Νιλς Χένρικ Άμπελ

Ο Νιλς Χένρικ Άμπελ (Niels Henrik Abel, 5 Αυγούστου 1802-6 Απριλίου 1829) ήταν σημαντικός Νορβηγός μαθηματικός, με πρωτοποριακή συνεισφορά σε πολλούς τομείς. Το πιο διάσημο επίτευγμά του είναι η πρώτη πλήρης απόδειξη αδυναμίας επίλυσης της γενικής πεντωνυμικής εξίσωσης. Αυτή η ερώτηση ήταν ένα από τα εκκρεμή ανοιχτά προβλήματα της εποχής του και δεν είχε επιλυθεί επί πάνω από 250 χρόνια. Ήταν επίσης καινοτόμος στον τομέα των ελλειπτικών συναρτήσεων, και ανακάλυψε τις Αμπελιανές συναρτήσεις, που φέρουν το όνομά του. Έκανε τις ανακαλύψεις του ενώ ζούσε στη φτώχεια και πέθανε σε ηλικία 26 ετών από φυματίωση. Το μεγαλύτερο μέρος του έργου του έγινε στα έξι-επτά χρόνια της επαγγελματικής του ζωής. Όσον αφορά τον Άμπελ ο Γάλλος μαθηματικός Σαρλ Ερμίτ είπε: «Ο Άμπελ άφησε στους μαθηματικούς αρκετά ώστε να απασχοληθούν για πεντακόσια χρόνια». Ένας άλλος Γάλλος μαθηματικός, ο Αντριάν-Μαρί Λεζάντρ, είπε: «quelle tête celle du jeune Norvégien ! " ("τι κεφάλι αυτό του νεαρού Νορβηγού!"). Το Βραβείο Άμπελ στα μαθηματικά, που προτάθηκε αρχικά το 1899 για να συμπληρώσει τα Βραβεία Νόμπελ, απονέμεται προς τιμήν του.

 Ο Νιλς Χένρικ Άμπελ γεννήθηκε στο Νέντστραντ της Νορβηγίας, ως το δεύτερο παιδί του ιερέα Σέρεν Γκέοργκ Άμπελ και της Ανε Μαρία Σίμονσεν. Όταν γεννήθηκε η οικογένεια ζούσε στο πρεσβυτέριο στο Φίνεϊ. Ολα δείχνουν ότι ο Νιλς Χένρικ Άμπελ γεννήθηκε στη γειτονική ενορία, καθώς οι γονείς του ήταν φιλοξενούμενοι του κυβερνητικού επιθεωρητή στο Νέντστραντ τον Ιούλιο / Αύγουστο του έτους γέννησής του. Ο πατέρας του, Σέρεν Γκέοργκ Άμπελ, είχε πτυχίο θεολογίας και φιλοσοφίας και υπηρετούσε ως ιερέας στο Φίνεϊ. Ο πατέρας του Σέρεν, παππούς του Νιλς, Χανς Ματίας Αμπελ, ήταν επίσης ιερέας, στην εκκλησία του Γκγέρσταντ κοντά στην πόλη Ρίσερ. Ο Σέρεν είχε περάσει την παιδική του ηλικία στο Γκγέρσταντ και είχε επίσης υπηρετήσει ως εφημέριος εκεί και μετά το θάνατο του πατέρα του το 1804 διορίστηκε ιερέας στο Γκγέρσταντ και η οικογένεια μετακόμισε εκεί. Η οικογένεια Αμπελ προερχόταν από το Σλέσβιχ και ήρθε στη Νορβηγία το 17ο αιώνα. Η Ανε Μαρία Σίμονσεν ήταν από το Ρίσερ. Ο πατέρας της, Νιλς Χένρικ Σάξιλντ Σίμονσεν, ήταν έμπορος και πλοιοκτήτης, και λέγεται ότι ήταν ο πλουσιότερος άνθρωπος στο Ρίσερ. Η Ανε Μαρία είχε μεγαλώσει με δύο μητριές, σε σχετικά πολυτελές περιβάλλον. Στο πρεσβυτέριο του Γκγέρσταντ της άρεσε να οργανώνει χοροεσπερίδες και κοινωνικές συγκεντρώσεις. Ολα δείχνουν