拓撲量子場論

拓撲量子場論 （ 又稱拓撲場論 ， 簡稱TQFT ） 是一類計算拓撲不變量的量子場論 。 其共同特徵是某些相關函數不依賴於背景時空流形的度量 。 雖然拓撲量子場論由物理學家發明 ， 但是在數學上也具有重要意義 ， 與紐結理論 、 代數拓撲中的 、 代數幾何中的模空間等分支均有聯繫 。 西蒙 · 唐納森 、 沃恩 · 瓊斯 、 愛德華 · 威滕和馬克西姆 · 孔採維奇都因對拓撲場論方面的研究而獲得菲爾茲獎 。 20世紀70年代 ， 阿爾伯特 · 施瓦茨就研究過一種拓撲量子場論 （ 陳 - 西蒙斯理論 ） 。 80年代末 ， 在邁克爾 · 阿蒂亞啓發下 ， 研究了三個拓撲量子場論 ： 一個由超對稱楊 - 米爾斯場論扭變得到 ， 用以將西蒙 · 唐納森不變量和弗勒爾瞬子同調解釋爲量子物理對象 ； 第二個是非阿貝爾的陳 - 塞蒙斯場論 ， 用以將瓊斯多項式及其衍生物解釋爲量子物理對象 ； 第三個由超對稱 Σ 模型扭變得到 ， 用以將格羅莫夫的贗全純曲線和弗勒爾的拉格朗日同調解釋爲量子物理對象 。 1994年威滕應用弦論學家得到的強弱對偶結果將唐納森不變量等價爲更易計算的塞伯格 - 威滕不變量 。 進入21世紀 ， 威滕等人又研究了具有更多超對稱的楊 - 米爾斯場論的扭變 ， 並將數學中的幾何郎蘭茲對偶解釋爲量子場論中的強弱對偶 。 威滕等人進一步發現 ， Σ模型 、 陳 - 塞蒙斯場論 、 以及超對稱楊 - 米爾斯場論之間有千絲萬縷的聯繫 ， 它們都可以包含在弦論或者M - 理論中 ， 在這個大框架之下 ， 瓊斯多項式的範疇化 — — 霍萬諾夫同調被解釋爲量子物理對象 。 在凝聚體物理學中 ， 拓撲量子場論是拓撲有序態的低能有效理論 ， 例如分數量子霍爾態 、 弦網凝聚態及其他強關聯液態自旋量子 。