Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Στα μαθηματικά, και ειδικότερα στη θεωρία συνόλων, το οικοδομήσιμο σύμπαν (ή το οικοδομήσιμο σύμπαν του Γκέντελ), συμβολιζόμενο ως L, είναι μια συγκεκριμένη τάξη συνόλων που μπορεί να περιγραφεί εξολοκλήρου με όρους απλούστερων συνόλων. Προτάθηκε από τον Κουρτ Γκέντελ το 1938 στη μελέτη του «Η συνέπεια του αξιώματος επιλογής και της γενικευμένης υπόθεσης του συνεχούς». Σε αυτή, απέδειξε ότι το οικοδομήσιμο σύμπαν είναι ένα εσωτερικό μοντέλο στη θεωρία συνόλων Ζερμένο-Φράνκελ, και επίσης ότι το αξίωμα επιλογής και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι αληθή στο οικοδομήσιμο σύμπαν.

 Το L μπορεί να θεωρηθεί ότι κατασκευάζεται σε "στάδια", όμοια με το σύμπαν του Νιούμαν, V. Τα στάδια αυτά κατατάσσονται σε τάξεις. Στο σύμπαν του Νιούμαν, στο διαδοχικό στάδιο, το καθένα παίρνει Vα+1 ώστε να είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του προηγούμενου σταδίου, Vα. Αντιθέτως, στο οικοδομήσιμο σύμπαν του Γκέντελ L, το καθένα χρησιμοποιεί μόνο εκείνα τα υποσύνολα του προηγούμενου σταδίου που είναι: προσδιορίσιμα από έναν τύπο στην επίσημη γλώσσα της θεωρίας συνόλων με παραμέτρους από προηγούμενο στάδιο και με τους ποσοδείκτες εκφρασμένους ώστε να κυμαίνονται πάνω από το προηγούμενο στάδιο.Περιορίζοντας το καθένα σε σύνολα προσδιορισμένα μόνο από προϋποθέσεις όσων έχουν ήδη κατασκευαστεί, καθίσταται βέβαιο ότι τα τελικά σύνολα θα έχουν κατασκευαστεί με έναν τρόπο ανεξάρτητο από τις ιδιαιτερότητες του υπόλοιπου μοντέλου της θεωρίας συνόλων και περιεχόμενο σε ένα τέτοιο μοντέλο. Def ( X ) := { { y ∣ y ∈ X and ( X , ∈ ) ⊨ Φ ( y , z 1 , … , z n ) } | Φ is a first-order formula and z 1 , … , z n ∈ X } . {\displaystyle {\text{Def}}(X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ is a first-order formula and }}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.} Το L προσδιορίζεται από την υπερπεπερασμένη επαγωγή ως εξής: L 0 := ∅ . {\displaystyle L_{0}:=\varnothing .} L α + 1 := Def ( L α ) . {\displaystyle L_{\alpha +1}:={\text{Def}}(L_{\alpha }).} Αν το λ {\displaystyle \lambda } είναι μια πεπερασμένη τάξη, τότε L λ := ⋃ α < λ L α . {\displaystyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.} L := ⋃ α ∈ On L α . {\displaystyle L:=\bigcup _{\alpha \in {\text{On}}}L_{\alpha }.} Αν το z είναι στοιχείο του Lα, τότε z = {y | y ∈ Lα και y ∈ z} ∈ Def (Lα) = Lα+1. Οπότε το Lα είναι ένα υποσύνολο του Lα+1, το οποίο είναι ενα υποσύνολο του δυναμοσυνόλου του Lα. Συνεπώς, προκύπτει ένας πύργος αποτελούμενος από ένθετα μεταβατικά σύνολα. Αλλά το L αυτό καθ'αυτό είναι κατάλληλη κλάση. Τα στοιχεία του L ονομάζονται "οικοδομήσιμα" σύνολα, και το L είναι το "οικοδομήσιμο σύμπαν". Το "αξίωμα της οικοδομησιμότητας", με άλλα λόγια το "V=L", λέει ότι κάθε σύνολο (του V) είναι οικοδομήσιμο, δηλ. στο L. Μια ανάλογη ερμηνεία για το Lα είναι: Για κάθε τάξη α, L α = ⋃ β < α Def ⁡ ( L β ) {\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!} .