Αξίωμα της επιλογής

Πρόκειται για ένα άρθρο μαθηματικής έννοιας. Για τη ζώνη που ονομάστηκε μετά απο αυτό, δείτε Αξίωμα της επιλογής (ζώνη).Στα μαθηματικά, το αξίωμα της επιλογής ή ΑC είναι ένα αξίωμα της θεωρίας συνόλων που ισοδυναμεί με την δήλωση ότι "το καρτεσιανό γινόμενο μιας συλλογής μη κενών συνόλων είναι μη κενό". Πιο συγκεκριμένα, αναφέρει ότι για κάθε δείκτη του καρτεσιανού γινομένου ( S i ) i ∈ I {\displaystyle (S_{i})_{i\in I}} μη κενών συνόλων υπάρχει μια οικογένεια ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} στοιχείων, τέτοια ώστε x i ∈ S i {\displaystyle x_{i}\in S_{i}} για κάθε i ∈ I {\displaystyle i\in I} . Το αξίωμα της επιλογής διατυπώθηκε το 1904 από τον Ernst Zermelo, προκειμένου να επισημοποιήσει την απόδειξη του θεωρήματος της καλής διάταξης.Ανεπισήμως, το αξίωμα της επιλογής λέει ότι για κάθε συγκέντρωση δοχείων, που το καθένα περιέχει τουλάχιστον ένα αντικείμενο, είναι δυνατόν να κάνεις μια επιλογή ενός αντικειμένου από κάθε δοχείο. Σε πολλές περιπτώσεις, μια τέτοια επιλογή μπορεί να γίνει χωρίς να επικαλείται το αξίωμα της επιλογής, αυτό ισχύει ιδίως στην περίπτωση που ο αριθμός των δοχείων είναι πεπερασμένος, ή αν ο κανόνας επιλογής είναι διαθέσιμος: μια ιδιαίτερη ιδιότητα που τυχαίνει είναι να κρατήσεις ένα αντικείμενο σε κάθε δοχείο. Για να δώσουμε ένα ανεπίσημο παράδειγμα, για οποιοδήποτε (ακόμα και για άπειρο) σύνολο από ζεύγη υποδημάτων, μπορεί κανείς να πάρει το αριστερό παπούτσι από κάθε ζεύγος και να κάνει μια κατάλληλη επιλογή, αλλά για ένα μη πεπερασμένο σύνολο από ζεύγη κάλτσες (υποτίθεται ότι δεν έχουν διακριτικά χαρακτηριστικά), μια τέτοια επιλογή μπορεί να επιτευχθεί μόνο με την επίκληση του αξιώματος της επιλογής. Αν και αρχικά, το αξίωμα της επιλογής τώρα χρησιμοποιείται χωρίς επιφύλαξη από τους περισσότερους μαθηματικούς, , και αυτό περιλαμβάνεται στο Zermelo-Fraenkel Θεωρίας Συνόλων μαζί με το αξίωμα της επιλογής (ZFC), το πρότυπο έντυπο της αξιωματικής Θεωρίας Συνόλων. Ένα κίνητρο για τη χρήση αυτή είναι ότι ένα πλήθος μαθηματικών αποδέχτηκαν το αποτέλεσμα, όπως το θεώρημα Tychonoff,που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής για τις αποδείξεις τους. Σύγχρονοι θεωρητικοί έχουν μελετήσει επίσης αξιώματα που δεν είναι συμβατά με το αξίωμα της επιλογής, όπως το αξίωμα της αοριστίας. Το αξίωμα της επιλογής αποφεύγεται σε ορισμένα είδη δομημένων μαθηματικών, αν και υπάρχουν είδη των δομημένων μαθηματικών στα οποία το αξίωμα της επιλογής γίνετε αποδεκτό.

 Μια συνάρτηση επιλογής είναι μια συνάρτηση f, που ορίζεται σε μιά συλλογή Χ μη κενών σύνολων, τέτοια ώστε για κάθε σύνολο S στο Χ,το f(s) είναι ένα στοιχείο του s. Με αυτήν την έννοια, το αξίωμα μπορεί να αναφέρεται: Για κάθε σύνολο X μη κενών συνόλων,οπού υπάρχει μια συνάρτηση f επιλογής που ορίζεται στο X.Ως προς την μορφή, αυτό μπορεί να εκφραστεί ως εξής: ∀ X [ ∅ ∉ X ⟹ ∃ f : X → ⋃ X ∀ A ∈ X ( f ( A ) ∈ A ) ] . {\displaystyle \forall X\left[\emptyset \notin X\implies \exists f:X\rightarrow \bigcup X\quad \forall A\in X\,(f(A)\in A)\right]\,.} Έτσι, η άρνηση του αξιώματος της επιλογής ορίζει ότι υπάρχει μια σειρά από μη κενά σύνολα που δεν έχει καμία συνάρτηση επιλογής. Κάθε συνάρτηση επιλογής σε μια συλλογή Χ των μη κενών συνόλων είναι ένα στοιχείο του Καρτεσιανού γινομένου των συνόλων στο Χ. Αυτή δεν είναι η πιο γενική κατάσταση ενός καρτεσιανού γινόμενο μιας οικογένειας συνόλων, όπου ένα ίδιο σύνολο μπορεί να εμφανίζεται περισσότερες από μία φορά, ώς παράγοντας, ωστόσο, μπορεί κανείς να επικεντρωθεί σε στοιχεία ενός τέτοιου γινομένου που επιλέγουν το ίδιο στοιχείο κάθε φορά πού ένα δοσμένο σύνολο εμφανίζεται ως παράγοντας, και τέτοια στοιχεία αντιστοιχούν σε ένα στοιχείο του καρτεσιανού γινομένου όλων των διακεκριμένων συνόλων στην οικογένεια. Το αξίωμα της επιλογής ισχυρίζεται την ύπαρξη των εν λόγω στοιχείων, επομένως είναι ισοδύναμο με: Δοσμένης κάθε οικογένειας μη κενών συνόλων,το Καρτεσιανό γινόμενο τους είναι ένα μη κενό σύνολο. Σε αυτό το άρθρο και σε άλλες συζητήσεις για το Αξίωμα της Επιλογής οι ακόλουθες συντομογραφίες είναι κοινές: AC - το αξίωμα της επιλογής. ZF - Zermelo-Fraenkel Θεωρίας Συνόλων που παραλείπει το αξίωμα της επιλογής. ZFC - Zermelo-Fraenkel Θεωρίας Συνόλων, που επεκτάθηκε για να συμπεριλάβει το αξίωμα της επιλογής. Υπάρχουν πολλές άλλες ισοδύναμες εκφράσεις του αξιώματος της επιλογής. Αυτές είναι ισοδύναμες με την έννοια ότι,η παρουσία άλλων βασικών αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων συνεπάγεται το αξίωμα της επιλογής και υπονοείται από αυτό. Μία παραλλαγή αποφεύγει τη χρήση των συναρτήσεων επιλογής, στην πράξη, αντικαθιστώντας κάθε συνάρτηση επιλογής με το φάσμα της. Λαμβάνοντας υπόψη οποιοδήποτε σύνολο X τών κατά ζεύγη ασυνεχών μη κενών συνόλων, υπάρχει τουλάχιστον ένα σύνολο C που περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο κοινό με κάθε ένα από τα σύνολα στο Χ .