Ταυτότητα Βαντερμόντε

Στην συνδυαστική, η ταυτότητα Βαντερμόντε δίνει ότι για οποιοσδήποτε φυσικούς αριθμούς ν , μ ∈ N {\displaystyle \nu ,\mu \in \mathbb {N} } και 0 ≤ κ ≤ min ( ν , μ ) {\displaystyle 0\leq \kappa \leq \min(\nu ,\mu )} , ( ν + μ κ ) = ∑ λ = 0 κ ( ν λ ) ( μ κ − λ ) , {\displaystyle {\binom {\nu +\mu }{\kappa }}=\sum _{\lambda =0}^{\kappa }{\binom {\nu }{\lambda }}{\binom {\mu }{\kappa -\lambda }},} όπου ( x y ) {\displaystyle {\tbinom {x}{y}}} ο διωνυμικός συντελεστής.

 Για ν = 2 {\displaystyle \nu =2} , μ = 3 {\displaystyle \mu =3} και κ = 3 {\displaystyle \kappa =3} , η ταυτότητα Βαντερμόντε δίνει ότι: ( 5 3 ) = ( 2 0 ) ( 3 3 ) + ( 2 1 ) ( 3 2 ) + ( 2 2 ) ( 3 1 ) , {\displaystyle {\binom {5}{3}}={\binom {2}{0}}{\binom {3}{3}}+{\binom {2}{1}}{\binom {3}{2}}+{\binom {2}{2}}{\binom {3}{1}},} που ισχύει καθώς 10 = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 3. {\displaystyle 10=1\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot 3.} Ένας εναλλακτικός τρόπος να δούμε την ισότητα είναι να μετρήσουμε τους δυνατούς τρόπους να φτιάξουμε μία επιτροπή με 3 {\displaystyle 3} άτομα από τα συνολικά 5 {\displaystyle 5} άτομα (εκ των οποίων 2 {\displaystyle 2} είναι άνδρες και 3 {\displaystyle 3} γυναίκες). Θεωρούμε το πολυώνυμο p ( x ) = ( x + 1 ) ν + μ {\displaystyle p(x)=(x+1)^{\nu +\mu }} . Από το διωνυμικό θεώρημα, ο συντελεστής του x κ {\displaystyle x^{\kappa }} είναι ( ν + μ κ ) {\displaystyle {\tbinom {\nu +\mu }{\kappa }}} . Γράφοντας το p ( x ) {\displaystyle p(x)} ως: p ( x ) = ( x + 1 ) ν ⋅ ( x + 1 ) μ = ( ∑ λ 1 = 0 ν ( ν λ 1 ) x λ 1 ) ⋅ ( ∑ λ 2 = 0 μ ( μ λ 2 ) x λ 2 ) , {\displaystyle p(x)=(x+1)^{\nu }\cdot (x+1)^{\mu }=\left(\sum _{\lambda _{1}=0}^{\nu }{\binom {\nu }{\lambda _{1}}}x^{\lambda _{1}}\right)\cdot \left(\sum _{\lambda _{2}=0}^{\mu }{\binom {\mu }{\lambda _{2}}}x^{\lambda _{2}}\right),} o όρος x κ {\displaystyle x^{\kappa }} προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των x λ 1 {\displaystyle x^{\lambda _{1}}} και x λ 2 {\displaystyle x^{\lambda _{2}}} με λ 1 + λ 2 = κ {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=\kappa } . Συνεπώς, ο συντελεστής του x κ {\displaystyle x^{\kappa }} δίνεται από τον άθροισμα ∑ λ 1 = 0 κ ( ν λ 1 ) ( μ κ − λ 1 ) . {\displaystyle \sum _{\lambda _{1}=0}^{\kappa }{\binom {\nu }{\lambda _{1}}}{\binom {\mu }{\kappa -\lambda _{1}}}.} Από το διωνυμικό θεώρημα στο ( x + 1 ) ν + μ {\displaystyle (x+1)^{\nu +\mu }} αυτός ο συντελεστής είναι ίσος με ( ν + μ κ ) {\displaystyle {\tbinom {\nu +\mu }{\kappa }}} , και έπεται το ζητούμενο. Μπορούμε να αποδείξουμε την ταυτότητα με την εξής ερμηνεία. Έστω ότι έχουμε ν {\displaystyle \nu } άνδρες και μ {\displaystyle \mu } γυναίκες και θέλουμε να φτιάξουμε μία επιτροπή αποτελούμενη από κ {\displaystyle \kappa } άτομα. Από τον συνδυαστικό ορισμό των διωνυμικών συντελεστών, υπάρχουν ( ν + μ κ ) {\displaystyle {\tbinom {\nu +\mu }{\kappa }}} τρόποι να διαλέξουμε αυτά τα άτομα. Ένας άλλος τρόπος να μετρήσουμε το πλήθος των επιτροπών είναι να μετρήσουμε τις ομάδες που έχουν λ = 0 , 1 , … , κ {\displaystyle \lambda =0,1,\ldots ,\kappa } άνδρες και να τις αθροίσουμε. Ξανά, από τον ορισμό των διωνυμικών συντελεστών, υπάρχουν ( ν λ ) {\displaystyle {\tbinom {\nu }{\lambda }}} τρόποι να διαλέξουμε τους άνδρες της επιτροπής και ( μ κ − λ ) {\displaystyle {\tbinom {\mu }{\kappa -\lambda }}} τρόποι να διαλέξουμε τις γυναίκες. Επομένως, συνολικά υπάρχουν ∑ λ = 0 κ ( ν λ ) ⋅ ( μ κ − λ ) . {\displaystyle \sum _{\lambda =0}^{\kappa }{\binom {\nu }{\lambda }}\cdot {\binom {\mu }{\kappa -\lambda }}.} Επειδή αυτές οι δύο τιμές μετράνε την ίδια ποσότητα, λαμβάνουμε τη ζητούμενη ταυτότητα. Διωνυμικό θεώρημα Υπεργεωμετρική κατανομή