Για κάθε πεπερασμένη τάξη n, τα σύνολα Ln and Vn είναι τα ίδια ( ανεξάρτητα από το αν τα V και L είναι ίσα) και επομένως Lω = Vω: όπου τα στοιχεία τους είναι ακριβώς τα κληρονομικά πεπερασμένα σύνολα. Η ισότητα πέραν από αυτό το σημείο δεν ισχύει. ακόμα και σε μοντέλα ZFC όπου το V ισούται με L, Lω+1 είνσι ενα κατάλληλο υποσύνολο του Vω+1, και έπειτα το ] Lα+1 είναι ένα κατάλληλο υποσύνολο του δυναμοσυνόλου του Lα για κάθε α > ω. Από την άλλη, το γεγονός οτι το V ισούται με L δεν υπονοεί οτι το Vα ισούται με Lα εαν α = ωα, για παράδειγμα αν το α είναι απρόσιτο. Γενικότερα, το γεγονός οτι το V ισούται με L σημαίνει οτι το Hα ισούται με Lα για άπειρα απόλυτα α. Αν α είναι μια απόλυτη τάξη τότε υπάρχει μια αμφιμονότιμη συνάρτηση μεταξύ των Lα και α,και η συνάρτηση αυτή μπορεί να κατασκευαστεί. Τότε αυτά τα σύνολα είναι ισάριθμα σε κάθε μοντέλο της θεωρίας συνόλων που τα περιέχει. Όπως έχει προαναφερθεί, το Def(X) είναι ένα σύνολο υποσυνόλων του X που ορίζεται από Δ0 τύπους (δηλαδή, τύποι της θεωρίας συνόλων που περιέχουν μόνο οριοθετημένους ποσοδείκτες) που χρησιμοποιούν ως παραμέτρους μόνο το X και τα στοιχεία του. Μια άλλη ερμηνία, λόγω του Γκεντελ, χαρακτηρίζει κάθε Lα+1 ως διαμέριση του δυναμοσυνόλου του Lα με το κλείσιμο του L α ∪ { L α } {\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}} υπό την συλλογή εννιά εξειδικευμένων συναρτήσεων. Η ερμηνία αυτη δεν αναφέρεται στην καθοριστικότητα. Όλα τα αριθμήσιμα υποσύνολα του ω και οι σχέσεις στο ω ανήκουν στο Lω+1 (επειδή η αριθμητική ερμηνεία δίνει ένα στο Lω+1). Αντιστρόφως, κάθε υποσύνολο ω που ανήκει στο Lω+1 είναι αριθμήσιμο (διότι τα στοιχεία του Lω μπορούν να αντιστοιχηθούν με φυσικούς αριθμούς με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε το ∈ να είναι καθορισμένο,δηλαδή αριθμήσιμο). Από την άλλη, το Lω+2 ήδη περιέχει κάποια μη αριθμήσιμα υποσύνολα ω, όπως το σύνολο των (φυσικοί αριθμοί κωδικοποίησης) πραγματικές αριθμητικές δηλώσεις (αυτό μπορεί να οριστεί από το Lω+1 επομένως είναι στο Lω+2). Όλα τα υπεραριθμήσιμα υποσύνολα του ω and και οι σχέσεις στο ω ανήκουν στο L ω 1 C K {\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}} (όπου ω 1 C K {\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }} η τάξη Church-Kleene),και αντίστροφα κάθε υποσύνολο του ω που ανήκει στο L ω 1 C K {\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}} είναι υπεραριθμήσιμο. Το L είναι ένα πρότυπο μοντέλο, δηλ. είναι μία μεταβατική κλάση και χρησιμοποιεί την πραγματική στοιχειώδη σχέση, ώστε να είναι καλά ορισμένη. Το L είναι ενα εσωτερικό μοντέλο, δηλ. συνίσταται από όλους τους τακτικούς αριθμούς του V και δεν έχει καθόλου "επιπλέον" σύνολα εκτός από αυτά στο V, αλλά είναι πιθανόν να είναι κατάλληλη κλάση του V. Το L είναι ένα μοντέλο του ZFC, που σημαίνει ότι ικανοποιεί τα ακόλουθα αξιώματα: Αξίωμα της κανονικότητας: Κάθε μη κενό σύνολο x περιέχει κάποιο στοιχείο y τέτοιο ώστε να είναι ξένα μεταξύ τους σύνολα. Το (L,∈) είναι υποχώρος του (V,∈) που είναι καλά ορισμένος, άρα το L είναι καλά ορισμένο. Πιο συγκεκριμένα, αν x∈L, τότε από την μεταβατικότητα του L, προκύπτει ότι και y∈L.