對偶_(數學)

在數學領域中 ， 對偶一般來說是以一對一的方式 ， 常常 （ 但並不總是 ） 通過某個對合算子 ， 把一種概念 、 公理或數學結構轉化爲另一種概念 、 公理或數學結構 ： 如果A的對偶是B ， 那麼B的對偶是A 。 由於對合有時候會存在不動點 ， 因此A的對偶有時候會是A自身 。 比如射影幾何中的笛沙格定理 ， 即是在這一意義下的自對偶 。 對偶在數學背景當中具有很多種意義 ， 而且 ， 儘管它是 “ 現代數學中極爲普遍且重要的概念 （ a very pervasive and important concept in ( modern ) mathematics ） ” 並且是 “ 在數學幾乎每一個分支中都會出現的重要的一般性主題 （ an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics ） ” ， 但仍然沒有一個能把對偶的所有概念統一起來的普適定義 。 在兩類對象之間的對偶很多都和配對 （ pairing ） ， 也就是把一類對象和另一類對象映射到某一族標量上的雙線性函數相對應 。 例如 ， 線性代數的對偶對應着把線性空間中的向量對雙線性映射到標量上 ， 廣義函數及其相關的試驗函數也對應着一個配對且在該配對中可用試驗函數來對廣義函數進行積分 ， 龐加萊對偶從給定流形的子流形之間的配對的角度看同樣也對應着交數 。