Σχέση του Λάιμπνιτς

Στην γεωμετρία, η σχέση του Λάιμπνιτς (αναφέρεται και ως σχέση του Leibniz) αναφέρεται στην σχέση μεταξύ των τετραγώνων των αποστάσεων ενός τυχόντος σημείου M {\displaystyle \mathrm {M} } από τις κορυφές ενός τριγώνου A B Γ {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και το βαρύκεντρο G {\displaystyle \mathrm {G} } του τριγώνου. Πιο συγκεκριμένα, M A 2 + M B 2 + M Γ 2 = 3 ⋅ M G 2 + G A 2 + G B 2 + G Γ 2 = 3 ⋅ M G 2 + 1 3 ⋅ ( A B 2 + B Γ 2 + Γ A 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}\\&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot (\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {B\Gamma } ^{2}+\mathrm {\Gamma A} ^{2}).\end{aligned}}} Η σχέση παίρνει το όνομα της από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς.

 Έστω M A {\displaystyle {\rm {M_{A}}}} το μέσο της B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} . Τότε από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο B M Γ {\displaystyle {\rm {BM\Gamma }}} έχουμε ότι M B 2 + M Γ 2 = 2 ⋅ M M A 2 + 1 2 B Γ 2 {\displaystyle {\rm {MB^{2}+M\Gamma ^{2}=2\cdot {MM_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}} .Αντίστοιχα από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} , A B 2 + A Γ 2 = 2 ⋅ A M A 2 + 1 2 B Γ 2 {\displaystyle {\rm {AB^{2}+A\Gamma ^{2}=2\cdot {AM_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}} .Από το θεώρημα Stewart και χρησιμοποιώντας ότι A G = 2 3 A M A {\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM_{A}}}} έχουμε ότι M A 2 ⋅ G M A + M M A 2 ⋅ A G = A M A ⋅ ( M G 2 + A G ⋅ G M A ) ⇒ 1 3 M A 2 + 2 3 M M A 2 = M G 2 + 2 3 A M A 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {MA^{2}\cdot GM_{A}+{MM_{A}}^{2}\cdot AG}}&{\rm {=AM_{A}\cdot (MG^{2}+AG\cdot GM_{A})\Rightarrow }}\\{\rm {{\tfrac {1}{3}}MA^{2}+{\tfrac {2}{3}}{MM_{A}}^{2}}}&{\rm {=MG^{2}+{\tfrac {2}{3}}{AM_{A}}^{2}.}}\end{aligned}}} Τέλος, συνδυάζοντας τις τρεις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε M A 2 + M B 2 + M Γ 2 = 3 ⋅ M G 2 + 2 ⋅ A M A 2 − 2 ⋅ M M A 2 + 2 ⋅ M M A 2 + 3 2 B Γ 2 = 3 ⋅ M G 2 + A B 2 + A Γ 2 − 1 2 B Γ 2 + 3 2 B Γ 2 = 3 ⋅ M G 2 + A B 2 + A Γ 2 + B Γ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {MA^{2}+MB^{2}+M\Gamma ^{2}}}&={\rm {3\cdot MG^{2}+2\cdot {AM_{A}}^{2}-2\cdot {MM_{A}}^{2}+2\cdot {MM_{A}}^{2}+{\frac {3}{2}}B\Gamma ^{2}}}\\&={\rm {3\cdot MG^{2}+AB^{2}+A\Gamma ^{2}-{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}+{\frac {3}{2}}B\Gamma ^{2}}}\\&={\rm {3\cdot MG^{2}+AB^{2}+A\Gamma ^{2}+B\Gamma ^{2}.}}\end{aligned}}} Θα χρησιμοποιήσουμε διανύσματα για να αποδείξουμε την πρώτη σχέση. Από τις ιδιότητες του βαρυκέντρου έχουμε ότι G A → + G B → + G Γ → = 0 {\displaystyle {\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }}=0} .Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος έχουμε ότι M A 2 + M B 2 + M Γ 2 = ( M G → + G A → ) 2 + ( M G → + G B → ) 2 + ( M G → + G Γ → ) 2 = 3 ⋅ M Γ 2 + G A 2 + G B 2 + G Γ 2 + 2 ⋅ M G ⋅ ( G A → + G B → + G Γ → ) = 3 ⋅ M Γ 2 + G A 2 + G B 2 + G Γ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GA} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GB} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})^{2}\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}+2\cdot \mathrm {MG} \cdot ({\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}.\end{aligned}}} Γενικά, σε ένα διανυσματικό χώρο σε κάθε πολύγωνο με κορυφές τα σημεία A 1 , … , A n {\displaystyle \mathrm {A} _{1},\ldots ,\mathrm {A} _{n}} και ένα τυχόν σημείο M {\displaystyle \mathrm {M} } του επιπέδου ισχύει ότι M A 1 2 + … + M A n 2 = n ⋅ M G 2 + G A 1 2 + … + G A n 2 {\displaystyle \mathrm {MA} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {MA} _{n}^{2}=n\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} _{1}^{2}+\ldots +\mathrm {GA} _{n}^{2}} ,όπου G = 1 n ⋅ ( A 1 + … + A n ) {\displaystyle \mathrm {G} ={\tfrac {1}{n}}\cdot (\mathrm {A} _{1}+\ldots +\mathrm {A} _{n})} . Πρώτο θεώρημα διαμέσων Θεώρημα Στιούαρτ