Λογισμός

Ο Απειροστικός Λογισμός, ή απλά Λογισμός, είναι η μαθηματική μελέτη της συνεχούς μεταβολής των τιμών. Έχει δύο κύριους κλάδους τον διαφορικό λογισμό (σχετικά με τα ποσοστά των αλλαγών και τις κλίσεις των καμπυλών) και τον ολοκληρωτικό λογισμό (σχετικά με τη σώρευση των ποσοτήτων και τις περιοχές κάτω από τις καμπύλες), αυτοί οι δύο κλάδοι συνδέονται μεταξύ τους με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Και οι δύο κλάδοι κάνουν χρήση των θεμελιωδών εννοιών της σύγκλισης άπειρων ακολουθιών και άπειρων σειρών σε ένα καλά καθορισμένο όριο. Ο λογισμός έχει ευρέως διαδεδομένες χρήσεις στον τομέα της επιστήμης, της οικονομίας, και της μηχανικής και μπορεί να λύσει πολλά προβλήματα που η άλγεβρα μόνη της δεν μπορεί. Ο λογισμός είναι ένα σημαντικό μέρος της σύγχρονης εκπαίδευσης μαθηματικών. Ένα μάθημα λογισμού αποτελεί πύλη για άλλα, πιο προχωρημένα θέματα στα μαθηματικά που είναι αφιερωμένα στη μελέτη των συναρτήσεων και των ορίων, και γενικά ονομάζονται μαθηματική ανάλυση. Μερικά παραδείγματα άλλων γνωστών λογισμών είναι ο διανυσματικός λογισμός (vector calculus), ο λογισμός μεταβολών (calculus of variations) και ο Λογισμός λάμδα.

 Η αρχαία περίοδος εισήγαγε κάποιες από τις ιδέες που οδήγησαν στον ολοκληρωτικό λογισμό, αλλά δεν φαίνεται να είχαν αναπτυχθεί αυτές οι ιδέες με ένα αυστηρό και συστηματικό τρόπο. Υπολογισμοί όγκων και περιοχών, ένας σκοπός του ολοκληρωτικού λογισμού, μπορεί να βρεθεί στο μαθηματικό πάπυρο της Μόσχας (περ. 1820 π.Χ.), αλλά οι τύποι είναι απλές οδηγίες, με καμία ένδειξη ως προς τη μέθοδο, και μερικά από αυτά δεν διαθέτουν σωστές συνιστώσες. Από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών, ο Εύδοξος (περ. 408 - 355 π.Χ.), χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξαντλήσεως, η οποία προδιαγράφει την έννοια του ορίου, για τον υπολογισμό επιφανειών και όγκων, ενώ ο Αρχιμήδης (περ. 287-212 π.Χ.) ανέπτυξε περαιτέρω την ιδέα, εφευρίσκοντας διαισθητικά μεθόδους που μοιάζουν με τις μεθόδους του ολοκληρωτικού λογισμού. Η μέθοδος της εξάντλησης αργότερα ανακαλύφθηκε εκ νέου στην Κίνα από τον Liu Hui, τον 3ο μ.Χ. αιώνα, προκειμένου να βρεθεί το εμβαδόν ενός κύκλου. Κατά τον 5ο αιώνα μ.Χ. ο Zu Chongzhi δημιούργησε μια μέθοδο που αργότερα ονομάστηκε αρχή του Καβαλιέρι για να βρει τον όγκο μιας σφαίρας. Τον 14ο αιώνα, ο Ινδός μαθηματικός Madhava Sangamagrama και το σχολείο Kerala της αστρονομίας και των μαθηματικών όρισε συστατικά του λογισμού, όπως η σειρά Τέιλορ και οι άπειρες προσεγγίσεις σειράς. Στην Ευρώπη, το θεμελιώδες έργο ήταν μια πραγματεία που οφείλεται στον Μποναβεντούρα Καβαλιέρι, ο οποίος υποστήριξε ότι οι όγκοι και οι περιοχές θα πρέπει να υπολογίζονται ως το άθροισμα των όγκων και των περιοχών των απειροελάχιστα λεπτών διατομών. Οι ιδέες του ήταν παρόμοιες με του Αρχιμήδη στη μέθοδο, αλλά αυτή η πραγματεία χάθηκε μέχρι τις αρχές του εικοστού αιώνα.