Πίνακας (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας είναι μια ορθογώνια διάταξη αριθμών, συμβόλων, ή εκφράσεων, διατεταγμένων σε γραμμές και στήλες. Τα μεμονωμένα στοιχεία σε ένα πίνακα ονομάζονται στοιχεία ή εγγραφές του. Ένα παράδειγμα πίνακα 2 γραμμών και 3 στηλών είναι: [ 1 9 − 13 20 5 − 6 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.} Οι πίνακες ίδιων διαστάσεων μπορούν να προστεθούν ή αφαιρεθούν στοιχείο προς στοιχείο. Αλλά ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό πινάκων είναι ότι οι δύο πίνακες μπορούν να πολλαπλασιαστούν μόνο όταν ο αριθμός των στηλών του πρώτου ισούται με τον αριθμό των γραμμών του δευτέρου. Μια σημαντική εφαρμογή των πινάκων είναι να παριστάνουν γραμμικούς μετασχηματισμούς, δηλαδή, γενικεύσεις των γραμμικών συναρτήσεων όπως f(x) = 4x. Για παράδειγμα, η περιστροφή διανυσμάτων σε έναν τριών διαστάσεων χώρο είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός που μπορεί να αναπαρασταθεί από έναν πίνακα περιστροφής R. Αν v είναι ένα διάνυσμα στήλης (ένας πίνακας με μόνο μία στήλη) που περιγράφει τη θέση ενός σημείου στο χώρο, το γινόμενο Rv είναι μία στήλη διάνυσμα που περιγράφει τη θέση εκείνου του σημείου μετά από μία περιστροφή. Το γινόμενο δύο πινάκων είναι ένας πίνακας που αναπαριστά τη σύνθεση δύο γραμμικών μετασχηματισμών. Μια άλλη εφαρμογή των πινάκων είναι στην επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Αν ο πίνακας είναι τετραγωνικός, είναι δυνατόν να συμπεράνουμε μερικές από τις ιδιότητές του υπολογίζοντας την ορίζουσα του. Για παράδειγμα, ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο αν και μόνο αν η ορίζουσά του δεν είναι μηδέν. Οι ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα παρέχουν μια διορατικότητα στη γεωμετρία των γραμμικών μετασχηματισμών. Εφαρμογές των πινάκων βρίσκονται σε πολλά επιστημονικά πεδία. Σε κάθε κλάδο της φυσικής, συμπεριλαμβανομένων της κλασικής μηχανικής, οπτικής, ηλεκτρομαγνητικής, κβαντομηχανικής, και κβαντικής ηλεκτροδυναμικής, που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των φυσικών φαινομένων, όπως την κίνηση των στερεών σωμάτων. Σε γραφικά υπολογιστών, χρησιμοποιούνται για το σχέδιο εικόνας τριών διαστάσεων σε δύο διαστάσεων οθόνη. Στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, οι στοχαστικοί πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σύνολα πιθανοτήτων; για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται μέσα στον αλγόριθμο PageRank ο οποίος ταξινομεί τις σελίδες στην αναζήτηση του Google. Ο λογιστικός πίνακας γενικεύεται στις κλασικές αναλυτικές έννοιες όπως είναι οι παράγωγοι και τα εκθετικά σε υψηλότερες διαστάσεις. Ένας σημαντικός κλάδος της πληροφορικής και της αριθμητικής ανάλυσης έχει ασχοληθεί με την ανάπτυξη και υλοποίηση αποδοτικών αλγορίθμων για υπολογισμούς σε πίνακες, δεδομένου των πολυπληθών εφαρμογών τους. Αυτές μπορεί να περιλαμβάνουν την χρήση μεθόδων αποσύνθεσης πίνακα για απλούστευση των πράξεων, την ανάπτυξη αλγορίθμων για συγκεκριμένα είδη πινάκων (όπως οι αραιοί ή οι σχεδόν διαγώνιοι πίνακες), την ελάττωση των συνολικών υποπράξεων (όπως ο αλγόριθμος Στράσσεν) ή την ανάπτυξη ειδικού υλικού υπολογιστών (όπως οι κάρτες γραφικών). Στην θεωρία πολυπλοκότητας ένα άλυτο πρόβλημα είναι ο προσδιορισμός της βέλτιστης χρονικής πολυπλοκότητας για τον πολλαπλασιασμό πινάκων (το 2022, μεταξύ n 2 {\displaystyle n^{2}} και n 2.372.. {\displaystyle n^{2.372..}} πράξεων), που συνεπάγεται αποτελέσματα για πολλά άλλα προβλήματα όπως η εύρεση συντομότερων μονοπατιών, συντακτική ανάλυση.Οι άπειροι πίνακες απαντώνται στην πλανητική θεωρία και την ατομική θεωρία. Ένα απλό παράδειγμα ενός άπειρου πίνακα είναι ο πίνακας που αντιπροσωπεύει τον παράγωγο φορέα, ο οποίος δρα στη Σειρά Τέιλορ μίας συνάρτησης.

 Ένας πίνακας είναι μία ορθογώνια διάταξη αριθμών ή άλλων μαθηματικών αντικειμένων, όπου ορίζονται πράξεις όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Συνηθέστερα, ένας πίνακας στο σώμα F είναι μία ορθογώνια διάταξη βαθμίδων του F. Το μεγαλύτερο μέρος αυτού του άρθρου εστιάζει στους πραγματικούς και μιγαδικούς, δηλαδή, πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί ή μιγαδικοί αριθμοί, αντίστοιχα. Οι πιο γενικοί τύποι εγγραφών συζητούνται παρακάτω. Για παράδειγμα, αυτός είναι ένας πραγματικός πίνακας: A = [ − 1.3 0.6 20.4 5.5 9.7 − 6.2 ] . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.} Οι αριθμοί, τα σύμβολα ή οι εκφράσεις στον πίνακα ονομάζονται εγγραφές ή στοιχεία του. Οι οριζόντιες και κάθετες γραμμές των εγγραφών ενός πίνακα ονομάζονται γραμμές και στήλες, αντίστοιχα. Η διάσταση ενός πίνακα ορίζεται από τον αριθμό των γραμμών και στηλών που περιέχει. Ένας πίνακας με m γραμμές και n στήλες ονομάζεται m × n πίνακας ή m-επί-n πίνακας, ενώ τα m και n ονομάζονται διαστάσεις του. Για παράδειγμα, ο πίνακας A παραπάνω, έχει 3 γραμμές και 2 στήλες και λέμε ότι είναι ένας 3 × 2 πίνακας ή ότι έχει διαστάσεις 3 × 2.Πίνακες οι οποίοι έχουν μία μόνη γραμμή λέγονται διανύσματα γραμμής, και εκείνοι οι οποίοι έχουν μία μόνη στήλη ονομάζονται διανύσματα στήλης. Ένας πίνακας ο οποίος έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών ονομάζεται τετραγωνικός πίνακας. Ένας πίνακας με άπειρο αριθμό γραμμών ή στηλών (ή και τα δύο) ονομάζεται ''άπειρος πίνακας''. Σε μερικά περιβάλλοντα όπως στα προγράμματα υπολογιστικής άλγεβρας είναι εύχρηστο να σκεφτούμε έναν πίνακα χωρίς γραμμές ή χωρίς στήλες, που ονομάζεται ''άδειος πίνακας''. Οι πίνακες είναι συνήθως γραμμένοι σε αγκύλες: A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}.} Ένας εναλλακτικός συμβολισμός χρησιμοποιεί μεγάλες παρενθέσεις αντί για αγκύλες: A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) . {\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right).} Οι ιδιαιτερότητες στο συμβολισμό ενός συμβολικού πίνακα ποικίλουν ευρέως, με μερικές επικρατούσες τάσεις. Οι πίνακες συνήθως συμβολίζονται χρησιμοποιώντας κεφαλαία γράμματα (όπως A στο παραπάνω παράδειγμα), ενώ τα αντίστοιχα πεζά γράμματα, με δύο δείκτες (π.χ., a11, ή a1,1), αντιπροσωπεύουν τις εγγραφές. Επιπλέον χρησιμοποιώντας κεφαλαία γράμματα για το συμβολισμό των πινάκων, πολλοί συγγραφείς χρησιμοποιούν μία ειδική έμφαση, συνήθως έντονη γραφή σε όρθια θέση (όχι πλάγια γραφή), για περαιτέρω διάκριση των πινάκων από τα άλλα μαθηματικά αντικείμενα. Ένας εναλλακτικός συμβολισμός περιλαμβάνει τη χρήση μίας διπλής υπογράμμισης με μεταβλητό όνομα, με ή χωρίς έντονους χαρακτήρες, (π.χ., A _ _ {\displaystyle {\underline {\underline {A}}}} ). Η εγγραφή στην i-οστή γραμμή και j-οστή στήλη του πίνακα A μερικές φορές αναφέρεται ως i,j, (i,j), ή (i,j)η εγγραφή του πίνακα, και συνηθέστερα αναφέρεται ως ai,j, ή aij. Εναλλακτικοί συμβολισμοί για εκείνη την εγγραφή είναι A[i,j] ή Ai,j. Για παράδειγμα, το (1,3) στοιχείο του παρακάτω πίνακα A είναι 5 (επίσης συμβολίζεται a13, a1,3, A[1,3] ή A1,3): A = [ 4 − 7 5 0 − 2 0 11 8 19 1 − 3 12 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}} Μερικές φορές, τα στοιχεία ενός πίνακα μπορούν να οριστούν από ένα τύπο όπως ai,j = f(i, j). Για παράδειγμα, κάθε μία από τις εγγραφές του παρακάτω πίνακα A προσδιορίζεται από aij = i − j. A = [ 0 − 1 − 2 − 3 1 0 − 1 − 2 2 1 0 − 1 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}} Σε αυτή την περίπτωση, ο ίδιος ο πίνακας είναι μερικές φορές ορισμένος από εκείνο τον τύπο, με τετράγωνες αγκύλες ή διπλές παρενθέσεις. Για παράδειγμα, ο πίνακας παραπάνω είναι ορισμένος ως A = [i-j], ή A = ((i-j)). Εάν η διάσταση του πίνακα είναι m × n, ο τύπος που αναφέρθηκε παραπάνω f(i, j) είναι έγκυρος για κάθε i = 1, ..., m και κάθε j = 1, ..., n. Αυτό μπορεί να προσδιοριστεί είτε χωριστά, είτε χρησιμοποιώντας m × n ως δείκτης. Για παράδειγμα, ο πίνακας A παραπάνω είναι 3 × 4 και μπορεί να οριστεί ως A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4), ή A = [i − j]3×4. Μερικές γλώσσες προγραμματισμού χρησιμοποιούν πίνακες με διπλούς δείκτες (ή πίνακες των πινάκων) για να αναπαραστήσουν ένα m-×-n πίνακα. Μερικές γλώσσες προγραμματισμού αρχίζουν την αρίθμηση των δεικτών του πίνακα από το μηδέν, σε όποια περίπτωση τα στοιχεία ενός m-επί-n πίνακα έχουν δείκτες 0 ≤ i ≤ m − 1 και 0 ≤ j ≤ n − 1. Αυτό το άρθρο ακολουθεί την πιο κοινή σύμβαση στο γράψιμο μαθηματικών κειμένων όπου η απαρίθμηση αρχίζει από το 1. Το σύνολο όλων των m-επί-n πινάκων συμβολίζεται 𝕄(m, n). Υπάρχει ένας αριθμός βασικών λειτουργιών που μπορούν να εφαρμοστούν για να τροποποιήσουν πίνακες, ονομάζονται πρόσθεση πινάκων, βαθμωτός πολλαπλασιασμός, ανστροφή πίνακα, πολλαπλασιασμός πινάκων, πράξεις σε γραμμές πίνακα, και υποπίνακας. Οικείες λειτουργίες των αριθμών επεκτείνουν αυτές τις λειτουργίες των πινάκων: για παράδειγμα, η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική, δηλ., ο πίνακας του αθροίσματος δεν εξαρτάται από τη διάταξη των προσθετέων: A + B = B + A. Η αναστροφή είναι σύμφωνη με την πρόσθεση και τον κλιμακωτό πολλαπλασιασμό, όπως εκφράζεται από (cA)T = c(AT) και (A + B)T = AT + BT. Τελικά, (AT)T = A. Ο