Αμπού αλ Ουάφα

Ο Αμπού Αλ-Ουάφα ή Αμπού λ-Ουάφα' ή Μοχάμεντ Αμπούλ-Ουάφα, (περσικά: محمد ابوالوفای بوزجانی), γεννήθηκε το 940 στο Μπουζτζάν και πέθανε το 998 στη Βαγδάτη ήταν Πέρσης και Μουσουλμάνος αστρονόμος και μαθηματικός, γνωστός κυρίως για τις συνεισφορές του στην επίπεδη τριγωνομετρία και τη σφαιρική τριγωνομετρία.

 Γεννήθηκε το 939 ή το 940 στο Μπουζτζάν που βρίσκεται στην περιοχή Χορασάν και σπούδασε μαθηματικά με τους θείους του.Το 959 μετανάστευσε στη Βαγδάτη, όπου παρέμεινε μέχρι το θάνατό του την εποχή της ακμής της δυναστείας των Αββασιδών. Επί βασιλείας των Μπουγιδών, του `Αντχούντ αδ-Ντάουλα και του γιου του Τσαράφ αδ-Ντάουλα, η Βαγδάτη αποτέλεσε σημαντικό πολιτιστικό κέντρο. Εισήχθη στην αυλή, ο Αμπού ι-Γουάφα εντάχθηκε στον αλ-Κούχι και τον αλ-Σίτζι ως αστρονόμος. Παράλληλα με τις αστρονομικές του παρατηρήσεις, ο Αμπού ι-Γουάφα ενδιαφέρθηκε για τη γεωμετρία, την τριγωνομετρία και την άλγεβρα και αλληλογραφούσε με άλλους επιστήμονες της εποχής του. Ο Αμπού αλ Ουάφα ενδιαφερόταν για τις κινήσεις της σελήνης. Συγκεκριμένα, στη Βαγδάτη, παρατήρησε τη σεληνιακή έκλειψη της 24ης Μαΐου 997 την ίδια στιγμή με τον αλ-Μπιρούνι στο Καθ, καθιστώντας έτσι δυνατό τον προσδιορισμό της διαφοράς γεωγραφικού μήκους μεταξύ των δύο πόλεων. Διόρθωσε τους σεληνιακούς πίνακες της εποχής του, αναδεικνύοντας αυτό που ο Tycho Brahe θα ονόμαζε αργότερα τρίτη παραλλαγή. Στο βιβλίο του "Η αναθεώρηση της Αλμαγέστης "(αναφορά στην Αλμαγέστη του Πτολεμαίου), πρόσθεσε στους τριγωνομετρικούς πίνακες των προκατόχων του, ιδίως για την εφαπτομένη, χρησιμοποιώντας γεωμετρικές μεθόδους συγκρίσιμες με τους τύπους της τριγωνομετρίας μας (βλέπε, για παράδειγμα, την παρακάτω επίδειξη για τον προσδιορισμό του ημιτόνου της διαφοράς μεταξύ δύο τόξων). Ας δούμε το διπλανό σχήμα. Ας υποθέσουμε έναν κύκλο ακτίνας [OB] (που θεωρούμε ότι έχει μήκος 1) και δύο τόξα BA και BC των οποίων τα ημίτονα BT και BH είναι γνωστά. Πρέπει να προσδιορίσουμε το ημίτονο του τόξου AC, τη διαφορά μεταξύ των τόξων BA και BC. Ας υποθέσουμε ότι το D είναι έτσι ώστε το τόξο BD να είναι το διπλάσιο του τόξου BC, και το Z έτσι ώστε το τόξο BZ να είναι το διπλάσιο του τόξου BA. Το τόξο DZ είναι επομένως διπλάσιο του τόξου AC, και το ημίτονο του AC είναι το μισό του μήκους της χορδής [DZ]. Εφόσον τα Τ και Η είναι τα μέσα σημεία των [BZ] και [BD], μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Θαλή για να συμπεράνουμε ότι το ημίτονο που ψάχνουμε είναι το μήκος Θ. Τα τριγωνα TOB και HOB είναι