Τυχαίο γράφημα

Στα μαθηματικά, ένα τυχαίο γράφημα είναι ένα γράφημα το οποίο δημιουργείται από κάποια τυχαία διαδικασία. Η θεωρία των τυχαίων γραφημάτων βρίσκεται στη διασταύρωση μεταξύ της θεωρίας γράφων, της θεωρίας των πιθανοτήτων και των μελετών των ιδιοτήτων των τυπικών τυχαίων γραφημάτων.

 Ένα τυχαίο γράφημα επιτυγχάνεται ξεκινώντας με ένα σύνολο από n κορυφές και προσθέτοντας τις άκρες μεταξύ τους τυχαία. Διαφορετικά μοντέλα τυχαίων γραφημάτων παράγουν διαφορετικές κατανομές πιθανότητας στα γραφήματα.. Αυτό που μελετάται πιο συχνά είναι το μοντέλο που έχει προταθεί από τον Edgar Gilbert, συμβολίζεται G (n, p), και στο οποίο κάθε δυνατή ακμή εμφανίζεται ανεξάρτητα με πιθανότητα p. Ένα μοντέλο με στενή σχέση, το μοντέλο Erdős-Rényi, που συμβολίζεται G(n,M), αναθέτει ίση πιθανότητα για όλα τα γραφήματα με ακριβώς M ακμές. Το τελευταίο μοντέλο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα στιγμιότυπο σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή (M) της τυχαίας διαδικασίας του γραφήματος G ~ n {\displaystyle {\tilde {G}}_{n}} , η οποία είναι μια στοχαστική διαδικασία που ξεκινά με n κορυφές και χωρίς ακμές και σε κάθε βήμα προσθέτει μια νέα ακμή επιλεγόμενη ομοιόμορφα από το σύνολο των ακμών που λείπουν. Αν, αντίθετα, ξεκινάμε με ένα άπειρο σύνολο κορυφών, και πάλι ας κάθε δυνατή ακμή εμφανίζεται ανεξάρτητα με πιθανότητα p, τότε θα έχουμε ένα αντικείμενο G το οποίο ονομάζεται άπειρο τυχαίο γράφημα. Εκτός από τις συνήθεις περιπτώσεις, όταν το p είναι 0 ή 1, ένα τέτοιο αντικείμενο G σχεδόν σίγουρα έχει την ακόλουθη ιδιότητα: Για οποιαδήποτε n + m {\displaystyle n+m} στοιχεία a 1 , … , a n , b 1 , … , b m ∈ V {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V} , υπάρχει μια κορυφή c ∈ V {\displaystyle c\in V} που είναι γειτονική με καθεμία από τις άλλες a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} και δεν είναι γειτονική με καμμία από τις άλλες b 1 , … , b m {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{m}} . Αποδεικνύεται ότι αν το σύνολο των κορυφών είναι μετρήσιμο τότε υπάρχει, μέχρι τον ισομορφισμό, μόνο ένα γράφημα με αυτήν την ιδιότητα, γνωστό και ως το γράφημα Rado. Κατά συνέπεια, κάθε αριθμήσιμο άπειρο τυχαίο γράφημα είναι σχεδόν σίγουρα το γράφημα Rado, το οποίο για το λόγο αυτό καλείται μερικές φορές απλά τυχαίο γράφημα. Ωστόσο, το ανάλογο αποτέλεσμα δεν ισχύει και για αμέτρητες γραφικές παραστάσεις, εκ των οποίων υπάρχουν πολλά μη ισομορφικά (nonisomorphic) γραφήματα που να ικανοποιούν τη παραπάνω ιδιότητα. Ένα άλλο μοντέλο, το οποίο γενικεύει το τυχαίο μοντέλο γράφου Gilbert, είναι το τυχαίο dot-product μοντέλο. Ένα τυχαίο dot-product γράφημα αντιστοιχεί με κάθε κορυφή ένα πραγματικό διάνυσμα. Η πιθανότητα της ακμής uv μεταξύ οποιωνδήποτε κορυφών u και v είναι κάποια λειτουργία του dot-product u•v των αντίστοιχων διανυσμάτων τους. Η μήτρα πιθανότητας δικτύου μοντελοποιεί