Ιστορία των μαθηματικών

Το πεδίο σπουδών γνωστό ως η Ιστορία των Μαθηματικών είναι κατ' εξοχήν μια έρευνα στην προέλευση των μαθηματικών και σε μικρότερο βαθμό μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους του παρελθόντος. Πριν τη σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια ανάπτυξη της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων ήρθαν στο φως, μέσα σε μικρό χρονικό διάστημα. Τα παλαιότερα διαθέσιμα μαθηματικά κείμενα είναι τα Πλίμπτον 322 (Μαθηματικά των Βαβυλωνίων 1900 π.Χ.), Μαθηματικός πάπυρος του Ριντ (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 2000-1800 π.Χ.), Μαθηματικός Πάπυρος της Μόσχας (Μαθηματικά των Αιγυπτίων 1890 π.Χ.). Όλα αυτά τα κείμενα ασχολούνται με το γνωστό ως Πυθαγόρειο θεώρημα, που φαίνεται να είναι η αρχαιότερη και πλέον διαδεδομένη ανακάλυψη μετά την αριθμητική και τη γεωμετρία. Η μελέτη των μαθηματικών ως θέμα από μόνο του ξεκινάει τον 6ο αιώνα π.Χ. με τους Πυθαγόρειους που επινόησαν τον όρο Μαθηματικά από την αρχαία ελληνική λέξη μάθημα, το οποίο ερμηνεύεται ως θέμα οδηγιών. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί βελτίωσαν σε μεγάλο βαθμό τις μεθόδους (ειδικά με την εισαγωγή του παραγωγικού συλλογισμού, του μαθηματικού σθένους και τις αποδείξεις) και επέκτειναν την ύλη των μαθηματικών. Οι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν συνεισφορές πολύ ενωρίς, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα αξιών. Τα σύμβολα των αριθμών, δηλαδή τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, και 9, που χρησιμοποιούμε σήμερα σ' όλο τον κόσμο, προέρχονται από την Ινδία. Ονομάστηκαν αραβικοί αριθμοί επειδή έγιναν γνωστοί στην Ευρώπη μέσω των Αράβων. Οι κανόνες, για τη παράσταση με αυτά τα ψηφία των αριθμών στο δεκαδικό σύστημα, εξελίχθηκαν πιθανότατα κατά την πρώτη χιλιετία μ.Χ. στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Αράβων μαθηματικών. Οι Άραβες μαθηματικοί ανέπτυξαν και επέκτειναν τα μαθηματικά, που έγιναν γνωστά σε αυτούς τους πολιτισμούς. Πολλά γνωστά ελληνικά και αραβικά μαθηματικά κείμενα μεταφράστηκαν στα Λατινικά, κάτι που οδήγησε σε περαιτέρω εξέλιξη των μαθηματικών στη μεσαιωνική Ευρώπη. Από την αρχαία εποχή και τον Μεσαίωνα, κορυφώσεις μαθηματικής δημιουργικότητας ακολουθούνταν πολλές φορές από αιώνες στασιμότητας. Στις αρχές της Ιταλικής Αναγέννησης, τον 16ο αιώνα, νέες μαθηματικές εξελίξεις που αλληλεπίδρασαν με νέες επιστημονικές ανακαλύψεις πραγματοποιήθηκαν με αυξανόμενο ρυθμό, που συνεχίζεται μέχρι και σήμερα.

 Η προέλευση της μαθηματικής σκέψης βασίζεται στις έννοιες του αριθμού, του μεγέθους και του σχήματος. Σύγχρονες μελέτες της γνωστικής λειτουργίας των ζώων, έχουν δείξει ότι οι έννοιες αυτές δεν αφορούν μόνο το ανθρώπινο ον. Τέτοιες έννοιες θα ήταν μέρος της καθημερινής ζωής και σε προϊστορικές κοινωνίες κυνηγών-τροφοσυλλεκτών. Η έννοια του αριθμού εξελίχθηκε με την πάροδο του χρόνου. Αυτό φαίνεται από το ότι σε ορισμένες γλώσσες διατηρείται η διάκριση μεταξύ των εννοιών "ένα", "δύο" και "πολλά", αλλά όχι αριθμών μεγαλύτερων του δύο. Το αρχαιότερο γνωστό ενδεχομένως μαθηματικό αντικείμενο είναι τα οστά Λεμπόμπο, που βρέθηκαν στην οροσειρά Λεμπόμπο της Σουαζιλάνδης και χρονολογούνται γύρω στο 35000 π.Χ.. Αποτελείται από 29 εμφανείς εγκοπές πάνω σε περόνη μπαμπουίνου. Άλλα προϊστορικά αντικείμενα, που ανακαλύφθηκαν στην Αφρική και τη Γαλλία, τα οποία χρονολογούνται μεταξύ 35000-20000 π.Χ., υποδηλώνουν τις πρώτες απόπειρες να προσδιοριστεί ποσοτικά ο χρόνος. Το οστό Ισάνγκο, το οποίο βρέθηκε στις πηγές του ποταμού Νείλου (στο βορειοανατολικό Κονγκό), χρονολογείται έως και 20000 έτη π.Χ. Αποτελείται από ομάδες χαραγμένων γραμμών σκαλισμένες σε τρεις στήλες, κατά μήκος του οστού. Συνήθεις ερμηνείες είναι ότι το οστό Ισάνγκο δείχνει είτε την αρχαιότερη γνωστή επίδειξη των ακολουθιών των πρώτων αριθμών, είτε ένα εξαμηνιαίο σεληνιακό ημερολόγιο. Στο βιβλίο How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, ο Πέτερ Ρούντμαν υποστηρίζει ότι η ανάπτυξη της έννοιας των πρώτων αριθμών θα μπορούσε μόνο να έχει έρθει σχετικά μετά την έννοια της διαίρεσης, πράγμα το οποίο χρονολογείται μετά το 10000 π.Χ., με τους πρώτους αριθμούς πιθανότατα να μην έχουν γίνει κατανοητοί μέχρι περίπου το 500 π.Χ.. Γράφει επίσης ότι: "δεν έχει γίνει καμία προσπάθεια να εξηγηθεί γιατί μία αντιστοιχία από κάτι που πρέπει να εμφανίζει πολλαπλάσια του 2, πρώτους αριθμούς από το 10 έως το 20, και κάποιους αριθμούς που σχεδόν είναι πολλαπλάσια του 10". Το οστό Ισάνγκο σύμφωνα με τον μελετητή Αλεξάντερ Μάρσακ, ίσως να έχει επηρεάσει τη μετέπειτα ανάπτυξη των μαθηματικών στην Αίγυπτο, γιατί όπως και σε κάποια στοιχεία του οστού Ισάνγκο, και η Αιγυπτιακή αριθμητική έκανε χρήση του πολλαπλασιασμού με το 2· αυτό, όμως, αμφισβητείται. Οι Αιγύπτιοι της Προδυναστικής περιόδου της Αιγύπτου της 5ης χιλιετίας π.Χ. εκπροσωπούνται εικονογραφικά από γεωμετρικά σχέδια. Έχει διατυπωθεί η άποψη, ότι μεγαλιθικά μνημεία στην Αγγλία και τη Σκωτία, που χρονολογούνται από την 3η χιλιετία π.Χ., ενσωματώνουν γεωμετρικές ιδέες, όπως κύκλους, ελλείψεις, και πυθαγόρειες τριάδες στο σχεδιασμό τους. Ωστόσο όλα τα παραπάνω αμφισβητούνται, και προς το παρόν η παλαιότερη αδιαμφισβήτητη χρήση των μαθηματικών είναι σε πηγές Βαβυλωνιακές και Αιγυπτιακές της δυναστικής περιόδου. Συνεπώς, το ανθρώπινο ον χρειάστηκε τουλάχιστον 45000 χρόνια από την επίτευξη της συμπεριφορικής και γλωσσικής εξέλιξης, για να αναπτύξει τα μαθηματικά όπως είναι σήμερα. Ο όρος "βαβυλωνιακά μαθηματικά" αναφέρεται στα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν από τους λαούς της Μεσοποταμίας (σύγχρονο Ιράκ), από τους πρώτους Σουμέριους μέχρι την Ελληνιστική περίοδο περίπου, ως την εμφάνιση του Χριστιανισμού. Ονομάζονται Βαβυλωνιακά μαθηματικά λόγω του κύριου ρόλου της Βαβυλώνας ως τόπου σπουδών. Αργότερα, κατά την Αραβική αυτοκρατορία, η Μεσοποταμία, ειδικότερα η Βαγδάτη, αποτέλεσε ξανά σημαντικό κέντρο σπουδών, αυτή τη φορά για τα Ισλαμικά μαθηματικά. Σε αντίθεση με την ανεπάρκεια των πηγών στα Αιγυπτιακά Μαθηματικά, η γνώση μας για τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά προέρχεται από περισσότερα από 400 πήλινα δισκία που ήρθαν στο φως το 1850. Γραμμένα σε σφηνοειδή γραφή, τα δισκία ήταν χαραγμένα ενώ ο πηλός ήταν υγρός, και ψήνονταν σε φούρνο ή από τη θερμότητα του ήλιου. Μερικές από αυτές φαίνεται να ταξινομούνται σε εργασίες. Τα αρχαιότερα στοιχεία καταγεγραμμένων μαθηματικών χρονολογούνται πίσω στους αρχαίους Σουμέριους, οι οποίοι έχτισαν τον πρώτο πολιτισμό της Μεσοποταμίας. Ανέπτυξαν ένα σύνθετο σύστημα μετρολογίας από το 3000 π.Χ. Από περίπου το 2500 π.Χ. και μετά, οι Σουμέριοι έγραψαν πίνακες προπαίδειας σε πήλινες πλάκες και ασχολήθηκαν με γεωμετρικές εξισώσεις και προβλήματα διαιρετότητας. Τα πρώτα ίχνη των Βαβυλωνιακών αριθμών επίσης χρονολογούνται σε αυτήν την περίοδο.Η πλειονότητα των πήλινων πλακών που έχουν ανακτηθεί χρονολογείται από το 1800 ως το 1600 π.Χ., και καλύπτει θέματα που περιλαμβάνουν συναρτήσεις, άλγεβρα, τετραγωνικές και κυβικές εξισώσεις, και τον υπολογισμό των περιοδικών και αμοιβαίων ζευγών. Οι πλάκες επίσης περιλαμβάνουν πίνακες πολλαπλασιασμού και μεθόδους επίλυσης γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων. Η πλάκα YBC 7289 δίνει μία προσέγγιση της ρίζας του 2, δηλ. της √2, με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων. Τα Βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν γραμμένα σε αριθμητικό σύστημα με βάση το 60. Από αυτό το σύστημα προέρχεται η σύγχρονη χρήση των 60 δευτερολέπτων σε ένα λεπτό, 60 λεπτών σε μία ώρα, και 360 (60 x 6) μοιρών σε έναν κύκλο, όπως επίσης και η χρήση των δευτερολέπτων και των λεπτών για να υποδηλωθούν οι υποδιαιρέσεις ενός τόξου. Είναι πιθανόν πως οι Βαβυλώνιοι επέλεξαν το 60 ως βάση του συστήματος παράστασης των αριθμών (εξηκονταδικό σύστημα) επειδή το 60 έχει πολλούς διαιρέτες. Επίσης, σε αντίθεση με τους Αιγυπτίους, τους Έλληνες και τους Ρωμαίους, οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα πραγματικό σύστημα αξίας με βάση τη θέση: Η τιμή κάθε ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό. Δηλαδή, αν στη παράσταση ενός αριθμού υπάρχουν τα ψηφία ΑΒΓΔ, τότε το Α παριστάνει Α μονάδες, καθεμιά από τις οποίες αξίζει 60 φορές περισσότερο από κάθε μονάδα από αυτές που παριστάνει το ψηφίο Β, διότι το Α είναι γραμμένο μια θέση στα αριστερά του Β. Το ψηφίο Β παριστάνει Β μονάδες, καθεμιά από τις οποίες αξίζει 60 φορές περισσότερο από κάθε μονάδα από αυτές που παριστάνει το ψηφίο Γ, κλπ. Γίνεται δηλαδή κάτι ανάλογο όπως και στο δεκαδικό σύστημα. Δεν είχαν, εντούτοις, ένα ισοδύναμο του δεκαδικού σημείου, που χρησιμοποιούμε σήμερα για να χωρίζουμε τα λεγόμενα δεκαδικά ψηφία, δηλαδή αυτά που παριστάνουν μέρη μιας μονάδας. Έτσι, η αξία θέσης ενός συμβόλου έπρεπε συχνά να συναχθεί από τα συμφραζόμενα. Από την άλλη πλευρά, αυτό το "ελάττωμα" είναι ισοδύναμο με τη σημερινή χρήση ψηφίων κινητής αριθμητικής υποδιαστολής. Ας δούμε, σαν παράδειγμα, έναν από τους διαιρέτες του 60, ας πούμε το 15. Πολλαπλάσια του 15 είναι