射影線性群

射影線性群是代數學裏群論中的一類群的稱呼 。 射影線性群也叫射影一般線性群 （ 一般記作 PGL ） ， 是某個係數域爲的向量空間V上的一般線性群在射影空間 P ( V ) 上誘導的群作用 。 具體來說 ， 射影線性群是商群 ： 其中的是V上的一般線性群 ， 而是由V上的所有數乘變換構成的的子群 。 之所以在中約去 ， 是因爲它們在射影空間上的作用是平凡的 （ 所以構成群作用的核 ） 。 有時也被記作 ， 因爲它是一般線性群的中心 。 與射影線性群類似的還有射影特殊線性群 ， 一般記作PSL 。 它的定義與射影線性群相似 ， 只不過不是在一般線性群而是在特殊線性群上 。 其中的是V上的特殊線性群 ， 而是在中的子群 （ 即行列式等於1的數乘變換構成的子群 ） 。 顯然 是 的中心 。 若 （ n 維空間 ） ， 則 同構於由n 次單位根構成的群 。 射影線性群與射影特殊線性群都是群論和幾何中最常研究的群 ， 即所謂的 “ 經典群 ” 。 射影線性群中的元素稱爲射影線性變換 。 （ n 維空間 ） ， 那麼這個射影線性群也記作 或 。 當且僅當 中每一個元素的n 次根都在 中 ， 例如在 代數封閉 （ 比如是複數域 ） 的時候 ， 射影線性群與射影特殊線性群等同 。 。 但是係數域爲實數的時候 ， 就有 。 幾何的解釋是 ： 實射影直線是有向的 ， 而實射影特殊線性群只包括保持定向的變換 。 射影線性群與射影特殊線性群也可以在環上定義 ， 一個重要的例子是模群 。