Μέσος όρος

Μέσος όρος ή αλλιώς δειγματική μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων αποτελεί το σπουδαιότερο και χρησιμότερο μέτρο της Στατιστικής και είναι ένα μέτρο θέσης, δηλαδή δείχνει σχετικά τις θέσεις των αριθμών στους οποίους αναφέρεται. Η μέση τιμή συμμετέχει σε αρκετούς τύπους της στατιστικής και εξετάζεται σε σχεδόν όλες τις στατιστικές κατανομές. Γενικά, ορίζεται ως το άθροισμα των παρατηρήσεων δια του πλήθους αυτών. Είναι δηλαδή η μαθηματική πράξη ανεύρεσης της «μέσης απόστασης» ανάμεσα σε δύο ή περισσότερους αριθμούς. Η μέση τιμή συμβολίζεται με x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} . Γενικός τύπος της μέσης τιμής είναι: x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n t i = 1 n ( t 1 + ⋯ + t n ) {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}t_{i}={\frac {1}{n}}(t_{1}+\cdots +t_{n})} , όπου ti η i παρατήρηση και n το πλήθος των παρατηρήσεων π.χ. 8+12+40 (3 αριθμοί οπότε δια του 3)= (60:3)=20 άρα ο μέσος όρος των 8, 12 και 40 είναι 20. Αν έχουμε κατηγοριοποιήσει τα δεδομένα σε k κλάσεις τότε ισχύουν και οι εξής τύποι: x ¯ = 1 n ∑ i = 1 k ( n i x i ) = 1 n ( n i x 1 + ⋯ + n k x k ) = ∑ i = 1 k ( f i x i ) = f 1 x 1 + ⋯ + f k x k {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{k}(n_{i}x_{i})={\frac {1}{n}}(n_{i}x_{1}+\cdots +n_{k}x_{k})=\sum _{i=1}^{k}(f_{i}x_{i})=f_{1}x_{1}+\cdots +f_{k}x_{k}} όπου ni, fi η i απόλυτη συχνότητα και σχετική συχνότητα αντίστοιχα της κλάσης με κεντρική τιμή xi

 Μερικά άλλα χαρακτηριστικά μέτρα θέσης είναι η διάμεσος (στατιστική) και η επικρατούσα τιμή. Σημαντική διαφορά με τη μέση τιμή είναι ότι η μέση τιμή υπολογίζεται με απλούς αλγεβρικούς τύπους, ενώ για τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή δεν υπάρχουν αλγεβρικοί τύποι. Επιπλέον, η μέση τιμή επηρεάζεται από ακραίες τιμές, ενώ η διάμεσος όχι. Η επικρατούσα τιμή δεν εξαρτάται από το πλήθος των παρατηρήσεων που την έχουν, ενώ στη μέση τιμή συνυπολογίζεται και το πλήθος. Κατά μια δειγματοληψία από πληθυσμό που ακολουθεί την κανονική κατανομή αναμένουμε για μεγάλο αριθμό δείγματος αυτά τα τρία να ταυτίζονται μεταξύ τους. Η καταλληλότερη επιλογή μεταξύ των μέτρων θέσης εξαρτάται από το είδος της κατανομής. Γενικά, καλύτερη εικόνα για την κατανομή σχηματίζεται όσο περισσότερα είναι τα στοιχεία που χρησιμοποιούμε. Η μέση τιμή, όπως και τα υπόλοιπα μέτρα θέσης δεν πληροφορούν για τη διασπορά των παρατηρήσεων γύρω από τις κεντρικές τιμές, γι' αυτό είναι απαραίτητα και τα μέτρα διασποράς. Σταθμικός μέσος ή σταθμισμένος μέσος όρος ονομάζεται το αποτέλεσμα: x ¯ = ∑ i = 1 k ( w i x i ) ∑ i = 1 k ( w i ) = w 1 x 1 + w 2 x 2 + ⋯ + w k x k w 1 + w 2 + ⋯ + w k {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(w_{i}x_{i})}{\sum _{i=1}^{k}(w_{i})}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{k}x_{k}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{k}}}} όπου wi ονομάζεται συντελεστής βαρύτητας του i στοιχείου xiΑυτός ο τύπος βρίσκει σε εφαρμογές όπως ο υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας στη φυσική ή του γενικού βαθμού