Ευκλείδης

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (περ. 350 π.Χ. - 270 π.Χ.) ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της περιόδου βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.Χ. - 283 π.Χ.). Ο Ευκλείδης κατέχει μια διακεκριμένη θέση στην ιστορία των Μαθηματικών και της Λογικής, καθώς είναι ο πρώτος που στο περίφημο έργο του Στοιχεία θεμελιώνει ένα αυστηρά δομημένο και συνεκτικό σύστημα προτάσεων (θεωρημάτων και πορισμάτων) με βάση ένα σύνολο ορισμών, κοινών εννοιών και 5 μόνο αρχικών αναπόδεικτων προτάσεων (αιτήματα). Λόγω της τεράστιας συνεισφοράς του στη μαθηματική επιστήμη είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας. Ο Ευκλείδης πέραν των Στοιχείων συνέγραψε τα έργα Οπτικά, Κατοπτρικά, Φαινόμενα, Δεδομένα, Κατατομή κανόνος και Εισαγωγή αρμονικής, τα οποία σώθηκαν.Επίσης συνέγραψε τα έργα: Τόποι προς επιφάνεια, Κωνικές τομές, Πορίσματα», Περί διαιρέσεων, Ψευδάρια και Μηχανικά, τα οποία χάθηκαν και γνωρίζουμε την ύπαρξή τους από αναφορές άλλων αρχαίων συγγραφέων.

 Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά με την ζωή του Ευκλείδη εκτός από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και σε ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό μέλος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Έγινε γνωστός στην πόλη της Αθήνας για τις μαθηματικές του εργασίες και γι' αυτό προσκλήθηκε από τον Πτολεμαίο Α΄ στην Αλεξάνδρεια. Η διάρκεια της ζωής του, όπως και ο τόπος γέννησής του μας παραμένουν άγνωστα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγραφείς τον ταύτισαν λανθασμένα με έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα. Οι λίγες ιστορικές αναφορές στον Ευκλείδη γράφτηκαν αιώνες αργότερα από τον φιλόσοφο Πρόκλο. Μία λεπτομερής βιογραφία για τον Ευκλείδη γράφτηκε από Άραβες συγγραφείς όπου αναφέρεται ως γενέτειρα του η Τύρος. Όμως, αυτή η βιογραφία ευρέως θεωρείται πλασματική.Λόγω της έλλειψης βιογραφικών πληροφοριών, κάποιοι ερευνητές θεώρησαν ότι ο Ευκλείδης δεν ήταν ιστορική φυσιογνωμία και ότι τα έργα του γράφτηκαν από μία ομάδα μαθηματικών η οποία πήρε το όνομα Ευκλείδης από την ιστορική φυσιογνωμία του Ευκλείδη του Μεγαρέως. Ωστόσο, αυτή η υπόθεση δεν είναι αποδεκτή από τους μελετητές, καθώς υπάρχουν πολύ λίγα αποδεικτικά στοιχεία υπέρ της. Ο Πρόκλος αναφέρει το εξής περιστατικό για τον Ευκλείδη. Όταν ο Πτολεμαίος Α΄ του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα Στοιχεία του για να μάθει Γεωμετρία η απάντηση του μεγάλου μαθηματικού ήταν: «Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί Γεωμετρίαν» (Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία).