Διαιρέτης

Ένας ακέραιος αριθμός δ {\displaystyle \delta } ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού α {\displaystyle \alpha } , αν και μόνο αν υπάρχει ακέραιος αριθμός π {\displaystyle \pi } , ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον δ {\displaystyle \delta } δίνει αποτέλεσμα α {\displaystyle \alpha } , δηλαδή a = π × δ {\displaystyle \,a=\pi \times \delta } . Συμβολίζεται δ | a {\displaystyle \,\delta |a} και διαβάζεται: ο δ {\displaystyle \delta } διαιρεί τον α {\displaystyle \alpha } . Άλλες εκφράσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν είναι: ο α {\displaystyle \alpha } διαιρείται ακριβώς με τον δ {\displaystyle \delta } , ή ότι το α {\displaystyle \alpha } είναι πολλαπλάσιο του δ {\displaystyle \delta } .Για παράδειγμα λέγεται: ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3) ή ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 2 ή ο 6 είναι πολλαπλάσιο του 2, διότι υπάρχει ο ακέραιος 3 έτσι ώστε: 6 = 3 Χ 2. Ακόμη και ο -2 διαιρεί τον 6, διότι υπάρχει ο ακέραιος -3 έτσι ώστε 6 = (-3) Χ (-2). Η διαιρετότητα είναι μια από της βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών και αναφέρεται στην διαίρεση ακεραίων.

 Για τον ορισμό του διαιρέτη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την πράξη του πολλαπλασιασμού ή την πράξη της διαίρεσης. Ο δεύτερος ορισμός πρέπει να αποφεύγεται γιατί δημιουργεί ασάφειες σε θέματα που αφορούν το 0 και αυτό γιατί δεν μπορεί να υπάρξει διαίρεση με 0. Η διαιρετότητα είναι μια σχέση μεταξύ των ακεραίων και όχι μια πράξη. Είναι μια σχέση όπως η ανισότητα, όπου λέμε a > β {\displaystyle a>\beta } (διότι από τον ορισμό της ανισότητας a − β > 0 {\displaystyle a-\beta >0} ), αλλά δεν «ταυτίζεται» με το αποτέλεσμα της πράξης της αφαίρεσης, που είναι ο αριθμός μ = a − β {\displaystyle \mu =a-\beta } . Ένας ακέραιος αριθμός δ {\displaystyle \delta } ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού α {\displaystyle \alpha } , αν και μόνο αν υπάρχει ακέραιος αριθμός π {\displaystyle \pi } , ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον δ {\displaystyle \delta } δίνει αποτέλεσμα α {\displaystyle \alpha } , δηλαδή a = π × δ {\displaystyle \,a=\pi \times \delta } , όπου ( × {\displaystyle \times } ) το σύμβολο της πράξης του πολλαπλασιασμού. Συμβολίζεται δ | a {\displaystyle \,\delta |a} , δηλαδή με μια κάθετο ανάμεσα στο δ {\displaystyle \delta } και το α {\displaystyle \alpha } , Το σύμβολο της διαιρετότητας δ | a {\displaystyle \,\delta |a} δεν πρέπει να συγχέεται με το σύμβολο της διαίρεσης ( a / δ {\displaystyle a/\delta } ή a δ {\displaystyle {\frac {a}{\delta }}} ).Στην περίπτωση που ο δ {\displaystyle \delta } δεν είναι διαιρέτης του α {\displaystyle \alpha } συμβολίζεται δ ∤ a {\displaystyle \,\delta \nmid a} και διαβάζεται: ο δ {\displaystyle \delta } δεν διαιρεί τον α {\displaystyle \alpha } .Διατύπωση του ορισμού με μαθηματική σημειογραφία: a , δ ∈ Z {\displaystyle a,\delta \in \mathbb {Z} } , δ | a {\displaystyle \,\delta |a} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } ∃ π ∈ Z : a = d × π {\displaystyle \exists \ \pi \in \mathbb {Z} :a=d\times \pi } και a , δ ∈ Z {\displaystyle a,\delta \in \mathbb {Z} } , δ ∤ a {\displaystyle \,\delta \nmid a} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } ∄ π ∈ Z : a = d × π {\displaystyle \nexists \ \pi \in \mathbb {Z} :a=d\times \pi } Ο π {\displaystyle \pi } , γενικά στην πράξη