Μέλαν σώμα

Ο όρος μέλαν σώμα στη φυσική, περιγράφει ένα ιδανικό σώμα το οποίο απορροφά όλο το φως που προσπίπτει πάνω του (και κατ' επέκταση, όλη την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία). Αυτό σημαίνει ότι ένα τέτοιο σώμα δεν ανακλά ούτε διαχέει το προσπίπτον σε αυτό φως (ή άλλης μορφής ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία) ούτε αφήνει το φως να το διαπεράσει και γι' αυτές του τις ιδιότητες ονομάζεται μέλαν σώμα. Ωστόσο, σε αντίθεση με την εικόνα που δίνεται από την ονομασία του, το ίδιο το σώμα εκπέμπει κάποια ακτινοβολία, το φάσμα της οποίας εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία του. Στην ουσία το μέλαν σώμα αποτελεί ένα εξιδανικευμένο μοντέλο της ύλης, που επινοήθηκε για να διευκολυνθεί η μελέτη της θερμικής ακτινοβολίας των πραγματικών σωμάτων. Ο όρος εισήχθη από τον Γκούσταβ Ρόμπερτ Κίρχοφ (γερμ. Gustav Robert Kirchhoff) το 1860 και η μελέτη της ακτινοβολίας του έπαιξε μεγάλο ρόλο στη ανάπτυξη της κβαντομηχανικής. Γενικά, ένα οποιοδήποτε σώμα, σε κάποια μη μηδενική θερμοκρασία, εκπέμπει ακτινοβολία. Αν είναι τέλειο μέλαν σώμα, ο συντελεστής εκπομπής του θα είναι ίσος με την μονάδα. Για κάθε πραγματικό σώμα όμως ο συντελεστής εκπομπής είναι μικρότερος από την μονάδα. Ως συντελεστής εκπομπής ενός σώματος ορίζεται ο λόγος της ακτινοβολούμενης ενέργειας από το σώμα σε σχέση με την ακτινοβολούμενη ενέργεια ενός μελανού σώματος που βρίσκεται στην ίδια θερμοκρασία. Έτσι, το μέλαν σώμα αποτελεί ένα όριο το οποίο μπορούν να προσεγγίσουν σε κάποιο βαθμό τα φυσικά σώματα. Ο συντελεστής εκπομπής ενός πραγματικού σώματος μεταβάλλεται με την θερμοκρασία, την γωνία εκπομπής και το εξεταζόμενο μήκος κύματος. Πολλές φορές όμως είναι χρήσιμο να υποθέτουμε ότι είναι σταθερός. Αυτή παραδοχή αποτελεί ένα άλλο εξιδανικευμένο μοντέλο για τα υλικά σώματα, και για να περιγραφεί αυτό το μοντέλο χρησιμοποιείται ο όρος «φαιό σώμα».

 Το φυσικό «αντικείμενο» που προσεγγίζει καλύτερα το μέλαν σώμα, δεν είναι καν σώμα, αλλά μια μικρή οπή σε ένα κοίλο σώμα (όπως π.χ. η είσοδος μιας σπηλιάς). Το φως που μπαίνει μέσα στην κοιλότητα από την οπή θα ανακλαστεί πολλές φορές πάνω στα τοιχώματα της κοιλότητας και κάθε φορά ένα μέρος του θα απορροφάται από αυτά. Η πιθανότητα για ένα τμήμα της ακτινοβολίας που μπήκε μέσα στην κοιλότητα από την οπή να ξαναβγεί από αυτήν είναι πολύ μικρή, αν η οπή είναι αρκετά μικρή σε σχέση με την κοιλότητα, πράγμα που σημαίνει ότι μόνο ένα πολύ μικρό μέρος από το προσπίπτον φως «ανακλάται» από την οπή, ενώ το υπόλοιπο έχει απορροφηθεί. Αυτό συμβαίνει ανεξάρτητα από το υλικό των τοιχωμάτων και το μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας, διότι, καθώς τα στερεά σώματα έχουν συνεχές φάσμα εκπομπής και απορρόφησης, όλα τα μήκη κύματος σταδιακά θα απορροφηθούν. Δεδομένου ότι το φως που παίρνουμε πίσω είναι αμελητέο, η μόνη ακτινοβολία που θα παίρνουμε από την οπή είναι η θερμική ακτινοβολία που παράγεται στο εσωτερικό της κοιλότητας και εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία της, υπό την προϋπόθεση ότι αυτή βρίσκεται σε θερμική ισορροπία. Το προσεγγιστικό αυτό μέλαν σώμα είναι μια παραλλαγή του μοντέλου που πρότεινε ο ίδιος ο Κίρχοφ (βλέπε πιο κάτω). Για να μπορέσει η κοιλότητα να φτάσει σε θερμική ισορροπία θα πρέπει να είναι τέλεια μονωμένη από το περιβάλλον της. Τότε η ενεργειακή πυκνότητα ρT(v), δηλαδή η ενέργεια ανά μονάδα όγκου και ανά μονάδα συχνότητας (ανά μοναδιαίο εύρος συχνοτήτων) της ακτινοβολίας είναι η ίδια σε όλα τα σημεία. Η ακτινοβολία που γεμίζει το χώρο της κοιλότητας ονομάζεται ακτινοβολία κοιλότητας. Έχει χάσει οποιαδήποτε πληροφορία σχετική με τις ιδιότητες των τοιχωμάτων εκτός από την θερμοκρασία τους. Ένα μικρό μέρος της εξέρχεται από την μικρή οπή, και έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με την ακτινοβολία στο εσωτερικό της κοιλότητας. Η κατανομή της ενεργειακής ροής στις διάφορες συχνότητες, δηλαδή η ποσότητα ενέργειας που εκπέμπεται από την μονάδα επιφάνειας στη μονάδα του χρόνου ανά μονάδα συχνότητας, RT(v) ονομάζεται φασματική εκπομπή ή αφετική ικανότητα ή φάσμα της ακτινοβολίας. Σχετίζεται με την πυκνότητα ενέργειας μέσω της σχέσης R T ( ν ) = c 4 ρ T ( ν ) {\displaystyle R_{T}(\nu )={\frac {c}{4}}\rho _{T}(\nu )} Για να υπολογίσουμε την συνολική ροή R T {\displaystyle R_{T}} της ενέργειας που εκπέμπεται ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου, πρέπει να ολοκληρώσουμε την ποσότητα