芬斯拉不等式

芬斯拉不等式 （ Finsler's Inequality ） 是一條反映了三角形三邊與其面積之間的關係的幾何不等式 。 設 △ ABC的三邊長分別爲,, ， 面積爲 ， 則 （ 當且僅當時 ， 等號成立 ） … … （ 1 ） 證明一 ： 如圖 ， 因任意 △ ABC的三條高至少有一條在 △ ABC內 ， 不妨設BC邊上的高AD在 △ ABC內 ， 設 ， ， ， 則有 ， ， ， ， ∵ … … （ 2 ） 等號當且僅當 ， 且時 ， 即 △ ABC爲正三角形時成立 。 展開 （ 2 ） 式並整理可得 ， ∴ 。 （ 當時 ， 等號成立 ） 注 ： 證明的關鍵是巧妙在構造不等式 （ 2 ） ， 爲此必須首先猜想到當時 ， 正三角形的面積最大 ， 此時有 ， ， 利用這兩個公式就可造出不等式 （ 2 ） 。 證明二 ： 由余弦定理及三角形面積公式 ， 當且僅當 ， ∠ C = 60 ° ， 即時 ， 等號成立 。