Καμπύλη του δράκου

Η καμπύλη του δράκου είναι οποιοδήποτε μέλος μιας οικογένειας αυτο-ομοειδών μορφοκλασματικών καμπυλών, οι οποίες μπορούν να προσεγγιστούν με αναδρομικές μεθόδους, όπως τα συστήματα Λιντενμάγιερ. Η καμπύλη δράκου πιθανόν να θεωρείται πιο συχνά ως το σχήμα που παράγεται από την επαναλαμβανόμενη δίπλωση μιας λωρίδας χαρτιού στη μέση, αν και υπάρχουν και άλλες καμπύλες που ονομάζονται καμπύλες δράκου και παράγονται με διαφορετικό τρόπο.

 Ο δράκος Χέιγουεϊ (επίσης γνωστός ως δράκος Χάρτερ-Χέιγουεϊ ή δράκος του Τζουράσικ Παρκ) διερευνήθηκε για πρώτη φορά από τους φυσικούς της NASA Τζον Χέιγουεϊ, Μπρους Μπανκς και Γουίλιαμ Χάρτερ. Περιγράφηκε από τον Μάρτιν Γκάρντνερ στη στήλη του επιστημονικού περιοδικού Scientific American Mathematical Games το 1967. Πολλές από τις ιδιότητές του δημοσιεύθηκαν για πρώτη φορά από τους Τσάντλερ Ντέιβις και Ντόναλντ Κνουθ. Εμφανίστηκε στις σελίδες τίτλων των τμημάτων του μυθιστορήματος του Μάικλ Κράιτον "Jurassic Park" Ο δράκος Χέιγουεϊ μπορεί να κατασκευαστεί από ένα βασικό τμήμα γραμμής αντικαθιστώντας επανειλημμένα κάθε τμήμα με δύο τμήματα με ορθή γωνία και με περιστροφή 45° εναλλάξ προς τα δεξιά και προς τα αριστερά:: Ο δράκος Heighway είναι επίσης το οριακό σύνολο του ακόλουθου συστήματος επαναληπτικών συναρτήσεων στο μιγαδικό επίπεδο: f 1 ( z ) = ( 1 + i ) z 2 {\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}} f 2 ( z ) = 1 − ( 1 − i ) z 2 {\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}} με το αρχικό σύνολο των σημείων S 0 = { 0 , 1 } {\displaystyle S_{0}=\{0,1\}} . Χρησιμοποιώντας ζεύγη πραγματικών αριθμών, προκύπτει το ίδιο με τις δύο συναρτήσεις που αποτελούνται από f 1 ( x , y ) = 1 2 ( cos ⁡ 45 ∘ − sin ⁡ 45 ∘ sin ⁡ 45 ∘ cos ⁡ 45 ∘ ) ( x y ) {\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}} f 2 ( x , y ) = 1 2 ( cos ⁡ 135 ∘ − sin ⁡ 135 ∘ sin ⁡ 135 ∘ cos ⁡ 135 ∘ ) ( x y ) + ( 1 0 ) {\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} Η καμπύλη του δράκου Χάιγουεϊ μπορεί να κατασκευαστεί διπλώνοντας μια λωρίδα χαρτιού, με τον ίδιο τρόπο που ανακαλύφθηκε αρχικά. Πάρτε μια λωρίδα χαρτιού και διπλώστε τη στη μέση προς τα δεξιά. Διπλώστε την ξανά στη μέση προς τα δεξιά. Αν η λωρίδα ανοίξει τώρα, ξεδιπλώνοντας κάθε δίπλωμα ώστε να γίνει στροφή 90 μοιρών, η ακολουθία στροφών θα είναι RRL, δηλαδή η δεύτερη επανάληψη του δράκου Χάιγουεϊ. Διπλώστε τη λωρίδα ξανά στη μέση προς τα δεξιά, και η ακολουθία στροφών της ξεδιπλωμένης λωρίδας είναι τώρα RRLRRLL - η τρίτη επανάληψη του δράκου Χάιγουεϊ. Συνεχίστε να διπλώνετε τη λωρίδα στη μέση προς τα δεξιά για να δημιουργήσετε περαιτέρω επαναλήψεις του δράκου Χάιγουεϊ (στην πράξη, η λωρίδα γίνεται πολύ παχιά για να διπλωθεί απότομα μετά από τέσσερις ή πέντε επαναλήψεις). Τα μοτίβα αναδίπλωσης αυτής της ακολουθίας λωρίδων χαρτιού, ως ακολουθίες δεξιών (R) και αριστερών (L) αναδιπλώσεων, είναι: 1st iteration: R 2nd iteration: R R L 3rd iteration: R R L R R L L 4th iteration: R R L R R L L R R R L L R L L.