Τετραγωνική ρίζα του 2

Η τετραγωνική ρίζα του 2, ή αλλιώς, γραμμένο στα μαθηματικά, √2 ή 21⁄2, είναι ο θετικός αλγεβρικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 2. Τεχνικά, ονομάζεται η κύρια τετραγωνική ρίζα του 2, έτσι ώστε να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα. Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους 1 (προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα). Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός.

 Η βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα YBC 7289 (1800-1600 π.Χ.) δίνει μια προσέγγιση του √2 σε τέσσερα εξηνταδικά στοιχεία, 1 24 51 10, η οποία έχει ακρίβεια περίπου έξι δεκαδικά ψηφία, και είναι η κοντινότερη δυνατή εξηκονταδική αναπαράσταση του √2: 1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 305470 216000 = 1.41421 296 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.} Μια άλλη πρώιμη προσέγγιση δίνεται στα αρχαία Ινδικά μαθηματικά κείμενα, τα Sulbasutras (800-200 π.Χ.) ως εξής: Αύξηση του μήκους της πλευράς με την τρίτη και της τρίτης από τη δική τέταρτη μικρότερη των τριάντα τέταρτο μέρος του τέταρτου. Δηλαδή, 1 + 1 3 + 1 3 × 4 − 1 3 × 4 × 34 = 577 408 = 1.41421 56862745098039 ¯ . {\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.} Η προσέγγιση αυτή είναι η έβδομη στη σειρά από ολοένα και πιο ακριβείς προσεγγίσεις με βάση την ακολουθία των αριθμών του Πελ, η οποία μπορεί να προέρχεται από το συνεχές κλάσμα της επέκτασης του √2. Παρά τον μικρότερο παρονομαστή, είναι μόνο ελαφρώς λιγότερο ακριβές από τη βαβυλωνιακή προσέγγιση. Πυθαγόρειοι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι μη υπολογίσιμη, ή σε σύγχρονη γλώσσα, η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητη. Λίγα είναι γνωστά σχετικά με το χρόνο ή τις συνθήκες αυτής της ανακάλυψης, αλλά το όνομα του Ιππάσου από το Μεταπόντιο αναφέρεται συχνά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Ίππασος δολοφονήθηκε για αυτήν την αποκάλυψη. Η τετραγωνική ρίζα του δύο μερικές φορές αποκαλείται «ο αριθμός του Πυθαγόρα» ή «Πυθαγόρεια σταθερά», για παράδειγμα στο Conway & Guy (1996) . Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι για την προσέγγιση του √2 ως κλάσμα ακεραίων αριθμών. Ο πιο κοινός αλγόριθμος για αυτό, ο οποίος χρησιμοποιείται σε πολλούς υπολογιστές και αριθμομηχανές είναι η βαβυλωνιακή μέθοδος υπολογισμού τετραγωνικών ριζών. Η μέθοδος λειτουργεί ως εξής: Πρώτον, διαλέγουμε ένα a 0 > 0 {\displaystyle a_{0}>0} , η τιμή του οποίου επηρεάζει μόνο πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για την επίτευξη μίας προσέγγισης με συγκεκριμένη ακρίβεια. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτή την αρχική τιμή, χρησιμοποιεί τον ακόλουθο αναδρομικό υπολογισμό: a n + 1 = a n + 2 a n 2 = a n 2 + 1 a n {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}} .Όσο περισσότερες επαναλήψεις τρέξουμε από τον αλγόριθμο (δηλαδή, όσο περισσότερους υπολογισμούς εκτελούμε και όσο μεγαλύτερο είναι το n), τόσο καλύτερη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 που επιτυγχάνεται. Κάθε επανάληψη περίπου διπλασιάζει το πλήθος των σωστών ψηφίων. Ξεκινώντας με το a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} οι επόμενες προσεγγίσεις είναι οι εξής (όπου με bold είναι τα δεκαδικά ψηφία που είναι σωστά): 3/2 = 1 ,5 17/12 = 1,41 6 ... 577/408= 1,41421 5 ... 665857/470832= 1,41421356237 46 ...Η τιμή της √2 υπολογίστηκε με 137.438.953.444 δεκαδικά ψηφία από την ομάδα Yasumasa στον Καναδά το 1997. Τον Φεβρουάριο του 2006 το ρεκόρ για τον υπολογισμό του √2 επιτεύχθηκε με την χρήση του προσωπικού υπολογιστή. Ο Σιγκέρου Κόντο υπολόγισε 1 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία το 2010. Για την επίτευξη αυτού του ρεκόρ, δείτε τον παρακάτω πίνακα. Μεταξύ μαθηματικών σταθερών που είναι δύσκολο να υπολογιστούν, μόνο το π έχει υπολογιστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια. Gourdon, X.; Sebah, P. (2001), «Pythagoras' Constant: √2», Numbers, Constants and Computation, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html, ανακτήθηκε στις 2018-05-09 . Weisstein, Eric W., "Pythagoras's Constant" από το MathWorld. Η Τετραγωνική Ρίζα του Δύο και 5 εκατομμύρια ψηφία από Jerry Bonnell και Robert J. Nemiroff Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητη, μια συλλογή από αποδείξεις Grime, James· Bowley, Roger. «The Square Root √2 of Two». Numberphile. Brady Haran. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Μαΐου 2017. Ανακτήθηκε στις 9 Μαΐου 2018. Πανάς Επαμεινώνδας (1977). «Μερικές αποδείξεις της αρρητότητας του ρίζα 2». Ευκλείδης Β΄ (5): 1-2. Ι. Παπαδάτος (1978). «Ιστορική Αναδρομή για την Εύρεση Τετραγωνικής ρίζας Αριθμού». Ευκλείδης Β΄ (3): 103-104. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3924. Α. Χαλάτσης (1990). «Υπολογισμός τετραγωνικής ρίζας με προσέγγιση». Ευκλείδης Β΄ (3): 10-11. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2862. Παπασταυρίδης Σταύρος (1993). «Ο Ασσύμετρος "ρίζα 2"». Ευκλείδης Β΄ (3): 10-11. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3596. Estermann, T. (Ιουνίου 1975). «59.3. The irrationality of √2». The Mathematical Gazette 59 (408): 110–110. doi:10.2307/3616647. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1975-06_59_408/page/110. Moreno, Samuel G.; García−Caballero, Esther M. (Μαρτίου 2020). «104.01 Irrationality of with determinants». The Mathematical Gazette 104 (559): 143–146. doi:10.1017/mag.2020.16. Apostol, Tom M. (Νοεμβρίου 2000). «Irrationality of The Square Root of Two—A Geometric Proof». The American Mathematical Monthly 107 (9): 841–842. doi:10.1080/00029890.2000.12005280. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2000-11_107_9/page/841.