線性代數基本定理

線性代數基本定理是秩爲 r 的 m × n 矩陣A的奇異值分解: 對於矩陣 產生了四個基本線性子空間: <table class="wikitable"> <tr> <th> 子空間名字 <th> 定義 <th> 包含於 <th> [ [ 向量空間的維數 | 維數 ] ] <th> [ [ 基 | 基 ] ] <tr> <td> [ [ 行空間與列空間 #列空間定義 | 列空間 ] ] 、 [ [ 值域 ] ] 或 [ [ 像 | 像 ] ] <td> <math> \ mathrm { im } ( A ) </math> 或 <math> \ mathrm { range } ( A ) </math> <td> <math> \ mathbf { R } ^ m </math> <td> <math> r </math> <td> <math> \ mathbf { U } </math> 的前 <math> r </math> 列 <tr> <td> [ [ 零空間 #左零空間 | 左零空間 ] ] 或 [ [ 上核 ] ] <td> <math> \ mathrm { ker } ( A ^ T ) </math> 或 <math> \ mathrm { null } ( A ^ T ) </math> <td> <math> \ mathbf { R } ^ m </math> <td> <math> m - r </math> <td> <math> \ mathbf { U } </math> 的後 <math> m - r </math> 列 <tr> <td> [ [ 行空間與列空間 #行空間定義 | 行空間 ] ] 或 [ [ 餘象 ] ] <td> <math> \ mathrm { im } ( A ^ T ) </math> 或 <math> \ mathrm { range } ( A ^ T ) </math> <td> <math> \ mathbf { R } ^ n </math> <td> <math> r </math> <td> <math> \ mathbf { V } </math> 的前 <math> r </math> 列 <tr> <td> [ [ 零空間 ] ] 或 [ [ 核 | 核 ] ] <td> <math> \ mathrm { ker } ( A ) </math> 或 <math> \ mathrm { null } ( A ) </math> <td> <math> \ mathbf { R } ^ n </math> <td> <math> n - r </math> <td> <math> \ mathbf { V } </math> 的後 <math> n - r </math> 列 </table> Secondly: In <math> \ mathbf { R } ^ n </math>, <math> \ mathrm { ker } ( A ) = ( \ mathrm { im } ( A ^ T ) ) ^ \ perp </math>, 也就是, 零空間與行空間的 [ [ 正交補 ] ] 相同. In <math> \ mathbf { R } ^ m </math>, <math> \ mathrm { ker } ( A ^ T ) = ( \ mathrm { im } ( A ) ) ^ \ perp </math>, 也就是, 左零空間爲列空間的正交補. 子空間的維數遵從 [ [ 秩 - 零化度定理 ] ]. 進一步, 所有這些空間本質地定義於 – 不必考慮基的選擇 – 抽象向量空間, 算子, [ [ 對偶空間 ] ] <math> A \ colon V \ to W </math> 與 <math> A ^ * \ colon W ^ * \ to V ^ * </math>: <math> A ^ * </math> 的核與像是 <math> A </math> 的上核與餘象.