Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Εξαναγκασμένη ταλάντωση ονομάζεται η ταλάντωση που προκαλείται σε ένα σύστημα από μια περιοδική εξωτερική δύναμη. Η περιοδική αυτή δύναμη ονομάζεται διεγείρουσα, ενώ ο μηχανισμός που ασκεί αυτές τις δυνάμεις και προσφέρει ενέργεια στο σύστημα ονομάζεται διεγέρτης. Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται κυρίως από τη συχνότητα του διεγέρτη, αλλά και από τη μέγιστη τιμή της δύναμής του. Όσο η συχνότητα του διεγέρτη προσεγγίζει την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή (τη συχνότητα που εκτελεί αυτός ελεύθερη ταλάντωση), τόσο μεγαλύτερο είναι το πλάτος. Ο λόγος αυτής της συμπεριφοράς είναι ότι η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή εκφράζει τη συχνότητα με την οποία λαμβάνει (ή όχι) ενέργεια από το διεγέρτη. Όταν τα δύο μεγέθη ταυτίζονται, τότε ο ταλαντωτής λαμβάνει όλη την ενέργεια του διεγέρτη και έχουμε συντονισμό. Δηλαδή κατά τον συντονισμό ο ταλαντωτής αποκτά μέγιστο πλάτος ταλάντωσης. Θεωρητικά, για μηδενικές απώλειες του ταλαντωτή, το πλάτος γίνεται άπειρο. Η περίοδος Τ (και η συχνότητα f) της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι ίδια με αυτή του διεγέρτη. Αυτό το φαινόμενο εξηγεί σημαντικό μέρος του κύματος, όπου το κάθε στοιχειώδες σωματίδιο του μέσου εξαναγκάζει σε ταλάντωση τα γειτονικά του. Τυπικό παράδειγμα εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι ένα σύστημα απλής αρμονικής ταλάντωσης ( χ = A η μ ( ω t ) {\displaystyle \chi =A\eta \mu (\omega t)} ) στο οποίο ενεργεί η δύναμη F = F 0 σ υ ν ( ω t ) {\displaystyle F=F_{0}\sigma \upsilon \nu (\omega t)} , όπου F 0 {\displaystyle F_{0}} η μέγιστη τιμή δύναμης του διεγέρτη και η ω γωνιακή συχνότητά του. Το αποτέλεσμα είναι απλή αρμονική ταλάντωση με τη συχνότητα του διεγέρτη και πλάτος που καθορίζεται από την ενέργεια που τελικά αποκτά το σύστημα.

 Γενικά σε κάποιο σύστημα ενεργούν δυνάμεις απόσβεσης. Αυτές έχουν την μορφή F = − b v {\displaystyle F=-bv} και τείνουν να μειώσουν το πλάτος της ταλάντωσης. Η σταθερά b ονομάζεται σταθερά απόσβεσης. Αν στον ταλαντωτή δεν ενεργεί κάποια δύναμη διέγερσης τότε θα έχουμε φθίνουσα ταλάντωση, αλλιώς θα έχουμε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, τα χαρακτηριστικά της οποίας θα εξαρτώνται και από τη σταθερά απόσβεσης. Χαρακτηριστικά όταν η σταθερά απόσβεσης έχει πολύ μεγάλη τιμή, δεν παρατηρείται έντονα το φαινόμενο του συντονισμού. Μια δύναμη τριβής σε ταλαντούμενο σύστημα μπορεί να έχει την γενική μορφή: F ( v ) = a 0 + a 1 v + a 2 v 2 + . . . = Σ i a i v i {\displaystyle F(v)=a_{0}+a_{1}v+a_{2}v^{2}+...