Αν χρησιμοποιήσουμε το ίδιο y όπως στο V, τότε είναι ακόμη ξένο από το x επειδή χρησιμοποιούμε την ίδια στοιχειώδη σχέση ενώ δεν έχουν προστεθεί καθόλου νέα σύνολα. Αξίωμα της επεκτασιμότητας: Δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν τα ίδια στοιχεία.Αν τα x και y είναι στο L και έχουν τα ίδια στοιχεία στο L, τότε από τη μεταβατικότητα του L, έχουν τα ίδια στοιχεία (στο V). Άρα είναι ίσα (στο V και κατ'επέκτασιν στο L).Αξίωμα του κενού συνόλου: Το {} είναι ένα σύνολο.{} = L0 = {y | y∈L0 και y=y} ∈ L1. Έτσι {} ∈ L. Επειδή η στοιχειώδης σχέση είνα η ίδια και δεν έχουν προστεθεί καθόλου νέα στοιχεία, αυτό είναι το κενό σύνολο του L.Αξίωμα της ζεύξης : Αν τα x, y είναι σύνολα, τότε το {x,y} είναι ένα σύνολο.Αν x∈L και y∈L, τότε υπάρχει κάποια τάξη α τέτοια ώστε x∈Lα και y∈Lα. Τότε {x,y} = {s | s∈Lα και (s=x or s=y)} ∈ Lα+1. Έτσι, {x,y} ∈ L και και έχει το ίδιο νόημα και για το L όπως για το V.Αξίωμα της ένωσης: Για κάθε σύνολο x υπάρχει ένα σύνολο y του οποίου τα στοιχεια είναι ακριβώς τα στοιχεία των στοιχείων του x.Αν x ∈ Lα, τότε τα στοιχεία του είναι στο Lα και τα στοιχεία τους είναι επίσης στο Lα. Έτσι το y είναι ένα υποσύνολο του Lα. y = {s | s∈Lα και υπάρχει z∈x τέτοιο ώστε s∈z} ∈ Lα+1. Έτσι, y ∈ L.Αξίωμα του απείρου: Υπάρχει ένα σύνολο x τέτοιο ώστε το {} να είναι στο x και οποτεδήποτε το y είναι στο x, να ισχυεί το ίδιο και για την ένωση y U {y}.Από την μεταβατική επαγωγή, προκύπτει ότι κάθε τάξη α ∈ Lα+1. Ειδικότερα, ω ∈ Lω+1 και έτσι ω ∈ L.Αξιωματικό σχήμα του διαχωρισμού: Δοθέντων οποιουδήποτε συνόλου S και οποιασδήποτε πρότασης P(x,z1,...,zn), το {x|x∈S και P(x,z1,...,zn)} είναι ενα σύνολο.Από την επαγωγή στους υποτύπους της P, αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένα α τέτοι ώστε στο Lα να περιεχεται το S και z1,...,zn και (η P είναι αληθής στο Lα αν και μόνο αν η P είναι αληθής στο L (αυτό ονομάζεται "αρχή της ανάκλασης")). Έτσι το {x | x∈S και P(x,z1,...,zn) στο L} = {x | x∈Lα και x∈S και P(x,z1,...,zn) στο Lα} ∈ Lα+1. Έτσι το υποσύνολο είναι στο L.Αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης: Δοθέντων ενός συνόλου S και ενός σχεδιασμού (επισήμως προσδιορίζεται ως πρόταση P(x,y) όπου P(x,y) και P(x,z) συνεπάγονται y = z), το {y | υπάρχει x∈S τέτοιο ώστε P(x,y)} είναι σύνολο.Έστω ότι Q(x,y) ο τύπος που συνδέει την P με το L, δηλ. όλοι οι ποσοδείκτες στο P είναι εξαρτημένοι από L. Το Q είναι ένας πολύ περισσότερο περίπλοκος τύπος απο την P, αλλά είναι ακόμη ένας πεπερασμένος τύπος, και επειδή η P ήταν σχεδιασμός για το L, το Q πρέπει να είναι σχεδιασμός για το V, έτσι, μπορούμε να εφαρμόσουμε αντικατάσταση στο V με το Q. Έτσι το {y | y∈L και υπάρχει x∈S τέτοιο ώστε η P(x,y) στο L} = {y | υπάρχει x∈S τέτοιο ώστε Q(x,y)} είναι ένα σύονλο στο V και μια υποκλάση του L. Ξανά χρησιμοποιώντας το αξίωμα της αντικατάστασης στο V, μπορούμε να δείξουμε ότι πρέπει να υπάρχει ένα α τέτοιο ώστε αυτό το σύνολο να είναι υποσύνολο του Lα ∈ Lα+1. Τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το αξίωμα του διαχωρισμού στο L για να δείξουμε οτι είναι στοιχείο του L.