πολλαπλασιασμός δυο πινάκων ορίζεται αν και μόνο αν ο αριθμός των στηλών του αριστερού πίνακα είναι ίδιος με τον αριθμό των γραμμών του δεξιού πίνακα. Εάν το Α είναι ένας μ-ν πίνακας και B είναι ένας ν-ρ πίνακας, τότε το το γινόμενο του πίνακα AB είναι ο μ-ρ πίνακας του οποίου τα στοιχειά δίνονται από το γινόμενο της αντίστοιχης γραμμής του A και της αντίστοιχης στήλης B: [ A B ] i , j = A i , 1 B 1 , j + A i , 2 B 2 , j + ⋯ + A i , n B n , j = ∑ r = 1 n A i , r B r , j {\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{i,j}=A_{i,1}B_{1,j}+A_{i,2}B_{2,j}+\cdots +A_{i,n}B_{n,j}=\sum _{r=1}^{n}A_{i,r}B_{r,j}} ,όταν 1 ≤ i ≤ m και 1 ≤ j ≤ p. Για παράδειγμα, η υπογραμμισμένη καταχώρηση 2340 σα γινόμενο υπολογίζεται ως (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340: [ 2 _ 3 _ 4 _ 1 0 0 ] [ 0 1000 _ 1 100 _ 0 10 _ ] = [ 3 2340 _ 0 1000 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} Ο πολλαπλασιασμός πινάκων πληροί τους κανόνες (AB)C = A(BC) (προσεταιριστική ιδιότητα), και (A+B)C = AC+BC καθώς και C(A+B) = CA+CB (αριστερά και δεξιά την επιμεριστική ιδιότητα), οπότε το μέγεθος των πινάκων είναι τέτοιο ώστε τα διάφορα γινόμενά του να ορίζονται. το γινόμενο AB μπορεί να οριστεί χωρίς το BA να ορίζεται, δηλαδή αν τα A και B είναι μ-ν και ν-κ πίνακες, αντίστοιχα, και μ ≠ κ. Ακόμη και αν τα δυο γινόμενα ορίζονται, δε χρειάζεται να είναι ίσα, δηλαδή, γενικά έχει κανείς AB ≠ BA,δηλαδή, ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα δεν είναι αντιμεταθετικός, σε έντονη αντίθεση με (ρητούς, πραγματικούς ή σύνθετους) αριθμούς των οποίων το γινόμενο είναι ανεξάρτητο τη σειρά των παραγόντων. Ένα παράδειγμα δυο πινάκων που δεν αλλάζουν μεταξύ τους είναι: [ 1 2 3 4 ] [ 0 1 0 0 ] = [ 0 1 0 3 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},} ενώ [ 0 1 0 0 ] [ 1 2 3 4 ] = [ 3 4 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.} Εκτός από το συνήθη πολλαπλασιασμό πινάκων που μόλις περιγράφηκε, υπάρχουν άλλες λιγότερο συχνά χρησιμοποιούμενες λειτουργίες σε πίνακες που μπορούν να θεωρηθούν μορφές πολλαπλασιασμού, όπως το γινόμενο Hadamard και του γινομένου Kronecker. Μπορούν να προκύψουν στην επίλυση των εξισώσεων των πινάκων όπως την εξίσωση του Sylvester. Υπάρχουν τριών ειδών πράξεις στις γραμμές ενός πίνακα: Πρόσθεση γραμμών, που είναι η πρόσθεση μιας γραμμής σε μια άλλη. Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής, δηλαδή πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία μία γραμμής με μια μη-μηδενική σταθερά. Εναλλαγή γραμμών, δηλαδή η εναλλαγή δυο γραμμών ενός πίνακα.Αυτές οι πράξεις χρησιμοποιούνται σε διάφορες μεθόδους, οι οποίες περιλαμβάνουν την επίλυση γραμμικών εξισώσεων και την εύρεση ενός αντίστροφου πίνακα. Ένας υποπίνακας ενός πίνακα προκύπτει διαγράφοντας οποιαδήποτε συλλογή γραμμών ή στηλών. Για παράδειγμα, για τον ακόλουθο 3-4 πίνακα, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα 2-3 υποπίνακα αφαιρώντας τη γραμμή 3 και τη στήλη 2: A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ] → [ 1 3 4 5 7 8 ] . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\color {red}{1}&2&\color {red}{3}&{\color {red}4}\\\color {red}{5}&6&{\color {red}7}&{\color {red}8}\\9&10&11&12\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}1&3&4\\5&7&8\end{bmatrix}}.} Οι δευτερεύοντες πίνακες και οι συμπαράγοντες ενός πίνακα βρίσκονται υπολογίζοντας την ορίζουσα ορισμένων υποπινάκων. Οι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν συνοπτικά για να γράφεις και να δουλεύεις με πολλαπλές γραμμικές εξισώσεις, δηλαδή, συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, εάν το A είναι ένας μ-ν πίνακας, x συμβολίζει ένα διάνυσμα στήλης (δηλαδή, n×1-πίνακας) n μεταβλητών x1, x2, ..., xn, και b είναι ένα m×1-διάνυσμα στήλης, τότε η εξίσωση ενός πίνακα Ax = bείναι ισοδύναμο με το σύστημα γραμμικών εξισώσεων A1,1x1 + A1,2x2 + ... + A1,nxn = b1 ... Am,1x1 + Am,2x2 + ... + Am,nxn = bm . Οι πίνακες και ο πολλαπλασιασμός πινάκων αποκαλύπτουν τα ουσιώδη χαρακτηριστικά τους, όταν σχετίζονται με γραμμικούς μετασχηματισμούς, επίσης γνωστή ως γραμμικές απεικονίσεις. Ένας πραγματικός μ-ν πίνακας A οδηγεί σε ένα γραμμικό μετασχηματισμό Rν → Rμ χαρτογραφώντας κάθε διάνυσμα x σε Rν προς το (πίνακας) γινόμενο Ax, το οποίο είναι διάνυσμα στον Rμ. Αντιστρόφως, κάθε γραμμικός μετασχηματισμός f: Rν → Rμ προκύπτει από έναν μοναδικό πίνακα Α μ-by-ν: Αναλυτικότερα, το (i, j)-είσοδος του A είναι η iοστή συντεταγμένη του f(ej), όπου ej = (0,...,0,1,0,...,0) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με 1 στη θέση του j-οστού και μηδέν στις υπόλοιπες θέσεις. Ο πίνακας A αντιπροσωπεύει το γραμμικό διάγραμμα f, και ο A ονομάζεται πίνακας μετασχηματισμού της f. Για παράδειγμα, ο 2×2 πίνακας A = [ a c b d ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\,} μπορεί να θεωρηθεί ως ο μετασχηματισμός του τετραγώνου σε ένα παραλληλόγραμμο με κορυφές στο (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), και (c, d). Το παραλληλόγραμμο που απεικονίζεται στα δεξιά προκύπτει από το πολλαπλασιασμό του A με κάθε ένα από τα διανύσματα-στήλη [ 0 0 ] , [ 1 0 ] , [ 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} and [ 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} με τη σειρά. Αυτά τα διανύσματα καθορίζουν τις κορυφές του τετραγώνου. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται πραγματικούς πίνακες 2 × 2 με τις γραμμικές απεικονίσεις τους στο R2. Το πρωτότυπο πλέγμα δίνεται με μπλε χρώμα και το μετασχηματισμένο με πράσινο. Η αρχή των αξόνων (0,0) επισημαίνεται με ένα μαύρο σημείο. Σύμφωνα με την ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ πινάκων και γραμμικών απεικονίσεων, ο πολλαπλασιασμός πινάκων αντιστοιχεί στη σύνθεση των απεικονίσεων: Εάν ένας κ-μ πίνακας B αντιπροσωπεύει μια άλλη γραμμική απεικόνιση g : Rμ → Rκ, τότε η σύνθεση g ∘ f αντιπροσωπεύεται από το BA, καθώς (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.Η τελευταία ισότητα προκύπτει από την προαναφερθείσα συσχέτιση του πολλαπλασιασμού πινάκων. Η τάξη ενός πίνακα A είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών του πίνακα, όπου είναι το ίδιο με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του πίνακα. Αντίστοιχα διάσταση της εικόνας του γραμμικού διαγράμματος παριστάνεται από το A. Το θεώρημα μηδενικού βαθμού αναφέρει ότι η διάσταση του πυρήνα kernel ενός πίνακα συν το βαθμό ισούται με τον αριθμό των στηλών του πίνακα. Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ένας πίνακας με το ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών. Ένας πίνακας ν-ν είναι γνωστός ως τετραγωνικός πίνακας τάξης ν. Οποιοιδήποτε δύο τετραγωνικοί πίνακες της ίδιας τάξης μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν. Οι καταχωρήσεις αii αποτελούν την κύρια διαγώνιο του τετραγωνικού πίνακα. Βρίσκονται στη νοητή γραμμή που εκτείνεται από την πάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία του πίνακα. Διαγώνιοι και τριγωνικοί πίνακες Εάν όλες οι καταχωρήσεις του A κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, το A ονομάζεται άνω τριγωνικός πίνακας. Ομοίως, αν όλες οι καταχωρήσεις του A πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, το A ονομάζεται κατώτερος τριγωνικός πίνακας. Αν όλες οι καταχωρήσεις έξω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν, το A ονομάζεται διαγώνιος πίνακας. Ταυτοτικός πίνακας Ο ταυτοτικός πίνακας In μεγέθους n ειναι ο n-n πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία, σχετικά με την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με 1 και όλα τα άλλα στοιχεία είναι ίσα με 0, π.χ I 1 = [ 1 ] , I 2 = [ 1 0 0 1 ] , ⋯ , I n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}} Πρόκειται για έναν τετραγωνικό πίνακα τάξης n, καθώς επίσης και ένα ιδιαίτερο είδος διαγώνιου πίνακα. Λέγεται ταυτοτικός πίνακας επειδή ο πολλαπλασιασμός αφήνει έναν αμετάβλητο πίνακα: AIn = ImA = A για κάθε μ-ν πίνακα A. Συμμετρικός ή αντισυμμετρικός πίνακας Ένας τετραγωνικός πίνακας A ο οποίος είναι ίσος με τον ανάστροφό του, δηλαδή, A = AT, είναι ένας συμμετρικός πίνακας. Αν αντίθετα, ο A ήταν ίσος με τον αρνητικό του ανάστροφο, δηλαδή, A = −AT, τότε A είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας. Σε μιγαδικούς πίνακες, η συμμετρία συχνά αντικαθίσταται από την έννοια των Ερμιτιανών πινάκων, που ικανοποιεί A∗ = A, όπου το αστέρι ή ο αστερίσκος υποδηλώνει το συζυγή ανάστροφο ενός πίνακα, δηλαδή, ο ανάστροφος του συζυγή του A. Από το φασματικό θεώρημα, οι πραγματικοί συμμετρικοί πίνακες και οι Ερμιτιανοί πίνακες έχουν ιδιοδιανύσματα: δηλαδή, κάθε διάνυσμα είναι εκφράσιμο ως γραμμικός συνδυασμός των ιδιοδιανυσμάτων. Σε αμφότερες περιπτώσεις, όλες οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές. Το θεώρημα αυτό μπορεί να γενικευθεί σε απειροδιάστατες καταστάσεις που σχετίζονται με πίνακες που έχουν πάρα πολλές γραμμές και στήλες, δείτε παρακάτω. Αντιστρέψιμος πίνακας και ο αντίστροφος Ένας τετραγωνικός πίνακας A ονομάζεται αντιστρέψιμος πίνακας ή μη-ιδιάζων αν υπάρχει ένας πίνακας B έτσι ώστε AB = BA = In.