Πολλαπλασιασμός

Ο πολλαπλασιασμός (συχνά συμβολίζεται με το εγκάρσιο σύμβολο "×") είναι η μαθηματική πράξη της κλιμάκωσης ενός αριθμού από έναν άλλο. Είναι μία από τις τέσσερις βασικές πράξεις στη στοιχειώδη αριθμητική (οι άλλες είναι η πρόσθεση, η αφαίρεση και η διαίρεση). Επειδή το αποτέλεσμα της κλιμάκωσης από ακέραιους αριθμούς μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα πρόσθεσης κάποιου αριθμού αντιγράφων του αρχικού, το ακέραιο γινόμενο που είναι μεγαλύτερο από 1 μπορεί να υπολογιστεί από επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Για παράδειγμα το 3 πολλαπλασιασμένο με το 4 (συχνά λέμε και "4 φορές το 3") μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας 4 αντίγραφα του 3: 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12. {\displaystyle 3\times 4=3+3+3+3=12.\!\,} Εδώ το 3 και το 4 είναι οι "παράγοντες" και το 12 είναι το "γινόμενο". Οι εκπαιδευτικοί διαφωνούν ως προς το ποιος αριθμός θα πρέπει κανονικά να θεωρηθεί ως ο αριθμός των αντιγράφων, και κατά πόσον ο πολλαπλασιασμός πρέπει ακόμη να παρουσιαστεί ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Για παράδειγμα το 3 πολλαπλασιασμένο με το 4, μπορεί επίσης να υπολογιστεί προσθέτοντας 3 αντίγραφα του 4: 3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12. {\displaystyle 3\times 4=4+4+4=12.\!\,} Ο πολλαπλασιασμός των ρητών αριθμών (κλάσματα) και των πραγματικών αριθμών ορίζεται από συστηματική γενίκευση αυτής της βασικής ιδέας. Ο πολλαπλασιασμός μπορεί επίσης να απεικονιστεί ως καταμέτρηση αντικείμενων τοποθετημένων σε ένα ορθογώνιο (για ακέραιους αριθμούς) είτε υπολογίζοντας το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, του οποίου τα μήκη έχουν δοθεί (για τους αριθμούς γενικά). Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου δεν εξαρτάται από το ποια πλευρά θα μετρηθεί πρώτη, το οποίο καταδεικνύει ότι οι ομόσημοι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται μαζί έχουν θετικό αποτέλεσμα. Σε γενικές γραμμές το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο μετρήσεων δίνει ένα αποτέλεσμα ενός νέου τύπου, ανάλογα με τις μετρήσεις. Για παράδειγμα: 2.5 μέτρα × 4.5 μέτρα = 11.25 τετραγωνικά μέτρα , {\displaystyle 2.5{\mbox{ μέτρα}}\times 4.5{\mbox{ μέτρα}}=11.25{\mbox{ τετραγωνικά μέτρα}},\!\,} 11 μέτρα ανά δευτερόλεπτο × 9 δευτερόλεπτα = 99 μέτρα . {\displaystyle 11{\mbox{ μέτρα ανά δευτερόλεπτο}}\times 9{\mbox{ δευτερόλεπτα}}=99{\mbox{ μέτρα}}.\!\,} Η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού είναι η διαίρεση. Για παράδειγμα, 4 επί 3, ισούται με 12. Στη συνέχεια, 12 δια 3 ισούται με 4. Ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με το 3 δίνει ένα γινόμενο, όταν ακολούθως γίνει διαίρεση του γινομένου με το 3, αυτή δίνει και πάλι τον αρχικό αριθμό. Ο πολλαπλασιασμός ορίζεται επίσης για άλλους τύπους αριθμών (όπως μιγαδικούς αριθμούς), και για πιο αφηρημένα κατασκευάσματα όπως οι πίνακες. Για αυτές τις πιο αφηρημένες έννοιες, η σειρά που οι τελεστές πολλαπλασιάζονται σε ορισμένες περιπτώσεις, έχει σημασία.

