Δακτύλιος (άλγεβρα)

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην αφηρημένη άλγεβρα, δακτύλιος είναι μια αλγεβρική δομή που αφαιρεί και γενικεύει τις βασικές αριθμητικές πράξεις, και συγκεκριμένα τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Οι δακτύλιοι μελετώνται κυρίως στον κλάδο των μαθηματικών, γνωστό ως άλγεβρα, αλλά χρησιμοποιούνται σε περισσότερους τομείς των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της γεωμετρίας και της μαθηματικής ανάλυσης. Επιτρέπουν στους μαθηματικούς να εφαρμόσουν τις θεωρίες της στοιχειώδους άλγεβρας σε μη-αριθμητικά αντικείμενα όπως πολυώνυμα, σειρές και συναρτήσεις. Ο επίσημος ορισμός των δακτυλίων είναι σχετικά πρόσφατος (τέλη 19ου αιώνα), και είναι ένα παράδειγμα της τάσης των σύγχρονων μαθηματικών για την εισαγωγή, τη μελέτη, και τη διαχείριση των αφηρημένων δομών. Ο Δακτύλιος είναι αλγεβρική δομή ( R , + , ∗ ) {\displaystyle (R,+,*)} , η οποία αποτελείται από ένα μη κενό σύνολο R, εφοδιασμένο με δύο διμελείς πράξεις + : R × R → R {\displaystyle +:R\times R\rightarrow R} και ∗ : R × R → R {\displaystyle *:R\times R\rightarrow R} (οι οποίες αποκαλούνται συχνά πρόσθεση και πολλαπλασιασμός αντίστοιχα), ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα: Η δομή ( R , + , 0 ) {\displaystyle (R,+,0)} είναι αβελιανή ομάδα: ( x + y ) + z = x + ( y + z ) {\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)} για κάθε x , y , z ∈ R {\displaystyle x,y,z\in R} (προσεταιριστικότητα). Υπάρχει ένα στοιχείο 0 ∈ R {\displaystyle 0\in R} ώστε 0 + x = x + 0 = x {\displaystyle 0+x=x+0=x} για κάθε x ∈ R {\displaystyle x\in R} (ύπαρξη προσθετικού ουδέτερου στοιχείου). Για κάθε στοιχείο x ∈ R {\displaystyle x\in R} υπάρχει ένα στοιχείο − x ∈ R {\displaystyle -x\in R} ώστε x + ( − x ) = ( − x ) + x = 0 {\displaystyle x+(-x)=(-x)+x=0} (ύπαρξη αντιθέτου στοιχείου). x + y = y + x {\displaystyle x+y=y+x} για κάθε x , ∈ R {\displaystyle x,\in R} (μεταθετικότητα). Η δομη ( R , ∗ ) {\displaystyle (R,*)} είναι μονοειδές: ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) {\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)} για κάθε x , y , z ∈ R {\displaystyle x,y,z\in R} (προσεταιριστικότητα). Υπάρχει ένα στοιχείο 1 ∈ R {\displaystyle 1\in R} ώστε 1 ∗ x = x ∗ 1 = x {\displaystyle 1*x=x*1=x} για κάθε x ∈ R {\displaystyle x\in R} (ύπαρξη πολλαπλασιαστικού ουδέτερου στοιχείου). Ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση: x ∗ ( y + z ) = x ∗ y + x ∗ z {\displaystyle x*(y+z)=x*y+x*z} για κάθε x , y , z ∈ R {\displaystyle x,y,z\in R} (αριστερός επιμεριστικός νόμος). ( x + y ) ∗ z = x ∗ z + y ∗ z {\displaystyle (x+y)*z=x*z+y*z} για κάθε x , y , z ∈ R {\displaystyle x,y,z\in R} (δεξιός επιμεριστικός νόμος).Το πολλαπλασιαστικό ουδέτερο στοιχείο συνήθως ονομάζεται μονάδα. Συνήθως το γινόμενο δυο στοιχείων x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in R} το συμβολίζουμε με x y {\displaystyle xy} αντί του x ∗ y {\displaystyle x*y} για λόγους συντομίας. Πρέπει να τονιστεί ότι οι δύο πράξεις + {\displaystyle +} και ∗ {\displaystyle *} που περιγράφονται εδώ μπορούν να είναι οποιεσδήποτε δύο πράξεις που ικανοποιούν τις συνθήκες που αναφέρονται πιο πάνω, όχι αναγκαστικά η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Έχει επικρατήσει να ονομάζονται "πρόσθεση" και "πολλαπλασιασμός" οι δύο αυτές πράξεις των δακτυλίων για λόγους απλότητας.