της διαίρεσης λέγεται πηλίκο. Στην περίπτωση που δ ∉ { 1 , a , − 1 , − a } {\displaystyle \delta \not \in \{1,a,-1,-a\}} , το δ {\displaystyle \delta } λέγεται και παράγοντας του α {\displaystyle \alpha } . Ένας άλλος ορισμός είναι με την χρήση της διαίρεσης: «Ένας ακέραιος αριθμός δ ≠ 0 {\displaystyle \delta \neq 0} ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού α {\displaystyle \alpha } , αν και μόνο αν η διαίρεση a δ {\displaystyle {\frac {a}{\delta }}} είναι τέλεια. Δηλαδή το αποτέλεσμα είναι ακέραιος ( δ ≠ 0 , a , δ ∈ Z , δ | a ⟺ a δ ∈ Z {\displaystyle \delta \neq 0,a,\delta \in \mathbb {Z} ,\delta |a\Longleftrightarrow {\frac {a}{\delta }}\in \mathbb {Z} } )», θέτοντας έτσι τον σημαντικό περιορισμό του δ ≠ 0 {\displaystyle \delta \neq 0} .Ο ορισμός αυτός μας οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα με τον προηγούμενο απορρίπτοντας όμως την ιδιότητα: «αν 0 | a {\displaystyle 0|a} , τότε a = 0 {\displaystyle a=0} », που λέει ότι το 0 είναι διαιρέτης του εαυτού του και αυτό διότι η διαίρεση a 0 {\displaystyle {\frac {a}{0}}} δεν ορίζεται.Στην βιβλιογραφία συναντάμε ορισμό της διαιρετότητας με την πράξη της διαίρεσης και επιπλέον μπορεί να δέχεται ότι κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του μηδενός (« a | 0 {\displaystyle a|0} για κάθε a ∈ Z {\displaystyle a\in \mathbb {Z} } »), θέση που είναι λάθος. Συνήθως αναφερόμαστε μόνο στους θετικούς διαιρέτες ενός ακεραίου αριθμού, ενώ στην πραγματικότητα διαιρέτες είναι και οι αντίστοιχοι αρνητικοί. Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 4 δεν είναι μόνο οι 1, 2, και 4, αλλά και οι -1, -2 και -4. Δηλαδή το 4 έχει 6 διαιρέτες. Επειδή ότι ισχύει για τους θετικούς διαιρέτες ισχύει και για τους αρνητικούς, συνήθως για λόγους απλοποίησης αναφερόμαστε μόνο στους θετικούς. Ένας ακέραιος και ο αντίθετος του έχουν τους ίδιους διαιρέτες. Για παράδειγμα αντίθετος του 4, δηλαδή ο -4 έχει τους ίδιους διαιρέτες με τον 4. Οι ακέραιοι που διαιρούνται με το 2 ονομάζονται άρτιοι ή ζυγοί, ενώ αυτοί που δεν διαιρούνται με το 2 ονομάζονται περιττοί ή μονοί. Επειδή κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του 0 (μηδέν), το 0 διαιρείται με το 2, οπότε το 0 συγκαταλέγεται στους άρτιους αριθμούς. Κάθε ακέραιος α {\displaystyle \alpha } διαιρείται με τον εαυτό του, με τον αντίθετό του ( − α {\displaystyle -\alpha } ) , το 1 και το -1. Αυτοί οι διαιρέτες ενός ακεραίου ονομάζονται τετριμμένοι διαιρέτες. Δηλαδή, οι τετριμμένοι διαιρέτες του ακεραίου α {\displaystyle \alpha } είναι οι α , − α , − 1 {\displaystyle \alpha ,-\alpha ,-1} και − 1 {\displaystyle -1} . Οι μή τεριμμένοι διαιρέτες ενός ακεραίου ονομάζονται παράγοντες του ακεραίου. Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού μπορεί να βρεθεί με την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (βλ. και θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής). Λόγω του ορισμού για a , b , c ∈ Z {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} } ισχύουν τα ακόλουθα: a | 0 {\displaystyle a|0} για κάθε a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} (διότι: ∃ 0 ∈ Z : 0 = a × 0 {\displaystyle \exists 0\in \mathbb {Z} :0=a\times 0} ). Από αυτή την ιδιότητα προκύπτει ότι το 0 είναι άρτιος, διότι 2 ∈ Z {\displaystyle 2\in \mathbb {Z} } και άρα 2 | 0 {\displaystyle 2|0} . Αν 0 | a {\displaystyle 0|a} , τότε a = 0 {\displaystyle a=0} . Είναι μια «ξεχωριστή» ιδιότητα που μας λέει ότι 0 | 0 {\displaystyle 0|0} (το μηδέν είναι διαιρέτης του μηδέν). Δεν ισχύει αν στον ορισμό του διαιρέτη κάνουμε χρήση της έννοιας της διαίρεσης (βλ. ορισμός με την πράξη της διαίρεσης, παραπάνω). Άλλο 0 | 0 {\displaystyle 0|0} και άλλο το μη οριζόμενο 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} . a | b ⇔ − a | b ⇔ a | − b ⇔ | a | | | b | {\displaystyle a|b\Leftrightarrow -a|b\Leftrightarrow a|-b\Leftrightarrow \left\vert a\right\vert |\left\vert b\right\vert } 1 | a {\displaystyle 1|a} , − 1 | a {\displaystyle -1|a} , a | a {\displaystyle a|a} και − a | a {\displaystyle -a|a} για κάθε α (τετριμμένοι διαιρέτες). Αν a | b {\displaystyle a|b} , τότε a c | b c {\displaystyle ac|bc} για κάθε c.Για a , b , c , d ∈ Z {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} } εύκολα αποδεικνύονται τα ακόλουθα: Αν a | b {\displaystyle a|b} και b | a {\displaystyle b|a} , τότε a = b {\displaystyle a=b} ή a = − b {\displaystyle a=-b} (δηλαδή | a | = | b | {\displaystyle |a|=|b|} .Αν a | b {\displaystyle a|b} και c | d {\displaystyle c|d} , τότε a c | b d {\displaystyle ac|bd} Αν a | b {\displaystyle a|b} τότε a | b c {\displaystyle a|bc} (βλ. θεώρημα 1 παρακάτω) Αν a | b {\displaystyle a|b} και a | c {\displaystyle a|c} , τότε a | ( b + c ) {\displaystyle a|(b+c)} . Γενικότερα a | ( m b + n c ) {\displaystyle a|(mb+nc)} για κάθε m , n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } (βλ. θεώρημα 3 παρακάτω). Ο a {\displaystyle a} λέγεται κοινός διαιρέτης των b {\displaystyle b} και c {\displaystyle c} . Ο ακέραιος m b + n c {\displaystyle mb+nc} , λέγεται Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -γραμμικός συνδυασμός (linear combination) των b {\displaystyle b} και c {\displaystyle c} .Ειδική περίπτωση της προηγούμενης ιδιότητας είναι ότι: αν a | b {\displaystyle a|b} και a | c {\displaystyle a|c} , τότε a | ( b − c ) {\displaystyle a|(b-c)} .Αν a | b {\displaystyle a|b} και b | c {\displaystyle b|c} , τότε a | c {\displaystyle a|c} (μεταβατικότητα) (βλ. θεώρημα 2 παρακάτω) Αν a | b {\displaystyle a|b} και b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , τότε | a | ≤ | b | {\displaystyle |a|\leq |b|} Αν a > 0 {\displaystyle a>0} και a | b {\displaystyle a|b} τότε | a | ≤ b {\displaystyle |a|\leq b} Στο παράδειγμα θα χρησιμοποιήσουμε τον θετικό ακέραιο 42 επειδή είναι εύκολος στους υπολογισμούς. 7 είναι διαιρέτης του 42 γιατί υπάρχει ο ακέραιος 6 έτσι ώστε 7 × 6 = 42 {\displaystyle 7\times 6=42} και γράφεται συμβολικά: 7 ∣ 42 {\displaystyle 7\mid 42} . Μπορεί να λεχθεί ότι ο 42 διαιρείται ακριβώς ή απλά διαιρείται με τον 7, ή ότι ο 42 είναι πολλαπλάσιος του 7, ή ότι ο 7 διαιρεί τον 42. Οι διαιρέτες του 42 είναι οι 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42, -1, -2, -3, -6, -7, -21 και -42. Οι ίδιοι ακέραιοι είναι και διαιρέτες του -42. Οι τετριμμένοι διαιρέτες του 42 είναι οι 42, -42, 1 και -1. Οι μη τετριμμένοι διαιρέτες του 42 είναι οι 2, 3, 6, 7, 21, 42, -1, -2, -3, -6, -7 και -21. Επειδή ο 7 δεν είναι τετριμμένος διαιρέτης του 42, ο 7 είναι παράγοντας του 42. Εύκολα αποδεικνύονται τα θεωρήματα: Θεώρημα 1: «Ο διαιρέτης ενός ακεραίου είναι και διαιρέτης κάθε πολλαπλασίου του». Δηλαδή, αν a , b ∈ Z {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} } και a | b {\displaystyle a|b} ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } a | b c {\displaystyle a|bc} , ∀ c ∈ Z {\displaystyle \forall c\in \mathbb {Z} } .