Τρίγωνο

Στην γεωμετρία, το τρίγωνο είναι ένα από τα βασικά σχήματα. Ορίζεται ως μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή τριών σημείων. Έτσι, το τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, αυτές που ορίζονται ανά δύο από τα σημεία και τρεις γωνίες, τις κυρτές που ορίζονται ανά δύο από τις πλευρές. Ένα τρίγωνο με κορυφές A {\displaystyle {\rm {A}}} , B {\displaystyle {\rm {B}}} , Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma }}} συμβολίζεται με △ A B Γ {\displaystyle {\rm {\triangle AB\Gamma }}} ή απλά A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} . Δευτερεύοντα στοιχεία του τριγώνου είναι τα ύψη, οι διχοτόμοι, οι διάμεσοι και οι μεσοκάθετοι. Πρόκειται για το μοναδικό σχήμα που έδωσε το όνομά του σε ένα ολόκληρο μαθηματικό κλάδο, την τριγωνομετρία, γεγονός που καταδεικνύει τη σπουδαιότητά του. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία οποιαδήποτε τρία σημεία, μη συνευθειακά, ορίζουν ένα μοναδικό τρίγωνο και ένα μοναδικό επίπεδο (δηλαδή ένα δισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο).

 Τα τρίγωνα μπορούν να ταξινομηθούν συγκρίνοντας τις πλευρές μεταξύ τους: Σκαληνό: όταν όλες οι πλευρές του είναι άνισες ή ισοδύναμα όλες οι γωνίες του είναι άνισες. Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι σκαληνά, αν και μόνον εάν δεν είναι ισοσκελή. Ισοσκελές: όταν δύο από τις πλευρές του είναι ίσες. Ένα ισοσκελές έχει και δύο γωνίες ίσες: είναι οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις δύο ίσες πλευρές. Αυτό είναι το θεώρημα του ισοσκελούς τριγώνου του Ευκλείδη. Μερικοί μαθηματικοί ορίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο να έχει ακριβώς δύο ίσες πλευρές, ενώ άλλοι ορίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο να έχει τουλάχιστον δύο ίσες πλευρές. Ο δεύτερος ορισμός κάνει όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα να είναι και ισοσκελή. Ένα ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο θα έχει γωνίες 45-90-45. Ισόπλευρο: όταν όλες οι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο με όλες τις γωνίες του ίσες με 60°. Σε διαγράμματα που παρουσιάζουν τρίγωνα (και άλλα γεωμετρικά σχήματα), τα σημάδια Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV, κλπ κατά μήκος των πλευρών χρησιμοποιούνται για να υποδηλώσουν πλευρές με ίσο μήκος. (Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει ίδιο σημάδι υποδιαίρεσης και στις 3 πλευρές, το ισοσκελές στις 2 πλευρές ενώ το σκαληνό έχει διαφορετικά σημάδια υποδιαίρεσης, δηλώνοντας έτσι ότι δεν έχει ίσες πλευρές.) Ομοίως τα τόξα στο εσωτερικό των κορυφών χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν ίσες γωνίες. Τα τρίγωνα μπορούν επίσης να ταξινομηθούν σύμφωνα με τις εσωτερικές γωνίες τους: Ορθογώνιο: το τρίγωνο το οποίο έχει μία από τις εσωτερικές γωνίες του ίση με 90° (ορθή γωνία). Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία είναι η υποτείνουσα πλευρά και είναι η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογώνιου τριγώνου. Οι άλλες δύο πλευρές λέγονται κάθετες πλευρές.Στα ορθογώνια τρίγωνα ισχύει το πυθαγόρειο θεώρημα: το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των δύο καθέτων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας: α2 + β2 = γ2 όπου α, β είναι τα μήκη των καθέτων και γ είναι το μήκος της υποτείνουσας. Ειδικές περιπτώσεις ορθογωνίων είναι: Τα ορθογώνια με μήκη πλευρών ακέραιους αριθμούς, π.χ. με πλευρές 3-4-5 όπου 32 + 42 = 52. Το 3, 4 και 5 αποτελούν μία πυθαγόρεια τριάδα. Τα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα με α = β θα έχουν γωνίες 45-45-90. Τα ορθογώνια με α = 2β θα έχουν γωνίες 30-60-90.Ένα μη-ορθογώνιο τρίγωνο καλείται πλάγιο. Αμβλυγώνιο: το τρίγωνο το οποίο έχει μια εσωτερική γωνία μεγαλύτερη από 90°. Αν γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά τότε α2 + β2 < γ2. Οξυγώνιο: το τρίγωνο που έχει όλες τις εσωτερικές γωνίες του μικρότερες από 90°. Αν γ είναι η μεγαλύτερη πλευρά τότε α2 + β2 > γ2.Ένα τρίγωνο που έχει δύο γωνίες με το ίδιο μέτρο έχει επίσης δύο πλευρές με το ίδιο μήκος, και επομένως είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο. Προκύπτει ότι σε ένα τρίγωνο, όπου όλες οι γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο, και οι τρεις πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, συνεπώς είναι ισόπλευρο. Τα τρίγωνα θεωρούνται σχήματα δύο διαστάσεων εκτός και αν το κείμενο ορίζει διαφορετικά (βλέπε μη-επίπεδα τρίγωνα, παρακάτω). Τα πρώτα στάδια παρουσιάστηκαν από τον Ευκλείδη στα βιβλία 1-4 των Στοιχείων του, γύρω στο 300 π.Χ. Εάν προσθέσουμε τις γωνίες ενός τριγώνου που ανήκει σε ένα επίπεδο (δηλ. ευκλείδειο χώρο) το άθροισμα τους είναι πάντα 180°. Αυτό επιτρέπει να βρούμε το μέτρο μίας γωνίας εάν μας δίνονται τα μέτρα των άλλων δύο. Μία εξωτερική γωνία αποτελείται από τη μία πλευρά της εσωτερικής γωνίας και την προέκταση της άλλης πλευράς, είναι επομένως παραπληρωματική προς την αντίστοιχη εσωτερική γωνία. Το μέτρο της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των δύο εσωτερικών γωνιών που δεν είναι παραπληρωματικές με αυτήν. Αυτό είναι το θεώρημα της εξωτερικής γωνίας. Το άθροισμα των τριών εξωτερικών γωνιών του κάθε τριγώνου είναι 360°. Δύο τρίγωνα λέγονται όμοια, αν κάθε γωνία ενός τριγώνου έχει το ίδιο μέτρο με την αντίστοιχη γωνία στο άλλο τρίγωνο. Οι αντίστοιχες πλευρές των όμοιων τριγώνων θα έχουν μήκη ανάλογα. Μερικά θεωρήματα για όμοια τρίγωνα: Εάν δύο γωνίες του ενός είναι ίσες με τις αντίστοιχες γωνίες στο άλλο, τα τρίγωνα είναι όμοια. Εάν δύο πλευρές του ενός είναι ανάλογες με τις αντίστοιχες στο άλλο και η περιεχόμενη αυτών των πλευρών γωνία είναι ίση με την αντίστοιχή της, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια. (Η περιεχόμενη γωνία για οποιαδήποτε δύο πλευρές ενός πολυγώνου είναι η εσωτερική γωνία μεταξύ των δύο πλευρών). Εάν τρεις πλευρές του ενός είναι ανάλογες με τις αντίστοιχες στο άλλο, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια. Χρησιμοποιώντας τα ορθογώνια τρίγωνα και την έννοια της ομοιότητας, μπορούν να οριστούν αρκετές έννοιες της τριγωνομετρίας, όπως το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη. Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν τα κύρια στοιχεία τους ίσα, δηλαδή όταν όλες οι πλευρές και οι γωνίες είναι ίσες μία προς μία. Τα παρακάτω θεωρήματα χρησιμοποιούνται για να αποδείξουν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα (και συχνά αποκαλούνται ως τα κριτήρια ισότητας τριγώνων): Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενή τους γωνία ίση με την αντίστοιχή της. Απόδειξη: Έστω A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} και Δ E Z {\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}} τρίγωνα στα οποία ισχύει A B = Δ E {\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}} , A Γ = Δ Z {\displaystyle {\rm {A\Gamma =\Delta Z}}} και A ^ = Δ ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}={\hat {\Delta }}}}} . Μετατοπίζουμε το τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} έτσι ώστε να ταυτιστούν οι ημιευθείες A B {\displaystyle {\rm {AB}}} και Δ E {\displaystyle {\rm {\Delta E}}} . Από την ισότητα των γωνιών θα έχουμε και ταύτιση των ημιευθειών A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} και Δ Z {\displaystyle {\rm {\Delta Z}}} . Από τις ισότητες των πλευρών τότε θα έχουμε ταύτιση του B {\displaystyle {\rm {B}}} με το E {\displaystyle {\rm {E}}} και του Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma }}} με το Z {\displaystyle {\rm {Z}}} . Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα. ◻ {\displaystyle \quad \square } Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν μία πλευρά και δύο προσκείμενες στην πλευρά γωνίες ίσες με τις αντίστοιχές τους. Απόδειξη: Έστω τρίγωνα A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} και Δ E Z {\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}} με B ^ = E ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {B}}={\hat {E}}}}} , Γ ^ = Z ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {\Gamma }}={\hat {Z}}}}} και B Γ = E Z {\displaystyle {\rm {B\Gamma =EZ}}} . Αρκεί να δείξουμε ότι A B = Δ E {\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}} , οπότε σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Θα το δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι A B > Δ E {\displaystyle {\rm {AB>\Delta E}}} . Θα υπάρχει στην A B {\displaystyle {\rm {AB}}} σημείο H {\displaystyle {\rm {H}}} τέτοιο ώστε H B = Δ E {\displaystyle {\rm {HB=\Delta E}}} . Θεωρούμε την H Γ {\displaystyle {\rm {H\Gamma }}} . Επειδή το H {\displaystyle {\rm {H}}} είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος A B {\displaystyle {\rm {AB}}} , θα είναι ∠ H Γ B < Γ {\displaystyle {\rm {\angle H\Gamma B<\Gamma }}} . Τα H B Γ {\displaystyle {\rm {HB\Gamma }}} και Δ E Z {\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}} θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, συνεπώς θα είναι και ∠ H Γ B = Z ^ {\displaystyle {\rm {\angle H\Gamma B={\hat {Z}}}}} , που είναι άτοπο επειδή Z ^ = Γ ^ > H Γ B {\displaystyle {\rm {{\hat {Z}}={\hat {\Gamma }}>H\Gamma B}}} . Ανάλογη απόδειξη ισχύει και στη περίπτωση που υποθέσουμε ότι A B < Δ E {\displaystyle {\rm {AB<\Delta E}}} . ◻ {\displaystyle \quad \square } Σημείωση: αν και οι δύο γωνίες δεν είναι προσκείμενες στην πλευρά, π.