Αν B υπάρχει, είναι μοναδικός και ονομάζεται αντίστροφος πίνακας του A, συμβολίζεται A−1. Ορισμένος πίνακας Ένας συμμετρικός ν×ν πίνακας ονομάζεται θετικά ορισμένος (αντιστοίχως αρνητικά ορισμένος), εάν για όλα τα μη μηδενικά διανύσματα x ∈ Rn οι συνδεδεμένες δευτεροβάθμιες μορφές δίνονται από Q(x) = xTAx,παίρνει μόνο θετικές τιμές (αντιστοίχως μόνο αρνητικές τιμές). Εάν η τετραγωνική μορφή παίρνει μόνο θετικές (αντίστοιχα μόνο αρνητικές) τιμές, ο συμμετρικός πίνακας ονομάζεται γνησίως-θετικός (αντίστοιχα γνησίως-αρνητικός). Εάν η τετραγωνική μορφή παίρνει μόνο μη-αρνητικές τιμές (θετικές και μηδέν), ο συμμετρικός πίνακας ονομάζεται θετικά ημιορισμένος (ή εάν παίρνει μόνο μη-θετικές (αρνητικές και μηδέν), τότε αρνητικά ημιορισμένος). Ως εκ τούτου ο πίνακας είναι αόριστος όταν δεν είναι ούτε θετικά ούτε αρνητικά-ημιορισμένος. Ένας συμμετρικός πίνακας είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του είναι θετικές. Ο πίνακας στα δεξιά δείχνει δυο δυνατότητες για 2-2 πίνακες. Επιτρέποντας ως είσοδο δύο διαφορετικούς φορείς αποδίδει αντ 'αυτού τη διγραμμική μορφή μου συνδέεται με το A: BA (x, y) = xTAy. Ορθογώνιος πίνακας Ένας ορθογώνιος πίνακας είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία, του οποίου οι στήλες (και οι γραμμές) είναι μοναδιαία ορθογώνια διανύσματα (δηλ., ορθοκανονικά διανύσματα). Ισοδύναμα, ένας πίνακας A είναι ορθογώνιος αν η αναστροφή του είναι ίση με τον αντίστροφό του: A T = A − 1 , {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1},\,} το οποίο συνεπάγεται A T A = A A T = I , {\displaystyle A^{\mathrm {T} }A=AA^{\mathrm {T} }=I,\,} όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας. Ένας ορθογώνιος πίνακας A είναι απαραίτητα αντιστρέψιμος (με αντίστροφο τον A−1 = AT), μοναδιακού (A−1 = A*), και κανονικού (A*A = AA*). Η ορίζουσα οποιουδήποτε ορθογώνιου πίνακα είναι είτε +1 είτε -1. Ένας ειδικός ορθογώνιος πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας με ορίζουσα +1. Όπως ένας γραμμικος μετασχηματισμός, κάθε ορθογώνιος πίνακας με ορίζουσα +1 είναι μια καθαρή περιστροφή, ενώ κάθε ορθογώνιος πίνακας με ορίζουσα -1 είναι είναι μια καθαρή αντανάκλαση, ή μια σύνθεση της αντανάκλασης και της περιστροφής. Η μιγαδική αναλογία ενός ορθογώνιου πίνακα είναι ένας μοναδιακός πίνακας. Ίχνος Το ίχνος tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )} ενός τετραγωνικού πίνακα A {\displaystyle \mathbf {A} } είναι ένα άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του. Αν και ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός (όπως αναφέρεται παραπάνω), το ίχνος του πολλαπλασιασμού δύο πινάκων είναι ανεξάρτητο από τη σειρά των παραγόντων: tr ⁡ ( A B ) = tr ⁡ ( B A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} )} .Αυτό προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού πινάκων: tr ⁡ ( A B ) = ∑ i = 1 m ( A B ) i i = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n A i j B j i = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 m B j i A i j = tr ⁡ ( B A ) . {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}(\mathbf {AB} )_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}\mathbf {B} _{ji}\mathbf {A} _{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).} Επίσης, το ίχνος ενός πίνακα είναι ίσο με εκείνο του ανάστροφού του, δηλ., tr ⁡ ( A ) = tr ⁡ ( A T ) {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })} . Ορίζουσα Η ορίζουσα det(A) ή |A| ενός τετραγωνικού πίνακα A είναι ένα αριθμός που κωδικοποιεί ορισμένες ιδιότητες του πίνακα. 'Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσά του δεν είναι μηδέν. Η απόλυτη τιμή του ισούται με την περιοχή (στον R2) ή όγκο (στον R3) της εικόνας του ενιαίου τετραγώνου (ή κύβου), ενώ το σήμα του να αντιστοιχεί προς τον προσανατολισμό του αντίστοιχου γραμμικού χάρτη: η ορίζουσα είναι θετική, αν και μόνο αν ο προσανατολισμός διατηρείται. Η ορίζουσα ενός 2 επί 2 πίνακα δίνεται από τον τύπο det [ a b c d ] = a d − b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.} Η ορίζουσα ενός 3 επί 3 πίνακα περιλαμβάνει 6 όρους (κανόνας του Sarrus). Ο πιο μακρύς τύπος Leibniz γενικεύει αυτούς τους δύο τύπους σε όλες τις διαστάσεις.Η ορίζουσα του γινομένου τετραγωνικών πινάκων είναι ίση με το γινόμενο των οριζουσών τους: det(AB) = det(A) · det(B).Προσθέτοντας ένα πολλαπλάσιο οποιασδήποτε γραμμής σε μια άλλη, ή ένα πολλαπλάσιο οποιασδήποτε στήλης σε μια άλλη, δεν αλλάζει η ορίζουσα. Εναλλάσσοντας επηρεάζει την ορίζουσα πολλαπλασιάζοντας την ορίζουσα με -1. Χρησιμοποιώντας αυτές τις λειτουργίες, οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να τροποποιηθεί σε έναν κάτω (ή άνω) τριγωνικό πίνακα, και για τέτοιους πίνακες η ορίζουσα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του; αυτό παρέχει μια μέθοδο να υπολογίζουμε την ορίζουσα οποιουδήποτε πίνακα. Τελικά, η επέκταση Laplace εκφράζει την ορίζουσα των υποπινάκων, δηλ., ορίζουσες μικρότερων πινάκων. Η έκφραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ένα αναδρομικό ορισμό των οριζουσών (παίρνοντας ως αρχική υπόθεση την ορίζουσα ενός 1 επί 1 πίνακα, η οποία είναι ένα μοναδικό στοιχείο, ή ακόμα την ορίζουσα ενός 0 επί 0 πίνακα, η οποία είναι 1), που μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ισοδύναμη με τον τύπο Leibniz. Οι ορίζουσες μπορούν αν χρησιμοποιηθούν για να λύσουν γραμμικά συστήματα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Κράμερ, όπου η διαίρεση των οριζουσών δύο συγγενικών τετραγωνικών πινάκων ισοδυναμεί με την αξία του καθενός από τις μεταβλητές του συστήματος. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Ένας αριθμός λ και ένα μη μηδενικό διάνυσμα v ικανοποιώντας την σχέση Av = λvονομάζεται ιδιοτιμή και ιδιοδιάνυσμα του A, αντίστοιχα Ο αριθμός λ είναι μια ιδιοτιμή ενός n×n πίνακα A αν και μόνο αν A−λIn δεν είναι αντιστρέψιμος, ο οποίος είναι ισοδύναμος με det ( A − λ I ) = 0. {\displaystyle \det({\mathsf {A}}-\lambda {\mathsf {I}})=0.\ } Το πολυώνυμο pA με άγνωστο X που δίνεται από την εκτίμηση της ορίζουσας det(XIn−A) ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A. Είναι ένα μονώνυμο βαθμού n. Ως εκ τούτου η πολυωνυμική εξίσωση pA(λ) = 0 έχει το πολύ n διαφορετικές λύσεις, δηλ., ιδιοτιμές του πίνακα. Μπορεί να είναι πολύπλοκοι ακόμη και αν τα στοιχεία του A είναι πραγματικά. Σύμφωνα με το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον, pA(A) = 0, το οποίο είναι, το αποτέλεσμα της αντικατάστασης του ίδιου του πίνακα στις δικές του χαρακτηριστικές πολυωνυμικές τιμές του μηδενικού πίνακα. Οι υπολογισμοί στους πίνακες εκτελούνται συνήθως με διαφορετικές τεχνικές. Πολλά προβλήματα μπορούν να λυθούν από αμφότερα απευθείας αλγορίθμους ή επαναληπτικές προσεγγίσεις. Για παράδειγμα, τα ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα μπορούν να ληφθούν βρίσκοντας μία ακολουθία διανυσμάτων xn συγκλίνουσα σε ένα ιδιοδιάνυσμα όταν το n τείνει στο άπειρο.Για να είσαι ικανός να διαλέξεις τον πιο κατάλληλο αλγόριθμο για κάθε συγκεκριμένο πρόβλημα, είναι σημαντικό να αποφασίσεις αμφότερα την αποτελεσματικότητα και ακρίβεια όλων των διαθέσιμων αλγορίθμων. Ο τομέας που μελετά αυτά τα θέματα ονομάζεται γραμμική άλγεβρα. Όπως με άλλες αριθμητικές καταστάσεις, οι δύο κύριες πτυχές είναι η πολυπλοκότητα των αλγορίθμων και η αριθμητική ευστάθειά τους. Αποφασίζουμε την πολυπλοκότητα ενός αλγορίθμου σημαίνει βρίσκουμε άνω όρια ή υπολογίζουμε πόσες στοιχειώδεις πράξεις όπως προσθέσεις ή πολλαπλασιασμοί βαθμίδων είναι απαραίτητοι να εκτελεστούν μερικοί αλγόριθμοι, π.χ., ο πολλαπλασιασμός πινάκων. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας τον πίνακα γινομένου δύο n-επί-n πινάκων χρησιμοποιώντας τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω χρειάζεται n3 πολλαπλασιασμούς, δεδομένου ότι οποιαδήποτε n2 στοιχεία του γινομένου, n πολλαπλασιασμοί είναι απαραίτητοι. Ο αλγόριθμος Strassen υπερτερεί σε σχέση με τον "απλό" αλγόριθμο: χρειάζεται μόνο n2.807 πολλαπλασιασμούς. Μία επίσης εξευγενισμένη προσέγγιση ενσωματώνει ειδικά χαρακτηριστικά των υπολογιστικών συσκευών. Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις είναι γνωστές οι επιπλέον πληροφορίες όσον αφορά τους σχετικούς με τους πίνακες. Μία σημαντική περίπτωση είναι οι αραιοί πίνακες, δηλ., πίνακες των οποίων τα περισσότερα στοιχεία είναι μηδέν. Υπάρχουν ειδικά προσαρμοσμένοι αλγόριθμοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων Ax = b για αραιούς πίνακες A, όπως η μέθοδος των ζυγών.Ένας αλγόριθμος, σε γενικές γραμμές, είναι αριθμητικά σταθερός, εαν μικρές αποκλίσεις στις τιμές εισόδου δεν οδηγούν σε μεγάλες αποκλίσεις στο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας τον αντίστροφο ενός πίνακα μέσω του τύπου του Laplace (Adj (A) υποδηλώνει τον προσαρτημένο πίνακα του A) A−1 = Adj(A) / det(A)μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στρογγυλοποίησης εαν η ορίζουσα του πίνακα είναι πολύ μικρή. Η νόρμα ενός πίνακα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συλλάβει την κατάσταση προβλημάτων γραμμικής άλγεβρας, όπως υπολογίζοντας τον αντίστροφο ενός πίνακα.