Υπόθεση του συνεχούς

Στα μαθηματικά, η υπόθεση του συνεχούς είναι μια υπόθεση σχετικά με τα πιθανά μεγέθη των απείρων σύνολων. Εκφράζει ότι: Δεν υπάρχει σύνολο του οποίου η πληθικότητα είναι αυστηρά ανάμεσα στις πληθικότητες του συνόλου των ακεραίων αριθμών και του συνόλου των πραγματικών αριθμών.Η υπόθεση του συνεχούς αναπτύχθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ το 1878, και η εξακρίβωση για το αν είναι αληθής ή ψευδής είναι το πρώτο από τα 23 προβλήματα του Χίλμπερτ, που παρουσιάστηκαν το 1900. Η απάντηση στο πρόβλημα αυτό είναι ανεξάρτητη από τη θεωρία συνόλων των Zermelo-Fraenkel (συμπεριλαμβανομένου του αξιώματος της επιλογής), έτσι ώστε είτε η υπόθεση του συνεχούς είτε η άρνησή της μπορούν να προστεθούν ως αξίωμα στη θεωρία συνόλων των Zermelo-Fraenkel (για συντομία, θεωρία συνόλων ZFC), και η θεωρία που προκύπτει είναι ορθή αν και μόνο αν η θεωρία συνόλων ZFC είναι ορθή. Η ανεξαρτησία αυτή αποδείχθηκε το 1963 από τον Πωλ Κόεν, ο οποίος συμπλήρωσε ένα παλαιότερο έργο του 1940, από τον Κουρτ Γκέντελ. Η ονομασία της υπόθεσης προέρχεται από τον όρο το συνεχές για τους πραγματικούς αριθμούς.

 Ορίζεται ότι δύο σύνολα έχουν την ίδια πληθικότητα ή πληθικό αριθμό αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη (1 προς 1 και επί) συνάρτηση μεταξύ τους. Διαισθητικά, για να έχουν δύο σύνολα Α και Β την ίδια πληθικότητα σημαίνει ότι είναι δυνατόν να μοιραστούν σε ζεύγη στοιχεία του Α με στοιχεία του Β έτσι ώστε κάθε στοιχείο του Α να αντιστοιχίζεται με ακριβώς ένα στοιχείο του Β και αντίστροφα. Έτσι, το σύνολο {συνάρτηση, ολοκλήρωμα, σειρά} έχει την ίδια πληθικότητα με το σύνολο {τέχνη, επιστήμη, μαγειρική}. Με άπειρα σύνολα, όπως το σύνολο των ακεραίων ή των ρητών αριθμών, το ζήτημα γίνεται όλο και πιο περίπλοκο για να δειχθεί. Οι ρητοί αριθμοί φαινομενικά αποτελούν ένα αντιπαράδειγμα για την υπόθεση του συνεχούς: οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνήσιο υποσύνολο των ρητών αριθμών, οι οποίοι με τη σειρά τους αποτελούν ένα γνήσιο υποσύνολο των πραγματικών, έτσι, διαισθητικά, υπάρχουν περισσότεροι ρητοί αριθμοί από ακέραιους, και περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί από ρητούς αριθμούς. Ωστόσο, αυτή η διαισθητική ανάλυση δεν λαμβάνει υπ' όψη το γεγονός ότι και τα τρία σύνολα είναι άπειρα. Αποδεικνύεται ότι οι ρητοί αριθμοί μπορούν ουσιαστικά να τοποθετηθούν σε μία 1 προς 1 αντιστοιχία με τους ακέραιους, και επομένως, το σύνολο των ρητών αριθμών έχει το ίδιο μέγεθος (πληθικότητα) με το σύνολο των ακεραίων: είναι και τα δύο αριθμήσιμα σύνολα. Ο Κάντορ έδωσε δύο αποδείξεις για το ότι η πληθικότητα του συνόλου των ακεραίων είναι γνήσια μικρότερη από αυτή του συνόλου των πραγματικών αριθμών (βλ. η πρώτη απόδειξη μη αριθμησιμότητας και το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor) Οι αποδείξεις του, ωστόσο, δεν παρέχουν καμία ένδειξη για το βαθμό στον οποίο η πληθικότητα των ακεραίων είναι μικρότερη από αυτή των πραγματικών αριθμών. Ο Κάντορ πρότεινε την υπόθεση του συνεχούς ως μια πιθανή