Τριώνυμο

Στα μαθηματικά, τριώνυμο ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής α x 2 + β x + γ {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma } .Ο όρος "τριώνυμο" προκύπτει από το γεγονός ότι πρόκειται για ένα άθροισμα τριών μονωνύμων. Συνήθη προβλήματα που αφορούν τριώνυμα είναι (μεταξύ άλλων) η εύρεση ριζών του τριωνύμου, η παραγοντοποίηση, ο καθορισμός του προσήμου του για τις διάφορες τιμές του, καθώς και η ελαχιστοποίηση/μεγιστοποίησή του.

 Ένα από τα βασικότερα προβλήματα που αφορούν τριώνυμα είναι η εύρεση των τιμών που τα μηδενίζουν, δηλαδή η επίλυση της εξίσωσης α x 2 + β x + γ = 0 {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0} . Η συγκεκριμένη εξίσωση συνήθως ονομάζεται δευτεροβάθμια εξίσωση ή εξίσωση 2ου βαθμού. Γι' αυτές τις εξισώσεις έχουν προταθεί πολλοί τρόποι επίλυσης, αλλά η πιο ευρέως διαδεδομένη είναι η μέθοδος της διακρίνουσας. Η διακρίνουσα Δ {\displaystyle \Delta } του τριωνύμου ορίζεται από τον τύπο Δ = β 2 − 4 α γ {\displaystyle \Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma } .Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας το τριώνυμο έχει δύο, μία ή καμμιά πραγματική ρίζα. Πιο συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή α , β , γ ∈ R {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} } ) θα ισχύει: Περίπτωση 1η: Αν Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} , τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες οι οποίες δίνονται από τους τύπους: x 1 = − β + Δ 2 α {\displaystyle x_{1}={\frac {-\beta +{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}\quad } και x 2 = − β − Δ 2 α {\displaystyle \quad x_{2}={\frac {-\beta -{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}} .Περίπτωση 2η: Αν Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} , τότε η εξίσωση έχει μόνο μια πραγματική ρίζα, η οποία δίνεται από τον τύπο: x 1 = − β 2 α {\displaystyle x_{1}=-{\frac {\beta }{2\alpha }}} .Η συγκεκριμένη ρίζα αναφέρεται συνήθως ως "διπλή ρίζα". Περίπτωση 3η: Τέλος, αν Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} , τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, δεν υπάρχουν δηλαδή πραγματικές τιμές που μηδενίζουν το αντίστοιχο τριώνυμο. Υπάρχουν όμως ρίζες που ανήκουν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών και οι οποίες δίνονται από τους τύπους: x 1 = − β + − Δ ⋅ i 2 α {\displaystyle x_{1}={\frac {-\beta +{\sqrt {-\Delta }}\cdot \mathrm {i} }{2\alpha }}\quad } και x 2 = − β − − Δ ⋅ i 2 α {\displaystyle \quad x_{2}={\frac {-\beta -{\sqrt {-\Delta }}\cdot \mathrm {i} }{2\alpha }}} ,όπου i {\displaystyle \mathrm {i} } είναι η φανταστική μονάδα με i 2 = − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} . Όπως προβλέπει και η θεωρία των μιγαδικών αριθμών, οι δύο ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. Πολύ συχνά προκύπτει η ανάγκη να μετατραπεί ένα τριώνυμο σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων, δηλαδή να παραγοντοποιηθεί, ώστε να γίνει κάποια απλοποίηση της παράστασης. Και σε αυτή την περίπτωση ο υπολογισμός της διακρίνουσας παίζει κρίσιμο ρόλο: Περίπτωση 1η: Αν Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} , τότε το τριώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής: α x 2 + β x + γ = α ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =\alpha \cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})} ,όπου x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} είναι οι δύο πραγματικές ρίζες του τριωνύμου. Περίπτωση 2η: Αν Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} , τότε μπορούμε να γράψουμε α x 2 + β x + γ = α ⋅ ( x − x 1 ) 2 {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =\alpha \cdot (x-x_{1})^{2}} ,όπου x 1 {\displaystyle x_{1}} είναι η διπλή ρίζα του τριωνύμου. Περίπτωση 3η: Τέλος, αν Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} , τότε το τριώνυμο δε μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων με πραγματικούς συντελεστές. Μπορεί βέβαια να γραφεί ως γινόμενο παραγόντων με μιγαδικούς συντελεστές, χρησιμοποιώντας τις μιγαδικές ρίζες του τριωνύμου, δηλαδή α x 2 + β x + γ = α ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =\alpha \cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})} . Ένα ακόμη πρόβλημα που ανακύπτει συχνά είναι η ανάγκη αναζήτησης του προσήμου ενός τριωνύμου, δηλαδή η αναζήτηση των πραγματικών τιμών του x {\displaystyle x} για να γίνει το τριώνυμο θετικό ή αρνητικό. Και πάλι υπάρχουν 3 περιπτώσεις, ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας. Περίπτωση 1η: Αν Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} , τότε το τριώνυμο έχει το ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου ( a {\displaystyle a} ) εκτός από το διάστημα ενδιάμεσα των ριζών του όπου το πρόσημο είναι αντίθετο. Δηλαδή για όλα τα x ∈ ( − ∞ , x 1 ) ∪ ( x 2 , + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ,x_{1})\cup (x_{2},+\infty )} το τριώνυμο παίρνει τιμές ομόσημες του α {\displaystyle \alpha } , ενώ για όλα τα x ∈ ( − x 1 , x 2 ) {\displaystyle x\in (-x_{1},x_{2})} , το τριώνυμο παίρνει τιμές ετερόσημες του a {\displaystyle a} . Περίπτωση 2η: Αν Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} , τότε το τριώνυμο έχει το ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου ( α {\displaystyle \alpha } ) εκτός βέβαια από την τιμή της ρίζας όπου μηδενίζεται. Περίπτωση 3η: Τέλος, αν Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} , τότε το τριώνυμο έχει το ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου ( α {\displaystyle \alpha } ) για όλες τις τιμές του x {\displaystyle x} . Στην περίπτωση που το τριώνυμο έχει δύο ρίζες, μπορούμε εύκολα να βρούμε το άθροισμα και το γινόμενο των δύο ριζών χρησιμοποιώντας τους τύπους της διακρίνουσας. Συγκεκριμένα, μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι: S = x 1 + x 2 = − β α , {\displaystyle S=x_{1}+x_{2}=-{\frac {\beta }{\alpha }},\quad } και P = x 1 ⋅ x 2 = γ α {\displaystyle \quad P=x_{1}\cdot x_{2}={\frac {\gamma }{\alpha }}} .Οι δύο παραπάνω τύποι, που συνδέουν το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών με τους συντελεστές του τριωνύμου ονομάζονται τύποι Βιετά. Το τριώνυμο έχει ένα ακρότατο σημείο, για x = − β 2 α {\displaystyle x=-{\tfrac {\beta }{2\alpha }}} και η τιμή είναι y = γ − β 2 4 α {\displaystyle y=\gamma -{\tfrac {\beta ^{2}}{4\alpha }}} . Για α > 0 {\displaystyle \alpha >0} , το ακρότατο είναι ελάχιστο και για α < 0 {\displaystyle \alpha <0} είναι μέγιστο. Για να αποδείξουμε ότι είναι ακρότατο, αρκεί να υπολογίσουμε την παράγωγο του τριωνύμου f ( x ) = α x 2 + β x + γ {\displaystyle f(x)=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma } και να την θέσουμε ίση με το μηδέν: f ′ ( x ) = 2 α x + β = 0 ⇒ x = − β 2 α {\displaystyle f'(x)=2\alpha x+\beta =0\Rightarrow x=-{\frac {\beta }{2\alpha }}} . Στα ελληνικά σχολεία οι μαθητές διδάσκονται τις βασικές τεχνικές που αφορούν το τριώνυμο στην Γ΄ Γυμνασίου και στην Γ΄ Λυκείου. Τριώνυμο: Συμπλήρωση τετραγώνου Διαδραστικές εφαρμογές για το τριώνυμο Διαδραστική εφαρμογή για τις ρίζες του τριωνύμου Διαδραστική εφαρμογή για το πρόσημο του τριωνύμου Διαδραστική εφαρμογή για το τριώνυμο Διαδραστική εφαρμογή για το τριώνυμο Β. Ζώτας; Μ. Ρεκλείτης (1980). «Πρόσημο του τριωνύμου αx2+βx+γ». Ευκλείδης Β΄ (2): 25-27. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3766. Ν. Μάνης (1981). «Σημείο τριωνύμου». Ευκλείδης Β΄ (1): 28-30. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2717. Μανίκας Γ. (1982). «Το τριώνυμο και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Β΄ (1): 32-34. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2732. Π. Γριμανέλλης (1983). «Εφαρμογές τριωνύμου». Ευκλείδης Β΄ (1): 61-66. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2753. Ν. Παπαδόπουλος; Σ. Ν. Παπαδόπουλος (1984). «Δευτεροβάθμιο τριώνυμο και πολυωνυμικές εξισώσεις με πραγματικούς συντελεστές». Ευκλείδης Β΄ (1): 37-46. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2771. Β. Πολυδούρης (1984). «Ανάλυση τριωνύμου». Ευκλείδης Β΄ (1): 27-32. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2815. Simons, Stuart (Μαρτίου 2009). «93.04 Alternative approach to complex roots of real quadratic equations». The Mathematical Gazette 93 (526): 91–92. doi:10.1017/S0025557200184244. Kupitz, Yaakov S.; Martini, Horst (Μαρτίου 2002). «Infinite roots of the quadratic equation and tangents to conic sections at infinity». The Mathematical Gazette 86 (505): 76–79. doi:10.2307/3621580. Cirul, J. W. (Αυγούστου 1937). «A Method for Solving Quadratic Equations». The American Mathematical Monthly 44 (7): 462. doi:10.2307/2301134. Eells, Walter C. (Ιανουαρίου 1911). «Greek Methods of Solving Quadratic Equations». The American Mathematical Monthly 18 (1): 3. doi:10.2307/2972623. Heaton, Henry (Οκτωβρίου 1896). «A Method of Solving Quadratic Equations». The American Mathematical Monthly 3 (10): 236. doi:10.2307/2971099. John Savage. «Factoring quadratics». The Mathematics Teacher 82 (1): 35-36. https://www.jstor.org/stable/27966090. Δευτεροβάθμια εξίσωση Παραβολή (γεωμετρία) Πολυώνυμο