Απόδειξη: a | b {\displaystyle a|b} → o ρ . {\displaystyle {\xrightarrow {o\rho .}}} ∃ κ ∈ Z : b = a κ {\displaystyle \exists \ \kappa \in \mathbb {Z} :b=a\kappa } → ∀ c ∈ Z , b c = ( a κ ) c = a ( κ c ) {\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\forall c\in \mathbb {Z} ,\ bc=(a\kappa )c=a(\kappa c)}}} ∃ μ = κ c ∈ Z : b c = a μ {\displaystyle \exists \ \mu =\kappa c\in \mathbb {Z} :bc=a\mu } → o ρ . {\displaystyle {\xrightarrow {o\rho .}}} a | b c {\displaystyle a|bc} .Θεώρημα 2: «Μεταβατικότητα». Δηλαδή, αν a , b , c ∈ Z {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} } όταν a | b {\displaystyle a|b} και b | c {\displaystyle b|c} ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } a | c {\displaystyle a|c} .Απόδειξη: a | b {\displaystyle a|b} και b | c {\displaystyle b|c} → o ρ . {\displaystyle {\xrightarrow {o\rho .}}} ∃ κ , λ ∈ Z : b = a κ , c = b λ {\displaystyle \exists \ \kappa ,\lambda \in \mathbb {Z} :b=a\kappa ,\ c=b\lambda } ⟶ {\displaystyle \longrightarrow } c = b λ = ( a κ ) λ = a ( κ λ ) {\displaystyle c=b\lambda =(a\kappa )\lambda =a(\kappa \lambda )} ⟶ {\displaystyle \longrightarrow } ∃ μ = κ λ ∈ Z : c = a μ {\displaystyle \exists \ \mu =\kappa \lambda \in \mathbb {Z} :c=a\mu } → o ρ . {\displaystyle {\xrightarrow {o\rho .}}} a | c {\displaystyle a|c} .Θεώρημα 3: «Ο κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων είναι και διαιρέτης κάθε Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -γραμμικού συνδυασμού τους». Δηλαδή, αν a | b {\displaystyle a|b} και a | c {\displaystyle a|c} ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } a | ( m b + n c ) {\displaystyle a|(mb+nc)} , ∀ m , n ∈ Z {\displaystyle \forall \ m,n\in \mathbb {Z} } .Απόδειξη: a | b {\displaystyle a|b} , a | c {\displaystyle a|c} → o ρ . {\displaystyle {\xrightarrow {o\rho .}}} ∃ κ , λ ∈ Z : b = a κ , c = a λ {\displaystyle \exists \ \kappa ,\lambda \in \mathbb {Z} :b=a\kappa ,\ c=a\lambda } ⟶ {\displaystyle \longrightarrow } ∀ m , n ∈ Z {\displaystyle \forall \ m,n\in \mathbb {Z} } , m b + n c = m ( a κ ) + n ( a λ ) {\displaystyle mb+nc=m(a\kappa )+n(a\lambda )} = a ( m κ ) + a ( n λ ) {\displaystyle =a(m\kappa )+a(n\lambda )} = a ( m κ + n λ ) {\displaystyle =a(m\kappa +n\lambda )} → o ρ . {\displaystyle {\xrightarrow {o\rho .}}} a | ( m b + n c ) {\displaystyle a|(mb+nc)} .enas 17xronos sto epal autoxtonise enw prospathouse na brei ton ypolipo sthn python xrisimopoiontas dieresh (/) mexri meta apo 8 episodia panikou katalabe pws eprepe na xrisimopoisei %. to 10/1/2023 o mathiths autoktonise me skinh Αριθμητική Διαίρεση Μέγιστος κοινός διαιρέτης Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003). «Τεχνικές Κρυπτογραφίας και Κρυπτανάλυσης. 3.Θεωρία αριθμών - αλγεβρικές δομές», σελ. 1, Εκδόσεις: ΖΥΓΟΣ, (ISBN 960-8065-40-2). Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.Δρ. Κίτσος Παρασκευάς, Επίκουρος Καθηγητής, (Αντίρριο 2017). «Κρυπτογραφία και ασφάλεια υπολογιστών» από openeclass.teimes.gr. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019. Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, (Νοέμβριος 2012) «Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών για το Λύκειο» από emekorinthias.files.wordpress.com. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019. (Αγγλικά) Conrad Keith. Divisibility and greatest common divisor από kconrad.math.uconn.edu. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.