Σειρά Τέιλορ

Στα μαθηματικά, σειρά Τέιλορ (αγγλ. Taylor series) είναι η αναπαράσταση μίας συνάρτησης ως άθροισμα απείρων όρων οι οποίοι υπολογίζονται από τις τιμές των παραγώγων της σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Η έννοια της σειράς Τέιλορ καθιερώθηκε επισήμως από τον Άγγλο μαθηματικό Μπρουκ Τέιλορ (Brook Taylor) το 1715. Αν η σειρά έχει κέντρο το μηδέν, τότε η σειρά ονομάζεται επίσης σειρά Maclaurin, η οποία το όνομά της το πήρε από τον Σκωτσέζο μαθηματικό Κόλιν Μακλόριν ο οποίος έκανε εκτεταμένη χρήση αυτής της ειδικής περίπτωσης των σειρών Taylor τον 18ο αιώνα. Είναι κοινώς πρακτικό να χρησιμοποιείται πεπερασμένος αριθμός από τους όρους της σειράς Τέιλορ για να προσεγγίσουμε μια συνάρτηση. Το θεώρημα του Τέιλορ δίνει ποσοτικές εκτιμήσεις για το σφάλμα της προσέγγισης. Κάθε πεπερασμένος αριθμός αρχικών όρων της σειράς ονομάζεται πολυώνυμο Taylor. Η σειρά Τέιλορ μίας συνάρτησης ισούται με το όριο του πολυωνύμου Τέιλορ αυτής της συνάρτησης, υπό την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει. Μία συνάρτηση ενδέχεται να μην ισούται με την ίδια την σειρά Τέιλορ της, έστω και αν η Τέιλορ σειρά της συγκλίνει σε κάθε σημείο. Μία συνάρτηση η οποία είναι ίση με την ίδια τη σειρά Τέιλορ της σε ένα ανοιχτό διάστημα (ή σε ένα δίσκο στο μιγαδικό επίπεδο) είναι γνωστή ως μια αναλυτική συνάρτηση.

 Η σειρά Τέιλορ μίας πραγματικής ή μιγαδικής συνάρτησης ƒ(x) η οποία είναι απείρως παραγωγίσιμη σε μία γειτονιά ενός πραγματικού ή μιγαδικού αριθμού α είναι η δυναμοσειρά f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .} η οποία μπορεί να γραφτεί και σε μορφή με πιο συμπαγές άθροισμα όρων , όπως: ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}} όπου n! υποδηλώνει το παραγοντικό του n και ƒ (n)(a) συμβολίζει n-ιοστή παράγωγο της ƒ στο σημείο α. Η παράγωγος τάξης μηδέν της ƒ ορίζεται να είναι η ίδια η ƒ και τα (x − α)0 και 0! ισούνται από τον ορισμό με 1. Στην περίπτωση που α = 0, η σειρά ονομάζεται και σειρά Maclaurin. Η σειρά Maclaurin οποιουδήποτε πολυωνύμου είναι το ίδιο το πολυώνυμο. Η σειρά Maclaurin του (1 − x)−1 για |x| < 1 είναι η γεωμετρική σειρά 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ {\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!} έτσι η σειρά Τέιλορ για x−1 στο α = 1 1 − ( x − 1 ) + ( x − 1 ) 2 − ( x − 1 ) 3 + ⋯ . {\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!} Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σειρά Maclaurin βρίσκεται η σειρά Maclaurin του log(1 − x), όπου log υποδηλώνει τον φυσικό λογάριθμο: − x − 1 2 x 2 − 1 3 x 3 − 1 4 x 4 − ⋯ {\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!} και η αντίστοιχη σειρά Τέιλορ για το log(x) στο α = 1 είναι ( x − 1 ) − 1 2 ( x − 1 ) 2 + 1 3 ( x − 1 ) 3 − 1 4 ( x − 1 ) 4 + ⋯ . {\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots .\!} γενικότερα, η αντίστοιχη σειρά Τέιλορ για το log (x) σε κάποιο a = x 0 {\displaystyle a=x_{0}} είναι: log ⁡ ( x 0 ) + 1 x 0 ( x − x 0 ) − 1 x 0 2 ( x − x 0 ) 2 2 + ⋯ . {\displaystyle \log(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .} Η σειρά Τέιλορ της εκθετικής συνάρτησης ex στο α = 0 είναι 1 + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + ⋯ = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24 + x 5 120 + ⋯ . {\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\!} Η παραπάνω σχέση προκύπτει έτσι επειδή η παράγωγος της ex ως προς το x είναι επίσης ex ενώ e0 ισούται με 1. Έτσι μένουν οι όροι (x − 0)n στον αριθμητή και στον παρονομαστή n! για κάθε όρο της άπειρης σειράς. Ο Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ασχολήθηκε με το πρόβλημα της άθροισης άπειρης σειράς προσπαθώντας να επιτύχει πεπερασμένο αποτέλεσμα, αλλά το απέρριψε θεωρώντας το απίθανο. Το αποτέλεσμα ήταν το λεγόμενο παράδοξο του Ζήνωνα. Αργότερα ο Αριστοτέλης έθεσε μία φιλοσοφική επίλυση του παραδόξου, ωστόσο το μαθηματικό περιεχόμενο του προβλήματος παρέμενε άλυτο έως ότου ασχολήθηκαν με αυτό ο Δημόκριτος και έπειτα ο Αρχιμήδης. Με την μέθοδο της εξάντλησης του Αρχιμήδη ήταν δυνατό να διαχειριστούν διαδοχικές υποδιαιρέσεις ώστε να επιτευχθεί πεπερασμένο αποτέλεσμα. Ο Λιου Χούι ανεξάρτητα χρησιμοποίησε μια παρόμοια μέθοδο λίγους αιώνες αργότερα.