το 15, το 30, το 45 και το 60. Πως θα παραστήσουμε στο εξηκονταδικό σύστημα το ένα τεσσαρακοστό πέμπτο; δηλαδή το 1/45 ; Παρατηρούμε ότι: 4 Χ 45 = 3 Χ 60 Ώστε: 20 Χ (4Χ45) = 20 Χ (3Χ60) Ώστε: (20Χ4) Χ 45 = (20Χ3) Χ 60 Ώστε: 80 Χ 45 = 60 Χ 60 = 3600 Ώστε: 45 = 3600 / 80 Ώστε 1/45 = 80 / 3600 = 80 Χ ( 1/3600 ) Όμως το 3600, ή το 1/3600, είναι μονάδες του εξηκονταδικού συστήματος. Στο δεκαδικό σύστημα έχουμε ένα δέκατο, ένα εκατοστό, ένα χιλιοστό, κλπ. Στο εξηκονταδικό σύστημα έχουμε ένα εξηκοστό, δηλ. 1/60, ένα τρισχιλιοστό εξακοσιοστό, δηλ. 1/3600, κλπ. Το 1/45, λοιπόν, ισούται με 80 τρισχιλιοστά εξακοσιοστά, δηλ. με 80/3600. Με το εξηκονταδικό σύστημα, λοιπόν, ο αντίστροφος ενός ακεραίου που είναι πολλαπλάσιο ενός διαιρέτη του 60, μπορεί να παρασταθεί με πεπερασμένο πλήθος εξηκονταδικών ψηφίων. Αυτό είναι ανάλογο με το ότι στην παράσταση με το δεκαδικό σύστημα, τα αντίστροφα των αριθμών που είναι πολλαπλάσια των 2 και 5, έχουν πεπερασμένες δεκαδικές παραστάσεις. Και μάλιστα, μόνον αυτά έχουν πεπερασμένες δεκαδικές παραστάσεις. Με βάση αυτό, μπορούμε να πούμε πως ο Βαβυλωνιακός τρόπος παράστασης των αριθμών επιτρέπει να γίνουν εύκολα πιο πολλές αριθμητικές πράξεις από ό,τι το δεκαδικό σύστημα. Η ερμηνεία του παπύρου Πλίμπτον 322 ήταν πηγή διαμάχης για πολλά χρόνια, μετά που οριστικοποιήθηκε η σημασία της στο πλαίσιο των Πυθαγόρειων τριγώνων. Στο ιστορικό πλαίσιο, προβλήματα κληρονομικότητας που συμπεριλαμβάνουν την ισότητα περιοχής της υποδιαίρεσης τριγωνικών και τραπεζοειδών πεδίων (με ακέραιες πλευρές μήκους), μετατράπηκαν γρήγορα στην ανάγκη να υπολογιστεί η τετραγωνική ρίζα του 2, ή να λυθεί η «Πυθαγόρεια εξίσωση» με ακέραιους αριθμούς. Αντί να εξετάζουμε ένα τετράγωνο ως το άθροισμα δύο άλλων τετραγώνων, μπορούμε ισοδύναμα να θεωρήσουμε ένα τετράγωνο ως τη διαφορά δύο τετραγώνων. Έστω α, β και γ τρεις ακέραιοι μιας πυθαγόρειας τριάδας, δηλαδή: α^2 + β^2 = γ^2 Ώστε: β^2 = γ^2 - α^2 Το δεξιό μέρος είναι διαφορά δυο τετραγώνων. Ώστε: β^2 = ( γ + α ) Χ ( γ - α ) Διαιρούμε το αριστερό και το δεξιό μέρος με β^2 : 1 = [ (γ+α)Χ(γ-α) ] / (β^2) 1 = [ (γ+α)/β ] Χ [ (γ-α)/β ] 1= [ γ/β + α/β ] Χ [ γ/β - α/β ] Με τον τρόπο αυτό το δεξιό μέρος μετατράπηκε στο γινόμενο δύο ρητών αριθμών. Αναζητούμε λοιπόν δύο ρητούς αριθμούς που έχουν γινόμενο 1, δηλαδή είναι αντίστροφοι, και η διαφορά τους είναι [ γ/β + α/β ] - [ γ/β - α/β ] = 2 Χ (α/β) Αυτό λύνεται εύκολα χρησιμοποιώντας πίνακα με αμοιβαία ζεύγη. Π.χ.: (1/2) Χ 2 = 1 Ώστε οι αριθμοί 1/2 και 2 είναι ένα τέτοιο ζεύγος. Η διαφορά τους είναι: 2 - (1/2) = 3/2 = 2 Χ (3/4) Ώστε, οι αριθμοί α και β θα είναι τέτοιοι ώστε: α/β = 3/4 Ώστε: α = 3 και β = 4 Από αυτό βγαίνει ότι α^2 + β^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 Ώστε λοιπόν: γ = 5 Βρήκαμε, λοιπόν, τρεις αριθμούς α, β, και γ για τους οποίους ισχύει: α^2 + β^2 = γ^2 Μια κατηγορία τριάδων που ικανοποιεί την πιο πάνω εξίσωση, δηλαδή μια πυθαγόρεια τριάδα, είναι οι τριάδες οι οποίες βρίσκονται με τον ακόλουθο τρόπο: Επιλέγουμε έναν αριθμό λ, και μετά βρίσκουμε τρεις αριθμούς α, β και γ, έτσι ώστε να ισχύει: α = 2λ β = λ^2 - 1 γ = λ^2 + 1 Τότε, θα ισχύει: γ^2 - β^2 = (λ^2 + 1)^2 - (λ^2 - 1)^2 γ^2 - β^2 = [ λ^4 + 2(λ^2) + 1 ] - [ λ^4 - 2(λ^2) + 1 ] γ^2 - β^2 = λ^4 + 2(λ^2) + 1 - λ^4 + 2(λ^2) - 1 γ^2 - β^2 = 4(λ^2) γ^2 - β^2 = (2λ)^2 = α^2 Ώστε τελικά: α^2 + β^2 = γ^2 Αν ξέρουμε μια πυθαγόρεια τριάδα (α, β, γ), και πολλαπλασιάσουμε τα α, β και γ με έναν ακέραιο Κ, τότε οι αριθμοί που βρίσκουμε Κα, Κβ, Κγ, θα είναι μια άλλη πυθαγόρεια τριάδα. Διότι: (Κα)^2 + (Κβ)^2 = (Κ^2)(α^2) + (Κ^2)(β^2) = (Κ^2) Χ [ α^2 + β^2 ] =(Κ^2) Χ γ^2 = (Κγ)^2 Όλες οι πυθαγόρειες τριάδες προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο, και τα παραδείγματα που περιέχονται στον πάπυρο Πλίμπτον 322 περιλαμβάνουν μερικούς πολύ μεγάλους αριθμούς, από τα σύγχρονα πρότυπα, όπως (4601, 4800, 6649) σε δεκαδική μορφή. Ο όρος Αιγυπτιακά μαθηματικά αναφέρεται στα μαθηματικά που γράφτηκαν στην αρχαία Αιγυπτιακή γλώσσα. Από την Ελληνιστική περίοδο, τα Ελληνικά αντικατέστησαν τα Αιγυπτιακά ως γλώσσα που χρησιμοποιούσαν οι Αιγύπτιοι επιστήμονες. Η μαθηματική μελέτη στην Αίγυπτο συνεχίστηκε αργότερα στο πλαίσιο της Αραβικής αυτοκρατορίας, ως μέρος των ισλαμικών μαθηματικών, όταν πια τα Αραβικά έγιναν η γραπτή γλώσσα των Αιγυπτίων. Το εκτενέστερο αρχαίο αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος του Ράιντ (μερικές φορές ονομάζεται επίσης και πάπυρος του Αχμές, που ήταν ο συγγραφέας του), που χρονολογείται στο 1650 π.Χ. Πιθανότατα όμως είναι αντίγραφο ενός παλαιότερου εγγράφου από τη περίοδο του Μέσου Βασιλείου, περίπου το 2000-1800 π.Χ. Πρόκειται για ένα εγχειρίδιο οδηγιών για μαθητές στην αριθμητική και τη γεωμετρία. Εκτός από την παροχή τύπων εμβαδών και μεθόδων για πολλαπλασιασμό, διαίρεση και εργασία με κλάσματα της μονάδας, περιέχει επίσης στοιχεία άλλων μαθηματικών γνώσεων, συμπεριλαμβανομένων των σύνθετων και πρώτων αριθμών: αριθμητικές, γεωμετρικές και αρμονικές έννοιες· και απλοϊκές κατανοήσεις τόσο του Κόσκινου του Ερατοσθένη όσο και τέλειας θεωρίας αριθμών (συγκεκριμένα του αριθμού 6). Επίσης, δείχνει πώς να λύσει κάποιος πρώτης τάξης γραμμικές εξισώσεις, καθώς και αριθμητικές και γεωμετρικές σειρές. Άλλο ένα σημαντικό Αιγυπτιακό μαθηματικό κείμενο είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, επίσης από τη περίοδο του Μέσου Βασιλείου, και χρονολογείται το περίπου το 1890 π.Χ.. Αποτελείται από αυτά που σήμερα αποκαλούμε προβλήματα, τα οποία προφανώς προορίζονταν για ψυχαγωγία. Ένα πρόβλημα θεωρείται ότι είναι ιδιαίτερης σημασίας, επειδή δίνει μία μέθοδο για την εύρεση του όγκου κόλουρου. "Σας λένε ότι μια κόλουρη πυραμίδα έχει ύψος 6, μήκος 4 στη βάση και 2 στην κορυφή. Υψώνετε το 4 στο τετράγωνο, αποτέλεσμα 16. Διπλασιάζετε το 4 αποτέλεσμα 8. Υψώνετε στο τετράγωνο αυτό το 2, αποτέλεσμα 4. Προσθέτετε το 16 και το 8 και το 4, αποτέλεσμα 28. Παίρνετε το 1/3 του 6, αποτέλεσμα 2. Παίρνετε το 28 2 φορές, αποτέλεσμα 56. Βλέπετε, είναι 56. Θα βρείτε ότι είναι σωστό". Τέλος, ο Πάπυρος του Βερολίνου (περ. 1300 π.Χ.) δείχνει πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι θα μπορούσαν να λύσουν μία δεύτερης τάξης αλγεβρική εξίσωση. Τα Ελληνικά μαθηματικά παραπέμπουν στα μαθηματικά που είναι γραμμένα στην Ελληνική γλώσσα από την εποχή του Θαλή του Μιλήσιου (~ 600 π.Χ.) μέχρι το κλείσιμο της Ακαδημίας των Αθηνών, το 529 μ.Χ.. Οι Έλληνες μαθηματικοί ζούσαν σε πόλεις που εξαπλώθηκαν σε όλη την Ανατολική Μεσόγειο, από την Ιταλία έως τη Βόρεια Αφρική, αλλά παρέμεναν ενωμένοι γλωσσικά και πολιτισμικά.Τα ελληνικά μαθηματικά μετά την εποχή του Μεγάλου Αλεξάνδρου, συχνά ονομάζονται και Ελληνιστικά Μαθηματικά. Τα ελληνικά μαθηματικά ήταν πολύ πιο περίπλοκα από τα μαθηματικά που αναπτύχθηκαν σε προγενέστερους πολιτισμούς. Όλα τα σωζόμενα αρχεία των προ-ελληνικών μαθηματικών, μας δείχνουν τη χρήση της επαγωγικής λογικής, δηλαδή, τις επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις που χρησιμοποιήθηκαν για τον καθορισμό των κανόνων του αντίχειρα. Οι Έλληνες Μαθηματικοί, αντίθετα, έκαναν χρήση του επαγωγικού συλλογισμού. Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τη λογική για να εξάγουν συμπεράσματα από τους ορισμούς και τα αξιώματα και χρησιμοποιώντας μαθηματική ακρίβεια, να τα αποδείξουν. Τα ελληνικά μαθηματικά, θεωρείται ότι έχουν ξεκινήσει με το Θαλή το Μιλήσιο (περ. 624-546 π.Χ.) και τον Πυθαγόρα τον Σάμιο (περ. 583-507 π.Χ.). Αν και το εύρος της επιρροής αμφισβητείται, πιθανότατα εμπνεύστηκαν από τα αιγυπτιακά και τα βαβυλωνιακά μαθηματικά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Πυθαγόρας ταξίδεψε στην Αίγυπτο για να μάθει μαθηματικά, γεωμετρία και αστρονομία από τους Αιγύπτιους ιερείς. Ο Θαλής χρησιμοποιούσε γεωμετρία για την επίλυση προβλημάτων όπως ο υπολογισμός του ύψους των πυραμίδων και την απόσταση των πλοίων από την ακτή. Σε αυτόν αποδίδεται η πρώτη χρήση παραγωγικού συλλογισμού που εφαρμόζεται στη γεωμετρία, το οποίο απορρέει από τα τέσσερα θεωρήματα που υποστηρίζεται ότι απέδειξε ο ίδιος. Ως αποτέλεσμα, έχει αναγνωριστεί ως ο πρώτος αληθινός μαθηματικός αλλά και ο πρώτος γνωστός άνθρωπος στον οποίο έχει αποδοθεί μια μαθηματική ανακάλυψη. Ο Πυθαγόρας ίδρυσε την Πυθαγόρεια Σχολή, η οποία υποστήριζε ότι τα μαθηματικά κυβερνούν το Σύμπαν και σύνθημα της ήταν "Το παν είναι αριθμός". Ήταν οι Πυθαγόρειοι που επινόησαν τον όρο "μαθηματικά" και εκείνοι που ξεκίνησαν, για δικούς του λόγους, τη μελέτη των μαθηματικών. Στους Πυθαγόρειους αποδίδεται η πρώτη απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος, αν και η δήλωση του θεωρήματος έχει μια μεγάλη ιστορία, όπως και η απόδειξη της ύπαρξης των άρρητων αριθμών. Ο Πλάτων (428/427 π.Χ. - 348/347 π.Χ.) παίζει σημαντικό ρόλο στην ιστορία των μαθηματικών κυρίως γιατί ενέπνεε και διεύθυνε τους υπόλοιπους. Η Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα, έγινε το μαθηματικό κέντρο του κόσμου τον 4ο αιώνα π.