尖點

尖點  是曲線中的一種奇點 。 曲線上的動點在移到尖點時會開始反向移動 ， 右圖是一個典型的例子 。 給定一個以解析參數式定義的平面曲線 ： 尖點即爲函數及之導數爲零之點 ， 同時方向導數在切線方向會變號 （ 切線方向之斜率爲 ） 。 尖點是局部的奇點 ， 只牽涉到參數的一個值 ， 不像自交點牽涉到的許多值 。 在某些時候 ， 方向導數變號的條件會省去 ， 此時奇點有可能看起來像一般的點 。 以一個光滑隱函數定義的曲線來說 ， 將以泰勒級數展開 ， 當其最低階項可表爲一次多項式的次方時 ， 即爲尖點所在處 。 但是並非所有擁有此性質的奇點都是尖點 ， 由相關定理可知 ， 若是解析函數 ， 則在座標線性變換後 ， 在尖點附近可將曲線參數化成以下形式 ： 其中是實數 ， 是正偶數 ， 是階的冪級數且 。 也是最低階項中非零部份的階數 。 這些定義已被勒內 · 託姆及弗拉基米爾 · 阿諾爾德推廣至以可微函數定義的曲線 ， 若某點鄰域存在微分同胚 ， 將曲線映至以上定義的尖點 ， 則該曲線有尖點 。 在某些時候 ， 以及以下文章 ， 尖點被限定爲二階尖點 ， 也就是說 。 一個平面曲線的二階尖點可被微分同胚表爲 ， 其中是正整數 。