Συνάρτηση Μπέσελ

Η συνάρτηση Μπέσελ (αγγλικά: Bessel equation), που αρχικά ορίστηκε από τον μαθηματικό Ντάνιελ Μπερνούλι και γενικεύθηκε αργότερα από τον Φρίντριχ Βίλχελμ Μπέσελ, δίνει τις κανονικές λύσεις y(x) της διαφορικής εξίσωσης του Μπέσσελ, x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − α 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0} για έναν αυθαίρετο μιγαδικό αριθμό α (η σειρά της συνάρτησης του Μπέσελ). Αν και ο α και ο −α παράγουν την ίδια διαφορική εξίσωση για κάθε πραγματικό αριθμό α, είναι κατανοητό ότι προσδιορίζουν διαφορετικές συναρτήσεις Μπέσελ για αυτές τις δύο τιμές έτσι ώστε οι συναρτήσεις Μπέσελ να είναι συνήθως ομαλές συναρτήσεις του α. Οι πιο σημαντικές περιπτώσεις προκύπτουν για ακέραια ή ημιακέραια α. Οι συναρτήσεις Μπέσελ για ακέραιο α είναι επίσης γνωστές ως κυλινδρικές συναρτήσεις ή κυλινδρικά αρμονικές επειδή εμφανίζονται ως λύσεις της εξίσωσης Λαπλάς σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Οι σφαιρικές συναρτήσεις Μπέσελ με ημιακέραια α λαμβάνονται όταν λύνεται η εξίσωση Χέλμχολτς σε σφαιρικές συντεταγμένες.

 Η συνάρτηση του Μπέσελ προκύπτει όταν βρίσκουμε ξεχωριστές λύσεις στην Εξίσωση Λαπλάς και στην Εξίσωση Χέλμχολτς σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Οι συναρτήσεις Μπέσελ είναι ως εκ τούτου ιδιαίτερα σημαντικές για πολλά προβλήματα της διάδοσης των κυμάτων και των στατικών δυναμικών. Μέσα από την επίλυση προβλημάτων σε κυλινδρικές συντεταγμένες, προκύπτουν οι συναρτήσεις Μπέσελ ακέραιας τάξης (α = n), ενώ σε σφαιρικές συντεταγμένες προκύπτουν ημιακέραιας τάξης (α = n+1/2). Για παράδειγμα: Τα Ηλεκτρομαγνητικά κύματα μέσω ενός κυλινδρικού κυματοδηγού Το πλάτος πίεσης σε περιστρεφόμενα ρευστά χωρίς ιξώδες Η θερμική αγωγιμότητα σε ένα κυλινδρικό αντικείμενο Τρόποι δόνησης λεπτής κυκλικής (ή δακτυλοειδούς) ακουστικής μεμβράνης (όπως ένα τύμπανο ή άλλα μεμβρανόφωνα) Το πρόβλημα διάχυσης πάνω σε ένα πλέγμα. Λύσεις στην ακτινική εξίσωση Σρέντιγκερ (σε σφαιρικές και κυλινδρικές συντεταγμένες) για ένα ελεύθερο σωματίδιο Λύσεις για μοτίβα της ακουστικής ακτινοβολίας Εξαρτώμενη από τη συχνότητα τριβή σε κυκλικούς αγωγούς Δυναμική αιωρούμενων σωμάτων Γωνιακή ανάλύσηΟι συναρτήσεις Μπέσελ εμφανίζονται επίσης και σε άλλα προβλήματα, όπως στην επεξεργασία σημάτων (π.χ., Σύνθεση με διαμόρφωση συχνότητας, παράθυρο Kaiser, ή φίλτρο Μπέσελ). Επειδή αυτή είναι μια δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση, θα πρέπει να υπάρχουν δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Ανάλογα με την περίπτωση, ωστόσο, διαφορετικές διατυπώσεις αυτών των λύσεων είναι βολικές. Οι διαφορετικές παραλλαγές συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα, και περιγράφονται στις επόμενες ενότητες. Οι συναρτήσεις Μπέσελ πρώτου τύπου, που συμβολίζονται Jα(x), είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης του Μπέσελ που είναι πεπερασμένες στην αρχή των αξόνων (x = 0), για α ακέραιο ή θετικό, και αποκλίνουν καθώς το x τείνει στο μηδέν, για α αρνητικό μη ακέραιο. Είναι δυνατό να ορίσουμε τη συνάρτηση από την επέκταση της σειράς της γύρω από το x = 0, η οποία μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τη μέθοδο Frobenius στην ισότητα Μπέσελ: J α ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }} όπου Γ(z) είναι η συνάρτηση Γάμμα, μια μετατοπισμένη γενίκευση της παραγοντικής συνάρτησης σε μη ακέραιες τιμές. Η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου είναι ακέραια συνάρτηση αν α είναι ακέραιος, ενώ σε άλλη περίπτωση είναι πολλαπλή συνάρτηση με ανώμαλο σημείο το μηδέν. Οι γραφικές απεικονίσεις των συναρτήσεων του Μπέσελ μοιάζουν περίπου με ταλαντούμενες συναρτήσεις ημιτόνου ή συνημιτόνου που αποσβήνουν αναλογικά στο 1/√x (βλέπε επίσης τις ασυμπτωτικές μορφές τους παρακάτω), μολονότι οι ρίζες τους δεν είναι γενικά περιοδικές, παρά μόνο ασυμτωτικά για μεγάλα x. (Η σειρά δείχνει ότι η −J1(x) είναι η παράγωγος της J0(x), όπως η −sin(x) είναι η παράγωγος της cos(x). Γενικότερα, η παράγωγος της Jn(x) μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της Jn±1(x) με τα παρακάτω χαρακτηριστικά.) Για α μη ακέραιο, οι συναρτήσεις Jα(x) και J−α(x) είναι γραμμικά ανεξάρτητες, και υπάρχουν επομένως δύο λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Από την άλλη, για α ακέραιο, ισχύει η παρακάτω σχέση (να σημειωθεί ότι η συνάρτηση Γάμμα έχει απλούς πόλους σε κάθε έναν από τους μη θετικούς ακεραίους): J − n ( x ) = ( − 1 ) n J n ( x ) . {\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).\,} Αυτό σημαίνει ότι οι δύο λύσεις δεν είναι πλέον γραμμικά ανεξάρτητες. Σε αυτήν την περίπτωση, η δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση είναι η συνάρτηση Μπέσελ δεύτερου τύπου, όπως εξετάζεται παρακάτω. Ολοκληρώματα του Μπέσελ Ένας άλλος ορισμός της συνάρτησης του Μπέσελ, για ακέραιες τιμές του n, είναι δυνατός με χρήση μιας ολοκληρωτικής αναπαράστασης : J n ( x ) = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ ( n τ − x sin ⁡ ( τ ) ) d τ . {\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin(\tau ))\,d\tau .} Μια άλλη ολοκληρωτική αναπαράσταση είναι: J n ( x ) = 1 2 π ∫ − π π e i ( n τ − x sin ⁡ ( τ ) ) d τ . {\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin(\tau ))}\,d\tau .} Αυτή ήταν η προσέγγιση που χρησιμοποίησε ο Μπέσελ, και από αυτόν τον ορισμό άντλησε αρκετές ιδιότητες της συνάρτησης. Ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί και σε μη ακέραιες τάξεις (για Re(x) > 0), μέσω ένός από τα ολοκληρώματα του Schläfli: J α ( x ) = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ ( α τ − x sin ⁡ τ ) d τ − sin ⁡ ( α π ) π ∫ 0 ∞ e − x sinh ⁡ ( t ) − α t d t . {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}\,dt.