扎里斯基曲面

在數學的一個分支 代數幾何中 ， 扎里斯基曲面 （ Zariski surface ） 是指 特徵 p > 0的 域 上的一個曲面 ， 使得存在從 射影平面 到該曲面的一個度數爲p的優勢不可分映射 。 特別是 ， 所有扎里斯基曲面都是 單有理 的 。 1977年Piotr Blass用 奧斯卡 · 扎里斯基 的名字來命名了該曲面 ， 因爲扎里斯基在1958年使用這種曲面給出了特徵p > 0的單有理曲面的例子 ， 而這個曲面不是有理的 。 ( 相比特徵爲0的情況下 ， 卡斯泰定理 意味着所有單有理曲面都是有理的 。 ) 扎里斯基曲面 雙有理 於 仿射空間 A3 中由 不可多項式 定義的曲面 經過長達43年的努力 ， 奧斯卡 · 扎里斯基在1971年提出的下述問題得到解決 ： 令 S 爲一個幾何虧格爲0的扎里斯基曲面 。 那麼 S 一定是一個有理曲面嗎 ？ 對於 p = 2和 p = 3 ， 回答是否定的 ： 1977年Piotr Blass在他的 密歇根大學 博士論文 ， 和1978年William E.Lang在他的哈佛大學博士論文中都證明了這一點 。 宣佈了進一步的例子 ， 在所有特徵p > 0都對扎里斯基問題給出了否定回答 。 但是 ， 他的方法在那時是非構造性的 ， 我們無法得到p > 3時的顯式方程 。