λύση σε αυτό το ερώτημα. Η υπόθεση δηλώνει ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών έχει την ελάχιστη δυνατή πληθικότητα, που είναι μεγαλύτερη από αυτή του συνόλου των ακεραίων. Ισοδύναμα, όπως η πληθικότητα των ακέραιων είναι ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ("άλεφ μηδέν") και η πληθικότητα των πραγματικών είναι 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} (δηλαδή, ισούται με την πληθικότητα του δυναμοσυνόλου των ακέραιων), η υπόθεση του συνεχούς εκφράζει ότι δεν υπάρχει σύνολο S {\displaystyle S} για το οποίο: ℵ 0 < | S | < 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}} . Σύμφωνα με το αξίωμα της επιλογής, υπάρχει ένας ελάχιστος πληθικός αριθμός ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} μεγαλύτερος του ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , και η υπόθεση του συνεχούς είναι με τη σειρά της ισοδύναμη με την ισότητα 2 ℵ 0 = ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}} . Μία συνέπεια της υπόθεσης του συνεχούς είναι ότι κάθε άπειρο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει την ίδια πληθικότητα με τους ακέραιους ή την ίδια πληθικότητα με το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Υπάρχει, επίσης, μια γενίκευση της υπόθεσης του συνεχούς που ονομάζεται γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς, η οποία εκφράζει ότι για όλα τα τακτικά αριθμητικά α {\displaystyle \alpha \,} : 2 ℵ a = ℵ a + 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{a}}=\aleph _{a+1}} . Δηλαδή, η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς υποστηρίζει ότι η πληθικότητα του δυναμοσυνόλου κάθε άπειρου σύνολου είναι η μικρότερη πληθικότητα που είναι μεγαλύτερη από αυτήν του σύνολου. Ο Κάντορ πίστευε ότι η υπόθεση του συνεχούς ήταν αληθής και προσπαθούσε για πολλά χρόνια να το αποδείξει, αλλά μάταια. Έγινε το πρώτο ερώτημα στη λίστα του Ντέιβιντ Χίλμπερτ με τα σημαντικά ανοικτά ερωτήματα , που παρουσιάστηκε στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών το έτος 1900 στο Παρίσι. Η αξιωματική θεωρία συνόλων εκείνη την περίοδο δεν είχε ακόμη διατυπωθεί. Ο Κουρτ Γκέντελ έδειξε το 1940 ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί να διαψευστεί από τα πρότυπα της θεωρίας συνόλων ZFC, ακόμη και αν χρησιμοποιηθεί και το αξίωμα της επιλογής. Ο Πωλ Κόεν έδειξε το 1963 ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν μπορεί ούτε να αποδειχθεί από τα ίδια αξιώματα. Γι' αυτό, η υπόθεση του συνεχούς είναι ανεξάρτητη της θεωρίας συνόλων ZFC. Και τα δύο αυτά αποτελέσματα υποθέτουν ότι τα αξιώματα των Zermelo–Fraenkel είναι ορθά. Αυτή η υπόθεση θεωρείται ευρέως αληθής. Ο Κόεν τιμήθηκε με το μετάλλιο Φιλντς , το 1966, για την απόδειξη του. Η υπόθεση του συνεχούς είναι στενά συνδεδεμένη με πολλές προτάσεις στην ανάλυση, την συνολοθεωρητική τοπολογία και τη θεωρία μέτρου. Ως αποτέλεσμα της ανεξαρτησίας της, πολλές σημαντικές εικασίες στους τομείς αυτούς αποδείχθηκαν στη συνέχεια ανεξάρτητες. Μέχρι τώρα, η υπόθεση του συνεχούς φαίνεται να