Το έργο του Καβαλιέρι δεν ήταν σεβαστό δεδομένου ότι οι μέθοδοι του είχαν οδηγήσει σε λανθασμένα αποτελέσματα, και οι απειροελάχιστες ποσότητες που εισήγαγε ήταν κακόφημες από την πρώτη του. Ο Πιέρ ντε Φερμά υποστηρίζοντας ότι δανείστηκε από τον Διόφαντο, εισήγαγε την έννοια της επάρκειας (Adequality), η οποία αντιπροσώπευε την ισότητα μέχρι έναν απειροελάχιστο λανθασμένο όρο. Ο συνδυασμός επιτεύχθηκε από τους Τζον Ουάλις (John Wallis), Ισαάκ Μπάροου (Isaac Barrow) και Τζέιμς Γκρέγκορι (James Gregory), τα δύο τελευταία αποδείκνυαν το δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού γύρω από 1670. Ο κανόνας του προϊόντος και ο κανόνας της αλυσίδας, η έννοια των υψηλότερων παραγώγων, οι σειρές Τέιλορ και οι αναλυτικές λειτουργίες εισήχθησαν από τον Ισαάκ Νεύτωνα σε μια ιδιότυπη σημειογραφία που θα χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής.Στα έργα του ο Ισαάκ Νεύτων αναδιατύπωνε τις ιδέες του για να ταιριάζουν με το μαθηματικό ιδίωμα της εποχής του, αντικατέστησε τους υπολογισμούς των απειροελάχιστων από ισοδύναμα γεωμετρικά επιχειρήματα, τα οποία θεωρήθηκαν υπεράνω κριτικής. Συνήθιζε τις μεθόδους του λογισμού για την επίλυση του προβλήματος της πλανητικής κίνησης, το σχήμα της επιφάνειας ενός περιστρεφόμενου ρευστού, το πεπλατυσμένο σχήμα της γης, η κίνηση του βάρους συρόμενη σε ένα κυκλοειδές και πολλά άλλα προβλήματα που συζητήθηκαν στο Principia Mathematica του (1687). Σε άλλη εργασία ανέπτυξε σειρά επεκτάσεων για τις συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένων των κλασματικών και των άρρητων δυνάμεων και ήταν σαφές ότι κατάλαβε τις αρχές της σειράς Τέιλορ. Δεν δημοσιεύονται όλες οι ανακαλύψεις του. Αυτές οι ιδέες εφαρμόστηκαν στον πραγματικό απειροστικό λογισμό από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, ο οποίος αρχικά κατηγορήθηκε για λογοκλοπή από τον Νεύτωνα. Πλέον θεωρείται ως ένας ανεξάρτητος εφευρέτης που έχει συμβάλλει στο λογισμό. Η συμβολή του ήταν να παρέχει ένα σαφές σύνολο κανόνων για την εργασία του με απειροελάχιστες ποσότητες, επιτρέποντας τον υπολογισμό της δεύτερης παραγώγου και υψηλότερες, και απέδειξε τον κανόνα της αλυσίδας. Σε αντίθεση με τον Νεύτωνα ο Λάιμπνιτς έδωσε πολλή προσοχή στο τρόπο γραφής των τύπων, συχνά περνώντας μέρες για τον καθορισμό των κατάλληλων συμβόλων για τις έννοιες. Ο Λάιμπνιτς και ο Νεύτων συνήθως και οι δυο πιστώνονται με την εφεύρεση του λογισμού. Ο Νεύτων ήταν ο πρώτος που έγραψε για την εφαρμογή του λογισμού στη γενική φυσική και ο Λάιμπνιτς ανέπτυξε ένα μεγάλο μέρος του συμβολισμού που χρησιμοποιείται στο λογισμό μέχρι και σήμερα. Οι βασικές ιδέες που εισήγαγαν τόσο Νεύτων όσο και ο Λάιμπνιτς ήταν οι νόμοι της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης, τη δεύτερη παράγωγο και μεγαλύτερη, και την προσέγγιση πολυωνυμικών σειρών. Από την εποχή του Νεύτωνα, το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού ήταν γνωστό. Όταν ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς δημοσίευσαν τα πρώτα τους αποτελέσματα, υπήρχε μεγάλη διαμάχη σχετικά με το ποιος μαθηματικός (και κατά συνέπεια ποια χώρα) άξιζε πίστωσης. Ο Νεύτων ήταν ο πρώτος, αλλά ο Λάιμπνιτς δημοσίευσε για πρώτη φορά. Ο Νεύτων ισχυρίστηκε ότι ο Λάιμπνιτς έκλεψε τις ιδέες του από αδημοσίευτες σημειώσεις του, που ο Νεύτων είχε μοιραστεί με μερικά μέλη της Βασιλικής Εταιρείας. Αυτή η διαμάχη χωρίζει τους αγγλόφωνους μαθηματικούς από τους υπόλοιπους μαθηματικούς εδώ και πολλά χρόνια. Μια προσεκτική εξέταση των εγγράφων του Νεύτων και του Λάιμπνιτς δείχνει ότι έφτασαν στα αποτελέσματά τους ανεξάρτητα, με τον Λάιμπνιτς να ξεκινάει πρώτα με την ολοκλήρωση και τον