Ανισότητα Μπερνούλι

Η ανισότητα Μπερνούλι (αναφέρεται και ως ανισότητα Bernoulli) είναι η ανισότητα: ( 1 + α ) ν ≥ 1 + ν α , {\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }\geq 1+\nu \alpha ,} για κάθε φυσικό αριθμό ν ∈ N {\displaystyle \nu \in \mathbb {N} } και πραγματικό αριθμό α ∈ [ − 1 , + ∞ ) {\displaystyle \alpha \in [-1,+\infty )} .

 Θα αποδείξουμε την ανισότητα με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής για το ν {\displaystyle \nu } . Βασικό βήμα: Για ν = 0 {\displaystyle \nu =0} , η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς ( 1 + α ) 0 = 1 = 1 + α ⋅ 0 {\displaystyle (1+\alpha )^{0}=1=1+\alpha \cdot 0} . Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η ανισότητα ισχύει για ν = κ {\displaystyle \nu =\kappa } , δηλαδή ( 1 + α ) κ ≥ 1 + κ α {\displaystyle (1+\alpha )^{\kappa }\geq 1+\kappa \alpha } , τότε για ν = κ + 1 {\displaystyle \nu =\kappa +1} , έχουμε ( 1 + α ) κ + 1 = ( 1 + α ) κ ⋅ ( 1 + α ) ≥ ( 1 + κ α ) ⋅ ( 1 + α ) = 1 + κ α + α + κ α 2 = 1 + ( κ + 1 ) α + κ α 2 ≥ 1 + ( κ + 1 ) α , {\displaystyle {\begin{aligned}(1+\alpha )^{\kappa +1}&=(1+\alpha )^{\kappa }\cdot (1+\alpha )\\&\geq (1+\kappa \alpha )\cdot (1+\alpha )\\&=1+\kappa \alpha +\alpha +\kappa \alpha ^{2}\\&=1+(\kappa +1)\alpha +\kappa \alpha ^{2}\\&\geq 1+(\kappa +1)\alpha ,\end{aligned}}} χρησιμοποιώντας ότι κ α 2 ≥ 0 {\displaystyle \kappa \alpha ^{2}\geq 0} καθώς κ ≥ 0 {\displaystyle \kappa \geq 0} και α 2 ≥ 0 {\displaystyle \alpha ^{2}\geq 0} . Επομένως, η ανισότητα ισχύει και για ν = κ + 1 {\displaystyle \nu =\kappa +1} , άρα και για όλους τους φυσικούς αριθμούς. Για ν = 0 {\displaystyle \nu =0} , η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς ( 1 + α ) 0 = 1 = 1 + α ⋅ 0 {\displaystyle (1+\alpha )^{0}=1=1+\alpha \cdot 0} . Για ν ≥ 1 {\displaystyle \nu \geq 1} , από διωνυμικό θεώρημα έχουμε ότι όπου ( ν i ) {\displaystyle {\binom {\nu }{i}}} είναι οι διωνιμικοί συντελεστές. Αφού ( ν i ) ≥ 0 {\displaystyle {\binom {\nu }{i}}\geq 0} και α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} , δηλαδή κάθε όρος του αθροίσματος είναι μη-αρνητικός, έχουμε ότι: Ενώνοντας τις σχέσεις (1) και (2), έχουμε ότι ( 1 + α ) ν ≥ 1 + ν ⋅ α . {\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }\geq 1+\nu \cdot \alpha .} Η πρώτη γενίκευση είναι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό α {\displaystyle \alpha } , όταν η δύναμη ν {\displaystyle \nu } είναι ζυγός φυσικός αριθμός (δείτε το διάγραμμα για τις περιπτώσεις ν = 2 , 4 {\displaystyle \nu =2,4} ). Θεώρημα::65 Για κάθε ζυγό φυσικό αριθμό ν ≥ 0 {\displaystyle \nu \geq 0} και α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } , έχουμε ( 1 + α ) ν ≥ 1 + ν α , {\displaystyle (1+\alpha )^{\nu }\geq 1+\nu \alpha ,} Η παρακάτω γενίκευση είναι για εκθέτες που δεν είναι κατά ανάγκη φυσικοί αριθμοί. Θεώρημα::65 Έστω α ≥ − 