=\Sigma _{i}a_{i}v^{i}} . Σε συστήματα που έχουμε την γνωστή μας τριβή, κυριαρχεί ο μηδενικός όρος. Σε συστήματα παράλληλης κίνησης σώματος μέσα σε ρευστό με ιξώδες κυριαρχεί ο πρωτοτάξιος όρος. Για συστήματα κίνησης σε ιξωδικό ρευστό με υψηλές ταχύτητες κυριαρχεί ο δευτεροτάξιος όρος. Μπορούμε να δούμε πως όλες αυτές οι ταλαντώσεις είναι περιοδικές κινήσεις με το πλάτος ταλάντωσης να μειώνεται συνεχώς, όμως δεν είναι όλες αρμονικές κινήσεις. Για να είναι μια ταλάντωση αρμονική κίνηση θα πρέπει να εκτελείται με σταθερή κυκλική συχνότητα ω {\displaystyle \omega } σε όλη την διάρκεια μιας περιόδου, και την ιδιότητα αυτή την έχουν ταλαντώσεις που εκτελούνται με δύναμη τριβής της μορφής F ( v ) = − b v {\displaystyle F(v)=-bv} . Για μια τέτοια κίνηση, ο Νόμος του Νιούτον γράφεται: x ¨ ( t ) + b m x ˙ ( t ) + k m x ( t ) = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}(t)+{\frac {b}{m}}\,{\dot {x}}(t)+{\frac {k}{m}}\,x(t)=0} όπου, αν απουσίαζε ο μεσαίος όρος της δύναμης τριβής, θα είχαμε γραμμική αρμονική ταλάντωση. Για εξισώσεις τέτοιας μορφής αναζητάμε την λύση στη μορφή: x ( t ) = e r t y ( t ) {\displaystyle x(t)=e^{rt}\,y(t)} . Παραγωγίζοντας και αντικαθιστώντας στην παραπάνω έχουμε: y ¨ ( t ) + ( 2 r + b m ) y ˙ ( t ) + ( r 2 + b m r + k m ) y ( t ) = 0 {\displaystyle {\ddot {y}}(t)+\left(2r+{\frac {b}{m}}\right)\,{\dot {y}}(t)+\left(r^{2}+{\frac {b}{m}}r+{\frac {k}{m}}\right)\,y(t)=0} Μπορούμε τώρα ν' απλοποιήσουμε την εξίσωση επιλέγοντας το r {\displaystyle r} να είναι τέτοιο ώστε ο συντελεστής της 1ης παραγώγου να γίνει μηδέν: 2 r + b m = 0 ⇒ r = − b 2 m {\displaystyle 2r+{\frac {b}{m}}=0\Rightarrow r=-{\frac {b}{2m}}} Για αυτή την τιμή του r {\displaystyle r} γίνεται: y ¨ ( t ) + ( k m − b 2 4 m 2 ) y ( t ) = 0 {\displaystyle {\ddot {y}}(t)+\left({\frac {k}{m}}-{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}\right)y(t)=0} που είναι η γνωστή μας εξίσωση με τις τριγωνομετρικές λύσεις. Ορίζοντας ω 0 2 = k / m {\displaystyle \omega _{0}^{2}=k/m} , η παραπάνω εξίσωση γράφεται: y ¨ ( t ) + ( ω 0 2 − r 2 ) y ( t ) = 0 {\displaystyle {\ddot {y}}(t)+(\omega _{0}^{2}-r^{2})y(t)=0} με γενική λύση: x ( t ) = x 0 e r t sin ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x(t)=x_{0}e^{rt}\sin(\omega t+\phi )} όπου ω 2 = ω 0 2 − r 2 {\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{0}^{2}-r^{2}} . Η γωνία φάσης ϕ {\displaystyle \phi } καθορίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Αυτό το αποτέλεσμα μας δείχνει πως η τριβή μειώνει την συχνότητα ταλάντωσης και, αν είναι r 2 ≥ ω 0 2 ⇒ b 2 ≥ 4 m k {\displaystyle r^{2}\geq \omega _{0}^{2}\Rightarrow b^{2}\geq 4mk} , η κίνηση γίνεται μη περιοδική. Δεν χρειάζεται να λύσουμε ξανά την διαφορική εξίσωση υπό διαφορετικές συνθήκες απόσβεσης αφού μπορούμε να περάσουμε σε υπερβολική γεωμετρία μέσω της: sin ⁡ ( i ω t ) = sinh ⁡ ( ω t ) {\displaystyle \sin(i\omega {t})=\sinh(\omega {t})} , όπου i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . Εναλλακτικά, οι εκθετικές λύσεις προκύπτουν μηδενίζοντας τον συντελεστή ( r 2 + b m r + k m ) {\displaystyle \left(r^{2}+{\frac {b}{m}}r+{\frac {k}{m}}\right)} στην διαφορική εξίσωση της κίνησης, ο οποίος έχει αρνητικές πραγματικές ρίζες για το r {\displaystyle r} για b 2 ≥ 4 m k {\displaystyle b^{2}\geq 4mk} . Για ένα