αυτή σε όλες τις συχνότητες, δηλαδή R T = ∫ 0 ∞ R T ( ν ) d ν {\displaystyle R_{T}=\int _{0}^{\infty }R_{T}(\nu )\,d\nu } Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι ο νόμος Στέφαν - Μπόλτζμαν, R T = c 4 ρ T = σ T 4 {\displaystyle R_{T}={\frac {c}{4}}\rho _{T}=\sigma \ T^{4}} όπου σ = 5.670400 ( 40 ) × 10 − 8 W a t t ⋅ m − 2 ⋅ K − 4 {\displaystyle \sigma \ =5.670400(40)\times \ 10^{-8}Watt\cdot \ m^{-2}\cdot \ K^{-4}} η σταθερά Στέφαν - Μπόλτζμαν. Για ένα σώμα που δεν είναι απολύτως μαύρο, αλλά έχει σταθερό συντελεστή απορρόφησης ε, (η υπόθεση του φαιού σώματος), η ολική ροή ενέργειας δίνεται από τη σχέση: R T = σ ϵ T 4 {\displaystyle R_{T}=\sigma \epsilon \ T^{4}} Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η ακτινοβολούμενη ενέργεια έχει την μορφή στάσιμων κυμάτων μέσα στην κοιλότητα, που αρχίζουν σε κάποιο σημείο του τοιχώματος και καταλήγουν σε ένα άλλο. Για να συμβαίνει αυτό, το ηλεκτρικό πεδίο του κύματος πρέπει να είναι μηδέν στην επιφάνεια των τοιχωμάτων. Υπό αυτήν την προϋπόθεση, ο αριθμός n των στάσιμων κυμάτων που μπορούν να 'χωρέσουν' μέσα στην κοιλότητα, μέσα σε ένα εύρος συχνοτήτων, είναι πεπερασμένος. Οι Ρέιλι (Rayleigh) και Jeans έδειξαν ότι είναι ανάλογος του τετραγώνου της συχνότητας. Αυτό δείχνει ότι όσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα, τα δυνατά στάσιμα κύματα είναι περισσότερα. Δίνεται από την σχέση: n = 8 π ν 2 c 3 {\displaystyle n={\frac {8\pi \ \nu ^{2}}{c^{3}}}} Με βάση την αρχή ισοκατανομής της ενέργειας θα περίμενε κανείς ότι όλες οι συχνότητες έχουν την ίδια μέση ενέργεια kT, όπου Τ η απόλυτη θερμοκρασία και k η σταθερά του Μπόλτζμαν. Έτσι, η μέση πυκνότητα ενέργειας γύρω από μια συχνότητα v θα ήταν ρ T ( ν ) = 8 π k T ν 2 c 3 {\displaystyle \rho _{T}(\nu )={\frac {8\pi \ kT\nu ^{2}}{c^{3}}}} Αυτή η σχέση έγινε γνωστή ως νόμος των Ρέιλι (Rayleigh)-Jeans για την ακτινοβολία του μέλανος σώματος. Παρατηρείται συμφωνία με τις μετρήσεις μόνο στις χαμηλές συχνότητες. Αφού τα δυνατά στάσιμα κύματα είναι περισσότερα όσο μεγαλώνει η συχνότητα, με τον αριθμό τους n να τείνει στο άπειρο όταν η συχνότητα τείνει στο άπειρο, τότε και ή ενέργεια της ακτινοβολίας απειρίζεται. Αυτό φυσικά είναι παράλογο, και έμεινε γνωστό ως το πρόβλημα της υπεριώδους καταστροφής. Το πρόβλημα αυτό έγινε γνωστό μετά την εξαγωγή της σωστής σχέσης από τον Πλανκ, και επομένως δεν είχε ουσιαστική επιρροή στις εξελίξεις. Σύμφωνα με την εργασία του Πλανκ, η ενέργεια των στάσιμων κυμάτων δεν είναι η ίδια για όλες τις συχνότητες. Στη θέση της ποσότητας kT μπαίνει η ποσότητα h ν e h ν k T − 1 {\displaystyle {\frac {h\nu }{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}} και η σχέση που δίνει τη σωστή φασματική πυκνότητα ενέργειας είναι: ρ T ( ν ) = 8 π h c 3 ⋅ ν 3 e h v k T − 1 {\displaystyle \rho _{T}(\nu )={\frac {8\pi \ h}{c^{3}}}\cdot \ {\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {hv}{kT}}-1}}} που είναι γνωστή ως ο νόμος του Πλανκ για την ακτινοβολία του μέλανος σώματος. Στην εικόνα φαίνεται μια ποσότητα λάβας pahoehoe, ενός είδους βαλσατικής λάβας. Η θερμοκρασία της μπορεί να υπολογιστεί από το χρώμα της. Το αποτέλεσμα του υπολογισμού συμφωνεί με τις πειραματικές μετρήσεις για λάβα θερμοκρασίας από 1000 οC μέχρι 1200 οC. Όπως όλα τα υλικά σώματα, το ανθρώπινο σώμα εκπέμπει θερμική ακτινοβολία. Επειδή η θερμοκρασία του είναι χαμηλή, το μεγαλύτερο μέρος του φάσματος της ακτινοβολίας αυτής βρίσκεται έξω από την περιοχή του ορατού, στην περιοχή της υπέρυθρης ακτινοβολίας. Ταυτόχρονα, το σώμα μας απορροφά θερμική ακτινοβολία από το περιβάλλον. Η διαφορά της ισχύος της απορροφούμενης ενέργειας από την εκπεμπόμενη μας δείχνει πόση ενέργεια απελευθερώνουμε στο περιβάλλον υπό την μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας: P n e t = P e m i t − P a b s o r b {\displaystyle P_{net}=P_{emit}-P_{absorb}\,} Μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ της με την βοήθεια του νόμου των Στέφαν - Μπόλτζμαν: P n e t = A σ ϵ ( T 4 − T 0 4 ) {\displaystyle P_{net}=A\sigma \epsilon \left(T^{4}-T_{0}^{4}\right)\,} όπου Α το συνολικό εμβαδόν της επιφάνειας του ανθρώπινου σώματος, που για ένα ενήλικο άτομο κυμαίνεται μεταξύ 1,5 και 2 m2 (εδώ θα θέσουμε Α = 2m2). Ο συντελεστής εκπομπής της επιδερμίδας μας είναι πολύ κοντά στην μονάδα (ε = 0,98). Η θερμοκρασία της ελεύθερης επιδερμίδας είναι γύρω στους 32 οC, (90 °F, ή 305 °K), αλλά τα ρούχα την μειώνουν κατά μερικούς βαθμούς. Έτσι, για