譜_(泛函分析)

在數學中 ， 特別是在泛函分析中 ， 有界算子的譜是矩陣的特徵值集合的推廣 。 具體來說 ， 對於有界線性算子T ， 如果T - λI不可逆 ， 其中I是恆等算子 ， 則複數λ會被認爲屬於T的譜中 。 譜和相關性質的研究被稱爲譜理論 ， 其具有許多應用 ， 最值得注意的是量子力學的數學表述 。 有限維向量空間上的算子的譜就是特徵值的集合 。 然而 ， 無限維空間上的算子在譜中可能有其他元素 ， 並且可能沒有特徵值 。 例如 ， 考慮希爾伯特空間ℓ2上的右移算子R ， 。 該算子沒有特徵值 ， 因爲如果Rx = λx ， 則通過展開表達式可以得到x1 = 0 ， x2 = 0 … … <span> 另一方面 ， 0在譜中 ， 因爲算子R - 0 （ 即R自身 ） 不可逆 ： 因爲第一項非零的任意向量不在它的值域中 ， 所以它不是滿射 。 事實上 ， 復巴拿赫空間上的每個有界線性算子都必有非空譜 。 譜的概念可以擴展到稠定無界算子 。 在這種情況下 ， 複數λ被認爲是在算子T :D → X （ 其中D在X中稠密 ） 的譜中 ， 如果沒有有界逆 ( λI - T ) −1: X → D 。 如果T是閉算子 （ 包括T是有界算子的情形 ） ， 逆的有界性可由逆的存在性直接得到 。 巴拿赫空間X上的有界線性算子B ( X ) 是有單位的巴拿赫代數的一個例子 。 由於除了任何這樣的代數都具有的性質之外 ， 譜的定義沒有涉及B ( X ) 的任何性質 ， 所以譜的概念可以在此逐字地使用相同的定義推廣 。