Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Στην γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος ( I , ρ ) {\displaystyle (\mathrm {I} ,\rho )} είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο.Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους ( J A , ρ A ) {\displaystyle (\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })} , ( J B , ρ B ) {\displaystyle (\mathrm {J_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} })} και ( J Γ , ρ Γ ) {\displaystyle (\mathrm {J_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })} που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του ( J A , ρ A ) {\displaystyle (\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })} είναι το σημείο τομής της διχοτόμου του A ^ {\displaystyle {\hat {\rm {A}}}} και των εξωτερικών διχοτόμων των B ^ {\displaystyle {\hat {\rm {B}}}} και Γ ^ {\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}} , και ονομάζεται παράκεντρο.

 Οι εσωτερικές διχοτόμοι A Δ A , B Δ B , Γ Δ Γ {\displaystyle {\rm {A\Delta _{A},B\Delta _{B},\Gamma \Delta _{\Gamma }}}} ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το έγκεντρο, το οποίο είναι το κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου. Με ιδιότητες διχοτόμων Έστω B Δ B {\displaystyle {\rm {B\Delta _{B}}}} και Γ Δ Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}} οι διχοτόμοι των γωνιών B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} και Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} και I ′ {\displaystyle {\rm {I'}}} το σημείο τομής τους. Από την κύρια ιδιότητα των διχοτόμων, κάθε σημείο της B Δ B {\displaystyle {\rm {B\Delta _{B}}}} ισαπέχει από τις πλευρές B A {\displaystyle {\rm {BA}}} και B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} . Αντίστοιχα, για την Γ Δ Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}} . Επομένως, το I ′ {\displaystyle {\rm {I'}}} ισαπέχει από τις τρεις πλευρές του τριγώνου και άρα ανήκει και στην διχοτόμου της A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} . Καταλήγουμε ότι I ′ {\displaystyle {\rm {I'}}} είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου. Με θεώρημα Τσέβα Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε για τις διχοτόμους A Δ A {\displaystyle {\rm {A\Delta _{A}}}} , B Δ B {\displaystyle {\rm {B\Delta _{B}}}} και Γ Δ Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}} ότι A B A Γ = B Δ A Γ Δ A , B A B Γ = A Δ B Γ Δ B {\displaystyle {\rm {{\frac {AB}{A\Gamma }}={\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}},\quad {\rm {{\frac {BA}{B\Gamma }}={\frac {A\Delta _{B}}{\Gamma \Delta _{B}}}\quad }}}}} και Γ A Γ B = A Δ Γ B Δ Γ . {\displaystyle \quad {\rm {{\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}={\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}.}}} Επομένως, έχουμε ότι B Δ A Γ Δ A ⋅ Γ Δ B A Δ B ⋅ A Δ Γ B Δ Γ = A B A Γ ⋅ B Γ B A ⋅ Γ A Γ B = 1 {\displaystyle {\rm {{\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}}\cdot {\frac {\Gamma \Delta _{B}}{A\Delta _{B}}}\cdot {\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}={\frac {AB}{A\Gamma }}\cdot {\frac {B\Gamma }{BA}}\cdot {\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}=1}}} ,και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα καταλήγουμε ότι οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το έγκεντρο I {\displaystyle {\rm {I}}} είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου. Η γωνία των διχοτόμων των B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} και Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} είναι ίση με 90 o + A ^ 2 {\displaystyle 90^{o}+{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}} .:85 Αν I A , I B , I Γ {\displaystyle {\rm {I_{A},I_{B},I_{\Gamma }}}} οι προβολές του I {\displaystyle {\rm {I}}} στις πλευρές του τριγώνου, τότε B I A = B I Γ = τ − β , A I B = A I Γ = τ − α , {\displaystyle {\rm {BI_{A}=BI_{\Gamma }=\tau -\beta ,\quad AI_{B}=AI_{\Gamma }=\tau -\alpha ,\quad }}} και Γ I A = Γ I B = τ − γ {\displaystyle \quad {\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=\tau -\gamma }}} . Το τρίγωνο I A I B I Γ {\displaystyle {\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}} ονομάζεται το τρίγωνο Gergonne. (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα A I A , B I B , Γ I Γ {\displaystyle {\rm {AI_{A},BI_{B},\Gamma I_{\Gamma }}}} διέρχονται από το ίδιο σημείο.:36 Οι ευθείες I A , I B , I Γ {\displaystyle {\rm {IA,IB,I\Gamma }}} είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του I A I B I Γ {\displaystyle {\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}} . Το εμβαδόν του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} δίνεται από τον τύπο E = τ ⋅ ρ {\displaystyle \mathrm {E} =\tau \cdot \rho } , όπου τ = 1 2 ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )} είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ρ = ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) τ {\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau }}}} . Επίσης, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δίνεται από τις εξής τριγωνομετρικές σχέσεις:261-262:126 ρ = α ⋅ sin ⁡ B 2 ⋅ sin ⁡ Γ 2 cos ⁡ A 2 = β ⋅ sin ⁡ Γ 2 ⋅ sin ⁡ A 2 cos ⁡ B 2 = γ ⋅ sin ⁡ A 2 ⋅ sin ⁡ B 2 cos ⁡ Γ 2 {\displaystyle \rho =\alpha \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \sin {\frac {\Gamma }{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}\cdot \sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}} , και από ρ = ( τ − α ) ⋅ tan ⁡ A 2 = ( τ − β ) ⋅ tan ⁡ B 2 = ( τ − γ ) ⋅ tan ⁡ Γ 2 {\displaystyle \rho =(\tau -\alpha )\cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}=(\tau -\beta )\cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}=(\tau -\gamma )\cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}} .(Θεώρημα Όιλερ) Αν ( O , R ) {\displaystyle (\mathrm {O} ,R)} είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε O I 2 = R 2 − 2 R ρ {\displaystyle \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho } .(Θεώρημα Καρνό) Αν O M A , O M B , O M Γ {\displaystyle {\rm {OM_{A},OM_{B},OM_{\Gamma }}}} είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} και R {\displaystyle R} η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε O M A + O M B + O M Γ = R + ρ {\displaystyle {\rm {OM_{A}+OM_{B}+OM_{\Gamma }}}=R+\rho } .Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι 1 : 1 : 1 {\displaystyle 1:1:1} . Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι α : β : γ {\displaystyle \alpha :\beta :\gamma } . Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι ( α ⋅ x A + β ⋅ x B + γ ⋅ x Γ α + β + γ , α ⋅ y A + β ⋅ y B + γ ⋅ y Γ α + β + γ ) {\displaystyle \left({\frac {\alpha \cdot x_{\rm {A}}+\beta \cdot x_{\rm {B}}+\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {\alpha \cdot y_{\rm {A}}+\beta \cdot y_{\rm {B}}+\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)} . Κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους ( J A , ρ A ) {\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})} , ( J B , ρ B ) {\displaystyle ({\rm {J_{B}}},\rho _{\rm {B}})} και ( J Γ , ρ Γ ) {\displaystyle ({\rm {J_{\Gamma }}},\rho _{\rm {\Gamma }})} . Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος ( J A , ρ A ) {\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})} έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} και της Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} και της εσωτερικής διχοτόμου της A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} . Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος ( J A , ρ A ) {\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})} με τις πλευρές B Γ , A B , A Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma ,AB,A\Gamma }}} συμβολίζονται με I A ′ , I A ″ , I A ‴ {\displaystyle {\rm {I_{A}',I_{A}'',I_{A}'''}}} αντίστοιχα. Έστω J Γ ′ {\displaystyle {\rm {J_{\Gamma }'}}} το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων των A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} και B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} . Τότε, από την ιδιότητα της διχοτόμου, όλα τα σημεία ισαπέχουν από τις πλευρές της, άρα J A I A ″ = J A I A ′ {\displaystyle {\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'}}} και J A I A ‴ = J A I A ′ {\displaystyle {\rm {J_{A}I_{A}'''=J_{A}I_{A}'}}} . Επομένως, J A I A ″ = J A I A ‴ {\displaystyle {\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'''}}} και έτσι το I A ′ {\displaystyle {\rm {I_{A}'}}} είναι σημείο της διχοτόμου του A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} . Τα παράκεντρα J A , J B , J Γ {\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}} είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου. Τα σημεία A , J B , J Γ {\displaystyle {\rm {A,J_{B},J_{\Gamma }}}} είναι συνευθειακά, καθώς και τα J A , B , J Γ {\displaystyle {\rm {J_{A},B,J_{\Gamma }}}} και J A , J B , Γ {\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},\Gamma }}} . Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} και Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} είναι ίση με 90 o − A ^ 2 {\displaystyle 90^{o}-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}} .:85 Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} και της εξωτερικής διχοτόμου της Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} είναι A ^ 2 {\displaystyle {\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}} .:85 (Σημείο Gergonne) Τα ευθύγραμμα τμήματα A I A ′ , B I B ′ , Γ I Γ ′ {\displaystyle {\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}} διέρχονται από το ίδιο σημείο.:36 Ισχύει ότι A I B ′ = A I B ″ = B I A ′ = B I A ″ = τ − γ {\displaystyle {\rm {AI_{B}'=AI_{B}''=BI_{A}'=BI_{A}''=\tau -\gamma }}} , A I Γ ′ = A I Γ ″ = Γ I A ′ = Γ I A ″ = τ − β {\displaystyle {\rm {AI_{\Gamma }'=AI_{\Gamma }''=\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}''=\tau -\beta }}} και B I Γ ′ = B I Γ ″ = Γ I B ′ = Γ I B ″ = τ − γ {\displaystyle {\rm {BI_{\Gamma }'=BI_{\Gamma }''=\Gamma I_{B}'=\Gamma I_{B}''=\tau -\gamma }}} , όπου τ = 1 2 ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )} η ημιπερίμετρος.:86-87 Αν A ′ {\displaystyle {\rm {A'}}} το σημείο τομής της προέκτασης της A I {\displaystyle {\rm {AI}}} με τον περιγεγραμμένο κύκλο, τότε:85 A ′ B = A ′ I = A ′ Γ = A ′ I A {\displaystyle {\rm {A'B=A'I=A'\Gamma =A'I_{A}}}} .(Θεώρημα Όιλερ) Αν ( O , R ) {\displaystyle (\mathrm {O} ,R)} είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε O J A 2 = R 2 + 2 R ρ A , O J B 2 = R 2 + 2 R ρ B {\displaystyle \mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} }\quad } και O J Γ 2 = R 2 + 2 R ρ Γ {\displaystyle \quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }} .Το εμβαδόν του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} δίνεται από τους τύπους::45 E = ( τ − α ) ⋅ ρ A = ( τ − β ) ⋅ ρ B = ( τ − γ ) ⋅ ρ Γ , {\displaystyle {\rm {E=(\tau -\alpha )\cdot \rho _{\rm {A}}=(\tau -\beta )\cdot \rho _{\rm {B}}=(\tau -\gamma )\cdot \rho _{\rm {\Gamma }},}}} και E = ρ ⋅ ρ A ⋅ ρ B ⋅ ρ Γ {\displaystyle {\rm {E={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}}}} .Από τον τύπο του Ήρωνα, η ακτίνα του παρεγγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο:139:127 ρ A = E τ − α = τ ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) τ − α , {\displaystyle \rho _{\mathrm {A} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\alpha }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau -\alpha }}},} ρ B = E τ − β = τ ⋅ ( τ − γ ) ⋅ ( τ − α ) τ − β {\displaystyle \quad \rho _{\mathrm {B} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\beta }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\alpha )}{\tau -\beta }}}\quad } και ρ Γ = E τ − γ = τ ⋅ ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) τ − γ {\displaystyle \rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\gamma }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\tau -\gamma }}}} . Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις:46-47:127 ρ A = α ⋅ cos ⁡ B 2 ⋅ cos ⁡ Γ 2 cos ⁡ A 2 {\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}} , ρ B = β ⋅ cos ⁡ Γ 2 ⋅ cos ⁡ A 2 cos ⁡ B 2 {\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\cos {\frac {\Gamma }{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}\quad } και ρ Γ = γ ⋅ cos ⁡ A 2 ⋅ cos ⁡ B 2 cos ⁡ Γ 2 {\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}} , και επίσης ρ A = τ ⋅ tan ⁡ A 2 {\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}} , ρ B = τ ⋅ tan ⁡ B 2 {\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}\quad } και ρ Γ = τ ⋅ tan ⁡ Γ 2 {\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}} .(Σημείο Νάγκελ) Αν I A ′ , I B ′ , I Γ ′ {\displaystyle {\rm {I_{A}',I_{B}',I_{\Gamma }'}}} τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα J A , J B , J Γ {\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}} με τις πλευρές A Γ , B Γ , A B {\displaystyle {\rm {A\Gamma ,B\Gamma ,AB}}} του τριγώνου, τότε τα A I A ′ , B I B ′ , Γ I Γ ′ {\displaystyle {\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}} συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ. Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} είναι ύψη του τριγώνου J A J B J Γ {\displaystyle {\rm {J_{A}J_{B}J_{\Gamma }}}} . Αν R {\displaystyle R} η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι ρ A + ρ B + ρ Γ = ρ + 4 R {\displaystyle \rho _{\rm {A}}+\rho _{\rm {B}}+\rho _{\rm {\Gamma }}=\rho +4R} .:87 Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι − 1 : 1 : 1 {\displaystyle -1:1:1} , 1 : − 1 : 1 {\displaystyle 1:-1:1} και 1 : 1 : − 1 {\displaystyle 1:1:-1} αντίστοιχα. Διχοτόμος γωνίας Περιγεγραμμένος κύκλος Βαρύκεντρο τριγώνου Ορθόκεντρο τριγώνου