Όριο συνάρτησης

Το όριο είναι μια έννοια που συναντάται στο πεδίο του Απειροστικού Λογισμού, με την βοήθεια του οποίου αναπτύχθηκαν και ορίστηκαν με σαφήνεια έννοιες όπως η παράγωγος και το ολοκλήρωμα.

 Έστω ότι f : A → R {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} } είναι μια συνάρτηση με A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } και x 0 {\displaystyle x_{0}} είναι ένας πραγματικός αριθμός. Η έκφραση: lim x → x 0 f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L} σημαίνει ότι το f(x) παίρνει τιμές όσο θέλουμε κοντά στο L αρκεί το x να πλησιάσει αρκετά κοντά το x0. Όταν γίνεται αυτό, λέμε ότι το όριο της f καθώς το x τείνει στο x0 είναι L. Να σημειώσουμε ότι η πιο πάνω έκφραση μπορεί να είναι αληθής ακόμα και όταν το L δεν είναι η τιμή της συνάρτησης στο x 0 {\displaystyle x_{0}} , δηλαδή f ( x 0 ) ≠ L {\displaystyle f(x_{0})\neq L} ή ακόμα και όταν το L δεν είναι τιμή της συνάρτησης για κανένα x του πεδίου ορισμού της. Επίσης η έκφραση αυτή έχει νόημα μόνο καθώς το x πλησιάζει συγκεκριμένα σημεία x0. Τα σημεία αυτά ενδέχεται να μην ανήκουν στο πεδίο ορισμού της f, δηλαδή η πιο πάνω έκφραση μπορεί να έχει νόημα και για σημεία x0 στα οποία η f δεν ορίζεται καν. (Η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x0 έχει νόημα όταν το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της). Τα επόμενα παραδείγματα ξεκαθαρίζουν κάπως την κατάσταση. Θεωρήστε την συνάρτηση f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } με τύπο: f ( x ) = x x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}} και ας δούμε πως συμπεριφέρεται καθώς το x πλησιάζει τον αριθμό 2. lim x → x 0 f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L} Καθώς το x πλησιάζει το 2, η τιμή της συνάρτησης, f(x) πλησιάζει το 0.4 και για αυτό λέμε ότι το όριο της f καθώς το x τείνει στο 2 είναι 0.4 και γράφουμε: lim x → 2 f ( x ) = 0.4 {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4} Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση f ορίζεται στο σημείο x0 = 2 και τυγχάνει το όριο της σε αυτό να είναι ίσο με την τιμή της: lim x → 2 f ( x ) = f ( 2 ) = 0.4 {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=f(2)=0.4} Θεωρείστε τη συνάρτηση f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } με τύπο: g ( x ) = { x x 2 + 1 , if x ≠ 2 0 , if x = 2 {\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if }}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{if }}x=2\end{matrix}}\right.} Το όριο της g καθώς το x πλησιάζει το 2 είναι 0.4 όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα αλλά εδώ, αν και η f ορίζεται στο σημείο x0 = 2 το όριο της στο σημείο αυτό δεν ισούται με την τιμή της: lim x → 2 g ( x ) ≠ g ( 2 ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)=0} Στα προηγούμενα δύο παραδείγματα μελετήσαμε το όριο της συνάρτησης σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της. Θεωρείστε τώρα τη συναρτηση: f : R − { 1 } → R {\displaystyle f:\mathbb {R} -\lbrace 1\rbrace \rightarrow \mathbb {R} } με τύπο: f ( x ) = x − 1 x − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}} Σε αυτή την περίπτωση η f δεν ορίζεται στο σημείο 1 αλλά καθώς το x πλησιάζει το 1 η f πλησιάζει τον αριθμό 2. Η f δεν ορίζεται στο σημείο 1 αλλά φαίνεται λογικό να πούμε ότι έχει όριο καθώς το x τείνει στο 1, τον αριθμό 2. Γράφουμε: lim x → 1 f ( x ) = 2 {\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=2} Μέχρι τώρα έχουμε χρησιμοποιήσει