Τον 14ο αιώνα, τα πρώτα παραδείγματα της χρήσης σειρών Τέιλορ και στενά συγγενικών μεθόδων δίνονται από τον Μαντάβα του Σανγκαμαγκράμα. Αν και δεν σώζεται καταγραφή του έργου του, συγγράμματα μεταγενέστερων ινδών μαθηματικών υποδεικνύουν ότι είχε βρει κάποιες ειδικές περιπτώσεις σειρών Τέιλορ, όπως αυτές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και του τόξου εφαπτομένης. Η σχολή μαθηματικών και αστρονομίας της Κεράλα επέκτεινε περαιτέρω το έργο του μέχρι τον 16ο αιώνα. Τον 17ο αιώνα, ο Τζέιμς Γκρέγκορι επίσης εργάστηκε στον τομέα αυτό και δημοσίευσε διάφορες σειρές Maclaurin. Το 1715 εν τέλει δόθηκε η γενική μέθοδος κατασκευής αυτών των σειρών για όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες υπάρχουν από τον Μπρουκ Τέιλορ, του οποίου πήραν το όνομα. Οι σειρές Maclaurin πήραν το όνομά του από τον Κόλιν Μακλόριν, καθηγητή στο Εδιμβούργο, ο οποίος δημοσίευσε την ειδική περίπτωση των σειρών Τέιλορ τον 18ο αιώνα. Αν η f(x) δίνεται από μία συγκλίνουσα δυναμοσειρά σε ένα ανοικτό δίσκο (ή διάστημα στον πραγματικό αξονα) με κέντρο το b, λέγεται ότι είναι αναλυτική σε αυτόν τον δίσκο. Έτσι για x που ανήκουν στον δίσκο, η f δίνεται από μία συγκλίνουσα δυναμοσειρά f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − b ) n . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.} Παραγωγίζοντας ως προς x την παραπάνω n φορές, και θέτωντας x=b προκύπτει: f ( n ) ( b ) n ! = a n {\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}} έτσι το ανάπτυγμα της δυναμοσειράς συμφωνεί με την σειρά Τέιλορ. Έτσι μια συνάρτηση είναι αναλυτή σε ένα ανοιχτό δίσκο με κέντρο το b αν και μόνον αν η σειρά Τέιλορ της συγκλίνει στην τιμή της συνάρτησης σε κάθε σημείο του δίσκου. Αν η f(x) ισούται με την οικεία σειρά Τέιλορ παντού τότε καλείται ακέραια αναλυτική συνάρτηση. Τα πολυώνυμα, η εκθετική συνάρτηση ex και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναι μερικά παραδείγματα ακεραίων συναρτήσεων. Παραδείγματα συναρτήσεων που δεν είναι ακέραιες περιλαμβάνουν τον λογάριθμο, την τριγωνομετρική συνάρτηση της εφαπτομένης και την αντίστροφή της, το τόξο εφαπτομένης. Για αυτές τις συναρτήσεις η σειρά Τέιλορ δεν συγκλίνει αν το x απέχει από το α. Οι σειρά Τέιλορ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της τιμής μίας ακέραιας συνάρτησης σε κάθε σημείο, αν η τιμή της συνάρτησης, καθώς και όλων των παραγώγων της είναι γνωστές σε ένα σημείο. Οι χρήσεις της σειράς Τέιλορ για τις αναλυτές συναρτήσεις περιλαμβάνουν: Τα μερικά αθροίσματα (πολυώνυμα Τέιλορ ) της σειράς που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις ολόκληρης της συνάρτησης. Οι προσεγγίσεις αυτές θα είναι καλό αν περιλαμβάνουν αρκετά πολλούς όρους. Παραγώγιση και ολοκλήρωση σειρών που μπορεί να πραγματοποιηθεί όρο προς όρο και επομένως είναι ιδιαίτερα εύκολη. Μια αναλυτική συνάρτηση επεκτείνεται μοναδικά σε μια ολόμορφη συνάρτηση σε ένα ανοικτό δίσκο στο μιγαδικό επίπεδο. Η σειρά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσει τις τιμές της συνάρτησης αριθμητικά, (συχνά με την ανασύνταξη του πολυωνύμου στην μορφή Chebyshev και τον υπολογισμό με τον αλγόριθμο Clenshaw. Αλγεβρικές πράξεις μπορούν να γίνουν άμεσα. Για παράδειγμα, ο τύπος του Euler που προκύπτει από αναπτύγματα σειρών Τέιλορ για τριγωνομετρικές και εκθετικές συναρτήσεις. Το αποτέλεσμα αυτό είναι θεμελιώδους σημασίας σε τομείς όπως η αρμονική ανάλυση . Οι προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται στους πρώτους όρους μιας σειράς Τέιλορ μπορεί να κάνουν διαφορετικά, άλυτα προβλήματα μεταξύ τους να είναι δυνατόν να λυθούν για ένα περιορισμένο τομέα. Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται συχνά στη φυσική. Στα δεξιά εικονίζεται μια ακριβής προσέγγιση της συνάρτησης ημx γύρω από το σημείο x = 0. Η ροζ καμπύλη είναι πολυώνυμο 7ου βαθμού: sin ⁡ x ≈ x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! . {\displaystyle \sin x\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!