Διαφορικός λογισμός

Στα μαθηματικά, ο διαφορικός λογισμός είναι μία υποκατηγορία του λογισμού με αντικείμενο τη μελέτη των ρυθμών μεταβολής των ποσοτήτων. Είναι μία από τις δύο παραδοσιακές υποδιαιρέσεις του λογισμού. Η άλλη είναι ο ολοκληρωτικός λογισμός. Τα πρωτογενή αντικείμενα μελέτης του διαφορικού λογισμού είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης, που σχετίζεται με έννοιες όπως το διαφορικό και οι εφαρμογές του.Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε μια επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης κοντά σε αυτή την τιμή εισόδου. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφόριση (παραγώγιση). Γεωμετρικά, η παράγωγος σε ένα σημείο είναι η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο, με την προϋπόθεση ότι η παράγωγος υπάρχει και ορίζεται στο σημείο αυτό. Για μια συνάρτηση πραγματικών αριθμών μιας μόνο πραγματικής μεταβλητής, η παράγωγος της συνάρτησης σε ένα σημείο καθορίζει γενικά την καλύτερη γραμμική προσέγγιση στη συνάρτηση σε αυτό το σημείο. Ο διαφορικός λογισμός και ο ολοκληρωτικός λογισμός συνδέονται με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, το οποίο αναφέρει ότι η διαφόριση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης. Η διαφόριση έχει εφαρμογές σε όλες σχεδόν τις ποσοτικές επιστήμες. Για παράδειγμα, στη φυσική η παράγωγος της μετατόπισης ενός κινούμενου σώματος σε σχέση με το χρόνο είναι η ταχύτητα του σώματος, και η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο είναι η επιτάχυνση του. Η παράγωγος της ορμής ενός σώματος ισούται με τη δύναμη που ασκείται στο σώμα, αναδιατάσσοντας αυτή την παράγωγο οδηγεί στην περίφημη εξίσωση F = ma που σχετίζεται με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Ο βαθμός αντίδρασης μιας χημικής αντίδρασης είναι μια παράγωγος. Στην επιχειρησιακή έρευνα, οι παράγωγοι καθορίζουν τους πιο αποτελεσματικούς τρόπους για την μεταφορά υλικών και για την σχεδίαση εργοστασίων. Οι παράγωγοι χρησιμοποιούνται συχνά για να υπολογισθούν το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης . Οι εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους ονομάζoνται διαφορικές εξισώσεις και είναι θεμελιώδεις για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων . Οι παράγωγοι και οι γενικεύσεις τους εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών , όπως η μιγαδική ανάλυση , η συναρτησιακή ανάλυση , η διαφορική γεωμετρία , η θεωρία μέτρου και η αφηρημένη άλγεβρα.

 Ας υποθέσουμε ότι τα x και y είναι πραγματικοί αριθμοί και ότι το y είναι μια συνάρτηση του x,δηλαδή,ότι για κάθε τιμή του x υπάρχει μια αντίστοιχη τιμή του y. Αυτή η σχέση μπορεί να γραφεί ως y = f(x). Αν η f(x) είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής (που ονομάζεται γραμμική εξίσωση), τότε υπάρχουν δύο πραγματικοί αριθμοί m και b τέτοιοι ώστε y = mx + b. Σε αυτή τη μορφή, ο όρος m ονομάζεται κλίση και μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο m = μ ϵ τ α β o λ η y μ ϵ τ α β o λ η x = Δ y Δ x , {\displaystyle m={\frac {{\mu \epsilon \tau \alpha \beta {\text{o}}\lambda \eta \ }y}{{\mu \epsilon \tau \alpha \beta {\text{o}}\lambda \eta \ }x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},} όπου το σύμβολο Δ (το κεφαλαίο ελληνικό γράμμα δέλτα) είναι μια συντομογραφία για την " μεταβολή''. Προκύπτει ότι Δy = m Δx . Μια γενική συνάρτηση δεν είναι ευθεία, οπότε δεν έχει κλίση. Γεωμετρικά, η παράγωγος της f στο σημείο x = a είναι η κλίση της εφαπτομένης της συνάρτησης f στο σημείο a (Βλέπε σχήμα). Αυτό συχνά συμβολίζεται f ′(a) στο συμβολισμό του Lagrange ή d y d x | x = a {\displaystyle {dy \over dx}{\Big |}_{x=a}} στο συμβολισμοί του Leibniz. Δεδομένου ότι η παράγωγος είναι η κλίση της γραμμικής προσέγγισης της f στο σημείο a, η παράγωγος (μαζί με την τιμή της f στο a) προσδιορίζει την καλύτερη γραμμική προσέγγιση, ή γραμμικοποίηση , της f κοντά στο σημείο a. Αν κάθε σημείο a του πεδίου ορισμού της f έχει παράγωγο, τότε υπάρχει συνάρτηση που αντιστοιχεί κάθε σημείο a στην παράγωγο της f στο a. Για παράδειγμα,εάν f(x) = x2 , τότε η παράγωγος συνάρτηση είναι η f ′(x) = dy/dx = 2x. Μια στενά συνδεδεμένη έννοια είναι το διαφορικό μιας συνάρτησης. Όταν τα x και y είναι πραγματικές μεταβλητές, η παράγωγος της f ως προς x είναι η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο x. Επειδή το όρισμα και η τιμή της συνάρτησης είναι μονοδιάστατες, η παράγωγος της f είναι πραγματικός αριθμός. Αν τα x και y είναι διανύσματα τότε η καλύτερη γραμμική προσέγγιση της γραφικής παράστασης της f εξαρτάται από το πως η f μεταβάλλεται ταυτόχρονα σε διάφορες κατευθύνσεις. Λαμβάνοντας την καλύτερη γραμμική προσέγγιση σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση καθορίζει μια μερική παράγωγο, το οποίο συμβολίζεται ∂y/∂x . Η γραμμικοποίηση της f σε όλες τις κατευθύνσεις ταυτόχρονα καλείται ολική παράγωγος. Η έννοια της παραγώγου σαν μια εφαπτόμενη ευθεία είναι πολύ παλιά, γνωστή στους Αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες όπως ο Ευκλείδης (350 π.Χ. - 270 π.Χ.), ο Αρχιμήδης (περ. 287 π.Χ. - περ. 212 π.Χ.) και Απολλώνιος ο Περγαίος (περ. 262 π.Χ. - περ. 190 π.Χ.). Ο Αρχιμήδης εισήγαγε επίσης τη χρήση των απειροελάχιστων ποσοτήτων ή απειροστών, αν και αυτά χρησιμοποιήθηκαν αρχικά για τη μελέτη επιφανειών και όγκων παρά για παραγώγους και εφαπτόμενες. Τη χρήση των απειροστών για τη μελέτη των ρυθμών μεταβολής μπορούμε να τη βρούμε στα Ινδικά μαθηματικά, ίσως από το 500 μ.Χ., όταν ο αστρονόμος και μαθηματικός Aryabhata (476 μ.Χ. - 550μ.Χ.) χρησιμοποίησε απειροστά για να μελετήσει την τροχιά της Σελήνης. Η χρήση των απειροστών για τον υπολογισμό ρυθμών μεταβολής αναπτύχθηκε σημαντικά από τον Bhāskara II (1114 μ.Χ. - 1185 μ.Χ.). Πράγματι, υποστηρίζεται ότι στα έργα του μπορούν να βρεθούν πολλές από τις κύριες έννοιες του διαφορικού λογισμού, όπως για παράδειγμα το Θεώρημα του Rolle . Ο Πέρσης μαθηματικός Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135 μ.Χ. - 1213 μ.Χ.) ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε την παράγωγο των πολυώνυμων τρίτου βαθμού (κυβικών πολυωνύμων), ένα σημαντικό αποτέλεσμα στο διαφορικό λογισμό . Στο έργο του "Πραγματεία στις εξισώσεις" ανέπτυξε έννοιες που σχετίζονται με το διαφορικό λογισμό, όπως η παράγωγος συνάρτηση και τα μέγιστα και ελάχιστα καμπυλών, με σκοπό να λύσει κυβικές εξισώσεις με ενδεχομένως μη θετικές λύσεις . Η σύγχρονη ανάπτυξη του λογισμού πιστώνεται στους Ισαάκ Νεύτων (1643–1727) και Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646–1716), οι οποίοι παρείχαν ανεξάρτητες και ενοποιημένες προσεγγίσεις. Η βασική ανακάλυψη ωστόσο, που τους έκανε να θεωρούνται ως οι θεμελιωτές του λογισμού, ήταν