Τσάρλς Λόουνερ

Ο Τσαρλς Λόουνερ (Charles Loewner, 29 Μαΐου 1893 - 8 Ιανουαρίου 1968) ήταν Αμερικανός μαθηματικός τσεχικής καταγωγής. Το όνομά του ήταν Karel Löwner στα τσεχικά και Karl Löwner στα γερμανικά. Ο Τσάρλς Λόουνερ γεννήθηκε σε εβραϊκή οικογένεια στο Lany, περίπου 30 χλμ. έξω από την Πράγα, όπου ο πατέρας του Σίγκμουντ Λόουνερ ήταν ιδιοκτήτης καταστήματος. Ο Λόουνερ πήρε το διδακτορικό του από το Πανεπιστήμιο της Πράγας το 1917 υπό την καθοδήγηση του Γκέοργκ Πικ. Μια από τις κεντρικές μαθηματικές συνεισφορές του είναι η απόδειξη της εικασίας του Μπίμπερμπαχ στην πρώτη ιδιαίτερα μη τετριμμένη περίπτωση του τρίτου συντελεστή. Η τεχνική που εισήγαγε, η διαφορική εξίσωση Λόουνερ, είχε σημαντικές επιπτώσεις στη γεωμετρική θεωρία συναρτήσεων- χρησιμοποιήθηκε στην τελική λύση της εικασίας Μπίμπερμπαχ από τον Λουί ντε Μπράνγκε το 1985. Ο Λόουνερ εργάστηκε στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, στο Πανεπιστήμιο της Πράγας, στο Πανεπιστήμιο του Λούισβιλ, στο Πανεπιστήμιο του Μπράουν, στο Πανεπιστήμιο των Συρακουσών και τελικά στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ. Στους διδακτορικούς του φοιτητές περιλαμβάνονταν οι Λίπμαν Μπερς, Ρότζερ Χορν, Αντριάνο Γκάρσια και Π. Μ. Που.

 Το 1949 ο Λόουνερ απέδειξε την ανισότητα του τόρου, σύμφωνα με την οποία κάθε μετρική στον 2-τόρο ικανοποιεί τη μέγιστη ανισότητα sys 2 ≤ 2 3 area ⁡ ( T 2 ) , {\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),} όπου sys είναι η συστολή του. Η οριακή περίπτωση της ισότητας επιτυγχάνεται εάν και μόνο εάν η μετρική είναι επίπεδη και ομοθετική στον λεγόμενο ισόπλευρο τόρο, δηλαδή στον τόρο του οποίου η ομάδα μετασχηματισμών καταστρώματος είναι ακριβώς το εξαγωνικό πλέγμα που καλύπτεται από τις κυβικές ρίζες της μονάδας στο C {\displaystyle \mathbb {C} } . To Θεώρημα Λόουνερ matrix (στη γραμμική άλγεβρα) είναι ένας τετραγωνικός πίνακας ή, πιο συγκεκριμένα, ένας γραμμικός τελεστής (πραγματικών συναρτήσεων C 1 {\displaystyle C^{1}} που σχετίζεται με 2 παραμέτρους εισόδου που αποτελούνται από (1) μια πραγματική συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση σε ένα υποδιάστημα των πραγματικών αριθμών και (2) ένα n {\displaystyle n} -διάστατο διάνυσμα με στοιχεία που επιλέγονται από το υποδιάστημα- στις 2 παραμέτρους εισόδου ανατίθεται μια παράμετρος εξόδου που αποτελείται από έναν n × n {\displaystyle n\times n} matrix.Έστω f {\displaystyle f} μια συνάρτηση πραγματικής τιμής που είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Για κάθε f {\displaystyle f} είναι μια συνάρτηση πραγματικών τιμών που είναι συνεχώς διαφορίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . s , t {\displaystyle s,t} καθώς f [ 1 ] ( s , t ) = { f ( s ) − f ( t ) s − t , if s ≠ t f ′ ( s ) , if s = t {\displaystyle f^{[1]}(s,t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(s)-f(t)}{s-t}},&{\text{if }}s\neq t\\f'(s),&{\text{if }}s=t\end{cases}}} .