Αυτό εγγυάται για κάθε διχοτόμηση ενός συνόλου Χ την ύπαρξη ενός υποσυνόλου C του Χ που περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε μέρος της διχοτόμησης. Ένα άλλο ισοδύναμο αξίωμα θεωρεί μόνο συλλογές X που είναι ουσιαστικά υπερσύνολα άλλων σύνολων: Για κάθε σύνολο Α,το υπερσύνολο του Α (έχοντας αφαιρέσει το κενό σύνολο) έχει μια συνάρτηση επιλογής.Οι συγγραφείς που χρησιμοποιούν τη διατύπωση αυτή συχνά μιλούν για συνάρτησης επιλογής στο Α, αλλά να λάβετε υπόψη ότι πρόκειται για μια ελαφρώς διαφορετική έννοια της συνάρτησης επιλογής.Ο τομέας του είναι το υπερσύνολο του Α (αφαιρώντας το κενό σύνολο), και έτσι έχει νόημα για κάθε σύνολο Α, ενώ με τον ορισμό που χρησιμοποιείται αλλού σε αυτό το άρθρο, το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης επιλογής σε μια συλλογή των συνόλων είναι αυτή η συλλογή, και έτσι έχει νόημα μόνο για τα σύνολα των συνόλων. Με αυτή την εναλλακτική έννοια της συνάρτησης επιλογής, το αξίωμα της επιλογής μπορεί συμπαγώς να αναφέρεται ως Κάθε σύνολο έχει μια λειτουργία επιλογής .το οποίο είναι ισοδύναμο με Για κάθε σύνολο A υπάρχει μια συνάρτηση f τέτοια ώστε για κάθε μη κενό υποσύνολο B του A, f (Β) βρίσκεται στη Β.Η άρνηση του αξιώματος μπορεί έτσι να εκφραστεί ως: Η άρνηση του αξιώματος μπορεί έτσι να εκφραστεί ως:Υπάρχει ένα σύνολο τέτοιo ώστε για όλες τις συναρτήσεις f (για το σύνολο των μη-κενών υποσυνόλων Α), υπάρχει ένα Β τέτοιο ώστε f (Β) δεν βρίσκεται στο Β. Η διατύπωση του αξιώματος της επιλογής δεν διευκρινίζει αν η συλλογή των μη κενό συνόλων είναι πεπερασμένη ή άπειρη, και ως εκ τούτου συνεπάγεται ότι κάθε πεπερασμένη συλλογή των μη κενό συνόλων έχει μια συνάρτηση επιλογής. Ωστόσο, η συγκεκριμένη περίπτωση, είναι ένα θεώρημα του Zermelo-Fraenkel Θεωρία Συνόλων,χωρίς το αξίωμα της επιλογής (ZF), αυτό αποδεικνύεται εύκολα με μαθηματική επαγωγή. Σε ακόμα πιο απλή περίπτωση μιας συλλογής από ένα σύνολο, μια συνάρτηση επιλογής μόνο αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο,οπότε αυτή η παρουσία του αξιώματος της επιλογής λέει ότι κάθε μη κενό σύνολο έχει ένα στοιχείο, αυτό ισχύει τετριμμένα. Το αξίωμα της επιλογής μπορεί να θεωρηθεί ως επιβεβαίωση της γενίκευσης αυτού του χαρακτηριστικού,που είναι ήδη εμφανές για πεπερασμένα συλλογές, σε αυθαίρετες συλλογές. Μέχρι τα τέλη του 19ου αιώνα, το αξίωμα της επιλογής χρησιμοποιούνταν συχνά σιωπηρά, παρά το γεγονός ότι δεν είχε ακόμη επισήμως δηλωθεί. Για παράδειγμα, αφού διαπιστώθηκε ότι το σύνολο X περιέχει μόνο μη κενά σύνολα, ένας μαθηματικός θα μπορούσε να πει "ας είναι F (s) ένα μέλος του s για κάθε s στο X." Σε γενικές γραμμές, είναι αδύνατο να αποδειχθεί οτι το F υπάρχει χωρίς το αξίωμα της επιλογής, αλλά αυτό φαίνεται να είχε περάσει απαρατήρητο μέχρι τον Zermelo. Δεν είναι κάθε περίπτωση που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής. Για πεπερασμένα σύνολα X, το αξίωμα της επιλογής προκύπτει από τα υπόλοιπα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Στην περίπτωση αυτή, είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι αν έχουμε πολλά (έναν πεπερασμένο αριθμό) κουτιών,που το καθένα περιέχει τουλάχιστον ένα αντικείμενο, τότε μπορούμε να επιλέξουμε ακριβώς ένα αντικείμενο από κάθε κουτί. Είναι σαφές ότι μπορούμε να το κάνουμε αυτό: Ξεκινάμε από το πρώτο κουτί επιλέγουμε ένα αντικείμενο,πηγαίνουμε στο δεύτερο κουτί, επιλέγουμε ένα αντικείμενο,και ούτω καθεξής. Ο αριθμός των κιβωτίων είναι πεπερασμένος, έτσι ώστε τελικά η διαδικασία επιλογής μας κάποτε έρχεται στο τέλος της. Το αποτέλεσμα είναι μια ρητή συνάρτηση επιλογής: μια συνάρτηση που παίρνει το πρώτο κουτί στο πρώτο αντικείμενο που επιλέξαμε, το δεύτερο κουτί στο δεύτερο αντικείμενο που επιλέξαμε, και ούτω καθεξής. (Μια επίσημη απόδειξη για όλα τα πεπερασμένα σύνολα θα χρησιμοποιούσε την αρχή της μαθηματικής επαγωγής για να αποδείξει "για κάθε φυσικό αριθμό k, κάθε οικογένεια των k μη κενό συνόλων διαθέτει μια συνάρτηση επιλογής.") Αυτή η μέθοδος δεν μπορεί, ωστόσο, να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι κάθε μετρήσιμη οικογένεια μη κενών συνόλων έχει μια συνάρτηση επιλογής, όπως διαπιστώνεται από το αξίωμα της μετρήσιμης επιλογής. Αν η μέθοδος εφαρμοστεί σε μία άπειρη ακολουθία (Xi: i ω ∈) μη κενών συνόλων, μια συνάρτηση επιτυγχάνεται σε κάθε πεπερασμένο στάδιο, αλλά δεν υπάρχει στάδιο κατά το οποίο μια συνάρτηση επιλογής είναι κατασκευασμένη για όλη την οικογένεια, και καμμία "οριακή" συνάρτηση επιλογής μπορεί να κατασκευαστεί, σε γενικές γραμμές, στο ZF χωρίς το αξίωμα της επιλογής. Η φύση των μεμονωμένων μη κενών συνόλων στη συλλογή μπορεί να καταστήσει δυνατό να αποφευχθεί το αξίωμα της επιλογής ακόμα και για ορισμένες άπειρες συλλογές. