Σφαίρα Μπλοχ

Στην κβαντική μηχανική, η σφαίρα Μπλοχ είναι μια γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντομηχανικού συστήματος δύο επιπέδων που πήρε το όνομά της από τον φυσικό Φέλιξ Μπλοχ. Εναλλακτικά, είναι ο χώρος καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή 1 qubit. Η σφαίρα Μπλοχ είναι και γεωμετρικά μια σφαίρα και η αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων της σφαίρας και των καθαρών καταστάσεων μπορεί να δοθεί σαφώς. Σε γενικευμένη μορφή, η σφαίρα Μπλοχ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο ανάλογο χώρο ενός κβαντικού συστήματος n επιπέδων. Η κβαντική μηχανική είναι μαθηματικά διατυπωμένη σε ένα χώρο Χίλμπερτ ή προβαλλόμενο χώρο Χίλμπερτ. Ο χώρος των καθαρών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος δίνεται από τις ακτίνες στον χώρο Χίλμπερτ (τα σημεία του προβαλλόμενου χώρου Χίλμπερτ). Ο χώρος των ακτινών σε οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο είναι ένας προβαλλόμενος χώρος, και συγκεκριμένα, ο χώρος των ακτίνων σε ένα δισδιάστατο χώρο Χίλμπερτ είναι η μιγαδική προβολική γραμμή, η οποία είναι ισομορφική προς τη σφαίρα. Η φυσική μετρική στην σφαίρα Μπλοχ είναι η μετρική Fubini-Study.

 Για να δειχθεί αυτή η αντιστοιχία σαφώς, θεωρήστε την περιγραφή qubit της σφαίρας Μπλοχ˙ οποιοδήποτε κβαντομηχανική κατάσταση ψ {\displaystyle \psi } μπορεί να γραφεί ως μια μιγαδική υπέρθεση των διανυσμάτων ket | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } και | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } ˙ επιπλέον, αφού οι παράγοντες φάσης δεν επηρεάζουν την φυσική κατάσταση, μπορούμε να πάρουμε την αναπαράσταση ώστε ο συντελεστής του | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } να είναι πραγματικός και μη αρνητικός. Έτσι το ψ {\displaystyle \psi } έχει μια αναπαράσταση ως | ψ ⟩ = cos ⁡ θ | 0 ⟩ + e i ϕ sin ⁡ θ | 1 ⟩ = cos ⁡ θ | 0 ⟩ + ( cos ⁡ ϕ + i sin ⁡ ϕ ) sin ⁡ θ | 1 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\cos \theta \,|0\rangle +e^{i\phi }\sin \theta \,|1\rangle \quad =\quad \cos \theta \,|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \theta \,|1\rangle } με 0 ≤ θ < π 2 , 0 ≤ ϕ < 2 π . {\displaystyle 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},\quad 0\leq \phi <2\pi .} Εκτός από την περίπτωση όπου ψ {\displaystyle \psi } είναι ένα από τα διανύσματα ket | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } ή | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } , η αναπαράσταση είναι μοναδική, με άλλα λόγια οι παράμετροι ϕ {\displaystyle \phi \,} και θ {\displaystyle \theta \,} προσδιορίζουν μοναδικά ένα σημείο στην μοναδιαία σφαίρα του Ευκλείδειου χώρου R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , δηλαδή το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} είναι x = sin ⁡ 2 θ × cos ⁡ ϕ y = sin ⁡ 2 θ × sin ⁡ ϕ z = cos ⁡ 2 θ . {\displaystyle {\begin{matrix}x&=&\sin 2\theta \times \cos \phi \\y&=&\sin 2\theta \times \sin \phi \\z&=&\cos 2\theta .