Πολλαπλό ολοκλήρωμα

Στα μαθηματικά, το πολλαπλό ολοκλήρωμα είναι ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης πολλών πραγματικών μεταβλητών, f(x, y) ή f(x, y, z). Τα ολοκληρώματα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών πάνω σε μια περιοχή του R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} (επίπεδο των πραγματικών αριθμών) ονομάζονται διπλά ολοκληρώματα και τα ολοκληρώματα μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών πάνω σε μια περιοχή του R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} (τρισδιάστατος χώρος των πραγματικών αριθμών) ονομάζονται τριπλά ολοκληρώματα.

 Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας θετικής συνάρτησης της μίας μεταβλητής αντιστοιχεί στο εμβαδόν της περιοχής μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και του άξονα x. Αντιστοίχως, το διπλό ολοκλήρωμα μιας θετικής συνάρτησης δύο μεταβλητών αποδίδει τον όγκο που βρίσκεται μεταξύ της επιφάνειας που ορίζεται από τη συνάρτηση —στο τρισδιάστατο καρτεσιανό επίπεδο όπου z = f(x, y)— και της προβολής της επιφάνειας αυτής στο επίπεδο R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} (χωρίο ολοκλήρωσης). Για περισσότερες μεταβλητές, το πολλαπλό ολοκλήρωμα αποδίδει τον όγκο ενός υποσυνόλου του υπερχώρου. Η ολοκλήρωση μιας συνάρτησης n μεταβλητών f(x1, x2, ..., xn) πάνω σε ένα χωρίο D αποδίδεται συμβολικά με «ένθετα» ολοκληρώματα που υπολογίζονται από το «εσωτερικό» προς το «εξωτερικό» (το ολοκλήρωμα που αντιστοιχεί στο αριστερότερο σύμβολο ολοκλήρωσης και στο δεξιότερο διαφορικό υπολογίζεται τελευταίο). Το χωρίο ολοκλήρωσης αναπαρίσταται συμβολικά για κάθε ολοκλήρωμα ή τοποθετείται στο δεξιότερο εκ των συμβόλων ολοκλήρωσης: ∫ ⋯ ∫ D f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} Δεδομένου ότι η έννοια της αντιπαραγώγου ορίζεται για συναρτήσεις μίας πραγματικής μεταβλητής και μόνον, ο συνήθης ορισμός του αόριστου ολοκληρώματος δεν επεκτείνεται στο πολλαπλό ολοκλήρωμα χωρίς βλάβη της γενικότητας. Για n > 1, θεωρούμε ένα ημιανοικτό n-διάστατο υπερορθογώνιο T, που ορίζεται ως: T = [ a 1 , b 1 ) × [ a 2 , b 2 ) × ⋯ × [ a n , b n ) ⊆ R n . {\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}.} Διαμερίζουμε κάθε διάστημα [aj, bj) σε μια οικογένεια Ij μη αλληλεπικαλυπτόμενων υποδιαστημάτων ijα, με καθένα εξ αυτών να είναι κλειστό στο αριστερό και ανοιχτό στο δεξί άκρο. Ούτως, η πεπερασμένη οικογένεια υπο-ορθογωνίων C = I 1 × I 2 × ⋯ × I n {\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}} είναι μια διαμέριση του T, δηλαδή τα υπο-ορθογώνια Ck είναι μη αλληλεπικαλυπτόμενα και η ένωσή τους είναι το T. Έστω, τώρα, f : T → R μια συνάρτηση που ορίζεται στο T. Θεωρούμε μία διαμέριση C του T όπως ορίζεται παραπάνω, ούτως ώστε το C να συνιστά οικογένεια m υπο-ορθογωνίων Cm και T = C 1 ∪ C 2 ∪ ⋯ ∪ C m {\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}} Με το κάτωθι άθροισμα Ρίμαν μπορούμε να προσδιορίσουμε προσεγγιστικά τον ολικό (n + 1)-διάστατο όγκο που οριοθετείται κάτωθεν από το n-διάστατο υπερορθογώνιο T και άνωθεν από τη n-διάστατη γραφική παράσταση της f : ∑ k = 1 m f ( P k ) m ⁡ ( C k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})} όπου Pk είναι ένα σημείο