} Σχέση με τις υπέργεωμετρικες σειρές Οι συναρτήσεις Μπέσελ μπορούν να εκφραστούν μέσω των γενικευμένων υπεργεωμετρικών σειρών ως J α ( x ) = ( x 2 ) α Γ ( α + 1 ) 0 F 1 ( α + 1 ; − x 2 4 ) . {\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\frac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}(\alpha +1;-{\tfrac {x^{2}}{4}}).} Αυτή η έκφραση σχετίζεται με το ανάπτυγμα των συναρτήσεων Μπέσελ μέσω της συνάρτησης Bessel–Clifford.. Συσχέτιση με τα πολυώνυμα Λαγκέρ Όσον αφορά τα πολυώνυμα Λαγκέρ Lk και επιλέγοντας αυθαίρετα παράμετρο t, η συνάρτηση Μπέσελ μπορεί να εκφραστεί ως εξής J α ( x ) ( x 2 ) α = e − t Γ ( α + 1 ) ∑ k = 0 ∞ L k ( α ) ( x 2 4 t ) ( k + α k ) t k k ! . {\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{k+\alpha \choose k}}{\frac {t^{k}}{k!}}.} Οι συναρτήσεις Μπέσελ δευτέρου είδους, συμβολίζονται με Yα(x), ενίοτε συμβολίζονται αντί αυτού με Nα(x), είναι λύσεις της Μπέσελ διαφορικής εξίσωσης οι οποίες είναι μοναδικές ως προς την αρχή (x = 0) και είναι πολλαπλές συναρτήσεις. Αυτές κάποιες φορές ονομάζονται συναρτήσεις Βέμπερ καθώς εισήχθησαν από τον H. Weber (1873), και επίσης συναρτήσεις Νόημαν μετά τον Καρλ Νόημαν. Για μη ακέραιο α,η Yα(x) συνδέεται με την Jα(x) με: Y α ( x ) = J α ( x ) cos ⁡ ( α π ) − J − α ( x ) sin ⁡ ( α π ) . {\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.} Στην περίπτωση ακεραίου n, η συνάρτηση ορίζεται παίρνοντας το όριο για τον μη ακέραιο α να τείνει στο n: Y n ( x ) = lim α → n Y α ( x ) . {\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).} Υπάρχει επίσης ένας αντίστοιχος ολοκληρωτικός τύπος (για Re(x) > 0), Y n ( x ) = 1 π ∫ 0 π sin ⁡ ( x sin ⁡ θ − n θ ) d θ − 1 π ∫ 0 ∞ [ e n t + ( − 1 ) n e − n t ] e − x sinh ⁡ t d t . {\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right]e^{-x\sinh t}\,dt.} Η Yα(x) είναι αναγκαία ως η δεύτερη γραμμικά ανεξάρτητη λύση της εξίσωσης Μπέσελ όταν ο α είναι ακέραιος. Όμως η Yα(x) έχει μεγαλύτερο νόημα από αυτό. Μπορεί να θεωρηθεί ως ένας 'φυσικός' εταίρος της Jα(x). Δείτε επίσης την υποπαράγραφο για τις συναρτήσεις Χάνκελ παρακάτω. Όταν ο α είναι ακέραιος , επιπλέον, καθώς ήταν παρόμοια η περίπτωση με τις συναρτήσεις πρώτου είδους , ισχύει η ακόλουθη σχέση : Y − n ( x ) = ( − 1 ) n Y n ( x ) . {\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).\,} Η Jα(x) καθώς και η Yα(x) είναι ολόμορφες συναρτήσεις του x στο μιγαδικό επίπεδο κατά μήκος του αρνητικού φανταστικού άξονα. Όταν ο α είναι ακέραιος, οι συναρτήσεις Μπέσελ J είναι εξ΄ολοκλήρου συναρτήσεις του x. Αν ο x παίρνει σταθερή μη μηδενική τιμή, τότε οι συναρτήσεις Μπέσσελ είναι εξ' ολοκλήρου συναρτήσεις του α. Οι συναρτήσεις Μπέσελ δευτέρου είδους όταν ο α είναι ακέραιος είναι ένα παράδειγμα της λύσης του θεώρημα του Fuchs. Άλλες σημαντικές εφαρμογές των δύο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων της εξίσωσης του Μπέσελ είναι οι συναρτήσεις Χάνκελ πρώτου και δεύτερου τύπου, Hα(1)(x) και Hα(2)(x), προσδιορίσθηκαν από: H α ( 1 ) ( x ) = J α ( x ) + i Y α ( x ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)} H α ( 2 ) ( x ) = J α ( x ) − i Y α ( x ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)} όπου i είναι το φανταστικό μέρος. Αυτοί οι γραμμικοί συνδυασμοί είναι επίσης γνωστοί ως συναρτήσεις Bessel τρίτου τύπου; αυτές είναι δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης του Μπέσσελl. Πήραν το όνομα του Χέρμαν Χάνκελ. Η σημαντικότητα των συναρτήσεων του Χάνκελ πρώτου και δεύτερου τύπου εξαπλώνεται κυρίως στην θεωρητική ανάπτυξη παρά την εφαρμογή. Αυτές οι μορφές των γραμμικών συνδυασμών ικανοποιούν πολυάριθμες απλές αναζητήσεις υπάρχοντών θεμάτων, όπως ο ασυμπτωτικός τύπος ή οι ακέραιες αναπαραστάσεις. Εδώ, 'απλές' σημαίνει μια εμφάνιση από έναν παράγοντα της μορφής eif(x). Η συνάρτηση Μπέσελ δεύτερου τύπου όταν μπορεί να θεωρηθεί ως φυσιολογική εμφανίζεται ως το φανταστικό μέρος των συναρτήσεων Χάνκελ. Οι συναρτήσεις Χάνκελ συνηθίζετε να εκφράζουν εξωτερικά και εσωτερικά πολλαπλάσια κυλινδρικών λύσεων των κυμάτων της κυλινδρικής εξίσωσης του κύματος, αντίστοιχα ( ή ισοδύναμα, εξαρτώμενη από την συμβατική ένδειξη για την συχνότητα). Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες σχέσεις μπορούν να εκφραστούν ως: H α ( 1 ) ( x ) = J − α ( x ) − e − α π i J α ( x ) i sin ⁡ ( α π ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin(\alpha \pi )}}} H α ( 2 ) ( x ) = J − α ( x ) − e α π i J α ( x ) − i sin ⁡ ( α π ) . {\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin(\alpha \pi )}}.} Εάν α είναι ένας ακέραιος, το όριο πρέπει να υπολογιστεί. Οι παρακάτω σχέσεις είναι ισοδύναμες, αν α είναι ένας ακέραιος ή όχι: H − α ( 1 ) ( x ) = e α π i H α ( 1 ) ( x ) {\displaystyle H_{-\alpha }^{(1)}(x)=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x)} H − α ( 2 ) ( x ) = e − α π i H α ( 2 ) ( x ) . {\displaystyle H_{-\alpha }^{(2)}(x)=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).} Ειδικότερα, αν α = m + 1/2 με m έναν μη αρνητικό ακέραιο, οι παρακάτω σχέσεις υπονοούν άμεσα ότι J − ( m + 1 2 ) ( x ) = ( − 1 ) m + 1 Y m + 1 2 ( x ) {\displaystyle J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x)} Y − ( m + 1 2 ) ( x ) = ( − 1 ) m J m + 1 2 ( x ) . {\displaystyle Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).