Ανισότητα της αναδιάταξης

Στα μαθηματικά, η ανισότητα της αναδιάταξης δίνει ότι για κάθε n {\displaystyle n} πραγματικούς αριθμούς x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x n {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \ldots \leq x_{n}} και y 1 ≤ y 2 ≤ … ≤ y n {\displaystyle y_{1}\leq y_{2}\leq \ldots \leq y_{n}} και οποιαδήποτε μετάθεση π : [ n ] → [ n ] {\displaystyle \pi \colon [n]\to [n]} , ισχύει ότι x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n ≥ x 1 y π ( 1 ) + x 2 y π ( 2 ) + … + x n y π ( n ) ≥ x 1 y n + x 2 y n − 1 … + x n y 1 {\displaystyle x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}\geq x_{1}y_{\pi (1)}+x_{2}y_{\pi (2)}+\ldots +x_{n}y_{\pi (n)}\geq x_{1}y_{n}+x_{2}y_{n-1}\ldots +x_{n}y_{1}} .Ή πιο απλά, το εσωτερικό γινόμενο x T y {\displaystyle x^{T}y} μεγιστοποιείται όταν x {\displaystyle x} και y {\displaystyle y} έχουν την ίδια διάταξη, και ελαχιστοποιείται όταν έχουν αντίθετη διάταξη. Η ανισότητα αυτή χρησιμοποιείται για την απόδειξη άλλων βασικών ανισοτήτων, όπως η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς και η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου), καθώς επίσης και σε διάφορες αποδείξεις ορθότητας για άπληστους αλγορίθμους.

 Έστω ότι έχουμε x 1 = 3 , x 2 = 5 , x 3 = 9 {\displaystyle x_{1}=3,x_{2}=5,x_{3}=9} και y 1 = 4 , y 2 = 7 , y 3 = 12 {\displaystyle y_{1}=4,y_{2}=7,y_{3}=12} . Από τον παρακάτω πίνακα επιβεβαιώνουμε ότι όταν πάρουμε το άθροισμα των γινομένων με την ίδια διάταξη μεγιστοποιείται το άθροισμα (δίνεται με μπλε χρώμα στον πίνακα), ενώ όταν το πάρουμε με την αντίθετη διάταξη ελαχιστοποιείται (δίνεται με κόκκινο χρώμα). Θα αποδείξουμε ότι καμία μετάθεση π {\displaystyle \pi } δεν δίνει μεγαλύτερο άθροισμα από την μετάθεση π = ( 1 2 … n ) {\displaystyle \pi =(1\;2\;\ldots \;n)} . Έστω ότι π {\displaystyle \pi } είναι μία μετάθεση με το μέγιστο άθροισμα. Θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούν να υπάρχουν i > j {\displaystyle i>j} τέτοια ώστε y π ( i ) < y π ( j ) {\displaystyle y_{\pi (i)}<y_{\pi (j)}} . Τότε θεωρούμε την μετάθεση π ′ {\displaystyle \pi '} που αντιμεταθέτει τους δείκτες i , j {\displaystyle i,j} , δηλαδή π ′ ( i ) = j {\displaystyle \pi '(i)=j} και π ′ ( j ) = i {\displaystyle \pi '(j)=i} και π ′ ( k ) = π ( k ) {\displaystyle \pi '(k)=\pi (k)} για κάθε k ≠ i , j {\displaystyle k\neq i,j} . Τότε το άθροισμα αλλάζει κατά Δ = x 1 y π ′ ( 1 ) + … + x n y π ′ ( n ) − ( x 1 y π ( 1 ) + … + x n y π ( n ) ) = x i y π ′ ( i ) + x j y π ′ ( j ) − ( x i y π ( i ) + x j y π ( j ) ) = x i y π ( j ) + x j y π ( i ) − ( x i y π ( i ) + x j y π ( j ) ) = x i ( y π ( j ) − y π ( i ) ) + x j ( y π ( i ) − x j y π ( j ) ) = ( y π ( j ) − y π ( i ) ) ( x i − x j ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=x_{1}y_{\pi '(1)}+\ldots +x_{n}y_{\pi '(n)}-(x_{1}y_{\pi (1)}+\ldots +x_{n}y_{\pi (n)})\\&=x_{i}y_{\pi '(i)}+x_{j}y_{\pi '(j)}-(x_{i}y_{\pi (i)}+x_{j}y_{\pi (j)})\\&=x_{i}y_{\pi (j)}+x_{j}y_{\pi (i)}-(x_{i}y_{\pi (i)}+x_{j}y_{\pi (j)})\\&=x_{i}(y_{\pi (j)}-y_{\pi (i)})+x_{j}(y_{\pi (i)}-x_{j}y_{\pi (j)})\\&=(y_{\pi (j)}-y_{\pi (i)})(x_{i}-x_{j}).