Νικόμαχος ο Γερασηνός

Ο Νικόμαχος από τα Γέρασα (π. 60 μ.Χ. - π. 120) ήταν ένας από τους τελευταίους αξιόλογους φιλοσόφους του ύστερου πυθαγορισμού, αλλά κυρίως σπουδαίος μαθηματικός. Γεννήθηκε στα Γέρασα της Ρωμαϊκής επαρχίας της Συρίας (τώρα στην Ιορδανία) και έμεινε γνωστός για τα έργα του Αριθμητική Εισαγωγή και Εγχειρίδιον Αρμονικής στα Ελληνικά. Ως νεοπυθαγόριος έγραψε για τις μυστικές ιδιότητες των αριθμών.

 Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός γεννήθηκε περίπου το 60 μ.Χ στην πόλη Γέρασα της Κοίλης Συρίας, σήμερα Ιορδανίας. Συνέγραψε το "Εγχειρίδιον Αρμονικής", στο οποίο υποστήριξε ότι υπάρχει αναλογία μεταξύ αριθμών και μουσικών φθόγγων και μάλιστα, ότι οι ιδιότητες των μουσικών φθόγγων ρυθμίζονται κατά κάποιο τρόπο από αριθμούς. Σε κάποιο άλλο σημείο αναφέρει ότι η ταχύτητα με την οποία δονείται ο αέρας, καθώς επίσης και το μέγεθος της ηχητικής πηγής συνεισφέρουν στην παραγωγή του ήχου και μπορούμε με κάποιον τρόπο να τον μετρήσουμε. Αποτέλεσε έναν από τους πρώτους Αλεξανδρινούς μαθηματικούς της ρωμαϊκής περιόδου. Το έργο του Αριθμητική Εισαγωγή είναι η πληρέστερη έκθεση, που έχει διασωθεί για την πυθαγόρεια αριθμητική. Τα θέματα ενός μεγάλου τμήματος τού βιβλίου είναι ίδια με εκείνα, που είχε συμπεριλάβει ο Ευκλείδης στα αριθμητικά βιβλία των Στοιχείων του. Ο Ευκλείδης παρίστανε τους αριθμούς με ευθύγραμμα τμήματα, ενώ ο Νικόμαχος χρησιμοποιούσε αριθμητικό συμβολισμό και, όταν αναφερόταν σε ακαθόριστους αριθμούς, τότε εκφραζόταν στην τρέχουσα γλώσσα. Η πραγματεία τού Νικόμαχου για τους πολύγωνους και τους πυραμιδικούς αριθμούς άσκησε επίδραση στη μεσαιωνική αριθμητική. Έγινε γνωστός στη Δύση ιδιαίτερα από τον Βοήθιο (Boethius). Οι ιστορικοί τον θεωρούν Νεοπυθαγόρειο, βασισμένοι στην τάση του να βλέπει στους αριθμούς μυστικές ιδιότητες. Η εποχή που έζησε (περί το 100 μ.Χ.) είναι γνωστή, μόνο επειδή αναφέρει τον γραμματικό Θράσυλλο τον Μενδαίο στο Εγχειρίδιο Αρμονικής και διότι η Αριθμητική Εισαγωγή μεταφράστηκε στα Λατινικά στα μέσα του 2ου αι. από τον Απουλήιο. Το Εγχειρίδιο το αφιέρωσε σε μία ευγενή, που του ζήτησε να γράψει το βιβλίο, πράγμα που υποδηλώνει ότι ήταν αξιοσέβαστος λόγιος με περιωπή. Αναφέρει την πρόθεσή του να γράψει ένα πιο προχωρημένο βιβλίο και πως τα ταξίδια που αναλαμβάνει συχνά, τού αφήνουν λίγο χρόνο. Είναι ένα μικρό έργο στην αριθμητική. Ως Νεοπυθαγόρειος συχνά ενδιαφέρεται περισσότερο στις μυστικές ιδιότητες των αριθμών μάλλον, παρά στις μαθηματικές τους ιδιότητες. Σύμφωνα με την Ενριέττα Ο. Μιντόνικ (1965), διακρίνει μεταξύ τους πλήρως εννοιολογικού άυλου αριθμού, που τον θεωρεί ως "θεϊκό αριθμό" και των αριθμών που μετρούν τα υλικά πράγματα, του "επιστημονικού" αριθμού. Γράφει εκτενώς για αριθμούς, ειδικά για τη σημασία των πρώτων αριθμών και των τέλειων αριθμών και υποστηρίζει ότι η αριθμητική είναι οντολογικά πριν από τις άλλες μαθηματικές επιστήμες (γεωμετρία, αστρονομία, μουσική) και είναι η αιτία τους. Το έργο De Institutione Arithmetica του Βοήθιου είναι, σε ένα μεγάλο μέρος του, η λατινική μετάφραση αυτής της εργασίας. Ωστόσο η Εισαγωγή περιέχει στοιχειώδη λάθη, που δείχνουν ότι ο Νικόμαχος έχει επιλέξει να μην δίνει αποδείξεις των συμπερασμάτων του, διότι γενικά δεν έχει τέτοιες αποδείξεις. Πολλά από τα συμπεράσματά του ήταν γνωστά στον Νικόμαχο