Στις αρχές της δεκαετίας του '70, μερικοί επιτραπέζιοι υπολογιστές μηχανικής όπως HP 9830 είχαν ROM cartridges που πρόσθεταν εντολές BASIC για πράξεις και υπολογισμούς σε πίνακες. Μερικές γλώσσες προγραμματισμού όπως η APL ήταν σχεδιασμένες να μανουβράρουν πίνακες, και ποικίλα μαθηματικά προγράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν με σκοπό τον υπολογισμό των πινάκων. Οι περισσότερες σύγχρονες γλώσσες προγραμματισμού γενικού σκοπού, όπως η C++, Java, Python, υποστηρίζουν πράξεις σε πίνακες μέσω επιπρόσθετων βιβλιοθηκών γραμμικής άλγεβρας (π.χ. η βιβλιοθήκη Eigen στην C++, η EJML στη Java και η NumPy στην Python. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι που καθιστούν τους πίνακες σε πιο εύκολες προσβάσιμες μορφές. Γενικά αναφέρεται ως αποσύνθεση πίνακαή τεχνικές παραγοντοποίησης. Το ενδιαφέρον όλων αυτών των τεχνικών είναι ότι διαφυλάσσουν σίγουρες ιδιότητες των εν λόγω πινάκων, όπως είναι η ορίζουσα, τάξη ή αντίστροφος, έτσι ώστε αυτές οι ποσότητες να υπολογίζονται απλοποιώντας τον μετασχηματισμό, ή οι σίγουρες λειτουργίες του πίνακα είναι αριθμητικά ευκολότερο για να διενεργήσουν κάποιους τύπους των πινάκων. Η LU αποσύνθεση παραγοντοποιεί πίνακες ως παράγωγος των κάτω (L) και άνω τριγωνικών πινάκων (U). Μια φορά η ορίζουσα υπολογίζεται, γραμμικά συστήματα μπορούν να λυθούν πιο αποτελεσματικά, με έναν απλό τρόπο που ονομάζεται εμπρός και πίσω αντικατάσταση. Παρομοίως, οι αντίστροφοι τριγωνικών πινάκων είναι αλγοριθμικά ευκολότερο να υπολογιστούν. Η απαλοιφή του Gaussείναι ένας παρόμοιος αλγόριθμος: μετασχηματίζει οποιοδήποτε πίνακα σε κλιμακωτή μορφή ανά γραμμή. Και οι δύο οι μέθοδοι προχωράνε πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα με κατάλληλους στοιχειώδης πίνακες, οι οποίοι αντιστοιχούν μεταθέσεις γραμμών ή στηλών και προσθέτουν πολλαπλάσια μιας γραμμής σε άλλη. Η μοναδική αξία της αποσύνθεσης εκφράζει οποιονδήποτε πίνακα A ως έναν παράγωγο UDV∗, όπου U και V είναι ενιαίοι πίνακες και D είναι ένας διαγώνιος πίνακας. Η φασματική αποσύνθεση ή διαγωνιοποίηση εκφράζει τον A ως ένα παράγωγο VDV−1, όπου D είναι ένας διαγώνιος πίνακας και V είναι ένας κατάλληλα αντιστρέψιμος πίνακας. Αν ο A μπορεί να γραφεί σε αυτή τη μορφή, ονομάζεται διαγωνιοποιήσιμος πίνακας. Πιο γενικά, και εφαρμόζεται σε όλους τους πίνακες, η αποσύνθεση Jordan μετασχηματίζει έναν πίνακα σε κανονική μορφή Jordan, η οποία λέει ότι οι πίνακες των οποίων τα μη μηδενικά στοιχεία είναι οι φασματικές αποσυνθέσεις από το λ1 στο λn του A, τοποθετημένα πάνω στην κύρια διαγώνιο και πιθανότατα στοιχεία κατάλληλα πάνω από την κύρια διαγώνιο, όπως δείχνεται δεξιά. Δίνοντας την φασματική αποσύνθεση, η nth δύναμη του A (δηλ., n φορές επαναλαμβάνεται ο πολλαπλασιασμός πινάκων) μπορεί να υπολογιστεί μέσω της An = (VDV−1)n = VDV−1VDV−1...VDV−1 = VDnV−1και η δύναμη ενός διαγώνιου πίνακα μπορεί να υπολογιστεί παίρνοντας τις αντίστοιχες δυνάμεις των διαγώνιων στοιχείων, οι οποίοι είναι ευκολότεροι από το να υψώσεις σε δύναμη έναν πίνακα A αντίστοιχα. Αυτό μπορεί αν χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί ο εκθετικός πίνακας eA, προκύπτει συχνά η ανάγκη λύνοντας γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, λογάριθμους πίνακα και τετραγωνικές ρίζες πινάκων. Για να αποφύγουμε αριθμητικά κακοσυσκευασμένες καταστάσεις, περαιτέρω αλγόριθμοι όπως είναι η αποσύνθεση Schur που μπορεί αν μας απασχολήσει. Οι πίνακες μπορούν να γενικεύονται με διαφορετικούς τρόπους. Η αφηρημένη άλγεβρα χρησιμοποιεί πίνακες με στοιχεία σε πιο γενικά πεδία ή ακόμα δακτυλίους, ενώ η γραμμική άλγεβρα κωδικοποιεί ιδιότητες πινάκων στην έννοια των γραμμικών χαρτών. Είναι πιθανό να εξετάσετε πίνακες με άπειρες στήλες και γραμμές. Άλλη επέκταση είναι οι τανυστές, που μπορούν να θεωρηθούν ως υψηλότερων διαστάσεων συστοιχίες αριθμών, σε αντίθεση με τους φορείς, οι οποίοι συχνά μπορούν να πραγματοποιήσουν ακολουθίες αριθμών, ενώ οι πίνακες είναι ορθογώνιοι ή δύο διαστάσεων συστοιχία αριθμών. Οι πίνακες, υπόκεινται σε ορισμένες απαιτήσεις τείνοντας να σχηματίσουν ομάδες γνωστές ως ομάδες πινάκων. Αυτό το άρθρο εστιάζει σε πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί. Ωστόσο, οι πίνακες μπορούν να θεωρηθούν με πιο γενικούς τύπους των στοιχείων από πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς. Σε πρώτο βήμα της γενίκευσης, οποιοδήποτε σώμα, π.χ., ένα σύνολο όπου οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης είναι καλά ορισμένες, μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί του R ή του C, όπως είναι οι ρητοί αριθμοί ή τα πεπερασμένα σώματα. Για παράδειγμα, η θεωρία κωδικοποίησης κάνει χρήση των πινάκων πάνω από πεπερασμένα πεδία. Οπουδήποτε οι ιδιοτιμές θεωρούνται, όπως είναι οι ρίζες ενός πολυωνύμου μπορούν να υπάρχουν μόνο σε ένα σώμα μεγαλύτερο από τους συντελεστές του πίνακα; για παράδειγμα μπορεί να είναι πολύπλοκοι σε περίπτωση ενός πίνακα με πραγματικά. Η πιθανότητα να επανερμηνεύει τα στοιχεία ενός πίνακα ως στοιχεία ενός μεγαλύτερου σώματος (π.χ., το να βλέπεις ένα πραγματικό πίνακα ως ένα μιγαδικό πίνακα του οποίου τα στοιχεία τυχαίνει να είναι όλα πραγματικά) έπειτα επιτρέπουν θεωρώντας κάθε τετραγωνικό πίνακα να διαθέτει ένα πλήρες σύνολο των ιδιοτιμών. Εναλλακτικά εξετάστε μόνο πίνακες με στοιχεία μέσα σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα, όπως είναι το C, από την αρχή. Πιο γενικά, η αφηρημένη άλγεβρα κάνει καταπληκτική χρήση των πινάκων με στοιχεία μέσα σε ένα δακτύλιο R. Οι δακτύλιοι είναι μια πιο γενική έννοια από τα πεδία με μια πράξη διαίρεσης με την έννοια ότι δεν χρειάζεται να υπάρχει . Παρομοίως, οι πράξεις οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πινάκων εκτείνονται σε αυτή τη ρύθμιση, επίσης. Το σύστημα M(n, R) όλων των τετραγωνικών n επί n πινάκων στον R είναι ένας δακτύλιος το οποίο ονομάζεται δακτύλιος πίνακα, είναι ισομορφισμός στον ενδομορφισμό δακτυλίου της αριστερής R-μονάδας Rn. Αν ο δακτύλιος R είναι αντιμεταθετικός, π.χ., ο πολλαπλασιασμός του είναι αντιμεταθετικός, τότε M(n, R) είναι μία ενιαία μη αντιμεταθετική (εκτός αν n = 1) συνειρμική άλγεβρα πάνω στον R. Η ορίζουσα τετραγωνικών πινάκων πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο R μπορεί ακόμη να οριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Leibniz; όπως ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσα του είναι αντιστρέψιμη στον R, γενικεύοντας την κατάσταση πάνω στο σώμα F, όπου κάθε μη-μηδενικό στοιχείο είναι αντιστρέψιμο. Οι πίνακες πάνω από τους υπερδακτύλιους ονομάζονται υπερπίνακες.Οι πίνακες που δεν έχουν πάντα όλα τους τα στοιχεία στον δακτύλιο – ή ακόμα σε κανένα δακτύλιο γενικά. Μία ειδική αλλά κοινή περίπτωση είναι οι block πίνακες, οι οποίοι μπορούν να θεωρηθούν σαν πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι από μόνα τους πίνακες. Τα στοιχεία δεν είναι απαραίτητο να είναι τετραγωνικοί πίνακες, και έτσι δεν χρειάζεται να είναι μέλη κανενός συνηθισμένου δακτυλίου; αλλά τα μεγέθη τους πρέπει να πληρούν σίγουρα προϋποθέσεις συμβατότητας. Οι γραμμικές απεικονίσεις Rn → Rm είναι ισοδύναμες προς m-επί-n πίνακες, όπως περιγράφεται παραπάνω. Πιο γενικά, κάθε γραμμική απεικόνιση f: V → W μεταξύ πεπερασμένων-διαστάσεων διανυσματικών χώρων μπορούν να περιγραφούν από έναν πίνακα A = (aij), αφού επιλεχθούν βάσεις v1, ..., vn του V, και w1, ..., wm του W (έτσι n είναι η διάσταση του V και m είναι η διάσταση του W), είναι τέτοια ώστε: f ( v j ) = ∑ i = 1 m a i , j w i for j = 1 , … , n . {\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {w} _{i}\qquad {\mbox{for }}j=1,\ldots ,n.} Με άλλα λόγια, η στήλη j του A εκφράζει την εικόνα του vj σε όρους των διανυσμάτων βάσης wi του W; έτσι αυτή η σχέση μοναδικά καθορίζει τα στοιχεία του πίνακα A. Σημειώστε ότι ο πίνακας εξαρτάται από την επιλογή της βάσης: διαφορετικές επιλογές βάσεων συνεπάγονται σε διαφορετικά, αλλά οι ισοδύναμοι πίνακες. Πολλές από τις παραπάνω συγκεκριμένες έννοιες μπορούν να ερμηνευτούν εκ νέου υπό αυτό το πρίσμα, για παράδειγμα, ο αντίστροφος πίνακας του AT περιγράφει την αντίστροφη μίας γραμμικής απεικόνισης δοσμένη από τον A, που αφορά τις δυικές βάσεις.