Παράδοξο της φιλίας

Το παράδοξο της φιλίας (friendship paradox) είναι ένα φαινόμενο που παρατηρήθηκε για πρώτη φορά από τον κοινωνιολόγο Σκοτ Φελντ (Scott L. Feld) το 1991, σύμφωνα με το οποίο οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν λιγότερους φίλους από ότι κατά μέσο όρο έχουν οι φίλοι τους. Μπορεί να εξηγηθεί ως μια μορφή δειγματοληπτικού θορύβου, κατά τον οποίο άνθρωποι με μεγαλύτερο αριθμό φίλων έχουν αυξημένη πιθανότητα να βρεθούν φίλοι κάποιου τρίτου ατόμου. Σε αντίφαση με αυτό οι περισσότεροι άνθρωποι πιστεύουν ότι έχουν περισσότερους φίλους από τους φίλους τους.Η ίδια παρατήρηση μπορεί να εφαρμοστεί πιο γενικά σε όσα κοινωνικά δίκτυα ορίζονται από σχέσεις εκτός από τη φιλία: για παράδειγμα, οι ερωτικοί σύντροφοι των περισσότερων ανθρώπων έχουν (κατά μέσο όρο) περισσότερους συντρόφους από ότι εκείνοι.

 Παρά την προφανή παράδοξη φύση του, το φαινόμενο είναι αληθινό, και μπορεί να εξηγηθεί σαν συνέπεια των γενικών μαθηματικών ιδιοτήτων των κοινωνικών δικτύων. Τα μαθηματικά του παραδόξου σχετίζονται άμεσα με την αριθμο-γεωμετρική μέση ανισότητα και την ανισότητα Κοσί–Σβαρτς. Τυπικά, ο Φελντ υποθέτει ότι ένα κοινωνικό δίκτυο έχει τη μορφή ενός μη κατευθυνόμενου γράφου G = ( V , E ) {\displaystyle G=(V,E)} , όπου το σύνολο V των κόμβων αντιστοιχεί στους ανθρώπους στο κοινωνικό δίκτυο, και το σύνολο E των ακμών αντιστοιχεί στις φιλικές σχέσεις ανάμεσα στα ζευγάρια των ανθρώπων στο γράφο. Ο Φελντ θεωρεί ότι η φιλία είναι συμμετρική σχέση: αν ο X είναι φίλος του Y, τότε ο Y είναι φίλος του X. Ορίζει το μέσο αριθμό των φίλων ενός ατόμου στο κοινωνικό δίκτυο ως τον μέσο όρο των βαθμών των κόμβων στο γράφο. Αυτό σημαίνει πως αν ένα κόμβος v έχει d ( v ) {\displaystyle d(v)} ακμές που η μια άκρη τους είναι αυτός (δηλαδή οι ακμές αναπαριστούν ένα άτομο που έχει d ( v ) {\displaystyle d(v)} φίλους), τότε ο μέσος αριθμός μ {\displaystyle \mu } των φίλων ενός τυχαίου ατόμου στον γράφο είναι μ = ∑ v ∈ V d ( v ) | V | = 2 | E | | V | {\displaystyle \mu ={\frac {\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}}={\frac {2|E|}{|V|}}} .Ο μέσος αριθμός των φίλων που τυπικά έχει ένας φίλος μπορεί να διατυπωθεί διαλέγοντας, με ομοιόμορφη τυχαιότητα, μια ακμή στον γράφο (που αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι φίλων) και την άκρη αυτής της ακμής (ένας από τους δύο φίλους), και υπολογίζοντας ξανά τον βαθμό του συγκεκριμένου άκρου. Αυτό μαθηματικά έχει ως εξής ∑ u v ∈ E d ( v ) 2 2 | E | = μ + σ 2 μ {\displaystyle {\frac {\sum _{uv\in E}d(v)^{2}}{2|E|}}=\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}} ,όπου το σ 2 {\displaystyle {\sigma }^{2}} είναι η διακύμανση των βαθμών στο γράφο. Για ένα γράφο που έχει κόμβους με ποικιλία βαθμών (όπως σε ένα τυπικό κοινωνικό δίκτυο), και το μ {\displaystyle \mu } και το σ 2 {\displaystyle {\sigma }^{2}} είναι θετικά και άρα συνεπάγεται πως ο μέσος βαθμός ενός φίλου είναι αυστηρά μεγαλύτερος από τον μέσο βαθμό ενός τυχαίου κόμβου. Ένας ακόμα τρόπος να κατανοηθεί πως βγαίνει ο πρώτος τύπος είναι ως εξής. Για κάθε φιλία v-u, ο κόμβος u αναφέρει ότι ο v είναι φίλος του και ο v έχει d ( v ) {\displaystyle d(v)} φίλους. Υπάρχουν d ( v ) {\displaystyle d(v)} τέτοιοι φίλοι που το αναφέρουν αυτό. Συνεπώς προκύπτει το τετράγωνο του d ( v ) {\displaystyle d(v)} . Αυτό προστίθεται σε όλες τις φιλίες στο