} Αυτές είναι χρήσιμες στην ανάπτυξη των σφαιρικών συναρτήσεων Μπέσσελ (παρακάτω). Οι συναρτήσεις Χάνκελ αναγνωρίζουν τις παρακάτω ακέραιες αναπαραστάσεις για Re(x) > 0: H α ( 1 ) ( x ) = 1 π i ∫ − ∞ + ∞ + i π e x sinh ⁡ t − α t d t , {\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +i\pi }e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,} H α ( 2 ) ( x ) = − 1 π i ∫ − ∞ + ∞ − i π e x sinh ⁡ t − α t d t , {\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -i\pi }e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,} όπου τα ολοκληρωτικά όρια προσδιορίζουν την ολοκλήρωση κατά μήκος του a περίγραμμα οι οποίες μπορούν να επιλεγούν ως ακολούθως: από το −∞ ως 0 κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα, από το 0 ως το ±iπ κατά μήκος του φανταστικού άξονα, και από το ±iπ στο +∞±iπ κατά μήκος του περιγράμματος a παράλληλο στον πραγματικό άξονα. Οι συναρτήσεις Μπέσελ ισχύουν ακόμα και για μιγαδικά ορίσματα x, και μια σημαντική ιδιαίτερη περίπτωση είναι αυτή του καθαρά φανταστικού ορίσματος. Σε αυτήν την περίπτωση, οι λύσεις στην εξίσωση Μπέσελ καλούνται τροποποιημένες συναρτήσεις Μπέσελ (ή περιστασιακά υπερβολικές συναρτήσεις Μπέσελ) πρώτου και δεύτερου τύπου, και προσδιορίζονται από: I α ( x ) = i − α J α ( i x ) = ∑ m = 0 ∞ 1 m ! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }} K α ( x ) = π 2 I − α ( x ) − I α ( x ) sin ⁡ ( α π ) , {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},} όταν α δεν είναι ακέραιος. Όταν α είναι ακέραιος, τότε χρησιμοποιείται το όριο. Αυτές έχουν έπιλεχθεί να είναι συναρτήσεις με πραγματικές τιμές, για πραγματικά και θετικά ορίσματα x. Συνεπώς, η επέκταση της σειράς για Iα(x) είναι σχεδόν όμοια με αυτήν για Jα(x), αλλά χωρίς τον εναλλασσόμενο παράγοντα (−1)m . Αν −π < arg(x) ≤ π/2, η Kα(x) μπορεί να εκφραστεί ως μια συνάρτηση Χάνκελ πρώτου τύπου: K α ( x ) = π 2 i α + 1 H α ( 1 ) ( i x ) , {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix),} και αν π/2 < arg(x) ≤ π, μπορεί να εκφραστεί σαν συνάρτηση Χάνκελ δεύτερου τύπου: K α ( x ) = π 2 ( − i ) α + 1 H α ( 2 ) ( − i x ) . {\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix).} Μπορούμε να εκφράσουμε την πρώτη και δεύτερη συνάρτηση Μπέσελ σε σχέση με τις τροποποιημένες συναρτήσεις Μπέσελ (αυτές ισχύουν αν −π < arg(z) ≤ π/2): J α ( i z ) = e α i π 2 I α ( z ) Y α ( i z ) = e ( α + 1 ) i π 2 I α ( z ) − 2 π e − α i π 2 K α ( z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha i\pi }{2}}I_{\alpha }(z)\\Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)i\pi }{2}}I_{\alpha }(z)-{\frac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha i\pi }{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}} Οι Iα(x) και Kα(x) είναι δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις στην τροποποιημένη εξίσωση Μπέσελ: x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − ( x 2 + α 2 ) y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0.} Σε αντίθεση με τις κοινές συναρτήσεις Μπέσελ, οι οποίες ταλαντώνονται ως συναρτήσεις πραγματικού ορίσματος οι, Iα και Kα είναι εκθετικά αυξανόμενες και ελαττούμενες συναρτήσεις, αντίστοιχα. Όμοια με την κοινή συνάρτηση Μπέσελ Jα, η συνάρτηση Iα τείνει στο μηδέν στο x = 0 για α > 0 και είναι πεπερασμένη στο x = 0 για α = 0. Ανάλογα, η Kα αποκλίνει στο x = 0,με την ιδιαιτερότητα να είναι λογαριθμικού τύπου. Δύο ολοκληρωτικοί τύποι για τις τροποποιημένες συναρτήσεις Μπέσελ είναι (για Re(x) > 0): I α ( x ) = 1 π ∫ 0 π exp ⁡ ( x cos ⁡ ( θ ) ) cos ⁡ ( α θ ) d θ − sin ⁡ ( α π ) π ∫ 0 ∞ exp ⁡ ( − x cosh ⁡ t − α t ) d t , {\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\exp(x\cos(\theta ))\cos(\alpha \theta )\,d\theta -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp(-x\cosh t-\alpha t)\,dt,} K α ( x ) = ∫ 0 ∞ exp ⁡ ( − x cosh ⁡ t ) cosh ⁡ ( α t ) d t . {\displaystyle K_{\alpha }(x)=\int _{0}^{\infty }\exp(-x\cosh t)\cosh(\alpha t)\,dt.} Οι τροποποιημένες συναρτήσεις Μπέσελ K1/3 and K2/3 μπορούν να αναπαρασταθούν σε σχέση με ολοκληρώματα που συγκλίνουν γρήγορα K 1 3 ( ξ ) = 3 ∫ 0 ∞ exp ⁡ [ − ξ ( 1 + 4 x 2 3 ) 1 + x 2 3 ] d x K 2 3 ( ξ ) = 1 3 ∫ 0 ∞ 3 + 2 x 2 1 + x 2 3 exp ⁡ [ − ξ ( 1 + 4 x 2 3 ) 1 + x 2 3 ] d x . {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\,\int _{0}^{\infty }\,\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\,\right]\,dx\\K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,\int _{0}^{\infty }\,{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left[-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\,\right]\,dx.\end{aligned}}} Οι τροποποιημένες συναρτήσεις Μπέσελ δεύτερου τύπουέχουν επίσης ονομασθεί με τα μέχρι τώρα σπάνια ονόματα: Συνάρτηση Basset από τον Alfred Barnard Basset Τροποποιημένη συνάρτηση Μπέσελ τρίτου τύπου Τροποποιημένη συνάρτηση Χάνκελ Συνάρτηση ΜακΝτόναλντ από τον Hector Munro Macdonald Συνάρτηση Βέμπερ Συνάρτηση Νόημαν Λύνοντας την εξίσωση του Helmholtz σε σφαιρικές συντεταγμένες by separation of variables, η ακτινική εξίσωση έχει τη μορφή: x 2 d 2 y d x 2 + 2 x d y d x + [ x 2 − n ( n + 1 ) ] y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.} Οι δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις αυτής της εξίσωσης ονομάζονται σφαιρικές συναρτήσεις Μπέσελ jn και yn, και σχετίζονται με τις συνήθεις συναρτήσεις Μπέσελ Jn και Yn με: j n ( x ) = π 2 x J n + 1 2 ( x ) , {\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),} y n ( x ) = π 2 x Y n + 1 2 ( x ) = ( − 1 ) n + 1 π 2 x J − n − 1 2 ( x ) . {\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).