費曼－卡茨公式

費曼 － 卡茨公式是一個數學公式與定理 ， 得名於理查德 · 費曼和馬克 · 卡茨 ， 將隨機過程和拋物型偏微分方程結合在一起 。 使用費曼 － 卡茨公式可以通過將某些拋物型偏微分方程的解寫成隨機過程的條件期望的方式 ， 從而將求此類微分方程的數值解轉化爲模擬隨機過程的路徑 。 反過來 ， 此一類隨機過程的期望可以通過確定性的計算 （ 偏微分方程求解 ） 得到 。 考慮偏微分方程 ： 滿足邊界條件 ： 其中的 是已知的函數 ， 是給定的參數 ， 是所求的解函數 。 費曼 － 卡茨公式聲明 ， 這個偏微分方程的解函數可以寫成某個隨機過程的 （ 條件 ） 期望 ： 其中 是由以下的隨機動力方程 決定的伊藤隨機過程 。 其中的是維納過程 （ Wiener過程 ， 又稱爲布朗過程 ） ， 滿足初始條件 。