Χ. και ήταν η Ακαδημία απ'την οποία προήλθαν κορυφαίοι μαθηματικοί της εποχής όπως ο Εύδοξος από την Κνίδο. Ο Πλάτωνας ασχολήθηκε επίσης και με τα θεμέλια των μαθηματικών, διευκρίνισε κάποιους ορισμούς και αναδιοργάνωσε τις υποθέσεις. Η αναλυτική μέθοδος αποδίδεται στον Πλάτωνα ενώ και μια φόρμουλα εύρεσης πυθαγορείων τριάδων φέρει το όνομα του. Ο Εύδοξος (408-περ. 355 π.Χ.) ανέπτυξε τη μέθοδο της εξάντλησης, έναν πρόδρομο για τη σύγχρονη ολοκλήρωση και μια θεωρία που αφορούσε λόγους, αποφεύγοντας έτσι το πρόβλημα των ασύμμετρων μεγεθών. Η πρώτη επέτρεψε τους υπολογισμούς των επιφανειών και των όγκων των καμπυλών, ενώ η τελευταία επέτρεψε στους επόμενους γεωμέτρες να κάνουν σημαντικές προόδους στη γεωμετρία. Αν και ο ίδιος δεν έκανε ειδικές τεχνικές μαθηματικές ανακαλύψεις, ο Αριστοτέλης (384-περ. 322 π.Χ.) συνέβαλε σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών, θέτοντας τις βάσεις της λογικής. Τον 3ο αιώνα π.Χ., το κορυφαίο κέντρο της μαθηματικής εκπαίδευσης και της έρευνας ήταν το Μουσείο της Αλεξάνδρειας. Εκεί δίδαξε ο Ευκλείδης και έγραψε τα Στοιχεία (περ. 300 π.Χ.), τα οποία θεωρούνται ευρέως ως τα πιο επιτυχημένα και με τη μεγαλύτερη επιρροή, βιβλία όλων των εποχών. Τα Στοιχεία, τα οποία εισήγαγαν τη μαθηματική ακρίβεια μέσω της αξιωματικής μεθόδου, είναι το αρχαιότερο παράδειγμα που χρησιμοποίησε τη μορφή, ορισμός, αξίωμα, θεώρημα και απόδειξη, που χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα. Αν και τα περισσότερα από τα περιεχόμενα των Στοιχείων ήταν γνωστά, ο Ευκλείδης τα τοποθέτησε σ'ένα ενιαίο, συνεκτικό και λογικό πλαίσιο. Τα Στοιχεία ήταν γνωστά σε όλους τους μορφωμένους ανθρώπους της Δύσης μέχρι και τα μέσα του 20ού αιώνα και το περιεχόμενο τους εξακολουθεί να διδάσκεται σε τάξεις γεωμετρίας μέχρι και σήμερα. Εκτός από τα γνωστά θεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, τα Στοιχεία γράφτηκαν και ως ένα εισαγωγικό εγχειρίδιο που κάλυπτε όλα τα στοιχειώδη μαθηματικά της εποχής, όπως η θεωρία αριθμών, η άλγεβρα και η στερεά γεωμετρία, ενώ περιείχε και τις αποδείξεις ότι η ρίζα του 2 είναι άρρητος αριθμός και ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ο Ευκλείδης έγραψε και για άλλα θέματα όπως για κωνικές τομές, οπτική, και σφαιρική γεωμετρία,και τη μηχανική, αλλά μόνο τα μισά από αυτά έχουν σωθεί.Ο Αρχιμήδης (287 - 212 π.Χ.) ο Συρακούσιος, θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της αρχαιότητας, χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης για να υπολογίσει την περιοχή κάτω από το τόξο μίας παραβολής με το άθροισμα των άπειρων σειρών, με τρόπο όχι ιδιαίτερα ανόμοιο σε σχέση με τους μοντέρνους λογισμούς. Επιπλέον απέδειξε ότι κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο της εξάρτησης για να υπολογίσει την τιμή του π με όσο περισσότερη ακρίβεια γίνεται, και να αποσπάσει την πιο ακριβή τιμή του π που έχει υπάρξει, 310⁄71 < π < 310⁄70. Επιπλέον σπούδασε τη σπείρα, δίνοντας της το όνομα του, εξάγοντας συναρτήσεις από τους όγκους των γεωμετρικών επιφανειών (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή), και ενός ευφυέστατου συστήματος για να εκφράζει πολύ μεγάλους αριθμούς. Ενώ είναι γνωστός για τη συνεισφορά του στη φυσική και σε πολλές μηχανικές συσκευές, ο Αρχιμήδης εγκαθίδρυσε τον εαυτό του ανώτερο από κάθε σκέψη και γενικούς μαθηματικούς κανόνες. Θεώρησε ως το μέγιστο κατόρθωμα του την ανακάλυψη μέτρησης της επιφάνειας και του όγκου μίας σφαίρας, η οποία ισούται με τα 2/3 της επιφάνειας και του όγκου ενός εγγεγραμμένου κυλίνδρου στη σφαίρα.Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (262-190 π.Χ.) έκανε σημαντικές βελτιώσεις στη μελέτη του κώνου, αποδεικνύοντας ότι μπορεί κανείς να παρατηρήσει και τις τρεις διαστάσεις του κώνου μεταβάλλοντας την άκρη του σχήματος έτσι ώστε να δημιουργηθούν δύο αντίθετοι κώνοι με την ίδια άκρη. Επίσης χάραξε την ορολογία για τους κώνους όπως αυτή χρησιμοποιείται έως και σήμερα, με το όνομα παραβολή ("πλάγιο επίπεδο" ή "σύγκριση"), "έλλειψη" ("'έλλειψη"), και "υπερβολή" ("μπροστινό επίπεδο"). Η δουλεία του πάνω στη θεωρία των Κώνων είναι μία από τις καλύτερες όλων των εποχών, ή οποία διατηρείται από την αρχαιότητα έως και σήμερα και από την οποία εκπορεύονται πολλά ανεκτίμητα θεωρήματα για τους κώνους που θα χρησιμοποιηθούν αργότερα από μαθηματικούς και αστρονόμους που θα μελετήσουν την κίνηση των πλανητών, όπως ο Νεύτωνας. Ενώ ούτε ο Απολλώνιος, αλλά ούτε και κανένας άλλος Έλληνα μαθηματικός έκανε την υπέρβαση στον τομέα της γεωμετρίας, η προσέγγιση των καμπυλών από τον Απολλώνιο τείνει να μοιάζει με τη μοντέρνα και μέρος του έργου του θα βοηθήσει στην ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Ντεκάρ περίπου 1800 χρόνια μετά.Περίπου την ίδια εποχή, Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (έζησε περίπου το 276-194 π.Χ.) επινόησε το Κόσκινο του Ερατοσθένη το οποίο έβρισκε τους πρώτους αριθμούς. Ο 3ος αιώνα π.Χ θεωρείται ως ο '' Χρυσός Αιώνας'' για τους Έλληνες μαθηματικούς, με προόδους στα καθαρά μαθηματικά σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο ύφεση. Παρόλα αυτά, στους αιώνες που ακολούθησαν έγιναν σημαντικές πρόοδοι στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, και ιδιαίτερα στην τριγωνομετρία, όπου σε μεγάλο βαθμό απευθυνόταν στις ανάγκες των αστροναυτών. Ο Ίππαρχος της Νίκαιας(έζησε περίπου το 190-120 π.Χ) θεωρείται ο θεμελιωτής της τριγωνομετρίας και ιδιαίτερα του πρώτου γνωστού τριγωνομετρικού πίνακα, και σε αυτόν οφείλεται επίσης και η συστηματική χρήση του κύκλου με 360 μοίρες. Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς (έζησε περίπου το 10–70 μ.Χ) είναι γνωστός για τον Τύπο του Ήρωνα με τον οποίο βρήκε την περιοχή ενός σκαλινού τριγώνου και ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε την πιθανότητα οι αρνητικοί αριθμοί να έχουν τετραγωνική ρίζα. Ο Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς (έζησε περίπου το 100 μ.Χ) πρωτοστάτησε στη σφαιρική τριγωνομετρία μέσω του θεωρήματος Μενέλαου. Η πιο ολοκληρωμένη και σημαντική τριγωνομετρική συνεισφορά στην αρχαιότητα ήταν η Αλμαγέστη του Κλαύδιου Πτολεμαίου(έζησε περίπου το 90-168), ορόσημο στην αστρονομική διατριβή εκ των οποίων οι τριγωνομετρικοί πίνακες χρησιμοποιήθηκαν από αστροναύτες για χιλιάδες χρόνια. Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος έχει διατυπώσει επίσης και ένα θεώρημα, το θεώρημα του Πτολεμαίου από όπου απορρέουν τριγωνομετρικές ποσότητες, και η πιο ακριβής τιμή του π έξω από την Κίνα μέχρι τη μεσαιωνική περίοδο, 3.1416.Μετά από τον Κλαύδιο ακολούθησε μια περίοδος στασιμότητας,η περίοδος μεταξύ 250 και 350 μερικές φορές αναφέρεται ως '' Ασημένια Χρόνια'' των Ελλήνων μαθηματικών. Σε αυτή την περίοδο, ο Διόφαντος ο Αλεξανδρεύς έκανε σημαντικές βελτιώσεις στην άλγεβρα, και συγκεκριμένα την απροσδιόριστη ανάλυση,η οποία είναι επίσης γνωστή ως "Διοφαντική Ανάλυση". Η μελέτη των Διοφαντικών εξισώσεων και της Διοφαντικής προσέγγισης είναι μια σημαντική συνεισφορά στις έρευνες που γίνονται εως και σήμερα. Η βασική του δουλεία ήταν πάνω στην Αριθμητική, μια συλλογή από 150 αλγεβρικά προβλήματα τα οποία σχετίζονται με ακριβής λύσεις για τις απροσδιόριστες εξισώσεις. Η Αριθμητική είχε μια σημαντική επιρροή στους μεταγενέστερους μαθηματικούς,όπως τον Πιέρ Ντε Φερμά, ο οποίος κατέληξε στο φημισμένο του θεώρημα, το Τελευταίο θεώρημα μετά από την προσπάθειά του να γενικεύσει το πρόβλημα που είχε διαβάσει στην Αριθμητική ( αυτό που χωρίζει ένα τετράγωνο σε δύο μικρότερα τετράγωνα). Ο Διόφαντος έκανε επίσης σημαντικές βελτιώσεις στον συμβολισμό, η Αριθμητική ήταν το πρώτο δείγμα από αλγεβρικούς συμβολισμούς και συγκοπές.Η πρώτη γυναίκα μαθηματικός στην ιστορία ήταν η Υπατία της Αλεξάνδρειας (350 - 415 μ.Χ.). Διαδέχθηκε τον πατέρα της ως Βιβλιοθηκάριος τηε Μεγίστης Βιβλιοθήκης και συνέγραψε μεγάλο έργο πάνω στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Λόγω μίας πολιτικής αντιπαράθεσης, τιμωρήθηκε από τη Χριστιανική αδελφότητα της Αλεξάνδρειας, θεωρώντας την ως συνένοχο, μαστιγώνοντας τη γυμνή και αφαιρώντας της το δέρμα χρησιμοποιώντας όστρακα (φήμες κάνουν λόγο για κεραμίδια). Τα πρώιμα κινεζικά μαθηματικά διαφέρουν τόσο από άλλα μέρη του κόσμου που είναι εύλογο να συμπεράνει κανείς την ανεξάρτητη ανάπτυξή τους. Τα αρχαιότερα σωζόμενα μαθηματικά κείμενα από την Κίνα είναι το Chou Pei Suan Ching, το οποίο κατά πολλούς χρονολογείται ανάμεσα στο 1200 π.Χ. και στο 100 π.Χ., αν και η χρονολογία κοντά στο 300 π.Χ. μοιάζει να είναι η πιο πιθανή.Μια ιδιαιτερότητα των Κινεζικών μαθηματικών είναι η χρήση του δεκαδικού συστήματος ταξινόμησης θέσης, οι λεγόμενοι "ράβδοι αριθμών" στους οποίους διαφορετικοί κρυπταλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν για τους αριθμούς από το ένα ως το δέκα, και επιπρόσθετα άλλοι κρυπταλγόριθμοι για τις δυνάμεις του δέκα. Έτσι, ο αριθμός 123 θα γράφονταν με τη χρήση του συμβόλου "1", ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για το "100", μετά ένα σύμβολο για το "2" ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για το "10", και τέλος ένα σύμβολο για τον αριθμό "3" ακολουθούμενο από ένα σύμβολο για τις μονάδες. Αυτό ήταν το πιο προηγμένο σύστημα αρίθμησης-θέσης στον κόσμο μέχρι εκείνη την περίοδο, και μάλιστα αρκετούς αιώνες πριν να διαδοθεί η χρήση του ευρέως, αλλά και πολύ πριν την ανάπτυξη του Ινδικού συστήματος αρίθμησης. Οι ράβδοι αριθμών επιτρέπουν την αναπαράσταση των αριθμών όσο μεγάλοι κι αν είναι αυτοί και επίσης προσφέρονται για την εκτέλεση των υπολογισμών στον κινεζικό άβακα το γνωστό μας αριθμητήρι. Η εποχή που ξεκίνησε η χρήση του Κινέζικου άβακα δεν έχει προσδιοριστεί με ακρίβεια, αλλά οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες αναφέρουν από το 190 μ.