Κάθε επανάληψη μπορεί να βρεθεί αντιγράφοντας την προηγούμενη επανάληψη, έπειτα ένα R, έπειτα ένα δεύτερο αντίγραφο της προηγούμενης επανάληψης με αντίστροφη σειρά, με τα γράμματα L και R να ανταλλάσσονται. Πολλές αυτο-ομοιότητες μπορούν να παρατηρηθούν στην καμπύλη του δράκου Χάιγουεϊ (Heighway). Η πιο προφανής είναι η επανάληψη του ίδιου μοτίβου με κλίση 45° και με λόγο μείωσης 2 {\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}} . Με βάση αυτές τις αυτο-ομοιότητες, πολλά από τα μήκη της είναι απλοί ορθολογικοί αριθμοί. Η καμπύλη του δράκου μπορεί να πλακιδώσει το επίπεδο. Μια πιθανή πλακόστρωση αντικαθιστά κάθε ακμή ενός τετραγωνικού πλακιδίου με μια καμπύλη δράκου, χρησιμοποιώντας τον αναδρομικό ορισμό του δράκου ξεκινώντας από ένα ευθύγραμμο τμήμα. Η αρχική κατεύθυνση για την επέκταση κάθε τμήματος μπορεί να καθοριστεί από έναν χρωματισμό σκακιέρας ενός τετραγωνικού πλακιδίου, επεκτείνοντας κάθετα τμήματα σε μαύρα πλακίδια και έξω από λευκά πλακίδια, και επεκτείνοντας οριζόντια τμήματα σε λευκά πλακίδια και έξω από μαύρα. Ως μη αυτο-διασταυρούμενη καμπύλη που γεμίζει το χώρο, η καμπύλη δράκος έχει διάσταση φράκταλ ακριβώς 2. Για μια καμπύλη δράκος με αρχικό μήκος τμήματος 1, το εμβαδόν της είναι 1/2, όπως φαίνεται από τις κλίσεις του επιπέδου. Το όριο του συνόλου που καλύπτει η καμπύλη δράκου έχει άπειρο μήκος, με μορφοκλασματική διάσταση όπου είναι η πραγµατική λύση της εξίσωσης λ 3 − λ 2 − 2 = 0. {\displaystyle \lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.} Καμπύλη Twindragon κατασκευασμένη από δύο δράκους Χάιγουεϊ Βλέπε επίσης: Πολύπλοκο σύστημα βάσεων § Βάση -1 ± i Ο δίδυμος δράκος (επίσης γνωστός ως δράκος Ντέιβις-Κνουθ) μπορεί να κατασκευαστεί τοποθετώντας δύο καμπύλες δράκου Χάιγουεϊ πλάτη με πλάτη. Είναι επίσης το οριακό σύνολο του ακόλουθου συστήματος επαναληπτικών συναρτήσεων: f 1 ( z ) = ( 1 + i ) z 2 {\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}} f 2 ( z ) = 1 − ( 1 + i ) z 2 {\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}} όπου το αρχικό σχήμα ορίζεται από το ακόλουθο σύνολο S 0 = { 0 , 1 , 1 − i } {\displaystyle S_{0}=\{0,1,1-i\}} . Μπορεί επίσης να γραφτεί ως σύστημα Λιντενμάγιερ - το μόνο που χρειάζεται είναι η προσθήκη ενός ακόμη τμήματος στην αρχική συμβολοσειρά: γωνία 90° αρχική συμβολοσειρά FX+FX+ κανόνες επαναγραφής συμβολοσειρών X ↦ X+YF Y ↦ FX−Y.Είναι επίσης ο τόπος των σημείων στο μιγαδικό του επιπέδου με το ίδιο ακέραιο μέρος όταν γράφεται στη βάση ( − 1 ± i ) {\displaystyle (-1\pm i)} . Το terdragon μπορεί να γραφτεί ως σύστημα Λιντενμάγιερ]]: γωνία 120° αρχική χορδήF Κανόνες επαναγραφής συμβολοσειράς F→ F+F−F.