ότι ήταν από νέα αλκοολική και δεν ενδιαφερόταν πολύ για την ανατροφή των παιδιών της. Ο Νιλς Χένρικ Άμπελ και τα αδέρφια του έλαβαν τη σχολική εκπαίδευση από τον πατέρα τους, με χειρόγραφα βιβλία για ανάγνωση. Με τη νορβηγική ανεξαρτησία και τις πρώτες εκλογές που έγιναν στη χώρα το 1814 ο Σέρεν Αμπελ εξελέγη αντιπρόσωπος στο Στόρτινγκ. Οι συνεδριάσεις του Στόρτινγκ γίνονταν μέχρι το 1866 στην κεντρική αίθουσα της Καθεδρικής Σχολής στην Χριστιανία (σημερινό Όσλο). Κάπως έτσι ήρθε σε επαφή με τη σχολή και αποφάσισε ο μεγαλύτερος γιος του, Χανς Ματίας, να εγγραφεί εκεί τον επόμενο χρόνο. Ομως, όταν πλησίαζε η ώρα της αναχώρησής του, ο Χανς ήταν τόσο λυπημένος και πιεσμένος που έπρεπε να εγκαταλείψει το σπίτι του, ώστε ο πατέρας του δεν τόλμησε να τον στείλει και αντί για αυτόν αποφάσισε να στείλει τον Νιλς. Το 1815 ο Νιλς Αμπελ γράφτηκε στην Καθεδρική Σχολή σε ηλικία 13 ετών. Ο μεγαλύτερος αδελφός του Χανς τον ακολούθησε τον επόμενο χρόνο. Μοιράζονταν το ίδιο δωμάτιο και πήγαιναν στην ίδια τάξη. Ο Χανς έπαιρνε καλύτερους βαθμούς από το Νιλς, αλλά όταν ένας νέος καθηγητής μαθηματικών, ο Μπερντ Μίχαελ Χόλμποε, διορίστηκε το 1818, έδωσε στους μαθητές εργασίες μαθηματικών για το σπίτι, είδε το ταλέντο του Νιλς Χένρικ στα μαθηματικά και τον ενθάρρυνε να τα μελετήσει σε προχωρημένο επίπεδο. Εκανε ακόμη και ιδιαίτερα μαθήματα στο Νιλς μετά το σχολείο. Το 1818 ο Σέρεν Αμπελ είχε μια δημόσια θεολογική διαφωνία με το θεολόγο Στένερ Γιόχανες Στένερσεν σχετικά με την κστήχησή του από το 1806, που έτυχε ευρείας κάλυψης από τον τύπο. Η αντίδραση του Νιλς στη διαμάχη λέγεται ότι ήταν "υπερβολική ευγένεια". Την ίδια στιγμή ο Σέρεν παραλίγο να παραπεμφθεί για μομφή, μετά την προσβολή του Κάρστεν Ανκερ, οικοδεσπότη της Νορβηγικής Συντακτικής Συνέλευσης και το Σεπτέμβριο του 1818 επέστρεψε στο Γκγέρσταντ με την πολιτική του καριέρα κατεστραμμένη. Αρχισε να πίνει υπερβολικά και πέθανε μόλις δύο χρόνια αργότερα, σε ηλικία 48 ετών. Μετά το θάνατο του πατέρα του ο Νιλς και η οικογένειά του έμειναν άποροι. Ο Χόλμποε τον υποστήριξε με υποτροφία για να μη διακόψει το σχολείο, αλλά και έπεισε τους φίλους του να δώσουν χρήματα για να μπορέσει ο Νιλς να φοιτήσει στο πανεπιστήμιο. Πράγματι ο Αμπελ μπήκε στο «Βασιλικό Φρειδερίκειο Πανεπιστήμιο» — το σημερινό Πανεπιστήμιο του Όσλο — το 1821. Οταν ο Αμπελ μπήκε στο πανεπιστήμιο ήταν ήδη ο καλύτερος μαθηματικός της Νορβηγίας. Ο Χόλμποε δεν είχε τίποτα περισσότερο να