長球波函數

在數學中 ， 長球波函數由一個限時 、 限頻 、 與第二個限時的函數相乘而成 。 假定表示一個切截時間的運算器 ， 且 ， 則x必爲有限時間區間的函數 ， 當x在的區間內 。 同理 ， 假定表示一個理想的低頻濾波器 ， 且 ， 則x必爲有限頻寬區間的函數 ， 當x在的區間內 。 透過組合上述運算子 ， 使得轉變成線性 、 有界且的運算式 。 對於 ， 我們假設爲第n項的本徵函數 ， 定義下列函式 其中爲對應的本徵值 。 此時限函數即爲長球波函數 ( PSWFs ). 在此領域中 ， 幾個非常重要的先驅文章由Slepian and Pollak, Landau and Pollak, and Slepian.所提出 。 這些函數有些不同的意涵 ， 當在解亥姆霍茲方程 ， 透過在長球面座標系做變數分離 ， 使得各代表 ： and. 得到解爲長球波函數與角球波函數的成積乘上. 這裏的變數c可定義爲, with 爲長球的橢圓截面的兩焦點的距離 。 徑向波 ( The radial wave function ) 滿足線性常微分方程: 此本徵值在Sturm - Liouville 微分方程中已被固定 ， 透過設定爲有限函數 ， 當. 角波函數滿足下列微分方程 ： 這跟徑向波函數式爲同樣的微分方程 。 然而 ， 這兩式的變數的範圍是不同的 。 當給定 ， 這兩個微分方程可以簡化成滿足伴隨勒讓德多項式的式子 。 當給定 ， 角波函數可被展開成勒讓德級數 。 注意 ， 如果我們將角波函數寫成 ， 函數將滿足以下線性微分方程 ： 此函數爲球波函數 。 這個輔助方程式在Stratton 1935年的文章被當作例子 。 現存不少不同的球函數標準化的方法 ， 在Abramowitz and Stegun.的文章中有整理的表格 。 Abramowitz跟Stegun 都沿用Flammer當初提出來的符號 。 一開始 ， 球波函數是由C. Niven, 提出 ， 他在球座標上引入Helmholtz方程式 。 許多專題論文已經探討出球波函數的很多面向 ， 例如Strutt, Stratton et al., Meixner and Schafke, and Flammer.等人的作品 。 Flammer提供了一個完整的討論 ， 計算出長球與扁球的本徵值 、 角波函數與徑函數 。 許多電腦程式已經因應發展出來 ， 其中包含King與其團隊, Patz和Van Buren, Baier與其團隊, Zhang和Jin, Thompson, 、 Falloon. Van Buren和Boisvert最近發展出新的方法去計算出長球波函數 ， 延伸了數值解的能力 ， 能運算極廣的變數範圍 。 Fortran原始碼結合了新的結果與傳統的方法 ， 可見於http: / / www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com. 。 Flammer, Hunter, Hanish et al., and Van Buren et al.等人也提出了數值解的整理表格 。 NIST提供的DLMF ( Digital Library of Mathematical Functions ) ( http://dlmf.nist.gov ) 是個瞭解球波函數的良好資源 。 關於值域落在單位球的表面的長球波函數 ， 我們通稱爲 " Slepian functions " 。 這函數存在非常多的應用 ， 像是大地測量以及宇宙學.