Ανισότητα (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, μία ανισότητα είναι μία σχέση μεταξύ δύο τιμών οι οποίες είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Ο συμβολισμός a ≠ b σημαίνει ότι το a δεν είναι ίσο με το b.Δεν δηλώνει ότι το ένα είναι μεγαλύτερο από το άλλο, ή ότι μπορούν να συγκριθούν ως προς το μέγεθος. Αν οι τιμές στο ερώτημα είναι στοιχεία ενός διατεταγμένου συνόλου, όπως οι ακέραιοι ή οι πραγματικοί αριθμοί, τότε μπορούν να συγκριθούν ως προς το μέγεθος. Ο συμβολισμός a < b σημαίνει ότι το a είναι μικρότερο από το b. Ο συμβολισμός a > b σημαίνει ότι το a είναι μεγαλύτερο από το b.Διαφορετικά, το a δεν είναι ίσο με το b. Αυτές οι σχέσεις είναι γνωστές ως αυστηρές ανισότητες. Ο συμβολισμός a < b μπορεί να ερμηνευτεί και ως "το a είναι αυστηρά μικρότερο από το b". Σε αντίθεση με τις αυστηρές ανισότητες, υπάρχουν δύο τύποι ανισοτικών σχέσεων που δεν είναι αυστηροί: Ο συμβολισμός a ≤ b σημαίνει ότι το a είναι μικρότερο ή ίσο με το b (ή, ισοδύναμα, όχι μεγαλύτερο από το b, ή το πολύ b). Ο συμβολισμός a ≥ b σημαίνει ότι το a είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το b (ή, ισοδύναμα, όχι μικρότερο από το b, ή τουλάχιστον b).Μία επιπρόσθετη χρήση του συμβολισμού είναι να δηλώσει ότι μία ποσότητα είναι πολύ μεγαλύτερη από κάποια άλλη, κανονικά από διαφορετικές τάξεις μεγέθους. Ο συμβολισμός a ≪ b σημαίνει ότι το a είναι πολύ μικρότερο από το b. (Στη θεωρία μέτρου, ωστόσο, αυτός ο συμβολισμός χρησιμοποιείται για την απόλυτη συνέχεια, ένα άσχετο θέμα.) Ο συμβολισμός a ≫ b σημαίνει ότι το a είναι πολύ μεγαλύτερο από το b.

 Οι ανισότητες διέπονται από τις ακόλουθες ιδιότητες. Όλες αυτές οι ιδιότητες ισχύουν ακόμη και αν όλες οι μη αυστηρές ανισότητες (≤ και ≥) αντικατασταθούν από τις αντίστοιχες αυστηρές ανισότητες (< και >) και αν (στην περίπτωση εφαρμογής συνάρτησης) μονότονες συναρτήσεις αντικατασταθούν από τις αντίστοιχες αυστηρά μονότονες συναρτήσεις. Η μεταβατική ιδιότητα μιας ανισότητας δηλώνει ότι: Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a, b, c: Αν a ≥ b και b ≥ c, τότε a ≥ c. Αν a ≤ b και b ≤ c, τότε a ≤ c. Αν μία από τις υποθέσεις είναι αυστηρή ανισότητα, τότε το συμπέρασμα είναι μία αυστηρή ανισότητα. Π.χ. αν a ≥ b και b > c, τότε a > c. Μία ισότητα είναι, προφανώς, μία ειδική περίπτωση μιας μη αυστηρής ανισότητας. Π.χ. αν a = b και b > c, τότε a > c. Οι σχέσεις ≤ και ≥ είναι η μία αντίστροφη της άλλης : Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a και b: Αν a ≤ b, τότε b ≥ a. Αν a ≥ b, τότε b ≤ a. Μία συνήθης σταθερά c μπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί και στα δύο μέλη μιας ανισότητας: Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a, b, c Αν a ≤ b, τότε a + c ≤ b + c και a − c ≤ b − c. Αν a ≥ b, τότε a + c ≥ b + c και a − c ≥ b − c.δηλαδή, οι πραγματικοί αριθμοί είναι μία διατεταγμένη ομάδα με πράξη την πρόσθεση. Οι ιδιότητες που αφορούν τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση δηλώνουν ότι: Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a, b και μη μηδενικό αριθμό c: Αν το c είναι θετικό, τότε πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με το c, η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει: Αν a ≥ b και c > 0, τότε ac ≥ bc και a/c ≥ b/c. Αν a ≤ b και c > 0, τότε ac ≤ bc και a/c ≤ b/c. Αν το c είναι αρνητικό, τότε πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με το c, η φορά της ανισότητας αλλάζει: Αν a ≥ b και c < 0, τότε ac ≤ bc και a/c ≤ b/c. Αν a ≤ b και c < 0, τότε ac ≥ bc και a/c ≥ b/c.