扎里斯基拓撲

在代數幾何和交換代數中 ， 扎里斯基拓撲是定義在代數簇上的拓撲 。 其由奧斯卡 · 扎里斯基首先提出 ， 及後用作給出一般交換環的素理想集的拓撲結構 ， 稱爲環的譜 。 有了扎里斯基拓撲 ， 無論一個代數簇的基域是否一個拓撲域 （ 即一個域 ， 其上可定義一個拓撲 ， 使得加法和乘法都是連續函數 ） ， 都可應用拓撲學的工具到代數簇的研究上 。 這是概形論的基本思想 ， 有了它才允許將多個仿射簇黏合 ， 而成一個一般的代數簇 ， 正如流形理論中 ， 流形由多個座標卡 （ 實仿射空間的開集 ） 黏合而成一樣 。 將一個代數簇的代數子集定義爲閉集 ， 就得到該代數簇的扎里斯基拓撲 。 若該代數簇定義在複數上 ， 則扎里斯基拓撲比通常的拓撲結構更粗糙 ， 因爲每一個代數集在通常的拓撲中也都是閉集 。 扎里斯基拓撲在交換環的素理想集上的推廣可從希爾伯特零點定理得到 ， 因爲該定理說 ， 代數閉域上的仿射簇的點 ， 與該仿射簇的座標環的極大理想一一對應 。 因此可如下定義一個交換環的極大理想集上的扎里斯基拓撲 ： 若干極大理想的集合是閉集 ， 當且僅當該些極大理想就是包含某一理想的所有極大理想 。 格羅滕迪克的概形論中還有另一個基本思想 ， 就是不單考慮對應某個極大理想的點 ， 還要考慮任意 （ 不可約的 ） 代數簇 ， 即對應素理想的點 。 所以交換環的素理想集 （ 稱爲 「 譜 」 ） 上的扎里斯基拓撲滿足 ： 若干素理想的集合爲閉集 ， 當且僅當該些素理想就是包含某一理想的所有素理想 。