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι κάθε μέλος της συλλογής Χ είναι ένα μη κενό υποσύνολο των φυσικών αριθμών. Κάθε τέτοιο υποσύνολο έχει ένα ελάχιστο στοιχείο,οπότε για να καθορίσουμε τη συνάρτηση επιλογής μας, μπορούμε απλά να πούμε ότι απεικονίζει κάθε σύνολο στο ελάχιστο στοιχείο αυτού του συνόλου. Αυτό μας δίνει μια σαφή επιλογή ενός στοιχείου από κάθε σύνολο, και καθιστά περιττή την εφαρμογή του αξιώματος της επιλογής. Η δυσκολία εμφανίζεται όταν δεν υπάρχει φυσική επιλογή των στοιχείων από κάθε σύνολο. Αν δεν μπορούμε να κάνουμε σαφείς επιλογές, πώς ξέρουμε ότι το σύνολο μας υπάρχει; Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το Χ είναι το σύνολο όλων των μη κενών υποσυνόλων των πραγματικών αριθμών. Πρώτα θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να προχωρήσουμε σαν το X να ήταν πεπερασμένο. Αν προσπαθήσουμε να επιλέξουμε ένα στοιχείο από κάθε σύνολο, τότε, επειδή το Χ είναι άπειρο,η διαδικασία επιλογή μας δεν θα έρθει ποτέ στο τέλος της, και, κατά συνέπεια, δεν θα είμαστε ποτέ σε θέση να παράγουμε μια συνάρτηση επιλογής για όλο το X. Στη συνέχεια θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το ελάχιστο στοιχείο από κάθε σύνολο. Αλλά κάποια υποσύνολα των πραγματικών αριθμών δεν έχουν ελάχιστα στοιχεία. Για παράδειγμα, το ανοικτό διάστημα (0,1) δεν έχει ελάχιστο στοιχείο: εάν το χ είναι στην (0,1), τότε είναι x / 2, και το χ / 2 είναι πάντοτε αυστηρά μικρότερη από x. Έτσι, αυτή η προσπάθεια αποτυγχάνει, επίσης. Επιπλέον, σκεφτείτε, για παράδειγμα, ο μοναδιαίος κύκλος S, και η δράση στον S από μια ομάδα G που αποτελείται από όλες τις ορθολογικές περιστροφές. Δηλαδή, αυτές είναι περιστροφές από τις γωνίες που είναι ορθολογικά πολλαπλάσια του π. Εδώ το G είναι μετρήσιμο, ενώ το S είναι μη μετρήσιμο. Ως εκ τούτου,το S σπάει σε πολλές τροχιές του G.Χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής, θα μπορούσαμε να διαλέξουμε ένα σημείο από κάθε τροχιά,αποκτώντας ένα μη μετρήσιμο X υποσύνολο του S με την ιδιότητα ότι όλες οι κατατμήσεις του από G είναι ασύνδετες από X. Το σύνολο αυτών των κατατμήσεων διαιρεί τον κύκλο σε μια αριθμήσιμη συλλογή από ασυνεχή σύνολα, τα οποία είναι όλα ανάλογα ζεύγη. Δεδομένου ότι το Χ δεν είναι μετρήσιμο για κάθε αναλλοίωτη περιστροφή μετρήσιμα πρόσθετο πεπερασμένο μέτρο για S, βρίσκοντας έναν αλγόριθμο για να επιλέξουμε ένα σημείο σε κάθε τροχιά απαιτεί το αξίωμα της επιλογής. Δείτε μη μετρήσιμα σύνολα για περισσότερες λεπτομέρειες. Ο λόγος που είμαστε σε θέση να επιλέξουμε ελάχιστα στοιχεία από υποσύνολα των φυσικών αριθμών είναι το γεγονός ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι καλά διατεταγμένοι: κάθε μη κενό υποσύνολο των φυσικών αριθμών έχει ένα μοναδικό ελάχιστο στοιχείο κάτω από την φυσική διάταξη. Θα μπορούσε κανείς να πει, "Ακόμα κι αν η συνήθης διάταξη των πραγματικών αριθμών δεν λειτουργεί, μπορεί να είναι δυνατό να βρούμε μια διαφορετική διάταξη των πραγματικών αριθμών που είναι μια καλή διάταξη. Στη συνέχεια, η συνάρτηση επιλογής μας μπορεί να επιλέξει το ελάχιστο στοιχείο του κάθε συνόλου κάτω από την ασυνήθιστη διάταξη μας. "Το πρόβλημα γίνεται στη συνέχεια η οικοδόμηση ενός καλά διατεταγμένου, η οποία αποδεικνύεται ότι απαιτεί το αξίωμα της επιλογής για την ύπαρξή της, κάθε σύνολο μπορεί να είναι καλά διατεταγμένο , αν και μόνο αν το αξίωμα της επιλογής ισχύει. Μια απόδειξη που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής μπορεί να αποδείξει την ύπαρξη ενός αντικειμένου, χωρίς σαφή οριοθέτηση του αντικειμένου στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων. Για παράδειγμα, ενώ το αξίωμα της επιλογής συνεπάγεται ότι υπάρχει μια καλή διάταξη των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν μοντέλα της θεωρίας συνόλων με το αξίωμα της επιλογής στο οποίο δεν υπάρχει καλά-διατεταγμένο της πραγματικής ευθείας σύνολο που να είναι προσδιορίσιμο. Ομοίως, αν ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο μπορεί να αποδειχθεί πως υπάρχει με το αξίωμα της επιλογής, είναι συνεπής ότι δεν υπάρχει