Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου

Οι Μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου είναι εξισώσεις που μετασχηματίζουν την κίνηση ενός σώματος όπως αυτή γίνεται σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο έτσι ώστε να περιγράφεται όπως αυτή γίνεται σε ένα άλλο αδρανειακό σύστημα αναφοράς Ο' κινούμενο ως προς το αρχικό (με σταθερή ταχύτητα).

 Οι ελληνικοί δείκτες στο εξής θα παίρνουν τιμές: 0,1,2,3. Οι αγγλικοί δε, θα παίρνουν τιμές 1,2,3. Επίσης θα χρησιμοποιείται η αθροιστική σύμβαση του Einstein κατά την οποία όταν ένας δείκτης εμφανίζεται δύο φορές σε ένα γινόμενο, μία με αναλλοίωτη (xi) μορφή και μία με συναλλοίωτη (xi) μορφή τότε υποννοείται άθροιση σε αυτόν τον δείκτη, δηλαδή: x i y i = ∑ i x i y i {\displaystyle x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y_{i}} Έστω ότι έχουμε δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς (Ο και Ο') των οποίων οι άξονες είναι παράλληλοι. Και έστω ότι και τα δύο έχουν ίδιες μονάδες μέτρησης μήκους και χρόνου. Αν τη στιγμή που το ρολόι του Ο' δείχνει t'=0, το ρολόι του Ο δείχνει t=τ και επίσης ο Ο' έχει χωρικές συντεταγμένες (b1,b2,b3) ως προς τον Ο, τότε η χωροχρονική θέση ενός γεγονότος στον Ο (Χ), όπως περιγράφεται στο σύστημα του Ο' (Χ') είναι: X ′ = X − [ b 0 ≡ τ b 1 b 2 b 3 ] {\displaystyle X'=X-{\begin{bmatrix}b^{0}\equiv \tau \\b^{1}\\b^{2}\\b^{3}\end{bmatrix}}} ή με συμβολισμό δεικτών: x ′ α = x α − b α {\displaystyle x'^{\alpha }=x^{\alpha }-b^{\alpha }} . Έστω δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς με μηδενική σχετική ταχύτητα το ένα ως προς το άλλο. Έστω επίσης ότι έχουν κοινή αρχή και τα ρολόγια των παρατηρητών τους δείχνουν την ίδια ώρα (t'=t ή x'0=x0), δηλαδή έστω ότι b α = 0 {\displaystyle b^{\alpha }=0} και έστω ότι οι άξονές τους έχουν τυχαίο προσανατολισμό. Ο μετασχηματιμός των συντεταγμένων μπορεί να γραφεί ως x ′ α = G α γ x γ {\displaystyle x'^{\alpha }=G^{\alpha }{}_{\gamma }x^{\gamma }} . Συνεπώς αν στην σχέση x ′ α = G α γ x γ {\displaystyle x'^{\alpha }=G^{\alpha }{}_{\gamma }x^{\gamma }} θέσουμε όπου α=0, θα πάρουμε το εξής: x ′ 0 = x 0 = G 0 γ = G 0 0 x 0 + G 0 1 x 1 + G 0 2 x 2 + G 0 3 x 3 {\displaystyle x'^{0}=x^{0}=G^{0}{}_{\gamma }=G^{0}{}_{0}x^{0}+G^{0}{}_{1}x^{1}+G^{0}{}_{2}x^{2}+G^{0}{}_{3}x^{3}} , επομένως έχουμε ότι: G 0 0 = 1 {\displaystyle G^{0}{}_{0}=1} και G 0 i = 0 {\displaystyle G^{0}{}_{i}=0} . Επίσης γνωρίζουμε ότι το χωρικό κομμάτι του: x ′ α {\displaystyle x'^{\alpha }} , δηλαδή το: x ′ i {\displaystyle x'^{i}} μετασχηματίζεται σε στροφή κατά τον εξής τρόπο: x ′ i = R i j x j {\displaystyle x'^{i}=R^{i}{}_{j}x^{j}} , όπου R είναι πίνακας (τανυστής) στροφής. Άρα έχουμε ότι: x i = R i j x j = G i γ x γ = G i 0 x 0 + G i j x j {\displaystyle x^{i}=R^{i}{}_{j}x^{j}=G^{i}{}_{\gamma }x^{\gamma }=G^{i}{}_{0}x^{0}+G^{i}{}_{j}x^{j}} και συνεπώς ισχύει ότι: G i 0 = 0 {\displaystyle G^{i}{}_{0}=0} και G i j = R i j {\displaystyle G^{i}{}_{j}=R^{i}{}_{j}} . Τελικά καταλήγουμε στο ότι για στροφές ο πίνακας G παίρνει τη μορφή: G = [ 1 0 0 R ] {\displaystyle G={\begin{bmatrix}1&0\\0&R\end{bmatrix}}} . Έστω ότι έχουμε και πάλι δύο αδρανειακά συστήματα αναφοράς με κοινή ώρα και κοινή αρχή και παράλληλους άξονες. Έστω επίσης ότι το Ο' κινείται με ταχύτητα u → = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u^{1},u^{2},u^{3})} . Σε αυτήν την περίπτωση οι μετασχηματισμοί είναι ο εξής: x ′ 0 = x 0 x ′ i = x i − u i x 0 } {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x'^{0}=x^{0}\\x'^{i}=x^{i}-u^{i}x^{0}\end{matrix}}\right\}} ή σε μορφή πινάκων: X ′ = G X {\displaystyle X'=GX} , όπου: G = [ 1 0 − u I ] = [ 1 0 0 0 − u 1 1 0 0 − u 2 0 1 0 − u 3 0 0 1 ] {\displaystyle G={\begin{bmatrix}1&0\\-u&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-u^{1}&1&0&0\\-u^{2}&0&1&0\\-u^{3}&0&0&1\end{bmatrix}}} . Ο γενικός μετασχηματισμός μετασχηματίζει τις εξισώσεις σε ένα σύστημα που έχει προώθηση, στρέφεται και εμφανίζει χρονική και χωρική μετάθεση. Ο μετασχηματισμός τότε παίρνει τη μορφή: X ′ = G X + b {\displaystyle X'=GX+b} , όπου: G = [ 1 0 − u R ] {\displaystyle G={\begin{bmatrix}1&0\\-u&R\end{bmatrix}}} και b = [ b 0 ≡ τ b 1 b 2 b 3 ] {\displaystyle b={\begin{bmatrix}b^{0}\equiv \tau \\b^{1}\\b^{2}\\b^{3}\end{bmatrix}}} . Αν έχουμε τρία αδρανειακά συστήματα αναφοράς Ο1, Ο2, Ο3, τότε οι μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου από το ένα σύστημα στο άλλο και συγκεκριμένα από το Ο1 στο Ο2 και από το Ο2 στο Ο3 είναι: X 2 = G 1 X 1 + b 1 {\displaystyle X_{2}=G_{1}X_{1}+b_{1}} και X 3 = G 2 X 2 + b 2 {\displaystyle X_{3}=G_{2}X_{2}+b_{2}} αντιστοίχως. Αντικαθιστώντας το Χ2 στην τελεταία, έχουμε: G 2 G 1 X 1 + G 2 b 1 + b 2 {\displaystyle G_{2}G_{1}X_{1}+G_{2}b_{1}+b_{2}} . Μπορούμε να δείξουμε ότι και αυτός ο τελευταίο μετασχηματισμός που εκφράσει έναν άμεσο μετασχηματισμό από το Ο1 στο Ο3 είναι μετασχηματισμός Γαλιλαίου. Πιο συγκεκριμένα θα δείξουμε ότι το σύνολο των γενικών μετασχηματισμών του Γαλιλαίου με την πράξη g 1 ( G 1 , b 1 ) ∗ g 2 ( G 2 , b 2 ) = g ( G 2 G 1 , G 2 b 1 + b 2 ) {\displaystyle g_{1}(G_{1},b1)*g_{2}(G_{2},b2)=g(G_{2}G_{1},G_{2}b_{1}+b_{2})} , όπου g1, g2: Γαλιλαϊκοί(g) μετασχηματισμοί, αποτελεί ομάδα. Απόδειξη Κλειστότητα.Έχουμε: g 1 ( G 1 , b 1 ) ∗ g 2 ( G 2 , b 2 ) = ( G 2 G 1 , G 2 b 1 + b 2 ) {\displaystyle g_{1}(G_{1},b1)*g_{2}(G_{2},b2)=(G_{2}G_{1},G_{2}b_{1}+b_{2})} . Θέτουμε G = G 2 G 1 {\displaystyle G=G_{2}G_{1}} και b = G 2 b 1 + b 2 {\displaystyle b=G_{2}b_{1}+b_{2}} . Οπότε ο μετασχηματισμός γίνεται: ( G 2 G 1 , G 2 b 1 + b 2 ) = g ( G , b ) {\displaystyle (G_{2}G_{1},G_{2}b_{1}+b_{2})=g(G,b)} που είναι Γαλιλαϊκός άρα πράγματι το σύνολο των Γαλιλαϊκών μετασχηματισμών με την πράξη που ορίστηκε πιο πάνω είναι κλειστό, δηλαδή η πράξη οδηγεί σε στοιχεία του ίδιου συνόλου. Προσεταιριστική ιδιότητα.