Τοπολογικός χώρος

Στην τοπολογία και σε συναφείς κλάδους των μαθηματικών, ένας τοπολογικός χώρος είναι ένα σύνολο από σημεία, μαζί με ένα σύνολο από γειτονιές για κάθε σημείο, που ικανοποιεί ένα σύνολο από αξιώματα που αφορούν τα σημεία και τις γειτονιές. Ο ορισμός ενός τοπολογικού χώρου στηρίζεται στην Θεωρία συνόλων και είναι η πιο γενική έννοια του μαθηματικού χώρου που επιτρέπει τον ορισμό εννοιών όπως η συνέχεια, η συνεκτικότητα, και η σύγκλιση. Άλλοι χώροι, όπως οι πολλαπλότητες και οι μετρικοί χώροι, είναι ειδικές περιπτώσεις τοπολογικών χώρων με επιπλέον δομές και περιορισμούς. Όντας τόσο γενικοί, οι τοπολογικοί χώροι είναι μία κεντρική ενοποιητική έννοια και εμφανίζονται σχεδόν σε όλους τους κλάδους των σύγχρονων μαθηματικών. Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τους τοπολογικούς χώρους ονομάζεται τοπολογία σημείων ή γενική τοπολογία.

 Η χρησιμότητα της έννοιας μιας τοπολογίας δείχνεται από το γεγονός ότι υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι ορισμοί αυτής της δομής. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη, και η πιο κομψή, είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο των ανοιχτών συνόλων, αλλά η πιο διαισθητική είναι εκείνη που βασίζεται στον όρο των γειτονιών και γι αυτό δίνουμε αυτή πρώτη. Έστω Χ ένα σύνολο; τα στοιχεία του Χ συνήθως ονομάζονται σημεία, αν και μπορεί να είναι οποιοδήποτε μαθηματικό αντικείμενο. Επιτρέπουμε το Χ να είναι κενό. Έστω Ν είναι μία συνάρτηση που αντιστοιχεί κάθε χ (σημείο) του Χ σε μία όχι κενή συλλογή Ν(χ) από υποσύνολα του Χ. Τα στοιχεία του Ν(χ) θα λέγονται γειτονιές του χ σε σχέση με το Ν (ή, απλά, γειτονιές του χ). Η συνάρτηση Ν λέγεται τοπολογική γειτονιά αν τα αξιώματα παρακάτω ικανοποιούνται; και τότε το Χ με το Ν λέγεται τοπολογικός χώρος. Ένας τοπολογικός χώρος στον οποίο τα σημεία είναι συναρτήσεις ονομάζεται συναρτησιακός χώρος Αν Ν είναι μία γειτονιά του χ, τότε το χ ∈ Ν. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο ανήκει σε κάθε γειτονία αυτού του σημείου. Αν Ν είναι ένα υποσύνολο του Χ που περιέχει μία γειτονιά του χ, τότε Ν είναι μία γειτονία του χ. Αυτό σημαίνει ότι κάθε υπερσύνολο μιας γειτονιάς ενός σημείου χ του Χ είναι ξανά μια γειτονιά του χ. Το Σημείο τομής δύο γειτονιών του χ είναι μία γειτονιά του χ Οποιαδήποτε γειτονιά Ν του χ περιέχει μία γειτονιά Μ του χ ώστε Ν να είναι γειτονία για κάθε σημείο του ΜΤα πρώτα τρία αξιώματα για τις γειτονιές έχουν ξεκάθαρο νόημα. Το τέταρτο αξίωμα έχει μία πολύ σημή χρήση στην δομή της θεωρίας, δηλαδή της σύνδεσης των γειτονιών των διαφορετικών σημείων του Χ Ένα πρότυπο παράδειγμα ενός τέτοιου συστήματος γειτονιών είναι η πραγματική γραμμή R, όπου ένα υποσύνολο Ν του R ορίζεται να είναι γειτονιά ενός πραγματικού αριθμού χ αν υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα που περιέχει το χ και περιέχεται στο Ν. Με δεδομένη τέτοια δομή, μπορούμε να ορίσουμε ένα υποσύνολο U του Χ να είναι ανοιχτό αν U είναι μία γειτονία όλων των σημείων του U. Είναι ένα αξιοσημείωτο γεγονός ότι τα ανοιχτά σύνολα στη συνέχεια ικανοποιούν τα κομψά αξιώματα που δίνονται παρακάτω, και που, δεδομένου αυτών των αξιωμάτων, μπορούμε να ανακτήσουμε τις γειτονιές που πληρούν τα παραπάνω αξιώματα ορίζοντας Ν να είναι μία γειτονιά του χ αν Ν περιέχει ένα ανοιχτό σύνολο U ώστε χ ∈ U.