Αξίωμα του δυναμοσυνόλου : Για οποιοδήποτε σύνολο x υπάρχει ένα σύνολο y, τέτοιο ώστε τα στοιχεία του y να είναι ακριβώς τα υποσύνολα του x.Γενικότερα, κάποια υποσύνολα ενός συνόλου στο L δε θα είναι στο L. Έτσι το ολόκληρο δυναμοσύνολο του συνόλου στο L δε θα είναι συνήθως στο L. Αυτό που χρειαζόμαστε εδώ είναι να δείξουμε ότι η τομή του δυναμοσυνόλου L είναι το L. Με τη χρήση της αντικατάστασης στο V δείχνουμε ότι υπάρχει α τέτοιο ώστε η τομή να είναι υποσύνολο του Lα. Τότε η τομή είναι το {z | z∈Lα και το z είναι υποσύνολο του x} ∈ Lα+1. Έτσι, το ζητούμενο σύνολο είναι στο L.Αξίωμα της επιλογής: Δοθέντος ένος συνόλου x ξένων μεταξύ τους , μη κενών συνόλωνo, υπάρχει ένα σύνολο y (ένα σύνολο επιλογής για το x) που περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο από κάθε μέλος του x.Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μια ορισμένη καλώς διάταξη του L της οποίας ο ορισμός λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο και στο L. Έτσι, επιλέγουμε το ελάχιστο στοιχείο του κάθε μέλους του x για να σχηματίσουμε το y χρησιμοποιώντας τα αξιώματα της ένωσης και του διαχωρισμού στο L.Παρατηρείται ότι η απόδειξη πως το L είναι μοντέλο του ZFC απαιτεί μόνο να είναι το V μοντέλο του ZF, δηλ. ΔΕΝ υποθέτουμε ότι το αξίωμα της επιλογής ισχύει στο V. Αν το W είναι ένα δεδομένο μοντέλο του ZF και έχει τις ίδιες τάξεις με το V, τότε το L ορισμένο στο W είναι ίσο με το L ορισμένο στο V. Πιο συγκεκριμένα, το Lα είναι το ίδιο στο W και στο V, για κάθε τάξη α. Επιπλέον ίδιοι τύποι και ίδια μοτίβα στο Def (Lα) παράγουν τα ίδια κατασκευάσιμα σύνολα στο Lα+1. Επιπρόσθετα, από την στιγμή που το Lείναι μια υποκλάση του V και, ομοίως, το L είναι μια υποκλάση του W, το L είναι η μικρότερη κλάση που περιέχει όλες τις τάξεις οι οποίες είναι δεδομένα μοντέλα του ZF. Πράγματι, το L είναι η τομή όλων αυτών των κλάσεων. Εαν υπάρχει ένα σύνολο W στο V το οποίο είναι ένα δεδομένο μοντέλο του ZF, και η τάξη κ είναι το σύνολο των τάξεων που υπάρχουν στο W, τότε το Lκ είναι το L του W. Εαν υπάρχει ένα σύνολο που είναι δεδομένο μοντέλο του ZF, τότε το μικρότερο τέτοιο σύνολο είναι ένα τέτοιο Lκ. Αυτό το σύνολο ονομάζεται ελάχιστο μοντελο του ZFC. Χρησιμοποιώντας το καθοδικό θεώρημα των Löwenheim–Skolem, μπορούμε να δείξουμε οτι το ελάχιστο μοντέλο (εαν αυτό υπάρχει) είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο. Φυσικά, κάθε βάσιμη θεωρία πρέπει να έχει ένα μοντέλο, επομένως ακόμα και στο ελάχιστο μοντέλο της θεωρίας συνόλων υπάρχουν σύνολα που είναι μοντέλα των ZF (υποθέτοντας οτι το ZF ειναι συνεπές). Όμως,αυτά τα μοντέλα συνόλων δεν είναι δεδομένα. Πιο συγκεκριμένα, δεν χρησιμοποιούν κανονικές σχέσις μεταξύ των στοιχείων και δεν είναι καλά ορισμένες. Διότι και το L του L και το V του L είναι το πραγματικό L και, και το L του Lκ και το V του Lκ είναι το πραγματικό Lκ, έχουμε ότι το V=L ισχύει στο L και σε κάθε Lκ το οποίο είναι μοντέλο του ZF. Όμως, το V=L δεν ισχύει σε κανένα άλλο δεδομένο μοντέλο του ZF. Από την στιγμή που On⊂L⊆V, ιδιότητες των τάξεων που βασίζονται