Έχουμε: ( g 1 ∗ g 2 ) ∗ g 3 = g 1 , 2 ( G 2 G 1 , G 2 b 1 + b 2 ) ∗ g 3 ( G 3 , b 3 ) = g ( G 3 G 2 G 1 , G 3 G 2 b 1 + G 3 b 2 + b 3 ) {\displaystyle (g_{1}*g_{2})*g_{3}=g_{1,2}(G_{2}G_{1},G_{2}b_{1}+b_{2})*g_{3}(G_{3},b_{3})=g(G_{3}G_{2}G_{1},G_{3}G_{2}b_{1}+G_{3}b_{2}+b_{3})} και: g 1 ∗ ( g 2 ∗ g 3 ) = g 1 ( G 1 , b 1 ) ∗ g 2 , 3 ( G 3 G 2 , G 3 b 2 + b 3 ) = g ′ ( G 3 G 2 G 1 , G 3 G 2 b 1 + G 3 b 2 + b 3 ) {\displaystyle g_{1}*(g_{2}*g_{3})=g_{1}(G_{1},b_{1})*g_{2,3}(G_{3}G_{2},G_{3}b_{2}+b_{3})=g'(G_{3}G_{2}G_{1},G_{3}G_{2}b_{1}+G_{3}b_{2}+b_{3})} . Παρατηρούμε ότι: g = g ′ {\displaystyle g=g'} , άρα υπάρχει η προσεταιριστική ιδιότητα. Ουδέτερο Στοιχείο.Πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχει στοιχείο g0, τέτοιο ώστε: g ∗ g 0 = g {\displaystyle g*g_{0}=g} . Έχουμε: g ∗ g 0 = g ⇒ g ( G , b ) ∗ g 0 ( G 0 , b 0 ) = g ( G , b ) ⇒ ( G 0 G , G 0 b + b 0 ) = ( G , b ) {\displaystyle g*g_{0}=g\Rightarrow g(G,b)*g_{0}(G_{0},b_{0})=g(G,b)\Rightarrow (G_{0}G,G_{0}b+b_{0})=(G,b)} . Αυτό συμβαίνει όταν: G 0 G = G ⇒ G 0 = I {\displaystyle G_{0}G=G\Rightarrow G_{0}=I} και συνεπώς όταν: G 0 b + b 0 = b ⇒ I b + b 0 = b ⇒ b 0 = 0 {\displaystyle G_{0}b+b_{0}=b\Rightarrow Ib+b_{0}=b\Rightarrow b_{0}=0} . Άρα υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο της πράξης (*) μεταξύ των Γαλιλαϊκών μετασχηματισμών και αυτό είναι το g 0 ( I , 0 ) {\displaystyle g_{0}(I,0)} . Αντίστροφο Στοιχείο.Πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχει στοιχείο g0, τέτοιο ώστε όταν πολλαπλασιαστεί με το g να μας δώσει το ουδέτερο στοιχείο της οριζόμενης πράξης: g ∗ g 0 = ( I , 0 ) {\displaystyle g*g_{0}=(I,0)} . Έχουμε: g ∗ g 0 = ( I , 0 ) ⇒ g ( G , b ) ∗ g 0 ( G 0 , b 0 ) = ( I , 0 ) ⇒ ( G 0 G , G 0 b + b 0 ) = ( I , 0 ) {\displaystyle g*g_{0}=(I,0)\Rightarrow g(G,b)*g_{0}(G_{0},b_{0})=(I,0)\Rightarrow (G_{0}G,G_{0}b+b_{0})=(I,0)} . Αυτό συμβαίνει όταν: G 0 G = I ⇒ G 0 = G − 1 {\displaystyle G_{0}G=I\Rightarrow G_{0}=G^{-1}} και όταν: G 0 b + b 0 = 0 ⇒ b 0 = − G − 1 b {\displaystyle G_{0}b+b_{0}=0\Rightarrow b_{0}=-G^{-1}b} . Άρα υπάρχει το αντίστροφο στοιχείο του g(G,b) και αυτό είναι το: g 0 ( G − 1 , − G − 1 b ) {\displaystyle g_{0}(G^{-1},-G^{-1}b)} . Και άρα απεδείχθη το ζητούμενο. Ο κυματικός τελεστής ή αλλιώς τελεστής D' Alembert (υποθέτουμε διάδοση κύματος μόνο κατά τον άξονα x για διευκόλυνση): ◻ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 − 1 υ 2 ∂ 2 ∂ t 2 {\displaystyle \Box ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{\upsilon ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}} ), δεν μένει αμετάβλητος κάτω από Γαλιλαϊκό μετασχηματισμό. Έχουμε τον Γαλιλαϊκό μετασχηματισμό: t ′ = t x ′ = x − u t } {\displaystyle \left.{\begin{matrix}t'=t\\x'=x-ut\end{matrix}}\right\}} .