Φρακτάλ του Λιαπούνοφ

Στα μαθηματικά, τα Φρακτάλ του Λιαπούνοφ (επίσης γνωστά ως φράκταλ Μάρκους-Λιαπούνοφ) είναι διακλαδιστικά φράκταλ που προέρχονται από μια επέκταση του λογιστικού χάρτη, στον οποίο ο βαθμός αύξησης του πληθυσμού, r, αλλάζει περιοδικά μεταξύ δύο τιμών Α και B.. Ένα φράκταλ Λιαπούνοφ κατασκευάζεται με την απεικόνιση των περιοχών σταθερότητας και χαοτικής συμπεριφοράς (που μετριούνται με τη χρήση του εκθέτη Λιαπούνωφ λ {\displaystyle \lambda } ) στο επίπεδο a−b για δεδομένες περιοδικές ακολουθίες των a και b. Στις εικόνες, το κίτρινο χρώμα αντιστοιχεί σε λ < 0 {\displaystyle \lambda <0} (σταθερότητα) και το μπλε χρώμα αντιστοιχεί σε λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} (χάος). Τα φράκταλ του Λιαπουνόφ ανακαλύφθηκαν στα τέλη της δεκαετίας του 1980 από τον Γερμανο-Χιλιανό φυσικό Μάριο Μάρκους από το Ινστιτούτο Μοριακής Φυσιολογίας Μαξ Πλανκ. Παρουσιάστηκαν στο ευρύ κοινό από ένα άρθρο εκλαΐκευσης της επιστήμης για τα μαθηματικά αναψυχής που δημοσιεύτηκε στο επιστημονικό περιοδικό Scientific American το 1991.

 Τα φράκταλ του Λιαπούνοφ σχεδιάζονται γενικά για τιμές των Α και Β στο διάστημα [ 0 , 4 ] {\displaystyle [0,4]} . Για μεγαλύτερες τιμές, το διάστημα [0,1] δεν είναι πλέον σταθερό και η ακολουθία είναι πιθανό να έλκεται από το άπειρο, αν και συνεχίζουν να υπάρχουν συγκλίνουσες κύκλοι πεπερασμένων τιμών για ορισμένες παραμέτρους. Για όλες τις ακολουθίες επανάληψης, η διαγώνιος a = b είναι πάντα η ίδια όπως για την τυπική λογιστική συνάρτηση μίας παραμέτρου. Η ακολουθία συνήθως ξεκινάει από την τιμή 0,5, η οποία αποτελεί κρίσιμο σημείο της επαναληπτικής συνάρτησης. Τα άλλα (ακόμη και σύνθετης αξίας) κρίσιμα σημεία της επαναληπτικής συνάρτησης κατά τη διάρκεια ενός ολόκληρου κύκλου είναι αυτά που διέρχονται από την τιμή 0,5 στον πρώτο κύκλο. Ένας συγκλίνων κύκλος πρέπει να προσελκύει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο Επομένως, όλοι οι συγκλίνουσες κύκλοι μπορούν να προκύψουν απλώς μετατοπίζοντας την ακολουθία επανάληψης και διατηρώντας την αρχική τιμή 0,5. Στην πράξη, η μετατόπιση αυτής της ακολουθίας οδηγεί σε αλλαγές στο φράκταλ, καθώς ορισμένοι κλάδοι καλύπτονται από άλλους. Παραδείγματος χάριν, το φράκταλ του Λιαπούνοφ για την ακολουθία επανάληψης AB (βλέπε πάνω σχήμα δεξιά) δεν είναι απόλυτα συμμετρικό ως προς τα a και b. Ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό των φράκταλ του Λιαπούνοφ λειτουργεί ως εξής: Επιλέξτε μια συμβολοσειρά από As και Bs οποιουδήποτε μη τετριμμένου μήκους (π.χ. AABABAB). Κατασκευάστε την ακολουθία S {\displaystyle S} που σχηματίζεται από διαδοχικούς όρους της συμβολοσειράς, επαναλαμβανόμενη όσες φορές χρειάζεται. Διαλέξτε ένα σημείο Καθορίστε τη συνάρτηση r n = a {\displaystyle r_{n}=a} αν S n = A {\displaystyle S_{n}=A} , και r n = b {\displaystyle r_{n}=b} αν S n = B {\displaystyle S_{n}=B} . Έστω x 0 = 0.5 {\displaystyle x_{0}=0.5} , και υπολογίστε τις επαναλήψεις x n + 1 = r n x n ( 1 − x n ) {\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})} . Υπολογίστε τον εκθέτη Λιαπούνοφ: λ = lim N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N log ⁡ | d x n + 1 d x n | = lim N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N log ⁡ | r n ( 1 − 2 x n ) | {\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|} Στην πράξη, η λ {\displaystyle \lambda } προσεγγίζεται επιλέγοντας ένα κατάλληλα μεγάλο N {\displaystyle N} και απορρίπτοντας το πρώτο άθροισμα ως r 0 ( 1 − 2 x 0 ) = r n ⋅ 0 = 0 {\displaystyle r_{0}(1-2x_{0})=r_{n}\cdot 0=0} για x 0 = 0.5 {\displaystyle x_{0}=0.5} . Χρωματίστε το σημείο ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} σύμφωνα με την τιμή του λ {\displaystyle \lambda } που προκύπτει. Επαναλάβετε τα βήματα (3-7) για κάθε σημείο στο επίπεδο εικόνας. Τα φράκταλ του Λιαπούνοφ μπορούν να υπολογιστούν σε περισσότερες από δύο διαστάσεις. Η συμβολοσειρά ακολουθίας για ένα n -διάστατο fractal πρέπει να κατασκευαστεί από ένα αλφάβητο με n χαρακτήρες, π.χ. "ABBBCA" για ένα 3D φράκταλ, το οποίο μπορεί να οπτικοποιηθεί είτε ως 3D αντικείμενο είτε ως κινούμενη εικόνα που δείχνει μια "φέτα" στην κατεύθυνση C για κάθε καρέ κινούμενης εικόνας, όπως το παράδειγμα που δίνεται εδώ. Σημειώστε ότι ο όρος "φράκταλ" σε αυτή τη σελίδα είναι μια καθομιλουμένη ονομασία. Δεν υπονοεί απαραίτητα το γενικότερο χαρακτηριστικό των φράκταλ, στο οποίο τα γενικά σχήματα επαναλαμβάνονται σε μικρότερες κλίμακες. EFG's Fractals and Chaos – Lyapunov Exponents Elert, Glenn. «Lyapunov Space». The Chaos Hypertextbook. Αναδρομή Σύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν Markus, Mario, "Die Kunst der Mathematik", Verlag Zweitausendeins, Frankfurt (ISBN 978-3-86150-767-3)