Έλλειψη (γεωμετρία)

Η έλλειψη είναι μία κωνική τομή και προκύπτει από την τομή ενός κώνου με επίπεδο που τον τέμνει πλαγίως ως προς τον άξονά του. Μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του κύκλου, όπως προκύπτει στην ειδική περίπτωση που η τομή του κώνου με επίπεδο κάθετο στον άξονά του είναι κύκλος με κέντρο επί του άξονα. Μια έλλειψη χαρακτηρίζεται από τον μεγάλο ημιάξονά της, α {\displaystyle \alpha } και από την εκκεντρότητα της, ε {\displaystyle \varepsilon } . Συγκεκριμένα, ας είναι E 1 {\displaystyle E_{1}} , E 2 {\displaystyle E_{2}} δύο σημεία σε ένα ευκλείδειο επίπεδο με απόσταση 2 γ {\displaystyle 2\gamma } μεταξύ τους και α > γ {\displaystyle \alpha >\gamma } ένας θετικός αριθμός. Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα δύο σταθερά σημεία E 1 , E 2 {\displaystyle E_{1},E_{2}} είναι σταθερό και ισούται με 2 α {\displaystyle 2\alpha } .

 Τα σημεία E 1 , E 2 {\displaystyle E_{1},E_{2}} ονομάζονται εστίες της έλλειψης. Το μέσο Ο του ευθύγραμμου τμήματος E 1 E 2 {\displaystyle E_{1}E_{2}} ονομάζεται κέντρο της έλλειψης. Το κέντρο της έλλειψης αποτελεί κέντρο συμμετρίας αυτής. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής ονομάζεται διάμετρος της έλλειψης. Μία έλλειψη έχει δύο άξονες συμμετρίας, οι οποίοι είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται μικρός και μεγάλος άξονας αντίστοιχα. Ο μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος 2α, γεγονός που προκύπτει εύκολα από τον ορισμό της έλλειψης. Ο μικρός άξονας έχει μήκος 2β, β 2 = α 2 − γ 2 {\displaystyle \beta ^{2}=\alpha ^{2}-\gamma ^{2}} . Αυτό προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα, αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο E 1 A O {\displaystyle E_{1}AO} (βλ. σχήμα). Αν καλέσουμε γ την απόσταση Ε1-Ο που είναι ίση με την Ο-Ε2 και α την απόσταση ΔΟ, που είναι ίση με την ΟΒ, τότε ο λόγος γ/α = ε ονομάζεται εκκεντρότητα ή εκκεντρότης της έλλειψης. Η εκκεντρότητα της έλλειψης, ε = γ / α , 0 ≤ ε < 1 {\displaystyle \varepsilon =\gamma /\alpha ,\;0\leq \varepsilon <1} δηλώνει πόσο 'στενή' 'η 'πλατιά' είναι η έλλειψη. Για ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} έχουμε κύκλο, ενώ για ε κοντά στο 1 μία 'μακρόστενη' έλλειψη. Συνεπώς ο κύκλος είναι έλλειψη με 0 εκκεντρότητα. Μία έλλειψη θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν το κέντρο της είναι στο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων και οι άξονές της είναι πάνω στους άξονές του. Σε Καρτεσιανές συντεταγμένες εκφράζεται ως: x 2 α 2 + y 2 β 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1} με β 2 = α 2 − γ 2 {\displaystyle \,\beta ^{2}=\alpha ^{2}-\gamma ^{2}} . Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι: x = α cos ⁡ t , y = β sin ⁡ t . {\displaystyle x=\alpha \cos t,\quad y=\beta \sin t.} με παράμετρο το t , 0 ≤ t < 2 π {\displaystyle t,\;0\leq t<2\pi } . Η εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες είναι: ρ = α 2 − γ 2 α − γ cos ⁡ ϕ . {\displaystyle \rho ={\frac {\alpha ^{2}-\gamma ^{2}}{\alpha -\gamma \cos \phi }}.