龐特里亞金最大化原理

龐特里亞金最大化原理 （ Pontryagin's maximum principle ） 也根據使用條件稱爲龐特里亞金最小化原理或最大值原理及最小值原理 ， 是最優控制中的理論 ， 是在狀態或是輸入控制項有限制條件的情形下 ， 可以找到將動力系統由一個狀態到另一個狀態的最優控制信號 。 此理論是蘇俄數學家列夫 · 龐特里亞金及他的學生在1956年提出的 。 這是變分法中歐拉 - 拉格朗日方程的特例 。 簡單來說 ， 此定理是指在所有可能的控制中 ， 需讓 「 控制哈密頓量 」 （ control Hamiltonian ） 取極值 ， 極值是最大值或是最小值則依問題以及哈密頓量的符號定義而不同 。 正式的用法 ， 也就是哈密頓量中所使用的符號 ， 會取到最大值 ， 但是此條目中使用的符號定義方式 ， 會讓極值取到最小值 。 若是所有可能控制值的集合 ， 則此原理指出 ， 最優控制必須滿足以下條件 ： 其中是最佳狀態軌跡 ， 而是最佳 協態軌跡 此結果最早成功的應用在輸入控制有限制條件的最小時間問題中 ， 不過也可以用在狀態有限制條件的問題中 。 也可以推導控制哈密頓量的特殊條件 。 若最終時間固定 ， 且控制哈密頓量不是時間的顯函數 ， 則 ： 若最終時間沒有限制 ， 則 ： 若在某一軌跡上滿足龐特里亞金最大化原理 ， 此原理是最佳解的必要條件 。 哈密頓 - 雅可比 - 貝爾曼方程 提供了最佳解的充份必要條件 ， 但該條件須在整個狀態空間中都要成立 。