Νεύτων με τη παραγώγιση. Σήμερα τόσο Νεύτων όσο και στον Λάιμπνιτς δίνεται πίστωση για την ανάπτυξη του λογισμού ανεξάρτητα. Ο Λάιμπνιτς όμως τιμήθηκε δίνοντας το όνομά του. Ο Νεύτων ονόμασε τον λογισμό του "η επιστήμη των συνεχών αλλαγών". Από την εποχή του Νεύτων και του Λάιμπνιτς πολλοί μαθηματικοί έχουν συμβάλει στη συνεχή ανάπτυξη του λογισμού. Μια από τις πρώτες και πιο ολοκληρωμένες δουλειές σχετικά με την πεπερασμένη και την απειροστή ανάλυση γράφτηκε το 1748 από τη Μαρία Γκαετάνα Ανιέζι. Στις αρχές του λογισμού η χρήση των απειροελάχιστων ποσοτήτων δε ήταν αυστηρή και επικρίθηκε έντονα από ορισμένους συγγραφείς κυρίως από τους Μισέλ Ρολ (Michel Rolle) και Τζωρτζ Μπέρκλεϊ. Ο Μπέρκλεϊ (Berkeley) γράφει για τον απειροστικό λογισμό στο βιβλίο του The Analyst το 1734. Μια πρόσφατη μελέτη υποστηρίζει ότι ο λογισμός του Λάιμπνιτς ήταν πιο καλά θεμελιωμένος από του Μπέρκλεϊ. Τα θεμέλια που είχαν βάλει ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς για τον λογισμό επειδή ήταν αυστηρά διατυπωμένα βοήθησαν τους μαθηματικούς για ένα μεγάλο μέρος του επόμενου αιώνα και εξακολουθούν να είναι σε κάποιο βαθμό ένας ενεργός τομέας της έρευνας σήμερα. Αρκετοί μαθηματικοί, συμπεριλαμβανομένου του Κόλιν Μακλόριν (Colin Maclaurin), προσπάθησαν να αποδείξουν την ορθότητα της χρήσης απειροελάχιστων, αλλά δεν μπόρεσαν να το αποδείξουν μέχρι 150 χρόνια αργότερα όταν χάρη στο έργο των Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ και Καρλ Βάιερστρας ένας τρόπος βρέθηκε τελικά για να αποφευχθεί η απλή "έννοια" των απείρων μικρών ποσοτήτων. Τα θεμέλια του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού είχαν τεθεί. Στα έγγραφα του Κωσύ υπάρχει ένα ευρύ φάσμα της θεμελιακής προσέγγισης, συμπεριλαμβανομένου του ορισμού της συνέχειας, όσον αφορά στα απειροελάχιστα, και ένα (κάπως ασαφές) πρωτότυπο ενός (ε, δ)-ορισμό του ορίου στον ορισμό της διαφοροποίησης. Στο έργο του ο Βάιερστρας διατύπωσε εκ νέου την έννοια του ορίου. Μετά το έργο του Βάιερστρας έγινε κοινό στο βασικό λογισμό σχετικά με τα όρια αντί για απειροελάχιστες ποσότητες. Μπέρναρντ Ρίμαν ([Bernhard Riemann) χρησιμοποίησε αυτές οι ιδέες να δώσει έναν ακριβή ορισμό του ολοκληρώματος. Επίσης κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ότι οι ιδέες του λογισμού γενικεύονταν στον Ευκλείδειο χώρο και στο μιγαδικό επίπεδο. Στα σύγχρονα μαθηματικά, τα θεμέλια του λογισμού που περιλαμβάνονται στο πεδίο της πραγματικής ανάλυσης το οποίο περιέχει πλήρεις ορισμούς και τις αποδείξεις από τα θεωρήματα του λογισμού. Η εμβέλεια του λογισμού έχει επίσης επεκταθεί σε μεγάλο βαθμό. Ο Ανρί Λεμπέγκ (Henri Lebesgue) εφηύρε τη θεωρία μέτρου που χρησιμοποιείται για να ορίσει ολοκληρώματα όλες όμως τις πιο παθολογικές λειτουργίες. Ο Λαουρέντ Σβαρτς (Laurent Schwartz) εισήγαγε τις Κατανομές, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πάρει την παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης απολύτως. Ενώ μερικές από τις ιδέες του λογισμού είχαν αναπτυχθεί νωρίτερα στην Αίγυπτο, την Ελλάδα, την Κίνα, την Ινδία, το Ιράκ, την Περσία, και την Ιαπωνία, η σύγχρονη χρήση του λογισμού ξεκίνησε στην Ευρώπη, κατά τη διάρκεια του 17ου αιώνα, από τους Ισαάκ Νεύτων και ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς ,έχοντας