χ. A ^ = Δ ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}={\hat {\Delta }}}}} και B ^ = E ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {B}}={\hat {E}}}}} τότε Γ ^ = 180 o − A ^ − B ^ = 180 o − Δ ^ − E ^ = Z ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {\Gamma }}=180^{o}-{\hat {A}}-{\hat {B}}=180^{o}-{\hat {\Delta }}-{\hat {E}}={\hat {Z}}}}} και τα τρίγωνα είναι ίσα. Δηλ. μία πλευρά και δύο γωνίες είναι αρκετό. Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς: Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία. Απόδειξη: Έστω τρίγωνα A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} και Δ E Z {\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}} με A B = Δ E {\displaystyle {\rm {AB=\Delta E}}} , B Γ = E Z {\displaystyle {\rm {B\Gamma =EZ}}} και A Γ = Δ Z {\displaystyle {\rm {A\Gamma =\Delta Z}}} . Αρκεί να δείξουμε ότι A ^ = Δ ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}={\hat {\Delta }}}}} , οπότε με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα. Φέρνουμε την ημιευθεία E x {\displaystyle {\rm {Ex}}} έτσι ώστε ∠ Z E x = B ^ {\displaystyle {\rm {\angle ZEx={\hat {B}}}}} . Στην E x {\displaystyle {\rm {Ex}}} θεωρούμε το σημείο H {\displaystyle {\rm {H}}} για το οποίο H E = A B {\displaystyle {\rm {HE=AB}}} . Θεωρούμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα Z H {\displaystyle {\rm {ZH}}} και Δ H {\displaystyle {\rm {\Delta H}}} . Τα τρίγωνα A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} και H E Z {\displaystyle {\rm {HEZ}}} είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, έτσι θα έχουν H Z = A Γ {\displaystyle {\rm {HZ=A\Gamma }}} και H ^ = A ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {H}}={\hat {A}}}}} . Τα τρίγωνα E Δ H {\displaystyle {\rm {E\Delta H}}} και Z Δ H {\displaystyle {\rm {Z\Delta H}}} είναι ισοσκελή, συνεπώς έχουμε ∠ E Δ H = ∠ E H Δ {\displaystyle {\rm {\angle E\Delta H=\angle EH\Delta }}} και ∠ H Δ Z = ∠ Δ H Z {\displaystyle {\rm {\angle H\Delta Z=\angle \Delta HZ}}} . Συνεπώς έχουμε A ^ = H ^ = ∠ E H Z + ∠ Δ H Z = ∠ E Δ H + ∠ H Δ Z = Δ ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}={\hat {H}}=\angle EHZ+\angle \Delta HZ=\angle E\Delta H+\angle H\Delta Z={\hat {\Delta }}}}} . ◻ {\displaystyle \quad \square } Ειδικά για τα ορθογώνια τρίγωνα, τα κριτήρια απλοποιούνται σε δύο: πλευράς-οξείας γωνίας και πλευράς-πλευράς. Ένα βασικό θεώρημα είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, το όποιο δηλώνει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών. Εάν η υποτείνουσα έχει μήκος γ, και οι άλλες δύο πλευρές έχουν μήκη α και β, τότε το θεώρημα δίνει ότι: α 2 + β 2 = γ 2 {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}=\gamma ^{2}} .Ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή αν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση, τότε το τρίγωνο έχει μια ορθή γωνία απέναντι από την πλευρά γ. Ορισμένα άλλα στοιχεία για τα ορθογώνια τρίγωνα: Οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. A ^ + B ^ + 90 ∘ = 180 ∘ ⇒ A ^ + B ^ = 90 ∘ ⇒ A ^ = 90 ∘ − B ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}+{\hat {B}}+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow {\hat {A}}+{\hat {B}}=90^{\circ }\Rightarrow {\hat {A}}=90^{\circ }-{\hat {B}}}}} .Αν οι κάθετες ενός ορθογωνίου τριγώνου έχουν το ίδιο μήκος, τότε οι γωνίες απέναντι από αυτές θα έχουν το ίδιο μέτρο. Δεδομένου ότι αυτές οι γωνίες είναι συμπληρωματικές, προκύπτει ότι κάθε μια από αυτές θα ισούται με 45°. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι το μήκος της υποτείνουσας είναι το μήκος της καθέτου επί 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} . Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες A ^ = 30 o {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}=30^{o}}}} και B ^ = 60 o {\displaystyle {\rm {{\hat {B}}=60^{o}}}} , η υποτείνουσα θα έχει διπλάσιο μήκος από το μήκος της μικρότερης καθέτου α {\displaystyle \alpha } , και η μεγαλύτερη κάθετος β {\displaystyle \beta } είναι ίση με το μήκος τις μικρότερης επί 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} : γ = 2 α {\displaystyle \gamma =2\alpha } , β = α ⋅ 3 {\displaystyle \beta =\alpha \cdot {\sqrt {3}}} .Για όλα τα τρίγωνα, οι γωνίες και οι πλευρές σχετίζονται με τους κανόνες των ημιτόνων και των συνημίτονων. Σε οποιοδήποτε τρίγωνο τριών μη-συνευθειακών σημείων, το άθροισμα των μηκών δύο οποιωνδήποτε πλευρών του είναι πάντα μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης πλευράς. Ισχύει και το αντίστροφο. Η αρχή αυτή είναι γνωστή ως τριγωνική ανισότητα. Η ισότητα ισχύει όταν τα σημεία είναι συνευθειακά (εκφυλισμένο τρίγωνο). Αν δύο ευθύγραμμα τμήματα έχουν άθροισμα μικρότερο από τρίτο, δεν μπορεί να κατασκευαστεί τρίγωνο με αυτά. Τρεις θετικές γωνίες A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} , B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} και Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} , όπου η καθεμία είναι μικρότερη από 180°, είναι οι γωνίες ενός τριγώνου, αν και μόνον αν ισχύει μία από τις ακόλουθες συνθήκες: tan ⁡ A 2 tan ⁡ B 2 + tan ⁡ B 2 tan ⁡ Γ 2 + tan ⁡ Γ 2 tan ⁡ A 2 = 1 {\displaystyle \tan {\frac {\rm {A}}{2}}\tan {\frac {\rm {B}}{2}}+\tan {\frac {\rm {B}}{2}}\tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}+\tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}\tan {\frac {\rm {A}}{2}}=1} , sin 2 ⁡ A 2 + sin 2 ⁡ B 2 + sin 2 ⁡ Γ 2 + 2 sin ⁡ A 2 sin ⁡ B 2 sin ⁡ Γ 2 = 1 {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\rm {A}}{2}}+\sin ^{2}{\frac {\rm {B}}{2}}+\sin ^{2}{\frac {\rm {\Gamma }}{2}}+2\sin {\frac {\rm {A}}{2}}\sin {\frac {\rm {B}}{2}}\sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}=1} . Υπάρχουν εκατοντάδες διαφορετικές κατασκευές που βρίσκουν ένα ειδικό σημείο (και συχνά εσωτερικό του τριγώνου), που ικανοποιεί μία μοναδική ιδιότητα. Συχνά αυτά τα σημεία κατασκευάζονται βρίσκοντας τρεις ευθείες που σχετίζονται με συμμετρικό τρόπο με τις τρεις πλευρές ή κορυφές και μετά αποδεικνύουμε ότι οι τρεις ευθείες συναντιούνται σε ένα μοναδικό σημείο: ένα σημαντικό εργαλείο για την απόδειξη της ύπαρξης αυτών είναι το θεώρημα του Τσέβα, το οποίο δίνει ένα κριτήριο για το πότε τρεις τέτοιες ευθείες συντρέχουν. Όμοια, ευθείες που συνδέονται με ένα τρίγωνο κατασκευάζονται συχνά, βρίσκοντας ότι τρία συμμετρικά κατασκευασμένα σημεία είναι συγγραμμικά: εδώ το θεώρημα του Μενελάου μας δίνει ένα χρήσιμο γενικό κριτήριο. Εδώ θα δείξουμε μερικές από τις πιο γνωστές τέτοιες κατασκευές. Μία διχοτόμος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία που διέρχεται από μία κορυφή και χωρίζει την αντίστοιχη γωνία σε δύο ίσα μέρη. Οι τρεις διχοτόμοι τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο I {\displaystyle {\rm {I}}} (ή X 1 {\displaystyle {\rm {X_{1}}}} ), στο έγκεντρο, δηλαδή το κέντρο του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου. Ο εγγεγραμμένος κύκλος είναι ο κύκλος που βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές. Υπάρχουν και τρεις άλλοι σημαντικοί κύκλοι: ο παρεγγεγραμμένος βρίσκεται εξωτερικά του τριγώνου και εφάπτεται σε μια πλευρά, καθώς και στις προεκτάσεις των άλλων δύο. Τα κέντρα του εγγεγραμμένου και των παραγεγραμμένων κύκλων σχηματίζουν ένα ορθοκεντρικό σύστημα. Μία διάμεσος ενός τριγώνου είναι μια ευθεία που διέρχεται από μια κορυφή και το μέσο (το σημείο που χωρίζει σε δύο ίσα τμήματα) της απέναντι πλευράς, και διαιρεί το τρίγωνο σε δύο περιοχές ίσου εμβαδού. Οι τρεις διάμεσοι τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο G {\displaystyle {\rm {G}}} (ή X 2 {\displaystyle X_{2}} ), το βαρύκεντρο του τριγώνου. Το βαρύκεντρο ενός άκαμπτου τριγωνικού αντικειμένου είναι επίσης το κέντρο βάρους (μάζας) του: το αντικείμενο δηλ. μπορεί να ισορροπήσει σε αυτό, μέσα σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας. Το βαρύκεντρο χωρίζει κάθε διάμεσο σε