Χ., στην Xu Yue's σύμφωνα με το έργο Συμπληρωματικές σημειώσεις για την τέχνη των σχημάτων. Το παλαιότερο υπαρκτό έργο πάνω στη γεωμετρία βρίσκεται στην Κίνα και προέρχεται από μια φιλοσοφική σχολή μοϊστών (στα λατινικά γνωστοί ως Micius) το 330 π.Χ., αποτελούμενη από οπαδούς του Μοτσί (470–390 π.Χ.). Στο Μο Τσινγκ περιγράφονται διάφορες πτυχές που σχετίζονται με πολλούς τομείς της φυσικής επιστήμης, και ακόμα παρέχουν ένα μικρό αριθμό από γεωμετρικά θεωρήματα.Στο 212 π.Χ., ο αυτοκράτορας Τσιν Σι Χουάνγκ διέταξε όλα τα βιβλία της αυτοκρατορίας Τσι να καούν και να επιβληθούν κυρώσεις σε όποιον αντιταχθεί. Αυτή η απόφαση δεν έγινε καθολικά αποδεκτή, αλλά συνέπεια αυτής είναι η μικρή μας γνώση για τα αρχαία κινεζικά μαθηματικά πριν από αυτή την ημερομηνία. Μετά το κάψιμο των βιβλίων καύση των βιβλίων το 212 π.Χ., η δυναστεία των Χαν (202 π.Χ.–220 μ.Χ.) παρήγαγε μαθηματικό έργο το οποίο πιθανώς επεκτάθηκε σε έργα που έχουν πλέον χαθεί. Το πιο σημαντικό από αυτά είναι τα εννέα κεφάλαια σχετικά με τη μαθηματική τέχνη Τα εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης, ο πλήρης τίτλος του οποίου εμφανίστηκε το 179 μ.Χ., χωρίς όμως να υπάρχει βάσει άλλων προγενέστερων τίτλων. Αποτελείται από 246 λεκτικά προβλήματα που σχετίζονται με τη γεωργία, τις επιχειρήσεις, καθώς και τη χρήση της γεωμετρίας για τον υπολογισμό υψών, ανοιγμάτων και αναλογιών κινεζική Παγόδα στην κατασκευή πύργων,μηχανική, τοπογραφία, και περιλαμβάνει υλικό σχετικά με ορθογώνια τρίγωνα και μια καλή προσέγγιση του αριθμού π. Περιλαμβάνει επίσης μαθηματικές αποδείξεις για το Πυθαγόρειο Θεώρημα, και μαθηματικούς τύπους για την Απαλοιφή Γκάους. Ο Λιου Χουέι βασίστηκε στις εργασίες του 3ου μ.Χ. αιώνα, και υπολόγισε το π με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων. Στην πορεία γύρω στον 5ο αιώνα μ.Χ.,αν και πρόκειται περισσότερο για ένα θέμα καθαρά υπολογιστικής αντοχής και λιγότερο θεωρητικής γνώσης ο Τσου Τσονγκτσί προσέγγισε το π με ακρίβεια επτά δεκαδικών ψηφίων, η οποία προσέγγιση παρέμεινε ως η πιο ακριβής για τα επόμενα 1000 χρόνια. Επίσης ίδρυσε μια μέθοδο η οποία στη συνέχεια θα ονομαζόταν Αρχή του Καβαλιερύ για να βρει τον όγκο της σφαίρας.Το υψηλό επίπεδο των Κινεζικών μαθηματικών εμφανίζεται τον 13ο αιώνα (το τελευταίο μέρος από τη δυναστεία Σουνγκ), με την ανάπτυξη της Κινεζικής Άλγεβρας;. Το σημαντικότερο κείμενο από εκείνη την περίοδο είναι η Υψηλή οπτική των τεσσάρων στοιχείων του Τσου Σι-τσιέ (1280-1303), που διαπραγματεύεται την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων ανώτερης τάξης, χρησιμοποιώντας μια μέθοδο ανάλογη εκείνης της μεθόδου Χόρνερ. Η πολύτιμη οπτική περιέχει επίσης ένα διάγραμμα από το Τρίγωνο του Πασκάλ με τους συντελεστές της διωνυμικής επέκτασης μέχρι την όγδοη δύναμη, αν και υπάρχουν και άλλα δύο κινεζικά έργα με αντίστοιχο περιεχόμενο, ήδη από το 1100. Οι Κινέζοι έκαναν επίσης χρήση των συνδυαστικών περίπλοκων κυκλωμάτων-διαγραμμάτων γνωστά ως μαγικά τετράγωνα και μαγικοί κύκλοι, περιγράφοντάς τα κατά τους αρχαίους χρόνους και τελικά τελειοποιώντας τα από τον Γιανγκ Χουέι (1238–1298 μ.Χ.).Ακόμα και μετά την άνθιση των μαθηματικών στην Ευρώπη κατά την περίοδο της Αναγέννησης, τα ευρωπαϊκά και τα κινεζικά μαθηματικά ήταν ξεχωριστές παραδόσεις, με σημαντική πρόοδο για τα κινεζικά μαθηματικά να σημειώνεται από τα τέλη του 13ου αιώνα και μετά. Ιησουίτες ιεραπόστολοι όπως ο Ματέο Ρίτσι επιχείρησε έναν συγκερασμό,ένα πάντρεμα δηλαδή μεταξύ των δύο μαθηματικών παραδόσεων από τον 16ο έως το 18ο αιώνα, αν και σε αυτό το σημείο περισσότερες μαθηματικές ιδέες εισέρχονται από τα σύνορα της Κίνας παρά αναχωρούν. Τα αρχικά δείγματα πολιτισμού στην ινδική υποήπειρο είναι ο πολιτισμός της κοιλάδας του Ινδού που άνθισε μεταξύ του 2600 και του 1900 π.Χ. στη λεκάνη του Ινδού ποταμού. Οι πόλεις τους ήταν ορισμένες με γεωμετρική κατανομή, αλλά κανένα μαθηματικό έγγραφο δε διασώζεται από αυτόν τον πολιτισμό.Οι ινδουιστικό-αραβικοί αριθμοί εφευρέθηκαν από μαθηματικούς στην Ινδία. Τους έλεγαν «ινδουιστικούς αριθμούς». Αργότερα ονομάστηκαν «αραβικοί» αριθμοί από τους Ευρωπαίους, επειδή εισήχθησαν στη Δύση από Άραβες εμπόρους.[80]Διάφορα σύνολα συμβόλων που χρησιμοποιούνταν για να αντιπροσωπεύσουν τους αριθμούς στο αριθμητικό σύστημα ινδουιστικό- αραβικό, εξελίχθηκαν από τους βραχμικούς αριθμούς. Κάθε ένα από τα περίπου δώδεκα σημαντικά σενάρια της Ινδίας έχει τον δικό του αριθμό ιερογλυφικών του (όπως κάποιος θα σημείωνε όταν θα περιεργάζονται Unicode διαγράμματα). Τα αρχαιότερα σωζόμενα μαθηματικά αρχεία στην Ινδία είναι από το Σούτρα (και χρονολογούνται μεταξύ του 8ου π.Χ. αιώνα και του 2ου αιώνα μ.Χ.), όπου παραρτήματα σε θρησκευτικά κείμενα δίνουν απλούς κανόνες κατασκευής βωμών διαφόρων σχημάτων, όπως τετράγωνα, ορθογώνια, παραλληλόγραμμα και άλλα. Όπως και με την Αίγυπτο, η ενασχόληση με λειτουργικά θέματα στην κατασκευή ναών δείχνει μια προέλευση των μαθηματικών μέσα από θρησκευτικές τελετουργίες. Τα κείμενα Σούτρας δίνουν μεθόδους για τον τετραγωνισμό του κύκλου,δηλαδή την κατασκευή κύκλου περίπου ισοεμβαδικού ως προς δεδομένο τετράγωνο, οι οποίες συνεπάγονται πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις της αξίας του π. Επιπλέον υπολογίζουν την τετραγωνική ρίζα με ακρίβεια από δύο έως και περισσότερων δεκαδικών ψηφίων, λίστες με Πυθαγόρειες τριάδες, και δίνουν μια πρώτη διατύπωση ανάλογη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Όλα αυτά τα αποτελέσματα βρίσκονται στα βαβυλωνιακά μαθηματικά, έχοντας δεχθεί επιρροή από την περιοχή της Μεσοποταμίας. Δεν είναι όμως γνωστό σε πιο βαθμό οι Σούτρες του Σούλμπας επηρέασαν τα μετέπειτα ινδικά μαθηματικά. Όπως και στην Κίνα, έτσι και στα μαθηματικά της Ινδίας υπάρχει έλλειψη συνέχειας: μεγάλες πρόοδοι διαδέχονται από μεγάλες περιόδους αδράνειας.Panini (5ος αιώνας π.Χ.) διαμόρφωσε κανόνες για τη Σανσκριτική γραμματεία. Ο συμβολισμός τους ήταν παρόμοιος με τη σύγχρονη μαθηματική σημειογραφεία, καθώς επίσης χρησιμοποιούνται, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, και αναδρομικοί τύποι.Ο Πινγκάλα (περίπου 3ος-1ος αιώνας π.Χ.) στην πραγματεία του προσωδεία χρησιμοποιεί μια συσκευή που αντιστοιχεί σε ένα δυαδικό σύστημα αρίθμησης. Οι απόψεις του για τη Συνδυαστική και το Μουσικό μέτρο αντιστοιχούν σε μια στοιχειώδη θεώρηση για το διωνυμικό θεώρημα. Το έργο του Πινγκάλα περιλαμβάνει επίσης τις βασικές ιδέες της Ακολουθίας Φιμπονάτσι (που το ονομάζει mātrāmeru.Τα επόμενα σημαντικά μαθηματικά έγγραφα μετά τις Σούτρες του Σούλμπα είναι οι Σιντάντες. Πρόκειται για αστρονομικές πραγματείες από τον 4ο και 5ο αιώνα μ.Χ. (περίοδος Γκούπτα) και παρουσιάζει έντονη ελληνιστική επιρροή. Είναι σημαντικό ότι περιέχουν την πρώτη εμφάνιση των τριγωνομετρικών σχέσεων με βάση τη μισή χορδή, όπως συμβαίνει στη σύγχρονη τριγωνομετρία, αντί για την πλήρη χορδή, όπως στην περίπτωση της Πτολεμαϊκής τριγωνομετρίας. Μέσα από μια σειρά μεταφραστικών λαθών, οι λέξεις "ημίτονο" και "συνημίτονο" όπως τις γνωρίζουμε σήμερα, προέρχονται από τη σανσκριτική "τζίγια" και "κοτζίγια" αντίστοιχα.Κατά τον 5ο αιώνα μ.Χ., ο Αριαμπάτα έγραψε το Αριαμπατίγια, ένα μικρό σε όγκο και γραμμένο σε στίχους έργο, στο οποίο αναφέρονται κανόνες υπολογισμού που χρησιμοποιούνται στην αστρονομία και τα μαθηματικά, χωρίς όμως καμία χρήση της λογικής και της επαγωγικής μεθόδου. Αν και οι μισές περίπου από τις πράξεις και τους υπολογισμούς είναι λάθος, η αξία του έργου Αριαμπατίγια έγκειτε στο ότι το δεκαδικό σύστημα θέσης και αξίας εμφανίζεται για πρώτη φορά. Αρκετούς αιώνες αργότερα, ο Αμπού Ριχάν Μπιρουνί χαρακτήρισε το Αριμπατίγια σαν ένα "μείγμα από κοινά βότσαλα και πολύτιμα κρύσταλλα".