στο Ck και m(Ck) είναι το γινόμενο των μηκών των διαστημάτων των οποίων το καρτεσιανό γινόμενο είναι Ck, γνωστό και ως μέτρο του Ck . Η διάμετρος ενός υποορθογώνου Ck είναι το μεγαλύτερο από τα μήκη των διαστημάτων των οποίων το καρτεσιανό γινόμενο είναι Ck. Η διάμετρος μιας δεδομένης διαμέρισης του T ορίζεται ως η μεγαλύτερη από τις διαμέτρους των υπο-ορθογωνίων της διαμέρισης. Καθώς η διάμετρος της διαμέρισης C μειώνεται σταδιακά, το πλήθος των υπο-ορθογωνίων m αυξάνεται και το μέτρο m(Ck) κάθε υπο-ορθογωνίου φθίνει. Λέμε ότι η συνάρτηση f είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη εάν το όριο S = lim δ → 0 ∑ k = 1 m f ( P k ) m ⁡ ( C k ) {\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})} υπάρχει για όλες τα πιθανές διαμερίσεις του T διαμέτρου το πολύ δ .Αν η f είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη, το S ονομάζεται ολοκλήρωμα Ρίμαν της f στο T και συμβολίζεται ως ∫ ⋯ ∫ T f ( x 1 , x 2 , … , x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}} Συχνά αυτός ο συμβολισμός αποδίδεται συντομότερα ως ∫ T f ( x ) d n x . {\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .} όπου το x αντιπροσωπεύει το σύνολο (x1, …, xn) και το d n x {\displaystyle d^{n}\mathbf {x} } είναι το n-διάστατο διαφορικό του όγκου. Το ολοκλήρωμα Ρίμαν μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα φραγμένο σύνολο n διαστάσεων μπορεί να οριστεί επεκτείνοντας το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε ένα ημιανοικτό ορθογώνιο με τιμές μηδενικές εκτός του πεδίου ορισμού της αρχικής συνάρτησης. Τότε, το ολοκλήρωμα της αρχικής συνάρτησης πάνω στο αρχικό χωρίο ορίζεται ως το ολοκλήρωμα της συνάρτησης με το επεκταμένο πεδίο ορισμού πάνω στο ορθογώνιο χωρίο της, εάν υπάρχει. Για το υπόλοιπο του λήμμματος το ολοκλήρωμα Ρίμαν n διαστάσεων θα αποκαλείται πολλαπλό ολοκλήρωμα. Τα πολλαπλά ολοκληρώματα έχουν πολλές από τις ιδιότητες των ολοκληρωμάτων συναρτήσεων μίας μεταβλητής (γραμμικότητα, αντιμεταθετικότητα, μονοτονία, κ.α.). Μια σημαντική ιδιότητα των πολλαπλών ολοκληρωμάτων είναι το ότι αν το ολοκλήρωμα της απόλυτης τιμής της υπό ολοκλήρωσης συνάρτησης είναι πεπερασμένο, η τιμή του πολλαπλού ολοκληρώματος είναι ανεξάρτητη της σειράς ολοκλήρωσης. Αυτή η ιδιότητα είναι ευρέως γνωστή ως θεώρημα Φουμπίνι. Στην περίπτωση που T ⊆ R 2 {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}} , το ολοκλήρωμα l = ∬ T f ( x , y ) d x d y {\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy} είναι το διπλό ολοκλήρωμα της f στο T, και αν T ⊆ R 3 {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}} το ολοκλήρωμα l = ∭ T f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz} είναι το τριπλό ολοκλήρωμα της f στο T . Σημειωτέον ότι, κατά σύμβαση, το διπλό ολοκλήρωμα έχει δύο σύμβολα ολοκλήρωσης και το τριπλό τρία· ο συμβολισμός αυτός χρησιμεύει στον υπολογισμό ενός επαναλαμβανόμενου ολοκληρώματος με διαδοχικές ολοκληρώσεις από το «εσώτερο» προς το «εξώτερο». Στις περισσότερες περιπτώσεις, η επίλυση προβλημάτων με πολλαπλά ολοκληρώματα βασίζεται στην αναγωγή του πολλαπλού ολοκληρώματος σε ένα επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα, μια σειρά από ολοκληρώματα της μίας μεταβλητής, καθένα