τον διδάξει και ο Αμπελ είχε μελετήσει όλα τα τελευταία μαθηματικά συγγράμματα στην πανεπιστημιακή βιβλιοθήκη. Τότε ο Αμπελ άρχισε να εργάζεται πάνω στην επίλυση των πεντωνυμικών εξισώσεων. Οι μαθηματικοί αναζητούσαν λύση σε αυτό το πρόβλημα επί πάνω από 250 χρόνια. Το 1821 ο Αμπελ πίστεψε ότι είχε βρει τη λύση. Οι δύο καθηγητές μαθηματικών της Χριστιανίας, Σέρεν Ράσμουσεν και Κρίστοφερ Χάνστεν, δεν βρήκαν λάθη στους τύπους του Αμπελ και έστειλαν την εργασία στον κορυφαίο μαθηματικό των Βόρειων Χωρών Καρλ Φέρντιναντ Ντέγκεν στην Κοπεγχάγη. Δεν βρήκε λάθη αλλά ακόμη αμφέβαλλε αν η λύση, που τόσο πολλοί εξέχοντες μαθηματικοί είχαν αναζητήσει επί τόσα χρόνια, μπορούσε πράγματι να είχε βρεθεί από έναν άγνωστο σπουδαστή στη μακρινή Χριστιανία. Ο Ντέγκεν πρόσεξε όμως το ασυνήθιστα κοφτερό μυαλό του Αμπελ και πίστεψε ότι ένας τόσο ταλαντούχος νέος δεν έπρεπε να σπαταλά τις ικανότητές τους σε ένα τόσο "στείρο αντικείμενο", όπως η εξίσωση πέμπτου βαθμού", αλλά μάλλον στις ελλειπτικές συναρτήσεις και στους υπερβατικούς αριθμούς. Γιατί τότε, έγραψε ο Ντέγκεν, θα "ανακάλυπτε μαγγελάνειες διαδρομές σε μεγάλα τμήματα ενός τεράστιου αναλυτικού ωκεανού". Ο Ντέγκεν ζήτησε από τον Αμπελ να δώσει ένα αριθμητικό παράδειγμα της μεθόδου του. Ενώ προσπαθούσε να βρει ένα παράδειγμα ο Αμπελ βρήκε ένα λάθος στα χαρτιά του. Αυτό τον οδήγησε στην ανακάλυψη το 1823 ότι η λύση μιας πέμπτου ή μεγαλύτερου βαθμού εξίσωσης ήταν αδύνατη. Ο Αμπελ αποφοίτησε το 1822. Οι επιδόσεις του ήταν εξαιρετικά υψηλές στα μαθηματικά αλλά μεσαίες στα άλλα αντικείμενα. Μετά την αποφοίτησή του καθηγητές του πανεπιστημίου υποστήριξαν τον Αμπελ οικονομικά και ο Καθηγητής Κρίστοφερ Χάνστεν του επέτρεψε να μένει σε ένα δωμάτιο στη σοφίτα του σπιτιού του. Ο Αμπελ αργότερα θα έβλεπε τον κ. Χάνσεν ως δεύτερη μητέρα του. Ενόσω ζούσε εκεί ο Αμπελ βοήθησε το μικρότερο αδελφό του, Πέντερ Αμπελ, για την εισαγωγή του στο πανεπιστήμιο και την αδερφή του για να βρει δουλειά στην πόλη. Στις αρχές του 1823 ο Αμπελ δημοσίευσε το πρώτο του άρθρο στο "Magazin for Baturvidenskaberne", το πρώτο επιστημονικό περιοδικό της Νορβηγίας, που είχε συνιδρυθεί από τον Καθηγητή Χάνστεν. Ο Αμπελ δημοσίευσε αρκετά άρθρα, αλλά γρήγορα το περιοδικό συνειδητοποίησε ότι αυτό δεν ήταν υλικό για το μέσο αναγνώστη. Το 1823ο Αμπελ έγραψε επίσης ένα σύγγραμμα στα γαλλικά. Ηταν μια "γενική παρουσίαση της δυνατότητας ολοκλήρωσης όλων των διαφορικών