Θεώρημα του Πτολεμαίου

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του Πτολεμαίου δίνει τη σχέση των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με τις διαγώνιές του. Το διατύπωσε ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος αι. μ.Χ.) και το χρησιμοποίησε για τη δημιουργία του "πίνακα των χορδών", ενός τριγωνομετρικού πίνακα για αστρονομικούς υπολογισμούς. Πιο συγκεκριμένα, στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο A B Γ Δ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}} , ισχύει: A Γ ⋅ B Δ = A B ⋅ Γ Δ + B Γ ⋅ A Δ {\displaystyle {\rm {A\Gamma \cdot B\Delta =AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta }}} .Λεκτικά η σχέση περιγράφεται ως εξής: "Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο (των μηκών) των διαγωνίων του είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων (των μηκών) των ζευγών των απέναντι πλευρών." Ισχύει και το αντίστροφο: "Αν σε ένα τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών, τότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο."

 Έστω το ισόπλευρο τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} και ένα σημείο P {\displaystyle {\rm {P}}} του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν A {\displaystyle {\rm {A}}} είναι η πιο μακρινή κορυφή του τριγώνου από το σημείο P {\displaystyle {\rm {P}}} και B {\displaystyle {\rm {B}}} , Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma }}} είναι οι πιο κοντινές κορυφές στο P {\displaystyle {\rm {P}}} , τότε το θεώρημα van Schooten λέει ότι: P A = P B + P Γ {\displaystyle {\rm {PA=PB+P\Gamma }}} . Πράγματι, το A B P Γ {\displaystyle {\rm {ABP\Gamma }}} είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο και από το θεώρημα του Πτολεμαίου ισχύει ότι P A ⋅ s = P B ⋅ s + P Γ ⋅ s {\displaystyle \mathrm {PA} \cdot s=\mathrm {PB} \cdot s+\mathrm {P\Gamma } \cdot s} . Απλοποιώντας το s {\displaystyle s} έπεται το ζητούμενο. Έστω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α {\displaystyle \alpha } και β {\displaystyle \beta } και διαγώνιο δ {\displaystyle \delta } . Τότε, επειδή τα ορθογώνια είναι εγγράψιμα σε κύκλο, από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε ότι δ 2 = α 2 + β 2 {\displaystyle \delta ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}} , που είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα. Ειδικότερα, σε ένα τετράγωνο το θεώρημα του Πτολεμαίου δίνει ότι: δ 2 = 2 α 2 {\displaystyle \delta ^{2}=2\alpha ^{2}} ή δ = α 2 {\displaystyle \delta =\alpha {\sqrt {2}}} . Έστω ένα κανονικό πεντάγωνο A B Γ Δ E {\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta E}}} με πλευρά α {\displaystyle \alpha } και διαγώνιο β {\displaystyle \beta } . Το τετράπλευρο A B Γ Δ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}} είναι εγγράψιμο, άρα από το θεώρημα του Πτολεμαίου β 2 = α 2 + α β {\displaystyle \beta ^{2}=\alpha ^{2}+\alpha \beta } ή ( β α ) 2 = 1 + β α {\displaystyle ({\tfrac {\beta }{\alpha }})^{2}=1+{\tfrac {\beta }{\alpha }}} ή β α = 1 + 5 2 = ϕ {\displaystyle {\tfrac {\beta }{\alpha }}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\phi } , ο χρυσός λόγος. Έστω ένα κανονικό δεκαγώνου με πλευρά γ {\displaystyle \gamma } , α {\displaystyle \alpha } και β {\displaystyle \beta } όπως πριν και A Z = δ {\displaystyle {\rm {AZ}}=\delta } η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου. Τότε, το A Δ Z Γ {\displaystyle {\rm {A\Delta Z\Gamma }}} είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο και από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε ότι α δ = β γ + β γ {\displaystyle \alpha \delta =\beta \gamma +\beta \gamma } ή δ = 2 ( β / α ) γ {\displaystyle \delta =2(\beta /\alpha )\gamma } ή δ = 2 ϕ γ {\displaystyle \delta =2\phi \gamma } ή γ = δ 2 ϕ {\displaystyle \gamma ={\tfrac {\delta }{2\phi }}} . Έτσι προκύπτει η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου συναρτήσει της διαμέτρου του περιγεγραμμένου του κύκλου.Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο για την πλευρά α {\displaystyle \alpha } του κανονικού δεκαγώνου. Από την εφαρμογή του θεωρήματος του Πτολεμαίου στο κανονικό πεντάγωνο έχουμε ότι α = β / ϕ {\displaystyle \alpha =\beta /\phi } . Αρκεί να υπολογίσουμε το β {\displaystyle \beta } από το δ {\displaystyle \delta } . Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο A Δ Z {\displaystyle \mathrm {A\Delta Z} } είναι ορθογώνιο και από το Πυθαγόρeιο θεώρημα έχουμε ότι β 2 = δ 2 − γ 2 {\displaystyle \beta ^{2}=\delta ^{2}-\gamma ^{2}} , όπου γ = δ / ( 2 ϕ ) {\displaystyle \gamma =\delta /(2\phi )} . Ο Κοπέρνικος, διαβάζοντας το έργο του Πτολεμαίου συνοψίζει πως "αν είναι γνωστή η διάμετρος του κύκλου, τότε μπορεί να υπολογιστεί η πλευρά ενός εγγεγραμένου πολυγώνου, αν αυτό είναι τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο, εξάγωνο και δεκάγωνο". Έστω ένας κύκλος διαμέτρου 1 {\displaystyle 1} και εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο, όπου η μία κάθετη πλευρά του να είναι α {\displaystyle \alpha } και η απέναντι οξεία γωνία A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} . Τότε sin ⁡ A = α / 1 {\displaystyle \sin {\rm {A}}=\alpha /1} , δηλ. αριθμητικά η χορδή α {\displaystyle \alpha } ταυτίζεται με το ημίτονο της εγγεγραμμένης γωνίας A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} που βαίνει στο τόξο της χορδής α {\displaystyle \alpha } . Θεωρούμε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο A B Γ Δ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}} , με πλευρές α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } . Επίσης θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} είναι η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής α {\displaystyle \alpha } και όμοια οι θ 2 , θ 3 , θ 4 {\displaystyle \theta _{2},\theta _{3},\theta _{4}} . Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πτολεμαίου και χρησιμοποιώντας τη σχέση α = sin ⁡ A {\displaystyle \alpha =\sin {\rm {A}}} , λαμβάνουμε την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου: sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 3 + sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ 4 = sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) sin ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) {\displaystyle \sin \theta _{1}\sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\sin(\theta _{2}+\theta _{3})} Έχουμε ότι θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 = 180 ∘ {\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=180^{\circ }} , έτσι sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) = sin ⁡ ( 180 o − ( θ 3 + θ 3 ) ) = sin ⁡ ( θ 3 + θ 4 ) {\displaystyle \sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(180^{o}-(\theta _{3}+\theta _{3}))=\sin(\theta _{3}+\theta _{4})} , δηλ. για τη χορδή A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} μπορούμε να θεωρήσουμε είτε την θ 1 + θ 2 {\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}} ή τη θ 3 + θ 4 {\displaystyle \theta _{3}+\theta _{4}} . Αν θ 1 = θ 3 {\displaystyle \theta _{1}=\theta _{3}} και θ 2 = θ 4 {\displaystyle \theta _{2}=\theta _{4}} , τότε η εφαρμογή της τριγωνομετρικής μορφής του θεωρήματος του Πτολεμαίου δίνει sin 2 ⁡ θ 1 + sin 2 ⁡ θ 2 = sin 2 ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) {\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{2}=\sin ^{2}(\theta _{1}+\theta _{2})} με θ 1 + θ 2 + θ 1 = θ 2 = 180 o {\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{1}=\theta _{2}=180^{o}} ή θ 1 + θ 2 = 90 o {\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=90^{o}} .Άρα προκύπτει ότι η τριγωνομετρική μορφή του Πυθαγόρειου θεωρήματος sin 2 ⁡ θ 1 + cos 2 ⁡ θ 1 = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta _{1}+\cos ^{2}\theta _{1}=1} . Έστω ένα ισοσκελές τραπέζιο με β = δ {\displaystyle \beta =\delta } και βάσεις τις α {\displaystyle \alpha } και γ {\displaystyle \gamma } . Τότε οι διαγώνιες A Γ = B Δ {\displaystyle {\rm {A\Gamma =B\Delta }}} και γ = α − 2 x {\displaystyle \gamma =\alpha -2x} , όπου x = β ⋅ cos ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) {\displaystyle x=\beta \cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3})} . Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πτολεμαίου, έχουμε ότι: α γ + β δ = A Γ ⋅ B Δ ⇒ α γ + β 2 = A Γ 2 ⇒ α ⋅ ( α − 2 β ⋅ cos ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) ) + β 2 = A Γ 2 ⇒ α 2 + β 2 − 2 ⋅ α β ⋅ cos ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) = A Γ 2 . {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\\\alpha \gamma +\beta \delta ={\rm {A\Gamma \cdot B\Delta }}\Rightarrow \\\alpha \gamma +\beta ^{2}={\rm {A\Gamma }}^{2}\Rightarrow \\\alpha \cdot (\alpha -2\beta \cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3}))+\beta ^{2}={\rm {A\Gamma }}^{2}\Rightarrow \\{\alpha }^{2}+{\beta }^{2}-2\cdot \alpha \beta \cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3})={\rm {A\Gamma }}^{2}.\end{array}}} Στην ειδική περίπτωση όπου: θ 1 + θ 2 = θ 3 + θ 4 = 90 ∘ {\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta _{3}+\theta _{4}=90^{\circ }} έχουμε ότι sin ⁡ θ 1 = sin ⁡ ( 90 o − θ 2 ) = cos ⁡ ( θ 2 ) {\displaystyle \sin \theta _{1}=\sin(90^{o}-\theta _{2})=\cos(\theta _{2})} , όμοια sin ⁡ θ 4 = cos ⁡ θ 3 {\displaystyle \sin \theta _{4}=\cos \theta _{3}} και sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) = sin ⁡ ( 90 o ) = 1 {\displaystyle \sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(90^{o})=1} . Εφαρμόζοντας πάλι την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου: sin ⁡ θ 1 ⋅ sin ⁡ θ 3 + sin ⁡ θ 2 ⋅ sin ⁡ θ 4 = sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) ⋅ sin ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) {\displaystyle \sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})} .