εκ των οποίων είναι άμεσα επιλύσιμο. Σπανιότερα, το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης μπορεί να προκύψει αμεσότερα, χωρίς επιμέρους υπολογισμούς. Ακολουθούν μερικές απλές μέθοδοι ολοκλήρωσης: Όταν η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι μια σταθερά c, το ολοκλήρωμα ισούται με το γινόμενο του c επί το μέτρο του χωρίου ολοκλήρωσης. Αν c = 1 και το χωρίο είναι υποπεριοχή του R2, το ολοκλήρωμα δίνει το εμβαδόν της περιοχής, ενώ αν το χωρίο είναι υποπεριοχή του R3, το ολοκλήρωμα δίνει τον όγκο της περιοχής.Παράδειγμα. Έστω f(x, y) = 2 και D = { ( x , y ) ∈ R 2 : 2 ≤ x ≤ 4 , 3 ≤ y ≤ 6 } {\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ _{,}\ \ 3\leq y\leq 6\right\}} στην οποία περίπτωση ∫ 3 6 ∫ 2 4 2 d x d y = 2 ∫ 3 6 ∫ 2 4 1 d x d y = 2 ⋅ area ⁡ ( D ) = 2 ⋅ ( 2 ⋅ 3 ) = 12 , {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,} αφού, εξ ορισμού, έχουμε: ∫ 3 6 ∫ 2 4 1 d x d y = area ⁡ ( D ) . {\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D).} Όταν το χωρίο ολοκλήρωσης είναι συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων με αυτό να ισχύει για μία, τουλάχιστον, εκ των μεταβλητών ολοκλήρωσης και, περαιτέρω, το ολοκλήρωμα είναι περιττό ως προς αυτή τη μεταβλητή, τότε το ολοκλήρωμα ισούται με το 0, καθώς τα ολοκληρώματα πάνω στα δύο μισά του χωρίου έχουν ίσες απόλυτες τιμές αλλά αντίθετα πρόσημα. Αν το ολοκλήρωμα είναι άρτιο σε σχέση με αυτή τη μεταβλητή, τότε ισούται με το διπλάσιο του ολοκληρώματος πάνω στο μισό του χωρίου, καθώς τα ολοκληρώματα πάνω στα δύο μισά του τομέα είναι ίσα.Παράδειγμα 1. Έστω συνάρτηση f(x,y) = 2 sin(x) − 3y3 + 5 ολοκληρωμένη στο χωρίο T = { ( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 } , {\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},} ένας δίσκος με ακτίνα 1 με το κέντρο του στην αρχή των αξόνων και με το όριό του να συμπεριλαμβάνεται. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της γραμμικότητας, το ολοκλήρωμα μπορεί να χωριστεί σε τρία κομμάτια: ∬ T ( 2 sin ⁡ x − 3 y 3 + 5 ) d x d y = ∬ T 2 sin ⁡ x d x d y − ∬ T 3 y 3 d x d y + ∬ T 5 d x d y {\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy} Η συνάρτηση 2 sin(x) είναι περιττή συνάρτηση ως προς τη μεταβλητή x και ο δίσκος T είναι συμμετρικός ως προς τον άξονα y, άρα η τιμή του πρώτου ολοκληρώματος ισούται με το 0. Ομοίως, η συνάρτηση 3y3 είναι περιττή συνάρτηση του y, και το T είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα x, συνεπώς στο τελικό αποτέλεσμα συνεισφέρει μόνον το τρίτο ολοκλήρωμα. Επομένως, το αρχικό ολοκλήρωμα είναι ίσο με το εμβαδόν του δίσκου επί 5, ή 5 π .Παράδειγμα 2. Έστω η συνάρτηση f(x, y, z) = x exp(y2 + z2) με περιοχή ολοκλήρωσης τη μπάλα με ακτίνα 2 και κέντρο την αρχή των αξόνων, T = { ( x , y , z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 } . {\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.} Η μπάλα είναι συμμετρική και ως προς τους τρεις άξονες, ωστόσο αρκεί η ολοκλήρωση ως προς τον άξονα x για να δειχτεί ότι το ολοκλήρωμα ισούται με το 0, καθώς η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι περιττή συνάρτηση αυτής της μεταβλητής. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε χωρίο D για το οποίο: η προβολή του D στον άξονα x ή στον άξονα y φράσσεται από δύο τιμές a και b οποιαδήποτε ευθεία κάθετη σε αυτόν τον άξονα και διερχόμενη μεταξύ αυτών των δύο τιμών τέμνει το χωρίο σε ένα διάστημα του οποίου τα άκρα δίνονται από τα γραφήματα δύο συναρτήσεων, α και β .Ένα τέτοιο χωρίο θα ονομάζεται στο παρόν λήμμα κανονικό χωρίο. Στη μαθηματική βιβλιογραφία, τα κανονικά χωρία ονομάζονται και χωρία/περιοχές τύπου Ι ή τύπου ΙΙ, ανάλογα με τον άξονα. Σε όλες τις περιπτώσεις, η προς ολοκλήρωση συνάρτηση πρέπει να είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη στο χωρίο, κάτι που ισχύει, για παράδειγμα, εάν η συνάρτηση είναι συνεχής. Άξονας των x Έστω το κανονικό ως προς τον άξονα x χωρίο D και η συνεχής συνάρτηση f : D → R. Οι α(x) και η β(x), αμφότερες ορισμένες στο διάστημα [a, b], είναι οι δύο συναρτήσεις που καθορίζουν το D και με το θεώρημα Φουμπίνι: ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ α ( x ) β ( x ) f ( x , y ) d y . {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.} Άξονας των y Αν το D είναι κανονικό ως προς τον άξονα y και f : D → R είναι μια συνεχής συνάρτηση, τότε οι α(y) και β(y), αμφότερες ορισμένες στο διάστημα [a, b], είναι οι δύο συναρτήσεις που καθορίζουν το D. Και πάλι, από το θεώρημα Φουμπίνι: ∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ a b d y ∫ α ( y ) β ( y ) f ( x , y ) d x . {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.} Κανονικά χωρία στον R3 Εάν το T είναι ένα κανονικό ως προς το επίπεδο xy χωρίο που προσδιορίζεται από τις συναρτήσεις α(x, y) και β(x, y), τότε ∭ T f ( x , y , z ) d x d y d z = ∬ D ∫ α ( x , y ) β ( x , y ) f ( x , y , z ) d z d x d y {\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy} Ο ορισμός αυτός είναι ο ίδιος για τις άλλες πέντε περιπτώσεις κανονικότητας στον R3 και μπορεί να γενικευτεί με απλό τρόπο σε χωρία στον Rn. Έστω ότι θέλουμε να ολοκληρώσουμε μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών f σε μια περιοχή A: A = { ( x , y ) ∈ R 2 : 11 ≤ x ≤ 14 ; 7 ≤ y ≤ 10 } and f ( x , y ) = x 2 + 4 y {\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,} Από τη διατύπωση αυτή προκύπτει το επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα ∫ 7 10 ∫ 11 14 ( x 2 + 4 y ) d x d y {\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy} Αρχικά υπολογίζουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα ολοκληρώνοντας ως προς το x και λαμβάνοντας το y ως σταθερά, καθώς δεν είναι η μεταβλητή της ολοκλήρωσης: ∫ 11 14 ( x 2 + 4 y ) d x = [ 1 3 x 3 + 4 y x ] x = 11 x = 14 = 1 3 ( 14 ) 3 + 4 y ( 14 ) − 1 3 ( 11 ) 3 − 4 y ( 11 ) = 471 + 12 y {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}} Εν συνεχεία, ολοκληρώνουμε ως προς το y το αποτέλεσμα αυτού του ολοκληρώματος (που συνιστά συνάρτηση μόνο του y): ∫ 7 10 ( 471 + 12 y ) d y = [ 471 y + 6 y 2 ] y = 7 y = 10 = 471 ( 10 ) + 6 ( 10 ) 2 − 471 ( 7 ) − 6 ( 7 ) 2 = 1719 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}} Σύμφωνα με το θεώρημα Φουμπίνι, σε περιπτώσεις οπότε το διπλό ολοκλήρωμα της απόλυτης τιμής της συνάρτησης είναι πεπερασμένο, η σειρά ολοκλήρωσης είναι εναλλάξιμη, δηλαδή το να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς το x και το να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς το y δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας το προηγούμενο ολοκλήρωμα με αντίστροφη παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα: ∫ 11 14 ∫ 7 10 ( x 2 + 4 y ) d y d x = ∫ 11 14 [ x 2 y + 2 y 2 ] y = 7 y = 10 d x = ∫ 11 14 ( 3 x 2 + 102 ) d x = [ x 3 + 102 x ] x = 11 x = 14 = 1719. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}} Έστω η περιοχή της εικόνας: D = { ( x , y ) ∈ R 2 : x ≥ 0 , y ≤ 1 , y ≥ x 2 } {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}} Ζητούμενο είναι ο υπολογισμός του διπλού ολοκληρώματος: ∬ D ( x + y ) d x d y {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy} Αυτό το χωρίο είναι κανονικό ως προς τους άξονες x και y. Για την εφαρμογή των τύπων απαιτείται η εύρεση των συναρτήσεων που καθορίζουν το D και των διαστημάτων στα οποία ορίζονται αυτές οι συναρτήσεις. Σε αυτή την περίπτωση οι δύο συναρτήσεις είναι οι: α ( x ) = x 2 και β ( x ) = 1 {\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{και}}_{\ }\beta (x)=1} ενώ το διάστημα δίνεται από τις τομές των συναρτήσεων με την x = 0, άρα είναι το [a, b] = [0, 1] —η κανονικότητα έχει επιλεγεί ως προς τον άξονα x για καλύτερη οπτικοποίηση του παραδείγματος. Τώρα είναι δυνατή η εφαρμογή του τύπου: ∬ D ( x + y ) d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ x 2 1 ( x + y ) d y = ∫ 0 1 d x [ x y + y 2 2 ] x 2 1 {\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}} (πρωτίστως υπολογίζουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα θεωρώντας το x ως σταθερά). Για τους υπόλοιπους υπολογισμούς εφαρμόζουμε τις βασικές τεχνικές ολοκλήρωσης: ∫ 0 1 [ x y + y 2 2 ] x 2 1 d x = ∫ 0 1 ( x + 1 2 − x 3 − x 4 2 ) d x = ⋯ = 13 20 . {\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.} Για κανονικότητα ως προς τον άξονα y υπολογίζουμε το: ∫ 0 1 d y ∫ 0 y ( x + y ) d x . {\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.} και λαμβάνουμε την ίδια τιμή. Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους που περιγράφηκαν προηγουμένως, είναι δυνατός ο υπολογισμός των όγκων ορισμένων κοινών στερεών. Κύλινδρος : Ο όγκος ενός κυλίνδρου ύψους h και βάσης ακτίνας R υπολογίζεται με ολοκλήρωση της σταθερής συνάρτησης h πάνω στον δίσκο της βάσης, χρήσει πολικών συντεταγμένων. Όγκος = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 R h ρ d ρ = 2 π h [ ρ 2 2 ] 0 R = π R 2 h {\displaystyle {\text{Όγκος}}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h} σε συμφωνία με τον τύπο υπολογισμού του όγκου πρίσματος: Όγκος = εμβαδόν βάσης × ύψος . {\displaystyle {\text{Όγκος}}={\text{εμβαδόν βάσης}}\times {\text{ύψος}}.} Σφαίρα: Ο όγκος μιας σφαίρας ακτίνας R μπορεί να υπολογιστεί με ολοκλήρωση της σταθερής συνάρτησης 1 πάνω στη σφαίρα, χρήσει σφαιρικών συντεταγμένων: Volume = ∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z = ∭ D 1 d V = ∭ S ρ 2 sin ⁡ φ d ρ d θ d φ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin ⁡ φ d φ ∫ 0 R ρ 2 d ρ = 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ d φ ∫ 0 R ρ 2 d ρ = 2 π ∫ 0 π sin ⁡ φ R 3 3 d φ = 2 3 π R 3 [ − cos ⁡ φ ] 0 π = 4 3 π R 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}} Τετράεδρο (πχ τριγωνική πυραμίδα): Ο όγκος ενός τετραέδρου με κορυφή στην αρχή των αξόνων και ακμές μήκους ℓ κατά μήκος των αξόνων x, y και z μπορεί να υπολογιστεί με ολοκλήρωση της σταθερής συνάρτησης 1 πάνω στο τετράεδρο: Volume = ∫ 0 ℓ d x ∫ 0 ℓ − x d y ∫ 0 ℓ − x − y d z = ∫ 0 ℓ d x ∫ 0 ℓ − x ( ℓ − x − y ) d y = ∫ 0 ℓ ( l 2 − 2 ℓ x + x 2 − ( ℓ − x ) 2 2 ) d x = ℓ 3 − ℓ ℓ 2 + ℓ 3 3 − [ ℓ 2 x 2 − ℓ x 2 2 + x 3 6 ] 0 ℓ = ℓ 3 3 − ℓ 3 6 = ℓ 3 6 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}} σε συμφωνία με τον τύπο υπολογισμού του όγκου πυραμίδας: Όγκος = 1 3 × εμβαδόν βάσης × ύψος = 1 3 × ℓ 2 2 × ℓ = ℓ 3 6 . {\displaystyle {\text{Όγκος}}={\frac {1}{3}}\times {\text{εμβαδόν βάσης}}\times {\text{ύψος}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.} Κατά το θεώρημα Φουμπίνι αν ∬ A × B | f ( x , y ) | d ( x , y ) < ∞ , {\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty ,} εάν, δηλαδή, το ολοκλήρωμα είναι απολύτως συγκλίνον, τότε το πολλαπλό ολοκλήρωμα θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με οποιοδήποτε εκ των δύο επαναλαμβανομένων ολοκληρωμάτων: ∬ A × B f ( x , y ) d ( x , y ) = ∫ A ( ∫ B f ( x , y ) d y ) d x = ∫ B ( ∫ A f ( x , y ) d x ) d y . {\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.} Ειδικότερα, αυτό ισχύει εάν η |f(x, y)| είναι μια φραγμένη συνάρτηση και τα A και B είναι πεπερασμένα σύνολα. Εάν το ολοκλήρωμα δεν είναι απολύτως συγκλίνον, δεν θα πρέπει να συγχέονται οι έννοιες του πολλαπλού και του επαναλαμβανόμενου ολοκληρώματος, ειδικά εφόσον ο ίδιος συμβολισμός χρησιμοποιείται συχνά για καθεμία εκ των εννοιών. Ο συμβολισμός ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d y d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx} σημαίνει, σε ορισμένες περιπτώσεις, ένα επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα και όχι ένα πραγματικό διπλό ολοκλήρωμα. Σε ένα επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα, το εξωτερικό ολοκλήρωμα ∫ 0 1 ⋯ d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx} είναι το ολοκλήρωμα ως προς το x της ακόλουθης συνάρτησης του x: g ( x ) = ∫ 0 1 f ( x , y ) d y . {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy.} Περαιτέρω, ένα διπλό ολοκλήρωμα ορίζεται ως προς κάποια περιοχή στο επίπεδο xy. Εάν το διπλό ολοκλήρωμα υπάρχει, τότε είναι ίσο με καθένα από τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα, είτε με το «dy dx» είτε με το «dx dy», και συχνά υπολογίζεται προσδιορίζοντας την τιμή ενός εκ των δύο επαναλαμβανομένων ολοκληρωμάτων. Μερικές φορές τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα υπάρχουν παρότι το διπλό ολοκλήρωμα δεν υπάρχει, και σε ορισμένες εξ αυτών των περιπτώσεων τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα διαφέρουν, δηλαδή, για το ένα ισχύει ότι: ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d y d x ≠ ∫ 0 1 ∫ 0 1 f ( x , y ) d x d y . {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.