Θεωρία πιθανοτήτων

Η θεωρία πιθανοτήτων (αγγλικά: Probability Theory) είναι μια αξιωματική μαθηματική θεωρία μέτρου. Πρόκειται δηλαδή για τον κλάδο των μαθηματικών ο οποίος ασχολείται με την ανάλυση τυχαίων φαινομένων. Κεντρικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων παίζει η έννοια της πιθανότητας, ενώ σημαντικές είναι οι τυχαίες μεταβλητές, οι συναρτήσεις κατανομής, οι στοχαστικές διαδικασίες και τα γεγονότα: μαθηματικές αφαιρέσεις μη ντετερμινιστικών συμβάντων τα οποία είτε συμβαίνουν μία φορά είτε εξελίσσονται με το πέρασμα του χρόνου. Η πιθανότητα εκφράζει την αβεβαιότητα του ανθρώπου για την εξέλιξη των φαινομένων. Το μέτρο δε της πιθανότητας ορίστηκε να είναι ένας θετικός αριθμός, μικρότερος ή ίσος του ένα. Αν και τα γεγονότα που μελετώνται από τη θεωρία πιθανοτήτων, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή το στρίψιμο ενός κέρματος, είναι τυχαία, όταν επαναλαμβάνονται πολλές φορές η αλληλουχία των τυχαίων γεγονότων παρουσιάζει ορισμένα στατιστικά μοτίβα τα οποία μπορούν να μελετηθούν και να προβλεφθούν. Δύο αντιπροσωπευτικά μαθηματικά αποτελέσματα που περιγράφουν τέτοια μοτίβα είναι ο νόμος των μεγάλων αριθμών και το θεώρημα κεντρικού ορίου. Ως μαθηματικό θεμέλιο της στατιστικής, η θεωρία πιθανοτήτων είναι απαραίτητη σε πολλές δραστηριότητες που περιλαμβάνουν ανάλυση μεγάλων συνόλων δεδομένων. Μέθοδοι της θεωρίας πιθανοτήτων εφαρμόζονται και στην περιγραφή πολύπλοκων συστημάτων, όπως στη στατιστική μηχανική. Μία μεγάλη ανακάλυψη του εικοστού αιώνα ήταν η πιθανοκρατική φύση των φυσικών νόμων σε μοριάκο,ατομικό,υποατομικό επίπεδο, σύμφωνα με τα ευρήματα της κβαντομηχανικής.

 Η έννοια της πιθανότητας ορίστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή νομίσματος. Οι πιθανότητες είναι αριθμοί οι οποίοι ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιον τυχαίο τρόπο. Με τον συνήθη συμβολισμό, οι πιθανότητες P ( E ) {\displaystyle P(E)} ανατίθενται στα γεγονότα E {\displaystyle E} . Οι πιθανότητες είναι κανονικοποιημένες και παίρνουν πραγματικές τιμές στο διάστημα από 0 μέχρι 1. Ισχύουν οι κάτωθι ορισμοί: Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με ω {\displaystyle \,\omega } . Δειγματοχώρος Ω {\displaystyle \Omega \,} είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο ω {\displaystyle \,\omega } ισχύει ω ∈ Ω {\displaystyle \,\omega \in \Omega } . Γεγονός A {\displaystyle A\,} είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του Ω , {\displaystyle \Omega ,\,} A ⊂ Ω {\displaystyle A\subset \Omega \,} . Το Ω {\displaystyle \Omega \,} είναι το ίδιο ένα γεγονός και ονομαζεται βέβαιο γεγονός. Παράδειγματα Ρίψη ζαριούΘεωρούμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε έξι απλά ενδεχόμενα. Έστω ω 1 {\displaystyle \,\omega _{1}} το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα ω i , i = 2 , … , 6 {\displaystyle \,\omega _{i},i=2,\dots ,6} . Ο δειγματοχώρος είναι ο Ω = { ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 , ω 5 , ω 6 } {\displaystyle \,\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},\omega _{4},\omega _{5},\omega _{6}\}} ή για λόγους απλότητας Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \,\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}} . Το γεγονός A {\displaystyle A\,} να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) A = { 2 , 4 , 6 } {\displaystyle \,A=\{2,4,6\}} . Το γεγονός B {\displaystyle B\,} να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι B = { 1 , 2 } {\displaystyle \,B=\{1,2\}} . Η κλασική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων. P ( A ) = # A # Ω {\displaystyle P(A)={\frac {\#A}{\#\Omega }}} Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε P ( A ) = # A # Ω = # { 2 , 4 , 6 } # { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = 3 6 = 0 , 5 {\displaystyle P(A)={\frac {\#A}{\#\Omega }}={\frac {\#\{2,4,6\}}{\#\{1,2,3,4,5,6\}}}={\frac {3}{6}}=0,5} P ( B ) = # B # Ω = # { 1 , 2 } # { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = 2 6 = 0 , 333 {\displaystyle P(B)={\frac {\#B}{\#\Omega }}={\frac {\#\{1,2\}}{\#\{1,2,3,4,5,6\}}}={\frac {2}{6}}=0,333} Παράδοξο των γενεθλίωνΤο παράδοξο των γενεθλίων ασχολείται με το ερώτημα: Σε μία ομάδα 23 ατόμων ποια είναι η πιθανότητα δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια; Ενώ διαισθητικά θα περιμέναμε μια σχετικά μικρή πιθανότητα, αυτή αποδεικνύεται ότι είναι 50%. Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Ρώσο μαθηματικό Αντρέι Κολμογκόροβ (Andrey Kolmogorov). Έστω ένα σύνολο Ω {\displaystyle \Omega } και μία σ-άλγεβρά του F {\displaystyle {\mathcal {F}}} . Πιθανότητα P {\displaystyle P\,} ονομάζεται η συνάρτηση P : F → R {\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} } που ικανοποιεί: P ( A ) ≥ 0 , ∀ A ∈ F {\displaystyle P(A)\geq 0,\;\forall A\in {\mathcal {F}}} P ( Ω ) = 1 {\displaystyle P(\Omega )=1\,} P ( ∪ i ∈ I A i ) = ∑ i ∈ I P ( A i ) ∀ { A i } i ∈ I ⊂ F , I ⊂ N : A i ∩ A j = ∅ ∀ i ≠ j {\displaystyle P(\cup _{i\in I}A_{i})=\sum _{i\in I}P(A_{i})\quad \forall \{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}},I\subset \mathbb {N} :A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \;\forall i\neq j} Η πιθανότητα είναι ένα μέτρο στον ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})} με την ιδιότητα P ( Ω ) = 1 {\displaystyle P(\Omega )=1\,} . Αν στην πιθανότητα P {\displaystyle P\,} αντιστοιχεί μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f, τότε η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως: P ( A ) = ∫ A f ( x ) d x {\displaystyle P(A)=\int _{A}f(x)dx\;} Ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες: P ( Ω ∖ A ) = 1 − P ( A ) {\displaystyle P(\Omega \backslash A)=1-P(A)} P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\emptyset )=0} P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} . Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός E {\displaystyle E} συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός F {\displaystyle F} είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του E {\displaystyle E} με δεδομένο το F {\displaystyle F} η οποία ορίζεται, μόνο αν το F {\displaystyle F} δεν είναι αδύνατο γεγονός ( P ( F ) > 0 ) {\displaystyle (P(F)>0)} , ως: P ( E | F ) = P ( E ∩ F ) P ( F ) {\displaystyle P(E|F)={\frac {P(E\cap F)}{P(F)}}} .Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του E {\displaystyle E} με δεδομένο το F {\displaystyle F} είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του E {\displaystyle E} , τότε τα E {\displaystyle E} και F {\displaystyle F} είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει P ( E ∩ F ) = P ( E ) ⋅ P ( F ) {\displaystyle P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)} . Η δεσμευμένη πιθανότητα P ( ⋅ | F ) =: Q ( ⋅ ) {\displaystyle P(\cdot |F)=:Q(\cdot )} ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον ( F , F F ) {\displaystyle (F,{\mathcal {F}}_{F})} , όπου F F = ∪ A ∈ F ( A ∩ F ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{F}=\cup _{A\in {\mathcal {F}}}(A\cap F)} , αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού. «Γρίφοι Πιθανοτήτων».