Απλή γραμμική παλινδρόμηση

Στην στατιστική, γραμμική παλινδρόμηση είναι μια προσέγγιση μοντελοποίησης της σχέσης μιας απλής εξαρτημένης (dependent) μεταβλητής y {\displaystyle y} (ονομάζεται και απόκρισης) με μια ή περισσότερες ανεξάρτητες (independent) / μη ερμηνευτικές (explanatory) μεταβλητές { x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}} . Η μεταβλητή/ες x i {\displaystyle x_{i}} δεν θεωρείται/ούνται τυχαία/ες ενώ η y {\displaystyle y} θεωρείται τυχαία μεταβλητή. Στην περίπτωση που έχουμε μια μόνο ανεξάρτητη / ερμηνευτική μεταβλητή x {\displaystyle x} τότε η μοντελοποίηση ονομάζεται απλή γραμμική παλινδρόμηση (Αγγλικά: simple linear regression).

 Στην απλή γραμμική παλινδρόμηση έχουμε ένα σύνολο με δείγματα τιμών { x i , y i } {\displaystyle \{x_{i},y_{i}\}} . Σκοπός είναι να βρούμε ένα απλό μαθηματικό μοντέλο, το οποίο να περιγράφει την σχέση αυτών των δύο μεταβλητών την x {\displaystyle x} και την y {\displaystyle y} . Το απλό μαθηματικό μοντέλο που αναζητούμε είναι μια ευθεία γραμμή της μορφής f ( x ) = y = α + β x , {\displaystyle f(x)=y=\alpha +\beta x,} η οποία "ταιριάζει" καλύτερα στο σύνολο των δειγμάτων. Έχοντας αυτό το μοντέλο μπορούμε να "προβλέψουμε" τις τιμές του y {\displaystyle y} για νέες τιμές του x {\displaystyle x} . Η μεθοδολογία αυτή χρησιμοποιείται στην μηχανική μάθηση (machine learning). Στο παρακάτω παράδειγμα έχουμε τα σημεία { x i , y i } {\displaystyle \{x_{i},y_{i}\}} όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή x {\displaystyle x} δηλώνει τα τετραγωνικά μέτρα ενός σπιτιού ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή y {\displaystyle y} δηλώνει την τιμή πώλησης του σπιτιού. Με την μέθοδο της απλής γραμμική παλινδρόμησης ψάχνουμε να βρούμε μια ευθεία f ( x ) = y = α + β x , {\displaystyle f(x)=y=\alpha +\beta x,} η οποία θα "ταιριάζει" καλύτερα στα δείγματα τιμών { x i , y i } {\displaystyle \{x_{i},y_{i}\}} που έχουμε. Ουσιαστικά ψάχνουμε να βρούμε τις κατάλληλες τιμές α {\displaystyle \alpha } και β {\displaystyle \beta } . Στο παρακάτω παράδειγμα έχουμε τα σημεία { x i , y i } {\displaystyle \{x_{i},y_{i}\}} όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή x {\displaystyle x} δηλώνει τα τετραγωνικά μέτρα ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή y {\displaystyle y} την τιμή πώλησης του σπιτιού. Η συνάρτηση f ( x ) = y = α + β x , {\displaystyle f(x)=y=\alpha +\beta x,} στην μηχανική μάθηση χαρακτηρίζεται ως συνάρτηση "υπόθεσης". Με βάση αυτήν την συνάρτηση υπόθεσης μπορούμε να προβλέψουμε (με κάποιο σχετικό σφάλμα) τις τιμές πώλησης σπιτιών με τετραγωνικά για τα οποία δεν έχουμε τιμές στο δείγμα τιμών { x i , y i } {\displaystyle \{x_{i},y_{i}\}} . Έστω ότι έχουμε n {\displaystyle n} σημεία { y i , x i } {\displaystyle \{y_{i},x_{i}\}} , όπου i , … , n {\displaystyle i,\ldots ,n} . Ο στόχος είναι να βρούμε την συνάρτηση που δημιουργεί μια ευθεία γραμμή f ( x ) = y = α + β x , {\displaystyle f(x)=y=\alpha +\beta x,} η οποία θα "ταιριάζει" καλύτερα