幾何變換

幾何變換 （ geometric transformation ） 是指從具有幾何結構之集合至其自身或其他此類集合的一種對射 。 具體來說 ， 「 幾何變換是一個函數 ， 其定義域與值域爲點集合 。 幾何變換最常見的定義域與值域爲同時爲R2 ， 或同時爲R3 。 其他的幾何變換則要求須爲一對一函數 ， 使之有反函數 。 」 可透過研究這些變換的方法來研究幾何 。 幾何變換可以其操作集合的維度來分類 （ 因此可分類出平面變換與空間變換等 ） 。 幾何變換亦可依據其保留其性質來分類 ： 位移保留距離與方向角度 ； 等距同構保留距離與角度 ； 相似保留距離間的比例 ； 仿射變換保留平行 ； 投影變換保留共線性 ； 以上每種變換均包含前一種變換 。 反演在平面上保留所有線及圓所組成的集合 （ 但可能替換線與圓 ） ， 而莫比烏斯變換則保留三維空間內的所有平面與球 。 以法國地圖爲例 ： 微分同胚爲一階仿射的變換 ； 前面所有變換都是微分同胚的特例 。 共形變換保留角度在一階的相似 。 保積變換保留在平面上的面積 ， 或在三維空間上的容量 。 該變換爲行列式爲1的一階仿射變換 。 同胚保留點的鄰域 。 相同類型的群變換可能是其他變換群的子群 。