δύο τμήματα με αναλογία 2:1. Συγκεκριμένα η απόσταση του βαρύκεντρου από την κορυφή είναι διπλάσια από την απόσταση του βαρύκεντρου από το μέσο της απέναντι πλευράς. Η μεσοκάθετη της πλευράς ενός τριγώνου είναι η ευθεία που διέρχεται από το μέσο της πλευράς και είναι κάθετη σε αυτή, δηλαδή σχηματίζει ορθή γωνία με αυτή. Οι τρεις μεσοκάθετοι συναντιούνται σε ένα μοναδικό σημείο O {\displaystyle {\rm {O}}} (ή X 3 {\displaystyle X_{3}} ), το οποίο είναι το περίκεντρο του τριγώνου. Αυτό το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, του κύκλου δηλαδή που διέρχεται από τις τρεις κορυφές. Η διάμετρος αυτού του κύκλου υπολογίζεται με την βοήθεια του νόμου των ημιτόνων. Αν το περίκεντρο βρίσκεται επάνω σε μία πλευρά τότε αυτή θα είναι διάμετρος και από σχετικό θεώρημα προκύπτει ότι η απέναντι γωνία θα είναι ορθή. Εάν το περίκεντρο βρίσκεται μέσα στον τρίγωνο τότε αυτό είναι οξυγώνιο, εάν όμως βρίσκεται έξω τότε είναι αμβλυγώνιο. Το ύψος ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από μία κορυφή και είναι κάθετο στην απέναντι πλευρά (δηλαδή σχηματίζει μια ορθή γωνία). Η απέναντι πλευρά καλείται βάση ως προς το ύψος αυτό και το σημείο όπου το ύψος τέμνει τη βάση ονομάζεται ίχνος του ύψους αυτού. Το μήκος του ύψους είναι η απόσταση της κορυφής από τη βάση. Τα τρία ύψη τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο H {\displaystyle {\rm {H}}} (ή X 4 {\displaystyle {\rm {X_{4}}}} ), που ονομάζεται ορθόκεντρο του τριγώνου. Το ορθόκεντρο είναι εσωτερικό του τριγώνου αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Τα μέσα των τριών πλευρών και τα ίχνη των τριών υψών βρίσκονται σε έναν μοναδικό κύκλο, τον κύκλο των εννέα σημείων του τριγώνου. Τα υπόλοιπα τρία σημεία είναι τα μέσα των τμημάτων των υψών μεταξύ των κορυφών και του ορθοκέντρου. Ο κύκλος των εννέα σημείων εφάπτεται με τον εγγεγραμμένο κύκλο (στο σημείο Feuerbach) και με τους τρεις παρεγγεγραμένους. Η ακτίνα του κύκλου των εννέα σημείων είναι το μισό της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου. Το κέντρο του συμβολίζεται με N {\displaystyle {\rm {N}}} (ή X 5 {\displaystyle {\rm {X_{5}}}} ). Το ορθόκεντρο H {\displaystyle {\rm {H}}} και το περίκεντρο O {\displaystyle {\rm {O}}} σχηματίζουν μία ευθεία γνωστή ως η ευθεία του Όιλερ (κόκκινη γραμμή). Το κέντρο του κύκλου των εννέα σημείων N {\displaystyle {\rm {N}}} βρίσκεται επάνω στην ευθεία Όιλερ, στο μέσο μεταξύ του ορθοκέντρου και του περικέντρου, δηλ. N H = N O {\displaystyle {\rm {NH=NO}}} . Το βαρύκεντρο βρίσκεται επίσης επάνω στην ευθεία Όιλερ και η απόσταση του βαρυκέντρου από το ορθόκεντρο είναι διπλάσια της απόστασης του βαρυκέντρου από το περίκεντρο, δηλ. G H = 2 G O {\displaystyle {\rm {GH=2GO}}} . Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου I {\displaystyle {\rm {I}}} γενικά δεν βρίσκεται στην ευθεία του Όιλερ. Αν κάποιος πάρει το συμμετρικό της διαμέσου ως προς τη διχοτόμο που περνά από την ίδια κορυφή, τότε λαμβάνεται η συμμετρoδιάμεσος. Οι τρεις συμμετρoδιάμεσοι τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο K {\displaystyle {\rm {K}}} (ή X 6 {\displaystyle {\rm {X_{6}}}} ). Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι για τον υπολογισμό του μήκους μιας πλευράς ή το μέγεθος μίας γωνίας. Ορισμένες μέθοδοι είναι κατάλληλες για τον υπολογισμό των τιμών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ενώ σε άλλες καταστάσεις απαιτούνται πιο πολύπλοκες μέθοδοι. Στα ορθογώνια τρίγωνα, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρούμε τις άγνωστες γωνίες και τα μήκη των αγνώστων πλευρών. Οι πλευρές του τριγώνου είναι γνωστές ως: Η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία, ή ορίζεται ως η μεγαλύτερη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου. Η απέναντι πλευρά είναι η πλευρά απέναντι από την γωνία που μας ενδιαφέρει. η προσκείμενη πλευρά είναι η πλευρά που έρχεται σε επαφή με τη γωνία που μας ενδιαφέρει (και την ορθή γωνία). Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη Το ημίτονο μίας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους της απέναντι πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. Στην περίπτωσή μας sin ⁡ ϕ = Απέναντι πλευρά υποτείνουσα = α γ {\displaystyle \sin \phi ={\frac {\text{Απέναντι πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}={\frac {\alpha }{\gamma }}} .Σημειώστε ότι ή αναλογία αυτή δεν εξαρτάται από το συγκεκριμένο ορθογώνιο τρίγωνο που έχει επιλεγεί. Κάθε άλλο ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία ϕ {\displaystyle \phi } είναι όμοιο με το συγκεκριμένο. Το συνημίτονο μίας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους της προσκείμενης πλευράς προς το μήκος της υποτείνουσας. Στην περίπτωση μας cos ⁡ ϕ = προσκείμενη πλευρά υποτείνουσα = β γ {\displaystyle \cos \phi ={\frac {\text{προσκείμενη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}={\frac {\beta }{\gamma }}} .Η εφαπτομένη μίας γωνίας είναι ο λόγος του μήκους της απέναντι πλευρά προς το μήκος της προσκείμενης πλευράς. tan ⁡ ϕ = απέναντι πλευρά προσκείμενη πλευρά = α β = sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ {\displaystyle \tan \phi ={\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{προσκείμενη πλευρά}}}={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }}} . Αντίστροφες συναρτήσεις Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των εσωτερικών γωνιών ενός ορθογωνίου τριγώνου γνωρίζοντας το μήκος δύο οποιονδήποτε πλευρών. Το τόξο ημιτόνου ( arcsin {\displaystyle \arcsin } ) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί μια γωνία από το μήκος της απέναντι πλευράς και το μήκος της υποτείνουσας, ϕ = arcsin ⁡ ( απέναντι πλευρά υποτείνουσα ) {\displaystyle \phi =\arcsin \left({\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}\right)} .Το τόξο συνημιτόνου ( arccos {\displaystyle \arccos } ) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί μια γωνία από το μήκος της προσκείμενης και το μήκος της υποτείνουσας, ϕ = arccos ⁡ ( προσκείμενη πλευρά υποτείνουσα ) {\displaystyle \phi =\arccos \left({\frac {\text{προσκείμενη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}\right)} .Το τόξο εφαπτομένης ( arctan {\displaystyle \arctan } ) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί μια γωνία από το μήκος της απέναντι και το μήκος της προσκείμενης, ϕ = arctan ⁡ ( απέναντι πλευρά προσκείμενη πλευρά ) {\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{προσκείμενη πλευρά}}}\right)} .Σε εισαγωγικά μαθήματα γεωμετρίας και τριγωνομετρίας, χρησιμοποιείται συχνά ο συμβολισμός sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} , cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} κ.λπ. στην θέση των arcsin {\displaystyle \arcsin } , arccos {\displaystyle \arccos } , κ.λπ. Ωστόσο ο συμβολισμός με arcsin {\displaystyle \arcsin } , arccos {\displaystyle \arccos } , κ.λπ. είναι συνηθισμένος στο χώρο των μαθηματικών, όπου οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συχνά είναι υψωμένες σε δυνάμεις, έτσι αποφεύγετε η σύγχυση μεταξύ του αντίστροφου αριθμού και της αντίστροφης συνάρτησης. Ο νόμος των ημιτόνων αναφέρει ότι ο λόγος του μήκους της μίας πλευράς προς το ημίτονο της απέναντης γωνίας του είναι σταθερός, δηλαδή α sin ⁡ A = β sin ⁡ B = γ sin ⁡ Γ . {\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin {\rm {A}}}}={\frac {\beta }{\sin {\rm {B}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\rm {\Gamma }}}}.} Ο λόγος αυτός είναι ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Μία άλλη ερμηνεία του θεωρήματος είναι ότι κάθε τρίγωνο με γωνίες A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} , B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} και Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} είναι όμοιο με ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών ίσα με sin ⁡ A {\displaystyle \sin {\rm {A}}} , sin ⁡ B {\displaystyle \sin {\rm {B}}} και sin ⁡ Γ {\displaystyle \sin {\rm {\Gamma }}} . Αυτό το τρίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής: σχεδιάζουμε έναν κύκλο με διάμετρο 1 και εγγράφουμε σε αυτόν μία γωνία A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} . Οι πλευρές τις τέμνουν τον κύκλο στα B {\displaystyle {\rm {B}}} , Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma }}} . Κατασκευάζουμε τις γωνίες B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} , Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} . Στο τρίγωνο που προκύπτει, η πλευρά απέναντι από την κορυφή A {\displaystyle {\rm {A}}} έχει μήκος sin ⁡ A {\displaystyle \sin {\rm {A}}} , απέναντι από τη B {\displaystyle {\rm {B}}} έχει μήκος sin ⁡ B {\displaystyle {\rm {\sin {\rm {B}}}}} και απέναντι από τη Γ {\displaystyle {\rm {\Gamma }}} έχει μήκος sin ⁡ Γ {\displaystyle \sin {\rm {\Gamma }}} . Ο νόμος των συνημιτόνων συνδέει το μήκος μίας πλευράς του τριγώνου με το μήκος των δύο άλλων πλευρών και της περιεχόμενης γωνίας.