τον υπολογισμό μας θα χρησιμοποιήσουμε την τιμή των 301 °K. Η θερμοκρασία του περιβάλλοντος κυμαίνεται πολύ. Αν θεωρήσουμε όμως ότι έχουμε θερμοκρασία δωματίου, 20 °C (68 °F, ή 293 °K), βρίσκουμε ότι η ισχύς της ακτινοβολούμενης ενέργειας από το ανθρώπινο σώμα είναι: P n e t = 95 w a t t s {\displaystyle P_{net}=95\ \mathrm {watts} \,} Βλέπουμε δηλαδή ότι το σώμα μας εκπέμπει ακτινοβολία περίπου ίση με ένα ηλεκτρικό λαμπτήρα των 100 watt, με την διαφορά ότι εκπέμπει στο υπέρυθρο ή και σε μεγαλύτερα μήκη κύματος. Η συνολική ενέργεια που απελευθερώνεται κατά την διάρκεια μιας ολόκληρης μέρας είναι σχεδόν 9 εκατομμύρια Τζάουλς, ή 2000 θερμίδες (kcal). Ο φυσικός ρυθμός του μεταβολισμού είναι περίπου 100-120 Watts, ενώ αν ένα άτομο χάνει ενέργεια με ρυθμό μεγαλύτερο από 160 Watts, θα αισθάνεται κρύο. Αντίθετα, κατά την διάρκεια έντονης σωματικής δραστηριότητας ο μεταβολισμός γίνεται πολύ μεγαλύτερος, και καθώς η εκπομπή ακτινοβολίας δεν είναι αρκετή, η επιπλέον ενέργεια αποβάλλεται μέσω της εφίδρωσης. Εφαρμόζοντας τον νόμο μετατόπισης του Wien στα πιο πάνω δεδομένα, βρίσκουμε ότι το μήκος κύματος για το οποίο η εκπομπή γίνεται μέγιστη είναι: λ m a x = 2.898 × 10 6 K ⋅ n m 305 K = 9500 n m {\displaystyle \lambda _{max}={\frac {2.898\times 10^{6}\ \mathrm {K} \cdot \mathrm {nm} }{305\ \mathrm {K} }}=9500\ \mathrm {nm} \,} Γι' αυτό, οι συσκευές θερμικής απεικόνισης όπως οι διόπτρες υπερύθρου που είναι σχεδιασμένες για εντοπισμό ανθρώπων, ανταποκρίνονται συνήθως σε περιοχή φάσματος 7 ώς 14μm. (Συμπληρωματικά, βλέπε και τα παραδείγματα στο άρθρο νόμος Στέφαν - Μπόλτζμαν) Για τον υπολογισμό αυτό θα θεωρήσουμε ότι τόσο η Γη όσο και ο Ήλιος είναι σφαιρικά μελανά σώματα, το καθένα από τα οποία βρίσκεται σε κατάσταση θερμικής ισορροπίας. Για ένα πιο ακριβή υπολογισμό θα έπρεπε επιπλέον να ληφθούν υπόψιν: το φαινόμενο albedo (η ανάκλαση μέρους της ακτινοβολίας από τον πλανήτη), το φαινόμενο του θερμοκηπίου (για πλανήτες με ατμόσφαιρα), η ενέργεια που παράγεται εσωτερικά από τον ίδιο τον πλανήτη (αυτό παίζει σημαντικότερο ρόλο σε πλανήτες όπως ο Δίας). Με την βοήθεια του νόμου Στέφαν-Μπόλτζμαν βρίσκουμε την συνολική ισχύ (ενέργεια ανά δευτερόλεπτο) εκπομπής του Ήλιου: P S e m t = ( σ T S 4 ) ( 4 π R S 2 ) ( 1 ) {\displaystyle P_{Semt}=\left(\sigma T_{S}^{4}\right)\left(4\pi R_{S}^{2}\right)\qquad \qquad (1)} όπου: σ {\displaystyle \sigma \,} είναι η σταθερά Στέφαν-Μπόλτζμαν, T S {\displaystyle T_{S}\,} είναι η επιφανειακή θερμοκρασία του Ήλιου, και R S {\displaystyle R_{S}\,} είναι η ακτίνα του Ήλιου.Ο Ήλιος εκπέμπει αυτή την ισχύ εξίσου προς όλες τις κατευθύνσεις. Γι' αυτό, η Γη δέχεται μόνο ένα πολύ μικρό κλάσμα της. Η ισχύς από τον Ήλιο που απορροφάται από την Γη είναι: P E a b s = P S e m t ( π R E 2 4 π D 2 ) ( 2 ) {\displaystyle P_{Eabs}=P_{Semt}\left({\frac {\pi R_{E}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)\qquad \qquad (2)} όπου: R E {\displaystyle R_{E}\,} είναι η ακτίνα της Γης και D {\displaystyle D\,} είναι η απόσταση μεταξύ Ήλιου και Γης.Παρόλο που η Γη απορροφά σαν μια επιφάνεια κύκλου με εμβαδόν π R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} , εκπέμπει ισοδύναμα προς όλες τις κατευθύνσεις, όπως μια σφαίρα: P E e m t = ( σ T E 4 ) ( 4 π R E 2 ) ( 3 ) {\displaystyle P_{Eemt}=\left(\sigma T_{E}^{4}\right)\left(4\pi R_{E}^{2}\right)\qquad \qquad (3)} όπου: T E {\displaystyle T_{E}} είναι η επιφανειακή θερμοκρασία της Γης.Με βάση την υπόθεση ότι η Γη βρίσκεται σε κατάσταση θερμικής ισορροπίας, η ισχύς που απορροφά πρέπει να είναι ίση με την ισχύ που εκπέμπει: P E a b s = P E e m t {\displaystyle P_{Eabs}=P_{Eemt}\,} Αν στα δύο μέλη της εξίσωσης αυτής αντικαταστήσουμε τις εξισώσεις 1, 2, και 3 παίρνουμε: ( σ T S 4 ) ( 4 π R S 2 ) ( π R E 2 4 π D 2 ) = ( σ T E 4 ) ( 4 π R E 2 ) . {\displaystyle \left(\sigma T_{S}^{4}\right)\left(4\pi R_{S}^{2}\right)\left({\frac {\pi R_{E}^{2}}{4\pi D^{2}}}\right)=\left(\sigma T_{E}^{4}\right)\left(4\pi R_{E}^{2}\right).