幺正算符

在泛函分析中 ， 幺正算符 ( 或稱酉算符 ） 是定義在希爾伯特空間上的有界線性算符U: H → H ， 滿足如下規律 ： 其中 U ∗ 是 U的厄米轉置, 而 I: H → H是恆等算符 。 幺正算符具有如下性質 ： U 保持了希爾伯特空間上內積 〈, 〉 的不變性, 即對於希爾伯特空間上的任意矢量 x和y, 都有: U 是滿射的 。 這兩個條件還可以用兩個較弱的但是等價的定義表示出來 ： U 保證了內積的不變 U 是一個稠集. U保持內積不變可以推出U是個有界線性算符 ； 而U是稠集保證了U的逆U −1 的存在 。 而U −1 = U ∗ 是很明顯的 。 所以 ， 幺正算符是希爾伯特空間的自同構 ， 即幺正算符保持空間結構的不變 ， 比如說空間的線性疊加性和內積以及拓撲性質的不變 。 在群論中 ， 一個給定希爾伯特空間H上的所有幺正算符組成了該空間的希爾伯特群 ， 表示爲Hilb ( H ) 。 較弱的條件U ∗ U = I說明算符U是等距算符 。 另一個條件U U ∗ = I說明算符是伴同等距算符 。 單位元 是單位算符的一般化形式 。 在單位元中 ， 其中的單元U 被叫做 單位元, 當滿足如下條件 ： 其中 I 是單位算符 。