Αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης

Στη θεωρία συνόλων, το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης είναι ένα σχήμα αξιωμάτων στα πλαίσια της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ (ZF) που υποστηρίζει ότι η εικόνα οποιουδήποτε συνόλου κάτω από οποιαδήποτε ορίσιμη απεικόνιση είναι επίσης ένα σύνολο. Είναι απαραίτητο για την κατασκευή ορισμένων άπειρων συνόλων στη ZF.Το αξιωματικό σχήμα υποκινείται από την ιδέα ότι το αν μια κλάση είναι σύνολο εξαρτάται μόνο από την πληθικότητα της κλάσης και όχι από την τάξη των στοιχείων της. Έτσι, εάν μια κλάση είναι "αρκετά μικρή" για να είναι σύνολο και υπάρχει μια επιπρόσθετη προβολή από την κλάση αυτή σε μια δεύτερη κλάση, το αξίωμα δηλώνει ότι η δεύτερη κλάση είναι επίσης σύνολο. Ωστόσο, επειδή η ZFC αναφέρεται μόνο για σύνολα και όχι για κατάλληλες κλάσεις, το σχήμα δηλώνεται μόνο για ορίσιμες υπερεκβολές, οι οποίες ταυτίζονται με τους τύπους ορισμού τους.

 Ας υποθέσουμε ότι P {\displaystyle P} είναι μια ορίσιμη δυαδική σχέση (η οποία μπορεί να είναι μια κατάλληλη κλάση) τέτοια ώστε για κάθε σύνολο x {\displaystyle x} να υπάρχει ένα μοναδικό σύνολο y {\displaystyle y} ώστε να ισχύει P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} . Υπάρχει μια αντίστοιχη ορίσιμη συνάρτηση F P {\displaystyle F_{P}} , όπου F P ( x ) = y {\displaystyle F_{P}(x)=y} αν και μόνο αν P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} . Θεωρήστε την (ενδεχομένως κατάλληλη) τάξη B {\displaystyle B} που ορίζεται έτσι ώστε για κάθε σύνολο y {\displaystyle y} , y ∈ B {\displaystyle y\in B} αν και μόνο αν υπάρχει ένα x ∈ A {\displaystyle x\in A} με F P ( x ) = y {\displaystyle F_{P}(x)=y} . Το B {\displaystyle B} καλείται εικόνα του A {\displaystyle A} κάτω από το F P {\displaystyle F_{P}} και συμβολίζεται F P [ A ] {\displaystyle F_{P}[A]} ή (χρησιμοποιώντας σημειογραφία συνόλων) { F P ( x ) : x ∈ A } {\displaystyle \{F_{P}(x):x\in A\}} . Το αξιωματικό σχήμα αντικατάστασης δηλώνει ότι αν F {\displaystyle F} είναι μια ορίσιμη συνάρτηση κλάσης, όπως παραπάνω, και A {\displaystyle A} είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο, τότε η εικόνα F [ A ] {\displaystyle F[A]} είναι επίσης ένα σύνολο. Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως μια αρχή της μικρότητας: το αξίωμα δηλώνει ότι αν το A {\displaystyle A} είναι αρκετά μικρό για να είναι σύνολο, τότε και το F [ A ] {\displaystyle F[A]} είναι αρκετά μικρό για να είναι σύνολο. Υπονοείται από το ισχυρότερο αξίωμα του περιορισμού του μεγέθους. Επειδή είναι αδύνατη η ποσοτικοποίηση πάνω σε ορίσιμες συναρτήσεις στη λογική πρώτης τάξης, μια περίπτωση του σχήματος περιλαμβάνεται για κάθε τύπο ϕ {\displaystyle \phi } στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων με ελεύθερες μεταβλητές μεταξύ των w 1 , … , w n , A , x , y {\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y} - αλλά το B {\displaystyle B} δεν είναι ελεύθερο στο ϕ {\displaystyle \phi } . Στην τυπική γλώσσα της θεωρίας συνόλων, το αξιωματικό σχήμα είναι: ∀ w 1 , … , w n ∀ A ( [ ∀ x ∈ A ∃ ! y ϕ ( x , y , w 1 , … , w n , A ) ] ⟹ ∃ B ∀ y [ y ∈ B ⇔ ∃ x ∈ A ϕ ( x , y , w 1 , … , w n , A ) ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}} Για την έννοια του ∃ ! {\displaystyle \exists !} . Για λόγους σαφήνειας, στην περίπτωση που δεν υπάρχουν μεταβλητές w i {\displaystyle w_{i}} , αυτό απλοποιείται ως εξής: ∀ A ( [ ∀ x ∈ A ∃ ! y ϕ ( x , y , A ) ] ⟹ ∃ B ∀ y [ y ∈ B ⇔ ∃ x ∈ A ϕ ( x , y , A ) ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{aligned}}} Συνεπώς, όταν η ϕ {\displaystyle \phi } καθορίζει μια μοναδική αντιστοιχία x {\displaystyle x} προς y {\displaystyle y} , παρόμοια με μια συνάρτηση F {\displaystyle F} στο A {\displaystyle A} , τότε όλα τα y {\displaystyle y} που επιτυγχάνονται με αυτόν τον τρόπο μπορούν να συγκεντρωθούν σε ένα σύνολο B {\displaystyle B} , παρόμοιο με το F [ A ] {\displaystyle F[A]} . Το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης δεν είναι απαραίτητο για την απόδειξη των περισσότερων θεωρημάτων των συνηθισμένων μαθηματικών. Πράγματι, η θεωρία συνόλων Ζερμέλο (Z) μπορεί ήδη να ερμηνεύσει την αριθμητική δεύτερης τάξεως και μεγάλο μέρος της θεωρίας τύπων σε πεπερασμένους τύπους, οι οποίοι με την σειρά τους αρκούν για την τυποποίηση του μεγαλύτερου μέρους των μαθηματικών. Αν και το αξιωματικό σχήμα αντικατάστασης είναι σήμερα ένα τυπικό αξίωμα στη θεωρία συνόλων, συχνά παραλείπεται από τα συστήματα της θεωρίας τύπων και τα συστήματα θεμελίωσης στη θεωρία τόπων. Σε κάθε περίπτωση, το αξιωματικό σχήμα αυξάνει δραστικά την ισχύ του ZF, τόσο από την άποψη των θεωρημάτων που μπορεί να αποδείξει - για παράδειγμα τα σύνολα που αποδεικνύονται ότι υπάρχουν - όσο και από την άποψη της δύναμης της αποδεικτικής-θεωρητικής συνέπειας, σε σύγκριση με το Z. Ακολουθούν μερικά σημαντικά παραδείγματα: Χρησιμοποιώντας τον σύγχρονο ορισμό που οφείλεται στον φον Νόιμαν, η απόδειξη της ύπαρξης οποιουδήποτε οριακού διατακτικού μεγαλύτερου του ω απαιτεί το αξίωμα αντικατάστασης. Ο τακτικός αριθμός ω-2 = ω + ω είναι ο πρώτος τέτοιος τακτικός αριθμός. Το αξίωμα του απείρου βεβαιώνει την ύπαρξη ενός άπειρου συνόλου ω = {0, 1, 2, ...}. Κάποιος μπορεί να ελπίζει να ορίσει το ω-2 ως την ένωση της ακολουθίας {ω, ω + 1, ω + 2,...