Ελλειψοειδές αναφοράς

Στη γεωδαισία ένα ελλειψοειδές αναφοράς είναι μία μαθηματικώς οριζόμενη επιφάνεια που προσεγγίζει το γεωειδές (το αληθινό σχήμα της Γης) ή το σχήμα άλλων πλανητικών σωμάτων. Εξαιτίας της σχετικής τους απλότητας, τα ελλειψοειδή αναφοράς χρησιμοποιούνται ως μία προτιμώμενη επιφάνεια πάνω στην οποία ορίζονται σημειακές συντεταγμένες όπως το πλάτος, το μήκος και το υψόμετρο, και με βάση την οποία εκτελούνται υπολογισμοί γεωδαιτικών δικτύων.

 Το 1687 ο Ισαάκ Νεύτων συμπεριέλαβε στο Principia μία απόδειξη ότι ένα περιστρεφόμενο ρευστό σώμα που υπόκειται στην ίδια τη βαρύτητά του και βρίσκεται σε ισορροπία παίρνει το σχήμα ενός πεπλατυσμένου ελλειψοειδούς εκ περιστροφής, το οποίο απεκάλεσε «πεπλατυσμένο σφαιροειδές». Σήμερα χρησιμοποιείται ο όρος «ελλειψοειδές» αντί του πλήρους όρου «πεπλατυσμένο ελλειψοειδές εκ περιστροφής». Σε περιπτώσεις, κυρίως αστεροειδών, όπου απαιτείται ένα γενικότερο ελλειψοειδές ως πρότυπο, ο όρος είναι τριαξονικό ελλειψοειδές ή και «σκαληνό ελλειψοειδές». Ελλειψοειδή με διάφορα κέντρα έχουν χρησιμοποιηθεί, αλλά τα σύγχρονα (μετά τα GPS) ελλειψοειδή έχουν ως κέντρο τους το πραγματικό κέντρο μάζας της Γης ή του ουράνιου σώματος. Το σχήμα ενός (πεπλατυσμένου) ελλειψοειδούς εκ περιστροφής προσδιορίζεται από τις παραμέτρους της ελλείψεως που γεννά το ελλειψοειδές όταν περιστρέφεται γύρω από τον ελάσσονα άξονά της. Ο μεγάλος ημιάξονας της ελλείψεως, ο a, ταυτίζεται με την ισημερινή ακτίνα του ελλειψοειδούς, ενώ ο μικρός ημιάξονας της ελλείψεως (b) ταυτίζεται με τις πολικές αποστάσεις από το κέντρο. Αυτά τα δύο μήκη περιγράφουν πλήρως τις διαστάσεις και το σχήμα του ελλειψοειδούς αλλά στην πράξη οι εργασίες της γεωδαισίας προσδιορίζουν τα ελλειψοειδή δίνοντας τον μεγάλο ημιάξονά τους και το αντίστροφο της πλατύνσεως, 1/f, Η πλάτυνση f είναι ένα απλό μέτρο τού πόσο είναι «συμπιεσμένος» ο άξονας συμμετρίας σε σχέση με την ισημερινή ακτίνα: f = a − b a . {\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}}.\end{aligned}}} Για τη Γη η πλάτυνση είναι περίπου 1/300 και αντιστοιχεί σε διαφορά του μεγάλου από τον μικρό ημιάξονα περί τα 21 χιλιόμετρα. Για σύγκριση, η Σελήνη έχει πλάτυνση μικρότερη του 1/825, ενώ ο Δίας είναι εμφανώς πεπλατυσμένος (f = 1/15). Στα μικρότερα σώματα υπάρχουν πολύ μεγαλύτερες πλατύνσεις που δεν οφείλονται στην περιστροφή τους, π.χ. ο δορυφορος Τελεστώ του Κρόνου έχει σχήμα που προσεγγίζεται με τριαξονικό ελλειψοειδές πλατύνσεως 1/3 ως 1/2. Πολλές άλλες παράμετροι χρησιμοποιούνται στη γεωδαισία, αλλά μπορούν όλες να συσχετισθούν με μία ή δύο από τις a, b και f. Μία κύρια χρήση των ελλειψοειδών αναφοράς είναι ως βάση για τη θεμελίωση ενός συστήματος συντεταγμένων: του πλάτους (βορράς/νότος), του μήκους (ανατολή/δύση), και του υψομέτρου. Για τον σκοπό αυτό είναι απαραίτητος ο καθορισμός ενός «μηδενικού μεσημβρινού», που για τη Γη είναι συνήθως ο Πρώτος μεσημβρινός του Γκρήνουιτς. Για άλλα σώματα ένα σταθερό χαρακτηριστικό της επιφάνειας ορίζει συνήθως τον μεσημβρινό αυτό, π.χ. για τον Άρη ο κρατήρας Airy-0. Μπορούν να ορισθούν πολλά διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων επάνω στο ίδιο ελλειψοειδές αναφοράς. Το μήκος μετρά την αζιμουθιακή γωνία (αυτή που διαγράφεται καθώς περιστρέφεται το σώμα περί τον άξονά του) ανάμεσα στον μηδενικό μεσημβρινό και στο σημείο του οποίου το μήκος μετράται. Κατά σύμβαση, για τη Γη, τη Σελήνη και τον Ήλιο, το μήκος εκφράζεται σε μοίρες από −180° μέχρι +180°, ενώ για άλλα ουράνια σώματα μετράται από 0° μέχρι 360°. Το πλάτος μετρά το πόσο κοντά στους πόλους ή στον ισημερινό κείται ένα σημείο κατά μήκος ενός μεσημβρινού. Είναι μία γωνία από −90° μέχρι +90°, με το 0° να αντιστοιχεί στον ισημερινό. Το κοινό ή γεωδαιτικό πλάτος είναι η γωνία