Μορφοκλασματική διάσταση

Στην γεωμετρία φράκταλ, η μορφοκλασματική διάσταση D είναι μια στατιστική ποσότητα που δείχνει μια ένδειξη του πόσο ένα φράκταλ φαίνεται να γεμίζει τον χώρο, καθώς μεγενθύνουμε όλο και σε πιο λεπτομερείς κλίμακες. Υπάρχουν πολλοί ειδικοί ορισμοί της μορφοκλασματικής διάστασης. Οι πιο σημαντικές θεωρητικές μορφοκλασματικές διαστάσεις είναι η διάσταση Ρενουί (Rényi dimension), η διάσταση Χάουσντορφ (Hausdorff dimension) και η διάσταση συσκευασίας (packing dimension). Συγκεκριμένα, η διάσταση πλαίσιο-καταμέτρησης διάστασης (box-counting dimension) και η διάσταση συσχέτισης χρησιμοποιούνται ευρέως , εν μέρει εξαιτίας της εύκολης εφαρμογής τους. Στον box-counting αλγόριθμο ο αριθμός των πλαισίων που καλύπτουν ένα σύνολο σημείων, είναι η εκθετική συνάρτηση (power law ή κατανομή νόμου δύναμης) του μεγέθους του πλαισίου. Η μορφοκλασματική διάσταση εκτιμήθηκε ως ο εκθέτης αυτής της εκθετικής συνάρτησης. Αν και για κάποια κλασικά φράκταλς όλες αυτές οι διαστάσεις συμπίπτουν, γενικά δεν είναι ισοδύναμες. Ένα μη ασήμαντο παράδειγμα είναι η μορφοκλασματική διάσταση της νιφάδας του Κοχ (Koch snowflake). Έχει μία τοπολογική διάσταση(topological dimension), άλλα δεν είναι με κανένα τρόπο διορθωτή καμπύλη (rectifiable curve) : το μήκος καμπύλης (length of the curve) μεταξύ κάθε δύο σημείων στην χιονονιφάδα του Κοχ είναι άπειρο. Κανένα μικρό κομμάτι του δεν μοιάζει με γραμμή, αλλά αποτελείται από ένα άπειρο αριθμό τμημάτων συνδεμένα σε διαφορετικές γωνίες. Η μορφοκλασματική διάσταση της καμπύλης μπορεί να εξηγηθεί διαισθητικά αν σκεφτούμε μια γραμμή φράκταλ σαν ένα αντικείμενο τόσο μεγάλο ώστε να είναι μίας διάστασης αντικείμενο, αλλά και τόσο λεπτό ώστε να είναι αντικείμενο δύο διαστάσεων. Ως εκ τούτο η διάσταση του μπορεί να περιγραφεί καλύτερα κατά μία έννοια από την μορφοκλασματική διάσταση, η οποία σε αυτή την περίπτωση είναι ένα αριθμός μεταξύ του ένα και του δύο.

