熱核

熱核  在數學中是指熱方程的基本解 。 其也是拉普拉斯算子譜分析中的重要工具之一 。 對於固定邊界的區域 ， 當邊界溫度給定 、 並於t = 0時在其中某一點放置一單位熱能時 ， 熱核表示此後區域內溫度的變化過程 。 最常見的熱核爲d維歐幾里得空間Rd上的熱核 。 該熱核爲隨時間變化的高斯函數 ， 其表達式爲 該熱核是熱方程 的解 ， 其中t > 0 ， x, y ∈ Rd ， Δ則表示拉普拉斯算子 。 方程的初始條件爲 其中δ表示狄拉克δ函數 。 對任一緊支撐的光滑函數φ ， 有 對於Rd上的一般區域 ， 熱核並沒有顯式的表達式 。 當區域爲圓盤或方形時 ， 熱核則分別爲貝塞爾函數與雅可比Θ函數 。 可以證明 ， 對任意黎曼流形 ， 當邊界條件充分正則時 ， 熱核存在且在t > 0時光滑 。