Αξίωμα της ένωσης

Στην αξιωματική θεωρία συνόλων, το αξίωμα της ένωσης είναι ένα από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ. Το αξίωμα αυτό εισήχθη από τον Έρνστ Ζερμέλο. Το αξίωμα δηλώνει ότι για κάθε σύνολο x, υπάρχει ένα σύνολο y του οποίου τα στοιχεία είναι τα ίδια ακριβώς με τα στοιχεία των στοιχείων του x.

 Στην τυπική γλώσσα των αξιωμάτων Ζερμέλο-Φράνκελ, το αξίωμα έχει ως εξής: ∀ A ∃ B ∀ c ( c ∈ B ⟺ ∃ D ( c ∈ D ∧ D ∈ A ) ) {\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall c\,(c\in B\iff \exists D\,(c\in D\land D\in A)\,)} ή με άλλα λόγια : Δεδομένου ενός συνόλου A, υπάρχει ένα σύνολο Β τέτοιο ώστε, για κάθε στοιχείο c, το c είναι μέλος του Β αν και μόνο αν υπάρχει ένα σύνολο D τέτοιο ώστε το c είναι μέλος του D και το D είναι μέλος του A. ή, πιο απλά: Για κάθε σύνολο A {\displaystyle A} , υπάρχει ένα σύνολο ⋃ A {\displaystyle \bigcup A\ } το οποίο αποτελείται μόνο από τα στοιχεία των στοιχείων του εν λόγω συνόλου A {\displaystyle A} . Το αξίωμα της ένωσης επιτρέπει την αποσυμπίεση ενός συνόλου συνόλων και τη δημιουργία ενός πιο επίπεδου συνόλου. Μαζί με το αξίωμα της ζεύξης, αυτό συνεπάγεται ότι για οποιαδήποτε δύο σύνολα, υπάρχει ένα σύνολο (που ονομάζεται Ένωση συνόλων) που περιέχει ακριβώς τα στοιχεία των δύο συνόλων. Το αξίωμα της αντικατάστασης επιτρέπει τον σχηματισμό πολλών ενώσεων, όπως η ένωση δύο συνόλων. Ωστόσο, στην πλήρη γενικότητά του, το αξίωμα της ένωσης είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα αξιώματα της ZFC: Η αντικατάσταση δεν αποδεικνύει την ύπαρξη της ένωσης ενός συνόλου συνόλων αν το αποτέλεσμα περιέχει απεριόριστο αριθμό καρδιναλίων. Μαζί με το αξιωματικό σχήμα της αντικατάστασης, το αξίωμα της ένωσης υποδηλώνει ότι μπορεί κανείς να σχηματίσει την ένωση μιας οικογένειας συνόλων με δείκτη ένα σύνολο. Στο πλαίσιο των θεωριών συνόλων που περιλαμβάνουν το αξίωμα του διαχωρισμού, το αξίωμα της ένωσης διατυπώνεται μερικές φορές σε μια ασθενέστερη μορφή που παράγει μόνο ένα υπερσύνολο της ένωσης ενός συνόλου. Για παράδειγμα, ο Κούνεν διατυπώνει το αξίωμα ως εξής ∀ F ∃ A ∀ Y ∀ x [ ( x ∈ Y ∧ Y ∈ F ) ⇒ x ∈ A ] . {\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].} το οποίο είναι ισοδύναμο με ∀ F ∃ A ∀ x [ [ ∃ Y ( x ∈ Y ∧ Y ∈ F ) ] ⇒ x ∈ A ] . {\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\forall x[[\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})]\Rightarrow x\in A].} Σε σύγκριση με το αξίωμα που αναφέρθηκε στην αρχή αυτής της ενότητας, αυτή η παραλλαγή βεβαιώνει μόνο τη μία έννοια της συνεπαγωγής και όχι και τις δύο. Δεν υπάρχει αντίστοιχο αξίωμα της τομής. Αν το A {\displaystyle A} είναι ένα μη κενό σύνολο που περιέχει το E {\displaystyle E} , είναι δυνατόν να σχηματίσουμε την τομή ⋂ A {\displaystyle \bigcap A} χρησιμοποιώντας το αξιωματικό σχήμα της προδιαγραφής ως εξής ⋂ A = { c ∈ E : ∀ D ( D ∈ A ⇒ c ∈ D ) } {\displaystyle \bigcap A=\{c\in E:\forall D(D\in A\Rightarrow c\in D)\}} ,οπότε δεν είναι απαραίτητο κανένα ξεχωριστό αξίωμα διασταύρωσης. (Αν το Α είναι το κενό σύνολο, τότε προσπαθώντας να σχηματίσουμε την τομή του Α ως {c: for all D in A, c is in D}δεν επιτρέπεται από τα αξιώματα. Επιπλέον, αν υπήρχε ένα τέτοιο σύνολο, θα περιείχε όλα τα σύνολα του "σύμπαντος", αλλά η έννοια του καθολικού συνόλου είναι αντίθετη με τη θεωρία συνόλων Ζερμέλο-Φράνκελ). Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ISBN 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. (ISBN 3-540-44085-2). Οικοδομήσιμο Σύμπαν