Προσοχή!: Η ταχύτητα u είναι η ταχύτητα του συστήματος Ο' ως προς το Ο. Η ταχύτητα υ είναι η ταχύτητα του κύματος. Ψάχνουμε να βρούμε την έκφραση του τελεστή D' Alembert κάτω από αυτόν τον μετασχηματισμό. Έχουμε: ∂ ∂ x = ∂ x ′ ∂ x ∂ ∂ x ′ + ∂ t ′ ∂ x ∂ ∂ t ′ = ∂ ∂ x ′ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial x'}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial x'}}+{\frac {\partial t'}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial t'}}={\frac {\partial }{\partial x'}}} και ∂ ∂ t = ∂ x ′ ∂ t ∂ ∂ x ′ + ∂ t ′ ∂ t ∂ ∂ t ′ = − u ∂ ∂ x ′ + ∂ ∂ t ′ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\partial x'}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial x'}}+{\frac {\partial t'}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial t'}}=-u{\frac {\partial }{\partial x'}}+{\frac {\partial }{\partial t'}}} , ενώ για τις παραγώγους δευτέρας τάξης έχουμε: ∂ 2 ∂ x 2 = ∂ 2 ∂ x ′ 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x'^{2}}}} και ∂ ∂ t ∂ ∂ t = ( − u ∂ ∂ x ′ + ∂ ∂ t ′ ) ( − u ∂ ∂ x ′ + ∂ ∂ t ′ ) = u 2 ∂ 2 ∂ x ′ 2 − 2 u ∂ 2 ∂ x ′ ∂ t ′ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial t}}=\left(-u{\frac {\partial }{\partial x'}}+{\frac {\partial }{\partial t'}}\right)\left(-u{\frac {\partial }{\partial x'}}+{\frac {\partial }{\partial t'}}\right)=u^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x'^{2}}}-2u{\frac {\partial ^{2}}{\partial x'\partial t'}}} .Συνεπώς στις νέες συντεταγμένες ο τελεστής D' Alembert γίνεται: ◻ ′ 2 = ( 1 − ( u υ ) 2 ) ∂ 2 ∂ x ′ 2 − 1 υ 2 ∂ 2 ∂ t ′ 2 − 2 u υ 2 ∂ 2 ∂ x ′ ∂ t ′ {\displaystyle \Box '^{2}=\left(1-\left({\frac {u}{\upsilon }}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x'^{2}}}-{\frac {1}{\upsilon ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t'^{2}}}-2{\frac {u}{\upsilon ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x'\partial t'}}} που είναι διαφορετικός από ό,τι προηγουμένως.Από την ανάγκη να βρεθεί ένας μετασχηματισμός που δε θα αλλάζει την κυματική εξίσωση και θα ικανοποιεί τα ηλεκτρομαγνητικά (Η/Μ) κύματα και το ότι τα Η/Μ κύματα έχουν ταχύτητα διάδοσης στο κενό ίση με αυτή του φωτός στο κενό ο Einstein διατύπωσε την ειδική θεωρία της σχετικότητας. Οι μετασχηματισμοί που δεν αλλάζουν τη μορφή της κυματικής εξίσωσης και είναι σύμφωνοι με την ειδική σχετικότητα είναι οι μετασχηματισμοί του Lorentz. Πίνακας στροφής Τανυστής Τετρανύσματα Μετασχηματισμοί Λόρεντζ Ηλεκτρομαγνητισμός Ομάδα Τσαμπαρλής Μιχαήλ, Θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας, Μέρος Ι και Μέρος ΙΙ, Αυτοέκδοση 2004 Rindler Wolfgang, Εισαγωγή στην Ειδική Σχετικότητα, Leaderbooks 2001 Χριστοδουλάκης Θ., Κορφιάτης Ε., Σημειώσεις Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητος, Εκτυπωμένες σημειώσεις που εκδόθηκαν πρώτη φορά το 2003 στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Αθηνών A.I. Borisenko, I.E. Tarapov, Vector and Tensor Analysis with Applications, Dover Publications 1979