κοινωνικό δίκτυο και από την πλευρά του u και από του v, έτσι διαμορφώνεται ο αριθμητής. Ο παρανομαστής είναι ο αριθμός όλων των φιλιών, που μετράει το σύνολο των ακμών στο δίκτυο δύο φορές (μια από την πλευρά του u και μια από του v). Μετά από αυτή την ανάλυση, ο Φελντ συνεχίζει διατυπώνοντας κάποιες επιπλέον ποιοτικές υποθέσεις για την στατιστική συσχέτιση μεταξύ του αριθμού των φίλων που έχουν δύο φίλοι, βασισμένος σε θεωρίες των κοινωνικών δικτύων όπως η ομοφιλική μίξη (assortative mixing), και αναλύει τι σημαίνουν αυτές οι υποθέσεις για τον αριθμό των ανθρώπων των οποίων οι φίλοι έχουν περισσότερους φίλους απ' ό,τι οι ίδιοι. Βασισμένος σε αυτήν την ανάλυση, ο Φελντ συμπεραίνει ότι στα πραγματικά κοινωνικά δίκτυα οι περισσότεροι άνθρωποι είναι πιθανότερο να έχουν λιγότερους φίλους απ' ό,τι ο μέσος αριθμός των φίλων των φίλων τους. Ωστόσο, αυτό το συμπέρασμα δεν είναι μαθηματικά σίγουρο, καθώς υπάρχει ένας μη κατευθυνόμενος γράφος (όπως ένας γράφος που διαμορφώνεται από την αφαίρεση μιας ακμής από έναν μεγάλο πλήρη γράφο) που είναι μεν λίγο απίθανο να υπάρχει ως κοινωνικό δίκτυο, αλλά στην περίπτωση του οι κόμβοι έχουν ψηλότερο βαθμό από τον μέσο όρο των βαθμών των γειτόνων τους. Οι άνθρωποι με περισσότερους φίλους είναι πιθανότερο να είναι φίλοι σου έτσι κι αλλιώς. Αυτό συμβαίνει επειδή εξ ορισμού έχουν μεγαλύτερη τάση να κάνουν φίλους. Ένα ακόμα παράδειγμα που αφορά το Twitter: Τα άτομα που ακολουθεί κάποιος σχεδόν σίγουρα έχουν περισσότερους ακόλουθους απ' ό,τι ο ίδιος. Αυτό συμβαίνει επειδή οι άνθρωποι έχουν περισσότερες πιθανότητες να ακολουθούν αυτούς που είναι δημοφιλείς απ ότι αυτούς που δεν είναι. Συνεπώς, πάνω από το 98% των χρηστών υπόκεινται στο παράδοξο της φιλίας. Από την ανάλυση του παράδοξου της φιλίας συνάγεται ότι οι φίλοι τυχαίων ατόμων έχουν περισσότερες πιθανότητες να έχουν μεγαλύτερο βαθμό, δηλαδή να είναι πιο κεντρικοί. Αυτή η παρατήρηση χρησιμοποείται για την πρόβλεψη και την επιβράδυνση της εξάπλωσης επιδημιών, χρησιμοποιώντας αυτήν την τυχαία επιλογή, διαλέγουμε ορισμένα άτομα για να μετράμε την μόλυνση, αποφεύγοντας τους πολύπλοκους υπολογισμούς του βαθμού κεντρικότητας όλων των κόμβων ενός δικτύου. Μια έρευνα στην επιθεώρηση PloS One αποκάλυψε ότι αυτοί που είναι στο κέντρο του κοινωνικού τους δικτύου μπορούν να εντοπίσουν μια γρίπη περίπου δύο βδομάδες πριν από τις παραδοσιακές μεθόδους. Οι ερευνητές ανακάλυψαν ότι το να χρησιμοποιούν το παράδοξο της φιλίας για να αναλύσουν την υγεία κεντρικών φίλων (με την έννοια της κεντρικότητας στο κοινωνικό τους δίκτυο) είναι "ένας ιδανικός τρόπος να προβλέψουν τα ξεσπάσματα, αφού δεν υπάρχει λεπτομερής πληροφορία στις περισσότερες ομάδες, και το να την δημιουργήσουν θα ήταν μια χρονοβόρα και ακριβή διαδικασία".To “γενικευμένο παράδοξο της φιλίας” αναφέρει ότι το παράδοξο της φιλίας εφαρμόζεται και σε άλλα χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, αυτοί που υπογράφουν μαζί σας μια εργασία είναι κατά μέσο όρο πιθανότατα πιο γνωστοί απο εσάς, με περισσότερες δημοσιεύσειςή οι ακολούθοι στο Twitter έχουν περισσότερους ακολούθους από εσάς. Self-evaluation maintenance theory Strogatz, Steven (17 Σεπτεμβρίου 2012). «Friends You Can Count On». New York Times. http://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/17/friends-you-can-count-on/. Ανακτήθηκε στις 17 Ιανουαρίου 2013.