ως εφόδιο το έργο των προηγούμενων μαθηματικών, εισήγαγαν τις βασικές αρχές του λογισμού. Εφαρμογές του διαφορικού λογισμού περιλαμβάνουν υπολογισμούς που αφορούν την ταχύτητα και την επιτάχυνση, την κλίση της καμπύλης, και τη βελτιστοποίηση. Εφαρμογές του ολοκληρωτικού λογισμού περιλαμβάνουν υπολογισμούς που αφορούν το εμβαδόν, τον όγκο, το μήκος του τόξου, το κέντρο της μάζας, το έργο, και την πίεση. Πιο προηγμένες εφαρμογές περιλαμβάνουν δυναμοσειρές και σειρές Φουριέ. Ο λογισμός χρησιμοποιείται επίσης για να αποκτήσουν μια ακριβέστερη κατανόηση της φύσης του χώρου, του χρόνου, και η κίνηση. Για αιώνες οι μαθηματικοί και φιλόσοφοι πάλευαν με τα παράδοξα που αφορούν τη διαίρεση με το μηδέν ή τα αθροίσματα απείρως πολλών αριθμών. Αυτά τα ερωτήματα ανακύπτουν στη μελέτη της κίνησης και του εμβαδού. Ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ο Ελεάτης έδωσε πολλά διάσημα παραδείγματα τέτοιων παράδοξων. Ο λογισμός παρέχει εργαλεία, ειδικά το όριο και την άπειρη σειρά, τα οποία επιλύουν τα παράδοξα αυτά. Λογισμός συνήθως αναπτύσσεται δουλεύοντας με πολύ μικρές ποσότητες. Πρόκειται για αντικείμενα που μπορούν να αντιμετωπίζονται σαν αριθμούς αλλά τα οποία είναι κατά κάποιο τρόπο "απειροελάχιστα". Ένας απειροελάχιστος d x {\displaystyle dx} αριθμός θα μπορούσε να είναι μεγαλύτερος από 0 αλλά μικρότερος από οποιοδήποτε αριθμό της ακολουθίας 1, 1/2, 1/3, ... και μικρότερος από κάθε θετικό πραγματικό αριθμό. Κάθε ακέραιο πολλαπλάσιο ενός απειροελάχιστου εξακολουθεί να είναι απείρως μικρός. Από αυτή την άποψη ο λογισμός είναι μια συλλογή από τεχνικές για το χειρισμό των απειροελάχιστων. Η προσέγγιση αυτή έπεσε σε δυσμένεια τον 19ο αιώνα, επειδή ήταν δύσκολο να γίνει η έννοια της απειροελάχιστης ακριβής. Ωστόσο, η ιδέα αναβίωσε κατά τον 20ο αιώνα, με την εισαγωγή της μη τυποποιημένης ανάλυσης και την ομαλή απειροελάχιστη ανάλυση, η οποία παρέχει γερά θεμέλια για τη χειραγώγηση των απειροελάχιστων. Τον 19ο αιώνα, τα απειροελάχιστα αντικαταστάθηκαν από τα όρια. Τα όρια περιγράφουν την τιμή μιας συνάρτησης σε μια ορισμένη εισροή. Συλλαμβάνει μικρής κλίμακας συμπεριφορά, όπως ακριβώς τα απειροελάχιστα, αλλά χρησιμοποιούν την τακτική των πραγματικών αριθμών. Με αυτήν την επεξεργασία ο λογισμός είναι μια συλλογή από τεχνικές για το χειρισμό ορισμένων ορίων. Τα απειροελάχιστα θα αντικατασταθούν από πολύ μικρούς αριθμούς και η απείρως μικρή συμπεριφορά της συνάρτησης βρίσκεται με τη λήψη της συμπεριφοράς του ορίου για μικρότερους και μικρότερους αριθμούς. Τα όρια είναι ο ευκολότερος τρόπος για την παροχή αυστηρών θεμελίων του λογισμού και για το λόγο αυτό είναι στάνταρ η προσέγγιση. Ο διαφορικός λογισμός είναι η μελέτη του ορισμού, των ιδιοτήτων και των εφαρμογών της παραγώγου μιας συνάρτησης. Η ίδια η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται "διαφοροποίηση" ("differentiation"). Λαμβάνοντας υπόψη μια λειτουργία και ένα σημείο στο πεδίο ορισμού του, η παράγωγος στο σημείο αυτό είναι ένας τρόπος που κωδικοποιεί τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά σε αυτό το σημείο. Με την εύρεση της παραγώγου συνάρτησης σε κάθε σημείο στο πεδίο ορισμού του, είναι δυνατόν να παραχθεί μια νέα συνάρτηση που ονομάζεται "παράγωγος συνάρτηση" ή απλά "παράγωγος" της αρχικής