Ένας τοπολογικός χώρος είναι τότε ένα σύνολο Χ μαζί με μία συλλογή από υποσύνολα του Χ, ονομάζονται ανοιχτά σύνολα και ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα: Τα κενό σύνολο και το ίδιο το Χ είναι ανοιχτά. Οποιαδήποτε Ένωση ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτή. Η τομή οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτόΗ συλλογή των ανοιχτών συνόλων τ τότε επίσης ονομάζεται μία τοπολογία στο Χ, η, αν απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια, μία τοπολογία ανοιχτού συνόλου. Τα σύνολα στο τ ονομάζονται ανοιχτά σύνολα, και τα συμπληρωματικά στο Χ ονομάζονται κλειστά σύνολα. Ένα υποσύνολο του Χ μπορεί να μην είναι κλειστό ούτε ανοιχτό, ή μπορεί να είναι ή κλειστό, ή ανοιχτό, ή και τα δύο. Ένα σύνολο που είναι ταυτόχρονα κλειστό και ανοιχτό ονομάζεται Clopen σύνολο (ή σε πιο ελεύθερη μετάφραση ανοιχτόκλειστο σύνολο). Χ= {1, 2, 3, 4} και μία συλλογή τ = {{}, {1, 2, 3, 4}} από μόνο τα δύο υποσύνολα του Χ που απαιτούνται από τα αξιώματα σχηματίζουν μία τοπολογία, την τετριμμένη τοπολογία (εκτεταμένη τοπολογία) Χ= {1, 2, 3, 4} και μία συλλογή τ = {{}, {2}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}} από έξι υποσύνολα του Χ σχηματίζουν μία άλλη τοπολογία Χ= {1, 2, 3, 4} και μία συλλογή τ = P(X) (το δυναμοσύνολο του Χ) σχηματίζει μία τρίτη τοπολογία, την διακριτή τοπολογία. Χ= Z, το σύνολο των ακεραίων, και η συλλογή τ που ισούται με όλα τα πεπερασμένα υποσύνολα των ακεραίων συν του ίδιου του Ζ δεν είναι τοπολογία, γιατί (για παράδειγμα) η ένωση όλων των πεπερασμένων συνόλων που δε περιέχουν το μηδέν είναι άπειρη αλλά δεν είναι όλο το Ζ, κι έτσι δεν είναι μέσα στο τ. Υπάρχουν πολλοί άλλοι ισοδύναμοι τρόποι να ορίσουμε έναν τοπολογικό χώρο: με άλλα λόγια, οι έννοιες της γειτονιάς ή του ανοιχτού συνόλου μπορεί να ανακατασκευαστούν από τα άλλα σημεία εκκίνησης και να ικανοποιούν τα σωστά αξιώματα. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τους νόμους de Morgan, τα παραπάνω αξιώματα ορισμού ανοιχτών συνόλων γίνονται αξιώματα κλειστών συνόλων: Το κενό σύνολο και το Χ είναι κλειστά. Η τομή οποιασδήποτε συλλογής κλειστών συνόλων είναι επίσης κλειστή. Η ένωση οποιουδήποτε ζευγαριού κλειστών συνόλων είναι επίσης κλειστόΧρησιμοποιώντας αυτά τα αξιώματα, ένας άλλος τρόπος να οριστεί ο τοπολογικός χώρος είναι ως ένα σύνολο Χ μαζί με μία συλλογή τ από υποσύνολα του Χ που ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα: Το κενό σύνολο και το Χ είναι μέσα στο τ Η τομή οποιασδήποτε συλλογής συνόλων μέσα στο τ είναι επίσης μέσα στο τ. Η ένωση οποιουδήποτε ζευγαριού συνόλων μέσα στο τ είναι επίσης μέσα στο τ.Κάτω από αυτόν τον ορισμό, τα σύνολα στην τοπολογία τ είναι τα κλειστά σύνολα, και τα συμπληρωματικά τους στο Χ είναι τα ανοιχτά σύνολα. Ένας άλλος τρόπος να ορίσουμε έναν τοπολογικό χώρο είναι χρησιμοποιώντας τα αξιώματα κλεισίματος του Kuratowski, τα οποία ορίζουν τα κλειστά σύνολα ως τα σταθερά σημεία ενός τελεστή για το δυναμοσύνολο του X. Ένα δίχτυ είναι μία γενίκευση της έννοιας της ακολουθίας. Μία τοπολογία είναι εντελώς καθορισμένη αν για κάθε δίχτυ στο Χ το σύνολο από τα σημεία συσσώρευσής του ορίζεται. Μία ποικιλία από αξιωματισμούς των