}. Ωστόσο, αυθαίρετες τέτοιες κλάσεις διατακτικών δεν χρειάζεται να είναι σύνολα - για παράδειγμα, η κλάση όλων των διατακτικών δεν είναι σύνολο. Η αντικατάσταση επιτρέπει τώρα να αντικαταστήσει κανείς κάθε πεπερασμένο αριθμό n στο ω με τον αντίστοιχο ω + n, και έτσι εγγυάται ότι αυτή η κλάση είναι σύνολο. Ως διευκρίνιση, σημειώστε ότι μπορεί κανείς εύκολα να κατασκευάσει ένα καλά ταξινομημένο σύνολο που είναι ισομορφικό με το ω-2 χωρίς να καταφύγει στην αντικατάσταση - απλά παίρνει την αποσπασματική ένωση δύο αντιγράφων του ω, με το δεύτερο αντίγραφο μεγαλύτερο από το πρώτο - αλλά ότι αυτό δεν είναι ταξινομημένο, αφού δεν είναι πλήρως ταξινομημένο με συμπερίληψη. Οι μεγαλύτεροι τακτικοί αριθμοί βασίζονται στην αντικατάσταση λιγότερο άμεσα. Για παράδειγμα, το ω1,, ο πρώτος μη μετρήσιμος τακτικός αριθμός, μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής - το σύνολο των μετρήσιμων τακτικών τάξεων υπάρχει ως υποσύνολο του P ( N × N ) {\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })} μέσω διαχωρισμού και powerset (μια σχέση στο A είναι υποσύνολο του A × A {\displaystyle A\times A} , και έτσι στοιχείο του power set P ( A × A ) {\displaystyle P(A\times A)} . Ένα σύνολο σχέσεων είναι επομένως υποσύνολο του P ( A × A ) {\displaystyle P(A\times A)} )). Αντικαταστήστε κάθε καλά ταξινομημένο σύνολο με την τάξη του. Αυτό είναι το σύνολο των μετρήσιμων διατακτικών ω1,, το οποίο μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι αμέτρητο. Η κατασκευή χρησιμοποιεί την αντικατάσταση δύο φορές- μία φορά για να εξασφαλίσει μια τακτική ανάθεση για κάθε καλά διατεταγμένο σύνολο και μία ακόμη φορά για να αντικαταστήσει τα καλά διατεταγμένα σύνολα με τα τακτική τους. Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του αποτελέσματος του αριθμού Χάρτογκς και η γενική περίπτωση μπορεί να αποδειχθεί με παρόμοιο τρόπο. Υπό το πρίσμα των παραπάνω, η ύπαρξη μιας ανάθεσης ενός διατακτικού σε κάθε καλά διατεταγμένο σύνολο απαιτεί επίσης αντικατάσταση. Ομοίως, η εκχώρηση Πληθικού αριθμού φον Νόιμαν που εκχωρεί έναν πληθικό αριθμό σε κάθε σύνολο απαιτεί αντικατάσταση, καθώς και το αξίωμα της επιλογής. Για σύνολα πλειάδων που ορίζονται αναδρομικά ως A n = A n − 1 × A {\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A} και για μεγάλο A {\displaystyle A} , το σύνολο { A n ∣ n ∈ N } {\displaystyle \{A^{n}\mid n\in {\mathbb {N} }\}} έχει πολύ υψηλό βαθμό ώστε η ύπαρξή του να μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία συνόλων μόνο με το αξίωμα του δυναμικού συνόλου, επιλογή και χωρίς αντικατάσταση. Το ZF με αντικατάσταση αποδεικνύει τη συνέπεια του Z, καθώς το σύνολο Vω•2 είναι ένα μοντέλο του Z του οποίου η ύπαρξη μπορεί να αποδειχθεί στο ZF. Ο πληθικός αριθμός ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} είναι ο πρώτος που μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει στη ZF αλλά όχι στη Z. Για διευκρίνιση, σημειώστε ότι το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ δείχνει ότι κάθε μία από αυτές τις θεωρίες περιέχει μια πρόταση, που "εκφράζει" τη συνέπεια της ίδιας της θεωρίας, η οποία είναι μη αποδείξιμη σε αυτή τη θεωρία, αν αυτή η θεωρία είναι συνεπής - αυτό το αποτέλεσμα συχνά εκφράζεται χαλαρά ως ο ισχυρισμός ότι καμία από αυτές τις