συνάρτησης. Στη μαθηματική ορολογία, η παράγωγος είναι μια διαδικασία η οποία παίρνει μια συνάρτηση και εξάγει μια δεύτερη συνάρτηση. Αυτή είναι η πιο αφηρημένη από πολλές από τις διεργασίες που μελετούνται σε στοιχειώδη άλγεβρα, όπου η συνάρτηση κατά κανόνα δέχεται έναν αριθμό και παραγάγει έναν άλλο αριθμό. Το πιο κοινό σύμβολο για μια παράγωγο είναι μια απόστροφος που ονομάζεται πρώτη παράγωγος. Έτσι η παράγωγος της συνάρτησης f {\displaystyle \mathbf {f} } συμβολίζεται ως f ′ {\displaystyle \mathbf {f} '} , και προφέρεται " πρώτη παράγωγος της f {\displaystyle \mathbf {f} } ". Ως παράδειγμα μιας συνάρτησης και της παραγώγου της, εάν f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} , τότε η συνάρτηση f ′ ( x ) = 2 x {\displaystyle f'(x)=2x} είναι η παράγωγός της (υπολογίζεται με τις μεθόδους παραγώγισης). Εάν η μεταβλητή της συνάρτησης αντιπροσωπεύει το χρόνο, στη συνέχεια η παράγωγος αντιπροσωπεύει την αλλαγή της σε σχέση με το χρόνο. Για παράδειγμα, εάν η f {\displaystyle f} είναι μια συνάρτηση που δέχεται το χρόνο ως μεταβλητή και δίνει την θέση της μπάλας τη στιγμή εκείνη ως τιμή, τότε η παράγωγος της f {\displaystyle f} είναι το πόσο γρήγορα η θέση μεταβάλλεται στον χρόνο, δηλαδή, είναι η ταχύτητα της μπάλας. Αν μια συνάρτηση είναι γραμμική (δηλαδή, εάν η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή), τότε η συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως y = m x + b {\displaystyle y=mx+b} , όπου x {\displaystyle x} είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, y {\displaystyle y} είναι η εξαρτημένη μεταβλητή και b {\displaystyle b} είναι το σημείο τομής της y {\displaystyle y} : m = rise run = change in y change in x = Δ y Δ x . {\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.} Αυτό δίνει μια ακριβή τιμή για την κλίση μιας ευθείας γραμμής. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν είναι μια ευθεία γραμμή, τότε η αλλαγή στο y {\displaystyle y} διαιρούμενη με τη μεταβολή x {\displaystyle x} ποικίλλει. Συγκεκριμένα, αν f {\displaystyle f} είναι μια συνάρτηση, ορίζουμε ένα σημείο στο πεδίο ορισμού της με συντεταγμένες ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} , το οποίο είναι ένα σημείο πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Αν h {\displaystyle h} είναι ένας αριθμός κοντά στο μηδέν, τότε ο a + h {\displaystyle a+h} είναι ένας αριθμός κοντά στο a {\displaystyle a} . Επομένως το σημείο ( a + h , f ( a + h ) ) {\displaystyle (a+h,f(a+h))} τείνει στο σημείο ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} . Η κλίση μεταξύ αυτών των δύο σημείων είναι: m = f ( a + h ) − f ( a ) ( a + h ) − a = f ( a + h ) − f ( a ) h . {\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.} Η έκφραση αυτή ονομάζεται πηλίκο διαφοράς. Μια γραμμή μέσω δύο σημείων σε μια καμπύλη ονομάζεται τέμνουσα γραμμή, και έτσι m {\displaystyle m} είναι η κλίση της τέμνουσας γραμμής μεταξύ των ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} και ( a + h , f ( a + h ) ) {\displaystyle (a+h,f(a+h))} . Η τέμνουσα γραμμή είναι μόνο μια προσέγγιση στη συμπεριφορά της συνάρτησης στο σημείο a {\displaystyle a} διότι δεν λαμβάνει υπόψη για ό,τι συμβαίνει μεταξύ a {\displaystyle a} και a + h {\displaystyle a+h} . Δεν είναι