Διαίρεση

Στα μαθηματικά, και ειδικά στην βασική αριθμητική, διαίρεση είναι η αριθμητική πράξη "αντίστροφη" του πολλαπλασιασμού. Ή ακριβέστερα, διαίρεση του αριθμού a με τον αριθμό b είναι ο πολλαπλασιασμός του a με τον αντίστροφο του b. Ειδικότερα, αν c επί b είναι ίσο με a, που γράφεται: c × b = a {\displaystyle c\times b=a\,} όπου b δεν είναι το μηδέν, τότε το a διαιρούμενο δια το b είναι ίσο με c, που γράφεται: a b = c {\displaystyle {\frac {a}{b}}=c} Για παράδειγμα, 6 3 = 2 {\displaystyle {\frac {6}{3}}=2} αφού 2 × 3 = 6 {\displaystyle 2\times 3=6\,} .Στην παραπάνω εξίσωση, το a λέγεται ο διαιρετέος (Δ), το b ο διαιρέτης (δ) και το c το πηλίκο (Π). Γενικά ισχύει: Δ δ = Π {\displaystyle {\frac {\Delta }{\delta }}=\Pi } ή ισοδύναμα Π ⋅ δ = Δ {\displaystyle \Pi \cdot \delta =\Delta } Η διαίρεση περιγράφει δυο διαφορετικά αλλά σχετικά πράγματα: Το μοίρασμα ενός συνόλου a περιλαμβάνει τη διαμόρφωση b συνόλων που είναι ίσα σε μέγεθος. Το μέγεθος c καθενός από τα διαμορφωμένα σύνολα, είναι το πηλίκο των a και b. Η μέτρηση, δηλαδή η εύρεση του καθαρού αριθμού c των συνόλων μεγέθους b που όλα μαζί συναποτελούν το σύνολο a. Ο αριθμός c των συνόλων που μπορούν να δημιουργηθούν είναι το πηλίκο των a και b.Η διδασκαλία της διαίρεσης οδηγεί στην εισαγωγή των μαθητών στην έννοια των κλασμάτων. Αντίθετα με την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό, το σύνολο των ακεραίων δεν είναι κλειστό ως προς τη διαίρεση. Η διαίρεση δυο ακεραίων μπορεί να έχει υπόλοιπο. Για να συμπληρωθεί η διαίρεση και του υπολοίπου, το σύστημα αριθμών επεκτείνεται ώστε να περιλαμβάνει κλάσματα, ή ρητούς αριθμούς όπως λέγονται γενικότερα. Όπως φαίνεται από τα παραπάνω η διαίρεση αφορά τρεις αριθμούς, όπου οι δύο αφορούν ένα συγκεκριμένο μέγεθος και ένας είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή και οι τρεις αφορούν ένα συγκεκριμένο μέγεθος. Αυτό δεν ισχύει στη φυσική, όπου και οι τρεις αριθμοί μπορούν να έχουν μια φυσική σημασία και να μετράνε ένα μέγεθος ο καθένας. Για παράδειγμα η ταχύτητα είναι πρακτικά το πηλίκο της απόστασης και του χρόνου· ο χρόνος και η απόσταση είναι δύο διαφορετικά φυσικά μεγέθη!

 Η διαίρεση συχνά γράφεται στην άλγεβρα και τις επιστήμες τοποθετώντας τον διαιρετέο ή αριθμητή πάνω από τον διαιρέτη ή παρονομαστή με μια οριζόντια γραμμή ανάμεσά τους. Για παράδειγμα το a δια του b γράφεται: a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} Αυτό διαβάζεται προφορικά ως το a διαιρεμένο δια του b ή a δια b. Ένας άλλος τρόπος να απεικονισθεί η διαίρεση σε μια γραμμή είναι γράφοντας τον διαιρετέο, μια πλάγια γραμμή, και το διαιρέτη: a / b {\displaystyle a/b\,} Αυτός είναι ο πιο συνηθισμένος τρόπος να γραφτεί η διαίρεση στις περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού, αφού είναι ευκολότερο να δακτυλογραφηθεί ως απλή σειρά χαρακτήρων. Μια τυπογραφική παραλλαγή, ανάμεσα στις δυο παραπάνω μορφές είναι με χρήση μιας πλάγιας γραμμής κλάσματος, όπου ο διαιρετέος είναι ανυψωμένος και ο διαιρέτης κατεβασμένος: a / b {\displaystyle {}^{a}{/}_{b}\,} Οποιαδήποτε από τις παραπάνω μορφές μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αναπαράσταση ενός κλάσματος. Κλάσμα είναι η έκφραση της διαίρεσης όπου τόσο ο διαιρετέος όσο και ο διαιρέτης είναι ακέραιοι (και συνήθως λέγονται αριθμητής και παρονομαστής), και η διαίρεση δεν χρειάζεται να υπολογισθεί παραπέρα. Ένας άλλος τρόπος να αναπαρασταθεί η διαίρεση είναι με χρήση του συμβόλου της διαίρεσης, ως εξής: a ÷ b {\displaystyle a\div b} Αυτή η μορφή είναι λιγότερο συχνή, εκτός της βασικής αριθμητικής. Το σύμβολο της διαίρεσης χρησιμοποιείται και για να απεικονίσει την πράξη