θεωρίες δεν μπορεί να αποδείξει τη δική της συνέπεια, αν είναι συνεπής. Το αξιωματικό σχήμα της συλλογής σχετίζεται στενά και συχνά συγχέεται με το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης. Στα υπόλοιπα αξιώματα της ZF, είναι ισοδύναμο με το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης. Το αξίωμα της συλλογής είναι ισχυρότερο από την αντικατάσταση ελλείψει του αξιώματος του συνόλου δύναμης ή του εποικοδομητικού του ομολόγου της ZF, αλλά ασθενέστερο στο πλαίσιο της IZF, από το οποίο απουσιάζει ο νόμος του αποκλειόμενου μέσου. Ενώ η αντικατάσταση μπορεί μπορεί να ερμηνευθεί ότι η εικόνα μιας συνάρτησης είναι ένα σύνολο, η συλλογή αναφέρεται σε εικόνες σχέσεων και στη συνέχεια λέει απλώς ότι κάποια υποσύνολα της εικόνας της σχέσης είναι ένα σύνολο. Με άλλα λόγια, το σύνολο B {\displaystyle B} που προκύπτει δεν έχει καμία απαίτηση ελάχιστου, δηλαδή αυτή η παραλλαγή στερείται επίσης της απαίτησης μοναδικότητας στο ϕ {\displaystyle \phi } . Δηλαδή, η σχέση που ορίζεται από το ϕ {\displaystyle \phi } δεν απαιτείται να είναι συνάρτηση -κάποια x ∈ A {\displaystyle x\in A} μπορεί να αντιστοιχούν σε πολλά y {\displaystyle y} στο B {\displaystyle B} . Σε αυτή την περίπτωση, η εικόνα του συνόλου B {\displaystyle B} του οποίου η ύπαρξη βεβαιώνεται πρέπει να περιέχει τουλάχιστον ένα τέτοιο y {\displaystyle y} για κάθε x {\displaystyle x} στο αρχικό σύνολο, χωρίς να υπάρχει εγγύηση ότι θα περιέχει μόνο ένα. Ας υποθέσουμε ότι οι ελεύθερες μεταβλητές της ϕ {\displaystyle \phi } είναι μεταξύ των w 1 , … , w n , x , y {\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},x,y} , αλλά ούτε η A {\displaystyle A} ούτε η B {\displaystyle B} είναι ελεύθερες στην ϕ {\displaystyle \phi } . Τότε το αξιωματικό σχήμα είναι: ∀ w 1 , … , w n [ ( ∀ x ∃ y ϕ ( x , y , w 1 , … , w n ) ) ⇒ ∀ A ∃ B ∀ x ∈ A ∃ y ∈ B ϕ ( x , y , w 1 , … , w n ) ] {\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,[(\forall x\,\exists \,y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n}))\Rightarrow \forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,\exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]} Το αξιωματικό σχήμα δηλώνεται μερικές φορές χωρίς προηγούμενους περιορισμούς (εκτός από το ότι το B {\displaystyle B} δεν εμφανίζεται ελεύθερο στο ϕ {\displaystyle \phi } ) στο κατηγόρημα, ϕ {\displaystyle \phi } : ∀ w 1 , … , w n ∀ A ∃ B ∀ x ∈ A [ ∃ y ϕ ( x , y , w 1 , … , w n ) ⇒ ∃ y ∈ B ϕ ( x , y , w 1 , … , w n ) ] {\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,[\exists y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})\Rightarrow \exists y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]} Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να υπάρχουν στοιχεία x {\displaystyle x} στο A {\displaystyle A} που δεν συνδέονται με κανένα άλλο σύνολο μέσω του ϕ {\displaystyle \phi } . Ωστόσο, το αξιωματικό σχήμα όπως διατυπώνεται απαιτεί ότι, αν ένα στοιχείο x {\displaystyle x} του A {\displaystyle A} συνδέεται με τουλάχιστον ένα σύνολο y {\displaystyle y} , τότε το σύνολο εικόνας B {\displaystyle B} θα περιέχει τουλάχιστον ένα τέτοιο y {\displaystyle y} . Το αξιωματικό σχήμα που προκύπτει ονομάζεται επίσης αξιωματικό σχήμα της περιοριστικότητας. Το αξιωματικό σχήμα του διαχωρισμού, το άλλο αξιωματικό σχήμα στο ZFC, προκύπτει από το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης και το αξίωμα του κενού συνόλου. Υπενθυμίζεται ότι το αξιωματικό σχήμα του διαχωρισμού περιλαμβάνει ∀ A ∃ B ∀ C ( C ∈ B ⇔ [ C ∈ A ∧ θ ( C ) ] ) {\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\Leftrightarrow [C\in A\land \theta (C)])} για κάθε τύπο θ {\displaystyle \theta } στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων στον οποίο το B {\displaystyle B} δεν είναι ελεύθερο, δηλαδή θ {\displaystyle \theta } που δεν αναφέρει το B {\displaystyle B} . Η απόδειξη έχει ως εξής: Είτε το A {\displaystyle A} περιέχει κάποιο στοιχείο a {\displaystyle a} που επικυρώνει το θ ( a ) {\displaystyle \theta (a)} , είτε όχι. Στη δεύτερη περίπτωση, λαμβάνοντας το κενό σύνολο για το B {\displaystyle B} εκπληρώνεται η σχετική περίπτωση του αξιωματικού σχήματος του διαχωρισμού και τελειώνουμε. Διαφορετικά, επιλέγουμε ένα τέτοιο σταθερό a {\displaystyle a} στο A {\displaystyle A} που επικυρώνει το θ ( a ) {\displaystyle \theta (a)} . Τώρα ορίζουμε ϕ ( x , y ) := ( θ ( x ) ∧ x = y ) ∨ ( ¬ θ ( x ) ∧ x = a ) {\displaystyle \phi (x,y):=(\theta (x)\land x=y)\lor (\neg \theta (x)\land x=a)} για χρήση με αντικατάσταση. Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό συναρτήσεων για αυτό το κατηγόρημα ϕ {\displaystyle \phi } , ενεργεί ως ταυτότητα F a ( x ) = x {\displaystyle F_{a}(x)=x} όπου θ ( x ) {\displaystyle \theta (x)} είναι αληθής και ως σταθερή συνάρτηση F a ( x ) = a {\displaystyle F_{a}(x)=a} όπου θ ( x ) {\displaystyle \theta (x)} είναι ψευδής. Με ανάλυση περίπτωσης, οι δυνατές τιμές y {\displaystyle y} είναι μοναδικές για κάθε x {\displaystyle x} , που σημαίνει ότι η F a {\displaystyle F_{a}} αποτελεί πράγματι μια συνάρτηση κλάσης. Με τη σειρά της, η εικόνα B := { F a ( x ) : x ∈ A } {\displaystyle B:=\{F_{a}(x):x\in A\}} της A {\displaystyle A} υπό την F a {\displaystyle F_{a}} , δηλαδή η κλάση A ∩ { x : θ ( x ) } {\displaystyle A\cap \{x:\theta (x)\}} , θεωρείται σύνολο από το αξίωμα της αντικατάστασης. Αυτό το B {\displaystyle B} επικυρώνει ακριβώς το αξίωμα του διαχωρισμού. Αυτό το αποτέλεσμα δείχνει ότι είναι δυνατόν να αξιωματοποιήσουμε την ZFC με ένα μόνο άπειρο σχήμα αξιωμάτων. Δεδομένου ότι απαιτείται τουλάχιστον ένα τέτοιο άπειρο σχήμα (η ZFC δεν είναι πεπερασμένα αξιωματοποιήσιμη), αυτό δείχνει ότι το αξιωματικό σχήμα αντικατάστασης μπορεί να είναι το