είναι ανεξάρτητη από όλα τα γνωστά αξιώματα των μεγάλων πληθικοτήτων στο πλαίσιο της ZFC. Η ανεξαρτησία της υπόθεσης από τη θεωρία συνόλων ZFC σημαίνει ότι η απόδειξη της αλήθειας ή του ψεύδους της στα πλαίσια της θεωρίας αυτής είναι αδύνατη. Ωστόσο, για τα αρνητικά συμπεράσματα των Γκέντελ και Κόεν δεν είναι γενικά αποδεκτό ότι απορρίπτουν την υπόθεση. Το πρόβλημα του Hilbert παραμένει ένα ενεργό αντικείμενο έρευνας Η υπόθεση του συνεχούς δεν ήταν η πρώτη πρόταση που αποδείχθηκε ότι είναι ανεξάρτητη της θεωρίας συνόλων ZFC. Μια άμεση συνέπεια του θεωρήματος μη πληρότητας του Γκέντελ, το οποίο δημοσιεύθηκε το 1931, είναι ότι υπάρχει μία τυπική πρόταση (μία για κάθε κατάλληλο σύστημα αρίθμησης του Γκέντελ) που εκφράζει την ορθότητα της θεωρίας συνόλων ZFC που είναι ανεξάρτητη της θεωρίας συνόλων ZFC, υποθέτοντας ότι η ZFC είναι ορθή. Η υπόθεση του συνεχούς και το αξίωμα της επιλογής ήταν από τις πρώτες μαθηματικές προτάσεις που αποδείχθηκε ότι είναι ανεξάρτητες της θεωρίας συνόλων ZFC. Αυτές οι αποδείξεις ανεξαρτησίας δεν είχαν ολοκληρωθεί μέχρι που ο Πωλ Κόεν ανέπτυξε την έννοια της δυναμικότητας τη δεκαετία του 1960. Όλες βασίζονται στην παραδοχή ότι η θεωρία συνόλων ZF είναι ορθή. Αυτές οι αποδείξεις ονομάζονται αποδείξεις σχετικής ορθότητας. Ένα αποτέλεσμα του Σόλοβει, που αποδείχθηκε λίγο μετά από το αποτέλεσμα του Κόεν για την ανεξαρτησία της υπόθεσης της συνέχειας, δείχνει ότι σε κάθε μοντέλο της θεωρίας συνόλων ZFC, αν κ {\displaystyle \kappa } είναι ένας πληθικός αριθμός από μία μη αριθμήσιμη cofinality(?), τότε υπάρχει μία forcing επέκταση στην οπόια 2 ℵ 0 = κ {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\kappa } . Ωστόσο, δεν είναι ορθό να υποθέσουμε ότι 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} είναι ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} ή ℵ ω 1 + ω {\displaystyle \aleph _{\omega _{1}+\omega }} ή οποιοσδήποτε πληθικός αριθμός με cofinality ω {\displaystyle \omega } . Ο Γκέντελ πίστευε ότι η υπόθεση του συνεχούς ήταν ψευδής και ότι η απόδειξή του για τη συμφωνία της υπόθεσης με τη θεωρία συνόλων ZFC δείχνει μόνο ότι τα αξιώματα των Zermelo-Fraenkel δεν χαρακτηρίζουν επαρκώς τον κόσμο των συνόλων. Ο Γκέντελ ήταν πλατωνιστής και γι' αυτό δεν είχε δυσκολία στο να αξιολογεί την αλήθεια ή το ψεύδος προτάσεων ανεξάρτητα από τη δυνατότητά απόδειξής τους. Ο Κόεν, αν και φορμαλιστής, επίσης έτεινε προς την απόρριψη της υπόθεσης. Ιστορικά, οι μαθηματικοί που προτιμούσαν ένα "πλούσιο και μεγάλο σύμπαν" συνόλων ήταν κατά της υπόθεσης του συνεχούς, ενώ εκείνοι που προτιμούσαν ένα "οργανωμένο και ελεγχόμενο σύμπαν" συνόλων ήταν υπέρ της υπόθεσης. Παράλληλα επιχειρήματα δημιουργήθηκαν είτε για να υποστηρίξουν είτε για να απορρίψουν το αξίωμα της κατασκευαστικότητας, που υποννοεί την υπόθεση του συνεχούς. Πιο πρόσφατα, ο Μάθιου Φόρμαν τόνισε ότι ο οντολογικός μαξιμαλισμός μπορεί ουσιαστικά να χρησιμοποιηθεί για την επιχειρηματολογία σχετικά με την υπόθεση, γιατί μεταξύ μοντέλων που έχουν τους ίδιους πραγματικούς, μοντέλα