τέτοιο σύνολο που να είναι προσδιορίσιμο. Το αξίωμα της επιλογής παράγει αυτά τα άυλα στοιχεία (αντικείμενα που έχουν αποδειχθεί για να υπάρξει, αλλά η οποία δεν μπορεί να κατασκευαστεί ρητά), η οποία μπορεί να συγκρούονται με κάποιες φιλοσοφικές αρχές. Επειδή δεν υπάρχει κανονική καλή διάταξη όλων των συνόλων, μια κατασκευή που βασίζεται σε ένα καλά-διατεταγμένων που δεν μπορεί να παράγει ένα κανονικό αποτέλεσμα, ακόμη και αν ένα κανονικό αποτέλεσμα είναι επιθυμητό (όπως είναι συχνά η περίπτωση στη θεωρία κατηγορία). Αυτό έχει χρησιμοποιηθεί ως επιχείρημα κατά του χρήση του αξιώματος της επιλογής. Ένα άλλο επιχείρημα κατά το αξίωμα της επιλογής είναι ότι προϋποθέτει την ύπαρξη αντιφατικών αντικειμένων. Ένα παράδειγμα είναι το παράδοξο των Μπάναχ και Τάρσκι που λέει ότι είναι δυνατόν να αποσυντεθούν ("carve up"), 3-διάστατα στερεά μοναδιαίας σφαίρας σε πολλά κομμάτια και, χρησιμοποιώντας μόνο περιστροφές και τις μετακινήσεις, συναρμολογώντας τα κομμάτια σε δύο στερεές μπάλες κάθε μία με τον ίδιο όγκο με το πρωτότυπο. Τα κομμάτια σε αυτή την αποσύνθεση, κατασκευάστηκαν χρησιμοποιώντας το αξίωμα της επιλογής, είναι μη μετρήσιμα συνόλων. Παρά αυτά τα γεγονότα, οι περισσότεροι μαθηματικοί αποδέχονται το αξίωμα της επιλογής ως έγκυρη αρχή για την απόδειξη νέων αποτελεσμάτων στα μαθηματικά. Η συζήτηση είναι αρκετά ενδιαφέρον, ωστόσο, θεωρείται από σημείωση ότι όταν ένα θεώρημα στο ZFC (ZF συν AC) είναι λογικά ισοδύναμο (μαζί με τα αξιώματα ZF) προς το αξίωμα της επιλογής, και οι μαθηματικοί αναζητούν αποτελέσματα που απαιτούν το αξίωμα της επιλογής να είναι ψευδής, αν αυτό το είδος της επαγωγής είναι λιγότερο συνεχές από ό τον τύπο που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής για να είναι αληθινό. Είναι δυνατό να αποδείξουμε πολλά θεωρήματα χρησιμοποιώντας είτε το αξίωμα επιλογής, είτε την άρνηση του, τέτοιες καταστάσεις είναι αληθές σε κάθε μοντέλο της Zermelo-Fraenkel Θεωρίας Συνόλων (ZF), ανεξάρτητα από την αλήθεια ή την αναλήθεια του αξιώματος της επιλογής του σε αυτό το συγκεκριμένο μοντέλο . Ο περιορισμός για την ZF καθιστά οποιαδήποτε αξίωση που βασίζεται είτε στο αξίωμα της επιλογής είτε της άρνησής της να ειναι αναπόδεικτό. Για παράδειγμα, το παράδοξο του Banach-Tarski δεν είναι ούτε αποδείξιμο ούτε μη αποδείξιμο από το ZF: είναι αδύνατο να κατασκευαστεί η απαιτούμενη αποσύνθεση της μοναδιαίας μπάλας στην ZF, αλλά και αδύνατο να αποδειχθεί οτι δεν υπάρχει τέτοια αποσύνθεση. Ομοίως, όλες οι δηλώσεις που αναφέρονται παρακάτω, τα οποία απαιτούν την επιλογή της ή κάποια ασθενέστερη εκδοχή της για την απόδειξη τους είναι αναπόδεικτες στο ZF, αλλά δεδομένου ότι το καθένα είναι αποδείξιμο στο ZF συν το αξίωμα της επιλογής, υπάρχουν μοντέλα της ZF στο οποίο κάθε κατάσταση είναι αληθινή. Καταστάσεις όπως το παράδοξο του Banach-Tarski μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως υπό όρους καταστάσεις, για παράδειγμα, «Αν AC κατέχει, η αποσύνθεση του παράδοξου Banach-Tarski υπάρχει." Τέτοιες δηλώσεις υπό όρους είναι αποδείξιμες στο ZF, όταν οι αρχικές δηλώσεις είναι αποδείξιμες από ZF και του αξίωμα της επιλογής. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στο ZFC, το αξίωμα της επιλογής είναι σε θέση να παρέχει μη δομημένες αποδείξεις στην οποία η ύπαρξη ενός αντικειμένου αποδεικνύεται, αν και κανένα παράδειγμα δεν είναι κατασκευασμένο. ZFC, ωστόσο, εξακολουθεί να επισημοποιεί στην κλασική λογική. Το αξίωμα της επιλογής έχει επίσης μελετηθεί λεπτομερώς στο πλαίσιο των δομημένων μαθηματικών, όπου η μη-κλασσική λογική χρησιμοποιείται. Η κατάσταση του αξιώματος της επιλογής ποικίλλει μεταξύ των διαφόρων ποικιλιών των δομημένων μαθηματικών. Στο Martin-Löf θεώρημα και η ανώτερης τάξης αριθμητική Heyting, η κατάλληλη κατάσταση του αξιώματος της επιλογής είναι (ανάλογα με την προσέγγιση) περιλαμβανόμενο ως αξίωμα ή αποδεικτικά ως θεώρημα.. Errett Bishop υποστήριξε ότι το αξίωμα της επιλογής ήταν εποικοδομητικά αποδεκτό, λέγοντας "Μια συνάρτηση υφίσταται στα δομημένα μαθηματικά, επειδή η επιλογή της συνάγεται με το ίδιο το νόημα της ύπαρξης».Στην δομημένη θεωρία των συνόλων, ωστόσο, θεώρημα Ντιακονέσκου δείχνει ότι το αξίωμα της επιλογής προϋποθέτει το νόμο του αποκλεισμένου μέσου (σε αντίθεση με Martin-Löf θεωρία, όπου αυτό δεν συμβαίνει). Έτσι, το αξίωμα της επιλογής δεν είναι εν γένει διαθέσιμο στη δομημένη Θεωρίας Συνόλου. Μια αιτία για αυτή τη διαφορά είναι ότι το αξίωμα της επιλογής δεν έχει τις ιδιότητες Επεκτασιμότητας σε σχεση με το αξίωμα της επιλογής στην δομημένη Θεωρίας Συνόλων.