Γενικά, αυτό ισχύει για διατεταγμένες δομές, όπως αναφέρεται παρακάτω. Οι ιδιότητες του αντιθέτου (δηλ. του αντίστροφου στοιχείου με πράξη την πρόσθεση) δηλώνουν ότι: Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a και b, οι αντίθετοί τους αλλάζουν τη φορά της ανισότητας: Αν a ≤ b, τότε −a ≥ −b. Αν a ≥ b, τότε −a ≤ −b. Οι ιδιότητες του αντιστρόφου (δηλ. του αντίστροφου στοιχείου με πράξη τον πολλαπλασιασμό) δηλώνουν ότι: Για οποιουσδήποτε μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς a και b που είναι και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί: Αν a ≤ b, τότε 1/a ≥ 1/b. Αν a ≥ b, τότε 1/a ≤ 1/b. Αν ένας από τους a και b είναι θετικός και ο άλλος είναι αρνητικός, τότε: Αν a < b, τότε 1/a < 1/b. Αν a > b, τότε 1/a > 1/b.Αυτό μπορεί επίσης να γραφτεί και με τον αλυσιδωτό συμβολισμό ως εξής: Για οποιουσδήποτε μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς a και b: Αν 0 < a ≤ b, τότε 1/a ≥ 1/b > 0. Αν a ≤ b < 0, τότε 0 > 1/a ≥ 1/b. Αν a < 0 < b, τότε 1/a < 0 < 1/b. Αν 0 > a ≥ b, τότε 1/a ≤ 1/b < 0. Αν a ≥ b > 0, τότε 0 < 1/a ≤ 1/b. Αν a > 0 > b, τότε 1/a > 0 > 1/b. Κάθε αύξουσα συνάρτηση μπορεί να εφαρμοστεί και στα δύο μέλη μιας ανισότητας (με την προϋπόθεση ότι ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) διατηρώντας την φορά της. Εφαρμόζοντας όμως μία φθίνουσα συνάρτηση και στα δύο μέλη μιας ανισότητας, η φορά της ανισότητας αλλάζει. Ουσιαστικά, οι κανόνες του αντιθέτου και του αντιστρόφου για τους θετικούς αριθμούς, αποτελούν παραδείγματα εφαρμογής μιας φθίνουσας συνάρτησης. Αν η ανισότητα είναι αυστηρή (a < b, a > b) και η συνάρτηση γνησίως μονότονη, τότε η ανισότητα παραμένει αυστηρή. Αν μόνο μία από αυτές τις συνθήκες είναι αυστηρή, τότε η ανισότητα που προκύπτει δεν είναι αυστηρή. Ουσιαστικά, οι κανόνες του αντιθέτου και του αντιστρόφου αποτελούν παραδείγματα εφαρμογής μιας γνησίως φθίνουσας συνάρτησης. Για παράδειγμα, θεωρώντας την εφαρμογή του φυσικού λογαρίθμου και στα δύο μέλη μιας ανισότητας όταν a και b είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, προκύπτει: a ≤ b ⇔ ln(a) ≤ ln(b). a < b ⇔ ln(a) < ln(b).Αυτό είναι αληθές επειδή ο φυσικός λογάριθμος είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Αν (F, +, ×) είναι μία δομή και ≤ είναι μία σχέση διάταξης στο F, τότε το (F, +, ×, ≤) ονομάζεται διατεταγμένη δομή εάν και μόνον εάν: a ≤ b συνεπάγεται ότι a + c ≤ b + c. 0 ≤ a και 0 ≤ b συνεπάγεται ότι 0 ≤ a × b.Αξίζει να σημειωθεί ότι τα (Q, +, ×, ≤) και (R, +, ×, ≤) είναι διατεταγμένες δομές, αλλά ≤ δεν μπορεί να οριστεί ώστε να κάνει το (C, +, ×, ≤) διατεταγμένη δομή, επειδή το −1 είναι το τετράγωνο του i και επομένως θα ήταν θετικό. Οι μη αυστηρές ανισότητες ≤ και ≥ στους πραγματικούς αριθμούς είναι ολικές διατάξεις. Οι αυστηρές ανισότητες < και > στους πραγματικούς αριθμούς είναι αυστηρές ολικές διατάξεις. Ο συμβολισμός a < b < c σημαίνει ότι "a < b και b <c", από το οποίο, με την ιδιότητα της μεταβατικότητας που είδαμε παραπάνω, προκύπτει ότι a < c. Προφανώς, από τους παραπάνω κανόνες, μπορεί κανείς να προσθέσει/αφαιρέσει τον ίδιο αριθμό και στα τρία μέλη, ή να πολλαπλασιάσει/διαιρέσει και στα τρία μέλη τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό και να αντιστρέψει όλες τις