με περισσότερα σύνολα πραγματικών έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να την ικανοποιούν. Μία άλλη οπτική γωνία είναι ότι η αντίληψη που υπάρχει για τα σύνολα δεν είναι αρκετά συγκεκριμένη ώστε να καταστεί δυνατός ο χαρακτηρισμός της υπόθεσης του συνεχούς ως αληθούς ή ψευδούς. Αυτή η οπτική γωνία αναπτύχθηκε το 1923 από τον Σκόλεμ, πριν ακόμη το πρώτο θεώρημα πληρότητας του Γκέντελ. Ο Σκόλεμ επιχειρηματολόγησε βασιζόμενος στο γνωστό ως παράδοξο του Σκόλεμ,το οποίο αργότερα υποστηρίχθηκε από την ανεξαρτησία της υπόθεσης του συνεχούς από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων ZFC, αφού τα αξιώματα αυτά είναι αρκετά για να εδραιώσουν τις θεμελιώδεις ιδιότητες των συνόλων και των πληθικών αριθμών. Για να επιχειρηματολογήσει κανείς εναντίον της οπτικής γωνίας αυτής, θα ήταν επαρκές να υποδείξει νέα αξίωματα που υποστηρίζονται από τη διαίσθηση και επιλύουν την υπόθεση του συνεχούς προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση. Αν και το αξίωμα της κατασκευαστικότητας δεν επιλύει την υπόθεση του συνέχους, γενικά, δε θεωρείται διαισθητικά ορθό περισσότερο απ' ό,τι η υπόθεση του συνεχούς θεωρείται γενικά ψευδής. Τουλάχιστον δύο άλλα αξιώματα έχουν προταθεί, τα οποία έχουν επιπτώσεις στην υπόθεση του συνεχούς, αν και τα αξιώματα αυτά δεν έχουν γνωρίσει μέχρι τώρα ευρεία αποδοχή στη μαθηματική κοινότητα. Το 1986, ο Κρις Φράιλινγκ παρουσίασε ένα επιχείρημα κατά της υπόθεσης του συνεχούς, αποδεικνύοντας ότι η άρνησή της είναι ισοδύναμη με το αξιώμα της συμμετρίας (του ιδίου), μία πρόταση σχετική με τις πιθανότητες. Ο Φράιλινγκ πιστεύει ότι το αξιώμα αυτό είναι "διαισθητικά ορθό", αλλά άλλοι έχουν εκφράσει διαφωνίες. Ένα δύσκολο επιχείρημα εναντίον της υπόθεσης του συνεχούς, που αναπτύχθηκε από τον Γούντιν, έχει προσελκύσει σημαντικά την προσοχή, από το έτος 2000. Ο Φόρμαν δεν απορρίπτει το επιχείρημα του Γούντιν ευθέως, αλλά τονίζει ότι χρειάζεται επιφύλαξη. Ο Σόλομον Φέφερμαν (2011) δημιούργησε ένα σύνθετο φιλοσοφικό επιχείρημα: ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν είναι ένα σαφώς ορισμένο μαθηματικό πρόβλημα. Προτείνει μια θεωρία "σαφούς ορισμού" χρησιμοποιώντας ένα ημιδιαισθητικό υποσύστημα της θεωρίας συνόλων ZFC που αποδέχεται την κλασική λογική για φραγμένους ποσοδείκτες, αλλά χρησιμοποιεί διαισθητική λογική για μη φραγμένους, και προτείνει ότι μία πρόταση ϕ {\displaystyle \phi } είναι μαθηματικά "σαφώς ορισμένη" αν η ημιδιαισθητική θεωρία μπορεί να αποδείξει ότι ( ϕ ∨ ¬ ϕ ) {\displaystyle (\phi \lor \neg \phi )} . Διατυπώνει την εικασία ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν είναι σαφώς ορισμένη σύμφωνα με αυτήν την ιδέα, και προτείνει ότι για το λόγο αυτό, η υπόθεση θα πρέπει να θεωρηθεί ότι δε δέχεται αληθοτιμή. Ο Πίτερ Κέλνερ έγραψε έναν σχολιασμό στο άρθρο του Φέφερμαν. Ο Τζόελ Ντέιβιντ Χάμκινς προτείνει μία πολυσυμπαντική προσέγγιση στη θεωρία συνόλων και υποστηρίζει ότι "η υπόθεση του συνεχούς έχει βασιστεί στην πολυσυμπαντική οπτική γωνία από την εκτεταμένη μας γνώση για