Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Ώς επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στα μαθηματικά ορίζεται ένα ολοκλήρωμα όπου η ολοκληρούμενη συνάρτηση υπολογίζεται κατά μήκος μιας καμπύλης.Η συνάρτηση που ολοκληρώνεται μπορεί να είναι ένα βαθμωτό πεδίο ή ένα διανυσματικό πεδίο. Η τιμή του επικαμπύλιου ολοκληρώματος είναι το άθροισμα των τιμών του πεδίου αυτού σε όλα τα σημεία της καμπύλης, πολλαπλασιασμένων επί κάποια βαθμωτή συνάρτηση που ορίζεται πάνω στην καμπύλη (συνήθως το μήκος τόξου ή για διανυσματικό πεδίο το εσωτερικό γινόμενο του πεδίου επί ένα διαφορικό διάνυσμα της καμπύλης). Αυτός ο πολλαπλασιασμός διακρίνει το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα από απλούστερα ολοκληρώματα που ορίζονται σε διαστήματα. Πολλές απλές σχέσεις στη φυσική, και μάλιστα ορισμοί, όπως αυτός του έργου, διατυπώνονται στη γενική περίπτωση με τη βοήθεια επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων, π.χ. για το έργο W = ∫ L F ( s ) ⋅ d s {\displaystyle \textstyle W=\int _{L}\!\mathbf {F} (\mathbf {s} )\cdot d\mathbf {s} } , το οποίο εκτελείται πάνω σε ένα σώμα κινούμενο μέσα σε πεδίο δυνάμεων F κατά μήκος μιας διαδρομής s.

 Ποιοτικά, ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στη διανυσματική ανάλυση μπορεί θεωρηθεί ως ένα μέτρο της συνολικής επιδράσεως ενός δοσμένου τανυστικού πεδίου κατά μήκος μιας συγκεκριμένης καμπύλης. Το απλούστερο παράδειγμα είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα σε ένα βαθμωτό πεδίο, που αντιστοιχεί σε τανυστή μηδενικής τάξεως. Ορισμός Για ένα βαθμωτό πεδίο f : U ⊆ R n → R {\displaystyle f:\mathbb {U} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } , το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος μιας (τμηματικά τουλάχιστον) λείας καμπύλης C ⊂ U {\displaystyle {\mathcal {C}}\subset \mathbb {U} } ορίζεται ως ∫ C f ( r ) d s = ∫ a b f ( r ( t ) ) | r ′ ( t ) | d t . {\displaystyle \int _{\mathcal {C}}f(\mathbf {r} )\,ds=\int _{a}^{b}f\left(\mathbf {r} (t)\right)|\mathbf {r} '(t)|\,dt.} όπου r : [ a , b ] → C {\displaystyle \mathbf {r} :[a,b]\rightarrow {\mathcal {C}}} είναι μια οποιαδήποτε αμφιμονοσήμαντη παραμετροποίηση της καμπύλης C {\displaystyle {\mathcal {C}}} , τέτοια ώστε οι τιμές r ( a ) {\displaystyle \mathbf {r} (a)} και r ( b ) {\displaystyle \mathbf {r} (b)} να δίνουν τα ακραία σημεία της C {\displaystyle {\mathcal {C}}} και a < b {\displaystyle a<b} . Οι κάθετες γραμμές συμβολίζουν σε όλο το λήμμα το απλό ευκλείδιο μέτρο ενός διανύσματος. Η f {\displaystyle f} ονομάζεται ολοκληρούμενη συνάρτηση, η καμπύλη C {\displaystyle {\mathcal {C}}} είναι το πεδίο ολοκληρώσεως και το σύμβολο d s {\displaystyle ds} μπορεί να θεωρηθεί διαισθητικώς ένα στοιχειώδες μήκος τόξου. Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα βαθμωτών πεδίων δεν εξαρτώνται από την επιλογή της παραμετροποίησης r {\displaystyle \mathbf {r} } της καμπύλης C {\displaystyle {\mathcal {C}}} .Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ενός βαθμωτού πεδίου μπορεί να παρασταθεί γεωμετρικά ως το εμβαδό κάτω από μία συγκεκριμένη καμπύλη C κατά μήκος μιας επιφάνειας z = f(x,y) που περιγράφεται από το πεδίο. Τότε η C βρίσκεται στο επίπεδο xy. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f είναι το εμβαδό της «κουρτίνας» που δημιουργείται όταν τα αφαιρεθούν τα σημεία της επιφάνειας που βρίσκονται ακριβώς πάνω από τη C. Κατασκευή Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα σε ένα βαθμωτό πεδίο μπορεί να κατασκευασθεί από ένα ριμάνειο άθροισμα και τους παραπάνω ορισμούς των f, C και παραμετροποίηση r της C. Αυτό μπορεί να γίνει μερίζοντας το διάστημα [a,b] σε n υποδιαστήματα [ti-1, ti] μήκους Δt = (b − a)/n, και την r(ti) να συμβολίζει κάποιο σημείο «δείγματος» πάνω στην καμπύλη C. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύνολο των σημείων αυτών {r(ti) : 1 ≤ i ≤ n} προκειμένου να προσεγγίσουμε τη C με μια πολυγωνική διαδρομή, εισάγοντας ένα ευθύγραμμο τμήμα ανάμεσα στο καθένα ζεύγος σημείων δείγματος r(ti-1) και r(ti). Κατόπιν σημειώνουμε την απόσταση μεταξύ τους με Δsi. Το γινόμενο του f(r(ti)) επί τη Δsi μπορεί να συσχετισθεί με το εμβαδό (θετικό ή αρνητικό) ενός ορθογωνίου με ύψος και πλάτος f(r(ti)) και Δsi, αντιστοίχως. Λαμβάνοντας το όριο του αθροίσματος των όρων αυτών με το μήκος των υποδιαστημάτων να τείνει στο μηδέν, παίρνουμε: I = lim Δ s i → 0 ∑ i = 1 n f ( r ( t i ) ) Δ s i . {\displaystyle I=\lim _{\Delta s_{i}\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\,\Delta s_{i}.} Σύμφωνα με το Θεώρημα μέσης τιμής, η απόσταση ανάμεσα σε διαδοχικά σημεία είναι Δ s i = | r ( t i + Δ t ) − r ( t i ) | ≈ | r ′ ( t i ) | Δ t . {\displaystyle \Delta s_{i}=|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})|\approx |\mathbf {r} '(t_{i})|\,\Delta t.} Η αντικατάσταση αυτού στο παραπάνω ριμάνειο άθροισμα δίνει I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n f ( r ( t i ) ) | r ′ ( t i ) | Δ t {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))|\mathbf {r} '(t_{i})|\,\Delta t} που είναι το ριμάνειο άθροισμα για το ολοκλήρωμα I = ∫ a b f ( r ( t ) ) | r ′ ( t ) | d t . {\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.} Ορισμός Για ένα διανυσματικό πεδίο F : U ⊆ Rn → Rn, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος μιας (τμηματικά τουλάχιστον) λείας καμπύλης C ⊂ U, στην κατεύθυνση του r, ορίζεται ως ∫ C F ( r ) ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.} όπου · είναι το εσωτερικό γινόμενο και r: [a, b] → C είναι μια οποιαδήποτε αμφιμονοσήμαντη παραμετροποίηση της καμπύλης C τέτοια ώστε οι τιμές r(a) και r(b) να δίνουν τα ακραία σημεία της C. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ενός βαθμωτού πεδίου είναι έτσι ένα επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ενός διανυσματικού πεδίου στο οποίο τα διανύσματα είναι πάντοτε εφαπτόμενα στην καμπύλη. Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα διανυσματικών πεδίων δεν εξαρτώνται από την επιλογή της παραμετροποίησης r της καμπύλης κατά απόλυτη τιμή, εξαρτώνται όμως από τον προσανατολισμό της. Συγκεκριμένα, μια αναστροφή του προσανατολισμού της παραμετροποίησης αλλάζει το πρόσημο του επικαμπύλιου ολοκληρώματος. Κατασκευή Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα σε ένα διανυσματικό πεδίο μπορεί να κατασκευασθεί με πολύ παρόμοιο τρόπο με την περίπτωση του βαθμωτού πεδίου, αλλά με τη συμπερίληψη ενός εσωτερικού γινομένου. Με τους ίδιους ορισμούς των F, C και της παραμετροποιήσεως r(t), κατασκευάζουμε το ολοκλήρωμα από ένα ριμάνειο άθροισμα, μερίζοντας το κλειστό διάστημα [a,b] (που είναι