για το πλήθος των σημείων { x i , y i } {\displaystyle \{x_{i},y_{i}\}} . Η ευθεία f ( x ) {\displaystyle f(x)} ονομάζεται ευθεία γραμμικής παλινδρόμησης και είναι ένα απλό μοντέλο το οποίο συνδέει/συσχετίζει τα x i {\displaystyle x_{i}} με τα αντίστοιχα y i {\displaystyle y_{i}} σημεία. Για να βρεθεί αυτή η ευθεία f ( x ) {\displaystyle f(x)} , δηλαδή οι παράμετροι α {\displaystyle \alpha } και β {\displaystyle \beta } (συμβολίζονται και β 0 {\displaystyle \beta _{0}} , β 1 {\displaystyle \beta _{1}} ) μπορεί να χρησιμοποιηθεί η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων η οποία πρωτοεμφανίστηκε το 1805 σε μια εργασία του Γάλλου μαθηματικού Legendre (1752-1833) και στην συνέχεια στον Γερμανό μαθηματικό Gauss (177-1855) στην αστρονομική εργασία Theoria Motus όπου προσδιοριζόταν η τροχιά του μικρού πλανήτη Δήμητρα. Προσπαθούμε να βρούμε μια ευθεία όπου η απόσταση κάθε σημείου { x i , y i } {\displaystyle \{x_{i},y_{i}\}} είναι ελάχιστη: Βρες min α , β Q ( α , β ) , {\displaystyle \min _{\alpha ,\,\beta }Q(\alpha ,\beta ),} όπου Q ( α , β ) = ∑ i = 1 n ε ^ i 2 = ∑ i = 1 n ( y i − α − β x i ) 2 {\displaystyle Q(\alpha ,\beta )=\sum _{i=1}^{n}{\hat {\varepsilon }}_{i}^{\,2}=\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-\alpha -\beta x_{i})^{2}\ } , όπου ε i {\displaystyle {\varepsilon }_{i}} το κατάλοιπο ή αλλιώς σφάλμα: ε i = y i − α − β x i , i = 1 , . . . , n {\displaystyle {\varepsilon }_{i}=y_{i}-\alpha -\beta x_{i},i=1,...,n} Χρησιμοποιώντας απειροστικό λογισμό, την γεωμετρία του εσωτερικού γινόμενου ή απλά αναπτύσσοντας την συνάρτηση μπορεί να δειχθεί ότι οι τιμές α {\displaystyle \alpha } και β {\displaystyle \beta } οι οποίες ελαχιστοποιούν την συνάρτηση Q ( α , β ) {\displaystyle Q(\alpha ,\beta )} είναι β ^ = ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) ( y i − y ¯ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 = ∑ i = 1 n x i y i − 1 n ∑ i = 1 n x i ∑ j = 1 n y j ∑ i = 1 n ( x i 2 ) − 1 n ( ∑ i = 1 n x i ) 2 = x y ¯ − x ¯ y ¯ x 2 ¯ − x ¯ 2 = Cov ⁡ [ x , y ] Var ⁡ [ x ] = r x y s y s x , α ^ = y ¯ − β ^ x ¯ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\beta }}&={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\sum _{j=1}^{n}{y_{j}}}{\sum _{i=1}^{n}({x_{i}^{2}})-{\frac {1}{n}}(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}})^{2}}}\\[6pt]&={\frac {{\overline {xy}}-{\bar {x}}{\bar {y}}}{{\overline {x^{2}}}-{\bar {x}}^{2}}}={\frac {\operatorname {Cov} [x,y]}{\operatorname {Var} [x]}}=r_{xy}{\frac {s_{y}}{s_{x}}},\\[6pt]{\hat {\alpha }}&={\bar {y}}-{\hat {\beta }}\,{\bar {x}},\end{aligned}}} όπου r x y {\displaystyle r_{xy}} είναι μια παράμετρος συσχέτισης μεταξύ x {\displaystyle x} και y {\displaystyle y} , το s x {\displaystyle s_{x}} είναι η τυπική απόκλιση του x {\displaystyle x} , και s y {\displaystyle s_{y}} είναι αντίστοιχα η τυπική απόκλιση του y {\displaystyle y} . Η οριζόντια γραμμή πάνω από μια μεταβλητή δηλώνει τον απλό μέσο όρο της μεταβλητής. Για παράδειγμα: x y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i y i . {\displaystyle {\overline {xy}}={\tfrac {1}{n}}\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\ .