} Η yn συμβολίζεται επίσης nn ή ηn; κάποιοι συγγραφείς ονομάζουν αυτές τις συναρτήσεις σφαιρικές συναρτήσεις Νόημαν. Οι σφαιρικές συναρτήσεις Μπέσελ μπορούν επίσης να γραφτούν ως (τύποι του Rayleigh): j n ( x ) = ( − x ) n ( 1 x d d x ) n sin ⁡ ( x ) x , {\displaystyle j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\sin(x)}{x}},} y n ( x ) = − ( − x ) n ( 1 x d d x ) n cos ⁡ ( x ) x . {\displaystyle y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\cos(x)}{x}}.} Η πρώτη σφαιρική συνάρτηση Μπέσελ j0(x) είναι επίσης γνωστή ως (κανονικοποιημένη) ημιτονοειδής συνάρτηση. Μερικές από τις πρώτες συναρτήσεις Μπέσελ είναι οι: j 0 ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle j_{0}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}} j 1 ( x ) = sin ⁡ ( x ) x 2 − cos ⁡ ( x ) x {\displaystyle j_{1}(x)={\frac {\sin(x)}{x^{2}}}-{\frac {\cos(x)}{x}}} j 2 ( x ) = ( 3 x 2 − 1 ) sin ⁡ ( x ) x − 3 cos ⁡ ( x ) x 2 {\displaystyle j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin(x)}{x}}-{\frac {3\cos(x)}{x^{2}}}} j 3 ( x ) = ( 15 x 3 − 6 x ) sin ⁡ ( x ) x − ( 15 x 2 − 1 ) cos ⁡ ( x ) x , {\displaystyle j_{3}(x)=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin(x)}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos(x)}{x}},} και y 0 ( x ) = − j − 1 ( x ) = − cos ⁡ ( x ) x {\displaystyle y_{0}(x)=-j_{-1}(x)=-\,{\frac {\cos(x)}{x}}} y 1 ( x ) = j − 2 ( x ) = − cos ⁡ ( x ) x 2 − sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle y_{1}(x)=j_{-2}(x)=-\,{\frac {\cos(x)}{x^{2}}}-{\frac {\sin(x)}{x}}} y 2 ( x ) = − j − 3 ( x ) = ( − 3 x 2 + 1 ) cos ⁡ ( x ) x − 3 sin ⁡ ( x ) x 2 {\displaystyle y_{2}(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos(x)}{x}}-{\frac {3\sin(x)}{x^{2}}}} y 3 ( x ) = j − 4 ( x ) = ( − 15 x 3 + 6 x ) cos ⁡ ( x ) x − ( 15 x 2 − 1 ) sin ⁡ ( x ) x . {\displaystyle y_{3}\left(x\right)=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos(x)}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin(x)}{x}}.} Παράγουσα συνάρτηση Οι σφαιρικές συναρτήσεις Μπέσελ έχουν παράγουσες συναρτήσεις τις 1 z cos ⁡ ( z 2 − 2 z t ) = ∑ n = 0 ∞ t n n ! j n − 1 ( z ) , {\displaystyle {\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),} 1 z sin ⁡ ( z 2 + 2 z t ) = ∑ n = 0 ∞ ( − t ) n n ! y n − 1 ( z ) . {\displaystyle {\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}+2zt}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).} Διαφορικές σχέσεις Στο ακόλουθο fn είναι κάποια από τις j n , y n , h n ( 1 ) , h n ( 2 ) {\displaystyle j_{n},y_{n},h_{n}^{(1)},h_{n}^{(2)}} για n = 0 , ± 1 , ± 2 , … {\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\dots } ( 1 z d d z ) m ( z n + 1 f n ( z ) ) = z n − m + 1 f n − m ( z ) , {\displaystyle \left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),} ( 1 z d d z ) m ( z − n f n ( z ) ) = ( − 1 ) m z − n − m f n + m ( z ) . {\displaystyle \left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).} Υπάρχουν επίσης σφαιρικές αναλογίες των συναρτήσεων Χάνκελ: h n ( 1 ) ( x ) = j n ( x ) + i y n ( x ) {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+iy_{n}(x)\,} h n ( 2 ) ( x ) = j n ( x ) − i y n ( x ) . {\displaystyle h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\,} Πράγματι, υπάρχουν απλές κοντινής μορφής εκφράσεις για τις συναρτήσεις Μπέσελ ημιακέραιας τάξης σε σχέση με τις καθιερωμένες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, και ως εκ τούτου για τις σφαιρικές συναρτήσεις Μπέσελ. Συγκεκριμένα, για μη αρνητικούς ακέραιους n: h n ( 1 ) ( x ) = ( − i ) n + 1 e i x x ∑ m = 0 n i m m ! ( 2 x ) m ( n + m ) ! ( n − m ) ! {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}} και h n ( 2 ) {\displaystyle h_{n}^{(2)}} είναι ο συζυγής μιγαδικός αυτού (για πραγματικό x). Έπεται, για παράδειγμα, ότι j 0 ( x ) = sin ⁡ ( x ) / x {\displaystyle j_{0}(x)=\sin(x)/x} και y 0 ( x ) = − cos ⁡ ( x ) / x {\displaystyle y_{0}(x)=-\cos(x)/x} , κ.ο.κ. Οι σφαιρικές συναρτήσεις Χάνκελ εμφανίζονται σε προβλήματα συμπεριλαμβανομένου της σφαιρικής διάδοσης κύματος, για παράδειγμα στην πολυπολική διάδοση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Οι συναρτήσεις Riccati Μπέσελ διαφέρουν ελάχιστα από τις σφαιρικές συναρτήσεις Μπέσελ: S n ( x ) = x j n ( x ) = π x 2 J n + 1 2 ( x ) {\displaystyle S_{n}(x)=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)} C n ( x ) = − x y n ( x ) = − π x 2 Y n + 1 2 ( x ) {\displaystyle C_{n}(x)=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)} ξ n ( x ) = x h n ( 1 ) ( x ) = π x 2 H n + 1 2 ( 1 ) ( x ) = S n ( x ) − i C n ( x ) {\displaystyle \xi _{n}(x)=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)} ζ n ( x ) = x h n ( 2 ) ( x ) = π x 2 H n + 1 2 ( 2 ) ( x ) = S n ( x ) + i C n ( x ) . {\displaystyle \zeta _{n}(x)=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}\,H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x).} Αυτές ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση: x 2 d 2 y d x 2 + [ x 2 − n ( n + 1 ) ] y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.} Αυτή η διαφορική εξίσωση , και οι λύσεις Riccati–Bessel , εμφανίσθηκαν μέσα στο πρόβλημα του χωρίσματος των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων από μια σφαίρα, γνωστά ως χώρισμα Mie όπου η πρώτη δημοσίευση της λύσης έγινε από τον Mie (1908). Βλέπε π.