Ορισμένα αποτελέσματα στην δομημένη θεωρία σύνολου χρησιμοποιούν το αξίωμα της επιλογής μετρήσιμων ή το αξίωμα της επιλογής, το οποία δεν συνεπάγεται με το αποκλεισμένο μέσο στην δομημένη θεωρία συνόλων. Αν και το αξίωμα της επιλογής μετρήσιμων, ειδικότερα,συχνά χρησιμοποιείται στα δομημένα μαθηματικά, η χρήση του έχει επίσης αμφισβητηθεί. Υποθέτοντας οτι ZF είναι συνεκτικό,ο Kurt Gödel έδειξε ότι η άρνηση του αξιώματος της επιλογής δεν είναι ένα θεώρημα της ZF με την κατασκευή ενός εσωτερικού μοντέλου (η οικοδομήσιμο σύμπαν), η οποία ικανοποιεί ZFC και δείχνοντας έτσι ότι η ZFC είναι συνεκτική. Υποθέτοντας οτι ZF είναι συνεκτικό, ο Paul Cohen χρησιμοποίησε την τεχνική της αναγκάζοντας, να αναπτύχθεί για το σκοπό αυτό, για να δείξει ότι το αξίωμα της επιλογής από μόνο του δεν είναι ένα θεώρημα της ZF με την κατασκευή ενός πολύ πιο σύνθετου μοντέλου που ικανοποιεί την ZF ¬ C (ZF με η άρνηση της AC προστίθεται ως αξίωμα) και δείχνοντας έτσι ότι η ZF ¬ C είναι συνεκτική. Μαζί με τα αποτελέσματα αυτά αποδεικνύεται ότι η αξίωμα της επιλογής είναι λογικά ανεξάρτητο από το ZF. Η υπόθεση ότι ο ZF είναι συνεκτικός είναι ακίνδυνο, διότι προσθέτοντας άλλο αξίωμα σε ένα ήδη ασυνεπή σύστημα δεν μπορεί να κάνει την κατάσταση χειρότερη. Λόγω της ανεξαρτησίας, η απόφαση για τη χρήση του αξιώματος της επιλογής (ή η άρνησή της),οδηγεί σε μια απόδειξη που δεν μπορεί να γίνει με προσφυγή σε άλλα αξιώματα της θεωρία των συνόλων. Η απόφαση πρέπει να γίνει για άλλους λόγους. Ένα επιχείρημα που έχει εκδοθεί υπέρ της χρησιμότητας του αξιώματος της επιλογής είναι ότι είναι βολικό να το χρησιμοποιηθεί επειδή επιτρέπει σε κάποιον να αποδείξει κάποιες απλοποιημένες προτάσεις που διαφέρουν και δεν μπορούν να αποδειχούν. Πολλά θεωρήματα τα οποία είναι επιλεκτικά αποδεικτά χρησιμοποιούνται και είναι κομψού γενικού χαρακτήρα: κάθε ιδανικό σε ένα δαχτυλίδι περιέχει ένα μέγιστο ιδανικό, κάθε χώρος φορέας έχει μια βάση, και κάθε προϊόν μικρού χώρου είναι συμπαγής. Χωρίς το αξίωμα της επιλογής, αυτά τα θεωρήματα δεν μπορεί να κρατήσει για μαθηματικά αντικείμενα μεγάλων πληθάριθμων Η απόδειξη του αποτελέσματος της ανεξαρτησίας δείχνει επίσης ότι μια μεγάλη τάξη των μαθηματικών καταστάσεων, συμπεριλαμβανομένων όλων των καταστάσεων που μπορεί να διατυπωθεί στη γλώσσα της αριθμητικής Peano, είναι αποδείξιμες σε ZF αν και μόνο αν είναι αποδείξιμες σε ZFC. Δηλώσεις σε αυτή τη κατηγορία περιλαμβάνεται τη δήλωση ότι P = NP, η υπόθεση Riemann, και πολλά άλλα άλυτα μαθηματικά προβλήματα. Όταν κάποιος προσπαθεί να λύσει τα προβλήματα σε αυτή την κατηγορία, δεν υπάρχει καμία διαφορά εάν χρησιμοποιεί ZF ή ZFC , αν το μόνο ζήτημα είναι η ύπαρξη μιας απόδειξης. Είναι δυνατόν, ωστόσο, ότι υπάρχει μια μικρότερη απόδειξη θεωρήματος στο ZFC από ό, τι στο ZF. Το αξίωμα της επιλογής δεν είναι η μόνη σημαντική δήλωση η οποία είναι ανεξάρτητη της ZF. Για παράδειγμα, η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς (GCH) δεν είναι μόνο ανεξάρτητη από ZF, αλλά και ανεξάρτητα από ZFC. Ωστόσο, ZF συν GCH συνεπάγεται AC, καθιστώντας GCH αυστηρά ισχυρότερη αξίωση από τους AC, ακόμα κι αν είναι τόσο ανεξάρτητη από το ZF. Το αξίωμα της Κατασκευασιμότητας και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς και με τα δυο συνεπάγεται το αξίωμα της επιλογής, αλλά είναι απολύτως ισχυρότερο από αυτό. Στις θεωρίες κατηγορίας, όπως η θεωρία φον Νόιμαν-Μπέρναϊς-Γκέντελ των συνόλων και Μορς-Kelley θεωρία των συνόλων, υπάρχει ένα πιθανό αξίωμα που ονομάζεται το αξίωμα της παγκόσμιας επιλογής το οποίο είναι ισχυρότερο από ό, τι το αξίωμα της επιλογής για τα σύνολα, εφόσον ισχύει και για τις σωστές τάξεις. Και το αξίωμα της παγκόσμιας επιλογή γίνεται ύστερα από το αξίωμα του περιορισμού του μεγέθους. Υπάρχουν σημαντικές περιπτώσεις ότι, αναλαμβάνοντας τα αξιώματα της ZF, αλλά ούτε η AC, ούτε η ¬ AC, είναι ισοδύναμες με το αξίωμα της επιλογής. Η πιο σημαντικό ανάμεσά τους είναι το λήμμα του Zorn και το καλά-διατεταγμένο θεώρημα. Στην πραγματικότητα,ο Zermelo αρχικά εισήγαγε το αξίωμα της επιλογής, προκειμένου να επισημοποιήσει την απόδειξη του καλά διατεταγμένου θεώρημα. Θεωρία συνόλου Καλά διατεταγμένο θεώρημα: Κάθε σύνολο μπορεί να είναι καλά διατεταγμένο. Κατά συνέπεια, κάθε θεμελιώδης αριθμός έχει μια αρχική αριθμητική. Θεώρημα του Tarski: Για κάθε μη πεπερασμένο σύνολο Α, υπάρχει μια αντιστοιχία μεταξύ των συνόλων Α και Α Χ A. Τριχοτόμιση: Αν δίνονται δύο συνόλα, τότε είτε έχουν τον ίδιο πληθάριθμο, είτε κάποιος έχει ένα μικρότερο πληθάριθμο από το άλλο. Το καρτεσιανό γινόμενο της κάθε