Μερική διαφορική εξίσωση

Στα μαθηματικά μία μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ) είναι μια διαφορική εξίσωση η οποία περιέχει άγνωστες συναρτήσεις πολλαπλών μεταβλητών και τις μερικές παραγώγους αυτών.(Σε αντίθεση με τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες ασχολούνται με τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής και τα παράγωγά τους.) Οι ΜΔΕ χρησιμοποιούνται για να διαμορφώσουν τα προβλήματα που αφορούν τις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, και είτε λύνονται με το χέρι, ή χρησιμοποιούνται για να δημιουργήσουν ένα σχετικό υπολογιστικό μοντέλο. Οι ΜΔΕ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν μια ευρεία ποικιλία φαινομένων, όπως ήχο, θερμότητα , ηλεκτροστατική , ηλεκτροδυναμική , ροή του υγρού, ελαστικότητα και εκφυλιστική χρωμοδυναμική ροή (όταν η υψηλή στάθμη ενέργειας δεν επιτρέπει στην ισχυρή πυρηνική δύναμη να εκδηλώσει συγκεκριμένα σωματίδια π.χ. στο κέντρο μαύρων τρυπών ή πριν τον κοσμικό πληθωρισμό). Αυτά τα φαινομενικά διαφορετικά φυσικά φαινόμενα μπορεί να υλοποιούνται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο με τη ΜΔΕ, που δείχνει ότι αυτά διέπονται από τις ίδιες βασικές δυναμικές. Απλά όπως οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις συχνά απλοποιούν μονοδιάστατα δυναμικά συστήματα, έτσι και οι μερικές διαφορικές εξισώσεις συχνά απλοποιούν πολυδιάστατα συστήματα. Οι ΜΔΕ βρίσκουν τη γενίκευση τους στις στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις.

 Μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ) είναι εξισώσεις που αφορούν τα ποσοστά μεταβολής σε σχέση με συνεχείς μεταβλητές. Η θέση ενός άκαμπτου σώματος ορίζεται από έξι αριθμούς, αλλά η διαμόρφωση ενός ρευστού δίνεται από την συνεχή κατανομή των διαφόρων παραμέτρων, όπως η θερμοκρασία, η πίεση, και ούτω καθεξής.Η δυναμική για το άκαμπτο σώμα λαμβάνει διαμόρφωση σε ένα χώρο πεπερασμένης-διάστασης. Η δυναμική για το ρευστό λαμβάνει διαμόρφωση σε ένα άπειρο-διάστατο χώρο . Η διάκριση αυτή καθιστά συνήθως τις ΜΔΕ πολύ πιο δύσκολο να λυθούν από τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.), αλλά εδώ και πάλι θα υπάρξουν απλές λύσεις για γραμμικά προβλήματα. Κλασσικοί τομείς όπου οι ΜΔΕ χρησιμοποιούνται περιλαμβάνουν ακουστική, ροή του υγρού, ηλεκτροδυναμική, και μεταφορά θερμότητας. Μια μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ) για τη συνάρτηση u = u ( x 1 , . . . x n ) {\displaystyle \,u=u(x_{1},...x_{n})} είναι μια εξίσωση της μορφής: F ( x 1 , … , x n , u , ∂ u ∂ x 1 , … , ∂ u ∂ x n , ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 1 , … , ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x n , … ) = 0. {\displaystyle F\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{n}}},\ldots \right)=0.} Αν η F είναι μια γραμμική συνάρτηση του u και των παραγώγων του, τότε η ΜΔΕ ονομάζεται γραμμική. Κοινά παραδείγματα των γραμμικών ΜΔΕ είναι η εξίσωση θερμότητας, η κυματική εξίσωση, η εξίσωση Laplace, η εξίσωση Helmholtz, η Klein-Gordon εξίσωση, και η εξίσωση του Poisson. Μια σχετικά απλή ΜΔΕ είναι ∂ u ∂ x ( x , y ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)=0.~} Αυτή η σχέση σημαίνει ότι η συνάρτηση u (x, y) είναι ανεξάρτητη του x. Ωστόσο, η εξίσωση δε δίνει καμία πληροφορία σχετικά με την εξάρτηση της συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή y. Ως εκ τούτου, η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι u ( x , y ) = f ( y ) , {\displaystyle u(x,y)=f(y),} ,όπου f είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση του y. Η ανάλογη συνήθης διαφορική εξίσωση είναι d u d x ( x ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}(x)=0,} η οποία εχει λύση την u ( x ) = c , {\displaystyle u(x)=c,} όπου c είναι οποιαδήποτε σταθερή τιμή. Αυτά τα δύο παραδείγματα δείχνουν ότι οι γενικές λύσεις των συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ.Δ.Ε.) αφορούν αυθαίρετες σταθερές, ενώ οι λύσεις των ΜΔΕ αφορούν αυθαίρετες συναρτήσεις. Μια λύση μιας ΜΔΕ δεν είναι γενικά μοναδική. Πρόσθετοι περιορισμοί πρέπει γενικά να καθορίζονται στα όρια της περιοχής όπου η λύση έχει οριστεί. Για παράδειγμα, στο παραπάνω απλό παράδειγμα, η συνάρτηση f (y) μπορεί να προσδιοριστεί εάν u καθορίζεται στη γραμμή χ = 0. Αν και το ζήτημα της ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των συνήθων διαφορικών εξισώσεων έχει μια πολύ ικανοποιητική απάντηση κατά το Picard-Lindelöf θεώρημα, αυτό απέχει πολύ στην περίπτωση των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Το Cauchy-Kowalevski θεώρημα λέει ότι το πρόβλημα Cauchy για κάθε μερική διαφορική της οποίας οι συντελεστές είναι αναλυτικοί στην άγνωστη συνάρτηση και τα παράγωγά της, έχει μια τοπικά μοναδική αναλυτική λύση. Παρά το γεγονός ότι το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να μη φαίνεται να διευθετεί την ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων, υπάρχουν παραδείγματα γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων των οποίων οι συντελεστές έχουν παράγωγα όλων των ειδών (τα οποία δεν είναι, ωστόσο, αναλυτικά), αλλά τα οποία δεν έχουν λύσεις σε όλα: βλ. Lewy (1957). Ακόμη και αν η λύση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης υπάρχει και είναι μοναδική, μπορεί ωστόσο να έχει ανεπιθύμητες ιδιότητες. Η μαθηματική μελέτη από αυτές τις ερωτήσεις είναι συνήθως το πιο ισχυρό πλαίσιο των ασθενών λύσεων. Ένα παράδειγμα παθολογικής συμπεριφοράς είναι η ακολουθία των προβλημάτων Cauchy (ανάλογα με n) για την εξίσωση Laplace. ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,~} με οριακές συνθήκες u ( x , 0 ) = 0 , {\displaystyle u(x,0)=0,} ∂ u ∂ y ( x , 0 ) = sin ⁡ ( n x ) n , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin(nx)}{n}},} όπου το n είναι ένας ακέραιος. Το παράγωγο του u σε σχέση με το Υ προσεγγίζει το 0 ομοιόμορφα στο Χ όσο το n αυξάνει, αλλά η λύση είναι u ( x , y ) = sinh ⁡ ( n y ) sin ⁡ ( n x ) n 2 . {\displaystyle u(x,y)={\frac {\sinh(ny)\sin(nx)}{n^{2}}}.} Η λύση αυτή προσεγγίζει το άπειρο, αν nx δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π για οποιαδήποτε μη-μηδενική τιμή του y. Το πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση Laplace καλείται κακώς ορισμένο ή όχι καλά τοποθετημένο,δεδομένου ότι η λύση δεν εξαρτάται πάντα από τα δεδομένα του προβλήματος. Τέτοια κακώς ορισμένα προβλήματα συνήθως δεν είναι ικανοποιητικα για φυσικές εφαρμογές. Στις ΜΔΕ, είναι σύνηθες να υποδηλώνονται μερικές παράγωγοι χρησιμοποιώντας δείκτες. Τέτοιες είναι: u x = ∂ u ∂ x {\displaystyle u_{x}={\partial u \over \partial x}} u x y = ∂ 2 u ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ( ∂ u ∂ x ) . {\displaystyle u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right).} Ειδικά στη Φυσική, το ανάδελτα ( ∇ {\displaystyle \nabla } ) χρησιμοποιείται συχνά για χωρικές παραγώγους, και u ˙ , u ¨ {\displaystyle {\dot {u}}\,,{\ddot {u}}\,} , για τα παράγωγα του χρόνου. Για παράδειγμα, η εξίσωση κύματος (που περιγράφεται πιο κάτω) μπορεί να γραφτεί ως u ¨ = c 2 ∇ 2 u {\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u} ή u ¨ = c 2 Δ u {\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\Delta u} όπου Δ είναι ο τελεστής Laplace. Η εξίσωση για την αγωγιμότητα της θερμότητας σε μία διάσταση για ένα ομοιογενές σώμα έχει u t = α u x x {\displaystyle u_{t}=\alpha u_{xx}} όπου u ( t, x) είναι η θερμοκρασία, και το α είναι μια θετική σταθερά που περιγράφει το ρυθμό διάχυσης. Το πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση αυτή συνίσταται στον προσδιορισμό u (0, Χ) = f ( Χ), όπου f ( Χ) είναι μια αυθαίρετη λειτουργία. Γενικές λύσεις της εξίσωσης θερμότητας μπορούν να βρεθούν με την μέθοδο του διαχωρισμού των μεταβλητών. Μερικά παραδείγματα εμφανίζονται στο άρθρο εξίσωση θερμότητας. Αποτελούν παραδείγματα της σειράς Fourier για την περιοδική f και μετασχηματισμοί Fourier για μη περιοδικές f. Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier, μια γενική λύση της εξίσωσης θερμότητας έχει τη μορφή u ( t , x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ξ ) e − α ξ 2 t e i ξ x d ξ , {\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\xi )e^{-\alpha \xi ^{2}t}e^{i\xi x}d\xi ,\,} όπου F είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση. Για να ικανοποιήσει τον αρχικό περιορισμό, δίνεται η F από το μετασχηματισμό Fourier της f, που είναι F ( ξ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ξ x d x . {\displaystyle F(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\xi x}\,dx.\,} Αν η f αντιπροσωπεύει μια πολύ μικρή αλλά έντονη πηγή θερμότητας, τότε το προηγούμενο ολοκλήρωμα μπορεί να προσεγγιστεί από τη διανομή δέλτα, πολλαπλασιασμένη με την ισχύ της πηγής. Για μια πηγή του οποίου η αντοχή κανονικοποιείται στο 1, το αποτέλεσμα είναι F ( ξ ) = 1 2 π , {\displaystyle F(\xi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\,} και το προκύπτον αποτέλεσμα της εξίσωσης θερμότητας είναι u ( t , x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − α ξ 2 t e i ξ x d ξ . {\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha \xi ^{2}t}e^{i\xi x}d\xi .\,} Αυτό είναι ένα ολοκλήρωμα Gauss. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να φτάσουμε στο u ( t , x ) = 1 2 π α t exp ⁡ ( − x 2 4 α t ) . {\displaystyle u(t,x)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi \alpha t}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\alpha t}}\right).\,} Το αποτέλεσμα αυτό αντιστοιχεί στην κανονική πυκνότητα πιθανότητας για Χ με μέση τιμή 0 και διακύμανση 2α t. Η εξίσωση θερμότητας και παρόμοιες εξισώσεις διάχυσης είναι χρήσιμα εργαλεία για τη μελέτη τυχαίων φαινομένων. Η εξίσωση κύματος είναι μια εξίσωση για μια άγνωστη συνάρτηση u ( t, Χ) της μορφής u t t = c 2 u x x . {\displaystyle u_{tt}=c^{2}u_{xx}.} Εδώ to u φαίνεται να μπορεί να περιγράψει την εκτόπιση μιας τεντωμένης χορδής από την ισορροπία, ή την διαφορά στην πίεση του αέρα σε ένα σωλήνα, ή το μέγεθος ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου σε έναν σωλήνα, και c είναι ένας αριθμός που αντιστοιχεί στην ταχύτητα του κύματος. Το πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση αυτή συνίσταται στο να επιβάλλεται η αρχική μετατόπιση και η ταχύτητα μιας χορδής ή σε άλλο μέσο: u ( 0 , x ) = f ( x ) , {\displaystyle u(0,x)=f(x),} u t ( 0 , x ) = g ( x ) , {\displaystyle u_{t}(0,x)=g(x),} όπου f και g είναι αυθαίρετα δοσμένες συναρτήσεις. Η λύση αυτού του προβλήματος δίνεται από τον Ντ 'Αλαμπέρ τύπο: u ( t , x ) = 1 2 [ f ( x − c t ) + f ( x + c t ) ] + 1 2 c ∫ x − c t x + c t g ( y ) d y . {\displaystyle u(t,x)={\tfrac {1}{2}}\left[f(x-ct)+f(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(y)\,dy.