} Τα "α καπέλο" α ^ {\displaystyle {\hat {\alpha }}} και "b καπέλο" β ^ {\displaystyle {\hat {\beta }}} ονομάζονται εκτιμήτριες ελάχιστων τετραγώνων . Αντικαθιστώντας τις παραπάνω μαθηματικές εκφράσεις για τις παραμέτρους α ^ {\displaystyle {\hat {\alpha }}} και β ^ {\displaystyle {\hat {\beta }}} στο y = α ^ + β ^ x , {\displaystyle y={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x,\,} δίνει y − y ¯ s y = r x y x − x ¯ s x {\displaystyle {\frac {y-{\bar {y}}}{s_{y}}}=r_{xy}{\frac {x-{\bar {x}}}{s_{x}}}} Αυτό δείχνει ότι το r x y {\displaystyle r_{xy}} έχει το ρόλο της γραμμής παλινδρόμησης για τα σημεία. Η συνάρτηση y = α ^ + β ^ x , {\displaystyle y={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }}x,\,} λέγεται ευθεία ελαχίστων τετραγώνων ή ευθεία παλινδρόμησης . Σε προβλήματα μηχανικής μάθησης η συνάρτηση αυτή λέγεται συνάρτηση υπόθεσης και συμβολίζεται ως h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 x {\displaystyle h_{\theta }(x)=\theta _{0}+\theta _{1}x} (το α ^ {\displaystyle {\hat {\alpha }}} β ^ {\displaystyle {\hat {\beta }}} είναι οι παράμετροι θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} και θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} αντίστοιχα). Σε προβλήματα μηχανικής μάθησης χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος απότομης καθόδου, γνωστός και ως αλγόριθμος σύγκλισης με ελάττωση της παραγώγου (Αγγλικά: Gradient descent). Έχουμε τη συνάρτηση υπόθεσης (η οποία είναι συνάρτηση γραμμικής παλινδρόμησης) h θ ( x ) = θ 0 + θ 1 x {\displaystyle h_{\theta }(x)=\theta _{0}+\theta _{1}x} και θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την συνάρτηση κόστους ελάχιστων τετραγώνων min θ 0 , θ 1 J ( θ 0 , θ 1 ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) 2 {\displaystyle \min _{\theta _{0},\theta _{1}}J(\theta _{0},\theta _{1})={\frac {1}{2m}}\sum _{i=1}^{m}(h_{\theta }(x^{i})-y^{i})^{2}} όπου m {\displaystyle m} είναι ο αριθμός των δειγμάτων { y i , x i } {\displaystyle \{y_{i},x_{i}\}} . Ο αλγόριθμος της απότομης καθόδου ξεκινάει με αρχικές τιμές θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} και θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} και αλλάζοντας τιμές στο θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} και θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} προσπαθεί να συγκλίνει σε τιμές που ελαχιστοποιούν της συνάρτησης κόστους J ( θ 0 , θ 1 ) {\displaystyle J(\theta _{0},\theta _{1})} : Επανάληψη μέχρι την σύγκλιση: θ j = θ j − α ∂ ∂ θ j J ( θ 0 , θ 1 ) {\displaystyle \theta _{j}=\theta _{j}-\alpha {\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}}J(\theta _{0},\theta _{1})} με j = 1 {\displaystyle j=1} και j = 2 {\displaystyle j=2} με ταυτόχρονη ενημέρωση του θ 0 , θ 1 {\displaystyle \theta _{0},\theta _{1}}