相平面

相平面 （ phase plane ） 是在應用數學 （ 特別是非線性系統 ） 中 ， 視覺化的展示特定微分方程特徵的方式 。 相平面是一個由二個狀態變數爲座標軸組成的平面 ， 例如說 ( x, y ) 或 ( q, p ) 等 。 相平面是多維度相空間在二維空間中的例子 。 相平面法 （ phase plane method ） 是指用繪圖的方式 ， 來確認微分方程的解中是否存在極限環 。 微分方程的解可以形成函數族 。 用繪圖的方式 ， 可以畫在二維的相平面上 ， 類似二維的向量場 。 向量會表示某一點對應特定參數 （ 例如時間 ） 的導數 ， 也就是 ( dx / dt, dy / dt ) ， 會繪製在對應的點上 ， 以箭頭表示 。 若有夠多的點 ， 就可以分析此區域內的系統行爲 ， 若有極限環 ， 也可以識別出來 。 整個場即可形成相圖 ， 在流線上的特定路徑 （ 一個永遠和向量相切的路徑 ） 即爲相路徑 （ phase path ） 。 向量場上的相表示微分方程所說明的系統隨時間的演化 。 相平面可以用來解析物理系統的行爲 ， 特別是振盪系統 ， 例如 （ 可參考洛特卡 － 沃爾泰拉方程 ） 。 這些模型中的相路徑可能是向內旋轉 ， 慢慢趨近0 ， 也可能是向外旋轉 ， 慢慢趨近無限大 ， 或是接近中性的平衡位置 ， 此情形稱爲centre ， 路徑可能是圓形 、 橢圓或是其他形狀 。 在判斷其系統是否穩定時很有用 。 另一個振盪系統的例子是一些多步的化學反應 ， 其中有些會有化學平衡 ， 不是完全反應 。 此情形下可以將反應物及生成物濃度 （ 或質量 ） 的變化利用微分方程來建模 ， 可以對其化學動力學有更清楚的瞭解 。