Πεδίο τιμών

Στα μαθηματικά, το πεδίο τιμών μιας συνάρτησης είναι το σύνολο στο οποίο περιορίζεται η έξοδος αυτής της συνάρτησης. Είναι το σύνολο Y στον συμβολισμό f: X → Y. Το πεδίο τιμών είναι ένα μέρος μιας συνάρτησης f, εάν η f ορίζεται ως ένα σώμα (X, Y, G) όπου το X ονομάζεται πεδίο ορισμού, το Y πεδίο τιμών και το G γραφική παράσταση της f. Το σύνολο όλων των στοιχείων της μορφής f(x), όπου το x ανήκει στα στοιχεία του πεδίου ορισμού του X, ονομάζεται σύνολο τιμών της f. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι ένα υποσύνολο του πεδίου τιμών της, επομένως μπορεί να μην συμπίπτει με αυτό. Δηλαδή, μια συνάρτηση που δεν είναι επί έχει στοιχεία y που ανήκουν στο πεδίο τιμών, για τα οποία η εξίσωση f(x) = y δεν έχει λύση. Το πεδίο τιμών δεν είναι μέρος μιας συνάρτησης f, εάν η f ορίζεται απλά ως μια γραφική παράσταση. Με έναν τέτοιο ορισμό, οι συναρτήσεις δεν έχουν πεδίο τιμών, αν και κάποιοι εξακολουθούν να τον χρησιμοποιούν ανεπίσημα όταν εισάγεται μια συνάρτηση της μορφής f: X → Y.

 Για μια συνάρτηση f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } που ορίζεται ως f : x ↦ x 2 , {\displaystyle f\colon \,x\mapsto x^{2},} ή ισοδύναμα f ( x ) = x 2 , {\displaystyle f(x)\ =\ x^{2},} το πεδίο τιμών της f είναι το R {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} } , αλλά η f δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα αρνητικό αριθμό. Έτσι, το πεδίο τιμών της f είναι το σύνολο R 0 + {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}} , δηλαδή το διάστημα [0, ∞). Έστω τώρα μια παρόμοια συνάρτηση g που ορίζεται ως εξής: g : R → R 0 + {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}} g : x ↦ x 2 . {\displaystyle g\colon \,x\mapsto x^{2}.} Παρόλο που η f και η g έχουν τον ίδιο τύπο και το ίδιο πεδίο ορισμού, δεν είναι, σε αυτήν την περίπτωση, οι ίδιες συναρτήσεις επειδή έχουν διαφορετικά πεδία τιμών. Ας ορίσουμε μια τρίτη συνάρτηση h για να δείξουμε γιατί συμβαίνει αυτό: h : x ↦ x . {\displaystyle h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.} Το πεδίο ορισμού της h δεν μπορεί να είναι R {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} } , αλλά μπορεί να οριστεί ώστε να είναι R 0 + {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}} : h : R 0 + → R . {\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .} Οι συνθέσεις γράφονται ως εξής: h ∘ f , {\displaystyle h\circ f,} h ∘ g . {\displaystyle h\circ g.} Όπως είδαμε, το πεδίο τιμών της f δεν είναι γνωστό. Είναι γνωστό μόνο το ότι είναι ένα υποσύνολο του R {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} } . Για τον λόγο αυτό, είναι πιθανόν η h, όταν συνθέτεται με την f, να λάβει κάποιους αριθμούς για τους οποίους δεν ορίζεται κάποια έξοδος. Στην προκειμένη περίπτωση, οι αρνητικοί αριθμοί δεν είναι στοιχεία του πεδίου ορισμού της h, που είναι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας. Επομένως, η σύνθεση συναρτήσεων είναι μια χρήσιμη έννοια μόνο όταν το πεδίο τιμών της συνάρτησης που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της σύνθεσης (όχι το σύνολο τιμών της, το οποίο μπορεί να είναι άγνωστο όταν γίνεται η σύνθεση) είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της σύνθεσης. Το πεδίο τιμών επηρεάζει το εάν μια συνάρτηση είναι επί, καθώς μια συνάρτηση είναι επί αν και μόνο αν το πεδίο τιμών της ισούται με το σύνολο τιμών της. Στο παράδειγμά μας, η g είναι επί ενώ η f όχι. Το πεδίο τιμών δεν επηρεάζει το εάν μια συνάρτηση είναι ένα προς ένα. Ένα δεύτερο παράδειγμα της διαφοράς μεταξύ του πεδίου τιμών και του συνόλου τιμών μπορεί να φανεί από τους γραμμικούς μετασχηματισμούς μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων. Συγκεκριμένα, όλοι οι γραμμικοί μετασχηματισμοί από το R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} στον εαυτό του, οι οποίοι μπορούν να αναπαρασταθούν από 2×2 πίνακες με πραγματικούς συντελεστές. Κάθε πίνακας αντιπροσωπεύει μια απεικόνιση με το πεδίο ορισμού R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} και το πεδίο τιμών R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} . Ωστόσο, το σύνολο τιμών είναι άγνωστο. Ορισμένοι μετασχηματισμοί μπορεί να έχουν σύνολο τιμών που είναι ίσο με ολόκληρο το πεδίο τιμών (σε αυτή την περίπτωση οι πίνακες με βαθμό (τάξη) 2), αλλά άλλοι μπορεί να μην έχουν. Αντιθέτως, αντιστοιχίζονται σε κάποιο μικρότερο υποχώρο (σε αυτή την περίπτωση οι πίνακες με βαθμό (τάξη) 1 ή 0). Πάρτε για παράδειγμα τον πίνακα T που δίνεται παρακάτω T = ( 1 0 1 0 ) , {\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}},} ο οποίος αντιπροσωπεύει έναν γραμμικό μετασχηματισμό που απεικονίζει το σημείο (x, y) στο σημείο (x, x). Το σημείο (2, 3) δεν βρίσκεται στο σύνολο τιμών του T, αλλά εξακολουθεί να βρίσκεται στο πεδίο τιμών, αφού οι γραμμικοί μετασχηματισμοί από το R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} στο R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} υπάρχουν. Ακριβώς όπως όλοι οι 2×2 πίνακες, έτσι και ο T αντιπροσωπεύει ένα μέλος αυτού του συνόλου. Η εξέταση των διαφορών μεταξύ του συνόλου τιμών και του πεδίου τιμών μπορεί συχνά να είναι χρήσιμη για την ανακάλυψη κάποιων ιδιοτήτων της εν λόγω συνάρτησης. Για παράδειγμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο T δεν έχει τον μέγιστο βαθμό (τάξη), αφού το σύνολο τιμών του είναι μικρότερο από το πεδίο τιμών του. Ένα προς ένα και επί Μορφισμός Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348. Eccles, Peter J. (1997), An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets, and Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0 Forster, Thomas (2003), Logic, Induction and Sets, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4 Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the working mathematician (2nd έκδοση), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2 Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatic set theory, Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0245-8 Sharma, A.K. (2004), Introduction To Set Theory, Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0 Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), The foundations of mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4 http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547/2732/Mathimatika_Teuxos-B_G-Lykeiou-ThSp_html-apli/