Τετράγωνο Αντίθεσης

Το Τετράγωνο Αντίθεσης είναι ένα διάγραμμα που απεικονίζει τις σχέσεις μεταξύ των τεσσάρων βασικών κατηγορηματικών προτάσεων. Η προέλευση του τετραγώνου μπορεί να αναχθεί στον Αριστοτέλη, ο οποίος κάνει τη διάκριση μεταξύ δύο αντιθέσεων: της αντίφασης και της εναντιότητας. Αλλά ο Αριστοτέλης δεν σχεδίασε κάποιο διάγραμμα. Αυτό έγινε αρκετούς αιώνες αργότερα από τον Apuleius και τον Boethius.

 Στην παραδοσιακή λογική, μια πρόταση (Λατινικά: propositio), είναι ένας λεκτικός ισχυρισμός (oratio enunciativa), όχι το περιεχόμενο του ισχυρισμού, όπως συμβαίνει στη σύγχρονη φιλοσοφία της γλώσσας και της λογικής. Μια κατηγορηματική πρόταση είναι μια απλή πρόταση που περιέχει δύο όρους, υποκείμενο και κατηγόρημα, στην οποία το κατηγόρημα είτε χαρακτηρίζει είτε όχι το υποκείμενο. Κάθε κατηγορηματική πρόταση μπορεί να καταταχθεί σε μια από τις παρακάτω λογικές μορφές: Η επονομαζόμενη και 'Α' πρόταση είναι η καθολική καταφατική (Λατινικά: universalis affirmativa), της οποίας η μορφή στα Λατινικά είναι 'omne S est P', που μεταφράζεται σε 'κάθε S είναι ένα P'. H 'E' πρόταση είναι η καθολική αποφατική (Λατινικά: universalis negativa), στα Λατινικά 'nullum S est P', που μεταφράζεται σε 'κανένα S δεν είναι P'. Η 'Ι' πρόταση είναι η μερική καταφατική (Λατινικά: particularis affirmativa), στα Λατινικά 'quoddam S est P', που μεταφράζεται ως 'μερικά S είναι P'. Η 'Ο' πρόταση είναι η μερική αποφατική (Λατινικά: particularis negativa), στα Λατινικά 'quoddam S non est P', που μεταφράζεται ως 'μερικά S δεν είναι P'.Υπό μορφή πίνακα: Παρόλου που η τυποποιημένη μορφή "Κανένα S δεν είναι P" είναι σαφώς καθορισμένη, ο πρόταση της μορφής "Όλα τα S δεν είναι P" είναι ασαφής και συνεπώς δεν είναι μια τυποποιημένη μορφή καθώς μπορεί να είναι μια πρόταση είτε της Ε μορφής είτε της Ο. Απαιτείται δηλαδή συγκεκριμένο πλαίσιο για να καθοριστεί η μορφή της. Ο Αριστοτέλης αναφέρει (στα κεφάλαια έξι και επτά του Περὶ Ἑρμηνείας, (Latin De Interpretatione)), ότι υπάρχουν συγκεκριμένες λογικές σχέσεις μεταξύ των τεσσάρων μορφών προτάσεων. Αναφέρει ότι για κάθε κατάφαση αντιστοιχεί μια ακριβώς άρνηση, και ότι κάθε κατάφαση είναι αντίθετη προς την άρνησή της, με τέτοιον τρόπο ώστε μόνο η μια εκ των δύο μπορεί να είναι πάντα αληθής και η άλλη ψευδής. Ο Αριστοτέλης ονομάζει το ζεύγος μιας καταφατικής και μιας αποφατικής πρότασης ως αντίφαση. Παραδείγματα αντιφάσεων είναι η πρόταση 'κάθε άνθρωπος είναι λευκός' και 'κάθε άνθρωπος δεν είναι λευκός' (η οποία μπορεί να διατυπωθεί ως 'μερικοί άνθρωποι δεν είναι λευκοί'), όπως επίσης και η πρόταση 'κανένας άνθρωπος δεν είναι λευκός' με την πρόταση 'μερικοί άνθρωποι είναι λευκοί'. Ενάντιες προτάσεις είναι αυτές οι οποίες δεν μπορούν είναι ταυτόχρονα αληθείς. Παραδείγματα τέτοιων προτάσεων είναι η καθολική καταφατική 'κάθε άνθρωπος είναι λευκός' και η καθολική αποφατική 'κανένας άνθρωπος δεν είναι λευκός'. Αυτές οι προτάσεις δεν μπορούν αν είναι ταυτόχρονα αληθείς. Παρόλα αυτά, δεν είναι αντιφατικές καθώς μπορούν να είναι ταυτόχρονα ψευδείς. Παραδείγματος χάριν, είναι ψευδές ότι κάθε άνθρωπος είναι λευκός καθώς μερικοί άνθρωποι δεν είναι λευκοί. Εντούτοις είναι επίσης ψευδές πως κανένας άνθρωπος δεν είναι λευκός καθώς μερικοί άνθρωποι είναι λευκοί. Αφού κάθε πρόταση έχει μια ενάντια και αφού μια ενάντια είναι αληθής όταν