\end{matrix}}} Σε αυτή την αναπαράσταση το | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } είναι χαρτογραφημένο μέσα στο ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} και το | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } είναι χαρτογραφημένο μέσα στο ( 0 , 0 , − 1 ) {\displaystyle (0,0,-1)} . Θεωρήστε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων. Αυτό το σύστημα περιγράφεται από ένα n-διάστατο χώρο Χίλμπερτ Hn. Ο χώρος της καθαρής κατάστασης είναι εξ ορισμού το σύνολο των μονοδιάστατων ακτίνων του Hn. Θεώρημα. Θέτουμε το U(n) να είναι η ομάδα Λι των μοναδιαίων πινάκων μεγέθους n. Τότε ο χώρος καθαρής κατάστασης του Hn μπορεί να αναγνωριστεί με το συμπαγή σύμπλοκο χώρο U ⁡ ( n ) / ( U ⁡ ( n − 1 ) × U ⁡ ( 1 ) ) . {\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).} Για να αποδείξουμε αυτό το γεγονός, σημειώνουμε ότι υπάρχει μια φυσική ομαδική πράξη του U(n) στο σύνολο των καταστάσεων του Hn. Αυτή η πράξη είναι συνεχής και μεταβατική στις καθαρές καταστάσεις. Για οποιαδήποτε κατάσταση ψ, το σύνολο σταθερών σημείων του ψ, (ορισμένο ως το σύνολο των στοιχείων g του U(n) τέτοια ώστε g ψ = ψ) είναι ισομορφικό προς την ομάδα γινομένων U ⁡ ( n − 1 ) × U ⁡ ( 1 ) . {\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).} Από αυτό το σημείο ο ισχυρισμός του θεωρήματος ακολουθεί βασικά αξιώματα για τις μεταβατικές πράξεις ομάδων σε συμπαγείς ομάδες. Το σημαντικό γεγονός που πρέπει να σημειωθεί στα παραπάνω είναι ότι η μοναδιαία ομάδα δρα μεταβατικά σε καθαρές καταστάσεις. Τώρα η (πραγματική) διάσταση του U(n) είναι n2. Αυτό είνα εύκολο να το δούμε αφού ο εκθετικός χάρτης A ↦ e i A {\displaystyle A\mapsto e^{iA}} είναι ένας τοπικός ομοιομορφισμός από το χώρο των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων στο U(n). Ο χώρος των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων έχει πραγματική διάσταση n2. Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης του Hn είναι 2n − 2. Ουσιαστικά, n 2 − ( ( n − 1 ) 2 + 1 ) = 2 n − 2. {\displaystyle n^{2}-((n-1)^{2}+1)=2n-2.\quad } Ας εφαρμόσουμε αυτό για να εξετάσουμε την πραγματική διάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit. Ο αντίστοιχος χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση 2m. Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit είναι 2m+1 − 2. Οι διατυπώσεις της κβαντικής μηχανικής με όρους καθαρών καταστάσεων είναι επαρκείς για απομονωμένα συστήματα˙ γενικά κβαντομηχανικά συστήματα πρέπει να περιγράφονται με όρους τελεστών πυκνότητας. Η τοπολογική περιγραφή περιπλέκεται από το γεγονός ότι η μοναδιαία ομάδα δεν ενεργεί μεταβατικά σε τελεστές πυκνότητας. Επιπλέον οι τροχιές παρουσιάζουν μεγάλη διαφοροποίηση, όπως προκύπτει από την ακόλουθη παρατήρηση: Θεώρημα. Υποθέστε ότι A είναι ένας τελεστής πυκνότητας σε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων του οποίου οι διακριτές ιδιοτιμές είναι μ1, ..., μk με πολλαπλότητες n1, ...,nk. Τότε η ομάδα των μοναδιαίων τελεστών V ώστε V A V* = A είναι ισομορφική (ως μια ομάδα Λι) προς U ⁡ ( n 1 ) × ⋯ × U ⁡ ( n k ) . {\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).} Συγκεκριμένα η τροχιά του A είναι ισομορφική προς U ⁡ ( n ) / ( U ⁡ ( n 1 ) × ⋯ × U ⁡ ( n k ) ) . {\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})).} Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) σελ.9-16. (Αγγλικά) Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (Ένα μικρό animation ενός διανύσματος Μπλοχ υποβαλλόμενο σε μια αντηχητική διέγερση.) (Ανακτήθηκε 27 Απριλίου 2011)(Αγγλικά)