Ανάδελτα

Ανάδελτα είναι διανυσματικός διαφορικός τελεστής των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης πολλών ανεξαρτήτων μεταβλητών (συνήθως των 3 διαστάσεων του χώρου). Γενικά, δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται ένα μέγεθος στο R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (συνήθως στο χώρο R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ). Συμβολίζεται με ∇ {\displaystyle \nabla } , το οποίο σύμβολο είναι ένα αναποδογυρισμένο κεφαλαίο Δ. Η χρήση του ανάδελτα εμφανίζεται σε 3 διαφορετικούς τελεστές: Της κλίσης ( ∇ {\displaystyle \nabla } ), της απόκλισης ( ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } ) και του στροβιλισμού ( ∇ × {\displaystyle \nabla \times } ).

 Αν έχουμε μια βαθμωτή συνάρτηση με ανεξάρτητες μεταβλητές τις διαστάσεις του χώρου f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} τότε η κλίση της βαθμωτής συνάρτησης είναι το διάνυσμα ∇ f = g r a d f = [ ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z ] {\displaystyle \nabla f=gradf={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}\\{\frac {\partial f}{\partial y}}\\{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}} . Το διάνυσμα της κλίσης, έχει διάσταση όσες οι ανεξάρτητες μεταβλητές της συνάρτησης. Αν έχουμε μια διανυσματική συνάρτηση F ( x 1 , x 2 , x 3 ) = [ f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) f 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ] {\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\\f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\\f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\end{bmatrix}}} τότε η κλίση της διανυσματικής συνάρτησης είναι ο πίνακας ∇ F = g r a d F = [ ∇ f 1 ∇ f 2 ∇ f 3 ] = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ∂ f 1 ∂ x 3 ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ∂ f 2 ∂ x 3 ∂ f 3 ∂ x 1 ∂ f 3 ∂ x 2 ∂ f 3 ∂ x 3 ] {\displaystyle \nabla F=gradF={\begin{bmatrix}\nabla f_{1}\\\nabla f_{2}\\\nabla f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}} . Οι στήλες του πίνακα είναι όσες οι ανεξάρτητες μεταβλητές της συνάρτησης. Ο πίνακας που προκύπτει, αποτελεί και τον Ιακωβιανό πίνακα της συνάρτησης F {\displaystyle F} . Γενικά μιλώντας, η κλίση τανυστή n {\displaystyle n} βαθμού δίνει έναν τανυστή n + 1 {\displaystyle n+1} βαθμού (π.χ. η βαθμωτή συνάρτηση βαθμού 0, έδωσε διάνυσμα βαθμού 1). Η επιπλέον διάσταση του τανυστή, είναι ίση με τον αριθμό ανεξάρτητων μεταβλητών της συνάρτησης. ∇ ( f + g ) = ∇ f + ∇ g {\displaystyle \nabla (f+g)=\nabla f+\nabla g} ∇ ( c f ) = c ∇ f {\displaystyle \nabla (cf)=c\nabla f} όταν c {\displaystyle c} μια σταθερά. ∇ ( f g ) = g ∇ f + f ∇ g {\displaystyle \nabla (fg)=g\nabla f+f\nabla g} Η ∇ f {\displaystyle \nabla f} δείχνει την κατεύθυνση μέγιστης ανηφόρας για τη συνάρτηση f {\displaystyle f} , και το μέτρο της είναι η παράγωγος κατά κατεύθυνση σε αυτή τη διεύθυνση. Αν s → {\displaystyle {\vec {s}}} κανονικό διάνυσμα ( | s → | = 1 {\displaystyle |{\vec {s}}|=1} ), τότε η ∇ f ⋅ s → {\displaystyle \nabla f\cdot {\vec {s}}} είναι η παράγωγος της