τύπων" (Νορβηγικά: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler). Απευθύνθηκε για χρήματα στο πανεπιστήμιο για να το εκδώσει. Ομως το έργο του χάθηκε στη διαδικασία της έκδοσης και δεν βρέθηκε ποτέ. Στα μέσα του 1823 ο Καθηγητής Ράσμουσεν έδωσε στον Αμπελ ένα δώρο 100 νορβηγικών σπεσιντάλερ για να ταξιδέψει στην Κοπεγχάγη για να επισκεφτεί το Φέρντιναντ Ντέγκεν και άλλους μαθηματικούς εκεί. Ενώ ήταν στην Κοπεγχάγη ο Αμπελ έκανε κάποια εργασία πάνω στο Τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Ο θείος του Αμπελ, Πέντερ Μάντρουπ Τούξεν, ζούσε στη ναυτική βάση του Κρίστιανχαβν στην Κοπεγχάγη και σε μια χοροεσπερίδα εκεί ο Νιλς Αμπελ συνάντησε την Κρίστινε Κεμπ, μέλλουσα αρραβωνιαστικιά του. Το 1824 η Κρίστινε μετακόμισε στο Σον της Νορβηγίας για να εργαστεί ως γκουβερνάντα και το ζευγάρι αρραβωνιάστηκε τα Χριστούγεννα. Μετά την επιστροφή του από την Κοπεγχάγη ο Αμπελ υπέβαλε αίτηση για κυβερνητική υποτροφία για να επισκεφθεί κορυφαίους μαθηματικούς στη Γερμανία και τη Γαλλία, αλλά αντί αυτού του χορηγήθηκαν 200 σπεσιντάλερ ετησίως για δύο χρόνια για να μείνει στη Χριστιανία και να μελετήσει γερμανικά και γαλλικά. Για τα επόμενα δύο χρόνια του υποσχέθηκαν μια υποτροφία 600 σπεσιντάλερ ετησίως και τότε θα του επιτρεπόταν να ταξιδέψει στο εξωτερικό. Μελετώντας τις γλώσσες αυτές ο Αμπελ δημοσίευσε το πρώτο του σημαντικό έργο το 1824, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré( "Υπόμνημα για τις αλγεβρικές εξισώσεις, στο οποίο αποδεικνύεται η αδυναμία επίλυσης της γενικής εξίσωσης πέμπτου βαθμού"), αδυναμία που ο Αμπελ είχε επιτέλους αποδείξει το 1823 (σήμερα αναφερόμενο ως "Θεώρημα Αμπελ-Ρουφίνι"). Ωστόσο αυτή η δημοσίευση ήταν δυσνόητη και δύσκολη, εν μέρει και γιατί αυτοπεριορίστηκε σε έξι μόνο σελίδες για να κάνει οικονομία στην εκτύπωση. Μία λεπτομερέστερη απόδειξη δημοσιεύθηκε το 1826 στο μαθηματικό περιοδικό Crelle's Journal. Το 1825 ο Αμπελ έγραψε μια προσωπική επιστολή στον Βασιλιά Κάρολο Ιωάννη της Σουηδίας/Νορβηγίας ζητώντας άδεια να ταξιδέψει στο εξωτερικό. Η άδεια του χορηγήθηκε και το Σεπτέμβριο του 1825 έφυγε από τη Χριστιανία μαζί με τέσσερις φίλους του από το πανεπιστήμιο, που θα ταξίδευαν στο Βερολίνο και τις Άλπεις για σπουδές στη γεωλογία. Ο Αμπελ σκόπευε να τους ακολουθήσει μέχρι την Κοπεγχάγη και από εκεί να πάει μόνος του στο Γκέτινγκεν. Οι όροι της υποτροφίας όριζαν να επισκεφθεί τον Γκάους στο Γκέτινγκεν και μετά να συνεχίσει στο Παρίσι. Ωστόσο όταν έφτασε στην