黎曼西格爾公式

在數學中 ， 黎曼 - 西格爾公式是黎曼ζ函數的近似函數方程誤差的漸近公式 ， 前者是ζ函數的近似值 ， 由兩個有限狄利克雷級數的和來近似 。 在波恩哈德 · 黎曼1850年代一篇未發表的手稿中發現這個公式 。 西格爾從黎曼 - 西格爾積分公式中推導出它 ， 這是一個涉及ζ函數圍道積分的表達式 。 該公式通常用於計算黎曼 - 西格爾公式的值 ， 與歐德里茲科 - 肖恩哈格算法相結合 ， 可以大大加快算法的速度 。 當沿着臨界線使用時 ， 通常將其變換爲關於Z函數的公式比較有用 。 如果M和N是非負整數 ， 那麼ζ函數等於 其中 是函數方程中出現的因數 ， 且 是一個圍道積分 ， 圍道的起點和終點在 + ∞ 處 ， 並最多繞絕對值奇點圈 。 近似函數方程給出了誤差項大小的估計 。 和通過將最速下降法應用於該積分 ， 推導出黎曼 - 西格爾公式 ， 將誤差項R ( s ) 漸近展開爲Im ( s ) 的負冪次級數 。 在應用中 ， s通常位於臨界線上 ， 並且選擇正整數M和N約爲 。 發現了一個黎曼 - 西格爾公式誤差的較好界限 。