Σύμφωνα με τον νόμο, αν σε ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } που βρίσκονται απέναντι από τις γωνίες A ^ , B ^ , Γ ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {\Gamma }}}}} αντίστοιχα, δίνονται οι δύο πλευρές α {\displaystyle \alpha } και β {\displaystyle \beta } και η περιεχόμενη γωνία Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} , τότε για τον υπολογισμό της τρίτης πλευράς γ {\displaystyle \gamma } , μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο παρακάτω τύπος: γ 2 = α 2 + β 2 − 2 α β cos ⁡ Γ {\displaystyle \gamma ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \cos {\rm {\Gamma }}} και όμοια β 2 = γ 2 + α 2 − 2 γ α cos ⁡ B {\displaystyle \beta ^{2}=\gamma ^{2}+\alpha ^{2}-2\gamma \alpha \cos {\rm {B}}} , α 2 = β 2 + γ 2 − 2 β γ cos ⁡ A {\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}-2\beta \gamma \cos {\rm {A}}} .Εάν τα μήκη και των τριών πλευρών του τριγώνου είναι γνωστά τότε μπορεί να υπολογιστεί η γωνία A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} και όμοια οι B ^ , Γ ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {B}},{\hat {\Gamma }}}}} ως εξής: A ^ = arccos ⁡ ( β 2 + γ 2 − α 2 2 β γ ) {\displaystyle {\hat {\rm {A}}}=\arccos \left({\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2\beta \gamma }}\right)} , B ^ = arccos ⁡ ( α 2 + γ 2 − β 2 2 α γ ) {\displaystyle {\hat {\rm {B}}}=\arccos \left({\frac {\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}}{2\alpha \gamma }}\right)} , Γ ^ = arccos ⁡ ( α 2 + β 2 − γ 2 2 α β ) {\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}=\arccos \left({\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha \beta }}\right)} .Ο νόμος των εφαπτομένων, που είναι λιγότερο γνωστός από τους άλλους δύο αναφέρει ότι: α − β α + β = tan ⁡ ( 1 2 ( A − B ) ) tan ⁡ ( 1 2 ( A + B ) ) . {\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\rm {A-B)}}\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\rm {A+B)}}\right)}}.} Αν και δεν χρησιμοποιείται πολύ συχνά, μπορούμε, αν γνωρίζουμε δύο πλευρές και μία απέναντι γωνία, να βρούμε την άλλη απέναντι γωνία. Ή αν γνωρίζουμε δύο γωνίες και μία πλευρά, μπορούμε να βρούμε ακόμη μία πλευρά. Η επίλυση τριγώνου είναι ένας ιστορικός όρος για την επίλυση του κύριου τριγωνομετρικού προβλήματος: όταν ξέρουμε τρία από τα χαρακτηριστικά στοιχεία του τριγώνου, δηλ. από τα α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } , A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} , B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} , Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} , να βρεθούν τα υπόλοιπα. Το τρίγωνο μπορεί να βρίσκεται σε ένα επίπεδο ή σε μία σφαίρα. Αυτό το πρόβλημα παρουσιάζεται συχνά σε διάφορες τριγωνομετρικές εφαρμογές, όπως η γεωδαισία, η αστρονομία, η κατασκευή, η πλοήγηση, κλπ. Ο υπολογισμός του εμβαδού E {\displaystyle {\rm {E}}} ενός τριγώνου είναι ένα στοιχειώδες πρόβλημα για το οποίο υπάρχουν διάφοροι τύποι. Ο πιο γνωστός και απλός τύπος είναι: E = 1 2 ⋅ b ⋅ u {\displaystyle {\rm {E}}={\frac {1}{2}}\cdot b\cdot u} ,όπου το b {\displaystyle b} είναι το μήκος μιας πλευράς (βάσης) του τριγώνου, και u {\displaystyle u} είναι το ύψος προς αυτή την πλευρά. Ο όρος βάση σημαίνει οποιαδήποτε πλευρά και το ύψος υποδηλώνει το μήκος μίας κάθετου από την κορυφή απέναντι από την πλευρά μέχρι την ίδια την πλευρά. Το 499 μ.Χ ο Αριαμπάτα, ένας μεγάλος μαθηματικός και αστρονόμος από την κλασσική εποχή των μαθηματικών και της αστρονομίας στην Ινδία, χρησιμοποίησε αυτή την μέθοδο στο έργο του Αραμπατίγια (ενότητα 2.6). Ο τύπος αυτός είναι χρήσιμος μόνο εάν μπορεί να υπολογιστεί εύκολα το ύψος. Αυτό στην πράξη είναι δύσκολο, π.χ. ο ιδιοκτήτης ενός τριγωνικού κτήματος μπορεί να μετρήσει την πλευρά, όχι όμως το ύψος. Έτσι βρέθηκαν διάφορες μέθοδοι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν, ανάλογα με το τί είναι γνωστό σχετικά με το τρίγωνο. Παρακάτω δίνονται κάποιοι από τους πιο γνωστούς τύπους για το εμβαδόν. Το ύψος ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας τριγωνομετρία. Με α {\displaystyle \alpha } συμβολίζουμε την πλευρά απέναντι από τη γωνία A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} , με β {\displaystyle \beta } αυτήν απέναντι της B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} και με γ {\displaystyle \gamma } αυτήν απέναντι της Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} . Από το σχήμα δεξιά, το ύψος προς την πλευρά α {\displaystyle \alpha } σχηματίζει δύο ορθογώνια τρίγωνα. Έτσι το u A {\displaystyle u_{\rm {A}}} μπορεί να υπολογιστεί από τα α , Γ ^ {\displaystyle \alpha ,{\hat {\rm {\Gamma }}}} (ή τα Γ ^ , γ {\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}},\gamma } ). Π.χ. στο αριστερό ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε ότι u A = γ ⋅ sin ⁡ Γ {\displaystyle u_{\rm {A}}=\gamma \cdot \sin {\rm {\Gamma }}} . Αντικαθιστώντας αυτό στον τύπο E = 1 2 ⋅ b ⋅ u {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot b\cdot u} , το εμβαδό του τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από τις πλευρές α , γ {\displaystyle \alpha ,\gamma } και την περιεχόμενη γωνία A ^ {\displaystyle {\hat {\rm {A}}}} . Πιο γενικά, E = 1 2 ⋅ α β ⋅ sin ⁡ Γ = 1 2 ⋅ β γ ⋅ sin ⁡ A = 1 2 ⋅ γ α ⋅ sin ⁡ B {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}={\frac {1}{2}}\cdot \beta \gamma \cdot \sin {\rm {A}}={\frac {1}{2}}\cdot \gamma \alpha \cdot \sin {\rm {B}}} .Καθώς sin ⁡ A = sin ⁡ ( π − A ) = sin ⁡ ( B + Γ ) {\displaystyle \sin {\rm {A}}=\sin(\pi -{\rm {A}})=\sin({\rm {B+\Gamma }})} (και ομοίως για τις άλλες δύο γωνίες) μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν E {\displaystyle {\rm {E}}} από δύο πλευρές α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } και τις απέναντί τους γωνίες A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} και B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} : E = 1 2 ⋅ α β ⋅ sin ⁡ ( A + B ) = 1 2 ⋅ β γ ⋅ sin ⁡ ( B + Γ ) = 1 2 ⋅ γ α ⋅ sin ⁡ ( Γ + A ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \beta \cdot \sin({\rm {A+B}})={\frac {1}{2}}\cdot \beta \gamma \cdot \sin({\rm {B+\Gamma }})={\frac {1}{2}}\cdot \gamma \alpha \cdot \sin({\rm {\Gamma +A}})} .Αν γνωρίζω την πλευρά β {\displaystyle \beta } , την απέναντι γωνία B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} και την προσκείμενη γωνία A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} (ή Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} ): E = β 2 ( sin ⁡ A ) ( sin ⁡ ( A + B ) ) 2 sin ⁡ B {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\beta ^{2}(\sin {\rm {A}})(\sin({\rm {A+B}}))}{2\sin {\rm {B}}}}} ,και αναλόγως εάν είναι γνωστά η πλευρά α {\displaystyle \alpha } ή η β {\displaystyle \beta } . Αν γνωρίζω την πλευρά α {\displaystyle \alpha } και τις προσκείμενες γωνίες B ^ , Γ ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {B}},{\hat {\Gamma }}}}} : E = α 2 2 ( cot ⁡ B + cot ⁡ Γ ) = α 2 ( sin ⁡ B ) ( sin ⁡ Γ ) 2 sin ⁡ ( B + Γ ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\alpha ^{2}}{2(\cot {\rm {B}}+\cot {\rm {\Gamma }})}}={\frac {\alpha ^{2}(\sin {\rm {B}})(\sin {\rm {\Gamma }})}{2\sin({\rm {B+\Gamma }})}}} ,και όμοια αν η γνωστή πλευρά είναι η β {\displaystyle \beta } ή η γ {\displaystyle \gamma } . Το σχήμα του τριγώνου καθορίζεται από τα μήκη των πλευρών και μόνο. Το εμβαδό επίσης μπορεί να υπολογιστεί από τα μήκη των πλευρών χρησιμοποιώντας τον τύπος του Ήρωνα: E = τ ⋅ ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}} ,όπου τ = α + β + γ 2 {\displaystyle \tau ={\tfrac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}} είναι η ημιπερίμετροςτου τριγώνου. Τρεις άλλοι ισοδύναμοι τρόποι γραφής του τύπου του Ήρωνα είναι: E = 1 4 ( α 2 + β 2 + γ 2 ) 2 − 2 ( α 4 + β 4 + γ 4 ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})^{2}-2(\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4})}}} , E = 1 4 2 ( α 2 β 2 + α 2 γ 2 + β 2 γ 2 ) − ( α 4 + β 4 + γ 4 ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(\alpha ^{2}\beta ^{2}+\alpha ^{2}\gamma ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2})-(\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4})}}} , E = 1 4 ( α + β − γ ) ⋅ ( α − β + γ ) ⋅ ( − α + β + γ ) ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(\alpha +\beta -\gamma )\cdot (\alpha -\beta +\gamma )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma )\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}}} . Η περιοχή ενός παραλληλόγραμμου ενσωματωμένου σε έναν τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας διανύσματα. Έστω διανύσματα AB και AC, από το σημείο Α στο Β και από το Α στο C αντίστοιχα. Τότε περιοχή του παραλληλογράμμου ABDC είναι: | A B × A C | , {\displaystyle |\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |,} το οποίο είναι το μέγεθος του πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων AB και AC. Το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι το μισό αυτού, 1 2 | A B × A C | . {\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |.} Η περιοχή του τριγώνου ABC μπορεί επίσης να εκφραστεί όσον αφορά ένα σημείο ως εξής: 1 2 ( A B ⋅ A B ) ( A C ⋅ A C ) − ( A B ⋅ A C ) 2 = 1 2 | A B | 2 | A C | 2 − ( A B ⋅ A C ) 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}.\,} Σε δύο-διαστάσεων Ευκλείδειο χώρο, αν εκφράσουμε το διάνυσμα AB ως ελεύθερο διάνυσμα σε έναν καρτεσιανό χώρο ίσο με (x1,y1) και το AC ίσο με (x2,y2), η περιοχή του τριγώνου μπορεί να γραφεί ως: 1 2 | x 1 y 2 − x 2 y 1 | . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.\,} Εάν η κορυφή Α βρίσκεται στο σημείο (0, 0) ενός καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και δίνονται οι συντεταγμένες των άλλων δύο κορυφών B = ( x B , y B ) {\displaystyle {\rm {B}}=(x_{\rm {B}},y_{\rm {B}})} και Γ = ( x Γ , y Γ ) {\displaystyle {\rm {\Gamma }}=(x_{\rm {\Gamma }},y_{\rm {\Gamma }})} , τότε η περιοχή είναι το 1⁄2 της απόλυτης τιμής της ορίζουσας των συντεταγμένων: E = 1 2 | det ( x B x Γ y B y Γ ) | = 1 2 | x B y Γ − x Γ y B | . {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{\rm {B}}&x_{\rm {\Gamma }}\\y_{\rm {B}}&y_{\rm {\Gamma }}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{\rm {B}}y_{\rm {\Gamma }}-x_{\rm {\Gamma }}y_{\rm {B}}|.} Για τρεις κορυφές, η εξίσωση είναι: E = 1 2 | det ( x A x B x Γ y A y B y Γ 1 1 1 ) | = 1 2 | x A y B − x A y Γ + x B y Γ − x B y A + x Γ y A − x Γ y B | , {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{\rm {A}}&x_{\rm {B}}&x_{\rm {\Gamma }}\\y_{\rm {A}}&y_{\rm {B}}&y_{\rm {\Gamma }}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{\rm {A}}y_{\rm {B}}-x_{\rm {A}}y_{\rm {\Gamma }}+x_{\rm {B}}y_{\rm {\Gamma }}-x_{\rm {B}}y_{\rm {A}}+x_{\rm {\Gamma }}y_{\rm {A}}-x_{\rm {\Gamma }}y_{\rm {B}}{\big |},} όπου μπορεί να γραφεί σαν: E = 1 2 | ( x A − x Γ ) ( y B − y A ) − ( x A − x B ) ( y Γ − y A ) | . {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{\rm {A}}-x_{\rm {\Gamma }})(y_{\rm {B}}-y_{\rm {A}})-(x_{\rm {A}}-x_{\rm {B}})(y_{\rm {\Gamma }}-y_{\rm {A}}){\big |}.} Εάν οι κορυφές λαμβάνονται κυκλικά κατά τη θετική (αντίθετη ων δεικτών του ωρολογίου) φορά, οι παραπάνω ορίζουσες είναι θετικές και η απόλυτες τιμές μπορεί να παραληφθεί.Εάν οι κορυφές λαμβάνονται κυκλικά κατά τη θετική (αντίθετη ων δεικτών του ωρολογίου) φορά στο μιγαδικό επίπεδο με A = x A + y A i {\displaystyle {\rm {A}}=x_{\rm {A}}+y_{\rm {A}}i} , B = x B + y B i {\displaystyle {\rm {B}}=x_{\rm {B}}+y_{\rm {B}}i} , Γ = x Γ + y Γ i {\displaystyle {\rm {\Gamma }}=x_{\rm {\Gamma }}+y_{\rm {\Gamma }}i} και αν A ¯ {\displaystyle {\bar {\rm {A}}}} , B ¯ {\displaystyle {\bar {\rm {B}}}} , Γ ¯ {\displaystyle {\bar {\rm {\Gamma }}}} , δηλώνουν τα συζυγή τους, έχουμε τον τύπο: E = i 4 | A A ¯ 1 B B ¯ 1 Γ Γ ¯ 1 | {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}{\rm {A}}&{\bar {\rm {A}}}&1\\{\rm {B}}&{\bar {\rm {B}}}&1\\{\rm {\Gamma }}&{\bar {\rm {\Gamma }}}&1\end{vmatrix}}} ,όπου είναι ισοδύναμο με τον προηγούμενο τύπο. Στις τρεις διαστάσεις, το εμβαδό ενός τριγώνου A = ( x A , y A , z A ) {\displaystyle {\rm {A}}=(x_{\rm {A}},y_{\rm {A}},z_{\rm {A}})} , B = ( x B , y B , z B ) {\displaystyle {\rm {B}}=(x_{\rm {B}},y_{\rm {B}},z_{\rm {B}})} και Γ = ( x Γ , y Γ , z Γ ) {\displaystyle {\rm {\Gamma }}=(x_{\rm {\Gamma }},y_{\rm {\Gamma }},z_{\rm {\Gamma }})} είναι το πυθαγόρειο άθροισμα των εμβαδών των προβολών του τριγώνου στα τρία βασικά επίπεδα (δηλ x = 0, y = 0 και z = 0)): E = 1 2 | det ( x A x B x Γ y A y B y Γ 1 1 1 ) | 2 + | det ( y A y B y Γ z A z B z Γ 1 1 1 ) | 2 + | det ( z A z B z Γ x A x B x Γ 1 1 1 ) | 2 . {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\det {\begin{pmatrix}x_{\rm {A}}&x_{\rm {B}}&x_{\rm {\Gamma }}\\y_{\rm {A}}&y_{\rm {B}}&y_{\rm {\Gamma }}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|^{2}+\left|\det {\begin{pmatrix}y_{\rm {A}}&y_{\rm {B}}&y_{\rm {\Gamma }}\\z_{\rm {A}}&z_{\rm {B}}&z_{\rm {\Gamma }}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|^{2}+\left|\det {\begin{pmatrix}z_{\rm {A}}&z_{\rm {B}}&z_{\rm {\Gamma }}\\x_{\rm {A}}&x_{\rm {B}}&x_{\rm {\Gamma }}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|^{2}}}.} Το εμβαδό περιοχής που περικλείεται από μία κλειστή καμπύλη, όπως το τρίγωνο, δίνεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα γύρω από την καμπύλη, δηλ. της αλγεβρικής (με πρόσημο) απόστασης ενός σημείου, που κινείται επάνω στην καμπύλη, από μια αυθαίρετα προσανατολισμένη ευθεία L. Αν το σημείο κινείται κυκλικά κατά τη θετική (αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου) φορά τότε τα σημεία που είναι δεξιά της L έχουν θετική απόσταση (ενώ αυτά που είναι αριστερά της έχουν αρνητική). Το βάρος για το ολοκλήρωμα λαμβάνεται να είναι η συνιστώσα του μήκους τόξου προς την L και όχι το ίδιο το μήκος τόξου. Αυτή η μέθοδος είναι κατάλληλη για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός πολύγωνου. Ας λάβουμε για L να είναι ο x-άξονας. Το βάρος θα είναι η προβολή της πλευράς στον χ-άξονα. Το γραμμικό ολοκλήρωμα μεταξύ των διαδοχικών κορυφών (xi,yi) και (xi+1,yi+1) δίνεται από τη βάση επί το μέσο ύψος, δηλαδή (xi+1 − xi)(yi + yi+1)/2. Το πρόσημο του εμβαδού είναι θετικό αν τα σημεία έχουν δεξιά τον χ-άξονα και αρνητικό αν τον έχουν αριστερά. Το εμβαδό του τριγώνου προκύπτει ως περίπτωση ενός πολυγώνου με τρεις πλευρές. Ενώ η μέθοδος του επικαμπύλιου ολοκληρώματος έχει κοινό με άλλες μεθόδους συντεταγμένων την αυθαίρετη επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, ωστόσο δεν κάνει αυθαίρετη επιλογή της κορυφής του τριγώνου ως αρχής ή της πλευράς ως βάση. Επιπλέον, η επιλογή του συστήματος συντεταγμένων που ορίζεται από την L επιτρέπει μόνο δύο βαθμούς ελευθερίας και όχι τρεις που είναι συνήθως, αφού το βάρος είναι τοπική απόσταση (π.χ. xi+1 − xi στην ανωτέρω) όπου η μέθοδος δεν απαιτεί την επιλογή ενός άξονα κάθετο προς L. Όταν εργαζόμαστε σε πολικές συντεταγμένες δεν είναι απαραίτητο να μετατραπούν σε καρτεσιανές συντεταγμένες για να χρησιμοποιήσουμε επικαμπύλια ολοκληρώματα, δεδομένου ότι το γρμμικό ολοκλήρωμα μεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών (ri,θi) και (ri+1,θi+1) ενός πολύγωνου δίνεται απευθείας από riri+1sin(θi+1 − θi)/2 . Αυτό ισχύει για όλες τις τιμές του θ, με κάποια μείωση στην αριθμητική ακρίβεια όταν το | θ | είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από το π. Το αρνητικό εμβαδό δείχνει ότι η κυκλική κατεύθυνση ήταναρνητική, η οποία πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά την ανάμιξη πολικών και καρτεσιανών συντεταγμένων. Ακριβώς όπως η επιλογή του Υ-άξονα (x = 0), είναι αδιάφορο για το γραμμικό ολοκλήρωμα σε καρτεσιανές συντεταγμένες, έτσι και η επιλογή της μηδενικής επικεφαλίδας (θ = 0) είναι αδιάφορη εδώ. Τρεις τύποι έχουν την ίδια μορφή με τον τύπο του Ήρωνα, αλλά χρησιμοποιούν διαφορετικά δεδομένα. Κατ' αρχήν, αν μ A , μ B , μ Γ {\displaystyle \mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}} είναι οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } αντίστοιχα και σ {\displaystyle \sigma } το ημιάθροισμα τους δηλ. σ = 1 2 ⋅ ( μ A + μ B + μ Γ ) {\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\mu _{\rm {A}}+\mu _{\rm {B}}+\mu _{\rm {\Gamma }})} ,τότε έχουμε τον τύπο: E = 4 3 σ ⋅ ( σ − μ A ) ⋅ ( σ − μ B ) ⋅ ( σ − μ Γ ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \cdot (\sigma -\mu _{\rm {A}})\cdot (\sigma -\mu _{\rm {B}})\cdot (\sigma -\mu _{\rm {\Gamma }})}}} .Ακόμη αν u A {\displaystyle u_{\rm {A}}} , u B {\displaystyle u_{\rm {B}}} και u Γ {\displaystyle u_{\rm {\Gamma }}} είναι τα ύψη προς τις πλευρές α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } και γ {\displaystyle \gamma } αντίστοιχα και η {\displaystyle \eta } το ημιάθροισμα των αντιστρόφων των υψών δηλ. η = 1 2 ⋅ ( 1 u A + 1 u B + 1 u Γ ) {\displaystyle \eta ={\tfrac {1}{2}}\cdot \left({\tfrac {1}{u_{\rm {A}}}}+{\tfrac {1}{u_{\rm {B}}}}+{\tfrac {1}{u_{\rm {\Gamma }}}}\right)} , έχουμε τον τύπο E − 1 = 4 η ⋅ ( η − 1 u A ) ⋅ ( η − 1 u B ) ⋅ ( η − 1 u Γ ) {\displaystyle \mathrm {E} ^{-1}=4{\sqrt {\eta \cdot \left(\eta -{\tfrac {1}{u_{\rm {A}}}}\right)\cdot \left(\eta -{\tfrac {1}{u_{\rm {B}}}}\right)\cdot \left(\eta -{\tfrac {1}{u_{\rm {\Gamma }}}}\right)}}} .