ανισότητες, σύμφωνα με τα παραπάνω. Ως εκ τούτου, για παράδειγμα, a < b + e < c είναι ισοδύναμο με a − e < b < c − e. Ο συμβολισμός αυτός μπορεί να γενικευθεί σε οποιοδήποτε αριθμό των όρων: για παράδειγμα, a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an σημαίνει ότι ai ≤ ai+1 για i = 1, 2, ..., n − 1. Με την μεταβατικότητα η προϋπόθεση αυτή είναι ισοδύναμη με ai ≤ aj για οποιαδήποτε 1 ≤ i ≤ j ≤ n. Όταν λύνουμε ανισότητες χρησιμοποιώντας αλυσιδωτό συμβολισμό, είναι δυνατό και κάποιες φορές απαραίτητο να αξιολογούμε τους όρους ανεξάρτητα. Για παράδειγμα, για να λύσουμε την ανισότητα 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2, δεν είναι δυνατό να απομονώσουμε το x σε οποιοδήποτε μέλος της ανισότητας μέσω προσθήκης ή αφαίρεσης. Θα πρέπει οι ανισότητες να λύνονται ανεξάρτητα, αποδίδοντας x < 1/2 και x ≥ −1 αντίστοιχα, τα οποία μπορούν να συνδυαστούν στην τελική λύση −1 ≤ x < 1/2. Περιστασιακά, αλυσιδωτός συμβολισμός χρησιμοποιείται με ανισότητες σε διαφορετικές κατευθύνσεις ,στην οποία περίπτωση η έννοια είναι Λογικός συνδυασμός των ανισοτήτων ανάμεσα στους διπλανούς όρους. Για παράδειγμα, a < b = c ≤ d σημαίνει ότι a < b, b = c, και c ≤ d. Αυτός ο συμβολισμός υπάρχει σε λίγες Γλώσσες προγραμματισμού όπως Python. Δείτε επίσης: Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου Υπάρχουν πολλές ανισότητες μεταξύ των μέσων. Για παράδειγμα, για κάθε θετικό αριθμό a1, a2, …, an θα έχουμε H ≤ G ≤ A ≤ Q, όπου Η "ανισότητα ισχύος" είναι μια ανισότητα που περιέχει όρους της μορφής ab, όπου a και b είναι πραγματικοί θετικοί αριθμοί ή αλγεβρικές εκφράσεις. Συχνά εμφανίζονται σε ασκήσεις στις Μαθηματικές ολυμπιάδες. Για κάθε πραγματικό x, e x ≥ 1 + x . {\displaystyle e^{x}\geq 1+x.\,} Αν x > 0, τότε x x ≥ ( 1 e ) 1 / e . {\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{1/e}.\,} Αν x ≥ 1, τότε x x x ≥ x . {\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.\,} Αν x, y, z > 0, τότε ( x + y ) z + ( x + z ) y + ( y + z ) x > 2. {\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2.\,} Για κάθε a και b που δίνονται και είναι πραγματικοί αριθμοί, e b − e a b − a > e ( a + b ) / 2 . {\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.} Αν x, y > 0 και 0 < p < 1, τότε ( x + y ) p < x p + y p . {\displaystyle (x+y)^{p}<x^{p}+y^{p}.\,} Αν x, y, z > 0, τότε x x y y z z ≥ ( x y z ) ( x + y + z ) / 3 . {\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,} Αν a, b > 0, τότε a a + b b ≥ a b + b a . {\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.\,} Αυτή η ανισότητα λύθηκε από τον I.Ilani in JSTOR,AMM,Vol.97,No.1,1990.Αν a, b > 0, τότε a e a + b e b ≥ a e b + b e a . {\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.\,} Αυτή η ανισότητα λύθηκε από τον S.Manyama in AJMAA,Vol.7,Issue 2,No.1,2010 και από τον V.Cirtoaje in JNSA,Vol.4,Issue 2,130-137,2011.Αν a, b, c > 0, τότε a 2 a + b 2 b + c 2 c ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a . {\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.\,} Αν a, b > 0, τότε a b + b a > 1. {\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.