Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις

Μία διαφορική εξίσωση ονομάζεται ομογενής σε κάθε μία από τις παρακάτω δύο περιπτώσεις: 1) εάν η εξίσωση είναι πρώτης τάξης και οι συντελεστές των διαφορικών dx και dy είναι του ίδιου βαθμού ομογενείς συναρτήσεις των μεταβλητών, και 2) εάν είναι γραμμικές οποιασδήποτε τάξης, αλλά ο σταθερός όρος είναι μηδενικός.

 Μία συνηθισμένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης της μορφής: M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 {\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0} είναι ομογενής, εάν και οι δύο συναρτήσεις M(x, y) και N(x, y) είναι ομογενείς συναρτήσεις του ίδιου βαθμού n. Δηλ. πολλαπλασιάζοντας κάθε μεταβλητή με την παράμετρο λ, να ισχύει: M ( λ x , λ y ) = λ n M ( x , y ) {\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\,} και N ( λ x , λ y ) = λ n N ( x , y ) . {\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.} Έτσι, M ( λ x , λ y ) N ( λ x , λ y ) = M ( x , y ) N ( x , y ) . {\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.} Στο κλάσμα M ( t x , t y ) N ( t x , t y ) = M ( x , y ) N ( x , y ) {\displaystyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}} , μπορούμε να κάνουμε την αντικατάσταση t = 1 / x {\displaystyle t=1/x} , ώστε τα κλάσμα να μετατραπεί σε μία συνάρτηση f {\displaystyle f} του λόγου y / x {\displaystyle y/x} : M ( x , y ) N ( x , y ) = M ( t x , t y ) N ( t x , t y ) = M ( 1 , y / x ) N ( 1 , y / x ) = f ( y / x ) . {\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.} Κάνοντας στη συνέχεια την αλλαγή μεταβλητής y = u x {\displaystyle y=ux} και παραγωγίζοντας σύμφωνα με τον κανόνα παραγώγισης γινομένου συναρτήσεων, προκύπτει: d ( u x ) d x = x d u d x + u d x d x = x d u d x + u , {\displaystyle {\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u,} Έτσι η αρχική διαφορική εξίσωση μετασχηματίζεται σε διαφορική εξίσωση χωριζόμενων μεταβλητών της μορφής: x d u d x = f ( u ) − u {\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=f(u)-u\ } .Αυτή η μορφή μπορεί τώρα να ολοκληρωθεί απ' ευθείας (κοιτάξτε το θέμα συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις). Οι εξισώσεις σε αυτήν τη συζήτηση δεν προορίζονται να χρησιμοποιηθούν σαν τύποι της λύσης. Απλώς επιδεικνύουν τη μέθοδο λύσης. Μία διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης της μορφής (τα a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 {\displaystyle a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}} είναι όλα σταθερές): ( a 1 x + b 1 y + c 1 ) d x + ( a 2 x + b 2 y + c 2 ) d y = 0 {\displaystyle (a_{1}x+b_{1}y+c_{1})dx+(a_{2}x+b_{2}y+c_{2})dy=0\,} όπου a 1 b 2 ≠ a 2 b 1 {\displaystyle a_{1}b_{2}\neq a_{2}b_{1}} , μπορεί να μετασχηματιστεί σε ομογενή διαφορική εξίσωση του λόγου ( t / z {\displaystyle t/z} ) χρησιμοποιώντας τον γραμμικό μετασχηματισμό : x = x 0 + t ; y = z 0 + z {\displaystyle x=x_{0}+t;\,\,\,\,y=z_{0}+z\,} ( x 0 {\displaystyle x_{0}} και y 0 {\displaystyle y_{0}} είναι οι λύσεις του συστήματος a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\qquad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\,} ) Ορισμός. Μία γραμμική διαφορική εξίσωση καλείται ομογενής, εάν ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη: Εάν η ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} είναι μία λύση, τότε και η c ϕ ( x ) {\displaystyle c\phi (x)} είναι λύση, όπου c {\displaystyle c} είναι μία αυθαίρετη μή-μηδενική σταθερά. Σημειώστε ότι για να αληθεύει αυτό, κάθε όρος της εξαρτημένης μεταβλητής y στην διαφορικής εξίσωσης, πρέπει να περιέχει το y ή οποιαδήποτε παράγωγο του y. Μία γραμμική διαφορική εξίσωση η οποία δεν ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη λέγεται μη-ομογενής. Μία γραμμική διαφορική εξίσωση μπορεί να παρασταθεί σαν ένας γραμμικός τελεστής που επενεργεί πάνω στην y(x) όπου συνήθως x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και y είναι η εξαρτημένη μεταβλητή. Έτσι, η γενική μορφή μιας ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης είναι: L ( y ) = 0 {\displaystyle L(y)=0\,} όπου L είναι ένας διαφορικός τελεστής, που είναι ένα άθροισμα παραγώγων (η " 0-παράγωγος" είναι η αρχική συνάρτηση y), και κάθε όρος του αθροίσματος πολλαπλασιάζεται με μία συνάρτηση f i {\displaystyle f_{i}} του x: L = ∑ i = 0 n f i ( x ) d i d x i , {\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,} Οι f i {\displaystyle f_{i}} μπορεί να είναι σταθερές, αλλά δεν μπορεί όλες οι f i {\displaystyle f_{i}} να είναι μηδενικές. Για παράδειγμα η παρακάτω διαφορική εξίσωση είναι ομογενής: sin ⁡ ( x ) d 2 y d x 2 + 4 d y d x + y = 0 , {\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,} ενώ οι παρακάτω δύο, είναι μη-ομογενείς : 2 x 2 d 2 y d x 2 + 4 x d y d x + y = cos ⁡ ( x ) ; {\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;} 2 x 2 d 2 y d x 2 − 3 x d y d x + y = 2 . {\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.} Πρέπει να σημειωθεί ότι η ύπαρξη του σταθερού όρου είναι ικανή συνθήκη, ώστε η εξίσωση να είναι μη ομογενής, όπως συμβαίνει στο παραπάνω παράδειγμα. Μέθοδος χωρισμού μεταβλητών Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (10th έκδοση), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (This is a good introductory reference on differential equations.) Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490, https://archive.org/details/ordinarydifferen029666mbp . (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.) Homogeneous differential equations at MathWorld Wikibooks: Ordinary Differential Equations/Substitution 1