Αυτές οι ιδιότητες μπορούν να επαναδιατυπωθούν με ένα πιο φυσικό τρόπο: η κατηγορία όλων των πινάκων με στοιχεία σε ένα σώμα k {\displaystyle k} με πολλαπλασιασμό όπως η σύνθεση είναι ισοδύναμη προς την κατηγορία των πεπερασμένων διαστάσεων διανυσματικών χώρων και γραμμικών απεικονίσεων πάνω από αυτό το σώμα. Πιο γενικά, το σύνολο των m×n πινάκων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναπαρασταθούν οι R-γραμμικές απεικονίσεις μεταξύ των ελεύθερων συζυγών Rm και Rn για έναν αυθαίρετο δακτύλιο R με ενότητα. Όταν η n = m σύνθεση αυτών των απεικονίσεων είναι δυνατή, και αυτό δημιουργεί τον δακτύλιο πίνακα των n×n πινάκων αντιπροσωπεύοντας τον ενδομορφισμό δακτυλίου του Rn. Μία ομάδα είναι μία μαθηματική δομή αποτελούμενη από ένα σύνολο αντικειμένων μαζί με μία δυαδική πράξη, δηλ., μία συνάρτηση που δέχεται δύο στοιχεία και επιστρέφει ένα τρίτο, ικανοποιώντας ορισμένες συνθήκες. Μία ομάδα στην οποία τα αντικείμενα είναι πίνακες και η λειτουργία της ομάδας είναι πίνακας πολλαπλασιασμού ονομάζεται ομάδα πινάκων. Δεδομένου ότι κάθε στοιχείο μίας ομάδας πρέπει να είναι αντιστρέψιμο, οι γενικότερες ομάδες πίνακα είναι ομάδες όλων των αντιστρέψιμων πινάκων ενός δεδομένου μεγέθους, ονομάζονται οι γενικές γραμμικές ομάδες. Κάθε ιδιότητα των πινάκων που διατηρείται υπό πίνακα γινομένων και αντίστροφων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να οριστούν περαιτέρω οι ομάδες πίνακα. Για παράδειγμα, πίνακες με ένα δεδομένο μέγεθος και με μία ορίζουσα 1 σχηματίζουν μία υποομάδα του (δηλ., μία μικρότερη ομάδα που εμπεριέχεται) η γενική τους γραμμική ομάδα, ονομάζεται ειδική γραμμική ομάδα. Οι ορθογώνιοι πίνακες, που ικανοποιούν την σχέση MTM = I,καθιστούν την ορθογώνια ομάδα. Κάθε ορθογώνιος πίνακας έχει ορίζουσα 1 ή −1. Ορθογώνιοι πίνακες με ορίζουσα 1 σχηματίζουν μία υποομάδα ονομαζόμενη ειδική ορθογώνια ομάδα. Κάθε πεπερασμένη ομάδα είναι ισομορφική προς ένα μία ομάδα πίνακων, όπως προκύπτει από την κανονική αναπαράσταση της συμμετρικής ομάδας. Οι γενικές ομάδες μπορούν να μελετηθούν χρησιμοποιώντας πίνακα ομάδων, που είναι συγκριτικά περισσότερο κατανοητά, με την έννοια της αναπαραστατικής θεωρίας. Είναι επίσης δυνατό να σκεφτεί κανείς τους πίνακες με άπειρα πολλές γραμμές και/ή στήλες ακόμη και αν, όντας άπειρα αντικείμενα, δεν μπορεί να γραφεί ρητά όπως οι πίνακες. Το μόνο που έχει που σημασία είναι ότι για κάθε στοιχείο στο σύνολο των γραμμών με δείκτες, και κάθε στοιχείο στο σύνολο των στηλών με δείκτες, υπάρχει ένα καλώς ορισμένο στοιχείο (αυτά τα σύνολα δεικτών δε χρειάζεται να είναι υποσύνολα των φυσικών αριθμών). Οι βασικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του βαθμωτού πολλαπλασιασμού και της αναστροφής μπορούν ακόμα να οριστούν χωρίς πρόβλημα: ωστόσο ο πίνακας πολλαπλασιασμού μπορεί να περιλαμβάνει άπειρες αθροίσεις για να οριστούν τα στοιχεία που προκύπτουν, και αυτά δεν ορίζονται γενικά. Εαν ο R είναι ένας δακτύλιος με μονάδα, τότε ο δακτύλιος των ενδομορφισμών του M = ⨁ i ∈ I R {\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}R} όπως το δεξιό πρότυπο R είναι ισομορφικό προς το δακτύλιο του πίνακα πεπερασμένης στήλης C F M I ( R ) {\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)} του οποίου τα στοιχεία είναι με δείκτες από I × I {\displaystyle I\times I} , και του οποίου οι στήλες κάθεμία περιέχουν μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία. Τους ενδομορφισμούς του M μπορούμε να τους σκεφτούμε όπως το αριστερό πρότυπο R καταλήγοντας σε ένα ανάλογο αντικείμενο, οι πίνακες πεπερασμένης γραμμής R F M I ( R ) {\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)} των οποίων οι γραμμές καθεμία έχουν πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία. Εάν οι άπειροι πίνακες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν γραμμικές απεικονίσεις, τότε μόνο εκείνοι οι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν των οποίων οι στήλες έχουν πεπερασμένο μη μηδενικών στοιχείων, για τον ακόλουθο λόγο. Για έναν πίνακα A να περιγράψει μία γραμμική απεικόνιση f: V→W, βάσεις και για τους δύο χώρους πρέπει να έχουν επιλεχθεί: θυμηθείτε ότι εξ ορισμού αυτό σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα στο χώρο μπορεί να γραφεί μοναδικά ως ένα (πεπερασμένο) γραμμικό συνδυασμό] βάσης διανυσμάτων, έτσι γραμμένο ως μία (στήλη) διάνυσμα v από συντελεστές, μόνο πεπερασμένα πολλά στοιχεία vi είναι μη μηδενικά. Οι στήλες του A περιγράφουν τις εικόνες μέσω της f των μοναδικών διανυσμάτων βάσης του V στη βάση του W, τα οποία έχουν νόημα μόνο αν αυτές οι στήλες έχουν μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία. Δεν υπάρχει κανένας περιορισμός στις γραμμές του A ωστόσο: στο γινόμενο A·v υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλοί μη μηδενικοί συντελεστές που περιλαμβάνουν το v, έτσι κάθε ένα από τα στοιχεία του, ακόμα και αν είναι δοσμένο ως άπειρο άθροισμα γινομένων, περιλαμβάνει μόνο πεπερασμένα πολλούς μη μηδενικούς όρους και είναι συνεπώς καλά ορισμένοι. Επιπλέον αυτό συμβάλλει στο σχηματισμό ενός γραμμικού συνδυασμού των στηλών του A που αποτελεσματικά περιλαμβάνει μόνο πεπερασμένα πολλά από αυτά, από όπου το αποτέλεσμα έχει μόνο πεπερασμένα πολλά μη μηδενικά στοιχεία, επειδή κάθε μία από εκείνες τις στήλες περιλαμβάνει. Επίσης μπορεί κανείς να δει ότι γινόμενα δύο πινάκων του δοσμένου τύπου είναι καλά ορισμένα (υπό την προϋπόθεση ότι ως συνήθως ο δείκτης στήλης και ο δείκτης γραμμής των συνόλων ταιριάζουν), είναι ξανά του ίδιου τύπου, και αντιστοιχεί στη σύνθεση των γραμμικών απεικονίσεων. Αν ο R είναι ένας σταθερός δακτύλιος, τότε ο όρος της γραμμής ή μίας στήλης πεπερασμένα μπορεί να χαλαρώσει. Με το σταθερό στη θέση του, οι απόλυτα συγκλίνουσες σειρές μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί για τα πεπερασμένα αθροίσματα. Για παράδειγμα, οι πίνακες των οποίων τα αθροίσματα στήλης είναι απόλυτα συγκλίνουσες ακολουθίες σχηματίζουν ένα δακτύλιο. Κατά ανάλογο τρόπο φυσικά, οι πίνακες των οποίων τα αθροίσματα γραμμής είναι απόλυτα συγκλίνουσες σειρές επίσης σχηματίζουν ένα δακτύλιο. Σ'αυτό το πνεύμα, οι άπειροι πίνακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τους τελεστές στους χώρους του Hilbert, όπου η σύγκλιση και η συνέχεια προκαλούν ερωτήματα, τα οποία καταλήγουν σε βέβαιους περιορισμούς οι οποίοι πρέπει να επιβάλλονται. Ωστόσο, η ρητή άποψη για τους πίνακες τείνει να θολώσει το θέμα, και η αφαίρεση και περισσότερο ισχυρά εργαλεία της συναρτησιακής ανάλυσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντί αυτού. Ένας άδειος πίνακας είναι ένας πίνακας στον οποίο ο αριθμός των γραμμών ή στηλών (ή και τα δύο) είναι μηδέν. Οι άδειοι πίνακες βοηθούν να αντιμετωπίσουμε απεικονίσεις που περιλαμβάνουν το μηδενικό διανυσματικό χώρο. Για παράδειγμα, αν ο A είναι ένας 3-επί-0 πίνακας και ο B είναι ένας 0-επί-3 πίνακας, τότε ο AB είναι ο 3-επί-3 μηδενικός πίνακας cαντίστοιχος προς τη μηδενική απεικόνιση από ένα τρισδιάστατο χώρο V στον εαυτό του, ενώ ο BA είναι ένας 0-επί-0 πίνακας. Δεν υπάρχει κοινός συμβολισμός για τους άδειους πίνακες, αλλά τα περισσότερα συστήματα υπολογισμού άλγεβρας επιτρέπουν τη δημιουργία και τον υπολογισμό με αυτά. Η ορίζουσα του 0-επί-0 πίνακα είναι 1 ως εξής από σχετικά το άδειο γινόμενο απαντά στον τύπο του Leibniz για την ορίζουσα όπως το 1. Αυτή η τιμή είναι επίσης συνεπής με το γεγονός ότι η ταυτοτική απεικόνιση από κάθε πεπερασμένων διαστάσεων χώρο στον εαυτό του έχει ορίζουσα 1, ένα γεγονός το οποίο συχνά χρησιμοποιείται ως μέρος του χαρακτηρισμού των οριζουσών. Υπάρχουν πολυάριθμες εφαρμογές πινάκων, τόσο στα μαθηματικά όσο και σε άλλες επιστήμες. Μερικές από αυτές απλώς εκμεταλλεύονται τη συμπαγή παρουσίαση μιας σειράς αριθμών στον πίνακα. Για παράδειγμα, στη θεωρία παιγνίων και στα οικονομικά, ο πίνακας εξόφλησης κωδικοποιεί την εξόφληση για δύο παίκτες, ανάλογα με το ποια από τη δεδομένη (πεπερασμένη) σειρά εναλλακτικών που οι παίκτες επιλέγουν. Η εξόρυξη κειμένου και ο αυτοματοποιημένος θησαυρός κάνουν χρήση του βάση-δεδομένων πίνακα]] όπως tf-idf για να εντοπίσει συχνότητες συγκεκριμένων λέξεων σε ορισμένα αρχεία.Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να αναπαραχθούν από συγκεκριμένου πραγματικούς 2 - 2 πίνακες μέσω a + i b ↔ [ a − b b a ] , {\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},} που σύμφωνα με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών και πινάκων αντιστοιχούν μεταξύ τους. Για παράδειγμα, 2 - 2 πίνακες αντιπροσωπεύουν τον πολλαπλασιασμό με μερικούς μιγαδικούς αριθμούς μηδαμινής αξίας, όπως παραπάνω. Μια παρόμοια ερμηνεία είναι πιθανή για κβατέρνια, και επίσης για άλγεβρα Κλίφορντ γενικά. Γρήγορες τεχνικές κρυπτογράφησης όπως η αποκρυπτογράφηση Χιλ χρησιμοποιούν επίσης πίνακες. Παρ'όλα αυτά, λόγω της γραφικής φύσης των πινάκων, αυτοί οι κωδικοί είναι συγκριτικά εύκολοι να σπάσουν. Τα γραφικά υπολογιστή χρησιμοποιούν πίνακες τόσο για να αναπαραστήσουν αντικείμενα και να υπολογίσουν μετατροπές αντικειμένων χρησιμοποιώντας πίνακες περιστροφής ώστε να εκτελέσουν καθήκοντα όπως προβάλλοντας ένα τρισδιάστατο αντικείμενο σε μια δισδιάστατη οθόνη, αντίστοιχα με μια θεωρητική κάμερα παρακολούθησης. Πίνακες από πολυώνυμο δαχτυλίδι είναι σημαντικοί για την μελέτη της θεωρίας ελέγχου. Η Χημεία κάνει χρήση πινάκων με ποικίλους τρόπους, συγκεκριμένα από την χρήση της κβαντικής θεωρίας για να συζητήσει για τη μοριακή συγκόλληση και τη φασματοσκοπία. Παραδείγματα αποτελούν η επικάλυψη πίνακα και ο πίνακας Fock που χρησιμοποιείται για την επίλυση Roothaan εξισώσεων για την απόκτηση μοριακών τροχιακών της Hartree–Fock μεθόδου. Ο πίνακας γειτνίασης ενός πεπερασμένου γράφου είναι μια βασική έννοια της θεωρίας γράφων. Καταγράφει ποιες κορυφές του γράφου συνδέονται μεταξύ τους με μια ακμή. Πίνακες που περιέχουν μόνο δύο διαφορετικές τιμές (1 και 0 που σημαίνει για παράδειγμα "ναι" και "όχι", αντίστοιχα) ονομάζονται λογικοί πίνακες. Ο πίνακας αποστάσεων περιέχει πληροφορίες σχετικά με τις αποστάσεις των ακμών. Αυτές οι έννοιες μπορούν να εφαρμοστούν σε ιστοσελίδες συνδεδεμένες με υπερσυνδέσμους ή πόλεις που συνδέονται με δρόμους κλπ., Σε αρκετές περιπτώσεις όπως π.