Ίχνος πίνακα

Στην γραμμική άλγεβρα, το ίχνος ενός τετραγωνικού πίνακα είναι το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του πίνακα. Πιο συγκεκριμένα, για έναν πίνακα A {\displaystyle A} διαστάσεων n × n {\displaystyle n\times n} το ίχνος του tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A)} ορίζεται ως tr ⁡ ( A ) = A 11 + A 22 + … + A n n = ∑ i = 1 n A i i {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=A_{11}+A_{22}+\ldots +A_{nn}=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}} .Για παράδειγμα, tr ⁡ ( [ 4 − 1 2 3 ] ) = 4 + 3 = 7 {\displaystyle \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}4&-1\\2&3\end{bmatrix}}\right)=4+3=7\qquad } και tr ⁡ ( [ 7 − 1 10 3 − 2 9 1 11 4 ] ) = 7 + ( − 2 ) + 4 = 9 {\displaystyle \qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}7&-1&10\\3&-2&9\\1&11&4\end{bmatrix}}\right)=7+(-2)+4=9} .Ο συμβολισμός tr {\displaystyle \operatorname {tr} } προέρχεται από τα δύο πρώτα γράμματα της αγγλικής λέξης trace, που σημαίνει ίχνος.:178 Στην ελληνική βιβλιογραφία συμβολίζεται και ως ιχν. ( A ) {\displaystyle (A)} .

 Για γενικούς τετραγωνικούς πίνακες διαστάσεων n × n {\displaystyle n\times n} για n = 1 , 2 , 3 {\displaystyle n=1,2,3} , ισχύει ότι: tr ⁡ ( [ A 11 ] ) = A 11 , tr ⁡ ( [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] ) = A 11 + A 22 , tr ⁡ ( [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] ) = A 11 + A 22 + A 33 {\displaystyle \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}A_{11}\end{bmatrix}}\right)=A_{11},\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}\right)=A_{11}+A_{22},\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}\right)=A_{11}+A_{22}+A_{33}} .Για τον ταυτοτικό πίνακα I n {\displaystyle I_{n}} , ισχύει ότι tr ⁡ ( I n ) = n {\displaystyle \operatorname {tr} (I_{n})=n} . Για παράδειγμα, για n = 1 , 2 , 3 {\displaystyle n=1,2,3} : tr ⁡ ( [ 1 ] ) = 1 , tr ⁡ ( [ 1 0 0 1 ] ) = 1 + 1 = 2 , tr ⁡ ( [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\right)=1,\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)=1+1=2,\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right)=1+1+1=3} .Για τον μηδενικό πίνακα 0 n × n {\displaystyle \mathbf {0} _{n\times n}} , ισχύει ότι tr ⁡ ( 0 n × n ) = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {0} _{n\times n})=0} . Για κάθε αντισυμμετρικό πίνακα A {\displaystyle A} , tr ⁡ ( A ) = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=0} , καθώς τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι 0 {\displaystyle 0} .:36 Για παράδειγμα: tr ⁡ ( [ 0 ] ) = 0 , tr ⁡ ( [ 0 3 3 0 ] ) = 0 + 0 = 0 , tr ⁡ ( [ 0 − 2 6 − 2 0 8 6 8 0 ] ) = 0 + 0 + 0 = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}\right)=0,\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}0&3\\3&0\end{bmatrix}}\right)=0+0=0,\qquad \operatorname {tr} \left({\begin{bmatrix}0&-2&6\\-2&0&8\\6&8&0\end{bmatrix}}\right)=0+0+0=0} . Το ίχνος είναι μία γραμμική απεικόνιση καθώς για κάθε πίνακες A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} ίδιων διαστάσεων και κάθε στοιχείο c {\displaystyle c} έχουμε ότι tr ⁡ ( A + B ) = tr ⁡ ( A ) + tr ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)} και tr ⁡ ( c A ) = c ⋅ tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (cA)=c\cdot \operatorname {tr} (A)} .:195 Το ίχνος του γινομένου είναι ανεξάρτητο της σειράς του πολλαπλασιασμού, tr ⁡ ( A B ) = tr ⁡ ( B A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)} .:41 Το ίχνος ενός πίνακα ισούται με το ίχνος του ανάστροφου πίνακα, tr ⁡ ( A T ) = tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{T})=\operatorname {tr} (A)} . Για δύο όμοιους πίνακες A {\displaystyle A} και B {\displaystyle B} , tr ⁡ ( A ) = tr ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (B)} . Αν λ 1 , … , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}} είναι οι ιδιοτιμές ενός πίνακα A {\displaystyle A} , τότε tr ⁡ ( A ) = ∑ i = 1 n λ i {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}} .:218