εκφράσεις όπως πλησιάζει, τείνει, γίνεται όσο θέλουμε κοντά οι οποίες φυσικά δεν είναι αυστηρές. Η έννοια του ορίου ορίζεται αυστηρά στην επόμενη παράγραφο. Το όριο μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της. Ένας πραγματικός αριθμός είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν υπάρχει στοιχείο του Α οσοδήποτε κοντά θέλουμε στο x0 (που να είναι διαφορετικό του x0). Ο αυστηρός ορισμό είναι ο εξής: Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0: ∃ x ∈ A {\displaystyle \exists x\in A} με x ∈ ( x 0 − δ , x 0 + δ ) {\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )} και x ≠ x 0 {\displaystyle x\neq x_{0}} Ανάλογα η έννοια του πλευρικού ορίου μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης από δεξιά ή από αριστερά του πεδίου ορισμού της. Τέλος η έννοια του ορίου στο άπειρο έχει νόημα μόνο όταν το άπειρο είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της. Ο συνήθης ορισμός του ορίου συνάρτησης σε ένα σημείο συσσώρευσης x0 του πεδίου ορισμού της, είναι ο ε - δ ορισμός και διατυπώνεται ως εξής: Έστω f : A → R {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} } μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της. Λέμε ότι το όριο της f στο x0 υπάρχει και είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν: για κάθε ε>0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) δ = δ(ε)>0 τέτοιο ώστε: ∀ x ∈ A {\displaystyle \forall x\in A} με 0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta } ισχύει | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } Αυτό σημαίνει ότι το όριο υπάρχει, αν για κάθε ε - περιοχή του L, οσοδήποτε μικρή, μέσα στην οποία κινείται το f(x), υπάρχει μια δ - περιοχή του x0 μέσα στην οποία κινείται το x. Ο συμβολισμός δ = δ(ε) σημαίνει απλώς ότι η τιμή του δ εξαρτάται από την τιμή του ε. Ένας άλλος τρόπος να ορίσουμε το ορίο συνάρτησης είναι να χρησιμοποιήσουμε την έννοια του ορίου ακολουθίας. Έστω f : A → R {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} } μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της. Λέμε ότι το όριο της f στο x0 υπάρχει και είναι ίσο με L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } , αν για οποιαδήποτε ακολουθία xn στο Α που συγκλίνει στο x0, η ακολουθία (f(x_n)) συγκλίνει στο L. lim x → x 0 f ( x ) = L ⇔ ( ∀ ( x n ) : x n → x 0 , f ( x n ) → L ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L\Leftrightarrow (\forall (x_{n}):x_{n}\rightarrow x_{0},f(x_{n})\rightarrow L)} Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, οι ακολουθίες xn, πρέπει να συγκλίνουν στο x0 και κάθε όρος τους να βρίσκεται μέσα στο πεδίο ορισμού της f, γιατί διαφορετικά, αν υπάρχει κάποιο n0 για το οποίο το xn0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, τότε δεν θα μπορεί να οριστεί το f(xn). Στη γενική περίπτωση συνάρτησης f : ( M , d M ) → ( N , d N ) {\displaystyle f:(M,d_{M})\to (N,d_{N})} μεταξύ δύο μετρικών χώρων το όριο ορίζεται ως εξής: lim x → x 0 f ( x ) = a ⟺ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a\iff \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0} τέτοιο ώστε: d M ( x , x 0 ) < δ ⇒ d N ( f ( x ) , a ) < ε {\displaystyle d_{M}(x,x_{0})<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),a)<\varepsilon } . Κατά τον ορισμό του ορίου της συνάρτησης, δεν ορίστηκε κάποιος ακριβής τρόπος με τον οποίο το x πλησιάζει το x0. Συχνά, όμως, για τον υπολογισμό ενός ορίου αυτό είναι απαραίτητο. Θεωρώντας