Πληθικός αριθμός

Στα μαθηματικά, οι πληθικοί αριθμοί , ή πληθάριθμοι για συντομία, είναι μια γενίκευση των φυσικών αριθμών που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν την πληθικότητα (μέγεθος) των συνόλων. Η πληθικότητα ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ένας φυσικός αριθμός: ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου.Οι άπειροι πληθικοί αριθμοί περιγράφουν τα μεγέθη των άπειρων συνόλων. Η πληθικότητα ορίζεται με βάση συναρτήσεις που είναι αμφιέσεις. Δύο σύνολα έχουν την ίδια πληθικότητα, αν, και μόνο αν, υπάρχει μια ένα-προς-ένα και επί αντιστοιχία (αμφίεση) μεταξύ των στοιχείων των δύο συνόλων. Στην περίπτωση των πεπερασμένων συνόλων, αυτό συμφωνεί με τη διαισθητική έννοια του μεγέθους. Στην περίπτωση άπειρων συνόλων, η συμπεριφορά είναι πιο περίπλοκη. Το θεμελιώδες θεώρημα του Georg Cantor δείχνει ότι είναι δυνατόν άπειρα σύνολα να έχουν διαφορετικές πληθικότητες, και ιδίως η πληθικότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερη από την πληθικότητα του συνόλου των φυσικών αριθμών. Είναι επίσης δυνατό ένα κατάλληλο υποσύνολο ενός απείρου συνόλου να έχει την ίδια πληθικότητα με το αρχικό σύνολο, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί με την κατάλληλα υποσύνολα των πεπερασμένων συνόλων. Υπάρχει μια άπειρη ακολουθία πληθικών αριθμών: 0 , 1 , 2 , 3 , … , n , … ; ℵ 0 , ℵ 1 , ℵ 2 , … , ℵ α , … . {\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ } Αυτή η ακολουθία αρχίζει με τους φυσικούς αριθμούς συμπεριλαμβανομένου του μηδενός (πεπερασμένοι πληθάριθμοι), τους οποίους ακολουθούν οι aleph αριθμοί (άπειροι πληθάριθμοι των καλά διατεταγμένων συνόλων). Οι aleph αριθμοί περιέχονται στους διατακτικούς αριθμούς. Υπό την παραδοχή ότι ισχύει το αξίωμα της επιλογής, αυτή η άπειρη ακολουθία περιλαμβάνει κάθε πληθικό αριθμό. Αν κάποιος απορρίψει αυτό το αξίωμα, η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη, με επιπλέον άπειρους πληθικούς αριθμούς, πέραν των alephs. Η πληθικότητα μελετάται ως μέρος της θεωρίας συνόλων. Είναι επίσης ένα εργαλείο που χρησιμοποιείται σε κλάδους των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων των θεωρία μοντέλων, συνδυαστική ανάλυση, αφηρημένη άλγεβρα, μαθηματική ανάλυση. Οι πληθικοί αριθμοί αποτελούν τον σκελετό στην θεωρία κατηγοριών.

 Η έννοια της πληθικότητας διατυπώθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor), τον δημιουργό της θεωρίας συνόλων το 1874-1884. Η πληθικότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συγκρίνουμε μια ιδιότητα των πεπερασμένων συνόλων, π. χ. τα σύνολα {1,2,3} και {4,5,6} δεν είναι ίσα, αλλά έχουν την ίδια πληθικότητα, δηλαδή τρία, (αυτό καθορίζεται από την ύπαρξη αμφίεσης, δηλαδή μιας ένα-προς-ένα και επί αντιστοιχίας μεταξύ των δύο συνόλων, π. χ.