} Το σφάλμα της προσέγγισης δεν είναι πάνω από |x|9/9!. Συγκεκριμένα για −1 < x < 1, το σφάλμα είναι μικρότερο από 0.000003. Για αντίθεση, επιδεικνύεται επίσης μία αναπαράσταση της συνάρτησης του φυσικού λογαρίθμου log(1 + x) και κάποιων από τα πολυώνυμα Τέιλορ γύρω από το α = 0. Αυτές οι προσεγγίσεις συγκλίνουν στη συνάρτηση μόνο στην περιοχή −1 < x ≤ 1; έξω από αυτή την περιοχή τα ανωτέρου βαθμού πολυώνυμα αποτελούν χειρότερες προσεγγίσεις της συνάρτησης. Αυτό είναι παρόμοιο με το φαινόμενο του Runge. Το σφάλμα που προκύπτει από την προσέγγιση της συνάρτησης με το n-οστού βαθμού πολυώνυμο ονομάζεται υπόλοιπο και αποδίδεται από την συνάρτηση Rn(x). Το θεώρημα Τέιλορ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση του φράγματος του υπολοίπου. Εν γένει, η σειρά δεν είναι συγκλίνουσα. Στην πραγματικότητα το σύνολο των συναρτήσεων με συγκλίνουσα σειρά Τέιλορ είναι υποσύνολο του χώρου Frechet των λείων συναρτήσεων (συνεχείς παραγώγους οποιασδήποτε τάξεως). Ακόμα και αν η σειρά Τέιλορ μιας συνάρτησης f είναι συγκλίνουσα, το όριο της δεν είναι εν γένει ίσο με την τιμή της συνάρτησης f(x). Για παράδειγμα η συνάρτηση f ( x ) = { e − 1 / x 2 α ν x ≠ 0 0 α ν x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&\alpha \nu \ x\not =0\\0&\alpha \nu \ x=0\end{cases}}} είναι απείρως παραγωγίσιμη στο x = 0 και όλες οι παράγωγοι είναι μηδέν στο σημείο. Συνεπώς η σειρά Τέιλορ της f(x) γύρω από το x = 0 είναι ταυτόσημη με το μηδέν. Ωστόσο η f(x) δεν είναι ίση με την μηδενική συνάρτηση και συνεπώς δεν είναι ίση με την σειρά Τέιλορ γύρω από το μηδέν. Στην πραγματική ανάλυση, αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι υπάρχουν απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x) των οποίων η σειρά Τέιλορ δεν είναι ίση με την f(x) ακόμα και αν συγκλίνει. Αντιθέτως στην μιγαδική ανάλυση δεν υπάρχουν ολόμορφες συναρτήσεις f(z) των οποίων η σειρά Τέιλορ να συγκλίνει σε τιμή διαφορετική από την f(z). Η μιγαδική συνάρτηση e−z−2 δεν προσεγγίζει το 0 καθώς το z πλησιάζει το 0 πάνω στον φανταστικό άξονα, και έτσι η σειρά Τέιλορ έτσι ορίζεται εκεί. Πιο γενικά, κάθε ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών μπορεί να εμφανιστεί ως συντελεστής στην σειρά Τέιλορ μιας απείρως παραγωγίσιμης συνάρτησης που ορίζεται στην ευθεία των πραγματικών, ως συνέπεια του λήμματος του Borel. Ως αποτέλεσμα, η ακτίνα σύγκλισης μιας σειράς Τέιλορ μπορεί να είναι μηδέν. Υπάρχουν ακόμα και απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις που ορίζονται στην ευθεία των πραγματικών των οποίων η σειρά Τέιλορ έχει ακτίνα σύγκλισης 0 παντού.Κάποιες συναρτήσεις δεν μπορούν να γραφούν ως σειρά Τέιλορ γιατί περιέχουν μία ανωμαλία, σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορεί να επιτευχθεί η ανάπτυξη της σειράς αν επιτραπούν οι αρνητικές δυνάμεις της μεταβλητής x. Για παράδειγμα η f(x) = e−x−2 μπορεί να γραφεί ως σειρά Laurent. Υπάρχει ωστόσο μία γενίκευση της σειράς Τέιλορ η οποία συγκλίνει στην τιμή της συνάρτησης για οποιαδήποτε φραγμένη συνεχή συνάρτηση στο (0,∞), χρησιμοποιώντας τον λογισμό των πεπερασμένων διαφορών. Ειδικότερα υπάρχει το ακόλουθο θεώρημα του Einar Hille, σύμφωνα με το οποίο για οποιοδήποτε t > 0, lim h → 0 + ∑ n = 0 ∞ t n n ! Δ h n f ( a ) h n = f ( a + t ) . {\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).} Εδώ το Δ h n {\displaystyle \Delta _{h}^{n}} είναι ο τελεστής της n-οστής πεπερασμένης διαφοράς. Η σειρά είναι ακριβώς η σειρά Τέιλορ, εκτός από το ότι εμφανίζονται διαιρέσεις με πεπερασμένες διαφορές αντί για παραγωγίσεις: η σειρά μοιάζει με την σειρά Newton. Όταν η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο a, οι όροι της σειράς συγκλίνουν στους όρους της σειράς Τέιλορ, και υπό αυτή την έννοια αποτελεί την γενίκευση της σειράς Τέιλορ. Εν γένει για οποιαδήποτε άπειρη ακολουθία ai, ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα δυναμοσειρών. ∑ n = 0 ∞ u n n ! Δ n a i = e − u ∑ j = 0 ∞ u j j ! a i + j . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.} Έτσι συγκεκριμένα, f ( a + t ) = lim h → 0 + e − t / h ∑ j = 0 ∞ f ( a + j h ) ( t / h ) j j ! . {\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.} Η σειρά στα δεξιά είναι η αναμενόμενη τιμή της f(a + X), όπου X είναι τυχαία μεταβλητή με κατανομή Poisson που παίρνει την τιμή jh με πιθανότητα e−t/h(t/h)j/j!. Έτσι f ( a + t ) = lim h → 0 + ∫ − ∞ ∞ f ( a + x ) d P t / h , h ( x ) . {\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).} Η ταυτότητα ισχύει σύμφωνα με τον νόμο των μεγάλων αριθμών. Ακολουθούν μερικά σημαντικά αναπτύγματα σειρών Maclaurin. Όλες οι σχέσεις ισχύουν για μιγαδικά x. Εκθετική συνάρτηση: e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ ∀ x {\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \forall x\!} Φυσικός λογάριθμος: log ⁡ ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n {\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}} για − 1 ≤ x < 1 {\displaystyle -1\leq x<1} log ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n {\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}} για − 1 < x ≤ 1 {\displaystyle -1<x\leq 1} Πεπερασμένη γεωμετρική σειρά: 1 − x m + 1 1 − x = ∑ n = 0 m x n {\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad } για x ≠ 1 {\displaystyle x\not =1} και m ∈ N 0 {\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}\!} Άπειρη γεωμετρική σειρά: 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}} για | x | < 1 {\displaystyle |x|<1\!} Παραλλαγές της άπειρης γεωμετρικής σειράς: x m 1 − x = ∑ n = m ∞ x n {\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad } για | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} και m ∈ N 0 {\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}\!} x ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n {\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad } για | x | < 1 {\displaystyle |x|<1\!} 1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad } για | x | < 1 {\displaystyle |x|<1\!} Τετραγωνική ρίζα: 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! ( 1 − 2 n ) ( n ! ) 2 ( 4 n ) x n = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + 1 16 x 3 − 5 128 x 4 + … {\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots } για | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1} Διωνυμική σειρά (περιλαμβάνει και την τετραγωνική ρίζα για α = 1/2 και την άπειρη γεωμετρική σειρά για α = −1): ( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad } για όλα τα | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} και όλους τους μιγαδικούς α {\displaystyle \alpha \!} με γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές ( α n ) = ∏ k = 1 n α − k + 1 k = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! {\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}} Τριγωνομετρικές συναρτήσεις: sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots } για όλα τα x {\displaystyle x\!} cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots } για όλα τα x {\displaystyle x\!} tan ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots } για | x | < π 2 {\displaystyle |x|<{\frac {\pi }{2}}\!} όπου Bs είναι οι αριθμοί Bernoulli. sec ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}} για | x | < π 2 {\displaystyle |x|<{\frac {\pi }{2}}\!} arcsin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 {\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} για | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1\!} arccos ⁡ x = π 2 − arcsin ⁡ x = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 {\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} για | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1\!} arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 {\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}} για | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1\!