Θεώρημα Βιβιάνι

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Βιβιάνι (αναφέρεται και ως θεώρημα Viviani) λέει ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και για P {\displaystyle \mathrm {P} } ένα τυχόν εσωτερικό του σημείο, ισχύει ότι d 1 + d 2 + d 3 = u {\displaystyle d_{1}+d_{2}+d_{3}=u} ,όπου d 1 , d 2 , d 3 {\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3}} οι αποστάσεις του P {\displaystyle \mathrm {P} } από τις πλευρές του τριγώνου και u {\displaystyle u} το ύψος του τριγώνου.

 Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου: E = 1 2 ⋅ ( βάση ) ⋅ ( ύψος ) . {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}}).} Χωρίζοντας το αρχικό τρίγωνο στα τρίγωνα A P B , A P Γ , B P Γ {\displaystyle \mathrm {APB} ,\mathrm {AP\Gamma } ,\mathrm {BP\Gamma } } , έχουμε ότι E A B Γ = E A P B + E A P Γ + E B P Γ . {\displaystyle \mathrm {E} _{\mathrm {AB\Gamma } }=\mathrm {E} _{\mathrm {APB} }+\mathrm {E} _{\mathrm {AP\Gamma } }+\mathrm {E} _{\mathrm {BP\Gamma } }.} Επομένως, αν x {\displaystyle x} είναι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου, τότε 1 2 ⋅ x ⋅ u = 1 2 ⋅ x ⋅ d 1 + 1 2 ⋅ x ⋅ d 2 + 1 2 ⋅ x ⋅ d 3 = 1 2 ⋅ x ⋅ ( d 1 + d 2 + d 3 ) . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot x\cdot u={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{1}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{2}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{3}={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot (d_{1}+d_{2}+d_{3}).} Απλοποιώντας το 1 2 x {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x} , καταλήγουμε στην ζητούμενη έκφραση u = d 1 + d 2 + d 3 {\displaystyle u=d_{1}+d_{2}+d_{3}} . Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με A B = A Γ = x {\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } =x} και ένα τυχόν σημείο P {\displaystyle \mathrm {P} } της B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } . Αν d 1 {\displaystyle d_{1}} και d 2 {\displaystyle d_{2}} είναι οι αποστάσεις του P {\displaystyle \mathrm {P} } από τις A B {\displaystyle \mathrm {AB} } και A Γ {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } , και d {\displaystyle d} το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή A {\displaystyle \mathrm {A} } , τότε:64-65 d 1 + d 2 = u {\displaystyle d_{1}+d_{2}=u} .Απόδειξη: Χωρίζοντας το τρίγωνο A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } στα τρίγωνα A B P {\displaystyle \mathrm {ABP} } και A Γ P {\displaystyle \mathrm {A\Gamma P} } , έχουμε ότι E A B Γ = E A B P + E A Γ P {\displaystyle \mathrm {E} _{\mathrm {AB\Gamma } }=\mathrm {E} _{\mathrm {ABP} }+\mathrm {E} _{\mathrm {A\Gamma P} }} .Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε ότι 1 2 ⋅ x ⋅ u = 1 2 ⋅ x ⋅ d 1 + 1 2 ⋅ x ⋅ d 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot x\cdot u={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{1}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{2}} .Απλοποιώντας το 1 2 x {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x} , λαμβάνουμε ότι u = d 1 + d 2 {\displaystyle u=d_{1}+d_{2}} . Το θεώρημα Βιβιάνι αφορά τα σημεία P {\displaystyle \mathrm {P} } που είναι εσωτερικά του τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } . Όταν το P {\displaystyle \mathrm {P} } είναι εξωτερικό σημείο προς την πλευρά B Γ {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } , τότε ο τύπος αλλάζει σε u = d 2 + d 3 − d 1 . {\displaystyle u=d_{2}+d_{3}-d_{1}.