χ., Du (2004) για πρόσφατες εφαρμογές κι αναφορές. Παρακάτω Debye (1909), ο συμβολισμός ψ n , χ n {\displaystyle \psi _{n},\chi _{n}} χρησιμοποιείται μερικές φορές αντί του S n , C n {\displaystyle S_{n},C_{n}} . Οι συναρτήσεις Μπέσελ έχουν τις παρακάτω ασυμπτωτικές μορφές. Για μικρά ορίσματα 0 < z ≪ α + 1 {\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}} , όταν α είναι μη αρνητικός ακέραιος, παίρνει κανείς : J α ( z ) ∼ 1 Γ ( α + 1 ) ( z 2 ) α {\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }} Όταν α είναι αρνητικός ακέραιος, έχουμε: J α ( z ) ∼ ( − 1 ) α ( − α ) ! ( 2 z ) α {\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }} Για τις Μπέσελ συναρτήσεις δεύτερου τύπου έχουμε τρεις περιπτώσεις: Y α ( z ) ∼ { 2 π ( ln ⁡ ( z 2 ) + γ ) if α = 0 − Γ ( α ) π ( 2 z ) α + 1 Γ ( α + 1 ) ( z 2 ) α cot ⁡ ( α π ) if α is not a non-positive integer (one term dominates unless α is imaginary) − ( − 1 ) α Γ ( − α ) π ( z 2 ) α if α is a negative integer {\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\frac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is not a non-positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}}\\\\-{\frac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer}}\end{cases}}} όπου γ είναι η σταθερά Euler–Mascheroni (0.5772...). Για μεγάλα πραγματικά ορίσματα , x ≫ | α 2 − 1 4 | {\displaystyle x\gg \left|\alpha ^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right|} , δεν μπορεί κανείς να γράψει μια πραγματική ασυμπτωτική μορφή για τις συναρτήσεις Μπέσελ πρώτου και δεύτερου τύπου (εκτός και αν α είναι ημιακέραιος) επειδή μέχρι να πανε στο απειρο έχουν μηδενικά, τα οποία θα έπρεπε να αντιστοιχηθούν επακριβώς σε οποιοδήποτε ασυμπτωτικό ανάπτυγμα. Παρ'όλα αυτά, για δοσμένη τιμή του arg(z) μπορεί κανείς να γράψει μια ισότητα που να περιέχει έναν όρο της τάξης |z|−1: J α ( z ) = 2 π z ( cos ⁡ ( z − α π 2 − π 4 ) + e | Im ⁡ ( z ) | O ( | z | − 1 ) ) for | arg ⁡ z | < π Y α ( z ) = 2 π z ( sin ⁡ ( z − α π 2 − π 4 ) + e | Im ⁡ ( z ) | O ( | z | − 1 ) ) for | arg ⁡ z | < π . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{|\operatorname {Im} (z)|}O(|z|^{-1})\right)&&{\text{ for }}|\arg z|<\pi \\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{|\operatorname {Im} (z)|}O(|z|^{-1})\right)&&{\text{ for }}|\arg z|<\pi .\end{aligned}}} (Για α = 1/2 οι τελευταίοι όροι σε αυτούς τους τύπους εξαφανίζονται εντελώς. Βλέπε τις σφαιρικές συναρτήσεις Μπέσελ παραπάνω.) Αν και αυτές οι ισότητες είναι αληθείς, καλύτερες προσεγγίσεις ίσως είναι διαθέσιμες για μιγαδικό z. Για παράδειγμα, η J0(z) όταν ο z είναι κοντά στην αρνητική πραγματική γραμμή, προσεγγίζεται καλύτερα από τον τύπο J 0 ( z ) ≈ − 2 π z cos ⁡ ( z + π 4 ) {\displaystyle J_{0}(z)\approx {\sqrt {\frac {-2}{\pi z}}}\cos \left(z+{\frac {\pi }{4}}\right)} παρά από τον τύπο J 0 ( z ) ≈ 2 π z cos ⁡ ( z − π 4 ) . {\displaystyle J_{0}(z)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cos \left(z-{\frac {\pi }{4}}\right).} Οι ασυμπτωτικές μορφές των συναρτήσεων Χάνκελ είναι: H α ( 1 ) ( z ) ∼ 2 π z exp ⁡ ( i ( z − α π 2 − π 4 ) ) for − π < arg ⁡ z < 2 π H α ( 2 ) ( z ) ∼ 2 π z exp ⁡ ( − i ( z − α π 2 − π 4 ) ) for − 2 π < arg ⁡ z < π {\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\exp \left(i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)&&{\text{ for }}-\pi <\arg z<2\pi \\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\exp \left(-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)&&{\text{ for }}-2\pi <\arg z<\pi \end{aligned}}} Αυτές μπορούν να επεκταθούν σε άλλες τιμές του arg(z) χρησιμοποιώντας εξισώσεις που σχετίζουν τις H α ( 1 ) ( z e i m π ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(ze^{im\pi })} και H α ( 2 ) ( z e i m π ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(ze^{im\pi })} με τις Hα(1)(z) και Hα(2)(z). Παρουσιάζει ενδιαφέρον το γεγονός ότι αν και η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου είναι ο μέσος όρος των δύο συναρτήσεων Χάνκελ , η Jα(z) δεν είναι ασυμπτωτική στο μέσο όρο των δύο αυτών ασυμπτωτικών μορφών όταν z αρνητικός (επειδή μια από τις δύο δε θα είναι σωστή εκεί, ανάλογα με το arg(z) που χρησιμοποιείται). Αλλά οι ασυμπτωτικές μορφές για τις συναρτήσεις Χάνκελ μας επιτρέπουν να γράψουμε ασυμπτωτικές μορφές για τις συναρτήσεις Μπέσελ πρώτου και δεύτερου είδους για μιγαδικό (μη-πραγματικό) z υπό την προϋπόθεση ότι το |z| πάει στο άπειρο σε μία σταθερής φάσης γωνία arg z (χρησιμοποιώντας την τετραγωνική ρίζα, έχοντας θετικό πραγματικό μέρος): J α ( z ) ∼ 1 2 π z exp ⁡ ( i ( z − α π 2 − π 4 ) ) for − π < arg ⁡ z < 0 J α ( z ) ∼ 1 2 π z exp ⁡ ( − i ( z − α π 2 − π 4 ) ) for 0 < arg ⁡ z < π Y α ( z ) ∼ − i 1 2 π z exp ⁡ ( i ( z − α π 2 − π 4 ) ) for − π < arg ⁡ z < 0 Y α ( z ) ∼ − i 1 2 π z exp ⁡ ( − i ( z − α π 2 − π 4 ) ) for 0 < arg ⁡ z < π {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp \left(i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)&&{\text{ for }}-\pi <\arg z<0\\J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp \left(-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)&&{\text{ for }}0<\arg z<\pi \\Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp \left(i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)&&{\text{ for }}-\pi <\arg z<0\\Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}\exp \left(-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)&&{\text{ for }}0<\arg z<\pi \end{aligned}}} Για τις τροποποιημένες Μπέσελ συναρτήσεις, ο Χάνκελ ανέπτυξε επίσης ασυμπτωτικά αναπτύγματα: I α ( z ) ∼ e z 2 π z ( 1 − 4 α 2 − 1 8 z + ( 4 α 2 − 1 ) ( 4 α 2 − 9 ) 2 ! ( 8 z ) 2 − ( 4 α 2 − 1 ) ( 4 α 2 − 9 ) ( 4 α 2 − 25 ) 3 ! ( 8 z ) 3 + ⋯ ) for | arg ⁡ z | < π 2 , {\displaystyle I_{\alpha }(z)\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)(4\alpha ^{2}-25)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right){\text{ for }}|\arg z|<{\tfrac {\pi }{2}},} K α ( z ) ∼ π 2 z e − z ( 1 + 4 α 2 − 1 8 z + ( 4 α 2 − 1 ) ( 4 α 2 − 9 ) 2 ! ( 8 z ) 2 + ( 4 α 2 − 1 ) ( 4 α 2 − 9 ) ( 4 α 2 − 25 ) 3 ! ( 8 z ) 3 + ⋯ ) for | arg ⁡ z | < 3 π 2 . {\displaystyle K_{\alpha }(z)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {(4\alpha ^{2}-1)(4\alpha ^{2}-9)(4\alpha ^{2}-25)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right){\text{ for }}|\arg z|<{\tfrac {3\pi }{2}}.