Πίνακας περιστροφής

Στη γραμμική άλγεβρα ο πίνακας περιστροφής είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην γραμμική απεικόνιση της περιστροφής ενός σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων. Στις δύο διαστάσεις για γωνία θ {\displaystyle \theta } , ο πίνακας της περιστροφής είναι ίσος με R ( θ ) = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}} ,όπου sin ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta } είναι το ημίτονο και cos ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta } το συνημίτονο της γωνίας θ {\displaystyle \theta } . Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνται στα γραφικά υπολογιστών,:282 την ρομποτική, την μηχανική και σε άλλες επιστήμες.

 Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία θ {\displaystyle \theta } αριστερόστροφα γύρω από την αρχή των αξόνων δίνεται ως εξής R ( θ ) = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] . {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.} Απόδειξη Θεωρούμε ένα σημείο p = ( x , y ) {\displaystyle \mathbf {p} =(x,y)} στο επίπεδο. Έστω ℓ = | p | = x 2 + y 2 {\displaystyle \ell =|\mathbf {p} |=\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} η απόσταση του από την αρχή των αξόνων και ϕ {\displaystyle \phi } η γωνία μεταξύ του p {\displaystyle \mathbf {p} } και του άξονα xx'. Τότε x = ℓ ⋅ cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=\ell \cdot \cos \phi } και y = ℓ ⋅ sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=\ell \cdot \sin \phi } . Έστω p ′ = ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle \mathbf {p} '=(x',y')} το σημείο p {\displaystyle \mathbf {p} } περιεστρεμμένο κατά γωνία θ {\displaystyle \theta } αριστερόστροφα της αρχής των αξόνων. Τότε η γωνία του p ′ {\displaystyle \mathbf {p} '} με τον xx' είναι ϕ + θ {\displaystyle \phi +\theta } και το μήκος του είναι | p ′ | = | p | = ℓ {\displaystyle |\mathbf {p} '|=|\mathbf {p} |=\ell } . Επομένως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το άθροισμα γωνιών, ισχύει ότι x ′ = ℓ ⋅ cos ⁡ ( ϕ + θ ) = ℓ ⋅ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ − ℓ ⋅ sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ = ( ℓ ⋅ cos ⁡ ϕ ) cos ⁡ θ − ( ℓ ⋅ sin ⁡ ϕ ) sin ⁡ θ = x ⋅ cos ⁡ θ − y ⋅ sin ⁡ θ , {\displaystyle x'=\ell \cdot \cos(\phi +\theta )=\ell \cdot \cos \phi \cos \theta -\ell \cdot \sin \phi \sin \theta =(\ell \cdot \cos \phi )\cos \theta -(\ell \cdot \sin \phi )\sin \theta =x\cdot \cos \theta -y\cdot \sin \theta ,} και y ′ = ℓ ⋅ sin ⁡ ( ϕ + θ ) = ℓ ⋅ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ + ℓ ⋅ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ = ( ℓ ⋅ sin ⁡ ϕ ) cos ⁡ θ + ( ℓ ⋅ cos ⁡ ϕ ) sin ⁡ θ = y ⋅ cos ⁡ θ + x ⋅ sin ⁡ θ . {\displaystyle y'=\ell \cdot \sin(\phi +\theta )=\ell \cdot \sin \phi \cos \theta +\ell \cdot \cos \phi \sin \theta =(\ell \cdot \sin \phi )\cos \theta +(\ell \cdot \cos \phi )\sin \theta =y\cdot \cos \theta +x\cdot \sin \theta .} Συνεπώς, ισχύει ότι p ′ = [ x ′ y ′ ] = [ x ⋅ cos ⁡ θ − y ⋅ sin ⁡ θ x ⋅ sin ⁡ θ + y ⋅ cos ⁡ θ ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] ⋅ [ x y ] = R ( θ ) ⋅ p . {\displaystyle \mathbf {p} '={\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cdot \cos \theta -y\cdot \sin \theta \\x\cdot \sin \theta +y\cdot \cos \theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=R(\theta )\cdot \mathbf {p} .