 Ο πολλαπλασιασμός συχνά αναφέρεται με το σύμβολο του πολλαπλασιασμού "×" μεταξύ των όρων. Το αποτέλεσμα εκφράζεται με ένα ίσον. Για παράδειγμα: 2 × 3 = 6 {\displaystyle 2\times 3=6} (προφορικά, "δύο φορές το τρία ισοδυναμεί με το έξι") 3 × 4 = 12 {\displaystyle 3\times 4=12} 2 × 3 × 5 = 6 × 5 = 30 {\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30} 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 {\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32} Υπάρχουν αρκετές άλλες κοινές παραστάσεις για τον πολλαπλασιασμό. Πολλές από αυτές έχουν ως στόχο να μειωθεί η σύγχυση μεταξύ του "×" σύμβολου του πολλαπλασιασμού και την κοινώς χρησιμοποιούμενη μεταβλητή "x": Ο πολλαπλασιασμός μερικές φορές συμβολίζεται είτε με μία μεσαία τελεία ή με μία κάτω τελεία: 5 ⋅ 2 {\displaystyle 5\cdot 2\quad } ή 5 . 2 {\displaystyle \quad 5\,.\,2} Η μεσαία τελεία είναι καθιερωμένη στις Ηνωμένες Πολιτείες, στο Ηνωμένο Βασίλειο και γενικά σε χώρες όπου η κάτω τελεία χρησιμοποιείται ως υποδιαστολή. Σε άλλες χώρες που χρησιμοποιούν το κόμμα ως υποδιαστολή, είτε η τελεία, είτε μια τελεία μεσαία, χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό. Σε διεθνές επίπεδο, η μεσαία τελεία συχνά έχει μία πιο προηγμένη ή επιστημονική χρήση.Ο αστερίσκος (όπως στο 5*2) συχνά χρησιμοποιείται στις γλώσσες προγραμματισμού επειδή υπάρχει σε κάθε πληκτρολόγιο. Αυτή η χρήση προέρχεται από την γλώσσα προγραμματισμού FORTRAN.Στην άλγεβρα, ο πολλαπλασιασμός που αφορά μεταβλητές γράφεται συχνά ως αντιπαράθεση (π.χ., xy για x επί y ή 5x για πέντε επί x). Αυτή η σημειογραφία μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τις ποσότητες που περιβάλλονται από παρενθέσεις (π.χ., 5(2) ή (5)(2) για πέντε επί δύο).Στον πολλαπλασιασμό των πινάκων, υπάρχει πράγματι μια διάκριση μεταξύ των συμβόλων του σταυρού και της τελείας. Το σύμβολο του σταυρού δηλώνει γενικά το διανυσματικό γινόμενο, ενώ η τελεία σημαίνει ένα κλιμακωτό πολλαπλασιασμό. Μία παρόμοια σύμβαση διακρίνει ανάμεσα στο εξωτερικό και το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται καλούνται γενικά "παράγοντες" ή "πολλαπλασιαστέοι". Όταν σκεφτόμαστε τον πολλαπλασιασμό ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται καλείται "πολλαπλασιαστέος", ενώ ο αριθμός των πολλαπλασίων ονομάζεται "πολλαπλασιαστής". Στην άλγεβρα, ένας αριθμός που είναι ο πολλαπλασιαστής μιας μεταβλητής ή έκφρασης (π.χ. στο 3xy2, το 3) ονομάζεται "συντελεστής". Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού ονομάζεται "γινόμενο", και αποτελεί πολλαπλάσιο του κάθε παράγοντα, εάν ο άλλος παράγοντας είναι ένας ακέραιος. Για παράδειγμα, το 15 είναι το γινόμενο του 3 με το 5, και είναι ακόμα ένα πολλαπλάσιο του 3 και ένα πολλαπλάσιο του 5. Οι κοινές μέθοδοι για τον πολλαπλασιασμό αριθμών χρησιμοποιώντας μολύβι και χαρτί απαιτούν ένα πίνακα πολλαπλασιασμού απομνημονευμένων ή υπολογισμένων γινομένων μικρών αριθμών (συνήθως κάθε δύο αριθμούς από 0-9), αλλά η μέθοδος, του αρχαίου Αιγυπτιακού πολλαπλασιαστικού αλγορίθμου, δεν τον απαιτεί. Πολλαπλασιάζοντας "με το χέρι" αριθμούς, με περισσότερα από ένα ζεύγη δεκαδικών ψηφίων, είναι κουραστικό και επιρρεπές σε λάθη. Οι κοινοί λογάριθμοι εφευρέθηκαν για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς αυτούς. Ο λογαριθμικός κανόνας επιτρέπει