分裂四元數

在抽象代數中 ， 分裂四元數 （ split - quaternions ） 或反四元數 （ coquaternions ） 是一種四維的結合代數的元素 ， 由在1849年引入 ， 當時稱爲反四元數 。 類似於漢密爾頓1843年引入的四元數 ， 它們組成了一個四維的實向量空間, 且有乘法運算 。 與四元數不同 ， 分裂四元數包含非平凡的零因子 、 冪零元和 。 （ 例如 ， 是冪等的零因子 ， 而 是冪零元 。 ) 作爲一種數學結構 ， 分裂四元數形成了域代數 ， 且與2 × 2的實矩陣同構 。 集合 組成一個基 。 這些元素的積由 , , , , , 給出 。 因此 。 由以上定義可得 ， 集合在分裂四元數乘法的定義下是一個群 ， 與二面體群同構 ， 稱爲正方形的對稱群 。 分裂四元數的共軛 。 由於其基向量的反交換性 ， 分裂四元數與其共軛的積由其迷向二次型 給出 。 給定兩個反四元數和 ， 有 ， 意味着 是可合成的二次型 。 其上的代數是一種合成代數 ， 是其範數 。 任何滿足 ， 的反四元數q稱爲零向量 （ Null vector而非Zero vector ) ， 它的存在意味着反四元數形成 " 分裂的合成代數 " ， 因此反四元數也被稱爲分裂四元數 。 當範數非零時 ， 有倒數 ， 即. 集合 是單位元的集合 。 全體分裂四元數的集合組成環 ， 其單位群爲 。 全體的分裂四元數組成一個非緊緻的拓撲群 ， 且與同構 （ 見下 ） 。 歷史上講 ， 分裂四元數早於凱萊的矩陣代數 ； 分裂四元數 引發了對線性代數的深入研究 。