Θεώρημα Ουίλσον

Στην θεωρία αριθμών, το θεώρημα Ουίλσον (αναφέρεται και ως θεώρημα Wilson) λέει ότι ένας φυσικός αριθμός p {\displaystyle p} είναι πρώτος ανν ισχύει ότι ( p − 1 ) ! ≡ p − 1 mod p {\displaystyle (p-1)!\equiv p-1\mod {p}} ,όπου ( p − 1 ) ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ ( p − 1 ) {\displaystyle (p-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (p-1)} είναι το παραγοντικό του p − 1 {\displaystyle p-1} . Δηλαδή το θεώρημα δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για έναν αριθμό να είναι πρώτος. Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Τζον Ουίλσον.

 Για p = 2 {\displaystyle p=2} , έχουμε ότι ( 2 − 1 ) ! = 1 ≡ 2 − 1 ( mod 2 ) {\displaystyle (2-1)!=1\equiv 2-1{\pmod {2}}} (και το p {\displaystyle p} είναι πρώτος). Για p = 3 {\displaystyle p=3} , έχουμε ότι ( 3 − 1 ) ! = 2 ≡ 3 − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle (3-1)!=2\equiv 3-1{\pmod {3}}} (και το p {\displaystyle p} είναι πρώτος). Για p = 4 {\displaystyle p=4} , έχουμε ότι ( 4 − 1 ) ! = 2 ⋅ 3 ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle (4-1)!=2\cdot 3\equiv 2{\pmod {4}}} (και το p {\displaystyle p} είναι σύνθετος). Για p = 5 {\displaystyle p=5} , έχουμε ότι ( 5 − 1 ) ! = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 ≡ 5 − 1 ( mod 5 ) {\displaystyle (5-1)!=2\cdot 3\cdot 4=24\equiv 5-1{\pmod {5}}} (και το p {\displaystyle p} είναι πρώτος). Για p = 6 {\displaystyle p=6} , έχουμε ότι ( 6 − 1 ) ! = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 120 ≡ 0 ( mod 6 ) {\displaystyle (6-1)!=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\equiv 0{\pmod {6}}} (και το p {\displaystyle p} είναι σύνθετος). Για p = 7 {\displaystyle p=7} , έχουμε ότι ( 7 − 1 ) ! = 720 ≡ 7 − 1 ( mod 7 ) {\displaystyle (7-1)!=720\equiv 7-1{\pmod {7}}} (και το p {\displaystyle p} είναι πρώτος). ( ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } ) Έστω p {\displaystyle p} ένας πρώτος αριθμός. Θα χρησιμοποιήσουμε ότι για κάθε a = 1 , 2 , … , p − 1 {\displaystyle a=1,2,\ldots ,p-1} υπάρχει ένας πολλαπλασιαστικός αντίστροφος στο Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} , δηλαδή ένας αριθμός a − 1 {\displaystyle a^{-1}} τέτοιος ώστε a ⋅ a − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a\cdot a^{-1}\equiv 1{\pmod {p}}} . Αυτό ισχύει καθώς ο a {\displaystyle a} είναι πρώτος σχετικά με τον p {\displaystyle p} . Αν ο a {\displaystyle a} είναι πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του b {\displaystyle b} , τότε και ο b {\displaystyle b} είναι πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του a {\displaystyle a} , καθώς a ⋅ b ≡ b ⋅ a ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a\cdot b\equiv b\cdot a\equiv 1{\pmod {p}}} . Επομένως, οι αντίστροφοι έρχονται σε δυάδες. Θα δείξουμε ότι ο μόνοι αριθμοί που είναι αντίστροφοι του εαυτού τους είναι ο a = 1 {\displaystyle a=1} και ο a = p − 1 {\displaystyle a=p-1} . Έστω ότι ισχύει a 2 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}} .Τότε έχουμε ισοδύναμα ότι p ∣ a 2 − 1 {\displaystyle p\mid a^{2}-1} ή ισοδύναμα ότι p ∣ ( a − 1 ) ⋅ ( a + 1 ) {\displaystyle p\mid (a-1)\cdot (a+1)} (χρησιμοποιώντας την ταυτότητα για την διαφορά τετραγώνων). Επειδή ο p {\displaystyle p} είναι πρώτος έχουμε ότι p ∣ a − 1 {\displaystyle p\mid a-1} ή p ∣ a + 1 {\displaystyle p\mid a+1} άρα a = p + 1 {\displaystyle a=p+1} ή a = p − 1 {\displaystyle a=p-1} . Συνεπώς, όλα τα a = 2 , … , p − 2 {\displaystyle a=2,\ldots ,p-2} έχουν πολλαπλασιαστικούς αντιστρόφους που έρχονται σε ζεύγη και έτσι χρησιμοποιώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού απαλείφονται, άρα ( p − 1 ) ! ≡ 1 ⋅ 1 ⋅ … ⋅ 1 ⋅ ( p − 1 ) ≡ ( p − 1 ) ≡ p − 1 ( mod p ) {\displaystyle (p-1)!