切比雪夫方程

切比雪夫方程  是指二階線性常微分方程 其中p爲一實常數 。 該方程是以俄羅斯數學家巴夫尼提 · 切比雪夫的名字命名的 。 方程的解爲冪級數 其中係數可通過以下遞推關係式計算 ： 級數在上收斂 （ 對遞推關係式應用比值審斂法可得 ） 。 遞推關係的初值a0與a1可爲任意值 ， 由此可得微分方程不同的特解 。 通常初值可取爲 ： a0 = 1; a1 = 0 ， 可得解 以及 a0 = 0; a1 = 1 ， 可得解 通解可表示爲以上兩特解的任意線性組合 。 當p爲整數時 ， 兩個函數中有一個爲有限項 ： p爲偶數時F爲有限項 ， 反之G爲有限項 。 此時 ， 那個爲有限項的函數是一個p次多項式 ， 並與p次切比雪夫多項式成比例 ： （ p爲偶數 ） （ p爲奇數 ）