στους αριθμούς να πολλαπλασιάζονται ταχύτατα με ακρίβεια περίπου τριών δεκαδικών ψηφίων. Στις αρχές του 20ού αιώνα, υπολογιστικές μηχανές, όπως η Marchant Calculator, καθίστισαν ικανό τον αυτόματο πολλαπλασιασμό έως και 10 ψηφίων. Σύγχρονες ηλεκτρονικές υπολογιστικές μηχανές και αριθμομηχανές έχουν μειώσει σημαντικά την ανάγκη για τον πολλαπλασιασμό "με το χέρι". Μέθοδοι πολλαπλασιασμού καταγράφηκαν από πολλούς αρχαίους πολιτισμούς, όπως ο Αιγυπτιακός, ο Ελληνικός, ο Ινδικός και ο Κινεζικός. Το οστό Ishango, που χρονολογείται περίπου το 18.000 με 20.000 π.Χ, παραπέμπει στη γνώση του πολλαπλασιασμού κατά την Ανώτερη Παλαιολιθική εποχή στην Κεντρική Αφρική. Αιγύπτιοι Η αιγυπτιακή μέθοδος πολλαπλασιασμού των ακεραίων και των κλασμάτων, που τεκμηριώνεται στον Πάπυρο του Αχμόζη (Ahmes Papyrus), ήταν με διαδοχικές προσθήκες και διπλασιασμό. Για παράδειγμα, για να βρει το γινόμενο του 13 και 21 κάποιος έπρεπε να διπλασιάσει το 21 τρεις φορές, κάνοντας δηλαδή 1 × 21 = 21, 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 84, 8 × 21 = 168. Το πλήρες γινόμενο στη συνέχεια θα μπορούσε να βρεθεί με την προσθήκη των κατάλληλων όρων που βρέθηκαν στην αλληλουχία διπλασιασμού: 13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273. Βαβυλώνιοι Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποίησαν το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης, με τρόπο ανάλογο με το δεκαδικό σύστημα της σύγχρονης εποχής. Έτσι, ο Βαβυλώνιος πολλαπλασιασμός ήταν κατά πολύ παρόμοιος με τον σύγχρονο δεκαδικό πολλαπλασιασμό. Λόγω της σχετικής δυσκολίας του να θυμόμαστε 60 × 60 διαφορετικά γινόμενα, οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί εφήυραν τους πολλαπλασιαστικούς πίνακες. Οι πίνακες αυτοί αποτελούνταν από έναν κατάλογο των πρώτων είκοσι πολλαπλάσιων ενός ορισμένου αριθμού ν (π.χ. ν, 2ν, ..., 20ν), ακολουθούμενοι από τα πολλαπλάσιά του 10ν (π.χ. 30ν 40ν, και 50ν). Έπειτα για να υπολογίσεις οποιοδήποτε εξηνταδικό γινόμενο, π.χ. 53ν, χρειάζεται μόνο να προσθέσεις το 50ν και το 3ν που είναι υπολογισμένα στον πίνακα. Κινέζοι Στο μαθηματικό κείμενο Zhou Bi Suan Jing, που χρονολογείται πριν από το 300 π.Χ., και τα Εννέα κεφάλαια σχετικά με την Μαθηματική Τέχνη, πολλαπλασιαστικοί υπολογισμοί γράφτηκαν με λόγια, παρόλο που οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί ασχολούνταν με τον Ολοκληρωτικό λογισμό που αφορά μέρος προστιθέμενης αξίας, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Αυτός ο δεκαδικός αριθμητικός αλγόριθμος εισήχθη στις αραβικές χώρες από τον Al Khwarizmi κατά τις αρχές του 9ου αιώνα. Η σύγχρονη μέθοδος του πολλαπλασιασμού με βάση το ινδουιστικό-αραβικό σύστημα αρίθμησης περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Brahmagupta. Ο Brahmagupta έδωσε κανόνες για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Ο Henry Burchard Fine, μετέπειτα καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Πρίνσετον, έγραψε τα ακόλουθα: Οι Ινδοί είναι οι εφευρέτες όχι μόνο του μεταθετικού δεκαδικού συστήματος, αλλά και των περισσότερων διαδικασιών που αφορούν τον κύριο υπολογισμό του συστήματος. Η πρόσθεση και η αφαίρεση που εκτέλεσαν είναι