\equiv 1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1\cdot (p-1)\equiv (p-1)\equiv p-1{\pmod {p}}} ,που είναι και το ζητούμενο. ( ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } ) Έστω p {\displaystyle p} ένας σύνθετος αριθμός. Τότε μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο δύο φυσικών αριθμών 1 < a , b < n {\displaystyle 1<a,b<n} , δηλαδή p = a ⋅ b {\displaystyle p=a\cdot b} . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Περίπτωση 1η ( a ≠ b {\displaystyle a\neq b} ): Τότε και το a {\displaystyle a} και το b {\displaystyle b} εμφανίζεται στο γινόμενο ( p − 1 ) ! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ ( p − 1 ) {\displaystyle (p-1)!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (p-1)} , άρα το p ∣ ( p − 1 ) ! {\displaystyle p\mid (p-1)!} . Περίπτωση 2η ( a = b {\displaystyle a=b} ): Σε αυτή την περίπτωση δεν εμφανίζονται και το a {\displaystyle a} και το b {\displaystyle b} στο γινόμενο. Για p = 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle p=1,2,3,4} είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι η σχέση ισχύει. Για p > 5 {\displaystyle p>5} έχουμε ότι 2 b < b 2 = p {\displaystyle 2b<b^{2}=p} και άρα το a {\displaystyle a} και το 2 b {\displaystyle 2b} (για τα οποία ισχύει ότι a ⋅ ( 2 b ) = 2 ⋅ a b = 2 ⋅ p {\displaystyle a\cdot (2b)=2\cdot ab=2\cdot p} ) εμφανίζονται στο γινόμενο ( p − 1 ) ! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ ( p − 1 ) {\displaystyle (p-1)!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (p-1)} , και άρα p ∣ ( p − 1 ) ! {\displaystyle p\mid (p-1)!} . Από πρακτικής απόψεως, η συνθήκη αυτή δεν χρησιμοποιείται για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι πρώτος, καθώς ο υπολογισμός του ( p − 1 ) ! {\displaystyle (p-1)!} χρειάζεται Θ ( p ) {\displaystyle \Theta (p)} πράξεις, ενώ μπορούμε για παράδειγμα να ελέγξουμε απευθείας αν κάποιος από τους αριθμούς 1 , … , ⌈ p ⌉ {\displaystyle 1,\ldots ,\lceil {\sqrt {p}}\rceil } διαιρεί τον p {\displaystyle p} (που χρειάζεται Θ ( p ) {\displaystyle \Theta ({\sqrt {p}})} πράξεις).:133 Μικρό θεώρημα του Φερμά Συνάρτηση Όιλερ Πρώτοι αριθμοί Ουίλσον Εφαρμογές του θεωρήματος Ουίλσον Διάλεξη για το μικρό θεώρημα του Φερμά και το θεώρημα Ουίλσον Cut the knot: Θεώρημα Ουίλσον Art of Problem Solving: Θεώρημα Ουίλσον Anderson, Peter G.; Benjamin, Arthur T.; Rouse, Jeremy A. (Μαρτίου 2005). «Combinatorial Proofs of Fermat's, Lucas's, and Wilson's Theorems». The American Mathematical Monthly 112 (3): 266–268. doi:10.1080/00029890.2005.11920193. Ruiz, Sebastián Martín (Νοεμβρίου 1996). «80.52 An algebraic identity leading to Wilson’s theorem». The Mathematical Gazette 80 (489): 579–582. doi:10.2307/3618534. Wilf, Herbert S.; Herzig, Florian (Φεβρουαρίου 1999). «Wilson's Theorem in Disguise: 10578». The American Mathematical Monthly 106 (2): 169. doi:10.2307/2589065. Christian Aebi; Grant Cairns (2015). «Generalizations of Wilson’s Theorem for Double-, Hyper-, Sub- and Superfactorials». The American Mathematical Monthly 122 (5): 433. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.433.