Κοπεγχάγη άλλαξε τα σχέδιά του και ακολούθησε τους φίλους του στο Βερολίνο, σχεδιάζοντας να επισκεφτεί το Γκέτινγκεν και το Παρίσι αργότερα. Καθ' οδόν επισκέφτηκε τον αστρονόμο Χάινριχ Κρίστιαν Σούμαχερ στην Αλτόνα, σήμερα συνοικία του Αμβούργου. Στη συνέχεια πέρασε τέσσερις μήνες στο Βερολίνο, όπου γνωρίστηκε καλά με τον Αουγκουστ Λέοπολντ Κρέλε, που τότε επρόκειτο να εκδώσει το μαθηματικό του περιοδικό Journal für die reine und angewandte Mathematik.. Το σχέδιο αυτό το ενθάρρυνε ένθερμα ο Αμπελ, που συνέβαλε τα μέγιστα στην επιτυχία του εγχειρήματος και συνεισέφερε σε αυτό επτά άρθρα στον πρώτο του χρόνο. Από το Βερολίνο ο Αμπελ ακολούθησε τους φίλους του και στις Αλπεις. Πήγε στη Λειψία και στο Φράιμπεργκ για να επισκεφθεί το γεωλόγο Γκέοργκ Νόιμαν και τον αδελφό του μαθηματικό Αουγκουστ Νόιμαν. Στο Φράιμπεργκ ο Αμπελ έκανε έρευνες πάνω στη θεωρία των συναρτήσεων, ιδιαίτερα των ελλειπτικών, των υπερελλειπτικών και μιας νέας τάξης, των γνωστών σήμερα ως αμπελιανών συναρτήσεων. Από το Φράιμπεργκ συνέχισαν στη Δρέσδη, την Πράγα, τη Βιέννη, την Τεργέστη, τη Βενετία, τη Βερόνα, το Μπολτσάνο, το Ίνσμπρουκ, τη Λουκέρνη και τη Βασιλεία. Τον Ιούλιο του 1826 ο Αμπελ ταξίδεψε μόνος του από τη Βασιλεία στο Παρίσι. Ο Αμπελ είχε στείλει τα περισσότερα έργα του στο Βερολίνο για να δημοσιευτούν στο Crelle's Journal, αλλά κράτησε εκείνο που θεωρούσε ως το σημαντικότερο έργο του για τη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, ένα θεώρημα για την πρόσθεση αλγεβρικών διαφορών. Με τη βοήθεια ενός ζωγράφου, του Γιόχαν Γκέρμπιτς, βρήκε ένα διαμέρισμα στο Παρίσι και συνέχισε την εργασία του πάνω στο θεώρημα. Την ολοκλήρωσε τον Οκτώβριο του 1826 και την υπέβαλε στην ακαδημία. Εξετάστηκε από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Το έργο του Αμπελ ήταν ελάχιστα γνωστό στο Παρίσι και η σεμνότητά του δεν του επέτρεψε να διαφημίσει την έρευνά του. Το θεώρημα παραμερίστηκε και ξεχάστηκε μέχρι το θάνατό του. Τα περιορισμένα οικονομικά του υποχρέωσαν τελικά τον Αμπελ να τερματίσει την περιοδεία του τον Ισνουάριο του 1827. Επέστρεψε στο Βερολίνο και του προσφέρθηκε θέση συντάκτη στο Crelle's Journal αλλά την απέρριψε. Το Μάιο του 1827 επέστρεψε στη Νορβηγία. Η περιοδεία του στο εξωτερικό θεωρήθηκε αποτυχία. Δεν είχε επισκεφτεί τον Γκάους στο Γκέτινγκεν ούτε είχε δημοσιεύσει τίποτα στο Παρίσι. Ετσι η υποτροφία του δεν ανανεώθηκε και αναγκάστηκε να πάρει ένα δάνειο 200 σπεσιντάλερ από τη Norges