τοπολογικών χώρων αναφέρονται στις Ασκήσεις του βιβλίου του Vaidyanathaswamy. Έτσι κάποιος επιλέγει τον αξιωματισμό που ταιριάζει για την εφαρμογή, ή την ακρόαση, ανάλογα. Μία ποικιλία τοπολογιών μπορεί να τοποθετηθεί σε ένα σύνολο για να σχηματιστεί ένας τοπολογικός χώρος. Όταν κάθε σύνολο σε μία τοπολογία τ1 είναι επίσης μία τοπολογία τ2 και τ1 είναι ένα υποσύνολο της τ2, λέμε ότι η τ2 είναι λεπτότερη από την τ1, και η τ1 είναι χονδρότερη από την τ2. Μία απόδειξη που στηρίζεται μόνο στην ύπαρξη ορισμένων ανοιχτών συνόλων θα ισχύει επίσης για κάθε λεπτότερη τοπολογία, και όμοια μία απόδειξη που στηρίζεται μόνο σε ορισμένα σύνολα που δεν είναι ανοιχτά εφαρμόζονται σε οποιαδήποτε χονδρότερη τοπολογία. Οι όροι μεγαλύτερος και μικρότερος χρησιμοποιούνται μερικές φορές στη θέση τou λεπτότερος και πιο χονδρότερος, αντίστοιχα. Οι όροι ισχυρότερος και ασθενέστερος χρησιμοποιούνται επίσης στη βιβλιογραφία, αλλά με μικρή συμφωνία σχετικά με την έννοια, έτσι κάποιος πρέπει πάντα να είναι σίγουρος για τη σύμβαση του συγγραφέα όταν διαβάζει. Η συλλογή όλων των τοπολογιών ενός δοσμένου σταθερού συνόλου Χ σχηματίζει ένα πλήρες πλέγμα: αν F = {τα| α στο A} είναι μία συλλογή από τοπολογίες στο Χ, τότε η κάλυψη του F είναι η τομή του F, και η ένταξη της F είναι η κάλυψη της συλλογής όλων των τοπολογιών του Χ που περιέχουν κάθε μέλος της F. Μία συνάρτηση f : X→ Y μεταξύ τοπολογικών χώρων ονομάζεται συνεχής αν για όλα τα x ∈ X και όλες τις γειτονιές N της f(x) υπάρχει μία γειτονιά M του χ ώστε f(M) ⊆ N. Αυτό σχετίζεται εύκολα στον συνηθισμένο ορισμό της ανάλυσης. Ισοδύναμα, f είναι συνεχής αν η αντίστροφη εικόνα κάθε ανοιχτού συνόλου είναι ανοιχτή. Αυτή είναι μία προσπάθεια να συλλάβει τη διαίσθηση ότι δεν υπάρχουν άλματα ή διαχωρισμοί στη συνάρτηση. Ένας ομοιομορφισμός είναι μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία που είναι συνεχής και της οποίας η αντίστροφη συνάρτηση είναι επίσης συνεχής. Δύο χώροι ονομάζονται ομοιομορφικοί αν υπάρχει ομοιομορφισμός μεταξύ τους. Από τη σκοπιά της τοπολογίας, ομοιομορφικοί χώροι είναι ουσιαστικά ταυτόσημες. Στη Θεωρία κατηγοριών,Top, στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων με τοπολογικούς χώρους όπως αντικείμενα και συνεχείς συναρτήσεις όπως μορφισμοί είναι ένα από τις θεμελιώδεις κατηγορίες των μαθηματικών. Η προσπάθεια να ταξινομήσει τα αντικείμενα αυτής της κατηγορίας (μέχρι τον ομοιομορφισμό) από σταθερές έχει θέσει και παραγάγει ολόκληρες περιοχές της έρευνα, όπως ομοτοπίας, θεωρία ομολογίας. και θεωρίας-Κ, για να ονομάσουμε απλά κάποιες. Ένα δοθέν σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες. Αν σε ένα σύνολο δοθεί μια διαφορετική τοπολογία, θεωρείται ως διαφορετικός τοπολογικός χώρος. Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η διακριτή τοπολογία στην οποία κάθε υποσύνολο είναι ανοιχτό. Οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες ή δίχτυα σε αυτήν την τοπολογία είναι εκείνα που είναι τελικά σταθερά. Επίσης, σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η τετριμμένη τοπολογία (που ονομάζεται επίσης αδιάκριτη τοπολογία), στην οποία μόνο το κενό σύνολο και όλος ο χώρος είναι ανοιχτά. Κάθε ακολουθία και δίχτυ σε αυτήν την τοπολογία συγκλίνει σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, τα