Τον 7ο αιώνα, οι Ινδοί Βράχμα προσδιόρισαν το γνωστό θεώρημα των Βράχμα,χρησιμοποιώντας μαθηματικές ταυτότητες και μαθηματικούς τύπους, και επίσης για πρώτη φορά στο έργο τους, που σε ελληνική μετάφραση σημαίνει: σωστά δομημένο δόγμα Βράχμα, με καθαρότητα προσδιορίζονται και χρησιμοποιούνται το μηδέν τόσο ως σύμβολο κράτησης θέσης όσο και ως δεκαδικό ψηφίο, και εισάγεται η χρήση του ινδοαραβικού συστήματος αρίθμησης. Από τη μετάφραση του ινδικού κειμένου για τα μαθηματικά προέκυψε ότι οι ισλαμιστές μαθηματικοί εισήγαγαν αυτό το σύστημα αρίθμησης, το οποίο προσαρμόστηκε στους αραβικούς αριθμούς. Ισλαμικοί μελετητές υποστηρίζουν ότι η μετάδοση της γνώσης του αριθμητικού αυτού συστήματος έγινε στην Ευρώπη το 12ο αιώνα, εκτοπίζοντας όλα τα άλλα αριθμητικά συστήματα ανά τον κόσμο. Τον 10ο αιώνα, σχολιαστές του έργου του μαθηματικού Χαλαγιούντα και του Πιγκάλα διαπίστωσαν στοιχεία ανάλογα με εκείνα της Ακολουθίας Φιμπονάτσι του τριγώνου του Πασκάλ, και του σχηματισμού πινάκων. Τον 12ο αιώνα, ο μαθηματικός Μπασκάρα Β' ζούσε στη νότια Ινδία και έγραψε εκτενώς για όλους τους μέχρι τότε γνωστούς κλάδους των μαθηματικών. Η εργασία του περιλαμβάνει μαθηματικά αντικείμενα ισοδύναμα, ή περίπου ισοδύναμα με τα απειροστικά, τα παράγωγα, το Θεώρημα μέσης τιμής και τον υπολογισμό της παραγώγου του ημιτόνου. Σε ποιο βαθμό είχε προβλέψει την εφεύρεση του λογισμού είναι ένα αμφιλεγόμενο θέμα μεταξύ των ιστορικών των μαθηματικών. Το 14ο αιώνα, ο Μαντάβα του Σανγκαμαγκράμα, ιδρυτής της λεγόμενης Σχολής αστρονομίας και μαθηματικών Κεράλα, βρήκε τη σειρά Μαντάβα–Λάιμπνιτς και χρησιμοποιώντας 21 όρους, υπολόγισε την τιμή του π ως 3.14159265359. Ο Μαντάβα επινόησε επίσης τις Μαντάβα-Γρηγόριες σειρές προκειμένου να υπολογίσει το τόξο της εφαπτομένης, και τις δυναμοσειρές Μαντάβα για να καθορίσει το ημίτονο και το συνημίτονο και την προσέγγιση του Τέιλορ. Τον 16ο αιώνα, o Τζιεσθαντέβα ενοποίησε πολλές από τις εξελίξεις και τα θεωρήματα της Κεράλα σχολής στη Γιούκτι-μπάσα. Ωστόσο, η σχολή της Κεράλα δεν διατύπωσε μια συστηματική θεωρία για την παραγώγιση και την ολοκλήρωση, ούτε υπάρχει οποιαδήποτε άμεση απόδειξη των αποτελεσμάτων τους. Η πρόοδος στα μαθηματικά μαζί με άλλους τομείς της επιστήμης παραμένει στάσιμη στην Ινδία, με την εγκαθίδρυση της μουσουλμανικής κυριαρχίας στην Ινδία. Η Ισλαμική Αυτοκρατορία εδραιώθει σε ολόκληρη την Περσία, Μέση Ανατολή, Κεντρική Ασία, Βόρεια Αφρική, Ιβηρική Χερσόνησο, και τον 8ο αιώνα σε μέρη της Ινδίας πραγματοποίησε σημαντικές συνεισφορές στο κλάδο των Μαθηματικών. Παρόλα αυτά ένα μεγάλο μέρος των Ισλαμικών μαθηματικών κειμένων είναι γραμμένο στα Αραβικά,όπου τα περισσότερα από αυτά δεν είναι γραμμένα από Άραβες μελετητές σε όλο τον Ισλαμικό κόσμο την εποχή εκείνη,το οποίο μοιάζει πολύ στην ελληνική κατάσταση που επικρατούσε εκείνη την περίοδο στον Ελληνικό Κόσμο. Οι Πέρσες συνέβαλαν στον κόσμο των Μαθηματικών παράλληλα με τους Άραβες. Τον 9ο αιώνα ο Πέρσης μαθηματικός Μοχάμεντ Ιμπν Μουσά Αλ Χουαρίζμι έγραψε αρκετά σημαντικά βιβλία για τα Ινδουιστικά-Αραβικά νούμερα και για τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων. Το βιβλίο του Περί του υπολογισμού των ινδουιστικών αριθμών, γράφτηκε περίπου το 825, παράλληλα με τη δουλεία του Αλ-Κίντι, έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στη διάδοση των Ινδικών Μαθηματικών και Ινδικών αριθμών στη Δύση. Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από τη λατινική λέξη, Algoritmi, και η λέξη άλγεβρα από τον τίτλο ενός από τα έργα του, Το Πλήρες Βιβλίο για τον Υπολογισμό με βάση την ολοκλήρωση και την ισορροπία (Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala). Έδωσε μια ακριβέστατη εξήγηση για την επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων με θετικές ρίζες, και ήταν ο πρώτος που δίδαξε άλγεβρα με στοιχειώδης μορφή και για τους δικούς του λόγους. Επίσης,ασχολήθηκε με τη θεμελιώδης μέθοδο της "αναγωγής" και "υπόλοιπο", αναφερόμενος στη μεταφορά των αφαιρετέων όρων στην άλλη πλευρά της εξίσωσης, έτσι ώστε, τη διαγραφή των όμοιων όρων στις αντίθετες πλευρές της εξισώσεις. Αυτή είναι η λειτουργία την οποία ο Χουαρίζμι περιέγραψε ως αλ-τζαμπρ. Η Άλγεβρα του δεν ασχολείται από δω και πέρα "με σειρές προβλημάτων που χρειάζονται λύση,αλλά μια έκθεση η οποία αρχίζει με βασικούς όρους όπου ο συνδυασμός τους θα πρέπει να δίνει όλες τις πιθανές λύσεις για την εξίσωση,η οποία αποτελεί το ακριβές μοντέλο της μελέτης." Επιπλέον μελετάει μια εξίσωση για δικό του σκοπό και "κατά γενικό τρόπο, σε τέτοιο βαθμό έτσι ώστε να μην προκύπτει απλά κατά τη διάρκεια επίλυσης ενός προβλήματος, αλλά καλείται να προσδιορίσει μια άπειρη τάξη προβλημάτων" Στην Αίγυπτο, ο Αμπού Καμίλ επέκτεινε την άλγεβρα στο σύνολο των άρρητων αριθμών, την αποδοχή των τετραγωνικών ριζών και των τέταρτων ριζών ως τις λύσεις και τους συντελεστές με τετραγωνικές εξισώσεις. Ανέπτυξε επίσης τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των τριών μη γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστες μεταβλητές. Ένα μοναδικό χαρακτηριστικό των έργων του, είναι ότι προσπαθεί να βρει όλες τις πιθανές λύσεις για ορισμένα από τα προβλήματά του, συμπεριλαμβανομένου ενός όπου βρήκε 2676 λύσεις. Τα έργα του διαμόρφωσαν μια σημαντική βάση για την ανάπτυξη της άλγεβρας και επηρέασαν αργότερα μαθηματικούς, όπως ο αλ-Καρατζί και ο Φιμπονάτσι. Περισσότερες βελτιώσεις στον τομέα της άλγεβρας πραγματοποιήθηκαν από τον αλ-Καρατζί στη διατριβή του αλ-Φαχρί, όπου ανέλυσε τη μεθοδολογία του ενσωμάτωσης δυνάμεων ακέραιων αριθμών και ριζών ακέραιων αριθμών σε μια άγνωστη ποσότητα. Γύρω στο 1000 μ.Χ., σε ένα βιβλίο του αλ-Καρατζί υπάρχει περίπου μια απόδειξη με μαθηματική επαγωγή, ο οποίος τη χρησιμοποίησε για να αποδείξει το διωνυμικό θεώρημα,το Τρίγωνο του Πασκάλ και το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των κύβων. Ο ιστορικός των μαθηματικών, Φ. Βεπκέ, παίνευσε τον αλ-Καρατζί σχετικά με το γεγονός ότι ήταν ο πρώτος που εισήγαγε τη θεωρία του αλγεβρικού λογισμού. Επίσης τον 10ο αιώνα, ο Αμπούλ Ουαφά μετέφρασε τα έργα του Διόφαντου στα Αραβικά. Ο Ιμπν αλ-Χαϊθάμ ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εξήγαγε τον τύπο του αθροίσματος τέταρτης δύναμης,χρησιμοποιώντας μια μέθοδο οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί γενικά για το άθροισμα οποιασδήποτε ακέραιας δύναμης. Χρησιμοποίησε τη μέθοδο της ολοκλήρωσης για να υπολογίσει τον όγκο μιας παραβολής και ήταν ικανός να γενικέψει το αποτέλεσμά του αυτό για την ολοκλήρωση πολυωνύμων μεγαλύτερα από τετάρτου βαθμού. Έφτασε πολύ κοντά στο να ανακαλύψει έναν γενικό τύπο για την ολοκλήρωση πολυωνύμων αλλά δεν ασχολήθηκε με πολυώνυμα μεγαλύτερα του τέταρτου βαθμού.Στο τέλος του 11ου αιώνα, ο Ομάρ Καγιάμ έγραψε το Συζητήσεις των δυσκολιών στον Ευκλείδη, ένα βιβλίο σχετικά με τα ελαττώματα που αντιλήφθηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη, και ιδιαίτερα στο αξίωμα των παράλληλων ευθειών. Ήταν επίσης ο πρώτος που βρήκε τη γενική γεωμετρική λύση στην κυβική εξίσωση. Επίσης άσκησε μεγάλη επιρροή και στην ημερολογιακή μεταρρύθμιση.Τον 13ο αιώνα, Νασίρ αλ-Ντιν Τουσί (Νασιρεντίν) πραγματοποίησε βελτιώσεις στη σφαιρική τριγωνομετρία. Επίσης πρόσθεσε μια σημαντική δουλειά σχετικά με το αξίωμα των παράλληλων ευθειών του Ευκλείδη.Τον 15ο αιώνα, Γκιγιάθ αλ-Κασί υπολόγισε την τιμή τουπ μέχρι το 16ο δεκαδικό ψηφίο. Ο Κασί επίσης είχε έναν αλγόριθμο ο οποίος υπολόγιζε την ν-οστή ρίζα,ο οποίος ήταν μια ειδική περίπτωση των μεθόδων που ανακάλυψαν αιώνες αργότερα ο Πάολο Ρουφίνι και ο Ουίλιαμ Τζορτζ Χόρνερ. Άλλα επιτεύγματα των Μουσουλμανικών Μαθηματικών κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου είναι η σημειογραφία της υποδιαστολής στους Αραβικούς αριθμούς, η ανακάλυψη σύγχρονων τριγωνομετρικών συναρτήσεων εκτός από τις ημιτονοειδής,η εισαγωγή του αλ-Κίντι στην κρυπτανάλυση και στις ανάλυση συχνοτήτων, η βελτίωση της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Ιμπν αλ-Χαϊθάμ, το ξεκίνημα της αλγεβρικής γεωμετρίας από τον Ομάρ Καγιάμ και η βελτίωση μιας αλγεβρικής σημειογραφίας από τον αλ-Καλασαντί.Κατά τη διάρκεια της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας και τη δυναστεία των Σαφαβίδων από τον 15ο αιώνα, την ανάπτυξη των Ισλαμικών μαθηματικών διαδέχθηκε η στασιμότητα. Το ενδιαφέρον των Μεσαιωνικών Ευρωπαίων στα μαθηματικά οδηγήθηκε από το ενδιαφέρον για κάτι διαφορετικό από τα σύγχρονα μαθηματικά. Ένα καθοριστικό στοιχείο ήταν η πεποίθηση ότι τα μαθηματικά προμηθεύουν το κλειδί για να καταλάβει κανείς τη δύναμη της φύσης, αυτό συχνά τεκμηριώνεται από τον Τίμαιο του Πλάτωνα και το βιβλικό απόσπασμα (στο Βιβλίο της Σοφίας) όπου ο Θεός είχε διατάξει όλα τα πράματα στο πλαίσιο του μέτρου, καθώς και τον αριθμό και το βάρος.Ο Βοήθιος παρείχε ένα μέρος για τα μαθηματικά στο πρόγραμμα σπουδών τον 6ο αιώνα όταν επινόησε τον όρο quadrivium για να περιγράψει τη μελέτη της αριθμητικής, γεωμετρίας,αστρονομίας και μουσικής. Έγραψε το De institutione arithmetica,σε ελεύθερη μετάφραση από την ελληνική γλώσσα από τον Νικόμαχο την Εισαγωγή στην Αριθμητική, De institutione musica, το οποίο επίσης προέρχεται από την ελληνική πηγή, και μια σειρά από αποσπάσματα από τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Η δουλεία του ήταν θεωρητική,παρά πρακτική, και ήταν η βάση των μαθηματικών σπουδών μέχρι την ανάκτηση των Ελληνικών και Αραβικών μαθηματικών ερευνών.Τον 12ο αιώνα, Ευρωπαίοι μελετητές ταξίδεψαν στην Ισπανία και στη Σικελία αναζητώντας επιστημονικά Αραβικά κείμενα, περιλαμβάνοντας το Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό με Μεταφορά και Απλοποίηση, του αλ-Χουαρίζμι, το οποίο μεταφράστηκε στα λατινικά από τον Ρόμπερτ του Τσέστερ, και ολόκληρο το κείμενο από τα Στοιχεία του Ευκλείδη,το οποίο μεταφράστηκε σε πολλές εκδοχές από τους Αβελάρδο του Μπαθ, Ερμάνος της Καρινθίας, και Γεράρδο της Κρεμόνας.