Bank, που ποτέ δεν αποπλήρωσε. Αρχισε επίσης να διδάσκει και συνέχισε να στέλνει τα περισσότερα έργα του στο Crelle's Journal. Αλλά στα μέσα του 1828 δημοσίευσε, ανταγωνιζόμενος τον Καρλ Γιακόμπι, μια σημαντική εργασία για τις ελλειπτικές συναρτήσεις στο Astronimische Nachrichten της Αλτονα. Ενώ βρισκόταν στο Παρίσι ο Αμπελ προσβλήθηκε από φυματίωση. Τα Χριστούγεννα του 1828 ταξίδεψε με έλκηθρο στο Φρόλαντ για να επισκεφθεί την αρραβωνιαστικιά του και στο ταξίδι αρρώστησε σοβαρά. Αν και μια προσωρινή βελτίωση επέτρεψε στο ζευγάρι να περάσει μαζί τις γιορτές, πέθανε μετά από λίγο καιρό στις 6 Απριλίου 1829 δύο μόλις μέρες πριν φθάσει μια επιστολή από τον Αουγκουστ Κρέλε. Ο Κρέλε έψαχνε για μια νέα δουλειά για τον Αμπελ στο Βερολίνο και πραγματικά είχε καταφέρει να τον διορίσει Καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Ο Κρέλε έγραψε στον Αμπελ για να του το πει, αλλά τα καλά νέα έφτασαν πολύ αργά. Το 1826 ο Άμπελ πήγε στο Παρίσι, όπου έμεινε δέκα μήνες και συνάντησε κορυφαίους Γάλλους μαθηματικούς. Αλλά ο ίδιος δεν εκτιμήθηκε όσο του άξιζε, καθώς το έργο του ήταν ελάχιστα γνωστό και η μετριοφροσύνη του τον εμπόδιζε να διατυμπανίζει τις έρευνές του. Οι οικονομικές δυσκολίες, που δεν τον εγκατέλειψαν ποτέ στη ζωή του, τον υποχρέωσαν τελικώς να διακόψει τη διαμονή του στο εξωτερικό και να επιστρέψει στη Νορβηγία, όπου δίδαξε για λίγο στο Βασιλικό Φρειδερίκειο Πανεπιστήμιο. Ο Άμπελ απέδειξε ότι δεν υπάρχει γενική αλγεβρική λύση για τις ρίζες μιας πεντωνυμικής εξίσωσης, ή οποιασδήποτε γενικά πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού μεγαλύτερου του τέταρτου, όσον αφορά ρητές αλγεβρικές ρίζες. Για να το κάνει αυτό ανακάλυψε (ανεξάρτητα από τον Γκαλουά) ένα κλάδο μαθηματικών γνωστό ως θεωρία ομάδων, που είναι πολύτιμος όχι μόνο σε πολλούς τομείς των μαθηματικών αλλά και για μεγάλο μέρος της φυσικής. Ο Άμπελ έστειλε ένα έγγραφο σχετικά με τη μη επίλυση της πεντωνυμικής εξίσωσης στον Καρλ Φρίντριχ Γκάους, που απέρριψε χωρίς να του ρίξει μια ματιά αυτό που πίστευε ότι ήταν το άχρηστο έργο ενός ψώνιου. Στα 16 του ο Άμπελ έδωσε μια αυστηρή απόδειξη του διωνυμικού θεωρήματος, που ισχύει για όλους τους αριθμούς, επεκτείνοντας εκείνο του Όιλερ, που ίσχυε μόνο για τους ρητούς. Ο Άμπελ έγραψε ένα θεμελιώδες έργο για τη θεωρία των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων, που περιείχε τα θεμέλια της θεωρίας των ελλειπτικών συναρτήσεων. Ταξιδεύοντας προς το