τυχαία γραφήματα μέσω των πιθανοτήτων των ακμών, οι οποίες αντιπροσωπεύουν τη πιθανότητα p i , j {\displaystyle p_{i,j}} ότι μια συγκεκριμένη ακμή e i , j {\displaystyle e_{i,j}} υπάρχει για μια καθορισμένη χρονική περίοδο. Το μοντέλο αυτό είναι επεκτάσιμο σε κατευθυνόμενα, μη κατευθυνόμενα, σταθμισμένα, μη σταθμισμένα, στατικά ή δυναμικά γραφήματα. Για M ≃ p n {\displaystyle M\simeq pn} τα δύο πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα μοντέλα, G (n, M) και G (n, p), είναι σχεδόν εναλλάξιμα. Τα απλά τυχαία γραφήματα αποτελούν μια ειδική περίπτωση, με ιδιότητες που μπορεί να διαφέρουν από τα τυχαία γραφήματα σε γενικές γραμμές. Η θεωρία των τυχαίων γραφημάτων μελετά τυπικές ιδιότητες των τυχαίων γραφημάτων, εκείνες δηλαδή που ισχύουν με μεγάλη πιθανότητα για γραφήματα που προέρχονται από μια συγκεκριμένη κατανομή. Για παράδειγμα, μπορούμε να ρωτήσουμε για μια δεδομένη τιμή του n και p ποια είναι η πιθανότητα ότι το G (n, p) είναι συνδεδεμένο. Μελετώντας αυτά τα ερωτήματα, οι ερευνητές συχνά επικεντρώνονται στην ασυμπτωτική συμπεριφορά των τυχαίων γραφημάτων- το γεγονός ότι διάφορες πιθανότητες συγκλίνουν όσο το n γίνεται πολύ μεγάλο. Η Θεωρία διήθησης χαρακτηρίζει τον βαθμό σύνδεσης των τυχαίων γραφημάτων, ειδικά των απείρως μεγάλων γραφημάτων. Η διήθηση έχει σχέση με την ευρωστία του γραφήματος (που ονομάζεται επίσης και δίκτυο). Λαμβάνουμε ένα τυχαίο γράφημα με n κόμβους και μέσο <k> βαθμό. Στη συνέχεια αφαιρούμε τυχαία ένα κλάσμα 1-p κόμβων και αφήνουμε μόνο ένα κλάσμα p. Υπάρχει ένα κρίσιμο όριο διήθησης pc=1/<k> κάτω από το οποίο το δίκτυο έχει κατακερματιστεί, ενώ πάνω από το όριο υπάρχει ένα γιγαντιαίο συνεκτικό στοιχείο. Τα τυχαία γραφήματα χρησιμοποιούνται ευρέως στην πιθανολογική μέθοδο, όπου κάποιος προσπαθεί να αποδείξει την ύπαρξη γραφημάτων με συγκεκριμένες ιδιότητες. Η ύπαρξη μιας ιδιότητας σε τυχαίο γράφο μπορεί συχνά να συνεπάγεται, μέσω της διάσημης Szemerédi regularity lemma, την ύπαρξη των ιδιοτήτων αυτών σχεδόν σε όλα τα γραφήματα. Αλληλοεξαρτώμενα γραφήματα ή δίκτυα είναι ένα σύστημα συνδεδεμένων δικτύων όπου οι κόμβοι του ένα ή περισσότερα δίκτυα οι οποίοι εξαρτώνται από τους κόμβους σε άλλα δίκτυα. Η εξάρτηση αυτή ενισχύεται από τις εξελίξεις στη σύγχρονη τεχνολογία. Τέτοιες εξαρτήσεις μπορεί να οδηγήσουν σε διαδοχικές αποτυχίες (cascading failures) μεταξύ των δικτύων και μια σχετικά μικρή βλάβη μπορεί να οδηγήσει σε μια καταστροφική κατάρρευση του συστήματος. Τα blackouts είναι μια συναρπαστική επίδειξη του σημαντικού ρόλου που διαδραματίζουν οι εξαρτήσεις μεταξύ των δικτύων. Μια πρόσφατη μελέτη ανέπτυξε ένα πλαίσιο για τη μελέτη των διαδοχικών αποτυχιών σε έναν αλληλεξαρτώμενο σύστημα δικτύων. Τα τυχαία γραφήματα ορίστηκαν για πρώτη φορά από τους Paul Erdős και Alfréd Rényi το 1959 στην εργασία τους με τίτλο "On Random Graphs" και ανεξάρτητα από τον Gilbert στην εργασία του "Random Graphs".