Δείκτρια τυχαία μεταβλητή

Στην θεωρία πιθανοτήτων, δείκτρια τυχαία μεταβλητή ενός γεγονότος A ⊆ Ω {\displaystyle A\subseteq \Omega } του δειγματοχώρου Ω {\displaystyle \Omega } , είναι η τυχαία μεταβλητή 1 A : Ω → R {\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \to \mathbb {R} } , η οποία ορίζεται ως 1 A ( ω ) = { 1 αν ω ∈ A , 0 διαφορετικά . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{αν }}\omega \in A,\\0&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}} Συμβολίζεται και ως 𝟙A, 1 ( A ) {\displaystyle \mathbf {1} (A)} .

 Οι δείκτριες τυχαίες μεταβλητές έχουν τις εξής ιδιότητες::56 E ⁡ ( 1 A ) = Pr ( A ) {\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\Pr(A)} . Για κάθε k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} } , ( 1 A ) k = 1 A {\displaystyle (\mathbf {1} _{A})^{k}=\mathbf {1} _{A}} , καθώς η τυχαία μεταβλητή λαμβάνει μόνο τιμές 0 {\displaystyle 0} και 1 {\displaystyle 1} . Var ⁡ ( 1 A ) = Pr ( A ) ⋅ ( 1 − Pr ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A})=\Pr(A)\cdot (1-\Pr(A))} . 1 A ∩ B = 1 A ⋅ 1 B = min ( 1 A , 1 B ) {\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}=\min(\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B})} . 1 ¬ A = 1 − 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{\neg A}=1-\mathbf {1} _{A}} . 1 A ∪ B = 1 A + 1 B − 1 A ∩ B = max ( 1 A , 1 B ) {\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A\cap B}=\max(\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B})} . Έχουμε ένα νόμισμα που με πιθανότητα p {\displaystyle p} είναι κορώνα και με πιθανότητα 1 − p {\displaystyle 1-p} είναι γράμματα. Θα στρίψουμε το νόμισμα n {\displaystyle n} φορές και θέλουμε να βρούμε το αναμενόμενο πλήθος κορωνών. Έστω K i {\displaystyle K_{i}} το ενδεχόμενο να είναι το i {\displaystyle i} -οστό στρίψιμο κορώνα και 1 K i {\displaystyle \mathbf {1} _{K_{i}}} η δείκτρια τυχαία μεταβλητή αυτού του γεγονότος. Τότε, το συνολικό πλήθος κορωνών δίνεται από K = 1 K 1 + … + 1 K n {\displaystyle K=\mathbf {1} _{K_{1}}+\ldots +\mathbf {1} _{K_{n}}} .Χρησιμοποιώντας την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής και ότι E ⁡ ( K i ) = Pr ( K i ) = p {\displaystyle \operatorname {E} (K_{i})=\Pr(K_{i})=p} , έχουμε ότι E ⁡ ( K ) = E ⁡ ( ∑ i = 1 n K i ) = ∑ i = 1 n E ⁡ ( K i ) = ∑ i = 1 n Pr ( K i ) = ∑ i = 1 n p = n ⋅ p , {\displaystyle \operatorname {E} (K)=\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}K_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (K_{i})=\sum _{i=1}^{n}\Pr(K_{i})=\sum _{i=1}^{n}p=n\cdot p,} που είναι και το αναμενόμενο πλήθος κορωνών. Σε μία μετάθεση σ : [ n ] → [ n ] {\displaystyle \sigma :[n]\to [n]} , ένα ζευγάρι δεικτών ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} με i < j {\displaystyle i<j} είναι αντιστροφή αν ισχύει ότι σ ( i ) > σ ( j ) {\displaystyle \sigma (i)>\sigma (j)} . Θέλουμε να υπολογίσουμε το αναμενόμενο πλήθος αντιστροφών σε μία τυχαία μετάθεση. Έστω ότι A i j {\displaystyle A_{ij}} είναι το γεγονός ότι η ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} είναι αντιστροφή. Τότε, λόγω συμμετρίας στις μισές μεταθέσεις, η ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} είναι αντιστροφή και στις μισές όχι, άρα Pr ( A i j ) = 1 2 {\displaystyle \Pr(A_{ij})={\frac {1}{2}}} .Το συνολικό πλήθος των αντιστροφών δίνεται από A = ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n A i j . {\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}A_{ij}.} Από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι E ⁡ ( A ) = E ⁡ ( ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n A i j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n E ⁡ ( A i j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n 1 2 = n ⋅ ( n − 1 ) 2 ⋅ 1 2 = n ⋅ ( n − 1 ) 4 . {\displaystyle \operatorname {E} (A)=\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}A_{ij}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\operatorname {E} (A_{ij})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}{\frac {1}{2}}={\frac {n\cdot (n-1)}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {n\cdot (n-1)}{4}}.} Οι δείκτριες τυχαίες μεταβλητές χρησιμοποιούνται σε αρκετά στην θεωρία πιθανοτήτων. Ενδεικτικά αναφέρουμε τις εξής εφαρμογές: Στην απόδειξη της ανισότητας Μαρκόφ. Στην απόδειξη της μεθόδου δεύτερης ροπής. Στην ανάλυση της χρονικής πολυπλοκότητας του αλγόριθμου γρήγορης ταξινόμησης.