Αρχή της απροσδιοριστίας

Η αρχή της απροσδιοριστίας ή διαφορετικά αρχή της αβεβαιότητας είναι βασικό αξίωμα της κβαντικής μηχανικής που διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1927 από τον Βέρνερ Χάιζενμπεργκ (Werner Heisenberg, 1901 - 1976). Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας είναι αδύνατο να μετρηθεί ταυτόχρονα και με ακρίβεια, ούτε πρακτικά, ούτε και θεωρητικά η θέση και η ταχύτητα, ή ορμή, ενός σωματίου. Εν αντιθέσει με την αρχή της αιτιοκρατίας, σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας υπάρχουν γεγονότα των οποίων η εκδήλωση δεν υπαγορεύεται από κάποια αιτία. Η απροσδιοριστία αυτή δεν αναφέρεται στην ανικανότητα του ανθρώπου να παρατηρήσει ορισμένα φαινόμενα στον μικρόκοσμο (ούτε αποτελεί φιλοσοφική αγνωσία) αλλά σε μία πραγματική ιδιότητα του Φυσικού Κόσμου, η οποία εμφανίζεται και πειραματικά. Ο λόγος που δεν βλέπουμε αυτή την αβεβαιότητα στην καθημερινότητα είναι ότι εμφανίζεται σε πολύ μικρή κλίμακα και γίνεται κυρίως εμφανής στον μικρόκοσμο.

 Η βασική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας είναι αυτή του 1927: Εάν μετράμε τη θέση ενός σωματίου με αβεβαιότητα Δ x {\displaystyle \Delta x} και ταυτόχρονα μετράμε την ορμή του με αβεβαιότητα Δ p {\displaystyle \Delta p} , τότε το γινόμενο των δύο μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από έναν αριθμό της τάξης του ℏ {\displaystyle \hbar } , όπου ℏ {\displaystyle \hbar } (προφέρεται "h-bar") η ανηγμένη σταθερά του Πλανκ, ℏ = h 2 π {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}} . Δηλαδή: Δ x ⋅ Δ p ≥ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}} Οι αβεβαιότητες των μεγεθών θέσης και ορμής Δ x {\displaystyle \Delta x} και Δ p {\displaystyle \Delta p} ισούνται με τη διασπορά τους γύρω από τη μέση τους τιμή. Ο ίδιος ο Χάιζενμπεργκ εξήγησε ότι η ελάχιστη αβεβαιότητα στη μέτρηση των Δ x {\displaystyle \Delta x} και Δ p {\displaystyle \Delta p} δεν είναι πειραματικό σφάλμα, δεν οφείλεται δηλαδή στις ατέλειες των πειραματικών συσκευών, αλλά προκύπτει από τη δομή της ύλης καθεαυτήν. Πιο συγκεκριμένα, η σχέση αβεβαιότητας είναι άμεση συνέπεια του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης. Σε θεωρητικό επίπεδο, είναι αποτέλεσμα των μεταθετικών σχέσεων ανάμεσα στους κβαντομηχανικούς τελεστές θέσης και ορμής. Η σχέση αβεβαιότητας ισχύει για μεγέθη που μετρούνται στον ίδιο άξονα, για παράδειγμα για το ζευγάρι Δ x {\displaystyle \Delta x} , Δ p x {\displaystyle \Delta p_{x}} . Όλα τα υπόλοιπα ζεύγη μεγεθών σε διαφορετικούς άξονες μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια. Υπάρχουν και άλλες εκφράσεις της αρχής της απροδιοριστίας. Μια από αυτές είναι η εξής: Δ E ⋅ Δ t ≥ ℏ 2 {\displaystyle \Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}} Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει όριο στην ακρίβεια που μπορούμε να μετρήσουμε την ενέργεια Δ E {\displaystyle \Delta E} ενός συστήματος, αν το σύστημα παραμένει σε μια δεδομένη ενεργειακή κατάσταση για χρόνο Δ t {\displaystyle \Delta t} . Θεμελιώδη αποτελέσματα για την απόδειξη των παραπάνω ανισοτήτων είναι αυτά του W. Heisenberg σχετικά με τους μεταθέτες των τελεστών q , p {\displaystyle q,p} (θέση x {\displaystyle x} με τον συμβολισμό της αναλυτικής μηχανικής, ορμή) και E , t {\displaystyle E,t} (ενέργεια και χρόνος): p q − q p = h 2 π i {\displaystyle pq-qp={\frac {h}{2\pi i}}} και E t − t E = h 2 π i {\displaystyle Et-tE={\frac {h}{2\pi i}}} Από μαθηματικής σκοπιάς η αρχή της απροσδιοριστίας ισοδυναμεί με ένα θεώρημα για τους τελεστές. Συγκεκριμένα έστω A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} αυτοσυζυγείς τελεστές (δηλαδή A + = A {\displaystyle A^{+}=A} ). Οι τελεστές στην κβαντομηχανική αντιστοιχούν στις φυσικές ποσότητες όπως η θέση, η ορμή, η ενέργεια, η στροφορμή μιας κατάστασης. Αν έχουμε μια κατάσταση ψ {\displaystyle \psi } (ή επίσης γράφεται | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ). Τότε η "μέση τιμή" του μεγέθους υπολογίζεται ως ( ψ , A ψ ) {\displaystyle (\psi ,A\psi )} (εσωτερικό γινόμενο της κατάστασης ψ {\displaystyle \psi } με την κατάσταση A ψ {\displaystyle A\psi } ) πράγμα που γράφεται πιο φυσικά ως ⟨ ψ | A | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle } . Δηλαδή: ⟨ A ⟩ = ⟨ ψ | A | ψ ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle } Τώρα ο τελεστής A 0 = A − ⟨ A ⟩ {\displaystyle A_{0}=A-\langle A\rangle } έχει μέση τιμή μηδέν. Μπορούμε να ορίσουμε την αβεβαιότητα του A {\displaystyle A} ως: Δ A = ⟨ A o 2 ⟩ = ⟨ A 2 ⟩ − ⟨ A ⟩ 2 {\displaystyle \Delta A={\sqrt {\langle A_{o}^{2}\rangle }}={\sqrt {\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}} Μια άλλη χρήσιμη έννοια είναι ο μεταθέτης δύο τελεστών A , B {\displaystyle A,B} , που γράφεται ως [ A , B ] = A B − B A {\displaystyle [A,B]=AB-BA} . Από κβαντομηχανικής άποψης το A B {\displaystyle AB} σημαίνει ότι πρώτα κάνουμε την μέτρηση του B {\displaystyle B} και μετά του A {\displaystyle A} ενώ B A {\displaystyle BA} σημαίνει πρώτα του A {\displaystyle A} και μετά του B {\displaystyle B} . Δηλαδή η σειρά με την οποία γίνεται η μέτρηση ενός τελεστή επί μιας κατάστασης ψ {\displaystyle \psi } , είναι αυτή με την οποία δρα ο τελεστής στην κατάσταση: B A ψ = B ( A ψ ) = B ϕ {\displaystyle BA\psi =B(A\psi )=B\phi } . Μπορεί να δείξει κανείς πως το μέτρο της μέσης τιμής δύο τελεστών A , B {\displaystyle A,B} σχετίζεται με τις μέσες τιμές των τελεστών A 2 , B 2 {\displaystyle A^{2},B^{2}} με την ακόλουθη σχέση: | ⟨ A B ⟩ | ≤ ⟨ A 2 ⟩ ⟨ B 2 ⟩ {\displaystyle |\langle AB\rangle |\leq {\sqrt {\langle A^{2}\rangle \langle B^{2}\rangle }}} Ακόμη, βάσει της παραπάνω σχέσης μπορεί να δείξει κανείς την ακόλουθη σχέση μεταξύ του μέτρου της μέσης τιμής ενός μεταθέτη [ A , B ] {\displaystyle [A,B]} και της διασποράς του κάθε τελεστή: | ⟨ [ A , B ] ⟩ | = | ⟨ [ A o , B o ] ⟩ | ≤ 2 | ⟨ A o B o ⟩ | ≤ 2 Δ A ⋅ Δ B {\displaystyle |\langle [A,B]\rangle |=|\langle [A_{o},B_{o}]\rangle |\leq 2|\langle A_{o}B_{o}\rangle |\leq 2\Delta A\cdot \Delta B} Αυτό μας δίνει τον γενικό τύπο της αρχής της αβεβαιότητας Δ A ⋅ Δ B ≥ 1 2 | ⟨ [ A , B ] ⟩ | {\displaystyle \Delta A\cdot \Delta B\geq {\frac {1}{2}}|\langle [A,B]\rangle |} Χρησιμοποιώντας το παραπάνω θεώρημα, και την μεταθετική σχέση x p − p x = h / ( 2 π i ) {\displaystyle xp-px=h/(2\pi i)} παίρνουμε: ( Δ x ) ( Δ p ) ≥ 1 2 | ⟨ [ x , p ] ⟩ | = 1 2 | ⟨ x p − p x ⟩ | = 1 2 | ⟨ h 2 π i ⟩ | = 1 2 ⋅ h 2 π = ℏ 2 {\displaystyle (\Delta x)(\Delta p)\geq {\frac {1}{2}}|\langle [x,p]\rangle |={\frac {1}{2}}|\langle xp-px\rangle |={\frac {1}{2}}{\Big |}{\Big \langle }{\frac {h}{2\pi i}}{\Big \rangle }{\Big |}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {h}{2\pi }}={\frac {\hbar }{2}}} Όμοια δείχνει κανείς και την ανισότητα μεταξύ στις αβεβαιότητες ενέργειας και χρόνου. Λανθασμένα πολλές φορές, γενικεύεται η αρχή της απροδιοριστίας σε φαινόμενα της καθημερινής ζωής, όπως και η θεωρία της σχετικότητας, στο σύνολο της ή σπανιότερα σε τμήματά της. Τόσο η αρχή της απροσδιοριστίας, όσο και η θεωρία της σχετικότητας, αναφέρονται σε φαινόμενα που συμβαίνουν σε σχετικά πολύ μικρά μήκη ή πολύ μεγάλες ταχύτητες, αντίστοιχα. Αυτό έχει ως συνέπεια η ισχύς τους να περιορίζεται κατά πολύ μεγάλο βαθμό στην κλασσική φυσική, η οποία και περιγράφει τα φαινόμενα που γίνονται αντιληπτά από εμάς καθημερινά. Ειδικότερα για την αρχή της απροσδιοριστίας, αυτό μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτό από την μαθηματική έκφρασή της: η σταθερά ℏ {\displaystyle \hbar } έχει πολύ μικρή τιμή (1,054 572 66 × 10−34 ± 66 J·s) συγκρινόμενη με τις αποστάσεις και τις ταχύτητες που μπορούμε να μετρήσουμε πρακτικά έξω από το χώρο του εργαστηρίου. "Physics For Scientists & Engineers, Τόμος IV, Σύγχρονη Φυσική", Third Edition, Raymond A. Serway, Μεταφρ. Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη «Κβαντομηχανική Ι», Σ. Η. Μάσεν, 2011 «Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική», Α. Στρέκλας, 2005 Αρχή της αντιστοιχίας Εξίσωση Σρέντιγκερ HyperPhysics (Georgia State University)