στην μη ύπαρξη κάποιας συνάρτησης η κάποιας άλλης δόμησης (δηλαδή τύποι τύπου Π1ZF ) διατηρούνται καθώς πηγαίνουμε από το V στο L. Ως εκ τούτου οι αρχικές τάξεις των απόλυτων παραμένουν αρχικές στο L. Οι τακτικές τάξεις παραμένουν τακτικές στο L. Τα ασθενή όρια τάξεων γίνονται ισχυρά όρια τάξεων στο L διότι η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς ισχύει στο L. Οι ασθενώς απρόσιτες τάξεις γίνονται ισχυρώς απροσιτες. Οι ασθενείςτάξεις του Mahlo γίνονται ισχυρώς Mahlo. Και γενικότερα, όλες οι μεγάλες τάξεις μικρότερες από 0# (δείτε την λίστα των μεγάλων τάξεων) θα είναι συσσωρευμένες στο L. Όμως, το 0# δεν αληθεύει στο L ακόμα και αν αληθεύει στο V. Επομένως, όλες οι μεγάλες τάξεις η ύπαρξη των οποίων αναφέρεται στό 0# δεν έχουν τις ιδιότητες των μεγάλων τάξεων, αλλά διατηρούν τις ιδιότητες αυτών που είναι μικρότερες από 0# τις οποίες επίσης κατέχουν. Για παράδειγμα, οι μετρήσιμες τάξεις παύουν να είναι μετρήσιμες αλλα παραμένουν Mahlo στο L. Είναι ενδιαφέρον το γεγονός ότι αν το 0# βρίσκεται στο V, τότε υπάρχει μια κλειστή μη οριοθετημένη κλάση τάξεων οι οποίες είναι δυσδιάκριτες στο L. Παρόλο που κάποιες απο αυτές δεν είναι καν αρχικές τάξεις στο V,όλες έχουν ιδιότητες των μεγάλων τάξεων οι οποίες είναι μικρότερες από 0# στο L. Επιπλέον,κάθε αυστηρά αυξανόμενη συνάρτηση κλάσης από την κλάση των indiscernibles του εαυτού του μπορεί να επεκταθεί με μοναδικό τρόπο στην στοιχειώδη ενσωμάτωση του L στο L. Αυτό δίνει στο L μια ωραία δόμη επαναλαμβανομένων. Υπάρχουν ποικίλοι τρόποι για να διατάξουμε καλώς το L. Μερικοί από αυτούς εμπλέκουν τη "λεπτή δομή" του L, η οποία πρώτα περιγράφηκε από το Ρόναλντ Βγιορν Τζένσεν στη μελέτη του το 1972 με τίτλο "Η λεπτή δομή της οικοδομήσιμης ιεραρχίας". Εκτός από την επεξήγηση της λεπτής δομής, θα κάνουμε μία αναφορά στο πως το L μπορεί να είναι καλώς διατεταγμένο μόνο από τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω. Ας υποθέσουμε ότι τα x και y είναι δύο διαφορετικά σύνολα στο L και σκοπεύουμε να αποφασίσουμε αν x<y ή x>y. Αν το x εμφανιστεί πρώτα στο Lα+1 και το y εμφανιστεί πρώτα στο Lβ+1 και το β είναι διαφορετικό του α, τότε ας είναι x<y αν και μόνο αν α<β. Εφεξής, υποθέτουμε ότι β=α. Θυμόμαστε ότι το Lα+1 = Def (Lα) ότι χρησιμοποιεί τύπους με παραμέτρους από το Lα για να προσδιορίσουμε τα σύνολα x και y. Αν αγνοήσουμε (προς το παρόν) τις παραμέτρους, τύποι είναι δυνατόν να δώσουμε στους τύπους μία πρότυπη αρίθμηση του Γκέντελ από φυσικούς αριθμούς. Αν το Φ είναι ο τύπος με το μικρότερο αριθμό του Γκέντελ ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσει το x, και το Ψ είναι ο τύπος με το μικρότερο αριθμό του Γκέντελ που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσει το y, και τα Ψ είναι διάφορο του Φ, τότε ας είναι x<y αν και μόνο αν Φ<Ψ στην αρίθμηση του Γκέντελ. Εφεξής, υποθέτουμε ότι Ψ=Φ. Ας υποθέσουμε ότι το Φ χρησιμοποιεί n παραμέτρους από το Lα. Ας υποθέσουμε ότι τα z1,...,zn είναι η ακολουθία των παραμέτρων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί με το Φ για να προσδιορίσει το x, και τα w1,...,wn είναι το ίδιο για το y. Τότε ας είναι x<y αν και μόνο αν ισχύει είτε zn<wn είτε (zn=wn and zn-1<wn-1) είτε (zn=wn and zn-1=wn-1 and zn-2<wn-2) είτε κ.