On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Η διαδικτυακή εγκυκλοπαίδεια On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), που στις αναφορές γράφεται απλούστερα ως Sloane's, είναι μια βάση δεδομένων με ακολουθίες ακεραίων αριθμών σε απευθείας σύνδεση. Δημιουργήθηκε και συντηρείται από τον Νιλ Σλόαν, πρώην ερευνητή της AT&T Labs. Διαβλέποντας την αποχώρησή του από την AT&T Labs το 2012 και την ανάγκη για κάποιο ανεξάρτητο ίδρυμα, ο Σλόαν συμφώνησε να μεταφερθεί η πνευματική ιδιοκτησία και η φιλοξενία της OEIS στο «Ίδρυμα OEIS» τον Οκτώβριο του 2009. Ο Σλόαν συνεχίζει να συμμετέχει στο εγχείρημα ως πρόεδρος του ιδρύματος της OEIS. Η OEIS καταγράφει πληροφορίες σχετικά με ακολουθίες ακεραίων αριθμών που ενδιαφέρουν τόσο τους επαγγελματίες μαθηματικούς όσο και τους ερασιτέχνες, που κάνουν ευρέως αναφορές σε αυτήν. Φιλοξενεί πάνω από 260.000 ακολουθίες, που την καθιστούν την μεγαλύτερη βάση δεδομένων του είδους της. Κάθε καταγραφή περιέχει τους κορυφαίους όρων μιας ακολουθίας, λέξεις κλειδιά, μαθηματικά κίνητρα, λογοτεχνικούς σύνδεσμους, και πολλά άλλα, συμπεριλαμβανομένης της δυνατότητας να δημιουργηθεί ένα γράφημα ή να παιχτεί μια μουσική αναπαράσταση της ακολουθίας. Η βάση δεδομένων κάνει αναζήτηση με λέξη κλειδί ή με κάποια υπακολουθία.

 Ο Νιλ Σλόαν άρχισε να συλλέγει ακολουθίες ακεραίων ως μεταπτυχιακός φοιτητής το 1965 για να υποστηρίξει την εργασία του στην συνδυαστική. Η βάση δεδομένων αποθηκεύτηκε σε διάτρητες κάρτες. Έχει εκδώσει βιβλία με κάποιες επιλογές από τη βάση δεδομένων δύο φορές: 1) Sloane, Neil J. A. (1973). A Handbook of Integer Sequences. New York: Academic Press. ISBN 0-12-648550-X. Περιέχει 2372 ακολουθίες με λεξικογραφική ταξινόμηση και με αριθμητική διάταξη από το 1 έως το 2372. 2) Sloane, Neil J. A.· Plouffe, Simon (1995). The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-558630-2. Περιέχει 5488 ακολουθίες ταξινομημένες ως M-αριθμός με αριθμητική διάταξη από το M0000 έως το M5487. Η εγκυκλοπαίδεια περιλαμβάνει παραπομπές στις αντίστοιχες ακολουθίες (οι οποίες μπορεί να διαφέρουν σε ορισμένους αρχικούς τους όρους) του A Handbook of Integer Sequences με ταξινόμηση ως Ν-αριθμός από το N0001 έως το N2372 έως (αντί του 1 έως το 2372). Η εγκυκλοπαίδεια περιλαμβάνει επίσης την ταξινόμηση ως Α-αριθμός που χρησιμοποιείται στην OEIS, ενώ το εγχειρίδιο δεν την περιλαμβάνει.Τα δύο αυτά βιβλία κυκλοφόρησαν αρκετά και, ειδικά μετά τη δεύτερη δημοσίευση, οι μαθηματικοί παρείχαν στον Σλόαν μια σταθερή ροή νέων ακολουθιών. Η συλλογή έγινε ανεξέλεγκτη για μορφή βιβλίου, ήδη όταν η βάση δεδομένων είχε φτάσει τις 16.000 καταχωρήσεις, έτσι ο Σλόαν αποφάσισε να πάει σε απευθείας σύνδεση, πρώτα ως υπηρεσία ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, τον Αύγουστο του 1994, και αμέσως μετά ως ιστοσελίδα, το 1996. Ως υποπροϊόν της εργασίας της βάσης δεδομένων, ο Σλόαν ίδρυσε το 1998 την Journal of Integer Sequences (Εφημερίδα των ακολουθιών ακεραίων).Η βάση δεδομένων συνεχίζει να αυξάνεται με ρυθμό περίπου 10.000 νέων καταχωρήσεων ετησίως. Ο Σλόαν διαχειρίστηκε προσωπικά τις ακολουθίες του για σχεδόν 40 χρόνια, αλλά αρχής γενομένης από το 2002, μια ομάδα συνεργατών από συντάκτες και εθελοντές τον βοηθά να διατηρήσει τη βάση δεδομένων του. Το 2004, ο Σλόαν γιόρτασε την προσθήκη στη βάση δεδομένων της ακολουθίας υπ' αριθμόν A100000, η οποία αριθμεί τα αναγραφόμενα σημάδια στο παλαιολιθικό οστό Ishango. Το 2006, η διεπαφή χρήστη αναθεωρήθηκε και προστέθηκαν πιο προηγμένες δυνατότητες αναζήτησης. Το 2010, δημιουργήθηκε η OEIS wiki στο OEIS.org για να απλοποιήσει τη συνεργασία των συντακτών και των εθελοντών της OEIS. Η ακολουθία υπ' αριθμόν A200000, προστέθηκε στη βάση δεδομένων το Νοέμβριο του 2011. Αρχικά καταχωρήθηκε ως A200715 και μετακινήθηκε στην A200000 μετά από μία εβδομάδα συζητήσεων στη λίστα αλληλογραφίας, με πρόταση που έκανε ο Charles Greathouse (OEIS Editor-in-Chief) ώστε να επιλεχθεί μια ειδική ακολουθία στη θέση της A200000. Επιλέχθηκε η καταχώρηση A046970, επειδή περιέχει όλους τους τομείς που μπορεί να έχει μια καταχώρηση στην OEIS. A046970 Generated from Riemann Zeta function: coefficients in series expansion of Zeta(n+2)/Zeta(n). 