Επίσης αν s {\displaystyle s} είναι το ημιάθροισμα των ημιτόνων των γωνιών δηλ. 1 2 ⋅ ( sin ⁡ A + sin ⁡ B + sin ⁡ Γ ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\sin {\rm {A}}+\sin {\rm {B}}+\sin {\rm {\Gamma }})} , έχουμε T = D 2 s ⋅ ( s − sin ⁡ α ) ⋅ ( s − sin ⁡ β ) ⋅ ( s − sin ⁡ γ ) {\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {s\cdot (s-\sin \alpha )\cdot (s-\sin \beta )\cdot (s-\sin \gamma )}}} όπου D {\displaystyle D} είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου με D = α sin ⁡ A = β sin ⁡ B = γ sin ⁡ Γ {\displaystyle D={\tfrac {\alpha }{\sin {\rm {A}}}}={\tfrac {\beta }{\sin {\rm {B}}}}={\tfrac {\gamma }{\sin {\rm {\Gamma }}}}} . Το θεώρημα του Pick είναι δίνει ένα τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός πολυγώνου που οι κορυφές του είναι επάνω σε πλέγμα. Το θεώρημα λέει ότι: E = I + 1 2 B − 1 {\displaystyle \mathrm {E} =I+{\frac {1}{2}}B-1} όπου το I {\displaystyle I} είναι ο αριθμός των σημείων του πλέγματος που βρίσκονται εντός του πολυγώνου και το B {\displaystyle B} είναι ο αριθμός των σημείων πλέγματος που βρίσκονται στις πλευρές (ή κορυφές) του. Υπάρχουν πολυάριθμοι άλλοι τύποι, όπως E = ρ ⋅ τ {\displaystyle \mathrm {E} =\rho \cdot \tau } ,όπου ρ {\displaystyle \rho } είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και τ {\displaystyle \tau } είναι η ημιπερίμετρός του (στην πραγματικότητα ο τύπος αυτός ισχύει για όλα τα περιγγεγραμμένα πολύγωνα). Επίσης, αν D {\displaystyle D} η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι E = 1 2 D 2 ( sin ⁡ A ) ( sin ⁡ B ) ( sin ⁡ Γ ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}D^{2}(\sin {\rm {A}})(\sin {\rm {B}})(\sin {\rm {\Gamma }})} ,και E = α β γ 2 D = α β γ 4 R {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\alpha \beta \gamma }{2D}}={\frac {\alpha \beta \gamma }{4R}}} ,Ισχύει ακόμα για γωνία A ^ ≠ 90 o {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}\neq 90^{o}}}} ότι E = tan ⁡ A 4 ( β 2 + γ 2 − α 2 ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\tan {\rm {A}}}{4}}(\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2})} .Αν οι ακτίνες των παρεγεγγραμμένων κύκλων είναι ρ A {\displaystyle \rho _{\rm {A}}} , ρ B {\displaystyle \rho _{\rm {B}}} , και ρ Γ {\displaystyle \rho _{\rm {\Gamma }}} , το εμβαδό μπορεί να εκφραστεί ως: E = ρ ⋅ ρ A ⋅ ρ B ⋅ ρ Γ {\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}} .Το 1885 ο Baker έδωσε μια συλλογή με πάνω από εκατό τύπους για το εμβαδό του τριγώνου. Σε αυτούς περιλαμβάνονται: E = 1 2 ⋅ ( α β γ u A u B u Γ ) 1 / 3 {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\alpha \beta \gamma u_{\rm {A}}u_{\rm {B}}u_{\rm {\Gamma }})^{1/3}} , E = 1 2 α β u A u B {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\alpha \beta u_{\rm {A}}u_{\rm {B}}}}} , E = α + β 2 ⋅ ( u A − 1 + u B − 1 ) {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\alpha +\beta }{2\cdot (u_{\rm {A}}^{-1}+u_{\rm {B}}^{-1})}}} , E = R u B u Γ α {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {Ru_{\rm {B}}u_{\rm {\Gamma }}}{\alpha }}} , E = u A u B 2 sin ⁡ Γ {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {u_{\rm {A}}u_{\rm {B}}}{2\sin {\rm {\Gamma }}}}} ,όπου R {\displaystyle R} η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Το εμβαδό ενός τριγώνου με περίμετρο p {\displaystyle p} είναι μικρότερο ή ίσο με p 2 12 3 {\displaystyle {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}}} , όπου η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Υπάρχουν άπειρες ευθείες οι οποίες χωρίζουν το τρίγωνο σε δύο σχήματα με ίσο εμβαδό, ας τις πούμε διχοτόμους εμβαδού. Τρεις τέτοιες ευθείες είναι οι διάμεσοι, οι οποίες είναι οι μόνες διχοτόμες εμβαδού που περνούν από το βαρύκεντρο του τριγώνου. Τρεις άλλες διχοτόμες εμβαδού είναι παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου. Κάθε ευθεία σε ένα τρίγωνο η οποία χωρίζει στα δύο το εμβαδό του τριγώνου και την περίμετρό του στο μισό, περνάει από το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Μπορεί να υπάρχουν 1, 2 ή 3 από αυτές σε ένα τυχαίο τρίγωνο. Οι τύποι σε αυτή την ενότητα είναι όλοι για Ευκλείδεια τρίγωνα. Περισσότεροι τύποι δίνονται στα αντίστοιχα λήμματα για τα στοιχεία του τριγώνου. Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων, βρίσκουμε τα μήκη των διαμέσων μ A , μ B , μ Γ {\displaystyle \mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}} του τριγώνου μ A = 1 2 2 β 2 + 2 γ 2 − α 2 = 1 2 ( α 2 + β 2 + γ 2 ) − 3 4 α 2 {\displaystyle \mu _{\rm {A}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})-{\frac {3}{4}}\alpha ^{2}}}} ,και αντίστοιχα για μ B {\displaystyle \mu _{\rm {B}}} και μ Γ {\displaystyle \mu _{\rm {\Gamma }}} . Οι διάμεσοι και οι πλευρές σχετίζονται με τον τύπο: 3 4 ( α 2 + β 2 + γ 2 ) = μ A 2 + μ B 2 + μ Γ 2 {\displaystyle {\frac {3}{4}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})=\mu _{\rm {A}}^{2}+\mu _{\rm {B}}^{2}+\mu _{\rm {\Gamma }}^{2}} .Το μήκος της εσωτερικής διχοτόμου δίνεται από τον τύπο δ A = 2 β γ ⋅ τ ⋅ ( τ − α ) β + γ = β γ ⋅ ( 1 − α 2 ( β + γ ) 2 ) {\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\frac {2{\sqrt {\beta \gamma \cdot \tau \cdot (\tau -\alpha )}}}{\beta +\gamma }}={\sqrt {\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}}} ,όπου τ {\displaystyle \tau } είναι η ημιπερίμετρος και το μήκος της διχοτόμου μετριέται από την κορυφή έως την απέναντι πλευρά. Το μέρος των μεσοκαθέτου p A {\displaystyle p_{\rm {A}}} που είναι εντός του τριγώνου δίνεται από τον τύπο p A = 2 α E α 2 + β 2 − γ 2 , {\displaystyle p_{\rm {A}}={\frac {2\alpha \mathrm {E} }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}},} και όμοια για τις άλλες δύο p B = 2 β E α 2 + β 2 − γ 2 {\displaystyle p_{\rm {B}}={\frac {2\beta \mathrm {E} }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}} , p Γ = 2 γ E α 2 − β 2 + γ 2 {\displaystyle p_{\rm {\Gamma }}={\frac {2\gamma \mathrm {E} }{\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}} ,όπου α ≥ β ≥ γ {\displaystyle \alpha \geq \beta \geq \gamma } και το εμβαδό είναι E {\displaystyle \mathrm {E} } . Το μήκος του ύψους προς την πλευρά α, αν γνωρίζουμε το εμβαδό Ε είναι u A = 2 E α {\displaystyle u_{\rm {A}}={\frac {2\mathrm {E} }{\alpha }}} .Αν R είναι η ακτίνα του περιγγεγραμμένου κύκλου και ρ του εγγεγραμμένου τότε: R = α 2 β 2 γ 2 ( α + β + γ ) ( − α + β + γ ) ( α − β + γ ) ( α + β − γ ) {\displaystyle R={\sqrt {\frac {\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}}{(\alpha +\beta +\gamma )(-\alpha +\beta +\gamma )(\alpha -\beta +\gamma )(\alpha +\beta -\gamma )}}}} , ρ = ( − α + β + γ ) ( α − β + γ ) ( α + β − γ ) 4 ( α + β + γ ) , {\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {(-\alpha +\beta +\gamma )(\alpha -\beta +\gamma )(\alpha +\beta -\gamma )}{4(\alpha +\beta +\gamma )}}},} 1 ρ = 1 u A + 1 u B + 1 u Γ {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{u_{\rm {A}}}}+{\frac {1}{u_{\rm {B}}}}+{\frac {1}{u_{\rm {\Gamma }}}}} ,όπου u A {\displaystyle u_{\rm {A}}} , u B {\displaystyle u_{\rm {B}}} , u Γ {\displaystyle u_{\rm {\Gamma }}} είναι τα ύψη των κορυφών. ρ R = 4 E 2 τ α β γ = cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ Γ − 1 {\displaystyle {\frac {\rho }{R}}={\frac {4\mathrm {E} ^{2}}{\tau \alpha \beta \gamma }}=\cos {\rm {A}}+\cos {\rm {B}}+\cos {\rm {\Gamma }}-1} ,και 2 R ρ = α β γ α + β + γ {\displaystyle 2R\rho ={\frac {\alpha \beta \gamma }{\alpha +\beta +\gamma }}} .Ας υποθέσουμε ότι δύο γειτονικά (αλλά μη επικαλυπτόμενα) τρίγωνα μοιράζονται την ίδια πλευρά μήκους f και μοιράζονται τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο, έτσι ώστε η πλευρά μήκους f να είναι χορδή του περιγεγραμμένου κύκλου και τα τρίγωνα με μήκη πλευρών (a, b, f) και (c, d, f) μαζί να σχηματίζουν ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο με μήκη πλευρών (a, b, c, d). Τότε f 2 = ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( a b + c d ) . {\displaystyle f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,} Έστω G {\displaystyle {\rm {G}}} το βαρύκεντρο του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} και P {\displaystyle {\rm {P}}} ένα οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Τότε, η σχέση του Λάιμπνιτς δίνει ότι: P A 2 + P B 2 + P Γ 2 = G A 2 + G B 2 + G Γ 2 + 3 ⋅ P G 2 {\displaystyle {\rm {PA^{2}+PB^{2}+P\Gamma ^{2}=GA^{2}+GB^{2}+G\Gamma ^{2}+3\cdot PG^{2}}}} .