伊藤積分

伊藤微積分  得名自日本數學家伊藤清 ， 是將微積分的概念擴展到隨機過程中 ， 像布朗運動 （ 維納過程 ） 就可以用伊藤微積分進行分析 。 主要應用在金融數學及隨機微分方程中 。 伊藤微積分的中心概念是伊藤積分 ， 是將傳統的黎曼 － 斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中 ， 隨機過程一方面是一個隨機變數 ， 而且也是一個不可微分的函數 。 藉由伊藤積分 ， 可以將一個隨機過程 （ 被積分函數 ） 對另一個隨機過程 （ 積分變數 ） 進行積分 。 積分變數一般會布朗運動 。 從到的積分結果是一個隨機變數 。 此隨機變數定義爲一特定隨機變數序列的極限 （ 有許多等效的方式可建構上述的定義 ） 。 伊藤積分是對半鞅X以及隨機過程H的積分 這裏X是布朗運動 ， 或者更廣義地 ， 是一個半鞅 ， H是一個適配於由X生成的篩選的 ， 本地平方可積分的過程 。 布朗運動的路徑無法滿足應用於微積分標準技術的需求 。 特別地 ， 其在任意點不可微 ， 並且在每一個時間間隔都有無限變差 。 其結果是 ， 無法用普通的方法定義積分 （ 參考黎曼 － 斯蒂爾傑斯積分 ） 。 主要的創新是隻要調配被積函數 ， 就可以定義一個積分 ， 不嚴格的講 ， 即t時刻它的值僅僅依靠此時刻之前的可用信息 。 伊藤過程的重要結果包括分部積分公式和伊藤引理 ， 即變量公式的變形 。 這些由於二次方差項 ， 都與標準微積分公式不同 ， 股票價格和其他可交易資產的價格可以通過隨機過程進行建模 ， 例如布朗運動 ， 或者 ， 更經常的 ， 幾何布朗運動 （ 參見布萊克 - 舒爾斯模型 ） 。 然後 ， 伊藤隨機積分代表 ， 在時間t持有一定數量Ht的股票 ， 對其進行連續交易的回報 。 這種情況下 ， 調配H就相應於 ， 在任何時候只使用可用信息的交易策略限制 。 這也阻止了通過高頻交易獲得無限收益的可能性 ： 市場中每個上漲之前買入股票 ， 每個下跌之前賣出股票 。 相似地 ， 調配H的條件暗示 ， 當作爲黎曼和極限進行計算的時候 ， 隨機積分不會收斂 。