阿爾澤拉-阿斯科利定理

在數學中 ， 阿爾澤拉 - 阿斯科利定理是泛函分析中的一個定理 ， 給出了從緊緻度量空間射到度量空間的函數集合在一致收斂的拓撲意義上是緊集的一個充分必要條件 。 其中主要涉及的條件是函數集的等度連續性質 。 等度連續的概念大約是在十九世紀的八十年代由兩位意大利數學家朱利奧 · 阿斯科利 （ 於1883年 － 1884年 ） 和切薩雷 · 阿爾澤拉 （ 於1882年 － 1883年 ） 提出的 。 阿斯科利在1883年的論文中 ， 證明了定理中 ， 連續函數集爲緊集的充分條件 ， 而阿爾澤拉則在1895年的另一篇論文中證明了定理的另一部分 ： 成爲緊集的必要條件 ， 並首次給出了定理的完整證明 。 而不久之後 ， 在1906年 ， 法國數學家弗雷歇又將這個定理進行了推廣 ， 使得在任意的能夠定義極限的空間中都有同樣的結果 （ 比如度量空間或豪斯多夫空間 ） 。 在阿爾澤拉 - 阿斯卡利定理首次獲證的年代 ， 人們並沒有充分理解該定理的重要意義 。 隨着研究的不斷深入 ， 緊緻性成爲了分析學 、 拓撲學領域的關鍵概念 ， 而此定理就描述了緊緻性 。 該定理是利用歐拉法證明常微分方程組理論中的皮亞諾存在性定理時不可或缺的一環 ， 也是複分析中的蒙泰爾定理的證明中的重要組成部分 。 此外 ， 彼得 - 外爾定理的一個證明中用到了此定理 。