννητόρων του Α (έστω Κ), ακολουθώντας τα εξής βήματα: Εφαρμόζουμε τον ισομορφισμό του V με τον διανυσματικό χώρο R(dimV) και γράφουμε όλα τα στοιχεία του Κ ως διανύσματα προς την κανονική βάση του R(dimV) (π.χ. το πολυώνυμο 2χ2+3χ+2 είναι το διάνυσμα (2,3,2)). Δημιουργούμε έναν πίνακα, κάθε γραμμή του οποίου είναι ένα από τα προαναφερόμενα διανύσματα, και εφαρμόζουμε το πρώτο στάδιο της απαλοιφής Γκάους (κλιμακοποίηση) σε αυτόν. Η τάξη ενός πίνακα, το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του, δεν μεταβάλλεται αν εφαρμοστούν σε αυτόν στοιχειώδεις γραμμοπράξεις. Οι γραμμές του προκύπτοντος πίνακα είναι τα στοιχεία μίας βάσης του Α, καθώς οι γραμμές ενός κλιμακωτού πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Με αυτόν τον τρόπο φαίνεται ακόμα ότι η τάξη ενός πίνακα μπορεί να βρεθεί με κλιμακοποίησή του. Παρόλο που η απαλοιφή Γκάους μας προσφέρει μία αποδοτική μέθοδο αριθμητικής επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, η θεωρία οριζουσών μας δίνει ένα ακόμα εργαλείο προς αυτήν την κατεύθυνση: έναν αναλυτικό τύπο για τον ίδιο σκοπό. Σε κάθε τετραγωνικό ν x ν πίνακα Α μπορεί να αντιστοιχιστεί ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός, η ορίζουσα του (|Α|), ο οποίος υπολογίζεται με συγκεκριμένο τρόπο. Για την ορίζουσα αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες: Αν ένας ν x ν πίνακας διαθέτει δύο γραμμές ή στήλες ίσες ή ανάλογες, έχει ορίζουσα ίση με 0. Αν ένας ν x ν πίνακας έχει μία στήλη ή μία γραμμή που αποτελείται μόνο από 0, έχει ορίζουσα ίση με 0. Ένας τριγωνικός πίνακας έχει ορίζουσα ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. Αν οι γραμμές ή οι στήλες ενός ν x ν πίνακα Α δεν είναι όλες γραμμικά ανεξάρτητες (οπότε έχει τάξη rkA < ν και άρα δεν είναι αντιστρέψιμος) τότε έχει ορίζουσα 0. Ισχύει και το αντίστροφο. Αν σε έναν ν x ν πίνακα εφαρμόσουμε την τρίτη στοιχειώδη γραμμοπράξη (rn=rn+λrm), ο προκύπτων πίνακας έχει ίδια ορίζουσα με τον αρχικό. Αν εφαρμόσουμε την πρώτη στοιχειώδη γραμμοπράξη (rn<->rm), ο προκύπτων πίνακας έχει αντίθετη ορίζουσα από τον αρχικό. Αν εφαρμόσουμε τη δεύτερη στοιχειώδη γραμμοπράξη (rn=λrn), ο προκύπτων πίνακας έχει ορίζουσα λ επί την ορίζουσα του αρχικού. Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο των επιμέρους οριζουσών. Η ορίζουσα ενός ν x ν πίνακα ισούται με την ορίζουσα του αναστρόφου του. Δύο όμοιοι πίνακες έχουν ίδια ορίζουσα.Στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο η ορίζουσα είναι ένας αριθμός που εκφράζει το μέτρο του εξωτερικού γινομένου των στηλών του πίνακα, θεωρούμενων ως ξεχωριστά διανύσματα. Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων με τη σειρά του χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές για να εκφράσει το εμβαδό του παραλληλογράμου που ορίζουν αυτά τα διανύσματα στο επίπεδο. Όπως προαναφέρθηκε, μία γραμμική απεικόνιση f: V -> V είναι αντιστρέψιμη (άρα 1-1) αν και μόνο αν ο πίνακας της είναι αντιστρέψιμος, έχει δηλαδή ορίζουσα διάφορη του 0. Ο τύπος του Κράμερ μας δίνει τη λύση ενός γραμμικού συστήματος ν αγνώστων και ν εξισώσεων, συναρτήσει των οριζουσών κάποιων παραλλαγών του πίνακα συντελεστών του συστήματος, αλλά έχει μόνο θεωρητικό ενδιαφέρον λόγω των πολλών πράξεων που απαιτεί· συνήθως χρησιμοποιείται η αριθμητική μέθοδος της απαλοιφής του Γκάους για την επίλυση και τέτοιων (ν x ν) συστημάτων. Πάντως αποδεικνύεται ότι σε ν x ν σύστημα Α*x=b, αν η ορίζουσα του Α είναι 0 (οπότε ο Α δεν είναι αντιστρέψιμος) τότε το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις συναρτήσει μιας παραμέτρου. Αν ο Α είναι αντιστρέψιμος (έχει δηλαδή ορίζουσα διάφορη του 0) τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση που δίνεται από τον τύπο του Κράμερ (ή είναι το τετριμμένο μηδενικό διάνυσμα σε ομογενές σύστημα). Επίσης ισχύει ότι οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα (όχι μόνο με Α τετραγωνικό) δεν είναι αδύνατο όταν η τάξη του Α ισούται με την τάξη του επαυξημένου πίνακα του συστήματος, δηλαδή του πίνακα Α με ενσωματωμένο ως τελευταία στήλη τον πίνακα-στήλη b, ενώ από τη θεωρία οριζουσών προκύπτει κι ένας τύπος για την άμεση εύρεση του αντιστρόφου ενός αντιστρέψιμου πίνακα με χρήση οριζουσών. Μία πραγματική τιμή λ λέγεται ιδιοτιμή ενός πίνακα Α αν υπάρχει τουλάχιστον ένα διάνυσμα x τέτοιο ώστε Α*x=λx <=> (Α-λΙ)x=0 (1). Τα διανύσματα για τα οποία ισχύει αυτή η σχέση ονομάζονται ιδιοδιανύσματα του Α και το σύνολο των ιδιοδιανυσμάτων για δεδομένη ιδιοτιμή λi λέγεται ιδιόχωρος του Α για λi. Διαισθητικά τα ιδιοδιανύσματα είναι τα διανύσματα τα οποία όταν μετασχηματίζονται από τον Α αλλάζουν μόνο ως προς το μήκος και όχι ως προς την κατεύθυνσή τους· το μέγεθος της αλλαγής του μήκους τους καθορίζεται από τις αντίστοιχες ιδιοτιμές. Τα ιδιοδιανύσματα επομένως είναι τα διανύσματα των οποίων τις συνιστώσες ο πίνακας, πολλαπλασιαζόμενος με αυτά, τροποποιεί όλες εξίσου. Ένας διαγώνιος πίνακας όταν πολλαπλασιάζεται με ένα διάνυσμα το τροποποιεί ως προς την i-οστή συνιστώσα του όσο προδιαγράφει η μη μηδενική τιμή στην i-οστή γραμμή του πίνακα. Ως αποτέλεσμα οι τιμές στη διαγώνιο ενός διαγώνιου πίνακα αποτελούν τις ιδιοτιμές του τελευταίου και τα αντίστοιχα κανονικά διανύσματα βάσης (π.χ. για τον τρισδιάστατο χώρο τα [1,0,0], [0,1,0] και [0,0,1]) αποτελούν τα ιδιοδιανύσματά του. Από κοινού οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα αποκαλούνται χαρακτηριστικά μεγέθη ενός πίνακα. Αποδεικνύεται ότι το ομογενές γραμμικό σύστημα (1) έχει λύση διάφορη της τετριμμένης μόνο όταν |Α-λΙ|=0, καθώς και ότι δύο όμοιοι πίνακες διαθέτουν τα ίδια χαρακτηριστικά μεγέθη. Τα ιδιοδιανύσματα έχουν πολλαπλές χρήσεις στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, κυρίως