} Υπερβολικές συναρτήσεις: sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ {\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots } για όλα τα x {\displaystyle x\!} cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ {\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots } για όλα τα x {\displaystyle x\!} tanh ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n ( 4 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x − 1 3 x 3 + 2 15 x 5 − 17 315 x 7 + ⋯ {\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots } για | x | < π 2 {\displaystyle |x|<{\frac {\pi }{2}}\!} a r s i n h ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 {\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} για | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1\!} a r t a n h ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 {\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}} για | x | < 1 {\displaystyle |x|<1\!} Συνάρτηση W του Lambert: W 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − n ) n − 1 n ! x n {\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}} για | x | < 1 e {\displaystyle |x|<{\frac {1}{\mathrm {e} }}\!} Οι αριθμοί Bk που εμφανίζονται στο ανάπτυγμα της tan(x) και tanh(x) είναι οι αριθμοί Bernoulli. Οι Ek στο ανάπτυγμα της sec(x) είναι οι αριθμοί Euler. Αρκετές μέθοδοι υπάρχουν για τον υπολογισμό της σειράς Τέιλορ για μεγάλο αριθμό συναρτήσεων. Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η σειρά Τέιλορ ως έχει και να γενικευθεί η μορφή των συντελεστών, ή να χρησιμοποιηθούν χειρισμοί όπως η αντικατάσταση, ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση, πρόσθεση ή αφαίρεση μιας πρότυπης σειράς Τέιλορ για την κατασκευή της σειράς Τέιλορ μιας συνάρτησης. Σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί να εξαχθεί η σειρά Τέιλορ από την επαναληπτική ολοκλήρωση κατά μέρη. Ιδιαίτερα βολικη είναι η χρήση του συστήματος άλγεβρας υπολογιστών για τον υπολογισμό σειράς Τέιλορ. Υπολογισμός του πολυωνύμου Maclaurin 7ου βαθμού της συνάρτησης f ( x ) = log ⁡ cos ⁡ x , x ∈ ( − π / 2 , π / 2 ) {\displaystyle f(x)=\log \cos x,\quad x\in (-\pi /2,\pi /2)\!} .Αρχικά η συνάρτηση ξαναγράφεται ως f ( x ) = log ⁡ ( 1 + ( cos ⁡ x − 1 ) ) {\displaystyle f(x)=\log(1+(\cos x-1))\!} .Για τον φυσικό λογάριθμο (με χρήση του συμβολισμού Ο) log ⁡ ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 + O ( x 4 ) {\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}(x^{4})\!} για την συνάρτηση του συνημιτόνου cos ⁡ x − 1 = − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + O ( x 8 ) {\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}(x^{8})\!} Η ανάπτυξη της τελευταίας έχει ένα μηδενικό σταθερό όρο που επιτρέπει να αντικατασταθεί η δεύτερη σειρα στην πρώτη και να γίνει παράλειψη των όρων τάξεως άνω του 7: f ( x ) = log ⁡ ( 1 + ( cos ⁡ x − 1 ) ) = ( cos ⁡ x − 1 ) − 1 2 ( cos ⁡ x − 1 ) 2 + 1 3 ( cos ⁡ x − 1 ) 3 + O ( ( cos ⁡ x − 1 ) 4 ) = ( − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 + O ( x 8 ) ) − 1 2 ( − x 2 2 + x 4 24 + O ( x 6 ) ) 2 + 1 3 ( − x 2 2 + O ( x 4 ) ) 3 + O ( x 8 ) = − x 2 2 + x 4 24 − x 6 720 − x 4 8 + x 6 48 − x 6 24 + O ( x 8 ) = − x 2 2 − x 4 12 − x 6 45 + O ( x 8 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\log(1+(\cos x-1))\\&={\bigl (}\cos x-1{\bigr )}-{\frac {1}{2}}{\bigl (}\cos x-1{\bigr )}^{2}+{\frac {1}{3}}{\bigl (}\cos x-1{\bigr )}^{3}+{O}{\bigl (}(\cos x-1)^{4}{\bigr )}\\&={\biggl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}(x^{8}){\biggr )}-{\frac {1}{2}}{\biggl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}(x^{6}){\biggr )}^{2}+{\frac {1}{3}}{\biggl (}-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\biggr )}^{3}+{O}(x^{8})\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O(x^{8})\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O(x^{8}).\end{aligned}}\!