} Ο τύπος αυτός συνεπάγεται ότι η λύση στο ( t, Χ) εξαρτάται μόνο από τα στοιχεία σχετικά με το τμήμα της αρχικής γραμμής που κόβεται από τις χαρακτηριστικές καμπύλες x − c t = constant, x + c t = constant , {\displaystyle x-ct={\text{constant,}}\quad x+ct={\text{constant}},} που έχουν συνταχθεί πίσω από εκείνο το σημείο. Αυτές οι καμπύλες αντιστοιχούν σε σήματα που διαδίδονται με την ταχύτητα c προς τα εμπρός και προς τα πίσω. Αντιστρόφως, η επιρροή των δεδομένων σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο επί της αρχικής γραμμής διαδίδεται με την πεπερασμένη ταχύτητα C: δεν υπάρχει καμία επίδραση έξω από ένα τρίγωνο μέσω αυτού του σημείου του οποίου οι πλευρές είναι χαρακτηριστικές καμπύλες.Αυτή η συμπεριφορά είναι πολύ διαφορετική από τη λύση για την εξίσωση θερμότητας, όπου η επίδραση μιας σημειακή πηγής εμφανίζεται (με μικρό πλάτος) ακαριαία σε κάθε σημείο στο χώρο. Η λύση που δίνεται παραπάνω ισχύει επίσης εάν t <0, και η ρητή εξίσωση δείχνει ότι η λύση εξαρτάται ομαλά από τα δεδομένα: τόσο προς τα εμπρός και προς τα πίσω τα προβλήματα Cauchy για την εξίσωση κύματος είναι καλά ορισμένα. Όπου η εξίσωση ,όπως αυτή της θερμότητας, δίνει εξισώσεις της μορφής: ∂ u ∂ t = H ^ u + f ( x , t ) u + g ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\hat {H}}u+f(x,t)u+g(x,t)} όπου H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} είναι ένας Χειριστής Sturm-Liouville (Ωστόσο, θα πρέπει να σημειωθεί ο χειριστής αυτός μπορεί στην πραγματικότητα να είναι της μορφής 1 w ( x ) ( d d x ( p ( x ) d d x ) + q ( x ) ) {\displaystyle {\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {d}{dx}}\right)+q(x)\right)} όπου w ( Χ) είναι η συνάρτηση στάθμισης ως προς τις οποίες οι eigenfunctions του H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} είναι ορθογώνια) στην Χ συντεταγμένη. Σύμφωνα με τις οριακές συνθήκες: u ( x , 0 ) = h ( x ) . {\displaystyle u(x,0)=h(x).} Τότε: Αν: H ^ X n = λ n X n {\displaystyle {\hat {H}}X_{n}=\lambda _{n}X_{n}} X n ( a ) = X n ( b ) = 0 {\displaystyle X_{n}(a)=X_{n}(b)=0} a ˙ n ( t ) − λ n a n ( t ) − ∑ m ( X n f ( x , t ) , X m ) a m ( t ) = ( g ( x , t ) , X n ) {\displaystyle {\dot {a}}_{n}(t)-\lambda _{n}a_{n}(t)-\sum _{m}(X_{n}f(x,t),X_{m})a_{m}(t)=(g(x,t),X_{n})} a n ( 0 ) = ( h ( x ) , X n ) ( X n , X n ) {\displaystyle a_{n}(0)={\frac {(h(x),X_{n})}{(X_{n},X_{n})}}} u ( x , t ) = ∑ n a n ( t ) X n ( x ) {\displaystyle u(x,t)=\sum _{n}a_{n}(t)X_{n}(x)} όπου ( f , g ) = ∫ a b f ( x ) g ( x ) w ( x ) d x . {\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.} Σφαιρικά κύματα είναι τα κύματα των οποίων το πλάτος εξαρτάται μόνο από την απόσταση της ακτίνας r από μια κεντρική σημειακή πηγή. Για τέτοια κύματα, η τρισδιάστατη κυματική εξίσωση παίρνει τη μορφή u t t = c 2 [ u r r + 2 r u r ] . {\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left[u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right].} Αυτό είναι ισοδύναμο με ( r u ) t t = c 2 [ ( r u ) r r ] , {\displaystyle (ru)_{tt}=c^{2}\left[(ru)_{rr}\right],} και ως εκ τούτου η ποσότητα ru ικανοποιεί την μονοδιάστατη εξίσωση κύματος. Κατά συνέπεια, μια γενική λύση για τα σφαιρικά κύματα έχει τη μορφή u ( t , r ) = 1 r [ F ( r − c t ) + G ( r + c t ) ] , {\displaystyle u(t,r)={\frac {1}{r}}\left[F(r-ct)+G(r+ct)\right],} όπου F και G είναι εντελώς αυθαίρετες συναρτήσεις. Ακτινοβολία από μία κεραία αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου G είναι ιδανικά μηδέν. Έτσι, η μορφή του κύματος που μεταδίδεται από μια κεραία δεν έχει καμία παραμόρφωση στο χρόνο: ο μόνος παράγοντας στρέβλωσης είναι ο 1 / r. Αυτό το χαρακτηριστικό της αναλλοίωτης διάδοσης των κυμάτων δεν είναι παρούσα εάν υπάρχουν δύο χωρικές διαστάσεις. Η εξίσωση Λαπλάς για μια άγνωστη συνάρτηση δύο μεταβλητών φ έχει τη μορφή φ x x + φ y y = 0. {\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.} Οι λύσεις της εξίσωσης Laplace ονομάζονται αρμονικές συναρτήσεις . Σύνδεση με αναλυτικές συναρτήσεις Οι λύσεις της εξίσωσης Laplace σε δύο διαστάσεις είναι στενά συνδεδεμένες με τις αναλυτικές συναρτήσεις μιας σύνθετης μεταβλητής (aka holomorphic functions): τα πραγματικά και φανταστικά μέρη σε κάθε αναλυτική συνάρτηση είναι συναρτήσεις συζυγείς αρμονικές και οι δύο ικανοποιούν την εξίσωση Laplace , και οι κλίσεις τους, είναι ορθογώνιες. Αν f = u + iv, τότε η Cauchy-Riemann εξίσωση αναφέρει ότι u x = v y , v x = − u y , {\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y},\,} και ακολουθεί ότι u x x + u y y = 0 , v x x + v y y = 0. {\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=0,\quad v_{xx}+v_{yy}=0.\,} Αντιστρόφως, δοσμένης μιας αρμονικής συνάρτησης σε δύο διαστάσεις, είναι το πραγματικό μέρος μιας αναλυτικής συνάρτησης , τουλάχιστον τοπικά. Λεπτομέρειες δίνονται στην εξίσωση Λαπλάς. Ένα τυπικό πρόβλημα οριακών τιμών Ένα σύνηθες πρόβλημα για την εξίσωση Laplace είναι να βρεθεί μια λύση που να ικανοποιεί αυθαίρετες τιμές για τα όρια του τομέα. Για παράδειγμα, μπορούμε να επιδιώξουμε μια αρμονική συνάρτηση που λαμβάνει τις τιμές u (θ) σε ένα κύκλο ακτίνας ενός. Η λύση δόθηκε από τον Poisson: φ ( r , θ ) = 1 2 π ∫ 0 2 π 1 − r 2 1 + r 2 − 2 r cos ⁡ ( θ − θ ′ ) u ( θ ′ ) d θ ′ . {\displaystyle \varphi (r,\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}-2r\cos(\theta -\theta ')}}u(\theta ')d\theta '.