Εκθετική κατανομή

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στην στατιστική, η εκθετική κατανομή (ή αρνητική εκθετική κατανομή) είναι μια οικογένεια συνεχών κατανομών πιθανότητας. Περιγράφει τον χρόνο μεταξύ γεγονότων σε μια διαδικασία Πουασόν (Poisson), δηλαδή μια διαδικασία στην οποία γεγονότα συμβαίνουν συνεχώς και ανεξάρτητα με ένα σταθερό μέσο ρυθμό. Η εκθετική κατανομή ανήκει στην ευρύτερη εκθετική οικογένεια, η οποία είναι μια κλάση κατανομών πιθανότητας που περιλαμβάνει ακόμα την κανονική κατανομή, την διωνυμική κατανομή, την κατανομή γάμμα, την κατανομή Πουασόν, και άλλες.

 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ) μιας εκθετικής κατανομής είναι f ( x ; λ ) = { λ e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}} Εναλλακτικά, αυτή μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας την βηματική συνάρτηση Χέβισαϊντ, H(x). f ( x ; λ ) = λ e − λ x H ( x ) {\displaystyle f(x;\lambda )=\mathrm {\lambda } e^{-\lambda x}H(x)\!} Εδώ το λ > 0 είναι η παράμετρος της κατανομής συχνά καλούμενη παράμετρος ρυθμού. Η κατανομή ορίζεται στο διάστημα [0, ∞). Αν μια τυχαία μεταβλητή X έχει αυτή την κατανομή, γράφουμε X ∼ E x p ( λ ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {Exp}}(\lambda )} . Η εκθετική κατανομή παρουσιάζει άπειρη διαιρεσιμότητα. Η εκθετική κατανομή κάλλιστα μπορεί να εκφράζεται και με άλλες παραμέτρους. Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής (ασκ) δίνεται από τον τύπο F ( x ; λ ) = { 1 − e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}} Εναλλακτικά, αυτή μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας την βηματική συνάρτηση Χέβισαϊντ, H(x). F ( x ; λ ) = ( 1 − e − λ x ) H ( x ) {\displaystyle F(x;\lambda )=\mathrm {(} 1-e^{-\lambda x})H(x)\!} Μια συνήθως χρησιμοποιούμενη εναλλακτική παραμετροποίηση είναι ο ορισμός της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (σππ) μιας εκθετικής κατανομής ως f ( x ; β ) = { 1 β e − x / β , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}} όπου β > 0 είναι μια παράμετρος κλίμακας της κατανομής και είναι η αμοιβαία της παραμέτρου ρυθμού, λ, ορισμένης παραπάνω. Με αυτή την προδιαγραφή, το β είναι η παράμετρος επιβίωσης με την έννοια ότι μια τυχαία μεταβλητή X είναι η χρονική διάρκεια στην οποία ένα δοσμένο βιολογικό ή μηχανικό σύστημα καταφέρνει να επιβιώσει και X ∼ E x p ( β ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {Exp}}(\beta )} τότε E[X] = β. Αυτό σημαίνει ότι η αναμενόμενη διάρκεια επιβίωσης ενός συστήματος είναι β μονάδες χρόνου. Η παραμετροποίηση η οποία περιλαμβάνει την παράμετρο «ρυθμού» εντάσσεται στο πλαίσιο των γεγονότων που φθάνουν με ένα ρυθμό λ, όταν ο χρόνος μεταξύ γεγονότων (τα οποία μπορούν να μοντελοποιηθούν χρησιμοποιώντας μια εκθετική κατανομή) έχει ένα μέσο β = λ−1. Η εναλλακτική παραμετροποίηση μερικές φορές είναι πιο βολική από αυτήν που δίνεται στην παραπάνω ενότητα, και μερικοί συγγραφείς την χρησιμοποιούν ως τυπικό ορισμό (αυτός ο εναλλακτικός ορισμός δεν χρησιμοποιείται σε αυτό το άρθρο). Δυστυχώς αυτό ενισχύει την σημειογραφική ασάφεια. Γενικά, ένας αναγνώστης πρέπει να ελέγχει ποια από τις δύο παραμετροποιήσεις χρησιμοποιείται εάν ένας συγγραφέας γράφει «X ~ Exponential(λ)», αφού είτε η σημειογραφία στην προηγούμενη (χρησιμοποιώντας το λ) είτε η σημειογραφία σε αυτή την ενότητα (εδώ, χρησιμοποιώντας το β για να αποφευχθεί η σύγχυση) μπορεί να εννοείται. Η μέση τιμή της αναμενόμενης τιμής μιας εκθετικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής X με παράμετρο ρυθμού λ δίνεται από τον τύπο E [ X ] = 1 λ . {\displaystyle \mathrm {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}.\!} Παράδειγμα: αν κάποιος λαμβάνει τηλεφωνικές κλήσεις με ένα μέσο ρυθμό 2 ανά ώρα, τότε περιμένει να αναμένει μισή ώρα για κάθε κλήση. Η διασπορά του X δίνεται από τον τύπο V a r [ X ] = 1 λ 2 . {\displaystyle \mathrm {Var} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}.\!} Η διάμεσος του X δίνεται από τον τύπο m [ X ] = ln ⁡ 2 λ < E [ X ] , {\displaystyle {\text{m}}[X]={\frac {\ln 2}{\lambda }}<{\text{E}}[X],\!} όπου το ln αναφέρεται στον φυσικό λογάριθμο. Οπότε η απόλυτη διαφορά μεταξύ της μέσης τιμής και της διαμέσου είναι | E [ X ] − m [ X ] | = 1 − ln ⁡ 2 λ < 1 λ = σ , {\displaystyle |{\text{E}}[X]-{\text{m}}[X]|={\frac {1-\ln 2}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}={\sigma },} σύμφωνα με την ανισότητα διαμέσου-μέσης τιμής. Το σ είναι η τυπική απόκλιση.