} Όταν α = 1/2 όλοι οι όροι εκτός από τον πρώτο εξαφανίζονται και έχουμε I 1 2 ( z ) = 2 π z sinh ⁡ ( z ) ∼ e z 2 π z for | arg ⁡ z | < π 2 , K 1 2 ( z ) = π 2 z e − z {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\frac {1}{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sinh(z)\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{ for }}|\arg z|<{\tfrac {\pi }{2}},\\K_{\frac {1}{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\end{aligned}}} Για μικρά ορίσματα 0 < | z | ≪ α + 1 {\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}} , έχουμε: I α ( z ) ∼ 1 Γ ( α + 1 ) ( z 2 ) α {\displaystyle I_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }} K α ( z ) ∼ { − ln ⁡ ( z 2 ) − γ if α = 0 Γ ( α ) 2 ( 2 z ) α if α > 0. {\displaystyle K_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}-\ln \left({\frac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\\\{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0.\end{cases}}} Για ακέραια τάξη α = n,η Jn συχνά ορίζεται μέσω σειράς Λόρεν για μια παράγουσα συνάρτηση: e ( x 2 ) ( t − 1 / t ) = ∑ n = − ∞ ∞ J n ( x ) t n , {\displaystyle e^{({\frac {x}{2}})(t-1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n},\!} μια προσέγγιση χρησιμοποιήθηκε από τον Χάνσεν το 1843. (Αυτό μπορεί να γενικευτεί σε μη ακέραια τάξη με επικαμπύλια ολοκλήρωση ή άλλες μεθόδους). Άλλη μια σημαντική σχέση για τις ακέραιες τάξεις είναι η Jacobi–Anger έκφραση: e i z cos ⁡ ( ϕ ) = ∑ n = − ∞ ∞ i n J n ( z ) e i n ϕ , {\displaystyle e^{iz\cos(\phi )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi },\!} και e ± i z sin ⁡ ( ϕ ) = J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n ( z ) cos ⁡ ( 2 n ϕ ) ± 2 i ∑ n = 0 ∞ J 2 n + 1 ( z ) sin ⁡ ( [ 2 n + 1 ] ϕ ) , {\displaystyle e^{\pm iz\sin(\phi )}=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin([2n+1]\phi ),\!} η οποία χρησιμοποιείται για την επέκταση του επίπεδου κύματος ως άθροισμα κυλινδρικών κυμάτων, ή για την εύρεση της σειράς Φουριέ ενός διαμορφωμένου τόνου FM σήματος. Πιο γενικά, η σειρά f ( z ) = a 0 ν J ν ( z ) + 2 ⋅ ∑ k = 1 a k ν J ν + k ( z ) {\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)\!} ονομάζεται Νόημαν έκφραση του ƒ. Οι συντελεστές για ν = 0 έχουν τη ρητή μορφή a k 0 = 1 2 π i ∫ | z | = c f ( z ) O k ( z ) d z , {\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz,\!} όπου το Ok είναι το πολυώνυμο του Νόημαν.Επιλεγμένες συναρτήσεις εισάγουν την ειδική παράσταση f ( z ) = ∑ k = 0 a k ν J ν + 2 k ( z ) {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)\!} με a k ν = 2 ( ν + 2 k ) ∫ 0 ∞ f ( z ) J ν + 2 k ( z ) z d z {\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz\!} λόγω της ορθογώνιας σχέσης ∫ 0 ∞ J α ( z ) J β ( z ) d z z = 2 π sin ⁡ ( π 2 ( α − β ) ) α 2 − β 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}.} Πιο γενικά, αν ƒ έχει ένα κλαδικό σημείο κοντά στην αρχή τέτοιας φύσης ώστε f ( z ) = ∑ k = 0 a k J ν + k ( z ) , {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z),} τότε L { ∑ k = 0 a k J ν + k } ( s ) = 1 1 + s 2 ∑ k = 0 a k ( s + 1 + s 2 ) ν + k {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{(s+{\sqrt {1+s^{2}}})^{\nu +k}}}} ή ∑ k = 0 a k ξ ν + k = 1 + ξ 2 2 ξ L { f } ( 1 − ξ 2 2 ξ ) , {\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right),} όπου L { f } {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}} είναι ο μετασχηματισμός Λαπλάς του f'.Ένας άλλος τρόπος για να ορίσουμε τις συναρτήσεις Μπέσελ είναι η παράσταση Πουασόν και ο τύπος Mehler-Sonine : J ν ( z ) = ( z 2 ) ν Γ ( ν + 1 2 ) π ∫ − 1 1 e i z s ( 1 − s 2 ) ν − 1 2 d s , = 2 ( z 2 ) ν ⋅ π ⋅ Γ ( 1 2 − ν ) ∫ 1 ∞ sin ⁡ ( z u ) ( u 2 − 1 ) ν + 1 2 d u , {\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {({\frac {z}{2}})^{\nu }}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}}){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}(1-s^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds,\\&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin(zu)}{(u^{2}-1)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du,\end{aligned}}} όπου ν > −1/2 και z ∈ C. Αυτός ο τύπος ςίναι χρήσιμος ιδιαίτερα όταν εργαζόμαστε με μετασχηματισμούς Φουριέ. Οι συναρτήσεις Jα, Yα, Hα(1), και Hα(2) όλες ικανοποιούν τις ανάδρομες σχέσειςs: 2 α x Z α ( x ) = Z α − 1 ( x ) + Z α + 1 ( x ) {\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)\!} 2 d Z α d x = Z α − 1 ( x ) − Z α + 1 ( x ) {\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x)\!} όπου Z συμβολίζει τα J, Y, H(1), ή H(2). (Αυτές οι δύο ταυτότητες συχνά συνδυάζονται, π.χ. προσθέτοντάς τες ή αφαιρώντας τες , για να προκύψουν άλλες σχέσεις.) Με αυτόν τον τρόπο, για παράδειγμα, μπορεί κανείς να υπολογίσει τις συναρτήσεις Μπέσελ μεγαλύτερων τάξεων (ή μεγαλύτερων παραγώγων) έχοντας τις τιμές χαμηλών τάξεων (ή κατώτερων παραγώγων). Συγκεκριμένα, έπεται ότι: ( 1 x d d x ) m [ x α Z α ( x ) ] = x α − m Z α − m ( x ) , {\displaystyle \left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),} ( 1 x d d x ) m [ Z α ( x ) x α ] = ( − 1 ) m Z α + m ( x ) x α + m . {\displaystyle \left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.