Άρτιες συναρτήσεις

Στα μαθηματικά μία συνάρτηση λέγεται άρτια αν η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy'. Πιο συγκεκριμένα, μία συνάρτηση f : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} } με πεδίο ορισμού το D ⊆ R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} } λέγεται άρτια, αν για κάθε x {\displaystyle x} που ανήκει στο D {\displaystyle D} ισχύει ότι το − x {\displaystyle -x} ανήκει στο D {\displaystyle D} και ότι f ( − x ) = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=f(x)} .

 Η συνάρτηση του συνημιτόνου, καθώς cos ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( − x ) {\displaystyle \cos(x)=\cos(-x)} . Οι συναρτήσεις της μορφής f ( x ) = x 2 ν {\displaystyle f(x)=x^{2\nu }} για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό ν ∈ N {\displaystyle \nu \in \mathbb {N} } , καθώς f ( − x ) = ( − x ) 2 ν = ( ( − x ) 2 ) ν = ( ( x ) 2 ) ν = x 2 ν = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=(-x)^{2\nu }=((-x)^{2})^{\nu }=((x)^{2})^{\nu }=x^{2\nu }=f(x)} .:10 Η συνάρτηση της απόλυτης τιμής, f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} , καθώς f ( − x ) = | − x | = | x | = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=|-x|=|x|=f(x)} .:10 Η συνάρτηση του υπερβολικού συνημιτόνου cosh ⁡ ( x ) = 1 2 ⋅ ( e x + e − x ) {\displaystyle \cosh(x)={\tfrac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})} , καθώς cosh ⁡ ( − x ) = 1 2 ⋅ ( e − x + e x ) = cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle \cosh(-x)={\tfrac {1}{2}}\cdot (e^{-x}+e^{x})=\cosh(x)} . Η συνάρτηση g : [ − 5 , 5 ] → R {\displaystyle g:[-5,5]\to \mathbb {R} } , που ορίζεται ως εξής: g ( x ) = { 1 για x ∈ ( − 1 , 1 ) , 3 για x ∈ ( − 3 , − 1 ] ∪ [ 1 , 3 ) , 6 για x ∈ [ − 5 , − 3 ] ∪ [ 3 , 5 ] . {\displaystyle g(x)={\begin{cases}1&{\text{για }}x\in (-1,1),\\3&{\text{για }}x\in (-3,-1]\cup [1,3),\\6&{\text{για }}x\in [-5,-3]\cup [3,5].\end{cases}}} Η συνάρτηση h ( x ) = x ⋅ sin ⁡ ( x ) {\displaystyle h(x)=x\cdot \sin(x)} , ως γινόμενο περιττών συναρτήσεων. Λόγω της ιδιότητάς της, για τη μελέτη της άρτιας συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές του ενός προσήμου, για παράδειγμα για x {\displaystyle x} μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης. Το πεδίο ορισμού της άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν. Για παράδειγμα, αν το διάστημα [ 2 , 6 ) {\displaystyle [2,6)} ανήκει στο πεδίο ορισμού, τότε ανήκει και το διάστημα ( − 6 , − 2 ] {\displaystyle (-6,-2]} . Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής (δείτε το παράδειγμα της g {\displaystyle g} παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο x 0 {\displaystyle x_{0}} , τότε είναι είναι συνεχής και στο − x 0 {\displaystyle -x_{0}} . Η άρτια συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη παραγωγίσιμη (δείτε το παράδειγμα της g {\displaystyle g} παραπάνω). Αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 {\displaystyle x_{0}} , τότε είναι παραγωγίσιμη στο − x 0 {\displaystyle -x_{0}} . Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι περιττή συνάρτηση. Η μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, είναι αντίθετη σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Για παράδειγμα, αν μια άρτια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο ( − 2 , − 1 ] {\displaystyle (-2,-1]} , τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα το [ 1 , 2 ) {\displaystyle [1,2)} . Στο μηδέν, αν ορίζεται μονοτονία σε σύνολο που το περιλαμβάνει, τότε η συνάρτηση είναι μονότονη με αντίθετο είδος μονοτονίας εκατέρωθεν του μηδέν, ενώ η γραφική παράσταση παρουσιάζει ακρότατο στο μηδέν. Οι ασύμπτωτες, αν υπάρχουν, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y'y. Το σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το πεδίο των θετικών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού) και με πεδίο των αρνητικών αριθμών (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός, αν ανήκει στο πεδίο ορισμού). Κάθε τιμή τη λαμβάνει τουλάχιστον δύο φορές, άρα η άρτια συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Εξαιρείται το f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} . Αν η συνάρτηση έχει πεπερασμένο πλήθος ριζών, τότε αυτό είναι περιττό, αν f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} , διαφορετικά είναι άρτιο. Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, είναι του ίδιου είδους σε συμμετρικά ως προς το μηδέν πεδία. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή άρτια. Η άρτια συνάρτηση είναι συμμετρική με τον εαυτό της ως προς τον άξονα y'y. Οι παρακάτω συνθέσεις άρτιων και περιττών συναρτήσεων είναι άρτιες συναρτήσεις.:10 Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Το γινόμενο (ή πηλίκο) δύο περιττών συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Το άθροισμα (ή διαφορά) δύο άρτιων συναρτήσεων είναι άρτια συνάρτηση. Περιττές συναρτήσεις