Θεώρημα του Έρενφεστ

Το Θεώρημα του Έρενφεστ (Ehrenfest) είναι θεώρημα της κβαντικής μηχανικής και ονομάστηκε έτσι, επειδή διατυπώθηκε από τον φυσικό και μαθηματικό Πάουλ Έρενφεστ. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αυτό, βρίσκουμε κάποιες σχέσεις οι οποίες μας θυμίζουν την κλασική μηχανική. Δηλαδή οι κβαντικές μέσες τιμές εξελίσσονται κλασικά.

 Έστω ένα φυσικό σύστημα που έχει Χαμιλτονιανή Ĥ και έστω ένα μέγεθος Â που περιγράφει το σύστημα αυτό. Τότε, ισχύει το θεώρημα Έρενφεστ: ∂ ⟨ A ^ ⟩ ∂ t = 1 i ℏ ⟨ [ A ^ , H ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial \langle {\hat {A}}\rangle }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle } Το <â> συμβολίζει τη μέση τιμή του μεγέθους â, ενώ το [â,ĉ] συμβολίζει το μεταθέτη των τελεστών â, ĉ και ισούται με [â,ĉ]=âĉ-ĉâ. Η μέση τιμή ενός μεγέθους Â σε ένα σύστημα με Χαμιλτονιανή Ĥ και κυματοσυνάρτηση Ψ ισούται με: ⟨ A ^ ⟩ = ∫ V ∞ Ψ ∗ A ^ Ψ d V {\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{V_{\infty }}\Psi ^{*}{\hat {A}}\Psi dV} , όπου dV ο στοιχειώδης όγκος.Έχουμε λοιπόν: ∂ ⟨ A ^ ⟩ ∂ t = ∂ ∂ t ∫ V ∞ Ψ ∗ A ^ Ψ d V = ∫ V ∞ ∂ Ψ ∗ ∂ t A ^ Ψ d V + ∫ V ∞ Ψ ∗ ∂ A ^ ∂ t Ψ d V + ∫ V ∞ Ψ ∗ A ^ ∂ Ψ ∂ t d V {\displaystyle {\frac {\partial \langle {\hat {A}}\rangle }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V_{\infty }}\Psi ^{*}{\hat {A}}\Psi dV=\int _{V_{\infty }}{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}{\hat {A}}\Psi dV+\int _{V_{\infty }}\Psi ^{*}{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\Psi dV+\int _{V_{\infty }}\Psi ^{*}{\hat {A}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}dV} Από την εξίσωση Schrodinger έχουμε ότι: i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ ⇔ ∂ Ψ ∂ t = 1 i ℏ H ^ Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \Leftrightarrow {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}\Psi } Επίσης παίρνοντας την συζυγή σχέση έχουμε: ∂ Ψ ∗ ∂ t = − 1 i ℏ Ψ ∗ H ^ ∗ = − 1 i ℏ Ψ ∗ H ^ {\displaystyle {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Psi ^{*}{\hat {H}}^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Psi ^{*}{\hat {H}}} (η σχέση αυτή γίνεται πιο προφανής με τον συμβολισμό του Dirac), όπου χρησιμοποιήθηκε η αυτοσυζυγία της Χαμιλτονιανής, δηλαδή το ότι H ^ ∗ = H ^ {\displaystyle {\hat {H}}^{*}={\hat {H}}} Επίσης είναι προφανές ότι: ∫ V ∞ Ψ ∗ ∂ A ^ ∂ t Ψ d V = ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ {\displaystyle \int _{V_{\infty }}\Psi ^{*}{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\Psi dV=\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle } Αντικαθιστώντας στην αρχική, έχουμε: ∂ ⟨ A ^ ⟩ ∂ t = − 1 i ℏ ∫ V ∞ Ψ ∗ H ^ A ^ Ψ d V + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ + 1 i ℏ ∫ V ∞ Ψ ∗ A ^ H ^ Ψ d V = 1 i ℏ ∫ V ∞ Ψ ∗ ( A ^ H ^ − H ^ A ^ ) Ψ d V + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ = = 1 i ℏ ∫ V ∞ Ψ ∗ [ A ^ , H ^ ] Ψ d V + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ A ^ , H ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \langle {\hat {A}}\rangle }{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\int _{V_{\infty }}\Psi ^{*}{\hat {H}}{\hat {A}}\Psi dV+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\int _{V_{\infty }}\Psi ^{*}{\hat {A}}{\hat {H}}\Psi dV={\frac {1}{i\hbar }}\int _{V_{\infty }}\Psi ^{*}\left({\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}\right)\Psi dV+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle =\\&={\frac {1}{i\hbar }}\int _{V_{\infty }}\Psi ^{*}\left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\Psi dV+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle \end{aligned}}} Και καταλήγουμε στην: ∂ ⟨ A ^ ⟩ ∂ t = 1 i ℏ ⟨ [ A ^ , H ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ A ^ ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial \langle {\hat {A}}\rangle }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle } ο.έ.δ. ∂ ⟨ x ^ ⟩ ∂ t = 1 i ℏ ⟨ [ x ^ , H ^ ] ⟩ + ⟨ ∂ x ^ ∂ t ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ x ^ , H ^ ] ⟩ + 0 = 1 i ℏ ⟨ [ x ^ , p x ^ 2 2 m + V ( x ) ] ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ x ^ , p x ^ 2 2 m ] + [ x ^ , V ( x ) ] ⟩ = = 1 i ℏ 2 m ⟨ p ^ x [ x ^ , p x ^ ] + [ x ^ , p x ^ ] p ^ x + 0 ⟩ = 1 i ℏ 2 m ⟨ 2 i ℏ p ^ x ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \langle {\hat {x}}\rangle }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {x}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {x}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {x}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +0={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {x}},{\frac {{\hat {p_{x}}}^{2}}{2m}}+V(x)\right]\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {x}},{\frac {{\hat {p_{x}}}^{2}}{2m}}\right]+\left[{\hat {x}},V(x)\right]\right\rangle =\\&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle {\hat {p}}_{x}\left[{\hat {x}},{\hat {p_{x}}}\right]+\left[{\hat {x}},{\hat {p_{x}}}\right]{\hat {p}}_{x}+0\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle 2i\hbar {\hat {p}}_{x}\right\rangle \end{aligned}}} Και τελικά καταλήγουμε στην: ∂ ⟨ x ^ ⟩ ∂ t = ⟨ p ^ x ⟩ m {\displaystyle {\frac {\partial \langle {\hat {x}}\rangle }{\partial t}}={\frac {\left\langle {\hat {p}}_{x}\right\rangle }{m}}} , η οποία μας θυμίζει την κλασσική σχέση για την ταχύτητα. Η εφαρμογή στην ορμή μας δίνει με παρόμοιους συλλογισμούς την: ∂ ⟨ p ^ x ⟩ ∂ t = − ⟨ ∂ V ( x ) ∂ x ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial \left\langle {\hat {p}}_{x}\right\rangle }{\partial t}}=-\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle } , η οποία μας θυμίζει τη σχέση του 2ου νόμου του Newton (Νεύτωνος). Συμβολισμός Ντιράκ Τελεστής Μεταθέτης τελεστή Χαμιλτονιανή μηχανική