母函數

在數學中 ， 某個序列 的母函數 （ 又稱生成函數 ) 是一種形式冪級數 ， 其每一項的係數可以提供關於這個序列的信息 。 使用母函數解決問題的方法稱爲母函數方法 。 母函數可分爲很多種 ， 包括普通母函數 、 指數母函數 、 L級數 、 貝爾級數和狄利克雷級數 。 對每個序列都可以寫出以上每個類型的一個母函數 。 構造母函數的目的一般是爲了解決某個特定的問題 ， 因此選用何種母函數視乎序列本身的特性和問題的類型 。 母函數的表示一般使用解析形式 ， 即寫成關於某個形式變量x的形式冪級數 。 對冪級數的收斂半徑中的某一點 ， 可以求母函數在這一點的級數和 。 但無論如何 ， 由於母函數是形式冪級數的一種 ， 其級數和不一定對每個x的值都存在 。 母函數方法不僅在概率論的計算中有重要地位 ， 而且已成爲組合數學中一種重要方法 。 此外 ， 母函數在有限差分計算 、 特殊函數論等數學領域中都有着廣泛的應用 。 注意母函數本身並不是一個從某個定義域射到某個上域的函數 ， 名字中的 “ 函數 ” 只是出於歷史原因而保留 。