οικογένειας των μη κενών συνόλων είναι μη κενό. Θεώρημα König: Κοινώς, το άθροισμα μιας στοιχειώδους σειράς είναι αυστηρά μικρότερη από το γινόμενο μιας ακολουθίας των μεγαλύτερων (ο λόγος για τον όρο "κοινώς", που είναι ότι το άθροισμα ή το προϊόν μιας «αλληλουχίας» στοιχείων που δεν μπορεί να οριστεί χωρίς κάποια πτυχή στο αξίωμα της επιλογής). Κάθε αντίστροφη συνάρτηση έχει δεξιά αντίστροφα. θεώρημα διάταξης Λήμμα του Zorn: Κάθε μη κενό μερικώς διατεταγμένο σύνολο στο οποίο κάθε αλυσίδα του (δηλαδή ολικά διατεταγμένο υποσύνολο) έχει ένα άνω φράγμα, περιέχει τουλάχιστον ένα μεγιστικό στοιχείο. Hausdorff μέγιστη αρχή: Σε κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο, κάθε πλήρως διατεταγμένο υποσύνολο περιέχεται σε ένα μέγιστο πλήρως διατεταγμένο υποσύνολο. Η περιορισμένη αρχή "Κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο έχει μέγιστο πλήρως διατεταγμένο υποσύνολο" είναι επίσης ισοδύναμο με AC πάνω στο ZF. Λήμμα Τακεν'δ: Κάθε μη κενή συλλογή πεπερασμένου χαρακτήρα έχει μέγιστο στοιχείο όσον αφορά την ένταξη. Antichain αρχή: Κάθε μερικώς διατεταγμένο σύνολο έχει ένα μέγιστο antichain. Άλγεβρα Κάθε χώρος φορέας έχει μια βάση. Κάθε μοναδιαίος δακτύλιος, εκτός από το τετριμμένο δακτύλιο περιέχει ένα μέγιστο ιδεώδη. Για κάθε μη κενό σύνολο S είναι μια πράξη που ορίζεται στο S και καθιστά μια ομάδα. (A δυαδική λειτουργία είναι αρκετό.) Συναρτησιακή ανάλυση Η κλειστή μοναδιαία μπάλα του διπλού νορμικού χώρου φορέα κατά τη διάρκεια των πραγματικής ευθείας έχει ένα ακραίο σημείο. Γενική τοπολογία Θεώρημα του Tychonoff δηλώνει ότι κάθε προϊόν του συμπαγή τοπολογικού χώρου s είναι συμπαγής. Στην τοπολογία του συνόλου, η κλειστότητα ενός υποσυνόλου είναι ίσο με το γινόμενο της κλειστότητας . Μαθηματική λογική Αν S είναι ένα σύνολο προτάσεων της λογική πρώτης τάξης και Β είναι ένα συνεχές υποσύνολο του S, τότε B περιλαμβάνεται σε ένα σύνολο που είναι το μέγιστο μεταξύ συνεχών υποσυνόλων του S. Η ειδική περίπτωση του S είναι το σύνολο των όλων των πρώτων τάξεων προτάσεων σε μια δεδομένη υπογραφή που είναι ασθενέστερη, και ισοδυναμεί με το Boolean πρωταρχικό ιδανικό θεώρημα δείτε την ενότητα "ηπιότερων μορφών" παρακάτω. Υπάρχουν πολλά αποτελέσματα στη θεωρία κατηγορίας που επικαλούνται το αξίωμα της επιλογής για την απόδειξη τους. Αυτά τα αποτελέσματα μπορεί να είναι πιο αδύναμα ή ισχυρότερα από το αξίωμα της επιλογής, ανάλογα με τη δύναμη των τεχνικών θεμελίων. Για παράδειγμα, εάν κάποιος καθορίζει κατηγορίες όσον αφορά σύνολα, δηλαδή, ως σύνολα από αντικείμενα και morphisms (συνήθως ονομάζεται μια μικρή κατηγορία), ή ακόμη και τοπικά μικρές κατηγορίες, των οποίων η Hom-αντικείμενα είναι σύνολα, τότε δεν υπάρχει καμία κατηγορία όλων των συνόλων , και γι 'αυτό είναι δύσκολο για μια κατηγορία-θεωρητική διατύπωση, για να ισχύουν για όλα τα σύνολα. Από την άλλη πλευρά, άλλες θεμελιώδεις περιγραφές της θεωρίας της κατηγορίας είναι σημαντικά ισχυρότερα, και η ίδια κατηγορική-θεωρητική δήλωση της επιλογής μπορεί να είναι ισχυρότερη από την τυπική διατύπωση, à la τάξη θεωρία, που αναφέρονται παραπάνω. Παραδείγματα της κατηγορίας της θεωρίας καταστάσεων που απαιτούν επιλογή περιλαμβάνουν: Κάθε μικρή κατηγορία έχει σκελετό. Αν δύο μικρές κατηγορίες είναι ασθενώς ισοδύναμες, τότε είναι ισοδυναμία των κατηγοριών. Κάθε συνεχή συνάρτηση σε ένα μικρό-complete κατηγορίας που πληροί τις κατάλληλες προϋποθέσεις σύνολου διάλυμα έχει αριστερή adjoint (η Freyd θεώρημα συναρτητής adjoint). Υπάρχουν πολλές ασθενέστερες καταστάσεις που δεν είναι ισοδύναμες με το αξίωμα της επιλογής, αλλά είναι στενά συνδεδεμένα. Ένα παράδειγμα είναι το εξαρτημένο αξίωμα της επιλογής (DC). Ένα ακόμη παράδειγμα που είναι ασθενέστερο το αξίωμα της επιλογής μετρήσιμων (ACω ή CC), το οποίο αναφέρει ότι μια συνάρτηση επιλογής υπάρχει για κάθε μετρήσιμο σύνολο συνόλων μη κενών. Αυτά τα αξιώματα είναι επαρκή για πολλές αποδείξεις στην πρωτοβάθμια μαθηματική ανάλυση, και είναι σύμφωνες με ορισμένες αρχές, όπως το μέτρο Lebesgue όλων των συνόλων της πραγματικής ευθείας, που είναι από την πλήρη αξίωματα της επιλογής. Άλλα αξιώματα επιλογής ασθενέστερα από τα αξιώματα της επιλογής περιλαμβάνουν το Boolean πρωταρχικό ιδανικό θεώρημα και το τυποποιημένο αξίωμα. Το πρώτο είναι ισοδύναμο με ZF με την ύπαρξη υπερσυνόλων που περιέχει κάθε δεδομένο φίλτρο, και αποδεικνύεται από Tarski το 1930. Μία από τις πιο ενδιαφέρουσες πτυχές του αξιώματος της επιλογής είναι ο μεγάλος αριθμός των θέσεων στα μαθηματικά που εμφανίζεται. Εδώ είναι μερικές δηλώσεις