 Στην γενικότητα του ένας δακτύλιος δεν είναι αναγκαστικό να έχει πολλαπλασιαστικό ουδέτερο. Ο παραπάνω ορισμός οφείλεται στην Έμμυ Ναίτερ (Emmy Noether) όπως παρατέθηκε σε μια εργασία της στο Mathematische Annalen, vol. 83 (1921). Ένα στοιχείο x ∈ R {\displaystyle x\in R} ονομάζεται (αριστερός) διαιρέτης του μηδενός εάν υπάρχει y ∈ R − { 0 } {\displaystyle y\in R-\{0\}} ώστε x y = 0 {\displaystyle xy=0} . Αντίστοιχα ορίζεται και ο δεξιός διαιρέτης του μηδενός. Το στοιχείο 0 ∈ R {\displaystyle 0\in R} είναι πάντα αριστερός και δεξιός διαιρέτης του μηδενός όταν ο δακτύλιος R {\displaystyle R} είναι μη μηδενικός ( R ≠ { 0 } ) {\displaystyle \left(R\neq \{0\}\right)} και ο μηδενικός δακτύλιος είναι ο μοναδικός δακτύλιος χωρίς διαιρέτες του μηδενός. Ένα στοιχείο x ∈ R {\displaystyle x\in R} ονομάζεται αριστερά αντιστρέψιμο εάν υπάρχει y ∈ R {\displaystyle y\in R} ώστε y x = 1 {\displaystyle yx=1} . Αντίστοιχα ένα στοιχείο x ∈ R {\displaystyle x\in R} ονομάζεται δεξιά αντιστρέψιμο εάν υπάρχει y ∈ R {\displaystyle y\in R} ώστε x y = 1 ∈ R {\displaystyle xy=1\in R} . Ένα στοιχείο x ∈ R {\displaystyle x\in R} λέγεται αντιστρέψιμο αριστερό και δεξιό αντίστροφο στον R {\displaystyle R} , δηλαδή αν υπάρχει y ∈ R {\displaystyle y\in R} ώστε: x y = y x = 1 {\displaystyle xy=yx=1} .Αποδεικνύεται ότι εάν ένα στοιχείο x ∈ R {\displaystyle x\in R} είναι αντιστρέψιμο, τότε ο αριστερός και ο δεξιός αντίστροφος ταυτίζονται. Ένας δακτύλιος ονομάζεται αντιμεταθετικός ή μεταθετικός εάν ο πολλαπλασιασμός είναι μεταθετικός, δηλαδή αν ισχύει x y = y x , ∀ x , y ∈ R {\displaystyle xy=yx,\,\,\forall x,y\in R} . Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος ονομαζεται ακέραια περιοχή εάν για κάθε x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in R} με x y = 0 {\displaystyle xy=0} έπεται πως x = 0 {\displaystyle x=0} ή y = 0 {\displaystyle y=0} . Σε μία ακέραια περιοχή ισχύουν ο αριστερός και ο δεξιός νόμος της διαγραφής: x y = x z ⇒ y = z , ∀ x , y , z ∈ R − { 0 } {\displaystyle xy=xz\Rightarrow y=z,\,\,\forall x,y,z\in R-\{0\}} (αριστερός νόμος της διαγραφής). x y = z y ⇒ x = z , ∀ x , y , z ∈ R − { 0 } {\displaystyle xy=zy\Rightarrow x=z,\,\,\forall x,y,z\in R-\{0\}} (δεξιός νόμος της διαγραφής).Αν κάθε μη μηδενικό στοιχείο του R {\displaystyle R} είναι αντιστρέψιμο , τότε ο R {\displaystyle R} λέγεται δακτύλιος διαίρεσης. Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος διαίρεσης είναι σώμα. Ειδικότερα, κάθε σώμα είναι δακτύλιος. Το μονοσύνολο που περιέχει το μηδέν είναι δακτύλιος κατά τετριμμένο τρόπο. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών με τη συνήθη πρόσθεση και το συνήθη πολλαπλασιασμό είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος. Οι ακέραιοι του Γκάους με τη συνήθη πρόσθεση και το συνήθη πολλαπλασιασμό αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο. Το σύνολο των n × n {\displaystyle n\times n} πινάκων με συνιστώσες (εγγραφές) από ένα σώμα αποτελεί έναν δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο που είναι μεταθετικός μόνο για n = 1 {\displaystyle n=1} . Ένας ομομορφισμός από έναν δακτύλιο ( R , + , ∗ ) {\displaystyle (R,+,*)} σε έναν δακτύλιο ( S , + ′ , ∗ ′ ) {\displaystyle (S,+',*')} είναι μια συνάρτηση f : R → S {\displaystyle f:R\rightarrow S} , η οποία διατηρεί τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, πιο συγκεκριμένα η f {\displaystyle f} είναι ομομορφισμός δακτυλίων εάν ∀ x , y ∈ R {\displaystyle \forall x,y\in R} : f ( x + y ) = f ( x ) + ′ f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+'f(y)} . f ( x ∗ y ) = f ( x ) ∗ ′ f ( y ) {\displaystyle f(x*y)=f(x)*'f(y)} .Είναι άμεσο από τα αξιώματα ότι το προσθετικό ουδέτερο στοιχείο του δακτυλίου R {\displaystyle R} απεικονίζεται στο προσθετικό ουδέτερο στοιχείο του S {\displaystyle S} , δηλαδή f ( 0 R ) = 0 S {\displaystyle f(0_{R})=0_{S}} . Αντιμεταθετικός δακτύλιος Δακτύλιος ακεραίων Ακέραια περιοχή Σώμα