Παρίσι, δημοσίευσε μια εργασία που αποδείκνυε τη διπλή περιοδικότητα των ελλειπτικών συναρτήσεων, που ο Αντριάν-Μαρί Λεζάντρ περιέγραψε αργότερα στον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ ως «μνημείο που διαρκεί περισσότερο από το χαλκό» (δανειζόμενος μια διάσημη πρόταση του Ρωμαίου ποιητή Οράτιου). Η εργασία, ωστόσο, παραπετάχθηκε από τον Κωσύ. Ευρισκόμενος στο εξωτερικό ο Άμπελ είχε στείλει το μεγαλύτερο μέρος του έργου του στο Βερολίνο για να δημοσιευτεί στο Crelle's Journal, αλλά είχε κρατήσει αυτό που θεωρούσε ως το σημαντικότερο έργο του για τη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, ένα θεώρημα για την πρόσθεση των αλγεβρικών διαφορών. Το θεώρημα παραμερίστηκε και ξεχάστηκε μέχρι το θάνατό του. Οντας στο Φράιμπεργκ ο Άμπελ έκανε έρευνα για τη θεωρία των συναρτήσεων, ιδιαίτερα των ελλειπτικών, των υπερελλειπτικών και μιας νέας τάξης που τώρα είναι γνωστή ως αβελιανές συναρτήσεις. Το 1823 ο Άμπελ έγραψε μια εργασία με τίτλο "γενική αναπαράσταση της δυνατότητας ενσωμάτωσης όλων των διαφορικών τύπων" (Νορβηγικά: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler). Ζήτησε χρήματα στο πανεπιστήμιο για να το δημοσιεύσει, ωστόσο, το έργο χάθηκε στη διαδικασία και δεν ξαναβρέθηκε ποτέ. Ο Άμπελ δήλωσε για το συγγραφικό ύφος του Καρλ Φρίντριχ Γκάους, "Είναι σαν την αλεπού, που σβήνει τα ίχνη της στην άμμο με την ουρά της." Ο Γκάους του απάντησε λέγοντας: «Κανένας αρχιτέκτονας που σέβεται τον εαυτό του δεν αφήνει τη σκαλωσιά στη θέση της μετά την ολοκλήρωση του κτιρίου του.» Υπό την καθοδήγηση του Άμπελ άρχισαν να διασαφηνίζονται οι επικρατούσες ασάφειες της ανάλυσης, εισήχθησαν νέα πεδία και η μελέτη των συναρτήσεων προχώρησε τόσο ώστε να εφοδιάσει τους μαθηματικούς με πολλά εργαλεία για την εξέλιξή τους. Τα έργα του, το μεγαλύτερο μέρος των οποίων αρχικά δημοσιεύθηκε στο Crelle's Journal, εκδόθηκαν από τον Μπερντ Μίχαελ Χόλμποε και δημοσιεύθηκαν το 1839 από τη Νορβηγική κυβέρνηση και σε μια πληρέστερη έκδοση από τους Λούντβιγκ Σύλοβ και Σόφους Λι το 1881. Το επίθετο "αβελιανός" , που προήλθε από το όνομά του, έχει γίνει τόσο συνηθισμένο στα μαθηματικά συγγράμματα που συμβατικά γράφεται με ένα πεζικό αρχικό "a" (π.