{1->4, 2->5, 3->6}). Ο Κάντορ εφάρμοσε την έννοια της αμφίεσης για άπειρα σύνολα π. χ. το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {0, 1, 2, 3, ...}. Έτσι, όλα τα σύνολα που έχουν μια αμφίεση με το N τα ονόμασε αριθμήσιμα (αριθμησίμως άπειρα) σύνολα που όλα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , aleph-0. Ο Κάντορ απέδειξε ότι οποιοδήποτε άπειρο υποσύνολο του N έχει την ίδια πληθικότητα με το N, ακόμα κι αν αυτό μπορεί να φαίνεται να λειτουργεί σε αντίθεση με τη διαίσθησή μας. Έχει επίσης αποδειχθεί ότι το σύνολο όλων διατεταγμένων ζευγών των φυσικών αριθμών είναι αριθμήσιμο, και αυτό σημαίνει ότι το σύνολο όλων των ρητών αριθμών είναι επίσης αριθμήσιμο, αφού κάθε ρητός μπορεί να αντιπροσωπευθεί από ένα ζεύγος ακεραίων. Αργότερα απέδειξε ότι το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών είναι επίσης αριθμήσιμο. Κάθε αλγεβρικός αριθμός z μπορεί να κωδικοποιηθεί ως μια πεπερασμένη ακολουθία ακεραίων, οι οποίοι είναι οι συντελεστές του πολυωνύμου, του οποίου ο z είναι λύση της εξίσωσής του, δηλαδή η διατεταγμένη n-πλειάδα (a0, a1, ..., an), a ' ∈ Z , μαζί με ένα ζευγάρι ρητών (b0, b1) τέτοιο ώστε το z να είναι η μοναδική ρίζα του πολυωνύμου με συντελεστέςa0, a1, ..., an), που βρίσκεται στο διάστημα (b0, b1). Στο έγγραφο που δημοσίευσε το 1874, On a Property of the Collection of all Real Algebraic Numbers, ο Cantor απέδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει πληθικότητα μεγαλύτερη από αυτήν του N. Η απόδειξη του χρησιμοποίησε ένα επιχείρημα με ένθετα διαστήματα, αλλά σε μια δημοσίευσή του το 1891 απέδειξε το ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας απλά, αλλά έξυπνα, το διαγώνιο επιχείρημα. Ο νέος πληθικός αριθμός του συνόλου των πραγματικών αριθμών ονομάζεται πληθικότητα του συνεχούς και ο Κάντορ χρησιμοποιεί για αυτήν το σύμβολο c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} . Ο Κάντορ ανέπτυξε ένα μεγάλο μέρος της γενικής θεωρίας των πληθικών αριθμών, απέδειξε ότι υπάρχει ένας μικρότερος άπειρος πληθικός αριθμός ( ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , aleph-null), και ότι για κάθε πληθiκό αριθμό, υπάρχει ένας μεγαλύτερoς. ( ℵ 1 , ℵ 2 , ℵ 3 , ⋯ ) . {\displaystyle (\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\cdots ).\ } Η υπόθεση του συνεχούς είναι ότι το c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} είναι το ίδιο με το ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} . Η υπόθεση αυτή έχει βρεθεί να είναι ανεξάρτητη από την τυπική αξιωματική θεωρία συνόλων, δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί ούτε να διαψευστεί από τις πρότυπες παραδοχές. Στην άτυπη χρήση, πληθικός αριθμός είναι αυτό που συνήθως αναφέρεται ως ένας αριθμός μέτρησης, με την προϋπόθεση ότι το 0 περιλαμβάνεται: 0, 1, 2, .... Μπορούν να ταυτιστούν με τους φυσικούς αριθμούς που αρχίζουν με 0. Η καταμέτρηση αριθμών είναι ακριβώς ό, τι μπορεί