μοναδικό άπειρο αξιωματικό σχήμα της ZFC, αν είναι επιθυμητό. Δεδομένου ότι το αξιωματικό σχήμα διαχωρισμού δεν είναι ανεξάρτητο, μερικές φορές παραλείπεται στις σύγχρονες δηλώσεις των αξιωμάτων Ζερμέλο-Φράνκελ. Ωστόσο, ο διαχωρισμός παραμένει σημαντικός για τη χρήση τμημάτων της ZFC, λόγω ιστορικών εκτιμήσεων, και για σύγκριση με άλλες αξιωματοποιήσεις της θεωρίας συνόλων. Μια διατύπωση της θεωρίας συνόλων που δεν περιλαμβάνει το αξίωμα αντικατάστασης είναι πιθανό να περιλαμβάνει κάποια μορφή του αξιώματος διαχωρισμού, προκειμένου να διασφαλιστεί ότι τα πρότυπά της περιέχουν μια αρκετά πλούσια συλλογή συνόλων. Στη μελέτη των μοντέλων της θεωρίας συνόλων, είναι μερικές φορές χρήσιμο να εξετάζουμε μοντέλα ZFC χωρίς αντικατάσταση, όπως τα μοντέλα V δ {\displaystyle V_{\delta }} στην ιεραρχία φον Νόιμαν. Η απόδειξη που δόθηκε παραπάνω προϋποθέτει την Αρχή αποκλειόμενου μέσου για την πρόταση ότι το A {\displaystyle A} κατοικείται από ένα επικυρωτικό σύνολο θ {\displaystyle \theta } , και για κάθε θ ( x ) {\displaystyle \theta (x)} ορίζοντας ότι η σχέση ϕ {\displaystyle \phi } είναι λειτουργική. Το αξίωμα διαχωρισμού περιλαμβάνεται ρητά στην εποικοδομητική θεωρία συνόλων, της οποίας αποτελεί μια περιορισμένη παραλλαγή. Το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης δεν αποτελούσε μέρος της αξιωματοποίησης της θεωρίας συνόλων (Z) του Έρνστ Ζερμέλο το 1908. Μια ανεπίσημη προσέγγιση αυτού του σχήματος υπήρχε στο αδημοσίευτο έργο του Κάντορ και επανεμφανίστηκε ανεπίσημα στο έργο του Μιριμάνοφ (1917). Με τη δημοσίευσή της το 1922 από τον Αβραάμ Φράνκελ η σύγχρονη θεωρία συνόλων θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ (ZFC) καθιερώθηκε. Το αξίωμα ανακαλύφθηκε και ανακοινώθηκε ανεξάρτητα από τον Θόραλφ Σκόλεμ αργότερα την ίδια χρονιά (και δημοσιεύθηκε το 1923). Ο ίδιος ο Ζερμέλο ενσωμάτωσε το αξίωμα του Φράενκελ στο αναθεωρημένο σύστημά του που δημοσίευσε το 1930, το οποίο περιλάμβανε επίσης ως νέο αξίωμα το αξίωμα της θεμελίωσης του φον Νόιμαν. Παρόλο που είναι η πρώτη έκδοση του Σκόλεμ για τον κατάλογο αξιωμάτων που χρησιμοποιούμε σήμερα, συνήθως δεν του αποδίδονται τα εύσημα, καθώς κάθε επιμέρους αξίωμα είχε αναπτυχθεί νωρίτερα είτε από τον Ζερμέλο είτε από τον Φράενκελ. Η φράση "θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράενκελ" χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά σε έντυπη μορφή από τον φον Νόιμαν το 1928. Ο Ζερμέλο και ο Φράενκελ είχαν ανταλλάξει πολλές επιστολές το 1921- το αξίωμα της αντικατάστασης ήταν ένα σημαντικό θέμα αυτής της επικοινωνίας .