το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού, το οποίο συνδέει την παραγώγιση με την ολοκλήρωση. Αυτό κατέστησε προηγούμενες μεθόδους για τον υπολογισμό επιφανειών και όγκων απαρχαιωμένες, οι οποίες δεν είχαν επεκταθεί σημαντικά από την εποχή του Ibn al-Haytham (Alhazen). Για τις ιδέες τους πάνω στις παραγώγους και ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς βασίστηκαν σε σημαντικά έργα προηγούμενων μαθηματικών, όπως ο Πιερ ντε Φερμά (1600-1665), ο Ισαάκ Μπάροου (1630–1677), ο Ρενέ Ντεκάρτ ή Καρτέσιος (1596–1650), ο Κρίστιαν Χόυχενς (1629–1695), ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Τζον Ουόλις. Σχετικά με την επιρροή του Φερμά ο Νεύτων έγραψε κάποτε σε ένα γράμμα: "Είχα την υπόδειξη για αυτή τη μέθοδο (μέθοδος των ροών) από τον τρόπο του Φερμά για τον σχεδιασμό των εφαπτομένων και εφαρμόζοντας τον σε αφηρημένες εξισώσεις, ευθέως και αντίστροφα, τον έκανα γενικό." Η αρχική ανάπτυξη της παραγώγου αποδίδεται γενικώς στον Ισαάκ Μπάροου. Παρ' όλα αυτά, ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς παραμένουν οι σημαντικότερες μορφές στην ιστορία της παραγώγισης και καθόλου άδικα καθώς ο Νεύτων ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε την παραγώγιση στην θεωρητική φυσική, ενώ ο Λάιμπνιτς ανέπτυξε συστηματικά πολλούς από τους συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα. Από το 17ο αιώνα πολλοί μαθηματικοί έχουν συνεισφέρει στην εξέλιξη του διαφορικού λογισμού. Στο 19ο αιώνα, ο λογισμός τέθηκε σε πολύ πιο αυστηρές βάσεις από μαθηματικούς όπως ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, ο Μπερναντ Ρίμαν και ο Καρλ Βάιερστρας . Ήταν επίσης εκείνη την περίοδο που η έννοια της παραγώγισης επεκτάθηκε σε Ευκλείδιους χώρους και στο μιγαδικό επιπεδο. Αν η f είναι μια παραγωγίσιμη (διαφορίσιμη) συνάρτηση στο R {\displaystyle \mathbb {R} } (ή ένα ανοικτό διάστημα) και το x {\displaystyle {\text{x}}} είναι ένα σημείο τοπικού μεγίστου ή τοπικού ελαχίστου της f , τότε η παράγωγος της f στο x {\displaystyle {\text{x}}} είναι μηδέν. Τα σημεία για τα οποία ισχύει f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} ονομάζονται κρίσιμα σημεία και η τιμή της f στο x {\displaystyle {\text{x}}} ονομάζεται κρίσιμη τιμή. Ο ορισμός του κρίσιμου σημείου μερικές φορές επεκτείνεται συμπεριλαμβάνοντας σημεία στα οποία η παράγωγος δεν υπάρχει.Αντίστροφα, Ένα κρίσιμο σημείο x {\displaystyle {\text{x}}} της f μπορούμε να το αναλύσουμε θεωρώντας τη δεύτερη παράγωγο της f στο x {\displaystyle {\text{x}}} , ως εξής: αν είναι θετική τότε το x είναι σημείο τοπικού ελαχίστου αν είναι αρνητική τότε το x είναι σημείο τοπικού μεγίστουαν είναι μηδέν τότε το x θα μπορούσε να είναι σημείο τοπικού ελαχίστου ή τοπικού μεγίστου ή τίποτα από τα δύο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} έχει ένα κρίσιμο σημείο στο x = 0 {\displaystyle x=0} , αλλά δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο σε αυτό, ενώ οι συναρτήσεις g ( x ) = x 4 {\displaystyle g(x)=x^{4}} και h ( x ) = − x 4 {\displaystyle h(x)=-x^{4}} έχουν ένα κρίσιμο σημείο στο x = 0 {\displaystyle x=0} αλλά και ελάχιστο και μέγιστο, αντίστοιχα η καθεμία, σε αυτό.