} Αυτή συνιστά μια περίπτωση αναδιάταξης ενός κατά συνθήκη συγκλίνοντος ολοκληρώματος. Εντούτοις, υπάρχουν ορισμένες συνθήκες βάσει των οποίων τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα μπορούν να είναι ίσα, χωρίς να υπάρχει το διπλό ολοκλήρωμα. Κατά το θεώρημα Φίχτενχολτζ – Λιχτενστάιν, αν η f είναι φραγμένη στο [0, 1] × [0, 1] και υπάρχουν και τα δύο επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα, τότε είναι ίσα. Επιπλέον, η ύπαρξη των εσωτερικών ολοκληρωμάτων διασφαλίζει την ύπαρξη των εξωτερικών ολοκληρωμάτων. Σύμφωνα με τον Σιερπίνσκι, σε αυτήν την περίπτωση το διπλό ολοκλήρωμα δεν χρειάζεται να υπάρχει, ακόμη και ως ολοκλήρωμα Λεμπέγκ.Ο συμβολισμός: ∫ [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy} μπορεί να χρησιμοποιηθεί προς πλήρη διευκρίνιση του ότι το ολοκλήρωμα είναι διπλό κι όχι επαναλαμβανόμενο. Όπως και το ολοκληρωμα μίας μεταβλητής, το πολλαπλό ολοκλήρωμα χρησιμεύει στην εύρεση του μέσου όρου μιας συνάρτησης πάνω σε ένα δεδομένο σύνολο. Έστω ένα σύνολο D ⊆ Rn και μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f πάνω στο D. Τότε, η μέση τιμή της f πάνω στο πεδίο ορισμού της δίνεται από τον τύπο: f ¯ = 1 m ( D ) ∫ D f ( x ) d x , {\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,} όπου m(D) το μέτρο του D. Επιπλέον, τα πολλαπλά ολοκληρώματα έχουν πολλές εφαρμογές στη Φυσική. Επί παραδείγματι, στη μηχανική η ροπή αδράνειας υπολογίζεται ως το τριπλό ολοκλήρωμα του γινομένου της πυκνότητας με το τετράγωνο της απόστασης από τον άξονα: I z = ∭ V ρ r 2 d V . {\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV.} Το βαρυτικό δυναμικό που σχετίζεται με μια κατανομή μάζας ενός μέτρου μάζας dm στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο R3 δίνεται ως: V ( x ) = − ∭ R 3 G | x − y | d m ( y ) . {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} ).} για μια συνεχή συνάρτηση ρ ( x ) {\displaystyle \rho ({\mathbf {x}})} που αντιπροσωπεύει την πυκνότητα της κατανομής στο x, ούτως ώστε d m ( x ) = ρ ( x ) ⋅ d 3 ( x ) {\displaystyle dm({\mathbf {x}})=\rho ({\mathbf {x}})\cdot d^{3}({\mathbf {x}})} , με το d 3 ( x ) {\displaystyle d^{3}({\mathbf {x}})} να είναι ο στοιχειώδης Ευκλείδειος όγκος. Τότε, το βαρυτικό δυναμικό ισούται με: V ( x ) = − ∭ R 3 G | x − y | ρ ( y ) d 3 y {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} } Στον ηλεκτρομαγνητισμό, οι εξισώσεις Μάξγουελ μπορούν να γραφούν χρήσει πολλαπλών ολοκληρωμάτων για τον υπολογισμό των συνολικών μαγνητικών και ηλεκτρικών πεδίων. Στο ακόλουθο παράδειγμα, το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από μια κατανομή φορτίων πυκνότητας ανά μονάδα όγκου ρ ( r → ) {\displaystyle \rho ({\vec {r}})} δίνεται από το τριπλό ολοκλήρωμα μιας διανυσματικής συνάρτησης: E → = 1 4 π ε 0 ∭ r → − r → ′ ‖ r → − r → ′ ‖ 3 ρ ( r → ′ ) d 3 r ′ . {\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'.} Adams, Robert A. (2003). Calculus: A Complete Course (στα Αγγλικά) (5th έκδοση). ISBN 0-201-79131-5. Jain, R. K.· Iyengar, S. R. K. (2009). Advanced Engineering Mathematics (στα Αγγλικά) (3rd έκδοση). Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7. Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 3 (στα αγγλικά): OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN 978-1-50669-805-2. (PDF) G. Strang, E. Herman, Multiple Integration (στα αγγλικά), Libretexts maths Υπολογιστής διπλών ολοκληρωμάτων, Wolfram Alpha Υπολογιστής τριπλών ολοκληρωμάτων, Symbolab