\,} Κάνοντας τις απαλοιφές, παίρνουμε: Η τιμή αυτή βρίσκεται μέσα στο 3% της συνήθους μέτρησης των 5780 Kelvin. Έτσι πιο πάνω νόμος είναι έγκυρος για τις περισσότερες επιστημονικές και μηχανολογικές εφαρμογές. Στην πρώτη εικόνα βλέπουμε την σχηματοποιημένη καταγραφή δεδομένων από τον δορυφόρο WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) της NASA, ο οποίος μετρά προς διάφορες κατευθύνσεις την θερμοκρασία της θερμικής ακτινοβολίας που απελευθερώθηκε κατά την διάρκεια της μεγάλης έκρηξης που δημιούργησε το σύμπαν - γνωστής και ως κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου. Σκοπός του WMAP είναι να ανιχνεύσει μικροσκοπικές διαφορές στην ακτινοβολία υποβάθρου ούτως ώστε να μπορούν να ελεγχθούν τα διάφορα μοντέλα που περιγράφουν την εξέλιξη του σύμπαντος. Αν και η ακτινοβολία αυτή είναι διάχυτη και δεν αφορά (πλέον) κανένα συγκεκριμένο σώμα, το φάσμα της παρουσιάζει εκπληκτική συμφωνία με τον νόμο της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος. Πρόκειται για την πιο τέλεια προσέγγιση που έχει καταγραφεί ποτέ. Η δεύτερη εικόνα προέρχεται από προηγούμενη αποστολή με παρόμοιο σκοπό, από τον δορυφόρο COBE (Cosmic Background Explorer). Είναι γραφική παράσταση της έντασης της ακτινοβολίας ως προς των αριθμό των κυμάτων ανά εκατοστό. Η συμφωνία των πειραματικών μετρήσεων με την θεωρεία είναι τέτοια ώστε τα 34 σημεία που τοποθετήθηκαν για να σχηματίσουν την καμπύλη καλύφθηκαν ακριβώς από την καμπύλη που προβλέπει η θεωρία, και τα διαστήματα λάθους ήταν τόσο μικρά που δεν ξεπερνούν το πάχος της γραμμής. Τα δεδομένα δείχνουν ότι το 99,97% της ακτινοβολίας υποβάθρου απελευθερώθηκε μέσα στον πρώτο χρόνο από την στιγμή της μεγάλης έκρηξης, και αντιστοιχούν στο φάσμα μελανού σώματος θερμοκρασίας 2,7°K. Μαύρη τρύπα ονομάζεται μια περιοχή του χώρου στην οποία το βαρυτικό πεδίο είναι τόσο ισχυρό, ώστε κανένα σώμα που βρίσκεται μέσα σ’ αυτήν δεν μπορεί να διαφύγει. Η επιφάνεια της περιοχής αυτής ονομάζεται «ορίζοντας γεγονότων». Η δυνατότητα ύπαρξης μαύρων οπών προβλέπεται από την Γενική θεωρία της Σχετικότητας, όταν μια ποσότητα ύλης συγκεντρωθεί σε μια απειροελάχιστη περιοχή. Αναμένεται ότι κάτι τέτοιο συμβαίνει όταν ένα άστρο με αρκετά μεγάλη μάζα, τουλάχιστον 3-5 φορές μεγαλύτερη από την μάζα του Ήλιου, χρησιμοποιήσει όλα τα «καύσιμά» του και αρχίσει να ψύχεται. Τελικά η μάζα του άστρου καταρρέει λόγω της βαρυτικής έλξης των σωματιδίων που την αποτελούν, δημιουργώντας μια μαύρη τρύπα. Μέσα στα όρια της μαύρης τρύπας το βαρυτικό πεδίο είναι τόσο ισχυρό, που ούτε το φως δεν μπορεί να διαφύγει. Εφόσον η μαύρη τρύπα απορροφά όλο το φως που πέφτει πάνω της (όπως και οτιδήποτε άλλο), αποτελεί, σύμφωνα με τον ορισμό, μέλαν σώμα. Όμως ο τρόπος με τον οποίο μια μαύρη τρύπα απορροφά φως, δεν έχει τίποτα να κάνει με τον τρόπο που ένα στερεό σώμα απορροφά φως. Επιπλέον, εφόσον τίποτα δεν είναι δυνατόν να διαφύγει από το βαρυτικό της πεδίο, δεν πρέπει ούτε και να εκπέμπει οποιαδήποτε ακτινοβολία. Ωστόσο το 1974 ο Βρετανός φυσικός Στήβεν Χώκινγκ (Stephen Hawking), χρησιμοποιώντας την κβαντική θεωρία πεδίου σε καμπύλο χωροχρόνο, έδειξε ότι πρέπει να εκπέμπεται θερμική ακτινοβολία. Αυτό γίνεται χωρίς να παραβιάζεται η γενική θεωρία της σχετικότητας καθώς η νοητή προέκτασή της περνάει από το βαρυτικό κέντρο της μαύρης τρύπας. Σε αυτήν την περίπτωση η ακτινοβολία δεν είναι δυνατόν να καμπυλωθεί και ως εκ τούτου διαφεύγει του ορίζοντα γεγονότων. Η ύπαρξή της οφείλεται στις κβαντικές διακυμάνσεις του κενού ακριβώς έξω από τον ορίζοντα γεγονότων, οι οποίες έχουν ως αποτέλεσμα την δημιουργία ενός εν δυνάμει ζεύγους σωματιδίων. Αν το ένα μέλος του ζεύγους περάσει τον ορίζοντα γεγονότων και απορροφηθεί, ενώ το άλλο ακολουθήσει αντίθετη πορεία και διαφύγει, για ένα εξωτερικό παρατηρητή θα φανεί ότι η μαύρη τρύπα έχει εκπέμψει ένα σωματίδιο. Επιπλέον, η μάζα της θα ελαττωθεί κατά ποσό ίσο με την μάζα του σωματιδίου αυτού. Η ακτινοβολία αυτή ονομάζεται ακτινοβολία Χώκινκ και ακολουθεί τον νόμο της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος: Σύμφωνα με την θεωρία, μια μαύρη τρύπα χαρακτηρίζεται από μια θερμοκρασία αντιστρόφως ανάλογη από το μέγεθος του ορίζοντα γεγονότων της, και επομένως αντιστρόφως ανάλογη από την μάζα (Μ) της. Με λίγα λόγια, όσο μικρότερη είναι μια μαύρη τρύπα, τόσο μεγαλύτερη είναι η θερμοκρασία (Τ) της: T = ℏ c 3 8 π k G M ( 1 ) {\displaystyle T={\frac {{\hbar }c^{3}}{8{\pi }kGM}}\qquad \qquad (1)} όπου: ℏ = h 2 π = 1.054 571 68 ( 18 ) × 10 − 34 J ⋅ s {\displaystyle \hbar \ =\ {\frac {h}{2\pi }}=\,\,\,1.054\ 571\ 68(18)\times 10^{-34}\ {\mbox{J}}\cdot {\mbox{s}}\,\,\ } η ανηγμένη σταθερά του Πλανκ (ή σταθερά του Ντίρακ), G = ( 6.6742 ± 0.0010 ) × 10 − 11 N m 2 kg − 2 {\displaystyle G=\left(6.6742\pm 0.0010\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{N}}\ {\mbox{m}}^{2}\ {\mbox{kg}}^{-2}\,} η σταθερά παγκόσμιας έλξης, και c = 299792458 m ⋅ s − 1 {\displaystyle c=299792458\,\ m\cdot s^{-1}} η ταχύτητα του φωτός στο κενό.