λπ... Αυτό καλείτε αντίστροφη-λεξικογραφική διάταξη. Αν υπάρχουν ποικίλες ακολουθίες παραμέτρων που ορίζουν ένα από τα σύνολα, επιλέγουμε το ελάχιστο από αυτά κάτω από αυτήν τη διάταξη. Η καλή διάταξη των μεμονωμένων παραμέτρων προκύπτει από την επαγωγική υπόθεση της άπειρης επαγωγής. Οι τιμές της n-άδας των παραμέτρων είναι καλά διατεταγμένες από τη διατάξη των γινομένων. Οι τύποι με τις παραμέτρους είναι καλά διατεταγμένες από το διατεταγμένο άθροισμα (από τους αριθμούς του Γκέντελ) των καλών διατάξεων.Και το L είναι καλά διατεταγμένο από το διατεταγμένο άθροισμα (από το α) των διαταξεων στο Lα+1. Παρατηρείται ότι αυτή η καλή διάταξη μπορεί να οριστεί μέσα στο ίδιο το L από έναν τύπο της θεωρίας συνόλων χωρίς καθόλου παραμέτρους, μόνο με τις ανεξάρτητες μεταβλητές x και y. Και αυτός ο τύπος δίνει την ίδια αξία αληθείας ανεξαρτήτως από το αν υπολογίστηκε στο L, στο V, ή στο W (κάποια άλλα πρότυπα μοντέλα του ZF με τις ίδιες τάξεις) και θα υποθέσουμε ότι ο τύπος είναι λάθος αν το x ή το y δεν είναι στο L. Είναι ευρέως γνωστό ότι το αξίωμα της επιλογής είναι ισοδύναμο με την ικανότητα της καλής διάταξης κάθε συνόλου. Έχονττας την ικανότητα να διατάξουμε καλώς την κατάλληλη κλάση V (όπως κάναμε εδώ με το L) είναι ισοδύναμο με το αξίωμα της καθολικής επιλογής το οποίο είναι πιο ισχυρό από το σύνηθες αξίωμα της επιλογής διότι καλύπτει επίσης κατάλληλες κλάσεις μη κενών συνόλων. Αποδεικνύοντας οτι το αξίωμα του διαχωρισμού, το αξίωμα της αντικατάστασης, και το αξίωμα της επιλογής ισχύουν στο L απαιτεί (τουλάχιστον όπως έχει δειχθεί παραπάνω) την χρήση της αρχής της ανάκλασης στο L. Εδώ περιγράφουμε μια τέτοια αρχή. Με μαθηματική επαγωγή για n<ω, μπορούμε να χρησιμοποιησουμε ZF στο V για να αποδείξουμε οτι για κάθε διατακτικό αριθμό α, υπάρχει ένας διατακτικός αριθμός β>α ο οποίος για κάθε πρόταση P(z1,...,zk) με z1,...,zk στο Lβ και περιλαμβάνοντας λιγότερα από n σύμβολα (έχοντας μετρήσει το σταθερό σύμβολο για ένα στοιχείο του Lβ ως ένα σύμβολο) καταλήγουμε στο οτι το P(z1,...,zk) ισχύει στο Lβ αν και μόνο αν ισχύει στο L. Ας ισχύει S ∈ L α {\displaystyle S\in L_{\alpha }} , και T είναι κάποιο οικοδομήσιμο υποσύνολο του S. Τότε υπάρχει κάποιο β με T ∈ L β + 1 {\displaystyle T\in L_{\beta +1}} , άρα T = { x ∈ L β : x ∈ S ∧ Φ ( x , z i ) } = { x ∈ S : Φ ( x , z i ) } {\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}} , για κάποιον τύπο Φ και κάποια z i {\displaystyle z_{i}} που ανήκουν στο L β {\displaystyle L_{\beta }} . Σύμφωνα με το καθοδικό θεώρημα Löwenheim–Skolem, πρέπει να υπάρχει κάποιο μεταβατικό σύνολο K που να περιέχει το L α {\displaystyle L_{\alpha }} και κάποια w i {\displaystyle w_{i}} , και έχει την ίδια θεωρία πρώτης τάξης με το L β {\displaystyle L_{\beta }} με τα w i {\displaystyle w_{i}} να υποκαθιστούν τα z i {\displaystyle z_{i}} ; και αυτό το K θα έχει ττον ίδιο διατακτικό αριθμό με το L α {\displaystyle