 Υπάρχουν δύο βασικές προσεγγίσεις για να παράγουμε μία δομή φράκταλ. Μία είναι η αυξανόμενη μορφή ενός αντικειμένου μονάδα(εικόνα 1), και η άλλη είναι να κατασκευάσουμε τις επακόλουθες διαιρέσεις μίας αυθεντικής δομής, όπως το τρίγωνο Σιερπίνσκι (εικόνα 2). Σε αυτό το άρθρο ακολουθούμε την δεύτερη προσέγγιση για να ορίσουμε την διάσταση των δομών φράκταλ( δες εικόνα 1). Εάν πάρουμε ένα αντικείμενο με γραμμικό μέγεθος ίσο με ένα που διαμένει στην ευκλείδεια διάσταση D, και μειώσουμε το γραμμικό του μέγεθος κατά ένα συντελεστή 1 / l σε κάθε χωρική διεύθυνση, θα πάρουμε N = lD αριθμό από αυτοόμοια αντικείμενα για να καλύψουν το αυθεντικό αντικείμενο(εικόνα 1). Ωστόσο η διάσταση ορίζεται ως D = log ⁡ N ( l ) log ⁡ l {\displaystyle D={\frac {\log N(l)}{\log l}}} (όπου ο λογάριθμος μπορεί να είναι σε οποιαδήποτε βάση) και είναι ίση με την τοπολογική διάσταση ή την ευκλείδεια διάσταση. Εφαρμόζοντας τη παραπάνω εξίσωση στη δομή φράκταλ, μπορούμε να πάρουμε τη διάταση της δομής αυτής(όπου ο Hausdorff απέδειξε ότι είναι πανομοιότυπη στη διάσταση Χάουσντορφ) σαν ένα μη ακέραιο αριθμό όπως θα περιμέναμε. D = lim ϵ → 0 log ⁡ N ( ϵ ) log ⁡ 1 ϵ {\displaystyle D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}} Όπου το N(ε) είναι ο αριθμός των αυτοόμοιων δομών του γραμμικού μεγέθους ε που χρειάζεται για να καλύψει όλη την δομή. Για παράδειγμα, η μορφοκλασματική διάσταση του Sierpinski triangle της εικόνας 2 δίνεται από, D = lim ϵ → 0 log ⁡ N ( ϵ ) log ⁡ ( 1 ϵ ) = lim k → ∞ log ⁡ 3 k log ⁡ 2 k = log ⁡ 3 log ⁡ 2 ≈ 1.585. {\displaystyle D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log \left({\frac {1}{\epsilon }}\right)}}=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\log 3^{k}}{\log 2^{k}}}={\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1.585.} Πολύ σχετικό με την πλαίσιο-καταμέτρησης διάσταση, η οποία θεωρεί, εάν ο χώρος που διαιρείται μέσα σε ένα πλέγμα πλαισίων μεγέθους ε, είναι το πόσα πλαίσια αυτής της κλίμακας θα περιέχουν κομμάτι του συνόλου των σημείων στο πεδίο της φάσης (attractor). Ξανά, D 0 = lim ϵ → 0 log ⁡ N ( ϵ ) log ⁡ 1 ϵ . {\displaystyle D_{0}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}.} Άλλες ποσότητες διαστάσεων συμπεριλαμβάνουν την διάσταση πληροφορίας, η οποία θεωρεί πόσο ο μέσος όρος πληροφορίας χρειάζεται να ταυτοποιήσει μία κλίμακα πλαισίου, όσο η κλίμακα του πλαισίου μικραίνει : D 1 = lim ϵ → 0 − ⟨ log ⁡ p ϵ ⟩ log ⁡ 1 ϵ {\displaystyle D_{1}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {-\langle \log p_{\epsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}} Και η διάσταση συσχέτισης , η οποία είναι πιθανόν να υπολογιστεί ευκολότερα, D 2 = lim ϵ → 0 , M → ∞ log ⁡ ( g ϵ / M 2 ) log ⁡ ϵ {\displaystyle D_{2}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0,M\rightarrow \infty }{\frac {\log(g_{\epsilon }/M^{2})}{\log \epsilon }}} Όπου Μ είναι ο αριθμός των σημείων που χρησιμοποιούνται για να παράγουν μία αναπαράσταση του φράκταλ ή του συνόλου των σημείων στο πεδίο της φάσης και gε είναι ο αριθμός των ζευγαριών των σημείων πιο κοντά από το ε σε σχέση μεταξύ τους. Η πλαίσιο-καταμέτρηση , πληροφορία και συσχέτιση διαστάσεων μπορεί να φανεί σε