希爾伯特-施密特算子

在數學中 ， 一個希爾伯特 - 施密特算子 （ 得名於大衛 · 希爾伯特和 ）, 是希爾伯特空間H上的有界算子A ， 有有限的希爾伯特 - 施密特範數 ， 其中是H上的範數 ， 是H上的一組標準正交基 ， Tr是非負自伴算子的跡 。 這裏指標集不一定可數 。 這個定義不依賴於基底的選擇 ， 所以有 ， 其中 ， 爲在p = 2時的 。 在歐幾里得空間中 ， 也被稱爲弗羅貝尼烏斯範數 ， 得名於費迪南德 · 格奧爾格 · 弗羅貝尼烏斯 。 兩個希爾伯特 - 施密特算子的乘積有有限的跡類範數 ； 因此 ， 如果A和B是兩個希爾伯特 - 施密特算子 ， 希爾伯特 - 施密特內積可以如下定義 。 希爾伯特 - 施密特算子構成一個H上的有界算子的的雙邊 * 理想 。 它們構成一個希爾伯特空間 ， 可以證明自然等距同構到 ， 其中H ∗ 是H的對偶空間 。 希爾伯特 - 施密特算子的集合在範數拓撲下是閉集 ， 當且僅當H是有限維空間 。 一類重要的例子是 。 希爾伯特 - 施密特算子是二階 ， 因此是緊的 。