Αυτό είναι το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου. Ένας άλλος τρόπος είναι το κριτήριο της πρώτης παραγώγου, όπου μας ενδιαφέρει το πρόσημο της f ′ {\displaystyle f'} αριστερά και δεξιά του κρίσιμου σημείου. Επομένως, παίρνοντας τις παραγώγους και ακολουθώντας μια από τις παραπάνω διαδικασίες είναι συνήθως απλό να βρούμε τοπικά μέγιστα και ελάχιστα που είναι χρήσιμα για τη βελτιστοποίηση. Από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε κλειστό διάστημα πρέπει να λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή σε αυτό τουλάχιστον μία φορά. Αν η συνάρτηση είναι και παραγωγίσιμη τότε τα μέγιστα και τα ελάχιστα τα λαμβάνει μόνο στα κρίσιμα σημεία ή στα άκρα του διαστήματος. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Βρίσκοντας τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης μπορούμε να κάνουμε έναν πρόχειρο σχεδιασμό της γραφικής παράστασής της, με την παρατήρηση ότι αυτή θα είναι είτε αύξουσα είτε φθίνουσα ανάμεσα στα κρίσιμα σημεία. Σε μεγαλύτερες διαστάσεις, ένα κρίσιμο σημείο είναι ένα σημείο στο οποίο η κλίση της συνάρτησης είναι μηδέν. Το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση των κρίσιμων σημείων θεωρώντας τις ιδιοτιμές του Εσσιανού πίνακα των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης της συνάρτησης στο κρίσιμο σημείο. Αν όλες οι ιδιοτιμές είναι θετικές τότε το σημείο είναι τοπικό ελάχιστο, ενώ αν είναι όλες αρνητικές είναι τοπικό μέγιστο. Αν κάποιες ιδιοτιμές είναι θετικές και κάποιες αρνητικές τότε είναι ένα σαγματικό σημείο, ενώ τέλος αν κάποιες από τις ιδιοτιμές είναι μηδέν το κριτήριο δεν αποφαίνεται. Λογισμός των μεταβολών Ενα παράδειγμα ενός προβλήματος βελτιστοποίησης είναι: Nα βρεθεί η μικρότερη καμπύλη μεταξύ δυο σημείων σε μια επιφάνεια, θεωρώντας ότι η καμπύλη πρέπει επίσης να κείται στην επιφάνεια. Αν η επιφάνεια είναι ένα επίπεδο, τότε η μικρότερη καμπύλη είναι μια ευθεία. Αν όμως η επιφάνεια είναι, για παράδειγμα, ωοειδές σχήμα, τότε η κοντύτερη διαδρομή δεν είναι ξεκάθαρη. Αυτές οι διαδρομές ονομάζονται γεωδαισιακές και ένα από τα απλούστερα προβλήματα του λογισμού μεταβολών είναι η εύρεσή τους. Ένα άλλο παράδειγμα είναι: Να βρεθεί η μικρότερη περιοχή επιφάνειας καλύπτοντας μια κλειστή καμπύλη στο χώρο. Αυτή η επιφάνεια ονομάζεται ελάχιστη επιφάνεια και μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το λογισμό των μεταβολών. Ο λογισμός έχει πολύ μεγάλη σημασία στη φυσική. Πολλές φυσικές διαδικασίες περιγράφονται από εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους, τις αποκαλούμενες διαφορικές εξισώσεις. Η φυσική ασχολείται ιδιαίτερα με τον τρόπο που οι ποσότητες μεταβάλλονται ως προς τον χρόνο και η παράγωγος του χρόνου (ρυθμός μεταβολής του χρόνου) είναι απαραίτητη για τον ακριβή ορισμό μερικών σημαντικών εννοιών. Ειδικότερα, οι παράγωγοι του χρόνου της θέσης ενός σώματος είναι σημαντικές στη Νευτώνια φυσική: η ταχύτητα είναι η παράγωγος της μετατόπισης ενός σώματος ως προς τον χρόνο. η επιτάχυνση είναι η παράγωγος της ταχύτητας ενός σώματος ως προς τον χρόνο, που είναι επίσης η δεύτερη παράγωγος της μετατόπισης ενός σώματος ως προς τον χρόνο.Για παράδειγμα αν η θέση ενός σώματος δίνεται από την εξίσωση x ( t ) = − 16 t 2 + 16 t + 32 {\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32} τότε η ταχύτητα του είναι x ˙ ( t ) = x ′ ( t ) = − 32 t + 16 {\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16} και η επιτάχυνσή του x ¨ ( t ) = x ″ ( t ) = − 32 {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32} που είναι σταθερή. Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που συνδέει συναρτήσεις με τις παραγώγους τους. Μια συνήθης διαφορική εξίσωση είναι μια διαφορική εξίσωση που συνδέει συναρτήσεις μιας ματαβλητής με τις παραγώγους τους ως προς αυτή τη μεταβλητή. Μια μερική διαφορική εξίσωση (ή διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους) είναι μια διαφορική εξίσωση που συνδέει συναρτήσεις με περισσότερες από μία μεταβλητή με τις μερικές παραγώγους τους. Οι διαφορικές εξισώσεις εμφανίζονται στους τομείς των φυσικών επιστημών, της μαθηματικής μοντελοποίησης αλλά και στα ίδια τα μαθηματικά. Για παράδειγμα, ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα που περιγράφει τη σχέση μεταξύ δύναμης και επιτάχυνσης μπορεί να παρασταθεί με την παρακάτω συνήθη διαφορική εξίσωση F ( t ) = m d 2 x d t 2 {\displaystyle F(t)=m{d^{2}x \over dt^{2}}} Η εξίσωση της θερμότητας στη μονοδιάστατη περίπτωση, η οποία περιγράφει το πως διαχέεται η θερμότητα κατά το μήκος μιας ράβδου, είναι η παρακάτω μερική διαφορική εξίσωση ∂ u ∂ t = a ∂ 2 u ∂ x 2 {\displaystyle {\partial u \over \partial t}=a{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}} όπου u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} είναι η θερμοκρασία της ράβδου στη θέση x {\displaystyle x} τη χρονική στιγμή t {\displaystyle t} και το a {\displaystyle a} είναι πραγματική σταθερά που εξαρτάται από το υλικό της ράβδου. Το θεώρημα μέσης τιμής δίνει μια σχέση μεταξύ των τιμών της παραγώγου και των τιμών της αρχικής συνάρτησης. Αν f(x) είναι συνάρτηση πραγματικών αριθμών και τα a και b είναι αριθμοί με a < b ,το θεώρημα μέσης τιμής λέει ότι κάτω από συγκεκριμένες υποθέσεις ,η κλίση μεταξύ 2 σημείων (a, f(a)) και (b, f(b)) είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης της f σε κάποιο σημείο c μεταξυ των a και b.Με άλλα λόγια: f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={f(b)-f(a) \over b-a}} Στην πράξη , αυτό που κάνει το θεώρημα μέσης τιμής είναι να ελέγχει μια συνάρτηση βάση της παραγώγου της. Για παράδειγμα , ας υποθέσουμε ότι η f(x) έχει παράγωγο που ισούται με μηδέν σε κάθε σημείο. Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτόμενη της είναι οριζόντια σε κάθε σημείο , οπότε και η συνάρτηση θα πρέπει επίσης να είναι οριζόντια.Το θεώρημα μέσης τιμής αποδεικνύει ότι αυτό πρέπει να ισχύει : Η κλίση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων στη γραφική παράσταση της f(x) πρέπει να είναι ίση με κλίση μιας από τις εφαπτομένες της f(x).Όλες αυτές οι κλίσεις είναι μηδέν ,οπότε κάθε γραμμή από ένα σημείο της γραφικής παράστασης σε ένα άλλο ,θα έχει μηδενική κλίση.Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν κινείται πάνω ή κάτω,άρα πρέπει να είναι οριζόντια γραμμή. Πιο περίπλοκες συνθήκες της παραγώγου μπορεί να οδηγήσουν σε λιγότερη ακρίβεια, αλλά εξακολουθούν να είναι ιδιαίτερα χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με την αρχική συνάρτηση. Η παράγωγος δίνει την καλύτερη δυνατή γραμμική προσέγγιση μιας συνάρτησης σε ένα δοσμένο σημείο, αλλα αυτή μπορεί να είναι πολύ διαφορετική από την αρχική συνάρτηση.