παρόμοιες με αυτές που εκτελούνται στις μέρες μας. Ο πολλαπλασιασμός επηρέασε πολλούς τρόπους, μεταξύ αυτών και τον δικό μας, αλλά η διαίρεση τους ήταν πολύ περίπλοκη. Η μέθοδος του πολλαπλασιασμού δύο ν-ψηφίων αριθμών απαιτεί ν2 απλούς πολλαπλασιασμούς. Αλγόριθμοι πολλαπλασιασμού έχουν σχεδιαστεί ώστε να μειώσουν σημαντικά το χρόνο υπολογισμού κατά τον πολλαπλασιασμό μεγάλων αριθμών. Ειδικότερα για πολύ μεγάλες αριθμητικές μεθόδους στηριζόμενες στον διακριτό μετασχηματισμό Φουριέ μπορούν να μειώσουν τον αριθμό των απλών πολλαπλασιασμών με τη σειρά του ν λογ2(ν). Όταν δύο μονάδες μέτρησης πολλαπλασιάζονται η μονάδα μέτρησης του γινομένου τους είναι εξαρτώμενη από τις ίδιες τις μονάδες μέτρησης. Η γενική θεωρία δίνεται από την διαστατική ανάλυση. Η ανάλυση αυτή συνήθως εφαρμόζεται στη φυσική, αλλά έχει βρει και εφαρμογές στον τομέα των οικονομικών. Η θεωρία στην ουσία υποστηρίζει, ότι εξ ορισμού κάποιος μπορεί να προσθέσει ή να αφαιρέσει ποσότητες μόνο του ιδίου είδους, αλλά μπορεί να πολλαπλασιάσει ή να διαιρέσει ποσότητες ακόμα και διαφορετικών ειδών, παρότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι στην πραγματικότητα ένα σύνολο από προσθέσεις και αφαιρέσεις. Ένα κοινό παράδειγμα είναι ότι πολλαπλασιάζοντας την ταχύτητα με το χρόνο έχεις μία απόσταση, έτσι: 50 χιλιόμετρα ανά ώρα × 3 ώρες = 150 χιλιόμετρα. Το γινόμενο των όρων μιας ακολουθίας μπορεί να γραφτεί με το σύμβολο του γινομένου, το οποίο προέρχεται από το κεφαλαίο γράμμα Π στο ελληνικό αλφάβητο. Η έννοια αυτής της σημειογραφίας δίνεται ως: ∏ i = m n x i = x m ⋅ x m + 1 ⋅ x m + 2 ⋅ ⋯ ⋅ x n − 1 ⋅ x n . {\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.} Ο δείκτης παρουσιάζει το σύμβολο μιας ψευδομεταβλητής (i σε αυτή την περίπτωση), ο οποίος ονομάζεται «δείκτης του πολλαπλασιασμού» γράφεται μαζί με το κατώτερο όριο (m), ενώ ο εκθέτης (n) παρέχει το ανώτερο όριο. Το κατώτερο και το ανώτερο όριο είναι εκφράσεις που δηλώνουν ακέραιοι αριθμοί. Οι παράγοντες του γινομένου που λαμβάνονται με τη λήψη της μαθηματικής έκφρασης που ακολουθεί τον φορέα του γινομένου (Π), εφαρμόζοντας τις διαδοχικές ακέραιες τιμές που ακολουθούν τον δείκτη του πολλαπλασιασμού στην μαθηματική έκφραση, ξεκινώντας από το κατώτερο όριο και αυξάνοντας κατά 1 έως και το ανώτερο όριο. Έτσι, για παράδειγμα: ∏ i = 2 6 ( 1 + 1 i ) = ( 1 + 1 2 ) ⋅ ( 1 + 1 3 ) ⋅ ( 1 + 1 4 ) ⋅ ( 1 + 1 5 ) ⋅ ( 1 + 1 6 ) = 7 2 . {\displaystyle \prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.} Στην περίπτωση που m = n, το γινόμενο ισούται με την αξία του xm. Εαν m > n, το γινόμενο είναι το ίσο με το 1. Κάποιος μπορεί επίσης να εξετάσει τα γινόμενα άπειρων όρων, τα οποία ονομάζονται άπειρα γινόμενα. Για αυτό, θα αντικαταστήσουμε το n πάνω από το Π με το σύμβολο του απείρου (∞). Το γινόμενο μιας τέτοιας σειράς ορίζεται ως το όριο του γινομένου των πρώτων n όρων, καθώς το n μεγαλώνει χωρίς να δεσμεύεται. Δηλαδή, εξ ορισμού: ∏ i = m ∞ x i = lim n → ∞ ∏ i = m n x i {\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}} Κάποιος μπορεί να αντικαταστήσει ομοίως το m με το αρνητικό άπειρο (–∞), και εφόσον υπάρχουν και τα δύο όρια, έχουμε: ∏ i = − ∞ ∞ x i = ( lim m → − ∞ ∏ i = m 0 x i ) ⋅ ( lim n → ∞ ∏ i = 1 n x i ) {\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)} Για τους φυσικούς αριθμούς, τους ακέραιους αριθμούς, τα κλάσματα, τους πραγματικούς και τους μιγαδικούς αριθμούς, ο πολλαπλασιασμός έχει ορισμένες ιδιότητες: Αντιμεταθετική ιδιότητα Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζονται δύο αριθμoί δεν έχει σημασία: x ⋅ y = y ⋅ x {\displaystyle x\cdot y=y\cdot x} .