όρια των ακολουθιών δε χρειάζεται να είναι μοναδικά. Ωστόσο, συχνά τοπολογικοί χώροι πρέπει να είναι Hausdorff χώροι όπου τα οριακά σημεία είναι μοναδικά. Υπάρχουν πολλοί τρόποι ορισμού μίας τοπολογίας για το R, το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η πρότυπη τοπολογία για το R παράγεται από τα ανοιχτά διαστήματα. Το σύνολο όλων των ανοιχτών διαστημάτων σχηματίζει βάση ή βάσεις για την τοπολογία, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο είναι μία ένωση κάποιας συλλογής συνόλων από τη βάση. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό αν υπάρχει ένα ανοιχτό διάστημα μη μηδενικής ακτίνας για κάθε σημείο του συνόλου. Γενικότερα, οι Ευκλείδειοι χώροι Rn μπορεί να δίνουν μία τοπολογία. Στην συνηθισμένη τοπολογία για το Rn τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι οι ανοιχτές μπάλες. Όμοια, C, το σύνολο των μιγαδικών αριθμών, και Cn έχει μία πρότυπη τοπολογία στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες. Σε κάθε μετρικό χώρο μπορεί να δοθεί μία μετρική τοπολογία, στην οποία τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι ανοιχτές μπάλες που ορίζονται από τον μετρικό. Αυτή είναι μία πρότυπη τοπολογία για οποιοδήποτε νόρμα διανυσματικό χώρο. Για έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο αυτή η τοπολογία είναι η ίδια για όλες της νόρμες (κανόνες). Πολλά σύνολα των γραμμικών μετασχηματισμών στην συναρτησιακή ανάλυση είναι τροφοδοτημένα με τοπολογίες που ορίζονται προσδιορίζοντας πότε μία συγκεκριμένη ακολουθία συναρτήσεων συγκλίνει στη μηδενική συνάρτηση. Οποιοδήποτε τοπικό πεδίο έχει μια εγγενή τοπολογία σε αυτό, και αυτό μπορεί να επεκταθεί σε διανυσματικούς χώρους πέρα από εκείνο το πεδίο. Κάθε πολλαπλότητα έχει μία φυσική τοπολογία δεδομένου ότι είναι τοπικά Ευκλείδεια. Όμοια, κάθε σύμπλεγμα και κάθε σύμπλοκο κληρονομεί μία φυσική τοπολογία από Rn. Η τοπολογία Zariski ορίζεται αλγεβρικά στο φάσμα ενός δακτυλίου ή μιας αλγεβρικής ποικιλίας. Στον Rn ή στον Cn, τα κλειστά σύνολα της τοπολογίας Zariski είναι τα σύνολα λύσεων των συστημάτων των πολυωνυμικών εξισώσεων. Ένα γραμμικό γράφημα έχει μία φυσική τοπολογία που γενικεύει πολλές από τις γεωμετρικές πτυχές των γραφημάτων με κορυφές και ακμές. Ο χώρος Sierpiński είναι ο πιο απλός μη διακριτός τοπολογικός χώρος. Έχει σημές σχέσεις με τη θεωρία υπολογισμού και τη σημασιολογία. Υπάρχουν πολλές τοπολογίες σε οποιοδήποτε δοθέν πεπερασμένο σύνολο. Τέτοιοι χώροι ονομάζονται πεπερασμένοι τοπολογικοί χώροι. Πεπερασμένοι χώροι χρησιμοποιούνται κάποιες φορές για να παρέχουν παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα σε εικασίες για τους τοπολογικούς χώρους γενικότερα. Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η πεπερασμένου συμπληρώματος τοπολογία, στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι το κενό σύνολο και τα σύνολα των οποίων τα συμπληρώματα είναι πεπερασμένα. Αυτή είναι η μικρότερη T1 τοπολογία σε οποιοδήποτε άπειρο σύνολο. Σε οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η μετρήσιμου συμπληρώματος τοπολογία, στην οποία ένα σύνολο ορίζεται ως ανοιχτό αν είναι είτε κενό είτε το συμπλήρωμα του είναι μετρήσιμο. Όταν το σύνολο είναι μη μετρήσιμο, αυτή η τοπολογία εξυπηρετεί ως αντιπαράδειγμα σε πολλές περιπτώσεις. Στην πραγματική γραμμή μπορεί επίσης να δοθεί η χαμηλότερη ορίου τοπολογία. Εδώ, τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι τα μισάνοιχτα διαστήματα [a, b). Αυτή η τοπολογία για το R είναι αυστηρά λεπτότερη από την τοπολογία που ορίζεται παραπάνω; μία αλληλουχία συγκλίνει σε ένα σημείο σε αυτήν την τοπολογία αν και μόνο αν συγκλίνει από επάνω στην Ευκλείδεια τοπολογία. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ένα σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες που ορίζονται σε αυτό. Αν Γ είναι ένας τακτικός αριθμός, τότε το σύνολο Γ = [0, Γ) μπορεί να τροφοδοτηθεί με τοπολογία διάταξης που παράγεται από τα διαστήματα (a, b), [0, b) και (a, Γ) όπου a και b είναι στοιχεία του Γ Σε κάθε υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου μπορεί να δοθεί η υποχώρου τοπολογία στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι τομές των ανοιχτών συνόλων του μεγαλύτερου χώρου με το υποσύνολο. Για οποιαδήποτε οικογένεια με δείκτες ενός τοπολογικού χώρου, στο προϊόν μπορεί να δοθεί η τοπολογία προϊόντος, η οποία παράγεται από τις αντίστροφες εικόνες των ανοιχτών συνόλων των παραγόντων κάτω από τις αντιστοιχήσεις προβολών. Για παράδειγμα, στα πεπερασμένα προϊόντα, μία βάση για το προϊόν τοπολογίας αποτελείται από όλα τα προϊόντα των ανοιχτών συνόλων. Για τα πεπερασμένα προϊόντα, υπάρχει η πρόσθετη απαίτηση ότι σε ένα βασικό ανοιχτό σύνολο, όλα εκτός τελικά από πολλές προβολές τους είναι ολόκληρος ο χώρος. Ένας χώρος πηλίκο ορίζεται ως εξής: αν Χ είναι ένας τοπολογικός χώρος και Υ είναι ένα σύνολο, και αν f : X→ Y είναι μία επιρριπτική συνάρτηση, τότε η τοπολογία πηλίκο για το Y είναι μία συλλογή υποσυνόλων του Υ που έχει ανοιχτές αντίστροφες εικόνες κάτω από την f. Με άλλα λόγια, η τοπολογία πηλίκο είναι η λεπτότερη τοπολογία για το Y για το οποίο η f είναι συνεχής. Ένα συνηθισμένο παράδειγμα μίας τοπολογίας πηλίκου είναι μία σχέση ισοδυναμίας ορίζεται για τον τοπολογικό χώρο Χ. Η αντιστοιχία f είναι η φυσική προβολή πάνω στο σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας. Η τοπολογία Vietoris για το σύνολο όλων των μη κενών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου Χ, που ονομάστηκε προς τιμή του Leopold Vietoris, παράγεται από την ακόλουθη βάση: για κάθε n-πλειάδα U1,..., Un των ανοιχτών συνόλων του Χ, κατασκευάζουμε ένα βασικό σύνολο που αποτελείται από όλα τα υποσύνολα της ένωσης των Ui που έχουν μη κενές τομές με κάθε Ui. Τοπολογικοί χώροι μπορούν να ταξινομηθούν γενικά, μέχρι τους ομοιομορφισμούς, από τις τοπολογικές ιδιότητες τους. Μία τοπολογική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα των χώρων που είναι αναλλοίωτη από τους ομοιομορφισμούς. Για να αποδείξουμε ότι δύο χώροι δεν είναι ομοιομορφικοί αρκεί να βρεθεί μία τοπολογική ιδιότητα που δεν τη μοιράζονται. Παραδείγματα τέτοιων ιδιοτήτων είναι ορθότητα, συμπαγές, και διάφορα αξιώματα διαχωρισμού Βλέπε το άρθρο τοπολογικές ιδιότητες για περισσότερες λεπτομέρειες και παραδείγματα Για οποιαδήποτε αλγεβρικά αντικείμενα μπορούμε να εισαγάγουμε την διακριτή τοπολογία, σύμφωνα με την οποία οι αλγεβρικές πράξεις είναι συνεχείς συναρτήσεις. Για οποιαδήποτε τέτοια δομή που δεν είναι πεπερασμένη, συχνά έχουμε