χ. σε ένα οδικό δίκτυο, λίγες κορυφές είναι απευθείας συνδεδεμένες με άλλες κορυφές και επομένως οι πίνακες γειτνίασης τείνουν να είναι αραιοί, δηλαδή περιέχουν λίγες μη μηδενικές εγγραφές. Ως εκ τούτου, ειδικά προσαρμοσμένοι αλγοριθμικοί για πίνακες έχουν χρησιμοποιηθεί στην θεωρία γράφων. Ο Εσσιανός πίνακας μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης ƒ: Rn → R αποτελείται από δεύτερη παράγωγο της ƒ σε σχέση με τις διάφορες κατευθύνσεις συντεταγμένων, δηλαδή. H ( f ) = [ ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ] . {\displaystyle H(f)=\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\right].} Κωδικοποιεί πληροφορίες σχετικά με την τοπική συμπεριφορά ανάπτυξης της συνάρτησης: δοθέντος κρίσιμου σημείου x = (x1, ..., xn), δηλαδή, ένα σημείο όπου οι πρώτες μερικές παράγωγοι ∂ f / ∂ x i {\displaystyle \partial f/\partial x_{i}} της ƒ εξαφανίζονται, η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο εάν ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ορισμένος. Ο Τετραγωνικός προγραμματισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ελαχίστου ή μεγίστου δευτεροβάθμιων συναρτήσεων που σχετίζονται στενά με αυτές που συνδέονται με πίνακες (βλέπε παραπάνω).Ένας άλλος πίνακας που χρησιμοποιείται συχνά στην μαθηματική ανάλυση είναι ο πίνακας Τζακόμπι για μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f: Rn → Rm. Έστω f1, ..., fm τα στοιχεία της f, τότε ο πίνακας Τζακόμπι ορίζεται ως J ( f ) = [ ∂ f i ∂ x j ] 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n . {\displaystyle J(f)=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}.} Εάν n > m, και αν ο βαθμός του πίνακας Τζακόμπι φθάνει στην μέγιστη τιμή του, τα m, f είναι τοπικά αντιστρέψιμα σε εκείνο το σημείο, από το Θεώρημα απεριόριστης συνάρτησης.Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις μπορούν να ταξινομηθούν εξετάζοντας τον πίνακα των συντελεστών της υψηλότερης τάξης διαφορικών φορέων της εξίσωσης. Για τις μερικώς ελλειπτικές διαφορικές εξισώσεις αυτός ο πίνακας είναι θετικά ορισμένος, το οποίο έχει καθοριστική επιρροή στο σύνολο των πιθανών λύσεων της εν λόγω εξίσωσης.Η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων είναι μια σημαντική αριθμητική μέθοδος για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, εφαρμόζεται ευρέως στην προσομοίωση πολύπλοκων φυσικών συστημάτων. Επιχειρεί να προσεγγίσει τη λύση σε κάποια εξίσωση με τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις, όπου τα τμήματα επιλέγονται σε σχέση με ένα επαρκώς λεπτό πλέγμα, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξίσωση πινάκων. Οι στοχαστικοί πίνακες είναι τετραγωνικοί πίνακες των οποίων οι γραμμές είναι διανύσματα πιθανοτήτων, δηλ., των οποίων τα στοιχεία είναι μη αρνητικά και συνοψίζονται σε ένα. Οι στοχαστικοί πίνακας χρησιμοποιούνται για να ορίσουν την αλυσίδα Markov με πολλά πεπερασμένα κράτη. Μια γραμμή του στοχαστικού πίνακα δίνει την κατανομή πιθανότητας για την επόμενη θέση κάποιου σωματιδίου επί του παρόντος στην κατάσταση που αντιστοιχεί στη γραμμή. Ιδιότητες της αλυσίδας Markov, όπως οι καταστάσεις απορρόφησης, δηλ., ποιες καταστάσεις θα επισκεφθούν τελικώς, μπορούν να προσδιοριστούν κοιτάζοντας τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων μετάβασης.Η στατιστική επίσης κάνει χρήση πινάκων σε διάφορες μορφές. Η περιγραφική στατιστική ασχολείται με την περιγραφή συνόλων δεδομένων, τα οποία μπορεί συχνά να παρασταθούν ως πίνακες δεδομένων, οι οποίοι μπορούν στη συνέχεια να υποβληθούν σε τεχνικές μείωσης διάστασης. Ο πίνακας συσχέτισης κωδικοποιεί την κοινή διακύμανση αρκετών τυχαίων μεταβλητών. Μια άλλη τεχνική που χρησιμοποιεί πίνακες είναι η απλή γραμμική παλινδρόμηση, μια μέθοδος που προσεγγίζει ένα πεπερασμένο σύνολο ζευγών (x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN), με μια γραμμική συνάρτηση yi ≈ axi + b, i = 1, ..., Nη οποία μπορεί να τυποποιηθεί σε όρους πινάκων, που σχετίζονται με τη Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές των πινάκων.Οι τυχαίοι πίνακες είναι πίνακες των οποίων οι εγγραφές είναι τυχαίοι αριθμοί, υπόκεινται σε κατάλληλη κατανομή πιθανότητας, όπως οι πίνακες κανονικής κατανομής. Πέρα από την θεωρία πιθανοτήτων, εφαρμόζονται σε τομείς που κυμαίνονται από την θεωρία αριθμών μέχρι τη φυσική. Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί και οι σχετικές συμμετρίες διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο στη σύγχρονη φυσική. Για παράδειγμα, το στοιχειώδες σωματίδιο στη θεωρία κβαντικού πεδίου ταξινομούνται ως αναπαραστάσεις της ομάδας Lorentz της ειδικής σχετικότητας και, πιο συγκεκριμένα, με τη συμπεριφορά τους στο πλαίσιο της ομάδας περιστροφής. Συγκεκριμένες αναπαραστάσεις εμπεριεχομένων των πινάκων Pauli και γενικά των πινάκων γάμμα αποτελούν αναπόσπαστο μέρος της φυσικής περιγραφής των φερμιονίων, που συμπεριφέρονται ως spinors. Για τα τρία ελαφρύτερα κουάρκ, υπάρχει μια ομάδα-θεωρητική αναπαράσταση που αφορά την ειδική ενιαία ομάδα SU(3); για τους υπολογισμούς τους, οι φυσικοί χρησιμοποιούν μια βολική αναπαράσταση πίνακα που είναι γνωστή ως πίνακας Gell-Mann, η οποία χρησιμοποιείται επίσης για την SU(3) ομάδα βαθμίδας που αποτελεί τη βάση της σύγχρονης περιγραφής των ισχυρών πυρηνικών αλληλεπιδράσεων της κβαντικής χρωμοδυναμικής. Ο πίνακας Cabibbo–Kobayashi–Maskawa, με τη σειρά του, εκφράζει το γεγονός ότι τα βασικά μέλη κουάρκ που είναι σημαντικά για την ασθενή αλληλεπίδραση δεν είναι το ίδιο, αλλά σχετίζεται γραμμικά με τα βασικά μέλη κουάρκ που ορίζουν τα σωματίδια με συγκεκριμένες και διακριτές μάζες. Το πρώτο μοντέλο της κβαντομηχανικής (Χάιζεμπεργκ, 1925) εκπροσωπείται από τους φορείς της θεωρίας από απειροδιάστατους πίνακες που ενεργούν για κβαντικές καταστάσεις. Αυτό είναι επίσης γνωστό και ως κβαντομηχανική. Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα είναι πίνακας πυκνότητας που χαρακτηρίζει τη «μικτή» κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος ως γραμμικός συνδυασμός πρωτοβάθμιας, καθαρής ιδιοκατάστασης.Ένας άλλος πίνακας που χρησιμεύει ως ένα βασικό εργαλείο για την περιγραφή των πειραμάτων σκέδασης που αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο της σωματιδιακής φυσικής: Σύγκρουση αντιδράσεων, όπως στους επιταχυντές σωματιδίων, όπου σωματίδια που δεν αλληλεπιδρούν κατευθύνονται το ένας προς το άλλο και συγκρούονται σε μιας μικρή ζώνη αλληλεπίδρασης, με ένα σύνολο μη αλληοεπιδρώμενων σωματιδίων ως αποτέλεσμα, μπορεί να περιγραφεί ως το γινόμενο των εξερχόμενων κρατών σωματιδίων και ένας γραμμικός συνδυασμός των μελών προστιθέμενων σωματιδίων. Ο γραμμικός συνδυασμός δίνεται από έναν πίνακα που είναι γνωστός ως S-πίνακας, ο οποίος κωδικοποιεί όλες τις πληροφορίες σχετικά με τις πιθανές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων. Μια γενική εφαρμογή των πινάκων στην φυσική είναι στην περιγραφή των γραμμικά συνδεδεμένων αρμονικών συστημάτων. Οι εξισώσεις κίνησης τέτοιων συστημάτων μπορούν να περιγραφούν σε μορφή πίνακα, με έναν πίνακα μάζας πολλαπλασιάζοντας μια γενικευμένη ταχύτητα για να δώσει τον κινητικό όρο, και ένας δυναμικός πίνακας πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα μετατόπισης για τον χαρακτηρισμό των αλληλεπιδράσεων. Ο καλύτερος τρόπος για να ληφθούν λύσεις είναι να προσδιοριστεί το αυτοδιάνυσμα του συστήματος, την κανονική λειτουργία, διαγωνιοποιώντας την εξίσωση του πίνακα. Τεχνικές όπως αυτή είναι ζωτικής σημασίας όταν πρόκειται για την εσωτερική δυναμική των μορίων: οι εσωτερικές δονήσεις των συστημάτων που αποτελούνται από αμοιβαίως δεσμευμένα άτομα συστατικού. Είναι επίσης αναγκαία για την περιγραφή οι μηχανικές δονήσεις και ταλαντώσεις ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Η Γεωμετρική οπτική παρέχει επιπλέον εφαρμογές πινάκων. Σε αυτή την προσεγγιστική θεωρία, η κυματική φύση του φωτός είναι παραμελημένη. Το αποτέλεσμα είναι ένα μοντέλο στο οποίο οι ακτίνες φωτός είναι όντως γεωμετρικές ακτίνες. Εάν η εκτροπή των ακτίνων φωτός μέσω οπτικών στοιχείων είναι μικρή, η ενέργεια ενός φακού ή ενός ανακλώμενου στοιχείου σε μια δεδομένη ακτίνα φωτός μπορεί να εκφραστεί ως πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος δύο συνιστωσών με έναν πίνακα 2 προς 2 που ονομάζεται πίνακας μεταφοράς ακτίνων: οι συνιστώσες του διανύσματος είναι η κλίση των ακτίνων φωτός και η απόσταση της από τον οπτικό άξονα, όσο ο πίνακας κωδικοποιεί τις ιδιότητες του οπτικού στοιχείου. Για την ακρίβεια, υπάρχουν δύο ειδών πίνακες, δηλαδή. ένας πίνακας διάθλασης που περιγράφει την διάθλαση σε μια επιφάνεια του φακού, και ένας πίνακας μετάφρασης, που περιγράφει την μετάφραση του επιπέδου αναφοράς στην επόμενη διαθλώμενη επιφάνεια, όπου εφαρμόζεται ένας άλλος πίνακας διάθλασης. Το οπτικό