可分多項式

數學中 ， 可分多項式在不同的作者的書下有兩個略微不同的定義 。 最常見的一個定義是 ： 當在一個給定域K上的多項式P ( X ) 在K的代數閉包中有不同的根時 ， 稱多項式爲可分的 。 換言之它的互異根的數量需要等於多項式的次數 。 在多項式因式分解的觀點下 ， 這樣的多項式是無平方多項式 。 第二個定義 ， 當P ( X ) 在K [ X ] 中的每個不可約因子在K的代數閉包中的根互不相同 ， 此時稱P ( X ) 是可分的 。 這意味着每個不可約因子是無平方項的 。 在這個定義中 ， 可分性依賴於K ， 比如任何一個不可分的不可約多項式P在它的分裂域上都變成可分的了 。 並且在這個定義下 ， 每個完美域上的多項式是可分的 ， 這包含了0特徵域和所有有限域 。 兩個定義對於K上不可約多項式是等價的 ， 這個被用來定義域K的可分擴張 。 在條目的餘下部分我們只用第一個定義 。 一個多項式可分當且僅當它與它的形式導數P' ( X ) 互素 。