δυνατόν να ανακαλύψει την συμπεριφορά στο a {\displaystyle a} θέτοντας το h {\displaystyle h} μηδέν επειδή αυτό θα απαιτούσε τη διαίρεση με το μηδέν, η οποία είναι αδύνατη. Η παράγωγος ορίζεται από τη λήψη του ορίου καθώς το h {\displaystyle h} τείνει στο μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι θεωρεί την συμπεριφορά της f {\displaystyle f} για όλες τις μικρές τιμές του h {\displaystyle h} και εξάγει μια τιμή για την περίπτωση κατά την οποία το h {\displaystyle h} ισούται με μηδέν: lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h . {\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.} Γεωμετρικά, η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f {\displaystyle f} στο ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} . Η παράγωγος είναι ένα όριο των λόγων διαφοράς. Για το λόγο αυτό, η παράγωγος ονομάζεται μερικές φορές η κλίση της συνάρτησης f {\displaystyle f} . Εδώ είναι ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, όπου υπολογίζεται η κλίση της συνάρτησης f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} στη θέση 3. Έστω η συνάρτηση f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} f ′ ( 3 ) = lim h → 0 ( 3 + h ) 2 − 3 2 h = lim h → 0 9 + 6 h + h 2 − 9 h = lim h → 0 6 h + h 2 h = lim h → 0 ( 6 + h ) = 6. {\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6.\end{aligned}}} (Για τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζεται ένα όριο, βλέπε Όριο Συνάρτησης) Ένας κοινός συμβολισμός, ο οποίος εισήχθη από τον Λάιμπνιτς, για την παράγωγο στο παραπάνω παράδειγμα είναι: y = x 2 d y d x = 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}} Σε μια προσέγγιση που βασίζεται στα όρια, το σύμβολο d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} πρέπει να ερμηνευθεί όχι ως το πηλίκο των δύο αριθμών αλλά ως συντομογραφία για το όριο που υπολογίστηκε πάνω. Ο Λάιμπνιτς όμως είχε την πρόθεση να εκπροσωπεί το πηλίκο των δύο απειροελάχιστα μικρών αριθμών d y {\displaystyle dy} είναι η απειροελάχιστη αλλαγή του y {\displaystyle y} που προκαλείται από μια απειροελάχιστη αλλαγή d x {\displaystyle dx} εφαρμοσμένη στο x {\displaystyle x} . Μπορούμε επίσης να σκεφτούμε το d d x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}} διαφορετική πράξη που παίρνει μια συνάρτηση ως εισροή και δίνει μια άλλη συνάρτηση, την παράγωγο ως έξοδο. Για παράδειγμα: d d x ( x 2 ) = 2 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.} Σε αυτή τη χρήση το d x {\displaystyle dx} σε ένα ο παρονομαστής "διαβάζεται σε σχέση με το x {\displaystyle x} ". Ο ολοκληρωτικός λογισμός είναι η μελέτη των ορισμών, των ιδιοτήτων και των εφαρμογών των δύο συναφών εννοιών, το αόριστο ολοκλήρωμα και το ορισμένο ολοκλήρωμα. Η διαδικασία για την εξεύρεση της τιμής από ένα ολοκλήρωμα ονομάζεται ολοκλήρωση. Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος, η αντίστροφη λειτουργία της παραγώγου. F {\displaystyle F} είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα της f {\displaystyle f} όταν f {\displaystyle f} είναι μια παράγωγος της F {\displaystyle F} . (Αυτή η χρήση των μικρών και κεφαλαίων γραμμάτων για μια συνάρτηση και το αόριστο ολοκλήρωμα της είναι συχνή στο λογισμό.) Το ορισμένο ολοκλήρωμα εισάγει μια συνάρτηση και παράγει έναν αριθμό, ο οποίος δίνει το αλγεβρικό άθροισμα των εμβαδών μεταξύ της γραφικής παράστασης της εισόδου και του άξονα x. Ο ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος είναι το όριο των αθροισμάτων των ορθογώνιων περιοχών, που ονομάζεται άθροισμα Riemann. Ένα ενδεικτικό παράδειγμα είναι η διανυθείσα απόσταση σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. D i s t a n c e = S p e e d ⋅ T i m e {\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} } Εάν η ταχύτητα είναι σταθερή, απαιτείται μόνο πολλαπλασιασμός, αλλά αν μεταβληθεί η ταχύτητα, τότε χρειαζόμαστε μια πιο ισχυρή μέθοδο για την εξεύρεση της απόστασης. Μία τέτοια μέθοδος είναι η προσέγγιση την απόσταση που διανύεται από τη διάσπαση του χρόνου σε πολλά μικρά χρονικά διαστήματα, στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας το χρόνο που έχει παρέλθει σε κάθε διάστημα από μία από τις εν λόγω ταχύτητες στο εκάστοτε διάστημα και λαμβάνοντας τότε το άθροισμα (άθροισμα Riemann) από την κατά προσέγγιση απόσταση που διανύεται σε κάθε διάστημα. Η βασική ιδέα είναι ότι αν μόνο ένα σύντομο χρονικό διάστημα παρέλθει, τότε η ταχύτητα θα παραμείνει πάνω κάτω η ίδια. Ωστόσο, ένα άθροισμα Riemann δίνει μόνο μια προσέγγιση της διανυόμενης απόστασης. Πρέπει να λάβουμε το όριο του συνόλου των αθροισμάτων αυτών Riemann για να βρούμε την ακριβή απόσταση που διανύθηκε. Αν η f ( x ) {\displaystyle f(x)} το διάγραμμα στα αριστερά αντιπροσωπεύει την ταχύτητα καθώς μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, η διανυθείσα απόσταση (μεταξύ των χρόνων αντιπροσωπεύεται από a {\displaystyle a} και b {\displaystyle b} ) είναι η σκιασμένη περιοχή s {\displaystyle s} . Μια διαισθητική μέθοδος θα ήταν να χωρίσουμε την απόσταση μεταξύ των a {\displaystyle a} και b {\displaystyle b} σε μια σειρά από ίσα τμήματα, το μήκος του κάθε τμήματος που αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο Δ x {\displaystyle \Delta x} . Για κάθε μικρό τμήμα, μπορούμε να επιλέξουμε μία τιμή της συνάρτησης f ( x ) {\displaystyle f(x)} . Την τιμή αυτή την καλούμε h {\displaystyle h} . Στη συνέχεια, η περιοχή του ορθογωνίου με βάση Δ x {\displaystyle \Delta x} και ύψος h {\displaystyle h} δίνει την απόσταση ((ο χρόνος Δ x {\displaystyle \Delta x} πολλαπλασιάζεται με την ταχύτητα h {\displaystyle h} ) που διάνυσε σε αυτό το τμήμα. Η σύνδεση με κάθε τμήμα είναι η μέση τιμή της συνάρτησης πάνω από αυτό, f ( x ) = h {\displaystyle f(x)=h} . Το άθροισμα όλων αυτών των ορθογωνίων δίνει μια προσέγγιση του χώρου μεταξύ του άξονα και της καμπύλης, η οποία είναι μια προσέγγιση της συνολικής διανυόμενης απόστασης. Η μικρότερη τιμή για Δ x {\displaystyle \Delta x} θα δώσει ορθογώνια και στις περισσότερες περιπτώσεις μια καλύτερη προσέγγιση, αλλά για μια ακριβή απάντηση που πρέπει να λάβει το όριο καθώς το Δ x {\displaystyle \Delta x} τείνει στο μηδέν. Το σύμβολο της ολοκλήρωσης είναι ∫ {\displaystyle \int \,} ,ένα επίμηκες S {\displaystyle S} (Το S {\displaystyle S} σημαίνει "άθροισμα" ("sum")). Το ορισμένο ολοκλήρωμα γράφεται ως: ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.