ορθογώνια στα σημεία T και H, εγγράφονται στον ίδιο κύκλο διαμέτρου [OB] (που δεν απεικονίζεται). Επομένως, οι εγγεγραμμένες γωνίες HOB και HTB στο τμήμα [HB] είναι ίσες. Το ίδιο ισχύει και για τις γωνίες TOH και TBH, μέσω του τμήματος [TH]. Αν το Ν είναι η ορθογώνια προβολή του Β στο (TH), προκύπτει ότι τα τρίγωνα BNT και BHO είναι όμοια, καθώς οι γωνίες τους είναι ίσες. Συνεπώς : B T T N = B O H O {\displaystyle {\frac {BT}{TN}}={\frac {BO}{HO}}} Επιπλέον, οι γωνίες NBT και HBO αυτών των δύο τριγώνων είναι ίσες. Αν αφαιρέσουμε τη γωνία HBT, έχουμε ίσες γωνίες NBH και TBO. Τα δύο ορθογώνια τρίγωνα NBH και TBO επομένως έχουν ίσες γωνίες και συνεπώς είναι ισομετρικά. Κατά συνέπεια, έχουμε : B H H N = B O T O {\displaystyle {\frac {BH}{HN}}={\frac {BO}{TO}}} Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε TN και HN, τότε TH = TN - HN. Συνεπώς, μπορούμε να αναγνωρίσουμε τον τύπο που δίνει το ημίτονο της διαφοράς μεταξύ δύο τόξων. Και μάλιστα επειδή : sin ⁡ ( B A − B C ) = sin ⁡ ( A C ) = T H = T N − H N = B T × H O B O − B H × T O B O = sin ⁡ ( A B ) cos ⁡ ( B C ) − sin ⁡ ( B C ) cos ⁡ ( A B ) {\displaystyle \sin(BA-BC)=\sin(AC)=TH=TN-HN={\frac {BT\times HO}{BO}}-{\frac {BH\times TO}{BO}}=\sin(AB)\cos(BC)-\sin(BC)\cos(AB)} Του οφείλουμε την έννοια του τριγωνομετρικού κύκλου, καθώς και την δευτερεύουσα και την κοσεκάστη. Του αποδίδεται επίσης ο τύπος του ημιτόνου στη σφαιρική τριγωνομετρία: sin ⁡ ( A ) sin ⁡ ( a ) = sin ⁡ ( B ) sin ⁡ ( b ) = sin ⁡ ( C ) sin ⁡ ( c ) {\displaystyle {\frac {\sin(A)}{\sin(a)}}={\frac {\sin(B)}{\sin(b)}}={\frac {\sin(C)}{\sin(c)}}} Ο Αμπού αλ-Γουάφα σχολίασε τα έργα του Ευκλείδη, του Διόφαντου και του αλ-Κουαρίζμι (τα σχόλια αυτά έχουν εξαφανιστεί). Στο βιβλίο του με τίτλο Περί απαραίτητων για τους τεχνίτες των κατασκευών, αναπτύσσει προσεγγιστικές κατασκευές με τη χρήση χάρακα και πυξίδας για κανονικά πολύγωνα με πέντε, επτά ή εννέα πλευρές. Ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για τις κατασκευές που μπορούσαν να επιτευχθούν με πυξίδα σταθερής απόστασης. Πρότεινε μια κατασκευή της παραβολής. Πρότεινε μηχανικές κατασκευές τριχοτόμησης γωνιών και διπλασιασμού του κύβου. Μελέτησε το πρόβλημα της διαίρεσης ενός τετραγώνου σε άθροισμα πολλών τετραγώνων και πρότεινε μια πρώτη λύση για την τριχοτόμηση του τετραγώνου. Απέδειξε επίσης το Πυθαγόρειο θεώρημα και χρησιμοποίησε αυτή την απόδειξη με τεμαχισμό για να εξηγήσει το Πυθαγόρειο θεώρημα σε τεχνίτες. Η λύση που προτείνει ο Αμπού αλ-Γουάφα έχει ως εξής: Να κατασκευαστεί περιγεγραμμένος κύκλος με ABCD. Να κατασκευαστεί έναν δεύτερο κύκλο, με κέντρο το C και που διέρχεται από το O. Ας σημειώσουμε τα σημεία U και V ως τα δύο σημεία στα οποία τέμνονται οι κύκλοι αυτοί. Επομένως, μπορούμε να αποδείξουμε ότι οι ευθείες (AU) και (AV) τέμνουν το τετράγωνο σε δύο σημεία, τα οποία είναι τα σημεία E και F που αναζητούμε.