Δεδομένου ότι t 1 , … , t n ∈ ( a , b ) {\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)} , το Loewner matrix L f ( t 1 , … , t n ) {\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})} που συσχετίζεται με την f {\displaystyle f} για το ( t 1 , … , t n ) {\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})} ορίζεται ως n × n {\displaystyle n\times n} matrix του οποίου ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} - η είσοδος είναι f [ 1 ] ( t i , t j ) {\displaystyle f^{[1]}(t_{i},t_{j})} . Στη θεμελιώδη εργασία του το 1934, ο Λόουνερ απέδειξε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n {\displaystyle n} , f {\displaystyle f} είναι n {\displaystyle n} -μονοτονική στο ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} αν και μόνο αν L f ( t 1 , … , t n ) {\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})} είναι θετικά ημιευκρίνεια για κάθε επιλογή των t 1 , … , t n ∈ ( a , b ) {\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)} . Το πιο σημαντικό είναι ότι, χρησιμοποιώντας αυτή την ισοδυναμία, απέδειξε ότι η f {\displaystyle f} είναι n {\displaystyle n} -μονοτονική στο ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} για όλα τα n {\displaystyle n} αν και μόνο αν η f {\displaystyle f} είναι πραγματική αναλυτική με αναλυτική συνέχεια στο άνω ημιεπίπεδο που έχει θετικό φανταστικό μέρος στο άνω επίπεδο. Δείτε τη μονότονη συνάρτηση του τελεστή. "Κατά τη διάρκεια της επίσκεψης (του Λόουνερ) στο Μπέρκλεϊ το 1955, έδωσε ένα μάθημα για τις συνεχείς ομάδες και οι διαλέξεις του αναπαράχθηκαν με τη μορφή αντιγράφων σημειώσεων. Ο Λόουνερ σχεδίαζε να γράψει ένα λεπτομερές βιβλίο για τις συνεχείς ομάδες βασισμένο σε αυτές τις σημειώσεις της διάλεξης, αλλά το σχέδιο βρισκόταν ακόμη στο στάδιο της διαμόρφωσης τη στιγμή του θανάτου του". Οι Χάρλεϊ Φλάντερς και Μάρεϊ Χ. Πρότερ "αποφάσισαν να αναθεωρήσουν και να διορθώσουν τις αρχικές σημειώσεις διαλέξεων και να τις διαθέσουν σε μόνιμη μορφή." Το βιβλίο του Τσάρλς Λόουνερ: Θεωρία των συνεχών ομάδων (1971) εκδόθηκε από τον εκδοτικό οίκο The MIT Pressκαι επανεκδόθηκε το 2008. Σύμφωνα με την ορολογία του Λόουνερ, αν x ∈ S {\displaystyle x\in S} και μια ομαδική δράση διεξάγεται στο S {\displaystyle S} , τότε το x {\displaystyle x} ονομάζεται ποσότητα (σελίδα 10). Η διάκριση γίνεται μεταξύ μιας αφηρημένης ομάδας g , {\displaystyle {\mathfrak {g}},} και μιας υλοποίησης της g , {\displaystyle {\mathfrak {g}},} σε όρους γραμμικών μετασχηματισμών που δίνουν μια αναπαράσταση ομάδας. Αυτοί οι γραμμικοί μετασχηματισμοί είναι Ιακωβιανοί που συμβολίζονται με J ( v u ) {\displaystyle J({\overset {u}{v}})} (σελίδα 41). Ο όρος αναλλοίωτη πυκνότητα χρησιμοποιείται για το Μέτρο του Χάαρ, το οποίο ο Λόουνερ αποδίδει στον Άντολφ Χούρβιτς (σελίδα 46). Ο Λόουνερ αποδεικνύει ότι οι συμπαγείς ομάδες έχουν ίσες αριστερές και δεξιές αναλλοίωτες πυκνότητες (σελίδα 48). Κάποιος κριτικός είπε: "Ο αναγνώστης βοηθιέται από διαφωτιστικά παραδείγματα και σχόλια για τις σχέσεις με την ανάλυση και τη γεωμετρία". Loewner's Theorem on Monotone Matrix Functions - Σελίδα 422 Theory of Continuous Groups Charles Loewner. 2008 Berger, Marcel: À l'ombre de Loewner. (French) Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 5 (1972), 241–260.PDF Loewner, Charles; Nirenberg, Louis: Partial differential equations invariant under conformal or projective transformations. Contribution. PDF Charles Loewner -mathshistory Mathematische Annalen - Göttinger Digitalisierungszentrum