博雷爾集

博雷爾集 ， 又稱Borel集 ， 是數學的專有名詞 ， 指在一個指定的拓撲空間中 ， 可由其開集 （ 或者等價地 ， 可由其閉集 ） 的可數次聯集運算 、 可數次交集運算和補集運算得到的一個集合 。 博雷爾集是由埃米爾 · 博雷爾的名字命名的 。 對於一個拓撲空間 X ， 其所有博雷爾集的全體構成一個 σ - 代數 ， 稱爲博雷爾代數或者博雷爾σ - 代數 。 拓撲空間 X 上的博雷爾代數是 X 上包含其所有開集合 （ 或者等價地 ， 所有閉集合 ） 的最小的 σ - 代數 。 博雷爾集在測度論中有着重要的意義 ， 因爲任何空間上的開集 （ 或者閉集 ） 上定義的測度 ， 必然可以將定義延拓到空間所有的博雷爾集上 。 定義在博雷爾集上的測度被稱爲博雷爾測度 。 博雷爾集和相關的博雷爾分層在描述集合論中也起着基礎性的作用 。 某些情況下 ， 博雷爾集定義是由拓撲空間中的緊緻集合所構造出來的而不是前面講的開集合 。 兩個定義在很多良好的空間中是等價的 ， 包括所有 σ - 緊的豪斯多夫空間 ， 但是在具有病態性質的空間中兩者可能不同 。