Ανισότητα Μάρκοφ

Στη θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Μάρκοφ (αναφέρεται και ως ανισότητα Markov) δίνει ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα ότι μια μη-αρνητική συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μεγαλύτερη ή ίση με κάποια θετική σταθερά. Ονομάστηκε έτσι από το Ρώσο μαθηματικό Αντρέι Μάρκοφ, αν και εμφανίστηκε νωρίτερα στο έργο του Παφνούτι Λβόβιτς Τσέμπισσιοφ (δάσκαλος του Μάρκοφ). Σε διάφορες πηγές κυρίως στην μαθηματική ανάλυση, η ανισότητα αναφέρεται ως ανισότητα Τσέμπισσιοφ ή ανισότητα Bienaymé. Η ανισότητα Μαρκόφ (και άλλες παρόμοιες ανισότητες) συσχετίζει πιθανότητες και ανεμενόμενες τιμές, και παρέχει (συχνά) χαλαρά αλλά παρ' όλα χρήσιμα φράγματα για την συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Ένα παράδειγμα εφαρμογής της ανισότητας Μαρκόφ είναι το γεγονός ότι (με την προϋπόθεση ότι τα εισοδήματα είναι μη-αρνητικά) δεν υπερβαίνουν το 1 / 5 του πληθυσμού αυτοί που μπορούν να έχουν πάνω από 5 φορές το μέσο εισόδημα.

 Αν X είναι κάποια τυχαία μεταβλητή, τότε για κάθε a > 0 {\displaystyle a>0} Pr ( | X | ≥ a ) ≤ E ⁡ ( | X | ) a . {\displaystyle \Pr(|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|)}{a}}.} Στη γλώσσα της θεωρίας μέτρου, η ανισότητα Μαρκόφ δηλώνει ότι αν ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} είναι ένας χώρος μέτρου, f {\displaystyle f} μία μετρήσιμη πραγματική συνάρτηση, τότε για κάθε ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , μ ( { x ∈ X : | f ( x ) | ≥ ϵ } ) ≤ 1 ϵ ∫ X | f | d μ . {\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon \})\leq {1 \over \epsilon }\int _{X}|f|\,d\mu .} Θα ξεχωρίσουμε την απόδειξη για την περίπτωση που ο χώρος μέτρου είναι ένας χώρος πιθανοτήτων από τη γενικότερη περίπτωση, καθώς αυτή είναι είναι πιο προσιτή στον γενικό αναγνώστη. Για οποιοδήποτε γεγονός E {\displaystyle E} , έστω I E {\displaystyle I_{E}} είναι η δεικνύουσα τυχαία μεταβλητή του E {\displaystyle E} , δηλαδή, I E = 1 {\displaystyle I_{E}=1} εάν το E {\displaystyle E} συνέβει, διαφορετικά I E = 0 {\displaystyle I_{E}=0} . Επομένως, για E = { | X | ≥ a } {\displaystyle E=\{|X|\geq a\}} , ισχύει ότι I ( | X ≥ a ) = 1 {\displaystyle I_{(|X\geq a)}=1} αν το γεγονός | X | ≥ a {\displaystyle |X|\geq a} συνέβει, και I ( | X | ≥ a ) = 0 {\displaystyle I_{(|X|\geq a)}=0} αν | X | < a {\displaystyle |X|<a} . Επίσης, επειδή a > 0 {\displaystyle a>0} , ισχύει ότι a I ( | X | ≥ a ) ≤ | X | . {\displaystyle aI_{(|X|\geq a)}\leq |X|.} Αυτό προκύπτει θεωρώντας τα δύο πιθανά ενδεχόμενα: Aν | X | < a {\displaystyle |X|<a} , τότε I ( | X | ≥ a ) = 0 {\displaystyle I_{(|X|\geq a)}=0} και επομένως a I ( | X | ≥ a ) = 0 ≤ | X | {\displaystyle aI_{(|X|\geq a)}=0\leq |X|} . Αν | X | ≥ a {\displaystyle |X|\geq a} , τότε I ( | X | ≥ a ) = 1 {\displaystyle I_{(|X|\geq a)}=1} και επομένως a I ( | X | ≥ a ) = a ≤ | X | {\displaystyle aI_{(|X|\geq a)}=a\leq |X|} .Επίσης, από τις ιδιότητες της αναμενόμενης τιμής, προκύπτει ότι Τώρα, χρησιμοποιώντας γραμμικότητα των αναμενόμενων τιμών, η αριστερή πλευρά αυτής της ανισότητας είναι ισούται με Έτσι συνδυάζοντας την (1) και (2) έχουμε ότι, a Pr ( | X | ≥ a ) ≤ E ⁡ ( | X | ) {\displaystyle a\Pr(|X|\geq a)\leq \operatorname {E} (|X|)\,} και διαιρώντας με a {\displaystyle a} (αφού a > 0 {\displaystyle a>0} ), λαμβάνουμε την ανισότητα Μαρκόφ. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f {\displaystyle f} είναι μη-αρνητική, καθώς στην ανισότητα χρησιμοποιείται μόνο η απόλυτη τιμή της. Θεωρούμε την πραγματική συνάρτηση s {\displaystyle s} στο σύνολο X {\displaystyle X} που ορίζεται ως εξής: s ( x ) = { ϵ , αν f ( x ) ≥ ϵ , 0 , αν f ( x ) < ϵ . {\displaystyle s(x)={\begin{cases}\epsilon ,&{\text{αν }}f(x)\geq \epsilon ,\\0,&{\text{αν }}f(x)<\epsilon .\end{cases}}} Τότε ισχύει ότι 0 ≤ s ( x ) ≤ f ( x ) {\displaystyle 0\leq s(x)\leq f(x)} για κάθε x ∈ X {\displaystyle x\in X} . Από τον ορισμό του Lebesgue ολοκληρώματος ∫ X f ( x ) d μ ≥ ∫ X s ( x ) d μ = ϵ μ ( { x ∈ X : f ( x ) ≥ ϵ } ) {\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\epsilon \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \epsilon \})} και διαιρώντας και τα δύο μέλη με ϵ {\displaystyle \epsilon } (καθώς ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ), λαμβάνουμε ότι μ ( { x ∈ X : f ( x ) ≥ ϵ } ) ≤ 1 ϵ ∫ X f d μ . {\displaystyle \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \epsilon \})\leq {1 \over \epsilon }\int _{X}f\,d\mu .} Η ανισότητα Τσεμπισιόφ χρησιμοποιεί την διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X {\displaystyle X} ώστε να φράξει την πιθανότητα η X {\displaystyle X} να αποκλίνει από την αναμενόμενη τιμή E ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)} . Πιο συγκεκριμένα, όταν E ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)} , για κάθε a > 0 {\displaystyle a>0} , Pr ( | X − E ⁡ ( X ) | ≥ a ) ≤ Var ⁡ ( X ) a 2 , {\displaystyle \Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},} όπου Var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} είναι η διακύμανση της X {\displaystyle X} , η οποία ορίζεται ως εξής: Var ⁡ ( X ) = E ⁡ [ ( X − E ⁡ ( X ) ) 2 ] . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].} Η ανισότητα Τσεμπισιόφ προκύπτει από την ανισότητα Μαρκόφ, θεωρώντας την τυχαία μεταβλητή Y = ( X − E ⁡ ( X ) ) 2 . {\displaystyle Y=(X-\operatorname {E} (X))^{2}.} Πιο συγκεκριμένα, για την Y {\displaystyle Y} , η ανισότητα Μαρκόφ δίνει Pr ( ( X − E ⁡ ( X ) ) 2 ≥ a 2 ) ≤ Var ⁡ ( X ) a 2 , {\displaystyle \Pr((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},} καθώς E ⁡ ( Y ) = E ⁡ ( ( X − E ⁡ ( X ) ) 2 ) = Var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))^{2}\right)=\operatorname {Var} (X)} . Αφού a > 0 {\displaystyle a>0} , καταλήγουμε ότι Pr ( | X − E ⁡ ( X ) | ≥ a ) ≤ Var ⁡ ( X ) a 2 {\displaystyle \Pr(|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}} . Έστω M ⪰ 0 {\displaystyle M\succeq 0} ένας αυτοσυζυγής πίνακας τυχαίων μεταβλητών και a > 0 {\displaystyle a>0} . Τότε Pr ( M ⋠ a ⋅ I ) ≤ t r ( E ( M ) ) a , {\displaystyle \Pr(M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\mathrm {tr} \left(E(M)\right)}{a}},} όπου A ⪰ 0 {\displaystyle A\succeq 0} συμβολίζει ότι ο πίνακας A {\displaystyle A} είναι θετικά ορισμένος. Η ανισότητα Μάρκοφ χρησιμοποιείται για να αποδείξει την ανισότητα Τσεμπισιόφ. για να αποδείξει την ανισότητα Chernoff. Ανισότητα Τσεμπισιόφ Ανισότητα Chernoff