} Οι Τροποποημένες συναρτήσεις Μπέσελ έχουν παρόμοιες σχέσεις : e ( x 2 ) ( t + 1 / t ) = ∑ n = − ∞ ∞ I n ( x ) t n , {\displaystyle e^{({\frac {x}{2}})(t+1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n},\!} και e z cos ⁡ ( θ ) = I 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ I n ( z ) cos ⁡ ( n θ ) . {\displaystyle e^{z\cos(\theta )}=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos(n\theta ).\!} Η αναδρομική σχέση ερμηνεύεται C α − 1 ( x ) − C α + 1 ( x ) = 2 α x C α ( x ) {\displaystyle C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x)\!} C α − 1 ( x ) + C α + 1 ( x ) = 2 d C α d x {\displaystyle C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)=2{\frac {dC_{\alpha }}{dx}}\!} όπου το Cα συμβολίζει το Iα ή το eαπiKα. Αυτές οι αναδρομικές σχέσεις είναι χρήσιμες για προβλήματα διακριτής διάδοσης. Επειδή η εξίσωση Μπέσελ γίνεται Ερμιτιανή (αυτοσυζυγής) αν διαιρεθεί με το x, οι λύσεις πρέπει να ικανοποιούν μια ορθογώνια σχέση για κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. Συγκεκριμένα, έπεται ότι: ∫ 0 1 x J α ( x u α , m ) J α ( x u α , n ) d x = δ m , n 2 [ J α + 1 ( u α , m ) ] 2 = δ m , n 2 [ J α ′ ( u α , m ) ] 2 , {\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})J_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[J_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[J_{\alpha }'(u_{\alpha ,m})]^{2},\!} όπου α > −1, δm,n είναι το δέλτα του Κρόνεκερ, και uα, m είναι το m-οστό μηδενικό της Jα(x). Αυτή η ορθογωνική σχέση μπορεί τότε να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή των συντελεστών στις σειρές Μπέσελ-Φουριέ, όπου η συνάρτηση επεκτείνεται στη βάση τωνσυναρτήσεων Jα(x uα, m) για σταθερό α και διάφορα m. Μία ανάλογη σχέση για τις σφαιρικές συναρτήσεις Μπέσσελ έπεται άμεσα: ∫ 0 1 x 2 j α ( x u α , m ) j α ( x u α , n ) d x = δ m , n 2 [ j α + 1 ( u α , m ) ] 2 . {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})j_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[j_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})]^{2}.\!} Αν κανείς ορίσει μια συνάρτηση βαγόνι (παντού μηδέν εκτώς από ένα διάστημα όπου είναι σταθερή) του x που εξαρτάται απο μια μικρή παράμετρο ε ως: f ϵ ( x ) = ϵ r e c t ( x − 1 ϵ ) {\displaystyle f_{\epsilon }(x)=\epsilon \ \mathrm {rect} \left({\frac {x-1}{\epsilon }}\right)} (όπου rect() είναι η ορθογώνια συνάρτηση) τότε ο μετασχηματισμός Χάνκελ αυτής (για κάθε τάξη του α μεγαλύτερη του −1/2), η gε(k), προσεγγίζει την Jα(k) καθώς το ε τείνει στο μηδέν, για κάθε k. Αντιστρόφως, ο μετασχηματισμός Χάνκελ (ίδιας τάξης) της gε(k) είναι fε(x): ∫ 0 ∞ k J α ( k x ) g ϵ ( k ) d k = f ϵ ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\epsilon }(k)dk=f_{\epsilon }(x)} Η οποία είναι παντού μηδέν εκτώς κοντά στο 1. Καθώς το ε τείνει στο μηδέν, το δεξιό μέλος τείνει στο δ(x−1), όπου δ είναι η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ. Έτσι ανεπίσημα μπορούμε να πούμε ότι ∫ 0 ∞ k J α ( k x ) J α ( k ) d k = δ ( x − 1 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)dk=\delta (x-1)} παρόλο που το αλοκλήρωμα στα αριστερά δεν ορίζεται στην πραγματικότητα. Μια αλλαγή των μεταβλητών δίνει την τελική εξίσωση: ∫ 0 ∞ x J α ( u x ) J α ( v x ) d x = 1 u δ ( u − v ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)\!} για α > −1/2. Ο μετασχηματισμός Χάνκελ μπορεί να εκφράσει μια αρκετά αυθαίρετη συνάρτηση ως το ολοκλήρωμα των συναρτήσεων Μπέσελ σε διάφορες κλίμακες. Για τις σφαιρικές συναρτήσεις Μπέσελ η ορθογώνια σχέση είναι: ∫ 0 ∞ x 2 j α ( u x ) j α ( v x ) d x = π 2 u 2 δ ( u − v ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)\!} για α > −1. Πάλι, αυτή είναι μια χρήσιμη εξίσωση της οποίας το ολοκλήρωμα στο αριστερό μέλος δεν ορίζεται. Άλλη μια σημαντική ιδιότητα των εξισώσεων Μπέσελ, η οποία προκύπτει από την ταυτότητα του Άμπελ, συμπεριλαμβάνει την ορίζουσα του Βρόνσκι των λύσεων: A α ( x ) d B α d x − d A α d x B α ( x ) = C α x , {\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}},\!} όπου Aα και Bα είναι οποιεσδήποτε δύο λύσεις της εξίσωσης Μπέσελ, και Cα είναι μια σταθερά ανεξάρτητη του x (η οποία εξαρτάται από το α και από τις συγκεκριμένες συναρτήσεις του Μπέσελ που λαμβάνονται υπόψιν). Συγκεκριμένα, J α ( x ) d Y α d x − d J α d x Y α ( x ) = 2 π x , {\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}},\!} και I α ( x ) d K α d x − d I α d x K α ( x ) = − 1 x . {\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}}.\!} (Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από άλλα γνωστά ολοκληρώματα και ταυτότητες τα οποιά δεν αναπτύσσονται εδώ, αλλά τα οποία μπορούν να βρεθούν στις αναφορες.) Οι Μπέσελ συναρτήσεις υπακούν ένα πολλαπλασιαστικό θεώρημα λ − ν J ν ( λ z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( ( 1 − λ 2 ) z 2 ) n J ν + n ( z ) {\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z)} όπου λ και ν πιθανόν να παίρνουν αυθαίρετους σύνθετους αριθμούς, βλέπε. Η παρακάτω έκφραση επίσης ισχύει εάν J {\displaystyle J} αντικατασταθεί από το Y {\displaystyle Y} . Οι ανάλογες ταυτότητες Bessel για τροποποιημένες συναρτήσεις είναι λ − ν I ν ( λ z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( ( λ 2 − 1 ) z 2 ) n I ν + n ( z ) {\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(\lambda ^{2}-1)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)} και λ − ν K ν ( λ z ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! ( ( λ 2 − 1 ) z 2 ) n K ν + n ( z ) . {\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {(\lambda ^{2}-1)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).