Αξίωμα της κανονικότητας

Το αξίωμα κανονικότητας είναι ένα αξίωμα της θεωρίας συνόλων του 1925 από τον Τζον φον Νόιμαν (John von Neumann), που οδήγησε στη θεωρία συνόλων των Νόιμαν-Μπέρναϊς-Γκέντελ (NBG), και ένα αξίωμα της ευρέως διαδεδομένης θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φραένκελ (ZF) του 1930. Ο Ερνστ Ζερμέλο έδωσε το όνομά του και μια απλή διατύπωση σε μια σειρά συνόλων και πρωταρχικών στοιχείων που ορίζεται ως εξής: Κάθε μη κενή υποπεριοχή T {\displaystyle \,T} περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο t 0 {\displaystyle \,t_{0}} το οποίο δεν έχει κανένα στοιχείο t {\displaystyle \,t} στο T {\displaystyle \,T} .Πιο συγκεκριμένα, το θεμελιώδες αξίωμα για το πεδίο B {\displaystyle \,{B}} ως προς την κλάση όλων των συνόλων και των πρωταρχικών στοιχείων είναι all-class: ∅ ≠ T ⊆ B ⟹ ∃ t 0 ∈ T : ¬ ∃ t ∈ T : t ∈ t 0 {\displaystyle \emptyset \neq T\subseteq {B}\implies \exists t_{0}\in T:\lnot \exists t\in T:t\in t_{0}} Στην θεωρία συνόλων, στην οποία όλες οι μεταβλητές συμβολίζουν σύνολα, υπάρχουν συντομότερες διατυπώσεις του αξιώματος θεμελίωσης στις οποίες το B {\displaystyle \,{B}} απαλείφεται από τον τύπο, όπως για παράδειγμα στην ακόλουθη διατύπωση: ∀ T : ( T ≠ ∅ ⟹ ∃ x ∈ T : ( x ∩ T ) = ∅ ) {\displaystyle \forall T:(T\neq \emptyset \implies \exists x\in T:(x\cap T)=\emptyset )} Το στοιχείο x ∈ T {\displaystyle x\in T} που υπάρχει εδώ καλείται επίσης ∈-ελάχιστο στοιχείο του T {\displaystyle T} , αφού δεν υπάρχει στοιχείο y ∈ x {\displaystyle y\in x} με y ∈ T {\displaystyle y\in T} . Το αξίωμα θεμελίωσης εξασφαλίζει έτσι την ύπαρξη ενός ∈-ελάχιστου στοιχείου κάθε μη κενού συνόλου.

 Το αξίωμα θεμελίωσης αποτρέπει αλυσίδες κυκλικών στοιχείων: x 1 ∈ x 2 ∈ ⋯ ∈ x n ∈ x 1 {\displaystyle x_{1}\in x_{2}\in \cdots \in x_{n}\in x_{1}} . Το σύνολο { x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}} , του οποίου η ύπαρξη βεβαιώνεται χρησιμοποιώντας το αξίωμα των συνόλων των ζευγών και το αξίωμα της ένωσης, στην πραγματικότητα θα ερχόταν σε αντίθεση με το αξίωμα της θεμελίωσης, δεν θα είχε κανένα ∈-ελάχιστο στοιχείο. Άρα δεν υπάρχει επίσης κανένα σύνολο που να περιέχει τον εαυτό του ως στοιχεία ( ∀ x : x ∉ x {\displaystyle \forall x:x\notin x} ). Επιπλέον, το αξίωμα θεμελίωσης εμποδίζει την ύπαρξη μιας συνάρτησης f {\displaystyle f} που ορίζεται στο ω {\displaystyle \omega } (θεωρούμενο ως σύνολο), με f ( n + 1 ) ∈ f ( n ) {\displaystyle f(n+1)\in f(n)} για όλα τα n ∈ ω {\displaystyle n\in \omega } , αφού η εικόνα αυτής της συνάρτησης, η οποία υπάρχει ως σύνολο λόγω του σχήματος αντικατάστασης, δεν θα είχε κανένα ∈-μικρό στοιχείο. Σημειώστε, ωστόσο, ότι το σύνολο των τύπων Z F C ∪ { x n + 1 ∈ x n ∣ n ∈ N } {\displaystyle \mathrm {ZFC} \cup \left\{x_{n+1}\in x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}} δεν μας επιτρέπει να συμπεράνουμε μια αντίφαση, υπό την προϋπόθεση ότι η ZFC είναι μη αντιφατική, διότι με μια τέτοια απόδειξη αντίφασης, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό τύπων, οι οποίοι προφανώς δεν θα οδηγούσαν σε καμία αντίφαση. Ή, με άλλα λόγια, λόγω της αρχής της συμπαγείας, αν υπάρχουν μοντέλα της ZFC, υπάρχουν και μοντέλα που δεν είναι θεμελιωμένα ως προς τη στοιχειώδη σχέση ∈. Αν θεωρήσουμε ένα μοντέλο του συνόλου των τύπων που κατασκευάστηκε παραπάνω, δεν μπορεί να υπάρχει σε αυτό το μοντέλο ένα σύνολο που να περιέχει ακριβώς το x n {\displaystyle x_{n}} ως στοιχείο. Αυτό συμβαίνει επειδή ένα τέτοιο σύνολο θα ερχόταν