Sorgenfrey平面

在拓撲學 ， Sorgenfrey平面是一個經常引用到的反例 。 它是兩條Sorgenfrey線的積 （ Sorgenfrey線是賦予了下限拓撲的實數線 ） 。 Sorgenfrey線和Sorgenfrey平面是以美國數學家 Robert Sorgenfrey命名 。 Sorgenfrey平面 （ 現在開始用 表示 ） 的其中一組基是所有 「 包含左邊 、 左下頂點 、 下邊而不包含其他邊 、 頂點 」 的長方形 。 上的開集則是這種長方形的並集 。 能作爲很多拓撲學上聽起來很可能正確的陳述的反例子 。 其一 ， 它是林德勒夫空間的積 ， 但它自己不是林德勒夫空間 。 其二 ， 反對角線是上的一個不可數離散子集 ， 所以它是不可分的 ， 但是可分的 。 這個例子展示了可分空間的閉子集不一定是可分的 。 其三 ， 和是閉集 ， 而且可以證明它們不能被鄰域分離 ， 所以不是正則空間 。 這展示了正則空間的積不一定是正則的 ， 甚至展示了更強的結果 ： 有限個完美正則空間的積也不一定是正則的 。