Υπερβολικές συναρτήσεις

Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.

 Υπερβολικό ημίτονο sinh ⁡ x = e x − e − x 2 = − i sin ⁡ i x {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!} Υπερβολικό συνημίτονο cosh ⁡ x = e x + e − x 2 = cos ⁡ i x {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!} Υπερβολική εφαπτομένη tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x − e − x 2 e x + e − x 2 = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 = − i tan ⁡ i x {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!} Υπερβολική συνεφαπτομένη coth ⁡ x = cosh ⁡ x sinh ⁡ x = e x + e − x 2 e x − e − x 2 = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 = i cot ⁡ i x {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!} Υπερβολική τέμνουσα sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x = 2 e x + e − x = sec ⁡ i x {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec {ix}\!} υπερβολική συντέμνουσα cosech ⁡ x = 1 sinh ⁡ x = 2 e x − e − x = i csc i x {\displaystyle \operatorname {cosech} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!} Όπου i {\displaystyle i} είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . sinh ⁡ ( − x ) = − sinh ⁡ x {\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!} cosh ⁡ ( − x ) = cosh ⁡ x {\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!} Οπότε: tanh ⁡ ( − x ) = − tanh ⁡ x {\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!} coth ⁡ ( − x ) = − coth ⁡ x {\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!} sech ⁡ ( − x ) = sech x {\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!} cosech ⁡ ( − x ) = − cosech x {\displaystyle \operatorname {cosech} (-x)=-\operatorname {cosech} \,x\,\!} Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις. sech − 1 ⁡ x = cosh − 1 ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\cosh ^{-1}\left({\frac {1}{x}}\right)} cosech − 1 ⁡ x = sinh − 1 ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \operatorname {cosech} ^{-1}x=\sinh ^{-1}\left({\frac {1}{x}}\right)} coth − 1 ⁡ x = tanh − 1 ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \coth ^{-1}x=\tanh ^{-1}\left({\frac {1}{x}}\right)} Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση: cosh 2 ⁡ x − sinh 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,} η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης: sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,} Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.: 1 2 f ″ = f 3 − f ; f ( 0 ) = f ′ ( ∞ ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0} sinh − 1 ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)} cosh − 1 ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 {\displaystyle \cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1} tanh − 1 ⁡ x = 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) ; | x | < 1 {\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1} sech − 1 ⁡ x = ln ⁡ ( 1 + 1 − x 2 x ) ; 0 < x ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right);0<x\leq 1} cosech − 1 ⁡ x = ln ⁡ ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) {\displaystyle \operatorname {cosech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)} coth − 1 ⁡ x = 1 2 ln ⁡ ( x + 1 x − 1 ) ; | x | > 1 {\displaystyle \coth ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1} d d x sinh ⁡ ( x ) = cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,} d d x cosh ⁡ ( x ) = sinh ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,} d d x tanh ⁡ ( x ) = 1 − tanh 2 ⁡ ( x ) = sech 2 ( x ) = 1 / cosh 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,} d d x coth ⁡ ( x ) = 1 − coth 2 ⁡ ( x ) = − csch 2 ( x ) = − 1 / sinh 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,} d d x csch(x) = − coth ⁡ ( x ) csch(x) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch(x)}}=-\coth(x)\ {\hbox{csch(x)}}\,} d d x sech(x) = − tanh ⁡ ( x ) sech(x) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech(x)}}=-\tanh(x)\ {\hbox{sech(x)}}\,} d d x ( sinh − 1 ⁡ x ) = 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} d d x ( cosh − 1 ⁡ x ) = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} d d x ( tanh − 1 ⁡ x ) = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}} d d x ( csch − 1 ⁡ x ) = − 1 | x | 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}} d d x ( sech − 1 ⁡ x ) = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}} d d x ( coth − 1 ⁡ x ) = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}} ∫ sinh ⁡ a x d x = 1 a cosh ⁡ a x + C {\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C} ∫ cosh ⁡ a x d x = 1 a sinh ⁡ a x + C {\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C} ∫ tanh ⁡ a x d x = 1 a ln ⁡ ( cosh ⁡ a x ) + C {\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\cosh ax)+C} ∫ coth ⁡ a x d x = 1 a ln ⁡ ( sinh ⁡ a x ) + C {\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\sinh ax)+C} ∫ d u a 2 + u 2 = sinh − 1 ⁡ ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u u 2 − a 2 = cosh − 1 ⁡ ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u a 2 − u 2 = 1 a tanh − 1 ⁡ ( u a ) + C ; u 2 < a 2 {\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}} ∫ d u a 2 − u 2 = 1 a coth − 1 ⁡ ( u a ) + C ; u 2 > a 2 {\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}} ∫ d u u a 2 − u 2 = − 1 a sech − 1 ⁡ ( u a ) + C {\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C} ∫ d u u a 2 + u 2 = − 1 a csch − 1 ⁡ | u a | + C {\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C} Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης. Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor: sinh ⁡ x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} cosh ⁡ x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} tanh ⁡ x = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} coth ⁡ x = 1 x + x 3 − x 3 45 + 2 x 5 945 + ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π {\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (Σειρά Laurent) sech x = 1 − x 2 2 + 5 x 4 24 − 61 x 6 720 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ E 2 n x 2 n ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} csch x = 1 x − x 6 + 7 x 3 360 − 31 x 5 15120 + ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 1 − 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (Σειρά Laurent)όπου B n {\displaystyle B_{n}\,} είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι E n {\displaystyle E_{n}\,} είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Υπερβολή (γεωμετρία)