大基數

在集合論 ， 大基數性質是超限基數可能具有的若干性質的統稱 。 顧名思義 ， 有某種大基數性質的基數 （ 大基數 ） 一般都很 「 大 」 （ 例如 ， 比滿足的最小的更大 ， 其中的意義見阿列夫數 ） 。 大基數的存在性不能用最常見的ZFC集合論公理系統證明 ， 所以 ， 若需要大基數才能證明某些結論 ， 則可用所需的大基數來衡量該結論 「 超出 」 ZFC的程度 。 其如達納 · 斯科特所言 ， 量化了 「 欲證更多 ， 必先假設更多 」 。 常見大基數類別有不可達基數 、 、 和可測基數等 ， 其中可測基數和拉姆齊基數都比弱緊基數強 ， 而若假定選擇公理 ， 弱緊基數是不可達基數 。 集合論界中有以下粗略約定 ： ZFC足以證明的結論敍述時不用列明前提 「 假設ZFC 」 ， 但若證明要求其他假設 （ 例如存在某個大基數 ） ， 則須列明 。 視乎哲學派別 ， 或認爲該約定僅是語言慣例 ， 或認爲其意義更重大 （ 見研究動機和公理認受性一節 ） 。 是斷言特定大基數存在的公理 。 例如 ， 「 存在3個不可達基數 」 便屬大基數公理 。 許多集合論者相信現時考慮的大基數公理皆與ZFC相容 。 該些公理足以推出ZFC相容 ， 因此ZFC （ 若相容 ） 無法證明該些公理與ZFC相容 ， 否則ZFC將證明自身的相容性 ， 與哥德爾第二不完備定理矛盾 。 並無準確定義何種性質爲大基數性質 ， 但列舉了若干較普遍接受的大基數性質 。