皮亞諾曲線

皮亞諾曲線  是一條能夠填滿正方形的曲線 。 1890年 ， 意大利數學家朱塞佩 · 皮亞諾  發明能填滿一個正方形的曲線 ， 叫做皮亞諾曲線 ， 其構造方法如下 ： 取一個正方形並且把它分出九個相等的小正方形 ， 然後從左下角的正方形開始至右上角的正方形結束 ， 依次把小正方形的中心用線段連接起來 ； 下一步把每個小正方形分成九個相等的正方形 ， 然後上述方式把其中中心連接起來 … … 。 將這種操作手續無限進行下去 ， 最終得到的 「 極限情況的曲線 」 就被稱作皮亞諾曲線 。 這樣的曲線會填滿整個一開始給定的正方形 。 在傳統概念中 ， 曲線的維度是1 ， 正方形維度是2 ， 且1維的曲線直覺上不能填滿2維的正方形 。 但是皮亞諾曲線正給出了反例 。 這說明我們對維數的認識是有缺陷的 ， 有必要重新思考維數的定義 。 這就是分形幾何考慮的問題 。 在分形幾何中 ， 維數可以是分數叫做分維 。 此外 ， 皮亞諾曲線是連續的但處處不可導的曲線 。 因此如果我們想要研究傳統意義上的曲線 ， 就必須加上可導的條件 ， 以便排除像皮亞諾曲線這樣的特例 。