Το Βιβλίο για τις γεωμετρικές κατασκευές που είναι απαραίτητες για τους τεχνίτες του Αμπού αλ-Γουάφα είναι μια συλλογή εκατό περίπου γεωμετρικών κατασκευών. Η σύγκρισή τους με εκείνες που εμφανίζονται σε μαθηματικές πραγματείες της Αναγέννησης δείχνει εντυπωσιακές ομοιότητες. Ωστόσο, οι ομοιότητες αυτές δεν έχουν θεωρηθεί πειστικές, διότι θα μπορούσαν εξίσου εύκολα να είναι αποτέλεσμα ανεξάρτητων ανακατασκευών. Η καταγωγή αυτής της πραγματείας στη λατινική Ευρώπη εξακολουθεί να συζητείται. Στο βιβλίο του "Τι πρέπει να γνωρίζουν οι λογιστές και οι επιχειρηματίες για την αριθμητική", αναπτύσσει μαθηματικά που είναι τόσο θεωρητικά (κλάσματα, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, μετρήσεις) όσο και πρακτικά (υπολογισμοί φόρων, νομισματικές μονάδες, πληρωμή μισθών). Αν και ήταν εξοικειωμένος με την ινδική αρίθμηση, δεν τη χρησιμοποίησε σε αυτό το έργο που απευθυνόταν στο ευρύ κοινό. Ανέπτυξε, ωστόσο, μια θεωρία για τους αρνητικούς αριθμούς, συνδέοντάς τους με την εικόνα ενός χρέους: 3 - 5, για παράδειγμα, αντιπροσωπεύει ένα χρέος 2. Συμφώνησε να πολλαπλασιάσει αυτούς τους αρνητικούς αριθμούς με θετικούς και να τους ενσωματώσει στους υπολογισμούς. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Mohammad Abu'l-Wafa Al-Buzjani», MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Abul-Wafa.html . Hashemipour, Behnaz (2007). «Būzjānī: Abū al‐Wafāʾ Muḥammad ibn Muḥammad ibn Yaḥyā al‐Būzjānī». Στο: Thomas Hockey, επιμ. The Biographical Encyclopedia of Astronomers. New York: Springer, σσ. 188–9. ISBN 978-0-387-31022-0. http://islamsci.mcgill.ca/RASI/BEA/Buzjani_BEA.htm. (PDF version) Raynaud, D. (2012), «Abū al-Wafāʾ Latinus? A Study of Method», Historia Mathematica 39 (1): 34–83, doi:10.1016/j.hm.2011.09.001, https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00645624 (PDF version) Youschkevitch, A.P. (1970). «Abū'l-Wafāʾ al-Būzjānī, Muḥammad Ibn Muḥammad Ibn Yaḥyā Ibn Ismāʿīl Ibn al-ʿAbbās». Dictionary of Scientific Biography. 1. New York: Charles Scribner's Sons, σσ. 39–43. ISBN 0-684-10114-9. http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-2830900031.html.