Εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης

Το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης αποτελεί μέθοδο η οποία χρησιμοποιεί το 60 ως την αριθμητική βάση των αριθμών. Χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Σουμέριους την 3η χιλιετία π.Χ. εκφρασμένο στην σφηνοειδή γραφή, και μετέπειτα αναπτύχθηκε από τους Βαβυλώνιους με την μετατροπή του σε θεσιακό σύστημα. Εξακολουθεί να χρησιμοποιείται υπό τροποποιημένη μορφή στην σύγχρονη εποχή σε τομείς όπως την ώρα και τις υποδιαιρέσεις της κατά την μέτρηση του χρόνου, τριγωνομετρία, και γεωγραφικές συντεταγμένες.

 Ιστορικά, οι πολιτισμοί των Σουμέριων και των Ακκάδιων κατά την 3η χιλιετία π.Χ. ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν το εξηνταδικό σύστημα σε βασική μορφή για την αναπαράσταση ποσοτήτων. Όμως η μετατροπή του συστήματος σε πραγματικό θεσιακό σύστημα (τάξεις μεγέθους, υποστήριξη κλασμάτων) έγινε μετέπειτα από τους Βαβυλώνιους (2η χιλιετία π.Χ.) οι οποίοι το χρησιμοποίησαν κατά την ανάπτυξη των βαβυλωνιακών μαθηματικών και των αστρονομικών παρατηρήσεων τους.Σε κάποιες περιοχές της Ασίας χρησιμοποιείται η μέτρηση αριθμών με τα δάκτυλα του ενός χεριού έως τον αριθμό 12, με τον αντίχειρα να χρησιμοποιείται για να καταμετρήσει τις φάλαγγες των δαχτύλων (3 φάλαγγες/οριζόντιες αρθρώσεις ανά δάκτυλο εκτός του αντίχειρα, 3 * 4 = 12). Κάτι τέτοιο ενδεχομένως εξηγεί το πως προέκυψαν τα συστήματα αρίθμησης με βάση το 12 και το πολλαπλάσιο του, 60, πέρα από τα πιο συνήθη με βάση το 5, 10 ή 20. Στο εξηνταδικό σύστημα το ένα χέρι μετρά επανειλημμένα έως το 12, ενώ τα δάχτυλα του άλλου χεριού κρατούν τον αριθμό των επαναλήψεων (12 * 5 = 60). Το κύριο πλεονέκτημα του εξηνταδικού συστήματος βρίσκεται στον υπολογισμό κλασμάτων, καθώς ο αριθμός 60 αποτελεί εξαιρετικά υψηλά σύνθετο αριθμό, διαθέτοντας δώδεκα παράγοντες (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, και 60) εκ των οποίων οι τρεις (2, 3, 5) είναι πρώτοι αριθμοί. Λόγω της διαθεσιμότητας πολλών παραγόντων είναι εύκολη η κατάτμηση του αριθμού σε μικρότερες υποομάδες. Το 60 επίσης αποτελεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πρώτων έξι αριθμών (1 έως 6). Στα αρχαία βαβυλωνιακά κείμενα χρησιμοποιείται πολύ συχνά για την παράθεση κλασμάτων αριθμών σε μαθηματικούς πίνακες.Στην πράξη αυτό χρησιμοποιήθηκε από τους εμπόρους και τους αγοραστές για τον υπολογισμό ποσοτήτων αγαθών και δοσοληψιών σε διάφορες υποδιαιρέσεις κατά τις αγοραπωλησίες, και νομισματικές μονάδες όπως το αρχαίο σέκελ βασίζονταν στο εξηνταδικό σύστημα (1 σέκελ = 1/60 μανά). Η μονάδα αυτή αργότερα υιοθετήθηκε και από τους Έλληνες ως μνα, σε τροποποιημένη μορφή καθώς ως βάση ορίστηκε το 50 ώστε η μονάδα να είναι συμβατή με το δεκαδικό σύστημα (10 * 5 = 50). Οι αναπαραστάσεις των αριθμών διέφεραν ανάλογα