μία φυσική τοπολογία συμβατή με τις αλγεβρικές πράξεις, με την έννοια ότι οι αλγεβρικές πράξεις συνεχίζουν να είναι συνεχείς. Αυτό οδηγεί σε έννοιες όπως τοπολογικές ομάδες,τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι, τοπολογικοί δακτύλιοι και τοπικά πεδία. Φασματικός: Ένας χώρος είναι φασματικός αν και μόνο αν είναι το πρωταρχικό φάσμα ενός δακτυλίου (θεώρημα Hochster). Σειρά ειδίκευσης: Σε έναν χώρο η σειρά ειδίκευσης (ή κανονική σειρά) ορίζεται από x ≤ y αν και μόνο αν cl{x} ⊆ cl{y}. Οι ακόλουθοι χώροι και άλγεβρες είναι είτε πιο ειδικοί(ες) ή πιο γενικοί(ες) από τους τοπολογικούς χώρους που συζητήθηκαν παραπάνω Εγγύτεις χώροι παρέχουν μια έννοια της εγγύτητας των δύο συνόλων. Μετρικοί χώροι ενσωματώνουν μία μετρική, μια ακριβή έννοια της απόστασης μεταξύ των σημείων. Ενιαίοι χώροι αξιωματοποιούν διατάσσοντας την απόσταση μεταξύ των κρίσιμων σημείων. χώροι Cauchy αξιωματοποιούν τη δυνατότητα να ελέγξετε αν ένα δίχτυ είναι Cauchy. Οι Cauchy χώροι αποτελούν ένα γενικό πλαίσιο για τη μελέτη ολοκληρωμάτων χώροι Σύγκλισης εγκλωβίζουν μερικά από τα χαρακτηριστικά της σύγκλισης των φίλτρων. Grothendieck θέσεις είναι κατηγορίες με επιπρόσθετα στοιχεία αξιωματοποιώντας αν μια οικογένεια βέλη καλύπτει ένα αντικείμενο. Οι θέσεις είναι μια γενική ρύθμιση για τον καθορισμό των τροχαλιών. Kolmogorov χώρος (T0) προσιτός/Fréchet χώρος (T1) Hausdorff χώρος (T2) ολοκληρωμένος χώρος Hausdorff και Urysohn χώρος (T2½) κανονικός χώρος και κανονικός Hausdorff χώρος (T3) Tychonoff χώρος και ολοκληρωμένος κανονικός χώρος (T3½) φυσιολογικός Hausdorff χώρος (T4) ολοκληρωμένος φυσιολογικός Hausdorff χώρος (T5) τέλεια φυσιολογικός Hausdorff χώρος (T6) Χώρος (μαθηματικά) ολοκληρωμένη Heyting άλγεβρα – Το σύστημα όλων των ανοικτών συνόλων ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου με εντολή ένταξη είναι μια πλήρης άλγεβρα Heyting. Armstrong, M. A. (1983) [1979]. Basic Topology. Undergraduate texts in mathematics. Springer. ISBN 0-387-90839-0. Bredon, Glen E. (17 Οκτωβρίου 1997). Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics) (1η έκδοση). Springer. ISBN 0-387-97926-3. Bourbaki, Nicolas (1966). Elements of Mathematics: General Topology. Addison-Wesley. Brown, Ronald (2006). Topology and groupoids (από βιβλία διαφορετικών τίτλων: 3η έκδοση). Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. (amazon.com). Čech, Eduard (1969). Point Sets. Academic Press. Fulton, William (5 Σεπτεμβρίου 1997). Algebraic Topology (Graduate Texts in Mathematics) (1η έκδοση). Springer. ISBN 0-387-94327-7. Lipschutz, Seymour (1 Ιουνίου 1968). Schaum's Outline of General Topology (1η έκδοση). McGraw-Hill. ISBN 0-07-037988-2. Munkres, James (28 Δεκεμβρίου 1999). Topology (2η έκδοση). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. Runde, Volker (6 Ιουλίου 2005). A Taste of Topology (Universitext) (1η έκδοση). Springer. ISBN 0-387-25790-X. Steen, Lynn Arthur· Seebach, J. Arthur Jr. (1970). Counterexamples in Topology. Holt, Rinehart & Winston. ISBN 0-03-079485-4. Vaidyanathaswamy, R. (1960). Set Topology. Chelsea Publishing Co. ISBN 0-486-40456-0. Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Topological space», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/t093130