Κανόνας προσήμων του Ντεκάρτ

Στα μαθηματικά, ο κανόνας προσήμων του Ντεκάρτ, ο οποίος περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Ρενέ Ντεκάρτ (René Descartes) στο έργο του La Géométrie (Η Γεωμετρία), είναι μια τεχνική για τον καθορισμό του αριθμού των θετικών ή αρνητικών πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου. Ο κανόνας δίνει ένα άνω όριο στον αριθμό των θετικών ή αρνητικών ριζών ενός πολυωνύμου. Ωστόσο, δεν είναι ένα απόλυτο κριτήριο, δηλαδή δεν παρέχει τον ακριβή αριθμό των θετικών ή αρνητικών ριζών.

 Ο κανόνας ορίζει ότι αν οι όροι ενός πολυωνύμου μιας μεταβλητής με πραγματικούς συντελεστές διατεταχθούν κατά φθίνουσα σειρά με βάση τον εκθέτη, τότε ο αριθμός των θετικών ριζών του πολυωνύμου είναι είτε ίσος με τον αριθμό των εναλλαγών προσήμου μεταξύ διαδοχικών μη μηδενικών συντελεστών, είτε μικρότερος κατά έναν άρτιο αριθμό. Οι πολλαπλές ρίζες με την ίδια τιμή μετρώνται ξεχωριστά. Ως πόρισμα του κανόνα, ο αριθμός των αρνητικών ριζών είναι είτε ίσος με τον αριθμό των εναλλαγών προσήμου στην ακολουθία των συντελεστών του πολυωνύμου, αφού πολλαπλασιαστούν με τον αριθμό −1 οι συντελεστές των όρων με περιττό εκθέτη, είτε μικρότερος κατά έναν άρτιο αριθμό. Η διαδικασία αυτή είναι ισοδύναμη με την αντικατάσταση του συμπληρώματος των μεταβλητών με τις ίδιες τις μεταβλητές. Για παράδειγμα, για να βρούμε τον αριθμό των αρνητικών ριζών του f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} , μπορούμε ισοδύναμα να ρωτήσουμε πόσες θετικές ρίζες υπάρχουν για το − x {\displaystyle -x} στο f ( − x ) = a ( − x ) 3 + b ( − x ) 2 + c ( − x ) + d = − a x 3 + b x 2 − c x + d ≡ g ( x ) . {\displaystyle f(-x)=a(-x)^{3}+b(-x)^{2}+c(-x)+d=-ax^{3}+bx^{2}-cx+d\equiv g(x).} Χρησιμοποιώντας τον κανόνα προσήμων του Ντεκάρτ στο g ( x ) {\displaystyle g(x)} λαμβάνουμε τον αριθμό των θετικών ριζών x i {\displaystyle x_{i}} του g, και αφού g ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle g(x)=f(-x)} λαμβάνουμε τον αριθμό των θετικών ριζών ( − x i ) {\displaystyle (-x_{i})} του f, ο οποίος είναι ίδιος με τον αριθμό των αρνητικών ριζών x i {\displaystyle x_{i}} του f. Το πολυώνυμο f ( x ) = + x 3 + x 2 − x − 1 {\displaystyle f(x)=+x^{3}+x^{2}-x-1\,} έχει μία εναλλαγή προσήμου μεταξύ του δεύτερου και τρίτου όρου (η ακολουθία των ζευγαριών των διαδοχικών προσήμων είναι ++, +−, −−). Οπότε έχει ακριβώς μία ρίζα. Παρατηρείστε ότι το αρχικό πρόσημο λαμβάνεται υπ' όψιν παρ' ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα δεν επηρεάζει την απάντηση. Για να βρεθεί ο αριθμός των αρνητικών ριζών, άλλαξε τα πρόσημα των συντελεστών των όρων με περιττό εκθέτη και έπειτα εφάρμοσε τον κανόνα προσήμων του Ντεκάρτ στο πολυώνυμο f ( − x ) {\displaystyle f(-x)} , ώστε να λάβεις το δεύτερο πολυώνυμο f ( − x ) = − x 3 + x 2 + x − 1 {\displaystyle f(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1\,} Αυτό το πολυώνυμο έχει δύο εναλλαγές προσήμου (η ακολουθία των ζευγαριών των διαδοχικών προσήμων είναι −+, ++, +−), που σημαίνει ότι το δεύτερο αυτό πολυώνυμο έχει δύο ή μηδέν θετικές ρίζες. Οπότε, το αρχικό πολυώνυμο έχει δύο ή μηδέν αρνητικές ρίζες. Όντως, με παραγοντοποίηση το πρώτο πολυώνυμο γράφεται ως f ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( x − 1 ) , {\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}(x-1),\,} οπότε οι ρίζες είναι −1 (διπλή ρίζα) και 1. Με παραγοντοποίηση το δεύτερο πολυώνυμο γράφεται ως f ( − x ) = − ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) , {\displaystyle f(-x)=-(x-1)^{2}(x+1),\,} Οπότε σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες είναι ένα 1 (διπλή ρίζα) και −1, δηλαδή οι συμπληρωματικές ρίζες του αρχικού πολυωνύμου. Οποιοδήποτε nοστού βαθμού πολυώνυμο έχει ακριβώς n ρίζες. Οπότε αν f(x) είναι ένα πολυώνυμο το οποίο δεν έχει ρίζα στο 0 (το οποίο μπορεί να επαληθευθεί με τον έλεγχο αυτής της περίπτωσης), τότε ο ελάχιστος αριθμός των σύνθετων ριζών του είναι ίσος με n − ( p + q ) , {\displaystyle n-(p+q),\,} όπου το p δηλώνει το μέγιστο αριθμό των θετικών ριζών, το q δηλώνει το μέγιστο αριθμό των αρνητικών ριζών (και οι δύο αριθμοί μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον κανόνα προσήμων του Ντεκάρτ) και το n δηλώνει το βαθμό της εξίσωσης. Ένα απλό παράδειγμα είναι το πολυώνυμο f ( x ) = x 3 − 1 , {\displaystyle f(x)=x^{3}-1\,,} το οποίο έχει μία εναλλαγή προσήμου, οπότε ο μέγιστος αριθμός των θετικών ριζών του είναι 1. Από το f ( − x ) = − x 3 − 1 , {\displaystyle f(-x)=-x^{3}-1\,,} μπορούμε να αποφανθούμε ότι το πολυώνυμο δεν έχει αρνητικές πραγματικές ρίζες. Οπότε ο ελάχιστος αριθμός των σύνθετων ριζών είναι 3 − ( 1 + 0 ) = 2 . {\displaystyle 3-(1+0)=2\,.} Αφού οι σύνθετες ρίζες ενός πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές πρέπει να εμφανίζονται σε συζευγμένα ζεύγη, μπορούμε να δούμε ότι το x3 - 1 έχει ακριβώς 2 σύνθετες ρίζες και 1 πραγματική (θετική) ρίζα. Η αφαίρεση μόνο πολλαπλάσιων του 2 από το μέγιστο αριθμό των θετικών ριζών συμβαίνει διότι το πολυώνυμο ίσως έχει σύνθετες ρίζες, οι οποίες πηγαίνουν πάντοτε σε ζεύγη, αφού ο κανόνας εφαρμόζεται σε πολυώνυμα των οποίων οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί. Οπότε αν είναι γνωστό ότι το πολυώνυμο έχει μόνο πραγματικές ρίζες, ο κανόνας αυτός επιτρέπει σε κάποιον να βρει τον ακριβή αριθμό των θετικών και αρνητικών ριζών. Εφόσον είναι εύκολο να καθοριστεί η πολλαπλότητα του μηδέν ως ρίζα, στην περίπτωση αυτή μπορεί να υπολογιστεί το πρόσημο όλων των ριζών. Αν το πραγματικό πολυώνυμο P έχει k πραγματικές θετικές ρίζες, λαμβάνοντας υπ' όψιν και τις πολλαπλότητες, τότε για κάθε a > 0 υπάρχουν τουλάχιστον k εναλλαγές πρσήμου στην ακολουθία των συντελεστών της σειράς Τέιλορ (Taylor) της συνάρτησης eaxP(x).Τη δεκαετία του 1970 ο Askold Georgevich Khovanskiǐ ανέπτυξε τη θεωρία των λιγοωνύμων (fewnomials) που γενικεύει τον κανόνα του Ντεκάρτ. Ο κανόνας των προσήμων μπορεί να θεωρηθεί το ίδιο με τη δήλωση ότι ο αριθμός των πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου εξαρτάται από την πολυπλοκότητα του πολυωνύμου και ότι αυτή η πολυπλοκότητα είναι ανάλογη με τον αριθμό των μονώνυμων που έχει, όχι του βαθμού του. Ο Khovanskiǐ απέδειξε ότι αυτό ισχύει όχι μόνο για τα πολυώνυμα αλλά και για τους αλγεβρικούς συνδυασμούς πολλών υπερβατικών (transcendental) συναρτήσεων, των λεγόμενων Pfaffian συναρτήσεων. Κανόνας προσήμων του Ντεκάρτ — Απόδειξη του Κανόνα Κανόνας προσήμων του Ντεκάρτ — Βασική επεξήγηση