Αναφορά, επίσης, στον Ευκλείδη γίνεται και στο Ανθολόγιο του Στοβαίου όπου γράφονται τα ακόλουθα: «Παρ' Εὐκλείδη τις ἀρξάμενος γεωμετρεῖν, ὡς τὸ πρῶτον θεώρημα ἔμαθεν, ἤρετο τὸν Εὐκλείδη: «Τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι;» καὶ ὁ Εὐκλείδης τὸν παῖδα καλέσας «Δός», ἔφη, «αὐτῷ τριώβολον, ἐπειδὴ δεῖ αὐτῷ ἐξ ὧν μανθάνει κερδαίνειν». Σε ελεύθερη απόδοση: «Κάποιος που είχε αρχίσει να διδάσκεται γεωμετρία δίπλα στον Ευκλείδη, μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα τον ρώτησε: «Τί περισσότερο θα κερδίσω αν τα μάθω όλα αυτά;» Τότε ο Ευκλείδης φώναξε το δούλο του και του είπε: «Δώσε σε αυτόν τρεις οβολούς, διότι έχει ανάγκη να κερδίζει κάτι από ό,τι μαθαίνει». Το διασημότερο έργο του Ευκλείδη είναι τα Στοιχεία που γράφηκε γύρω στο 300 π.Χ. Αποτελείται από 13 βιβλία και αναφέρεται σε γεωμετρικά θέματα και στη θεωρία των φυσικών αριθμών. Το έργο αποτελείται από 121 ορισμούς, 5 αξιώματα, 9 κοινές έννοιες και 465 προτάσεις. Οι προτάσεις αποδεικνύονται από ένα σύνολο αξιωμάτων με τη βοήθεια της μαθηματικής λογικής. Στο έργο του περιέλαβε και προτάσεις παλαιότερων σημαντικών μαθηματικών, όπως ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο Θεαίτητος, ο Λεωδάμαντας και ο Εύδοξος.Το έργο αυτό του Ευκλείδη ήταν τόσο σημαντικό ώστε η γεωμετρία που θεμελίωσε στα Στοιχεία, η βάση της οποίας είναι το Ευκλείδειο αίτημα, (από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική παράλληλη), ονομάστηκε Ευκλείδεια. Τα Στοιχεία σήμερα θεωρούνται το κορυφαίο μαθηματικό έργο όλων των εποχών και οι εκδόσεις τους μέχρι και σήμερα υπολείπονται σε πλήθος μόνο από τη Βίβλο. Το πρώτο βιβλίο των Στοιχείων περιλαμβάνει όλα τα θεωρήματα και προβλήματα που είναι απαραίτητα για να φτάσουμε στο πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο αποδεικνύεται στην 47η πρόταση, στη δε 48η που είναι και η τελευταία αποδεικνύεται το αντίστροφο του πυθαγορείου θεωρήματος.Το δεύτερο βιβλίο με 14 προτάσεις αποτελεί τη λεγόμενη Γεωμετρική Άλγεβρα. Η θεωρία αριθμών αναπτύσσεται στα βιβλία 7, 8 και 9, ενώ το 10ο βιβλίο, που είναι και το μεγαλύτερο με 115 προτάσεις, πραγματεύεται την αρρητότητα. Τα βιβλία 11-13 ασχολούνται με τη στερεομετρία.Το έργο ολοκληρώνεται στο 13ο βιβλίο με την κατασκευή των 5 Πλατωνικών στερεών. Στοιχεία: Ένα μνημειώδες έργο Γεωμετρίας που περιέχει γεωμετρικές προτάσεις, αλλά και σημαντικά θεωρήματα για τους φυσικούς αριθμούς, όπως η απειρία των πρώτων αριθμών, ο ευκλείδειος αλγόριθμος της διαίρεσης κ.α. Το γεωμετρικό σύστημα που περιγράφεται στα Στοιχεία ήταν γνωστό απλά ως Γεωμετρία, και θεωρήθηκε ότι είναι η μοναδική γεωμετρία. Σήμερα, ωστόσο, το σύστημα αυτό αποκαλείται Ευκλείδεια Γεωμετρία για να διακρίνεται από τις λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες που οι μαθηματικοί ανακάλυψαν τον 19ο αιώνα. Οπτικά: Τα Οπτικά είναι η αρχαιότερη σωζόμενη ελληνική πραγματεία σχετικά με την προοπτική. Στους ορισμούς του Ευκλείδη ακολουθεί την πλατωνική παράδοση ότι το όραμα προκαλείται από διακριτές ακτίνες που προέρχονται από το μάτι. Ένας