Καμπύλη που γεμίζει το χώρο

Στη Μαθηματική Ανάλυση, με τον όρο καμπύλη πλήρωσης χώρου (space filling curve) αναφερόμαστε σε καμπύλες που το σύνολο τιμών τους είναι ολόκληρο το μοναδιαίο τετράγωνο [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle [0,1]^{2}} (ή ολόκληρος ο υπερκύβος [ 0 , 1 ] n {\displaystyle [0,1]^{n}} ). Πολλές φορές αυτές οι καμπύλες αναφέρονται και ως καμπύλες Πεάνο, επειδή ο Τζιουζέπε Πεάνο ήταν ο πρώτος μαθηματικός που ανακάλυψε μια τέτοια καμπύλη (παρότι και ο Ντάβιντ Χίλμπερτ είχε αναφερθεί σε παρόμοιες κατασκευές).

 Γενικά, μια συνεχής καμπύλη σε έναν χώρο 2, 3 ή περισσότερων διαστάσεων αποτελεί ένα μονοπάτι ενός σημείου που κινείται με συνεχή τρόπο. Ο επίσημος μαθηματικός ορισμός (ο οποίος εξαλείφει την αοριστία της προηγούμενης φράσης) είναι ο παρακάτω (Τζόρνταν 1887): Μια καμπύλη (με σημεία που υποδηλώνουν την αρχή και το τέλος) είναι μια συνεχής συνάρτηση r : [ 0 , 1 ] ⟶ X {\displaystyle r:[0,1]\longrightarrow X} , όπου ο χώρος X {\displaystyle X} μπορεί να είναι οποιοσδήποτε τοπολογικός χώρος. Συνήθως, ο χώρος X {\displaystyle X} αναφέρεται σε Ευκλείδειους χώρους όπως ο R 2 {\displaystyle R^{2}} (επίπεδη καμπύλη) ή ο R 3 {\displaystyle R^{3}} (καμπύλη στο χώρο). Πολύ συχνά με τον όρο καμπύλη αναφερόμαστε στην εικόνα της αντίστοιχης συνάρτησης, δηλαδή στο σύνολο όλων των δυνατών τιμών (σημείων) που μπορεί να πάρει η συνάρτηση. Επιπλέον, μπορούμε να ορίσουμε και καμπύλες χωρίς αρχικό ή τελικό σημείο (π.χ. καμπύλες που εκτείνονται στο άπειρο) αν θεωρήσουμε ως πεδίο ορισμού το ανοικτό σύνολο ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} ή ολόκληρο το R {\displaystyle R} . Μια καμπύλη που γεμίζει το μοναδιαίο τετράγωνο του επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μια συνεχή και επί συνάρτηση της μορφής r → : [ 0 , 1 ] ⟶ [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle {\vec {r}}:[0,1]\longrightarrow [0,1]^{2}} . Γενικότερα, μια καμπύλη που γεμίζει τον μοναδιαίο υπερκύβο, αντιστοιχεί σε μια συνεχή και επί συνάρτηση της μορφής r → : [ 0 , 1 ] ⟶ [ 0 , 1 ] n {\displaystyle {\vec {r}}:[0,1]\longrightarrow [0,1]^{n}} . Η πρώτη καμπύλη με την ιδιότητα να γεμίζει το χώρο ανακαλύφθηκε το 1890 από τον Τζιουζέπε Πεάνο . Η καμπύλη αυτή ονομάζεται συνήθως καμπύλη Πεάνο προς τιμήν του μαθηματικού. Σκοπός του Πεάνο ήταν να αποδείξει ότι τα σύνολα [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} και [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle [0,1]^{2}} περιέχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων, κάτι που ήδη είχε αποδείξει ο Γκέοργκ Κάντορ. Ο Πεάνο όμως απέδειξε ότι μπορεί να υπάρξει συνεχής και επί απεικόνιση μεταξύ των δύο χώρων. Η απεικόνιση αυτή όμως δεν είναι 1-1 και μάλιστα δεν μπορεί να υπάρξει συνεχής, επί και 1-1 απεικόνιση μεταξύ του [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} και του [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle [0,1]^{2}} .Το αρχικό άρθρο του Πεάνο δεν περιείχε κάποια εικόνα της κατασκευής. Ο Πεάνο είχε δώσει έμφαση στη σωστή μαθηματική αναπαράσταση και στις αποδείξεις των ιδιοτήτων της καμπύλης. Ένα χρόνο αργότερα ο Νταβίντ Χίλμπερτ δημοσίευσε μια άλλη καμπύλη που γεμίζει το [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle [0,1]^{2}} βασισμένος σε μια παραλλαγή της ιδέας του Πεάνο. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται σήμερα καμπύλη Χίλμπερτ. Όπως αποδείχθηκε αργότερα οι καμπύλες που γεμίζουν το χώρο είναι fractals . Συνήθως οι καμπύλες αυτές δίνονται ως τα όρια συγκεκριμένων ακολουθιών από πολυγωνικές γραμμές.