單環

在環論中 ， 若某非無零因子環除了及其本身兩個理想外沒有其他雙邊理想 ， 則稱該環爲單環 。 特別地 ， 交換環是單環當且僅當它是一個域 。 單環的中心必是一個域 ， 所以單環是該域上的一個結合代數 。 因此 ， 單代數和單環是相同的概念 。 此外 ， 一些參考文獻 （ 例如Lang （ 2002 ） 或Bourbaki （ 2012 ） ） 還要求該環是左阿廷環或右阿廷環 （ 即半單環 ） 。 在這種術語下 ， 沒有非平凡雙邊理想的非無零因子環被稱爲準單環 （ quasi-simple ） 。 存在在自身上不是單模的單環 ， 即單環可以有非平凡的左理想和 / 或右理想 ： 例如域上的全矩陣環 ， 它沒有非平凡理想 （ 因爲的任何理想都具有的形式 ， 其中是的理想 ） ， 但卻有非平凡的左理想 （ 例如 ， 某些固定列爲零的矩陣組成的集合 ） 。 根據阿廷 - 韋德伯恩定理 ， 所有單左 / 右阿廷環都是除環上的矩陣環 。 特別地 ， 如果一個單環是實數域上的有限維度向量空間 ， 則它必然與實數域 、 複數域或四元數域上的矩陣環同構 。 單環 ， 但非除環上的矩陣環的一個例子是 。