Αυτές οι νέες πηγές πυροδότησαν μια ανανέωση στο κλάδο των μαθηματικών. Ο Φιμπονάτσι, ο οποίος έγραψε το Liber Abaci, το 1202 και εκσυγχρονίστηκε το 1254, παρήγαγε τα πρώτα σημαντικά μαθηματικά στην Ευρώπη, δεδομένου την εποχή του Ερατοσθένη, ένα κενό πάνω από χιλιάδες χρόνια. Η έρευνα εισήγαγε τους ινδοαραβικούς αριθμούς στην Ευρώπη και συζητήθηκαν αρκετά μαθηματικά προβλήματα. Τον 14ο αιώνα έγινε εμφανής η εξέλιξη των καινούργιων ιδεών στο να διερευνάται ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων. Μια σημαντική συμβολή ήταν η εξέλιξη των μαθηματικών του τοπικού κινήματος. Ο Τόμαα Μπραντγουορντάιν πρότεινε ότι η ταχύτητα (V) αυξάνεται σε αριθμητική αναλογία όπως ο λόγος της δύναμης (F) με την αντίσταση (R) αυξάνει σε γεωμετρική αναλογία. Ο Μπραντγουορντάιν εξέφρασε αυτό με μία σειρά από συγκεκριμένα παραδείγματα, αλλά παρόλο που ο λογάριθμος δεν είχε σχεδιαστεί ακόμα, μπορούμε να εκφράσουμε το συμπέρασμα αναχρονιστικά γράφοντας: V = log(F/R). Η ανάλυση του Μπραντγουορντάιν είναι ένα παράδειγμα μεταφοράς της μαθηματικής τεχνικής που χρησιμοποιήθηκε από τον Αλ-Κίντι και τον Αρνάλδο της Βιγιανόβας για να ποσοτικοποιηθεί η φύση της ένωσης φαρμάκων σε ένα διαφορετικό πρόβλημα.Ένας από τους μαθηματικούς του 14ου αιώνα, ο Ουίλιαμ του Χέιτσμπιουρι, ελλείψει διαφορικού λογισμού και της έννοιας των ορίων, πρότεινε να μετρηθεί η στιγμιαία ταχύτητα «από το μονοπάτι που θα περιγράφεται από (ένα σώμα), αν... μεταφερόταν ομοιόμορφα στο ίδιο επίπεδο ταχύτητας με την οποία κινείτο σε εκείνη τη χρονική στιγμή».Ο Χέιτσμπιουρι και άλλοι καθόρισαν μαθηματικά την απόσταση που καλύπτει ένα σώμα το οποίο υπόκειται σε ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (σήμερα: ολοκλήρωμα), δηλώντας ότι: «ένα κινούμενο σώμα, το οποίο αφομοιώνει ή χάνει αυτή την αύξηση (της ταχύτητας), θα διασχίσει σε μια δεδομένη χρονική στιγμή μία απόσταση εντελώς ίση με εκείνη που θα διέσχιζε αν κινείτο συνεχώς μέσα από την ίδια φορά με τη μέση ταχύτητα.Ο Νικόλ Ορεσίμ στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού και ο Ιταλός Τζοβάνι ντι Κασάλι περιείχαν, ο καθένας ξεχωριστά, γραφικές παραστάσεις αυτής της σχέσης, υποστηρίζοντας ότι η περιοχή κάτω από τη γραμμή που απεικονίζει τη σταθερή επιτάχυνση, συμβολίζει τη συνολική απόσταση που διανύθηκε. Σε μία μεταγενέστερη μαθηματική ερμηνεία στα «Στοιχεία του Ευκλείδη», ο Ορεσίμ έκανε μία πιο λεπτομερή γενική ανάλυση στην οποία έδειξε ότι ένα σώμα θα αποκτήσει σε κάθε διαδοχική αύξηση του χρόνου μία προσαύξηση για κάθε ιδιότητα που αυξάνει όπως οι μονοί αριθμοί. Από τότε που ο Ευκλείδης απέδειξε ότι το άθροισμα που αποκτήθηκε από το σώμα αυξάνεται όπως το τετράγωνο του χρόνου. Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, η ανάπτυξη των μαθηματικών και της λογιστικής ήταν συνυφασμένη. Ενώ δεν υπάρχει άμεση σχέση ανάμεσα στην άλγεβρα και στη λογιστική, η διδασκαλία των θεμάτων και των βιβλίων που δημοσιεύονταν συχνά προορίζονταν για παιδιά εμπόρων που στέλνονταν σε "σχολεία του υπολογισμού" (στη Φλάνδρα και στη Γερμανία) ή σε σχολεία του άβακα (γνωστά στην Ιταλία ως abbaco), όπου μάθαιναν δεξιότητες χρήσιμες για το εμπόριο και τις συναλλαγές. Πιθανώς, δεν υπάρχει ανάγκη στην άλγεβρα για την εκτέλεση πράξεων λογιστικής, αλλά για πολύπλοκες πράξεις στο παζάρι ή για τον υπολογισμό των σύνθετων τόκων, μία βασική γνώση της αριθμητικής που ήταν υποχρεωτική και η γνώση της άλγεβρας ήταν πολύ χρήσιμη. Η επανεξέταση της Αριθμητικής, Γεωμετρικής, Λόγοι και Αναλογίες του Λούκα Πατσιόλι (βλέπε το λήμμα Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalitẚ του Πατσιόλι, μια ιταλική "αναθεώρηση της Αριθμητικής, Γεωμετρίας, Λόγου και Αναλογίας") τυπώθηκε για πρώτη φορά και δημοσιεύτηκε στη Βενετία το 1494. Περιελάμβανε μία πραγματεία 27 σελίδων σχετικά με την τήρηση βιβλίων, "Στοιχεία Υπολογισμού και Καταγραφής" ("Particularis de Computis et Scripturis", ελληνικά: "Λεπτομέρειες του υπολογισμού και της καταγραφής"). Γράφτηκε αρχικά και πωλήθηκε κυρίως σε εμπόρους που χρησιμοποιούσαν το βιβλίο ως κείμενο αναφοράς, ως μία πηγή ευχαρίστησης από τους μαθηματικούς γρίφους που περιείχε και για να βοηθήσει στη εκπαίδευση των γιων τους. Στην "Summa Arithmetica" ο Πατσιόλι εισάγει τα σύμβολα συν και πλην για πρώτη φορά σε εκτυπωμένο βιβλίο, σύμβολα που έγιναν τα βασικά στα Ιταλικά Αναγεννησιακά Μαθηματικά. Η "Summa Arithmetica" ήταν επίσης το πρώτο γνωστό βιβλίο που τυπώθηκε στην Ιταλία για να περιέχει άλγεβρα. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ο ίδιος ο Πατσιόλι είχε δανειστεί ένα μεγάλο μέρος του έργου του Πιέρο ντέλλα Φραντσέσκα τον οποίο αντέγραψε. Στην Ιταλία, κατά το πρώτο μισό του 16ου αιώνα, οι Σιπιόνε ντελ Φέρο κα Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια ανακάλυψαν λύσεις για τις κυβικές εξισώσεις. Ο Τζερόλαμο Καρντάνο τις δημοσίευσε το 1545 στο βιβλίο του Ars Magna, μαζί με μια λύση για τις εξισώσεις τετάρτου βαθμού, που ανακλήθηκαν από τον μαθητή του Λοντοβίκο Φεράρι. Το 1572 ο Ραφαέλ Μπομπέλι δημοσίευσε το L'Algebra στο οποίο έδειξε πώς να αντιμετωπιστούν οι φανταστικοί αριθμοί που θα μπορούσαν να εμφανιστούν στο τύπο για την επίλυση κυβικών εξισώσεων του Καρντάνο. Το βιβλίο του Σίμον Στέφεν De Thiende ("Η τέχνη των δεκάτων"), που δημοσιεύτηκε πρώτη φορά στα ολλανδικά το 1585, περιείχε την πρώτη συστηματική επεξεργασία της δεκαδικής μορφής, η οποία επηρέασε όλες τις μεταγενέστερες εργασίες για το σύστημα των πραγματικών αριθμών. Οδηγούμενη από τις απαιτήσεις της ναυσιπλοΐας και την αυξανόμενη ανάγκη για ακριβείς χάρτες μεγάλων περιοχών, η τριγωνομετρία εξελίχθηκε σε ένα σημαντικό κλάδο των μαθηματικών. Ο Βαρθολομαίος Πιτίσκος ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη δημοσιεύοντας το έργο Trigonometria του το 1595. Ο πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων του Regiomontanus δημοσιεύθηκε το 1533.Κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης, η επιθυμία των καλλιτεχνών να παρουσιάσουν το φυσικό κόσμο ρεαλιστικά σε συνδυασμό με την εκ νέου ανακάλυψη της φιλοσοφίας των Ελλήνων, οδήγησε τους καλλιτέχνες να μελετήσουν μαθηματικά. Επίσης, οι μηχανικοί και οι αρχιτέκτονες της εποχής χρειάζονταν τα μαθηματικά σε κάθε περίπτωση. Η τέχνη της ζωγραφικής με προοπτική και οι εξελίξεις στη γεωμετρία που εμπλέκονται μελετήθηκαν εντατικά. Τον 17ο αιώνα υπήρξε μια πρωτοφανής έκρηξη μαθηματικών και επιστημονικών ιδεών σε όλη την Ευρώπη. Ο Γαλιλαίος παρατήρησε την τροχιά των δορυφόρων του Δία, χρησιμοποιώντας ένα τηλεσκόπιο βασισμένο σε ένα παιχνίδι από την Ολλανδία. Ο Τίχο Μπράχε μάζεψε μια τεράστια ποσότητα μαθηματικών δεδομένων εξηγώντας τις θέσεις των πλανητών στον ουρανό. Ο Γιοχάνες Κέπλερ βοηθός του Μπράχε ήταν ο πρώτος που εκτέθηκε και ασχολήθηκε με τη σοβαρά με το θέμα της κίνησης των πλανητών. Οι υπολογισμοί του Κέπλερ απλοποιήθηκαν από την ταυτόχρονη εφεύρεση των λογαρίθμων από τους Τζον Νάπιερ και Γιοστ Μπούργκι. Ο Κέπλερ έγινε επιτυχημένος στους νόμους εφαρμοσμένων μαθηματικών στην κίνηση των πλανητών. Η αναλυτική γεωμετρία που αναπτύχθηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ (1596–1650) έδωσε τη δυνατότητα ώστε να απεικονιστούν οι θέσεις σε γράφημα, στις Καρτεσιανές συντεταγμένες. Ο Στέφεν δημιούργησε τη βάση της σύγχρονης δεκαδικής μορφής ικανή να περιγράψει όλους τους αριθμούς, είτε ρητούς είτε άρρητους. Με βάση προηγούμενες εργασίες από πολλούς προκατόχους του, ο Ισαάκ Νεύτων ανακάλυψε τους νόμους της φυσικής εξηγώντας τους νόμους του Κέπλερ και συγκέντρωσε όλες τις ιδέες γνωστές ως λογισμός. Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς ο οποίος θεωρείται ένας από τους πιο σημαντικούς μαθηματικούς του 17ου αιώνα, οποίος ανέπτυξε τον λογισμό o οποίος χρησιμοποιείται και σήμερα. Επιστήμη και μαθηματικά είχαν γίνει διεθνή εγχείρημα το οποίο θα διαδοθούν σε όλο τον κόσμο. Επιπλέον τα εφαρμοσμένα μαθηματικά άρχισαν να επεκτείνονται σε νέες περιοχές, με τη βοήθεια από τους Πιερ ντε Φερμά και Μπλεζ Πασκάλ. Ο Μπλεζ Πασκάλ και ο Φερμά έθεσαν τα θεμέλια για την έρευνα της θεωρίας πιθανοτήτων και τους αντίστοιχους νόμους της συνδυαστικής σε ένα παιχνίδι σε ένα τυχερό παιχνίδι. Ο Πασκάλ μέσω ενός στοιχήματος προσπάθησε να χρησιμοποιήσει μία νέα θεωρία πιθανοτήτων, υποστηρίζοντας μια ζωή αφιερωμένη στη θρησκεία με τη δικαιολογία ότι αν και η πιθανότητα επιτυχίας είναι μικρή ανταμοιβή θα είναι τεράστια.