να οριστεί επίσημα ως πεπερασμένοι πληθικοί αριθμοί. Άπειροι πληθικοί απαντώνται μόνο σε ανώτερο επίπεδο μαθηματικών και της λογικής. Πιο τυπικά, ένας μη-μηδενικός αριθμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για δύο σκοπούς: να περιγράψει το μέγεθος ενός συνόλου, ή για να περιγράψει τη θέση ενός στοιχείου σε μια ακολουθία. Για πεπερασμένα σύνολα και ακολουθίες είναι εύκολο να δούμε ότι αυτές οι δύο έννοιες συμπίπτουν, αφού για κάθε αριθμό που περιγράφει μια θέση σε μια ακολουθία μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σύνολο που έχει ακριβώς το σωστό μέγεθος, π. χ. 3 περιγράφει τη θέση του " c "στην ακολουθία < "a", "b", "c", "d",...>, και μπορούμε να κατασκευάσουμε το σύνολο {a,b,c} που έχει 3 στοιχεία. Ωστόσο, όταν έχουμε να κάνουμε με άπειρα σύνολα είναι σημαντικό να γίνει διάκριση μεταξύ των δύο, οι δύο έννοιες είναι στην πραγματικότητα διαφορετικές για άπειρα σύνολα. Λαμβάνοντας υπόψη τη θέση οδηγούμαστε σε διατακτικούς αριθμούς, ενώ το μέγεθος είναι γενίκευση από τους πληθικούς αριθμούς που περιγράφονται εδώ. Η διαίσθηση πίσω από το επίσημο ορισμό του πληθικού είναι η κατασκευή της έννοιας του σχετικού μεγέθους ή το "πόσο μεγάλο" είναι ένα σύνολο, χωρίς αναφορά στο είδος των μελών που έχει. Για πεπερασμένα σύνολα είναι εύκολο, απλά μετράμε το πλήθος των στοιχείων που έχει ένα σύνολο. Προκειμένου να συγκριθούν τα μεγέθη των μεγαλύτερων συνόλων, είναι απαραίτητο να επικαλεστούμε πιο λεπτές έννοιες. Ένα σύνολο Y είναι τουλάχιστον τόσο μεγάλο όσο ένα σύνολο X αν υπάρχει μια αντιστοίχηση "1 προς 1" από τα στοιχεία του X στα στοιχεία του Y. Μια αντιστοίχηση "1 προς 1" προσδιορίζει κάθε στοιχείο του συνόλου X με ένα μοναδικό στοιχείο του συνόλου Y. Αυτό είναι πιο εύκολα κατανοητό με ένα παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε τα σύνολα Χ = {1,2,3} και Y = {α,β,γ,δ} και, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτή την έννοια του μεγέθους θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε ότι υπάρχει μια αντιστοίχιση: 1 → α 2 → β 3 → γ το οποίο είναι "1 προς 1", και, επομένως, να συμπεράνουμε ότι το Y έχει πληθικότητα μεγαλύτερη από ή ίση με X. Προσέξτε ότι το στοιχείο d δεν έχει κανένα στοιχείο να αντιστοιχεί σε αυτό, αλλά αυτό επιτρέπεται αφού απαιτείτε μόνο αντιστοιχία "1 προς 1" , και όχι απαραίτητα αντιστοιχία "1 προς 1" και επί . Το πλεονέκτημα αυτής της έννοιας είναι ότι μπορεί να επεκταθεί και σε άπειρα σύνολα. Στη συνέχεια μπορούμε να το επεκτείνουμε και σε μια ισοδύναμη σχέση. Δύο σύνολα X και Y έχουν την ίδια πληθικότητα , αν υπάρχει αμφίεση μεταξύ X και Y. Από τον θεώρημα Σρέντερ–Bernstein , αυτό είναι ισοδύναμο με το να υπάρχει ταυτόχρονα μία ένεση από X σε Y και μια ένεση από Y σε X. Στη συνέχεια γράφουμε |X| = |Y|. Ο πληθικός αριθμός X συχνά ορίζεται ως ο μικρότερος διατακτικός αριθμός α με |α| = |X|. Αυτό