Νόμος του Γκάους

Στη φυσική και στη μαθηματική ανάλυση, ο Νόμος του Γκάους είναι η εφαρμογή του γενικευμένου θεωρήματος της απόκλισης στην ηλεκτροστατική, δίνοντας τη σχέση ισοδυναμίας μεταξύ μιας οποιαδήποτε ροής, όπως ενός υγρού, της ηλεκτρικής ή της βαρυτικής, που ρέει έξω από μια οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια και το αποτέλεσμα των εσωτερικών πηγών, όπως το ηλεκτρικό φορτίο ή η μάζα, που περιέχονται στον όγκο που περικλείει η επιφάνεια. Ο νόμος αναπτύχθηκε από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους.

 Στην ολοκληρωτική του μορφή, ο νόμος λέει: Φ = ∮ S E ⋅ d A = 1 ε o ∫ V ρ d V = Q A ε o {\displaystyle \Phi =\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={1 \over \varepsilon _{o}}\int _{V}\rho \ \mathrm {d} V={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{o}}}} όπου Φ {\displaystyle \Phi } είναι η ηλεκτρική ροή, E {\displaystyle \mathbf {E} } είναι το ηλεκτρικό πεδίο, d A {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} } είναι η απειροστή περιοχή της κλειστής επιφάνειας S, Q A {\displaystyle Q_{\mathrm {A} }} είναι το φορτίο που περικλείει η επιφάνεια, ρ {\displaystyle \rho } είναι η ηλεκτρική πυκνότητα σε ένα σημείο του όγκου V {\displaystyle V} , ε o {\displaystyle \varepsilon _{o}} είναι η ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού χώρου και ∮ S {\displaystyle \oint _{S}} είναι το ολοκλήρωμα πάνω στην κλειστή επιφάνεια S, που περικλείει τον όγκο V. Για πληροφορίες και τη στρατηγική της εφαρμογής του νόμου του Γκάους, δείτε τις Γκαουσιανές επιφάνειες και την παράγραφο για το νόμο του Γκάους στην ηλεκτρική ροή. Σε διαφορική μορφή, η εξίσωση γίνεται: ∇ ⋅ D = ρ f r e e {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }} όπου ∇ {\displaystyle \mathbf {\nabla } } είναι το ανάδελτα, D {\displaystyle D} είναι το ηλεκτρικό πεδίο μετατόπισης (σε μονάδες C/m²), και ρ f r e e {\displaystyle \rho _{\mathrm {free} }} είναι η ελεύθερη πυκνότητα ηλεκτρικών φορτίων (σε μονάδες C/m³), που δε συμπεριλαμβάνει τα δέσμια διπολικά φορτία σε ένα υλικό. Για γραμμικά υλικά, η εξίσωση γίνεται: ∇ ⋅ ε E = ρ f r e e {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \varepsilon \mathbf {E} =\rho _{\mathrm {free} }} όπου ε {\displaystyle \varepsilon } είναι η ηλεκτρική διαπερατότητα. Στην ειδική περίπτωση μιας σφαιρικής επιφάνειας με φορτίο στο κέντρο της, το ηλεκτρικό πεδίο είναι παντού κάθετο στην επιφάνεια, με το ίδιο μέτρο σε όλα τα σημεία αυτής, δίνοντας την απλή έκφραση: E = Q 4 π ε 0 r 2 {\displaystyle E={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}} όπου E η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε ακτίνα r, Q είναι το ηλεκτρικό φορτίο, και ε0 είναι η επιδεκτικότητα του κενού χώρου. Δηλαδή η εξάρτηση του αντίστροφου τετραγώνου του ηλεκτρικού πεδίου στο Νόμο του Κουλόμπ, προκύπτει από το νόμο του Γκάους. Ο νόμος του Γκάους μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δειχθεί ότι δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο μέσα σε μια περιοχή όπου απουσιάζουν ηλεκτρικά φορτία. Ο νόμος του Γκάους είναι το ηλεκτροστατικό ισοδύναμο του νόμου του Αμπέρ, που έχει να κάνει με τον μαγνητισμό. Και οι δύο αυτές εξισώσεις ενσωματώθηκαν