της διαίρεσης αυτή καθαυτή, όπως για παράδειγμα στο πλήκτρο μιας αριθμομηχανής. Σε κάποιες χώρες χρησιμοποιείται επίσης το σύμβολο a : b για να αναπαραστήσει τη διαίρεση, ενώ σε άλλες αναπαριστά την έννοια της αναλογίας (δηλαδή το a είναι για το b...). Κάποιος που γνωρίζει τους πίνακες πολλαπλασιασμού μπορεί να διαιρέσει δυο ακεραίους με μολύβι και χαρτί και τη μέθοδο της μακράς διαίρεσης. Αν ο διαιρετέος έχει κλασματικό μέρος (συνήθως δεκαδικό μέρος), ο αλγόριθμος μπορεί να συνεχιστεί μετά την υποδιαστολή για όσο χρειάζεται. Αν ο διαιρέτης έχει κλασματικό μέρος, μπορούμε να επαναθέσουμε το πρόβλημα μετακινώντας την υποδιαστολή προς τα δεξιά και στους δύο αριθμούς μέχρι ο διαιρέτης να είναι ακέραιος. Οι σύγχρονοι υπολογιστές υπολογίζουν τη διαίρεση με μεθόδους που είναι πιο γρήγορες από τη μακρά διαίρεση: βλ. ψηφιακή διαίρεση. Η διαίρεση μπορεί να υπολογιστεί και με άβακα, βάζοντας το διαιρετέο στον άβακα, και αφαιρώντας το διαιρέτη από κάθε ψηφίο, μετρώντας τον αριθμό των αφαιρέσεων που γίνονται για κάθε θέση. Ακόμα, κάποιος μπορεί να υπολογίσει διαιρέσεις και με λογαριθμικό κανόνα, ευθυγραμμίζοντας τον διαιρέτη στην κλίμακα C με τον διαιρετέο στην κλίμακα D. Το πηλίκο μπορεί να βρεθεί στην κλίμακα D όπου είναι ευθυγραμμισμένο με τον αριστερό δείκτη της κλίμακας C. Βέβαια, ο χρήστης πρέπει να κρατάει υπόψιν του την υποδιαστολή. Στην αριθμητική modulo, κάποιοι αριθμοί έχουν ένα modulo- πολλαπλασιαστικό αντίστροφο, σε σχέση με το modulus. Σ' αυτή την περίπτωση μπορούμε να υπολογίσουμε την διαίρεση με επαναλαμβανόμενους πολλαπλασιασμούς. Η προσέγγιση αυτή είναι χρήσιμη στους υπολογιστές που δεν υλοποιούν μια γρήγορη εντολή διαίρεσης. Η διαίρεση ακεραίων δεν είναι κλειστή. Εκτός από τη διαίρεση με το μηδέν που είναι απροσδιόριστη (διαίρεση ενός αριθμού με το μηδέν (0) στα Μαθηματικά δεν ορίζεται, διότι δεν έχει νόημα το να πει κανείς ότι διαίρεσε έναν αριθμό σε μηδέν ίσα μέρη), το πηλίκο δεν θα είναι ένας ακέραιος εκτός και αν ο διαιρετέος είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του διαιρέτη: για παράδειγμα το 26 δεν μπορεί να διαιρεθεί με το 10 να δώσει έναν ακέραιο. Σε μια τέτοια περίπτωση υπάρχουν τέσσερις πιθανές προσεγγίσεις: Πες ότι το 26 δεν μπορεί να διαιρεθεί με το 10: η διαίρεση γίνεται μια μερική λειτουργία. Δώσε την απάντηση σαν ένα δεκαδικό κλάσμα ή σαν ένα μεικτό αριθμό, 26 10 = 2.6 {\displaystyle {\tfrac {26}{10}}=2.6} ή 26 10 = 2 3 5 . {\displaystyle {\tfrac {26}{10}}=2{\tfrac {3}{5}}.} . Αυτή είναι η προσέγγιση που συνήθως λαμβάνεται στα μαθηματικά. Δώσε την απάντηση σαν ένα ακέραιο πηλίκο και ένα υπόλοιπο, έτσι 26 10 = 2 remainder 6. {\displaystyle {\tfrac {26}{10}}=2{\mbox{ remainder }}6.} Δώσε το ακέραιο πηλίκο σαν την απάντηση έτσι 26 10 = 2. {\displaystyle {\tfrac {26}{10}}=2.} . Αυτό καλείται ενίοτε ακέραια διαίρεση (integer division).Πρέπει κάποιος να είναι προσεκτικός όταν εκτελείται διαίρεση των ακεραίων σε ένα πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή. Μερικές γλώσσες προγραμματισμού, όπως η C, θα θεωρήσουν διαίρεση των ακεραίων όπως στην περίπτωση 4 παραπάνω. Άλλες γλώσσες, όπως η MATLAB, πρώτα θα μετατρέψουν τους ακέραιους σε πραγματικούς αριθμούς, και μετά θα δώσουν έναν πραγματικό αριθμό, όπως στην περίπτωση 2 παραπάνω. Ονόματα και σύμβολα που χρησιμοποιούνται για διαίρεση ακεραίων περιλαμβάνουν div, /, \ και %. Οι ορισμοί ποικίλουν σχετικά με τη διαίρεση ακεραίων όταν το πηλίκο είναι αρνητικό: στρογγυλοποίηση μπορεί να γίνει κοντά στο μηδέν ή κοντά στο −∞. Κανόνες διαιρετότητας μπορεί μερικές φορές να χρησιμοποιούνται για προσδιοριστεί γρήγορα αν ένας ακέραιος διαιρείται ακριβώς σε έναν άλλο.