Από όπου προκύπτει: cos ⁡ θ 2 ⋅ sin ⁡ θ 3 + sin ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ θ 3 = 1 ⋅ sin ⁡ ( θ 3 + θ 2 ) {\displaystyle \cos \theta _{2}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \cos \theta _{3}=1\cdot \sin(\theta _{3}+\theta _{2})} ,που είναι ο τύπος για το ημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών. Στην ειδική περίπτωση που θ 1 = 90 o {\displaystyle \theta _{1}=90^{o}} έχουμε ότι sin ⁡ θ 1 = sin ⁡ 90 o = 1 {\displaystyle \sin \theta _{1}=\sin 90^{o}=1} , θ 2 + θ 3 + θ 4 = 90 o {\displaystyle \theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4}=90^{o}} , sin ⁡ θ 4 = sin ⁡ ( 90 o − ( θ 2 + θ 3 ) ) = cos ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) {\displaystyle \sin \theta _{4}=\sin(90^{o}-(\theta _{2}+\theta _{3}))=\cos(\theta _{2}+\theta _{3})} , sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) = sin ⁡ ( 90 o + θ 2 ) = cos ⁡ θ 2 {\displaystyle \sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(90^{o}+\theta _{2})=\cos \theta _{2}} . Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου: sin ⁡ θ 1 ⋅ sin ⁡ θ 3 + sin ⁡ θ 2 ⋅ sin ⁡ θ 4 = sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) ⋅ sin ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) ⇒ {\displaystyle \sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})\Rightarrow } sin ⁡ θ 3 + sin ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) = cos ⁡ θ 2 ⋅ sin ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) ⇒ {\displaystyle \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{3})=\cos \theta _{2}\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})\Rightarrow } sin ⁡ θ 3 = sin ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) ⋅ cos ⁡ θ 2 − cos ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) ⋅ sin ⁡ θ 2 {\displaystyle \sin \theta _{3}=\sin(\theta _{2}+\theta _{3})\cdot \cos \theta _{2}-\cos(\theta _{2}+\theta _{3})\cdot \sin \theta _{2}} Αν είναι θ 2 + θ 3 = θ 5 {\displaystyle \theta _{2}+\theta _{3}=\theta _{5}} τότε sin ⁡ ( θ 5 − θ 2 ) = sin ⁡ θ 5 ⋅ cos ⁡ θ 2 − cos ⁡ θ 5 ⋅ sin ⁡ θ 2 {\displaystyle \sin(\theta _{5}-\theta _{2})=\sin \theta _{5}\cdot \cos \theta _{2}-\cos \theta _{5}\cdot \sin \theta _{2}} ,που είναι ο τύπος για το ημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών. Αυτό είναι το τρίτο θεώρημα στη Μαθηματική σύνταξις και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του sin ⁡ 6 o {\displaystyle \sin 6^{o}} ως εξής: sin ⁡ ( 36 o − 30 o ) = sin ⁡ 36 o cos ⁡ 30 o − cos ⁡ 36 o sin ⁡ 30 o {\displaystyle \sin(36^{o}-30^{o})=\sin 36^{o}\cos 30^{o}-\cos 36^{o}\sin 30^{o}} , από όπου για το κανονικό πεντάγωνο μπορεί να υπολογιστεί το cos ⁡ 36 o = δ / ( 2 α ) = ϕ / 2 {\displaystyle \cos 36^{o}=\delta /(2\alpha )=\phi /2} . O υπολογισμός του sin ⁡ 6 o {\displaystyle \sin 6^{o}} ήταν ένα σημαντικό βήμα για τη δημιουργία πίνακα χορδών. Αν θ 3 = 90 o {\displaystyle \theta _{3}=90^{o}} , τότε sin ⁡ θ 3 = 1 {\displaystyle \sin \theta _{3}=1} , θ 1 + θ 2 + θ 4 = 90 o {\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{4}=90^{o}} , sin ⁡ θ 1 = sin ⁡ ( 90 o − ( θ 2 + θ 4 ) ) = cos ⁡ ( θ 2 + θ 4 ) {\displaystyle \sin \theta _{1}=\sin(90^{o}-(\theta _{2}+\theta _{4}))=\cos(\theta _{2}+\theta _{4})} , sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) = sin ⁡ ( 90 o − θ 4 ) = cos ⁡ θ 4 {\displaystyle \sin(\theta _{1}+\theta _{2})=\sin(90^{o}-\theta _{4})=\cos \theta _{4}} , sin ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) = sin ⁡ ( θ 2 + 90 o ) = cos ⁡ ( θ 2 ) {\displaystyle \sin(\theta _{2}+\theta _{3})=\sin(\theta _{2}+90^{o})=\cos(\theta _{2})} . Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου: sin ⁡ θ 1 ⋅ sin ⁡ θ 3 + sin ⁡ θ 2 ⋅ sin ⁡ θ 4 = sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) ⋅ sin ⁡ ( θ 2 + θ 3 ) ⇒ {\displaystyle \sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{3}+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\cdot \sin(\theta _{2}+\theta _{3})\Rightarrow } 1 ⋅ cos ⁡ ( θ 2 + θ 4 ) + sin ⁡ θ 2 ⋅ sin ⁡ θ 4 = cos ⁡ θ 4 ⋅ cos ⁡ θ 2 ⇒ {\displaystyle 1\cdot \cos(\theta _{2}+\theta _{4})+\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}=\cos \theta _{4}\cdot \cos \theta _{2}\Rightarrow } cos ⁡ ( θ 2 + θ 4 ) = cos ⁡ θ 2 ⋅ cos ⁡ θ 4 − sin ⁡ θ 2 ⋅ sin ⁡ θ 4 {\displaystyle \cos(\theta _{2}+\theta _{4})=\cos \theta _{2}\cdot \cos \theta _{4}-\sin \theta _{2}\cdot \sin \theta _{4}} .Αυτό είναι το πέμπτο θεώρημα στη Μαθηματική σύνταξις του Πτολεμαίου και έχει την ίδια αρίθμηση στο De Revolutionibus Orbis του Κοπέρνικου. Το θεώρημα του Πτολεμαίου, από ότι καταφαίνεται από τα πορίσματα, έδωσε στους Αρχαίους Έλληνες ένα εξαιρετικά ευέλικτο εργαλείο. Παρά τη μικρότερη επιδεξιότητά του απ΄τον σημερινό μας τριγωνομετρικό συμβολισμό, ο γνώστης της εποχής εκείνης μπορούσε να υπολογίσει ακριβείς πίνακες χορδών, που αντιστοιχούν στους πίνακες ημιτόνων της εποχής μας. Τέτοιους πίνακες σχημάτισε ο Ίππαρχος ο Νικαιεύς τρεις αιώνες πριν τον Πτολεμαίο, άρα πρέπει να γνώριζε το θεώρημα και τα πορίσματά του. Τέσσερις γενιές πιο πριν από αυτόν, ο Τιμόχαρις ο Αλεξανδρεύς (320-280 π.Χ.) συνέταξε κατάλογο αστέρων. Αν, όπως φαίνεται πιθανό, η σύνταξη τέτοιων καταλόγων χρειάζεται το θεώρημα του Πτολεμαίου, τότε οι απαρχές του θεωρήματος χάνονται πίσω στο χρόνο. Είναι το 2ο θεώρημα του Κοπέρνικου στο έργο του De Revolutionibus Orbis. Σε κάθε τετράπλευρο A B Γ Δ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}} το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών είναι μεγαλύτερο ή ίσο του γινομένου των διαγωνίων: A B ⋅ Γ Δ + B Γ ⋅ A Δ ≥ A Γ ⋅ B Δ {\displaystyle {\rm {AB\cdot \Gamma \Delta +B\Gamma \cdot A\Delta \geq A\Gamma \cdot B\Delta }}} όπου η ισότητα ισχύει μόνο για τα εγγράψιμα και η γνήσια ανισότητα μόνο για τα μη-εγγράψιμα. Γενίκευση του θεωρήματος του Πτολεμαίου είναι το θεώρημα Casey. Διαδραστική εφαρμογή για το πρώτο θεώρημα του Πτολεμαίου Θεώρημα του Πτολεμαίου: Αποδείξεις και Εφαρμογές Θρουμουλόπουλος Λάζαρος (1976). «Αλγεβρική απόδειξη του θεωρήματος του Πτολεμαίου και εφαρμογή του στην εύρεση του σημείου Steiner». Ευκλείδης Β΄ (5): 7. Φραγκουλόπουλος Γ.; Αντωνίου Δ. (1991). «Η "επέκταση" των Μετρικών Σχέσεων». Ευκλείδης Β΄ (2): 26-29. Sillitto, A. G. (Δεκεμβρίου 1966). «147. Ptolemy’s Theorem» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 50 (374): 388–388. doi:10.1017/S0025557200243404. Milne-Thomson, L. M. (Δεκεμβρίου 1936). «A Generalization of Ptolemy’s Theorem» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 20 (241): 322–323. doi:10.2307/3607314. Kkishnaswami Ayyangar, A. A. (Ιανουαρίου 1923). «653. [K 1 . 8. b.] Ptolemy’s Theorem» (στα αγγλικά). The Mathematical Gazette 11 (162): 236–237. doi:10.2307/3604611. Shively, L. S. (1946). «Ptolemy's Theorem and Regular Polygons» (στα αγγλικά). The Mathematics Teacher 39 (3): 117-120. https://www.jstor.org/stable/27953071.