施圖姆-劉維爾理論

在數學及其應用中 ， 以雅克 · 夏爾 · 弗朗索瓦 · 施圖姆 （ 1803 – 1855 ） 和約瑟夫 · 劉維爾 （ 1809 – 1882 ） 的名字命名的施圖姆 - 劉維爾方程是指二階線性實微分方程 ： 其中給定係數函數,, 和均爲已知函數 ， 和是以爲自由變量的未知的待求解函數 ， 稱爲解 ； 是一個未定常數 。 又記爲 ， 稱爲'權 （ weight ）' 函數或'密度 ( density )' 函數 。 所有二階線性常微分方程都可以簡化爲這種形式 。 在一個正則的施圖姆 - 劉維爾 （ S - L ） 本徵值問題中 ， 在有界閉區間 [ a, b ] 上 ， 三個係數函數應滿足以下性質 ： ； 均連續 ； 滿足邊界條件 及  。 只有一些恰當的能夠使得方程擁有滿足上述條件的非平凡解 （ 非零解 ） 。 這些稱爲方程的特徵值 ， 對應的非平凡解稱爲特徵函數 ， 而特徵函數的集合則稱爲特徵函數族 。 施 、 劉二人在一些由邊界條件確定的函數空間中 ， 引入埃爾米特算子 ， 形成了施圖姆 - 劉維爾理論 。 這個理論提出了特徵值的存在性和漸近性 ， 以及特徵函數族的正交完備性 。 這個理論在應用數學中十分重要 ， 尤其是在使用分離變量法求解偏微分方程的時候 。 施圖姆 - 劉維爾理論提出 ： 施圖姆 - 劉維爾特徵值問題 ， 存在無限多個實數特徵值 ， 而且可以排序爲 ： ； 對於每一個特徵值都有唯一的 （ 已被歸一化的 ） 特徵函數 ， 且在開區間 ( a, b ) 上有且僅有n - 1個零點 。 其中稱爲滿足上述施圖姆 - 劉維爾特徵值問題的第n個基本解 ； 已歸一化的特徵函數族在希爾伯特空間上有正交性和完備性 ， 形成一組正交基 ： 其中是克羅內克函數 。