完整群

微分幾何中 ， 一個微分流形上的聯絡的完整 ( 又譯和樂 ） ， 描述向量繞閉圈平行移動一週回到起點後 ， 與原先相異的現象 。 平聯絡的和樂是一種現象 ， 其於全域有定義 。 曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點 。 流形上任意一種聯絡 ， 都可由其平行移動映射給出相應的和樂 。 常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出 ， 例如黎曼幾何中列維 - 奇維塔聯絡的和樂 （ 稱爲黎曼和樂 ） 。 向量叢聯絡的和樂 、 嘉當聯絡的和樂 ， 以及主叢聯絡的和樂 。 在該些例子中 ， 聯絡的和樂可用一個李群描述 ， 稱爲和樂群 。 聯絡的和樂與其曲率密切相關 ， 見安布羅斯 - 辛格定理 。 對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現 。 其最早由引入 ， 以用於的分類上 。 然而 ， 很久以後 ， 和樂群才用於更一般的黎曼幾何上 。 1952年 ， 喬治 · 德拉姆證明了德拉姆分解定理 ： 若黎曼流形的切叢可分解成局域和樂群作用下不變的子空間 ， 則該流形分解爲黎曼流形的笛卡兒積 。 稍後 ， 於1953年 ， 給出所有不可約和樂的分類 。 黎曼和樂的分解和分類適用於物理和絃論 。