το πώς συμπεριφέρεται στο πολυσύμπαν, και ως εκ τούτου δεν μπορεί πια να οργανωθεί με τον τρόπο με τον οποίο παλαιότερα ελπίζαμε." Με παρόμοιο τρόπο, ο Σάαρον Σίλα έγραψε ότι "δε συμφωνεί με την καθαρά πλατωνική άποψη ότι μπορεί να αποφασιστεί η λύση για τα ενδιαφέρονται προβλήματα στη θεωρία συνόλων, ότι απλώς πρέπει να ανακαλύψουμε το επιπρόσθετο αξίωμα. Η νοητή εικόνα που έχω είναι ότι έχουμε πολλές δυνατές θεωρίες συνόλων, που όλες είναι σύμφωνες με τη θεωρία συνόλων ZFC". Η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς εκφράζει ότι αν η πληθικότητα ενός άπειρου συνόλου κείται μεταξύ αυτής ενός άπειρου συνόλου Α και αυτής του δυναμοσυνόλου του Α, τότε έχει την πληθικότητα ενός από τα δύο αυτά σύνολα. Δηλαδή, για κάθε άπειρο πληθάριθμο μ {\displaystyle \mu } δεν υπάρχει πληθάριθμος ν {\displaystyle \nu } , ώστε μ < ν < 2 μ {\displaystyle \mu <\nu <2^{\mu }} . Η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι ισοδύναμη με την ισότητα: ℵ a + 1 = 2 ℵ a {\displaystyle \aleph _{a+1}=2^{\aleph _{a}}} , για κάθε τακτικό αριθμό α {\displaystyle \alpha } (συχνά αποκαλείται ως υπόθεση άλεφ του Κάντορ). Οι αριθμοί μπεθ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για έναν εναλλακτικό συμβολισμό της συνθήκης αυτής: ℵ a = ℶ a {\displaystyle \aleph _{a}=\beth _{a}} , για κάθε τακτικό αριθμό α {\displaystyle \alpha } . Αυτή είναι μια γενίκευση της υπόθεσης του συνεχούς, αφού το συνεχές (δηλαδή το σύνολο των πραγματικών αριθμών) έχει την ίδια πληθικότητα με το δυναμοσύνολο τον ακέραιων αριθμών. Αυτή η ιδέα προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Ζουρντέν το 1905. Όπως η υπόθεση του συνεχούς, έτσι και η γενίκευσή της είναι επίσης ανεξάρτητη της θεωρίας συνόλων ZFC. Ωστόσο, ο Σιερπίνσκι απέδειξε ότι η θεωρία συνόλων ZC μαζί με τη γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς υποννοούν το αξίωμα της επιλογής (και συνεπώς την άρνηση του αξιώματος της καθοριστικότητας), έτσι η επιλογή και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς δεν είναι ανεξάρτητα στη θεωρία συνόλων ZFC. Δεν υπάρχουν μοντέλα στη θεωρία αυτή στα οποία να ισχύει η γενικευμένη υπόθεση και ταυτόχρονα να μην αληθεύει το αξίωμα της επιλογής. Για την απόδειξη αυτού, ο Σιερπίνσκι απέδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς υποννοοεί ότι κάθε πληθικότητα n είναι μικρότερη από κάποιον αριθμό Άλεφ, και για το λόγο αυτό μπορεί να διαταχθεί. Αυτό επιτυγχάνεται με το να αποδείξει κανείς ότι το n είναι μικρότερο από το 2 ℵ 0 + n {\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}} , που είναι μικρότερο από το δικό του αριθμό Χάρτογκ -αυτό γίνεται με τη χρήση της ισότητας 2 ℵ 0 + n = 2 ∗ 2 ℵ 0 + n {\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}=2*2^{\aleph _{0}+n}} . Ο Κουρτ Γκέντελ έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς είναι μια συνέπεια της θεωρίας συνόλων ZF μαζί με το αξίωμα ότι κάθε σύνολο είναι κατασκευάσιμο σε σχέση με τους τακτικούς αριθμούς, οπότε είναι σύμφωνη και με τη θεωρία συνόλων ZF μαζί με το αξίωμα