Προσεταιριστική ιδιότητα Εκφράσεις που αφορούν αποκλειστικά τον πολλαπλασιασμό ή την πρόσθεση είναι αμετάβλητες σε σχέση με την σειρά των πράξεων: ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) {\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)} Επιμεριστική ιδιότητα Διατηρείται στον πολλαπλασιασμό με άθροισμα. Αυτή η ταυτότητα είναι πρωταρχικής σημασίας για την απλούστευση αλγεβρικών εκφράσεων: x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z {\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z} Ουδέτερο στοιχείο Η πολλαπλασιαστική ταυτότητα είναι 1. Οτιδήποτε πολλαπλασιάζεται με το ένα παραμένει ίδιο. Αυτό είναι γνωστό ως η ταυτοτική ιδιότητα: x ⋅ 1 = x {\displaystyle x\cdot 1=x} Απορροφητικό στοιχείο ή Μηδενικό στοιχείο Οποιοσδήποτε αριθμός που πολλαπλασιάζεται με το μηδέν γίνεται μηδέν. Αυτό είναι γνωστό ως η μηδενική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. x ⋅ 0 = 0 {\displaystyle x\cdot 0=0} Το μηδέν μερικές φορές δεν περιλαμβάνεται μεταξύ των φυσικών αριθμών.Υπάρχουν πολλές περαιτέρω ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, οι οποίες όμως δεν ικανοποιούνται από όλα τα είδη των αριθμών. Άρνηση Το μείον ένα επί οποιονδήποτε αριθμό ισούται με τον αντίθετο του εν λόγω αριθμού. ( − 1 ) ⋅ x = ( − x ) {\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)} Το μείον ένα επί το μείον ένα είναι θετικός αριθμός. ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 {\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1} Οι φυσικοί αριθμοί δεν περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς.Αντίστροφος (ως προς τον πολλαπλασιασμό) Κάθε αριθμός x, εκτός από το μηδέν, έχει και έναν αντίστροφό του αριθμό, ίσο με 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} , έτσι ώστε x ⋅ ( 1 x ) = 1 {\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1} .Διατήρηση της τάξης Ο πολλαπλασιασμός με ένα θετικό αριθμό διατηρεί την τάξη, δηλαδή την ανισότητα: εάν ισχύει a > 0 και b > c τότε ab > ac. Ο πολλαπλασιασμός με έναν αρνητικό αριθμό αντιστρέφει την τάξη, και έτσι: εάν ισχύει a < 0 και b > c τότε ab < ac. Οι μιγαδικοί αριθμοί δεν έχουν σταθερή τάξη.Άλλα μαθηματικά συστήματα, που έχουν την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού μπορεί να μην έχουν όλες αυτές τις ιδιότητες. Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι, σε γενικές γραμμές, αντιμεταθετικός για τους πίνακες και τα τετραδόνια. Στο βιβλίο Arithmetices principia, nova methodo exposita, ο Τζουζέπε Πεάνο προτείνει διάφορα αξιώματα για την αριθμητική, με βάση τα αξιώματα για τους φυσικούς αριθμούς. Η Αριθμητική Πεάνο έχει δύο αξιώματα για τον πολλαπλασιασμό: x × 0 = 0 {\displaystyle x\times 0=0} x × S ( y ) = ( x × y ) + x {\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x} Εδώ το S(y) αντιπροσωπεύει τον διάδοχο της τάξεως του y, ή τον φυσικό αριθμό που ακολουθεί τον y. Οι διάφορες ιδιότητες, όπως η συσχέτιση μπορεί να αποδειχθεί από αυτά και τα υπόλοιπα αξιώματα της αριθμητικής Πεάνο συμπεριλαμβανομένης της επαγωγής. Για παράδειγμα το S(0), που συμβολίζεται με 1, είναι μια πολλαπλασιαστική ταυτότητα επειδή: x × 1 = x × S ( 0 ) = ( x × 0 ) + x = 0 + x = x {\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x} Τα αξιώματα για τους ακεραίους συνήθως καθορίζουν τις κλάσεις ισοδυναμίας για διατεταγμένα ζεύγη φυσικών αριθμών. Το μοντέλο βασίζεται στη αντιμετώπιση του (x,y) ως ισοδύναμο με το x−y όταν x και y αντιμετωπίζονται ως ακέραιοι. Έτσι, και τα δύο (0,1) και (1,2) είναι ισοδύναμα με το −1. Το αξίωμα του πολλαπλασιασμού για ακέραιους αριθμούς που ορίζονται με αυτόν τον τρόπο είναι: ( x p , x m ) × ( y p , y m ) = ( x p × y p + x m × y m , x p × y m + x m × y p ) {\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p})} Η ιδιότητα του ότι το −1 × −1 = 1 μπορεί στη συνέχεια να συναχθεί από: ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) = ( 0 × 0 + 1 × 1 , 0 × 1 + 1 × 0 ) = ( 1 , 0 ) {\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0)} Ο πολλαπλασιασμός επεκτείνεται με παρόμοιο τρόπο στους ρητούς αριθμούς και μετά στους πραγματικούς αριθμούς. Είναι δυνατόν, αν και αρκετά δύσκολο όμως, να δημιουργήσετε ένα αναδρομικό ορισμό του πολλαπλασιασμού με τη θεωρία των συνόλων. Ένα τέτοιο σύστημα βασίζεται συνήθως στον ορισμό πολλαπλασιασμού του Πεάνο. Ο ορισμός του πολλαπλασιασμού ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση παρέχει έναν τρόπο για να καταλήξουμε σε μια συνολο-θεωρητική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού των καρδινάλιων αριθμών. Στην έκφραση: n ⋅ a = a + ⋯ + a ⏟ n , {\displaystyle \displaystyle n\cdot a=\underbrace {a+\cdots +a} _{n},} εάν πάρουμε την ξένη ένωση των n αντιγράφων του a τότε σαφώς θα πρέπει να διασπαστούν, ένας προφανής τρόπος για να γίνει αυτό είναι να χρησιμοποιήσουμε ένα a ή ένα n έτσι ώστε το ένα να είναι ενδεικτικό για το άλλο. Στη συνέχεια, τα μέλη της n ⋅ a {\displaystyle n\cdot a\,} είναι ακριβώς εκείνα του Καρτεσιανού γινομένου n × a {\displaystyle n\times a\,} . Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού όπως αυτές εφαρμόζονται στους φυσικούς αριθμούς, εφαρμόζονται αντίστοιχα και στο καρτεσιανό γινόμενο. Υπάρχουν πολλά σύνολα που, στα πλαίσια της πράξης του πολλαπλασιασμού, ικανοποιούν τα αξιώματα που καθορίζουν την δομή μιας ομάδας. Αυτά τα αξιώματα είναι: το σύνολο να είναι κλειστό ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού, η συσχέτιση, και η ύπαρξη ενός ουδέτερου στοιχείου και ενός αντίστροφου. Ένα απλό παράδειγμα είναι το σύνολο των μη μηδενικών ρητών αριθμών. Εδώ έχουμε ουδέτερο στοιχείο το 1, σε αντίθεση με τις προσθετικές ομάδες, όπου το ουδέτερο στοιχείο είναι τυπικά το 0. Σημειώστε ότι με τους ρητούς, θα πρέπει να αποκλείεται το μηδέν, επειδή, στον πολλαπλασιασμό, δεν έχει αντίστροφο: δεν υπάρχει ρητός αριθμός που μπορεί να πολλαπλασιάζεται με το μηδέν και να καταλήξει σε 1. Σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε μια αβελιανή ομάδα, αλλά αυτό δεν ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις. Για να το δούμε αυτό, ας δούμε το σύνολο των τετραγωνικών αναστρέψιμων πινάκων δοθείσας διάστασης, πάνω από ένα συγκεκριμένο πεδίο. Τώρα είναι εύκολο να εξακριβωθεί το κλείσιμο, η συσχέτιση, και η ένταξη του μοναδιαίου και του αντίστροφου. Ωστόσο, ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός και ως εκ τούτου αυτή η ομάδα δεν είναι αβελιανή. Ο πολλαπλασιασμός ακεραίων δεν είναι μια ομάδα, ακόμα και αν εξαιρέσουμε το μηδέν. Αυτό φαίνεται εύκολα από την ανυπαρξία ενός αντίστροφου για όλα τα στοιχεία πλην των 1 και -1. Ο Πολλαπλασιασμός στην θεωρία ομάδων συνήθως συμβολίζεται είτε από μια τελεία, ή με αντιπαράθεση (η παράλειψη ενός συμβόλου της πράξης μεταξύ των στοιχείων). Έτσι, πολλαπλασιάζοντας το στοιχείο a από το στοιχείο b θα μπορούσε να συμβολιστεί ως a ⋅ {\displaystyle \cdot } b ή ab. Όταν αναφερόμαστε σε μια ομάδα με την ένδειξη του συνόλου και της πράξης, τότε η τελεία χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό, π.χ., το πρώτο παράδειγμα μας θα μπορούσε να υποδεικνύεται από το ( Q ∖ { 0 } , ⋅ ) {\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot \right)} Με τους αριθμούς μπορούμε να αριθμήσουμε (3 μήλα), να διατάξουμε (το 3ο μήλο), ή να μετρήσουμε (3,5 μέτρα ύψος). Όσο η ιστορία των μαθηματικών έχει προχωρήσει από το μέτρημα στα δάχτυλά μας στην κβαντομηχανική μοντελοποίηση, ο πολλαπλασιασμός έχει γενικευτεί σε πιο πολύπλοκες και αφηρημένες μορφές των αριθμών, και σε πράγματα που δεν είναι αριθμοί (όπως οι πίνακες) ή δεν φαίνονται σαν αριθμούς (όπως τα τετραδόνια). Ακέραιοι αριθμοί N × M {\displaystyle N\times M} είναι το άθροισμα των M αντιγράφων του N όταν το N και το M είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Αυτό δίνει τον αριθμό των πραγμάτων σε ένα πίνακα N πλάτους και M ύψους. Γενίκευση σε αρνητικούς αριθμούς μπορεί να γίνει από N × ( − M ) = ( − N ) × M = − ( N × M ) {\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)} και ( − N ) × ( − M ) = N × M {\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M} . Οι ίδιοι προσημικοί κανόνες ισχύουν και για τους ρητούς και τους πραγματικούς αριθμούς.Ρητοί αριθμοί Η γενίκευση σε κλάσματα (fractions) A B × C D {\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}} προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των αριθμητών και των παρονομαστών αντίστοιχα: A B × C D = ( A × C ) ( B × D ) {\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}} . Αυτό δίνει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου A B {\displaystyle {\frac {A}{B}}} σε ύψος και C D {\displaystyle {\frac {C}{D}}} σε εύρος, και είναι το ίδιο με τον αριθμό των πραγμάτων σε ένα πίνακα όταν οι ρητοί αριθμοί τυχαίνει να είναι ακέραιοι αριθμοί.Πραγματικοί αριθμοί ( x ) ( y ) {\displaystyle (x)(y)} είναι το όριο των γινομένων των αντίστοιχων όρων σε ορισμένες ακολουθίες ρητών που συγκλίνουν προς x και y, αντίστοιχα, και είναι σημαντικό στον λογισμό. Αυτό δίνει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με x ύψος και y εύρος (βλέπε Γινόμενα ακολουθιών, ανωτέρω).