\,} Ο Petrovsky (1967, σελ. 248.) δείχνει πως ο τύπος αυτός μπορεί να ληφθεί από το άθροισμα μιας σειράς Fourier για φ. Εάν r <1, τα παράγωγα της φ μπορούν να υπολογιστούν με τη διαφοροποίηση κάτω από το ολοκληρωτικό σύμβολο, και μπορεί κανείς να επαληθεύσει ότι η φ είναι αναλυτική, ακόμη και αν u είναι συνεχής, αλλά όχι κατ 'ανάγκην διαφορίσιμη.Αυτή η συμπεριφορά είναι τυπική για τις λύσεις των ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων : οι λύσεις μπορεί να είναι πολύ πιο ομαλές από ό, τι τα δεδομένα όρια. Αυτό είναι σε αντίθεση με τις λύσεις της εξίσωσης κύματος, και πιο γενικά της υπερβολικής μερικής διαφορικής εξίσωσης , οι οποίες έχουν συνήθως όχι περισσότερες παραγώγους από τα δεδομένα. Η Euler-Tricomi εξίσωση χρησιμοποιείται στην έρευνα της transonic ροής. u x x = x u y y . {\displaystyle u_{xx}=xu_{yy}.} Η εξίσωση αερίων μαζών περιγράφει τη μεταφορά μιας διατηρημένης μιας διάστασης ψ σε ένα πεδίο ταχύτητας 'u' = (u, κατά, w). Είναι: ψ t + ( u ψ ) x + ( v ψ ) y + ( w ψ ) z = 0. {\displaystyle \psi _{t}+(u\psi )_{x}+(v\psi )_{y}+(w\psi )_{z}=0.} Εάν το πεδίο ταχύτητας είναι σωληνοειδείς (δηλαδή, ∇ ⋅ 'u'), τότε η εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί ψ t + u ψ x + v ψ y + w ψ z = 0. {\displaystyle \psi _{t}+u\psi _{x}+v\psi _{y}+w\psi _{z}=0.} Στην μονοδιάστατη περίπτωση όπου u δεν είναι σταθερά και είναι ίση με ψ, η εξίσωση αναφέρεται ως Burgers 'εξίσωση. Η Ginzburg-Landau εξίσωση χρησιμοποιείται στη μοντελοποίηση υπεραγωγιμότητα. Είναι i u t + p u x x + q | u | 2 u = i γ u {\displaystyle iu_{t}+pu_{xx}+q|u|^{2}u=i\gamma u} όπου p,q ∈ C κΙ γ ∈ R είναι σταθερές και i είναι η φανταστική ενότητα. Η Dym εξίσωση πήρε το όνομά της απο τον Χάρι Dym και παρουσιάζεται στη μελέτη του σολιτονικές. Είναι u t = u 3 u x x x . {\displaystyle u_{t}\,=u^{3}u_{xxx}.} Κύριο άρθρο: Προβλήματα συνοριακών τιμών Πολλά προβλήματα της μαθηματικής φυσικής διαμορφώνονται ως αρχικά διασυνοριακά προβλήματα. Παλλόμενη χορδή Αν η χορδή είναι τεντωμένη μεταξύ δύο σημείων, όπου x = 0 και x = L και u δηλώνει το εύρος της μετατόπισης της χορδής, τότε το u ικανοποιεί την μονοδιάστατη κυματική εξίσωση στην περιοχή όπου 0 < x < L και t είναι απεριόριστο. Δεδομένου ότι η χορδή είναι δεμένη στα κάτω άκρα, το u πρέπει επίσης να πληροί τις οριακές συνθήκες u ( t , 0 ) = 0 , u ( t , L ) = 0 , {\displaystyle u(t,0)=0,\quad u(t,L)=0,} καθώς και τις αρχικές συνθήκες u ( 0 , x ) = f ( x ) , u t ( 0 , x ) = g ( x ) . {\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x).} Η μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών για την εξίσωση κύματος u t t = c 2 u x x , {\displaystyle u_{tt}=c^{2}u_{xx},\,} οδηγεί σε λύσεις της μορφής u ( t , x ) = T ( t ) X ( x ) , {\displaystyle u(t,x)=T(t)X(x),\,} όπου T ″ + k 2 c 2 T = 0 , X ″ + k 2 X = 0 , {\displaystyle T''+k^{2}c^{2}T=0,\quad X''+k^{2}X=0,\,} όπου η σταθερά k πρέπει να ορίζεται. Οι οριακές συνθήκες τότε δηλώνουν ότι το Χ είναι πολλαπλάσιο του sinkx και το k πρέπει να έχει τη μορφή k = n π L , {\displaystyle k={\frac {n\pi }{L}},} όπου n είναι ένας ακέραιος. Κάθε όρος του αθροίσματος αντιστοιχεί σε μια λειτουργία της δόνησης της χορδής. Ο τρόπος με n = 1 ονομάζεται θεμελιώδης λειτουργία, και οι συχνότητες των άλλων τρόπων είναι όλα τα πολλαπλάσια αυτής της συχνότητας. Αποτελούν τη σειρά απόηχος της χορδής, και είναι η βάση για τη μουσικη-ακουστική. Οι αρχικές συνθήκες μπορεί στη συνέχεια να ικανοποιηθούν αντιπροσωπεύοντας τις f και g ως άπειρες σειρές από αυτούς τους τρόπους. Πνευστά τυπικά αντιστοιχούν σε δονήσεις μιας στήλης αέρα με ένα άκρο ανοικτό και ένα άκρο κλειστό. Οι αντίστοιχες οριακές συνθήκες είναι X ( 0 ) = 0 , X ′ ( L ) = 0. {\displaystyle X(0)=0,\quad X'(L)=0.} Η μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών μπορεί επίσης να εφαρμοστεί στην περίπτωση αυτή, και αυτό οδηγεί σε μια σειρά από περίεργα αρμονικούς ήχους. Το γενικό πρόβλημα του τύπου αυτού έχει λυθεί στη Sturm-Liouville θεωρία. Παλλόμενη μεμβράνη Αν μια μεμβράνη απλώνεται κατά μήκος της καμπύλης C, που αποτελεί το όριο ενός τομέα D στο πλάνο, οι δονήσεις της διέπονται από την εξίσωση κύματος 1 c 2 u t t = u x x + u y y , {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}u_{tt}=u_{xx}+u_{yy},} αν t>0 και (x,y) είναι στο D. Η οριακή συνθήκη είναι u(t,x,y) = 0 αν (x,y) είναι στο C. Η μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών οδηγεί στον τύπο u ( t , x , y ) = T ( t ) v ( x , y ) , {\displaystyle u(t,x,y)=T(t)v(x,y),} η οποία με τη σειρά της πρέπει να πληροί 1 c 2 T ″ + k 2 T = 0 , {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}T''+k^{2}T=0,} v x x + v y y + k 2 v = 0. {\displaystyle v_{xx}+v_{yy}+k^{2}v=0.