Ένας τρόπος για την βελτίωση της προσέγγισης είναι η τετραγωνική προσέγγιση, δηλαδή η γραμμικοποίηση μιας συνάρτησης πραγματικών αριθμών f(x) στο σημείο x0 είναι ένα γραμμικό πολυώνυμο a + b(x − x0) και είναι δυνατόν να πάρουμε μια καλύτερη προσέγγιση εξετάζοντας ένα τετραγωνικό πολυώνυμο a + b(x − x0) + c(x − x0)2. Ακόμη καλύτερα θα μπορούσε να είναι ένα κυβικό πολυώνυμο a + b(x − x0) + c(x − x0)2 + d(x − x0)3 και αυτή η ιδέα μπορεί να επεκταθεί σε αυθαίρετα υψηλού βαθμού πολυώνυμα. Για κάθε ενα από αυτά τα πολυώνυμα πρέπει να υπάρχει η καλύτερη δυνατή επιλογή των συντελεστών a, b, c, και d που κάνει την προσέγγιση όσο το δυνατόν καλύτερη. Σε μία περιοχή του x0 για το a η καλύτερη επιλογή είναι πάντα η f(x0) και για το b η καλύτερη δυνατή επιλογή είναι πάντα η f'(x0).Για το c, d και για τους συντελεστές των μεγαλύτερων βαθμών ,αυτοί οι καθορίζονται από τις υψηλότερες παραγώγους της f.Ο συντελεστής c είναι πάντα ίσος με f''(x0)/2 και ο d ίσος με f'''(x0)/3!. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους συντελεστές παίρνουμε το πολυώνυμο Taylor της f. Το πολυώνυμο Taylor βαθμού d είναι το πολυώνυμο βαθμού d που προσεγγίζει καλύτερα την f, και οι συντελεστές του μπορούν να βρεθούν από την γενίκευση των παραπάνω τύπων.Το θεώρημα Taylor δίνει ένα ακριβές όριο για το πόσο καλή είναι η προσέγγιση. Αν η f είναι ένα πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσου από το d ,τότε το πολυώνυμο Taylor βαθμού d ισούται με την f. Το όριο των πολυωνύμων Taylor είναι μια άπειρη σειρά που ονομάζεται σειρά Taylor.Η σειρά Taylor είναι συχνά μια πολύ καλή προσέγγιση για την αρχική συνάρτηση.Οι συναρτήσεις που είναι ίσες με την δική τους σειρά Taylor ονομάζονται αναλυτικές συναρτήσεις. Είναι αδύνατο για συναρτήσεις με ασυνέχειες να είναι αναλυτικές ,αλλά υπάρχουν και ομαλές συναρτήσεις που δεν είναι αναλυτικές. Μερικά φυσικά γεωμετρικά σχήματα,όπως ο κύκλος,δεν μπορούν να εξαχθούν σαν γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.Για παράδειγμα f(x, y) = x2 + y2 − 1, τότε ο κύκλος είναι το σύνολο όλων των ζευγών (x, y) ,έτσι ώστε f(x, y) = 0. Αυτό το σύνολο ονομάζεται το μηδενικό σύνολο της f . Δεν είναι το ίδιο με τη γραφική παράσταση της f, η οποία είναι ένας κώνος.Το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης μετατρέπει σχέσεις όπως η f(x, y) = 0 σε συναρτήσεις.Ουσιαστικά δείχνει ότι αν η f είναι συνεχώς διαφορίσιμη,τότε κοντά στα περισσότερα σημεία ,το μηδενικό σύνολο της f μοιάζει με γραφική παράσταση συναρτήσεων.Τα σημεία για τα οποία δεν ισχύει το παραπάνω καθορίζονται από έναν όρο της παραγώγου της f. Ο κύκλος, για παράδειγμα, μπορεί να σχεδιαστεί από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ± √1 - x2. Στην περιοχή όλων των σημείων του κύκλου εκτός από το (−1, 0) και το (1, 0) , μία από αυτές τις συναρτήσεις έχει γραφική παράσταση που μοιάζει με κύκλο.(Αυτές οι συναρτήσεις ,επίσης,τυχαίνει να τέμνουν το (−1, 0) και το (1, 0) αλλά αυτό δεν συνεπάγεται από το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης). Η πεπλεγμένη συνάρηση είναι στενά συνδεδεμένη με το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης,το οποίο λέει ότι αν η f {\displaystyle f} είναι συνεχως παραγωγισιμη με μη μηδενικη παραγωγο σε ενα σημειο a {\displaystyle a} ,τοτε η f {\displaystyle f} ειναι αντιστρεψιμη σε μια περιοχη του a {\displaystyle a} και η αντιστροφη ειναι συνεχως διαφορισιμη. Διαφορικό Διαφορική Γεωμετρία Αριθμητική παραγώγιση Κανόνες παραγώγισης Λίστα θεμάτων λογισμού J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co.