非線性系統

在物理科學中 ， 如果描述某個系統的方程其輸入 （ 自變數 ） 與輸出 （ 應變數 ） 不成正比 ， 則稱爲非線性系統 。 由於自然界中大部分的系統本質上都是非線性的 ， 因此許多工程師 、 物理學家 、 數學家和其他科學家對於非線性問題的研究都極感興趣 。 非線性系統和線性系統最大的差別在於 ， 非線性系統可能會導致混沌 、 不可預測 ， 或是不直觀的結果 。 一般來說 ， 非線性系統的行爲可以用一組非線性聯立方程來描述 。 非線性方程裏含有由未知數構成的非線性函數 ； 換句話說 ， 一個非線性方程並不能寫成其未知數的線性組合 。 非線性微分方程 ， 則是指方程裏含有未知函數及其導函數的乘冪不等於一的項 。 在判定一個方程是線性或非線性時 ， 只需考慮未知數 （ 或未知函數 ） 的部分 ， 不需要檢查方程中是否有已知的非線性項 。 例如在微分方程中 ， 若所有的未知函數 、 未知導函數皆爲一次 ， 即使出現由某個已知變數所構成的非線性函數 ， 仍稱它是線性微分方程 。 由於非線性方程非常難解 ， 因此常常需要以線性方程來近似一個非線性系統 （ 線性近似 ） 。 這種近似對某範圍內的輸入值 （ 自變數 ） 是很準確的 ， 但線性近似之後反而會無法解釋許多有趣的現象 ， 例如孤波 、 混沌和奇點 。 這些奇特的現象 ， 也常常讓非線性系統的行爲看起來違反直覺 、 不可預測 ， 或甚至混沌 。 雖然 「 混沌的行爲 」 和 「 隨機的行爲 」 感覺很相似 ， 但兩者絕對不能混爲一談 ； 也就是說 ， 一個混沌系統的行爲絕對不是隨機的 。 舉例來說 ， 許多天氣系統就是混沌的 ， 微小的擾動即可導致整個系統產生各種不同的複雜結果 。 就目前的科技而言 ， 這種天氣的非線性特性即成了長期天氣預報的絆腳石 。 某些書的作者以非線性科學來代指非線性系統的研究 ， 但也有人不以爲然 ：