Η ακτίνα του ορίζοντα γεγονότων (ακτίνα Schwarzschild) δίνεται από την σχέση: r S = 2 G M c 2 {\displaystyle r_{\rm {S}}={2\,GM \over c^{2}}} και επομένως η ολική επιφάνεια εκπομπής θα είναι: A = 4 π r S 2 = 16 π G 2 M 2 c 4 ( 2 ) {\displaystyle A=4\pi r_{S}^{2}={16\pi \ G^{2}M^{2} \over c^{4}}\qquad \qquad (2)} Η σταθερά Στέφαν-Μπόλτζμαν δίνεται από την σχέση: σ = π 2 k 4 60 c 2 ℏ 3 ( 3 ) {\displaystyle \sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60c^{2}{\hbar }^{3}}}\qquad \qquad (3)} Εφαρμόζοντας τον νόμο Στέφαν-Μπόλτζμαν και χρησιμοποιώντας τις (1), (2) και (3), βρίσκουμε ότι η ολική ισχύς εκπομπής της μαύρης τρύπας θα είναι: P = ℏ c 6 15360 π G 2 M 2 {\displaystyle P={\hbar \,c^{6} \over 15360\pi \ G^{2}M^{2}}} Πριν από τον Κίρχοφ μερικοί άλλοι ερευνητές είχαν κάνει λόγο για τη σχέση μεταξύ της εκπομπής και της απορρόφησης ακτινοβολίας από τα διάφορα σώματα: Το 1804 ο Τζον Λέσλη (John Leslie), πειραματιζόμενος με την θερμική ακτινοβολία, έδειξε πως η εκπομπή ακτινοβολίας ενός σώματος είναι ανάλογη με το δείκτη απορρόφησής του. Κατασκεύασε ένα κυβικό δοχείο το οποίο γέμισε με νερό σε θερμοκρασία βρασμού, του οποίου η μια πλευρά ήταν βαμμένη μαύρη και η άλλη αποτελείτο από ένα πολύ λείο μέταλλο, ενώ οι υπόλοιπες δύο από χαλκό. Έδειξε ότι η ακτινοβολία που απορροφούσε η μαύρη πλευρά ήταν μεγαλύτερη από αυτήν που απορροφούσε η λεία πλευρά. Το όργανο αυτό ονομάστηκε κύβος του Λέσλη. Δημοσίευσε τα συμπεράσματά του σε ένα άρθρο με τίτλο «Experimental Enquiries into the Nature and Properties of Heat». Το 1858, ο Balfour Stewart, σε μια εργασία του στη Βασιλική Ακαδημία του Εδιμβούργου (Royal Society of Edinburgh) με τίτλο “An account of some experiments on radiant heat”, βασισμένη τόσο σε εμπειρικά όσο και σε θεωρητικά επιχειρήματα, ισχυρίστηκε ότι η εκπομπή ακτινοβολίας από ένα θερμαινόμενο σώμα δεν είναι επιφανειακό φαινόμενο αλλά λαμβάνει χώραν στο εσωτερικό του σώματος, και πως η εκπομπή ισούται με την απορρόφηση του για όλα τα μήκη κύματος. Στα τέλη του 1859 ο Κίρχοφ, καθηγητής φυσικής στο πανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργης, κατάθεσε στην Πρωσική ακαδημία μια εργασία που καταπιανόταν με το θέμα της εκπομπής και απορρόφησης ακτινοβολίας από τα διάφορα σώματα. Έλεγε μεταξύ άλλων ότι ο λόγος της ισχύος της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας (e) προς την ισχύ της απορροφώμενης (α), e/α, είναι ο ίδιος για όλα τα σώματα για κάθε συγκεκριμένο μήκος κύματος και εφόσον αυτά βρίσκονται στην ίδια θερμοκρασία. Λίγο αργότερα, σε άρθρο του στο Annalen der Physik (1860) μελέτησε με μεγαλύτερη λεπτομέρεια τη σχέση μεταξύ εκπομπής και απορρόφησης και εισήγαγε τον όρο "απολύτως μέλαν σώμα" ή απλώς "μέλαν σώμα", ως το σώμα εκείνο που απορροφά όλη την ακτινοβολία που πέφτει πάνω του. Σε ένα τέτοιο σώμα, ο λόγος της εκπεμπόμενης προς την απορροφώμενη ακτινοβολία (e/α) πρέπει να είναι μια συνάρτηση του μήκους κύματος λ της ακτινοβολίας και της θερμοκρασίας Τ του σώματος: Φ ( λ , T ) = ( e α ) λ {\displaystyle \Phi \ (\lambda \ ,T)=\left({\frac {e}{\alpha \ }}\right)_{\lambda }\ } Ως μοντέλο για το μέλαν σώμα ο Κίρχοφ χρησιμοποίησε μια υποθετική κοιλότητα της οποίας τα τοιχώματα ανακλούν τέλεια (χωρίς απώλειες) την ακτινοβολία, και η οποία περιέχει σώματα που απορροφούν και εκπέμπουν ακτινοβολία. Τα σώματα αυτά έχουν τυχαία σύσταση, σχήμα και αρχική θερμοκρασία. Με την πάροδο του χρόνου, και σύμφωνα με τους νόμους της θερμοδυναμικής, τα σώματα αυτά θα αποκτήσουν την ίδια θερμοκρασία και η ενεργειακή κατανομή της ακτινοβολίας δεν θα εξαρτάται από την σύνθεση ή τη δομή τους αλλά μόνο από την θερμοκρασία. Στη συνέχεια πολλοί φυσικοί ασχολήθηκαν με τις ιδιότητες της συνάρτησης αυτής, καθώς το θέμα αυτό συνδεόταν με διάφορα άλλα, όπως η μελέτη του φάσματος της ακτινοβολίας των άστρων και η εξακρίβωση της επιφανειακής τους θερμοκρασίας, ή το ζήτημα του φωτισμού των δρόμων, για το οποίο έπρεπε να βρεθούν οι πιο οικονομικές λύσεις. Τους ορίζοντες της μελέτης των φασμάτων των διαφόρων σωμάτων διεύρυνε η ανακάλυψη ότι το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Η εφεύρεση του βολομέτρου (bolometer) από τον Samuel Pierpont Langley το 1881 επέκτεινε την παρατηρήσιμη θερμική ακτινοβολία για μήκη κύματος μέχρι και ένα εκατομμυριοστό του μέτρου. Το 1888 ο Χένριχ Χερτζ (Heinrich Hertz) έδειξε ότι εναλλασσόμενα ρεύματα σε ανοικτά κυκλώματα παράγουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος της τάξεως του ενός μέτρου. Από την άλλη πλευρά το φάσμα διευρύνθηκε με την ανακάλυψη των ακτίνων Χ και των ακτίνων γ που εκπέμπονται από ραδιενεργές ουσίες. Το 1876 ο Ιταλός φυσικός Adolfo Bartoli συνέδεσε την θερμική ακτινοβολία με το δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής. Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η ακτινοβολία πρέπει να ασκεί κάποια πίεση πάνω στο σώμα που την απορροφά. Μια από τις πρώτες θεωρητικές προσπάθειες για την περιγραφή της ενεργειακής κατανομής στα διάφορα μήκη κύματος της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος έγινε από τον Eugen von Lommel, καθηγητή φυσικής στο πανεπιστήμιο του Munich, το 1878. Ο Lommel μελέτησε (θεωρητικά) την εκπομπή θερμικής ακτινοβολίας από ένα στερεό σώμα, βασισμένος σε ένα μηχανικό μοντέλο για την περιγραφή των δονήσεων μέσα σε αυτό. Το 1879 ο Τζόζεφ Στέφαν (Joseph Stefan) κατέληξε εμπειρικά σε ένα νόμο για την ολική ποσότητα ακτινοβολίας που εκπέμπει ένα σώμα: ρ = A T 4 {\displaystyle \rho \ =AT^{4}} όπου ρ είναι η πυκνότητα της ακτινοβολίας και Α μια σταθερά. Το 1884 ο Ludwig Boltzmann κατέληξε στον ίδιο νόμο θεωρητικά, στηριζόμενος πάνω στην ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell και χρησιμοποιώντας τα θερμοδυναμικά επιχειρήματα του Bartoli. Η σχέση αυτή έμεινε γνωστή ως νόμος του Στέφαν, ή νόμος των Stefan – Boltzmann. Το 1888, ο Μίκελσον (Vladimir Alexandrovich Michelson) μελέτησε το ζήτημα χρησιμοποιώντας στοιχεία από την κινητική θεωρία των αερίων, συμπεριλαμβανομένου και του νόμου του Maxwell για την κατανομή των ταχυτήτων στα μόρια του αερίου, για να καταλήξει σε ένα τύπο για την συνάρτηση Φ(λ,Τ) του Κίρχοφ. Εν τω μεταξύ, το 1886 ο Samuel Pierpont Langley, με την βοήθεια του βολομέτρου που ο ίδιος είχε εφεύρει προηγουμένως, μελέτησε την εκπομπή θερμικής ακτινοβολίας από χαλκό του οποίου η θερμοκρασία κυμαινόταν μεταξύ 330 o C {\displaystyle 330^{o}C} και 815 o C {\displaystyle 815^{o}C} . Διαπίστωσε μια συγκεκριμένη μετατόπιση της μέγιστης έντασης της ακτινοβολίας με την αύξηση της θερμοκρασίας. Τις μετρήσεις του επέκτεινε ο Friedrich Paschen, καθηγητής στο τεχνικό πανεπιστήμιο του Ανοβέρου (Technical University of Hanover). Ο Paschen άρχισε να πειραματίζεται σ’ αυτό τον τομέα το 1892, εφαρμόζοντας πολλές διαφορετικές μεθόδους μέτρησης της έντασης της θερμικής ακτινοβολίας και χρησιμοποιώντας πολλά διαφορετικά υλικά. Το αποτέλεσμα ήταν να καταλήξει το 1896 σε μια εμπειρική φόρμουλα για την συνάρτηση του Κίρχοφ: Φ ( λ , T ) = c 1 λ − a e x p ( − c 2 λ T ) {\displaystyle \Phi \ (\lambda \ ,T)=c_{1}\lambda \ ^{-a}exp\left(-{\frac {c_{2}}{\lambda \ T}}\right)} όπου α, c 1 {\displaystyle c_{1}} και c 2 {\displaystyle c_{2}} σταθερές. Η τιμή του α υπολογίστηκε γύρω στο 5,5. Στην ίδια σχέση είχε καταλήξει θεωρητικά και ο Βίλχελμ Βίεν (Wilhelm Wien) ανεξάρτητα από τον Paschen. Ο Βίεν χρησιμοποίησε την ιδέα του Bartoli και του Boltzmann να εμπλέξουν τόσο την ηλεκτροδυναμική όσο και την θερμοδυναμική στη μελέτη της θερμικής ακτινοβολίας. Όμως ο Βίεν, αντί να ενδιαφερθεί για την συνολική ποσότητα ακτινοβολίας που εκπέμπεται, ενδιαφέρθηκε για την κατανομή της ενέργειας στα διάφορα μήκη κύματος. Λαμβάνοντας υπόψη την αρχή του Doppler ότι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας εξαρτάται από την ταχύτητα της πηγής, κατέληξε το 1893 σε μια σχέση που έμεινε γνωστή ως νόμος μετατόπισης του Βίεν: λ max ⋅ T = c o n s t . {\displaystyle \lambda _{\max }\cdot T=const.} που δείχνει ότι το μήκος κύματος της μέγιστης εκπομπής ακτινοβολίας μετατοπίζεται αντιστρόφως ανάλογα με την θερμοκρασία. Εκτός από καθαρά θερμοδυναμικά επιχειρήματα, ο Βίεν εφάρμοσε στη συνέχεια την «μοριακή υπόθεση», δηλαδή υπέθεσε πως η ακτινοβολία του μέλανος σώματος από μόρια που υπακούν τον νόμο της κατανομής των ταχυτήτων του Maxwell (όπως είχε κάνει και ο Μίκελσον προηγουμένως). Σύμφωνα με αυτήν, ο αριθμός των μορίων που έχουν ταχύτητα υ είναι ανάλογος της ποσότητας υ 2 e x p ( − c υ 2 / T ) {\displaystyle \upsilon \ ^{2}exp(-c\upsilon \ ^{2}/T)} , όπου c σταθερά και Τ η απόλυτη θερμοκρασία. Υποθέτοντας ότι το μήκος κύματος της ακτινοβολίας που εκπέμπει ένα μόριο είναι συνάρτηση μόνο της ταχύτητάς του, έφτασε στην σχέση ρ λ = F ( λ ) e x p ( − f ( λ ) T ) {\displaystyle \rho _{\lambda }\ =F(\lambda \ )exp\left(-{\frac {f(\lambda \ )}{T}}\right)} Χρησιμοποιώντας