χ., αβελιανή ομάδα, αβελιανή κατηγορία και αβελιανή ποικιλία). Στις 6 Απριλίου 1929 εκδόθηκαν τέσσερα νορβηγικά γραμματόσημα για την εκατονταετία από το θάνατο του Άμπελ. Το πορτραίτο του εμφανίζεται στο χαρτονόμισμα των 500 κορωνών (έκδοση V) που εκδόθηκε κατά την περίοδο 1978–1985 Στις 5 Ιουνίου 2002 εκδόθηκαν τέσσερα νορβηγικά γραμματόσημα προς τιμήν του Άμπελ δύο μήνες πριν από τα διακόσια από τη γέννησή του. Υπάρχει επίσης ένα κέρμα 20 κορωνών που εκδόθηκε από τη Νορβηγία προς τιμήν του. Ένα άγαλμα του Άμπελ βρίσκεται στο Όσλο και ο κρατήρας Άμπελ στη Σελήνη πήρε το όνομά του. Το 2002 το Βραβείο Άμπελ καθιερώθηκε στη μνήμη του. Ο μαθηματικός Φέλιξ Κλάιν έγραψε για τον Άμπελ: Αλλά δεν θα ήθελα να αφήσω αυτό τον ιδανικό τύπο ερευνητή, όπως σπάνια εμφανίστηκε στην ιστορία των μαθηματικών, χωρίς να επικαλεστώ μια μορφή από έναν άλλο τομέα που, παρά το εντελώς διαφορετικό του αντικείμενο, όμως φαίνεται να σχετίζεται. Έτσι, αν και ο Άμπελ μοιραζόταν με πολλούς μαθηματικούς μια πλήρη έλλειψη μουσικού ταλέντου, δεν θα ακουγόταν παράλογο αν συγκρίνω το είδος της παραγωγικότητάς του και την προσωπικότητά του με εκείνες του Μότσαρτ. Έτσι θα μπορούσε κάποιος να ανεγείρει ένα μνημείο για αυτό το θεόπνευστο μαθηματικό, όπως εκείνο για το Μότσαρτ στη Βιέννη: απλός και μετριόφρων, στέκεται εκεί ακούγοντας, ενώ χαριτωμένοι άγγελοι περιπλέουν, φέρνοντάς του παιχνιδιάρικα έμπνευση από έναν άλλο κόσμο. Αντ 'αυτού πρέπει να αναφέρω τον πολύ διαφορετικό τύπο μνημείου που στην πραγματικότητα ανεγέρθηκε για τον Άμπελ στη Χριστιανία και το οποίο πρέπει να απογοήτευσε σε μεγάλο βαθμό όποιον γνώριζε τη φύση του. Σε έναν πανύψηλο, απότομο βάθρο από γρανίτη ένας νεαρός αθλητής Βυρωνικής μορφής πατάει πάνω σε δύο γκρίζα θύματα θυσίας, κατευθυνόμενος προς τους ουρανούς. Αν χρειαστεί κάποιος θα μπορούσε να θεωρήσει τον ήρωα σύμβολο του ανθρώπινου πνεύματος, αλλά κάποιος άλλος να απορήσει για τη βαθύτερη σημασία των δύο τεράτων. Είναι οι κατακτημένες πεντωνυμικές εξισώσεις ή οι ελλειπτικές συναρτήσεις; Ή οι λύπες και οι σκοτούρες της καθημερινής του ζωής; Το βάθρο του μνημείου φέρει, με τεράστια γράμματα, την επιγραφή ΑΒΕL. αβελιανή συνάρτηση αβελιανή ομάδα Θεώρημα του Άμπελ αβελιανή κατηγορία αβελιανή πολλαπλότητα αβελιανός μετασχηματισμός Ταυτότητα του Άμπελ Ανισότητα του Άμπελ Εξίσωση Άμπελ Από τον ιστοτόπο του Βραβείου Άμπελ: Βιογραφία από τον Arild Stubhaug Επιστημονική βιογραφία από τον Christian Houzel Συλλογή έργων Χειρόγραφα Προσωπικά αντικείμενα Βιογραφία Μετάφραση της έρευνας του Abel πάνω στις ελλειπτικές συναρτήσεις Διάσημα αποφθέγματα του Niels Henrik Abel Ο «Μαθηματικός Διαγωνισμός Niels Henrik Abel», είναι η «νορβηγική Μαθηματική Ολυμπιάδα»