\end{aligned}}} Από την υπόθεση ότι i > j {\displaystyle i>j} (δηλαδή x i ≥ x j {\displaystyle x_{i}\geq x_{j}} ) και y π ( i ) < y π ( j ) {\displaystyle y_{\pi (i)}<y_{\pi (j)}} , έχουμε ότι Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} . Επομένως, η μετάθεση π ′ {\displaystyle \pi '} οδηγεί σε μεγαλύτερο άθροισμα από την π {\displaystyle \pi } . Άρα οποιαδήποτε μετάθεση έχει το μέγιστο άθροισμα δεν μπορεί να έχει τέτοια i , j {\displaystyle i,j} άρα πρέπει να έχει την ίδια διάταξη x {\displaystyle x} . Αντίστοιχα, θεωρώντας την y i ′ = − y i {\displaystyle y'_{i}=-y_{i}} , προκύπτει το κάτω φράγμα. Η ανισότητα Νέσμπιττ λέει ότι για οποιοσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς a , b , c {\displaystyle a,b,c} , a b + c + b a + c + c a + b ≥ 3 2 . {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.} Χωρίς βλάβη της γενικότητας, αφού η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς τα a , b , c {\displaystyle a,b,c} μπορούμε να θεωρήσουμε ότι a ≥ b ≥ c {\displaystyle a\geq b\geq c} , και επομένως έχουμε ότι a + b ≥ a + c ≥ b + c {\displaystyle a+b\geq a+c\geq b+c} και ότι 1 b + c ≥ 1 a + c ≥ 1 a + b . {\displaystyle {\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}.} Επομένως από την ανισότητα της αναδιάταξης έχουμε ότι a b + c + b a + c + c a + b ≥ b b + c + c a + c + a a + b , {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {b}{b+c}}+{\frac {c}{a+c}}+{\frac {a}{a+b}},} και a b + c + b a + c + c a + b ≥ c b + c + a a + c + b a + b . {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {c}{b+c}}+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {b}{a+b}}.} Αθροίζοντας της δύο ανισότητες, λαμβάνουμε 2 ⋅ ( a b + c + b a + c + c a + b ) ≥ b + c b + c + a + c a + c + a + b a + b = 3. {\displaystyle 2\cdot \left({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\right)\geq {\frac {b+c}{b+c}}+{\frac {a+c}{a+c}}+{\frac {a+b}{a+b}}=3.} Τέλος, αναδιατάσσοντας λαμβάνουμε την ζητούμενη. Θα αποδείξουμε την εξής μορφή της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς για 2 n {\displaystyle 2n} θετικούς πραγματικούς αριθμούς a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} και b 1 , … , b n {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}} , ( a 1 2 + … + a n 2 ) ⋅ ( b 1 2 + … + b n 2 ) ≥ ( a 1 b 1 + … + a n b n ) 2 . {\displaystyle \left(a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}\right)\cdot \left(b_{1}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\right)\geq \left(a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}\right)^{2}.} Αναπτύσσοντας τα δύο μέλη έχουμε ότι η ανισότητα είναι ισοδύναμη με την ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i 2 b i 2 ≥ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i b i a j b j . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}\geq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}.} Θεωρώντας την ακολουθία με n 2 {\displaystyle n^{2}} στοιχεία, x = ( a 1 b 1 , … , a 1 b 1 , a 2 b 2 , … , a 2 b 2 , … , a n b n , … , a n b n ) , {\displaystyle x=\left(a_{1}b_{1},\ldots ,a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\ldots ,a_{2}b_{2},\ldots ,a_{n}b_{n},\ldots ,a_{n}b_{n}\right),} και την αναδιάταξή της y = ( a 1 b 1 , … , a 1 b n , a 2 b 1 , … , a 2 b n , … , a n b 1 , … , a n b n ) , {\displaystyle y=\left(a_{1}b_{1},\ldots ,a_{1}b_{n},a_{2}b_{1},\ldots ,a_{2}b_{n},\ldots ,a_{n}b_{1},\ldots ,a_{n}b_{n}\right),} έχουμε ότι από την ανισότητα της αναδιάταξης ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i 2 b i 2 = x T x ≥ x T y = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i b i a j b j , {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}=x^{T}x\geq x^{T}y=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j},} αφού x {\displaystyle x} και y {\displaystyle y} δεν έχουν πάντα την ίδια διάταξη, ενώ η x {\displaystyle x} έχει την ίδια διάταξη με τον εαυτό της. Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου δίνει ότι για κάθε n {\displaystyle n} θετικούς πραγματικούς αριθμούς a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} a 1 + … + a n n ≥ a 1 + … + a n n . {\displaystyle {\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}+\ldots +a_{n}}}.} Η ανισότητα αυτή είναι ομογενής, δηλαδή αν θεωρήσουμε b i = λ a i {\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}} για οποιαδήποτε σταθερά λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} , τότε η μορφή της ανισότητας δεν αλλάζει, δηλαδή, b 1 + … + b n n = λ a 1 + … + λ a n n = λ ⋅ a 1 + … + a n n , {\displaystyle {\frac {b_{1}+\ldots +b_{n}}{n}}={\frac {\lambda a_{1}+\ldots +\lambda a_{n}}{n}}=\lambda \cdot {\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}},\quad } και b 1 ⋅ … ⋅ b n n = ( λ a 1 ) ⋅ … ⋅ ( λ a n ) n = λ ⋅ a 1 ⋅ … ⋅ a n n . {\displaystyle \quad {\sqrt[{n}]{b_{1}\cdot \ldots \cdot b_{n}}}={\sqrt[{n}]{(\lambda a_{1})\cdot \ldots \cdot (\lambda a_{n})}}=\lambda \cdot {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}.} Επομένως, a 1 + … + a n n ≥ a 1 + … + a n n {\displaystyle {\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}+\ldots +a_{n}}}} αν και μόνο αν b 1 + … + b n n ≥ b 1 + … + b n n {\displaystyle {\frac {b_{1}+\ldots +b_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{b_{1}+\ldots +b_{n}}}} .Συνεπώς, χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε a 1 ≤ … ≤ a n {\displaystyle a_{1}\leq \ldots \leq a_{n}} με γινόμενο a 1 ⋅ … ⋅ a n = 1 {\displaystyle a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}=1} . Θεωρούμε επίσης x 1 = a 1 , x 2 = a 1 a 2 , ⋮ x n = a 1 ⋯ … ⋅ a n = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=a_{1},\\x_{2}&=a_{1}a_{2},\\&\vdots \\x_{n}&=a_{1}\cdots \ldots \cdot a_{n}=1.\end{aligned}}} Από την ανισότητα της αναδιάταξης a 1 + … + a n = x 1 x n + x 2 x 1 + … + x n x n − 1 ≥ x 1 x 1 + … + x n x n = n {\displaystyle a_{1}+\ldots +a_{n}={\frac {x_{1}}{x_{n}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\geq {\frac {x_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {x_{n}}{x_{n}}}=n} .Δηλαδή, a 1 + … + a n n ≥ 1 = a 1 ⋅ … ⋅ a n n . {\displaystyle {\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq 1={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}.} Έστω ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε n {\displaystyle n} ανεμογεννήτριες με αποδόσεις η 1 , … , η n {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\eta _{n}} σε n {\displaystyle n} πιθανές θέσεις με ροή ανέμου r 1 , … , r n {\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}} . Αν τοποθετήσουμε την i {\displaystyle i} -οστή ανεμογεννήτρια στην j {\displaystyle j} -οστή θέση τότε λαμβάνουμε η i ⋅ r j {\displaystyle \eta _{i}\cdot r_{j}} ενέργεια. Πώς πρέπει να βάλουμε τις ανεμογεννήτριες στις θέσεις που έχουμε ώστε να μεγιστοποιήσουμε την συνολική ενέργεια που θα λάβουμε; Πρέπει να βρούμε την μετάθεση π {\displaystyle \pi } , ώστε να μεγιστοποιήσουμε το άθροισμα, ∑ i = 1 n η i ⋅ r π ( i ) . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\eta _{i}\cdot r_{\pi (i)}.} Από την ανισότητα της αναδιάταξης, το άθροισμα μεγιστοποιείται όταν η π {\displaystyle \pi } έχει την ίδια διάταξη με την η {\displaystyle \eta } , που οδηγεί στον απλό αλγόριθμο: τοποθετούμε την ανεμογεννήτρια με την μέγιστη απόδοση στην θέση με την μέγιστη ροή, μετά την ανεμογεννήτρια με την δεύτερη μέγιστη απόδοση στην θέση με την δεύτερη μέγιστη ροή, κ.ο.κ.