της επιλογής. Επειδή η γενικευμένη υπόθεση υπονοεί την "απλή" υπόθεση του συνεχούς, το μοντέλο του Κόεν στο οποίο αυτή είναι ψευδής είναι μοντέλο στο οποίο και η γενικευμένη υπόθεση είναι ψευδής, οπότε η τελευταία δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσω της θεωρίας συνόλων ZF μαζί με το αξίωμα της επιλογής. Ο Ίστον χρησιμοποίησε τη μέθοδο της δυναμικότητας, που αναπτύχθηκε από τον Κόεν, για να αποδείξει το ομώνυμό του θεώρημα, το οποίο εκφράζει ότι είναι σύμφωνο με την θεωρία συνόλων ZF (με το αξίωμα της επιλογής), για οσοδήποτε μεγάλους πληθάριθμους ℵ a {\displaystyle \aleph _{a}} να μην ισχύει η ισότητα 2 ℵ a = ℵ a + 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{a}}=\aleph _{a+1}} . Πολύ αργότερα, ο Φόρμαν και ο Γούντιν απέδειξαν (υποθέτοντας την ορθότητα των πολύ μεγάλων πληθαρίθμων) ότι είναι ορθό ότι η ανισότητα 2 k > k + {\displaystyle 2^{k}>k^{+}} ισχύει για κάθε άπειρο πληθάριθμο k {\displaystyle k} . Αργότερα, ο Γούντιν επέκτεινε την ιδέα αυτή, αποδείκνύοντας την ορθότητα της ισότητας 2 k = k + + {\displaystyle 2^{k}=k^{++}} για κάθε k {\displaystyle k} . Ο Καρμί Μερίμοβιτς το 2007 απέδειξε ότι για κάθε n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} , είναι σύμφωνο με τη θεωρία συνόλων ZFC ότι για κάθε k, το 2 k {\displaystyle 2^{k}} είναι ο n-οστός διάδοχος του k. Απο την άλλη πλευρά, ο Λάζλο Πατάι (1930) απέδειξε ότι αν γ είναι ένας τακτικός αριθμός και για κάθε άπειρο πληθάριθμο k, το 2 k {\displaystyle 2^{k}} είναι ο γ-οστός διάδοχος του k, τότε το γ είναι άπειρο. Για οποιαδήποτε άπειρα σύνολα Α και Β, αν υπάρχει μια 1 προς 1 απεικόνιση από το Α στο Β, τότε υπάρχει μια 1 προς 1 απεικόνιση από υποσύνολα του Α σε υποσύνολα του Β. Έτσι, για οποιουσδήποτε πληθάριμους m {\displaystyle m} και n {\displaystyle n} , ισχύει m < n ⇒ 2 m ⩽ 2 n {\displaystyle m<n\Rightarrow 2^{m}\leqslant 2^{n}} . Αν τα m {\displaystyle m} και n {\displaystyle n} είναι πεπερασμένοι αριθμοί, τότε ισχύει η ισχυρότερη ανισότητα: m < n ⇒ 2 m < 2 n {\displaystyle m<n\Rightarrow 2^{m}<2^{n}} . Η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς υπονοεί ότι αυτή η αυστηρή και ισχυρότερη ανισότητα είναι αληθής και για άπειρους πληθάριθμους. Συνέπειες της γενικευμένη υπόθεσης του συνεχούς για τη μετατροπή πληθαρίθμων σε εκθετική μορφή Αν και η γενικευμένη υπόθεση του συνεχούς αναφέρεται άμεσα μόνο στη μετατροπή πληθαρίμων σε εκθετική μορφή έχοντας ως βάση το 2, μπορεί κανείς να εξάγει από αυτήν την εκθετικοποίηση των πληθαρίθμων σε όλες τις περιπτώσεις. Υπονοεί ότι το ℵ a ℵ b {\displaystyle {\aleph _{a}}^{\aleph _{b}}} ισούται με: ℵ b + 1 {\displaystyle \aleph _{b+1}} , όταν a ⩽ b + 1 ; {\displaystyle a\leqslant b+1;} ℵ a {\displaystyle \aleph _{a}} , όταν b + 1 < a {\displaystyle b+1<a} και ℵ b < c f ( ℵ a ) {\displaystyle \aleph _{b}<cf(\aleph _{a})} , όπου cf είναι η πράξη cofinality; και ℵ a + 1 {\displaystyle \aleph _{a+1}} , όταν b + 1 < a {\displaystyle b+1<a} και ℵ b ≥ c f ( ℵ a ) {\displaystyle \aleph _{b}\geq cf(\aleph _{a})} .