Ζωνόεδρο

Το ζωνόεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο που η κάθε του επιφάνεια είναι ένα πολύγωνο με κάποιο σημείο συμμετρίας (ή, ισοδύναμα, συμμετρία με 180° περιστροφή). Το κάθε ζωνόεδρο μπορεί να περιγραφεί ισοδύναμα ως το άθροισμα Μινκόφσκι του συνόλου των ευθύγραμμων τμημάτων του στον τρισδιάστατο χώρο, ή ως τρισδιάστατη προβολή υπερκύβου. Τα ζωνόεδρα ορίστηκαν και μελετήθηκαν αρχικά από έναν Ρώσο μαθηματικό και κρυσταλλογράφο, τον Yevgraf Stepanovich Fyodorov. Γενικότερα, σε οποιαδήποτε διάσταση, το άθροισμα Μινκόφσκι των ευθύγραμμων τμημάτων αποτελεί ένα πολύτοπο γνωστό και ως ζωνότοπο.

 Οποιαδήποτε πρίσμα πάνω από ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο αριθμό πλευρών σχηματίζει ένα ζωνόεδρο. Αυτά τα πρίσματα μπορεί να σχηματίζονται έτσι ώστε όλες οι επιφάνειες είναι κανονικές: δύο αντίθετες επιφάνειες είναι ίσες με το κανονικό πολύγωνο από το οποίο σχηματίστηκε το πρίσμα, και είναι συνδεδεμένες σε μία αλληλουχία τετράγωνων επιφανειών. Τα ζωνόεδρα αυτού του τύπου είναι ο κύβος, το εξαγωνικό πρίσμα, το οκταγωνικό πρίσμα, το δεκαγωνικό πρίσμα, το δωδεκαγωνικό πρίσμα, και ούτω καθεξής. Στην άπειρη αυτή οικογένεια των ζωνόεδρων με κανονικές έδρες, υπάρχουν τρία επιπλέον Αρχιμήδεια στερεά, που όλα είναι παγκόλουρα των κανονικών μορφών: Το κόλουρο οκτάεδρο, με έδρες 6 τετράγωνα και 8 εξάγωνα (παγκόλουρο τετράεδρο). Το κόλουρο κυβοκτάεδρο, με έδρες 12 τετράγωνα, 8 εξάγωνα και 6 οκτάγωνα (παγκόλουρος κύβος). Το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο, με έδρες 30 τετράγωνα, 20 εξάγωνα και 12 δεκάγωνα (παγκόλουρο δωδεκάεδρο).Επιπλέον, ορισμένα Καταλανικά στερεά (δυϊκά των Αρχιμήδειων στερεών) είναι επίσης ζωνόεδρα: Το ρομβικό δωδεκάεδρο, που είναι το δυϊκό του κυβοκταέδρου. Το ρομβικό τριακοντάεδρο, που είναι το δυϊκό του εικοσιδωδεκαέδρου.Άλλα πολύεδρα με όλες τις έδρες τους ρόμβους: Ρομβικό εικοσάεδρο Ρομβόεδρο Ρομβικό εννενηκοντάεδρο Αν και δεν είναι γενικά αληθές ότι το κάθε πολύεδρο αποσυντίθεται σε οποιαδήποτε άλλο πολύεδρο του ίδιου όγκου (βλέπε Τρίτο πρόβλημα του Χίλμπερτ), είναι γνωστό ότι οποιαδήποτε δύο ζωνόεδρα ίσων όγκων μπορούν να αποσυντίθενται το ένα στο άλλο. Το άθροισμα Μινκόφσκι των ευθύγραμμων τμημάτων σε οποιαδήποτε διάσταση αποτελεί ένα είδος πολύτοπου που ονομάζεται ζωνότοπο. Οι επιφάνειες του κάθε ζωνότοπου είναι και αυτές ζωνότοπα μίας διάστασης κάτω. Παραδείγματα ζωνότοπων τεσσάρων διαστάσεων περιλαμβάνουν το τεσσεράκτιο (αθροίσματα Μινκόφσκι των d αμοιβαίων κατακόρυφων ίσου μήκους ευθύγραμμων τμημάτων), το μεγάλο πρισματοδεκάχωρο και το περικομμένο εικοσιτερτάχωρο. Κάθε μετετραμμένο πολύεδρο (permutohedron) είναι ένα ζωνότοπο. Coxeter, Harold Scott MacDonald (1962). «The Classification of Zonohedra by Means of Projective Diagrams». J. Math. Pures Appl. 41: 137–156. Reprinted in Coxeter, Harold Scott MacDonald (1999). The Beauty of Geometry. Mineola, NY: Dover. σελίδες 54–74. ISBN 0-486-40919-8. Eppstein, David (1996). «Zonohedra and zonotopes». Mathematica in Education and Research 5 (4): 15–21. http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/ukraine/ukraine.html. Grünbaum, Branko (1972). Arrangements and Spreads. Number 10 in Regional Conf. Series in Mathematics, American Mathematical Society. Fedorov, Evgraf Stepanovich (1893). «Elemente der Gestaltenlehre». Zeitschrift für Krystallographie und Mineralogie 21: 671–694. Rolf Schneider, Chapter 3.5 "Zonoids and other classes of convex bodies" in Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993. Shephard, G. C. (1974). «Space-filling zonotopes». Mathematika 21 (2): 261–269. doi:10.1112/S0025579300008652. Taylor, Jean E. (1992). «Zonohedra and generalized zonohedra». American Mathematical Monthly 99 (2): 108–111. doi:10.2307/2324178. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1992-02_99_2/page/108. Weisstein, Eric W. «Zonohedron». MathWorld. Eppstein, David. «The Geometry Junkyard: Zonohedra and Zonotopes». ics.uci.edu. Hart, George W. «Virtual Polyhedra: Zonohedra». georgehart.com. Weisstein, Eric W. «Primary Parallelohedron». MathWorld. Bulatov, Vladimir. «Zonohedral Polyhedra Completion». bulatov.org.