} Περιστροφή του ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} κατά γωνία θ {\displaystyle \theta } μας δίνει το σημείο ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} , που είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό δίνεται και από τον τύπο R ( θ ) ⋅ [ 1 0 ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] ⋅ [ 1 0 ] = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ ] . {\displaystyle R(\theta )\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{bmatrix}}.} Η περιστροφή κατά 90 o {\displaystyle 90^{o}} αντιστοιχεί στην R ( 90 o ) ⋅ [ x y ] = [ cos ⁡ ( 90 o ) − sin ⁡ ( 90 o ) sin ⁡ ( 90 o ) cos ⁡ ( 90 o ) ] ⋅ [ x y ] = [ 0 − 1 1 0 ] ⋅ [ x y ] = [ − y x ] . {\displaystyle R(90^{o})\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(90^{o})&-\sin(90^{o})\\\sin(90^{o})&\cos(90^{o})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-y\\x\end{bmatrix}}.} Η περιστροφή του σημείου ( 0.3 , 1.1 ) {\displaystyle (0.3,1.1)} κατά γωνία 53 o {\displaystyle 53^{o}} δίνεται από τον τύπο R ( 53 o ) ⋅ [ 0.3 1.1 ] = [ cos ⁡ ( 53 o ) − sin ⁡ ( 53 o ) sin ⁡ ( 53 o ) cos ⁡ ( 53 o ) ] ⋅ [ 0.3 1.1 ] = [ 0.601.. − 0.798.. 0.798.. 0.601.. ] ⋅ [ 0.3 1.1 ] = [ 0.601.. ⋅ 0.3 − 0.798.. ⋅ 1.1 0.798.. ⋅ 0.3 + 0.601.. ⋅ 1.1 ] = [ − 0.69.. − 0.90.. ] {\displaystyle R(53^{o})\cdot {\begin{bmatrix}0.3\\1.1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(53^{o})&-\sin(53^{o})\\\sin(53^{o})&\cos(53^{o})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0.3\\1.1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.601..&-0.798..\\0.798..&0.601..\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0.3\\1.1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.601..\cdot 0.3-0.798..\cdot 1.1\\0.798..\cdot 0.3+0.601..\cdot 1.1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.69..\\{\phantom {-}}0.90..\end{bmatrix}}} . Ο πίνακας R ( θ ) {\displaystyle R(\theta )} είναι αντιστρέψιμος, με αντίστροφο τον R ( − θ ) {\displaystyle R(-\theta )} . Αυτό προκύπτει και από την γεωμετρική ερμηνεία. Η Ορίζουσα του πίνακα | R ( θ ) | = 1 {\displaystyle |R(\theta )|=1} . Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής με γωνίες θ {\displaystyle \theta } και ϕ {\displaystyle \phi } είναι ο πίνακας περιστροφής για την γωνία θ + ϕ {\displaystyle \theta +\phi } , δηλαδή R ( θ ) ⋅ R ( ϕ ) = R ( θ + ϕ ) {\displaystyle R(\theta )\cdot R(\phi )=R(\theta +\phi )} . Όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα σημείο γύρω από έναν από τους άξονες xx', yy' ή zz', τότε η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής δεν αλλάζει και οι άλλες δύο συντεταγμένες αλλάζουν κατά τον πίνακα περιστροφής στις δύο διαστάσεις. Επομένως, ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία θ {\displaystyle \theta } γύρω από τον άξονα zz' δίνεται από τον πίνακα::62 R z ( θ ) = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] . {\displaystyle R_{z}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.} Αντίστοιχα ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από τους άξονες xx' και yy' δίνεται από τους πίνακες: R x ( θ ) = [ 1 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] {\displaystyle R_{x}(\theta )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\quad } και R y ( θ ) = [ cos ⁡ θ 0 − sin ⁡ θ 0 1 0 sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ] . {\displaystyle \quad R_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}.}