L_{\alpha }} . Απο΄την στιγμή που το V = L {\displaystyle V=L} ισχύει στο L β {\displaystyle L_{\beta }} , ισχύει και στο K, επομένως ισχύει K = L γ {\displaystyle K=L_{\gamma }} για κάποιο γ που έχει ίδιο διατακτικό αριθμό με το α. Και T = { x ∈ L β : x ∈ S ∧ Φ ( x , z i ) } = { x ∈ L γ : x ∈ S ∧ Φ ( x , w i ) } {\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}} διότι το L β {\displaystyle L_{\beta }} και το L γ {\displaystyle L_{\gamma }} έχουν την ίδια θεωρία. Επομένως το T πραγματικά βρίσκεται στο L γ + 1 {\displaystyle L_{\gamma +1}} . Επομένως όλα τα οικοδομήσιμα υποσύνολα ενός άπειρου συνόλου S έχουν τάξεις με (στις περισσότερες) τον ίδιο διατακτικό αριθμό κ ως τάξη του S;έπεται οτι αν το α είναι ο αρχικός διατακτικός αριθμός του κ+,τότε το L ∩ P ( S ) ⊆ L α + 1 {\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\alpha +1}} παίζει τον ρόλο του "δυναμοσυνόλου" του S στο L. Και αυτό με την σειρά του σημαίνει οτι το "δυναμοσύνολο" του S έχει ως μεγαλύτερο δυνατό διατακτικό αριθμό το ||α||. Υποθέτοντας οτι το S αυτό καθαυτό έχει διατακτικό αριθμό κ, το "δυναμοσύνολο" πρέπει τότε να έχει διατακτικό αριθμό ακριβώς κ+. Αλλά αυτό ακριβώς είναι η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς σχετικοποιημένη στο L. Υπάρχει ένας τύπος της θεωρίας συνόλων που εκφράζει την ιδέα ότι X=Lα. Έχει μόνο ελεύθερες μεταβλητές για το X και το α. Χρησιμοποιώντας αυτό, μπορούμε να επεκτείνουμε τον ορισμό κάθε οικοδομήσιμου συνόλου. Αν το s∈Lα+1, τότε s = {y|y∈Lα κα Φ(y,z1,...,zn) στο (Lα,∈)} για κάποιο τύπο Φ και κάποια z1,...,zn στο Lα. Αυτό είναι ισοδύναμο με το εξής:για όλα τα y, y∈s αν και μόνο αν [υπάρχει X τέτοιο ώστε X=Lα και y∈X και Ψ(X,y,z1,...,zn)] όπου Ψ(X,...) είναι το αποτέλεσμα του περιορισμού κάθε ποσοδείκτη στο Φ(...) προς το X. Παρατηρείται ότι υπάρχει κάθε zk∈Lβ+1 για κάθε β<α. Συνδυάζουμε τους τύπους για το z's με τον τύπο για το s και εφαρμόζουμε τους υπάρχοντες ποσοδείκτες πάνω στο z's και έτσι, παίρνουμε τον τύπο που ορίζει το οικοδομήσιμο σύνολο s χρησιμοποιώντας μόνο τους διατακτικούς αριθμούς α που εμφανίζονται σε εκφράσεις όπως X=Lα ως παραμέτρους. Παράδειγμα: Το σύνολο {5,ω} είναι οικοδομήσιμο. Είναι το μοναδικό σύνολο, s, που ικανοποιεί τον τύπο: ∀ y ( y ∈ s ⟺ ( y ∈ L ω + 1 ∧ ( ∀ a ( a ∈ y ⟺ a ∈ L 5 ∧ O r d ( a ) ) ∨ ∀ b ( b ∈ y ⟺ b ∈ L ω ∧ O r d ( b ) ) ) ) ) {\displaystyle \forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))} , όπου O r d ( a ) {\displaystyle Ord(a)} είναι η σύντμηση για: ∀ c ∈ a ( ∀ d ∈ c ( d ∈ a ∧ ∀ e ∈ d ( e ∈ c ) ) ) . {\displaystyle \forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).