σε αντίθεση με το αξίωμα θεμελίωσης (δεν θα είχε κανένα ∈-ελάχιστο στοιχείο). Υπάρχουν επίσης θεωρίες συνόλων χωρίς αξίωμα θεμελίωσης. Αυτό συμβαίνει με την αρχική θεωρία συνόλων του Ζερμέλο, στην οποία ο Ζερμέλο συμπεριέλαβε ρητά κυκλικά σύνολα (με κυκλικές αλυσίδες στοιχείων, για παράδειγμα x ∈ x {\displaystyle x\in x} ), ή τη θεωρία συνόλων του Άκερμαν. Και στις δύο, ωστόσο, το ιδρυτικό αξίωμα μπορεί να προστεθεί χωρίς να δημιουργηθεί αντίφαση (η οποία δεν υπήρχε προηγουμένως). Θα πρέπει επίσης να αναφέρουμε τη θεωρία συνόλων του Quine, ο οποίος όρισε σύνολα ατόμων x {\displaystyle \,x} με { x } = x {\displaystyle \,\{x\}=x} , έτσι ώστε αυτά να είναι κυκλικά και το ιδρυτικό αξίωμα σίγουρα να μην ισχύει. Σε τέτοιες θεωρίες συνόλων χωρίς ιδρυτικό αξίωμα είναι δυνατά κυκλικά σύνολα, γεγονός που δείχνει ότι αυτά δεν δημιουργούν απαραίτητα αντίφαση. Ο σχηματισμός ορισμένων κυκλικών συνόλων, όπως το σύνολο όλων των συνόλων ή το σύνολο των τακτικών αριθμών, τα οποία δημιουργούν αντιφάσεις στην αφελή θεωρία συνόλων, αποκλείεται ήδη στη θεωρία συνόλων του Ζερμέλο χωρίς θεμελιακό αξίωμα. Γενικά, η προσθήκη ενός αξιώματος δεν μπορεί να αποτρέψει αντιφάσεις που θα υπήρχαν χωρίς το αξίωμα, αφού η προσθήκη ενός αξιώματος μπορεί μόνο να αυξήσει το σύνολο των αποδεικτέων προτάσεων, όχι να το μειώσει. Το αξίωμα θεμελίωσης, μαζί με κάποια άλλα αξιώματα ZF, συνεπάγεται μέσω της διαισθητικής λογικής ϕ ∨ ¬ ϕ {\displaystyle \phi \lor \lnot \phi } για κάθε τύπο ϕ {\displaystyle \phi } : δηλαδή, έστω y , z {\displaystyle y,z} σύνολα με y ∈ z {\displaystyle y\in z} (για παράδειγμα y ∈ z {\displaystyle y\in z} (Παραδείγματος χάριν ∅ , { ∅ } {\displaystyle \emptyset ,\{\emptyset \}} ) και T := { x ∈ { y , z } ∣ ϕ ∨ x = z } {\displaystyle T:=\{x\in \{y,z\}\mid \phi \lor x=z\}} , τότε το T {\displaystyle T} έχει ένα στοιχείο, δηλαδή z {\displaystyle z} , και επομένως, σύμφωνα με το αξίωμα θεμελίωσης, επίσης ένα στοιχείο x ∈ T {\displaystyle x\in T} με x ∩ T = ∅ {\displaystyle x\cap T=\emptyset } . Από το x = z {\displaystyle x=z} προκύπτει ¬ ϕ {\displaystyle \lnot \phi } αφού, υποθέτοντας ϕ {\displaystyle \phi } , το σύνολο y {\displaystyle y} βρίσκεται στο T {\displaystyle T} καθώς και στο x {\displaystyle x} , πράγμα που αντιφάσκει με το x ∩ T = ∅ {\displaystyle x\cap T=\emptyset } . Έτσι, συνολικά, από το x ∈ T {\displaystyle x\in T} προκύπτει ότι ϕ ∨ ¬ ϕ {\displaystyle \phi \lor \lnot \phi } .Για το λόγο αυτό, οι εποικοδομητικές παραλλαγές της ZF, όπως η IZF και η CZF, απαλλάσσονται από το αξίωμα θεμελίωσης στη συνήθη διατύπωσή του και αντ' αυτού απαιτούν αξιωματικά, για παράδειγμα, ότι επιτρέπεται η επαγωγή με έψιλον, η οποία επίσης αποκλείει τα κυκλικά σύνολα. Η ιδέα να θεωρούνται τα ∈-θεμελιωμένα σύνολα ως κανονικά σύνολα ανάγεται στον Ντμίτρι Μιριμάνοφ, ο οποίος, το 1916, περιέγραψε τα κυκλικά σύνολα που επέτρεπε η αρχική θεωρία συνόλων του Ζερμέλο ως εξαιρετικά. Το 1921, ο Αβραάμ Φρένκελ θέλησε να αποκλείσει αυτά τα έκτακτα σύνολα από τη θεωρία συνόλων μέσω ενός περιοριστικού αξιώματος "το οποίο επιβάλλει στο πεδίο των συνόλων τη μικρότερη έκταση που είναι συμβατή με τα άλλα αξιώματα". Ωστόσο, το αξίωμα περιορισμού του δεν μπορεί να διατυπωθεί στη γλώσσα της θεωρίας συνόλων. Ο πρώτος σωστός τύπος για τον αποκλεισμό των εξαιρετικών συνόλων δόθηκε από τον Νόιμαν το 1925 με το αξίωμα περιορισμού , το οποίο όμως είναι πιο περίπλοκο από το ευρύτερα χρησιμοποιούμενο αξίωμα θεμελίωσης του Ζερμέλο. Οικοδομήσιμο Σύμπαν