} Καθώς το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, οι συντελεστές όλων των περιττών δυνάμεων x, x3, x5, x7, ... πρέπει να είναι μηδέν. Εύρεση της σειράς Τέιλορ στο 0 της συνάρτησης g ( x ) = e x cos ⁡ x {\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}\!} .Για την εκθετική συνάρτηση e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots \!} και, όπως στο πρώτο παράδειγμα cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ {\displaystyle \cos x=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots \!} Υπόθεση ότι η δυναμοσειρά είναι e x cos ⁡ x = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ {\displaystyle {e^{x} \over \cos x}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \!} Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με τον παρονομαστή και αντικαθιστούμε το συνημίτονο από παραπάνω e x = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ ) cos ⁡ x = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + ⋯ ) ( 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ ) = c 0 − c 0 2 x 2 + c 0 4 ! x 4 + c 1 x − c 1 2 x 3 + c 1 4 ! x 5 + c 2 x 2 − c 2 2 x 4 + c 2 4 ! x 6 + c 3 x 3 − c 3 2 x 5 + c 3 4 ! x 7 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots )\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{c_{0} \over 2}x^{2}+{c_{0} \over 4!}x^{4}+c_{1}x-{c_{1} \over 2}x^{3}+{c_{1} \over 4!}x^{5}+c_{2}x^{2}-{c_{2} \over 2}x^{4}+{c_{2} \over 4!}x^{6}+c_{3}x^{3}-{c_{3} \over 2}x^{5}+{c_{3} \over 4!}x^{7}+\cdots \end{aligned}}\!} Οι όροι μέχρι τέταρτης τάξεως είναι = c 0 + c 1 x + ( c 2 − c 0 2 ) x 2 + ( c 3 − c 1 2 ) x 3 + ( c 4 + c 0 4 ! − c 2 2 ) x 4 + ⋯ {\displaystyle =c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{c_{0} \over 2}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{c_{1} \over 2}\right)x^{3}+\left(c_{4}+{c_{0} \over 4!}-{c_{2} \over 2}\right)x^{4}+\cdots \!} Συγκρίνοντας τους συντελεστές με την παραπάνω σειρά της εκθετικής συνάρτησης προκύπτει η επιθυμητή σειρά Τέιλορ e x cos ⁡ x = 1 + x + x 2 + 2 x 3 3 + x 4 2 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{2x^{3} \over 3}+{x^{4} \over 2}+\cdots .\!} Εδώ χρησιμοποιούμε μια μέθοδο που ονομάζεται Έμμεσο Ανάπτυγμα για να αναπτύξουμε την συγκεκριμένη συναρτηση. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί αναπτύγματα Τέιλορ γνωστών συναρτησεων Ερώτημα: Αναπτύξτε την ακόλουθη συνάρτηση ως μια δυναμοσειρά του x ( 1 + x ) e x {\displaystyle (1+x)e^{x}} .Γνωρίζουμε τη σειρά Τέιλορ για την e x {\displaystyle e^{x}} e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ , − ∞ < x < + ∞ {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots \!,-\infty <x<+\infty } Έτσι ( 1 + x ) e x = e x + x e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! + ∑ n = 1 ∞ x n ( n − 1 ) ! = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 1 n ! + 1 ( n − 1 ) ! ) x n = 1 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n ! x n , − ∞ < x < + ∞ = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n ! x n {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}+\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n+1} \over n!}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}+\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n+1} \over n!}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over (n-1)!}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({1 \over n!}+{1 \over (n-1)!}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{n+1 \over n!}x^{n},-\infty <x<+\infty \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{n+1 \over n!