Αστεροειδές πολύγωνο

Στη γεωμετρία, το αστεροειδές πολύγωνο (δεν πρέπει να συγχέεται με πολύγωνα που έχουν σχήμα αστεριού) είναι ένα κοίλο πολύγωνο. Μόνο τα κανονικά αστεροειδή πολύγωνα έχουν μελετηθεί εις βάθος και σε γενικές γραμμές τα αστεροειδή πολύγωνα δεν φαίνεται να έχουν καθοριστεί μορφολογικά. Ο Μπράνκο Γκρηνμπάουμ εντόπισε δύο πρωτογενείς ορισμούς που χρησιμοποιήθηκαν από τον Γιόχαν Κέπλερ, ο ένας είναι τα κανονικά αστεροειδή πολύγωνα με τεμνόμενες ακμές που δεν δημιουργούν νέες κορυφές και ο δεύτερος τα απλά ισότοξα κοίλα πολύγωνα.Η πρώτη χρήση περιλαμβάνεται στα πολυγράμματα που περιλαμβάνουν πολύγωνα όπως το πεντάγραμμα, καθώς και στις ένωσεις σχημάτων, όπως το εξάγραμμα.

 Το κανονικό αστεροειδές πολύγωνο είναι ένα αυτο-τεμνόμενο, ισόπλευρο και ισόγωνο πολύγωνο. Δημιουργείται από ένα απλό κανονικό πολύγωνο με p πλευρές, συνδέοντας μια κορυφή με μια άλλη μη γειτονική κορυφή και συνεχίζοντας τη διαδικασία αυτή μέχρι να φτάσουμε και πάλι στην αρχική κορυφή. Εναλλακτικά, για ακέραιους αριθμούς p και q, μπορεί να θεωρηθεί ότι κατασκευάζεται συνδέοντας κάθε q-στό σημείο από p σημεία που παρατίθενται κυκλικά σε τακτικά διαστήματα μεταξύ τους. Για παράδειγμα, από ένα κανονικό πεντάγωνο, μπορεί να ληφθεί ένα πεντάκτινο αστέρι σχεδιάζοντας μια γραμμή που ξεκινά από την πρώτη κορυφή προς την τρίτη κορυφή, και συνεχίζει από την τρίτη κορυφή προς την πέμπτη κορυφή, από την πέμπτη κορυφή προς τη δεύτερη κορυφή, από τη δεύτερη κορυφή προς την τέταρτη κορυφή, και από την τέταρτη κορυφή καταλήγει και πάλι στην πρώτη κορυφή. Ένα κανονικό αστεροειδές πολύγωνο συμβολίζεται με Schläfli {p/q}, όπου οι αριθμοί p και q είναι σχετικά πρώτοι (δεν έχουν κανένα κοινό παράγοντα) και q ≥ 2. Η ομάδα συμμετρίας των {n/k} είναι διεδρική Dn τάξης 2n, ανεξάρτητα του k. Ένα κανονικό αστεροειδές πολύγωνο μπορεί επίσης να ληφθεί ως μια ακολουθία αστερισμών που έχουν ως πυρήνα ένα κυρτό κανονικό πολύγωνο. Τα κανονικά αστεροειδή πολύγωνα μελετήθηκαν συστηματικά για πρώτη φορά από τον Thomas Bradwardine και αργότερα από τον Γιόχαν Κέπλερ. Αν οι αριθμοί p και q δεν είναι σχετικά πρώτοι, το εκφυλισμένο πολύγωνο που παράγουν θα είναι αποτέλεσμα κορυφών και ακμών που συμπίπτουν. Για παράδειγμα το {6/2} θα εμφανιστεί ως ένα τρίγωνο, αλλά μπορεί να επισημανθεί με δύο σύνολα κορυφών 1-6. Αυτά δεν θα πρέπει να θεωρηθούν ως δύο επικαλυπτόμενα τρίγωνα, αλλά ως διπλό τύλιγμα ενός ενιαίου unicursal εξαγώνου. Όταν αφαιρεθούν οι τεμνόμενες γραμμές, τα αστεροειδή πολύγωνα δεν είναι πλέον κανονικά, αλλά μπορεί να θεωρηθούν ως απλά ισότοξα κοίλα 2n-γωνα, που έχουν εναλλασσόμενες κορυφές δύο διαφορετικών ακτίνων, οι οποίες δεν ταιριάζουν κατ' ανάγκη με γωνίες κανονικού αστεροειδούς πολυγώνου. Ο Μπράνκο Γκρηνμπάουμ στο βιβλίο του Tilings and Patterns συμβολίζει αυτά τα αστεροειδή ως |n/d| που ταιριάζει με τη γεωμετρία των πολυγραμμάτων {n/d} με γενικότερο συμβολισμό {nα}, που αντιπροσωπεύει τα αστεροειδή με n πλευρές και κάθε εσωτερική γωνία α<180°(1-2/n) μοίρες. Για τα |n/d|, οι εσωτερικές κορυφές έχουν μία εξωτερική γωνία, β, που είναι 360°(d-1)/n. Αυτά τα πολύγωνα εμφανίζονται συχνά ως σχέδια σε πλακάκια. Η παραμετρική γωνία α (σε μοίρες ή ακτίνια) μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε να ταιριάζει με τις εσωτερικές γωνίες των γειτονικών πολυγώνων σε ένα μοτίβο πλακόστρωσης. Το 1619, ο Γιόχαν Κέπλερ στο έργο του Harmonices Mundi συμπεριέλαβε μεταξύ άλλων περιοδικών πλακοστρώσεων και κάποιες μη περιοδικές πλακοστρώσεις, όπως τα τρία κανονικά πεντάγωνα, όπου το κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο (5.5.5.5/2) μπορεί να χωρέσει γύρω από μια κορυφή, κάτι τέτοιο σχετίζεται και με τις σύγχρονες πλακόστρωσεις του Ρότζερ Πενρόουζ. Cromwell, P.; Polyhedra, CUP, Hbk. (1997), ISBN 0-521-66432-2. Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5. p. 175 Branko Grünbaum and G.C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1. Branko Grünbaum; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43–70. Branko Grünbaum, Metamorphoses of polygons, published in The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994) John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass; The Symmetries of Things (2008), ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 2) Weisstein, Eric W., "Star Polygon" από το MathWorld.