ονομάζεται ο von Neumann ανάθεση πληθικότητας και για να έχει νόημα αυτός ο αριθμός, πρέπει να αποδεικνύεται ότι κάθε σύνολο έχει την ίδια πληθικότητα όπως κάποιο διατεταγμένο, η οποία είναι η Αρχή της καλής διάταξης. Ωστόσο, είναι δυνατόν να συζητηθεί η σχετική πληθικότητα των συνόλων χωρίς ρητή αντιστοίχιση ονομάτων σε αντικείμενα. Το κλασικό παράδειγμα που χρησιμοποιείται είναι το παράδοξο του ξενοδοχείου απείρων δωματίων, που ονομάζεται επίσης Το παράδοξο του Χίλμπερτ για το Ξενοδοχείο απείρων δωματίων. Ας υποθέσουμε ότι είστε ένας ξενοδόχος στο ξενοδοχείο με έναν άπειρο αριθμό των δωματίων. Το ξενοδοχείο είναι πλήρες, και στη συνέχεια, ένας νέος επισκέπτης φτάνει. Είναι δυνατόν να βολέψει τον επιπλέον επισκέπτη ζητώντας από τον επισκέπτη, ο οποίος ήταν στο δωμάτιο 1 να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2, ο επισκέπτης στην αίθουσα 2 να μετακινηθεί στο δωμάτιο 3, και ούτω καθεξής, αφήνοντας το δωμάτιο 1 κενό. Μπορούμε ρητά να γράψουμε ένα τμήμα αυτής της αντιστοιχίας: 1 → 2 2 → 3 3 → 4 ... n → n + 1Με αυτό τον τρόπο μπορούμε να δούμε ότι το σύνολο {1,2,3,...} έχει την ίδια πληθικότητα όπως και το σύνολο {2,3,4,...} αφού έχει αποδειχθεί μία αμφίεση ανάμεσα στο πρώτο και το δεύτερο. Αυτό ορίζει ένα απειροσύνολο να είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο που έχει ένα κατάλληλο υποσύνολο της ίδιας πληθικότητας: στην περίπτωση αυτή, {2,3,4,...} είναι ένα κατάλληλο υποσύνολο του {1,2,3,...}. Όταν εξετάζουμε αυτά τα μεγάλα σύνολα, μπορεί επίσης να θέλουμε να δούμε αν η έννοια της σειράς μέτρησης συμπίπτει με αυτό της πληθικότητας που ορίζονται παραπάνω για τα άπειρα σύνολα. Αυτό δεν συμβαίνει: λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω παράδειγμα μπορούμε να δούμε ότι αν κάποιο σύνολο "ένα μεγαλύτερο από το άπειρο" υπάρχει, τότε πρέπει να έχουν την ίδια πληθικότητα όπως το άπειρο με το οποίο ξεκινήσαμε. Είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσετε μία διαφορετική επίσημη έννοια για τον αριθμό, που ονομάζεται διάταξη, με βάση τις ιδέες που μετρά και θα εξετάζει τον κάθε αριθμό με τη σειρά του, και ανακαλύπτουμε ότι οι έννοιες της πληθικότητας και διάταξης είναι αποκλίνουσες μόλις ξεφεύγουμε από τους πεπερασμένους αριθμούς. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η πληθικότητα των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερη από αυτή των φυσικών αριθμών που μόλις περιγράφηκε. Αυτό μπορεί να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor: κλασικά ερωτήματα της πληθικότητας (για παράδειγμα το υπόθεση του συνεχούς) επηρεάζονται με την ανακάλυψη του κατά πόσον υπάρχει κάποια πληθικότητα μεταξύ κάποιου ζευγαριού άλλων άπειρων πληθικοτήτων. Πιο πρόσφατα οι μαθηματικοί περιγράφουν τις ιδιότητες των όλο και μεγαλύτερων πληθικοτήτων. Δεδομένου ότι η πληθικότητα είναι κοινή έννοια στα