Συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών

Η συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών σχετίζεται με την συνάρτηση ζήτα Ρήμαν και το θεώρημα πρώτων αριθμών ως προς την κατανομή τους, και διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1891 (Glaisher (1891).

 Ορίζεται ως άπειρα σειρά η οποία συγκλίνει για ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \Re (s)>1} : P ( s ) = ∑ p ∈ p r i m e s 1 p s = 1 2 s + 1 3 s + 1 5 s + 1 7 s + 1 11 s + ⋯ . {\displaystyle P(s)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primes} }{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots .} Κατά το γινόμενο Όιλερ για την συνάρτηση ζήτα Ρήμαν ζ(s): log ⁡ ζ ( s ) = ∑ n > 0 P ( n s ) n {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n>0}{\frac {P(ns)}{n}}} όπου κατά τον τύπο αντιστροφής του Μέμπιους: P ( s ) = ∑ n > 0 μ ( n ) log ⁡ ζ ( n s ) n {\displaystyle P(s)=\sum _{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}} όταν το s φτάνει στο 1, τότε ισχύει το P ( s ) ∼ log ⁡ ζ ( s ) ∼ log ⁡ ( 1 s − 1 ) {\displaystyle P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left({\frac {1}{s-1}}\right)} , κάτι που χρησιμοποιείται στον ορισμό της πυκνότητας Ντίριλεχτ.Αυτό δίνει την συνέχιση του P(s) προς ℜ ( s ) > 0 {\displaystyle \Re (s)>0} , με άπειρο αριθμό λογαριθμικών μοναδικοτήτων στα σημεία s όπου το ns είναι πόλος (μόνο όταν ns = 1 όταν n δεν είναι τετράγωνο μεγαλύτερο ή ίσο από το 1), ή μηδέν της συνάρτησης ζήτα Ρήμαν ζ(.). Η γραμμή ℜ ( s ) = 0 {\displaystyle \Re (s)=0} είναι φυσικό όριο καθώς οι μοναδικότητες συγκεντρώνονται κοντά σε όλα τα σημεία της γραμμής αυτής. Αν η ακολουθία οριστεί ως: a n = ∏ p k ∣ n 1 k = ∏ p k ∣∣ n 1 k ! {\displaystyle a_{n}=\prod _{p^{k}\mid n}{\frac {1}{k}}=\prod _{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{k!}}} τότε: P ( s ) = log ⁡ ∑ n = 1 ∞ a n n s . {\displaystyle P(s)=\log \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.} Η συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών σχετίζεται με την σταθερά του Αρτίν μέσω: ln ⁡ C A r t i n = − ∑ n = 2 ∞ ( L n − 1 ) P ( n ) n {\displaystyle \ln C_{\mathrm {Artin} }=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(L_{n}-1)P(n)}{n}}} όπου Ln είναι ο νιοστός αριθμός Λούκας.Συγκεκριμένες τιμές είναι: Το ολοκλήρωμα επί της συνάρτησης ζήτα πρώτων αριθμών βρίσκεται συνήθως στο άπειρο, καθώς ο πόλος στο s = 1 {\displaystyle s=1} εμποδίζει τον ορισμό χαμηλότερων ορίων σε κάποιον πεπερασμένο ακέραιο: ∫ s ∞ P ( t ) d t = ∑ p 1 p s log ⁡ p {\displaystyle \int _{s}^{\infty }P(t)\,dt=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}\log p}}} Οι αξιοσημείωτες τιμές είναι αυτές όπου τα σύνολα συγκλίνουν αργά: Το πρώτο παράγωγο είναι: P ′ ( s ) ≡ d d s P ( s ) = − ∑ p log ⁡ p p s {\displaystyle P'(s)\equiv {\frac {d}{ds}}P(s)=-\sum _{p}{\frac {\log p}{p^{s}}}} Οι αξιοσημείωτες τιμές είναι αυτές όπου τα σύνολα συγκλίνουν αργά: Καθώς η συνάρτηση ζήτα Ρήμαν είναι το άθροισμα αντιστρόφων δυνάμεων επί των ακεραίων, και η συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών το άθροισμα των αντιστρόφων δυνάμεων των πρώτων αριθμών, οι k-πρώτοι αριθμοί (οι ακέραιοι που είναι γινόμενο του k {\displaystyle k} ) φέρνουν κάποια ενδιάμεσα αθροίσματα: P k ( s ) ≡ ∑ n : Ω ( n ) = k 1 n s {\displaystyle P_{k}(s)\equiv \sum _{n:\Omega (n)=k}{\frac {1}{n^{s}}}} όπου το Ω {\displaystyle \Omega } είναι ο συνολικός αριθμός των παραγόντων οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί: Ο κάθε ακέραιος στον παρονομαστή της συνάρτησης ζήτα Ρήμαν ζ {\displaystyle \zeta } μπορεί να ταξινομηθεί από την τιμή του δείκτη k {\displaystyle k} , ο οποίος διασπά την συνάρτηση ζήτα Ρήμαν σε ένα άπειρο άθροισμα του P k {\displaystyle P_{k}} : ζ ( s ) = 1 + ∑ k = 1 , 2 , … P k ( s ) {\displaystyle \zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\ldots }P_{k}(s)} Η κατασκευή του αθροίσματος όχι μεταξύ όλων των πρώτων αριθμών αλλά μόνο μεταξύ των αριθμών οι οποίοι ανήκουν στην ίδια τάξη ισοποϋπολοίπων, εισάγει νέου τύπους απείρων σειρών οι οποίες αποτελούν αναγωγή της συνάρτησης L Ντίριλεχτ. Merrifield, C. W. (1881). «The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers». Proceedings of the Royal Society 33: 4–10. doi:10.1098/rspl.1881.0063. Fröberg, Carl-Erik (1968). «On the prime zeta function». Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) 8 (3): 187–202. doi:10.1007/BF01933420. MR 0236123. Glaisher, J. W. L. (1891). «On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers». Quart. J. Math. 25: 347–362. Mathar, Richard J. (2008). «Twenty digits of some integrals of the prime zeta function». arXiv:0811.4739. Li, Ji (2008). «Prime graphs and exponential composition of species». J. Combin. Theory A 115: 1374–1401. doi:10.1016/j.jcta.2008.02.008. MR 2455584. Mathar, Richard J. (2010). «Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli». arXiv:1008.2547. Weisstein, Eric W., "Prime Zeta Function" από το MathWorld.