που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής, υπό την έννοια ότι δεν είναι αποδείξιμα από ZF, αλλά είναι αποδείξιμες από ZFC (ZF συν AC). Αντίστοιχα, αυτές οι δηλώσεις είναι αλήθεια σε όλα τα μοντέλα της ZFC, αλλά ψευδείς σε ορισμένα μοντέλα της ZF. Θεωρία συνόλων *Κάθε ένωση αριθμήσιμο πολλών μετρήσιμων συνόλων είναι το ίδιο μετρήσιμο. Αν το σύνολο A είναι μη πεπερασμένο, τότε υπάρχει μια ένωση με τους φυσικούς αριθμούς N με Α (βλέπε Ντέντεκιντ-απειροσύνολο). Κάθε άπειρες G_S στο οποίο S είναι ένα Borel υποσύνολο του χώρου Baire είναι προσδιορίσιμο. θεωρία Μέτρου Το Vitali θεώρημα για την ύπαρξη μη μετρήσιμων συνόλων αναφέρει ότι υπάρχει ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών που δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο. Το παράδοξο Hausdorff. Το παράδοξο Banach-Tarski. Το μέτρο Lebesgue μιάς μετρήσιμης ένωσης ξένων μετρήσιμων συνόλων είναι ίσο με το άθροισμα των μέτρων των επιμέρων συνόλων. άλγεβρα Κάθε πεδίο έχει ένα αλγεβρικό κλείσμα. Κάθε επέκταση πεδίου έχει μια βάση υπέρβαση. Θεώρημα αναπαράστασης Stone για Boolean algebras χρειάζεται το Boolean πρωταρχικό ιδανικό θεώρημα. Το Nielsen-Schreier θεώρημα, ότι κάθε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας είναι ελεύθερη. Οι ομάδες πρόσθετης Ε και C είναι ισομορφικές. και Η Συναρτησιακή Ανάλυση Το Hahn-Banach θεώρημα στη συναρτησιακή ανάλυση, επιτρέπει την επέκταση των γραμμικών συναρτησιακών Το θεώρημα ότι κάθε χώρος Hilbert έχει μια ορθοκανονική βάση. Το Banach-Alaoglu θεώρημα είναι σχετικό με την συμπαγότητα συναρτησιακών συνόλων. Το θεώρημα Baire είναι για πλήρης μετρικούς χώρους, και οι συνέπειές του, όπως το θεώρημα ανοικτής απεικόνησης και το ** θεώρημα κλειστού γραφήματος. Σε κάθε απειροδιάστατους τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους υπάρχει μιά ασυνεχές γραμμική απεικόνηση. Γενική τοπολογία Ένα ομοιόμορφο διάστημα είναι συμπαγής αν και μόνο αν αυτό είναι πλήρες και εντελώς οριοθετημένο. Κάθε χώρος Tychonoff έχει μια stone-Čech συμπαγοποίηση. Μαθηματική λογική Το θεώρημα πληρότητας του Γκέντελ για τη λογική πρώτης τάξης: κάθε συνεκτικό σύνολο ολοκλήρωσης πρώτης τάξης μπορεί να επεκταθεί σε ένα μέγιστο συνεκτικό σύνολο. Τώρα, σκεφτείτε ισχυρότερες μορφές της άρνησης AC. Για παράδειγμα, αν θα συντομεύσει από την BP τον ισχυρισμό ότι κάθε σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει την ιδιότητα του Baire, τότε η BP είναι ισχυρότερη από ό, τι ¬ AC, η οποία υποστηρίζει την ανυπαρξία οποιασδήποτε λειτουργίας επιλογής ίσως μόνο ένα ενιαίο σύνολο μή κενών συνόλων. Σημειώστε ότι η ενισχυμένη αρνήσεις μπορεί να είναι συμβατές με τις εξασθενημένες μορφές των AC. Για παράδειγμα, ZF + DC + BP είναι συνεπής, αν ZF είναι. Είναι επίσης σύμφωνη με ZF + DC ότι κάθε συνόλου των πραγματικών είναι Lebesgue μετρήσιμο? Ωστόσο, το αποτέλεσμα της συνέπειας, λόγω Robert M. Solovay, δεν μπορεί να αποδειχθεί σε ZFC το ίδιο, αλλά απαιτεί ένα ήπιο μεγάλο πληθικό αριθμό (η ύπαρξη απρόσιτες πληθικό). Το πιό ισχυρότερο αξίωμα της αοριστίας μ.Χ., προϋποθέτει ότι κάθε συνόλου των πραγματικών είναι Lebesgue μετρήσιμο, έχει την ιδιότητα του Baire, και έχει το τέλειο ακίνητο σύνολο (και τα τρία από τα αποτελέσματα αυτά αντικρούονται από AC μόνα τους). ZF + DC + AD είναι συνεπής με την προϋπόθεση ότι ένα αρκετά ισχυρά μεγάλα αξιώματα πληθικού είναι συνεπής (η ύπαρξη απείρως πολλών πληθικών Woodin). Υπάρχουν μοντέλα της Zermelo-Fraenkel θεωρίας των συνόλων στα οποία το αξίωμα της επιλογής είναι ψευδής. Εμείς θα συντομεύσουμε το "Zermelo-Fraenkel θεωρία συνόλου καθώς και την άρνηση του αξιώματος της επιλογής" ZF ¬ C. Για ορισμένα μοντέλα της ZF ¬ C, είναι δυνατόν να αποδειχθεί η άρνηση κάποιων στάνταρ γεγονότων. Σημειώστε ότι κάθε μοντέλο της ZF ¬ C είναι επίσης ένα μοντέλο της ZF, για καθεμία από τις ακόλουθες δηλώσεις, υπάρχει ένα μοντέλο της ZF με τον οποίο η δήλωση είναι αληθινή. Υπάρχει ένα μοντέλο ZF ¬ C στην οποία υπάρχει μια συνάρτηση f από τους πραγματικούς αριθμούς των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε f δεν είναι συνεχής στο Α, αλλά διαδοχικά f είναι συνεχής σε ένα, δηλαδή, για κάθε ακολουθία {xn} συγκλίνουν προς α, limn f (xn) = f (α). Υπάρχει ένα μοντέλο της ZF ¬ C, η οποία έχει ένα μη πεπερασμένο σύνολο πραγματικών αριθμών χωρίς αριθμήσιμο μη πεπερασμένο υποσύνολο. Υπάρχει ένα μοντέλο της ZF ¬ C στην οποία πραγματικοί αριθμοί είναι μετρήσιμη ένωση μετρήσιμων συνόλων. Υπάρχει ένα μοντέλο ZF ¬ C, στο οποίο υπάρχει ένα πεδίο χωρίς αλγεβρικό κλεισίματος. Σε όλα τα μοντέλα της ZF ¬ C είναι ένας διανυσματικός χώρος χωρίς βάση. Υπάρχει ένα μοντέλο ZF ¬ C στην οποία υπάρχει ένας χώρος διάνυσμα με δύο βάσεις των διαφορετικών πληθικών. Υπάρχει ένα μοντέλο της ZF ¬ C στην οποία υπάρχει μια ελεύθερη πλήρης άλγεβρα Boole για αριθμήσιμο πολλών γεννητριών.