f {\displaystyle f} στην κατεύθυνση s → {\displaystyle {\vec {s}}} . Στην εξίσωση F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} η οποία αναπαριστά μια επιφάνεια στο χώρο, η κλίση ∇ F {\displaystyle \nabla F} αναπαριστά το κάθετο (όχι απαραίτητα κανονικό) διάνυσμα σε αυτή την επιφάνεια (άρα το διάνυσμα του εφαπτόμενου επιπέδου στην επιφάνεια). Το κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} είναι ∇ ( z − f ( x , y ) ) {\displaystyle \nabla (z-f(x,y))} . Το στοιχειώδες εμβαδό της επιφάνειας F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} είναι | ∇ F ∂ F ∂ z | d x d y = | ∇ F ∂ F ∂ y | d x d z = | ∇ F ∂ F ∂ x | d y d z {\displaystyle \left\vert {\frac {\nabla F}{\frac {\partial F}{\partial z}}}\right\vert dxdy=\left\vert {\frac {\nabla F}{\frac {\partial F}{\partial y}}}\right\vert dxdz=\left\vert {\frac {\nabla F}{\frac {\partial F}{\partial x}}}\right\vert dydz} . Το στοιχειώδες εμβαδό της επιφάνειας z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} προκύπτει 1 + ( ∂ F ∂ x ) 2 + ( ∂ F ∂ y ) 2 d x d y {\displaystyle {\sqrt {1+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy} . Αν έχουμε μια διανυσματική συνάρτηση F ( x 1 , x 2 , x 3 ) = [ f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) f 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ] {\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\\f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\\f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\end{bmatrix}}} τότε η απόκλιση της, είναι ο βαθμωτός ∇ ⋅ F = d i v F = ∂ f 1 ∂ x 1 + ∂ f 2 ∂ x 2 + ∂ f 3 ∂ x 3 {\displaystyle \nabla \cdot F=divF={\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial f_{3}}{\partial x_{3}}}} . Γενικά μιλώντας, η απόκλιση τανυστή n + 1 {\displaystyle n+1} βαθμού δίνει έναν τανυστή n {\displaystyle n} βαθμού (π.χ. η διανυσματική συνάρτηση βαθμού 1, έδωσε βαθμωτό βαθμού 0). Η απόκλιση αν είναι θετική, σημαίνει ότι σε ένα στοιχειώδη όγκο, έχουμε παραγωγή του μεγέθους, δηλαδή πηγή. Αν είναι αρνητική σημαίνει ότι στο στοιχειώδη όγκο έχουμε κατανάλωση του μεγέθους δηλαδή καταβόθρα. Στον τανυστή των τροπών (τον πίνακα των παραμορφώσεων ενός στερεού συνεχούς σώματος) η απόκλιση δείχνει τη διόγκωση του υλικού σε κάθε υλικό σημείο. ∇ ⋅ ( F + G ) = ∇ ⋅ F + ∇ ⋅ G {\displaystyle \nabla \cdot (F+G)=\nabla \cdot F+\nabla \cdot G} ∇ ⋅ ( c F ) = c ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot (cF)=c\nabla \cdot F} όταν c {\displaystyle c} μια σταθερά. ∇ ⋅ ( f F ) = ∇ f ⋅ F + f ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot (fF)=\nabla f\cdot F+f\nabla \cdot F} όπου η συνάρτηση f {\displaystyle f} είναι τανυστής ενός βαθμού μικρότερου από την F {\displaystyle F} . Αν ∇ ⋅ F = 0 {\displaystyle \nabla \cdot F=0} , τότε η F {\displaystyle F} είναι ένα σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο. Αν F = ∇ f {\displaystyle F=\nabla f} , τότε η βαθμωτή συνάρτηση f {\displaystyle f} καλείται δυναμικό. Στο στροβιλισμό, σε αντίθεση με την κλίση και την απόκλιση, είναι υποχρεωτικό οι ανεξάρτητες μεταβλητές να είναι ακριβώς 3. Αυτό συμβαίνει