胡爾維茲定理

在代數學中 ， 胡爾維茲定理 （ 又名 “ 1,2,4,8 定理 ” ） 是以在1898年證明它的阿道夫 · 胡爾維茲命名 。 該定理表明 ： 任何帶有單位元的賦範可除代數同構於以下四個代數之一 ： R, C, H和O ， 分別代表實數 、 複數 、 四元數和八元數 。 對實賦範可除代數的分類始於弗洛比紐斯 ， 發揚於胡爾維茲 ， 由佐恩整理爲一般形式 。 一個簡短的歷史摘要可見Badger 。 完整的證明能在凱特和索洛多斯尼科夫或者夏皮羅處找到 。 一個基本的想法是 ， 如果一個代數A是成正比於1的 ， 那麼它同構於實數 。 否則 ， 我們使用凱萊 - 迪克森結構擴展子代數以同構於1 ， 並引入一個向量正交於1 。 此子代數是同構於複數的 。 如果它不是A的全體 ， 那麼我們再次使用凱萊 - 迪克森結構和另一個與複數正交的向量 ， 得到一個與四元數同構的子代數 。 如果這還不是不是A的全體 ， 我們重複以上行爲一次 ， 並得到同構於凱萊數 （ 或八元數 ） 的子代數 。 我們現在有一個定理 ， 說的是每一個包含1而又不是A自身的子代數是結合的 。 凱萊數不是結合的 ， 因此必須爲A 。 胡爾維茲定理也可以用於證明n個平方和與n個平方和的積仍可以寫成n個平方和僅當n爲 1,2,4 或者8時 。