με την χρήση και υπήρχαν διάφορες παραλλαγές τους καθώς και συνδυασμοί των ψηφίων τους, ενώ μερικές δεν χρησιμοποιούνταν το μηδέν. Το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων δεν ήταν καθαρό εξηνταδικό σύστημα καθώς δεν διέθετε ξεχωριστό σύμβολο για το κάθε ένα από τα εξήντα ψηφία του, αλλά συνδυασμούς ψηφίων για την κάθε καταχώριση αριθμού στο θεσιακό σύστημα. Για τις πρώτες εννέα καταχωρήσεις χρησιμοποιούνταν τα βαβυλωνιακά ψηφία στην σφηνοειδή γραφή, ενώ για τις δεκάδες έως το πενήντα επίσης ξεχωριστά σύμβολα. Όλα τα υπόλοιπα ψηφία του αριθμητικού συστήματος αποτελούσαν συνδυασμούς των ψηφίων αυτών. Για τους μεγαλύτερους αριθμούς χρησιμοποιούνταν η ίδια λογική επανάληψης των ψηφίων, χωρίς να υπάρχουν πλέον νέα ψηφία. Πριν την χρήση του μηδενός, η ερμηνεία των αριθμών εξαρτώταν ανά περίπτωση όπου εμφανίζονταν ο αριθμός, για παράδειγμα ο αριθμός 1 και ο αριθμός 60 (61ος αριθμός) αναγραφόταν με το ίδιο σύμβολο. Όταν αργότερα οι Βαβυλώνιοι άρχισαν να χρησιμοποιούν το μηδέν (ως), η ανάγνωση των αριθμών διευκολύνθηκε, ωστόσο το έκαναν ως πρόθεμα (υποδηλώνοντας ότι ακολουθεί δεκάδα, εκατοντάδα κτλ), και όχι ως τμήμα του ίδιου του αριθμού (στα δεξιά του αριθμού όπως 10, 2000 κτλ). Στην Πολιτεία του Πλάτωνα (4ος αιώνας π.Χ.) υπάρχει σχετική αλληγορία σχετικά με τον γάμο και τον αριθμό 604 = 12.960.000 και τους διαιρέτες του. Καθώς ο αριθμός αυτός αναπαριστάται με πολύ απλή μορφή στο εξηνταδικό σύστημα ως 1,0,0,0,0 (τριγωνομετρική μορφή) υπήρξε προσπάθεια από διάφορους μελετητές των βαβυλωνιακών μαθηματικών και της μουσικής θεωρίας έτσι ώστε να εξηγηθεί η σχέση της αναφοράς αυτής με το εξηνταδικό σύστημα.Ο υπολογισμός του τροπικού έτους ως 365,25 ημέρες από τον Κάλλιπο (4ος αιώνας π.Χ.) και οι μετέπειτα βελτιώσεις του Ίππαρχου (2ος αιώνας π.Χ.), ίσως είχαν βαβυλωνιακή προέλευση. Ο αριθμός των ημερών εκφράζεται ως 6,5;14,44,51 (6 × 60 + 5 + 14/60 + 44/602 + 51/603) ημέρες. Στο έργο Μαθηματική σύνταξις του Κλαύδιου Πτολεμαίου (2ος αιώνας μ.Χ.), το εξηνταδικό σύστημα χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των δεκαδικών σημείων των αριθμών, και συγκεκριμένα στον πίνακα των χορδών της πραγματείας, ο οποίος υπήρξε ο μοναδικός αναλυτικός εξηνταδικός τριγωνομετρικός πίνακας για πάνω από μια χιλιετία. Τα ψηφία γράφτηκαν με χρήση του ελληνικού συστήματος αρίθμησης, με το κάθε εξηνταδικό ψηφίο να λογίζεται ως ξεχωριστός αριθμός, ενώ για την χρήση του μηδενός ακολουθήθηκε η ίδια με τους Βαβυλωνίους λογική του προθέματος. Σε ότι αφορά τον υπολογισμό της τιμής του π από τον Πτολεμαίο αυτός έγινε ως 3;8,30 = 3 + 8/60 + 30/602 = 377/120 ≈ 3.141666.... Αριθμητικά συστήματα με βάση το 60 χρησιμοποιήθηκαν και από άλλους πολιτισμούς, απομακρυσμένους από την περιοχή της Μέσης Ανατολής, όπως τον λαό των Εκάρι στην δυτική Νέα Γουινέα.