唯一素數

唯一素數  是指一個不爲2, 5 ， 有以下性質的質數p ： 不存在其他質數q ， 其倒數1 / q的循環節長度和1 / p的循環節長度相等 。 唯一素數是在1980年代由Samuel Yates提出 。 可以證明素數p其倒數的循環節長度爲n若且唯若存在一自然數c使得下式成立 （ 下面內容僅限於十進制範疇 ） ： 其中Φn ( x ) 爲n次的分圓多項式 。 至2010年爲止 ， 已經找到逾50個唯一素數或者有此性質的 ， 但是小於10100的唯一素數 - { 只 } - 有23個 。 以下是這些唯一素數及其循環節位數 ： 倒數循環節長度素數 13 211 337 4101 109,091 129,901 9333,667 14909,091 2499,990,001 36999,999,000,001 489,999,999,900,000,001 38909,090,909,090,909,091 191,111,111,111,111,111,111 2311,111,111,111,111,111,111,111 39900,900,900,900,990,990,990,991 62909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 120100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001 15010,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001 1069,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 93900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991 134909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 294142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143 196999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001 倒數循環節長度294位的唯一素數類似7的倒數 （ 0.142857142857142857 ... ） 。 接續上表的第24個唯一素數有128位 ， 倒數循環節長度爲320位 ， 可以寫成 ( 932032 ) 2 +1 ， 其中下標n表示前面的一個數字或一組數字會重複出現n次 。 所有循環單位素數都是唯一素數 。 依照循環單位素數及循環單位可能素數出現的頻率來看 ， 唯一素數非常的少見 ， 不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素數 。 至2010年爲止 ， 循環單位 ( 10270343 - 1 ) / 9是已知最大的可能唯一素數 。 至1996年爲止 ， 確定是質數的最大唯一素數是 ( 101132 + 1 ) / 10001 ， 若用前文中的表示法 ， 可以表示爲 ( 99990000 ) 141 + 1 ， 其倒數循環節長度爲爲2264位 ， 後來陸續證明更大的唯一素數 ， 至2010年爲止 ， 確定是質數的最大唯一素數有10081位數 。