Με κάποια έννοια, αυτή προαναγγέλλει την ανάπτυξη της θεωρίας χρησιμότητας στο 18ο του 19ο αιώνα. Ο σημαντικότερος Μαθηματικός που επηρέασε τον 18ο αιώνα είναι αναμφισβήτητα ο Λέοναρντ Όιλερ. Οι συνεισφορές του κυμαίνονται από την ίδρυση της μελέτη της θεωρίας γραφημάτων με το πρόβλημα με τις Επτά Γέφυρες της Καινιξβέργης και φτάνει στην τυποποίηση των σύγχρονων μαθηματικών όρων και συμβόλων. Για παράδειγμα, ονόμασε την Τετραγωνική ρίζα του μείον 1 με το σύμβολο i, και διέδωσε τη χρήση του ελληνικού γράμματος Π για την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Επίσης έκανε πολυάριθμες συμβολές στη μελέτη της τοπολογίας, θεωρία γραφημάτων, λογισμός, Συνδυαστική, και σύνθετη ανάλυση, όπως αποδεικνύεται από το πλήθος των θεωρημάτων και των συμβολισμών που πήραν και το όνομά του. Άλλοι σημαντικοί Ευρωπαίοι μαθηματικοί του 18ου αιώνα είναι οι Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ, ο οποίος έκανε πρωτοποριακή εργασία στη θεωρία αριθμών, άλγεβρα, διαφορικό λογισμό, και στον λογισμό των μεταβολών, και ο Πιέρ Σιμόν Λαπλάς που, στην εποχή του Ναπολέοντα, έκανε σημαντική δουλειά πάνω στη βάση της Στατιστικής. Κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα τα μαθηματικά έγιναν όλο και περισσότερα αφηρημένα. Τον 19ο αιώνα έζησε ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777–1855). Αφήνοντας κατά μέρος τις πάρα πολλές συνεισφορές του στην επιστήμη των Θεωρητικών Μαθηματικών είναι γνωστός για το επαναστατικό του έργο πάνω στις εξισώσεις πάνω πολύπλοκες μεταβλητές, στη γεωμετρία και στη σύγκλιση σειρών. Επίσης έδωσε τις πρώτες ικανοποιητικές αποδείξεις στο θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας και του τετραγωνικού νόμου αντιστροφής. Αυτόν τον αιώνα αναπτύχθηκαν δύο από τις μορφές μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπου το αξίωμα της παραλληλίας από την Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν ισχύει. Ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι και ο ανταγωνιστής του, μαθηματικός Γιάνος Μπολιάι, ανεξάρτητα ο καθένας όρισε και μελέτησε την Υπερβολική Γεωμετρία, όπου η μοναδικότητα των παραλλήλων ευθειών δεν ισχύει. Σε αυτή τη γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο μπορούσε να είναι λιγότερο από 180°. Η ελλειπτική γεωμετρία αναπτύχθηκε αργότερα τον 19ο αιώνα από τον Γερμανό μαθηματικό Μπέρναρντ Ρίμαν, εδώ παράλληλες δεν μπορούν να βρεθούν και ένα τρίγωνο προσθέτοντας τις γωνίες μπορεί να είναι παραπάνω από 180° μοίρες. Ο Ρίμαν ανέπτυξε επίσης τη θεωρία του Ρίμαν, η οποία ενοποιεί και γενικεύει τους τρεις τύπους γεωμετρίας, και ορίζει την έννοια της πολλαπλότητας, η οποία γενικεύει τις ιδέες των καμπυλών και επιφανειών. Ο 19ος αιώνας είδε την αρχή πολλών αφηρημένων μορφών άλγεβρας. Ο Ερμάνος Γκράσμαν από τη Γερμανία ήταν ο πρώτος που έδωσε μία πρώτη εκδοχή των διανυσματικών χώρων. Ο Ουίλθαμ Ρόουαν Χάμιλτον από την Ιρλανδία ανέπτυξε μία αντιμεταθετική άλγεβρα. Ο Τζορτζ Μπουλ επινόησε μία άλγεβρα η οποία στη συνέχεια εξελίχθηκε σε μία άλγεβρα του Μπουλ, η οποία είχε μόνο τους αριθμούς 0 και 1. Η συγκεκριμένη άλγεβρα ήταν η αφετηρία της μαθηματικής λογικής και έχει σημαντικές εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών. Ο Αυγουστίνος-Λουδοβίκος Κωσύ, Μπέρναρντ Ρίμαν, και Καρλ Βάιερστρας αναδιατύπωσαν τον λογισμό σε έναν πιο αυστηρό τρόπο. Επίσης, για πρώτη φορά, τα όρια των μαθηματικών ερευνήθηκαν. Ο Νίλες Χένρικ Άμπελ, από τη Νορβηγία και ο Εβαρίστ Γκαλουά, από τη Γαλλία, απέδειξαν ότι δεν υπάρχει γενική αλγεβρική μέθοδος για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από τέσσερα (θεώρημα Άμπελ–Ρουφίνι). Άλλοι μαθηματικοί του 19ου αιώνα, χρησιμοποίησαν αυτήν την απόδειξη και έδειξαν ότι η χρήση κανόνα και διαβήτη δεν είναι αρκετή για να διαιρεθεί στα τρία μια αυθαίρετη γωνία, να κατασκευαστεί μία πλευρά του κύβου από το διπλάσιο του όγκου ενός δεδομένου κύβου, ούτε να κατασκευάσει ένα τετράγωνο ίσο σε έκταση με δεδομένο κύκλο. Οι μαθηματικοί είχαν μάταια προσπαθήσει να λύσουν όλα αυτά τα προβλήματα από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων. Από την άλλη πλευρά, ο περιορισμός των τριών διαστάσεων στη γεωμετρία ξεπεράστηκε κατά τον 19ο αιώνα, μέσω εκτιμήσεων του χώρου των παραμέτρων και των υπερπερίπλοκων αριθμών. Οι Άμπελ και Γκαλουά, μέσω των ερευνών, βρίσκοντας λύσεις σε διάφορες πολυωνυμικές εξισώσεις, έθεσαν τις βάσεις για την περαιτέρω εξέλιξη της θεωρίας ομάδων και των τομέων σε σχέση με την αφηρημένη άλγεβρα. Κατά τον 20ό αιώνα οι φυσικοί και άλλοι επιστήμονες είχαν δει τη θεωρία της ομάδας ως έναν ιδανικό τρόπο για να σπουδάσουν συμμετρία. Αργότερα τον 19ο αιώνα, ο Ζορζ Καντόρ καθόρισε τα πρώτα θεμέλια της θεωρίας συνόλων, γεγονός που επέτρεψε την αυστηρή αντιμετώπιση της έννοιας του απείρου και είχε γίνει η κοινή γλώσσα όλων σχεδόν των μαθηματικών. Η θεωρία συνόλων του Καντόρ, και η άνοδος της μαθηματικής λογικής στα χέρια του Πεάνο, Λ. Ε. Τζ. Μπράουερ, Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μπέρτραντ Ράσελ και του Ουάιτχεντ, ξεκίνησε μια πολύχρονη συζήτηση πάνω στα θεμέλια των μαθηματικών. Τον 19ο αιώνα ιδρύθηκαν διάφορες μαθηματικές εταιρείες όπως: η Μαθηματική Εταιρεία του Λονδίνου το 1865, η Μαθηματική Εταιρεία της Γαλλίας το 1872, ο Μαθηματικός Κύκλος του Παλέρμο το 1884, η Μαθηματική Εταιρεία του Εδιμβούργου το 1883, και η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία 1888. Η πρώτη διεθνής εταιρεία ειδικού ενδιαφέροντος, η Εταιρεία Κουατέρνιον ιδρύθηκε το 1899. Το 1897, ο Χένσελ εισήγαγε τους εξαρτημένους από το π αριθμούς (πιαδικοί αριθμοί). Ο 20ός αιώνας είδε τα μαθηματικά να γίνονται ένα σημαντικό επάγγελμα. Κάθε χρόνο, χιλιάδες νέα διδακτορικά στα μαθηματικά απονεμήθηκαν, και οι θέσεις εργασίας ήταν διαθέσιμες τόσο στη διδασκαλία όσο και στη βιομηχανία. Μια προσπάθεια στον κατάλογο των περιοχών και τις εφαρμογές των μαθηματικών έγινε με την εγκυκλοπαίδεια του Κλάιν. Σε μια ομιλία 1900 λέξεων στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ καθόρισε ένα κατάλογο 23 άλυτων προβλημάτων των μαθηματικών. Τα προβλήματα αυτά, που εκτείνονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, σχηματίζουν μια κεντρική εστίαση για ένα μεγάλο μέρος των μαθηματικών του 20ού αιώνα. Σήμερα, 10 έχουν λυθεί, 7 εν μέρει επιλυθεί, και 2 είναι ακόμη ανοικτά. Τα υπόλοιπα 4 είναι υπερβολικά χαλαρά σχεδιασμένα για να δηλωθούν ως λυμμένα ή όχι. Αξιοσημείωτες ιστορικές εικασίες τελικά αποδείχθηκαν. Το 1976, ο Βόλφγκανγκ Χάκεν και Κένεθ Άπελ χρησιμοποίησε ηλεκτρονικό υπολογιστή για να αποδείξει το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων. Ο Άντριου Γουάιλς, με βάση τις εργασίες των άλλων, απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Φερμά το 1995. Ο Πωλ Κοέν και ο Κουρτ Γκέντελ απέδειξαν ότι η υπόθεση της συνεχούς είναι ανεξάρτητη της (δε μπορούσε ούτε να αποδειχθεί ούτε διαψεύδεται από τα τυποποιημένα αξιώματα της θεωρίας συνόλων). Το 1998 ο Τόμας Κάλιστερ Χέιλς απέδειξε την εικασία του Κέπλερ. Μαθηματικές συνεργασίες άνευ προηγουμένου μέγεθος και πεδίου εφαρμογής πραγματοποιήθηκαν. Ένα παράδειγμα είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων (που ονομάζεται επίσης ως «τεράστιο θεώρημα»), του οποίου η απόδειξη μεταξύ του 1955 και του 1983, απαιτούνται 500 περίεργα άρθρα περιοδικών από περίπου 100 συγγραφείς, και δεκάδες χιλιάδες σελίδες. Μια ομάδα Γάλλων μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων των Ζαν Ντιεντονέ και Αντρέ Βεΐλ, εξέδωσαν έργα με το ψευδώνυμο Νικολά Μπουρμπακί, μια προσπάθεια να εκθέσουν όλα τα γνωστά μαθηματικά ως ένα συνεκτικό αυστηρό σύνολο. Τα αποτελέσματα από δεκάδες τόμους είχε μια αμφιλεγόμενη επίδραση στη μαθηματική εκπαίδευση. Η διαφορική γεωμετρία ήρθε στη δική του, όταν ο Αϊνστάιν χρησιμοποίησε τη γενική σχετικότητα. Ολόκληροι νέοι τομείς των μαθηματικών, όπως η μαθηματική λογική, τοπολογία και τη θεωρία παιγνίων του Τζον φον Νόιμαν άλλαξαν τα είδη των ερωτήσεων που θα μπορούσαν να απαντηθούν με μαθηματικές μεθόδους. Όλα τα είδη δομών αντλούνται με αξιώματα και έχουν ονόματα όπως μετρικοί χώροι, τοπολογικοί χώροι κλπ. Όπως κάνουν οι μαθηματικοί, η έννοια της αφηρημένης δομής ήταν αφαιρετικά η ίδια και οδήγησε στην κατηγορία της θεωρίας. Οι Γκρότεντικ και Σερ αναδιατύπωσαν την αλγεβρική γεωμετρία χρησιμοποιώντας κομμάτια θεωρίας. Μεγάλη πρόοδος σημειώθηκε στην ποιοτική μελέτη των δυναμικών συστημάτων που Πουανκαρέ που είχε αρχίσει από το 1890. Η Θεωρία του Μέτρου αναπτύχθηκε στα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ού αιώνα. Οι εφαρμογές των μέτρων περιλαμβάνουν το ολοκλήρωμα Λεμπέσγκ, την αξιωματοποίηση του Κολμογκόροφ της θεωρία των πιθανοτήτων και την εργωδική θεωρία. Η θεωρία επεκτάθηκε σε σημαντικό βαθμό. Η Κβαντομηχανική οδήγησε στην ανάπτυξη της λειτουργικής ανάλυσης. Άλλες νέες περιοχές περιλαμβάνουν, τη θεωρία της διανομής Λωράν και Σβαρτς, το σταθερό σημείο θεωρίας, τη μοναδικότητα της θεωρίας και τη θεωρία καταστροφής του Ρενέ Τομ, το μοντέλο της θεωρίας, και τα φράκταλ του Μάντελμπροτ. Η θεωρία του Λάι με ομάδες και άλγεβρες του Λάι έγινε ένας από τους σημαντικότερους τομείς της μελέτης. Η μη τυπική ανάλυση, η οποία θεσπίστηκε με τον Αβραάμ Ρόμπινσον, απεκατέστησε απειροελάχιστη προσέγγιση στο λογισμό, ο οποίος είχε πέσει σε ανυποληψία υπέρ της θεωρίας των ορίων, επεκτείνοντας το πεδίο των πραγματικών αριθμών με τους υπερπραγματικούς αριθμούς περιλαμβάνοντας απειροελάχιστες και άπειρες ποσότητες. Ένα ακόμη μεγαλύτερο σύστημα αριθμού, οι σουρεαλιστική αριθμοί ανακαλύφθηκαν από τον Τζον Χόρτον Κόνγουεί σε σχέση με συνδυαστικά παιχνίδια. Η ανάπτυξη και τη συνεχή βελτίωση των υπολογιστών, αρχικά στις μηχανικές αναλογικές μηχανές και, στη συνέχεια, στις ψηφιακές ηλεκτρονικές συσκευές, επέτρεψε τη βιομηχανία να ασχοληθεί με όλο και με μεγαλύτερες ποσότητες δεδομένων για τη διευκόλυνση της μαζικής παραγωγής, της διανομής