τον νόμο της μετατόπισης προσδιόρισε την συνάρτηση μέσα στο εκθετικό ως: f ( λ ) = c 2 λ {\displaystyle f(\lambda \ )={\frac {c_{2}}{\lambda \ }}} και από τον νόμο των Στέφαν - Μπόλτζμαν προσδιόρισε την συνάρτηση έξω από το εκθετικό ως: F ( λ ) = c 1 λ 5 {\displaystyle F(\lambda \ )={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}} Επειδή η συνάρτηση που προκύπτει από την αντικατάσταση των δύο τελευταίων στην προηγούμενη είναι ίδια με τη συνάρτηση του Paschen, εφόσον δώσουμε στο α την τιμή 5, ο Βίεν ταύτισε το ρ λ {\displaystyle \rho _{\lambda }\ } με τη συνάρτηση Φ(λ,Τ) του Κίρχοφ. Για την δουλειά του πάνω στην θερμική ακτινοβολία ο Βίεν τιμήθηκε με το βραβείο νόμπελ φυσικής το 1911. Στις 27 Απριλίου του 1900 ο Λόρδος Κέλβιν έδωσε μια διάλεξη στο Βασιλικό Ινστιτούτο της Μεγάλης Βρετανίας, στο Λονδίνο, με τίτλο "Nineteenth-Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light" (Σύννεφα στην δυναμική θεωρία της θερμότητας και του φωτός κατά τον δέκατο ένατο αιώνα), στην οποία μίλησε για τα δύο σκοτεινότερα σημεία στην φυσική εκείνη την εποχή: το ένα ήταν το πρόβλημα της σχετικής κίνησης των σωμάτων ως προς τον αιθέρα, που προέκυψε από τα πειράματα των Μάικελσον και Μόρλεϊ, και το δεύτερο αφορούσε την ασυμφωνία μεταξύ θεωρίας και πειράματος σχετικά με την αρχή της ισοκατανομής της ενέργειας και τις ειδικές θερμότητες των σωμάτων, και που σχετίζεται επίσης με την ακτινοβολία του μέλανος σώματος. Ένα χρόνο αργότερα μάλιστα, πρότεινε ότι η αρχή της ισοκατανομής πρέπει να απορριφθεί. Η επισήμανση αυτή αποδείχθηκε ιδιαίτερα οξυδερκής, καθώς τα δύο "σύνεφφα" του Λόρδου Κέλβιν αποτέλεσαν σημεία εκκίνησης για τις δύο μεγάλες επαναστάσεις του εικοστού αιώνα στην φυσική, το πρώτο για τη θεωρία της σχετικότητας και το δεύτερο για την κβαντομηχανική (ωστόσο ο Αϊνστάιν, όπως ισχυρίστηκε τουλάχιστον, δεν γνώριζε τα πειράματα Μάικελσον - Μόρλεϊ). Λίγο αργότερα από την διάλεξη του Λόρδου Κέλβιν, στις 19 Οκτωβρίου του 1900, ο Μαξ Πλανκ διατύπωσε τον νόμο του για την ακτινοβολία του μέλανος σώματος. Ο Πλανκ είχε αφιερώσει μεγάλο μέρος της ερευνητικής του δραστηριότητας στην μελέτη του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής και την έννοια της εντροπίας, θέλοντας να τον προβάλει ως θεμελιώδη νόμο της φύσης, στο ίδιο επίπεδο με την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Έτσι ήταν για πολλά χρόνια αντίθετος με την ατομική εξήγηση της θερμότητας, σύμφωνα με την οποία ο δεύτερος νόμος έχει στατιστικό χαραχτήρα. Η πεποίθησή του αυτή τον οδήγησε σε αντιπαραθέσεις με διάφορους υποστηρικτές της εν λόγω υπόθεσης και ιδιαίτερα με τον Μπόλτζμαν. Γύρω στο 1894, ο Πλανκ έστρεψε την προσοχή του στη θερμική ακτινοβολία. Κατάλαβε ότι στο πεδίο αυτό ανοίγονται νέες δυνατότητες κατανόησης της θερμοδυναμικής και ήλπιζε σε μια γενικότερη κατανόηση των μη αντιστρεπτών διαδικασιών και ίσως την εξαγωγή της έννοιας της εντροπίας μέσω της μηχανική ή της ηλεκτροδυναμικής. Έτσι, χρησιμοποιώντας το μοντέλο της κοιλότητας με τελείως ανακλαστικά τοιχώματα του Κίρχοφ, προσπάθησε να ερμηνεύσει την διαδικασία ομογενοποίησης της ακτινοβολίας μέσα στην κοιλότητα (κατά την οποία η ακτινοβολία χάνει όλες τις άλλες πληροφορίες εκτός από αυτές που αφορούν την θερμοκρασία της κοιλότητας) χωρίς να καταφύγει στη βοήθεια της στατιστικής και των πιθανοτήτων. Για να το πετύχει αυτό το 1898 εισήγαγε την έννοια της «φυσικής ακτινοβολίας» (natürliche strahlung): αποδίδοντας τις ιδιότητες της φυσικής ακτινοβολίας σε μια διαδικασία εκπομπής ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, εννοούμε ότι η ενέργεια της ακτινοβολίας κατανέμεται με τελείως ακανόνιστο τρόπο μεταξύ της κάθε μεμονωμένης δόνησης που μπορούμε να θεωρήσουμε ότι την αποτελεί. Έδειξε ότι κάθε διαδικασία εκπομπής ακτινοβολίας που μπορεί να χαρακτηριστεί «φυσική», οδηγεί αναπόφευκτα στην μη αντιστρεψιμότητα. Έτσι, αν φυσική ακτινοβολία που εκπέμπεται από δύο σώματα διαφορετικών θερμοκρασιών, απορροφάται και επανεκπέμπεται από ένα ταλαντωτή, τότε η εκπεμπόμενη ακτινοβολία θα αντιπροσωπεύει μια πιο ομοιόμορφη θερμοκρασία. Με την βοήθεια της έννοιας αυτής κατάφερε να ορίσει την εντροπία της ακτινοβολίας από μια κατάλληλη έκφραση, έτσι ώστε η μεταβολή της εντροπίας να είναι πάντα μια θετική ποσότητα. Επιπλέον, κατέληξε σε μια σχέση μεταξύ της ενέργειας του ταλαντωτή και της έντασης της ακτινοβολίας για ένα δοσμένο μήκος κύματος. Κατά το 1899 όμως, κατάλαβε ότι η υπόθεση της