ανάμεσα στο ισημερινό επίπεδο και μία ευθεία γραμμή που είναι κάθετη στην τοπική επιφάνεια του ελλειψοειδούς αναφοράς. Ανάλογα με την πλάτυνση, αυτό το πλάτος μπορεί να διαφέρει ελαφρώς από το γεωκεντρικό (δηλαδή το γεωγραφικό) πλάτος, το οποίο είναι η γωνία ανάμεσα στο ισημερινό επίπεδο και μία ευθεία που ξεκινά από το κέντρο του ελλειψοειδούς και διέρχεται από το σημείο. Για άλλα σώματα χρησιμοποιούνται οι όροι «πλανητογραφικό» και «πλανητοκεντρικό» μήκος και πλάτος. Οι συντεταγμένες ενός γεωδαιτικού σημείου δηλώνονται συμβατικά ως το γεωδαιτικό πλάτος και μήκος, δηλαδή η διεύθυνση στον χώρο της γεωδαιτικής καθέτου που περιέχει το σημείο, και επιπλέον το ύψος h του σημείου πάνω από την επιφάνεια του ελλειψοειδούς αναφοράς. Το πλέον συνηθισμένο ελλειψοειδές αναφοράς που χρησιμοποιείται σήμερα (και στο GPS) είναι αυτό που ορίζεται από το σύστημα WGS 84. Παραδοσιακά ελλειψοειδή αναφοράς, αποκαλούμενα και «γεωδαιτικά datums», ορίζονται τοπικά και επομένως μη γεωκεντρικά (π.χ. το ED50). Σύγχρονα γεωδαιτικά datums ορίζονται με τη βοήθεια του GPS και επομένως είναι γεωκεντρικά. Τα ελλειψοειδή αναφοράς είναι χρήσιμα και για τη χαρτογράφηση άλλων πλανητικών σωμάτων, όπως οι πλανήτες, οι δορυφόροι τους, αστεροειδείς και πυρήνες κομητών. Καλά μελετημένα σώματα, όπως η Σελήνη και ο `Αρης έχουν σήμερα αρκετά ακριβή ελλειψοειδή αναφοράς. Για σχεδόν σφαιρικά σώματα με στερεή επιφάνεια, όπως είναι όλοι οι βραχώδεις πλανήτες και πολλοί δορυφόροι, τα ελλειψοειδή καθορίζονται με βάση τον άξονα περιστροφής και το μέσο ύψος της επιφάνειας, εξαιρούμενης της όποιας ατμόσφαιρας. Ο Άρης είναι στην πραγματικότητα πλησιέστερος σε ένα ωοειδές σχήμα, στο οποίο η βόρεια και η νότια πολική του ακτίνα διαφέρουν μεταξύ τους, κατά περίπου 6 χλμ., ωστόσο η διαφορά αυτή θεωρείται αρκετά μικρή ώστε να χρησιμοποιείται η μέση πολική ακτίνα για τον καθορισμό του ελλειψοειδούς του. Η Σελήνη είναι πρακτικά σφαιρική, με σχεδόν ανύπαρκτο ισημερινό εξόγκωμα. Για τους αεριώδεις πλανήτες όπως είναι ο Δίας, επιλέγεται μία ισοδύναμη επιφάνεια για το ελλειψοειδές, όπως αυτή στην οποία η πίεση είναι ίση με μία ατμόσφαιρα. Επειδή δεν υπάρχουν μόνιμα παρατηρήσιμα χαρακτηριστικά, η επιλογή των μηδενικών μεσημβρινών γίνεται με βάση μαθηματικούς κανόνες. Μικροί δορυφόροι, αστεροειδείς και πυρήνες κομητών έχουν συνήθως ακανόνιστο σχήμα. Για μερικούς, όπως ο δορυφόρος Ιώ του Δία, ένα τριαξονικό ελλειψοειδές δίνει καλύτερη εφαρμογή από ό,τι το πεπλατυσμένο σφαιροειδές. Για πολύ ακανόνιστα σώματα, η ίδια η έννοια ενός ελλειψοειδούς αναφοράς μπορεί να είναι άχρηστη. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται κάποτε μία «σφαίρα αναφοράς», έστω και αν αυτό φαίνεται ακόμα πιο χονδροειδές, με τα σημεία της επιφάνειας να προσδιορίζονται με πλανητοκεντρικά πλάτη και μήκη. Προβλήματα εμφανίζονται για μη κυρτά σώματα, όπως ο αστεροειδής 433 Έρως, οπότε ένα δεδομένο πλάτος και μήκος δεν προσδιορίζουν πάντα μονοσήμαντα ένα μοναδικό σημείο της επιφάνειας. Ελλειψοειδές της Γης Ακτίνα καμπυλότητας της Γης Τόξο μεσημβρινού Γεωδαιτικό σύστημα αναφοράς P.K. Seidelmann et al. (2005): “Report Of The IAU/IAG Working Group On Cartographic Coordinates And Rotational Elements: 2003”, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, τόμος 91, σσ. 203–215. Διεύθυνση WWW: https://web.archive.org/web/20111102230508/http://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE/ OpenGIS Implementation Specification for Geographic information - Simple feature access - Part 1: Common architecture, Annex B.4. 2005-11-30 Διεύθυνση WWW: http://www.opengeospatial.org Σύστημα γεωγραφικών συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων και μετασχηματισμοί Συστήματα συντεταγμένων, πλαίσια αναφοράς και Datums