πρόσβασης στις πανελλήνιες εξετάσεις. Οι συντελεστές βαρύτητας επιτρέπουν την προσαρμογή του μέσου όρου στις ανάγκες μας, ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Ο μέσος όρος όπως ορίστηκε αρχικά ονομάζεται πληρέστερα αριθμητικός μέσος όρος ή αριθμητικός μέσος, γιατί αν τρεις αριθμοί α, β, γ επαληθεύουν τον τύπο του β = α + γ 2 {\displaystyle \beta ={\tfrac {\alpha +\gamma }{2}}} αποδεικνύεται ότι είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ο αριθμητικός μέσος χ των θετικών αριθμών α1, α2, ..., αν είναι: χ = α 1 + α 2 + … + α ν ν {\displaystyle \chi ={\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{\nu }}{\nu }}} Με παρόμοιο τρόπο αν τρεις θετικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ισχύει ότι β = α γ {\displaystyle \beta ={\sqrt {\alpha \gamma }}} . Ο αριθμός β λέγεται και γεωμετρικός μέσος των α και γ. Ο γεωμετρικός μέσος λ των θετικών αριθμών α1, α2, ..., αν είναι: λ = α 1 ⋅ α 2 ⋅ … ⋅ α ν ν {\displaystyle \lambda ={\sqrt[{\nu }]{\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \alpha _{\nu }}}} Αν τρεις θετικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου ισχύει ότι 2 β = 1 α + 1 γ {\displaystyle {\tfrac {2}{\beta }}={\tfrac {1}{\alpha }}+{\tfrac {1}{\gamma }}} . Ο αριθμός β λέγεται και αρμονικός μέσος των α και γ. Ο αρμονικός μέσος ρ των θετικών αριθμών α1, α2, ..., αν είναι: ρ = ν 1 α 1 + 1 α 2 + … + 1 α ν {\displaystyle \rho ={\frac {\nu }{{\frac {1}{\alpha _{1}}}+{\frac {1}{\alpha _{2}}}+\ldots +{\frac {1}{\alpha _{\nu }}}}}} Μεταξύ των τριών αυτών μέσων όρων ισχύει η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου: χ>λ>ρ, ενώ αν α1=α2=...=αν, τότε χ=λ=ρ, ή πληρέστερα για τους θετικούς αριθμούς α1, α2, ..., αν ισχύει: α 1 + α 2 + … + α ν ν ≥ α 1 ⋅ α 2 ⋅ … ⋅ α ν ν ≥ ν 1 α 1 + 1 α 2 + … + 1 α ν {\displaystyle {\frac {\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{\nu }}{\nu }}\geq {\sqrt[{\nu }]{\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \alpha _{\nu }}}\geq {\frac {\nu }{{\frac {1}{\alpha _{1}}}+{\frac {1}{\alpha _{2}}}+\ldots +{\frac {1}{\alpha _{\nu }}}}}} Αρκετές φορές στη Φυσική ή Μηχανική δε μας ενδιαφέρει ο ίδιος ο αριθμητικός μέσος, αλλά ο μέσος όρος των τετραγώνων ή άλλης δύναμης του μεγέθους που μελετάμε. Για παράδειγμα αν αναζητούμε τη μέση κινητική ενέργεια ενός μορίου 1 2 m u 2 ¯ = 1 2 m u 2 ¯ {\displaystyle {\overline {{\frac {1}{2}}mu^{2}}}={\frac {1}{2}}m{\overline {u^{2}}}} , μας ενδιαφέρει ο όρος u 2 ¯ {\displaystyle {\overline {u^{2}}}} και όχι ο όρος ( u ¯ ) 2 {\displaystyle ({\overline {u}})^{2}} , ο οποίος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Ωστόσο πολλές φορές υπολογίζονται όροι τύπου u 2 ¯ {\displaystyle {\sqrt {\overline {u^{2}}}}} , οι οποίοι ονομάζονται ενεργές τιμές. Για παράδειγμα ο προηγούμενος ονομάζεται u ενεργό και συνήθως συμβολίζεται με uεν. Σε τέτοιες περιπτώσεις ίσως να μη μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέσον όρο, και αντί αυτού χρησιμοποιούμε ως μέτρο θέσης την ενεργή τιμή. Εφαρμογές εκτιμήτριας συνάρτησης για τον μέσο όρο ως εκτιμητή αναμενόμενης τιμής.