} Η τελευταία εξίσωση ονομάζεται Εξίσωση Helmholtz. Η σταθερά k πρέπει να είναι ορισμένη να επιτρέπει σε έναν μη-τετριμμένο V να ικανοποιεί την οριακή συνθήκη για το C. Αυτές οι τιμές του k 2 καλούνται ιδιοτιμές της Λαπλασιανής στο D, και οι σχετικές λύσεις είναι οι eigenfunctions της Λαπλασιανής στο D. Η Sturm-Liouville θεωρία μπορεί να επεκταθεί και σε αυτό το ελλειπτικό πρόβλημα ιδιοτιμών (Jost, 2002). Η εξίσωση Schrödinger είναι μια ΜΔΕ στην καρδιά της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής. Στην WKB προσέγγιση είναι η Hamilton-Jacobi εξίσωση. Εκτός από τη Dym εξίσωση και τη Ginzburg-Landau εξίσωση, οι παραπάνω εξισώσεις είναι γραμμικές με την έννοια ότι μπορούν να γραφτούν στη μορφή Au =f για ένα δοσμένο γραμμικό τελεστή Α και μια συγκεκριμένη συνάρτηση f. Άλλες σημαντικές μη γραμμικές εξισώσεις περιλαμβάνουν τις εξισώσεις Navier-Stokes, που περιγράφουν τη ροή των υγρών, και τις εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν ή της γενικής σχετικότητας. Επίσης, δείτε το κατάλογος των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Μερικές γραμμικές, δεύτερης τάξης μερικές διαφορικές εξισώσεις μπορούν να χαρακτηριστούν ως παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, υπερβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις ή ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις. Άλλες, όπως η Euler-Tricomi εξίσωση έχουν διαφορετικούς τύπους σε διαφορετικές περιοχές. Η ταξινόμηση παρέχει έναν οδηγό για τις κατάλληλες αρχικές και οριακές συνθήκες, και στην ομαλότητα των λύσεων. Υποθέτοντας ότι u x y = u y x {\displaystyle u_{xy}=u_{yx}} , η γενική λύση δεύτερης τάξης ΜΔΕ σε δύο ανεξάρτητες μεταβλητές έχει τη μορφή A u x x + 2 B u x y + C u y y + ⋯ (lower order terms) = 0 , {\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,} όπου οι συντελεστές A, B, C κλπ. μπορεί να εξαρτάται από x και y. Αν A 2 + B 2 + C 2 > 0 {\displaystyle A^{2}+B^{2}+C^{2}>0} γύρω από μια περιοχή του επιπέδου xy, η ΜΔΕ είναι δεύτερης τάξης σε αυτην την περιοχή. Αυτή η μορφή είναι ανάλογη με την εξίσωση για μια κωνική τομή: A x 2 + 2 B x y + C y 2 + ⋯ = 0. {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.} Ακριβέστερα, αντικαθιστώντας ∂x by X,και ομοίως για τις άλλες μεταβλητές (τυπικά αυτό γίνεται με ένα μετασχηματισμό Fourier), μετατρέπει ένα σταθερό συντελεστή-ΜΔΕ σε ένα πολυώνυμο του ίδιου βαθμού, με την μεγαλύτερο βαθμό (α ομογενές πολυώνυμο, εδώ α τετραγωνική μορφή) είναι πιο σημαντικά για την κατάταξη. Ακριβώς όπως κάποιος κατατάσσει μια κωνική τομή και τις τετραγωνικές μορφές σε παραβολικές, υπερβολικές, και ελλειπτικές με βάση τη διακρίνουσα B 2 − 4 A C {\displaystyle B^{2}-4AC} , το ίδιο μπορεί να γίνει για μια δεύτερης τάξης ΜΔΕ σε ένα δοσμένο σημείο. Ωστόσο, η διακρίνουσα σε μια ΜΔΕ δίνεται από B 2 − A C , {\displaystyle B^{2}-AC,} λόγω της Σύμβασης για τα xy ο όρος είναι 2 Β και όχι B.Επίσημα, η διακρίνουσα (για τη συνδεδεμένη τετραγωνική μορφή) είναι ( 2 B ) 2 − 4 A C = 4 ( B 2 − A C ) , {\displaystyle (2B)^{2}-4AC=4(B^{2}-AC),} με τον παράγοντα 4 που μειώθηκε για λόγους απλότητας. B 2 − A C < 0 {\displaystyle B^{2}-AC<0} : λύσεις των ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι τόσο ομαλές όπως οι συντελεστές επιτρέπουν, στο εσωτερικό της περιοχής, όπου η εξίσωση και λύσεις τους ορίζονται. Για παράδειγμα, οι λύσεις της εξίσωσης Laplace είναι αναλυτικές εντός του τομέα όπου αυτές ορίζονται, αλλά οι λύσεις μπορεί να υποθέσει κάποιος ότι οι τιμές ορίου δεν είναι ομαλές. Η κίνηση ενός υγρού σε υποηχητική ταχύτητα μπορεί να προσεγγιστεί με ελλειπτική ΜΔΕ, και η Euler-Tricomi εξίσωση είναι ελλειπτική, όπου Χ <0. B 2 − A C = 0 {\displaystyle B^{2}-AC=0} :εξισώσεις που είναι παραβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις σε κάθε σημείο μπορεί να μετατραπούν σε μια μορφή ανάλογη προς την εξίσωση θερμότητας από μια αλλαγή των ανεξάρτητων μεταβλητών.Οι λύσεις εξομαλύνουν όσο η μετασχηματισμένη μεταβλητή του χρόνου αυξάνεται. Η Euler-Tricomi εξίσωση έχει παραβολικό τύπο στη γραμμή όπου Χ = 0. B 2 − A C > 0 {\displaystyle B^{2}-AC>0} :εξισώσεις που είναι υπερβολικές μερικές διαφορικές εξισώσεις διατηρούν τυχόν ασυνέχειες των συναρτήσεων ή παράγωγα στα αρχικά δεδομένα. Ένα παράδειγμα είναι η εξίσωση κύματος.Η κίνηση ενός υγρού σε υπερηχητικές ταχύτητες μπορεί να προσεγγιστεί με υπερβολικές ΜΔΕ, και η Euler-Tricomi εξίσωση είναι υπερβολική όταν Χ> 0.Εάν υπάρχουν n ανεξάρτητες μεταβλητές x1, x2 , ..., xn, μια γενική γραμμική μερική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης έχει τη μορφή L u = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i , j ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j plus lower-order terms = 0. {\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad {\text{ plus lower-order terms}}=0.} Η ταξινόμηση εξαρτάται από την υπογραφή των ιδιοτιμών του συντελεστή ai,j.. Ελλειπτικές: Οι ιδιοτιμές είναι όλες μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές. Παραβολικές: Οι ιδιοτιμές είναι όλες μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές, εκτός από μία που είναι μηδέν. Υπερβολικές: Υπάρχει μόνο μία αρνητική ιδιοτιμή και όλες οι υπόλοιπες είναι θετικές, ή υπάρχει μόνο μία θετική ιδιοτιμή και όλες οι υπόλοιπες είναι αρνητικές. Ultrahyperbolic: Υπάρχουν περισσότερες από μία θετικές ιδιοτιμές και περισσότερες από μία αρνητικές ιδιοτιμές, και δεν υπάρχουν μηδενικές ιδιοτιμές. Υπάρχει μόνο περιορισμένη θεωρία για ultrahyperbolic εξισώσεις (Courant και Hilbert, 1962). Η κατάταξη των μερικών διαφορικών εξισώσεων μπορεί να επεκταθεί σε συστήματα εξισώσεων πρώτης τάξης, όπου το άγνωστο u είναι τώρα ένα διάνυσμα με m συστατικά, και τις μήτρες συντελεστή Α ν είναι m κατά m μήτρες για ν = 1, ..., n. Η μερική διαφορική εξίσωση παίρνει τη μορφή L u = ∑ ν = 1 n A ν ∂ u ∂ x ν + B = 0 , {\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,} όπου οι πίνακες συντελεστών Α ν και το διάνυσμα B μπορεί να εξαρτάται από Χ και u. Εάν ένας hypersurface S δίνεται στην έμμεση μορφή φ ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 , {\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\,} όπου φ έχει μια μη μηδενική κλίση, έτσι S είναι χαρακτηριστική επιφάνεια A για τον χειριστή L σε ένα δεδομένο σημείο, εάν η χαρακτηριστική μορφή εξαφανίζεται: Q ( ∂ φ ∂ x 1 , … , ∂ φ ∂ x n ) = det [ ∑ ν = 1 n A ν ∂ φ ∂ x ν ] = 0. {\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.