Έστω pa, pb, pc οι αποστάσεις του βαρυκέντρου από τις πλευρές του τριγώνου. Τότε . p A p B = β α {\displaystyle {\frac {p_{\rm {A}}}{p_{\rm {B}}}}={\frac {\beta }{\alpha }}} , p B p Γ = γ β {\displaystyle \quad {\frac {p_{\rm {B}}}{p_{\rm {\Gamma }}}}={\frac {\gamma }{\beta }}} , p A p Γ = γ α {\displaystyle \quad {\frac {p_{\rm {A}}}{p_{\rm {\Gamma }}}}={\frac {\gamma }{\alpha }}} και p A ⋅ α = p B ⋅ β = p Γ ⋅ γ = 2 3 E {\displaystyle p_{\rm {A}}\cdot \alpha =p_{\rm {B}}\cdot \beta =p_{\rm {\Gamma }}\cdot \gamma ={\frac {2}{3}}\mathrm {E} } .Συνδυάζοντας τους E = α β γ 2 D {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\alpha \beta \gamma }{2D}}} βάλουμε E = γ u Γ 2 {\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {\gamma u_{\rm {\Gamma }}}{2}}} προκύπτει: α β = u Γ D {\displaystyle \alpha \beta =u_{\rm {\Gamma }}D} δηλ. το γινόμενο δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το ύψος προς την τρίτη πλευρά επί την διάμετρο του περιγεγγραμμένου.Το θεώρημα Καρνό λέει ότι το (αλγεβρικό) άθροισμα των αποστάσεων του περικέντρου από τις τρεις πλευρές ισούται με R+r (το άθροισμα της ακτίνας του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου), όπου η απόσταση λαμβάνεται αρνητική αν και μόνο αν το τμήμα βρίσκεται όλο έξω από το τρίγωνο. Αυτή η μέθοδος είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για τη μελέτη των ιδιοτήτων πιο αφηρημένων τριγώνων, όπως αυτών που περιλαμβάνονται στις άλγεβρες Lie, που κατά τα άλλα έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τα συνήθη τρίγωνα. Το Θεώρημα του Όιλερ δηλώνει ότι η απόσταση d {\displaystyle d} του περικέντρου από το έγκεντρο ικανοποιεί 1 R − d + 1 R + d = 1 ρ {\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{\rho }}} ,ή ισοδύναμα d 2 = R ⋅ ( R − 2 ρ ) {\displaystyle d^{2}=R\cdot (R-2\rho )} ,όπου το R {\displaystyle R} είναι η ακτίνα περιγεγραμμένου και ρ {\displaystyle \rho } είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Έτσι για όλα τα τρίγωνα πρέπει να ισχύει ότι R ≥ 2 ρ {\displaystyle R\geq 2\rho } , με την ισότητα να ισχύει στα ισόπλευρα τρίγωνα. Αντίστοιχα, για τις αποστάσεις d A , d B , d Γ {\displaystyle d_{\rm {A}},d_{\rm {B}},d_{\rm {\Gamma }}} του περίκεντρου από τα παράκεντρα του τριγώνου ισχύει ότι d A 2 = R 2 + 2 R ρ A , {\displaystyle d_{\rm {A}}^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad } d B 2 = R 2 + 2 R ρ B , {\displaystyle d_{\rm {B}}^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad } και d Γ 2 = R 2 + 2 R ρ Γ . {\displaystyle \quad d_{\rm {\Gamma }}^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.} Αν το ορθόκεντρο χωρίζει ένα ύψος σε τμήματα x 1 {\displaystyle x_{1}} και x 2 {\displaystyle x_{2}} , ένα άλλο σε μήκη y 1 {\displaystyle y_{1}} και y 2 {\displaystyle y_{2}} , και το τρίτο τμήμα σε μήκη z 1 {\displaystyle z_{1}} και z 2 {\displaystyle z_{2}} , τότε x 1 ⋅ x 2 = y 1 ⋅ y 2 = z 1 ⋅ z 2 {\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=y_{1}\cdot y_{2}=z_{1}\cdot z_{2}} .Η απόσταση μίας πλευράς από το περίκεντρο ισούται με το μισό της απόστασης της απέναντι κορυφής από το ορθόκεντρο.Το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων των κορυφών από το ορθόκεντρο συν το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών ισούται με 12 R 2 {\displaystyle 12R^{2}} . Το Θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ δηλώνει ότι σε κάθε τρίγωνο τα τρία σημεία τομής των γειτονικών τριχοτόμων, σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο το οποίο ονομάζεται τρίγωνο του Μόρλεϊ. Όπως συζητήθηκε πιο πάνω, κάθε τρίγωνο έχει έναν μοναδικό εγγεγραμμένο κύκλο που είναι εσωτερικός στο τρίγωνο και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές. Από όλες τις ελλείψεις που μπορούν να εγγραφούν μέσα σε ένα τρίγωνο (έτσι ώστε οι πλευρές του να εφάπτονται σε αυτήν) αυτή που εφτάπτεται στα μέσα των πλευρών έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. Μια τέτοια λέγεται εγγεγραμμένη έλλειψη του J. Steiner. Το εμβαδό της είναι π 3 3 ⋅ E {\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\cdot \mathrm {E} } , όπου E {\displaystyle {\rm {E}}} είναι το εμβαδό του τριγώνου. Το θεώρημα του M. Madden δείχνει πώς μπορούμε να βρούμε τις εστίες της έλλειψης αυτής: Για οποιαδήποτε έλλειψη, εφαπτόμενη σε ένα τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} , με εστίες P {\displaystyle {\rm {P}}} και Q {\displaystyle {\rm {Q}}} ισχύει: P A ⋅ Q A Γ A ⋅ A B + P B ⋅ Q B A B ⋅ B Γ + P Γ ⋅ Q Γ B Γ ⋅ Γ A = 1 {\displaystyle {\rm {{\frac {PA\cdot QA}{\Gamma A\cdot AB}}+{\frac {PB\cdot QB}{AB\cdot B\Gamma }}+{\frac {P\Gamma \cdot Q\Gamma }{B\Gamma \cdot \Gamma A}}=1}}} .Κάθε τρίγωνο έχει τρία εγγεγραμμένα τετράγωνα στο εσωτερικό του, με τις κορυφές του τετραγώνου να βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τριγώνου. Δύο κορυφές του τετραγώνου θα βρίσκονται πάνω στην ίδια πλευρά του τριγώνου (δηλ. μια πλευρά του τετραγώνου θα είναι μέρος μίας πλευράς του τριγώνου). Ωστόσο στην περίπτωση ενός ορθογωνίου τριγώνου, δύο από τα εγγεγραμμένα τετράγωνα συμπίπτουν (με μία κορυφή του τετραγώνου στην ορθή γωνία) και έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο υπάρχουν δύο εγγεγραμμένα τετράγωνα. Επίσης στην περίπτωση ενός αμβλυγωνίου τριγώνου, υπάρχει μόνο ένα εγγεγραμμένο τετράγωνο (με μία πλευρά του επί της μεγαλύτερης πλευράς του τριγώνου). Γενικά στη μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου βρίσκεται η πλευρά του μικρότερου εφαπτόμενου τετραγώνου. Αν ένα εγγεγραμμένο τετράγωνο έχει πλευρά μήκους q {\displaystyle q} και το τρίγωνο έχει πλευρά, μέρος της οποίας είναι η πλευρά του τετραγώνου, μήκους α {\displaystyle \alpha } , τότε τα q {\displaystyle q} , α {\displaystyle \alpha } και το εμβαδόν του τριγώνου E {\displaystyle {\rm {E}}} σχετίζονται με τον τύπο: q = 2 E α α 2 + 2 E {\displaystyle q={\frac {2\mathrm {E} \alpha }{\alpha ^{2}+2\mathrm {E} }}} .Ο μεγαλύτερος δυνατός λόγος του εμβαδού του εγγεγραμμένου τετραγώνου προς το εμβαδό του τριγώνου είναι 1/2, όπου εμφανίζεται όταν α 2 = 2 E {\displaystyle \alpha ^{2}=2\mathrm {E} } , q = α / 2 {\displaystyle q=\alpha /2} και το ύψος του τριγώνου προς την πλευρά α {\displaystyle \alpha } είναι ίσο με α {\displaystyle \alpha } . Η μικρότερη δυνατή αναλογία της πλευράς ενός εγγεγραμμένου τετραγώνου προς την πλευρά ενός άλλου εγγεγραμμένου τετραγώνου στο ίδιο (μη αμβλυγώνιο) τρίγωνο είναι 2 2 / 3 = 0.94 … {\displaystyle 2{\sqrt {2}}/3=0.94\ldots } . . Για κάθε ακέραιο n ≥ 4, κάθε τρίγωνο μπορεί να χωριστεί σε n ισοσκελή τρίγωνα. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, κάθε τρίγωνο έχει έναν μοναδικό περιγεγραμμένο κύκλο που διέρχεται από τις τρεις κορυφές, του οποίου το κέντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκάθετων των πλευρών του τριγώνου. Από όλες τις ελλείψεις που διέρχονται από τις κορυφές του τριγώνου, η έλλειψη που το κέντρο της βρίσκεται στο βαρύκεντρο του τριγώνου, έχει το μικρότερο εμβαδό. Μια τέτοια λέγεται περιγγεγραμμένη έλλειψη του J.Steiner και το εμβαδό της είναι 4 π 3 3 ⋅ E {\displaystyle {\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}\cdot {\rm {E}}} , όπου E {\displaystyle {\rm {E}}} είναι το εμβαδό του τριγώνου. Παρατηρούμε ότι είναι 4 φορές το εμβαδό της εγγεγραμμένης έλλειψης του J.Steiner. Ένα μη-επίπεδο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο το οποίο δεν περιέχεται σε έναν (επίπεδο) χώρο. Μερικά παραδείγματα μη-επίπεδων τριγώνων σε μη-Ευκλείδεια γεωμετρία είναι τα σφαιρικά τρίγωνα στην σφαιρική γεωμετρία και τα υπερβολικά τρίγωνα στην υπερβολική γεωμετρία. Ενώ τα μέτρα των εσωτερικών γωνιών στα επίπεδα τρίγωνα πάντα έχουν άθροισμα 180°, ένα υπερβολικό τρίγωνο έχει άθροισμα των γωνιών του λιγότερο από 180° ενώ ένα σφαιρικό τρίγωνο έχει περισσότερο από 180°. Ένα υπερβολικό τρίγωνο μπορεί να φτιαχτεί σε μία αρνητικής καμπυλότητος επιφάνεια, όπως είναι μία σαγμοειδής επιφάνεια, ενώ ένα σφαιρικό τρίγωνο μπορεί να φτιαχτεί σε μία θετικής καμπυλότητος επιφάνεια, όπως είναι μια σφαίρα. Έτσι, αν κάποιος σχεδιάζει ένα γιγαντιαίο τρίγωνο στην επιφάνεια της Γης, θα βρει ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι μεγαλύτερο από 180 °. Στην πραγματικότητα θα είναι μεταξύ 180° και 540° . Ειδικότερα, είναι δυνατό να σχεδιαστεί ένα τρίγωνο σε μια σφαίρα με κάθε γωνία ίση με 90°, οπότε το άθροισμα των γωνιών είναι 270°. Συγκεκριμένα, σε μια σφαίρα το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 o ⋅ ( 1 + 4 f ) {\displaystyle 180^{o}\cdot (1+4f)} ,όπου f {\displaystyle f} είναι το ποσοστό της σφαίρας που περικλείεται από το τρίγωνο. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε σχεδιάσεισει ένα τρίγωνο στην επιφάνεια της Γης με κορυφές στο Βόρειο Πόλο, σε ένα σημείο στον ισημερινό με γεωγραφικό μήκος 0° και σε ένα σημείο στον ισημερινό με γεωγραφικό μήκος 90° δυτικό. Η μέγιστος κύκλος που ενώνει τα δύο τελευταία σημεία είναι ο ισημερινός και οι μέγιστοι κύκλοι που ενώνουν κάθε ένα από αυτά τα σημεία με τον Βόρειο Πόλο είναι ένας μεσημβρινός. Έτσι υπάρχουν ορθές γωνίες στα δύο σημεία στον ισημερινό και η γωνία στο Βόρειο Πόλο είναι επίσης 90° (επειδή οι άλλες δύο κορυφές διαφέρουν κατά 90° γεωγραφικού μήκους). Έτσι το άθροισμα των γωνιών σε αυτό το τρίγωνο είναι 90° + 90° + 90° = 270°. Το τρίγωνο περικλείει το 1/4 του βόρειου ημισφαιρίου (τα 90°/360°, όπως φαίνεται από το Βόρειο Πόλο) και ως εκ τούτου το 1/8 της επιφάνειας της Γης, δηλ. f=1/8. Έτσι ο τύπος δίνει σωστά το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου ως 270°. Από τον παραπάνω τύπο μπορούμε επίσης να δούμε ότι η επιφάνεια της Γης είναι τοπικά επίπεδη: Αν σχεδιάσουμε ένα οσοδήποτε μικρό τρίγωνο στη γειτονιά ενός σημείου στην επιφάνεια της Γης, το κλάσμα f της επιφάνειας της Γης το οποίο περικλείεται από το τρίγωνο θα να είναι περίπου μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, ο τύπος δίνει περίπου 180°, όπου γνωρίζουμε ότι είναι το άθροισμα στην Ευκλείδεια γεωμετρία, άρα το τρίγωνο είναι περίπου επίπεδο. Στη Νέα Υόρκη, στο Broadway, οι δρόμοι τέμνονται με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργούν οικόπεδα με τριγωνικό σχήμα, και τα κτίρια που έχουν κατασκευαστεί εκεί έχουν αυτά τα σχήματα. Ένα τέτοιο κτήριο είναι το τριγωνικού σχήματος κτίριο Flatiron, που παρόλο που παραδέχονται οι διαχειριστές των ακινήτων ότι δεν είναι εύκολο να τοποθετηθούν μοντέρνα έπιπλα, δεν το έχει εμποδίσει από το να γίνει ένα κτήριο ορόσημο. Σπίτια με τριγωνικά θέματα έχουν αναπτύξει και σχεδιαστές από την Νορβηγία με τριγωνικό θέματα. Τριγωνικά σχήματα εμφανίζονται σε πολλές εκκλησίες καθώς και δημόσια κτίρια, συμπεριλαμβανομένων πανεπιστημίων , καθώς καινοτόμων σπιτιών.Τα τρίγωνα είναι ανθεκτικό, ενώ ένα ορθογώνιο μπορεί να καταρρεύσει σε μια παραλληλόγραμμη πίεση σε ένα από τα σημεία του, τα τριγωνικά έχουν μια φυσική δύναμη που υποστηρίζει την κατασκευή έναντι πλευρικών πιέσεων. Ένα τρίγωνο δεν θα αλλάξει σχήμα εκτός αν οι πλευρές του κάμπτονται ή να επεκταθεί ή να σπάσει ή αν σπάσει αρθρώσεις του. Στην ουσία, κάθε μία από τις τρεις πλευρές στηρίζει τις άλλες δύο. Ένα ορθογώνιο, αντίθετα, εξαρτάται περισσότερο από την αντοχή των αρθρώσεων της σε μια δομική έννοια. Μερικές καινοτόμοι σχεδιαστές έχουν προτείνει τούβλα κάνοντας τα όχι από ορθογώνια, αλλά με τριγωνικά σχήματα που μπορούν να συνδυαστούν σε τρεις διαστάσεις. Στην μηχανική, πολλές δομές που εμφανίζονται είναι τριγωνικές. Για παράδειγμα, πολλές γέφυρες απαρτίζονται κατά κύριο λόγο από δοκάρια τοποθετημένα σε τριγωνικά σχήματα. Τέτοια παραδείγματα είναι οι γέφυρες howe truss, Pratt και Warren. Στην υπολογιστική γεωμετρία και τα γραφικά υπολογιστών, πολλές φορές τα πολύγωνα ή τα πολύεδρα χωρίζονται σε επιμέρους τρίγωνα μέσω της τριγωνοποίησης, ώστε να μπορεί ο υπολογιστής να τα επεξεργαστεί πιο αποδοτικά. Για παράδειγμα για την εύρεση των κοντινότερων γειτόνων για n {\displaystyle n} σημεία, χρησιμοποιείται η τριγωνοποίηση Delaunay. Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με μία ευθεία γωνία (180°).Απόδειξη: Από την κορυφή A {\displaystyle {\rm {A}}} τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} φέρνουμε παράλληλη x ′ A x {\displaystyle {\rm {x'Ax}}} προς την απέναντι πλευρά B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} , όπως φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα. Επειδή οι x ′ A x {\displaystyle {\rm {x'Ax}}} , B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} είναι παράλληλες από κατασκευή, θα έχουμε τις ισότητες γωνιών B ^ = x ′ A B {\displaystyle {\rm {{\hat {B}}=x'AB}}} ως εντός εναλλάξ και όμοια Γ ^ = x A Γ {\displaystyle {\rm {{\hat {\Gamma }}=xA\Gamma }}} , άρα: A ^ + B ^ + Γ ^ = A + x ′ A B + x A Γ = 180 o {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}+{\hat {B}}+{\hat {\Gamma }}=A+x'AB+xA\Gamma =180^{o}}}} . ◻ {\displaystyle \square } Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες.Απόδειξη: Αν B ^ = B ^ ′ {\displaystyle {\rm {{\hat {B}}={\hat {B}}'}}} , Γ ^ = Γ ^ ′ {\displaystyle {\rm {{\hat {\Gamma }}={\hat {\Gamma }}'}}} τότε A ^ = 180 o − B ^ − Γ ^ = 180 o − B ^ ′ − Γ ^ ′ = A ^ ′ {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}=180^{o}-{\hat {B}}-{\hat {\Gamma }}=180^{o}-{\hat {B}}'-{\hat {\Gamma }}'={\hat {A}}'}}} . ◻ {\displaystyle \quad \square } Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των (δύο) απέναντι εσωτερικών γωνιών.Απόδειξη: Έστω A ^ ′ {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}'}}} η εξωτερική γωνία του A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} , τότε ως παραπληρωματική της A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} ισχύει επίσης ότι A ^ ′ = 180 o − A ^ = 180 o − ( 180 o − B ^ − Γ ^ ) = B ^ − Γ ^ = B ^ + Γ ^ {\displaystyle {\rm {{\hat {A}}'=180^{o}-{\hat {A}}=180^{o}-(180^{o}-{\hat {B}}-{\hat {\Gamma }})={\hat {B}}-{\hat {\Gamma }}={\hat {B}}+{\hat {\Gamma }}}}} . ◻ {\displaystyle \quad \square } Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών ενός τριγώνου θα είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.Απόδειξη: Έστω το τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} και M B , M Γ {\displaystyle {\rm {M_{B},M_{\Gamma }}}} τα μέσα των A Γ , A B {\displaystyle {\rm {A\Gamma ,AB}}} αντίστοιχα. Αν M Γ ′ M B {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }'M_{B}}}} είναι το συμμετρικό του M Γ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }}}} ως προς το M B {\displaystyle {\rm {M_{B}}}} τότε το A M Γ ′ Γ M Γ {\displaystyle {\rm {AM_{\Gamma }'\Gamma M_{\Gamma }}}} είναι παραλληλόγραμμο (αφού οι διαγώνιοί του A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} και M Γ M Γ ′ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }M_{\Gamma }'}}} διχοτομούνται). Τότε τα M Γ ′ Γ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }'\Gamma }}} και A M Γ {\displaystyle {\rm {AM_{\Gamma }}}} είναι παράλληλα και ίσα, καθώς και τα M Γ ′ Γ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }'\Gamma }}} , M Γ B {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }B}}} άρα το M Γ M Γ ′ Γ B {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }M_{\Gamma }'\Gamma B}}} είναι παραλληλόγραμμο (αφού έχει ίσες και παράλληλες δύο απέναντι πλευρές). Τότε έχουμε: M Γ M Γ ′ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }M_{\Gamma }'}}} , B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} παράλληλα και ίσα, άρα 2 M Γ M B {\displaystyle 2{\rm {M_{\Gamma }M_{B}}}} , B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} παράλληλα και ίσα, άρα M B M Γ {\displaystyle {\rm {M_{B}M_{\Gamma }}}} , B Γ / 2 {\displaystyle {\rm {B\Gamma /2}}} παράλληλα και ίσα. Αν από το μέσο μίας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μία άλλη πλευρά τότε η παράλληλη θα διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς.Απόδειξη: Έστω A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} ένα τρίγωνο και M Γ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }}}} το μέσο της ΑΒ. Φέρνουμε M Γ x {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }x}}} παράλληλη προς τη B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} που τέμνει την A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} στο M B ′ {\displaystyle {\rm {M_{B}'}}} . Αν το M B ′ {\displaystyle {\rm {M_{B}'}}} δεν είναι το μέσο της A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} , ας υποθέσουμε ότι είναι το M B {\displaystyle {\rm {M_{B}}}} . Τότε, από την προηγούμενη ιδιότητα, η M Γ M B {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }M_{B}}}} θα είναι παράλληλη προς τη B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} . Αυτό είναι άτοπο με βάση το αξίωμα παραλληλίας, αφού από το M Γ {\displaystyle {\rm {M_{\Gamma }}}} θα διέρχονται δύο διαφορετικές παράλληλες προς τη B Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} . Άρα το M B {\displaystyle {\rm {M_{B}}}} είναι το μέσο της A Γ {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} . Στις Ρημάνειες γεωμετρίες, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου γενικά διαφέρει των 180° (σε χώρους σταθερής καμπυλότητας η διαφορά είναι γενικά ανάλογη του εμβαδού του τριγώνου). Τρίγωνο θέσεως Τριγωνομετρία Τετράπλευρο Πολύγωνο