σύστημα, που αποτελείται από ένα συνδυασμό φακών και/ή αντανακλώντων στοιχείων, περιγράφεται απλώς ως ο πίνακας που προκύπτει από το προιόν των πινάκων των εξαρτημάτων. Η παραδοσιακή ανάλυση πλέγματος στα ηλεκτρονικά οδηγεί σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορούν να περιγραφούν με πίνακα. Η συμπεριφορά πολλών ηλεκτρονικών συστατικών μπορεί να περιγραφεί μέσω πινάκων. Έστω A ένα δισδιάστατο διάνυσμα με την τάση εισόδου του στοιχείου v1 και ρεύμα εισόδου i1ως στοιχεία του, και έστω B ένα δισδιάστατο διάνυσμα με την τάση εξόδου του στοιχείου v2 και του ρεύματος εξόδου i2 ως στοιχεία του. Στη συνέχεια, η συμπεριφορά του ηλεκτρονικού στοιχείου μπορεί να περιγραφεί με B = H · A, όπου H είναι ένας 2 x 2 πίνακας που περιέχει ένα στοιχείο αντίστασης (h12), ένα στοιχείο εισόδου (h21) και δύο αδιάστατα στοιχεία (h11 and h22). Υπολογίζοντας ένα κύκλωμα τώρα μειώνεται σε πολλαπλασιασμό πινάκων. Οι πίνακες έχουν μεγάλη ιστορία σχετικά με την εφαρμογή της επίλυσης γραμμικών εξισώσεων και ήταν γνωστοί ως συστοιχίες μέχρι το 1800. Το κινέζικο κείμενο Τα εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική τέχνη είναι το πρώτο παράδειγμα της χρήσης των μεθόδων διάταξης των στοιχείων ενός πίνακα για την επίλυση σύγχρονων εξισώσεων,όπως και για τη έννοια της ορίζουσας. Το 1545 ο Ιταλός μαθηματικός Τζερόλαμο Καρντάνο έφερε τη μέθοδο στην Ευρώπη όταν δημοσίευσε το Ars Magna. Ο Ιάπωνας μαθηματικός Seki Kowa χρησιμοποίησε την ίδια μέθοδο για τη διάταξη των στοιχείων για την επίλυση σύγχρονων εξισώσεων το 1683. Ο Ολλανδός μαθηματικός Jan de Witt εκπροσωπούσε τους μετασχηματισμούς των πινάκων χρησιμοποιώντας τη διάταξη των στοιχείων το 1659 στο βιβλίο Στοιχειά του Curves (1659). Μεταξύ 1700 και 1710 ο Λάιμπνιτς δημοσίευσε τη χρήση της διάταξης των στοιχείων για την καταγραφή πληροφοριών ή λύσεις και πειραματίστηκε με πάνω από 50 διαφορετικά συστήματα για τη διάταξη των πινάκων. Ο Gabriel Cramer παρουσίασε τον κανόνα του Κράμερ το 1750. Ο όρος "πίνακας" (Λατινικά "μήτρα", που προέρχεται από το mater—μητέρα) επινοήθηκε από τον James Joseph Sylvester το 1850, ο οποίος κατανόησε έναν πίνακα ως ένα αντικείμενο που οδηγεί σε μια σειρά από ορίζουσες που σήμερα ονομάζονται δευτερεύoντα αντικείμενα, δηλαδή, τις ορίζουσες των μικρότερων πινάκων που απορρέουν από το αρχικό αφαιρώντας στήλες και γραμμές. Σε ένα έγγραφο το 1851, ο Sylvester εξηγεί: Έχω στα προηγούμενα έγγραφα μου ορίσει έναν "Πίνακα" ως ορθογώνια διάταξη των όρων, εκ των οποίων τα διάφορα συστήματα των οριζουσών μπορούν να παραχθούν από τη μήτρα ενός κοινού γονέα.Ο Arthur Cayley δημοσίευσε μια πραγματεία σχετικά με τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς με τη χρήση πινάκων που δεν εναλλάσσονται οι τύποι των συντελεστών που ερευνώνται, όπως ήδη έχει γίνει. Αντ'αυτού όρισε πράξεις όπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση, όπως και τους μετασχηματισμούς αυτών των πινάκων και έδειξε την προσεταιριστική και την επιμεριστική ιδιότητα που πραγματοποιήθηκε αλήθεια. Ο Cayley ερεύνησε και απέδειξε τη μη-αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πινάκων καθώς και την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης των πινάκων. Η πρόωρη θεωρία των πινάκων έχει περιορίσει τη χρήση των συστοιχιών σχεδόν αποκλειστικά με τις ορίζουσες ο αφηρημένος χειρισμός του Arthur Cayley ήταν πρωτοποριακός. Είχε πολύ σημαντικό ρόλο αφού πρότεινε μια έννοια ανεξάρτητη από τον πίνακα των συστημάτων εξίσωσης. Το 1858 ο Arthur Cayley δημοσίευσε τα απομνημονεύματά του για τη θεωρία των πινάκων στην οποία πρότεινε και απέδειξε το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον.Ένας Άγγλος μαθηματικός που ονομαζόταν Cullis ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε σύγχρονη σημειογραφία στήριγμα για τους πίνακες το 1913 και έδειξε ταυτόχρονα την πρώτη σημαντική χρήση του συμβολισμού A = [ai,j] που εκπροσωπεί έναν πίνακα όπου το ai,j αναφέρεται στην i-οστή σειρά και στη j-οστή στήλη.Η μελέτη των οριζουσών ξεπήδησε από διάφορες πηγές. Αριθμός-θεωρητικά προβλήματα (που οδήγησαν τον Karl) αφορούσαν συντελεστές τετραγωνικής μορφής, δηλαδή, εκφράσεις όπως x2 + xy − 2y2, και γραμμικές απεικονίσεις σε τρεις διαστάσεις για έναν πίνακα. Ο Gotthold Eisenstein ανέπτυξε περαιτέρω αυτές τις έννοιες, όπως η παρατήρηση ότι, στο σύγχρονο ιδίωμα, το γινόμενο των πινάκων είναι μη-μεταθετικό. Ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ ήταν ο πρώτος που απέδειξε γενικές δηλώσεις σχετικά με τις ορίζουσες χρησιμοποιώντας ως ορισμό της ορίζουσας ενός πίνακα A = [ai,j] το εξής: να υποκαταστήσει τις δυνάμεις ajk από ajk στο πολυώνυμο a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i < j ( a j − a i ) {\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})\;} ,όπου Π συμβολίζει το γινόμενο των ενδεικτικών όρων. Επίσης έδειξε, το 1829, ότι οι ιδιοτιμές των συμμετρικών πινάκων είναι πραγματικές. ο Jacobi μελέτησε τις "συναρτησιακές ορίζουσες"—αργότερα ονομάστηκαν ορίζουσες Jacobi από τον Sylvester—που συνήθιζε να περιγράφει γεωμετρικούς μετασχηματισμούς σε τοπικό (ή απειροελάχιστο) επίπεδο, δείτε παραπάνω; Kronecker's Vorlesungen über die Theorie der Determinanten και Weierstrass' Zur Determinantentheorie, μαζί δημοσιεύτηκαν το 1903, οι πρώτες ορίζουσες αξιωματικά, σε αντίθεση με προηγούμενες πιο συγκεκριμένες προσεγγίσεις όπως ο τύπος του Cauchy που αναφέρθηκε. Σ' εκείνο το σημείο, οι ορίζουσες είχαν εδραιωθεί. Πολλά θεωρήματα αρχικά είχαν εδραιωθεί για μικρούς πίνακες μόνο, για παράδειγμα το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον αποδείχτηκε για 2×2 πίνακες από τον Cayley στα προαναφερθέντα απομνημονεύματα, και από τον William Rowan Hamilton για 4×4 πίνακες. Ο Georg Frobenius, δουλεύοντας πάνω στις διγραμμικές μορφές, γενίκευσε το θεώρημα για όλες τις διαστάσεις (1898). Επίσης στο τέλος του 19ου αιώνα η απαλοιφή των Gauss–Jordan (γενικεύοντας μία ειδική περίπτωση που σήμερα είναι γνωστή ως απαλοιφή του Gauss) εδραιώθηκε από τον Wilhelm Jordan. Στις αρχές του 20ου αιώνα, οι πίνακες πέτυχαν ένα κεντρικό ρόλο στη γραμμική άλγεβρα. μερικώς λόγω της χρήσης τους στην ταξινόμηση των συστημάτων υπερσύνθετων αριθμών του προηγούμενου αιώνα. Η έναρξη της μηχανικής πίνακα από τους Βέρνερ Χάιζενμπεργκ, Μαξ Μπορν και Pascual Jordan οδήγησε στη μελέτη πινάκων με άπειρα πολλές γραμμές και στήλες. Αργότερα, ο Τζον φον Νόιμαν πραγματοποίησε το μαθηματικό σχηματισμό της κβαντικής μηχανικής, με περαιτέρω ανάπτυξη των συμβολισμών της συναρτησιακής ανάλυσης όπως είναι οι γραμμικοί τελεστές στους χώρους του Hilbert, όπου, πολύ χονδρικά, αντιστοιχεί στον Ευκλείδειο χώρο, αλλά με το άπειρο των ανεξάρτητων κατευθύνσεων. Η λέξη έχει χρησιμοποιηθεί με ασυνήθιστους τρόπους από τουλάχιστον δύο συγγραφείς ιστορικής σημαντικότητας. Ο Μπέρτραντ Ράσελ και Alfred North Whitehead στο έργο τους Αρχές Μαθηματικών (1910–1913) χρησιμοποίησαν τη λέξη “πίνακας” στα συμφραζόμενα του Αξιώματος αναγωγιμότητας. Πρότειναν αυτό το αξίωμα ως μέσο αναγωγής κάθε συνάρτησης προς μία χαμηλότερου τύπου, επιτυχημένα, έτσι ώστε στο “κάτω μέρος” (0 εντολή) η συνάρτηση είναι ταυτοτική προς τον εαυτό της Επέκταση: “Επιτρέψτε μας να δώσουμε το όνομα πίνακας σε κάθε συνάρτηση, ωστόσο από πολλές μεταβλητές, οι οποίες δεν περιέχουν φαινόμενες μεταβλητές. Τότε κάθε δυνατή συνάρτηση πλην ενός πίνακα που προέρχεται από έναν πίνακα με την έννοια της γενίκευσης, δηλ., σκεπτόμενοι την πρόταση που βεβαιώνει ότι η εν λόγω συνάρτηση είναι αληθής με όλες τις δυνατές τιμές ή με κάποια τιμή από τις λογομαχούμενες, η άλλη λογομαχούμενη ή λογομαχούμενες παραμένουν απροσδιόριστες”.Για παράδειγμα μία συνάρτηση Φ(x, y) δύο μεταβλητών x και y μπορεί να αναχθεί σε μία συλλογή συναρτήσεων μοναδικής μεταβλητής, π.χ., y, σκεπτόμενοι τη συνάρτηση για όλες τις δυνατές τιμές των “ατόμων” ai αντικατεστημένων στη θέση της μεταβλητής x. Και τότε η συλλογή των συναρτήσεων με μοναδικές μεταβλητές y που προκύπτει, δηλ., ∀ai: Φ(ai, y), μπορεί να αναχθεί σε έναν “πίνακα” τιμών σκεπτόμενοι τη συνάρτηση για όλες τις δυνατές τιμές των “ατόμων” bi αντικατεστημένων στη θέση της μεταβλητής y: ∀bj∀ai: Φ(ai, bj).