Ανισότητα Σάμιουελσον

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στην στατιστική, η ανισότητα Σάμιουελσον (αναφέρεται και ως ανισότητα Samuelson) λέει ότι για κάθε x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} , ισχύει ότι x ¯ − s n − 1 ≤ x i ≤ x ¯ + s n − 1 , {\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{i}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}},} όπου x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\textstyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} είναι η δειγματική μέση τιμή και s = 1 n ⋅ ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 {\textstyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}} είναι η δειγµατική διακύμανση. Δηλαδή σε μία δειγματοληψία, κάθε ένα από τα δείγματα είναι στο διάστημα [ x ¯ − s n − 1 , x ¯ + s n − 1 ] {\displaystyle {\big [}{\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}},{\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}{\big ]}} . Ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Πολ Σάμιουελσον.

 Η απόδειξη που θα δούμε βασίζεται στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς και ακολουθεί αυτή στην εργασία του Άρνολντ.Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα αποδείξουμε την ανισότητα για i = n {\displaystyle i=n} . Θεωρούμε τα διανύσματα a = ( x 1 , … , x n − 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(x_{1},\ldots ,x_{n-1})} και b = ( 1 , … , 1 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(1,\ldots ,1)} . Από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, έχουμε ότι | a ⋅ b | ≤ ‖ a ‖ ⋅ ‖ b ‖ . {\displaystyle |\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |\leq \lVert \mathbf {a} \rVert \cdot \lVert \mathbf {b} \rVert .} Το εσωτερικό τους γινόμενο δίνεται από | a ⋅ b | = | ∑ j = 1 n − 1 ( x ¯ − x j ) | = | ( n − 1 ) x ¯ − ( n ⋅ x ¯ − x n ) | = | x n − x ¯ | . {\displaystyle |\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |=\left|\sum _{j=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{j})\right|=\left|(n-1){\overline {x}}-(n\cdot {\overline {x}}-x_{n})\right|=\left|x_{n}-{\overline {x}}\right|.} Το δεξί μέλος της ανισότητας δίνεται από ‖ a ‖ ⋅ ‖ b ‖ = ∑ i = 1 n − 1 1 2 ⋅ ∑ i = 1 n − 1 ( x ¯ − x i ) 2 = ( n − 1 ) ⋅ ∑ i = 1 n − 1 ( x ¯ − x i ) 2 {\displaystyle \lVert \mathbf {a} \rVert \cdot \lVert \mathbf {b} \rVert ={\sqrt {\sum _{i=1}^{n-1}1^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}={\sqrt {(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}} Συνδυάζοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε | x n − x ¯ | ≤ ( n − 1 ) ⋅ ∑ i = 1 n − 1 ( x ¯ − x i ) 2 {\displaystyle \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|\leq {\sqrt {(n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}} .Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη, | x n − x ¯ | 2 ≤ ( n − 1 ) ⋅ ∑ i = 1 n − 1 ( x ¯ − x i ) 2 {\displaystyle \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|^{2}\leq (n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{i})^{2}} ,και προσθέτοντας τον όρο ( n − 1 ) ⋅ ∑ i = 1 n − 1 ( x ¯ − x n ) 2 {\displaystyle (n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x_{n})^{2}} και στα δύο μέλη, n ⋅ | x n − x ¯ | 2 ≤ ( n − 1 ) ⋅ ∑ i = 1 n ( x ¯ − x i ) 2 {\displaystyle n\cdot \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|^{2}\leq (n-1)\cdot \sum _{i=1}^{n}({\overline {x}}-x_{i})^{2}} .Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι | x n − x ¯ | ≤ n − 1 n ⋅ ∑ i = 1 n ( x ¯ − x i ) 2 {\displaystyle \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|\leq {\sqrt {{\frac {n-1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}({\overline {x}}-x_{i})^{2}}}} Από τον ορισμό της δειγµατικής διακύµανσης έχουμε ότι | x n − x ¯ | ≤ s n − 1 {\displaystyle \left|x_{n}-{\overline {x}}\right|\leq s{\sqrt {n-1}}} . Η ανισότητα Τσεμπισιόφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να δώσει ένα λιγότερο ισχυρό φράγμα για την απόκλιση | x ¯ − x i | {\displaystyle |{\overline {x}}-x_{i}|} . Για κάθε τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} η ανισότητα Τσεμπισιόφ λέει ότι για κάθε α > 0 {\displaystyle \alpha >0} , Pr ( | X − E [ X ] | ≤ α ) ≤ V a r ( X ) α 2 {\displaystyle \Pr \left(\left|X-E[X]\right|\leq \alpha \right)\leq {\frac {\mathrm {Var} (X)}{\alpha ^{2}}}} .Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X {\displaystyle X} για την οποία Pr ( X = x i ) = 1 n {\displaystyle \Pr(X=x_{i})={\tfrac {1}{n}}} για κάθε 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} . Τότε ισχύει ότι E [ X ] = x ¯ {\displaystyle E[X]={\overline {x}}} και σ 2 = Var ⁡ ( X ) = 1 n ∑ i = 1 n ( x ¯ − x i ) 2 = s {\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\overline {x}}-x_{i})^{2}=s} . Για α = σ 2 {\displaystyle \alpha =\sigma ^{2}} η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει ότι Pr ( | X − x ¯ | ≤ s n ) > 1 − 1 n . {\displaystyle \Pr \left(|X-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}}\right)>1-{\frac {1}{n}}.} Επομένως, με πιθανότητα 1 − 1 / n {\displaystyle 1-1/n} (δηλαδή πάντοτε αφού κάθε τιμή έχει πιθανότητα να επιλεγεί 1 / n {\displaystyle 1/n} ) ισχύει ότι, | X − x ¯ | ≤ s n , {\displaystyle |X-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}},} που είναι ισοδύναμο ότι για κάθε 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} , | x i − x ¯ | ≤ s n . {\displaystyle |x_{i}-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}}.} Σε σχέση με την ανισότητα Σάμιουελσον είναι λιγότερο ισχυρό αφού n ≥ n − 1 {\displaystyle {\sqrt {n}}\geq {\sqrt {n-1}}} , αλλά η ανισότητα μπορεί να δώσει φράγματα για κάποιο δοθέν ποσοστό των δειγμάτων. Διάφορες γενικεύσεις της ανισότητας Σάμιουελσον έχουν μελετηθεί. Ανισότητα Τσεμπισιόφ