} Ο Μπέσελ πρώτα απέδειξε ότι για μη αρνητικούς ακεραίους n, η εξίσωση Jn(x) = 0 έχει έναν άπειρο αριθμό λύσεων συναρτήσει του x. Όταν οι συναρτήσεις Jn(x) είναι σχεδιασμένες στο ίδιο διάγραμμα, ωστόσο, κανένα από τα μηδενικά δεν φαίνεται να ταυτίζονται για διαφορετικές τιμές του n εκτός από το μηδέν για x = 0. Αυτό το φαινόμενο γνωστό ως υπόθεση του Μπουρζέμετά τον δέκατο ένατο αιώνα όπου ο Γάλλος μαθηματικός μελέτησε τις Μπέσελ συναρτήσεις. Ειδικά ορίζεται για κάθε ακέραιοn ≥ 0 και m ≥ 1, οι συναρτήσεις Jn(x) και Jn+m(x) δεν έχουν συνήθως μηδενικά εκτός από αυτό γιαx = 0. Η υπόθεση αποδείχθηκε από τον Carl Ludwig Siegel το 1929. K 1 2 ( z ) = π 2 e − z z − 1 2 , z > 0 I − 1 2 ( z ) = 2 π z cosh ⁡ ( z ) I 1 2 ( z ) = 2 π z sinh ⁡ ( z ) I ν ( z ) = ∑ k = 0 z k k ! J ν + k ( z ) J ν ( z ) = ∑ k = 0 ( − 1 ) k z k k ! I ν + k ( z ) I ν ( λ z ) = λ ν ∑ k = 0 ( ( λ 2 − 1 ) z 2 ) k k ! I ν + k ( z ) I ν ( z 1 + z 2 ) = ∑ k = − ∞ ∞ I ν − k ( z 1 ) I k ( z 2 ) J ν ( z 1 ± z 2 ) = ∑ k = − ∞ ∞ J ν ∓ k ( z 1 ) J k ( z 2 ) I ν ( z ) = z 2 ν ( I ν − 1 ( z ) − I ν + 1 ( z ) ) J ν ( z ) = z 2 ν ( J ν − 1 ( z ) + J ν + 1 ( z ) ) J ν ′ ( z ) = { 1 2 ( J ν − 1 ( z ) − J ν + 1 ( z ) ) ν ≠ 0 − J 1 ( z ) ν = 0 I ν ′ ( z ) = { 1 2 ( I ν − 1 ( z ) + I ν + 1 ( z ) ) ν ≠ 0 I 1 ( z ) ν = 0 ( z 2 ) ν = Γ ( ν ) ∑ k = 0 I ν + 2 k ( z ) ( ν + 2 k ) ( − ν k ) = Γ ( ν ) ∑ k = 0 ( − 1 ) k J ν + 2 k ( z ) ( ν + 2 k ) ( − ν k ) = Γ ( ν + 1 ) ∑ k = 0 ( z 2 ) k k ! J ν + k ( z ) 1 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n + 1 ) j n ( z ) 2 sin ⁡ ( 2 z ) 2 z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) j n ( z ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}e^{-z}z^{-{\tfrac {1}{2}}},\qquad z>0\\I_{-{\frac {1}{2}}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cosh(z)\\I_{\frac {1}{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sinh(z)\\I_{\nu }(z)&=\sum _{k=0}{\frac {z^{k}}{k!}}J_{\nu +k}(z)\\J_{\nu }(z)&=\sum _{k=0}(-1)^{k}{\frac {z^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z)\\I_{\nu }(\lambda z)&=\lambda ^{\nu }\sum _{k=0}{\frac {\left((\lambda ^{2}-1){\frac {z}{2}}\right)^{k}}{k!}}I_{\nu +k}(z)\\I_{\nu }(z_{1}+z_{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }I_{\nu -k}(z_{1})I_{k}(z_{2})\\J_{\nu }(z_{1}\pm z_{2})&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{\nu \mp k}(z_{1})J_{k}(z_{2})\\I_{\nu }(z)&={\tfrac {z}{2\nu }}\left(I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)\right)\\J_{\nu }(z)&={\tfrac {z}{2\nu }}\left(J_{\nu -1}(z)+J_{\nu +1}(z)\right)\\J_{\nu }'(z)&={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\left(J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)\right)&\nu \neq 0\\-J_{1}(z)&\nu =0\end{cases}}\\I_{\nu }'(z)&={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\left(I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)\right)&\nu \neq 0\\I_{1}(z)&\nu =0\end{cases}}\\\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{\nu }&=\Gamma (\nu )\sum _{k=0}I_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}=\Gamma (\nu )\sum _{k=0}(-1)^{k}J_{\nu +2k}(z)(\nu +2k){-\nu \choose k}=\Gamma (\nu +1)\sum _{k=0}{\frac {\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{k}}{k!}}J_{\nu +k}(z)\\1&=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)j_{n}(z)^{2}\\{\frac {\sin(2z)}{2z}}&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(2n+1)j_{n}(z)^{2}\end{aligned}}} Abramowitz, Milton· Stegun, Irene Ann, επιμ. (1983) [June 1964]. «Chapter 9». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first έκδοση). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. σελίδες 355, 435. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253. See also chapter 10. Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0. Bayin, S.S. Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2006, Chapter 6. Bayin, S.S., Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2008, Chapter 11. Bowman, Frank Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958). ISBN 0-486-60462-4. G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25 (1908), p. 377. Olver, F. W. J.; Maximon, L. C. (2010), «Συνάρτηση Μπέσελ», στο: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. και άλλοι, επιμ., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, http://dlmf.nist.gov/10 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.5. Bessel Functions of Integer Order», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=274, ανακτήθηκε στις 2015-05-28 B Spain, M.G. Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 9 deals with Bessel functions. N. M. Temme, Special Functions. An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1996. ISBN 0-471-11313-1. Chapter 9 deals with Bessel functions. Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3. Weber, H. (1873), «Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen», Mathematische Annalen 6 (2): 146–161, doi:10.1007/BF01443190 Lizorkin, P.I. (2001), «Bessel functions», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=b/b015840 Karmazina, L.N.; Prudnikov, A.P. (2001), «Cylinder function», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=c/c027610 Rozov, =N.Kh. (2001), «Bessel equation», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=B/b015830 Wolfram function pages on Bessel J and Y functions, and modified Bessel I and K functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators. Wolfram Mathworld – Bessel functions of the first kind Bessel functions Jν, Yν, Iν and Kν in Librow Function handbook.