Νόμος των Μπιό-Σαβάρ

Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ είναι μια εξίσωση του ηλεκτρομαγνητισμού που περιγράφει το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής Β μέσω του μέτρου και της διεύθυνσης του ηλεκτρικού ρεύματος, της απόστασης από το ηλεκτρικό ρεύμα, και της μαγνητικής διαπερατότητας. Η σημασία του νόμου των Μπιό-Σαβάρ έγκειται στο ότι είναι ένας νόμος αντίστροφου τετραγώνου, που αποτελεί λύση στο νόμο του Αμπέρ. Είναι επίσης λύση της εξίσωσης στροβιλότητας: curl A = B, όπου το A μπορεί να θεωρηθεί ως το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό του B. Παρέχει λοιπόν τη λύση του πεδίου Β στις εξισώσεις του Μάξγουελ, όπως ακριβώς η δύναμη Λόρεντζ παρέχει τη λύση του πεδίου Ε. Η ίδια εξίσωση, και με την ίδια ονομασία, χρησιμοποιείται επίσης στην αεροδυναμική για τη μοντελοποίηση του πεδίου ταχυτήτων στη περιοχή γύρω από μία δίνη (vortex) .

 Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ και η δύναμη Λόρεντζ είναι τόσο θεμελιώδεις για τον ηλεκτρομαγνητισμό, όσο είναι ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτροστατική. Πιο συγκεκριμένα, εάν ορίσουμε ένα απειροστό στοιχείο ρεύματος I d l , {\displaystyle Id\mathbf {l} ,} τότε το αντίστοιχο διαφορικό στοιχείο του μαγνητικού πεδίου είναι d B = K m I d l × r ^ r 2 {\displaystyle d\mathbf {B} =K_{m}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}} όπου K m = μ 0 4 π {\displaystyle K_{m}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,} , όπου μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} είναι η μαγνητική σταθερά, I {\displaystyle I\mathbf {} } είναι το ρεύμα, το οποίο μετριέται σε Αμπέρ, d l {\displaystyle d\mathbf {l} } είναι το διαφορικό διάνυσμα μήκους του στοιχείου ρεύματος, r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο που υπολογίζεται το πεδίο Β, r {\displaystyle r\mathbf {} } είναι η απόσταση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο του πεδίου Β. Στη μαγνητοστατική, το μαγνητικό πεδίο μπορεί να προσδιοριστεί εάν είναι γνωστή η πυκνότητα ρεύματος j: B = K m ∫ j × r ^ r 2 d v {\displaystyle \mathbf {B} =K_{m}\int {{\frac {\mathbf {j} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dv}} όπου r ^ = r r {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\mathbf {r} \over r}} είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του r και d v {\displaystyle dv} = είναι το διαφορικό στοιχείο όγκου. Στην ειδική περίπτωση ενός σταθερού, ομογενούς ρεύματος I, το μαγνητικό πεδίο Β είναι B = K m I ∫ d l × r ^ r 2 {\displaystyle \mathbf {B} =K_{m}I\int {\frac {d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}} Στην ειδική περίπτωση ενός σημειακού φορτισμένου σωματιδίου q {\displaystyle q\mathbf {} } που κινείται με σταθερή ταχύτητα v {\displaystyle \mathbf {v} } , η παραπάνω εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο παίρνει τη μορφή: B = K m q v × r ^ r 2 {\displaystyle \mathbf {B} =K_{m}{\frac {q\mathbf {v} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}} Στη μικροσκοπική κλίμακα, ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ γίνεται H = ϵ v × E {\displaystyle \mathbf {H} =\epsilon \mathbf {v} \times \mathbf {E} } όπου η λύση στο E {\displaystyle \mathbf {E} } είναι η δύναμη Κουλόμπ, και όπου B = μ H {\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} } οπότε, B = v × 1 c 2 E {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {v} \times {\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} } Ζαν-Μπατίστ Μπιό Φελίξ Σαβάρ Αντρέ Μαρί Αμπέρ Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ Εξισώσεις Μάξουελ Νόμος του Αμπέρ Μαγνητισμός Νόμος του Κουλόμπ Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3η έκδοση). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. Electromagnetism Αρχειοθετήθηκε 2011-06-03 στο Wayback Machine., B. Crowell, Fullerton College MISN-0-125 The Ampere-Laplace-Biot-Savart Law (PDF file) by Orilla McHarris and Peter Signell for Project PHYSNET.