Εσωτερικό γινόμενο

Εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται μία ανοιχτή πράξη στοιχείων διανυσματικού χώρου. Το αποτέλεσμα είναι αριθμός. Όταν σε ένα διανυσματικό χώρο ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο, τότε μπορεί να οριστεί και το μέτρο του διανύσματος α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} το οποίο είναι: | α → | = α → 2 {\displaystyle |{\vec {\alpha }}|={\sqrt {{\vec {\alpha }}^{2}}}} όπου το α → 2 {\displaystyle {\vec {\alpha }}^{2}} είναι το εσωτερικό γινόμενο του α → {\displaystyle {\vec {\alpha }}} με τον εαυτό του.

 Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα α → , β → {\displaystyle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}} του επιπέδου. Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των α → ⋅ β → {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}} τον πραγματικό αριθμό : α → ⋅ β → = | α → | | β → | cos ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|\cos(\phi )} ,όπου ϕ {\displaystyle \phi } η γωνία μεταξύ α → , β → {\displaystyle {\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}} και αν α → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {\alpha }}\neq {\vec {0}}} και β → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {\beta }}\neq {\vec {0}}} . Αν α → = 0 → {\displaystyle {\vec {\alpha }}={\vec {0}}} ή β → = 0 → {\displaystyle {\vec {\beta }}={\vec {0}}} , τότε α → ⋅ β → = 0 {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=0} . Παρατηρήσεις: α → ⇈ β → {\displaystyle {\vec {\alpha }}\upuparrows {\vec {\beta }}} αν και μόνο αν α → ⋅ β → = | α → | | β → | {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|} α → ↑↓ β → {\displaystyle {\vec {\alpha }}\uparrow \downarrow {\vec {\beta }}} αν και μόνο αν α → ⋅ β → = − | α → | | β → | {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=-|{\vec {\alpha }}||{\vec {\beta }}|} α → ⊥ β → {\displaystyle {\vec {\alpha }}\bot {\vec {\beta }}} αν και μόνο αν α → ⋅ β → = 0 {\displaystyle {\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\beta }}=0} Denis Auroux (2007). Lec 1 | MIT 18.02 Multivariable Calculus, Fall 2007. MIT open course. Συμβαίνει στα 00 00. - Εσωτερικό γινόμενο, μάθημα μαθηματικών στο MIT (καθηγητής Denis Auroux). Διαδραστική εφαρμογή για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Διαδραστική εφαρμογή για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Διανυσματικοί χώροι και χώροι με εσωτερικό γινόμενο Νίκος Βαδιβούλης (1980). «Εσωτερικό γινόμενο και οι εφαρμογές του». Ευκλείδης Β΄ (4): 34-38. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4139. Τ. Λαμπρόπουλος (1985). «Εσωτερικό γινόμενο». Ευκλείδης Β΄ (4): 51-59. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2789. Τ. Λαμπρόπουλος (1990). «Εφαρμογές του εσωτερικού γινομένου». Ευκλείδης Β΄ (1): 35-43. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2868. Greco, Frank A. (Ιουλίου 2019). «How is the scalar product derived?». The Mathematical Gazette 103 (557): 357–358. doi:10.1017/mag.2019.75. Clifford, Frank (Οκτωβρίου 1989). «73.40 Applications of the scalar product». The Mathematical Gazette 73 (465): 231–234. doi:10.2307/3618452. Gerrish, F. (Νοεμβρίου 2000). «Vector products». The Mathematical Gazette 84 (501): 453–459. doi:10.2307/3620775. Edwards, Constance C.; Sansgiry, Prashant S. (Απριλίου 1997). «Proof Without Words: The Distributive Property of the Triple Scalar Product». Mathematics Magazine 70 (2): 136–136. doi:10.1080/0025570X.1997.11996518.