Στο κινεζικό ημερολόγιο, χρησιμοποιείται συχνά το σύστημα του εξηνταδικού κύκλου, όπου οι ημέρες ή τα έτη ονομάζονται ανάλογα με την θέση τους σε ακολουθίες των 10 ομάδων και σε άλλη ακολουθία 12 κλάδων. Η ομάδα και ο κλάδος επαναλαμβάνονται με την ολοκλήρωση κάθε 60 εναλλαγών στον κύκλο αυτό. Στο πλαίσιο της τριγωνομετρίας και της μελέτης των αρχαίων μαθηματικών, οι εξηνταδικοί αριθμοί γράφονται με χρήση των δεκαδικών ψηφίων, και το κάθε ψηφίο να χωρίζεται από κόμμα. Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 στο δεκαδικό σύστημα είναι 1,41421 και στο εξηνταδικό 1;24,51,10.Στα συστήματα μέτρησης χρόνου, μια ώρα αποτελείται από 60 λεπτά, και το κάθε λεπτό απαρτίζεται από 60 δευτερόλεπτα. Έτσι η ποσότητα χρόνου όπως 3:23:17 (τρεις ώρες, είκοσι τρία λεπτά, δεκαεπτά δευτερόλεπτα) ερμηνεύεται ως εξηνταδικός αριθμός ως 3 × 602 + 23 × 601 + 17 × 600 δευτερόλεπτα. Με παρόμοιο τρόπο γίνεται και η μέτρηση των γωνιών, όπου π.χ. ο κύκλος αποτελείται από 360 μοίρες (60 * 6 = 360). Η υιοθέτηση του συστήματος αυτού εδραιώθηκε κατά την περίοδο της Αναγέννησης στην δυτική Ευρώπη.Σε ότι αφορά την απλή μετατροπή αριθμού από μια αριθμητική βάση στην βάση 60, για την παράσταση των ψηφίων πάνω από το 9 και έως το 60 χρησιμοποιούνται τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου σε πεζή και σε κεφαλαία μορφή. Στο εξηνταδικό σύστημα το κάθε κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής διαθέτει μόνο το 2, 3, και 5 στην παραγοντοποίηση πρώτων του μπορεί να εκφραστεί με ακρίβεια. Για παράδειγμα το 1/9 της ώρας είναι 6 λεπτά και 40 δευτερόλεπτα. Για τα κλάσματα τα οποία δεν διαθέτουν παρονομαστές με την παραπάνω ιδιότητα η απόδοση τους είναι πιο περίπλοκη και επιστρέφει περιοδικούς αριθμούς. 1/7 = 0;8,34,17,8,34,17 ...= 0;8,34,17 1/11 = 0;5,27,16,21,49 1/13 = 0;4,36,55,23 1/14 = 0;4,17,8,34 1/17 = 0;3,31,45,52,56,28,14,7 1/19 = 0;3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41Η τετραγωνική ρίζα του 2, η οποία αντιστοιχεί στην διαγώνιο ενός τετραγώνου, υπολογίστηκε από τους Βαβυλώνιους ως: 1 ; 24 , 51 , 10 = 1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 30547 21600 ≈ 1.41421296 … {\displaystyle 1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1.41421296\ldots } Ifrah, Georges (1999), The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, ISBN 0-471-37568-3 . Nissen, Hans J.; Damerow, P.; Englund, R. (1993), Archaic Bookkeeping, University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6 "Facts on the Calculation of Degrees and Minutes" is an Arabic language book by Sibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad (b. 1423). This work offers a very detailed treatment of sexagesimal mathematics and includes what appears to be the first mention of the periodicity of sexagesimal fractions.