} Στην πραγματικότητα, ακόμα κι αυτός ο περίπλοκος τύπος έχει απλοποιηθεί από ό,τι οι οδηγίες που δόθηκαν στην πρώτη παράγραφο έχουν αποφέρει. Αλλά το θέμα παραμένει, αφού υπάρχει ένας τύπος της θεωρίας συνόλων που είναι αληθής μόνο για το επιθυμητό οικοδομήσιμο σύνολο s και το οποίο περιέχει παραμέτρους μόνο για διατακτικούς αριθμούς. Μερικές φορες είναι επιθυμητό να βρίσκουμε ένα μοντέλο της θεωρίας συνόλων που είναι περιορισμένο όπως το L, αλλά που περιέχει ή επηρεάζεται από ένα σύνολο που δεν είναι οικοδομήσιμο. Αυτό συνεπάγεται την ιδέα της σχετικής οικοδομισημότητας, η οποία έχει δύο πτυχές, το χαριστικό L(A) και το L[A]. Η κλάση L(A) για ένα μη-οικοδομήσιμο σύνολο A είναι η τομή όλων των κλάσεων που είναι πρότυπα μοντέλα της θεωρίας συνόλων και περιέχουν το A και όλους τους διατακτικούς αριθμούς. Το L(A) ορίζεται από υπερπεπερασμένη αναδρομή ως εξής: L0(A) = το μικρότερο μεταβατικό σύνολο που περιέχει το A ως ένα στοιχείο, δηλ. ο υπερπεπερασμένος τερματισμός του {A}. Lα+1(A) = Def (Lα(A)) Αν το λ είναι ένας περιορισμένος διατακτικός αριθμός, τότε L λ ( A ) = ⋃ α < λ L α ( A ) {\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)\!} . L ( A ) = ⋃ α L α ( A ) {\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)\!} .Αν το L(A) περιέχει μια καλή διάταξη του μεταβατικού τερματισμού του {A}, τότε αυτό μπορεί να επεκταθεί σε μια καλή διάταξη του L(A). Ειδάλλως, το αξίωμα της επιλογής δε θα ισχύει στο L(A). Ένα σύνηθες παράδειγμα είναι το L(R), το μικρότερο μοντέλο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς, το οποίο χρησιμοποιείται εκτενώς στη μοντέρνα περιγραφική θεωρία συνόλων. Η κλάση L[A] είναι η κλάση των συνόλων των οποίων η κατασκευήεπηρεάζεται από το A, όπου το A μπορεί να είναι (πιθανώς μη-οικοδομήσιμο) σύνολο ή κατάλληλη κλάση. Ο ορισμός της κλάσης χρησιμοποιεί το DefA (X), που είναι το ίδιο με το Def (X) εκτός από το ότι αντί να εκτιμά την αλήθεια των τύπων Φ στο μοντέλο (X,∈), χρησιμοποιεί το μοντέλο (X,∈,A) όπου το A είναι μοναδιαίο κατηγόρημα. Η προτιθέμενη ερμηνεία του A(y) είναι y∈A. Τότε ο ορισμός του L[A] είναι ακριβώς ότι από το L μόνο με το Def αντικαθιστούμενο από το DefA. Το L[A] είναι πάντα ένα μοντέλο του αξιώματος της επιλογής. Ακόμη κι αν το A είναι σύνολο, το A δεν είναι απαραίτητα στοιχείο του L[A], ενώ αυτό ισχύει πάντα όταν το A είναι σύνολο διατακτικών αριθμών. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι τα σύνολα στο L(A) ή L[A] δεν είναι συνήθως πραγματικά οικοδομήσιμα και ότι οι ιδιότητες αυτών των μοντέλων μπορεί να είναι κάπως διαφορετικές από αυτές του L αυτού καθ' αυτού. Αξίωμα της Οικοδομησιμότητας Προτάσεις Αληθείς στο L Αρχή της Ανάκλασης Θεωρία συνόλων Μεταβατικό Σύνολο L(R) Τακτικά Προσδιορίσιμα Barwise, Jon (1975). Admissible Sets and Structures. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1. Devlin, Keith J. (1984). Constructibility. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9. Felgner, Ulrich (1971). Models of ZF-Set Theory. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-05591-6. Gödel, Kurt (1938). «The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (National Academy of Sciences) 24 (12): 556–557. doi:10.1073/pnas.24.12.556. PMID 16577857. Gödel, Kurt (1940). The Consistency of the Continuum Hypothesis. Annals of Mathematics Studies. 3. Princeton, N. J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1. MR 0002514. Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium έκδοση). Springer. ISBN 3-540-44085-2.