\,} Αυτό το αποτέλεσμα γενικεύτηκε από τον R. Ozols το 2002 ο οποίος απέδειξε ότι αν a1, ..., an > 0, τότε a 1 a 2 + a 2 a 3 + ⋯ + a n a 1 > 1 {\displaystyle a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1} (το αποτέλεσμα δημοσιεύτηκε στην διάσημη- επιστημονική τριμηνιαία της Λετονίας The Starry Sky, δείτε αναφορές). Μαθηματικοί συχνά χρησιμοποιούν ανισότητες για να υπολογίσουν ποσότητες για τις οποίες δεν υπάρχουν ακριβώς τύποι και δεν μπορούν να υπολογιστούν εύκολα. Μερικές ανισότητες που χρησιμοποιούνται πολύ συχνά και έχουν ονομασίες είναι οι εξής: Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C {\displaystyle \mathbb {C} } με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι μία αλγεβρική δομή αλλά είναι αδύνατο να ορίσουμε κάποια σχέση διάταξης ≤ έτσι ώστε η δομή ( C , + , × , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )} να είναι διατεταγμένη αλγεβρική δομή. Για να κάνουμε τη ( C , + , × , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )} μία διατεταγμένη αλγεβρική δομή, θα πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες δύο ιδιότητες: αν a ≤ b τότε a + c ≤ b + c αν 0 ≤ a και 0 ≤ b τότε 0 ≤ a bΕπειδή ≤ είναι ένα σύνολο διάταξης, για κάθε αριθμό a, είτε 0 ≤ a ή a ≤ 0 (όπου η πρώτη περίπτωση παραπάνω είναι ισοδύναμη με 0 ≤ − a {\displaystyle -a} ). Σε κάθε περίπτωση 0 ≤ a2; αυτό σημαίνει ότι i 2 > 0 {\displaystyle i^{2}>0} και 1 2 > 0 {\displaystyle 1^{2}>0} ; οπότε − 1 > 0 {\displaystyle -1>0} και 1 > 0 {\displaystyle 1>0} ,το οποίο σημαίνει ( − 1 + 1 ) > 0 {\displaystyle (-1+1)>0} ; αντίφαση. Ωστόσο μια πράξη ≤ μπορεί να οριστεί έτσι ώστε να ικανοποιεί την πρώτη ιδιότητα (δηλαδή, "αν a ≤ b τότε a + c ≤ b + c"). Μερικές φορές λεξικογραφική διάταξη ορίζεται ως: a ≤ b αν R e ( a ) {\displaystyle Re(a)} < R e ( b ) {\displaystyle Re(b)} ή ( R e ( a ) = R e ( b ) {\displaystyle Re(a)=Re(b)} και I m ( a ) {\displaystyle Im(a)} ≤ I m ( b ) {\displaystyle Im(b)} )Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι γι' αυτόν τον ορισμό a ≤ b συνεπάγεται a + c ≤ b + c. Σχέσεις με ανισώσεις παρόμοιες με εκείνες που ορίζονται παραπάνω μπορεί επίσης να ορίζονται και για Διανύσματα στήλες. Αν έχουμε τα διανύσματα στήλες x , y ∈ R n {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}} (σημαίνει ότι x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T {\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)^{\mathsf {T}}} και y = ( y 1 , y 2 , … , y n ) T {\displaystyle y=\left(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\right)^{\mathsf {T}}} όπου x i {\displaystyle x_{i}} και y i {\displaystyle y_{i}} είναι πραγματικοί αριθμοί για i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} ), μπορούμε να ορίσουμε τις ακόλουθες σχέσεις. x = y {\displaystyle x=y\ } αν x i = y i {\displaystyle x_{i}=y_{i}\ } για i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} x < y {\displaystyle x<y\ } αν x i < y i {\displaystyle x_{i}<y_{i}\ } για i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} x ≤ y {\displaystyle x\leq y} αν x i ≤ y i {\displaystyle x_{i}\leq y_{i}} για i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} και x ≠ y {\displaystyle x\neq y} x ≦ y {\displaystyle x\leqq y} αν x i ≤ y i {\displaystyle x_{i}\leq y_{i}} για i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} Όμοια μπορούμε να ορίσουμε σχέσεις για x > y {\displaystyle x>y} , x ≥ y {\displaystyle x\geq y} , και x ≧ y {\displaystyle x\geqq y} . Σημειώνουμε ότι αυτός ο συμβολισμός είναι συνεπής με αυτόν που χρησιμοποιείται από τον Matthias Ehrgott στο Multicriteria Optimization (δείτε αναφορές). Η ιδιότητα της τριχοτόμησης (όπως προαναφέρθηκε) δεν