}x^{n}\end{aligned}}} Τυπικά, οι αλγεβρικές συναρτήσεις ορίζονται από μία αλγεβρική εξίσωση, και οι υπερβατικές συναρτήσεις είναι (συμπεριλαμβανομένων εκείνων που συζητήθηκαν παραπάνω) εκείνες που ορίζονται από κάποια ιδιότητα τους, όπως μια διαφορική εξίσωση . Για παράδειγμα η εκθετική συνάρτηση είναι η συνάρτηση η οποία είναι ίση με την παράγωγό της σε κάθε σημείο και έχει την τιμή 1 στην αρχή των αξόνων. Ωστόσο, μία αναλυτική συνάρτηση μπορεί να οριστεί και από την οικεία σειρά Τέιλορ. Οι σειρές Τέιλορ χρησιμοποιούνται για τους ορισμούς συναρτήσεων και τελεστών σε ποικίλους τομείς των μαθηματικών. Ειδικότερα, αυτό είναι αληθές σε περιοχές όπου οι ορισμοί των κλασικών συναρτήσεων δεν ισχύουν. Για παράδειγμα με την χρήση σειρών Τέιλορ, μπορεί κανείς να ορίσει αναλυτικές συναρτήσεις πινάκων και τελεστών, όπως ο εκθετικός πίνακας ή ο λογαριθμικός πίνακας. Σε άλλους τομείς, όπως η τυπική ανάλυση, είναι πιο βολικό να εργάζεται κανείς με δυναμοσειρές. Έτσι είναι δυνατόν να οριστεί μία διαφορική εξίσωση ως δυναμοσειρά η οποία να αποδειχθεί ότι είναι η επιθυμητή λύση της εξίσωσης. Η σειρά Τέιλορ μπορεί να γενικευθεί σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών με T ( x 1 , … , x d ) = {\displaystyle T(x_{1},\dots ,x_{d})=} = ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ n d = 0 ∞ ( x 1 − a 1 ) n 1 ⋯ ( x d − a d ) n d n 1 ! ⋯ n d ! ( ∂ n 1 + ⋯ + n d f ∂ x 1 n 1 ⋯ ∂ x d n d ) ( a 1 , … , a d ) . {\displaystyle =\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d}).\!} Για παράδειγμα, για μία συνάρτηση δύο μεταβλητών,x και y, η σειρά Τέιλορ στο σημείο (a, b) και μέχρι δευτέρας τάξεως είναι: f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ( x − a ) f x ( a , b ) + ( y − b ) f y ( a , b ) + 1 2 ! [ ( x − a ) 2 f x x ( a , b ) + 2 ( x − a ) ( y − b ) f x y ( a , b ) + ( y − b ) 2 f y y ( a , b ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&\approx f(a,b)+(x-a)\,f_{x}(a,b)+(y-b)\,f_{y}(a,b)\\&{}\quad +{\frac {1}{2!}}\left[(x-a)^{2}\,f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)\,f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}\,f_{yy}(a,b)\right],\end{aligned}}} όπου οι δείκτες υποδηλώνουν τις αντίστοιχες μερικές παραγώγους. Το ανάπτυγμα δευτέρας τάξεως σειράς Τέιλορ κλιμακωτής συνάρτησης πολλών μεταβλητών μπορεί να γραφτεί ως T ( x ) = f ( a ) + ( x − a ) T D f ( a ) + 1 2 ! ( x − a ) T { D 2 f ( a ) } ( x − a ) + ⋯ , {\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\mathrm {D} f(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\,\{\mathrm {D} ^{2}f(\mathbf {a} )\}\,(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots \!\,,} Οπου είναι D f ( a ) {\displaystyle Df(\mathbf {a} )\!} είναι η βαθμίδα της f {\displaystyle \,f} στο x = a {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} } και D 2 f ( a ) {\displaystyle D^{2}f(\mathbf {a} )\!} είναι ο πίνακας του Hesse. Χρησιμοποιώντας συμβολισμό δεικτών η σειρά Τέιλορ για πολλές μεταβλητές γίνεται T ( x ) = ∑ | α | ≥ 0 ( x − a ) α α ! ( ∂ α f ) ( a ) , {\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\,({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}\,f)(\mathbf {a} )\,,} η οποία είναι συντετμιμένη εκδοχή πολλών δεικτών της πρώτης εξίσωσης της παραγράφου, σε πλήρη αναλογία με την περίπτωση της μίας μεταβλητής. Υπολογισμός αναπτύγματος σειράς Τέιλορ μέχρι δευτέρας τάξεως γύρω από το ( a , b ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (a,b)=(0,0)} για την συνάρτηση f ( x , y ) = e x log ⁡ ( 1 + y ) . {\displaystyle f(x,y)=e^{x}\log(1+y).\,} Αρχικά υπολογίζονται οι αναγκαίες μερικές παράγωγοι f x ( a , b ) = e x log ⁡ ( 1 + y ) | ( x , y ) = ( 0 , 0 ) = 0 , {\displaystyle f_{x}(a,b)=e^{x}\log(1+y){\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=0\,,} f y ( a , b ) = e x 1 + y | ( x , y ) = ( 0 , 0 ) = 1 , {\displaystyle f_{y}(a,b)={\frac {e^{x}}{1+y}}{\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=1\,,} f x x ( a , b ) = e x log ⁡ ( 1 + y ) | ( x , y ) = ( 0 , 0 ) = 0 , {\displaystyle f_{xx}(a,b)=e^{x}\log(1+y){\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=0\,,} f y y ( a , b ) = − e x ( 1 + y ) 2 | ( x , y ) = ( 0 , 0 ) = − 1 , {\displaystyle f_{yy}(a,b)=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}{\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=-1\,,} f x y ( a , b ) = f y x ( a , b ) = e x 1 + y | ( x , y ) = ( 0 , 0 ) = 1. {\displaystyle f_{xy}(a,b)=f_{yx}(a,b)={\frac {e^{x}}{1+y}}{\bigg |}_{(x,y)=(0,0)}=1.