素數倒數幻方

素數倒數幻方 （ prime reciprocal magic square ） 是指用素數倒數及其倍數的循環小數各位數組成的幻方 。 有些素數的倒數則可以形成對角線和也滿足條件的幻方 。 考慮在十進制下的1 / 7 ， 其小數爲循環小數1 / 7 = 0 · 142857142857142857 ... ， 若再考慮其倍數 ， 會看到這六個數字的 ： 1/7 = 0 · 1 4 2 8 5 7 ... 2/7 = 0 · 2 8 5 7 1 4 ... 3/7 = 0 · 4 2 8 5 7 1 ... 4/7 = 0 · 5 7 1 4 2 8 ... 5/7 = 0 · 7 1 4 2 8 5 ... 6/7 = 0 · 8 5 7 1 4 2 ... 若用上述數字形成方陣 ， 每一列的和是1 +4 +2 +8 +5 +7 ， 即爲27 ， 每一行的和也是27 ， 若不考慮對角線 ， 因此可以形成一個幻方 ： 1 4 2 8 5 7 2 8 5 7 1 4 4 2 8 5 7 1 5 7 1 4 2 8 7 1 4 2 8 5 8 5 7 1 4 2 不過其對角線不是27 。 考慮1 / 19的倍數 ， 下一行是上一行的二倍 ， 而小數位數似乎右移一位 ： 01/19 = 0.052631578,947368421 02/19 = 0.1052631578,94736842 04/19 = 0.21052631578,9473684 08/19 = 0.421052631578,947368 16/19 = 0.8421052631578,94736 分子乘以2會讓小數的位數右移一位 ： 在1 / 19形成的方陣中 ， 其最大週期爲18 ， 每一行及每一列的和是81 ， 而且對角線也是81 ， 完全符合幻方的條件 ： 01/19 = 0 · 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 ... 02/19 = 0 · 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 ... 03/19 = 0 · 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 ... 04/19 = 0 · 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 ... 05/19 = 0 · 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 ... 06/19 = 0 · 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 ... 07/19 = 0 · 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 ... 08/19 = 0 · 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 ... 09/19 = 0 · 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 ... 10/19 = 0 · 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 ... 11/19 = 0 · 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 ... 12/19 = 0 · 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 ... 13/19 = 0 · 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 ... 14/19 = 0 · 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 ... 15/19 = 0 · 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 ... 16/19 = 0 · 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 ... 17/19 = 0 · 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 ... 18/19 = 0 · 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 ... 在各素數在不同進制下 ， 也可能會有相同的現象 ， 以下是列表 ， 列出素數 、 進制以及幻方和 （ ( 進制 - 1 ) 乘 ( 素數 - 1 ) / 2 ：