閉值域定理

閉值域定理是數學中的巴拿赫空間理論中的一個定理 ， 給出了閉合稠定線性算子 （ closed densely defined operator ） 的值域爲閉集的充要條件 。 這一定理由斯特凡 · 巴拿赫於1932年在 《 線性算子理論 》 （ Théorie des opérations linéaires ） 一文中給出了證明 。 設X與Y爲巴拿赫空間 ， 若T: D ( X ) → Y是一個閉合的線性算子 ， 它的定義域D ( X ) 在X中稠密 ， 而是它的轉置算子 。 則定理指出 ， 如下四個結論等價 ： 的值域 （ 像 ） 是中的閉集 。 的值域是的對偶空間中的閉集 。 此定理有一些直接的推論 。 比如 ， 當且僅當算子的轉置存在連續的逆算子時 （ continuous inverse ） ， 存在一個稠定線性算子T使得Im ( T ) = Y 。 相似地 ， 當且僅當T存在連續的逆算子時 ， 。