Είναι το οριακό σύνολο του ακόλουθου συστήματος επαναληπτικών συναρτήσεων: f 1 ( z ) = λ z {\displaystyle f_{1}(z)=\lambda z} f 2 ( z ) = i 3 z + λ {\displaystyle f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda } f 3 ( z ) = λ z + λ ∗ {\displaystyle f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}} όπου λ = 1 2 − i 2 3 και λ ∗ = 1 2 + i 2 3 . {\displaystyle {\mbox{όπου }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ και }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.} Η καμπύλη Λέβι είναι επίσης γνωστή ως δράκος του Λέβι. Η καμπύλη του δράκου ανήκει σε ένα βασικό σύνολο συναρτήσεων επανάληψης που αποτελείται από δύο γραμμές με τέσσερις δυνατούς προσανατολισμούς σε κάθετες γωνίες: Υπάρχει δυνατότητα αλλαγής της γωνίας στροφής από 90° σε άλλες γωνίες. Η αλλαγή σε 120° δίνει μια δομή τριγώνων, ενώ οι 60° δίνουν την ακόλουθη καμπύλη: Η καμπύλη του δράκου, παραλλαγή 60°. Η αυτοομοιότητα είναι σαφώς ορατή. Μια διακριτή καμπύλη δράκου μπορεί να μετατραπεί σε ένα πολυόμινο δράκου, όπως φαίνεται στην εικόνα. Όπως οι διακριτές καμπύλες δράκου, έτσι και τα πολυόμινα δράκου προσεγγίζουν τη φράκταλ καμπύλη δράκου ως όριο. Αφού ληφθεί το σύνολο των λύσεων μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης, κάθε γραμμικός συνδυασμός των λύσεων θα υπακούει επίσης στην αρχική εξίσωση, λόγω της αρχής της υπέρθεσης. Με άλλα λόγια, οι νέες λύσεις λαμβάνονται με την εφαρμογή μιας συνάρτησης στο σύνολο των υπαρχουσών λύσεων. Αυτό είναι παρόμοιο με τον τρόπο με τον οποίο ένα επαναληπτικό σύστημα συναρτήσεων παράγει νέα σημεία σε ένα σύνολο, αν και δεν είναι όλα τα IFS γραμμικές συναρτήσεις. Σε μια εννοιολογικά παρόμοια κατεύθυνση, ένα σύνολο πολυωνύμων Λίτλγουντ μπορεί να προκύψει από τέτοιες επαναληπτικές εφαρμογές ενός συνόλου συναρτήσεων. Ένα πολυώνυμο Λίτλγουντ είναι ένα πολυώνυμο: p ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i {\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,} where all a i = ± 1 {\displaystyle a_{i}=\pm 1} . Για ορισμένους | w | < 1 {\displaystyle |w|<1} ορίζουμε τις ακόλουθες συναρτήσεις: f + ( z ) = 1 + w z {\displaystyle f_{+}(z)=1+wz} f − ( z ) = 1 − w z {\displaystyle f_{-}(z)=1-wz} Ξεκινώντας από το z=0 μπορούμε να δημιουργήσουμε όλα τα πολυώνυμα Λίτλγουντ βαθμού d χρησιμοποιώντας αυτές τις συναρτήσεις επαναληπτικά d+1 φορές. Παραδείγματος χάριν: f + ( f − ( f − ( 0 ) ) ) = 1 + ( 1 − w ) w = 1 + 1 w − 1 w 2 {\displaystyle f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}} Διαπιστώνουμε ότι για w = ( 1 + i ) / 2 {\displaystyle w=(1+i)/2} , το παραπάνω ζεύγος συναρτήσεων είναι ισοδύναμο με τη διατύπωση IFS του δράκου Χάιγουεϊ. Με άλλα λόγια, ο δράκος Χάιγουεϊ, επαναλαμβάνεται μέχρι ένα ορισμένο όριο, και περιγράφει το σύνολο όλων των πολυωνύμων Λίτλγουντ μέχρι έναν ορισμένο βαθμό, που αξιολογούνται στο σημείο w = ( 1 + i ) / 2 {\displaystyle w=(1+i)/2} . Πράγματι, όταν ανιχνεύεται ένας αρκετά μεγάλος αριθμός ριζών πολυωνύμων Λίτλγουντ, εμφανίζονται δομές παρόμοιες με την καμπύλη δράκου σε σημεία κοντά σε αυτές τις συντεταγμένες. Κυματοδηγός Σύνολο Μάντελμπροτ Σύνολο Julia Οικοδομήσιμο Σύμπαν