} Έστω μία κωνική τομή a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0. {\displaystyle \,ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0.} Η καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αν 4 a c − b 2 > 0. {\displaystyle \,4ac-b^{2}>0.} Για b = 0 {\displaystyle \,b=0} έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ για b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} έχουμε και στροφή. Έστω μία έλλειψη (στην κανονική της μορφή) και ένα σημείο P = ( p 1 , p 2 ) ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle P=(p_{1},p_{2})\neq (0,0)} του επιπέδου. Η ευθεία p 1 x α 2 + p 2 y β 2 = 1 {\displaystyle {\frac {p_{1}x}{\alpha ^{2}}}+{\frac {p_{2}y}{\beta ^{2}}}=1} ονομάζεται πολική ευθεία του P {\displaystyle P} . Το P {\displaystyle P} ονομάζεται πόλος της ευθείας. Αν το P {\displaystyle P} είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε η πολική του είναι η εφαπτομένη της έλλειψης στο P {\displaystyle P} .Έστω P {\displaystyle P} ένα εξωτερικό σημείο της έλλειψης. Τότε από αυτό διέρχονται δύο εφαπτομένες της έλλειψης. Η πολική ευθεία του P {\displaystyle P} είναι η ευθεία που συνδέει τα δυο σημεία επαφής της έλλειψης με τις εφαπτομένες αυτές.Έστω P {\displaystyle P} ένα εσωτερικό σημείο της έλλειψης διάφορο του κέντρου της. Τότε η πολική του ευθεία δεν τέμνει την έλλειψη.Αντιστρόφως σε κάθε ευθεία του επιπέδου που δεν διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης αντιστοιχεί ένας πόλος. Έστω ένα σημείο της έλλειψης P {\displaystyle P} . Φέρουμε την εφαπτόμενη σε αυτό το σημείο και την κάθετη αυτής. Η κάθετη διχοτομεί την γωνία E 1 P E 2 {\displaystyle E_{1}PE_{2}} . Αυτό έχει την εξής συνέπεια: Αν θεωρήσουμε την εστία E 1 {\displaystyle E_{1}} ως πηγή φωτεινής ακτινοβολίας, τότε η φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από την E 1 {\displaystyle E_{1}} και αντανακλάται στην έλλειψη διέρχεται από την E 2 {\displaystyle E_{2}} . Έστω ένας κύκλος με ακτίνα α {\displaystyle \alpha } σε ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο. Θεωρούμε ένα δεύτερο επίπεδο που τέμνει το πρώτο με μία γωνία ϕ ∈ ( 0 , 2 π ) {\displaystyle \phi \in (0,2\pi )} και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Η ορθή προβολή του κύκλου στο δεύτερο επίπεδο αποτελεί έλλειψη με άξονες μήκους 2 α {\displaystyle 2\alpha } και 2 α cos ⁡ ϕ {\displaystyle 2\alpha \cos \phi } . Κάθε έλλειψη μπορεί να εκφραστεί ως ορθή προβολή κύκλου. Έστω μία έλλειψη και ένας κύκλος του οποίου η ορθή προβολή είναι η έλλειψη αυτή. Δύο διάμετροι της έλλειψης ονομάζονται συζυγείς, όταν αποτελούν ορθή προβολή δύο κάθετων διαμέτρων του κύκλου. Μία διάμετρος έλλειψης διέρχεται από τα μέσα όλων των χορδών που είναι παράλληλες με τη συζυγή της. Το εμβαδό της έλλειψης ισούται με A = π α β . {\displaystyle \,A=\pi \alpha \beta .} Η περίμετρος της έλλειψης ισούται με C = 4 α ∫ 0 π 2 1 − ε 2 ( cos ⁡ t ) 2 d t . {\displaystyle C=4\alpha \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}(\cos t)^{2}}}\ dt.} Το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα και δεν μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια αρχικής συνάρτησης.