το x και το x0 ως σημεία του άξονα των πραγματικών αριθμών, όπου το x0 είναι σταθερό, ενώ το x κινούμενο, οι δύο συνηθέστεροι τρόποι να προσεγγίσει το x το x0 είναι από αριστερά και από δεξιά. Με αυτούς τους δύο τρόπους μπορεί να υπολογιστεί και το όριο μιας συνάρτησης f(x) στο x0. Έτσι, το όριο της f στο x0, όταν το x πλησιάζει από τα δεξιά (δηλαδή, x>x0) συμβολίζεται lim x → x 0 + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)} ενώ όταν πλησιάζει από τα αριστερά (δηλαδή, x<x0) συμβολίζεται lim x → x 0 − f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)} .Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή του x0 στην πρώτη περίπτωση θα είναι (x0, x0+δ), ενώ στην δεύτερη περίπτωση θα είναι (x0-δ, x0). Τα όρια αυτά (όταν υπάρχουν), ονομάζονται πλευρικά όρια. Για να έχουν νόημα τα πλευρικά όρια στο σημείο x0 πρέπει το σημείο αυτό να είναι σημείο συσσώρευσης από αριστερά (για αριστερό πλευρικό όριο) ή από δεξιά (για δεξιό πλευρικό όριο). Αν ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά (δηλαδή έχουν νόημα και τα δύο πλευρικά όρια τότε: το όριο της f στο x0 υπάρχει και είναι ίσο με L αν και μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι ίσα με L: ( lim x → x 0 f ( x ) = L ) ↔ ( lim x → x 0 − f ( x ) = lim x → x 0 + f ( x ) ) {\displaystyle {\big (}\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L{\big )}\leftrightarrow {\big (}\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x){\big )}} Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες, καθώς μια ανεξάρτητη μεταβλητή, x, πλησιάζει ένα σημείο, η τιμή της εξαρτημένης απ'αυτήν μεταβλητής, y=f(x), αυξάνεται ή μειώνεται διαρκώς χωρίς ωστόσο να προσεγγίζει μια συγκεκριμένη τιμή. Έτσι, αν η τιμή της f(x) αυξάνεται ή μειώνεται κατ'αυτόν τον τρόπο, λέμε ότι το όριο της f στο x0 είναι το συν ή πλην άπειρο, αντίστοιχα, και αυτό συμβολίζεται με: lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty } ή lim x → x 0 f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty } .Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής: έστω f : A → R {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} } μια συνάρτηση και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της. Λέμε ότι το όριο της f στο x0 υπάρχει και είναι ίσο με + ∞ {\displaystyle +\infty } , οταν για κάθε πραγματικό αριθμό Μ υπάρχει δ=δ(Μ)>0 τέτοιος, ώστε: ∀ x ∈ A {\displaystyle \forall x\in A} με | x − x 0 | < δ {\displaystyle |x-x_{0}|<\delta } ισχύει f ( x ) > M {\displaystyle f(x)>M} Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε αριθμός και να επιλεγεί, θα υπάρχει κάποιο x στην περιοχή του x0 τέτοιο που η τιμή της συνάρτησης εκεί θα είναι μεγαλύτερη από τον θετικό αριθμό που επιλέχθηκε. Δηλαδή, δεν θα υπάρχει κάποιο φράγμα για τις τιμές της f στην περιοχή του x0 κι αυτό σημαίνει σχηματικά ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί οριζόντια λωρίδα με οσοδήποτε πλάτος ώστε να "κλείνει" (ή να φράζει) την f στην περιοχή του x0. Αντίστοιχα, λέμε ότι το όριο μια συνάρτησης f : A → R , A ⊆ R {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} ,A\subseteq \mathbb {R} } στο x0 είναι το πλην άπειρο, οταν για κάθε πραγματικό αριθμό Μ υπάρχει πραγματικός αριθμός δ=δ(Μ)>0 τέτοιος, ώστε: ∀ x ∈ A {\displaystyle \forall x\in A} με | x − x 0 | < δ {\displaystyle |x-x_{0}|<\delta } ισχύει f ( x ) < M {\displaystyle f(x)<M} Ένας ισοδύναμος ορισμός για το όριο συνάρτησης που τείνει στο − ∞ {\displaystyle -\infty } θα μπορούσε να αποδοθεί με την χρήση του ορισμού του ορίου μιας συνάρτησης που τείνει στο + ∞ {\displaystyle +\infty } (όπως γίνεται αντίστοιχα και με τον ορισμό του ορίου μιας ακολουθίας που απειρίζεται αρνητικά). Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση f(x) έχει όριο το − ∞ {\displaystyle -\infty } καθώς το x πλησιάζει στο x0, όταν το όριο της συνάρτησης -f(x) στο x0 είναι το + ∞ {\displaystyle +\infty } . Σχηματικά, όταν μια συνάρτηση f(x) τείνει στο άπειρο καθώς το x πλησιάζει σε κάποιο x0, σημαίνει ότι η καμπύλη της f στην περιοχή του x0 πλησιάζει διαρκώς την κατακόρυφη ευθεία x=x0, χωρίς όμως ποτέ να την αγγίζει. Ορισμένες φορές επιθυμούμε να δούμε πως συμπεριφέρεται μια συνάρτηση όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή μεγαλώνει απεριόριστα. Για αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει η έννοια του όριου της συνάρτησης στο άπειρο. Για παράδειγμα για τη συνάρτηση: f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } με τύπο: f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} έχουμε τα εξής: f(1) = 1 f(10) = 0.1 f(100) = 0.01 ⋮ {\displaystyle \vdots } f(100000) = 0.00001Είναι εύκολο να δούμε ότι οι τιμές της f πλησιάζουν ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς το x αυξάνεται, χωρίς όμως να το φτάνουν ή να το ξεπερνούν ποτέ. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι το όριο της f στο + ∞ {\displaystyle +\infty } είναι μηδέν. Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής: Έστω f : A → R {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} } μια συνάρτηση και έστω ότι το + ∞ {\displaystyle +\infty } είναι σημείο συσσώρευσης του Α. Λέμε ότι το όριο της f στο σημείο x0 υπάρχει και είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν: για κάθε ε>0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) δ = δ(ε)>0 τέτοιο ώστε: ∀ x ∈ A {\displaystyle \forall x\in A} με x > δ {\displaystyle x>\delta } ισχύει | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon } .Στο σχήμα δεξιά δίνεται η γραφική ερμηνεία του ορίου συνάρτησης στο άπειρο. Όταν υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο, η γραφική της παράσταση τείνει να σταθεροποιηθεί σε μια τιμή y=L, η οποία είναι το συγκεκριμένο όριο. Δηλαδή, η f πλησιάζει συνεχώς την ευθεία y=L, αλλά ποτέ δεν την "αγγίζει". Έτσι, η απόσταση μεταξύ της τιμής y=f(x) και L περιορίζεται σε μια λωρίδα ακτίνας ε, η οποία, καθώς το x προχωράει στο άπειρο, συνεχώς λεπταίνει και τείνει να μηδενιστεί. Όταν το όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο είναι το άπειρο, δηλαδή όταν lim x → ± ∞ f ( x ) = ± ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty } , τότε η συνάρτηση δεν συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό, αλλά η τιμή της συνεχώς αυξάνεται ή μειώνεται. Επομένως, δεν υπάρχει κάποια ευθεία y=L την οποία να προσεγγίζει. Έστω οι αριθμητικές συναρτήσεις f(x) και g(x) με lim x → x 0 f ( x ) = A {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\mathrm {A} } και lim x → x 0 g ( x ) = B {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mathrm {B} } . Τότε, αν και μόνο αν υπάρχουν τα όρια για τις f και g ξεχωριστά, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Το όριο του αθροίσματος (ή της διαφοράς) των f και g ισούται με το άθροισμα (ή την διαφορά) των ορίων αυτών. lim x → x 0 ( f ( x ) ± g ( x ) ) = lim x → x 0 f ( x ) ± lim x → x 0 g ( x ) = A ± B {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\pm \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mathrm {A} \pm \mathrm {B} } Το όριο του γινομένου των f και g ισούται με το γινόμενο των ορίων αυτών. lim x → x 0 ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = lim x → x 0 f ( x ) ⋅ lim x → x 0 g ( x ) = A ⋅ B {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)=\mathrm {A} \cdot \mathrm {B} } Το όριο του πηλίκου των f και g ισούται με το πηλίκο των ορίων αυτών με την προϋπόθεση ότι το όριο του παρονομαστή είναι διάφορο από το μηδέν g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\not =0} . lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) lim x → x 0 g ( x ) = A B {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim _{x\to x_{0}}f(x)}{\lim _{x\to x_{0}}g(x)}}={\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {B} }}} Το όριο της απόλυτης τιμής του f ισούται με την απόλυτη τιμή του ορίου αυτής δηλαδή: lim x → x 0 | f ( x ) | = | lim x → x 0 f ( x ) | = | A | {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}|f(x)|=|\lim _{x\to x_{0}}f(x)|=|\mathrm {A} |} Το όριο μιας δύναμης του f ισούται με την δύναμη του ορίου της f (εάν n είναι θετικός ακέραιος) δηλαδή: lim x → x 0 [ f ( x ) ] n = [ lim x → x 0 f ( x ) ] n = A n {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}[f(x)]^{n}=[\lim _{x\to x_{0}}f(x)]^{n}=\mathrm {A} ^{n}} Το όριο της ρίζας μιας θετικής συνάρτησης ισούται με την ρίζα του ορίου της συνάρτησης . lim x → x 0 [ f ( x ) n ] = lim x → x 0 f ( x ) n = A n {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}[{\sqrt[{n}]{f(x)}}]={\sqrt[{n}]{\lim _{x\to x_{0}}f(x)}}={\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}} Τέλος, ισχύει: lim x → x 0 λ f ( x ) = λ lim x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\lambda f(x)=\lambda \lim _{x\to x_{0}}f(x)} , αν λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } . Το κριτήριο παρεμβολής δίνει την δυνατότητα έμμεσου υπολογισμού του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, αν αυτό δεν μπορεί να υπολογιστεί άμεσα. Έστω τρεις πραγματικές συναρτήσεις f(x), g(x) και h(x) για τις οποίες ισχύει f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)} σε μια περιοχή του x0. Αν επιπρόσθετα ισχύει lim x → x 0 f ( x ) = lim x → x 0 h ( x ) = L ∈ R {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=L\in \mathbb {R} } ,τότε, σύμωνα με το κριτήριο παρεμβολής, προκύπτει ότι lim x → x 0 g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=L} .Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και για γνήσια ανισότητα μεταξύ των τριών συναρτήσεων. Μ'αυτόν τον τρόπο, δεν χρειάζεται να υπολογιστεί το όριο της h στο x0 κατευθείαν από τον τύπο της h, αλλά μπορεί να γίνει με τον υπολογισμό των ορίων των f και g. Βέβαια, είναι απαραίτητο οι f και g να παρεμβάλουν την h σε μια "λωρίδα" οσοδήποτε στενή, στην περιοχή του x0. Αυτό εξασφαλίζεται από το γεγονός ότι τα όρια των δύο αυτών συναρτήσεων στο x0 είναι ίσα. Παράδειγμα Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της συνάρτησης f(x) στο x0=0, όταν γνωρίζουμε ότι x 2 − 2 x < f ( x ) < x 2 + 2 x {\displaystyle x^{2}-2x<f(x)<x^{2}+2x} . Παρατηρούμε ότι, lim x → 0 ( x 2 − 2 x ) = lim x → 0 ( x 2 + 2 x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}(x^{2}-2x)=\lim _{x\to 0}(x^{2}+2x)=0} .Από τις δύο αυτές σχέσεις, προκύπτει ότι lim x → 0 f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0} .