σημαντικός ορισμός είναι ο τέταρτος: «Τα πράγματα που φαίνονται υπό μια μεγαλύτερη γωνία φαίνονται μεγαλύτερα και εκείνα κάτω από μια μικρότερη γωνία λιγότερο, ενώ εκείνα κάτω από ίσες γωνίες φαίνονται ίσα». Στις 36 προτάσεις που ακολουθούν, ο Ευκλείδης συσχετίζει το φαινομενικό μέγεθος ενός αντικειμένου με την απόστασή του από το μάτι και διερευνά τα φαινομενικά σχήματα κυλίνδρων και κώνων όταν βλέπουν από διαφορετικές γωνίες. Η πρόταση 45 είναι ενδιαφέρουσα, αποδεικνύοντας ότι για οποιαδήποτε δύο άνισα μεγέθη υπάρχει ένα σημείο από το οποίο τα δύο φαίνονται ίσα. Ο Πάππος πίστευε ότι αυτά τα αποτελέσματα ήταν σημαντικά στην αστρονομία και συμπεριέλαβαν τα Οπτικά του Ευκλείδη, στη Μικρή Αστρονομία, μια συλλογή μικρότερων έργων που πρέπει να μελετηθούν πριν από την Σύνταξη του Κλαύδιου Πτολεμαίου. Κατοπτρικά: Αφορά την κατοπτρική θεωρία των μαθηματικών και πιο συγκεκριμένα τις εικόνες που σχηματίζονται σε απλή και σφαιρική κοίλη με το κάτοπτρο. Δεδομένα: Τα δεδομένα ασχολούνται με την φύση και τις συνέπειες των δοσμένων πληροφοριών στα γεωμετρικά προβλήματα, θέμα που είναι στενά συνδεδεμένο με τα τέσσερα πρώτα βιβλία των Στοιχείων. Φαινόμενα: Είναι μια πραγματεία για τη σφαιρική αστρονομία.Κατατομή κανόνος Είναι μια πραγματεία για τη μαθηματική θεωρία της μουσικής. Εισαγωγή αρμονική Είναι μια πραγματεία για τις μουσικές αναλογίες και τη μουσική.Τα δύο τελευταία έργα εικάζεται ότι ήταν μέρη ενός γενικότερου έργου του με τίτλο "Στοιχεία Μουσικής". Τα κωνικά ήταν ένα έργο για τις κωνικές τομές που αργότερα επεκτάθηκε από τον Απολλώνιο στο ομώνυμο διάσημο έργο του. Είναι πιθανό τα πρώτα τέσσερα βιβλία του έργου του Απολλώνιου να προέρχονται απευθείας από τον Ευκλείδη. Σύμφωνα με τον Πάππο, «ο Απολλώνιος, αφού ολοκλήρωσε τα τέσσερα βιβλία των κωνικών του Ευκλείδη και πρόσθεσε τέσσερις άλλους, έδωσε οκτώ τόμους κώνων». Τα κωνικά του Απολλώνιου αντικατέστησαν προηγούμενες πραγματείες για το θέμα, μεταξύ αυτών και το έργο του Ευκλείδη. Αρκετά έργα στον τομέα της μηχανικής αποδίδονται στο Ευκλείδη, από αραβικές πηγές. Σε αυτό που περιέχει το βαρύ και το ελαφρύ, σε εννέα ορισμούς και πέντε προτάσεις, Αριστοτελικές αντιλήψεις για κινούμενα σώματα και την έννοια της ειδικής βαρύτητας. Στο χειρισμό της βαρύτητας αντιμετωπίζεται η θεωρία του μοχλού με έναν παρόμοιο ευκλείδειο τρόπο, ο οποίος περιέχει έναν ορισμό, δύο αξιώματα και τέσσερις προτάσεις. Ένα τρίτο κομμάτι, στους κύκλους που περιγράφονται από τα άκρα ενός κινούμενου μοχλού, περιέχει τέσσερις προτάσεις. Αυτά τα τρία έργα συμπληρώνουν το ένα το άλλο με τέτοιο τρόπο ώστε να έχουν προταθεί ότι είναι υπολείμματα μιας ενιαίας πραγματικότητας για τη μηχανική που γράφει ο Ευκλείδης. Είναι διάφορα έργα Γεωμετρίας. Ευκλείδεια Γεωμετρία Θεωρία της σχετικότητας Άλγεβρα Γεωμετρία Σωτήρης Γκουντουβάς, Γεωμετρικές Διαδρομές, Γ' έκδοση, Αθήνα 2021.