αργότερα στις εξισώσεις του Μάξουελ. Ο νόμος φτιάχτηκε από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1835, αλλά δε δημοσιεύτηκε μέχρι το 1867. Εξ αιτίας της μαθηματικής ομοιότητας, ο νόμος του Γκάους έχει εφαρμογές και σε άλλες φυσικές ποσότητες, όπως η βαρύτητα ή η ένταση της ακτινοβολίας. Δείτε επίσης και το θεώρημα της απόκλισης. Στη στατική περίπτωση ενός μαγνήτη, ή άλλη κατάσταση όπου η πηγή του μαγνητικού πεδίου βρίσκεται σε ηρεμία σε σχέση με τον παρατηρητή, η ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Γκάους μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την αναλογία της ροής με τον αριθμό των δυναμικών γραμμών του πεδίου που εισέρχονται και εξέρχονται από μια Γκαουσιανή επιφάνεια. Χρησιμοποιώντας ένα τέτοιο επιχείρημα, μπορεί να δειχθεί πως σε όλες τις στατικές περιπτώσεις, η συνολική μαγνητική ροή είναι μηδενική. Όσες δυναμικές γραμμές εισέρχονται μια Γκαουσιανή επιφάνεια, άλλες τόσες εξέρχονται από αυτήν, οπότε δεν περικλείεται κάποια "πηγή" του μαγνητικού πεδίου. Φ B = ∮ S B ⋅ d A = 0 {\displaystyle \Phi _{B}=\oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0} Η διαφορική μορφή αυτής της εξίσωσης, αποτελεί και μία από τις τέσσερις Εξισώσεις Μάξουελ, που είναι συνέπεια της μη ύπαρξης μαγνητικών μονοπόλων στη φύση. Αν και η βαρυτική μορφή του νόμου του Γκάους έχει περισσότερο θεωρητικό ενδιαφέρον, μπορεί να εφαρμοστεί σε αναλογία με την ηλεκτροστατική μορφή του νόμου του Γκάους για να δειχθεί ότι η βαρυτική δύναμη ενός σώματος σε ένα άλλο μπορεί να υπολογιστεί όπως στην περίπτωση όπου και οι δύο μάζες θα ήταν συγκεντρωμένες στα κέντρα των σωμάτων. Φ g = ∮ S g ⋅ d A = 4 π G ∫ V ρ m d V = 4 π G M {\displaystyle \Phi _{g}=\oint _{S}\mathbf {g} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =4\pi G\int _{V}\rho _{m}\ \mathrm {d} V=4\pi GM} Εφαρμόζοντας την παραπάνω μορφή του νόμου του Γκάους για να αποδείξουμε, για παράδειγμα, ότι η δύναμη που ασκεί η Γη στη Σελήνη δεν εξαρτάται από τη λεπτομερή σύσταση της Γης, εμπερικλείουμε τη Γη σε μια σφαιρική γκαουσιανή επιφάνεια, με εμβαδόν 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} . Από τι στιγμή που οι δυναμικές γραμμές της Γης επεκτείνονται ισοδύναμα σε όλες τις κατευθύνσεις και μειώνονται ως 1 r 2 {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}} , το βαρυτικό πεδίο πρέπει να είναι σταθερό για δεδομένη ακτίνα. ∮ S g ⋅ d A = 4 π G M {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {g} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =4\pi GM} g ∮ S ⋅ d A = 4 π G M {\displaystyle \mathbf {g} \oint _{S}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =4\pi GM} g 4 π r 2 = 4 π G M {\displaystyle \mathbf {g} 4\pi r^{2}=4\pi GM} g = G M r 2 {\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {GM}{r^{2}}}} Τετριμμένα, πολλαπλασιάζοντας με m, παίρνουμε τη γνωστή εξίσωση για τη δύναμη. Εξισώσεις Μάξουελ Γκαουσιανή επιφάνεια Καρλ Φρίντριχ Γκάους Θεώρημα της απόκλισης Ροή Μέθοδος των ειδώλων MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism Αρχειοθετήθηκε 2008-04-18 στο Wayback Machine. Taught by Professor Walter Lewin. section on Gauss's law in an online textbook Αρχειοθετήθηκε 2010-05-27 στο Wayback Machine.