1 {\displaystyle \alpha \geq -1} και r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } . Τότε, έχουμε ότι ( 1 + α ) r ≥ 1 + r α {\displaystyle (1+\alpha )^{r}\geq 1+r\alpha } , για r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} ή r ≤ 0 {\displaystyle r\leq 0} , και ( 1 + α ) r ≤ 1 + r α {\displaystyle (1+\alpha )^{r}\leq 1+r\alpha } , για r ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle r\in [0,1]} . Η παρακάτω επέκταση είναι για όταν οι ν {\displaystyle \nu } όροι μπορεί να είναι διαφορετικοί. Η ανισότητα αυτή σχετίζεται με την ανισότητα Weierstrass.Θεώρημα::69 Έστω ν ∈ N {\displaystyle \nu \in \mathbb {N} } , α 1 , … , α ν ∈ R {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{\nu }\in \mathbb {R} } και r 1 , … , r ν ∈ R {\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{\nu }\in \mathbb {R} } . Τότε, ∏ i = 1 ν ( 1 + α i ) r i ≤ 1 + ∑ i = 1 ν α i r i {\displaystyle \prod _{i=1}^{\nu }(1+\alpha _{i})^{r_{i}}\leq 1+\sum _{i=1}^{\nu }\alpha _{i}r_{i}} , όταν α i > − 1 {\displaystyle \alpha _{i}>-1} και r i ≥ 0 {\displaystyle r_{i}\geq 0} για κάθε 1 ≤ i ≤ ν {\displaystyle 1\leq i\leq \nu } , ∏ i = 1 ν ( 1 + α i ) r i ≤ 1 + ∑ i = 1 ν α i r i {\displaystyle \prod _{i=1}^{\nu }(1+\alpha _{i})^{r_{i}}\leq 1+\sum _{i=1}^{\nu }\alpha _{i}r_{i}} , όταν α i > 0 {\displaystyle \alpha _{i}>0} ή α i ∈ ( − 1 , 0 ) {\displaystyle \alpha _{i}\in (-1,0)} για κάθε 1 ≤ i ≤ ν {\displaystyle 1\leq i\leq \nu } και r i ≤ 0 {\displaystyle r_{i}\leq 0} ή r i ≥ 1 {\displaystyle r_{i}\geq 1} για κάθε 1 ≤ i ≤ ν {\displaystyle 1\leq i\leq \nu } . «Γενίκευση της ανισότητας Bernulli για εκθέτη τυχόντα πραγματικό. Αξιοσημείωτες εφαρμογές». Ευκλείδης Β΄ (5): 3-5. 1977. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3453. Armitage, D. H. (Δεκεμβρίου 1982). «Two applications of Bernoulli’s inequality». The Mathematical Gazette 66 (438): 309–310. doi:10.2307/3615526. Vîjîitu, Horia (Ιουλίου 2019). «103.19 Bernoulli's inequality for negative exponents». The Mathematical Gazette 103 (557): 316–317. doi:10.1017/mag.2019.66. Mortici, Cristinel (Μαρτίου 2015). «A Very Elementary Proof of Bernoulli's Inequality». The College Mathematics Journal 46 (2): 136–137. doi:10.4169/college.math.j.46.2.136. Plaza, Ángel (1 Φεβρουαρίου 2009). «Proof Without Words: Bernoulli's Inequality». Mathematics Magazine 82 (1): 62–62. doi:10.4169/193009809X469093. Mercer, Peter R. (15 Μαρτίου 2022). «Extending Extending Bernoulli’s Inequality». The College Mathematics Journal 53 (2): 149–150. doi:10.1080/07468342.2022.2020587. Wiener, Joseph (Νοεμβρίου 1985). «Bernoulli's Inequality and the Number e». The College Mathematics Journal 16 (5): 399–400. doi:10.1080/07468342.1985.11972916. Gerber, Leon (Οκτωβρίου 1968). «An Extension of Bernoulli's Inequality». The American Mathematical Monthly 75 (8): 875. doi:10.2307/2314344.