Ο Άλφρεντ Τάρσκι στο έργο του Εισαγωγή στη Λογική, το 1946, χρησιμοποίησε τη λέξη “πίνακας” ως συνώνυμο με το συμβολισμό του αληθούς πίνακα όπως συνηθίζεται στη μαθηματική λογική. Αλγεβρική πολλαπλότητα Γεωμετρική πολλαπλότητα Διαδικασία Gram-Schmidt Λίστα πινάκων Λογισμός πινάκων Σύνολο περιοδικών πινάκων Τανυστής Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th έκδοση), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 Arnold, Vladimir I.; Cooke, Roger (1992), Ordinary differential equations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-54813-3 Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 Association for Computing Machinery (1979), Computer Graphics, Tata McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-059376-3 Baker, Andrew J. (2003), Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-470-3 Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-361-9 Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X Bretscher, Otto (2005), Linear Algebra with Applications (3rd έκδοση), Prentice Hall Bronson, Richard (1989), Schaum's outline of theory and problems of matrix operations, New York: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-007978-6 Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5 Coburn, Nathaniel (1955), Vector and tensor analysis, New York, NY: Macmillan, OCLC 1029828 Conrey, J. Brian (2007), Ranks of elliptic curves and random matrix theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-69964-8 Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1983), Game Theory, MIT Press Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order (2nd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41160-4 Godsil, Chris; Royle, Gordon (2004), Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 207, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95220-8 Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd έκδοση), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9 Greub, Werner Hildbert (1975), Linear algebra, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90110-7 Halmos, Paul Richard (1982), A Hilbert space problem book, Graduate Texts in Mathematics, 19 (2nd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90685-0 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6 Householder, Alston S. (1975), The theory of matrices in numerical analysis, New York, NY: Dover Publications Krzanowski, Wojtek J. (1988), Principles of multivariate analysis, Oxford Statistical Science Series, 3, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-852211-9 Itõ, Kiyosi, επιμ.. (1987), Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV (2nd έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-09026-1 Lang, Serge (1969), Analysis II, Addison-Wesley Lang, Serge (1987a), Calculus of several variables (3rd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96405-8, https://archive.org/details/calculusofsevera0000lang Lang, Serge (1987b), Linear algebra, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6 Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third έκδοση), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 Latouche, Guy; Ramaswami, Vaidyanathan (1999), Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling (1st έκδοση), Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-425-8 Manning, Christopher D.; Schütze, Hinrich (1999), Foundations of statistical natural language processing, MIT Press, ISBN 978-0-262-13360-9 Mehata, K. M.; Srinivasan, S. K. (1978), Stochastic processes, New York, NY: McGraw–Hill, ISBN 978-0-07-096612-3 Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7, http://books.google.com/?id=ULMmheb26ZcC&pg=PA1&dq=linear+algebra+determinant Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd έκδοση), New York: Wiley Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006), Numerical Optimization (2nd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, σελ. 449, ISBN 978-0-387-30303-1 Oualline, Steve (2003), Practical C++ programming, O'Reilly, ISBN 978-0-596-00419-4 Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (1992), «LU Decomposition and Its Applications», Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing (2nd έκδοση), Cambridge University Press, σελ. 34–42, http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf, ανακτήθηκε στις 2010-08-28 Punnen, Abraham P.; Gutin, Gregory (2002), The traveling salesman problem and its variations, Boston, MA: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-0664-7 Reichl, Linda E. (2004), The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98788-0 Rowen, Louis Halle (2008), Graduate Algebra: noncommutative view, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4153-2 Šolin, Pavel (2005), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-76409-0 Stinson, Douglas R. (2005), Cryptography, Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-508-5 Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002), Introduction to Numerical Analysis (3rd έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95452-3 Ward, J. P. (1997), Quaternions and Cayley numbers, Mathematics and its Applications, 403, Dordrecht, NL: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-4513-8 Wolfram, Stephen (2003), The Mathematica Book (5th έκδοση), Champaign, IL: Wolfram Media, ISBN 978-1-57955-022-6 Bohm, Arno (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN 0-387-95330-2 Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86036-9 Guenther, Robert D. (1990), Modern Optics, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7 Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Quantum Field Theory, McGraw–Hill, ISBN 0-07-032071-3 Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (1997), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X Schiff, Leonard I. (1968), Quantum Mechanics (3rd έκδοση), McGraw–Hill Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7, https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev Wherrett, Brian S. (1987), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, ISBN 0-13-365461-3 Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1 A. Cayley A memoir on the theory of matrices. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496 Bôcher, Maxime (2004), Introduction to higher algebra, New York, NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49570-5 , reprint of the 1907 original edition Cayley, Arthur (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, I (1841–1853), Cambridge University Press, σελ. 123–126, http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 Dieudonné, Jean, επιμ.. (1978), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900, Paris, FR: Hermann Hawkins, Thomas (1975), «Cauchy and the spectral theory of matrices», Historia Mathematica 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4, ISSN 0315-0860 Knobloch, Eberhard (1994), «From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations», The intersection of history and mathematics, Science Networks Historical Studies, 15, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, σελ. 51–66 Kronecker, Leopold (1897), Hensel, Kurt, επιμ., Leopold Kronecker's Werke, Teubner, http://name.umdl.umich.edu/AAS8260.0002.001 Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut (1987), The Historical Development of Quantum Theory (1st έκδοση), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96284-9 Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony Wah-Cheung (1999), Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary (2nd έκδοση), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853936-0 Weierstrass, Karl (1915), Collected works, 3, http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001 Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Matrix», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/m062780 MacTutor: Matrices and determinants Αρχειοθετήθηκε 2015-03-08 στο Wayback Machine. Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors Kaw, Autar K., Introduction to Matrix Algebra, ISBN 978-0-615-25126-4, http://autarkaw.com/books/matrixalgebra/index.html The Matrix Cookbook, http://orion.uwaterloo.ca/~hwolkowi/matrixcookbook.pdf, ανακτήθηκε στις 24 March 2014 Brookes, Mike (2005), The Matrix Reference Manual, London: Imperial College, http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/intro.html, ανακτήθηκε στις 10 Dec 2008 Πίνακες Αρχειοθετήθηκε 2018-01-27 στο Wayback Machine., Σημειώσεις από το ΕΑΠ. Αρχειοθετήθηκε 27/01/2018. Ανακτήθηκε 04/10/2018. Κεχαγιάς Θ. Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας Αρχειοθετήθηκε 2018-01-27 στο Wayback Machine., Πανεπιστήμιο Πατρών. Νικολαϊδης Χρήστος, Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. MathStudies Blog, Σημειώσεις στους Πίνακες. SimplyMath (Matrix Calculator), http://www.webalice.it/simoalessia/SimplyMath/matrix.html Matrix Calculator (DotNumerics), http://www.dotnumerics.com/MatrixCalculator/, ανακτήθηκε στις 2010-08-28 Xiao, Gang, Matrix calculator, http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/matrix.en, ανακτήθηκε στις 10 Dec 2008 Online matrix calculator, http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/, ανακτήθηκε στις 10 Dec 2008 Online matrix calculator (ZK framework), http://matrixcalc.info/MatrixZK/, ανακτήθηκε στις 26 Nov 2009 Oehlert, Gary W.; Bingham, Christopher, MacAnova, University of Minnesota, School of Statistics, http://www.stat.umn.edu/macanova/macanova.home.html, ανακτήθηκε στις 10 Dec 2008 , a freeware package for matrix algebra and statistics Online matrix calculator, http://www.idomaths.com/matrix.php, ανακτήθηκε στις 14 Dec 2009 Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) MatCalc (Matrix Calculator), Εφαρμογή για Android, https://play.google.com/store/apps/details?id=calculator.matrix.matcalc