μέσω της δυνατότητας που παρέχουν για παραγοντοποίηση ενός τετραγωνικού πίνακα Α με προτυποποιημένο τρόπο χάρη στην ισότητα Α=P*Δ*P-1, η οποία ισχύει όταν ο Α είναι συμμετρικός ή όταν καμία ιδιοτιμή του δεν επαναλαμβάνεται για διαφορετικά, γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους ιδιοδιανύσματά του. Οι πίνακες P και Δ κατασκευάζονται από τα χαρακτηριστικά μεγέθη του Α (ο Δ είναι διαγώνιος με στοιχεία τις ιδιοτιμές του Α, ενώ ο P έχει ως στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα). Έτσι είναι φανερό ότι τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές ορίζουν μοναδικά τον πίνακα Α, περιγράφοντας ουσιαστικά τον τρόπο με τον οποίον αυτός μετασχηματίζει τα διανύσματα με τα οποία πολλαπλασιάζεται. Αυτή η διαδικασία παραγοντοποίησης πινάκων ονομάζεται διαγωνοποίηση και μπορεί να επεκταθεί και σε μη τετραγωνικούς πίνακες (ανάλυση ιδιαζόντων τιμών). Με την ανάλυση ιδιαζόντων τιμών αποδεικνύεται και μία πολύ χρήσιμη επιπρόσθετη ισοδυναμία: το γινόμενο πινάκων στο οποίο παραγοντοποιείται ο πίνακας ισούται με ένα βεβαρυμένο άθροισμα μικρότερων πινάκων (τα βάρη και οι πίνακες αυτοί κατασκευάζονται με βάση το αρχικό γινόμενο). Τα βάρη (οι ιδιάζουσες τιμές του πίνακα) έχουν την ιδιότητα να μικραίνουν πολύ γρήγορα κατ' απόλυτη τιμή μέσα σε αυτό το άθροισμα και επομένως οι αντίστοιχοι όροι του τελευταίου συνεισφέρουν πολύ λίγο στον αρχικό πίνακα. Εξαλείφοντας τους όρους αυτούς και προσθέτοντας τους υπόλοιπους (αυτούς με τα μη αμελητέα βάρη) κατασκευάζουμε έναν πίνακα ο οποίος έχει παρόμοιες ιδιότητες με τον αρχικό αλλά μικρότερη διάσταση (προσέγγιση πινάκων). Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Δημήτριος Βάρσος κ. α., Εκδόσεις Σοφία Γραμμική Άλγεβρα, Ιωάννης Κρόκος, Εκδόσεις Άρνος MIT Professor Gilbert Strang's Linear Algebra Course Homepage : Ιστοσελίδα μαθημάτων του MIT Διαλέξεις γραμμικής άλγεβρας του MIT Αρχειοθετήθηκε 2006-04-23 στο Wayback Machine.: δωρεάν βίντεο από το MIT OpenCourseWare Διαλέξεις γραμμικής άλγεβρας του MIT στο Google Video Συλλογή εργαλείων γραμμικής άλγεβρας Γραμμική άλγεβρα στο MathWorld Επισκόπηση γραμμικής άλγεβρας στο PlanetMath Αρχειοθετήθηκε 2012-06-12 στο Wayback Machine. Σημειολογία γραμμικής άλγεβρας στο PlanetMath Αρχειοθετήθηκε 2012-09-25 στο Wayback Machine. Ορολογία γραμμικής άλγεβρας και πινάκων Παλαιότερες χρήσεις μαθηματικής ορολογίας Παλαιότερες χρήσεις συμβόλων περί διανυσμάτων και πινάκων Linear Algebra του Elmer G. Wiens Μαθήματα γραμμικής άλγεβρας Linear Algebra Solved Problems: Φόρουμ συζήτησης προβλημάτων γραμμικής άλγεβρας. Linear Algebra for Informatics José Figueroa-O'Farrill, Πανεπιστήμιο του Εδιμβούργου. Σημειώσεις γραμμικής άλγεβρας Paul Dawkins, Πανεπιστήμιο Λαμάρ. Στοιχειώδες βιβλίο γραμμικής άλγεβρας με λύσεις προβλημάτων Βίκι γραμμικής άλγεβρας