ισχύει για διανυσματικές σχέσεις. Για παράδειγμα, όταν x = [ 2 , 5 ] T {\displaystyle x=\left[2,5\right]^{\mathsf {T}}} και y = [ 3 , 4 ] T {\displaystyle y=\left[3,4\right]^{\mathsf {T}}} , δεν υπάρχει έγκυρη ανισοτική σχέση ανάμεσα σε αυτά τα δύο διανύσματα. Επίσης, η σχέση του αντίστροφου του πολλαπλασιασμού μπορεί να οριστεί σε διανύσματα αφού πρώτα καθοριστούν σε έναν φορέα. Ωστόσο για το υπόλοιπο των προαναφερθεισών ιδιοτήτων υπάρχουν παράλληλες ιδιότητες για διανυσματικές ανισότητες. Για ένα γενικό σύστημα από ανισότητες πολυωνύμων, μπορεί κανείς να βρει μια προϋπόθεση για να υπάρξει μια λύση. Αρχικά, κάθε σύστημα από πολυωνιμικές ανισότητες μπορεί να αναχθεί σε ένα σύστημα με τριγωνικές ανισότητες, αυξάνοντας τον αριθμό των μεταβλητών και των εξισώσεων (για παράδειγμα θέτοντας ένα τετράγωνο μιας μεταβλητής με νέα μεταβλητή). Μια ενιαία τετραγωνική πολυωνυμική ανισότητα με n-1 μεταβλητές μπορεί να γραφτεί ως εξής: X T A X ≥ 0 {\displaystyle X^{T}AX\geq 0} όπου X είναι ένα διάνυσμα με μεταβλητές X = ( x 1 , x 2 , … , x n − 1 , 1 ) T {\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},1)^{T}} και A {\displaystyle A} είναι ένας πίνακας. Αυτότ το σύστημα έχει μια λύση, για παράδειγμα, όταν υπάρχει ένα τουλάχιστον θετικό στοιχείο στην κύρια διαγώνιο του A. Συστήματα με ανισότητες μπορούν να γραφτούν σε όρους μήτρες A, B, C, κ. τ. λ. και οι συνθήκες για την ύπαρξη των λύσεων μπορούν να γραφτούν ως πολύπλοκες εκφράσεις σε όρους αυτών των μητρών. Η λύση για δύο πολυωνυμικές ανισότητες με δύο μεταβλητές μας λένε ότι αν δύο Κωνικές τομές σε κάποιες περιοχές αλληλεπικαλύπτονται ή η μια βρίσκεται μέσα στην άλλη. Η γενική λύση δεν είναι γνωστή αλλά μια τέτοια λύση θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση θεωρητικά άλυτων προβλημάτων όπως kissing number problem. Ωστόσο, οι συνθήκες θα ήταν περίπλοκες ώστε να απαιτεί αλγορίθμους με μεγάλη χρονική πολυπλοκότητα. Ανισότητα Μάρκοφ Ανισότητα Μπερνούλι Ανισότητα Πουανκαρέ Hardy, G.· Littlewood J.E.· Pólya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8. Beckenbach, E. F.· Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2. Drachman, Byron C.· Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6. Murray S. Klamkin. «"Quickie" inequalities» (PDF). Math Strategies. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2012-03-19. https://web.archive.org/web/20120319165334/http://ua-mirror.pims.math.ca/pi/issue7/page26-29.pdf. Ανακτήθηκε στις 2015-05-21. Arthur Lohwater (1982). «Introduction to Inequalities». Online e-book in PDF format. Harold Shapiro (2005, 1972–1985). «Mathematical Problem Solving». The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan. «3rd USAMO». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Φεβρουαρίου 2008. Ανακτήθηκε στις 21 Μαΐου 2015. Pachpatte, B.G. (2005). Mathematical Inequalities. North-Holland Mathematical Library. 67 (first έκδοση). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier. ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509. MR 2147066. Zbl 1091.26008. Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8. Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5. Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Inequality», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/i050790 Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project. AoPS Wiki entry about Inequalities