ειδικές περιπτώσεις σαν ένα συνεχόμενο φάσμα μιας γενικευμένης ή Rényi διαστάσεων τάξης α, που ορίζεται ως D α = lim ϵ → 0 1 1 − α log ⁡ ( ∑ i p i α ) log ⁡ 1 ϵ {\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{1-\alpha }}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}} Όπου ο αριθμητής στο όριο είναι η Rényi εντροπία τάξης α. Η Rényi διάσταση για α=0 μεταχειρίζεται όλα τα μέρη του συνόλου των σημείων στο πεδίο της φάσης εξίσου, αλλά για μεγαλύτερες τιμές του α αυξάνοντας το βάρος του υπολογισμού δίνονται τα μέλη του συνόλου των σημείων στο πεδίο της φάσης τα οποία επισκέπτονται πιο συχνά. Ένα σύνολο σημείων στο πεδίο της φάσης για τον οποίο οι Rényi διαστάσεις δεν είναι όλες ίσες ,λέμε ότι είναι ένα πολλαπλό φράκταλ(multifractal) ή εκθέτεται μία πολλαπλή φράκταλ δομή. Αυτό είναι ένα σημάδι ότι διαφορετικές συμπεριφορές κλιμάκων εμφανίζονται σε διαφορετικά μέρη ενός συνόλου σημείων στο πεδίο της φάσης(attractor). Οι μετρήσεις της μορφοκλασματικής διάστασης, όπως αναφέραμε παραπάνω, προέρχονται από τα φράκταλς τα οποία είναι μορφολογικά ορισμένα. Ωστόσο, οργανισμοί και φαινόμενα του πραγματικού κόσμου εκθέτουν ιδιότητες των φράκταλς (δες φράκταλς στη φύση),και έτσι μπορεί συχνά να χαρακτηριστεί η μορφοκλασματική διάσταση ένα σύνολο από δεδομένα που προήλθαν από δειγματοληψία. Οι μετρήσεις της μορφοκλασματικής διάστασης δεν μπορεί να εξαχθούν αμέσως αλλά πρέπει να εκτιμηθούν. Αυτό χρησιμοποιείται σε μια ποικιλία ερευνητικών περιοχών όπως στη φυσική[4], στην ανάλυση εικόνας[5][6], στην ακουστική[7], στη μηδενική Ζίτα συνάρτηση Riemann[8] και ακόμα σε (ηλέκτρο)χημικές διεργασίες[9]. Οι πρακτικές εκτιμήσεις της διάστασης είναι πολύ ευαίσθητες σε αριθμητικό ή πειραματικό θόρυβο και ιδιαίτερα ευαίσθητες σε περιορισμούς για ένα ποσό δεδομένων. Κάποιος πρέπει να είναι προσεκτικός όσον αφορά σε αξιώματα που βασίζονται σε εκτιμήσεις της μορφοκλασματικής διάστασης, ιδιαίτερα σε αξιώματα της χαμηλής διάστασης δυναμικής συμπεριφοράς. Υπάρχει ένα αναπόφευκτο όριο(ύψος, οροφή), εκτός αν παρουσιάζεται μεγάλος αριθμός δεδομένων από σημεία δεδομένων. Ωστόσο, η μοντελοποίηση ως ένα πολλαπλασιαστικό καταρράκτη (multiplicative cascade) οδηγεί στην εκτίμηση ιδιοτήτων πολλαπλού φράκταλ για σχετικά μικρά σύνολα δεδομένων[10] : η μέγιστη πιθανότητα που ταιριάζει σε ένα πολλαπλασιαστικό καταρράκτη στο σύνολο δεδομένων όχι μόνο εκτιμάει τις πλήρεις διαστάσεις, αλλά επίσης δίνει λογικές εκτιμήσεις των λαθών (δες την web service[1]). Μια καλή μέθοδος της μέτρησης της πλαίσιο-μετρήσιμης διάστασης μιας λεκάνης ορίων (basin boundaries), ειδικά όταν είναι ξένα σύνολα, είναι η μέθοδος του αβέβαιου εκθέτη (uncertainty exponent) . Δείτε την χαοτική μίξη (chaotic mixing), για ένα παράδειγμα αριθμητικού υπολογισμού της μορφοκλασματικής διάστασης ενός (advected contour) κινούμενου οριζόντιου περιγράμματος, συμπεριλαμβάνοντας τον αβέβαιο εκθέτη. List of fractals by Hausdorff dimension Lacunarity Mandelbrot, Benoît B., The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004) [1] TruSoft's Benoit - Fractal Analysis Software product calculates fractal dimensions and hurst exponents. [2] Fractal Dimension Estimator Java Applet