Ευθύγραμμο τμήμα

Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι εκείνο το γεωμετρικό σχήμα που περιέχεται μεταξύ δύο σημείων Α και Β μίας ευθείας ε. Η δε ευθεία ε καλείται φορέας του ευθύγραμμου τμήματος και τα σημεία Α και Β, άκρα του.

 Όταν τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος δεν ανήκουν σ΄ αυτό, τότε ονομάζεται ανοιχτό ευθύγραμμο τμήμα. Όταν αντίθετα, τα άκρα ανήκουν σ΄ αυτό ονομάζεται κλειστό ευθύγραμμο τμήμα. Τέλος όταν τα άκρα Α και Β συμπίπτουν, (Α=Β), τότε ονομάζεται μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα. Μήκος ευθυγράμμου σχήματος, ονομάζεται η μεταξύ απόσταση των δύο άκρων. Μέσο ευθυγράμμου τμήματος, ονομάζεται το σημείο του εκείνο, (Μ), που ισαπέχει από τα άκρα του, έτσι ώστε ΜΑ=ΜΒ.Αξίωμα: Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο Ας είναι ΑΒ και ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα με φορείς ε και δ αντίστοιχα. Ταυτίζουμε τις ε και δ έτσι ώστε το Α να συμπίπτει με το Γ. Αν το Δ συμπίπτει με το Β λέμε ότι το ΑΒ είναι ίσο με το ΓΔ και συμβολίζουμε ΑΒ = ΓΔ. Αν το Δ βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος ΑΒ τότε λέμε ότι το ΑΒ είναι μεγαλύτερο από το ΓΔ και συμβολίζουμε ΑΒ > ΓΔ. Τέλος, αν το Δ βρίσκεται στην ημιευθεία ΑΒ, αλλά όχι ανάμεσα στα Α και Β, τότε λέμε ότι το ΑΒ είναι μικρότερο από το ΓΔ και συμβολίζουμε ΑΒ < ΓΔ.Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται διαδοχικά όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά κανένα κοινό εσωτερικό σημείο. Στην ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων ισχύουν οι εξής ιδιότητες: Ανακλαστική όπου ΑΒ=ΑΒ Συμμετρική: αν ΑΒ=ΓΔ τότε ισχύει και ΓΔ=ΑΒ Μεταβατική: αν ΑΒ=ΓΔ και ΓΔ=ΔΕ τότε ισχύει και ΑΒ=ΔΕΚάθε σχέση για την οποία ισχύουν οι τρεις αυτές ιδιότητες λέγεται σχέση ισοδυναμίαςΕπίσης η σχέση ΑΒ > ΓΔ ή ΑΒ < ΓΔ λέγεται σχέση ανισότητας. Στη σχέση αυτή ισχύει και η εξής ιδιότητα: (Μεταβατική) αν ΑΒ>ΓΔ και ΓΔ>ΔΕ τότε και ΑΒ>ΔΕ. Σημειώνεται πως η σχέση της ανισότητας δεν είναι συμμετρική, δηλαδή δεν ισχύει ΑΒ>ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ. Κάθε σχέση που είναι μεταβατική, αλλά όχι συμμετρική αλλά ούτε και ανακλαστική λέγεται σχέση γνήσιας διάταξης. Συνεπώς η σχέση της ανισότητας είναι σχέση γνήσιας διάταξης. Πρόσθεση Έστω ΑΒ, ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα ΚΛ, ΛΜ τέτοια ώστε ΚΛ = ΑΒ και ΛΜ = ΓΔ. Τότε άθροισμα των ΑΒ και ΓΔ θα καλούμε το ευθύγραμμο τμήμα ΚΜ και θα γράφουμε ΚΜ = ΑΒ + ΓΔ.Για να βρεθεί το άθροισμα περισσοτέρων ευθυγράμμων τμημάτων, μετά το άθροισμα των δύο πρώτων προστίθεται το τρίτο και συνεχίζεται η πρόσθεση όλων των τμημάτων. Στη πρόσθεση αυτή ισχύουν οι εξής ιδιότητες: Αντιμεταθετική: δηλαδή α+β=β+α και Προσεταιριστική: δηλαδή (α+β)+γ=α+(β+γ) Επίσης υπάρχει και το ουδέτερο στοιχείο που είναι το μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα όπου α+0=0+α = α. Γενικά η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων είναι πράξη μονότροπη και εσωτερική του συνόλου των τμημάτων και αποτελεί ένα συνολικό ευθύγραμμο τμήμα.Η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων ως προς την σχέση της ανισότητας παρουσιάζει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες: Αν για παράδειγμα ΑΒ > ΒΓ και ΓΔ > ΔΕ τότε ΑΒ+ΓΔ > ΒΓ+ΔΕ (πρόσθεση κατά μέλη ομοιόστροφων ανισοτήτων). Αν επίσης ΑΒ > ΒΓ τότε συνεπάγεται ότι ΑΒ+ΓΔ > ΒΓ+ΓΔ (πρόσθεση ίδιου τμήματος στα μέλη μιας ανισότητας). Αφαίρεση Έστω ΑΒ > ΓΔ ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία ε παίρνουμε τα ΚΛ = ΑΒ και ΚΜ = ΓΔ με το σημείο Μ να κείται στο εσωτερικό του ΚΛ. Τότε διαφορά του ΓΔ από το ΑΒ θα λέμε το ευθύγραμμο τμήμα ΜΛ και θα γράφουμε ΜΛ = ΑΒ - ΓΔ. Πολλαπλασιασμός Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ επί ένα φυσικό αριθμό, έστω 3, λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ που γίνεται από το ΑΒ αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή ΑΓ = 3ΑΒ Έστω ΑΒ ευθύγραμμο τμήμα και ν ένας φυσικός αριθμός. Αν ΚΛ είναι ευθύγραμμο τμήμα για το οποίο K Λ = A B + ⋯ + A B ⏟ ν {\displaystyle \mathrm {K} \Lambda =\underbrace {\mathrm {A} \mathrm {B} +\cdots +\mathrm {A} \mathrm {B} } _{\nu }} , τότε λέμε ότι το ΚΛ είναι το ν-πλάσιο γινόμενο του ΑΒ και γράφουμε K Λ = ν ⋅ A B {\displaystyle \mathrm {K} \Lambda =\nu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B} } , καθώς και ότι το ΑΒ είναι το υπο-ν-πλάσιο γινόμενο του ΚΛ, και γράφουμε A B = 1 ν K Λ {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} ={\frac {1}{\nu }}\mathrm {K} \Lambda } . Τέλος αν για μ φυσικό αριθμό είναι Γ Δ = μ ⋅ A B {\displaystyle \Gamma \Delta =\mu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B} } τότε μπορούμε να γράψουμε Γ Δ = μ ν K Λ {\displaystyle \Gamma \Delta ={\frac {\mu }{\nu }}\mathrm {K} \Lambda } και το τμήμα ΓΔ ονομάζεται γινόμενο του ρητού αριθμού μ/ν με το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ.Με τη μέτρηση ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο αυθαίρετα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ. Αν ισχύει A B = μ ν K Λ {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} ={\frac {\mu }{\nu }}\mathrm {K} \Lambda } , τότε λέμε ότι το μήκος του ΑΒ ως προς το ΚΛ είναι μ/ν, ή ότι η απόσταση του Α από το Β είναι μ/ν. Διαίρεση Πηλίκο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ δι΄ ενός φυσικού αριθμού, έστω 3, ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ που είναι ίσο με το ένα από τα τρία ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται το ΑΒ, όπου και θα ισχύει η σχέση ΑΓ = ΑΒ/3 Διάνυσμα