普拉託問題

普拉託問題  是數學中與極小曲面有關的一類問題 ， 旨在研究在邊界固定時極小表面的存在性 。 此問題最早由18世紀的法國數學家拉格朗日在1760年提出 。 而之後比利時人約瑟夫 · 普拉託在19世紀進行了大量關於皁液膜 （ 肥皂泡 ） 的實驗 ， 並總結出了一些與極小曲面以及此問題有關的定律 （ 普拉託定律 ） 。 普拉託問題是變分法研究的一個分支 。 普拉託問題中的極小曲面的存在性以及其正則性 （ 是否可微 ， 是否光滑等等 ） 是幾何測度理論的研究對象 。 數學家們首先從解決普拉託問題的各種約束下的特殊情況開始 。 1930年 ， 傑西 · 道格拉斯和蒂波 · 拉多得到了在映照 （ 浸入 ） 參照下的一般解 。 兩人的方法有很大差別 。 拉多的方法建立在加尼爾的工作上 ， 只能證明邊界爲可求長的簡單閉曲線的情況 。 道格拉斯則運用了全新的思路 ， 對任意的簡單閉曲線都適用 。 兩人的方法都包括了求解最小值問題 ， 不同之處爲道格拉斯最小化的對象是現在稱爲 “ 道格拉斯積分 ” 的積分式 ， 而拉多最小化的對象是類似於保守場的 “ 能量 ” 。 道格拉斯因這方面的工作獲得了1936年的菲爾茲獎. 更高維度空間中的普拉託問題 （ 關於n維歐幾里得空間中的k維曲面上極小曲面的問題 ） 比三維空間中曲面的普拉託問題更爲困難 。 不僅如此 ， 與三維空間中曲面的普拉託問題的解總是正則的特性不同 ， 研究發現擴展到高維空間中的普拉託問題的解在 k ≤ n − 2 可能出現不規則的奇點 。 當曲面是超平面的時候 （ 即曲面維度 k = n − 1 的時候 ） ， 則只在空間維度 n ≥ 8 的時候解會出現不規則的奇點 。