γιατί ο τελεστής έχει μορφή που μοιάζει με το εξωτερικό γινόμενο. Αν έχουμε μια διανυσματική συνάρτηση F ( x , y , z ) = [ f x ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) ] {\displaystyle F(x,y,z)={\begin{bmatrix}f_{x}(x,y,z)\\f_{y}(x,y,z)\\f_{z}(x,y,z)\end{bmatrix}}} τότε ο στροβιλισμός της, είναι η επίσης διανυσματική συνάρτηση ∇ × F = r o t F = c u r l F = | i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f x f y f z | = [ ∂ f z ∂ y − ∂ f y ∂ z − ∂ f z ∂ x + ∂ f x ∂ z ∂ f y ∂ x − ∂ f x ∂ y ] {\displaystyle \nabla \times F=rotF=curlF={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\f_{x}&f_{y}&f_{z}\end{vmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial f_{y}}{\partial z}}\\-{\frac {\partial f_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial f_{x}}{\partial z}}\\{\frac {\partial f_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}} . Η ορίζουσα με το εξωτερικό γινόμενο, παραβιάζει τους κανόνες της τυπικής γλώσσας καθώς οι τελεστές δεν εφαρμόζονται άμεσα σε συναρτήσεις, αλλά χρησιμεύει ως μνημονικός κανόνας. Αν υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε σε ένα κανάλι όπου τρέχει νερό, σε ένα πολύ συγκεκριμένο σημείο, τότε αν πολύ κοντά σε αυτό το σημείο, όλα τα μόρια νερού τρέχουν με ταχύτητα ιδίου μέτρου και κατεύθυνσης, δεν έχουμε στροβιλισμό. Αν π.χ. τα μόρια που έρχονται κάπως δεξιότερα είναι κατά τι πιο γρήγορα από αυτά που μας έρχονται από κάπως αριστερότερα, τότε έχουμε στροβιλισμό. Π.χ. μέσα σε ένα κανάλι με στρωτή ροή, τα μόρια νερού κοντά στα τοιχώματα κινούνται πιο αργά από ότι στο κέντρο του καναλιού, λόγω τριβής. Αυτό σημαίνει ότι παρότι έχουμε στρωτή ροή, έχουμε επίσης και στροβιλισμό. Κλασικό φαινόμενο στροβιλισμού είναι το να βγάλουμε το πώμα ενός νιπτήρα γεμάτου νερό. ∇ × ( F + G ) = ∇ × F + ∇ × G {\displaystyle \nabla \times (F+G)=\nabla \times F+\nabla \times G} ∇ × ( c F ) = c ∇ × F {\displaystyle \nabla \times (cF)=c\nabla \times F} όταν c {\displaystyle c} μια σταθερά. ∇ × ( f F ) = ∇ f × F + f ∇ × F {\displaystyle \nabla \times (fF)=\nabla f\times F+f\nabla \times F} όπου η συνάρτηση f {\displaystyle f} είναι βαθμωτή συνάρτηση και F {\displaystyle F} διανυσματική διάστασης 3. ∇ × ∇ × F = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ 2 F = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − Δ F {\displaystyle \nabla \times \nabla \times F=\nabla (\nabla \cdot F)-\nabla ^{2}F=\nabla (\nabla \cdot F)-\Delta F} ∇ × ( ∇ f ) = 0 → {\displaystyle \nabla \times (\nabla f)={\vec {0}}} , δηλαδή ο στροβιλισμός της κλίσης ενός δυναμικού είναι μηδέν. ∇ ⋅ ( F × G ) = ( ∇ × F ) ⋅ G − F ⋅ ( ∇ × G ) {\displaystyle \nabla \cdot (F\times G)=(\nabla \times F)\cdot G-F\cdot (\nabla \times G)} . Αν ∇ × F = 0 → {\displaystyle \nabla \times F={\vec {0}}} , τότε η F {\displaystyle F} είναι ένα αστρόβιλο πεδίο. Ο τελεστής Λαπλάς συμβολίζεται με Δ {\displaystyle \Delta } και ισούται με Δ f = ∇ ⋅ ∇ f = ∇ 2 f {\displaystyle \Delta f=\nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f} , δηλαδή είναι η απόκλιση της κλίσης μιας συνάρτησης. διαφορική γεωμετρία