η αντίθετή της είναι ψευδής, συνεπάγεται ότι οι αντίθετες των ενάντιων προτάσεων (οι οποίες καλούνται υποενάντιες) μπορούν να είναι και οι δύο αληθείς, αλλά δεν μπορούν να είναι και οι δύο ψευδείς. Αφού οι υποενάντιες είναι αρνήσεις των καθολικών προτάσεων, καλούνταν 'μερικές' κατά τον Μεσαίωνα. Μια άλλη λογική αντίθεση που προκύπτει από την παραπάνω διαπίστωση, εάν και δεν αναφέρεται ρητά από τον Αριστοτέλη, είναι η μετατροπή (alternatio), η οποία αποτελείται από την υπό-μετατροπή και την υπέρ-μετατροπή. Μετατροπή είναι η σχέση μεταξύ μιας μερικής πρότασης και μιας καθολικής αναφερόμενες στην ίδια ιδιότητα, ούτως ώστε η καθολική να υπαινίσσεται τη μερική. Η μερική είναι υποδεέστερη της καθολικής, η οποία με τη σειρά της είναι υποδεέστερη της μερικής. Παραδείγματος χάριν, εάν η πρόταση 'κάθε άνθρωπος είναι λευκός' είναι αληθής, η ενάντιά της 'κανένας άνθρωπος δεν είναι λευκός' είναι ψευδής. Για αυτό η αντίφαση 'μερικοί άνθρωποι είναι λευκοί' είναι αληθής. Αντίστοιχα, η γενική πρόταση 'κανένας άνθρωπος δεν είναι λευκός' υπονοεί την συγκεκριμένη 'κάθε άνθρωπος δεν είναι λευκός'. Συνοψίζοντας: Οι καθολικές προτάσεις είναι ενάντιες. 'Κάθε άνθρωπος είναι δίκαιος' και 'κανένας άνθρωπος δεν είναι δίκαιος' δεν μπορεί να είναι αληθείς ταυτόχρονα, εντούτοις μια μπορεί να είναι αληθής και η άλλη ψευδής, ή επίσης και οι δύο να είναι ψευδής (εάν έστω ένας άνθρωπος είναι δίκαιος και έστω ένας δεν είναι). Οι μερικές προτάσεις είναι υποενάντιες. 'Μερικοί άνθρωποι είναι δίκαιοι' και 'μερικοί άνθρωποι δεν είναι δίκαιοι' δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα ψευδείς. Η μερική πρόταση μιας ιδιότητας του υποκειμένου είναι υπάλληλη της καθολικής πρότασης της ίδιας ιδιότητας, η οποία είναι επάλληλη της μερικής πρότασης στην Αριστοτέλεια ορολογία 'κάθε Α είναι Β' υπονοεί ότι 'μερικά Α είναι Β' και 'κανένα Α δεν είναι Β' υπονοεί ότι 'μερικά Α δεν είναι Β'. Σημειώνεται ότι στη σύγχρονη επίσημη ερμηνεία των κατηγορηματικών προτάσεων, 'κάθε Α είναι Β' ερμηνεύεται ως 'για κάθε χ, όπου χ είναι Α σημαίνει ότι και κάθε χ είναι Β', το οποίο δεν σημαίνει ότι 'μερικά χ είναι Α'. Αυτό όμως έχει να κάνει με την ερμηνεία των όρων και δεν σημαίνει ότι, όπως υποστηρίζεται ορισμένες φορές, η Αριστοτέλεια λογική είναι 'λάθος'. Η καθολική καταφατική και η μερική αποφατική είναι αντιφατικές. 'Εάν μερικά Α δεν είναι Β, τότε κάθε Α δεν είναι Β'. Αντιστρόφως, εάν και δεν είναι ισχύει στη σύγχρονη σημασιολογία, πιστεύεται ότι εάν το κάθε Α δεν είναι Β, μερικά Α δεν είναι Β. Αυτή η ερμηνεία έχει δημιουργήσει δυσκολίες (βλέπε παρακάτω). Ενώ στα Ελληνικά του Αριστοτέλη δεν αποδίδεται η μερική αποφατική ως 'μερικά Α δεν είναι Β', αλλά σε κάποιο σχολιασμό του έργου Περὶ Ἑρμηνείας, αποδίδεται η μερική αποφατική ως 'quoddam A non est B', δηλαδή 'ένα συγκεκριμένο Α δεν είναι Β' και για αυτό το λόγο σε όλα τα μεσαιωνικά κείμενα σχετικά με την λογική είναι σύνηθες να αποδίδεται η μερική πρόταση με αυτόν τον τρόπο.Οι παραπάνω σχέσεις έγιναν η βάση ενός διαγράμματος που αποδίδεται στον Boethius και χρησιμοποιούνταν κατά τον Μεσαίωνα από όσους ασχολούνταν με την λογική για να ταξινομήσουν τις σχέσεις αυτές. Οι προτάσεις τοποθετούνται στις τέσσερις κορυφές ενός τετραγώνου και οι σχέσεις αναπαριστώνται ως οι μεταξύ τους πλευρές, από όπου προκύπτει και το όνομα 'Τετράγωνο Αντίθεσης'.