} και διαβάζετε "το ολοκλήρωμα από το a {\displaystyle a} στο b {\displaystyle b} του f {\displaystyle f} του x {\displaystyle x} ντε x {\displaystyle x} (ντε x {\displaystyle x} δηλαδή ως προς x {\displaystyle x} ) Ο συμβολισμός του Λάιμπνιτς d x {\displaystyle dx} προορίζεται να προτείνει τη διαίρεση της περιοχής κάτω από την καμπύλη σε ένα άπειρο αριθμό των ορθογωνίων, έτσι ώστε το Δ x {\displaystyle \Delta x} πλάτος τους γίνεται το απειροελάχιστο d x {\displaystyle dx} . Σε ένα σχηματισμό του λογισμού με βάση τα όρια, ο συμβολισμός ∫ a b … d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\ldots \,dx} είναι για να κατανοήσουμε ως χρήστες ότι εισάγουμε μια συνάρτηση και παίρνουμε έναν αριθμό. Το αόριστο ολοκλήρωμα, ή αντιπαράγωγος, γράφεται: ∫ f ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)\,dx.} Οι συναρτήσεις αυτές διαφέρουν μόνο κατά μία σταθερή και έχουν την ίδια παράγωγο και μπορεί να αποδειχθεί ότι η αντιπαράγωγος μιας δεδομένης συνάρτησης είναι στην πραγματικότητα μια οικογένεια συναρτήσεων που διαφέρει μόνο κατά μία σταθερά. Δεδομένου ότι το παράγωγο της συνάρτησης y = x 2 + C {\displaystyle y=x^{2}+C} , εδώ το C {\displaystyle C} είναι μια σταθερά, είναι y ′ = 2 x {\displaystyle y'=2x} η αντιπαράγωγος του τελευταίου δίνεται από: ∫ 2 x d x = x 2 + C . {\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.} Μια απροσδιόριστη σταθερά σαν το C {\displaystyle C} είναι γνωστή ως μια σταθερά ολοκλήρωσης. Το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού αναφέρει ότι η παραγώγιση και η ολοκλήρωση είναι αντίστροφες λειτουργίες. Πιο συγκεκριμένα, αφορά τις τιμές της αντιπαραγώγου σε αόριστα ολοκληρώματα. Επειδή είναι πιο εύκολο να υπολογίσεις μια αντιπαράγωγος από το να εφαρμόσεις τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος, το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού παρέχει έναν πρακτικό τρόπο υπολογισμού των ορισμένων ολοκληρωμάτων. Μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως μια ακριβής ένδειξη για το γεγονός ότι η παραγώγιση είναι το αντίστροφο της ολοκλήρωσης. Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού αναφέρει: Αν η συνάρτηση f {\displaystyle f} είναι συνεχής στο διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} και αν F {\displaystyle F} είναι μια συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι η f {\displaystyle f} στο διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , τότε ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).} Επιπλέον, για κάθε x {\displaystyle x} στο διάστημα [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).} Η διαπίστωση αυτή γίνεται τόσο από τον Νεύτωνα όσο και από τον Λάιμπνιτς, οι οποίοι βασίστηκαν σε προηγούμενες εργασίες του Ισαάκ Μπάροου, ήταν το κλειδί για τη μαζική εξάπλωση των αναλυτικών αποτελεσμάτων που μετά τη δουλειά τους έγιναν γνωστά. Το θεμελιώδες θεώρημα παρέχει μια αλγεβρική μέθοδο υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων-χωρίς την εκτέλεση των διαδικασιών ορίων-με την εξεύρεση τύπων για την αντιπαραγώγιση. Παράγωγος Ολοκλήρωμα Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Θεώρημα μέσης τιμής Μαθηματική ανάλυση Σειρά Τέιλορ Διαφορική γεωμετρία Διαφορική εξίσωση Λογισμός λάμδα Ανάλυση Φουριέ Αρχιμήδης Εύδοξος ο Κνίδιος Ισαάκ Νεύτων Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς Μπέρναρντ Ρίμαν Πιέρ ντε Φερμά Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