μαθηματικά,χρησιμοποιούνται μια ποικιλία ονομάτων . Η ομοιότητα της πληθυκότητας μερικές φορές αναφέρεται ως ισοπληθικότητα. Έτσι λοιπόν δύο σύνολα με την ίδια πληθυκότητα λέγονται αντίστοιχα, ισοδύναμα, ισοπληθή.. Επισήμως, υποθέτοντας το αξίωμα της επιλογής, η πληθικότητα ενός συνόλου X είναι ο μικρότερος διατακτικός α τέτοιος ώστε να υπάρχει αμφίεση μεταξύ του X και α. Ο ορισμός αυτός είναι γνωστός ως ο von Neumann cardinal assignment. Αν δεν υποθέσουμε ότι ισχύει το αξίωμα της επιλογής, πρέπει να κάνουμε κάτι διαφορετικό. Παλαιότερα ορίζαμε την πληθυκότητα ενός συνόλου X (εμφανείς στον Cantor και αποτυπωμένος από τον Frege) είναι η κλάση [X] όλων των συνόλων που είναι ισοπληθή με το X. Αυτό δεν λειτουργεί στην θεωρία των ZFC ή σε άλλα συστήματα που σχετίζονται αξιωματική θεωρία συνόλων γιατί αν το X είναι μη-κενό, αυτή η συλλογή είναι πολύ μεγάλη για να είναι ένα σύνολο. Στην πραγματικότητα, για X ≠ ∅ , υπάρχει μια ένεση από το σύμπαν της κλάσης του [X], με αντιστοίχιση ενός συνόλου m στο {m} × X και έτσι από το αξίωμα του περιορισμού του μεγέθους, η [X] είναι μια κατάλληλη κλάση. Ο ορισμός δεν λειτουργεί ωστόσο στην θεωρία τύπων και στις New Foundations και σε σχετικά με αυτά συστήματα. Ωστόσο, εάν περιορίσουμε αυτήν την κλάση [Χ], στα στοιχεία της που είναι ισοπληθή με το Χ και που έχουν τον ελάχιστο βαθμό, τότε αυτό θα λειτουργήσει (είναι ένα τέχνασμα του Dana Scott: ),(λειτουργεί, επειδή η συλλογή των αντικειμένων με δεδομένη τάξη είναι ένα σύνολο). Επίσημα, η διάταξη μεταξύ των πληθαρίθμων ορίζεται ως εξής: |X| ≤ |Y|, σημαίνει ότι υπάρχει μια ένεση από X σε Y. Το Cantor–Bernstein–Σρέντερ θεώρημα λέει ότι αν |X| ≤ |Y| και |Y| ≤ |X|, τότε |X| = |Y|. Το αξίωμα επιλογής είναι ισοδύναμο με τον ισχυρισμό ότι, άν δίνονται δύο σύνολα X και Y, είτε |X| ≤ |Y| και |Y| ≤ |X|.Ένα σύνολο X είναι Dedekind-άπειρο , αν υπάρχει ένα κατάλληλο υποσύνολο Y του X με |X| = |Y|, και Dedekind-πεπερασμένο αν ένα τέτοιο υποσύνολο, δεν υπάρχει. Οι πεπερασμένοι πληθυκοί αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί, δηλαδή, ένα σύνολο X είναι πεπερασμένο αν και μόνο αν |X| = |n| = n , για κάποιο φυσικό αριθμό n. Οποιοδήποτε άλλο σύνολο είναι άπειρο. Υποθέτοντας το αξίωμα της επιλογής, μπορεί να αποδειχθεί ότι έννοιες του Dedekind αντιστοιχούν στα πρότυπα αυτά. Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι ο πληθάριθμος ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (aleph null ή aleph-0, όπου το άλεφ είναι το πρώτο γράμμα του εβραϊκού αλφαβήτου, που εκπροσωπείται ℵ {\displaystyle \aleph } ), του συνόλου των φυσικών αριθμών είναι ο μικρότερος άπειρος πληθάριθμος, δηλαδή ότι κάθε άπειρο σύνολο έχει υποσύνολο πληθικότητας ℵ 0 . {\displaystyle \aleph _{0}.