Μιγαδικοί Αριθμοί Λαμβάνοντας υπόψη ως μιγαδικούς αριθμούς τους z 1 {\displaystyle z_{1}} και z 2 {\displaystyle z_{2}} σαν διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών ( a 1 , b 1 ) {\displaystyle (a_{1},b_{1})} και ( a 2 , b 2 ) {\displaystyle (a_{2},b_{2})} , το γινόμενο z 1 × z 2 {\displaystyle z_{1}\times z_{2}} είναι ( a 1 × a 2 − b 1 × b 2 , a 1 × b 2 + a 2 × b 1 ) {\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})} . Όμοια και για τους πραγματικούς αριθμούς a 1 × a 2 {\displaystyle a_{1}\times a_{2}} , όταν τα "φανταστικά" μέρη b 1 {\displaystyle b_{1}} και b 2 {\displaystyle b_{2}} είναι μηδενικά.Περαιτέρω γενικεύσεις Βλέπε παραπάνω, Πολλαπλασιασμός στην Θεωρία Ομάδων, και τις Πολλαπλασιαστικές Ομάδες, όπου για παράδειγμα, περιλαμβάνουν τον πολλαπλασιασμό των πινάκων. Μια πολύ γενική και αφηρημένη, έννοια του πολλαπλασιασμού παρουσιάζεται σαν την δυαδική λειτουργία "πολλαπλασιαστικά συμβολισμένη" σε ένα δακτύλιο. Ένα παράδειγμα ενός δακτυλίου που δεν είναι σε οποιαδήποτε από τα ανωτέρω συστήματα αριθμών είναι ένας δακτύλιος πολυώνυμο (μπορείτε να προσθέσετε και να πολλαπλασιάσετε πολυώνυμα, αλλά τα πολυώνυμα δεν είναι αριθμοί με την συνηθισμένη έννοια).Διαίρεση Συχνά η διαίρεση x y {\displaystyle {\frac {x}{y}}} , είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό επί έναν αντίστροφο x ( 1 y ) {\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)} . Ο πολλαπλασιασμός για ορισμένους τύπους αριθμών μπορεί να έχει και αντίστοιχη διαίρεση, χωρίς αντίστροφα. Ένας αριθμός με "ακέραιο μέρος" x {\displaystyle x} μπορεί να μην έχει αντίστροφο 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} , αλλά ο x y {\displaystyle {\frac {x}{y}}} μπορεί να ορίζεται. Σε ένα δακτύλιο διαίρεσης, υπάρχουν αντίστροφοι, αλλά δεν ισχύει η αντιμεταθετικότητα (δεδομένου ότι ( 1 x ) ( 1 y ) {\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)\left({\frac {1}{y}}\right)} δεν είναι το ίδιο με το ( 1 y ) ( 1 x ) {\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)\left({\frac {1}{x}}\right)} , το x y {\displaystyle {\frac {x}{y}}} μπορεί να είναι διφορούμενο). Όταν ο πολλαπλασιασμός επαναλαμβάνεται, το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως ύψωση σε δύναμη. Για παράδειγμα, το γινόμενο των τριών παραγόντων του δύο (2 × 2 × 2) είναι "το δύο υψωμένο στην τρίτη δύναμη", και συμβολίζεται με 23, "δύο με εκθέτη τρία". Σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός δύο είναι η βάση, και ο αριθμός τρια είναι ο εκθέτης. Σε γενικές γραμμές, ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές πρέπει να πολλαπλασιαστεί η βάση με τον εαυτό της, ομοίως η έκφραση: a x = a × a × ⋯ × a ⏟ x {\displaystyle a^{x}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{x}} υποδεικνύει ότι η βάση a {\displaystyle a} πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό της x {\displaystyle x} φορές. Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. Multiplication and Arithmetic Operations In Various Number Systems Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus MathStudies Blog Αλγόριθμοι Πολλαπλασιασμού (μέρος Ι και μέρος ΙΙ) Long Multiplication Calculator