σύστημα μάζας m {\displaystyle m} και ελατηρίου σταθεράς k {\displaystyle k} , στο οποίο ασκείται μια δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας − b v {\displaystyle -bv} , ασκούμε εξωτερική αρμονική διέγερση: F ( t ) = F 0 sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle F(t)=F_{0}\sin(\omega {t})} . Ο Νόμος του Νιούτον σε αυτή την περίπτωση γράφεται ως: m d 2 x d t 2 = − k x − b d x d t + F 0 sin ⁡ ( ω t ) ⇒ {\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx-b{\frac {dx}{dt}}+F_{0}\sin(\omega {t})\Rightarrow } x ¨ + 2 r x ˙ + ω 0 2 x = f 0 sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle {\ddot {x}}+2r{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f_{0}\sin(\omega {t})} όπου r = − b / 2 m {\displaystyle r=-b/2m} ο συντελεστής του εκθετικού απόσβεσης, ω 0 2 = k / m {\displaystyle \omega _{0}^{2}=k/m} η κυκλική ιδιοσυχνότητα του συστήματος, αν σε αυτό δεν υπήρχε απόσβεση, και f 0 = F 0 / m {\displaystyle f_{0}=F_{0}/m} το πλάτος της διέγερσης. Δοκιμάζοντας μια τριγωνομετρική λύση με κυκλική συχνότητα ίση με την κυκλική συχνότητα του διεγέρτη: x ( t ) = α sin ⁡ ( ω t ) + β cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle x(t)=\alpha \sin(\omega {t})+\beta \cos(\omega {t})} παίρνουμε το αλγεβρικό σύστημα: ( ω 0 2 − ω 2 ) α − 2 r ω β = f 0 {\displaystyle (\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,\alpha -2r\,\omega \,\beta =f_{0}} και 2 r ω α + ( ω 0 2 − ω 2 ) β = 0 {\displaystyle 2r\,\omega \,\alpha +(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})\,\beta =0} με λύση: α = ω 0 2 − ω 2 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 + 4 r 2 ω 2 f 0 {\displaystyle \alpha ={\frac {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4r^{2}\omega ^{2}}}f_{0}} και β = 2 r ω ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 + 4 r 2 ω 2 f 0 {\displaystyle \beta ={\frac {2r\omega }{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4r^{2}\omega ^{2}}}f_{0}} Μετασχηματίζοντας αυτό το αποτέλεσμα στην γραφή με μία τριγωνομετρική συνάρτηση και γωνία φάσης, όπου είναι A = α 2 + β 2 {\displaystyle A={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}} και tan ⁡ ϕ = β / α {\displaystyle \tan {\phi }=\beta /\alpha } έχουμε: A = f 0 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 + 4 r 2 ω 2 {\displaystyle A={\frac {f_{0}}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4r^{2}\omega ^{2}}}}} , και tan ⁡ ϕ = 2 r ω ω 0 2 − ω 2 {\displaystyle \tan {\phi }={\frac {2r\omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}} για την λύση της μορφής: x ( t ) = A sin ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x(t)=A\sin(\omega {t}+\phi )} και v ( t ) = ω A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle v(t)=\omega \,A\cos(\omega {t}+\phi )} Από τα παραπάνω βλέπουμε πως, όταν δεν υπάρχει απόσβεση ( r = 0 {\displaystyle r=0} ), τόσο η ταχύτητα όσο και η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας παίρνουν τη μέγιστη τιμή τους (άπειρη) για ω = ω 0 {\displaystyle \omega =\omega _{0}} , και το σύστημα βρίσκεται σε φάση ( ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} ) με τον διεγέρτη, για κάθε τιμή της κυκλικής συχνότητας. Συχνά μπερδευόμαστε όταν λέμε "καθώς αυξάνει η συχνότητα", έχοντας υπόψη μας μια μεταβατική κατάσταση. Οι παραπάνω λύσεις αναφέρονται σε ποικίλες καταστάσεις σταθερής κυκλικής συχνότητας. Βλέπουμε τώρα πως, στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, η ενέργεια του ταλαντούμενου συστήματος δεν μπορεί να παραμένει σταθερή κατά την διάρκεια μιας περιόδου επειδή ο διεγέρτης σε μερικές περιοχές της περιόδου προσφέρει ενέργεια και σε κάποιες άλλες αφαιρεί, προκειμένου να επιβάλλει την δική του συχνότητα ταλάντωσης: T m a x U m a x = m ω 2 A 2 k A 2 = ω 2 ω 0 2 {\displaystyle {\frac {T_{max}}{U_{max}}}={\frac {m\omega ^{2}A^{2}}{kA^{2}}}={\frac {\omega ^{2}}{\omega _{0}^{2}}}} Δηλαδή, όταν και μόνο όταν διεγέρτης και ταλαντωτής βρίσκονται σε κατάσταση συντονισμού τότε κινούνται σε φάση και η ενέργεια της ταλάντωσης είναι σταθερή, και αυτό ισχύει υπό την προϋπόθεση πως δεν υπάρχει απόσβεση. Όταν υπάρχει απόσβεση, διεγέρτης και ταλαντωτής ταλαντώνονται με διαφορά φάσης ϕ {\displaystyle \phi } , η οποία γίνεται π / 2 {\displaystyle \pi /2} στην κατάσταση συντονισμού. Η ανταλλαγή ισχύος μεταξύ διεγέρτη και ταλαντωτή είναι: P ( t ) = F ( t ) v ( t ) = F 0 ω A sin ⁡ ( ω t ) cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle P(t)=F(t)v(t)=F_{0}\omega {A}\sin(\omega {t})\cos(\omega {t}+\phi )} η οποία δεν είναι θετικά ορισμένη. Έτσι, σε κάποιες περιοχές της περιόδου είναι θετική και σε κάποιες αρνητική. Για την περίπτωση του συντονισμού είναι ϕ = π / 2 {\displaystyle \phi =\pi /2} , οπότε η ισχύς γίνεται θετικά ορισμένη: P ( t ) = F 0 ω A sin 2 ⁡ ( ω t ) {\displaystyle P(t)=F_{0}\omega {A}\sin ^{2}(\omega {t})} συνθήκη που δηλώνει πως σ' αυτή την κατάσταση, ο ταλαντωτής παίρνει από τον διεγέρτη την μέγιστη δυνατή ισχύ. Ένα άλλο σημαντικό στοιχείο που εισάγει η απόσβεση είναι πως η μέγιστη τιμή για την απομάκρυνση δεν εμφανίζεται στην συχνότητα συντονισμού ω = ω 0 {\displaystyle \omega =\omega _{0}} αλλά σε μικρότερη. Η συνθήκη ακρότατου μας δίνει: ω A m a x 2 = ω 0 2 − 2 r 2 = ω 0 2 − b 2 / 2 m 2 {\displaystyle \omega _{A_{max}}^{2}=\omega _{0}^{2}-2r^{2}=\omega _{0}^{2}-b^{2}/2m^{2}} ενώ η μέγιστη τιμή για το πλάτος ταχύτητας εμφανίζεται για ω = ω 0 {\displaystyle \omega =\omega _{0}} , ανεξάρτητα απόσβεσης. Η συνθήκη αυτή μας δείχνει πως για b 2 > m 2 ω 0 2 ⇒ b 2 > m k {\displaystyle b^{2}>m^{2}\omega _{0}^{2}\Rightarrow b^{2}>mk} το πλάτος της ταλάντωσης αποτελεί γνησίως φθίνουσα συνάρτηση χωρίς να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Τάξης Γενικού Λυκείου, ΟΕΔΒ, έκδοση Η΄, Αθήνα 2008, ISBN 960-06-1154-8 Στέφανος Τραχανάς, Διαφορικές Εξισώσεις, Τόμος Ι, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1989, ISBN 978-960-524-089-9