} Ο επόμενος μεγαλύτερος πληθάριθμος συμβολίζεται με ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} και ούτω καθεξής. Για κάθε διατακτικό αριθμό α υπάρχει ένας πληθάριθμος ℵ α , {\displaystyle \aleph _{\alpha },} και αυτή η λίστα εξαντλεί όλους τους άπειρους πληθαρίθμους. Μπορούμε να ορίσουμε αριθμητικές πράξεις με πληθαρίθμους, που γενικεύουν τις συνήθεις πράξεις των φυσικών αριθμών. Μπορεί να αποδειχθεί ότι για πεπερασμένους πληθαρίθμους, οι πράξεις αυτές συμπίπτουν με τις συνήθεις πράξεις των φυσικών αριθμών. Επιπλέον, αυτές οι πράξεις μοιράζονται πολλές ιδιότητες με την συνηθισμένη αριθμητική. Αν το αξίωμα της επιλογής ισχύει, κάθε πληθάριθμος κ έχει διάδοχο κ+ > κ, και δεν υπάρχουν πληθάριθμοι μεταξύ του κ και του διαδόχου του. (Χωρίς το αξίωμα της επιλογής, χρησιμοποιώντας το Hartogs θεώρημα, μπορεί να αποδειχθεί ότι, για κάθε πληθικό αριθμό κ, υπάρχει ένας ελάχιστος πληθάριθμος κ+, έτσι ώστε κ + ≰ κ . {\displaystyle \kappa ^{+}\nleq \kappa .} ) Για πεπερασμένους πληθαρίθμους, ο διάδοχος είναι απλά ο κ + 1. Για άπειρους πληθαρίθμους, ο διάδοχος πληθάριθμος διαφέρει από τον διάδοχο διατακτικό αριθμό. Αν X και Y είναι ξένα μεταξύ τους, το απότέλεσμα της πρόσθεσης δίνεται από την ένωση των X και Y. Αν τα δύο σύνολα δεν είναι ήδη ξένα μεταξύ τους, τότε μπορούν να αντικατασταθούν από ξένα μεταξύ τους σύνολα ίδιας πληθικότητας, π. χ. αντικαταστήστε το X με X×{0} και Y με Y×{1}. | X | + | Y | = | X ∪ Y | . {\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|.} Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, κ + 0 = 0 + κ = κ. Η πρόσθεση είναι προσεταιριστική (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν). Η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική κ + μ = μ + κ. Επιπλέον είναι μη φθίνουσα και ισχύουν τα: ( κ ≤ μ ) → ( ( κ + ν ≤ μ + ν ) and ( ν + κ ≤ ν + μ ) ) . {\displaystyle (\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ and }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )).} Υποθέτοντας το αξίωμα της επιλογής, η πρόσθεση απείρων πληθικών αριθμών είναι απλή. Αν είτε ο κ ή ο μ είναι άπειρος, τότε κ + μ = max { κ , μ } . {\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.} Αφαίρεση Υποθέτοντας ότι το αξίωμα της επιλογής και, δεδομένου των πληθικών αριθμών σ και μ, υπάρχει ένας πληθικός αριθμός κ τέτοιος ώστε μ + κ = σ αν και μόνο αν μ ≤ σ. Θα είναι ο μοναδικός (και ίσος με σ), αν και μόνο αν μ < σ. Η ύψωση σε δύναμη δίνεται από | X | | Y | = | X Y | {\displaystyle |X|^{|Y|}=\left|X^{Y}\right|} όπου το X,Y είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το Y στο X. κ0 = 1 (ιδίως 00 = 1), δείτε την κενή συνάρτηση. Αν 1 ≤ μ, τότε 0μ = 0. 1μ = 1. κ1 = κ. κμ + ν = κμ·κν. κμ · ν = (κμ)ν. (κ·μ)ν = κν·μν.Ύψωση σε δύναμη είναι μη φθίνουσα και τα δύο επιχειρήματα: (1 ≤ ν και κ ≤ μ) → (νκ ≤ νμ) και (κ ≤ μ) → (κν ≤ μν).