Ο Φράενκελ ξεκίνησε την αλληλογραφία με τον Ζερμέλο κάποια στιγμή τον Μάρτιο του 1921. Ωστόσο, οι επιστολές του πριν από εκείνη της 6ης Μαΐου 1921 έχουν χαθεί. Ο Ζερμέλο παραδέχτηκε για πρώτη φορά ένα κενό στο σύστημά του σε μια απάντηση προς τον Φράενκελ με ημερομηνία 9 Μαΐου 1921. Στις 10 Ιουλίου 1921, ο Φράενκελ ολοκλήρωσε και υπέβαλε προς δημοσίευση μια εργασία (που δημοσιεύθηκε το 1922), η οποία περιέγραφε το αξίωμά του ως επιτρέπον την αυθαίρετη αντικατάσταση: "Αν το Μ είναι ένα σύνολο και κάθε στοιχείο του Μ αντικαθίσταται από [ένα σύνολο ή ένα ουρετικό στοιχείο] τότε το Μ μετατρέπεται πάλι σε σύνολο" (παρενθετική συμπλήρωση και μετάφραση Ebbinghaus). Η δημοσίευση του Φράενκελ το 1922 ευχαρίστησε τον Ζερμέλο για τα χρήσιμα επιχειρήματα. Πριν από αυτή τη δημοσίευση, ο Φράενκελ ανακοίνωσε δημοσίως το νέο του αξίωμα σε μια συνεδρίαση της Γερμανικής Μαθηματικής Εταιρείας που πραγματοποιήθηκε στην Ιένα στις 22 Σεπτεμβρίου 1921. Ο Ζερμέλο ήταν παρών σε αυτή τη συνάντηση- στη συζήτηση που ακολούθησε την ομιλία του Φράενκελ αποδέχθηκε το αξίωμα της αντικατάστασης σε γενικές γραμμές, αλλά εξέφρασε επιφυλάξεις σχετικά με την έκτασή του. Ο Θόραλφ Σκόλεμ δημοσιοποίησε την ανακάλυψή του για το κενό στο σύστημα του Ζερμέλο (το ίδιο κενό που είχε βρει και ο Φράνκελ) σε μια ομιλία που έδωσε στις 6 Ιουλίου 1922 στο 5ο Συνέδριο των Σκανδιναβών Μαθηματικών, το οποίο πραγματοποιήθηκε στο Ελσίνκι- τα πρακτικά του συνεδρίου δημοσιεύτηκαν το 1923. Ο Σκόλεμ παρουσίασε μια λύση με όρους οριστικών αντικαταστάσεων πρώτης τάξης: "Έστω U μια ορισμένη πρόταση που ισχύει για ορισμένα ζεύγη (a, b) στο πεδίο B- υποθέστε επιπλέον, ότι για κάθε a υπάρχει το πολύ ένα b τέτοιο ώστε το U να είναι αληθές. Τότε, όπως το a εκτείνεται στα στοιχεία ενός συνόλου Ma, το b εκτείνεται σε όλα τα στοιχεία ενός συνόλου Mb". Την ίδια χρονιά, ο Φράενκελ έγραψε μια κριτική της εργασίας του Σκόλεμ, στην οποία ο Φράενκελ δήλωσε απλώς ότι οι σκέψεις του Skolem αντιστοιχούν στις δικές του. Ο ίδιος ο Ζερμέλο δεν αποδέχθηκε ποτέ τη διατύπωση του Σκόλεμ για το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης. Σε ένα σημείο αποκάλεσε την προσέγγιση του Σκόλεμ "θεωρία συνόλων των φτωχών". Ο Ζερμέλο οραματιζόταν ένα σύστημα που θα επέτρεπε υψηλή πληθικότητα Επίσης, αντιτάχθηκε έντονα στις φιλοσοφικές συνέπειες των μετρήσιμων μοντέλων της θεωρίας συνόλων, οι οποίες προέκυψαν από την αξιωματοποίηση πρώτης τάξης του Σκόλεμ. Σύμφωνα με τη βιογραφία του Ζερμέλο από τον Χάιντς-Ντίτερ Έμπινγκχαους, η αποδοκιμασία του Ζερμέλο για την προσέγγιση του Σκόλεμ σηματοδότησε το τέλος της επιρροής του Ζερμέλο στις εξελίξεις της θεωρίας συνόλων και της λογικής. Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007), Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work, Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-49553-6 . Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6, https://archive.org/details/naivesettheory0000halm_r4g0 . Jech, Thomas (2003), Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer, ISBN 3-540-44085-2 . Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 0-444-86839-9 . Οικοδομήσιμο Σύμπαν