} Η σειρά Τέιλορ είναι T ( x , y ) = f ( a , b ) + ( x − a ) f x ( a , b ) + ( y − b ) f y ( a , b ) + 1 2 ! [ ( x − a ) 2 f x x ( a , b ) + 2 ( x − a ) ( y − b ) f x y ( a , b ) + ( y − b ) 2 f y y ( a , b ) ] + ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)=f(a,b)&+(x-a)\,f_{x}(a,b)+(y-b)\,f_{y}(a,b)\\&+{\frac {1}{2!}}\left[(x-a)^{2}\,f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)\,f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}\,f_{yy}(a,b)\right]+\cdots \,,\end{aligned}}} που σε αυτή την περίπτωση γίνεται T ( x , y ) = 0 + 0 ( x − 0 ) + 1 ( y − 0 ) + 1 2 [ 0 ( x − 0 ) 2 + 2 ( x − 0 ) ( y − 0 ) + ( − 1 ) ( y − 0 ) 2 ] + ⋯ = y + x y − y 2 2 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big [}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big ]}+\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots .\end{aligned}}} Αφού log(1 + y) είναι αναλυτική στο |y| < 1, προκύπτει e x log ⁡ ( 1 + y ) = y + x y − y 2 2 + ⋯ {\displaystyle e^{x}\log(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots } για |y| < 1. Με την εμφάνιση του κλασματικού λογισμού, προέκυψε το ερώτημα για το ποια θα ήταν η επέκταση των σειρών Τέιλορ στο νέο πεδίο. Οι Odibat και Shawagfeh απάντησαν στο ερώτημα το 2007, χρησιμοποιώντας την κλασματική παράγωγο Caputo, 0 < α < 1 {\displaystyle 0<\alpha <1\,\!} , και το x + {\displaystyle x+\,\!} που υποδεικνύει το όριο καθώς προσεγγίζεται το x {\displaystyle x\,\!} από τα δεξιά, και έτσι η κλασματική σειρά Τέιλορ γράφεται: f ( x + Δ x ) = f ( x ) + D x α f ( x + ) ( Δ x ) α Γ ( α + 1 ) + D x α D x α f ( x + ) ( Δ x ) 2 α Γ ( 2 α + 1 ) + ⋯ . {\displaystyle f(x+\Delta x)=f(x)+D_{x}^{\alpha }f(x+){\frac {(\Delta x)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}+D_{x}^{\alpha }D_{x}^{\alpha }f(x+){\frac {(\Delta x)^{2\alpha }}{\Gamma (2\alpha +1)}}+\cdots .} Η τριγωνομετρική σειρά Fourier επιτρέπει να εκφράσει μια περιοδική συνάρτηση (ή συνάρτηση ορισμένη σε ένα συμπαγές διάστημα) ως άπειρο άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (ημιτόνων και συνημιτόνων). Υπό την έννοια αυτή, η σειρά Fourier είναι ανάλογη με σειρά Τέιλορ, δεδομένου ότι η τελευταία επιτρέπει να εκφράσει μια συνάρτηση ως ένα άπειρο άθροισμα. Παρ' όλα αυτά και οι δύο τύποι της σειράς διαφέρουν σε διάφορα σχετικά θέματα: Ο υπολογισμός της σειράς Τέιλορ απαιτεί τη γνώση της συνάρτησης σε μια αυθαίρετη μικρή περιοχή, ενώ ο υπολογισμός της σειράς Fourier απαιτεί την γνώση της συνάρτησης σε όλο τον τομέα του διαστήματος. Κατά μία έννοια θα μπορούσε κανείς να πει ότι η σειρά Taylor είναι «τοπική» και η σειρά Fourier είναι «παγκόσμια». Ο υπολογισμός της σειράς Τέιλορ απαιτεί η συνάρτηση να είναι κατηγορίας C∞, ενώ η σειρά Fourier απαιτεί η συνάρτηση να είναι μόνο ολοκληρώσιμη (και, επομένως, δεν μπορεί ακόμη να είναι και συνεχής). Η σύγκλιση των δύο σειρών έχει πολύ διαφορετικές ιδιότητες. Ακόμη και αν η σειρά Τέιλορ έχει θετική ακτίνα σύγκλισης, η προκύπτουσα σειρά μπορεί να μην συμπίπτει με τη συνάρτηση. Αλλά αν η συνάρτηση είναι αναλυτική τότε η σειρά συγκλίνει σημειακά στη συνάρτηση, και ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές σύνολο. Όσον αφορά τη σειρά Fourier, εάν η συνάρτηση είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη τότε θα συγκλίνει σε τετραγωνικό μέσο όρο, αλλά άλλες πρόσθετες απαιτήσεις που είναι αναγκαίες για να εξασφαλιστεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση είναι για παράδειγμα, αν η συνάρτηση είναι περιοδική και κατηγορίας C1 τότε η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Τέλος, στην πράξη, αν κάποιος θέλει να προσεγγίσει τη συνάρτηση με έναν πεπερασμένο αριθμό όρων, ας πούμε με ένα πολυώνυμο Τέιλορ ή με ένα μερικό άθροισμα της τριγωνομετρική σειράς, αντίστοιχα τότε στην περίπτωση της σειράς Τέιλορ το σφάλμα είναι πολύ μικρό σε μια γειτονιά του σημείου όπου υπολογίζεται, ενώ μπορεί να είναι πολύ μεγάλο σε ένα μακρινό σημείο. Στην περίπτωση της σειράς Fourier το σφάλμα διανέμεται κατά μήκος του τομέα της συνάρτησης. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1