Σημειώστε ότι 2|X| είναι η πληθικότητα του δυναμοσυνόλου ενός συνόλου X και το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor , δείχνει ότι 2|X| > |X| για κάθε σύνολο X. Αυτό αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει o μεγαλύτερος πληθικός αριθμός (γιατί για κάθε πληθικό αριθμό κ, μπορούμε πάντα να βρούμε ένα μεγαλύτερο πληθικό, τον 2κ). Στην πραγματικότητα, η κλάση των πληθικών αριθμών είναι μια γνήσια κλάση. (Αυτή η απόδειξη αποτυγχάνει σε μερικά είδη θεωριών, ιδίως σε Νέες Βάσεις.) Όλες οι υπόλοιπες προτάσεις σε αυτήν την ενότητα χρειάζονται το αξίωμα της επιλογής: Αν κ και μ είναι και οι δύο πεπερασμένοι και μεγαλύτεροι από 1, και ο ν είναι άπειρος, τότε κν = μν. Αν κ είναι άπειρος και μ είναι πεπερασμένος και μη μηδενικός, τότε κμ = κ.Αν 2 ≤ k και 1 ≤ μ και τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι άπειρος, τότε: Max (κ, 2μ) ≤ κμ ≤ Max (2κ, 2μ). Χρησιμοποιώντας το θεώρημα König, μπορεί κανείς να αποδείξει κ < κcf(κ) και κ < cf(2κ) για κάθε άπειρο πληθικό αριθμό κ, όπου cf(κ) είναι το cofinality του κ. Υποθέτοντας ότι το αξίωμα της επιλογής και, δεδομένου ενός άπειρου πληθικού κ και ενός πεπερασμένου πληθικού μ μεγαλύτερου από το 0, ο πληθικός ν για τον οποίο ισχύει ν μ = κ {\displaystyle {\nu }^{\mu }={\kappa }} θα είναι κ. Υποθέτοντας ότι το αξίωμα της επιλογής και, δεδομένου ενός άπειρου πληθικού κ και ενός πεπερασμένου πληθικού μ μεγαλύτερου από 1, μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει πληθικός αριθμός λ που ικανοποιει τη σχέση μ λ = κ {\displaystyle {\mu }^{\lambda }={\kappa }} . Ωστόσο, εάν ένας τέτοιος αριθμός υπάρχει, είναι άπειρος και μικρότερος από κ, και κάθε πεπερασμένος πληθικός ν μεγαλύτερος από 1 ικανοποιεί τη σχέση ν λ = κ {\displaystyle {\nu }^{\lambda }={\kappa }} . Ο λογάριθμος ενός άπειρου πληθικού αριθμού κ ορίζεται ως ο μικρότερος πληθικός αριθμός μ τέτοιος ώστε κ ≤ 2μ. Οι λογάριθμοι των απείρων πληθικών αριθμών είναι χρήσιμοι σε μερικούς τομείς των μαθηματικών, για παράδειγμα, στη μελέτη των πληθικών μεταβλητών των τοπολογικών χώρων, παρόλο που τους λείπουν κάποιες από τις ιδιότητες που οι λογάριθμοι των θετικών πραγματικών αριθμών έχουν. Η υπόθεση του συνεχούς δηλώνει ότι δεν υπάρχουν πληθικοί αριθμοί αυστηρά μεταξύ των ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} και 2 ℵ 0 . {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}.} Ο τελευταίος πληθικός αριθμός επίσης συχνά συμβολίζεται με c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} * είναι η πληθικότητα του συνεχούς (το σύνολο των πραγματικών αριθμών). Στην περίπτωση αυτή 2 ℵ 0 = ℵ 1 . {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.} Η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς αναφέρει ότι για κάθε άπειρο σύνολο X, δεν υπάρχουν πληθικοί αυστηρά μεταξύ των | X | και 2| X |. Η υπόθεση του συνεχούς είναι ανεξάρτητη από τα συνήθη αξιώματα της θεωρίας συνόλων, τα αξιώματα των Zermelo-Fraenkel, μαζί με το αξίωμα της επιλογής .