\,} Η γεωμετρική ερμηνεία αυτής της κατάστασης είναι ως εξής: αν τα δεδομένα για το u προδιαγράφονται στην επιφάνεια S, τότε μπορεί να είναι δυνατό να καθοριστεί η κανονική παράγωγος του u στην S από την διαφορική εξίσωση. Εάν τα στοιχεία για την S και η διαφορική εξίσωση καθορίζει την κανονική παράγωγο της u στην S, τότε S δεν είναι χαρακτηριστική. Εάν τα δεδομένα για την S και η διαφορική εξίσωση δεν καθορίζουν την κανονική παράγωγο του u για την S, τότε η επιφάνεια είναι 'χαρακτηριστική', και η διαφορική εξίσωση περιορίζει τα δεδομένα στην S: η διαφορική εξίσωση είναι εσωτερική στην S. Ένα πρώτης τάξης σύστημα Lu = 0 είναι ελλειπτικό αν δεν υπάρχει επιφάνεια χαρακτηριστική για L: οι τιμές του u στην S και η διαφορική εξίσωση καθορίζουν πάντα την κανονική παράγωγο της u στην S. Ένα πρώτης τάξης σύστημα είναι υπερβολικό σε ένα σημείο, αν υπάρχει χώρος-όπως μια επιφάνεια S με φυσιολογικό ξ σε εκείνο το σημείο. Αυτό σημαίνει ότι, δοσμένου ενός μη τετριμμέου φορέα η, ορθογώνιο προς ξ, και ένα πολλαπλασιαστή λ μονοδιάστατη, η εξίσωση Q ( λ ξ + η ) = 0 , {\displaystyle Q(\lambda \xi +\eta )=0,} έχει m πραγματικές ρίζες λ 1, λ2, ..., λm. Το σύστημα είναι αυστηρά υπερβολικό αν οι ρίζες αυτές είναι πάντα ξεχωριστές. Η γεωμετρική ερμηνεία αυτής της συνθήκης είναι η εξής: η χαρακτηριστική μορφή Q (ζ) = 0 ορίζει έναν κώνο (ο κανονικός κώνος) με ομογενείς συντεταγμένες ζ.Στην υπερβολική περίπτωση , αυτό κώνος έχει m φύλλα, και ο άξονας ζ = λ ξ τρέχει μέσα σε αυτά τα φύλλα: δεν τέμνει καμία από αυτές. Αλλά όταν μετατοπίζεται από την θέση του η, ο άξονας αυτός τέμνει κάθε φύλλο. Στην ελλειπτική περίπτωση , ο κανονικός κώνος δεν έχει κανένα πραγματικό φύλλο. Εάν μια ΜΔΕ έχει συντελεστές που δεν είναι σταθεροί, είναι δυνατόν ότι αυτοί δεν θα ανήκουν σε κάποια από αυτές τις κατηγορίες, αλλά μάλλον θα είναι μικτού τύπου. Ένα απλό αλλά σημαντικό παράδειγμα είναι η Euler-Tricomi εξίσωση u x x = x u y y , {\displaystyle u_{xx}\,=xu_{yy},} η οποία καλείται ελλειπτικά-υπερβολική επειδή είναι ελλειπτική στην περιοχή Χ <0, υπερβολική στην περιοχή Χ> 0, και εκφυλισμένη παραβολική στη γραμμή Χ = 0. Η Weyl κβαντοποίηση στο χώρο των φάσεων οδηγεί στις quantum Χάμιλτον εξισώσεις για τις τροχιές των κβαντικών σωματιδίων. Αυτές οι εξισώσεις είναι άπειρης τάξης ΜΔΕ. Ωστόσο, στην ημικλασσική επέκταση έχει ένα πεπερασμένο σύστημα εξισώσεων σε οποιαδήποτε σταθερή διάταξη ℏ {\displaystyle \hbar } .Η εξίσωση της εξέλιξης της συνάρτησης Wigner είναι άπειρης τάξης ΜΔΕ επίσης. Οι κβαντικές τροχιές είναι χαρακτηριστικά κβαντικές με τη χρήση του οποίου μπορεί κανείς να υπολογίσει την εξέλιξη της συνάρτησης Wigner. Κύριο άρθρο Διαχωριστική μερική διαφορική εξίσωση Οι γραμμικές ΜΔΕ μπορούν να ελλατωθούν σε συστήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων με την σημαντική τεχνική του διαχωρισμού των μεταβλητών.Η λογική αυτής της τεχνικής μπορεί να προκαλέσει σύγχυση με την πρώτη ματιά, αλλά στηρίζεται στη μοναδικότητα των λύσεων διαφορικών εξισώσεων: Όπως και με διαφορικές εξισώσεις, αν μπορεί κανείς να βρει οποιαδήποτε λύση που λύνει την εξίσωση και να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες, τότε αυτή είναι η λύση. Θεωρούμε ως συνάρτηση ότι η εξάρτηση της λύσης σε χώρο και χρόνο μπορεί να γραφτεί ως προϊόν των όρων που ο καθένας εξαρτάται από μία μόνο συντεταγμένη, και στη συνέχεια να δούμε εάν και πώς αυτό μπορεί να γίνει για την επίλυση του προβλήματος. Στη μέθοδο του διαχωρισμού μεταβλητών, η μία μειώνει μια ΜΔΕ σε μια ΜΔΕ με λιγότερες μεταβλητές, η οποία είναι μια Συνήθης διαφορική εξίσωση. Εάν είναι σε μία μεταβλητή - αυτές είναι με τη σειρά ευκολότερο να επιλυθούν. Αυτό είναι δυνατό για απλές ΜΔΕ, οι οποίες ονομάζονται διαχωρίσιμες μερικές διαφορικές εξισώσεις , και ο τομέας είναι γενικά ένα ορθογώνιο (ένα προϊόν των διαστημάτων). Διαχωρίσιμες ΜΔΕ αντιστοιχούν σε διαγώνιες μήτρες - λαμβάνοντας υπόψην "την αξία της σταθεράς Χ " ως συντεταγμένη, κάθε συντεταγμένη μπορεί να κατανοηθεί ξεχωριστά. Αυτό γενικεύει στη μέθοδο των χαρακτηριστικών, και χρησιμοποιείται επίσης στους αρχικούς μετασχηματισμούς. Σε ειδικές περιπτώσεις, μπορεί κανείς να βρει χαρακτηριστικές καμπύλες των οποίων η εξίσωση μειώνεται σε μια ΣΔΕ - αλλάζοντας τις συντεταγμένες στον τομέα για να ισιώσουν αυτές οι καμπύλες,επιτρέπει το διαχωρισμό των μεταβλητών, και ονομάζεται μέθοδος των χαρακτηριστικών. Γενικότερα, μπορεί κανείς να βρει χαρακτηριστικές επιφάνειες. Ένας αρχικός μετασχηματισμός δύναται να μετατρέψει την ΜΔΕ σε μια απλούστερη, ιδιαίτερα σε μια διαχωρίσιμη ΜΔΕ. Αυτό αντιστοιχεί στο "diagonalizing" ένα χειριστή. Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι η Ανάλυση Fourier, η οποία diagonalizes την εξίσωση θερμότητας με χρήση του eigenbasis ημιτονοειδών κυμάτων. Αν ο τομέας είναι πεπερασμένος ή περιοδικός, ένα άπειρο άθροισμα των λύσεων, όπως η σειρά Fourier είναι κατάλληλο, αλλά αποτελεί την αρχική των λύσεων όπως η Fourier αρχική απαιτούνται κατά κανόνα για άπειρους τομείς. Η λύση για μια σημείακή πηγή για την εξίσωση θερμότητας έχει δοθεί παραπάνω και είναι ένα παράδειγμα για τη χρήση μιας αρχικής Fourier . Συχνά μια ΜΔΕ μπορεί να ελλατωθεί σε μια απλούστερη μορφή με μια γνωστή λύση από μια κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών. Για παράδειγμα, η Black-Scholes ΜΔΕ ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} μπορεί να αναχθεί στην εξίσωση θερμότητας ∂ u ∂ τ = ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}} με την αλλαγή των μεταβλητών (για τις πλήρεις λεπτομέρειες βλέπε Solution of the Black Scholes Equation) V ( S , t ) = K v ( x , τ ) {\displaystyle V(S,t)=Kv(x,\tau )} x = ln ⁡ ( S K ) {\displaystyle x=\ln \left({\tfrac {S}{K}}\right)} τ = 1 2 σ 2 ( T − t ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t)} v ( x , τ ) = exp ⁡ ( − α x − β τ ) u ( x , τ ) . {\displaystyle v(x,\tau )=\exp(-\alpha x-\beta \tau )u(x,\tau ).} Ανομοιογενείς εξισώσεις μπορούν συχνά να επιλυθούν (για σταθερούς συντελεστές ΜΔΕ, πάντα λύνονται) με την εύρεση της θεμελιώδους λύσης (η λύση για μια σημειακή πηγή), στη συνέχεια, λαμβάνοντας τη συνέλιξη με τις οριακές συνθήκες για να πάρει τη λύση. Αυτό είναι ανάλογο με την επεξεργασία σήματος για την κατανόηση ενός φίλτρου από την κρουστική απόκριση. Επειδή κάθε επαλληλίας λύσεων μιας γραμμικής, ομογενούς ΜΔΕ είναι και πάλι μια λύση, οι ιδιαίτερες λύσεις που μπορεί στη συνέχεια να συνδυάζονται για να βρεθούν περισσότερες γενικές λύσεις. Δείτε επίσης τη λίστα των μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων.Δεν υπάρχουν γενικά εφαρμόσιμες μέθοδοι για την επίλυση μη γραμμικών ΜΔΕ. Παρόλα αυτά, η ύπαρξη και η μοναδικότητα των λύσεων φέρει αποτελέσματα (όπως το Cauchy-Kowalevski θεώρημα) που είναι συχνά δυνατό , όπως και οι αποδείξεις από σημαντικές ποιοτικές και ποσοτικές ιδιότητες των λύσεων (το να έχουμε τα αποτελέσματα αυτά είναι ένα σημαντικό μέρος της Ανάλυση ).Η υπολογιστική επίλυση των μη γραμμικών ΜΔΕ, η split-βήμα μέθοδος, υπάρχει για συγκεκριμένες εξισώσεις, όπως η μη γραμμική εξίσωση Schrödinger. Παρ 'όλα αυτά, υπάρχουν ορισμένες τεχνικές που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για διάφορους τύπους των εξισώσεων. Η h-αρχή είναι η πιο ισχυρή μέθοδος για την επίλυση υποτιμάται εξισώσεις. Η Riquier-Janet θεωρία είναι μια αποτελεσματική μέθοδος για την απόκτηση πληροφοριών σχετικά με πολλά αναλυτικά υπερορισμένα συστήματα. Η μέθοδος των χαρακτηριστικών(μεθοδος μετασχηματισμού ομοιότητας) μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ορισμένες πολύ ειδικές περιπτώσεις για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μια ΜΔΕ μπορεί να λυθεί μέσω της Ανάλυσης όχλησης, στην οποία το διάλυμα θεωρείται ότι είναι μια διόρθωση σε μια εξίσωση με μία γνωστή λύση. Εναλλακτικές λύσεις είναι τεχνικές Αριθμητική Ανάλυσης από την απλή διαφορά πεπερασμένων συστημάτων στην πιο ώριμη multigrid και πεπερασμένων στοιχείων μεθόδους. Πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα στον τομέα της επιστήμης και της μηχανικής λύνονται με αυτό τον τρόπο τη χρήση υπολογιστών, μερικές φορές με την υψηλή απόδοση υπερυπολογιστών . Από το 1870 το έργο του Sophus Lie έθεσε τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων σε μια πιο ικανοποιητική βάση. Έδειξε ότι οι θεωρίες του να βρίσκεις αρχικές των ηλικιωμένων μαθηματικών μπορούν, με την εισαγωγή του τι είναι σήμερα και ονομάζονται ομάδες Lies να αναφέρεται σε μια κοινή πηγή. Και ότι οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που παραδέχονται το ίδιο για τους απειροελάχιστους μετασχηματισμούς να παρουσιάζουν παρόμοιες δυσκολίες ένταξης. Τόνισε, επίσης, το θέμα των μετασχηματισμών επαφής. Μια γενική προσέγγιση για την επίλυση των ΜΔΕ χρησιμοποιεί την ιδιότητα συμμετρίας των διαφορικών εξισώσεων,τους συνεχείς απειροελάχιστους μετασχηματισμούς των λύσεων σε λύσεις (θεωρία Lie).Η sυνεχής Θεωρία Ομάδων,οι άλγεβρες Lie και η διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιούνται για να κατανοηθούν η δομή των γραμμικών και μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων για τη δημιουργία αρχικών εξισώσεων, ώστε να βρουν τα ζεύγη Lax , την αναδρομή των φορέων,τους BACKLUND μετασχηματισμούς και, τέλος, να βρεθούν οι ακριβείς αναλυτικές λύσεις για τις ΜΔΕ. Οι μέθοδοι της Συμμετρίας έχουν αναγνωριστεί για τη μελέτη διαφορικών εξισώσεων που προκύπτουν σε μαθηματικά, φυσική, η μηχανική, και πολλούς άλλους κλάδους. Η adomian μέθοδος αποσύνθεσης, η Αλεξάντρ Lyapunov τεχνητή μικρή μέθοδος παραμέτρων, και αυτός είναι homotopy διατάραξης της μεθόδου είναι όλες ειδικές περιπτώσεις της γενικότερης homotopy μεθόδου ανάλυσης. Αυτές είναι οι μέθοδοι επέκτασης σειρών, και εκτός από τη μέθοδο Lyapunov, είναι ανεξάρτητες από τις μικρές φυσικές παραμέτρους σε σύγκριση με τη γνωστή θεωρία διαταραχών, δίνοντας έτσι αυτές οι μέθοδοι μεγαλύτερη ευελιξία και γενικότητα στη λύση. Τα τρία πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση ΜΔΕ είναι η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ), οι μέθοδοι πεπερασμένων όγκων (ΜΠΟ) και μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών (ΜΠΔ) . Η ΜΠΣ έχει μια εξέχουσα θέση μεταξύ αυτών των μεθόδων και ιδιαίτερα στη εξαιρετικά αποτελεσματική ανώτερη τάξη version hp-FEM. Άλλες εκδόσεις του ΜΠΣ περιλαμβάνουν τη γενικευμένη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (ΓΜΠΣ), εκτεταμένη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΕΜΠΣ),τη φασματική μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΦΜΠΣ), meshfree πεπερασμένων στοιχείων μέθοδο, ασυνεχείς Galerkin μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων (ΑGΜΠΣ), Element-Free μέθοδος Galerkin (EFGM), Παρεμβολή Element-Free μέθοδος Galerkin (IEFGM), κλπ. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) (η πρακτική εφαρμογή της, συχνά γνωστή ως ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων (ΑΠΣ)) είναι μια αριθμητική τεχνική για την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ), καθώς και των ολοκληρωτικών εξισώσεων. Η προσεγγιστική λύση βασίζεται είτε στην εξάλειψη της διαφορικής εξίσωσης πλήρως (σταθερά προβλήματα-κατάσταση), ή καθιστώντας τη ΜΔΕ σε ένα προσεγγιστικό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, τα οποία στη συνέχεια ενσωματώνονται αριθμητικά χρησιμοποιώντας πρότυπες τεχνικές όπως η μέθοδος του Euler, Runge-Kutta, κλπ. Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών είναι αριθμητικές μέθοδοι για την προσέγγιση των λύσεων εξισώσεων διαφοράς με χρήση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών για την προσέγγιση παραγώγων. Παρόμοια με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών ή τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, οι τιμές υπολογίζονται σε διακριτές θέσεις με το "μάτι" γεωμετρία. "Ο όγκος Πεπερασμένων" αναφέρεται στο μικρό όγκο που περιβάλλει κάθε κόμβο σημείο σε ένα πλέγμα. Στη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων, τα επιφανειακά ολοκληρώματα σε μια μερική διαφορική εξίσωση που περιέχουν έναν όρο απόκλιση μετατρέπονται σε ολοκληρώματα όγκου, χρησιμοποιώντας το θεώρημα απόκλισης. Αυτοί οι όροι στη συνέχεια αξιολογήθηκαν ως συλλιπάσματα στις επιφάνειες τους σε κάθε πεπερασμένο όγκο. Επειδή η ροή εισέρχεται σε δεδομένη ο όγκος είναι ταυτόσημος με εκείνες αφήνοντας το παρακείμενο όγκο, αυτές οι μέθοδοι είναι συντηρητικές. Πρόβλημα συνοριακών τιμών Εξίσωση διαφορά Μετασχηματισμός Laplace εφαρμόζεται σε διαφορικές εξισώσεις Κατάλογος των δυναμικών συστημάτων και των διαφορικών εξισώσεων θέματα Matrix διαφορική εξίσωση Συνήθης διαφορική εξίσωση Μερική διαφορική εξίσωση αλγεβρικό Χωρισμός των μεταβλητών Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις Αριθμητική μερικών διαφορικών εξισώσεων Στοχαστικές διαδικασίες και τα προβλήματα συνοριακών τιμών Dirichlet οριακή συνθήκη Neumann όριο κατάσταση Robin όριο κατάσταση Waves Επίλυση προβλημάτων Frontier Φυσικής: Η μέθοδος αποσύνθεσης. Kluwer Academic Publishers. 1994. Μέθοδοι Μαθηματικής Φυσικής, Wiley-Interscience, 1962 . Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, 1998 . CRC Handbook of Analysis ομάδας Lie των Διαφορικές Εξισώσεις Vol. 1-3, CRC-Press, 1993 . Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Springer-Verlag, 1982, ISBN 0-387-90609-6, https://archive.org/details/partialdifferent00john_0 . Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, Springer-Verlag, 2002, ISBN 0-387-95428-7 . Ένα παράδειγμα μιας ομαλής γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων χωρίς λύση, 1957, σελ. 155-158 . , 2003, ISBN 1-58488-407-X Ισοδυναμία, Invariants και Symmetry, 1995 . Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, 1967 . Εισαγωγή στις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, 2005, ISBN 0-521-84886-5 . Εγχειρίδιο της Γραμμικής Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις για Μηχανικούς και Επιστήμονες, 2002 . Handbook of μη Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, 2004 . Εγχειρίδιο πρώτης τάξης Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις, 2002, ISBN 0,-415-27267-X . Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις και μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, 2005, ISBN 0-471-72070-4 . υψηλότερης τάξης Πεπερασμένα Στοιχεία, 2003, ISBN 1-58488-438-X . Διαφορικές Εξισώσεις: Λύση Χρησιμοποιώντας τους συμμετρίες. Επιμέλεια: Μ. MacCallum, 1989 . Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις και Solitary Θεωρία Κύματα. Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης Press. 2009. ISBN 90-5809-369-7. Handbook of Διαφορικές Εξισώσεις, 1997, ISBN 0-12-784395-7 . Η φύση της Μαθηματικής Μοντελοποίησης, 1999, ISBN 0-521-57095-6 . Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις: Ακριβής Λύσεις στο EqWorld: Ο κόσμος των μαθηματικών εξισώσεων. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις: Index στο EqWorld: Ο κόσμος των μαθηματικών εξισώσεων. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις: Μέθοδοι στο EqWorld: Ο κόσμος των μαθηματικών εξισώσεων. παράδειγμα προβλήματα με τις λύσεις στο exampleproblems.com Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις στο mathworld.wolfram.com Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις στο nag.com διασποράς PDE Wiki NEQwiki, η μη γραμμικές εξισώσεις εγκυκλοπαίδεια Αρχειοθετήθηκε 2018-12-12 στο Wayback Machine.