φυσικής ακτινοβολίας δεν ήταν παρά μια άλλη διατύπωση του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής. Έτσι η προσπάθειά του να αναγάγει τον δεύτερο νόμο από τις αρχές της ηλεκτροδυναμικής είχε αποτύχει. Ωστόσο η προσπάθειά του δεν ήταν άκαρπη, καθώς η ταύτιση της ηλεκτρομαγνητικής εντροπίας με την θερμοδυναμική εντροπία, οδηγεί άμεσα σε ένα ηλεκτρομαγνητικό ορισμό της θερμοκρασίας της ακτινοβολίας. Η κατάσταση μέγιστης εντροπίας αντιστοιχεί σε θερμική ισορροπία, και είναι το σημείο στο οποίο η θερμική ακτινοβολία σταθεροποιείται, έχοντας ομογενοποιηθεί. Ακόμα, ο Πλανκ κατέληξε σε ένα νόμο για την κατανομή της ενέργειας στα διάφορα μήκη κύματος που ήταν ο ίδιος με τον νόμο του Βίεν: ρ ν = 8 π b ν 3 c 3 e x p ( − α ν T ) {\displaystyle \rho _{\nu }={\frac {8\pi b\nu ^{3}}{c^{3}}}exp\left(-{\frac {\alpha \nu }{T}}\right)} Για τις σταθερές α και b υπολόγισε τις ακόλουθες τιμές: α = 0 , 4818 × 10 − 10 s ⋅ o C {\displaystyle \alpha =0,4818\times 10^{-10}s\cdot ^{o}C} b = 6 , 885 × 10 − 27 e r g ⋅ s {\displaystyle b=6,885\times 10^{-27}erg\cdot s} Βεβαίως ο Πλανκ γνώριζε για τον νόμο του Βίεν, δεν ήταν ευχαριστημένος όμως με τον τρόπο εξαγωγής του. Ο νόμος αυτός φαινόταν να επαληθεύεται από τις μετρήσεις. Όμως τον καιρό που ο Πλανκ παρουσίασε αυτά τα αποτελέσματα, νέα πειραματικά δεδομένα με μετρήσεις σε μεγάλα μήκη κύματος, από τους Otto Lummer, Ferdinand Kurlbaum, Ernst Pringsheim και Heinrich Rubens έδειξαν ότι ο νόμος αυτός αποκλίνει από τις μετρήσεις. Στο επόμενο διάστημα έγιναν συνεχόμενες βελτιώσεις στις τεχνικές παρατήρησης ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας μεγάλου μήκους κύματος, τόσο από τους τρεις αυτούς ερευνητές όσο και από άλλους που έστρεψαν την προσοχή τους στο ζήτημα αυτό. Έτσι, μέσα στο έτος 1900 είχε γίνει φανερό ότι ο νόμος του Βιέν δεν περιέγραφε σωστά την θερμική ακτινοβολία σε αυτή την περιοχή του φάσματος. Ο Πλανκ πληροφορήθηκε στις 7 Οκτωβρίου του 1900 από τον Rubens για τις τελευταίες μετρήσεις που διέψευδαν οριστικά το νόμο, καθώς επίσης και για το γεγονός ότι στα μεγάλα μήκη κύματος προβλέπει σωστά τα αποτελέσματα ένας τύπος που προτάθηκε από τον Λόρδο Ρέηλεϊ (Βλέπε πιο πάνω ακτινοβολία κοιλότητας). Έτσι, υπήρχαν δύο διαφορετικοί μαθηματικοί τύποι για την ακτινοβολία του μέλανος σώματος: Ο τύπος του Βίεν, που προέβλεπε σωστά τις μετρήσεις στα μικρά μήκη κύματος αλλά αποτύγχανε στα μεγάλα, και ο τύπος Ρέηλεϊ-Τζιν που προέβλεπε σωστά τις μετρήσεις στα μεγάλα μήκη κύματος και αποτύγχανε στα μικρά. Ο Πλανκ σύγκρινε τις δύο σχέσεις και σύντομα κατέληξε σε μια σχέση που προέβλεπε σωστά ολόκληρο το φάσμα: Φ ( λ , T ) = ρ λ = c 1 λ 5 1 e c 2 λ T − 1 {\displaystyle \Phi \ (\lambda \ ,T)=\rho _{\lambda }={\frac {c_{1}}{\lambda \ ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {c_{2}}{\lambda \ T}}-1}}} Έστειλε τον καινούριο τύπο στον Rubens, γραμμένο πάνω σε μια ταχυδρομική κάρτα, και μια-δυο μέρες αργότερα, ο Rubens επισκέφτηκε τον Πλανκ για να του ανακοινώσει ότι συμφωνούσε τέλεια με τα πειραματικά δεδομένα. Τώρα ο Πλανκ είχε το σωστό νόμο, αλλά χωρίς μια ικανοποιητική φυσική ερμηνεία. Εντωμεταξύ, είχε συνειδητοποιήσει ότι η υπόθεση της φυσικής ακτινοβολίας που είχε επινοήσει παρουσίαζε πολλά κοινά με αυτήν της μοριακής αταξίας του Μπόλτζμαν στην κινητική θεωρία της θερμότητας. Επιπλέον, με την αποτυχία του νόμου του Βίεν, κατάλαβε ότι η υπόθεση αυτή από μόνη της δεν επαρκούσε για να τον οδηγήσει στο σωστό νόμο. Αν και για λίγο συνέχισε τις προσπάθειες να αναλύσει το νόμο βασιζόμενος στη θερμοδυναμική και την ηλεκτροδυναμική χωρίς την στατιστική, τελικά είδε ότι δεν υπήρχε άλλος δρόμος από το να υιοθετήσει την μέθοδο του Μπόλτζμαν, δηλαδή τη στατιστική ερμηνεία της εντροπίας. The Historical Development of Quantum Theory, Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg, Springer-Verlaq New York Inc, 1982, volume 1, chapter 1,σελ.24. ISBN 0-387-90642-8 και ISBN 3-540-90642-8. Σημειώσεις σύγχρονης φυσικής, Χ. Ελευθεριάδης, Α. Λιόλιος, Κ. Ζιούτας, Η. Σαββίδης. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Υπηρεσία Δημοσιευμάτων, 1998. Άρθρο στο Physics4u: Το μέλαν σώμα και η ακτινοβολία του, MAX PLANCK: Ο απρόθυμος επαναστάτης, Max Planck - Μια ζωή γεμάτη τραγωδίες. Εργασία: Μέλαν σώμα Σύγχρονη Φυσική. Το άρθρο του Πλανκ από το επιστημονικό περιοδικό "Annalen der Physik" στο οποίο εισάγεται η αρχή της κβάντωσης. (Αγγλικά) HyperPhysics - Georgia State University (Αγγλικά)