το πεδίο τιμών της παραμέτρου t) σε n υποδιαστήματα μήκους Δt = (b − a)/n. Αν ti είναι το i-στο σημείο του [a,b], τότε το r(ti) μάς δίνει τη θέση του i-στού σημείου της καμπύλης. Ωστόσο, αντί να υπολογίσουμε τις αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών σημείων, πρέπει να υπολογίσουμε τα διανύσματα μετατοπίσεώς τους, Δri. Ο υπολογισμός του F σε όλα τα σημεία της καμπύλης και η εξαγωγή του εσωτερικού γινομένου με το κάθε διάνυσμα μετατοπίσεως δίνει την απειροστή συνεισφορά του κάθε μερισμού του F επί της C. Με το μέγεθος των μερισμών να τείνει στο μηδέν, έχουμε το άθροισμα I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n F ( r ( t i ) ) ⋅ Δ r i {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}} Σύμφωνα με το Θεώρημα μέσης τιμής, το διάνυσμα μετατοπίσεως μεταξύ διαδοχικών σημείων της καμπύλης είναι Δ r i = r ( t i + Δ t ) − r ( t i ) ≈ r ′ ( t i ) Δ t . {\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})\approx \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t.} Η αντικατάσταση αυτού στο παραπάνω ριμάνειο άθροισμα δίνει I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n F ( r ( t i ) ) ⋅ r ′ ( t i ) Δ t , {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\,\Delta t,} που είναι το ριμάνειο άθροισμα για το ολοκλήρωμα που ορίσθηκε παραπάνω. Αν ένα διανυσματικό πεδίο F είναι η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου G (δηλαδή αν το F είναι συντηρητικό πεδίο), δηλαδή F = ∇ G , {\displaystyle \mathbf {F} =\nabla G,} τότε η παράγωγος της συνθέσεως των G and r(t) είναι d G ( r ( t ) ) d t = ∇ G ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) = F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) {\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)} που συμβαίνει να είναι η ολοκληρούμενη συνάρτηση στο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της F πάνω στη συνάρτηση r(t). Οπότε πάνω σε μια καμπύλη (μια διαδρομή) C έπεται ότι ∫ C F ( r ) ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t = ∫ a b d G ( r ( t ) ) d t d t = G ( r ( b ) ) − G ( r ( a ) ) . {\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).} Με άλλα λόγια, το ολοκλήρωμα του F επί της C εξαρτάται μόνο από τις τιμές του πεδίου G στα σημεία r(b) και r(a), και επομένως είναι ανεξάρτητο της μεταξύ τους διαδρομής. Επιπλέον, η τιμή του είναι μηδέν αν η διαδρομή/καμπύλη είναι κλειστή, δηλαδή αν τα a και b ταυτίζονται. Στην περίπτωση ενός διανυσματικού πεδίου του είδους F : U ⊂ R 2 → R 2 {\displaystyle \mathbf {F} :U\subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} , F ( x , y ) = ( P ( x , y ) , Q ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=(P(x,y),Q(x,y))} , το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος μιας καμπύλης C ⊂ U, ονομάζεται ολοκλήρωμα ροής, και ορίζεται μέσα από μια (τμηματικά τουλάχιστον) λείας παραμετρικής εξισώσεως r : [ a , b ] → C , {\displaystyle \mathbf {r} \colon [a,b]\to C,} r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) , {\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t)),} ως: ∫ C F ( r ) ⋅ d r ⊥ = ∫ a b ( P ( x ( t ) , y ( t ) ) , Q ( x ( t ) , y ( t ) ) ) ⋅ ( y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) ) d t = ∫ a b − Q d x + P d y . {\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }=\int _{a}^{b}(P(x(t),y(t)),Q(x(t),y(t)))\cdot (y'(t),-x'(t))\,dt=\int _{a}^{b}-Q\,dx+P\,dy.