Μέθοδος της εξάντλησης

Η μέθοδος της εξάντλησης (λατινικά: Methodus exhaustionibus; γαλλικά: Μéthode des anciens) είναι μια μέθοδος εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος εγγράφοντας μέσα του μια ακολουθία πολυγώνων των οποίων οι περιοχές συγκλίνουν στην περιοχή του περιέχοντος σχήματος. Εάν η ακολουθία είναι σωστά κατασκευασμένη, η διαφορά στην περιοχή μεταξύ του vιοστού πολύγωνου και του περιέχοντος σχήματος θα γίνει αυθαίρετα μικρή (τείνει στο μηδέν), καθώς το n γίνεται μεγάλο (τείνει στο άπειρο). Καθώς αυτή η διαφορά γίνεται αυθαίρετα μικρή, οι πιθανές τιμές για την περιοχή του σχήματος "εξαντλούνται" συστηματικά από τις κατώτερες οριοθετημένες περιοχές που διαμορφώνονται διαδοχικά από τα μέλη της ακολουθίας. Η μέθοδος της εξάντλησης απαιτούσε τυπικά μια μορφή απόδειξης με αντίφαση, γνωστή ως εις άτοπον απαγωγή (λατινικά: reductio ad absurdum). Αυτό ισοδυναμεί με εύρεση μιας εμβαδικής περιοχής μιας περιοχής, συγκρίνοντάς την πρώτα με την περιοχή μιας δεύτερης περιοχής (η οποία μπορεί να "εξαντληθεί" έτσι ώστε η περιοχή της να γίνει αυθαίρετα κοντά στην πραγματική περιοχή). Η απόδειξη περιλαμβάνει την παραδοχή ότι η πραγματική περιοχή είναι μεγαλύτερη από τη δεύτερη περιοχή, και στη συνέχεια την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού ψευδούς, και στη συνέχεια την παραδοχή ότι είναι μικρότερη από τη δεύτερη περιοχή, και την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού επίσης ψευδούς.

 Η ιδέα ξεκίνησε στα τέλη του 5ου αιώνα π.Χ. με τον Αντίφωνα, αν και δεν είναι απολύτως σαφές πόσο καλά την κατάλαβε. Η θεωρία έγινε αυστηρή μερικές δεκαετίες αργότερα από τον Εύδοξο τον Κνίδιο, έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της ελληνικής αρχαιότητας, ίσως εφάμιλλος του Αρχιμήδη, ο οποίος τη χρησιμοποίησε για τον υπολογισμό των εμβαδών και των όγκων. Έδωσε μια λύση στο Δήλιο πρόβλημα με τη λεγόμενη «καμπύλη του Ευδόξου». Αργότερα επανεφευρέθηκε στην Κίνα από τον Λιού Χούι τον 3ο αιώνα μ.Χ. προκειμένου να βρεθεί το εμβαδόν ενός κύκλου. Η πρώτη χρήση του όρου έγινε το 1647 από τον Γρηγόριο του Αγίου Βικέντιου στο "Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum". Η μέθοδος της εξάντλησης θεωρείται πρόδρομος των μεθόδων υπολογισμού των ολοκληρωμάτων. Η ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας και του αυστηρού ολοκληρωμένου λογισμού τον 17ο-19ο αιώνα υιοθέτησε τη μέθοδο εξάντλησης, έτσι ώστε να μην χρησιμοποιείται πλέον ρητά για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Μια σημαντική εναλλακτική προσέγγιση ήταν η αρχή του Καβαλιέρι (Cavalieri), η οποία ονομάστηκε επίσης η μέθοδος των αδιαίρετων, η οποία τελικά εξελίχθηκε στον απειροστικό λογισμό των Ζιλ Ρομπερβάλ, Ευαντζελίστα Τοριτσέλι, Τζον Ουάλις, Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς και άλλων. Ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης για να αποδείξει τις ακόλουθες έξι προτάσεις στο 12ο βιβλίο των στοιχείων του. Πρόταση 2: Το εμβαδόν των κύκλων είναι ανάλογο με το τετράγωνο των διαμέτρων τους. .Πρόταση 5: Οι όγκοι δύο τετράεδρων του ίδιου ύψους είναι ανάλογοι με τις περιοχές των τριγωνικών βάσεών τους.Πρόταση 10: Ο όγκος ενός κώνου είναι το ένα τρίτο του όγκου του αντίστοιχου κυλίνδρου που έχει την ίδια βάση και ύψος.Πρόταση 11: Ο όγκος ενός κώνου (ή κυλίνδρου) του ίδιου ύψους είναι ανάλογος με το εμβαδόν της βάσης.Πρόταση 12: Ο όγκος ενός κώνου (ή κυλίνδρου) που είναι παρόμοιος με άλλος είναι ανάλογος με τον κύβο του λόγου των διαμέτρων των βάσεων.Πρόταση 18: Ο όγκος μιας σφαίρας είναι ανάλογος με τον κύβο της διαμέτρου της. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε τη μέθοδο της εξάντλησης ως τρόπο υπολογισμού της περιοχής μέσα σε έναν κύκλο γεμίζοντας τον κύκλο με πολύγωνο μεγαλύτερης περιοχής και μεγαλύτερο αριθμό πλευρών. Το πηλίκο που σχηματίζεται από την περιοχή αυτού του πολυγώνου διαιρούμενο με το τετράγωνο της ακτίνας του κύκλου μπορεί να γίνει αυθαίρετα κοντά στο π καθώς ο αριθμός των πλευρών πολυγώνου γίνεται μεγάλος, αποδεικνύοντας ότι η περιοχή μέσα στον κύκλο της ακτίνας r είναι πr2, το π ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο (C/d). Παρείχε επίσης τα όρια 3 + 10/71 <π <3 + 10/70, (δίνοντας εύρος 1/497) συγκρίνοντας την περιφέρεια του κύκλου με τις περιμέτρους των εγγεγραμμένων και περιγραμμένων κανονικών πολυγώνων 96 πλευρών. Άλλα αποτελέσματα που έλαβε με τη μέθοδο της εξάντλησης περιελάμβαναν Η περιοχή που οριοθετείται από τη διασταύρωση γραμμής και παραβολής είναι 4/3 αυτής του τριγώνου που έχει την ίδια βάση και ύψος. Το εμβαδόν μιας έλλειψης είναι ανάλογο με ένα ορθογώνιο με πλευρές ίσες με τους μεγάλους και τους μικρούς άξονές του. Ο όγκος μιας σφαίρας είναι 4 φορές μεγαλύτερος από έναν κώνο που έχει βάση ίδιας ακτίνας και ύψους ίση με αυτήν την ακτίνα. Ο όγκος ενός κυλίνδρου που έχει ύψος ίσο με τη διάμετρό του είναι 3/2 εκείνου μιας σφαίρας που έχει την ίδια διάμετρο. Η περιοχή που οριοθετείται από μία περιστροφή σπείρας και μια γραμμή είναι 1/3 αυτής του κύκλου που έχει ακτίνα ίση με το μήκος του τμήματος γραμμής. Η χρήση της μεθόδου εξάντλησης οδήγησε επίσης στον επιτυχή προσδιορισμό μιας άπειρης γεωμετρικής σειράς (για πρώτη φορά). Πυθαγόρειο Θεώρημα Παλίμψηστο του Αρχιμήδη