Συμπλήρωμα (θεωρία συνόλων)

Στην θεωρία συνόλων, το συμπλήρωμα ενός συνόλου A {\displaystyle A} είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο A {\displaystyle A} , και συμβολίζεται ως A c {\displaystyle A^{c}} ή A ′ {\displaystyle A'} .Όταν το υπερσύνολο όλων των στοιχείων Ω {\displaystyle \Omega } είναι ξεκάθαρο από τα συμφραζώμενα, τότε το απόλυτο συμπλήρωμα του A {\displaystyle A} είναι όλα τα στοιχεία του Ω {\displaystyle \Omega } που δεν ανήκουν στο A {\displaystyle A} . Το σχετικό συμπλήρωμα (ή διαφορά) του A {\displaystyle A} και του B {\displaystyle B} είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του A {\displaystyle A} που δεν ανήκουν στο B {\displaystyle B} και συμβολίζεται ως A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} (ή A − B {\displaystyle A-B} ).

 Το απόλυτο συμπλήρωμα των φυσικών αριθμών N = { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}} είναι { − 1 , − 2 , − 3 , … } {\displaystyle \{-1,-2,-3,\ldots \}} (όταν το Ω = Z = { … , − 1 , 0 , + 1 , … } {\displaystyle \Omega =\mathbb {Z} =\{\ldots ,-1,0,+1,\ldots \}} ), ενώ περιέχει επιπλέον στοιχεία όπως 1.2 , π , 31.5 , … {\displaystyle 1.2,\pi ,31.5,\ldots } όταν Ω = R {\displaystyle \Omega =\mathbb {R} } . Η διαφορά των συνόλων A = { 2 , 3 , 7 , 9 , 10 , 11 } {\displaystyle A=\{2,3,7,9,10,11\}} και B = { 3 , 4 , 7 , 9 , 11 } {\displaystyle B=\{3,4,7,9,11\}} είναι το σύνολο A ∖ B = { 2 , 3 , 10 } {\displaystyle A\setminus B=\{2,3,10\}} . Έστω A {\displaystyle A} το σύνολο των γυναικών στην Ελλάδα και B {\displaystyle B} το σύνολο όλων των ανθρώπων κάτω των 65. Τότε η διαφορά των A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} είναι οι ηλικιωμένες γυναίκες στην Ελλάδα. Το απόλυτο συμπλήρωμα του A {\displaystyle A} είναι το σύνολο A c = { x ∈ Ω : x ∉ A } {\displaystyle A^{c}=\{x\in \Omega :x\notin A\}} . Για κάθε σύνολο A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} ισχύει ότι: A ∪ A c = Ω {\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega } . A ∩ A c = ∅ {\displaystyle A\cap A^{c}=\varnothing } . ( A c ) c = A {\displaystyle (A^{c})^{c}=A} . A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} ανν B c ⊆ A c {\displaystyle B^{c}\subseteq A^{c}} . ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c {\displaystyle (A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}} (τύποι ντε Μόργκαν). ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c {\displaystyle (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}} (τύποι ντε Μόργκαν) ( A × B ) c = ( A c × B c ) ∪ ( A c × B ) ∪ ( A × B c ) {\displaystyle (A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})} . Το σχετικό συμπλήρωμα (ή διαφορά) του A {\displaystyle A} και του B {\displaystyle B} είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του A {\displaystyle A} που δεν ανήκουν στο B {\displaystyle B} , δηλαδή το σύνολο A ∖ B = { x ∈ A : x ∉ B } {\displaystyle A\setminus B=\{x\in A:x\notin B\}} .Επομένως το απόλυτο συμπλήρωμα A c = Ω ∖ A {\displaystyle A^{c}=\Omega \setminus A} και η διαφορά A ∖ B = A ∩ B c {\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}} . Για κάθε σύνολο A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} ισχύει ότι: A ∖ A = ∅ {\displaystyle A\setminus A=\varnothing } . A ∖ ∅ = A {\displaystyle A\setminus \varnothing =A} . ∅ ∖ A = ∅ {\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing } . A ∖ B = ( A ∪ B ) ∖ B = A ∖ ( A ∩ B ) {\displaystyle A\setminus B=(A\cup B)\setminus B=A\setminus (A\cap B)} . ( A ∖ B ) ∩ B = ∅ {\displaystyle (A\setminus B)\cap B=\varnothing } . A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} ανν A ∖ B = ∅ {\displaystyle A\setminus B=\emptyset } . ( A ∖ B ) × C = ( A × C ) ∖ ( B × C ) {\displaystyle (A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C)} (επιμεριστική ιδιότητα). ( A ∖ B ) × ( C ∖ D ) = ( A × C ) ∩ ( B c × D c ) {\displaystyle (A\setminus B)\times (C\setminus D)=(A\times C)\cap (B^{c}\times D^{c})} . ( C × D ) ∖ ( A × B ) = ( ( C − A ) × D ) ∪ ( C × ( D − B ) ) {\displaystyle (C\times D)\setminus (A\times B)=((C-A)\times D)\cup (C\times (D-B))} . Ένωση συνόλων Τομή συνόλων Παράδοξο Russell