1, -3, -8, -3, -24, 24, -48, -3, -8, 72, -120, 24, -168, 144, 192, -3, -288, 24, -360, 72, 384, 360, -528, 24, -24, 504, -8, 144, -840, -576, -960, -3, 960, 864, 1152, 24, -1368, 1080, 1344, 72, -1680, -1152, -1848, 360, 192, 1584, -2208, 24, -48, 72, 2304, 504, -2808, 24, 2880, 144, 2880, 2520, -3480, -576 OFFSET 1,2 COMMENTS B(n+2) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4pi^2))*z(n+2)/z(n) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4pi^2))*Sum(j=1, infinity) [ a(j)/j^(n+2) ] ... REFERENCES M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965, pp. 805-811. LINKS M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, Tenth Printing, 1972 [alternative scanned copy]. Wikipedia, Riemann zeta function. FORMULA Multiplicative with a(p^e) = 1-p^2. a(n) = Sum_{d|n} mu(d)*d^2. a(n) = product[p prime divides n, p^2-1] (gives unsigned version) [From Jon Perry (jonperrydc(AT)btinternet.com), Aug 24 2010] EXAMPLE a(3) = -8 because the divisors of 3 are {1, 3} and mu(1)*1^2 + mu(3)*3^2 = -8. ... MAPLE Jinvk := proc(n, k) local a, f, p ; a := 1 ; for f in ifactors(n)[2] do p := op(1, f) ; a := a*(1-p^k) ; end do: a ; end proc: A046970 := proc(n) Jinvk(n, 2) ; end proc: # R. J. Mathar, Jul 04 2011 MATHEMATICA muDD[d_] := MoebiusMu[d]*d^2; Table[Plus @@ muDD[Divisors[n]], {n, 60}] (Lopez) Flatten[Table[{ x = FactorInteger[n]; p = 1; For[i = 1, i <= Length[x], i++, p = p*(x[[i]][[1]]^2 - 1)]; p}, {n, 1, 50, 1}]] [From Jon Perry (jonperrydc(AT)btinternet.com), Aug 24 2010] PROG (PARI) A046970(n)=sumdiv(n, d, d^2*moebius(d)) (Benoit Cloitre) CROSSREFS Cf. A027641 and A027642. Sequence in context: A035292 A144457 A146975 * A058936 A002017 A118582 Adjacent sequences: A046967 A046968 A046969 * A046971 A046972 A046973 KEYWORD sign,mult AUTHOR Douglas Stoll, dougstoll(AT)email.msn.com EXTENSIONS Corrected and extended by Vladeta Jovovic (vladeta(AT)eunet.rs), Jul 25 2001 Additional comments from Wilfredo Lopez (chakotay147138274(AT)yahoo.com), Jul 01 2005 Borwein, Jonathan; Corless, R. (1996). «The Encyclopedia of Integer Sequences (N. J. A. Sloane and Simon Plouffe)». SIAM Review 38 (2): 333–337. doi:10.1137/1038058. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2022-02-13. https://web.archive.org/web/20220213093710/http://www.cecm.sfu.ca/~jborwein/sloane/sloane.html. Ανακτήθηκε στις 2015-09-23. Catchpole, H. (2004). «Exploring the number jungle online». ABC Science (Australian Broadcasting Corporation). http://abc.net.au/science/news/stories/s1209743.htm. Delarte, A. (2004-11-11). «Mathematician reaches 100k milestone for online integer archive». The South End: 5. Hayes, Brian (1996). «A Question of Numbers». American Scientist 84 (1): 10–14. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2015-10-05. https://web.archive.org/web/20151005070524/http://lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/A%20Question%20of%20Numbers.pdf. Ανακτήθηκε στις 2015-09-23. Peterson, Ivars (2003). «Sequence Puzzles». Science News Online 163 (20). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2008-04-15. https://web.archive.org/web/20080415131826/http://www.sciencenews.org/articles/20030517/mathtrek.asp. Ανακτήθηκε στις 2015-09-23. Peterson, Ivars (1996). «Next in Line». Science News Online. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2013-01-07. https://web.archive.org/web/20130107011218/http://www.maa.org/mathland/mathland_11_18.html. Ανακτήθηκε στις 2015-09-23. Rehmeyer, J. (2010). «The Pattern Collector». Science News Online (www.sciencenews.org). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2010-08-20. https://web.archive.org/web/20100820084831/http://www.sciencenews.org/view/generic/id/61870/title/The_pattern_collector. Ανακτήθηκε στις 2010-08-08. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) Wiki Sloane's Gap - Numberphile, a video with Dr. James Grime, University of Nottingham FindStat - Combinatorial Statistic Finder, an OEIS influenced fingerprint database for combinatorial statistics, see also Billey, Sara C.; Tenner, Bridget E.. Fingerprint databases for theorems. http://www.ams.org/notices/201308/rnoti-p1034.pdf.