ως αληθή, καθώς εμφανίζονται με αποδείξεις στα Στοιχεία του Ευκλείδη, αν και με γεωμετρική διατύπωση. Μερικές φορές ο Νικόμαχος δηλώνει ένα συμπέρασμα που είναι ψευδές και μετά το παριστά με ένα παράδειγμα, που συμβαίνει να έχει τις ιδιότητες που περιγράφονται στο συμπέρασμα· από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μερικά αποτελέσματα είναι απλώς εικασίες βασισμένες στην επαλήθευση από ορισμένα αριθμητικά παραδείγματα. Αν και είχαν προηγηθεί οι Βαβυλώνιοι και οι Κινέζοι, ο Νικόμαχος παρέχει έναν από τους πρώτους πίνακες πολλαπλασιασμού· ο παλαιότερος ελληνικός πίνακας πολλαπλασιασμού είναι σε έναν πίνακα με κερί του 1ου π.Χ. αι., που βρίσκεται στο Βρετανικό Μουσείο. Αυτό είναι η πρώτη σημαντική πραγματεία για τη μουσική θεωρία από την εποχή του Αριστόξενου του Ταραντίνου και του Ευκλείδη. Παρέχει την παλαιότερη καταγραφή της θρυλικής έμπνευσης που είχε ο Πυθαγόρας έξω από ένα σιδηρουργείο, ότι ο τόνος καθορίζεται από μία αριθμητική αναλογία. Ο Νικόμαχος επίσης δίνει την πρώτη σχέση μεταξύ της μουσικής και της τάξης του Σύμπαντος μέσω της "μουσικής των σφαιρών". Η συζήτηση του Νικόμαχου για τη σύνδεση μεταξύ του αυτιού και της φωνής για την κατανόηση της μουσικής, ενώνει τις απόψεις του Αριστόξενου και του Πυθαγόρα, που κανονικά θεωρούνται αντίθετες. Στη μέση θεωρητικών συζητήσεων ο Νικόμαχος περιγράφει τα μουσικά όργανα της εποχής του, έτσι το έργο είναι μία πολύτιμη πηγή. Εκτός από το Εγχειρίδιο έχουν διασωθεί 10 αποσπάσματα από ένα έργο, που φαίνεται να ήταν μία πιο ουσιαστική πραγματεία περί μουσικής. Τέχνη Αριθμητική: το μεγαλύτερο έργο αριθμητικής, αναφερόμενο από τον Πατριάρχη Φώτιο. ένα μεγαλύτερο έργο μουσικής, που είχε υποσχεθεί ο Νικόμαχος και αναφέρεται σε αυτό ο Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης στα σχόλιά του στο Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου τού Αρχιμήδη. Εισαγωγή στη Γεωμετρία: αναφέρεται από τον Νικόμαχο, αν και δεν είναι σαφές αν είναι δικό του έργο. Θεολογούμενα Αριθμητικής: περί των μυστικών ιδιοτήτων των αριθμών κατά τους Πυθαγόρειους, σε δύο βιβλία, έργο που αναφέρεται από τον Φώτιο. Πυθαγόρου Βίος: αναφέρεται από τον Ιάμβλιχο και είναι η κύρια πηγή, που χρησιμοποιούν ο Πορφύριος και ο Ιάμβλιχος για τους σωζόμενους Βίους του Πυθαγόρα. μία συλλογή από Πυθαγόρεια δόγματα, έργο που αναφέρει ο Ιάμβλιχος. Περί εορτών Αιγυπτίων: αναφέρεται από τον Αθήναιο, αλλά δεν είναι σίγουρο αν πρόκειται γι' αυτόν εδώ τον Νικόμαχο. Flora R. Levin, "Nicomachus of Gerasa," Grove Music Online, visited 3 June 2007. Andrew Barker, editor, Greek Musical Writings vol 2: Harmonic and Acoustic Theory (Cambridge: Cambridge University Press, 1989), pp. 245–69. Nicomachus' "Introduction to Arithmetic" translated by Martin Luther D'ooge. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Νικόμαχος ο Γερασηνός», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Nicomachus.html . Nicomachus' Nicomachi Geraseni Pythagorei introductionis arithmeticae libri II recesuit Ricardus Hoche, Lipsiae in aedibus B. G. Teubneri, 1866. Musici scriptores graeci, Aristoteles, Euclides, Nicomachus, Bacchius, Gaudentius, Alypius et medlodiarum veterum quidquid exstat, recognovit prooemius et indice instruxit Carolus Janus, Lipsiae in aedibus B. G. Teubneri, 1895, pagg. 209-282.