και της επικοινωνίας, καθώς και τη δημιουργία νέων τομέων των μαθηματικών για την ενασχόληση με αυτό: Η Θεωρία υπολογισιμότητας του Άλαν Τούρινγκ η θεωρία της πολυπλοκότητας, η Χρήση του Ντέρικ Χένρι Λέμερ της ENIAC για περαιτέρω Θεωρία Αριθμών και η δοκιμή του Λούκας - Λέμερ, η Θεωρία της πληροφορίας του Κλωντ Σάνον, η επεξεργασία σήματος: ανάλυσης δεδομένων, η βελτιστοποίηση και σε άλλους τομείς της επιχειρησιακής έρευνας. Στους προηγούμενους αιώνες πολλοί μαθηματικοί έδωσαν έμφαση στο λογισμό και στις συνεχείς συναρτήσεις, αλλά η άνοδος των δικτύων πληροφορικής και επικοινωνιών οδήγησε σε μια αυξανόμενη σημασία των διακριτών εννοιών και την επέκταση της Συνδυαστικής συμπεριλαμβανομένων της θεωρία γραφημάτων. Οι ικανότητες ταχύτητας και επεξεργασίας δεδομένων των υπολογιστών επέτρεψε επίσης την αντιμετώπιση των μαθηματικών προβλημάτων που ήταν πάρα πολύ χρονοβόρα για να υπολογιστούν με μολύβι και χαρτί, οδηγώντας σε τομείς όπως η αριθμητική ανάλυση και στους συμβολικούς υπολογισμούς. Μερικές από τις πιο σημαντικές μεθόδους και αλγορίθμους του 20ού αιώνα είναι: ο απλός αλγόριθμος, ο ταχύς μετασχηματισμός του Φουριέ, η διόρθωση λαθών, οι κώδικες, το φίλτρο Κάλμαν από τη θεωρία ελέγχου και ο αλγόριθμος RSA της κρυπτογραφίας δημόσιου κλειδιού. Ταυτόχρονα, βαθιές γνώσεις έγιναν σχετικά με τους περιορισμούς στα μαθηματικά. Το 1929 και το 1930, αποδείχθηκε ότι η αλήθεια ή η αναλήθεια όλων των δηλώσεων που διατυπώθηκαν σχετικά με τους φυσικούς αριθμούς συν ένα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ήταν δυνατό να αποφασισθεί, δηλαδή θα μπορούσε να καθορίζεται από κάποιο αλγόριθμο. Το 1931 ο Κουρτ Γκέντελ διαπίστωσε ότι αυτό δεν ίσχυε για την περίπτωση των φυσικών αριθμών ταυτόχρονα για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό: Αυτό το σύστημα, γνωστό ως αριθμητική Πεάνο, ήταν στην πραγματικότητα ανολοκλήρωτη. (η Αριθμητική Πεάνο είναι επαρκή για μια καλή συμφωνία της θεωρίας αριθμών, συμπεριλαμβανομένης της έννοιας του πρώτου αριθμού). Μια συνέπεια των δύο θεωρημάτων της μη πληρότητας του Γκέντελ είναι ότι σε κάθε μαθηματικό σύστημα που περιλαμβάνει αριθμητική Πεάνο (συμπεριλαμβανομένων της ανάλυσης και τη γεωμετρίας) ξεπερνά τα απαραίτητα αποδεικτικά στοιχεία, δηλαδή υπάρχουν αληθείς δηλώσεις που δεν μπορούν να αποδειχθούν μέσα στο σύστημα. Ως εκ τούτου, τα μαθηματικά δεν μπορούν να μειωθούν σε μαθηματική λογική, και το όνειρο του Ντέιβιντ Χίλμπερτ να γίνουν όλα τα μαθηματικά πλήροι και συνεπή έπρεπε να αναδιατυπωθεί. Ένα από τα πιο πολύχρωμα σχήματα στα μαθηματικά του 20ού αιώνα ήταν Σρινιβάσα Ραμανούτζαν (1887-1920) αυτοδίδακτος Ινδός μαθηματικός ο οποίος δημιούργησε ή απέδειξε πάνω από 3000 θεωρήματα, συμπεριλαμβανομένων των ιδιοτήτων των εξαιρετικά σύνθετων αριθμών, η συνάρτηση επιμερισμού και ασυμπτωτικές του και τις εικονικές συναρτήσεις θήτα. Έκανε επίσης σημαντικές έρευνες στους τομείς των λειτουργιών γάμμα, στις σπονδυλωτές μορφές, στις διαφορικές σειρές, στην Υπεργεωμετρική σειρά και την προνομιακή Θεωρία αριθμών. Ο Πωλ Έρντος δημοσίευσε περισσότερα έντυπα από οποιαδήποτε άλλο μαθηματικό στην ιστορία, σε συνεργασία με εκατοντάδες συνεργάτες. Οι μαθηματικοί έχουν ένα παιχνίδι που ισοδυναμεί με το παιχνίδι του Κέβιν Μπέικον, το οποίο οδηγεί στον αριθμό Έρντος ενός μαθηματικού. Αυτό περιγράφει τη συνεργατική απόσταση ανάμεσα σε ένα άτομο και του Έρντος, όπως μετράται από την κοινού πατρότητα των μαθηματικών εγγράφων. Η Έμμυ Νέθερ έχει περιγραφεί από πολλούς ως η πιο σημαντική γυναίκα στην ιστορία των μαθηματικών, καθώς ξεσήκωσε τις θεωρίες των δακτυλίων, τα πεδία, και άλγεβρες. Όπως και στις περισσότερες περιοχές της μελέτης, η έκρηξη των γνώσεων στην επιστημονική ηλικία έχει οδηγήσει στην εξειδίκευση. Μέχρι το τέλος του αιώνα υπήρχαν εκατοντάδες εξειδικευμένοι τομείς στα μαθηματικά και το Μαθηματικά Θέματα Ταξινόμησης απαριθμούσε δεκάδες σελίδες. Όλο και πιο πολλά μαθηματικά περιοδικά εκδόθηκαν και μέχρι το τέλος του αιώνα η ανάπτυξη του Παγκοσμίου Ιστού Αναζήτησης οδήγησε στη δημοσίευση τους στο διαδίκτυο. 21ος αιώναςΤο 2000, το Ινστιτούτο Μαθηματικών Κλέι ανακοίνωσε το βραβείο των επτά προβλημάτων της χιλιετίας, και το 2003 η εικασία του Πουανκαρέ λύθηκε από τον Γκριγκόρι Πέρελμαν (ο οποίος αρνήθηκε να παραλάβει το βραβείο, αφού ο ίδιος ήταν επικριτής για τη δημοσιοποίηση των μαθηματικών). Τα περισσότερα μαθηματικά περιοδικά έχουν τώρα διαδικτυακές και έντυπες εκδόσεις, και πολλές σε απευθείας σύνδεση-μόνο με περιοδικά που κυκλοφορούν. Υπάρχει μια αυξανόμενη τάση προς την ανοικτή πρόσβαση, η οποία πρωτοδιαδόθηκε από το arXiv. Υπάρχουν πολλοί που παρατηρούν τις τάσεις στα μαθηματικά, το πιο αξιοσημείωτο είναι ότι το θέμα γίνεται ολοένα και μεγαλύτερο, οι υπολογιστές είναι ολοένα και πιο σημαντικοί και ισχυροί, η εφαρμογή των μαθηματικών στη βιοπληροφορική αναπτύσσεται με ταχείς ρυθμούς, ο όγκος των δεδομένων που πρόκειται να αναλυθεί παράγεται από την επιστήμη και τη βιομηχανία, η οποία διευκολύνεται από τους υπολογιστές, και επεκτείνεται εκρηκτικά. Ιστορία της Άλγεβρας Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, Grattan-Guinness, Ivor (2003). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. The Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-7397-5. Bell, E. T. (1937). Men of Mathematics. Simon and Schuster. Burton, David M. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw Hill: 1997. Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition. Addison-Wesley: 1998. Scimone, Aldo (2006). Talete, chi era costui? Vita e opere dei matematici incontrati a scuola. Palermo: Palumbo Pp. 228.Βιβλία συγκεκριμένων χρονικών περιόδωνGillings, Richard J. (1972). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, MA: MIT Press. Heath, Sir Thomas (1981). A History of Greek Mathematics. Dover. ISBN 0-486-24073-8. Katz, Victor J., επιμ. (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton, NJ: Princeton University Press, 685 pages, pp 385-514. ISBN 0-691-11485-4. . Maier, Annaliese (1982), At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy, edited by Steven Sargent, Philadelphia: University of Pennsylvania Press. Plofker, Kim (2009). Mathematics in India: 500 BCE–1800 CE. Princeton, NJ: Princeton University Press. Pp. 384. ISBN 0-691-12067-6. . van der Waerden, B. L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-387-12159-5.Βιβλία πάνω σε συγκεκριμένες ενότητεςHoffman, Paul, The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. New York: Hyperion, 1998 ISBN 0-7868-6362-5. Stigler, Stephen M. (1990). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Belknap Press. ISBN 0-674-40341-X. Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8. ΝτοκιμαντέρBBC (2008). The Story of Maths. MacTutor History of Mathematics archive (John J. O'Connor and Edmund F. Robertson; University of St Andrews, Scotland). An award-winning website containing detailed biographies on many historical and contemporary mathematicians, as well as information on notable curves and various topics in the history of mathematics. History of Mathematics Home Page (David E. Joyce; Clark University). Articles on various topics in the history of mathematics with an extensive bibliography. The History of Mathematics (David R. Wilkins; Trinity College, Dublin). Collections of material on the mathematics between the 17th and 19th century. History of Mathematics (Simon Fraser University). Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Jeff Miller). Contains information on the earliest known uses of terms used in mathematics. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Jeff Miller). Contains information on the history of mathematical notations. Mathematical Words: Origins and Sources (John Aldrich, University of Southampton) Discusses the origins of the modern mathematical word stock. Biographies of Women Mathematicians (Larry Riddle; Agnes Scott College). Mathematicians of the African Diaspora (Scott W. Williams; University at Buffalo). Fred Rickey's History of Mathematics Page A Bibliography of Collected Works and Correspondence of Mathematicians archive dated 2007/3/17 (Steven W. Rockey; Cornell University Library).Συνδέσεις διαδικτυακέςInternational Commission for the History of MathematicsΕφημερίδεςHistoria Mathematica Convergence, the Mathematical Association of America's online Math History MagazineΚατάλογοιLinks to Web Sites on the History of Mathematics (The British Society for the History of Mathematics) History of Mathematics Αρχειοθετήθηκε 2006-10-04 στο Wayback Machine. Math Archives (University of Tennessee, Knoxville) History/Biography The Math Forum (Drexel University) History of Mathematics (Courtright Memorial Library). History of Mathematics Web Sites (David Calvis; Baldwin-Wallace College) History of mathematics στο Curlie Historia de las Matemáticas (Universidad de La La guna) História da Matemática (Universidade de Coimbra) Using History in Math Class Mathematical Resources: History of Mathematics (Bruno Kevius) History of Mathematics (Roberta Tucci)