Για τις αποδείξεις, βλέπε Thomas Jech, το αξίωμα της επιλογής, American Elsevier Pub. Co, New York, 1973 .. Υπάρχει ένα μοντέλο της ZF ¬ C στο οποίο κάθε σύνολο στο Rn είναι μετρήσιμο. Έτσι, είναι δυνατόν να αποκλειστούν αντιφατικά αποτελέσματα, όπως το παράδοξο Banach-Tarski που είναι αποδείξιμο σε ZFC. Επιπλέον, αυτό είναι δυνατό, ενώ αναλαμβάνοντας το αξίωμα της επιλογής, η οποία είναι ασθενέστερη από το, AC, αλλά επαρκείς για την ανάπτυξη τα περισσότερων από πραγματική ανάλυση. Σε όλα τα μοντέλα της ZF ¬ C, η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς δεν κατέχει "Το αξίωμα της επιλογής είναι προφανώς αληθές, η αρχή της απαρίθμησης προφανώς ψευδή, και ποιος μπορεί να πει για το λήμμα του Zorn;" - Bona Jerry Αυτό είναι ένα αστείο: αν και οι τρεις είναι όλες μαθηματικά ισοδύναμες, πολλοί μαθηματικοί βρίσκουν το αξίωμα της επιλογής να είναι διαισθητικό,η αρχή της απαρίθμησης να είναι αντιφατική, και το λήμμα του Zorn να είναι υπερβολικά πολύπλοκο για κάθε διαίσθηση."Το αξίωμα της επιλογής είναι απαραίτητο να επιλέξει ένα σύνολο από άπειρες κάλτσες, αλλά όχι από έναν άπειρο αριθμό υποδημάτων". - Bertrand Russell Η παρατήρηση εδώ είναι ότι μπορεί κάποιος να ορίσει μια συνάρτηση για να επιλέξει από έναν άπειρο αριθμό ζευγών υποδημάτων, δηλώνοντας, για παράδειγμα, να επιλεγεί το αριστερό παπούτσι. Χωρίς το αξίωμα της επιλογής, δεν μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι μια τέτοια λειτουργία υπάρχει για ζευγάρια κάλτσες, γιατί αριστερές και δεξιές κάλτσες είναι (πιθανώς) δυσδιάκριτες μεταξύ τους."Ο Tarski προσπάθησε να δημοσιεύσει το θεώρημα 'η ισοδυναμία μεταξύ των AC και ' κάθε μη πεπερασμένο σύνολο Α έχει την ίδια πληθικότητα όπως AXA », βλ. ανωτέρω] στο Comptes Rendus, αλλά ο Fréchet και ο Lebesgue αρνήθηκαν να το παρουσιάσουν.Ο Fréchet έγραψε ότι μια επίπτωση μεταξύ των δύο γνωστών [αληθών] προτάσεων δεν είναι ένα νέο αποτέλεσμα, και ο Lebesgue έγραψε ότι μια επίπτωση μεταξύ των δύο ψευδών προτάσεων δεν παρουσιάζει κανένα ενδιαφέρον ». Πολωνός-Αμερικανός μαθηματικός Jan Mycielski ανέφερε αυτό το ανέκδοτο σε ένα άρθρο του 2006 Notices of the AMS."Το αξίωμα πήρε το όνομά του οχι επειδή οι μαθηματικοί το προτιμούν από τα άλλα αξιώματα." - Α. Κ. Dewdney Αυτό το απόσπασμα προέρχεται από το διάσημο άρθρο της 1ης Απριλίου στη στήλη τών αναπαραστάσεων υπολογιστών του Scientific American, Απρίλιος 1989 Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer Lecture Notes in Mathematics 1876, Springer Verlag Berlin Heidelberg (2006). ISBN 3-540-30989-6. Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998. Thomas Jech, "About the Axiom of Choice." Handbook of Mathematical Logic, John Barwise, ed., 1977. Per Martin-Löf, "100 years of Zermelo's axiom of choice: What was the problem with it?", in Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?, Sten Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg, and Viggo Stoltenberg-Hansen, editors (2008). ISBN 1-4020-8925-2 Gregory Η Moore, "Zermelo's axiom of choice, Its origins, development and influence", Springer; 1982. ISBN 0-387-90670-3 Herman Rubin, Jean E. Rubin: Equivalents of the axiom of choice. North Holland, 1963. Reissued by Elsevier, April 1970. ISBN 0-7204-2225-6. Herman Rubin, Jean E. Rubin: Equivalents of the Axiom of Choice II. North Holland/Elsevier, July 1985, ISBN 0-444-87708-8. George Tourlakis, Lectures in Logic and Set Theory. Vol. II: Set Theory, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-511-06659-7 Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65: (1908) pp. 261–81. PDF download via digizeitschriften.deTranslated in: Jean van Heijenoort, 2002. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. New edition. Harvard University Press. ISBN 0-674-32449-8 1904. "Proof that every set can be well-ordered," 139-41. 1908. "Investigations in the foundations of set theory I," 199-215. Axiom of Choice and Its Equivalents at ProvenMath includes formal statement of the Axiom of Choice, Hausdorff's Maximal Principle, Zorn's Lemma and formal proofs of their equivalence down to the finest detail. Consequences of the Axiom of Choice Αρχειοθετήθηκε 2021-05-15 στο Wayback Machine., based on the book by Paul Howard Αρχειοθετήθηκε 2021-02-26 στο Wayback Machine. and Jean Rubin.