} Εδώ το • συμβολίζει το εσωτερικό γινόμενο και r ′ ( t ) ⊥ = ( y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} '(t)^{\perp }=(y'(t),-x'(t))} είναι το δεξιόστροφο κάθετο διάνυσμα στο διάνυσμα της «ταχύτητας» r ′ ( t ) = ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t))} . Η ροή υπολογίζεται προσανατολισμένα: η καμπύλη C έχει μια δοσμένη κατεύθυνση προς τα εμπρός από το r(a) έως το r(b) και η ροή προσμετρείται ως θετική όταν το F ( r ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} (t))} βρίσκεται στη δεξιά πλευρά του προς τα εμπρός διανύσματος r ′ ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} '(t)} . Στη μιγαδική ανάλυση το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ορίζεται με όρους πολλαπλασιασμού και προσθέσεως μιγαδικών αριθμών. Ας υποθέσουμε ότι το U είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου C, ότι f : U → C είναι μία συνάρτηση και ότι L ⊂ U {\displaystyle L\subset U} είναι μία καμπύλη πεπερασμένου μήκους, παραμετροποιημένη από τη συνάρτηση γ : [ a , b ] → L {\displaystyle \gamma :[a,b]\to L} με γ ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) . {\displaystyle \gamma (t)=x(t)+iy(t).} Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ∫ L f ( z ) d z {\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz} μπορεί να ορισθεί μερίζοντας το διάστημα [a, b] σε a = t0 < t1 < ... < tn = b και θεωρώντας την έκφραση ∑ k = 1 n f ( γ ( t k ) ) [ γ ( t k ) − γ ( t k − 1 ) ] = ∑ k = 1 n f ( γ k ) Δ γ k . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))\,[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\,\Delta \gamma _{k}.} Τότε το ολοκλήρωμα είναι το όριο αυτού του ριμάνειου αθροίσματος με τα μήκη των υποδιαστημάτων να τείνουν στο μηδέν. Αν η παραμετροποίηση γ {\displaystyle \gamma } είναι συνεχώς διαφορίσιμη, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογισθεί ως ένα ολοκλήρωμα μιας συναρτήσεως πραγματικής μεταβλητής: ∫ L f ( z ) d z = ∫ a b f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) d t . {\displaystyle \int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt.} Στην περίπτωση που η L {\displaystyle L} είναι κλειστή καμπύλη (το αρχικό και το τελικό σημείο της συμπίπτουν), το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα συμβολίζεται συχνά με το σύμβολο ∮ L f ( z ) d z , {\displaystyle \textstyle \oint _{L}f(z)\,dz,} . Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα ως προς το συζυγές μιγαδικό διαφορικό d z ¯ {\displaystyle {\overline {dz}}} ορίζεται ως ∫ L f ( z ) d z ¯ := ∫ L f ( z ) ¯ d z ¯ = ∫ a b f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) ¯ d t . {\displaystyle \int _{L}f(z){\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t)){\overline {\gamma '(t)}}\,dt.} Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα μιγαδικών συναρτήσεων μπορούν να υπολογισθούν με χρήση διάφορων μεθόδων. Η απλούστερη είναι ο διαχωρισμός σε πραγματικό και φανταστικό μέρος, οπότε το πρόβλημα ανάγεται στον υπολογισμό δύο επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων με πραγματικές τιμές. Το ολοκληρωτικό θεώρημα του Cauchy μπορεί να εφαρμοσθεί ώστε να εξισωθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μιας αναλυτικής συναρτήσεως με το ίδιο ολοκλήρωμα σε μια πιο πρόσφορη στον υπολογισμό καμπύλη. Συνέπεια του θεωρήματος αυτού είναι επίσης το ότι πάνω σε μια κλειστή καμπύλη που περιβάλλει μια περιοχή όπου η f ( z ) {\displaystyle f(z)} είναι αναλυτική χωρίς ιδιομορφίες, η τιμή του ολοκληρώματος είναι απλώς μηδέν, ενώ στην περίπτωση που η περιοχή περιλαμβάνει ιδιομορφία ή ιδιομορφίες το θεώρημα των υπολοίπων υπολογίζει το ολοκλήρωμα με όρους των ιδιομορφιών. Ας υποθέσουμε ότι η ολοκληρούμενη συνάρτηση είναι η f(z) = 1/z και η καμπύλη L είναι ο μοναδιαίος κύκλος περί το 0 διανυόμενος αριστερόστροφα, με παραμετρική εξίσωση z(t) = eit, όπου t στο διάστημα [0, 2π] με χρήση του τύπου του Όιλερ. Αντικαθιστώντας βρίσκουμε: ∮ L 1 z d z = ∫ 0 2 π 1 e i t i e i t d t = i ∫ 0 2 π e − i t e i t d t = i ∫ 0 2 π d t = i ( 2 π − 0 ) = 2 π i . {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{L}{\frac {1}{z}}\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}} Αυτό το απλό παράδειγμα είναι μια χαρακτηριστική εφαρμογή του Ολοκληρωτικού τύπου του Cauchy και του θεωρήματος των υπολοίπων. Θεωρώντας τους μιγαδικούς αριθμούς ως διδιάστατα ευκλείδια διανύσματα, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μιας συναρτήσεως με μιγαδικές τιμές f ( z ) {\displaystyle f(z)} έχει πραγματικό και μιγαδικό μέρος ίσα με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και το ολοκλήρωμα ροής του διανυσματικού πεδίου που αντιστοιχεί στη συζυγή συνάρτηση f ( z ) ¯ . {\displaystyle {\overline {f(z)}}.} Συγκεκριμένα, αν η r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t))} είναι η παραμετρική εξίσωση της L και η συνάρτηση f ( z ) = u ( z ) + i v ( z ) {\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)} αντιστοιχεί στο διανυσματικό πεδίο F ( x , y ) = f ( x + i y ) ¯ = ( u ( x + i y ) , − v ( x + i y ) ) , {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\overline {f(x+iy)}}=(u(x+iy),-v(x+iy)),} τότε: ∫ L f ( z ) d z = ∫ L ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ∫ L ( u , − v ) ⋅ ( d x , d y ) + i ∫ L ( u , − v ) ⋅ ( d y , − d x ) = ∫ L F ( r ) ⋅ d r + i ∫ L F ( r ) ⋅ d r ⊥ . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L}f(z)\,dz&=\int _{L}(u+iv)(dx+i\,dy)\\&=\int _{L}(u,-v)\cdot (dx,dy)+i\int _{L}(u,-v)\cdot (dy,-dx)\\&=\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} +i\int _{L}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ^{\perp }.\end{aligned}}} Από το ολοκληρωτικό θεώρημα του Cauchy, το ολοκλήρωμα στο αριστερό μέλος είναι μηδέν όταν η f ( z ) {\displaystyle f(z)} είναι αναλυτική (ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann). Αντιστοίχως, εξαιτίας του Θεωρήματος του Green, τα ολοκληρώματα στο δεξιό μέλος είναι μηδέν όταν η F = f ( z ) ¯ {\displaystyle \mathbf {F} ={\overline {f(z)}}} είναι συντηρητική (δεν έχει στροβιλισμό) και ασυμπίεστη (δεν έχει απόκλιση). Στην πραγματικότητα, οι εξισώσεις Cauchy-Riemann για την f ( z ) {\displaystyle f(z)} είναι ταυτόσημες με την ανυπαρξία στροβιλισμού και αποκλίσεως για την F. Σύμφωνα με το θεώρημα του Green, το εμβαδό μιας περιοχής που περικλείεται από μια λεία κλειστή, θετικού προσανατολισμού, καμπύλη L {\displaystyle L} δίνεται από το ολοκλήρωμα 1 2 i ∫ L z ¯ d z . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2i}}\int _{L}{\overline {z}}\,dz.}