} Απόδειξη: Θεωρούμε τα τρίγωνα A P B {\displaystyle \mathrm {APB} } και A P Γ {\displaystyle \mathrm {AP\Gamma } } . Τότε, E A B Γ = E A B P + E A Γ P − E B Γ P {\displaystyle \mathrm {E} _{\mathrm {AB\Gamma } }=\mathrm {E} _{\mathrm {ABP} }+\mathrm {E} _{\mathrm {A\Gamma P} }-\mathrm {E} _{\mathrm {B\Gamma P} }} .Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου, έχουμε ότι 1 2 ⋅ x ⋅ u = 1 2 ⋅ x ⋅ d 2 + 1 2 ⋅ x ⋅ d 3 − 1 2 ⋅ x ⋅ d 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot x\cdot u={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{2}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{3}-{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d_{1}} .Απλοποιώντας, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση. Έστω ένα κανονικό πολύγωνο A 1 , … , A n {\displaystyle \mathrm {A} _{1},\ldots ,\mathrm {A} _{n}} και ένα εσωτερικό του σημείο P {\displaystyle \mathrm {P} } . Αν d {\displaystyle d} η απόσταση του περίκεντρου από τις πλευρές και d 1 , … , d n {\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}} οι αποστάσεις του P {\displaystyle \mathrm {P} } από τις πλευρές A 1 A 2 , … , A n − 1 A n , A n A 1 {\displaystyle \mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2},\ldots ,\mathrm {A} _{n-1}\mathrm {A} _{n},\mathrm {A} _{n}\mathrm {A} _{1}} , τότε ισχύει ότι d 1 + … + d n = n ⋅ d . {\displaystyle d_{1}+\ldots +d_{n}=n\cdot d.} (Απόδειξη): Θεωρούμε τα τρίγωνα A 1 P A 2 , … , A n P A 1 {\displaystyle \mathrm {A} _{1}\mathrm {P} \mathrm {A} _{2},\ldots ,\mathrm {A} _{n}\mathrm {P} \mathrm {A} _{1}} . Το εμβαδό του πολυγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδόν των τριγώνων, άρα 1 2 ⋅ A 1 A 2 ⋅ d 1 + … + 1 2 ⋅ A n A 1 ⋅ d n = 1 2 ⋅ x ⋅ ( d 1 + … + d n ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{2}\cdot d_{1}+\ldots +{\tfrac {1}{2}}\cdot \mathrm {A} _{n}\mathrm {A} _{1}\cdot d_{n}={\tfrac {1}{2}}\cdot x\cdot (d_{1}+\ldots +d_{n}).} Αντίστοιχα, για το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου, οι αποστάσεις προς κάθε μία από τις πλευρές είναι d {\displaystyle d} . Επομένως, το εμβαδόν του πολυγώνου δίνεται από τον τύπο 1 2 ⋅ x ⋅ ( d 1 + … + d n ) = n 2 ⋅ x ⋅ d . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot x\cdot (d_{1}+\ldots +d_{n})={\tfrac {n}{2}}\cdot x\cdot d.} Εξισώνοντας του τύπους για το εμβαδόν έχουμε ότι d = d 1 + … + d n = n ⋅ d , {\displaystyle d=d_{1}+\ldots +d_{n}=n\cdot d,} ολοκληρώνοντας την απόδειξη. ◻ {\displaystyle \square } Gueron, Shay; Tessler, Ran (2002). «The Fermat-Steiner problem». Amer. Math. Monthly 109 (5): 443–451. doi:10.2307/2695644. Samelson, Hans (2003). «Proof without words: Viviani's theorem with vectors». Math. Mag. 76 (3): 225. doi:10.2307/3219327. Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). «The converse of Viviani's theorem». The College Mathematics Journal 37 (5): 390–391. doi:10.2307/27646392. Kawasaki, Ken-Ichiroh; Yagi, Yoshihiro; Yanagawa, Katsuya (2005). «On Viviani's theorem in three dimensions». Math. Gaz. 89 (515): 283–287. doi:10.1017/S002555720017785X. Zhou, Li (2012). «Viviani polytopes and Fermat Points». Coll. Math. J. 43 (4): 309–312. doi:10.4169/college.math.j.43.4.309. Ισόπλευρο τρίγωνο Κανονικό πολύγωνο