Τύποι του Βιετά

Στα μαθηματικά, οι τύποι του Βιετά είναι μαθηματικοί τύποι που εκφράζουν τους συντελεστές ενός πολυωνύμου ως άθροισμα γινομένων των ριζών του. Για παράδειγμα, για το τριώνυμο a x 2 + b x + x = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+x=0} ,ισχύει ότι, r 1 + r 2 = − b a {\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}}\quad } και r 1 ⋅ r 2 = c a {\displaystyle \quad r_{1}\cdot r_{2}={\frac {c}{a}}} .Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον Φραγκίσκο Βιετά.

 Σε ένα πολυώνυμο βαθμού n {\displaystyle n} , f ( x ) = a n x n + … a 1 x + a 0 {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\ldots a_{1}x+a_{0}} με ρίζες r 1 , … , r n {\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}} έχουμε ότι a n − 1 a n = − ( r 1 + … + r n ) a n − 2 a n = ( ( r 1 r 2 + r 1 r 3 + … + r 1 r n ) + ( r 2 r 3 + + … + r 2 r n ) … + r n − 1 r n ) ⋮ a 0 a n = ( − 1 ) n ⋅ r 1 ⋅ … ⋅ r n . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=-(r_{1}+\ldots +r_{n})\\{\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=((r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\ldots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}++\ldots +r_{2}r_{n})\ldots +r_{n-1}r_{n})\\&\vdots \\{\frac {a_{0}}{a_{n}}}&=(-1)^{n}\cdot r_{1}\cdot \ldots \cdot r_{n}.\end{aligned}}} Πιο συμπυκνωμένα, μπορεί να γραφτεί ως a n − k a n = ( − 1 ) k ⋅ ∑ 1 ≤ i 1 ≤ i 2 ≤ … ≤ i k ≤ n ∏ j = 1 k r i j , {\displaystyle {\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}=(-1)^{k}\cdot \sum _{1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \ldots \leq i_{k}\leq n}\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}},} όπου το άθροισμα είναι σε ακολουθίες μεγέθους k {\displaystyle k} . Θεωρούμε το τριώνυμο f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} και έστω r 1 {\displaystyle r_{1}} και r 2 {\displaystyle r_{2}} οι ρίζες του. Τότε, f ( x ) = a ⋅ ( x − r 1 ) ⋅ ( x − r 2 ) a ⋅ ( x 2 − ( r 1 + r 2 ) ⋅ x + r 1 r 2 ) {\displaystyle f(x)=a\cdot (x-r_{1})\cdot (x-r_{2})a\cdot (x^{2}-(r_{1}+r_{2})\cdot x+r_{1}r_{2})} ,και ισχύει ότι b = − a ⋅ ( r 1 + r 2 ) {\displaystyle b=-a\cdot (r_{1}+r_{2})\quad } και c = a ⋅ r 1 r 2 {\displaystyle \quad c=a\cdot r_{1}r_{2}} . Το τριώνυμο f ( x ) = x 2 + 4 x − 5 {\displaystyle f(x)=x^{2}+4x-5} , μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως f ( x ) = ( x + 5 ) ⋅ ( x − 1 ) {\displaystyle f(x)=(x+5)\cdot (x-1)} επομένως οι ρίζες του είναι r 1 = − 5 {\displaystyle r_{1}=-5} και r 2 = 1 {\displaystyle r_{2}=1} . Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι: f ( x ) = x 2 − ( − 5 + 1 ) x + ( − 5 ) ⋅ ( 1 ) {\displaystyle f(x)=x^{2}-(-5+1)x+(-5)\cdot (1)} . Το τριώνυμο f ( x ) = 2 x 2 − 14 x + 24 {\displaystyle f(x)=2x^{2}-14x+24} , μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως f ( x ) = 2 ⋅ ( x − 3 ) ⋅ ( x − 4 ) {\displaystyle f(x)=2\cdot (x-3)\cdot (x-4)} επομένως οι ρίζες του είναι r 1 = 3 {\displaystyle r_{1}=3} και r 2 = 4 {\displaystyle r_{2}=4} . Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι: f ( x ) = 2 x 2 − 2 ⋅ ( r 1 + r 2 ) x + 2 ⋅ ( r 1 ⋅ r 2 ) {\displaystyle f(x)=2x^{2}-2\cdot (r_{1}+r_{2})x+2\cdot (r_{1}\cdot r_{2})} . Θεωρούμε το τριτοβάθμιο πολυώνυμο f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} και έστω r 1 {\displaystyle r_{1}} , r 2 {\displaystyle r_{2}} , r 3 {\displaystyle r_{3}} οι ρίζες του. Τότε f ( x ) = a ⋅ ( x − r 1 ) ⋅ ( x − r 2 ) ⋅ ( x − r 3 ) {\displaystyle f(x)=a\cdot (x-r_{1})\cdot (x-r_{2})\cdot (x-r_{3})} .Επεκτείνοντας το γινόμενο, f ( x ) = a ⋅ ( x − r 1 ) ⋅ ( x − r 2 ) ⋅ ( x − r 3 ) = a ⋅ ( x 2 − ( r 1 + r 2 ) ⋅ x + r 1 r 2 ) ⋅ ( x − r 3 ) = a ⋅ ( x 3 − ( r 1 + r 2 + r 3 ) ⋅ x 2 + ( r 1 r 2 + r 2 r 3 + r 1 r 3 ) ⋅ x − r 1 r 2 r 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=a\cdot (x-r_{1})\cdot (x-r_{2})\cdot (x-r_{3})\\&=a\cdot (x^{2}-(r_{1}+r_{2})\cdot x+r_{1}r_{2})\cdot (x-r_{3})\\&=a\cdot (x^{3}-(r_{1}+r_{2}+r_{3})\cdot x^{2}+(r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{1}r_{3})\cdot x-r_{1}r_{2}r_{3}).\end{aligned}}} Από αυτό προκύπτει ότι b a = − ( r 1 + r 2 + r 3 ) {\displaystyle {\frac {b}{a}}=-(r_{1}+r_{2}+r_{3})} , c a = r 1 r 2 + r 2 r 3 + r 1 r 3 {\displaystyle \quad {\frac {c}{a}}=r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{1}r_{3}} και d a = r 1 r 2 r 3 {\displaystyle \quad {\frac {d}{a}}=r_{1}r_{2}r_{3}} . Το πολυώνυμο f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 {\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6} παραγοντοποιείται ως f ( x ) = ( x + 1 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x − 3 ) {\displaystyle f(x)=(x+1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)} και επομένως οι ρίζες του είναι r 1 = − 1 {\displaystyle r_{1}=-1} , r 2 = 2 {\displaystyle r_{2}=2} και r 3 = 3 {\displaystyle r_{3}=3} . Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι: f ( x ) = x 3 − ( − 1 + 2 + 3 ) ⋅ x 2 + ( ( − 1 ) ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ( − 1 ) ⋅ 3 ) ⋅ x − ( − 1 ) ⋅ 2 ⋅ 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}-(-1+2+3)\cdot x^{2}+((-1)\cdot 2+2\cdot 3+(-1)\cdot 3)\cdot x-(-1)\cdot 2\cdot 3} . Τριώνυμο Πολυώνυμο Γιάνναρος, Διονύσης (Απριλίου 2014). «Απόδειξη ανισοτήτων με βάση τους τύπους Vieta και το θεώρημα Bolzano». Ευκλείδης Β΄ (92): 70-73. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T92.pdf. Funkhouser, H. Gray (Αυγούστου 1930). «A Short Account of the History of Symmetric Functions of Roots of Equations». The American Mathematical Monthly 37 (7): 357–365. doi:10.1080/00029890.1930.11987092. Karayannakis, Dimitris; Aivalis, Constantine J. (2 Ιανουαρίου 2018). «Reciprocal Vieta-type formulas and some applications». Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography 21 (1): 35–39. doi:10.1080/09720529.2015.1132045.