Ταυτότητα Κασίνι

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Κασίνι λέει ότι για τον n {\displaystyle n} -οστό αριθμό Φιμπονάτσι F n {\displaystyle F_{n}} ισχύει ότι F n − 1 ⋅ F n + 1 − F n 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}} .Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Τζοβάνι Ντομένικο Κασίνι.

 Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε την ταυτότητα για τους πρώτους αριθμούς Φιμπονάτσι: Για n = 1 {\displaystyle n=1} , F 0 ⋅ F 2 − F 1 2 = 0 ⋅ 1 − 1 2 = − 1 = ( − 1 ) 1 {\displaystyle F_{0}\cdot F_{2}-F_{1}^{2}=0\cdot 1-1^{2}=-1=(-1)^{1}} . Για n = 2 {\displaystyle n=2} , F 1 ⋅ F 3 − F 2 2 = 1 ⋅ 2 − 1 2 = + 1 = ( − 1 ) 2 {\displaystyle F_{1}\cdot F_{3}-F_{2}^{2}=1\cdot 2-1^{2}=+1=(-1)^{2}} . Για n = 3 {\displaystyle n=3} , F 2 ⋅ F 4 − F 3 2 = 1 ⋅ 3 − 2 2 = − 1 = ( − 1 ) 3 {\displaystyle F_{2}\cdot F_{4}-F_{3}^{2}=1\cdot 3-2^{2}=-1=(-1)^{3}} . Για n = 4 {\displaystyle n=4} , F 3 ⋅ F 5 − F 4 2 = 2 ⋅ 5 − 3 2 = + 1 = ( − 1 ) 4 {\displaystyle F_{3}\cdot F_{5}-F_{4}^{2}=2\cdot 5-3^{2}=+1=(-1)^{4}} . Για n = 5 {\displaystyle n=5} , F 4 ⋅ F 6 − F 5 2 = 3 ⋅ 8 − 5 2 = − 1 = ( − 1 ) 5 {\displaystyle F_{4}\cdot F_{6}-F_{5}^{2}=3\cdot 8-5^{2}=-1=(-1)^{5}} . Για κάθε n ∈ N + {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}} οι αριθμοί Φιμπονάτσι ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα πινάκων: [ F n + 1 F n F n F n − 1 ] = [ 1 1 1 0 ] n . {\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}.} Παίρνοντας την ορίζουσα και στα δύο μέλη, από τις ιδιότητες της ορίζουσας έχουμε ότι det ⁡ [ F n + 1 F n F n F n − 1 ] = det ⁡ [ 1 1 1 0 ] n = ( det ⁡ [ 1 1 1 0 ] ) n = ( − 1 ) n . {\displaystyle \operatorname {det} {\begin{bmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{bmatrix}}=\operatorname {det} {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}=\left(\operatorname {det} {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\right)^{n}=(-1)^{n}.} Επομένως, F n − 1 ⋅ F n + 1 − F n 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}} . Θα χρησιμοποιήσουμε την μαθηματική επαγωγή για να αποδείξουμε ότι: F n − 1 ⋅ F n + 1 − F n 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{n-1}\cdot F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}} .Βάση: Για n = 1 {\displaystyle n=1} , έχουμε ότι F 0 ⋅ F 2 − F 1 2 = 0 ⋅ 1 − 1 2 = − 1 = ( − 1 ) 1 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{0}\cdot F_{2}-F_{1}^{2}=0\cdot 1-1^{2}=-1=(-1)^{1}=(-1)^{n}} .Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η σχέση ισχύει για n = k {\displaystyle n=k} , τότε F k − 1 ⋅ F k + 1 − F k 2 = ( − 1 ) k {\displaystyle F_{k-1}\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}} .Από την αναδρομική σχέση των αριθμών Φιμπονάτσι έχουμε ότι F k + 1 = F k − 1 + F k {\displaystyle F_{k+1}=F_{k-1}+F_{k}} .Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση, λαμβάνουμε ότι ( F k + 1 − F k ) ⋅ F k + 1 − F k 2 = ( − 1 ) k ⇒ F k + 1 2 − F k ⋅ F k + 1 − F k 2 = ( − 1 ) k ⇒ F k + 1 2 − F k ⋅ ( F k + 1 + F k ) = ( − 1 ) k ⇒ F k + 1 2 − F k ⋅ F k + 2 = ( − 1 ) k ⇒ F k ⋅ F k + 2 − F k + 1 2 = ( − 1 ) k + 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}&(F_{k+1}-F_{k})\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F_{k+1}^{2}-F_{k}\cdot F_{k+1}-F_{k}^{2}=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F_{k+1}^{2}-F_{k}\cdot (F_{k+1}+F_{k})=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F_{k+1}^{2}-F_{k}\cdot F_{k+2}=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F_{k}\cdot F_{k+2}-F_{k+1}^{2}=(-1)^{k+1},\end{aligned}}} που ολοκληρώνει την απόδειξη. Η ταυτότητα Catalan είναι μία γενίκευση της ταυτότητας Κασίνι όπου για κάθε n , r ∈ N + {\displaystyle n,r\in \mathbb {N} _{+}} με n ≥ r {\displaystyle n\geq r} έχουμε ότι F n 2 − F n − r F n + r = ( − 1 ) n − r F r 2 . {\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.} Η ταυτότητα Vajda γενικεύει ακόμα περισσότερο αυτήν την ταυτότητα δίνοντας ότι για κάθε n , i , j ∈ N + {\displaystyle n,i,j\in \mathbb {N} _{+}} ισχύει ότι F n + i F n + j − F n F n + i + j = ( − 1 ) n F i F j . {\displaystyle F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.} Ακολουθία Φιμπονάτσι